专题03 一元二次方程（期中真题汇编，甘肃专用）九年级数学上学期

专题03 一元二次方程 6大高频考点概览 考点01 一元二次方程的概念 考点02 配方法 考点03 公式法 考点04 因式分解法 考点05 一元二次方程的根与系数的关系 考点06 实际问题与一元二次方程 考点01 一元二次方程的概念 1．（25-26学年九上·甘肃兰州第五中学·期末）已知是关于x的方程的一个根，则m的值为（    ） A. 6 B.  C. 16 D.  【答案】A 【分析】 此题考查了一元二次方程根的定义，将代入方程即可求解． 【详解】 解：∵ 是方程 的一个根， ∴， 即， ∴ ， ∴ ． 故选：A． 2．（25-26学年九上·甘肃兰州第二十中学·期末）下列方程是一元二次方程的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了一元二次方程的定义，熟记“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程叫一元二次方程”是解题的关键．根据一元二次方程的定义逐一判断即可． 【详解】 解：A、是一元二次方程，故该选项符合题意； B、是二元一次方程，故该选项不符合题意； C、的最高次数是，故该选项不符合题意； D、中含有个未知数，故该选项不符合题意； 故选：A． 3．（25-26学年九上·甘肃定西安定区·期末）方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（     ） A. 2，，1 B. 2，3，1 C. 2，， D. 2，3， 【答案】A 【分析】 此题考查了一元二次方程的一般形式，即．其中a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．据此求解即可． 【详解】 解：∵方程中，，，， ∴二次项系数、一次项系数、常数项分别是2，，1． 故选：A． 4．（25-26学年九上·甘肃天水麦积区·期中）下列方程中，是一元二次方程的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查了一元二次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的最高次为2的整式方程叫做一元二次方程，据此逐一判断即可． 【详解】 解：A、中，未知数的最高次为1，不是一元二次方程，不符合题意； B、是一元二次方程，符合题意； C、中，含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； D、不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意； 故选：B． 5．（25-26学年九上·甘肃兰州·期中）下列方程是一元二次方程的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了一元二次方程的定义，含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，据此即可作答． 【详解】 解：A、含有两个未知数，不是一元二次方程，故选项不符合题意； B、是一元二次方程，故选项符合题意； C、的最高次数是，不是一元二次方程，故选项不符合题意； D、的最高次数是1，不是一元二次方程，故选项不符合题意； 故选：B． 6．（25-26学年九上·甘肃定西·期中）在下列方程中，属于一元二次方程的是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查一元二次方程的定义，需同时满足三个条件：一个未知数、最高次为2、整式方程． 根据一元二次方程的定义（只含一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程）进行判断． 【详解】 解：∵ A∶ 只含一个未知数x，且最高次数为2，是整式方程，∴ 是一元二次方程，符合题意； ∵ B∶ 含有两个未知数x和y，∴ 不是一元二次方程，不符合题意； ∵ C∶ 是分式方程，不是整式方程，∴ 不是一元二次方程，不符合题意； ∵ D∶ 化 简后为 ，是一元一次方程，∴ 不是一元二次方程，不符合题意； 故选：A． 7．（25-26学年九上·甘肃兰州·期中）下列方程中，是一元二次方程是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了一元二次方程的定义，关键掌握只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是（且．特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点． 根据一元二次方程的定义求解，一元二次方程必须满足两个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0． 【详解】 解：A、，是关于的一元二次方程，故本选项符合题意． B、，是二元一次方程，故本选项不符合题意． C、，是不等式，故本选项不符合题意． D、，当时，不是一元二次方程，故本选项不符合题意． 故选：A． 8．（25-26学年九上·甘肃陇南武都区·期中）下列方程中，一定是一元二次方程的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查一元二次方程的定义，掌握相关知识是解决问题的关键． 一元二次方程是只含一个未知数，且未知数最高次数为2的整式方程，据此判断即可． 【详解】 解：A、是一元一次方程，故本选项不符合题意； B、含有两个未知数，故本选项不符合题意； C、是一元二次方程，故本选项符合题意； D、没有说明，故本选项不符合题意． 故选：C． 9．（九上·甘肃白银·期中）方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（     ） A. 1，6，1 B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】B 【分析】 本题考查了一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项的概念，解题的关键是明确一元二次方程一般形式中各项系数的定义并注意符号． 先明确一元二次方程的一般形式为（），其中是二次项系数，是一次项系数，是常数项；题目所给方程已为一般形式，直接根据定义提取对应系数即可． 【详解】 解：一元二次方程的一般形式为（），其中为二次项系数，为一次项系数，为常数项． 已知方程符合一般形式，可得二次项系数，一次项系数，常数项， 故选：B． 10．（25-26学年九上·甘肃庆阳镇原县·期中）将方程化成的形式，则的值为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了将一元二次方程化为一般式． 将原一元二次方程化为一般式，比较系数即可． 【详解】 解：原方程为， 移项得， 与比较得，，． 故选：B． 11．（25-26学年九上·甘肃武威凉州区谢河中学·期中）下列方程中，关于的一元二次方程的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查一元二次方程的判断，根据一元二次方程的定义（只含一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程）判断各选项． 【详解】 解：∵ 一元二次方程需满足：①一个未知数；②最高次数为2；③整式方程． A． ，最高次数为3，不符合题意； B． ，含有两个未知数，不符合题意； C． ，只含x，最高次数为2，且为整式方程，符合题意； D． ，含有分式，不是整式方程，不符合题意． ∴ 关于x的一元二次方程是C项． 故选：C． 12．（25-26学年九上·甘肃酒泉第七中学·期中）下列方程中，属于一元二次方程的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 此题主要考查一元二次方程的识别，解题的关键是熟知一元二次方程的定义； 根据根据只含有一个未知数，且含未知数的最高项的次数为2的整式方程是一元二次方程进行判断即可． 【详解】 A、是二元一次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； B、是分式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； C、含有两个未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； D、仅含未知数，最高次数为2，且为整式方程，是一元二次方程，故本选项符合题意； 故选：D． 13．（25-26学年九上·甘肃酒泉肃州区·期中）一元二次方程x2-x-3＝0的一次项系数，常数项分别是（       ） A. 1，3 B. -1，3 C. -1，-3 D. 1，-3 【答案】C 【分析】 根据一元二次方程的一般形式：（a，b，c是常数且a≠0）中，叫二次项，叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项，直接进行求解即可． 【详解】 解：一元二次方程的一次项系数、常数项分别是-1，-3． 故选：C． 【点睛】 此题主要考查了一元二次方程的一般形式，解题的关键是掌握一元二次方程一般形式及相关概念． 14．（25-26学年九上·甘肃兰州红古区·期中）一元二次方程的一次项系数是（       ） A. 1 B. 2 C. -5 D. 0 【答案】B 【分析】 本题考查一元二次方程定义．根据题意利用一元二次方程一般形式即可得到本题答案． 【详解】 一元二次方程的一次项系数是2． 故选：B． 15．（25-26学年九上·甘肃定西临洮县·期中）一元二次方程 的二次项系数、一次项系数和常数项分别为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查一元二次方程的定义，掌握相关知识是解决问题的关键．一元二次方程的一般形式为，据此解答即可． 【详解】 解：一元二次方程 的二次项系数、一次项系数和常数项分别为． 故选：C． 16．（25-26学年九上·甘肃兰州第八十一中学·期中）若关于的一元二次方程的一个根为1，则的值为（       ） A. 1 B.  C. 2 D.  【答案】C 【分析】 本题考查一元二次方程的解，将代入方程，进行求解即可．掌握方程的解是使方程成立的未知数的值，是解题的关键． 【详解】 解：由题意，得：， ∴； 故选C． 17．（25-26学年九上·甘肃白银景泰）下列方程是一元二次方程的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义逐项分析判断，即可求解．只含有一个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是 2 的整式方程叫一元二次方程．据此求解即可． 【详解】 解：A．，含有分式，不是一元二次方程，故该选项不正确，不符合题意； B．，含有 2 个未知数，不是一元二次方程，故该选项不正确，不符合题意；        C．，是一元二次方程，故该选项正确，符合题意； D．，是一元一次方程，故该选项不正确，不符合题意；        故选：C． 18．（25-26学年九上·甘肃柏树中学·期中）若关于的方程是一元二次方程，则满足的条件是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查的是一元二次方程的定义，根据定义准确确定参数值是解题的关键． 根据一元二次方程的定义，含有一个未知数，且含有未知数的最高次项为2，可知二次项系数不为0，即，由此即可求得结果． 【详解】 解：由题意可知， 即：， 故选：B． 19．（25-26学年九上·甘肃平凉·期末）若是方程的根，则代数式的值是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 由是方程的根，得，代入代数式计算即可；本题主要考查了一元二次方程的根的定义，代数式求值，熟练掌握一元二次方程的根的定义和整体思想是解题的关键． 【详解】 解：∵是方程的根， ∴， 即， ∴． 故选：D． 20．（25-26学年九上·甘肃天水甘谷县·期中）下列式子是关于x的一元二次方程的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是（且）．特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．利用一元二次方程的定义判断即可． 【详解】 A、当时，该方程不是一元二次方程，故本选项不符合题意； B、,该方程含有两个未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； C、化简为，故不是一元二次方程，故本选项不符合题意； D、是一元二次方程，故本选项符合题意； 故选：D． 21．（25-26学年九上·甘肃兰州第五十四中学）以下关于的方程中，是一元二次方程的有（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题主要考查一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键；判断方程是否为一元二次方程，需满足三个条件：只含一个未知数、未知数的最高次数为2、是整式方程（分母中不含未知数，根号下不含未知数），然后问题可求解． 【详解】 解：对于A：∵当时，方程是一元二次方程，∴不一定是一元二次方程； 对于B：∵方程分母中含未知数x，∴是分式方程，不是一元二次方程； 对于C：∵方程根号下含未知数x，∴是无理方程，不是一元二次方程； 对于D：∵方程只含未知数x，最高次数为2，是整式方程，∴是一元二次方程； 故选：D． 22．（25-26学年九上·甘肃天水逸夫实验学校·期中）若关于的一元二次方程的一个根是，则的值为（       ） A. 2 B.  C. 2或 D.  【答案】A 【分析】 本题考查一元二次方程的定义和一元二次方程的解，二次项系数不为．由一元二次方程的定义，可知；一根是，代入可得，即可求答案． 【详解】 解：是关于的一元二次方程， ，即 由一个根，代入， 可得，解之得； 由得； 故选A 23．（25-26学年九上·甘肃兰州·期中）若是方程的一个根，则的值为（     ） A. 2025 B.  C. 2017 D.  【答案】D 【分析】 本题考查一元二次方程的解和代数式求值，熟记一元二次方程解的定义是解决问题的关键． 利用方程根的定义得到，再整体代入代数式计算即可得到答案． 【详解】 解：∵是方程的一个根， ∴， ∴， 将整体代入得， ， 故选：D． 24．（25-26学年九上·甘肃酒泉第七中学·期中）已知关于x的一元二次方程 ，其中一次项系数被图迹污染了，若这个方程的一个根为，则一次项系数为（     ） A. 2 B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题主要考查了一元二次方程的解、一元二次方程的定义等知识点，熟练掌握一元二次方程的解，一元二次方程的定义是解题的关键． 设一元二次方程为，将代入方程求解即可． 【详解】 解：设一元二次方程为， 将代入得，，解得，， ∴一次项系数为． 故选：C． 25．（25-26学年九上·甘肃酒泉肃州区·期中）一元二次方程中，二次项系数、一次项系数、常数项依次是（　　） A. 3，8，5 B. 3，，5 C. ，， D. ，8， 【答案】B 【分析】 根据一元二次方程的定义解答． 【详解】 解：的二次项系数是3，一次项系数是，常数项是5． 故选：B． 【点睛】 本题考查了一元二次方程的一般形式是：（，，是常数且）特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中叫二次项，叫一次项，是常数项．其中，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 26．（25-26学年九上·甘肃武威凉州区·期中）下列方程中，关于x的一元二次方程是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查一元二次方程的定义，解题的关键是掌握一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程．依次分析每个选项是否符合一元二次方程的定义． 【详解】 解：A、方程，展开可得，即，整理为．它只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2，是整式方程，所以是一元二次方程，符合题意； B、方程，分母中含有未知数，是分式方程，不是整式方程，所以不是一元二次方程，不符合题意； 、方程，当时，方程变为，此时未知数的最高次数是1，不是一元二次方程，所以该方程不一定是一元二次方程，不符合题意； D、方程，展开得，整理可得，未知数的最高次数是1，是一元一次方程，不是一元二次方程，不符合题意； 故选：A． 27．（25-26学年九上·甘肃武威凉州区·期中）关于的一元二次方程 的常数项被墨迹覆盖，已知是该方程的一个解，则被墨迹覆盖的常数为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 此题考查了一元二次方程的解，设常数项为，然后把代入方程即可求解，解题的关键是熟记把方程的解代入原方程，等式左右两边相等． 【详解】 解：设常数项为，将代入原方程得：， 解得：， 故选：． 28．（25-26学年九上·甘肃陇南西和县）下列方程是一元二次方程的是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查的是一元二次方程，解题关键是掌握只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程叫一元二次方程．根据一元二次方程的定义逐一判断即可． 【详解】 A：展开得 ，是整式方程，仅含未知数，且最高次数为2，符合一元二次方程的定义； B：含两个未知数和，属于二元一次方程，不符合“一元”条件； C：含分式，不是整式方程，不符合定义； D：最高次数为1，属于一元一次方程，不符合“二次”条件； 故选：A． 29．（25-26学年九上·甘肃吴家井中学·期中）已知是方程的根，则代数式的值为（     ） A.  B.  C. 或 D.  【答案】A 【分析】 本题考查了一元二次方程的解，代数式求值，根据题意得出，代入代数式即可求解． 【详解】 解：∵是方程的根， ∴． ∴． ∴． 故选：A． 30．（25-26学年九上·甘肃酒泉第七中学·期中）已知是一元二次方程的一个解，则m的值为（       ） A. 3 B.  C. 0 D. 0或3 【答案】B 【分析】 将代入一元二次方程，解方程即可得到答案． 【详解】 解：由题意得， 解方程得， 故选：B． 【点睛】 本题考查一元二次方程的解，掌握能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值就是一元二次方程的解是解答本题的关键．． 31．（25-26学年九上·甘肃定西渭源县·期末）已知关于x的一元二次方程的一个根是2，写出一个符合条件的方程：　　　　　　． 【答案】（答案不唯一） 【分析】 本题考查的是一元二次方程的解，有一个根是2的一元二次方程有无数个，只要含有因式的一元二次方程都有一个根是2，写出一个符合条件的方程就行．有一个根是2的一元二次方程有无数个，写出一个符合条件的方程就可以． 【详解】 解：形如的一元二次方程都含有一个根是2， 所以当，时，可以写出方程：． 故答案可以是：（答案不唯一）． 32．（25-26学年九上·甘肃陇南·期末）一元二次方程的一次项系数是　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程一般形式的定义．根据一元二次方程一般形式的定义，一次项系数是方程中一次项的系数，进行作答即可． 【详解】 解：一元二次方程的一次项系数是， 故答案为：． 33．（25-26学年九上·甘肃平凉·期末）已知关于的一元二次方程有一个根是，写出一个符合条件的一元二次方程：　　　　　　　　　　　　　　． 【答案】（答案不唯一） 【分析】 本题考查了一元二次方程的解．根据题意写出一个根是的一元二次方程即可． 【详解】 解：∵关于x的一元二次方程的一个根是， ∴方程有很多， 如方程有一个根是． 故答案为（答案不唯一）． 34．（25-26学年九上·甘肃兰州第八十一中学·期末）已知是方程的一个根，则　　　　　　　　． 【答案】2025 【分析】 本题考查一元二次方程的解，将代入，得到，即可求得的值． 【详解】 解：∵m是方程的一个根， ∴， ∴． ∴， 故答案为：2025． 35．（25-26学年九上·甘肃武威凉州区谢河中学·期中）若是关于x的一元二次方程，则m的取值范围为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键；根据一元二次方程的定义，二次项系数不能为零进行求解即可． 【详解】 解：由于方程是关于的一元二次方程，因此二次项系数，解得； 故答案为 ． 36．（25-26学年九上·甘肃兰州红古区·期中）当　　　　时，关于的方程是一元二次方程． 【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程的概念，注意一元二次方程中，方程最高次数为二次；二次项系数． 【详解】 解：由题意可得：，且， 解得：． 故答案为：． 37．（25-26学年九上·甘肃定西临洮县·期中）关于x的一元二次方程有一个根是，写出一个符合条件的一元二次方程：　　　　　　　． 【答案】（答案不唯一） 【分析】 本题考查了一元二次方程的解；根据题意写出一个根是的一元二次方程即可． 【详解】 解：∵关于x的一元二次方程的一个根是， ∴方程有很多， 如方程，当时，， ∴有一个根是． 故答案为（答案不唯一）． 38．（25-26学年九上·甘肃兰州第八十一中学·期中）已知是关于的一元二次方程，则　　　　　　． 【答案】2 【分析】 本题考查一元二次方程的定义．熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程叫做一元二次方程，其一般形式为．根据一元二次方程的定义来求解即可． 【详解】 解：是关于的一元二次方程， ． 故答案为：2． 39．（25-26学年九上·甘肃陇南西和县）已知关于x的一元二次方程：的一个根是2，则k的值是　　　　　　　　　　　． 【答案】2 【分析】 本题考查了一元二次方程的解的概念：使一元二次方程左右两边的值相等的未知数的值，掌握此概念是解题的关键；由题意，把一元二次方程的根代入方程中，即可求解． 【详解】 解：∵关于x的一元二次方程：的一个根是2， ∴， 解得：； 故答案为：2． 40．（25-26学年九上·甘肃庆阳镇原县·期末）一元二次方程化成一般形式为　　　　　　　　． 【答案】或 【分析】 此题考查了一元二次方程的一般形式，即．其中a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项． 先将方程左边展开，然后移项使所有项位于左边，右边为0，最后合并同类项得到一般形式． 【详解】 解：， 去括号：， 移项：， 合并同类项：， 方程两边同除以2，得 ， 故答案为：或． 41．（25-26学年九上·甘肃天水·期末）若关于x的一元二次方程（a - 1）x2 - ax + a2 = 1的一个根为0．则a = 　　　　　　　　． 【答案】-1 【分析】 根据一元二次方程的定义及根的意义，得到，求解即可． 【详解】 关于x的一元二次方程（a - 1）x2 - ax + a2 = 1的一个根为0 故答案为：-1． 【点睛】 本题考查了一元二次方程的定义及一元二次方程的解，熟练掌握知识点是解题的关键． 42．（25-26学年九上·甘肃天水张家川回族自治县·期末）请写出一个关于x的一元二次方程，且它的一个根为，则这个方程可以是　　　　　　　　（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】 本题考查了一元二次方程的解，掌握一元二次方程的解是满足方程的未知数的值是解题的关键． 利用一元二次方程的解的定义写出一个满足题意的方程即可． 【详解】 解：一元二次方程的一个根为. 故答案为：（答案不唯一）． 43．（25-26学年九上·甘肃武威凉州区吴家井中学·期末）若方程是关于x的一元二次方程，则a的值为　　　　　　　． 【答案】2 【分析】 本题主要考查了根据一元二次方程的定义求参数，根据一元二次方程的定义，未知数的最高次数为2，且二次项系数不为0，据此求解即可． 【详解】 解：根据题意，方程是关于的一元二次方程， ∴，解得或 ， 当时，二次项系数，不符合一元二次方程的条件， 当时，二次项系数，符合一元二次方程的条件， ∴a的值为2． 故答案为：2． 44．（25-26学年九上·甘肃陇南武都区·期末）已知一元二次方程 的一个根为m，则 的值为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程的解的定义，代数式求值，由已知可得，再整体代入代数式计算即可求解，掌握一元二次方程的解的定义是解题的关键． 【详解】 解：∵一元二次方程的一个根为， ∴，即， ∴． 故答案为：． 45．（25-26学年九上·甘肃陇南·期末）若方程是一元二次方程，则　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程的定义．根据一元二次方程的定义，未知数的最高次数为2且二次项系数不为零，列出条件求解． 【详解】 解：由一元二次方程的定义，需满足： 解得， 所以． 又，即， 因此． 故答案为：． 46．（25-26学年九上·甘肃天水麦积区·期中）已知是一元二次方程的一个根，则的值是　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程的定义，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，注意一元二次方程（a、b、c是常数）的二次项系数不为零． 根据一元二次方程的解得定义把代入一元二次方程，即可求出待定系数a的值，注意：一元二次方程的二次系数不为零． 【详解】 解：将代入得， 故 故答案为： 47．（25-26学年九上·甘肃定西·期中）关于的一元二次方程的一个根是0，求的值． 【答案】 【分析】 将代入方程后，解方程即可． 【详解】 解：将代入方程， 得：， ∴，， 由一元二次方程可知， ∴的值为． 【点睛】 本题考查了一元二次方程的定义、一元二次方程的解和解一元二次方程，解题关键是理解方程的解的含义，本题容易忽略的隐含条件． 48．（25-26学年九上·甘肃兰州·期中）已知关于x的方程是一个一元二次方程，则　　　　　　　　　　　　　　． 【答案】1 【分析】 本题考查的是一元二次方程的定义，熟记定义是解本题的关键． 由关于的方程是一元二次方程，可得，，从而可得答案． 【详解】 解：关于的方程是一元二次方程， ，， 解得：． 故答案为：1． 49．（25-26学年九上·甘肃酒泉肃州区·期中）已知是关于x的一元二次方程，则　　　　　　． 【答案】1 【分析】根据一元二次方程的定义求解即可． 【详解】解：由题意，得 ， 解得， 故答案为1． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程． 50．（25-26学年九上·甘肃武威凉州区·期中）已知是关于的一元二次方程，则　　　　　． 【答案】1 【分析】 本题考查一元二次方程的定义，解题的关键是根据一元二次方程的定义列出关于的条件并求解． 根据一元二次方程的定义，未知数最高次数是2且二次项系数不为0，根据题意列出关于的条件，进而求解的值． 【详解】 解：因为是关于的一元二次方程，所以需要满足： 二次项系数不为0，即，解得， 未知数的最高次数是2，即， 解，可得，即或， 又因为．所以． 故答案为：1． 51．（25-26学年九上·甘肃白银景泰）若是一元二次方程的一个根，则的值为　　　　　　． 【答案】 【分析】 此题考查了一元二次方程的解，把代入方程即可求解，熟练掌握一元二次方程的解是解题的关键． 【详解】 解：将代入原方程得：， 解得：， 故答案为：． 52．（25-26学年九上·甘肃柏树中学·期中）已知m是方程的一个根，则的值为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查方程的根的定义，整式的运算，熟练掌握方程的根的定义和整体代入思想是解题的关键，根据题意得到，，再化简，代入即可得到答案． 【详解】 解：∵m是方程的一个根， ∴ ∴，， ∴ ． 故答案为：． 53．（25-26学年九上·甘肃吴家井中学·期中）已知关于x的方程是一元二次方程，则m的值为　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查的是一元二次方程的定义：“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程，叫做一元二次方程”，熟练掌握一元二次方程的定义是解题关键． 由一元二次方程的定义得到，，由此即可求解． 【详解】 解：∵方程是一元二次方程， ∴，， ∴， 故答案为：． 54．（25-26学年九上·甘肃酒泉第二中学·期中）关于x的一元二次方程 有一根为0，则　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 把代入方程，得到关于的方程，结合一元二次方程的二次项系数不为0，进行求解即可. 【详解】 解：由题意，且， 解得. 55．（25-26学年九·甘肃张掖民乐县·期末）已知是关于的一元二次方程，则方程中m的值为　　　　　　． 【答案】1 【分析】 本题主要考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义，未知数的最高次数为2，且二次项系数不为零，由此列出条件求解． 【详解】 由于方程是关于 的一元二次方程，则 的最高指数 ，且二次项系数 ， 解 ，得 ，即 ， 当 时，，二次项系数为零，不符合条件， 当 时，，符合条件， 故 ， 故答案为：． 56．（25-26学年九上·甘肃定西·期中）关于的方程是一元二次方程，则　　　　　　　　　　　． 【答案】3 【分析】 本题主要考查一元二次方程的定义和解一元二次方程，根据一元二次方程的定义，方程中未知数的最高次数为2且二次项系数不为零，据此列出条件方程求解即可． 【详解】 解：由一元二次方程的定义，得 且 ， 得 ， 即 ， ， 解得 或 ． 又因为 ， 所以 ， 因此 ． 故答案为：3． 57．（25-26学年九上·甘肃酒泉肃州区·期中）若关于x的方程＝0是一元二次方程，则a＝　　　　． 【答案】﹣1． 【分析】根据一元二次方程的定义得到由此可以求得a的值． 【详解】解：∵关于x的方程（a﹣1）xa2+1﹣7＝0是一元二次方程， ∴a2+1＝2，且a﹣1≠0， 解得，a＝﹣1． 故答案为﹣1． 【点睛】本题考查了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0（且a≠0）． 58．（25-26学年九上·甘肃武威凉州区·期中）已知是方程的一个根，则代数式的值等于　　　　　　　　　　　 【答案】6 【分析】 本题主要考查了一元二次方程的解，能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 把代入得，即，然后把变形为，然后利用整体代入计算即可． 【详解】 解：把代入得， ∴， ∴． 故答案为：6． 59．（25-26学年九上·甘肃定西临洮县·期中）若是关于x的方程的解，则多项式的值是　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查一元二次方程的解，由是关于x的方程的解得到，再代入求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】 解：∵是关于x的方程的解， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 考点02 配方法 1．（25-26学年九上·甘肃白银·期末）如果关于x的方程可以用直接开平方法求解，那么m的取值范围是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据直接开平方法的特点即可解答． 【详解】 解：∵， ∴， 解得， 故选D 【点睛】 本题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，理解能直接开平方的数是非负数成为解题的关键． 2．（25-26学年九上·甘肃兰州·期中）用配方法解方程时，配方结果正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了配方法解一元二次方程，解题关键是掌握配方法解一元二次方程． 先将常数项移到方程的右边，再在两边加上一次项系数一半的平方即可． 【详解】 解：， 移项，得， 两边同时加上9，得， 即， 故选：A． 3．（25-26学年九上·甘肃定西·期中）用配方法解方程x2+6x+4=0，下列变形正确的是（　　） A. （x+3）2=﹣4 B. （x﹣3）2=4 C. （x+3）2=5 D. （x+3）2=± 【答案】C 【详解】 x2+6x+4=0， 移项，得x2+6x=-4， 配方，得x2+6x+32=－4+32， 即（x+3）2=5． 故选C． 4．（25-26学年九上·甘肃兰州榆中县·期末）若关于x的一元二次方程配方后得到，则c的值为（     ） A. 0 B. 3 C. 6 D. 9 【答案】C 【分析】 本题主要考查了配方法解一元二次方程，先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时一次项系数一半的平方进行配方即可得到答案． 【详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 5．（25-26学年九上·甘肃临夏州·期末）用配方法解一元二次方程，配方后所得的方程是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题主要考查了一元二次方程配方法的解题步骤，准确计算是解题的关键． 通过配方法，将方程转化为完全平方式的形式即可． 【详解】 ， ， ， ． 故选． 6．（25-26学年九上·甘肃天水甘谷县·期中）用配方法解方程时，配方后所得的方程（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了配方法解一元二次方程．使用配方法，将方程左边配成完全平方式，据此进行分析，即可作答． 【详解】 解：∵， ∴， ∴， 即配方后方程为， 故选：A 7．（25-26学年九上·甘肃天水麦积区·期中）用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是(     ) A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了配方法解一元二次方程．先将常数项移到等号右边，再在两边同时加上一次项系数一半的平方，最后根据完全平方公式即可完成配方，即可求解． 【详解】 解：， ∴， ∴， 即， 故选：D． 8．（25-26学年九上·甘肃天水逸夫实验学校·期中）一元二次方程，配方后可变形为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查配方法解一元二次方程，掌握相关知识是解决问题的关键．使用配方法将一元二次方程变形为完全平方形式． 【详解】 解：∵ ， ∴ ， ∴， ∴ ， 故选：A． 9．（25-26学年九上·甘肃临夏州·期中）用配方法解一元二次方程时，方程两边应同时（     ） A. 加10 B. 减10 C. 加25 D. 减25 【答案】C 【分析】 本题考查配方法．方程两边都加上一次项系数一半的平方，本题中将一次项看成，这样就可以知道配方项为从而为求解本题． 【详解】 解： ，即 故用配方法解方程时，方程两边应同时加上25， 故选：C 10．（25-26学年九上·甘肃酒泉肃州区·期中）若把方程化为的形式，则的值是（       ） A. 5 B. 2 C.  D.  【答案】A 【分析】 根据配方法求解即可． 【详解】 解：将配方得， ， 则， 故选A． 【点睛】 本题考查了配方法解一元二次方程，掌握配方法是解题的关键． 11．（25-26学年九上·甘肃酒泉肃州区·期中）一元二次方程x2+6x﹣5=0配方后变形正确的是（　　） A. （x﹣3）2=14 B. （x+3）2=4 C. （x+6）2= D. （x+3）2=14 【答案】D 【详解】 先移项，得x2+6x=5，配方，得x2+6x+32=5+32，即（x+3）2=14． 故选D． 【点睛】 配方的时候，若二次项系数不为1，要化为1，然后在方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方． 12．（25-26学年九上·甘肃陇南·期中）用配方法解方程2x2﹣8x﹣15=0，配方后的方程是（） A. （x﹣2）2=19 B. （x﹣4）2=31 C. （x﹣2）2= D. （x﹣4）2= 【答案】C 【详解】解：∵2x2-8x-15=0，∴2x2-8x=15，x2-4x= ，x2-4x+4=+4，（x-2）2=．故选C． 13．（25-26学年九上·甘肃兰州第八十一中学·期中）用配方法解方程，变形后的结果正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了配方法解一元二次方程．熟练掌握配方法的步骤是解题的关键．将给定的一元二次方程通过配方法使方程左边成为完全平方式的形式即可． 【详解】 解：∵方程, ∴配方需加于两边, 得, 即. ∴变形后结果为． 故选：C. 14．（25-26学年九上·甘肃白银景泰）用配方法解方程，下列配方正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 把常数项移到方程右侧，再把方程两边加上1，然后把方程左边写成完全平方的形式即可． 【详解】 解：由原方程移项，得， 等式的两边同时加上，得， 配方，得． 故选：B． 【点睛】 本题考查了解一元二次方程﹣配方法：将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法． 15．（25-26学年九上·甘肃陇南西和县）用配方法解方程时，配方后得到的方程为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了利用配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题关键．利用完全平方公式进行配方即可得． 【详解】 解：， ， ， ， 故选：C． 16．（25-26学年九上·甘肃兰州红古区·期中）将一元二次方程化成（为常数）的形式，则的值分别是（   ） A. ， B. 3，18 C. 3， D. ，18 【答案】D 【分析】 将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可得出答案． 【详解】 解：∵， ∴x2-6x=9， 则x2-6x+9=9+9，即（x-3）2=18， ∴a=-3，b=18， 故选：D． 【点睛】 本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 17．（25-26学年九上·甘肃兰州·期末）解方程：； 【答案】， 【分析】 本题考查了用配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是关键．移项，配方，开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可． 【详解】 解：原方程移项得：， ， ， ， ． 18．（25-26学年九上·甘肃酒泉第七中学·期中）用指定方法解下列一元二次方程 （1）（直接开平方法） （2）（配方法） （3）（公式法） （4）（因式分解法） 【答案】（1），     （2），     （3），     （4），      【分析】 （1）方程变形后，利用平方根定义开方即可求出解； （2）方程利用配方法求出解即可； （3）方程利用公式法求出解即可； （4）方程利用因式分解法求出解即可． (1) 小问详解： 解：， 移项，得， 两边都除以3，得， 两边开平方，得， 移项，得， 解得：，； (2) 小问详解： 解：， 两边都除以2，得， 移项，得， 配方，得，即， 解得：， 即，； (3) 小问详解： 解：， 这里，，， ， ， 解得：，； (4) 小问详解： 解：， 方程左边因式分解，得，即， 解得：，． 【点睛】 此题考查了解一元二次方程因式分解法，公式法与直接开平方法，熟练掌握各种解法是解本题的关键． 19．（25-26学年九上·甘肃平凉庄浪县·期末）解方程：． 【答案】 【分析】 本题考查了解一元二次方程． 整理后根据直接开平方法求解即可． 【详解】 解：， ， ， ， ． 20．（25-26学年九上·甘肃天水·期末）解方程：x2﹣4x﹣7=0． 【答案】x1=2+，x2=2﹣． 【分析】 移项后配方得出x2-4x+4=7+4，推出（x-2）2=11，开方后得出方程x-2=±，求出方程的解即可． 【详解】 解：移项得：x2﹣4x=7 配方得：x2﹣4x+4=7+4 即（x﹣2）2=11 开方得：x﹣2=± ∴原方程的解是：x1=2+，x2=2﹣． 【点睛】 本题考查了解一元一次方程和用配方法解一元二次方程的应用，关键是配方后得出（x-2）2=11，题目比较典型，难度适中． 21．（25-26学年九上·甘肃酒泉肃州区·期末）用配方法解一元二次方程，则方程可变形为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了用配方法解一元二次方程．先移项，再两边配上，写成完全平方公式即可． 【详解】 解：， 移项得， ∴， ∴， 故答案为：． 22．（25-26学年九上·甘肃兰州红古区·期末）用配方法解方程：． 【答案】， 【分析】 此题主要考查利用配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法解方程的步骤是解题的关键．根据配方法将方程变形，写出完全平方的形式，即可求解． 【详解】 解：配方，得， 即．                          两边开平方，得 ， 即，或， ，． 23．（25-26学年九上·甘肃天水逸夫实验学校·期中）解下列方程： （1） （2） 【答案】（1）x1=-1或x2=3；（2）x1=或x2= 【分析】 （1）利用直接开平方法求解可得； （2）利用配方法求解可得． 【详解】 解：（1）， ∴， ∴， ∴， 解得：x1=-1或x2=3； （2）， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：x1=或x2=． 【点睛】 本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 24．（25-26学年九上·甘肃兰州·期中）用配方法解方程：． 【答案】 【分析】 本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，是解题的关键．利用配方法解答，即可求解． 【详解】 解：， ， ， ， ， 所以． 25．（25-26学年九上·甘肃临夏州·期中）解方程：． 【答案】． 【分析】 本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法． 利用配方法求解即可． 【详解】 解：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 26．（九上·甘肃白银·期中）解方程：． 【答案】， 【分析】 本题主要考查了配方法解一元二次方程，先整理，再配方，即加上一次项系数的一半的平方，然后开方求出解即可． 【详解】 解：， 整理，得， 配方，得， 即， ∴， ∴，． 27．（25-26学年九上·甘肃庆阳镇原县·期中）以下是嘉嘉在用配方法解一元二次方程的过程： 解：移项，得， 配方，得，， 开平方，得， 移项，得， 所以． 嘉嘉的解答过程是否有误？如果有错，请写出正确的解答过程． 【答案】解：嘉嘉的解答过程有误，正确解答过程如下： 配方，得，， 开平方，得，移项，得， 所以，． 【分析】 此题主要考查了解一元二次方程，正确掌握配方法解方程的步骤是解题关键． 直接利用配方法解一元二次方程的方法进而分析得出答案． 【详解】 略 28．（25-26学年九上·甘肃兰州红古区·期中）解方程： 【答案】， 【分析】 本题主要考查了解一元二次方程，灵活运用配方法解一元二次方程成为解题的关键． 直接运用配方法求解即可． 【详解】 解：， ， ， ， ， 29．（25-26学年九上·甘肃定西临洮县·期中）解方程： 【答案】x=-1或x=3 【分析】 本题利用直接开平方法即可求出答案． 【详解】 解：x-1=±2， x-1= 2或x-1=-2， 解得：x=-1或x=3． 【点睛】 本题考查了直接开平方法解一元二次方程，能够根据方程特点选取不同的解法是解题关键． 30．（25-26学年九上·甘肃陇南西和县）用配方法解一元二次方程： 【答案】， 【分析】 本题考查了解一元二次方程，根据配方法解一元二次方程，即可求解． 【详解】 解：， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：，． 31．（25-26学年九上·甘肃平凉·期末）解方程：（配方法）． 【答案】，． 【分析】先移项得到x2+2x=3，再把方程两边加上1得到x2+2x+1=3+1，即（x+1）2=4，然后利用直接开平方法求解． 【详解】∵x2+2x=3，x2+2x+1=3+1，即（x+1）2=4，∴x+1=±2，∴x1=1，x2=﹣3． 【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣配方法：先把方程二次项系数化为1，再把常数项移到方程右边，然后把方程两边加上一次项系数的一半得平方，这样方程左边可写成完全平方式，再利用直接开平方法解方程． 32．（25-26学年九上·甘肃陇南武都区·期末）【阅读材料】 配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指把形如的二次三项式或（其一部分）配成完全平方式的方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即，配方法在解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等问题中都有着广泛应用． 例：求代数式的最小值． 解：， ，． 当时，的最小值为1． 【类比探究】 （1）按照上述方法，用配方法求代数式最小值； 【灵活运用】 （2）试说明：无论取何实数，二次根式都有意义． 【答案】（1）5； （2）无论取何实数，二次根式都有意义，理由如下： ， ， 当时，的最小值为5． 又， 无论取何实数，二次根式都有意义． 【分析】 本题考查了配方法的应用、二次根式有意义的条件，熟练掌握完全平方公式是解此题的关键． （1）仿照题干所给例子求解即可； （2）仿照题干所给例子求出当时，的最小值为5，再根据二次根式有意义的条件判断即可得解． 【详解】 （1）解：， ， ， 当时，的最小值是5； （2） 略 33．（25-26学年九上·甘肃张掖临泽县·期中）用合适的方法解下列方程 （1） （2） 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法，是解题的关键： （1）利用配方法解方程即可； （2）利用配方法解方程即可． (1) 小问详解： 解：， ， ， ， ∴， ∴； (2) 小问详解： ， ， ， ， ∴， ∴． 34．（25-26学年九上·甘肃天水麦积区·期中）对于有理数，，定义：当时，；当时，．若，则的值为　　　　　　． 【答案】36 【分析】 根据与40的大小，再根据，从而确定m，n的值即可得出的值． 【详解】 解：∵， ∴40≤； ∴ ∴（m+6）2+（n-2）2≤0， ∵（m+6）2+（n-2）20， ∴m+6=0，n-2=0， ∴m=-6，n=2， ∴ 故答案为：36． 【点睛】 本题考查了配方法的应用和非负数的性质．根据题意理解新定义的计算公式是解题的关键． 35．（25-26学年九上·甘肃陇南）用配方法解方程：． 【答案】 【分析】 本题主要考查了利用配方法解一元二次方程，按照配方法的过程解方程即可． 【详解】 解： 则． 考点03 公式法 1．（25-26学年九上·甘肃兰州第二十中学·期末）方程的根的情况是（       ） A. 有一个实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 无实数根 【答案】B 【分析】 本题考查了一元二次方程的根的判别式：① 当，方程有两个不相等的实数根；② 当，方程有两个相等的实数根；③ 当，方程没有实数根．先求出的值，再判断，即可解题． 【详解】 解：在一元二次方程中， ∵，，， ， 一元二次方程有两个不相等的实数根， 故选：B． 2．（25-26学年九上·甘肃酒泉肃州区·期末）关于x的一元二次方程（m-1）x²+2x－1=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（     ） A. m＜－1 B. m＞0 C. m＜1且m≠0 D. m＞0且m≠1 【答案】D 【分析】由关于的一元二次方程（m-1）x²+2x－1=0有两个不相等的实数根,根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义可得m-1≠0且△>0,即2-4(m-1)(-1) >0,两个不等式的公共解即为m的取值范围. 【详解】解：关于x的一元二次方程（m-1）x²+2x－1=0有两个不相等的实数根, （m-1）≠0,且△＞0， 即2-4(m-1)(-1)>0,解得m>0, m的取值范围为m>0且m≠1, m>0且m≠1时, 关于x的一元二次方程（m-1）x²+2x－1=0有两个不相等的实数根. 故选D. 【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式. 3．（25-26学年九上·甘肃陇南西和县·期末）若关于 的一元二次方程无实数根，则 的取值范围是   （       ） A.  B.  C.  D. 全体实数 【答案】A 【分析】 本题考查了一元二次方程（为常数且）根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根. 根据题意得到，解不等式即可. 【详解】 解：关于 的一元二次方程无实数根， ， 解得：， 故选：A. 4．（25-26学年九上·甘肃张掖临泽县·期中）关于x的一元二次方程的根的情况是（       ） A. 实数根的个数由b的值确定 B. 有两个不相等的实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 没有实数根 【答案】B 【分析】 本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．先计算出，根据的意义得到方程有两个不相等的实数根即可． 【详解】 解：因为， 所以方程有两个不相等的实数根， 故选B． 5．（25-26学年九上·甘肃兰州·期中）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为（     ） A.  B.  C. 且 D. 且 【答案】D 【分析】 本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程（为常数，且）的根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根，当时，方程有两个相等的实数根，当时，方程无实数根． 根据一元二次方程的根的判别式和一元二次方程的定义即可得到答案． 【详解】 解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ，， ， ， 的取值范围为且， 故选： D． 6．（25-26学年九上·甘肃定西·期中）关于的方程的根的情况是（       ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】A 【分析】 根据一元二次方程根的判别式，可得出，进而可得出答案． 【详解】 解：∵，，， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 【点睛】 此题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：（1）⇔方程有两个不相等的实数根；（2）⇔方程有两个相等的实数根；（3）⇔方程没有实数根． 7．（25-26学年九上·甘肃吴家井中学·期中）一元二次方程的根的情况是（       ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 【答案】B 【分析】 本题考查了一元二次方程根的判别式与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键．当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根． 根据一元二次方程根的判别式判断即可． 【详解】 解：对于方程 ，，，， ， 当  时，方程有两个相等的实数根． 故选：B． 8．（25-26学年九上·甘肃定西渭源县·期末）若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了一元二次方程（，a，b，c为常数）根的判别式．当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根． 根据一元二次方程有有实数根，满足，解答即可． 【详解】 解：∵关于x的一元二次方程有实根， ∴， 解之，得． 故选：B． 9．（25-26学年九上·甘肃兰州榆中县·期末）若关于x的一元二次方程(k-1)x2＋4x＋1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是(        ) A. k<5 B. k<5，且k≠1 C. k≤5，且k≠1 D. k>5 【答案】B 【详解】 ∵关于x的一元二次方程方程有两个不相等的实数根， ∴ ，即 ， 解得：k＜5且k≠1． 故选：B． 10．（25-26学年九上·甘肃平凉庄浪县·期末）关于x的一元二次方程的根的情况是（       ）． A. 有两个不相等的实数根 B. 有一个实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 没有实数根 【答案】D 【分析】 此题考查了一元二次方程的判别式，通过计算判别式的值来判断一元二次方程的根的情况． 【详解】 ∵方程中，， ， ， ∴， ∴ 方程没有实数根． 故选：D． 11．（25-26学年九上·甘肃天水·期末）若关于x的一元二次方程没有实数根，则k的值可以是（       ） A.  B. 6 C.  D. 4 【答案】B 【分析】 本题考查了根的判别式，牢记“当时，方程无实数根”是解题的关键．根据根的判别式列出不等式求出k的范围即可求出答案． 【详解】 解：一元二次方程没有实数根， 只有选项B符合要求， 故选：B． 12．（25-26学年九上·甘肃定西·期末）若关于x的一元二次方程无实数根，则实数a的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了一元二次方程根的判别式．根据一元二次方程根的判别式，当判别式Δ < 0时，方程无实数根．代入方程系数计算判别式并解不等式即可． 【详解】 解：∵关于x的一元二次方程无实数根， ∴， 解得：， 故选：B． 13．（25-26学年九上·甘肃天水张家川回族自治县·期末）关于的一元二次方程的根的情况是（     ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】A 【分析】 本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握判别式的符号与根的情况的关系是解题的关键．通过计算一元二次方程的判别式，根据判别式的符号判断根的情况． 【详解】 解：∵对于方程，，，， ∴， ∵， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 14．（25-26学年九上·甘肃定西安定区·期末）关于x的方程有实数根，则k的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 此题考查了一元二次方程根的判别式，根据一元二次方程根的判别式，方程有实数根时判别式大于等于零求解即可． 【详解】 解：∵关于x的方程有实数根， ∴， ∴． 故选：C． 15．（25-26学年九上·甘肃兰州第八十一中学·期末）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题主要考查一元二次方程根的判别式，解答关键是熟练掌握一元二次方程根的情况与根的判别式的关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 根据一元二次方程根的判别式求解即可． 【详解】 解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ，解得， 故选：D． 16．（25-26学年九上·甘肃陇南·期末）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（       ） A. 1 B.  C. 2 D.  【答案】A 【分析】 本题考查了一元二次方程根的判别式． 根据一元二次方程有两个相等的实数根的条件，判别式等于零，代入系数计算即可． 【详解】 解：∵方程有两个相等的实数根， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 17．（25-26学年九上·甘肃天水甘谷县·期中）在用求根公式求一元二次方程的根时，小珺正确地代入了a，b，c得到，则她求解的一元二次方程是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题主要考查了一元二次方程的解，解题的关键是掌握求根公式中字母所表示的意义．根据求根公式解答． 【详解】 解：由知：，，． 所以该一元二次方程为：． 故选：A． 18．（25-26学年九上·甘肃兰州·期中）已知a、b、c为常数，点在第二象限，则关于x的方程 ()的根的情况是（     ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法判断 【答案】B 【分析】 本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 先利用第二象限点的坐标特征得到，则判断，然后根据判别式的意义判断方程根的情况． 【详解】 解：点在第二象限， ，， ， ， 方程有两个不相等的实数根． 故选：B． 19．（25-26学年九上·甘肃临夏州·期中）一元二次方程的根的情况是（　　） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 只有一个实数根 【答案】A 【分析】 本题考查了根的判别式，根据方程的系数结合根的判别式即可得出，从而得出方程有两个相等的两个实数根，练掌握“当时，方程有两个相等的两个实数根”是解题的关键． 【详解】 解：∵在方程中，， ∴方程有两个相等的两个实数根． 故选：A． 20．（25-26学年九上·甘肃庆阳镇原县·期中）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的值可以是（       ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 【答案】D 【分析】 根据一元二次方程根的判别式，当判别式大于0时，方程有两个不相等的实数根．将方程化为标准形式后，计算判别式并解不等式即可确定a的取值范围．熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． 【详解】 解：对于方程 ，其判别式为 ， ∵方程有两个不相等的实数根， ∴ ， 即， 解得． 故选：D． 21．（25-26学年九上·甘肃定西临洮县·期中）关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据一元二次方程根的判别式可直接进行求解． 【详解】 ∵关于的一元二次方程有实数根，可得： ∴， 解得：； 故选：B． 【点睛】 本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． 22．（25-26学年九上·甘肃陇南·期中）关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（       ） A.  B. 0 C. 1 D. 2 【答案】A 【分析】 题目主要考查一元二次方程根的判别式，理解题意，列出式子求解是解题关键． 根据一元二次方程有两个相等的实数根的条件，判别式为零且二次项系数不为零，列方程求解． 【详解】 解：∵，有两个相等的实数根， ∴ 且 ∴， 解得 ， ，符合条件， 的值为 ， 故选：A． 23．（25-26学年九上·甘肃白银景泰）关于x的一元二次方程的根的情况为（       ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法判断 【答案】C 【分析】 本题考查了一元二次方程根的判别式的意义； 求出一元二次方程根的判别式的值，然后根据时，方程有两个不相等的实数根；时，方程有两个相等的实数根；时，方程没有实数根，可得答案． 【详解】 解：∵， ∴关于x的一元二次方程没有实数根， 故选：C． 24．（25-26学年九上·甘肃白银景泰）若是某个一元二次方程的根，则这个一元二次方程可以是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据一元二次方程求根公式，对照得出一元二次方程的字母系数即可得出答案． 【详解】 解：∵一元二次方程的根为， ∵是用公式法解一元二次方程得到的一个根， ∴， ∴满足要求的方程为：， 故选：D． 【点睛】 本题考查了公式法解一元二次方程，熟记求根公式是解本题的关键． 25．（25-26学年九上·甘肃陇南西和县）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的值可以是（       ） A. 2 B. 1 C.  D.  【答案】D 【分析】 本题主要考查一元二次方程根的判别式，根据一元二次方程根的判别式，当判别式大于0时，方程有两个不相等的实数根，计算判别式并解不等式，确定m的取值范围，再结合选项判断即可． 【详解】 解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得，或（）， ∴选项中只有D选项满足， 故选：D． 26．（25-26学年九·甘肃张掖民乐县·期末）关于的一元二次方程有两个实数根，则的值可以是（     ） A.  B. 0 C. 2 D. 4 【答案】D 【分析】 本题主要考查了根据一元二次方程的根求参数，根据一元二次方程有两个实数根的条件是判别式大于等于零求解即可得出答案． 【详解】 解：∵方程有两个实数根， ∴判别式， 即， 选项中只有，满足， ∴ m的值可以是4． 故选D． 27．（25-26学年九上·甘肃兰州第五中学·期末）若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（       ） A.  B. 且 C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了一元二次方程的定义和根的判别式． 利用一元二次方程的定义和根的判别式，要求二次项系数不为零且判别式大于等于零． 【详解】 解：∵方程是一元二次方程，且有实数根， ∴且， ， 解得， 又∵， ∴且． 故选：B． 28．（25-26学年九上·甘肃武威凉州区·期末）若关于的方程有实数根，则实数的取值范围为（     ） A.  B.  C. 且 D.  【答案】A 【分析】 本题主要考查了根的判别式，对k是否为零进行分类讨论及熟知一元二次方程根的判别式是解题的关键．需要讨论方程是否为二次方程，当时，方程变为一次方程，有实根；当时，利用判别式求范围． 【详解】 解：∵ 方程有实数根， 当时，方程为， 解得，有实根； 当时，方程为一元二次方程，判别式， ∴ ，即； 综上，． 故选：A． 29．（25-26学年九上·甘肃天水甘谷县·期中）一元二次方程x2﹣2x+3＝0根的情况是（     ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法判断 【答案】C 【分析】直接利用根的判别式进而判断，即可得出答案. 【详解】∵a＝1，b＝﹣2，c＝3， ∴b2﹣4ac＝4＝4﹣4×1×3＝﹣8＜0， ∴此方程没有实数根. 故选C. 【点睛】此题主要考查了根的判别式，当△>0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△<0时，方程没有实数根. 30．（25-26学年九上·甘肃兰州外国语学校·期中）关于x的一元二次方程k-4x+1=0有两个实数根，则k的取值范围是（       ） A. k>4 B. k≤4 C. k<4且k≠0 D. k≤4且k≠0 【答案】D 【分析】 根据一元二次方程的定义得到k≠0，根据一元二次方程有两个实数根得到 ，求出k的取值范围． 【详解】 解：∵一元二次方程有两个数根， ∴ ， 解得， 又∵k≠0， ∴k≤4且k≠0， 故选：D． 【点睛】 本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．掌握根的判别式与方程的解的关系是解题的关键．切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件． 31．（25-26学年九上·甘肃兰州第十一中学·期中）已知关于x的一元二次方程有两个实数根，则实数k的取值范围是　　　． 【答案】且 【分析】 根据关于x的一元二次方程有两个实数根得到且，求解即可得到实数k的取值范围． 【详解】 解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根， ∴且， 解得且． 故答案为：且 【点睛】 此题考查了一元二次方程的定义和根的判别式，正确计算是解题的关键． 32．（25-26学年九上·甘肃兰州榆中县·期末）解方程：． 【答案】， 【分析】 本题主要考查了解一元二次方程，利用公式法解方程即可． 【详解】 解： ，，， ， ， ，． 33．（25-26学年九上·甘肃白银·期末）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是　　　　　　　　． 【答案】且 【分析】 本题考查一元二次方程的定义及根的判别式，由一元二次方程的二次项系数不能为0得，由方程有两个不相等的实数根可得，由此可解． 【详解】 解：关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ，， 解得且， 故答案为：且． 34．（25-26学年九上·甘肃天水甘谷县·期末）解方程：． 【答案】， 【分析】 本题主要考查解一元二次方程的能力，解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点，利用公式法求解即可． 【详解】 解：，，， ， 则， 解得：，． 35．（25-26学年九上·甘肃天水甘谷县·期末）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程根的判别式，掌握，方程有两个不相等的实数根；，方程有两个相等的实数根；，方程没有实数根是解题关键．根据一元二次方程有两个相等的实数根的条件，判别式等于零，由此列方程求解． 【详解】 解：一元二次方程中， ， 由于方程有两个相等的实数根， 因此，即， 解得， 所以， 故答案为：． 36．（25-26学年九上·甘肃兰州红古区·期末）已知关于的方程，若等腰三角形的底边长为4，两腰长恰好是这个方程的两实数根，则这个三角形的周长为　　　　　　　　　　　　　． 【答案】10 【分析】 本题主要考查了一元二次方程的判别式，解一元二次方程，掌握一元二次方程的根与判别式的关系是解题的关键，由腰长恰好是这个方程的两实数根得，求出k值，代入方程求出两根，最后求出周长即可． 【详解】 解：∵两腰长恰好是这个方程的两实数根， ∴ ， 解得 ， 代入方程得 ， 解得 ， 即腰长为3， ∵， ∴符合三角形三边要求， ∴周长为 ， 故答案为：10． 37．（25-26学年九上·甘肃兰州红古区·期末）已知关于的一元二次方程，求证：无论取何值，方程总有实数根． 【答案】证明：∵， ， 即，                                                ∴无论取何值，方程总有实数根． 【分析】 本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握相关知识是做题的关键． 根据一元二次方程根的判别式符号与方程根的情况的关系，即可证明． 【详解】 略 38．（25-26学年九上·甘肃陇南西和县·期末）已知 是关于x的一元二次方程 的两个不相等的实数根，且满足 ，求m的值． 【答案】3 【分析】 先求出两根之积与两根之和的值，再将化简成两根之积与两根之和的形式，然后代入求值即可． 【详解】 解：方程有两个不相等的实数根， ， 解得：， 依题意得：，   ， ， 解得：，   ， 经检验： ，   是原方程的解， ， ． 【点睛】 此题考查了根与系数的关系，解题的关键是灵活运用根与系数的关系与代数式变形相结合知识． 39．（25-26学年九上·甘肃陇南·期末）关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程有一个根小于0，求的取值范围． 【答案】（1） ， ， ， 方程总有两个实数根；     （2）      【分析】 （1）先求出判别式，利用配方法变为完全平方式即可， （2）利用求根公式，先求一元二次方程含k 的根，让其一根小于0，求出范围即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：， ， ， 方程有一根小于0， ， ． 【点睛】 本题考查一元二次方程的判别式与根的范围问题，掌握根的判别式的用途，会用根的判别式解决方程根的情况，会利用求根公式解方程，会用条件利用不等式，会解不等式是关键． 40．（25-26学年九上·甘肃陇南武都区·期中）解方程：2x2-9x+8=0． 【答案】x1=，x2=． 【详解】试题分析：先计算判别式的值，然后代入一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式中求解． 试题解析：△=（-9）2-4×2×8=17， x=， 所以x1=，x2=． 考点：解一元二次方程-公式法． 41．（25-26学年九上·甘肃庆阳镇原县·期中）如图，在2×2的网格中，每个格内分别写有A，B，C，D四个整式，其中，，，C＝2x－1．已知A＋B＝C·D． （1）求整式D； （2）B＋2D的值可能为8吗？请说明理由． 【答案】（1）     （2） 解：， 若， 则， 整理得到：， 此时该一元二次方程的判别式，该方程无解， ∴的值不可能为8．      【分析】 (1)根据已知条件得到，然后对等号左边进行因式分解即可求解； (2)计算，解该方程，若有解则值可以为8，若无解，则的值不可能为8． (1) 小问详解： 解：由已知A＋B＝C·D可得：， 整理得到：， ∴． (2) 小问详解： 略 【点睛】 本题考查了因式分解及一元二次方程的解法，属于基础题，读懂题意，计算过程中细心即可． 42．（25-26学年九上·甘肃庆阳镇原县·期中）对于实数，，定义一种运算“☆”，都有．如． （1）若，则______； （2）若，求的值． 【答案】（1）     （2），      【分析】 本题主要考查了新定义下的实数运算，解一元二次方程，正确理解题意是解题的关键． （1）根据新定义的运算法则得到关于的方程，即可求解； （2）根据新定义的运算法则得到关于的方程，即可求解． (1) 小问详解： 解： ， 故答案为：； (2) 小问详解： ， ， 整理得， ， ， ，． 43．（25-26学年九上·甘肃武威凉州区谢河中学·期中）用适当的方法解方程： （1）； （2）； 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解决问题的关键． （1）用直接开方法解决即可； （2）用公式法解决即可． (1) 小问详解： 解： (2) 小问详解： 解： ． 44．（25-26学年九上·甘肃武威凉州区谢河中学·期中）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围　　　　　　． 【答案】 【分析】 考查了一元二次方程根的判别式，解决本题的关键是掌握一元二次方程有两个不相等的实数根需满足二次项系数不为零且判别式大于零．首先确保方程为一元二次方程，即二次项系数，再计算判别式，并分析其恒正性即可． 【详解】 解：方程为一元二次方程，因此二次项系数，解得， 判别式， 对于二次式，其判别式为，且二次项系数开口向上，因此恒成立， 当时，方程有两个不相等的实数根， 故答案为：． 45．（25-26学年九上·甘肃酒泉第七中学·期中）若关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是 　　　　　　 ． 【答案】且 【分析】 本题考查了一元二次方程根的判别式与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系是解答本题的关键．当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根． 根据方程有两个实数根需满足二次项系数不为零且判别式大于或等于零列式求解即可． 【详解】 解：∵方程 是一元二次方程， ∴． ∵方程有两个实数根， ∴． 解得 ． 综上， 的取值范围是 且． 故答案为：且． 46．（25-26学年九上·甘肃酒泉第七中学·期中）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是　　　　　　． 【答案】且 【分析】 本题考查了一元二次方程根的判别式，根据方程有两个不相等的实数根可以得到判别式大于零，从而求出结果． 【详解】 解：根据题意，得且， 解得且， 所以m的取值范围为且 故答案为：且． 47．（25-26学年九上·甘肃白银景泰）已知关于的方程．求证：该方程有两个不相等实数根． 【答案】证明：， 该方程有两个不相等的实数根． 【分析】 本题考查一元二次方程根判别式，根据一元二次方程根判别式求解即可； 【详解】 略 48．（25-26学年九上·甘肃陇南西和县）用公式法解方程： 【答案】， 【分析】 本题考查了解一元二次方程，关键是掌握求根公式，一元二次方程，若，则方程的两个实数根为，据此求解即可． 【详解】 解： ，，， ∴， 解得，． 49．（九上·甘肃白银·期中）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为　　　　　　． 【答案】4 【分析】 根据根的判别式的意义得到，解关于k的一元一次方程即可得到k的值． 【详解】 解：∵一元二次方程有两个相等的实数根． ∴ ∴ 50．（25-26学年九上·甘肃白银景泰）解方程：． 【答案】， 【分析】 本题主要考查了解一元二次方程，根据公式法求解即可． 【详解】 解：， ∵， ∴， ∴， ∴，． 51．（25-26学年九上·甘肃白银·期末）已知菱形的两边、的长是关于的方程的两个实数根，则　　　　　　　． 【答案】1 【分析】 此题考查菱形的性质，已知一元二次方程的解的情况求参数，先根据菱形的性质得到，由此判断一元二次方程有两个相等的实数根，根据判别式求出m的值． 【详解】 解：∵四边形是菱形， ∴， ∵、的长是关于的方程的两个实数根， ∴关于的方程的有两个相等的实数根， ∴，即， 解得， 故答案为：1． 52．（25-26学年九上·甘肃白银·期末）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求m的取值范围； （2）若方程有一个根是，求方程的另一个根及m的值． 【答案】（1）且     （2）方程的另一个根是，m的值是5      【分析】 本题考查一元二次方程的根的判别式和方程的根，掌握一元二次方程的根的判别式的含义是解题关键． （1）根据根的判别式列不等式计算即可； （2）代入方程的根，求出m，再解一元二次方程求方程的另一个根即可． (1) 小问详解： 解：由题意，得， 解得． 又∵， ∴m的取值范围是且． (2) 小问详解： 解：∵方程有一个根是， ∴， 解得， ∴原方程为， 解方程，得，， ∴方程的另一个根是，m的值是5． 53．（25-26学年九上·甘肃临夏州·期末）已知关于x的方程． （1）若该方程有一个根为，求a的值： （2）求证：方程总有两个不相等的实数根． 【答案】（1）2     （2） 证明：∵关于x的方程， ∴， ∴对于任意实数a,该方程总有两个不相等的实数根．      【分析】 本题主要考查了一元二次方程的解、根的判别式等知识点，掌握根的判别式大于零的方程有两个不相等的实数根成为解题的关键； （1）将代入方程得到关于a的方程求解即可； （2）计算根的判别式的值得到，然后根据根的判别式的意义即可证明结论． (1) 小问详解： 解：将代入方程可得： ，解得： (2) 小问详解： 略 54．（25-26学年九上·甘肃天水甘谷县·期中）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是　　　　　． 【答案】且 【分析】 本题考查一元二次方程的定义，根的判别式，根据根的判别式即可解答． 【详解】 解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 且， ∴且． 故答案为：且 55．（25-26学年九上·甘肃兰州·期中）解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）；     （2）．      【分析】 本题考查解一元二次方程，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）用配方法解方程即可； （2）用公式法解方程即可． (1) 小问详解： 解：， ， ， ， ， 解得； (2) 小问详解： 解：， ∵， ∴， ∴． 56．（25-26学年九上·甘肃兰州·期中）已知关于的一元二次方程． （1）求证：不论k为何值，该方程总有两个实数根； （2）若该方程有一个根是负数，求k的取值范围． 【答案】（1） 证明：∵方程， ，，， ， ∴无论为何值，该方程总有两个实数根．     （2）      【分析】 本题考查解一元二次方程，根的判别式，熟练掌握公式法解一元二次方程是解题的关键； （1）根据根的判别式即可求出答案． （2）通过因式分解法求出方程的两根，根据题意列出方程即可求出答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由方程得， ∴或， ，， ∵方程有一个根为负数， ． ∴． ∴的取值范围是． 57．（25-26学年九上·甘肃兰州·期中）如图，在矩形中，，，动点P从点A出发，以的速度向点B运动；动点Q同时从点C出发，以的速度向点D运动，当其中一个点到达终点时，两个点都停止运动，设运动时间为． （1）当t为何值时，四边形是矩形． （2）当t为何值时，点P和点Q之间的距离为． 【答案】（1）     （2）或      【分析】 本题主要考查了矩形的性质及勾股定理和一元二次方程的应用等知识，熟练应用平行四边形的性质是解题关键． （1）利用矩形的性质得出当时，四边形为矩形列方程求解即可； （2）设当秒时，利用勾股定理得出即可； (1) 小问详解： 解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴当时，四边形是矩形， 即， 解得：， ∴当时，四边形是矩形， (2) 小问详解： 解：① 如图，当点P在点Q上方时，过点P作，垂足为M， 由题意可得：， 在中，由勾股定理得：， 即． 解得：（已舍去）； ② 当点P在点Q下方时，过点P作于点N． 由题意可得：， 在中，由勾股定理得：， 即． 解得（已舍去）， 由得，符合题意， 综上可得或． 58．（25-26学年九上·甘肃酒泉第二中学·期中）已知关于x的方程，试按要求解答下列问题： （1）当该方程有一根为1时，试确定m的值； （2）当该方程有两个不相等的实数根时，试确定m的取值范围． （3）若m是符合条件的最大整数，求此时方程的根． 【答案】（1）；     （2）且；     （3），      【分析】 （1）将x＝1代入方程得到关于m的方程，求出方程的解即可得到m的值； （2）由方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式的值大于0，列出关于m的不等式，求出不等式的解集即可得到m的范围． （3）由（2）的结果找到符合条件的m的值，代入，解方程即可． (1) 小问详解： 解：将x＝1代入方程得： m+1+1＝0， 解得：m＝﹣2； (2) 小问详解： 解：由方程有两个不相等的实数根， 得到Δ＝b2﹣4ac＝1﹣4m＞0，且m≠0， 解得：m＜且m≠0． (3) 小问详解： 解：由m＜且m≠0，m是符合条件的最大整数，得到m＝－1， 则得到一元二次方程为： 即 此时a＝1，b＝－1，c＝－1， ∵Δ＝b2﹣4ac＝ ∴ ∴， ∴此时方程的根为，． 【点睛】 此题考查了一元二次方程根的判别式，根的判别式的值大于0，方程有两个不相等的实数根；根的判别式的值等于0，方程有两个相等的实数根；根的判别式的值小于0，方程没有实数根． 59．（25-26学年九上·甘肃平凉庄浪县·期中）解方程：． 【答案】方程无实数根 【分析】 本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法．将方程化为，利用判别式可知该方程无实数根． 【详解】 解： 方程化为， ，，， ． 方程无实数根． 60．（25-26学年九上·甘肃酒泉肃州区·期中）计算 （1）． （2）． 【答案】（1），；     （2），．      【分析】 本题考查解一元二次方程，解题的关键在于根据题意灵活选用合适的方法求解． （1）利用直接开平方法求解，即可解题； （2）利用公式法求解，即可解题． (1) 小问详解： 解： ，； (2) 小问详解： 解：， ，，， ， ， ，． 61．（25-26学年九上·甘肃兰州红古区·期中）定义运算：．例如：．则方程的根的情况为　　　　　　． 【答案】有两个不相等的实数根 【分析】 本题考查了一元二次方程根的判别式与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键．当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根． 根据定义列出一元二次方程，化为一般式，根据根的判别式作答即可. 【详解】 解：∵ ∴ 即 ∴ ∴方程的根的情况为有两个不相等的实数根 故答案为：有两个不相等的实数根 62．（25-26学年九上·甘肃兰州红古区·期中）已知关于x的一元二次方程． （1）求证：无论m取何值，方程总有两个实数根； （2）矩形的两条边恰好是这个方程的两个根，当_______时，矩形是正方形，此时正方形的边长是________． 【答案】（1） 证明：关于的一元二次方程， ∴， ∴无论取何值，方程总有两个实数根；     （2）7，3      【分析】 本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，矩形的性质，因式分解法求一元二次方程，掌握一元二次方程根与系数的关系，矩形的性质是解题的关键． （1）根据一元二次方程根与系数的关系，运用根的判别式进行判定即可求解； （2）根据题意，当矩形是正方形时，，即方程有两个相等的根，所以，即可求解，再代入方程求解即可； (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：矩形的两条边恰好是这个方程的两个根， ∵当矩形是正方形时，，即方程有两个相等的根， ∴， 解得，， 当时，一元二次方程为：， ∴， 解得，， 即， 故答案为：，； 63．（25-26学年九上·甘肃定西临洮县·期中）已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实数根； （2）如果方程的两个实数根为，且，求的值． 【答案】（1） 证明：， ∵无论取何值，，恒成立， ∴无论取何值，方程都有两个不相等的实数根．     （2）或．      【分析】 本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解一元二次方程，掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． （1）根据根的判别式证明恒成立即可； （2）由题意可得，，，进行变形后代入即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵是方程的两个实数根， ∴，， ∴， 解得：或． 64．（25-26学年九上·甘肃陇南西和县）已知关于的一元二次方程． （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）若该方程的一个根为，且为正数，求的值． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根；     （2）      【分析】 本题考查根的判别式，一元二次方程的解，熟练掌握根的判别式与根的个数之间的关系是解题的关键： （1）求出判别式的符号，进行判断即可； （2）把代入方程，进行求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 把代入，得：， 解得：或； ∵为正数， ∴． 65．（25-26学年九上·甘肃吴家井中学·期中）用适当的方法解下列一元二次方程： （1） （2） 【答案】（1），     （2），      【分析】 本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握运用一元二次方程的解法是解答本题的关键． （1）方程运用公式法求解即可； （2）方程运用配方法求解即可． (1) 小问详解： 解：， 这里， ∴， ∴，； (2) 小问详解： 解：， ， 。 ， ∴，． 66．（25-26学年九上·甘肃武威凉州区·期中）已知：关于的方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）如果为正整数，且方程的两个根均为整数，求的值． 【答案】（1） 见解析     （2）1或3      【分析】 （1）利用一元二次方程根的判别式，证明，从而说明方程总有两个实数根； （2）先求出方程的两个根，再根据为正整数，且两个根均为整数的条件，确定的值． (1) 小问详解： 证明：， ∴方程是关于的一元二次方程， ， ∴方程总有两个实数根． (2) 小问详解： 解：， ，． 为正整数，且方程的两个根均为整数， 或3． 考点04 因式分解法 1．（25-26学年九上·甘肃兰州第十九中学·期末）一个等腰三角形的底边长是6，腰长是一元二次方程x2−7x+12=0的一根，则此三角形的周长是（       ） A. 12 B. 13 C. 14 D. 12或14 【答案】C 【分析】 通过解一元二次方程x2-7x+12=0求得等腰三角形的两个腰长，然后求该等腰三角形的周长． 【详解】 解：由一元二次方程x2-7x+12=0，得 （x-3）（x-4）=0， ∴x-3=0或x-4=0， 解得x=3，或x=4； ∴等腰三角形的两腰长是3或4； ① 当等腰三角形的腰长是3时，3+3=6，构不成三角形，所以不合题意，舍去； ② 当等腰三角形的腰长是4时，0＜6＜8，所以能构成三角形， 所以该等腰三角形的周长=6+4+4=14； 故选：C． 【点睛】 本题综合考查了一元二次方程－因式分解法、三角形的三边关系、等腰三角形的性质．解答该题时，采用了“分类讨论”的数学思想． 2．（25-26学年九上·甘肃兰州红古区·期末）一元二次方程的解是（       ） A.  B.  C. ， D. ， 【答案】D 【分析】 本题主要考查因式分解法解二次方程，熟练运用因式分解是解题关键； 将方程移项后因式分解，利用乘积为零则因式为零求解． 【详解】 解：∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ 或 ， 故选 D． 3．（25-26学年九上·甘肃陇南·期末）一元二次方程的解为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，熟练掌握各种方法是解答本题的关键．先移项，再把方程化为，再进一步求解即可． 【详解】 解：∵， ∴， ∴即， ∴或 ∴，， 故选：D． 4．（25-26学年九上·甘肃兰州·期中）方程的解是（     ） A.  B.  C. ， D. 不确定 【答案】C 【分析】 本题考查了因式分解法解一元二次方程，熟练运用不同方法解方程是解题的关键． 利用提取公因式法对等式的左边进行因式分解． 【详解】 解：∵ ， ∴ ， ∴ 或 ， ∴ 方程的解为，， 故选：C． 5．（25-26学年九上·甘肃武威凉州区吴家井中学·期末）已知关于的一元二次方程的一个根为3，则另一个根为（     ） A.  B.  C. 1 D. 2 【答案】B 【分析】 本题考查了一元二次方程的根的概念及解一元二次方程，理解此概念并正确解一元二次方程是关键；将已知根代入方程求出参数m，再解方程求另一个根． 【详解】 解：∵是方程的一个根， ∴， 即， ∴， ∴， ∴， ∴方程为， 因式分解得， ∴另一个根为． 故选：B． 6．（25-26学年九上·甘肃兰州·期中）下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查因式分解的定义．因式分解就是把一个多项式化为几个整式的积的形式，据此对各项进行判断即可． 【详解】 解：A、是单项式乘多项式的运算，不符合题意； B、右边结果不是积的形式，不符合题意； C、是多项式与多项式的乘法运算，不符合题意； D、属于因式分解，符合题意． 故选：D． 7．（25-26学年九上·甘肃酒泉肃州区·期中）已知3是关于x的方程的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰的两条边的边长，则的周长为（       ） A. 7 B. 10 C. 11 D. 10或11 【答案】D 【分析】 本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程解的定义，构成三角形的条件，等腰三角形的定义，先把代入原方程求出m的值，进而解方程求出或，再分当腰长为3时，则底边长为4，当腰长为4时，则底边长为3，两种情况利用构成三角形的条件进行求解即可． 【详解】 解：∵3是关于x的方程的一个实数根， ∴， 解得， ∴原方程为， 解方程得或， 当腰长为3时，则底边长为4， ∵， ∴此时能构成三角形， ∴此时的周长为； 当腰长为4时，则底边长为3， ∵， ∴此时能构成三角形， ∴此时的周长为， 综上所述，的周长为10或11， 故选D． 8．（25-26学年九上·甘肃柏树中学·期中）若关于的一元二次方程有一根为，则一元二次方程有一个根为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题主要考查了一元二次方程根的定义，通过一元二次方程，变形为，再根据题意可得一元二次方程有一个根为，然后求解即可，掌握换元法是解题的关键． 【详解】 解：∵一元二次方程， ∴， ∵关于的一元二次方程有一根为， ∴一元二次方程有一个根为，解得， 故选：． 9．（25-26学年九上·甘肃陇南·期中）三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程的根，则该三角形的周长为（       ） A. 10 B. 12 C. 14 D. 12或14 【答案】B 【分析】 用因式分解法求得方程的根，后根据三角形三边关系判断三角形的存在性，后计算周长. 【详解】 ∵， ∴（x-7）(x-5)=0, ∴x=7或x=5； 当x=7时, 3+4=7， ∴三角形不存在； 当x=5时, 3+4＞5， ∴三角形存在， ∴三角形的周长为3+4+5=12； 故选B. 【点睛】 本题考查了一元二次方程的因式分解求解法和三角形的存在性，熟练求方程的根，准确判断三角形的存在性是解题的关键. 10．（25-26学年九上·甘肃陇南武都区·期中）因式分解：　　　　　． 【答案】 【详解】 解：． 11．（25-26学年九上·甘肃天水麦积区·期中）解下列一元二次方程： （1）； （2） 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题主要考查一元二次方程的解法，熟知解法是正确解答此题的关键． （1）用因式分解法将方程变形成解方程即可． （2）用因式分解法将方程变形成解方程即可． (1) 小问详解： 解：， ， ， 解得 ； (2) 小问详解： 解：， ， ， ， ， 解得 ． 12．（25-26学年九上·甘肃平凉庄浪县·期中）因式分解：　　　　　 【答案】 【分析】 a2-9可以写成a2-32，符合平方差公式的特点，利用平方差公式分解即可． 【详解】 解：a2-9=（a+3）（a-3）， 故答案为：（a+3）（a-3）． 点评：本题考查了公式法分解因式，熟记平方差公式的结构特点是解题的关键． 【详解】 13．（25-26学年九上·甘肃酒泉肃州区·期中）解方程：. 【答案】x1=-7，x2=5 【分析】根据十字相乘法进行求解，即可得到答案. 【详解】根据十字相乘法将变形得到，解得x1=-7，x2=5. 【点睛】本题考查解一元二次方程，解题的关键是掌握十字相乘法. 14．（25-26学年九上·甘肃定西渭源县·期末）解一元二次方程：． 【答案】 【分析】 本题考查了用因式分解法解一元二次方程，解题关键是理解并掌握常用的解一元二次方程的方法．直接用因式分解法即可得到答案． 【详解】 解：， 整理，得， ∴， ∴或 ∴． 15．（25-26学年九·甘肃武威第十七中学·期末）用适当的方法解方程： （1）； （2）． 【答案】（1），     （2），      【分析】 本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键： （1）配方法解方程即可； （2）移项，利用因式分解法解方程即可． (1) 小问详解： 解：移项，得 配方，得 即 开方，得 ∴，； (2) 小问详解： 解：移项，得， 则， ∴或， ∴，． 16．（25-26学年九上·甘肃兰州榆中县·期末）已知代数式，当代数式A的值比B的值大2时，求x的值． 【答案】 【分析】 本题主要考查了解一元二次方程，根据题意可得方程，解方程即可得到答案． 【详解】 解：∵代数式A的值比B的值大2， ∴， ∴， 解得． 17．（25-26学年九上·甘肃兰州榆中县·期末）提出问题 为解方程，我们可以将视为一个整体，然后可设，则，于是原方程可转化为，解此方程，得，． 当时，，，∴； 当时，，，∴． ∴原方程的解为，，，． 以上方法就是换元法解方程，从而达到了降次的目的，体现了转化的思想． 解决问题 （1）运用上述换元法解方程． 延伸拓展 （2）已知实数m，n满足，求的值． 【答案】（1），；（2） 【分析】 （1）根据材料提示，利用换元法解方程即可求解； （2）按整式的乘法，先展开，再合并同类项，利用完全平方公式以及材料中换元法解方程即可求解． 【详解】 解：解决问题：（1）设， ∴原方程变形为，解得，，， 当时，，故舍去； 当时，，解得，，； 综上所示，原方程的解为，． 延伸拓展：（2） ∴， ∴原式变形为， ∴，设， ∴，则，解得，，即， ∵， ∴ ∴． 【点睛】 本题主要考查解方程的运用，掌握整体思想，换元思想解方程，完全平方公式的变形是解题的关键． 18．（25-26学年九上·甘肃兰州第二十中学·期末）对于实数a、b，定义运算“”： ，例如：，因为，所以．若，是一元二次方程的两个根，则　　　　　　． 【答案】3或 【分析】 本题考查了实数的新定义，解一元二次方程，先解一元二次方程得到两个根，再根据新定义的运算规则分情况计算，即可作答． 【详解】 解：∵， ∴， ∴得或， 当，时， ∵， 故， 当，时， ∵， 故， 故答案为：3或． 19．（25-26学年九上·甘肃陇南·期末）解方程：． 【答案】 【分析】 本题考查了解一元二次方程，先移项，再运用因式分解法进行解方程，即可作答． 【详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得． 20．（25-26学年九上·甘肃平凉庄浪县·期末）对任意实数a，b定义新运算：，如：．若，则x的值为　　　　　　　　． 【答案】1 【分析】 此题考查了解一元二次方程，新定义运算，根据新运算的定义，将方程转化为一元二次方程求解即可． 【详解】 解：根据题意得， 代入得，． ∴ ∴ 解得，． 故答案为：1． 21．（25-26学年九上·甘肃庆阳镇原县·期末）解方程：． 【答案】， 【分析】 本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法．利用因式分解法求解即可． 【详解】 解： 或 ，． 22．（25-26学年九上·甘肃白银·期末）分解因式：=　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 先提取公因式，再用平方差公式进行因式分解即可得出答案. 【详解】 ，故答案为. 【点睛】 本题考查的是因式分解，熟练掌握平方差公式是解决本题的关键. 23．（25-26学年九上·甘肃白银·期末）解方程：． 【答案】， 【分析】 此题主要考查了一元二次方程的解法，变形后利用因式分解一元二次方程即可． 【详解】 解： ， 或， ∴，． 24．（25-26学年九上·甘肃临夏州·期末）解方程：． 【答案】， 【分析】 本题主要考查了利用因式分解法解一元二次方程，准确计算是解题的关键． 利用因式分解法计算即可； 【详解】 ， ， 则或， 解得，． 25．（25-26学年九上·甘肃天水张家川回族自治县·期末）解方程：． 【答案】． 【分析】 本题考查了解一元二次方程－因式分解法．先把方程转化为或，然后解两个一次方程即可． 【详解】 解：， ∴或， ∴． 26．（25-26学年九上·甘肃兰州第二十二中学·期末）解一元二次方程：． 【答案】， 【分析】 本题考查了解一元二次方程-因式分解法，先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．利用解一元二次方程-因式分解法，进行计算即可解答． 【详解】 解：， ， ， 或， ，． 27．（25-26学年九上·甘肃定西安定区·期末）方程的实数解是　　　　　　　　　　　． 【答案】， 【分析】 本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，灵活选择合适的方法是解答本题的关键． 通过因式分解法求解一元二次方程即可． 【详解】 解：， ， 或， 解得，． 故答案为：，． 28．（25-26学年九上·甘肃陇南西和县·期末）解方程：． 【答案】， 【分析】 本题考查解一元二次方程，选择合适解一元二次方程的方法是解题的关键． 运用因式分解法求解一元二次方程即可． 【详解】 解：， ， ，， 解得，． 29．（九上·甘肃兰州·期末）知xy＝﹣3，x+y＝2，则代数式x2y+xy2的值是　　　　　　　　　　　　． 【答案】-6 【分析】 将原式提取公因式进行因式分解，然后代入求值． 【详解】 解：x2y+xy2=xy（x+y）=-3×2=-6 故答案为：-6． 【点睛】 本题考查提取公因式进行因式分解，掌握提取公因式的技巧正确计算是解题关键． 30．（25-26学年九上·甘肃兰州第八十一中学·期末）选择适当的方法解下列方程． （1） （2） 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键； （1）根据配方法可进行求解； （2）根据因式分解法可进行求解． (1) 小问详解： 解： ∴； (2) 小问详解： 解： 或 ∴． 31．（25-26学年九上·甘肃陇南武都区·期末）解方程：． 【答案】 【分析】 本题主要考查了解一元二次方程，先移项，再利用因式分解法解方程即可． 【详解】 解：∵， ∴，即， ∴， ∴或， 解得． 32．（25-26学年九上·甘肃陇南·期末）解方程：． 【答案】， 【分析】 本题考查用因式分解法解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题关键； 先移项，然后对方程左边进行因式分解，然后解方程即可． 【详解】 解：， ， ， ， ∴或， ∴， ． 33．（25-26学年九上·甘肃兰州第五十四中学）解方程： 【答案】 【分析】 本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键；因此此题可根据因式分解法求解方程即可． 【详解】 解： 或 解得：． 34．（25-26学年九上·甘肃兰州外国语学校·期中）解一元二次方程： （1）． （2）． 【答案】（1），     （2），      【分析】 本题考查求解一元二次方程．掌握各类求解方法是解题关键． （1）利用公式法即可求解； （2）利用因式分解法即可求解． (1) 小问详解： 解： ，， ∴ ∴ ∴，； (2) 小问详解： 解： ∴ 或 解得：，． 35．（25-26学年九上·甘肃兰州·期中）用因式分解法解方程： 【答案】 【分析】 该题主要考查利用因式分解法解一元二次方程，熟练掌握提取公因式法分解因式是解题关键．先移项，然后利用因式分解法求解即可． 【详解】 解：， 移项、整理得：， ， 或， 解得：． 36．（25-26学年九上·甘肃陇南武都区·期中）解方程：． 【答案】 【分析】 本题考查因式分解法解一元二次方程，掌握知识点是解题的关键． 根据因式分解法解一元二次方程的步骤进行求解即可． 【详解】 解：因式分解，得 ． 于是得 ，或， ． 37．（25-26学年九上·甘肃陇南武都区·期中）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求m的取值范围； （2）若m为满足条件的最小正整数时，求此时方程的根． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了一元二次方程的根的判别式，解一元二次方程； （1）根据方程有两个不相等的实数根可得关于m的不等式，解不等式求出m的取值范围； （2）由（1）中m的取值范围得出m的最小整数，代入方程，利用因式分解法求解即可． (1) 小问详解： 解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：； (2) 小问详解： 解：∵，且m为满足条件的最小正整数， ∴， 此时原方程为， 解得：． 38．（25-26学年九上·甘肃酒泉第二中学·期中）解方程： （1）； （2）． 【答案】（1），     （2），；      【分析】 本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是熟练运用配方法和因式分解法是解答此题． （1）利用配方法直接解一元二次方程； （2）先对等号右边进行因式分解，再移项，再进行因式分解求解． (1) 小问详解： 解：， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴，； (2) 小问详解： 解：， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：，； 39．（25-26学年九上·甘肃平凉庄浪县·期中）解方程：． 【答案】，． 【分析】 本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．用因式分解法解方程即可． 【详解】 解： 或 ，． 40．（25-26学年九上·甘肃酒泉肃州区·期中）解方程： （1） （2） 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据配方法解一元二次方程，即可求解； （2）根据因式分解法解一元二次方程，即可求解． (1) 小问详解： 解：， ， ∴， ∴， 解得：； (2) 小问详解： 解：， ∴， 即或， 解得：． 【点睛】 本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 41．（25-26学年九上·甘肃武威凉州区·期中）解一元二次方程： （1）； （2）． 【答案】（1），     （2），      【分析】 本题考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键； （1）利用配方法解一元二次方程； （2）利用因式分解法解一元二次方程． (1) 小问详解： 解：由， 得， 配方得，， 直接开平方得，， 或， ，． (2) 小问详解： 解：由， 得， ， 或， 解得，． 42．（25-26学年九上·甘肃陇南·期中）解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）利用直接开平方的方法解方程即可； （2）利用因式分解法解方程即可． (1) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴， 解得； (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴或， 解得． 43．（25-26学年九·甘肃张掖民乐县·期末）解方程：． 【答案】， 【分析】 运用因式分解法求解即可． 【详解】 解：， 方程变形为， 因式分解，得， 即， 所以，， 解得，． 44．（25-26学年九上·甘肃陇南西和县）方程的解是　　　　　　． 【答案】 【分析】 可通过移项将方程化为一般形式，再利用因式分解法解方程即可得到答案． 【详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴或， 解得． 45．（25-26学年九上·甘肃武威凉州区·期末）解下列一元二次方程： （1）； （2）． 【答案】（1），     （2），      【分析】 本题考查了解一元二次方程的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； （1）利用因式分解法解方程即可； （2）利用因式分解法解方程即可； (1) 小问详解： 解：， ， 或， ，； (2) 小问详解： 解：， ， ， ， 或， ，； 46．（25-26学年九·甘肃武威第十七中学·期末）三角形的两边长分别是3和4，第三边长是方程的根，则该三角形的周长为　　　　　　． 【答案】10 【分析】 本题考查解一元二次方程，解题的关键是熟练求解一元二次方程，本题属于基础题型． 根据一元二次方程的解法以及三角形三边关系即可求出答案． 【详解】 解：∵， ∴， ∴，， 当时， 由于，故能围成三角形； 三角形的周长为， 当时， 由于，故不能围成三角形， 故答案为：10． 47．（25-26学年九上·甘肃兰州第五中学·期末）定义：我们把关于x的一元二次方程与称为一对“友好方程”．如的“友好方程”是． （1）写出一元二次方程的“友好方程”______． （2）已知一元二次方程的两根为，它的友好方程的两根为、______．根据以上结论，猜想的两根与其“友好方程”的两根之间存在的一种特殊关系为______． （3）已知关于x的方程的两根，请利用（2）中的结论，求出关于x的方程的两根． 【答案】（1）     （2）；互为倒数     （3）和      【分析】 本题主要考查了新定义问题，一元二次方程的一般形式，一元二次方程的解，用因式分解法和公式法解一元二次方程，掌握并灵活运用新定义是解题的关键． （1）根据“友好方程”的定义，即得答案； （2）求出方程的解，即得猜想，分别求方程和的根，可验证； （3）利用（2）中的结论，可得方程的“友好方程”的两根为，因此方程的两根，即，整理方程得，即得答案． (1) 小问详解： 解：一元二次方程的“友好方程”为：； 故答案为：； (2) 小问详解： 解：对于方程， ， 解得：， 根据以上结论，猜想的两根与其“友好方程”的两根之间存在的一种特殊关系为互为倒数； 证明如下： ∵一元二次方程的两根为， “友好方程”的两根， ， ， 即原方程的两根与“友好方程”的两根互为倒数； 故答案为：；互为倒数； (3) 小问详解： 解：∵方程的两根是， ∴该方程的“友好方程”的两根为， 则方程的两根， 即， 整理方程得， ∴关于的方程的两根为和． 48．（25-26学年九上·甘肃兰州第二十中学·期末）解方程和不等式组： （1）； （2） ． 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）用因式分解法求解即可；（2）求出每个不等式的解集，再求出公共解集即可． 本题考查了解一元二次方程和一元一次不等式组，解题的关键是掌握解一元二次方程的一般方法和求不等式公共解集的方法． (1) 小问详解： 解：， ， 则或， 所以或； (2) 小问详解： 解： ， 解不等式得，， 解不等式得，， 所以不等式组的解集为． 49．（25-26学年九上·甘肃兰州第十九中学·期末）解方程： （1） （2） 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题主要考查了解一元一次方程和解一元二次方程，熟知解一元一次方程和解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）按照去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可； （2）利用因式分解法解方程即可． (1) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴， 解得； (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴或， 解得． 50．（25-26学年九上·甘肃白银·期末）解方程 （1）； （2）． 【答案】（1），；     （2），      【分析】 本题考查了解一元二次方程，选择适当的方法解方程是解题的关键． （1）移项后配方，开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可； （2）移项后因式分解，即可得到两个一元一次方程，求出方程的解即可． (1) 题详解： 解：， ， ， ， ， ； (2) 题详解： 解：， ， ， 或， ． 51．（25-26学年九上·甘肃酒泉肃州区·期末）解方程： （1） （2） 【答案】（1），     （2）      【分析】 本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法，是解题的关键． （1）将方程整理为一般式后，用因式分解法解一元二次方程即可； （2）用公式法解一元二次方程即可． (1) 小问详解： 解： 则或， 解得，． (2) 小问详解： 解：， ，，， ， ， ． 52．（25-26学年九上·甘肃定西安定区·期末）用适当的方法解下列方程： （1） （2） 【答案】（1），     （2），      【分析】 本题考查解一元二次方程，选择合适的方法解方程是解题关键． （1）利用因式分解法求解； （2）利用因式分解法求解． (1) 小问详解： 解：， ， 或， 解得，； (2) 小问详解： 解：， ， 或， 解得，． 53．（25-26学年九上·甘肃陇南西和县·期末）在实数范围内定义运算“☆”和“★”，其规则为：，，则方程的解为　　　　　　　　　　　． 【答案】， 【分析】 本题考查新定义，解一元二次方程，根据新定义得：，，由可得到一元二次方程，求解即可．根据题意得到一元二次方程是解题的关键． 【详解】 解：∵，， ∴，， ∵， ∴， 解得：，， ∴方程的解为，． 故答案为：，． 54．（九上·甘肃兰州·期末）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）如果是符合条件的最大整数，试求出此时方程的解． 【答案】（1）     （2），      【分析】 （1）根据题意得到，即，然后解不等式即可得到的范围； （2）在（1）中的范围内可得到的最大整数为3，则方程变为，然后利用因式分解法解方程即可． (1) 小问详解： 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， 即，解得， 的取值范围为； (2) 小问详解： 的最大整数为3，则方程为：， ， ，． 【点睛】 本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程两个不相等的实数根；当，方程两个相等的实数根；当，方程没有实数根．也考查了解一元二次方程． 55．（25-26学年九上·甘肃武威凉州区吴家井中学·期末）用适当的方法解方程： （1）； （2）． 【答案】（1），     （2），      【分析】 本题考查了解一元二次方程，根据方程特点选择合适方法是解题的关键． （1）利用直接开平方法求解即可； （2）利用因式分解求解即可． (1) 小问详解： 解：， ， ， 解得：，． (2) 小问详解： 解：， 或， 解得：，． 56．（25-26学年九上·甘肃陇南·期末）在解一元二次方程时，发现有这样一种解法： 如：解方程． 解：原方程可变形，得， ， ， 直接开平方，得，．我们称这种解法为“平均数法”． （1）下面是小明用“平均数法”解方程时写的解题过程： 解：原方程可变形，得， ， ， 直接开平方，得，． 上述解题过程中，a，b所表示的数分别是_______，_______； （2）请用“平均数法”解方程：． 【答案】（1）5，3     （2） ，．      【分析】 本题考查解一元二次方程、平方差公式，熟悉一元二次方程的解法，理解“平均数法”解一元二次方程的方法是解答的关键． （1）根据“平均数法”的定义求解即可得出a、b的值； （2）根据“平均数法”的定义求解即可． (1) 小问详解： 解：原方程可变形，得， ， ， 直接开平方，得，， 故， 故答案为：5，3． (2) 小问详解： 解：原方程可变形，得， ， ， 直接开平方，得，． 57．（25-26学年九上·甘肃天水甘谷县·期中）已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论为何值，该一元二次方程都有两个不相等的实数根； （2）若时，该一元二次方程的两个根恰好是等腰三角形的两边，求等腰三角形的周长． 【答案】（1） 证明：中， ，，， ， 无论为何值，该一元二次方程都有两个不相等的实数根；     （2）6      【分析】 （1）证明根的判别式恒大于0即可； （2）将代入方程，求出方程的两个根，再分情况讨论，结合三角形的三边关系求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：将代入， 得，即， 因式分解得， 解得，， 当为等腰三角形的腰时，三条边长分别为，，1，符合三角形的三边关系， 等腰三角形的周长； 当1为等腰三角形的腰时，三条边长分别为，1，1， ，不符合三角形的三边关系，即这种情况不存在， 综上可知，等腰三角形的周长是6． 【点睛】 本题考查一元二次方程的根的判别式，解一元二次方程，三角形的三边关系，等腰三角形的定义等，解题的关键是注意分情况讨论，利用三角形的三边关系判断是否能组成三角形． 58．（25-26学年九上·甘肃兰州外国语学校·期中）把分解因式，正确的结果是　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了因式分解，利用平方差公式分解因式即可求解，掌握因式分解的方法是解题的关键． 【详解】 解：， 故答案为：． 59．（25-26学年九上·甘肃兰州·期中）解方程时，我们可以运用分类的思想来解：当时，则原方程可化为，解得或；当时、则原方程可化为，解得或； 综上，原方程的解为：，，，； （1）请利用这种方法解方程，可得这个方程的解是______； （2）解方程． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查解一元二次方程，熟练掌握分类讨论的思想，是解题的关键： （1）参照题干的方法，分类讨论解方程即可； （2）参照题干的方法，分类讨论解方程即可． (1) 小问详解： 解：当时，则原方程可化为， 解得或（舍去）； 当时，则原方程可化为， 解得或（舍去）； ∴这个方程的解是； 故答案为：； (2) 小问详解： 解：当，即：时，则原方程化为：， 解得：或， ∴或； 当，即：时，则原方程化为：， 解得：或， ∴或； ∴方程的解为：． 60．（25-26学年九上·甘肃定西·期中）已知，则的值为　　　　　　　． 【答案】3 【分析】 令，可得到关于t的一元二次方程，求解方程，最后判断根的情况即可． 【详解】 解：令， 则可化为， 整理得， 解得，， ， （舍去）， ，即， 故答案为：3． 【点睛】 本题考查换元法，解一元二次方程，掌握换元法是解决本题的关键． 61．（25-26学年九上·甘肃定西·期中）解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1），     （2），      【分析】 本题考查了解一元二次方程． （1）根据因式分解法求解即可； （2）先移项，再根据直接开平方法求解即可． (1) 小问详解： 解： 或 ， (2) 小问详解： 解： ， 62．（25-26学年九上·甘肃临夏州·期中）定义一种新运算：对于任意实数a，b，c，d有，其中等式右边是通常的乘法和减法运算．如．已知，求x的值． 【答案】，． 【分析】 本题主要考查新定义运算和解一元二次方程，先根据新定义得到，再把方程化为一般式，运用因式分解法解答即可． 【详解】 解：依题意，得， 整理，得， 解得：，． 63．（25-26学年九上·甘肃酒泉第二中学·期中）一个三角形的两边长分别为和，第三边是方程的一个根，则这个三角形的周长是　　　． 【答案】13 【分析】 本题考查了解一元二次方程，三角形三边的关系．解一元二次方程得到两个根，根据三角形三边关系判断哪个根符合条件，然后计算周长． 【详解】 解：解方程， 因式分解得， 解得，． 当第三边为2时，，不满足三角形任意两边之和大于第三边的关系； 当第三边为4时，，，，且任意两边之差小于第三边，符合三角形三边关系． 因此周长为． 故答案为：13． 64．（九上·甘肃白银·期中）已知关于x的方程有两个实数根． （1）求k的取值范围； （2）当k取最大整数时，求此时方程的根． 【答案】（1）且     （2）      【分析】 （1）根据二次项系数非零及根的判别式，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围； （2）由（1）中的取值范围得出符合条件的的最大整数值，代入原方程，利用因式分解法即可求出的值． (1) 小问详解： 解：（1）关于的方程有两个实数根， ， 解得：且； (2) 小问详解： 解：当时，方程为：，即， 解得：． 【点睛】 本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根，掌握利用判别式判断根的个数是解题的关键． 65．（九上·甘肃白银·期中）若某等腰三角形的底和腰的长分别是一元二次方程的两根，则这个等腰三角形的周长是　　　　　　． 【答案】10 【分析】 本题主要考查了因式分解法解一元二次方程，等腰三角形的定义，三角形的三边关系等知识点，熟练运用因式分解法解一元二次方程是解题的关键． 先利用因式分解法解方程解得到或，然后分、两种情况，分别运用三角形的三边关系进行验证后，再求周长即可． 【详解】 解：， 方程分解得：， 可得或， 解得：或， 若2为腰，三角形三边为2，2，4，不能构成三角形，舍去； 若2为底，三角形三边为2，4，4，周长为． 故答案为：10． 66．（25-26学年九上·甘肃酒泉第七中学·期中）三角形两边长分别是8和6，第三边长是方程x2﹣12x+20=0的一个实数根，则三角形的周长是　　　　． 【答案】24 【分析】 求出方程的解，根据三角形的三边关系定理判断是否能组成三角形，再求出三角形的周长即可． 【详解】 解：x2-12x+20=0， （x-2）（x-10）=0， x-2=0，x-10=0， 解得：x1=2，x2=10， ①x=2时，三角形的三边为8、6、2， ∵2+6=8， ∴不符合三角形三边关系定理，此时不能组成三角形； ②x=10时，三角形的三边为8、6、10，此时符合三角形三边关系定理， 三角形的周长是6+8+10=24， 故答案为：24． 【点睛】 本题考查了解一元二次方程-因式分解法；三角形三边关系，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 67．（25-26学年九上·甘肃酒泉肃州区·期中）已知关于的方程． （1）求证：无论取何值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程有一个根是，求的值． 【答案】（1） 证明：， ∴无论取何值，该方程总有两个不相等的实数根；     （2）或      【分析】 本题考查了根的判别式，方程的根，熟练掌握定理是解题的关键． （1）求出，即可证明； （2）把代入得到关于m的一元二次方程，再求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：把代入得：， 解得：或． 68．（25-26学年九上·甘肃兰州第八十一中学·期中）用适当的方法解方程： （1） （2） 【答案】（1），     （2），      【分析】 本题考查了一元二次方程的解法．熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． （1）利用公式法解一元二次方程即可； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可． (1) 小问详解： 解：，，， ． ． ，． (2) 小问详解： 解：原方程可化为：， ， ， ，， ，． 69．（25-26学年九上·甘肃白银景泰）在中，的周长为40，斜边长为17，求的两条直角边长． 【答案】两条直角边长分别为8和15 【分析】 此题考查了一元二次方程，勾股定理，根据勾股定理列方程是解题的关键．设的较长直角边的长为，则较短直角边的长为，根据勾股定理求出x的值，即可得到两条直角边的长． 【详解】 解：设的较长直角边的长为，则较短直角边的长为， 依题意，得， 整理得：， 解得：，， 当时，，不是较长直角边， 故， ， 的两条直角边长分别为8和15． 70．（25-26学年九上·甘肃白银景泰）我们规定：对任意实数a、b、c、d，有．其中等式的右边是通常的乘法和减法运算，如． 若，求的值． 【答案】 【分析】 本题考查了新定义运算，解一元二次方程-因式分解法，理解定义的新运算是解题的关键．按照新定义的运算，将等式两边分别进行计算，得到关于 x 的一元二次方程，然后求解该方程即可． 【详解】 解：， ， 依题意得：即， 即， 解得：． 71．（25-26学年九上·甘肃柏树中学·期中）解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1），     （2），      【分析】 本题考查解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）运用配方法求解即可； （2）将方程整理后，运用因式分解法求解即可． (1) 小问详解： 解：， 移项，得， 配方，得， 所以， 开方，得， 所以； (2) 小问详解： 解：， 整理，得， 因式分解，得， 所以或， 所以，． 72．（25-26学年九上·甘肃柏树中学·期中）已知关于x的一元二次方程（k为常数）． （1）求证：不论k为何值，该方程总有两个实数根； （2）若方程的一个根为3，求k的值和方程的另一个根． 【答案】（1） 解：， 则， ∴不论k为何值，该方程总有两个实数根；     （2），方程的另一个根为      【分析】 本题考查了利用一元二次方程的解求参数，一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）根据一元二次方程根的判别式得到，即可证明； （2）将代入即可求解，那么方程为，再求解方程的另一个根即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵方程的一个根为3， ∴将代入，则， 解得， ∴方程为， ∴， ∴或， ∴或， ∴方程的另一个根为． 73．（25-26学年九上·甘肃吴家井中学·期中）已知关于x的方程的两根为，，则方程的两根之和为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了整体换元的思想；把方程看作是关于的一元二次方程，则利用方程的两根为，，得到或，可求出的两根，然后得到两根之和. 【详解】 解：把方程看作是关于的一元二次方程， ∵关于x的方程的两根为，， ∴或， 解得，， ∴. 故答案为：. 74．（25-26学年九上·甘肃兰州·期中）解方程：． 【答案】， 【分析】 先将原方程整理为一元二次方程的一般形式，再用因式分解法求解． 【详解】 解：， 移项得， 因式分解，得， ∴或， 解得：． 75．（25-26学年九上·甘肃兰州第五十四中学）定义：我们把关于的一元二次方程与称为一对“友好方程”．如的“友好方程”是． （1）写出一元二次方程的“友好方程”________； （2）已知一元二次方程的两根为，，它的“友好方程”的两根________，________．根据以上结论，猜想的两根，，与其“友好方程”的两根，之间存在的一种特殊关系为________； （3）已知关于的方程的两根是，，请利用（2）中的结论，求出关于的方程的两根． 【答案】（1）；     （2），，互为倒数；     （3），      【分析】 本题主要考查了新定义问题，一元二次方程的一般形式，一元二次方程的解，用因式分解法和换元法解一元二次方程，掌握并灵活运用新定义是解题的关键． （1）根据“友好方程”的定义，即得答案； （2）先写出的友好方程，然后再解得其友好方程的答案，通过观察，可猜想出原方程与友好方程两根之间的关系； （3）由（2）可知，的两个根分别是，，将整理为：，那么有或，从而解得答案． (1) 小问详解： 解：一元二次方程与称为一对“友好方程”， 一元二次方程的“友好方程”为； 故答案为：； (2) 小问详解： 解：根据题意可知，一元二次方程的友好方程为， 解，得到， 解得，， 观察可知，，； 所以猜想的两根，，与其“友好方程”的两根，之间存在的一种特殊关系是互为倒数． 故答案为：，，互为倒数； (3) 小问详解： 解：已知关于的方程的两根是，， 那么的两个根分别是，， 将整理为：， 那么有或， 即，； 故答案为：，． 考点05 一元二次方程的根与系数的关系 1．（九上·甘肃白银·期中）若是方程的两根，则的值是（     ） A.  B. 5 C. 3 D.  【答案】C 【分析】 本题考查了一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），解题的关键是掌握韦达定理中两根之积与方程系数的关系：对于一元二次方程（），两根之积． 先明确所给方程为一元二次方程的一般形式，确定二次项系数和常数项的值，再根据韦达定理中两根之积的公式计算的值，最后匹配选项． 【详解】 解：对于一元二次方程（），由根与系数的关系可知，两根之积． 在方程中，二次项系数，常数项，则， 故选：C． 2．（25-26学年九上·甘肃武威凉州区谢河中学·期中）若，是方程的两个根，则（） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查一元二次方程根与系数的关系，掌握知识点是解题的关键． 利用一元二次方程根与系数的关系，直接计算根的和与积． 【详解】 解：∵方程中，，，， ∴，． 只有选项B正确． 故选B． 3．（25-26学年九上·甘肃庆阳镇原县·期末）已知关于x的方程的一个根为，则另一个根为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了一元二次方程根与系数的关系，若，为方程的两个根，则，与系数的关系式：，． 利用一元二次方程根与系数的关系，即两根之和等于，直接求解另一个根. 【详解】 解：设另一根为， ∵方程中，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故另一个根为， 故选：D. 4．（25-26学年九上·甘肃天水·期末）若m，是一元二次方程的两个根，则的值为（       ） A.  B.  C. 1 D. 3 【答案】B 【分析】 根据根与系数的关系求出m+n和mn的值，代入计算即可． 【详解】 解：由题意得 m+n=-1，mn=-1， ∴=-1-2=-3． 故选B． 【点睛】 本题考查了一元二次方程根与系数的关系，若x1，x2为方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根，则x1，x2与系数的关系式：，． 5．（25-26学年九上·甘肃陇南武都区·期末）已知是一元二次方程的两个实数根，则（　　） A. 2023 B. 2024 C. 2025 D. 2026 【答案】C 【分析】 本题考查了根与系数的关系．利用一元二次方程根与系数的关系求出与的值，代入原式计算即可求出值． 【详解】 解：一元二次方程的两个实数根为a，b， ，， 则原式， 故选：C． 6．（25-26学年九上·甘肃酒泉第二中学·期中）若一元二次方程的两个根分别为，，则的值为（       ） A. 2 B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了一元二次方程根与系数的关系．先由一元二次方程得出两根之间的关系，得，，再将进行通分得到，代入原式可得到结果． 【详解】 解：由一元二次方程根与系数的关系可得：，， ∴． 故选：D． 7．（25-26学年九上·甘肃陇南）已知一元二次方程的两根分别为，，则（       ） A. 2 B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键．根据一元二次方程根与系数的关系即可求解． 【详解】 解：∵一元二次方程的两根分别为，， ∴由根与系数的关系得，． 故选：C． 8．（25-26学年九·甘肃武威第十七中学·期末）若一元二次方程的两根之和与两根之积分别为m，n，则点在平面直角坐标系中位于（     ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【分析】 本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，判断点所在的象限等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 利用一元二次方程的根与系数关系求出两根之和与两根之积，得到点的坐标，再判断所在象限． 【详解】 解：∵方程中，，，， ∴两根之和， 两根之积， ∴点为， ∵横坐标为正，纵坐标为负， ∴点在第四象限， 故选：D． 9．（25-26学年九上·甘肃白银·期末）设，是方程的两个实数根，则的值为（     ） A. 2025 B. 2026 C. 1 D.  【答案】A 【分析】 本题考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是找到两根之和，两根之积的关系，利用一元二次方程根与系数的关系，求出和的值，然后代入表达式计算． 【详解】 解：∵ ，是方程的两个实数根， ∴， ∴ 故选A． 10．（25-26学年九上·甘肃陇南武都区·期中）已知，是关于的方程的两个根，则的值为（     ） A. 16 B. 17 C. 18 D. 19 【答案】B 【分析】 本题考查一元二次方程的解和一元二次方程根与系数的关系． 由一元二次方程的解和一元二次方程根与系数的关系可得出，，然后将变形成，然后代入求解即可． 【详解】 解：∵m，n是关于x的方程的两个根， ， ∴， ∴ ， 故选：B． 11．（25-26学年九上·甘肃平凉庄浪县·期中）设a，b为一元二次方程的两个实数根，则的值为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了一元二次方程根的定义，一元二次方程根与系数的关系，利用根的定义将高阶项降次，根与系数的关系求出的值，进行变形代入计算是解决本题的关键． 先利用根的定义将高阶项降次，对原式变形化简，再结合根与系数的关系代入的值计算即可． 【详解】 解：∵ a，b为一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴ 原式 ． 故选：A． 12．（25-26学年九上·甘肃武威凉州区·期中）已知是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根，且满足，则的值是（       ） A. 3 B.  C. 3或1 D. 或1 【答案】A 【分析】 本题考查根与系数的关系以及根的判别式，由根与系数的关系结合，可得出关于m的分式方程，解之即可得出m的值，再根据根的判别式，即可得出m的值，此题得解． 【详解】 解：∵是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根， ∴，， ∴， 解得：或， 经检验，或均为原分式方程的解． ∵是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 13．（25-26学年九上·甘肃兰州红古区·期中）若m，n是一元二次方程的两个根，则的值是（       ） A. 6 B. 12 C. 0 D. 18 【答案】A 【分析】 本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，熟悉掌握根与系数的关系是解题的关键． 把代入可得到，再由根与系数的关系可得到，转化为，再分别代入和运算即可． 【详解】 已知m，n是一元二次方程的两个根，则． 由根与系数的关系，得， 因此． 故选：A． 14．（25-26学年九上·甘肃陇南武都区·期末）已知关于x的一元二次方程． （1）求证：该方程总有两个不相等的实数根． （2）若该方程的两根互为相反数，求m的值． 【答案】（1） 证明：， ∴，，， ∵， ∴该方程总有两个不相等的实数根．     （2）4      【分析】 （1）根据一元二次方程列出根的判别式，即可做出判断； （2）根据一元二次方程根与系数关系列式求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ∵该方程的两根互为相反数， ∴， ∴． 【点睛】 此题考查了一元二次方程根的判别式和根与系数关系，熟练掌握相关知识并准确计算是解题的关键． 15．（25-26学年九上·甘肃陇南）已知方程的一个根是6，则它的另一个根是　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的根，由于该方程的一个根已知，可以根据根与系数的关系求另一个根． 【详解】 解：设方程的另一个根为，根据根与系数的关系， 两根之积为 ． 已知一个根是 6， 所以， 解得 ． 故答案为：． 16．（25-26学年九上·甘肃柏树中学·期中）已知是方程的两根，则　　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查一元二次方程的根与系数的关系．一元二次方程的根与系数的关系：，．根据一元二次方程的根与系数的关系即可求解． 【详解】 解：∵是方程的两根， ∴， 故答案为：． 17．（25-26学年九上·甘肃陇南武都区·期末）关于x的一元二次方程有一个根为3，求k的值及另一个根． 【答案】，． 【分析】 将代入方程，求解关于的一元一次方程，再将代入原方程，根据两根之积求解即可． 【详解】 解：把代入， 得，解得， ∴原方程为， 设另一根为， 由根与系数的关系可得：，即 解得，即原方程的另一个根是． 【点睛】 此题考查了一元二次方程的解以及根与系数的关系，涉及了一元一次方程的求解，理解一元二次方程解的含义以及熟练掌握根与系数的关系是解题的关键． 18．（25-26学年九上·甘肃天水甘谷县·期中）已知方程的两根分别为，，则的值为　　　　　　　　　． 【答案】1 【分析】 本题主要考查了根与系数的关系，对于的两个根分别为，则． 利用根与系数的关系得到，的值，然后代入计算即可． 【详解】 解：∵方程的两个根分别为，， ∴， ∴． 故答案为：1． 19．（25-26学年九上·甘肃张掖临泽县·期中）若、是方程的两个实数根，则的值为　　　　　　． 【答案】2 【分析】 本题考查了一元二次方程根与系数的关系，． 由一元二次方程根与系数的关系直接求出，的值，再将问题中代数式展开代入即可． 【详解】 解：∵、是方程的两个实数根， ∴， ， ∴， 故答案为：2． 20．（25-26学年九上·甘肃天水麦积区·期中）已知一元二次方程的两根为，则　　　　　　． 【答案】14 【分析】 本题考查一元二次方程根与系数的关系，利用一元二次方程根与系数的关系，求出两根之和与两根之积，再代入所求表达式计算． 【详解】 解：对于一元二次方程 ， 由根与系数的关系，得 ，， 则 ， 故答案为：14． 21．（25-26学年九上·甘肃天水逸夫实验学校·期中）已知 m、n是一元二次方程 的两个实数根，则 的值为　　　　　　　． 【答案】0 【分析】 本题考查了一元二次方程的解和根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题的关键； 根据题意可得，然后变形后整体代入求解即可． 【详解】 解：∵m、n是一元二次方程 的两个实数根， ∴， ∴， ∴； 故答案为：0． 22．（25-26学年九上·甘肃天水逸夫实验学校·期中）已知关于x的一元二次方程有两个实数根， （1）求k的取值范围； （2）若，满足，求k的值． 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据判别式的意义得到，然后解不等式即可得到的范围； （2）根据根与系数的关系得到，，由题意得出关于的方程，则可求出答案． (1) 小问详解： 解：根据题意得， 解得； 的取值范围是． (2) 小问详解： 根据题意得，， ，满足， ， ， ， ， 经检验是原方程的根， ， ． 【点睛】 本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．也考查了根的判别式的意义． 23．（25-26学年九上·甘肃兰州·期中）已知关于x的一元二次方程的一个根为，求m的值及方程的另一根． 【答案】m的值为，方程的另一个根为 【分析】 本题考查根与系数的关系，对于一元二次方程的两个实数根，则有． 设方程的另一个根为 t，利用根与系数的关系进行求解即可． 【详解】 解：设方程的另一个根为t， 根据根与系数的关系得，， 解得， 即m的值为，方程的另一个根为． 24．（25-26学年九上·甘肃兰州·期中）一元二次方程的两根分别为m，n，则　　　　． 【答案】4 【分析】 本题考查一元二次方程根与系数的关系，代入求值，掌握相关知识是解决问题的关键．根据一元二次方程根与系数的关系，直接计算两根之和与两根之积，再代入所求表达式求解． 【详解】 解：对于一元二次方程 ，由根与系数的关系，得 ，， 则 ． 故答案为： 4． 25．（25-26学年九上·甘肃定西·期中）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+2）x+2m＝0． （1）证明：不论m为何值时，方程总有实数根． （2）若方程的两个实数根x1，x2满足x1+x2﹣x1x2＝4，求m的值． 【答案】（1）证明：∵Δ=[-(m+2)]2-4×2m=(m-2)2≥0， ∴不论m为何值，该方程总有两个实数根； （2）解：根据题意得：x1+x2=m+2，x1x2=2m， ∵x1+x2-x1x2=4， ∴m+2-2m=4． 解得m=-2． （2）m=-2 【分析】 （1）根据一元二次方程根的判别式和非负数的性质即可得到结论； （2）利用根与系数的关系求得x1+x2=m+2，x1x2=2m，代入x1+x2-x1x2=4，解方程即可求解． 【详解】 （1）略； 【点睛】 本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=-，x1•x2=．也考查了根的判别式． 26．（25-26学年九上·甘肃临夏州·期中）已知：的两邻边，的长是关于的方程的两个实数根． （1）当为何值时，是菱形？ （2）若的长为3，求的周长． 【答案】（1）的值为8；     （2）的周长为．      【分析】 本题考查了根与系数的关系，平行四边形的性质和菱形的判定与性质． （1）根据菱形的判定得到，再利用根的判别式的意义得到，解得，，然后根据根与系数的关系得到，，从而确定的值； （2）利用根与系数的关系得到，，解方程组得到，然后根据平行四边形的性质求解． (1) 小问详解： 解：当时，是菱形， 即，的长是关于的方程的两个相等的实数根， ， 解得，， ，， 的值为8； (2) 小问详解： 解：， ，， ， 解得， 的周长． 27．（25-26学年九上·甘肃庆阳镇原县·期中）请写出一个一元二次方程，使其一个根为3，另一个根为0：　　　　　　　　　． 【答案】（答案不唯一） 【分析】 本题主要考查了一元二次方程，解题的关键在于正确的写出方程的因式分解的形式．一元二次方程可表示为的形式，令的值代入即可． 【详解】 已知一元二次方程可表示为 的形式， 一元二次方程的一个根为3，另一个根为0， ， ，即． 故答案为：． 28．（25-26学年九上·甘肃兰州红古区·期中）阅读理解材料：已知实数m，n满足，，且，求的值． 解：由题意知m，n是方程的两个不相等的实数根， 根据一元二次方程根与系数的关系得，， ∴． 解决以下问题： （1）方程的两个实数根为，，则________，________． （2）已知实数m，n满足，，且，求的值． 【答案】（1）4，     （2）      【分析】 本题主要考查了根与系数的关系，二次根式的化简求值： （1）直接利用根与系数的关系求解即可； （2）m，n可看作方程的两个不相等的实数根，则利用根与系数的关系得到，，再利用完全平方公式计算，然后根据算术平方根的定义得到的值． (1) 小问详解： 解：∵方程的两个实数根为，， ∴，． 故答案为：4，； (2) 小问详解： 解：∵，，且， ∴m，n可看作方程的两个不相等的实数根． ∴，． ∴m，n均为正数， ∴． ∴． 29．（25-26学年九上·甘肃陇南·期中）已知关于x的方程x2+ax+a﹣2=0． （1）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根； （2）若该方程的一个根为1，求a的值及该方程的另一根． 【答案】（1）证明：∵△=a2﹣4（a﹣2）=a2﹣4a+8=a2﹣4a+4+4=（a﹣2）2+4>0， ∴不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． （2）a=，x1=﹣ 【分析】 （1）根据根的判别式即可求解； （2）将x=1代入方程x2+ax+a﹣2=0，求出a，再利用根与系数的关系求出方程的另一根． 【详解】 解：（1）略 （2）将x=1代入方程x2+ax+a﹣2=0 得1+a+a﹣2=0， 解得a=； ∴方程为x2+x﹣=0， 即2x2+x﹣3=0， 设另一根为x1，则1×x1==﹣， ∴另一根x1=﹣． 【点睛】 此题主要考查一元二次方程根的求解，解题的关键是熟知根的判别式与根与系数的关系． 30．（25-26学年九上·甘肃陇南·期中）设，是方程的两个实数根，则的值为　　　　　　　　　　　　　　　． 【答案】.5 【分析】 先根据根与系数的关系得到，，再把所求的式子进行整理，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】 解：∵，是方程的两个实数根， ∴，， ∴． 故答案为：． 【点睛】 本题主要考查根与系数的关系，解答的关键是熟记根与系数的关系：，． 31．（25-26学年九上·甘肃庆阳镇原县·期末）已知关于的一元二次方程有两个实数根，． （1）求的取值范围； （2）若，求的值． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了根的判别式，根与系数的关系，熟知相关公式是解题的关键． （1）根据两个实数根，，利用根的判别式即可解答； （2）提取公因式可得，最后利用根与系数的关系式，列出方程即可解答． (1) 小问详解： 解：关于的一元二次方程有两个实数根，， ， 解得； (2) 小问详解： 解：可得， 根据一元二次方程可得， 可得， 解得． 32．（25-26学年九上·甘肃白银·期末）已知是一元二次方程的两个不相等的实数根，则代数式的值为　　　　　　　　　　　． 【答案】0 【分析】 本题主要考查了方程的解，以及根与系数的关系，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．根据方程的解得到，利用根与系数的关系得到，最后代入式子求解，即可解题． 【详解】 解：∵是一元二次方程的两个不相等的实数根， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：0． 33．（25-26学年九上·甘肃定西安定区·期末）已知关于的一元二次方程． （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）若的两边，的长是这个方程的两个实数根，第三边的长为，当是直角三角形时，求的值． 【答案】（1） 证明：， 方程有两个不相等的实数根．     （2）或      【分析】 本题考查了根的判别式、三角形三边关系以及勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键； （1）根据方程的系数结合根的判别式，可得出，进而可证出方程有两个不相等的实数根； （2）利用因式分解法可求出，的长，分为直角边及为斜边两种情况，利用勾股定理可得出关于的一元一次方程或一元二次方程，解之即可得出值，取其正值（利用三角形的三边关系判定其是否构成三角形）即可得出结论． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：， 即， 解得：，． 当为直角边时，， 解得：； 当为斜边时，， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：的值为或 34．（25-26学年九上·甘肃天水麦积区·期中）已知关于的一元二次方程． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若，且该方程的两个实数根的差为4，求的值． 【答案】（1） 证明：∵a=1，b=-4m，c=， ∴Δ=， 则该方程总有两个实数根；     （2）2      【分析】 （1）表示出根的判别式，判断其值大于等于0即可得证； （2）设方程两个根分别为a，b，则有|a-b|=4，a+b=4m，，利用二次根式性质及完全平方公式变形，计算即可求出m的值． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 设方程两个根分别为a，b， 则有|a-b|=4，a+b=4m，， ∴，即， 两边平方得：， 代入得：，即， ∵m＞0， ∴m=2． 【点睛】 此题考查了根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解本题的关键． 35．（25-26学年九上·甘肃兰州·期中）已知关于x的一元二次方程有两个实数根． （1）求k的取值范围． （2）若，求k的值． 【答案】（1）     （2）的值为      【分析】 本题考查了根的判别式，根与系数的关系，熟知相关公式是解题的关键． （1）根据两个实数根，利用根的判别式即可解答； （2）提取公因式可得，最后利用根与系数的关系式，列出方程即可解答． (1) 小问详解： 解：∵方程有两个实数根， ∴， 解得：． (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∵是方程的两个实数根， ∴， ∴， ∴． 即的值为． 36．（九上·甘肃白银·期中）课本再现 （1）方程的求根公式，不仅表示可由方程的系数求出方程的根，而且反映了根与系数之间的联系，即方程的两个根满足：①；②．这也称作韦达定理，是由16世纪法国数学家韦达发现的．请你选择其中一个结论进行证明． 知识应用 （2）已知一元二次方程的两根分别为，求的值． （3）已知实数，满足，，求的值． 【答案】（1）∵方程的两个根是， ∴； ； （2） （3）43 【分析】 本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系， 对于（1）根据方程的两个根是，再分别求出结论即可； 对于（2），先根据一元二次根与系数的关系求出，再整体代入求值； 对于（3），先设，可知a，b是一元二次方程的两个根，再求出方程的根，然后完全平方公式的变形可得答案. 【详解】 解：（1）略 （2）∵一元二次方程的两个根是m，n， ∴， ∴原式； （3）∵， 设，则， ∴a，b是一元二次方程的两个根， 解得，或， ∴， 平方，得，即； 当， ∴， 平方，得，即（不符合题意，舍去）， ∴. 37．（25-26学年九上·甘肃武威凉州区谢河中学·期中）已知关于的方程． （1）求证：不论为何值，该方程总有实数根； （2）若等腰的三边长分别是2，a和b，且a，b分别是一元二次方程的两个根，请求出的周长． 【答案】（1） 证明：， ， 不论为何值，该方程总有实数根；     （2）或      【分析】 本题主要考查了一元二次方程根的判别式和方程的解，准确计算是解题的关键． （1）根据判别式判断即可； （2）根据等腰三角形的边的性质分类讨论，当，为腰，则；当，或，为腰，则是方程的解，代入求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 等腰的三边长分别是2，a和b，且a，b分别是一元二次方程的两个根， 当，为腰时，，，且， ， 解得：， ， 周长； 当，或，为腰，则是方程的解， ， ， ， ， 的周长； 的周长为或． 38．（25-26学年九上·甘肃酒泉肃州区·期中）若x1，x2是方程x2+2x﹣3=0的两根，则x1+x2=　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　． 【答案】-2． 【详解】试题分析：根据一元二次方程根与系数的关系计算即可． 试题解析：∵x1、x2是方程x2+2x-3=0的两个实数根. ∴x1+x2=-3． 考点：根与系数的关系. 39．（25-26学年九上·甘肃酒泉肃州区·期中）若一元二次方程的两根分别为、，则　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程根与系数的关系，代数式求值，若是一元二次方程的两个根时，，将根与系数的关系与代数式变形相结合是解题的关键． 根据一元二次方程根与系数的关系得出，，再把代数式变形为，计算即可． 【详解】 解：由题意得，，， ∴， 故答案为： ． 【详解】 40．（25-26学年九上·甘肃吴家井中学·期中）已知关于x的一元二次方程． （1）如果方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围； （2）若的斜边边长，另两边长a，b恰好是这个方程的两个根，求k值及此三角形的面积． 【答案】（1）     （2）的值为4，三角形的面积为6．      【分析】 本题考查了一元二次方程根的判别式、一元二次方程根与系数的关系，以及直角三角形的勾股定理和面积计算，解题的关键是掌握“方程有两个不相等实数根则判别式”的条件，熟练运用韦达定理表示根与系数的关系，并结合勾股定理将边长关系转化为方程系数的关系，同时注意边长为正数的隐含条件． （1）根据一元二次方程有两个不相等实数根的条件，确定方程中、、，代入判别式公式，解不等式求出的取值范围； （2）先由根与系数的关系得、，再根据直角三角形勾股定理，将变形为，代入计算值；验证是否满足方程有实根的条件，最后用计算三角形面积． (1) 小问详解： 解：对于一元二次方程，其中，，， ∵方程有两个不相等的实数根， ∴． 代入得， 即， 化简得， 解得． (2) 小问详解： 解：∵、是方程的两个根，由根与系数的关系得，， ∵中，斜边， ∴由勾股定理得 又∵，代入得， 即， 化简得， 解得． 验证：当时，，方程有两个实根，符合题意． 此时，三角形面积． ∴的值为4，三角形的面积为6． 41．（25-26学年九上·甘肃酒泉肃州区·期中）已知：关于的方程． （1）若方程有两个实数根，求的取值范围； （2）若两实数根、满足，求的值． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系的应用； （1）利用一元二次方程有两个实数根时，判别式，列不等式求解的取值范围 （2）根据一元二次方程根与系数的关系，用含的代数式表示两根之和与两根之积，结合已知等式列方程求解，再结合第一问中的取值范围舍去不符合题意的解． (1) 小问详解： 解： 对于方程， 其中，，      ∵方程有两个实数根 ， ∴ ，即， 解得； (2) 小问详解： 解： ∵、是方程的两个实数根 ∴，  ∵  ∴  整理得  因式分解得  解得或  又∵由（1）知  ∴不符合题意，舍去 ∴ 42．（25-26学年九上·甘肃陇南武都区·期中）定义：若关于x的一元二次方程的两个实数根为，，以，为横坐标和纵坐标得到点，则称点M为该一元二次方程的衍生点． 【初步思考】 （1）一元二次方程的衍生点M的坐标为               ； 【尝试应用】 （2）已知一元二次方程． ①求出该方程的衍生点M的坐标； ②由①得到的所有衍生点M都在同一条直线上，该直线的解析式为               ； （3）是否存在b，c，使得不论为何值，一元二次方程的衍生点M始终在直线的图象上，若有，请求出b，c的值；若没有，请说明理由． 【答案】（1）；（2）① 衍生点的坐标为；②；（3）有， 【分析】 本题考查了求一元二次方程的解，根与系数的关系、一次函数图象恒过定点问题、圆等问题，解题的关键是读懂衍生点的定义，根据定义进行求解衍生点，再解决问题（3）时，需要将定点视为衍生点才是解题的突破口． （1）利用因式分解法求解方程的解，然后根据定义即可求解； （2）①利用因式分解法解方程，再根据衍生点的定义求解；② 当时，，当时，，设直线的解析式为，将代入，求解即可． （3）先推导出直线的图象经过定点，得到一元二次方程的衍生点始终在直线的图象上，则关于的方程的两个根为，代入求解即可． 【详解】 解：（1）， ， ， ， ∴一元二次方程的衍生点M的坐标为． 故答案为：． （2）① 因式分解，得． 解得或， ∵， ∴． 满足，故该方程的衍生点的坐标为． ② 当时，，衍生点为；当时，，衍生点为； ∵所有衍生点M都在同一条直线上， ∴设直线的解析式为， 将代入，得 ， 解得 ， ∴直线的解析式为． 故答案为：． （3）存在，使得不论为何值，一元二次方程的衍生点始终在直线的图象上．理由如下： 将代入直线，得． 直线的图象经过定点． 要使得不论为何值，一元二次方程的衍生点始终在直线的图象上， 则关于的方程的两个根为， ， ． 考点06 实际问题与一元二次方程 1．（25-26学年九上·甘肃陇南武都区·期末）我国古代数学著作《增删算法统宗》记载了“圆中方形”问题：今有圆田一段，中间有个方池．丈量田地待耕犁，恰好三分在记，池面至周有数，每边三步无疑．其大意为有一块圆形的田，中间有一块正方形水池，测量出除水池外圆内可耕地的面积恰好72平方步，从水池边到圆周，每边相距3步远．如图，设正方形的边长是步，则可列方程为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程,正确表示出圆的面积是解题关键. 首先需要确定圆的半径，已知正方的步长为，从水池边到圆周每边相距步，则圆的半径为正方形边长的一半加上步，即圆的半径 ，利用圆的面积（）减去正方形面积（）进而得出答案. 【详解】 解:∵可耕地的面积是平方步，且可耕地的面积=圆的面积−正方形的面积， ∴可列方程为：. 故答案为:B． 2．（25-26学年九上·甘肃兰州·期中）如图，小明家有一块长，宽的长方形土地，为了种植方便，小明爸爸准备在横、纵方向各修建一条等宽的小路（阴影部分），并且要使种植面积为，求小路的宽．设小路的宽为，则可列方程为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了一元二次方程的运用，理解图示，运用平移的方法得到种植地的长和宽是解题的关键． 根据题意，种植地的长为，宽为，根据种植面积为，列式即可求解． 【详解】 解：如图所示，运用平移的方法得到种植地的长为，宽为， ∴， 故选：C ． 3．（25-26学年九上·甘肃白银·期末）习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”．我校为响应全民阅读活动，打造书香校园，在校园里建立了图书角。据统计，八（10）班第一周阅读128人次，阅读人次每周增加，到第三周累计阅读608人次，若阅读人次的周平均增长率为x可得方程（       ） A. 128(1+x)=608 B. 128(1+x）2=608 C. 128(1+x)+128(1+x)2=608 D. 128+128(1+x)+128(1+x)2=608 【答案】D 【分析】 先分别表示出第二周和第三周的进馆人次，再根据第一周的阅读人次加第二和第三周的阅读人次等于608，列方程求解． 【详解】 解：设进馆人次的周平均增长率为x，则由题意得： 128+128（1+x）+128（1+x）2=608； 故选：D． 【点睛】 本题属于一元二次方程的应用题，列出方程是解题的关键．本题难度适中，属于中档题． 4．（25-26学年九上·甘肃武威凉州区·期末）《九章算术》“勾股”章有一道题：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈．问户高、广各几何．”大意是说：已知长方形门的高比宽多6尺8寸，门的对角线长1丈，那么门的高和宽各是多少？（“尺”“寸”“丈”都是我国传统的长度单位，其中1丈尺，1尺寸）设门高x尺，根据题意可列方程为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用、勾股定理．设门高尺，则宽为尺，而对角线长为10尺，利用勾股定理可得关于x的一元二次方程． 【详解】 解：设门高尺，则宽为尺，而对角线长为10尺， ∴由勾股定理得， 故选：D． 5．（25-26学年九上·甘肃天水甘谷县·期末）某商店原来每天可销售某种水果，每千克盈利元，为了减少库存，经市场调查，如果这种水果每千克降价元，那么每天可多售出，若要每天盈利元，则每千克应降价多少元？ 设每千克应降价元，则所列方程是（            ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了一元二次方程的运用，理解数量关系，找出降价后的盈利与销售量是解题的关键． 根据题意，设每千克应降价元，则降价后每千克盈利元，销售量为千克，由此列式即可求解． 【详解】 解：已知原来每天可销售某种水果，每千克盈利元，每千克降价元，那么每天可多售出， 设每千克应降价元，则降价后每千克盈利元，销售量为千克， ∴， 故选：B ． 6．（25-26学年九上·甘肃兰州红古区·期末）如图，要在一块矩形的劳动实践基地上修建三条同样宽的道路，横向有一条，纵向有两条，除道路（阴影部分）外，剩下的都是种植区域．已知该基地的长为，宽为，种植区域的面积为．设修建的道路的宽为，则根据题意可列方程为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查一元二次方程的实际应用，利用平移思想，结合矩形的面积公式，列出方程即可． 【详解】 解：设修建的道路的宽为，则根据题意可列方程为； 故选A． 7．（25-26学年九上·甘肃平凉·期末）为推动产业转型升级，平凉市某企业从深圳引进工业机器人的生产线．项目方测算：若月试产产值为万元，在，两月连续保持月平均增长率，则月产值可达万元．根据题意，可列出的方程为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用．根据连续两个月的平均增长率为，月到月的产值增长应用两次增长率乘法，直接列出方程． 【详解】 解：在，两月连续保持月平均增长率， 根据题意得， 故选：A． 8．（25-26学年九上·甘肃武威凉州区吴家井中学·期末）市场上某款运动相机今年9月销量为8万台，随着其适配场景持续扩容，今年11月该款运动相机销量达到18万台，那么该款运动相机这两月销量的月平均增长率为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程．利用该款运动相机今年11月份的销量该款运动相机今年9月份的销量（该款运动相机这两月销量的月平均增长率），即可列出关于的一元二次方程，此题得解． 【详解】 解：设该款运动相机这两月销量的月平均增长率为， 根据题意得：， 解得：或（舍去）， 因此，月平均增长率为， 故选：D． 9．（25-26学年九上·甘肃天水麦积区·期中）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车逐渐成为人们喜爱的交通工具．某品牌新能源汽车月份的销售量为辆，月份的销售量为辆．若月份、月份该新能源汽车销售量的月平均增长率为，则可列方程为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了增长率问题的方程建立．题目中销售量从月到月共增长两个月，需要理解月平均增长率的含义，即月平均增长率连续作用两次，解题的关键是理解两个月的累计增长应表示为，而非简单相加． 【详解】 设月平均增长率为， 则月份销售量：， 月份销售量：， 根据题意，月份的销售量为辆， 可列方程为：， 故选：． 10．（25-26学年九上·甘肃天水麦积区·期中）在中，，，．动点、分别从点、同时开始移动，点的速度为秒，点的速度为秒，点移动到点后停止，点也随之停止运动．多长时间后，能使的面积为？（     ） A. 3秒或5秒 B. 5秒 C. 3秒 D. 8秒 【答案】C 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设运动时间为t秒，则，，由三角形的面积公式结合的面积为，即可得出关于t的一元二次方程，解之取合适的值即可． 【详解】 解：设运动时间为t秒，则，， 依题意得：， 解得：， ， ， ． 故答案为：C． 11．（25-26学年九上·甘肃天水逸夫实验学校·期中）如图，某小区有一块长为18米，宽为6米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为60平方米，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道．若设人行道的宽度为x米，则可以列出关于x的方程是(　　) A. x2＋9x－8＝0 B. x2－9x－8＝0 C. x2－9x＋8＝0 D. 2x2－9x＋8＝0 【答案】C 【详解】解：设人行道的宽度为x米，根据题意得， （18﹣3x）（6﹣2x）=60， 化简整理得，x2﹣9x+8=0． 故选C． 12．（25-26学年九上·甘肃定西·期中）某超市一月份的营业额为200万元，一季度的营业额为728万元，如果每月比上月增长的百分数相同，则平均每月的增长率为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 设平均每月的增长率为x，原数为200万元，一季度的营业额为728万元，增长了两个月，根据公式“”得出方程，解出即可． 【详解】 解：设平均每月的增长率为x， 根据题意得：， 解得：，（舍去）， 所以，平均每月的增长率为，故A正确． 故选：A． 【点睛】 本题是一元二次方程的应用，属于增长率问题；解题的关键是根据题意，找出等量关系. 13．（25-26学年九上·甘肃兰州·期中）国产动画电影《哪吒之魔童闹海》于2025年春节档上映．截至2月13日19时11分，成功斩获100亿元票房（含预售），2月15日票房收入达到112亿元，若票房收入日均增长率相同，设票房收入的日均增长率为x，则可列方程为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 此题主要考查了一元二次方程的应用，熟知题中的等量关系是解题的关键．利用2月15日票房收入等于2月13日票房收入日均增长率，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】 解：根据题意得：． 故选：B． 14．（25-26学年九上·甘肃陇南武都区·期中）《电影731》通过平民视角揭露日军反人类暴行，展现绝境下国人不屈的反抗精神．据统计，该电影自9月18日上映以来，票房持续走高，9月18日国内总票房3.44亿元，9月20日总票房达到9.96亿元．若在此期间总票房按相同的增长率增长，设增长率为x，根据题意可列方程为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题主要考查了一元二次方程的应用，从9月18日上映至9月20日共3天，每日票房按相同的增长率x增长，累计总票房为三天的票房之和． 【详解】 解：∵从9月18日至9月20日共3天，每日票房增长率为x， ∴ 18日票房为3.44亿元， 19日票房为亿元， 20日票房为亿元， 累计总票房为三者之和， ∴． 故选D． 15．（25-26学年九上·甘肃酒泉第二中学·期中）电影《哪吒》上映以来，全国票房连创佳绩．据不完全统计，某市第一天票房约2亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达18亿元，将增长率记作x，则方程可以列为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，需根据增长率模型逐日计算票房并累加得到前三天的总和．据此列出方程即可． 【详解】 解：将增长率记作，则： 第一天票房约为2亿元； 第二天票房为亿元； 第三天票房为亿元； 前三天的累计票房为：． 故选：D． 16．（九上·甘肃白银·期中）据《白银市2023年国民经济和社会发展统计公报》，2023年全市枸杞总产量为万吨．另据《白银市枸杞产业高质量发展实施方案》，全市正推进“六大行动”，计划到2025年把年产量提升到万吨．设2023-2025两年间的年均增长率为，则可列方程为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了增长率问题中一元二次方程的建立，解题的关键是掌握年均增长率的数学模型：初始量． 明确2023年产量为初始量3.48万吨，2025年相对于2023年增长2年，年均增长率为，根据增长率模型直接列出方程，再匹配对应选项． 【详解】 解：2023年枸杞总产量为万吨，年均增长率为，则2024年产量为万吨． 万吨，2025年产量为万吨． 已知2025年计划年产量为万吨，故可列方程， 故选：A． 17．（25-26学年九上·甘肃庆阳镇原县·期中）甘肃省图书馆创建于1916年，现坐落于甘肃省兰州市，占地6600平方米，阅览席位2000个，现藏书容量100万册．在7月份，有5000人在该图书馆借阅了名著类书籍，9月增加至7200人，设7－9月份借阅名著类书籍的人数的平均增长率为，依题意，可列方程（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查了一元二次方程的应用，审清题意、弄清量之间的关系是解题的关键． 设每月平均增长率为x，则9月人数为7月人数乘以的平方，据此列出方程即可． 【详解】 解：∵ 7月人数为5000，平均月增长率为x， ∴ 8月人数为， ∴ 9月人数为， 又∵ 9月人数为7200， ∴ ． 故选：B． 18．（25-26学年九上·甘肃平凉庄浪县·期中）某校为了丰富学生的课余生活，增强学生的实践能力，计划在如图所示的长、宽的矩形空地上开展跳蚤市场活动，其中两块完全相同的阴影部分规划为学生摊位区域，四周空白部分为等宽的人行通道．已知学生摊位区域的总面积为，求人行通道的宽度．若设人行通道的宽度为，则根据题意可列方程为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，设人行通道的宽度为，根据题意列方程即可，读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键． 【详解】 解：设人行通道的宽度为， 根据题意得，， 故选：． 19．（25-26学年九上·甘肃武威凉州区谢河中学·期中）组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛．设比赛组织者应邀请x个队参赛，则x满足的关系式为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，找出等量关系是解答本题的关键． 单循环赛的总比赛场数为队数乘以每队比赛场数除以2，等于总安排场数，据此列方程即可． 【详解】 解：∵每个队都与其他队比赛一场， ∴每队比赛场数为场，总比赛场数为． 又∵赛程计划安排7天，每天4场比赛， ∴总比赛场数为． ∴满足的关系式为． 故选B． 【详解】 20．（25-26学年九上·甘肃酒泉第七中学·期中）电影《哪吒之魔童闹海》一上映就受到观众热烈追捧，第一天票房约3亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达10亿元，若设票房每日增长率为x，则根据题意可列方程为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查一元二次方程的应用——连续增长问题．根据题意，分别表示出三天的票房，再求和等于10亿元即可． 【详解】 解：第一天票房为3亿元，设票房每日增长率为x， 则第二天票房亿元， 第三天票房亿元， 累计三天票房总和为10亿元， ∴方程为：， 故选：A． 21．（25-26学年九上·甘肃酒泉肃州区·期中）如图，在长为，宽为的矩形空地上修筑四条宽度相等的小路．若余下的部分全部种上花卉、且花圃的面积是．设小路的宽为，下面所列方程正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是设小路的宽是，则余下的部分可合成长为，宽为的矩形，根据花圃的面积是，可列出关于的一元二次方程． 【详解】 解：设小路的宽为， 由题意可得：， 故选C． 22．（25-26学年九上·甘肃陇南）秋冬季是流感的高发季节，应该特别注意预防流感，如勤洗手、戴口罩、保持室内通风等．若有一个人患了流感，经过两轮传染后共有个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？设每轮传染中平均一个人传染了个人，根据题意，列方程为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查一元二次方程的应用，关键是根据传染模型正确列出方程．初始有人患流感，每轮传染中平均一个人传染人，经过两轮传染后总人数为，据此列方程． 【详解】 解：设每轮传染中平均一人传染人． 初始患病人数为， 第一轮后患病人数为：， 第二轮新增患病人数为：， 两轮后总患病人数为：． 故选：B． 23．（25-26学年九上·甘肃兰州红古区·期中）在纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年之际，电影《南京照相馆》暑期正式上映．上映第一周票房收入达8.98亿元，第三周票房收入达12.93亿元，如果第二周、第三周票房收入按相同的增长率增长，设增长率为x，则可列方程为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查的知识点是由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是读懂题意，找出等量关系式． 根据题意可得出第二周的票房为，第三周的票房为，将第三周的票房收入代入即可得出答案． 【详解】 增长率为x，则第二周的票房为，第三周的票房为， 所以可列方程为． 故选：B． 24．（25-26学年九上·甘肃定西临洮县·期中）随着“陇上美食，香飘全国”理念的普及，甘肃定西的特色美食——陇西腊肉的销量持续攀升．某知名陇西腊肉店的月销售量由一月份的千克增加到三月份的千克，设该腊肉店一月至三月销售量平均每月的增长率为x，则可列方程（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查平均增长率问题，一元二次方程的应用，掌握相关知识是解决问题的关键．已知一月份销量为千克，平均每月的增长率为x，二月份销量为千克，三月份销量为千克，然后根据三月份销量为千克列方程即可． 【详解】 解：由题意得． 故选：B． 25．（25-26学年九上·甘肃陇南·期中）为解决群众看病贵的问题，有关部门决定降低药价，某种原价为元的药品连续两次降价后为元，则平均每次降价的百分率为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，根据题意找到等量关系是解题的关键． 设平均每次降价的百分率为，根据题意列出方程即可求解． 【详解】 解：设平均每次降价的百分率为， 由题意得，， 解得，（不合题意，舍去）， ∴平均每次降价的百分率为， 故选：． 26．（25-26学年九上·甘肃白银景泰）古希腊数学家丢番图（公元250年前后）在《算术》中就提到了一元二次方程的问题，不过当时古希腊人还没有寻求到它的求根公式，只能用图解等方法来求解．欧几里得的《原本》记载，形如的方程的图解法是（如图）：画，使，，，再在斜边上截取．则该方程的一个正根是（　　） A. 的长 B. 的长 C. 的长 D. 的长 【答案】B 【分析】 此题考查了一元二次方程的应用，勾股定理，在中，利用勾股定理列出关系式，把各自的长度代入，化简后与已知方程比较，即可确定出所求． 【详解】 解：在中， 根据勾股定理得：， ∵，， ∴， 整理得：， 比较方程，可得的长是方程的一个正根， 故选：B． 27．（25-26学年九上·甘肃柏树中学·期中）在某次篮球比赛中，参赛的每两队之间都进行一场比赛，计划安排28场比赛，若邀请x个球队参加比赛，则可列的方程为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查一元二次方程的实际应用．根据每两队之间都进行一场比赛，计划安排28场比赛，列出方程即可． 【详解】 解：设邀请x个球队参加比赛， 由题意，得：； 故选：C． 28．（25-26学年九上·甘肃吴家井中学·期中）某商品原价148元，连续两次降价后售价为120元，下列所列方程正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，由商品原价148元，降价后售价为，再降价后售价为，即可列出方程，理解题意，找准等量关系是解此题的关键． 【详解】 解：根据题意可得： 所列方程为：， 故选C． 29．（25-26学年九·甘肃张掖民乐县·期末）中国首款“甘肃造”养老机器人将于今年四季度量产，填补了甘肃在机器人制造领域的空白．某公司“养老机器人”在10月份产值达到1500万元，预计12月份产值将增至3000万元，设该公司11，12两个月的月平均增长率为，则列出的方程为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 初始量为，月平均增长率为，经过个月后的量为．从月份到月份经过2个月，初始产值为万元，月份产值为万元，据此即可列出方程． 【详解】 解：∵月份产值为万元，月平均增长率为， ∴月份的产值为万元， ∴可列方程为． 30．（25-26学年九上·甘肃天水·期末）古算趣题：“愚人持竿欲入门，怎奈门框把竹阻，横余五尺竖余三，焦急无措泪潸潸．有位邻居智慧高，教其斜竿对两角，愚人依言行一试，不多不少正合适，试问竿长是几何，能解此题我点赞．”大意是：“一人拿着一根竹竿进屋内，竹竿比门宽多5尺，比门高多3尺，如果竹竿斜着进门，恰好通过．若设竹竿的长为x尺，则可列方程为 A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查了一元二次方程的应用（与图形有关的问题），勾股定理等知识点，读懂题意，根据题中的等量关系正确列出方程是解题的关键．若设竹竿的长为x尺，则由题意得，门宽为尺，门高为尺，然后根据勾股定理即可得出答案． 【详解】 解：因为设竹竿长为x尺，由题意可知门宽为尺，门高为尺． ∴可列方程为：． 故选：B． 31．（25-26学年九上·甘肃临夏州·期末）九年级（1）班学生毕业时，每名同学都要给其他同学写一份毕业留言作为纪念，全班学生共写了1560份留言．如果全班有名学生，根据题意，列出方程为（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，理解题意找准等量关系列出方程是解题的关键． 每名学生需要给其他名学生写留言，因此总留言数为份，根据题意列出方程即可． 【详解】 解：根据题意，列出方程为， 故选：B． 32．（25-26学年九上·甘肃天水张家川回族自治县·期末）如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点运动；同时，点从点出发沿以的速度向点运动，点运动到点时，点也停止运动；当的面积等于时，运动时间为（          ） A. 2 B. 4 C. 10 D. 2或10 【答案】A 【分析】 本题主要考查了一元二次方程的应用，关键是根据题意找到关系式． 设运动时间为，则，，利用三角形面积的计算公式结合的面积等于，即可得出关于的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论． 【详解】 解：四边形是矩形， ， ． 设运动时间为，则，， 根据题意列一元二次方程得： ， 整理得，， 整理得：， 解得，（不合题意，舍去）． 即当的面积等于时，运动时间为． 故选：A． 33．（25-26学年九上·甘肃陇南西和县·期末）有一个人患流感，经过两轮传染后共有64个人患流感．设每轮传染中平均一个人传染x个人，则第三轮传染后共有（     ）个人患流感 A. 7 B. 8 C. 448 D. 512 【答案】D 【分析】 本题考查了由实际问题抽象出的一元二次方程，关键是得到两轮传染人数的数量关系，从而可列方程求解． 设每轮传染中平均一人传染了x人，根据有一人患了流感，第一轮有人患流感，第二轮共有人，即64人患了流感，由此列方程求出x，再据此即可求得经过三轮传染后患流感的总人数． 【详解】 解：设每轮传染中平均一个人传染了x人， 根据题意得：， 整理得，，  解得：或 (舍去)， 故每轮传染中平均一个人传染了7人， 则经过三轮传染后患流感的人数为： (人)， 故选：D． 34．（25-26学年九上·甘肃兰州第五十四中学）如图，某小区居民休闲娱乐中心是一块长方形（长60米，宽40米）的场地，被3条宽度相同的绿化带分为总面积为1750平方米的活动场所，设绿化带的宽度为x米，由题意可列方程为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用．利用平移思想，整体处理求解即可． 【详解】 解：∵长方形场地的长为60米，宽为40米， ∴被分成六块的活动场所可合成长为米，宽为米的长方形． 根据题意得：． 故选：B． 35．（25-26学年九上·甘肃天水逸夫实验学校·期中）如图①，在矩形中，，对角线相交于点O，动点P由点A出发，沿向点D运动．设点P的运动路程为x，的面积为y，y与x的函数关系图象如图②所示，则边的长为（       ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 4或6 【答案】C 【分析】 本题主要考查动点问题的函数图象，一元二次方程的应用，解题的关键是分析三角形面积随动点运动的变化过程，找到分界点极值，结合图象得到相关线段的具体数值． 当点P在上运动时，面积逐渐增大，当点P到达点B时，结合图象可得面积最大为6，得到与的积为24；当点P在上运动时，面积逐渐减小，当点P到达点C时，面积为0，此时结合图象可知点P运动路径长为10，得到与的和为10，构造关于的一元二方程可求解． 【详解】 解：由图可知，，， ，， ， 整理得， 解得或， 当时，，，与矛盾，舍去， ， ， 故选：C． 36．（25-26学年九上·甘肃兰州·期中）我国古代数学家赵爽（公元世纪）在其所著的《勾股圆方图注》中记载过一元二次方程（正根）的几何解法．以方程即为例说明，记载的方法是：构造如图面积是的大正方形．同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，因此，所以．则在下列四个构图中，能正确说明方程解法的构图是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用、完全平方公式的几何背景，通过图形直观得出面积之间的关系，并用代数式表示出来是解题的关键． 【详解】 解：整理一元二次方程， 可得：， 即长为，宽为的长方形的面积为， 构造边长为的正方形， 则正方形的面积是， 这个正方形的面积又是个长为、宽为的长方形的面积之和再加上中间的边长为的小正方形的面积， 即， ， 解得：， 能正确说明方程解法的构图，如下图所示， 故选：B． 37．（25-26学年九上·甘肃酒泉第七中学·期中）新年里，一个小组有若干人，若每人给小组的其它成员赠送一张贺年卡，则全组送贺卡共90张，设小组有人，列方程正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题主要考查了一元二次方程的应用，找准等量关系、正确列出一元二次方程是解题的关键． 设该小组共有x人，则每人赠送张贺卡，与全组共送贺卡90张，据此列出关于x的一元二次方程即可解答． 【详解】 解：设该小组共有x人，则每人赠送张贺卡， 依题意得：． 故选A． 38．（25-26学年九上·甘肃酒泉肃州区·期中）若x支球队参加篮球比赛，共比赛了42场，每2队之间都比赛两场，则下列方程中符合题意的是(       ) A. x(x﹣l)＝42 B. x(x+1)＝42 C. x(x﹣l)＝42 D. x(x+1)＝42 【答案】A 【分析】设x支球队参加篮球比赛，则每支球队需赛(x﹣1)场，根据共比赛了42场，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解. 【详解】设x支球队参加篮球比赛，则每支球队需赛(x﹣1)场， 依题意，得：x(x﹣1)＝42. 故选A. 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键. 39．（25-26学年九上·甘肃兰州第八十一中学·期中）在某篮球邀请赛中，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共比赛36场，设有x个队参赛，根据题意，可列方程为（） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】共有x个队参加比赛，则每队参加（x-1）场比赛，但2队之间只有1场比赛，根据共安排36场比赛，列方程即可． 【详解】解：设有x个队参赛，根据题意，可列方程为： x（x﹣1）＝36， 故选A． 【点睛】此题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题关键在于得到比赛总场数的等量关系. 40．（25-26学年九·甘肃武威第十七中学·期末）某品牌毛衣平均每天可以售出10件，每件盈利40元．受气温影响，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利．经市场调查发现：每件毛衣每降价1元，平均每天就可以多售出2件，如果该商场要使每天销售该品牌毛衣的盈利为700元，且每件该品牌毛衣的盈利不低于20元，求每件该品牌毛衣应降价多少元？ 【答案】5元 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设每件该品牌毛衣降价元，则每件的销售利润为元，平均每天可售出件，利用总利润＝每件的销售利润日销售量，可列出关于的一元二次方程，解之可得出的值，再结合每件该品牌毛衣的盈利不低于20元，即可确定结论． 【详解】 解：设每件该品牌毛衣降价元，则每件的销售利润为元，平均每天可售出件， 根据题意得：， 整理得：， 解得：， 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意，舍去． 答：每件该品牌毛衣应降价5元． 41．（25-26学年九上·甘肃平凉庄浪县·期末）某水果经销商以每千克8元的价格购进一批葡萄，若按每千克20元的价格销售，平均每天可售出60千克．经市场调研发现，若这批葡萄每千克的售价每降低1元，平均每天的销售量将增加10千克，为了尽快减少库存，该水果经销商决定降价销售．请问水果经销商每天销售该品种葡萄获得的利润能否达到800元？如果能，求出葡萄的销售单价；如果不能，请说明理由． 【答案】能达到，葡萄的销售单价为16元 【分析】 本题主要考查了一元二次方程与销售利润问题的综合运用，理解数量关系，正确列出方程是解题的关键． 设降价元，则销售量为公斤，得到一元二次方程，因式分解解一元二次方程，结合尽快减少库存，即可求解． 【详解】 解：设降价元，则销售量为千克， ∴， 解得，，， 当降价2元时，销售量为（千克）， 当降价4元时，销售量为（千克）， ∵减少库存，， ∴降价4元，此时的销售单价为（元）， ∴能达到，葡萄的销售单价为16元． 42．（25-26学年九上·甘肃庆阳镇原县·期末）随着《初见庆阳》宣传片在各媒体的播放，优美的生态风光，极具特色的农村文旅产业备受大众青睐．2024年8月份华池县某民宿的营业额为4万元，随着大批游客的到来，营业额稳步提升，10月份的营业额达到5.76万元，求该民宿8月份9月份营业额的月平均增长率． 【答案】 【分析】 本题主要考查了一元二次方程的应用， 先设8月份9月份的营业额的月平均增长率为x，根据题意得出形如的方程，再求出解即可． 【详解】 解：设8月份9月份的营业额的月平均增长率为x，根据题意，得 ， 解得， 所以8月份9月份的营业额的月平均增长率为． 43．（25-26学年九上·甘肃白银·期末）某种商品每件盈利60元，平均每天可销售40件，为了减少库存，现商场决定采取适当的降价措施，经调查，每件商品每降价1元，商场平均每天可多销售2件． （1）当每件盈利减少到50元时，每天可销售__________件？ （2）当每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到3000元？ （3）该商场日盈利能否达到3300元？请说明理由． 【答案】（1）     （2）每件商品降价元时，商场日盈利可达到元，     （3）商场日盈利不能达到元，理由： 设每件商品降价元时，商场日盈利可达到元， 则商场每天多销售件， 根据题意得： ， 整理得：， ∵， 该方程无实数根， 即商场日盈利不能达到元．      【分析】 本题考查了一元二次方程的应用； （1）根据“某种商品平均每天可销售件，每件盈利元，每件商品每降价元，商场平均每天可多销售件”，计算出每件盈利元时，每件商品降价的钱数，从而计算出商场每天可多销售的数量，从而计算出每天销售的数量， （2）设每件商品降价元时，商场日盈利可达到元，则商场每天多销售件，根据“某种商品平均每天可销售件，每件盈利元，每件商品每降价元，商场平均每天可多销售件”，列出关于的一元二次方程，解之即可， （3）设每件商品降价元时，商场日盈利可达到元，则商场每天多销售件，根据“某种商品平均每天可销售件，每件盈利元，每件商品每降价元，商场平均每天可多销售件”，列出关于的一元二次方程，结合判别式公式，判断该方程根的情况，即可得到答案． (1) 小问详解： 解：当每件盈利元时，每件商品降价：元)， 商场每天可多销售：件， 每天销售：件， 故答案为：． (2) 小问详解： 设每件商品降价元时，商场日盈利可达到元， 则商场每天多销售件， 根据题意得： ， 解得：，， 为减少库存，应舍去， 答：每件商品降价元时，商场日盈利可达到元， (3) 小问详解： 略 44．（25-26学年九上·甘肃酒泉肃州区·期末）某童装店销售一批童装，这批童装的进价为80元/件，售价为120元/件，平均每天可售出20件．为扩大销量，童装店采取了降价措施．通过调查发现，每件童装每降价1元童装店平均每天可多售出2件童装，若童装店销售这批童装平均每天的盈利为1200元．求这批童装降价后每件的售价． 【答案】这批童装降价后每件的售价为100元或110元 【分析】 此题主要考查了一元二次方程的实际应用，设每件童装降价x元，利用童装平均每天售出的件数每件盈利每天销售这种童装利润列出方程解答即可． 【详解】 解：设这批童装每件降了x元， 由题意得 解得：． 所以（元）或（元）． 答：这批童装降价后每件的售价为100元或110元． 45．（25-26学年九上·甘肃兰州红古区·期末）某大学生自主创业，推出销售某纪念品活动，已知纪念品每件的进货价为30元，经市场调研发现，当该纪念品的销售单价为40元时，每天可销售280件；当销售单价每增加1元，每天的销售数量将减少10件．（销售利润=销售总额-进货成本） （1）当该纪念品的销售单价为多少元时，该产品的当天销售利润是2610元． （2）该纪念品的当天销售利润有可能达到3700元吗？若能，请求出此时的销售单价；若不能，请说明理由． 【答案】（1）当该纪念品的销售单价为59元时，该产品的当天销售利润是2610元     （2）该纪念品的当天销售利润不可能达到3700元，理由如下： 由题意得： 整理得：， ∵， ∴原方程无解； 故该纪念品的当天销售利润不可能达到3700元．      【分析】 本题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意； （1）设该纪念品的销售单价为x元时，该产品的当天销售利润是2610元，则有销售量为件，然后可列出方程进行求解； （2）由（1）可得方程，然后问题可求解． (1) 小问详解： 解：设该纪念品的销售单价为x元时，该产品的当天销售利润是2610元，由题意得： 解得：（不符合题意，舍去）； 答：当该纪念品的销售单价为59元时，该产品的当天销售利润是2610元． (2) 小问详解： 解：略． 46．（25-26学年九上·甘肃陇南西和县·期末）公安部交管局部署“一盔一带”安全守护行动，带动了市场头盔的销量．某头盔经销商5至7月份统计，某品牌头盔5月份销售2250个，7月份销售3240个，且从5月份到7月份销售量的月增长率相同．求该品牌头盔销售量的月增长率． 【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据该品牌头盔5月份及7月份的月销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可． 【详解】 解：设月增长率为，根据题意得： ， 解得：，（舍去）， 答：该品牌头盔销售量的月增长率为． 47．（25-26学年九上·甘肃陇南·期末）2024年巴黎奥运会顺利闭幕，吉祥物“弗里热”深受奥运迷的喜爱，小红、小亮去某商场买“弗里热”纪念品后的对话如下： 小红：该商场每个“弗里热”纪念品的进价是20元． 小亮：当该商场每个“弗里热”纪念品的售价为30元时，每周可售出500个，售价每上涨1元，平均每周的销售量就减少10个． 根据他们的对话，解决下面的问题： （1）若每个“弗里热”纪念品的售价上涨3元，则该商场平均每周可以获得销售利润________元． （2）若该商场计划一周的利润达到8000元，又要尽可能让顾客得到实惠，则每个“弗里热”纪念品的售价应定为多少元？ 【答案】（1）     （2）每个“弗里热”纪念品的售价应定为元      【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）由销售利润=（实际销售价进价）销售量，即可得出结果； （2）设每个“弗里热”纪念品的售价应定为元，由题意得：商场计划一周的利润达到8000元，列出一元二次方程，解方程即可． (1) 小问详解： 解：该商场平均每周可以获得销售利润为元 故答案为：． (2) 小问详解： 解：设每个“弗里热”纪念品的售价应定为每支元，由题意得， 解得：或 ∵要尽可能让顾客得到实惠， ∴ 答：每个“弗里热”纪念品的售价应定为元． 48．（25-26学年九上·甘肃张掖临泽县·期中）龙华天虹商场以120元/件的价格购进一批上衣，以200元/件的价格出售，每周可售出100件．为了促销，该商场决定降价销售，尽快减少库存．经调查发现，这种上衣每降价5元/件，每周可多售出20件．另外，每周的房租等固定成本共3000元．该商场要想每周盈利8000元，应将每件上衣的售价降低多少元？ 【答案】应将每件上衣的售价降低30元 【分析】 设每件上衣应降价x元，则每件利润为（80-x）元，本题的等量关系为：每件上衣的利润×每周售出数量-固定成本=8000． 【详解】 解：设每件上衣应降价x元，则每件利润为（80﹣x）元， 列方程得：（80﹣x）（100+x）﹣3000＝8000， 解得：x1＝30，x2＝25 因为为了促销，该商场决定降价销售，尽快减少库存， 所以x＝30． 答：应将每件上衣的售价降低30元． 【点睛】 本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解． 49．（25-26学年九上·甘肃张掖临泽县·期中）如图，老李想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈，并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料）．    （1）当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640的羊圈？ （2）羊圈的面积能达到吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 【答案】（1）当羊圈的长为，宽为或长为，宽为时，能围成一个面积为的羊圈；     （2） 解：不能，理由如下： 由题意，得． 化简，得． ∵， ∴一元二次方程没有实数根． ∴羊圈的面积不能达到．      【分析】 （1）设矩形的边，则边，根据题意列出一元二次方程，解方程即可求解； （2）同（1）的方法建立方程，根据方程无实根即可求解． (1) 小问详解： 解：设矩形的边，则边． 根据题意，得． 化简，得． 解得，． 当时，； 当时，． 答：当羊圈的长为，宽为或长为，宽为时，能围成一个面积为的羊圈． (2) 小问详解： 略 【点睛】 本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程，解一元二次方程是解题的关键． 50．（25-26学年九上·甘肃定西·期中）已知一根铁丝的长度为． （1）将它围成一个面积为的矩形，求矩形的长与宽； （2）这根铁丝能围成面积为的矩形吗？通过计算说明理由． 【答案】（1）与宽     （2）不能围成面积为的矩形， 理由如下： 设矩形的长为，则宽为，根据题意得： ， 即， 因为， 所以原方程无解， 即不能围成面积为的矩形．      【分析】 （1）设矩形的长为，则宽为，根据矩形公式，列出方程，即可求解； （2）设矩形的长为，则宽为，根据矩形公式，列出方程，利用一元二次方程根的判别式，即可求解． (1) 小问详解： 解：设矩形的长为，则宽为，根据题意得： ， 即， 解得：， 所以或4， 答：矩形的长与宽； (2) 小问详解： 略 【点睛】 本题主要考查了一元二次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键． 51．（25-26学年九上·甘肃酒泉肃州区·期中）如图1，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为的住房墙，另外三边用长的建筑材料围成． （1）要使所围矩形猪舍的面积达到，求猪舍的长和宽． （2）农户想在现有材料的基础上扩建矩形猪舍面积达到，小红为该农户提出了一个意见：“为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个宽的门就行”，如图2，请通过计算求小红设计的猪舍的长和宽？ 【答案】（1）所围猪舍的长是，宽是；（2）所围猪舍的长是，宽是． 【分析】 本题考查了列一元二次方程解实际问题的运用，矩形的面积公式的运用及一元二次方程的解法的运用，解答时寻找题目的等量关系是关键． （1）设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为，可以得出平行于墙的一边的长为，根据矩形的面积公式建立方程求出其解即可； （2）设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为，可以得出平行于墙的一边的长为，根据矩形的面积公式建立方程求出其解即可． 【详解】 解：（1）设与住房墙垂直的一边长为， 则与住房墙平行的一边长为， 根据题意，列方程得： ， 解得：，， 当时，与住房墙平行的一边长， 不符合题意，舍掉， 当时，与住房墙平行的一边长， 答：所围猪舍的长是，宽是； (2) 设与住房墙垂直的一边长为，则与住房墙平行的一边长为 根据题意，列方程得： ， 解得：，， 当时，与住房墙平行的一边长， 不符合题意，舍掉， 当时，与住房墙平行的一边长， 答：所围猪舍的长是，宽是． 52．（25-26学年九上·甘肃酒泉肃州区·期中）某种服装，平均每天可销售30件，每件赢利40元，网查发现，若每件降价1元，则每天可多售6件，如果每天要赢利2100元，每件应降价多少元？设该服装每件降价x元，根据题意可列方程　　　　． 【答案】 【分析】 利用总利润=每件盈利×日销售量，即可得出关于x的一元二次方程即可． 【详解】 解：设每件应降价x元， 依题意得：， 故答案为：． 【点睛】 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 53．（25-26学年九上·甘肃酒泉肃州区·期中）为了让大家都能用上实惠药，医保局与药商多次谈判，将一种原价每盒100元的药品，经过两次降价后每盒64元，两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率是　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程的增长率问题，先设每次降价的百分率是，根据将一种原价每盒100元的药品，经过两次降价后每盒64元，两次降价的百分率相同，列式，再解出的值， 即可作答． 【详解】 解：依题意，设每次降价的百分率是， ∵将一种原价每盒100元的药品，经过两次降价后每盒64元，两次降价的百分率相同， ∴， ∴， ∴， 解得（舍去）； 故答案为：． 54．（25-26学年九上·甘肃酒泉肃州区·期中）某种药品原来售价元，连续两次降价后售价为元，若每次下降的百分率相同，求这种药品下降的百分率． 【答案】 【分析】 设平均每次降价的百分率为，那么第一次降价后的售价是原来的，那么第二次降价后的售价是原来的，根据题意列方程解答即可． 【详解】 解：设这两次的百分率是，根据题意列方程得 解得，(不符合题意，舍去 答：这种药品下降的百分率是． 【点睛】 本题考查一元二次方程的应用，要掌握求平均变化率的方法．若设变化前的量为，变化后的量为，平均变化率为，则经过两次变化后的数量关系为． 55．（25-26学年九上·甘肃陇南）如图，在矩形中，，，点P从点A出发，沿以的速度向点B运动，同时点Q从点B出发，沿以的速度向点C运动，点P到达终点后，P，Q两点同时停止运动．当运动多少时，的面积是． 【答案】或时 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设运动时间为 秒，则，，利用三角形的面积计算公式，结合的面积是，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论． 【详解】 解：设运动时间为，则，， 依题意，得． 整理，得， 解得，， 或时，的面积是． 56．（25-26学年九上·甘肃陇南·期中）杨辉是世界上第一个排出丰富的纵横图和讨论其构成规律的数学家，他与秦九韶、李冶、朱世杰并称“宋元数学四大家”．他所著《田亩比类乘除算法》（1275年）中提出这样一个问题：“直田积（矩形面积八百六十四步（平方步），阔不及长一十二步（宽比长少一十二步），问阔及长各几步．”若设阔为步，则可列方程为　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设阔为x步，则长为步，再利用矩形面积公式列方程即可． 【详解】 解：设阔为x步，则长为步， 由题意得，． 故答案为：． 57．（25-26学年九上·甘肃陇南·期中）疫情期间，小颖在家制作一种工艺品，并通过网络进行线上销售．经过一段时间后发现：当售价是40元/件时，每天可售出该工艺品60件，且每件的售价每降低1元，就会多售出3件．若每件工艺品需要19元成本，设该工艺品的售价为x元/件（）． （1）请用含x的代数式填空： ①销售每件工艺品的利润为________元； ②每天能售出该工艺品的件数为________． （2）为了支持抗疫行动，小颖决定每销售一件该工艺品便通过网络平台自动向医疗基金会捐款1元，若每天销售该工艺品的纯利润为900元，求该工艺品的售价． 【答案】（1）①；②     （2）30元/件      【分析】 （1）①根据利润等于售价减成本价，即可含x的代数式表示出销售每件工艺品的利润； ②根据每天售出该工艺品的件数降低的价格，即可用含x的代数式表示出每天能售出该工艺品的件数； （2）根据总利润等于销售每件工艺品的利润乘以日销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合条件的值即可得出结论． (1) 小问详解： 解：①销售每件工艺品的利润为元； 故答案为： ②每天能售出该工艺品的件数为件； 故答案为： (2) 小问详解： 解：根据题意得： ， 整理得：， 解得：， ∵， ∴不符合题意，舍去， 答：该工艺品的售价为30元/件． 【点睛】 本题考查了一元二次方程的应用以及列代数式，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，用含x的代数式表示出各量；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程． 58．（25-26学年九上·甘肃兰州第八十一中学·期中）2022年北京冬奥会吉祥物深受大家的喜欢，某特许零售店的冬奥会吉祥物销售量日益火爆．据统计，该店2022年1月的“冰墩墩”销量为1万件，2022年3月的“冰墩墩”销量为1.21万件． （1）求该店“冰墩墩”销量的月平均增长率； （2）该零售店4月将采用提高售价的方法增加利润，根据市场调研得出结论：如果将进价80元的“冰墩墩”按每件100元出售，每天可销售500件，在此基础上售价每涨1元，那么每天的销售量就会减少10件，该零售店要想每天获得12000元的利润，且销量尽可能大，则每件商品的售价应该定为多少元？ 【答案】（1）10％     （2）110      【分析】 （1）设月平均增长率为x，再根据2022年1月的销售量×（1+x）2=2022年3月的销售量列出方程，求出解，舍去不符合题意的解即可； （2）设商品的售价为m元，可表示利润和每天的销售量，再根据单件利润×销售量=12000列出方程，再求出解，根据题意确定答案即可． (1) 小问详解： 解：设月平均增长率为x，根据题意，得 ， 解得，（舍去）． 所以该店“冰墩墩”销售量的月平均增长率是10％； (2) 小问详解： 解：设每件商品的售价应该定在m元，则每件商品得销售利润是（m-80）元，每天的销售量是500-10（m-100）=（1500-10m）件，根据题意，得 ， 解得，． 因为要使销售量尽可能大， 所以． 所以每件商品的售价应该定为110元． 【点睛】 本题主要考查了一元二次方程的应用，根据等量关系列出方程是解题的关键． 59．（25-26学年九上·甘肃兰州第八十一中学·期中）兰州市第六十六中学的操场可近似地看作一个矩形，已知学校操场的长比宽多，且其面积为．求学校操场的长度和宽度分别是多少米？ 【答案】长米，宽米 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用．理解题意，设未知数建立正确的等量关系是解题的关键． 通过设未知数，根据矩形面积公式建立方程来求解操场的长和宽即可． 【详解】 解：设操场的宽为，长为，则： ， 解得，（不合题意，舍去）， 操场的宽度为米； 长度为米． 60．（25-26学年九上·甘肃陇南西和县）某水果批发商经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克．经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该批发商要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？ （1）设每千克应涨价x元，根据问题中的数量关系，用含x的代数式填表： 每千克盈利（元） 每天销售量（千克） 每天盈利（元） 涨价前 10 500 5000 涨价后 ______ ______ 6000 （2）列出方程，并求问题的解． 【答案】（1）；     （2）每千克应涨价5元，详见解析      【分析】 本题考查的是列代数式及一元二次方程的应用， （1）根据涨的价格+原来的盈利=现在的盈利，每天的销量=原来的销量-减少的销量就可以求出结论； （2）设每千克应涨价x元，则现在的利润为元，销量为千克，由总利润=每个利润×数量建立方程求出其解即可． (1) 小问详解： 解：由题意得：涨价后的每千克盈利为：元，每天的销量为：千克， 故答案为：；； (2) 小问详解： 解：设每千克应涨价x元，则现在的利润为元，销量为千克， 由题意，得：， 解得：， ∵要使顾客得到实惠， ∴， 答：每千克应涨价5元． 61．（25-26学年九上·甘肃吴家井中学·期中）某服装店将进货价为66元的服装以110元售出，平均每天可售出20件，在每件降价幅度不超过10元的情况下，若每件降价1元，则每天可多售5件．如果每天要盈利1600元，每件应降价多少元？ 【答案】每件应降价4元 【分析】 本题主要考查了一元二次方程的应用，根据等量关系列出方程，是解题的关键．设每件应降价x元，根据每天要盈利1600元，列出方程，解方程即可． 【详解】 解：设每件应降价x元，根据题意得： ， 解得：，， ∵每件降价幅度不超过10元， ， ∴不符合题意，舍去． ∴， 答：每件应降价4元． 62．（25-26学年九上·甘肃吴家井中学·期中）已知两个连续整数的积为132，则这两个整数的和为　　　　　　　　　　　． 【答案】或 【分析】 本题考查用一元二次方程解决数字问题，正确表示两个连续整数并列出方程是解题的关键 设较小的整数为，则较大的整数为，根据积为132建立一元二次方程，求解即可． 【详解】 解：设较小的整数为，则较大的整数为 ， 解得：，或． 当时，，和为 当时，，和为． 故答案为： 或． 63．（25-26学年九·甘肃张掖民乐县·期末）项目化学习 项目主题探究东湾驴肉销售利润 项目背景：东湾驴肉是甘肃靖远县传统名吃，历史可追溯至西汉，以其独特的制作方法，色鲜味美和滋补价值而闻名．某校学习小组以探究东湾驴肉销售利润问题为主题开展项目学习． 驱动任务：按预期利润制定合理售价． 收集数据： 素材 某特产专卖店销售东湾驴肉，其进价为每斤元，按每斤元出售，平均每月可售出斤，后经市场调查发现，单价每降低元，平均每月的销售量可增加斤． 解决问题： （1）若每月的销售量为斤，则每斤东湾驴肉的售价为_________元； （2）若专卖店销售东湾驴肉想要平均每月获利元，求东湾驴肉的售价应定为多少元？ 【答案】（1）     （2）元或元      【分析】 （1）先计算销售量增加的数量，再根据每降低5元销量增加50斤的规律，求出降价金额，最后用原售价减去降价金额得到售价． （2）设每斤降价元，分别表示出每斤的利润和每月的销售量，根据总利润=每斤利润×销售量列出一元二次方程，解方程求出的值，再计算对应的售价． (1) 小问详解： 解：销量增加量斤， 降价次数， 总降价金额为元， 所以每斤东湾驴肉的售价为元； (2) 小问详解： 解：设每斤东湾驴肉应降价元，则可列方程：， 解得：， 元，元， 答：东湾驴肉的售价应定为每斤元或每斤元． 64．（25-26学年九上·甘肃陇南·期末）景德镇瓷器举世闻名．某商家购入一批进价为30元/个的艺术瓷盘进行销售，经市场调查发现：销售单价不低于进价时，日销售量（单位：个）与销售单价（单位：元）是一次函数关系，下表是与的几组对应值； 销售单价x/元 ．．． 36 38 40 42 ．．． 日销售量/个 ．．． 64 62 60 58 ．．． （1）关于的函数表达式为_____．（不用写的取值范围） （2）艺术瓷盘销售单价定为多少元时，所获日销售利润为600元且尽量兼顾顾客的利益？ 【答案】（1）      （2） 40      【分析】 本题主要考查一次函数，一元二次方程的运用，理解数量关系，掌握一元二次方程是解题的关键． （1）根据题意，运用待定系数法即可求解； （2）根据题意列一元二次方程求解即可． (1) 小问详解： 解：当时，，当时，， ∴设关于的函数表达式为， ， 解得， ， ∴关于的函数表达式为； (2) 小问详解： 解：进价为30元/个，销售单价为元， ∴每个利润为元， ∴， 整理得，， 解得，， ∵尽量兼顾顾客的利益， ∴艺术瓷盘销售单价定为元． 65．（25-26学年九上·甘肃白银·期末）某淘宝网店销售台灯，成本为每个30元．销售大数据分析表明：当每个台灯售价为40元时，平均每月售出600个；若售价每下降1元，其月销售量就增加200个． （1）若售价下降1元,每月能售出     个台灯，若售价下降x元(),每月能售出       个台灯．      （2）为迎接“双十一”，该网店决定降价促销，在库存为1210个台灯的情况下，若预计月获利恰好为8400元，求每个台灯的售价． （3）月获利能否达到9600元，说明理由． 【答案】（1）800；600+200x； （2）每个台灯的售价为37元； （3）月获利不能达到9600元， 理由：设每个台灯的售价为x元， 由题意得：(x-30)[600+200(40-x)]=9600， 整理得：x2-73x+1338=0， ∵△=b2-4ac=-23＜0， ∴方程无实数根，即月获利不能达到9600元. 【分析】 （1）根据售价每下降1元，其月销售量就增加200个，分别计算即可； （2）设每个台灯的售价为x元，根据每个台灯的利润×销售数量＝总利润列出方程并解答； （3）根据题意列出方程，求出根的判别式△＜0，可得方程无实数根，即月获利不能达到9600元. 【详解】 解：（1）∵售价每下降1元，其月销售量就增加200个， ∴若售价下降1元，每月能售出600+200=800个台灯，若售价下降x元()，每月能售出600+200x个台灯； （2）设每个台灯的售价为x元， 由题意得：(x-30)[600+200(40-x)]=8400， 解得：x1=36，x2=37， 当x=36时，600+200(40-x)=1400＞1210（舍去）， 当x=37时，600+200(40-x)=1200＜1210（符合题意）， 答：每个台灯的售价为37元； （3）略 【点睛】 本题考查了一元二次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解． 66．（25-26学年九上·甘肃天水·期末）2023年在杭州举办的亚运会令世界瞩目，吉祥物“琮琮”、“莲莲”、“宸宸”家喻户晓，其相关产品成为热销产品．某商店购进了一批吉祥物毛绒玩具，进价为每个30元．若毛绒玩具每个的售价是40元时，每天可售出80个；若每个售价提高1元，则每天少卖2个． （1）设该吉祥物毛绒玩具每个售价定为元，求该商品销售量与之间的函数关系式； （2）如果每天的利润要达到1050元，并且尽可能让利于顾客，每个毛绒玩具售价应定为多少元？ 【答案】（1）；     （2）每个毛绒玩具售价应定为45元．      【分析】 本题考查一次函数及一元二次方程的销售利润问题，解题的关键是根据题意得到数量与单价的关系． （1）根据“每天可售出80个，每个售价提高1元，则每天少卖2个”列式整理即可求解； （2）根据利润等于售价销量，列一元二次方程方程，解方程即可求解． (1) 小问详解： 解：根据题意得， ， ∴与之间的函数关系式：； (2) 小问详解： 解：根据题意，得：， 解得， ∵尽可能让利于顾客， ∴， 答：每个毛绒玩具售价应定为45元． 67．（25-26学年九上·甘肃临夏州·期末）根据以下素材，探索完成任务 素材1 泥塑，俗称＂彩塑＂，泥塑艺术是中国民间传统的一种古老常见的民间艺术．某泥塑作坊制作泥塑进行销售，7月份制作泥塑1000件，同年9月份制作泥塑1440件． 素材2 泥塑的制作每件成本为30元，销售一段时间后发现，当泥塑每件售价为40元时，月销售量为400件．若在此基础上每件售价上涨1元，则月销售量将减少10件． 问题解决 任务1 求该泥塑作坊7月份到9月份制作泥塑数量的月平均增长率； 任务2 为使月销售利润达到6000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该泥塑每件应涨价多少元？ 【答案】任务1：；任务2：该泥塑每件应涨价为10元 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （任务1）设该泥塑作坊7月份到9月份制作泥塑数量的月平均增长率为x,利用该泥塑作坊9月份制作泥塑的数量该泥塑作坊7月份制作泥塑的数量1+该泥塑作坊7月份到9月份制作泥塑数量的月平均增长率，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； （任务2）该泥塑的涨价定为y元/件，则每件的销售利润为元，月销售量为件，利用总利润每件的销售利润月销售量，可列出关于y的一元二次方程，解之可得出y的值，再结合要尽可能让顾客得到实惠，即可确定结论． 【详解】 解：任务1：设7月份到9月份的月平均增长率为， 由题意得：， 解得：（不合题意舍去）， 答：7月份到9月份的月平均增长率为； 任务2：设该泥塑每件应涨价元， 由题意得：， 整理得： 解得：， ∵要尽可能让顾客得到实惠， ∴不符合题意舍去，符合题意 答：该泥塑每件应涨价为10元． 68．（25-26学年九上·甘肃天水甘谷县·期末）开封万岁山景区为吸引游客，推出“宋文化体验月”活动，四月份接待游客100万人次，六月份接待游客增至144万人次，假设每月游客量的增长率相同． （1）求该景区游客量的月平均增长率． （2）按照这个增长率，预计七月份接待游客将达到多少万人次？ 【答案】（1）该景区游客量的月平均增长率为     （2）预计七月份接待游客将达到万人次．      【分析】 本题考查了一元二次方程在增长率问题中的应用，解题的关键是理解增长公式； （1）根据四月份游客量以及平均增长率，列方程求解即可； （2）求出增长率的基础上，根据增长公式计算即可． (1) 小问详解： 解：设该景区游客量的月平均增长率为，由题意得： ， 解得：（舍去）， 答：该景区游客量的月平均增长率为； (2) 小问详解： 解：（万人）， 答：预计七月份接待游客将达到万人次． 69．（25-26学年九上·甘肃天水张家川回族自治县·期末）如图，利用一面墙（墙的最大可利用长度为米），用栅栏围成一个矩形场地（靠墙一面不用栅栏），中间再用栅栏分隔成两个小矩形，且在如图所示位置留两个1米宽的小门，若所用栅栏的总长度为米，设栅栏的长为x米，解答下列问题： （1）_____米（用含x的代数式表示）； （2）若矩形场地面积为平方米，求栅栏的长． 【答案】（1）     （2）栅栏的长为米      【分析】 （1）直接根据题意列出代数式即可； （2）根据题意列出一元二次方程并解方程即可解答． (1) 小问详解： 解：根据题意，米， 故答案为：； (2) 小问详解： 解：依题意得：， 整理得：， 解得：，. 当时，，不合题意，舍去； 当时，，符合题意. 答：栅栏的长为10米． 【点睛】 本题考查一元二次方程的应用、列代数式，根据题意，正确列出一元二次方程并正确求解是解答的关键，注意要检验解符合题意． 70．（25-26学年九上·甘肃定西安定区·期末）“山竹”牵动着全国人民的心，某单位开展了“一方有难，八方支援”赈灾捐款活动，第一天收到捐款1000元，第三天收到捐款1440元． （1）如果第二天、第三天收到捐款的增长率相同，求捐款增长率； （2）按照（1）中收到的捐款的增长速度，第四天该单位能收到多少捐款？ 【答案】（1）20%     （2）1728元      【分析】 （1）设第二天、第三天的增长率为x，则第三天的捐款数量为1000（1+x）2元，根据第三天的捐款数量为1440元建立方程求出x的值即可； （2）第四天该单位能收到捐款＝1440×（1+x）进行计算即可． (1) 小问详解： 解：设第二天、第三天的增长率为x，由题意，得 1000(1+x)2＝1440， 解得： ＝，＝ (舍去)． 则x＝＝20%． 答：捐款增长率为20%； (2) 小问详解： 解：第四天收到的捐款为1440×(1+20%)＝1728 (元)． 答：第四天该单位能收到1728元捐款． 【点睛】 本题考查了一元二次方程的应用，关键是读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解． 71．（25-26学年九上·甘肃武威凉州区吴家井中学·期末）某工厂生产某种产品，今年产量为200件，计划通过技术改造，使今后两年的增长率都相同，两年后产量达到288件，求增长率． 【答案】该产品每年的增长率为 【分析】 本题考查一元二次方程的应用；设该产品每年的平均增长率为x，列出方程求解即可． 【详解】 解：设该产品每年的平均增长率为x， 依题意得：， 解得：，（舍去） 答：该产品每年的增长率为． 72．（25-26学年九上·甘肃兰州第八十一中学·期末）某种服装平均每天可销售20件，每件盈利44元，若每件降价1元，每天可多售5件，若设每件降价x元． （1）根据题意，填表： 每件利润（元） 销售量（件） 利润（元） 降价前 44 20 880 降价后 ① ② （2）若每天盈利1600元，则每件应降价多少元？ 【答案】（1）根据题意，填表： （2）降价4元或36元 每件利润（元） 销售量（件） 利润（元） 降价前 44 20 880 降价后 44﹣x 20+5x （44﹣x）（20+5x） 【分析】 （1）根据题意确定出降价后的利润与销售量，以及利润即可； （2）根据盈利的钱数，确定出应降的价即可． 【详解】 （1）略 （2）根据题意得：（44﹣x）（20+5x）=1600 整理得：（x﹣4）（x﹣36）=0 解得：x=4或x=36． 答：每件应降价4元或36元． 【点睛】 本题考查了一元二次方程的应用，弄清题中的等量关系是解答本题的关键． 73．（25-26学年九上·甘肃兰州第十一中学·期中）如图，用长为22米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为14米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在BC上用其他材料做了宽为1米的两扇小门． （1）设花圃的一边AB长为x米，请你用含x的代数式表示另一边AD的长为　     　米； （2）若此时花圃的面积刚好为45m2，求此时花圃的长与宽． 【答案】（1）      （2）长为9m，宽为5m      【分析】 （1）用绳子的总长减去三个的长，然后加上两个门的长即可表示出； （2）根据长方形面积公式列出关于x的一元二次方程求解即可得出答案． (1) 小问详解： 解：设花圃的宽AB长为x米，则长米， 故答案为:； (2) 小问详解： 解：由题意可得：， 解得：；， ∴当时，，不符合题意舍去， 当时，，满足题意． 答：花圃的长为9m，宽为5m． 【点睛】 本题主要考查一元二次方程的应用，弄清题意、用x表示出是解答本题的关键． 74．（25-26学年九上·甘肃天水甘谷县·期中）随着科技的不断进步，人工智能（）正逐渐渗透到我们的生活和工作．从家庭助手到自动驾驶汽车，再到智能医疗，的应用前景广阔且充满无限可能．某人工智能科技体验馆在十一假期间为学生们制订了丰富多彩的体验活动，团体票收费标准为：如果人数不超过10人，人均费用为240元；如果人数超过10人，每增加1人，人均费用降低5元，但人均旅游费用不得低于170元． （1）若有14人参加旅游，人均费用是________元． （2）某兴趣小组的学生们去参加体验活动，团体票的费用共3600元，求参加活动的学生人数． 【答案】（1）220     （2）参加活动的学生人数为18人      【分析】 本题主要考查了有理数混合运算以及一元二次方程的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键． （1）根据“如果人数超过10人，每增加1人，人均费用降低5元”列式求解即可； （2）设参加活动的学生人数为x人，根据题意列出关于x的一元二次方程，求解并对结果进行分析，即可获得答案． (1) 小问详解： 解：根据题意，若有14人参加旅游时， 人均费用为：元． 故答案为：220； (2) 小问详解： 解：设参加活动的学生人数为人， 由题意得，． 解得，． 当时，（元），符合题意． 当时，（元）， ∵不符合题意， ∴舍去． 答：参加活动的学生人数为18人． 75．（25-26学年九上·甘肃兰州第五十四中学）随着“绿色出行，低碳生活”理念的普及，新能源汽车逐渐成为人们喜爱的交通工具、新能源汽车多数采用电能作为动力来源，不需要燃烧汽油，这样就减少二氧化碳气体的排放，达到保护环境的目的，在国家积极政策的鼓励下，新能源汽车的市场需求逐年上升． （1）某品牌新能源汽车1月份销售量为7.5万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐月递增，3月份的销售量达到10.8万辆车．求从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率． （2）某汽车销售公司抢占先机，购进一批新能源汽车进行销售，该公司选择一款进价为15万元/辆的新能源汽车，经销一段时间后发现：当该款汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆；售价每降低0.5万元，平均每周多售出1辆，若该店计划下调售价使平均每周的销售利润为96万元．为推广新能源汽车，此次销售尽量让利于顾客，求下调后每辆汽车的售价． 【答案】（1）     （2）21万元      【分析】 本题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意； （1）从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为，由题意易得，进而求解即可； （2）设下调后每辆汽车的售价为万元，由题意易得，进而求解即可． (1) 小问详解： 解：设从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为，由题意得： ， 解得：（舍去）， 答：从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为． (2) 小问详解： 解：设下调后每辆汽车的售价为万元，由题意得： ， 整理得：， 解得：， ∵要尽量让利于顾客， ∴； 答：下调后每辆汽车的售价为万元． 76．（25-26学年九上·甘肃兰州外国语学校·期中）兰州某特产专卖店销售某种特产，其进价为每千克元，按每千克元出售，平均每天可售出千克，后经市场调查发现，单价每降低元，平均每天的销售量可增加千克．专卖店销售这种特产若想要平均每天获利元，且销售量尽可能大，则每千克特产应降价多少元？ 【答案】元 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，设每千克特产应降价元，根据题意列出方程即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】 解：设每千克特产应降价元， 由题意得，， 整理得，， 解得，， ∵销售量尽可能大， ∴， 答：每千克特产应降价元． 77．（25-26学年九上·甘肃天水麦积区·期中）2025年第十届中国（太原）国际茶产业博览会于7月4日-7日在晋阳湖国际会展中心举办．养生茶是以食材或药材制作的茶饮品，让人们通过饮茶的方式达到养生保健的目的，陈皮茶具有祛痰止咳，促进消化的功效，某电商主播以每罐20元的价格购进了一批陈皮茶，根据以往的销售经验，当售价定为每罐24元时，每天可售出160罐．经市场调研发现，若每罐陈皮茶的售价每上涨1元，则平均每天少售出10罐．电商平台规定：在该电商平台销售的商品利润率不能高于，若该主播希望通过销售陈皮茶平均每天获得960元的利润，求每罐陈皮茶的售价． 【答案】每罐陈皮茶的售价为28元 【分析】 本题考查一元二次方程的应用—销售问题，熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键，设每罐陈皮茶的售价为元，根据题意列出方程，求得每罐陈皮茶的售价，再根据利润率不能高于，得到，从而得到答案． 【详解】 解：设每罐陈皮茶的售价为元，则单件利润为元，销量为罐． 根据题意，得：， ， 解得， 又因为， 即， 所以要将舍去， 故每罐陈皮茶的售价为28元． 78．（25-26学年九上·甘肃天水麦积区·期中）新能源汽车如今已成为越来越多人购车的首选．为了方便居民充电，某小区将一块长为米、宽为米的长方形停车场进行改造．如图所示，在停车场内部沿着两条相邻边各划出相同宽度的区域安装充电桩，剩余停车场的面积为平方米．请问边和各减少了多少米？ 【答案】边和各减少了米． 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，设边和各减少了米，由题意得，然后解方程并检验即可，读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键． 【详解】 解：设边和各减少了米， 由题意得，，      ，      ， ，， ∵，      ∴（舍去）， 答：边和各减少了米． 79．（25-26学年九上·甘肃天水逸夫实验学校·期中）深圳湾文化广场凭借“”造型建筑成为网红打卡地，某商家推出以其建筑轮廓为原型的金属纪念徽章．运营数据显示：每个徽章的进货成本为30元，若每个徽章定价60元，平均每天可售出20个；当每个徽章的售价每降低5元，平均每天的销售量就会增加10个． （1）当每个徽章的售价降低20元时，该商家平均每天可售出               个徽章，每天销售徽章的利润可达到               元； （2）为让顾客得到实惠，每个徽章的售价降低多少元时，商家每天销售徽章的利润可达到750元？ 【答案】（1）60，600     （2）每个徽章的售价降低15元时，该商家每天销售徽章的利润可达到750元      【分析】 本题考查了一元二次方程的应用、列代数式以及有理数的混合运算，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，列式计算：找准等量关系，正确列出一元二次方程． （1）根据题意列式求解即可； （2）设每个徽章的售价降低元，根据题意列出一元二次方程求解即可． (1) 小问详解： （个）， ∴当每个徽章的售价降低20元时，该商家平均每天可售出60个徽章， （元）， ∴每天销售徽章的利润可达到600元； (2) 小问详解： 设每个徽章的售价降低元， ， 解得：，． 为了让顾客得到实惠， ， 答：每个徽章的售价降低15元时，该商家每天销售徽章的利润可达到750元． 80．（25-26学年九上·甘肃兰州·期中）综合与实践： 主题：将一张长为，宽为的长方形硬纸板制作成一个有盖长方体收纳盒． 方案设计：如图①，把硬纸板的四角剪去四个相同的小长方形，折成一个如图②所示的有盖长方体收纳盒，和两边恰好重合且无重叠部分． 任务一：若收纳盒的高为，求该收纳盒的底面的边的长； 任务二：若收纳盒的底面积为．求该收纳盒的高． 【答案】任务一：边的长分别为，；任务二： 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用．熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键． 任务一：由题意知，，，，计算求解即可； 任务二：设该收纳盒的高为，则，，，可求，依题意得，，计算求出满足要求的解即可． 【详解】 任务一：解：由题意知，（）， ∵，， 解得，， ∴该收纳盒的底面的边的长分别为，； 任务二：解：设该收纳盒的高为，则，， ∴， 解得，， 依题意得，， 解得，或（舍去）， ∴该收纳盒的高为． 81．（25-26学年九上·甘肃兰州·期中）天水樱桃果实味美，营养丰富，深受消费者喜爱．某水果商店购入进价为元/千克的樱桃，若售价为元/千克，则一个月可售出千克；若售价在元/千克的基础上每涨价1元，则月销售量就减少千克．通过调查市场行情发现卖樱桃不会亏本． （1）当售价为元/千克时，每月销售樱桃多少千克？ （2）当月利润为元时，每千克樱桃售价为多少元？ 【答案】（1）千克；     （2）元或元．      【分析】 本题考查一元二次方程的应用，有理数混合运算的应用，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）当售价为元/千克时，根据售价在元/千克的基础上每涨价1元，则月销售量就减少千克知，会在千克的基础上减少千克，据此解答即可； （2）设每千克樱桃售价为元，根据单利润乘以数量为总利润列方程求解即可． 由题意可得： (1) 小问详解： 解：当售价为元/千克时， 每月销售樱桃为（千克）； 答：每月销售樱桃千克； (2) 小问详解： 解：设每千克樱桃售价为元， 由题意可得：， 整理得，解得：， 答：每千克樱桃售价为元或元． 82．（25-26学年九上·甘肃兰州·期中）如图，在矩形中，，．点P从点D出发向点A运动，运动到点A即停止；同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是．连接、、，设点P、Q运动的时间为． （1）当运动t秒时，线段______，______（用含有t的代数式表示）； （2）求当t为何值时，四边形是菱形； （3）如图2，在运动过程中，沿着把翻折，求当t为何值时，翻折后点B的对应点恰好落在边上． 【答案】（1）；     （2）     （3）当等于1或3时，翻折后点的对应点恰好落在边上．      【分析】 （1）由题意得：，， （2）先证明四边形是平行四边形，当时，四边形是菱形，利用勾股定理表示出，利用列出关于的方程，即可求解； （3）由折叠的性质可得，，，，由可得，进而得到，在中利用勾股定理列出方程，求出的值即可解答． (1) 小问详解： 解：由题意得，， (2) 小问详解： 解：∵四边形是矩形， ∴， 又， ∴四边形是平行四边形， ∴当时，四边形是菱形， 根据勾股定理得：， 则， 解得， ∴当时，四边形是菱形； (3) 小问详解： 解：由折叠的性质可得，，，，， 在矩形中，， ， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得：， ， 整理得：， 解得，， 即当等于1或3时，翻折后点的对应点恰好落在边上． 【点睛】 本题考查了矩形的性质、菱形的判定、翻折的性质、勾股定理、一元二次方程的应用，熟练掌握矩形与菱形的判定是解题的关键． 83．（25-26学年九上·甘肃兰州·期中）甘肃是面食之乡，其中“金城炒面”也最为有名，它浓郁的西北辣子的香味、爽滑入口、口感劲道，与兰州牛肉面一样享誉全国．兰州某餐馆一份炒面成本价为7元，若每份卖12元，平均每天销售160份，若价格每提高1元，平均每天少销售10份，每份炒面价格是多少元时，该餐馆能实现每天1080元的利润？ 【答案】销售价格为元或元时，餐馆能实现每天元的利润． 【分析】 本题主要考查一元二次方程的运用，理解题目数量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 根据题意，设提高了元，用含的式子表示出销售价格，利润，销售份数，根据题目数量关系列一元二次方程求解即可． 【详解】 解：设提高了元，则销售价格为元，利润为元，销售份数为份， ∴，整理得，， ∴， 解得，，， ∴销售价格为元或元时，餐馆能实现每天的利润． 84．（25-26学年九上·甘肃陇南武都区·期中）九（2）班元旦晚会上，某合唱小组每两位同学间互赠一张贺卡，共赠贺卡30张，该合唱小组人数为　　　　　　　　　人． 【答案】6 【分析】 本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设该合唱小组人数为x人，根据题意可得每个人都要给其他人送一张贺卡，再由一共赠贺卡30张建立方程求解即可． 【详解】 解：设该合唱小组人数为x人， 由题意得，， 整理得， 解得或（舍去）， 故答案为：6． 85．（25-26学年九上·甘肃陇南武都区·期中）某校新建一个三层停车楼，每一层布局如图所示．已知每层长为50米，宽30米．阴影部分设计为停车位，地面需要喷漆，其余部分是等宽的通道，已知喷漆面积为1056平方米． （1）求通道的宽是多少米． （2）据调查分析，停车场多余64个车位可以对外出租，当每个车位的月租金为200元时，可全部租出；每个车位的月租金每上涨10元，就会少租出1个车位，当每个车位的月租金上涨多少元时，既能优惠大众，又能使对外开放的月租金收入为14400元？ 【答案】（1）3米     （2）上涨40元      【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，理解题意找准等量关系列出方程是解题的关键． （1）设通道的宽是x米，根据题意列出方程，解出x的值即可解答； （2）设每个车位的月租金上涨y元，根据题意列出方程，解出y的值，结合优惠大众选择较小的y的值即可解答． (1) 小问详解： 解：设通道的宽是米，则每一层的停车位可合成长为米，宽为米的长方形， 依题意，得， 解得（不合题意，舍去）． 答：通道的宽是3米． (2) 小问详解： 解：设每个车位的月租金上涨元，则每个车位的月租金为元，可租出个车位， 依题意，得， 解得， 又要优惠大众， ． 答：每个车位的月租金应上涨40元． 86．（25-26学年九上·甘肃陇南武都区·期中）如图所示，在中，，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度运动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度运动，点P，Q同时开始运动． （1）运动几秒后，的面积为？ （2）运动几秒后，的长度为？ （3）P，Q运动过程中，线段能把分成面积相等的两部分吗？如果能，请求出P，Q的运动时间；如果不能，请说明理由． 【答案】（1）运动2秒或3秒后，的面积为     （2）运动3秒后，的长度为     （3） 不能．理由如下： 根据三角形的面积公式，得， 则， 即， ，方程无实数根． 故线段不能把分成面积相等的两部分．      【分析】 本题考查了勾股定理、一元二次方程以及配方法的应用． （1）设运动t秒后的面积等于，用t表示出、的长，利用三角形面积公式可得方程解方程即可； （2）在中，根据勾股定理，得，把、代入可得方程，解方程即可； （3）根据三角形的面积公式，得，则，然后判断方程根的情况，方程无根说明线段不能把分成面积相等的两部分； (1) 小问详解： 解：设运动秒后的面积为． 根据题意，知． 则． 则，即． 解得或3． 故运动2秒或3秒后，的面积为； (2) 小问详解： 根据勾股定理，得，即． 解得（不合题意，舍去）或， ． 故运动3秒后，的长度为； (3) 小问详解： 略 87．（25-26学年九上·甘肃临夏州·期中）靖远县薰衣草庄园准备再次绿化，向某园林公司购买了一批树苗，园林公司规定：如果购买树苗不超过60棵，每棵售价为元；如果购买树苗超过棵，每增加1棵，所出售的这批树苗每棵售价均降低元，但每棵树苗的最低售价不得少于元． （1）当购买棵树苗时，所需的树苗款为________元；当购买棵树苗时，每棵树苗的售价在元的基础上降价________元，最后的售价是________元． （2）庄园向园林公司支付树苗款元，请问该庄园共购买了多少棵树苗？ 【答案】（1），，；     （2）购买了棵树苗      【分析】 此题主要考查了一元二次方程的应用，根据已知“如果购买树苗超过60棵，每增加1棵，所出售的这批树苗每棵售价均降低元”得出方程是解题关键． （1）根据购买树苗不超过60棵，每棵售价为元；如果购买树苗超过棵，每增加1棵，所出售的这批树苗每棵售价均降低0.5元即可求解； （2）根据设购买了棵树苗．根据题意列方程得 ,进而得出结论． (1) 小问详解： 解：当购买棵树苗时，所需的树苗款为：（元）， 当购买棵树苗时，每棵树苗的售价在元的基础上降价元，最后的售价是：元． 故答案为：，，； (2) 小问详解： 解：∵，所以购买的树苗数量多于棵 设购买了棵树苗, 根据题意列方程得 解得， 当时，， ∴ 不合题意舍去， 当时，， ∴符合题意， ∴（棵） ， 答：购买了棵树苗． 88．（25-26学年九上·甘肃酒泉第二中学·期中）酒泉市公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔月份到月份的销量，该品牌头盔月份销售个，月份销售个，月份到月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为元个，商家经过调查统计，当售价为元个时，月销售量为个，若在此基础上售价每上涨元个，则月销售量将减少个，为使月销售利润达到元，且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔每个售价应定为多少元？ 【答案】（1）     （2）50元      【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，利用该品牌头盔12月份的销售量=该品牌头盔10月份的销售量（该品牌头盔销售量的月增长率），可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； （2）设该品牌头盔每个售价应定为y元，则该品牌头盔每个的销售利润为元，月销售量为个，利用总利润每个的销售利润月销售量，可列出关于y的一元二次方程，解之可得出y的值，再结合要尽可能让顾客得到实惠，即可确定结论． (1) 小问详解： 解：设该品牌头盔销售量的月增长率为x， 根据题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：该品牌头盔销售量的月增长率为； (2) 小问详解： 解：设该品牌头盔每个售价应定为y元，则该品牌头盔每个的销售利润为元，月销售量为个， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 又∵要尽可能让顾客得到实惠， ∴． 答：该品牌头盔每个售价应定为50元． 89．（九上·甘肃白银·期中）项目式学习 某校综合与实践活动小组针对货物的销售单价与日销售量开展了项目式学习活动，请你参与活动，并与他们共同完成该项目任务． 项目主题：商品销售策略的制定． 驱动问题：某玩具店老板欲购进一批进价为20元/个的益智玩具，请你运用所学的数学知识根据市场情况和该玩具店老板的要求，帮助他制定这种益智玩具的销售策略． 任务一：市场调查 调查附近A，B，C，D，E五家玩具店近期销售这种益智玩具的销售单价（单位：元）和日销售量（单位：个）的情况，记录如下表： 玩具店 A B C D E 销售单价/元 60 59 58 57 56 日销售量/个 20 22 24 26 28 任务二：模型建立 （1）求该益智玩具的日销售量与销售单价之间的函数关系式． 任务三：问题解决 （2）如果该玩具店的房租、水电费、人工费等每天的支出为200元，该玩具店老板想要每天获得600元的利润，同时为了尽快减少库存，那么该益智玩具的销售单价应定为多少元？ 【答案】（1）；（2） 【分析】 本题主要考查了一次函数的实际应用（其他问题），一元二次方程的应用（营销问题），用表格表示变量间的关系，求一次函数解析式，解二元一次方程组，因式分解法解一元二次方程等知识点，熟练掌握待定系数法求一次函数解析式并根据题中的数量关系正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）通过分析表中数据可以看出，日销售量与销售单价之间成一次函数关系，故可设日销售量与销售单价之间的函数关系式为，将，代入，得 ，解方程组即可求出与的值，进而得出该益智玩具的日销售量与销售单价之间的函数关系式； （2）根据“每日利润（销售单价进价）日销售量房租、水电费、人工费等运营成本”可得，解得，，进而可得当销售单价为60元时日销售量为20个，销售单价为30元时日销售量为80个，由于，再结合“为了尽快减少库存”，即可得出答案． 【详解】 解：（1）通过分析表中数据可以看出，日销售量与销售单价之间成一次函数关系， 故可设日销售量与销售单价之间的函数关系式为， 将，代入，得： ， 解得： ， 该益智玩具的日销售量与销售单价之间的函数关系式为； （2）根据题意，得： ， 解得：，， 当销售单价为60元时，日销售量为20个， 当销售单价为30元时，日销售量为80个， ，且为了尽快减少库存， ， 答：该益智玩具的销售单价应定为30元． 90．（25-26学年九上·甘肃庆阳镇原县·期中）一个直角三角形的两条直角边的和是，面积是．求两条直角边的长． 【答案】这两条直角边为，． 【分析】设其中一条直角边长为未知数，表示出另一直角边长，根据面积为24列式求值即可． 【详解】解：设其中一条直角边长为xcm，则另一直角边长为（14﹣x）cm，得： x（14﹣x）=24，解得x1=6，x2=8． 当x1=6时，14﹣x=8； 当x2=8时，14﹣x=6； 答：两条直角边的长分别为，． 91．（25-26学年九上·甘肃庆阳镇原县·期中）某菱形的两条对角线长都是方程x2－6x＋8＝0的根，则该菱形的周长为　　　　　 【答案】． 【详解】 试题分析：由菱形ABCD的两条对角线长分别是方程x2-6x+8=0的两根，可求得菱形ABCD的两条对角线长分别是2与4，然后由菱形的性质与勾股定理，即可求得菱形周长． ∵x2-6x+8=0， ∴（x-2）（x-4）=0， 解得：x1=2，x2=4， ∵菱形ABCD的两条对角线长分别是方程x2-6x+8=0的两根， ∴菱形ABCD的两条对角线长分别是2，4或2,2或4,4 设菱形ABCD的两条对角线相交于O， ∴AC⊥BD，OA= AC，OB= BD， ∴AB= ， ∴菱形周长为： 或 或 故答案为4． 或 或 考点：1．菱形的性质；2．解一元二次方程-因式分解法 92．（25-26学年九上·甘肃平凉庄浪县·期中）某超市以每箱25元的进价购进一批龙眼．当该龙眼的售价为40元/箱时，七月销售250箱，八、九月该龙眼十分畅销，销量持续上涨，在售价不变的基础上，九月的销量达到360箱． （1）若七月份到九月份的月平均增长率都相同，求这两个月的月平均增长率． （2）十月份该超市为了减少库存，开始降价促销．经调查发现，该龙眼每箱每降价1元，月销量在九月销量的基础上增加5箱．当龙眼每箱降价多少元时，该超市十月可获利元? 【答案】（1）     （2）元      【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设七月份到九月份的月平均增长率为，利用九月的销售量七月的销售量（七月份到九月份的月平均增长率），即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）设龙眼每箱降价元，则每箱盈利元，月销售量为箱，利用总利润每箱的销售利润月销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． (1) 小问详解： 解：设七月份到九月份的月平均增长率为， 依题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：七月份到九月份的月平均增长率为． (2) 小问详解： 设龙眼每箱降价元，则每箱盈利元，月销售量为箱， 依题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：当龙眼每箱降价元时，该超市十月可获利元． 93．（25-26学年九上·甘肃武威凉州区谢河中学·期中）某人患了流感，经过两轮传染后，共有36人患了流感．求每一轮传染中平均每人传染了多少个人． 【答案】每一轮传染中平均每人传染了个人 【分析】 本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是得到两轮传染数量关系，从而可列方程求解．本题要注意的是，患流感的人把病毒传染给别人，自己仍然是患者，人数应该累加，这个问题和细胞分裂是不同的．根据题意可得， 每轮传染中平均一个人传染了个人， 经过一轮传染之后有x+1人感染流感，两轮感染之后的人数为36人，依此列出一元二次方程求解即可． 【详解】 解： 设每一轮传染中平均每人传染了x个人，依题可得： ， ， 解得，（舍）， 答：每一轮传染中平均每人传染了个人． 94．（25-26学年九上·甘肃酒泉第七中学·期中）如图，在矩形中，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动．如果，分别从，同时出发，当点运动到点时，两点停止运动．设运动时间为秒．． （1）当_______时，的长度等于（直接填结果）； （2）连接，是否存在的值，使得的面积等于？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）     （2）存在，．      【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，勾股定理，解答本题的关键是找准等量关系，列出一元二次方程解决问题． （1）先求出，，再利用勾股定理建立方程解方程即可得到答案； （2）先求出，再根据三角形面积计算公式得到方程，解方程即可得到答案． (1) 小问详解： 解：在矩形中，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动，设运动时间为秒， ，， ， 四边形是矩形， ， 在中，由勾股定理得， ， 解得（舍去），， 当时，的长度等于； 故答案为：． (2) 小问详解： 由题意得：， 的面积等于， ， ， ， 或（舍去）， 当时，使得的面积等于． 95．（25-26学年九上·甘肃酒泉第七中学·期中）如图，有长为30m的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为10m），围成中间隔有一道篱笆（平行于AB）的长方形花圃．    （1）设花圃的一边AB为xm，则BC的长可用含x的代数式表示为______m； （2）当AB的长是多少米时，围成的花圃面积为63平方米？ 【答案】（1）30－3x；（2）7 【分析】（1）由AB的长为xm，结合长为30m的篱笆即可表示出BC的长为：（30﹣3x）m； （2）根据AB及BC的长可表示出花圃的面积，令该面积等于63，求出符合题意的x的值，即是所求AB的长． 【详解】解：（1）由题意得：BC＝30﹣3x， 故答案为：30﹣3x； （2）由题意得：﹣3x2+30x＝63． 解此方程得x1＝7，x2＝3． 当x＝7时，30﹣3x＝9＜10，符合题意； 当x＝3时，30﹣3x＝21＞10，不符合题意，舍去； 故当AB的长为7m时，花圃的面积为63m2． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，关键在于理解清楚题意，找出等量关系列出方程求解． 96．（25-26学年九上·甘肃酒泉第七中学·期中）2023年亚运会在杭州顺利举行，亚运会吉祥物“江南忆”公仔爆红．据统计“江南忆”公仔在某电商平台8月份的销售量是5万件，10月份的销售量是7.2万件． （1）若该平台8月份到10月份的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？ （2）市场调查发现，某一间店铺“江南忆”公仔的进价为每件40元，若售价为每件80元，每天能销售20件，售价每降价2元，每天可多售出8件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售该公仔每天获利1400元，则每件售价应降低$ 专题03 一元二次方程 考点01 一元二次方程的概念 考点02 配方法 考点03 公式法 考点04 因式分解法 考点05 一元二次方程的根与系数的关系 考点06 实际问题与一元二次方程 考点01 一元二次方程的概念 1．A 2．A 3．A 4．B 5．B 6．A 7．A 8．C 9．B 10．B 11．C 12．D 13．C 14．B 15．C 16．C 17．C 18．B 19．D 20．D 21．D 22．A 23．D 24．C 25．B 26．A 27．A 28．A 29．A 30．B 31．【答案】（答案不唯一） 【分析】 本题考查的是一元二次方程的解，有一个根是2的一元二次方程有无数个，只要含有因式的一元二次方程都有一个根是2，写出一个符合条件的方程就行．有一个根是2的一元二次方程有无数个，写出一个符合条件的方程就可以． 【详解】 解：形如的一元二次方程都含有一个根是2， 所以当，时，可以写出方程：． 故答案可以是：（答案不唯一）． 32．【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程一般形式的定义．根据一元二次方程一般形式的定义，一次项系数是方程中一次项的系数，进行作答即可． 【详解】 解：一元二次方程的一次项系数是， 故答案为：． 33．【答案】（答案不唯一） 【分析】 本题考查了一元二次方程的解．根据题意写出一个根是的一元二次方程即可． 【详解】 解：∵关于x的一元二次方程的一个根是， ∴方程有很多， 如方程有一个根是． 故答案为（答案不唯一）． 34．【答案】2025 【分析】 本题考查一元二次方程的解，将代入，得到，即可求得的值． 【详解】 解：∵m是方程的一个根， ∴， ∴． ∴， 故答案为：2025． 35．【答案】 【分析】 本题主要考查一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键；根据一元二次方程的定义，二次项系数不能为零进行求解即可． 【详解】 解：由于方程是关于的一元二次方程，因此二次项系数，解得； 故答案为 ． 36．【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程的概念，注意一元二次方程中，方程最高次数为二次；二次项系数． 【详解】 解：由题意可得：，且， 解得：． 故答案为：． 37．【答案】（答案不唯一） 【分析】 本题考查了一元二次方程的解；根据题意写出一个根是的一元二次方程即可． 【详解】 解：∵关于x的一元二次方程的一个根是， ∴方程有很多， 如方程，当时，， ∴有一个根是． 故答案为（答案不唯一）． 38．【答案】2 【分析】 本题考查一元二次方程的定义．熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程叫做一元二次方程，其一般形式为．根据一元二次方程的定义来求解即可． 【详解】 解：是关于的一元二次方程， ． 故答案为：2． 39．【答案】2 【分析】 本题考查了一元二次方程的解的概念：使一元二次方程左右两边的值相等的未知数的值，掌握此概念是解题的关键；由题意，把一元二次方程的根代入方程中，即可求解． 【详解】 解：∵关于x的一元二次方程：的一个根是2， ∴， 解得：； 故答案为：2． 40．【答案】或 【分析】 此题考查了一元二次方程的一般形式，即．其中a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项． 先将方程左边展开，然后移项使所有项位于左边，右边为0，最后合并同类项得到一般形式． 【详解】 解：， 去括号：， 移项：， 合并同类项：， 方程两边同除以2，得 ， 故答案为：或． 41．【答案】-1 【分析】 根据一元二次方程的定义及根的意义，得到，求解即可． 【详解】 关于x的一元二次方程（a - 1）x2 - ax + a2 = 1的一个根为0 故答案为：-1． 【点睛】 本题考查了一元二次方程的定义及一元二次方程的解，熟练掌握知识点是解题的关键． 42．【答案】（答案不唯一） 【分析】 本题考查了一元二次方程的解，掌握一元二次方程的解是满足方程的未知数的值是解题的关键． 利用一元二次方程的解的定义写出一个满足题意的方程即可． 【详解】 解：一元二次方程的一个根为. 故答案为：（答案不唯一）． 43．【答案】2 【分析】 本题主要考查了根据一元二次方程的定义求参数，根据一元二次方程的定义，未知数的最高次数为2，且二次项系数不为0，据此求解即可． 【详解】 解：根据题意，方程是关于的一元二次方程， ∴，解得或 ， 当时，二次项系数，不符合一元二次方程的条件， 当时，二次项系数，符合一元二次方程的条件， ∴a的值为2． 故答案为：2． 44．【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程的解的定义，代数式求值，由已知可得，再整体代入代数式计算即可求解，掌握一元二次方程的解的定义是解题的关键． 【详解】 解：∵一元二次方程的一个根为， ∴，即， ∴． 故答案为：． 45．【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程的定义．根据一元二次方程的定义，未知数的最高次数为2且二次项系数不为零，列出条件求解． 【详解】 解：由一元二次方程的定义，需满足： 解得， 所以． 又，即， 因此． 故答案为：． 46．【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程的定义，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，注意一元二次方程（a、b、c是常数）的二次项系数不为零． 根据一元二次方程的解得定义把代入一元二次方程，即可求出待定系数a的值，注意：一元二次方程的二次系数不为零． 【详解】 解：将代入得， 故 故答案为： 47．【答案】 【分析】 将代入方程后，解方程即可． 【详解】 解：将代入方程， 得：， ∴，， 由一元二次方程可知， ∴的值为． 【点睛】 本题考查了一元二次方程的定义、一元二次方程的解和解一元二次方程，解题关键是理解方程的解的含义，本题容易忽略的隐含条件． 48．【答案】1 【分析】 本题考查的是一元二次方程的定义，熟记定义是解本题的关键． 由关于的方程是一元二次方程，可得，，从而可得答案． 【详解】 解：关于的方程是一元二次方程， ，， 解得：． 故答案为：1． 49．【答案】1 【分析】根据一元二次方程的定义求解即可． 【详解】解：由题意，得 ， 解得， 故答案为1． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程． 50．【答案】1 【分析】 本题考查一元二次方程的定义，解题的关键是根据一元二次方程的定义列出关于的条件并求解． 根据一元二次方程的定义，未知数最高次数是2且二次项系数不为0，根据题意列出关于的条件，进而求解的值． 【详解】 解：因为是关于的一元二次方程，所以需要满足： 二次项系数不为0，即，解得， 未知数的最高次数是2，即， 解，可得，即或， 又因为．所以． 故答案为：1． 51．【答案】 【分析】 此题考查了一元二次方程的解，把代入方程即可求解，熟练掌握一元二次方程的解是解题的关键． 【详解】 解：将代入原方程得：， 解得：， 故答案为：． 52．【答案】 【分析】 本题考查方程的根的定义，整式的运算，熟练掌握方程的根的定义和整体代入思想是解题的关键，根据题意得到，，再化简，代入即可得到答案． 【详解】 解：∵m是方程的一个根， ∴ ∴，， ∴ ． 故答案为：． 53．【答案】 【分析】 本题考查的是一元二次方程的定义：“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程，叫做一元二次方程”，熟练掌握一元二次方程的定义是解题关键． 由一元二次方程的定义得到，，由此即可求解． 【详解】 解：∵方程是一元二次方程， ∴，， ∴， 故答案为：． 54．【答案】 【分析】 把代入方程，得到关于的方程，结合一元二次方程的二次项系数不为0，进行求解即可. 【详解】 解：由题意，且， 解得. 55．【答案】1 【分析】 本题主要考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义，未知数的最高次数为2，且二次项系数不为零，由此列出条件求解． 【详解】 由于方程是关于 的一元二次方程，则 的最高指数 ，且二次项系数 ， 解 ，得 ，即 ， 当 时，，二次项系数为零，不符合条件， 当 时，，符合条件， 故 ， 故答案为：． 56．【答案】3 【分析】 本题主要考查一元二次方程的定义和解一元二次方程，根据一元二次方程的定义，方程中未知数的最高次数为2且二次项系数不为零，据此列出条件方程求解即可． 【详解】 解：由一元二次方程的定义，得 且 ， 得 ， 即 ， ， 解得 或 ． 又因为 ， 所以 ， 因此 ． 故答案为：3． 57．【答案】﹣1． 【分析】根据一元二次方程的定义得到由此可以求得a的值． 【详解】解：∵关于x的方程（a﹣1）xa2+1﹣7＝0是一元二次方程， ∴a2+1＝2，且a﹣1≠0， 解得，a＝﹣1． 故答案为﹣1． 【点睛】本题考查了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0（且a≠0）． 58．【答案】6 【分析】 本题主要考查了一元二次方程的解，能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 把代入得，即，然后把变形为，然后利用整体代入计算即可． 【详解】 解：把代入得， ∴， ∴． 故答案为：6． 59．【答案】 【分析】 本题考查一元二次方程的解，由是关于x的方程的解得到，再代入求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】 解：∵是关于x的方程的解， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 考点02 配方法 1．D 2．A 3．C 4．C 5．A 6．A 7．D 8．A 9．C 10．A 11．D 12．C 13．C 14．B 15．C 16．D 17．【答案】， 【分析】 本题考查了用配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是关键．移项，配方，开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可． 【详解】 解：原方程移项得：， ， ， ， ． 18．【答案】（1），     （2），     （3），     （4），      【分析】 （1）方程变形后，利用平方根定义开方即可求出解； （2）方程利用配方法求出解即可； （3）方程利用公式法求出解即可； （4）方程利用因式分解法求出解即可． (1) 小问详解： 解：， 移项，得， 两边都除以3，得， 两边开平方，得， 移项，得， 解得：，； (2) 小问详解： 解：， 两边都除以2，得， 移项，得， 配方，得，即， 解得：， 即，； (3) 小问详解： 解：， 这里，，， ， ， 解得：，； (4) 小问详解： 解：， 方程左边因式分解，得，即， 解得：，． 【点睛】 此题考查了解一元二次方程因式分解法，公式法与直接开平方法，熟练掌握各种解法是解本题的关键． 19．【答案】 【分析】 本题考查了解一元二次方程． 整理后根据直接开平方法求解即可． 【详解】 解：， ， ， ， ． 20．【答案】x1=2+，x2=2﹣． 【分析】 移项后配方得出x2-4x+4=7+4，推出（x-2）2=11，开方后得出方程x-2=±，求出方程的解即可． 【详解】 解：移项得：x2﹣4x=7 配方得：x2﹣4x+4=7+4 即（x﹣2）2=11 开方得：x﹣2=± ∴原方程的解是：x1=2+，x2=2﹣． 【点睛】 本题考查了解一元一次方程和用配方法解一元二次方程的应用，关键是配方后得出（x-2）2=11，题目比较典型，难度适中． 21．【答案】 【分析】 本题考查了用配方法解一元二次方程．先移项，再两边配上，写成完全平方公式即可． 【详解】 解：， 移项得， ∴， ∴， 故答案为：． 22．【答案】， 【分析】 此题主要考查利用配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法解方程的步骤是解题的关键．根据配方法将方程变形，写出完全平方的形式，即可求解． 【详解】 解：配方，得， 即．                          两边开平方，得 ， 即，或， ，． 23．【答案】（1）x1=-1或x2=3；（2）x1=或x2= 【分析】 （1）利用直接开平方法求解可得； （2）利用配方法求解可得． 【详解】 解：（1）， ∴， ∴， ∴， 解得：x1=-1或x2=3； （2）， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：x1=或x2=． 【点睛】 本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 24．【答案】 【分析】 本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，是解题的关键．利用配方法解答，即可求解． 【详解】 解：， ， ， ， ， 所以． 25．【答案】． 【分析】 本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法． 利用配方法求解即可． 【详解】 解：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 26．【答案】， 【分析】 本题主要考查了配方法解一元二次方程，先整理，再配方，即加上一次项系数的一半的平方，然后开方求出解即可． 【详解】 解：， 整理，得， 配方，得， 即， ∴， ∴，． 27．【答案】解：嘉嘉的解答过程有误，正确解答过程如下： 配方，得，， 开平方，得，移项，得， 所以，． 【分析】 此题主要考查了解一元二次方程，正确掌握配方法解方程的步骤是解题关键． 直接利用配方法解一元二次方程的方法进而分析得出答案． 【详解】 略 28．【答案】， 【分析】 本题主要考查了解一元二次方程，灵活运用配方法解一元二次方程成为解题的关键． 直接运用配方法求解即可． 【详解】 解：， ， ， ， ， 29．【答案】x=-1或x=3 【分析】 本题利用直接开平方法即可求出答案． 【详解】 解：x-1=±2， x-1= 2或x-1=-2， 解得：x=-1或x=3． 【点睛】 本题考查了直接开平方法解一元二次方程，能够根据方程特点选取不同的解法是解题关键． 30．【答案】， 【分析】 本题考查了解一元二次方程，根据配方法解一元二次方程，即可求解． 【详解】 解：， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：，． 31．【答案】，． 【分析】先移项得到x2+2x=3，再把方程两边加上1得到x2+2x+1=3+1，即（x+1）2=4，然后利用直接开平方法求解． 【详解】∵x2+2x=3，x2+2x+1=3+1，即（x+1）2=4，∴x+1=±2，∴x1=1，x2=﹣3． 【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣配方法：先把方程二次项系数化为1，再把常数项移到方程右边，然后把方程两边加上一次项系数的一半得平方，这样方程左边可写成完全平方式，再利用直接开平方法解方程． 32．【答案】（1）5； （2）无论取何实数，二次根式都有意义，理由如下： ， ， 当时，的最小值为5． 又， 无论取何实数，二次根式都有意义． 【分析】 本题考查了配方法的应用、二次根式有意义的条件，熟练掌握完全平方公式是解此题的关键． （1）仿照题干所给例子求解即可； （2）仿照题干所给例子求出当时，的最小值为5，再根据二次根式有意义的条件判断即可得解． 【详解】 （1）解：， ， ， 当时，的最小值是5； （2） 略 33．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法，是解题的关键： （1）利用配方法解方程即可； （2）利用配方法解方程即可． (1) 小问详解： 解：， ， ， ， ∴， ∴； (2) 小问详解： ， ， ， ， ∴， ∴． 34．【答案】36 【分析】 根据与40的大小，再根据，从而确定m，n的值即可得出的值． 【详解】 解：∵， ∴40≤； ∴ ∴（m+6）2+（n-2）2≤0， ∵（m+6）2+（n-2）20， ∴m+6=0，n-2=0， ∴m=-6，n=2， ∴ 故答案为：36． 【点睛】 本题考查了配方法的应用和非负数的性质．根据题意理解新定义的计算公式是解题的关键． 35．【答案】 【分析】 本题主要考查了利用配方法解一元二次方程，按照配方法的过程解方程即可． 【详解】 解： 则． 考点03 公式法 1．B 2．D 3．A 4．B 5．D 6．A 7．B 8．B 9．B 10．D 11．B 12．B 13．A 14．C 15．D 16．A 17．A 18．B 19．A 20．D 21．B 22．A 23．C 24．D 25．D 26．D 27．B 28．A 29．C 30．D 31．【答案】且 【分析】 根据关于x的一元二次方程有两个实数根得到且，求解即可得到实数k的取值范围． 【详解】 解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根， ∴且， 解得且． 故答案为：且 【点睛】 此题考查了一元二次方程的定义和根的判别式，正确计算是解题的关键． 32．【答案】， 【分析】 本题主要考查了解一元二次方程，利用公式法解方程即可． 【详解】 解： ，，， ， ， ，． 33．【答案】且 【分析】 本题考查一元二次方程的定义及根的判别式，由一元二次方程的二次项系数不能为0得，由方程有两个不相等的实数根可得，由此可解． 【详解】 解：关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ，， 解得且， 故答案为：且． 34．【答案】， 【分析】 本题主要考查解一元二次方程的能力，解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点，利用公式法求解即可． 【详解】 解：，，， ， 则， 解得：，． 35．【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程根的判别式，掌握，方程有两个不相等的实数根；，方程有两个相等的实数根；，方程没有实数根是解题关键．根据一元二次方程有两个相等的实数根的条件，判别式等于零，由此列方程求解． 【详解】 解：一元二次方程中， ， 由于方程有两个相等的实数根， 因此，即， 解得， 所以， 故答案为：． 36．【答案】10 【分析】 本题主要考查了一元二次方程的判别式，解一元二次方程，掌握一元二次方程的根与判别式的关系是解题的关键，由腰长恰好是这个方程的两实数根得，求出k值，代入方程求出两根，最后求出周长即可． 【详解】 解：∵两腰长恰好是这个方程的两实数根， ∴ ， 解得 ， 代入方程得 ， 解得 ， 即腰长为3， ∵， ∴符合三角形三边要求， ∴周长为 ， 故答案为：10． 37．【答案】证明：∵， ， 即，                                                ∴无论取何值，方程总有实数根． 【分析】 本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握相关知识是做题的关键． 根据一元二次方程根的判别式符号与方程根的情况的关系，即可证明． 【详解】 略 38．【答案】3 【分析】 先求出两根之积与两根之和的值，再将化简成两根之积与两根之和的形式，然后代入求值即可． 【详解】 解：方程有两个不相等的实数根， ， 解得：， 依题意得：，   ， ， 解得：，   ， 经检验： ，   是原方程的解， ， ． 【点睛】 此题考查了根与系数的关系，解题的关键是灵活运用根与系数的关系与代数式变形相结合知识． 39．【答案】（1） ， ， ， 方程总有两个实数根；     （2）      【分析】 （1）先求出判别式，利用配方法变为完全平方式即可， （2）利用求根公式，先求一元二次方程含k 的根，让其一根小于0，求出范围即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：， ， ， 方程有一根小于0， ， ． 【点睛】 本题考查一元二次方程的判别式与根的范围问题，掌握根的判别式的用途，会用根的判别式解决方程根的情况，会利用求根公式解方程，会用条件利用不等式，会解不等式是关键． 40．【答案】x1=，x2=． 【详解】试题分析：先计算判别式的值，然后代入一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式中求解． 试题解析：△=（-9）2-4×2×8=17， x=， 所以x1=，x2=． 考点：解一元二次方程-公式法． 41．【答案】（1）     （2） 解：， 若， 则， 整理得到：， 此时该一元二次方程的判别式，该方程无解， ∴的值不可能为8．      【分析】 (1)根据已知条件得到，然后对等号左边进行因式分解即可求解； (2)计算，解该方程，若有解则值可以为8，若无解，则的值不可能为8． (1) 小问详解： 解：由已知A＋B＝C·D可得：， 整理得到：， ∴． (2) 小问详解： 略 【点睛】 本题考查了因式分解及一元二次方程的解法，属于基础题，读懂题意，计算过程中细心即可． 42．【答案】（1）     （2），      【分析】 本题主要考查了新定义下的实数运算，解一元二次方程，正确理解题意是解题的关键． （1）根据新定义的运算法则得到关于的方程，即可求解； （2）根据新定义的运算法则得到关于的方程，即可求解． (1) 小问详解： 解： ， 故答案为：； (2) 小问详解： ， ， 整理得， ， ， ，． 43．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解决问题的关键． （1）用直接开方法解决即可； （2）用公式法解决即可． (1) 小问详解： 解： (2) 小问详解： 解： ． 44．【答案】 【分析】 考查了一元二次方程根的判别式，解决本题的关键是掌握一元二次方程有两个不相等的实数根需满足二次项系数不为零且判别式大于零．首先确保方程为一元二次方程，即二次项系数，再计算判别式，并分析其恒正性即可． 【详解】 解：方程为一元二次方程，因此二次项系数，解得， 判别式， 对于二次式，其判别式为，且二次项系数开口向上，因此恒成立， 当时，方程有两个不相等的实数根， 故答案为：． 45．【答案】且 【分析】 本题考查了一元二次方程根的判别式与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系是解答本题的关键．当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根． 根据方程有两个实数根需满足二次项系数不为零且判别式大于或等于零列式求解即可． 【详解】 解：∵方程 是一元二次方程， ∴． ∵方程有两个实数根， ∴． 解得 ． 综上， 的取值范围是 且． 故答案为：且． 46．【答案】且 【分析】 本题考查了一元二次方程根的判别式，根据方程有两个不相等的实数根可以得到判别式大于零，从而求出结果． 【详解】 解：根据题意，得且， 解得且， 所以m的取值范围为且 故答案为：且． 47．【答案】证明：， 该方程有两个不相等的实数根． 【分析】 本题考查一元二次方程根判别式，根据一元二次方程根判别式求解即可； 【详解】 略 48．【答案】， 【分析】 本题考查了解一元二次方程，关键是掌握求根公式，一元二次方程，若，则方程的两个实数根为，据此求解即可． 【详解】 解： ，，， ∴， 解得，． 49．【答案】4 【分析】 根据根的判别式的意义得到，解关于k的一元一次方程即可得到k的值． 【详解】 解：∵一元二次方程有两个相等的实数根． ∴ ∴ 50．【答案】， 【分析】 本题主要考查了解一元二次方程，根据公式法求解即可． 【详解】 解：， ∵， ∴， ∴， ∴，． 51．【答案】1 【分析】 此题考查菱形的性质，已知一元二次方程的解的情况求参数，先根据菱形的性质得到，由此判断一元二次方程有两个相等的实数根，根据判别式求出m的值． 【详解】 解：∵四边形是菱形， ∴， ∵、的长是关于的方程的两个实数根， ∴关于的方程的有两个相等的实数根， ∴，即， 解得， 故答案为：1． 52．【答案】（1）且     （2）方程的另一个根是，m的值是5      【分析】 本题考查一元二次方程的根的判别式和方程的根，掌握一元二次方程的根的判别式的含义是解题关键． （1）根据根的判别式列不等式计算即可； （2）代入方程的根，求出m，再解一元二次方程求方程的另一个根即可． (1) 小问详解： 解：由题意，得， 解得． 又∵， ∴m的取值范围是且． (2) 小问详解： 解：∵方程有一个根是， ∴， 解得， ∴原方程为， 解方程，得，， ∴方程的另一个根是，m的值是5． 53．【答案】（1）2     （2） 证明：∵关于x的方程， ∴， ∴对于任意实数a,该方程总有两个不相等的实数根．      【分析】 本题主要考查了一元二次方程的解、根的判别式等知识点，掌握根的判别式大于零的方程有两个不相等的实数根成为解题的关键； （1）将代入方程得到关于a的方程求解即可； （2）计算根的判别式的值得到，然后根据根的判别式的意义即可证明结论． (1) 小问详解： 解：将代入方程可得： ，解得： (2) 小问详解： 略 54．【答案】且 【分析】 本题考查一元二次方程的定义，根的判别式，根据根的判别式即可解答． 【详解】 解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 且， ∴且． 故答案为：且 55．【答案】（1）；     （2）．      【分析】 本题考查解一元二次方程，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）用配方法解方程即可； （2）用公式法解方程即可． (1) 小问详解： 解：， ， ， ， ， 解得； (2) 小问详解： 解：， ∵， ∴， ∴． 56．【答案】（1） 证明：∵方程， ，，， ， ∴无论为何值，该方程总有两个实数根．     （2）      【分析】 本题考查解一元二次方程，根的判别式，熟练掌握公式法解一元二次方程是解题的关键； （1）根据根的判别式即可求出答案． （2）通过因式分解法求出方程的两根，根据题意列出方程即可求出答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由方程得， ∴或， ，， ∵方程有一个根为负数， ． ∴． ∴的取值范围是． 57．【答案】（1）     （2）或      【分析】 本题主要考查了矩形的性质及勾股定理和一元二次方程的应用等知识，熟练应用平行四边形的性质是解题关键． （1）利用矩形的性质得出当时，四边形为矩形列方程求解即可； （2）设当秒时，利用勾股定理得出即可； (1) 小问详解： 解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴当时，四边形是矩形， 即， 解得：， ∴当时，四边形是矩形， (2) 小问详解： 解：① 如图，当点P在点Q上方时，过点P作，垂足为M， 由题意可得：， 在中，由勾股定理得：， 即． 解得：（已舍去）； ② 当点P在点Q下方时，过点P作于点N． 由题意可得：， 在中，由勾股定理得：， 即． 解得（已舍去）， 由得，符合题意， 综上可得或． 58．【答案】（1）；     （2）且；     （3），      【分析】 （1）将x＝1代入方程得到关于m的方程，求出方程的解即可得到m的值； （2）由方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式的值大于0，列出关于m的不等式，求出不等式的解集即可得到m的范围． （3）由（2）的结果找到符合条件的m的值，代入，解方程即可． (1) 小问详解： 解：将x＝1代入方程得： m+1+1＝0， 解得：m＝﹣2； (2) 小问详解： 解：由方程有两个不相等的实数根， 得到Δ＝b2﹣4ac＝1﹣4m＞0，且m≠0， 解得：m＜且m≠0． (3) 小问详解： 解：由m＜且m≠0，m是符合条件的最大整数，得到m＝－1， 则得到一元二次方程为： 即 此时a＝1，b＝－1，c＝－1， ∵Δ＝b2﹣4ac＝ ∴ ∴， ∴此时方程的根为，． 【点睛】 此题考查了一元二次方程根的判别式，根的判别式的值大于0，方程有两个不相等的实数根；根的判别式的值等于0，方程有两个相等的实数根；根的判别式的值小于0，方程没有实数根． 59．【答案】方程无实数根 【分析】 本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法．将方程化为，利用判别式可知该方程无实数根． 【详解】 解： 方程化为， ，，， ． 方程无实数根． 60．【答案】（1），；     （2），．      【分析】 本题考查解一元二次方程，解题的关键在于根据题意灵活选用合适的方法求解． （1）利用直接开平方法求解，即可解题； （2）利用公式法求解，即可解题． (1) 小问详解： 解： ，； (2) 小问详解： 解：， ，，， ， ， ，． 61．【答案】有两个不相等的实数根 【分析】 本题考查了一元二次方程根的判别式与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键．当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根． 根据定义列出一元二次方程，化为一般式，根据根的判别式作答即可. 【详解】 解：∵ ∴ 即 ∴ ∴方程的根的情况为有两个不相等的实数根 故答案为：有两个不相等的实数根 62．【答案】（1） 证明：关于的一元二次方程， ∴， ∴无论取何值，方程总有两个实数根；     （2）7，3      【分析】 本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，矩形的性质，因式分解法求一元二次方程，掌握一元二次方程根与系数的关系，矩形的性质是解题的关键． （1）根据一元二次方程根与系数的关系，运用根的判别式进行判定即可求解； （2）根据题意，当矩形是正方形时，，即方程有两个相等的根，所以，即可求解，再代入方程求解即可； (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：矩形的两条边恰好是这个方程的两个根， ∵当矩形是正方形时，，即方程有两个相等的根， ∴， 解得，， 当时，一元二次方程为：， ∴， 解得，， 即， 故答案为：，； 63．【答案】（1） 证明：， ∵无论取何值，，恒成立， ∴无论取何值，方程都有两个不相等的实数根．     （2）或．      【分析】 本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解一元二次方程，掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． （1）根据根的判别式证明恒成立即可； （2）由题意可得，，，进行变形后代入即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵是方程的两个实数根， ∴，， ∴， 解得：或． 64．【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根；     （2）      【分析】 本题考查根的判别式，一元二次方程的解，熟练掌握根的判别式与根的个数之间的关系是解题的关键： （1）求出判别式的符号，进行判断即可； （2）把代入方程，进行求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 把代入，得：， 解得：或； ∵为正数， ∴． 65．【答案】（1），     （2），      【分析】 本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握运用一元二次方程的解法是解答本题的关键． （1）方程运用公式法求解即可； （2）方程运用配方法求解即可． (1) 小问详解： 解：， 这里， ∴， ∴，； (2) 小问详解： 解：， ， 。 ， ∴，． 66．【答案】（1） 见解析     （2）1或3      【分析】 （1）利用一元二次方程根的判别式，证明，从而说明方程总有两个实数根； （2）先求出方程的两个根，再根据为正整数，且两个根均为整数的条件，确定的值． (1) 小问详解： 证明：， ∴方程是关于的一元二次方程， ， ∴方程总有两个实数根． (2) 小问详解： 解：， ，． 为正整数，且方程的两个根均为整数， 或3． 考点04 因式分解法 1．C 2．D 3．D 4．C 5．B 6．D 7．D 8．D 9．B 10．【答案】 【详解】 解：． 11．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题主要考查一元二次方程的解法，熟知解法是正确解答此题的关键． （1）用因式分解法将方程变形成解方程即可． （2）用因式分解法将方程变形成解方程即可． (1) 小问详解： 解：， ， ， 解得 ； (2) 小问详解： 解：， ， ， ， ， 解得 ． 12．【答案】 【分析】 a2-9可以写成a2-32，符合平方差公式的特点，利用平方差公式分解即可． 【详解】 解：a2-9=（a+3）（a-3）， 故答案为：（a+3）（a-3）． 点评：本题考查了公式法分解因式，熟记平方差公式的结构特点是解题的关键． 【详解】 13．【答案】x1=-7，x2=5 【分析】根据十字相乘法进行求解，即可得到答案. 【详解】根据十字相乘法将变形得到，解得x1=-7，x2=5. 【点睛】本题考查解一元二次方程，解题的关键是掌握十字相乘法. 14．【答案】 【分析】 本题考查了用因式分解法解一元二次方程，解题关键是理解并掌握常用的解一元二次方程的方法．直接用因式分解法即可得到答案． 【详解】 解：， 整理，得， ∴， ∴或 ∴． 15．【答案】（1），     （2），      【分析】 本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键： （1）配方法解方程即可； （2）移项，利用因式分解法解方程即可． (1) 小问详解： 解：移项，得 配方，得 即 开方，得 ∴，； (2) 小问详解： 解：移项，得， 则， ∴或， ∴，． 16．【答案】 【分析】 本题主要考查了解一元二次方程，根据题意可得方程，解方程即可得到答案． 【详解】 解：∵代数式A的值比B的值大2， ∴， ∴， 解得． 17．【答案】（1），；（2） 【分析】 （1）根据材料提示，利用换元法解方程即可求解； （2）按整式的乘法，先展开，再合并同类项，利用完全平方公式以及材料中换元法解方程即可求解． 【详解】 解：解决问题：（1）设， ∴原方程变形为，解得，，， 当时，，故舍去； 当时，，解得，，； 综上所示，原方程的解为，． 延伸拓展：（2） ∴， ∴原式变形为， ∴，设， ∴，则，解得，，即， ∵， ∴ ∴． 【点睛】 本题主要考查解方程的运用，掌握整体思想，换元思想解方程，完全平方公式的变形是解题的关键． 18．【答案】3或 【分析】 本题考查了实数的新定义，解一元二次方程，先解一元二次方程得到两个根，再根据新定义的运算规则分情况计算，即可作答． 【详解】 解：∵， ∴， ∴得或， 当，时， ∵， 故， 当，时， ∵， 故， 故答案为：3或． 19．【答案】 【分析】 本题考查了解一元二次方程，先移项，再运用因式分解法进行解方程，即可作答． 【详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得． 20．【答案】1 【分析】 此题考查了解一元二次方程，新定义运算，根据新运算的定义，将方程转化为一元二次方程求解即可． 【详解】 解：根据题意得， 代入得，． ∴ ∴ 解得，． 故答案为：1． 21．【答案】， 【分析】 本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法．利用因式分解法求解即可． 【详解】 解： 或 ，． 22．【答案】 【分析】 先提取公因式，再用平方差公式进行因式分解即可得出答案. 【详解】 ，故答案为. 【点睛】 本题考查的是因式分解，熟练掌握平方差公式是解决本题的关键. 23．【答案】， 【分析】 此题主要考查了一元二次方程的解法，变形后利用因式分解一元二次方程即可． 【详解】 解： ， 或， ∴，． 24．【答案】， 【分析】 本题主要考查了利用因式分解法解一元二次方程，准确计算是解题的关键． 利用因式分解法计算即可； 【详解】 ， ， 则或， 解得，． 25．【答案】． 【分析】 本题考查了解一元二次方程－因式分解法．先把方程转化为或，然后解两个一次方程即可． 【详解】 解：， ∴或， ∴． 26．【答案】， 【分析】 本题考查了解一元二次方程-因式分解法，先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．利用解一元二次方程-因式分解法，进行计算即可解答． 【详解】 解：， ， ， 或， ，． 27．【答案】， 【分析】 本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，灵活选择合适的方法是解答本题的关键． 通过因式分解法求解一元二次方程即可． 【详解】 解：， ， 或， 解得，． 故答案为：，． 28．【答案】， 【分析】 本题考查解一元二次方程，选择合适解一元二次方程的方法是解题的关键． 运用因式分解法求解一元二次方程即可． 【详解】 解：， ， ，， 解得，． 29．【答案】-6 【分析】 将原式提取公因式进行因式分解，然后代入求值． 【详解】 解：x2y+xy2=xy（x+y）=-3×2=-6 故答案为：-6． 【点睛】 本题考查提取公因式进行因式分解，掌握提取公因式的技巧正确计算是解题关键． 30．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键； （1）根据配方法可进行求解； （2）根据因式分解法可进行求解． (1) 小问详解： 解： ∴； (2) 小问详解： 解： 或 ∴． 31．【答案】 【分析】 本题主要考查了解一元二次方程，先移项，再利用因式分解法解方程即可． 【详解】 解：∵， ∴，即， ∴， ∴或， 解得． 32．【答案】， 【分析】 本题考查用因式分解法解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题关键； 先移项，然后对方程左边进行因式分解，然后解方程即可． 【详解】 解：， ， ， ， ∴或， ∴， ． 33．【答案】 【分析】 本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键；因此此题可根据因式分解法求解方程即可． 【详解】 解： 或 解得：． 34．【答案】（1），     （2），      【分析】 本题考查求解一元二次方程．掌握各类求解方法是解题关键． （1）利用公式法即可求解； （2）利用因式分解法即可求解． (1) 小问详解： 解： ，， ∴ ∴ ∴，； (2) 小问详解： 解： ∴ 或 解得：，． 35．【答案】 【分析】 该题主要考查利用因式分解法解一元二次方程，熟练掌握提取公因式法分解因式是解题关键．先移项，然后利用因式分解法求解即可． 【详解】 解：， 移项、整理得：， ， 或， 解得：． 36．【答案】 【分析】 本题考查因式分解法解一元二次方程，掌握知识点是解题的关键． 根据因式分解法解一元二次方程的步骤进行求解即可． 【详解】 解：因式分解，得 ． 于是得 ，或， ． 37．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了一元二次方程的根的判别式，解一元二次方程； （1）根据方程有两个不相等的实数根可得关于m的不等式，解不等式求出m的取值范围； （2）由（1）中m的取值范围得出m的最小整数，代入方程，利用因式分解法求解即可． (1) 小问详解： 解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：； (2) 小问详解： 解：∵，且m为满足条件的最小正整数， ∴， 此时原方程为， 解得：． 38．【答案】（1），     （2），；      【分析】 本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是熟练运用配方法和因式分解法是解答此题． （1）利用配方法直接解一元二次方程； （2）先对等号右边进行因式分解，再移项，再进行因式分解求解． (1) 小问详解： 解：， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴，； (2) 小问详解： 解：， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：，； 39．【答案】，． 【分析】 本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．用因式分解法解方程即可． 【详解】 解： 或 ，． 40．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据配方法解一元二次方程，即可求解； （2）根据因式分解法解一元二次方程，即可求解． (1) 小问详解： 解：， ， ∴， ∴， 解得：； (2) 小问详解： 解：， ∴， 即或， 解得：． 【点睛】 本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 41．【答案】（1），     （2），      【分析】 本题考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键； （1）利用配方法解一元二次方程； （2）利用因式分解法解一元二次方程． (1) 小问详解： 解：由， 得， 配方得，， 直接开平方得，， 或， ，． (2) 小问详解： 解：由， 得， ， 或， 解得，． 42．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）利用直接开平方的方法解方程即可； （2）利用因式分解法解方程即可． (1) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴， 解得； (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴或， 解得． 43．【答案】， 【分析】 运用因式分解法求解即可． 【详解】 解：， 方程变形为， 因式分解，得， 即， 所以，， 解得，． 44．【答案】 【分析】 可通过移项将方程化为一般形式，再利用因式分解法解方程即可得到答案． 【详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴或， 解得． 45．【答案】（1），     （2），      【分析】 本题考查了解一元二次方程的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； （1）利用因式分解法解方程即可； （2）利用因式分解法解方程即可； (1) 小问详解： 解：， ， 或， ，； (2) 小问详解： 解：， ， ， ， 或， ，； 46．【答案】10 【分析】 本题考查解一元二次方程，解题的关键是熟练求解一元二次方程，本题属于基础题型． 根据一元二次方程的解法以及三角形三边关系即可求出答案． 【详解】 解：∵， ∴， ∴，， 当时， 由于，故能围成三角形； 三角形的周长为， 当时， 由于，故不能围成三角形， 故答案为：10． 47．【答案】（1）     （2）；互为倒数     （3）和      【分析】 本题主要考查了新定义问题，一元二次方程的一般形式，一元二次方程的解，用因式分解法和公式法解一元二次方程，掌握并灵活运用新定义是解题的关键． （1）根据“友好方程”的定义，即得答案； （2）求出方程的解，即得猜想，分别求方程和的根，可验证； （3）利用（2）中的结论，可得方程的“友好方程”的两根为，因此方程的两根，即，整理方程得，即得答案． (1) 小问详解： 解：一元二次方程的“友好方程”为：； 故答案为：； (2) 小问详解： 解：对于方程， ， 解得：， 根据以上结论，猜想的两根与其“友好方程”的两根之间存在的一种特殊关系为互为倒数； 证明如下： ∵一元二次方程的两根为， “友好方程”的两根， ， ， 即原方程的两根与“友好方程”的两根互为倒数； 故答案为：；互为倒数； (3) 小问详解： 解：∵方程的两根是， ∴该方程的“友好方程”的两根为， 则方程的两根， 即， 整理方程得， ∴关于的方程的两根为和． 48．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）用因式分解法求解即可；（2）求出每个不等式的解集，再求出公共解集即可． 本题考查了解一元二次方程和一元一次不等式组，解题的关键是掌握解一元二次方程的一般方法和求不等式公共解集的方法． (1) 小问详解： 解：， ， 则或， 所以或； (2) 小问详解： 解： ， 解不等式得，， 解不等式得，， 所以不等式组的解集为． 49．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题主要考查了解一元一次方程和解一元二次方程，熟知解一元一次方程和解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）按照去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可； （2）利用因式分解法解方程即可． (1) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴， 解得； (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴或， 解得． 50．【答案】（1），；     （2），      【分析】 本题考查了解一元二次方程，选择适当的方法解方程是解题的关键． （1）移项后配方，开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可； （2）移项后因式分解，即可得到两个一元一次方程，求出方程的解即可． (1) 题详解： 解：， ， ， ， ， ； (2) 题详解： 解：， ， ， 或， ． 51．【答案】（1），     （2）      【分析】 本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法，是解题的关键． （1）将方程整理为一般式后，用因式分解法解一元二次方程即可； （2）用公式法解一元二次方程即可． (1) 小问详解： 解： 则或， 解得，． (2) 小问详解： 解：， ，，， ， ， ． 52．【答案】（1），     （2），      【分析】 本题考查解一元二次方程，选择合适的方法解方程是解题关键． （1）利用因式分解法求解； （2）利用因式分解法求解． (1) 小问详解： 解：， ， 或， 解得，； (2) 小问详解： 解：， ， 或， 解得，． 53．【答案】， 【分析】 本题考查新定义，解一元二次方程，根据新定义得：，，由可得到一元二次方程，求解即可．根据题意得到一元二次方程是解题的关键． 【详解】 解：∵，， ∴，， ∵， ∴， 解得：，， ∴方程的解为，． 故答案为：，． 54．【答案】（1）     （2），      【分析】 （1）根据题意得到，即，然后解不等式即可得到的范围； （2）在（1）中的范围内可得到的最大整数为3，则方程变为，然后利用因式分解法解方程即可． (1) 小问详解： 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， 即，解得， 的取值范围为； (2) 小问详解： 的最大整数为3，则方程为：， ， ，． 【点睛】 本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程两个不相等的实数根；当，方程两个相等的实数根；当，方程没有实数根．也考查了解一元二次方程． 55．【答案】（1），     （2），      【分析】 本题考查了解一元二次方程，根据方程特点选择合适方法是解题的关键． （1）利用直接开平方法求解即可； （2）利用因式分解求解即可． (1) 小问详解： 解：， ， ， 解得：，． (2) 小问详解： 解：， 或， 解得：，． 56．【答案】（1）5，3     （2） ，．      【分析】 本题考查解一元二次方程、平方差公式，熟悉一元二次方程的解法，理解“平均数法”解一元二次方程的方法是解答的关键． （1）根据“平均数法”的定义求解即可得出a、b的值； （2）根据“平均数法”的定义求解即可． (1) 小问详解： 解：原方程可变形，得， ， ， 直接开平方，得，， 故， 故答案为：5，3． (2) 小问详解： 解：原方程可变形，得， ， ， 直接开平方，得，． 57．【答案】（1） 证明：中， ，，， ， 无论为何值，该一元二次方程都有两个不相等的实数根；     （2）6      【分析】 （1）证明根的判别式恒大于0即可； （2）将代入方程，求出方程的两个根，再分情况讨论，结合三角形的三边关系求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：将代入， 得，即， 因式分解得， 解得，， 当为等腰三角形的腰时，三条边长分别为，，1，符合三角形的三边关系， 等腰三角形的周长； 当1为等腰三角形的腰时，三条边长分别为，1，1， ，不符合三角形的三边关系，即这种情况不存在， 综上可知，等腰三角形的周长是6． 【点睛】 本题考查一元二次方程的根的判别式，解一元二次方程，三角形的三边关系，等腰三角形的定义等，解题的关键是注意分情况讨论，利用三角形的三边关系判断是否能组成三角形． 58．【答案】 【分析】 本题考查了因式分解，利用平方差公式分解因式即可求解，掌握因式分解的方法是解题的关键． 【详解】 解：， 故答案为：． 59．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查解一元二次方程，熟练掌握分类讨论的思想，是解题的关键： （1）参照题干的方法，分类讨论解方程即可； （2）参照题干的方法，分类讨论解方程即可． (1) 小问详解： 解：当时，则原方程可化为， 解得或（舍去）； 当时，则原方程可化为， 解得或（舍去）； ∴这个方程的解是； 故答案为：； (2) 小问详解： 解：当，即：时，则原方程化为：， 解得：或， ∴或； 当，即：时，则原方程化为：， 解得：或， ∴或； ∴方程的解为：． 60．【答案】3 【分析】 令，可得到关于t的一元二次方程，求解方程，最后判断根的情况即可． 【详解】 解：令， 则可化为， 整理得， 解得，， ， （舍去）， ，即， 故答案为：3． 【点睛】 本题考查换元法，解一元二次方程，掌握换元法是解决本题的关键． 61．【答案】（1），     （2），      【分析】 本题考查了解一元二次方程． （1）根据因式分解法求解即可； （2）先移项，再根据直接开平方法求解即可． (1) 小问详解： 解： 或 ， (2) 小问详解： 解： ， 62．【答案】，． 【分析】 本题主要考查新定义运算和解一元二次方程，先根据新定义得到，再把方程化为一般式，运用因式分解法解答即可． 【详解】 解：依题意，得， 整理，得， 解得：，． 63．【答案】13 【分析】 本题考查了解一元二次方程，三角形三边的关系．解一元二次方程得到两个根，根据三角形三边关系判断哪个根符合条件，然后计算周长． 【详解】 解：解方程， 因式分解得， 解得，． 当第三边为2时，，不满足三角形任意两边之和大于第三边的关系； 当第三边为4时，，，，且任意两边之差小于第三边，符合三角形三边关系． 因此周长为． 故答案为：13． 64．【答案】（1）且     （2）      【分析】 （1）根据二次项系数非零及根的判别式，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围； （2）由（1）中的取值范围得出符合条件的的最大整数值，代入原方程，利用因式分解法即可求出的值． (1) 小问详解： 解：（1）关于的方程有两个实数根， ， 解得：且； (2) 小问详解： 解：当时，方程为：，即， 解得：． 【点睛】 本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根，掌握利用判别式判断根的个数是解题的关键． 65．【答案】10 【分析】 本题主要考查了因式分解法解一元二次方程，等腰三角形的定义，三角形的三边关系等知识点，熟练运用因式分解法解一元二次方程是解题的关键． 先利用因式分解法解方程解得到或，然后分、两种情况，分别运用三角形的三边关系进行验证后，再求周长即可． 【详解】 解：， 方程分解得：， 可得或， 解得：或， 若2为腰，三角形三边为2，2，4，不能构成三角形，舍去； 若2为底，三角形三边为2，4，4，周长为． 故答案为：10． 66．【答案】24 【分析】 求出方程的解，根据三角形的三边关系定理判断是否能组成三角形，再求出三角形的周长即可． 【详解】 解：x2-12x+20=0， （x-2）（x-10）=0， x-2=0，x-10=0， 解得：x1=2，x2=10， ①x=2时，三角形的三边为8、6、2， ∵2+6=8， ∴不符合三角形三边关系定理，此时不能组成三角形； ②x=10时，三角形的三边为8、6、10，此时符合三角形三边关系定理， 三角形的周长是6+8+10=24， 故答案为：24． 【点睛】 本题考查了解一元二次方程-因式分解法；三角形三边关系，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 67．【答案】（1） 证明：， ∴无论取何值，该方程总有两个不相等的实数根；     （2）或      【分析】 本题考查了根的判别式，方程的根，熟练掌握定理是解题的关键． （1）求出，即可证明； （2）把代入得到关于m的一元二次方程，再求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：把代入得：， 解得：或． 68．【答案】（1），     （2），      【分析】 本题考查了一元二次方程的解法．熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． （1）利用公式法解一元二次方程即可； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可． (1) 小问详解： 解：，，， ． ． ，． (2) 小问详解： 解：原方程可化为：， ， ， ，， ，． 69．【答案】两条直角边长分别为8和15 【分析】 此题考查了一元二次方程，勾股定理，根据勾股定理列方程是解题的关键．设的较长直角边的长为，则较短直角边的长为，根据勾股定理求出x的值，即可得到两条直角边的长． 【详解】 解：设的较长直角边的长为，则较短直角边的长为， 依题意，得， 整理得：， 解得：，， 当时，，不是较长直角边， 故， ， 的两条直角边长分别为8和15． 70．【答案】 【分析】 本题考查了新定义运算，解一元二次方程-因式分解法，理解定义的新运算是解题的关键．按照新定义的运算，将等式两边分别进行计算，得到关于 x 的一元二次方程，然后求解该方程即可． 【详解】 解：， ， 依题意得：即， 即， 解得：． 71．【答案】（1），     （2），      【分析】 本题考查解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）运用配方法求解即可； （2）将方程整理后，运用因式分解法求解即可． (1) 小问详解： 解：， 移项，得， 配方，得， 所以， 开方，得， 所以； (2) 小问详解： 解：， 整理，得， 因式分解，得， 所以或， 所以，． 72．【答案】（1） 解：， 则， ∴不论k为何值，该方程总有两个实数根；     （2），方程的另一个根为      【分析】 本题考查了利用一元二次方程的解求参数，一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）根据一元二次方程根的判别式得到，即可证明； （2）将代入即可求解，那么方程为，再求解方程的另一个根即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵方程的一个根为3， ∴将代入，则， 解得， ∴方程为， ∴， ∴或， ∴或， ∴方程的另一个根为． 73．【答案】 【分析】 本题考查了整体换元的思想；把方程看作是关于的一元二次方程，则利用方程的两根为，，得到或，可求出的两根，然后得到两根之和. 【详解】 解：把方程看作是关于的一元二次方程， ∵关于x的方程的两根为，， ∴或， 解得，， ∴. 故答案为：. 74．【答案】， 【分析】 先将原方程整理为一元二次方程的一般形式，再用因式分解法求解． 【详解】 解：， 移项得， 因式分解，得， ∴或， 解得：． 75．【答案】（1）；     （2），，互为倒数；     （3），      【分析】 本题主要考查了新定义问题，一元二次方程的一般形式，一元二次方程的解，用因式分解法和换元法解一元二次方程，掌握并灵活运用新定义是解题的关键． （1）根据“友好方程”的定义，即得答案； （2）先写出的友好方程，然后再解得其友好方程的答案，通过观察，可猜想出原方程与友好方程两根之间的关系； （3）由（2）可知，的两个根分别是，，将整理为：，那么有或，从而解得答案． (1) 小问详解： 解：一元二次方程与称为一对“友好方程”， 一元二次方程的“友好方程”为； 故答案为：； (2) 小问详解： 解：根据题意可知，一元二次方程的友好方程为， 解，得到， 解得，， 观察可知，，； 所以猜想的两根，，与其“友好方程”的两根，之间存在的一种特殊关系是互为倒数． 故答案为：，，互为倒数； (3) 小问详解： 解：已知关于的方程的两根是，， 那么的两个根分别是，， 将整理为：， 那么有或， 即，； 故答案为：，． 考点05 一元二次方程的根与系数的关系 1．C 2．B 3．D 4．B 5．C 6．D 7．C 8．D 9．A 10．B 11．A 12．A 13．A 14．【答案】（1） 证明：， ∴，，， ∵， ∴该方程总有两个不相等的实数根．     （2）4      【分析】 （1）根据一元二次方程列出根的判别式，即可做出判断； （2）根据一元二次方程根与系数关系列式求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ∵该方程的两根互为相反数， ∴， ∴． 【点睛】 此题考查了一元二次方程根的判别式和根与系数关系，熟练掌握相关知识并准确计算是解题的关键． 15．【答案】 【分析】 本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的根，由于该方程的一个根已知，可以根据根与系数的关系求另一个根． 【详解】 解：设方程的另一个根为，根据根与系数的关系， 两根之积为 ． 已知一个根是 6， 所以， 解得 ． 故答案为：． 16．【答案】 【分析】 本题考查一元二次方程的根与系数的关系．一元二次方程的根与系数的关系：，．根据一元二次方程的根与系数的关系即可求解． 【详解】 解：∵是方程的两根， ∴， 故答案为：． 17．【答案】，． 【分析】 将代入方程，求解关于的一元一次方程，再将代入原方程，根据两根之积求解即可． 【详解】 解：把代入， 得，解得， ∴原方程为， 设另一根为， 由根与系数的关系可得：，即 解得，即原方程的另一个根是． 【点睛】 此题考查了一元二次方程的解以及根与系数的关系，涉及了一元一次方程的求解，理解一元二次方程解的含义以及熟练掌握根与系数的关系是解题的关键． 18．【答案】1 【分析】 本题主要考查了根与系数的关系，对于的两个根分别为，则． 利用根与系数的关系得到，的值，然后代入计算即可． 【详解】 解：∵方程的两个根分别为，， ∴， ∴． 故答案为：1． 19．【答案】2 【分析】 本题考查了一元二次方程根与系数的关系，． 由一元二次方程根与系数的关系直接求出，的值，再将问题中代数式展开代入即可． 【详解】 解：∵、是方程的两个实数根， ∴， ， ∴， 故答案为：2． 20．【答案】14 【分析】 本题考查一元二次方程根与系数的关系，利用一元二次方程根与系数的关系，求出两根之和与两根之积，再代入所求表达式计算． 【详解】 解：对于一元二次方程 ， 由根与系数的关系，得 ，， 则 ， 故答案为：14． 21．【答案】0 【分析】 本题考查了一元二次方程的解和根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题的关键； 根据题意可得，然后变形后整体代入求解即可． 【详解】 解：∵m、n是一元二次方程 的两个实数根， ∴， ∴， ∴； 故答案为：0． 22．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据判别式的意义得到，然后解不等式即可得到的范围； （2）根据根与系数的关系得到，，由题意得出关于的方程，则可求出答案． (1) 小问详解： 解：根据题意得， 解得； 的取值范围是． (2) 小问详解： 根据题意得，， ，满足， ， ， ， ， 经检验是原方程的根， ， ． 【点睛】 本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．也考查了根的判别式的意义． 23．【答案】m的值为，方程的另一个根为 【分析】 本题考查根与系数的关系，对于一元二次方程的两个实数根，则有． 设方程的另一个根为 t，利用根与系数的关系进行求解即可． 【详解】 解：设方程的另一个根为t， 根据根与系数的关系得，， 解得， 即m的值为，方程的另一个根为． 24．【答案】4 【分析】 本题考查一元二次方程根与系数的关系，代入求值，掌握相关知识是解决问题的关键．根据一元二次方程根与系数的关系，直接计算两根之和与两根之积，再代入所求表达式求解． 【详解】 解：对于一元二次方程 ，由根与系数的关系，得 ，， 则 ． 故答案为： 4． 25．【答案】（1）证明：∵Δ=[-(m+2)]2-4×2m=(m-2)2≥0， ∴不论m为何值，该方程总有两个实数根； （2）解：根据题意得：x1+x2=m+2，x1x2=2m， ∵x1+x2-x1x2=4， ∴m+2-2m=4． 解得m=-2． （2）m=-2 【分析】 （1）根据一元二次方程根的判别式和非负数的性质即可得到结论； （2）利用根与系数的关系求得x1+x2=m+2，x1x2=2m，代入x1+x2-x1x2=4，解方程即可求解． 【详解】 （1）略； 【点睛】 本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=-，x1•x2=．也考查了根的判别式． 26．【答案】（1）的值为8；     （2）的周长为．      【分析】 本题考查了根与系数的关系，平行四边形的性质和菱形的判定与性质． （1）根据菱形的判定得到，再利用根的判别式的意义得到，解得，，然后根据根与系数的关系得到，，从而确定的值； （2）利用根与系数的关系得到，，解方程组得到，然后根据平行四边形的性质求解． (1) 小问详解： 解：当时，是菱形， 即，的长是关于的方程的两个相等的实数根， ， 解得，， ，， 的值为8； (2) 小问详解： 解：， ，， ， 解得， 的周长． 27．【答案】（答案不唯一） 【分析】 本题主要考查了一元二次方程，解题的关键在于正确的写出方程的因式分解的形式．一元二次方程可表示为的形式，令的值代入即可． 【详解】 已知一元二次方程可表示为 的形式， 一元二次方程的一个根为3，另一个根为0， ， ，即． 故答案为：． 28．【答案】（1）4，     （2）      【分析】 本题主要考查了根与系数的关系，二次根式的化简求值： （1）直接利用根与系数的关系求解即可； （2）m，n可看作方程的两个不相等的实数根，则利用根与系数的关系得到，，再利用完全平方公式计算，然后根据算术平方根的定义得到的值． (1) 小问详解： 解：∵方程的两个实数根为，， ∴，． 故答案为：4，； (2) 小问详解： 解：∵，，且， ∴m，n可看作方程的两个不相等的实数根． ∴，． ∴m，n均为正数， ∴． ∴． 29．【答案】（1）证明：∵△=a2﹣4（a﹣2）=a2﹣4a+8=a2﹣4a+4+4=（a﹣2）2+4>0， ∴不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． （2）a=，x1=﹣ 【分析】 （1）根据根的判别式即可求解； （2）将x=1代入方程x2+ax+a﹣2=0，求出a，再利用根与系数的关系求出方程的另一根． 【详解】 解：（1）略 （2）将x=1代入方程x2+ax+a﹣2=0 得1+a+a﹣2=0， 解得a=； ∴方程为x2+x﹣=0， 即2x2+x﹣3=0， 设另一根为x1，则1×x1==﹣， ∴另一根x1=﹣． 【点睛】 此题主要考查一元二次方程根的求解，解题的关键是熟知根的判别式与根与系数的关系． 30．【答案】.5 【分析】 先根据根与系数的关系得到，，再把所求的式子进行整理，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】 解：∵，是方程的两个实数根， ∴，， ∴． 故答案为：． 【点睛】 本题主要考查根与系数的关系，解答的关键是熟记根与系数的关系：，． 31．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了根的判别式，根与系数的关系，熟知相关公式是解题的关键． （1）根据两个实数根，，利用根的判别式即可解答； （2）提取公因式可得，最后利用根与系数的关系式，列出方程即可解答． (1) 小问详解： 解：关于的一元二次方程有两个实数根，， ， 解得； (2) 小问详解： 解：可得， 根据一元二次方程可得， 可得， 解得． 32．【答案】0 【分析】 本题主要考查了方程的解，以及根与系数的关系，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．根据方程的解得到，利用根与系数的关系得到，最后代入式子求解，即可解题． 【详解】 解：∵是一元二次方程的两个不相等的实数根， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：0． 33．【答案】（1） 证明：， 方程有两个不相等的实数根．     （2）或      【分析】 本题考查了根的判别式、三角形三边关系以及勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键； （1）根据方程的系数结合根的判别式，可得出，进而可证出方程有两个不相等的实数根； （2）利用因式分解法可求出，的长，分为直角边及为斜边两种情况，利用勾股定理可得出关于的一元一次方程或一元二次方程，解之即可得出值，取其正值（利用三角形的三边关系判定其是否构成三角形）即可得出结论． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：， 即， 解得：，． 当为直角边时，， 解得：； 当为斜边时，， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：的值为或 34．【答案】（1） 证明：∵a=1，b=-4m，c=， ∴Δ=， 则该方程总有两个实数根；     （2）2      【分析】 （1）表示出根的判别式，判断其值大于等于0即可得证； （2）设方程两个根分别为a，b，则有|a-b|=4，a+b=4m，，利用二次根式性质及完全平方公式变形，计算即可求出m的值． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 设方程两个根分别为a，b， 则有|a-b|=4，a+b=4m，， ∴，即， 两边平方得：， 代入得：，即， ∵m＞0， ∴m=2． 【点睛】 此题考查了根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解本题的关键． 35．【答案】（1）     （2）的值为      【分析】 本题考查了根的判别式，根与系数的关系，熟知相关公式是解题的关键． （1）根据两个实数根，利用根的判别式即可解答； （2）提取公因式可得，最后利用根与系数的关系式，列出方程即可解答． (1) 小问详解： 解：∵方程有两个实数根， ∴， 解得：． (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∵是方程的两个实数根， ∴， ∴， ∴． 即的值为． 36．【答案】（1）∵方程的两个根是， ∴； ； （2） （3）43 【分析】 本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系， 对于（1）根据方程的两个根是，再分别求出结论即可； 对于（2），先根据一元二次根与系数的关系求出，再整体代入求值； 对于（3），先设，可知a，b是一元二次方程的两个根，再求出方程的根，然后完全平方公式的变形可得答案. 【详解】 解：（1）略 （2）∵一元二次方程的两个根是m，n， ∴， ∴原式； （3）∵， 设，则， ∴a，b是一元二次方程的两个根， 解得，或， ∴， 平方，得，即； 当， ∴， 平方，得，即（不符合题意，舍去）， ∴. 37．【答案】（1） 证明：， ， 不论为何值，该方程总有实数根；     （2）或      【分析】 本题主要考查了一元二次方程根的判别式和方程的解，准确计算是解题的关键． （1）根据判别式判断即可； （2）根据等腰三角形的边的性质分类讨论，当，为腰，则；当，或，为腰，则是方程的解，代入求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 等腰的三边长分别是2，a和b，且a，b分别是一元二次方程的两个根， 当，为腰时，，，且， ， 解得：， ， 周长； 当，或，为腰，则是方程的解， ， ， ， ， 的周长； 的周长为或． 38．【答案】-2． 【详解】试题分析：根据一元二次方程根与系数的关系计算即可． 试题解析：∵x1、x2是方程x2+2x-3=0的两个实数根. ∴x1+x2=-3． 考点：根与系数的关系. 39．【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程根与系数的关系，代数式求值，若是一元二次方程的两个根时，，将根与系数的关系与代数式变形相结合是解题的关键． 根据一元二次方程根与系数的关系得出，，再把代数式变形为，计算即可． 【详解】 解：由题意得，，， ∴， 故答案为： ． 【详解】 40．【答案】（1）     （2）的值为4，三角形的面积为6．      【分析】 本题考查了一元二次方程根的判别式、一元二次方程根与系数的关系，以及直角三角形的勾股定理和面积计算，解题的关键是掌握“方程有两个不相等实数根则判别式”的条件，熟练运用韦达定理表示根与系数的关系，并结合勾股定理将边长关系转化为方程系数的关系，同时注意边长为正数的隐含条件． （1）根据一元二次方程有两个不相等实数根的条件，确定方程中、、，代入判别式公式，解不等式求出的取值范围； （2）先由根与系数的关系得、，再根据直角三角形勾股定理，将变形为，代入计算值；验证是否满足方程有实根的条件，最后用计算三角形面积． (1) 小问详解： 解：对于一元二次方程，其中，，， ∵方程有两个不相等的实数根， ∴． 代入得， 即， 化简得， 解得． (2) 小问详解： 解：∵、是方程的两个根，由根与系数的关系得，， ∵中，斜边， ∴由勾股定理得 又∵，代入得， 即， 化简得， 解得． 验证：当时，，方程有两个实根，符合题意． 此时，三角形面积． ∴的值为4，三角形的面积为6． 41．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系的应用； （1）利用一元二次方程有两个实数根时，判别式，列不等式求解的取值范围 （2）根据一元二次方程根与系数的关系，用含的代数式表示两根之和与两根之积，结合已知等式列方程求解，再结合第一问中的取值范围舍去不符合题意的解． (1) 小问详解： 解： 对于方程， 其中，，      ∵方程有两个实数根 ， ∴ ，即， 解得； (2) 小问详解： 解： ∵、是方程的两个实数根 ∴，  ∵  ∴  整理得  因式分解得  解得或  又∵由（1）知  ∴不符合题意，舍去 ∴ 42．【答案】（1）；（2）① 衍生点的坐标为；②；（3）有， 【分析】 本题考查了求一元二次方程的解，根与系数的关系、一次函数图象恒过定点问题、圆等问题，解题的关键是读懂衍生点的定义，根据定义进行求解衍生点，再解决问题（3）时，需要将定点视为衍生点才是解题的突破口． （1）利用因式分解法求解方程的解，然后根据定义即可求解； （2）①利用因式分解法解方程，再根据衍生点的定义求解；② 当时，，当时，，设直线的解析式为，将代入，求解即可． （3）先推导出直线的图象经过定点，得到一元二次方程的衍生点始终在直线的图象上，则关于的方程的两个根为，代入求解即可． 【详解】 解：（1）， ， ， ， ∴一元二次方程的衍生点M的坐标为． 故答案为：． （2）① 因式分解，得． 解得或， ∵， ∴． 满足，故该方程的衍生点的坐标为． ② 当时，，衍生点为；当时，，衍生点为； ∵所有衍生点M都在同一条直线上， ∴设直线的解析式为， 将代入，得 ， 解得 ， ∴直线的解析式为． 故答案为：． （3）存在，使得不论为何值，一元二次方程的衍生点始终在直线的图象上．理由如下： 将代入直线，得． 直线的图象经过定点． 要使得不论为何值，一元二次方程的衍生点始终在直线的图象上， 则关于的方程的两个根为， ， ． 考点06 实际问题与一元二次方程 1．B 2．C 3．D 4．D 5．B 6．A 7．A 8．D 9．B 10．C 11．C 12．A 13．B 14．D 15．D 16．A 17．B 18．C 19．B 20．A 21．C 22．B 23．B 24．B 25．A 26．B 27．C 28．C 29．A 30．B 31．B 32．A 33．D 34．B 35．C 36．B 37．A 38．A 39．A 40．【答案】5元 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设每件该品牌毛衣降价元，则每件的销售利润为元，平均每天可售出件，利用总利润＝每件的销售利润日销售量，可列出关于的一元二次方程，解之可得出的值，再结合每件该品牌毛衣的盈利不低于20元，即可确定结论． 【详解】 解：设每件该品牌毛衣降价元，则每件的销售利润为元，平均每天可售出件， 根据题意得：， 整理得：， 解得：， 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意，舍去． 答：每件该品牌毛衣应降价5元． 41．【答案】能达到，葡萄的销售单价为16元 【分析】 本题主要考查了一元二次方程与销售利润问题的综合运用，理解数量关系，正确列出方程是解题的关键． 设降价元，则销售量为公斤，得到一元二次方程，因式分解解一元二次方程，结合尽快减少库存，即可求解． 【详解】 解：设降价元，则销售量为千克， ∴， 解得，，， 当降价2元时，销售量为（千克）， 当降价4元时，销售量为（千克）， ∵减少库存，， ∴降价4元，此时的销售单价为（元）， ∴能达到，葡萄的销售单价为16元． 42．【答案】 【分析】 本题主要考查了一元二次方程的应用， 先设8月份9月份的营业额的月平均增长率为x，根据题意得出形如的方程，再求出解即可． 【详解】 解：设8月份9月份的营业额的月平均增长率为x，根据题意，得 ， 解得， 所以8月份9月份的营业额的月平均增长率为． 43．【答案】（1）     （2）每件商品降价元时，商场日盈利可达到元，     （3）商场日盈利不能达到元，理由： 设每件商品降价元时，商场日盈利可达到元， 则商场每天多销售件， 根据题意得： ， 整理得：， ∵， 该方程无实数根， 即商场日盈利不能达到元．      【分析】 本题考查了一元二次方程的应用； （1）根据“某种商品平均每天可销售件，每件盈利元，每件商品每降价元，商场平均每天可多销售件”，计算出每件盈利元时，每件商品降价的钱数，从而计算出商场每天可多销售的数量，从而计算出每天销售的数量， （2）设每件商品降价元时，商场日盈利可达到元，则商场每天多销售件，根据“某种商品平均每天可销售件，每件盈利元，每件商品每降价元，商场平均每天可多销售件”，列出关于的一元二次方程，解之即可， （3）设每件商品降价元时，商场日盈利可达到元，则商场每天多销售件，根据“某种商品平均每天可销售件，每件盈利元，每件商品每降价元，商场平均每天可多销售件”，列出关于的一元二次方程，结合判别式公式，判断该方程根的情况，即可得到答案． (1) 小问详解： 解：当每件盈利元时，每件商品降价：元)， 商场每天可多销售：件， 每天销售：件， 故答案为：． (2) 小问详解： 设每件商品降价元时，商场日盈利可达到元， 则商场每天多销售件， 根据题意得： ， 解得：，， 为减少库存，应舍去， 答：每件商品降价元时，商场日盈利可达到元， (3) 小问详解： 略 44．【答案】这批童装降价后每件的售价为100元或110元 【分析】 此题主要考查了一元二次方程的实际应用，设每件童装降价x元，利用童装平均每天售出的件数每件盈利每天销售这种童装利润列出方程解答即可． 【详解】 解：设这批童装每件降了x元， 由题意得 解得：． 所以（元）或（元）． 答：这批童装降价后每件的售价为100元或110元． 45．【答案】（1）当该纪念品的销售单价为59元时，该产品的当天销售利润是2610元     （2）该纪念品的当天销售利润不可能达到3700元，理由如下： 由题意得： 整理得：， ∵， ∴原方程无解； 故该纪念品的当天销售利润不可能达到3700元．      【分析】 本题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意； （1）设该纪念品的销售单价为x元时，该产品的当天销售利润是2610元，则有销售量为件，然后可列出方程进行求解； （2）由（1）可得方程，然后问题可求解． (1) 小问详解： 解：设该纪念品的销售单价为x元时，该产品的当天销售利润是2610元，由题意得： 解得：（不符合题意，舍去）； 答：当该纪念品的销售单价为59元时，该产品的当天销售利润是2610元． (2) 小问详解： 解：略． 46．【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据该品牌头盔5月份及7月份的月销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可． 【详解】 解：设月增长率为，根据题意得： ， 解得：，（舍去）， 答：该品牌头盔销售量的月增长率为． 47．【答案】（1）     （2）每个“弗里热”纪念品的售价应定为元      【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）由销售利润=（实际销售价进价）销售量，即可得出结果； （2）设每个“弗里热”纪念品的售价应定为元，由题意得：商场计划一周的利润达到8000元，列出一元二次方程，解方程即可． (1) 小问详解： 解：该商场平均每周可以获得销售利润为元 故答案为：． (2) 小问详解： 解：设每个“弗里热”纪念品的售价应定为每支元，由题意得， 解得：或 ∵要尽可能让顾客得到实惠， ∴ 答：每个“弗里热”纪念品的售价应定为元． 48．【答案】应将每件上衣的售价降低30元 【分析】 设每件上衣应降价x元，则每件利润为（80-x）元，本题的等量关系为：每件上衣的利润×每周售出数量-固定成本=8000． 【详解】 解：设每件上衣应降价x元，则每件利润为（80﹣x）元， 列方程得：（80﹣x）（100+x）﹣3000＝8000， 解得：x1＝30，x2＝25 因为为了促销，该商场决定降价销售，尽快减少库存， 所以x＝30． 答：应将每件上衣的售价降低30元． 【点睛】 本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解． 49．【答案】（1）当羊圈的长为，宽为或长为，宽为时，能围成一个面积为的羊圈；     （2） 解：不能，理由如下： 由题意，得． 化简，得． ∵， ∴一元二次方程没有实数根． ∴羊圈的面积不能达到．      【分析】 （1）设矩形的边，则边，根据题意列出一元二次方程，解方程即可求解； （2）同（1）的方法建立方程，根据方程无实根即可求解． (1) 小问详解： 解：设矩形的边，则边． 根据题意，得． 化简，得． 解得，． 当时，； 当时，． 答：当羊圈的长为，宽为或长为，宽为时，能围成一个面积为的羊圈． (2) 小问详解： 略 【点睛】 本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程，解一元二次方程是解题的关键． 50．【答案】（1）与宽     （2）不能围成面积为的矩形， 理由如下： 设矩形的长为，则宽为，根据题意得： ， 即， 因为， 所以原方程无解， 即不能围成面积为的矩形．      【分析】 （1）设矩形的长为，则宽为，根据矩形公式，列出方程，即可求解； （2）设矩形的长为，则宽为，根据矩形公式，列出方程，利用一元二次方程根的判别式，即可求解． (1) 小问详解： 解：设矩形的长为，则宽为，根据题意得： ， 即， 解得：， 所以或4， 答：矩形的长与宽； (2) 小问详解： 略 【点睛】 本题主要考查了一元二次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键． 51．【答案】（1）所围猪舍的长是，宽是；（2）所围猪舍的长是，宽是． 【分析】 本题考查了列一元二次方程解实际问题的运用，矩形的面积公式的运用及一元二次方程的解法的运用，解答时寻找题目的等量关系是关键． （1）设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为，可以得出平行于墙的一边的长为，根据矩形的面积公式建立方程求出其解即可； （2）设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为，可以得出平行于墙的一边的长为，根据矩形的面积公式建立方程求出其解即可． 【详解】 解：（1）设与住房墙垂直的一边长为， 则与住房墙平行的一边长为， 根据题意，列方程得： ， 解得：，， 当时，与住房墙平行的一边长， 不符合题意，舍掉， 当时，与住房墙平行的一边长， 答：所围猪舍的长是，宽是； (2) 设与住房墙垂直的一边长为，则与住房墙平行的一边长为 根据题意，列方程得： ， 解得：，， 当时，与住房墙平行的一边长， 不符合题意，舍掉， 当时，与住房墙平行的一边长， 答：所围猪舍的长是，宽是． 52．【答案】 【分析】 利用总利润=每件盈利×日销售量，即可得出关于x的一元二次方程即可． 【详解】 解：设每件应降价x元， 依题意得：， 故答案为：． 【点睛】 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 53．【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程的增长率问题，先设每次降价的百分率是，根据将一种原价每盒100元的药品，经过两次降价后每盒64元，两次降价的百分率相同，列式，再解出的值， 即可作答． 【详解】 解：依题意，设每次降价的百分率是， ∵将一种原价每盒100元的药品，经过两次降价后每盒64元，两次降价的百分率相同， ∴， ∴， ∴， 解得（舍去）； 故答案为：． 54．【答案】 【分析】 设平均每次降价的百分率为，那么第一次降价后的售价是原来的，那么第二次降价后的售价是原来的，根据题意列方程解答即可． 【详解】 解：设这两次的百分率是，根据题意列方程得 解得，(不符合题意，舍去 答：这种药品下降的百分率是． 【点睛】 本题考查一元二次方程的应用，要掌握求平均变化率的方法．若设变化前的量为，变化后的量为，平均变化率为，则经过两次变化后的数量关系为． 55．【答案】或时 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设运动时间为 秒，则，，利用三角形的面积计算公式，结合的面积是，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论． 【详解】 解：设运动时间为，则，， 依题意，得． 整理，得， 解得，， 或时，的面积是． 56．【答案】 【分析】 本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设阔为x步，则长为步，再利用矩形面积公式列方程即可． 【详解】 解：设阔为x步，则长为步， 由题意得，． 故答案为：． 57．【答案】（1）①；②     （2）30元/件      【分析】 （1）①根据利润等于售价减成本价，即可含x的代数式表示出销售每件工艺品的利润； ②根据每天售出该工艺品的件数降低的价格，即可用含x的代数式表示出每天能售出该工艺品的件数； （2）根据总利润等于销售每件工艺品的利润乘以日销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合条件的值即可得出结论． (1) 小问详解： 解：①销售每件工艺品的利润为元； 故答案为： ②每天能售出该工艺品的件数为件； 故答案为： (2) 小问详解： 解：根据题意得： ， 整理得：， 解得：， ∵， ∴不符合题意，舍去， 答：该工艺品的售价为30元/件． 【点睛】 本题考查了一元二次方程的应用以及列代数式，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，用含x的代数式表示出各量；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程． 58．【答案】（1）10％     （2）110      【分析】 （1）设月平均增长率为x，再根据2022年1月的销售量×（1+x）2=2022年3月的销售量列出方程，求出解，舍去不符合题意的解即可； （2）设商品的售价为m元，可表示利润和每天的销售量，再根据单件利润×销售量=12000列出方程，再求出解，根据题意确定答案即可． (1) 小问详解： 解：设月平均增长率为x，根据题意，得 ， 解得，（舍去）． 所以该店“冰墩墩”销售量的月平均增长率是10％； (2) 小问详解： 解：设每件商品的售价应该定在m元，则每件商品得销售利润是（m-80）元，每天的销售量是500-10（m-100）=（1500-10m）件，根据题意，得 ， 解得，． 因为要使销售量尽可能大， 所以． 所以每件商品的售价应该定为110元． 【点睛】 本题主要考查了一元二次方程的应用，根据等量关系列出方程是解题的关键． 59．【答案】长米，宽米 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用．理解题意，设未知数建立正确的等量关系是解题的关键． 通过设未知数，根据矩形面积公式建立方程来求解操场的长和宽即可． 【详解】 解：设操场的宽为，长为，则： ， 解得，（不合题意，舍去）， 操场的宽度为米； 长度为米． 60．【答案】（1）；     （2）每千克应涨价5元，详见解析      【分析】 本题考查的是列代数式及一元二次方程的应用， （1）根据涨的价格+原来的盈利=现在的盈利，每天的销量=原来的销量-减少的销量就可以求出结论； （2）设每千克应涨价x元，则现在的利润为元，销量为千克，由总利润=每个利润×数量建立方程求出其解即可． (1) 小问详解： 解：由题意得：涨价后的每千克盈利为：元，每天的销量为：千克， 故答案为：；； (2) 小问详解： 解：设每千克应涨价x元，则现在的利润为元，销量为千克， 由题意，得：， 解得：， ∵要使顾客得到实惠， ∴， 答：每千克应涨价5元． 61．【答案】每件应降价4元 【分析】 本题主要考查了一元二次方程的应用，根据等量关系列出方程，是解题的关键．设每件应降价x元，根据每天要盈利1600元，列出方程，解方程即可． 【详解】 解：设每件应降价x元，根据题意得： ， 解得：，， ∵每件降价幅度不超过10元， ， ∴不符合题意，舍去． ∴， 答：每件应降价4元． 62．【答案】或 【分析】 本题考查用一元二次方程解决数字问题，正确表示两个连续整数并列出方程是解题的关键 设较小的整数为，则较大的整数为，根据积为132建立一元二次方程，求解即可． 【详解】 解：设较小的整数为，则较大的整数为 ， 解得：，或． 当时，，和为 当时，，和为． 故答案为： 或． 63．【答案】（1）     （2）元或元      【分析】 （1）先计算销售量增加的数量，再根据每降低5元销量增加50斤的规律，求出降价金额，最后用原售价减去降价金额得到售价． （2）设每斤降价元，分别表示出每斤的利润和每月的销售量，根据总利润=每斤利润×销售量列出一元二次方程，解方程求出的值，再计算对应的售价． (1) 小问详解： 解：销量增加量斤， 降价次数， 总降价金额为元， 所以每斤东湾驴肉的售价为元； (2) 小问详解： 解：设每斤东湾驴肉应降价元，则可列方程：， 解得：， 元，元， 答：东湾驴肉的售价应定为每斤元或每斤元． 64．【答案】（1）      （2） 40      【分析】 本题主要考查一次函数，一元二次方程的运用，理解数量关系，掌握一元二次方程是解题的关键． （1）根据题意，运用待定系数法即可求解； （2）根据题意列一元二次方程求解即可． (1) 小问详解： 解：当时，，当时，， ∴设关于的函数表达式为， ， 解得， ， ∴关于的函数表达式为； (2) 小问详解： 解：进价为30元/个，销售单价为元， ∴每个利润为元， ∴， 整理得，， 解得，， ∵尽量兼顾顾客的利益， ∴艺术瓷盘销售单价定为元． 65．【答案】（1）800；600+200x； （2）每个台灯的售价为37元； （3）月获利不能达到9600元， 理由：设每个台灯的售价为x元， 由题意得：(x-30)[600+200(40-x)]=9600， 整理得：x2-73x+1338=0， ∵△=b2-4ac=-23＜0， ∴方程无实数根，即月获利不能达到9600元. 【分析】 （1）根据售价每下降1元，其月销售量就增加200个，分别计算即可； （2）设每个台灯的售价为x元，根据每个台灯的利润×销售数量＝总利润列出方程并解答； （3）根据题意列出方程，求出根的判别式△＜0，可得方程无实数根，即月获利不能达到9600元. 【详解】 解：（1）∵售价每下降1元，其月销售量就增加200个， ∴若售价下降1元，每月能售出600+200=800个台灯，若售价下降x元()，每月能售出600+200x个台灯； （2）设每个台灯的售价为x元， 由题意得：(x-30)[600+200(40-x)]=8400， 解得：x1=36，x2=37， 当x=36时，600+200(40-x)=1400＞1210（舍去）， 当x=37时，600+200(40-x)=1200＜1210（符合题意）， 答：每个台灯的售价为37元； （3）略 【点睛】 本题考查了一元二次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解． 66．【答案】（1）；     （2）每个毛绒玩具售价应定为45元．      【分析】 本题考查一次函数及一元二次方程的销售利润问题，解题的关键是根据题意得到数量与单价的关系． （1）根据“每天可售出80个，每个售价提高1元，则每天少卖2个”列式整理即可求解； （2）根据利润等于售价销量，列一元二次方程方程，解方程即可求解． (1) 小问详解： 解：根据题意得， ， ∴与之间的函数关系式：； (2) 小问详解： 解：根据题意，得：， 解得， ∵尽可能让利于顾客， ∴， 答：每个毛绒玩具售价应定为45元． 67．【答案】任务1：；任务2：该泥塑每件应涨价为10元 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （任务1）设该泥塑作坊7月份到9月份制作泥塑数量的月平均增长率为x,利用该泥塑作坊9月份制作泥塑的数量该泥塑作坊7月份制作泥塑的数量1+该泥塑作坊7月份到9月份制作泥塑数量的月平均增长率，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； （任务2）该泥塑的涨价定为y元/件，则每件的销售利润为元，月销售量为件，利用总利润每件的销售利润月销售量，可列出关于y的一元二次方程，解之可得出y的值，再结合要尽可能让顾客得到实惠，即可确定结论． 【详解】 解：任务1：设7月份到9月份的月平均增长率为， 由题意得：， 解得：（不合题意舍去）， 答：7月份到9月份的月平均增长率为； 任务2：设该泥塑每件应涨价元， 由题意得：， 整理得： 解得：， ∵要尽可能让顾客得到实惠， ∴不符合题意舍去，符合题意 答：该泥塑每件应涨价为10元． 68．【答案】（1）该景区游客量的月平均增长率为     （2）预计七月份接待游客将达到万人次．      【分析】 本题考查了一元二次方程在增长率问题中的应用，解题的关键是理解增长公式； （1）根据四月份游客量以及平均增长率，列方程求解即可； （2）求出增长率的基础上，根据增长公式计算即可． (1) 小问详解： 解：设该景区游客量的月平均增长率为，由题意得： ， 解得：（舍去）， 答：该景区游客量的月平均增长率为； (2) 小问详解： 解：（万人）， 答：预计七月份接待游客将达到万人次． 69．【答案】（1）     （2）栅栏的长为米      【分析】 （1）直接根据题意列出代数式即可； （2）根据题意列出一元二次方程并解方程即可解答． (1) 小问详解： 解：根据题意，米， 故答案为：； (2) 小问详解： 解：依题意得：， 整理得：， 解得：，. 当时，，不合题意，舍去； 当时，，符合题意. 答：栅栏的长为10米． 【点睛】 本题考查一元二次方程的应用、列代数式，根据题意，正确列出一元二次方程并正确求解是解答的关键，注意要检验解符合题意． 70．【答案】（1）20%     （2）1728元      【分析】 （1）设第二天、第三天的增长率为x，则第三天的捐款数量为1000（1+x）2元，根据第三天的捐款数量为1440元建立方程求出x的值即可； （2）第四天该单位能收到捐款＝1440×（1+x）进行计算即可． (1) 小问详解： 解：设第二天、第三天的增长率为x，由题意，得 1000(1+x)2＝1440， 解得： ＝，＝ (舍去)． 则x＝＝20%． 答：捐款增长率为20%； (2) 小问详解： 解：第四天收到的捐款为1440×(1+20%)＝1728 (元)． 答：第四天该单位能收到1728元捐款． 【点睛】 本题考查了一元二次方程的应用，关键是读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解． 71．【答案】该产品每年的增长率为 【分析】 本题考查一元二次方程的应用；设该产品每年的平均增长率为x，列出方程求解即可． 【详解】 解：设该产品每年的平均增长率为x， 依题意得：， 解得：，（舍去） 答：该产品每年的增长率为． 72．【答案】（1）根据题意，填表： （2）降价4元或36元 每件利润（元） 销售量（件） 利润（元） 降价前 44 20 880 降价后 44﹣x 20+5x （44﹣x）（20+5x） 【分析】 （1）根据题意确定出降价后的利润与销售量，以及利润即可； （2）根据盈利的钱数，确定出应降的价即可． 【详解】 （1）略 （2）根据题意得：（44﹣x）（20+5x）=1600 整理得：（x﹣4）（x﹣36）=0 解得：x=4或x=36． 答：每件应降价4元或36元． 【点睛】 本题考查了一元二次方程的应用，弄清题中的等量关系是解答本题的关键． 73．【答案】（1）      （2）长为9m，宽为5m      【分析】 （1）用绳子的总长减去三个的长，然后加上两个门的长即可表示出； （2）根据长方形面积公式列出关于x的一元二次方程求解即可得出答案． (1) 小问详解： 解：设花圃的宽AB长为x米，则长米， 故答案为:； (2) 小问详解： 解：由题意可得：， 解得：；， ∴当时，，不符合题意舍去， 当时，，满足题意． 答：花圃的长为9m，宽为5m． 【点睛】 本题主要考查一元二次方程的应用，弄清题意、用x表示出是解答本题的关键． 74．【答案】（1）220     （2）参加活动的学生人数为18人      【分析】 本题主要考查了有理数混合运算以及一元二次方程的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键． （1）根据“如果人数超过10人，每增加1人，人均费用降低5元”列式求解即可； （2）设参加活动的学生人数为x人，根据题意列出关于x的一元二次方程，求解并对结果进行分析，即可获得答案． (1) 小问详解： 解：根据题意，若有14人参加旅游时， 人均费用为：元． 故答案为：220； (2) 小问详解： 解：设参加活动的学生人数为人， 由题意得，． 解得，． 当时，（元），符合题意． 当时，（元）， ∵不符合题意， ∴舍去． 答：参加活动的学生人数为18人． 75．【答案】（1）     （2）21万元      【分析】 本题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意； （1）从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为，由题意易得，进而求解即可； （2）设下调后每辆汽车的售价为万元，由题意易得，进而求解即可． (1) 小问详解： 解：设从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为，由题意得： ， 解得：（舍去）， 答：从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为． (2) 小问详解： 解：设下调后每辆汽车的售价为万元，由题意得： ， 整理得：， 解得：， ∵要尽量让利于顾客， ∴； 答：下调后每辆汽车的售价为万元． 76．【答案】元 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，设每千克特产应降价元，根据题意列出方程即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】 解：设每千克特产应降价元， 由题意得，， 整理得，， 解得，， ∵销售量尽可能大， ∴， 答：每千克特产应降价元． 77．【答案】每罐陈皮茶的售价为28元 【分析】 本题考查一元二次方程的应用—销售问题，熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键，设每罐陈皮茶的售价为元，根据题意列出方程，求得每罐陈皮茶的售价，再根据利润率不能高于，得到，从而得到答案． 【详解】 解：设每罐陈皮茶的售价为元，则单件利润为元，销量为罐． 根据题意，得：， ， 解得， 又因为， 即， 所以要将舍去， 故每罐陈皮茶的售价为28元． 78．【答案】边和各减少了米． 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，设边和各减少了米，由题意得，然后解方程并检验即可，读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键． 【详解】 解：设边和各减少了米， 由题意得，，      ，      ， ，， ∵，      ∴（舍去）， 答：边和各减少了米． 79．【答案】（1）60，600     （2）每个徽章的售价降低15元时，该商家每天销售徽章的利润可达到750元      【分析】 本题考查了一元二次方程的应用、列代数式以及有理数的混合运算，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，列式计算：找准等量关系，正确列出一元二次方程． （1）根据题意列式求解即可； （2）设每个徽章的售价降低元，根据题意列出一元二次方程求解即可． (1) 小问详解： （个）， ∴当每个徽章的售价降低20元时，该商家平均每天可售出60个徽章， （元）， ∴每天销售徽章的利润可达到600元； (2) 小问详解： 设每个徽章的售价降低元， ， 解得：，． 为了让顾客得到实惠， ， 答：每个徽章的售价降低15元时，该商家每天销售徽章的利润可达到750元． 80．【答案】任务一：边的长分别为，；任务二： 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用．熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键． 任务一：由题意知，，，，计算求解即可； 任务二：设该收纳盒的高为，则，，，可求，依题意得，，计算求出满足要求的解即可． 【详解】 任务一：解：由题意知，（）， ∵，， 解得，， ∴该收纳盒的底面的边的长分别为，； 任务二：解：设该收纳盒的高为，则，， ∴， 解得，， 依题意得，， 解得，或（舍去）， ∴该收纳盒的高为． 81．【答案】（1）千克；     （2）元或元．      【分析】 本题考查一元二次方程的应用，有理数混合运算的应用，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）当售价为元/千克时，根据售价在元/千克的基础上每涨价1元，则月销售量就减少千克知，会在千克的基础上减少千克，据此解答即可； （2）设每千克樱桃售价为元，根据单利润乘以数量为总利润列方程求解即可． 由题意可得： (1) 小问详解： 解：当售价为元/千克时， 每月销售樱桃为（千克）； 答：每月销售樱桃千克； (2) 小问详解： 解：设每千克樱桃售价为元， 由题意可得：， 整理得，解得：， 答：每千克樱桃售价为元或元． 82．【答案】（1）；     （2）     （3）当等于1或3时，翻折后点的对应点恰好落在边上．      【分析】 （1）由题意得：，， （2）先证明四边形是平行四边形，当时，四边形是菱形，利用勾股定理表示出，利用列出关于的方程，即可求解； （3）由折叠的性质可得，，，，由可得，进而得到，在中利用勾股定理列出方程，求出的值即可解答． (1) 小问详解： 解：由题意得，， (2) 小问详解： 解：∵四边形是矩形， ∴， 又， ∴四边形是平行四边形， ∴当时，四边形是菱形， 根据勾股定理得：， 则， 解得， ∴当时，四边形是菱形； (3) 小问详解： 解：由折叠的性质可得，，，，， 在矩形中，， ， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得：， ， 整理得：， 解得，， 即当等于1或3时，翻折后点的对应点恰好落在边上． 【点睛】 本题考查了矩形的性质、菱形的判定、翻折的性质、勾股定理、一元二次方程的应用，熟练掌握矩形与菱形的判定是解题的关键． 83．【答案】销售价格为元或元时，餐馆能实现每天元的利润． 【分析】 本题主要考查一元二次方程的运用，理解题目数量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 根据题意，设提高了元，用含的式子表示出销售价格，利润，销售份数，根据题目数量关系列一元二次方程求解即可． 【详解】 解：设提高了元，则销售价格为元，利润为元，销售份数为份， ∴，整理得，， ∴， 解得，，， ∴销售价格为元或元时，餐馆能实现每天的利润． 84．【答案】6 【分析】 本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设该合唱小组人数为x人，根据题意可得每个人都要给其他人送一张贺卡，再由一共赠贺卡30张建立方程求解即可． 【详解】 解：设该合唱小组人数为x人， 由题意得，， 整理得， 解得或（舍去）， 故答案为：6． 85．【答案】（1）3米     （2）上涨40元      【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，理解题意找准等量关系列出方程是解题的关键． （1）设通道的宽是x米，根据题意列出方程，解出x的值即可解答； （2）设每个车位的月租金上涨y元，根据题意列出方程，解出y的值，结合优惠大众选择较小的y的值即可解答． (1) 小问详解： 解：设通道的宽是米，则每一层的停车位可合成长为米，宽为米的长方形， 依题意，得， 解得（不合题意，舍去）． 答：通道的宽是3米． (2) 小问详解： 解：设每个车位的月租金上涨元，则每个车位的月租金为元，可租出个车位， 依题意，得， 解得， 又要优惠大众， ． 答：每个车位的月租金应上涨40元． 86．【答案】（1）运动2秒或3秒后，的面积为     （2）运动3秒后，的长度为     （3） 不能．理由如下： 根据三角形的面积公式，得， 则， 即， ，方程无实数根． 故线段不能把分成面积相等的两部分．      【分析】 本题考查了勾股定理、一元二次方程以及配方法的应用． （1）设运动t秒后的面积等于，用t表示出、的长，利用三角形面积公式可得方程解方程即可； （2）在中，根据勾股定理，得，把、代入可得方程，解方程即可； （3）根据三角形的面积公式，得，则，然后判断方程根的情况，方程无根说明线段不能把分成面积相等的两部分； (1) 小问详解： 解：设运动秒后的面积为． 根据题意，知． 则． 则，即． 解得或3． 故运动2秒或3秒后，的面积为； (2) 小问详解： 根据勾股定理，得，即． 解得（不合题意，舍去）或， ． 故运动3秒后，的长度为； (3) 小问详解： 略 87．【答案】（1），，；     （2）购买了棵树苗      【分析】 此题主要考查了一元二次方程的应用，根据已知“如果购买树苗超过60棵，每增加1棵，所出售的这批树苗每棵售价均降低元”得出方程是解题关键． （1）根据购买树苗不超过60棵，每棵售价为元；如果购买树苗超过棵，每增加1棵，所出售的这批树苗每棵售价均降低0.5元即可求解； （2）根据设购买了棵树苗．根据题意列方程得 ,进而得出结论． (1) 小问详解： 解：当购买棵树苗时，所需的树苗款为：（元）， 当购买棵树苗时，每棵树苗的售价在元的基础上降价元，最后的售价是：元． 故答案为：，，； (2) 小问详解： 解：∵，所以购买的树苗数量多于棵 设购买了棵树苗, 根据题意列方程得 解得， 当时，， ∴ 不合题意舍去， 当时，， ∴符合题意， ∴（棵） ， 答：购买了棵树苗． 88．【答案】（1）     （2）50元      【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，利用该品牌头盔12月份的销售量=该品牌头盔10月份的销售量（该品牌头盔销售量的月增长率），可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； （2）设该品牌头盔每个售价应定为y元，则该品牌头盔每个的销售利润为元，月销售量为个，利用总利润每个的销售利润月销售量，可列出关于y的一元二次方程，解之可得出y的值，再结合要尽可能让顾客得到实惠，即可确定结论． (1) 小问详解： 解：设该品牌头盔销售量的月增长率为x， 根据题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：该品牌头盔销售量的月增长率为； (2) 小问详解： 解：设该品牌头盔每个售价应定为y元，则该品牌头盔每个的销售利润为元，月销售量为个， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 又∵要尽可能让顾客得到实惠， ∴． 答：该品牌头盔每个售价应定为50元． 89．【答案】（1）；（2） 【分析】 本题主要考查了一次函数的实际应用（其他问题），一元二次方程的应用（营销问题），用表格表示变量间的关系，求一次函数解析式，解二元一次方程组，因式分解法解一元二次方程等知识点，熟练掌握待定系数法求一次函数解析式并根据题中的数量关系正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）通过分析表中数据可以看出，日销售量与销售单价之间成一次函数关系，故可设日销售量与销售单价之间的函数关系式为，将，代入，得 ，解方程组即可求出与的值，进而得出该益智玩具的日销售量与销售单价之间的函数关系式； （2）根据“每日利润（销售单价进价）日销售量房租、水电费、人工费等运营成本”可得，解得，，进而可得当销售单价为60元时日销售量为20个，销售单价为30元时日销售量为80个，由于，再结合“为了尽快减少库存”，即可得出答案． 【详解】 解：（1）通过分析表中数据可以看出，日销售量与销售单价之间成一次函数关系， 故可设日销售量与销售单价之间的函数关系式为， 将，代入，得： ， 解得： ， 该益智玩具的日销售量与销售单价之间的函数关系式为； （2）根据题意，得： ， 解得：，， 当销售单价为60元时，日销售量为20个， 当销售单价为30元时，日销售量为80个， ，且为了尽快减少库存， ， 答：该益智玩具的销售单价应定为30元． 90．【答案】这两条直角边为，． 【分析】设其中一条直角边长为未知数，表示出另一直角边长，根据面积为24列式求值即可． 【详解】解：设其中一条直角边长为xcm，则另一直角边长为（14﹣x）cm，得： x（14﹣x）=24，解得x1=6，x2=8． 当x1=6时，14﹣x=8； 当x2=8时，14﹣x=6； 答：两条直角边的长分别为，． 91．【答案】． 【详解】 试题分析：由菱形ABCD的两条对角线长分别是方程x2-6x+8=0的两根，可求得菱形ABCD的两条对角线长分别是2与4，然后由菱形的性质与勾股定理，即可求得菱形周长． ∵x2-6x+8=0， ∴（x-2）（x-4）=0， 解得：x1=2，x2=4， ∵菱形ABCD的两条对角线长分别是方程x2-6x+8=0的两根， ∴菱形ABCD的两条对角线长分别是2，4或2,2或4,4 设菱形ABCD的两条对角线相交于O， ∴AC⊥BD，OA= AC，OB= BD， ∴AB= ， ∴菱形周长为： 或 或 故答案为4． 或 或 考点：1．菱形的性质；2．解一元二次方程-因式分解法 92．【答案】（1）     （2）元      【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设七月份到九月份的月平均增长率为，利用九月的销售量七月的销售量（七月份到九月份的月平均增长率），即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）设龙眼每箱降价元，则每箱盈利元，月销售量为箱，利用总利润每箱的销售利润月销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． (1) 小问详解： 解：设七月份到九月份的月平均增长率为， 依题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：七月份到九月份的月平均增长率为． (2) 小问详解： 设龙眼每箱降价元，则每箱盈利元，月销售量为箱， 依题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：当龙眼每箱降价元时，该超市十月可获利元． 93．【答案】每一轮传染中平均每人传染了个人 【分析】 本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是得到两轮传染数量关系，从而可列方程求解．本题要注意的是，患流感的人把病毒传染给别人，自己仍然是患者，人数应该累加，这个问题和细胞分裂是不同的．根据题意可得， 每轮传染中平均一个人传染了个人， 经过一轮传染之后有x+1人感染流感，两轮感染之后的人数为36人，依此列出一元二次方程求解即可． 【详解】 解： 设每一轮传染中平均每人传染了x个人，依题可得： ， ， 解得，（舍）， 答：每一轮传染中平均每人传染了个人． 94．【答案】（1）     （2）存在，．      【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，勾股定理，解答本题的关键是找准等量关系，列出一元二次方程解决问题． （1）先求出，，再利用勾股定理建立方程解方程即可得到答案； （2）先求出，再根据三角形面积计算公式得到方程，解方程即可得到答案． (1) 小问详解： 解：在矩形中，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动，设运动时间为秒， ，， ， 四边形是矩形， ， 在中，由勾股定理得， ， 解得（舍去），， 当时，的长度等于； 故答案为：． (2) 小问详解： 由题意得：， 的面积等于， ， ， ， 或（舍去）， 当时，使得的面积等于． 95．【答案】（1）30－3x；（2）7 【分析】（1）由AB的长为xm，结合长为30m的篱笆即可表示出BC的长为：（30﹣3x）m； （2）根据AB及BC的长可表示出花圃的面积，令该面积等于63，求出符合题意的x的值，即是所求AB的长． 【详解】解：（1）由题意得：BC＝30﹣3x， 故答案为：30﹣3x； （2）由题意得：﹣3x2+30x＝63． 解此方程得x1＝7，x2＝3． 当x＝7时，30﹣3x＝9＜10，符合题意； 当x＝3时，30﹣3x＝21＞10，不符合题意，舍去； 故当AB的长为7m时，花圃的面积为63m2． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，关键在于理解清楚题意，找出等量关系列出方程求解． 96．【答案】（1）月平均增长率是；     （2）售价应降低元．      【分析】 本题考查了一元二次方程的应用， 找准等量关系， 正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设月平均增长率是， 利用10月份的销售量月份的销售量（月平均增长率），即可得出关于的一元二次方程， 解之取其正值即可得出结论； （2）设售价应降低元，则每件的销售利润为)元，每天的销售量为件，利用每天销售该公仔获得的利润每件的销售利润日销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之即可求出的值，再结合要尽量减少库存，即可得出售价应降低的钱数． (1) 小问详解： 解：设月平均增长率是，依题意得： ， 解得：，(不合题意，舍去)， 答：月平均增长率是； (2) 小问详解： 解：设售价应降低元，则每件的销售利润为)元，每天的销售量为 件， 依题意得：， 整理得：， 解得：，， 又∵要尽量减少库存， ， 答：售价应降低元． 97．【答案】（1）平均每天可以售出个模型，此时每天获利元．     （2）要使“中国空间站”模型每天获利元，每个模型应降价元..      【分析】 （1）根据降价，求出降价后得每件利润和每天得销量，即可求出利润； （2）设每个模型降价x元，则每件利润 元，平均每天可以售出个模型，根据利润可列方程和不等式，解方程即可. (1) 小问详解： 解：依题意得： 降价4元后每件利润：（元）， 降价4元后销量：（个）， 降价4元后每天获利：（元）， 答：每个模型降价4元，平均每天可以售出个模型，此时每天获利元． (2) 小问详解： 解：设每个模型降价x元， 则每件利润 元，平均每天可以售出个模型， 依题意得： 即：， 解得，， 因为每个模型盈利不少于元， 所以 即， 故， 答：要使“中国空间站”模型每天获利元，每个模型应降价元. 【点睛】 本题考查了一元二次方程的应用——盈利问题，根据销售问题列出方程并正确求解是解题的关键. 98．【答案】当AB长度为时，矩形观众区的面积为 【分析】 本题考查一元二次方程的应用． 本题可先设出的长度，再根据矩形周长和面积公式列出方程，最后求解方程并结合墙长的限制条件确定的长度． 【详解】 解：设米，则米， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意． 答：当AB长度为时，矩形观众区的面积为． 99．【答案】每个玩偶应降价6元 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，根据题意得到等量关系是解题的关键．设每个玩偶应降价元，可使超市销售利润平均每天达到396元，然后根据“当每个玩偶每降价1元时，平均每天可多售出4个”，结合每天利润每个的利润卖出的个数，列出方程，即可求解． 【详解】 解：设每个玩偶应降价元，可使超市销售利润平均每天达到396元， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 因要尽快减少库存，故，经检验，符合题意． 答：每个玩偶应降价6元． 100．【答案】（1）BC=（21-3x）米；     （2）AB的长为2米或5米．      【分析】 （1）用总长减去三条垂直于墙的边长即可求得BC的长； （2）根据矩形的面积公式列式求解即可． (1) 小问详解： 设AB边长为x米，则EF=DC=AB=x米， 所以BC=（21-3x）米； (2) 小问详解： 根据题意得：x（21-3x）=30， 解得：x=2或x=5， 答：AB的长为2米或5米． 【点睛】 考查了一元二次方程的应用的知识，解题的关键是能够正确的表示出BC的长． 101．【答案】（1）矩形的长为，宽为     （2） 解：不能围成面积为的矩形， 理由如下：设矩形的长为，则宽为， 依题意，得， 整理，得：，该方程无实数根， 不能围成面积为的矩形．      【分析】 此题考查了一元二次方程的应用． （1）设矩形的长为，则宽为，根据面积列出方程，解方程即可； （2）根据题意，列出方程，判断一元二次方程有无实数根即可． (1) 小问详解： 解：设矩形的长为，则宽为， 依题意，得， 整理得：， 解得：，， 矩形的长为，宽为． (2) 小问详解： 略 102．【答案】12 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用．设每轮传染中平均一个人传染的人数是x人，则第一轮传染中有x人被传染，第二轮传染中有人被传染，根据题意可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【详解】 解：设每轮传染中平均一个人传染的人数是x人，则第一轮传染中有x人被传染， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴每轮传染中平均一个人传染的人数是12人， 故答案为：12． 103．【答案】（1）2332     （2）25名      【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）利用单价原价超出20人的人数，可求出22人去旅游时门票的单价，再利用总价单价数量即可求出结论； （2）设该单位这次共有名员工去该景区旅游，由总价单价数量，即可得出关于的一元二次方程，即可解答． (1) 小问详解： 解：， 故购买门票费用为2332元． (2) 小问详解： 解：设该单位有名员工去该景区旅游， ， 故， 则可列方程：， 整理得：， 解得：， 当时，， 当时，， 故舍去， 该单位共有25名员工去该景区旅游． 104．【答案】这种玩偶每件应降价4元 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设每件降价x元（），则每天的销量为件，根据商家要想获利3080元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【详解】 解：设每件降价x元（），则每天的销量为件， 根据题意得，， 整理得：， 解得：，， 因为要让顾客获得更大实惠， 所以这种玩偶每件应降价4元， 答：这种玩偶每件应降价4元． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 一元二次方程 6大高频考点概览 考点01 一元二次方程的概念 考点02 配方法 考点03 公式法 考点04 因式分解法 考点05 一元二次方程的根与系数的关系 考点06 实际问题与一元二次方程 考点01 一元二次方程的概念 1．（25-26学年九上·甘肃兰州第五中学·期末）已知是关于x的方程的一个根，则m的值为（    ） A. 6 B.  C. 16 D.  2．（25-26学年九上·甘肃兰州第二十中学·期末）下列方程是一元二次方程的是（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年九上·甘肃定西安定区·期末）方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（     ） A. 2，，1 B. 2，3，1 C. 2，， D. 2，3， 4．（25-26学年九上·甘肃天水麦积区·期中）下列方程中，是一元二次方程的是（     ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年九上·甘肃兰州·期中）下列方程是一元二次方程的是（     ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年九上·甘肃定西·期中）在下列方程中，属于一元二次方程的是（　　） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年九上·甘肃兰州·期中）下列方程中，是一元二次方程是（     ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年九上·甘肃陇南武都区·期中）下列方程中，一定是一元二次方程的是（       ） A.  B.  C.  D.  9．（九上·甘肃白银·期中）方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（     ） A. 1，6，1 B. ，， C. ，， D. ，， 10．（25-26学年九上·甘肃庆阳镇原县·期中）将方程化成的形式，则的值为（       ） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年九上·甘肃武威凉州区谢河中学·期中）下列方程中，关于的一元二次方程的是（       ） A.  B.  C.  D.  12．（25-26学年九上·甘肃酒泉第七中学·期中）下列方程中，属于一元二次方程的是（     ） A.  B.  C.  D.  13．（25-26学年九上·甘肃酒泉肃州区·期中）一元二次方程x2-x-3＝0的一次项系数，常数项分别是（       ） A. 1，3 B. -1，3 C. -1，-3 D. 1，-3 14．（25-26学年九上·甘肃兰州红古区·期中）一元二次方程的一次项系数是（       ） A. 1 B. 2 C. -5 D. 0 15．（25-26学年九上·甘肃定西临洮县·期中）一元二次方程 的二次项系数、一次项系数和常数项分别为（     ） A.  B.  C.  D.  16．（25-26学年九上·甘肃兰州第八十一中学·期中）若关于的一元二次方程的一个根为1，则的值为（       ） A. 1 B.  C. 2 D.  17．（25-26学年九上·甘肃白银景泰）下列方程是一元二次方程的是（       ） A.  B.  C.  D.  18．（25-26学年九上·甘肃柏树中学·期中）若关于的方程是一元二次方程，则满足的条件是（　　） A.  B.  C.  D.  19．（25-26学年九上·甘肃平凉·期末）若是方程的根，则代数式的值是（     ） A.  B.  C.  D.  20．（25-26学年九上·甘肃天水甘谷县·期中）下列式子是关于x的一元二次方程的是（     ） A.  B.  C.  D.  21．（25-26学年九上·甘肃兰州第五十四中学）以下关于的方程中，是一元二次方程的有（     ） A.  B.  C.  D.  22．（25-26学年九上·甘肃天水逸夫实验学校·期中）若关于的一元二次方程的一个根是，则的值为（       ） A. 2 B.  C. 2或 D.  23．（25-26学年九上·甘肃兰州·期中）若是方程的一个根，则的值为（     ） A. 2025 B.  C. 2017 D.  24．（25-26学年九上·甘肃酒泉第七中学·期中）已知关于x的一元二次方程 ，其中一次项系数被图迹污染了，若这个方程的一个根为，则一次项系数为（     ） A. 2 B.  C.  D.  25．（25-26学年九上·甘肃酒泉肃州区·期中）一元二次方程中，二次项系数、一次项系数、常数项依次是（　　） A. 3，8，5 B. 3，，5 C. ，， D. ，8， 26．（25-26学年九上·甘肃武威凉州区·期中）下列方程中，关于x的一元二次方程是（       ） A.  B.  C.  D.  27．（25-26学年九上·甘肃武威凉州区·期中）关于的一元二次方程 的常数项被墨迹覆盖，已知是该方程的一个解，则被墨迹覆盖的常数为（     ） A.  B.  C.  D.  28．（25-26学年九上·甘肃陇南西和县）下列方程是一元二次方程的是（　　） A.  B.  C.  D.  29．（25-26学年九上·甘肃吴家井中学·期中）已知是方程的根，则代数式的值为（     ） A.  B.  C. 或 D.  30．（25-26学年九上·甘肃酒泉第七中学·期中）已知是一元二次方程的一个解，则m的值为（       ） A. 3 B.  C. 0 D. 0或3 31．（25-26学年九上·甘肃定西渭源县·期末）已知关于x的一元二次方程的一个根是2，写出一个符合条件的方程：　　　　　　． 32．（25-26学年九上·甘肃陇南·期末）一元二次方程的一次项系数是　　　　　　． 33．（25-26学年九上·甘肃平凉·期末）已知关于的一元二次方程有一个根是，写出一个符合条件的一元二次方程：　　　　　　　　　　　　　　． 34．（25-26学年九上·甘肃兰州第八十一中学·期末）已知是方程的一个根，则　　　　　　　　． 35．（25-26学年九上·甘肃武威凉州区谢河中学·期中）若是关于x的一元二次方程，则m的取值范围为　　　　　　． 36．（25-26学年九上·甘肃兰州红古区·期中）当　　　　时，关于的方程是一元二次方程． 37．（25-26学年九上·甘肃定西临洮县·期中）关于x的一元二次方程有一个根是，写出一个符合条件的一元二次方程：　　　　　　　． 38．（25-26学年九上·甘肃兰州第八十一中学·期中）已知是关于的一元二次方程，则　　　　　　． 39．（25-26学年九上·甘肃陇南西和县）已知关于x的一元二次方程：的一个根是2，则k的值是　　　　　　　　　　　． 40．（25-26学年九上·甘肃庆阳镇原县·期末）一元二次方程化成一般形式为　　　　　　　　． 41．（25-26学年九上·甘肃天水·期末）若关于x的一元二次方程（a - 1）x2 - ax + a2 = 1的一个根为0．则a = 　　　　　　　　． 42．（25-26学年九上·甘肃天水张家川回族自治县·期末）请写出一个关于x的一元二次方程，且它的一个根为，则这个方程可以是　　　　　　　　（写出一个即可） 43．（25-26学年九上·甘肃武威凉州区吴家井中学·期末）若方程是关于x的一元二次方程，则a的值为　　　　　　　． 44．（25-26学年九上·甘肃陇南武都区·期末）已知一元二次方程 的一个根为m，则 的值为　　　　　　． 45．（25-26学年九上·甘肃陇南·期末）若方程是一元二次方程，则　　　　　　． 46．（25-26学年九上·甘肃天水麦积区·期中）已知是一元二次方程的一个根，则的值是　　　　　　． 47．（25-26学年九上·甘肃定西·期中）关于的一元二次方程的一个根是0，求的值． 48．（25-26学年九上·甘肃兰州·期中）已知关于x的方程是一个一元二次方程，则　　　　　　　　　　　　　　． 49．（25-26学年九上·甘肃酒泉肃州区·期中）已知是关于x的一元二次方程，则　　　　　　． 50．（25-26学年九上·甘肃武威凉州区·期中）已知是关于的一元二次方程，则　　　　　． 51．（25-26学年九上·甘肃白银景泰）若是一元二次方程的一个根，则的值为　　　　　　． 52．（25-26学年九上·甘肃柏树中学·期中）已知m是方程的一个根，则的值为　　　　　　． 53．（25-26学年九上·甘肃吴家井中学·期中）已知关于x的方程是一元二次方程，则m的值为　　　　　　　． 54．（25-26学年九上·甘肃酒泉第二中学·期中）关于x的一元二次方程 有一根为0，则　　　　　　　　． 55．（25-26学年九·甘肃张掖民乐县·期末）已知是关于的一元二次方程，则方程中m的值为　　　　　　． 56．（25-26学年九上·甘肃定西·期中）关于的方程是一元二次方程，则　　　　　　　　　　　． 57．（25-26学年九上·甘肃酒泉肃州区·期中）若关于x的方程＝0是一元二次方程，则a＝　　　　． 58．（25-26学年九上·甘肃武威凉州区·期中）已知是方程的一个根，则代数式的值等于　　　　　　　　　　　 59．（25-26学年九上·甘肃定西临洮县·期中）若是关于x的方程的解，则多项式的值是　　　　　　　． 考点02 配方法 1．（25-26学年九上·甘肃白银·期末）如果关于x的方程可以用直接开平方法求解，那么m的取值范围是（　　） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·甘肃兰州·期中）用配方法解方程时，配方结果正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年九上·甘肃定西·期中）用配方法解方程x2+6x+4=0，下列变形正确的是（　　） A. （x+3）2=﹣4 B. （x﹣3）2=4 C. （x+3）2=5 D. （x+3）2=± 4．（25-26学年九上·甘肃兰州榆中县·期末）若关于x的一元二次方程配方后得到，则c的值为（     ） A. 0 B. 3 C. 6 D. 9 5．（25-26学年九上·甘肃临夏州·期末）用配方法解一元二次方程，配方后所得的方程是（     ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年九上·甘肃天水甘谷县·期中）用配方法解方程时，配方后所得的方程（       ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年九上·甘肃天水麦积区·期中）用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是(     ) A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年九上·甘肃天水逸夫实验学校·期中）一元二次方程，配方后可变形为（     ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年九上·甘肃临夏州·期中）用配方法解一元二次方程时，方程两边应同时（     ） A. 加10 B. 减10 C. 加25 D. 减25 10．（25-26学年九上·甘肃酒泉肃州区·期中）若把方程化为的形式，则的值是（       ） A. 5 B. 2 C.  D.  11．（25-26学年九上·甘肃酒泉肃州区·期中）一元二次方程x2+6x﹣5=0配方后变形正确的是（　　） A. （x﹣3）2=14 B. （x+3）2=4 C. （x+6）2= D. （x+3）2=14 12．（25-26学年九上·甘肃陇南·期中）用配方法解方程2x2﹣8x﹣15=0，配方后的方程是（） A. （x﹣2）2=19 B. （x﹣4）2=31 C. （x﹣2）2= D. （x﹣4）2= 13．（25-26学年九上·甘肃兰州第八十一中学·期中）用配方法解方程，变形后的结果正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  14．（25-26学年九上·甘肃白银景泰）用配方法解方程，下列配方正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  15．（25-26学年九上·甘肃陇南西和县）用配方法解方程时，配方后得到的方程为（     ） A.  B.  C.  D.  16．（25-26学年九上·甘肃兰州红古区·期中）将一元二次方程化成（为常数）的形式，则的值分别是（   ） A. ， B. 3，18 C. 3， D. ，18 17．（25-26学年九上·甘肃兰州·期末）解方程：； 18．（25-26学年九上·甘肃酒泉第七中学·期中）用指定方法解下列一元二次方程 （1）（直接开平方法） （2）（配方法） （3）（公式法） （4）（因式分解法） 19．（25-26学年九上·甘肃平凉庄浪县·期末）解方程：． 20．（25-26学年九上·甘肃天水·期末）解方程：x2﹣4x﹣7=0． 21．（25-26学年九上·甘肃酒泉肃州区·期末）用配方法解一元二次方程，则方程可变形为　　　　　　． 22．（25-26学年九上·甘肃兰州红古区·期末）用配方法解方程：． 23．（25-26学年九上·甘肃天水逸夫实验学校·期中）解下列方程： （1） （2） 24．（25-26学年九上·甘肃兰州·期中）用配方法解方程：． 25．（25-26学年九上·甘肃临夏州·期中）解方程：． 26．（九上·甘肃白银·期中）解方程：． 27．（25-26学年九上·甘肃庆阳镇原县·期中）以下是嘉嘉在用配方法解一元二次方程的过程： 解：移项，得， 配方，得，， 开平方，得， 移项，得， 所以． 嘉嘉的解答过程是否有误？如果有错，请写出正确的解答过程． 28．（25-26学年九上·甘肃兰州红古区·期中）解方程： 29．（25-26学年九上·甘肃定西临洮县·期中）解方程： 30．（25-26学年九上·甘肃陇南西和县）用配方法解一元二次方程： 31．（25-26学年九上·甘肃平凉·期末）解方程：（配方法）． 32．（25-26学年九上·甘肃陇南武都区·期末）【阅读材料】 配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指把形如的二次三项式或（其一部分）配成完全平方式的方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即，配方法在解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等问题中都有着广泛应用． 例：求代数式的最小值． 解：， ，． 当时，的最小值为1． 【类比探究】 （1）按照上述方法，用配方法求代数式最小值； 【灵活运用】 （2）试说明：无论取何实数，二次根式都有意义． 33．（25-26学年九上·甘肃张掖临泽县·期中）用合适的方法解下列方程 （1） （2） 34．（25-26学年九上·甘肃天水麦积区·期中）对于有理数，，定义：当时，；当时，．若，则的值为　　　　　　． 35．（25-26学年九上·甘肃陇南）用配方法解方程：． 考点03 公式法 1．（25-26学年九上·甘肃兰州第二十中学·期末）方程的根的情况是（       ） A. 有一个实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 无实数根 2．（25-26学年九上·甘肃酒泉肃州区·期末）关于x的一元二次方程（m-1）x²+2x－1=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（     ） A. m＜－1 B. m＞0 C. m＜1且m≠0 D. m＞0且m≠1 3．（25-26学年九上·甘肃陇南西和县·期末）若关于 的一元二次方程无实数根，则 的取值范围是   （       ） A.  B.  C.  D. 全体实数 4．（25-26学年九上·甘肃张掖临泽县·期中）关于x的一元二次方程的根的情况是（       ） A. 实数根的个数由b的值确定 B. 有两个不相等的实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 没有实数根 5．（25-26学年九上·甘肃兰州·期中）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为（     ） A.  B.  C. 且 D. 且 6．（25-26学年九上·甘肃定西·期中）关于的方程的根的情况是（       ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有一个实数根 D. 没有实数根 7．（25-26学年九上·甘肃吴家井中学·期中）一元二次方程的根的情况是（       ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 8．（25-26学年九上·甘肃定西渭源县·期末）若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（　　） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年九上·甘肃兰州榆中县·期末）若关于x的一元二次方程(k-1)x2＋4x＋1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是(        ) A. k<5 B. k<5，且k≠1 C. k≤5，且k≠1 D. k>5 10．（25-26学年九上·甘肃平凉庄浪县·期末）关于x的一元二次方程的根的情况是（       ）． A. 有两个不相等的实数根 B. 有一个实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 没有实数根 11．（25-26学年九上·甘肃天水·期末）若关于x的一元二次方程没有实数根，则k的值可以是（       ） A.  B. 6 C.  D. 4 12．（25-26学年九上·甘肃定西·期末）若关于x的一元二次方程无实数根，则实数a的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  13．（25-26学年九上·甘肃天水张家川回族自治县·期末）关于的一元二次方程的根的情况是（     ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 14．（25-26学年九上·甘肃定西安定区·期末）关于x的方程有实数根，则k的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  15．（25-26学年九上·甘肃兰州第八十一中学·期末）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  16．（25-26学年九上·甘肃陇南·期末）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（       ） A. 1 B.  C. 2 D.  17．（25-26学年九上·甘肃天水甘谷县·期中）在用求根公式求一元二次方程的根时，小珺正确地代入了a，b，c得到，则她求解的一元二次方程是（     ） A.  B.  C.  D.  18．（25-26学年九上·甘肃兰州·期中）已知a、b、c为常数，点在第二象限，则关于x的方程 ()的根的情况是（     ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法判断 19．（25-26学年九上·甘肃临夏州·期中）一元二次方程的根的情况是（　　） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 只有一个实数根 20．（25-26学年九上·甘肃庆阳镇原县·期中）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的值可以是（       ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 21．（25-26学年九上·甘肃定西临洮县·期中）关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  22．（25-26学年九上·甘肃陇南·期中）关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（       ） A.  B. 0 C. 1 D. 2 23．（25-26学年九上·甘肃白银景泰）关于x的一元二次方程的根的情况为（       ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法判断 24．（25-26学年九上·甘肃白银景泰）若是某个一元二次方程的根，则这个一元二次方程可以是（　　） A.  B.  C.  D.  25．（25-26学年九上·甘肃陇南西和县）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的值可以是（       ） A. 2 B. 1 C.  D.  26．（25-26学年九·甘肃张掖民乐县·期末）关于的一元二次方程有两个实数根，则的值可以是（     ） A.  B. 0 C. 2 D. 4 27．（25-26学年九上·甘肃兰州第五中学·期末）若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（       ） A.  B. 且 C.  D.  28．（25-26学年九上·甘肃武威凉州区·期末）若关于的方程有实数根，则实数的取值范围为（     ） A.  B.  C. 且 D.  29．（25-26学年九上·甘肃天水甘谷县·期中）一元二次方程x2﹣2x+3＝0根的情况是（     ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法判断 30．（25-26学年九上·甘肃兰州外国语学校·期中）关于x的一元二次方程k-4x+1=0有两个实数根，则k的取值范围是（       ） A. k>4 B. k≤4 C. k<4且k≠0 D. k≤4且k≠0 31．（25-26学年九上·甘肃兰州第十一中学·期中）已知关于x的一元二次方程有两个实数根，则实数k的取值范围是　　　． 32．（25-26学年九上·甘肃兰州榆中县·期末）解方程：． 33．（25-26学年九上·甘肃白银·期末）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是　　　　　　　　． 34．（25-26学年九上·甘肃天水甘谷县·期末）解方程：． 35．（25-26学年九上·甘肃天水甘谷县·期末）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为　　　　　． 36．（25-26学年九上·甘肃兰州红古区·期末）已知关于的方程，若等腰三角形的底边长为4，两腰长恰好是这个方程的两实数根，则这个三角形的周长为　　　　　　　　　　　　　． 37．（25-26学年九上·甘肃兰州红古区·期末）已知关于的一元二次方程，求证：无论取何值，方程总有实数根． 38．（25-26学年九上·甘肃陇南西和县·期末）已知 是关于x的一元二次方程 的两个不相等的实数根，且满足 ，求m的值． 39．（25-26学年九上·甘肃陇南·期末）关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程有一个根小于0，求的取值范围． 40．（25-26学年九上·甘肃陇南武都区·期中）解方程：2x2-9x+8=0． 41．（25-26学年九上·甘肃庆阳镇原县·期中）如图，在2×2的网格中，每个格内分别写有A，B，C，D四个整式，其中，，，C＝2x－1．已知A＋B＝C·D． （1）求整式D； （2）B＋2D的值可能为8吗？请说明理由． 42．（25-26学年九上·甘肃庆阳镇原县·期中）对于实数，，定义一种运算“☆”，都有．如． （1）若，则______； （2）若，求的值． 43．（25-26学年九上·甘肃武威凉州区谢河中学·期中）用适当的方法解方程： （1）； （2）； 44．（25-26学年九上·甘肃武威凉州区谢河中学·期中）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围　　　　　　． 45．（25-26学年九上·甘肃酒泉第七中学·期中）若关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是 　　　　　　 ． 46．（25-26学年九上·甘肃酒泉第七中学·期中）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是　　　　　　． 47．（25-26学年九上·甘肃白银景泰）已知关于的方程．求证：该方程有两个不相等实数根． 48．（25-26学年九上·甘肃陇南西和县）用公式法解方程： 49．（九上·甘肃白银·期中）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为　　　　　　． 50．（25-26学年九上·甘肃白银景泰）解方程：． 51．（25-26学年九上·甘肃白银·期末）已知菱形的两边、的长是关于的方程的两个实数根，则　　　　　　　． 52．（25-26学年九上·甘肃白银·期末）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求m的取值范围； （2）若方程有一个根是，求方程的另一个根及m的值． 53．（25-26学年九上·甘肃临夏州·期末）已知关于x的方程． （1）若该方程有一个根为，求a的值： （2）求证：方程总有两个不相等的实数根． 54．（25-26学年九上·甘肃天水甘谷县·期中）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是　　　　　． 55．（25-26学年九上·甘肃兰州·期中）解方程： （1）； （2）． 56．（25-26学年九上·甘肃兰州·期中）已知关于的一元二次方程． （1）求证：不论k为何值，该方程总有两个实数根； （2）若该方程有一个根是负数，求k的取值范围． 57．（25-26学年九上·甘肃兰州·期中）如图，在矩形中，，，动点P从点A出发，以的速度向点B运动；动点Q同时从点C出发，以的速度向点D运动，当其中一个点到达终点时，两个点都停止运动，设运动时间为． （1）当t为何值时，四边形是矩形． （2）当t为何值时，点P和点Q之间的距离为． 58．（25-26学年九上·甘肃酒泉第二中学·期中）已知关于x的方程，试按要求解答下列问题： （1）当该方程有一根为1时，试确定m的值； （2）当该方程有两个不相等的实数根时，试确定m的取值范围． （3）若m是符合条件的最大整数，求此时方程的根． 59．（25-26学年九上·甘肃平凉庄浪县·期中）解方程：． 60．（25-26学年九上·甘肃酒泉肃州区·期中）计算 （1）． （2）． 61．（25-26学年九上·甘肃兰州红古区·期中）定义运算：．例如：．则方程的根的情况为　　　　　　． 62．（25-26学年九上·甘肃兰州红古区·期中）已知关于x的一元二次方程． （1）求证：无论m取何值，方程总有两个实数根； （2）矩形的两条边恰好是这个方程的两个根，当_______时，矩形是正方形，此时正方形的边长是________． 63．（25-26学年九上·甘肃定西临洮县·期中）已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实数根； （2）如果方程的两个实数根为，且，求的值． 64．（25-26学年九上·甘肃陇南西和县）已知关于的一元二次方程． （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）若该方程的一个根为，且为正数，求的值． 65．（25-26学年九上·甘肃吴家井中学·期中）用适当的方法解下列一元二次方程： （1） （2） 66．（25-26学年九上·甘肃武威凉州区·期中）已知：关于的方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）如果为正整数，且方程的两个根均为整数，求的值． 考点04 因式分解法 1．（25-26学年九上·甘肃兰州第十九中学·期末）一个等腰三角形的底边长是6，腰长是一元二次方程x2−7x+12=0的一根，则此三角形的周长是（       ） A. 12 B. 13 C. 14 D. 12或14 2．（25-26学年九上·甘肃兰州红古区·期末）一元二次方程的解是（       ） A.  B.  C. ， D. ， 3．（25-26学年九上·甘肃陇南·期末）一元二次方程的解为（     ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年九上·甘肃兰州·期中）方程的解是（     ） A.  B.  C. ， D. 不确定 5．（25-26学年九上·甘肃武威凉州区吴家井中学·期末）已知关于的一元二次方程的一个根为3，则另一个根为（     ） A.  B.  C. 1 D. 2 6．（25-26学年九上·甘肃兰州·期中）下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（       ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年九上·甘肃酒泉肃州区·期中）已知3是关于x的方程的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰的两条边的边长，则的周长为（       ） A. 7 B. 10 C. 11 D. 10或11 8．（25-26学年九上·甘肃柏树中学·期中）若关于的一元二次方程有一根为，则一元二次方程有一个根为（     ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年九上·甘肃陇南·期中）三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程的根，则该三角形的周长为（       ） A. 10 B. 12 C. 14 D. 12或14 10．（25-26学年九上·甘肃陇南武都区·期中）因式分解：　　　　　． 11．（25-26学年九上·甘肃天水麦积区·期中）解下列一元二次方程： （1）； （2） 12．（25-26学年九上·甘肃平凉庄浪县·期中）因式分解：　　　　　 13．（25-26学年九上·甘肃酒泉肃州区·期中）解方程：. 14．（25-26学年九上·甘肃定西渭源县·期末）解一元二次方程：． 15．（25-26学年九·甘肃武威第十七中学·期末）用适当的方法解方程： （1）； （2）． 16．（25-26学年九上·甘肃兰州榆中县·期末）已知代数式，当代数式A的值比B的值大2时，求x的值． 17．（25-26学年九上·甘肃兰州榆中县·期末）提出问题 为解方程，我们可以将视为一个整体，然后可设，则，于是原方程可转化为，解此方程，得，． 当时，，，∴； 当时，，，∴． ∴原方程的解为，，，． 以上方法就是换元法解方程，从而达到了降次的目的，体现了转化的思想． 解决问题 （1）运用上述换元法解方程． 延伸拓展 （2）已知实数m，n满足，求的值． 18．（25-26学年九上·甘肃兰州第二十中学·期末）对于实数a、b，定义运算“”： ，例如：，因为，所以．若，是一元二次方程的两个根，则　　　　　　． 19．（25-26学年九上·甘肃陇南·期末）解方程：． 20．（25-26学年九上·甘肃平凉庄浪县·期末）对任意实数a，b定义新运算：，如：．若，则x的值为　　　　　　　　． 21．（25-26学年九上·甘肃庆阳镇原县·期末）解方程：． 22．（25-26学年九上·甘肃白银·期末）分解因式：=　　　　　　　　　　． 23．（25-26学年九上·甘肃白银·期末）解方程：． 24．（25-26学年九上·甘肃临夏州·期末）解方程：． 25．（25-26学年九上·甘肃天水张家川回族自治县·期末）解方程：． 26．（25-26学年九上·甘肃兰州第二十二中学·期末）解一元二次方程：． 27．（25-26学年九上·甘肃定西安定区·期末）方程的实数解是　　　　　　　　　　　． 28．（25-26学年九上·甘肃陇南西和县·期末）解方程：． 29．（九上·甘肃兰州·期末）知xy＝﹣3，x+y＝2，则代数式x2y+xy2的值是　　　　　　　　　　　　． 30．（25-26学年九上·甘肃兰州第八十一中学·期末）选择适当的方法解下列方程． （1） （2） 31．（25-26学年九上·甘肃陇南武都区·期末）解方程：． 32．（25-26学年九上·甘肃陇南·期末）解方程：． 33．（25-26学年九上·甘肃兰州第五十四中学）解方程： 34．（25-26学年九上·甘肃兰州外国语学校·期中）解一元二次方程： （1）． （2）． 35．（25-26学年九上·甘肃兰州·期中）用因式分解法解方程： 36．（25-26学年九上·甘肃陇南武都区·期中）解方程：． 37．（25-26学年九上·甘肃陇南武都区·期中）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求m的取值范围； （2）若m为满足条件的最小正整数时，求此时方程的根． 38．（25-26学年九上·甘肃酒泉第二中学·期中）解方程： （1）； （2）． 39．（25-26学年九上·甘肃平凉庄浪县·期中）解方程：． 40．（25-26学年九上·甘肃酒泉肃州区·期中）解方程： （1） （2） 41．（25-26学年九上·甘肃武威凉州区·期中）解一元二次方程： （1）； （2）． 42．（25-26学年九上·甘肃陇南·期中）解方程： （1）； （2）． 43．（25-26学年九·甘肃张掖民乐县·期末）解方程：． 44．（25-26学年九上·甘肃陇南西和县）方程的解是　　　　　　． 45．（25-26学年九上·甘肃武威凉州区·期末）解下列一元二次方程： （1）； （2）． 46．（25-26学年九·甘肃武威第十七中学·期末）三角形的两边长分别是3和4，第三边长是方程的根，则该三角形的周长为　　　　　　． 47．（25-26学年九上·甘肃兰州第五中学·期末）定义：我们把关于x的一元二次方程与称为一对“友好方程”．如的“友好方程”是． （1）写出一元二次方程的“友好方程”______． （2）已知一元二次方程的两根为，它的友好方程的两根为、______．根据以上结论，猜想的两根与其“友好方程”的两根之间存在的一种特殊关系为______． （3）已知关于x的方程的两根，请利用（2）中的结论，求出关于x的方程的两根． 48．（25-26学年九上·甘肃兰州第二十中学·期末）解方程和不等式组： （1）； （2） ． 49．（25-26学年九上·甘肃兰州第十九中学·期末）解方程： （1） （2） 50．（25-26学年九上·甘肃白银·期末）解方程 （1）； （2）． 51．（25-26学年九上·甘肃酒泉肃州区·期末）解方程： （1） （2） 52．（25-26学年九上·甘肃定西安定区·期末）用适当的方法解下列方程： （1） （2） 53．（25-26学年九上·甘肃陇南西和县·期末）在实数范围内定义运算“☆”和“★”，其规则为：，，则方程的解为　　　　　　　　　　　． 54．（九上·甘肃兰州·期末）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）如果是符合条件的最大整数，试求出此时方程的解． 55．（25-26学年九上·甘肃武威凉州区吴家井中学·期末）用适当的方法解方程： （1）； （2）． 56．（25-26学年九上·甘肃陇南·期末）在解一元二次方程时，发现有这样一种解法： 如：解方程． 解：原方程可变形，得， ， ， 直接开平方，得，．我们称这种解法为“平均数法”． （1）下面是小明用“平均数法”解方程时写的解题过程： 解：原方程可变形，得， ， ， 直接开平方，得，． 上述解题过程中，a，b所表示的数分别是_______，_______； （2）请用“平均数法”解方程：． 57．（25-26学年九上·甘肃天水甘谷县·期中）已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论为何值，该一元二次方程都有两个不相等的实数根； （2）若时，该一元二次方程的两个根恰好是等腰三角形的两边，求等腰三角形的周长． 58．（25-26学年九上·甘肃兰州外国语学校·期中）把分解因式，正确的结果是　　　　　　． 59．（25-26学年九上·甘肃兰州·期中）解方程时，我们可以运用分类的思想来解：当时，则原方程可化为，解得或；当时、则原方程可化为，解得或； 综上，原方程的解为：，，，； （1）请利用这种方法解方程，可得这个方程的解是______； （2）解方程． 60．（25-26学年九上·甘肃定西·期中）已知，则的值为　　　　　　　． 61．（25-26学年九上·甘肃定西·期中）解下列方程： （1）； （2）． 62．（25-26学年九上·甘肃临夏州·期中）定义一种新运算：对于任意实数a，b，c，d有，其中等式右边是通常的乘法和减法运算．如．已知，求x的值． 63．（25-26学年九上·甘肃酒泉第二中学·期中）一个三角形的两边长分别为和，第三边是方程的一个根，则这个三角形的周长是　　　． 64．（九上·甘肃白银·期中）已知关于x的方程有两个实数根． （1）求k的取值范围； （2）当k取最大整数时，求此时方程的根． 65．（九上·甘肃白银·期中）若某等腰三角形的底和腰的长分别是一元二次方程的两根，则这个等腰三角形的周长是　　　　　　． 66．（25-26学年九上·甘肃酒泉第七中学·期中）三角形两边长分别是8和6，第三边长是方程x2﹣12x+20=0的一个实数根，则三角形的周长是　　　　． 67．（25-26学年九上·甘肃酒泉肃州区·期中）已知关于的方程． （1）求证：无论取何值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程有一个根是，求的值． 68．（25-26学年九上·甘肃兰州第八十一中学·期中）用适当的方法解方程： （1） （2） 69．（25-26学年九上·甘肃白银景泰）在中，的周长为40，斜边长为17，求的两条直角边长． 70．（25-26学年九上·甘肃白银景泰）我们规定：对任意实数a、b、c、d，有．其中等式的右边是通常的乘法和减法运算，如． 若，求的值． 71．（25-26学年九上·甘肃柏树中学·期中）解下列方程： （1）； （2）． 72．（25-26学年九上·甘肃柏树中学·期中）已知关于x的一元二次方程（k为常数）． （1）求证：不论k为何值，该方程总有两个实数根； （2）若方程的一个根为3，求k的值和方程的另一个根． 73．（25-26学年九上·甘肃吴家井中学·期中）已知关于x的方程的两根为，，则方程的两根之和为　　　　　　． 74．（25-26学年九上·甘肃兰州·期中）解方程：． 75．（25-26学年九上·甘肃兰州第五十四中学）定义：我们把关于的一元二次方程与称为一对“友好方程”．如的“友好方程”是． （1）写出一元二次方程的“友好方程”________； （2）已知一元二次方程的两根为，，它的“友好方程”的两根________，________．根据以上结论，猜想的两根，，与其“友好方程”的两根，之间存在的一种特殊关系为________； （3）已知关于的方程的两根是，，请利用（2）中的结论，求出关于的方程的两根． 考点05 一元二次方程的根与系数的关系 1．（九上·甘肃白银·期中）若是方程的两根，则的值是（     ） A.  B. 5 C. 3 D.  2．（25-26学年九上·甘肃武威凉州区谢河中学·期中）若，是方程的两个根，则（） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年九上·甘肃庆阳镇原县·期末）已知关于x的方程的一个根为，则另一个根为（     ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年九上·甘肃天水·期末）若m，是一元二次方程的两个根，则的值为（       ） A.  B.  C. 1 D. 3 5．（25-26学年九上·甘肃陇南武都区·期末）已知是一元二次方程的两个实数根，则（　　） A. 2023 B. 2024 C. 2025 D. 2026 6．（25-26学年九上·甘肃酒泉第二中学·期中）若一元二次方程的两个根分别为，，则的值为（       ） A. 2 B.  C.  D.  7．（25-26学年九上·甘肃陇南）已知一元二次方程的两根分别为，，则（       ） A. 2 B.  C.  D.  8．（25-26学年九·甘肃武威第十七中学·期末）若一元二次方程的两根之和与两根之积分别为m，n，则点在平面直角坐标系中位于（     ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 9．（25-26学年九上·甘肃白银·期末）设，是方程的两个实数根，则的值为（     ） A. 2025 B. 2026 C. 1 D.  10．（25-26学年九上·甘肃陇南武都区·期中）已知，是关于的方程的两个根，则的值为（     ） A. 16 B. 17 C. 18 D. 19 11．（25-26学年九上·甘肃平凉庄浪县·期中）设a，b为一元二次方程的两个实数根，则的值为（     ） A.  B.  C.  D.  12．（25-26学年九上·甘肃武威凉州区·期中）已知是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根，且满足，则的值是（       ） A. 3 B.  C. 3或1 D. 或1 13．（25-26学年九上·甘肃兰州红古区·期中）若m，n是一元二次方程的两个根，则的值是（       ） A. 6 B. 12 C. 0 D. 18 14．（25-26学年九上·甘肃陇南武都区·期末）已知关于x的一元二次方程． （1）求证：该方程总有两个不相等的实数根． （2）若该方程的两根互为相反数，求m的值． 15．（25-26学年九上·甘肃陇南）已知方程的一个根是6，则它的另一个根是　　　　　　　　　　　． 16．（25-26学年九上·甘肃柏树中学·期中）已知是方程的两根，则　　　　　　　　　　　　． 17．（25-26学年九上·甘肃陇南武都区·期末）关于x的一元二次方程有一个根为3，求k的值及另一个根． 18．（25-26学年九上·甘肃天水甘谷县·期中）已知方程的两根分别为，，则的值为　　　　　　　　　． 19．（25-26学年九上·甘肃张掖临泽县·期中）若、是方程的两个实数根，则的值为　　　　　　． 20．（25-26学年九上·甘肃天水麦积区·期中）已知一元二次方程的两根为，则　　　　　　． 21．（25-26学年九上·甘肃天水逸夫实验学校·期中）已知 m、n是一元二次方程 的两个实数根，则 的值为　　　　　　　． 22．（25-26学年九上·甘肃天水逸夫实验学校·期中）已知关于x的一元二次方程有两个实数根， （1）求k的取值范围； （2）若，满足，求k的值． 23．（25-26学年九上·甘肃兰州·期中）已知关于x的一元二次方程的一个根为，求m的值及方程的另一根． 24．（25-26学年九上·甘肃兰州·期中）一元二次方程的两根分别为m，n，则　　　　． 25．（25-26学年九上·甘肃定西·期中）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+2）x+2m＝0． （1）证明：不论m为何值时，方程总有实数根． （2）若方程的两个实数根x1，x2满足x1+x2﹣x1x2＝4，求m的值． 26．（25-26学年九上·甘肃临夏州·期中）已知：的两邻边，的长是关于的方程的两个实数根． （1）当为何值时，是菱形？ （2）若的长为3，求的周长． 27．（25-26学年九上·甘肃庆阳镇原县·期中）请写出一个一元二次方程，使其一个根为3，另一个根为0：　　　　　　　　　． 28．（25-26学年九上·甘肃兰州红古区·期中）阅读理解材料：已知实数m，n满足，，且，求的值． 解：由题意知m，n是方程的两个不相等的实数根， 根据一元二次方程根与系数的关系得，， ∴． 解决以下问题： （1）方程的两个实数根为，，则________，________． （2）已知实数m，n满足，，且，求的值． 29．（25-26学年九上·甘肃陇南·期中）已知关于x的方程x2+ax+a﹣2=0． （1）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根； （2）若该方程的一个根为1，求a的值及该方程的另一根． 30．（25-26学年九上·甘肃陇南·期中）设，是方程的两个实数根，则的值为　　　　　　　　　　　　　　　． 31．（25-26学年九上·甘肃庆阳镇原县·期末）已知关于的一元二次方程有两个实数根，． （1）求的取值范围； （2）若，求的值． 32．（25-26学年九上·甘肃白银·期末）已知是一元二次方程的两个不相等的实数根，则代数式的值为　　　　　　　　　　　． 33．（25-26学年九上·甘肃定西安定区·期末）已知关于的一元二次方程． （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）若的两边，的长是这个方程的两个实数根，第三边的长为，当是直角三角形时，求的值． 34．（25-26学年九上·甘肃天水麦积区·期中）已知关于的一元二次方程． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若，且该方程的两个实数根的差为4，求的值． 35．（25-26学年九上·甘肃兰州·期中）已知关于x的一元二次方程有两个实数根． （1）求k的取值范围． （2）若，求k的值． 36．（九上·甘肃白银·期中）课本再现 （1）方程的求根公式，不仅表示可由方程的系数求出方程的根，而且反映了根与系数之间的联系，即方程的两个根满足：①；②．这也称作韦达定理，是由16世纪法国数学家韦达发现的．请你选择其中一个结论进行证明． 知识应用 （2）已知一元二次方程的两根分别为，求的值． （3）已知实数，满足，，求的值． 37．（25-26学年九上·甘肃武威凉州区谢河中学·期中）已知关于的方程． （1）求证：不论为何值，该方程总有实数根； （2）若等腰的三边长分别是2，a和b，且a，b分别是一元二次方程的两个根，请求出的周长． 38．（25-26学年九上·甘肃酒泉肃州区·期中）若x1，x2是方程x2+2x﹣3=0的两根，则x1+x2=　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　． 39．（25-26学年九上·甘肃酒泉肃州区·期中）若一元二次方程的两根分别为、，则　　　　　　． 40．（25-26学年九上·甘肃吴家井中学·期中）已知关于x的一元二次方程． （1）如果方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围； （2）若的斜边边长，另两边长a，b恰好是这个方程的两个根，求k值及此三角形的面积． 41．（25-26学年九上·甘肃酒泉肃州区·期中）已知：关于的方程． （1）若方程有两个实数根，求的取值范围； （2）若两实数根、满足，求的值． 42．（25-26学年九上·甘肃陇南武都区·期中）定义：若关于x的一元二次方程的两个实数根为，，以，为横坐标和纵坐标得到点，则称点M为该一元二次方程的衍生点． 【初步思考】 （1）一元二次方程的衍生点M的坐标为               ； 【尝试应用】 （2）已知一元二次方程． ①求出该方程的衍生点M的坐标； ②由①得到的所有衍生点M都在同一条直线上，该直线的解析式为               ； （3）是否存在b，c，使得不论为何值，一元二次方程的衍生点M始终在直线的图象上，若有，请求出b，c的值；若没有，请说明理由． 考点06 实际问题与一元二次方程 1．（25-26学年九上·甘肃陇南武都区·期末）我国古代数学著作《增删算法统宗》记载了“圆中方形”问题：今有圆田一段，中间有个方池．丈量田地待耕犁，恰好三分在记，池面至周有数，每边三步无疑．其大意为有一块圆形的田，中间有一块正方形水池，测量出除水池外圆内可耕地的面积恰好72平方步，从水池边到圆周，每边相距3步远．如图，设正方形的边长是步，则可列方程为（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·甘肃兰州·期中）如图，小明家有一块长，宽的长方形土地，为了种植方便，小明爸爸准备在横、纵方向各修建一条等宽的小路（阴影部分），并且要使种植面积为，求小路的宽．设小路的宽为，则可列方程为（     ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年九上·甘肃白银·期末）习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”．我校为响应全民阅读活动，打造书香校园，在校园里建立了图书角。据统计，八（10）班第一周阅读128人次，阅读人次每周增加，到第三周累计阅读608人次，若阅读人次的周平均增长率为x可得方程（       ） A. 128(1+x)=608 B. 128(1+x）2=608 C. 128(1+x)+128(1+x)2=608 D. 128+128(1+x)+128(1+x)2=608 4．（25-26学年九上·甘肃武威凉州区·期末）《九章算术》“勾股”章有一道题：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈．问户高、广各几何．”大意是说：已知长方形门的高比宽多6尺8寸，门的对角线长1丈，那么门的高和宽各是多少？（“尺”“寸”“丈”都是我国传统的长度单位，其中1丈尺，1尺寸）设门高x尺，根据题意可列方程为（       ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年九上·甘肃天水甘谷县·期末）某商店原来每天可销售某种水果，每千克盈利元，为了减少库存，经市场调查，如果这种水果每千克降价元，那么每天可多售出，若要每天盈利元，则每千克应降价多少元？ 设每千克应降价元，则所列方程是（            ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年九上·甘肃兰州红古区·期末）如图，要在一块矩形的劳动实践基地上修建三条同样宽的道路，横向有一条，纵向有两条，除道路（阴影部分）外，剩下的都是种植区域．已知该基地的长为，宽为，种植区域的面积为．设修建的道路的宽为，则根据题意可列方程为（       ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年九上·甘肃平凉·期末）为推动产业转型升级，平凉市某企业从深圳引进工业机器人的生产线．项目方测算：若月试产产值为万元，在，两月连续保持月平均增长率，则月产值可达万元．根据题意，可列出的方程为（     ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年九上·甘肃武威凉州区吴家井中学·期末）市场上某款运动相机今年9月销量为8万台，随着其适配场景持续扩容，今年11月该款运动相机销量达到18万台，那么该款运动相机这两月销量的月平均增长率为（     ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年九上·甘肃天水麦积区·期中）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车逐渐成为人们喜爱的交通工具．某品牌新能源汽车月份的销售量为辆，月份的销售量为辆．若月份、月份该新能源汽车销售量的月平均增长率为，则可列方程为（     ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年九上·甘肃天水麦积区·期中）在中，，，．动点、分别从点、同时开始移动，点的速度为秒，点的速度为秒，点移动到点后停止，点也随之停止运动．多长时间后，能使的面积为？（     ） A. 3秒或5秒 B. 5秒 C. 3秒 D. 8秒 11．（25-26学年九上·甘肃天水逸夫实验学校·期中）如图，某小区有一块长为18米，宽为6米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为60平方米，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道．若设人行道的宽度为x米，则可以列出关于x的方程是(　　) A. x2＋9x－8＝0 B. x2－9x－8＝0 C. x2－9x＋8＝0 D. 2x2－9x＋8＝0 12．（25-26学年九上·甘肃定西·期中）某超市一月份的营业额为200万元，一季度的营业额为728万元，如果每月比上月增长的百分数相同，则平均每月的增长率为（       ） A.  B.  C.  D.  13．（25-26学年九上·甘肃兰州·期中）国产动画电影《哪吒之魔童闹海》于2025年春节档上映．截至2月13日19时11分，成功斩获100亿元票房（含预售），2月15日票房收入达到112亿元，若票房收入日均增长率相同，设票房收入的日均增长率为x，则可列方程为（     ） A.  B.  C.  D.  14．（25-26学年九上·甘肃陇南武都区·期中）《电影731》通过平民视角揭露日军反人类暴行，展现绝境下国人不屈的反抗精神．据统计，该电影自9月18日上映以来，票房持续走高，9月18日国内总票房3.44亿元，9月20日总票房达到9.96亿元．若在此期间总票房按相同的增长率增长，设增长率为x，根据题意可列方程为（     ） A.  B.  C.  D.  15．（25-26学年九上·甘肃酒泉第二中学·期中）电影《哪吒》上映以来，全国票房连创佳绩．据不完全统计，某市第一天票房约2亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达18亿元，将增长率记作x，则方程可以列为（     ） A.  B.  C.  D.  16．（九上·甘肃白银·期中）据《白银市2023年国民经济和社会发展统计公报》，2023年全市枸杞总产量为万吨．另据《白银市枸杞产业高质量发展实施方案》，全市正推进“六大行动”，计划到2025年把年产量提升到万吨．设2023-2025两年间的年均增长率为，则可列方程为（     ） A.  B.  C.  D.  17．（25-26学年九上·甘肃庆阳镇原县·期中）甘肃省图书馆创建于1916年，现坐落于甘肃省兰州市，占地6600平方米，阅览席位2000个，现藏书容量100万册．在7月份，有5000人在该图书馆借阅了名著类书籍，9月增加至7200人，设7－9月份借阅名著类书籍的人数的平均增长率为，依题意，可列方程（       ） A.  B.  C.  D.  18．（25-26学年九上·甘肃平凉庄浪县·期中）某校为了丰富学生的课余生活，增强学生的实践能力，计划在如图所示的长、宽的矩形空地上开展跳蚤市场活动，其中两块完全相同的阴影部分规划为学生摊位区域，四周空白部分为等宽的人行通道．已知学生摊位区域的总面积为，求人行通道的宽度．若设人行通道的宽度为，则根据题意可列方程为（     ） A.  B.  C.  D.  19．（25-26学年九上·甘肃武威凉州区谢河中学·期中）组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛．设比赛组织者应邀请x个队参赛，则x满足的关系式为（       ） A.  B.  C.  D.  20．（25-26学年九上·甘肃酒泉第七中学·期中）电影《哪吒之魔童闹海》一上映就受到观众热烈追捧，第一天票房约3亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达10亿元，若设票房每日增长率为x，则根据题意可列方程为（       ） A.  B.  C.  D.  21．（25-26学年九上·甘肃酒泉肃州区·期中）如图，在长为，宽为的矩形空地上修筑四条宽度相等的小路．若余下的部分全部种上花卉、且花圃的面积是．设小路的宽为，下面所列方程正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  22．（25-26学年九上·甘肃陇南）秋冬季是流感的高发季节，应该特别注意预防流感，如勤洗手、戴口罩、保持室内通风等．若有一个人患了流感，经过两轮传染后共有个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？设每轮传染中平均一个人传染了个人，根据题意，列方程为（     ） A.  B.  C.  D.  23．（25-26学年九上·甘肃兰州红古区·期中）在纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年之际，电影《南京照相馆》暑期正式上映．上映第一周票房收入达8.98亿元，第三周票房收入达12.93亿元，如果第二周、第三周票房收入按相同的增长率增长，设增长率为x，则可列方程为（       ） A.  B.  C.  D.  24．（25-26学年九上·甘肃定西临洮县·期中）随着“陇上美食，香飘全国”理念的普及，甘肃定西的特色美食——陇西腊肉的销量持续攀升．某知名陇西腊肉店的月销售量由一月份的千克增加到三月份的千克，设该腊肉店一月至三月销售量平均每月的增长率为x，则可列方程（     ） A.  B.  C.  D.  25．（25-26学年九上·甘肃陇南·期中）为解决群众看病贵的问题，有关部门决定降低药价，某种原价为元的药品连续两次降价后为元，则平均每次降价的百分率为（       ） A.  B.  C.  D.  26．（25-26学年九上·甘肃白银景泰）古希腊数学家丢番图（公元250年前后）在《算术》中就提到了一元二次方程的问题，不过当时古希腊人还没有寻求到它的求根公式，只能用图解等方法来求解．欧几里得的《原本》记载，形如的方程的图解法是（如图）：画，使，，，再在斜边上截取．则该方程的一个正根是（　　） A. 的长 B. 的长 C. 的长 D. 的长 27．（25-26学年九上·甘肃柏树中学·期中）在某次篮球比赛中，参赛的每两队之间都进行一场比赛，计划安排28场比赛，若邀请x个球队参加比赛，则可列的方程为（       ） A.  B.  C.  D.  28．（25-26学年九上·甘肃吴家井中学·期中）某商品原价148元，连续两次降价后售价为120元，下列所列方程正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  29．（25-26学年九·甘肃张掖民乐县·期末）中国首款“甘肃造”养老机器人将于今年四季度量产，填补了甘肃在机器人制造领域的空白．某公司“养老机器人”在10月份产值达到1500万元，预计12月份产值将增至3000万元，设该公司11，12两个月的月平均增长率为，则列出的方程为（     ） A.  B.  C.  D.  30．（25-26学年九上·甘肃天水·期末）古算趣题：“愚人持竿欲入门，怎奈门框把竹阻，横余五尺竖余三，焦急无措泪潸潸．有位邻居智慧高，教其斜竿对两角，愚人依言行一试，不多不少正合适，试问竿长是几何，能解此题我点赞．”大意是：“一人拿着一根竹竿进屋内，竹竿比门宽多5尺，比门高多3尺，如果竹竿斜着进门，恰好通过．若设竹竿的长为x尺，则可列方程为 A.  B.  C.  D.  31．（25-26学年九上·甘肃临夏州·期末）九年级（1）班学生毕业时，每名同学都要给其他同学写一份毕业留言作为纪念，全班学生共写了1560份留言．如果全班有名学生，根据题意，列出方程为（　　） A.  B.  C.  D.  32．（25-26学年九上·甘肃天水张家川回族自治县·期末）如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点运动；同时，点从点出发沿以的速度向点运动，点运动到点时，点也停止运动；当的面积等于时，运动时间为（          ） A. 2 B. 4 C. 10 D. 2或10 33．（25-26学年九上·甘肃陇南西和县·期末）有一个人患流感，经过两轮传染后共有64个人患流感．设每轮传染中平均一个人传染x个人，则第三轮传染后共有（     ）个人患流感 A. 7 B. 8 C. 448 D. 512 34．（25-26学年九上·甘肃兰州第五十四中学）如图，某小区居民休闲娱乐中心是一块长方形（长60米，宽40米）的场地，被3条宽度相同的绿化带分为总面积为1750平方米的活动场所，设绿化带的宽度为x米，由题意可列方程为（       ） A.  B.  C.  D.  35．（25-26学年九上·甘肃天水逸夫实验学校·期中）如图①，在矩形中，，对角线相交于点O，动点P由点A出发，沿向点D运动．设点P的运动路程为x，的面积为y，y与x的函数关系图象如图②所示，则边的长为（       ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 4或6 36．（25-26学年九上·甘肃兰州·期中）我国古代数学家赵爽（公元世纪）在其所著的《勾股圆方图注》中记载过一元二次方程（正根）的几何解法．以方程即为例说明，记载的方法是：构造如图面积是的大正方形．同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，因此，所以．则在下列四个构图中，能正确说明方程解法的构图是（　　） A.  B.  C.  D.  37．（25-26学年九上·甘肃酒泉第七中学·期中）新年里，一个小组有若干人，若每人给小组的其它成员赠送一张贺年卡，则全组送贺卡共90张，设小组有人，列方程正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  38．（25-26学年九上·甘肃酒泉肃州区·期中）若x支球队参加篮球比赛，共比赛了42场，每2队之间都比赛两场，则下列方程中符合题意的是(       ) A. x(x﹣l)＝42 B. x(x+1)＝42 C. x(x﹣l)＝42 D. x(x+1)＝42 39．（25-26学年九上·甘肃兰州第八十一中学·期中）在某篮球邀请赛中，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共比赛36场，设有x个队参赛，根据题意，可列方程为（） A.  B.  C.  D.  40．（25-26学年九·甘肃武威第十七中学·期末）某品牌毛衣平均每天可以售出10件，每件盈利40元．受气温影响，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利．经市场调查发现：每件毛衣每降价1元，平均每天就可以多售出2件，如果该商场要使每天销售该品牌毛衣的盈利为700元，且每件该品牌毛衣的盈利不低于20元，求每件该品牌毛衣应降价多少元？ 41．（25-26学年九上·甘肃平凉庄浪县·期末）某水果经销商以每千克8元的价格购进一批葡萄，若按每千克20元的价格销售，平均每天可售出60千克．经市场调研发现，若这批葡萄每千克的售价每降低1元，平均每天的销售量将增加10千克，为了尽快减少库存，该水果经销商决定降价销售．请问水果经销商每天销售该品种葡萄获得的利润能否达到800元？如果能，求出葡萄的销售单价；如果不能，请说明理由． 42．（25-26学年九上·甘肃庆阳镇原县·期末）随着《初见庆阳》宣传片在各媒体的播放，优美的生态风光，极具特色的农村文旅产业备受大众青睐．2024年8月份华池县某民宿的营业额为4万元，随着大批游客的到来，营业额稳步提升，10月份的营业额达到5.76万元，求该民宿8月份9月份营业额的月平均增长率． 43．（25-26学年九上·甘肃白银·期末）某种商品每件盈利60元，平均每天可销售40件，为了减少库存，现商场决定采取适当的降价措施，经调查，每件商品每降价1元，商场平均每天可多销售2件． （1）当每件盈利减少到50元时，每天可销售__________件？ （2）当每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到3000元？ （3）该商场日盈利能否达到3300元？请说明理由． 44．（25-26学年九上·甘肃酒泉肃州区·期末）某童装店销售一批童装，这批童装的进价为80元/件，售价为120元/件，平均每天可售出20件．为扩大销量，童装店采取了降价措施．通过调查发现，每件童装每降价1元童装店平均每天可多售出2件童装，若童装店销售这批童装平均每天的盈利为1200元．求这批童装降价后每件的售价． 45．（25-26学年九上·甘肃兰州红古区·期末）某大学生自主创业，推出销售某纪念品活动，已知纪念品每件的进货价为30元，经市场调研发现，当该纪念品的销售单价为40元时，每天可销售280件；当销售单价每增加1元，每天的销售数量将减少10件．（销售利润=销售总额-进货成本） （1）当该纪念品的销售单价为多少元时，该产品的当天销售利润是2610元． （2）该纪念品的当天销售利润有可能达到3700元吗？若能，请求出此时的销售单价；若不能，请说明理由． 46．（25-26学年九上·甘肃陇南西和县·期末）公安部交管局部署“一盔一带”安全守护行动，带动了市场头盔的销量．某头盔经销商5至7月份统计，某品牌头盔5月份销售2250个，7月份销售3240个，且从5月份到7月份销售量的月增长率相同．求该品牌头盔销售量的月增长率． 47．（25-26学年九上·甘肃陇南·期末）2024年巴黎奥运会顺利闭幕，吉祥物“弗里热”深受奥运迷的喜爱，小红、小亮去某商场买“弗里热”纪念品后的对话如下： 小红：该商场每个“弗里热”纪念品的进价是20元． 小亮：当该商场每个“弗里热”纪念品的售价为30元时，每周可售出500个，售价每上涨1元，平均每周的销售量就减少10个． 根据他们的对话，解决下面的问题： （1）若每个“弗里热”纪念品的售价上涨3元，则该商场平均每周可以获得销售利润________元． （2）若该商场计划一周的利润达到8000元，又要尽可能让顾客得到实惠，则每个“弗里热”纪念品的售价应定为多少元？ 48．（25-26学年九上·甘肃张掖临泽县·期中）龙华天虹商场以120元/件的价格购进一批上衣，以200元/件的价格出售，每周可售出100件．为了促销，该商场决定降价销售，尽快减少库存．经调查发现，这种上衣每降价5元/件，每周可多售出20件．另外，每周的房租等固定成本共3000元．该商场要想每周盈利8000元，应将每件上衣的售价降低多少元？ 49．（25-26学年九上·甘肃张掖临泽县·期中）如图，老李想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈，并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料）．    （1）当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640的羊圈？ （2）羊圈的面积能达到吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 50．（25-26学年九上·甘肃定西·期中）已知一根铁丝的长度为． （1）将它围成一个面积为的矩形，求矩形的长与宽； （2）这根铁丝能围成面积为的矩形吗？通过计算说明理由． 51．（25-26学年九上·甘肃酒泉肃州区·期中）如图1，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为的住房墙，另外三边用长的建筑材料围成． （1）要使所围矩形猪舍的面积达到，求猪舍的长和宽． （2）农户想在现有材料的基础上扩建矩形猪舍面积达到，小红为该农户提出了一个意见：“为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个宽的门就行”，如图2，请通过计算求小红设计的猪舍的长和宽？ 52．（25-26学年九上·甘肃酒泉肃州区·期中）某种服装，平均每天可销售30件，每件赢利40元，网查发现，若每件降价1元，则每天可多售6件，如果每天要赢利2100元，每件应降价多少元？设该服装每件降价x元，根据题意可列方程　　　　． 53．（25-26学年九上·甘肃酒泉肃州区·期中）为了让大家都能用上实惠药，医保局与药商多次谈判，将一种原价每盒100元的药品，经过两次降价后每盒64元，两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率是　　　　　　． 54．（25-26学年九上·甘肃酒泉肃州区·期中）某种药品原来售价元，连续两次降价后售价为元，若每次下降的百分率相同，求这种药品下降的百分率． 55．（25-26学年九上·甘肃陇南）如图，在矩形中，，，点P从点A出发，沿以的速度向点B运动，同时点Q从点B出发，沿以的速度向点C运动，点P到达终点后，P，Q两点同时停止运动．当运动多少时，的面积是． 56．（25-26学年九上·甘肃陇南·期中）杨辉是世界上第一个排出丰富的纵横图和讨论其构成规律的数学家，他与秦九韶、李冶、朱世杰并称“宋元数学四大家”．他所著《田亩比类乘除算法》（1275年）中提出这样一个问题：“直田积（矩形面积八百六十四步（平方步），阔不及长一十二步（宽比长少一十二步），问阔及长各几步．”若设阔为步，则可列方程为　　　　　　　　　　　． 57．（25-26学年九上·甘肃陇南·期中）疫情期间，小颖在家制作一种工艺品，并通过网络进行线上销售．经过一段时间后发现：当售价是40元/件时，每天可售出该工艺品60件，且每件的售价每降低1元，就会多售出3件．若每件工艺品需要19元成本，设该工艺品的售价为x元/件（）． （1）请用含x的代数式填空： ①销售每件工艺品的利润为________元； ②每天能售出该工艺品的件数为________． （2）为了支持抗疫行动，小颖决定每销售一件该工艺品便通过网络平台自动向医疗基金会捐款1元，若每天销售该工艺品的纯利润为900元，求该工艺品的售价． 58．（25-26学年九上·甘肃兰州第八十一中学·期中）2022年北京冬奥会吉祥物深受大家的喜欢，某特许零售店的冬奥会吉祥物销售量日益火爆．据统计，该店2022年1月的“冰墩墩”销量为1万件，2022年3月的“冰墩墩”销量为1.21万件． （1）求该店“冰墩墩”销量的月平均增长率； （2）该零售店4月将采用提高售价的方法增加利润，根据市场调研得出结论：如果将进价80元的“冰墩墩”按每件100元出售，每天可销售500件，在此基础上售价每涨1元，那么每天的销售量就会减少10件，该零售店要想每天获得12000元的利润，且销量尽可能大，则每件商品的售价应该定为多少元？ 59．（25-26学年九上·甘肃兰州第八十一中学·期中）兰州市第六十六中学的操场可近似地看作一个矩形，已知学校操场的长比宽多，且其面积为．求学校操场的长度和宽度分别是多少米？ 60．（25-26学年九上·甘肃陇南西和县）某水果批发商经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克．经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该批发商要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？ （1）设每千克应涨价x元，根据问题中的数量关系，用含x的代数式填表： 每千克盈利（元） 每天销售量（千克） 每天盈利（元） 涨价前 10 500 5000 涨价后 ______ ______ 6000 （2）列出方程，并求问题的解． 61．（25-26学年九上·甘肃吴家井中学·期中）某服装店将进货价为66元的服装以110元售出，平均每天可售出20件，在每件降价幅度不超过10元的情况下，若每件降价1元，则每天可多售5件．如果每天要盈利1600元，每件应降价多少元？ 62．（25-26学年九上·甘肃吴家井中学·期中）已知两个连续整数的积为132，则这两个整数的和为　　　　　　　　　　　． 63．（25-26学年九·甘肃张掖民乐县·期末）项目化学习 项目主题探究东湾驴肉销售利润 项目背景：东湾驴肉是甘肃靖远县传统名吃，历史可追溯至西汉，以其独特的制作方法，色鲜味美和滋补价值而闻名．某校学习小组以探究东湾驴肉销售利润问题为主题开展项目学习． 驱动任务：按预期利润制定合理售价． 收集数据： 素材 某特产专卖店销售东湾驴肉，其进价为每斤元，按每斤元出售，平均每月可售出斤，后经市场调查发现，单价每降低元，平均每月的销售量可增加斤． 解决问题： （1）若每月的销售量为斤，则每斤东湾驴肉的售价为_________元； （2）若专卖店销售东湾驴肉想要平均每月获利元，求东湾驴肉的售价应定为多少元？ 64．（25-26学年九上·甘肃陇南·期末）景德镇瓷器举世闻名．某商家购入一批进价为30元/个的艺术瓷盘进行销售，经市场调查发现：销售单价不低于进价时，日销售量（单位：个）与销售单价（单位：元）是一次函数关系，下表是与的几组对应值； 销售单价x/元 ．．． 36 38 40 42 ．．． 日销售量/个 ．．． 64 62 60 58 ．．． （1）关于的函数表达式为_____．（不用写的取值范围） （2）艺术瓷盘销售单价定为多少元时，所获日销售利润为600元且尽量兼顾顾客的利益？ 65．（25-26学年九上·甘肃白银·期末）某淘宝网店销售台灯，成本为每个30元．销售大数据分析表明：当每个台灯售价为40元时，平均每月售出600个；若售价每下降1元，其月销售量就增加200个． （1）若售价下降1元,每月能售出     个台灯，若售价下降x元(),每月能售出       个台灯．      （2）为迎接“双十一”，该网店决定降价促销，在库存为1210个台灯的情况下，若预计月获利恰好为8400元，求每个台灯的售价． （3）月获利能否达到9600元，说明理由． 66．（25-26学年九上·甘肃天水·期末）2023年在杭州举办的亚运会令世界瞩目，吉祥物“琮琮”、“莲莲”、“宸宸”家喻户晓，其相关产品成为热销产品．某商店购进了一批吉祥物毛绒玩具，进价为每个30元．若毛绒玩具每个的售价是40元时，每天可售出80个；若每个售价提高1元，则每天少卖2个． （1）设该吉祥物毛绒玩具每个售价定为元，求该商品销售量与之间的函数关系式； （2）如果每天的利润要达到1050元，并且尽可能让利于顾客，每个毛绒玩具售价应定为多少元？ 67．（25-26学年九上·甘肃临夏州·期末）根据以下素材，探索完成任务 素材1 泥塑，俗称＂彩塑＂，泥塑艺术是中国民间传统的一种古老常见的民间艺术．某泥塑作坊制作泥塑进行销售，7月份制作泥塑1000件，同年9月份制作泥塑1440件． 素材2 泥塑的制作每件成本为30元，销售一段时间后发现，当泥塑每件售价为40元时，月销售量为400件．若在此基础上每件售价上涨1元，则月销售量将减少10件． 问题解决 任务1 求该泥塑作坊7月份到9月份制作泥塑数量的月平均增长率； 任务2 为使月销售利润达到6000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该泥塑每件应涨价多少元？ 68．（25-26学年九上·甘肃天水甘谷县·期末）开封万岁山景区为吸引游客，推出“宋文化体验月”活动，四月份接待游客100万人次，六月份接待游客增至144万人次，假设每月游客量的增长率相同． （1）求该景区游客量的月平均增长率． （2）按照这个增长率，预计七月份接待游客将达到多少万人次？ 69．（25-26学年九上·甘肃天水张家川回族自治县·期末）如图，利用一面墙（墙的最大可利用长度为米），用栅栏围成一个矩形场地（靠墙一面不用栅栏），中间再用栅栏分隔成两个小矩形，且在如图所示位置留两个1米宽的小门，若所用栅栏的总长度为米，设栅栏的长为x米，解答下列问题： （1）_____米（用含x的代数式表示）； （2）若矩形场地面积为平方米，求栅栏的长． 70．（25-26学年九上·甘肃定西安定区·期末）“山竹”牵动着全国人民的心，某单位开展了“一方有难，八方支援”赈灾捐款活动，第一天收到捐款1000元，第三天收到捐款1440元． （1）如果第二天、第三天收到捐款的增长率相同，求捐款增长率； （2）按照（1）中收到的捐款的增长速度，第四天该单位能收到多少捐款？ 71．（25-26学年九上·甘肃武威凉州区吴家井中学·期末）某工厂生产某种产品，今年产量为200件，计划通过技术改造，使今后两年的增长率都相同，两年后产量达到288件，求增长率． 72．（25-26学年九上·甘肃兰州第八十一中学·期末）某种服装平均每天可销售20件，每件盈利44元，若每件降价1元，每天可多售5件，若设每件降价x元． （1）根据题意，填表： 每件利润（元） 销售量（件） 利润（元） 降价前 44 20 880 降价后 ① ② （2）若每天盈利1600元，则每件应降价多少元？ 每件利润（元） 销售量（件） 利润（元） 降价前 44 20 880 降价后 44﹣x 20+5x （44﹣x）（20+5x） 73．（25-26学年九上·甘肃兰州第十一中学·期中）如图，用长为22米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为14米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在BC上用其他材料做了宽为1米的两扇小门． （1）设花圃的一边AB长为x米，请你用含x的代数式表示另一边AD的长为　     　米； （2）若此时花圃的面积刚好为45m2，求此时花圃的长与宽． 74．（25-26学年九上·甘肃天水甘谷县·期中）随着科技的不断进步，人工智能（）正逐渐渗透到我们的生活和工作．从家庭助手到自动驾驶汽车，再到智能医疗，的应用前景广阔且充满无限可能．某人工智能科技体验馆在十一假期间为学生们制订了丰富多彩的体验活动，团体票收费标准为：如果人数不超过10人，人均费用为240元；如果人数超过10人，每增加1人，人均费用降低5元，但人均旅游费用不得低于170元． （1）若有14人参加旅游，人均费用是________元． （2）某兴趣小组的学生们去参加体验活动，团体票的费用共3600元，求参加活动的学生人数． 75．（25-26学年九上·甘肃兰州第五十四中学）随着“绿色出行，低碳生活”理念的普及，新能源汽车逐渐成为人们喜爱的交通工具、新能源汽车多数采用电能作为动力来源，不需要燃烧汽油，这样就减少二氧化碳气体的排放，达到保护环境的目的，在国家积极政策的鼓励下，新能源汽车的市场需求逐年上升． （1）某品牌新能源汽车1月份销售量为7.5万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐月递增，3月份的销售量达到10.8万辆车．求从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率． （2）某汽车销售公司抢占先机，购进一批新能源汽车进行销售，该公司选择一款进价为15万元/辆的新能源汽车，经销一段时间后发现：当该款汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆；售价每降低0.5万元，平均每周多售出1辆，若该店计划下调售价使平均每周的销售利润为96万元．为推广新能源汽车，此次销售尽量让利于顾客，求下调后每辆汽车的售价． 76．（25-26学年九上·甘肃兰州外国语学校·期中）兰州某特产专卖店销售某种特产，其进价为每千克元，按每千克元出售，平均每天可售出千克，后经市场调查发现，单价每降低元，平均每天的销售量可增加千克．专卖店销售这种特产若想要平均每天获利元，且销售量尽可能大，则每千克特产应降价多少元？ 77．（25-26学年九上·甘肃天水麦积区·期中）2025年第十届中国（太原）国际茶产业博览会于7月4日-7日在晋阳湖国际会展中心举办．养生茶是以食材或药材制作的茶饮品，让人们通过饮茶的方式达到养生保健的目的，陈皮茶具有祛痰止咳，促进消化的功效，某电商主播以每罐20元的价格购进了一批陈皮茶，根据以往的销售经验，当售价定为每罐24元时，每天可售出160罐．经市场调研发现，若每罐陈皮茶的售价每上涨1元，则平均每天少售出10罐．电商平台规定：在该电商平台销售的商品利润率不能高于，若该主播希望通过销售陈皮茶平均每天获得960元的利润，求每罐陈皮茶的售价． 78．（25-26学年九上·甘肃天水麦积区·期中）新能源汽车如今已成为越来越多人购车的首选．为了方便居民充电，某小区将一块长为米、宽为米的长方形停车场进行改造．如图所示，在停车场内部沿着两条相邻边各划出相同宽度的区域安装充电桩，剩余停车场的面积为平方米．请问边和各减少了多少米？ 79．（25-26学年九上·甘肃天水逸夫实验学校·期中）深圳湾文化广场凭借“”造型建筑成为网红打卡地，某商家推出以其建筑轮廓为原型的金属纪念徽章．运营数据显示：每个徽章的进货成本为30元，若每个徽章定价60元，平均每天可售出20个；当每个徽章的售价每降低5元，平均每天的销售量就会增加10个． （1）当每个徽章的售价降低20元时，该商家平均每天可售出               个徽章，每天销售徽章的利润可达到               元； （2）为让顾客得到实惠，每个徽章的售价降低多少元时，商家每天销售徽章的利润可达到750元？ 80．（25-26学年九上·甘肃兰州·期中）综合与实践： 主题：将一张长为，宽为的长方形硬纸板制作成一个有盖长方体收纳盒． 方案设计：如图①，把硬纸板的四角剪去四个相同的小长方形，折成一个如图②所示的有盖长方体收纳盒，和两边恰好重合且无重叠部分． 任务一：若收纳盒的高为，求该收纳盒的底面的边的长； 任务二：若收纳盒的底面积为．求该收纳盒的高． 81．（25-26学年九上·甘肃兰州·期中）天水樱桃果实味美，营养丰富，深受消费者喜爱．某水果商店购入进价为元/千克的樱桃，若售价为元/千克，则一个月可售出千克；若售价在元/千克的基础上每涨价1元，则月销售量就减少千克．通过调查市场行情发现卖樱桃不会亏本． （1）当售价为元/千克时，每月销售樱桃多少千克？ （2）当月利润为元时，每千克樱桃售价为多少元？ 82．（25-26学年九上·甘肃兰州·期中）如图，在矩形中，，．点P从点D出发向点A运动，运动到点A即停止；同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是．连接、、，设点P、Q运动的时间为． （1）当运动t秒时，线段______，______（用含有t的代数式表示）； （2）求当t为何值时，四边形是菱形； （3）如图2，在运动过程中，沿着把翻折，求当t为何值时，翻折后点B的对应点恰好落在边上． 83．（25-26学年九上·甘肃兰州·期中）甘肃是面食之乡，其中“金城炒面”也最为有名，它浓郁的西北辣子的香味、爽滑入口、口感劲道，与兰州牛肉面一样享誉全国．兰州某餐馆一份炒面成本价为7元，若每份卖12元，平均每天销售160份，若价格每提高1元，平均每天少销售10份，每份炒面价格是多少元时，该餐馆能实现每天1080元的利润？ 84．（25-26学年九上·甘肃陇南武都区·期中）九（2）班元旦晚会上，某合唱小组每两位同学间互赠一张贺卡，共赠贺卡30张，该合唱小组人数为　　　　　　　　　人． 85．（25-26学年九上·甘肃陇南武都区·期中）某校新建一个三层停车楼，每一层布局如图所示．已知每层长为50米，宽30米．阴影部分设计为停车位，地面需要喷漆，其余部分是等宽的通道，已知喷漆面积为1056平方米． （1）求通道的宽是多少米． （2）据调查分析，停车场多余64个车位可以对外出租，当每个车位的月租金为200元时，可全部租出；每个车位的月租金每上涨10元，就会少租出1个车位，当每个车位的月租金上涨多少元时，既能优惠大众，又能使对外开放的月租金收入为14400元？ 86．（25-26学年九上·甘肃陇南武都区·期中）如图所示，在中，，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度运动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度运动，点P，Q同时开始运动． （1）运动几秒后，的面积为？ （2）运动几秒后，的长度为？ （3）P，Q运动过程中，线段能把分成面积相等的两部分吗？如果能，请求出P，Q的运动时间；如果不能，请说明理由． 87．（25-26学年九上·甘肃临夏州·期中）靖远县薰衣草庄园准备再次绿化，向某园林公司购买了一批树苗，园林公司规定：如果购买树苗不超过60棵，每棵售价为元；如果购买树苗超过棵，每增加1棵，所出售的这批树苗每棵售价均降低元，但每棵树苗的最低售价不得少于元． （1）当购买棵树苗时，所需的树苗款为________元；当购买棵树苗时，每棵树苗的售价在元的基础上降价________元，最后的售价是________元． （2）庄园向园林公司支付树苗款元，请问该庄园共购买了多少棵树苗？ 88．（25-26学年九上·甘肃酒泉第二中学·期中）酒泉市公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔月份到月份的销量，该品牌头盔月份销售个，月份销售个，月份到月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为元个，商家经过调查统计，当售价为元个时，月销售量为个，若在此基础上售价每上涨元个，则月销售量将减少个，为使月销售利润达到元，且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔每个售价应定为多少元？ 89．（九上·甘肃白银·期中）项目式学习 某校综合与实践活动小组针对货物的销售单价与日销售量开展了项目式学习活动，请你参与活动，并与他们共同完成该项目任务． 项目主题：商品销售策略的制定． 驱动问题：某玩具店老板欲购进一批进价为20元/个的益智玩具，请你运用所学的数学知识根据市场情况和该玩具店老板的要求，帮助他制定这种益智玩具的销售策略． 任务一：市场调查 调查附近A，B，C，D，E五家玩具店近期销售这种益智玩具的销售单价（单位：元）和日销售量（单位：个）的情况，记录如下表： 玩具店 A B C D E 销售单价/元 60 59 58 57 56 日销售量/个 20 22 24 26 28 任务二：模型建立 （1）求该益智玩具的日销售量与销售单价之间的函数关系式． 任务三：问题解决 （2）如果该玩具店的房租、水电费、人工费等每天的支出为200元，该玩具店老板想要每天获得600元的利润，同时为了尽快减少库存，那么该益智玩具的销售单价应定为多少元？ 90．（25-26学年九上·甘肃庆阳镇原县·期中）一个直角三角形的两条直角边的和是，面积是．求两条直角边的长． 91．（25-26学年九上·甘肃庆阳镇原县·期中）某菱形的两条对角线长都是方程x2－6x＋8＝0的根，则该菱形的周长为　　　　　 92．（25-26学年九上·甘肃平凉庄浪县·期中）某超市以每箱25元的进价购进一批龙眼．当该龙眼的售价为40元/箱时，七月销售250箱，八、九月该龙眼十分畅销，销量持续上涨，在售价不变的基础上，九月的销量达到360箱． （1）若七月份到九月份的月平均增长率都相同，求这两个月的月平均增长率． （2）十月份该超市为了减少库存，开始降价促销．经调查发现，该龙眼每箱每降价1元，月销量在九月销量的基础上增加5箱．当龙眼每箱降价多少元时，该超市十月可获利元? 93．（25-26学年九上·甘肃武威凉州区谢河中学·期中）某人患了流感，经过两轮传染后，共有36人患了流感．求每一轮传染中平均每人传染了多少个人． 94．（25-26学年九上·甘肃酒泉第七中学·期中）如图，在矩形中，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动．如果，分别从，同时出发，当点运动到点时，两点停止运动．设运动时间为秒．． （1）当_______时，的长度等于（直接填结果）； （2）连接，是否存在的值，使得的面积等于？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由． 95．（25-26学年九上·甘肃酒泉第七中学·期中）如图，有长为30m的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为10m），围成中间隔有一道篱笆（平行于AB）的长方形花圃．    （1）设花圃的一边AB为xm，则BC的长可用含x的代数式表示为______m； （2）当AB的长是多少米时，围成的花圃面积为63平方米？ 96．（25-26学年九上·甘肃酒泉第七中学·期中）2023年亚运会在杭州顺利举行，亚运会吉祥物“江南忆”公仔爆红．据统计“江南忆”公仔在某电商平台8月份的销售量是5万件，10月份的销售量是7.2万件． （1）若该平台8月份到10月份的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？ （2）市场调查发现，某一间店铺“江南忆”公仔的进价为每件40元，若售价为每件80元，每天能销售20件，售价每降价2元，每天可多售出8件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售该公仔每天获利1400元，则每件售价应降低多少元？ 97．（25-26学年九上·甘肃酒泉肃州区·期中）年月日，神舟十五号发射升空，中国首次实现空间站三船三舱构型，以及6名航天员同时在轨驻留．某网店为满足航空航天爱好者的需求，特推出了“中国空间站”模型．已经知该模型平均每天可售出个，每个盈利元．为了扩大销售，该网店准备适当降价，经过一段时间测算，每个模型每降低1元，平均每天可以多售出2个． （1）若每个模型降价4元，平均每天可以售出多少个模型？此时每天获利多少元？ （2）在每个模型盈利不少于元的前提，要使“中国空间站”模型每天获利元，每个模型应降价多少元？ 98．（25-26学年九上·甘肃兰州红古区·期中）（多选）落日熔金，沙海与碧波相映成辉，千年壁画随歌声苏醒．8月29日，由抖音主办，甘肃省文化和旅游厅、敦煌市委宣传部指导举办的鸣沙山月牙泉“抖音七夕落日派对”隆重启幕．如图，现准备利用活动场地一面墙（最长可用），用总长为的丝带（靠墙一面不用丝带）围成一个矩形观众区．当AB长度为多少时，矩形观众区的面积为？ 99．（25-26学年九上·甘肃兰州红古区·期中）某超市销售一批精装玩偶，平均每天能售出20个，每个盈利15元．为了扩大销售、增加盈利及尽快减少库存，超市决定采取适当的降价措施，经调查发现，当每个玩偶每降价1元时，平均每天可多售出4个．超市要想使这批玩偶的销售利润平均每天达到396元，每个玩偶应降价多少元？ 100．（25-26学年九上·甘肃定西临洮县·期中）（多选）学校打算用21米的篱笆围成两间长方形兔舍饲养小兔，兔舍的一面靠墙（如图，墙足够长）． （1）如果AB边长为x米，求BC边长（用含x的代数式表示）； （2）若两间兔舍的总面积是30平方米，求AB的长． 101．（25-26学年九上·甘肃白银景泰）有一根长为的铁丝，用它围成一个矩形． （1）当矩形的面积为时，求矩形的长和宽； （2）能围成面积为的矩形吗？说明理由． 102．（25-26学年九上·甘肃白银景泰）近期，我国多地出现了因肺部感染支原体病毒爆发的支原体肺炎流感．现有一个人因感染了支原体病毒，感冒发烧，经过两轮传染后共有人感染，则每轮传染中平均一个人传染的人数是　　　　　　． 103．（25-26学年九上·甘肃白银景泰）嘉峪关文物景区位于甘肃省嘉峪关市，是首批国家级旅游景区，有“天下第一雄关”“中外巨防”“河西锁钥”“丝路咽喉”之称．“十一”假期间，为了吸引游客组团来旅游，特推出了如下门票标准： 标准一：如果人数不超过20人，门票价格为110元/人； 标准二：如果人数超过20人，每超过1人，门票价格降低2元，但门票价格不低于90元/人． （1）若某单位组织22人去嘉峪关文物景区旅游，购买门票费用为_____元； （2）若某单位支付该景区门票费用共计2500元，试求该单位共有多少名员工去该景区旅游． 104．（25-26学年九上·甘肃柏树中学·期中）2025年哈尔滨第九届亚冬会吉祥物“滨滨“和“妮妮“以东北虎为原型设计，寓意“哈尔滨欢迎您”，深受市民和游客喜爱．某特许商品零售店推出吉祥物毛绒玩偶，每件进价35元．根据市场调研，若售价定为50元时，每天可售出200件，售价每下降1元，销量增加20件．若商家要想获利3080元，且让顾客获得更大实惠，则这种玩偶每件应降价多少元？ 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $