专题02 一元二次方程（期中真题汇编，贵州专用）九年级数学上学期

专题02 一元二次方程 考点01 一元二次方程的概念 考点02 配方法 考点03 公式法 考点04 因式分解法 考点05 一元二次方程的根与系数的关系 考点06 实际问题与一元二次方程 考点01 一元二次方程的概念 1．D 2．B 3．C 4．A 5．B 6．B 7．A 8．A 9．A 10．B 11．B 12．A 13．B 14．B 15．B 16．D 17．C 18．A 19．C 20．B 21．A 22．D 23．B 24．D 25．C 26．C 27．D 28．D 29．C 30．D 31．A 32．【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程的一般式．一元二次方程的一般式为，其中常数项是，直接根据来找出常数项，即可作答． 【详解】 解：依题意，方程的常数项为， 故答案为：． 33．【答案】 【分析】 本题考查一元二次方程的定义，根据二次项系数为2的条件，构造一个简单的一元二次方程即可． 【详解】 解：满足条件的一元二次方程为（答案不唯一）． 故答案为：（答案不唯一）． 34．【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程的一般式．一元二次方程的一般形式为，其中是一次项系数，据此进行分析，即可作答． 【详解】 解：依题意，一元二次方程的一次项系数是， 故答案为：． 35．【答案】 【分析】 此题主要考查了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是．特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．根据一元二次方程的定义得出，再求出m的取值范围即可． 【详解】 解：∵关于x的方程是一元二次方程， ∴， 解得：． 故答案为：． 36．【答案】2 【分析】 根据一元二次方程根的定义，即可求解． 【详解】 解：将代入得：，解得． 故答案是：2． 【点睛】 本题主要考查一元二次方程的根，掌握一元二次方程根的定义，是解题的关键． 37．【答案】1 【分析】 该题考查了一元二次方程的解，由于是方程的一个根，将其代入方程即可求出k的值． 【详解】 解：将代入方程 中， 得：， 解得：， 故答案为：1． 38．【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程的定义．根据一元二次方程的定义，未知数的最高次数为2且二次项系数不为零，列出条件求解． 【详解】 解：由题意得，且， 解得， 故答案为：． 39．【答案】1 【分析】 此题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键．将“只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程是一元二次方程”修改为“只含有一个未知数，未知数的最高次数是2，且二次项系数不为0的整式方程是一元二次方程”，根据定义得到，求解即可． 【详解】 解：∵是关于的一元二次方程， ∴， 解得． 故答案为：1． 40．【答案】 【分析】 由一元二次方程的定义可知，未知数的最高次数为2，且二次项系数不为0，据此列式求解即可． 【详解】 解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴ ， 得或， 解得或， 由得：， ∴． 41．【答案】x1＝3，x2＝﹣3． 【分析】先移项，在两边开方即可得出答案． 【详解】∵ ∴=9， ∴x=±3， 即x1＝3，x2＝﹣3， 故答案为x1＝3，x2＝﹣3． 【点睛】本题考查了解一元二次方程-直接开平方法，熟练掌握该方法是本题解题的关键. 考点02 配方法 1．A 2．B 3．D 4．A 5．A 6．A 7．D 8．B 9．B 10．B 11．C 12．A 13．D 14．【答案】 【详解】 解： 解得． 15．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法，因式分解法，配方法和公式法是解题的关键． （1）利用直接开平方法求解即可； （2）利用配方法解方程即可． (1) 小问详解： 解： ， ∴； (2) 小问详解： 解： 或 ∴． 16．【答案】（1）     （2），      【分析】 （1）利用完全平方公式将方程变形，再求解即可； （2）先将二次项系数化为1，再通过配方法求解即可． (1) 小问详解： 解：， ， ， ∴； (2) 小问详解： 解：， ， ，即， ，即， ． 17．【答案】（1）     （2） 解：是等边三角形．理由如下： ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形．      【分析】 本题主要考查配方法的应用及三角形的分类，等边三角形的判定，熟练掌握配方法的应用及三角形的分类是解题的关键； （1）用完全平方公式对方程左边进行配方，再根据非负数和为0的性质求得x、y，再代值计算便可； （2）先将方程两边都乘以2，再把方程左边分解成几个完全平方式之和，进而根据非负数和为0的性质得出，再由此判断三角形的形状． (1) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴； (2) 小问详解： 略 18．【答案】， 【分析】 本题主要考查分式的化简求值、解一元二次方程和一元一次不等式组，先计算括号内分式的减法，再将除法转化为乘法，继而约分即可化简原式，解关于a的一元二次方程，选取使分式有意义的a的值代入计算即可． 【详解】 解： ， ， ， 则或， 解得或， 且， 当时， 原式 19．【答案】（1）①；②；③．（2）①， ②；（3）． 【分析】 （1）观察这些方程可得，方程的共同特征为二次项系数均为1，一次性系数分别为－2、－3、－4，常数项分别为1，2，3．解的特征：一个解为1，另一个解分别是1、2、3、4、…，由此写出答案即可；（2）根据（1）的方法直接写出答案即可；（3）用配方法解方程即可. 【详解】 （1）①； ②； ③． （2）①； ②． （3） x2－9x＋＝－8＋ (x－ )2＝ ∴x－＝±． ∴． 【点睛】 本题考查解一元二次方程.根据系数和解的特征找出规律是解题的关键. 20．【答案】（1）6；3     （2）所用的篱笆至少为36米     （3）四边形面积的最小值为25      【分析】 本题考查了实数的大小比较、完全平方公式的运用，用配方法求最值，理解在（a、b均为正实数）中，当且仅当a、b满足时，有最小值是解题的关键． 本题主要考查了完全平方公式的变形在求最值中的应用，正确理解题意并举一反三是解题关键； （1）依据题意，设，则由，得，进而当且仅当，即时，代数式取到最小值，最小值为6，故可得解； （2）设花圃的宽为x米，则长为米，所用的篱笆，据此即可求解； （3）设，由三角形的面积公式可知，若两三角形底边上的高相等，则其面积比等于底边之比，由此可将表示出来．写出四边形ABCD的面积的表达式，利用题中结论求其最小值即可． (1) 小问详解： 解：由题意，设， 由，得， 当且仅当，即（负值舍去）时，代数式取到最小值，最小值为 故答案为：6；3； (2) 小问详解： 解：由题意，设花圃的宽为x米，则长为米， 所用的篱笆， 又令，， 由， ． 当且仅当，即（负值舍去）时，代数式取到最小值，最小值为36， 答：所用的篱笆至少为36米． (3) 小问详解： 解：由题意，设， 与底边上的高相等，与底边上的高相等， ， 又， ， 当时，即（负值舍去）时取等号． 四边形面积的最小值为25． 考点03 公式法 1．A 2．A 3．B 4．D 5．B 6．B 7．A 8．A 9．D 10．B 11．C 12．D 13．A 14．D 15．A 16．C 17．C 18．C 19．A 20．B 21．D 22．B 23．D 24．B 25．B 26．C 27．【答案】且 【分析】 本题考查了根的判别式，根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到且，然后求出两个不等式的公共部分即可． 【详解】 解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴且， 解得且， 故答案为：且． 28．【答案】 【分析】 本题考查了根据一元二次方程根的情况求参数，根据方程有两个相等的实数根，得出，代入数值计算，即可作答． 【详解】 解：∵方程有两个相等的实数根， ∴， 即， 解得． 故答案为： 29．【答案】 【分析】 根据根的判别式即可求解． 【详解】 解：∵， ∴， ∴． 故答案为． 【点睛】 本题考查了一元二次方程根的判别式，解题关键是掌握当时，方程没有实数根． 30．【答案】（1）原方程无实数根. （2）x1=1，x2=﹣3. 【分析】（1）判断一元二次方程根的情况，只要看根的判别式△=b2－4ac的值的符号即可判断：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根. （2）把m的值代入方程，用因式分解法求解即可. 【详解】解：（1）∵当m=3时，△=b2﹣4ac=22﹣4×3=﹣8＜0， ∴原方程无实数根. （2）当m=﹣3时，原方程变为x2+2x﹣3=0， ∵（x﹣1）（x+3）=0，∴x﹣1=0，x+3=0. ∴x1=1，x2=﹣3. 31．【答案】0 【分析】 由于定义一种运算定“*”为：，所以关于x的方程变为，而此方程有两个相等的实数根，所以根据判别式和一元二次方程的一般形式的定义可以得到关于a的不等式组，解不等式组即可解决问题． 【详解】 解：由，得， 即， ∵关于x的方程有两个相等的实数根， ∴ ， ∴ ， 解得． 【点睛】 此题主要考查了一元二次方程的判别式，解题时首先正确理解定义的运算法则得到关于x的方程，然后根据判别式和一元二次方程的定义得到不等式组解决问题． 32．【答案】1（答案不唯一） 【分析】 本题主要考查了一元二次方程的解法，正确理解题意、掌握非负数的性质是关键．根据非负数的性质可得当时，一元二次方程有实数根，于是只要使c的值为负数即可． 【详解】 解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴， ∴的值可以是1（答案不唯一）． 故答案为：1（答案不唯一）． 33．【答案】（1），     （2），      【分析】 本题考查了解一元二次方程，熟练掌握配方法和公式法是解题的关键． （1）先将常数项移至等号右边，然后在等号两边同时加上一次项系数一半的平方，再由直接开平方法求解； （2）先计算的值，再由公式求解即可． (1) 小问详解： 解： ∴， ∴，； (2) 小问详解： 解： ， ∴， ∴，． 34．【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程根的判别式与根的关系，当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根． 根据一元二次方程有两个相等的实数根的条件，判别式等于零，且二次项系数不为零 【详解】 解：∵一元二次方程有两个相等的实数根， 则判别式且， 解得且， 即且， 故． 故答案为：． 35．【答案】（1）     （2） 证明： ， ， 方程有两个实数根．      【分析】 本题主要考查一元二次方程根的定义及根的判别式，由方程根的情况得到判别式的符号是解题的关键． （1）把代入方程可得，然后代入求解即可； （2）首先由得到，然后由判别式即可证明． (1) 小问详解： 把代入，得， ， ． (2) 小问详解： 略 36．【答案】 【分析】 此题考查了根的判别式，根据根的情况确定参数的范围，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式，当方程有两个不相等的实数根时，；当方程有两个相等的实数根时，；当方程没有实数根时，． 【详解】 解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 解得：， 故答案为：． 考点04 因式分解法 1．C 2．B 3．D 4．D 5．B 6．B 7．C 8．B 9．D 10．A 11．D 12．C 13．C 14．【答案】① 解：， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得； ② 解：， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得； ③ 解：， 移项，得， 方程左边分解因式，得， 所以或， 解得：，； ④ 解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得 ， 合并同类项，得 ， 系数化为1，得 ， 经检验是原分式方程的根． （任选两个方程、不等式解答．） 【分析】 本题考查了解分式方程（化为一元一次），解一元一次方程（一）——合并同类项与移项，解一元一次方程（三）——去分母，因式分解法解一元二次方程，求一元一次不等式的解集等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． ①先移项，再合并同类项，系数化为1即可； ② 先移项，再合并同类项，系数化为1即可； ③ 先移项，再将方程左边分解因式，得到两个一次方程求解； ④ 先去分母，转化为整式方程求解，再验根． 【详解】 略 15．【答案】（1）；（2） 【分析】 本题考查了求一个数的绝对值，求一个数的算术平方根，实数的混合运算，平方差公式分解因式等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）先计算乘方、绝对值、开算术平方根，再计算加减； （2）用平方差公式分解因式． 【详解】 （1）解： ； （2）解：． 16．【答案】，， 【分析】 利用因式分解法解方程即可． 【详解】 解： ， 或， 所以，． 故答案为：，． 【点睛】 本题考查了解一元二次方程因式分解法，解题的关键是掌握因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法． 17．【答案】①；②；③（任选两个作答） 【分析】 本题考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． ① 根据因式分解法解一元二次方程即可求解； ② 先移项，然后提取公因式，利用因式分解法即可求解； ③ 先移项，然后根据直接开平方法即可求解． 【详解】 解：以下三个任选两个即可， ① ∴或， ∴； ② ∴或， ∴； ③ ∴， ∴． 18．【答案】（1），     （2），      【分析】 本题考查了解一元二次方程，掌握因式分解法解一元二次方程是解题的关键． （1）通过因式分解或直接开平方求解； （2）通过因式分解求解． (1) 小问详解： 解： 或 ， (2) 小问详解： 或 ， 19．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键： （1）利用因式分解法解方程即可； （2）利用公式法解方程即可． (1) 小问详解： 解：， ， 或， 解得； (2) 小问详解： 解：， ， ， ， ∴． 20．【答案】（1），；（2） 【分析】 本题主要考查了解一元二次方程，实数混合运算，熟练掌握运算法则，是解题的关键． （1）用分解因式法解一元二次方程即可； （2）根据零指数幂和负整数指数幂运算法则，绝对值意义，进行计算即可． 【详解】 （1）解：， 因式分解得：， ∴或， 解得：，； （2） ． 21．【答案】（1）；， ； (2) ① 四；去括号时符号错误； ② 去分母，得 整理，得 去括号，得 移项、合并同类项，得，      系数化为1，得 【分析】 本题考查了解一元一次方程和解一元一次不等式，解题的关键是掌握解一元一次方程和解一元一次不等式的解法，能正确求解． （1）去括号，移项，合并同类项，系数化为1，解方程即可；利用因式分解法解方程即可； （2）① 一元一次不等式的去分母步骤，其理论依据是不等式的基本性质，对每一步的运算进行规则校验，尤其是去括号的“符号法则”； ② 通过解一元一次不等式得到这个不等式组正确的解集 ． 【详解】 解： 去括号，得 移项，得 合并同类项，得 系数化为1，得 整理得 或 解得，． （2）① 略 ② 略 22．【答案】（1），     （2），      【分析】 本题考查解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）运用因式分解法求解即可． （2）运用因式分解法求解即可． (1) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴或， 解得：，． (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴或， 解得：，． 23．【答案】（1）      （2）       【分析】 本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题关键； （1）利用因式分解法解答，即可求解； （2）利用直接开平方法解答，即可求解． (1) 小问详解： 解：， ∴， ∴， ∴． (2) 小问详解： 解：， ∴， ∴， ∴，， ∴． 24．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了一元二次方程，掌握因式分解法，公式法，配方法是解题的关键． （1）利用因式分解法求解即可； （2）利用公式法求解即可． (1) 小问详解： 解：原方程可变形为， ，或， ． (2) 小问详解： 解：这里． ， ，即． 25．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了一元二次方程的解法，包括公式法与因式分解法，解决本题的关键是熟练掌握一元二次方程的解法． （1）根据公式法，将对应的值代入求解即可； （2）先移项，再提取公因式，求解即可． (1) 小问详解： 解：原方程移项得， 即， ， ， ； (2) 小问详解： 解：， ， ， ，， ． 26．【答案】（1）；（2），． 【分析】 本题考查了解一元二次方程-因式分解法，实数的运算，正确计算是解题的关键． （1）先根据算术平方根、负整数指数幂、绝对值、零指数幂的运算法则计算，再合并即可； （2）根据因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】 解：（1） ； （2）， ， ， 或， ， 27．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题主要考查了解一元二次方程，灵活运用因式分解法和直接开平方法求解是解题的关键． （1）直接用因式分解法求解即可； （2）直接运用直接开平方法求解即可． (1) 小问详解： 解：， ， 或， ． (2) 小问详解： 解：， ， ． 28．【答案】（1），     （2），      【分析】 本题主要考查了一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的求解方法是解题的关键． （1）通过将方程左侧提取公因式的方式，将方程转化为两个一元一次方程求解． （2）利用配方法进行求解． (1) 小问详解： 解：， ， ∴，． (2) 小问详解： 解：， ， ， ， ∴，． 29．【答案】（1），     （2）      【分析】 本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法，因式分解法，配方法和公式法是解题的关键． （1）利用配方法即可求解； （2）利用因式分解法即可求解． (1) 小问详解： 解： 或 ∴，； (2) 小问详解： 解： 或 ∴． 30．【答案】 【分析】 方程整理后，利用因式分解法求出解即可． 【详解】 方程整理得：x(x﹣2)=0 可得x=0或x﹣2=0 解得：x1=0，x2=2 故答案为：x1=0，x2=2． 31．【答案】（1），     （2），     （3），；     （4）      【分析】 本题主要考查了解一元二次方程，利用直接开平方法、公式法、因式分解法求解是解题的关键． （1）利用直接开平方法计算即可； （2）利用因式分解法计算即可； （3）利用公式法计算即可； （4）利用因式分解法计算即可； (1) 小问详解： ， ， ， ，， ，； (2) 小问详解： ， ， ， ，， ，； (3) 小问详解： ， ，，， ， ， ，； (4) 小问详解： ， ， ， ． 32．【答案】（1）     （2），      【分析】 本题主要考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键． （1）直接利用完全平方公式解方程即可； （2）先移项，再利用因式分解法解一元二次方程即可． (1) 小问详解： 解：， ， ∴， 解得； (2) 小问详解： 解：， ， ， ∴或， 解得，． 33．【答案】（1），     （2），      【分析】 本题考查了解一元二次方程； （1）使用因式分解法解一元二次方程； （2）通过移项和提公因式解方程． (1) 小问详解： （1）解：， 因式分解得，， ∴  或 ， ∴ ，； (2) 小问详解： 解：， 移项得，， 提公因式得，， ∴  或 ， ∴ ，． 34．【答案】（1），     （2），      【分析】 （1）根据配方法求解一元二次方程即可； （2）运用提公因式法求解一元二次方程即可． (1) 小问详解： 解： ∴或 解得，； (2) 小问详解： 解： ∴或 解得，． 35．【答案】 【分析】 可通过移项将方程化为一般形式，再利用因式分解法解方程即可得到答案． 【详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴或， 解得． 36．【答案】（1），     （2），      【分析】 （1）方程二次项系数为1，一次项系数为偶数，用配方法求解更简便，也可使用公式法； （2）先整理方程，再用因式分解法求解． (1) 小问详解： 解：  移项得    配方得    即   开方得   因此 ，． (2) 小问详解： 解：   移项整理得   因式分解得   因此  或   因此 ，． 37．【答案】（1），     （2），      【分析】 本题主要考查了换元法解一元二次方程、因式分解法解一元二次方程、一元二次方程的根的判别式等知识，利用换元法解一元二次方程是解题关键． （1）先把要求的式子变形为，再进行因式分解，求出符合条件的值，从而得出的值； （2）根据已知条件设求出的值，即可获得答案． (1) 小问详解： 解：， 设，则原方程化为， ∴， ∴或（舍去）， 即， ∴，； (2) 小问详解： 解：， 设，则原方程化为， ∴， ∴或， 当时，可有，解得，， 当时，可有， ∵， ∴该方程无解， ∴原方程的解为，． 38．【答案】（1）；（2）3 【分析】 本题主要考查了实数混合运算，解一元二次方程，根据一元二次方程解的情况求参数，熟练掌握相关运算法则，是解题的关键． （1）根据零指数幂和负整数指数幂运算法则，二次根式性质，绝对值意义，进行求解即可； （2）先解方程得：，，然后再代入求出k的值即可． 【详解】 解：（1） ； （2）解方程得：，， 把代入得： ， 解得：； 把代入得： ， 解得：， 当时，，此时方程为一元一次方程，不符合题意； 综上，． 39．【答案】（1）； （2）选择①， ；选择②，，；选择③， 【分析】 本题主要考查了实数的混合运算（含绝对值、零指数幂）和一元二次方程的解法（直接开平方法、因式分解法、公式法），解题的关键是掌握绝对值、零指数幂的运算规则，以及根据方程特点选择合适的一元二次方程解法． （1）化简绝对值，进行0指数幂运算，再按运算顺序进行计算即可； （2）选① ，用直接开平方法进行求解即可；选② ，用因式分解法进行求解即可；选③ ，用公式法进行求解即可． 【详解】 （1）解：原式 （2）选择 ①； 解： 或 ∴； 选择 ②； 解： 或 ， ； 选择③． 解： ． 40．【答案】（1）2； （2）① 小红，小星的解法都是错误的，小红的解法从第一步开始错误，小星的解法从第二步开始错误； ② 方法一： ， ， ，             ，． 方法二： ， 当时， 两边同除以，得：， 解得，； 当时， 即，满足原方程； 综上，原方程的解为，． 【分析】 本题主要考查实数的运算，解一元二次方程，熟练掌握以上知识点是做题的关键． （1）根据实数的运算法则进行计算即可； （2）根据解一元二次方程的步骤进行计算即可． 【详解】 （1）解： ．             （2）① 解：小红，小星的解法都是错误的． 判断如下： ② 略 小红的解法解：第一步：两边同除以，得：.（×）第二步：.（       ） 小星的解法解：第一步：.（       ）第二步：.（×）第三步：或.（       ）第四步：，（       ） 41．【答案】（1），     （2），      【分析】 本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解答本题的关键． （1）方程运用因式分解法解答即可； （2）方程移项后运用因式分解法解答即可． (1) 小问详解： 解：， ， ， ∴； (2) 小问详解： 解：， ， ， ， ， ∴，． 42．【答案】（1） 或 ；（2） 【分析】 本题考查了解一元二次方程及实数的混合运算，熟练掌握解一元二次方程及实数的混合运算是关键． （1）通过移项和提取公因式，将方程变形为，即可解得答案； （2）分别进行负指数、零指数运算、二次根式的化简及化简绝对值，再计算实数的加减即可． 【详解】 解：（1）移项，得， 提取公因式，得， 或， 或； （2） ． 43．【答案】（1），     （2），      【分析】 本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键： （1）配方法解方程即可； （2）因式分解法解方程即可． (1) 小问详解： 解：， ， ， ， 解得，； (2) 小问详解： 解：， ， ， 解得，． 44．【答案】（1），     （2），      【分析】 本题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． （1）直接利用十字相乘法进行因式分解，从而求得方程的解； （2）先移项，再提取公因式进行因式分解，从而求得方程的解． (1) 小问详解： 解：， ， 或， 即，． (2) 小问详解： 解：， ， ， ， 或， 即，． 45．【答案】（1）① ③     （2）①；②，和      【分析】 该题考查了智谋数对”的定义，因式分解的应用等知识点． （1）根据“智谋数对”的定义分别判断即可． （2）① 根据题意可得，左边先因式分解，再化简即可；② 当时，则，同① 化简整理得，再根据题意代值即可解答． (1) 小问详解： 解：① ∵，， ∴， ∴关于3构成“智谋数对”； ② ∵，， ∴， ∴关于3不构成“智谋数对”； ③ ∵，， ∴， ∴关于3构成“智谋数对”； 故答案为：① ③ ； (2) 小问详解： 解：① 根据题意可得， 则， ∴， ∴； ② 当时，则，即， 整理得， 则， ∵a和b是两个不相等的正整数，， 取，则，满足条件，“智谋数对”是； 取，则，满足条件，“智谋数对”是； 综上，满足条件的两个“智谋数对”可以是和． 46．【答案】（）；（）． 【分析】 本题考查了实数的混合运算，因式分解法解一元二次方程，掌握知识点的应用是解题的关键． （）分别计算算术平方根，零指数幂，负整数指数幂，最后进行加减运算即可； （）用因式分解法解方程即可． 【详解】 解：（） ； （）， ， ， ， ， ∴． 47．【答案】方程①：；方程②：；方程③ ： 【分析】 本题考查了解一元二次方程，① 先移项，然后根据直接开平方法解一元二次方程；② 根据因式分解法解一元二次方程；③ 根据因式分解法解一元二次方程即可求解． 【详解】 解：①； ∴ 解得： ②； ∴ ∴或， 解得： ③ ∴ ∴或 解得： 48．【答案】（1），     （2），      【分析】 本题主要考查了解一元二次方程，选择合适的解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）直接运用公式法求解即可； （2）先整理方程，然后再运用因式分解法求解即可． (1) 小问详解： 解：， ∴， ， ， ，． (2) 小问详解： 解：， 整理，得， 因式分解，得，即． ∴或， ∴，． 49．【答案】（1），．     （2），．      【分析】 本题主要考查了解一元二次方程，灵活运用配方法和因式分解法解一元二次方程是解题的关键． （1）先移项，然后运用配方法求解即可； （2）先移项、然后再运用因式分解法求解即可． (1) 小问详解： 解：， ， ， ， ， ， 所以，． (2) 小问详解： 解：， ， ， 或， 所以，． 50．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题主要考查一元二次方程： （1）设所求方程的根为，则，所以，把代入已知方程，即可求得答案； （2）设所求方程的根为，则，所以，把代入方程，即可求得答案． (1) 小问详解： 设所求方程的根为，则，所以. 把代入已知方程，得，故所求方程为. (2) 小问详解： 设所求方程的根为，则， 所以. 把代入方程． 得. 去分母，得． 若，则有，即， 可得有一个解为，因为要求方程有两个不为0的根，所以不符合题意． 故，故所求方程为． 51．【答案】17 【分析】 本题主要考查了解一元二次方程、三角形的三边关系等知识点，掌握三角形的三边关系是解题的关键． 先解一元二次方程得到两根，再根据三角形的三边关系判断哪个根可以作为第三边，最后计算周长即可． 【详解】 解：， ， ，． 当第三边为7时，三边分别为2、8、7，满足三角形三边关系（任意两边之和大于第三边，如；任意两边之差小于第三边，如）． 当第三边为10时，三边分别为2、8、10，但，不满足两边之和大于第三边，故不成立． 综上，第三边为7，周长为． 故答案为：17． 52．【答案】（1），     （2），      【分析】 本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是： （1）把方程化为，再化为两个一次方程，进而解方程即可； （2）把方程化为，再化为两个一次方程，进而解方程即可． (1) 小问详解： 解∶， ， ， 或， ∴，； (2) 小问详解： 解：， ， 或， ∴，． 53．【答案】 【分析】 如图，记的中点为，连接、，则，由正方形，由勾股定理得，由题意知，，即，然后作答即可． 【详解】 解：解方程得（负值舍去）， 即正方形的边长是4， 如图，记的中点为，连接、， ， ， ∵正方形， ∴由勾股定理得，， 由题意知，，即， ∴线段长的最大值是， 故答案为：． 【点睛】 本题考查了正方形的性质，解一元二次方程，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，勾股定理，三角形三边关系等知识．熟练掌握正方形的性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，勾股定理，三角形三边关系是解题的关键． 54．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）利用因式分解法求解即可． （2）利用公式法求解即可． 本题考查了公式法，因式分解法求解方程的根，选择适当解方程的方法是解题的关键． (1) 小问详解： 解：∵， ∴， 解得． (2) 小问详解： 解：∵, 在这里， ∴， 解得． 55．【答案】（1）     （2）6      【分析】 本题主要考查了换元法解一元二次方程，熟知换元法是解题的关键． （1）设，则原方程化为，利用因式分解法解方程求出y的值即可得到答案； （2）设，则原方程化为，利用因式分解法解方程求出t的值即可得到答案． (1) 小问详解： 解：设，则原方程化为， ∴， ∴或， 解得或， ∴或， 解得； (2) 小问详解： 解：设，则原方程化为， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∴或（舍去）， ∴． 56．【答案】； 【分析】 本题考查绝对值以及解一元二次方程，掌握分类讨论的思想是解答本题的关键． 分情况去掉绝对值，化成一元二次方程，解一元二次方程即可． 【详解】 解：（1）当时，原方程化为，解得：， （不合题意，舍去）； （2）当时，原方程化为，解得：（不合题意，舍去），， 综上所述，原方程的根是，， 故答案为：；． 考点05 一元二次方程的根与系数的关系 1．D 2．C 3．B 4．C 5．B 6．C 7．C 8．A 9．【答案】（1） 证明：依题意，得， ∵，即， ∴方程总有两个实数根；     （2）      【分析】 题目主要考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，注意： （1）直接利用根的判别式求解即可； （2）利用根与系数的关系得出不等式组求解即可； 熟练掌握一元二次方程根的判别式及根与系数的关系是解题关键 (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ∵方程两根均为负数， ∴ ， ∴ ， 解得： ， ∴． 10．【答案】 【分析】 本题考查一元二次方程的解和根与系数的关系，先根据一元二次方程的解得到，利用根与系数关系得到，则，再利用整体代入的方法计算即可．熟练掌握一元二次方程的解及根与系数的关系是解题的关键． 【详解】 ∵，是方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴ 故答案为：． 11．【答案】1 【分析】 本题主要考查根与系数的关系，解题的关键是熟知一元二次方程的解的定义及根与系数的关系．利用根与系数的关系求出两根之和与两根之积，再将所求代数式变形后代入计算． 【详解】 解：∵ 是方程的两个实数根， ∴ ，， ∴ ， 代入得：． 故答案为：． 12．【答案】（1） 证明：∵， ∴无论取何值，方程都有两个不相等的实数根．     （2）的值为1或      【分析】 （1）根据一元二次方程根的判别式可进行求解； （2）根据一元二次方程根与系数的关系可进行求解． (1) 小问详解： 略； (2) 小问详解： 解：∵的两个实数根为， ∴． ∵， ∴，． ∴． 即． 解得或． ∴的值为1或． 【点睛】 本题主要考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式及根与系数的关系是解题的关键． 13．【答案】5 【分析】 本题考查根与系数的关系，掌握该知识点是解题的关键． 根据根与系数的关系即可求出方程的另一个根． 【详解】 解：设另一个根为，根据根与系数的关系，得 ， 解得， 即另一个根为5． 故答案为：5． 14．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题主要考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系， （1）根据题意可知，再解不等式可得出结论； （2）先根据一元二次方程根与系数的关系得，，再将原式整理为，然后代入计算即可． (1) 小问详解： 解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ， ， ， 故的取值范围为； (2) 小问详解： 解：方程的两个根分别为， ，， ， ， 解得， 故的值为． 15．【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程的根的定义、一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题关键．先根据一元二次方程的根的定义、一元二次方程的根与系数的关系可得，，再代入计算即可得． 【详解】 解：∵，是方程的两个根， ∴，， ∴ ， 故答案为：． 16．【答案】（1）     （2），另一个根为      【分析】 本题考查了根据一元二次方程根的情况求参数，一元二次方程的根与系数的关系，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先理解关于x的方程有两个不相等的实数根，得，再求出m的范围，即可作答． （2）记另一个根为，结合该方程有一个根，以及根与系数的关系，进行列式计算，即可作答． (1) 小问详解： 解：∵关于x的方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴， ∴ 解得． (2) 小问详解： 解：依题意，记另一个根为， ∵关于x的方程有一个根， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得． 17．【答案】5 【分析】 本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．根据根与系数的关系得到，，然后利用整体代入的方法计算，即可解题． 【详解】 解： ，是一元二次方程的两个根， ，， ． 故答案为：5． 18．【答案】（1）实数m的取值范围是；     （2）      【分析】 （1）由题意可得根的判别式，据此得到不等式求解即可； （2）由根与系数的关系可得；然后代入求出m的值即可． (1) 小问详解： 解：∵方程有实数根， ∴，整理得，解得， ∴实数m的取值范围是； (2) 小问详解： 解：由两根关系得， ∵， ∴， 整理得： 解得：（不符合要求，舍去）或， ∴． 【点睛】 本题主要考查了一元二次方程根的判别式、根与系数的关系等知识点，熟练掌握一元二次方程根的判别式和根与系数的关系是解题的关键． 19．【答案】 【分析】 本题考查了根与系数的关系、一元二次方程的解，正确理解一元二次方程的解的定义是解题的关键．由一元二次方程根与系数关系得，，再代入求值即可． 【详解】 解：∵是方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴ ， 故答案为：． 20．【答案】（1）     （2）菱形的面积是3      【分析】 本题考查了一元二次方程根与系数的关系，求菱形的面积，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系及求菱形的面积的方法是解题的关键． （1）根据一元二次方程根与系数的关系， 可得，，再将变形为，即可求解； （2）当时，，即可代入菱形面积公式求解． (1) 小问详解： 解：对于关于x的一元二次方程， ，，， ，， ； (2) 小问详解： 解：当时，， 此时菱形的面积为． 21．【答案】（1） 证明：∵， ∴无论为何值，该方程总有两个不相等的实数根；     （2），      【分析】 此题考查了一元二次方程根与系数关系、根的判别式，熟练掌握一元二次方程根与系数关系、根的判别式是解题的关键． （1）根据判别式进行证明即可； （2）根据一元二次方程根与系数的关系得到，，然后由得到，进而求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ∵，， ∵， ∴， ∴， ∴，． 22．【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程根与系数的关系，设原一元二次方程为，由萱萱写错常数项，得到根和，故一次项系数正确，故有 ，即 ；由小杰写错一次项系数，得到根和，故常数项正确，故有，即，则原方程为，即，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】 解：设原一元二次方程为， 由萱萱写错常数项，得到根和，故一次项系数正确，故有 ，即 ； 由小杰写错一次项系数，得到根和，故常数项正确，故有，即， 因此原方程为， 所以， 故答案为：． 23．【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程根与系数的关系．根据根与系数的关系，得到方程两根之和与两根之积，代入倒数方程的条件，得到关于的方程，求解并验证判别式即可． 【详解】 解：设方程的两个根为和， 根据根与系数的关系，有： 由倒数方程的定义， 代入得： 解得：， 经检验是原方程的解，且当时，原方程为，，原方程有两个实数根 故答案为：． 24．【答案】（1） 解：由题意可知：， ∴ ， ∴无论k取任何非零实数，方程总有实数根．     （2）      【分析】 （1）证明即可； （2）分：三角形的腰长为4和底边为4两种情形讨论即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：当三角形的腰长为4时，设底边为a， ∴是的一根， ∴， ∴， ∴， ∴由根与系数的关系可知：， ∴， 此时，能够组成三角形，满足题意； ∴当底边为4时，设腰长为b， ∴有两个相同的根， ∴， ∴， ∴原方程为 ∴该方程的解为：． ∴，不能组成三角形，故舍去， 综上所述，． 【点睛】 本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根；也考查了解一元二次方程，根与系数的关系：一元二次方程两实数根为、，则，． 25．【答案】（1）且     （2），另一个根为      【分析】 （1）根据方程的根的判别式且，计算即可． （2）把代入，转化为k的方程求得k，设该方程的另一个根为，根据题意，得，解答即可． 本题考查了根的判别式，方程根的定义即使方程左右两边相等的未知数的值，根与系数关系定理，熟练掌握判别式，根与系数关系定理是解题的关键． (1) 小问详解： 解：∵一元二次方程有实根， ∴且， 解得且． 故k的取值范围是且． (2) 小问详解： 解：把代入， 得， 解得， 设该方程的另一个根为，根据题意，得，1是一元二次方程的两个根， 故， 解得， 故方程的另一个根是． 故，另一个根为． 26．【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理），解题的关键是利用韦达定理中两根之积的关系来求解． 设方程的另一个根为，根据韦达定理，一元二次方程的两根之积为，由此列出关于的方程，进而求解． 【详解】 解：设另一个根为 ， 根据根与系数的关系，有 ， 即 ， 解得 ． 故答案为 ． 考点06 实际问题与一元二次方程 1．A 2．C 3．D 4．B 5．B 6．A 7．A 8．D 9．C 10．B 11．B 12．A 13．C 14．B 15．C 16．A 17．C 18．A 19．A 20．A 21．C 22．C 23．D 24．B 25．D 26．B 27．C 28．C 29．C 30．D 31．【答案】（1）35；     （2）60元      【分析】 本题考查了一元二次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解． （1）根据“当售价为70元时，平均每天售出20个；若售价每下降1元，每日销售量就增加2个”列出代数式，即可解答； （2）设每个台灯的售价为元．根据每个台灯的利润销售数量总利润列出方程并解答． (1) 小问详解： 解：当售价为65元时，每台台灯的利润为：（元）， 售价下降元，每日能售出个； (2) 小问详解： 解：设每个台灯售价y元，根据题意得： ， 即， ， 每台台灯盈利不少于25元， ，解得。 不合题意，舍去。 ， 答：每个台灯售价60元． 32．【答案】（1）5米     （2） 不能，理由如下， 假设面积可以为 ，则， 整理得即 ， ∴， ∴方程无实数解， 故面积不能为 ．      【分析】 本题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意列出方程求解． （1）设垂直于墙的一边长为x米，则矩形的另一边长为米，根据面积为列出方程，求解即可； （2）根据题意列出方程，用根的判别式判断方程根的情况即可． (1) 小问详解： 解：设垂直于墙的一边长为x米，则矩形的另一边长为米 则， 解方程得：，． 当时，长，故舍去， ∴． ∴（米）， 答：矩形的长为9米，宽为5米； (2) 小问详解： 略 33．【答案】（1），     （2）2米      【分析】 本题考查了列代数式，一元二次方程的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，结合物业准备将一个长为16米，宽为12米的长方形区域（阴影部分）改造成一个健身区域，且设步行跑道的宽度为x米．进行列式，即可作答． （2）根据新场地的总面积为320平方米，进行列方程，再解方程，即可作答． (1) 小问详解： 解：∵物业准备将一个长为16米，宽为12米的长方形区域（阴影部分）改造成一个健身区域，且设步行跑道的宽度为x米． ∴新场地的长为米，宽为米， (2) 小问详解： 解：依题意，新场地的长为米，宽为米 ∵新场地的总面积为320平方米， ∴， 整理得， 解得（舍去） ∴步行跑道的宽度为2米． 34．【答案】（1）     （2）500件      【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设二、三这两个月的月平均增长率为x，利用该商品三月份的销售量=该商品一月份的销售量×(1+月平均增长率)2，列出一元二次方程，解之取其符合题意的值即可； （2）根据（1）中的增长率，列算式求解即可． (1) 小问详解： 解：设二、三这两个月的月平均增长率为x， 根据题意得：， 解得：（不符合题意，舍去）， 答：二、三这两个月的月平均增长率为； (2) 小问详解： 解：（件）， 答：四月份的销售量是500件． 35．【答案】 【分析】 此题考查了一元二次方程的应用．根据题意分别表示出最小数与最大数，进而利用最大数与最小数的积为128得出等式求出答案． 【详解】 解：设这4个数中最小数是x，则最大数为：， 根据题意得：， 故答案为：． 36．【答案】（1）10     （2）所以小颖的成功率为，小红的成功率为，小丽的成功率为      【分析】 （1）根据“每一个人每周能够号召相同的m个人参加，被号召参加的人下一周会继续号召，两周后，将有121人被号召成为“传递正能量志愿服务者”．”列出方程，即可求解； （2）根据题意，得小颖号召了n人.小丽号召了（n+2）人，小红号召了[17-（n+2）-n]=（15-2n）人，从而得到小颖的成功率为，小红的成功率为，小丽的成功率为，再根据“小红的成功率比小颖的两倍少10%，”列出方程，即可求解． (1) 小问详解： 解：根据题意得： m（m+1）+m+1=121，即（m+1）2=121， ∴m+1=±11， 解得：m1=10，m2=-12（舍去） 答：m的值为10； (2) 小问详解： 解：根据题意，得小颖号召了n人，小丽号召了（n+2）人，小红号召了[17-（n+2）-n]=（15-2n）人， ∴小颖的成功率为，小红的成功率为，小丽的成功率为， ∵小红的成功率比小颖的两倍少10%， ∴， 解得：n=4， ∴所以小颖的成功率为，小红的成功率为，小丽的成功率为， 答：所以小颖的成功率为，小红的成功率为，小丽的成功率为． 【点睛】 本题主要考查了一元二次方程的应用，一元一次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键． 37．【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，设月平均增长率为，则7月份游客数量为万人，8月份游客数量为 万人，即可列出方程． 【详解】 解：设月平均增长率为，根据题意列方程为 ， 故答案为：． 38．【答案】（1）     （2）万元      【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键． （1）设2022~2024年购买图书资金的年平均增长率为，增长率的定义列式，求解即可； （2）根据增长率的定义及2024年的费用，列式计算即可． (1) 小问详解： 解：设2022年～2024年购买图书资金的年平均增长率为x，根据题意得： ， 解得：（舍去）， 答：2022年～2024年购买图书资金的年平均增长率为； (2) 小问详解： 解：万元， 答：预测2025年该市用于购买图书的费用为万元． 39．【答案】（1）这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长率为     （2）预测2024年我国公民出境旅游总人数约8640万人次      【分析】 本题主要考查了一元二次方程的应用，掌握增长率公式求解是解题的关键． （1）根据增长率公式列方程求解即可； （2）用年的总人数加上新增人数即可； (1) 小问详解： 设这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长率为． 根据题意得：， 解得，（不合题意，舍去）． 答：这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长率为． (2) 小问详解： 如果2024年仍保持相同的年平均增长率， 则2024年我国公民出境旅游总人数为（万人次）． 答：预测2024年我国公民出境旅游总人数约8640万人次． 40．【答案】（1）；     （2）元      【分析】 本题主要考查了一元二次方程的应用，准确理解变化量列方程求解是解题的关键． （1）根据售价与进价、上涨价格的关系以及销量与售价变化的关系求解即可； （2）先根据利润的计算公式列出方程，再解方程，最后根据销量尽可能大的条件确定售价； (1) 小问详解： 已知冰墩墩的进价是元，原售价为元，上涨元，那么售价为元， 每天可销售500件，在此基础上售价每涨1元，那么每天的销售量就会减少10件，上涨元后，减少的销售量为件，所以销量为件； 故答案是：；． (2) 小问详解： 由题意得：， 化简得：， ，， 当时，售价为（元），此时销量为（件）； 当时，售价为（元），此时销量为（件）； 要使销量尽可能大， ，此时售价为元． 41．【答案】x(x－1)＝1056 【分析】 全班有x名同学，那么每名同学要送出（x-1）张，共有x名学生，那么总共送的张数应该是x（x-1）张，即可列出方程． 【详解】 解：∵全班有x名同学， ∴每名同学要送出（x-1）张； 又∵是互送照片， ∴总共送的张数应该是x（x-1）=1056． 故答案为：x（x-1）=1056． 【点睛】 本题考查一元二次方程在实际生活中的应用．读懂题意，找到等量关系是解题关键． 42．【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是熟练掌握现价和原价与增长（降低）率的关系．根据题意经过一次降价后的价格为元，经过两次降价后的价格为元，据此列出方程即可． 【详解】 解：初始价格为16元，平均每次降价的百分率为， 则经过一次降价后的价格为元，经过两次降价后的价格为元． 根据题意，两次降价后价格为9元，因此方程为． 故答案为：． 43．【答案】（1）     （2）8      【分析】 本题考查了列代数式，与图形有关的问题(一元二次方程的应用)等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）设鸡舍与墙垂直的一边长为，根据鸡舍的一边靠墙，墙长为，另外三边用长的建筑材料围成，可用含x的式子表示出； （2）根据鸡舍面积为，列出一元二次方程求解，再验根即可． (1) 小问详解： 解：设鸡舍与墙垂直的一边长为， 因为鸡舍的一边靠墙，另外三边用长的建筑材料围成， 所以平行于墙的一边的长为， 故答案为：； (2) 小问详解： 解：根据鸡舍面积为， 可得， 解得：，， 当时，（舍去）， 当时，，符合题意， 答：当时，鸡舍面积为． 44．【答案】（1）每瓶氯化钠溶液与硫酸铜溶液的售价分别为2.5元，5元     （2）a的值为2      【分析】 本题主要考查了二元一次方程组的应用和一元二次方程的应用，根据题意找准等量关系，列出正确的二元一次方程组和一元二次方程是解题的关键． （1）根据等量关系列出二元一次方程组，解方程组即可得到答案； （2）根据等量关系列出一元二次方程，解方程即可得到答案． (1) 小问详解： 解：设每瓶氯化钠溶液与硫酸铜溶液的售价分别为，元 由题意得 ， 解得 ， 答：每瓶氯化钠溶液与硫酸铜溶液的售价分别为元，5元． (2) 小问详解： 解：由题意得，， 整理得，， 解得，，， 当时，，不合题意，故舍去； ∴， 答：的值为． 45．【答案】（1）     （2）44元      【分析】 本题考查了求一次函数的应用，一元二次方程的应用． （1）根据“平均每天可以售出100双，售价每降低1元，平均每天可以多售出10双” 写出y与x之间的关系式即可； （2）根据每双利润乘以销售量等于总利润列方程求解，进而根据“让利于顾客”作答即可． (1) 小问详解： 解：∵平均每天可以售出100双，售价每降低1元，平均每天可以多售出10双， ∴这种童鞋每双的售价降低x元，平均每天可以多售出双， 即； (2) 小问详解： 解：由题意得： 解得：，    ∵尽可能让利于顾客           （元） 答：售价为每双44元． 46．【答案】（1）A款吉祥物的购进单价为30元     （2）每件A款吉祥物降价2元时，每天可获利192元      【分析】 本题考查一元二次方程的应用和分式方程的应用，找出等量关系并列出方程是解题的关键． （1）设A款吉祥物的购进单价为元，则B款吉祥物的购进单价为元，根据购进数量的关系建立分式方程，求解即可； （2）设A款吉祥物降价元时，根据每天利润为192元，建立一元二次方程，求解即可． (1) 小问详解： 解：设A款吉祥物的购进单价为元，则B款吉祥物的购进单价为元，根据题意得： 解方程，得：． 经检验，是原分式方程的解． 答：A款吉祥物的购进单价为30元． (2) 小问详解： 解：设A款吉祥物降价元时． 根据题意得： 解这个方程，得：（不合题意，舍去）． 答：每件A款吉祥物降价2元时，每天可获利192元． 47．【答案】（1）；     （2）该农产品每盒需降价3元      【分析】 本题考查了列代数式，营销问题(一元二次方程的应用)，解题关键是找准等量关系，正确列出一元二次方程． （1）根据该农产品每盒降价x元可表示出降价后的售价，根据售价每降价1元，平均每天可多售出20盒可表示出降价后的销量； （2）利用总利润=每盒商品的利润日销售量，可列出关于x的一元二次方程，解之可得出x的值，再结合为了让利于顾客，即可确定结论． (1) 小问详解： 解：∵该农产品每盒降价x元， ∴降价后的售价为元； ∵售价每降价1元，那么平均每天可多售出20盒 ∴降价后的销量为盒． 故答案为：；； (2) 小问详解： 解：每盒利润为元，即元；由题意得， ， 整理得， 解得，． ∵为了让利于顾客， ∴ 答：该农产品每盒需降价3元． 48．【答案】（1）每次下降的百分率为     （2）每千克应涨价5元      【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意，根据等量关系列出一元二次方程，并正确计算． （1）设每次下降的百分率为x，根据题意列出一元二次方程求解即可； （2）设每千克应涨价m元，根据题意列出一元二次方程求解即可． (1) 小问详解： 解：设每次下降的百分率为x， 由题意得， 解得，，（不合题意，舍去） 答：每次下降的百分率为； (2) 小问详解： 解：设每千克应涨价m元， 由题意得， 解得，， ∵每千克涨价不能超过8元， ∴。 ∴不合题意，舍去。 又∵要尽快减少库存，即销售量要尽可能大， 当时，销售量为千克，符合题意。 ∴。 即该商场要保证水果每天盈利6000元，且要尽快减少库存，那么每千克应涨价5元． 49．【答案】（1）；     （2）这种跳绳和排球套装每套应降价9元      【分析】 本题考查了一元二次方程的应用、一次函数的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设这种跳绳和排球套装月份到月份销售量的月平均增长率为，根据月份的销售量为套，月份的销售量为套，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （2）由待定系数法求出该套装的月销量(套)与每套的售价(元)之间的一次函数关系式为，再根据该商店要想使月销售利润达到元，列出列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． (1) 小问详解： 解：设这种跳绳和排球套装月份到月份销售量的月平均增长率为， 由题意得：， 解得：(不符合题意， 舍去)， 答：这种跳绳和排球套装月份到月份销售量的月平均增长率为； (2) 小问详解： 解：设该套装的月销量(套)与每套的售价(元)之间的一次函数关系式为， 由题意得： ，解得： ， 由题意得：， 整理得：， 解得： ∵要尽可能让学生得到实惠， ∴， (元)， 答：这种跳绳和排球套装每套应降价元． 50．【答案】任务一：，；任务二：该收纳盒的高为 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）根据各边之间的关系，表示出，的长；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程． 任务一：根据图① 分别列出代数式即可； 任务二：设该收纳盒的高为 ，则，，根据收纳盒的底面积为，列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】 解：任务一：长方形硬纸板的长为，宽为，收纳盒的高为， ，， 故答案为：，； 任务二：设该收纳盒的高为，则，， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：该收纳盒的高为． 51．【答案】（1）20元     （2） 不能．理由如下： ， 整理得：， ， 原方程无实数根． 不能平均每天盈利2000元．      【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，正确列出方程是解题关键． （1）根据“单件的销售利润×日销售量=每天销售的总利润”即可列出方程式，求解，结合题意，取符合题意的值即可； （2）根据“单件的销售利润×日销售量=每天销售的总利润”即可列出方程式，根据根的判别式求出方程根的情况，即可判断得出答案． (1) 小问详解： 解：根据题意得：， 解得． ∵为尽快减少库存， ． 答：每件汉服降价20元时，该商家平均每天可盈利1200元． (2) 小问详解： 略 52．【答案】（1）     （2） 小杰的想法不能实现， 理由：两个正方形配件面积之和等于， 可得：， 整理得： ， ∵ ∴方程无实数解， 两个正方形配件面积之和不能等于， 小杰的想法不能实现．      【分析】 本题考查了一元二次方程的应用、列代数式以及根的判别式． 用铁丝的总长度减去即可得到另一个正方形配件的周长； 根据两个正方形配件面积之和等于，可列方程，一元二次方程的解不符合实际情况，所以小杰的想法不能实现． (1) 小问详解： 解：铁丝的总长度为，正方形配件的周长为， 另一个正方形配件的周长为； 故答案为：； (2) 小问详解： 略 53．【答案】（1）     （2）吨      【分析】 本题考查了一元二次方程的实际应用，找准等量关系，正确的列出方程，是解题的关键． （1）设该设备每年年均捕集量的平均增长率为，根据题意列出一元二次方程，解方程并检验即可求解． （2）根据题意列出算式即可求解． (1) 小问详解： 解：设该设备每年年均捕集量的平均增长率为，根据题意得 解得：（舍去） 答：该设备每年年均捕集量的平均增长率． (2) 小问详解： 解： 答：预计年该设备单台年均捕集量将达到吨． 54．【答案】（1）矩形的长为12米，宽为米；     （2） 围成的矩形菜地的面积不能为，理由如下， 假设面积可以为， 则， 整理得即， ， 方程无实数解， 故面积不能为．      【分析】 此题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意列出方程求解． （1）设垂直于墙的一边长为x米，则矩形的另一边长为米，根据面积为列出方程，求解即可； （2）根据题意列出方程，用根的判别式判断方程根的情况即可． (1) 小问详解： 解：设垂直于墙的一边长为x米，则矩形的另一边长为米 则， 解方程得：，． 当时，长，故舍去， ∴． ∴矩形的长 答：矩形的长为12米，宽为米； (2) 小问详解： 略 55．【答案】（1）     （2）降价5元      【分析】 本题考查了一元二次方程的应用； （1）设平均增长率为x，根据题意列出一元二次方程，解方程并取符合题意的解，即可求解． （2）设降价y元，根据商场六月份可获利4250元，列出一元二次方程，解方程并取符合题意的解，即可求解． (1) 小问详解： 解：设平均增长率为x，由题意得：， 解得：或舍； 四、五这两个月的月平均增长百分率为； (2) 小问详解： 设降价y元，由题意得：， 整理得：， 解得：或舍； 当商品降价5元时，商场六月份可获利4250元． 56．【答案】（1）2t，     （2）     （3）存在，      【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，以及勾股定理的应用，正确表示出、的长度是解题关键． （1）根据距离=速度×时间解答即可； （2）根据的长度等于，利用勾股定理列方程求出值即可得答案； （3）根据五边形的面积加上的面积等于长方形面积列方程求解即可得答案． (1) 小问详解： 解：∵在长方形中，，， 而，， ∴． (2) 小问详解： 解：在中，， ∴， 整理，得：， 解得或2． 把舍去， 所以，当时，的长度等于． (3) 小问详解： 解：∵， ∴， 即， 整理，得：， 解得：或4． 依题意，， ∴， ∴，故取． 因此，当时，五边形的面积等于． 57．【答案】（1）     （2）75元      【分析】 本题考查一元二次方程的应用，根据已知条件列出方程是解题的关键． （1）设该品牌头盔销售量的月平均增长率为x，根据题意列出方程，解方程即可； （2）设该品牌头盔的实际售价每个应增长a元，则此时售价为元，根据题意列出方程，解出的值，由于需要尽快减少库存，所以选择降价更多的价格，进行定价即可． (1) 小问详解： 解：设该品牌头盔销售量的月平均增长率为x， 由题意得：， 解得：，（舍去） 答：该品牌头盔销售量的月平均增长率为； (2) 小问详解： 解：设该品牌头盔的实际售价每个应降低a元，则此时售价为元， 由题意得：， 解得：，， 因为需要尽快减少库存，所以选择降价更多的价格，即不合题意，舍去，符合题意 则， 答：该品牌头盔的实际售价每个应定为75元． 58．【答案】（1），不是，121     （2）     （3）121，242，363，484      【分析】 本题考查了新定义问题，一元二次方程的应用，解题的关键是弄清喜鹊数的定义． （1）根据喜鹊数的定义解答即可； （2）根据一元二次方程的定义和根的判别式解答即可； （3）求出m、n互为倒数，又得出，，求出，，结合喜鹊数的定义即可得出答案． (1) 小问详解： 解：∵是喜鹊数， ∴，即； ∵，，， ∴241不是喜鹊数； ∵各个数位上的数字都不为零，且十位上的数字的平方等于百位上的数字与个位上的数字之积的4倍， ∴十位上的数字的平方最小为4， ∵，， ∴最小的“喜鹊数”是121， 故答案为：，不是，121； (2) 小问详解： 解：∵是方程①的一个根，是方程②的一个根， ∴，， 将，两边同除以得：， 将m，看成是方程的两个根， ∵， ∴方程有两个相等的实数根， ∴， ∴； (3) 小问详解： 解：∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴满足条件的所有k的值为121，242，363，484． 59．【答案】（1）该款火销售量的长率为     （2）该款火的实际价应定为每千克190元      【分析】 （1）设该款火腿销售量的月增长率为x，根据题意，列方程求解即可； （2）设该款火腿的实际售价应定为y元，根据题意，列方程求解即可． (1) 小问详解： 解：设该款火腿销售量的月增长率为x， 依题意，得， 解得，（不合题意，舍去） 答该款火销售量的长率为． (2) 小问详解： 解：设该款火腿的实际售价应定为y元， 依题意，得， 整理，得， 解得． 答：该款火的实际价应定为190元． 【点睛】 此题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意，正确列出一元二次方程． 60．【答案】 【分析】 根据题意设出未知数,列出三组等式解出即可． 【详解】 设底面长为a,宽为b,正方形边长为x, 由题意得: , 解得a=10－2x,b=6－x,代入ab=24中得: (10－2x)(6－x)=24, 整理得:2x2－11x+18=0． 解得x=2或x=9(舍去)． 故答案为2． 【点睛】 本题考查一元二次方程的应用,关键在于不怕设多个未知数,利用代数表示列出方程． 61．【答案】（1）该景区2023至2025年国庆长假期间接待游客人次的年平均增长率为     （2）当每件纪念品售价定为22元时，既能让顾客获得最大优惠，又能让店家销售此款纪念品平均每天获利4680元      【分析】 本题考查了一元二次方程的应用之增长率问题和利润问题，解题关键是理解题意，正确列出方程． （1）根据题意，列出方程即可求解； （2）根据题意，设当每件纪念品售价定为元时，店家销售此款纪念品平均每天获利4680元，列出方程后解方程，根据实际意义即可求解． (1) 小问详解： 解：设该景区2023至2025年国庆长假期间接待游客人次的年平均增长率为． 根据题意，得， 解得（舍去）． 答：该景区2023至2025年国庆长假期间接待游客人次的年平均增长率为． (2) 小问详解： 设当每件纪念品售价定为元时，店家销售此款纪念品平均每天可获利4680元． 根据题意，得， 整理，得，解得． 要让顾客获得最大优惠， ． 答：当每件纪念品售价定为22元时，既能让顾客获得最大优惠，又能让店家销售此款纪念品平均每天获利4680元． 62．【答案】（1）降价8元，则每天销售智能摆件的利润为1152元； （2）希望每天获得的利润达到1050元并且优惠力度最大，则每件智能摆件的销售价应该定为75元； （3）不能，理由如下： 设每件智能摆件降价元， ∵为了保证每件智能摆件的利润率不低于， ∴， 解得：， 由题意得：， 解得：或， ∵， ∴或都不符合题意，舍去， ∴为了保证每件智能摆件的利润率不低于，小华每天不能获得1200元的利润． 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用、一元一次不等式的应用、有理数的混合运算的应用，理解题意，正确列出方程和不等式是解此题的关键． （1）根据题意列出式子计算即可得出答案； （2）设每件智能摆件降价元，则每天的销售量为件，根据“每天获得的利润达到1050元”列出一元二次方程，解方程即可得出答案； （3）设每件智能摆件降价元，根据“为了保证每件智能摆件的利润率不低于”列出一元一次不等式，解不等式即可得出的取值范围，再根据“获得1200元的利润”列出一元二次方程，解方程即可得出答案． 【详解】 解：（1）由题意得：（元）， ∴若降价8元，则每天销售智能摆件的利润为元； （2）设每件智能摆件降价元，则每天的销售量为件， 由题意得：， 解得：或， 当时，售价为（元）， 当时，售价为（元）， ∵优惠力度最大， ∴， ∴每件智能摆件的销售价应该定为元； （3）略 63．【答案】（1）该广场绿化区域的面积为144平方米；（2）广场中间小路的宽为1米． 【分析】（1）根据该广场绿化区域的面积＝广场的长×广场的宽×80%，即可求出结论； （2）设广场中间小路的宽为x米，根据矩形的面积公式（将绿化区域合成矩形），即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论． 【详解】解：（1）18×10×80%＝144（平方米）． 答：该广场绿化区域的面积为144平方米． （2）设广场中间小路的宽为x米， 依题意，得：（18﹣2x）（10﹣x）＝144， 整理，得：x2﹣19x+18＝0， 解得：x1＝1，x2＝18（不合题意，舍去）． 答：广场中间小路的宽为1米． 【点睛】本题考查的知识点是一元二次方程的应用，找准题目中的等量关系式是解此题的关键． 64．【答案】（1），     （2）元或元      【分析】 本题主要考查了一元二次方程的应用（营销问题），列代数式，因式分解法解一元二次方程等知识点，理解题意找到题目中蕴含的等量关系并列方程求解是解题的关键． （1）根据“销售量原销售量因价格下降而增加的数量”、“每件利润实际售价进价”列式即可； （2）根据“总利润每件利润销售数量”，列方程求解即可． (1) 小问详解： 解：当每件童装降价元时，每天可销售件，每件盈利元， 故答案为：，； (2) 小问详解： 解：根据题意可得： ， 解得：，， 答：每件童装降价元或元时，平均每天盈利元． 65．【答案】（1）2x元，元；（2）应降价元 【分析】 （1）根据如果每件童装降价元，那么平均每天就可多售出件，可得出日销量增加的件数，结合未降价前每件盈利元，可得出降价后的盈利； （2）先得出降价后的销量及每件的盈利，然后可列出方程，解出即可． 【详解】 解：（1）因为每件童装应降价元，且每件童装降价元，那么平均每天就可多售出件， 故商场若降价元，日销量增加：件；每件商品盈利元； （2）由（1）可得日销量为，每件盈利元； 由题意得：， 解得：，， 所以为了减少库存，应该降价元． 答：要想平均每天在销售这种童装上盈利元，那么每件童装应降价元． 【点睛】 本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找出等量关系列方程． 66．【答案】（1），     （2）      【分析】 本题考查了一元二次方程的实际应用，正确理解题意是解题关键． （1）根据图形即可求解； （2）求解方程即可． (1) 小问详解： 由图示可知：无盖方盒盒底的长为，宽为 故答案为：， (2) 小问详解： 由题意得：， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去） ∴剪去的正方形边长为 67．【答案】（1）840     （2）这种钢笔的销售价应定为每支23元      【分析】 （1）由销售利润=（实际销售价进价）销售量，即可得出结果； （2）设这种钢笔的销售价应定为每支元，由题意得：文具店想要每天销售该种钢笔利润为360元，列出一元二次方程，解方程即可． 【详解】 解：（1）文具店每天可以获得销售利润为：（元）， 故答案为：840； （2）设这种钢笔的销售价应定为每支元， 由题意得：， 整理得：， 解得：，， ∵要尽可能让顾客得到实惠， ∴， 答：这种钢笔的销售价应定为每支23元． 【点睛】 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 68．【答案】（1），     （2）点，分别从点A，同时出发，2秒或3秒后，的面积等于     （3）点，分别从点A，同时出发，5秒后，的长度等于      【分析】 本题主要考查一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解决本题的关键． （1）根据运动路程等于速度乘以时间即可求出，再根据即可解答； （2）根据的面积等于，列出方程进行求解即可； （3）根据的长度等于，利用勾股定理，列出方程进行求解即可． (1) 小问详解： 解：根据题意得，， ∵， ∴， 故答案为：，； (2) 小问详解： 解：∵，， ∴， ， ， 解得或， 答：点，分别从点A，同时出发，2秒或3秒后，的面积等于； (3) 小问详解： 解：∵，， ∴， ∴， ， ，即， ， 解得（此时，两点重合）或（舍去）， 答：点，分别从点A，同时出发，5秒后，的长度等于． 69．【答案】某天超市正好销售90千克的菠菜，则获利288元；超市想一天销售菠菜获利300元，则菠菜的售价为6元/千克或7元/千克 【分析】 本题考查了一元一次方程和一元二次方程的应用，问题1：设菠菜的售价为元/千克，依题意得，求解即可得出答案；问题2：设菠菜的售价为元/千克，依题意得，求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】 解：问题1：设菠菜的售价为元/千克，依题意得： ， 解得：， ∴（元）， ∴销售90千克的菠菜，获利元； 问题2：设菠菜的售价为元/千克，依题意得： ， 解得：或， ∴超市想一天销售菠菜获利300元，则菠菜的售价为6元/千克或7元/千克． 70．【答案】（1）点之间的距离不可能为     （2）秒或秒     （3）秒或秒或秒      【分析】 本题主要考查了一元二次方程的应用，数形结合，分类讨论以及找准等量关系是解题的关键． （1）设经过秒，点之间的距离为，根据勾股定理列式求解即可； （2）设经过秒，使的面积等于，根据三角形面积公式列式求解即可； （3）分三种情况根据三角形面积公式列出方程：① 点在线段上，点在线段上；② 点在线段上，点在射线上；③ 点在射线上，点在射线上． (1) 小问详解： 解：设经过秒，点之间的距离为， 则， ， ， 在中，， 故， 化简得：， ， 故方程无解， 故点之间的距离不可能为； (2) 小问详解： 解：设经过秒，使的面积等于， 则， ， ， 由题意得：， 解得， 故经过秒或秒，的面积等于； (3) 小问详解： 解：① 点在线段上，点在线段中， 设经过秒，，依题意得： ， ， ， 由题意得：， 解得（舍去），， 故符合题意； ② 点在线段上，点在射线中， 设经过秒，，依题意得： ， ， ， 由题意得：， ， 解得符合题意； ③ 点在射线上，点在射线中， 设经过秒，，依题意得： ， ， ， 由题意得：， 解得，（舍去）， 故符合题意； 综上所述，经过秒，秒，秒后的面积为． 71．【答案】（1）50%；（2）27． 【分析】 （1）设每年市政府投资的增长率为x．根据2015年投资6.75亿元人民币建设廉租房，列方程求解； （2）先求出单位面积所需钱数，再用累计投资÷单位面积所需钱数可得结果． 【详解】 解：（1）设投资平均增长率为x，根据题意得：， 解得，(不符合题意舍去) 答：政府投资平均增长率为50%； （2）由题意得(万平方米)    答：2015年建设了27万平方米廉租房． 72．【答案】（1）43元     （2）     （3）4      【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解答本题的关键． （1）通过计算降价后的售价与进价的差得到利润； （2）根据降价与销售量增加的关系列出代数式； （3）通过建立一元二次方程求解，并结合降价幅度限制确定解． (1) 小问详解： ∵原售价174元， ∴降价1元后，售价为173元， ∴利润为元．  故答案为：43元； (2) 小问详解： 原销售量20件，每降价1元销售量增加5件，故降价x元后销售量为件． 故答案为：； (3) 小问详解： 设每件降价x元，则每件利润为元，销售量为件， 由题意得，， 整理得， 解得， ∵降价幅度不超过10元， ∴． 答：每件服装应降价4元． 73．【答案】（1）当时，是菱形；边长是     （2）5      【分析】 （1）根据菱形的性质可得，则有关于的方程有两个相等的实数根，然后根据一元二次方程根的判别式可进行求解； （2）把代入方程求解，然后再求解方程的解，进而问题可求解． (1) 小问详解： 解：当是菱形时，． ，的长是关于的方程的两个实数根， ， 解得， 当时，是菱形． 当时，原方程为，即，解得， 菱形的边长是． (2) 小问详解： 解：把代入原方程， 得，解得． 将代入原方程，得，解得，， ， 的周长是． 74．【答案】（1），     （2），；     （3）的长为．      【分析】 本题考查了转化的思想方法，一元二次方程的解法，解无理方程时注意到验根． （1）首先提出，然后因式分解多项式，然后得结论； （2）两边平方，把无理方程转化为整式方程，求解，注意验根； （3）设的长为，根据勾股定理和，可列出方程，由于方程含有根号，两边平方，把无理方程转化为整式方程，求解即可． (1) 小问详解： 解：提公因式得， 继续分解得， ∴或或， ∴，，， 故答案为：，； (2) 小问详解： 解：， 方程的两边平方，得，即， 因式分解得， ∴或， ∴，， 经检验，，都是原方程的解． 所以方程的解是，； (3) 小问详解： 解：因为四边形是矩形， 所以，， 设，则， 因为，，， ， 两边平方并整理，得， 解得或8（不合题意，舍去）， 经检验，是方程的解． 答：的长为． 75．【答案】（1）3     （2）点P的坐标为或．     （3）      【分析】 本题考查一次函数的解析式与性质，矩形的性质，勾股定理，一元二次方程的应用，掌握知识点是解题的关键． （1）解：将代入，求出即可． （2）先求出一次函数的解析式为，设点P的坐标为，其中，得到，再由矩形的面积公式得到，求出或，即可求出点P的坐标为或． （3）连接，，直接利用矩形的性质可知，然后再利用勾股定理以及等面积法求的最小值即可． (1) 小问详解： 解：将代入，得 ， 解得． 故答案为：3 (2) 小问详解： 将代入一次函数，得 一次函数的解析式为， ∵点在线段上移动时， ∴设点P的坐标为，其中， ∴， ∵， ∴， 即， 解得或， 当时，， 当时，， ∴点P的坐标为或． (3) 小问详解： 连接，如图 ∵过点分别作和的垂线，垂足为C，D， ∴， 又∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∴当时，取到最小值，即取到最小值， 当时，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 一元二次方程 6大高频考点概览 考点01 一元二次方程的概念 考点02 配方法 考点03 公式法 考点04 因式分解法 考点05 一元二次方程的根与系数的关系 考点06 实际问题与一元二次方程 考点01 一元二次方程的概念 1．（25-26学年九·贵州毕节赫章县·期末）已知是关于的方程的解，则的值是（     ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 7 【答案】D 【分析】 根据方程解的定义，方程的解能使方程左右两边相等，将已知解代入原方程，即可求出m的值． 【详解】 解：∵是方程的解， ∴将代入原方程得 ， 整理得 ， 解得 ． 2．（25-26学年九上·贵州贵阳乌当区·期中）若是一元二次方程的一个根，则的值为（     ） A. 3 B.  C.  D. 2 【答案】B 【分析】 此题考查了一元二次方程的解．根据方程解的定义把代入方程求解，即可得到答案． 【详解】 解：∵是一元二次方程的一个根， ∴， 解得． 故选：B． 3．（25-26学年九上·贵州遵义湄潭县·期末）如果是方程的一个根，那么常数的值为（     ） A. 2 B.  C. 4 D.  【答案】C 【分析】 本题主要考查了一元二次方程的根，利用方程的根的定义求解，将方程的已知根代入方程，通过计算即可得到常数c的值． 【详解】 解：∵是方程的一个根， ∴将代入方程，得， ∴． 故选：C． 4．（2026·贵州遵义·学业水平监测）关于的一元二次方程的一个解为，则实数的值是（       ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】A 【分析】 本题考查了已知一元二次方程的解求参数，先理解题意，将代入方程直接求解的值，即可作答． 【详解】 解：∵关于的一元二次方程的一个解为， ∴把代入得，得， 故选：A． 5．（25-26学年九上·贵州黔东南州·期末）关于的方程的一根为1，则的值为（     ） A. 6 B. 4 C.  D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查一元二次方程的根，理解一元二次方程根的概念是关键． 将已知根 代入方程，直接求解 的值． 【详解】 解：∵ 是方程 的根， ∴ 代入得 ， 即 ， ∴ ， ∴ ， 故选：B． 6．（25-26学年九上·贵州自治州兴仁·期末）下列关于x的方程中，是一元二次方程的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了一元二次方程的概念，根据一元二次方程的定义（只含一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程）判断即可． 【详解】 解：对于A：方程含未知数x和y，不符合题意； 对于B：只含x，最高次数为2，且为整式，满足所有条件，符合题意； 对于C：含分式，不是整式方程，不符合题意； 对于D：最高次数为1，不符合题意； 故选：B． 7．（25-26学年九上·贵州贵阳修文县·期中）已知关于的一元二次方程有一个根为2，则的值为（　　） A. 3 B.  C. 7 D.  【答案】A 【分析】 本题考查由一元二次方程的解求参数，直接将代入方程，进行求解出m的值，即可作答． 【详解】 解：∵是方程的根， ∴ 将代入方程得：， 即， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 故选：A． 8．（25-26学年九上·贵州六盘水钟山区·期中）下列方程是一元二次方程的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了一元二次方程的定义，只含一个未知数，且未知数最高次数为2的整式方程，熟练掌握定义是解题的关键． 根据一元二次方程的定义，逐一判断，即可得到答案． 【详解】 解：选项A：，只含未知数，最高次数为，且为整式方程，是一元二次方程； 选项B：，含两个未知数，不是一元二次方程； 选项C：，含有分式，不是整式方程，不是一元二次方程； 选项D：，未知数最高次数为，不是一元二次方程． 故选：A． 9．（25-26学年九上·贵州遵义汇川区·期中）若是关于的一元二次方程的一个根，则的值为（） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了一元二次方程的解的定义．将根代入方程，直接求解的值． 【详解】 解：∵是方程的根， ∴代入得：， 即， 整理得：， ∴． 故选：A． 10．（25-26学年九上·贵州黔南布依族苗族自治州平塘县·期中）一元二次方程的一次项系数是（　　） A. 1 B.  C.  D. 2 【答案】B 【分析】 本题考查了一元二次方程的一般形式，解题的关键是掌握一元二次方程一般形式． 根据一元二次方程一般形式的定义，即可求解． 【详解】 解：一元二次方程的一次项系数是． 故选：B 11．（25-26学年九上·贵州六盘水·期中）下列方程是一元二次方程的是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据一元二次方程的定义，逐项判断即可求解． 【详解】 解：A、，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； B、，是一元二次方程，故本选项符合题意； C、，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； D、，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； 故选：B 【点睛】 本题考查了一元二次方程的定义，属于基础概念题型，只含有一个未知数，并且含未知数的项的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程，熟知一元二次方程的概念是解题关键． 12．（25-26学年九上·贵州贵阳第十七中学·期中）如果2是方程的一个根，那么c的值是（     ） A. 3 B. 2 C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查一元二次方程的根的定义．解题运用“代入求值”思想，将方程的根代入方程转化为关于c的一元一次方程求解．解题关键是准确代入根并正确运算，易错点为代入或后续计算时出错． 根据方程根的定义，把代入方程，得到，然后通过移项、计算，求出c的值． 【详解】 解：由题意，将代入方程，得： 解得． 故选：A． 13．（25-26学年九上·贵州铜仁沿河土家族自治县·期中）若将方程化为一元二次方程的一般形式，则二次项系数为，一次项系数、常数项分别为（） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查了一元二次方程的一般形式，理解一元二次方程的相关定义是解题的关键． 将方程与一元二次方程的一般形式对比即可解答． 【详解】 解：∵方程中，二次项系数为1，一次项系数为5，常数项为， ∴，，． 故选B． 14．（25-26学年九上·贵州安顺·期中）若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了一元二次方程的定义，形如的方程是一元二次方程，据此解答即可求解，掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 【详解】 解：∵关于的方程是一元二次方程， ∴， ∴， 故选：． 15．（25-26学年九上·贵州铜仁·期中）一元二次方程的常数项是（       ） A. 1 B.  C. 3 D. 0 【答案】B 【分析】 本题考查了一元二次方程的一般形式．根据一元二次方程的一般形式为，其中叫做常数项，据此解答即可． 【详解】 解：由， ∴一元二次方程的常数项是， 故选：B． 16．（25-26学年九上·贵州贵阳中天中学·期中）一元二次方程的常数项为（     ） A. 3 B. 2 C.  D. 4 【答案】D 【分析】 本题考查一元二次方程的定义，直接根据一元二次方程的标准形式，常数项是不含的项即可解答． 【详解】 解：∵ 一元二次方程的标准形式为， ∴ 在方程中，常数项． 故选：D． 17．（25-26学年九上·贵州铜仁万山区·期中）若关于的方程是一元二次方程，则满足的条件是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题主要考查了一元二次方程的定义，准确理解计算是解题的关键． 一元二次方程的定义要求二次项系数不为零． 【详解】 方程是一元二次方程， 二次项系数； 故满足的条件是． 故选． 18．（25-26学年九上·贵州黔东南苗族·期中）一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（       ） A. 1，5， B. 1，， C. 1，，3 D. 1，5，3 【答案】A 【分析】 本题主要考查了一元二次方程的一般形式．注意在说明二次项系数，一次项系数，常数项时，一定要带上前面的符号．根据一元二次方程的一般形式：（，，是常数且）中，叫二次项，叫一次项，是常数项．其中，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项，直接进行判断即可． 【详解】 解：一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是1，5，． 故选：A． 19．（25-26学年九上·贵州贵阳清镇·期中）已知是一元二次方程的一个根，则的值为（       ） A.  B. 0 C. 1 D. 3 【答案】C 【分析】 本题考查了一元二次方程根的定义，能使一元二次方程成立的未知数的值叫作一元二次方程的根，熟练掌握一元二次方程根的定义是解答本题的关键． 将已知根代入方程，即可求出参数 k 的值． 【详解】 解：∵是方程 的根， ∴， 即， 化简得 ， ∴， ∴． 故选：C． 20．（25-26学年九·贵州金沙县金沙县第三中学·期末）若一元二次方程的一个实数根为m，则的值是（       ）． A. 2023 B. 2024 C. 2025 D. 2026 【答案】B 【分析】 本题考查了一元二次方程的解，利用一元二次方程根的定义，得到，然后整体代入求值． 【详解】 解：∵ 是方程 的实数根， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 故选：B． 21．（25-26学年九·贵州黔南州·期末）若是关于x的一元二次方程的一个根，则b的值为（     ） A. 9 B.  C.  D. 3 【答案】A 【分析】 本题主要考查了一元二次方程的解的定义，把代入原方程中得到关于b的方程，解方程即可得到答案． 【详解】 解：∵是关于x的一元二次方程的一个根， ∴， 解得， 故选：A． 22．（25-26学年九上·贵州贵阳部分区·期末）将一元二次方程化为的形式，若，则，的值分别为（       ） A. 5，1 B. ， C. ， D. ，1 【答案】D 【分析】 本题考查了一元二次方程的一般式，将方程移项化为一般形式，再比较系数即可得解，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴，， 故选：D． 23．（25-26学年九上·贵州黔南布依族苗族自治州平塘县·期中）已知是关于x的一元二次方程的一个根，则a的值为（） A.  B. 4 C. 2 D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查了一元二次方程的解，掌握方程的解是满足方程的未知数的值成为解题的关键． 将代入方程得到关于a的方程求解即可． 【详解】 ∵是方程的根， ∴将代入得，即，解得：． 故选B． 24．（25-26学年九上·贵州毕节纳雍县·期中）若关于的一元二次方程的一个根是，则的值为（       ） A.  B. 6 C. 2 D.  【答案】D 【分析】 本题考查了由一元二次方程的解求参数．将代入方程，进行求解m的值，即可作答． 【详解】 解：∵关于的一元二次方程的一个根是， ∴将代入方程，得， 即， ∴， ∴， 故选：D． 25．（25-26学年九上·贵州毕节纳雍县·期中）现有方程：①，②下列说法正确的是（       ） A. ①和②都是一元二次方程 B. ①和②都不是一元二次方程 C. 只有①是一元二次方程 D. 只有②是一元二次方程 【答案】C 【分析】 本题考查了一元二次方程的定义．根据一元二次方程的定义：只含一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程，进行判断，即可作答． 【详解】 解：∵方程① ： 中只含一个未知数x，且x的最高次数为2， ∴ ① 是一元二次方程。 ∵方程② ：中含有两个未知数x和y， ∴ ② 不是一元二次方程 因此，只有① 是一元二次方程， 故选：C 26．（25-26学年九上·贵州贵阳第六中学·期中）已知关于x的方程 的解是，则a的值是（　　） A. 4 B. 5 C. 3 D. 2 【答案】C 【分析】 本题主要考查了解一元一次方程，一元一次方程解的定义，根据一元一次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值把代入原方程求出a的值即可． 【详解】 解：∵关于x的方程 的解是， ∴， ∴， 故选C． 27．（25-26学年九上·贵州贵阳第十七中学·期中）下列方程是一元二次方程的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据一元二次方程的定义（只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程）进行判断 【详解】 解： 一元二次方程需满足：①整式方程；②只含一个未知数；③未知数的最高次数为2； A、 是一元一次方程，不符合； B、 是分式方程，不是整式方程，不符合； C、 是二元一次方程，不符合； D、 满足所有条件，是一元二次方程； 故选D 28．（25-26学年九上·贵州铜仁沿河土家族自治县·期中）若关于的一元二次方程的一个根是，则实数的值为（       ） A.  B.  C. 3 D. 2 【答案】D 【分析】 本题考查了一元二次方程的根的意义，正确理解一元二次方程的根的意义是解题的关键．把代入得到，解方程即得答案． 【详解】 把代入，得， 解得． 故选：D． 29．（25-26学年九上·贵州铜仁碧江区·期中）下列方程中是一元二次方程的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了一元二次方程的定义． 根据一元二次方程的定义（只含一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程），逐一判断各选项． 【详解】 解：A．含有两个未知数，不符合定义； B．分母中含未知数，不是整式方程，不符合定义； C．只含一个未知数，最高次数为2，且是整式方程，符合定义； D．中时不是二次方程，因此不一定是一元二次方程； 故选：C． 30．（25-26学年九上·贵州黔东南苗族·期中）已知关于的一元二次方程的一个根是0，则的值是（　　） A. 0 B. 1 C. 2 D. 2或﹣2 【答案】D 【分析】 一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即把0代入方程求解可得的值． 【详解】 解：把代入方程， 可得 ， 解得． 故选D． 【点睛】 本题考查了一元二次方程的根的定义，解一元二次方程，关键是掌握能够使方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解． 31．（25-26学年九上·贵州黔东南州·期末）若是关于x的方程的一个根，则关于x的方程必有一个根为（     ） A. 2024 B. 2025 C. 2026 D. 2027 【答案】A 【分析】 本题考查了一元二次方程的解，将方程整理为：，通过变量替换，转化为原方程的形式，从而确定新方程的根． 【详解】 解：将方程整理为：， 令，则方程变为，与原方程形式相同， ∵是关于y的方程的一个根， ∴， ∴， ∴关于x的方程必有一个根为2024， 故选：A． 32．（25-26学年九上·贵州贵阳修文县·期中）一元二次方程的常数项是　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程的一般式．一元二次方程的一般式为，其中常数项是，直接根据来找出常数项，即可作答． 【详解】 解：依题意，方程的常数项为， 故答案为：． 33．（25-26学年九上·贵州遵义·期中）写出一个关于且二次项系数为2的一元二次方程　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查一元二次方程的定义，根据二次项系数为2的条件，构造一个简单的一元二次方程即可． 【详解】 解：满足条件的一元二次方程为（答案不唯一）． 故答案为：（答案不唯一）． 34．（25-26学年九上·贵州毕节纳雍县·期中）一元二次方程的一次项系数是　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程的一般式．一元二次方程的一般形式为，其中是一次项系数，据此进行分析，即可作答． 【详解】 解：依题意，一元二次方程的一次项系数是， 故答案为：． 35．（25-26学年九上·贵州铜仁沿河土家族自治县·期中）已知关于x的方程是一元二次方程，则m的取值范围是　　　　　　　　 【答案】 【分析】 此题主要考查了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是．特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．根据一元二次方程的定义得出，再求出m的取值范围即可． 【详解】 解：∵关于x的方程是一元二次方程， ∴， 解得：． 故答案为：． 36．（25-26学年九上·贵州西南州兴仁·期中）已知方程的一个根是1，则m的值为　　　　　　　　． 【答案】2 【分析】 根据一元二次方程根的定义，即可求解． 【详解】 解：将代入得：，解得． 故答案是：2． 【点睛】 本题主要考查一元二次方程的根，掌握一元二次方程根的定义，是解题的关键． 37．（25-26学年九上·贵州黔东南苗族·期中）已知关于x的方程的一个根为，则实数k的值为　　　　　　 【答案】1 【分析】 该题考查了一元二次方程的解，由于是方程的一个根，将其代入方程即可求出k的值． 【详解】 解：将代入方程 中， 得：， 解得：， 故答案为：1． 38．（25-26学年九上·贵州铜仁·期中）已知是关于的一元二次方程，则的值为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程的定义．根据一元二次方程的定义，未知数的最高次数为2且二次项系数不为零，列出条件求解． 【详解】 解：由题意得，且， 解得， 故答案为：． 39．（25-26学年九上·贵州贵阳中天中学·期中）方程是关于x的一元二次方程，则m的值是　　　　　　． 【答案】1 【分析】 此题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键．将“只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程是一元二次方程”修改为“只含有一个未知数，未知数的最高次数是2，且二次项系数不为0的整式方程是一元二次方程”，根据定义得到，求解即可． 【详解】 解：∵是关于的一元二次方程， ∴， 解得． 故答案为：1． 40．（25-26学年九·贵州毕节赫章县·期末）已知方程是关于的一元二次方程，则的值是　　　　　　． 【答案】 【分析】 由一元二次方程的定义可知，未知数的最高次数为2，且二次项系数不为0，据此列式求解即可． 【详解】 解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴ ， 得或， 解得或， 由得：， ∴． 41．（25-26学年九上·贵州自治州兴仁·期末）一元二次方程的解是　　． 【答案】x1＝3，x2＝﹣3． 【分析】先移项，在两边开方即可得出答案． 【详解】∵ ∴=9， ∴x=±3， 即x1＝3，x2＝﹣3， 故答案为x1＝3，x2＝﹣3． 【点睛】本题考查了解一元二次方程-直接开平方法，熟练掌握该方法是本题解题的关键. 考点02 配方法 1．（25-26学年九上·贵州遵义余庆县·期末）用配方法解一元二次方程，此方程可化为（       ） A.  B.  C. （ D.  【答案】A 【分析】 本题主要考查了一元二次方程配方法的应用，准确配方是解题的关键． 使用配方法，将方程化为完全平方形式． 【详解】 解：， ， ， 即． 故选：A． 2．（25-26学年九上·贵州贵阳中天中学·期中）小明在解方程x2﹣4x﹣10＝0时，他是这样求解的，移项，得x2﹣4x＝10，两边同时加4，得x2﹣4x+4＝14，∴（x﹣2）2＝14，∴x﹣2＝，∴x1＝2，x2＝2﹣．这种解方程的方法称为（　　） A. 待定系数法 B. 配方法 C. 公式法 D. 因式分解法 【答案】B 【分析】 通过配成完全平方式来解一元二次方程的方法，是配方法． 【详解】 解：由题意， 将先移项，再将方程两边都加上一次项系数一半的平方，将方程左边配成完全平方式，再用直接开平方解方程，满足用配方法解一元二次方程的步骤． 故选：B 【点睛】 本题考查用配方法解一元二次方程的步骤，牢记相关知识点是解题的关键． 3．（25-26学年九上·贵州铜仁·期末）九年级某班同学初学用配方法解一元二次方程时，将方程进行配方变形，得出下列选项中的不同结论，其中正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了配方法解一元二次方程． 使用配方法解一元二次方程，将方程左边配成完全平方式，右边为常数，进而判断即可． 【详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 4．（25-26学年九上·贵州遵义汇川区·期中）用配方法解方程， ，变形正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据配方法的解题步骤变形即可； 【详解】 ， ， ， ； 故答案选A． 【点睛】 本题主要考查了一元二次方程配方法的应用，准确变形判断是解题的关键． 5．（25-26学年九上·贵州铜仁松桃苗族自治县·期中）用配方法解方程时，原方程应变形为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题主要考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤① 把常数项移到等号的右边；② 把二次项的系数化为1；③ 等式两边同时加上一次项系数一半的平方． 根据配方法的步骤解答即可 【详解】 解：， ， ， ． 故选：A． 6．（25-26学年九上·贵州毕节纳雍县·期中）若关于的方程可以配方成，则（       ） A.  B. 1 C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了配方法解一元二次方程．通过将方程配方成给定形式，比较系数求出m和n的值，再计算表达式的值，即可作答． 【详解】 解：依题意，方程配方后为， 即， ∵关于的方程可以配方成， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 7．（25-26学年九上·贵州贵阳第十七中学·期中）在实数范围内，代数式的值不可能为（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查配方的应用，熟练掌握配方法是解题的关键．利用配方法得，逐个判断选项即可． 【详解】 解：∵， ∴选项D不可能， 故选：D． 8．（25-26学年九上·贵州铜仁·期中）用配方法解方程时，下列配方的结果正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了配方法解一元二次方程．利用完全平方公式进行配方即可． 【详解】 解：∵， 整理得， 配方得，即， 故选：B． 9．（25-26学年九上·贵州贵阳清镇·期中）用配方法解一元二次方程，变形后结果正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查配方法解一元二次方程，通过移项和添加平方项将方程化为完全平方形式即可解答． 【详解】 解：∵ ， ∴ （移项）， ∴ （添加一次项系数一半的平方）， ∴ （化简）， ∴ 变形后结果为 ， 故选B． 10．（25-26学年九·贵州毕节赫章县·期末）用配方法解一元二次方程时，原方程可变形为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 按照配方法的步骤，先移项，再在方程两边加上一次项系数一半的平方，将左边配成完全平方式即可得到结果． 【详解】 解：∵原方程为， ∴移项得， ∵一次项系数为2，其一半的平方为， ∴方程两边同时加1，得， ∴整理得． 故选：B． 【点睛】 把常数项移项到等号右边，再在等号两边加上一次项系数一半的平方． 11．（25-26学年九上·贵州六盘水钟山区·期中）老师设计了接力游戏，以合作的方式完成配方法求解一元二次方程，规则：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后解出方程．过程如图所示．接力中，自己负责的计算出现错误的是（       ） A. 只有甲 B. 甲和乙 C. 甲和丙 D. 丙和丁 【答案】C 【分析】 本题考查了配方法解一元二次方程． 根据配方法解一元二次方程判断作答即可． 【详解】 解：甲：应化为，甲错误； 乙：应化为，乙正确； 丙：应化为，丙错误； 丁：应化为，丁正确； 可知，接力中，自己负责的计算出现错误的是甲和丙． 故选：C． 12．（25-26学年九上·贵州毕节织金县思源实验学校·期中）定义：关于x的一元二次方程：与，称为“同族二次方程”．如与是“同族二次方程”．若关于x的一元二次方程：与是“同族二次方程”．则代数式的最大值是（       ） A. 2024 B. 2023 C. 2022 D. 2021 【答案】A 【分析】 本题主要考查了配方法的应用，解二元一次方程组，先将变形为，再利用“同族二次方程”定义列出关系式，得到a与b的值，进而利用非负数的性质确定代数式的最小值．理解“同族二次方程”的定义是解题的关键． 【详解】 解：， ∴， 即， ∵与是“同族二次方程”， ∴与是“同族二次方程”， ∴，， 解得：，， 则 ， 当时，取最大值2024， 故选A． 13．（25-26学年九上·贵州黔东南苗族·期中）用配方法解方程，变形后的结果正确的是(     ) A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】先将常数项移到右侧，然后两边同时加上一次项系数一半的平方，配方后进行判断即可. 【详解】， ， ， 所以， 故选D. 【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法的一般步骤以及注意事项是解题的关键. 14．（25-26学年九上·贵州遵义正安县·期中）方程的解是　　　　　　　． 【答案】 【详解】 解： 解得． 15．（25-26学年九上·贵州贵阳第十七中学·期中）用适当的方法解下列方程 （1）； （2）． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法，因式分解法，配方法和公式法是解题的关键． （1）利用直接开平方法求解即可； （2）利用配方法解方程即可． (1) 小问详解： 解： ， ∴； (2) 小问详解： 解： 或 ∴． 16．（25-26学年九·贵州毕节赫章县·期末）解下列方程： （1） （2） 【答案】（1）     （2），      【分析】 （1）利用完全平方公式将方程变形，再求解即可； （2）先将二次项系数化为1，再通过配方法求解即可． (1) 小问详解： 解：， ， ， ∴； (2) 小问详解： 解：， ， ，即， ，即， ． 17．（25-26学年九上·贵州安顺·期中）配方法是初中数学中经常用到的一个重要方法，学好配方法对我们学习数学有很大的帮助．所谓配方，就是将某一个多项式变形为一个完全平方式，变形一定要是恒等的． 例如：已知，求，的值． 由题意，得， 即， ，， ，． 根据以上材料，解答下列各题． （1）若，求的值； （2）若，，分别表示的三边长，且，试判断的形状，并说明理由． 【答案】（1）     （2） 解：是等边三角形．理由如下： ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形．      【分析】 本题主要考查配方法的应用及三角形的分类，等边三角形的判定，熟练掌握配方法的应用及三角形的分类是解题的关键； （1）用完全平方公式对方程左边进行配方，再根据非负数和为0的性质求得x、y，再代值计算便可； （2）先将方程两边都乘以2，再把方程左边分解成几个完全平方式之和，进而根据非负数和为0的性质得出，再由此判断三角形的形状． (1) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴； (2) 小问详解： 略 18．（25-26学年九上·贵州铜仁万山区·期中）先化简，再求值：，其中满足． 【答案】， 【分析】 本题主要考查分式的化简求值、解一元二次方程和一元一次不等式组，先计算括号内分式的减法，再将除法转化为乘法，继而约分即可化简原式，解关于a的一元二次方程，选取使分式有意义的a的值代入计算即可． 【详解】 解： ， ， ， 则或， 解得或， 且， 当时， 原式 19．（25-26学年九上·贵州黔东南苗族·期中）根据要求，解答下列问题． （1）根据要求，解答下列问题． ①方程x2－2x＋1＝0的解为________________________； ②方程x2－3x＋2＝0的解为________________________； ③方程x2－4x＋3＝0的解为________________________； …… …… （2）根据以上方程特征及其解的特征，请猜想： ①方程x2－9x＋8＝0的解为________________________； ②关于x的方程________________________的解为x1＝1，x2＝n． （3）请用配方法解方程x2－9x＋8＝0，以验证猜想结论的正确性． 【答案】（1）①；②；③．（2）①， ②；（3）． 【分析】 （1）观察这些方程可得，方程的共同特征为二次项系数均为1，一次性系数分别为－2、－3、－4，常数项分别为1，2，3．解的特征：一个解为1，另一个解分别是1、2、3、4、…，由此写出答案即可；（2）根据（1）的方法直接写出答案即可；（3）用配方法解方程即可. 【详解】 （1）①； ②； ③． （2）①； ②． （3） x2－9x＋＝－8＋ (x－ )2＝ ∴x－＝±． ∴． 【点睛】 本题考查解一元二次方程.根据系数和解的特征找出规律是解题的关键. 20．（25-26学年九上·贵州贵阳第十七中学·期中）配方法是中学数学的重要方法，用配方法可求最大（小）值．对于任意正实数a，b，可作如下变形（提示：）； ， 又， ，即． 当且仅当，即时等号成立． （1）若，代数式的最小值为_________，此时_________． （2）某园林设计师要对园林的一个区域进行设计改造，一面利用墙体将该区域用篱笆围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃，如图1所示，为了围成面积为的花圃，所用的篱笆至少为多少米？ （3）如图2，四边形的对角线、相交于点O，、的面积分别为9和4，求四边形面积的最小值． 【答案】（1）6；3     （2）所用的篱笆至少为36米     （3）四边形面积的最小值为25      【分析】 本题考查了实数的大小比较、完全平方公式的运用，用配方法求最值，理解在（a、b均为正实数）中，当且仅当a、b满足时，有最小值是解题的关键． 本题主要考查了完全平方公式的变形在求最值中的应用，正确理解题意并举一反三是解题关键； （1）依据题意，设，则由，得，进而当且仅当，即时，代数式取到最小值，最小值为6，故可得解； （2）设花圃的宽为x米，则长为米，所用的篱笆，据此即可求解； （3）设，由三角形的面积公式可知，若两三角形底边上的高相等，则其面积比等于底边之比，由此可将表示出来．写出四边形ABCD的面积的表达式，利用题中结论求其最小值即可． (1) 小问详解： 解：由题意，设， 由，得， 当且仅当，即（负值舍去）时，代数式取到最小值，最小值为 故答案为：6；3； (2) 小问详解： 解：由题意，设花圃的宽为x米，则长为米， 所用的篱笆， 又令，， 由， ． 当且仅当，即（负值舍去）时，代数式取到最小值，最小值为36， 答：所用的篱笆至少为36米． (3) 小问详解： 解：由题意，设， 与底边上的高相等，与底边上的高相等， ， 又， ， 当时，即（负值舍去）时取等号． 四边形面积的最小值为25． 考点03 公式法 1．（25-26学年九上·贵州毕节金沙县·期中）关于的一元二次方程的根的情况是（       ） A. 有两个不相等的实数根 B. 没有实数根 C. 只有一个实数根 D. 有两个相等的实数根 【答案】A 【分析】 本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 通过计算一元二次方程根的判别式，判断根的情况即可． 【详解】 解：∵ 中，，， ∴ ， ∴ 方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 2．（25-26学年九上·贵州贵阳中天中学·期中）关于x的方程的根的情况是（　　） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 无实数根 【答案】A 【分析】 本题考查了一元二次方程根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根；计算出方程的判别式，根据判别式的符号即可判断． 【详解】 解：∵， ∴方程有两个相等的实数根； 故选：A． 3．（25-26学年九上·贵州遵义湄潭县·期末）一元二次方程的根的情况是（     ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】B 【分析】 本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握根的判别式与根的情况的关系是解题的关键． 通过计算一元二次方程根的判别式的值，根据其正负来判断根的情况． 【详解】 解：∵在一元二次方程中，，，， ∴． ∵， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：B． 4．（25-26学年九·贵州金沙县金沙县第三中学·期末）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的值可能是（     ） A. 4 B. 2 C. 1 D.  【答案】D 【分析】 本题考查了一元二次方程根的判别式，，方程有两个不相等的实数根；，方程有两个相等的实数根；，方程没有实数根．根据方程有两个不相等的实数根，得到关于的不等式，求解得出的取值范围，再对选项判断即可得解． 【详解】 解：关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ， 解得， 则a的值可以是， 故选：D． 5．（2026·贵州遵义·学业水平监测）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了根据一元二次方程根的情况求参数，根据一元二次方程有两个不相等的实数根的条件，判别式大于零，计算判别式并解不等式，即可作答． 【详解】 解：∵ 方程 有两个不相等的实数根， ∴， ∴， 故选：B． 6．（25-26学年九·贵州黔南州·期末）某一元二次方程的根用求根公式表示为，则该一元二次方程为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查了一元二次方程的求根公式，一元二次方程的求根公式为，据此根据题意确定的值即可得到答案． 【详解】 解：由题意得，， ∴该一元二次方程为， 故选：B． 7．（25-26学年九上·贵州安顺·期末）一元二次方程的根的情况是（     ） A. 没有实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 有两个相等的实数根 【答案】A 【分析】 本题考查一元二次方程根的情况与判别式的关系．求出该一元二次方程根的判别式的值，根据符号判断即可． 【详解】 解：∵一元二次方程中 ，，， ∴， ∴方程没有实数根， 故选：A． 8．（2026·贵州六盘水·一模）关于的一元二次方程的根的情况是（　　） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 【答案】A 【分析】 本题主要考查一元二次方程根的判别式，关键是掌握，一元二次方程有两个不相等的实数根，，一元二次方程没有实数根，，一元二次方程有两个相等的实数根．根据一元二次方程根的判别式的值，即可求解． 【详解】 解：∵， ， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 9．（25-26学年九上·贵州黔东南州·期末）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查根的判别式，根据方程有两个不相等的实数根，得到，进行求解即可． 【详解】 解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴，解得：； 故选D． 10．（25-26学年九上·贵州自治州兴仁·期末）一元二次方程的根的情况是(　　) A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】B 【分析】 根据一元二次方程根的判别式进行判断即可求解． 【详解】 解：∵， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：B． 【点睛】 本题考查了一元二次方程 (为常数)的根的判别式，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 11．（25-26学年九上·贵州黔东南州·期末）若关于x的一元二次方程有实数解，则a的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 此题考查了一元二次方程根的条件，列出关于的一元一次不等式是解题的关键．根据能用直接开平方法解一元二次方程的特征即可解决问题． 【详解】 解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴． 故选：C． 12．（25-26学年九上·贵州铜仁松桃苗族自治县·期中）方程根的情况是（   ） A. 有两个相等的实数根 B. 只有一个实数根 C. 没有实数根 D. 有两个不相等的实数根 【答案】D 【分析】 利用根的判别式进行判断即可． 【详解】 解：方程中，，，， ∴， ∴此方程有两个不相等的实数根． 故选D． 【点睛】 本题考查一元二次方程根的判别式：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 13．（25-26学年九上·贵州毕节织金县思源实验学校·期中）小刚在解关于的方程时，只抄对了，，解出其中一个根是，他核对时发现所抄的比原方程的的值小，则原方程的根的情况（　　） A. 不存在实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 有一个根是 D. 有两个相等的实数根 【答案】A 【分析】 直接把已知数据代入进而得出 的值，再解方程求出答案． 【详解】 解：∵小刚在解关于的方程时，只抄对了，解出其中一个根是， ∴， 解得：， 故原方程中， ∴原方程为， 则， 则原方程的根的情况是不存在实数根， 故选：A． 【点睛】 此题考查了根的判别式和一元二次方程的解，正确得出的值是解题关键． 14．（25-26学年九上·贵州贵阳第十七中学·期中）一元二次方程 的根的情况为（    ） A. 无实数根 B. 不能判定 C. 有两个相等的实数根 D. 有两个不相等的实数根 【答案】D 【分析】 本题考查了一元二次方程的根的判别式与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键．当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根． 【详解】 解：， 方程有两个不相等的实数根， 故选：D． 15．（25-26学年九上·贵州铜仁沿河土家族自治县·期中）方程的根的情况是   （     ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 不能确定有没有实数根 【答案】A 【分析】利用一元二次方程根的判别式进行判断． 【详解】解：方程中，a=1，b=3，c=-2 ∴ ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，掌握方程有两个不相等的实数根，方程有两个相等的实数根，方程无实数根是解题关键． 16．（25-26学年九上·贵州黔东南州·期中）若关于x的方程有实数根，则n的值不可以取（     ） A.  B.  C. 0 D. 5 【答案】C 【分析】 本题考查了一元二次方程的根、判别式，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据判别式为非负数解题即可． 【详解】 ∵ 方程 有实数根， ∴ 判别式 ， 即 ， ∴ 或 ， 其中 ， 而，故不可以取0． 故选：C． 17．（25-26学年九上·贵州铜仁·期中）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题主要考查了根据一元二次方程根的情况求参数．根据一元二次方程根的判别式，当方程有两个相等的实数根时，判别式，代入方程系数求解即可． 【详解】 解：对于方程， 由题意，方程有两个相等的实数根，故． 得：， 解得：， 因此，的值为， 故选：C． 18．（25-26学年九上·贵州铜仁碧江区·期中）已知关于x的方程，当时，下列选项中，可作为该方程的根的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了一元二次方程根的判别式，先判别出方程有两个不等的实数根，再求解出来即可判断． 【详解】 解：， 当时，， 方程有两个不等实数根，为， 故选：C． 19．（25-26学年九上·贵州黔东南苗族·期中）下列一元二次方程有实数根的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了一元二次方程为常数）的根的判别式．当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根． 分别计算各选项方程的根的判别式，然后根据计算的结果分别判断根的情况即可． 【详解】 解：A、，方程有两个不相等的实数根； B、，方程没有实数根； C、，方程没有实数根； D、，方程没有实数根； 故选：A． 20．（25-26学年九上·贵州遵义余庆县·期末）若关于的一元二次方程有实根，则的最大整数值是（       ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【分析】 本题主要考查一元二次方程的定义和根的判别式，一元二次方程有实根需满足判别式，且二次项系数，据此列式解答即可． 【详解】 解：∵方程为一元二次方程， ∴，即， ∵关于的一元二次方程有实根， ∴， 解得：， 又∵， ∴且， ∴m的最大整数值为4， 故选：B． 21．（25-26学年九上·贵州三联教育集·期末）一元二次方程x2+3x-4=0的根的情况是(        ) A. 没有实数根 B. 只有一个实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 有两个不相等的实数根 【答案】D 【分析】 先求出“△”的值，再判断即可． 【详解】 ∵x2+3x-4=0 ∴△=（3）2﹣4×1×（-4）=25＞0， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选D． 【点睛】 本题考查了一元二次方程的根的判别式与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键． 22．（25-26学年九上·贵州遵义·期中）关于的方程有实数根，则的取值范围是（     ） A. 且 B.  C. 且 D.  【答案】B 【分析】 本题考查方程有实数根的条件，熟练掌握以上知识是解题的关键． 需要讨论和的情况. 当时，方程为一元一次方程，有实数根；当 时，方程为一元二次方程，利用判别式求解． 【详解】 解：当时，方程化为， 解得，有实数根， ∴满足条件； 当时，方程为一元二次方程，有实数根需， ∴， ∴，即， 综上，的取值范围是， 故选：． 23．（25-26学年九上·贵州遵义汇川区·期中）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为（） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了一元二次方程根的判别式的意义．一元二次方程有两个不相等的实数根，需满足二次项系数不为零且判别式大于零．注意二次项系数不为零和判别式大于零的条件，解不等式时注意符号变化． 【详解】 解：∵方程为一元二次方程， ∴，即． 判别式． ∵有两个不相等的实数根， ∴，即， ∴， ∴． 综上，且． 故选：D． 24．（25-26学年九上·贵州黔南布依族苗族自治州平塘县·期中）下列方程中，没有实数根的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了一元二次方程根的判别式．根据一元二次方程根的判别式逐一判断即可求解． 【详解】 解：A、，则原方程有两个相等的实数根，故该选项不符合题意； B、，则原方程无实数根，故该选项符合题意； C、，则原方程有两个不相等的实数根，故该选项不符合题意； D、，则原方程有两个相等的实数根，故该选项不符合题意； 故选：B． 25．（25-26学年九上·贵州铜仁碧江区·期中）关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（     ） A.  B. 且 C.  D. 且 【答案】B 【分析】 本题考查了一元二次方程的定义和根的判别式，解题的关键是根据一元二次方程的定义确定，再结合根的判别式求出的取值范围． 先根据一元二次方程的定义得出，再由方程有实数根，利用根的判别式求出的取值范围，最后联立得到结果． 【详解】 解： 方程 是一元二次方程， ． 又 方程有实数根， 判别式 ． 其中 ， ，即 ， ． 综上， 且 ． 故选：B． 26．（25-26学年九上·贵州铜仁万山区·期中）已知函数的图象如图所示，则一元二次方程根的存在情况是 A. 没有实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 无法确定 【答案】C 【详解】 试题分析：一次函数的图象有四种情况： ①当，时，函数的图象经过第一、二、三象限； ②当，时，函数的图象经过第一、三、四象限； ③当，时，函数的图象经过第一、二、四象限； ④当，时，函数的图象经过第二、三、四象限. 由图象可知，函数的图象经过第二、三、四象限，所以，. 根据一元二次方程根的判别式，方程根的判别式为， 当时，， ∴方程有两个不相等的实数根．故选C. 27．（25-26学年九上·贵州贵阳乌当区·期中）已知关于x的一元二次方程有实根，则k的取值范围是　　　　　　　　． 【答案】且 【分析】 本题考查了根的判别式，根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到且，然后求出两个不等式的公共部分即可． 【详解】 解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴且， 解得且， 故答案为：且． 28．（25-26学年九·贵州贵阳·期末）如果方程有两个相等的实数根，则的值是　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了根据一元二次方程根的情况求参数，根据方程有两个相等的实数根，得出，代入数值计算，即可作答． 【详解】 解：∵方程有两个相等的实数根， ∴， 即， 解得． 故答案为： 29．（25-26学年九上·贵州遵义正安县·期中）若关于x的一元二次方程无实数根，则k的取值范围是　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据根的判别式即可求解． 【详解】 解：∵， ∴， ∴． 故答案为． 【点睛】 本题考查了一元二次方程根的判别式，解题关键是掌握当时，方程没有实数根． 30．（25-26学年九上·贵州铜仁松桃苗族自治县·期中）已知关于x的一元二次方程x2+2x+m=0． （1）当m=3时，判断方程的根的情况； （2）当m=﹣3时，求方程的根． 【答案】（1）原方程无实数根. （2）x1=1，x2=﹣3. 【分析】（1）判断一元二次方程根的情况，只要看根的判别式△=b2－4ac的值的符号即可判断：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根. （2）把m的值代入方程，用因式分解法求解即可. 【详解】解：（1）∵当m=3时，△=b2﹣4ac=22﹣4×3=﹣8＜0， ∴原方程无实数根. （2）当m=﹣3时，原方程变为x2+2x﹣3=0， ∵（x﹣1）（x+3）=0，∴x﹣1=0，x+3=0. ∴x1=1，x2=﹣3. 31．（25-26学年九上·贵州毕节织金县思源实验学校·期中）对于实数u、v定义一种运算“*”为：．若关于x的方程有两个相等的实数根，求满足条件的实数a的值为　　　　　　　　　　． 【答案】0 【分析】 由于定义一种运算定“*”为：，所以关于x的方程变为，而此方程有两个相等的实数根，所以根据判别式和一元二次方程的一般形式的定义可以得到关于a的不等式组，解不等式组即可解决问题． 【详解】 解：由，得， 即， ∵关于x的方程有两个相等的实数根， ∴ ， ∴ ， 解得． 【点睛】 此题主要考查了一元二次方程的判别式，解题时首先正确理解定义的运算法则得到关于x的方程，然后根据判别式和一元二次方程的定义得到不等式组解决问题． 32．（25-26学年九上·贵州六盘水·期中）若关于的一元二次方程有实数根，写出的一个值可以是　　　　　　　　．（写出一个即可） 【答案】1（答案不唯一） 【分析】 本题主要考查了一元二次方程的解法，正确理解题意、掌握非负数的性质是关键．根据非负数的性质可得当时，一元二次方程有实数根，于是只要使c的值为负数即可． 【详解】 解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴， ∴的值可以是1（答案不唯一）． 故答案为：1（答案不唯一）． 33．（25-26学年九上·贵州安顺·期中）按要求解下列方程： （1）（配方法）； （2）（公式法）． 【答案】（1），     （2），      【分析】 本题考查了解一元二次方程，熟练掌握配方法和公式法是解题的关键． （1）先将常数项移至等号右边，然后在等号两边同时加上一次项系数一半的平方，再由直接开平方法求解； （2）先计算的值，再由公式求解即可． (1) 小问详解： 解： ∴， ∴，； (2) 小问详解： 解： ， ∴， ∴，． 34．（25-26学年九上·贵州铜仁·期末）已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值是　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程根的判别式与根的关系，当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根． 根据一元二次方程有两个相等的实数根的条件，判别式等于零，且二次项系数不为零 【详解】 解：∵一元二次方程有两个相等的实数根， 则判别式且， 解得且， 即且， 故． 故答案为：． 35．（25-26学年九上·贵州毕节纳雍县·期中）已知一元二次方程． （1）若方程的一个根为2，求的值． （2）当时，求证：方程有两个实数根． 【答案】（1）     （2） 证明： ， ， 方程有两个实数根．      【分析】 本题主要考查一元二次方程根的定义及根的判别式，由方程根的情况得到判别式的符号是解题的关键． （1）把代入方程可得，然后代入求解即可； （2）首先由得到，然后由判别式即可证明． (1) 小问详解： 把代入，得， ， ． (2) 小问详解： 略 36．（25-26学年九上·贵州贵阳清镇·期中）已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是　　　　　． 【答案】 【分析】 此题考查了根的判别式，根据根的情况确定参数的范围，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式，当方程有两个不相等的实数根时，；当方程有两个相等的实数根时，；当方程没有实数根时，． 【详解】 解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 解得：， 故答案为：． 考点04 因式分解法 1．（25-26学年九上·贵州铜仁·期末）一元二次方程的解是（       ） A.  B.  C. 或 D. 或 【答案】C 【分析】 本题考查了解一元二次方程． 根据因式分解法求解即可． 【详解】 解：∵， ∴， ∴或． 解得：． 故选：C． 2．（2026·贵州六盘水·一模）关于x的一元二次方程的根为（       ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【分析】 本题考查了用因式分解法解一元二次方程，熟练掌握用因式分解法解一元二次方程是关键．通过提取公因式求解即可． 【详解】 解：， ， 或， 即，． 故选：B． 3．（25-26学年九上·贵州毕节纳雍县·期中）一元二次方程的根是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了运用因式分解法解一元二次方程．根据，得出，即可作答． 【详解】 解：∵， ∴或， 即或， ∴方程的根为， 故选：D． 4．（25-26学年九上·贵州黔东南州·期中）关于x的一元二次方程的解为（） A.  B.  C. ， D. ， 【答案】D 【分析】 本题考查一元二次方程的基本解法，通过提取公因式进行因式分解，再根据零乘积性质得出根的值．注意选项中的符号差异，避免误选． 通过因式分解法求解一元二次方程，利用零乘积性质求根即可． 【详解】 解：∵， ∴， ∴或， ∴方程的解为． 故选：D． 5．（25-26学年九上·贵州安顺·期中）已知一元二次方程的两根是，，则这个方程可以是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握因式分解法求解方程是解题的关键． 根据因式分解法可直接进行求解． 【详解】 解：A、由方程解得，，故不符合题意； B、由方程解得，，故符合题意； C、由方程解得，，故不符合题意； D、由方程解得，，故不符合题意； 故选：B． 6．（25-26学年九上·贵州贵阳清镇·期中）一元二次方程的解是（       ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【分析】 本题考查了解一元二次方程－因式分解法：就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了数学转化思想． 根据两个因式的积为零，那么这两个因式的值就都有可能为0，将方程转化为两个一元一次方程求解． 【详解】 解：∵， ∴或， 解得，． 故选B ． 7．（25-26学年九上·贵州三联教育集·期末）某节数学课上，甲、乙两位同学都在黑板上解方程，解答过程如下所示： 甲 乙 两边同时除以，得． 移项，得．．或，解得． 其中完全正确的是（       ） A. 甲 B. 都正确 C. 乙 D. 都不正确 【答案】C 【分析】 本题考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解答本题的管家． 甲的解法错误，因为两边同时除以 可能漏解（当 时）；乙的解法正确，通过移项和因式分解得到所有解． 【详解】 解：∵方程的解可能为或，甲同学两边同时除以时，未考虑的情况，导致漏解； 乙同学移项得， 移项，得， ， 或， 解得， ∴完全正确的是乙． 故选C． 8．（25-26学年九上·贵州遵义汇川区·期中）小聪在解方程时，只得到一个根，则被漏掉的一个根是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了因式分解法解一元二次方程．通过因式分解法解一元二次方程，利用零乘积性质求根． 【详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴或， 即或． 小聪只得到，故被漏掉的根是． 故选：B． 9．（25-26学年九上·贵州六盘水·期中）已知方程，则的值为（       ） A.  B. 0 C.  D. 或0 【答案】D 【分析】 本题考查了解一元二次方程因式分解法，根据两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程，求出一次方程的解得到x的值，将x的值代入中，即可求出值． 【详解】 解：， ∴或， 解得：， 当时，； 当时，． 故选D． 10．（25-26学年九上·贵州贵阳第六中学·期中）分式的值为0，则的值是（       ） A. 0 B.  C. 1 D. 0或1 【答案】A 【分析】 根据分式值为0的条件进行求解即可． 【详解】 解：∵分式的值为0， ∴ ， 解得， 故选A． 【点睛】 本题主要考查了分式值为0的条件，熟知分式值为0的条件是分子为0，分母不为0是解题的关键． 11．（25-26学年九上·贵州铜仁万山区·期中）若关于的一元二次方程的常数项为0，则的值等于（       ） A. 1 B. 0 C. 1或2 D. 2 【答案】D 【分析】 本题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的定义以及因式分解法解一元二次方程，熟练掌握各自的定义是解本题的关键． 根据常数项为0，二次项系数不为0，确定出m的值即可． 【详解】 解：∵关于的一元二次方程的常数项为0， ∴，， ∴， 解得（舍去）或． 故选：D． 【详解】 12．（25-26学年九上·贵州黔东南苗族·期中）一元二次方程的解是（　　） A.  B.  C. ， D. ， 【答案】C 【分析】 本题主要考查了解一元二次方程，利用因式分解法解方程即可． 【详解】 解：∵， ∴或， 解得，． 故选：C． 13．（25-26学年九上·贵州贵阳第十七中学·期中）关于x的方程的两个根满足，且，则m的值为（　　） A.  B. 1 C. 3 D. 9 【答案】C 【分析】 本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程的根．根据，得到，由可得m的方程，解m的方程即可． 【详解】 解：∵， ∴， ∴或， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得． 故选：C． 14．（25-26学年九上·贵州贵阳乌当区·期中）请从①；②；③；④中，任选两个进行解答． 【答案】① 解：， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得； ② 解：， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得； ③ 解：， 移项，得， 方程左边分解因式，得， 所以或， 解得：，； ④ 解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得 ， 合并同类项，得 ， 系数化为1，得 ， 经检验是原分式方程的根． （任选两个方程、不等式解答．） 【分析】 本题考查了解分式方程（化为一元一次），解一元一次方程（一）——合并同类项与移项，解一元一次方程（三）——去分母，因式分解法解一元二次方程，求一元一次不等式的解集等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． ①先移项，再合并同类项，系数化为1即可； ② 先移项，再合并同类项，系数化为1即可； ③ 先移项，再将方程左边分解因式，得到两个一次方程求解； ④ 先去分母，转化为整式方程求解，再验根． 【详解】 略 15．（25-26学年九上·贵州贵阳乌当区·期中）（1）计算：；        （2）因式分解：． 【答案】（1）；（2） 【分析】 本题考查了求一个数的绝对值，求一个数的算术平方根，实数的混合运算，平方差公式分解因式等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）先计算乘方、绝对值、开算术平方根，再计算加减； （2）用平方差公式分解因式． 【详解】 （1）解： ； （2）解：． 16．（25-26学年九·贵州金沙县金沙县第三中学·期末）一元二次方程的根是　　　　　　　． 【答案】，， 【分析】 利用因式分解法解方程即可． 【详解】 解： ， 或， 所以，． 故答案为：，． 【点睛】 本题考查了解一元二次方程因式分解法，解题的关键是掌握因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法． 17．（25-26学年九·贵州黔南州·期末）从下列①②③中任选两个方程，并用你认为合适的方法求解． ① ② ③ 【答案】①；②；③（任选两个作答） 【分析】 本题考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． ① 根据因式分解法解一元二次方程即可求解； ② 先移项，然后提取公因式，利用因式分解法即可求解； ③ 先移项，然后根据直接开平方法即可求解． 【详解】 解：以下三个任选两个即可， ① ∴或， ∴； ② ∴或， ∴； ③ ∴， ∴． 18．（25-26学年九上·贵州黔东南州·期末）解方程： （1） （2） 【答案】（1），     （2），      【分析】 本题考查了解一元二次方程，掌握因式分解法解一元二次方程是解题的关键． （1）通过因式分解或直接开平方求解； （2）通过因式分解求解． (1) 小问详解： 解： 或 ， (2) 小问详解： 或 ， 19．（25-26学年九上·贵州贵阳部分区·期末）解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键： （1）利用因式分解法解方程即可； （2）利用公式法解方程即可． (1) 小问详解： 解：， ， 或， 解得； (2) 小问详解： 解：， ， ， ， ∴． 20．（25-26学年九上·贵州遵义正安县·期中）（1）解方程：； （2）计算：． 【答案】（1），；（2） 【分析】 本题主要考查了解一元二次方程，实数混合运算，熟练掌握运算法则，是解题的关键． （1）用分解因式法解一元二次方程即可； （2）根据零指数幂和负整数指数幂运算法则，绝对值意义，进行计算即可． 【详解】 （1）解：， 因式分解得：， ∴或， 解得：，； （2） ． 21．（25-26学年九上·贵州遵义·期中）（1）解方程：         ． （2）下面是小颖同学解一元一次不等式的解答过程，请认真阅读并完成相应任务． 解：       第一步，       第二步，       第三步，       第四步，             第五步．             第六步 ①任务一：以上运算步骤中，从第______步开始出现错误，错误的原因是______； ②任务二：请写出正确的解答过程． 【答案】（1）；， ； (2) ① 四；去括号时符号错误； ② 去分母，得 整理，得 去括号，得 移项、合并同类项，得，      系数化为1，得 【分析】 本题考查了解一元一次方程和解一元一次不等式，解题的关键是掌握解一元一次方程和解一元一次不等式的解法，能正确求解． （1）去括号，移项，合并同类项，系数化为1，解方程即可；利用因式分解法解方程即可； （2）① 一元一次不等式的去分母步骤，其理论依据是不等式的基本性质，对每一步的运算进行规则校验，尤其是去括号的“符号法则”； ② 通过解一元一次不等式得到这个不等式组正确的解集 ． 【详解】 解： 去括号，得 移项，得 合并同类项，得 系数化为1，得 整理得 或 解得，． （2）① 略 ② 略 22．（25-26学年九上·贵州铜仁松桃苗族自治县·期中）解一元二次方程： （1）； （2）． 【答案】（1），     （2），      【分析】 本题考查解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）运用因式分解法求解即可． （2）运用因式分解法求解即可． (1) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴或， 解得：，． (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴或， 解得：，． 23．（25-26学年九上·贵州毕节金沙县·期中）解下列方程： （1） （2） 【答案】（1）      （2）       【分析】 本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题关键； （1）利用因式分解法解答，即可求解； （2）利用直接开平方法解答，即可求解． (1) 小问详解： 解：， ∴， ∴， ∴． (2) 小问详解： 解：， ∴， ∴， ∴，， ∴． 24．（25-26学年九上·贵州毕节纳雍县·期中）按要求解下列方程： （1）（因式分解法）； （2）（公式法）． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了一元二次方程，掌握因式分解法，公式法，配方法是解题的关键． （1）利用因式分解法求解即可； （2）利用公式法求解即可． (1) 小问详解： 解：原方程可变形为， ，或， ． (2) 小问详解： 解：这里． ， ，即． 25．（25-26学年九上·贵州六盘水·期中）用适当方法解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了一元二次方程的解法，包括公式法与因式分解法，解决本题的关键是熟练掌握一元二次方程的解法． （1）根据公式法，将对应的值代入求解即可； （2）先移项，再提取公因式，求解即可． (1) 小问详解： 解：原方程移项得， 即， ， ， ； (2) 小问详解： 解：， ， ， ，， ． 26．（25-26学年九上·贵州贵阳第六中学·期中）（1）计算：； （2）用适当的方法解方程：． 【答案】（1）；（2），． 【分析】 本题考查了解一元二次方程-因式分解法，实数的运算，正确计算是解题的关键． （1）先根据算术平方根、负整数指数幂、绝对值、零指数幂的运算法则计算，再合并即可； （2）根据因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】 解：（1） ； （2）， ， ， 或， ， 27．（25-26学年九上·贵州铜仁沿河土家族自治县·期中）用适当的方法解下列方程． （1） （2） 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题主要考查了解一元二次方程，灵活运用因式分解法和直接开平方法求解是解题的关键． （1）直接用因式分解法求解即可； （2）直接运用直接开平方法求解即可． (1) 小问详解： 解：， ， 或， ． (2) 小问详解： 解：， ， ． 28．（25-26学年九上·贵州贵阳中天中学·期中）解方程： （1）． （2）． 【答案】（1），     （2），      【分析】 本题主要考查了一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的求解方法是解题的关键． （1）通过将方程左侧提取公因式的方式，将方程转化为两个一元一次方程求解． （2）利用配方法进行求解． (1) 小问详解： 解：， ， ∴，． (2) 小问详解： 解：， ， ， ， ∴，． 29．（25-26学年九上·贵州铜仁碧江区·期中）解下列方程． （1）； （2）． 【答案】（1），     （2）      【分析】 本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法，因式分解法，配方法和公式法是解题的关键． （1）利用配方法即可求解； （2）利用因式分解法即可求解． (1) 小问详解： 解： 或 ∴，； (2) 小问详解： 解： 或 ∴． 30．（25-26学年九上·贵州铜仁万山区·期中）一元二次方程x2﹣2x=0的解是　　　　　． 【答案】 【分析】 方程整理后，利用因式分解法求出解即可． 【详解】 方程整理得：x(x﹣2)=0 可得x=0或x﹣2=0 解得：x1=0，x2=2 故答案为：x1=0，x2=2． 31．（25-26学年九上·贵州铜仁万山区·期中）选择适当的方法解方程 （1） （2） （3） （4） 【答案】（1），     （2），     （3），；     （4）      【分析】 本题主要考查了解一元二次方程，利用直接开平方法、公式法、因式分解法求解是解题的关键． （1）利用直接开平方法计算即可； （2）利用因式分解法计算即可； （3）利用公式法计算即可； （4）利用因式分解法计算即可； (1) 小问详解： ， ， ， ，， ，； (2) 小问详解： ， ， ， ，， ，； (3) 小问详解： ， ，，， ， ， ，； (4) 小问详解： ， ， ， ． 32．（25-26学年九上·贵州黔东南苗族·期中）解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）     （2），      【分析】 本题主要考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键． （1）直接利用完全平方公式解方程即可； （2）先移项，再利用因式分解法解一元二次方程即可． (1) 小问详解： 解：， ， ∴， 解得； (2) 小问详解： 解：， ， ， ∴或， 解得，． 33．（25-26学年九上·贵州贵阳清镇·期中）解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1），     （2），      【分析】 本题考查了解一元二次方程； （1）使用因式分解法解一元二次方程； （2）通过移项和提公因式解方程． (1) 小问详解： （1）解：， 因式分解得，， ∴  或 ， ∴ ，； (2) 小问详解： 解：， 移项得，， 提公因式得，， ∴  或 ， ∴ ，． 34．（25-26学年九·贵州金沙县金沙县第三中学·期末）解下列一元二次方程： （1）； （2）． 【答案】（1），     （2），      【分析】 （1）根据配方法求解一元二次方程即可； （2）运用提公因式法求解一元二次方程即可． (1) 小问详解： 解： ∴或 解得，； (2) 小问详解： 解： ∴或 解得，． 35．（25-26学年九上·贵州毕节金沙县·期中）方程的解是　　　　　　． 【答案】 【分析】 可通过移项将方程化为一般形式，再利用因式分解法解方程即可得到答案． 【详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴或， 解得． 36．（25-26学年九上·贵州黔东南州·期中）用适当的方法解方程 （1）； （2）． 【答案】（1），     （2），      【分析】 （1）方程二次项系数为1，一次项系数为偶数，用配方法求解更简便，也可使用公式法； （2）先整理方程，再用因式分解法求解． (1) 小问详解： 解：  移项得    配方得    即   开方得   因此 ，． (2) 小问详解： 解：   移项整理得   因式分解得   因此  或   因此 ，． 37．（25-26学年九·贵州毕节赫章县·期末）解方程时，我们可以将视为一个整体，设，则，原方程化为，解此方程，得，， 当时，，，∴； 当时，，，∴． ∴原方程的解为，，，． 以上方法就叫换元法，达到了降次的目的，体现了转化的思想． 运用上述方法解答下列问题： （1）； （2）． 【答案】（1），     （2），      【分析】 本题主要考查了换元法解一元二次方程、因式分解法解一元二次方程、一元二次方程的根的判别式等知识，利用换元法解一元二次方程是解题关键． （1）先把要求的式子变形为，再进行因式分解，求出符合条件的值，从而得出的值； （2）根据已知条件设求出的值，即可获得答案． (1) 小问详解： 解：， 设，则原方程化为， ∴， ∴或（舍去）， 即， ∴，； (2) 小问详解： 解：， 设，则原方程化为， ∴， ∴或， 当时，可有，解得，， 当时，可有， ∵， ∴该方程无解， ∴原方程的解为，． 38．（25-26学年九上·贵州遵义湄潭县·期末）（1）计算：． （2）若关于的一元二次方程与方程有一个相同的根，求的值． 【答案】（1）；（2）3 【分析】 本题主要考查了实数混合运算，解一元二次方程，根据一元二次方程解的情况求参数，熟练掌握相关运算法则，是解题的关键． （1）根据零指数幂和负整数指数幂运算法则，二次根式性质，绝对值意义，进行求解即可； （2）先解方程得：，，然后再代入求出k的值即可． 【详解】 解：（1） ； （2）解方程得：，， 把代入得： ， 解得：； 把代入得： ， 解得：， 当时，，此时方程为一元一次方程，不符合题意； 综上，． 39．（2026·贵州遵义·学业水平监测）（1）计算：； （2）从下列三个方程中任选一个求解． ①；       ②；       ③． 【答案】（1）； （2）选择①， ；选择②，，；选择③， 【分析】 本题主要考查了实数的混合运算（含绝对值、零指数幂）和一元二次方程的解法（直接开平方法、因式分解法、公式法），解题的关键是掌握绝对值、零指数幂的运算规则，以及根据方程特点选择合适的一元二次方程解法． （1）化简绝对值，进行0指数幂运算，再按运算顺序进行计算即可； （2）选① ，用直接开平方法进行求解即可；选② ，用因式分解法进行求解即可；选③ ，用公式法进行求解即可． 【详解】 （1）解：原式 （2）选择 ①； 解： 或 ∴； 选择 ②； 解： 或 ， ； 选择③． 解： ． 40．（25-26学年九·贵州贵阳·期末）（1）计算：； （2）小红、小星在解方程时，解答过程如下： 小红的解法解：第一步：两边同除以，得：（       ）第二步：（       ） 小星的解法解：第一步：（       ）第二步：（       ）第三步：或（       ）第四步：，（       ） ①上述小红、小星的解法是否正确？若不正确，判断从第几步开始出现错误，并在相应括号内打“×”； ②请用一种合适的方法解此方程． 【答案】（1）2； （2）① 小红，小星的解法都是错误的，小红的解法从第一步开始错误，小星的解法从第二步开始错误； ② 方法一： ， ， ，             ，． 方法二： ， 当时， 两边同除以，得：， 解得，； 当时， 即，满足原方程； 综上，原方程的解为，． 【分析】 本题主要考查实数的运算，解一元二次方程，熟练掌握以上知识点是做题的关键． （1）根据实数的运算法则进行计算即可； （2）根据解一元二次方程的步骤进行计算即可． 【详解】 （1）解： ．             （2）① 解：小红，小星的解法都是错误的． 判断如下： ② 略 小红的解法解：第一步：两边同除以，得：.（×）第二步：.（       ） 小星的解法解：第一步：.（       ）第二步：.（×）第三步：或.（       ）第四步：，（       ） 41．（25-26学年九上·贵州遵义余庆县·期末）解方程： （1）； （2）． 【答案】（1），     （2），      【分析】 本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解答本题的关键． （1）方程运用因式分解法解答即可； （2）方程移项后运用因式分解法解答即可． (1) 小问详解： 解：， ， ， ∴； (2) 小问详解： 解：， ， ， ， ， ∴，． 42．（25-26学年九上·贵州自治州兴仁·期末）（1）解方程： （2）计算： 【答案】（1） 或 ；（2） 【分析】 本题考查了解一元二次方程及实数的混合运算，熟练掌握解一元二次方程及实数的混合运算是关键． （1）通过移项和提取公因式，将方程变形为，即可解得答案； （2）分别进行负指数、零指数运算、二次根式的化简及化简绝对值，再计算实数的加减即可． 【详解】 解：（1）移项，得， 提取公因式，得， 或， 或； （2） ． 43．（25-26学年九上·贵州三联教育集·期末）解方程∶ （1）； （2）． 【答案】（1），     （2），      【分析】 本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键： （1）配方法解方程即可； （2）因式分解法解方程即可． (1) 小问详解： 解：， ， ， ， 解得，； (2) 小问详解： 解：， ， ， 解得，． 44．（25-26学年九上·贵州黔东南州·期末）选择适当的方法解下列方程： （1） （2） 【答案】（1），     （2），      【分析】 本题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． （1）直接利用十字相乘法进行因式分解，从而求得方程的解； （2）先移项，再提取公因式进行因式分解，从而求得方程的解． (1) 小问详解： 解：， ， 或， 即，． (2) 小问详解： 解：， ， ， ， 或， 即，． 45．（25-26学年九上·贵州六盘水钟山区·期中）新定义：若两个不相等的正整数a和b（）满足它们的平方差等于这两个数和的平方除以k（k为非零常数），则称数对关于k构成一个“智谋数对”，记作，用式子表示为：． 例如：数对关于3构成一个“智谋数对” ∵， ∴ ∴成立 （1）下列数对是关于3构成“智谋数对”的是______． ①       ②       ③ （2）假设a和b（）是关于k的“智谋数对” ①用含a，b的代数式表示k； ②当时，求出智谋数对中a与b的数量关系，并写出满足条件的两个智谋数对． 【答案】（1）① ③     （2）①；②，和      【分析】 该题考查了智谋数对”的定义，因式分解的应用等知识点． （1）根据“智谋数对”的定义分别判断即可． （2）① 根据题意可得，左边先因式分解，再化简即可；② 当时，则，同① 化简整理得，再根据题意代值即可解答． (1) 小问详解： 解：① ∵，， ∴， ∴关于3构成“智谋数对”； ② ∵，， ∴， ∴关于3不构成“智谋数对”； ③ ∵，， ∴， ∴关于3构成“智谋数对”； 故答案为：① ③ ； (2) 小问详解： 解：① 根据题意可得， 则， ∴， ∴； ② 当时，则，即， 整理得， 则， ∵a和b是两个不相等的正整数，， 取，则，满足条件，“智谋数对”是； 取，则，满足条件，“智谋数对”是； 综上，满足条件的两个“智谋数对”可以是和． 46．（25-26学年九上·贵州六盘水钟山区·期中）（1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（）；（）． 【分析】 本题考查了实数的混合运算，因式分解法解一元二次方程，掌握知识点的应用是解题的关键． （）分别计算算术平方根，零指数幂，负整数指数幂，最后进行加减运算即可； （）用因式分解法解方程即可． 【详解】 解：（） ； （）， ， ， ， ， ∴． 47．（25-26学年九上·贵州遵义汇川区·期中）从下列①②③中任选2个方程，并用合适的方法求解． ①；②；③． 【答案】方程①：；方程②：；方程③ ： 【分析】 本题考查了解一元二次方程，① 先移项，然后根据直接开平方法解一元二次方程；② 根据因式分解法解一元二次方程；③ 根据因式分解法解一元二次方程即可求解． 【详解】 解：①； ∴ 解得： ②； ∴ ∴或， 解得： ③ ∴ ∴或 解得： 48．（25-26学年九上·贵州毕节织金县思源实验学校·期中）解方程： （1）； （2）． 【答案】（1），     （2），      【分析】 本题主要考查了解一元二次方程，选择合适的解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）直接运用公式法求解即可； （2）先整理方程，然后再运用因式分解法求解即可． (1) 小问详解： 解：， ∴， ， ， ，． (2) 小问详解： 解：， 整理，得， 因式分解，得，即． ∴或， ∴，． 49．（25-26学年九上·贵州黔南布依族苗族自治州平塘县·期中）用适当的方法解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1），．     （2），．      【分析】 本题主要考查了解一元二次方程，灵活运用配方法和因式分解法解一元二次方程是解题的关键． （1）先移项，然后运用配方法求解即可； （2）先移项、然后再运用因式分解法求解即可． (1) 小问详解： 解：， ， ， ， ， ， 所以，． (2) 小问详解： 解：， ， ， 或， 所以，． 50．（25-26学年九上·贵州六盘水·期中）阅读下列材料： 问题：已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为y，则，所以，把代入已知方程，得．化简，得．故所求方程为．这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． 请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求把所求方程化为一般形式）： （1）已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别为已知方程根的相反数； （2）已知关于x的一元二次方程（为常数，）有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题主要考查一元二次方程： （1）设所求方程的根为，则，所以，把代入已知方程，即可求得答案； （2）设所求方程的根为，则，所以，把代入方程，即可求得答案． (1) 小问详解： 设所求方程的根为，则，所以. 把代入已知方程，得，故所求方程为. (2) 小问详解： 设所求方程的根为，则， 所以. 把代入方程． 得. 去分母，得． 若，则有，即， 可得有一个解为，因为要求方程有两个不为0的根，所以不符合题意． 故，故所求方程为． 51．（25-26学年九上·贵州铜仁沿河土家族自治县·期中）已知三角形的两边的长分别为2和8，第三边是方程的两根之一，则此三角形的周长是　　　　　　　　　　　； 【答案】17 【分析】 本题主要考查了解一元二次方程、三角形的三边关系等知识点，掌握三角形的三边关系是解题的关键． 先解一元二次方程得到两根，再根据三角形的三边关系判断哪个根可以作为第三边，最后计算周长即可． 【详解】 解：， ， ，． 当第三边为7时，三边分别为2、8、7，满足三角形三边关系（任意两边之和大于第三边，如；任意两边之差小于第三边，如）． 当第三边为10时，三边分别为2、8、10，但，不满足两边之和大于第三边，故不成立． 综上，第三边为7，周长为． 故答案为：17． 52．（25-26学年九上·贵州西南州兴仁·期中）解一元二次方程 （1） （2）． 【答案】（1），     （2），      【分析】 本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是： （1）把方程化为，再化为两个一次方程，进而解方程即可； （2）把方程化为，再化为两个一次方程，进而解方程即可． (1) 小问详解： 解∶， ， ， 或， ∴，； (2) 小问详解： 解：， ， 或， ∴，． 53．（25-26学年九上·贵州铜仁·期中）如图，在平面直角坐标系中，正方形的两个顶点A、B是坐标轴上的动点，若正方形的边长是方程的解，则线段长的最大值是　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 如图，记的中点为，连接、，则，由正方形，由勾股定理得，由题意知，，即，然后作答即可． 【详解】 解：解方程得（负值舍去）， 即正方形的边长是4， 如图，记的中点为，连接、， ， ， ∵正方形， ∴由勾股定理得，， 由题意知，，即， ∴线段长的最大值是， 故答案为：． 【点睛】 本题考查了正方形的性质，解一元二次方程，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，勾股定理，三角形三边关系等知识．熟练掌握正方形的性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，勾股定理，三角形三边关系是解题的关键． 54．（25-26学年九上·贵州铜仁·期中）按要求解下列方程： （1）（因式分解法）； （2）（公式法）． 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）利用因式分解法求解即可． （2）利用公式法求解即可． 本题考查了公式法，因式分解法求解方程的根，选择适当解方程的方法是解题的关键． (1) 小问详解： 解：∵， ∴， 解得． (2) 小问详解： 解：∵, 在这里， ∴， 解得． 55．（25-26学年九上·贵州铜仁碧江区·期中）阅读下列材料： 解方程， 解：设，则原方程化为， 解得． 当时，，解得：； 当时，，解得． 原方程的解为：． 以上解一元二次方程的方法叫做换元法，通过换元法达到了降次或者简化方程的目的，这体现了数学中的转化思想． （1）请用上述方法解下列方程：； （2）已知实数满足，求的值． 【答案】（1）     （2）6      【分析】 本题主要考查了换元法解一元二次方程，熟知换元法是解题的关键． （1）设，则原方程化为，利用因式分解法解方程求出y的值即可得到答案； （2）设，则原方程化为，利用因式分解法解方程求出t的值即可得到答案． (1) 小问详解： 解：设，则原方程化为， ∴， ∴或， 解得或， ∴或， 解得； (2) 小问详解： 解：设，则原方程化为， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∴或（舍去）， ∴． 56．（25-26学年九上·贵州铜仁万山区·期中）阅读下面的问题：解方程． 解：（1）当时，原方程化为，解得：，（不合题意，舍去） （2）当时，原方程化为，解得：，（不合题意，舍去） 综上所述，原方程的根是，， 参照上述解题方法，则的解为　　　　　　． 【答案】； 【分析】 本题考查绝对值以及解一元二次方程，掌握分类讨论的思想是解答本题的关键． 分情况去掉绝对值，化成一元二次方程，解一元二次方程即可． 【详解】 解：（1）当时，原方程化为，解得：， （不合题意，舍去）； （2）当时，原方程化为，解得：（不合题意，舍去），， 综上所述，原方程的根是，， 故答案为：；． 考点05 一元二次方程的根与系数的关系 1．（25-26学年九上·贵州贵阳部分区·期末）已知关于x的一元二次方程有一个根为，则另一个根为（     ） A. －2 B. －1 C. 0 D. 1 【答案】D 【分析】 本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是利用“两根之和等于”计算另一根． 根据一元二次方程根与系数的关系，结合已知根，直接计算另一根． 【详解】 解：∵方程的一个根为，设另一个根为， 又∵，， ∴两根之和为， 即， ∴， 故另一个根为1． 故选：D． 2．（25-26学年九上·贵州铜仁松桃苗族自治县·期中）已知方程x2+6x﹣m＝0的一个根为﹣2．则方程的另外一根为（　　） A. ﹣8 B. 8 C. ﹣4 D. 4 【答案】C 【分析】 设出方程的另外一个根，根据根与系数的关系得方程求解即可． 【详解】 设另一个根为n，根据根与系数的关系可得： ﹣2＋n＝＝﹣6 解得：a＝﹣4 故选：C． 【点睛】 本题主要考查根与系数的关系，一元二次方程，的根与系数的关系：，． 3．（25-26学年九上·贵州毕节织金县思源实验学校·期中）已知，是一元二次方程的两根，则的值是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查一元二次方程根与系数的关系，以及二次根式的化简．根据根与系数的关系得到，可知，然后化简代入求值是解题的关键． 【详解】 解：，是一元二次方程的两根， ，， ，， ， 故选：B 4．（25-26学年九上·贵州黔南布依族苗族自治州平塘县·期中）已知，是方程的两个根，则的值为（     ） A. 3 B.  C. 2 D.  【答案】C 【分析】 本题考查了一元二次方程根与系数的关系．根据题意，得到：，，代入求值即可． 【详解】 解：由题意，得：，， ∴； 故选：C． 5．（25-26学年九上·贵州铜仁万山区·期中）设x1、x2是方程x2+3x﹣3=0的两个实数根，则的值为【　　】 A. 5 B. ﹣5 C. 1 D. ﹣1 【答案】B 【详解】 ∵x1、x2是方程x2+3x﹣3=0的两个实数根， ∴x1+x2=﹣3，x1x2=﹣3． ∴． 故选B． 6．（25-26学年九上·贵州铜仁松桃苗族自治县·期中）等腰三角形的一边长是，另两边的长是关于的方程的两个根，则的值为（       ） A.  B.  C. 或 D.  【答案】C 【分析】 分类讨论：当3为等腰三角形的底边，则方程有等根，所以△＝0，求解即可，于是根据根与系数的关系得两腰的和＝4，满足三角形三边的关系；当3为等腰三角形的腰，则x＝3为方程的解，把x＝3代入方程可计算出k的值即可． 【详解】 解：① 当3为等腰三角形的底边，根据题意得△＝（-4）2−4k＝0，解得k＝4， 此时，两腰的和=x1+x2=4>3，满足三角形三边的关系，所以k＝4； ② 当3为等腰三角形的腰，则x＝3为方程的解，把x＝3代入方程得9−12＋k＝0，解得k＝3； 综上，k的值为3或4， 故选：C． 【点睛】 本题考查了一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的解以及根与系数的关系等腰三角形的性质和三角形的三边关系，注意解得k的值之后要看三边能否组成三角形． 7．（25-26学年九上·贵州毕节纳雍县·期中）对于一元二次方程（为常数，且），给出下列说法：①，则方程必有一个根为1；②当时，方程至少有一个根为0；③若方程的两个根为，2，则必有成立；④若，则方程一定有两个相等的实数根．其中正确的有（       ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【分析】 本题考查一元二次方程的根的定义、根与系数的关系以及判别式的应用；①和②通过代入验证；③利用两根和与积的关系推导；④通过判别式判断根的情况即可． 【详解】 解：① ∵， ∴当时，， ∴方程必有一根为；故①正确； ②当时，方程变为， 即， ∴或， ∴方程至少有一个根为；故②正确； ③若方程两根为和， 则两根之和为，即， 两根之积为，即， ∴；故③正确； ④若，则， 判别式， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根，但说法是“有两个相等的实数根”，故④错误； 综上，正确的有① ② ③，共3个； 故选C． 8．（25-26学年九上·贵州六盘水·期中）若关于x的一元二次方程两根为、，且，则p的值为（        ） A.  B.  C.  D. 6 【答案】A 【分析】 本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若方程的两实数根为，则． 根据一元二次方程根与系数的关系得到，然后通分，，从而得到关于p的方程，解方程即可． 【详解】 解：， ， 而， ， ， 故选：A． 9．（25-26学年九上·贵州遵义余庆县·期末）已知关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程两根均为负数，求实数的取值范围． 【答案】（1） 证明：依题意，得， ∵，即， ∴方程总有两个实数根；     （2）      【分析】 题目主要考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，注意： （1）直接利用根的判别式求解即可； （2）利用根与系数的关系得出不等式组求解即可； 熟练掌握一元二次方程根的判别式及根与系数的关系是解题关键 (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ∵方程两根均为负数， ∴ ， ∴ ， 解得： ， ∴． 10．（25-26学年九上·贵州遵义余庆县·期末）设，是方程的两个实数根，则的值为　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查一元二次方程的解和根与系数的关系，先根据一元二次方程的解得到，利用根与系数关系得到，则，再利用整体代入的方法计算即可．熟练掌握一元二次方程的解及根与系数的关系是解题的关键． 【详解】 ∵，是方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴ 故答案为：． 11．（25-26学年九上·贵州贵阳部分区·期末）已知是方程的两个实数根，则代数式　　　　　　　　　　　． 【答案】1 【分析】 本题主要考查根与系数的关系，解题的关键是熟知一元二次方程的解的定义及根与系数的关系．利用根与系数的关系求出两根之和与两根之积，再将所求代数式变形后代入计算． 【详解】 解：∵ 是方程的两个实数根， ∴ ，， ∴ ， 代入得：． 故答案为：． 12．（25-26学年九上·贵州毕节织金县思源实验学校·期中）已知关于x的一元二次方程． （1）求证：无论m取何值时，方程都有两个不相等的实数根； （2）设该方程的两个实数根为a，b，若，求m的值． 【答案】（1） 证明：∵， ∴无论取何值，方程都有两个不相等的实数根．     （2）的值为1或      【分析】 （1）根据一元二次方程根的判别式可进行求解； （2）根据一元二次方程根与系数的关系可进行求解． (1) 小问详解： 略； (2) 小问详解： 解：∵的两个实数根为， ∴． ∵， ∴，． ∴． 即． 解得或． ∴的值为1或． 【点睛】 本题主要考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式及根与系数的关系是解题的关键． 13．（25-26学年九上·贵州黔东南州·期中）若关于x的方程的一个根是2，则另一个根是　　　　　　． 【答案】5 【分析】 本题考查根与系数的关系，掌握该知识点是解题的关键． 根据根与系数的关系即可求出方程的另一个根． 【详解】 解：设另一个根为，根据根与系数的关系，得 ， 解得， 即另一个根为5． 故答案为：5． 14．（25-26学年九上·贵州西南州兴仁·期中）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）若，是这个方程的两个根，且，求的值． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题主要考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系， （1）根据题意可知，再解不等式可得出结论； （2）先根据一元二次方程根与系数的关系得，，再将原式整理为，然后代入计算即可． (1) 小问详解： 解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ， ， ， 故的取值范围为； (2) 小问详解： 解：方程的两个根分别为， ，， ， ， 解得， 故的值为． 15．（25-26学年九上·贵州安顺·期中）已知，是方程的两个根，则代数式的值是　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程的根的定义、一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题关键．先根据一元二次方程的根的定义、一元二次方程的根与系数的关系可得，，再代入计算即可得． 【详解】 解：∵，是方程的两个根， ∴，， ∴ ， 故答案为：． 16．（25-26学年九上·贵州贵阳中天中学·期中）已知关于x的方程． （1）该方程有两个不相等的实数根，求m的范围； （2）若该方程有一个根，求m的值及另一个根． 【答案】（1）     （2），另一个根为      【分析】 本题考查了根据一元二次方程根的情况求参数，一元二次方程的根与系数的关系，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先理解关于x的方程有两个不相等的实数根，得，再求出m的范围，即可作答． （2）记另一个根为，结合该方程有一个根，以及根与系数的关系，进行列式计算，即可作答． (1) 小问详解： 解：∵关于x的方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴， ∴ 解得． (2) 小问详解： 解：依题意，记另一个根为， ∵关于x的方程有一个根， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得． 17．（25-26学年九上·贵州贵阳中天中学·期中）已知，是一元二次方程的两个根，则的值为 　　　　　． 【答案】5 【分析】 本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．根据根与系数的关系得到，，然后利用整体代入的方法计算，即可解题． 【详解】 解： ，是一元二次方程的两个根， ，， ． 故答案为：5． 18．（25-26学年九上·贵州铜仁万山区·期中）已知关于x的一元二次方程． （1）若方程有实数根，求实数m的取值范围； （2）若方程的两个根分别为，且满足，求实数m的值． 【答案】（1）实数m的取值范围是；     （2）      【分析】 （1）由题意可得根的判别式，据此得到不等式求解即可； （2）由根与系数的关系可得；然后代入求出m的值即可． (1) 小问详解： 解：∵方程有实数根， ∴，整理得，解得， ∴实数m的取值范围是； (2) 小问详解： 解：由两根关系得， ∵， ∴， 整理得： 解得：（不符合要求，舍去）或， ∴． 【点睛】 本题主要考查了一元二次方程根的判别式、根与系数的关系等知识点，熟练掌握一元二次方程根的判别式和根与系数的关系是解题的关键． 19．（25-26学年九上·贵州遵义湄潭县·期末）已知m，n是方程的两个实数根，则的值是　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了根与系数的关系、一元二次方程的解，正确理解一元二次方程的解的定义是解题的关键．由一元二次方程根与系数关系得，，再代入求值即可． 【详解】 解：∵是方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴ ， 故答案为：． 20．（25-26学年九上·贵州自治州兴仁·期末）已知关于x的一元二次方程：． （1）设，是方程的两个根，求（用含m的式子表示）； （2）当时，此方程的两个根分别是菱形两条对角线长，求菱形的面积． 【答案】（1）     （2）菱形的面积是3      【分析】 本题考查了一元二次方程根与系数的关系，求菱形的面积，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系及求菱形的面积的方法是解题的关键． （1）根据一元二次方程根与系数的关系， 可得，，再将变形为，即可求解； （2）当时，，即可代入菱形面积公式求解． (1) 小问详解： 解：对于关于x的一元二次方程， ，，， ，， ； (2) 小问详解： 解：当时，， 此时菱形的面积为． 21．（25-26学年九上·贵州遵义正安县·期中）已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值时，方程总有两个不相等的实数根； （2）如果方程的两实根为，且，求的值； 【答案】（1） 证明：∵， ∴无论为何值，该方程总有两个不相等的实数根；     （2），      【分析】 此题考查了一元二次方程根与系数关系、根的判别式，熟练掌握一元二次方程根与系数关系、根的判别式是解题的关键． （1）根据判别式进行证明即可； （2）根据一元二次方程根与系数的关系得到，，然后由得到，进而求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ∵，， ∵， ∴， ∴， ∴，． 22．（25-26学年九上·贵州六盘水钟山区·期中）萱萱和小杰一起写作业，在解一道一元二次方程时，萱萱在化简过程中写错了常数项，得到方程的两个根是和，小杰在化简过程中写错了一次项的系数，得到方程的两个根是和，则原方程是　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程根与系数的关系，设原一元二次方程为，由萱萱写错常数项，得到根和，故一次项系数正确，故有 ，即 ；由小杰写错一次项系数，得到根和，故常数项正确，故有，即，则原方程为，即，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】 解：设原一元二次方程为， 由萱萱写错常数项，得到根和，故一次项系数正确，故有 ，即 ； 由小杰写错一次项系数，得到根和，故常数项正确，故有，即， 因此原方程为， 所以， 故答案为：． 23．（25-26学年九上·贵州遵义汇川区·期中）定义：如果一元二次方程(，，为常数，且)的两个实数根，满足，那么称这样的方程为“倒数方程”．已知关于的一元二次方程(为常数)是“倒数方程”，则的值为　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程根与系数的关系．根据根与系数的关系，得到方程两根之和与两根之积，代入倒数方程的条件，得到关于的方程，求解并验证判别式即可． 【详解】 解：设方程的两个根为和， 根据根与系数的关系，有： 由倒数方程的定义， 代入得： 解得：， 经检验是原方程的解，且当时，原方程为，，原方程有两个实数根 故答案为：． 24．（25-26学年九上·贵州六盘水·期中）已知关于x的一元二次方程． （1）求证：无论k取任何非零实数，方程总有实数根； （2）若等腰三角形的一边长为4，另两边长恰好是这个方程的两个根，求此时的k值． 【答案】（1） 解：由题意可知：， ∴ ， ∴无论k取任何非零实数，方程总有实数根．     （2）      【分析】 （1）证明即可； （2）分：三角形的腰长为4和底边为4两种情形讨论即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：当三角形的腰长为4时，设底边为a， ∴是的一根， ∴， ∴， ∴， ∴由根与系数的关系可知：， ∴， 此时，能够组成三角形，满足题意； ∴当底边为4时，设腰长为b， ∴有两个相同的根， ∴， ∴， ∴原方程为 ∴该方程的解为：． ∴，不能组成三角形，故舍去， 综上所述，． 【点睛】 本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根；也考查了解一元二次方程，根与系数的关系：一元二次方程两实数根为、，则，． 25．（25-26学年九上·贵州铜仁·期中）已知关于x的一元二次方程有实数根． （1）求k的取值范围； （2）若该方程有一个根是1，请求出k的值和另一个根． 【答案】（1）且     （2），另一个根为      【分析】 （1）根据方程的根的判别式且，计算即可． （2）把代入，转化为k的方程求得k，设该方程的另一个根为，根据题意，得，解答即可． 本题考查了根的判别式，方程根的定义即使方程左右两边相等的未知数的值，根与系数关系定理，熟练掌握判别式，根与系数关系定理是解题的关键． (1) 小问详解： 解：∵一元二次方程有实根， ∴且， 解得且． 故k的取值范围是且． (2) 小问详解： 解：把代入， 得， 解得， 设该方程的另一个根为，根据题意，得，1是一元二次方程的两个根， 故， 解得， 故方程的另一个根是． 故，另一个根为． 26．（25-26学年九上·贵州铜仁碧江区·期中）已知关于的一元二次方程的一个根是3，则另一个根是　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理），解题的关键是利用韦达定理中两根之积的关系来求解． 设方程的另一个根为，根据韦达定理，一元二次方程的两根之积为，由此列出关于的方程，进而求解． 【详解】 解：设另一个根为 ， 根据根与系数的关系，有 ， 即 ， 解得 ． 故答案为 ． 考点06 实际问题与一元二次方程 1．（2026·贵州遵义·学业水平监测）中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何．”其大意是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步？设这个矩形的宽为步，根据题意可列方程为（　　） A.  B.  C.  D. 2 【答案】A 【分析】 本题考查根据实际问题列一元二次方程，根据题意，设宽为x步，则长为步，利用矩形面积公式即可列出方程. 【详解】 解：设宽为x步，则长为步 由题意，得：， 故选：A. 2．（25-26学年九上·贵州贵阳修文县·期中）党的二十大报告指出：从2020年到2035年基本实现社会主义现代化，从2035年到本世纪中叶把我国建成富强民主文明和谐美丽的社会主义现代化强国．2022年我国约为121万亿元，如果每年按相同的增长率增长，2024年我国约为135万亿元，若设每年增长率为x，则方程可列为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查关于一元二次方程增长率的实际应用，设每年增长率为x，根据2022年我国约为121万亿元， 2024年我国约为135万亿元，列出方程即可． 【详解】 解：设每年增长率为x，根据题意可列方程为： ， 故选：C． 3．（25-26学年九·贵州金沙县金沙县第三中学·期末）2025湘超：湖南足球的“超”级盛宴，它已不只是赛事，而是湖南体育新IP、城市文化新载体、消费升级新引擎，它填补了湖南职业足球空白，让足球回归大众、在这个足球联赛中，参赛的每两个队之间都需要进行一场比赛，共比赛了91场．设共有x个队参加比赛，则下列方程符合题意的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，解答本题的关键是找准等量关系，列出一元二次方程． 根据参赛的每两个队之间都需要进行一场比赛，共比赛了91场．设共有个队参加比赛，则列式，即可作答． 【详解】 解：设共有个队参加比赛，依据参赛的每两个队之间都需要进行一场比赛，共比赛了91场，得：， 故选：D． 4．（25-26学年九上·贵州铜仁·期末）在国家义务教育优质均衡发展政策的引领下，近几年，某校获得政府持续投入资金改善基础设施，其中2023年投入50万元，2023到2025年累计共投入218万元，若投入资金的年平均增长率相同，求该校投入资金的年平均增长率，设年平均增长率为x，所列方程正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查一元二次方程的增长率问题，理解“累计投入”是指2023年至2025年三年的总投入，根据年平均增长率x，分别表示出各年的投入，再求和等于218万元，即可作答． 【详解】 解：∵2023年投入为50万元，年平均增长率为x， ∴2024年投入为万元，2025年投入为万元， 又∵2023到2025年累计共投入218万元， ∴， 故选：B． 5．（25-26学年九·贵州黔南州·期末）化学是一门以实验为基础的学科．小星在化学老师的帮助下，学会了用高锰酸钾制取氧气的实验，回到班上后，小星教会了x名学习小组长，每名学习小组长又教会了x名组员，这样全班43名学生恰好都学会了这个实验．则根据题意，可列方程为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查了一元二次方程的应用，根据题意，总学会人数包括小星本人、x名小组长和名组员，总和为43，由此列出方程． 【详解】 解：根据题意可知做实验的学生人数为名， 而全班有43名学生，则， 故选：B． 6．（25-26学年九·贵州贵阳·期末）为将劳动教育纳入人才培养全过程，某高校加大投入，建设校园农场，已知该农场某种作物的总产量从2023年的增加到2025年的．设平均每年增长率为，则可列的方程是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了一元二次方程的增长率应用，根据两年内从初始产量增长到最终产量，列出方程即可． 【详解】 解：∵平均每年增长率为，该农场某种作物的总产量从2023年的增加到2025年的， ∴， 故选：A． 7．（2026·贵州六盘水·一模）六盘水市某景区2023年全年接待游客25万人次，经过两年加大旅游开发力度，该景区2025年全年接待游客36万人次．那么该景区这两年接待游客的年平均增长率为多少?若设这两年接待游客的年平均增长率为，则可列方程为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用．设这两年游客人数的年平均增长率为x，根据题意列出方程求解即可． 【详解】 解：根据题意得： ， 故选：A． 8．（25-26学年九上·贵州黔东南州·期末）近年来高技术制造业呈现快速增长态势．某公司工业机器人在今年月产值达到万元，预计月产值将增至万元．设该公司，两个月产值的月均增长率为，可列出的方程为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查一元二次方程的实际应用，涉及平均增长率问题．设月均增长率为，则经过两个月增长后产值变为初始值的倍，即可列出方程． 【详解】 解：月产值为万元，月均增长率为， 月产值为万元， 根据题意，， 故选：． 9．（25-26学年九上·贵州遵义正安县·期中）小明同学是一位古诗文的爱好者，在学习了一元二次方程这一章后，改编 了苏轼诗词《念奴娇·赤壁怀古》：“大江东去浪淘尽，千古风流人物．而立之年督东吴，早逝英年两位数．十位恰小个位三，个位平方与寿同．哪位学子算得快，多少年华数周瑜？”假设周瑜去世时年龄的十位数字是，则可列方程为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据题意可得个位数为x+3，根据个位数字平方与这个两位数相等列出方程即可； 【详解】 设设周瑜去世时年龄的十位数字是，则个位数上的数字是x+3， 由题意可得：． 故答案选C． 【点睛】 本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，准确列式是解题的关键． 10．（25-26学年九上·贵州遵义正安县·期中）电影《南京照相馆》上映以来，据不完全统计，某市第一天票房约2亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，第三天票房收入达5亿元，将增长率记作，则方程可以列为（   ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，根据增长率模型，第三天票房等于第一天票房乘以，据此列出方程． 【详解】 设增长率为x，则： 第一天票房为2亿元； 第二天票房为亿元； 第三天票房为亿元． ∵第三天票房收入达5亿元， ∴． 故选：B． 11．（25-26学年九上·贵州遵义·期中）在我国古代数学著作《九章算术》中记载了“户高广”的问题：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈，问户高、广各几何？”意思是：若长方形门的高比宽多尺寸（尺寸），门的对角线长丈（丈尺），那么门的高和宽各是多少？设门的高为尺，则可以列出的方程为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查勾股定理的实际应用，关键是用方程的思想解决问题； 由于门的高为尺，则宽为尺，根据勾股定理列出方程． 【详解】 解：∵门的高为尺，高比宽多尺， ∴宽为尺， ∵门的对角线长为尺， ∴由勾股定理得：． 故答案选：B． 12．（25-26学年九上·贵州遵义汇川区·期中）如图，把一块长为，宽为的矩形硬纸板的四个角剪去四个相同小正方形，然后把纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，即可做成一个无盖纸盒．若该无盖纸盒的底面积为，设剪去小正方形的边长为，则可列方程为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设剪去小正方形的边长是，则纸盒底面的长为，宽为，根据长方形的面积公式结合纸盒的底面积是，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】 解：设剪去小正方形的边长是，则纸盒底面的长为，宽为， 根据题意得：． 故选：A． 13．（25-26学年九上·贵州铜仁松桃苗族自治县·期中）某超市第一季度中，1月的营业额为200万元，2、3月的总营业额为1000万元，如果平均每月增长率为，由题意可列方程（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 先得到二月份的营业额，三月份的营业额，利用等量关系：二月份的营业额+三月份的营业额=1000万元，把相关数值代入即可． 【详解】 解：∵该超市一月份的营业额为200万元，且平均每月增长率为x， ∴该超市二月份的营业额为万元，三月份的营业额为万元， 又∵2、3月的总营业额为1000万元， ∴． 故选：C． 【点睛】 本题考查了一元二次方程的应用，找到等量关系是解决问题的关键． 14．（25-26学年九上·贵州毕节织金县思源实验学校·期中）某数学活动小组在开展野外项目实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的枝干，每个枝干又长出同样数目的小分枝，主干、枝干和小分枝的总数是 ，则这种植物每个支干长出的小分支个数是（            ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 先是有个主干，设长出枝干有枝，每个枝干又长出枝干枝，则第二次长出的数量是，由此即可求解． 【详解】 解：根据题意，主干是，设长出的枝干有枝， ∴，即，解方程得，，（舍去）， ∴这种植物每个枝干长出的小分枝个数， 故选：． 【点睛】 本题主要考查一元二次方程的实际运用，理解枝干长出的数量关系是解题的关键． 15．（25-26学年九上·贵州毕节纳雍县·期中）如图，在长为，宽为的矩形地面上修建宽度相等的道路（阴影部分），余下部分进行绿化．若绿化面积为，设道路宽度为，则可列方程为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了一元二次方程的运用，要求学生能根据题意的数量关系建立等式，同时考查了学生的阅读能力和理解能力． 设道路宽度为，根据题意表示出绿化部分的长、宽，再根据绿化面积为，即可求解． 【详解】 解：设道路宽度为，根据题意得： ． 故选：C 16．（25-26学年九上·贵州六盘水·期中）如图，在长为，宽为的矩形空地上修筑四条宽度相等的小路，若余下的部分全部种上花卉，且花圃的面积是，则小路的宽是（       ） A.  B.  C. 或 D.  【答案】A 【分析】 设小路宽为，则种植花草部分的面积等于长为，宽为的矩形的面积，根据花草的种植面积为，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论． 【详解】 解：设小路宽为，则种植花草部分的面积等于长为，宽为的矩形的面积， 依题意得： 解得：，（不合题意，舍去）， ∴小路宽为． 故选A． 【点睛】 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 17．（25-26学年九上·贵州六盘水·期中）有一种“微信点名”活动，需要回答一系列问题，并将问题和自己的答案在朋友圈中发布，同时还规定“@”一定数量的其他人，邀请他们也参与活动，小智被邀请参加一次“微信点名”活动，他决定参与并按规定“@”其他人，如果收到小智邀请的人也同样参与了活动并按规定“@”其他人，且从小智开始算起，转发两轮后共有111人被邀请参与该活动．设参与该活动后规定“@”x人，则可列出的方程为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，理解题意，根据从小智开始算起，转发两轮后共有111人被邀请参与该活动列出一元二次方程即可． 【详解】 解：设参与该活动后规定“@”x人，则可列出的方程为：， 故选：C． 18．（25-26学年九上·贵州西南州兴仁·期中）《感动中国2024年度人物颁奖盛典》节目上线后，第一天的播放量为135万次，第三天的播放量增长到228万次．设该节目播放量的日均增长率为x，则根据题意可列方程为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题主要考查了一元二次方程的应用，根据日均增长率的定义，每天播放量是前一天的倍，因此从第一天到第三天的增长倍数为，据此即可获得答案． 【详解】 解：设日均增长率为x，则第二天播放量为，第三天播放量为， ∵ 第三天播放量为228万次， ∴可得． 故选：A． 19．（25-26学年九上·贵州安顺·期中）某校去年对实验器材的投资为2万元，预计明年的投资总额为2.88万元，若设该校今明两年在实验器材投资上的平均增长率是x，则可列方程为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查列一元二次方程解决平均增长率问题，根据题中等量关系列出方程即可． 【详解】 解：某校去年对实验器材的投资为2万元，该校今明两年在实验器材投资上的平均增长率是x， 则今年对实验器材的投资为，明年对实验器材的投资为， 故， 故选：A． 20．（25-26学年九上·贵州铜仁·期中）2023年中秋、国庆期间，某省累计游客数量约4800万人次，2025年中秋、国庆期间，该省累计游客数量约7500万人次．设年平均增长率为，可列方程为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查一元二次方程的应用．设年平均增长率为，根据“2023年游客数量为4800万人次，2025年游客数量为7500万人次”，可得出方程． 【详解】 解：设年平均增长率为，那么依题意得， 故选：A． 21．（25-26学年九上·贵州贵阳中天中学·期中）我国南宋数学家杨辉所著的《田亩比类乘除算法》中有这样一道题，意思是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的宽比长少12步，问它的长和宽各多少步？设这块田地的宽为x步，则所列的方程为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程以及数学常识，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．由矩形的宽及长与宽之间的关系可得出矩形的长为步，再利用矩形的面积公式即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】 解：∵矩形的宽为x步，且宽比长少12步， ∴矩形的长为步． 依题意，得． 故选：C． 22．（25-26学年九上·贵州铜仁碧江区·期中）如图，在一块矩形的劳动实践基地上有三条同宽的道路，横向有一条，纵向有两条，除道路外，剩下的是种植面积．已知该矩形基地的长为40米，宽为24米，种植面积为520平方米，设修建的路宽为米，根据题意可列方程为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查一元二次方程的应用，读懂题目，找出题目中的等量关系是解题的关键．设修建的路宽为米，利用图形的平移法，将种植面积平移拼接为长方形，即可列出方程． 【详解】 解：设修建的路宽为米， 根据题意可列方程为． 故选：C． 23．（25-26学年九上·贵州铜仁万山区·期中）某种品牌运动服经过两次降价，每件零售价由560元降为315元，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率，设每次降价的百分率为x，下面所列的方程中正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设每次降价的百分率为x，则第一次降价后的价格为元，第二次降价后的价格为元，据此列出方程即可． 【详解】 解：由题意得，， 故选：D． 24．（25-26学年九上·贵州黔东南苗族·期中）组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛．设比赛组织者应邀请个队参赛，则可列方程为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，掌握该知识点并找出等量关系是解题的关键．设比赛组织者应邀请个队参赛，那么每个队都要参加场比赛，那么总共有场比赛，然后根据“赛程计划安排7天，每天安排4场比赛”，列出方程即可． 【详解】 解：设比赛组织者应邀请个队参赛，那么有 故选：B． 25．（25-26学年九上·贵州遵义余庆县·期末）如图，在打印图片之前，为确定打印区域，需设置纸张四周的页边距，即纸张的边线到打印区域的距离．若纸张长，宽，考虑到整体的美观性，要求各页边距相等，并使打印区域的面积占纸张总面积的．若设应设置的页边距为，根据题意可列方程为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题主要考查了一元二次方程的实际应用，弄清题意、找到等量关系是解题的关键． 根据“打印区域的面积占纸张总面积的”列出方程即可． 【详解】 解：设应设置的页边距为，则打印区域的长为，宽为， ∴打印区域的面积为， ∵打印区域的面积占纸张总面积的， ∴． 故选D． 26．（25-26学年九上·贵州自治州兴仁·期末）为传递正能量，在中考百日誓师大会上，九年级各班决定互送励志祝福．若规定每个班要给本年级其他所有班级各送1条祝福，且所有班级送出的祝福总数是132条，则九年级的班级数为（       ）． A. 11 B. 12 C. 13 D. 14 【答案】B 【分析】 本题考查一元二次方程的应用，理解题意并根据等量关系列方程是解题关键． 设班级数为n，则每个班送出条祝福，总祝福数为，解二次方程求n即可． 【详解】 解：设九年级的班级数为，则每个班需要送出条祝福， 根据题意，可列方程， 化简，得， 解得，，（负值舍去） ∴九年级一共有12个班． 故选：B． 27．（25-26学年九上·贵州毕节金沙县·期中）如图，某小区有一块长为米，宽为6米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地．它们的面积之和为平方米，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道．若设人行道的宽度为米，则可以列出关于的方程是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了与图形有关的问题(一元二次方程的应用)，解题关键是掌握上述知识点并能运用并求解． 先用分别表示出矩形绿地的长、宽，再根据面积列出方程，化简后作出判断． 【详解】 解：设人行道的宽度为米， ∵小区有一块长为米，宽为6米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地， ∴矩形绿地的长为，宽为， ∵矩形绿地的面积之和为平方米， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 28．（25-26学年九上·贵州贵阳中天中学·期中）《代数学》中记载，形如的方程，求正数解的几何方法是：“如图1，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造4个面积为的矩形，得到大正方形的面积为，则大正方形边长为7，该方程的正数解为．”小聪按此方法解关于x的方程时，构造出如图2所示的图形，已知阴影部分的面积为45，则该方程的正数解为（     ） A. 9 B. 6 C. 3 D.  【答案】C 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，借助数形结合的思想得出方程是解决本题的关键．根据阴影部分的面积四个矩形的面积大正方形的面积，得出，解方程即可． 【详解】 解：∵阴影部分的面积为45， ∴，即， ∴大正方形边长为， ∴该方程的正数解为． 故选：C． 29．（25-26学年九上·贵州贵阳清镇·期中）五个连续整数，前三个数的平方和等于后两个数的平方和，求这五个数．小星设这五个连续整数中第一个数为，根据题意列出关于的一元二次方程为，并列表如下： … … 则这五个数中，第一个数是（       ） A.  B.  C. 或 D.  【答案】C 【分析】 本题考查的是一元二次方程的应用，灵活运用连续整数的表示方法与方程求解思路是解题的关键．通过设第一个连续整数为，表示出其余四个数，再根据 “前三个数的平方和等于后两个数的平方和” 这一条件列出方程，结合表格分析方程的解，进而求出这五个连续整数的第一个数． 【详解】 设五个连续整数为，，，，， 前三个数的平方和等于后两个数的平方和， ， 展开得： 左边：， 右边：， ， 移项得：， 与小星方程对比，得， ， ， ，， 由表格数据，当或时，，且验证两组数均满足题意， 第一个数为或． 故选：． 30．（25-26学年九上·贵州黔东南州·期中）一名同学经过培训后，会做高锰酸钾制取氧气的实验，回到班级后，他先教会了x名同学，然后会做该实验的同学又分别教会了同样多的同学，这时恰好全班49人都会做这项实验了，根据以上情境，可列方程为（） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查一元二次方程的应用，掌握知识点是解题的关键． 起始有1人会做实验，第一轮教学后增加x人，第二轮教学后增加人，总人数为49，据此列方程即可． 【详解】 解：∵起始会做实验的人数为1， 第一轮教学后，新学会的人数为x，此时总会做人数为， 第二轮教学后，新学会的人数为， ∴总会做人数为， 故选：D． 31．（25-26学年九上·贵州遵义湄潭县·期末）我市“幸福之城”大型楼盘陆续交付，家装灯具销售商纷纷推出各类优惠政策．某灯具销售商通过大数据分析：成本为每个30元的台灯，当售价为70元时，平均每天售出20个．若售价每下降1元，每日销售量就增加2个． （1）设售价下降元，请填空： 售价 70 65 利润 40 ___________ 销售量 20 30 ___________ （2）为迎接“双十一”，该店决定降价促销，在每台台灯盈利不少于25元的前提下，若预计日销售获利恰好为1200元，求每个台灯的售价． 【答案】（1）35；     （2）60元      【分析】 本题考查了一元二次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解． （1）根据“当售价为70元时，平均每天售出20个；若售价每下降1元，每日销售量就增加2个”列出代数式，即可解答； （2）设每个台灯的售价为元．根据每个台灯的利润销售数量总利润列出方程并解答． (1) 小问详解： 解：当售价为65元时，每台台灯的利润为：（元）， 售价下降元，每日能售出个； (2) 小问详解： 解：设每个台灯售价y元，根据题意得： ， 即， ， 每台台灯盈利不少于25元， ，解得。 不合题意，舍去。 ， 答：每个台灯售价60元． 32．（25-26学年九·贵州黔南州·期末）为了增强学生的劳动意识，养成劳动的习惯和品质，老师在研学基地组织学生用一段长为的篱笆来围成一个一边靠墙（墙长)的矩形花圃（如图），为了种植不同花卉，花圃中间用篱笆隔断． （1）若围成的矩形花圃的面积为，求的长． （2）围成的矩形花圃的面积能否为？请说明理由． 【答案】（1）5米     （2） 不能，理由如下， 假设面积可以为 ，则， 整理得即 ， ∴， ∴方程无实数解， 故面积不能为 ．      【分析】 本题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意列出方程求解． （1）设垂直于墙的一边长为x米，则矩形的另一边长为米，根据面积为列出方程，求解即可； （2）根据题意列出方程，用根的判别式判断方程根的情况即可． (1) 小问详解： 解：设垂直于墙的一边长为x米，则矩形的另一边长为米 则， 解方程得：，． 当时，长，故舍去， ∴． ∴（米）， 答：矩形的长为9米，宽为5米； (2) 小问详解： 略 33．（25-26学年九上·贵州黔东南州·期末）为了增加社区居民活动的场地，物业准备将一个长为16米，宽为12米的长方形区域（阴影部分）改造成一个健身区域，同时要在它四周外围修建宽度相等的步行跑道使之成为一个新场地（如图）．设步行跑道的宽度为x米． （1）新场地的长为______米，宽为______米；（用含x的代数式表示） （2）若新场地的总面积为320平方米，求步行跑道的宽度． 【答案】（1），     （2）2米      【分析】 本题考查了列代数式，一元二次方程的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，结合物业准备将一个长为16米，宽为12米的长方形区域（阴影部分）改造成一个健身区域，且设步行跑道的宽度为x米．进行列式，即可作答． （2）根据新场地的总面积为320平方米，进行列方程，再解方程，即可作答． (1) 小问详解： 解：∵物业准备将一个长为16米，宽为12米的长方形区域（阴影部分）改造成一个健身区域，且设步行跑道的宽度为x米． ∴新场地的长为米，宽为米， (2) 小问详解： 解：依题意，新场地的长为米，宽为米 ∵新场地的总面积为320平方米， ∴， 整理得， 解得（舍去） ∴步行跑道的宽度为2米． 34．（25-26学年九上·贵州黔东南州·期末）某超市于今年年初购进一批商品．当商品售价为40元时，一月份销售256件．二、三月该商品十分畅销，销售量持续走高，在售价不变的基础上，三月份的销售量达到400件．设二、三这两个月的月平均增长率不变． （1）求二、三这两个月的月平均增长率； （2）若按照（1）中的增长率增长，请你估计四月份的销售量是多少？ 【答案】（1）     （2）500件      【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设二、三这两个月的月平均增长率为x，利用该商品三月份的销售量=该商品一月份的销售量×(1+月平均增长率)2，列出一元二次方程，解之取其符合题意的值即可； （2）根据（1）中的增长率，列算式求解即可． (1) 小问详解： 解：设二、三这两个月的月平均增长率为x， 根据题意得：， 解得：（不符合题意，舍去）， 答：二、三这两个月的月平均增长率为； (2) 小问详解： 解：（件）， 答：四月份的销售量是500件． 35．（25-26学年九上·贵州黔南布依族苗族自治州平塘县·期中）如图是2025年4月的月历表，在此月历表上用一个正方形任意圈出2×2个位置上相邻的数（如2，3，9，10）．若圈出的4个数中最大数与最小数的积为128，设这4个数中最小数为x，则可列方程为　　　　　　． 【答案】 【分析】 此题考查了一元二次方程的应用．根据题意分别表示出最小数与最大数，进而利用最大数与最小数的积为128得出等式求出答案． 【详解】 解：设这4个数中最小数是x，则最大数为：， 根据题意得：， 故答案为：． 36．（25-26学年九上·贵州黔南布依族苗族自治州平塘县·期中）为了响应“践行核心价值观，传递青春正能量”的号召，小颖决定走入社区号召大家参加“传递正能量志愿服务者”．假定从一个人开始号召，每一个人每周能够号召相同的m个人参加，被号召参加的人下一周会继续号召，两周后，将有121人被号召成为“传递正能量志愿服务者”． （1）求出m的值； （2）经过计算后，小颖、小红、小丽三人开始发起号召，但刚刚开始，他们就发现了问题，实际号召过程中，不是每一次号召都可以成功，而他们三人的成功率也各不相同，已知小红的成功率比小颖的两倍少10%，第一周后小丽比小颖多号召2人，三人一共号召17人，其中小颖号召了n人．请分别求出他们三人号召的成功率． 【答案】（1）10     （2）所以小颖的成功率为，小红的成功率为，小丽的成功率为      【分析】 （1）根据“每一个人每周能够号召相同的m个人参加，被号召参加的人下一周会继续号召，两周后，将有121人被号召成为“传递正能量志愿服务者”．”列出方程，即可求解； （2）根据题意，得小颖号召了n人.小丽号召了（n+2）人，小红号召了[17-（n+2）-n]=（15-2n）人，从而得到小颖的成功率为，小红的成功率为，小丽的成功率为，再根据“小红的成功率比小颖的两倍少10%，”列出方程，即可求解． (1) 小问详解： 解：根据题意得： m（m+1）+m+1=121，即（m+1）2=121， ∴m+1=±11， 解得：m1=10，m2=-12（舍去） 答：m的值为10； (2) 小问详解： 解：根据题意，得小颖号召了n人，小丽号召了（n+2）人，小红号召了[17-（n+2）-n]=（15-2n）人， ∴小颖的成功率为，小红的成功率为，小丽的成功率为， ∵小红的成功率比小颖的两倍少10%， ∴， 解得：n=4， ∴所以小颖的成功率为，小红的成功率为，小丽的成功率为， 答：所以小颖的成功率为，小红的成功率为，小丽的成功率为． 【点睛】 本题主要考查了一元二次方程的应用，一元一次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键． 37．（25-26学年九上·贵州贵阳第十七中学·期中）某城市博物馆今年6月份接待游客10万人，8月份接待的游客增加到14.4万人．设该博物馆这两个月接待游客的月平均增长率为，则根据题意可列方程　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，设月平均增长率为，则7月份游客数量为万人，8月份游客数量为 万人，即可列出方程． 【详解】 解：设月平均增长率为，根据题意列方程为 ， 故答案为：． 38．（25-26学年九上·贵州贵阳中天中学·期中）为了让学生养成热爱读书的习惯，某市抽出一部分资金用于购买图书，已知2022年该市用于购买图书的费用为50万元，2024年用于购买图书的费用为72万元． （1）求2022年～2024年购买图书资金的年平均增长率； （2）按照此增长率预测2025年该市用于购买图书的费用． 【答案】（1）     （2）万元      【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键． （1）设2022~2024年购买图书资金的年平均增长率为，增长率的定义列式，求解即可； （2）根据增长率的定义及2024年的费用，列式计算即可． (1) 小问详解： 解：设2022年～2024年购买图书资金的年平均增长率为x，根据题意得： ， 解得：（舍去）， 答：2022年～2024年购买图书资金的年平均增长率为； (2) 小问详解： 解：万元， 答：预测2025年该市用于购买图书的费用为万元． 39．（25-26学年九上·贵州铜仁万山区·期中）据媒体报道，我国2021年公民出境旅游总人数约5000万人次，2023年公民出境旅游总人数约7200万人次，请解答下列问题： （1）求这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长率； （2）如果2024年仍保持相同的年平均增长率，请你预测2024年我国公民出境旅游总人数约多少万人次？ 【答案】（1）这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长率为     （2）预测2024年我国公民出境旅游总人数约8640万人次      【分析】 本题主要考查了一元二次方程的应用，掌握增长率公式求解是解题的关键． （1）根据增长率公式列方程求解即可； （2）用年的总人数加上新增人数即可； (1) 小问详解： 设这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长率为． 根据题意得：， 解得，（不合题意，舍去）． 答：这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长率为． (2) 小问详解： 如果2024年仍保持相同的年平均增长率， 则2024年我国公民出境旅游总人数为（万人次）． 答：预测2024年我国公民出境旅游总人数约8640万人次． 40．（25-26学年九上·贵州铜仁万山区·期中）2022年北京冬奥会吉祥物深受大家的喜欢，某特许零售店的冬奥会吉祥物销售量日益火爆．据统计，该零售店4月将采用提高售价的方法增加利润，根据市场调研得出结论：如果将进价80元的“冰墩墩”按每件100元出售，每天可销售500件，在此基础上售价每涨1元，那么每天的销售量就会减少10件，根据以上条件，解决下列问题： （1）如果上涨元，则售价为________元，则销量为________件； （2）该零售店要想每天获得12000元的利润，且销量尽可能大，则每件商品的售价应该定为多少元？ 【答案】（1）；     （2）元      【分析】 本题主要考查了一元二次方程的应用，准确理解变化量列方程求解是解题的关键． （1）根据售价与进价、上涨价格的关系以及销量与售价变化的关系求解即可； （2）先根据利润的计算公式列出方程，再解方程，最后根据销量尽可能大的条件确定售价； (1) 小问详解： 已知冰墩墩的进价是元，原售价为元，上涨元，那么售价为元， 每天可销售500件，在此基础上售价每涨1元，那么每天的销售量就会减少10件，上涨元后，减少的销售量为件，所以销量为件； 故答案是：；． (2) 小问详解： 由题意得：， 化简得：， ，， 当时，售价为（元），此时销量为（件）； 当时，售价为（元），此时销量为（件）； 要使销量尽可能大， ，此时售价为元． 41．（25-26学年九上·贵州铜仁万山区·期中）某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1056张照片，如果全班有名同学，根据题意，列出方程为　　　　　　　　　　　． 【答案】x(x－1)＝1056 【分析】 全班有x名同学，那么每名同学要送出（x-1）张，共有x名学生，那么总共送的张数应该是x（x-1）张，即可列出方程． 【详解】 解：∵全班有x名同学， ∴每名同学要送出（x-1）张； 又∵是互送照片， ∴总共送的张数应该是x（x-1）=1056． 故答案为：x（x-1）=1056． 【点睛】 本题考查一元二次方程在实际生活中的应用．读懂题意，找到等量关系是解题关键． 42．（25-26学年九上·贵州黔东南苗族·期中）为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠，某品经过两次降价，每盒零售价由16元降为9元，设平均每次降价的百分率是x，则根据题意列出方程是　　　　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是熟练掌握现价和原价与增长（降低）率的关系．根据题意经过一次降价后的价格为元，经过两次降价后的价格为元，据此列出方程即可． 【详解】 解：初始价格为16元，平均每次降价的百分率为， 则经过一次降价后的价格为元，经过两次降价后的价格为元． 根据题意，两次降价后价格为9元，因此方程为． 故答案为：． 43．（25-26学年九上·贵州贵阳乌当区·期中）如图所示，一农户要建一个矩形鸡舍，鸡舍的一边靠墙，墙长为，另外三边用长的建筑材料围成． （1）设鸡舍与墙垂直的一边长为，则______ （用含x的式子表示）． （2）当x为多少时，鸡舍面积为？ 【答案】（1）     （2）8      【分析】 本题考查了列代数式，与图形有关的问题(一元二次方程的应用)等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）设鸡舍与墙垂直的一边长为，根据鸡舍的一边靠墙，墙长为，另外三边用长的建筑材料围成，可用含x的式子表示出； （2）根据鸡舍面积为，列出一元二次方程求解，再验根即可． (1) 小问详解： 解：设鸡舍与墙垂直的一边长为， 因为鸡舍的一边靠墙，另外三边用长的建筑材料围成， 所以平行于墙的一边的长为， 故答案为：； (2) 小问详解： 解：根据鸡舍面积为， 可得， 解得：，， 当时，（舍去）， 当时，，符合题意， 答：当时，鸡舍面积为． 44．（25-26学年九·贵州金沙县金沙县第三中学·期末）某学校为了让学生体验化学实验的乐趣，决定从市场购买氯化钠溶液和硫酸铜溶液供实验使用．第一次购买40瓶氯化钠溶液和80瓶硫酸铜溶液需要500元，第二次购买20瓶氯化钠溶液和30瓶硫酸铜溶液需要200元． （1）求每瓶氯化钠溶液与硫酸铜溶液的售价分别为多少元？ （2）为了加大培养学生对化学的兴趣，学校决定再次购买这两种溶液，调查发现配制每瓶氯化钠溶液的成本是元，每瓶硫酸铜溶液的成本是元，已知第三次购买的氯化钠溶液的数量是第一次的2倍，购买硫酸铜的数量比第一次购买硫酸铜的数量少瓶，商场获利330元，求的值． 【答案】（1）每瓶氯化钠溶液与硫酸铜溶液的售价分别为2.5元，5元     （2）a的值为2      【分析】 本题主要考查了二元一次方程组的应用和一元二次方程的应用，根据题意找准等量关系，列出正确的二元一次方程组和一元二次方程是解题的关键． （1）根据等量关系列出二元一次方程组，解方程组即可得到答案； （2）根据等量关系列出一元二次方程，解方程即可得到答案． (1) 小问详解： 解：设每瓶氯化钠溶液与硫酸铜溶液的售价分别为，元 由题意得 ， 解得 ， 答：每瓶氯化钠溶液与硫酸铜溶液的售价分别为元，5元． (2) 小问详解： 解：由题意得，， 整理得，， 解得，，， 当时，，不合题意，故舍去； ∴， 答：的值为． 45．（25-26学年九上·贵州铜仁·期末）某童装店销售一款童鞋，成本价为每双30元，根据调查发现，若该款童鞋的售价为50元/双时，平均每天可以售出100双，售价每降低1元，平均每天可以多售出10双，设这种童鞋每双的售价降低x元，该童鞋每天销售量为y双． （1）写出y与x之间的关系式． （2）为尽可能让利于顾客，同时保证该童装店每天获得2240元利润，售价应为每双多少元？ 【答案】（1）     （2）44元      【分析】 本题考查了求一次函数的应用，一元二次方程的应用． （1）根据“平均每天可以售出100双，售价每降低1元，平均每天可以多售出10双” 写出y与x之间的关系式即可； （2）根据每双利润乘以销售量等于总利润列方程求解，进而根据“让利于顾客”作答即可． (1) 小问详解： 解：∵平均每天可以售出100双，售价每降低1元，平均每天可以多售出10双， ∴这种童鞋每双的售价降低x元，平均每天可以多售出双， 即； (2) 小问详解： 解：由题意得： 解得：，    ∵尽可能让利于顾客           （元） 答：售价为每双44元． 46．（25-26学年九·贵州贵阳·期末）第十五届粤港澳全运会的两款吉祥物深受全国人民喜爱．某商店分别用600元购进A款吉祥物，用720元购进B款吉祥物，且两款吉祥物购进的数量相同．B款吉祥物购进单价比A款吉祥物购进单价高6元． （1）求该商店A款吉祥物的购进单价； （2）A款吉祥物销售不错，售完后，该商店准备再购进一批A款吉祥物（购进单价不变），为回馈顾客，决定降价销售，当A款吉祥物售价为40元时，平均每天销售量为20件，经市场调查发现，销售价每降低1元，平均每天就能多售出2件，商店要使A款吉祥物的销售利润平均每天达192元，每件A款吉祥物应降价多少元？ 【答案】（1）A款吉祥物的购进单价为30元     （2）每件A款吉祥物降价2元时，每天可获利192元      【分析】 本题考查一元二次方程的应用和分式方程的应用，找出等量关系并列出方程是解题的关键． （1）设A款吉祥物的购进单价为元，则B款吉祥物的购进单价为元，根据购进数量的关系建立分式方程，求解即可； （2）设A款吉祥物降价元时，根据每天利润为192元，建立一元二次方程，求解即可． (1) 小问详解： 解：设A款吉祥物的购进单价为元，则B款吉祥物的购进单价为元，根据题意得： 解方程，得：． 经检验，是原分式方程的解． 答：A款吉祥物的购进单价为30元． (2) 小问详解： 解：设A款吉祥物降价元时． 根据题意得： 解这个方程，得：（不合题意，舍去）． 答：每件A款吉祥物降价2元时，每天可获利192元． 47．（2026·贵州六盘水·一模）某经销商销售某种农产品，每盒进价为30元．调查发现：当售价为每盒40元时，平均每天可售出100盒，如果该农产品的售价每降价1元，那么平均每天可多售出20盒． （1）若设该农产品每盒降价x元，则每盒农产品的售价可表示为______元，每天的销量可表示为_______盒； （2）该经销商每天销售利润要达到1120元，若要尽可能让利于顾客，该农产品每盒需降价多少元？ 【答案】（1）；     （2）该农产品每盒需降价3元      【分析】 本题考查了列代数式，营销问题(一元二次方程的应用)，解题关键是找准等量关系，正确列出一元二次方程． （1）根据该农产品每盒降价x元可表示出降价后的售价，根据售价每降价1元，平均每天可多售出20盒可表示出降价后的销量； （2）利用总利润=每盒商品的利润日销售量，可列出关于x的一元二次方程，解之可得出x的值，再结合为了让利于顾客，即可确定结论． (1) 小问详解： 解：∵该农产品每盒降价x元， ∴降价后的售价为元； ∵售价每降价1元，那么平均每天可多售出20盒 ∴降价后的销量为盒． 故答案为：；； (2) 小问详解： 解：每盒利润为元，即元；由题意得， ， 整理得， 解得，． ∵为了让利于顾客， ∴ 答：该农产品每盒需降价3元． 48．（25-26学年九上·贵州三联教育集·期末）某水果商场经销一种高档水果，原价每千克50元，连续两次降价后每千克32元，若每次下降的百分率相同． （1）求每次下降的百分率； （2）若每千克盈利10元，每天可售出500千克．经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，但商场规定每千克涨价不能超过8元，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克．现该商场要保证每天盈利6000元，且要尽快减少库存，那么每千克应涨价多少元？ 【答案】（1）每次下降的百分率为     （2）每千克应涨价5元      【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意，根据等量关系列出一元二次方程，并正确计算． （1）设每次下降的百分率为x，根据题意列出一元二次方程求解即可； （2）设每千克应涨价m元，根据题意列出一元二次方程求解即可． (1) 小问详解： 解：设每次下降的百分率为x， 由题意得， 解得，，（不合题意，舍去） 答：每次下降的百分率为； (2) 小问详解： 解：设每千克应涨价m元， 由题意得， 解得，， ∵每千克涨价不能超过8元， ∴。 ∴不合题意，舍去。 又∵要尽快减少库存，即销售量要尽可能大， 当时，销售量为千克，符合题意。 ∴。 即该商场要保证水果每天盈利6000元，且要尽快减少库存，那么每千克应涨价5元． 49．（25-26学年九上·贵州贵阳部分区·期末）体育是学生综合素质发展的重要组成部分，跳绳和排球也成为学生必备的中考体育用品，某体育用品商店为满足学生需求，销售一种跳绳和排球套装，每套进货价为100元，经统计，4月份的销售量为250套，6月份的销售量为360套． （1）求这种跳绳和排球套装4月份到6月份销售量的月平均增长率； （2）经市场预测，若售价为129元，则7月份的销售量将与6月份持平，经调查发现，该套装的月销量y（套）与每套的售价x（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示，为减少库存，商店决定采取降价促销，该商店要想使月销售利润达到10800元，而且尽可能让学生得到实惠，这种跳绳和排球套装每套应降价多少元？ 【答案】（1）；     （2）这种跳绳和排球套装每套应降价9元      【分析】 本题考查了一元二次方程的应用、一次函数的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设这种跳绳和排球套装月份到月份销售量的月平均增长率为，根据月份的销售量为套，月份的销售量为套，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （2）由待定系数法求出该套装的月销量(套)与每套的售价(元)之间的一次函数关系式为，再根据该商店要想使月销售利润达到元，列出列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． (1) 小问详解： 解：设这种跳绳和排球套装月份到月份销售量的月平均增长率为， 由题意得：， 解得：(不符合题意， 舍去)， 答：这种跳绳和排球套装月份到月份销售量的月平均增长率为； (2) 小问详解： 解：设该套装的月销量(套)与每套的售价(元)之间的一次函数关系式为， 由题意得： ，解得： ， 由题意得：， 整理得：， 解得： ∵要尽可能让学生得到实惠， ∴， (元)， 答：这种跳绳和排球套装每套应降价元． 50．（25-26学年九上·贵州贵阳修文县·期中）项目式学习： 主题：将一张长为，宽为的长方形硬纸板（如图1）制作成一个有盖长方体收纳盒． 方案设计：如图2，把硬纸板的四角剪去四个相同的小长方形，折成一个如图3所示的有盖长方体收纳盒，和两边恰好重合且无重叠部分． 任务一：若收纳盒的高为，则收纳盒的底面的边的长为（_____________）的长为（_____________）；（均用含的代数式表示） 任务二：若收纳盒的底面积为，求该收纳盒的高． 【答案】任务一：，；任务二：该收纳盒的高为 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）根据各边之间的关系，表示出，的长；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程． 任务一：根据图① 分别列出代数式即可； 任务二：设该收纳盒的高为 ，则，，根据收纳盒的底面积为，列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】 解：任务一：长方形硬纸板的长为，宽为，收纳盒的高为， ，， 故答案为：，； 任务二：设该收纳盒的高为，则，， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：该收纳盒的高为． 51．（25-26学年九上·贵州贵阳修文县·期中）某电商在网上对一款汉服进行直播带货，这款汉服每件进价为80元．经过市场调研发现：当这款汉服的售价为每件120元时，每天可售出20件；售价每降低2元，日销售量增加4件．为尽快减少库存，商家决定降价销售，设每件汉服降价元． （1）每件汉服降价多少元时，该商家平均每天可盈利1200元？ （2）该商家希望平均每天能盈利2000元，这个愿望能实现吗？请说明理由． 【答案】（1）20元     （2） 不能．理由如下： ， 整理得：， ， 原方程无实数根． 不能平均每天盈利2000元．      【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，正确列出方程是解题关键． （1）根据“单件的销售利润×日销售量=每天销售的总利润”即可列出方程式，求解，结合题意，取符合题意的值即可； （2）根据“单件的销售利润×日销售量=每天销售的总利润”即可列出方程式，根据根的判别式求出方程根的情况，即可判断得出答案． (1) 小问详解： 解：根据题意得：， 解得． ∵为尽快减少库存， ． 答：每件汉服降价20元时，该商家平均每天可盈利1200元． (2) 小问详解： 略 52．（25-26学年九上·贵州六盘水钟山区·期中）《义务教育课程方案和课程标准（年版）》优化了课程内容结构，设立跨学科主题学习活动，以强化实践性要求．在一堂数学、美术的融合课中，每个同学桌上都有一段长的铁丝，需要将铁丝剪成两段，并把每一段铁丝做成一个配件． （1）小杰想做两个正方形配件，若设其中一个正方形配件的周长为，则另一个正方形配件的周长为       （请用含的代数式表示）； （2）在（1）的基础上，若小杰想让做成的两个正方形配件满足面积之和等于，请问小杰的想法能否实现？为什么？ 【答案】（1）     （2） 小杰的想法不能实现， 理由：两个正方形配件面积之和等于， 可得：， 整理得： ， ∵ ∴方程无实数解， 两个正方形配件面积之和不能等于， 小杰的想法不能实现．      【分析】 本题考查了一元二次方程的应用、列代数式以及根的判别式． 用铁丝的总长度减去即可得到另一个正方形配件的周长； 根据两个正方形配件面积之和等于，可列方程，一元二次方程的解不符合实际情况，所以小杰的想法不能实现． (1) 小问详解： 解：铁丝的总长度为，正方形配件的周长为， 另一个正方形配件的周长为； 故答案为：； (2) 小问详解： 略 53．（25-26学年九上·贵州遵义汇川区·期中）为了应对气候变化，某科技公司研发了一种人工装置“碳捕集树”，该装置能像超级树木一样高效吸收大气中的二氧化碳．2022年投入使用，单台设备年均捕集量为吨二氧化碳，该设备经过技术升级后，到年单台设备年均捕集量达到吨，且从年到年，该设备年均捕集量的平均增长率都相同． （1）求该设备每年年均捕集量的平均增长率； （2）该科技公司在年初引入人工智能算法实时优化捕集过程，使得单台设备年均捕集量的平均增长率提高到原来的倍，按照这个平均增长率，预计年该设备单台年均捕集量将达到多少吨？ 【答案】（1）     （2）吨      【分析】 本题考查了一元二次方程的实际应用，找准等量关系，正确的列出方程，是解题的关键． （1）设该设备每年年均捕集量的平均增长率为，根据题意列出一元二次方程，解方程并检验即可求解． （2）根据题意列出算式即可求解． (1) 小问详解： 解：设该设备每年年均捕集量的平均增长率为，根据题意得 解得：（舍去） 答：该设备每年年均捕集量的平均增长率． (2) 小问详解： 解： 答：预计年该设备单台年均捕集量将达到吨． 54．（25-26学年九上·贵州遵义汇川区·期中）为增强学生的劳动意识，养成劳动的习惯和品质，某校计划用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜地，墙长为，为了种植不同种类的蔬菜，菜地中间用篱笆隔断． （1）若围成的矩形菜地的面积为，求矩形的长和宽分别是多少米？ （2）围成的矩形菜地的面积能否为？请说明理由． 【答案】（1）矩形的长为12米，宽为米；     （2） 围成的矩形菜地的面积不能为，理由如下， 假设面积可以为， 则， 整理得即， ， 方程无实数解， 故面积不能为．      【分析】 此题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意列出方程求解． （1）设垂直于墙的一边长为x米，则矩形的另一边长为米，根据面积为列出方程，求解即可； （2）根据题意列出方程，用根的判别式判断方程根的情况即可． (1) 小问详解： 解：设垂直于墙的一边长为x米，则矩形的另一边长为米 则， 解方程得：，． 当时，长，故舍去， ∴． ∴矩形的长 答：矩形的长为12米，宽为米； (2) 小问详解： 略 55．（25-26学年九上·贵州铜仁松桃苗族自治县·期中）今年超市以每件25元的进价购进一批商品，当商品售价为40元时，三月份销售256件，四、五月该商品十分畅销，销售量持续上涨，在售价不变的基础上，五月份的销售量达到400件． （1）求四、五这两个月销售量的月平均增长百分率． （2）经市场预测，六月份的销售量将与五月份持平，现商场为了减少库存，采用降价促销方式，经调查发现，该商品每降价1元，月销量增加5件，当商品降价多少元时，商场六月份可获利4250元？ 【答案】（1）     （2）降价5元      【分析】 本题考查了一元二次方程的应用； （1）设平均增长率为x，根据题意列出一元二次方程，解方程并取符合题意的解，即可求解． （2）设降价y元，根据商场六月份可获利4250元，列出一元二次方程，解方程并取符合题意的解，即可求解． (1) 小问详解： 解：设平均增长率为x，由题意得：， 解得：或舍； 四、五这两个月的月平均增长百分率为； (2) 小问详解： 设降价y元，由题意得：， 整理得：， 解得：或舍； 当商品降价5元时，商场六月份可获利4250元． 56．（25-26学年九上·贵州铜仁松桃苗族自治县·期中）在长方形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒． （1）填空：__________，__________用t的代数式表示）； （2）当t为何值时，的长度等于？ （3）是否存在t的值，使得五边形的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）2t，     （2）     （3）存在，      【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，以及勾股定理的应用，正确表示出、的长度是解题关键． （1）根据距离=速度×时间解答即可； （2）根据的长度等于，利用勾股定理列方程求出值即可得答案； （3）根据五边形的面积加上的面积等于长方形面积列方程求解即可得答案． (1) 小问详解： 解：∵在长方形中，，， 而，， ∴． (2) 小问详解： 解：在中，， ∴， 整理，得：， 解得或2． 把舍去， 所以，当时，的长度等于． (3) 小问详解： 解：∵， ∴， 即， 整理，得：， 解得：或4． 依题意，， ∴， ∴，故取． 因此，当时，五边形的面积等于． 57．（25-26学年九上·贵州毕节金沙县·期中）2025年11月1日起，新修订的《福建省非机动车管理办法》（以下简称《办法》）将正式施行．《办法》指出驾乘电动自行车必须全程佩戴安全头盔，未佩戴者将面临警告或者20元罚款．某经销商销售某品牌头盔，进价为每个50元，经统计该品牌头盔8月份销售192个，10月份销售300个，且从8月份到10月份销售量的月平均增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月平均增长率； （2）经测算在市场中，当售价为每个90元时，月销售量为200个，若在此基础上每个头盔的售价降低1元，则月销售量将增加10个．为使月销售利润达到8750元，而且需要尽快减少库存，则该品牌头盔的实际售价每个应定为多少元？ 【答案】（1）     （2）75元      【分析】 本题考查一元二次方程的应用，根据已知条件列出方程是解题的关键． （1）设该品牌头盔销售量的月平均增长率为x，根据题意列出方程，解方程即可； （2）设该品牌头盔的实际售价每个应增长a元，则此时售价为元，根据题意列出方程，解出的值，由于需要尽快减少库存，所以选择降价更多的价格，进行定价即可． (1) 小问详解： 解：设该品牌头盔销售量的月平均增长率为x， 由题意得：， 解得：，（舍去） 答：该品牌头盔销售量的月平均增长率为； (2) 小问详解： 解：设该品牌头盔的实际售价每个应降低a元，则此时售价为元， 由题意得：， 解得：，， 因为需要尽快减少库存，所以选择降价更多的价格，即不合题意，舍去，符合题意 则， 答：该品牌头盔的实际售价每个应定为75元． 58．（25-26学年九上·贵州毕节织金县思源实验学校·期中）对于任意一个三位数k，如果k满足各个数位上的数字都不为零，且十位上的数字的平方等于百位上的数字与个位上的数字之积的4倍，那么称这个数为“喜鹊数”，例如：，因为，所以169是“喜鹊数”． （1）已知一个“喜鹊数”（、b、，其中a，b，c为正整数）请直接写出a，b，c所满足的关系式______；判断241______“喜鹊数”（填“是”或“不是”），并写出最小的“喜鹊数”                 ； （2）利用（1）中“喜鹊数”k中的a，b，c构造两个一元二次方程①与．②若是方程①的一个根，是方程②的一个根，求m与n满足的关系式； （3）在（2）中条件下，且，请直接写出满足条件的所有k的值． 【答案】（1），不是，121     （2）     （3）121，242，363，484      【分析】 本题考查了新定义问题，一元二次方程的应用，解题的关键是弄清喜鹊数的定义． （1）根据喜鹊数的定义解答即可； （2）根据一元二次方程的定义和根的判别式解答即可； （3）求出m、n互为倒数，又得出，，求出，，结合喜鹊数的定义即可得出答案． (1) 小问详解： 解：∵是喜鹊数， ∴，即； ∵，，， ∴241不是喜鹊数； ∵各个数位上的数字都不为零，且十位上的数字的平方等于百位上的数字与个位上的数字之积的4倍， ∴十位上的数字的平方最小为4， ∵，， ∴最小的“喜鹊数”是121， 故答案为：，不是，121； (2) 小问详解： 解：∵是方程①的一个根，是方程②的一个根， ∴，， 将，两边同除以得：， 将m，看成是方程的两个根， ∵， ∴方程有两个相等的实数根， ∴， ∴； (3) 小问详解： 解：∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴满足条件的所有k的值为121，242，363，484． 59．（25-26学年九上·贵州毕节织金县思源实验学校·期中）威宁火腿是贵州的传统特产，距今已有600多年的历史，早就闻名海内外．某火腿经销商统计了某款威宁火腿4月份到6月份的销售量，该款火腿4月份销售量为150kg，6月份销售量为216kg，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． （1）求该款火腿销售量的月增长率； （2）若该款火腿的进价为120元/kg，经在市场中测算，当售价为160元/kg时，月销售量为200kg，若在此基础上售价每上涨1元/kg，则月销售量将减少2kg，为使月销售利润达到9800元，则该款火腿的实际售价应定为多少？（利润＝售价－进价） 【答案】（1）该款火销售量的长率为     （2）该款火的实际价应定为每千克190元      【分析】 （1）设该款火腿销售量的月增长率为x，根据题意，列方程求解即可； （2）设该款火腿的实际售价应定为y元，根据题意，列方程求解即可． (1) 小问详解： 解：设该款火腿销售量的月增长率为x， 依题意，得， 解得，（不合题意，舍去） 答该款火销售量的长率为． (2) 小问详解： 解：设该款火腿的实际售价应定为y元， 依题意，得， 整理，得， 解得． 答：该款火的实际价应定为190元． 【点睛】 此题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意，正确列出一元二次方程． 60．（25-26学年九上·贵州毕节织金县思源实验学校·期中）如图是一张长，宽的矩形铁皮，将其剪去两个全等的正方形和两个全等的矩形，剩余部分（阴影部分）可制成底面积是的有盖的长方体铁盒．则剪去的正方形的边长为　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据题意设出未知数,列出三组等式解出即可． 【详解】 设底面长为a,宽为b,正方形边长为x, 由题意得: , 解得a=10－2x,b=6－x,代入ab=24中得: (10－2x)(6－x)=24, 整理得:2x2－11x+18=0． 解得x=2或x=9(舍去)． 故答案为2． 【点睛】 本题考查一元二次方程的应用,关键在于不怕设多个未知数,利用代数表示列出方程． 61．（25-26学年九上·贵州毕节纳雍县·期中）某著名旅游景区在2023年国庆长假期间，共接待游客达20万人次，在2025年国庆长假期间，共接待游客达万人次． （1）求该景区2023至2025年国庆长假期间接待游客人次的年平均增长率． （2）该景区某商店销售一款旅游纪念品，每件纪念品成本价为10元，根据销售经验，在旅游旺季，若每件纪念品定价25元，则平均每天可销售300件；若每件纪念品的价格每降低1元，则平均每天可多销售30件．2025年国庆期间，店家决定进行降价促销活动，则当每件纪念品售价定为多少元时，既能让顾客获得最大优惠，又能让店家销售此款纪念品平均每天获利4680元? 【答案】（1）该景区2023至2025年国庆长假期间接待游客人次的年平均增长率为     （2）当每件纪念品售价定为22元时，既能让顾客获得最大优惠，又能让店家销售此款纪念品平均每天获利4680元      【分析】 本题考查了一元二次方程的应用之增长率问题和利润问题，解题关键是理解题意，正确列出方程． （1）根据题意，列出方程即可求解； （2）根据题意，设当每件纪念品售价定为元时，店家销售此款纪念品平均每天获利4680元，列出方程后解方程，根据实际意义即可求解． (1) 小问详解： 解：设该景区2023至2025年国庆长假期间接待游客人次的年平均增长率为． 根据题意，得， 解得（舍去）． 答：该景区2023至2025年国庆长假期间接待游客人次的年平均增长率为． (2) 小问详解： 设当每件纪念品售价定为元时，店家销售此款纪念品平均每天可获利4680元． 根据题意，得， 整理，得，解得． 要让顾客获得最大优惠， ． 答：当每件纪念品售价定为22元时，既能让顾客获得最大优惠，又能让店家销售此款纪念品平均每天获利4680元． 62．（25-26学年九上·贵州六盘水·期中）喜迎国庆，河南省实验中学开展“摊”玩计划，万市大“集”校园创意市集活动，小华负责的摊位主题是：“探趣科学·科技改变未来”．活动开展前，小华到科技园区了解到一款独特的AI交互功能智能摆件．根据以下素材，探索完成任务． 背景素材 素材1 每个智能摆件的成本价为60元，当售价为100元时，平均每天可以售出20件． 素材2 当售价每降低1元时，平均每天就能多售出2件． 问题解决 任务1 当降价8元时，求平均每天销售智能摆件的利润； 任务2 当每天获得的利润达到1050元并且优惠力度最大时，求智能摆件的销售价； 任务3 判断每件智能摆件的利润率不低于55%，且企业每天获得1200元的利润能否实现？若能，求出销售价；若不能，请说明理由．（利润率＝） 【答案】（1）降价8元，则每天销售智能摆件的利润为1152元； （2）希望每天获得的利润达到1050元并且优惠力度最大，则每件智能摆件的销售价应该定为75元； （3）不能，理由如下： 设每件智能摆件降价元， ∵为了保证每件智能摆件的利润率不低于， ∴， 解得：， 由题意得：， 解得：或， ∵， ∴或都不符合题意，舍去， ∴为了保证每件智能摆件的利润率不低于，小华每天不能获得1200元的利润． 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用、一元一次不等式的应用、有理数的混合运算的应用，理解题意，正确列出方程和不等式是解此题的关键． （1）根据题意列出式子计算即可得出答案； （2）设每件智能摆件降价元，则每天的销售量为件，根据“每天获得的利润达到1050元”列出一元二次方程，解方程即可得出答案； （3）设每件智能摆件降价元，根据“为了保证每件智能摆件的利润率不低于”列出一元一次不等式，解不等式即可得出的取值范围，再根据“获得1200元的利润”列出一元二次方程，解方程即可得出答案． 【详解】 解：（1）由题意得：（元）， ∴若降价8元，则每天销售智能摆件的利润为元； （2）设每件智能摆件降价元，则每天的销售量为件， 由题意得：， 解得：或， 当时，售价为（元）， 当时，售价为（元）， ∵优惠力度最大， ∴， ∴每件智能摆件的销售价应该定为元； （3）略 63．（25-26学年九上·贵州贵阳第十七中学·期中）为改善生态环境，建设美丽乡村，某村规划将一块长18米，宽10米的矩形场地建设成绿化广场，如图，内部修建三条宽相等的小路，其中一条路与广场的长平行，另两条路与广场的宽平行，其余区域种植绿化，使绿化区域的面积为广场总面积的80%． （1）求该广场绿化区域的面积； （2）求广场中间小路的宽． 【答案】（1）该广场绿化区域的面积为144平方米；（2）广场中间小路的宽为1米． 【分析】（1）根据该广场绿化区域的面积＝广场的长×广场的宽×80%，即可求出结论； （2）设广场中间小路的宽为x米，根据矩形的面积公式（将绿化区域合成矩形），即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论． 【详解】解：（1）18×10×80%＝144（平方米）． 答：该广场绿化区域的面积为144平方米． （2）设广场中间小路的宽为x米， 依题意，得：（18﹣2x）（10﹣x）＝144， 整理，得：x2﹣19x+18＝0， 解得：x1＝1，x2＝18（不合题意，舍去）． 答：广场中间小路的宽为1米． 【点睛】本题考查的知识点是一元二次方程的应用，找准题目中的等量关系式是解此题的关键． 64．（25-26学年九上·贵州贵阳第十七中学·期中）某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为元，销售价为元时，每天可售出件，为了迎接“五一”国际劳动节，商店决定采取适当的降价措施．经市场调查发现，如果每件童装降价元，那么平均可多售出件，设每件童装降价元． （1）每天可销售______件，每件盈利_______元；（用含的代数式表示） （2）每件童装降价多少元时，平均每天盈利元． 【答案】（1），     （2）元或元      【分析】 本题主要考查了一元二次方程的应用（营销问题），列代数式，因式分解法解一元二次方程等知识点，理解题意找到题目中蕴含的等量关系并列方程求解是解题的关键． （1）根据“销售量原销售量因价格下降而增加的数量”、“每件利润实际售价进价”列式即可； （2）根据“总利润每件利润销售数量”，列方程求解即可． (1) 小问详解： 解：当每件童装降价元时，每天可销售件，每件盈利元， 故答案为：，； (2) 小问详解： 解：根据题意可得： ， 解得：，， 答：每件童装降价元或元时，平均每天盈利元． 65．（25-26学年九上·贵州铜仁沿河土家族自治县·期中）天佑城服装柜在销售中发现：“宝乐”牌童装平均每天可售出件，每件盈利元．为了迎接“十•一”国庆节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存．经市场调查发现：如果每件童装降价元，那么平均每天就可多售出件．设每件童装应降价元．据此规律，请回答：    （1）商场日销量增加几件，每件商品盈利几元（用含的代数式表示）； （2）在上述条件不变、销售正常情况下，要想平均每天在销售这种童装上盈利元，那么每件童装应降价多少？ 【答案】（1）2x元，元；（2）应降价元 【分析】 （1）根据如果每件童装降价元，那么平均每天就可多售出件，可得出日销量增加的件数，结合未降价前每件盈利元，可得出降价后的盈利； （2）先得出降价后的销量及每件的盈利，然后可列出方程，解出即可． 【详解】 解：（1）因为每件童装应降价元，且每件童装降价元，那么平均每天就可多售出件， 故商场若降价元，日销量增加：件；每件商品盈利元； （2）由（1）可得日销量为，每件盈利元； 由题意得：， 解得：，， 所以为了减少库存，应该降价元． 答：要想平均每天在销售这种童装上盈利元，那么每件童装应降价元． 【点睛】 本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找出等量关系列方程． 66．（25-26学年九上·贵州黔东南州·期中）如图是一张长，宽的长方形纸板，将纸板四个角各剪去一个同样的边长为的正方形，然后将四周突出部分折起，可制成一个无盖的长方体纸盒． （1）无盖方盒盒底的长为             ，宽为             （用含x的式子表示）． （2）若要制作一个底面积是的无盖的长方体纸盒，求剪去的正方形边长． 【答案】（1），     （2）      【分析】 本题考查了一元二次方程的实际应用，正确理解题意是解题关键． （1）根据图形即可求解； （2）求解方程即可． (1) 小问详解： 由图示可知：无盖方盒盒底的长为，宽为 故答案为：， (2) 小问详解： 由题意得：， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去） ∴剪去的正方形边长为 67．（25-26学年九上·贵州贵阳中天中学·期中）国庆节期间，某文具店开展促销活动，小红、小星去买文具后对话如下： 小红：某种钢笔的进价是每支22元； 小星：当这种钢笔的销售价为每支28元时，每天可售出160支；若每支降价1元，每天的销售量将增加40支． 根据他们的对话，解决下面问题： （1）若该种钢笔每支降价3元，文具店每天可以获得销售利润　　　元；． （2）若文具店想要每天销售该种钢笔利润为360元，又要尽可能让顾客得到实惠，求这种钢笔的销售价应定为每支多少元？ 【答案】（1）840     （2）这种钢笔的销售价应定为每支23元      【分析】 （1）由销售利润=（实际销售价进价）销售量，即可得出结果； （2）设这种钢笔的销售价应定为每支元，由题意得：文具店想要每天销售该种钢笔利润为360元，列出一元二次方程，解方程即可． 【详解】 解：（1）文具店每天可以获得销售利润为：（元）， 故答案为：840； （2）设这种钢笔的销售价应定为每支元， 由题意得：， 整理得：， 解得：，， ∵要尽可能让顾客得到实惠， ∴， 答：这种钢笔的销售价应定为每支23元． 【点睛】 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 68．（25-26学年九上·贵州贵阳中天中学·期中）已知：如图，在中，，，．点P从点A开始沿边向点以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点以的速度移动．设运动时间为． （1）填空：______，______．（用含t的代数式表示） （2）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，的面积等于？ （3）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，的长度等于？ 【答案】（1），     （2）点，分别从点A，同时出发，2秒或3秒后，的面积等于     （3）点，分别从点A，同时出发，5秒后，的长度等于      【分析】 本题主要考查一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解决本题的关键． （1）根据运动路程等于速度乘以时间即可求出，再根据即可解答； （2）根据的面积等于，列出方程进行求解即可； （3）根据的长度等于，利用勾股定理，列出方程进行求解即可． (1) 小问详解： 解：根据题意得，， ∵， ∴， 故答案为：，； (2) 小问详解： 解：∵，， ∴， ， ， 解得或， 答：点，分别从点A，同时出发，2秒或3秒后，的面积等于； (3) 小问详解： 解：∵，， ∴， ∴， ， ，即， ， 解得（此时，两点重合）或（舍去）， 答：点，分别从点A，同时出发，5秒后，的长度等于． 69．（25-26学年九上·贵州铜仁碧江区·期中）铜仁市某中学九年级开展社会实践活动，如下表是“与数同行”小组的记录表，请根据相关信息解决表中的两个问题． 铜仁市某中学社会实践记录表 团队名称 与数同行 活动时间 2025年9月20日 班级人员 王某、马某、张某 地点 蔬菜超市 实践内容 调查菠菜行情，帮助超市解决销售问题的同时，也为顾客谋实惠． 调研信息 菠菜的进价为4元/千克． 菠菜售价为元/千克时，每天可销售125千克． 每千克每涨价0.1元，每天少销售5千克． 解决问题 问题1 某天超市正好销售90千克的菠菜，则获利多少元？ 问题2 若超市想一天销售菠菜获利300元，则菠菜的售价为多少元/千克？ 【答案】某天超市正好销售90千克的菠菜，则获利288元；超市想一天销售菠菜获利300元，则菠菜的售价为6元/千克或7元/千克 【分析】 本题考查了一元一次方程和一元二次方程的应用，问题1：设菠菜的售价为元/千克，依题意得，求解即可得出答案；问题2：设菠菜的售价为元/千克，依题意得，求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】 解：问题1：设菠菜的售价为元/千克，依题意得： ， 解得：， ∴（元）， ∴销售90千克的菠菜，获利元； 问题2：设菠菜的售价为元/千克，依题意得： ， 解得：或， ∴超市想一天销售菠菜获利300元，则菠菜的售价为6元/千克或7元/千克． 70．（25-26学年九上·贵州铜仁万山区·期中）如图所示，中，，．    （1）点P从点A开始沿边向B以的速度移动，点Q从B点开始沿边向点C以的速度移动，如果P，Q分别从A，B同时出发，经过几秒，点P，Q之间的距离为? （2）点P从点A开始沿边向B以的速度移动，点Q从B点开始沿边向点C以的速度移动，如果P，Q分别从A，B同时出发，经过几秒，使的面积等于? （3）若P点沿射线方向从A点出发以的速度移动，点Q沿射线方向从C点出发以的速度移动，P，Q同时出发，几秒后，的面积为? 【答案】（1）点之间的距离不可能为     （2）秒或秒     （3）秒或秒或秒      【分析】 本题主要考查了一元二次方程的应用，数形结合，分类讨论以及找准等量关系是解题的关键． （1）设经过秒，点之间的距离为，根据勾股定理列式求解即可； （2）设经过秒，使的面积等于，根据三角形面积公式列式求解即可； （3）分三种情况根据三角形面积公式列出方程：① 点在线段上，点在线段上；② 点在线段上，点在射线上；③ 点在射线上，点在射线上． (1) 小问详解： 解：设经过秒，点之间的距离为， 则， ， ， 在中，， 故， 化简得：， ， 故方程无解， 故点之间的距离不可能为； (2) 小问详解： 解：设经过秒，使的面积等于， 则， ， ， 由题意得：， 解得， 故经过秒或秒，的面积等于； (3) 小问详解： 解：① 点在线段上，点在线段中， 设经过秒，，依题意得： ， ， ， 由题意得：， 解得（舍去），， 故符合题意； ② 点在线段上，点在射线中， 设经过秒，，依题意得： ， ， ， 由题意得：， ， 解得符合题意； ③ 点在射线上，点在射线中， 设经过秒，，依题意得： ， ， ， 由题意得：， 解得，（舍去）， 故符合题意； 综上所述，经过秒，秒，秒后的面积为． 71．（25-26学年九上·贵州黔东南苗族·期中）为落实国务院房地产调控政策，使“居者有其屋”．某市加快了廉租房的建设力度，2013年市政府共投资3亿元人民币建设了廉租房12万平方米，2015年投资6.75亿元人民币建设廉租房，若在这两年内每年投资的增长率相同． （1）求每年市政府投资的增长率； （2）若这两年内的建设成本不变，问2015年建设了多少万平方米廉租房？ 【答案】（1）50%；（2）27． 【分析】 （1）设每年市政府投资的增长率为x．根据2015年投资6.75亿元人民币建设廉租房，列方程求解； （2）先求出单位面积所需钱数，再用累计投资÷单位面积所需钱数可得结果． 【详解】 解：（1）设投资平均增长率为x，根据题意得：， 解得，(不符合题意舍去) 答：政府投资平均增长率为50%； （2）由题意得(万平方米)    答：2015年建设了27万平方米廉租房． 72．（25-26学年九上·贵州贵阳清镇·期中）新华商场销售某种服装，将每件进价为130元的服装以174元售出，平均每天能售出20件．调查发现，在每件降价幅度不超过10元的情况下，这种服装的售价每降价1元，其销售量就将增加5件．根据题意，解答下列问题： （1）若这种服装的售价每件降价1元，则每件服装的利润是__________； （2）设这种服装每件降价元，则降价后平均每天可以销售这种服装__________件；（用含的代数式表示） （3）商场要想使这种服装的销售利润平均每天达到1600元，每件服装应降价多少元？ 【答案】（1）43元     （2）     （3）4      【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解答本题的关键． （1）通过计算降价后的售价与进价的差得到利润； （2）根据降价与销售量增加的关系列出代数式； （3）通过建立一元二次方程求解，并结合降价幅度限制确定解． (1) 小问详解： ∵原售价174元， ∴降价1元后，售价为173元， ∴利润为元．  故答案为：43元； (2) 小问详解： 原销售量20件，每降价1元销售量增加5件，故降价x元后销售量为件． 故答案为：； (3) 小问详解： 设每件降价x元，则每件利润为元，销售量为件， 由题意得，， 整理得， 解得， ∵降价幅度不超过10元， ∴． 答：每件服装应降价4元． 73．（25-26学年九上·贵州铜仁碧江区·期中）已知的两边，的长是关于的方程的两个实数根． （1）当为何值时，是菱形？求出菱形的边长． （2）若的长为2，则的周长是多少? 【答案】（1）当时，是菱形；边长是     （2）5      【分析】 （1）根据菱形的性质可得，则有关于的方程有两个相等的实数根，然后根据一元二次方程根的判别式可进行求解； （2）把代入方程求解，然后再求解方程的解，进而问题可求解． (1) 小问详解： 解：当是菱形时，． ，的长是关于的方程的两个实数根， ， 解得， 当时，是菱形． 当时，原方程为，即，解得， 菱形的边长是． (2) 小问详解： 解：把代入原方程， 得，解得． 将代入原方程，得，解得，， ， 的周长是． 74．（2026·贵州六盘水·一模）阅读下列材料，并完成相应的学习任务： 数学兴趣小组在进行方程专题研究的时候发现：求解一元一次方程，是根据等式的基本性质，把方程转化为的形式；求解二元一次方程组，可以把它转化为一元一次方程来解；求解三元一次方程组，可以把它转化为二元一次方程组来解；求解一元二次方程，可以把它转化为一元一次方程来解；求解分式方程，可以把它转化为整式方程来解．但由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程时必须检验．各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想——转化，把未知转化为已知． 用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如：解一元三次方程时，可以通过因式分解把它转化为，解方程和，可得方程的根． 学习任务： （1）方程的根是：，_____，_____； （2）求方程的根； （3）如图是一个篮球场的平面示意图，已知长，宽，小明在篮球场进行体育实践课时，他把一根长为的绳子两端固定在B，C两点，小明（抽象成点P）在篮球场上将绳子拉直，当点P恰好落在边上时，求的长． 【答案】（1），     （2），；     （3）的长为．      【分析】 本题考查了转化的思想方法，一元二次方程的解法，解无理方程时注意到验根． （1）首先提出，然后因式分解多项式，然后得结论； （2）两边平方，把无理方程转化为整式方程，求解，注意验根； （3）设的长为，根据勾股定理和，可列出方程，由于方程含有根号，两边平方，把无理方程转化为整式方程，求解即可． (1) 小问详解： 解：提公因式得， 继续分解得， ∴或或， ∴，，， 故答案为：，； (2) 小问详解： 解：， 方程的两边平方，得，即， 因式分解得， ∴或， ∴，， 经检验，，都是原方程的解． 所以方程的解是，； (3) 小问详解： 解：因为四边形是矩形， 所以，， 设，则， 因为，，， ， 两边平方并整理，得， 解得或8（不合题意，舍去）， 经检验，是方程的解． 答：的长为． 75．（25-26学年九上·贵州贵阳清镇·期中）如图，一次函数的图象交轴于点，交轴于点，点在线段上（不与点A，B重合），过点分别作和的垂线，垂足为C，D． （1）的值为__________； （2）当点在线段上移动时，若矩形的面积为1，求点的坐标； （3）当点在线段上移动时，连接，求线段的最小值． 【答案】（1）3     （2）点P的坐标为或．     （3）      【分析】 本题考查一次函数的解析式与性质，矩形的性质，勾股定理，一元二次方程的应用，掌握知识点是解题的关键． （1）解：将代入，求出即可． （2）先求出一次函数的解析式为，设点P的坐标为，其中，得到，再由矩形的面积公式得到，求出或，即可求出点P的坐标为或． （3）连接，，直接利用矩形的性质可知，然后再利用勾股定理以及等面积法求的最小值即可． (1) 小问详解： 解：将代入，得 ， 解得． 故答案为：3 (2) 小问详解： 将代入一次函数，得 一次函数的解析式为， ∵点在线段上移动时， ∴设点P的坐标为，其中， ∴， ∵， ∴， 即， 解得或， 当时，， 当时，， ∴点P的坐标为或． (3) 小问详解： 连接，如图 ∵过点分别作和的垂线，垂足为C，D， ∴， 又∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∴当时，取到最小值，即取到最小值， 当时，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 一元二次方程 6大高频考点概览 考点01 一元二次方程的概念 考点02 配方法 考点03 公式法 考点04 因式分解法 考点05 一元二次方程的根与系数的关系 考点06 实际问题与一元二次方程 考点01 一元二次方程的概念 1．（25-26学年九·贵州毕节赫章县·期末）已知是关于的方程的解，则的值是（     ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 7 2．（25-26学年九上·贵州贵阳乌当区·期中）若是一元二次方程的一个根，则的值为（     ） A. 3 B.  C.  D. 2 3．（25-26学年九上·贵州遵义湄潭县·期末）如果是方程的一个根，那么常数的值为（     ） A. 2 B.  C. 4 D.  4．（2026·贵州遵义·学业水平监测）关于的一元二次方程的一个解为，则实数的值是（       ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 5．（25-26学年九上·贵州黔东南州·期末）关于的方程的一根为1，则的值为（     ） A. 6 B. 4 C.  D.  6．（25-26学年九上·贵州自治州兴仁·期末）下列关于x的方程中，是一元二次方程的是（       ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年九上·贵州贵阳修文县·期中）已知关于的一元二次方程有一个根为2，则的值为（　　） A. 3 B.  C. 7 D.  8．（25-26学年九上·贵州六盘水钟山区·期中）下列方程是一元二次方程的是（       ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年九上·贵州遵义汇川区·期中）若是关于的一元二次方程的一个根，则的值为（） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年九上·贵州黔南布依族苗族自治州平塘县·期中）一元二次方程的一次项系数是（　　） A. 1 B.  C.  D. 2 11．（25-26学年九上·贵州六盘水·期中）下列方程是一元二次方程的是（　　） A.  B.  C.  D.  12．（25-26学年九上·贵州贵阳第十七中学·期中）如果2是方程的一个根，那么c的值是（     ） A. 3 B. 2 C.  D.  13．（25-26学年九上·贵州铜仁沿河土家族自治县·期中）若将方程化为一元二次方程的一般形式，则二次项系数为，一次项系数、常数项分别为（） A.  B.  C.  D.  14．（25-26学年九上·贵州安顺·期中）若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  15．（25-26学年九上·贵州铜仁·期中）一元二次方程的常数项是（       ） A. 1 B.  C. 3 D. 0 16．（25-26学年九上·贵州贵阳中天中学·期中）一元二次方程的常数项为（     ） A. 3 B. 2 C.  D. 4 17．（25-26学年九上·贵州铜仁万山区·期中）若关于的方程是一元二次方程，则满足的条件是（       ） A.  B.  C.  D.  18．（25-26学年九上·贵州黔东南苗族·期中）一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（       ） A. 1，5， B. 1，， C. 1，，3 D. 1，5，3 19．（25-26学年九上·贵州贵阳清镇·期中）已知是一元二次方程的一个根，则的值为（       ） A.  B. 0 C. 1 D. 3 20．（25-26学年九·贵州金沙县金沙县第三中学·期末）若一元二次方程的一个实数根为m，则的值是（       ）． A. 2023 B. 2024 C. 2025 D. 2026 21．（25-26学年九·贵州黔南州·期末）若是关于x的一元二次方程的一个根，则b的值为（     ） A. 9 B.  C.  D. 3 22．（25-26学年九上·贵州贵阳部分区·期末）将一元二次方程化为的形式，若，则，的值分别为（       ） A. 5，1 B. ， C. ， D. ，1 23．（25-26学年九上·贵州黔南布依族苗族自治州平塘县·期中）已知是关于x的一元二次方程的一个根，则a的值为（） A.  B. 4 C. 2 D.  24．（25-26学年九上·贵州毕节纳雍县·期中）若关于的一元二次方程的一个根是，则的值为（       ） A.  B. 6 C. 2 D.  25．（25-26学年九上·贵州毕节纳雍县·期中）现有方程：①，②下列说法正确的是（       ） A. ①和②都是一元二次方程 B. ①和②都不是一元二次方程 C. 只有①是一元二次方程 D. 只有②是一元二次方程 26．（25-26学年九上·贵州贵阳第六中学·期中）已知关于x的方程 的解是，则a的值是（　　） A. 4 B. 5 C. 3 D. 2 27．（25-26学年九上·贵州贵阳第十七中学·期中）下列方程是一元二次方程的是（     ） A.  B.  C.  D.  28．（25-26学年九上·贵州铜仁沿河土家族自治县·期中）若关于的一元二次方程的一个根是，则实数的值为（       ） A.  B.  C. 3 D. 2 29．（25-26学年九上·贵州铜仁碧江区·期中）下列方程中是一元二次方程的是（     ） A.  B.  C.  D.  30．（25-26学年九上·贵州黔东南苗族·期中）已知关于的一元二次方程的一个根是0，则的值是（　　） A. 0 B. 1 C. 2 D. 2或﹣2 31．（25-26学年九上·贵州黔东南州·期末）若是关于x的方程的一个根，则关于x的方程必有一个根为（     ） A. 2024 B. 2025 C. 2026 D. 2027 32．（25-26学年九上·贵州贵阳修文县·期中）一元二次方程的常数项是　　　　　　　． 33．（25-26学年九上·贵州遵义·期中）写出一个关于且二次项系数为2的一元二次方程　　　　　　． 34．（25-26学年九上·贵州毕节纳雍县·期中）一元二次方程的一次项系数是　　　　　． 35．（25-26学年九上·贵州铜仁沿河土家族自治县·期中）已知关于x的方程是一元二次方程，则m的取值范围是　　　　　　　　 36．（25-26学年九上·贵州西南州兴仁·期中）已知方程的一个根是1，则m的值为　　　　　　　　． 37．（25-26学年九上·贵州黔东南苗族·期中）已知关于x的方程的一个根为，则实数k的值为　　　　　　 38．（25-26学年九上·贵州铜仁·期中）已知是关于的一元二次方程，则的值为　　　　　　． 39．（25-26学年九上·贵州贵阳中天中学·期中）方程是关于x的一元二次方程，则m的值是　　　　　　． 40．（25-26学年九·贵州毕节赫章县·期末）已知方程是关于的一元二次方程，则的值是　　　　　　． 41．（25-26学年九上·贵州自治州兴仁·期末）一元二次方程的解是　　． 考点02 配方法 1．（25-26学年九上·贵州遵义余庆县·期末）用配方法解一元二次方程，此方程可化为（       ） A.  B.  C. （ D.  2．（25-26学年九上·贵州贵阳中天中学·期中）小明在解方程x2﹣4x﹣10＝0时，他是这样求解的，移项，得x2﹣4x＝10，两边同时加4，得x2﹣4x+4＝14，∴（x﹣2）2＝14，∴x﹣2＝，∴x1＝2，x2＝2﹣．这种解方程的方法称为（　　） A. 待定系数法 B. 配方法 C. 公式法 D. 因式分解法 3．（25-26学年九上·贵州铜仁·期末）九年级某班同学初学用配方法解一元二次方程时，将方程进行配方变形，得出下列选项中的不同结论，其中正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年九上·贵州遵义汇川区·期中）用配方法解方程， ，变形正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年九上·贵州铜仁松桃苗族自治县·期中）用配方法解方程时，原方程应变形为（     ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年九上·贵州毕节纳雍县·期中）若关于的方程可以配方成，则（       ） A.  B. 1 C.  D.  7．（25-26学年九上·贵州贵阳第十七中学·期中）在实数范围内，代数式的值不可能为（　　） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年九上·贵州铜仁·期中）用配方法解方程时，下列配方的结果正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年九上·贵州贵阳清镇·期中）用配方法解一元二次方程，变形后结果正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年九·贵州毕节赫章县·期末）用配方法解一元二次方程时，原方程可变形为（     ） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年九上·贵州六盘水钟山区·期中）老师设计了接力游戏，以合作的方式完成配方法求解一元二次方程，规则：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后解出方程．过程如图所示．接力中，自己负责的计算出现错误的是（       ） A. 只有甲 B. 甲和乙 C. 甲和丙 D. 丙和丁 12．（25-26学年九上·贵州毕节织金县思源实验学校·期中）定义：关于x的一元二次方程：与，称为“同族二次方程”．如与是“同族二次方程”．若关于x的一元二次方程：与是“同族二次方程”．则代数式的最大值是（       ） A. 2024 B. 2023 C. 2022 D. 2021 13．（25-26学年九上·贵州黔东南苗族·期中）用配方法解方程，变形后的结果正确的是(     ) A.  B.  C.  D.  14．（25-26学年九上·贵州遵义正安县·期中）方程的解是　　　　　　　． 15．（25-26学年九上·贵州贵阳第十七中学·期中）用适当的方法解下列方程 （1）； （2）． 16．（25-26学年九·贵州毕节赫章县·期末）解下列方程： （1） （2） 17．（25-26学年九上·贵州安顺·期中）配方法是初中数学中经常用到的一个重要方法，学好配方法对我们学习数学有很大的帮助．所谓配方，就是将某一个多项式变形为一个完全平方式，变形一定要是恒等的． 例如：已知，求，的值． 由题意，得， 即， ，， ，． 根据以上材料，解答下列各题． （1）若，求的值； （2）若，，分别表示的三边长，且，试判断的形状，并说明理由． 18．（25-26学年九上·贵州铜仁万山区·期中）先化简，再求值：，其中满足． 19．（25-26学年九上·贵州黔东南苗族·期中）根据要求，解答下列问题． （1）根据要求，解答下列问题． ①方程x2－2x＋1＝0的解为________________________； ②方程x2－3x＋2＝0的解为________________________； ③方程x2－4x＋3＝0的解为________________________； …… …… （2）根据以上方程特征及其解的特征，请猜想： ①方程x2－9x＋8＝0的解为________________________； ②关于x的方程________________________的解为x1＝1，x2＝n． （3）请用配方法解方程x2－9x＋8＝0，以验证猜想结论的正确性． 20．（25-26学年九上·贵州贵阳第十七中学·期中）配方法是中学数学的重要方法，用配方法可求最大（小）值．对于任意正实数a，b，可作如下变形（提示：）； ， 又， ，即． 当且仅当，即时等号成立． （1）若，代数式的最小值为_________，此时_________． （2）某园林设计师要对园林的一个区域进行设计改造，一面利用墙体将该区域用篱笆围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃，如图1所示，为了围成面积为的花圃，所用的篱笆至少为多少米？ （3）如图2，四边形的对角线、相交于点O，、的面积分别为9和4，求四边形面积的最小值． 考点03 公式法 1．（25-26学年九上·贵州毕节金沙县·期中）关于的一元二次方程的根的情况是（       ） A. 有两个不相等的实数根 B. 没有实数根 C. 只有一个实数根 D. 有两个相等的实数根 2．（25-26学年九上·贵州贵阳中天中学·期中）关于x的方程的根的情况是（　　） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 无实数根 3．（25-26学年九上·贵州遵义湄潭县·期末）一元二次方程的根的情况是（     ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 有一个实数根 D. 没有实数根 4．（25-26学年九·贵州金沙县金沙县第三中学·期末）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的值可能是（     ） A. 4 B. 2 C. 1 D.  5．（2026·贵州遵义·学业水平监测）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年九·贵州黔南州·期末）某一元二次方程的根用求根公式表示为，则该一元二次方程为（     ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年九上·贵州安顺·期末）一元二次方程的根的情况是（     ） A. 没有实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 有两个相等的实数根 8．（2026·贵州六盘水·一模）关于的一元二次方程的根的情况是（　　） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 9．（25-26学年九上·贵州黔东南州·期末）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年九上·贵州自治州兴仁·期末）一元二次方程的根的情况是(　　) A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 11．（25-26学年九上·贵州黔东南州·期末）若关于x的一元二次方程有实数解，则a的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  12．（25-26学年九上·贵州铜仁松桃苗族自治县·期中）方程根的情况是（   ） A. 有两个相等的实数根 B. 只有一个实数根 C. 没有实数根 D. 有两个不相等的实数根 13．（25-26学年九上·贵州毕节织金县思源实验学校·期中）小刚在解关于的方程时，只抄对了，，解出其中一个根是，他核对时发现所抄的比原方程的的值小，则原方程的根的情况（　　） A. 不存在实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 有一个根是 D. 有两个相等的实数根 14．（25-26学年九上·贵州贵阳第十七中学·期中）一元二次方程 的根的情况为（    ） A. 无实数根 B. 不能判定 C. 有两个相等的实数根 D. 有两个不相等的实数根 15．（25-26学年九上·贵州铜仁沿河土家族自治县·期中）方程的根的情况是   （     ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 不能确定有没有实数根 16．（25-26学年九上·贵州黔东南州·期中）若关于x的方程有实数根，则n的值不可以取（     ） A.  B.  C. 0 D. 5 17．（25-26学年九上·贵州铜仁·期中）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（       ） A.  B.  C.  D.  18．（25-26学年九上·贵州铜仁碧江区·期中）已知关于x的方程，当时，下列选项中，可作为该方程的根的是（       ） A.  B.  C.  D.  19．（25-26学年九上·贵州黔东南苗族·期中）下列一元二次方程有实数根的是（       ） A.  B.  C.  D.  20．（25-26学年九上·贵州遵义余庆县·期末）若关于的一元二次方程有实根，则的最大整数值是（       ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 21．（25-26学年九上·贵州三联教育集·期末）一元二次方程x2+3x-4=0的根的情况是(        ) A. 没有实数根 B. 只有一个实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 有两个不相等的实数根 22．（25-26学年九上·贵州遵义·期中）关于的方程有实数根，则的取值范围是（     ） A. 且 B.  C. 且 D.  23．（25-26学年九上·贵州遵义汇川区·期中）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为（） A.  B.  C.  D.  24．（25-26学年九上·贵州黔南布依族苗族自治州平塘县·期中）下列方程中，没有实数根的是（     ） A.  B.  C.  D.  25．（25-26学年九上·贵州铜仁碧江区·期中）关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（     ） A.  B. 且 C.  D. 且 26．（25-26学年九上·贵州铜仁万山区·期中）已知函数的图象如图所示，则一元二次方程根的存在情况是 A. 没有实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 无法确定 27．（25-26学年九上·贵州贵阳乌当区·期中）已知关于x的一元二次方程有实根，则k的取值范围是　　　　　　　　． 28．（25-26学年九·贵州贵阳·期末）如果方程有两个相等的实数根，则的值是　　　　　　　． 29．（25-26学年九上·贵州遵义正安县·期中）若关于x的一元二次方程无实数根，则k的取值范围是　　　　　　． 30．（25-26学年九上·贵州铜仁松桃苗族自治县·期中）已知关于x的一元二次方程x2+2x+m=0． （1）当m=3时，判断方程的根的情况； （2）当m=﹣3时，求方程的根． 31．（25-26学年九上·贵州毕节织金县思源实验学校·期中）对于实数u、v定义一种运算“*”为：．若关于x的方程有两个相等的实数根，求满足条件的实数a的值为　　　　　　　　　　． 32．（25-26学年九上·贵州六盘水·期中）若关于的一元二次方程有实数根，写出的一个值可以是　　　　　　　　．（写出一个即可） 33．（25-26学年九上·贵州安顺·期中）按要求解下列方程： （1）（配方法）； （2）（公式法）． 34．（25-26学年九上·贵州铜仁·期末）已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值是　　　． 35．（25-26学年九上·贵州毕节纳雍县·期中）已知一元二次方程． （1）若方程的一个根为2，求的值． （2）当时，求证：方程有两个实数根． 36．（25-26学年九上·贵州贵阳清镇·期中）已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是　　　　　． 考点04 因式分解法 1．（25-26学年九上·贵州铜仁·期末）一元二次方程的解是（       ） A.  B.  C. 或 D. 或 2．（2026·贵州六盘水·一模）关于x的一元二次方程的根为（       ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3．（25-26学年九上·贵州毕节纳雍县·期中）一元二次方程的根是（       ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年九上·贵州黔东南州·期中）关于x的一元二次方程的解为（） A.  B.  C. ， D. ， 5．（25-26学年九上·贵州安顺·期中）已知一元二次方程的两根是，，则这个方程可以是（     ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年九上·贵州贵阳清镇·期中）一元二次方程的解是（       ） A. ， B. ， C. ， D. ， 7．（25-26学年九上·贵州三联教育集·期末）某节数学课上，甲、乙两位同学都在黑板上解方程，解答过程如下所示： 甲 乙 两边同时除以，得． 移项，得．．或，解得． 其中完全正确的是（       ） A. 甲 B. 都正确 C. 乙 D. 都不正确 8．（25-26学年九上·贵州遵义汇川区·期中）小聪在解方程时，只得到一个根，则被漏掉的一个根是（       ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年九上·贵州六盘水·期中）已知方程，则的值为（       ） A.  B. 0 C.  D. 或0 10．（25-26学年九上·贵州贵阳第六中学·期中）分式的值为0，则的值是（       ） A. 0 B.  C. 1 D. 0或1 11．（25-26学年九上·贵州铜仁万山区·期中）若关于的一元二次方程的常数项为0，则的值等于（       ） A. 1 B. 0 C. 1或2 D. 2 12．（25-26学年九上·贵州黔东南苗族·期中）一元二次方程的解是（　　） A.  B.  C. ， D. ， 13．（25-26学年九上·贵州贵阳第十七中学·期中）关于x的方程的两个根满足，且，则m的值为（　　） A.  B. 1 C. 3 D. 9 14．（25-26学年九上·贵州贵阳乌当区·期中）请从①；②；③；④中，任选两个进行解答． 15．（25-26学年九上·贵州贵阳乌当区·期中）（1）计算：；        （2）因式分解：． 16．（25-26学年九·贵州金沙县金沙县第三中学·期末）一元二次方程的根是　　　　　　　． 17．（25-26学年九·贵州黔南州·期末）从下列①②③中任选两个方程，并用你认为合适的方法求解． ① ② ③ 18．（25-26学年九上·贵州黔东南州·期末）解方程： （1） （2） 19．（25-26学年九上·贵州贵阳部分区·期末）解下列方程： （1）； （2）． 20．（25-26学年九上·贵州遵义正安县·期中）（1）解方程：； （2）计算：． 21．（25-26学年九上·贵州遵义·期中）（1）解方程：         ． （2）下面是小颖同学解一元一次不等式的解答过程，请认真阅读并完成相应任务． 解：       第一步，       第二步，       第三步，       第四步，             第五步．             第六步 ①任务一：以上运算步骤中，从第______步开始出现错误，错误的原因是______； ②任务二：请写出正确的解答过程． 22．（25-26学年九上·贵州铜仁松桃苗族自治县·期中）解一元二次方程： （1）； （2）． 23．（25-26学年九上·贵州毕节金沙县·期中）解下列方程： （1） （2） 24．（25-26学年九上·贵州毕节纳雍县·期中）按要求解下列方程： （1）（因式分解法）； （2）（公式法）． 25．（25-26学年九上·贵州六盘水·期中）用适当方法解下列方程： （1）； （2）． 26．（25-26学年九上·贵州贵阳第六中学·期中）（1）计算：； （2）用适当的方法解方程：． 27．（25-26学年九上·贵州铜仁沿河土家族自治县·期中）用适当的方法解下列方程． （1） （2） 28．（25-26学年九上·贵州贵阳中天中学·期中）解方程： （1）． （2）． 29．（25-26学年九上·贵州铜仁碧江区·期中）解下列方程． （1）； （2）． 30．（25-26学年九上·贵州铜仁万山区·期中）一元二次方程x2﹣2x=0的解是　　　　　． 31．（25-26学年九上·贵州铜仁万山区·期中）选择适当的方法解方程 （1） （2） （3） （4） 32．（25-26学年九上·贵州黔东南苗族·期中）解方程： （1）； （2）． 33．（25-26学年九上·贵州贵阳清镇·期中）解下列方程： （1）； （2）． 34．（25-26学年九·贵州金沙县金沙县第三中学·期末）解下列一元二次方程： （1）； （2）． 35．（25-26学年九上·贵州毕节金沙县·期中）方程的解是　　　　　　． 36．（25-26学年九上·贵州黔东南州·期中）用适当的方法解方程 （1）； （2）． 37．（25-26学年九·贵州毕节赫章县·期末）解方程时，我们可以将视为一个整体，设，则，原方程化为，解此方程，得，， 当时，，，∴； 当时，，，∴． ∴原方程的解为，，，． 以上方法就叫换元法，达到了降次的目的，体现了转化的思想． 运用上述方法解答下列问题： （1）； （2）． 38．（25-26学年九上·贵州遵义湄潭县·期末）（1）计算：． （2）若关于的一元二次方程与方程有一个相同的根，求的值． 39．（2026·贵州遵义·学业水平监测）（1）计算：； （2）从下列三个方程中任选一个求解． ①；       ②；       ③． 40．（25-26学年九·贵州贵阳·期末）（1）计算：； （2）小红、小星在解方程时，解答过程如下： 小红的解法解：第一步：两边同除以，得：（       ）第二步：（       ） 小星的解法解：第一步：（       ）第二步：（       ）第三步：或（       ）第四步：，（       ） ①上述小红、小星的解法是否正确？若不正确，判断从第几步开始出现错误，并在相应括号内打“×”； ②请用一种合适的方法解此方程． 小红的解法解：第一步：两边同除以，得：.（×）第二步：.（       ） 小星的解法解：第一步：.（       ）第二步：.（×）第三步：或.（       ）第四步：，（       ） 41．（25-26学年九上·贵州遵义余庆县·期末）解方程： （1）； （2）． 42．（25-26学年九上·贵州自治州兴仁·期末）（1）解方程： （2）计算： 43．（25-26学年九上·贵州三联教育集·期末）解方程∶ （1）； （2）． 44．（25-26学年九上·贵州黔东南州·期末）选择适当的方法解下列方程： （1） （2） 45．（25-26学年九上·贵州六盘水钟山区·期中）新定义：若两个不相等的正整数a和b（）满足它们的平方差等于这两个数和的平方除以k（k为非零常数），则称数对关于k构成一个“智谋数对”，记作，用式子表示为：． 例如：数对关于3构成一个“智谋数对” ∵， ∴ ∴成立 （1）下列数对是关于3构成“智谋数对”的是______． ①       ②       ③ （2）假设a和b（）是关于k的“智谋数对” ①用含a，b的代数式表示k； ②当时，求出智谋数对中a与b的数量关系，并写出满足条件的两个智谋数对． 46．（25-26学年九上·贵州六盘水钟山区·期中）（1）计算：； （2）解方程：． 47．（25-26学年九上·贵州遵义汇川区·期中）从下列①②③中任选2个方程，并用合适的方法求解． ①；②；③． 48．（25-26学年九上·贵州毕节织金县思源实验学校·期中）解方程： （1）； （2）． 49．（25-26学年九上·贵州黔南布依族苗族自治州平塘县·期中）用适当的方法解下列方程： （1）； （2）． 50．（25-26学年九上·贵州六盘水·期中）阅读下列材料： 问题：已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为y，则，所以，把代入已知方程，得．化简，得．故所求方程为．这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． 请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求把所求方程化为一般形式）： （1）已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别为已知方程根的相反数； （2）已知关于x的一元二次方程（为常数，）有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数． 51．（25-26学年九上·贵州铜仁沿河土家族自治县·期中）已知三角形的两边的长分别为2和8，第三边是方程的两根之一，则此三角形的周长是　　　　　　　　　　　； 52．（25-26学年九上·贵州西南州兴仁·期中）解一元二次方程 （1） （2）． 53．（25-26学年九上·贵州铜仁·期中）如图，在平面直角坐标系中，正方形的两个顶点A、B是坐标轴上的动点，若正方形的边长是方程的解，则线段长的最大值是　　　　　　　　　　． 54．（25-26学年九上·贵州铜仁·期中）按要求解下列方程： （1）（因式分解法）； （2）（公式法）． 55．（25-26学年九上·贵州铜仁碧江区·期中）阅读下列材料： 解方程， 解：设，则原方程化为， 解得． 当时，，解得：； 当时，，解得． 原方程的解为：． 以上解一元二次方程的方法叫做换元法，通过换元法达到了降次或者简化方程的目的，这体现了数学中的转化思想． （1）请用上述方法解下列方程：； （2）已知实数满足，求的值． 56．（25-26学年九上·贵州铜仁万山区·期中）阅读下面的问题：解方程． 解：（1）当时，原方程化为，解得：，（不合题意，舍去） （2）当时，原方程化为，解得：，（不合题意，舍去） 综上所述，原方程的根是，， 参照上述解题方法，则的解为　　　　　　． 考点05 一元二次方程的根与系数的关系 1．（25-26学年九上·贵州贵阳部分区·期末）已知关于x的一元二次方程有一个根为，则另一个根为（     ） A. －2 B. －1 C. 0 D. 1 2．（25-26学年九上·贵州铜仁松桃苗族自治县·期中）已知方程x2+6x﹣m＝0的一个根为﹣2．则方程的另外一根为（　　） A. ﹣8 B. 8 C. ﹣4 D. 4 3．（25-26学年九上·贵州毕节织金县思源实验学校·期中）已知，是一元二次方程的两根，则的值是（       ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年九上·贵州黔南布依族苗族自治州平塘县·期中）已知，是方程的两个根，则的值为（     ） A. 3 B.  C. 2 D.  5．（25-26学年九上·贵州铜仁万山区·期中）设x1、x2是方程x2+3x﹣3=0的两个实数根，则的值为【　　】 A. 5 B. ﹣5 C. 1 D. ﹣1 6．（25-26学年九上·贵州铜仁松桃苗族自治县·期中）等腰三角形的一边长是，另两边的长是关于的方程的两个根，则的值为（       ） A.  B.  C. 或 D.  7．（25-26学年九上·贵州毕节纳雍县·期中）对于一元二次方程（为常数，且），给出下列说法：①，则方程必有一个根为1；②当时，方程至少有一个根为0；③若方程的两个根为，2，则必有成立；④若，则方程一定有两个相等的实数根．其中正确的有（       ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 8．（25-26学年九上·贵州六盘水·期中）若关于x的一元二次方程两根为、，且，则p的值为（        ） A.  B.  C.  D. 6 9．（25-26学年九上·贵州遵义余庆县·期末）已知关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程两根均为负数，求实数的取值范围． 10．（25-26学年九上·贵州遵义余庆县·期末）设，是方程的两个实数根，则的值为　　　　　　　　． 11．（25-26学年九上·贵州贵阳部分区·期末）已知是方程的两个实数根，则代数式　　　　　　　　　　　． 12．（25-26学年九上·贵州毕节织金县思源实验学校·期中）已知关于x的一元二次方程． （1）求证：无论m取何值时，方程都有两个不相等的实数根； （2）设该方程的两个实数根为a，b，若，求m的值． 13．（25-26学年九上·贵州黔东南州·期中）若关于x的方程的一个根是2，则另一个根是　　　　　　． 14．（25-26学年九上·贵州西南州兴仁·期中）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）若，是这个方程的两个根，且，求的值． 15．（25-26学年九上·贵州安顺·期中）已知，是方程的两个根，则代数式的值是　　　　　　　　． 16．（25-26学年九上·贵州贵阳中天中学·期中）已知关于x的方程． （1）该方程有两个不相等的实数根，求m的范围； （2）若该方程有一个根，求m的值及另一个根． 17．（25-26学年九上·贵州贵阳中天中学·期中）已知，是一元二次方程的两个根，则的值为 　　　　　． 18．（25-26学年九上·贵州铜仁万山区·期中）已知关于x的一元二次方程． （1）若方程有实数根，求实数m的取值范围； （2）若方程的两个根分别为，且满足，求实数m的值． 19．（25-26学年九上·贵州遵义湄潭县·期末）已知m，n是方程的两个实数根，则的值是　　　　　　． 20．（25-26学年九上·贵州自治州兴仁·期末）已知关于x的一元二次方程：． （1）设，是方程的两个根，求（用含m的式子表示）； （2）当时，此方程的两个根分别是菱形两条对角线长，求菱形的面积． 21．（25-26学年九上·贵州遵义正安县·期中）已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值时，方程总有两个不相等的实数根； （2）如果方程的两实根为，且，求的值； 22．（25-26学年九上·贵州六盘水钟山区·期中）萱萱和小杰一起写作业，在解一道一元二次方程时，萱萱在化简过程中写错了常数项，得到方程的两个根是和，小杰在化简过程中写错了一次项的系数，得到方程的两个根是和，则原方程是　　　　　　． 23．（25-26学年九上·贵州遵义汇川区·期中）定义：如果一元二次方程(，，为常数，且)的两个实数根，满足，那么称这样的方程为“倒数方程”．已知关于的一元二次方程(为常数)是“倒数方程”，则的值为　　　　　　　　． 24．（25-26学年九上·贵州六盘水·期中）已知关于x的一元二次方程． （1）求证：无论k取任何非零实数，方程总有实数根； （2）若等腰三角形的一边长为4，另两边长恰好是这个方程的两个根，求此时的k值． 25．（25-26学年九上·贵州铜仁·期中）已知关于x的一元二次方程有实数根． （1）求k的取值范围； （2）若该方程有一个根是1，请求出k的值和另一个根． 26．（25-26学年九上·贵州铜仁碧江区·期中）已知关于的一元二次方程的一个根是3，则另一个根是　　　　　　　　　　　． 考点06 实际问题与一元二次方程 1．（2026·贵州遵义·学业水平监测）中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何．”其大意是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步？设这个矩形的宽为步，根据题意可列方程为（　　） A.  B.  C.  D. 2 2．（25-26学年九上·贵州贵阳修文县·期中）党的二十大报告指出：从2020年到2035年基本实现社会主义现代化，从2035年到本世纪中叶把我国建成富强民主文明和谐美丽的社会主义现代化强国．2022年我国约为121万亿元，如果每年按相同的增长率增长，2024年我国约为135万亿元，若设每年增长率为x，则方程可列为（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年九·贵州金沙县金沙县第三中学·期末）2025湘超：湖南足球的“超”级盛宴，它已不只是赛事，而是湖南体育新IP、城市文化新载体、消费升级新引擎，它填补了湖南职业足球空白，让足球回归大众、在这个足球联赛中，参赛的每两个队之间都需要进行一场比赛，共比赛了91场．设共有x个队参加比赛，则下列方程符合题意的是（     ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年九上·贵州铜仁·期末）在国家义务教育优质均衡发展政策的引领下，近几年，某校获得政府持续投入资金改善基础设施，其中2023年投入50万元，2023到2025年累计共投入218万元，若投入资金的年平均增长率相同，求该校投入资金的年平均增长率，设年平均增长率为x，所列方程正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年九·贵州黔南州·期末）化学是一门以实验为基础的学科．小星在化学老师的帮助下，学会了用高锰酸钾制取氧气的实验，回到班上后，小星教会了x名学习小组长，每名学习小组长又教会了x名组员，这样全班43名学生恰好都学会了这个实验．则根据题意，可列方程为（     ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年九·贵州贵阳·期末）为将劳动教育纳入人才培养全过程，某高校加大投入，建设校园农场，已知该农场某种作物的总产量从2023年的增加到2025年的．设平均每年增长率为，则可列的方程是（       ） A.  B.  C.  D.  7．（2026·贵州六盘水·一模）六盘水市某景区2023年全年接待游客25万人次，经过两年加大旅游开发力度，该景区2025年全年接待游客36万人次．那么该景区这两年接待游客的年平均增长率为多少?若设这两年接待游客的年平均增长率为，则可列方程为（       ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年九上·贵州黔东南州·期末）近年来高技术制造业呈现快速增长态势．某公司工业机器人在今年月产值达到万元，预计月产值将增至万元．设该公司，两个月产值的月均增长率为，可列出的方程为（     ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年九上·贵州遵义正安县·期中）小明同学是一位古诗文的爱好者，在学习了一元二次方程这一章后，改编 了苏轼诗词《念奴娇·赤壁怀古》：“大江东去浪淘尽，千古风流人物．而立之年督东吴，早逝英年两位数．十位恰小个位三，个位平方与寿同．哪位学子算得快，多少年华数周瑜？”假设周瑜去世时年龄的十位数字是，则可列方程为（       ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年九上·贵州遵义正安县·期中）电影《南京照相馆》上映以来，据不完全统计，某市第一天票房约2亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，第三天票房收入达5亿元，将增长率记作，则方程可以列为（   ） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年九上·贵州遵义·期中）在我国古代数学著作《九章算术》中记载了“户高广”的问题：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈，问户高、广各几何？”意思是：若长方形门的高比宽多尺寸（尺寸），门的对角线长丈（丈尺），那么门的高和宽各是多少？设门的高为尺，则可以列出的方程为（     ） A.  B.  C.  D.  12．（25-26学年九上·贵州遵义汇川区·期中）如图，把一块长为，宽为的矩形硬纸板的四个角剪去四个相同小正方形，然后把纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，即可做成一个无盖纸盒．若该无盖纸盒的底面积为，设剪去小正方形的边长为，则可列方程为（       ） A.  B.  C.  D.  13．（25-26学年九上·贵州铜仁松桃苗族自治县·期中）某超市第一季度中，1月的营业额为200万元，2、3月的总营业额为1000万元，如果平均每月增长率为，由题意可列方程（       ） A.  B.  C.  D.  14．（25-26学年九上·贵州毕节织金县思源实验学校·期中）某数学活动小组在开展野外项目实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的枝干，每个枝干又长出同样数目的小分枝，主干、枝干和小分枝的总数是 ，则这种植物每个支干长出的小分支个数是（            ） A.  B.  C.  D.  15．（25-26学年九上·贵州毕节纳雍县·期中）如图，在长为，宽为的矩形地面上修建宽度相等的道路（阴影部分），余下部分进行绿化．若绿化面积为，设道路宽度为，则可列方程为（       ） A.  B.  C.  D.  16．（25-26学年九上·贵州六盘水·期中）如图，在长为，宽为的矩形空地上修筑四条宽度相等的小路，若余下的部分全部种上花卉，且花圃的面积是，则小路的宽是（       ） A.  B.  C. 或 D.  17．（25-26学年九上·贵州六盘水·期中）有一种“微信点名”活动，需要回答一系列问题，并将问题和自己的答案在朋友圈中发布，同时还规定“@”一定数量的其他人，邀请他们也参与活动，小智被邀请参加一次“微信点名”活动，他决定参与并按规定“@”其他人，如果收到小智邀请的人也同样参与了活动并按规定“@”其他人，且从小智开始算起，转发两轮后共有111人被邀请参与该活动．设参与该活动后规定“@”x人，则可列出的方程为（     ） A.  B.  C.  D.  18．（25-26学年九上·贵州西南州兴仁·期中）《感动中国2024年度人物颁奖盛典》节目上线后，第一天的播放量为135万次，第三天的播放量增长到228万次．设该节目播放量的日均增长率为x，则根据题意可列方程为（       ） A.  B.  C.  D.  19．（25-26学年九上·贵州安顺·期中）某校去年对实验器材的投资为2万元，预计明年的投资总额为2.88万元，若设该校今明两年在实验器材投资上的平均增长率是x，则可列方程为（       ） A.  B.  C.  D.  20．（25-26学年九上·贵州铜仁·期中）2023年中秋、国庆期间，某省累计游客数量约4800万人次，2025年中秋、国庆期间，该省累计游客数量约7500万人次．设年平均增长率为，可列方程为（       ） A.  B.  C.  D.  21．（25-26学年九上·贵州贵阳中天中学·期中）我国南宋数学家杨辉所著的《田亩比类乘除算法》中有这样一道题，意思是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的宽比长少12步，问它的长和宽各多少步？设这块田地的宽为x步，则所列的方程为（     ） A.  B.  C.  D.  22．（25-26学年九上·贵州铜仁碧江区·期中）如图，在一块矩形的劳动实践基地上有三条同宽的道路，横向有一条，纵向有两条，除道路外，剩下的是种植面积．已知该矩形基地的长为40米，宽为24米，种植面积为520平方米，设修建的路宽为米，根据题意可列方程为（     ） A.  B.  C.  D.  23．（25-26学年九上·贵州铜仁万山区·期中）某种品牌运动服经过两次降价，每件零售价由560元降为315元，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率，设每次降价的百分率为x，下面所列的方程中正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  24．（25-26学年九上·贵州黔东南苗族·期中）组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛．设比赛组织者应邀请个队参赛，则可列方程为（       ） A.  B.  C.  D.  25．（25-26学年九上·贵州遵义余庆县·期末）如图，在打印图片之前，为确定打印区域，需设置纸张四周的页边距，即纸张的边线到打印区域的距离．若纸张长，宽，考虑到整体的美观性，要求各页边距相等，并使打印区域的面积占纸张总面积的．若设应设置的页边距为，根据题意可列方程为（       ） A.  B.  C.  D.  26．（25-26学年九上·贵州自治州兴仁·期末）为传递正能量，在中考百日誓师大会上，九年级各班决定互送励志祝福．若规定每个班要给本年级其他所有班级各送1条祝福，且所有班级送出的祝福总数是132条，则九年级的班级数为（       ）． A. 11 B. 12 C. 13 D. 14 27．（25-26学年九上·贵州毕节金沙县·期中）如图，某小区有一块长为米，宽为6米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地．它们的面积之和为平方米，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道．若设人行道的宽度为米，则可以列出关于的方程是（     ） A.  B.  C.  D.  28．（25-26学年九上·贵州贵阳中天中学·期中）《代数学》中记载，形如的方程，求正数解的几何方法是：“如图1，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造4个面积为的矩形，得到大正方形的面积为，则大正方形边长为7，该方程的正数解为．”小聪按此方法解关于x的方程时，构造出如图2所示的图形，已知阴影部分的面积为45，则该方程的正数解为（     ） A. 9 B. 6 C. 3 D.  29．（25-26学年九上·贵州贵阳清镇·期中）五个连续整数，前三个数的平方和等于后两个数的平方和，求这五个数．小星设这五个连续整数中第一个数为，根据题意列出关于的一元二次方程为，并列表如下： … … 则这五个数中，第一个数是（       ） A.  B.  C. 或 D.  30．（25-26学年九上·贵州黔东南州·期中）一名同学经过培训后，会做高锰酸钾制取氧气的实验，回到班级后，他先教会了x名同学，然后会做该实验的同学又分别教会了同样多的同学，这时恰好全班49人都会做这项实验了，根据以上情境，可列方程为（） A.  B.  C.  D.  31．（25-26学年九上·贵州遵义湄潭县·期末）我市“幸福之城”大型楼盘陆续交付，家装灯具销售商纷纷推出各类优惠政策．某灯具销售商通过大数据分析：成本为每个30元的台灯，当售价为70元时，平均每天售出20个．若售价每下降1元，每日销售量就增加2个． （1）设售价下降元，请填空： 售价 70 65 利润 40 ___________ 销售量 20 30 ___________ （2）为迎接“双十一”，该店决定降价促销，在每台台灯盈利不少于25元的前提下，若预计日销售获利恰好为1200元，求每个台灯的售价． 32．（25-26学年九·贵州黔南州·期末）为了增强学生的劳动意识，养成劳动的习惯和品质，老师在研学基地组织学生用一段长为的篱笆来围成一个一边靠墙（墙长)的矩形花圃（如图），为了种植不同花卉，花圃中间用篱笆隔断． （1）若围成的矩形花圃的面积为，求的长． （2）围成的矩形花圃的面积能否为？请说明理由． 33．（25-26学年九上·贵州黔东南州·期末）为了增加社区居民活动的场地，物业准备将一个长为16米，宽为12米的长方形区域（阴影部分）改造成一个健身区域，同时要在它四周外围修建宽度相等的步行跑道使之成为一个新场地（如图）．设步行跑道的宽度为x米． （1）新场地的长为______米，宽为______米；（用含x的代数式表示） （2）若新场地的总面积为320平方米，求步行跑道的宽度． 34．（25-26学年九上·贵州黔东南州·期末）某超市于今年年初购进一批商品．当商品售价为40元时，一月份销售256件．二、三月该商品十分畅销，销售量持续走高，在售价不变的基础上，三月份的销售量达到400件．设二、三这两个月的月平均增长率不变． （1）求二、三这两个月的月平均增长率； （2）若按照（1）中的增长率增长，请你估计四月份的销售量是多少？ 35．（25-26学年九上·贵州黔南布依族苗族自治州平塘县·期中）如图是2025年4月的月历表，在此月历表上用一个正方形任意圈出2×2个位置上相邻的数（如2，3，9，10）．若圈出的4个数中最大数与最小数的积为128，设这4个数中最小数为x，则可列方程为　　　　　　． 36．（25-26学年九上·贵州黔南布依族苗族自治州平塘县·期中）为了响应“践行核心价值观，传递青春正能量”的号召，小颖决定走入社区号召大家参加“传递正能量志愿服务者”．假定从一个人开始号召，每一个人每周能够号召相同的m个人参加，被号召参加的人下一周会继续号召，两周后，将有121人被号召成为“传递正能量志愿服务者”． （1）求出m的值； （2）经过计算后，小颖、小红、小丽三人开始发起号召，但刚刚开始，他们就发现了问题，实际号召过程中，不是每一次号召都可以成功，而他们三人的成功率也各不相同，已知小红的成功率比小颖的两倍少10%，第一周后小丽比小颖多号召2人，三人一共号召17人，其中小颖号召了n人．请分别求出他们三人号召的成功率． 37．（25-26学年九上·贵州贵阳第十七中学·期中）某城市博物馆今年6月份接待游客10万人，8月份接待的游客增加到14.4万人．设该博物馆这两个月接待游客的月平均增长率为，则根据题意可列方程　　　　　　　． 38．（25-26学年九上·贵州贵阳中天中学·期中）为了让学生养成热爱读书的习惯，某市抽出一部分资金用于购买图书，已知2022年该市用于购买图书的费用为50万元，2024年用于购买图书的费用为72万元． （1）求2022年～2024年购买图书资金的年平均增长率； （2）按照此增长率预测2025年该市用于购买图书的费用． 39．（25-26学年九上·贵州铜仁万山区·期中）据媒体报道，我国2021年公民出境旅游总人数约5000万人次，2023年公民出境旅游总人数约7200万人次，请解答下列问题： （1）求这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长率； （2）如果2024年仍保持相同的年平均增长率，请你预测2024年我国公民出境旅游总人数约多少万人次？ 40．（25-26学年九上·贵州铜仁万山区·期中）2022年北京冬奥会吉祥物深受大家的喜欢，某特许零售店的冬奥会吉祥物销售量日益火爆．据统计，该零售店4月将采用提高售价的方法增加利润，根据市场调研得出结论：如果将进价80元的“冰墩墩”按每件100元出售，每天可销售500件，在此基础上售价每涨1元，那么每天的销售量就会减少10件，根据以上条件，解决下列问题： （1）如果上涨元，则售价为________元，则销量为________件； （2）该零售店要想每天获得12000元的利润，且销量尽可能大，则每件商品的售价应该定为多少元？ 41．（25-26学年九上·贵州铜仁万山区·期中）某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1056张照片，如果全班有名同学，根据题意，列出方程为　　　　　　　　　　　． 42．（25-26学年九上·贵州黔东南苗族·期中）为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠，某品经过两次降价，每盒零售价由16元降为9元，设平均每次降价的百分率是x，则根据题意列出方程是　　　　　　　　　　　　　　． 43．（25-26学年九上·贵州贵阳乌当区·期中）如图所示，一农户要建一个矩形鸡舍，鸡舍的一边靠墙，墙长为，另外三边用长的建筑材料围成． （1）设鸡舍与墙垂直的一边长为，则______ （用含x的式子表示）． （2）当x为多少时，鸡舍面积为？ 44．（25-26学年九·贵州金沙县金沙县第三中学·期末）某学校为了让学生体验化学实验的乐趣，决定从市场购买氯化钠溶液和硫酸铜溶液供实验使用．第一次购买40瓶氯化钠溶液和80瓶硫酸铜溶液需要500元，第二次购买20瓶氯化钠溶液和30瓶硫酸铜溶液需要200元． （1）求每瓶氯化钠溶液与硫酸铜溶液的售价分别为多少元？ （2）为了加大培养学生对化学的兴趣，学校决定再次购买这两种溶液，调查发现配制每瓶氯化钠溶液的成本是元，每瓶硫酸铜溶液的成本是元，已知第三次购买的氯化钠溶液的数量是第一次的2倍，购买硫酸铜的数量比第一次购买硫酸铜的数量少瓶，商场获利330元，求的值． 45．（25-26学年九上·贵州铜仁·期末）某童装店销售一款童鞋，成本价为每双30元，根据调查发现，若该款童鞋的售价为50元/双时，平均每天可以售出100双，售价每降低1元，平均每天可以多售出10双，设这种童鞋每双的售价降低x元，该童鞋每天销售量为y双． （1）写出y与x之间的关系式． （2）为尽可能让利于顾客，同时保证该童装店每天获得2240元利润，售价应为每双多少元？ 46．（25-26学年九·贵州贵阳·期末）第十五届粤港澳全运会的两款吉祥物深受全国人民喜爱．某商店分别用600元购进A款吉祥物，用720元购进B款吉祥物，且两款吉祥物购进的数量相同．B款吉祥物购进单价比A款吉祥物购进单价高6元． （1）求该商店A款吉祥物的购进单价； （2）A款吉祥物销售不错，售完后，该商店准备再购进一批A款吉祥物（购进单价不变），为回馈顾客，决定降价销售，当A款吉祥物售价为40元时，平均每天销售量为20件，经市场调查发现，销售价每降低1元，平均每天就能多售出2件，商店要使A款吉祥物的销售利润平均每天达192元，每件A款吉祥物应降价多少元？ 47．（2026·贵州六盘水·一模）某经销商销售某种农产品，每盒进价为30元．调查发现：当售价为每盒40元时，平均每天可售出100盒，如果该农产品的售价每降价1元，那么平均每天可多售出20盒． （1）若设该农产品每盒降价x元，则每盒农产品的售价可表示为______元，每天的销量可表示为_______盒； （2）该经销商每天销售利润要达到1120元，若要尽可能让利于顾客，该农产品每盒需降价多少元？ 48．（25-26学年九上·贵州三联教育集·期末）某水果商场经销一种高档水果，原价每千克50元，连续两次降价后每千克32元，若每次下降的百分率相同． （1）求每次下降的百分率； （2）若每千克盈利10元，每天可售出500千克．经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，但商场规定每千克涨价不能超过8元，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克．现该商场要保证每天盈利6000元，且要尽快减少库存，那么每千克应涨价多少元？ 49．（25-26学年九上·贵州贵阳部分区·期末）体育是学生综合素质发展的重要组成部分，跳绳和排球也成为学生必备的中考体育用品，某体育用品商店为满足学生需求，销售一种跳绳和排球套装，每套进货价为100元，经统计，4月份的销售量为250套，6月份的销售量为360套． （1）求这种跳绳和排球套装4月份到6月份销售量的月平均增长率； （2）经市场预测，若售价为129元，则7月份的销售量将与6月份持平，经调查发现，该套装的月销量y（套）与每套的售价x（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示，为减少库存，商店决定采取降价促销，该商店要想使月销售利润达到10800元，而且尽可能让学生得到实惠，这种跳绳和排球套装每套应降价多少元？ 50．（25-26学年九上·贵州贵阳修文县·期中）项目式学习： 主题：将一张长为，宽为的长方形硬纸板（如图1）制作成一个有盖长方体收纳盒． 方案设计：如图2，把硬纸板的四角剪去四个相同的小长方形，折成一个如图3所示的有盖长方体收纳盒，和两边恰好重合且无重叠部分． 任务一：若收纳盒的高为，则收纳盒的底面的边的长为（_____________）的长为（_____________）；（均用含的代数式表示） 任务二：若收纳盒的底面积为，求该收纳盒的高． 51．（25-26学年九上·贵州贵阳修文县·期中）某电商在网上对一款汉服进行直播带货，这款汉服每件进价为80元．经过市场调研发现：当这款汉服的售价为每件120元时，每天可售出20件；售价每降低2元，日销售量增加4件．为尽快减少库存，商家决定降价销售，设每件汉服降价元． （1）每件汉服降价多少元时，该商家平均每天可盈利1200元？ （2）该商家希望平均每天能盈利2000元，这个愿望能实现吗？请说明理由． 52．（25-26学年九上·贵州六盘水钟山区·期中）《义务教育课程方案和课程标准（年版）》优化了课程内容结构，设立跨学科主题学习活动，以强化实践性要求．在一堂数学、美术的融合课中，每个同学桌上都有一段长的铁丝，需要将铁丝剪成两段，并把每一段铁丝做成一个配件． （1）小杰想做两个正方形配件，若设其中一个正方形配件的周长为，则另一个正方形配件的周长为       （请用含的代数式表示）； （2）在（1）的基础上，若小杰想让做成的两个正方形配件满足面积之和等于，请问小杰的想法能否实现？为什么？ 53．（25-26学年九上·贵州遵义汇川区·期中）为了应对气候变化，某科技公司研发了一种人工装置“碳捕集树”，该装置能像超级树木一样高效吸收大气中的二氧化碳．2022年投入使用，单台设备年均捕集量为吨二氧化碳，该设备经过技术升级后，到年单台设备年均捕集量达到吨，且从年到年，该设备年均捕集量的平均增长率都相同． （1）求该设备每年年均捕集量的平均增长率； （2）该科技公司在年初引入人工智能算法实时优化捕集过程，使得单台设备年均捕集量的平均增长率提高到原来的倍，按照这个平均增长率，预计年该设备单台年均捕集量将达到多少吨？ 54．（25-26学年九上·贵州遵义汇川区·期中）为增强学生的劳动意识，养成劳动的习惯和品质，某校计划用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜地，墙长为，为了种植不同种类的蔬菜，菜地中间用篱笆隔断． （1）若围成的矩形菜地的面积为，求矩形的长和宽分别是多少米？ （2）围成的矩形菜地的面积能否为？请说明理由． 55．（25-26学年九上·贵州铜仁松桃苗族自治县·期中）今年超市以每件25元的进价购进一批商品，当商品售价为40元时，三月份销售256件，四、五月该商品十分畅销，销售量持续上涨，在售价不变的基础上，五月份的销售量达到400件． （1）求四、五这两个月销售量的月平均增长百分率． （2）经市场预测，六月份的销售量将与五月份持平，现商场为了减少库存，采用降价促销方式，经调查发现，该商品每降价1元，月销量增加5件，当商品降价多少元时，商场六月份可获利4250元？ 56．（25-26学年九上·贵州铜仁松桃苗族自治县·期中）在长方形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒． （1）填空：__________，__________用t的代数式表示）； （2）当t为何值时，的长度等于？ （3）是否存在t的值，使得五边形的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 57．（25-26学年九上·贵州毕节金沙县·期中）2025年11月1日起，新修订的《福建省非机动车管理办法》（以下简称《办法》）将正式施行．《办法》指出驾乘电动自行车必须全程佩戴安全头盔，未佩戴者将面临警告或者20元罚款．某经销商销售某品牌头盔，进价为每个50元，经统计该品牌头盔8月份销售192个，10月份销售300个，且从8月份到10月份销售量的月平均增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月平均增长率； （2）经测算在市场中，当售价为每个90元时，月销售量为200个，若在此基础上每个头盔的售价降低1元，则月销售量将增加10个．为使月销售利润达到8750元，而且需要尽快减少库存，则该品牌头盔的实际售价每个应定为多少元？ 58．（25-26学年九上·贵州毕节织金县思源实验学校·期中）对于任意一个三位数k，如果k满足各个数位上的数字都不为零，且十位上的数字的平方等于百位上的数字与个位上的数字之积的4倍，那么称这个数为“喜鹊数”，例如：，因为，所以169是“喜鹊数”． （1）已知一个“喜鹊数”（、b、，其中a，b，c为正整数）请直接写出a，b，c所满足的关系式______；判断241______“喜鹊数”（填“是”或“不是”），并写出最小的“喜鹊数”                 ； （2）利用（1）中“喜鹊数”k中的a，b，c构造两个一元二次方程①与．②若是方程①的一个根，是方程②的一个根，求m与n满足的关系式； （3）在（2）中条件下，且，请直接写出满足条件的所有k的值． 59．（25-26学年九上·贵州毕节织金县思源实验学校·期中）威宁火腿是贵州的传统特产，距今已有600多年的历史，早就闻名海内外．某火腿经销商统计了某款威宁火腿4月份到6月份的销售量，该款火腿4月份销售量为150kg，6月份销售量为216kg，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． （1）求该款火腿销售量的月增长率； （2）若该款火腿的进价为120元/kg，经在市场中测算，当售价为160元/kg时，月销售量为200kg，若在此基础上售价每上涨1元/kg，则月销售量将减少2kg，为使月销售利润达到9800元，则该款火腿的实际售价应定为多少？（利润＝售价－进价） 60．（25-26学年九上·贵州毕节织金县思源实验学校·期中）如图是一张长，宽的矩形铁皮，将其剪去两个全等的正方形和两个全等的矩形，剩余部分（阴影部分）可制成底面积是的有盖的长方体铁盒．则剪去的正方形的边长为　　　　　　． 61．（25-26学年九上·贵州毕节纳雍县·期中）某著名旅游景区在2023年国庆长假期间，共接待游客达20万人次，在2025年国庆长假期间，共接待游客达万人次． （1）求该景区2023至2025年国庆长假期间接待游客人次的年平均增长率． （2）该景区某商店销售一款旅游纪念品，每件纪念品成本价为10元，根据销售经验，在旅游旺季，若每件纪念品定价25元，则平均每天可销售300件；若每件纪念品的价格每降低1元，则平均每天可多销售30件．2025年国庆期间，店家决定进行降价促销活动，则当每件纪念品售价定为多少元时，既能让顾客获得最大优惠，又能让店家销售此款纪念品平均每天获利4680元? 62．（25-26学年九上·贵州六盘水·期中）喜迎国庆，河南省实验中学开展“摊”玩计划，万市大“集”校园创意市集活动，小华负责的摊位主题是：“探趣科学·科技改变未来”．活动开展前，小华到科技园区了解到一款独特的AI交互功能智能摆件．根据以下素材，探索完成任务． 背景素材 素材1 每个智能摆件的成本价为60元，当售价为100元时，平均每天可以售出20件． 素材2 当售价每降低1元时，平均每天就能多售出2件． 问题解决 任务1 当降价8元时，求平均每天销售智能摆件的利润； 任务2 当每天获得的利润达到1050元并且优惠力度最大时，求智能摆件的销售价； 任务3 判断每件智能摆件的利润率不低于55%，且企业每天获得1200元的利润能否实现？若能，求出销售价；若不能，请说明理由．（利润率＝） 63．（25-26学年九上·贵州贵阳第十七中学·期中）为改善生态环境，建设美丽乡村，某村规划将一块长18米，宽10米的矩形场地建设成绿化广场，如图，内部修建三条宽相等的小路，其中一条路与广场的长平行，另两条路与广场的宽平行，其余区域种植绿化，使绿化区域的面积为广场总面积的80%． （1）求该广场绿化区域的面积； （2）求广场中间小路的宽． 64．（25-26学年九上·贵州贵阳第十七中学·期中）某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为元，销售价为元时，每天可售出件，为了迎接“五一”国际劳动节，商店决定采取适当的降价措施．经市场调查发现，如果每件童装降价元，那么平均可多售出件，设每件童装降价元． （1）每天可销售______件，每件盈利_______元；（用含的代数式表示） （2）每件童装降价多少元时，平均每天盈利元． 65．（25-26学年九上·贵州铜仁沿河土家族自治县·期中）天佑城服装柜在销售中发现：“宝乐”牌童装平均每天可售出件，每件盈利元．为了迎接“十•一”国庆节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存．经市场调查发现：如果每件童装降价元，那么平均每天就可多售出件．设每件童装应降价元．据此规律，请回答：    （1）商场日销量增加几件，每件商品盈利几元（用含的代数式表示）； （2）在上述条件不变、销售正常情况下，要想平均每天在销售这种童装上盈利元，那么每件童装应降价多少？ 66．（25-26学年九上·贵州黔东南州·期中）如图是一张长，宽的长方形纸板，将纸板四个角各剪去一个同样的边长为的正方形，然后将四周突出部分折起，可制成一个无盖的长方体纸盒． （1）无盖方盒盒底的长为             ，宽为             （用含x的式子表示）． （2）若要制作一个底面积是的无盖的长方体纸盒，求剪去的正方形边长． 67．（25-26学年九上·贵州贵阳中天中学·期中）国庆节期间，某文具店开展促销活动，小红、小星去买文具后对话如下： 小红：某种钢笔的进价是每支22元； 小星：当这种钢笔的销售价为每支28元时，每天可售出160支；若每支降价1元，每天的销售量将增加40支． 根据他们的对话，解决下面问题： （1）若该种钢笔每支降价3元，文具店每天可以获得销售利润　　　元；． （2）若文具店想要每天销售该种钢笔利润为360元，又要尽可能让顾客得到实惠，求这种钢笔的销售价应定为每支多少元？ 68．（25-26学年九上·贵州贵阳中天中学·期中）已知：如图，在中，，，．点P从点A开始沿边向点以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点以的速度移动．设运动时间为． （1）填空：______，______．（用含t的代数式表示） （2）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，的面积等于？ （3）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，的长度等于？ 69．（25-26学年九上·贵州铜仁碧江区·期中）铜仁市某中学九年级开展社会实践活动，如下表是“与数同行”小组的记录表，请根据相关信息解决表中的两个问题． 铜仁市某中学社会实践记录表 团队名称 与数同行 活动时间 2025年9月20日 班级人员 王某、马某、张某 地点 蔬菜超市 实践内容 调查菠菜行情，帮助超市解决销售问题的同时，也为顾客谋实惠． 调研信息 菠菜的进价为4元/千克． 菠菜售价为元/千克时，每天可销售125千克． 每千克每涨价0.1元，每天少销售5千克． 解决问题 问题1 某天超市正好销售90千克的菠菜，则获利多少元？ 问题2 若超市想一天销售菠菜获利300元，则菠菜的售价为多少元/千克？ 70．（25-26学年九上·贵州铜仁万山区·期中）如图所示，中，，．    （1）点P从点A开始沿边向B以的速度移动，点Q从B点开始沿边向点C以的速度移动，如果P，Q分别从A，B同时出发，经过几秒，点P，Q之间的距离为? （2）点P从点A开始沿边向B以的速度移动，点Q从B点开始沿边向点C以的速度移动，如果P，Q分别从A，B同时出发，经过几秒，使的面积等于? （3）若P点沿射线方向从A点出发以的速度移动，点Q沿射线方向从C点出发以的速度移动，P，Q同时出发，几秒后，的面积为? 71．（25-26学年九上·贵州黔东南苗族·期中）为落实国务院房地产调控政策，使“居者有其屋”．某市加快了廉租房的建设力度，2013年市政府共投资3亿元人民币建设了廉租房12万平方米，2015年投资6.75亿元人民币建设廉租房，若在这两年内每年投资的增长率相同． （1）求每年市政府投资的增长率； （2）若这两年内的建设成本不变，问2015年建设了多少万平方米廉租房？ 72．（25-26学年九上·贵州贵阳清镇·期中）新华商场销售某种服装，将每件进价为130元的服装以174元售出，平均每天能售出20件．调查发现，在每件降价幅度不超过10元的情况下，这种服装的售价每降价1元，其销售量就将增加5件．根据题意，解答下列问题： （1）若这种服装的售价每件降价1元，则每件服装的利润是__________； （2）设这种服装每件降价元，则降价后平均每天可以销售这种服装__________件；（用含的代数式表示） （3）商场要想使这种服装的销售利润平均每天达到1600元，每件服装应降价多少元？ 73．（25-26学年九上·贵州铜仁碧江区·期中）已知的两边，的长是关于的方程的两个实数根． （1）当为何值时，是菱形？求出菱形的边长． （2）若的长为2，则的周长是多少? 74．（2026·贵州六盘水·一模）阅读下列材料，并完成相应的学习任务： 数学兴趣小组在进行方程专题研究的时候发现：求解一元一次方程，是根据等式的基本性质，把方程转化为的形式；求解二元一次方程组，可以把它转化为一元一次方程来解；求解三元一次方程组，可以把它转化为二元一次方程组来解；求解一元二次方程，可以把它转化为一元一次方程来解；求解分式方程，可以把它转化为整式方程来解．但由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程时必须检验．各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想——转化，把未知转化为已知． 用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如：解一元三次方程时，可以通过因式分解把它转化为，解方程和，可得方程的根． 学习任务： （1）方程的根是：，_____，_____； （2）求方程的根； （3）如图是一个篮球场的平面示意图，已知长，宽，小明在篮球场进行体育实践课时，他把一根长为的绳子两端固定在B，C两点，小明（抽象成点P）在篮球场上将绳子拉直，当点P恰好落在边上时，求的长． 75．（25-26学年九上·贵州贵阳清镇·期中）如图，一次函数的图象交轴于点，交轴于点，点在线段上（不与点A，B重合），过点分别作和的垂线，垂足为C，D． （1）的值为__________； （2）当点在线段上移动时，若矩形的面积为1，求点的坐标； （3）当点在线段上移动时，连接，求线段的最小值． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $