专题09 相似（期中真题汇编，甘肃专用）九年级数学上学期

专题09 相似 6大高频考点概览 考点01 图形的相似 考点02 平行线分线段成比例 考点03 三角形相似的判定 考点04 相似三角形的性质 考点05 相似三角形的应用 考点06 位似 考点01 图形的相似 1．（25-26学年九上·甘肃定西渭源县·期末）在下列各组图形中，一定相似的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据相似图形的定义，对选项进行一一分析，排除错误答案． 【详解】 解：A．形状不相同，不符合相似图形的定义，此选项不符合题意； B．形状不相同，不符合相似图形的定义，此选项不符合题意； C．形状不相同，不符合相似图形的定义，此选项不符合题意； D．形状相同，但大小不同，符合相似图形的定义，此选项符合题意； 故选：D． 【点睛】 本题考查的是相似图形的定义，即图形的形状相同，但大小不一定相同的两个图形是相似图形，掌握相似图形的定义是解题的关键． 2．（25-26学年九上·甘肃天水甘谷县·期末）如图，用放大镜看到的多边形与原多边形相比较，不发生改变的是（       ） A. 周长 B. 面积 C. 每个内角的度数 D. 每条边的长度 【答案】C 【分析】 本题考查了相似多边形的性质，熟记相关结论即可解答． 【详解】 解：由题意得：用放大镜看到的多边形与原多边形是相似的关系， 用放大镜看到的多边形与原多边形相比较，周长、面积、每条边的长度的长度均增大了， 每个内角的度数保持不变， 故选：C． 3．（九上·甘肃白银·期中）下列各组线段能组成比例线段的是（     ） A. ，，， B. ，，， C. ，，， D. ，，， 【答案】A 【分析】 本题主要考查了比例线段的知识，将四条线段按从大到小的顺序排列，看最大数与最小数的乘积是否等于中间两个数的乘积即可判断． 【详解】 解：因为，所以A中四条线段成比例，符合题意； 因为，所以B中四条线段成比例，不符合题意； 因为，所以C中四条线段成比例，不符合题意； 因为，所以D中四条线段成比例，不符合题意． 故选：A． 4．（25-26学年九上·甘肃酒泉肃州区·期中）已知线段为成比例线段，其中，则等于（　　） A. 1 B. 4 C. 9 D. 12 【答案】C 【分析】 由、、、四条线段是成比例的线段，根据成比例线段的定义计算即可． 【详解】 解：∵，，，是成比例线段， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】 此题考查了成比例线段的定义．此题比较简单，解题的关键是注意掌握比例线段的定义． 5．（25-26学年九上·甘肃兰州第八十一中学·期中）如图，四边形ABCD∽四边形EFGH，∠A＝80°，∠C＝90°，∠F＝70°，则∠H的度数为（       ） A. 70° B. 80° C. 110° D. 120° 【答案】D 【分析】 根据相似多边形的性质以及四边形内角和求解即可． 【详解】 ∵ 四边形 ABCD∽ 四边形 EFGH，∠A=80°，∠C=90°，∠F=70° ， ∴∠E=∠A=80°，∠G=∠C=90° ∴∠H=360°−∠E−∠F−∠G=360°−80°−70°−90°=120° 故选D 【点睛】 本题考查了相似多边形的性质以及四边形内角和，掌握相似多边形的性质是解题的关键． 6．（25-26学年九上·甘肃兰州榆中县·期末）下列各组图形中，不是相似图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查相似图形，相似图形是指具有相同形状但大小不同的图形，由此判断即可． 【详解】 解：A．两个图形形状相同，大小不同，是相似图形，不合题意； B．两个图形形状相同，大小不同，是相似图形，不合题意； C．两个图形形状相同，大小不同，是相似图形，不合题意； D．两个图形形状不同，不是相似图形，符合题意； 故选：D． 7．（25-26学年九上·甘肃兰州第五中学·期末）大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，经常也会产生最具美感的黄金分割比．如图，点为线段的黄金分割点，若，则的长为（　　）． A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查黄金分割比，掌握黄金分割的定义是关键． 由黄金分割的定义可得，，代入值计算即可． 【详解】 解：∵点为线段的黄金分割点， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选D． 8．（25-26学年九上·甘肃陇南·期末）下列各组图形中，一定相似的是（     ） A. 任意两个菱形 B. 任意两个矩形 C. 任意两个三角形 D. 任意两个正方形 【答案】D 【分析】 本题考查了相似图形的定义．相似图形需对应角相等且对应边成比例，菱形的内角不一定相等, 矩形边不一定成比例，三角形不一定相似，而正方形所有角均为且所有边相等，故一定相似，据此进行分析，即可作答． 【详解】 解：A、菱形的四边相等，但菱形的内角不一定相等，故任意两个菱形不一定相似，不符合题意； B、矩形的内角都是90度，但边不一定成比例，故任意两个矩形不一定相似，不符合题意； C、任意两个三角形的边不一定成比例，角不一定相等，故任意两个三角形不一定相似，不符合题意； D、正方形所有角均为且所有边相等，故任意两个正方形一定相似，符合题意； 故选：D 9．（25-26学年九上·甘肃白银·期末）如果，那么下列各式中不成立的是（ ） A. ； B. ； C. ； D.  【答案】D 【详解】试题分析：由题意分析可知：A中，，故不选A；B中，，故不选;C中，；D中，，故选D 考点：代数式的运算 点评：本题属于对代数式的基本运算规律和代数式的代入分析的求解 10．（25-26学年九上·甘肃兰州第二十二中学·期末）如果，那么的值为（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了比例的性质，由已知比例，设，（其中），再代入所求表达式计算即可． 【详解】 解：∵， ∴设，（其中）， 则． 故选：A． 11．（25-26学年九上·甘肃兰州红古区·期末）已知，，，依次成比例线段，若，，，则线段的长为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题主要考查了成比例线段的应用，掌握比例线段的关系是解题的关键． 根据成比例线段的定义，有，代入已知值求解即可． 【详解】 解：∵，，，是成比例线段， ∴. 代入，，， 得， 解得， 故选C． 12．（25-26学年九上·甘肃兰州第八十一中学·期末）鹦鹉螺曲线的每个半径和后一个半径的比都是黄金比例，是自然界最美的鬼斧神工．如图，是的黄金分割点，若线段的长为4cm，则的长为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据黄金分割的定义可得据此求解即可． 【详解】 解：∵P是AB的黄金分割点，， ∴； 故选：A． 【点睛】 本题主要考查了黄金分割比例，熟知黄金分割比例是解题的关键． 13．（25-26学年九上·甘肃张掖临泽县·期中）校园里一片小小的树叶蕴含着“黄金分割”，如图，为的黄金分割点，如果的长度为，那么的长为（） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．根据题意可得，据此即可求得，再求出的长即可． 【详解】 解：为的黄金分割点，， ， 的长度为， ， ， ， 故选：D． 14．（25-26学年九上·甘肃兰州第五十四中学）如图，把线段分成两条线段和．若，则称点为线段的一个黄金分割点．主持人在主持节目时，站在舞台的黄金分割点处最自然得体．已知舞台长为20米，主持人所站位置为点（其中），则的长为（     ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】C 【分析】 本题考查了黄金分割的概念，能够利用概念去进行计算是关键． 根据黄金分割比值进行计算即可 【详解】 解：∵，，， ∴（米）， 故选：C． 15．（25-26学年九上·甘肃天水麦积区·期中）下列每个选项中的两个图形，不是相似图形的是（     ） A.      B.      C.      D.      【答案】D 【分析】 本题考查了相似图形，根据相似图形的概念即可作出判断．判断两个图形是否相似，就是看两个图形是不是形状相同，与其他因素无关． 【详解】 解：由相似图形的概念知，选项中D的两个图形不相似； 故选：D． 16．（25-26学年九上·甘肃天水逸夫实验学校·期中）两个相似多边形的周长比是，其中小多边形的面积为，则较大多边形的面积为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据相似多边形的周长比得到面积的比，进而得解． 【详解】 解：∵两个相似多边形的周长比是， ∴两个相似多边形的相似比是， ∴两个相似多边形的面积比是， ∵小多边形的面积为， ∴较大多边形的面积为， 故选：C． 【点睛】 此题考查了相似多边形的性质：相似多边形的周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方，熟记性质是解题的关键． 17．（25-26学年九上·甘肃兰州·期中）如图，在边长为1的正方形构成的网格中，四边形和四边形的相似比是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题主要考查了相似多边形的性质与判定，利用勾股定理求出两个四边形对应边的边长，可得，据此可得答案． 【详解】 解：由题意得，，，，，，，，， ∴， ∴四边形和四边形的相似比是， 故选；C． 18．（25-26学年九上·甘肃兰州·期中）以下列各组数据为长度的线段中，能构成成比例线段的一组是（     ） A. ， B.  C.  D. ，， ， 【答案】B 【分析】 本题考查了比例线段：判定四条线段是否成比例，只要把四条线段按大小顺序排列好，判断前两条线段之比与后两条线段之比是否相等即可． 根据比例线段的定义对各选项进行判断． 【详解】 解：A、由于，则四条线段不成比例线段，所以A选项不符合题意； B、由于，则四条线段成比例线段，所以B选项符合题意； C、由于，则四条线段不成比例线段，所以C选项不符合题意； D、由于，则四条线段不成比例线段，所以D选项不符合题意． 故选：B． 19．（25-26学年九上·甘肃酒泉第二中学·期中）下列四组线段中，不是成比例线段的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题主要考查了成比例线段，解题的关键是熟练掌握成比例线段的条件． 利用成比例线段的条件逐项进行判断即可． 【详解】 解：A.， ∴该四条线段成比例，不符合题意； B. ， ∴该四条线段成比例，不符合题意； C.∵任意两线段之比都不相等， ∴该四条线段不成比例，符合题意； D. ， ∴该四条线段成比例，不符合题意； 故选：C． 20．（25-26学年九上·甘肃酒泉第二中学·期中）如图所示，相同的瓶子里装入了不同的水量，用棒敲击瓶子时，可发出不同音调．通过实验发现，当水面高度与瓶高之比为黄金比（约等于）时，可以发出“”的音符．若，则水面高度为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查了黄金分割，熟知黄金分割的定义是解题的关键．根据黄金分割的定义进行计算即可． 【详解】 解：由题知， ， 因为， 所以． 故选：B． 21．（25-26学年九上·甘肃兰州第十九中学·期末）如图，在中，，，以点为圆心，长为半径画弧，交边于点；再以点为圆心，长为半径画弧，交边于点，则下列两条线段的比等于黄金比的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题主要考查了黄金比，勾股定理，二次根式的化简，解题的关键是掌握以上概念和定理． 假设，则，利用勾股定理求出直角三角形斜边长度，然后利用画图求出各边的长度，最后代数求比值即可． 【详解】 解：假设，则， ∵， ∴根据勾股定理得， 根据画图可得，，， A. ，不是黄金比，不符合题意； B. ，不是黄金比，不符合题意； C. ，不是黄金比，不符合题意； D. ，是黄金比，符合题意； 故选：D． 22．（25-26学年九上·甘肃兰州第十一中学·期中）生活中到处可见黄金分割的美，很多叶片本身都蕴含着黄金分割的比例，在大自然中呈现出优美的样子．如图，点是的黄金分割点（），如果长为，那么的长约为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了黄金分割点，掌握黄金分割是指把一条线段分割为两部分，使其中较长部分与全长之比等于另一部分与这部分之比，且其比值是一个无理数，用分数表示为是解答本题的关键． 根据黄金分割的定义进行计算，即可解答． 【详解】 解：由题意得·：， 故选：C． 23．（25-26学年九上·甘肃天水甘谷县·期中）下列图形中不一定是相似图形的是（       ） A. 两个等边三角形 B. 两个等腰直角三角形 C. 两个菱形 D. 两个正方形 【答案】C 【分析】 根据相似多边形的定义判断即可． 【详解】 因为两个等边三角形的对应边成比例，对应角相等， 所以两个等边三角形一定相似， 故A不符合题意； 因为两个等腰直角三角形的对应边成比例，对应角相等， 所以两个等腰直角三角形一定相似， 故B不符合题意； 因为两个菱形的对应边成比例，但对应角不一定相等， 所以两个菱形不一定相似， 故C符合题意； 因为两个正方形的对应边成比例，对应角相等， 所以两个正方形一定相似， 故D不符合题意； 故选C． 【点睛】 本题考查了相似多边形即对应边成比例，对应角相等的两个多边形，熟练掌握定义是解题的关键． 24．（25-26学年九上·甘肃张掖临泽县·期中）下列各组中的四条线段成比例的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据比例线段的概念逐项判断即可解答 【详解】 解：A．∵，∴四条线段成比例，符合题意； B．∵，∴四条线段不成比例，不符合题意； C．∵，∴四条线段不成比例，不符合题意； D．∵，∴四条线段成比例，不符合题意． 故选：A． 【点睛】 本题主要考查了比例线段，理解成比例线段的概念，注意在线段两两相乘的时候，要让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等进行判断． 25．（25-26学年九上·甘肃酒泉肃州区·期末）已知a，b，c，d是成比例线段，其中，则　　　　　． 【答案】8 【分析】 本题考查成比例线段，掌握如果四条线段a，b，c，d满足，则四条线段a，b，c，d称为比例线段．根据成比例线段的定义可得出，求解即可． 【详解】 解：∵a，b，c，d是成比例线段， ∴，即， ∴ 故答案为：8． 26．（25-26学年九上·甘肃天水甘谷县·期中）已知实数，满足，则的值为　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了分式求值，由可得，将其代入即可求解． 【详解】 解：， ， ， 故答案为：． 27．（25-26学年九上·甘肃兰州·期中）已知a，b，c，d是成比例线段，且，，，那么　　　　　cm． 【答案】 【分析】 根据四条线段成比例，列出比例式，再把，，代入计算即可． 【详解】 ，，，是成比例线段， ． ，，， ， ． 故答案为：. 【点睛】 此题考查了比例线段的定义，注意，，，是成比例线段即，要理解各个字母的顺序． 28．（25-26学年九上·甘肃兰州第八十一中学·期中）在比例尺为的地图上，某条道路的长为，则该道路的实际长度是　　　　　　． 【答案】2 【分析】 本题考查比例尺的定义．熟练掌握比例尺的定义是解题的关键． 根据比例尺的定义求解即可． 【详解】 解：实际长度， 所以实际长度， 故答案为：2． 29．（25-26学年九上·甘肃兰州第五中学·期末）已知，则的值　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查比例的性质，掌握其性质的计算是关键，通过设比例常数为 ，表示出 的值，然后代入所求表达式进行计算． 【详解】 解：设 ，则 ，，（）， 代入 得： 分子：， 分母：， 所以 ； 故答案为． 30．（25-26学年九上·甘肃陇南·期末）在设计人体雕像时，使雕像上半身（腰部以上）与下半身（腰部以下）的高度比，等于下半身与全部的高度比，可以增加视觉美感．如图，按此比例设计了一座高度为的雷锋雕像． （1）将雕像抽象成线段如图，雕像的上半身为，直接写出，，的数量关系：______； （2）求该雕像的下半身设计高度． 【答案】（1）；     （2）该雕像的下半身设计高度为．      【分析】 本题考查黄金分割，分式方程的应用，正确列出方程是解题关键． （1）根据雕像上部(腰部以上)与下部(腰部以下)的高度比，等于下部与全部的高度比，即可得出答案；． （2）设，则，根据（1）的结论，列出分式方程，解方程即可． (1) 小问详解： 解：（或）． (2) 小问详解： 解：设，则， 依题意得：，整理得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：该雕像的下半身设计高度为． 31．（25-26学年九上·甘肃天水·期末）若，则＝　　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据比例的性质即可求解． 【详解】 解：∵， ∴． 故答案为：． 【点睛】 本题考查了比例的性质，掌握比例的性质是解题的关键． 32．（25-26学年九上·甘肃武威凉州区·期末）如图，四边形四边形，它们的相似比是，已知，则　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查相似多边形的性质，明确对应边的比等于相似比是解题关键． 已知两个四边形的相似比为，即，将代入求值即可． 【详解】 解：四边形四边形且相似比为， ， ， ． 故答案为：． 33．（25-26学年九上·甘肃天水甘谷县·期末）建筑师在设计窗户的框架时，常采用黄金分割比来增强美感．如图，窗户的宽度，为的黄金分割点，则的长为　　　　　．（结果保留根号） 【答案】 【分析】 本题主要考查黄金分割比，熟练掌握黄金分割比是解题的关键；因此此题可根据黄金分割比进行求解即可． 【详解】 解：∵，， ∴， ∴； 故答案为：． 34．（25-26学年九上·甘肃天水甘谷县·期末）已知，，为的三边长，且，，求三边的长． 【答案】、、 【分析】 本题考查比例的性质，三角形的周长，通过设比例系数，将各量转化为含的表达式是解题关键． 采用等比设法，设（），将三边表示为，，，结合三角形周长列方程，求出，进而得到三边长度． 【详解】 解：设（），则，，， ， ，即， 解得， ，，， 故三边的长分别为、、． 答：、、． 35．（25-26学年九上·甘肃天水张家川回族自治县·期末）如图，已知五边形五边形，且五边形与五边形的面积比为，若五边形的周长为，则五边形的周长为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了相似多边形的性质，根据面积比求出相似比，再根据周长比等于相似比列出比例式解答即可求解，掌握相似多边形的性质是解题的关键． 【详解】 解：设五边形的周长为， ∵五边形与五边形的面积比为， ∴相似比为， ∴五边形与五边形的周长比为， 即， 解得， ∴五边形的周长为， 故答案为：． 36．（九上·甘肃兰州·期末）如图，在中，点D，E分别在边上且，连接，． （1）求证：． （2）若点E为中点，，若，求的长． 【答案】（1）证明：∵， ∴， 又∵， ∴；     （2）      【分析】 本题主要考查了相似三角形的判定，三角形中线的性质，证明是解题的关键． （1）根据已知条件得到，再根据两边对应成比例且它们的夹角相等的两三角形相似进行证明即可； （2）先求出，再根据，求出，根据，求出，即可得出答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵点E为中点，， ∴， ∵， ∴， 根据解析（1）可知：， ∴， 解得：， ∴． 37．（25-26学年九上·甘肃张掖临泽县·期中）若，则　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查比例的运算，分式的化简求值，正确掌握设参数表示比值是解题的关键． 先根据比例关系设参数表示变量，再代入分式化简，即可求解． 【详解】 解：设 （）， 则 ，，， ． 故答案为 ． 38．（25-26学年九上·甘肃兰州第五十四中学）如果，那么　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查比的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键；由已知比例，可设参数表示a和b，再代入所求表达式计算即可． 【详解】 解：由可设，（其中），则 ； 故答案为：． 39．（25-26学年九上·甘肃天水麦积区·期中）已知，则的值为　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了比例的性质，掌握比例的性质是解此题的关键． 根据比例的性质代入，即可求出答案． 【详解】 解：∵， ， 故答案为：． 40．（25-26学年九上·甘肃天水麦积区·期中）如图，四边形∽四边形，求的值和的大小． 【答案】 【分析】 本题主要考查了相似多边形的性质， 根据相似多边形的对应角相等，对应边成比例得出答案． 【详解】 解：∵四边形∽四边形 ∴． 解得， ∴． 41．（25-26学年九上·甘肃兰州·期中）若，则的值为　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键． 利用比例的性质，进行计算即可解答． 【详解】 解：， ， 故答案为：． 42．（25-26学年九上·甘肃酒泉肃州区·期中）若，则　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据比例的性质，设，代入代数式，即可求解． 【详解】 解：∵，设， ∴， 故答案为：． 【点睛】 本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键． 43．（25-26学年九上·甘肃兰州榆中县·期末）已知，且，则的值是　　　　　　　． 【答案】12 【分析】 本题考查了比例的性质． 设，则，，，代入求解的值，然后计算的值即可． 【详解】 解：设， 则，，， 代入， 得， 即， 解得， 所以， 则． 故答案为：． 44．（25-26学年九上·甘肃张掖临泽县·期中）如图，已知矩形与矩形相似，且，，则　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了相似多边形的性质，矩形的性质，掌握相似多边形对应边成比例的性质，准确确定出对应边是解题的关键．设，表示出的长，然后根据相似四边形对应边成比例列式求解即可． 【详解】 解：四边形是矩形，且，， ，， 设，则， 矩形与矩形相似， ，即， 解得， 即的长为． 故答案为： ． 45．（25-26学年九上·甘肃天水逸夫实验学校·期中）已知线段a、b、c，且．若线段a、b、c满足，求的值． 【答案】15 【分析】 本题考查了比例的性质，设，则，求出k的值，进而得出a、b、c的值，即可解答． 【详解】 解：设， ，，， ， ， 解得， 则，，， 则． 46．（九上·甘肃白银·期中）若，则　　　　　　. 【答案】 【分析】根据等比性质，可得答案． 【详解】由(b+d+f≠0)，得 . 故答案为. 【点睛】此题考查比例的性质和分式的值，解答本题的关键在于了解等比性质. 47．（25-26学年九上·甘肃酒泉肃州区·期中）两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，黄金分割在日常生活中处处可见；例如：主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好．若舞台长米，主持人从舞台一侧B进入，她至少走　　　　　　　　　　　　米时恰好站在舞台的黄金分割点上．（结果保留根号） 【答案】 【分析】 根据黄金分割的概念，可求出，即可求解． 【详解】 由题意知 米， ， ， 米， 故主持人从舞台一侧点 进入，则他至少走 米时恰好站在舞台的黄金分割点上， 故答案为：． 【点睛】 本题考查了黄金分割，理解黄金分割的概念找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关键． 考点02 平行线分线段成比例 1．（25-26学年九上·甘肃陇南·期末）如图，已知直线，直线m，n与a，b，c分别交于点A，C，E和B，D，F，，，，则等于（       ） A. 4 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】B 【分析】 本题考查了平行线分线段成比例，根据题意，可知，然后代入求值即可． 【详解】 解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 故选：B． 2．（25-26学年九上·甘肃天水麦积区·期中）如图，已知，那么下列结论正确的是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理判断即可． 【详解】 解：∵， ∴， 故选项B，C，D错误， 故选：A． 3．（25-26学年九上·甘肃兰州·期中）如图，直线，直线分别交于点A，B，C，直线分别交于点D，E，F，若，，，则线段（       ） A. 12 B. 10 C. 9 D. 8 【答案】D 【分析】 本题主要考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握相关知识是解题的关键．根据平行线分线段成比例定理得出，根据，，，得出的长，即可得出答案． 【详解】 解：∵， ， ，，， ， ． 故选：D． 4．（25-26学年九上·甘肃酒泉第二中学·期中）折叠花架因设计巧妙、充分利用空间、灵活收纳等功能受到人们的喜爱．图是一个三层折叠花架，已知，若，，，则的长为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解答本题的关键．根据平行线分线段成比例定理可得，代入数据计算得的长，进一步计算即得答案． 【详解】 解：∵ ∴， 即， ∴， ∴， 故选：D． 5．（25-26学年九上·甘肃兰州第八十一中学·期中）如图，，若，，则的长为（     ） A. 6 B. 9 C. 12 D. 15 【答案】C 【分析】 本题考查了平行线分线段成比例定理，根据题意得出，代入计算即可得解，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解此题的关键． 【详解】 解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选C． 6．（九上·甘肃白银·期中）如图，在▱ABCD中，EF∥AB，DE：DA=2：5，若CD=8，则EF的长为（　　） A.  B.  C. 6 D. 4 【答案】B 【详解】由四边形ABCD是平行四边形，即可得AB=CD=8，又由EF∥AB，DE：DA=2：5，根据平行线分线段成比例定理，即可求得EF的长． 解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD=8， ∵EF∥AB，DE：DA=2：5， ∴， 即：， ∴EF=． 故选B． 7．（25-26学年九上·甘肃白银·期末）如图，，，，则的长为　　　　　． 【答案】4 【分析】 本题考查平行线分线段成比例，掌握平行线分线段成比例的知识是解题关键． 利用平行线分线段成比例计算即可． 【详解】 解：∵， ∴，即， 解得， 故答案为：4． 8．（25-26学年九上·甘肃兰州·期中）如图，已知． （1）求的长． （2）求证： 【答案】（1）     （2） 证明：∵ ， ∴，， ∴， ∴．      【分析】 本题考查平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解答的关键，注意对应线段的对应位置． （1）根据平行线分线段成比例得到，进而根据比例性质求解即可； （2）根据平行线分线段成比例定理得到，，进而可得结论． (1) 小问详解： 解：∵， ∴， 又∵，， ∴， 解得：． ∴． (2) 小问详解： 略 9．（九上·甘肃白银·期中）如图，直线l1∥l2∥l3，若＝，且BC＝4，求AB的长． 【答案】3 【分析】 通过平行线分线段成比例的列式即可得到结果； 【详解】 解：∵l1∥l2∥l3， ∴， 即， 又∵，BC＝4，∴， 解得AB＝3.经检验，AB＝3是原分式方程的解． 【点睛】 本题主要考查了平行线分线段成比例知识点，准确分析是解题的关键． 10．（25-26学年九上·甘肃兰州第八十一中学·期末）四边形是正方形，点E是边上一动点（点D除外），是直角三角形，，点G在的延长线上． （1）如图1，当点E与点A重合，且点F在边上时，写出和的数量关系，并说明理由； （2）如图2，当点E与点A不重合，且点F在正方形内部时，的延长线与的延长线交于点P，如果，写出和的数量关系，并说明理由； （3）如图3，在（2）的条件下，连接，写出和的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）， 理由如下： ∵正方形， ∴， ∵是直角三角形，， ∴， 当点E与点A重合时，则：， ∴， 又∵， ∴， ∴；     （2）， ∵正方形， ∴， ∵点G在的延长线上，的延长线与的延长线交于点P， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴；     （3）， 理由如下： 由（2）可知：， ∴，， 作于点，则：， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴为的中位线， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， 在中，由勾股定理，得：， ∵， ∴．      【分析】 （1）根据正方形的性质，证明，即可得出结论； （2）根据正方形的性质，证明，即可得出结论； （3）作，得到，平行线分线段成比例得到，进而得到为的中位线，得到，根据，得到，进而得到，勾股定理得到，再根据，即可得出结论． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 略 【点睛】 本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线分线段成比例，三角形的中位线定理，勾股定理等知识点，熟练掌握相关知识点，证明三角形全等，添加辅助线构造特殊图形，是解题的关键． 考点03 三角形相似的判定 1．（25-26学年九上·甘肃定西渭源县·期末）如图，在中，，，，将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与不相似的是（    ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查相似三角形的判定，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法． 根据相似三角形的判定方法一一判断即可． 【详解】 解：选项A、根据两角对应相等的两个三角形相似判断即可，本选项不符合题意； 选项B、根据两角对应相等的两个三角形相似判断即可，本选项不符合题意； 选项C、不满足相似三角形的条件，本选项符合题意； 选项D、根据两边成比例夹角相等两三角形相似判断即可，本选项不符合题意， 故选：C． 2．（25-26学年九上·甘肃酒泉肃州区·期末）如图，ABC中，点D、E分别在AB、AC上，且，下列结论正确的是（　　） A. DE：BC＝1：2 B. ADE与ABC的面积比为1：3 C. ADE与ABC的周长比为1：2 D. DEBC 【答案】D 【分析】 根据相似三角形的判定与性质进行逐一判断即可． 【详解】 解：∵， ∴AD：AB=AE：AC=1：3， ∵∠A=∠A， ∴△ADE∽△ABC， ∴DE：BC=1：3，故A错误； ∵△ADE∽△ABC， ∴△ADE与△ABC的面积比为1：9，周长的比为1：3，故B和C错误； ∵△ADE∽△ABC， ∴∠ADE=∠B， ∴DE∥BC．故D正确． 故选：D． 【点睛】 本题考查了相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握相似三角形的判定与性质． 3．（25-26学年九上·甘肃兰州第八十一中学·期末）如图，A，B均在方格纸的格点上．在方格纸内另取格点C，D，连接，交线段于点P．若要使点P把线段分成的两条线段，则（     ） A. 只有方法1对 B. 只有方法2对 C. 方法1，2都对 D. 方法1，2都错 【答案】C 【分析】 本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，根据相似三角形的判定与性质逐一判断即可，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】 解：方法，连接，， 由网格可知，，， ∴， ∴； 方法，连接，， 由网格可知，，， ∴， ∴； 综上可知：方法，都对， 故选：． 4．（25-26学年九上·甘肃天水甘谷县·期中）如图，在中，点、分别在边、上，则下列条件中：；②；；，能使得以，，为顶点的三角形与相似的条件有（     ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】C 【分析】 本题主要考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键；因此此题可根据相似三角形的判定定理可进行求解． 【详解】 解：∵， ∴当添加时，则根据“两角对应相等的两个三角形相似”判定，故① 符合题意； 当添加可判定，故② 符合题意； 当添加时，可根据“两组对应边成比例，且它们的夹角也相等的两个三角形相似”判定；故③ 符合题意； 当添加，即，不能判定这两个三角形相似，故④ 不符合题意； 故选C． 5．（25-26学年九上·甘肃兰州第五十四中学）如图，，，其中，的长为（     ） A.  B.  C.  D. 2 【答案】A 【分析】 本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相似三角形的性质． 利用相似三角形的判定和性质求解即可． 【详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴. 故选：A． 6．（25-26学年九上·甘肃天水逸夫实验学校·期中）如图，若添加一个条件后，仍不能判定与相似的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了相似三角形的判定：① 如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；② 如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；③ 如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似． 根据已知及相似三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到最后答案． 【详解】 解：， ， A，B，D都可判定；选项C中，不是夹这两个角的边，所以不相似， 故选：C． 7．（25-26学年九上·甘肃酒泉肃州区·期中）如图，中，．将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据相似三角形的判定逐项进行分析即可．此题考查了相似三角形的判定，熟练掌握判定三角形相似的方法是解题的关键． 【详解】 解：A、阴影三角形与原三角形有两个角对应相等，故两三角形相似， 故本选项不符合题意； B、阴影三角形与原三角形有两个角对应相等，故两三角形相似， 故本选项不符合题意； C、两三角形的两对应边成比例，但夹角不相等，故两三角形不相似， 故本选项符合题意； D、阴影三角形中，的两边分别为，则两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似， 故本选项不符合题意． 故选：C． 8．（25-26学年九上·甘肃兰州榆中县·期末）如图，在中，，，以点为圆心，以为半径作弧交于点，再分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点，连接．以下结论不正确的是（　　　） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 由题意得，，平分，根据三角形内角和及角平分线判断A即可；由角平分线求出，得到，根据三角形内角和求出，得到，即可判断B；证明，得到，设，则，求出x，即可判断C；过点E作于G，于H，由角平分线的性质定理推出，即可根据三角形面积公式判断D． 【详解】 解：由题意得，，平分， ∵在中，，， ∴ ∵平分， ∴，故A正确； ∵平分， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，故B正确； ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴，故C错误； 过点E作于G，于H，    ∵平分，，， ∴ ∴，故D正确； 故选：C． 【点睛】 此题考查了等腰三角形等边对等角，相似三角形的判定和性质，角平分线的作图及性质，解一元二次方程，熟练掌握各知识点是解题的关键． 9．（25-26学年九上·甘肃白银·期末）如图，在中，是上一点，与交于点，如果，，那么的值为（     ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【分析】 本题考查相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，根据平行四边形的性质，得到，，得到，根据相似三角形的面积比等于相似比，求出的长，再根据线段的和差关系求出的长即可． 【详解】 解：∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故选C． 10．（25-26学年九上·甘肃天水·期末）如图，平行四边形中，是的中点，和交于点，若的面积为2，则四边形的面积是（       ） A. 12 B. 10 C. 8 D. 6 【答案】B 【分析】 根据平行四边形的性质可得出、，进而可得出，根据相似三角形的性质可求出和的值，由三角形的面积可得出，再根据平行四边形的性质结合，即可求出四边形的面积． 【详解】 解：四边形为平行四边形， ，， ， ，． 是的中点， ， ， ，， ，， ． 四边形为平行四边形， ， ． 故选：B． 【点睛】 本题考查了相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质，根据平行四边形的性质及相似三角形的性质求出和的面积是解题的关键． 11．（25-26学年九上·甘肃天水张家川回族自治县·期末）如图，点E 在矩形边上，且，与相交于点 F．已知，，则的长为（     ） A. 2 B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查矩形的性质，勾股定理和相似三角形的判定与性质，由矩形的性质得，，，由勾股定理求出，可得，再证明得，进一步可求出的长． 【详解】 解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∵， ∴， 又， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 故选：B． 12．（25-26学年九上·甘肃兰州红古区·期末）如图所示，在边长为6的正方形中，E为上的点，F为的中点，过点F作交于点H，点M，N分别是和的中点，若，则的长为（     ） A.  B.  C. 2 D. 5 【答案】B 【分析】 根据三角形的中位线定理得，再由正方形的性质得由，得，推导出，进而证明，得，则，于是得到问题的答案． 【详解】 解：∵点M，N分别是和的中点，若， ∴是的中位线， ∴， 四边形是边长为6的正方形，    ，， ∵F为的中点， ∴， ， ， ， ， ， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】 此题重点考查正方形的性质，直角三角形的两个锐角互余、相似三角形的判定与性质、三角形的中位线定理等知识，证明是解题的关键． 13．（25-26学年九上·甘肃兰州第十一中学·期中）如图，在平行四边形中，对角线相交于点O，点E是的中点，连接并延长交于点F，已知，则平行四边形的面积是（       ） A. 96 B. 48 C. 72 D. 36 【答案】A 【分析】 本题考查的是相似三角形的判定和性质、平行四边形的性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 根据平行四边形的性质得到，，得到，根据点E是的中点，得到，利用相似三角形性质计算即可． 【详解】 解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∵点E是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又， ， ． 故选：A． 14．（25-26学年九上·甘肃张掖临泽县·期中）如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形与相似的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了相似三角形的判定，勾股定理及其逆定理，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键．先找出的特征，再根据相似三角形的判定方法，即可判断答案． 【详解】 在中，，，， ， ，且， A、图形不是直角三角形，不合题意； B、虽然图形是直角三角形，但两直角边之比不是，不合题意； C、图形不是直角三角形，不合题意； D、图形是直角三角形，且两直角边之比是，符合题意． 故选：D． 15．（25-26学年九上·甘肃张掖临泽县·期中）如图，中，，点C、D在线段上，是等边三角形，请根据所述条件，判断下列论断：①；②； ③； ④．其中正确的个数是（　　）    A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【分析】 本题考查等边三角形的性质，三角形外角的性质，相似三角形的判定和性质，通过导角可判断① ② ，通过证明可判断③ ④ ． 【详解】 解：是等边三角形， ， ，， ，故① 正确； ，， ， 又， ，故② 正确； ，， ， ， ，故④ 正确； ， ，故③ 错误； 综上可知，正确的有① ② ④ ，共3个， 故选B． 16．（25-26学年九上·甘肃兰州第五十四中学）如图，在矩形中，，对角线与相交于点，，，则的长为(     ) A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的性质，设，则，，再证明，利用相似比得到，进而根据勾股定理求得，根据，求得，从而得到的长，然后利用勾股定理计算出的长，根据矩形的性质即可得出． 【详解】 解：四边形为矩形， ，，， ， 设，则， ， ， ， ， 即， （负值舍去）， ， ， ， ∴， ∴， 故选：B． 17．（25-26学年九上·甘肃甘南藏族自治州临潭县第一中学·期中）正方形的边长为，，分别是边，上的动点，且，连接，，交于点，连接，当的值最小时，点到的距离是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查全等三角形的判定和性质，正方形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键； 根据题意，判定，进而判定点P在以为直径的圆上，从而利用勾股定理，即可求解； 【详解】 解：在正方形中， ，，， ， ， ， 点P在以为直径的圆上． 如图，设的中点为，当点，，在同一条直线上时，有最小值． ，， ． 过点作于点， ， ， ， ， ， 故选：A 18．（25-26学年九上·甘肃陇南·期末）如图1，中，点P从点A出发，沿A﹣C﹣B匀速运动，过点P作，垂足为D，设点A到点D的距离为x，的面积为y，则y关于x的函数图象如图2所示，则的长为（       ） A. 2 B. 4 C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了动点问题的函数图象，能从图象中得到有用的条件，并判断动点位置进行计算是本题的解题关键．当点P运动到点C处时，求出，再利用，求出，根据勾股定理求出即可． 【详解】 解∶如图，当点P运动到点C处时， 由图2得， ，． ． ， ． ． ， ． ． ，即． 解得 ． 故选∶C． 19．（九上·甘肃兰州·期末）如图，点，，将线段平移得到线段．若，，则点的坐标为（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了坐标与图形的变换—平移，相似三角形的判定和性质，过点作轴于点，先证明，根据相似三角形的性质可得，求出点的坐标，构造相似三角形是解题的关键． 【详解】 解：过点作轴于点，如图所示： 则， ∵点，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴点坐标为， 故选：A． 20．（25-26学年九上·甘肃天水·期末）如图，已知，P是上一点，连接，要使，只需添加条件　　　　　　．（只要写出一种合适的条件） 【答案】（答案不唯一） 【分析】 本题主要考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键；因此此题可根据相似三角形的判定定理进行求解即可． 【详解】 解：由题意得：， ∴若添加时，则可根据“两组角对应相等的两个三角形相似”判定； 若添加时，则可根据“两组角对应相等的两个三角形相似”判定； 若添加（）时，则可根据“两组对应边成比例且它们的夹角也相等的两个三角形相似”判定； 故答案为（答案不唯一）． 21．（25-26学年九上·甘肃武威凉州区·期末）如图，是斜边上的高，． （1）求证：； （2）求的长． 【答案】（1） 证明：是斜边上的高． ， ， ． ．     （2）      【分析】 本题考查了相似三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合是斜边上的高，得出，故，即可证明； （2）根据，得，结合，故，再代入进行计算，即可作答． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由（1）知， ∴， ． ． ∴ ． ∴（负值已舍去） 的长为． 22．（25-26学年九上·甘肃酒泉肃州区·期末）在如图所示的中，分别以为圆心，同样长度为半径画弧，交于点；以点为圆心，以间的距离为半径画弧，与先画的弧交于点，作射线，交边于点．已知，则　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了尺规作角等于已知角，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 根据尺规作图可得，可证，由此即可求解． 【详解】 解：根据题意，，且， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴（负值舍去）， 故答案为： ． 23．（25-26学年九上·甘肃兰州第八十一中学·期末）如图，，添加一个条件　　　　　　　使得． 【答案】（答案不唯一） 【分析】 本题考查了相似三角形的判定定理，熟练掌握三角形相似判定定理是解题的关键． 根据相似三角形的判定推理即可． 【详解】 解：∵，， ∴， ∴再加一个条件为：， ∴， 故答案为：． 24．（25-26学年九上·甘肃天水逸夫实验学校·期中）如图，已知，若，则　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查相似三角形的判定和性质，证明，列出比例式进行求解即可． 【详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为： 25．（25-26学年九上·甘肃天水逸夫实验学校·期中）如图，中，是的延长线上一点，与交于点，． （1）求证：； （2）若的面积为2，求的面积 【答案】（1） 证明：四边形是平行四边形， ，， ， ．     （2）8      【分析】 本题主要考查平行四边形的性质以及相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解决本题的关键． （1）由四边形是平行四边形，得， ，所以，进而推断出． （2）根据相似三角形的性质，由的面积为2，故可求的面积． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：，， ， ． 26．（25-26学年九上·甘肃酒泉第二中学·期中）如图，，点是线段上的一点，且．已知．    （1）证明：． （2）求线段的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴；     （2）      【分析】 （1）根据题意得出，，则，即可得证； （2）根据（1）的结论，利用相似三角形的性质列出比例式，代入数据即可求解． (1) 小问详解： 略； (2) 小问详解： ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：． 【点睛】 本题考查了相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 27．（25-26学年九上·甘肃酒泉肃州区·期中）如图，在中，，点D是上一点，，于点E，连接．求证：． 【答案】证明：∵，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴． 【分析】 本题主要考查了相似三角形的判定，三线合一定理，先由三线合一定理得到，再由垂直的定义推出，再由，即可证明． 【详解】 略 28．（25-26学年九上·甘肃酒泉肃州区·期中）如图，，连接交于点C，若，，．则k的值为　　　　　　　　　　． 【答案】4 【分析】 本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握知识点是解题的关键．证明出，根据面积比等于相似比的平方即可求解． 【详解】 解：∵， ∴， ∴, ∴ ∵， ∴， 故答案为：4． 29．（25-26学年九上·甘肃兰州第八十一中学·期中）如图，已知AD，BC相交于点E，且△AEB∽△DEC，CD＝2AB，延长DC到点G，使CG＝CD，连接AG． （1）求证：四边形ABCG是平行四边形； （2）若∠GAD＝90°，AE＝2，CG＝3，求AG的长． 【答案】（1）证明：∵△AEB∽△DEC， ∴∠B＝∠BCD， ∴AB∥CD， 即AB∥CG， ∵CD＝2AB，CG＝CD， ∴AB＝CG， ∴四边形ABCG是平行四边形；     （2）      【分析】 （1）根据相似三角形的性质可得AB∥CD，再由CD＝2AB，CG＝CD，可得AB＝CG，即可证明； （2）由平行四边形的性质可得AG∥BC，可得∠AEB＝90°，再由CG＝3可得AB＝3，利用勾股定理可得BE，再由相似三角形的性质可得CE，从而得出BC，即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵四边形ABCG是平行四边形，AE＝2，CG＝3， ∴AG∥BC，AG＝BC，AB＝CG＝3， ∵∠GAD＝90°， ∴∠AEB＝90°， 在Rt△ABE中，由勾股定理可得： BE＝， 即BE＝， ∵△AEB∽△DEC， ∴， ∴CE＝2， ∴BC＝BE+CE＝3， ∴AG＝BC＝3． 【点睛】 本题考查相似三角形的性质，勾股定理，平行四边形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质，勾股定理的运用，平行四边形的判定与性质． 30．（25-26学年九上·甘肃兰州榆中县·期末）黄金分割比这一神奇的数学比例，在中外数学发展历程中都被敏锐捕捉．古希腊毕达哥拉斯学派率先察觉，欧几里得给出严谨定义，中国清代梅文鼎从独特的勾股形视角与之关联．如图，在中，，点在线段上，过点分别作于点于点，得到矩形，若矩形的周长与的周长之比恰好为黄金分割比，则的长为　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了勾股定理，相似三角形的判定和性质．利用勾股定理求得，证明，求得，设，利用，列式计算即可求解 【详解】 解：∵， ∴， ∴， 由矩形得， ∴， ∴， 设， 则，， ∴矩形的周长为， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 31．（25-26学年九上·甘肃兰州第五中学·期末）如图，在正方形中，为对角线上一点，连接，，是延长线上一点，，交于点． （1）判断的形状，并说明理由； （2）若正方形的边长为，为的中点，求的长． 【答案】（1） 解：为等腰三角形，理由如下： ∵四边形是正方形，为对角线上一点， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴为等腰三角形；     （2）      【分析】 本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，余角性质，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． （）证明，得，进而利用余角性质和对顶角的性质可得，据此即可求证； （）过点作于，利用等腰三角形的性质可得，再证明，可得，最后利用勾股定理计算即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：过点作于， 则， ∵，为中点，正方形的边长为， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即， 解得， ∴． 32．（25-26学年九上·甘肃兰州第二十中学·期末）如图，在中，，点D在边上，已知，边交于点E．求证： 【答案】证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【分析】 本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，由等腰三角形的性质得到，得到，再证明，即可得出结论，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】 略 33．（25-26学年九上·甘肃兰州第十九中学·期末）如图，在中，点D，E，F分别在AB，AC，BC边上，，． （1）求证：； （2）设，，求线段AB的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴. 又∵， ∴，. ∴， ∴.     （2）21      【分析】 （1）两直线平行可得同位角相等，根据相似三角形的判定，可得两三角形相似；（2）根据相似三角形的性质对应边成比例即可解决本题． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ∵，， ∴. ∴. 又，∴. ∴. 又， ∴. 【点睛】 本题考查相似三角形的判定和性质．解题的关键要熟练掌握相似三角形的判定与性质的基本知识点． 34．（25-26学年九上·甘肃兰州第十九中学·期末）如图所示，点在x轴上且，分别过点作y轴的平行线与反比例函数的图象分别交于点，分别过点作x轴的平行线分别与y轴交于点，连接，那么图中阴影部分的面积之和为　　　　　． 【答案】 【分析】 先根据反比例函数上的点向x轴、y轴引垂线形成的矩形面积等于反比例函数的比例系数k，得到，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方得到2个阴影部分的三角形的面积从而求得面积和． 【详解】 解：如图，    根据中k的几何意义可知，， ∴， 设图中阴影部分的面积从左向右依次为， ∴， ∵轴， ∴， ∵， ∴， ∴， ， 同理可得，， ∴图中阴影部分的面积之和． 故答案为：． 【点睛】 本题考查反比例函数系数k的几何意义、相似三角形的判定和性质，正确掌握反比例函数系数k的几何意义是解题的关键． 35．（25-26学年九上·甘肃陇南·期末）小赵在学习完相似三角形后，把两个相似但不全等的三角形纸片作为操作对象进行相关问题的研究，下面是他在操作纸片过程中研究的问题． 请你解决这些问题： （1）把两个三角形按如图1方式摆放，若，则_____； （2）如图2，把绕点旋转一定的角度，连接线段、．请写出与的关系并说明理由； （3）如图3，延长交的延长线于点，交于点，若，求的度数． 【答案】（1）     （2）， 理由如下， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴；     （3）．      【分析】 本题考查了相似三角形的判定和性质，三角形内角和定理． （1）利用相似三角形的性质即可求解； （2）由相似三角形的性质求得，，推出，利用“两角对应相等的两个三角形相似”即可得到； （3）由相似三角形的性质求得，利用邻补角的性质求得，利用三角形内角和定理即可求解． (1) 小问详解： 解：∵，， ∴， 故答案为：； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：由（2）得， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 36．（25-26学年九上·甘肃平凉庄浪县·期末）如图，正方形和正方形有公共顶点A，连接． （1）如图1，当点G在上，点F在上时，求的值； （2）如图2，将图1中的正方形绕点A按逆时针方向旋转，连接、、，求的值； （3）如图3，将图1中的正方形绕点A按逆时针方向旋转，连接、、，若，，当C，G，E三点共线时，求的长度． 【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）根据题意可得，根据平行线分线段成比例即可求解； （2）根据（1）的结论，可得，根据旋转的性质可知，进而证明，根据相似三角形的性质即可求解； （3）由（2）可知，根据相似三角形的判定和性质以及勾股定理即可得出答案． (1) 小问详解： 解：∵正方形与正方形有公共点A，点在上，点在上， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴； (2) 小问详解： 解：∵正方形绕点逆时针方向旋转， ∴， ∵， ∴ ∴； (3) 小问详解： 解：由（2）可知， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵C，G，E三点共线， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】 本题考查了平行线分线段成比例，相似三角形的性质与判定，正方形的性质，勾股定理，旋转的性质，综合运用以上知识是解题的关键． 37．（25-26学年九上·甘肃天水·期末）如图，在中，，． （1）尺规作图：在上取一个点，使得；（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的基础上，连接，求证：． 【答案】（1） 故点即为所作；      （2） 证明：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴．      【分析】 （1）作的平分线交于点即可； （2）由，得，由，，则，由，即可得证． (1) 小问详解： 解：作的平分线交于点， 理由：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． (2) 小问详解： 略 【点睛】 本题考查基本作图—作角平分线，等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，三角形内角和定理等知识，正确地作出的平分线是解题的关键． 38．（25-26学年九上·甘肃白银·期末）（多选）如图，已知∠BAC＝∠EAD，AB＝20.4，AC＝48，AE＝17，AD＝40． 求证：△ABC∽△AED． 【答案】证明：∵AB＝20.4，AC＝48，AE＝17，AD＝40， ∴，， ∴ 又∵∠BAC＝∠EAD， ∴△ABC∽△AED． 【分析】 根据两组对应边成比例且夹角相等的两个三角形相似．可证明三角形相似． 【详解】 略 【点睛】 本题考核知识点：相似三角形判定． 解题关键点：找出两组对应边成比例且夹角相等． 39．（25-26学年九上·甘肃白银·期末）如图，在中，点P，D分别在边，上，，垂足为A，，垂足为P，且． （1）求证： （2）如果，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵，， ∴． 又， ∴， ∴， ∵，， ∴．     （2）      【分析】 本题考查相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，根据条件找到图中的相似三角形是解题关键． （1）根据两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似，通过相似三角形的性质即可证明； （2）先通过（1）中的相似三角形，得到相等角，利用等角对等边，求出，再利用角的等量代换，得到另一组相等角，从而证明另一组相似三角形，利用相似三角形的性质求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由（1），得， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴（负值已舍去）， 故的长为． 40．（25-26学年九上·甘肃天水甘谷县·期末）如图，点，分别在的边，上，且． （1）求证：． （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∴；     （2）10      【分析】 本题主要考查了平行线的性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握以上性质． （1）根据两直线平行同位角相等，得出相等的角，然后根据相似三角形的判定定理即可得出结论； （2）根据相似三角形的对应边成比例进行求解即可． (1) 小问详解： 略； (2) 小问详解： 解：∵， ∴， 由（1）得， ∴， ∴， 解得． 41．（25-26学年九上·甘肃天水张家川回族自治县·期末）如图，，分别是边，的中点，点是的中点，连接，交于点，若，则　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了相似三角形的性质与判定，根据题意可得，证明得出的长，进而根据中位线的性质得出，即可求解． 【详解】 解：∵，分别是边，的中点， ∴，，， ∴， ∵点是的中点， ∴ ∴ ∵， ∴ ∴， ∴， 故答案为：． 42．（25-26学年九上·甘肃天水张家川回族自治县·期末）年，丹麦数学家莫尔在他的著作《欧几里得作图》中指出：只用圆规可以完成一切尺规作图．年，意大利数学家马斯凯罗尼又独立发现此结论，并写在他的著作《圆规的几何学》中．请完成下面的作图题： 如图，点为矩形的边上一点，请用尺规作图法在矩形的对角线上求作一点，连接，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】如图所示，点即为所求． 【分析】 本题考查了过直线外一点作已知直线的垂线，矩形的性质，相似三角形的判定，过点作直线于点，则点即为所求，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】 解：理由如下：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴． 43．（25-26学年九上·甘肃兰州第二十二中学·期末）【问题情境】 如图1，正方形和正方形按如图所示位置放置，我们通过观察可以得到，与的夹角为； 将正方形绕点旋转，如图2，连接．我们利用旋转的性质，通过证明，仍然可以得到，与的夹角为． 【变式思考】 如图3，将正方形绕点旋转，连接． （1）用等式表示线段与之间的数量关系为______，直线与的夹角为______； （2）按照图3的旋转位置，证明（1）所得出的结论； 【拓展运用】 （3）在图2的基础上，若，连接，在正方形绕点旋转一周的过程中，请直接写出的最小值是______． 【答案】（1），； （2）证明：如图，连接，延长交于点， 四边形和四边形为正方形， 为等腰直角三角形， ，, ，即， ， , ， , ， 直线与的夹角为； （3） 【分析】 本题考查了旋转的性质，相似三角形的判定和性质，点到圆的距离的最值，正确作出辅助线是解题的关键． （1）连接，延长交于点，证明，即可得到线段与之间的数量关系；再利用相似三角形的性质，进行角度的转换可得直线与的夹角； （2）连接，延长交于点，证明，即可得到线段与之间的数量关系；再利用相似三角形的性质，进行角度的转换可得直线与的夹角； （3）根据当三点共线，且点在线段上时，最小，即可解答． 【详解】 （1）解：如图，连接，延长交于点， 四边形和四边形为正方形， 为等腰直角三角形， ，, ，即， ， , ， , ， 直线与的夹角为， 故答案为：；； （2）略； （3）， ，， 正方形绕点旋转一周， 当三点共线，且点在线段上时，最小， 此时， 故答案为：． 44．（25-26学年九上·甘肃兰州第八十一中学·期末）（多选）如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，分别过点B、点C作CO，BO的平行线交于点E，连接AE交BD于点H，交BC于点F． （1）求证：四边形OCEB是矩形； （2）若BF=1，求菱形ABCD的周长． 【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD， 即∠BOC=90°， ∵CE∥BO，BE∥CO， ∴四边形OCEB是平行四边形， ∴四边形OCEB是矩形； （2）12 【分析】 （1）根据菱形的性质求出∠BOC=90°，根据平行四边形和矩形的判定得出即可； （2）首先证明△BEF∽△CAF得，求出CF的长，再求出BD的长，进而可求出菱形ABCD的周长． 【详解】 （1）略 （2）∵四边形ABCD是菱形， ∴ 由（1）知，四边形OCEB是矩形， ∴BE=OC ∴BE= ∵BE//AC ∴∠BEA=∠CAE，∠EBC=∠BCA ∴△BEF∽△CAF ∴ ∵BF=1， ∴CF=2 ∴BC=BF+CF=3 ∴ 菱形ABCD的周长为：3×4=12 【点睛】 本题考查了菱形的性质、平行四边形的判断和性质、矩形的判断和性质以及相似三角形的判定与性质，证明△BEF∽△CAF是解题的关键． 45．（25-26学年九上·甘肃兰州第八十一中学·期末）在中，，点C在线段上，过点C作于点E，于点F，使得四边形为正方形，此时，则阴影部分面积为　　　　　　． 【答案】6 【分析】 此题主要考查了相似三角形的判定和性质、正方形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 设正方形的边长为x，则，证明，可得，，在中，利用勾股定理可求出x的值，利用三角形面积公式即可求解． 【详解】 解：设正方形的边长为x，则， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， 在中，， ∴，即， 解得：， 即，， ∴阴影部分面积为． 故答案为：6 46．（25-26学年九上·甘肃兰州第十一中学·期中）（1）问题呈现：如图1，和都是等边三角形，连接、易知________； （2）类比探究：如图2，和都是直角三角形，，且，连接，求 的值； （3）拓展提升：如图3，是等腰直角三角形，，将绕点A逆时针旋转得到，连接，延长交于点F，设，求的长． 【答案】（1）1（2）（3） 【分析】 （1）运用等边三角形的性质，证明，从而得出结论； （2）先证明，再证得，进而得出结果； （3）由“”可证，可得，由直角三角形的性质可求解． 本题是相似形综合题，考查了等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 【详解】 解：（1）∵和都是等边三角形 ，，， ， ， ， ， ， 故答案为：1； （2），， ， 设 则， ∵ ，； ， ， ； （3）如图，过点作，交的延长线于，过点作于， 是等腰直角三角形，，， ， 绕点逆时针旋转得到， ，，，，， 和都是等边三角形， ，， ， ， ， ， 又，， ， ， ，， ，， ， ． 47．（25-26学年九上·甘肃天水甘谷县·期中）如图所示，四边形中，平分，，． （1）求证：； （2）若，，求的值． 【答案】（1） 证明：平分， ． 又， ， ， ．     （2）      【分析】 本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，二次根式的计算，掌握相似三角形的判定和性质是解题关键． （1）证明，得到，即可得出结论； （2）根据（1）所得结论求出，再证明，得到，求出，即可得解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：， ，， ， ， ． ， ， 又， ， ， ，解得， ． 48．（25-26学年九上·甘肃张掖临泽县·期中）如图，在中，和分别是边上的高，且相交于F点，连接． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵和分别是边上的高， ∴， ∵， ∴；     （2）．      【分析】 本题考查了相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）由题意得，结合，即可得出结论； （2）由，得到，即，再证明，得到，即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵， ∴，即， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 49．（25-26学年九上·甘肃张掖临泽县·期中）如图，是一块锐角三角形余料，边，高，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在上，其余两个顶点，分别在，上，则这个正方形零件的边长是　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．设与交点为，正方形的边长为，则，根据正方形性质得到，进而得到，从而推出， 将相关值代入计算求解即可． 【详解】 解：如图所示，设与交点为，正方形的边长为，则， 正方形的边在上， ， ， ， 即， 解得， 即这个正方形零件的边长为． 故答案为： ． 50．（25-26学年九上·甘肃天水逸夫实验学校·期中）如图，四边形中，平分，E为的中点，连接． （1）求证：； （2）若，求的值． 【答案】（1）证明：平分， ， 又， ∴， ， ； （2） 【分析】 （1）证明，根据相似三角形的性质解答； （2）根据直角三角形的性质求得，再证明，根据相似三角形的性质计算即可得解． 【详解】 （1）略 （2），为的中点，， ， ， ， ， 又∵， ∴， ， ∵，， ． 【点睛】 本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键，也考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 51．（25-26学年九上·甘肃兰州·期中）已知：如图，在矩形中，，，在边上取点E，连接，作交边于点F． （1）求证：． （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：四边形是矩形， ， ， ， ，， ， ， ， ；     （2）1      【分析】 本题主要考查相似三角形的判定与性质，矩形的性质，熟悉相关知识是解题的关键． （1）根据题意可证，继而可证得，根据相似的性质即可得到； （2）由题知，根据求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：在矩形中，，，且， ， 由（1）知， ， 解得：， ． 52．（25-26学年九上·甘肃酒泉第二中学·期中）如图，点D，E分别在的边上，，M，N分别是的中点，若，则　　　　　　． 【答案】 【分析】 由，可得，即，即可证明，即可得，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方解答即可． 【详解】 解：∵M，N分别是的中点， ∴，， ∵， ∴，， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】 本题考查了相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方、相似三角形对应中线的比等于相似比是解题的关键． 53．（25-26学年九上·甘肃酒泉肃州区·期中）从三角形（非等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，该顶点与该交点间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果其中一个小三角形是等腰三角形，另一个与原三角形相似，那么我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线，如图，在△ABC中，DB＝1，BC＝2，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD是以CD为底边的等腰三角形，则CD的长为　　　　　． 【答案】 【分析】设AB=x，利用△BCD∽△BAC，得=，列出方程即可解决问题． 【详解】∵△BCD∽△BAC， ∴=， 设AB=x， ∴22=x， ∵x＞0， ∴x=4， ∴AC=AD=4-1=3， ∵△BCD∽△BAC， ∴=＝， ∴CD=． 故答案为 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是利用△BCD∽△BAC解答． 54．（25-26学年九上·甘肃陇南西和县）如图，在矩形中，，，点P在线段上运动（含B、C两点），连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，求线段的最小值． 【答案】 【分析】 本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，垂线段最短，旋转的性质等知识点，正确添加辅助线，确定动点轨迹是解题的关键．在上截取，连接，先证明，再证明，得到，故当时，最小，则． 【详解】 解：在上截取，连接，     由题意得，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴ ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当时，最小，如图：     ∵, ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 55．（25-26学年九上·甘肃兰州榆中县·期末）（1）问题背景：如图（1），已知，连接和，求证：；根据以下证明过程，完成填空部分： 证明：∵， ， ，                                 ， ∴； （2）尝试应用 如图（2），在和中，，，与相交于点F，点D在边上，连接；求证：； （3）拓展创新 如图（3），点D是内一点，，，，．过点A作的垂线，过点D作的垂线，两垂线交于点M，连接，其中，求的长． 【答案】（1） （2）证明：，， ， ，， ，即， ， ， ， 又， ． （3） 【分析】 （1）（1）由，根据相似三角形的性质得，，等量代换可得，即可得证； （2）由已知可得，再根据相似三角形的性质得，，等量代换可得，可得，根据相似三角形的性质得，，再由对顶角相等，即可得证； （3）连接，证明，由相似三角形的性质得出．证明，得出，求出，由勾股定理求出，则可得出的长． 【详解】 （1）证明：， ，， ，， ． 故答案为：； （2）略 （3）解：如图（3），连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ， ， ． 又， ， 即， ． ， ， ， ． 设，则， ， （负值舍）， ． 【点睛】 本题考查直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，掌握直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质等知识是解题的关键． 56．（25-26学年九上·甘肃兰州·期末）综合与探究 【问题情境】 如图1，小美将矩形纸片折叠，使点落在射线上，点的对应点记为，折痕与边，分别交于点，． （1）【活动猜想】 如图2，当点与点D重合时，请判断四边形的形状并证明； （2）【问题解决】 如图3，在矩形纸片中，若边，，与交于点O． ①请判断与对角线的位置关系，并说明理由； ②当时，请求出此时的长． 【答案】（1） 四边形是菱形，理由如下： ∵将矩形纸片折叠，点与点重合， ∴，，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形；     （2） ①，理由如下： ∵四边形是矩形， ∴，，，， ∴， 在中，由勾股定理得： ， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 由折叠的性质得：，， ∴， ∴， ∴， ∴； ②或      【分析】 （）根据矩形的性质及轴对称的性质，可证明四边形的四条边相等，即可证明菱形； （）先证明是等边三角形，再证明即可得出答案； 当点在线段上时， 设与交于点，先证明，再求得，即可列方程求解；当点在线段的延长线上时，设直线与直线交于点，同理，再求得，再列方程求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：略 ② 四边形是矩形， 如图，点在线段上时，设与交于点， ∴，由知， ∴， ∵， ∴， ∵与是折叠图形中的对应角， ∴， ∴， ∵， ∴， 当时，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴； 如图，点在线段的延长线上时，设直线与直线交于点， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， 同理可得， ∴， 解得， ∴， 综上所述：或． 【点睛】 本题主要考查了矩形的性质，菱形的判定，轴对称的性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质等知识，掌握知识点的应用及分类讨论思想是解题的关键． 57．（25-26学年九上·甘肃天水·期末）【发现问题】 （1）如图1，已知和均为等边三角形，D在上，E在上，易得线段和的数量关系是                                    ． （2）将图1中的绕点C旋转到图2的位置，直线和直线交于点F． ①判断线段和的数量关系，并证明你的结论； ②图2中的度数是                     ． 【探究拓展】 （3）如图3，若和均为等腰直角三角形，，，，直线和直线交于点F，直接写出的度数和线段、间的数量关系． 【答案】（1）     （2）①，证明见解析；②     （3），      【分析】 （1）根据等边三角形的性质，可得线段和的数量关系； （2）① 利用等边三角形的性质可以证明，从而得到线段和的数量关系； ② 在① 的基础上可得，运用三角形内角和定理可求出的度数； （3）利用等腰直角三角形的性质和勾股定理，可以求出，运用等量代换可以求出，则．根据相似三角形的性质与三角形内角和定理，可以得出的度数和线段、间的数量关系． (1) 小问详解： 解：∵和均为等边三角形， ∴，， ∴； (2) 小问详解： ① 结论：， 证明：∵和均为等边三角形， ∴，，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； ② 由① 可知，， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴； (3) 小问详解： ∵，， ∴， 由勾股定理得，， ∴，        同理，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即，， ∴， ∴． 【点睛】 本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，相似三角形的判定与性质以及勾股定理，掌握好常考的全等三角形与相似三角形的模型是解题关键． 58．（25-26学年九上·甘肃定西·期末）如图，在中，，点是的中点，点和点分别是边和上的动点，且． （1）当点和点分别是边和的中点时，求的值； （2）当时，以点为顶点的三角形与相似，求的值． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查相似三角形的证明及性质，直角等腰三角形的性质，熟练掌握基本性质是解题关键； （1）先通过直角等腰三角形性质求出，再求出，进而可求解； （2）设，则，然后分两种情况① 当时，② 当时，分别利用相似三角形的性质列出比例式，解方程即可． (1) 小问详解： 解：在中，， ∴， ∵点和点分别是边和的中点， ∴， ∵ ∴． (2) 小问详解： 解：当时，， 设，则， 由（1）得， ∴， ∵是的中点， ∴， 在等腰中，， ∴要使与相似，有以下两种情况： ① 当时， 则， ∴， 此方程无解，不符合题意； ② 当时， 则， ∴， 解得：（不符合题意，舍去），或， ∴， 综上，． 59．（25-26学年九上·甘肃白银·期末）如图，在中，，过点作，垂足为点，再过点作，垂足为点按照以上的方法继续作下去得到，则线段的长为　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了相似三角形的判定与性质，数字类规律变化，勾股定理，先利用勾股定理求出，证明，求出，同理求出，，找出规律即可解答． 【详解】 解：∵中，， ∴， ∵， ∴， ∵是公共角， ∴， ∴，即， ∴， 同理可得：，，， 可得规律为：． 故答案为：． 60．（25-26学年九上·甘肃天水甘谷县·期末）问题发现 （1）如图1，在正方形中，点在边上，点在边上，且于点．求证：． 类比探究 （2）如图2，在矩形中，点在边上，点在边上，且于点．求证：． 拓展延伸 （3）如图3，在中，，点在边上，点在边上，，，连接，交于点，且，求的值． 【答案】（1）证明：，， ． 在正方形中，，， ． ． 又，， ． ． （2）证明：，， ． 在矩形中， ， ． ． 又， ． ． （3） 【分析】 （1）先导角得到，证明，即可得到结论； （2）先导角得到，证明，即可得到结论； （3）在上取一点，使，连接，可得是等边三角形，导角得到，证明，即可得到结论． 【详解】 解：（1）略 （2）略 （3）如图3，在上取一点，使，连接， 在中，，． 是等边三角形， ，． ． ， ． ． ． ． ． 61．（25-26学年九上·甘肃酒泉肃州区·期末）【基础巩固】 （1）如图1，在中，点D、E分别在边上，连接，若，求证：； 【尝试应用】 （2）如图2，在中，在边上取一点E，以为一边构造平行四边形，使点D，F恰好落在边上，连接，若，求的长； 【拓展提升】 （3）如图3，在中，在边上取一点E，以为一边构造平行四边形，使点F恰好落在边上，连接，若，求的长．（提示：延长交于点G） 【答案】（1）证明． ∴， ∴． （2） （3） 【分析】 本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． （1）根据已知条件，证明，根据相似三角形的性质即可得证； （2）根据平行四边形的性质得出，证明，结合（1）的结论代入数据即可求解； （3）延长交于点G，同（2）即可． 【详解】 解：（1）略 （2）解：， ∴ ∵四边形是平行四边形 ∴， ， ，， ∴． ∵． ∴． 由（1）得． ∴， 解得或（不合题意，舍去）． ∴． （3）解：延长交于点G ∵， ∴ ∵四边形是平行四边形， ，． ∴ ∵， ∴ 由（1）得． ∴， 解得或（不合题意，舍去）． ∴ 62．（25-26学年九上·甘肃天水张家川回族自治县·期末）（）如图，在矩形中，点分别是边的中点，连接，求证：； （）如图，在四边形中，，，点分别是边的中点，连接，与相交于点，若，求的长； （）如图，在四边形中，，，连接，点是边的中点，点在边上，，连接，交于点，连接，若，，求的值． 【答案】（1）证明：在矩形中，，， 点分别是边的中点， ， ， ； （2）； （3） 【分析】 （1）由题意结合矩形的性质，对应边成比例且夹角相等即可证得； （2）先证明四边形为平行四边形，进而得到边的平行关系，证明，得出线段的比例关系，利用线段之间的比例关系求解线段的长度即可； （3）过作于点，取的中点，连接，先根据已知条件得到相关线段的长度，再利用，求出线段的比值即可． 【详解】 （1）略 （2）解：点是边的中点， ， ， ， ， 四边形为平行四边形， ，， ， 又， ， ， 是的中点，， ， ， 又， ； （3）解：过作于点，取的中点，连接， 则四边形为矩形， ，， ， ， 设，则， ， ， ，点是边的中点， 垂直平分， ， 为的中点， 为的中位线， ，， ， ． 【点睛】 本题主要考查全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、三角形中位线以及勾股定理的应用；解决第（3）问的关键是正确添加辅助线． 63．（25-26学年九上·甘肃兰州红古区·期末）如图1，在矩形中，，，是上一点，连接，将矩形沿折叠，顶点恰好落在上的点处，延长，交的延长线于点，连接． （1）线段的长为______________． （2）求证：四边形是菱形． （3）如图2，，分别是线段，上的动点（与端点不重合），设，且．是否存在符合条件的点，使得？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）     （2） 证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴． 由折叠可知：，， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴平行四边形是菱形．     （3）存在，      【分析】 （1）由折叠和矩形的性质可得，．设，则，在中，由勾股定理求解，则，然后在中，运用勾股定理建立方程求解； （2）先证明，然后由折叠以及等量代换得到，先证明四边形是平行四边形，再由邻边相等证明其为菱形； （3）先证明，然后证明，即可求解． (1) 小问详解： 解：∵四边形是矩形， ∴，，． 由翻折可知：，． 设，则， 在中，， ， 在中，， 即，解得， ． (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：存在，理由如下： 由（1）可知， ∴． 由（2）可知四边形是菱形， ∴， ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴， ∵，， ∴， ， 解得． 【点睛】 本题考查了矩形与折叠，菱形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 64．（25-26学年九上·甘肃兰州第五十四中学）【基础巩固】 （1）如图 1，和是直角三角形，一锐角顶点重合于点 A，，，求证：； 【尝试应用】 （2）如图2，在和中，直角顶点重合于点C，，点D在上，，且，连接，若，求的长； 【拓展提高】 （3）如图3，在中，，点D为边上一点，，E为延长线上一点，，过点A作，交的延长线于点Q．请直接写出的值． 【答案】（1）证明：∵，， ∴， ∴，， ∴ ∴， ∴； （2）； （3） 【分析】 本题考查相似三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形，综合性强，难度大，属于压轴题．解题的关键是添加辅助线，构造特殊三角形和相似三角形． （1）先由已知条件证明，由相似三角形的性质得出，，进一步可得出，，即可证明． （2）先由已知条件证明，由相似三角形的性质得出，进一步可得出，，即可证明．再由相似三角形的性质得出，设，，由勾股定理求出，代入即可得出答案． （3）在上截取，连接，由已知条件得出，由含直角三角形的性质可求，，再判定是等边三角形，由等边三角形的判定以及性质得出，再求出，通过证明，可求的长，即可求解． 【详解】 （1）略 （2）∵，， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴设，， 在中，由勾股定理得∶， 即 ∴， ∴ ∴ （3）解：如图3，在上截取，连接， ∵， ∴， 设，则， ∴， ， ，， ， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， ∴， ， ， ， ， 65．（25-26学年九上·甘肃天水逸夫实验学校·期中）（1）问题：如图1，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，∠DPC=∠A=∠B=90°．求证：AD·BC=AP·BP． （2）探究：如图2，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，当∠DPC=∠A=∠B=θ时，上述结论是否依然成立．说明理由． （3）应用：请利用（1）（2）获得的经验解决问题： 如图3，在△ABD中，AB=6，AD=BD=5．点P以每秒1个单位长度的速度，由点A 出发，沿边AB向点B运动，且满足∠DPC=∠A．设点P的运动时间为t（秒），当DC的长与△ABD底边上的高相等时，求t的值． 【答案】（1）证明：如图1， ∵∠DPC=∠A=∠B=90°， ∴∠ADP+∠APD=90°， ∠BPC+∠APD=90°， ∴∠APD=∠BPC， ∴△ADP∽△BPC， ∴， ∴ADBC=APBP； （2）结论成立， 证明：如图2，∵∠BPD=∠DPC+∠BPC， 又∵∠BPD=∠A+∠APD， ∴∠DPC+∠BPC=∠A+∠APD， ∵∠DPC=∠A=θ， ∴∠BPC=∠APD， 又∵∠A=∠B=θ， ∴△ADP∽△BPC， ∴， ∴ADBC=APBP； （3）1秒或5秒． 【分析】 （1）由∠DPC=∠A=∠B=90°可得∠ADP=∠BPC，即可证到△ADP∽△BPC，然后运用相似三角形的性质即可解决问题； （2）由∠DPC=∠A=∠B=θ可得∠ADP=∠BPC，即可证到△ADP∽△BPC，然后运用相似三角形的性质即可解决问题； （3）过点D作DE⊥AB于点E，根据等腰三角形的性质可得AE=BE=3，根据勾股定理可得DE=4，由题可得DC=DE=4，则有BC=5-4=1．易证∠DPC=∠A=∠B．根据ADBC=APBP，就可求出t的值． 【详解】 解：（1）略 （2）略 （3）如下图，过点D作DE⊥AB于点E， ∵AD=BD=5，AB=6， ∴AE=BE=3 ∴DE= =4， ∵以D为圆心，以DC为半径的圆与AB相切， ∴DC=DE=4， ∴BC=5-4=1， ∵AD=BD， ∴∠A=∠B， 又∵∠DPC=∠A， ∴∠DPC=∠A=∠B， 由（1）（2）的经验得AD•BC=AP•BP， 又∵AP=t，BP=6-t， ∴t（6-t）=5×1， ∴t=1或t=5， ∴t的值为1秒或5秒． 【点睛】 本题考查圆的综合题． 66．（25-26学年九上·甘肃兰州·期中）课本再现 如图1，四边形是正方形，点是边的中点，，且交正方形外角的平分线于点．求证：．（提示：取的中点，连接） （1）请你思考题中的“提示”，这样添加辅助线的目的是通过截取线段， 构造出                                ，进而得到． 类比迁移 （2）如图2，四边形是矩形，，点是边的中点，，且交矩形的外角平分线于点，请判断与的数量关系，并说明理由． 拓展探究 （3）如图3，四边形是边长为3的菱形，，点为射线上一动点，连接，作，且与菱形外角的平分线交于点．当时，请直接写出的长． 【答案】（1），； （2）． 理由：在 上取点，使，连接， 由（1）同理可得， ， ， ， ， 设， 则，， ， ； 即． （3）的长为2或3 【分析】 此题四边形的综合题，考查了矩形的性质，正方形的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，菱形的性质，解决问题的关键是熟练掌握以上知识． （1）由全等三角形的判定可得出结论； （2）在上取点，使，连接，由（1）同理可得，得出，设，则，，可得出答案； （3）过点作，交于点，证明，得出，设，则，，解方程可得出答案． 【详解】 解：（1）如图，取的中点，连接， 四边形是正方形， ， 、分别是和的中点， ， ， ， 交正方形外角的平分线于点， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：；； （2）略 （3）如图所示，过点作，交于点， 四边形是菱形，， ，，，，，， ，，， 是角平分线， ，， ， ， ， ， ， 设，则，， ， 可得， 解得，， 当时，点在上，； 当时，点在延长线上， 如图所示， ； 综上所述，的长为2或3． 67．（25-26学年九上·甘肃酒泉第二中学·期中）【问题提出】 （1）如图1，在中，，D是边上一点，F是边上一点，连接、，．求证：； 【问题探究】 （2）如图2，在四边形中，点D是边的中点，连接、，，若，求线段的长； 【问题解决】 （3）某市进行绿化改造，美化生态环境．如图3，现有一块三角形的荒地计划改造公园，经测量米，，按设计要求，要在三角形公园内建造一个以A为直角顶点的等腰直角三角形活动场所，且顶点D、顶点E分别在边、上，且米，请求出符合设计要求的等腰直角三角形活动场所的顶点D所在的位置（即的长）． 【答案】（1）证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）； （3）等腰直角三角形活动场所的顶点D所在的位置在距离点米处 【分析】 （1）根据等边对等角，得到，根据外角的性质，易得：，即可证明； （2）证明，得到，根据点D是边的中点，求出，进而求出的长； （3）过点作，交于点，使，证明，求出米，再证明，即可得解． 【详解】 （1） 略 （2）解：同（1）法可得：， ∴， ∵点D是边的中点， ∴， ∴，即：， ∴， ∴； （3）过点作，交于点，使， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∵， 同（1）法可得：， ∴， ∴米， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即：， 解得：米或米（舍去）； ∴等腰直角三角形活动场所的顶点D所在的位置在距离点米处． 【点睛】 本题考查相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质．熟练掌握相似三角形的判定方法，证明三角形相似，是解题的关键．本题是一线三等角相似模型，平时多归纳总结，可以快速的解题． 68．（25-26学年九上·甘肃兰州第五中学·期末）综合与探究 问题情境： 如图，在矩形中，，，是边上的一个动点（不与点，重合），把沿着折叠后，点落在点处． 操作发现： （1）如图，当时，试判断的形状，并说明理由； （2）如图，当时，求的长； 深入探究： （3）如图，过点作直线，垂足为，连接，在点运动的过程中，若，请探究，并直接写出所有符合题意的的长度． 【答案】（1）解：当时，是等腰直角三角形． 理由如下： ∵，， ∴． ∵四边形是矩形， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵沿着折叠， ∴，， ∴，， ∴． ∴是等腰直角三角形． （2）的长为； （3）的长度为或4cm． 【分析】 （1）由折叠的性质，可得，，可得，，即可得的形状； （2）证明，由相似三角形的性质，可得的长； （3）分两种情况讨论，先证由点，点，点，点所构成的四边形是平行四边形，由勾股定理求解即可． 【详解】 （1）略 （2）解：由折叠可得， ∵， ∴． ∴，，三点在同一条直线上， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， 解得，． ∴的长为． （3）解：∵沿着折叠， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴四边形是平行四边形， 分两种情况： 情况，如图，当点在的延长线上时，连接交的延长线于点， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴ 在中，， ∴， ∴， 情况，如图，当点在上时，连接交于点， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵，， ∴ ∴，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴，即点与点重合（如图）， 答：的长度为或4cm． 【点睛】 本题考查矩形与折叠，相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是利用分类讨论思想解决问题． 考点04 相似三角形的性质 1．（25-26学年九上·甘肃天水甘谷县·期末）若两个相似三角形的面积比是，则这两个三角形的周长比是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查相似三角形的性质，解题的关键是掌握：相似三角形的面积比等于相似比的平方，周长比等于相似比．据此解答即可． 【详解】 解：∵两个相似三角形的面积比是， ∴相似比的平方为， ∴相似比为， ∴这两个三角形的周长比为． 故选：C． 2．（25-26学年九上·甘肃白银·期末）在如图所示的象棋盘（各个小正方形的边长均相等）中，根据“马走日”的规则，“马”应落在下列哪个位置处,能使“马”、“车”、“炮”所在位置的格点构成的三角形与“帅”、“相”,“兵”所在位置的格点构成的三角形相似（   ） A. ①处 B. ②处 C. ③处 D. ④处 【答案】B 【分析】确定“帅”、“相”、“兵”所在位置的格点构成的三角形的三边的长，然后利用相似三角形的对应边的比相等确定第三个顶点的位置即可． 【详解】帅”、“相”、“兵”所在位置的格点构成的三角形的三边的长分别为；  “车”、“炮”之间的距离为1，“炮”② 之间的距离为，“车”② 之间的距离为2 ，  ∵ ∴马应该落在② 的位置， 故选B 【点睛】本题考查了相似三角形的知识，解题的关键是利用勾股定理求得三角形的各边的长，难度不大． 3．（25-26学年九上·甘肃白银·期末）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．其中第九卷，主要讲述了以测量问题为中心的直角三角形三边互求的关系．其中记载：“今有邑，东西七里，南北九里，各中开门，出东门一十五里有木，问：出南门几何步而见木？” 译文：“今有一座长方形小城，东西向城墙长7里，南北向城墙长9里，各城墙正中均开一城门．走出东门15里处有棵大树，问走出南门多少步恰好能望见这棵树？”（注：1里步）你的计算结果是：出南门（       ）步而见木． A. 205 B. 215 C. 305 D. 315 【答案】D 【分析】 本题考查的是相似三角形的应用问题，证明，得到，求出的长即可得到答案，熟练运用相似三角形的性质与判定是解此题的关键． 【详解】 解：由题意得：里，里，里， 如图， ，，，经过点， ，， ，， ， ， 里，里，里， ， 里， 1里步， 步， 出南门315步而见木， 故选：D． 4．（25-26学年九上·甘肃兰州·期中）如图，点D，E分别在的边上，且，若，，则值为（       ） A. 9 B. 6 C. 3 D. 1 【答案】A 【分析】 本题考查相似三角形的性质，本题可根据相似三角形的性质，利用相似三角形面积比与相似比的关系来求解的面积． 【详解】 解：相似三角形面积比等于相似比的平方， 设与的面积分别为和，相似比为k， 则有， 由题可知，已知， 将其代入到中，可得， 即． 故选：A． 5．（25-26学年九上·甘肃定西渭源县·期末）若，且相似比为，的周长为10，则的周长为　　　　　． 【答案】20 【分析】 本题主要考查了相似三角形的性质，相似三角形的周长比等于相似比，由此可求解． 【详解】 解：∵，且相似比为， ∴的周长与的周长的比为， ∵的周长为10， ∴的周长为20， 故答案为：20． 6．（25-26学年九上·甘肃陇南·期末）如图，在等边三角形中，是边上任意一点，且． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵是等边三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴．     （2）的长为．      【分析】 本题主要考查三角形相似的判定和性质，等边三角形的性质． （1）根据两个角对应相等的两个三角形相似证明即可； （2）根据，，得出，证明，可得，即可得． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵是等边三角形，，， ∴， ∴， 由（1）知， ∴， ∴， ∴． ∴的长为． 7．（25-26学年九上·甘肃天水甘谷县·期中）如图所示，在中，，点在上，点在上，且，，，，动点从点出发，沿边以每秒2个单位的速度向终点运动，同时动点从点出发，在线段上以每秒1个单位的速度向终点运动，设运动时间为秒． （1）线段的长______； （2）当与相似时，求的值． 【答案】（1）6     （2）      【分析】 （1）过点E作于点H，证明四边形是矩形，可得，，在中，利用勾股定理可得的长，即可求解； （2）分两种情况，结合相似三角形的性质解答即可． (1) 小问详解： 解：如图，过点E作于点H， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， 在中，， ∴， ∴； (2) 小问详解： 解：根据题意得：，，且， ∴，， 当时，， 即， 解得：或（不合题意，舍去）； 当时，， 即， 解并检验得（不合题意，舍去）或（是增根，舍去）． 综上，的值为． 8．（25-26学年九上·甘肃天水·期末）如图，，且，E是的中点，F是边上的动点，与相交于点M． （1）求证：； （2）若F是的中点，，求的长； 【答案】（1） 证明：∵，点E是的中点， ∴． 又∵， ∴四边形为平行四边形． ∴． ∴． 又∵， ∴．     （2）4      【分析】 本题主要考查了相似三角形的判定、相似三角形的性质、平行四边形的判定与性质等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）先证明四边形为平行四边形可得，即，再结合即可证明结论； （2）由相似三角形的性质可得，再说明，然后代入计算即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∵F是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 9．（25-26学年九上·甘肃兰州红古区·期末）如图，已知梯形中，．是边上一点，与对角线交于点，且． 求证： （1）； （2）． 【答案】（1） 证明：∵， ∴ ∵， ∴ ∴ ∵， ∴ ∴；     （2） 证明：∵， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∴．      【分析】 （1）由可证，得到，再由得到，即可证明； （2）由得到，得到，进而得到，即可得到． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 【点睛】 本题考查相似三角形的判定与性质，相似三角形判定方法是解题的关键． 10．（九上·甘肃兰州·期末）如图，将沿边向右平移2个单位长度得到．若，阴影部分的面积为6，则的面积为　　　　　　． 【答案】24 【分析】 本题考查相似三角形的判定和性质，平移的性质，设与交于点，根据平移的性质及相似三角形的判定与性质计算的面积即可．掌握平移的性质和相似三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】 解：如图，设与交于点． 将沿边向右平移2个单位长度得到， ，， ，， ， ，即， ． 故答案为：24． 11．（九上·甘肃兰州·期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点O是坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，，D为边的中点．若E为边上的一个动点，当的周长最小时，则点E的坐标　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 由于C、D是定点，则是定值，如果的周长最小，即有最小值．为此，作点D关于x轴的对称点，当点E在线段上时的周长最小． 考查轴对称-最短路线问题， 坐标与图形性质，相似三角形的判定与性质等，找出点E的位置是解题的关键. 【详解】 解：如图，作点D关于x轴的对称点连接，与x轴交于点E，连接. 若在边上任取点与点E不重合，连接 由， 可知的周长最小， ∵在矩形中，，D为边的中点， ∴， ∵， ∴ 则 故 ∴， ∴点E的坐标为. 故答案为： 考点05 相似三角形的应用 1．（25-26学年九上·甘肃张掖临泽县·期中）如图，为估算某河的宽度，在河对岸边选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，并且点A，E，D在同一条直线上．若测得BE=20m，EC=10m，CD=20m，则河的宽度AB等于（       ） A. 60m B. 40m C. 30m D. 20m 【答案】B 【详解】 ∵AB⊥BC，CD⊥BC， ∴AB∥DC． ∴△EAB∽△EDC． ∴． 又∵BE=20m，EC=10m，CD=20m， ∴， 解得：AB＝40（m）． 故选：B． 2．（25-26学年九上·甘肃陇南·期末）如图所示，在小孔成像实验中，光线经过小孔，物体在幕布上形成倒立的实像（点的对应点分别是）．若物体的高为，小孔到地面距离为，则实像的高度为　　　　　cm． 【答案】 【分析】 本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是灵活运用相似三角形的判定和性质．易证明，，从而得到，，两式相加并变形可得，把，，代入计算即可． 【详解】 解：，， ， ， ，， ， 即， ， ，， ， 解得． 故答案为：． 3．（25-26学年九上·甘肃平凉庄浪县·期末）如图，小峰想用平面镜测量一棵松树的高度，他把平面镜放在点C处（平面镜的大小忽略不计），然后从点C处沿方向移动到点F处，此时恰好在平面镜中看到松树顶端A的像，但由于树旁有一条河，不能直接测量平面镜与松树之间的距离，于是小峰从点F沿方向移动到点H处，此时他发现自己在太阳光线下的影子顶端和松树在太阳光线下的影子顶端在地面上的点D处重合．已知小峰身高为1.6米（忽略头顶到眼睛的距离，即米）．经测量，米，米，米，已知，，，点B、C、F、H、D在同一条直线上，图中所有点均在同一平面内，求松树的高度． 【答案】松树的高为9.6米． 【分析】 本题考查了相似三角形的应用，证明，，根据相似三角形的性质得出，，然后解方程即可求解． 【详解】 解：根据题意，得，，， ∴，， ∴，， ∵，，， ∴，， ∴， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴， 解得， 经检验，是原方程的解． 答：松树的高为9.6米． 4．（25-26学年九上·甘肃白银·期末）如图，嘉嘉同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．手电筒的灯泡在点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处，点E到地面的高度，点F到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，墙到木板的水平距离为．已知光在镜面反射中的入射角等于反射角，图中点在同一水平面上．求灯泡到地面的高度． 【答案】灯泡到地面的高度为 【分析】 本题主要考查了相似三角形的应用，直接利用相似三角形的判定与性质得出的长，根据相似三角形的性质列方程进而求出的长． 【详解】 解：由题意可得：， 则， 故， 即， 解得：； ∵， ∴， ∵光在镜面反射中的入射角等于反射角， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， 答：灯泡到地面的高度为． 5．（25-26学年九上·甘肃天水甘谷县·期末）龙角塔（图），位于诸葛亮躬耕地南阳卧龙岗内，是武侯祠的一个重要人文景观．如图，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板来测量龙角塔的高度．他们通过调整测量位置，使斜边与地面保持平行，并使边与龙角塔顶点在同一条直线上．已知，，目测点到地面的距离，到龙角塔的水平距离，求龙角塔的高度． 【答案】龙角塔的高度为 【分析】 本题考查相似三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，线段的和差计算，通过证明三角形相似建立比例关系是解题关键． 先由、均垂直地面且平行地面，判定四边形是矩形，得，再通过直角和公共角证，利用相似边成比例求出，最后由算出龙角塔高度． 【详解】 解：与地面保持平行， 地面， 地面， 四边形是矩形， ，， ，， ， ， 即， 解得， ． 答：龙角塔的高度为． 6．（25-26学年九上·甘肃兰州红古区·期末）如图所示，小明、小亮、小颖三人为了测量操场上旗杆的高度，他们选择了一个晴朗的天气，拿着皮尺和标杆走到了旗杆旁开始测量，小明握住标杆使它与地面垂直并保持不动，小亮同学测量出标杆的影长为，同一时刻小颖同学测量出旗杆的影长为，若标杆的高度为，请你应用所学的知识帮他们计算一下旗杆的高度． 【答案】旗杆的高度为 【分析】 本题主要考查相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的性质是关键． 根据题意，可得，则，即，由此即可求解． 【详解】 解：如图所示，同一时刻，可得，点在同一条直线上， ∴， ∴，即， 解得，． 答：旗杆的高度为． 7．（25-26学年九上·甘肃张掖临泽县·期中）如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条直角边DE=40cm，EF=20cm，测得边DF离地面的高度AC=1.5 m，CD=8 m，则树高AB=　　　　m． 【答案】5.5 【详解】 在△DEF和△DBC中， ， ∴△DEF∽△DBC， ∴， 40cm=0.4m，20cm=0.2m， 即， 解得BC=4， ∵AC=1.5m， ∴AB=AC+BC=1.5+4=5.5m 故答案为：5.5m 【点睛】 考点：相似三角形 8．（25-26学年九上·甘肃兰州第五十四中学）综合与实践 主题：利用相似三角形的有关知识测量建筑物的高度． 素材：平面镜、标杆、皮尺等测量工具． 步骤1：如图，站在B处，位于点B正前方3米点C处有一平面镜，通过平面镜刚好可以看到建筑物的顶端M的像，此时测得眼睛到地面的距离为1.5米； 步骤2：在F处竖立了一根高2米的标杆，发现地面上的点D、标杆顶点E和建筑物顶端M在一条直线上，此时测得为6米，为4米． 猜想与计算：已知，点N、C、B、F、D在同一条直线上，且点N、C之间存在障碍物，无法直接测量． 请根据以上所测数据：    （1）直接写出平面镜到建筑物的距离与建筑物高度之间的数量关系； （2）计算建筑物的高度（平面镜大小忽略不计）． 【答案】（1）     （2）建筑物的高度为10米      【分析】 本题考查了相似三角形的应用．熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）由题意得：，证明，则，即，解得，； （2）设米，则米，由，，可得，证明，则，即，计算求解即可． (1) 小问详解： 解：由题意得：， ∵， ∴， ∴， ∴，即，解得，， ∴； (2) 小问详解： 解：设米，则米， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即，解得：， 答：建筑物的高度为10米． 9．（25-26学年九上·甘肃兰州第五十四中学）如图①，舂臼（chōngjiù）是利用了杠杆原理给谷物种子进行脱壳的一种传统工具，图②是该舂臼的侧面简易示意图，点是支点，点距地面cm，且，在舂臼使用过程中，若端上升至距地面cm处，则端此时距地面 　　　　　　　cm． 【答案】 【分析】 本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．过作地面于，过作地面于，过作地面于，过作于交于，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】 解：过作地面于，过作地面于，过作地面于，过作于交于，则，    由题意得， ∴， 则cm， ∵， ∴， ∴， ∵cm， ∴cm， ∴， ∴cm， ∴cm， 答：端此时距地面cm． 故答案为：． 10．（25-26学年九上·甘肃酒泉第二中学·期中）小军想用镜子测量一棵古松树的高度，但因树旁有一条小河，不能测量镜子与树之间的距离，于是他利用镜子进行两次测量，如图，第一次他把镜子放在点处，他在点处正好在镜中看到树尖的像；第二次他把镜子放在点处，他在点处正好在镜中看到树尖的像．已知，，，小军的眼睛距地面（即），量得，求这棵古松树的高度．（镜子大小忽略不计） 【答案】 【分析】 本题主要考查了相似三角形的应用，先证明，得出，再证明，得出，由，得出，继而求出的长度，代入即可求出的长度，即可得出答案． 【详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， 解得：， ∴， 解得：， 答：这棵古松树的高度为． 11．（25-26学年九上·甘肃兰州第八十一中学·期中）《周髀算经》中记载了“平矩以正绳，偃矩以望高，覆矩以测深，卧矩以知远，环矩以为圆，合矩以为方”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．小明利用“矩”可测量大树的高度．如图，通过不断调整自己的姿势和“矩”的摆放位置，使斜边保持水平，并且边与点在同一直线上，已知“矩”的两边长分别为，，小明的眼睛到地面的距离为，测得，求树高． 【答案】 【分析】 本题主要考查了相似三角形的实际应用，据题意可得，，，可证明，再利用相似三角形的性质列出比例式求出的长，进而求出的长即可得到答案． 【详解】 解：根据题意可得，， 又∵， ， ． ，， ， ， ． 答：树高为． 考点06 位似 1．（25-26学年九上·甘肃兰州第八十一中学·期末）一张标准对数视力表由一些形状相同但大小不一定相同的符号“E”组成的，我们可以借助平面直角坐标系中的位似变换来对符号“E”进行放大或缩小．如图，两个符号“E”在第一象限，且关于原点O位似．若点，点，点，则点D的坐标是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或．利用以原点为位似中心的对应点的坐标特征得到相似比为，然后把C点的横纵坐标都乘以得到其对应点D的坐标． 【详解】 解：∵两个符号“E”在第一象限，且关于原点O位似， 而点，点， ∴相似比为， ∴点的对应点D的坐标是，即． 故选：C． 2．（25-26学年九上·甘肃兰州第二十中学·期末）如图，△ABC与△DEF位似，点O是它们的位似中心，△ABC与△DEF的面积之比是1：4，其中，则OB的长为（       ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【分析】 根据位似图形的概念得到△ABC∽△DEF，AB DE，根据相似三角形的性质计算，得到答案． 【详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴BO=2， 故选：B． 【点睛】 本题考查的是位似变换的概念，熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 3．（25-26学年九上·甘肃平凉庄浪县·期末）如图，与是位似图形，点A为位似中心，，则（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查的是位似图形的性质，相似三角形的性质，熟记相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 首先由得到，然后证明出，然后根据相似三角形的性质求解即可． 【详解】 解：∵， ∴， ∵与是位似图形，点A为位似中心， ∴ ∴． 故选：A． 4．（25-26学年九上·甘肃天水张家川回族自治县·期末）如图，与是位似图形，点是位似中心，相似比为．若，则的长为（       ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【分析】 本题考查位似变换．位似图形就是特殊的相似图形，位似比等于相似比，利用相似三角形的性质即可求解． 【详解】 解：∵与是位似图形，位似比为，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的长为2． 故选：B． 5．（25-26学年九上·甘肃兰州第二十二中学·期末）如图，和 是以点 O 为位似中心的位似图形， ，若，则为（    ） A.  2 B.  3 C.  4 D.  6 【答案】B 【分析】 本题考查的是位似变换，掌握位似图形的概念、相似三角形的性质是解题的关键．根据位似图形的性质可得，得到根据相似三角形的性质求出，因为，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可． 【详解】 解：∵，且和 是以点 O 为位似中心的位似图形， ∴ ∵ ， ， ∵， ， 故答案为：B． 6．（25-26学年九上·甘肃张掖临泽县·期中）如图，以点为位似中心，作四边形的位似图形，已知，若四边形的面积是3，则四边形的面积是（       ） A. 9 B. 18 C. 24 D. 27 【答案】D 【分析】 本题考查了位似变换：位似图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行或共线．也考查了相似多边形的性质．先利用位似的性质得到，则四边形与四边形相似比为3，然后根据相似多边形面积的比等于相似比的平方求解． 【详解】 解：∵四边形是四边形关于O点为位似中心的位似图形， ∴， ∴四边形与四边形相似比为3， ∴四边形的面积四边形的面积． 故选：D． 7．（25-26学年九上·甘肃兰州榆中县·期末）古书《墨子•经上》中记载：“执规矩，以度天下之方圆．”度方知圆，感悟数学之美．如图，以面积为1的正方形的对角线的交点为位似中心，作它的位似图，若，则四边形的面积为 （       ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 1 【答案】B 【分析】 本题考查的是位似图形的性质，由位似图形的性质可得正方形的面积正方形的面积，再进一步可得答案． 【详解】 解：∵正方形的面积为1，，正方形与正方形是位似图形， ∴正方形的面积正方形的面积； ∴四边形的面积为． 故选：B． 8．（25-26学年九上·甘肃天水甘谷县·期中）如图，AB与CD交于点，且．若，则的值为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是利用平行线得到相似三角形，并根据相似三角形的性质求解． 先根据平行线证明与相似，再由已知条件得出相似比，最后根据相似三角形面积比等于相似比的平方求出的值． 【详解】 ， ， ， 已知，设，则， ， 与的相似比为， 根据相似三角形面积比等于相似比的平方， ． 故选：C． 9．（25-26学年九上·甘肃兰州第八十一中学·期中）如图，与是以点O为位似中心的位似图形，若与的面积比为，则为（　 　） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查的是位似变换，根据位似图形的概念得到，，得到，得到，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算，得到答案． 【详解】 解：∵与是以点O为位似中心的位似图形， ∴，， ∴， ∴， ∵与的面积比为， ∴与的相似比，即， ∴，即， 故选：B． 10．（25-26学年九上·甘肃甘南藏族自治州临潭县第一中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，正方形与正方形是以原点为位似中心的位似图形，且位似比为，点在轴上，若正方形的边长为6，则点坐标为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题主要考查了位似变换以及相似三角形的判定与性质， 首先直接利用位似图形的性质结合相似比得出的长； 然后根据相似三角形的判定定理得出，结合相似三角形的对应边成比例得到比例式，进而得出的长，由此即可得出点坐标，掌握知识点的应用是解题的关键； 【详解】 解：∵正方形与正方形是以原点为位似中心的位似图形，且相似比为， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点坐标为， 故选：D． 11．（25-26学年九上·甘肃兰州第五中学·期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为． （1）以原点O为位似中心，在第三象限内画一个，使它与的相似比为，并写出点的坐标； （2）点P为y轴上一点，求的最小值． 【答案】（1） 解：如图，即为所求； 所以点的坐标为     （2）      【分析】 本题主要考查了位似变换，勾股定理，解题的关键是注意位似中心及相似比、． （1）把A、B、C的坐标都乘以得到的坐标，然后描点，连接即可； （2）由两点之间线段最短可知，作B点关于y轴的对称点，连接交y轴于P点，点P即为所求，再利用勾股定理即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：作B点关于y轴的对称点，连接交y轴于P点，如图，则， ∵， ∴， ∴此时的值最小， ∵2， ∴的最小值为． 12．（25-26学年九上·甘肃兰州第十九中学·期末）如图，以点O为位似中心，作四边形的位似图形，已知，若四边形的面积是4，则四边形面积是　　　　　　． 【答案】9 【分析】 本题主要考查了位似图形的性质，位似图形的面积之比等于位似比的平方，则，据此可得答案． 【详解】 解：∵以点O为位似中心，作四边形的位似图形， ∴， ∵四边形的面积是4， ∴四边形面积是9， 故答案为：9． 13．（25-26学年九上·甘肃陇南·期末）在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，建立如图所示的平面直角坐标系，并给出了格点（顶点为网格线的交点）． （1）作出与关于原点O对称的图形； （2）以点O为位似中心，在第四象限内将按相似比2放大，作出该图形． 【答案】（1） 解：如图所示：      （2） 解：如图所示．      【分析】 本题考查了画位似图形，画已知图形关于某点对称的图形，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据中心对称的性质，分别找出点，再依次连接，即可作答． （2）根据位似图形的性质以及以点O为位似中心，在第四象限内将按相似比2放大，进行作图即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 14．（25-26学年九上·甘肃酒泉肃州区·期末）如图，在平面直角坐标系中，方格图中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，的顶点都在格点上． （1）画出关于x轴对称的； （2）以原点O为位似中心，在y轴的左侧画出一个，使它与位似，且相似比为． 【答案】（1） 解：如图，即为所求作的三角形；     （2） 解：如图，即为所求作的三角形； 【分析】 本题主要考查了轴对称作图和位似作图，熟练掌握轴对称的性质和位似的性质，是解题的关键． （1）先作出点A、B、C的对应点、、，然后顺次连接即可； （2）先作出点、、的对应点、、，然后顺次连接即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 15．（25-26学年九上·甘肃张掖临泽县·期中）如图，在直角坐标系中，与是位似图形，则位似中心的坐标为　　　　　　　　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据位似图形的对应顶点的连线交于一点并结合网格图中的格点特征确定位似中心． 【详解】 解：连接DB，OA并延长，交于点M，点M即为位似中心 ∴M点坐标为 故答案为：． 【点睛】 本题考查的是位似变换的概念、坐标与图形性质，掌握如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心是解题的关键． 16．（25-26学年九上·甘肃酒泉第二中学·期中）以原点为位似中心，将进行位似变换放大得到，若相似比为2，A点坐标为，则对应点F的坐标为　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据位似图形的性质进行求解即可． 【详解】 解：∵以原点为位似中心，将进行位似变换放大得到，且相似比为2，A点坐标为， ∴对应点F的坐标为， 故答案为：． 【点睛】 本题考查了位似图形的性质，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键． 17．（25-26学年九上·甘肃酒泉第二中学·期中）已知O是坐标原点，A，B的坐标分别为，． （1）把绕点O逆时针方向旋转得到，请在坐标系中作出； （2）在y轴的左侧以O为位似中心作的位似图形，使新图与原图的相似比为； （3）直接写出的面积． 【答案】（1） 如图，即为所求；      （2）如图，即为所求；     （3）      【分析】 本题考查了利用网格求三角形面积，画旋转图形，在坐标系中画位似图形，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）按要求把绕点O逆时针方向旋转得到即可； （2）按要求作出位似图形即可； （3）根据三角形面积公式求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 如图，在y轴的左侧以O为位似中心作的位似图形，使新图与原图的相似比为，即为所求； (3) 小问详解： 的面积为． 18．（25-26学年九上·甘肃酒泉肃州区·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． （1）在轴右侧，以原点为位似中心，画出，使它与位似，且相似比为（点，，的对应点分别为点）； （2）在（1）的条件下，求的面积． 【答案】（1） 解：如图所示，即为所求作的三角形；      （2）1      【分析】 本题主要考查了作位似图形，相似三角形的性质， 对于（1），连接，并延长至，使，同理得到点，再依次连接可得答案； 对于（2），先求出，再根据相似比可得面积比，进而得出答案. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：，，， ， ∵与的相似比为， ∴与的面积比为， ∴面积． 19．（25-26学年九上·甘肃兰州榆中县·期末）如图，在平面直角坐标系中，三顶点的坐标分别为． （1）画出关于y轴对称的图形，并直接写出点的坐标． （2）以原点O为位似中心，在y轴左侧，画出的位似图形，使它与位似比为，直接写出点的坐标，并求的面积． 【答案】（1） 解：如图所示，即为所求，则点的坐标为；     （2） 解：如图所示，即为所求，则点的坐标为；       【分析】 本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称和位似，坐标与图形，熟知轴对称和位似的知识是解题的关键。 （1）关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相同，据此可得点的坐标，描出点，并顺次连接点即可； （2）把点A、B、C的横纵坐标都乘以2可得点的坐标，描出点，再顺次连接点，最后利用割补法求解三角形面积即可。 (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ． 20．（25-26学年九上·甘肃兰州第十九中学·期末）在如图所示的平面直角坐标系中，已知点，，．        （1）画出和关于x轴对称的； （2）以O为位似中心，在第一象限内把扩大到原来的两倍，得到，并写出点的坐标：                 ． 【答案】（1） 解：如图所示，和即为所求；     （2） 解：如图所示，即为所求，则点的坐标为． 【分析】 本题主要考查了位似变换和轴对称变换，熟知位似和轴对称的相关知识是解题的关键． （1）关于x轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数，据此可得的坐标，再根据点的坐标画出对应的图形即可； （2）把的三个顶点的横纵坐标都乘以得到的三个顶点的坐标，再根据点的坐标画出对应的图形即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 21．（25-26学年九上·甘肃天水甘谷县·期末）在如图的方格纸中，与是关于点P为位似中心的位似图形． （1）在图中标出位似中心P的位置； （2）以原点O为位似中心，在第三象限画出的一个位似，使它与的位似比为； （3）已知的面积为2.5，则的面积为_______． 【答案】（1） 解：如图所示，点为所作；      （2） 解：如图所示，为所作；      （3）10      【分析】 本题考查作图位似变换，位似变换的性质：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或． （1）连接两组对应点，并延长，延长线的交点即为位似中心； （2）延长、，并使、，连接即可； （3）根据位似比得出面积比，即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：∵与的位似比为， ∴， ∵的面积为2.5， ∴， 故答案为：10． 22．（25-26学年九上·甘肃兰州红古区·期末）如图，与是位似图形，点是位似中心，若，的面积为4．则的面积为　　　　　　　　　　　　　． 【答案】25 【分析】 本题考查位似图形，根据位似图形的面积等于位似比的平方进行求解即可． 【详解】 解：∵与是位似图形，点是位似中心， ∴与的相似比为， ∴与的面积比为， ∵的面积为4， ∴的面积为25． 故答案为：25 23．（25-26学年九上·甘肃兰州第十一中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为、、． （1）以原点O为位似中心，在y轴的右侧画出的一个位似，使它与的相似比为； （2）将向左平移2个单位，再向上平移1个单位后的，判断与，能否是关于某一点M为位似中心的位似图形？若是，请在图中画出位似中心M，并写出点M的坐标． 【答案】（1） 所作如图所示：      （2）是，如图画出， M的坐标为      【分析】 本题主要考查了作图位似变换，平移变换，熟练掌握位似变换的性质是解题的关键． （1）根据位似变换的性质找出对应点，再顺次连接对应点，即可解题； （2）根据平移变换的性质画出，再根据位似中心的性质求解，即可解题． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：与是关于某一点M为位似中心的位似图形，如图，M的坐标为． 24．（25-26学年九上·甘肃张掖临泽县·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣1，2），B（﹣3，4）C（﹣2，6）. （1）画出△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到的△A1B1C1； （2）以原点O为位似中心，画出将△A1B1C1三条边放大为原来的2倍后的△A2B2C2． 【答案】（1）如图：△A1B1C1即为所求； （2）如图：△A2B2C2即为所求. 【分析】 （1）由A（﹣1，2），B（﹣3，4）C（﹣2，6），可画出△ABC，然后由旋转的性质，即可画出△A1B1C1； （2）由位似三角形的性质，即可画出△A2B2C2. 【详解】 （1）略 （2）略 25．（25-26学年九上·甘肃兰州第五十四中学）如图，在平面直角坐标系中，给出了格点（顶点均在正方形网格的格点上），已知点的坐标为． （1）画出关于轴对称的； （2）以点为位似中心，在给定的网格中画出，使与位似，位似比为； （3）与的周长比是________． 【答案】（1） 解：所作如图所示：      （2） 解：所作如图所示；     （3）      【分析】 本题主要考查位似及轴对称图形的性质，熟练掌握位似及轴对称图形的性质是解题的关键； （1）根据“点的坐标关于坐标轴对称，关于谁对称，谁就不变，另一个互为相反数”可进行求解； （2）根据位似的性质可进行作图； （3）根据位似的性质可知周长比等于位似比，然后问题可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：∵和位似，且位似比为， ∴， ∴它们的周长之比等于相似比，即为； 故答案为：． 26．（25-26学年九上·甘肃酒泉肃州区·期中）如图，点O是平面直角坐标系的原点，点A、B、C的坐标分别是、、． 作图：以点O为位似中心在y轴的左侧把原来的四边形OABC放大两倍不要求写出作图过程； 直接写出点A、B、C对应点、、的坐标． 【答案】（1）如图，四边形为所求． （2），，． 【分析】 延长AO、BO，CO到、、，使、、的长度是OA、OB、OC的2倍顺次连接即可； 根据以上作图可得． 【详解】 解：略 由图可知，，，． 【点睛】 本题综合考查了利用位似变换进行作图画位似图形的一般步骤为：确定位似中心，分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；根据相似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形． 27．（25-26学年九上·甘肃兰州第八十一中学·期中）如图，在平面直角坐标系内三顶点的坐标分别为．    （1）画出关于y轴对称的； （2）以B为位似中心，在B的下方画出，使与位似且相似比为2∶1； （3）直接写出点和点的坐标． 【答案】（1） 如图1，即为所求；      （2） 如图2，即为所求；       （3），      【分析】 本题考查了作图——轴对称变换，位似变换，求位似图形坐标，熟练掌握轴对称变换与位似变换的性质是关键． （1）根据轴对称的性质画图即可； （2）根据位似的性质画图即可； （3）根据（2）的图即可得到点和点的坐标． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 由图2可知：，． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 相似 考点01 图形的相似 考点02 平行线分线段成比例 考点03 三角形相似的判定 考点04 相似三角形的性质 考点05 相似三角形的应用 考点06 位似 考点01 图形的相似 1．D 2．C 3．A 4．C 5．D 6．D 7．D 8．D 9．D 10．A 11．C 12．A 13．D 14．C 15．D 16．C 17．C 18．B 19．C 20．B 21．D 22．C 23．C 24．A 25．【答案】8 【分析】 本题考查成比例线段，掌握如果四条线段a，b，c，d满足，则四条线段a，b，c，d称为比例线段．根据成比例线段的定义可得出，求解即可． 【详解】 解：∵a，b，c，d是成比例线段， ∴，即， ∴ 故答案为：8． 26．【答案】 【分析】 本题考查了分式求值，由可得，将其代入即可求解． 【详解】 解：， ， ， 故答案为：． 27．【答案】 【分析】 根据四条线段成比例，列出比例式，再把，，代入计算即可． 【详解】 ，，，是成比例线段， ． ，，， ， ． 故答案为：. 【点睛】 此题考查了比例线段的定义，注意，，，是成比例线段即，要理解各个字母的顺序． 28．【答案】2 【分析】 本题考查比例尺的定义．熟练掌握比例尺的定义是解题的关键． 根据比例尺的定义求解即可． 【详解】 解：实际长度， 所以实际长度， 故答案为：2． 29．【答案】 【分析】 本题主要考查比例的性质，掌握其性质的计算是关键，通过设比例常数为 ，表示出 的值，然后代入所求表达式进行计算． 【详解】 解：设 ，则 ，，（）， 代入 得： 分子：， 分母：， 所以 ； 故答案为． 30．【答案】（1）；     （2）该雕像的下半身设计高度为．      【分析】 本题考查黄金分割，分式方程的应用，正确列出方程是解题关键． （1）根据雕像上部(腰部以上)与下部(腰部以下)的高度比，等于下部与全部的高度比，即可得出答案；． （2）设，则，根据（1）的结论，列出分式方程，解方程即可． (1) 小问详解： 解：（或）． (2) 小问详解： 解：设，则， 依题意得：，整理得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：该雕像的下半身设计高度为． 31．【答案】 【分析】 根据比例的性质即可求解． 【详解】 解：∵， ∴． 故答案为：． 【点睛】 本题考查了比例的性质，掌握比例的性质是解题的关键． 32．【答案】 【分析】 本题考查相似多边形的性质，明确对应边的比等于相似比是解题关键． 已知两个四边形的相似比为，即，将代入求值即可． 【详解】 解：四边形四边形且相似比为， ， ， ． 故答案为：． 33．【答案】 【分析】 本题主要考查黄金分割比，熟练掌握黄金分割比是解题的关键；因此此题可根据黄金分割比进行求解即可． 【详解】 解：∵，， ∴， ∴； 故答案为：． 34．【答案】、、 【分析】 本题考查比例的性质，三角形的周长，通过设比例系数，将各量转化为含的表达式是解题关键． 采用等比设法，设（），将三边表示为，，，结合三角形周长列方程，求出，进而得到三边长度． 【详解】 解：设（），则，，， ， ，即， 解得， ，，， 故三边的长分别为、、． 答：、、． 35．【答案】 【分析】 本题考查了相似多边形的性质，根据面积比求出相似比，再根据周长比等于相似比列出比例式解答即可求解，掌握相似多边形的性质是解题的关键． 【详解】 解：设五边形的周长为， ∵五边形与五边形的面积比为， ∴相似比为， ∴五边形与五边形的周长比为， 即， 解得， ∴五边形的周长为， 故答案为：． 36．【答案】（1）证明：∵， ∴， 又∵， ∴；     （2）      【分析】 本题主要考查了相似三角形的判定，三角形中线的性质，证明是解题的关键． （1）根据已知条件得到，再根据两边对应成比例且它们的夹角相等的两三角形相似进行证明即可； （2）先求出，再根据，求出，根据，求出，即可得出答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵点E为中点，， ∴， ∵， ∴， 根据解析（1）可知：， ∴， 解得：， ∴． 37．【答案】 【分析】 本题考查比例的运算，分式的化简求值，正确掌握设参数表示比值是解题的关键． 先根据比例关系设参数表示变量，再代入分式化简，即可求解． 【详解】 解：设 （）， 则 ，，， ． 故答案为 ． 38．【答案】 【分析】 本题主要考查比的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键；由已知比例，可设参数表示a和b，再代入所求表达式计算即可． 【详解】 解：由可设，（其中），则 ； 故答案为：． 39．【答案】 【分析】 本题考查了比例的性质，掌握比例的性质是解此题的关键． 根据比例的性质代入，即可求出答案． 【详解】 解：∵， ， 故答案为：． 40．【答案】 【分析】 本题主要考查了相似多边形的性质， 根据相似多边形的对应角相等，对应边成比例得出答案． 【详解】 解：∵四边形∽四边形 ∴． 解得， ∴． 41．【答案】 【分析】 本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键． 利用比例的性质，进行计算即可解答． 【详解】 解：， ， 故答案为：． 42．【答案】 【分析】 根据比例的性质，设，代入代数式，即可求解． 【详解】 解：∵，设， ∴， 故答案为：． 【点睛】 本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键． 43．【答案】12 【分析】 本题考查了比例的性质． 设，则，，，代入求解的值，然后计算的值即可． 【详解】 解：设， 则，，， 代入， 得， 即， 解得， 所以， 则． 故答案为：． 44．【答案】 【分析】 本题考查了相似多边形的性质，矩形的性质，掌握相似多边形对应边成比例的性质，准确确定出对应边是解题的关键．设，表示出的长，然后根据相似四边形对应边成比例列式求解即可． 【详解】 解：四边形是矩形，且，， ，， 设，则， 矩形与矩形相似， ，即， 解得， 即的长为． 故答案为： ． 45．【答案】15 【分析】 本题考查了比例的性质，设，则，求出k的值，进而得出a、b、c的值，即可解答． 【详解】 解：设， ，，， ， ， 解得， 则，，， 则． 46．【答案】 【分析】根据等比性质，可得答案． 【详解】由(b+d+f≠0)，得 . 故答案为. 【点睛】此题考查比例的性质和分式的值，解答本题的关键在于了解等比性质. 47．【答案】 【分析】 根据黄金分割的概念，可求出，即可求解． 【详解】 由题意知 米， ， ， 米， 故主持人从舞台一侧点 进入，则他至少走 米时恰好站在舞台的黄金分割点上， 故答案为：． 【点睛】 本题考查了黄金分割，理解黄金分割的概念找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关键． 考点02 平行线分线段成比例 1．B 2．A 3．D 4．D 5．C 6．B 7．【答案】4 【分析】 本题考查平行线分线段成比例，掌握平行线分线段成比例的知识是解题关键． 利用平行线分线段成比例计算即可． 【详解】 解：∵， ∴，即， 解得， 故答案为：4． 8．【答案】（1）     （2） 证明：∵ ， ∴，， ∴， ∴．      【分析】 本题考查平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解答的关键，注意对应线段的对应位置． （1）根据平行线分线段成比例得到，进而根据比例性质求解即可； （2）根据平行线分线段成比例定理得到，，进而可得结论． (1) 小问详解： 解：∵， ∴， 又∵，， ∴， 解得：． ∴． (2) 小问详解： 略 9．【答案】3 【分析】 通过平行线分线段成比例的列式即可得到结果； 【详解】 解：∵l1∥l2∥l3， ∴， 即， 又∵，BC＝4，∴， 解得AB＝3.经检验，AB＝3是原分式方程的解． 【点睛】 本题主要考查了平行线分线段成比例知识点，准确分析是解题的关键． 10．【答案】（1）， 理由如下： ∵正方形， ∴， ∵是直角三角形，， ∴， 当点E与点A重合时，则：， ∴， 又∵， ∴， ∴；     （2）， ∵正方形， ∴， ∵点G在的延长线上，的延长线与的延长线交于点P， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴；     （3）， 理由如下： 由（2）可知：， ∴，， 作于点，则：， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴为的中位线， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， 在中，由勾股定理，得：， ∵， ∴．      【分析】 （1）根据正方形的性质，证明，即可得出结论； （2）根据正方形的性质，证明，即可得出结论； （3）作，得到，平行线分线段成比例得到，进而得到为的中位线，得到，根据，得到，进而得到，勾股定理得到，再根据，即可得出结论． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 略 【点睛】 本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线分线段成比例，三角形的中位线定理，勾股定理等知识点，熟练掌握相关知识点，证明三角形全等，添加辅助线构造特殊图形，是解题的关键． 考点03 三角形相似的判定 1．C 2．D 3．C 4．C 5．A 6．C 7．C 8．C 9．C 10．B 11．B 12．B 13．A 14．D 15．B 16．B 17．A 18．C 19．A 20．【答案】（答案不唯一） 【分析】 本题主要考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键；因此此题可根据相似三角形的判定定理进行求解即可． 【详解】 解：由题意得：， ∴若添加时，则可根据“两组角对应相等的两个三角形相似”判定； 若添加时，则可根据“两组角对应相等的两个三角形相似”判定； 若添加（）时，则可根据“两组对应边成比例且它们的夹角也相等的两个三角形相似”判定； 故答案为（答案不唯一）． 21．【答案】（1） 证明：是斜边上的高． ， ， ． ．     （2）      【分析】 本题考查了相似三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合是斜边上的高，得出，故，即可证明； （2）根据，得，结合，故，再代入进行计算，即可作答． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由（1）知， ∴， ． ． ∴ ． ∴（负值已舍去） 的长为． 22．【答案】 【分析】 本题考查了尺规作角等于已知角，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 根据尺规作图可得，可证，由此即可求解． 【详解】 解：根据题意，，且， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴（负值舍去）， 故答案为： ． 23．【答案】（答案不唯一） 【分析】 本题考查了相似三角形的判定定理，熟练掌握三角形相似判定定理是解题的关键． 根据相似三角形的判定推理即可． 【详解】 解：∵，， ∴， ∴再加一个条件为：， ∴， 故答案为：． 24．【答案】 【分析】 本题考查相似三角形的判定和性质，证明，列出比例式进行求解即可． 【详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为： 25．【答案】（1） 证明：四边形是平行四边形， ，， ， ．     （2）8      【分析】 本题主要考查平行四边形的性质以及相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解决本题的关键． （1）由四边形是平行四边形，得， ，所以，进而推断出． （2）根据相似三角形的性质，由的面积为2，故可求的面积． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：，， ， ． 26．【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴；     （2）      【分析】 （1）根据题意得出，，则，即可得证； （2）根据（1）的结论，利用相似三角形的性质列出比例式，代入数据即可求解． (1) 小问详解： 略； (2) 小问详解： ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：． 【点睛】 本题考查了相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 27．【答案】证明：∵，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴． 【分析】 本题主要考查了相似三角形的判定，三线合一定理，先由三线合一定理得到，再由垂直的定义推出，再由，即可证明． 【详解】 略 28．【答案】4 【分析】 本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握知识点是解题的关键．证明出，根据面积比等于相似比的平方即可求解． 【详解】 解：∵， ∴， ∴, ∴ ∵， ∴， 故答案为：4． 29．【答案】（1）证明：∵△AEB∽△DEC， ∴∠B＝∠BCD， ∴AB∥CD， 即AB∥CG， ∵CD＝2AB，CG＝CD， ∴AB＝CG， ∴四边形ABCG是平行四边形；     （2）      【分析】 （1）根据相似三角形的性质可得AB∥CD，再由CD＝2AB，CG＝CD，可得AB＝CG，即可证明； （2）由平行四边形的性质可得AG∥BC，可得∠AEB＝90°，再由CG＝3可得AB＝3，利用勾股定理可得BE，再由相似三角形的性质可得CE，从而得出BC，即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵四边形ABCG是平行四边形，AE＝2，CG＝3， ∴AG∥BC，AG＝BC，AB＝CG＝3， ∵∠GAD＝90°， ∴∠AEB＝90°， 在Rt△ABE中，由勾股定理可得： BE＝， 即BE＝， ∵△AEB∽△DEC， ∴， ∴CE＝2， ∴BC＝BE+CE＝3， ∴AG＝BC＝3． 【点睛】 本题考查相似三角形的性质，勾股定理，平行四边形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质，勾股定理的运用，平行四边形的判定与性质． 30．【答案】 【分析】 本题考查了勾股定理，相似三角形的判定和性质．利用勾股定理求得，证明，求得，设，利用，列式计算即可求解 【详解】 解：∵， ∴， ∴， 由矩形得， ∴， ∴， 设， 则，， ∴矩形的周长为， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 31．【答案】（1） 解：为等腰三角形，理由如下： ∵四边形是正方形，为对角线上一点， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴为等腰三角形；     （2）      【分析】 本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，余角性质，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． （）证明，得，进而利用余角性质和对顶角的性质可得，据此即可求证； （）过点作于，利用等腰三角形的性质可得，再证明，可得，最后利用勾股定理计算即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：过点作于， 则， ∵，为中点，正方形的边长为， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即， 解得， ∴． 32．【答案】证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【分析】 本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，由等腰三角形的性质得到，得到，再证明，即可得出结论，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】 略 33．【答案】（1） 证明：∵， ∴. 又∵， ∴，. ∴， ∴.     （2）21      【分析】 （1）两直线平行可得同位角相等，根据相似三角形的判定，可得两三角形相似；（2）根据相似三角形的性质对应边成比例即可解决本题． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ∵，， ∴. ∴. 又，∴. ∴. 又， ∴. 【点睛】 本题考查相似三角形的判定和性质．解题的关键要熟练掌握相似三角形的判定与性质的基本知识点． 34．【答案】 【分析】 先根据反比例函数上的点向x轴、y轴引垂线形成的矩形面积等于反比例函数的比例系数k，得到，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方得到2个阴影部分的三角形的面积从而求得面积和． 【详解】 解：如图，    根据中k的几何意义可知，， ∴， 设图中阴影部分的面积从左向右依次为， ∴， ∵轴， ∴， ∵， ∴， ∴， ， 同理可得，， ∴图中阴影部分的面积之和． 故答案为：． 【点睛】 本题考查反比例函数系数k的几何意义、相似三角形的判定和性质，正确掌握反比例函数系数k的几何意义是解题的关键． 35．【答案】（1）     （2）， 理由如下， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴；     （3）．      【分析】 本题考查了相似三角形的判定和性质，三角形内角和定理． （1）利用相似三角形的性质即可求解； （2）由相似三角形的性质求得，，推出，利用“两角对应相等的两个三角形相似”即可得到； （3）由相似三角形的性质求得，利用邻补角的性质求得，利用三角形内角和定理即可求解． (1) 小问详解： 解：∵，， ∴， 故答案为：； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：由（2）得， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 36．【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）根据题意可得，根据平行线分线段成比例即可求解； （2）根据（1）的结论，可得，根据旋转的性质可知，进而证明，根据相似三角形的性质即可求解； （3）由（2）可知，根据相似三角形的判定和性质以及勾股定理即可得出答案． (1) 小问详解： 解：∵正方形与正方形有公共点A，点在上，点在上， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴； (2) 小问详解： 解：∵正方形绕点逆时针方向旋转， ∴， ∵， ∴ ∴； (3) 小问详解： 解：由（2）可知， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵C，G，E三点共线， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】 本题考查了平行线分线段成比例，相似三角形的性质与判定，正方形的性质，勾股定理，旋转的性质，综合运用以上知识是解题的关键． 37．【答案】（1） 故点即为所作；      （2） 证明：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴．      【分析】 （1）作的平分线交于点即可； （2）由，得，由，，则，由，即可得证． (1) 小问详解： 解：作的平分线交于点， 理由：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． (2) 小问详解： 略 【点睛】 本题考查基本作图—作角平分线，等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，三角形内角和定理等知识，正确地作出的平分线是解题的关键． 38．【答案】证明：∵AB＝20.4，AC＝48，AE＝17，AD＝40， ∴，， ∴ 又∵∠BAC＝∠EAD， ∴△ABC∽△AED． 【分析】 根据两组对应边成比例且夹角相等的两个三角形相似．可证明三角形相似． 【详解】 略 【点睛】 本题考核知识点：相似三角形判定． 解题关键点：找出两组对应边成比例且夹角相等． 39．【答案】（1） 证明：∵，， ∴． 又， ∴， ∴， ∵，， ∴．     （2）      【分析】 本题考查相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，根据条件找到图中的相似三角形是解题关键． （1）根据两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似，通过相似三角形的性质即可证明； （2）先通过（1）中的相似三角形，得到相等角，利用等角对等边，求出，再利用角的等量代换，得到另一组相等角，从而证明另一组相似三角形，利用相似三角形的性质求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由（1），得， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴（负值已舍去）， 故的长为． 40．【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∴；     （2）10      【分析】 本题主要考查了平行线的性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握以上性质． （1）根据两直线平行同位角相等，得出相等的角，然后根据相似三角形的判定定理即可得出结论； （2）根据相似三角形的对应边成比例进行求解即可． (1) 小问详解： 略； (2) 小问详解： 解：∵， ∴， 由（1）得， ∴， ∴， 解得． 41．【答案】 【分析】 本题考查了相似三角形的性质与判定，根据题意可得，证明得出的长，进而根据中位线的性质得出，即可求解． 【详解】 解：∵，分别是边，的中点， ∴，，， ∴， ∵点是的中点， ∴ ∴ ∵， ∴ ∴， ∴， 故答案为：． 42．【答案】如图所示，点即为所求． 【分析】 本题考查了过直线外一点作已知直线的垂线，矩形的性质，相似三角形的判定，过点作直线于点，则点即为所求，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】 解：理由如下：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴． 43．【答案】（1），； （2）证明：如图，连接，延长交于点， 四边形和四边形为正方形， 为等腰直角三角形， ，, ，即， ， , ， , ， 直线与的夹角为； （3） 【分析】 本题考查了旋转的性质，相似三角形的判定和性质，点到圆的距离的最值，正确作出辅助线是解题的关键． （1）连接，延长交于点，证明，即可得到线段与之间的数量关系；再利用相似三角形的性质，进行角度的转换可得直线与的夹角； （2）连接，延长交于点，证明，即可得到线段与之间的数量关系；再利用相似三角形的性质，进行角度的转换可得直线与的夹角； （3）根据当三点共线，且点在线段上时，最小，即可解答． 【详解】 （1）解：如图，连接，延长交于点， 四边形和四边形为正方形， 为等腰直角三角形， ，, ，即， ， , ， , ， 直线与的夹角为， 故答案为：；； （2）略； （3）， ，， 正方形绕点旋转一周， 当三点共线，且点在线段上时，最小， 此时， 故答案为：． 44．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD， 即∠BOC=90°， ∵CE∥BO，BE∥CO， ∴四边形OCEB是平行四边形， ∴四边形OCEB是矩形； （2）12 【分析】 （1）根据菱形的性质求出∠BOC=90°，根据平行四边形和矩形的判定得出即可； （2）首先证明△BEF∽△CAF得，求出CF的长，再求出BD的长，进而可求出菱形ABCD的周长． 【详解】 （1）略 （2）∵四边形ABCD是菱形， ∴ 由（1）知，四边形OCEB是矩形， ∴BE=OC ∴BE= ∵BE//AC ∴∠BEA=∠CAE，∠EBC=∠BCA ∴△BEF∽△CAF ∴ ∵BF=1， ∴CF=2 ∴BC=BF+CF=3 ∴ 菱形ABCD的周长为：3×4=12 【点睛】 本题考查了菱形的性质、平行四边形的判断和性质、矩形的判断和性质以及相似三角形的判定与性质，证明△BEF∽△CAF是解题的关键． 45．【答案】6 【分析】 此题主要考查了相似三角形的判定和性质、正方形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 设正方形的边长为x，则，证明，可得，，在中，利用勾股定理可求出x的值，利用三角形面积公式即可求解． 【详解】 解：设正方形的边长为x，则， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， 在中，， ∴，即， 解得：， 即，， ∴阴影部分面积为． 故答案为：6 46．【答案】（1）1（2）（3） 【分析】 （1）运用等边三角形的性质，证明，从而得出结论； （2）先证明，再证得，进而得出结果； （3）由“”可证，可得，由直角三角形的性质可求解． 本题是相似形综合题，考查了等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 【详解】 解：（1）∵和都是等边三角形 ，，， ， ， ， ， ， 故答案为：1； （2），， ， 设 则， ∵ ，； ， ， ； （3）如图，过点作，交的延长线于，过点作于， 是等腰直角三角形，，， ， 绕点逆时针旋转得到， ，，，，， 和都是等边三角形， ，， ， ， ， ， 又，， ， ， ，， ，， ， ． 47．【答案】（1） 证明：平分， ． 又， ， ， ．     （2）      【分析】 本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，二次根式的计算，掌握相似三角形的判定和性质是解题关键． （1）证明，得到，即可得出结论； （2）根据（1）所得结论求出，再证明，得到，求出，即可得解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：， ，， ， ， ． ， ， 又， ， ， ，解得， ． 48．【答案】（1） 证明：∵和分别是边上的高， ∴， ∵， ∴；     （2）．      【分析】 本题考查了相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）由题意得，结合，即可得出结论； （2）由，得到，即，再证明，得到，即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵， ∴，即， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 49．【答案】 【分析】 本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．设与交点为，正方形的边长为，则，根据正方形性质得到，进而得到，从而推出， 将相关值代入计算求解即可． 【详解】 解：如图所示，设与交点为，正方形的边长为，则， 正方形的边在上， ， ， ， 即， 解得， 即这个正方形零件的边长为． 故答案为： ． 50．【答案】（1）证明：平分， ， 又， ∴， ， ； （2） 【分析】 （1）证明，根据相似三角形的性质解答； （2）根据直角三角形的性质求得，再证明，根据相似三角形的性质计算即可得解． 【详解】 （1）略 （2），为的中点，， ， ， ， ， 又∵， ∴， ， ∵，， ． 【点睛】 本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键，也考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 51．【答案】（1） 证明：四边形是矩形， ， ， ， ，， ， ， ， ；     （2）1      【分析】 本题主要考查相似三角形的判定与性质，矩形的性质，熟悉相关知识是解题的关键． （1）根据题意可证，继而可证得，根据相似的性质即可得到； （2）由题知，根据求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：在矩形中，，，且， ， 由（1）知， ， 解得：， ． 52．【答案】 【分析】 由，可得，即，即可证明，即可得，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方解答即可． 【详解】 解：∵M，N分别是的中点， ∴，， ∵， ∴，， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】 本题考查了相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方、相似三角形对应中线的比等于相似比是解题的关键． 53．【答案】 【分析】设AB=x，利用△BCD∽△BAC，得=，列出方程即可解决问题． 【详解】∵△BCD∽△BAC， ∴=， 设AB=x， ∴22=x， ∵x＞0， ∴x=4， ∴AC=AD=4-1=3， ∵△BCD∽△BAC， ∴=＝， ∴CD=． 故答案为 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是利用△BCD∽△BAC解答． 54．【答案】 【分析】 本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，垂线段最短，旋转的性质等知识点，正确添加辅助线，确定动点轨迹是解题的关键．在上截取，连接，先证明，再证明，得到，故当时，最小，则． 【详解】 解：在上截取，连接，     由题意得，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴ ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当时，最小，如图：     ∵, ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 55．【答案】（1） （2）证明：，， ， ，， ，即， ， ， ， 又， ． （3） 【分析】 （1）（1）由，根据相似三角形的性质得，，等量代换可得，即可得证； （2）由已知可得，再根据相似三角形的性质得，，等量代换可得，可得，根据相似三角形的性质得，，再由对顶角相等，即可得证； （3）连接，证明，由相似三角形的性质得出．证明，得出，求出，由勾股定理求出，则可得出的长． 【详解】 （1）证明：， ，， ，， ． 故答案为：； （2）略 （3）解：如图（3），连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ， ， ． 又， ， 即， ． ， ， ， ． 设，则， ， （负值舍）， ． 【点睛】 本题考查直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，掌握直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质等知识是解题的关键． 56．【答案】（1） 四边形是菱形，理由如下： ∵将矩形纸片折叠，点与点重合， ∴，，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形；     （2） ①，理由如下： ∵四边形是矩形， ∴，，，， ∴， 在中，由勾股定理得： ， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 由折叠的性质得：，， ∴， ∴， ∴， ∴； ②或      【分析】 （）根据矩形的性质及轴对称的性质，可证明四边形的四条边相等，即可证明菱形； （）先证明是等边三角形，再证明即可得出答案； 当点在线段上时， 设与交于点，先证明，再求得，即可列方程求解；当点在线段的延长线上时，设直线与直线交于点，同理，再求得，再列方程求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：略 ② 四边形是矩形， 如图，点在线段上时，设与交于点， ∴，由知， ∴， ∵， ∴， ∵与是折叠图形中的对应角， ∴， ∴， ∵， ∴， 当时，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴； 如图，点在线段的延长线上时，设直线与直线交于点， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， 同理可得， ∴， 解得， ∴， 综上所述：或． 【点睛】 本题主要考查了矩形的性质，菱形的判定，轴对称的性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质等知识，掌握知识点的应用及分类讨论思想是解题的关键． 57．【答案】（1）     （2）①，证明见解析；②     （3），      【分析】 （1）根据等边三角形的性质，可得线段和的数量关系； （2）① 利用等边三角形的性质可以证明，从而得到线段和的数量关系； ② 在① 的基础上可得，运用三角形内角和定理可求出的度数； （3）利用等腰直角三角形的性质和勾股定理，可以求出，运用等量代换可以求出，则．根据相似三角形的性质与三角形内角和定理，可以得出的度数和线段、间的数量关系． (1) 小问详解： 解：∵和均为等边三角形， ∴，， ∴； (2) 小问详解： ① 结论：， 证明：∵和均为等边三角形， ∴，，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； ② 由① 可知，， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴； (3) 小问详解： ∵，， ∴， 由勾股定理得，， ∴，        同理，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即，， ∴， ∴． 【点睛】 本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，相似三角形的判定与性质以及勾股定理，掌握好常考的全等三角形与相似三角形的模型是解题关键． 58．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查相似三角形的证明及性质，直角等腰三角形的性质，熟练掌握基本性质是解题关键； （1）先通过直角等腰三角形性质求出，再求出，进而可求解； （2）设，则，然后分两种情况① 当时，② 当时，分别利用相似三角形的性质列出比例式，解方程即可． (1) 小问详解： 解：在中，， ∴， ∵点和点分别是边和的中点， ∴， ∵ ∴． (2) 小问详解： 解：当时，， 设，则， 由（1）得， ∴， ∵是的中点， ∴， 在等腰中，， ∴要使与相似，有以下两种情况： ① 当时， 则， ∴， 此方程无解，不符合题意； ② 当时， 则， ∴， 解得：（不符合题意，舍去），或， ∴， 综上，． 59．【答案】 【分析】 本题考查了相似三角形的判定与性质，数字类规律变化，勾股定理，先利用勾股定理求出，证明，求出，同理求出，，找出规律即可解答． 【详解】 解：∵中，， ∴， ∵， ∴， ∵是公共角， ∴， ∴，即， ∴， 同理可得：，，， 可得规律为：． 故答案为：． 60．【答案】（1）证明：，， ． 在正方形中，，， ． ． 又，， ． ． （2）证明：，， ． 在矩形中， ， ． ． 又， ． ． （3） 【分析】 （1）先导角得到，证明，即可得到结论； （2）先导角得到，证明，即可得到结论； （3）在上取一点，使，连接，可得是等边三角形，导角得到，证明，即可得到结论． 【详解】 解：（1）略 （2）略 （3）如图3，在上取一点，使，连接， 在中，，． 是等边三角形， ，． ． ， ． ． ． ． ． 61．【答案】（1）证明． ∴， ∴． （2） （3） 【分析】 本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． （1）根据已知条件，证明，根据相似三角形的性质即可得证； （2）根据平行四边形的性质得出，证明，结合（1）的结论代入数据即可求解； （3）延长交于点G，同（2）即可． 【详解】 解：（1）略 （2）解：， ∴ ∵四边形是平行四边形 ∴， ， ，， ∴． ∵． ∴． 由（1）得． ∴， 解得或（不合题意，舍去）． ∴． （3）解：延长交于点G ∵， ∴ ∵四边形是平行四边形， ，． ∴ ∵， ∴ 由（1）得． ∴， 解得或（不合题意，舍去）． ∴ 62．【答案】（1）证明：在矩形中，，， 点分别是边的中点， ， ， ； （2）； （3） 【分析】 （1）由题意结合矩形的性质，对应边成比例且夹角相等即可证得； （2）先证明四边形为平行四边形，进而得到边的平行关系，证明，得出线段的比例关系，利用线段之间的比例关系求解线段的长度即可； （3）过作于点，取的中点，连接，先根据已知条件得到相关线段的长度，再利用，求出线段的比值即可． 【详解】 （1）略 （2）解：点是边的中点， ， ， ， ， 四边形为平行四边形， ，， ， 又， ， ， 是的中点，， ， ， 又， ； （3）解：过作于点，取的中点，连接， 则四边形为矩形， ，， ， ， 设，则， ， ， ，点是边的中点， 垂直平分， ， 为的中点， 为的中位线， ，， ， ． 【点睛】 本题主要考查全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、三角形中位线以及勾股定理的应用；解决第（3）问的关键是正确添加辅助线． 63．【答案】（1）     （2） 证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴． 由折叠可知：，， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴平行四边形是菱形．     （3）存在，      【分析】 （1）由折叠和矩形的性质可得，．设，则，在中，由勾股定理求解，则，然后在中，运用勾股定理建立方程求解； （2）先证明，然后由折叠以及等量代换得到，先证明四边形是平行四边形，再由邻边相等证明其为菱形； （3）先证明，然后证明，即可求解． (1) 小问详解： 解：∵四边形是矩形， ∴，，． 由翻折可知：，． 设，则， 在中，， ， 在中，， 即，解得， ． (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：存在，理由如下： 由（1）可知， ∴． 由（2）可知四边形是菱形， ∴， ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴， ∵，， ∴， ， 解得． 【点睛】 本题考查了矩形与折叠，菱形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 64．【答案】（1）证明：∵，， ∴， ∴，， ∴ ∴， ∴； （2）； （3） 【分析】 本题考查相似三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形，综合性强，难度大，属于压轴题．解题的关键是添加辅助线，构造特殊三角形和相似三角形． （1）先由已知条件证明，由相似三角形的性质得出，，进一步可得出，，即可证明． （2）先由已知条件证明，由相似三角形的性质得出，进一步可得出，，即可证明．再由相似三角形的性质得出，设，，由勾股定理求出，代入即可得出答案． （3）在上截取，连接，由已知条件得出，由含直角三角形的性质可求，，再判定是等边三角形，由等边三角形的判定以及性质得出，再求出，通过证明，可求的长，即可求解． 【详解】 （1）略 （2）∵，， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴设，， 在中，由勾股定理得∶， 即 ∴， ∴ ∴ （3）解：如图3，在上截取，连接， ∵， ∴， 设，则， ∴， ， ，， ， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， ∴， ， ， ， ， 65．【答案】（1）证明：如图1， ∵∠DPC=∠A=∠B=90°， ∴∠ADP+∠APD=90°， ∠BPC+∠APD=90°， ∴∠APD=∠BPC， ∴△ADP∽△BPC， ∴， ∴ADBC=APBP； （2）结论成立， 证明：如图2，∵∠BPD=∠DPC+∠BPC， 又∵∠BPD=∠A+∠APD， ∴∠DPC+∠BPC=∠A+∠APD， ∵∠DPC=∠A=θ， ∴∠BPC=∠APD， 又∵∠A=∠B=θ， ∴△ADP∽△BPC， ∴， ∴ADBC=APBP； （3）1秒或5秒． 【分析】 （1）由∠DPC=∠A=∠B=90°可得∠ADP=∠BPC，即可证到△ADP∽△BPC，然后运用相似三角形的性质即可解决问题； （2）由∠DPC=∠A=∠B=θ可得∠ADP=∠BPC，即可证到△ADP∽△BPC，然后运用相似三角形的性质即可解决问题； （3）过点D作DE⊥AB于点E，根据等腰三角形的性质可得AE=BE=3，根据勾股定理可得DE=4，由题可得DC=DE=4，则有BC=5-4=1．易证∠DPC=∠A=∠B．根据ADBC=APBP，就可求出t的值． 【详解】 解：（1）略 （2）略 （3）如下图，过点D作DE⊥AB于点E， ∵AD=BD=5，AB=6， ∴AE=BE=3 ∴DE= =4， ∵以D为圆心，以DC为半径的圆与AB相切， ∴DC=DE=4， ∴BC=5-4=1， ∵AD=BD， ∴∠A=∠B， 又∵∠DPC=∠A， ∴∠DPC=∠A=∠B， 由（1）（2）的经验得AD•BC=AP•BP， 又∵AP=t，BP=6-t， ∴t（6-t）=5×1， ∴t=1或t=5， ∴t的值为1秒或5秒． 【点睛】 本题考查圆的综合题． 66．【答案】（1），； （2）． 理由：在 上取点，使，连接， 由（1）同理可得， ， ， ， ， 设， 则，， ， ； 即． （3）的长为2或3 【分析】 此题四边形的综合题，考查了矩形的性质，正方形的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，菱形的性质，解决问题的关键是熟练掌握以上知识． （1）由全等三角形的判定可得出结论； （2）在上取点，使，连接，由（1）同理可得，得出，设，则，，可得出答案； （3）过点作，交于点，证明，得出，设，则，，解方程可得出答案． 【详解】 解：（1）如图，取的中点，连接， 四边形是正方形， ， 、分别是和的中点， ， ， ， 交正方形外角的平分线于点， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：；； （2）略 （3）如图所示，过点作，交于点， 四边形是菱形，， ，，，，，， ，，， 是角平分线， ，， ， ， ， ， ， 设，则，， ， 可得， 解得，， 当时，点在上，； 当时，点在延长线上， 如图所示， ； 综上所述，的长为2或3． 67．【答案】（1）证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）； （3）等腰直角三角形活动场所的顶点D所在的位置在距离点米处 【分析】 （1）根据等边对等角，得到，根据外角的性质，易得：，即可证明； （2）证明，得到，根据点D是边的中点，求出，进而求出的长； （3）过点作，交于点，使，证明，求出米，再证明，即可得解． 【详解】 （1） 略 （2）解：同（1）法可得：， ∴， ∵点D是边的中点， ∴， ∴，即：， ∴， ∴； （3）过点作，交于点，使， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∵， 同（1）法可得：， ∴， ∴米， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即：， 解得：米或米（舍去）； ∴等腰直角三角形活动场所的顶点D所在的位置在距离点米处． 【点睛】 本题考查相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质．熟练掌握相似三角形的判定方法，证明三角形相似，是解题的关键．本题是一线三等角相似模型，平时多归纳总结，可以快速的解题． 68．【答案】（1）解：当时，是等腰直角三角形． 理由如下： ∵，， ∴． ∵四边形是矩形， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵沿着折叠， ∴，， ∴，， ∴． ∴是等腰直角三角形． （2）的长为； （3）的长度为或4cm． 【分析】 （1）由折叠的性质，可得，，可得，，即可得的形状； （2）证明，由相似三角形的性质，可得的长； （3）分两种情况讨论，先证由点，点，点，点所构成的四边形是平行四边形，由勾股定理求解即可． 【详解】 （1）略 （2）解：由折叠可得， ∵， ∴． ∴，，三点在同一条直线上， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， 解得，． ∴的长为． （3）解：∵沿着折叠， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴四边形是平行四边形， 分两种情况： 情况，如图，当点在的延长线上时，连接交的延长线于点， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴ 在中，， ∴， ∴， 情况，如图，当点在上时，连接交于点， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵，， ∴ ∴，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴，即点与点重合（如图）， 答：的长度为或4cm． 【点睛】 本题考查矩形与折叠，相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是利用分类讨论思想解决问题． 考点04 相似三角形的性质 1．C 2．B 3．D 4．A 5．【答案】20 【分析】 本题主要考查了相似三角形的性质，相似三角形的周长比等于相似比，由此可求解． 【详解】 解：∵，且相似比为， ∴的周长与的周长的比为， ∵的周长为10， ∴的周长为20， 故答案为：20． 6．【答案】（1） 证明：∵是等边三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴．     （2）的长为．      【分析】 本题主要考查三角形相似的判定和性质，等边三角形的性质． （1）根据两个角对应相等的两个三角形相似证明即可； （2）根据，，得出，证明，可得，即可得． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵是等边三角形，，， ∴， ∴， 由（1）知， ∴， ∴， ∴． ∴的长为． 7．【答案】（1）6     （2）      【分析】 （1）过点E作于点H，证明四边形是矩形，可得，，在中，利用勾股定理可得的长，即可求解； （2）分两种情况，结合相似三角形的性质解答即可． (1) 小问详解： 解：如图，过点E作于点H， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， 在中，， ∴， ∴； (2) 小问详解： 解：根据题意得：，，且， ∴，， 当时，， 即， 解得：或（不合题意，舍去）； 当时，， 即， 解并检验得（不合题意，舍去）或（是增根，舍去）． 综上，的值为． 8．【答案】（1） 证明：∵，点E是的中点， ∴． 又∵， ∴四边形为平行四边形． ∴． ∴． 又∵， ∴．     （2）4      【分析】 本题主要考查了相似三角形的判定、相似三角形的性质、平行四边形的判定与性质等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）先证明四边形为平行四边形可得，即，再结合即可证明结论； （2）由相似三角形的性质可得，再说明，然后代入计算即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∵F是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 9．【答案】（1） 证明：∵， ∴ ∵， ∴ ∴ ∵， ∴ ∴；     （2） 证明：∵， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∴．      【分析】 （1）由可证，得到，再由得到，即可证明； （2）由得到，得到，进而得到，即可得到． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 【点睛】 本题考查相似三角形的判定与性质，相似三角形判定方法是解题的关键． 10．【答案】24 【分析】 本题考查相似三角形的判定和性质，平移的性质，设与交于点，根据平移的性质及相似三角形的判定与性质计算的面积即可．掌握平移的性质和相似三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】 解：如图，设与交于点． 将沿边向右平移2个单位长度得到， ，， ，， ， ，即， ． 故答案为：24． 11．【答案】 【分析】 由于C、D是定点，则是定值，如果的周长最小，即有最小值．为此，作点D关于x轴的对称点，当点E在线段上时的周长最小． 考查轴对称-最短路线问题， 坐标与图形性质，相似三角形的判定与性质等，找出点E的位置是解题的关键. 【详解】 解：如图，作点D关于x轴的对称点连接，与x轴交于点E，连接. 若在边上任取点与点E不重合，连接 由， 可知的周长最小， ∵在矩形中，，D为边的中点， ∴， ∵， ∴ 则 故 ∴， ∴点E的坐标为. 故答案为： 考点05 相似三角形的应用 1．B 2．【答案】 【分析】 本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是灵活运用相似三角形的判定和性质．易证明，，从而得到，，两式相加并变形可得，把，，代入计算即可． 【详解】 解：，， ， ， ，， ， 即， ， ，， ， 解得． 故答案为：． 3．【答案】松树的高为9.6米． 【分析】 本题考查了相似三角形的应用，证明，，根据相似三角形的性质得出，，然后解方程即可求解． 【详解】 解：根据题意，得，，， ∴，， ∴，， ∵，，， ∴，， ∴， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴， 解得， 经检验，是原方程的解． 答：松树的高为9.6米． 4．【答案】灯泡到地面的高度为 【分析】 本题主要考查了相似三角形的应用，直接利用相似三角形的判定与性质得出的长，根据相似三角形的性质列方程进而求出的长． 【详解】 解：由题意可得：， 则， 故， 即， 解得：； ∵， ∴， ∵光在镜面反射中的入射角等于反射角， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， 答：灯泡到地面的高度为． 5．【答案】龙角塔的高度为 【分析】 本题考查相似三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，线段的和差计算，通过证明三角形相似建立比例关系是解题关键． 先由、均垂直地面且平行地面，判定四边形是矩形，得，再通过直角和公共角证，利用相似边成比例求出，最后由算出龙角塔高度． 【详解】 解：与地面保持平行， 地面， 地面， 四边形是矩形， ，， ，， ， ， 即， 解得， ． 答：龙角塔的高度为． 6．【答案】旗杆的高度为 【分析】 本题主要考查相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的性质是关键． 根据题意，可得，则，即，由此即可求解． 【详解】 解：如图所示，同一时刻，可得，点在同一条直线上， ∴， ∴，即， 解得，． 答：旗杆的高度为． 7．【答案】5.5 【详解】 在△DEF和△DBC中， ， ∴△DEF∽△DBC， ∴， 40cm=0.4m，20cm=0.2m， 即， 解得BC=4， ∵AC=1.5m， ∴AB=AC+BC=1.5+4=5.5m 故答案为：5.5m 【点睛】 考点：相似三角形 8．【答案】（1）     （2）建筑物的高度为10米      【分析】 本题考查了相似三角形的应用．熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）由题意得：，证明，则，即，解得，； （2）设米，则米，由，，可得，证明，则，即，计算求解即可． (1) 小问详解： 解：由题意得：， ∵， ∴， ∴， ∴，即，解得，， ∴； (2) 小问详解： 解：设米，则米， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即，解得：， 答：建筑物的高度为10米． 9．【答案】 【分析】 本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．过作地面于，过作地面于，过作地面于，过作于交于，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】 解：过作地面于，过作地面于，过作地面于，过作于交于，则，    由题意得， ∴， 则cm， ∵， ∴， ∴， ∵cm， ∴cm， ∴， ∴cm， ∴cm， 答：端此时距地面cm． 故答案为：． 10．【答案】 【分析】 本题主要考查了相似三角形的应用，先证明，得出，再证明，得出，由，得出，继而求出的长度，代入即可求出的长度，即可得出答案． 【详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， 解得：， ∴， 解得：， 答：这棵古松树的高度为． 11．【答案】 【分析】 本题主要考查了相似三角形的实际应用，据题意可得，，，可证明，再利用相似三角形的性质列出比例式求出的长，进而求出的长即可得到答案． 【详解】 解：根据题意可得，， 又∵， ， ． ，， ， ， ． 答：树高为． 考点06 位似 1．C 2．B 3．A 4．B 5．B 6．D 7．B 8．C 9．B 10．D 11．【答案】（1） 解：如图，即为所求； 所以点的坐标为     （2）      【分析】 本题主要考查了位似变换，勾股定理，解题的关键是注意位似中心及相似比、． （1）把A、B、C的坐标都乘以得到的坐标，然后描点，连接即可； （2）由两点之间线段最短可知，作B点关于y轴的对称点，连接交y轴于P点，点P即为所求，再利用勾股定理即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：作B点关于y轴的对称点，连接交y轴于P点，如图，则， ∵， ∴， ∴此时的值最小， ∵2， ∴的最小值为． 12．【答案】9 【分析】 本题主要考查了位似图形的性质，位似图形的面积之比等于位似比的平方，则，据此可得答案． 【详解】 解：∵以点O为位似中心，作四边形的位似图形， ∴， ∵四边形的面积是4， ∴四边形面积是9， 故答案为：9． 13．【答案】（1） 解：如图所示：      （2） 解：如图所示．      【分析】 本题考查了画位似图形，画已知图形关于某点对称的图形，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据中心对称的性质，分别找出点，再依次连接，即可作答． （2）根据位似图形的性质以及以点O为位似中心，在第四象限内将按相似比2放大，进行作图即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 14．【答案】（1） 解：如图，即为所求作的三角形；     （2） 解：如图，即为所求作的三角形； 【分析】 本题主要考查了轴对称作图和位似作图，熟练掌握轴对称的性质和位似的性质，是解题的关键． （1）先作出点A、B、C的对应点、、，然后顺次连接即可； （2）先作出点、、的对应点、、，然后顺次连接即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 15．【答案】 【分析】 根据位似图形的对应顶点的连线交于一点并结合网格图中的格点特征确定位似中心． 【详解】 解：连接DB，OA并延长，交于点M，点M即为位似中心 ∴M点坐标为 故答案为：． 【点睛】 本题考查的是位似变换的概念、坐标与图形性质，掌握如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心是解题的关键． 16．【答案】 【分析】 根据位似图形的性质进行求解即可． 【详解】 解：∵以原点为位似中心，将进行位似变换放大得到，且相似比为2，A点坐标为， ∴对应点F的坐标为， 故答案为：． 【点睛】 本题考查了位似图形的性质，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键． 17．【答案】（1） 如图，即为所求；      （2）如图，即为所求；     （3）      【分析】 本题考查了利用网格求三角形面积，画旋转图形，在坐标系中画位似图形，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）按要求把绕点O逆时针方向旋转得到即可； （2）按要求作出位似图形即可； （3）根据三角形面积公式求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 如图，在y轴的左侧以O为位似中心作的位似图形，使新图与原图的相似比为，即为所求； (3) 小问详解： 的面积为． 18．【答案】（1） 解：如图所示，即为所求作的三角形；      （2）1      【分析】 本题主要考查了作位似图形，相似三角形的性质， 对于（1），连接，并延长至，使，同理得到点，再依次连接可得答案； 对于（2），先求出，再根据相似比可得面积比，进而得出答案. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：，，， ， ∵与的相似比为， ∴与的面积比为， ∴面积． 19．【答案】（1） 解：如图所示，即为所求，则点的坐标为；     （2） 解：如图所示，即为所求，则点的坐标为；       【分析】 本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称和位似，坐标与图形，熟知轴对称和位似的知识是解题的关键。 （1）关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相同，据此可得点的坐标，描出点，并顺次连接点即可； （2）把点A、B、C的横纵坐标都乘以2可得点的坐标，描出点，再顺次连接点，最后利用割补法求解三角形面积即可。 (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ． 20．【答案】（1） 解：如图所示，和即为所求；     （2） 解：如图所示，即为所求，则点的坐标为． 【分析】 本题主要考查了位似变换和轴对称变换，熟知位似和轴对称的相关知识是解题的关键． （1）关于x轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数，据此可得的坐标，再根据点的坐标画出对应的图形即可； （2）把的三个顶点的横纵坐标都乘以得到的三个顶点的坐标，再根据点的坐标画出对应的图形即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 21．【答案】（1） 解：如图所示，点为所作；      （2） 解：如图所示，为所作；      （3）10      【分析】 本题考查作图位似变换，位似变换的性质：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或． （1）连接两组对应点，并延长，延长线的交点即为位似中心； （2）延长、，并使、，连接即可； （3）根据位似比得出面积比，即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：∵与的位似比为， ∴， ∵的面积为2.5， ∴， 故答案为：10． 22．【答案】25 【分析】 本题考查位似图形，根据位似图形的面积等于位似比的平方进行求解即可． 【详解】 解：∵与是位似图形，点是位似中心， ∴与的相似比为， ∴与的面积比为， ∵的面积为4， ∴的面积为25． 故答案为：25 23．【答案】（1） 所作如图所示：      （2）是，如图画出， M的坐标为      【分析】 本题主要考查了作图位似变换，平移变换，熟练掌握位似变换的性质是解题的关键． （1）根据位似变换的性质找出对应点，再顺次连接对应点，即可解题； （2）根据平移变换的性质画出，再根据位似中心的性质求解，即可解题． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：与是关于某一点M为位似中心的位似图形，如图，M的坐标为． 24．【答案】（1）如图：△A1B1C1即为所求； （2）如图：△A2B2C2即为所求. 【分析】 （1）由A（﹣1，2），B（﹣3，4）C（﹣2，6），可画出△ABC，然后由旋转的性质，即可画出△A1B1C1； （2）由位似三角形的性质，即可画出△A2B2C2. 【详解】 （1）略 （2）略 25．【答案】（1） 解：所作如图所示：      （2） 解：所作如图所示；     （3）      【分析】 本题主要考查位似及轴对称图形的性质，熟练掌握位似及轴对称图形的性质是解题的关键； （1）根据“点的坐标关于坐标轴对称，关于谁对称，谁就不变，另一个互为相反数”可进行求解； （2）根据位似的性质可进行作图； （3）根据位似的性质可知周长比等于位似比，然后问题可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：∵和位似，且位似比为， ∴， ∴它们的周长之比等于相似比，即为； 故答案为：． 26．【答案】（1）如图，四边形为所求． （2），，． 【分析】 延长AO、BO，CO到、、，使、、的长度是OA、OB、OC的2倍顺次连接即可； 根据以上作图可得． 【详解】 解：略 由图可知，，，． 【点睛】 本题综合考查了利用位似变换进行作图画位似图形的一般步骤为：确定位似中心，分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；根据相似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形． 27．【答案】（1） 如图1，即为所求；      （2） 如图2，即为所求；       （3），      【分析】 本题考查了作图——轴对称变换，位似变换，求位似图形坐标，熟练掌握轴对称变换与位似变换的性质是关键． （1）根据轴对称的性质画图即可； （2）根据位似的性质画图即可； （3）根据（2）的图即可得到点和点的坐标． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 由图2可知：，． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 相似 6大高频考点概览 考点01 图形的相似 考点02 平行线分线段成比例 考点03 三角形相似的判定 考点04 相似三角形的性质 考点05 相似三角形的应用 考点06 位似 考点01 图形的相似 1．（25-26学年九上·甘肃定西渭源县·期末）在下列各组图形中，一定相似的是（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·甘肃天水甘谷县·期末）如图，用放大镜看到的多边形与原多边形相比较，不发生改变的是（       ） A. 周长 B. 面积 C. 每个内角的度数 D. 每条边的长度 3．（九上·甘肃白银·期中）下列各组线段能组成比例线段的是（     ） A. ，，， B. ，，， C. ，，， D. ，，， 4．（25-26学年九上·甘肃酒泉肃州区·期中）已知线段为成比例线段，其中，则等于（　　） A. 1 B. 4 C. 9 D. 12 5．（25-26学年九上·甘肃兰州第八十一中学·期中）如图，四边形ABCD∽四边形EFGH，∠A＝80°，∠C＝90°，∠F＝70°，则∠H的度数为（       ） A. 70° B. 80° C. 110° D. 120° 6．（25-26学年九上·甘肃兰州榆中县·期末）下列各组图形中，不是相似图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年九上·甘肃兰州第五中学·期末）大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，经常也会产生最具美感的黄金分割比．如图，点为线段的黄金分割点，若，则的长为（　　）． A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年九上·甘肃陇南·期末）下列各组图形中，一定相似的是（     ） A. 任意两个菱形 B. 任意两个矩形 C. 任意两个三角形 D. 任意两个正方形 9．（25-26学年九上·甘肃白银·期末）如果，那么下列各式中不成立的是（ ） A. ； B. ； C. ； D.  10．（25-26学年九上·甘肃兰州第二十二中学·期末）如果，那么的值为（　　） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年九上·甘肃兰州红古区·期末）已知，，，依次成比例线段，若，，，则线段的长为（       ） A.  B.  C.  D.  12．（25-26学年九上·甘肃兰州第八十一中学·期末）鹦鹉螺曲线的每个半径和后一个半径的比都是黄金比例，是自然界最美的鬼斧神工．如图，是的黄金分割点，若线段的长为4cm，则的长为（       ） A.  B.  C.  D.  13．（25-26学年九上·甘肃张掖临泽县·期中）校园里一片小小的树叶蕴含着“黄金分割”，如图，为的黄金分割点，如果的长度为，那么的长为（） A.  B.  C.  D.  14．（25-26学年九上·甘肃兰州第五十四中学）如图，把线段分成两条线段和．若，则称点为线段的一个黄金分割点．主持人在主持节目时，站在舞台的黄金分割点处最自然得体．已知舞台长为20米，主持人所站位置为点（其中），则的长为（     ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 15．（25-26学年九上·甘肃天水麦积区·期中）下列每个选项中的两个图形，不是相似图形的是（     ） A.      B.      C.      D.      16．（25-26学年九上·甘肃天水逸夫实验学校·期中）两个相似多边形的周长比是，其中小多边形的面积为，则较大多边形的面积为（       ） A.  B.  C.  D.  17．（25-26学年九上·甘肃兰州·期中）如图，在边长为1的正方形构成的网格中，四边形和四边形的相似比是（       ） A.  B.  C.  D.  18．（25-26学年九上·甘肃兰州·期中）以下列各组数据为长度的线段中，能构成成比例线段的一组是（     ） A. ， B.  C.  D. ，， ， 19．（25-26学年九上·甘肃酒泉第二中学·期中）下列四组线段中，不是成比例线段的是（     ） A.  B.  C.  D.  20．（25-26学年九上·甘肃酒泉第二中学·期中）如图所示，相同的瓶子里装入了不同的水量，用棒敲击瓶子时，可发出不同音调．通过实验发现，当水面高度与瓶高之比为黄金比（约等于）时，可以发出“”的音符．若，则水面高度为（     ） A.  B.  C.  D.  21．（25-26学年九上·甘肃兰州第十九中学·期末）如图，在中，，，以点为圆心，长为半径画弧，交边于点；再以点为圆心，长为半径画弧，交边于点，则下列两条线段的比等于黄金比的是（     ） A.  B.  C.  D.  22．（25-26学年九上·甘肃兰州第十一中学·期中）生活中到处可见黄金分割的美，很多叶片本身都蕴含着黄金分割的比例，在大自然中呈现出优美的样子．如图，点是的黄金分割点（），如果长为，那么的长约为（     ） A.  B.  C.  D.  23．（25-26学年九上·甘肃天水甘谷县·期中）下列图形中不一定是相似图形的是（       ） A. 两个等边三角形 B. 两个等腰直角三角形 C. 两个菱形 D. 两个正方形 24．（25-26学年九上·甘肃张掖临泽县·期中）下列各组中的四条线段成比例的是（       ） A.  B.  C.  D.  25．（25-26学年九上·甘肃酒泉肃州区·期末）已知a，b，c，d是成比例线段，其中，则　　　　　． 26．（25-26学年九上·甘肃天水甘谷县·期中）已知实数，满足，则的值为　　　　　． 27．（25-26学年九上·甘肃兰州·期中）已知a，b，c，d是成比例线段，且，，，那么　　　　　cm． 28．（25-26学年九上·甘肃兰州第八十一中学·期中）在比例尺为的地图上，某条道路的长为，则该道路的实际长度是　　　　　　． 29．（25-26学年九上·甘肃兰州第五中学·期末）已知，则的值　　　　　　． 30．（25-26学年九上·甘肃陇南·期末）在设计人体雕像时，使雕像上半身（腰部以上）与下半身（腰部以下）的高度比，等于下半身与全部的高度比，可以增加视觉美感．如图，按此比例设计了一座高度为的雷锋雕像． （1）将雕像抽象成线段如图，雕像的上半身为，直接写出，，的数量关系：______； （2）求该雕像的下半身设计高度． 31．（25-26学年九上·甘肃天水·期末）若，则＝　　　　　　　． 32．（25-26学年九上·甘肃武威凉州区·期末）如图，四边形四边形，它们的相似比是，已知，则　　　　　　． 33．（25-26学年九上·甘肃天水甘谷县·期末）建筑师在设计窗户的框架时，常采用黄金分割比来增强美感．如图，窗户的宽度，为的黄金分割点，则的长为　　　　　．（结果保留根号） 34．（25-26学年九上·甘肃天水甘谷县·期末）已知，，为的三边长，且，，求三边的长． 35．（25-26学年九上·甘肃天水张家川回族自治县·期末）如图，已知五边形五边形，且五边形与五边形的面积比为，若五边形的周长为，则五边形的周长为　　　　　　． 36．（九上·甘肃兰州·期末）如图，在中，点D，E分别在边上且，连接，． （1）求证：． （2）若点E为中点，，若，求的长． 37．（25-26学年九上·甘肃张掖临泽县·期中）若，则　　　　　　． 38．（25-26学年九上·甘肃兰州第五十四中学）如果，那么　　　　　． 39．（25-26学年九上·甘肃天水麦积区·期中）已知，则的值为　　　　　． 40．（25-26学年九上·甘肃天水麦积区·期中）如图，四边形∽四边形，求的值和的大小． 41．（25-26学年九上·甘肃兰州·期中）若，则的值为　　　　　　　　　． 42．（25-26学年九上·甘肃酒泉肃州区·期中）若，则　　　　　　． 43．（25-26学年九上·甘肃兰州榆中县·期末）已知，且，则的值是　　　　　　　． 44．（25-26学年九上·甘肃张掖临泽县·期中）如图，已知矩形与矩形相似，且，，则　　　　　　　　． 45．（25-26学年九上·甘肃天水逸夫实验学校·期中）已知线段a、b、c，且．若线段a、b、c满足，求的值． 46．（九上·甘肃白银·期中）若，则　　　　　　. 47．（25-26学年九上·甘肃酒泉肃州区·期中）两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，黄金分割在日常生活中处处可见；例如：主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好．若舞台长米，主持人从舞台一侧B进入，她至少走　　　　　　　　　　　　米时恰好站在舞台的黄金分割点上．（结果保留根号） 考点02 平行线分线段成比例 1．（25-26学年九上·甘肃陇南·期末）如图，已知直线，直线m，n与a，b，c分别交于点A，C，E和B，D，F，，，，则等于（       ） A. 4 B. 6 C. 7 D. 8 2．（25-26学年九上·甘肃天水麦积区·期中）如图，已知，那么下列结论正确的是（　　） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年九上·甘肃兰州·期中）如图，直线，直线分别交于点A，B，C，直线分别交于点D，E，F，若，，，则线段（       ） A. 12 B. 10 C. 9 D. 8 4．（25-26学年九上·甘肃酒泉第二中学·期中）折叠花架因设计巧妙、充分利用空间、灵活收纳等功能受到人们的喜爱．图是一个三层折叠花架，已知，若，，，则的长为（     ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年九上·甘肃兰州第八十一中学·期中）如图，，若，，则的长为（     ） A. 6 B. 9 C. 12 D. 15 6．（九上·甘肃白银·期中）如图，在▱ABCD中，EF∥AB，DE：DA=2：5，若CD=8，则EF的长为（　　） A.  B.  C. 6 D. 4 7．（25-26学年九上·甘肃白银·期末）如图，，，，则的长为　　　　　． 8．（25-26学年九上·甘肃兰州·期中）如图，已知． （1）求的长． （2）求证： 9．（九上·甘肃白银·期中）如图，直线l1∥l2∥l3，若＝，且BC＝4，求AB的长． 10．（25-26学年九上·甘肃兰州第八十一中学·期末）四边形是正方形，点E是边上一动点（点D除外），是直角三角形，，点G在的延长线上． （1）如图1，当点E与点A重合，且点F在边上时，写出和的数量关系，并说明理由； （2）如图2，当点E与点A不重合，且点F在正方形内部时，的延长线与的延长线交于点P，如果，写出和的数量关系，并说明理由； （3）如图3，在（2）的条件下，连接，写出和的数量关系，并说明理由． 考点03 三角形相似的判定 1．（25-26学年九上·甘肃定西渭源县·期末）如图，在中，，，，将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与不相似的是（    ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·甘肃酒泉肃州区·期末）如图，ABC中，点D、E分别在AB、AC上，且，下列结论正确的是（　　） A. DE：BC＝1：2 B. ADE与ABC的面积比为1：3 C. ADE与ABC的周长比为1：2 D. DEBC 3．（25-26学年九上·甘肃兰州第八十一中学·期末）如图，A，B均在方格纸的格点上．在方格纸内另取格点C，D，连接，交线段于点P．若要使点P把线段分成的两条线段，则（     ） A. 只有方法1对 B. 只有方法2对 C. 方法1，2都对 D. 方法1，2都错 4．（25-26学年九上·甘肃天水甘谷县·期中）如图，在中，点、分别在边、上，则下列条件中：；②；；，能使得以，，为顶点的三角形与相似的条件有（     ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 5．（25-26学年九上·甘肃兰州第五十四中学）如图，，，其中，的长为（     ） A.  B.  C.  D. 2 6．（25-26学年九上·甘肃天水逸夫实验学校·期中）如图，若添加一个条件后，仍不能判定与相似的是（     ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年九上·甘肃酒泉肃州区·期中）如图，中，．将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（　　） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年九上·甘肃兰州榆中县·期末）如图，在中，，，以点为圆心，以为半径作弧交于点，再分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点，连接．以下结论不正确的是（　　　） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年九上·甘肃白银·期末）如图，在中，是上一点，与交于点，如果，，那么的值为（     ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 10．（25-26学年九上·甘肃天水·期末）如图，平行四边形中，是的中点，和交于点，若的面积为2，则四边形的面积是（       ） A. 12 B. 10 C. 8 D. 6 11．（25-26学年九上·甘肃天水张家川回族自治县·期末）如图，点E 在矩形边上，且，与相交于点 F．已知，，则的长为（     ） A. 2 B.  C.  D.  12．（25-26学年九上·甘肃兰州红古区·期末）如图所示，在边长为6的正方形中，E为上的点，F为的中点，过点F作交于点H，点M，N分别是和的中点，若，则的长为（     ） A.  B.  C. 2 D. 5 13．（25-26学年九上·甘肃兰州第十一中学·期中）如图，在平行四边形中，对角线相交于点O，点E是的中点，连接并延长交于点F，已知，则平行四边形的面积是（       ） A. 96 B. 48 C. 72 D. 36 14．（25-26学年九上·甘肃张掖临泽县·期中）如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形与相似的是（       ） A.  B.  C.  D.  15．（25-26学年九上·甘肃张掖临泽县·期中）如图，中，，点C、D在线段上，是等边三角形，请根据所述条件，判断下列论断：①；②； ③； ④．其中正确的个数是（　　）    A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 16．（25-26学年九上·甘肃兰州第五十四中学）如图，在矩形中，，对角线与相交于点，，，则的长为(     ) A.  B.  C.  D.  17．（25-26学年九上·甘肃甘南藏族自治州临潭县第一中学·期中）正方形的边长为，，分别是边，上的动点，且，连接，，交于点，连接，当的值最小时，点到的距离是（     ） A.  B.  C.  D.  18．（25-26学年九上·甘肃陇南·期末）如图1，中，点P从点A出发，沿A﹣C﹣B匀速运动，过点P作，垂足为D，设点A到点D的距离为x，的面积为y，则y关于x的函数图象如图2所示，则的长为（       ） A. 2 B. 4 C.  D.  19．（九上·甘肃兰州·期末）如图，点，，将线段平移得到线段．若，，则点的坐标为（　　） A.  B.  C.  D.  20．（25-26学年九上·甘肃天水·期末）如图，已知，P是上一点，连接，要使，只需添加条件　　　　　　．（只要写出一种合适的条件） 21．（25-26学年九上·甘肃武威凉州区·期末）如图，是斜边上的高，． （1）求证：； （2）求的长． 22．（25-26学年九上·甘肃酒泉肃州区·期末）在如图所示的中，分别以为圆心，同样长度为半径画弧，交于点；以点为圆心，以间的距离为半径画弧，与先画的弧交于点，作射线，交边于点．已知，则　　　　　　　　． 23．（25-26学年九上·甘肃兰州第八十一中学·期末）如图，，添加一个条件　　　　　　　使得． 24．（25-26学年九上·甘肃天水逸夫实验学校·期中）如图，已知，若，则　　　　　　． 25．（25-26学年九上·甘肃天水逸夫实验学校·期中）如图，中，是的延长线上一点，与交于点，． （1）求证：； （2）若的面积为2，求的面积 26．（25-26学年九上·甘肃酒泉第二中学·期中）如图，，点是线段上的一点，且．已知．    （1）证明：． （2）求线段的长． 27．（25-26学年九上·甘肃酒泉肃州区·期中）如图，在中，，点D是上一点，，于点E，连接．求证：． 28．（25-26学年九上·甘肃酒泉肃州区·期中）如图，，连接交于点C，若，，．则k的值为　　　　　　　　　　． 29．（25-26学年九上·甘肃兰州第八十一中学·期中）如图，已知AD，BC相交于点E，且△AEB∽△DEC，CD＝2AB，延长DC到点G，使CG＝CD，连接AG． （1）求证：四边形ABCG是平行四边形； （2）若∠GAD＝90°，AE＝2，CG＝3，求AG的长． 30．（25-26学年九上·甘肃兰州榆中县·期末）黄金分割比这一神奇的数学比例，在中外数学发展历程中都被敏锐捕捉．古希腊毕达哥拉斯学派率先察觉，欧几里得给出严谨定义，中国清代梅文鼎从独特的勾股形视角与之关联．如图，在中，，点在线段上，过点分别作于点于点，得到矩形，若矩形的周长与的周长之比恰好为黄金分割比，则的长为　　　　　　　　　　　． 31．（25-26学年九上·甘肃兰州第五中学·期末）如图，在正方形中，为对角线上一点，连接，，是延长线上一点，，交于点． （1）判断的形状，并说明理由； （2）若正方形的边长为，为的中点，求的长． 32．（25-26学年九上·甘肃兰州第二十中学·期末）如图，在中，，点D在边上，已知，边交于点E．求证： 33．（25-26学年九上·甘肃兰州第十九中学·期末）如图，在中，点D，E，F分别在AB，AC，BC边上，，． （1）求证：； （2）设，，求线段AB的长． 34．（25-26学年九上·甘肃兰州第十九中学·期末）如图所示，点在x轴上且，分别过点作y轴的平行线与反比例函数的图象分别交于点，分别过点作x轴的平行线分别与y轴交于点，连接，那么图中阴影部分的面积之和为　　　　　． 35．（25-26学年九上·甘肃陇南·期末）小赵在学习完相似三角形后，把两个相似但不全等的三角形纸片作为操作对象进行相关问题的研究，下面是他在操作纸片过程中研究的问题． 请你解决这些问题： （1）把两个三角形按如图1方式摆放，若，则_____； （2）如图2，把绕点旋转一定的角度，连接线段、．请写出与的关系并说明理由； （3）如图3，延长交的延长线于点，交于点，若，求的度数． 36．（25-26学年九上·甘肃平凉庄浪县·期末）如图，正方形和正方形有公共顶点A，连接． （1）如图1，当点G在上，点F在上时，求的值； （2）如图2，将图1中的正方形绕点A按逆时针方向旋转，连接、、，求的值； （3）如图3，将图1中的正方形绕点A按逆时针方向旋转，连接、、，若，，当C，G，E三点共线时，求的长度． 37．（25-26学年九上·甘肃天水·期末）如图，在中，，． （1）尺规作图：在上取一个点，使得；（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的基础上，连接，求证：． 38．（25-26学年九上·甘肃白银·期末）（多选）如图，已知∠BAC＝∠EAD，AB＝20.4，AC＝48，AE＝17，AD＝40． 求证：△ABC∽△AED． 39．（25-26学年九上·甘肃白银·期末）如图，在中，点P，D分别在边，上，，垂足为A，，垂足为P，且． （1）求证： （2）如果，，求的长． 40．（25-26学年九上·甘肃天水甘谷县·期末）如图，点，分别在的边，上，且． （1）求证：． （2）若，，求的长． 41．（25-26学年九上·甘肃天水张家川回族自治县·期末）如图，，分别是边，的中点，点是的中点，连接，交于点，若，则　　　　　　　　． 42．（25-26学年九上·甘肃天水张家川回族自治县·期末）年，丹麦数学家莫尔在他的著作《欧几里得作图》中指出：只用圆规可以完成一切尺规作图．年，意大利数学家马斯凯罗尼又独立发现此结论，并写在他的著作《圆规的几何学》中．请完成下面的作图题： 如图，点为矩形的边上一点，请用尺规作图法在矩形的对角线上求作一点，连接，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 43．（25-26学年九上·甘肃兰州第二十二中学·期末）【问题情境】 如图1，正方形和正方形按如图所示位置放置，我们通过观察可以得到，与的夹角为； 将正方形绕点旋转，如图2，连接．我们利用旋转的性质，通过证明，仍然可以得到，与的夹角为． 【变式思考】 如图3，将正方形绕点旋转，连接． （1）用等式表示线段与之间的数量关系为______，直线与的夹角为______； （2）按照图3的旋转位置，证明（1）所得出的结论； 【拓展运用】 （3）在图2的基础上，若，连接，在正方形绕点旋转一周的过程中，请直接写出的最小值是______． 44．（25-26学年九上·甘肃兰州第八十一中学·期末）（多选）如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，分别过点B、点C作CO，BO的平行线交于点E，连接AE交BD于点H，交BC于点F． （1）求证：四边形OCEB是矩形； （2）若BF=1，求菱形ABCD的周长． 45．（25-26学年九上·甘肃兰州第八十一中学·期末）在中，，点C在线段上，过点C作于点E，于点F，使得四边形为正方形，此时，则阴影部分面积为　　　　　　． 46．（25-26学年九上·甘肃兰州第十一中学·期中）（1）问题呈现：如图1，和都是等边三角形，连接、易知________； （2）类比探究：如图2，和都是直角三角形，，且，连接，求 的值； （3）拓展提升：如图3，是等腰直角三角形，，将绕点A逆时针旋转得到，连接，延长交于点F，设，求的长． 47．（25-26学年九上·甘肃天水甘谷县·期中）如图所示，四边形中，平分，，． （1）求证：； （2）若，，求的值． 48．（25-26学年九上·甘肃张掖临泽县·期中）如图，在中，和分别是边上的高，且相交于F点，连接． （1）求证：； （2）若，求的长． 49．（25-26学年九上·甘肃张掖临泽县·期中）如图，是一块锐角三角形余料，边，高，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在上，其余两个顶点，分别在，上，则这个正方形零件的边长是　　　　　　　　． 50．（25-26学年九上·甘肃天水逸夫实验学校·期中）如图，四边形中，平分，E为的中点，连接． （1）求证：； （2）若，求的值． 51．（25-26学年九上·甘肃兰州·期中）已知：如图，在矩形中，，，在边上取点E，连接，作交边于点F． （1）求证：． （2）若，求的长． 52．（25-26学年九上·甘肃酒泉第二中学·期中）如图，点D，E分别在的边上，，M，N分别是的中点，若，则　　　　　　． 53．（25-26学年九上·甘肃酒泉肃州区·期中）从三角形（非等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，该顶点与该交点间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果其中一个小三角形是等腰三角形，另一个与原三角形相似，那么我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线，如图，在△ABC中，DB＝1，BC＝2，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD是以CD为底边的等腰三角形，则CD的长为　　　　　． 54．（25-26学年九上·甘肃陇南西和县）如图，在矩形中，，，点P在线段上运动（含B、C两点），连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，求线段的最小值． 55．（25-26学年九上·甘肃兰州榆中县·期末）（1）问题背景：如图（1），已知，连接和，求证：；根据以下证明过程，完成填空部分： 证明：∵， ， ，                                 ， ∴； （2）尝试应用 如图（2），在和中，，，与相交于点F，点D在边上，连接；求证：； （3）拓展创新 如图（3），点D是内一点，，，，．过点A作的垂线，过点D作的垂线，两垂线交于点M，连接，其中，求的长． 56．（25-26学年九上·甘肃兰州·期末）综合与探究 【问题情境】 如图1，小美将矩形纸片折叠，使点落在射线上，点的对应点记为，折痕与边，分别交于点，． （1）【活动猜想】 如图2，当点与点D重合时，请判断四边形的形状并证明； （2）【问题解决】 如图3，在矩形纸片中，若边，，与交于点O． ①请判断与对角线的位置关系，并说明理由； ②当时，请求出此时的长． 57．（25-26学年九上·甘肃天水·期末）【发现问题】 （1）如图1，已知和均为等边三角形，D在上，E在上，易得线段和的数量关系是                                    ． （2）将图1中的绕点C旋转到图2的位置，直线和直线交于点F． ①判断线段和的数量关系，并证明你的结论； ②图2中的度数是                     ． 【探究拓展】 （3）如图3，若和均为等腰直角三角形，，，，直线和直线交于点F，直接写出的度数和线段、间的数量关系． 58．（25-26学年九上·甘肃定西·期末）如图，在中，，点是的中点，点和点分别是边和上的动点，且． （1）当点和点分别是边和的中点时，求的值； （2）当时，以点为顶点的三角形与相似，求的值． 59．（25-26学年九上·甘肃白银·期末）如图，在中，，过点作，垂足为点，再过点作，垂足为点按照以上的方法继续作下去得到，则线段的长为　　　　　　　　　　　． 60．（25-26学年九上·甘肃天水甘谷县·期末）问题发现 （1）如图1，在正方形中，点在边上，点在边上，且于点．求证：． 类比探究 （2）如图2，在矩形中，点在边上，点在边上，且于点．求证：． 拓展延伸 （3）如图3，在中，，点在边上，点在边上，，，连接，交于点，且，求的值． 61．（25-26学年九上·甘肃酒泉肃州区·期末）【基础巩固】 （1）如图1，在中，点D、E分别在边上，连接，若，求证：； 【尝试应用】 （2）如图2，在中，在边上取一点E，以为一边构造平行四边形，使点D，F恰好落在边上，连接，若，求的长； 【拓展提升】 （3）如图3，在中，在边上取一点E，以为一边构造平行四边形，使点F恰好落在边上，连接，若，求的长．（提示：延长交于点G） 62．（25-26学年九上·甘肃天水张家川回族自治县·期末）（）如图，在矩形中，点分别是边的中点，连接，求证：； （）如图，在四边形中，，，点分别是边的中点，连接，与相交于点，若，求的长； （）如图，在四边形中，，，连接，点是边的中点，点在边上，，连接，交于点，连接，若，，求的值． 63．（25-26学年九上·甘肃兰州红古区·期末）如图1，在矩形中，，，是上一点，连接，将矩形沿折叠，顶点恰好落在上的点处，延长，交的延长线于点，连接． （1）线段的长为______________． （2）求证：四边形是菱形． （3）如图2，，分别是线段，上的动点（与端点不重合），设，且．是否存在符合条件的点，使得？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 64．（25-26学年九上·甘肃兰州第五十四中学）【基础巩固】 （1）如图 1，和是直角三角形，一锐角顶点重合于点 A，，，求证：； 【尝试应用】 （2）如图2，在和中，直角顶点重合于点C，，点D在上，，且，连接，若，求的长； 【拓展提高】 （3）如图3，在中，，点D为边上一点，，E为延长线上一点，，过点A作，交的延长线于点Q．请直接写出的值． 65．（25-26学年九上·甘肃天水逸夫实验学校·期中）（1）问题：如图1，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，∠DPC=∠A=∠B=90°．求证：AD·BC=AP·BP． （2）探究：如图2，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，当∠DPC=∠A=∠B=θ时，上述结论是否依然成立．说明理由． （3）应用：请利用（1）（2）获得的经验解决问题： 如图3，在△ABD中，AB=6，AD=BD=5．点P以每秒1个单位长度的速度，由点A 出发，沿边AB向点B运动，且满足∠DPC=∠A．设点P的运动时间为t（秒），当DC的长与△ABD底边上的高相等时，求t的值． 66．（25-26学年九上·甘肃兰州·期中）课本再现 如图1，四边形是正方形，点是边的中点，，且交正方形外角的平分线于点．求证：．（提示：取的中点，连接） （1）请你思考题中的“提示”，这样添加辅助线的目的是通过截取线段， 构造出                                ，进而得到． 类比迁移 （2）如图2，四边形是矩形，，点是边的中点，，且交矩形的外角平分线于点，请判断与的数量关系，并说明理由． 拓展探究 （3）如图3，四边形是边长为3的菱形，，点为射线上一动点，连接，作，且与菱形外角的平分线交于点．当时，请直接写出的长． 67．（25-26学年九上·甘肃酒泉第二中学·期中）【问题提出】 （1）如图1，在中，，D是边上一点，F是边上一点，连接、，．求证：； 【问题探究】 （2）如图2，在四边形中，点D是边的中点，连接、，，若，求线段的长； 【问题解决】 （3）某市进行绿化改造，美化生态环境．如图3，现有一块三角形的荒地计划改造公园，经测量米，，按设计要求，要在三角形公园内建造一个以A为直角顶点的等腰直角三角形活动场所，且顶点D、顶点E分别在边、上，且米，请求出符合设计要求的等腰直角三角形活动场所的顶点D所在的位置（即的长）． 68．（25-26学年九上·甘肃兰州第五中学·期末）综合与探究 问题情境： 如图，在矩形中，，，是边上的一个动点（不与点，重合），把沿着折叠后，点落在点处． 操作发现： （1）如图，当时，试判断的形状，并说明理由； （2）如图，当时，求的长； 深入探究： （3）如图，过点作直线，垂足为，连接，在点运动的过程中，若，请探究，并直接写出所有符合题意的的长度． 考点04 相似三角形的性质 1．（25-26学年九上·甘肃天水甘谷县·期末）若两个相似三角形的面积比是，则这两个三角形的周长比是（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·甘肃白银·期末）在如图所示的象棋盘（各个小正方形的边长均相等）中，根据“马走日”的规则，“马”应落在下列哪个位置处,能使“马”、“车”、“炮”所在位置的格点构成的三角形与“帅”、“相”,“兵”所在位置的格点构成的三角形相似（   ） A. ①处 B. ②处 C. ③处 D. ④处 3．（25-26学年九上·甘肃白银·期末）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．其中第九卷，主要讲述了以测量问题为中心的直角三角形三边互求的关系．其中记载：“今有邑，东西七里，南北九里，各中开门，出东门一十五里有木，问：出南门几何步而见木？” 译文：“今有一座长方形小城，东西向城墙长7里，南北向城墙长9里，各城墙正中均开一城门．走出东门15里处有棵大树，问走出南门多少步恰好能望见这棵树？”（注：1里步）你的计算结果是：出南门（       ）步而见木． A. 205 B. 215 C. 305 D. 315 4．（25-26学年九上·甘肃兰州·期中）如图，点D，E分别在的边上，且，若，，则值为（       ） A. 9 B. 6 C. 3 D. 1 5．（25-26学年九上·甘肃定西渭源县·期末）若，且相似比为，的周长为10，则的周长为　　　　　． 6．（25-26学年九上·甘肃陇南·期末）如图，在等边三角形中，是边上任意一点，且． （1）求证：； （2）若，，求的长． 7．（25-26学年九上·甘肃天水甘谷县·期中）如图所示，在中，，点在上，点在上，且，，，，动点从点出发，沿边以每秒2个单位的速度向终点运动，同时动点从点出发，在线段上以每秒1个单位的速度向终点运动，设运动时间为秒． （1）线段的长______； （2）当与相似时，求的值． 8．（25-26学年九上·甘肃天水·期末）如图，，且，E是的中点，F是边上的动点，与相交于点M． （1）求证：； （2）若F是的中点，，求的长； 9．（25-26学年九上·甘肃兰州红古区·期末）如图，已知梯形中，．是边上一点，与对角线交于点，且． 求证： （1）； （2）． 10．（九上·甘肃兰州·期末）如图，将沿边向右平移2个单位长度得到．若，阴影部分的面积为6，则的面积为　　　　　　． 11．（九上·甘肃兰州·期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点O是坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，，D为边的中点．若E为边上的一个动点，当的周长最小时，则点E的坐标　　　　　　　　． 考点05 相似三角形的应用 1．（25-26学年九上·甘肃张掖临泽县·期中）如图，为估算某河的宽度，在河对岸边选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，并且点A，E，D在同一条直线上．若测得BE=20m，EC=10m，CD=20m，则河的宽度AB等于（       ） A. 60m B. 40m C. 30m D. 20m 2．（25-26学年九上·甘肃陇南·期末）如图所示，在小孔成像实验中，光线经过小孔，物体在幕布上形成倒立的实像（点的对应点分别是）．若物体的高为，小孔到地面距离为，则实像的高度为　　　　　cm． 3．（25-26学年九上·甘肃平凉庄浪县·期末）如图，小峰想用平面镜测量一棵松树的高度，他把平面镜放在点C处（平面镜的大小忽略不计），然后从点C处沿方向移动到点F处，此时恰好在平面镜中看到松树顶端A的像，但由于树旁有一条河，不能直接测量平面镜与松树之间的距离，于是小峰从点F沿方向移动到点H处，此时他发现自己在太阳光线下的影子顶端和松树在太阳光线下的影子顶端在地面上的点D处重合．已知小峰身高为1.6米（忽略头顶到眼睛的距离，即米）．经测量，米，米，米，已知，，，点B、C、F、H、D在同一条直线上，图中所有点均在同一平面内，求松树的高度． 4．（25-26学年九上·甘肃白银·期末）如图，嘉嘉同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．手电筒的灯泡在点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处，点E到地面的高度，点F到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，墙到木板的水平距离为．已知光在镜面反射中的入射角等于反射角，图中点在同一水平面上．求灯泡到地面的高度． 5．（25-26学年九上·甘肃天水甘谷县·期末）龙角塔（图），位于诸葛亮躬耕地南阳卧龙岗内，是武侯祠的一个重要人文景观．如图，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板来测量龙角塔的高度．他们通过调整测量位置，使斜边与地面保持平行，并使边与龙角塔顶点在同一条直线上．已知，，目测点到地面的距离，到龙角塔的水平距离，求龙角塔的高度． 6．（25-26学年九上·甘肃兰州红古区·期末）如图所示，小明、小亮、小颖三人为了测量操场上旗杆的高度，他们选择了一个晴朗的天气，拿着皮尺和标杆走到了旗杆旁开始测量，小明握住标杆使它与地面垂直并保持不动，小亮同学测量出标杆的影长为，同一时刻小颖同学测量出旗杆的影长为，若标杆的高度为，请你应用所学的知识帮他们计算一下旗杆的高度． 7．（25-26学年九上·甘肃张掖临泽县·期中）如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条直角边DE=40cm，EF=20cm，测得边DF离地面的高度AC=1.5 m，CD=8 m，则树高AB=　　　　m． 8．（25-26学年九上·甘肃兰州第五十四中学）综合与实践 主题：利用相似三角形的有关知识测量建筑物的高度． 素材：平面镜、标杆、皮尺等测量工具． 步骤1：如图，站在B处，位于点B正前方3米点C处有一平面镜，通过平面镜刚好可以看到建筑物的顶端M的像，此时测得眼睛到地面的距离为1.5米； 步骤2：在F处竖立了一根高2米的标杆，发现地面上的点D、标杆顶点E和建筑物顶端M在一条直线上，此时测得为6米，为4米． 猜想与计算：已知，点N、C、B、F、D在同一条直线上，且点N、C之间存在障碍物，无法直接测量． 请根据以上所测数据：    （1）直接写出平面镜到建筑物的距离与建筑物高度之间的数量关系； （2）计算建筑物的高度（平面镜大小忽略不计）． 9．（25-26学年九上·甘肃兰州第五十四中学）如图①，舂臼（chōngjiù）是利用了杠杆原理给谷物种子进行脱壳的一种传统工具，图②是该舂臼的侧面简易示意图，点是支点，点距地面cm，且，在舂臼使用过程中，若端上升至距地面cm处，则端此时距地面 　　　　　　　cm． 10．（25-26学年九上·甘肃酒泉第二中学·期中）小军想用镜子测量一棵古松树的高度，但因树旁有一条小河，不能测量镜子与树之间的距离，于是他利用镜子进行两次测量，如图，第一次他把镜子放在点处，他在点处正好在镜中看到树尖的像；第二次他把镜子放在点处，他在点处正好在镜中看到树尖的像．已知，，，小军的眼睛距地面（即），量得，求这棵古松树的高度．（镜子大小忽略不计） 11．（25-26学年九上·甘肃兰州第八十一中学·期中）《周髀算经》中记载了“平矩以正绳，偃矩以望高，覆矩以测深，卧矩以知远，环矩以为圆，合矩以为方”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．小明利用“矩”可测量大树的高度．如图，通过不断调整自己的姿势和“矩”的摆放位置，使斜边保持水平，并且边与点在同一直线上，已知“矩”的两边长分别为，，小明的眼睛到地面的距离为，测得，求树高． 考点06 位似 1．（25-26学年九上·甘肃兰州第八十一中学·期末）一张标准对数视力表由一些形状相同但大小不一定相同的符号“E”组成的，我们可以借助平面直角坐标系中的位似变换来对符号“E”进行放大或缩小．如图，两个符号“E”在第一象限，且关于原点O位似．若点，点，点，则点D的坐标是（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·甘肃兰州第二十中学·期末）如图，△ABC与△DEF位似，点O是它们的位似中心，△ABC与△DEF的面积之比是1：4，其中，则OB的长为（       ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3．（25-26学年九上·甘肃平凉庄浪县·期末）如图，与是位似图形，点A为位似中心，，则（     ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年九上·甘肃天水张家川回族自治县·期末）如图，与是位似图形，点是位似中心，相似比为．若，则的长为（       ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5．（25-26学年九上·甘肃兰州第二十二中学·期末）如图，和 是以点 O 为位似中心的位似图形， ，若，则为（    ） A.  2 B.  3 C.  4 D.  6 6．（25-26学年九上·甘肃张掖临泽县·期中）如图，以点为位似中心，作四边形的位似图形，已知，若四边形的面积是3，则四边形的面积是（       ） A. 9 B. 18 C. 24 D. 27 7．（25-26学年九上·甘肃兰州榆中县·期末）古书《墨子•经上》中记载：“执规矩，以度天下之方圆．”度方知圆，感悟数学之美．如图，以面积为1的正方形的对角线的交点为位似中心，作它的位似图，若，则四边形的面积为 （       ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 1 8．（25-26学年九上·甘肃天水甘谷县·期中）如图，AB与CD交于点，且．若，则的值为（     ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年九上·甘肃兰州第八十一中学·期中）如图，与是以点O为位似中心的位似图形，若与的面积比为，则为（　 　） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年九上·甘肃甘南藏族自治州临潭县第一中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，正方形与正方形是以原点为位似中心的位似图形，且位似比为，点在轴上，若正方形的边长为6，则点坐标为（       ） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年九上·甘肃兰州第五中学·期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为． （1）以原点O为位似中心，在第三象限内画一个，使它与的相似比为，并写出点的坐标； （2）点P为y轴上一点，求的最小值． 12．（25-26学年九上·甘肃兰州第十九中学·期末）如图，以点O为位似中心，作四边形的位似图形，已知，若四边形的面积是4，则四边形面积是　　　　　　． 13．（25-26学年九上·甘肃陇南·期末）在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，建立如图所示的平面直角坐标系，并给出了格点（顶点为网格线的交点）． （1）作出与关于原点O对称的图形； （2）以点O为位似中心，在第四象限内将按相似比2放大，作出该图形． 14．（25-26学年九上·甘肃酒泉肃州区·期末）如图，在平面直角坐标系中，方格图中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，的顶点都在格点上． （1）画出关于x轴对称的； （2）以原点O为位似中心，在y轴的左侧画出一个，使它与位似，且相似比为． 15．（25-26学年九上·甘肃张掖临泽县·期中）如图，在直角坐标系中，与是位似图形，则位似中心的坐标为　　　　　　　　　　　　　　　　　　． 16．（25-26学年九上·甘肃酒泉第二中学·期中）以原点为位似中心，将进行位似变换放大得到，若相似比为2，A点坐标为，则对应点F的坐标为　　　　　　　　　　． 17．（25-26学年九上·甘肃酒泉第二中学·期中）已知O是坐标原点，A，B的坐标分别为，． （1）把绕点O逆时针方向旋转得到，请在坐标系中作出； （2）在y轴的左侧以O为位似中心作的位似图形，使新图与原图的相似比为； （3）直接写出的面积． 18．（25-26学年九上·甘肃酒泉肃州区·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． （1）在轴右侧，以原点为位似中心，画出，使它与位似，且相似比为（点，，的对应点分别为点）； （2）在（1）的条件下，求的面积． 19．（25-26学年九上·甘肃兰州榆中县·期末）如图，在平面直角坐标系中，三顶点的坐标分别为． （1）画出关于y轴对称的图形，并直接写出点的坐标． （2）以原点O为位似中心，在y轴左侧，画出的位似图形，使它与位似比为，直接写出点的坐标，并求的面积． 20．（25-26学年九上·甘肃兰州第十九中学·期末）在如图所示的平面直角坐标系中，已知点，，．        （1）画出和关于x轴对称的； （2）以O为位似中心，在第一象限内把扩大到原来的两倍，得到，并写出点的坐标：                 ． 21．（25-26学年九上·甘肃天水甘谷县·期末）在如图的方格纸中，与是关于点P为位似中心的位似图形． （1）在图中标出位似中心P的位置； （2）以原点O为位似中心，在第三象限画出的一个位似，使它与的位似比为； （3）已知的面积为2.5，则的面积为_______． 22．（25-26学年九上·甘肃兰州红古区·期末）如图，与是位似图形，点是位似中心，若，的面积为4．则的面积为　　　　　　　　　　　　　． 23．（25-26学年九上·甘肃兰州第十一中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为、、． （1）以原点O为位似中心，在y轴的右侧画出的一个位似，使它与的相似比为； （2）将向左平移2个单位，再向上平移1个单位后的，判断与，能否是关于某一点M为位似中心的位似图形？若是，请在图中画出位似中心M，并写出点M的坐标． 24．（25-26学年九上·甘肃张掖临泽县·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣1，2），B（﹣3，4）C（﹣2，6）. （1）画出△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到的△A1B1C1； （2）以原点O为位似中心，画出将△A1B1C1三条边放大为原来的2倍后的△A2B2C2． 25．（25-26学年九上·甘肃兰州第五十四中学）如图，在平面直角坐标系中，给出了格点（顶点均在正方形网格的格点上），已知点的坐标为． （1）画出关于轴对称的； （2）以点为位似中心，在给定的网格中画出，使与位似，位似比为； （3）与的周长比是________． 26．（25-26学年九上·甘肃酒泉肃州区·期中）如图，点O是平面直角坐标系的原点，点A、B、C的坐标分别是、、． 作图：以点O为位似中心在y轴的左侧把原来的四边形OABC放大两倍不要求写出作图过程； 直接写出点A、B、C对应点、、的坐标． 27．（25-26学年九上·甘肃兰州第八十一中学·期中）如图，在平面直角坐标系内三顶点的坐标分别为．    （1）画出关于y轴对称的； （2）以B为位似中心，在B的下方画出，使与位似且相似比为2∶1； （3）直接写出点和点的坐标． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $