专题12.2.2 十字相乘与分组分解（高效培优讲义）数学新教材沪教版五四制七年级上册

专题12.2.2 十字相乘与分组分解 教学目标 1.理解十字相乘法、分组分解法的原理，知道二者均是整式乘法的逆向变形。 2.熟练分解首项系数为1的二次三项式 x²+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q),掌握常数项正负拆分规则。 3.掌握四项多项式两种分组思路：两两分组(提取组间公因式)、三一分组(完全平方+平方差)。 4.牢记因式分解规范：先提公因式，再套公式，最后十字/分组，结果分解至整式不可再分。 教学重难点 重点： 1.会处理含字母系数、二元二次三项式的十字相乘；会用整体换元法分解复合二次三项式。 2.能对四项式合理分组，掌握添项、拆项辅助分组的简单技巧。 难点： 综合运用提公因式、公式、十字、分组四种方法分解复杂多项式。 知识点01 十字相乘 1.定义：一般地，x²+px+q=x²+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)可以用十字交叉线表示： x a x b 利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法. 2.用十字相乘法分解的多项式的特征 (1)必须是一个二次三项式； (2)二次三项式的系数为1时，常数项能分解成两个因数a和b的积，且这两个因数的和a+b正好等于多项式乘以多项式(x+a)(x+b)=x²+(a+b)x+ab 注意： 公式中的x可以表示单项式，也可以表示多项式，是多项式时，要把它看作一个整体 【即学即练】 1．分解因式：_____． 2．因式分解：=___________ 知识点02 分组分解法 1.分组分解法 如果分解因式的多项式各项既没有公因式，也不能直接运用公式分解因式，但是某些项通过适当的结合成为一组，利用分组可以进行多项式的局部分解然后，综合起来，再从总体上用捉取公因式法和公式法或十字相乘法继续进行分解，直到分解出最后结果，这种分解因式的方法叫做分组分解法. 2.分组原则 (1)分组后能直接提取公因式，多见四项多项式 (2)分组后能直接运用公式法，多见四项多项式2-2分组. (3)分组后能直接用十字相乘法，多见四项多项式1-3分组. 【即学即练】 3．分解因式：______． 4．因式分解：____________． 题型01 二次项系数为1的十字相乘 【典例1】分解因式：_____． 【变式1】因式分解：=___________ 【变式2】若多项式可以分解因式，则m的值可以是_______（只写出一个即可）． 【变式3】因式分解：_____． 【变式4】（1）__________；__________；__________． （2）思考（1）中三个等式左侧两个因式的一次项系数、常数项与对应右侧二次三项式的二次项系数、一次项系数、常数项有何关系．根据思考，分解因式：__________． 题型02 二次项系数不为1的十字相乘 【典例1】因式分解： _________ ． 【变式1】是多项式__________因式分解后的结果． 【变式2】分解因式______． 【变式3】分解因式：________． 【变式4】因式分解： (1) (2)． 题型03 四项式二二分组分解 【典例1】分解因式：______． 【变式1】分解因式：________． 【变式2】因式分解：___________． 【变式3】因式分解：________． 【变式4】因式分解： 题型04 四项式一三分组分解 【典例1】因式分解： 【变式1】分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式2】因式分解： 【变式3】因式分解：． 【变式4】阅读：分解因式． 解：原式 此方法是抓住二次项和一次项的特点，然后加一项，使这三项为完全平方式，我们称这种方法为“配方法”，此题为用配方法分解因式． 请体会配方法的特点，然后用配方法解决下列问题： 分解因式： (1)； (2)． 题型05 因式分解的综合应用 【典例1】读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题： (1)上述分解因式的方法是________，共应用了________次． (2)若分解，则需应用上述方法________次，结果是________． (3)分解因式（写出过程）： 【变式1】阅读材料：我们把多项式及这样的式子叫做完全平方式如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等． 例如：分解因式． 原式． 由上式可知: =，因为≥0，所以当=0，即时，的最小值是-4． 根据以上材料，利用多项式的配方解答下列问题． (1)利用配方法分解因式：； (2)根据上面解题思路可知多项式有最小值，即当x= 时，最小值是 ． (3)已知、、分别是三边的长且，请判断的形状，并说明理由． 【变式2】先阅读，再解答：由阅读材料：利用公式法，可以将一些形如的多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法，运用多项式的配方法可以解决一些数学问题．比如运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解． 例： 根据以上材料，利用多项式的配方解答下列问题： (1)分解因式：； (2)求多项式的最小值； (3)已知是的三边长，且满足，求的周长． 【变式3】阅读材料，完成下列问题． 材料：已知多项式有一个因式是，求的值． 解法一：设， 则：， 比较系数得：，解得：， ∴； 解法二：设（A为整式）； 由于上式为恒等式，为方便计算了取，，故． (1)已知多项式有两个因式分别是和，求和的值； (2)已知多项式除以所得的余数，比该多项式除以所得的余数少1，求的值． 【变式4】【例题讲解】因式分解：． ∵为三次二项式，若能因式分解，则可以分解成一个一次二项式和一个二次多项式的乘积．故我们可以猜想可以分解成，即，展开等式右边得：， ∴恒成立． ∴等号左右两边的同类项的系数应相等，即，解得， ∴． 【方法归纳】 设某一多项式的全部或部分系数为未知数，利用当两个多项式为恒等式时，同类项系数相等的原理确定这些系数，从而得到待求的值，这种方法叫待定系数法． 【学以致用】 (1)若，则__________； (2)若有一个因式是，求k的值及另一个因式． 1．下列各式从左到右因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 2．下列算式中，计算结果为的是（    ） A． B． C． D． 3．已知，，则多项式的值为（     ） A．5 B．15 C． D． 4．多项式分解因式为，其中a，m，n为整数，则a的取值有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．无数个 5．对任意整数，都能（　　） A．被3整除 B．被4整除 C．被5整除 D．被6整除 6．因式分解： (1) (2) 7．因式分解 (1) (2) (3) (4) ． 8．因式分解：． 9．用简便方法计算： ． 10．如图，有若干张的边长为a的小正方形①、长为b宽为a的长方形②以及边长为b的大正方形③的三种纸片． (1)如果现有小正方形①1张，大正方形③2张，长方形②3张，其中．请你将它们拼成一个大长方形（画出图示），并运用面积之间的关系，将多项式分解因式． (2)已知长方形②的周长为6，面积为1，求小正方形①与大正方形③的面积之和． 1．代数式分解因式的结果是（    ） A． B． C． D． 2．用分组分解法将分解因式，下列分组不恰当的是（　　） A． B． C． D． 3．把多项式分解因式，得，则的值是（   ） A．1 B．-1 C．5 D．-5 4．小明把多项式分解因式，有一个因式是，则的值为（　　） A． B．40 C． D．15 5．分解因式：__． 6．填空： （1）（( )）( )( )； （2）( )( )( )． 7．分解因式：x2﹣7xy﹣18y2＝___． 8．如图所示，若用2张1号正方形卡片，2张2号正方形卡片，5张3号长方形卡片拼成一个大的长方形，则这个大的长方形的长和宽可分别表示为_____，_____． 9．因式分解：． 10．分解因式： 11．因式分解： 解：令．(解题过程将“”看成整体的“整体思想”是数学学习中常见的一种思想方法．) 则原式 将代入得： 原式 (1)仿照上述方法因式分解： (2)若为正整数，说明代数式的值为一个整数的平方． 12．如图，有足够多的边长为的小正方形（类），长为、宽为的长方形（类）及边长为的大正方形（类）． 发现利用图①中的三种材料各若干可以拼出一些长方形来解释某些等式，比如图②可以解释为． (1)取图①中的若干个（三种材料都要取到）拼成一个长方形，使其面积为，画出图形，并根据图形回答：______________． (2)若取其中的若干个（三种材料都要取到）拼成一个长方形，使其面积为， ①你画的图中需类卡片___________张； ②可将多项式分解因式为_______________； (3)如图③，大正方形的边长为，小正方形的边长为．若用表示四个相同的长方形的两边长，观察图形并判断下列关系式：①；②；③；④，其中正确的是____________． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题12.2.2 十字相乘与分组分解 教学目标 1.理解十字相乘法、分组分解法的原理，知道二者均是整式乘法的逆向变形。 2.熟练分解首项系数为1的二次三项式 x²+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q),掌握常数项正负拆分规则。 3.掌握四项多项式两种分组思路：两两分组(提取组间公因式)、三一分组(完全平方+平方差)。 4.牢记因式分解规范：先提公因式，再套公式，最后十字/分组，结果分解至整式不可再分。 教学重难点 重点： 1.会处理含字母系数、二元二次三项式的十字相乘；会用整体换元法分解复合二次三项式。 2.能对四项式合理分组，掌握添项、拆项辅助分组的简单技巧。 难点： 综合运用提公因式、公式、十字、分组四种方法分解复杂多项式。 知识点01 十字相乘 1.定义：一般地，x²+px+q=x²+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)可以用十字交叉线表示： x a x b 利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法. 2.用十字相乘法分解的多项式的特征 (1)必须是一个二次三项式； (2)二次三项式的系数为1时，常数项能分解成两个因数a和b的积，且这两个因数的和a+b正好等于多项式乘以多项式(x+a)(x+b)=x²+(a+b)x+ab 注意： 公式中的x可以表示单项式，也可以表示多项式，是多项式时，要把它看作一个整体 【即学即练】 1．分解因式：_____． 【答案】 【分析】利用十字相乘法分解因式即可． 【详解】解：． 2．因式分解：=___________ 【答案】 【分析】将看成一个整体，利用十字相乘法进行分解，再对各因式进行分解． 【详解】解：原式 ． 知识点02 分组分解法 1.分组分解法 如果分解因式的多项式各项既没有公因式，也不能直接运用公式分解因式，但是某些项通过适当的结合成为一组，利用分组可以进行多项式的局部分解然后，综合起来，再从总体上用捉取公因式法和公式法或十字相乘法继续进行分解，直到分解出最后结果，这种分解因式的方法叫做分组分解法. 2.分组原则 (1)分组后能直接提取公因式，多见四项多项式 (2)分组后能直接运用公式法，多见四项多项式2-2分组. (3)分组后能直接用十字相乘法，多见四项多项式1-3分组. 【即学即练】 3．分解因式：______． 【答案】 【分析】利用分组分解法分解因式，先将一、二项分成一组，三、四项分成一组，第一组用平方差公式分解，第二组用提公因式法分解，组与组之间再提公因式即可． 【详解】解：原式 ． 4．因式分解：____________． 【答案】 【分析】先分组提取公因式，再利用平方差公式继续分解，直至分解彻底． 【详解】解： ． 题型01 二次项系数为1的十字相乘 【典例1】分解因式：_____． 【答案】 【分析】利用十字相乘法分解因式即可． 【详解】解：． 【变式1】因式分解：=___________ 【答案】 【分析】将看成一个整体，利用十字相乘法进行分解，再对各因式进行分解． 【详解】解：原式 ． 【变式2】若多项式可以分解因式，则m的值可以是_______（只写出一个即可）． 【答案】 （答案不唯一） 【分析】利用二次项系数为1的二次三项式的十字相乘法分解因式，将常数项分解为两个整数的乘积，一次项系数m等于这两个整数的和，写出任意一个符合条件的m即可． 【详解】解：设多项式 可分解为 ，其中 为整数 展开得 对比系数可得 ， 取 ， ， 满足 此时 （答案不唯一）． 【变式3】因式分解：_____． 【答案】/ 【详解】解：． 【变式4】（1）__________；__________；__________． （2）思考（1）中三个等式左侧两个因式的一次项系数、常数项与对应右侧二次三项式的二次项系数、一次项系数、常数项有何关系．根据思考，分解因式：__________． 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘法、因式分解中的十字相乘法．熟练掌握因式分解中的十字相乘法和理解题意是解题的关键． （1）直接应用多项式乘法法则计算三个表达式； （2）通过观察（1）中等式左侧常数项与右侧系数之间的关系，得出因式分解的一般形式． 【详解】解：（1）； ； ． （2）通过（1）中等式分析：左侧两个因式的常数项之和等于右侧二次三项式的一次项系数，常数项之积等于常数项．因此，对于，两个数p和q满足为一次项系数，为常数项，故． 故答案为：（1）；；；（2）． 题型02 二次项系数不为1的十字相乘 【典例1】因式分解： _________ ． 【答案】 【分析】先提公因式，再利用十字相乘法因式分解． 【详解】解：． 【变式1】是多项式__________因式分解后的结果． 【答案】 【详解】解：∵， ∴是多项式因式分解后的结果． 【变式2】分解因式______． 【答案】 【分析】先提取公因式，再利用十字相乘法分解因式即可． 【详解】解：． 【变式3】分解因式：________． 【答案】 【分析】本题考查十字相乘法分解因式，掌握相关知识是解题关键． 使用十字相乘法分解二次三项式即可． 【详解】解：由题意得，， 故答案为：． 【变式4】因式分解： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将原式整理为平方差公式的标准形式，利用平方差公式分解后化简即可； （2）把看作整体，先十字分解，再利用完全平方公式分解至彻底即可． 【详解】（1） 解： ； （2） 解： ． 题型03 四项式二二分组分解 【典例1】分解因式：______． 【答案】 【分析】利用分组分解法分解因式，先将一、二项分成一组，三、四项分成一组，第一组用平方差公式分解，第二组用提公因式法分解，组与组之间再提公因式即可． 【详解】解：原式 ． 【变式1】分解因式：________． 【答案】 【分析】运用分组分解法分解因式，将原式合理分组后，分别提取公因式，然后再次提取公因式即可得到结果． 【详解】解：原式 ． 【变式2】因式分解：___________． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解．运用分组分解法，先将多项式合理分组，再依次利用提取公因式法、平方差公式进行因式分解，直至分解为几个整式的积的形式． 【详解】解： 故答案为：． 【变式3】因式分解：________． 【答案】 【分析】此题主要考查了分组分解法分解因式，正确分组是解题关键．直接将原式重新分组进而利用提取公因式法分解因式即可． 【详解】解： . 故答案为 【变式4】因式分解： 【答案】 【分析】本题考查的是多项式的因式分解，掌握分组分解因式是解本题的关键；本题先分成2组分别提公因式x，再进一步的提公因式分解因式即可． 【详解】解： ； 题型04 四项式一三分组分解 【典例1】因式分解： 【答案】 【分析】本题考查因式分解的分组分解法，以及完全平方公式、平方差公式的应用．关键是通过合理分组，将原式转化为可利用公式分解的形式：先把原式中能构成完全平方的项结合，得到完全平方式后，再与剩余项结合形成平方差的形式，最后用平方差公式完成分解． 【详解】解：原式 ． 【变式1】分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了因式分解，灵活运用提取公因式法和公式法进行因式分解是解题的关键． （1）先提取公因数3，然后运用完全平方公式分解即可； （2）先用平方差公式分解，然后再运用提取公因式法分解即可； （3）先用完全平方公式分解，然后再运用完全平方公式分解即可； （4）先分组，然后再运用完全平方公式和平方差公式分解即可． 【详解】（1）解： = ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． 【变式2】因式分解： 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解的几种常用方法． 先分组，再由平方差公式分解． 【详解】解： ． 【变式3】因式分解：． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解的几种常用方法． 先分组， 利用平方差公式进行因式分解． 【详解】解：原式 ． 【变式4】阅读：分解因式． 解：原式 此方法是抓住二次项和一次项的特点，然后加一项，使这三项为完全平方式，我们称这种方法为“配方法”，此题为用配方法分解因式． 请体会配方法的特点，然后用配方法解决下列问题： 分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了分解因式，熟知分解因式的方法是解题的关键． （1）仿照题意得到，再利用平方差公式分解因式即可； （2）先把原式提取公因数2，再仿照题意得到，最后利用平方差公式分解因式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型05 因式分解的综合应用 【典例1】读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题： (1)上述分解因式的方法是________，共应用了________次． (2)若分解，则需应用上述方法________次，结果是________． (3)分解因式（写出过程）： 【答案】(1)提公因式法，2 (2)2024， (3) 【分析】本题考查了因式分解的应用，解决本题的关键是掌握因式分解法． （1）根据阅读因式分解的过程即可得结论； （2）根据阅读材料的计算过程进行解答即可； （3）根据阅读材料的计算过程进行解答即可； 【详解】（1）解：阅读因式分解的过程可知：上述分解因式的方法是提公因式法，共应用了2次， 故答案为：提公因式法，2； （2）解： ， 则需应用上述方法2024次，结果是， 故答案为：2024，； （3）解： ． 【变式1】阅读材料：我们把多项式及这样的式子叫做完全平方式如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等． 例如：分解因式． 原式． 由上式可知: =，因为≥0，所以当=0，即时，的最小值是-4． 根据以上材料，利用多项式的配方解答下列问题． (1)利用配方法分解因式：； (2)根据上面解题思路可知多项式有最小值，即当x= 时，最小值是 ． (3)已知、、分别是三边的长且，请判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)； (2)当时，最小值为； (3)的形状是等边三角形， 理由如下： ∵ ∴， 利用拆项得：， 即：， 根据两个非负数互为相反数，只能都同时等于0才成立， 于是，， 所以可以得到，即：的形状是等边三角形． 【分析】本题主要考查因式分解及其应用，根据材料学会运用配方法因式分解是解题的关键． （1）根据材料配方后，再运用平方差公式因式分解即可； （2）配方后利用偶次幂的非负性即可解答； （3）先配方后，然后利用偶次幂的非负性得到，即可解答． 【详解】（1）解： ． （2）解： ， 当当时，最小值为． （3）略 【变式2】先阅读，再解答：由阅读材料：利用公式法，可以将一些形如的多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法，运用多项式的配方法可以解决一些数学问题．比如运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解． 例： 根据以上材料，利用多项式的配方解答下列问题： (1)分解因式：； (2)求多项式的最小值； (3)已知是的三边长，且满足，求的周长． 【答案】(1) (2)多项式的最小值为 (3)的周长为12 【分析】本题考查了因式分解的应用、非负数的性质，理解题意，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． （1）根据阅读材料中的方法分解即可； （2）根据阅读材料中的方法将多项式变形，求出最小值即可； （3）原式配方后，利用非负数的性质求出、、的值，即可得出答案． 【详解】（1）解：； （2）解：， ， ， 的最小值为； （3）解：， ， ， ∴，，， 故的周长为． 【变式3】阅读材料，完成下列问题． 材料：已知多项式有一个因式是，求的值． 解法一：设， 则：， 比较系数得：，解得：， ∴； 解法二：设（A为整式）； 由于上式为恒等式，为方便计算了取，，故． (1)已知多项式有两个因式分别是和，求和的值； (2)已知多项式除以所得的余数，比该多项式除以所得的余数少1，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了因式分解及其应用，解题关键是熟练掌握常见的几种因式分解的方法和多项式乘多项式法则． （1）先设，然后令，从而列出关于的方程，解方程即可； （2）先令，，再令，求出，再根据已知条件中的关系，列出关于的方程，解方程即可． 【详解】（1）解：设， 令，则， 令，则， 即， 解得：； （2）解：令， ， 再令，则； 令，则； ∵多项式除以所得的余数，比该多项式除以所得的余数少1， ， ， ， ， ． 【变式4】【例题讲解】因式分解：． ∵为三次二项式，若能因式分解，则可以分解成一个一次二项式和一个二次多项式的乘积．故我们可以猜想可以分解成，即，展开等式右边得：， ∴恒成立． ∴等号左右两边的同类项的系数应相等，即，解得， ∴． 【方法归纳】 设某一多项式的全部或部分系数为未知数，利用当两个多项式为恒等式时，同类项系数相等的原理确定这些系数，从而得到待求的值，这种方法叫待定系数法． 【学以致用】 (1)若，则__________； (2)若有一个因式是，求k的值及另一个因式． 【答案】(1)1 (2)，另一个因式为：． 【分析】本题主要考查了多项式的乘法，因式分解等知识，掌握题干给出的待定系数法，是解答本题的关键． （1）将展开，结合多项式的恒等关系即可求解； （2）设多项式另一个因式为，利用题干给出的待定系数法求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， （2）设多项式另一个因式为， 则 ，，， ，， ，即另一个因式为：． 1．下列各式从左到右因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查因式分解的定义，把一个多项式整理成几个整式乘积的形式的过程为因式分解．据此进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、属于整式的乘法，不是因式分解，故该选项不符合题意； B、右边不是几个整式乘积的形式，不是因式分解，故该选项不符合题意； C、符合题意因式分解的定义，故该选项符合题意； D、，故该选项不符合题意； 故选：C． 2．下列算式中，计算结果为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解，将多项式分解为两个一次因式的乘积，需找到两个数满足和为1（一次项系数）、积为（常数项），通过分析确定这两个数为4和，从而分解为． 【详解】解：， 故选：C． 3．已知，，则多项式的值为（     ） A．5 B．15 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解，求整式的值；进行因式分解得，整体代入计算即可． 【详解】解：原式 ， 当，时， 原式 ． 故选：C． 4．多项式分解因式为，其中a，m，n为整数，则a的取值有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．无数个 【答案】C 【分析】本题考查了用十字相乘法进行因式分解．得出之积为，之和为是解题的关键．把分解为两个整数的积的形式，等于这两个整数的和． 【详解】时，，故； 时，，故； 时，，故； 时，，故； 的取值有4个． 故选：C． 5．对任意整数，都能（　　） A．被3整除 B．被4整除 C．被5整除 D．被6整除 【答案】B 【分析】本题考查因式分解的应用，涉及平方差公式因式分解、提公因式因式分解等知识，先由平方差公式因式分解，再由提公因式因式分解，得到即可确定答案，熟练掌握因式分解的方法是解决问题的关键． 【详解】解： ， 对任意整数，都能被4整除， 故选：B． 6．因式分解： (1) (2) 【答案】(1)； (2)． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 7．因式分解 (1) (2) (3) (4) ． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解： ； （4）解：． 8．因式分解：． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的常用方法（提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法、换元法等）是解题关键．先将多项式变形为，再利用完全平方公式分解因式，然后利用平方差公式分解因式即可得． 【详解】解：原式 ． 9．用简便方法计算： ． 【答案】2025 【分析】本题主要考查了因式分解的应用， 先提取公因式，再进行简便计算即可． 【详解】解：原式： ． 10．如图，有若干张的边长为a的小正方形①、长为b宽为a的长方形②以及边长为b的大正方形③的三种纸片． (1)如果现有小正方形①1张，大正方形③2张，长方形②3张，其中．请你将它们拼成一个大长方形（画出图示），并运用面积之间的关系，将多项式分解因式． (2)已知长方形②的周长为6，面积为1，求小正方形①与大正方形③的面积之和． 【答案】(1) 如图， (2)7 【分析】本题考查因式分解，完全平方公式与几何图形的面积问题： （1）根据，用1个小正方形①，3个长方形和2个大正方形拼成1个大的长方形，根据长方形的面积分解因式即可； （2）根据题意得到，利用完全平方公式变形求出即可． 【详解】（1）解：（1）略． （2）由题意，得：， ∴； 故小正方形①与大正方形③的面积之和为7． 1．代数式分解因式的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了因式分解，根据十字相乘法因式分解即可求解． 【详解】解： 故选：B． 2．用分组分解法将分解因式，下列分组不恰当的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用分组分解法，结合提公因式法，对选项一一进行分析，即可得出答案． 【详解】解：A． ，故选项A分组正确，不符合题意； B． ，故选项B分组正确，不符合题意； C．无法进行分组分解，故选项C分组错误，符合题意； D． ，故选项D分组正确，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了分组分解法、提公因式法分解因式，解本题的关键在熟练掌握相关的分解因式的方法． 3．把多项式分解因式，得，则的值是（   ） A．1 B．-1 C．5 D．-5 【答案】D 【分析】利用多项式乘以多项式法则计算，再利用多项式相等的条件求出a与b的值，即可求出a+b的值． 【详解】根据题意得：x2+ax+b=(x+1)(x−3)=x2−2x−3， 可得a=−2，b=−3， 则a+b=−5， 故选D. 【点睛】本题考查因式分解，解决本题的关键是要理解两个多项式相等的条件，两个多项式分别经过合并同类项后,如果他们的对应项系数都相等,那么称这两个多项式相等. 4．小明把多项式分解因式，有一个因式是，则的值为（　　） A． B．40 C． D．15 【答案】D 【分析】此题考查了多项式的因式分解，设，将右边等式去括号展开后，再根据等式两边对应未知数的系数相等，即可求出的值及的值． 【详解】解：设， ∴ ∴ ∴， 故选：D 5．分解因式：__． 【答案】 【分析】根据提公因式法可进行求解． 【详解】解： ； 故本题答案为：． 【点睛】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解是解题的关键． 6．填空： （1）（( )）( )( )； （2）( )( )( )． 【答案】 ． 【分析】先结合，再提公因式分解因式即可． 【详解】解：（1） （2） 故答案为：；；；；；． 【点睛】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确提取公因式是解题关键． 7．分解因式：x2﹣7xy﹣18y2＝___． 【答案】 【分析】根据十字相乘法因式分解即可． 【详解】x2﹣7xy﹣18y2， 故答案为：． 【点睛】本题考查了因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键． 8．如图所示，若用2张1号正方形卡片，2张2号正方形卡片，5张3号长方形卡片拼成一个大的长方形，则这个大的长方形的长和宽可分别表示为_____，_____． 【答案】 2a+b a+2b 【分析】先计算出拼成的长方形的面积，根据所拼成的长方形面积，因式分解可解决本题． 【详解】解：由题意知，拼成的长方形面积为：2a2+2b2+5ab ＝（2a+b）（a+2b） 所以拼成的大长方形的长和宽分别为：2a+b、a+2b． 故答案为：2a+b，a+2b． 【点睛】本题考查了多项式的因式分解．理解拼成的长方形的面积与各个小长方形的面积间关系是解决本题的关键． 9．因式分解：． 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法，是解题的关键．令，将原式变为，然后将代入再分解因式即可． 【详解】解：令则原式变为： ， ∴原式 ． 10．分解因式： 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，利用十字相乘法分解因式；先利用十字相乘法分解，再继续利用十字相乘法分解即可． 【详解】解： ． 11．因式分解： 解：令．(解题过程将“”看成整体的“整体思想”是数学学习中常见的一种思想方法．) 则原式 将代入得： 原式 (1)仿照上述方法因式分解： (2)若为正整数，说明代数式的值为一个整数的平方． 【答案】(1) (2) 证明： ， 令， 原式 ， 所以代数式的值为一个整数的平方． 【分析】本题考查了因式分解的应用，解决本题的关键是根据示例的整体思想解决问题． （1）令，代入式子得； （2），令，原式，据此证明． 【详解】（1）解：令， ； （2）略 12．如图，有足够多的边长为的小正方形（类），长为、宽为的长方形（类）及边长为的大正方形（类）． 发现利用图①中的三种材料各若干可以拼出一些长方形来解释某些等式，比如图②可以解释为． (1)取图①中的若干个（三种材料都要取到）拼成一个长方形，使其面积为，画出图形，并根据图形回答：______________． (2)若取其中的若干个（三种材料都要取到）拼成一个长方形，使其面积为， ①你画的图中需类卡片___________张； ②可将多项式分解因式为_______________； (3)如图③，大正方形的边长为，小正方形的边长为．若用表示四个相同的长方形的两边长，观察图形并判断下列关系式：①；②；③；④，其中正确的是____________． 【答案】(1) 拼图如图所示： 2a2+5ab+2b2； (2)①6；②a2+5ab+6b2=（a+3b）（a+2b）； (3)①② 【分析】（1）先画出拼图，再根据拼图计算（2a+b）（a+2b）的结果即可； （2）①根据a2+5ab+6b2可得用A型的1张，B型的5张，C型的6张，可以拼图需要C型数量，②根据拼图可得到分解因式后得到结果； （3）根据m、n与x、y之间的关系，利用恒等变形，可得结论． 【详解】（1）略 （2）①a2+5ab+6b2即用A型的1张，B型的5张，C型的6张， 故答案为：6 可以拼成如图所示的图形， 因此可得等式：a2+5ab+6b2=（a+3b）（a+2b）， 故答案为：a2+5ab+6b2=（a+3b）（a+2b）； （3）由图③可知，m=x+y，n=x-y，故②符合题意； 因此有m+n=2x，m-n=2y， 故①符合题意； mn=（x+y）（x-y）=x2-y2；故③不符合题意； 故④不符合题意； 故答案为：①②． 【点睛】考查完全平方公式、平方差公式的几何背景，理解拼图原理是得出关系式的前提． 26 / 26 学科网（北京）股份有限公司 $