专题04 二次函数（期中真题汇编，甘肃专用）九年级数学上学期

专题04 二次函数 考点01 二次函数的概念 考点02 二次函数y=ax²的图象和性质 考点03 二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质 考点04 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 考点05 二次函数与一元二次方程 考点06 实际问题与二次函数 考点01 二次函数的概念 1．A 2．A 3．【答案】（1）；（2）且． 【分析】（1）根据一次函数的定义知：二次项的系数等于零，一次项的系数不等于零，即可解决问题； （2）根据二次函数的定义知：二次项的系数不等于零，可得方程，根据解方程，可得答案，即可解决问题； 【详解】（1）由题意得，，解得m=； （2）由题意得，m2-2≠0，解得m≠且m≠-. 【点睛】 本题考查一次函数的定义、二次函数的定义，解题的关键是熟练掌握基本概念． 4．【答案】（1）     （2）二次项系数是12，一次项系数是0，常数项是      【分析】 本题主要考查二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义，二次函数一般式是解决本题的关键． （1）根据二次函数的定义，即列式求解即可； （2）根据二次函数一般式判定即可． (1) 小问详解： 解：根据二次函数的定义得 ， 由得， 由得且， ∴． (2) 小问详解： 解：由（1）得：二次函数解析式为， 故二次项系数是12，一次项系数是0，常数项为． 考点02 二次函数y=ax²的图象和性质 1．B 2．A 考点03 二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质 1．A 2．B 3．B 4．A 5．B 6．B 7．A 8．C 9．A 10．C 11．C 12．D 13．D 14．D 15．A 16．C 17．D 18．D 19．B 20．C 21．D 22．A 23．A 24．D 25．C 26．C 27．B 28．C 29．【答案】 【分析】 本题主要考查了二次函数图象的平移问题，根据“上加下减，左加右减”的平移规律求解即可． 【详解】 解：抛物线向右平移1个单位，再向上平移2个单位后所得抛物线的表达式为， 故答案为：． 30．【答案】 【分析】 本题考查了二次函数的平移规律，根据二次函数图象的平移规律“左加右减，上加下减”进行分析，即可作答． 【详解】 解：∵将抛物线向下平移4个单位长度， ∴所得抛物线的表达式为． 故答案为：． 31．【答案】 【分析】 本题考查了二次函数的性质，根据二次函数顶点式的性质，直接读出顶点坐标． 【详解】 解：抛物线是顶点式形式，顶点坐标为． 故答案为． 32．【答案】 【分析】 本题考查了二次函数值的大小比较，解题的关键是熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征． 将点，分别代入，求解函数值并比较即可． 【详解】 解：将点，分别代入，则，， ∴， 故答案为：． 33．【答案】（-1,-3） 【分析】根据抛物线顶点式得顶点为可得答案． 【详解】解：∵抛物线顶点式得顶点为， ∴抛物线的顶点坐标是（-1，-3） 故答案为（-1，-3）． 【点睛】本题考查了二次函数的顶点式的顶点坐标，熟记二次函数的顶点式及坐标是解题的关键． 34．【答案】 【分析】 本题考查二次函数的性质，二次函数的顶点坐标为，以及各个象限点的坐标特征，熟练掌握二次函数的顶点式是解题的关键． 直接利用顶点形式得出顶点坐标，结合第一象限点的特点列出不等式解答即可． 【详解】 解：∵抛物线， ∴顶点坐标为， ∵顶点在第一象限， ∴， ∴m的取值范围为． 故答案为：． 35．【答案】 【分析】 本题考查了二次函数的图象性质，根据得出抛物线的开口向上，顶点坐标为，则抛物线的最小值为，即可作答． 【详解】 解：∵ ∴抛物线的开口向上，顶点坐标为， ∴抛物线的最小值为， 故答案为： 36．【答案】 【分析】 本题主要考查了二次函数解析式在平移中的变化规律，掌握变化规律是解题的关键． 抛物线平移时，二次项系数不变，仅常数项改变，计算即可． 【详解】 抛物线向上平移个单位长度，得到新抛物线， 与比较，得，， 故； 故答案是． 37．【答案】 【分析】 本题考查了二次函数的图象与几何变换，根据“上加下减，左加右减”的规律进行解答即可，熟知函数图象平移的规律是解题的关键． 【详解】 解：由抛物线向左平移个单位，再向上平移个单位， 根据“上加下减，左加右减”规律可得抛物线平移后是， 故答案为：． 38．【答案】 【分析】 主要考查的是函数图象的平移，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式．根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行求解． 【详解】 解：将抛物线先向右平移3个单位长度，得：； 再向上平移5个单位长度，得：， 故答案为：． 39．【答案】 【分析】 先把原抛物线化成顶点式，再根据抛物线的平移规律进行求解即可；上加下减，左加右减． 【详解】 解；将抛物线向右平移2个单位后的新抛物线的解析式为， 故答案为：． 【点睛】 本题主要考查了二次函数图象的平移，熟知二次函数图像的平移规律是解题的关键． 40．【答案】（-3，-1） 【分析】根据抛物线平移的规律：左加右减，上加下减即可得到答案. 【详解】把抛物线向左平移3个单位，然后向下平移2个单位， ∴平移后的抛物线解析式为：， ∴平移后抛物线的顶点坐标为（-3，-1）， 故答案为：（-3，-1）. 【点睛】此题考查抛物线平移的规律，掌握平移的规律，根据规律会计算得到平移后的抛物线解析式是解题的关键. 41．【答案】 【分析】 本题考查了二次函数的平移，平移的性质，理解图中阴影部分为平行四边形是解题的关键．先求出的顶点坐标，再根据平移的性质求出的顶点坐标，的坐标，求出平行四边形的面积即可． 【详解】 解：∵抛物线， ∴对称轴为，顶点为 ∵抛物线向上平移个单位长度得到抛物线， ∴点坐标为，点坐标为． 故两条抛物线、直线与轴所围成的图形（阴影部分）的面积为． 故答案为： 42．【答案】 【分析】 本题考查了二次函数图象的平移，熟练掌握平移规律是解答本题的关键． 通过反向平移操作，将给定的二次函数图象先向左平移1个单位，再向上平移2个单位，得到原函数图象． 【详解】 解：对于二次函数 ，将其图象向左平移1个单位，得到函数 ；再向上平移2个单位，得到函数 ． 因此，原函数为 ，即该函数图象向下平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度后可得到 的图象． 故答案为：． 43．【答案】 【分析】 本题主要考查了二次函数图象的平移问题，先把原解析式化为顶点式，再根据“上加下减，左加右减”的平移规律求出平移后的解析式即可得到答案． 【详解】 解：， ∴将抛物线向上平移两个单位长度，再向右平移一个单位长度后，得到的抛物线解析式为， ∴平移后的抛物线顶点坐标为， 故答案为：． 44．【答案】 【分析】 根据“上加下减，左加右减”的平移规律可得答案． 【详解】 解：将抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度得到的抛物线的函数解析式为． 45．【答案】 【分析】 本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数开口向上，顶点在区间内，最小值在顶点处，最大值在端点处． 【详解】 解：二次函数，，开口向上，对称轴为． 当时，； 当时，； 当时，． 故的取值范围为． 故答案为：． 考点04 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 1．A 2．A 3．C 4．C 5．C 6．B 7．A 8．B 9．C 10．A 11．C 12．C 13．B 14．B 15．A 16．C 17．D 18．B 19．A 20．A 21．B 22．C 23．C 24．A 25．B 26．C 27．D 28．D 29．C 30．B 31．D 32．B 33．C 34．C 35．A 36．D 37．B 38．C 39．C 40．A 41．C 42．C 43．A 44．D 45．【答案】3 【分析】 本题考查二次函数的图像与性质，掌握知识点是解题的关键．由二次函数图象经过原点，将原点坐标代入解析式求解． 【详解】 解：将点代入函数解析式中，得 ， 即， 解得． 故答案为：3． 46．【答案】火箭点火后13秒降落伞将打开，这时火箭的高度是170米 【分析】 直接利用配方法将二次函数写成顶点式，进而求出即可． 【详解】 解：由题意可得： ， ， ， 故火箭点火后13秒降落伞将打开，这时火箭的高度是170米． 【点睛】 此题主要考查了二次函数的应用，正确配方求出顶点式是解题关键． 47．【答案】 【分析】 本题考查二次函数的定义、二次函数图象开口和系数之间的关系以及一元二次方程的解法，根据相关定义求解即可． 根据二次函数的最高指数是2，图象开口向上，二次项系数大于0，列出式子求解即可． 【详解】 解：因为是二次函数，所以， 解得或， ∵抛物线开口向上， ∴， 解得：， ∴． 故答案为：． 48．【答案】 【分析】 抛物线的对称轴为 利用公式直接计算可得答案． 【详解】 解：∵，， ∴抛物线对称轴为直线． 故答案为：． 【点睛】 本题考查的是抛物线的对称轴，掌握抛物线的对称轴方程的公式是解题的关键． 49．【答案】 【分析】 本题考查了二次函数性质等知识．抛物线上有两个对称点的坐标为和，则对称轴为直线，据此即可求解． 【详解】 解：设抛物线与x轴的另一个交点坐标为， ∵二次函数的对称轴是直线，与轴的一个交点坐标是， ∴， ∴， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为． 故答案为： 50．【答案】1 【分析】 将二次函数的一般式化为顶点式，即可求解对称轴． 【详解】 解：， 抛物线的对称轴为直线． 51．【答案】， 【分析】 本题考查抛物线的对称轴，掌握抛物线的对称轴与解析式中系数的关系是解题关键． 根据抛物线的对称轴公式，代入求解即可得到m，再代入m的值，即可得到抛物线的解析式． 【详解】 解：抛物线的对称轴为直线， ， 解得， 抛物线的解析式为． 52．【答案】（1）      （2）       【分析】 本题主要考查二次函数图象的性质，二次函数图象的平移，掌握待定系数法，二次函数图象平移规律是关键． （1）根据题意，得到对称轴直线为，再把点代入计算即可求解； （2）根据（1）得到抛物线解析式，结合平移规律即可求解． (1) 小问详解： 解：已知二次函数，其顶点为，且图象经过， ∴，则， ， 解得， ； (2) 小问详解： 解：由（1）得，抛物线解析式为， ∵平移后，图象经过原点， ∴将抛物线向下平移3个单位得到，． 53．【答案】 【分析】 加上一次项系数的一半的平方，凑成完全平方公式，然后整理即可． 【详解】 解： ， ． 故答案为：． 【点睛】 本题主要考查了二次函数的三种形式的相互转化，本题加上一次项系数的一半的平方式配成完全平方式是关键，属于基础题，细心运算即可． 54．【答案】 【分析】 本题考查了二次函数的图象与性质，先求出抛物线的对称轴，再求出点关于对称轴的对称点，再根据二次函数的性质求解即可． 【详解】 解：抛物线对称轴为直线， ∴关于抛物线对称轴的对称点为， ∵， ∴当时，随的增大而增大， ∵， ∴， 故答案为：． 55．【答案】-2 【分析】 根据（-2，n）和（4，n）可以确定抛物线的对称轴为x=1，再由对称轴的x=，即可求出b． 【详解】 解：∵抛物线经过（-2，n）和（4，n）两点， ∴抛物线的对称轴为， ∴=1， ∴b=-2； 故答案为：-2． 【点睛】 本题考查二次函数图象上点的坐标，熟练掌握二次函数图象上点的对称性是解题的关键． 56．【答案】（1）；     （2）当时，y的值随x的增大而增大．      【分析】 （1）设顶点式，然后把代入求出a即可得到抛物线解析式； （2）根据二次函数的性质解决问题． (1) 小问详解： 解：设抛物线解析式为， 把代入得， 解得， 所以抛物线解析式为． (2) 小问详解： 解：因为抛物线的对称轴为直线，抛物线开口向下， 所以当时，y的值随x的增大而增大． 【点睛】 本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的性质． 57．【答案】 【分析】 本题考查了二次函数的性质，解题的关键是了解当顶点在轴上时，抛物线与轴有唯一的公共点．根据抛物线的顶点在轴上时，抛物线与轴的交点只有一个，因此根的判别式，可据此求出的值． 【详解】 解：抛物线的顶点在轴上， ，即， 解得． 故答案为：． 58．【答案】 【分析】 本题考查了待定系数法求二次函数的解析式．直接将代入求解即可． 【详解】 解：∵抛物线经过， ∴， 解得， 故答案为：． 59．【答案】 【分析】 本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是熟练掌握待定系数法，准确计算．直接把点，代入抛物线解析式，求解即可． 【详解】 解：抛物线与轴分别交于点，， ， 解得 ， 抛物线的解析式为． 60．【答案】（1）     （2）直线      【分析】 本题主要考查了求二次函数的函数值，求二次函数的对称轴，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． （1）直接把代入对应的函数解析式中求出y的值即可得到答案； （2）二次函数的对称轴为直线，据此求解即可． (1) 小问详解： 解：在中，当时，， ∴当时，函数的值为； (2) 小问详解： 解：∵二次函数解析式为， ∴该函数的对称轴为直线． 61．【答案】（1）     （2）或或      【分析】 本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，平行四边形的性质，二次函数与平行四边形的综合，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先根据抛物线与轴交于两点，则，，即可得出； （2）理解题意，结合点为顶点的四边形是平行四边形，进行分类讨论，运用中点公式进行列式计算，即可作答． (1) 小问详解： 解：∵抛物线与轴交于两点， ∴对称轴， ∴， ∴把代入， ∴， 即抛物线的表达式为； (2) 小问详解： 解：存在点，使得以点为顶点的四边形是平行四边形，理由如下： ∵、，，且点为顶点的四边形是平行四边形， ∴当为对角线时， 则 ， ∴ ， 解得， ∴点的坐标为； ∴当为对角线时， 则 ， ∴ ， 解得， ∴点的坐标为； ∴当为对角线时， 则 ， ∴ ， 解得， ∴点的坐标为； 综上所述：点的坐标为或或． 62．【答案】（1）开口向下，对称轴为直线，顶点坐标     （2）当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大      【分析】 本题考查的是二次函数的性质，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）将一般式化为顶点式，进行作答即可； （2）根据二次函数的增减性解答即可． (1) 小问详解： 解：， ， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线，顶点坐标； (2) 小问详解： 解：∵抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大． 63．【答案】 【分析】 本题考查待定系数法确定二次函数解析式，掌握相关知识是解决问题的关键．因为抛物线的顶点坐标为，所以设抛物线解析式为，代入求解即可． 【详解】 解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴设抛物线解析式为， 将代入得， 解得， ∴解析式为． 64．【答案】 【分析】 利用图象法即可解决问题． 【详解】 解：y＝y＝x2﹣4x+1， 对称轴为x＝2， 二次函数的图像为： 根据二次函数的图象可知：． 故答案为：． 【点睛】 本题考查二次函数图象上的点的特征，解题的关键是学会利用图象法比较函数值的大小． 65．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键． （1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）求出直线的解析式，设，则，则，当时，有最大值，此时． (1) 小问详解： 解：将点、代入， ， 解得 ， ； (2) 小问详解： 解：如下图： 当，则， ， 设直线的解析式为， ， 解得 ， ∴直线的解析式为， 设，则， ， ， 当时，有最大值， 此时． 66．【答案】 【分析】 本题主要考查了二次函数与一次函数综合，平行四边形的性质，两点间的距离公式，可求出，，则可计算出的长度，得，利用平行四边形的性质及两直线平行，其解析式的系数相等的特性，可知直线解析式，则可求得，同理可求得，进而得到，据此可得答案． 【详解】 解：∵的横坐标为1，且在图象上， ∴， ∴， 设直线的解析式为，则，即 ∴直线的解析式为， 又∵ ∴， ∴； ∵为平行四边形， ∴ 可设直线解析式为，则，即， ∴直线解析式为， 联立 ， 解得 或 （舍去）， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理可得直线解析式为， 联立 ， 解得 或 （舍去）， ∴， ……， 以此类推，可知， ∴ 故答案为：． 67．【答案】或 【分析】 本题考查了二次函数的图象与性质；求出抛物线的对称轴为直线，函数的最小值为；再求出当函数值分别为2与3时的自变量取值，结合二次函数的图象与性质即可求得自变量的取值范围． 【详解】 解：，则抛物线的对称轴为直线，函数的最小值为； 当时，，解得：x_1=3，x _2=-1； 当时，，解得：x_3=1+√5，x _4=1-√5； 当，且时，；当，且时，； 综上，当，则x的取值范围是或； 故答案为：或． 68．【答案】（1）     （2）     （3）当坐标为时， 当坐标为时，      【分析】 本题考查了二次函数的综合应用，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）根据解析式求得点，再求得直线的解析式，设，求解即可； （3）根据题意可得，点的横坐标为或，点的横坐标为或，再根据点在点的左侧，分两种情况讨论即可． (1) 小问详解： 解：由题意知， ， 解得： ， ∴抛物线的解析式为：； (2) 小问详解： 解：由（1）知，抛物线的解析式为：， 当时，， ∴， 设直线的解析式为：， 代入、，有： ， 解得： ， ∴直线的解析式为：， 设，由题意知， 则，， ∴， ， 当时，， 解得：（负值舍去）， ∴； (3) 小问详解： 解：抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为：， ∵点、到对称轴的距离分别为2个单位长度和4个单位长度， ∴点的横坐标为或，点的横坐标为或， 则点的纵坐标为，点的纵坐标为， 又∵点在点的左侧， ∴当坐标为时，点的坐标为， 则； 当坐标为时，点的坐标为， 则． 69．【答案】（1）     （2）     （3）当点P坐标为时，线段的值最大，最大值为．      【分析】 （1）运用待定系数法求解即可； （2）如图所示，过点M作轴与点N，证明出是等腰直角三角形，得到，求出，得到，设，表示出，，然后代入求解即可； （3）如图所示，过点P作x轴的垂线，垂足为F，交直线于点E，求出直线的解析式为，设，则，，解直角三角形得到，再运用二次函数的性质即可求得答案． (1) 小问详解： 解：∵抛物线（a，b为常数，且）与x轴交于点、， ∴ 解得 ∴抛物线的解析式为； (2) 小问详解： 解：如图所示，过点M作轴于点N ∵ ∴当时， ∴ ∵ ∴ ∴是等腰直角三角形 ∴ ∵ ∴ ∴ ∵点M在x轴下方的抛物线上， ∴设 ∴， ∴ 解得（舍去）或 ∴点M的横坐标为； (3) 小问详解： 解：如图所示，过点P作x轴的垂线，垂足为F，交直线于点E， 设， 设直线表达式为， 将，代入得： ， 解得 ， ， 轴，交于点， ， ， ∵， ∴轴， ∴ ∴， ， ， 当时，有最大值，最大值为， 将代入． ∴当点P坐标为时，线段的值最大，最大值为． 【点睛】 本题主要考查待定系数法求二次函数解析式，求一次函数解析式，解直角三角形，二次函数和几何综合，掌握二次函数图象的性质，二次函数最值的计算方法是关键． 70．【答案】（1）     （2）四边形面积有最大值32，此时     （3）存在，M点坐标为或      【分析】 本题考查二次函数的几何综合，二次函数的图象及性质，直角三角形的性质，勾股定理等知识，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． （1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）过点P作轴交于点Q，设，则，所以四边形面积，可得当时，四边形面积有最大值32，此时； （3）先求出，设，分别求出，再由勾股定理分类讨论求出M点坐标即可． (1) 小问详解： 解：将点、代入， ， 解得 ， ∴抛物线的解析式为； (2) 小问详解： 设直线的解析式为， 把代入， ， 解得， ∴直线的解析式为， 过点P作轴交于点Q， 设，则， ， ， ， ∴四边形面积， ∵点P在直线上方， ， ∴当时，四边形面积有最大值32，此时； (3) 小问详解： 存在点M，使得以点B、M、P为顶点的三角形是直角三角形，理由如下： 当时，， ， 设， ， ① 当为斜边时，， 解得， （舍）； ② 当为斜边时，， 解得， ； ③ 当为斜边时，， 解得或， 或（舍）； 综上所述：M点坐标为或． 71．【答案】（1）     （2）二次函数图象的对称轴为直线、顶点坐标为     （3）      【分析】 （1）将点和点，代入解析式，待定系数法求解析式即可求解； （2）将解析式化为顶点式即可求解； （3）根据二次函数图象的对称性得出的最小值为的长，勾股定理即可求解． (1) 小问详解： 解：∵二次函数的图象过点和点， ∴ 解得： ∴； (2) 小问详解： 解：， ∴二次函数图象的对称轴为直线、顶点坐标为 (3) 小问详解： 解：令中，，则， ∴， ∵，关于对称轴对称， 则， 连接，交对称轴于点，则此时取最小值， ∵,， ∴， 此时． 【点睛】 本题考查了待定系数法求解析式，二次函数图象的性质，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 72．【答案】（1）     （2）当时，线段的长度最大，最大值是     （3）或或或或．      【分析】 （1）利用待定系数法解答即可； （2）求出直线的解析式为，可得点，从而得到，即可求解； （3）根据等腰三角形的定义，分五种情况讨论，即可求解． (1) 小问详解： 解：∵抛物线经过，，三点， ∴ ，解得： ， ∴抛物线的解析式为； (2) 小问详解： 解：如图， 设直线的解析式为， 把点，代入得： ，解得： ， ∴直线的解析式为， ∵点P的横坐标为m，轴， ∴点， ∴， ∵， ∴当时，线段的长度最大，最大值是， (3) 小问详解： 解：由（1）得：点， 设抛物线的对称轴为直线l， ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴可设点， 当时，如图，过点P作于点E，则， 在中，， ∴点； 当时，如图，过点P作于点E，则， 在中，， ∴点； 当时，如图，过点D作于点F，则， 在中，， ∴点； 当时，如图，过点D作于点F，则， 在中，， ∴点； 当时，如图， 此时点Q在的垂直平分线上， ∴点Q的纵坐标为， ∴点； 综上所述，点Q的坐标为或或或或． 【点睛】 本题主要考查了二次函数的综合题，涉及了求二次函数的解析式，求一次函数的解析式，等腰三角形的定义，勾股定理等知识，利用数形结合思想和分类讨论思想解答是解题的关键． 73．【答案】（1）     （2）C(-1，0)；D(3，0)；6     （3）或      【分析】 （1）设抛物线顶点式解析式y=a（x-1）2+4，然后把点B的坐标代入求出a的值，即可得解； （2）令y=0，解方程得出点C，D坐标，再用三角形面积公式即可得出结论； （3）先根据面积关系求出点P的坐标，求出点P的纵坐标，代入抛物线解析式即可求出点P的坐标． (1) 小问详解： 解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴设抛物线的表达式为， 把点代入，得，解得， ∴抛物线的表达式为． (2) 小问详解： 由（1）知抛物线的表达式为， 令，则，解得或， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． (3) 小问详解： 由（2）知，，， ∵， ∴， ∴， ∵点P在x轴下方的抛物线上， ∴点P的纵坐标为， ∵抛物线的表达式为， ∴，解得， ∴点P的坐标为或． 【点睛】 本题考查的是二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 74．【答案】y=−x²−x+4 【分析】把三个点的坐标代入抛物线，利用待定系数法即可求得求二次函数解析式. 【详解】∵抛物线y=ax2+bx+c过(−3,0),(1,0)两点,与y轴的交点为(0,4)， ∴ ， 解得, ， 所以,抛物线的解析式为：y=−x²−x+4； 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，掌握方程组的解法等知识是解决本题的关键. 75．【答案】（1）直线的解析式为；抛物线解析式为     （2）或或或     （3）      【分析】 本题考查了二次函数综合题，待定系数法求二次函数的解析式，等腰三角形的性质，面积问题； （1）利用待定系数法，设直线的解析式为，把，代入后求出，的值即可得出的解析式；将代入求出即可得出抛物线解析式； （2）需要分类讨论：，，，利用线段的长度来求点的坐标； （3）根据二次函数图象上点的坐标特征，可设，利用三角形面积公式列出方程，然后解出的值即可得到点坐标． (1) 小问详解： 解：设直线的解析式为， 把，代入得 ， 解得 ， 所以直线的解析式为； 把代入得， 所以抛物线解析式为； (2) 小问详解： ∵ ∴， ① 当时，或； ② 当时，点是线段的垂直平分线与轴的交点． 设 解得： ． ③ 当时， ； 解得：（舍去）或 ∴； 综上所述，符合条件的点的坐标为：或或或． (3) 小问详解： 联立 ， 解得： ， ∴， ∴ 设， ∵ ∴ 解得：或（舍去） ∴ 76．【答案】（1）抛物线的表达式为     （2）      【分析】 本题考查二次函数综合，待定系数法确定函数解析式、二次函数图象与性质、平面直角坐标系中求三角形面积； （1）利用抛物线的交点式直接代值求解即可得到答案； （2）过点作轴的垂线，交于，如图所示，由二次函数图象与性质，利用平面直角坐标系中三角形的面积求法得到面积，进而根据二次函数的性质，即可求解． (1) 小问详解： 解：∵抛物线与x轴交于、两点， ∴设抛物线的交点式为， 即抛物线的表达式为； (2) 小问详解： 过点作轴的垂线，交于，如图： 由（1）知抛物线的表达式为， 抛物线与轴交于点， 设直线：，将、代入得： ， 解得 ， 直线：． 点是抛物线上位于线段下方的一个动点， 设，则， ， ， 抛物线开口向下，当时，有最大值，此时点的坐标为； 77．【答案】（1）     （2），     （3）或      【分析】 本题考查二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式，二次函数的平移，正确求出函数解析式是解题的关键： （1）将点代入，求解即可得出答案； （2）先将解析式变形为，再根据二次函数的平移即可得出答案； （3）求出点坐标，进而可得的长，再根据三角形的面积求出点的纵坐标，最后把点的纵坐标代入二次函数解析式，解方程即可求解； (1) 小问详解： 解：将点代入， 得， ， 解得， ， ∴二次函数的解析式为； (2) 小问详解： 解：， 由平移规律得平移后的解析式为， ∴顶点为； (3) 小问详解： 解：把代入得，， 解得：， ， ， 设点的纵坐标为， ∵的面积为4， ， ， 把代入得，， 整理得，， 解得：， 把代入得，， 整理得，， 解得：， ∴点的坐标是或． 78．【答案】 【分析】 本题考查正方形的性质、三角形的面积，二次函数等知识，解题的关键是学会构建二次函数解决最值问题．设，则．由题意可得构建二次函数的性质即可解决问题． 【详解】 解：设，则． ， ∵， ∴当时，的面积有最小值，最小值为， 故答案为：． 79．【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 本题考查了二次函数的图象与性质，一次函数的图象与性质，解题的关键是掌握二次函数的图象与性质． （1）设二次函数的解析式为，利用待定系数法求解即可； （2）由题意可得当时，二次函数有最小值，再求出、时的函数值，即可求解； （3）先求出，由二次函数的对称性可得、两点过于对称轴对称，则，当、、共线时，最小，连接交抛物线对称轴于点，点即为所求，再求出直线的解析式，即可求解． (1) 小问详解： 解：二次函数的顶点坐标为， 设二次函数的解析式为， 将代入得， 解得， 二次函数的解析式为； (2) 小问详解： 二次函数开口向上，且顶点为， 当时，二次函数有最小值， 当时，，当时，， 当时，， 故答案为：； (3) 小问详解： 令，则， 解得，， ，， 二次函数的图象与轴交于、两点，顶点坐标为， 、两点关于对称轴对称，则，当、、共线时，最小， 如图，连接交抛物线对称轴于点，点即为所求， 设直线的解析式为， 将、代入得 ， 解得 ， 直线的解析式为， 令，则， ． 80．【答案】 【分析】 本题主要考查二次函数图象与性质，先求出抛物线的对称轴为直线，再运用对称性得，从而可求出． 【详解】 解：由得，二次函数的对称轴为直线， ∵A、B两点的纵坐标相同， ∴A、B两点关于直线对称， ， 解得：． 81．【答案】（1）x为任意实数；     （2），；     （3） 补全函数图象如图所示：函数图象是轴对称图形（答案不唯一）． 【分析】 题目主要考查函数的基本性质，理解题意，结合表格求解是解题关键． （1）根据函数解析式即可得出结果； （2）将x的值代入计算求解即可； （3）根据表格数据，描点画图即可，然后结合函数图象写出一条性质即可． (1) 小问详解： 解：函数的自变量x的取值范围是任意实数， 故答案为：x为任意实数； (2) 小问详解： 当时，， 当时，， 故答案为：；； (3) 小问详解： 略 82．【答案】（1），顶点M的坐标是     （2）①1；② 存在，或      【分析】 （1）把代入抛物线的解析式即可求出c，把抛物线转化为顶点式即可求出顶点坐标； （2）① 先判断当时，，的坐标分别是，，再求出，时点Q的纵坐标与点P的纵坐标，进而求解； ② 先求出，易得P，Q的坐标分别是，，然后分点G在点Q的上方与点G在点Q的下方两种情况，结合函数图象求解即可． (1) 小问详解： ∵二次函数的图象与y轴的交点坐标为， ∴，                                                                    ∴， ∴顶点M的坐标是． (2) 小问详解： ① ∵A在x轴上，B的坐标为， ∴点A的坐标是． 当时，，的坐标分别是，． 当时，，即点Q的纵坐标是2， 当时，，即点P的纵坐标是1． ∵， ∴点G的纵坐标是1，                                         ∴．                                                ② 存在．理由如下： ∵的面积为1，， ∴． 根据题意，得P，Q的坐标分别是，． 如图1，当点G在点Q的上方时，， 此时（在的范围内），                      如图2，当点G在点Q的下方时，， 此时（在的范围内）．                     ∴或． 【点睛】 本题考查了二次函数图象上点的坐标特点、矩形的性质以及三角形的面积等知识，熟练掌握二次函数的图象与性质、灵活应用数形结合思想是解题的关键． 83．【答案】（1）     （2）有最大值为，点的坐标为      【分析】 本题考查二次函数的图象与性质，一次函数的性质，二次函数与三角形，解答本题的关键是熟练掌握二次函数的性质． （1）用待定系数法求解即可； （2）过点作轴交于点，设点的坐标为，再求出直线的表达式为，得到点的坐标为，则，表示出的面积，再由二次函数图象与性质求最值，即可得到答案． (1) 小问详解： 解：将，，代入， 得 ， 解得 ， 抛物线的表达式为； (2) 小问详解： 如图2，过点作轴交于点， 设点的横坐标为，则点的坐标为， 设直线的表达式为， 把，代入， 得 ， 解得 ， 直线的表达式为， 点的坐标为， ． ， ， 当时，有最大值为，此时点的坐标为． 84．【答案】或或或． 【分析】 本题考查了二次函数的图象和性质、待定系数法求解析式和抛物线上点的坐标和特征，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键． 利用待定系数法求出函数解析式，再根据三角形面积求出P点的纵坐标，进而由函数解析式求出横坐标． 【详解】 解：依题意得： ，解得： ， ∴抛物线解析式为：， ∵，， ∴， 令得，解得，； 令得，解得，． 所以P坐标为或或或． 85．【答案】(1) y＝﹣x2+4x﹣6；(2) 6. 【分析】(1)把B点和D点坐标代入得到关于b、c的方程组，然后解方程组即可得到抛物线解析式； (2)先解方程＝0得A(2，0)，再确定对称轴得到C(4，0)，然后根据三角形面积公式求解. 【详解】(1)把B(6，0)，D(0，﹣6)代入得 ， 解得 ， 所以抛物线解析式为； (2)当y＝0时，＝0，解得，＝6，则A(2，0)， ∵A点和B点关于对称轴对称， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴C(4，0) ∴△ADC的面积＝×(4﹣2)×6＝6. 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c(a，b，c是常数，a≠0)与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程. 利用数形结合的思想是解决（2）小题的关键． 86．【答案】（1），；     （2） 综上述列表可得： 根据上表描点画图可得： 数量 1 2 3 4 5 x 3 0 2 1 y 0 0 点      （3）10．      【分析】 （1）根据二次函数对称轴公式及定点定义即可得到答案； （2）取顶点及对称轴两侧各两点即可画出图像； （3）点A、B在x轴上，根据平面内点到x轴距离关系代入三角形面积公式即可得到答案． (1) 小问详解： 解：由题意可得： ，， 根据对称轴公式得， ， 把 代入方程可得， ∴对称轴为，顶点坐标为． (2) 小问详解： 解：由（1）得图像过点， 当时，， 解得， 当时，， 解得，， (3) 小问详解： 解：由（2）得，， ∴ 当 时， ， 根据点到x轴距离可知，的高为5， ∴ ． 【点睛】 本题考查二次函数对称轴顶点公式、二次函数图像画法及二次函数上点与x轴上点围成三角形面积问题，重点是二次函数相关公式的正确应用及围成三角形面积转换成底边在x轴上高应用点到坐标轴距离转换． 87．【答案】（1）     （2）存在，的周长最小值为     （3）      【分析】 本题考查了二次函数的综合问题，待定系数法求解析式，周长与线段的最值问题； （1）把点、的坐标分别代入函数解析式，解方程组即可得到结论； （2）根据轴对称的性质，，则当在上时，的周长最小，求得直线的解析式，代入，即可求解； （3）先求出直线的解析式为，再设点坐标为，则点坐标为，然后用含的代数式表示，根据二次函数的性质即可求出线段长度的最大值． (1) 小问详解： 把，代入，得： ， 解得： ， 故该抛物线的解析式为：； (2) 小问详解： 存在，理由如下， ∵，对称轴为直线， ∵点在抛物线对称轴上，关于对称， ∴， ∴ 当在直线上时，的周长最小 ∵设直线的解析式为， 将，代入，得： ， 解得： ， 即直线的解析式为． ∴当时， ∴ 当时， 解得： ∴ ∴的周长最小值为： (3) 小问详解： ∵直线的解析式为． 设点坐标为，则点坐标为， ， ∴当时，有最大值． 88．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了二次函数与一元二次方程． （1）将代入计算即可； （2）令，求出，设，根据列方程求解即可． (1) 小问详解： 解：将代入得 ， 解得 ， ∴解析式为； (2) 小问详解： 解：令，得， 解得， ∴， ∴， 设， ∵， ∴， ∴ 即， 解得（舍去），， ∴． 89．【答案】（1），     （2）的坐标为或      【分析】 （1）由于二次函数经过原点和A点，将两点坐标代入求解即可； （2）设点的坐标为，由，求得n的值，再将n的值代入解析式求解m，得出P点坐标． (1) 小问详解： 二次函数的图象经过点，点， ∴ 解得 ， ∴二次函数的表达式为. ， ∴顶点的坐标为. (2) 小问详解： 设点的坐标为. 点，点，， ， 解得或（不符合题意，舍去）， ， 解得，， 点的坐标为或． 【点睛】 本题考查了二次函数解析式的求法以及利用点的坐标求三角形的面积，同时注意数形结合思想的灵活运用． 90．【答案】当时，抛物线与直线没有公共点． 【分析】 令，整理得，根据判别式的意义得到，则抛物线与直线没有公共点． 【详解】 解：由题意，得 消去，得． 若抛物线与直线没有公共点，则， 解得， 当时，抛物线与直线没有公共点． 【点睛】 本题考查了抛物线与一次函数的交点，解题的关键是把求二次函数与一次函数的交点问题转化为一元二次方程根的问题． 91．【答案】 【分析】 本题主要考查二次函数的图象与性质、全等三角形的性质与判定及等腰直角三角形的性质，熟练掌握二次函数的图象与性质、全等三角形的性质与判定及等腰直角三角形的性质是解题的关键；过点P作轴于点E，由题意易得，然后可得，则有，进而代入二次函数解析式进行求解即可． 【详解】 解：过点P作轴于点E，如图所示： 令，则有，解得：， 令时，则， ∴， ∴， ∵是以为底的等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点P在第一象限的抛物线上， ∴， ∴， 解得：（不符合题意，舍去）， 故答案为． 92．【答案】 【分析】 本题考查了二次函数的性质，根据题意得出二次函数的解析式，再求出最值即可． 【详解】 解：设， ∵于点E，于点F，， ∴为矩形， ∵在中，，， ∴,， ∵， ∴，， 矩形面积， ∴当时，面积最大为， 故答案为： ． 93．【答案】或 【分析】 本题考查了二次函数的性质，平行四边形的性质． 根据二次函数的性质求出，，设，根据平行四边形的性可知，即，即可求出点P的坐标． 【详解】 解：当时，，则， 当时，， 解得：， ∴， 设， ∵以P，A，O，B为顶点的四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴， 即或． 故答案为：或． 94．【答案】（1）     （2）是直角三角形     （3）      【分析】 本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数综合，勾股定理及其逆定理，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． （1）把点C坐标代入解析式中计算求解即可； （2）根据（1）所求可求出B、M的坐标，再利用两点距离计算公式可推出，则由勾股定理的逆定理可得结论； （3）根据可知，只需要求出的面积即可得到答案． (1) 小问详解： 解：∵抛物线与轴相交于点， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为； (2) 小问详解： 解；是直角三角形，理由如下： ∵抛物线解析式为， ∴抛物线的顶点M的坐标为， 在中，当时，或， ∴， ∴，， ， ∴， ∴是直角三角形； (3) 小问详解： 解：由（2）可得是直角三角形，且，， 又∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴． 95．【答案】（1），，     （2）      【分析】 本题主要考查二次函数的图象与性质以及二次函数图象的平移． （1）由题意设二次函数的顶点式，再把点代入求得的值，最后把二次函数的顶点式化为一般式，即可求出、、的值； （2）由题意先设平移后的抛物线的解析式，再把原点代入求解即可． (1) 小问详解： 解：二次函数图象的顶点为， 设顶点式， 代入，得，解得， 二次函数的解析式为， 展开得，故，，． (2) 小问详解： 解：向上或向下平移抛物线， 设平移后的抛物线为， 代入，得，解得， 平移后的抛物线的表达式为． 96．【答案】（1）     （2），．      【分析】 本题考查了求二次函数解析式，二次函数与一次函数的交点问题，解一元二次方程，利用数形结合的思想解决问题是关键． （1）利用抛物线的对称轴求出，再利用抛物线经过点，求出，即可得到抛物线的解析式； （2）联立抛物线和直线解析式，即可求出交点坐标． (1) 小问详解： 解：抛物线对称轴为直线， ， 解得， 抛物线经过点， ， 解得：， 抛物线的解析式； (2) 小问详解： 解：抛物线与直线交于点和， 联立 ，整理得：， 解得：或， 当时，； 当时，； 点在第三象限，点在第一象限， ，． 97．【答案】（1）     （2）面积的最大值为，     （3）存在，点E的坐标为或或或      【分析】 （1）利用对称轴公式可得，再结合点C的坐标利用待定系数法求解即可； （2）先解得直线的解析式为，设，，得到的的值，当时，最大，进而根据三角形的面积公式，即可求解； （3）分情况讨论，当为矩形一边时，且点在轴的下方；当为矩形一边时，且点在轴的上方；当为矩形对角线时，分别求解即可． (1) 小问详解： 解：∵抛物线与轴交于点，对称轴为直线， ∴ ， ∴ ， ∴抛物线解析式为； (2) 小问详解： 解：设直线的解析式为，把，点的坐标代入得： ，解得： ， ∴直线的解析式为 点P为直线下方抛物线上的点， 设， ， ， 当时，， ∴，即面积的最大值为， ； (3) 小问详解： 解：由题意可得：， 抛物线的对称轴为直线． ∵，， ∴，， 如图：当为矩形一边时，且点在轴的下方，过作轴于点， ∵D在的对称轴上， ， ∵，， ∴， ，，即点， ∴点向右平移个单位、向下平移个单位可得到点，则点向右平移个单位、向下平移个单位可得到点； 如图：当为矩形一边时，且点在轴的上方，的对称轴为与轴交于点， ∵D在的对称轴上， ∴， ， ，即， ，即点， ∴点向左平移个单位、向上平移个单位可得到点，则点向左平移个单位、向上平移个单位可得到点； 如图：当为矩形对角线时，设，，的中点F的坐标为， 依题意得： ，解得 ， 又， ， 解得：， 联立 ， 解得：， ∴点E的坐标为或． 综上，存在点，其坐标为或或或，使得以点，，，为顶点的四边形是矩形． 【点睛】 本题主要考查了二次函数综合，矩形的性质，两点间的距离公式，求二次函数解析式等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 98．【答案】（1），     （2）     （3）2      【分析】 （1）先求出，，再利用待定系数法计算即可得出结果； （2）由（1）可得图象的解析式为，结合题意得出，，从而可得，最后由二次函数的性质即可得出结果； （3）作于点，于点，设交于点，求出直线的解析式为，从而可得、均为等腰直角三角形，由题意可得，，则，，求出，结合题意可得，从而可得，由（2）可得，当时，的值最大，最大值为，结合图象即可得出结果． (1) 小问详解： 解：在二次函数中，当时，，即， 当时，，解得，， ∴，， ∵二次函数的图象（记为）经过点，， ∴ ， 解得：，； (2) 小问详解： 解：由（1）可得图象的解析式为， ∵直线与两个图象，分别交于点，，与轴交于点， ∴，， ∴， ∵点在线段上， ∴， ∵， ∴当时，的值最大，最大值为； (3) 小问详解： 解：如图：作于点，于点，设交于点， ， 设直线的解析式为， 将，代入解析式可得 ， 解得 ， ∴直线的解析式为， ∴， ∴， ∴、均为等腰直角三角形， 由题意可得：，， ∴，， 由题意可得：，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（2）可得，当时，的值最大，最大值为， ∵， ∴结合图象可得，当或时，共2个t值，满足， 故对应的值有2个． 【点睛】 本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数综合—线段问题，求一次函数的解析式，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 99．【答案】（1）；     （2） 不存在实数m使得，理由如下： 为二次函数图象上两点， ， ． ． 配方，得． ∴当时，有最大值为． ， ∴不存在实数m使得；     （3）的最大值为．      【分析】 本题考查二次函数与一次函数综合． （1）利用待定系数法求解即可； （2）先根据二次函数解析式，分别写出、两点的函数值、，进而得出的解析式，再通过配方或判别式判断是否存在实数使等式成立； （3）求解出直线的函数解析式，作轴于点，则，求得，设点P的坐标为，用含的函数解析式表示出，利用二次函数的性质求解即可． (1) 小问详解： 解：∵二次函数的图象与x轴交于两点， ∴ ， 解得 ， ∴二次函数的解析式为； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：作轴于点，则， ∵对于二次函数， ∴令，则， 点C的坐标为， 设直线对应函数的解析式为， 由题意，得， 解得， 直线对应函数的解析式为； ∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设点P的坐标为，则点D的坐标为， ∴，， ∴ ， ∵， ∴当时，的最大值为． 100．【答案】① ② ④ 【分析】 本题考查二次函数的图像与性质，掌握知识点是解题的关键． 根据二次函数的图像与性质，逐项分析判断即可． 【详解】 解：由抛物线的图像，开口向上， ∴，故① 正确； 当时，，故② 正确； ∵抛物线的对称轴是直线， ∴，即，故③ 错误； ∵抛物线的对称轴是直线， ∴当时，y取得最小值为， ∴当时，， 即，故④ 正确． 综上所述，正确的有① ② ④ ． 故答案为：① ② ④ ． 101．【答案】（1）；     （2）     （3）或．      【分析】 本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，抛物线与直线围成三角形的面积的相关计算等知识点． （1）根据题意可以得到关于、、的三元一次方程组，从而求得、、的值，进而求得抛物线的函数解析式； （2）根据两点之间线段最短可以求得点的坐标； （3）根据，，求出线段，结合三角形面积公式，求边上的高，即的纵坐标，分情况计算即可． (1) 小问详解： 解：因为抛物线的图象经过，，三点， 则 ，解得 ， ∴抛物线的函数解析式为， 该函数的对称轴是直线； (2) 小问详解： 如图，连接交对称轴l 于点， ∵， ∴、关于对称， ∴点为所求的点． 设直线的函数解析式为， 将，代入得 ， 解得 ， ∴ ∵点在对称轴l上， ∴点的横坐标是1， 当时，， ∴点的坐标是； (3) 小问详解： ∵， ∴， 设中边上的高为 ∵即 解得 ∴点的纵坐标的绝对值等于5，即 当时，代入得即，无解； 当时，代入得即 解得或 ∴点的坐标为或． 102．【答案】（1）     （2）     （3）或或或      【分析】 本题考查了二次函数与面积问题综合、线段最值问题综合，涉及待定系数法求解函数解析式等知识点． （1）由待定系数法求解即可； （2）点A关于直线 l的对称点为点B，则，连接交函数对称轴于点M，则点M为所求，而为定值，，故当取得最小值时，的周长取得最小值，因此当点共线时，，此时的周长取得最小值，然后求出直线表达式，即可求解点坐标； （3）先求出，由的面积是  面积的 2 倍，得到，设，则，再解方程求解坐标即可． (1) 小问详解： 解：∵抛物线  与 轴交于 两点， ∴ 解得 ， ∴抛物线的表达式为； (2) 小问详解： 解：∵， ∴对称轴为直线，， ∵点A关于直线 l的对称点为点B， ∴ 连接交函数对称轴于点M，则点M为所求， ∵为定值，， ∴当取得最小值时，的周长取得最小值， ∴当点共线时，，此时的周长取得最小值， 设直线 将点、的坐标代入一次函数表达式： 得 解得： 直线的表达式为：， 当时，， 故点； (3) 小问详解： 解：如图， ， ∵的面积是  面积的 2 倍， ∴， 设， 则， ∴， ∴或 解得或， ∴或或或 103．【答案】（1）     （2）最大值为，     （3）存在，，      【分析】 本题考查了二次函数与面积，特殊四边形的综合问题，涉及待定系数法求解函数解析式，菱形的性质，平移的性质等知识点． （1）先求出直线与坐标轴的交点，再由待定系数法求解二次函数解析式； （2）先求出，过点D作y轴的平行线交于点K，则，则，那么，由，得到，再由二次函数的性质即可求解； （3）由菱形可得，设，则，解得，故，再由平移的性质即可求解． (1) 小问详解： 解：∵直线与轴交于点，与轴交于点， ∴当； 当，则，解得， ∴，， ∵对称轴为直线 ∴ ， 解得 ， ∴抛物线的表达式为； (2) 小问详解： 解：∵，抛物线对称轴为， ∴， ∴ 过点D作y轴的平行线交于点K， 则，则， ∴ ∵， ∴ ， ∵，， ∴当时，取得最大值为，此时； (3) 小问详解： 解：存在， 如图，设， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， 解得， ∴ ∵四边形是菱形， ∴， ∴点向点的平移方式与点C向点Q的平移方式一样， ∵，，， ∴由平移的性质可得． 104．【答案】（1），，抛物线的解析式为     （2）     （3）或      【分析】 （1）令，可求出点的坐标，令，可求出点的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线解析式； （2）设直线交直线于点，由对称性可知，当三点共线时，取得最小值，故直线与直线的交点即为所求； （3）设，则,，则，，由题意可知：点是线段的三等分点，分或两种情况讨论即可． (1) 小问详解： 令，得，即： 令，得，解得， 即：， 把两点坐标代入得， ， 解得 ， ∴抛物线的解析式为； (2) 小问详解： 设直线交直线于点，由对称性可知，当三点共线时，取得最小值，故直线与直线的交点即为所求， 联立 ，解得 ∴ (3) 小问详解： 设，则，， ∴， 由题意可知：点是线段的三等分点 ∴或 ① 当时，，即： 解得： 经检验：不合题意舍去 ∴ ② 当时，，即： 解得：， 经检验：不合题意舍去 ∴ 由① ② 可知：当点是线段的三等分点时，点的坐标为或 【点睛】 本题考查了二次函数综合应用，涉及待定系数法求解析式、线段和最值问题、动点问题，解题的关键是表示的坐标及列方程解决问题． 105．【答案】③ ④④ ③ 【分析】 本题考查了二次函数图像与系数之间的关系，解题的关键在于通过图像判断对称轴，开口方向以及与坐标轴的交点．根据二次函数开口方向向下，与轴正半轴交于一点，结合对称轴可判断① ，② ，结合二次函数的最值可判断③ ，证明，结合当时，可判断④ ． 【详解】 解：由图可知，二次函数开口方向向下，与轴正半轴交于一点， ，， ∵对称轴在轴左边， ∴， ， ，故① 错误； 对称轴是直线，点和点都在抛物线上， 而， ，故② 错误； 当时，， 当时，函数取最大值， ∴对于任意实数有：， ∴，故③ 正确； 对称轴为直线， ， 当时，， ． ，即，故④ 正确． 综上所述，正确的有③ ④ ． 故答案为：③ ④ ． 106．【答案】（1）     （2）     （3） 证明：∵点与点重合，则， ∵点为中点，，， ∴， 设直线的解析式为， 代入，， 得 ，解得 ， ∴， 将代入，得， 解得，， ∵， ∴， 在中，当时，， ∴点在直线上，即，，三点共线．      【分析】 （1）利用待定系数法即可求解； （2）求出点坐标，可得是等腰直角三角形，即得，得到，过点作交抛物线于点，过点作轴于点，可得，得到是等腰直角三角形，即得，设则，，可得，，进而得到，解方程即可求解； （3）根据题意可知，，设直线的解析式为，代入，得到解析式，将代入中，求得点，可得到点在直线上，即可证明，，三点共线． (1) 小问详解： 解：把，代入得， ， 解得 ， ∴求二次函数的解析式； (2) 小问详解： 解：对于，令，得， 解得，，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 如图，过点作交抛物线于点，过点作轴于点， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设，， ∴，， ∴， 解得，（舍去），或， ∴当时，， ∴； (3) 小问详解： 略 【点睛】 本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的几何应用，等腰直角三角形的判定和性质，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 107．【答案】（1）抛物线的解析式为     （2）的坐标为或     （3）点G的坐标为或或或．      【分析】 （1）利用待定系数法求解； （2）过作轴交于，求出直线解析式，根据三角形面积公式列式计算即可求解； （3）先求得抛物线的对称轴为直线，设点G的坐标为，利用勾股定理求得，分三种情况讨论，利用等腰三角形的性质求解即可． (1) 小问详解： 解：把，代入得： ， 解得 ， 抛物线的解析式为； (2) 小问详解： 解：过作轴交于，如图：     由，得直线解析式为， 设，则， ， 的面积为3， ，即， 解得或， 的坐标为或； (3) 小问详解： 解：， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵点G是直线上的一点， ∴设点G的坐标为， 令，则， 解得或， ∴，∵， ∴，， ∴， 当即时， ∴， 解得， ∴点G的坐标为； 当即时， ∴， 解得或， ∴点G的坐标为或； 设直线解析式为， 将点C坐标代入直线解析式得：， 解得：， 直线解析式为， 令， 当时，点G在直线上，点B、C、G不能构成三角形，故舍去， 当即时， ∴，解得， ∴点G的坐标为或； 综上，点G的坐标为或或或． 【点睛】 本题属于二次函数综合题，考查待定系数法求函数解析式、二次函数中三角形面积计算、等腰三角形的性质等，难度较大，熟练运用数形结合及分类讨论思想是解题的关键． 108．【答案】（1），     （2）存在，点P坐标为     （3）当是直角三角形时，点M的坐标为或或或      【分析】 （1）由点A、C的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式，再将抛物线的一般式转化为顶点式进而求出抛物线的顶点； （2）设抛物线与x轴的另一个交点为点B，连接交抛物线对称轴于点P，此时的最小值为，利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点B的坐标，由点B、C的坐标利用待定系数法即可求出直线的解析式，利用抛物线顶点式可求出抛物线的对称轴，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点P的坐标； （3）设点M的坐标为，则，，，分、、三种情况，利用勾股定理可得出关于m的一元二次方程或一元一次方程，解之可得出m的值，进而即可得出点M的坐标． (1) 小问详解： 解：由题意知，将，代入中， 得 ，解得： ， ∴抛物线的解析式为， 将抛物线的一般解析式转化为顶点式为， 当时，， ∴抛物线的顶点坐标为． (2) 小问详解： 解：存在， 如图，设抛物线与x轴的另一个交点为点B，连接交抛物线对称轴于点P，此时的最小值为， 当时，有， 解得：，， ∴点B的坐标为， ∵抛物线的解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线， 设直线的解析式为， 将、代入中， 得： ，解得： ， ∴直线的解析式为， ∵当时，， ∴当周长最小时，点P的坐标为． (3) 小问详解： 解：如图，设点M的坐标为， 由勾股定理得，， ， ， 此时分三种情况考虑： ① 当时，有，即， 解得：， ∴点M的坐标为， ② 当时，有，即， 解得：，， ∴点M的坐标为或， ③ 当时，有，即， 解得：， ∴点M的坐标为， 综上所述，当是直角三角形时，点M的坐标为或或或． 【点睛】 本题考查了抛物线的解析式求解、求抛物线的顶点坐标、动点最值问题求解对称轴上点的坐标、勾股定理及直角三角形的性质应用． 109．【答案】① ④ ⑤ 【分析】 本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象和性质的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系．根据抛物线开口方向和对称以及与轴的交点情况可以对① 进行判断；根据时，，可对② 进行判断；利用抛物线的对称轴可得时，，可对③ 进行判断；由对称轴为直线可得与的关系，将代入可判断④ ；利用二次函数的最值则可对⑤ 进行判断． 【详解】 解：① ∵抛物线开口向上， ， ∵抛物线的对称轴在轴右侧， ∵抛物线与轴交于负半轴， 故① 正确； ② 当时，， 故② 错误； ③ ∵抛物线的对称轴为直线， ∴与时的函数值相同， ∴时，，即， 故③ 错误； ④ ∵， 将代入，得， 故④ 正确； ⑤ ∵抛物线的对称轴为直线， ∴时，函数的最小值为， 当时，， ∴（为实数且）， 故⑤ 正确； 故答案为：① ④ ⑤ ． 110．【答案】（1），，     （2）或2     （3） 证明：设， 设直线的表达式为 ∴ ， 解得 ， ∴直线的表达式为， 同理可求直线的表达式为， 直线的表达式为， 直线的表达式为， ∵直线， ∴直线经过定点， 将点代入直线：， 则， ∴， ∵直线过点， ∴， ， ∴ 同理：， ∴， 将，代入，则， 化简得：， 把代入直线， 整理得：， ∴当时，，此时， ∴直线经过定点．      【分析】 本题考查了抛物线与面积、特殊四边形的综合问题，涉及二次函数的图象与性质，抛物线与坐标轴的交点问题，以及定值定点问题． （1）根据抛物线的解析式求得时x的值，和时y的值，即可得点A、B、C的坐标； （2）求得的表达式为，设，过D点作轴，交于F点，则，由可求得m的值，即D点的横坐标，根据，即可求得E点的横坐标； （3）设，然后求出直线的表达式为，直线的表达式为，直线的表达式为，直线的表达式为，可得直线经过定点，则得到，而直线过点，代入得到，同理，将，代入，得到，最后把代入直线，整理得：，则当时，，此时，即可确定过定点． (1) 小问详解： 解：由得， 当时，， 解得，， ∴，， 当时，， ∴； (2) 小问详解： 解： 设的表达式为， 则 ，解得 ， ∴的表达式为， 过D点作轴，交于F点， 设， 则， ∴， ∵由B，C，D，E四点组成的平行四边形面积为8， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 当时， 解得（舍去），， 当时， 解得， ① 当时，D点在第三象限，如图： ∵平行四边形， ∴，， ∴， ∴， 解得； ② 当时，D点在第四象限，如图： ∵平行四边形， ∴，， ∴， ∴， 解得， 综上，点E的横坐标为或2； (3) 小问详解： 略 考点05 二次函数与一元二次方程 1．B 2．D 3．B 4．C 5．B 6．B 7．B 8．D 9．C 10．C 11．C 12．C 13．【答案】（答案不唯一）． 【分析】 本题主要考查了元二次方程的根，即方程的解的定义．解此题的关键是设一元二次方程为，把这一根代入方程得出a、b、c之间的数量关系，只要求出满足该数量关系的a、b、c的值就可得出一元二次方程．设一元二次方程为，把代入可得a、b、c之间的数量关系，只要满足该数量关系的方程即为所求．所以答案不唯一． 【详解】 解：设一元二次方程为，把代入可得，， 所以只要a ，b、c的值满足即可． 如等，答案不唯一． 故答案为：（答案不唯一）． 14．【答案】 【分析】 本题考查了二次函数与坐标轴的交点坐标，当时，求出即可，熟练掌握坐标轴上点的坐标特征是解题的关键． 【详解】 解：当时，， ∴与轴的交点坐标为， 故答案为：． 15．【答案】或 【分析】 本题主要考查二次函数与一次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数与一次函数的图象与性质是解题的关键；因此此题可根据图象直接进行求解即可． 【详解】 解：∵函数与的图象交于，两点， ∴由函数图象可知：关于x的不等式（即）的解集是或； 故答案为或． 16．【答案】 【分析】 本题主要考查了抛物线的对称轴性质，熟练掌握抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称是解题的关键．先求抛物线的对称轴，再利用抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，求出另一个交点坐标． 【详解】 解：∵抛物线的对称轴为直线，抛物线与x轴的一个交点为，且抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称， ∴另一个交点的横坐标为， ∴另一个交点坐标为， 故答案为：． 17．【答案】 【分析】 本题考查抛物线与轴的交点，二次函数（a，b，c是常数，）的交点与一元二次方程根之间的关系．决定抛物线与轴的交点个数．时，抛物线与轴有2个交点；时，抛物线与轴有1个交点；时，抛物线与轴没有交点． 关于的函数的图象与轴有两个交点，则判别式，据此列不等式求解． 【详解】 解：根据题意得： ， 解得． 故答案是：． 18．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了待定系数法、二次函数的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据待定系数法解题即可； （2）令即可求解． (1) 小问详解： 解：设顶点式： ， 代入 ， 得：， 解得：， 故该二次函数的解析式为： ； (2) 小问详解： 解：当时，， ∴图象与轴的交点坐标为． 19．【答案】， 【分析】 本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数与一元二次方程的关系．先将二次函数解析式化为顶点式，然后求出函数图象的对称轴，即可得到该函数图象与x轴的另一个交点的横坐标，从而可以得到一元二次方程的解． 【详解】 解：二次函数， 该函数的对称轴为直线， 二次函数的图象与x轴的一个交点的横坐标为， 二次函数的图象与x轴的另一个交点的横坐标为， 关于x的一元二次方程的解是，， 故答案为：，． 20．【答案】 【分析】 此题考查了二次函数和一元二次方程的关系．抛物线与x轴的交点横坐标即为二次函数函数值为0时的一元二次方程的解，据此进行求解即可． 【详解】 解：∵根据图示知，抛物线与x轴的一个交点是，对称轴为直线， ∴根据对称性，抛物线与x轴的另一交点为， ∴方程的解是． 故答案为：． 21．【答案】（1） 解：∵， 列表如下： 画出函数图象，如图： x … 0 1 2 3 … y … 0 3 4 3 0 …         （2）     （3）      【分析】 （1）求出表格中的函数值，利用描点法画出函数图象即可； （2）结合图象，找到时，的取值范围即可； （3）图象法，确定函数的最大值和最小值即可得解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 由图象可知：当为正数时，； 故答案为：； (3) 小问详解： 由图象，可知：当时，函数值先增大后减小，抛物线关于直线对称， ∴和时的函数值相同，为最小值，， 当时，有最大值为：， ∴； 故答案为：． 【点睛】 本题考查二次函数的图象和性质．正确画出二次函数的图象，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键． 22．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了二次函数的图像和性质，二次函数的顶点式，待定系数法求二次函数，二次函数与坐标轴的交点坐标，正确理解二次函数的性质是解题的关键． （1）设二次函数的解析式为，将代入求出值即可求解； （2）令可求点的坐标，令可求点的坐标． (1) 小问详解： 解：抛物线的顶点的坐标为， 设抛物线的解析式为， 将点代入上式，得， 解得，， 该抛物线的解析式为：； (2) 小问详解： 将代入得，， 解得，， 点的坐标为； 将代入，得， 点的坐标为， 综上，点的坐标为；点的坐标为． 23．【答案】（1） 解：     （2） 解：根据上表，画出这个二次函数的图象： … 0 1 2 3 … … 2 3 2 …      （3）      【分析】 本题考查二次函数的图象性质，解题关键是掌握二次函数图象与性质． （1）根据所给表格填出x的值，再求y的值； （2）描点，连线即可； （3）直接根据函数图象得出y的取值范围． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：根据表格图象可知，当时，y的取值范围是， 故答案为：． 24．【答案】 【分析】 本题考查了抛物线与x轴的交点问题，利用根的判别式列出不等式是解题的关键． 根据抛物线与x轴没有交点，得到，再解一元一次不等式即可． 【详解】 解：∵抛物线与轴没有交点， ∴， 解得：， 故答案为：． 25．【答案】 【分析】 利用二次函数的对称性求解即可． 【详解】 解：设另一个交点为， ∵已知抛物线的对称轴为，与x轴的一个交点是， ∴, 解得， ∴抛物线与x轴的另一个交点为， 故答案为：． 【点睛】 本题考查了二次函数的对称性，函数图象与x轴的两个交点关于对称轴对称． 26．【答案】 【分析】 本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，代数式求值，正确理解题意是解题的关键． 把代入得，再利用整体代入的方法，即可求得结果． 【详解】 解：抛物线与轴的一个交点为， ， ， ， 故答案为：． 27．【答案】顶点坐标为，面积为6 【分析】 本题考查了二次函数的性质，二次函数与一元二次方程的关系，两点的距离，抛物线的顶点式，数形结合是解题的关键．先抛物线化为顶点式，求出顶点坐标，然后求出抛物线与x轴的交点坐标，求出，最后求的面积． 【详解】 解：， 该二次函数的顶点坐标为． 当时，， 解得，， ， 当时，， ， 边上的高为3， ． 28．【答案】且 【分析】 本题考查二次函数与一元二次方程的关系，若二次函数的图象与轴有交点，则一元二次方程有实数根，利用根的判别式求解即可． 【详解】 解：二次函数的图象与轴有交点， 一元二次方程有实数根， ，， 且． 故答案为：且． 29．【答案】或 【分析】 本题考查二次函数的图象和性质，二次函数与轴的交点问题，利用对称性求出抛物线与轴的另一个交点的坐标，图象法求出时，的取值范围即可． 【详解】 解：由图象可知，抛物线与轴的一个交点坐标为，对称轴为直线， ∴抛物线与轴的另一个交点坐标为， ∴当时，的取值范围是或； 故答案为：或． 30．【答案】（1）；     （2）或；     （3）．      【分析】 题目主要考查二次函数与一元二次方程的关系，二次函数的性质，理解题意，结合图象求解是解题关键． （1）根据函数图象即可直接得出结果； （2）结合函数图象求解即可； （3）根据题意得出函数的对称轴为，确定距离对称轴越远，函数值越小，即可求解． (1) 小问详解： 解：根据函数图象得：当时，或， ∴方程的根是， 故答案为：； (2) 小问详解： 由图象得：当时，x的取值范围是或， 故答案为：或； (3) 小问详解： ∵方程的两个根为， ∴函数的对称轴为， ∵开口向下， ∴距离对称轴越远，函数值越小， ∵， ∴． 31．【答案】（1）对称轴为，顶点坐标为     （2）图象与y轴的交点坐标为，与x轴的交点坐标为．     （3）①；②．      【分析】 本题考查了抛物线与坐标轴的交点、二次函数的性质、二次函数与不等式等知识点，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）先将二次函数解析式化成顶点式，然后确定出顶点坐标即可； （2）分别令、求解即可确定其与两坐标轴的交点坐标； （3）① 确定函数图象在x轴上方部分所对应的自变量x的取值范围即可；② 根据函数图象确定y的取值范围即可． (1) 小问详解： 解：∵， ∴该函数图象的对称轴为：直线，顶点坐标为． (2) 小问详解： 解：令可得：，即函数图象与y轴的交点坐标为； 令可得：，解得：或3，即函数图象与x轴的交点坐标为． (3) 小问详解： 解：①∵函数图象与x轴的交点坐标为， ∴根据函数图象可得：函数值为正数时，自变量x的取值范围为； ② 如图：可知：当时，有最大值：； 当时，有最小值：； ∴当时，函数值y的取值范围为． 32．【答案】 【分析】 本题考查了二次函数与不等式的关系，主要利用了数形结合的思想，解题关键在于对图象的理解，题目中的不等式的含义为：二次函数的图象在一次函数图象上方时，自变量x的取值范围．根据图象，写出抛物线在直线上方部分的x的取值范围即可． 【详解】 ∵抛物线与直线交于、两点， ∴由函数图象可得，不等式的解集是， 故答案为：． 33．【答案】② ③ ③ ② 【分析】 本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质，能从图象中获取有效信息是解答的关键．根据二次函数与轴的交点情况即可判断① ，结合图象可知时，，即可判断② ，利用二次函数的对称性即可判断③ ，利用二次函数的增减性即可判断④ ，利用二次函数图象求不等式的解集即可判断⑤ ． 【详解】 解：二次函数与轴有两个交点， ， 故① 错误； 二次函数对称轴为直线，与轴的一个交点为． 结合图象可知时，， 即， 故② 正确； 二次函数对称轴为直线，与轴的一个交点为． 由对称性可知，图象与轴的另一个交点为， 故③ 正确； 二次函数对称轴为直线，图象开口向下， 当时，随的增大而减小； 故④ 错误； 二次函数与轴的一个交点为，另一个交点为，图象开口向下，． 不等式的解集是或． 故⑤ 错误； 综上所述，正确结论的序号是② ③ ； 故答案为：② ③ ． 34．【答案】或 【分析】 本题考查了二次函数与几何变换，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，数形结合是解题的关键．根据图象求得答案即可． 【详解】 解：将二次函数位于轴下方的图象沿轴翻折， 得到新函数的解析式为：， 关于的方程有且只有两个解，即为直线与新函数图象有且只有两个公共点， 观察图象可得：的取值范围或， 故答案为：或． 35．【答案】 【分析】 本题考查二次函数的对称性，二次函数与一元二次方程的关系． 根据一元二次方程的两根得出抛物线与x轴的交点，再利用二次函数的对称性可得答案． 【详解】 解：∵一元二次方程的两根为和3， ∴二次函数图像与x轴的交点为和， 由抛物线的对称性知抛物线的对称轴为， 故答案为：． 36．【答案】 【分析】 本题考查了二次函数的定义，二次函数与一元二次方程根与系数的关系，求不等式的解集，掌握二次函数定义，根与系数的关系是解题的关键． 分两种情况分析：当时，根据二次函数的图象和x轴有交点，可得，当时，为一次函数即可求解． 【详解】 解：当时， ∵图象和x轴有交点， ∴， 解得，且， 当时，为一次函数，与x轴有交点，符合题意； 综上可得： 故答案为： ． 37．【答案】（1）     （2）二次函数的图象与轴有2个公共点      【分析】 本题考查抛物线与轴交点问题，待定系数法求抛物线解析式．熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系和待定系数法求抛物线解析式是解题的关键． （1）用待定系数法求出抛物线解析式即可； （2）令，则，利用根的判别式判定一元二次方程根的情况，即可得出结论． (1) 小问详解： 解：将点代入中得， ， 解得：， 二次函数的表达式为． (2) 小问详解： 解：令，则， 由题意知：，，， ， 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， 二次函数的图象与轴有2个公共点． 考点06 实际问题与二次函数 1．B 2．B 3．B 4．D 5．B 6．B 7．A 8．D 9．D 10．D 11．C 12．D 13．D 14．A 15．【答案】31 【分析】 本题考查了二次函数的应用，将飞行时间代入关系式求解即可． 【详解】 解：当时，， 此时“水火箭”的升空高度为． 故答案为：31． 16．【答案】2 【分析】 将函数关系式转化为顶点式即可求解． 【详解】 根据题意，有， 当时，有最大值． 故答案为：2． 【点睛】 本题考查二次函数解析式的相互转化及应用，解决本题的关键是熟练二次函数解析式的特点及应用． 17．【答案】网店每天销售吉祥物“喜洋洋”的利润W（元）的最大值为8750元 【分析】 本题考查了二次函数的实际应用，正确的列出函数解析式是解题的关键． 根据总利润等于单个利润乘以销量列出二次函数关系式，求最值即可． 【详解】 解：设销售单价为x元．由题意，得： ， ∵单个销售利润不低于10元，且不高于25元 ∴，即， ∵， ∴当时，W随x的增大而增大， ∴当时，W最大，为， ∴网店每天销售吉祥物“喜洋洋”的利润W（元）的最大值为8750元． 18．【答案】16 【分析】 本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质．依据题意，设根据矩形的周长公式得到，从而根据二次函数的性质来求最值即可． 【详解】 解：设， 四边形周长． 当时，四边形周长有最大值，最大值为16． 故答案为16． 19．【答案】（1）     （2）      【分析】 该题考查了二次函数的应用，求出函数解析式是解题的关键． （1）根据题意设此时抛物线的表达式为，代入求解即可． （2）根据题意设此时抛物线的表达式为，代入求出解析式，再令，即可求解． (1) 小问详解： 解：∵米，灯带的最低点距离钢丝米， ∴， 设此时抛物线的表达式为， 将代入得，解得：， ∴此时抛物线的表达式为． (2) 小问详解： 解：∵米，灯带的最低点和小青设计的相同（顶点相同）， ∴， 设此时抛物线的表达式为， 将代入得，解得：， ∴此时抛物线的表达式为． 令，则， ∴O与C的距离是． 20．【答案】（1）     （2）运动员落水点与点的距离为5米      【分析】 本题考查了二次函数在实际问题中的应用，数形结合并熟练掌握运用待定系数法求抛物线的解析式是解题的关键． （1）建立平面直角坐标系，列出顶点式，代入点的坐标，求得的值，则可求得抛物线的解析式； （2）令，得关于的方程，求得方程的解并根据题意作出取舍即可． (1) 小问详解： 解：如图所示，建立平面直角坐标系， 由题意可得抛物线的顶点坐标为，点坐标为， 设抛物线的解析式为， 将点坐标为代入得：， 解得：， ∴这条抛物线的解析式为； (2) 小问详解： 解：∵， ∴令得：， 解得：， ∵起跳点A坐标为， ，不符合题意， ， ∴运动员落水点与点的距离为5米． 21．【答案】 【分析】 本题考查待定系数法求抛物线解析式，二次函数与轴的交点坐标，熟练掌握待定系数法和二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键．由题得，代入，得出抛物线的解析式为，令，求解即可， 【详解】 解：由题意，， 得， 将代入， 得：， 解得：， ∴， 令，得， 解得：，， ∴为， 故答案为：． 22．【答案】（1）；     （2）4米或2米．      【分析】 （1）根据题意得到，抛物线的顶点，设，利用待定系数法求出解析式即可； （2）把代入二次函数解析式，解一元二次方程即可得到答案． (1) 小问详解： 由题可知，抛物线的顶点， 设，         把代入得， 解得， ∴； ∴抛物线的解析式为； (2) 小问详解： 当时，，        解得，， 答：聪聪站在距离点O的水平距离为4米或2米时，绳子刚好通过他的头顶上方． 【点睛】 此题考查了二次函数的应用，还考查了解一元二次方程，用待定系数法求出二次函数的解析式是解题的关键． 23．【答案】（1）；（2） 【分析】 本题主要考查了二次函数的应用，待定系数法解抛物线的解析式，熟练掌握二次函数的相关知识是解题关键． （1）由题意可设该抛物线表达式为，、、对称轴为轴，分别代入，解二元一次方程组，求得抛物线的解析式为，即可求解； （2）将代入抛物线的解析式，解一元二次方程，即可求解． 【详解】 解：任务（1）：由题意可得：点的坐标为，点的坐标为，抛物线的对称轴为轴． 设该抛物线型拱门的函数表达式为（、为常数，）， 将，代入，得 ， 解得 ， 该抛物线型拱门的函数表达式为， 当时，， 该抛物线型拱门的最高点到地面的距离为． 任务（2）：令，得， 解得，， ， 两盏灯的水平距离为． 24．【答案】（1）     （2）能      【分析】 （1）运用待定系数法求解即可； （2）令，求出的值，再与和进行比较即可得解． (1) 小问详解： 解：依题意，得抛物线的顶点坐标为，且经过点， 设抛物线解析式为， 将代入，得：， ∴抛物线解析式为； (2) 小问详解： 解：令，则，， ∴云梯消防车此时所在位置喷出的水能射进起火窗户内． 25．【答案】6 【分析】 本题考查了二次函数的应用问题，设出点D的坐标并代入解析式是解题的关键．设，然后用m表示D点的坐标，将D点坐标代入抛物线解析式求出m，从而可得到的值． 【详解】 解：，矩形脚手架在大棚正中， 设，，则， D点坐标为， 将代入， 得， 解得或（舍）， ， 故答案为：6． 26．【答案】（1）     （2）或     （3）      【分析】 本题考查了二次函数的应用，解题的关键是求出乒乓球第一次、第二次弹起运行路线的抛物线的解析式． （1）根据待定系数法求解即可； （2）先求出B的坐标，然后根据待定系数法求出第二次运行路线的解析式，然后把代入求解即可； （3）把和代入第二次运行的抛物线解析式，解方程求出的值，即可求解． (1) 小问详解： 解：设抛物线解析式为， 把代入，得， 解得， ∴乒乓球第一次弹起运行路线的抛物线的解析式为； (2) 小问详解： 解：当时，， 解得，， ∴， ∵第二次弹起的运行路线和第一次运行路线的拋物线形状相同，第二次弹起的最大高度为． ∴设第二次弹起的运行路线的抛物线为， 把代入，得， 解得，（不符合题意，舍去）， ∴， 把代入，得， 解得，， ∴乒乓球到轴的距离为或； (3) 小问详解： 解：把代入，得， 解得，（舍去） 把代入，得， 解得，（舍去）， ∴的取值范围为：， 故答案为：． 27．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题主要考查了二次函数的应用，正确求出对应的函数表达式是解题的关键． （1）根据顶点坐标，设该抛物线的函数表达式为，由题意得，该抛物线经过点，待定系数法求解析式即可求解； （2）求出时的函数值即可得到答案． (1) 小问详解： 解：由题意得，抛物线的顶点坐标为， 设该抛物线的函数表达式为， 由题意得，该抛物线经过点，则， 解得， ∴该抛物线函数表达式为． (2) 小问详解： 解：在中，当时，． 答：柱形喷水装置的高度为． 28．【答案】20 【分析】 根据正常水位时水面宽米，找出当时，再根据水位上升5米时，代入解析式求值即可． 【详解】 解：∵， ∴当时，， 当水位上升5米时，， 把代入，得， 解得， 此时水面宽米， 故答案为：20． 【点睛】 本题考查二次函数的应用，根据图形找出相关数据求值是解题的关键． 29．【答案】（1）     （2）不能      【分析】 本题考查了二次函数的应用，利用待定系数法求出二次函数的解析式是解题的关键． （1）利用待定系数法求抛物线的解析式即可； （2）代入求出对应的值，再求出球拍的高度，比较两者的大小即可得出结论． (1) 小问详解： 解：设抛物线的函数表达式为， 由题意得，抛物线经过和，且对称轴为， ， 解得： ， 抛物线的函数表达式为． (2) 小问详解： 解：当时，， 球拍的高度为， ， 不能接到羽毛球． 30．【答案】（1）抛物线解析式为     （2）水平距离为      【分析】 本题考查二次函数的实际应用，熟练掌握待定系数法求解析式和二次函数与一次函数的交点问题是解题的关键， （1）由题意可得抛物线顶点坐标为，设抛物线解析式为，把代入，求出值，即可得答案； （2）把代入（1）中解析式，求出的值，即可得答案． (1) 小问详解： 解：∵水柱在距出水口的水平距离为时，达到距离地面的竖直高度的最大值为， ∴抛物线顶点坐标为， 设抛物线解析式为， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴图中水柱所在抛物线的函数解析式为． (2) 小问详解： 解：由（1）可知抛物线解析式为， ∴当时，， 解得：，（舍去）， ∴此时喷到处的水柱距出水口的水平距离为． 31．【答案】（1）     （2）解：隧道能让最宽，最高的两辆厢式货车居中并列行驶．理由如下： 当最宽，最高的两辆厢式货车居中并列行驶时， ∴，， ∴代入解析式得：； ∴， ∴隧道能让最宽，最高的两辆厢式货车居中并列行驶．      【分析】 本题主要考查了顶点式求二次函数解析式、二次函数的应用等知识点，将实际问题转化为数学问题以及数形结合思想成为解题的关键． （1）利用顶点式求出二次函数解析式即可； （2）根据已知条件可知当时，正好是汽车宽度，求出此时抛物线的纵坐标，然后判断是否满足题意即可解答． (1) 小问详解： 解：根据坐标系可知此函数顶点坐标为，且图象过点， 设抛物线的解析式为：， ∴，解得：， ∴． (2) 小问详解： 略 32．【答案】；售价为35元时，最大利润450元 【分析】 本题考查了二次函数的应用，解题关键是根据题意列出函数解析式．依据题意，由每件的利润销量总利润，进而表示出w，然后根据二次函数的性质求解即可． 【详解】 解：根据题意得， ∵， ∴抛物线开口向下， ∵对称轴为直线， ∴当时，． 答：售价为35元时，最大利润450元． 33．【答案】（1）20元     （2）销售该商品第25天时，每天的利润最大，最大利润是2500元      【分析】 （1）此题考查了一元一次方程的应用、二次函数的应用． （1）设该公司生产每件商品的成本为a元，该商品第10天的售价按8折出售，仍然可以获得的利润，据此列方程并解方程即可； （2）设第x天的销售利润为W元，根据单件利润乘以当天的销量即可得到W关于x的二次函数解析式，根据二次函数的性质进行解答即可． (1) 小问详解： 解：设该公司生产每件商品的成本为a元， 根据题意得：， 解得： 答：该公司生产每件商品的成本为20元； (2) 小问详解： 设第x天的销售利润为W元， 则： 当时，W取得最大值，最大值为元． 故销售该商品第天时，每天的利润最大，最大利润是元． 34．【答案】（1）边长为20米时，有最大面积，且最大面积为1200平方米     （2）总共能种2400株花，最多可以购买1400株牡丹      【分析】 本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式． （1）设米，则米，根据矩形面积公式得：，由二次函数性质可得答案； （2）依据题意，由每平方米种植2株，则总共能种花的株数为，设购买牡丹m株，根据学校计划购买费用不超过5万元，列不等式可解得答案． (1) 小问详解： 解：由题意，设米，则米， ∴花园的总面积， ∴当时，最大面积为平方米， ∴边长20米，花园的总面积最大，最大面积是1200平方米； (2) 小问详解： 解：由题意，∵每平方米种植2株， ∴总共能种花的株数为，即总共能种2400株花； 设购买牡丹株，则购买芍药株， ∵学校计划购买费用不超过5万元， ∴， ∴， ∴最多可以购买1400株牡丹． 35．【答案】（1）     （2）     （3）售价为130元时，当月的利润最大，最大利润是98000元      【分析】 本题主要考查了一次函数的应用、二次函数的最值问题，熟练掌握一次函数的解析式求解方法和二次函数的最值求法是解题的关键． （1）利用“每件利润售价进价”，直接列式表示； （2）设一次函数解析式，代入表格中两组数据求解； （3）根据“月利润每件利润月销量”列出函数关系式，再利用二次函数性质求最值． (1) 小问详解： 解：每件利润为元， 故答案为：． (2) 小问详解： 解：设，代入、得 ， 解得，， ∴， 故答案为：． (3) 小问详解： 解：∵， ∴ ， ∵， ∴二次函数开口向下，顶点横坐标为， ∴最大值， 答：售价为130元时，月利润最大，最大利润是98000元． 36．【答案】（1）     （2）该男生在此项考试中能得满分.      【分析】 （1）已知顶点坐标为，设成顶点式，将代入求出a的值，即可求出函数表达式. （2）根据（1）中的表达式，求出时x的值，即D点的坐标，则可知OD的长，再与9.7作比较，即可判断是否得满分. (1) 小问详解： 设 将代入得        解得 (2) 小问详解： 当时，        （舍去） ∴该男生在此项考试中能得满分. 【点睛】 本题主要考查了求二次函数表达式，及二次函数的实际应用，熟练掌握求二次函数表达式式是解题的关键. 37．【答案】（1）每套吉祥物的售价应定为32元；     （2）销售单价为35元时每天获利最大，最大利润4500元．      【分析】 此题考查了一元二次方程和二次函数的应用，根据题意列出方程和函数是解题的关键． （1）设每套吉祥物的售价为x元，根据每套的利润乘以套数等于总利润列方程，解方程即可得到答案； （2）设每天销售吉祥物获得的利润为y元，根据每套的利润乘以套数等于总利润列出二次函数，根据二次函数的性质进行解答即可． (1) 小问详解： 设每套吉祥物的售价为x元，根据题意得 ， 化简得：， 解得，， 为了尽快清空库存，每套吉祥物的售价应定为32元． (2) 小问详解： 设每天销售吉祥物获得的利润为y元，则有 ， ∵，且， ∴， ∵对称轴为直线，且该二次函数图象开口向下， ∴函数的最大值为， 销售单价为35元时每天获利最大，最大利润4500元． 38．【答案】（1）当时，的最小值为3     （2）；大；1     （3）当，矩形养殖场的总面积最大，最大值为      【分析】 本题考查了配方法求代数式极值中的应用，不等式的性质，实际应用题中几何关系的建模．解题的关键是正确配方，识别完全平方项的非负性，根据不等式的性质求解． （1）将原式配方，，根据，再根据不等式的性质求解即可． （2）对代数式进行配方，，结合，再根据不等式的性质求解即可． （3）设，由，得到，根据栅栏总长度和面积建立方程，通过配方，利用不等式的性质求最大值． (1) 小问详解： 解： ， ∵， ∴3， ∴当时，的最小值为3； (2) 小问详解： ， ∵， ∴， ∴， ∴当时，有最大值，最大值为1． 故答案为：；大；1； (3) 小问详解： 设，则， ∴， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴当时，最大，最大值为48， ∴当，矩形养殖场的总面积最大，最大值为． 39．【答案】（1）每件童装降价20元时，平均每天盈利1200元     （2）每件童装降价15元时，平均每天盈利最大，最大利润是1250元      【分析】 本题主要考查了一元二次方程的实际应用，二次函数的实际应用，正确理解题意，根据题意找出等量关系，列出方程和函数解析式是解题的关键． （1）设每件童装降价x元，根据总利润=单件利润×数量，列出方程求解即可； （2）设利润为w，根据总利润=单件利润×数量，列出w关于x的函数解析式，结合二次函数的性质，即可解答． (1) 小问详解： 解：设每件童装降价x元， ， 整理得：， 解得：， 为减少库存，取， 答：每件童装降价20元时，平均每天盈利1200元． (2) 小问详解： 解：设利润为w， ， ∵， ∴当时，w有最大值1250， 即每件童装降价15元时，平均每天盈利最大，最大利润是1250元． 40．【答案】（1）第二、三周该口味重阳糕销售量的周平均增长率为     （2）当该口味重阳糕的销售单价降低3元时，第四周销售这种口味的重阳糕的利润最大，为2187元      【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用． （1）设第二、三周该口味重阳糕销售量的周平均增长率为，根据第一周和第三周的销售关系，利用增长后的量增长前的量，列方程求解即可； （2）设该口味重阳糕的销售单价降低m元，利润为s元，根据题意列出函数解析式，进而根据二次函数的性质作答即可. (1) 小问详解： 解：设第二、三周该口味重阳糕销售量的周平均增长率为， 根据题意，列方程：． 解方程，得，（不合题意，舍去）． 答：第二、三周该口味重阳糕销售量的周平均增长率为； (2) 小问详解： 解：设该口味重阳糕的销售单价降低m元，则每盒的销售利润为元，第四周的销售量为盒，利润为s元． 根据题意，得 ， 当时，s取最大值2187． 答：当该口味重阳糕的销售单价降低3元时，第四周销售这种口味的重阳糕的利润最大，为2187元． 41．【答案】（1） 如图，以地面所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系，则点O为坐标原点（答案不唯一）， ，；     （2） 解：不能，理由如下： 当时，， ， ∴石块不能越过城墙．      【分析】 本题考查二次函数的实际应用： （1）以地面所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系，则点O为坐标原点，写出A的坐标及顶点坐标，设二次函数的解析式为顶点式，将的A的坐标代入即可求得答案； （2）求出时的y值，比较这个值与城墙的高度即可做出判断． (1) 小问详解： 解：图略 根据题意可知，抛物线的顶点坐标为， 设石块运动轨迹的抛物线对应的函数解析式为， 将代入解析式，得， 解得， ∴抛物线对应的函数解析式为； (2) 小问详解： 略 42．【答案】（1）     （2）空调定价为2800元时，每天的利润最大，为7200元      【分析】 （1）设月平均增长率为x，列出方程即可求解． （2）列出利润关于降价金额的二次函数，利用顶点式即可求解． (1) 小问详解： 解：设月平均增长率为x， 依题意，得：， 解得：，（舍）， 商场7、8两个月售出空调的月平均增长率为． (2) 小问详解： 设该商场每台空调降价m元，则每天可多售台，每天的利润为w元， ， 当时，， ∴空调定价为2800元时，每天的利润最大，为7200元． 【点睛】 本题考查了一元二次方程与二次函数的应用，解题关键是理解题意，正确列出方程和函数关系式，会利用顶点式求出函数的最大值． 43．【答案】（1），     （2）礼盒的售价提高元时，两种礼盒每天的销售利润之和最大，最大为元      【分析】 本题考查了二次函数的实际应用，掌握知识点是解题的关键． （1）根据利润每盒利润销量列式即可； （2）设两种礼盒每天的销售利润之和为元，礼盒的售价每盒提高元，则礼盒的售价每盒提高元，列出关于的二次函数关系式，利用二次函数的性质可得答案． (1) 小问详解： 解：由题意可得， ； (2) 小问详解： 设两种礼盒每天的销售利润之和为元，礼盒的售价每盒提高元，则礼盒的售价每盒提高元． 由题意得 当时，元， 即礼盒的售价提高元时，两种礼盒每天的销售利润之和最大，最大为元． 44．【答案】（1）     （2）18米     （3）米      【分析】 本题考查了二次函数的应用、一次函数的应用、二次函数平移等知识，熟练掌握与灵活运用相关知识，运用数形结合的思想分析问题是解题的关键． （1）设抛物线解析式为，将代入并求解，即可获得答案； （2）对于抛物线，令，求解即可获得答案； （3）设浇灌装置还要升高米，则抛物线解析式为，再确定点坐标，将点坐标代入，求解即可获得答案． (1) 小问详解： 解：根据题意可知，抛物线的顶点坐标为，设抛物线解析式为， 将代入，可得， 解得 ， ∴水柱所在抛物线的函数表达式为； (2) 小问详解： 对于抛物线， 令，可得， 整理可得， 解得，（舍去）， ∴该装置浇灌的最远点离地面的竖直高度为，此时喷到处的水柱距出水口的水平距离为18米； (3) 小问详解： 设浇灌装置还要升高米，则抛物线解析式为， 对于直线：， 令，可得， 解得，即， 将点代入， 可得， 解得， ∴浇灌装置还要升高米． 45．【答案】（1）     （2）当时，w最大，最大值为2450元．     （3）当为20时，每天销售这种玩具可获利最大，最大利润是2400元．      【分析】 本题主要考查了一次函数、二次函数的应用等知识点，弄清题目中包含的数量关系是解题的关键． （1）根据“每天可售出50件．根据市场调查发现，销售单价每增加2元，每天销售量会减少1件”列函数关系式即可； （2）根据题意得到，然后化成顶点式并根据二次函数的性质即可解答； （3）先求得x的取值范围，然后利用（2）的相关结论以及函数的增减性即可解答． (1) 小问详解： 解：根据题意得，． (2) 小问详解： 解：根据题意得： ， ， ， ∵， ∴当时，w最大，最大值为2450元． 答：当x为30时，超市每天销售这种玩具可获利润2450元； (3) 小问详解： 解：∵， ∴， ∵当时，w随x的增大而增大， ∴当时，w最大，最大值为元． 答：当为20时，每天销售这种玩具可获利最大，最大利润是2400元． 46．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题主要考查了二次函数和一次函数的应用，熟练掌握待定系数法及二次函数的性质是解题的关键． （1）设，结合表格数据利用待定系数法求解，即可解题； （2）分析题意，根据总利润销售量 (售价成本)，结合（1）可得出与x的表达式； 再根据二次函数的图象和性质，求出二次函数的最大值就是最大利润，此时的x的值就是商品的售价． (1) 小问详解： 解：每天的销售质量（千克）与每千克售价x（元），满足一次函数关系， 设， 结合表格有 ， 解得 ， y与x之间的函数表达式为； (2) 小问详解： 解：由题知， 整理得， ， 当时，获得利润最大． 47．【答案】（1）y=-20x+1600；（2）当每盒售价定为60元时，每天销售的利润P（元）最大，最大利润是8000元． 【详解】（1）根据“当售价定为每盒45元时，每天可卖出700盒，每盒售价每提高1元，每天要少卖出20盒”即可得出每天的销售量y（盒）与每盒售价x（元）之间的函数关系式；（2）根据利润=1盒粽子所获的利润×销售量列出函数关系式整理，然后根据二次函数的最值问题解答即可． 试题分析： 试题解析：（1）由题意得，y=700-20（x-45）=-20x+1600； （2），∵x≥45，抛物线的开口向下，∴当x=60时，P最大值=8000元，即当每盒售价定为60元时，每天销售的利润P（元）最大，最大利润是8000元． 考点：二次函数的应用． 48．【答案】（1），     （2）当销售单价定为元时，每月可获得最大利润，最大利润是元      【分析】 本题考查了二次函数的实际应用，解题的关键是正确理解题意． （1）由题意得，每月销售量与销售单价之间的关系可近似看作一次函数，利润=(定价−进价)×销售量，从而列出关系式； （2）首先确定二次函数的对称轴，然后根据其增减性确定最大利润即可． (1) 小问详解： 解：由题意，得：， 即； ∵， ∴， ∴自变量的取值范围； (2) 小问详解： 解：对于函数 ∵， 当时， 答：当销售单价定为元时，每月可获得最大利润，最大利润是元． 49．【答案】（1）     （2）小明在这次投掷中得到了满分，理由： 当时, ， 解得： （舍去）， ∵， ∴小明在这次投掷中得到了满分．      【分析】 本题考查了二次函数的实际应用，解答本题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式及二次函数的性质． （1）设抛物线的解析式为，再代入即可求出解析式； （2）把代入，即可求出x的值，再与满分成绩比较即可得到结果． (1) 小问详解： 解：由题意可知,抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的关系式是， 把点代入得： 解得：， ∴ 抛物线的关系式为； (2) 小问详解： 略 50．【答案】（1）A售价60元，B售价72元     （2）     （3）；降价2元，最大利润1840元      【分析】 本题主要考查一元一次方程的应用、一次函数的应用以及二次函数的应用． 根据题意设每件A类特产的售价为x元，则每件B类特产的售价为元，进一步得到关于x的一元一次方程求解即可； 根据降价1元，每天可多售出10件列出函数关系式，结合进价与售价，且每件售价不低于进价得到x得取值范围； 结合（2）中A类特产降价x元与每天的销售量y件，得到A类特产的利润，同时求得B类特产的利润，整理得到关于x的二次函数，利用二次函数的性质求解即可． (1) 小问详解： 解：设每件A类特产的售价为x元，则每件B类特产的售价为元． 根据题意得． 解得． 则每件B类特产的售价（元）． 答：A类特产的售价为60元/件，B类特产的售价为72元/件． (2) 小问详解： 由题意得 ∵A类特产进价50元/件，售价为60元/件，且每件售价不低于进价 ∴． ∴． (3) 小问详解： ． ∴当时，w有最大值1840． ∴A类特产每件降价2元时，每天销售利润最大，最大利润为1840元． 51．【答案】（1）     （2）销售单价定为75元时，销售利润最大，此时销售量为100个      【分析】 本题考查的是求一次函数的解析式，二次函数的应用，根据题意列出一次函数以及二次函数关系式是解答此题的关键． （1）利用待定系数法求解析式．设，把点分别代入可求得日销售量y与销售单价x之间的关系式； （2）设每天的利润为W，把每天的利润W与销售单价x之间的函数关系式化为二次函数顶点式的形式，由此关系式即可得出结论． (1) 小问详解： 解：设函数关系式为，由题意得， ， 解得： ． ∴与之间的函数关系式为． (2) 小问详解： 设该商品的利润为W， ∴ ∵， ∴当时，销售利润最大，此时的销售量为：（个）． 52．【答案】（1）      （2） 每个定价为70元，应进货200个     （3） 每个定价65元，获得的最大利润是6250元      【分析】 本题主要考查一元二次方程，二次函数的运用，理解数量关系，正确列式求解是关键． （1）根据利润售价进价直接列式； （2）根据总利润每个利润销售量列方程，解方程后选择进货量较小的解； （3）将总利润表示为二次函数，通过求顶点坐标得到最大值． (1) 小问详解： 解：每个进价为40元，销售定价为50元，设每个定价增加x元， ∴每个获得的利润为（元）； (2) 小问详解： 解：设每个定价增加元，则销售量为个， 总利润为， 化简得，即， 两边除以得， 解得或， 当时，进货量（个）， 当时，进货量（个）， ∵要使进货量较少， ∴取， 定价为元，进货200个； (3) 小问详解： 解：总利润， ∵， ∴抛物线开口向下，有最大值， 顶点横坐标， 定价为元， 最大利润元． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 二次函数 6大高频考点概览 考点01 二次函数的概念 考点02 二次函数y=ax²的图象和性质 考点03 二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质 考点04 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 考点05 二次函数与一元二次方程 考点06 实际问题与二次函数 考点01 二次函数的概念 1．（25-26学年九上·甘肃平凉庄浪县·期中）已知是二次函数，则（     ） A. a不为零 B. b不为零 C. c不为零 D. a，b，c均不为零 2．（25-26学年九上·甘肃陇南·期中）若函数是二次函数，那么的值是（        ） A. 2 B. -2或2 C. -2 D. 0或2 3．（25-26学年九上·甘肃兰州第二十中学·期末）已知函数y=（m2-2）x2+（m+）x+8． （1）若这个函数是一次函数，求m的值； （2）若这个函数是二次函数，求m的取值范围. 4．（25-26学年九上·甘肃武威凉州区吴家井中学·期末）已知函数是关于x的二次函数． （1）求m的值； （2）写出二次项系数、一次项系数及常数项． 考点02 二次函数y=ax²的图象和性质 1．（25-26学年九上·甘肃陇南武都区·期末）已知点，，三点都在抛物线的图象上，则、、的大小关系是（　　） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·甘肃甘南藏族自治州临潭县第一中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，平行于x轴的直线，与二次函数和分别交于A、B和C、D四个点，此时，，把直线向上平移个单位，则与之间的关系是（       ） A.  B. 随着直线向上平移， C. 随着直线向上平移， D. 无法判断 考点03 二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质 1．（25-26学年九·甘肃张掖民乐县·期末）二次函数的最大值是（     ） A. 1 B.  C. 5 D.  2．（25-26学年九上·甘肃兰州第二十中学·期末）将抛物线向上平移个单位后得到新抛物线的表达式为（     ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年九上·甘肃酒泉肃州区·期末）二次函数图象的顶点所在的象限是（       ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4．（25-26学年九上·甘肃平凉·期末）将抛物线y＝x2向上平移1个单位长度，再向左平移3个单位长度后，得到的抛物线的解析式为（       ） A. y＝（x＋3）2＋1 B. y＝（x﹣3）2＋1 C. y＝（x＋3）2﹣1 D. y＝（x﹣3）2﹣1 5．（25-26学年九上·甘肃武威凉州区吴家井中学·期末）将抛物线向上平移2个单位长度，所得抛物线的解析式为（       ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年九上·甘肃庆阳镇原县·期中）抛物线的顶点坐标是（   ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年九上·甘肃定西临洮县·期中）抛物线 的顶点坐标是（     ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年九上·甘肃柏树中学·期中）抛物线的顶点坐标为（     ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年九上·甘肃陇南西和县）抛物线y＝x2﹣4的顶点坐标是（　　） A. （0，﹣4） B. （0，4） C. （2，0） D. （﹣2，0） 10．（25-26学年九·甘肃武威第十七中学·期末）已知抛物线有最低点，那么a的取值范围是（） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年九上·甘肃兰州第十九中学·期末）已知抛物线，下列说法正确的是（     ） A. 开口向上 B. 对称轴是 C. 顶点坐标为 D. 当时，y随x的增大而减小 12．（25-26学年九上·甘肃平凉庄浪县·期末）把抛物线向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到的抛物线的解析式为（       ） A.  B.  C.  D.  13．（25-26学年九上·甘肃庆阳镇原县·期末）已知二次函数，下列说法正确的是（     ） A. 对称轴为直线 B. 函数的最大值是7 C. 抛物线开口向上 D. 顶点的坐标为 14．（25-26学年九上·甘肃武威凉州区·期末）将抛物线向右平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线解析式为（     ） A.  B.  C.  D.  15．（25-26学年九上·甘肃定西安定区·期末）二次函数的顶点坐标、对称轴分别是（     ） A. ，直线 B. ，直线 C. ，直线 D. ，直线 16．（25-26学年九上·甘肃陇南武都区·期中）已知点，都在抛物线上，则（     ） A.  B.  C.  D.  17．（25-26学年九上·甘肃陇南武都区·期中）为了得到抛物线，可以将抛物线（     ） A. 向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度 B. 向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度 C. 向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度 D. 向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度 18．（25-26学年九上·甘肃临夏州·期中）关于二次函数的最值，下列说法正确的是（     ） A. 有最大值3 B. 有最小值3 C. 有最大值4 D. 有最小值4 19．（25-26学年九上·甘肃临夏州·期中）当函数y=（x-1）2-2的函数值y随着x的增大而减小时，x的取值范围是（　　） A.  B.  C.  D. x为任意实数 20．（25-26学年九上·甘肃庆阳镇原县·期中）已知二次函数，若随的增大而减小，则的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  21．（25-26学年九上·甘肃酒泉肃州区·期中）抛物线经过平移得到，平移方法是　　 A. 向左平移1个单位，再向下平移3个单位 B. 向左平移1个单位，再向上平移3个单位 C. 向右平移1个单位，再向下平移3个单位 D. 向右平移1个单位，再向上平移3个单位 22．（25-26学年九上·甘肃武威凉州区·期中）将抛物线先向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到的新抛物线解析式为（     ） A.  B.  C.  D.  23．（25-26学年九上·甘肃定西临洮县·期中）将抛物线向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度后的抛物线的函数表达式为（     ） A.  B.  C.  D.  24．（25-26学年九上·甘肃陇南·期中）抛物线可以由抛物线平移得到，则下列平移方法正确的是（　　） A. 先向左平移2个单位，再向上平移7个单位 B. 先向左平移2个单位，再向下平移1个单位 C. 先向右平移2个单位，再向上平移7个单位 D. 先向右平移2个单位，再向下平移1个单位 25．（25-26学年九上·甘肃吴家井中学·期中）将抛物线的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到的抛物线的顶点坐标是（     ） A.  B.  C.  D.  26．（25-26学年九上·甘肃庆阳镇原县·期中）若抛物线向左平移个单位长度后，经过，则的值为（       ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 0或4 27．（25-26学年九上·甘肃平凉庄浪县·期中）将抛物线向下平移2个单位长度，再向左平移1个单位长度，能得到抛物线的是（       ） A.  B.  C.  D.  28．（25-26学年九上·甘肃武威凉州区谢河中学·期中）已知，两点在抛物线上，如果，那么下列结论一定成立的是（       ）． A.  B.  C.  D.  29．（25-26学年九上·甘肃兰州第十九中学·期末）抛物线向右平移1个单位，再向上平移2个单位后所得抛物线的表达式为　　　　　　． 30．（25-26学年九上·甘肃陇南·期末）将抛物线向下平移4个单位长度后，所得抛物线的表达式为　　　　　　． 31．（25-26学年九上·甘肃兰州·期末）抛物线的顶点坐标是　　　　　　　　　　． 32．（25-26学年九上·甘肃陇南西和县·期末）点，都在二次函数的图象上，则　　　　　　．（选填“”“”或“”）． 33．（25-26学年九上·甘肃兰州第八十一中学·期末）抛物线的顶点坐标是　　　　　　　　　　． 34．（25-26学年九上·甘肃陇南武都区·期末）若抛物线的顶点在第一象限，则m的取值范围为　　　　　　． 35．（25-26学年九上·甘肃柏树中学·期中）抛物线的最小值为　　　　　　　　 36．（25-26学年九上·甘肃临夏州·期末）把抛物线向上平移个单位长度，得到抛物线，则　　　　　　　　　． 37．（25-26学年九上·甘肃酒泉肃州区·期末）将抛物线向左平移个单位，再向上平移个单位，所得抛物线的表达式为　　　　　　． 38．（25-26学年九上·甘肃兰州第二十二中学·期末）将抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到的新抛物线的解析式为　　　　　　　　． 39．（25-26学年九上·甘肃定西·期中）将抛物线向右平移2个单位后的新抛物线的解析式为　　　　　　　　　　　． 40．（25-26学年九上·甘肃临夏州·期中）把抛物线向左平移3个单位，然后向下平移2个单位，平移后抛物线的顶点坐标为　　　　　　　　. 41．（25-26学年九上·甘肃平凉庄浪县·期中）如图，抛物线的对称轴为直线，将抛物线向上平移个单位长度得到抛物线，则图中的两条抛物线、直线与轴所围成的图形（阴影部分）的面积为　　　　　　． 42．（25-26学年九上·甘肃武威凉州区谢河中学·期中）二次函数的图象可由哪个函数图象向下平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度得到　　　　　　　 43．（25-26学年九上·甘肃酒泉第七中学·期中）将抛物线向上平移两个单位长度，再向右平移一个单位长度后，得到的抛物线的顶点坐标是　　　． 44．（25-26学年九上·甘肃酒泉第七中学·期中）若将抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，则所得抛物线的函数解析式为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　． 45．（25-26学年九上·甘肃武威凉州区吴家井中学·期末）已知二次函数，当时，的取值范围为　　　　　　　　． 考点04 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 1．（25-26学年九上·甘肃定西渭源县·期末）二次函数的最小值是（     ）. A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·甘肃定西·期中）二次函数y＝x2﹣2x+2的顶点坐标是（　　） A. （1，1） B. （2，2） C. （1，2） D. （1，3） 3．（25-26学年九上·甘肃兰州·期中）关于一次函数的性质及其图象，下列说法正确的是（     ） A. 的值随值的增大而减小 B. 该函数的图象经过第一、三、四象限 C. 点一定在函数图象上 D. 和是图象上两点，则 4．（25-26学年九上·甘肃酒泉第七中学·期中）下列关于抛物线y=(x+1) 2+2的说法,正确的是(     ) A. 开口向下 B. 对称轴是直线x=1 C. 当x=-1时,y有最小值2 D. 当x>-1时,y随x的增大而减小 5．（25-26学年九上·甘肃武威凉州区·期中）二次函数的对称轴是，则（       ） A.  B. 3 C.  D. 6 6．（25-26学年九上·甘肃兰州第五中学·期末）二次函数写成形如的形式，则m，n的值分别是（   ） A. ， B. ， C. ， D. ， 7．（25-26学年九上·甘肃兰州第二十中学·期末）若二次函数的图象经过点，，则与的大小关系为（　　） A.  B.  C.  D. 不能确定 8．（25-26学年九上·甘肃兰州第二十中学·期末）在同一坐标中，一次函数与二次函数的图象可能是（       ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年九上·甘肃兰州·期末）碳酸钠的溶解度与温度之间的对应关系如图所示，则下列说法正确的是（       ） A. 当温度为时，碳酸钠的溶解度为 B. 碳酸钠的溶解度随着温度的升高而增大 C. 当温度为时，碳酸钠的溶解度最大 D. 要使碳酸钠的溶解度大于，温度只能控制在 10．（25-26学年九上·甘肃酒泉肃州区·期末）在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象可能是（     ） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年九上·甘肃定西·期中）在同一坐标系中，一次函数y=ax+2与二次函数y=x2+a的图象可能是（ ） A.  B.  C.  D.  12．（25-26学年九上·甘肃酒泉第七中学·期中）已知，，是抛物线上的点，则（     ） A.  B.  C.  D.  13．（25-26学年九上·甘肃武威凉州区·期中）在同一平面直角坐标系内，函数和的图象大致是（　　） A.  B.  C.  D.  14．（25-26学年九上·甘肃陇南·期中）在同一平面直角坐标系中，函数和（是常数，且）的图象可能是（       ） A.  B.  C.  D.  15．（25-26学年九上·甘肃陇南西和县）二次函数图象上有三个点，，，则，，之间的大小关系是（       ） A.  B.  C.  D.  16．（25-26学年九上·甘肃吴家井中学·期中）已知开口向下的抛物线经过坐标原点，那么a等于（       ） A.  B. 1 C.  D. 2或 17．（25-26学年九·甘肃武威第十七中学·期末）如图，二次函数的图像与轴交于、两点，与轴交于点，且对称轴为直线，点的坐标为，则下列四个结论：①；②；③；④；⑤当或时，．其中正确的个数是（　　） A.  B.  C.  D.  18．（25-26学年九上·甘肃兰州第五中学·期末）已知二次函数，图象的一部分如图所示，该函数图象经过点，对称轴为直线．对于下列结论：①；②；③；④（其中）；⑤若和均在该函数图象上，且，则．其中正确结论的个数共有（　　）个． A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 19．（25-26学年九上·甘肃兰州第二十中学·期末）抛物线的对称轴为直线，给出下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的个数有（　　） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 20．（25-26学年九上·甘肃兰州第十九中学·期末）已知点在抛物线上，则下列结论正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  21．（25-26学年九上·甘肃庆阳镇原县·期末）如图，与正方形的一条边重合，，，将正方形沿向右平移，当点D与点A重合时，停止平移，设点C平移的距离为x，正方形与重合部分的面积为y，则y关于x的函数图象大致为（　　） A.  B.  C.  D.  22．（25-26学年九上·甘肃兰州·期末）已知二次函数的图象如图所示，则（     ） A.  B.  C.  D.  23．（25-26学年九上·甘肃武威凉州区·期末）在同一平面直角坐标系中，一次函数（为常数，且）的图象与二次函数的图象可能是（    ） A.  B.  C.  D.  24．（25-26学年九上·甘肃定西安定区·期末）抛物线的部分图象如图所示，与轴的一个交点坐标为，抛物线的对称轴是．下列结论中：①；②；③；④若点在该抛物线上，则．⑤方程有两个不相等的实数根；其中正确的有（          ） A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 25．（25-26学年九上·甘肃武威凉州区吴家井中学·期末）二次函数的图象经过点，，．若，且抛物线的对称轴为直线．则下列结论的正确的是（     ） ①；②；③关于的方程的两根之积；④点，在抛物线上且在对称轴的同侧，当时，总有，则． A. ①② B. ①②④ C. ①③④ D. ①②③④ 26．（25-26学年九上·甘肃兰州第八十一中学·期末）著名数学家华罗庚说过：“数缺形时少直觉，形缺数时难入微．数形结合百般好，隔离分家万事非．”寥窖数语，把图形之妙趣说的淋漓尽致．如图是二次函数的图象，那么无论为何值，函数值恒为正的条件是（     ） A.  B.  C.  D.  27．（25-26学年九上·甘肃陇南·期末）在二次函数为常数中，当时，随的增大而增大，则的取值范围是（   ） A.  B.  C.  D.  28．（25-26学年九上·甘肃陇南·期末）已知二次函数的图象如图所示，有下列三个结论：①；②；③．下列说法正确的是（       ） A. ①②正确，③错误 B. ①错误，②③正确 C. ①③正确，②错误 D. ①②③都正确 29．（25-26学年九上·甘肃定西·期中）已知二次函数的图象如图所示，有下列4个结论：①；②；③；④；其中正确的结论有（       ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 30．（25-26学年九上·甘肃临夏州·期中）如图，抛物线与x轴交于点和点，以下结论：①；②；③时，y随x的增大而减小．其中正确的个数为（     ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 31．（25-26学年九上·甘肃庆阳镇原县·期中）如图是二次函数的图象的一部分，对称轴为直线且经过点，则下列结论正确的是（       ） A.  B.  C.  D. 方程的两个根为 32．（25-26学年九上·甘肃武威凉州区谢河中学·期中）如图，二次函数与轴交点的横坐标为，与轴正半轴的交点为，，则下列结论正确的有（       ） ①；②；③；④ A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 33．（25-26学年九上·甘肃酒泉第七中学·期中）已知二次函数的图象如图所示，有下列结论：①；②；③；④；⑤（m为任意实数）；⑥若，，是抛物线上三点，则；⑦关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根；其中正确的结论的个数是（                 ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 34．（25-26学年九上·甘肃酒泉第七中学·期中）在同一坐标系中，一次函数与二次函数的图像可能是（       ） A.  B.  C.  D.  35．（25-26学年九上·甘肃陇南）已知二次函数的图象经过四个象限，则的值可以是（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 36．（25-26学年九上·甘肃兰州红古区·期中）关于x的一元二次方程的新定义：关于x的一元二次方程：与称为“交换二次方程”．如与就是“交换二次方程”．现有关于x的一元二次方程：与是“交换二次方程”．那么代数式能取到的最小值是（       ） A. 2036 B. 2030 C. 2032 D. 2026 37．（25-26学年九上·甘肃柏树中学·期中）二次函数的图像，下列说法正确的是（     ） A. 对称轴为直线 B. 最大值为4 C. 与y轴交点为 D. 图像过点 38．（25-26学年九上·甘肃陇南西和县）下表给出了二次函数（）的自变量与函数的一些对应值，则下列说法正确的是（     ） … 0 1 2 … … 0 3 4 3 … A. 对称轴为直线 B. 当时， C. 当时，随的增大而增大 D. 此函数有最小值4 39．（25-26学年九上·甘肃吴家井中学·期中）如图，是二次函数的图象的一部分，其对称轴为直线，且过点，现有下列说法：；④若，是抛物线上两点，则，其中说法正确的是（     ） A. ①②③ B. ①③④ C. ①②④ D. ①②③④ 40．（25-26学年九上·甘肃吴家井中学·期中）若二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，则下列四个结论中错误的是（    ） A.  B.  C.  D.  41．（25-26学年九上·甘肃临夏州·期末）已知二次函数的图象经过点，两点，若，则的值可能是（     ） A.  B.  C.  D.  42．（25-26学年九上·甘肃定西临洮县·期中）二次函数 的部分图象如图所示，其对称轴为直线，且图象经过点，则下列结论正确的是（     ） A.  B.  C. 若且，则 D. 若，两点都在抛物线上，则 43．（25-26学年九上·甘肃柏树中学·期中）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴的正半轴交于点，对称轴是直线，其顶点在第二象限，给出以下结论： ①当时，；   ②若且，则；③若，则； ④若，，连接，点在抛物线的对称轴上，且，则．其中正确的结论是(　　) A. ①③④ B. ①②③④ C. ①③ D. ①④ 44．（25-26学年九上·甘肃吴家井中学·期中）如图，抛物线与y轴交于点A，与x轴交于点B，线段在抛物线的对称轴上移动（点C在点D下方），且．当四边形的周长最小时，点D的坐标为（     ） A.  B.  C.  D.  45．（25-26学年九上·甘肃庆阳镇原县·期中）已知二次函数的图象经过原点，则　　　　　　． 46．（25-26学年九上·甘肃庆阳镇原县·期中）我国是最早发明火箭的国家，制作火箭、模拟火箭升空是青少年喜爱的一项科技活动．已知学校航模组织设计制作的火箭的升空高度与飞行时间的关系是，如果火箭在点火升空的最高点时打开降落伞，那么火箭点火后多少时间降落伞将打开？这时火箭的高度是多少？ 47．（25-26学年九上·甘肃平凉庄浪县·期中）已知是二次函数，且开口向上，求m的值． 48．（25-26学年九上·甘肃陇南·期中）抛物线的对称轴为直线：　　　． 49．（25-26学年九上·甘肃陇南西和县）已知二次函数的对称轴是直线，与轴的一个交点坐标是，则另一个交点坐标为　　　　　　． 50．（25-26学年九上·甘肃吴家井中学·期中）抛物线的对称轴为直线　　　　　　　　． 51．（25-26学年九上·甘肃定西渭源县·期末）已知抛物线的对称轴是直线，求的值和抛物线的解析式． 52．（25-26学年九·甘肃武威第十七中学·期末）已知二次函数，其顶点为，且图象经过． （1）求a，b，c的值： （2）若将该抛物线向上或者向下平移，使平移后的图象经过原点，求平移后的抛物线函数表达式． 53．（25-26学年九上·甘肃定西安定区·期末）把配方成的形式是　　　　　　． 54．（九上·甘肃兰州·期末）点和点分别为抛物线上的两点，则　　　　　　　　． 55．（25-26学年九上·甘肃平凉·期末）已知抛物线y＝x2＋bx＋4经过（－2，n）和（4，n）两点，则b的值为　　　　　． 56．（25-26学年九上·甘肃定西·期中）已知抛物线的顶点坐标是，且过点． （1）求抛物线的解析式； （2）当x满足什么条件时，y的值随x的增大而增大？ 57．（25-26学年九上·甘肃陇南武都区·期中）已知抛物线，若其顶点在x轴上，则　　　　　　　　． 58．（25-26学年九上·甘肃临夏州·期中）抛物线经过，则　　　　　　． 59．（25-26学年九上·甘肃庆阳镇原县·期中）已知抛物线与轴分别交于点，．求抛物线的解析式． 60．（25-26学年九上·甘肃武威凉州区谢河中学·期中）已知二次函数，求： （1）当时，函数的值； （2）该函数图像的对称轴． 61．（25-26学年九上·甘肃陇南）如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点． （1）求抛物线的表达式； （2）在平面内是否存在点，使得以点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请求出所有满足条件的点的坐标；如果不存在，请说明理由． 62．（25-26学年九上·甘肃定西临洮县·期中）已知抛物线 ． （1）求该抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标． （2）当x为何值时，y随x的增大而减小？当x为何值时，y随x的增大而增大？ 63．（25-26学年九上·甘肃定西临洮县·期中）在平面直角坐标系中，抛物线的顶点坐标为，且过点，求抛物线的解析式． 64．（25-26学年九上·甘肃陇南·期中）若点M（﹣1，y1），N（1，y2），P（，y3）都在抛物线y＝x2﹣4x+1上，则y1、y2、y3大小关系为　　　　　　　　　　　（用“＜”连接）． 65．（25-26学年九上·甘肃陇南西和县）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点C，点P是直线上方抛物线上一动点． （1）求抛物线的表达式； （2）过点P作轴于点D，交直线于点E，当的长为最大值时，求点P的坐标． 66．（25-26学年九上·甘肃定西渭源县·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，都在轴正半轴上，点在二次函数的图象上，以，为邻边作平行四边形，且，延长与二次函数的图象交于点；以，为邻边作平行四边形，且，延长与二次函数的图象交于点按此规律进行下去，若点的横坐标为1，则点的坐标为　　　　　． 67．（25-26学年九·甘肃武威第十七中学·期末）已知抛物线，若抛物线的函数值为，则x的取值范围是　　　　　　　　　　　　　． 68．（25-26学年九上·甘肃陇南·期末）如图，已知抛物线与x轴交于点，两点，与y轴交于点C，连接． （1）求抛物线的解析式． （2）若点P为线段上一动点（不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点M，交x轴于点N，当时，求点P的坐标． （3）E，F为抛物线上两点（点E在点F的左侧），且到对称轴的距离分别为2个单位长度和4个单位长度，Q为抛物线上E，F之间（含点E，F）的一个动点，请直接写出点Q的纵坐标的取值范围． 69．（25-26学年九上·甘肃平凉庄浪县·期末）如图，抛物线（a，b为常数，且）与x轴交于点、，与y轴交于点C，连接． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，点M在x轴下方的抛物线上，连接交x轴于点D，若，求点M的横坐标； （3）如图2，动点P在直线上方的抛物线上运动（不与点B、C重合），过点P作于点D，当动点P在什么位置时，线段的值最大，求线段的最大值，并求此时点P的坐标． 70．（25-26学年九上·甘肃庆阳镇原县·期末）如图1，抛物线与x轴交于点（A点在B点左侧），与y轴交于点，点P是抛物线上一个动点，连接． （1）求抛物线的函数表达式； （2）如图2所示，当点P在直线上方运动时，连接，求四边形面积的最大值，并写出此时P点坐标； （3）若点M是x轴上的一个动点，点P的横坐标为3．试判断是否存在这样的点M，使得以点B、M、P为顶点的三角形是直角三角形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 71．（25-26学年九上·甘肃临夏州·期末）如已知二次函数的图象过点和点，且与y轴交于点C，D点在抛物线上且横坐标是． （1）求抛物线的解析式； （2）写出这个二次函数图象的对称轴、顶点坐标： （3）抛物线的对称轴上有一动点，求出的最小值． 72．（25-26学年九上·甘肃定西安定区·期末）如图，抛物线经过，，三点． （1）求抛物线的解析式； （2）点P是线段上方抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线，交直线于点D，设点P的横坐标为m，当m为何值时，线段的长度最大？最大值是多少？ （3）在（2）的条件下，当线段的长度最大时，在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得以P，D，Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 73．（25-26学年九上·甘肃陇南西和县·期末）如图，已知抛物线的顶点坐标为A（1，4），抛物线与y轴交于点B（0，3），与x轴交于C，D两点．点P是抛物线上的一个动点． （1）求此抛物线的表达式． （2）求C，D两点坐标及△BCD的面积． （3）若点P在x轴下方的抛物线上．满足，求点P的坐标． 74．（25-26学年九上·甘肃平凉·期末）抛物线y＝ax2＋bx＋c过(－3，0)，(1，0)两点，与y轴的交点为(0，4)，求抛物线的解析式． 75．（25-26学年九上·甘肃陇南武都区·期末）如图，直线过轴上一点，且与抛物线相交于，两点，点坐标为． （1）求直线和抛物线的函数解析式． （2）在轴上是否存在一点，使为等腰三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． （3）若抛物线上有一点(在第一象限内)使得，求点坐标． 76．（25-26学年九上·甘肃陇南·期末）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，连接． （1）求抛物线的表达式； （2）点是抛物线上位于线段下方的一个动点，连接，，求面积最大时点的坐标． 77．（25-26学年九上·甘肃定西·期中）如图，已知二次函数过点，． （1）求此二次函数的解析式； （2）将（1）中的函数图象先向左平移1个单位，再向上平移3个单位，直接写出平移后函数的解析式和顶点坐标； （3）在抛物线上是否存在点，使的面积为4，若存在，求出点的坐标，若不存在说明理由． 78．（25-26学年九上·甘肃陇南武都区·期中）已知正方形的边长为，，分别为、上的点，且满足，则面积的最小值为　　　　　　　　　． 79．（25-26学年九上·甘肃陇南武都区·期中）如图，已知二次函数图像与轴交于、两点，顶点坐标为，且其图象经过点． （1）求此二次函数的表达式； （2）当时，请直接写出的取值范围___________； （3）若点是该抛物线的对称轴上一动点，当值最小时，请求出此时点的坐标． 80．（25-26学年九上·甘肃临夏州·期中）已知点，在二次函数的图象上，求m的值． 81．（25-26学年九上·甘肃临夏州·期中）数学兴趣小组对函数的图象和性质进行探究，过程如下，请你补充完整． （1）函数的自变量x的取值范围是______； （2）列表：下表是x，y的几组对应值，其中______，______； x … 0 1 2 3 4 … y … 9 0 m 3 n 0 9 … （3）在如图所示的平面直角坐标系中描点、连线，补全该函数的图象，并写出其一条性质：____________． 82．（25-26学年九上·甘肃庆阳镇原县·期中）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与y轴的交点坐标为，图象的顶点为M．矩形的顶点D与原点O重合，顶点A，C分别在x轴，y轴上，顶点B的坐标为．    （1）求c的值及顶点M的坐标， （2）如图2，将矩形沿x轴正方向平移t个单位得到对应的矩形．已知边，分别与函数的图象交于点P，Q，连接，过点P作于点G． ①当时，求的长； ②当点G与点Q不重合时，是否存在这样的t，使得的面积为1？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 83．（25-26学年九上·甘肃平凉庄浪县·期中）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． （1）求抛物线的表达式； （2）如图2，在直线下方抛物线上有一点，当的面积最大时，求点的坐标及面积的最大值． 84．（25-26学年九上·甘肃武威凉州区谢河中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点，与轴交于点，点为抛物线上一动点，若的面积为，则点的坐标为　　　　　　　　　　　． 85．（25-26学年九上·甘肃酒泉肃州区·期中）如图，已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于D点，其中B(6，0)，D(0，﹣6) (1)求这个二次函数的解析式； (2)设该二次函数的对称轴与x轴交于点C，连结DA、DC，求△ADC的面积. 86．（25-26学年九上·甘肃酒泉肃州区·期中）已知抛物线． （1）对称轴为_______，顶点坐标为______； （2）在坐标系中利用五点法画出此抛物线． x … … y … … （3）若抛物线与x轴交点为A、B，点在抛物线上，求的面积． 数量 1 2 3 4 5 x 3 0 2 1 y 0 0 点 87．（25-26学年九上·甘肃武威凉州区·期中）如图，抛物线交x轴于点和点B，交y轴于点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）若点在抛物线对称轴上，是否存在一点，使的周长最小？若存在求出周长的最小值；若不存在说明理由． （3）如图，设点是线段上的一动点，作轴，交抛物线于点，求线段长度的最大值． 88．（25-26学年九上·甘肃定西临洮县·期中）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，连接，已知，且抛物线经过点． （1）求抛物线的表达式； （2）若E是抛物线上第四象限内的一点，且，求点E的坐标． 89．（25-26学年九上·甘肃陇南·期中）如图，二次函数的图象经过坐标原点，与轴交于点． （1）求此二次函数的表达式及顶点的坐标； （2）在抛物线上存在一点，使，请求出点的坐标． 90．（25-26学年九上·甘肃柏树中学·期中）如图，在平面直角坐标系中有抛物线和直线．当取何值时，抛物线与直线没有公共点？ 91．（25-26学年九上·甘肃柏树中学·期中）如图，抛物线与x轴交于点A，B（点B在A的右侧），与y轴交于点C，其中，点P在第一象限的抛物线上，若是以为底的等腰直角三角形，则m的值为　　　　　　. 92．（25-26学年九上·甘肃陇南西和县）如图，在中，，，点D在边上，过D作于点E，作于点F，则矩形面积的最大值为　　　　　　　． 93．（25-26学年九上·甘肃吴家井中学·期中）如图，已知二次函数图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，在对称轴上存在一点P，使以P，A，O，B为顶点的四边形为平行四边形，写出此时点P的坐标　　　　　　． 94．（25-26学年九上·甘肃吴家井中学·期中）如图，顶点为的抛物线分别与轴相交于点，（点在点的右侧）与轴相交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）判断是否为直角三角形，并说明理由： （3）求四边形的面积． 95．（25-26学年九上·甘肃吴家井中学·期中）若二次函数图像的顶点为，经过点． （1）求、、的值； （2）向上或向下平移抛物线，使得平移后的抛物线经过原点，求平移后的抛物线的函数表达式． 96．（25-26学年九上·甘肃吴家井中学·期中）如图，抛物线经过点，其对称轴为直线，抛物线与直线交于点和． （1）求抛物线的解析式； （2）求点与点的坐标． 97．（25-26学年九上·甘肃定西渭源县·期末）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，对称轴为直线． （1）求抛物线的解析式； （2）如图2，连接，点为直线下方抛物线上的动点，求面积的最大值及此时点的坐标； （3）如图3，将抛物线先向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到新的抛物线，在抛物线的对称轴上有一点，坐标平面内有一点，使得以，，，为顶点的四边形是矩形，求点的坐标． 98．（25-26学年九·甘肃张掖民乐县·期末）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象（记为）与轴交于点，，与轴交于点，二次函数的图象（记为）经过点，，直线与两个图象，分别交于点，，与轴交于点． （1）求，的值； （2）当点在线段上时，求的最大值； （3）设点，到直线的距离分别为，，当时，对应的值有________个． 99．（25-26学年九·甘肃武威第十七中学·期末）如图，二次函数的图象与x轴交于两点，与y轴交于点C，作直线为二次函数图象上两点． （1）求二次函数的解析式； （2）试判断是否存在实数使得．若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由． （3）已知P是线段BC上方抛物线上一点，过点P作轴于点H，与线段交于点求的最大值． 100．（25-26学年九·甘肃武威第十七中学·期末）如图，抛物线的对称轴是直线．给出下列四个结论： ①；②；③；④． 上述结论中，正确结论的序号有　　　　　　　　　　　． 101．（25-26学年九上·甘肃武威凉州区·期末）已知抛物线的图象经过，，三点，直线l是抛物线的对称轴． （1）求抛物线的函数解析式及其对称轴； （2）设点是直线l上的一个动点，当最小时，求点坐标； （3）在抛物线上存在一点，使，求点的坐标． 102．（25-26学年九上·甘肃酒泉肃州区·期末）如图，抛物线  与 轴交于 两点，与 y轴交于点 C，点 D是抛物线的顶点． （1）求抛物线的表达式； （2）点 M是抛物线对称轴上的一个动点，当 的周长最小时，求点 M的坐标； （3）在（2）的条件下，点 N是抛物线上一点，且的面积是  面积的 2 倍，求点 N的坐标． 103．（九上·甘肃兰州·期末）如图，已知直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过，两点，且与轴的另一个交点为，对称轴为直线． （1）求抛物线的表达式； （2）是第二象限内抛物线上的动点，设点的横坐标为，求四边形面积的最大值及此时点的坐标； （3）若点在抛物线对称轴上，是否存在点，，使以点，，，为顶点的四边形是以为对角线的菱形？若存在，请求出，两点的坐标；若不存在，请说明理由． 104．（25-26学年九上·甘肃平凉·期末）如图，直线与，轴分别交于，两点，抛物线经过，两点，且交轴于另一点． （1）求，两点的坐标及该抛物线所表示的二次函数的表达式； （2）如图1，若直线为抛物线的对称轴，请在直线上找一点，使得最小，求出点的坐标； （3）如图2，若在直线上方的抛物线上有一动点（与，两点不重合），过点作轴于点，与线段交于点，当点是线段的三等分点时，求点的坐标． 105．（25-26学年九上·甘肃武威凉州区吴家井中学·期末）如图，二次函数（a，b，c为常数，）的图像与x轴交于点，对称轴是直线，有以下结论：①；②若点和点都在抛物线上，则；③（m为任意实数）；④．其中正确的有　　　　　　　　（填序号）． 106．（25-26学年九上·甘肃武威凉州区吴家井中学·期末）如图，已知二次函数的图象与轴交于，两点，点坐标为，与轴交于，点为中点． （1）求二次函数的解析式； （2）在直线上方的抛物线上存在点，使得，求点的坐标； （3）已知，为抛物线上不与，重合的相异两点，若点与点重合，，且，求证：，，三点共线． 107．（25-26学年九上·甘肃临夏州·期中）如图①，抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图②，点D是第二象限内抛物线上一点，且的面积为3时，求点D的坐标； （3）G是二次函数图象对称轴上一点，若是等腰三角形，直接写出点G的坐标． 108．（25-26学年九上·甘肃武威凉州区谢河中学·期中）已知，抛物线经过点和． （1）求抛物线的解析式及顶点坐标； （2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使的周长最小？如果存在，请求出点P的坐标，如果不存在，请说明理由； （3）设点M在抛物线的对称轴上，当是直角三角形时，求点M的坐标． 109．（25-26学年九上·甘肃武威凉州区谢河中学·期中）已知二次函数的图象如图所示，对称轴为直线．有下列5个结论：①；②；③；④；⑤，（为实数且）其中正确的结论有　　　　　　． 110．（25-26学年九上·甘肃柏树中学·期中）拋物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），且与y轴交于点C． （1）如图①，求点A，B，C的坐标； （2）点D是抛物线上x轴下方一点，点E位于第一象限．若由B，C，D，E四点组成的平行四边形面积为8，求点E的横坐标； （3）如图②，直线与抛物线交于M，N两点，点P坐标为，连接，分别与抛物线交于E，F两点，连接，求证：直线过定点． 考点05 二次函数与一元二次方程 1．（25-26学年九上·甘肃庆阳镇原县·期中）下表给出了二次函数中的一些对应值，则可以估计一元二次方程的一个近似解的范围为（       ） … 0.6 0.7 0.8 0.9 1 … … 0.24 0.61 1 … A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·甘肃兰州第二十二中学·期末）二次函数自变量与函数值的对应关系如表，设一元二次方程的根为，且，对于的值说法正确的是(       ) … … A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年九上·甘肃定西安定区·期末）二次函数的图象与x轴交点的横坐标是（     ） A. ， B. ， C. ， D. ， 4．（25-26学年九上·甘肃兰州第十一中学·期中）根据下列表格的对应值，估计方程的一个解的范围是（       ） x 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年九上·甘肃临夏州·期中）已知抛物线与x轴的交点坐标分别为，，则方程的根是（） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年九上·甘肃武威凉州区谢河中学·期中）如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，则方程的解是（     ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年九上·甘肃陇南·期中）已知二次函数的图象如图所示，顶点坐标为（m，3），则下列结论：①；②；③；④关于x的一元二次方程有两个相等的实数根．其中正确结论的个数是（       ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 8．（25-26学年九上·甘肃陇南·期中）如图，抛物线与直线交于两点，则不等式的解集为(     ) A.  B.  C. 或 D.  9．（25-26学年九上·甘肃临夏州·期末）已知抛物线的部分图象如图所示，若，则的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D. 或 10．（25-26学年九上·甘肃陇南西和县·期末）已知二次函数（）的图象如图所示，对称轴为直线，与轴的一个交点为．给出下列结论：①；②；③图象与轴的另一个交点为；④当时，随的增大而减小；⑤不等式的解集是．其中正确结论的个数是（       ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 11．（25-26学年九上·甘肃陇南武都区·期末）如图是二次函数y＝ax2+bx+c的图象，下列结论：①二次三项式ax2+bx+c的最大值为4；②b=﹣2；③使y≤3成立的x的取值范围是x≤-2或x≥1；④一元二次方程ax2+bx+c＝m（m＜4）的两根之和为﹣2．其中正确的个数有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 12．（25-26学年九上·甘肃平凉庄浪县·期中）若是关于x的一元二次方程的两个实根，则（       ） A.  B.  C.  D.  13．（25-26学年九上·甘肃陇南西和县·期末）已知某一元二次方程的一个根是，则此方程可以是 　　　　　　　　　　　　　　　　 ．（填一个即可） 14．（25-26学年九上·甘肃武威凉州区·期中）二次函数与轴的交点坐标为　　　　　　． 15．（25-26学年九上·甘肃武威凉州区·期末）如图，函数与的图象交于，两点，则关于x的不等式的解集是　　　　　　　　． 16．（25-26学年九上·甘肃武威凉州区吴家井中学·期末）已知抛物线与轴的一个交点坐标为，则抛物线与轴的另一个交点坐标为　　　　　　　． 17．（25-26学年九上·甘肃陇南·期末）若关于x的函数与x轴有两个交点，则k的取值范围是　　　　　　　． 18．（25-26学年九上·甘肃武威凉州区谢河中学·期中）已知二次函数图象的顶点为，且过点． （1）求该二次函数的解析式； （2）求图象与轴的交点坐标． 19．（25-26学年九上·甘肃武威凉州区谢河中学·期中）如图，二次函数的图象与x轴的一个交点的横坐标为，则关于x的一元二次方程的解是　　　　　　． 20．（25-26学年九上·甘肃酒泉第七中学·期中）如图所示是抛物线的一部分，则方程的根是　　　　　　． 21．（25-26学年九上·甘肃陇南·期中）已知二次函数． （1）用列表描点法，在如图所示的坐标系中画出这个二次函数的图象； x … 0 1 2 3 … y … …    （2）根据图象写出当为正数时的取值范围为_________； （3）当时，的取值范围为_________． x … 0 1 2 3 … y … 0 3 4 3 0 … 22．（25-26学年九上·甘肃柏树中学·期中）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且点A的坐标为，顶点D的坐标为． （1）求该抛物线的表达式． （2）求B、C两点的坐标． 23．（25-26学年九上·甘肃陇南西和县）已知二次函数． （1）根据给出的自变量求其对应函数值，填入表格中； … 0 1 2 3 … … … （2）根据表格，画出这个二次函数的图象； （3）根据表格图象可知，当时，y的取值范围是______． … 0 1 2 3 … … 2 3 2 … 24．（25-26学年九上·甘肃陇南西和县）若抛物线与轴没有交点，则的取值范围是　　　　　　． 25．（25-26学年九上·甘肃陇南）如图，已知抛物线的对称轴为，与x轴的一个交点是，另一个交点的坐标是　　　　　　　　　　． 26．（25-26学年九上·甘肃吴家井中学·期中）已知抛物线与x轴的一个交点为，则　　　　　　． 27．（25-26学年九上·甘肃庆阳镇原县·期末）二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，求该二次函数的顶点坐标及的面积． 28．（25-26学年九上·甘肃兰州第二十二中学·期末）若二次函数的图象与轴有交点，则的取值范围是　　　　　　　　　　． 29．（25-26学年九上·甘肃定西·期中）抛物线的部分图象如图所示，则当时，的取值范围是　　　　　　　　　　　． 30．（25-26学年九上·甘肃临夏州·期中）已知二次函数的图象如图所示，回答下列问题： （1）方程的根是______； （2）当时，x的取值范围是______； （3）若点均在二次函数的图象上，直接写出、的大小关系． 31．（25-26学年九上·甘肃酒泉第七中学·期中）已知二次函数． （1）求函数图象的对称轴和顶点坐标； （2）求函数图象与坐标轴的交点坐标． （3）根据图象，直接写出： ①当函数值为正数时，自变量x的取值范围； ②当时，函数值y的取值范围． 32．（25-26学年九上·甘肃酒泉肃州区·期中）如图，已知抛物线与直线交于、两点，则关于x的不等式的解集是　　　　　　　　． 33．（25-26学年九上·甘肃酒泉肃州区·期中）已知二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，与轴的一个交点为．给出下列结论：①；②；③图象与轴的另一个交点为；④当时，随的增大而减小；⑤不等式的解集是．其中正确结论的序号是　　　　　　　　　　　　． 34．（25-26学年九上·甘肃武威凉州区·期中）如图，将二次函数位于轴下方的图象沿轴翻折，得到一个新函数的图象（图中的实线）．观察图象若关于的方程有且只有两个解，则的取值范围为　　　　　　　　　　　　　． 35．（25-26学年九上·甘肃陇南）已知一元二次方程的两根为和3，则二次函数图像对称轴是直线　　　　　　　　　 ． 36．（25-26学年九上·甘肃柏树中学·期中）已知函数的图象和x轴有交点，则k的取值范围　　　　　　． 37．（25-26学年九上·甘肃吴家井中学·期中）已知二次函数 （为常数)． （1）若点在二次函数的图象上，求二次函数的表达式； （2）求二次函数的图象与x轴的公共点的个数． 考点06 实际问题与二次函数 1．（25-26学年九·甘肃张掖民乐县·期末）“科教兴国，强国有我”某中学在科技实验活动中，设计了“水火箭”升空实验．已知“水火箭”的升空高度与飞行时间满足的关系为，当“水火箭”的飞行时间为时，升空的高度为（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·甘肃兰州第十九中学·期末）兰州是全国有名的“瓜果城”，某水果店销售一批白兰瓜，若每斤盈利元，每天可售出斤．经市场调查发现，若每斤降价元，每天可多售出斤．设每斤降价元，每天盈利为元，则与的函数关系式为（     ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年九上·甘肃陇南·期末）如图，某拱桥的形状可看作是抛物线的一部分，其函数表达式为．当水面到桥顶的距离为时，水面的宽度为（     ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年九上·甘肃平凉·期末）某景点的“喷水巨龙”喷嘴处的水流呈抛物线状流出，该水流喷出的高度（单位：）与水平距离（单位：）之间的关系如图所示，为该水流的最高点， ，垂足为．已知，，则的长为（        ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年九上·甘肃临夏州·期中）物理学中对一定值电阻R通电后，在限定时间t内产生的热量计算公式为，即热量Q（单位：焦耳）随电流I（单位：A）的变化而变化，则Q与I的函数图象大致是（     ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年九上·甘肃武威凉州区谢河中学·期中）对角线互相垂直的四边形为垂美四边形．已知垂美四边形的对角线、满足，则四边形的面积最大值是（       ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年九上·甘肃兰州第二十中学·期末）如图，正方形的边长为，动点，同时从点出发，以的速度分别沿和的路径向点运动．设运动时间为（单位：），四边形的面积为（单位：）则与之间的函数图象大致是下列图中的（       ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年九上·甘肃白银·期末）如图，在四边形中，，，，动点沿的路线运动，到点时停止．过点作，垂足为点，设点运动的路程为，的面积与之间的函数关系图象如图所示，当时，的值是（     ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年九上·甘肃临夏州·期末）如图，在边长为4的正方形ABCD中，动点P从A点出发，以每秒1个单位长度的速度沿AB向B点运动，同时动点Q从B点出发，以每秒2个单位长度的速度沿BC→CD方向运动，当P运动到B点时，P、Q两点同时停止运动．设P点运动的时间为t，△APQ的面积为S，则S与t的函数关系的图象是（） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年九上·甘肃兰州第二十二中学·期末）如图，在菱形中，，点P从D点出发，沿运动，过点P作直线的垂线，垂足为点Q，设点P运动的路程为x，的面积为y，则下列图象能正确反映y与x之间的函数关系的是（       ） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年九上·甘肃陇南西和县·期末）“直播带货”已经成为一种热门的销售方式，某直播代销某一品牌的电子产品（这里代销指厂家先免费提供货源，待货物销售后再进行结算，未售出的由厂家负责处理）．经调查发现每件售价99元时，日销售量为300件，当每件电子产品每下降1元时，日销售量会增加3件．已知每售出1件电子产品，该主播需支付厂家和其他费用共50元，设每件电子产品售价为（元），主播每天的利润为（元），则与之间的函数解析式为（       ） A.  B.  C.  D.  12．（25-26学年九上·甘肃陇南武都区·期中）小明受二次函数的图象启发，为某葡萄酒大赛设计了一款杯子．如图所示的是杯子的设计稿，若，，则杯子的高CE为（       ） A. 3 B. 5 C. 7 D. 11 13．（25-26学年九上·甘肃平凉庄浪县·期中）如图1，某蔬菜大棚的一边靠墙，其截面图可看作抛物线的一部分（如图2），大棚跨径，顶端到墙体的距离为，顶端到的距离为，则大棚与墙的交点到原点的距离为（     ） A.  B.  C.  D.  14．（25-26学年九上·甘肃酒泉肃州区·期中）如图，在正方形中，，点M从点A开始沿边向点B以的速度移动，同时点N沿的路线以的速度移动．设的面积为y（单位：），运动时间为x（单位：），则y关于x的函数图象大致是（       ） A.  B.  C.  D.  15．（25-26学年九上·甘肃平凉庄浪县·期末）“科教兴国，强国有我”．某中学在科技实验活动中设计制作了“水火箭”升空实验，“水火箭”的升空高度h（单位：）与飞行时间t（单位：）之间满足关系式．若“水火箭”的飞行时间为，则此时“水火箭”的升空高度为　　　　　　　　． 16．（25-26学年九上·甘肃临夏州·期末）根据物理学规律，如果不考虑空气阻力，以的速度将小球沿与地面成角的方向击出，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间的函数关系是，当飞行时间t为　　　　　　　　　　　s时，小球达到最高点． 17．（25-26学年九上·甘肃兰州第五中学·期末）2025年第十五届全运会于11月9日至21日在粤港澳三地首次联合承办，其吉祥物“喜洋洋”以一级保护动物——中华白海豚为原型正火遍全国．某网店售卖一款进价为30元/个的“喜洋洋”，规定单个销售利润不低于10元，且不高于25元．试销期间发现，当销售单价定为40元时，每天可以售出500个，销售单价每上涨1元，每天销售量减少10个．该网店决定提价销售，设销售单价为x元，求该网店每天销售吉祥物“喜洋洋”的利润W（元）的最大值． 18．（25-26学年九上·甘肃临夏州·期中）如图，是抛物线在第四象限的图象上一点，过点分别向轴和轴作垂线，垂足分别为、，则四边形周长的最大值为　　　　　　. 19．（25-26学年九上·甘肃平凉庄浪县·期中）春节将至，为营造节日氛围，幸福小区物业准备在小区主通道上悬挂灯带，通道两侧有立柱，物业在通道的上方拉了笔直的水平钢丝，钢丝两边固定在立柱上，悬挂的灯带为抛物线形，灯带的最低点距离钢丝米．以钢丝为x轴，左侧立柱为y轴，钢丝与立柱的固定点为原点建立直角坐标系（如图所示）． （1）小青设计的方案，把灯带的一端固定在钢丝与立柱的固定点O，另一端固定在钢丝上的点A处，米，求出此时抛物线的表达式． （2）小玲设计的方案，把灯带的一端固定在钢丝上的点B处，米，另一端固定在立柱上的C处，为了美观，灯带的最低点和小青设计的相同（顶点相同），求出O与C的距离． 20．（25-26学年九上·甘肃平凉庄浪县·期中）某跳水运动员在进行跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线是如图所示的一条抛物线．已知跳板长为2米，跳板距水面高为3米，训练时跳水曲线在离起跳点水平距离1米时达到距水面最大高度4米，现以为横轴，为纵轴建立直角坐标系． （1）求这条抛物线的解析式； （2）求运动员落水点与点C的距离． 21．（25-26学年九上·甘肃定西临洮县·期中）如图，小亮同学掷铅球时，铅球沿抛物线运行，其中是铅球离初始位置的水平距离，是铅球离地面的高度．若铅球抛出时离地面的高度为，则铅球掷出的水平距离为　　　　　　　　． 22．（25-26学年九上·甘肃陇南·期中）同学们在操场玩跳大绳游戏，跳大绳时，绳甩到最高处时的形状是抛物线，正在甩绳的甲、乙两名同学拿绳的手间距为6米，到地面的距离与均为0.9米，绳子甩到最高点C处时，最高点距地面的垂直距离为1.8米，距甲同学的水平距离为3米，以点O为原点建立如图所示的平面直角坐标系． （1）求该抛物线的解析式； （2）如果身高为1.7米的聪聪站在之间，当绳子甩到最高处时，求聪聪站在距点O的水平距离为多少时，绳子刚好通过他的头顶上方？ 23．（25-26学年九上·甘肃陇南西和县）某数学兴趣小组在学习了抛物线的知识后，决定利用抛物线的知识进行课外实践活动，下面是此次课外实践活动的调查报告： 活动题目 抛物线的课外实践活动 活动过程 如图是一扇抛物线型拱门的示意图，首先测量抛物线型拱门的底部跨度，然后将高度为的标杆垂直于所在地面，水平方向移动标杆使标杆顶部恰好与拱门的内壁接触，底部始终在上，再测量出、两点间的距离 拱门示意图 说明：以所在直线为轴，经过中点的垂线为轴建立平面直角坐标系，抛物线型拱门的最高点到地面的距离为． 测量数据 ，， 任务（1） 求该抛物线型拱门的最高点到地面的距离； 任务（2） 要在该抛物线型拱门内壁距离地面高的两侧各安装一盏夜晚照明灯（大小忽略不计），求两盏灯的水平距离． 24．（25-26学年九·甘肃张掖民乐县·期末）如图，在一次模拟高层建筑物起火救援中，云梯消防车的喷水口距离地面，距离大楼起火侧面，喷出水柱呈抛物线型，水柱最高处距离地面，距离大楼起火侧面，建立如图所示的平面直角坐标系． （1）求水柱所对应的抛物线解析式； （2）若起火楼层的窗户顶端到地面的距离为，窗户底端到地面的距离为，云梯消防车此时所在位置喷出的水能否射进起火窗户内？ 25．（25-26学年九·甘肃张掖民乐县·期末）如图是搭建一座蔬菜大棚的横截面，其形状可以用抛物线表示，施工队计划在大棚正中搭建一个矩形脚手架，点在抛物线上，若，则脚手架的高度为　　　　　　　　　米． 26．（25-26学年九上·甘肃兰州第五中学·期末）贝贝和馨宝做弹球游戏，如图1，贝贝向斜坡抛一个乒乓球，乒乓球弹起的运行路线是一条抛物线，乒乓球落地后又弹起，第二次弹起的运行路线和第一次运行路线的拋物线形状相同．馨宝在地面竖立一块高度为的木板，然后以斜坡底端为坐标原点，地面水平线为轴，收单位长度为，建立如图2所示的平面直角坐标系，乒乓球的大小忽略不计，经测量发现，抛球点的坐标为，第一次弹起的运行路线最高点坐标为，第二次弹起的最大高度为． （1）求乒乓球第一次弹起运行路线的抛物线的解析式； （2）当乒乓球第二次弹起高度为时，求乒乓球到轴的距离； （3）馨宝需将水板立在距斜坡底端多远的范围内，才能使球第二次下落过程中碰到木板，直接写出OC的取值范围________________． 27．（25-26学年九上·甘肃兰州第十九中学·期末）如图1为某居民小区计划修建的圆形喷水池的效果图，在池中心需安装一个柱形喷水装置，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高高度为．水柱落地处离池中心的水平距离为．小刚以柱形喷水装置与地面交点O为原点，原点与水柱落地处所在直线为x轴，柱形喷水装置所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．水柱喷出的高度与水平距离之间的函数关系如图2． （1）求表示该抛物线的函数表达式； （2）若不计其他因素，求柱形喷水装置的高度． 28．（25-26学年九上·甘肃庆阳镇原县·期末）如图1是某公园一座抛物线型拱桥，按如图所示建立坐标系，得到函数，在正常水位时水面宽米，当水位上升5米时，则水面宽　　　　　　米 29．（25-26学年九上·甘肃兰州·期末）张丽是学校羽毛球社团的成员，某次在训练时使用自助发球机进行训练，如图所示，将发球机放置在点处．羽毛球发射的初始位置的高．若羽毛球从点发射后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，羽毛球在飞行过程中，在与点的水平距离为时达到最高点，在与点的水平距离为时的高度为，落地点为，以所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系． （1）求羽毛球飞行路线所在抛物线的函数表达式； （2）若张丽的身高为，在距离羽毛球发球机的处使用球拍接球（球拍接触到羽毛球的飞行路线即为接到球）时，球拍高出头顶，她能否接到羽毛球，请通过计算说明理由． 30．（25-26学年九上·甘肃临夏州·期末）如图，护林员在一个斜坡上的点处安装自动浇灌装置（其高度忽略不计）为坡地进行浇灌，，点处的自动浇灌装置喷出的水柱呈抛物线形，已知水柱在距出水口的水平距离为时，达到距离地面的竖直高度的最大值为．以所在的水平方向为轴，所在的竖直方向为轴建立平面直角坐标系． （1）求图中水柱所在抛物线的函数解析式； （2）若该装置浇灌的最远点离地面的竖直高度为，求此时喷到处的水柱距出水口的水平距离． 31．（25-26学年九上·甘肃兰州第二十二中学·期末）九（1）班数学课题学习小组，为了研究学习二次函数问题，他们经历了实践到应用的过程． （1）实践：他们对一条公路上横截面为抛物线的单向双车道的隧道进行测量，测得一隧道的路面宽为．隧道顶部最高处距地面，并画出了隧道截面图．建立了如图所示的直角坐标系，请你求出抛物线的解析式； （2）应用：按规定机动车辆通过隧道时，车顶部与隧道顶部在竖直方向上的高度差至少为．为了确保安全，问该隧道能否让最宽，最高的两辆厢式货车居中并列行驶（两车并列行驶时不考虑两车间的空隙）？并说明理由． 32．（25-26学年九上·甘肃定西安定区·期末）某商品每件进价为20元，经市场调研发现，当售价为30元时，每天可售出40件，售价每上涨1元，每天的销售量就减少2件，且售价每件不得高于40元．设每件商品的售价为x元（x为整数），求该商品每天的销售利润w（元）与售价x（元/件）之间的函数关系式，并求当售价为多少元时，每天可获得最大利润，最大利润是多少？ 33．（25-26学年九上·甘肃陇南西和县·期末）某公司经过市场调查发现，该公司生产的某商品在第x天的销售单价为元/件（），且该商品每天的销量y（件）满足关系式．已知该商品第10天的售价按8折出售，仍然可以获得的利润． （1）求公司生产该商品每件的成本为多少元？ （2）问销售该商品第几天时，每天的利润最大？最大利润是多少？ 34．（九上·甘肃兰州·期末）某学校为美化学校环境，打造绿色校园，决定用篱笆围成一个一面靠墙（墙足够长）的矩形花园，并用一道篱笆把花园分为两块，学校已订购篱笆120米． （1）边多长时，花园的总面积最大，最大面积是多少； （2）在花园面积最大的条件下，学校计划给花园里种满牡丹和芍药，每平米种植2株，总共能种多少株花？（不考虑分隔篱笆的位置），若牡丹每株售价25元，芍药每株售价15元，学校计划购买费用不超过5万元，求最多可以购买多少株牡丹？ 35．（25-26学年九上·甘肃平凉·期末）已知平凉红牛礼盒（冷冻牛腩）的进价为每件60元，每月的销量（单位：件）与售价（单位：元）的相关信息如下表（符合一次函数关系） 售价/元 … 每月的销量/件 … （1）销售平凉红牛礼盒每件的利润是___________元（用含的式子表示）． （2）用含的式子表示每月的销量． （3）设销售平凉红牛礼盒的月利润为元，那么售价为多少时，当月的利润最大？最大利润是多少？ 36．（25-26学年九上·甘肃兰州第八十一中学·期末）掷实心球是丰都中考体育考试项目之一，如图1是一名男生投实心球情境，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系如图2所示、掷出时，起点处高度为1.9m，当水平距离为4m时，实心球行进至最高点3. 5m处. （1）求y关于x的函数表达式： （2）根据中考体育考试评分标准（男生版），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于9.7m时，即可得满分10分，该男生在此项考试中能否得满分，请说明理由. 37．（25-26学年九上·甘肃陇南武都区·期末）商场销售一吉祥物，已知每套吉祥物的进价为20元，如果以单价30元销售，那么每天可以销售400套，根据经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20套． （1）若商家每天想要获取4320元的利润，为了尽快清空库存，售价应定为多少元？ （2）销售单价为多少元时每天获利最大？最大利润为多少？ 38．（25-26学年九上·甘肃天水麦积区·期中）配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等． 例：求代数式的最小值． 解：， ． 当时，的最小值是4． （1）求代数式的最小值； （2）若代数式；当___________时，有最___________值（填“大”或“小”），这个值是___________ （3）如图，某农场计划建造一个长方形养殖场，为充分利用现有资源，该长方形养殖场一面靠墙（墙的长度为），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个长方形，且，栅栏的总长度为．当为多少时，长方形养殖场的总面积最大？最大值为多少？ 39．（25-26学年九上·甘肃定西·期中）某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件，国庆节期间，商店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，减少库存，增加利润，经市场调查发现，如果每件童装降价1元，那么平均可多售出2件． （1）每件童装降价多少元时，平均每天盈利1200元？ （2）每件童装降价多少元时，平均每天盈利最大？最大利润是多少？ 40．（25-26学年九上·甘肃陇南武都区·期中）重阳节是我国的传统节日，在这天人们有登高、赏菊、吃重阳糕等习俗．某甜品店在今年重阳节前推出一种新口味的重阳糕，以80元/盒的价格销售，第一周售出50盒，第二、三周该口味重阳糕十分畅销，销售量持续上涨，在售价不变的基础上，第三周的销售量达到72盒． （1）求第二、三周该口味重阳糕销售量的周平均增长率； （2）因食品保质期较短，该甜品店决定降价促销，经过调查发现，该口味重阳糕销售单价每降低1元时，周销售量增加3盒．已知该口味重阳糕的成本价为50元/盒，当该口味重阳糕的销售单价降低多少元时，第四周销售这种口味重阳糕的利润最大？最大利润为多少？ 41．（25-26学年九上·甘肃临夏州·期中）甘肃临夏回族自治州，旧称河州，位于黄河中上游，它不仅是古丝绸之路必经之地，也是古代兵家必争之地．如图①所示的投石机是古代战争中的攻城武器．已知投石机投出的石块运动轨迹可近似看作抛物线，如图②，石块从距离地面5的点A处投出，其运动过程中的最高点距离地面30，此时到点A的水平距离为50． （1）建立适当的平面直角坐标系并求出抛物线对应的函数解析式； （2）若高为12的城墙离的水平距离为100，请判断（1）中的石块能否越过城墙，并说明理由． 42．（25-26学年九上·甘肃庆阳镇原县·期中）文旅发展促进经济增长的同时，也带动了电器销售．一电器商场销售某品牌空调，该空调每台进价为2500元，已知该商场6月份售出75台空调，8月份售出108台空调． （1）求该商场7，8两个月售出空调数的月平均增长率； （2）调查发现，当该空调售价为3000元时，平均每天能售出8台；售价每降低50元，平均每天能多售出4台，该商场如何定价能使每天的利润最大？最大利润是多少？ 43．（25-26学年九上·甘肃平凉庄浪县·期中）重阳节前夕，某商店购进由重阳糕和菊花酒搭配而成的，两种礼盒．其中礼盒每盒利润元，每天可以卖出盒，礼盒每盒利润元，每天可以卖出盒．若礼盒每盒售价提高元，则每天少卖出盒，礼盒每盒售价提高元，则每天少卖出盒．（注：两种礼盒成本不变） （1）若每盒礼盒的价格提高元，每天销售，两种礼盒的利润分别为元和元，求出，与之间的函数关系式； （2）物价部门规定这两种礼盒提高的价格之和为元，那么礼盒的售价提高多少元时，两种礼盒每天的销售利润之和最大？最大是多少元？ 44．（25-26学年九上·甘肃酒泉第七中学·期中）护林员在一个斜坡上的点处安装自动浇灌装置（其高度忽略不计）为坡地进行浇灌，，点处的自动浇灌装置喷出的水柱呈抛物线形，已知水柱在距出水口的水平距离为时，达到距离地面的竖直高度的最大值为，设喷出的水柱距出水口的水平距离为，距地面的竖直高度为，以坡底所在的水平方向为轴，处所在的竖直方向为轴建立平面直角坐标系，原点为，如图所示．经过测量，可知斜坡的函数表达式近似为． （1）求图中水柱所在抛物线的函数表达式； （2）若该装置浇灌的最远点离地面的竖直高度为，求此时喷到处的水柱距出水口的水平距离； （3）给该浇灌装置安装一个支架，可调节浇灌装置的高度，则水柱恰好可以覆盖整个坡地时，安装的支架的高度为多少米？ 45．（25-26学年九上·甘肃酒泉第七中学·期中）超市销售某种儿童玩具，如果每件利润为40元，每天可售出50件．根据市场调查发现，销售单价每增加2元，每天销售量会减少1件，设销售单价增加元，每天售出y件． （1）请写出与之间的函数解析式； （2）设超市每天销售这种玩具可获利元，当为多少时w最大，最大值是多少？ （3）若市场规定该种玩具每件的利润不能超过60元，那么当为多少时每天销售这种玩具可获利最大？最大利润是多少？ 46．（25-26学年九上·甘肃酒泉肃州区·期中）某超市销售一种商品，成本每千克40元，经市场调查，每天的销售质量（千克）与每千克售价x（元），满足一次函数关系，部分数据如下表： 售价x（元/千克） 50 60 70 销售量y（千克） 100 80 60 （1）求y与x之间的函数表达式； （2）设商品每天的总利润为（元），求与之间的函数表达式并指出售价为多少元时获得利润最大？ 47．（25-26学年九上·甘肃酒泉肃州区·期中）为满足市场需求，某超市在五月初五“端午节”来临前夕，购进一种品牌 粽子，每盒进价是40元，超市规定每盒售价不得少于45元．根据以往销售经验发现：当售价定为每盒45元时，每天可卖出700盒，每盒售价每提高1元，每天要少卖出20盒． （1）试求出每天的销售量y（盒）与每盒售价 （元）之间的函数关系式； （2）当每盒售价定为多少元时，每天销售的利润 （元）最大？最大利润是多少？ 48．（25-26学年九上·甘肃武威凉州区·期中）小明投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯．销售过程中发现，每月销售量件与销售单价元之间的关系可近似地看作一次函数：； （1）设小明每月获得利润为元，求每月获得利润元与销售单价元之间的函数关系式，并确定自变量的取值范围． （2）当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？每月的最大利润是多少？ 49．（25-26学年九上·甘肃陇南）掷实心球是中学生体育测试项目之一，小明发现实心球从出手到落地的过程中，实心球竖直高度与水平距离一直在相应的发生变化，实心球的竖直高度是水平距离的二次函数．已知实心球出手时候的高度是，当水平距离是时，实心球达到最大高度． （1）求满足条件的抛物线的关系式． （2）根据中学生体育测试评分标准(男生版)，在投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离不小于时，即可得满分10分，小明在此次投掷中是否得到满分？请说明理由． 50．（25-26学年九上·甘肃定西临洮县·期中）2025年五一假期期间，定西凤凰城景区某特产店销售A，B两类特产．A类特产的进价为50元/件，B类特产的进价为60元/件．已知购买1件A类特产和1件B类特产需132元，购买4件A类特产和7件B类特产需744元． （1）求A类特产和B类特产每件的售价． （2）A类特产供货充足，按原价销售每天可售出60件．市场调查反映，若每降价1元，每天可多售出10件（每件售价不低于进价）．设每件A类特产降价x 元，每天的销售量为y件，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围． （3）在（2）的条件下，由于B类特产供货紧张，每天只能购进100件且能按原价售完．设该店每天销售这两类特产的总利润为w元，求w与x的函数关系式，并求出每件A类特产降价多少元时，总利润w最大，最大利润是多少元．（利润售价进价） 51．（25-26学年九上·甘肃陇南·期中）某商场新进一批商品，每个成本价25元，销售一段时间后发现销售量（个）与销售单价（元/个）之间呈一次函数关系，如表： （元/个） 30 50 （个） 190 150 （1）求与之间的函数关系式； （2）若该商品的销售单价在45元~80元之间浮动，销售单价定为多少元时，销售利润最大？此时销售量为多少？ 52．（25-26学年九上·甘肃兰州第二十二中学·期末）某商店准备进一批季节性小家电，每个进价为40元，经市场预测，销售定价为50元，可售出400个；定价每增加1元，销售量将减少10个．设每个定价增加x元． （1）写出售出一个可获得的利润是多少元（用含x的代数式表示）？ （2）商店若准备获得利润6000元，并且使进货量较少，则每个定价为多少元？应进货多少个？ （3）商店若要获得最大利润，则每个应定价多少元？获得的最大利润是多少？ 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 二次函数 6大高频考点概览 考点01 二次函数的概念 考点02 二次函数y=ax²的图象和性质 考点03 二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质 考点04 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 考点05 二次函数与一元二次方程 考点06 实际问题与二次函数 考点01 二次函数的概念 1．（25-26学年九上·甘肃平凉庄浪县·期中）已知是二次函数，则（     ） A. a不为零 B. b不为零 C. c不为零 D. a，b，c均不为零 【答案】A 【分析】 本题考查了二次函数的定义，根据二次函数需满足最高次项（二次项）的系数不为零，即 ． 【详解】 解：∵是二次函数， ∴ ， 故选：A． 2．（25-26学年九上·甘肃陇南·期中）若函数是二次函数，那么的值是（        ） A. 2 B. -2或2 C. -2 D. 0或2 【答案】A 【分析】 根据二次函数的定义得出且，继而即可求解． 【详解】 ∵函数是二次函数， ∴且， ∴ 故选：A． 【点睛】 本题考查二次函数的定义，解题的关键是根据二次函数的定义得出：且． 3．（25-26学年九上·甘肃兰州第二十中学·期末）已知函数y=（m2-2）x2+（m+）x+8． （1）若这个函数是一次函数，求m的值； （2）若这个函数是二次函数，求m的取值范围. 【答案】（1）；（2）且． 【分析】（1）根据一次函数的定义知：二次项的系数等于零，一次项的系数不等于零，即可解决问题； （2）根据二次函数的定义知：二次项的系数不等于零，可得方程，根据解方程，可得答案，即可解决问题； 【详解】（1）由题意得，，解得m=； （2）由题意得，m2-2≠0，解得m≠且m≠-. 【点睛】 本题考查一次函数的定义、二次函数的定义，解题的关键是熟练掌握基本概念． 4．（25-26学年九上·甘肃武威凉州区吴家井中学·期末）已知函数是关于x的二次函数． （1）求m的值； （2）写出二次项系数、一次项系数及常数项． 【答案】（1）     （2）二次项系数是12，一次项系数是0，常数项是      【分析】 本题主要考查二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义，二次函数一般式是解决本题的关键． （1）根据二次函数的定义，即列式求解即可； （2）根据二次函数一般式判定即可． (1) 小问详解： 解：根据二次函数的定义得 ， 由得， 由得且， ∴． (2) 小问详解： 解：由（1）得：二次函数解析式为， 故二次项系数是12，一次项系数是0，常数项为． 考点02 二次函数y=ax²的图象和性质 1．（25-26学年九上·甘肃陇南武都区·期末）已知点，，三点都在抛物线的图象上，则、、的大小关系是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 此题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，比较抛物线上两点纵坐标的大小，关键是确定对称轴，开口方向，两点与对称轴的远近． 先根据二次函数的性质得到抛物线的对称轴为y轴，然后比较三个点离y轴的远近得到、、的大小关系． 【详解】 解：∵二次函数的解析式为， ∴抛物线的对称轴为y轴， ，，， ∴点C离y轴最远，点B离y轴最近， ∵抛物线开口向上， ． 故选：B． 2．（25-26学年九上·甘肃甘南藏族自治州临潭县第一中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，平行于x轴的直线，与二次函数和分别交于A、B和C、D四个点，此时，，把直线向上平移个单位，则与之间的关系是（       ） A.  B. 随着直线向上平移， C. 随着直线向上平移， D. 无法判断 【答案】A 【分析】 本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，表示出A、B、C、D的横坐标是解题的关键． 将分别代入和，即可得出求出，长度，根据得出，从而得出a的值，然后得到表达式为，然后求出与的值进而求解即可． 【详解】 解：把代入中得，， ∴ ∴A的横坐标为，B横坐标为 ∴ 把代入得，， ∴ ∴C的横坐标为，D横坐标为 ∴ ∵， ∴ ∴（负值舍去） ∴表达式为， ∵把直线向上平移个单位，得到直线 ∴把代入中得，， ∴ ∴ 把代入得，， ∴ ∴ ∴． 故选：A． 考点03 二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质 1．（25-26学年九·甘肃张掖民乐县·期末）二次函数的最大值是（     ） A. 1 B.  C. 5 D.  【答案】A 【分析】 已知二次函数为顶点式，可根据开口方向直接确定函数的最大值． 【详解】 解：∵二次函数解析式为顶点式， ∴二次项系数，二次函数开口向下，函数存在最大值， ∵顶点式的顶点坐标为，该函数顶点坐标为， ∴的最大值为． 2．（25-26学年九上·甘肃兰州第二十中学·期末）将抛物线向上平移个单位后得到新抛物线的表达式为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了二次函数图象的平移，根据“左加右减，上加下减”即可求解，掌握二次函数图象的平移规律是解题的关键． 【详解】 解：将抛物线向上平移个单位后得到新抛物线的表达式为， 故选：． 3．（25-26学年九上·甘肃酒泉肃州区·期末）二次函数图象的顶点所在的象限是（       ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【详解】 根据抛物线，可以写出该抛物线的顶点坐标，从而可以得到顶点在第几象限． 解：， 顶点坐标为， 顶点在第二象限． 故选：． 【点睛】 本题主要考查了二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键． 4．（25-26学年九上·甘肃平凉·期末）将抛物线y＝x2向上平移1个单位长度，再向左平移3个单位长度后，得到的抛物线的解析式为（       ） A. y＝（x＋3）2＋1 B. y＝（x﹣3）2＋1 C. y＝（x＋3）2﹣1 D. y＝（x﹣3）2﹣1 【答案】A 【分析】 按照“左加右减，上加下减”的规律平移则可解题． 【详解】 解：按照“左加右减，上加下减”的规律， 将抛物线y=x2向上平移1个单位长度，再向左平移3个单位长度后， 得到的抛物线的解析式为y=（x+3）2+1， 故选：A． 【点睛】 本题考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减． 5．（25-26学年九上·甘肃武威凉州区吴家井中学·期末）将抛物线向上平移2个单位长度，所得抛物线的解析式为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了二次函数的平移．根据二次函数图象的平移规律“上加下减”，向上平移时，在整个函数表达式后加上平移单位，即可作答． 【详解】 解：∵将抛物线 向上平移2个单位长度， ∴新解析式为， 故选：B． 6．（25-26学年九上·甘肃庆阳镇原县·期中）抛物线的顶点坐标是（   ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】直接利用顶点式的特点可知顶点坐标． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是． 故选：． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握利用顶点式解析式写出顶点坐标的方法是解题的关键． 7．（25-26学年九上·甘肃定西临洮县·期中）抛物线 的顶点坐标是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查二次函数顶点式，掌握相关知识是解决问题的关键．二次函数的顶点坐标为，据此解答即可． 【详解】 解：的顶点为． 故选：A． 8．（25-26学年九上·甘肃柏树中学·期中）抛物线的顶点坐标为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题主要考查了二次函数的顶点式， 根据抛物线的顶点坐标为解答即可. 【详解】 解：抛物线的顶点坐标是. 故选：C. 9．（25-26学年九上·甘肃陇南西和县）抛物线y＝x2﹣4的顶点坐标是（　　） A. （0，﹣4） B. （0，4） C. （2，0） D. （﹣2，0） 【答案】A 【分析】抛物线y＝x2﹣4，是抛物线解析式中的顶点式，直接写出顶点坐标即可. 【详解】解：抛物线y＝x2﹣4的顶点坐标是（0，﹣4）， 故选：A． 【点睛】本题是对抛物线顶点坐标的考查，熟练掌握抛物线解析式的顶点式的顶点坐标是解决本题的关键. 10．（25-26学年九·甘肃武威第十七中学·期末）已知抛物线有最低点，那么a的取值范围是（） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查二次函数的图象及性质．抛物线有最低点需开口向上，即二次项系数大于零，据此得到，求解即可． 【详解】 解：∵抛物线有最低点， ∴抛物线开口向上， ∴， 解得． 故选：C． 11．（25-26学年九上·甘肃兰州第十九中学·期末）已知抛物线，下列说法正确的是（     ） A. 开口向上 B. 对称轴是 C. 顶点坐标为 D. 当时，y随x的增大而减小 【答案】C 【分析】 本题考查了二次函数的性质．根据二次函数顶点式性质，判断开口方向、对称轴、顶点坐标及增减性，结合选项情况进行分析，即可作答． 【详解】 解：∵中的 ∴函数的开口向下， 故A选项不符合题意； ∵， ∴对称轴是，顶点坐标为， 故B选项不符合题意；C选项符合题意； ∵函数的开口向下，对称轴是， ∴当时，y随x的增大而增大， 故D选项不符合题意； 故选：C． 12．（25-26学年九上·甘肃平凉庄浪县·期末）把抛物线向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到的抛物线的解析式为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了二次函数图象的平移，根据二次函数图象的平移规律：左加右减，上加下减即可求解，掌握二次函数图象的平移规律是解题的关键． 【详解】 解：把抛物线向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到的抛物线的解析式为， 故选：． 13．（25-26学年九上·甘肃庆阳镇原县·期末）已知二次函数，下列说法正确的是（     ） A. 对称轴为直线 B. 函数的最大值是7 C. 抛物线开口向上 D. 顶点的坐标为 【答案】D 【分析】 本题考查了二次函数(a，h，k为常数，)的性质，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键．是抛物线的顶点式，a决定抛物线的形状和开口方向，其顶点是，对称轴是直线． 根据二次函数顶点式的性质分析即可． 【详解】 解：∵，， ∴对称轴为直线，抛物线开口向下，函数的最大值是，顶点的坐标为， ∴只有D正确． 故选D． 14．（25-26学年九上·甘肃武威凉州区·期末）将抛物线向右平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线解析式为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查二次函数图象的平移，熟练掌握抛物线在平面直角坐标系中平移的规律是解答此题的关键．根据平移规律“左加右减针对自变量，上加下减针对函数值”即可求解． 【详解】 ∵ 原抛物线为 ， 向右平移2个单位，得 ， 再向上平移3个单位，得 ， ∴ 得到的抛物线解析式为 ． 故选：D． 15．（25-26学年九上·甘肃定西安定区·期末）二次函数的顶点坐标、对称轴分别是（     ） A. ，直线 B. ，直线 C. ，直线 D. ，直线 【答案】A 【分析】 本题主要考查了二次函数的顶点式性质，熟练掌握“二次函数顶点式对应的顶点坐标为、对称轴为直线”是解题的关键． 根据二次函数顶点式的形式，直接确定顶点坐标和对称轴． 【详解】 解：∵ ， ∴ 顶点坐标为，对称轴为直线， 故选：A． 16．（25-26学年九上·甘肃陇南武都区·期中）已知点，都在抛物线上，则（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题主要考查了二次函数图象的性质， 先确定抛物线的开口方向，对称轴，及最高点，再根据点的位置得出答案. 【详解】 解：∵二次函数中，抛物线开口向下，对称轴是y轴，有最高点， ∴点在对称轴的左侧，函数值y随着x的增大而增大. 当时，. ∵， ∴. 故选：C. 17．（25-26学年九上·甘肃陇南武都区·期中）为了得到抛物线，可以将抛物线（     ） A. 向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度 B. 向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度 C. 向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度 D. 向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度 【答案】D 【分析】 本题考查二次函数图象的平移，关键是将抛物线平移转化为顶点平移． 通过比较原抛物线和目标抛物线的顶点坐标，确定平移方向和平移量． 【详解】 解：∵抛物线的顶点坐标为 ，抛物线的顶点坐标为 ， ∴需要将顶点从平移到，即向右平移1个单位，向下平移2个单位． 故选：D． 18．（25-26学年九上·甘肃临夏州·期中）关于二次函数的最值，下列说法正确的是（     ） A. 有最大值3 B. 有最小值3 C. 有最大值4 D. 有最小值4 【答案】D 【分析】 本题主要考查二次函数的图象与性质，根据二次函数的顶点式，通过系数判断开口方向，从而确定最值类型（最大值或最小值），顶点坐标给出最值点。 【详解】 解：∵函数是顶点形式，其中， ∴抛物线开口向上，有最小值， ∴顶点坐标为， ∴最小值为 4． 故选：D． 19．（25-26学年九上·甘肃临夏州·期中）当函数y=（x-1）2-2的函数值y随着x的增大而减小时，x的取值范围是（　　） A.  B.  C.  D. x为任意实数 【答案】B 【分析】 利用二次函数的增减性求解即可，画出图形，可直接看出答案． 【详解】 解：对称轴是：x=1，且开口向上，如图所示， ∴当x＜1时，函数值y随着x的增大而减小； 故选B． 【点睛】 本题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是熟记二次函数的性质． 20．（25-26学年九上·甘肃庆阳镇原县·期中）已知二次函数，若随的增大而减小，则的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 此题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握开口方向和对称轴是解题关键． 根据二次函数的性质，由二次项系数为负，可知抛物线开口向下，在对称轴右侧y随x增大而减小． 【详解】 解：∵ 二次函数 ， ∴ ，开口向下，对称轴为 ， ∴ 当 时，y 随 x 的增大而减小， 故选：C． 21．（25-26学年九上·甘肃酒泉肃州区·期中）抛物线经过平移得到，平移方法是　　 A. 向左平移1个单位，再向下平移3个单位 B. 向左平移1个单位，再向上平移3个单位 C. 向右平移1个单位，再向下平移3个单位 D. 向右平移1个单位，再向上平移3个单位 【答案】D 【分析】由抛物线得到顶点坐标为，而平移后抛物线的顶点坐标为，根据顶点坐标的变化寻找平移方法． 【详解】解：抛物线得到顶点坐标为， 而平移后抛物线的顶点坐标为， 平移方法为向右平移1个单位，再向上平移3个单位． 故选D． 【点睛】本题考查了抛物线的平移规律关键是确定平移前后抛物线的顶点坐标，寻找平移规律． 22．（25-26学年九上·甘肃武威凉州区·期中）将抛物线先向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到的新抛物线解析式为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了二次函数图象的平移与几何变换，利用抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减是解题关键．根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可． 【详解】 解：根据题意得到新抛物线的解析式为：． 故选：A． 23．（25-26学年九上·甘肃定西临洮县·期中）将抛物线向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度后的抛物线的函数表达式为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了二次函数图象的平移． 按“上加下减常数项，左加右减自变量”的规律平移即可得出所求函数的解析式． 【详解】 解：将抛物线向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度后的抛物线的函数表达式为． 故选：A． 24．（25-26学年九上·甘肃陇南·期中）抛物线可以由抛物线平移得到，则下列平移方法正确的是（　　） A. 先向左平移2个单位，再向上平移7个单位 B. 先向左平移2个单位，再向下平移1个单位 C. 先向右平移2个单位，再向上平移7个单位 D. 先向右平移2个单位，再向下平移1个单位 【答案】D 【分析】 本题主要考查二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数图象的平移是解题的关键；将抛物线解析式化为顶点式，根据顶点坐标的变化确定平移方法即可． 【详解】 解：∵， ∴顶点坐标为， 而的顶点为， ∴需要向右平移2个单位，再向下平移1个单位所得到； 故选D． 25．（25-26学年九上·甘肃吴家井中学·期中）将抛物线的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到的抛物线的顶点坐标是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题主要考查了二次函数图象的平移，二次函数的性质，熟知“上加下减，左加右减”的平移法则是解题的关键． 根据“上加下减，左加右减”的平移法则得到平移后的函数解析式，再由顶点式二次函数解析式写出顶点坐标即可解决问题． 【详解】 解：由题知， 则将抛物线的图象向右平移1个单位后，再将所得抛物线向下平移2个单位后，所得抛物线的解析式为， 此时抛物线的顶点坐标为． 故选：C． 26．（25-26学年九上·甘肃庆阳镇原县·期中）若抛物线向左平移个单位长度后，经过，则的值为（       ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 0或4 【答案】C 【分析】 本题考查了二次函数的平移． 先求出平移后的函数解析式，再将代入解析式计算即可． 【详解】 解：抛物线向左平移个单位长度后，解析式为， ∵平移后的抛物线经过点， ∴， 即， 解得或， ∵， ∴． 故选：C． 27．（25-26学年九上·甘肃平凉庄浪县·期中）将抛物线向下平移2个单位长度，再向左平移1个单位长度，能得到抛物线的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查了函数图象平移的性质，解题的关键是掌握平移的性质． 采用倒推的思想，利用平移的性质进行求函数解析式即可． 【详解】 解：由先向右平移1个单位长度后解析式为， 再向上平移2个单位长度后解析式为， 故选：B． 28．（25-26学年九上·甘肃武威凉州区谢河中学·期中）已知，两点在抛物线上，如果，那么下列结论一定成立的是（       ）． A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题主要考查了二次函数图象与性质，掌握二次函数的性质是解题的关键． 根据抛物线解析式求得对称轴，根据开口方向可知当时，y随x的增大而增大，据此即可解答． 【详解】 解：∵图象的开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为， ∴当时，y随x的增大而增大，， ∵，在抛物线上，， ∴． 故选：C． 29．（25-26学年九上·甘肃兰州第十九中学·期末）抛物线向右平移1个单位，再向上平移2个单位后所得抛物线的表达式为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了二次函数图象的平移问题，根据“上加下减，左加右减”的平移规律求解即可． 【详解】 解：抛物线向右平移1个单位，再向上平移2个单位后所得抛物线的表达式为， 故答案为：． 30．（25-26学年九上·甘肃陇南·期末）将抛物线向下平移4个单位长度后，所得抛物线的表达式为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了二次函数的平移规律，根据二次函数图象的平移规律“左加右减，上加下减”进行分析，即可作答． 【详解】 解：∵将抛物线向下平移4个单位长度， ∴所得抛物线的表达式为． 故答案为：． 31．（25-26学年九上·甘肃兰州·期末）抛物线的顶点坐标是　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了二次函数的性质，根据二次函数顶点式的性质，直接读出顶点坐标． 【详解】 解：抛物线是顶点式形式，顶点坐标为． 故答案为． 32．（25-26学年九上·甘肃陇南西和县·期末）点，都在二次函数的图象上，则　　　　　　．（选填“”“”或“”）． 【答案】 【分析】 本题考查了二次函数值的大小比较，解题的关键是熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征． 将点，分别代入，求解函数值并比较即可． 【详解】 解：将点，分别代入，则，， ∴， 故答案为：． 33．（25-26学年九上·甘肃兰州第八十一中学·期末）抛物线的顶点坐标是　　　　　　　　　　． 【答案】（-1,-3） 【分析】根据抛物线顶点式得顶点为可得答案． 【详解】解：∵抛物线顶点式得顶点为， ∴抛物线的顶点坐标是（-1，-3） 故答案为（-1，-3）． 【点睛】本题考查了二次函数的顶点式的顶点坐标，熟记二次函数的顶点式及坐标是解题的关键． 34．（25-26学年九上·甘肃陇南武都区·期末）若抛物线的顶点在第一象限，则m的取值范围为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查二次函数的性质，二次函数的顶点坐标为，以及各个象限点的坐标特征，熟练掌握二次函数的顶点式是解题的关键． 直接利用顶点形式得出顶点坐标，结合第一象限点的特点列出不等式解答即可． 【详解】 解：∵抛物线， ∴顶点坐标为， ∵顶点在第一象限， ∴， ∴m的取值范围为． 故答案为：． 35．（25-26学年九上·甘肃柏树中学·期中）抛物线的最小值为　　　　　　　　 【答案】 【分析】 本题考查了二次函数的图象性质，根据得出抛物线的开口向上，顶点坐标为，则抛物线的最小值为，即可作答． 【详解】 解：∵ ∴抛物线的开口向上，顶点坐标为， ∴抛物线的最小值为， 故答案为： 36．（25-26学年九上·甘肃临夏州·期末）把抛物线向上平移个单位长度，得到抛物线，则　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了二次函数解析式在平移中的变化规律，掌握变化规律是解题的关键． 抛物线平移时，二次项系数不变，仅常数项改变，计算即可． 【详解】 抛物线向上平移个单位长度，得到新抛物线， 与比较，得，， 故； 故答案是． 37．（25-26学年九上·甘肃酒泉肃州区·期末）将抛物线向左平移个单位，再向上平移个单位，所得抛物线的表达式为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了二次函数的图象与几何变换，根据“上加下减，左加右减”的规律进行解答即可，熟知函数图象平移的规律是解题的关键． 【详解】 解：由抛物线向左平移个单位，再向上平移个单位， 根据“上加下减，左加右减”规律可得抛物线平移后是， 故答案为：． 38．（25-26学年九上·甘肃兰州第二十二中学·期末）将抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到的新抛物线的解析式为　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 主要考查的是函数图象的平移，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式．根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行求解． 【详解】 解：将抛物线先向右平移3个单位长度，得：； 再向上平移5个单位长度，得：， 故答案为：． 39．（25-26学年九上·甘肃定西·期中）将抛物线向右平移2个单位后的新抛物线的解析式为　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 先把原抛物线化成顶点式，再根据抛物线的平移规律进行求解即可；上加下减，左加右减． 【详解】 解；将抛物线向右平移2个单位后的新抛物线的解析式为， 故答案为：． 【点睛】 本题主要考查了二次函数图象的平移，熟知二次函数图像的平移规律是解题的关键． 40．（25-26学年九上·甘肃临夏州·期中）把抛物线向左平移3个单位，然后向下平移2个单位，平移后抛物线的顶点坐标为　　　　　　　　. 【答案】（-3，-1） 【分析】根据抛物线平移的规律：左加右减，上加下减即可得到答案. 【详解】把抛物线向左平移3个单位，然后向下平移2个单位， ∴平移后的抛物线解析式为：， ∴平移后抛物线的顶点坐标为（-3，-1）， 故答案为：（-3，-1）. 【点睛】此题考查抛物线平移的规律，掌握平移的规律，根据规律会计算得到平移后的抛物线解析式是解题的关键. 41．（25-26学年九上·甘肃平凉庄浪县·期中）如图，抛物线的对称轴为直线，将抛物线向上平移个单位长度得到抛物线，则图中的两条抛物线、直线与轴所围成的图形（阴影部分）的面积为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了二次函数的平移，平移的性质，理解图中阴影部分为平行四边形是解题的关键．先求出的顶点坐标，再根据平移的性质求出的顶点坐标，的坐标，求出平行四边形的面积即可． 【详解】 解：∵抛物线， ∴对称轴为，顶点为 ∵抛物线向上平移个单位长度得到抛物线， ∴点坐标为，点坐标为． 故两条抛物线、直线与轴所围成的图形（阴影部分）的面积为． 故答案为： 42．（25-26学年九上·甘肃武威凉州区谢河中学·期中）二次函数的图象可由哪个函数图象向下平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度得到　　　　　　　 【答案】 【分析】 本题考查了二次函数图象的平移，熟练掌握平移规律是解答本题的关键． 通过反向平移操作，将给定的二次函数图象先向左平移1个单位，再向上平移2个单位，得到原函数图象． 【详解】 解：对于二次函数 ，将其图象向左平移1个单位，得到函数 ；再向上平移2个单位，得到函数 ． 因此，原函数为 ，即该函数图象向下平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度后可得到 的图象． 故答案为：． 43．（25-26学年九上·甘肃酒泉第七中学·期中）将抛物线向上平移两个单位长度，再向右平移一个单位长度后，得到的抛物线的顶点坐标是　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了二次函数图象的平移问题，先把原解析式化为顶点式，再根据“上加下减，左加右减”的平移规律求出平移后的解析式即可得到答案． 【详解】 解：， ∴将抛物线向上平移两个单位长度，再向右平移一个单位长度后，得到的抛物线解析式为， ∴平移后的抛物线顶点坐标为， 故答案为：． 44．（25-26学年九上·甘肃酒泉第七中学·期中）若将抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，则所得抛物线的函数解析式为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据“上加下减，左加右减”的平移规律可得答案． 【详解】 解：将抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度得到的抛物线的函数解析式为． 45．（25-26学年九上·甘肃武威凉州区吴家井中学·期末）已知二次函数，当时，的取值范围为　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数开口向上，顶点在区间内，最小值在顶点处，最大值在端点处． 【详解】 解：二次函数，，开口向上，对称轴为． 当时，； 当时，； 当时，． 故的取值范围为． 故答案为：． 考点04 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 1．（25-26学年九上·甘肃定西渭源县·期末）二次函数的最小值是（     ）. A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查二次函数的顶点式的图像和性质．熟悉对于二次函数的顶点式，当时，抛物线开口向上，函数在顶点处取得最小值，是解题的关键． 根据二次函数的顶点式和，得到顶点处的函数值即为最小值． 【详解】 解：∵ 的顶点坐标为，且二次项系数为， ∴ 当时，取最小值． 故选：． 2．（25-26学年九上·甘肃定西·期中）二次函数y＝x2﹣2x+2的顶点坐标是（　　） A. （1，1） B. （2，2） C. （1，2） D. （1，3） 【答案】A 【分析】 根据顶点坐标公式，可得答案． 【详解】 解：的顶点横坐标是，纵坐标是， 的顶点坐标是． 故选：A． 【点睛】 本题考查了二次函数的性质，二次函数的顶点坐标是 3．（25-26学年九上·甘肃兰州·期中）关于一次函数的性质及其图象，下列说法正确的是（     ） A. 的值随值的增大而减小 B. 该函数的图象经过第一、三、四象限 C. 点一定在函数图象上 D. 和是图象上两点，则 【答案】C 【分析】 本题考查一次函数的图象和性质，根据一次函数的图象和性质，逐一进行判断即可． 【详解】 解：∵，， ∴图象过一，二，三象限，的值随值的增大而增大，故A，B选项错误； 当时，， ∴点一定在函数图象上；故C选项正确； ∵和是图象上两点，且， ∴；故D选项错误； 故选C． 4．（25-26学年九上·甘肃酒泉第七中学·期中）下列关于抛物线y=(x+1) 2+2的说法,正确的是(     ) A. 开口向下 B. 对称轴是直线x=1 C. 当x=-1时,y有最小值2 D. 当x>-1时,y随x的增大而减小 【答案】C 【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质可以判断各个选项是否正确，从而可以解答本题． 【详解】∵y=（x＋1）2＋2， ∴该函数开口向上，顶点坐标为（−1，2），故选项A错误，C正确； 当x＞−1时，y随x的增大而增大，故选项D错误， 对称轴是直线x＝−1，故选项B错误， 故选C． 【点睛】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 5．（25-26学年九上·甘肃武威凉州区·期中）二次函数的对称轴是，则（       ） A.  B. 3 C.  D. 6 【答案】C 【分析】 本题考查了二次函数的性质，解决本题的关键是掌握二次函数的对称轴． 根据二次函数的对称轴为，将代入求解即可． 【详解】 解：二次函数的对称轴是， 即，解得． 故选：C ． 6．（25-26学年九上·甘肃兰州第五中学·期末）二次函数写成形如的形式，则m，n的值分别是（   ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【分析】 本题考查了二次函数的三种形式．将二次函数化为顶点式得到m，n的值即可． 【详解】 解：∵ ， ∴，。 故选： B ． 7．（25-26学年九上·甘肃兰州第二十中学·期末）若二次函数的图象经过点，，则与的大小关系为（　　） A.  B.  C.  D. 不能确定 【答案】A 【分析】 根据二次函数的对称轴以及开口方向可知，离对称轴越远，函数值越大，判断即可． 【详解】 解：∵二次函数解析式为：， ∴对称轴为：， ∴点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离， ∵， ∴，故A正确． 故选：A． 【点睛】 本题主要考查了比较函数值的大小，根据二次函数开口方向以及对称轴结合点到对称轴的距离是解本题的关键． 8．（25-26学年九上·甘肃兰州第二十中学·期末）在同一坐标中，一次函数与二次函数的图象可能是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了一次函数和二次函数的图象及其性质，熟练掌握各个系数与一次函数和二次函数的关系是解题的关键； 根据一次函数和二次函数的解析式可得一次函数与y轴的交点为（0，2），二次函数的开口向上，然后根据k的大小判断图象即可． 【详解】 解：由二次函数可知，抛物线开口向上，顶点在y轴，由一次函数可知，直线与y轴的交点为，故选项A、D不符合题意； 当时，二次函数顶点在y轴正半轴， ，一次函数经过一、二、四象限，选项C不符合题意； 当时，二次函数顶点在y轴负半轴，，一次函数经过一、二、三象限，选项B符合题意． 故选∶B． 9．（25-26学年九上·甘肃兰州·期末）碳酸钠的溶解度与温度之间的对应关系如图所示，则下列说法正确的是（       ） A. 当温度为时，碳酸钠的溶解度为 B. 碳酸钠的溶解度随着温度的升高而增大 C. 当温度为时，碳酸钠的溶解度最大 D. 要使碳酸钠的溶解度大于，温度只能控制在 【答案】C 【分析】 直接观察图象，逐项判断即可求解． 【详解】 解：A、观察图象得：当温度为时，碳酸钠的溶解度为，故本选项错误，不符合题意； B、观察图象得：当温度在时，碳酸钠的溶解度随着温度的升高而增大，故本选项错误，不符合题意； C、观察图象得：当温度为时，碳酸钠的溶解度最大，故本选项正确，符合题意； D、观察图象得：当温度接近并低于时，碳酸钠的溶解度达到，则要使碳酸钠的溶解度大于，温度控制的范围应该大于在，故本选项错误，不符合题意； 故选：C 【点睛】 本题主要考查了函数图象，明确题意，准确从图象获取信息是解题的关键． 10．（25-26学年九上·甘肃酒泉肃州区·期末）在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象可能是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了二次函数与一次函数的图象．可先由二次函数图象得到字母系数的正负，再与一次函数的图象相比较看是否一致． 【详解】 解：A、由抛物线可知，，，得，由直线可知，，故本选项符合题意； B、由抛物线可知，由直线可知，故本选项不符合题意； C、由抛物线可知，由直线可知，故本选项不符合题意； D、由抛物线可知，，得，由直线可知，，故本选项不符合题意． 故选：A． 11．（25-26学年九上·甘肃定西·期中）在同一坐标系中，一次函数y=ax+2与二次函数y=x2+a的图象可能是（ ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【详解】 解：根据二次函数及一次函数的图象及性质可得， 当a＜0时， 二次函数图象开口向上，顶点在y轴负半轴， 一次函数经过一、二、四象限； 当a＞0时， 二次函数图象开口向上，顶点在y轴正半轴， 一次函数经过一、二、三象限． 符合条件的只有选项C， 故选：C． 12．（25-26学年九上·甘肃酒泉第七中学·期中）已知，，是抛物线上的点，则（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题主要考查了比较二次函数值的大小，先根据抛物线解析式得到抛物线开口向下，对称轴为直线，则离对称轴越远函数值越小，再求出三点到对称轴的距离即可得到答案． 【详解】 解：∵抛物线解析式为，， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴离对称轴越远函数值越小， ∵，，是抛物线上的点，且， ∴， 故选：C． 13．（25-26学年九上·甘肃武威凉州区·期中）在同一平面直角坐标系内，函数和的图象大致是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查二次函数和一次函数的图象判断．熟练掌握二次函数和一次函数的性质，是解题的关键．根据，直线与轴交于负半轴，根据时，直线随x的增大而增大，抛物线开口向上，时，直线随x的增大而减小，抛物线开口向下，进行判断即可． 【详解】 解：∵，当时，， ∴直线与轴交于负半轴； 当时，直线随x的增大而增大，抛物线开口向上，当时，直线随x的增大而减小，抛物线开口向下， ∴只有B选项符合题意， 故选：B． 14．（25-26学年九上·甘肃陇南·期中）在同一平面直角坐标系中，函数和（是常数，且）的图象可能是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了一次函数的图象与性质，二次函数的图象与性质，掌握二次函数与一次函数的图象与性质是关键． 首先观察各选项中的一次函数的图象，得到字母系数的正负性，然后再将字母系数的正负性与二次函数的开口方向相比较，看是否一致，不能判断的需同时结合二次函数的对称轴进行验证，由此即可作出判断. 【详解】 解：A、由一次函数的图象可得，此时二次函数的图象开口向上，对称轴为直线，故该选项错误； B、由一次函数的图象可得，此时二次函数的图象开口向上，对称轴为直线，故该选项正确； C、由一次函数的图象可得，此时二次函数的图象应该开口向下，故该选项错误； D、由一次函数的图象可得，此时二次函数的图象应该开口向上，故该选项错误； 故选：B． 15．（25-26学年九上·甘肃陇南西和县）二次函数图象上有三个点，，，则，，之间的大小关系是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了根据二次函数的性质比较函数值的大小，把点，，代入解析式分别求出函数值，即可比较，，之间的大小． 【详解】 解：分别把，，代入函数解析式得 ，，， ∴． 故选：A 16．（25-26学年九上·甘肃吴家井中学·期中）已知开口向下的抛物线经过坐标原点，那么a等于（       ） A.  B. 1 C.  D. 2或 【答案】C 【分析】 本题考查二次函数的图象性质．将代入抛物线解析式，再结合抛物线开口方向即可得到a的值． 【详解】 解：∵过， ∴， 又∵抛物线开口向下， ∴， ∴， 故选：C． 17．（25-26学年九·甘肃武威第十七中学·期末）如图，二次函数的图像与轴交于、两点，与轴交于点，且对称轴为直线，点的坐标为，则下列四个结论：①；②；③；④；⑤当或时，．其中正确的个数是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题主要考查了二次函数的图像与性质，解题的关键是掌握二次函数的图像与性质．根据抛物线开口向下，抛物线与轴交于正半轴，对称轴为直线，可以判断，，的值，进而说明① ；再根据对称轴，解答② ；将点代入抛物线得，解答③ ；接下来结合时，，解答④ ；然后求出抛物线与轴的另一个交点为，根据抛物线的性质解答⑤ 即可． 【详解】 解：抛物线开口向下， ， 抛物线与轴交于正半轴， ， 对称轴为直线， ， ，则① 不正确； ， ，则② 正确； 将点代入抛物线得，则③ 正确； 当时，，即，则④ 正确； 抛物线与轴交于点，且对称轴为直线， 抛物线与轴的另一个交点为， 当或时，，则⑤ 正确． 正确的有个． 故选：D． 18．（25-26学年九上·甘肃兰州第五中学·期末）已知二次函数，图象的一部分如图所示，该函数图象经过点，对称轴为直线．对于下列结论：①；②；③；④（其中）；⑤若和均在该函数图象上，且，则．其中正确结论的个数共有（　　）个． A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【分析】 分别判断a、b、c的符号，即可判断① ；根据图象与x轴交点个数，即可判断② ；把代入即可判断③ ；根据该二次函数的最大值，即可判断④ ；根据该函数的开口方向判断其增减性，即可判断⑤ ． 【详解】 解：① 由图可知：∵图象开口向下，对称轴在y轴左侧，图象与y轴相交于正半轴， ∴， ∴，故① 不正确； ② ∵函数图象与x轴有两个交点， ∴，故② 正确； ③∵该函数图象经过点，对称轴为直线， ∴该函数与x轴另一个交点坐标为， ∴当时，，故③ 正确； ④ ∵对称轴为直线，函数开口向下， ∴当时，y有最大值， 把代入得：， 把代入得：， ∵， ∴，则，故④ 正确； ⑤ ∵函数开口向下， ∴离对称轴越远函数值越小， ∵对称轴为直线，， ∴，故⑤ 不正确， 综上：正确的有② ③ ④ ． 故选：B． 【点睛】 本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数图象和系数的关系． 19．（25-26学年九上·甘肃兰州第二十中学·期末）抛物线的对称轴为直线，给出下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的个数有（　　） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】A 【分析】 开口方向，与轴的交点位置，确定的符号，判断① ；与轴的交点个数，判断② ；对称轴判断③ ；对称性和特殊点判断④ ，⑤ ，即可得出结论． 【详解】 解：∵抛物线开口向下，与轴的交点在正半轴上， ∴， ∴；故① 错误； ∵抛物线与轴由2个交点， ∴，故② 正确； ∵对称轴为， ∴， ∴，故③ 错误； ∵抛物线过点，关于对称轴的对称点为：， ∴；故④ 正确； 由图象可知：当时，函数值小于时的函数值0， 即：，故⑤ 错误； 综上，正确的有2个； 故选A． 【点睛】 本题考查的是二次函数的性质，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 20．（25-26学年九上·甘肃兰州第十九中学·期末）已知点在抛物线上，则下列结论正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】分别计算自变量为1和2对应的函数值，然后对各选项进行判断． 【详解】当x=1时,y1=−(x+1) +2=−(1+1) +2=−2； 当x=2时,y=−(x+1) +2=−(2+1) +2=−7； 所以. 故选A 【点睛】此题考查二次函数顶点式以及二次函数的性质，解题关键在于分析函数图象的情况 21．（25-26学年九上·甘肃庆阳镇原县·期末）如图，与正方形的一条边重合，，，将正方形沿向右平移，当点D与点A重合时，停止平移，设点C平移的距离为x，正方形与重合部分的面积为y，则y关于x的函数图象大致为（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 分别求出当和当时y与x的函数关系式，再由函数关系式判断即可解答． 【详解】 解：设点C平移的距离为x，正方形与重合部分的面积为y， ∴当时，如图： ∴； 当时，如图： ∴； ∴ ， 由分段函数可看出B选项中的函数图象与所求的分段函数对应， 故选：B． 【点睛】 本题考查动点问题的函数图象及二次函数的性质，等腰直角三角形的性质，平移的性质等知识点，熟练掌握二次函数的性质并运用数形结合是解题关键． 22．（25-26学年九上·甘肃兰州·期末）已知二次函数的图象如图所示，则（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据二次函数图象的开口方向、对称轴位置、与轴交点及特殊点的函数值，结合二次函数性质，逐一分析选项 ．本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数中（开口方向）、（对称轴与共同决定）、（与轴交点）的意义及特殊点函数值的应用是解题的关键． 【详解】 解： 二次函数图象中，开口向上， ． 对称轴，又， ，即． 抛物线与轴交点在负半轴， ． 选项A：，，， 两负一正相乘得正， ，该选项错误． 选项B：对称轴，由图象知对称轴，即， 又，两边乘得，，该选项错误． 选项C：当时，，即；当时，， ，该选项正确． 选项D：当时，，由图象知对应的函数值， ，该选项错误． 故选． 23．（25-26学年九上·甘肃武威凉州区·期末）在同一平面直角坐标系中，一次函数（为常数，且）的图象与二次函数的图象可能是（    ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了一次函数、二次函数图象与系数的关系，利用图象特征判断字母系数的符号是解题的关键． 根据每个选项中的图象特征，分别判断一次函数和二次函数中的符号，再对比是否一致即可得出答案． 【详解】 解：A、由二次函数图象可知：， 由一次函数图象可知：， 矛盾，故A选项不符合题意； B、由二次函数图象可知：， 由一次函数图象可知：， 矛盾，故B选项不符合题意 C、由二次函数图象可知：， 由一次函数图象可知：， 故C选项符合题意； D、由二次函数图象可知：， 由一次函数图象可知：， 矛盾，故D选项不符合题意； 故选：C． 24．（25-26学年九上·甘肃定西安定区·期末）抛物线的部分图象如图所示，与轴的一个交点坐标为，抛物线的对称轴是．下列结论中：①；②；③；④若点在该抛物线上，则．⑤方程有两个不相等的实数根；其中正确的有（          ） A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 【答案】A 【分析】 本题主要考查二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征等知识点，明确题意、利用二次函数的性质以及数形结合的思想是解题的关键． 根据抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标，最大值（最小值）以及对称性综合判断即可解答． 【详解】 解：抛物线开口向下，则， 对称轴为，即， 抛物线与y轴交在正半轴，， 故，故① 正确， 抛物线的对称轴是，则，故，故② 正确； ∵与轴的一个交点坐标为， ∴，即 ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即，所以③ 正确； ∵当时，此时，即该函数取得最大值， ∴点在该抛物线上，则，故正④ 确； ∵由图象可得，抛物线的顶点的纵坐标大于4， ∴直线与抛物线有两个交点， ∴一元二次方程有两个不相等的实数根，故⑤正确． 综上，正确的有① ②③④ ⑤，共5个． 故选：A． 25．（25-26学年九上·甘肃武威凉州区吴家井中学·期末）二次函数的图象经过点，，．若，且抛物线的对称轴为直线．则下列结论的正确的是（     ） ①；②；③关于的方程的两根之积；④点，在抛物线上且在对称轴的同侧，当时，总有，则． A. ①② B. ①②④ C. ①③④ D. ①②③④ 【答案】B 【分析】 本题考查了抛物线与二次函数系数之间的关系、二次函数与方程． 根据对称轴可得，由点A和点B的函数值符号可得，进而判断和正确；方程两根之积；根据当时，总有，可得，再由点，在对称轴的同侧，可得，即可求解． 【详解】 解：∵二次函数的对称轴为直线，        ∴， ∴， ∵图象经过点，且， ∴，故②正确； ∵， ∴图象经过点， ∴， ∴， ∴，即， ∴，， ∴，故①正确； 设方程的两根为， ∵， ∴二次函数的图象与的一个交点在和之间， 不妨设， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴， ∴，故③错误； ∵点，在抛物线上， ∴， ∵当时，总有， ∴， ∵， ∴, 要使不等式恒成立，只需当取最小值时该不等式成立， ∵点，在对称轴的同侧， ∴，即的最小值为2， ∴，即，故④正确； 综上，正确结论为① ② ④． 故选：B 26．（25-26学年九上·甘肃兰州第八十一中学·期末）著名数学家华罗庚说过：“数缺形时少直觉，形缺数时难入微．数形结合百般好，隔离分家万事非．”寥窖数语，把图形之妙趣说的淋漓尽致．如图是二次函数的图象，那么无论为何值，函数值恒为正的条件是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了二次函数的图象与性质，根据二次函数的图象在x轴上方，可得抛物线开口向上，与x轴无交点，即可判断 ． 【详解】 解：二次函数的图象在x轴上方， 抛物线开口向上，与x轴无交点， 即，， 解得， 故选：C． 27．（25-26学年九上·甘肃陇南·期末）在二次函数为常数中，当时，随的增大而增大，则的取值范围是（   ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了二次函数的性质．熟练掌握二次函数的对称性增减性，是解题的关键． 根据二次函数解析式，得开口向上时，对称轴为直线，在对称轴右侧y随x的增大而增大．根据当时y随x的增大而增大，得对称轴应位于直线左侧或与之重合． 【详解】 解：∵二次函数的开口向上，对称轴为直线． ∴当时，y随x的增大而增大． ∵当时，随的增大而增大， 因此需满足． 故选：D． 28．（25-26学年九上·甘肃陇南·期末）已知二次函数的图象如图所示，有下列三个结论：①；②；③．下列说法正确的是（       ） A. ①②正确，③错误 B. ①错误，②③正确 C. ①③正确，②错误 D. ①②③都正确 【答案】D 【分析】 本题考查二次函数的图象，熟练掌握二次函数的图象是解题的关键． 根据函数图象开口向上，与轴正半轴有交点，则、，根据图象与轴有两个不同的交点，可得判别式，根据时，对应的函数值在轴下方，得到，据此解答即可． 【详解】 解：根据二次函数图象可知，开口向上， 则， 由于该函数图象与轴正半轴有交点， 则， 因此， 故① 正确； 令得，， 判别式， 由于图象与轴有两个不同的交点， 则，即， 故② 正确； 由图象可知，当时，对应的函数值在轴下方， 则， 故③ 正确， 综上，正确的有① ② ③ ， 故选：D． 29．（25-26学年九上·甘肃定西·期中）已知二次函数的图象如图所示，有下列4个结论：①；②；③；④；其中正确的结论有（       ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【分析】 由抛物线的开口方向、抛物线的对称轴以及当时的值，即可得出、、的正负，进而即可得出①正确；由时，，即可得出，进而即可得出② 正确；由抛物线的对称轴为结合时，即可得出当时，进而得出，③成立；由二次函数图象与轴交于不同的两点，结合根的判别式即可得出，④成立．综上即可得出结论． 【详解】 解：①抛物线开口向下， ． 抛物线的对称轴为， ． 当时，， ，① 错误； ②当时，， ， ，②正确； ③抛物线的对称轴为， 当时与时，值相等， 当时，， ，③正确； ④抛物线与轴有两个不相同的交点， 一元二次方程， ，④正确． 综上可知：成立的结论有3个． 故选：C． 【点睛】 本题考查了二次函数图象与系数的关系、根的判别式以及二次函数图象上点的坐标特征，根据给定二次函数的图象逐一分析四条结论的正误是解题的关键． 30．（25-26学年九上·甘肃临夏州·期中）如图，抛物线与x轴交于点和点，以下结论：①；②；③时，y随x的增大而减小．其中正确的个数为（     ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【分析】 本题考查二次函数的图象和性质，对称性求出抛物线的对称轴，根据图象判断① ，特殊点判断② ，增减性判断③ 即可． 【详解】 解：∵抛物线的开口向下，与轴交于正半轴， ∴， ∵抛物线过点和点， ∴抛物线的对称轴为直线，即， ∴， ∴；故① 正确； 当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，故③ 错误； ∴当时，，故② 错误； 故选B． 31．（25-26学年九上·甘肃庆阳镇原县·期中）如图是二次函数的图象的一部分，对称轴为直线且经过点，则下列结论正确的是（       ） A.  B.  C.  D. 方程的两个根为 【答案】D 【分析】 本题考查了二次函数的图象与性质，抛物线与坐标轴的交点问题等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 先根据对称轴为直线且经过点得到，抛物线经过点，即可判断C、D；由图象可得，则，即可判断A；再由抛物线经过点，得到当时，，即可判断B． 【详解】 解：∵对称轴为直线且经过点， ∴抛物线经过点，， ∴，则，故C错误； 由图象可得，则， ∴，故A错误； ∵抛物线经过点，开口向下， ∴当时，代入，则， 故B错误； ∵抛物线与x轴交于点，， ∴方程的两个根为，故D正确， 故选：D． 32．（25-26学年九上·甘肃武威凉州区谢河中学·期中）如图，二次函数与轴交点的横坐标为，与轴正半轴的交点为，，则下列结论正确的有（       ） ①；②；③；④ A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】B 【分析】 本题考查了二次函数图象与系数的关系，主要考查学生根据图形进行推理和辨析的能力，用了数形结合思想．根据函数图象即可判断① ② ；由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴判断b与0的关系，进而对结论③ ④进行判断． 【详解】 解：由图象可知，当时，，故① 正确； 当时，，故② 正确； ∵抛物线开口方向向下，抛物线与y轴交于正半轴， ∴，， ∵抛物线与x轴的交点是和，其中， ∴对称轴， ∴， ∴，故③ 错误； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即，故④ 正确． 故正确的有3个． 故选：B． 33．（25-26学年九上·甘肃酒泉第七中学·期中）已知二次函数的图象如图所示，有下列结论：①；②；③；④；⑤（m为任意实数）；⑥若，，是抛物线上三点，则；⑦关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根；其中正确的结论的个数是（                 ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 【答案】C 【分析】 本题主要考查二次函数图象系数之间的关系，二次函数与一元二次方程的关系，二次函数图形的性质，会求与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用是解本题的关键．由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴，抛物线与x轴交点情况推理，抛物线的性质进而对所得结论进行判断． 【详解】 解：① 由图象可知：，，，则， ，故① 正确，符合题意； ② 当，，则，故② 正确，符合题意； ③ 当，，则， ， ，故③ 错误，不符合题意； ④ 根据图象得抛物线与x轴有两个交点，则，故④ 错误，不符合题意； ⑤抛物线的对称轴为，则时，有最小值为， ，即，故⑤ 错误，不符合题意； ⑥抛物线的对称轴为，且开口向上， 抛物线上的点离对称轴的距离越远，函数值越大，反之则越小， ，，是抛物线上三点， 且，即， ，故⑥ 正确，符合题意； ⑦，，且， 将看作一条平行于x轴的平行线，且位于x轴上方（包括与x轴重合）， 抛物线的图象与这条直线始终有两个交点，且位于x轴上方（包括与x轴上）， 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，故⑦ 正确，符合题意； 综上所述，共有① ② ⑥ ⑦ 符合题意，共3个， 故选：C． 34．（25-26学年九上·甘肃酒泉第七中学·期中）在同一坐标系中，一次函数与二次函数的图像可能是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题主要考查了一次函数和二次函数的图像特征，理解一次函数、二次函数图像位置与系数的关系成为解题的关键．根据一次函数和二次函数的图像特征，逐项分析判断即可． 【详解】 解：A、由抛物线可知，图像与y轴交在负半轴，开口方向向上；由直线可知，图像随x的增大而增大，即；与y轴交在正半轴，出现矛盾，故此选项错误； B、由抛物线可知，图像与y轴交在正半轴，开口方向向下；由直线可知，图像随x的增大而增大，即；与y轴交在正半轴，出现矛盾，故此选项错误； C、由抛物线可知，图像与y轴交在负半轴，开口方向向上；由直线可知，图像随x的增大而减小，即；与y轴交在正半轴，不存在矛盾，故此选项正确；    D、由抛物线可知，图像与y轴交在负半轴，开口方向向上；由直线可知，图像随x的增大而减小，即；与y轴交在负半轴，出现矛盾，故此选项错误． 故选C． 35．（25-26学年九上·甘肃陇南）已知二次函数的图象经过四个象限，则的值可以是（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 【答案】A 【分析】 求出二次函数的顶点坐标为，对称轴为，与y轴的交点坐标为，又由开口向上可知，图象要经过四个象限，则，结合可得，由此即可得解．本题主要考查了二次函数图象的性质，利用数形结合是解题的关键． 【详解】 解：， ∵， ∴开口向上， 顶点坐标为，对称轴为，与y轴交点为， ∵二次函数的图象经过四个象限， ∴， 解得， 又∵ ∴， ∴的值可以是2． 故选：A 36．（25-26学年九上·甘肃兰州红古区·期中）关于x的一元二次方程的新定义：关于x的一元二次方程：与称为“交换二次方程”．如与就是“交换二次方程”．现有关于x的一元二次方程：与是“交换二次方程”．那么代数式能取到的最小值是（       ） A. 2036 B. 2030 C. 2032 D. 2026 【答案】D 【分析】 本题考查了配方法的应用以及一元二次方程的定义，利用“交换二次方程”定义列出关系式，再利用多项式相等的条件列出关于与的方程组，求出方程组的解得到与的值，进而利用非负数的性质确定出代数式的最小值即可． 【详解】 因为与是“交换二次方程”， 所以 ，解得 ， 则 ， 当且仅当，即时，取得最小值2026， 即代数式能取到的最小值是2026． 故选：D． 37．（25-26学年九上·甘肃柏树中学·期中）二次函数的图像，下列说法正确的是（     ） A. 对称轴为直线 B. 最大值为4 C. 与y轴交点为 D. 图像过点 【答案】B 【分析】 本题考查了二次函数的图像与性质，与坐标轴的交点，函数的最值问题． 先将化为顶点式，即可求解对称轴，最值，令可得图像与y轴的交点，把代入函数解析式计算值是否等于即可判断是否经过点． 【详解】 解：， ∴对称轴为直线，故A错误，不符合题意 ∵， ∴函数的最大值为，故B正确，符合题意； 对于，当， ∴与y轴交点为，故C错误，不符合题意； 当时，， 则图像不经过点，故D错误，不符合题意； 故选：B． 38．（25-26学年九上·甘肃陇南西和县）下表给出了二次函数（）的自变量与函数的一些对应值，则下列说法正确的是（     ） … 0 1 2 … … 0 3 4 3 … A. 对称轴为直线 B. 当时， C. 当时，随的增大而增大 D. 此函数有最小值4 【答案】C 【分析】 本题主要考查了二次函数的图象和性质．根据题意可得函数的对称轴为：直线，从而得到抛物线开口向下，当时，y随x的增大而增大，函数有最大值4，即可求解． 【详解】 解：由表格数据可得：当和2时，对应y的值相等， ∴函数的对称轴为：直线，故A错误； ∵，当时，， ∴当时，，故B错误； ∵数据从到1对应的y值不断增大， ∴抛物线开口向下，当时，y随x的增大而增大， ∴当时，随的增大而增大，故C正确； ∴函数有最大值4，故D错误． 故选：C． 39．（25-26学年九上·甘肃吴家井中学·期中）如图，是二次函数的图象的一部分，其对称轴为直线，且过点，现有下列说法：；④若，是抛物线上两点，则，其中说法正确的是（     ） A. ①②③ B. ①③④ C. ①②④ D. ①②③④ 【答案】C 【分析】 根据抛物线开口方向、对称轴的位置，抛物线与轴的交点即可对① 进行判断；根据抛物线的对称轴得，则，则可对② 进行判断；由于当时，，则得到，则可对③ 进行判断；通过点和点离对称轴的远近对④ 进行判断． 【详解】 解： 抛物线开口向上， ， ， ， 抛物线与轴的交点在轴下方， ， ，所以① 正确； 抛物线对称轴为直线， ， ，所以② 正确； 对称轴是直线，且过点， 图象与轴的另一个交点为， 抛物线开口向上， ∴当时，， ，所以③ 错误； 点离对称轴的距离比点离对称轴的距离大， ，所以④ 正确． 综上，正确的有① ② ④ ， 故选：C． 【点睛】 本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数的图象性质，二次函数，二次项系数决定抛物线的开口方向和大小，当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置：当与同号时（即），对称轴在轴左；当与异号时（即），对称轴在轴右．（简称：左同右异）．抛物线与轴交于．抛物线与轴交点个数：时，抛物线与轴有2个交点；时，抛物线与轴有1个交点；时，抛物线与轴没有交点． 40．（25-26学年九上·甘肃吴家井中学·期中）若二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，则下列四个结论中错误的是（    ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了二次函数图象与系数的关系．关键是熟记二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定．分别根据抛物线与y轴的交点位置、抛物线的对称轴及其变形、当时，图象所显示的函数值及抛物线与x轴的交点个数与对应的一元二次方程的判别式的关系来求解即可． 【详解】 解：∵图象与y轴交于负半轴， ∴，故A选项错误； ∵抛物线与x轴有两个交点， ∴，故选项B正确； ∵对称轴为直线， ∴，故C选项正确； 当时，，故D选项正确． 故选： A． 41．（25-26学年九上·甘肃临夏州·期末）已知二次函数的图象经过点，两点，若，则的值可能是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题主要考查了二次函数的图象与性质，根据二次函数的增减性得到的取值范围，根据取值范围确定的值． 【详解】 解：二次函数中， 抛物线开口向下， 抛物线的对称轴为， 当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小， 当时， ， ， 当时， 点的对称点是， ， ， 的值可能是． 故选：C． 42．（25-26学年九上·甘肃定西临洮县·期中）二次函数 的部分图象如图所示，其对称轴为直线，且图象经过点，则下列结论正确的是（     ） A.  B.  C. 若且，则 D. 若，两点都在抛物线上，则 【答案】C 【分析】 本题考查二次函数的图像和性质. 根据图像判断系数之间的关系，从图像获取信息，根据二次函数的对称性，增减性，逐一进行判断即可． 【详解】 解：由图像可知，抛物线的开口向下，与轴交于正半轴， ∴， ∴，故选项A错误，不符合题意； ∵对称轴为直线， ∴， ∴，故选项B错误，不符合题意； ∵且， ∴， ∴和关于对称轴对称， ∴；故选项C正确，符合题意； ∵抛物线的开口向下， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小， 若两点都在抛物线的图像上， ∵， ∴；故选项D错误，不符合题意； 故选C． 43．（25-26学年九上·甘肃柏树中学·期中）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴的正半轴交于点，对称轴是直线，其顶点在第二象限，给出以下结论： ①当时，；   ②若且，则；③若，则； ④若，，连接，点在抛物线的对称轴上，且，则．其中正确的结论是(　　) A. ①③④ B. ①②③④ C. ①③ D. ①④ 【答案】A 【分析】 本题主要考查了二次函数综合，二次函数图象的性质等等，由抛物线开口向下，对称轴为直线，得到当时，，据此可判断① ；根据题意可得直线和直线关于对称轴对称，则，据此可判断② ；先由对称轴公式得到，再由，得到，点B的坐标为，把代入抛物线解析式中求出，则点B的坐标为，据此可判断③ ；先求出，设，利用勾股定理得到，则，解得，据此可判断④ ． 【详解】 解：∵抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，， ∴当时，，即，故① 正确； 当且时，则直线和直线关于对称轴对称， ∴，故② 错误； ∵抛物线对称轴为直线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点B的坐标为， 把代入抛物线解析式中得， ∴， ∴， ∴点B的坐标为， ∴，故③ 正确； ∵， ∴， 设， ∴，， ， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴，故④ 正确； 故选：A． 44．（25-26学年九上·甘肃吴家井中学·期中）如图，抛物线与y轴交于点A，与x轴交于点B，线段在抛物线的对称轴上移动（点C在点D下方），且．当四边形的周长最小时，点D的坐标为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 四边形中，线段和的长度是确定的，将四边形周长的最小值转化为两条线段和的最小值，可通过平移点B关于抛物线对称轴的对称点构造平行四边形确定点D的位置，求出直线的解析式即可求出点D的坐标； 本题主要考查了抛物线的对称性和两点之间线段最短等知识点，利用抛物线的对称性构造平行四边形是解题的关键． 【详解】 解：抛物线与x轴的另一个交点为E点，把E点向上平移3个单位得到F点， 连接交对称轴于D点，如图， ，， 四边形为平行四边形， ， ， ， 四边形的周长， 此时四边形的周长最小； 当时，， 解得， ， 抛物线的对称轴为直线，， 当时，， ， 设直线的解析式为， 把，代入得 ， 解得 ， 直线的解析式为， 当时，， ． 故选：D． 45．（25-26学年九上·甘肃庆阳镇原县·期中）已知二次函数的图象经过原点，则　　　　　　． 【答案】3 【分析】 本题考查二次函数的图像与性质，掌握知识点是解题的关键．由二次函数图象经过原点，将原点坐标代入解析式求解． 【详解】 解：将点代入函数解析式中，得 ， 即， 解得． 故答案为：3． 46．（25-26学年九上·甘肃庆阳镇原县·期中）我国是最早发明火箭的国家，制作火箭、模拟火箭升空是青少年喜爱的一项科技活动．已知学校航模组织设计制作的火箭的升空高度与飞行时间的关系是，如果火箭在点火升空的最高点时打开降落伞，那么火箭点火后多少时间降落伞将打开？这时火箭的高度是多少？ 【答案】火箭点火后13秒降落伞将打开，这时火箭的高度是170米 【分析】 直接利用配方法将二次函数写成顶点式，进而求出即可． 【详解】 解：由题意可得： ， ， ， 故火箭点火后13秒降落伞将打开，这时火箭的高度是170米． 【点睛】 此题主要考查了二次函数的应用，正确配方求出顶点式是解题关键． 47．（25-26学年九上·甘肃平凉庄浪县·期中）已知是二次函数，且开口向上，求m的值． 【答案】 【分析】 本题考查二次函数的定义、二次函数图象开口和系数之间的关系以及一元二次方程的解法，根据相关定义求解即可． 根据二次函数的最高指数是2，图象开口向上，二次项系数大于0，列出式子求解即可． 【详解】 解：因为是二次函数，所以， 解得或， ∵抛物线开口向上， ∴， 解得：， ∴． 故答案为：． 48．（25-26学年九上·甘肃陇南·期中）抛物线的对称轴为直线：　　　． 【答案】 【分析】 抛物线的对称轴为 利用公式直接计算可得答案． 【详解】 解：∵，， ∴抛物线对称轴为直线． 故答案为：． 【点睛】 本题考查的是抛物线的对称轴，掌握抛物线的对称轴方程的公式是解题的关键． 49．（25-26学年九上·甘肃陇南西和县）已知二次函数的对称轴是直线，与轴的一个交点坐标是，则另一个交点坐标为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了二次函数性质等知识．抛物线上有两个对称点的坐标为和，则对称轴为直线，据此即可求解． 【详解】 解：设抛物线与x轴的另一个交点坐标为， ∵二次函数的对称轴是直线，与轴的一个交点坐标是， ∴， ∴， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为． 故答案为： 50．（25-26学年九上·甘肃吴家井中学·期中）抛物线的对称轴为直线　　　　　　　　． 【答案】1 【分析】 将二次函数的一般式化为顶点式，即可求解对称轴． 【详解】 解：， 抛物线的对称轴为直线． 51．（25-26学年九上·甘肃定西渭源县·期末）已知抛物线的对称轴是直线，求的值和抛物线的解析式． 【答案】， 【分析】 本题考查抛物线的对称轴，掌握抛物线的对称轴与解析式中系数的关系是解题关键． 根据抛物线的对称轴公式，代入求解即可得到m，再代入m的值，即可得到抛物线的解析式． 【详解】 解：抛物线的对称轴为直线， ， 解得， 抛物线的解析式为． 52．（25-26学年九·甘肃武威第十七中学·期末）已知二次函数，其顶点为，且图象经过． （1）求a，b，c的值： （2）若将该抛物线向上或者向下平移，使平移后的图象经过原点，求平移后的抛物线函数表达式． 【答案】（1）      （2）       【分析】 本题主要考查二次函数图象的性质，二次函数图象的平移，掌握待定系数法，二次函数图象平移规律是关键． （1）根据题意，得到对称轴直线为，再把点代入计算即可求解； （2）根据（1）得到抛物线解析式，结合平移规律即可求解． (1) 小问详解： 解：已知二次函数，其顶点为，且图象经过， ∴，则， ， 解得， ； (2) 小问详解： 解：由（1）得，抛物线解析式为， ∵平移后，图象经过原点， ∴将抛物线向下平移3个单位得到，． 53．（25-26学年九上·甘肃定西安定区·期末）把配方成的形式是　　　　　　． 【答案】 【分析】 加上一次项系数的一半的平方，凑成完全平方公式，然后整理即可． 【详解】 解： ， ． 故答案为：． 【点睛】 本题主要考查了二次函数的三种形式的相互转化，本题加上一次项系数的一半的平方式配成完全平方式是关键，属于基础题，细心运算即可． 54．（九上·甘肃兰州·期末）点和点分别为抛物线上的两点，则　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了二次函数的图象与性质，先求出抛物线的对称轴，再求出点关于对称轴的对称点，再根据二次函数的性质求解即可． 【详解】 解：抛物线对称轴为直线， ∴关于抛物线对称轴的对称点为， ∵， ∴当时，随的增大而增大， ∵， ∴， 故答案为：． 55．（25-26学年九上·甘肃平凉·期末）已知抛物线y＝x2＋bx＋4经过（－2，n）和（4，n）两点，则b的值为　　　　　． 【答案】-2 【分析】 根据（-2，n）和（4，n）可以确定抛物线的对称轴为x=1，再由对称轴的x=，即可求出b． 【详解】 解：∵抛物线经过（-2，n）和（4，n）两点， ∴抛物线的对称轴为， ∴=1， ∴b=-2； 故答案为：-2． 【点睛】 本题考查二次函数图象上点的坐标，熟练掌握二次函数图象上点的对称性是解题的关键． 56．（25-26学年九上·甘肃定西·期中）已知抛物线的顶点坐标是，且过点． （1）求抛物线的解析式； （2）当x满足什么条件时，y的值随x的增大而增大？ 【答案】（1）；     （2）当时，y的值随x的增大而增大．      【分析】 （1）设顶点式，然后把代入求出a即可得到抛物线解析式； （2）根据二次函数的性质解决问题． (1) 小问详解： 解：设抛物线解析式为， 把代入得， 解得， 所以抛物线解析式为． (2) 小问详解： 解：因为抛物线的对称轴为直线，抛物线开口向下， 所以当时，y的值随x的增大而增大． 【点睛】 本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的性质． 57．（25-26学年九上·甘肃陇南武都区·期中）已知抛物线，若其顶点在x轴上，则　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了二次函数的性质，解题的关键是了解当顶点在轴上时，抛物线与轴有唯一的公共点．根据抛物线的顶点在轴上时，抛物线与轴的交点只有一个，因此根的判别式，可据此求出的值． 【详解】 解：抛物线的顶点在轴上， ，即， 解得． 故答案为：． 58．（25-26学年九上·甘肃临夏州·期中）抛物线经过，则　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了待定系数法求二次函数的解析式．直接将代入求解即可． 【详解】 解：∵抛物线经过， ∴， 解得， 故答案为：． 59．（25-26学年九上·甘肃庆阳镇原县·期中）已知抛物线与轴分别交于点，．求抛物线的解析式． 【答案】 【分析】 本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是熟练掌握待定系数法，准确计算．直接把点，代入抛物线解析式，求解即可． 【详解】 解：抛物线与轴分别交于点，， ， 解得 ， 抛物线的解析式为． 60．（25-26学年九上·甘肃武威凉州区谢河中学·期中）已知二次函数，求： （1）当时，函数的值； （2）该函数图像的对称轴． 【答案】（1）     （2）直线      【分析】 本题主要考查了求二次函数的函数值，求二次函数的对称轴，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． （1）直接把代入对应的函数解析式中求出y的值即可得到答案； （2）二次函数的对称轴为直线，据此求解即可． (1) 小问详解： 解：在中，当时，， ∴当时，函数的值为； (2) 小问详解： 解：∵二次函数解析式为， ∴该函数的对称轴为直线． 61．（25-26学年九上·甘肃陇南）如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点． （1）求抛物线的表达式； （2）在平面内是否存在点，使得以点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请求出所有满足条件的点的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】（1）     （2）或或      【分析】 本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，平行四边形的性质，二次函数与平行四边形的综合，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先根据抛物线与轴交于两点，则，，即可得出； （2）理解题意，结合点为顶点的四边形是平行四边形，进行分类讨论，运用中点公式进行列式计算，即可作答． (1) 小问详解： 解：∵抛物线与轴交于两点， ∴对称轴， ∴， ∴把代入， ∴， 即抛物线的表达式为； (2) 小问详解： 解：存在点，使得以点为顶点的四边形是平行四边形，理由如下： ∵、，，且点为顶点的四边形是平行四边形， ∴当为对角线时， 则 ， ∴ ， 解得， ∴点的坐标为； ∴当为对角线时， 则 ， ∴ ， 解得， ∴点的坐标为； ∴当为对角线时， 则 ， ∴ ， 解得， ∴点的坐标为； 综上所述：点的坐标为或或． 62．（25-26学年九上·甘肃定西临洮县·期中）已知抛物线 ． （1）求该抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标． （2）当x为何值时，y随x的增大而减小？当x为何值时，y随x的增大而增大？ 【答案】（1）开口向下，对称轴为直线，顶点坐标     （2）当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大      【分析】 本题考查的是二次函数的性质，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）将一般式化为顶点式，进行作答即可； （2）根据二次函数的增减性解答即可． (1) 小问详解： 解：， ， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线，顶点坐标； (2) 小问详解： 解：∵抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大． 63．（25-26学年九上·甘肃定西临洮县·期中）在平面直角坐标系中，抛物线的顶点坐标为，且过点，求抛物线的解析式． 【答案】 【分析】 本题考查待定系数法确定二次函数解析式，掌握相关知识是解决问题的关键．因为抛物线的顶点坐标为，所以设抛物线解析式为，代入求解即可． 【详解】 解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴设抛物线解析式为， 将代入得， 解得， ∴解析式为． 64．（25-26学年九上·甘肃陇南·期中）若点M（﹣1，y1），N（1，y2），P（，y3）都在抛物线y＝x2﹣4x+1上，则y1、y2、y3大小关系为　　　　　　　　　　　（用“＜”连接）． 【答案】 【分析】 利用图象法即可解决问题． 【详解】 解：y＝y＝x2﹣4x+1， 对称轴为x＝2， 二次函数的图像为： 根据二次函数的图象可知：． 故答案为：． 【点睛】 本题考查二次函数图象上的点的特征，解题的关键是学会利用图象法比较函数值的大小． 65．（25-26学年九上·甘肃陇南西和县）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点C，点P是直线上方抛物线上一动点． （1）求抛物线的表达式； （2）过点P作轴于点D，交直线于点E，当的长为最大值时，求点P的坐标． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键． （1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）求出直线的解析式，设，则，则，当时，有最大值，此时． (1) 小问详解： 解：将点、代入， ， 解得 ， ； (2) 小问详解： 解：如下图： 当，则， ， 设直线的解析式为， ， 解得 ， ∴直线的解析式为， 设，则， ， ， 当时，有最大值， 此时． 66．（25-26学年九上·甘肃定西渭源县·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，都在轴正半轴上，点在二次函数的图象上，以，为邻边作平行四边形，且，延长与二次函数的图象交于点；以，为邻边作平行四边形，且，延长与二次函数的图象交于点按此规律进行下去，若点的横坐标为1，则点的坐标为　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了二次函数与一次函数综合，平行四边形的性质，两点间的距离公式，可求出，，则可计算出的长度，得，利用平行四边形的性质及两直线平行，其解析式的系数相等的特性，可知直线解析式，则可求得，同理可求得，进而得到，据此可得答案． 【详解】 解：∵的横坐标为1，且在图象上， ∴， ∴， 设直线的解析式为，则，即 ∴直线的解析式为， 又∵ ∴， ∴； ∵为平行四边形， ∴ 可设直线解析式为，则，即， ∴直线解析式为， 联立 ， 解得 或 （舍去）， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理可得直线解析式为， 联立 ， 解得 或 （舍去）， ∴， ……， 以此类推，可知， ∴ 故答案为：． 67．（25-26学年九·甘肃武威第十七中学·期末）已知抛物线，若抛物线的函数值为，则x的取值范围是　　　　　　　　　　　　　． 【答案】或 【分析】 本题考查了二次函数的图象与性质；求出抛物线的对称轴为直线，函数的最小值为；再求出当函数值分别为2与3时的自变量取值，结合二次函数的图象与性质即可求得自变量的取值范围． 【详解】 解：，则抛物线的对称轴为直线，函数的最小值为； 当时，，解得：x_1=3，x _2=-1； 当时，，解得：x_3=1+√5，x _4=1-√5； 当，且时，；当，且时，； 综上，当，则x的取值范围是或； 故答案为：或． 68．（25-26学年九上·甘肃陇南·期末）如图，已知抛物线与x轴交于点，两点，与y轴交于点C，连接． （1）求抛物线的解析式． （2）若点P为线段上一动点（不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点M，交x轴于点N，当时，求点P的坐标． （3）E，F为抛物线上两点（点E在点F的左侧），且到对称轴的距离分别为2个单位长度和4个单位长度，Q为抛物线上E，F之间（含点E，F）的一个动点，请直接写出点Q的纵坐标的取值范围． 【答案】（1）     （2）     （3）当坐标为时， 当坐标为时，      【分析】 本题考查了二次函数的综合应用，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）根据解析式求得点，再求得直线的解析式，设，求解即可； （3）根据题意可得，点的横坐标为或，点的横坐标为或，再根据点在点的左侧，分两种情况讨论即可． (1) 小问详解： 解：由题意知， ， 解得： ， ∴抛物线的解析式为：； (2) 小问详解： 解：由（1）知，抛物线的解析式为：， 当时，， ∴， 设直线的解析式为：， 代入、，有： ， 解得： ， ∴直线的解析式为：， 设，由题意知， 则，， ∴， ， 当时，， 解得：（负值舍去）， ∴； (3) 小问详解： 解：抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为：， ∵点、到对称轴的距离分别为2个单位长度和4个单位长度， ∴点的横坐标为或，点的横坐标为或， 则点的纵坐标为，点的纵坐标为， 又∵点在点的左侧， ∴当坐标为时，点的坐标为， 则； 当坐标为时，点的坐标为， 则． 69．（25-26学年九上·甘肃平凉庄浪县·期末）如图，抛物线（a，b为常数，且）与x轴交于点、，与y轴交于点C，连接． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，点M在x轴下方的抛物线上，连接交x轴于点D，若，求点M的横坐标； （3）如图2，动点P在直线上方的抛物线上运动（不与点B、C重合），过点P作于点D，当动点P在什么位置时，线段的值最大，求线段的最大值，并求此时点P的坐标． 【答案】（1）     （2）     （3）当点P坐标为时，线段的值最大，最大值为．      【分析】 （1）运用待定系数法求解即可； （2）如图所示，过点M作轴与点N，证明出是等腰直角三角形，得到，求出，得到，设，表示出，，然后代入求解即可； （3）如图所示，过点P作x轴的垂线，垂足为F，交直线于点E，求出直线的解析式为，设，则，，解直角三角形得到，再运用二次函数的性质即可求得答案． (1) 小问详解： 解：∵抛物线（a，b为常数，且）与x轴交于点、， ∴ 解得 ∴抛物线的解析式为； (2) 小问详解： 解：如图所示，过点M作轴于点N ∵ ∴当时， ∴ ∵ ∴ ∴是等腰直角三角形 ∴ ∵ ∴ ∴ ∵点M在x轴下方的抛物线上， ∴设 ∴， ∴ 解得（舍去）或 ∴点M的横坐标为； (3) 小问详解： 解：如图所示，过点P作x轴的垂线，垂足为F，交直线于点E， 设， 设直线表达式为， 将，代入得： ， 解得 ， ， 轴，交于点， ， ， ∵， ∴轴， ∴ ∴， ， ， 当时，有最大值，最大值为， 将代入． ∴当点P坐标为时，线段的值最大，最大值为． 【点睛】 本题主要考查待定系数法求二次函数解析式，求一次函数解析式，解直角三角形，二次函数和几何综合，掌握二次函数图象的性质，二次函数最值的计算方法是关键． 70．（25-26学年九上·甘肃庆阳镇原县·期末）如图1，抛物线与x轴交于点（A点在B点左侧），与y轴交于点，点P是抛物线上一个动点，连接． （1）求抛物线的函数表达式； （2）如图2所示，当点P在直线上方运动时，连接，求四边形面积的最大值，并写出此时P点坐标； （3）若点M是x轴上的一个动点，点P的横坐标为3．试判断是否存在这样的点M，使得以点B、M、P为顶点的三角形是直角三角形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）     （2）四边形面积有最大值32，此时     （3）存在，M点坐标为或      【分析】 本题考查二次函数的几何综合，二次函数的图象及性质，直角三角形的性质，勾股定理等知识，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． （1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）过点P作轴交于点Q，设，则，所以四边形面积，可得当时，四边形面积有最大值32，此时； （3）先求出，设，分别求出，再由勾股定理分类讨论求出M点坐标即可． (1) 小问详解： 解：将点、代入， ， 解得 ， ∴抛物线的解析式为； (2) 小问详解： 设直线的解析式为， 把代入， ， 解得， ∴直线的解析式为， 过点P作轴交于点Q， 设，则， ， ， ， ∴四边形面积， ∵点P在直线上方， ， ∴当时，四边形面积有最大值32，此时； (3) 小问详解： 存在点M，使得以点B、M、P为顶点的三角形是直角三角形，理由如下： 当时，， ， 设， ， ① 当为斜边时，， 解得， （舍）； ② 当为斜边时，， 解得， ； ③ 当为斜边时，， 解得或， 或（舍）； 综上所述：M点坐标为或． 71．（25-26学年九上·甘肃临夏州·期末）如已知二次函数的图象过点和点，且与y轴交于点C，D点在抛物线上且横坐标是． （1）求抛物线的解析式； （2）写出这个二次函数图象的对称轴、顶点坐标： （3）抛物线的对称轴上有一动点，求出的最小值． 【答案】（1）     （2）二次函数图象的对称轴为直线、顶点坐标为     （3）      【分析】 （1）将点和点，代入解析式，待定系数法求解析式即可求解； （2）将解析式化为顶点式即可求解； （3）根据二次函数图象的对称性得出的最小值为的长，勾股定理即可求解． (1) 小问详解： 解：∵二次函数的图象过点和点， ∴ 解得： ∴； (2) 小问详解： 解：， ∴二次函数图象的对称轴为直线、顶点坐标为 (3) 小问详解： 解：令中，，则， ∴， ∵，关于对称轴对称， 则， 连接，交对称轴于点，则此时取最小值， ∵,， ∴， 此时． 【点睛】 本题考查了待定系数法求解析式，二次函数图象的性质，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 72．（25-26学年九上·甘肃定西安定区·期末）如图，抛物线经过，，三点． （1）求抛物线的解析式； （2）点P是线段上方抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线，交直线于点D，设点P的横坐标为m，当m为何值时，线段的长度最大？最大值是多少？ （3）在（2）的条件下，当线段的长度最大时，在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得以P，D，Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）     （2）当时，线段的长度最大，最大值是     （3）或或或或．      【分析】 （1）利用待定系数法解答即可； （2）求出直线的解析式为，可得点，从而得到，即可求解； （3）根据等腰三角形的定义，分五种情况讨论，即可求解． (1) 小问详解： 解：∵抛物线经过，，三点， ∴ ，解得： ， ∴抛物线的解析式为； (2) 小问详解： 解：如图， 设直线的解析式为， 把点，代入得： ，解得： ， ∴直线的解析式为， ∵点P的横坐标为m，轴， ∴点， ∴， ∵， ∴当时，线段的长度最大，最大值是， (3) 小问详解： 解：由（1）得：点， 设抛物线的对称轴为直线l， ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴可设点， 当时，如图，过点P作于点E，则， 在中，， ∴点； 当时，如图，过点P作于点E，则， 在中，， ∴点； 当时，如图，过点D作于点F，则， 在中，， ∴点； 当时，如图，过点D作于点F，则， 在中，， ∴点； 当时，如图， 此时点Q在的垂直平分线上， ∴点Q的纵坐标为， ∴点； 综上所述，点Q的坐标为或或或或． 【点睛】 本题主要考查了二次函数的综合题，涉及了求二次函数的解析式，求一次函数的解析式，等腰三角形的定义，勾股定理等知识，利用数形结合思想和分类讨论思想解答是解题的关键． 73．（25-26学年九上·甘肃陇南西和县·期末）如图，已知抛物线的顶点坐标为A（1，4），抛物线与y轴交于点B（0，3），与x轴交于C，D两点．点P是抛物线上的一个动点． （1）求此抛物线的表达式． （2）求C，D两点坐标及△BCD的面积． （3）若点P在x轴下方的抛物线上．满足，求点P的坐标． 【答案】（1）     （2）C(-1，0)；D(3，0)；6     （3）或      【分析】 （1）设抛物线顶点式解析式y=a（x-1）2+4，然后把点B的坐标代入求出a的值，即可得解； （2）令y=0，解方程得出点C，D坐标，再用三角形面积公式即可得出结论； （3）先根据面积关系求出点P的坐标，求出点P的纵坐标，代入抛物线解析式即可求出点P的坐标． (1) 小问详解： 解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴设抛物线的表达式为， 把点代入，得，解得， ∴抛物线的表达式为． (2) 小问详解： 由（1）知抛物线的表达式为， 令，则，解得或， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． (3) 小问详解： 由（2）知，，， ∵， ∴， ∴， ∵点P在x轴下方的抛物线上， ∴点P的纵坐标为， ∵抛物线的表达式为， ∴，解得， ∴点P的坐标为或． 【点睛】 本题考查的是二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 74．（25-26学年九上·甘肃平凉·期末）抛物线y＝ax2＋bx＋c过(－3，0)，(1，0)两点，与y轴的交点为(0，4)，求抛物线的解析式． 【答案】y=−x²−x+4 【分析】把三个点的坐标代入抛物线，利用待定系数法即可求得求二次函数解析式. 【详解】∵抛物线y=ax2+bx+c过(−3,0),(1,0)两点,与y轴的交点为(0,4)， ∴ ， 解得, ， 所以,抛物线的解析式为：y=−x²−x+4； 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，掌握方程组的解法等知识是解决本题的关键. 75．（25-26学年九上·甘肃陇南武都区·期末）如图，直线过轴上一点，且与抛物线相交于，两点，点坐标为． （1）求直线和抛物线的函数解析式． （2）在轴上是否存在一点，使为等腰三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． （3）若抛物线上有一点(在第一象限内)使得，求点坐标． 【答案】（1）直线的解析式为；抛物线解析式为     （2）或或或     （3）      【分析】 本题考查了二次函数综合题，待定系数法求二次函数的解析式，等腰三角形的性质，面积问题； （1）利用待定系数法，设直线的解析式为，把，代入后求出，的值即可得出的解析式；将代入求出即可得出抛物线解析式； （2）需要分类讨论：，，，利用线段的长度来求点的坐标； （3）根据二次函数图象上点的坐标特征，可设，利用三角形面积公式列出方程，然后解出的值即可得到点坐标． (1) 小问详解： 解：设直线的解析式为， 把，代入得 ， 解得 ， 所以直线的解析式为； 把代入得， 所以抛物线解析式为； (2) 小问详解： ∵ ∴， ① 当时，或； ② 当时，点是线段的垂直平分线与轴的交点． 设 解得： ． ③ 当时， ； 解得：（舍去）或 ∴； 综上所述，符合条件的点的坐标为：或或或． (3) 小问详解： 联立 ， 解得： ， ∴， ∴ 设， ∵ ∴ 解得：或（舍去） ∴ 76．（25-26学年九上·甘肃陇南·期末）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，连接． （1）求抛物线的表达式； （2）点是抛物线上位于线段下方的一个动点，连接，，求面积最大时点的坐标． 【答案】（1）抛物线的表达式为     （2）      【分析】 本题考查二次函数综合，待定系数法确定函数解析式、二次函数图象与性质、平面直角坐标系中求三角形面积； （1）利用抛物线的交点式直接代值求解即可得到答案； （2）过点作轴的垂线，交于，如图所示，由二次函数图象与性质，利用平面直角坐标系中三角形的面积求法得到面积，进而根据二次函数的性质，即可求解． (1) 小问详解： 解：∵抛物线与x轴交于、两点， ∴设抛物线的交点式为， 即抛物线的表达式为； (2) 小问详解： 过点作轴的垂线，交于，如图： 由（1）知抛物线的表达式为， 抛物线与轴交于点， 设直线：，将、代入得： ， 解得 ， 直线：． 点是抛物线上位于线段下方的一个动点， 设，则， ， ， 抛物线开口向下，当时，有最大值，此时点的坐标为； 77．（25-26学年九上·甘肃定西·期中）如图，已知二次函数过点，． （1）求此二次函数的解析式； （2）将（1）中的函数图象先向左平移1个单位，再向上平移3个单位，直接写出平移后函数的解析式和顶点坐标； （3）在抛物线上是否存在点，使的面积为4，若存在，求出点的坐标，若不存在说明理由． 【答案】（1）     （2），     （3）或      【分析】 本题考查二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式，二次函数的平移，正确求出函数解析式是解题的关键： （1）将点代入，求解即可得出答案； （2）先将解析式变形为，再根据二次函数的平移即可得出答案； （3）求出点坐标，进而可得的长，再根据三角形的面积求出点的纵坐标，最后把点的纵坐标代入二次函数解析式，解方程即可求解； (1) 小问详解： 解：将点代入， 得， ， 解得， ， ∴二次函数的解析式为； (2) 小问详解： 解：， 由平移规律得平移后的解析式为， ∴顶点为； (3) 小问详解： 解：把代入得，， 解得：， ， ， 设点的纵坐标为， ∵的面积为4， ， ， 把代入得，， 整理得，， 解得：， 把代入得，， 整理得，， 解得：， ∴点的坐标是或． 78．（25-26学年九上·甘肃陇南武都区·期中）已知正方形的边长为，，分别为、上的点，且满足，则面积的最小值为　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查正方形的性质、三角形的面积，二次函数等知识，解题的关键是学会构建二次函数解决最值问题．设，则．由题意可得构建二次函数的性质即可解决问题． 【详解】 解：设，则． ， ∵， ∴当时，的面积有最小值，最小值为， 故答案为：． 79．（25-26学年九上·甘肃陇南武都区·期中）如图，已知二次函数图像与轴交于、两点，顶点坐标为，且其图象经过点． （1）求此二次函数的表达式； （2）当时，请直接写出的取值范围___________； （3）若点是该抛物线的对称轴上一动点，当值最小时，请求出此时点的坐标． 【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 本题考查了二次函数的图象与性质，一次函数的图象与性质，解题的关键是掌握二次函数的图象与性质． （1）设二次函数的解析式为，利用待定系数法求解即可； （2）由题意可得当时，二次函数有最小值，再求出、时的函数值，即可求解； （3）先求出，由二次函数的对称性可得、两点过于对称轴对称，则，当、、共线时，最小，连接交抛物线对称轴于点，点即为所求，再求出直线的解析式，即可求解． (1) 小问详解： 解：二次函数的顶点坐标为， 设二次函数的解析式为， 将代入得， 解得， 二次函数的解析式为； (2) 小问详解： 二次函数开口向上，且顶点为， 当时，二次函数有最小值， 当时，，当时，， 当时，， 故答案为：； (3) 小问详解： 令，则， 解得，， ，， 二次函数的图象与轴交于、两点，顶点坐标为， 、两点关于对称轴对称，则，当、、共线时，最小， 如图，连接交抛物线对称轴于点，点即为所求， 设直线的解析式为， 将、代入得 ， 解得 ， 直线的解析式为， 令，则， ． 80．（25-26学年九上·甘肃临夏州·期中）已知点，在二次函数的图象上，求m的值． 【答案】 【分析】 本题主要考查二次函数图象与性质，先求出抛物线的对称轴为直线，再运用对称性得，从而可求出． 【详解】 解：由得，二次函数的对称轴为直线， ∵A、B两点的纵坐标相同， ∴A、B两点关于直线对称， ， 解得：． 81．（25-26学年九上·甘肃临夏州·期中）数学兴趣小组对函数的图象和性质进行探究，过程如下，请你补充完整． （1）函数的自变量x的取值范围是______； （2）列表：下表是x，y的几组对应值，其中______，______； x … 0 1 2 3 4 … y … 9 0 m 3 n 0 9 … （3）在如图所示的平面直角坐标系中描点、连线，补全该函数的图象，并写出其一条性质：____________． 【答案】（1）x为任意实数；     （2），；     （3） 补全函数图象如图所示：函数图象是轴对称图形（答案不唯一）． 【分析】 题目主要考查函数的基本性质，理解题意，结合表格求解是解题关键． （1）根据函数解析式即可得出结果； （2）将x的值代入计算求解即可； （3）根据表格数据，描点画图即可，然后结合函数图象写出一条性质即可． (1) 小问详解： 解：函数的自变量x的取值范围是任意实数， 故答案为：x为任意实数； (2) 小问详解： 当时，， 当时，， 故答案为：；； (3) 小问详解： 略 82．（25-26学年九上·甘肃庆阳镇原县·期中）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与y轴的交点坐标为，图象的顶点为M．矩形的顶点D与原点O重合，顶点A，C分别在x轴，y轴上，顶点B的坐标为．    （1）求c的值及顶点M的坐标， （2）如图2，将矩形沿x轴正方向平移t个单位得到对应的矩形．已知边，分别与函数的图象交于点P，Q，连接，过点P作于点G． ①当时，求的长； ②当点G与点Q不重合时，是否存在这样的t，使得的面积为1？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），顶点M的坐标是     （2）①1；② 存在，或      【分析】 （1）把代入抛物线的解析式即可求出c，把抛物线转化为顶点式即可求出顶点坐标； （2）① 先判断当时，，的坐标分别是，，再求出，时点Q的纵坐标与点P的纵坐标，进而求解； ② 先求出，易得P，Q的坐标分别是，，然后分点G在点Q的上方与点G在点Q的下方两种情况，结合函数图象求解即可． (1) 小问详解： ∵二次函数的图象与y轴的交点坐标为， ∴，                                                                    ∴， ∴顶点M的坐标是． (2) 小问详解： ① ∵A在x轴上，B的坐标为， ∴点A的坐标是． 当时，，的坐标分别是，． 当时，，即点Q的纵坐标是2， 当时，，即点P的纵坐标是1． ∵， ∴点G的纵坐标是1，                                         ∴．                                                ② 存在．理由如下： ∵的面积为1，， ∴． 根据题意，得P，Q的坐标分别是，． 如图1，当点G在点Q的上方时，， 此时（在的范围内），                      如图2，当点G在点Q的下方时，， 此时（在的范围内）．                     ∴或． 【点睛】 本题考查了二次函数图象上点的坐标特点、矩形的性质以及三角形的面积等知识，熟练掌握二次函数的图象与性质、灵活应用数形结合思想是解题的关键． 83．（25-26学年九上·甘肃平凉庄浪县·期中）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． （1）求抛物线的表达式； （2）如图2，在直线下方抛物线上有一点，当的面积最大时，求点的坐标及面积的最大值． 【答案】（1）     （2）有最大值为，点的坐标为      【分析】 本题考查二次函数的图象与性质，一次函数的性质，二次函数与三角形，解答本题的关键是熟练掌握二次函数的性质． （1）用待定系数法求解即可； （2）过点作轴交于点，设点的坐标为，再求出直线的表达式为，得到点的坐标为，则，表示出的面积，再由二次函数图象与性质求最值，即可得到答案． (1) 小问详解： 解：将，，代入， 得 ， 解得 ， 抛物线的表达式为； (2) 小问详解： 如图2，过点作轴交于点， 设点的横坐标为，则点的坐标为， 设直线的表达式为， 把，代入， 得 ， 解得 ， 直线的表达式为， 点的坐标为， ． ， ， 当时，有最大值为，此时点的坐标为． 84．（25-26学年九上·甘肃武威凉州区谢河中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点，与轴交于点，点为抛物线上一动点，若的面积为，则点的坐标为　　　　　　　　　　　． 【答案】或或或． 【分析】 本题考查了二次函数的图象和性质、待定系数法求解析式和抛物线上点的坐标和特征，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键． 利用待定系数法求出函数解析式，再根据三角形面积求出P点的纵坐标，进而由函数解析式求出横坐标． 【详解】 解：依题意得： ，解得： ， ∴抛物线解析式为：， ∵，， ∴， 令得，解得，； 令得，解得，． 所以P坐标为或或或． 85．（25-26学年九上·甘肃酒泉肃州区·期中）如图，已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于D点，其中B(6，0)，D(0，﹣6) (1)求这个二次函数的解析式； (2)设该二次函数的对称轴与x轴交于点C，连结DA、DC，求△ADC的面积. 【答案】(1) y＝﹣x2+4x﹣6；(2) 6. 【分析】(1)把B点和D点坐标代入得到关于b、c的方程组，然后解方程组即可得到抛物线解析式； (2)先解方程＝0得A(2，0)，再确定对称轴得到C(4，0)，然后根据三角形面积公式求解. 【详解】(1)把B(6，0)，D(0，﹣6)代入得 ， 解得 ， 所以抛物线解析式为； (2)当y＝0时，＝0，解得，＝6，则A(2，0)， ∵A点和B点关于对称轴对称， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴C(4，0) ∴△ADC的面积＝×(4﹣2)×6＝6. 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c(a，b，c是常数，a≠0)与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程. 利用数形结合的思想是解决（2）小题的关键． 86．（25-26学年九上·甘肃酒泉肃州区·期中）已知抛物线． （1）对称轴为_______，顶点坐标为______； （2）在坐标系中利用五点法画出此抛物线． x … … y … … （3）若抛物线与x轴交点为A、B，点在抛物线上，求的面积． 【答案】（1），；     （2） 综上述列表可得： 根据上表描点画图可得： 数量 1 2 3 4 5 x 3 0 2 1 y 0 0 点      （3）10．      【分析】 （1）根据二次函数对称轴公式及定点定义即可得到答案； （2）取顶点及对称轴两侧各两点即可画出图像； （3）点A、B在x轴上，根据平面内点到x轴距离关系代入三角形面积公式即可得到答案． (1) 小问详解： 解：由题意可得： ，， 根据对称轴公式得， ， 把 代入方程可得， ∴对称轴为，顶点坐标为． (2) 小问详解： 解：由（1）得图像过点， 当时，， 解得， 当时，， 解得，， (3) 小问详解： 解：由（2）得，， ∴ 当 时， ， 根据点到x轴距离可知，的高为5， ∴ ． 【点睛】 本题考查二次函数对称轴顶点公式、二次函数图像画法及二次函数上点与x轴上点围成三角形面积问题，重点是二次函数相关公式的正确应用及围成三角形面积转换成底边在x轴上高应用点到坐标轴距离转换． 87．（25-26学年九上·甘肃武威凉州区·期中）如图，抛物线交x轴于点和点B，交y轴于点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）若点在抛物线对称轴上，是否存在一点，使的周长最小？若存在求出周长的最小值；若不存在说明理由． （3）如图，设点是线段上的一动点，作轴，交抛物线于点，求线段长度的最大值． 【答案】（1）     （2）存在，的周长最小值为     （3）      【分析】 本题考查了二次函数的综合问题，待定系数法求解析式，周长与线段的最值问题； （1）把点、的坐标分别代入函数解析式，解方程组即可得到结论； （2）根据轴对称的性质，，则当在上时，的周长最小，求得直线的解析式，代入，即可求解； （3）先求出直线的解析式为，再设点坐标为，则点坐标为，然后用含的代数式表示，根据二次函数的性质即可求出线段长度的最大值． (1) 小问详解： 把，代入，得： ， 解得： ， 故该抛物线的解析式为：； (2) 小问详解： 存在，理由如下， ∵，对称轴为直线， ∵点在抛物线对称轴上，关于对称， ∴， ∴ 当在直线上时，的周长最小 ∵设直线的解析式为， 将，代入，得： ， 解得： ， 即直线的解析式为． ∴当时， ∴ 当时， 解得： ∴ ∴的周长最小值为： (3) 小问详解： ∵直线的解析式为． 设点坐标为，则点坐标为， ， ∴当时，有最大值． 88．（25-26学年九上·甘肃定西临洮县·期中）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，连接，已知，且抛物线经过点． （1）求抛物线的表达式； （2）若E是抛物线上第四象限内的一点，且，求点E的坐标． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了二次函数与一元二次方程． （1）将代入计算即可； （2）令，求出，设，根据列方程求解即可． (1) 小问详解： 解：将代入得 ， 解得 ， ∴解析式为； (2) 小问详解： 解：令，得， 解得， ∴， ∴， 设， ∵， ∴， ∴ 即， 解得（舍去），， ∴． 89．（25-26学年九上·甘肃陇南·期中）如图，二次函数的图象经过坐标原点，与轴交于点． （1）求此二次函数的表达式及顶点的坐标； （2）在抛物线上存在一点，使，请求出点的坐标． 【答案】（1），     （2）的坐标为或      【分析】 （1）由于二次函数经过原点和A点，将两点坐标代入求解即可； （2）设点的坐标为，由，求得n的值，再将n的值代入解析式求解m，得出P点坐标． (1) 小问详解： 二次函数的图象经过点，点， ∴ 解得 ， ∴二次函数的表达式为. ， ∴顶点的坐标为. (2) 小问详解： 设点的坐标为. 点，点，， ， 解得或（不符合题意，舍去）， ， 解得，， 点的坐标为或． 【点睛】 本题考查了二次函数解析式的求法以及利用点的坐标求三角形的面积，同时注意数形结合思想的灵活运用． 90．（25-26学年九上·甘肃柏树中学·期中）如图，在平面直角坐标系中有抛物线和直线．当取何值时，抛物线与直线没有公共点？ 【答案】当时，抛物线与直线没有公共点． 【分析】 令，整理得，根据判别式的意义得到，则抛物线与直线没有公共点． 【详解】 解：由题意，得 消去，得． 若抛物线与直线没有公共点，则， 解得， 当时，抛物线与直线没有公共点． 【点睛】 本题考查了抛物线与一次函数的交点，解题的关键是把求二次函数与一次函数的交点问题转化为一元二次方程根的问题． 91．（25-26学年九上·甘肃柏树中学·期中）如图，抛物线与x轴交于点A，B（点B在A的右侧），与y轴交于点C，其中，点P在第一象限的抛物线上，若是以为底的等腰直角三角形，则m的值为　　　　　　. 【答案】 【分析】 本题主要考查二次函数的图象与性质、全等三角形的性质与判定及等腰直角三角形的性质，熟练掌握二次函数的图象与性质、全等三角形的性质与判定及等腰直角三角形的性质是解题的关键；过点P作轴于点E，由题意易得，然后可得，则有，进而代入二次函数解析式进行求解即可． 【详解】 解：过点P作轴于点E，如图所示： 令，则有，解得：， 令时，则， ∴， ∴， ∵是以为底的等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点P在第一象限的抛物线上， ∴， ∴， 解得：（不符合题意，舍去）， 故答案为． 92．（25-26学年九上·甘肃陇南西和县）如图，在中，，，点D在边上，过D作于点E，作于点F，则矩形面积的最大值为　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了二次函数的性质，根据题意得出二次函数的解析式，再求出最值即可． 【详解】 解：设， ∵于点E，于点F，， ∴为矩形， ∵在中，，， ∴,， ∵， ∴，， 矩形面积， ∴当时，面积最大为， 故答案为： ． 93．（25-26学年九上·甘肃吴家井中学·期中）如图，已知二次函数图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，在对称轴上存在一点P，使以P，A，O，B为顶点的四边形为平行四边形，写出此时点P的坐标　　　　　　． 【答案】或 【分析】 本题考查了二次函数的性质，平行四边形的性质． 根据二次函数的性质求出，，设，根据平行四边形的性可知，即，即可求出点P的坐标． 【详解】 解：当时，，则， 当时，， 解得：， ∴， 设， ∵以P，A，O，B为顶点的四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴， 即或． 故答案为：或． 94．（25-26学年九上·甘肃吴家井中学·期中）如图，顶点为的抛物线分别与轴相交于点，（点在点的右侧）与轴相交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）判断是否为直角三角形，并说明理由： （3）求四边形的面积． 【答案】（1）     （2）是直角三角形     （3）      【分析】 本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数综合，勾股定理及其逆定理，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． （1）把点C坐标代入解析式中计算求解即可； （2）根据（1）所求可求出B、M的坐标，再利用两点距离计算公式可推出，则由勾股定理的逆定理可得结论； （3）根据可知，只需要求出的面积即可得到答案． (1) 小问详解： 解：∵抛物线与轴相交于点， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为； (2) 小问详解： 解；是直角三角形，理由如下： ∵抛物线解析式为， ∴抛物线的顶点M的坐标为， 在中，当时，或， ∴， ∴，， ， ∴， ∴是直角三角形； (3) 小问详解： 解：由（2）可得是直角三角形，且，， 又∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴． 95．（25-26学年九上·甘肃吴家井中学·期中）若二次函数图像的顶点为，经过点． （1）求、、的值； （2）向上或向下平移抛物线，使得平移后的抛物线经过原点，求平移后的抛物线的函数表达式． 【答案】（1），，     （2）      【分析】 本题主要考查二次函数的图象与性质以及二次函数图象的平移． （1）由题意设二次函数的顶点式，再把点代入求得的值，最后把二次函数的顶点式化为一般式，即可求出、、的值； （2）由题意先设平移后的抛物线的解析式，再把原点代入求解即可． (1) 小问详解： 解：二次函数图象的顶点为， 设顶点式， 代入，得，解得， 二次函数的解析式为， 展开得，故，，． (2) 小问详解： 解：向上或向下平移抛物线， 设平移后的抛物线为， 代入，得，解得， 平移后的抛物线的表达式为． 96．（25-26学年九上·甘肃吴家井中学·期中）如图，抛物线经过点，其对称轴为直线，抛物线与直线交于点和． （1）求抛物线的解析式； （2）求点与点的坐标． 【答案】（1）     （2），．      【分析】 本题考查了求二次函数解析式，二次函数与一次函数的交点问题，解一元二次方程，利用数形结合的思想解决问题是关键． （1）利用抛物线的对称轴求出，再利用抛物线经过点，求出，即可得到抛物线的解析式； （2）联立抛物线和直线解析式，即可求出交点坐标． (1) 小问详解： 解：抛物线对称轴为直线， ， 解得， 抛物线经过点， ， 解得：， 抛物线的解析式； (2) 小问详解： 解：抛物线与直线交于点和， 联立 ，整理得：， 解得：或， 当时，； 当时，； 点在第三象限，点在第一象限， ，． 97．（25-26学年九上·甘肃定西渭源县·期末）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，对称轴为直线． （1）求抛物线的解析式； （2）如图2，连接，点为直线下方抛物线上的动点，求面积的最大值及此时点的坐标； （3）如图3，将抛物线先向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到新的抛物线，在抛物线的对称轴上有一点，坐标平面内有一点，使得以，，，为顶点的四边形是矩形，求点的坐标． 【答案】（1）     （2）面积的最大值为，     （3）存在，点E的坐标为或或或      【分析】 （1）利用对称轴公式可得，再结合点C的坐标利用待定系数法求解即可； （2）先解得直线的解析式为，设，，得到的的值，当时，最大，进而根据三角形的面积公式，即可求解； （3）分情况讨论，当为矩形一边时，且点在轴的下方；当为矩形一边时，且点在轴的上方；当为矩形对角线时，分别求解即可． (1) 小问详解： 解：∵抛物线与轴交于点，对称轴为直线， ∴ ， ∴ ， ∴抛物线解析式为； (2) 小问详解： 解：设直线的解析式为，把，点的坐标代入得： ，解得： ， ∴直线的解析式为 点P为直线下方抛物线上的点， 设， ， ， 当时，， ∴，即面积的最大值为， ； (3) 小问详解： 解：由题意可得：， 抛物线的对称轴为直线． ∵，， ∴，， 如图：当为矩形一边时，且点在轴的下方，过作轴于点， ∵D在的对称轴上， ， ∵，， ∴， ，，即点， ∴点向右平移个单位、向下平移个单位可得到点，则点向右平移个单位、向下平移个单位可得到点； 如图：当为矩形一边时，且点在轴的上方，的对称轴为与轴交于点， ∵D在的对称轴上， ∴， ， ，即， ，即点， ∴点向左平移个单位、向上平移个单位可得到点，则点向左平移个单位、向上平移个单位可得到点； 如图：当为矩形对角线时，设，，的中点F的坐标为， 依题意得： ，解得 ， 又， ， 解得：， 联立 ， 解得：， ∴点E的坐标为或． 综上，存在点，其坐标为或或或，使得以点，，，为顶点的四边形是矩形． 【点睛】 本题主要考查了二次函数综合，矩形的性质，两点间的距离公式，求二次函数解析式等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 98．（25-26学年九·甘肃张掖民乐县·期末）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象（记为）与轴交于点，，与轴交于点，二次函数的图象（记为）经过点，，直线与两个图象，分别交于点，，与轴交于点． （1）求，的值； （2）当点在线段上时，求的最大值； （3）设点，到直线的距离分别为，，当时，对应的值有________个． 【答案】（1），     （2）     （3）2      【分析】 （1）先求出，，再利用待定系数法计算即可得出结果； （2）由（1）可得图象的解析式为，结合题意得出，，从而可得，最后由二次函数的性质即可得出结果； （3）作于点，于点，设交于点，求出直线的解析式为，从而可得、均为等腰直角三角形，由题意可得，，则，，求出，结合题意可得，从而可得，由（2）可得，当时，的值最大，最大值为，结合图象即可得出结果． (1) 小问详解： 解：在二次函数中，当时，，即， 当时，，解得，， ∴，， ∵二次函数的图象（记为）经过点，， ∴ ， 解得：，； (2) 小问详解： 解：由（1）可得图象的解析式为， ∵直线与两个图象，分别交于点，，与轴交于点， ∴，， ∴， ∵点在线段上， ∴， ∵， ∴当时，的值最大，最大值为； (3) 小问详解： 解：如图：作于点，于点，设交于点， ， 设直线的解析式为， 将，代入解析式可得 ， 解得 ， ∴直线的解析式为， ∴， ∴， ∴、均为等腰直角三角形， 由题意可得：，， ∴，， 由题意可得：，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（2）可得，当时，的值最大，最大值为， ∵， ∴结合图象可得，当或时，共2个t值，满足， 故对应的值有2个． 【点睛】 本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数综合—线段问题，求一次函数的解析式，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 99．（25-26学年九·甘肃武威第十七中学·期末）如图，二次函数的图象与x轴交于两点，与y轴交于点C，作直线为二次函数图象上两点． （1）求二次函数的解析式； （2）试判断是否存在实数使得．若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由． （3）已知P是线段BC上方抛物线上一点，过点P作轴于点H，与线段交于点求的最大值． 【答案】（1）；     （2） 不存在实数m使得，理由如下： 为二次函数图象上两点， ， ． ． 配方，得． ∴当时，有最大值为． ， ∴不存在实数m使得；     （3）的最大值为．      【分析】 本题考查二次函数与一次函数综合． （1）利用待定系数法求解即可； （2）先根据二次函数解析式，分别写出、两点的函数值、，进而得出的解析式，再通过配方或判别式判断是否存在实数使等式成立； （3）求解出直线的函数解析式，作轴于点，则，求得，设点P的坐标为，用含的函数解析式表示出，利用二次函数的性质求解即可． (1) 小问详解： 解：∵二次函数的图象与x轴交于两点， ∴ ， 解得 ， ∴二次函数的解析式为； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：作轴于点，则， ∵对于二次函数， ∴令，则， 点C的坐标为， 设直线对应函数的解析式为， 由题意，得， 解得， 直线对应函数的解析式为； ∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设点P的坐标为，则点D的坐标为， ∴，， ∴ ， ∵， ∴当时，的最大值为． 100．（25-26学年九·甘肃武威第十七中学·期末）如图，抛物线的对称轴是直线．给出下列四个结论： ①；②；③；④． 上述结论中，正确结论的序号有　　　　　　　　　　　． 【答案】① ② ④ 【分析】 本题考查二次函数的图像与性质，掌握知识点是解题的关键． 根据二次函数的图像与性质，逐项分析判断即可． 【详解】 解：由抛物线的图像，开口向上， ∴，故① 正确； 当时，，故② 正确； ∵抛物线的对称轴是直线， ∴，即，故③ 错误； ∵抛物线的对称轴是直线， ∴当时，y取得最小值为， ∴当时，， 即，故④ 正确． 综上所述，正确的有① ② ④ ． 故答案为：① ② ④ ． 101．（25-26学年九上·甘肃武威凉州区·期末）已知抛物线的图象经过，，三点，直线l是抛物线的对称轴． （1）求抛物线的函数解析式及其对称轴； （2）设点是直线l上的一个动点，当最小时，求点坐标； （3）在抛物线上存在一点，使，求点的坐标． 【答案】（1）；     （2）     （3）或．      【分析】 本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，抛物线与直线围成三角形的面积的相关计算等知识点． （1）根据题意可以得到关于、、的三元一次方程组，从而求得、、的值，进而求得抛物线的函数解析式； （2）根据两点之间线段最短可以求得点的坐标； （3）根据，，求出线段，结合三角形面积公式，求边上的高，即的纵坐标，分情况计算即可． (1) 小问详解： 解：因为抛物线的图象经过，，三点， 则 ，解得 ， ∴抛物线的函数解析式为， 该函数的对称轴是直线； (2) 小问详解： 如图，连接交对称轴l 于点， ∵， ∴、关于对称， ∴点为所求的点． 设直线的函数解析式为， 将，代入得 ， 解得 ， ∴ ∵点在对称轴l上， ∴点的横坐标是1， 当时，， ∴点的坐标是； (3) 小问详解： ∵， ∴， 设中边上的高为 ∵即 解得 ∴点的纵坐标的绝对值等于5，即 当时，代入得即，无解； 当时，代入得即 解得或 ∴点的坐标为或． 102．（25-26学年九上·甘肃酒泉肃州区·期末）如图，抛物线  与 轴交于 两点，与 y轴交于点 C，点 D是抛物线的顶点． （1）求抛物线的表达式； （2）点 M是抛物线对称轴上的一个动点，当 的周长最小时，求点 M的坐标； （3）在（2）的条件下，点 N是抛物线上一点，且的面积是  面积的 2 倍，求点 N的坐标． 【答案】（1）     （2）     （3）或或或      【分析】 本题考查了二次函数与面积问题综合、线段最值问题综合，涉及待定系数法求解函数解析式等知识点． （1）由待定系数法求解即可； （2）点A关于直线 l的对称点为点B，则，连接交函数对称轴于点M，则点M为所求，而为定值，，故当取得最小值时，的周长取得最小值，因此当点共线时，，此时的周长取得最小值，然后求出直线表达式，即可求解点坐标； （3）先求出，由的面积是  面积的 2 倍，得到，设，则，再解方程求解坐标即可． (1) 小问详解： 解：∵抛物线  与 轴交于 两点， ∴ 解得 ， ∴抛物线的表达式为； (2) 小问详解： 解：∵， ∴对称轴为直线，， ∵点A关于直线 l的对称点为点B， ∴ 连接交函数对称轴于点M，则点M为所求， ∵为定值，， ∴当取得最小值时，的周长取得最小值， ∴当点共线时，，此时的周长取得最小值， 设直线 将点、的坐标代入一次函数表达式： 得 解得： 直线的表达式为：， 当时，， 故点； (3) 小问详解： 解：如图， ， ∵的面积是  面积的 2 倍， ∴， 设， 则， ∴， ∴或 解得或， ∴或或或 103．（九上·甘肃兰州·期末）如图，已知直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过，两点，且与轴的另一个交点为，对称轴为直线． （1）求抛物线的表达式； （2）是第二象限内抛物线上的动点，设点的横坐标为，求四边形面积的最大值及此时点的坐标； （3）若点在抛物线对称轴上，是否存在点，，使以点，，，为顶点的四边形是以为对角线的菱形？若存在，请求出，两点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）     （2）最大值为，     （3）存在，，      【分析】 本题考查了二次函数与面积，特殊四边形的综合问题，涉及待定系数法求解函数解析式，菱形的性质，平移的性质等知识点． （1）先求出直线与坐标轴的交点，再由待定系数法求解二次函数解析式； （2）先求出，过点D作y轴的平行线交于点K，则，则，那么，由，得到，再由二次函数的性质即可求解； （3）由菱形可得，设，则，解得，故，再由平移的性质即可求解． (1) 小问详解： 解：∵直线与轴交于点，与轴交于点， ∴当； 当，则，解得， ∴，， ∵对称轴为直线 ∴ ， 解得 ， ∴抛物线的表达式为； (2) 小问详解： 解：∵，抛物线对称轴为， ∴， ∴ 过点D作y轴的平行线交于点K， 则，则， ∴ ∵， ∴ ， ∵，， ∴当时，取得最大值为，此时； (3) 小问详解： 解：存在， 如图，设， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， 解得， ∴ ∵四边形是菱形， ∴， ∴点向点的平移方式与点C向点Q的平移方式一样， ∵，，， ∴由平移的性质可得． 104．（25-26学年九上·甘肃平凉·期末）如图，直线与，轴分别交于，两点，抛物线经过，两点，且交轴于另一点． （1）求，两点的坐标及该抛物线所表示的二次函数的表达式； （2）如图1，若直线为抛物线的对称轴，请在直线上找一点，使得最小，求出点的坐标； （3）如图2，若在直线上方的抛物线上有一动点（与，两点不重合），过点作轴于点，与线段交于点，当点是线段的三等分点时，求点的坐标． 【答案】（1），，抛物线的解析式为     （2）     （3）或      【分析】 （1）令，可求出点的坐标，令，可求出点的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线解析式； （2）设直线交直线于点，由对称性可知，当三点共线时，取得最小值，故直线与直线的交点即为所求； （3）设，则,，则，，由题意可知：点是线段的三等分点，分或两种情况讨论即可． (1) 小问详解： 令，得，即： 令，得，解得， 即：， 把两点坐标代入得， ， 解得 ， ∴抛物线的解析式为； (2) 小问详解： 设直线交直线于点，由对称性可知，当三点共线时，取得最小值，故直线与直线的交点即为所求， 联立 ，解得 ∴ (3) 小问详解： 设，则，， ∴， 由题意可知：点是线段的三等分点 ∴或 ① 当时，，即： 解得： 经检验：不合题意舍去 ∴ ② 当时，，即： 解得：， 经检验：不合题意舍去 ∴ 由① ② 可知：当点是线段的三等分点时，点的坐标为或 【点睛】 本题考查了二次函数综合应用，涉及待定系数法求解析式、线段和最值问题、动点问题，解题的关键是表示的坐标及列方程解决问题． 105．（25-26学年九上·甘肃武威凉州区吴家井中学·期末）如图，二次函数（a，b，c为常数，）的图像与x轴交于点，对称轴是直线，有以下结论：①；②若点和点都在抛物线上，则；③（m为任意实数）；④．其中正确的有　　　　　　　　（填序号）． 【答案】③ ④④ ③ 【分析】 本题考查了二次函数图像与系数之间的关系，解题的关键在于通过图像判断对称轴，开口方向以及与坐标轴的交点．根据二次函数开口方向向下，与轴正半轴交于一点，结合对称轴可判断① ，② ，结合二次函数的最值可判断③ ，证明，结合当时，可判断④ ． 【详解】 解：由图可知，二次函数开口方向向下，与轴正半轴交于一点， ，， ∵对称轴在轴左边， ∴， ， ，故① 错误； 对称轴是直线，点和点都在抛物线上， 而， ，故② 错误； 当时，， 当时，函数取最大值， ∴对于任意实数有：， ∴，故③ 正确； 对称轴为直线， ， 当时，， ． ，即，故④ 正确． 综上所述，正确的有③ ④ ． 故答案为：③ ④ ． 106．（25-26学年九上·甘肃武威凉州区吴家井中学·期末）如图，已知二次函数的图象与轴交于，两点，点坐标为，与轴交于，点为中点． （1）求二次函数的解析式； （2）在直线上方的抛物线上存在点，使得，求点的坐标； （3）已知，为抛物线上不与，重合的相异两点，若点与点重合，，且，求证：，，三点共线． 【答案】（1）     （2）     （3） 证明：∵点与点重合，则， ∵点为中点，，， ∴， 设直线的解析式为， 代入，， 得 ，解得 ， ∴， 将代入，得， 解得，， ∵， ∴， 在中，当时，， ∴点在直线上，即，，三点共线．      【分析】 （1）利用待定系数法即可求解； （2）求出点坐标，可得是等腰直角三角形，即得，得到，过点作交抛物线于点，过点作轴于点，可得，得到是等腰直角三角形，即得，设则，，可得，，进而得到，解方程即可求解； （3）根据题意可知，，设直线的解析式为，代入，得到解析式，将代入中，求得点，可得到点在直线上，即可证明，，三点共线． (1) 小问详解： 解：把，代入得， ， 解得 ， ∴求二次函数的解析式； (2) 小问详解： 解：对于，令，得， 解得，，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 如图，过点作交抛物线于点，过点作轴于点， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设，， ∴，， ∴， 解得，（舍去），或， ∴当时，， ∴； (3) 小问详解： 略 【点睛】 本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的几何应用，等腰直角三角形的判定和性质，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 107．（25-26学年九上·甘肃临夏州·期中）如图①，抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图②，点D是第二象限内抛物线上一点，且的面积为3时，求点D的坐标； （3）G是二次函数图象对称轴上一点，若是等腰三角形，直接写出点G的坐标． 【答案】（1）抛物线的解析式为     （2）的坐标为或     （3）点G的坐标为或或或．      【分析】 （1）利用待定系数法求解； （2）过作轴交于，求出直线解析式，根据三角形面积公式列式计算即可求解； （3）先求得抛物线的对称轴为直线，设点G的坐标为，利用勾股定理求得，分三种情况讨论，利用等腰三角形的性质求解即可． (1) 小问详解： 解：把，代入得： ， 解得 ， 抛物线的解析式为； (2) 小问详解： 解：过作轴交于，如图：     由，得直线解析式为， 设，则， ， 的面积为3， ，即， 解得或， 的坐标为或； (3) 小问详解： 解：， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵点G是直线上的一点， ∴设点G的坐标为， 令，则， 解得或， ∴，∵， ∴，， ∴， 当即时， ∴， 解得， ∴点G的坐标为； 当即时， ∴， 解得或， ∴点G的坐标为或； 设直线解析式为， 将点C坐标代入直线解析式得：， 解得：， 直线解析式为， 令， 当时，点G在直线上，点B、C、G不能构成三角形，故舍去， 当即时， ∴，解得， ∴点G的坐标为或； 综上，点G的坐标为或或或． 【点睛】 本题属于二次函数综合题，考查待定系数法求函数解析式、二次函数中三角形面积计算、等腰三角形的性质等，难度较大，熟练运用数形结合及分类讨论思想是解题的关键． 108．（25-26学年九上·甘肃武威凉州区谢河中学·期中）已知，抛物线经过点和． （1）求抛物线的解析式及顶点坐标； （2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使的周长最小？如果存在，请求出点P的坐标，如果不存在，请说明理由； （3）设点M在抛物线的对称轴上，当是直角三角形时，求点M的坐标． 【答案】（1），     （2）存在，点P坐标为     （3）当是直角三角形时，点M的坐标为或或或      【分析】 （1）由点A、C的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式，再将抛物线的一般式转化为顶点式进而求出抛物线的顶点； （2）设抛物线与x轴的另一个交点为点B，连接交抛物线对称轴于点P，此时的最小值为，利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点B的坐标，由点B、C的坐标利用待定系数法即可求出直线的解析式，利用抛物线顶点式可求出抛物线的对称轴，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点P的坐标； （3）设点M的坐标为，则，，，分、、三种情况，利用勾股定理可得出关于m的一元二次方程或一元一次方程，解之可得出m的值，进而即可得出点M的坐标． (1) 小问详解： 解：由题意知，将，代入中， 得 ，解得： ， ∴抛物线的解析式为， 将抛物线的一般解析式转化为顶点式为， 当时，， ∴抛物线的顶点坐标为． (2) 小问详解： 解：存在， 如图，设抛物线与x轴的另一个交点为点B，连接交抛物线对称轴于点P，此时的最小值为， 当时，有， 解得：，， ∴点B的坐标为， ∵抛物线的解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线， 设直线的解析式为， 将、代入中， 得： ，解得： ， ∴直线的解析式为， ∵当时，， ∴当周长最小时，点P的坐标为． (3) 小问详解： 解：如图，设点M的坐标为， 由勾股定理得，， ， ， 此时分三种情况考虑： ① 当时，有，即， 解得：， ∴点M的坐标为， ② 当时，有，即， 解得：，， ∴点M的坐标为或， ③ 当时，有，即， 解得：， ∴点M的坐标为， 综上所述，当是直角三角形时，点M的坐标为或或或． 【点睛】 本题考查了抛物线的解析式求解、求抛物线的顶点坐标、动点最值问题求解对称轴上点的坐标、勾股定理及直角三角形的性质应用． 109．（25-26学年九上·甘肃武威凉州区谢河中学·期中）已知二次函数的图象如图所示，对称轴为直线．有下列5个结论：①；②；③；④；⑤，（为实数且）其中正确的结论有　　　　　　． 【答案】① ④ ⑤ 【分析】 本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象和性质的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系．根据抛物线开口方向和对称以及与轴的交点情况可以对① 进行判断；根据时，，可对② 进行判断；利用抛物线的对称轴可得时，，可对③ 进行判断；由对称轴为直线可得与的关系，将代入可判断④ ；利用二次函数的最值则可对⑤ 进行判断． 【详解】 解：① ∵抛物线开口向上， ， ∵抛物线的对称轴在轴右侧， ∵抛物线与轴交于负半轴， 故① 正确； ② 当时，， 故② 错误； ③ ∵抛物线的对称轴为直线， ∴与时的函数值相同， ∴时，，即， 故③ 错误； ④ ∵， 将代入，得， 故④ 正确； ⑤ ∵抛物线的对称轴为直线， ∴时，函数的最小值为， 当时，， ∴（为实数且）， 故⑤ 正确； 故答案为：① ④ ⑤ ． 110．（25-26学年九上·甘肃柏树中学·期中）拋物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），且与y轴交于点C． （1）如图①，求点A，B，C的坐标； （2）点D是抛物线上x轴下方一点，点E位于第一象限．若由B，C，D，E四点组成的平行四边形面积为8，求点E的横坐标； （3）如图②，直线与抛物线交于M，N两点，点P坐标为，连接，分别与抛物线交于E，F两点，连接，求证：直线过定点． 【答案】（1），，     （2）或2     （3） 证明：设， 设直线的表达式为 ∴ ， 解得 ， ∴直线的表达式为， 同理可求直线的表达式为， 直线的表达式为， 直线的表达式为， ∵直线， ∴直线经过定点， 将点代入直线：， 则， ∴， ∵直线过点， ∴， ， ∴ 同理：， ∴， 将，代入，则， 化简得：， 把代入直线， 整理得：， ∴当时，，此时， ∴直线经过定点．      【分析】 本题考查了抛物线与面积、特殊四边形的综合问题，涉及二次函数的图象与性质，抛物线与坐标轴的交点问题，以及定值定点问题． （1）根据抛物线的解析式求得时x的值，和时y的值，即可得点A、B、C的坐标； （2）求得的表达式为，设，过D点作轴，交于F点，则，由可求得m的值，即D点的横坐标，根据，即可求得E点的横坐标； （3）设，然后求出直线的表达式为，直线的表达式为，直线的表达式为，直线的表达式为，可得直线经过定点，则得到，而直线过点，代入得到，同理，将，代入，得到，最后把代入直线，整理得：，则当时，，此时，即可确定过定点． (1) 小问详解： 解：由得， 当时，， 解得，， ∴，， 当时，， ∴； (2) 小问详解： 解： 设的表达式为， 则 ，解得 ， ∴的表达式为， 过D点作轴，交于F点， 设， 则， ∴， ∵由B，C，D，E四点组成的平行四边形面积为8， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 当时， 解得（舍去），， 当时， 解得， ① 当时，D点在第三象限，如图： ∵平行四边形， ∴，， ∴， ∴， 解得； ② 当时，D点在第四象限，如图： ∵平行四边形， ∴，， ∴， ∴， 解得， 综上，点E的横坐标为或2； (3) 小问详解： 略 考点05 二次函数与一元二次方程 1．（25-26学年九上·甘肃庆阳镇原县·期中）下表给出了二次函数中的一些对应值，则可以估计一元二次方程的一个近似解的范围为（       ） … 0.6 0.7 0.8 0.9 1 … … 0.24 0.61 1 … A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了求一元二次方程的近似根，熟练掌握求一元二次方程的近似根的方法是解题的关键． 【详解】 解：解：由表格知，当时，； 当时，； ∴一元二次方程的一个近似解的范围为． 故选：B． 2．（25-26学年九上·甘肃兰州第二十二中学·期末）二次函数自变量与函数值的对应关系如表，设一元二次方程的根为，且，对于的值说法正确的是(       ) … … A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了二次函数的性质，根据函数的图象与x轴的交点的横坐标就是方程的根，再根据函数的对称性，即可判断方程两个根的范围． 【详解】 解：函数的图象与x轴的交点就是方程的根，函数的图象与x轴的交点的纵坐标为0． ， 由表中数据可知：在与之间， ∴对应的的值在与之间，即； 和时，， 二次函数图象关于轴对称， ； 故选：D． 3．（25-26学年九上·甘肃定西安定区·期末）二次函数的图象与x轴交点的横坐标是（     ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【分析】 本题考查二次函数的性质和解一元二次方程，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键，根据二次函数与x轴交点是对应方程的解，即解方程，通过因式分解求解即可得到答案. 【详解】 解：∵与x轴交点即， ∴ 解方程， 因式分解得：， ∴或， ∴或， ∴ 交点的横坐标为，. 故选：B. 4．（25-26学年九上·甘肃兰州第十一中学·期中）根据下列表格的对应值，估计方程的一个解的范围是（       ） x 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了一元二次方程解的范围，从表格中选择合适的数据是解题关键．应该在与之间，从表中选择合适的数据即可． 【详解】 解：由表中数据得： 当时，， 当时，， 使方程成立的一个解应该在与之间， ． 故选C 5．（25-26学年九上·甘肃临夏州·期中）已知抛物线与x轴的交点坐标分别为，，则方程的根是（） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查二次函数与一元二次方程的关系，抛物线与x轴交点的横坐标即为一元二次方程的根，直接根据交点坐标得出方程的根． 【详解】 解：∵抛物线与x轴交于点和， ∴方程的根为或， 即，． 故选：B． 6．（25-26学年九上·甘肃武威凉州区谢河中学·期中）如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，则方程的解是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了二次函数与一次函数图象和性质，掌握二次函数与一次函数的交点的含义是解题关键．根据题意可知方程的解即为抛物线和直线的交点的横坐标，即可得解． 【详解】 解：抛物线与直线的两个交点坐标分别为， 方程的解是， 故选：B． 7．（25-26学年九上·甘肃陇南·期中）已知二次函数的图象如图所示，顶点坐标为（m，3），则下列结论：①；②；③；④关于x的一元二次方程有两个相等的实数根．其中正确结论的个数是（       ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【分析】 由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况和二次函数的最值进行推理即可． 【详解】 解：有图意可得：抛物线与x轴有两个交点，所以关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，∴，故① 正确； 由抛物线开口向下，可得a＜0，由抛物线与y轴交于原点上方，可得c＞0，∴ac＜0，故② 正确； 由抛物线对称轴为直线且a＜0，可得，故③ 错误； 由抛物线的顶点坐标为（m，3），可得当x=m时，y有最大值为3 ∴关于x的一元二次方程的解为，即有两个相等的实数根，故④ 正确 正确的共3个， 故选：B 【点睛】 本题考查的是二次函数图象与系数的关系，会利用抛物线的开口方向、与坐标轴的交点以及对称轴的位置确定系数的符号，理解二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用是解题的关键． 8．（25-26学年九上·甘肃陇南·期中）如图，抛物线与直线交于两点，则不等式的解集为(     ) A.  B.  C. 或 D.  【答案】D 【分析】 只需要找到抛物线的函数图象在一次函数图象下方时自变量的取值范围即可得到答案． 【详解】 解：∵抛物线与直线交于两点， 的解集是， 的解集是， 故选：D． 【点睛】 本题考查了根据二次函数与直线的交点坐标求一元二次不等式的解集，根据题意得出的解集即为的解集是解本题的关键． 9．（25-26学年九上·甘肃临夏州·期末）已知抛物线的部分图象如图所示，若，则的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D. 或 【答案】C 【分析】 本题考查了二次函数的对称性，二次函数与不等式，掌握数形结合思想的应用是解题的关键．根据二次函数的对称性得出图象与轴的另一个交点坐标为，结合图象找出图象在轴上方时对应的的取值范围即可得答案． 【详解】 解：∵抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点坐标为， ∴抛物线与轴的另一个交点坐标为， ∵抛物线开口向下，， ∴． 故选：C． 10．（25-26学年九上·甘肃陇南西和县·期末）已知二次函数（）的图象如图所示，对称轴为直线，与轴的一个交点为．给出下列结论：①；②；③图象与轴的另一个交点为；④当时，随的增大而减小；⑤不等式的解集是．其中正确结论的个数是（       ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】C 【分析】 根据二次函数的图象与性质即可求出答案． 【详解】 解：① 由图象可知：抛物线与x轴有两个交点， ∴，故① 错误； ② 当时，，由图象可知当时，， ∴，故② 正确； ③关于直线x=1的对称点为，故③ 正确； ④ 当时，由图象可知y先随x的增大而增大，再随x的增大而减小，故④ 错误； ⑤ 由图象及③ 可知，抛物线与x轴的交点为，， ∴当时，可，故⑤ 错误； 综上，有② ，③ 是正确的，故有2个正确的， 故选：C． 【点睛】 本题主要考查二次函数的图象和性质，掌握抛物线的位置与系数a，b，c的关系是正确判断的关键． 11．（25-26学年九上·甘肃陇南武都区·期末）如图是二次函数y＝ax2+bx+c的图象，下列结论：①二次三项式ax2+bx+c的最大值为4；②b=﹣2；③使y≤3成立的x的取值范围是x≤-2或x≥1；④一元二次方程ax2+bx+c＝m（m＜4）的两根之和为﹣2．其中正确的个数有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【分析】 ① 只需通过观察图象即可确定最大值；② 将点坐标代入解析式，可以根据求出的解析式来判定；③ 观察图象即可得到取值范围；④ 可根据二次函数的性质得到结论； 【详解】 将（-3，0）、（1，0）、（0，3）代入解析式可求出二次函数的解析式， ∴y=-x2-2x+3， ① 观察图象，可确定顶点坐标为（-1，4），故该结论正确； ② 代入三点坐标后解析式为y=-x2-2x+3，b=-2，故该结论正确； ③ 使y≤3成立的x的取值范围是x≤-2或x≥0，故该结论错误； ④ 一元二次方程ax2+bx+c＝m（m＜4）的两根之和，可理解成关于二次函数与y=m的解析式的交点，这两个交点的横坐标是关于x=-1对称，即两根之和为-1×2=-2． 故选：C． 【点睛】 本题考查二次函数的解析式、二次函数的性质和二次函数与一元二次方程根的关系；熟练掌握待定系数法求二次函数解析式，并熟练运用二次函数的性质是解决本题的关键． 12．（25-26学年九上·甘肃平凉庄浪县·期中）若是关于x的一元二次方程的两个实根，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查二次函数与一元二次方程的根关系，作出与的图像，是图像交点的横坐标，数形结合即可求解． 【详解】 解：如图： 是与图像交点的横坐标， 故， 故选：C． 13．（25-26学年九上·甘肃陇南西和县·期末）已知某一元二次方程的一个根是，则此方程可以是 　　　　　　　　　　　　　　　　 ．（填一个即可） 【答案】（答案不唯一）． 【分析】 本题主要考查了元二次方程的根，即方程的解的定义．解此题的关键是设一元二次方程为，把这一根代入方程得出a、b、c之间的数量关系，只要求出满足该数量关系的a、b、c的值就可得出一元二次方程．设一元二次方程为，把代入可得a、b、c之间的数量关系，只要满足该数量关系的方程即为所求．所以答案不唯一． 【详解】 解：设一元二次方程为，把代入可得，， 所以只要a ，b、c的值满足即可． 如等，答案不唯一． 故答案为：（答案不唯一）． 14．（25-26学年九上·甘肃武威凉州区·期中）二次函数与轴的交点坐标为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了二次函数与坐标轴的交点坐标，当时，求出即可，熟练掌握坐标轴上点的坐标特征是解题的关键． 【详解】 解：当时，， ∴与轴的交点坐标为， 故答案为：． 15．（25-26学年九上·甘肃武威凉州区·期末）如图，函数与的图象交于，两点，则关于x的不等式的解集是　　　　　　　　． 【答案】或 【分析】 本题主要考查二次函数与一次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数与一次函数的图象与性质是解题的关键；因此此题可根据图象直接进行求解即可． 【详解】 解：∵函数与的图象交于，两点， ∴由函数图象可知：关于x的不等式（即）的解集是或； 故答案为或． 16．（25-26学年九上·甘肃武威凉州区吴家井中学·期末）已知抛物线与轴的一个交点坐标为，则抛物线与轴的另一个交点坐标为　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了抛物线的对称轴性质，熟练掌握抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称是解题的关键．先求抛物线的对称轴，再利用抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，求出另一个交点坐标． 【详解】 解：∵抛物线的对称轴为直线，抛物线与x轴的一个交点为，且抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称， ∴另一个交点的横坐标为， ∴另一个交点坐标为， 故答案为：． 17．（25-26学年九上·甘肃陇南·期末）若关于x的函数与x轴有两个交点，则k的取值范围是　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查抛物线与轴的交点，二次函数（a，b，c是常数，）的交点与一元二次方程根之间的关系．决定抛物线与轴的交点个数．时，抛物线与轴有2个交点；时，抛物线与轴有1个交点；时，抛物线与轴没有交点． 关于的函数的图象与轴有两个交点，则判别式，据此列不等式求解． 【详解】 解：根据题意得： ， 解得． 故答案是：． 18．（25-26学年九上·甘肃武威凉州区谢河中学·期中）已知二次函数图象的顶点为，且过点． （1）求该二次函数的解析式； （2）求图象与轴的交点坐标． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了待定系数法、二次函数的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据待定系数法解题即可； （2）令即可求解． (1) 小问详解： 解：设顶点式： ， 代入 ， 得：， 解得：， 故该二次函数的解析式为： ； (2) 小问详解： 解：当时，， ∴图象与轴的交点坐标为． 19．（25-26学年九上·甘肃武威凉州区谢河中学·期中）如图，二次函数的图象与x轴的一个交点的横坐标为，则关于x的一元二次方程的解是　　　　　　． 【答案】， 【分析】 本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数与一元二次方程的关系．先将二次函数解析式化为顶点式，然后求出函数图象的对称轴，即可得到该函数图象与x轴的另一个交点的横坐标，从而可以得到一元二次方程的解． 【详解】 解：二次函数， 该函数的对称轴为直线， 二次函数的图象与x轴的一个交点的横坐标为， 二次函数的图象与x轴的另一个交点的横坐标为， 关于x的一元二次方程的解是，， 故答案为：，． 20．（25-26学年九上·甘肃酒泉第七中学·期中）如图所示是抛物线的一部分，则方程的根是　　　　　　． 【答案】 【分析】 此题考查了二次函数和一元二次方程的关系．抛物线与x轴的交点横坐标即为二次函数函数值为0时的一元二次方程的解，据此进行求解即可． 【详解】 解：∵根据图示知，抛物线与x轴的一个交点是，对称轴为直线， ∴根据对称性，抛物线与x轴的另一交点为， ∴方程的解是． 故答案为：． 21．（25-26学年九上·甘肃陇南·期中）已知二次函数． （1）用列表描点法，在如图所示的坐标系中画出这个二次函数的图象； x … 0 1 2 3 … y … …    （2）根据图象写出当为正数时的取值范围为_________； （3）当时，的取值范围为_________． 【答案】（1） 解：∵， 列表如下： 画出函数图象，如图： x … 0 1 2 3 … y … 0 3 4 3 0 …         （2）     （3）      【分析】 （1）求出表格中的函数值，利用描点法画出函数图象即可； （2）结合图象，找到时，的取值范围即可； （3）图象法，确定函数的最大值和最小值即可得解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 由图象可知：当为正数时，； 故答案为：； (3) 小问详解： 由图象，可知：当时，函数值先增大后减小，抛物线关于直线对称， ∴和时的函数值相同，为最小值，， 当时，有最大值为：， ∴； 故答案为：． 【点睛】 本题考查二次函数的图象和性质．正确画出二次函数的图象，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键． 22．（25-26学年九上·甘肃柏树中学·期中）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且点A的坐标为，顶点D的坐标为． （1）求该抛物线的表达式． （2）求B、C两点的坐标． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了二次函数的图像和性质，二次函数的顶点式，待定系数法求二次函数，二次函数与坐标轴的交点坐标，正确理解二次函数的性质是解题的关键． （1）设二次函数的解析式为，将代入求出值即可求解； （2）令可求点的坐标，令可求点的坐标． (1) 小问详解： 解：抛物线的顶点的坐标为， 设抛物线的解析式为， 将点代入上式，得， 解得，， 该抛物线的解析式为：； (2) 小问详解： 将代入得，， 解得，， 点的坐标为； 将代入，得， 点的坐标为， 综上，点的坐标为；点的坐标为． 23．（25-26学年九上·甘肃陇南西和县）已知二次函数． （1）根据给出的自变量求其对应函数值，填入表格中； … 0 1 2 3 … … … （2）根据表格，画出这个二次函数的图象； （3）根据表格图象可知，当时，y的取值范围是______． 【答案】（1） 解：     （2） 解：根据上表，画出这个二次函数的图象： … 0 1 2 3 … … 2 3 2 …      （3）      【分析】 本题考查二次函数的图象性质，解题关键是掌握二次函数图象与性质． （1）根据所给表格填出x的值，再求y的值； （2）描点，连线即可； （3）直接根据函数图象得出y的取值范围． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：根据表格图象可知，当时，y的取值范围是， 故答案为：． 24．（25-26学年九上·甘肃陇南西和县）若抛物线与轴没有交点，则的取值范围是　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了抛物线与x轴的交点问题，利用根的判别式列出不等式是解题的关键． 根据抛物线与x轴没有交点，得到，再解一元一次不等式即可． 【详解】 解：∵抛物线与轴没有交点， ∴， 解得：， 故答案为：． 25．（25-26学年九上·甘肃陇南）如图，已知抛物线的对称轴为，与x轴的一个交点是，另一个交点的坐标是　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 利用二次函数的对称性求解即可． 【详解】 解：设另一个交点为， ∵已知抛物线的对称轴为，与x轴的一个交点是， ∴, 解得， ∴抛物线与x轴的另一个交点为， 故答案为：． 【点睛】 本题考查了二次函数的对称性，函数图象与x轴的两个交点关于对称轴对称． 26．（25-26学年九上·甘肃吴家井中学·期中）已知抛物线与x轴的一个交点为，则　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，代数式求值，正确理解题意是解题的关键． 把代入得，再利用整体代入的方法，即可求得结果． 【详解】 解：抛物线与轴的一个交点为， ， ， ， 故答案为：． 27．（25-26学年九上·甘肃庆阳镇原县·期末）二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，求该二次函数的顶点坐标及的面积． 【答案】顶点坐标为，面积为6 【分析】 本题考查了二次函数的性质，二次函数与一元二次方程的关系，两点的距离，抛物线的顶点式，数形结合是解题的关键．先抛物线化为顶点式，求出顶点坐标，然后求出抛物线与x轴的交点坐标，求出，最后求的面积． 【详解】 解：， 该二次函数的顶点坐标为． 当时，， 解得，， ， 当时，， ， 边上的高为3， ． 28．（25-26学年九上·甘肃兰州第二十二中学·期末）若二次函数的图象与轴有交点，则的取值范围是　　　　　　　　　　． 【答案】且 【分析】 本题考查二次函数与一元二次方程的关系，若二次函数的图象与轴有交点，则一元二次方程有实数根，利用根的判别式求解即可． 【详解】 解：二次函数的图象与轴有交点， 一元二次方程有实数根， ，， 且． 故答案为：且． 29．（25-26学年九上·甘肃定西·期中）抛物线的部分图象如图所示，则当时，的取值范围是　　　　　　　　　　　． 【答案】或 【分析】 本题考查二次函数的图象和性质，二次函数与轴的交点问题，利用对称性求出抛物线与轴的另一个交点的坐标，图象法求出时，的取值范围即可． 【详解】 解：由图象可知，抛物线与轴的一个交点坐标为，对称轴为直线， ∴抛物线与轴的另一个交点坐标为， ∴当时，的取值范围是或； 故答案为：或． 30．（25-26学年九上·甘肃临夏州·期中）已知二次函数的图象如图所示，回答下列问题： （1）方程的根是______； （2）当时，x的取值范围是______； （3）若点均在二次函数的图象上，直接写出、的大小关系． 【答案】（1）；     （2）或；     （3）．      【分析】 题目主要考查二次函数与一元二次方程的关系，二次函数的性质，理解题意，结合图象求解是解题关键． （1）根据函数图象即可直接得出结果； （2）结合函数图象求解即可； （3）根据题意得出函数的对称轴为，确定距离对称轴越远，函数值越小，即可求解． (1) 小问详解： 解：根据函数图象得：当时，或， ∴方程的根是， 故答案为：； (2) 小问详解： 由图象得：当时，x的取值范围是或， 故答案为：或； (3) 小问详解： ∵方程的两个根为， ∴函数的对称轴为， ∵开口向下， ∴距离对称轴越远，函数值越小， ∵， ∴． 31．（25-26学年九上·甘肃酒泉第七中学·期中）已知二次函数． （1）求函数图象的对称轴和顶点坐标； （2）求函数图象与坐标轴的交点坐标． （3）根据图象，直接写出： ①当函数值为正数时，自变量x的取值范围； ②当时，函数值y的取值范围． 【答案】（1）对称轴为，顶点坐标为     （2）图象与y轴的交点坐标为，与x轴的交点坐标为．     （3）①；②．      【分析】 本题考查了抛物线与坐标轴的交点、二次函数的性质、二次函数与不等式等知识点，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）先将二次函数解析式化成顶点式，然后确定出顶点坐标即可； （2）分别令、求解即可确定其与两坐标轴的交点坐标； （3）① 确定函数图象在x轴上方部分所对应的自变量x的取值范围即可；② 根据函数图象确定y的取值范围即可． (1) 小问详解： 解：∵， ∴该函数图象的对称轴为：直线，顶点坐标为． (2) 小问详解： 解：令可得：，即函数图象与y轴的交点坐标为； 令可得：，解得：或3，即函数图象与x轴的交点坐标为． (3) 小问详解： 解：①∵函数图象与x轴的交点坐标为， ∴根据函数图象可得：函数值为正数时，自变量x的取值范围为； ② 如图：可知：当时，有最大值：； 当时，有最小值：； ∴当时，函数值y的取值范围为． 32．（25-26学年九上·甘肃酒泉肃州区·期中）如图，已知抛物线与直线交于、两点，则关于x的不等式的解集是　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了二次函数与不等式的关系，主要利用了数形结合的思想，解题关键在于对图象的理解，题目中的不等式的含义为：二次函数的图象在一次函数图象上方时，自变量x的取值范围．根据图象，写出抛物线在直线上方部分的x的取值范围即可． 【详解】 ∵抛物线与直线交于、两点， ∴由函数图象可得，不等式的解集是， 故答案为：． 33．（25-26学年九上·甘肃酒泉肃州区·期中）已知二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，与轴的一个交点为．给出下列结论：①；②；③图象与轴的另一个交点为；④当时，随的增大而减小；⑤不等式的解集是．其中正确结论的序号是　　　　　　　　　　　　． 【答案】② ③ ③ ② 【分析】 本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质，能从图象中获取有效信息是解答的关键．根据二次函数与轴的交点情况即可判断① ，结合图象可知时，，即可判断② ，利用二次函数的对称性即可判断③ ，利用二次函数的增减性即可判断④ ，利用二次函数图象求不等式的解集即可判断⑤ ． 【详解】 解：二次函数与轴有两个交点， ， 故① 错误； 二次函数对称轴为直线，与轴的一个交点为． 结合图象可知时，， 即， 故② 正确； 二次函数对称轴为直线，与轴的一个交点为． 由对称性可知，图象与轴的另一个交点为， 故③ 正确； 二次函数对称轴为直线，图象开口向下， 当时，随的增大而减小； 故④ 错误； 二次函数与轴的一个交点为，另一个交点为，图象开口向下，． 不等式的解集是或． 故⑤ 错误； 综上所述，正确结论的序号是② ③ ； 故答案为：② ③ ． 34．（25-26学年九上·甘肃武威凉州区·期中）如图，将二次函数位于轴下方的图象沿轴翻折，得到一个新函数的图象（图中的实线）．观察图象若关于的方程有且只有两个解，则的取值范围为　　　　　　　　　　　　　． 【答案】或 【分析】 本题考查了二次函数与几何变换，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，数形结合是解题的关键．根据图象求得答案即可． 【详解】 解：将二次函数位于轴下方的图象沿轴翻折， 得到新函数的解析式为：， 关于的方程有且只有两个解，即为直线与新函数图象有且只有两个公共点， 观察图象可得：的取值范围或， 故答案为：或． 35．（25-26学年九上·甘肃陇南）已知一元二次方程的两根为和3，则二次函数图像对称轴是直线　　　　　　　　　 ． 【答案】 【分析】 本题考查二次函数的对称性，二次函数与一元二次方程的关系． 根据一元二次方程的两根得出抛物线与x轴的交点，再利用二次函数的对称性可得答案． 【详解】 解：∵一元二次方程的两根为和3， ∴二次函数图像与x轴的交点为和， 由抛物线的对称性知抛物线的对称轴为， 故答案为：． 36．（25-26学年九上·甘肃柏树中学·期中）已知函数的图象和x轴有交点，则k的取值范围　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了二次函数的定义，二次函数与一元二次方程根与系数的关系，求不等式的解集，掌握二次函数定义，根与系数的关系是解题的关键． 分两种情况分析：当时，根据二次函数的图象和x轴有交点，可得，当时，为一次函数即可求解． 【详解】 解：当时， ∵图象和x轴有交点， ∴， 解得，且， 当时，为一次函数，与x轴有交点，符合题意； 综上可得： 故答案为： ． 37．（25-26学年九上·甘肃吴家井中学·期中）已知二次函数 （为常数)． （1）若点在二次函数的图象上，求二次函数的表达式； （2）求二次函数的图象与x轴的公共点的个数． 【答案】（1）     （2）二次函数的图象与轴有2个公共点      【分析】 本题考查抛物线与轴交点问题，待定系数法求抛物线解析式．熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系和待定系数法求抛物线解析式是解题的关键． （1）用待定系数法求出抛物线解析式即可； （2）令，则，利用根的判别式判定一元二次方程根的情况，即可得出结论． (1) 小问详解： 解：将点代入中得， ， 解得：， 二次函数的表达式为． (2) 小问详解： 解：令，则， 由题意知：，，， ， 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， 二次函数的图象与轴有2个公共点． 考点06 实际问题与二次函数 1．（25-26学年九·甘肃张掖民乐县·期末）“科教兴国，强国有我”某中学在科技实验活动中，设计了“水火箭”升空实验．已知“水火箭”的升空高度与飞行时间满足的关系为，当“水火箭”的飞行时间为时，升空的高度为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 将给定的飞行时间代入高度h与t的关系式，计算即可得到对应升空高度． 【详解】 解：当时，． 2．（25-26学年九上·甘肃兰州第十九中学·期末）兰州是全国有名的“瓜果城”，某水果店销售一批白兰瓜，若每斤盈利元，每天可售出斤．经市场调查发现，若每斤降价元，每天可多售出斤．设每斤降价元，每天盈利为元，则与的函数关系式为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了二次函数的应用，求出降价后每斤的盈利及销售量，再相乘即可求解，理解题意是解题的关键． 【详解】 解：∵每斤降价元， ∴每斤盈利为元， ∵每降价元多售出斤， ∴降价元多售出斤， ∴销售量为斤， ∴， 故选：． 3．（25-26学年九上·甘肃陇南·期末）如图，某拱桥的形状可看作是抛物线的一部分，其函数表达式为．当水面到桥顶的距离为时，水面的宽度为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了二次函数的拱桥问题，二次函数的性质，先理解题意，再把代入，解得然后列式计算，得水面的宽度的值，即可作答． 【详解】 解：∵其函数表达式为．水面到桥顶的距离为， ∴把代入，得 ∴， 解得 依题意，， 即水面的宽度为， 故选：B． 4．（25-26学年九上·甘肃平凉·期末）某景点的“喷水巨龙”喷嘴处的水流呈抛物线状流出，该水流喷出的高度（单位：）与水平距离（单位：）之间的关系如图所示，为该水流的最高点， ，垂足为．已知，，则的长为（        ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式．设抛物线解析式为，将点，代入求出、的值即可求解． 【详解】 解：， ，， 根据题意，设抛物线解析式为， 将点，代入得 ， 解得 ， 抛物线解析式为， 当时，， 即， 故选：D． 5．（25-26学年九上·甘肃临夏州·期中）物理学中对一定值电阻R通电后，在限定时间t内产生的热量计算公式为，即热量Q（单位：焦耳）随电流I（单位：A）的变化而变化，则Q与I的函数图象大致是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 题目主要考查二次函数的应用，根据题意得出R和t为常数，且均大于0，即可求解． 【详解】 解：∵定值电阻R，限定时间t， ∴R和t为常数，且均大于0， ∴为二次函数，开口向上，， 故选：B． 6．（25-26学年九上·甘肃武威凉州区谢河中学·期中）对角线互相垂直的四边形为垂美四边形．已知垂美四边形的对角线、满足，则四边形的面积最大值是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查的知识点是二次函数的实际应用、二次函数的最值，解题关键是正确表示出四边形的面积． 结合垂美四边形的性质可知四边形的面积，设，则四边形的面积，结合二次函数的性质即可得面积最大值． 【详解】 解：依题得：垂美四边形的对角线， 则四边形的面积， 设， ， ， 四边形的面积， ， ， 结合二次函数的性质可知，当时，四边形的面积取最大值，最大值为． 故选：． 7．（25-26学年九上·甘肃兰州第二十中学·期末）如图，正方形的边长为，动点，同时从点出发，以的速度分别沿和的路径向点运动．设运动时间为（单位：），四边形的面积为（单位：）则与之间的函数图象大致是下列图中的（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 先求出点从点运动到点，点从点运动到点的时间为；点从点运动到点，点从点运动到点的时间为，再分两种情况：①和②，利用面积关系求出与之间的函数关系式，由此即可得． 【详解】 解：∵正方形的边长为， ，， ， 由题意可知，点从点运动到点，点从点运动到点的时间为；点从点运动到点，点从点运动到点的时间为， ①当时，， 则； ②当时，， 则； 综上，与之间的函数关系式为 ， 根据二次函数的图像与性质，选项A符合题意，选项B、C、D不符合题意， 故选：A． 8．（25-26学年九上·甘肃白银·期末）如图，在四边形中，，，，动点沿的路线运动，到点时停止．过点作，垂足为点，设点运动的路程为，的面积与之间的函数关系图象如图所示，当时，的值是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 分别求出点在上运动、点在上运动、点在上运动时的函数表达式，进而求解 【详解】 解： 由函数图象可知，，AB=5， ∴BC=3，AD=6， 当点与点重合时，AN=ND=BC=3， ， ， ∴当时，，此时，点与点重合， ， 故选：D． 【点睛】 本题考查的是动点问题的函数图象，涉及三角形的面积等知识，此问题时，由图得出是解题关键． 9．（25-26学年九上·甘肃临夏州·期末）如图，在边长为4的正方形ABCD中，动点P从A点出发，以每秒1个单位长度的速度沿AB向B点运动，同时动点Q从B点出发，以每秒2个单位长度的速度沿BC→CD方向运动，当P运动到B点时，P、Q两点同时停止运动．设P点运动的时间为t，△APQ的面积为S，则S与t的函数关系的图象是（） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【详解】∵动点Q从B点出发，以每秒2个单位长度的速度沿BC→CD方向运动， ∴点Q运动到点C的时间为4÷2=2秒． 由题意得，当0≤t≤2时，即点P在AB上，点Q在BC上，AP=t，BQ=2t， ，为开口向上的抛物线的一部分． 当2＜t≤4时，即点P在AB上，点Q在DC上，AP=t，AP上的高为4， ，为直线（一次函数）的一部分． 观察所给图象，符合条件的为选项D．故选D． 10．（25-26学年九上·甘肃兰州第二十二中学·期末）如图，在菱形中，，点P从D点出发，沿运动，过点P作直线的垂线，垂足为点Q，设点P运动的路程为x，的面积为y，则下列图象能正确反映y与x之间的函数关系的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 此题考查了函数的图象，菱形的性质，矩形的判定与性质，解直角三角形，掌握知识点的应用和分类讨论的数学思想是解题的关键．根据点的运动位置分类讨论，分别画出对应的图形，利用锐角三角函数求出和，即可求出与的函数关系式，即可判断出各种情况下的图象即可． 【详解】 解：∵四边形是菱形，，， ∴，， ∴当点到点时，；当到点时，；当到点时，， 当点在上，即时，如下图所示 此时， ∴，， ∴，此时图象为开口上的抛物线的一部分； 当点在上，即时，如下图所示，过点作于， 此时，， ∴四边形为矩形， 在中，，， ∴，， ∴， ∴，此时图象为逐渐上升的一条线段； 当点在上，即时，如下图所示， 此时， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴，此时图象为开口上的抛物线的一部分； 综上：符合题意的图象为， 故选：． 11．（25-26学年九上·甘肃陇南西和县·期末）“直播带货”已经成为一种热门的销售方式，某直播代销某一品牌的电子产品（这里代销指厂家先免费提供货源，待货物销售后再进行结算，未售出的由厂家负责处理）．经调查发现每件售价99元时，日销售量为300件，当每件电子产品每下降1元时，日销售量会增加3件．已知每售出1件电子产品，该主播需支付厂家和其他费用共50元，设每件电子产品售价为（元），主播每天的利润为（元），则与之间的函数解析式为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了二次函数的应用，设每件电子产品售价为（元），主播每天的利润为（元），则销售量为件，由此即可得出答案，理解题意，找准变量之间的关系是解此题的关键． 【详解】 解：设每件电子产品售价为（元），主播每天的利润为（元）， 每件售价99元时，日销售量为300件，当每件电子产品每下降1元时，日销售量会增加3件， 每件电子产品售价为（元）时，销售量为件， 与之间的函数解析式为， 故选：C． 12．（25-26学年九上·甘肃陇南武都区·期中）小明受二次函数的图象启发，为某葡萄酒大赛设计了一款杯子．如图所示的是杯子的设计稿，若，，则杯子的高CE为（       ） A. 3 B. 5 C. 7 D. 11 【答案】D 【分析】 本题主要考查了二次函数的应用，求出顶点D和点B的坐标是解题的关键． 先求二次函数的顶点D点的坐标为，然后根据，可知B点的横坐标为，代入得到，所以，又，进而求得杯子的高度． 【详解】 解：如图： ∵， ∴抛物线顶点D的坐标为， ∵， ∴B点的横坐标为， 把代入，得到， ∴， ∴． 故选：D． 13．（25-26学年九上·甘肃平凉庄浪县·期中）如图1，某蔬菜大棚的一边靠墙，其截面图可看作抛物线的一部分（如图2），大棚跨径，顶端到墙体的距离为，顶端到的距离为，则大棚与墙的交点到原点的距离为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了二次函数的应用，正确求出二次函数的解析式是解题关键．设抛物线的解析式为，利用待定系数法求出抛物线的解析式，再求出时，的值，由此即可得． 【详解】 解：由题意可得顶点，， 设该抛物线的解析式为， 将代入得， 解得， 该抛物线的解析式为， 令，则， 即， 故选：D． 14．（25-26学年九上·甘肃酒泉肃州区·期中）如图，在正方形中，，点M从点A开始沿边向点B以的速度移动，同时点N沿的路线以的速度移动．设的面积为y（单位：），运动时间为x（单位：），则y关于x的函数图象大致是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了一次函数与二次函数的应用，动点问题的函数图象；分别求得点在上运动时，点在上运动时的函数解析式，即可求解． 【详解】 解：∵正方形的边长为， ∴，， 当点在上运动，即时，， 则，此时函数图象为线段； 当点在上运动，即时， ， 则， 则，此时函数图象为抛物线一部分； 故选：A 15．（25-26学年九上·甘肃平凉庄浪县·期末）“科教兴国，强国有我”．某中学在科技实验活动中设计制作了“水火箭”升空实验，“水火箭”的升空高度h（单位：）与飞行时间t（单位：）之间满足关系式．若“水火箭”的飞行时间为，则此时“水火箭”的升空高度为　　　　　　　　． 【答案】31 【分析】 本题考查了二次函数的应用，将飞行时间代入关系式求解即可． 【详解】 解：当时，， 此时“水火箭”的升空高度为． 故答案为：31． 16．（25-26学年九上·甘肃临夏州·期末）根据物理学规律，如果不考虑空气阻力，以的速度将小球沿与地面成角的方向击出，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间的函数关系是，当飞行时间t为　　　　　　　　　　　s时，小球达到最高点． 【答案】2 【分析】 将函数关系式转化为顶点式即可求解． 【详解】 根据题意，有， 当时，有最大值． 故答案为：2． 【点睛】 本题考查二次函数解析式的相互转化及应用，解决本题的关键是熟练二次函数解析式的特点及应用． 17．（25-26学年九上·甘肃兰州第五中学·期末）2025年第十五届全运会于11月9日至21日在粤港澳三地首次联合承办，其吉祥物“喜洋洋”以一级保护动物——中华白海豚为原型正火遍全国．某网店售卖一款进价为30元/个的“喜洋洋”，规定单个销售利润不低于10元，且不高于25元．试销期间发现，当销售单价定为40元时，每天可以售出500个，销售单价每上涨1元，每天销售量减少10个．该网店决定提价销售，设销售单价为x元，求该网店每天销售吉祥物“喜洋洋”的利润W（元）的最大值． 【答案】网店每天销售吉祥物“喜洋洋”的利润W（元）的最大值为8750元 【分析】 本题考查了二次函数的实际应用，正确的列出函数解析式是解题的关键． 根据总利润等于单个利润乘以销量列出二次函数关系式，求最值即可． 【详解】 解：设销售单价为x元．由题意，得： ， ∵单个销售利润不低于10元，且不高于25元 ∴，即， ∵， ∴当时，W随x的增大而增大， ∴当时，W最大，为， ∴网店每天销售吉祥物“喜洋洋”的利润W（元）的最大值为8750元． 18．（25-26学年九上·甘肃临夏州·期中）如图，是抛物线在第四象限的图象上一点，过点分别向轴和轴作垂线，垂足分别为、，则四边形周长的最大值为　　　　　　. 【答案】16 【分析】 本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质．依据题意，设根据矩形的周长公式得到，从而根据二次函数的性质来求最值即可． 【详解】 解：设， 四边形周长． 当时，四边形周长有最大值，最大值为16． 故答案为16． 19．（25-26学年九上·甘肃平凉庄浪县·期中）春节将至，为营造节日氛围，幸福小区物业准备在小区主通道上悬挂灯带，通道两侧有立柱，物业在通道的上方拉了笔直的水平钢丝，钢丝两边固定在立柱上，悬挂的灯带为抛物线形，灯带的最低点距离钢丝米．以钢丝为x轴，左侧立柱为y轴，钢丝与立柱的固定点为原点建立直角坐标系（如图所示）． （1）小青设计的方案，把灯带的一端固定在钢丝与立柱的固定点O，另一端固定在钢丝上的点A处，米，求出此时抛物线的表达式． （2）小玲设计的方案，把灯带的一端固定在钢丝上的点B处，米，另一端固定在立柱上的C处，为了美观，灯带的最低点和小青设计的相同（顶点相同），求出O与C的距离． 【答案】（1）     （2）      【分析】 该题考查了二次函数的应用，求出函数解析式是解题的关键． （1）根据题意设此时抛物线的表达式为，代入求解即可． （2）根据题意设此时抛物线的表达式为，代入求出解析式，再令，即可求解． (1) 小问详解： 解：∵米，灯带的最低点距离钢丝米， ∴， 设此时抛物线的表达式为， 将代入得，解得：， ∴此时抛物线的表达式为． (2) 小问详解： 解：∵米，灯带的最低点和小青设计的相同（顶点相同）， ∴， 设此时抛物线的表达式为， 将代入得，解得：， ∴此时抛物线的表达式为． 令，则， ∴O与C的距离是． 20．（25-26学年九上·甘肃平凉庄浪县·期中）某跳水运动员在进行跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线是如图所示的一条抛物线．已知跳板长为2米，跳板距水面高为3米，训练时跳水曲线在离起跳点水平距离1米时达到距水面最大高度4米，现以为横轴，为纵轴建立直角坐标系． （1）求这条抛物线的解析式； （2）求运动员落水点与点C的距离． 【答案】（1）     （2）运动员落水点与点的距离为5米      【分析】 本题考查了二次函数在实际问题中的应用，数形结合并熟练掌握运用待定系数法求抛物线的解析式是解题的关键． （1）建立平面直角坐标系，列出顶点式，代入点的坐标，求得的值，则可求得抛物线的解析式； （2）令，得关于的方程，求得方程的解并根据题意作出取舍即可． (1) 小问详解： 解：如图所示，建立平面直角坐标系， 由题意可得抛物线的顶点坐标为，点坐标为， 设抛物线的解析式为， 将点坐标为代入得：， 解得：， ∴这条抛物线的解析式为； (2) 小问详解： 解：∵， ∴令得：， 解得：， ∵起跳点A坐标为， ，不符合题意， ， ∴运动员落水点与点的距离为5米． 21．（25-26学年九上·甘肃定西临洮县·期中）如图，小亮同学掷铅球时，铅球沿抛物线运行，其中是铅球离初始位置的水平距离，是铅球离地面的高度．若铅球抛出时离地面的高度为，则铅球掷出的水平距离为　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查待定系数法求抛物线解析式，二次函数与轴的交点坐标，熟练掌握待定系数法和二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键．由题得，代入，得出抛物线的解析式为，令，求解即可， 【详解】 解：由题意，， 得， 将代入， 得：， 解得：， ∴， 令，得， 解得：，， ∴为， 故答案为：． 22．（25-26学年九上·甘肃陇南·期中）同学们在操场玩跳大绳游戏，跳大绳时，绳甩到最高处时的形状是抛物线，正在甩绳的甲、乙两名同学拿绳的手间距为6米，到地面的距离与均为0.9米，绳子甩到最高点C处时，最高点距地面的垂直距离为1.8米，距甲同学的水平距离为3米，以点O为原点建立如图所示的平面直角坐标系． （1）求该抛物线的解析式； （2）如果身高为1.7米的聪聪站在之间，当绳子甩到最高处时，求聪聪站在距点O的水平距离为多少时，绳子刚好通过他的头顶上方？ 【答案】（1）；     （2）4米或2米．      【分析】 （1）根据题意得到，抛物线的顶点，设，利用待定系数法求出解析式即可； （2）把代入二次函数解析式，解一元二次方程即可得到答案． (1) 小问详解： 由题可知，抛物线的顶点， 设，         把代入得， 解得， ∴； ∴抛物线的解析式为； (2) 小问详解： 当时，，        解得，， 答：聪聪站在距离点O的水平距离为4米或2米时，绳子刚好通过他的头顶上方． 【点睛】 此题考查了二次函数的应用，还考查了解一元二次方程，用待定系数法求出二次函数的解析式是解题的关键． 23．（25-26学年九上·甘肃陇南西和县）某数学兴趣小组在学习了抛物线的知识后，决定利用抛物线的知识进行课外实践活动，下面是此次课外实践活动的调查报告： 活动题目 抛物线的课外实践活动 活动过程 如图是一扇抛物线型拱门的示意图，首先测量抛物线型拱门的底部跨度，然后将高度为的标杆垂直于所在地面，水平方向移动标杆使标杆顶部恰好与拱门的内壁接触，底部始终在上，再测量出、两点间的距离 拱门示意图 说明：以所在直线为轴，经过中点的垂线为轴建立平面直角坐标系，抛物线型拱门的最高点到地面的距离为． 测量数据 ，， 任务（1） 求该抛物线型拱门的最高点到地面的距离； 任务（2） 要在该抛物线型拱门内壁距离地面高的两侧各安装一盏夜晚照明灯（大小忽略不计），求两盏灯的水平距离． 【答案】（1）；（2） 【分析】 本题主要考查了二次函数的应用，待定系数法解抛物线的解析式，熟练掌握二次函数的相关知识是解题关键． （1）由题意可设该抛物线表达式为，、、对称轴为轴，分别代入，解二元一次方程组，求得抛物线的解析式为，即可求解； （2）将代入抛物线的解析式，解一元二次方程，即可求解． 【详解】 解：任务（1）：由题意可得：点的坐标为，点的坐标为，抛物线的对称轴为轴． 设该抛物线型拱门的函数表达式为（、为常数，）， 将，代入，得 ， 解得 ， 该抛物线型拱门的函数表达式为， 当时，， 该抛物线型拱门的最高点到地面的距离为． 任务（2）：令，得， 解得，， ， 两盏灯的水平距离为． 24．（25-26学年九·甘肃张掖民乐县·期末）如图，在一次模拟高层建筑物起火救援中，云梯消防车的喷水口距离地面，距离大楼起火侧面，喷出水柱呈抛物线型，水柱最高处距离地面，距离大楼起火侧面，建立如图所示的平面直角坐标系． （1）求水柱所对应的抛物线解析式； （2）若起火楼层的窗户顶端到地面的距离为，窗户底端到地面的距离为，云梯消防车此时所在位置喷出的水能否射进起火窗户内？ 【答案】（1）     （2）能      【分析】 （1）运用待定系数法求解即可； （2）令，求出的值，再与和进行比较即可得解． (1) 小问详解： 解：依题意，得抛物线的顶点坐标为，且经过点， 设抛物线解析式为， 将代入，得：， ∴抛物线解析式为； (2) 小问详解： 解：令，则，， ∴云梯消防车此时所在位置喷出的水能射进起火窗户内． 25．（25-26学年九·甘肃张掖民乐县·期末）如图是搭建一座蔬菜大棚的横截面，其形状可以用抛物线表示，施工队计划在大棚正中搭建一个矩形脚手架，点在抛物线上，若，则脚手架的高度为　　　　　　　　　米． 【答案】6 【分析】 本题考查了二次函数的应用问题，设出点D的坐标并代入解析式是解题的关键．设，然后用m表示D点的坐标，将D点坐标代入抛物线解析式求出m，从而可得到的值． 【详解】 解：，矩形脚手架在大棚正中， 设，，则， D点坐标为， 将代入， 得， 解得或（舍）， ， 故答案为：6． 26．（25-26学年九上·甘肃兰州第五中学·期末）贝贝和馨宝做弹球游戏，如图1，贝贝向斜坡抛一个乒乓球，乒乓球弹起的运行路线是一条抛物线，乒乓球落地后又弹起，第二次弹起的运行路线和第一次运行路线的拋物线形状相同．馨宝在地面竖立一块高度为的木板，然后以斜坡底端为坐标原点，地面水平线为轴，收单位长度为，建立如图2所示的平面直角坐标系，乒乓球的大小忽略不计，经测量发现，抛球点的坐标为，第一次弹起的运行路线最高点坐标为，第二次弹起的最大高度为． （1）求乒乓球第一次弹起运行路线的抛物线的解析式； （2）当乒乓球第二次弹起高度为时，求乒乓球到轴的距离； （3）馨宝需将水板立在距斜坡底端多远的范围内，才能使球第二次下落过程中碰到木板，直接写出OC的取值范围________________． 【答案】（1）     （2）或     （3）      【分析】 本题考查了二次函数的应用，解题的关键是求出乒乓球第一次、第二次弹起运行路线的抛物线的解析式． （1）根据待定系数法求解即可； （2）先求出B的坐标，然后根据待定系数法求出第二次运行路线的解析式，然后把代入求解即可； （3）把和代入第二次运行的抛物线解析式，解方程求出的值，即可求解． (1) 小问详解： 解：设抛物线解析式为， 把代入，得， 解得， ∴乒乓球第一次弹起运行路线的抛物线的解析式为； (2) 小问详解： 解：当时，， 解得，， ∴， ∵第二次弹起的运行路线和第一次运行路线的拋物线形状相同，第二次弹起的最大高度为． ∴设第二次弹起的运行路线的抛物线为， 把代入，得， 解得，（不符合题意，舍去）， ∴， 把代入，得， 解得，， ∴乒乓球到轴的距离为或； (3) 小问详解： 解：把代入，得， 解得，（舍去） 把代入，得， 解得，（舍去）， ∴的取值范围为：， 故答案为：． 27．（25-26学年九上·甘肃兰州第十九中学·期末）如图1为某居民小区计划修建的圆形喷水池的效果图，在池中心需安装一个柱形喷水装置，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高高度为．水柱落地处离池中心的水平距离为．小刚以柱形喷水装置与地面交点O为原点，原点与水柱落地处所在直线为x轴，柱形喷水装置所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．水柱喷出的高度与水平距离之间的函数关系如图2． （1）求表示该抛物线的函数表达式； （2）若不计其他因素，求柱形喷水装置的高度． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题主要考查了二次函数的应用，正确求出对应的函数表达式是解题的关键． （1）根据顶点坐标，设该抛物线的函数表达式为，由题意得，该抛物线经过点，待定系数法求解析式即可求解； （2）求出时的函数值即可得到答案． (1) 小问详解： 解：由题意得，抛物线的顶点坐标为， 设该抛物线的函数表达式为， 由题意得，该抛物线经过点，则， 解得， ∴该抛物线函数表达式为． (2) 小问详解： 解：在中，当时，． 答：柱形喷水装置的高度为． 28．（25-26学年九上·甘肃庆阳镇原县·期末）如图1是某公园一座抛物线型拱桥，按如图所示建立坐标系，得到函数，在正常水位时水面宽米，当水位上升5米时，则水面宽　　　　　　米 【答案】20 【分析】 根据正常水位时水面宽米，找出当时，再根据水位上升5米时，代入解析式求值即可． 【详解】 解：∵， ∴当时，， 当水位上升5米时，， 把代入，得， 解得， 此时水面宽米， 故答案为：20． 【点睛】 本题考查二次函数的应用，根据图形找出相关数据求值是解题的关键． 29．（25-26学年九上·甘肃兰州·期末）张丽是学校羽毛球社团的成员，某次在训练时使用自助发球机进行训练，如图所示，将发球机放置在点处．羽毛球发射的初始位置的高．若羽毛球从点发射后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，羽毛球在飞行过程中，在与点的水平距离为时达到最高点，在与点的水平距离为时的高度为，落地点为，以所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系． （1）求羽毛球飞行路线所在抛物线的函数表达式； （2）若张丽的身高为，在距离羽毛球发球机的处使用球拍接球（球拍接触到羽毛球的飞行路线即为接到球）时，球拍高出头顶，她能否接到羽毛球，请通过计算说明理由． 【答案】（1）     （2）不能      【分析】 本题考查了二次函数的应用，利用待定系数法求出二次函数的解析式是解题的关键． （1）利用待定系数法求抛物线的解析式即可； （2）代入求出对应的值，再求出球拍的高度，比较两者的大小即可得出结论． (1) 小问详解： 解：设抛物线的函数表达式为， 由题意得，抛物线经过和，且对称轴为， ， 解得： ， 抛物线的函数表达式为． (2) 小问详解： 解：当时，， 球拍的高度为， ， 不能接到羽毛球． 30．（25-26学年九上·甘肃临夏州·期末）如图，护林员在一个斜坡上的点处安装自动浇灌装置（其高度忽略不计）为坡地进行浇灌，，点处的自动浇灌装置喷出的水柱呈抛物线形，已知水柱在距出水口的水平距离为时，达到距离地面的竖直高度的最大值为．以所在的水平方向为轴，所在的竖直方向为轴建立平面直角坐标系． （1）求图中水柱所在抛物线的函数解析式； （2）若该装置浇灌的最远点离地面的竖直高度为，求此时喷到处的水柱距出水口的水平距离． 【答案】（1）抛物线解析式为     （2）水平距离为      【分析】 本题考查二次函数的实际应用，熟练掌握待定系数法求解析式和二次函数与一次函数的交点问题是解题的关键， （1）由题意可得抛物线顶点坐标为，设抛物线解析式为，把代入，求出值，即可得答案； （2）把代入（1）中解析式，求出的值，即可得答案． (1) 小问详解： 解：∵水柱在距出水口的水平距离为时，达到距离地面的竖直高度的最大值为， ∴抛物线顶点坐标为， 设抛物线解析式为， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴图中水柱所在抛物线的函数解析式为． (2) 小问详解： 解：由（1）可知抛物线解析式为， ∴当时，， 解得：，（舍去）， ∴此时喷到处的水柱距出水口的水平距离为． 31．（25-26学年九上·甘肃兰州第二十二中学·期末）九（1）班数学课题学习小组，为了研究学习二次函数问题，他们经历了实践到应用的过程． （1）实践：他们对一条公路上横截面为抛物线的单向双车道的隧道进行测量，测得一隧道的路面宽为．隧道顶部最高处距地面，并画出了隧道截面图．建立了如图所示的直角坐标系，请你求出抛物线的解析式； （2）应用：按规定机动车辆通过隧道时，车顶部与隧道顶部在竖直方向上的高度差至少为．为了确保安全，问该隧道能否让最宽，最高的两辆厢式货车居中并列行驶（两车并列行驶时不考虑两车间的空隙）？并说明理由． 【答案】（1）     （2）解：隧道能让最宽，最高的两辆厢式货车居中并列行驶．理由如下： 当最宽，最高的两辆厢式货车居中并列行驶时， ∴，， ∴代入解析式得：； ∴， ∴隧道能让最宽，最高的两辆厢式货车居中并列行驶．      【分析】 本题主要考查了顶点式求二次函数解析式、二次函数的应用等知识点，将实际问题转化为数学问题以及数形结合思想成为解题的关键． （1）利用顶点式求出二次函数解析式即可； （2）根据已知条件可知当时，正好是汽车宽度，求出此时抛物线的纵坐标，然后判断是否满足题意即可解答． (1) 小问详解： 解：根据坐标系可知此函数顶点坐标为，且图象过点， 设抛物线的解析式为：， ∴，解得：， ∴． (2) 小问详解： 略 32．（25-26学年九上·甘肃定西安定区·期末）某商品每件进价为20元，经市场调研发现，当售价为30元时，每天可售出40件，售价每上涨1元，每天的销售量就减少2件，且售价每件不得高于40元．设每件商品的售价为x元（x为整数），求该商品每天的销售利润w（元）与售价x（元/件）之间的函数关系式，并求当售价为多少元时，每天可获得最大利润，最大利润是多少？ 【答案】；售价为35元时，最大利润450元 【分析】 本题考查了二次函数的应用，解题关键是根据题意列出函数解析式．依据题意，由每件的利润销量总利润，进而表示出w，然后根据二次函数的性质求解即可． 【详解】 解：根据题意得， ∵， ∴抛物线开口向下， ∵对称轴为直线， ∴当时，． 答：售价为35元时，最大利润450元． 33．（25-26学年九上·甘肃陇南西和县·期末）某公司经过市场调查发现，该公司生产的某商品在第x天的销售单价为元/件（），且该商品每天的销量y（件）满足关系式．已知该商品第10天的售价按8折出售，仍然可以获得的利润． （1）求公司生产该商品每件的成本为多少元？ （2）问销售该商品第几天时，每天的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）20元     （2）销售该商品第25天时，每天的利润最大，最大利润是2500元      【分析】 （1）此题考查了一元一次方程的应用、二次函数的应用． （1）设该公司生产每件商品的成本为a元，该商品第10天的售价按8折出售，仍然可以获得的利润，据此列方程并解方程即可； （2）设第x天的销售利润为W元，根据单件利润乘以当天的销量即可得到W关于x的二次函数解析式，根据二次函数的性质进行解答即可． (1) 小问详解： 解：设该公司生产每件商品的成本为a元， 根据题意得：， 解得： 答：该公司生产每件商品的成本为20元； (2) 小问详解： 设第x天的销售利润为W元， 则： 当时，W取得最大值，最大值为元． 故销售该商品第天时，每天的利润最大，最大利润是元． 34．（九上·甘肃兰州·期末）某学校为美化学校环境，打造绿色校园，决定用篱笆围成一个一面靠墙（墙足够长）的矩形花园，并用一道篱笆把花园分为两块，学校已订购篱笆120米． （1）边多长时，花园的总面积最大，最大面积是多少； （2）在花园面积最大的条件下，学校计划给花园里种满牡丹和芍药，每平米种植2株，总共能种多少株花？（不考虑分隔篱笆的位置），若牡丹每株售价25元，芍药每株售价15元，学校计划购买费用不超过5万元，求最多可以购买多少株牡丹？ 【答案】（1）边长为20米时，有最大面积，且最大面积为1200平方米     （2）总共能种2400株花，最多可以购买1400株牡丹      【分析】 本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式． （1）设米，则米，根据矩形面积公式得：，由二次函数性质可得答案； （2）依据题意，由每平方米种植2株，则总共能种花的株数为，设购买牡丹m株，根据学校计划购买费用不超过5万元，列不等式可解得答案． (1) 小问详解： 解：由题意，设米，则米， ∴花园的总面积， ∴当时，最大面积为平方米， ∴边长20米，花园的总面积最大，最大面积是1200平方米； (2) 小问详解： 解：由题意，∵每平方米种植2株， ∴总共能种花的株数为，即总共能种2400株花； 设购买牡丹株，则购买芍药株， ∵学校计划购买费用不超过5万元， ∴， ∴， ∴最多可以购买1400株牡丹． 35．（25-26学年九上·甘肃平凉·期末）已知平凉红牛礼盒（冷冻牛腩）的进价为每件60元，每月的销量（单位：件）与售价（单位：元）的相关信息如下表（符合一次函数关系） 售价/元 … 每月的销量/件 … （1）销售平凉红牛礼盒每件的利润是___________元（用含的式子表示）． （2）用含的式子表示每月的销量． （3）设销售平凉红牛礼盒的月利润为元，那么售价为多少时，当月的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）     （2）     （3）售价为130元时，当月的利润最大，最大利润是98000元      【分析】 本题主要考查了一次函数的应用、二次函数的最值问题，熟练掌握一次函数的解析式求解方法和二次函数的最值求法是解题的关键． （1）利用“每件利润售价进价”，直接列式表示； （2）设一次函数解析式，代入表格中两组数据求解； （3）根据“月利润每件利润月销量”列出函数关系式，再利用二次函数性质求最值． (1) 小问详解： 解：每件利润为元， 故答案为：． (2) 小问详解： 解：设，代入、得 ， 解得，， ∴， 故答案为：． (3) 小问详解： 解：∵， ∴ ， ∵， ∴二次函数开口向下，顶点横坐标为， ∴最大值， 答：售价为130元时，月利润最大，最大利润是98000元． 36．（25-26学年九上·甘肃兰州第八十一中学·期末）掷实心球是丰都中考体育考试项目之一，如图1是一名男生投实心球情境，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系如图2所示、掷出时，起点处高度为1.9m，当水平距离为4m时，实心球行进至最高点3. 5m处. （1）求y关于x的函数表达式： （2）根据中考体育考试评分标准（男生版），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于9.7m时，即可得满分10分，该男生在此项考试中能否得满分，请说明理由. 【答案】（1）     （2）该男生在此项考试中能得满分.      【分析】 （1）已知顶点坐标为，设成顶点式，将代入求出a的值，即可求出函数表达式. （2）根据（1）中的表达式，求出时x的值，即D点的坐标，则可知OD的长，再与9.7作比较，即可判断是否得满分. (1) 小问详解： 设 将代入得        解得 (2) 小问详解： 当时，        （舍去） ∴该男生在此项考试中能得满分. 【点睛】 本题主要考查了求二次函数表达式，及二次函数的实际应用，熟练掌握求二次函数表达式式是解题的关键. 37．（25-26学年九上·甘肃陇南武都区·期末）商场销售一吉祥物，已知每套吉祥物的进价为20元，如果以单价30元销售，那么每天可以销售400套，根据经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20套． （1）若商家每天想要获取4320元的利润，为了尽快清空库存，售价应定为多少元？ （2）销售单价为多少元时每天获利最大？最大利润为多少？ 【答案】（1）每套吉祥物的售价应定为32元；     （2）销售单价为35元时每天获利最大，最大利润4500元．      【分析】 此题考查了一元二次方程和二次函数的应用，根据题意列出方程和函数是解题的关键． （1）设每套吉祥物的售价为x元，根据每套的利润乘以套数等于总利润列方程，解方程即可得到答案； （2）设每天销售吉祥物获得的利润为y元，根据每套的利润乘以套数等于总利润列出二次函数，根据二次函数的性质进行解答即可． (1) 小问详解： 设每套吉祥物的售价为x元，根据题意得 ， 化简得：， 解得，， 为了尽快清空库存，每套吉祥物的售价应定为32元． (2) 小问详解： 设每天销售吉祥物获得的利润为y元，则有 ， ∵，且， ∴， ∵对称轴为直线，且该二次函数图象开口向下， ∴函数的最大值为， 销售单价为35元时每天获利最大，最大利润4500元． 38．（25-26学年九上·甘肃天水麦积区·期中）配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等． 例：求代数式的最小值． 解：， ． 当时，的最小值是4． （1）求代数式的最小值； （2）若代数式；当___________时，有最___________值（填“大”或“小”），这个值是___________ （3）如图，某农场计划建造一个长方形养殖场，为充分利用现有资源，该长方形养殖场一面靠墙（墙的长度为），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个长方形，且，栅栏的总长度为．当为多少时，长方形养殖场的总面积最大？最大值为多少？ 【答案】（1）当时，的最小值为3     （2）；大；1     （3）当，矩形养殖场的总面积最大，最大值为      【分析】 本题考查了配方法求代数式极值中的应用，不等式的性质，实际应用题中几何关系的建模．解题的关键是正确配方，识别完全平方项的非负性，根据不等式的性质求解． （1）将原式配方，，根据，再根据不等式的性质求解即可． （2）对代数式进行配方，，结合，再根据不等式的性质求解即可． （3）设，由，得到，根据栅栏总长度和面积建立方程，通过配方，利用不等式的性质求最大值． (1) 小问详解： 解： ， ∵， ∴3， ∴当时，的最小值为3； (2) 小问详解： ， ∵， ∴， ∴， ∴当时，有最大值，最大值为1． 故答案为：；大；1； (3) 小问详解： 设，则， ∴， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴当时，最大，最大值为48， ∴当，矩形养殖场的总面积最大，最大值为． 39．（25-26学年九上·甘肃定西·期中）某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件，国庆节期间，商店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，减少库存，增加利润，经市场调查发现，如果每件童装降价1元，那么平均可多售出2件． （1）每件童装降价多少元时，平均每天盈利1200元？ （2）每件童装降价多少元时，平均每天盈利最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）每件童装降价20元时，平均每天盈利1200元     （2）每件童装降价15元时，平均每天盈利最大，最大利润是1250元      【分析】 本题主要考查了一元二次方程的实际应用，二次函数的实际应用，正确理解题意，根据题意找出等量关系，列出方程和函数解析式是解题的关键． （1）设每件童装降价x元，根据总利润=单件利润×数量，列出方程求解即可； （2）设利润为w，根据总利润=单件利润×数量，列出w关于x的函数解析式，结合二次函数的性质，即可解答． (1) 小问详解： 解：设每件童装降价x元， ， 整理得：， 解得：， 为减少库存，取， 答：每件童装降价20元时，平均每天盈利1200元． (2) 小问详解： 解：设利润为w， ， ∵， ∴当时，w有最大值1250， 即每件童装降价15元时，平均每天盈利最大，最大利润是1250元． 40．（25-26学年九上·甘肃陇南武都区·期中）重阳节是我国的传统节日，在这天人们有登高、赏菊、吃重阳糕等习俗．某甜品店在今年重阳节前推出一种新口味的重阳糕，以80元/盒的价格销售，第一周售出50盒，第二、三周该口味重阳糕十分畅销，销售量持续上涨，在售价不变的基础上，第三周的销售量达到72盒． （1）求第二、三周该口味重阳糕销售量的周平均增长率； （2）因食品保质期较短，该甜品店决定降价促销，经过调查发现，该口味重阳糕销售单价每降低1元时，周销售量增加3盒．已知该口味重阳糕的成本价为50元/盒，当该口味重阳糕的销售单价降低多少元时，第四周销售这种口味重阳糕的利润最大？最大利润为多少？ 【答案】（1）第二、三周该口味重阳糕销售量的周平均增长率为     （2）当该口味重阳糕的销售单价降低3元时，第四周销售这种口味的重阳糕的利润最大，为2187元      【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用． （1）设第二、三周该口味重阳糕销售量的周平均增长率为，根据第一周和第三周的销售关系，利用增长后的量增长前的量，列方程求解即可； （2）设该口味重阳糕的销售单价降低m元，利润为s元，根据题意列出函数解析式，进而根据二次函数的性质作答即可. (1) 小问详解： 解：设第二、三周该口味重阳糕销售量的周平均增长率为， 根据题意，列方程：． 解方程，得，（不合题意，舍去）． 答：第二、三周该口味重阳糕销售量的周平均增长率为； (2) 小问详解： 解：设该口味重阳糕的销售单价降低m元，则每盒的销售利润为元，第四周的销售量为盒，利润为s元． 根据题意，得 ， 当时，s取最大值2187． 答：当该口味重阳糕的销售单价降低3元时，第四周销售这种口味的重阳糕的利润最大，为2187元． 41．（25-26学年九上·甘肃临夏州·期中）甘肃临夏回族自治州，旧称河州，位于黄河中上游，它不仅是古丝绸之路必经之地，也是古代兵家必争之地．如图①所示的投石机是古代战争中的攻城武器．已知投石机投出的石块运动轨迹可近似看作抛物线，如图②，石块从距离地面5的点A处投出，其运动过程中的最高点距离地面30，此时到点A的水平距离为50． （1）建立适当的平面直角坐标系并求出抛物线对应的函数解析式； （2）若高为12的城墙离的水平距离为100，请判断（1）中的石块能否越过城墙，并说明理由． 【答案】（1） 如图，以地面所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系，则点O为坐标原点（答案不唯一）， ，；     （2） 解：不能，理由如下： 当时，， ， ∴石块不能越过城墙．      【分析】 本题考查二次函数的实际应用： （1）以地面所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系，则点O为坐标原点，写出A的坐标及顶点坐标，设二次函数的解析式为顶点式，将的A的坐标代入即可求得答案； （2）求出时的y值，比较这个值与城墙的高度即可做出判断． (1) 小问详解： 解：图略 根据题意可知，抛物线的顶点坐标为， 设石块运动轨迹的抛物线对应的函数解析式为， 将代入解析式，得， 解得， ∴抛物线对应的函数解析式为； (2) 小问详解： 略 42．（25-26学年九上·甘肃庆阳镇原县·期中）文旅发展促进经济增长的同时，也带动了电器销售．一电器商场销售某品牌空调，该空调每台进价为2500元，已知该商场6月份售出75台空调，8月份售出108台空调． （1）求该商场7，8两个月售出空调数的月平均增长率； （2）调查发现，当该空调售价为3000元时，平均每天能售出8台；售价每降低50元，平均每天能多售出4台，该商场如何定价能使每天的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）     （2）空调定价为2800元时，每天的利润最大，为7200元      【分析】 （1）设月平均增长率为x，列出方程即可求解． （2）列出利润关于降价金额的二次函数，利用顶点式即可求解． (1) 小问详解： 解：设月平均增长率为x， 依题意，得：， 解得：，（舍）， 商场7、8两个月售出空调的月平均增长率为． (2) 小问详解： 设该商场每台空调降价m元，则每天可多售台，每天的利润为w元， ， 当时，， ∴空调定价为2800元时，每天的利润最大，为7200元． 【点睛】 本题考查了一元二次方程与二次函数的应用，解题关键是理解题意，正确列出方程和函数关系式，会利用顶点式求出函数的最大值． 43．（25-26学年九上·甘肃平凉庄浪县·期中）重阳节前夕，某商店购进由重阳糕和菊花酒搭配而成的，两种礼盒．其中礼盒每盒利润元，每天可以卖出盒，礼盒每盒利润元，每天可以卖出盒．若礼盒每盒售价提高元，则每天少卖出盒，礼盒每盒售价提高元，则每天少卖出盒．（注：两种礼盒成本不变） （1）若每盒礼盒的价格提高元，每天销售，两种礼盒的利润分别为元和元，求出，与之间的函数关系式； （2）物价部门规定这两种礼盒提高的价格之和为元，那么礼盒的售价提高多少元时，两种礼盒每天的销售利润之和最大？最大是多少元？ 【答案】（1），     （2）礼盒的售价提高元时，两种礼盒每天的销售利润之和最大，最大为元      【分析】 本题考查了二次函数的实际应用，掌握知识点是解题的关键． （1）根据利润每盒利润销量列式即可； （2）设两种礼盒每天的销售利润之和为元，礼盒的售价每盒提高元，则礼盒的售价每盒提高元，列出关于的二次函数关系式，利用二次函数的性质可得答案． (1) 小问详解： 解：由题意可得， ； (2) 小问详解： 设两种礼盒每天的销售利润之和为元，礼盒的售价每盒提高元，则礼盒的售价每盒提高元． 由题意得 当时，元， 即礼盒的售价提高元时，两种礼盒每天的销售利润之和最大，最大为元． 44．（25-26学年九上·甘肃酒泉第七中学·期中）护林员在一个斜坡上的点处安装自动浇灌装置（其高度忽略不计）为坡地进行浇灌，，点处的自动浇灌装置喷出的水柱呈抛物线形，已知水柱在距出水口的水平距离为时，达到距离地面的竖直高度的最大值为，设喷出的水柱距出水口的水平距离为，距地面的竖直高度为，以坡底所在的水平方向为轴，处所在的竖直方向为轴建立平面直角坐标系，原点为，如图所示．经过测量，可知斜坡的函数表达式近似为． （1）求图中水柱所在抛物线的函数表达式； （2）若该装置浇灌的最远点离地面的竖直高度为，求此时喷到处的水柱距出水口的水平距离； （3）给该浇灌装置安装一个支架，可调节浇灌装置的高度，则水柱恰好可以覆盖整个坡地时，安装的支架的高度为多少米？ 【答案】（1）     （2）18米     （3）米      【分析】 本题考查了二次函数的应用、一次函数的应用、二次函数平移等知识，熟练掌握与灵活运用相关知识，运用数形结合的思想分析问题是解题的关键． （1）设抛物线解析式为，将代入并求解，即可获得答案； （2）对于抛物线，令，求解即可获得答案； （3）设浇灌装置还要升高米，则抛物线解析式为，再确定点坐标，将点坐标代入，求解即可获得答案． (1) 小问详解： 解：根据题意可知，抛物线的顶点坐标为，设抛物线解析式为， 将代入，可得， 解得 ， ∴水柱所在抛物线的函数表达式为； (2) 小问详解： 对于抛物线， 令，可得， 整理可得， 解得，（舍去）， ∴该装置浇灌的最远点离地面的竖直高度为，此时喷到处的水柱距出水口的水平距离为18米； (3) 小问详解： 设浇灌装置还要升高米，则抛物线解析式为， 对于直线：， 令，可得， 解得，即， 将点代入， 可得， 解得， ∴浇灌装置还要升高米． 45．（25-26学年九上·甘肃酒泉第七中学·期中）超市销售某种儿童玩具，如果每件利润为40元，每天可售出50件．根据市场调查发现，销售单价每增加2元，每天销售量会减少1件，设销售单价增加元，每天售出y件． （1）请写出与之间的函数解析式； （2）设超市每天销售这种玩具可获利元，当为多少时w最大，最大值是多少？ （3）若市场规定该种玩具每件的利润不能超过60元，那么当为多少时每天销售这种玩具可获利最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）     （2）当时，w最大，最大值为2450元．     （3）当为20时，每天销售这种玩具可获利最大，最大利润是2400元．      【分析】 本题主要考查了一次函数、二次函数的应用等知识点，弄清题目中包含的数量关系是解题的关键． （1）根据“每天可售出50件．根据市场调查发现，销售单价每增加2元，每天销售量会减少1件”列函数关系式即可； （2）根据题意得到，然后化成顶点式并根据二次函数的性质即可解答； （3）先求得x的取值范围，然后利用（2）的相关结论以及函数的增减性即可解答． (1) 小问详解： 解：根据题意得，． (2) 小问详解： 解：根据题意得： ， ， ， ∵， ∴当时，w最大，最大值为2450元． 答：当x为30时，超市每天销售这种玩具可获利润2450元； (3) 小问详解： 解：∵， ∴， ∵当时，w随x的增大而增大， ∴当时，w最大，最大值为元． 答：当为20时，每天销售这种玩具可获利最大，最大利润是2400元． 46．（25-26学年九上·甘肃酒泉肃州区·期中）某超市销售一种商品，成本每千克40元，经市场调查，每天的销售质量（千克）与每千克售价x（元），满足一次函数关系，部分数据如下表： 售价x（元/千克） 50 60 70 销售量y（千克） 100 80 60 （1）求y与x之间的函数表达式； （2）设商品每天的总利润为（元），求与之间的函数表达式并指出售价为多少元时获得利润最大？ 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题主要考查了二次函数和一次函数的应用，熟练掌握待定系数法及二次函数的性质是解题的关键． （1）设，结合表格数据利用待定系数法求解，即可解题； （2）分析题意，根据总利润销售量 (售价成本)，结合（1）可得出与x的表达式； 再根据二次函数的图象和性质，求出二次函数的最大值就是最大利润，此时的x的值就是商品的售价． (1) 小问详解： 解：每天的销售质量（千克）与每千克售价x（元），满足一次函数关系， 设， 结合表格有 ， 解得 ， y与x之间的函数表达式为； (2) 小问详解： 解：由题知， 整理得， ， 当时，获得利润最大． 47．（25-26学年九上·甘肃酒泉肃州区·期中）为满足市场需求，某超市在五月初五“端午节”来临前夕，购进一种品牌 粽子，每盒进价是40元，超市规定每盒售价不得少于45元．根据以往销售经验发现：当售价定为每盒45元时，每天可卖出700盒，每盒售价每提高1元，每天要少卖出20盒． （1）试求出每天的销售量y（盒）与每盒售价 （元）之间的函数关系式； （2）当每盒售价定为多少元时，每天销售的利润 （元）最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）y=-20x+1600；（2）当每盒售价定为60元时，每天销售的利润P（元）最大，最大利润是8000元． 【详解】（1）根据“当售价定为每盒45元时，每天可卖出700盒，每盒售价每提高1元，每天要少卖出20盒”即可得出每天的销售量y（盒）与每盒售价x（元）之间的函数关系式；（2）根据利润=1盒粽子所获的利润×销售量列出函数关系式整理，然后根据二次函数的最值问题解答即可． 试题分析： 试题解析：（1）由题意得，y=700-20（x-45）=-20x+1600； （2），∵x≥45，抛物线的开口向下，∴当x=60时，P最大值=8000元，即当每盒售价定为60元时，每天销售的利润P（元）最大，最大利润是8000元． 考点：二次函数的应用． 48．（25-26学年九上·甘肃武威凉州区·期中）小明投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯．销售过程中发现，每月销售量件与销售单价元之间的关系可近似地看作一次函数：； （1）设小明每月获得利润为元，求每月获得利润元与销售单价元之间的函数关系式，并确定自变量的取值范围． （2）当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？每月的最大利润是多少？ 【答案】（1），     （2）当销售单价定为元时，每月可获得最大利润，最大利润是元      【分析】 本题考查了二次函数的实际应用，解题的关键是正确理解题意． （1）由题意得，每月销售量与销售单价之间的关系可近似看作一次函数，利润=(定价−进价)×销售量，从而列出关系式； （2）首先确定二次函数的对称轴，然后根据其增减性确定最大利润即可． (1) 小问详解： 解：由题意，得：， 即； ∵， ∴， ∴自变量的取值范围； (2) 小问详解： 解：对于函数 ∵， 当时， 答：当销售单价定为元时，每月可获得最大利润，最大利润是元． 49．（25-26学年九上·甘肃陇南）掷实心球是中学生体育测试项目之一，小明发现实心球从出手到落地的过程中，实心球竖直高度与水平距离一直在相应的发生变化，实心球的竖直高度是水平距离的二次函数．已知实心球出手时候的高度是，当水平距离是时，实心球达到最大高度． （1）求满足条件的抛物线的关系式． （2）根据中学生体育测试评分标准(男生版)，在投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离不小于时，即可得满分10分，小明在此次投掷中是否得到满分？请说明理由． 【答案】（1）     （2）小明在这次投掷中得到了满分，理由： 当时, ， 解得： （舍去）， ∵， ∴小明在这次投掷中得到了满分．      【分析】 本题考查了二次函数的实际应用，解答本题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式及二次函数的性质． （1）设抛物线的解析式为，再代入即可求出解析式； （2）把代入，即可求出x的值，再与满分成绩比较即可得到结果． (1) 小问详解： 解：由题意可知,抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的关系式是， 把点代入得： 解得：， ∴ 抛物线的关系式为； (2) 小问详解： 略 50．（25-26学年九上·甘肃定西临洮县·期中）2025年五一假期期间，定西凤凰城景区某特产店销售A，B两类特产．A类特产的进价为50元/件，B类特产的进价为60元/件．已知购买1件A类特产和1件B类特产需132元，购买4件A类特产和7件B类特产需744元． （1）求A类特产和B类特产每件的售价． （2）A类特产供货充足，按原价销售每天可售出60件．市场调查反映，若每降价1元，每天可多售出10件（每件售价不低于进价）．设每件A类特产降价x 元，每天的销售量为y件，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围． （3）在（2）的条件下，由于B类特产供货紧张，每天只能购进100件且能按原价售完．设该店每天销售这两类特产的总利润为w元，求w与x的函数关系式，并求出每件A类特产降价多少元时，总利润w最大，最大利润是多少元．（利润售价进价） 【答案】（1）A售价60元，B售价72元     （2）     （3）；降价2元，最大利润1840元      【分析】 本题主要考查一元一次方程的应用、一次函数的应用以及二次函数的应用． 根据题意设每件A类特产的售价为x元，则每件B类特产的售价为元，进一步得到关于x的一元一次方程求解即可； 根据降价1元，每天可多售出10件列出函数关系式，结合进价与售价，且每件售价不低于进价得到x得取值范围； 结合（2）中A类特产降价x元与每天的销售量y件，得到A类特产的利润，同时求得B类特产的利润，整理得到关于x的二次函数，利用二次函数的性质求解即可． (1) 小问详解： 解：设每件A类特产的售价为x元，则每件B类特产的售价为元． 根据题意得． 解得． 则每件B类特产的售价（元）． 答：A类特产的售价为60元/件，B类特产的售价为72元/件． (2) 小问详解： 由题意得 ∵A类特产进价50元/件，售价为60元/件，且每件售价不低于进价 ∴． ∴． (3) 小问详解： ． ∴当时，w有最大值1840． ∴A类特产每件降价2元时，每天销售利润最大，最大利润为1840元． 51．（25-26学年九上·甘肃陇南·期中）某商场新进一批商品，每个成本价25元，销售一段时间后发现销售量（个）与销售单价（元/个）之间呈一次函数关系，如表： （元/个） 30 50 （个） 190 150 （1）求与之间的函数关系式； （2）若该商品的销售单价在45元~80元之间浮动，销售单价定为多少元时，销售利润最大？此时销售量为多少？ 【答案】（1）     （2）销售单价定为75元时，销售利润最大，此时销售量为100个      【分析】 本题考查的是求一次函数的解析式，二次函数的应用，根据题意列出一次函数以及二次函数关系式是解答此题的关键． （1）利用待定系数法求解析式．设，把点分别代入可求得日销售量y与销售单价x之间的关系式； （2）设每天的利润为W，把每天的利润W与销售单价x之间的函数关系式化为二次函数顶点式的形式，由此关系式即可得出结论． (1) 小问详解： 解：设函数关系式为，由题意得， ， 解得： ． ∴与之间的函数关系式为． (2) 小问详解： 设该商品的利润为W， ∴ ∵， ∴当时，销售利润最大，此时的销售量为：（个）． 52．（25-26学年九上·甘肃兰州第二十二中学·期末）某商店准备进一批季节性小家电，每个进价为40元，经市场预测，销售定价为50元，可售出400个；定价每增加1元，销售量将减少10个．设每个定价增加x元． （1）写出售出一个可获得的利润是多少元（用含x的代数式表示）？ （2）商店若准备获得利润6000元，并且使进货量较少，则每个定价为多少元？应进货多少个？ （3）商店若要获得最大利润，则每个应定价多少元？获得的最大利润是多少？ 【答案】（1）      （2） 每个定价为70元，应进货200个     （3） 每个定价65元，获得的最大利润是6250元      【分析】 本题主要考查一元二次方程，二次函数的运用，理解数量关系，正确列式求解是关键． （1）根据利润售价进价直接列式； （2）根据总利润每个利润销售量列方程，解方程后选择进货量较小的解； （3）将总利润表示为二次函数，通过求顶点坐标得到最大值． (1) 小问详解： 解：每个进价为40元，销售定价为50元，设每个定价增加x元， ∴每个获得的利润为（元）； (2) 小问详解： 解：设每个定价增加元，则销售量为个， 总利润为， 化简得，即， 两边除以得， 解得或， 当时，进货量（个）， 当时，进货量（个）， ∵要使进货量较少， ∴取， 定价为元，进货200个； (3) 小问详解： 解：总利润， ∵， ∴抛物线开口向下，有最大值， 顶点横坐标， 定价为元， 最大利润元． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $