专题13.2 分式的运算（高效培优讲义）数学新教材沪教版五四制七年级上册

专题13.2 分式的运算 教学目标 1.理解分式乘除、分式加减的运算法则，能说出法则，会用式子表示法则。2.掌握分式的混合运算顺序（先乘方，再乘除，最后加减；有括号先算括号内），能正确进行分式混合运算，结果化为最简分式或整式。 3.理解负整数指数幂的意义，会将负整数指数幂转化为正整数指数幂进行运算，会用科学记数法表示绝对值小于 1 的数。 教学重难点 1.重点 分式乘除法则、分式加减法则的理解与应用。 负整数指数幂的运算。 2.难点 异分母分式的通分，负整数幂的理解。 知识点01 分式的乘除 1. 分式的乘法 分式乘法法则：分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母. 2. 分式的除法 分式除法法则：除以分式等于乘其倒数，再按乘法法则计算. 3. 分式的乘方 分式乘方运算法则：） 关键细节： ①符号处理：举例，总结：负号单独看，指数奇数为负，偶数为正。 ②多项式处理：举例，强调：先因式分解，再将多项式整体乘方，结果为. 4. 分式的乘除混合运算 顺序同有理数的混合运算的顺序. 【即学即练】 1．计算的结果是（  ） A．﹣y B． C． D． 【答案】B 【分析】分式的运算首先要分清运算顺序，在这个题目中，首先统一成乘法运算，最后进行约分运算． 【详解】解： ． 故选：B． 【点睛】此题考查分式的乘除混合运算．分式的乘除运算实际就是分式的约分，在计算过程中需要注意的是运算顺序． 2．化简的结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式的乘方．利用分式的乘方法则计算即可求解． 【详解】解：， 故选：D． 3．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查分式的乘法运算，熟练掌握分式的乘法运算法则是解题的关键．根据分式的乘法运算法则计算即可得解． 【详解】解：， 故选：D． 4．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查含乘方的分式乘除混合运算．原式先计算乘方运算，再计算乘除法运算即可得到结果． 【详解】解： ． 知识点02 分式的加减 1.同分母分式的加减 同分母分式加减法法则：同分母分式相加（减），分母不变，只把分子相加（减）.用字母表示为: 归纳提醒： ①分子是多项式，相加减时需添加括号（避免符号错误）；如： ②分母互为相反数，先统一分母（如：； ③结果需约分（分子分母有公因式时）如：==x+2 2.异分母分式的加减 异分母分式相加（减），先因式分解分母→找最简公分母→通分（化为同分母分式）→按同分母法则计算→结果化简，: 如：计算时，公分母千万不能认为是（）(x-1),要先因式分解，再确定最简公分母。 3.分式的混合运算 （1）不含括号的混合运算：先乘方→后乘除→再加减→结果要化简 千万要注意：同级运算从左往右依次进行 如：a()——不可以先做乘再做除 （2）含括号的混合运算——从内到外，分步计算. （3）分式与整式的混合运算——整式视为分母为 1 的分式 如：()——可以看成要与通分才能加减. 【即学即练】 5．（24-25七年级上·上海闵行·月考）计算： （1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 【分析】本题考查的是分式的加减运算； （1），再计算即可； （2）先通分化为同分母，再计算即可； （3）先把第一个约分，化为同分母，再计算即可； （4）先通分化为同分母，再计算即可． 【详解】解：（1）； （2）； （3） ； （4） ． 6.（25-26七年级上·上海徐汇·阶段测试）计算： (1) (2) (3) (4)； (5)先化简，再求值：，其中． 【分析】本题主要考查了分式的加减混合运算，以及分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式加减的运算法则． （1）（2）（3）（4）利用分式的加减运算法则进行计算即可； （5）先利用分式的加减计算法则进行化简，然后代数求值即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： 将代入上式得， 原式． 7.（24-25七年级上·上海·期末）先化简，再求值：，其中． 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则成为解题的关键． 先根据分式的混合运算法则化简，然后将代入计算即可． 【详解】解： ； 当时，原式． 知识点03 整数指数幂的运算 1. 负整数指数幂 规定 2. 整数指数幂 随着指数的取值范围由正整数扩大到全体整数，前面学过的正整数指数幂的运算性质也推广到了整数指数幂. 当a、b不为0时，对于整数指数幂，有 (1); (2) (3) (4); 【即学即练】 8．计算：_______．（结果中只含有正整数指数幂） 【答案】/ 【详解】解：原式． 9．计算下列各式，要求在结果中不出现负整数指数幂： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 题型01 分式的乘法 【典例1】化简的结果为________． 【答案】 【分析】先对二次多项式因式分解，再约去分子分母的公因式得到化简结果． 【详解】解：． 【变式1】化简的结果是_______________． 【答案】 【详解】解：原式． 【变式2】化简：____________． 【答案】 【分析】先算立方，再进行乘法运算，最后简化表达式． 【详解】原式=． 故答案为: ． 【点睛】本题考查了分式的乘法，解决本题的关键是熟练掌握运算法则． 【变式3】计算：___________． 【答案】 【分析】本题考查分式的乘法运算，根据乘法法则进行计算，约分化简即可． 【详解】解：． 故答案为：． 题型02 分式的除法 【典例1】化简：______． 【答案】 【详解】解：原式 ． 【变式1】化简：________． 【答案】 【分析】按照分式除法法则进行运算即可． 【详解】解：． 【变式2】计算：_________． 【答案】 【详解】解：原式 ． 【变式3】计算： （1）____________； （2）____________． 【答案】 【分析】本题考查分式的除法，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）先化为分式的乘法，然后约分为最简分式即可； （2）先化为分式的乘法，然后约分为最简分式即可． 【详解】解：（1）； （2）． 故答案为：，，， ． 题型03 分式的除法 【典例1】化简： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先依据分式乘方法则算出括号立方，再将除法转化为乘以倒数统一为连乘形式，接着把分子、分母分别相乘，利用同底数幂乘除法则化简字母，约分常数系数后得到最简分式结果； （2）先对括号内各项通分合并成单一分式，完全平方公式对分子因式分解，同时将除式颠倒转化为乘法并利用平方差公式分解分母，最后约去分子分母的公因式与，化简得到最简分式． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解： ， ， ， ． 【变式1】化简： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据分式的乘除混合运算法则，即可求解； （2）根据分式加减乘除混合运算法则，即可求解． 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式 ． 【变式2】计算：． 【答案】 【详解】解：原式． 【变式3】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据分式的乘法运算求解即可； （2）根据分式的除法运算求解即可； （3）先因式分解再约分，再利用分式的乘除法运算求解即可； （4）分子分母分别进行乘方运算求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：； （3）解： ； （4）解：． 题型04 分式的乘方 【典例1】化简： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先计算乘方，再计算乘除法即可得到答案； （2）先把小括号内的式子通分化简，再把除法变成乘法后约分化简即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式1】计算： 【答案】 【分析】先计算分式乘方和积的乘方，再把除法变成乘法后计算乘法即可得到答案． 【详解】解： ． 【变式2】___________． 【答案】/ 【分析】本题考查了分式的整数次幂的运算，根据指数运算法则，分别计算各部分的幂，再将除法转化为乘法并简化． 【详解】解：原式 = ． 故答案为：． 【变式3】计算：______． 【答案】 【分析】按照分式的乘方、乘除运算法则逐步化简，即可解答． 【详解】解：原式， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式的乘方与乘除混合运算，熟练掌握分式乘方、除法变乘法、约分的法则是解题的关键． 题型05 同分母分式的加减 【典例1】计算的结果是__________． 【答案】 【分析】利用同分母分式的减法法则计算，约分后即可得到结果． 【详解】解：原式． 【变式1】计算：=_________． 【答案】 【分析】两个分式为同分母分式，先按同分母分式减法法则合并分子，再对分子因式分解后约分得到结果． 【详解】解： ． 【变式2】__________． 【答案】/ 【详解】解： ． 【变式3】计算：________． 【答案】 【详解】解： ． 题型06 异分母分式的加减 【典例1】计算： (1)； (2) 【答案】(1)； (2) 【详解】（1）解： （2）解： 【变式1】 【变式2】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先对各分母因式分解，统一分母符号后通分，再约分得到结果； （2）先因式分解化简第一个分式，再通分合并同类项得到结果． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式3】对分式，通分，两个分式的最简公分母是______，通分的结果是______；=______． 【答案】 【分析】本题考查了最简公分母，通分等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 两个分式的分母分别为和，最简公分母需取系数的最小公倍数和变量的最高次幂，即； 通分时根据分式的基本性质，将分子和分母同乘相应因式． 【详解】解：分母和的系数最小公倍数为6， 分母中最高次幂为， 故最简公分母为； 通分：， ， 故答案为：，，． 计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型07 分式的混合运算 【典例1】分式的计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先对分母因式分解，通分计算括号内的减法，将除法转化为乘法后约分得到结果； （2）先通分计算括号内的异分母减法，因式分解后将除法转化为乘法，约分得到结果． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式1】化简： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式的混合运算和分式的混合运算，熟知相关运算法则是解题的关键． （1）先计算积的乘方和同底数幂的乘法，再合并同类项即可； （2）先把小括号内的式子通分化简，再把除法变成乘法后约分即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式2】计算： 【答案】 【分析】本题考查了分式的混合运算． 先计算括号里的减法，再计算除法即可． 【详解】解： ． 【变式3】计算： 【答案】 【分析】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握因式分解是解题的关键． 先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，即可解答． 【详解】解：原式 ． 题型08 负整数指数幂 【典例1】计算：_______． 【答案】 【分析】本题考查了负整数指数幂． 根据负整数指数幂的运算法则：计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 【变式1】计算：______． 【答案】 【分析】本题考查积的乘方，负整数指数幂，同底数幂乘法法则，按照计算法则进行化简即可． 【详解】解：    故答案为． 【变式2】计算：_____．（结果用不含负整数指数幂的形式表示） 【答案】 【分析】本题主要考查了通分，约分，分解因式，负整数指数幂，将负指数转化为分式形式，然后把分母利用平方差公式分解因式，再约分后把分母通分即可得到答案． 【详解】解： ， 故答案为：． 【变式3】将分式表示成不含有分母的形式：_____． 【答案】 【分析】本题考查了负整数指数幂，根据负整数指数幂的意义进行变形即可，熟练掌握运算法则是解题的关键； 【详解】解：根据负整数指数幂的意义，分母中的常数3可写为 ，字母y可写为， 可写为 ， 因此原式化为 ， 故答案为：． 题型09 整数指数幂 【典例1】计算：． 【答案】 【分析】本题考查了幂的混合运算，根据幂的乘方、积的乘方、负整数指数幂以及同底数幂相乘的运算法则计算即可得出结果，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解： ． 【变式1】计算： 【答案】 【分析】本题考查了整数指数幂的混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则． 先将变形为，再进行除法、乘法计算． 【详解】解： 【变式2】计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了负整数指数幂的计算，分解因式，先利用平方差公式把原式分解因式，再合并同类项并计算即可得到答案． 【详解】解： ． 【变式3】计算： 【答案】 【分析】本题考查的是分式的混合运算，整数指数幂的运算，先根据同底数幂的运算计算，结合负整数指数幂的含义，逐步计算即可． 【详解】解： ； 题型10 分式的化简求值 【典例1】先化简，再求值：，其中 【答案】化简结果为，值为 【分析】本题考查分式的化简求值及负整数指数幂的运算，先分别化简两个括号内的式子，再将除法运算转化为乘法运算，约分化简得到最简分式；接着计算出的值，最后代入最简分式计算结果． 【详解】解： ． 将代入，原式． 【变式1】先化简代数式，然后在、、0、1、2中选取一个适合的数，代入求值． 【答案】x，当时，原式 【分析】本题主要考查分式的化简求值．先根据分式的混合运算顺序和法则化简原式，由分式有意义得出符合条件的的值，代入求解即可． 【详解】解：原式= ， 因为分式有意义时、、2． 当时，原式． 【变式2】先化简，再解答下列问题： (1)当时，求代数式的值； (2)原代数式的值能等于4吗？如果能，请求出此时的值；如果不能，请说明理由． 【答案】(1)化简为，值为 (2) 解：不能．理由如下： 当， 解得 当时的值为0，除数不能为0， 故原代数式的值不能等于4． 【分析】本题考查了分式的化简求值，分式有意义的条件，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）括号内先通分，再将除法转化为乘法，约分即可化简，最后代入计算即可得出结果； （2）当，解得，再结合分式有意义的条件判断即可得出结果． 【详解】（1）解： ， 当时，原式 （2）略 【变式3】先化简，再求值：，其中． 【答案】 【分析】本题考查了分式的化简求值，先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再根据得，代入求值即可． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴原式． 1．计算：结果为（    ） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】本题考查分式的加减，根据异分母分式的减法运算法则求解即可． 【详解】解： ， 故选：C． 2．若成立，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据解题即可． 【详解】解：∵0没有0次幂， ∴，即， 故选B． 【点睛】本题主要考查0次幂的定义，注意到0没有0次幂是解题关键． 3．的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了含乘方的分式乘除混合计算，先计算乘方，再计算乘除法即可． 【详解】解： ， 故选：D． 4．一辆货车送货上山，并按原路下山．上山速度为千米/小时，下山速度为千米/小时，则货车上、下山的平均速度为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】平均速度=总路程 总时间，设单程的路程为，表示出上山下山的总时间，把相关数值代入化简即可； 【详解】设上山的路程为 千米 则上山的时间 小时，下山的时间为 小时 则上、下山的平均速度 千米/时 故选：D 【点睛】本题考查了列代数式，得到平均速度的等量关系是解决本题的关键，得到总时间的代数式是解决本题的突破点． 5．将代数式表示为只含有正整数指数幂的形式：=_______________ 【答案】 【分析】依据负整数指数幂的法则进行计算即可． 【详解】 故答案为 【点睛】考查负整数指数幂的法则，熟练掌握是解题的关键. 6．墨迹覆盖了“计算”中的右边计算结果，则覆盖的部分是_______． 【答案】/ 【分析】将除法转化为乘法，然后进行约分计算即可． 【详解】 故答案为：． 【点睛】本题考查分式的乘除法运算，掌握分式的除法运算法则和约分的技巧是解题关键． 7．若，则________． 【答案】 【分析】本题考查零指数幂运算、零指数幂有意义的条件、利用绝对值的意义解方程等知识，先由零指数幂有意义的条件、零指数幂运算得到，且，由绝对值的意义解方程即可得到答案．熟记零指数幂运算、零指数幂有意义的条件是解决问题的关键． 【详解】解：，且 ， 故答案为：． 8．若等于________． 【答案】 【详解】解：∵x2﹣4xy+4y2=0，∴（x﹣2y）2=0，∴x=2y，∴==．故答案为． 点睛：根据已知条件x2﹣4xy+4y2=0，求出x与y的关系是解答本题的关键． 9． 【答案】 【分析】先将除法转化为乘法再约分即可得出答案． 【详解】解：原式 【点睛】本题考查了分式的乘除法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 10．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】先利用分式的加减乘除化简，后代入求值即可． 本题考查了分式的化简，熟练掌握解题的基本步骤是解题的关键． 【详解】解：     ． 当时，原式． 1．（25-26七年级上·上海·期中）当时，的值是（   ） A． B． C．1 D．-1 【答案】A 【分析】本题考查了分式的乘除运算，求代数式的值，正确计算是解题的关键．将表达式中的除法和乘法统一为乘法形式，简化后代入求值． 【详解】解：∵ 原式 = = = ， 当 时，， ∴ 原式 = ． 故选：A． 2．化简的结果是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分式的加减混合运算法则即可求出答案． 【详解】解： ． 故选D． 【点睛】本题考查了分式的化简，解题的关键在于熟练掌握分式加减混合运算法则． 3．化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式乘方运算，根据分式性质结合乘方法则进行运算，即可作答． 【详解】解：依题意，， 故选：D． 4．（25-26七年级上·上海·阶段检测）当时，代数式的值为_______． 【答案】/ 【分析】本题主要考查分式的值及分式的加法运算，熟练掌握分式的值及分式的加法运算是解题的关键；将代数式通分后，利用已知条件和及代数恒等式求解． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴， ∴； 故答案为． 5．（24-25七年级上·上海青浦·阶段检测）______（结果保留幂的形式）． 【答案】 【分析】本题考查了幂的乘方，根据幂的乘方的运算法则计算即可得解． 【详解】解：， 故答案为：． 6．（23-24八年级上·上海徐汇·阶段检测）若，则的值为_______． 【答案】 【分析】本题看考查了负整数指数幂，零指数幂，同底数幂的乘法，完全平方公式的应用，根据完全平方公式进行计算即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 7．已知，则分式的值为______． 【答案】/0.6 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，掌握分式的基本性质是解题的关键． 由可得，再根据分式的基本性质将化为，然后整体代入计算即可． 【详解】解：， ，， ． ． 故答案为：． 8．（25-26七年级上·上海浦东新·阶段检测）计算：． 【答案】 【分析】本题考查含乘方的分式乘除混合运算，掌握好分式运算的法则是关键． 根据含乘方的分式乘除混合运算的法则进行计算即可． 【详解】解：． 9．（25-26七年级上·上海黄浦·阶段检测）先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【分析】本题考查了分式的化简求值；先化简括号内的表达式，通分后合并，再除以分式变为乘以其倒数，约分后得到最简分式，最后代入x的值计算，即可求解． 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 10．（25-26七年级上·上海·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查分式的化简求值，根据分式的混合运算法则，进行计算，化简后，代值计算即可． 【详解】解：原式 ； 当时，原式． 11．（24-25七年级上·上海·阶段检测）我们定义：如果两个分式与的差为常数，且这个常数为正数，那么称是的“雅中式”，这个常数称为关于的“雅中值”． 例如分式，，，则是的“雅中式”，关于的“雅中值”为2． (1)已知分式，，判断是否为的“雅中式”，若不是，请说明理由；若是，请求出关于的“雅中值”； (2)已知分式，，是的“雅中式”，且关于的“雅中值”是2，那么所代表的代数式为_______________； (3)在（2）的条件下，如果“雅中式”的值为整数，求所有符合条件的整数的值． 【答案】(1)不是的“雅中式”； (2) (3)整数的值为，，，，，，． 【分析】本题考查的是新定义情境下的分式的运算，分式的化简，分式的值，分式方程等知识，掌握以上知识是解题的关键． （1）先化简，再计算，再根据“雅中值”的定义可得答案； （2）由定义可得：，整理可得：的表达式； （2）再化简，根据为整数，且“雅中式”的值也为整数，得到是的因数，从而可得答案． 【详解】（1）解：，， ， 不是的“雅中式”； （2）解：关于的“雅中值”是， ， ， ， ； 故答案为：； （3）解：由（2）得， 为整数，且“雅中式”的值也为整数， 是的因数， 可能是：， 的值为：，，，，，，，． ， 的值为，，，，，，． 12．（24-25七年级上·上海·阶段检测）知识与方法上的类比是探索发展重要途径，是发现新问题、结论的重要方法．阅读材料：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，常用的途径有：（1）整体观察（2）整体设元（3）整体代入（4）整体求和等． 例1：分解因式 解：将“”看成一个整体，令 原式 例2：已知，求的值． 解： 请根据阅读材料利用整体思想解答下列问题： (1)根据材料，请你模仿例1尝试对多项式进行因式分解 (2)计算： (3)①已知，求的值 ②若，直接写出的值． 【答案】(1) (2)2023 (3)①1；②5 【分析】（1）读懂例1，整体设元，分解因式； （2）读懂例1，整体设元，分解因式，代入化简再求值； （3）①认真读懂例2，整体代入化简求值； ②认真读懂例2，整体代入化简求值． 本题考查了分式、整式混合运算的新定义，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算和整式的混合运算． 【详解】（1）解： ， 设， 原式 ， ； （2）解：， 令，， ， 原式 ； （3）解：①， ； ②， ， ． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题13.2 分式的运算 教学目标 1.理解分式乘除、分式加减的运算法则，能说出法则，会用式子表示法则。2.掌握分式的混合运算顺序（先乘方，再乘除，最后加减；有括号先算括号内），能正确进行分式混合运算，结果化为最简分式或整式。 3.理解负整数指数幂的意义，会将负整数指数幂转化为正整数指数幂进行运算，会用科学记数法表示绝对值小于 1 的数。 教学重难点 1.重点 分式乘除法则、分式加减法则的理解与应用。 负整数指数幂的运算。 2.难点 异分母分式的通分，负整数幂的理解。 知识点01 分式的乘除 1. 分式的乘法 分式乘法法则：分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母. 2. 分式的除法 分式除法法则：除以分式等于乘其倒数，再按乘法法则计算. 3. 分式的乘方 分式乘方运算法则：） 关键细节： ①符号处理：举例，总结：负号单独看，指数奇数为负，偶数为正。 ②多项式处理：举例，强调：先因式分解，再将多项式整体乘方，结果为. 4. 分式的乘除混合运算 顺序同有理数的混合运算的顺序. 【即学即练】 1．计算的结果是（  ） A．﹣y B． C． D． 2．化简的结果正确的是（    ） A． B． C． D． 3．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 4．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 知识点02 分式的加减 1.同分母分式的加减 同分母分式加减法法则：同分母分式相加（减），分母不变，只把分子相加（减）.用字母表示为: 归纳提醒： ①分子是多项式，相加减时需添加括号（避免符号错误）；如： ②分母互为相反数，先统一分母（如：； ③结果需约分（分子分母有公因式时）如：==x+2 2.异分母分式的加减 异分母分式相加（减），先因式分解分母→找最简公分母→通分（化为同分母分式）→按同分母法则计算→结果化简，: 如：计算时，公分母千万不能认为是（）(x-1),要先因式分解，再确定最简公分母。 3.分式的混合运算 （1）不含括号的混合运算：先乘方→后乘除→再加减→结果要化简 千万要注意：同级运算从左往右依次进行 如：a()——不可以先做乘再做除 （2）含括号的混合运算——从内到外，分步计算. （3）分式与整式的混合运算——整式视为分母为 1 的分式 如：()——可以看成要与通分才能加减. 【即学即练】 5．（24-25七年级上·上海闵行·月考）计算： （1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 6.（25-26七年级上·上海徐汇·阶段测试）计算： (1) (2) (3) (4)； (5)先化简，再求值：，其中． 7.（24-25七年级上·上海·期末）先化简，再求值：，其中． 知识点03 整数指数幂的运算 1. 负整数指数幂 规定 2. 整数指数幂 随着指数的取值范围由正整数扩大到全体整数，前面学过的正整数指数幂的运算性质也推广到了整数指数幂. 当a、b不为0时，对于整数指数幂，有 (1); (2) (3) (4); 【即学即练】 8．计算：_______．（结果中只含有正整数指数幂） 9．计算下列各式，要求在结果中不出现负整数指数幂： (1)； (2)； (3)． 题型01 分式的乘法 【典例1】化简的结果为________． 【变式1】化简的结果是_______________． 【变式2】化简：____________． 【变式3】计算：___________． 题型02 分式的除法 【典例1】化简：______． 【变式1】化简：________． 【变式2】计算：_________． 【变式3】计算： （1）____________； （2）____________． 题型03 分式的除法 【典例1】化简： (1) (2) 【变式1】化简： (1) (2)． 【变式2】计算：． 【变式3】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型04 分式的乘方 【典例1】化简： (1) (2) 【变式1】计算： 【变式2】___________． 【变式3】计算：______． 题型05 同分母分式的加减 【典例1】计算的结果是__________． 【变式1】计算：=_________． 【变式2】__________． 【变式3】计算：________． 题型06 异分母分式的加减 【典例1】计算： (1)； (2) 【变式2】计算： (1)； (2)． 【变式3】对分式，通分，两个分式的最简公分母是______，通分的结果是______；=______． 计算： (1)； (2)． 题型07 分式的混合运算 【典例1】分式的计算 (1) (2) 【变式1】化简： (1)； (2)． 【变式2】计算： 【变式3】计算： 题型08 负整数指数幂 【典例1】计算：_______． 【变式1】计算：______． 【变式2】计算：_____．（结果用不含负整数指数幂的形式表示） 【变式3】将分式表示成不含有分母的形式：_____． 题型09 整数指数幂 【典例1】计算：． 【变式1】计算： 【变式2】计算： 【变式3】计算： 题型10 分式的化简求值 【典例1】先化简，再求值：，其中 【变式1】先化简代数式，然后在、、0、1、2中选取一个适合的数，代入求值． 【变式2】先化简，再解答下列问题： (1)当时，求代数式的值； (2)原代数式的值能等于4吗？如果能，请求出此时的值；如果不能，请说明理由． 【变式3】先化简，再求值：，其中． 1．计算：结果为（    ） A． B． C． D．2 2．若成立，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 3．的结果是（    ） A． B． C． D． 4．一辆货车送货上山，并按原路下山．上山速度为千米/小时，下山速度为千米/小时，则货车上、下山的平均速度为（  ） A． B． C． D． 5．将代数式表示为只含有正整数指数幂的形式：=_______________ 6．墨迹覆盖了“计算”中的右边计算结果，则覆盖的部分是_______． 7．若，则________． 8．若等于________． 9． 10．先化简，再求值：，其中． 1．（25-26七年级上·上海·期中）当时，的值是（   ） A． B． C．1 D．-1 2．化简的结果是（    ） A．1 B． C． D． 3．化简的结果是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级上·上海·阶段检测）当时，代数式的值为_______． 5．（24-25七年级上·上海青浦·阶段检测）______（结果保留幂的形式）． 6．（23-24八年级上·上海徐汇·阶段检测）若，则的值为_______． 7．已知，则分式的值为______． 8．（25-26七年级上·上海浦东新·阶段检测）计算：． 9．（25-26七年级上·上海黄浦·阶段检测）先化简，再求值：，其中． 10．（25-26七年级上·上海·期中）先化简，再求值：，其中． 11．（24-25七年级上·上海·阶段检测）我们定义：如果两个分式与的差为常数，且这个常数为正数，那么称是的“雅中式”，这个常数称为关于的“雅中值”． 例如分式，，，则是的“雅中式”，关于的“雅中值”为2． (1)已知分式，，判断是否为的“雅中式”，若不是，请说明理由；若是，请求出关于的“雅中值”； (2)已知分式，，是的“雅中式”，且关于的“雅中值”是2，那么所代表的代数式为_______________； (3)在（2）的条件下，如果“雅中式”的值为整数，求所有符合条件的整数的值． 12．（24-25七年级上·上海·阶段检测）知识与方法上的类比是探索发展重要途径，是发现新问题、结论的重要方法．阅读材料：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，常用的途径有：（1）整体观察（2）整体设元（3）整体代入（4）整体求和等． 例1：分解因式 解：将“”看成一个整体，令 原式 例2：已知，求的值． 解： 请根据阅读材料利用整体思想解答下列问题： (1)根据材料，请你模仿例1尝试对多项式进行因式分解 (2)计算： (3)①已知，求的值 ②若，直接写出的值． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $