专题08 直线与圆的位置关系（期中真题汇编，甘肃专用）九年级数学上学期

专题08 直线与圆的位置关系 4大高频考点概览 考点01 直线与圆相离、相切、相交 考点02 圆的切线 考点03 三角形的内切圆 考点04 正多边形与圆 考点01 直线与圆相离、相切、相交 1．（25-26学年九·甘肃张掖民乐县·期末）已知与直线没有公共点，若的半径为5，则圆心到直线的距离可以是（     ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 考点02 圆的切线 1．（25-26学年九上·甘肃武威凉州区吴家井中学·期末）如图切于点，交于点，若，，则的半径是（       ） A. 4 B. 2 C. 5 D. 10 2．（25-26学年九上·甘肃定西渭源县·期末）如图，与相切于点A，的延长线交于点C．，且交于点B．若，则的大小为（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年九·甘肃武威第十七中学·期末）如图，在Rt中，，是的内切圆，三个切点分别为，，，若，，则的半径是（       ） A. 1 B. 1.5 C. 2 D. 2.5 4．（25-26学年九上·甘肃庆阳镇原县·期末）如图，是的直径，点是外一点，交于点，连接，．若，与相切，则的度数为（     ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年九上·甘肃甘南藏族自治州临潭县第一中学·期中）如图，是的切线，切点分别为A、B，是的直径，交于点E，连接交于点F，连接交于点D．下列结论错误的是（     ）． A.  B.  C. 平分 D.  6．（25-26学年九上·甘肃陇南）如图，是的直径，弦平分，，垂足为E．试判断与的位置关系，并说明理由． 7．（25-26学年九上·甘肃定西渭源县·期末）如图，是的外接圆，．过点作，垂足为，交于点，交于点．过点作的切线，交的延长线于点． （1）求证：； （2）若，求的半径． 8．（25-26学年九·甘肃张掖民乐县·期末）如图，在中；点为边上一点，经过两点，交于点，交于点，． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径． 9．（25-26学年九·甘肃武威第十七中学·期末）如图，是的直径，与相切，是垂直于的弦，垂足为，过点作的平行线与相交于点，若，，则四边形的面积为　　　　　． 10．（25-26学年九上·甘肃陇南·期末）如图，是的直径，点在上，在的延长线上取一点，连接，使． （1）求证：直线是的切线． （2）若，则图中阴影部分图形的面积为___________．（结果保留） 11．（25-26学年九上·甘肃陇南·期末）如图，的半径为2，圆心在函数的图象上运动，当与 轴相切时，点的坐标为　　　　． 12．（25-26学年九上·甘肃平凉庄浪县·期末）如图，是的内接三角形，是的直径，点D在的延长线上，且．    （1）证明：直线是的切线； （2）若，的半径是4，求的长． 13．（25-26学年九上·甘肃庆阳镇原县·期末）在中，以为直径的交边于点D，交边于点E，，过点B作的切线，过点A作，交于点P． （1）如图1，若M为的中点，连接．求证：四边形是菱形； （2）如图2，若，，求的长． 14．（25-26学年九上·甘肃兰州·期末）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，A为切点，BC与⊙O交于点D，连接OD．若，则∠AOD的度数为　　　． 15．（25-26学年九上·甘肃临夏州·期末）如图，是的直径，点是延长线上的一点，点在上，，交的延长线于点，交于点，且点是的中点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长度． 16．（25-26学年九上·甘肃武威凉州区·期末）如图，P是外一点，分别和切于是弧上任意一点，过作的切线分别交于，若的周长为，则长为　　　　　　　　． 17．（25-26学年九上·甘肃兰州第二十二中学·期末）如图，为的内切圆，切点分别为，已知，则的半径为　　　　　　　　　　． 18．（25-26学年九上·甘肃兰州第二十二中学·期末）如图，在中，，以为直径的交于点D，，垂足为E． （1）求证：是的切线； （2）若，求的长． 19．（25-26学年九上·甘肃定西安定区·期末）如图，直线与相切于点，为的直径，过点作于点，延长交直线于点． （1）求证：平分； （2）如果，，求的半径． 20．（25-26学年九上·甘肃陇南西和县·期末）如图，为的直径，交于点，为上一点，延长交于点，延长至，使，连接． （1）求证：为的切线； （2）若且，求的半径． 21．（25-26学年九上·甘肃平凉·期末）如图，直线经过上的点，直线与交于点和点，与交于点，与交于点，，． （1）求证：是的切线； （2）若，，求图中阴影部分面积． 22．（25-26学年九上·甘肃武威凉州区吴家井中学·期末）如图，中，为的直径，点为延长线上一点，，且． （1）证明：是的切线； （2）若，求图中阴影部分的面积． 23．（25-26学年九上·甘肃陇南·期末）如图，在中，，点是上一点． （1）尺规作图：作⊙O，使⊙O与，都相切(不写作法与证明，保留作图痕迹)； （2）在（1）所作的图中，若⊙O与相切于点，与的另一个交点为点，，，求的长． 24．（25-26学年九上·甘肃陇南·期末）如图，在中，，平分，交于点是斜边上一点，以点为圆心，的长为半径的恰好经过点．    （1）求证：是的切线； （2）若，求的半径． 25．（25-26学年九上·甘肃兰州·期末）如图，以点O为圆心，长为直径作圆，在上取一点C，延长至点D，连接，，过点A作交的延长线于点E． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 26．（25-26学年九上·甘肃武威凉州区·期末）如图，直线经过点C，且，，交直线于C． （1）求证：直线是的切线； （2）若圆的半径为2，，求阴影部分的面积． 27．（25-26学年九上·甘肃兰州第二十二中学·期末）在平面直角坐标系中，点的坐标为，且，点的坐标为，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，称点为点关于点的“伴随点”，图1为点关于点的“伴随点”的示意图． （1）已知点， ①当点的坐标分别为时，点关于点的“伴随点”的坐标分别为_____________，__________； ②点是点关于点的“伴随点”，探究点的运动路径所对应的函数表达式，并说明理由； （2）如图2，点的坐标为，以为圆心，为半径作圆，若在上存在点关于点的“伴随点”，则的纵坐标的取值范围__________． 考点03 三角形的内切圆 1．（25-26学年九上·甘肃临夏州·期末）如图，点是外接圆的圆心．点是的内心．连接．若，则的度数为（     ） A.  B.  C.  D.  考点04 正多边形与圆 1．（25-26学年九上·甘肃平凉庄浪县·期末）若一个正多边形的中心角为40°，则这个多边形的边数是（       ） A. 9 B. 8 C. 7 D. 6 2．（25-26学年九上·甘肃临夏州·期末）若圆内接正多边形的一个中心角是，则这个正多边形的边数是（     ） A. 5 B. 6 C. 8 D. 9 3．（25-26学年九·甘肃张掖民乐县·期末）如图，正六边形内接于，的半径为3，则的长为（     ） A. 2 B. 3 C.  D.  4．（25-26学年九上·甘肃定西安定区·期末）如图，已知点O是正六边形ABCDEF的中心，扇形AOE的面积是12π，则正六边形的边长为（　　） A. 6 B.  C.  D. 12 5．（25-26学年九上·甘肃武威凉州区·期末）圆的内接正五边形的中心角的度数为　　　　　　°． 6．（25-26学年九上·甘肃兰州第二十二中学·期末）如果一个正六边形的边心距的长度为，那么它的半径的长度为　　． 7．（25-26学年九上·甘肃陇南武都区·期末）如图，是的内接正n边形的一边，点C在上，，则　　　　　　． 8．（25-26学年九上·甘肃陇南）如图，A、、、为一个正多边形的相邻四个顶点，为正多边形的中心，若，则这个正多边形的边数为 　　　　　　． 9．（25-26学年九上·甘肃庆阳镇原县·期末）如图1，正五边形内接于，阅读以下作图过程，并回答下列问题： 作法：如图2． 1．作直径． 2．以点为圆心，为半径作圆弧，与交于点，． 3．连接，，． （1）是正三角形吗？请说明理由． （2）从点开始，以的长为边长，在上依次截取点，再依次连接这些分点，得到正边形，求的值． 10．（25-26学年九上·甘肃陇南·期末）如图，⊙Ｏ的半径为，正六边形内接于⊙Ｏ，则图中阴影部分面积为　　　　　　　　．（结果保留） 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 直线与圆的位置关系 4大高频考点概览 考点01 直线与圆相离、相切、相交 考点02 圆的切线 考点03 三角形的内切圆 考点04 正多边形与圆 考点01 直线与圆相离、相切、相交 1．（25-26学年九·甘肃张掖民乐县·期末）已知与直线没有公共点，若的半径为5，则圆心到直线的距离可以是（     ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 【答案】A 【分析】 圆与直线的位置关系由圆心到直线的距离和圆半径的大小关系决定：当时，圆与直线相离，无公共点；当时，圆与直线相切，有一个公共点；当时，圆与直线相交，有两个公共点． 【详解】 解：∵与直线没有公共点， ∴与直线相离， 已知的半径， ∴圆心到直线的距离， 观察选项，只有选项A中的6满足， 故选：A． 考点02 圆的切线 1．（25-26学年九上·甘肃武威凉州区吴家井中学·期末）如图切于点，交于点，若，，则的半径是（       ） A. 4 B. 2 C. 5 D. 10 【答案】C 【分析】 本题考查了切线的性质，熟练掌握该知识点是解题的关键． 根据切线的性质得到，然后利用勾股定理计算得到的半径即可． 【详解】 解：如图切于点， ． ，， ． 故选：C． 2．（25-26学年九上·甘肃定西渭源县·期末）如图，与相切于点A，的延长线交于点C．，且交于点B．若，则的大小为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查切线的性质，等边三角形的判定和性质，连接，，切线得到，求出，平行，得到，进而得到为等边三角形，推出为等边三角形，即可得出结果． 【详解】 连接，，则：， ∵与相切于点A， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， 故选C． 3．（25-26学年九·甘肃武威第十七中学·期末）如图，在Rt中，，是的内切圆，三个切点分别为，，，若，，则的半径是（       ） A. 1 B. 1.5 C. 2 D. 2.5 【答案】C 【分析】 本题考查切线长定理、三角形的内切圆及勾股定理，解题的关键是理解切线长定理、三角形的内切圆的性质． 根据切线长定理得到，，，代入求解即可得到答案． 【详解】 解：连接，， 设的半径为， 在四边形中，， 四边形为矩形， 又， 四边形为正方形， 则， 由切线长定理得：，， ，， 在中，， ， 解得：或（负值舍去）， 故选：C． 4．（25-26学年九上·甘肃庆阳镇原县·期末）如图，是的直径，点是外一点，交于点，连接，．若，与相切，则的度数为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，熟练掌握切线的性质，圆周角定理是解题的关键． 由是的直径，与相切，，可求得的度数，又由圆周角定理，可求得的度数． 【详解】 解：∵是的直径，与相切， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 5．（25-26学年九上·甘肃甘南藏族自治州临潭县第一中学·期中）如图，是的切线，切点分别为A、B，是的直径，交于点E，连接交于点F，连接交于点D．下列结论错误的是（     ）． A.  B.  C. 平分 D.  【答案】A 【分析】 连接根据切线长定理判断B；再说明是的垂直平分线，根据等弧所对的圆周角相等得，即可判断B；然后证明，可得，接下来说明是的中位线，根据中位线的性质判断D即可；最后证明，解答A即可． 【详解】 解：如图所示，连接 ∵是的切线， ∴． 则B正确； ∵， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∴平分； 则C正确； ∵是的直径， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴是的中位线， ∴，即． 则D正确； ∵， ∴， 不能说明这两个三角形全等． 所以A不正确． 故选：A． 【点睛】 本题主要考查了切线长定理，线段垂直平分线的性质和判定，圆周角定理及推论，相似三角形的判定，中位线的定义和性质，灵活选择判定定理是解题的关键． 6．（25-26学年九上·甘肃陇南）如图，是的直径，弦平分，，垂足为E．试判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】解：与相切，理由如下： 连接，如图所示： ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴与相切． 【分析】 本题考查了证明某直线是圆的切线，连接，由得，由AD平分得，推出，，即可求证； 【详解】 略 7．（25-26学年九上·甘肃定西渭源县·期末）如图，是的外接圆，．过点作，垂足为，交于点，交于点．过点作的切线，交的延长线于点． （1）求证：； （2）若，求的半径． 【答案】（1）证明：∵，是的切线，即， ∴， ∴， ∴，即是等腰直角三角形， ∴；     （2）的半径      【分析】 （1）根据垂直，切线的性质得到，可得是等腰直角三角形，由此即可求解； （2）根据垂径定理得到，是等腰直角三角形，由（1）得到，则，如图所示，连接，设，则，由此勾股定理即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∵， ∴，即是等腰直角三角形， ∴， 由（1）得， ∴， 如图所示，连接，设，则， ∴在中，， ∴， 解得，， ∴， ∴的半径． 【点睛】 本题主要考查圆内接三角形的综合，掌握垂径定理，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，切线的性质等周四，数形结合分析是关键． 8．（25-26学年九·甘肃张掖民乐县·期末）如图，在中；点为边上一点，经过两点，交于点，交于点，． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径． 【答案】（1） 证明：如图，连接， ， ， ， ， 为直径， ，即， ∴， 为半径， 为的切线；     （2）      【分析】 本题考查了切线的判定定理，等腰三角形的性质，直径所对的圆周角是直角，勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）连接，得到，推出，由为直径，得到，继而得到，即可得到结论； （2）设的半径为，则，得到，利用勾股定理计算即可得到答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：设的半径为，则 由（1）得， ，， ， 在中，， ， 解得， ∴的半径为． 9．（25-26学年九·甘肃武威第十七中学·期末）如图，是的直径，与相切，是垂直于的弦，垂足为，过点作的平行线与相交于点，若，，则四边形的面积为　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了圆的垂径定理，勾股定理，圆的切线的性质定理，平行四边形的判定和面积，解题关键是掌握以上性质． 连接，假设圆的半径为，利用垂径定理和勾股定理求出半径长度，根据圆的切线的性质定理得出直角，证明四边形为平行四边形，然后根据平行四边形面积公式求解即可． 【详解】 解：如图，连接， ∵是垂直于的弦， ∴，， 假设圆的半径为，则， 根据勾股定理得， ， 解得， ∴， ∵与相切， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形， ∴四边形的面积为， 故答案为：． 10．（25-26学年九上·甘肃陇南·期末）如图，是的直径，点在上，在的延长线上取一点，连接，使． （1）求证：直线是的切线． （2）若，则图中阴影部分图形的面积为___________．（结果保留） 【答案】（1） 证明：连接， 是直径， ， ，， ， ， ， 是的半径， 直线是的切线；     （2）      【分析】 本题考查了切线的判定与性质，扇形面积公式，直角三角形的性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． （1）连接．由是直径，可得，再证，从而有，即可证明； （2）阴影部分的面积即为的面积减去扇形的面积． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：，， ， ， ， ， 在中，， ， ， 阴影部分的面积． 故答案为：． 11．（25-26学年九上·甘肃陇南·期末）如图，的半径为2，圆心在函数的图象上运动，当与 轴相切时，点的坐标为　　　　． 【答案】(3, 2) 【分析】根据直线与圆的关系及反比例函数上的点的横纵坐标的积为k,即可求解. 【详解】由题意得，点P的纵坐标为2，代入函数，得到点P的横坐标为3，所以的坐标为(3, 2). 【点睛】本题考查了直线与圆的关系，熟练掌握直线与圆的关系是本题解题关键. 12．（25-26学年九上·甘肃平凉庄浪县·期末）如图，是的内接三角形，是的直径，点D在的延长线上，且．    （1）证明：直线是的切线； （2）若，的半径是4，求的长． 【答案】（1） 证明：是直径， ， ， ， ， ∴，即． 又是半径， 是的切线．     （2）      【分析】 此题考查了圆周角定理，切线的判定定理，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握圆周角定理和切线的判定是解答的关键． （1）由是直径得到，证得，即，，即可证得与相切． （2）先证明，得到，求出．证得，利用勾股定理求出． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵， ∴． ∴． ∵， ∴ ∴． ∴． ∴． ∴． ． 13．（25-26学年九上·甘肃庆阳镇原县·期末）在中，以为直径的交边于点D，交边于点E，，过点B作的切线，过点A作，交于点P． （1）如图1，若M为的中点，连接．求证：四边形是菱形； （2）如图2，若，，求的长． 【答案】（1）证明：是的切线， ． M为的中点， ， ． ， ， ， ． ， ， ， ， 四边形是平行四边形． 又， 四边形是菱形．     （2）的长为      【分析】 （1）根据切线的性质得出，再由直角三角形斜边中线的性质得出，．利用圆周角定理及各角之间的关系得出，再由菱形的判定证明即可； （2）连接，根据弧、弦之间的关系得出，确定，结合图形，再由圆周角定理及勾股定理求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：如图，连接． ， ， ， ， ． ，， ， ． 为的直径， ， ． 在中，， 在中，， ，， 解得．即的长为． 14．（25-26学年九上·甘肃兰州·期末）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，A为切点，BC与⊙O交于点D，连接OD．若，则∠AOD的度数为　　　． 【答案】70° 【分析】 根据切线的性质得，根据和三角形内角和定理得，又OB=OD可得，最后根据三角形的外角的性质即可解答． 【详解】 解：∵是的直径，是的切线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵OB=OD， ∴， ∴． 故答案为：70°． 【点睛】 本题主要考查了切线的性质、等腰三角形的性质、三角形内角定理和三角形的外角性质等知识点，掌握切线的性质是解答本题的关键． 15．（25-26学年九上·甘肃临夏州·期末）如图，是的直径，点是延长线上的一点，点在上，，交的延长线于点，交于点，且点是的中点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长度． 【答案】（1） 证明：连接， 是的中点， ， ， 又， ， ， ， ， ， 是的半径， 为的切线；     （2）      【分析】 本题考查了圆周角性质，等边对等角，平行线的判定和性质，勾股定理，切线的判定．熟练掌握相关性质及定理是解题的关键． （1）连接，因为点是的中点，所以．又因为，所以．因为，所以，可通过角度关系证明，从而证明是的切线． （2）设半径为，根据勾股定理，即可得解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：设半径为， 在中，，，， 根据勾股定理可得， 解得， ． 16．（25-26学年九上·甘肃武威凉州区·期末）如图，P是外一点，分别和切于是弧上任意一点，过作的切线分别交于，若的周长为，则长为　　　　　　　　． 【答案】8 【分析】 本题考查切线长定理，知识点是“从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等”．解题方法是利用切线长定理将的周长转化为的长度关系；解题关键是识别相等的切线长，易错点是忽略切线长的等量转换．解题思路：根据切线长定理，将的周长转化为，结合求解． 【详解】 由切线长定理： ． 的周长为： 已知周长为，且，故，解得． 故答案为：8． 17．（25-26学年九上·甘肃兰州第二十二中学·期末）如图，为的内切圆，切点分别为，已知，则的半径为　　　　　　　　　　． 【答案】1 【分析】 本题考查了三角形内切圆，切线的性质，勾股定理等知识﹒ 连接证明四边形为正方形﹒设的半径为r，则﹒根据切线长定理得到，在中，根据勾股定理得到方程，解方程，舍去不合题意解即可﹒ 【详解】 解：如图，连接﹒ ∵为切线， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∵， ∴矩形为正方形﹒ 设的半径为r，则﹒ ∵为的内切圆， ∴， ∴在中，根据勾股定理得， 解得（舍去）﹒ ∴的半径为1﹒ 故答案为：1 18．（25-26学年九上·甘肃兰州第二十二中学·期末）如图，在中，，以为直径的交于点D，，垂足为E． （1）求证：是的切线； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：如图：连接，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵于点E， ∴， ∵是的半径，， ∴是的切线．     （2）      【分析】 本题主要考查了圆的切线的判定、圆周角定理、等边三角形的判定与性质、直角三角形的性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）如图：连接，则，所以，由得，则，所以，则，即可证明结论； （2）如图：连接，由是的直径得，则，因为，所以，再证明是等边三角形求得；求出，进而得到，再利用勾股定理解答即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：如图：连接， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴． 19．（25-26学年九上·甘肃定西安定区·期末）如图，直线与相切于点，为的直径，过点作于点，延长交直线于点． （1）求证：平分； （2）如果，，求的半径． 【答案】（1） 证明：如图，连接． ∵直线与相切于点， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴，即平分；     （2）4      【分析】 （1）连接，根据切线的性质可得出，结合题意可证，即得出，再根据等边对等角可得出，即得出，即平分； （2）设的半径为r，则，．再根据勾股定理可列出关于r的等式，求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：设的半径为r，则，． 在中，， ∴， 解得：， ∴的半径为4． 【点睛】 本题考查切线的性质，等腰三角形的性质，同圆半径相等，平行线的判定和性质，角平分线的判定，勾股定理等知识．连接常用的辅助线是解题关键． 20．（25-26学年九上·甘肃陇南西和县·期末）如图，为的直径，交于点，为上一点，延长交于点，延长至，使，连接． （1）求证：为的切线； （2）若且，求的半径． 【答案】（1） 证明：如图，连接， ， ， ， ， ，， ， 即， ， 是半径， 为的切线；     （2）      【分析】 本题考查了切线的判定与性质，勾股定理，熟记切线的判定定理是解题的关键． （1）连接，根据等边对等角结合对顶角相等即可推出结论； （2）设的半径，则，，在中，由勾股定理得得出方程求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：设的半径，则， ， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得，或舍去， 的半径为． 21．（25-26学年九上·甘肃平凉·期末）如图，直线经过上的点，直线与交于点和点，与交于点，与交于点，，． （1）求证：是的切线； （2）若，，求图中阴影部分面积． 【答案】（1）证明：连接． ∵，． ∴． ∵是的半径， ∴是切线． （2） 【分析】 （1）连接，证明即可； （2）由已知条件得出，利用特殊角锐角三角函数求出OD、OG的长度，再由扇形面积公式以及三角形面积公式求即可． 【详解】 .（1）略 （2）解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴． 【点睛】 本题主要考查切线的判定，锐角三角函数，扇形面积的计算等知识点，根据题意求出是解题关键． 22．（25-26学年九上·甘肃武威凉州区吴家井中学·期末）如图，中，为的直径，点为延长线上一点，，且． （1）证明：是的切线； （2）若，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1） 证明：如图，连接， ，且， ，， ， ， 是圆的半径， 是的切线．     （2）      【分析】 （1）连接，结合等腰三角形的性质和圆周角定理，可知，根据切线的判定可得结论； （2）连接，根据等边对等角和三角形内角和定理求得圆心角的度数，再根据直角三角形点性质求得半径，进而求得和的长度，最后根据阴影部分的面积扇形三角形的面积，即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：连接， ，， ， ， ，，， ， ， ， 为直径， ， ， ， ， ， 阴影部分的面积扇形三角形的面积． 【点睛】 本题考查了切线的判定，圆周角定理，直径所对的圆周角为直角，直角三角形的性质，扇形面积的计算，等腰三角形的性质等，熟练掌握以上知识点，作出合适的辅助线是解题关键． 23．（25-26学年九上·甘肃陇南·期末）如图，在中，，点是上一点． （1）尺规作图：作⊙O，使⊙O与，都相切(不写作法与证明，保留作图痕迹)； （2）在（1）所作的图中，若⊙O与相切于点，与的另一个交点为点，，，求的长． 【答案】（1）如图， （2） 【分析】 （1）尺规作图：作∠CAB的平分线交BC于点O，以点O为圆心，OC为半径作⊙O，使⊙O与AC，AB都相切即可； （2）在（1）所作的图中，若⊙O与AB相切于点D，与BC的另一个交点为点E，BE=2，BD=4，根据勾股定理即可求出AO的长. 【详解】 解：（1）略； （2）连接，设， 在中， 解得，则， 设， 在中， 解得， ． 【点睛】 本题考查了作图——复杂作图，切线的判定与性质，解决本题的关键是准确作图. 24．（25-26学年九上·甘肃陇南·期末）如图，在中，，平分，交于点是斜边上一点，以点为圆心，的长为半径的恰好经过点．    （1）求证：是的切线； （2）若，求的半径． 【答案】（1） 证明：连接， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是的切线；     （2）的半径为．      【分析】 此题重点考查圆的切线的判定、矩形的判定与性质、勾股定理等知识，正确的作出所需要的辅助线是解题的关键． （1）连接，利用角平分线的定义结合等边对等角求得，推出，据此即可证明结论成立； （2）作，设的半径为，证明四边形是矩形，推出，，在中，利用勾股定理列式计算即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：作，垂足为，    设的半径为，则， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， 在中，， 即， 解得， ∴的半径为． 25．（25-26学年九上·甘肃兰州·期末）如图，以点O为圆心，长为直径作圆，在上取一点C，延长至点D，连接，，过点A作交的延长线于点E． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：连接，如图， ∵为直径， ∴，即， 又∵，， ∴， ∴，即， ∵是的半径， ∴是的切线；     （2）      【分析】 本题考查了切线的判定与性质：过半径的外端点与半径垂直的直线是圆的切线；也考查了圆周角定理的推论，正确的作出辅助线是解题的关键． （1）连接，如图，根据圆周角定理得到，即，求得，得到，根据切线的判定定理得到是的切线； （2）根据勾股定理得到，求得，根据切线的性质得到，根据勾股定理即可得到结论． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，是的直径， ∴是的切线， ∵是的切线； ∴， ∵， ∴， 解得． 26．（25-26学年九上·甘肃武威凉州区·期末）如图，直线经过点C，且，，交直线于C． （1）求证：直线是的切线； （2）若圆的半径为2，，求阴影部分的面积． 【答案】（1） 证明：连接， ∵在中，，， ∴， 又∵是的半径， ∴直线是的切线；     （2）      【分析】 本题考查了切线的判定和性质、直角三角形的性质和勾股定理、扇形面积的计算等知识，解题的关键是掌握切线的判定与性质． （1）利用等腰三角形的性质证得，利用切线的判定定理即可得到答案； （2）在中，利用直角三角形的性质和勾股定理求得，，再根据，计算即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由（1）知， ∵， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴， ． 27．（25-26学年九上·甘肃兰州第二十二中学·期末）在平面直角坐标系中，点的坐标为，且，点的坐标为，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，称点为点关于点的“伴随点”，图1为点关于点的“伴随点”的示意图． （1）已知点， ①当点的坐标分别为时，点关于点的“伴随点”的坐标分别为_____________，__________； ②点是点关于点的“伴随点”，探究点的运动路径所对应的函数表达式，并说明理由； （2）如图2，点的坐标为，以为圆心，为半径作圆，若在上存在点关于点的“伴随点”，则的纵坐标的取值范围__________． 【答案】（1）① （6，2），（3，-1）；②y=x-4；（2）5≤m≤9 【分析】 （1）① 作A1M⊥x轴于M，构造△ABO≌△BA1M，可得OA=BM，OB=A1M，再分别求解； ② 取N（4，0），则OA=ON，作A1M⊥x轴于M，首先说明A1的运动轨迹是一条直线，求出这条直线的解析式即可解决问题； （2）利用（1）② 的结论，A（0，m）关于B的“伴随点”A1（x，y），y与x之间的关系式：y=x-m，由题意可知，当直线y=x-m与⊙C有交点时，在⊙C上存在点A关于点B的“伴随点”，求出这两条直线和⊙C相切时的m的值，即可解决问题． 【详解】 解：（1）① 如图，作A1M⊥x轴于M． ∵∠ABA1=90°， ∴∠ABO+∠A1BM=∠A1BM+∠A1， ∴∠ABO=∠A1， ∵AB=BA1，∠AOB=∠A1MB=90°， ∴△ABO≌△BA1M（AAS）， ∴OA=BM，OB=A1M， 当A（0，4），B（2，0）时，BM=4，A1M=2，OM=6， ∴A1（6，2）， 当A（0，4），B（-1，0）时，同法可得A1（3，-1）． 故答案为（6，2），（3，-1）． ② 取N（4，0），则OA=ON，作A1M⊥x轴于M． 同理可证：△ABO≌△BA1M， ∴OA=BM=ON，OB=A1M， ∴OB=MN=A1M， ∴△A1MN是等腰直角三角形， ∴∠A1NM=45°， ∴点A1在经过点N，与x轴的夹角为45°的直线上， 设A1N的表达式为y=kx+b，则k=1，将（4，0）代入， 则0=4+b，解得：b=-4， ∴这条直线的解析式为y=x-4， ∴A1（x，y）是点A关于点B的“伴随点”，y与x之间的关系式为y=x-4； （2）如图，由（1）可知，A（0，m）关于B的“伴随点”A1（x，y）， y与x之间的关系式：y=x-m， 由题意可知，当直线y=x-m与⊙C有交点时，在⊙C上存在点A关于点B的“伴随点”， 当直线y=x-m与⊙C相切时，如图， ∵C（4，-3），⊙C的半径为，F为⊙C的切点，过C作CE∥x轴，点E在CD上， 在y=x-m中，令x=0，则y=-m，令y=0，则x=m， 则C（0，-m），D（m，0）， ∴△OCD为等腰直角三角形，OD=OC， ∵OF⊥EF，CE∥x轴， ∴∠ECF=45°，即△CEF为等腰直角三角形， ∵CF=， ∴EF=，CE=2，又C（4，-3）， ∴E（2，-3），代入y=x-m中， 解得：m=5， 同理，当直线y=x-m与⊙C相切于另一点时， 同理可得：m=9， 综上：满足条件的m的范围为：5≤m≤9． 【点睛】 本题考查圆综合题、一次函数的解析式、切线的判定和性质、全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，本题的突破点是发现点A1的运动轨迹是直线，题目比较难，属于中考压轴题． 考点03 三角形的内切圆 1．（25-26学年九上·甘肃临夏州·期末）如图，点是外接圆的圆心．点是的内心．连接．若，则的度数为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了三角形的内心和外心的概念、圆周角定理、等腰三角形的定义、三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线是解此题的关键． 连接，由点是的内心可得平分，根据角平分线的定义可得，根据圆周角定理可得，根据等腰三角形的定义及三角形内角和定理进行计算即可得到答案． 【详解】 如图，连接， ∵点是的内心， ∴平分， ∵， ∴， ∵点是外接圆的圆心， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 考点04 正多边形与圆 1．（25-26学年九上·甘肃平凉庄浪县·期末）若一个正多边形的中心角为40°，则这个多边形的边数是（       ） A. 9 B. 8 C. 7 D. 6 【答案】A 【分析】 根据正n边形的中心角的度数为，即可求解． 【详解】 解：设这个正多边形的边数是n， 由题意得：， 解得：n＝9， 故选A． 【点睛】 本题考查正多边形的中心角与边数的关系，解题的关键是掌握“正n边形的中心角的度数为”． 2．（25-26学年九上·甘肃临夏州·期末）若圆内接正多边形的一个中心角是，则这个正多边形的边数是（     ） A. 5 B. 6 C. 8 D. 9 【答案】D 【分析】 本题考查的是正多边形和圆的有关知识，掌握正多边形的中心角的计算公式是解题的关键． 正多边形的中心角度数等于除以边数，根据给定中心角建立方程求解． 【详解】 解：设正多边形的边数为， 中心角为， ， ， 这个正多边形的边数是． 故选：． 3．（25-26学年九·甘肃张掖民乐县·期末）如图，正六边形内接于，的半径为3，则的长为（     ） A. 2 B. 3 C.  D.  【答案】B 【分析】 根据正多边形的中心角公式，得出，进而判定是等边三角形即可求解． 【详解】 解：正六边形内接于，的半径为3， ，， 是等边三角形， ． 4．（25-26学年九上·甘肃定西安定区·期末）如图，已知点O是正六边形ABCDEF的中心，扇形AOE的面积是12π，则正六边形的边长为（　　） A. 6 B.  C.  D. 12 【答案】A 【分析】 先求出中心角，证得是等边三角形，得到，根据扇形的面积求出圆的半径，即可得到正六边形的边长． 【详解】 解：连接OF， 设⊙O的半径为R， ∵O是正六边形ABCDEF的中心， ∴， ∴， ∵OA＝OF， ∴是等边三角形， ∴， ∵扇形AOE的面积是12π， ∴， ∴ ， ∴， ∴正六边形的边长是6， 故选：A． 【点睛】 本题考查了正多边形与圆，扇形的面积计算，解题的关键是求出正多边形的边长等于圆的半径． 5．（25-26学年九上·甘肃武威凉州区·期末）圆的内接正五边形的中心角的度数为　　　　　　°． 【答案】72 【分析】 本题主要考查正多边形与圆，掌握圆的内接正n边形的中心角的度数等于除以n是解题的关键． 根据圆的内接正五边形的中心角的定义列式计算即可． 【详解】 解：圆的内接正五边形的中心角的度数为． 故答案为：72． 6．（25-26学年九上·甘肃兰州第二十二中学·期末）如果一个正六边形的边心距的长度为，那么它的半径的长度为　　． 【答案】2 【分析】 本题主要考查正多边形与圆，设正六边形的中心是O，一边是，过O作与G，在直角中，根据三角函数即可求得． 【详解】 解：如图，过O作与G， ∵，， ∴， 在中，，， ∴， 故答案为：2． 7．（25-26学年九上·甘肃陇南武都区·期末）如图，是的内接正n边形的一边，点C在上，，则　　　　　　． 【答案】12 【分析】 本题考查圆周角定理，正多边形与圆，根据圆周角定理求出中心角的度数，再根据正多边形的中心角度数的计算公式 进行求解即可． 【详解】 解：∵是的内接正n边形的一边，点C在上，， ∴， ∴； 故答案为：12． 8．（25-26学年九上·甘肃陇南）如图，A、、、为一个正多边形的相邻四个顶点，为正多边形的中心，若，则这个正多边形的边数为 　　　　　　． 【答案】15 【分析】 连接，，根据圆周角定理得到，根据中心角的定义即可求解． 【详解】 解：如图，连接，， ∴， ∴这个正多边形的边数为， 故答案为：15． 【点睛】 本题主要考查正多边形的性质，解题的关键是熟知圆周角定理． 9．（25-26学年九上·甘肃庆阳镇原县·期末）如图1，正五边形内接于，阅读以下作图过程，并回答下列问题： 作法：如图2． 1．作直径． 2．以点为圆心，为半径作圆弧，与交于点，． 3．连接，，． （1）是正三角形吗？请说明理由． （2）从点开始，以的长为边长，在上依次截取点，再依次连接这些分点，得到正边形，求的值． 【答案】（1） 是正三角形． 理由如下：如图，连接，NF， 由题意可得， 是等边三角形， 同理可得 是正三角形．     （2）15      【分析】 本题考查了圆周角定理，正多边形的性质，等边三角形的判定与性质，读懂题意，明确题目中的作图方式，熟练运用圆周角定理是解本题的关键． （1）连接，NF，可得，得到，，即可得证； （2）连接OD，得到，再根据求出，计算即可得解； (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 如图，连接， ， ， ， ， 的值是15． 10．（25-26学年九上·甘肃陇南·期末）如图，⊙Ｏ的半径为，正六边形内接于⊙Ｏ，则图中阴影部分面积为　　　　　　　　．（结果保留） 【答案】 【分析】 根据图形分析可得求图中阴影部分面积实为求扇形部分面积，将原图阴影部分面积转化为扇形面积求解即可． 【详解】 解：如图所示：连接BO，CO， ∵正六边形ABCDEF内接于⊙O， ∴AB=BC=CO=4，∠ABC=120°，△OBC是等边三角形， ∴CO∥AB， 在△COW和△ABW中 ， ∴△COW≌△ABW（AAS）， ∴图中阴影部分面积为：S扇形OBC=． 故答案为：． 【点睛】 本题考查了正多边形和圆以及扇形面积求法，求出阴影部分面积=S扇形OBC是解题的关键． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 直线与圆的位置关系 考点01 直线与圆相离、相切、相交 考点02 圆的切线 考点03 三角形的内切圆 考点04 正多边形与圆 考点01 直线与圆相离、相切、相交 1．A 考点02 圆的切线 1．C 2．C 3．C 4．B 5．A 6．【答案】解：与相切，理由如下： 连接，如图所示： ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴与相切． 【分析】 本题考查了证明某直线是圆的切线，连接，由得，由AD平分得，推出，，即可求证； 【详解】 略 7．【答案】（1）证明：∵，是的切线，即， ∴， ∴， ∴，即是等腰直角三角形， ∴；     （2）的半径      【分析】 （1）根据垂直，切线的性质得到，可得是等腰直角三角形，由此即可求解； （2）根据垂径定理得到，是等腰直角三角形，由（1）得到，则，如图所示，连接，设，则，由此勾股定理即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∵， ∴，即是等腰直角三角形， ∴， 由（1）得， ∴， 如图所示，连接，设，则， ∴在中，， ∴， 解得，， ∴， ∴的半径． 【点睛】 本题主要考查圆内接三角形的综合，掌握垂径定理，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，切线的性质等周四，数形结合分析是关键． 8．【答案】（1） 证明：如图，连接， ， ， ， ， 为直径， ，即， ∴， 为半径， 为的切线；     （2）      【分析】 本题考查了切线的判定定理，等腰三角形的性质，直径所对的圆周角是直角，勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）连接，得到，推出，由为直径，得到，继而得到，即可得到结论； （2）设的半径为，则，得到，利用勾股定理计算即可得到答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：设的半径为，则 由（1）得， ，， ， 在中，， ， 解得， ∴的半径为． 9．【答案】 【分析】 本题主要考查了圆的垂径定理，勾股定理，圆的切线的性质定理，平行四边形的判定和面积，解题关键是掌握以上性质． 连接，假设圆的半径为，利用垂径定理和勾股定理求出半径长度，根据圆的切线的性质定理得出直角，证明四边形为平行四边形，然后根据平行四边形面积公式求解即可． 【详解】 解：如图，连接， ∵是垂直于的弦， ∴，， 假设圆的半径为，则， 根据勾股定理得， ， 解得， ∴， ∵与相切， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形， ∴四边形的面积为， 故答案为：． 10．【答案】（1） 证明：连接， 是直径， ， ，， ， ， ， 是的半径， 直线是的切线；     （2）      【分析】 本题考查了切线的判定与性质，扇形面积公式，直角三角形的性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． （1）连接．由是直径，可得，再证，从而有，即可证明； （2）阴影部分的面积即为的面积减去扇形的面积． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：，， ， ， ， ， 在中，， ， ， 阴影部分的面积． 故答案为：． 11．【答案】(3, 2) 【分析】根据直线与圆的关系及反比例函数上的点的横纵坐标的积为k,即可求解. 【详解】由题意得，点P的纵坐标为2，代入函数，得到点P的横坐标为3，所以的坐标为(3, 2). 【点睛】本题考查了直线与圆的关系，熟练掌握直线与圆的关系是本题解题关键. 12．【答案】（1） 证明：是直径， ， ， ， ， ∴，即． 又是半径， 是的切线．     （2）      【分析】 此题考查了圆周角定理，切线的判定定理，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握圆周角定理和切线的判定是解答的关键． （1）由是直径得到，证得，即，，即可证得与相切． （2）先证明，得到，求出．证得，利用勾股定理求出． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵， ∴． ∴． ∵， ∴ ∴． ∴． ∴． ∴． ． 13．【答案】（1）证明：是的切线， ． M为的中点， ， ． ， ， ， ． ， ， ， ， 四边形是平行四边形． 又， 四边形是菱形．     （2）的长为      【分析】 （1）根据切线的性质得出，再由直角三角形斜边中线的性质得出，．利用圆周角定理及各角之间的关系得出，再由菱形的判定证明即可； （2）连接，根据弧、弦之间的关系得出，确定，结合图形，再由圆周角定理及勾股定理求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：如图，连接． ， ， ， ， ． ，， ， ． 为的直径， ， ． 在中，， 在中，， ，， 解得．即的长为． 14．【答案】70° 【分析】 根据切线的性质得，根据和三角形内角和定理得，又OB=OD可得，最后根据三角形的外角的性质即可解答． 【详解】 解：∵是的直径，是的切线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵OB=OD， ∴， ∴． 故答案为：70°． 【点睛】 本题主要考查了切线的性质、等腰三角形的性质、三角形内角定理和三角形的外角性质等知识点，掌握切线的性质是解答本题的关键． 15．【答案】（1） 证明：连接， 是的中点， ， ， 又， ， ， ， ， ， 是的半径， 为的切线；     （2）      【分析】 本题考查了圆周角性质，等边对等角，平行线的判定和性质，勾股定理，切线的判定．熟练掌握相关性质及定理是解题的关键． （1）连接，因为点是的中点，所以．又因为，所以．因为，所以，可通过角度关系证明，从而证明是的切线． （2）设半径为，根据勾股定理，即可得解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：设半径为， 在中，，，， 根据勾股定理可得， 解得， ． 16．【答案】8 【分析】 本题考查切线长定理，知识点是“从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等”．解题方法是利用切线长定理将的周长转化为的长度关系；解题关键是识别相等的切线长，易错点是忽略切线长的等量转换．解题思路：根据切线长定理，将的周长转化为，结合求解． 【详解】 由切线长定理： ． 的周长为： 已知周长为，且，故，解得． 故答案为：8． 17．【答案】1 【分析】 本题考查了三角形内切圆，切线的性质，勾股定理等知识﹒ 连接证明四边形为正方形﹒设的半径为r，则﹒根据切线长定理得到，在中，根据勾股定理得到方程，解方程，舍去不合题意解即可﹒ 【详解】 解：如图，连接﹒ ∵为切线， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∵， ∴矩形为正方形﹒ 设的半径为r，则﹒ ∵为的内切圆， ∴， ∴在中，根据勾股定理得， 解得（舍去）﹒ ∴的半径为1﹒ 故答案为：1 18．【答案】（1） 证明：如图：连接，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵于点E， ∴， ∵是的半径，， ∴是的切线．     （2）      【分析】 本题主要考查了圆的切线的判定、圆周角定理、等边三角形的判定与性质、直角三角形的性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）如图：连接，则，所以，由得，则，所以，则，即可证明结论； （2）如图：连接，由是的直径得，则，因为，所以，再证明是等边三角形求得；求出，进而得到，再利用勾股定理解答即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：如图：连接， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴． 19．【答案】（1） 证明：如图，连接． ∵直线与相切于点， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴，即平分；     （2）4      【分析】 （1）连接，根据切线的性质可得出，结合题意可证，即得出，再根据等边对等角可得出，即得出，即平分； （2）设的半径为r，则，．再根据勾股定理可列出关于r的等式，求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：设的半径为r，则，． 在中，， ∴， 解得：， ∴的半径为4． 【点睛】 本题考查切线的性质，等腰三角形的性质，同圆半径相等，平行线的判定和性质，角平分线的判定，勾股定理等知识．连接常用的辅助线是解题关键． 20．【答案】（1） 证明：如图，连接， ， ， ， ， ，， ， 即， ， 是半径， 为的切线；     （2）      【分析】 本题考查了切线的判定与性质，勾股定理，熟记切线的判定定理是解题的关键． （1）连接，根据等边对等角结合对顶角相等即可推出结论； （2）设的半径，则，，在中，由勾股定理得得出方程求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：设的半径，则， ， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得，或舍去， 的半径为． 21．【答案】（1）证明：连接． ∵，． ∴． ∵是的半径， ∴是切线． （2） 【分析】 （1）连接，证明即可； （2）由已知条件得出，利用特殊角锐角三角函数求出OD、OG的长度，再由扇形面积公式以及三角形面积公式求即可． 【详解】 .（1）略 （2）解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴． 【点睛】 本题主要考查切线的判定，锐角三角函数，扇形面积的计算等知识点，根据题意求出是解题关键． 22．【答案】（1） 证明：如图，连接， ，且， ，， ， ， 是圆的半径， 是的切线．     （2）      【分析】 （1）连接，结合等腰三角形的性质和圆周角定理，可知，根据切线的判定可得结论； （2）连接，根据等边对等角和三角形内角和定理求得圆心角的度数，再根据直角三角形点性质求得半径，进而求得和的长度，最后根据阴影部分的面积扇形三角形的面积，即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：连接， ，， ， ， ，，， ， ， ， 为直径， ， ， ， ， ， 阴影部分的面积扇形三角形的面积． 【点睛】 本题考查了切线的判定，圆周角定理，直径所对的圆周角为直角，直角三角形的性质，扇形面积的计算，等腰三角形的性质等，熟练掌握以上知识点，作出合适的辅助线是解题关键． 23．【答案】（1）如图， （2） 【分析】 （1）尺规作图：作∠CAB的平分线交BC于点O，以点O为圆心，OC为半径作⊙O，使⊙O与AC，AB都相切即可； （2）在（1）所作的图中，若⊙O与AB相切于点D，与BC的另一个交点为点E，BE=2，BD=4，根据勾股定理即可求出AO的长. 【详解】 解：（1）略； （2）连接，设， 在中， 解得，则， 设， 在中， 解得， ． 【点睛】 本题考查了作图——复杂作图，切线的判定与性质，解决本题的关键是准确作图. 24．【答案】（1） 证明：连接， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是的切线；     （2）的半径为．      【分析】 此题重点考查圆的切线的判定、矩形的判定与性质、勾股定理等知识，正确的作出所需要的辅助线是解题的关键． （1）连接，利用角平分线的定义结合等边对等角求得，推出，据此即可证明结论成立； （2）作，设的半径为，证明四边形是矩形，推出，，在中，利用勾股定理列式计算即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：作，垂足为，    设的半径为，则， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， 在中，， 即， 解得， ∴的半径为． 25．【答案】（1） 证明：连接，如图， ∵为直径， ∴，即， 又∵，， ∴， ∴，即， ∵是的半径， ∴是的切线；     （2）      【分析】 本题考查了切线的判定与性质：过半径的外端点与半径垂直的直线是圆的切线；也考查了圆周角定理的推论，正确的作出辅助线是解题的关键． （1）连接，如图，根据圆周角定理得到，即，求得，得到，根据切线的判定定理得到是的切线； （2）根据勾股定理得到，求得，根据切线的性质得到，根据勾股定理即可得到结论． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，是的直径， ∴是的切线， ∵是的切线； ∴， ∵， ∴， 解得． 26．【答案】（1） 证明：连接， ∵在中，，， ∴， 又∵是的半径， ∴直线是的切线；     （2）      【分析】 本题考查了切线的判定和性质、直角三角形的性质和勾股定理、扇形面积的计算等知识，解题的关键是掌握切线的判定与性质． （1）利用等腰三角形的性质证得，利用切线的判定定理即可得到答案； （2）在中，利用直角三角形的性质和勾股定理求得，，再根据，计算即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由（1）知， ∵， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴， ． 27．【答案】（1）① （6，2），（3，-1）；②y=x-4；（2）5≤m≤9 【分析】 （1）① 作A1M⊥x轴于M，构造△ABO≌△BA1M，可得OA=BM，OB=A1M，再分别求解； ② 取N（4，0），则OA=ON，作A1M⊥x轴于M，首先说明A1的运动轨迹是一条直线，求出这条直线的解析式即可解决问题； （2）利用（1）② 的结论，A（0，m）关于B的“伴随点”A1（x，y），y与x之间的关系式：y=x-m，由题意可知，当直线y=x-m与⊙C有交点时，在⊙C上存在点A关于点B的“伴随点”，求出这两条直线和⊙C相切时的m的值，即可解决问题． 【详解】 解：（1）① 如图，作A1M⊥x轴于M． ∵∠ABA1=90°， ∴∠ABO+∠A1BM=∠A1BM+∠A1， ∴∠ABO=∠A1， ∵AB=BA1，∠AOB=∠A1MB=90°， ∴△ABO≌△BA1M（AAS）， ∴OA=BM，OB=A1M， 当A（0，4），B（2，0）时，BM=4，A1M=2，OM=6， ∴A1（6，2）， 当A（0，4），B（-1，0）时，同法可得A1（3，-1）． 故答案为（6，2），（3，-1）． ② 取N（4，0），则OA=ON，作A1M⊥x轴于M． 同理可证：△ABO≌△BA1M， ∴OA=BM=ON，OB=A1M， ∴OB=MN=A1M， ∴△A1MN是等腰直角三角形， ∴∠A1NM=45°， ∴点A1在经过点N，与x轴的夹角为45°的直线上， 设A1N的表达式为y=kx+b，则k=1，将（4，0）代入， 则0=4+b，解得：b=-4， ∴这条直线的解析式为y=x-4， ∴A1（x，y）是点A关于点B的“伴随点”，y与x之间的关系式为y=x-4； （2）如图，由（1）可知，A（0，m）关于B的“伴随点”A1（x，y）， y与x之间的关系式：y=x-m， 由题意可知，当直线y=x-m与⊙C有交点时，在⊙C上存在点A关于点B的“伴随点”， 当直线y=x-m与⊙C相切时，如图， ∵C（4，-3），⊙C的半径为，F为⊙C的切点，过C作CE∥x轴，点E在CD上， 在y=x-m中，令x=0，则y=-m，令y=0，则x=m， 则C（0，-m），D（m，0）， ∴△OCD为等腰直角三角形，OD=OC， ∵OF⊥EF，CE∥x轴， ∴∠ECF=45°，即△CEF为等腰直角三角形， ∵CF=， ∴EF=，CE=2，又C（4，-3）， ∴E（2，-3），代入y=x-m中， 解得：m=5， 同理，当直线y=x-m与⊙C相切于另一点时， 同理可得：m=9， 综上：满足条件的m的范围为：5≤m≤9． 【点睛】 本题考查圆综合题、一次函数的解析式、切线的判定和性质、全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，本题的突破点是发现点A1的运动轨迹是直线，题目比较难，属于中考压轴题． 考点03 三角形的内切圆 1．C 考点04 正多边形与圆 1．A 2．D 3．B 4．A 5．【答案】72 【分析】 本题主要考查正多边形与圆，掌握圆的内接正n边形的中心角的度数等于除以n是解题的关键． 根据圆的内接正五边形的中心角的定义列式计算即可． 【详解】 解：圆的内接正五边形的中心角的度数为． 故答案为：72． 6．【答案】2 【分析】 本题主要考查正多边形与圆，设正六边形的中心是O，一边是，过O作与G，在直角中，根据三角函数即可求得． 【详解】 解：如图，过O作与G， ∵，， ∴， 在中，，， ∴， 故答案为：2． 7．【答案】12 【分析】 本题考查圆周角定理，正多边形与圆，根据圆周角定理求出中心角的度数，再根据正多边形的中心角度数的计算公式 进行求解即可． 【详解】 解：∵是的内接正n边形的一边，点C在上，， ∴， ∴； 故答案为：12． 8．【答案】15 【分析】 连接，，根据圆周角定理得到，根据中心角的定义即可求解． 【详解】 解：如图，连接，， ∴， ∴这个正多边形的边数为， 故答案为：15． 【点睛】 本题主要考查正多边形的性质，解题的关键是熟知圆周角定理． 3．【答案】（1） 是正三角形． 理由如下：如图，连接，NF， 由题意可得， 是等边三角形， 同理可得 是正三角形．     （2）15      【分析】 本题考查了圆周角定理，正多边形的性质，等边三角形的判定与性质，读懂题意，明确题目中的作图方式，熟练运用圆周角定理是解本题的关键． （1）连接，NF，可得，得到，，即可得证； （2）连接OD，得到，再根据求出，计算即可得解； (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 如图，连接， ， ， ， ， 的值是15． 10．【答案】 【分析】 根据图形分析可得求图中阴影部分面积实为求扇形部分面积，将原图阴影部分面积转化为扇形面积求解即可． 【详解】 解：如图所示：连接BO，CO， ∵正六边形ABCDEF内接于⊙O， ∴AB=BC=CO=4，∠ABC=120°，△OBC是等边三角形， ∴CO∥AB， 在△COW和△ABW中 ， ∴△COW≌△ABW（AAS）， ∴图中阴影部分面积为：S扇形OBC=． 故答案为：． 【点睛】 本题考查了正多边形和圆以及扇形面积求法，求出阴影部分面积=S扇形OBC是解题的关键． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $