专题10 勾股定理（期中真题汇编，贵州专用）八年级数学上学期

专题10 勾股定理 2大高频考点概览 考点01 勾股定理及其应用 考点02 勾股定理的逆定理及其应用 考点01 勾股定理及其应用 1．（25-26学年八上·贵州贵阳修文县·期中）下列各组数为勾股数的是（   ） A. 2，3，4 B. 3，4，5 C. 4，5，6 D. 5，6，7 2．（25-26学年八上·贵州贵阳第三十九中学·期中）如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形ABCD，中间阴影部分是一个小正方形EFGH，这样就组成一个“赵爽弦图”，若AB=10，AE=8，则正方形EFGH的面积为（       ） A. 4 B. 8 C. 12 D. 16 3．（25-26学年八上·贵州毕节第一中学·期中）如图，字母所代表的正方形的面积是（     ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年八上·贵州毕节织金县思源实验学校·期中）在下列四组数中，属于勾股数的是（       ） A. 1，2，3 B. 1，， C. 4，5，6 D. 5，12，13 5．（八上·贵州专用·期中）在中，，若，则的值是（       ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年八上·贵州北京师范大学贵阳附属中学·期中）如图将一根长为的筷子，置于底面直径为，高为的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度为，则h的取值范围是（   ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年八上·贵州贵阳修文县·期中）如图，分别以直角三角形的三边为边画三个正方形，较长两个正方形的面积分别为144和169，则最小正方形A的面积是（   ） A. 5 B. 12 C. 13 D. 25 8．（25-26学年八上·贵州贵阳第三十九中学·期中）如图，圆柱形玻璃杯，高为，底面周长为，在杯内的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在蜂蜜相对的正上方的点处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为（       ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年八上·贵州六盘水·期中）底边长为，底边上的高为的等腰三角形的腰长为（   ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年·贵州贵阳清镇培文学校·期中）下列数组中，能构成勾股数的是（     ） A. 1，1， B. 0.3，0.4，0.5 C. 5，12，13 D. ，， 11．（25-26学年八上·贵州毕节金沙县·期中）《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，其《勾股》章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”翻译成数学问题：如图，在中，，，．若设，则可列方程（     ） A.  B.  C.  D.  12．（25-26学年八上·贵州毕节织金县思源实验学校·期中）直角三角形的两条直角边的长分别为6，8，则其斜边上的高为（       ） A. 6 B. 8 C. 12 D.  13．（25-26学年八上·贵州贵阳·期中）如图，根据尺规作图痕迹，图中标注在点A处所表示的数为（     ） A.  B.  C.  D.  14．（25-26学年八上·贵州贵阳·期中）如图是小英爸爸设置的手机手势密码图，已知左右、上下两个相邻密码点间的距离均为1，手指沿顺序解锁．按此手势解锁一次的路径长为（     ） A. 5 B.  C.  D. 6 15．（25-26学年八上·贵州贵阳清镇广大实验学校·期中）如图，若正方形A，B的面积分别为25和16，则正方形C的面积为（       ） A. 9 B. 11 C. 36 D. 41 16．（25-26学年八上·贵州贵阳清镇广大实验学校·期中）如图，数轴上一点A，表示，过点A作数轴的垂线，并在垂线上截取，连接，以点O为圆心，为半径作弧交x轴的负半轴于点D，则点D表示的数为（       ） A.  B.  C.  D.  17．（25-26学年八上·贵州贵阳清镇广大实验学校·期中）如图，在中，，的平分线交于点D，若，则的面积是（       ） A. 30 B. 15 C. 20 D. 2 18．（25-26学年八上·贵州毕节·期中）下列各组数据中是勾股数的是（     ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 19．（八上·贵州专用·期中）如图，长方形纸片中，，，将此长方形纸片折叠，使点与点重合，点落在点的位置，折痕为，则的长度为(     ) A. 6 B. 10 C. 24 D. 48 20．（八上·贵州专用·期中）下列说法中正确的是（     ） A. 已知，，是三角形的三边，则 B. 在直角三角形中，两边的平方和等于第三边的平方 C. ，，是一组勾股数 D. 在中，，所以 21．（25-26学年八上·贵州北京师范大学贵阳附属中学·期中）如图，图是东汉末年数学家刘徽根据“割补术”运用数形关系证明勾股定理时的青朱出入图，图中的两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等朱入与朱出的三角形全等，朱方与青方是两个正方形探究学习中，标上字母绘成图所示，若记朱方对应正方形的边长为，青方对应正方形的边长为，已知，，则图中的阴影部分面积为（    ） A.  B.  C.  D.  22．（25-26学年八上·贵州贵阳修文县·期中）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，点的坐标是，，则点的坐标是（   ）． A.  B.  C.  D.  23．（25-26学年八上·贵州贵阳修文县·期中）如图，已知，于点，点对应的数是，，那么数轴上点所表示的数是（   ） A.  B.  C.  D.  24．（25-26学年八上·贵州六盘水·期中）有一个圆柱体礼盒，高，底面周长为．现准备在礼盒表面粘贴彩带作为装饰，若彩带一端粘在A处，另一端绕礼盒侧面2周后粘贴在C处（B为的中点），则彩带最短为（       ） A.  B.  C.  D.  25．（25-26学年八上·贵州毕节金沙县·期中）如图，在中，，，延长至点，使，连接，点落在线段的垂直平分线上，则的面积为（     ） A.  B. 3 C.  D.  26．（25-26学年八上·贵州毕节织金县思源实验学校·期中）我国是最早了解勾股定理的国家之一，据《周髀算经》记载，勾股定理的公式与证明是在商代由商高发现的，故又称之为“商高定理”．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（     ） A.  B.  C.  D.  27．（25-26学年八上·贵州贵阳·期中）在勾股定理的证明中，小云用与全等的三角形拼出了如图所示的弦图，若正方形的面积为16，正方形的面积为4，则线段的长为（     ） A.  B.  C.  D.  28．（25-26学年八上·贵州贵阳第十九中学·期中）如图，在中，．以，两边为边分别向外作正方形，它们的面积分别为，若，则的值为（     ） A.  B.  C.  D.  29．（25-26学年八上·贵州贵阳清镇广大实验学校·期中）如图所示，有一个长、宽各米，高为米且封闭的长方体纸盒，一只昆虫从顶点要爬到顶点，那么这只昆虫爬行的最短路程为（    ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 30．（25-26学年八上·贵州毕节第一中学·期中）如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D在BC上，BD=6，DC=2，点P是AB上的动点，则PC+PD的最小值为（　　） A. 8 B. 10 C. 12 D. 14 31．（25-26学年八上·贵州毕节织金县思源实验学校·期中）如图，将一张长方形纸片折叠，使得点的对应点落在上，折痕与交于点．若，则的长为（　　） A. 8 B.  C.  D.  32．（25-26学年八上·贵州毕节·期中）如图，将矩形沿直线折叠，顶点D恰好落在边上点F处，已知，，则图中阴影部分的面积为（　　） A. 20 B. 24 C. 28 D. 30 33．（25-26学年八上·贵州毕节第一中学·期中）在中，三边分别是，，，斜边，则的值为　　　　　　． 34．（25-26学年八上·贵州贵阳修文县·期中）一个零件的平面图如图所示：其中，，，．则四边形的周长为　　　　　　． 35．（25-26学年八上·贵州贵阳第三十九中学·期中）如图，已知，点到数轴的距离为1，那么数轴上点所表示的数为　　　　　　. 36．（25-26学年八上·贵州毕节金沙县·期中）如图，在中，，于． （1）若，，求的长度． （2）设，，，判断之间的关系，并说明理由 37．（25-26学年八上·贵州毕节织金县思源实验学校·期中）小彬用打印机制作了一个底面周长为，高为的圆柱状粮仓模型，如图所示，现要在此模型的侧面从点A出发到点B处贴一条彩色装饰带，则装饰带的长度最短为　　　　　． 38．（25-26学年八上·贵州毕节织金县思源实验学校·期中）树人学校为防止雨天地滑，在一段楼梯台阶上铺上一块地毯，将楼梯台阶完全盖住．已知楼梯台阶侧面图如图所示，，，． （1）求的长； （2）若已知楼梯宽，每平方米地毯35元，需要花费多少钱地毯才能铺满所有台阶．（假设地毯在铺的过程中没有损耗） 39．（25-26学年八上·贵州贵阳·期中）能构成一个直角三角形三边长的一组正整数，称为勾股数．请你写出一组都是两位数的勾股数：　　　　　　　　． 40．（25-26学年八上·贵州北京师范大学贵阳附属中学·期中）已知长方形，，，Q为射线上的一个动点，将沿直线翻折至的位置（点B落在点处）． （1）如图1，连接，当点落在上时， ______； （2）如图2，当点Q与点A重合时，与交于点E，求重叠部分（阴影）的面积； （3）当直线经过点D时，求的长． 41．（25-26学年八上·贵州北京师范大学贵阳附属中学·期中）如图，直角三角形在数轴上，，，，点在数轴上的处，以点为圆心，以为半径画弧，交数轴于点，则点对应的数是　　　　　　． 42．（25-26学年八上·贵州贵阳修文县·期中）在一次手工活动中，小明将长方形纸片进行翻折，使点落在边的点处，折痕为，已知，，请你帮小明求出线段的长． 43．（25-26学年八上·贵州贵阳修文县·期中）如图在四边形中，，，，，连接时恰好． （1）判断的形状，并说明理由； （2）求四边形的面积． 44．（25-26学年八上·贵州贵阳修文县·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知，． （1）在平面直角坐标系中标出点的位置，并写出点关于轴对称点的坐标______； （2）连接和，求的周长． 45．（25-26学年八上·贵州贵阳第三十九中学·期中）在中，，，，、分别是斜边和直角边上的点，把沿着直线折叠，顶点的对应点是点． （1）如图1，在中，______； （2）如图1，如果点和顶点重合，求的长； （3）如图2，如果点落在直角边的中点上，连接与直线交于点，画出点并求出的长． 46．（25-26学年八上·贵州毕节金沙县·期中）如图，是一个由3个白色的直角三角形和7个深色的正方形构成的“勾股树”，若所有正方形的面积之和是，则正方形的面积是　　　　　　． 47．（25-26学年八上·贵州毕节金沙县·期中）【探索】（1）如图1，，请你利用梯形的面积等于三个直角三角形的面积之和验证勾股定理． 【应用】（2）如图2，表示一条铁路，是两个城市，它们到铁路所在直线的垂直距离分别为千米，千米，且千米．现要在之间建一个中转站，求中转站应建在离点多少千米处时，才能使它到两个城市的距离相等？ 【拓展】（3）在劳动课上，老师请同学们在一张长为，宽为的长方形纸板上剪下一个腰长为的等腰三角形（要求等腰三角形的一个顶点与长方形的一个顶点重合，其余两个顶点在长方形的边上）．请你帮助同学们设计出三个不同类型的、你认为符合条件的等腰三角形（在图3中画出示意图），并分别计算三个等腰三角形的面积（位置不同，形状相同的将视为一种结果） 48．（25-26学年八上·贵州毕节织金县思源实验学校·期中）清代扬州数学家罗士琳痴迷于勾股定理的研究，提出了推算勾股数的“罗士琳法则”．法则的提出，不仅简化了勾股数的生成过程，也体现了中国传统数学在数论领域的贡献．由此法则写出了下列几组勾股数：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；……根据上述规律，写出第⑤组勾股数为　　　　　　． 49．（25-26学年八上·贵州毕节织金县思源实验学校·期中）如图，一根长为的梯子斜靠在垂直于地面的墙上，这时梯子的底端B点离墙根E点的距离为，如果梯子的底端向外（远离墙根方向）移动到D点处，试求梯子的顶端将沿墙向下移动的距离为多少？ 50．（25-26学年八上·贵州贵阳·期中）某校八年级学生准备测量校园人工湖的深度，他们在保证安全的情况下把一根竹竿AB垂直插到离湖边3dm的水底（即），只见竹竿高出水面OC的距离，把竹竿的顶端拉向湖边（底端不变），竿顶A和湖沿的水面C处平齐（即），求湖水的深度OB和竹竿AB的长． 51．（25-26学年八上·贵州贵阳·期中）如图，，，，，点在轴上，满足，则点的坐标为　　　　　　　　　　 52．（25-26学年八上·贵州贵阳第十九中学·期中）如图，这是一个供滑板爱好者使用的形池，该形池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，截面中可供滑行部分的半圆弧长为，边缘（边缘的宽度忽略不计），点在上，．一滑板爱好者从点滑到点，请画出形池滑行面的展开图，并求出他滑行的最短距离． 53．（25-26学年八上·贵州贵阳第十九中学·期中）某学校组织学生到工厂劳动实践，学习制作机械零件、如图，这是某三角形零件的示意图，现准备沿将该零件切割成和两部分，，，，． （1）求切割线的长度；（结果保留根号） （2）求切割后的周长．（结果保留根号） 54．（25-26学年八上·贵州贵阳第十九中学·期中）如图，已知中，，以点为圆心，长为半径画弧，交数轴于点，则点表示的数为　　　　　　　　　　　． 55．（25-26学年八上·贵州贵阳清镇广大实验学校·期中）如图，一架25米长的云梯斜靠一面竖直的墙上，这时梯子底端C离墙7米． （1）这个梯子的顶端A距离地面多远？ （2）如果梯子的顶端A下滑了4米，那么梯子底端C在水平方向滑动了多少米？ 56．（25-26学年八上·贵州六盘水·期中）物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮．一端拴在滑块上，另一端拴在物体上，滑块放置在水平地面的直轨道上，通过滑块的左右滑动来调节物体的升降．实验初始状态如图1所示，物体静止在直轨道上，物体到滑块的水平距离是，物体到定滑轮的垂直距离是．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计） （1）求绳子的总长度； （2）如图2，若物体升高，求滑块向左滑动的距离． 57．（25-26学年八上·贵州北京师范大学贵阳附属中学·期中）如图，在直角三角形中，，，，D为直线上一个动点，连接．将沿折叠，若点A恰好落在直线上的点E处，连接，则的长为　　　　　　　　　　． 58．（25-26学年八上·贵州贵阳修文县·期中）如图，圆柱的高为，底面圆周长为，在圆柱下底面的点处有一只蚂蚁，它想吃到与点相对、离下底面的点处（圆柱外表面）的食物． （1）蚂蚁不能从下底面通过时，求蚂蚁从点爬到点时的最短路径； （2）另一只蚂蚁在点处，求蚂蚁从点爬到点时的最短路径． 59．（25-26学年八上·贵州六盘水·期中）如图，是等腰直角三角形，，是直线上一动点，连接，以为腰作等腰直角． 【初步尝试】（1）如图①，点在线段上，当时，若，则___________； 【探究发现】（2）如图②，若点在线段的延长线上，试判断，和之间的数量关系，并说明理由； 【拓展延伸】（3）如图③，当点在线段上时，连接，若，求的值． 60．（25-26学年八上·贵州毕节第一中学·期中）如图，长方形中，，，，，，点P在边上（不含端点B，C），直线与的延长线交于点E． （1）当点P是的中点时，的长为_______，的长为_______； （2）将沿直线折叠得到，点落在长方形的内部，延长交直线于点F．在（1）的条件下，求出的长；（小陈不完整的求解过程如下，请你帮他补充完整．）（只需在答题卡对应区域写出剩余求解过程） 解：，．由折叠可知，．．…… 61．（25-26学年八上·贵州毕节织金县思源实验学校·期中）综合与探究 定义：一般地，若直角三角形三边长都是正整数，那么称为勾股数． 设是两个正整数，且，直角三角形三边长都是正整数．下表中的，，（均小于）可以组成一些有规律的勾股数． ________ _________ ________ （1）请补全表中的勾股数． （2）对表中的数据探究发现，，继续探究发现和也可以用含的代数式表示．请你用含的代数式分别表示，然后证明． （3）某校计划在一块绿地画出一个直角三角形（如图），该直角三角形三边长为米、米、米，且满足上表规律．要求仅在该直角三角形边上种花，且每个顶点处都种一株花，各边上相邻两株花之间的距离均为米．如果最短边可种株花，那么该直角三角形上一共可以种植_______株花． 62．（25-26学年八上·贵州铜仁碧江区·期中）材料一：毕达哥拉斯（）是古希腊数学家和哲学家，他提出的勾股定理（又称毕达哥拉斯定理）是几何学中的基本定理之一．该定理指出：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方．如一个直角三角形的两条直角边长分别为、，斜边长为，则满足公式：．如图1，在直角三角形中，直角边，，斜边的长为：． 材料二：“数形结合”是一种重要的数学思想，通过数和形之间的对应关系和相互转化可以解决很多抽象的数学问题.学习二次根式时，老师给同学们布置一道思考题：求代数式的最小值．小华同学发现可看作两直角边分别为和1的直角三角形的斜边长，可看作两直角边分别是和2的直角三角形的斜边长.于是构造出如图2所示来求解，将问题转化为：在上移动（不包括和两点），若，，求线段的最小值，进而得的最小值为线段的长度（依据是两点之间线段最短）． 请仔细阅读上面材料，然后用“数形结合”思想解决下列问题： （1）如果一个直角三角形的两条直角边长分别为6和8，则其斜边长为：_____； （2）在图2中构造直角三角形，求出代数式的最小值； （3）若均为正数，且，运用数形结合的方法求代数式的最小值． 63．（25-26学年八上·贵州毕节·期中）综合与实践 【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力 ．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全 等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得 到等式 ，化简便得到结论．这里用两种求法来表示同一个量 从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法” 【方法运用】千百年来，人们对勾股定理的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数 学爱好者．向常春在2010年构造发现了一个新的证法：把两个全等的直角三角形和如图2放置，其三边长分别为a，b，c，，显然． （1）请 用a，b，c分别表示出四边形，梯形，的面积，再探究这三个图 形面积之间的关系，证明勾股定理． （2）【方法迁移】请利用“双求法”解决下面的问题：如图3，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得，   则边上的高为_______； （3）如图4，在中，是边上的高，，求的长． 考点02 勾股定理的逆定理及其应用 1．（25-26学年八上·贵州毕节第一中学·期中）下列各组数据中，能构成直角三角形的三边边长是（ ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年八上·贵州毕节金沙县·期中）用下列长度的三根木条首尾相接组成一个封闭木框，则能组成一个直角三角形木框的是（     ） A. 2，3，4 B. 3，4，5 C. 5，6，7 D. 6，7，8 3．（25-26学年八上·贵州毕节织金县思源实验学校·期中）如图，在网格中，点，，都是网格线的交点，则的度数是（     ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年八上·贵州毕节·期中）如图，在 4×4 的正方形网格中（每个小正方形边长均为 1），点A，B，C 在格点上，连接 AB，AC，BC，则△ABC 的形状是（　　） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 无法确定 5．（25-26学年八上·贵州北京师范大学贵阳附属中学·期中）如图，在的正方形网格中，点A，B，C，D均在格点上，若从中任取三点构成三角形，则其中是直角三角形的有（       ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 6．（25-26学年·贵州贵阳清镇培文学校·期中）如图，有一块三角形空地，它的三条边线分别长和，已知长的边线为南北向，则长的边线方向为（       ） A. 东西向 B. 东北向 C. 东南向 D. 西北向 7．（25-26学年八上·贵州贵阳第十九中学·期中）以下列数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（     ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年八上·贵州贵阳清镇广大实验学校·期中）以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（       ） A. 3，8，12 B. 8，15，17 C. 12，15，18 D. 3，17，18 9．（25-26学年八上·贵州毕节·期中）根据下列条件，分别判断以a，b，c为三边的，不是直角三角形的是（　　） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年八上·贵州毕节第一中学·期中）有一块土地，如图所示，已知AB=8,,BC=6,CD=24,AD=26,求这块土地的面积. 11．（25-26学年八上·贵州贵阳第三十九中学·期中）（多选）如图，在Rt△ABC中，∠BCA=90°，AC=12，AB=13，点D是Rt△ABC外一点，连接DC，DB，且CD=4，BD=3． （1）求BC的长； （2）请判断△BCD的形状，并说明理由． 12．（25-26学年八上·贵州六盘水·期中）如图，在中，，且周长为，点从点开始，沿边向点以每秒的速度移动；点从点开始，沿边向点以每秒的速度移动．若同时出发，则过秒时，的面积为　　　　　　　　　　　． 13．（25-26学年八上·贵州毕节金沙县·期中）2022年是第七届全国文明城市创建周期的第二年，某小区在创城工作过程中，在临街的拐角清理出了一块可以绿化的空地．如图，已知，，，，． （1）求的长度； （2）若平均每平方米空地的绿化费用为50元，试计算绿化这片空地共需花费多少元？ 14．（25-26学年八上·贵州贵阳清镇广大实验学校·期中）如图，某港口位于南北方向的海岸线上．甲，乙两舰艇同时离开港口，各自沿一固定方向航行，甲舰艇每小时航行16海里，乙舰艇每小时航行12海里．它们离开港口1.5小时后分别位于点P，Q处，且相距30海里．已知甲舰艇沿北偏东方向航行，则乙舰艇的航行方向是　　　　　　　　　　　　　　　． 15．（八上·贵州专用·期中）在春天来临之际，八（1）班和八（2）班的同学计划在学校劳动实践基地种植蔬菜；如图，点C是自来水管的位置，点A和点B分别表示八（1）班和八（2）班实践基地的位置，两处相距3米，两处相距4米，两处相距5米；为了更好的使用自来水灌溉，八（1）班和八（2）班在图纸上设计了两种水管铺设方案：    八（1）班方案：沿线段铺设2段水管； 八（2）班方案：过点C作于点D，沿线段铺设3段水管； （1）求证：； （2）从节约水管的角度考虑，你会选择哪个班的铺设方案？为什么？ 16．（八上·贵州专用·期中）一个三角形三边满足，则这个三角形是　　　　　　三角形． 17．（25-26学年八上·贵州北京师范大学贵阳附属中学·期中）如图，在中，作的垂直平分线，交于点E，交于点 （1）当，时，求点E到点C之间的最短距离； （2）若时，试说明： 18．（25-26学年·贵州贵阳清镇培文学校·期中）如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形边长都是1，点A，B在格点上（每个小正方形的顶点称为格点）    （1）的长为_________． （2）在网格中找到一格点C，使得，在图中画出并通过计算判断的形状 19．（25-26学年·贵州贵阳清镇培文学校·期中）如图，设P为等边三角形内的一点，且，，三角形的面积是　　　　　　　　　　　． 20．（25-26学年八上·贵州贵阳·期中）一块田地的形状如图所示，已知，求该田地的面积． 21．（25-26学年八上·贵州贵阳清镇广大实验学校·期中）如图是机器零件的示意图形状，测得． （1）连接，求，之间的距离； （2）求四边形的面积． 22．（25-26学年八上·贵州毕节·期中）如图，在四边形中，，，， ， ；求： （1）的长度； （2）四边形的面积． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10 勾股定理 考点01 勾股定理及其应用 考点02 勾股定理的逆定理及其应用 考点01 勾股定理及其应用 1．B 2．A 3．B 4．D 5．D 6．B 7．D 8．B 9．C 10．C 11．D 12．D 13．B 14．C 15．A 16．B 17．B 18．C 19．B 20．D 21．B 22．D 23．A 24．D 25．A 26．C 27．C 28．C 29．C 30．B 31．C 32．D 33．【答案】 【分析】 本题考查了勾股定理的运用，据此得到，即可作答． 【详解】 解：依题意， 因为在中，三边分别是，，，斜边， 所以， 那么， 故答案为：． 34．【答案】32 【分析】 本题考查了勾股定理，利用勾股定理分别求出和的长，再利用四边形的周长公式即可求解． 【详解】 解：∵，，， ∴， ∵，，， ∴， ∴四边形的周长． 故答案为：32． 35．【答案】 【分析】 本题考查了勾股定理与无理数； 利用勾股定理求出，然后根据数轴可得答案． 【详解】 解：由题意得：， ∴数轴上点所表示的数为， 故答案为：． 36．【答案】（1）     （2） 关系为；理由如下： ∵在中，，， ∴均为直角三角形； 则，，， ∵，，，则， ∴， 展开并化简：， ∴．      【分析】 本题考查勾股定理、运用方程思想，关键是对三个直角三角形分别应用勾股定理并联立方程，易错点为勾股定理应用时直角边与斜边识别错误; （1）先勾股定理求，再面积法求； （2）对、、分别用勾股定理，联立方程推导关系． (1) 小问详解： 解：∵在中，，，， ∴； ∵， ∴， 即， 解得； (2) 小问详解： 略 37．【答案】15 【分析】 本题考查圆柱的侧面展开图、利用勾股定理求解最短路径问题，先画出圆柱的侧面展开图，再根据勾股定理求解即可． 【详解】 解：如图，圆柱侧面展开图为长方形，连接，则的长为装饰带的最短长度， 在中，，，， ∴， ∴装饰带的长度最短为． 故答案为：15． 38．【答案】（1）的长为     （2）需要花费686元地毯才能铺满所有台阶      【分析】 本题考查了勾股定理的应用． （1）由勾股定理列式计算即可； （2）由长方形面积公式计算即可． (1) 小问详解： 解：∵，，， 在中，由勾股定理得：， 答：的长为； (2) 小问详解： 解：地毯长为：， 已知楼梯宽，每平方米地毯35元， ∴地毯的面积为， ∴需要花费（元）， 答：需要花费686元地毯才能铺满所有台阶． 39．【答案】，，（答案不唯一） 【分析】 本题考查了勾股数．满足的三个正整数，称为勾股数解答即可． 【详解】 解：∵， ∴，，是一组勾股数； 故答案为：，，． 40．【答案】（1）     （2）     （3）2或8      【分析】 本题主要考查了折叠的性质、勾股定理、等边对等角等知识点，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． （1）由勾股定理可求的长，由折叠的性质可得，即可求解； （2）由平行线的性质和折叠的性质可证，由勾股定理可求的长，即可求解； （3）分在线段上和点D在线段上两种情况讨论，由折叠的性质可得，，，由勾股定理可求，由勾股定理可求的长． (1) 小问详解： 解：，， ， ∵将沿直线翻折至的位置（点B落在点处）． ， ， 故答案为：； (2) 小问详解： 解：， ， ∵将沿直线翻折至的位置（点B落在点处）． ， ， ， ， ， ， ∴重叠部分（阴影）的面积； (3) 小问详解： 解：当在线段上时， 将沿直线翻折至的位置， ，，， ， ， ，即：，解得：； 当点D在线段上时， ∵将沿直线翻折至的位置， ，，， ， ， ， ， ； 综上所述：的长为2或8． 41．【答案】 【分析】 本题考查勾股定理，实数与数轴，根据勾股定理求出的长，进而得到的长，然后根据两点间的距离求出点对应的数即可． 【详解】 解：∵，，， ∴， 由作图可知：， ∴点表示的数为； 故答案为： 42．【答案】 【分析】 本题考查了勾股定理与折叠问题，解题的关键是熟练掌握折叠的不变性． 由折叠得到，，然后对运用勾股定理求解，然后设为，即可表示，最后对运用勾股定理建立方程求解． 【详解】 解：由折叠可知：， 因为是长方形， 所以， 在中， 则：，解得（负值舍去） 因为长方形中，， 所以 在中，设为，则为， 由折叠知： 因为， ， 解得 即长为． 43．【答案】（1） 为直角三角形，理由如下： 在中，， ∵在中，，，，且， ∴，即为直角三角形．     （2）      【分析】 本题主要考查了勾股定理、勾股定理的逆定理、不规则图形面积等知识点，将不规则图形的面积转化为规则图形的面积是解题的关键． （1）在中，由勾股定理可得；在中，运用勾股定理可得，据此即可判断为直角三角形； （2）先分别计算两个三角形的面积，将四边形的面积转化为和的面积之和，据此即可解答． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解： ∵为直角三角形， ∴， 所以四边形的面积． 44．【答案】（1） 如图：在图中标出点．      （2）      【分析】 本题主要考查了平面直角坐标系内找对称点、勾股定理求线段长度、三角形周长等知识点，正确作图是解题的关键． （1）直接标出点B的位置即可；再根据关于y轴对称点的纵坐标不变，横坐标变为相反数即可确定点C的坐标； （2）先画图，再根据勾股定理求得、、，然后求和即可． (1) 小问详解： 解：∵点关于轴对称点， ∴点的坐标． (2) 小问详解： 解：如图：连接、和得出， 则，，， 所以的周长． 45．【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 本题考查了勾股定理、折叠的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）利用勾股定理计算即可得解； （2）由折叠的性质可得，设，则，再由勾股定理计算即可得解； （3）由题意可得，由勾股定理可得，由折叠的性质可得，，，设，则，由勾股定理可得，从而得出，再由勾股定理计算即可得解． (1) 小问详解： 解：∵在中，，，， ∴； (2) 小问详解： 解：由折叠的性质可得：， 设，则， 由勾股定理可得：， ∴， 解得：， ∴； (3) 小问详解： 解：如图：点即为所作， ， ∵点落在直角边的中点上， ∴， ∴， 由折叠的性质可得：，，， 设，则， 由勾股定理可得：， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴． 46．【答案】 【分析】 本题主要考查了“勾股树”---勾股定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理与面积之间的转化． 由勾股定理得，，，，则，，，然后进行面积代换相加求解即可． 【详解】 解：如图， 由勾股定理得，，， ∴，，， ∴， ∵， ∴ ∴， 解得 故答案为：4． 47．【答案】（1）解：梯形的面积为 ， ， 所以； （2）中转站应建在离点37.5千米处； （3）示意图如图： 三个等腰三角形的面积分别为、和 【分析】 本题考查了勾股定理，勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）根据梯形的面积公式和三角形的面积公式即可验证； （2）设千米，则千米，根据勾股定理列出方程，求出的值即可得到结论； （3）根据题意画出符合题意的等腰三角形，再利用勾股定理和三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】 解：（1）略 （2）设千米，则千米， 由题意，得，即， 由勾股定理，得，， 所以， 解得 所以中转站应建在离点37.5千米处； （3）① 如图1，，等腰三角形的面积； ② 如图2，由题意，得， 由勾股定理，得， 所以等腰三角形的面积 ③ 如图3，， 由题意，得， 由勾股定理，得， 所以等腰三角形的面积， 综上所述，三个等腰三角形的面积分别为、和． 48．【答案】 【分析】 本题考查勾股定理，数字类规律探究，观察可知，每组勾股数的第一个数字为奇数，后面两个数字为两个连续的整数，得到第⑤组勾股数的第1个数为11，设第2个数为，则第3个数为，根据勾股定理列出方程进行求解． 【详解】 解：由题意，第⑤组勾股数的第1个数为11，设第2个数为，则第3个数为， 由勾股定理，得：， 解得：， ∴； ∴第⑤ 组勾股数为； 故答案为：． 49．【答案】 【分析】 本题主要考查了勾股定理的实际应用，根据题意可得，，，，由勾股定理求出，的长，即可求解． 【详解】 解：由题意得，，，，， ， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ， 答：梯子的顶端将沿墙向下移动的距离为． 50．【答案】湖水的深度OB为4dm，竹竿AB的长为5dm ． 【分析】 设湖水的深度OB=h dm，则竹竿AB的长为( h+1) dm，再根据勾股定理求出h的值即可． 【详解】 解∶设湖水的深度OB=h dm，则竹竿AB的长为( h+1) dm， 在Rt△BOC中， ∵OB=h dm， BC= ( h+1) dm， CO=3dm， ∴32+h2= (h+1)2， 解得h=4， ∴h+1=5． 答∶湖水的深度OB为4dm，竹竿AB的长为5dm ． 【点睛】 本题考查的是勾股定理的应用，根据勾股定理构造方程是解题的关键． 51．【答案】或 【分析】 根据条件易得，，，轴，轴，因为，所以是角平分线，再根据可知是等腰直角三角形，则当点和点重合时，此时，当点不与重合时，连接过D作于H，利用角平分线的性质与勾股定理可得答案． 【详解】 解：由题意可得：，，，轴，轴， 如图，连接， ∵，，轴， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∴当点与点重合时有，此时点的坐标为， 当点不与重合时，如图，连接，过作于，     ∵，， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设，则，， 根据勾股定理可得：即， 解得：， ∴点的坐标为， 综上所述：点的坐标为或， 故答案为：或 【点睛】 本题考查等腰直角三角形的性质，角平分线的性质，平面直角坐标系内点的坐标特点，勾股定理等，掌握相关知识点是解题的关键． 52．【答案】其侧面展开图如图： 滑行的最短距离为 【分析】 本题考查的是平面展开-最短路径问题，先将该U形池的侧面展开，要求滑行的最短距离，根据“两点之间线段最短”得出结果． 【详解】 解：将半圆面展开可得：，， 在中，． 即滑行的最短距离为． 53．【答案】（1）切割线的长度为     （2）的周长为      【分析】 本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）运用勾股 定理可求出切割线的长度； （2）运用勾股定理求出的长，再求出切割后的周长即可． (1) 小问详解： 解：在中，，， ∴， 即切割线的长度为； (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的周长为． 54．【答案】 【分析】 本题考查了勾股定理，实数与数轴，根据勾股定理列式求出的长，即为的长，再根据数轴上的点的表示解答． 【详解】 解：由勾股定理得，， ∴， ∵点C表示的数是0， ∴点D表示的数是． 故答案为：． 55．【答案】（1）这个梯子的顶端A距地面有远     （2）梯子的底端在水平方向滑动了      【分析】 本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，本题中根据梯子长不会变的等量关系求解是解题的关键． （1）在直角三角形中，利用勾股定理即可求出的长即可； （2）首先求出的长，利用勾股定理可求出的长，进而得到的值． (1) 小问详解： 解：在中，由勾股定理得， 即， ∴， 答：这个梯子的顶端A距地面有远； (2) 小问详解： 解：∵梯子的顶端A下滑了至点D， ∴， 在中，由勾股定理得， 即 ∴， ∴ 答：梯子的底端在水平方向滑动了． 56．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）在中利用勾股定理直接计算即可； （2）由（1）得绳子的总长度为，得到，在中利用勾股定理求出，再利用线段和差即可解答． (1) 小问详解： 解：由题意得，，，， 在中，， ， ． 答：绳子的总长度为． (2) 小问详解： 解：如图， 由题意得，，， ， 由（1）得，绳子的总长度为， ， 在中，， ， ， 答：滑块向左滑动的距离为． 57．【答案】或6 【分析】 分两种情况：当点D在上时，当点D在延长线时，分别画出图形，利用勾股定理和折叠的性质，进行求解即可． 【详解】 解：当点D在上时，如图所示： 在中，， 由勾股定理得：， 由折叠性质得：，， ∴， 设，则， ∵， 在中，由勾股定理得：， ， 解得：， 即此时的长为； 当点D在延长线时，如图所示： 根据折叠可得：，， ∴， 设，则， ∵， ∴， 在中，根据勾股定理得：， ∴， 解得：， 即此时的长为6； 综上，的长为或6． 58．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查立体图形的平面展开图与最短路径问题，勾股定理，根据题意正确展开立体图形是解题关键． （1）圆柱的侧面展开图是矩形，用勾股定理计算即可； （2）题干没有规定不能从底面通过，因此可以有两种路径，分别按不同的方式展开，计算出结果后比较大小，得到答案． (1) 小问详解： 解：（1）将圆柱的侧面展开，如图所示： 连接AC，AC即为蚂蚁爬行的最短路程． ∵，， ∵， ∴， 在中，由勾股定理可得： ， ， ， 即：蚂蚁爬行的最短路径是． (2) 小问详解： 解：路径一：连接，即为蚂蚁爬行的一条路径． 如图所示： ∵， ∴， 在中，由勾股定理可得： ， ， ， 即：蚂蚁沿此路径爬行的路程是． 路径二：把圆柱按如图方式展开， 此时，蚂蚁由到点所爬行的距离为， ∵是圆柱上底面圆直径，底面圆周长为， ∴， ∴， 此时，蚂蚁沿此路径爬行的路程是， 比较两条路径的大小： ， ∵， ∴，即：， ∴，即：， 综上所述，选择路径二，蚂蚁爬行的最短路径是． 59．【答案】（1）1； （2），理由如下： 如解图① ，连接， 由旋转得：，， 是等腰直角三角形， ，， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 即； （3） 【分析】 本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握各知识点是解题的关键． （1）根据等腰直角三角形的性质得到，根据旋转的性质得到，即可； （2）如图2，根据旋转的性质得到，，根据等腰直角三角形的性质得到，，连接，根据全等三角形的性质得到，，根据勾股定理即可得到结论； （3）过点作，交于点．先证得，再通过全等三角形的性质以及面积的和差关系进行计算即可． 【详解】 解：（1），，， ， 将线段绕点逆时针旋转，得到线段， ， 故答案为：1． （2）略 （3）如解图② ，过点作，交于点． ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， 根据题意，得， ∴， ∴， ∴，即． 60．【答案】（1），3     （2）      【分析】 本题考查了折叠的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质以及勾股定理，掌握折叠是一种轴对称，折叠前后的图形对应角相等、对应边相等，灵活运用相关的性质是解题的关键． （1）根据勾股定理求出AP，根据，可得，，利用AAS即可证明，得到； （2）设，则，，在中，由勾股定理得，即． (1) 小问详解： 解：在长方形中，， 当点是的中点时， ， ， ， ，， 点是的中点， ， ， ， 故答案为：；3． (2) 小问详解： 解：， ． 由折叠可知， ． , 由折叠得，，， 设，则， ， 在中，， ， 解得， 即． 61．【答案】（1） 补全表中的勾股数如下：     （2） 解：根据表格信息可知，，，， 证明：∵，，， ∴， ∴；     （3）．      【分析】 本题考查了勾股数，数字规律，完全平方公式，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据表格中提供的数据可得答案； （）根据表格中规律可得，，，然后通过完全平方公式即可求解； （）设，由于最短边可种株花，则有，从而求出，，从而求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：设， ∵最短边可种株花， ∴， 由（）可得，， ∴该直角三角形上一共可以种植花（株）， 故答案为：． 62．【答案】（1）     （2）5     （3）      【分析】 本题考查勾股定理和勾股定理的逆定理，熟练掌握数形结合思想，正确构造直角三角形是解题的关键， （1）根据勾股定理即可求出斜边的长； （2）过点作，交延长线于点，先求出的长，再利用勾股定理求出的长即可； （3）根据题意构造图形，，，可将问题转化为求线段的最小值，过点作，交延长线于点，由勾股定理求得的值，从而得到代数式的最小值． (1) 小问详解： 解：由题可得：， ∵直角三角形的两条直角边长分别为6和8， ∴斜边长， 故答案为：； (2) 小问详解： 解：如图，过点作，交延长线于点， 则四边形是长方形， ，， ， 在直角三角形中，由勾股定理得：， 代数式的最小值为5； (3) 小问详解： 解：由题意，构造图形如图：（其中，点在线段上）， 在直角三角形中，由勾股定理得：， 在直角三角形中，由勾股定理得：， 的最小值为线段的长度， 过点作，交延长线于点， 则四边形是长方形， ，， ， 在直角三角形中，由勾股定理得：， 代数式的最小值为13； 63．【答案】（1）见解析；     （2）     （3）      【分析】 本题主要考查了证明勾股定理、勾股定理的应用等知识点，灵活利用面积法证明勾股定理是解题的关键． （1）先表示出三个图形的面积进行加减计算即可证明结论； （2）利用割补法求解即可； （3）运用勾股定理在和中求出，据此列出方程求解即可； (1) 小问详解： 证明：∵，，， ∵， ∴， ∴， ∴． (2) 小问详解： 解：设边上的高为x， ∵， ∴． (3) 小问详解： 解：在中，由勾股定理得： ∵， ∴， 在中，由勾股定理得 ∴，解得：． 考点02 勾股定理的逆定理及其应用 1．D 2．B 3．B 4．B 5．B 6．A 7．B 8．B 9．B 10．【答案】96． 【分析】 连接AC，根据勾股定理求出AC的长，再由勾股定理的逆定理判断出△ACD的形状，根据S四边形ABCD=S△ACD-S△ABC即可得出结论． 【详解】 解：连接AC， ∵AB=8，∠B=90°，BC=6， ∴AC= ． ∵CD=24，AD=26， ∴CD2=242=576，AD2=262=676，AC2=1002=100， ∴AC2+CD2=AD2， ∴△ACD是直角三角形， ∴S四边形ABCD=S△ACD-S△ABC = AC•CD- AB•BC =×10×24-×8×6 =120-24 =96． 答：这块土地的面积是96． 故答案为96． 【点睛】 本题考查勾股定理及勾股定理的逆定理，解题的关键是根据题意作出辅助线，构造出直角三角形． 11．【答案】（1）5     （2） △ BCD是直角三角形，理由如下： 解：∵在△ BCD中，CD=4，BD=3，BC=5， ∴， ∴△BCD是直角三角形．      【分析】 （1）根据勾股定理即可得； （2）根据勾股定理的逆定理即可得． (1) 小问详解： 解：∵Rt△ ABC中，∠BCA=90°，AC=12，AB=13， ∴BC= ==5； (2) 小问详解： 略 【点睛】 本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，解题的关键是掌握这些知识点． 12．【答案】18 【分析】 首先设AB为3xcm，BC为4xcm，AC为5xcm，利用方程求出三角形的三边，由勾股定理的逆定理得出三角形为直角三角形．再求出3秒后的，BP，BQ的长，利用三角形的面积公式计算求解． 【详解】 解：设AB为3xcm，BC为4xcm，AC为5xcm， ∵周长为36cm， 则AB+BC+AC＝36cm， ∴3x+4x+5x＝36， 解得x＝3， ∴AB＝9cm，BC＝12cm，AC＝15cm， ∵AB2+BC2＝AC2， ∴△ABC是直角三角形， 过3秒时，BP＝9﹣3×1＝6（cm），BQ＝2×3＝6（cm）， ∴S△PBQ＝BP•BQ＝×（9﹣3）×6＝18（cm2）． 故答案为：18． 【点睛】 此题主要考查了勾股定理逆定理、三角形的面积．由勾股定理的逆定理得出三角形为直角三角形，是解题的关键． 13．【答案】（1）的长度为     （2）共需花费元      【分析】 本题主要考查勾股定理及其逆定理的实际运用，掌握以上知识是解题的关键． （1）根据题意可知，在中，根据勾股定理即可求解； （2）运用勾股定理的逆定理判定是直角三角形，由此即可求解绿化空地的面积，由此即可求解． (1) 小问详解： 解：∵，，， ∴在中，， ∴的长度为． (2) 小问详解： 解：已知，，， ∴，，， ∴，即， ∴是直角三角形， ∴，， ∴空地的绿化的面积为， ∵平均每平方米空地的绿化费用为元， ∴绿化这片空地共需花费（元）， ∴共需花费元． 14．【答案】南偏东 【分析】 此题主要考查了勾股定理的逆定理的应用．直接得出海里，海里，海里，利用勾股定理逆定理以及方向角得出答案． 【详解】 解：由题意可得：海里，海里，海里， ∵， ∴是直角三角形， ∴， ∵甲舰艇沿北偏东方向航行， ∴， ∴乙舰艇的航行方向是南偏东． 故答案为：南偏东． 15．【答案】（1） 证明：,， ∴， ∴为直角三角形， ∴；     （2） 选用八（1）班方案，理由如下： 方案一所需水管长度为：（米）； 方案二所需水管长度如下： 由（1）得，且，由等面积法可得， （米）， （米）； ∵， ∴方案一所用的水管少， 故选用八（1）班方案．      【分析】 本题主要考查了勾股定理的逆定理，等面积法求线段的长度等内容，解题的关键是熟练掌握勾股定理的逆定理判定直角三角形． （1）利用勾股定理的逆定理进行判定即可； （2）利用等面积法求出线段的长度，分别将两个方案所需水管长度求出，然后进行比较选择即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 16．【答案】直角 【分析】 本题考查了勾股定理的逆定理，完全平方公式． 先根据完全平方公式将原式化为，进而根据勾股定理的逆定理作答即可． 【详解】 ∵ ∴， 即， ∴这个三角形是直角三角形． 故答案为：直角． 17．【答案】（1）10     （2） 证明：， ， ， ， ∴      【分析】 本题考查的是线段垂直平分线的性质、勾股定理的逆定理，熟记如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形是解题的关键． （1）连接EC，根据线段垂直平分线的性质得到，再根据勾股定理计算即可； （2）根据勾股定理的逆定理证明． (1) 小问详解： 解：如图，连接， 是的垂直平分线， ， 由勾股定理得：， ， 点E到点C之间的最短距离为10； (2) 小问详解： 略 18．【答案】（1）     （2）是直角三角形 点即为所求的格点， 【分析】 （1）利用勾股定理求出的长即可； （2）根据勾股定理画出线段，并根据勾股定理的逆定理判断的形状． (1) 小问详解： 解：由勾股定理可得：， 故答案为：； (2) 小问详解： 如图，由勾股定理可得：， 由勾股定理可得：， 则， ∴是直角三角形． 【点睛】 本题考查的是勾股定理，勾股定理的逆定理，掌握相关知识是解答此题的关键． 19．【答案】 【分析】 根据等边三角形的性质得到，于是可把绕点B逆时针旋转可得到，根据旋转的性质得到，，，可判断为等边三角形，则，在中，利用勾股定理的逆定理可得是以为斜边的直角三角形，则，再利用，最后作高线利用三角形的面积公式计算即可． 【详解】 解：∵为等边三角形， ∴， 如图，把绕点B逆时针旋转可得到，过点B作于E， ∴，，， ∴为等边三角形， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴是以为斜边的直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的面积， 故答案为：． 【点睛】 本题考查了旋转的性质、等边三角形的判定和性质和勾股定理的逆定理的应用，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键． 20．【答案】 【分析】 本题考查了勾股定理和勾股定理逆定理的应用等知识．连接，根据勾股定理求出，再根据勾股定理逆定理证明是直角三角形，得到， 利用割补法即可求出该田地的面积． 【详解】 解：连接， 在中，根据勾股定理，可得， ∵， ∴ ∴是直角三角形， ∴， ∴该田地的面积＝的面积-的面积 = 答：该田地的面积是． 21．【答案】（1）、之间的距离为     （2）四边形的面积是      【分析】 此题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理． （1）利用勾股定理即可求出答案； （2）利用勾股定理逆定理证明是直角三角形，根据直角三角形面积公式即可求出答案． (1) 小问详解： 解：连接， 在中，，由勾股定理得： 答：B、D之间的距离为 (2) 小问详解： 解：， 是直角三角形， ． 答：四边形的面积是 22．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理的应用，利用勾股定理求解是本题的突破点，也是难点．同时勾股定理逆定理也是本题的考查点之一． （1）利用含30度角的直角三角形的性质可得答案； （2）利用勾股定理逆定理判断出为直角三角形．根据进行计算即可． (1) 小问详解： 解：∵，，， ∴； (2) 小问详解： 解：∵， ， ∴，， ∴， ∴是直角三角形， ∴． ∵，， ∴， ∴=． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10 勾股定理 2大高频考点概览 考点01 勾股定理及其应用 考点02 勾股定理的逆定理及其应用 考点01 勾股定理及其应用 1．（25-26学年八上·贵州贵阳修文县·期中）下列各组数为勾股数的是（   ） A. 2，3，4 B. 3，4，5 C. 4，5，6 D. 5，6，7 【答案】B 【分析】 本题考查了勾股数的定义，勾股数是指三个正整数a、b、c（其中c最大），满足，直接计算各选项的平方和与最大数的平方是否相等即可判断． 【详解】 解：A、，不是勾股数，不符合题意； B、，是勾股数，符合题意； C、，不是勾股数，不符合题意； D、，不是勾股数，不符合题意； 故选：B． 2．（25-26学年八上·贵州贵阳第三十九中学·期中）如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形ABCD，中间阴影部分是一个小正方形EFGH，这样就组成一个“赵爽弦图”，若AB=10，AE=8，则正方形EFGH的面积为（       ） A. 4 B. 8 C. 12 D. 16 【答案】A 【分析】 利用勾股定理求得直角边的较短边，进一步根据正方形EFGH的面积=大正方形面积-4个直角三角形面积即可求得正方形EFGH的面积． 【详解】 解：直角三角形直角边的较短边为=6， 正方形EFGH的面积=10×10-8×6÷2×4=100-96=4． 故选：A． 【点睛】 此题主要考查了勾股定理的应用，熟练应用勾股定理是解题关键． 3．（25-26学年八上·贵州毕节第一中学·期中）如图，字母所代表的正方形的面积是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了勾股定理，由题意得，，然后根据勾股定理求出即可得到答案，掌握勾股定理的应用是解题的关键． 【详解】 解：如图，， 由题意得，，， ∴， ∴所代表的正方形的面积是， 故选：． 4．（25-26学年八上·贵州毕节织金县思源实验学校·期中）在下列四组数中，属于勾股数的是（       ） A. 1，2，3 B. 1，， C. 4，5，6 D. 5，12，13 【答案】D 【分析】 本题考查了勾股数的定义，熟练掌握勾股数的定义是解此题的关键．根据勾股数就是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，根据勾股数的定义逐项判断即可． 【详解】 解：A、，不能构成三角形，故本选项不符合题意； B、，不是整数，故不是勾股数，故本选项不符合题意； C、，故不是勾股数，故本选项不符合题意； D、，故是勾股数，故本选项符合题意， 故选：D． 5．（八上·贵州专用·期中）在中，，若，则的值是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了勾股定理，整体考虑是解题的关键．根据勾股定理求出的值，再加上的值即可． 【详解】 解：在中，，， ， ， 故选：D． 6．（25-26学年八上·贵州北京师范大学贵阳附属中学·期中）如图将一根长为的筷子，置于底面直径为，高为的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度为，则h的取值范围是（   ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了勾股定理的应用，由题意可得，将筷子垂直于水杯的底面放置，此时筷子露在杯子外面的长度最大，将筷子斜着放置，一端在水杯底面，一端在杯口边缘时，此时筷子在杯中的长度最长，筷子露在杯子外面的长度最小，结合勾股定理计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】 解：由题意可得，将筷子垂直于水杯的底面放置，此时筷子露在杯子外面的长度最大，即h的最大值为， 将筷子斜着放置，一端在水杯底面，一端在杯口边缘时，此时筷子在杯中的长度最长，筷子露在杯子外面的长度最小，即h的最小值为， ∴h的取值范围是， 故选：B． 7．（25-26学年八上·贵州贵阳修文县·期中）如图，分别以直角三角形的三边为边画三个正方形，较长两个正方形的面积分别为144和169，则最小正方形A的面积是（   ） A. 5 B. 12 C. 13 D. 25 【答案】D 【分析】 根据勾股定理和正方形的面积求解即可． 【详解】 解：根据图形，直角三角形的边长的平方刚好为对应正方形的面积， ∴直角三角形的斜边平方为169，一条直角边的平方为144， ∴另一条直角边的平方为， ∴最⼩正⽅形A的⾯积是25， 故选：D． 【点睛】 此题考查了勾股定理，关键是借助勾股定理将正方形的面积联系起来. 8．（25-26学年八上·贵州贵阳第三十九中学·期中）如图，圆柱形玻璃杯，高为，底面周长为，在杯内的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在蜂蜜相对的正上方的点处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了勾股定理的应用，将玻璃杯侧面展开，结合勾股定理计算即可得解，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】 解：将玻璃杯侧面展开如图所示： 由题意可得：，，， ∴， 故选：B． 9．（25-26学年八上·贵州六盘水·期中）底边长为，底边上的高为的等腰三角形的腰长为（   ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查等腰三角形的性质，等腰三角形的高也是等腰三角形的中线是解题的关键．根据等腰三角形底边上的高也是中线，将底边平分，形成两个全等的直角三角形，应用勾股定理即可计算腰长． 【详解】 解：等腰三角形底边上的高也是中线， 底边的一半为， 又高为， 腰长． 故选：C． 10．（25-26学年·贵州贵阳清镇培文学校·期中）下列数组中，能构成勾股数的是（     ） A. 1，1， B. 0.3，0.4，0.5 C. 5，12，13 D. ，， 【答案】C 【分析】 本题考查了勾股数的定义，根据三个数为都是正整数，且满足，进行逐项分析，即可作答． 【详解】 解：A、不是正整数，故该选项是错误的； B、0.3，0.4，0.5不是正整数，故该选项是错误的； C、5，12，13满足，故该选项是正确的； D、，，不是正整数，故该选项是错误的； 故选：C． 11．（25-26学年八上·贵州毕节金沙县·期中）《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，其《勾股》章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”翻译成数学问题：如图，在中，，，．若设，则可列方程（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型．领会数形结合思想的应用． 设，可知，再根据勾股定理即可得出结论． 【详解】 解：设， ∵， ∴． ∵在中，，， ∴，即． 故选：D． 12．（25-26学年八上·贵州毕节织金县思源实验学校·期中）直角三角形的两条直角边的长分别为6，8，则其斜边上的高为（       ） A. 6 B. 8 C. 12 D.  【答案】D 【分析】 根据等面积法计算即可； 【详解】 设斜边为c，斜边上的高为h， ∵直角三角形两条直角边的长分别为6，8， ∴， ∴， ∴； 故选：D． 【点睛】 本题主要考查了勾股定理的应用，结合等面积法计算是解题的关键． 13．（25-26学年八上·贵州贵阳·期中）如图，根据尺规作图痕迹，图中标注在点A处所表示的数为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查实数与数轴，勾股定理．先求出圆的半径，结合点A在表示1的数的左侧，即得出点A处所表示的数． 【详解】 解：根据勾股定理可得圆的半径为， ∴点A处所表示的数为． 故选：B． 14．（25-26学年八上·贵州贵阳·期中）如图是小英爸爸设置的手机手势密码图，已知左右、上下两个相邻密码点间的距离均为1，手指沿顺序解锁．按此手势解锁一次的路径长为（     ） A. 5 B.  C.  D. 6 【答案】C 【分析】 本题考查了两点间的距离，勾股定理. 由题意可得：，，由勾股定理求出，进而得出答案． 【详解】 解：如图所示：作， 由题意，得，， 在中，由勾股定理，得， ∴， 又∵，， ∴按手势解锁一次的路径长为：． 故选：C． 15．（25-26学年八上·贵州贵阳清镇广大实验学校·期中）如图，若正方形A，B的面积分别为25和16，则正方形C的面积为（       ） A. 9 B. 11 C. 36 D. 41 【答案】A 【分析】 本题考查了勾股定理在图形面积中的应用．熟记勾股定理是解题关键．设正方形A、B、C的边长分别为：，由勾股定理即可求解． 【详解】 解：设正方形A、B、C的边长分别为：， 由题意得：， ∴， 即正方形的面积为9． 故选：A． 16．（25-26学年八上·贵州贵阳清镇广大实验学校·期中）如图，数轴上一点A，表示，过点A作数轴的垂线，并在垂线上截取，连接，以点O为圆心，为半径作弧交x轴的负半轴于点D，则点D表示的数为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查勾股定理，实数与数轴，坐标与图形的性质，关键是由勾股定理求出的长．根据勾股定理求出的长，即可得答案． 【详解】 解：由题意可知，， 由勾股定理得到， ∴， 因为点D在x轴负半轴， 所以点D对应的实数为． 故选：B． 17．（25-26学年八上·贵州贵阳清镇广大实验学校·期中）如图，在中，，的平分线交于点D，若，则的面积是（       ） A. 30 B. 15 C. 20 D. 2 【答案】B 【分析】 本题考查了角平分线的性质，三角形面积公式，勾股定理，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键． 作于点，根据勾股定理得出，根据角平分线的性质得到，即可得到答案． 【详解】 解：如图，作于点， ∵，， ∴， ∵平分，， ∴， ∵， ∴， 故选： B． 18．（25-26学年八上·贵州毕节·期中）下列各组数据中是勾股数的是（     ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】C 【分析】 本题考查了勾股数的定义．如果三个正整数满足，则这三个正整数叫做勾股数，解决本题的关键是根据勾股数的定义进行判断． 【详解】 解：A选项：、、不是正整数， 、、不是勾股数，故A选项不符合题意 B选项：、、，，，， 、、不是勾股数，故B选项不符合题意； C选项：， 、、是勾股数，故C选项符合题意； D选项：、、不是正整数， 、、不是勾股数，故D选项不符合题意． 故选：C． 19．（八上·贵州专用·期中）如图，长方形纸片中，，，将此长方形纸片折叠，使点与点重合，点落在点的位置，折痕为，则的长度为(     ) A. 6 B. 10 C. 24 D. 48 【答案】B 【分析】 本题考查了勾股定理与折叠问题；由折叠可知，设利用勾股定理进行分析计算即可． 【详解】 解：由折叠可知， 设 由勾股定理可得， 即， 解得， ， 故选：B． 20．（八上·贵州专用·期中）下列说法中正确的是（     ） A. 已知，，是三角形的三边，则 B. 在直角三角形中，两边的平方和等于第三边的平方 C. ，，是一组勾股数 D. 在中，，所以 【答案】D 【分析】 本题考查了勾股定理、勾股数，根据勾股定理和勾股数的定义，逐项判断，即可求解． 【详解】 解：A、当，是直角三角形的两直角边，是直角三角形的斜边时，，故A选项说法错误； B、在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方，故B选项说法错误； C、勾股数指满足的三个正整数，，，，且，故C说法错误； D、在中，，所以，故D选项说法正确． 故选：D． 21．（25-26学年八上·贵州北京师范大学贵阳附属中学·期中）如图，图是东汉末年数学家刘徽根据“割补术”运用数形关系证明勾股定理时的青朱出入图，图中的两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等朱入与朱出的三角形全等，朱方与青方是两个正方形探究学习中，标上字母绘成图所示，若记朱方对应正方形的边长为，青方对应正方形的边长为，已知，，则图中的阴影部分面积为（    ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查了勾股定理的证明，解答本题的关键是熟练运用勾股定理解决问题． 根据题意所求阴影部分面积为，再根据所给条件求面积即可． 【详解】 解：如图， ，， 阴影部分面积， 朱方对应正方形的边长为，青方对应正方形的边长为， ，， 青出与青入的三角形全等， ， ， ， ， ，， ， 阴影部分面积 ， 故选：B． 22．（25-26学年八上·贵州贵阳修文县·期中）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，点的坐标是，，则点的坐标是（   ）． A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题主要考查了坐标与图形性质、等腰三角形的性质、勾股定理等知识点，能根据题意分别求出及的长是解题的关键． 如图：过点A作的垂线，垂足为M，分别求出及的长，再根据点A的位置确定其坐标即可． 【详解】 解：如图：过点A作的垂线，垂足为M， ，且， ， 又∵点的坐标是，点的坐标是， ， ， ∴点M的纵坐标为，则点A的纵坐标为7， 在中，，则，即点A的横坐标为4， ∴点A的坐标为． 故选：D． 23．（25-26学年八上·贵州贵阳修文县·期中）如图，已知，于点，点对应的数是，，那么数轴上点所表示的数是（   ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了实数与数轴，勾股定理，掌握勾股定理的应用是解题的关键． 利用勾股定理求出，进而根据点A的位置，即可求解． 【详解】 解：点对应的数是， ， ， ， 根据勾股定理，可得， ， 点A在数轴上对应的数是． 故选：A． 24．（25-26学年八上·贵州六盘水·期中）有一个圆柱体礼盒，高，底面周长为．现准备在礼盒表面粘贴彩带作为装饰，若彩带一端粘在A处，另一端绕礼盒侧面2周后粘贴在C处（B为的中点），则彩带最短为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 将圆柱展开后，可得绕礼盒侧面2周后彩带最短为； 【详解】 展开后图形是：    因为底面周长为，高，故， 故绕礼盒侧面2周后彩带最短为， 故答案为：D． 【点睛】 本题考查了勾股定理和平面展开-最短路线问题，关键是能理解题意知道求出那一条线段长，题目比较典型，是一道比较好的题目． 25．（25-26学年八上·贵州毕节金沙县·期中）如图，在中，，，延长至点，使，连接，点落在线段的垂直平分线上，则的面积为（     ） A.  B. 3 C.  D.  【答案】A 【分析】 该题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理，过点A作，根据，，得出，则，根据垂直平分线的性质得出，再根据勾股定理求出，即可求解． 【详解】 解：过点A作， ∵，， ∴， ∴， ∵点落在线段的垂直平分线上， ∴， ∴， ∴的面积， 故选：A． 26．（25-26学年八上·贵州毕节织金县思源实验学校·期中）我国是最早了解勾股定理的国家之一，据《周髀算经》记载，勾股定理的公式与证明是在商代由商高发现的，故又称之为“商高定理”．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查勾股定理的证明方法，熟练掌握内弦图、外弦图是解题关键．根据基础图形的面积公式表示出各个选项的面积，同时根据割补的思想可以写出另外一种面积表示方法，即可得出一个等式，进而可判断能否证明勾股定理． 【详解】 解：A、大正方形的面积为：，也可看作是个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：， ，故该选项能证明勾股定理； B、大正方形的面积为：；也可看作是个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：， ， ，故该选项能证明勾股定理； C、大正方形的面积为：；也可看作是个矩形和个小正方形组成，则其面积为：， ， 故该选项不能证明勾股定理； D、梯形的面积为：，也可看作是个直角三角形和一个等腰直角三角形组成，则其面积为：， ， ，故该选项能证明勾股定理； 故选：C． 27．（25-26学年八上·贵州贵阳·期中）在勾股定理的证明中，小云用与全等的三角形拼出了如图所示的弦图，若正方形的面积为16，正方形的面积为4，则线段的长为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题主要考查了勾股定理、正方形的性质、二元一次方程组的应用等知识点，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 设，根据正方形的性质得到，然后根据勾股定理列方程组求得a、b，最后根据勾股定理求解即可． 【详解】 解：设， ∵正方形的面积为16，正方形的面积为4， ∴， 由题意可得： ，解得： ， ∴． 故选：C． 28．（25-26学年八上·贵州贵阳第十九中学·期中）如图，在中，．以，两边为边分别向外作正方形，它们的面积分别为，若，则的值为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查的是勾股定理，熟练掌握勾股定理与正方形面积的关系是解题的关键．根据正方形面积与边长的关系，结合勾股定理，推导出与的关系，进而求出结果． 【详解】 解：由正方形面积公式可得，， ， 又， ． 故选：． 29．（25-26学年八上·贵州贵阳清镇广大实验学校·期中）如图所示，有一个长、宽各米，高为米且封闭的长方体纸盒，一只昆虫从顶点要爬到顶点，那么这只昆虫爬行的最短路程为（    ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】C 【分析】 本题考查了勾股定理的应用，正确画出三个路径的示意图是解题关键． 分别画出三个路径的示意图，利用勾股定理求出路程，再从中找出最短路程即可． 【详解】 解：由题意得， 沿正面和下面的对角线时： 米； 沿正面和左面的对角线时： 米； 沿左面和下面的对角线时： 米； 米米， 米为最短路径． 故选：C． 30．（25-26学年八上·贵州毕节第一中学·期中）如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D在BC上，BD=6，DC=2，点P是AB上的动点，则PC+PD的最小值为（　　） A. 8 B. 10 C. 12 D. 14 【答案】B 【分析】 过点C作CO⊥AB于O，延长CO到C′，使OC′＝OC，连接DC′，交AB于P，连接CP，此时DP＋CP＝DP＋PC′＝DC′的值最小．由DC＝2，BD＝6，得到BC＝8，连接BC′，由对称性可知∠C′BA＝∠CBA＝45°，于是得到∠CBC′＝90°，然后根据勾股定理即可得到结论． 【详解】 解：过点C作CO⊥AB于O，延长CO到C′，使OC′＝OC，连接DC′，交AB于P，连接CP． 此时DP＋CP＝DP＋PC′＝DC′的值最小． ∵DC＝2，BD＝6， ∴BC＝8， 连接BC′，由对称性可知∠C′BA＝∠CBA＝45°， ∴∠CBC′＝90°， ∴BC′⊥BC，∠BCC′＝∠BC′C＝45°， ∴BC＝BC′＝8， 根据勾股定理可得DC′＝． 故选：B． 【点睛】 此题考查了轴对称﹣线路最短的问题，确定动点P为何位置时 PC＋PD的值最小是解题的关键． 31．（25-26学年八上·贵州毕节织金县思源实验学校·期中）如图，将一张长方形纸片折叠，使得点的对应点落在上，折痕与交于点．若，则的长为（　　） A. 8 B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题主要考查了折叠的性质、勾股定理等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． 根据长方形的性质可得，根据折叠的性质可得，，再运用勾股定理可得，进而得到；设，则，根据勾股定理列方程可得，即，最后再运用勾股定理求的长即可． 【详解】 解：∵长方形纸片， ∴， ∵将一张长方形纸片折叠，使得点的对应点落在上，折痕与交于点， ∴，， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴，解得：，即， ∴． 故选C． 32．（25-26学年八上·贵州毕节·期中）如图，将矩形沿直线折叠，顶点D恰好落在边上点F处，已知，，则图中阴影部分的面积为（　　） A. 20 B. 24 C. 28 D. 30 【答案】D 【分析】 根据矩形对边相等四角都是直角，折叠对应线段相等，得到，根据勾股定理得到， ，推出，根据三角形面积公式即得答案． 【详解】 解：设， ∵矩形中， ，且， ∴， ∵，， 由折叠的性质知，， ∴， ∴ ∵，， ∴， 解得，， ∴，， ∴ ． 故选：D． 【点睛】 本题主要考查了矩形，折叠，勾股定理．解决问题的关键是熟练掌握矩形的边角性质，折叠图形全等性质，勾股定理解直角三角形，三角形的面积公式． 33．（25-26学年八上·贵州毕节第一中学·期中）在中，三边分别是，，，斜边，则的值为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了勾股定理的运用，据此得到，即可作答． 【详解】 解：依题意， 因为在中，三边分别是，，，斜边， 所以， 那么， 故答案为：． 34．（25-26学年八上·贵州贵阳修文县·期中）一个零件的平面图如图所示：其中，，，．则四边形的周长为　　　　　　． 【答案】32 【分析】 本题考查了勾股定理，利用勾股定理分别求出和的长，再利用四边形的周长公式即可求解． 【详解】 解：∵，，， ∴， ∵，，， ∴， ∴四边形的周长． 故答案为：32． 35．（25-26学年八上·贵州贵阳第三十九中学·期中）如图，已知，点到数轴的距离为1，那么数轴上点所表示的数为　　　　　　. 【答案】 【分析】 本题考查了勾股定理与无理数； 利用勾股定理求出，然后根据数轴可得答案． 【详解】 解：由题意得：， ∴数轴上点所表示的数为， 故答案为：． 36．（25-26学年八上·贵州毕节金沙县·期中）如图，在中，，于． （1）若，，求的长度． （2）设，，，判断之间的关系，并说明理由 【答案】（1）     （2） 关系为；理由如下： ∵在中，，， ∴均为直角三角形； 则，，， ∵，，，则， ∴， 展开并化简：， ∴．      【分析】 本题考查勾股定理、运用方程思想，关键是对三个直角三角形分别应用勾股定理并联立方程，易错点为勾股定理应用时直角边与斜边识别错误; （1）先勾股定理求，再面积法求； （2）对、、分别用勾股定理，联立方程推导关系． (1) 小问详解： 解：∵在中，，，， ∴； ∵， ∴， 即， 解得； (2) 小问详解： 略 37．（25-26学年八上·贵州毕节织金县思源实验学校·期中）小彬用打印机制作了一个底面周长为，高为的圆柱状粮仓模型，如图所示，现要在此模型的侧面从点A出发到点B处贴一条彩色装饰带，则装饰带的长度最短为　　　　　． 【答案】15 【分析】 本题考查圆柱的侧面展开图、利用勾股定理求解最短路径问题，先画出圆柱的侧面展开图，再根据勾股定理求解即可． 【详解】 解：如图，圆柱侧面展开图为长方形，连接，则的长为装饰带的最短长度， 在中，，，， ∴， ∴装饰带的长度最短为． 故答案为：15． 38．（25-26学年八上·贵州毕节织金县思源实验学校·期中）树人学校为防止雨天地滑，在一段楼梯台阶上铺上一块地毯，将楼梯台阶完全盖住．已知楼梯台阶侧面图如图所示，，，． （1）求的长； （2）若已知楼梯宽，每平方米地毯35元，需要花费多少钱地毯才能铺满所有台阶．（假设地毯在铺的过程中没有损耗） 【答案】（1）的长为     （2）需要花费686元地毯才能铺满所有台阶      【分析】 本题考查了勾股定理的应用． （1）由勾股定理列式计算即可； （2）由长方形面积公式计算即可． (1) 小问详解： 解：∵，，， 在中，由勾股定理得：， 答：的长为； (2) 小问详解： 解：地毯长为：， 已知楼梯宽，每平方米地毯35元， ∴地毯的面积为， ∴需要花费（元）， 答：需要花费686元地毯才能铺满所有台阶． 39．（25-26学年八上·贵州贵阳·期中）能构成一个直角三角形三边长的一组正整数，称为勾股数．请你写出一组都是两位数的勾股数：　　　　　　　　． 【答案】，，（答案不唯一） 【分析】 本题考查了勾股数．满足的三个正整数，称为勾股数解答即可． 【详解】 解：∵， ∴，，是一组勾股数； 故答案为：，，． 40．（25-26学年八上·贵州北京师范大学贵阳附属中学·期中）已知长方形，，，Q为射线上的一个动点，将沿直线翻折至的位置（点B落在点处）． （1）如图1，连接，当点落在上时， ______； （2）如图2，当点Q与点A重合时，与交于点E，求重叠部分（阴影）的面积； （3）当直线经过点D时，求的长． 【答案】（1）     （2）     （3）2或8      【分析】 本题主要考查了折叠的性质、勾股定理、等边对等角等知识点，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． （1）由勾股定理可求的长，由折叠的性质可得，即可求解； （2）由平行线的性质和折叠的性质可证，由勾股定理可求的长，即可求解； （3）分在线段上和点D在线段上两种情况讨论，由折叠的性质可得，，，由勾股定理可求，由勾股定理可求的长． (1) 小问详解： 解：，， ， ∵将沿直线翻折至的位置（点B落在点处）． ， ， 故答案为：； (2) 小问详解： 解：， ， ∵将沿直线翻折至的位置（点B落在点处）． ， ， ， ， ， ， ∴重叠部分（阴影）的面积； (3) 小问详解： 解：当在线段上时， 将沿直线翻折至的位置， ，，， ， ， ，即：，解得：； 当点D在线段上时， ∵将沿直线翻折至的位置， ，，， ， ， ， ， ； 综上所述：的长为2或8． 41．（25-26学年八上·贵州北京师范大学贵阳附属中学·期中）如图，直角三角形在数轴上，，，，点在数轴上的处，以点为圆心，以为半径画弧，交数轴于点，则点对应的数是　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查勾股定理，实数与数轴，根据勾股定理求出的长，进而得到的长，然后根据两点间的距离求出点对应的数即可． 【详解】 解：∵，，， ∴， 由作图可知：， ∴点表示的数为； 故答案为： 42．（25-26学年八上·贵州贵阳修文县·期中）在一次手工活动中，小明将长方形纸片进行翻折，使点落在边的点处，折痕为，已知，，请你帮小明求出线段的长． 【答案】 【分析】 本题考查了勾股定理与折叠问题，解题的关键是熟练掌握折叠的不变性． 由折叠得到，，然后对运用勾股定理求解，然后设为，即可表示，最后对运用勾股定理建立方程求解． 【详解】 解：由折叠可知：， 因为是长方形， 所以， 在中， 则：，解得（负值舍去） 因为长方形中，， 所以 在中，设为，则为， 由折叠知： 因为， ， 解得 即长为． 43．（25-26学年八上·贵州贵阳修文县·期中）如图在四边形中，，，，，连接时恰好． （1）判断的形状，并说明理由； （2）求四边形的面积． 【答案】（1） 为直角三角形，理由如下： 在中，， ∵在中，，，，且， ∴，即为直角三角形．     （2）      【分析】 本题主要考查了勾股定理、勾股定理的逆定理、不规则图形面积等知识点，将不规则图形的面积转化为规则图形的面积是解题的关键． （1）在中，由勾股定理可得；在中，运用勾股定理可得，据此即可判断为直角三角形； （2）先分别计算两个三角形的面积，将四边形的面积转化为和的面积之和，据此即可解答． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解： ∵为直角三角形， ∴， 所以四边形的面积． 44．（25-26学年八上·贵州贵阳修文县·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知，． （1）在平面直角坐标系中标出点的位置，并写出点关于轴对称点的坐标______； （2）连接和，求的周长． 【答案】（1） 如图：在图中标出点．      （2）      【分析】 本题主要考查了平面直角坐标系内找对称点、勾股定理求线段长度、三角形周长等知识点，正确作图是解题的关键． （1）直接标出点B的位置即可；再根据关于y轴对称点的纵坐标不变，横坐标变为相反数即可确定点C的坐标； （2）先画图，再根据勾股定理求得、、，然后求和即可． (1) 小问详解： 解：∵点关于轴对称点， ∴点的坐标． (2) 小问详解： 解：如图：连接、和得出， 则，，， 所以的周长． 45．（25-26学年八上·贵州贵阳第三十九中学·期中）在中，，，，、分别是斜边和直角边上的点，把沿着直线折叠，顶点的对应点是点． （1）如图1，在中，______； （2）如图1，如果点和顶点重合，求的长； （3）如图2，如果点落在直角边的中点上，连接与直线交于点，画出点并求出的长． 【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 本题考查了勾股定理、折叠的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）利用勾股定理计算即可得解； （2）由折叠的性质可得，设，则，再由勾股定理计算即可得解； （3）由题意可得，由勾股定理可得，由折叠的性质可得，，，设，则，由勾股定理可得，从而得出，再由勾股定理计算即可得解． (1) 小问详解： 解：∵在中，，，， ∴； (2) 小问详解： 解：由折叠的性质可得：， 设，则， 由勾股定理可得：， ∴， 解得：， ∴； (3) 小问详解： 解：如图：点即为所作， ， ∵点落在直角边的中点上， ∴， ∴， 由折叠的性质可得：，，， 设，则， 由勾股定理可得：， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴． 46．（25-26学年八上·贵州毕节金沙县·期中）如图，是一个由3个白色的直角三角形和7个深色的正方形构成的“勾股树”，若所有正方形的面积之和是，则正方形的面积是　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了“勾股树”---勾股定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理与面积之间的转化． 由勾股定理得，，，，则，，，然后进行面积代换相加求解即可． 【详解】 解：如图， 由勾股定理得，，， ∴，，， ∴， ∵， ∴ ∴， 解得 故答案为：4． 47．（25-26学年八上·贵州毕节金沙县·期中）【探索】（1）如图1，，请你利用梯形的面积等于三个直角三角形的面积之和验证勾股定理． 【应用】（2）如图2，表示一条铁路，是两个城市，它们到铁路所在直线的垂直距离分别为千米，千米，且千米．现要在之间建一个中转站，求中转站应建在离点多少千米处时，才能使它到两个城市的距离相等？ 【拓展】（3）在劳动课上，老师请同学们在一张长为，宽为的长方形纸板上剪下一个腰长为的等腰三角形（要求等腰三角形的一个顶点与长方形的一个顶点重合，其余两个顶点在长方形的边上）．请你帮助同学们设计出三个不同类型的、你认为符合条件的等腰三角形（在图3中画出示意图），并分别计算三个等腰三角形的面积（位置不同，形状相同的将视为一种结果） 【答案】（1）解：梯形的面积为 ， ， 所以； （2）中转站应建在离点37.5千米处； （3）示意图如图： 三个等腰三角形的面积分别为、和 【分析】 本题考查了勾股定理，勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）根据梯形的面积公式和三角形的面积公式即可验证； （2）设千米，则千米，根据勾股定理列出方程，求出的值即可得到结论； （3）根据题意画出符合题意的等腰三角形，再利用勾股定理和三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】 解：（1）略 （2）设千米，则千米， 由题意，得，即， 由勾股定理，得，， 所以， 解得 所以中转站应建在离点37.5千米处； （3）① 如图1，，等腰三角形的面积； ② 如图2，由题意，得， 由勾股定理，得， 所以等腰三角形的面积 ③ 如图3，， 由题意，得， 由勾股定理，得， 所以等腰三角形的面积， 综上所述，三个等腰三角形的面积分别为、和． 48．（25-26学年八上·贵州毕节织金县思源实验学校·期中）清代扬州数学家罗士琳痴迷于勾股定理的研究，提出了推算勾股数的“罗士琳法则”．法则的提出，不仅简化了勾股数的生成过程，也体现了中国传统数学在数论领域的贡献．由此法则写出了下列几组勾股数：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；……根据上述规律，写出第⑤组勾股数为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查勾股定理，数字类规律探究，观察可知，每组勾股数的第一个数字为奇数，后面两个数字为两个连续的整数，得到第⑤组勾股数的第1个数为11，设第2个数为，则第3个数为，根据勾股定理列出方程进行求解． 【详解】 解：由题意，第⑤组勾股数的第1个数为11，设第2个数为，则第3个数为， 由勾股定理，得：， 解得：， ∴； ∴第⑤ 组勾股数为； 故答案为：． 49．（25-26学年八上·贵州毕节织金县思源实验学校·期中）如图，一根长为的梯子斜靠在垂直于地面的墙上，这时梯子的底端B点离墙根E点的距离为，如果梯子的底端向外（远离墙根方向）移动到D点处，试求梯子的顶端将沿墙向下移动的距离为多少？ 【答案】 【分析】 本题主要考查了勾股定理的实际应用，根据题意可得，，，，由勾股定理求出，的长，即可求解． 【详解】 解：由题意得，，，，， ， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ， 答：梯子的顶端将沿墙向下移动的距离为． 50．（25-26学年八上·贵州贵阳·期中）某校八年级学生准备测量校园人工湖的深度，他们在保证安全的情况下把一根竹竿AB垂直插到离湖边3dm的水底（即），只见竹竿高出水面OC的距离，把竹竿的顶端拉向湖边（底端不变），竿顶A和湖沿的水面C处平齐（即），求湖水的深度OB和竹竿AB的长． 【答案】湖水的深度OB为4dm，竹竿AB的长为5dm ． 【分析】 设湖水的深度OB=h dm，则竹竿AB的长为( h+1) dm，再根据勾股定理求出h的值即可． 【详解】 解∶设湖水的深度OB=h dm，则竹竿AB的长为( h+1) dm， 在Rt△BOC中， ∵OB=h dm， BC= ( h+1) dm， CO=3dm， ∴32+h2= (h+1)2， 解得h=4， ∴h+1=5． 答∶湖水的深度OB为4dm，竹竿AB的长为5dm ． 【点睛】 本题考查的是勾股定理的应用，根据勾股定理构造方程是解题的关键． 51．（25-26学年八上·贵州贵阳·期中）如图，，，，，点在轴上，满足，则点的坐标为　　　　　　　　　　 【答案】或 【分析】 根据条件易得，，，轴，轴，因为，所以是角平分线，再根据可知是等腰直角三角形，则当点和点重合时，此时，当点不与重合时，连接过D作于H，利用角平分线的性质与勾股定理可得答案． 【详解】 解：由题意可得：，，，轴，轴， 如图，连接， ∵，，轴， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∴当点与点重合时有，此时点的坐标为， 当点不与重合时，如图，连接，过作于，     ∵，， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设，则，， 根据勾股定理可得：即， 解得：， ∴点的坐标为， 综上所述：点的坐标为或， 故答案为：或 【点睛】 本题考查等腰直角三角形的性质，角平分线的性质，平面直角坐标系内点的坐标特点，勾股定理等，掌握相关知识点是解题的关键． 52．（25-26学年八上·贵州贵阳第十九中学·期中）如图，这是一个供滑板爱好者使用的形池，该形池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，截面中可供滑行部分的半圆弧长为，边缘（边缘的宽度忽略不计），点在上，．一滑板爱好者从点滑到点，请画出形池滑行面的展开图，并求出他滑行的最短距离． 【答案】其侧面展开图如图： 滑行的最短距离为 【分析】 本题考查的是平面展开-最短路径问题，先将该U形池的侧面展开，要求滑行的最短距离，根据“两点之间线段最短”得出结果． 【详解】 解：将半圆面展开可得：，， 在中，． 即滑行的最短距离为． 53．（25-26学年八上·贵州贵阳第十九中学·期中）某学校组织学生到工厂劳动实践，学习制作机械零件、如图，这是某三角形零件的示意图，现准备沿将该零件切割成和两部分，，，，． （1）求切割线的长度；（结果保留根号） （2）求切割后的周长．（结果保留根号） 【答案】（1）切割线的长度为     （2）的周长为      【分析】 本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）运用勾股 定理可求出切割线的长度； （2）运用勾股定理求出的长，再求出切割后的周长即可． (1) 小问详解： 解：在中，，， ∴， 即切割线的长度为； (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的周长为． 54．（25-26学年八上·贵州贵阳第十九中学·期中）如图，已知中，，以点为圆心，长为半径画弧，交数轴于点，则点表示的数为　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了勾股定理，实数与数轴，根据勾股定理列式求出的长，即为的长，再根据数轴上的点的表示解答． 【详解】 解：由勾股定理得，， ∴， ∵点C表示的数是0， ∴点D表示的数是． 故答案为：． 55．（25-26学年八上·贵州贵阳清镇广大实验学校·期中）如图，一架25米长的云梯斜靠一面竖直的墙上，这时梯子底端C离墙7米． （1）这个梯子的顶端A距离地面多远？ （2）如果梯子的顶端A下滑了4米，那么梯子底端C在水平方向滑动了多少米？ 【答案】（1）这个梯子的顶端A距地面有远     （2）梯子的底端在水平方向滑动了      【分析】 本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，本题中根据梯子长不会变的等量关系求解是解题的关键． （1）在直角三角形中，利用勾股定理即可求出的长即可； （2）首先求出的长，利用勾股定理可求出的长，进而得到的值． (1) 小问详解： 解：在中，由勾股定理得， 即， ∴， 答：这个梯子的顶端A距地面有远； (2) 小问详解： 解：∵梯子的顶端A下滑了至点D， ∴， 在中，由勾股定理得， 即 ∴， ∴ 答：梯子的底端在水平方向滑动了． 56．（25-26学年八上·贵州六盘水·期中）物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮．一端拴在滑块上，另一端拴在物体上，滑块放置在水平地面的直轨道上，通过滑块的左右滑动来调节物体的升降．实验初始状态如图1所示，物体静止在直轨道上，物体到滑块的水平距离是，物体到定滑轮的垂直距离是．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计） （1）求绳子的总长度； （2）如图2，若物体升高，求滑块向左滑动的距离． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）在中利用勾股定理直接计算即可； （2）由（1）得绳子的总长度为，得到，在中利用勾股定理求出，再利用线段和差即可解答． (1) 小问详解： 解：由题意得，，，， 在中，， ， ． 答：绳子的总长度为． (2) 小问详解： 解：如图， 由题意得，，， ， 由（1）得，绳子的总长度为， ， 在中，， ， ， 答：滑块向左滑动的距离为． 57．（25-26学年八上·贵州北京师范大学贵阳附属中学·期中）如图，在直角三角形中，，，，D为直线上一个动点，连接．将沿折叠，若点A恰好落在直线上的点E处，连接，则的长为　　　　　　　　　　． 【答案】或6 【分析】 分两种情况：当点D在上时，当点D在延长线时，分别画出图形，利用勾股定理和折叠的性质，进行求解即可． 【详解】 解：当点D在上时，如图所示： 在中，， 由勾股定理得：， 由折叠性质得：，， ∴， 设，则， ∵， 在中，由勾股定理得：， ， 解得：， 即此时的长为； 当点D在延长线时，如图所示： 根据折叠可得：，， ∴， 设，则， ∵， ∴， 在中，根据勾股定理得：， ∴， 解得：， 即此时的长为6； 综上，的长为或6． 58．（25-26学年八上·贵州贵阳修文县·期中）如图，圆柱的高为，底面圆周长为，在圆柱下底面的点处有一只蚂蚁，它想吃到与点相对、离下底面的点处（圆柱外表面）的食物． （1）蚂蚁不能从下底面通过时，求蚂蚁从点爬到点时的最短路径； （2）另一只蚂蚁在点处，求蚂蚁从点爬到点时的最短路径． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查立体图形的平面展开图与最短路径问题，勾股定理，根据题意正确展开立体图形是解题关键． （1）圆柱的侧面展开图是矩形，用勾股定理计算即可； （2）题干没有规定不能从底面通过，因此可以有两种路径，分别按不同的方式展开，计算出结果后比较大小，得到答案． (1) 小问详解： 解：（1）将圆柱的侧面展开，如图所示： 连接AC，AC即为蚂蚁爬行的最短路程． ∵，， ∵， ∴， 在中，由勾股定理可得： ， ， ， 即：蚂蚁爬行的最短路径是． (2) 小问详解： 解：路径一：连接，即为蚂蚁爬行的一条路径． 如图所示： ∵， ∴， 在中，由勾股定理可得： ， ， ， 即：蚂蚁沿此路径爬行的路程是． 路径二：把圆柱按如图方式展开， 此时，蚂蚁由到点所爬行的距离为， ∵是圆柱上底面圆直径，底面圆周长为， ∴， ∴， 此时，蚂蚁沿此路径爬行的路程是， 比较两条路径的大小： ， ∵， ∴，即：， ∴，即：， 综上所述，选择路径二，蚂蚁爬行的最短路径是． 59．（25-26学年八上·贵州六盘水·期中）如图，是等腰直角三角形，，是直线上一动点，连接，以为腰作等腰直角． 【初步尝试】（1）如图①，点在线段上，当时，若，则___________； 【探究发现】（2）如图②，若点在线段的延长线上，试判断，和之间的数量关系，并说明理由； 【拓展延伸】（3）如图③，当点在线段上时，连接，若，求的值． 【答案】（1）1； （2），理由如下： 如解图① ，连接， 由旋转得：，， 是等腰直角三角形， ，， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 即； （3） 【分析】 本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握各知识点是解题的关键． （1）根据等腰直角三角形的性质得到，根据旋转的性质得到，即可； （2）如图2，根据旋转的性质得到，，根据等腰直角三角形的性质得到，，连接，根据全等三角形的性质得到，，根据勾股定理即可得到结论； （3）过点作，交于点．先证得，再通过全等三角形的性质以及面积的和差关系进行计算即可． 【详解】 解：（1），，， ， 将线段绕点逆时针旋转，得到线段， ， 故答案为：1． （2）略 （3）如解图② ，过点作，交于点． ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， 根据题意，得， ∴， ∴， ∴，即． 60．（25-26学年八上·贵州毕节第一中学·期中）如图，长方形中，，，，，，点P在边上（不含端点B，C），直线与的延长线交于点E． （1）当点P是的中点时，的长为_______，的长为_______； （2）将沿直线折叠得到，点落在长方形的内部，延长交直线于点F．在（1）的条件下，求出的长；（小陈不完整的求解过程如下，请你帮他补充完整．）（只需在答题卡对应区域写出剩余求解过程） 解：，．由折叠可知，．．…… 【答案】（1），3     （2）      【分析】 本题考查了折叠的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质以及勾股定理，掌握折叠是一种轴对称，折叠前后的图形对应角相等、对应边相等，灵活运用相关的性质是解题的关键． （1）根据勾股定理求出AP，根据，可得，，利用AAS即可证明，得到； （2）设，则，，在中，由勾股定理得，即． (1) 小问详解： 解：在长方形中，， 当点是的中点时， ， ， ， ，， 点是的中点， ， ， ， 故答案为：；3． (2) 小问详解： 解：， ． 由折叠可知， ． , 由折叠得，，， 设，则， ， 在中，， ， 解得， 即． 61．（25-26学年八上·贵州毕节织金县思源实验学校·期中）综合与探究 定义：一般地，若直角三角形三边长都是正整数，那么称为勾股数． 设是两个正整数，且，直角三角形三边长都是正整数．下表中的，，（均小于）可以组成一些有规律的勾股数． ________ _________ ________ （1）请补全表中的勾股数． （2）对表中的数据探究发现，，继续探究发现和也可以用含的代数式表示．请你用含的代数式分别表示，然后证明． （3）某校计划在一块绿地画出一个直角三角形（如图），该直角三角形三边长为米、米、米，且满足上表规律．要求仅在该直角三角形边上种花，且每个顶点处都种一株花，各边上相邻两株花之间的距离均为米．如果最短边可种株花，那么该直角三角形上一共可以种植_______株花． 【答案】（1） 补全表中的勾股数如下：     （2） 解：根据表格信息可知，，，， 证明：∵，，， ∴， ∴；     （3）．      【分析】 本题考查了勾股数，数字规律，完全平方公式，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据表格中提供的数据可得答案； （）根据表格中规律可得，，，然后通过完全平方公式即可求解； （）设，由于最短边可种株花，则有，从而求出，，从而求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：设， ∵最短边可种株花， ∴， 由（）可得，， ∴该直角三角形上一共可以种植花（株）， 故答案为：． 62．（25-26学年八上·贵州铜仁碧江区·期中）材料一：毕达哥拉斯（）是古希腊数学家和哲学家，他提出的勾股定理（又称毕达哥拉斯定理）是几何学中的基本定理之一．该定理指出：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方．如一个直角三角形的两条直角边长分别为、，斜边长为，则满足公式：．如图1，在直角三角形中，直角边，，斜边的长为：． 材料二：“数形结合”是一种重要的数学思想，通过数和形之间的对应关系和相互转化可以解决很多抽象的数学问题.学习二次根式时，老师给同学们布置一道思考题：求代数式的最小值．小华同学发现可看作两直角边分别为和1的直角三角形的斜边长，可看作两直角边分别是和2的直角三角形的斜边长.于是构造出如图2所示来求解，将问题转化为：在上移动（不包括和两点），若，，求线段的最小值，进而得的最小值为线段的长度（依据是两点之间线段最短）． 请仔细阅读上面材料，然后用“数形结合”思想解决下列问题： （1）如果一个直角三角形的两条直角边长分别为6和8，则其斜边长为：_____； （2）在图2中构造直角三角形，求出代数式的最小值； （3）若均为正数，且，运用数形结合的方法求代数式的最小值． 【答案】（1）     （2）5     （3）      【分析】 本题考查勾股定理和勾股定理的逆定理，熟练掌握数形结合思想，正确构造直角三角形是解题的关键， （1）根据勾股定理即可求出斜边的长； （2）过点作，交延长线于点，先求出的长，再利用勾股定理求出的长即可； （3）根据题意构造图形，，，可将问题转化为求线段的最小值，过点作，交延长线于点，由勾股定理求得的值，从而得到代数式的最小值． (1) 小问详解： 解：由题可得：， ∵直角三角形的两条直角边长分别为6和8， ∴斜边长， 故答案为：； (2) 小问详解： 解：如图，过点作，交延长线于点， 则四边形是长方形， ，， ， 在直角三角形中，由勾股定理得：， 代数式的最小值为5； (3) 小问详解： 解：由题意，构造图形如图：（其中，点在线段上）， 在直角三角形中，由勾股定理得：， 在直角三角形中，由勾股定理得：， 的最小值为线段的长度， 过点作，交延长线于点， 则四边形是长方形， ，， ， 在直角三角形中，由勾股定理得：， 代数式的最小值为13； 63．（25-26学年八上·贵州毕节·期中）综合与实践 【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力 ．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全 等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得 到等式 ，化简便得到结论．这里用两种求法来表示同一个量 从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法” 【方法运用】千百年来，人们对勾股定理的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数 学爱好者．向常春在2010年构造发现了一个新的证法：把两个全等的直角三角形和如图2放置，其三边长分别为a，b，c，，显然． （1）请 用a，b，c分别表示出四边形，梯形，的面积，再探究这三个图 形面积之间的关系，证明勾股定理． （2）【方法迁移】请利用“双求法”解决下面的问题：如图3，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得，   则边上的高为_______； （3）如图4，在中，是边上的高，，求的长． 【答案】（1）见解析；     （2）     （3）      【分析】 本题主要考查了证明勾股定理、勾股定理的应用等知识点，灵活利用面积法证明勾股定理是解题的关键． （1）先表示出三个图形的面积进行加减计算即可证明结论； （2）利用割补法求解即可； （3）运用勾股定理在和中求出，据此列出方程求解即可； (1) 小问详解： 证明：∵，，， ∵， ∴， ∴， ∴． (2) 小问详解： 解：设边上的高为x， ∵， ∴． (3) 小问详解： 解：在中，由勾股定理得： ∵， ∴， 在中，由勾股定理得 ∴，解得：． 考点02 勾股定理的逆定理及其应用 1．（25-26学年八上·贵州毕节第一中学·期中）下列各组数据中，能构成直角三角形的三边边长是（ ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 分别计算较短的两边的平方和，最长边的平方，再按照勾股定理的逆定理逐一判断即可． 【详解】 解：由 故A不符合题意； 由 故B不符合题意； 由 故不C符合题意； 由 故D符合题意； 故选D． 【点睛】 本题考查的是勾股定理的逆定理的应用，掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 2．（25-26学年八上·贵州毕节金沙县·期中）用下列长度的三根木条首尾相接组成一个封闭木框，则能组成一个直角三角形木框的是（     ） A. 2，3，4 B. 3，4，5 C. 5，6，7 D. 6，7，8 【答案】B 【分析】 本题考查了勾股逆定理，根据勾股逆定理，若三角形三边满足两短边平方和等于最长边平方，则该三角形为直角三角形，据此进行计算各选项即可判断． 【详解】 解：A、，故该选项不符合题意； B、，故该选项符合题意； C、，故该选项不符合题意； D、，故该选项不符合题意． 故选：B． 3．（25-26学年八上·贵州毕节织金县思源实验学校·期中）如图，在网格中，点，，都是网格线的交点，则的度数是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查的是勾股定理及勾股定理的逆定理的应用，熟悉“利用勾股定理的逆定理判断直角三角形”是解题的关键．先利用勾股定理分别求解 ，，，再证明，，从而可得答案． 【详解】 解：如图，连接， 由勾股定理得：，，， ，， ，， 故选B． 4．（25-26学年八上·贵州毕节·期中）如图，在 4×4 的正方形网格中（每个小正方形边长均为 1），点A，B，C 在格点上，连接 AB，AC，BC，则△ABC 的形状是（　　） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 无法确定 【答案】B 【分析】 根据勾股定理求出AB、BC、AC，再根据勾股定理的逆定理计算可得出结论． 【详解】 解：由题意得：， ，， ∵， ∴， ∴∠BAC＝90°， ∴为直角三角形． 故选：B． 【点睛】 本题考查的了勾股定理和勾股定理的逆定理．掌握勾股定理和逆定理是解决问题的关键． 5．（25-26学年八上·贵州北京师范大学贵阳附属中学·期中）如图，在的正方形网格中，点A，B，C，D均在格点上，若从中任取三点构成三角形，则其中是直角三角形的有（       ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】B 【分析】 本题主要考查了勾股定理及其逆定理，解题的关键是掌握两个定理． 利用勾股定理求出每条边的平方，再根据勾股定理的逆定理进行判断即可． 【详解】 解：如图，连接， 借助网格和勾股定理得， ， ， ， ， ， ， ∵， ∴为直角三角形； ∵， ∴为直角三角形； ∵， ∴为直角三角形； ∴直角三角形有3个， 故选：B． 6．（25-26学年·贵州贵阳清镇培文学校·期中）如图，有一块三角形空地，它的三条边线分别长和，已知长的边线为南北向，则长的边线方向为（       ） A. 东西向 B. 东北向 C. 东南向 D. 西北向 【答案】A 【分析】 本题考查方向角，勾股定理逆定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．利用勾股定理逆定理判断即可． 【详解】 解∶如图，，， ∴，， ∴， ∴， ∵长的边线为南北向， ∴长的边线方向为东西方向， 故选∶A． 7．（25-26学年八上·贵州贵阳第十九中学·期中）以下列数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了用勾股定理的逆定理判断三角形的形状，即若三角形的三边符合，则此三角形是直角三角形，熟练掌握这个知识是解题的关键． 根据勾股定理的逆定理对四个答案进行逐一判断即可． 【详解】 解：∵ 对于选项A：最长边为，，，， ∴ 不能构成直角三角形； 对于选项B：最长边为，，，， ∴ 能构成直角三角形； 对于选项C：最长边为，，，， ∴ 不能构成直角三角形； 对于选项D：最长边为，，，， ∴ 不能构成直角三角形． 故选：B． 8．（25-26学年八上·贵州贵阳清镇广大实验学校·期中）以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（       ） A. 3，8，12 B. 8，15，17 C. 12，15，18 D. 3，17，18 【答案】B 【分析】 本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断． 【详解】 解：A、，不能构成三角形，故选项错误； B、，能构成直角三角形，故选项正确； C、，不能构成直角三角形，故选项错误； D、， 不能构成直角三角形，故选项错误. 故选：B． 9．（25-26学年八上·贵州毕节·期中）根据下列条件，分别判断以a，b，c为三边的，不是直角三角形的是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据直角三角形的定义，勾股定理的逆定理逐项进行判断即可． 【详解】 解：A、∵， ∴， ∴是直角三角形，故本选项不符合题意； B、∵，， 设，，，即， 解得：， ∴，，， ∴不是直角三角形，故本选项符合题意； C、∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即是直角三角形，故本选项不符合题意； D、， 设，，， ∵， ∴是直角三角形，故本选项不符合题意． 故选：B． 【点睛】 本题主要考查了直角三角形的判定，解题的关键是熟练掌握直角三角形的定义和勾股定理的逆定理． 10．（25-26学年八上·贵州毕节第一中学·期中）有一块土地，如图所示，已知AB=8,,BC=6,CD=24,AD=26,求这块土地的面积. 【答案】96． 【分析】 连接AC，根据勾股定理求出AC的长，再由勾股定理的逆定理判断出△ACD的形状，根据S四边形ABCD=S△ACD-S△ABC即可得出结论． 【详解】 解：连接AC， ∵AB=8，∠B=90°，BC=6， ∴AC= ． ∵CD=24，AD=26， ∴CD2=242=576，AD2=262=676，AC2=1002=100， ∴AC2+CD2=AD2， ∴△ACD是直角三角形， ∴S四边形ABCD=S△ACD-S△ABC = AC•CD- AB•BC =×10×24-×8×6 =120-24 =96． 答：这块土地的面积是96． 故答案为96． 【点睛】 本题考查勾股定理及勾股定理的逆定理，解题的关键是根据题意作出辅助线，构造出直角三角形． 11．（25-26学年八上·贵州贵阳第三十九中学·期中）（多选）如图，在Rt△ABC中，∠BCA=90°，AC=12，AB=13，点D是Rt△ABC外一点，连接DC，DB，且CD=4，BD=3． （1）求BC的长； （2）请判断△BCD的形状，并说明理由． 【答案】（1）5     （2） △ BCD是直角三角形，理由如下： 解：∵在△ BCD中，CD=4，BD=3，BC=5， ∴， ∴△BCD是直角三角形．      【分析】 （1）根据勾股定理即可得； （2）根据勾股定理的逆定理即可得． (1) 小问详解： 解：∵Rt△ ABC中，∠BCA=90°，AC=12，AB=13， ∴BC= ==5； (2) 小问详解： 略 【点睛】 本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，解题的关键是掌握这些知识点． 12．（25-26学年八上·贵州六盘水·期中）如图，在中，，且周长为，点从点开始，沿边向点以每秒的速度移动；点从点开始，沿边向点以每秒的速度移动．若同时出发，则过秒时，的面积为　　　　　　　　　　　． 【答案】18 【分析】 首先设AB为3xcm，BC为4xcm，AC为5xcm，利用方程求出三角形的三边，由勾股定理的逆定理得出三角形为直角三角形．再求出3秒后的，BP，BQ的长，利用三角形的面积公式计算求解． 【详解】 解：设AB为3xcm，BC为4xcm，AC为5xcm， ∵周长为36cm， 则AB+BC+AC＝36cm， ∴3x+4x+5x＝36， 解得x＝3， ∴AB＝9cm，BC＝12cm，AC＝15cm， ∵AB2+BC2＝AC2， ∴△ABC是直角三角形， 过3秒时，BP＝9﹣3×1＝6（cm），BQ＝2×3＝6（cm）， ∴S△PBQ＝BP•BQ＝×（9﹣3）×6＝18（cm2）． 故答案为：18． 【点睛】 此题主要考查了勾股定理逆定理、三角形的面积．由勾股定理的逆定理得出三角形为直角三角形，是解题的关键． 13．（25-26学年八上·贵州毕节金沙县·期中）2022年是第七届全国文明城市创建周期的第二年，某小区在创城工作过程中，在临街的拐角清理出了一块可以绿化的空地．如图，已知，，，，． （1）求的长度； （2）若平均每平方米空地的绿化费用为50元，试计算绿化这片空地共需花费多少元？ 【答案】（1）的长度为     （2）共需花费元      【分析】 本题主要考查勾股定理及其逆定理的实际运用，掌握以上知识是解题的关键． （1）根据题意可知，在中，根据勾股定理即可求解； （2）运用勾股定理的逆定理判定是直角三角形，由此即可求解绿化空地的面积，由此即可求解． (1) 小问详解： 解：∵，，， ∴在中，， ∴的长度为． (2) 小问详解： 解：已知，，， ∴，，， ∴，即， ∴是直角三角形， ∴，， ∴空地的绿化的面积为， ∵平均每平方米空地的绿化费用为元， ∴绿化这片空地共需花费（元）， ∴共需花费元． 14．（25-26学年八上·贵州贵阳清镇广大实验学校·期中）如图，某港口位于南北方向的海岸线上．甲，乙两舰艇同时离开港口，各自沿一固定方向航行，甲舰艇每小时航行16海里，乙舰艇每小时航行12海里．它们离开港口1.5小时后分别位于点P，Q处，且相距30海里．已知甲舰艇沿北偏东方向航行，则乙舰艇的航行方向是　　　　　　　　　　　　　　　． 【答案】南偏东 【分析】 此题主要考查了勾股定理的逆定理的应用．直接得出海里，海里，海里，利用勾股定理逆定理以及方向角得出答案． 【详解】 解：由题意可得：海里，海里，海里， ∵， ∴是直角三角形， ∴， ∵甲舰艇沿北偏东方向航行， ∴， ∴乙舰艇的航行方向是南偏东． 故答案为：南偏东． 15．（八上·贵州专用·期中）在春天来临之际，八（1）班和八（2）班的同学计划在学校劳动实践基地种植蔬菜；如图，点C是自来水管的位置，点A和点B分别表示八（1）班和八（2）班实践基地的位置，两处相距3米，两处相距4米，两处相距5米；为了更好的使用自来水灌溉，八（1）班和八（2）班在图纸上设计了两种水管铺设方案：    八（1）班方案：沿线段铺设2段水管； 八（2）班方案：过点C作于点D，沿线段铺设3段水管； （1）求证：； （2）从节约水管的角度考虑，你会选择哪个班的铺设方案？为什么？ 【答案】（1） 证明：,， ∴， ∴为直角三角形， ∴；     （2） 选用八（1）班方案，理由如下： 方案一所需水管长度为：（米）； 方案二所需水管长度如下： 由（1）得，且，由等面积法可得， （米）， （米）； ∵， ∴方案一所用的水管少， 故选用八（1）班方案．      【分析】 本题主要考查了勾股定理的逆定理，等面积法求线段的长度等内容，解题的关键是熟练掌握勾股定理的逆定理判定直角三角形． （1）利用勾股定理的逆定理进行判定即可； （2）利用等面积法求出线段的长度，分别将两个方案所需水管长度求出，然后进行比较选择即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 16．（八上·贵州专用·期中）一个三角形三边满足，则这个三角形是　　　　　　三角形． 【答案】直角 【分析】 本题考查了勾股定理的逆定理，完全平方公式． 先根据完全平方公式将原式化为，进而根据勾股定理的逆定理作答即可． 【详解】 ∵ ∴， 即， ∴这个三角形是直角三角形． 故答案为：直角． 17．（25-26学年八上·贵州北京师范大学贵阳附属中学·期中）如图，在中，作的垂直平分线，交于点E，交于点 （1）当，时，求点E到点C之间的最短距离； （2）若时，试说明： 【答案】（1）10     （2） 证明：， ， ， ， ∴      【分析】 本题考查的是线段垂直平分线的性质、勾股定理的逆定理，熟记如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形是解题的关键． （1）连接EC，根据线段垂直平分线的性质得到，再根据勾股定理计算即可； （2）根据勾股定理的逆定理证明． (1) 小问详解： 解：如图，连接， 是的垂直平分线， ， 由勾股定理得：， ， 点E到点C之间的最短距离为10； (2) 小问详解： 略 18．（25-26学年·贵州贵阳清镇培文学校·期中）如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形边长都是1，点A，B在格点上（每个小正方形的顶点称为格点）    （1）的长为_________． （2）在网格中找到一格点C，使得，在图中画出并通过计算判断的形状 【答案】（1）     （2）是直角三角形 点即为所求的格点， 【分析】 （1）利用勾股定理求出的长即可； （2）根据勾股定理画出线段，并根据勾股定理的逆定理判断的形状． (1) 小问详解： 解：由勾股定理可得：， 故答案为：； (2) 小问详解： 如图，由勾股定理可得：， 由勾股定理可得：， 则， ∴是直角三角形． 【点睛】 本题考查的是勾股定理，勾股定理的逆定理，掌握相关知识是解答此题的关键． 19．（25-26学年·贵州贵阳清镇培文学校·期中）如图，设P为等边三角形内的一点，且，，三角形的面积是　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据等边三角形的性质得到，于是可把绕点B逆时针旋转可得到，根据旋转的性质得到，，，可判断为等边三角形，则，在中，利用勾股定理的逆定理可得是以为斜边的直角三角形，则，再利用，最后作高线利用三角形的面积公式计算即可． 【详解】 解：∵为等边三角形， ∴， 如图，把绕点B逆时针旋转可得到，过点B作于E， ∴，，， ∴为等边三角形， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴是以为斜边的直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的面积， 故答案为：． 【点睛】 本题考查了旋转的性质、等边三角形的判定和性质和勾股定理的逆定理的应用，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键． 20．（25-26学年八上·贵州贵阳·期中）一块田地的形状如图所示，已知，求该田地的面积． 【答案】 【分析】 本题考查了勾股定理和勾股定理逆定理的应用等知识．连接，根据勾股定理求出，再根据勾股定理逆定理证明是直角三角形，得到， 利用割补法即可求出该田地的面积． 【详解】 解：连接， 在中，根据勾股定理，可得， ∵， ∴ ∴是直角三角形， ∴， ∴该田地的面积＝的面积-的面积 = 答：该田地的面积是． 21．（25-26学年八上·贵州贵阳清镇广大实验学校·期中）如图是机器零件的示意图形状，测得． （1）连接，求，之间的距离； （2）求四边形的面积． 【答案】（1）、之间的距离为     （2）四边形的面积是      【分析】 此题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理． （1）利用勾股定理即可求出答案； （2）利用勾股定理逆定理证明是直角三角形，根据直角三角形面积公式即可求出答案． (1) 小问详解： 解：连接， 在中，，由勾股定理得： 答：B、D之间的距离为 (2) 小问详解： 解：， 是直角三角形， ． 答：四边形的面积是 22．（25-26学年八上·贵州毕节·期中）如图，在四边形中，，，， ， ；求： （1）的长度； （2）四边形的面积． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理的应用，利用勾股定理求解是本题的突破点，也是难点．同时勾股定理逆定理也是本题的考查点之一． （1）利用含30度角的直角三角形的性质可得答案； （2）利用勾股定理逆定理判断出为直角三角形．根据进行计算即可． (1) 小问详解： 解：∵，，， ∴； (2) 小问详解： 解：∵， ， ∴，， ∴， ∴是直角三角形， ∴． ∵，， ∴， ∴=． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $