专题09 二次根式（期中真题汇编，贵州专用）八年级数学上学期

专题09 二次根式 3大高频考点概览 考点01 二次根式及其性质 考点02 二次根式的乘法与除法 考点03 二次根式的加法与减法 考点01 二次根式及其性质 1．（25-26学年八上·贵州毕节第一中学·期中）如果二次根式 有意义，那么实数 满足条件的范围是 （       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年八上·贵州铜仁松桃苗族自治县·期中）若a＜1，化简的结果是                                                    （        ） A. a－１ B. －a－１ C. １－a D. a＋１ 3．（25-26学年八上·贵州铜仁松桃苗族自治县·期中）下列各式中，是二次根式的是（     ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年八上·贵州铜仁碧江区·期中）二次根式有意义，则的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年八上·贵州六盘水·期中）若式子有意义，则实数x的值可能是（       ） A.  B. 0 C. 1 D. 2 6．（25-26学年八上·贵州铜仁德江县·期中）二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是（          ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年八上·贵州铜仁松桃苗族自治县·期中）若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（     ） A. ，且 B.  C. ，且 D.  8．（25-26学年八上·贵州毕节织金县思源实验学校·期中）若式子有意义，则的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年八上·贵州铜仁万山区·期中）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是（　　） A.  B. a C.  D. b 10．（25-26学年八上·贵州北京师范大学贵阳附属中学·期中）若有意义，则能取的最小整数值是（     ） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年八上·贵州毕节金沙县·期中）实数，，在数轴上对应的点的位置如图所示，则化简（     ） A.  B.  C.  D.  12．（25-26学年八上·贵州铜仁·期中）已知a是正整数，且的值是整数，则正整数a所有可能的值的和为（     ） A. 136 B. 131 C. 100 D. 94 13．（25-26学年八上·贵州贵阳修文县·期中）化简：＝　　　． 14．（25-26学年八上·贵州铜仁松桃苗族自治县·期中）化简　　　　　　． 15．（25-26学年八上·贵州铜仁·期中）要使二次根式在实数范围内有意义，则的值可以是　　　　　　　　　　．（写出一个即可） 16．（25-26学年八上·贵州贵阳第三十九中学·期中）（1）化简：        （2）化简：        （3）解方程： 17．（25-26学年八上·贵州铜仁碧江区·期中）实数在数轴上如图所示，化简：　　　　　． 18．（25-26学年八上·贵州贵阳清镇广大实验学校·期中）在实数范围内，当x　　　　　　　　　　时，有意义；当x　　　　　　　　　　时，有意义；当x　　　　　　　　　　时，有意义． 19．（25-26学年八上·贵州毕节·期中）如果有意义，那么字母x的取值范围是　　　　　　　． 20．（25-26学年八上·贵州铜仁碧江区·期中）若两个含二次根式的代数式，满足：，且是有理数，则称与是关于的“和谐二次根式”，如，则称与是关于4的“和谐二次根式”. （1）若与是关于10的“和谐二次根式”，求的值． （2）若与是关于6的“和谐二次根式”，求的值． 考点02 二次根式的乘法与除法 1．（25-26学年八上·贵州毕节金沙县·期中）计算的结果是（     ） A. 2 B. 3 C. 4 D.  2．（25-26学年八上·贵州毕节金沙县·期中）下列属于最简二次根式的是（     ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年八上·贵州铜仁·期中）下面二次根式中，是最简二次根式的是（     ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年八上·贵州铜仁碧江区·期中）计算的结果是（     ） A.  B. 6 C. 8 D. 4 5．（25-26学年八上·贵州贵阳第三十九中学·期中）下列二次根式中，是最简二次根式的是（       ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年八上·贵州铜仁德江县·期中）设，，则可以表示为() A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年八上·贵州贵阳·期中）已知，，那么与的关系为（       ） A. 互为倒数 B. 互为相反数 C. 相等 D. ，的平方相等 8．（25-26学年八上·贵州铜仁德江县·期中）计算：=　　　　　　． 考点03 二次根式的加法与减法 1．（25-26学年八上·贵州毕节第一中学·期中）下列运算中正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年八上·贵州毕节·期中）下列各式计算正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年八上·贵州六盘水·期中）估计的值应在（     ） A. 和之间 B. 7和8之间 C. 1和2之间 D. 2和3之间 4．（25-26学年八上·贵州铜仁万山区·期中）若，其中为整数，则的值是（       ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5．（25-26学年八上·贵州铜仁万山区·期中）若最简二次根式与可以合并，则的值为 （    ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年八上·贵州贵阳清镇广大实验学校·期中）下列各式与是同类二次根式的（     ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年八上·贵州铜仁德江县·期中）对于任意的正数m、n定义运算： 计算的结果是（             ） A.  B.  C.  D.  8．（八上·贵州专用·期中）下列计算正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年八上·贵州毕节第一中学·期中）计算： （1） （2） 10．（25-26学年八上·贵州毕节第一中学·期中）如果的整数部分为a，的小数部分为b，求的值． 11．（25-26学年八上·贵州贵阳·期中）计算： （1）； （2）． 12．（25-26学年八上·贵州贵阳第十九中学·期中）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 13．（25-26学年八上·贵州贵阳清镇广大实验学校·期中）计算 （1） （2） 14．（25-26学年八上·贵州贵阳清镇广大实验学校·期中）某公路规定汽车行驶速度不得超过千米/时，当发生交通事故时，交通警察通常根据刹车后车轮滑行的距离估计车辆的行驶速度，所用的经验公式是，其中v表示车速（单位：千米/时），表示刹车后车轮滑过的距离（单位：米），表示摩擦系数．在一次交通事故中，经测量米，．请你判断一下，肇事汽车当时是否超过了规定的速度？ 15．（25-26学年八上·贵州毕节·期中）计算： （1）； （2）． 16．（八上·贵州专用·期中）比较大小：　　　　　．（填“＞”“＜”或“=”） 17．（八上·贵州专用·期中）两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积中不含有二次根式，我们就说这两个含有二次根式的代数式互为有理化因式．例如：与，与． 化简一个分母含有二次根式的式子时，常常采用分子、分母同乘以分母的有理化因式的方法． 例如：； ． （1）直接写出的有理化因式：_____． （2）请仿照上面的方法化简（且）． （3）已知，，求的值． 18．（25-26学年八上·贵州北京师范大学贵阳附属中学·期中）细心观察下列等式： 第一个等式：； 第二个等式：； 第三个等式： 按上述规律，回答以下问题： （1）按上面规律填空：______=______=______； （2）利用以上规律计算：… 19．（25-26学年八上·贵州北京师范大学贵阳附属中学·期中）（1）计算： ①； ②； （2）求x的值： ①； ② 20．（25-26学年八上·贵州贵阳修文县·期中）阅读下列材料，然后解答问题： 在进行代数式化简时，我们有时会碰上如，这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简，例如： ． 这种化简的方法叫分母有理化． （1）直接写出下列各式分母有理化后的结果： _______，_____； （2）化简式子：． 21．（25-26学年八上·贵州六盘水·期中）现有两块同样大小的长方形木板①，②，甲木工采用如图1所示的方式，在长方形木板①上截出三个面积分别为，和的正方形木板A，B，C． （1）木板①中截出的正方形木板A的边长为___________，B的边长为___________，C的边长为___________； （2）求木板①中剩余部分（阴影部分）的面积； （3）乙木工想采用如图2所示的方式，在长方形木板②上截出两个面积均为的正方形木板，请你判断能否截出，并说明理由． 22．（25-26学年八上·贵州六盘水·期中）计算 （1）； （2）． 23．（25-26学年八上·贵州铜仁德江县·期中）阅读下面问题：， ， ， 【问题探究】 （1）根据以上信息，化简：______________________________． 【应用结论】 （2）利用以上规律，计算： 【拓展应用】 （3）如果有理数a，b满足，试求： 的值． 24．（25-26学年八上·贵州铜仁德江县·期中）计算： （1） （2） 25．（25-26学年八上·贵州铜仁松桃苗族自治县·期中）已知长方形的长，宽． （1）求长方形的周长． （2）求长方形的面积． 26．（25-26学年八上·贵州铜仁松桃苗族自治县·期中）观察下列等式： 第一个等式：；第二个等式：； 第三个等式：；……， （1）请写出第四个等式________； （2）根据上述规律，写出第个等式（为正整数）； （3）计算：． 27．（25-26学年八上·贵州铜仁·期中）有一块矩形木板，木工甲采用如图的方式，将木板的长增加，宽增加，得到一个面积为的正方形． （1）正方形的边长为___________ ；（填最简二次根式） （2）求矩形木板的面积； （3）木工乙想从矩形木板中截出长为、宽为的矩形木条，最多能截出___________根这样的木条． 28．（25-26学年八上·贵州铜仁·期中）计算： （1）； （2）． 29．（25-26学年八上·贵州铜仁万山区·期中）计算： （1）； （2）． 30．（25-26学年八上·贵州铜仁万山区·期中）先化简，再求值：，其中.如图是小亮与小芳的解答过程： （1）_______的解法是错误的，错误的原因是没有正确运用二次根式的性质：________； （2）先化简，再求值：，其中． 31．（25-26学年八上·贵州铜仁万山区·期中）先化简，再求值：，其中，． 32．（25-26学年八上·贵州贵阳第十九中学·期中）我们已经学过完全平方公式，知道所有的非负数都可以看作是一个数的平方，例如，，那么，我们可以利用完全平方公式来解决下面的问题： 例1     求的算术平方根． 解：，所以的算术平方根是． 例2   求的算术平方根． 解：，所以的算术平方根是． 请根据上面的方法化简： （1）___________； （2）___________；（直接写出化简结果） （3）化简：． 33．（25-26学年八上·贵州毕节·期中）下面是晓明的探究过程，请你补充完整： （1）具体运算，发现规律． 特例1：， 特例2：， 特例3：， 特例4：， 特例5：　　（填写一个符合上述运算特征的例子）． （2）观察、归纳，得出猜想． 如果n为正整数，用含n的式子表示上述的运算规律为：　　． （3）应用运算规律，求的值． 34．（八上·贵州专用·期中）计算： （1）． （2）． 35．（25-26学年八上·贵州毕节织金县思源实验学校·期中）【阅读材料】 黑白双雄，纵横江湖；双剑合璧，天下无敌．这是武侠小说中的常见描述．其意是指两个人合在一起，取长补短，威力无比．在二次根式中也有这种相辅相成的“好搭档”，如，，它们的乘积不含有二次根式，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式． 于是，二次根式除法可以这样解：如，．像这样通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫分母有理化． 【解决问题】 （1）将下列式子分母有理化：___________． 【能力提升】 （2）若是的小数部分，求的值． （3）计算：． 36．（25-26学年八上·贵州铜仁·期中）阅读材料：像，这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式，与互为有理化因式．在进行二次根式运算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号．数学课上，老师出了一道题“已知，求的值”． 聪明的小明同学根据上述材料，做了如下解答： 因为， 所以， 所以，即， 所以， 所以． 请你根据上述材料和小明的解答过程，解决下列问题： （1）的有理化因式是_______；计算_______； （2）计算：； （3）若，求的值． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 二次根式 3大高频考点概览 考点01 二次根式及其性质 考点02 二次根式的乘法与除法 考点03 二次根式的加法与减法 考点01 二次根式及其性质 1．（25-26学年八上·贵州毕节第一中学·期中）如果二次根式 有意义，那么实数 满足条件的范围是 （       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了二次根式有意义的条件，形如的式子称为二次根式，二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义． 根据二次根式有意义的条件求解即可． 【详解】 解：∵二次根式 有意义， ∴， ∴． 故选：B． 2．（25-26学年八上·贵州铜仁松桃苗族自治县·期中）若a＜1，化简的结果是                                                    （        ） A. a－１ B. －a－１ C. １－a D. a＋１ 【答案】C 【分析】 根据二次根式的性质进行化简即可． 【详解】 解：∵a＜1， ∴a－1＜0， ∴＝｜a-1｜=1-a． 故选：C 【点睛】 本题主要考查二次根式的化简方法与运用：a＞0时，a；a＜0时，a；a＝0时，0．熟练掌握是解题的关键． 3．（25-26学年八上·贵州铜仁松桃苗族自治县·期中）下列各式中，是二次根式的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查二次根式的定义，掌握相关知识是解决问题的关键．形如是二次根式，据此逐项判断即可． 【详解】 解：A 、为立方根，根指数 3，不符合二次根式的定义； B、 为常数 π，不符合二次根式的定义； C 、被开方数为 ，不符合二次根式的定义； D、 被开方数 ，根指数为 2，符合二次根式的定义． 故选 ：D． 4．（25-26学年八上·贵州铜仁碧江区·期中）二次根式有意义，则的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查二次根式的性质，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键，根据二次根式有意义的条件得，解不等式即可得到答案． 【详解】 解：∵ 有意义， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 故选：A． 5．（25-26学年八上·贵州六盘水·期中）若式子有意义，则实数x的值可能是（       ） A.  B. 0 C. 1 D. 2 【答案】D 【分析】 此题考查了二次根式有意义的条件，一元一次不等式的解法，根据二次根式有意义的条件即可求出的范围再判断即可，解题的关键是熟练掌握二次根式有意义的条件． 【详解】 解：∵二次根式有意义， ∴，则， ∴D符合题意； 故选：D． 6．（25-26学年八上·贵州铜仁德江县·期中）二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是（          ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查了二次根式有意义的条件，二次根式中的被开方数是非负数．根据二次根式有意义的条件可得，再解不等式即可． 【详解】 解：由题意得：， 解得：， 故选：B． 7．（25-26学年八上·贵州铜仁松桃苗族自治县·期中）若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（     ） A. ，且 B.  C. ，且 D.  【答案】C 【分析】 本题考查分式和二次根式有意义的条件，熟记分式及二次根式有意义的条件是解决问题的关键． 要使式子在实数范围内有意义，需同时满足根号下被开方数非负和分母不为零，解不等式即可得到答案． 【详解】 解：式子在实数范围内有意义， ∴，且， 即，且， ∴的取值范围是，且， 故选：C． 8．（25-26学年八上·贵州毕节织金县思源实验学校·期中）若式子有意义，则的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了二次根式有意义的概念，熟悉掌握二次根式有意义的概念是解题的关键． 根据二次根式有意义时的取值列式运算即可． 【详解】 解：有意义， ∴， ∴， 故选：C． 9．（25-26学年八上·贵州铜仁万山区·期中）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是（　　） A.  B. a C.  D. b 【答案】C 【分析】 由数轴得，进而判断出，再根据二次根式的性质化简即可． 本题考查了二次根式的性质与化简，实数与数轴，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 【详解】 解：由数轴得， ∴， ∴ ． 故选：C． 10．（25-26学年八上·贵州北京师范大学贵阳附属中学·期中）若有意义，则能取的最小整数值是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查二次根式有意义的条件． 根据二次根式有意义的条件列不等式，求最小整数解即可． 【详解】 解：∵有意义， ∴， ∴， ∴能取的最小整数值是． 故选：B． 11．（25-26学年八上·贵州毕节金沙县·期中）实数，，在数轴上对应的点的位置如图所示，则化简（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查了实数与数轴，化简绝对值和求一个数的算术平方根. 先根据数轴得到，，则，，据此化简绝对值和计算算术平方根，再根据整式的加减计算法则求解即可． 【详解】 解：由数轴可知道，， ∴，， ∴ ， 故选：B． 12．（25-26学年八上·贵州铜仁·期中）已知a是正整数，且的值是整数，则正整数a所有可能的值的和为（     ） A. 136 B. 131 C. 100 D. 94 【答案】B 【分析】 本题考查的是二次根式有意义的条件，熟记二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．根据是整数，求出a的取值范围，再根据a是正整数，即可得出答案． 【详解】 解：∵a是正整数，的值是整数， ∴ 当时，即， 当时，即， 当时，即， 当时，即， 当时，即， 当时，即， 综上所述，正整数a的值可以是31，30，27，22，15，6， ∴所有可能的a之和为． 13．（25-26学年八上·贵州贵阳修文县·期中）化简：＝　　　． 【答案】 【分析】 利用二次根式的性质化简计算即可． 【详解】 解：． 故答案为：． 【点睛】 本题考查了二次根式的性质，会利用二次根式的性质化简计算是解答的关键． 14．（25-26学年八上·贵州铜仁松桃苗族自治县·期中）化简　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了化简二次根式，利用二次根式性质化简即可． 【详解】 解：， 故答案为：． 15．（25-26学年八上·贵州铜仁·期中）要使二次根式在实数范围内有意义，则的值可以是　　　　　　　　　　．（写出一个即可） 【答案】0（答案不唯一） 【分析】 本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．根据二次根式的被开方数是非负数求出的取值范围，写出一个符合题意的即可． 【详解】 解：∵， ∴， ∴的值可以是0， 故答案为：0（答案不唯一）． 16．（25-26学年八上·贵州贵阳第三十九中学·期中）（1）化简：        （2）化简：        （3）解方程： 【答案】（1）（2）（3）或 【分析】 本题考查了二次根式的性质和化简，完全平方公式，二次根式的混合运算，平方根，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据二次根式的性质化简，即可作答． （2）运用完全平方公式计算，即可作答． （3）运用平方根进行解方程，即可作答． 【详解】 解：（1）； （2）； （3）， ， ∴或， 解得或． 17．（25-26学年八上·贵州铜仁碧江区·期中）实数在数轴上如图所示，化简：　　　　　． 【答案】1 【分析】 本题考查代数式化简，熟练掌握绝对值和二次根式的化简是解题的关键，根据数轴得到的取值范围，从而得到，，再进行化简即可得到答案． 【详解】 解：由数轴可得：， ∴，， ∴， 故答案为：1． 18．（25-26学年八上·贵州贵阳清镇广大实验学校·期中）在实数范围内，当x　　　　　　　　　　时，有意义；当x　　　　　　　　　　时，有意义；当x　　　　　　　　　　时，有意义． 【答案】①     ②     ③ 【分析】 本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．根据二次根式的被开方数是非负数即可得出答案． 【详解】 解：有意义，则， 解得； 有意义，则， 解得； 有意义，则 ， 解得． 故答案为：；；． 19．（25-26学年八上·贵州毕节·期中）如果有意义，那么字母x的取值范围是　　　　　　　． 【答案】且 【分析】 根据二次根式有意义的条件、分式有意义的条件列出不等式，解不等式得到答案． 【详解】 由题意得，，， 解得，且， 故答案为：且． 【点睛】 本题考查了二次根式有意义的条件、分式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键． 20．（25-26学年八上·贵州铜仁碧江区·期中）若两个含二次根式的代数式，满足：，且是有理数，则称与是关于的“和谐二次根式”，如，则称与是关于4的“和谐二次根式”. （1）若与是关于10的“和谐二次根式”，求的值． （2）若与是关于6的“和谐二次根式”，求的值． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键， （1）根据“和谐二次根式”的定义列出式子，再进行化简即可得到答案； （2）根据“和谐二次根式”的定义列出式子，再进行化简即可得到答案； (1) 小问详解： 解：由题意可得： ∴． (2) 小问详解： 解：由题可得：， ∴， ∴， ∴， ∴． 考点02 二次根式的乘法与除法 1．（25-26学年八上·贵州毕节金沙县·期中）计算的结果是（     ） A. 2 B. 3 C. 4 D.  【答案】A 【分析】 此题主要考查了二次根式的除法运算，正确化简二次根式是解题关键． 利用二次根式的除法法则计算即可． 【详解】 解：∵， 故选：A． 2．（25-26学年八上·贵州毕节金沙县·期中）下列属于最简二次根式的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了最简二次根式的定义，如果二次根式的被开方式中都不含分母，并且也都不含有能开得尽方的因式或因数，像这样的二次根式叫做最简二次根式． 根据最简二次根式的定义逐一判断即可． 【详解】 解：A．，可化简，不属于最简二次根式； B．被开方数3是质数，不含有能开得尽方的因式，属于最简二次根式； C．，被开方数含分母，不属于最简二次根式； D．被开方数含分母，不属于最简二次根式； 故选：B． 3．（25-26学年八上·贵州铜仁·期中）下面二次根式中，是最简二次根式的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了最简二次根式，掌握最简二次根式定义是解题的关键． 根据最简二次根式定义：被开方数不含有分母且不含能开得尽方的因数和因式，解答即可． 【详解】 解：A、，故选项A不符合题意； B、，故选项B不符合题意； C、是最简二次根式，故选项C符合题意； D、，故选项D不符合题意． 故选：C． 4．（25-26学年八上·贵州铜仁碧江区·期中）计算的结果是（     ） A.  B. 6 C. 8 D. 4 【答案】D 【分析】 本题考查平方根的性质，熟练掌握平方根的性质是解题的关键，利用平方根的性质 计算即可得到答案． 【详解】 解：∵ ， 故选：D． 5．（25-26学年八上·贵州贵阳第三十九中学·期中）下列二次根式中，是最简二次根式的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 此题考查了最简二次根式的定义，被开方数中不含分母，不含能开得尽方的因数或因式即为最简二次根式，根据最简二次根式的定义依次判断即可． 【详解】 解：A、不是最简二次根式，故不符合题意； B、，不是最简二次根式，故不符合题意； C、是最简二次根式，符合题意； D、，不是最简二次根式，故不符合题意； 故选：C． 6．（25-26学年八上·贵州铜仁德江县·期中）设，，则可以表示为() A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题主要考查了二次根式的乘法，化简二次根式．根据二次根式的乘法运算法则求解即可． 【详解】 解： ， 又， ． 故选：C． 7．（25-26学年八上·贵州贵阳·期中）已知，，那么与的关系为（       ） A. 互为倒数 B. 互为相反数 C. 相等 D. ，的平方相等 【答案】A 【分析】 本题主要考查了倒数的定义，二次根式得乘法运算，平方差公式，通过计算a与b的乘积，利用平方差公式得出，从而判断它们互为倒数． 【详解】 解：∵，， ∴， ∴a与b互为倒数． 故选A 8．（25-26学年八上·贵州铜仁德江县·期中）计算：=　　　　　　． 【答案】． 【详解】解：=；故答案为． 点睛：此题考查了二次根式的乘法，掌握二次根式的运算法则：乘法法则是本题的关键． 考点03 二次根式的加法与减法 1．（25-26学年八上·贵州毕节第一中学·期中）下列运算中正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查的是二次根式的性质及二次根式的相关运算法则，熟练掌握是解题的关键．根据二次根式的性质以及二次根式加法，乘法及乘方运算法则计算即可． 【详解】 解：A、，而非，故本选项错误； B、，结果应为非负数，而非，故本选项错误； C、，故本选项正确； D、与不是同类二次根式，不能合并，故本选项错误； 故选：C． 2．（25-26学年八上·贵州毕节·期中）下列各式计算正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了二次根式的性质化简，二次根式的混合运算，掌握二次根式的混合运算法则是解题的关键． 根据二次根式的混合运算法则逐一判定即可求解． 【详解】 解：A、，原选项计算错误，不符合题意； B、，原选项计算正确，符合题意； C、与不是同类二次根式，不能进行加减，原选项计算错误，不符合题意； D、，原选项计算错误，不符合题意； 故选： B． 3．（25-26学年八上·贵州六盘水·期中）估计的值应在（     ） A. 和之间 B. 7和8之间 C. 1和2之间 D. 2和3之间 【答案】D 【分析】 本题主要考查了二次根式的运算，及无理数的估算，先根据二次根式的混合运算得出结果，再估计无理数的值即可． 【详解】 解：原式． ∵， ∴， 所以这个值在2和3之间． 故选：D． 4．（25-26学年八上·贵州铜仁万山区·期中）若，其中为整数，则的值是（       ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【分析】 先计算二次根式的减法，然后进行无理数的估算，即可得到答案． 【详解】 解：∵， ∴， ∴； 故选：B． 【点睛】 本题考查了二次根式的加减运算，以及无理数的估算，解题的关键是熟练掌握运算法则． 5．（25-26学年八上·贵州铜仁万山区·期中）若最简二次根式与可以合并，则的值为 （    ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据题意可知若最简二次根式与是同类二次根式，即被开方数相同，由此建立方程求解即可． 【详解】 解：∵与都是最简二次根式，且可以合并， ∴与是最简的同类二次根式， ∴， 解得． 故选C． 【点睛】 本题主要考查最简二次根式和同类二次根式的知识，解题的关键是理解最简二次根式的概念． 6．（25-26学年八上·贵州贵阳清镇广大实验学校·期中）下列各式与是同类二次根式的（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 此题主要考查了同类二次根式的定义，即化成最简二次根式后，被开方数相同，这样的二次根式叫做同类二次根式．熟练掌握同类二次根式的定义是解题的关键． 先将选项化简为最简二次根式，然后找出与是同类二次根式的选项． 【详解】 解：A、，与是同类二次根式，故A符合题意； B、与不是同类二次根式，故B不符合题意； C、，与不是同类二次根式，故C不符合题意； D、，与不是同类二次根式，故D不符合题意； 故选：A． 7．（25-26学年八上·贵州铜仁德江县·期中）对于任意的正数m、n定义运算： 计算的结果是（             ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了新定义运算，二次根式的加减运算．根据定义，分别计算和，再求和即可． 【详解】 解：∵， ∴； ∵， ∴； ∴ ． 故选：B． 8．（八上·贵州专用·期中）下列计算正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了二次根式的加减乘除运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据二次根式的加减乘除运算法则计算解答即可． 【详解】 解：A．，故本选项错误；        B．，故本选项错误； C．，故本选项错误；        D．，本选项正确； 故选：D． 9．（25-26学年八上·贵州毕节第一中学·期中）计算： （1） （2） 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了二次根式的混合运算，完全平方公式，平方差公式， （1）根据二次根式的运算法则计算即可； （2）运算完全平方公式，平方差公式计算即可作答． (1) 小问详解： ； (2) 小问详解： ． 10．（25-26学年八上·贵州毕节第一中学·期中）如果的整数部分为a，的小数部分为b，求的值． 【答案】5 【分析】 本题考查了无理数的估算，二次根式的减法运算，无理数整数部分的有关计算，正确掌握相关性质是解题的关键．先根据的整数部分为a，的小数部分为b，得出，，再代入进行计算，即可作答． 【详解】 解：∵， ∴， ∵的整数部分为a， ∴， ∵， ∴， ∵的小数部分为b， ∴， 则． 11．（25-26学年八上·贵州贵阳·期中）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题主要考查了单项式除以单项式，二次根式的乘法运算． （1）根据单项式除以单项式计算即可． （2）利用平方差公式计算即可． (1) 小问详解： 解： (2) 小问详解： 解： 12．（25-26学年八上·贵州贵阳第十九中学·期中）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）     （2）     （3）     （4）      【分析】 本题考查了二次根式的混合运算，完全平方公式，平方差公式，立方根，二次根式的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先根据二次根式的性质进行化简，求一个数的立方根，再运算加法，即可作答． （2）先根据二次根式的性质进行化简，再运算分子，最后运算除法，即可作答． （3）先根据二次根式的性质化简，再进行乘法运算，最后合并同类二次根式，即可作答． （4）先根据完全平方公式，平方差公式进行展开，再运算加减法，即可作答． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： ； (3) 小问详解： 解： ； (4) 小问详解： 解： ． 13．（25-26学年八上·贵州贵阳清镇广大实验学校·期中）计算 （1） （2） 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则并正确求解是解答的关键． （1）利用乘法分配律求解即可； （2）先利用二次根式的性质化简各项，再加减求解即可． (1) 小问详解： 解：， ， ， ； (2) 小问详解： 解：， ， ． 14．（25-26学年八上·贵州贵阳清镇广大实验学校·期中）某公路规定汽车行驶速度不得超过千米/时，当发生交通事故时，交通警察通常根据刹车后车轮滑行的距离估计车辆的行驶速度，所用的经验公式是，其中v表示车速（单位：千米/时），表示刹车后车轮滑过的距离（单位：米），表示摩擦系数．在一次交通事故中，经测量米，．请你判断一下，肇事汽车当时是否超过了规定的速度？ 【答案】超过了规定的速度 【分析】 本题考查了二次根式的应用以及数值大小比较．先将已知的刹车距离和摩擦系数代入经验公式计算出车速，再与规定速度比较，判断是否超速． 【详解】 解：把，代入， ， ∴肇事汽车当时的速度超过了规定的速度． 15．（25-26学年八上·贵州毕节·期中）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查的是二次根式的混合运算，掌握运算顺序是解本题的关键； （1）先计算二次根式的乘法与除法运算，再合并即可； （2）先计算二次根式的乘法运算，再合并即可． (1) 小问详解： 解 ： ； (2) 小问详解： 解： ． 16．（八上·贵州专用·期中）比较大小：　　　　　．（填“＞”“＜”或“=”） 【答案】 【分析】 本题主要考查了实数比较大小，熟练掌握“作差法”比较大小是解题的关键．利用作差法得到，再比较出即可得到答案． 【详解】 ，， ， ， 故答案为：． 17．（八上·贵州专用·期中）两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积中不含有二次根式，我们就说这两个含有二次根式的代数式互为有理化因式．例如：与，与． 化简一个分母含有二次根式的式子时，常常采用分子、分母同乘以分母的有理化因式的方法． 例如：； ． （1）直接写出的有理化因式：_____． （2）请仿照上面的方法化简（且）． （3）已知，，求的值． 【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 本题主要考查了二次根式分母有理化的知识，解题的关键是熟练掌握分母有理化的方法． （1）根据有理化因式的定义即可解答； （2）根据一个分母含有二次根式的式子时，采用分子、分母同乘以分母的有理化因式的方法进行化简； （3）通过分母有理化可化简、，从而求出、，根据，将的值代入即可求解． (1) 小问详解： 解：∵， ∴是的有理化因式， 故答案为：； (2) 小问详解： 解： ． (3) 小问详解： 解：， ， ． 18．（25-26学年八上·贵州北京师范大学贵阳附属中学·期中）细心观察下列等式： 第一个等式：； 第二个等式：； 第三个等式： 按上述规律，回答以下问题： （1）按上面规律填空：______=______=______； （2）利用以上规律计算：… 【答案】（1）；     （2）      【分析】 本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则和除法法则是解决问题的关键． （1）利用题目中的等式反映的规律写出，然后分母有理化； （2）先分母有理化，然后合并同类二次根式即可． (1) 小问详解： 解：， 故答案为：； (2) 小问详解： 解：原式 19．（25-26学年八上·贵州北京师范大学贵阳附属中学·期中）（1）计算： ①； ②； （2）求x的值： ①； ② 【答案】（1），②；（2）；② 【分析】 本题考查平方根，立方根，二次根式，零指数幂． （1）① 根据平方差公式，零指数幂以及实数的运算方法进行计算即可； ② 根据实数的运算方法进行计算即可； （2）① 根据等式的性质以及平方根的定义进行计算即可； ② 根据等式的性质以及立方根的定义进行计算即可． 【详解】 解：（1）① 原式 ； ② 原式 ； （2）① 移项得，， 两边都除以9得， 由平方根的定义得，； ② 移项得，， 由立方根的定义得，， 解得 20．（25-26学年八上·贵州贵阳修文县·期中）阅读下列材料，然后解答问题： 在进行代数式化简时，我们有时会碰上如，这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简，例如： ． 这种化简的方法叫分母有理化． （1）直接写出下列各式分母有理化后的结果： _______，_____； （2）化简式子：． 【答案】（1），     （2）      【分析】 本题考查了二次根式的混合运算，平方差公式，分母有理化，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）利用题干的解题思路进行计算，即可解答； （2）利用题干的解题思路进行计算，即可解答． (1) 小问详解： 解：； ． 故答案为：，． (2) 小问详解： 原式 ． 21．（25-26学年八上·贵州六盘水·期中）现有两块同样大小的长方形木板①，②，甲木工采用如图1所示的方式，在长方形木板①上截出三个面积分别为，和的正方形木板A，B，C． （1）木板①中截出的正方形木板A的边长为___________，B的边长为___________，C的边长为___________； （2）求木板①中剩余部分（阴影部分）的面积； （3）乙木工想采用如图2所示的方式，在长方形木板②上截出两个面积均为的正方形木板，请你判断能否截出，并说明理由． 【答案】（1）2，，     （2）阴影部分面积为；     （3） 解：不能截出； 理由：，， ∴两个正方形木板放在一起的宽为，长为． 由（2）可得长方形木板的长为，宽为． ∵，但， ∴不能截出．      【分析】 本题主要考查了二次根式混合运算的实际应用， （1）根据正方形的面积，即可求出边长； （2）先求出木板① 的边长，根据长方形面积公式即可求解； （3）求出两个面积为的正方形木板的边长，即可得出所需木板的长和宽，将其与实际木板长和宽进行比较，即可解答． (1) 小问详解： 解：∵正方形木板A的面积为，正方形木板B的面积为，正方形木板C的面积为， ∴正方形木板A的边长为，正方形木板B的边长为，正方形木板C的边长为， 故答案为：2，，； (2) 小问详解： 解：∵正方形木板A的边长为，正方形木板B的边长为，正方形木板C的边长为， ∴长方形木板① 的长为，宽为， ∴阴影部分面积为； (3) 小问详解： 略 22．（25-26学年八上·贵州六盘水·期中）计算 （1）； （2）． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题主要考查了实数的混合运算，解决本题的关键是根据实数的运算法则进行计算． 根据平方根、立方根的定义把各项化简，再进行计算； 首先根据二次根式的性质把各项分别化为最简二次根式，再合并同类二次根式． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： ． 23．（25-26学年八上·贵州铜仁德江县·期中）阅读下面问题：， ， ， 【问题探究】 （1）根据以上信息，化简：______________________________． 【应用结论】 （2）利用以上规律，计算： 【拓展应用】 （3）如果有理数a，b满足，试求： 的值． 【答案】（1） （2）2025 （3） 【分析】 本题考查了分母有理化，平方差公式，二次根式的混合运算，熟练掌握分母有理化是解题的关键． （1）根据所给等式解答即可； （2）根据规律，化简计算即可． （3）根据，得，再求出，然后化简计算即可． 【详解】 解：（1） ． 故答案为：； （2） ． （3）∵， ∴且， 解得， 故， 解得． ∴． ∵ ∴原式 ． 24．（25-26学年八上·贵州铜仁德江县·期中）计算： （1） （2） 【答案】（1）      （2）       【分析】 本题考查了根式的化简与运算，完全平方公式及平方差公式的运用． （1）先化简得到4，再计算得到，最后合并同类项二次根式，即可得出结果； （2）先使用完全平方公式展开第一项，再将第二项利用平方差公式展开，最后合并两部分结果得出最终答案． (1) 小问详解： 解：原式 ． (2) 小问详解： 解：原式 ． 25．（25-26学年八上·贵州铜仁松桃苗族自治县·期中）已知长方形的长，宽． （1）求长方形的周长． （2）求长方形的面积． 【答案】（1）长方形的周长为     （2）长方形的面积为1      【分析】 本题考查二次根式的运算，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）根据长方形周长公式列出代数式，然后进行计算即可； （2）根据长方形面积公式列出代数式，然后进行计算即可． (1) 小问详解： 解：，， ， 长方形的周长； (2) 小问详解： 解：长方形的面积． 26．（25-26学年八上·贵州铜仁松桃苗族自治县·期中）观察下列等式： 第一个等式：；第二个等式：； 第三个等式：；……， （1）请写出第四个等式________； （2）根据上述规律，写出第个等式（为正整数）； （3）计算：． 【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 本题考查了找规律，二次根式的计算，分母有理化，解题的关键是掌握分母有理化的方法，同时发现规律，易错点在于符号易错和规律找错． （1）观察分析：对比前三个等式的结构变化，第一个式子，分母就是，第二个式子分母就是，容易发现第个式子的分母就是，根据此规律写出式子即可； （2）根据题（1）发现的规律，总结出第个式子即可； （3）根据规律中的式子右边，列项，进行计算即可． (1) 小问详解： 根据规律得； (2) 小问详解： 根据规律得； (3) 小问详解： 故原式． 27．（25-26学年八上·贵州铜仁·期中）有一块矩形木板，木工甲采用如图的方式，将木板的长增加，宽增加，得到一个面积为的正方形． （1）正方形的边长为___________ ；（填最简二次根式） （2）求矩形木板的面积； （3）木工乙想从矩形木板中截出长为、宽为的矩形木条，最多能截出___________根这样的木条． 【答案】（1）     （2）     （3）4      【分析】 本题考查二次根式的应用，无理数的估算，理解题意是解题的关键． （1）正方形的边长等于面积的算术平方根； （2）根据（1）中结论求出矩形的长和宽，相乘即可； （3）比较矩形的长与木条的长之间的数量关系，矩形的宽与木条的宽之间的数量关系，即可求解． (1) 小问详解： 解：正方形的边长为， 故答案为：； (2) 小问详解： 解：由题意知，， ， 即矩形木板的面积为； (3) 小问详解： 解：，， 最多能截出的木条数量为：， 故答案为：4． 28．（25-26学年八上·贵州铜仁·期中）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查二次根式的混合运算，零指数幂，完全平方公式，平方差公式，掌握运算顺序及运算法则准确计算是本题的解题关键． （1）先化简二次根式，计算零指数幂，求绝对值，最后加减即可； （2）先利用完全平方公式和平方差公式进行化简，最后加减即可． (1) 小问详解： 解：， ， ； (2) 小问详解： 解：， ， ， ． 29．（25-26学年八上·贵州铜仁万山区·期中）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）2     （2）1      【分析】 本题主要考查实数的混合运算和二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）原式先计算括号内的，再计算除法即可； （2）原式先计算乘方，再进行加减运算 即可得到结果． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： ． 30．（25-26学年八上·贵州铜仁万山区·期中）先化简，再求值：，其中.如图是小亮与小芳的解答过程： （1）_______的解法是错误的，错误的原因是没有正确运用二次根式的性质：________； （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）小亮，     （2），2025      【分析】 本题考查了二次根式的性质、二次根式的化简，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据二次根式的性质解题即可； （2）根据二次根式的性质化简，然后代入求值即可． (1) 小问详解： 解：∵当时，，由二次根式的性质可得： ，即小亮的计算是错误的， ∴小亮的解法是错误的，错误的原因是没有正确运用二次根式的性质：； 故答案为：小亮；； (2) 小问详解： 解：原式, ∴原式 ． 31．（25-26学年八上·贵州铜仁万山区·期中）先化简，再求值：，其中，． 【答案】，1 【分析】 本题主要考查分式的化简求值，先根据分式混合运算顺序和运算法则化简原式，再将、的值代入计算可得． 【详解】 解：原式 ， 当，时， 原式 ． 32．（25-26学年八上·贵州贵阳第十九中学·期中）我们已经学过完全平方公式，知道所有的非负数都可以看作是一个数的平方，例如，，那么，我们可以利用完全平方公式来解决下面的问题： 例1     求的算术平方根． 解：，所以的算术平方根是． 例2   求的算术平方根． 解：，所以的算术平方根是． 请根据上面的方法化简： （1）___________； （2）___________；（直接写出化简结果） （3）化简：． 【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 本题考查了复合二次根式，分母有理化，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先理解题意，模仿题干解题过程，则，即可作答． （2）先理解题意，模仿题干解题过程，则，即可作答． （3）同理得，，再分别代入进行化简，即可作答． (1) 小问详解： 解：依题意，， 即； (2) 小问详解： 解：依题意，， ∴； (3) 小问详解： 解：依题意，， ∴； 依题意，， 则 ． 33．（25-26学年八上·贵州毕节·期中）下面是晓明的探究过程，请你补充完整： （1）具体运算，发现规律． 特例1：， 特例2：， 特例3：， 特例4：， 特例5：　　（填写一个符合上述运算特征的例子）． （2）观察、归纳，得出猜想． 如果n为正整数，用含n的式子表示上述的运算规律为：　　． （3）应用运算规律，求的值． 【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）根据所给的式子的特点进行求解即可； （2）分析所给的式子的形式，不难得出其规律； （3）利用（2）中的规律进行求解即可． (1) 小问详解： 解：由题意得：特例5为：， 故答案为：； (2) 小问详解： 解：， ， ， ， ， ， 故答案为：； (3) 小问详解： 解： ． 【点睛】 本题主要考查二次根式的混合运算，数字的变化规律，解题的关键是由所给的式子总结出存在的规律． 34．（八上·贵州专用·期中）计算： （1）． （2）． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了二次根式的混合运算，负整数次幂等知识，解题的关键是： （1）先进行二次根式的化简，再进行二次根式的加减法运算进行求解即可． （2）先根据负整数次幂、完全平方公式化简，然后再运用二次根式的混合运算法则计算即可． (1) 小问详解： 解： ． (2) 小问详解： 解： ． 35．（25-26学年八上·贵州毕节织金县思源实验学校·期中）【阅读材料】 黑白双雄，纵横江湖；双剑合璧，天下无敌．这是武侠小说中的常见描述．其意是指两个人合在一起，取长补短，威力无比．在二次根式中也有这种相辅相成的“好搭档”，如，，它们的乘积不含有二次根式，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式． 于是，二次根式除法可以这样解：如，．像这样通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫分母有理化． 【解决问题】 （1）将下列式子分母有理化：___________． 【能力提升】 （2）若是的小数部分，求的值． （3）计算：． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】 此题考查了分母有理化，二次根式的混合运算，代数式求值以及实数的估算，正确选择两个二次根式，使它们的积符合平方差公式是解答问题的关键． （1）找出分母有理化因式，再进行分母有理化即可求解； （2）先求出，得到的小数部分为，再代入所求式子进行求解即可； （3）把原式各项分母有理化，再合并即可得到结果． 【详解】 解：（1）， 故答案为：； （2）， ， 的整数部分是， 的小数部分为， ； （3） ． 36．（25-26学年八上·贵州铜仁·期中）阅读材料：像，这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式，与互为有理化因式．在进行二次根式运算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号．数学课上，老师出了一道题“已知，求的值”． 聪明的小明同学根据上述材料，做了如下解答： 因为， 所以， 所以，即， 所以， 所以． 请你根据上述材料和小明的解答过程，解决下列问题： （1）的有理化因式是_______；计算_______； （2）计算：； （3）若，求的值． 【答案】（1）；     （2）     （3）      【分析】 本题主要考查了二次根式的混合运算及化简求值，解题关键是熟练掌握平方差公式、完全平方公式和分母有理化． （1）根据已知条件中的有理化因式的定义，求出答案即可； （2）分式的分子和分母同时乘分母的有理化因式，进行化简即可； （3）先把的值分母有理化进行化简，再把所求式子利用完全平方公式进行变形，然后把的值代入进行计算即可． (1) 小问详解： 解： ， 的有理化因式是， ， 故答案为：；； (2) 小问详解： 解：， ， ， ， ； (3) 小问详解： 解：， ， ， ， 当时， 原式， ， ， ． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 二次根式 考点01 二次根式及其性质 考点02 二次根式的乘法与除法 考点03 二次根式的加法与减法 考点01 二次根式及其性质 1．B 2．C 3．D 4．A 5．D 6．B 7．C 8．C 9．C 10．B 11．B 12．B 13．【答案】 【分析】 利用二次根式的性质化简计算即可． 【详解】 解：． 故答案为：． 【点睛】 本题考查了二次根式的性质，会利用二次根式的性质化简计算是解答的关键． 14．【答案】 【分析】 本题主要考查了化简二次根式，利用二次根式性质化简即可． 【详解】 解：， 故答案为：． 15．【答案】0（答案不唯一） 【分析】 本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．根据二次根式的被开方数是非负数求出的取值范围，写出一个符合题意的即可． 【详解】 解：∵， ∴， ∴的值可以是0， 故答案为：0（答案不唯一）． 16．【答案】（1）（2）（3）或 【分析】 本题考查了二次根式的性质和化简，完全平方公式，二次根式的混合运算，平方根，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据二次根式的性质化简，即可作答． （2）运用完全平方公式计算，即可作答． （3）运用平方根进行解方程，即可作答． 【详解】 解：（1）； （2）； （3）， ， ∴或， 解得或． 17．【答案】1 【分析】 本题考查代数式化简，熟练掌握绝对值和二次根式的化简是解题的关键，根据数轴得到的取值范围，从而得到，，再进行化简即可得到答案． 【详解】 解：由数轴可得：， ∴，， ∴， 故答案为：1． 18．【答案】①     ②     ③ 【分析】 本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．根据二次根式的被开方数是非负数即可得出答案． 【详解】 解：有意义，则， 解得； 有意义，则， 解得； 有意义，则 ， 解得． 故答案为：；；． 19．【答案】且 【分析】 根据二次根式有意义的条件、分式有意义的条件列出不等式，解不等式得到答案． 【详解】 由题意得，，， 解得，且， 故答案为：且． 【点睛】 本题考查了二次根式有意义的条件、分式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键． 20．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键， （1）根据“和谐二次根式”的定义列出式子，再进行化简即可得到答案； （2）根据“和谐二次根式”的定义列出式子，再进行化简即可得到答案； (1) 小问详解： 解：由题意可得： ∴． (2) 小问详解： 解：由题可得：， ∴， ∴， ∴， ∴． 考点02 二次根式的乘法与除法 1．A 2．B 3．C 4．D 5．C 6．C 7．A 8．【答案】． 【详解】解：=；故答案为． 点睛：此题考查了二次根式的乘法，掌握二次根式的运算法则：乘法法则是本题的关键． 考点03 二次根式的加法与减法 1．C 2．B 3．D 4．B 5．C 6．A 7．B 8．D 9．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了二次根式的混合运算，完全平方公式，平方差公式， （1）根据二次根式的运算法则计算即可； （2）运算完全平方公式，平方差公式计算即可作答． (1) 小问详解： ； (2) 小问详解： ． 10．【答案】5 【分析】 本题考查了无理数的估算，二次根式的减法运算，无理数整数部分的有关计算，正确掌握相关性质是解题的关键．先根据的整数部分为a，的小数部分为b，得出，，再代入进行计算，即可作答． 【详解】 解：∵， ∴， ∵的整数部分为a， ∴， ∵， ∴， ∵的小数部分为b， ∴， 则． 11．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题主要考查了单项式除以单项式，二次根式的乘法运算． （1）根据单项式除以单项式计算即可． （2）利用平方差公式计算即可． (1) 小问详解： 解： (2) 小问详解： 解： 12．【答案】（1）     （2）     （3）     （4）      【分析】 本题考查了二次根式的混合运算，完全平方公式，平方差公式，立方根，二次根式的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先根据二次根式的性质进行化简，求一个数的立方根，再运算加法，即可作答． （2）先根据二次根式的性质进行化简，再运算分子，最后运算除法，即可作答． （3）先根据二次根式的性质化简，再进行乘法运算，最后合并同类二次根式，即可作答． （4）先根据完全平方公式，平方差公式进行展开，再运算加减法，即可作答． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： ； (3) 小问详解： 解： ； (4) 小问详解： 解： ． 13．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则并正确求解是解答的关键． （1）利用乘法分配律求解即可； （2）先利用二次根式的性质化简各项，再加减求解即可． (1) 小问详解： 解：， ， ， ； (2) 小问详解： 解：， ， ． 14．【答案】超过了规定的速度 【分析】 本题考查了二次根式的应用以及数值大小比较．先将已知的刹车距离和摩擦系数代入经验公式计算出车速，再与规定速度比较，判断是否超速． 【详解】 解：把，代入， ， ∴肇事汽车当时的速度超过了规定的速度． 15．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查的是二次根式的混合运算，掌握运算顺序是解本题的关键； （1）先计算二次根式的乘法与除法运算，再合并即可； （2）先计算二次根式的乘法运算，再合并即可． (1) 小问详解： 解 ： ； (2) 小问详解： 解： ． 16．【答案】 【分析】 本题主要考查了实数比较大小，熟练掌握“作差法”比较大小是解题的关键．利用作差法得到，再比较出即可得到答案． 【详解】 ，， ， ， 故答案为：． 17．【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 本题主要考查了二次根式分母有理化的知识，解题的关键是熟练掌握分母有理化的方法． （1）根据有理化因式的定义即可解答； （2）根据一个分母含有二次根式的式子时，采用分子、分母同乘以分母的有理化因式的方法进行化简； （3）通过分母有理化可化简、，从而求出、，根据，将的值代入即可求解． (1) 小问详解： 解：∵， ∴是的有理化因式， 故答案为：； (2) 小问详解： 解： ． (3) 小问详解： 解：， ， ． 18．【答案】（1）；     （2）      【分析】 本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则和除法法则是解决问题的关键． （1）利用题目中的等式反映的规律写出，然后分母有理化； （2）先分母有理化，然后合并同类二次根式即可． (1) 小问详解： 解：， 故答案为：； (2) 小问详解： 解：原式 19．【答案】（1），②；（2）；② 【分析】 本题考查平方根，立方根，二次根式，零指数幂． （1）① 根据平方差公式，零指数幂以及实数的运算方法进行计算即可； ② 根据实数的运算方法进行计算即可； （2）① 根据等式的性质以及平方根的定义进行计算即可； ② 根据等式的性质以及立方根的定义进行计算即可． 【详解】 解：（1）① 原式 ； ② 原式 ； （2）① 移项得，， 两边都除以9得， 由平方根的定义得，； ② 移项得，， 由立方根的定义得，， 解得 20．【答案】（1），     （2）      【分析】 本题考查了二次根式的混合运算，平方差公式，分母有理化，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）利用题干的解题思路进行计算，即可解答； （2）利用题干的解题思路进行计算，即可解答． (1) 小问详解： 解：； ． 故答案为：，． (2) 小问详解： 原式 ． 21．【答案】（1）2，，     （2）阴影部分面积为；     （3） 解：不能截出； 理由：，， ∴两个正方形木板放在一起的宽为，长为． 由（2）可得长方形木板的长为，宽为． ∵，但， ∴不能截出．      【分析】 本题主要考查了二次根式混合运算的实际应用， （1）根据正方形的面积，即可求出边长； （2）先求出木板① 的边长，根据长方形面积公式即可求解； （3）求出两个面积为的正方形木板的边长，即可得出所需木板的长和宽，将其与实际木板长和宽进行比较，即可解答． (1) 小问详解： 解：∵正方形木板A的面积为，正方形木板B的面积为，正方形木板C的面积为， ∴正方形木板A的边长为，正方形木板B的边长为，正方形木板C的边长为， 故答案为：2，，； (2) 小问详解： 解：∵正方形木板A的边长为，正方形木板B的边长为，正方形木板C的边长为， ∴长方形木板① 的长为，宽为， ∴阴影部分面积为； (3) 小问详解： 略 22．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题主要考查了实数的混合运算，解决本题的关键是根据实数的运算法则进行计算． 根据平方根、立方根的定义把各项化简，再进行计算； 首先根据二次根式的性质把各项分别化为最简二次根式，再合并同类二次根式． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： ． 23．【答案】（1） （2）2025 （3） 【分析】 本题考查了分母有理化，平方差公式，二次根式的混合运算，熟练掌握分母有理化是解题的关键． （1）根据所给等式解答即可； （2）根据规律，化简计算即可． （3）根据，得，再求出，然后化简计算即可． 【详解】 解：（1） ． 故答案为：； （2） ． （3）∵， ∴且， 解得， 故， 解得． ∴． ∵ ∴原式 ． 24．【答案】（1）      （2）       【分析】 本题考查了根式的化简与运算，完全平方公式及平方差公式的运用． （1）先化简得到4，再计算得到，最后合并同类项二次根式，即可得出结果； （2）先使用完全平方公式展开第一项，再将第二项利用平方差公式展开，最后合并两部分结果得出最终答案． (1) 小问详解： 解：原式 ． (2) 小问详解： 解：原式 ． 25．【答案】（1）长方形的周长为     （2）长方形的面积为1      【分析】 本题考查二次根式的运算，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）根据长方形周长公式列出代数式，然后进行计算即可； （2）根据长方形面积公式列出代数式，然后进行计算即可． (1) 小问详解： 解：，， ， 长方形的周长； (2) 小问详解： 解：长方形的面积． 26．【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 本题考查了找规律，二次根式的计算，分母有理化，解题的关键是掌握分母有理化的方法，同时发现规律，易错点在于符号易错和规律找错． （1）观察分析：对比前三个等式的结构变化，第一个式子，分母就是，第二个式子分母就是，容易发现第个式子的分母就是，根据此规律写出式子即可； （2）根据题（1）发现的规律，总结出第个式子即可； （3）根据规律中的式子右边，列项，进行计算即可． (1) 小问详解： 根据规律得； (2) 小问详解： 根据规律得； (3) 小问详解： 故原式． 27．【答案】（1）     （2）     （3）4      【分析】 本题考查二次根式的应用，无理数的估算，理解题意是解题的关键． （1）正方形的边长等于面积的算术平方根； （2）根据（1）中结论求出矩形的长和宽，相乘即可； （3）比较矩形的长与木条的长之间的数量关系，矩形的宽与木条的宽之间的数量关系，即可求解． (1) 小问详解： 解：正方形的边长为， 故答案为：； (2) 小问详解： 解：由题意知，， ， 即矩形木板的面积为； (3) 小问详解： 解：，， 最多能截出的木条数量为：， 故答案为：4． 28．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查二次根式的混合运算，零指数幂，完全平方公式，平方差公式，掌握运算顺序及运算法则准确计算是本题的解题关键． （1）先化简二次根式，计算零指数幂，求绝对值，最后加减即可； （2）先利用完全平方公式和平方差公式进行化简，最后加减即可． (1) 小问详解： 解：， ， ； (2) 小问详解： 解：， ， ， ． 29．【答案】（1）2     （2）1      【分析】 本题主要考查实数的混合运算和二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）原式先计算括号内的，再计算除法即可； （2）原式先计算乘方，再进行加减运算 即可得到结果． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： ． 30．【答案】（1）小亮，     （2），2025      【分析】 本题考查了二次根式的性质、二次根式的化简，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据二次根式的性质解题即可； （2）根据二次根式的性质化简，然后代入求值即可． (1) 小问详解： 解：∵当时，，由二次根式的性质可得： ，即小亮的计算是错误的， ∴小亮的解法是错误的，错误的原因是没有正确运用二次根式的性质：； 故答案为：小亮；； (2) 小问详解： 解：原式, ∴原式 ． 31．【答案】，1 【分析】 本题主要考查分式的化简求值，先根据分式混合运算顺序和运算法则化简原式，再将、的值代入计算可得． 【详解】 解：原式 ， 当，时， 原式 ． 32．【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 本题考查了复合二次根式，分母有理化，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先理解题意，模仿题干解题过程，则，即可作答． （2）先理解题意，模仿题干解题过程，则，即可作答． （3）同理得，，再分别代入进行化简，即可作答． (1) 小问详解： 解：依题意，， 即； (2) 小问详解： 解：依题意，， ∴； (3) 小问详解： 解：依题意，， ∴； 依题意，， 则 ． 33．【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）根据所给的式子的特点进行求解即可； （2）分析所给的式子的形式，不难得出其规律； （3）利用（2）中的规律进行求解即可． (1) 小问详解： 解：由题意得：特例5为：， 故答案为：； (2) 小问详解： 解：， ， ， ， ， ， 故答案为：； (3) 小问详解： 解： ． 【点睛】 本题主要考查二次根式的混合运算，数字的变化规律，解题的关键是由所给的式子总结出存在的规律． 34．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了二次根式的混合运算，负整数次幂等知识，解题的关键是： （1）先进行二次根式的化简，再进行二次根式的加减法运算进行求解即可． （2）先根据负整数次幂、完全平方公式化简，然后再运用二次根式的混合运算法则计算即可． (1) 小问详解： 解： ． (2) 小问详解： 解： ． 35．【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】 此题考查了分母有理化，二次根式的混合运算，代数式求值以及实数的估算，正确选择两个二次根式，使它们的积符合平方差公式是解答问题的关键． （1）找出分母有理化因式，再进行分母有理化即可求解； （2）先求出，得到的小数部分为，再代入所求式子进行求解即可； （3）把原式各项分母有理化，再合并即可得到结果． 【详解】 解：（1）， 故答案为：； （2）， ， 的整数部分是， 的小数部分为， ； （3） ． 36．【答案】（1）；     （2）     （3）      【分析】 本题主要考查了二次根式的混合运算及化简求值，解题关键是熟练掌握平方差公式、完全平方公式和分母有理化． （1）根据已知条件中的有理化因式的定义，求出答案即可； （2）分式的分子和分母同时乘分母的有理化因式，进行化简即可； （3）先把的值分母有理化进行化简，再把所求式子利用完全平方公式进行变形，然后把的值代入进行计算即可． (1) 小问详解： 解： ， 的有理化因式是， ， 故答案为：；； (2) 小问详解： 解：， ， ， ， ； (3) 小问详解： 解：， ， ， ， 当时， 原式， ， ， ． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $