专题08 分式（期中真题汇编，贵州专用）八年级数学上学期

专题08 分式 考点01 从分数到分式 考点02 分式的基本性质 考点03 分式的加法与减法 考点04 整数指数幂 考点05 分式方程 考点01 从分数到分式 1．C 2．A 3．A 4．A 5．A 6．A 7．B 8．D 9．C 10．C 11．【答案】2 【分析】 本题考查了分式的值为零的条件：分式的分母不为零，分子为零．根据分式的值为零的条件得：且，即可求解． 【详解】 解：根据分式的值为零的条件得：且， 解得：． 故答案为：2． 12．【答案】 【分析】 本题考查式子规律，根据已知式子，找准规律是解决问题的关键． 根据前面几个式子的化简结果，得到规律是计算结果是以、、为循环节进行循环，由，即可得到的值． 【详解】 解：， ， ， ， 计算结果是以、、为循环节进行循环， ， ， 故答案为：． 考点02 分式的基本性质 1．B 2．C 3．B 4．A 5．C 6．A 考点03 分式的加法与减法 1．A 2．【答案】 【分析】 本题考查分式的化简求值，熟练掌握分式的通分是解题的关键，将所求代数式通分后，利用已知条件代入计算即可． 【详解】 解：， ∵，： ∴原式， 故答案为：． 3．【答案】.6 【分析】 本题主要考查了分式的化简求值，掌握分式的基本性质是解题的关键． 由可得，再根据分式的基本性质将化为，然后整体代入计算即可． 【详解】 解：， ，， ． ． 故答案为：． 4．【答案】（1） 二；去括号时未变号     （2） 解：原式 ． 选，代入得：原式．      【分析】 本题考查了分式的混合运算，解题的关键是正确运用分式运算法则（通分、因式分解、约分），注意去括号时的符号处理． （1）观察化简步骤，判断错误步骤及符号处理的错误原因； （2）先对括号内分式通分并正确化简分子，再将除法转化为乘法，约分得到最简分式，选择使分式有意义的整数代入求值． (1) 小问详解： 解：第二步开始出现错误，这一步错误的原因是去括号时符号处理错误，未将中的变为； 故答案为：二；去括号时未变号； (2) 小问详解： 略 5．【答案】化简为，． 【分析】 本题主要考查了分式的化简求值，首先根据分式的运算法则进行计算，可得：原式，根据分式有意义的条件可得：，，又因为的取值范围是，为整数，可知，把字母的值代入化简后的代数式计算求值． 【详解】 解： ， ，，， ，， 又，为整数， ， 可得：原式． 6．【答案】小宇说法正确，理由， ， ∵且， ∴， ∴， ∴， ∴不论取何值，的值都比的值大； ∴小宇说法正确． 【分析】 本题考查了分式的运算，先进行运算，即，因为，所以，故有，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】 解：略． 7．【答案】（1）若．理由：， ， ， ； （2）； （3）① 乙试验田的小麦的单位面积产量高，理由： 甲试验田的面积为：， 乙试验田的面积为：， ， ， ， ， ， 乙试验田的小麦的单位面积产量高； ② 乙试验田的小麦的单位面积产量是甲试验田的小麦的单位面积产量的倍 【分析】 本题考查了完全平方公式，分式减法运算及实际应用； （1）由判断即可； （2）作差比较大小即可； （3）① 分别表示出两块试验田的产量，再作差比较大小即可 ② 根据“高的单位面积产量除以低的单位面积产量”得到，计算化简即可． 【详解】 解：（1）略 （2），， ， ，， ， ， ， ， ， ； （3）① 略 ② ， 乙试验田的小麦的单位面积产量是甲试验田的小麦的单位面积产量的倍． 8．【答案】（1）     （2）最大值是5     （3）2＋，当时，分式运算的结果是整数      【分析】 此题考查分式的变形计算，同分母分式加法逆运算， （1）根据同分母分式加法将各分式变形即可； （2）根据同分母分式加法将各分式变形即可解答； （3）将分式变形结果为，根据分式的性质得到x的值． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解：， ∵， ∴的最小值为1， ∴的最大值为3， ∴的最大值为5， ∴分式的最大值是5， (3) 小问详解： 解： ， 当时，是整数； 即当时，是整数； ∵分母不能为0， ∴， 故只有当时，分式的值为整数． ∴当时，分式运算的结果是整数． 9．【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 本题考查了分式加减运算，倒数定义，完全平方公式的变形求值，理解例题的思路是解题的关键． （1）把已知等式变形求出的值，再把所求的式子变形后进行计算即可； （2）把已知等式变形求出的值，再把所求的式子变形后进行计算即可； （3）根据已知等式得出，，求出，将此式分别与前面三式相减，可求得：，，，再求出结果即可． 【详解】 （1）由，知，，即． ，． （2）由，得，即，． ， ． （3）由，得，即：． 由，得：；由，得：． 以上三式相加，得， ． 将此式分别与前面三式相减，可求得：，，， 10．【答案】，（答案不唯一） 【分析】 本题考查分式的化简求值，熟练掌握分式的混合运算法则是解题的关键，先根据分式的混合运算法则把原式进行化简，再代入进行计算即可． 【详解】 解：原式 ， ∵，，即，. ∴当时， 原式． 考点04 整数指数幂 1．C 2．D 3．A 4．B 5．B 6．C 7．B 8．D 9．【答案】（1）5；（2） 【分析】 本题考查了实数的混合运算，负整数指数幂，算术平方根，解一元一次不等式组，掌握相关运算法则和解法是解题关键． （1）先计算绝对值，零指数幂、负整数指数幂、算术平方根，再计算乘法，最后计算加减法即可； （2）先求出每个不等式的解集，根据口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了确定不等式组的解集即可． 【详解】 （1）解： ； （2）解： 解不等式① ，得， 解不等式② ，得， 所以不等式组的解集为． 10．【答案】（1）6     （2）1      【分析】 此题考查实数的混合运算，异分母分式加法，熟练掌握运算法则是解题的关键： （1）先计算负整数指数幂，零次幂，绝对值，再计算加减法； （2）先通分，再计算分式减法即可 (1) 小问详解： 原式； (2) 小问详解： 原式 11．【答案】 【分析】 该题考查了分式的乘方运算，负整数指数幂，先运用负整数指数幂法则，将原式变形，再对分子和分母分别进行平方运算即可． 【详解】 解：   ． 故答案为：． 12．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查实数的运算，熟练掌握实数的运算法则是解题的关键， （1）根据负整数指数幂，绝对值，零指数幂和开平方的运算法则计算即可得到答案； （2）根据同底数幂的乘除法和负整数指数幂的运算法则计算即可得到答案． (1) 小问详解： 解： ． (2) 小问详解： 解： ． 考点05 分式方程 1．B 2．A 3．A 4．D 5．C 6．A 7．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根． （1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解； （2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． (1) 小问详解： 解： 方程两边同乘，得到， 去括号得，解得． 检验：当时，， 所以是原分式方程的解． (2) 小问详解： 方程两边同乘，得到， 去括号合并得，解得． 检验知时，， 所以是原分式方程的解． 8．【答案】（1）①，等式基本性质     （2） 解：， 整理得： 方程两边同乘得：， 去括号得：， 移项得：， 解得：， 当时，， 是原分式方程的解．      【分析】 本题考查解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解决问题的关键． （1）由等式的基本性质检验即可得到答案； （2）按照分式方程的解法步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1、验根求解即可得到答案． (1) 小问详解： 解：以上解答有错误，最先开始错误的步骤是① （填序号），此步骤的做题依据是等式基本性质， 故答案为：①，等式基本性质； (2) 小问详解： 略 9．【答案】 【分析】 此题考查了分式方程的增根，解题的关键是掌握处理增根问题的步骤：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根得到，把代入整式方程计算求出m的值即可． 【详解】 解： ， 由分式方程有增根，得到，即， 将，代入上式得，． 故答案为：． 10．【答案】（1）     （2）无解      【分析】 本题考查了解分式方程，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据分式方程的解法计算即可； （2）根据分式方程的解法计算即可． (1) 小问详解： 解：， ， ， 解得：， 检验：当时，， 是原方程的根； (2) 小问详解： 解：， ， 解得：， 当时，， 是增根，分式方程无解． 11．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）分式方程去掉分母转化为整式方程，求出整式方程的解后再检验即得答案； （2）先把分式方程去掉分母转化为整式方程，然后由分式方程有增根可得，求出x的值后再代入到整式方程即可求解. (1) 小问详解： 当时，方程即为， 两边同时乘以，得， 解得：， 经检验：是原方程的解， 所以原方程的解是； (2) 小问详解： 方程同时乘以， 得， 即为， 若关于x的分式方程有增根，则， 解得：， 所以. 【点睛】 本题考查了分式方程的求解和增根问题，熟练掌握解分式方程的步骤和方法是解题的关键. 12．【答案】（1）购买一个甲种足球需50元，购买一个乙种足球需70元     （2）这所学校最多可购买17个乙种足球      【分析】 】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用． （1）设购买一个甲种足球需x元，则购买一个乙种足球需元，根据购买甲种足球共花费2000元，购买乙种足球共花费1400元，购买甲种足球的数量是购买乙种足球数量的2倍，列出分式方程，解分式方程即可； （2）设学校购买乙种足球m个，则购买甲种足球个，根据此次购买甲、乙两种足球的单价不变，总费用不超过2850元，结合（1）的结论，列出一元一次不等式，解不等式即可． (1) 小问详解： 解：设购买一个甲种足球需x元，则购买一个乙种足球需元． 根据题意，得， 解得， 经检验，是原方程的解， 则， 答：购买一个甲种足球需50元，购买一个乙种足球需70元； (2) 小问详解： 解：设学校购买乙种足球m个，则购买甲种足球个， 根据题意，得， 解得， ∵m为正整数， ∴m 的最大值为17． 答：这所学校最多可购买17个乙种足球． 13．【答案】（1）超市第一次购进水果的单价是每千克10元     （2）总获利为元      【分析】 本题考查分式方程解应用题、有理数混合运算解应用题，读懂题意，准确列出方程及代数式求解是解决问题的关键． （1）设该超市第一次购进水果的单价是每千克元，则第二次进货单价是每千克元．根据数量关系：第二次购进水果数量第一次购进水果数量， 列分式方程求解即可得到答案； （2）按照题意，分别得到两次购进水果数量，进而确定按15元每千克出售的水果，然后分别计算总销售额、总成本，再由利润总销售额总成本即可得到答案． (1) 小问详解： 解：设该超市第一次购进水果的单价是每千克元，则第二次进货单价是每千克元， ， 解得， 经检验，是分式方程的解， 答：该超市第一次购进水果的单价是每千克10元； (2) 小问详解： 解：由题意可知，第一次购进水果的数量为：（千克）；第二次购进水果的数量为：（千克）； 则两次一共购进水果：（千克）； 按15元每千克出售的水果有：（千克）， 则总销售额为：（元）， 总成本为：（元）， 总获利为：（元）． 14．【答案】（1）羽毛球拍采购了30副，网球拍采购了70副     （2）每个排球的采购价为75元      【分析】 本题主要考查了二元一次方程组、分式方程的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程组、分式方程． （1）设购进副羽毛球拍，副网球拍，根据羽毛球拍和网球拍共100副，一共花了7250元，列出方程组，求解即可； （2）设每个排球的采购价为元，则每个篮球的采购价为元，根据数量＝总价÷单价，篮球数量比排球多14个，列出分式方程，求解即可． (1) 小问详解： 解：设购进副羽毛球拍，副网球拍， 依题意得： 解得 答：羽毛球拍采购了30副，网球拍采购了70副． (2) 小问详解： 解：设每个排球的采购价为元，则每个篮球的采购价为元， 依题意得：，解得． 经检验：是原方程的解，且符合题意． 答：每个排球的采购价为75元． 15．【答案】（1）甲车单独完成任务需要天，乙车单独完成任务需要天     （2）单独租甲车的租金最少且不耽误工期，理由： 若甲乙两车合作需要（天）， 设甲车每天租金为元，乙车每天租金为元， 根据题意，得 ， 解得 ， 租甲乙两车需要费用为：元； 单独租甲车的费用为：元； 单独租乙车的费用为：元； 综上可得，单独租甲车的租金最少且不耽误工期．      【分析】 本题考查了分式方程的应用以及二元一次方程组的应用，理清题意，正确列出分式方程以及二元一次方程组是解答本题的关键． （1）设甲车单独完成任务需要天，乙车单独完成任务需要天，根据题意所述等量关系可得出方程组，解出即可； （2）设甲车每天租金为元，乙车每天租金为元，根据“两车合运共需租金元，甲车每天的租金比乙车每天的租金多元”列出二元一次方程组，解出甲、乙两车每天的租金，再结合（1）的结论，分别计算出三种方案各自所需的费用，然后比较即可． (1) 小问详解： 解：设甲车单独完成任务需要天，乙车单独完成任务需要天， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意 ， 答：甲车单独完成任务需要天，乙车单独完成任务需要天； (2) 小问详解： 略 16．【答案】（1）型机器人单价为9万元，型机器人单价为6万元     （2）方案一：型机器人1台，型机器人9台；方案二：型机器人2台，型机器人8台；方案三：型机器人3台，型机器人7台      【分析】 本题考查分式方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确的列出分式方程和不等式，是解题的关键： （1）设型机器人单价为万元，则型机器人单价为万元，根据采购了相同数量的型、型两种智能机器人，购买型机器人的总费用为90万元，购买型机器人的总费用为60万元，列出方程进行求解即可； （2）设配备型机器人台，则配备型机器人台，根据购买这10台机器人的总费用不超过70万元，列出不等式进行求解即可． (1) 小问详解： 解：设型机器人单价为万元，则型机器人单价为万元， 根据题意，得， 解得， 经检验，是原分式方程的根，且符合题意， 所以，． 所以，型机器人单价为9万元，型机器人单价为6万元． (2) 小问详解： 设配备型机器人台，则配备型机器人台， 根据题意，得， 解得， ∵要求两种型号的机器人各至少配备1台，且y为正整数 ∴的取值为1，2，3，共有3种方案： 方案一：型机器人1台，型机器人9台； 方案二：型机器人2台，型机器人8台； 方案三：型机器人3台，型机器人7台． 17．【答案】4 【分析】 本题考查了分式方程，不等式组，整数解的分析及代数运算与逻辑推理．首先解分式方程，得到解为正整数的整数a值，注意排除使分母为零的情况；再解不等式组，根据有且仅有4个整数解的条件确定a的取值范围；最后取交集得到满足条件的整数a，并求它们的和． 【详解】 解：分式方程，去分母得，整理得， 当 时方程无解，故，解得， 解为正整数且，则为正整数且（即）， 8的正因数为1、2、4、8，对应 ，得， 排除， 故， 不等式组 ， 解第一个不等式得， 解第二个不等式得， ∴不等式组解集为，有且仅有4个整数解， 则整数解为0、1、2、3， 故， 解得， ∴整数a为， 取交集，满足条件的整数a为， 和为． 故答案为：4． 18．【答案】7 【分析】 本题主要考查了一元一次不等式组的整数解及分式方程的解，熟知解一元一次不等式组及解分式方程的步骤是解题的关键．先根据所给方程的解为非负数，得出的取值范围，再结合所给不等式组的整数解只有3个即可解决问题． 【详解】 解：由方程得，， ∵此分式方程的解为非负数， ∴， 解得， 解不等式组 得，， ∵此不等式组有且仅有3个整数解， ∴， 解得， ∵当时，， 此时分式方程无解，故舍去， ∴且， 则符合条件的所有整数的和是：． 故答案为：7． 19．【答案】（1）     （2）、1或3      【分析】 本题考查解分式方程，熟练掌握解分式方程求参数是解题的关键， （1）将代入，把分式方程去分母转化为整式方程，计算即可求出方程的解； （2）把分式方程去分母转化为整式方程，由于分式方程无解，得到或，解可求得一个的值，将，代入整式方程即可求出另外两个的值． (1) 小问详解： 解：当，方程为 方程两边同乘得：， 解得：， 检验：把代入最简公分母得： ∴是原分式方程的解． (2) 小问详解： 解：方程两边同乘得： 整理得：， ∵原分式方程无解， ∴或， ① 当时，； ② 当时， 解得：或， 当时，； 当时，； ∴的值可能为、1或3. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 分式 5大高频考点概览 考点01 从分数到分式 考点02 分式的基本性质 考点03 分式的加法与减法 考点04 整数指数幂 考点05 分式方程 考点01 从分数到分式 1．（25-26学年八上·贵州铜仁德江县·期中）下列各式属于分式的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查分式的概念，分式是指分母中含有字母的代数式．根据此定义，判断各选项分母是否含有字母． 【详解】 解：∵分式需满足分母中含有字母， ∴A．分母无字母，是整式； B．分母无字母，是整式； C．分母有字母，是分式； D．分母是数字，无字母，是整式． 故选：C． 2．（25-26学年八上·贵州铜仁松桃苗族自治县·期中）要使分式有意义，则的取值应满足（   ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查分式有意义的条件，解题的关键是熟练运用分式有意义的条件．根据分母不为零即可求出答案． 【详解】 解：∵分式有意义， ∴分母， 即的取值应满足． 故选：A． 3．（25-26学年八上·贵州铜仁·期中）若分式的值不存在，则x的值为（     ） A.  B. 0 C. 1 D. 2 【答案】A 【分析】 此题考查的是分式的值不存在的条件，分式不存在的条件中特别需要注意的是分母是0，这是经常考查的知识点． 分式的值不存在的条件是：分母为0，即，从而解决问题． 【详解】 解：根据题意得： 解得：． 故选：A． 4．（25-26学年八上·贵州铜仁万山区·期中）若分式有意义，则的取值范围是（     ） A.  B.  C. 且 D.  【答案】A 【分析】 本题考查了分式有意义的条件，分式有意义的条件是分母不为零，因此只需分母 ，解出的取值范围即可． 【详解】 解：∵ 分式有意义， ∴ 分母 ， ∴ ， 故选：A． 5．（25-26学年八上·贵州铜仁德江县·期中）若分式的值为零，则等于（       ） A.  B. 3 C.  D. 0 【答案】A 【分析】 本题主要考查了分式值为0的条件以及分式有意义的条件，根据分式值为0可得出，解出x的值，再根据分式有有意义的条件舍去，即可得出． 【详解】 解：若分式的值为零， ∴， 解得：，， 当时，，分式无意义， ∴， 故选：A． 6．（25-26学年八上·贵州铜仁松桃苗族自治县·期中）分式的值为，则（     ）． A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了分式的值为的条件，分式的值为，需分子的值为且分母的值不为，据此解答即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】 解：∵分式的值为， ∴且， 解得， 故选：． 7．（25-26学年八上·贵州铜仁万山区·期中）在中，分式的个数是（     ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】B 【分析】 本题考查了分式的识别，关键是分母必须含有字母，分母为常数的表达式不是分式．根据分式的定义（分母中含有字母的代数式），判断每个表达式是否为分式即可． 【详解】 解：，，的分母都含有字母，是分式；，，的分母不含字母，不是分式； ∴ 分式有、、，共3个． 故选：B． 8．（25-26学年八上·贵州铜仁碧江区·期中）若分式的值是零，则的值是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了分式的值为零的条件和分式有意义的条件，先根据分式的值为零的条件和分式有意义的条件得出分子且分母，再求出答案即可． 【详解】 解：∵ 分式的值为零， ∴ 分子且分母， 由得， ∴ 或， 当时，分母，不符合条件， ∴ ， 故选：D． 9．（25-26学年八上·贵州铜仁松桃苗族自治县·期中）有下列各式：①；②；③；④．其中是分式的是（） A. ①② B. ③④ C. ①③ D. ①②③④ 【答案】C 【分析】 本题考查了分式的定义，根据分母中含有字母的式子是分式，可得答案，分母中含有字母的式子是分式，否则是整式，注意是常数不是字母． 【详解】 解：①，③是分式，②，④不是分式， 故选：C． 10．（25-26学年八上·贵州铜仁碧江区·期中）设，，满足，，则的值为（     ） A. 0 B. 1 C. 8 D. 9 【答案】C 【分析】 此题考查了分式的加减法，利用已知条件和，将表达式的分子用平方和表示，再通过因式分解简化每个分式，最后求和． 【详解】 解：∵ ，，    ∴ ， 同理，，， 又 ∵ ， ∴ （注：由条件知 ，同理其他分母也不为零）， 同理，，， ∴ 原式． 故选：C． 11．（25-26学年八上·贵州铜仁万山区·期中）若分式的值为0，则x的值是　　　　　　． 【答案】2 【分析】 本题考查了分式的值为零的条件：分式的分母不为零，分子为零．根据分式的值为零的条件得：且，即可求解． 【详解】 解：根据分式的值为零的条件得：且， 解得：． 故答案为：2． 12．（25-26学年八上·贵州铜仁松桃苗族自治县·期中）已知（且），，，…，，则的值为　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查式子规律，根据已知式子，找准规律是解决问题的关键． 根据前面几个式子的化简结果，得到规律是计算结果是以、、为循环节进行循环，由，即可得到的值． 【详解】 解：， ， ， ， 计算结果是以、、为循环节进行循环， ， ， 故答案为：． 考点02 分式的基本性质 1．（25-26学年八上·贵州铜仁松桃苗族自治县·期中）如果把分式中的x，y都扩大2倍，那么分式的值（       ） A. 缩小2倍 B. 扩大2倍 C. 不变 D. 扩大4倍 【答案】B 【分析】 根据分式的基本性质即可求出答案． 【详解】 解：， 故选：B． 【点睛】 本题考查分式的基本性质，解题的关键是熟练运用分式的基本性质，本题属于基础题型． 2．（25-26学年八上·贵州铜仁·期中）若分式，则m的值为（     ） A. 3 B.  C. 9 D.  【答案】C 【分析】 本题考查分式的基本性质，根据分式的基本性质，进行求解即可． 【详解】 解：∵，即， 又∵， ∴； 故选：C． 3．（25-26学年八上·贵州铜仁万山区·期中）下列等式从左到右成立的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了分式的基本性质，能熟记分式的基本性质是解此题的关键，注意：① 分式的基本性质是：分式的分子和分母都乘以或除以同一个不为0的整式，分式的值不变，② 分式分子的符号，分式分母的符号，分式本身的符号，改变其中的两个符号，分式本身的值不变． 根据分式的性质逐个判断即可． 【详解】 解：A、，原等式不成立，选项错误； B、，原等式成立，选项正确； C、，原等式不成立，选项错误； D、，原等式不成立，选项错误. 故选：B． 4．（25-26学年八上·贵州铜仁碧江区·期中）若把分式中的和都扩大到原来的2倍，那么分式的值（     ） A. 扩大到原来的2倍 B. 不变 C. 缩小到原数的 D. 变为原来的 【答案】A 【分析】 本题考查分式的基本性质，熟练掌握分式的性质是解题的关键，将和都扩大 2 倍后，代入分式并化简，与原分式比较即可得出结果． 【详解】 解：∵和都扩大到原来的 2 倍， ∴ 新分式为 ， ∵ 原分式为 ， ∴ 新分式 ，即分式的值扩大为原来的2倍． 故选：A． 5．（25-26学年八上·贵州铜仁碧江区·期中）分式可变形为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键，通过提取分母中的负号，将分式简化即可得到答案． 【详解】 解：∵ ， ∴ 变形后为：， 故选：C． 6．（25-26学年八上·贵州铜仁·期中）对于非负整数，使得是一个正整数，则可取的个数有（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题主要考查了分式的化简变形，解题时要能熟练掌握并理解．依据题意，由，再结合为正整数，为非负整数，进而可以得解． 【详解】 解：由题意，，且为正整数，为非负整数， 必为正整数． 为的正因数，可能为，，，， 为非负整数， 可能为，，． 又为正整数， 或或均符合题意，共种可能． 故选：A． 考点03 分式的加法与减法 1．（25-26学年八上·贵州铜仁德江县·期中）若，，则的值是（       ） A. 1 B. 0 C. -1 D. 2 【答案】A 【分析】 本题考查了分式的化简求值，由已知条件，将A的表达式通分后化简，可得，进而直接计算的值． 【详解】 解：∵， ∴ ， ∴． 故选A． 2．（25-26学年八上·贵州铜仁碧江区·期中）若，，则的值是　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查分式的化简求值，熟练掌握分式的通分是解题的关键，将所求代数式通分后，利用已知条件代入计算即可． 【详解】 解：， ∵，： ∴原式， 故答案为：． 3．（25-26学年八上·贵州铜仁德江县·期中）已知，则分式的值为　　　　　　． 【答案】.6 【分析】 本题主要考查了分式的化简求值，掌握分式的基本性质是解题的关键． 由可得，再根据分式的基本性质将化为，然后整体代入计算即可． 【详解】 解：， ，， ． ． 故答案为：． 4．（25-26学年八上·贵州铜仁德江县·期中）下列是小明同学对分式的化简过程，请认真阅读并完成相应任务． 解：原式………………第一步………………第二步……………………………第三步……………………………………第四步 （1）第__________步开始出现错误，这一步错误的原因是____________________； （2）请写出该分式化简的正确过程，并选择一个你喜欢的整数代入求值． 【答案】（1） 二；去括号时未变号     （2） 解：原式 ． 选，代入得：原式．      【分析】 本题考查了分式的混合运算，解题的关键是正确运用分式运算法则（通分、因式分解、约分），注意去括号时的符号处理． （1）观察化简步骤，判断错误步骤及符号处理的错误原因； （2）先对括号内分式通分并正确化简分子，再将除法转化为乘法，约分得到最简分式，选择使分式有意义的整数代入求值． (1) 小问详解： 解：第二步开始出现错误，这一步错误的原因是去括号时符号处理错误，未将中的变为； 故答案为：二；去括号时未变号； (2) 小问详解： 略 5．（25-26学年八上·贵州铜仁松桃苗族自治县·期中）先化简，再求值： 化简，然后从中选出合适的整数作为的值代入求值． 【答案】化简为，． 【分析】 本题主要考查了分式的化简求值，首先根据分式的运算法则进行计算，可得：原式，根据分式有意义的条件可得：，，又因为的取值范围是，为整数，可知，把字母的值代入化简后的代数式计算求值． 【详解】 解： ， ，，， ，， 又，为整数， ， 可得：原式． 6．（25-26学年八上·贵州铜仁·期中）已知，，小宇和小恒在对，进行化简后，小宇说不论取何值，的值都比的值大；小恒说不论取何值，的值都比的值大，请你判断谁的说法正确，并说明理由． 【答案】小宇说法正确，理由， ， ∵且， ∴， ∴， ∴， ∴不论取何值，的值都比的值大； ∴小宇说法正确． 【分析】 本题考查了分式的运算，先进行运算，即，因为，所以，故有，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】 解：略． 7．（25-26学年八上·贵州铜仁万山区·期中）【阅读材料】 要想比较a和b的大小关系，可以进行作差法，若，则；若，则；若，则． 【学以致用】 （1）若，比较与的大小，并说明理由； （2）若x为全体实数，比较与的大小． 【拓展延伸】 （3）如图，甲、乙两块长方形小麦试验田，甲小麦试验田的相邻两边长分别为米，米，乙小麦试验田的相邻两边长分别为m米，米，其中．两块试验田的小麦都收获了500千克． ①哪块试验田的小麦单位产量高？请说明理由； ②高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？（用含m的代数式表示） 【答案】（1）若．理由：， ， ， ； （2）； （3）① 乙试验田的小麦的单位面积产量高，理由： 甲试验田的面积为：， 乙试验田的面积为：， ， ， ， ， ， 乙试验田的小麦的单位面积产量高； ② 乙试验田的小麦的单位面积产量是甲试验田的小麦的单位面积产量的倍 【分析】 本题考查了完全平方公式，分式减法运算及实际应用； （1）由判断即可； （2）作差比较大小即可； （3）① 分别表示出两块试验田的产量，再作差比较大小即可 ② 根据“高的单位面积产量除以低的单位面积产量”得到，计算化简即可． 【详解】 解：（1）略 （2），， ， ，， ， ， ， ， ， ； （3）① 略 ② ， 乙试验田的小麦的单位面积产量是甲试验田的小麦的单位面积产量的倍． 8．（25-26学年八上·贵州铜仁万山区·期中）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式” 如，，则和都是“和谐分式”． （1）将“和谐分式化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式； （2）应用：求分式的最大值； （3）应用：先化简，并求x取什么整数时，该式的值为整数． 【答案】（1）     （2）最大值是5     （3）2＋，当时，分式运算的结果是整数      【分析】 此题考查分式的变形计算，同分母分式加法逆运算， （1）根据同分母分式加法将各分式变形即可； （2）根据同分母分式加法将各分式变形即可解答； （3）将分式变形结果为，根据分式的性质得到x的值． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解：， ∵， ∴的最小值为1， ∴的最大值为3， ∴的最大值为5， ∴分式的最大值是5， (3) 小问详解： 解： ， 当时，是整数； 即当时，是整数； ∵分母不能为0， ∴， 故只有当时，分式的值为整数． ∴当时，分式运算的结果是整数． 9．（25-26学年八上·贵州铜仁松桃苗族自治县·期中）操作发现：阅读下列解题过程：已知，求的值． 解：由知，所以，即． ， 的值为7的倒数，即． 以上解法中先将已知等式的两边“取倒数”，然后求出待求式子倒数的值，我们把此题的这种解法叫做“倒数法”， （1）已知，求的值； （2）实践探索：请你利用“倒数法”解决下面问题： 已知，求的值； （3）问题解决： 已知：，，，求代数式的值． 【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 本题考查了分式加减运算，倒数定义，完全平方公式的变形求值，理解例题的思路是解题的关键． （1）把已知等式变形求出的值，再把所求的式子变形后进行计算即可； （2）把已知等式变形求出的值，再把所求的式子变形后进行计算即可； （3）根据已知等式得出，，求出，将此式分别与前面三式相减，可求得：，，，再求出结果即可． 【详解】 （1）由，知，，即． ，． （2）由，得，即，． ， ． （3）由，得，即：． 由，得：；由，得：． 以上三式相加，得， ． 将此式分别与前面三式相减，可求得：，，， 10．（25-26学年八上·贵州铜仁碧江区·期中）先化简分式：，再选取一个使原式有意义的数代入求值． 【答案】，（答案不唯一） 【分析】 本题考查分式的化简求值，熟练掌握分式的混合运算法则是解题的关键，先根据分式的混合运算法则把原式进行化简，再代入进行计算即可． 【详解】 解：原式 ， ∵，，即，. ∴当时， 原式． 考点04 整数指数幂 1．（25-26学年·贵州贵阳清镇培文学校·期中）2025年9月28日，世界第一高桥一一贵州花江峡谷大桥建成通车．它是贵州六枝至安龙高速公路的控制性工程，大桥梁段总重量达21000万吨．21000这个数用科学记数法表示正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 此题考查了正整数指数科学记数法，对于一个绝对值大于10的数，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为比原数的整数位数少1的正整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 【详解】 解：． 故选C． 2．（25-26学年八上·贵州铜仁松桃苗族自治县·期中）可燃冰是一种新型能源，它的密度很小，可燃冰的质量仅为．数据用科学记数法表示是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 此题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数． 【详解】 解：用科学记数法表示是， 故选D 3．（25-26学年八上·贵州铜仁·期中）某实验室发布的全球首个氮化镓量子光源芯片，输出波长范围扩展至．将数据0.0000001用科学记数法表示为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值． 【详解】 解：， 故选：A． 4．（25-26学年八上·贵州铜仁·期中）计算的结果为（     ） A. 8 B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查同底数幂的除法，负整数指数幂，利用同底数幂的除法法则，底数不变，指数相减，再根据负指数幂的意义化为分数即可． 【详解】 解：； 故选B． 5．（25-26学年八上·贵州铜仁德江县·期中）在空军红剑演习中，歼战斗机凭借隐身优势，在秒内锁定并“击落”一架四代机．数据“”可表示为的形式，下列各数中，n的值可能是（       ） A. 5 B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了负整数指数科学记数法，对于一个绝对值小于1的非0小数，用科学记数法写成的形式，其中，n是正整数，n等于原数中第一个非0数字前面所有0的个数（包括小数点前面的0）．据此求解即可． 【详解】 解：∵， ∴． 故选：B． 6．（25-26学年八上·贵州铜仁碧江区·期中）芯片是由很多晶体管组成的，而芯片技术追求体积更小的晶体管，以便获得更小的芯片和更低的功耗，我国某品牌手机自主研发了最新型号芯片，其晶体管栅极的宽度为0.000000007毫米，将数据0.000000007用科学记数法表示为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为原数中第一个非零数字前所有0的个数（包括小数点前的0）． 绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数为原数中第一个非零数字前所有0的个数（包括小数点前的0）． 【详解】 解：． 故选：C． 7．（25-26学年八上·贵州铜仁碧江区·期中）如果，，，那么，，的大小关系为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查有理数的比较，熟练掌握零指数幂，负指数幂是解题的关键，其中利用零指数法则，利用负指数法则，利用负指数和平方运算，计算每个表达式的值，再比较大小即可得到答案． 【详解】 解：由题可得：，，， ∵， ∴， 故选：B． 8．（25-26学年八上·贵州铜仁万山区·期中）古代数学著作《九章算术》的注疏中，数学家刘徽曾提及一种用于测量微小长度的单位“忽”，经现代换算，1忽约等于0.0000033米．则0.0000033用科学记数法表示为（        ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 小于1的正数用科学记数法表示的一般形式为，其中，为原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数． 【详解】 解：0.0000033用科学记数法表示为． 9．（25-26学年·贵州贵阳清镇培文学校·期中）（1）计算：；      （2）解不等式组： ． 【答案】（1）5；（2） 【分析】 本题考查了实数的混合运算，负整数指数幂，算术平方根，解一元一次不等式组，掌握相关运算法则和解法是解题关键． （1）先计算绝对值，零指数幂、负整数指数幂、算术平方根，再计算乘法，最后计算加减法即可； （2）先求出每个不等式的解集，根据口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了确定不等式组的解集即可． 【详解】 （1）解： ； （2）解： 解不等式① ，得， 解不等式② ，得， 所以不等式组的解集为． 10．（25-26学年八上·贵州铜仁松桃苗族自治县·期中）计算： （1） （2） 【答案】（1）6     （2）1      【分析】 此题考查实数的混合运算，异分母分式加法，熟练掌握运算法则是解题的关键： （1）先计算负整数指数幂，零次幂，绝对值，再计算加减法； （2）先通分，再计算分式减法即可 (1) 小问详解： 原式； (2) 小问详解： 原式 11．（25-26学年八上·贵州铜仁松桃苗族自治县·期中）计算　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 该题考查了分式的乘方运算，负整数指数幂，先运用负整数指数幂法则，将原式变形，再对分子和分母分别进行平方运算即可． 【详解】 解：   ． 故答案为：． 12．（25-26学年八上·贵州铜仁碧江区·期中）计算： （1）． （2）． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查实数的运算，熟练掌握实数的运算法则是解题的关键， （1）根据负整数指数幂，绝对值，零指数幂和开平方的运算法则计算即可得到答案； （2）根据同底数幂的乘除法和负整数指数幂的运算法则计算即可得到答案． (1) 小问详解： 解： ． (2) 小问详解： 解： ． 考点05 分式方程 1．（25-26学年八上·贵州铜仁松桃苗族自治县·期中）解关于x的分式方程时会产生增根，则m的值（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题主要查了分式的增根问题．分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，得到，求出x的值，代入整式方程求出m的值即可． 【详解】 解：去分母得：， ∵分式方程有增根， ∴，即， 把代入整式方程得： ， ∴． 故选：B 2．（25-26学年八上·贵州铜仁松桃苗族自治县·期中）每天比原计划多生产台机器，现在生产台机器所需时间与原计划生产 台机器所需时间相同，设原计划平均每天生产台机器，根据题意，下面所列方程正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，找出合适的等量关系列式．设原计划平均每天生产台机器，则实际平均每天生产台机器，利用“现在生产台所需时间与原计划生产台机器所需时间相同”列方程即可． 【详解】 解：设原计划平均每天生产台机器，则实际平均每天生产台机器， 由题意得：， 故选：A． 3．（25-26学年八上·贵州铜仁·期中）为缓解城市地面交通压力，提高人们出行的效率，某地准备扩建一条地铁路线，现要对沿线的地下管道进行改迁，为尽量减少施工对周边居民生活造成的影响，实际施工时，每天比原计划多改迁，结果提前10天完成改迁任务．设实际每天改迁管道，则可列方程为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查根据实际问题列分式方程，根据实际比原计划每天多改迁，提前10天完成，列出原计划天数与实际天数的差为10的方程． 【详解】 解：设实际每天改迁管道， 由题意，得． 故选：A． 4．（25-26学年八上·贵州铜仁德江县·期中）某施工队承接了60公里的修路任务，为了提前完成任务，实际每天的工作效率比原计划提高了25%，结果提前60天完成了这项任务．设原计划每天修路公里，根据题意列出的方程正确的是（　　） A. (60× (1+25%))/(x)-(60)/(x)=60 B. (60)/(x)-(60× (1+25%))/(x)=60 C.  D.  【答案】D 【分析】设原计划每天修路公里，则实际每天的工作效率为公里，根据题意即可列出分式方程. 【详解】解：设原计划每天修路公里，则实际每天的工作效率为公里， 依题意得：． 故选D． 【点睛】此题主要考查分式方程的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系进行列方程. 5．（25-26学年八上·贵州铜仁万山区·期中）货车行驶 25 千米与小车行驶 35 千米所用时间相同，已知小车每小时比货车多行驶 20千米，求两车的速度各为多少？设货车的速度为 x 千米/小时，依题意列方程正确的是(     ) A.  B.  C.  D.  【答案】C 【详解】 解：根据题意，得 ． 故选：C． 6．（25-26学年八上·贵州铜仁碧江区·期中）《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到里远的城市，所需时间比规定时间多天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间．设规定时间为天，则下列分式方程正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 设规定时间为天，再分别表示出慢马和快马的用时，通过快马速度是慢马的倍，即可列出正确方程． 【详解】 解：设规定时间为天，则慢马用时为天、快马用时为天，则． 7．（25-26学年八上·贵州铜仁松桃苗族自治县·期中）解方程 （1） （2） 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根． （1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解； （2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． (1) 小问详解： 解： 方程两边同乘，得到， 去括号得，解得． 检验：当时，， 所以是原分式方程的解． (2) 小问详解： 方程两边同乘，得到， 去括号合并得，解得． 检验知时，， 所以是原分式方程的解． 8．（25-26学年八上·贵州铜仁·期中）先阅读下列解题过程，再回答问题． 解方程：，解：两边同乘得：①去括号得：②移项得：③解得：④…… （1）以上解答有错误，最先开始错误的步骤是_________（填序号），此步骤的做题依据是_________； （2）请给出正确的解答过程． 【答案】（1）①，等式基本性质     （2） 解：， 整理得： 方程两边同乘得：， 去括号得：， 移项得：， 解得：， 当时，， 是原分式方程的解．      【分析】 本题考查解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解决问题的关键． （1）由等式的基本性质检验即可得到答案； （2）按照分式方程的解法步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1、验根求解即可得到答案． (1) 小问详解： 解：以上解答有错误，最先开始错误的步骤是① （填序号），此步骤的做题依据是等式基本性质， 故答案为：①，等式基本性质； (2) 小问详解： 略 9．（25-26学年八上·贵州铜仁万山区·期中）若关于的分式方程有增根，则的值是　　　　　　　． 【答案】 【分析】 此题考查了分式方程的增根，解题的关键是掌握处理增根问题的步骤：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根得到，把代入整式方程计算求出m的值即可． 【详解】 解： ， 由分式方程有增根，得到，即， 将，代入上式得，． 故答案为：． 10．（25-26学年八上·贵州铜仁万山区·期中）解分式方程： （1）； （2）． 【答案】（1）     （2）无解      【分析】 本题考查了解分式方程，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据分式方程的解法计算即可； （2）根据分式方程的解法计算即可． (1) 小问详解： 解：， ， ， 解得：， 检验：当时，， 是原方程的根； (2) 小问详解： 解：， ， 解得：， 当时，， 是增根，分式方程无解． 11．（25-26学年八上·贵州铜仁德江县·期中）已知关于x的分式方程 （1）当时，求方程的根？ （2）若关于x的分式方程有增根，试求m的值？ 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）分式方程去掉分母转化为整式方程，求出整式方程的解后再检验即得答案； （2）先把分式方程去掉分母转化为整式方程，然后由分式方程有增根可得，求出x的值后再代入到整式方程即可求解. (1) 小问详解： 当时，方程即为， 两边同时乘以，得， 解得：， 经检验：是原方程的解， 所以原方程的解是； (2) 小问详解： 方程同时乘以， 得， 即为， 若关于x的分式方程有增根，则， 解得：， 所以. 【点睛】 本题考查了分式方程的求解和增根问题，熟练掌握解分式方程的步骤和方法是解题的关键. 12．（25-26学年八上·贵州铜仁德江县·期中）某学校在某商场购买甲、乙两种不同的足球，购买甲种足球共花费2000元，购买乙种足球共花费1400元，购买甲种足球的数量是购买乙种足球数量的2倍．且购买一个乙种足球比购买一个甲种足球多花20元． （1）求购买一个甲种足球、一个乙种足球各需多少元； （2）为了进一步满足体育课器材的需求，该学校决定再次购买甲、乙两种足球共50个．如果此次购买甲、乙两种足球的单价不变，总费用不超过2850元，那么这所学校最多可购买多少个乙种足球？ 【答案】（1）购买一个甲种足球需50元，购买一个乙种足球需70元     （2）这所学校最多可购买17个乙种足球      【分析】 】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用． （1）设购买一个甲种足球需x元，则购买一个乙种足球需元，根据购买甲种足球共花费2000元，购买乙种足球共花费1400元，购买甲种足球的数量是购买乙种足球数量的2倍，列出分式方程，解分式方程即可； （2）设学校购买乙种足球m个，则购买甲种足球个，根据此次购买甲、乙两种足球的单价不变，总费用不超过2850元，结合（1）的结论，列出一元一次不等式，解不等式即可． (1) 小问详解： 解：设购买一个甲种足球需x元，则购买一个乙种足球需元． 根据题意，得， 解得， 经检验，是原方程的解， 则， 答：购买一个甲种足球需50元，购买一个乙种足球需70元； (2) 小问详解： 解：设学校购买乙种足球m个，则购买甲种足球个， 根据题意，得， 解得， ∵m为正整数， ∴m 的最大值为17． 答：这所学校最多可购买17个乙种足球． 13．（25-26学年八上·贵州铜仁松桃苗族自治县·期中）某超市用4500元购进一批水果，由于销售状况良好，超市又调拨11000元资金购进该种水果，但这次的进货单价比第一次的单价提高了，购进数量比第一次的2倍还多100千克． （1）该超市第一次购进水果的单价是每千克多少元？ （2）如果超市按每千克15元的定价出售，一部分水果售出后，余下的500千克按定价的8折售完．那么这两次水果销售中，该超市总共获利多少元？ 【答案】（1）超市第一次购进水果的单价是每千克10元     （2）总获利为元      【分析】 本题考查分式方程解应用题、有理数混合运算解应用题，读懂题意，准确列出方程及代数式求解是解决问题的关键． （1）设该超市第一次购进水果的单价是每千克元，则第二次进货单价是每千克元．根据数量关系：第二次购进水果数量第一次购进水果数量， 列分式方程求解即可得到答案； （2）按照题意，分别得到两次购进水果数量，进而确定按15元每千克出售的水果，然后分别计算总销售额、总成本，再由利润总销售额总成本即可得到答案． (1) 小问详解： 解：设该超市第一次购进水果的单价是每千克元，则第二次进货单价是每千克元， ， 解得， 经检验，是分式方程的解， 答：该超市第一次购进水果的单价是每千克10元； (2) 小问详解： 解：由题意可知，第一次购进水果的数量为：（千克）；第二次购进水果的数量为：（千克）； 则两次一共购进水果：（千克）； 按15元每千克出售的水果有：（千克）， 则总销售额为：（元）， 总成本为：（元）， 总获利为：（元）． 14．（25-26学年八上·贵州铜仁·期中）每年9月是全民健康生活方式宣传月，2025年9月1日是第19个“全民健康生活方式日”．为培养健康生活方式，筑牢健康基石，某校用7250元采购了一批羽毛球拍和网球拍共100副，已知每副羽毛球拍的采购价为55元，每副网球拍的采购价为80元． （1）羽毛球拍和网球拍分别采购了多少副？ （2）该校又采购了一批篮球和排球，已知每个篮球的采购价比每个排球的采购价高20%，采购篮球花了3420元，采购排球花了1800元，采购的篮球数量比排球多14个．求每个排球的采购价． 【答案】（1）羽毛球拍采购了30副，网球拍采购了70副     （2）每个排球的采购价为75元      【分析】 本题主要考查了二元一次方程组、分式方程的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程组、分式方程． （1）设购进副羽毛球拍，副网球拍，根据羽毛球拍和网球拍共100副，一共花了7250元，列出方程组，求解即可； （2）设每个排球的采购价为元，则每个篮球的采购价为元，根据数量＝总价÷单价，篮球数量比排球多14个，列出分式方程，求解即可． (1) 小问详解： 解：设购进副羽毛球拍，副网球拍， 依题意得： 解得 答：羽毛球拍采购了30副，网球拍采购了70副． (2) 小问详解： 解：设每个排球的采购价为元，则每个篮球的采购价为元， 依题意得：，解得． 经检验：是原方程的解，且符合题意． 答：每个排球的采购价为75元． 15．（25-26学年八上·贵州铜仁万山区·期中）为了迎接第十一届全球湘商大会，怀化市一工地计划租用甲、乙两辆车清理淤泥，需在规定日期内完成．从运输量来估算：如果单独租用甲车，恰好按期完成，若单独租用乙车完成任务则比单独租用甲车完成任务多用天，结果同时租用甲、乙两辆车合作运了天，余下部分由乙车完成，则超过了规定日期天完成任务． （1）甲、乙两车单独完成任务分别需要多少天？ （2）已知两车合运共需租金元，甲车每天的租金比乙车每天的租金多元，试问：租甲乙两车、单独租甲车、单独租乙车这三种方案中，哪一种租金最少且不耽误工期？请说明理由． 【答案】（1）甲车单独完成任务需要天，乙车单独完成任务需要天     （2）单独租甲车的租金最少且不耽误工期，理由： 若甲乙两车合作需要（天）， 设甲车每天租金为元，乙车每天租金为元， 根据题意，得 ， 解得 ， 租甲乙两车需要费用为：元； 单独租甲车的费用为：元； 单独租乙车的费用为：元； 综上可得，单独租甲车的租金最少且不耽误工期．      【分析】 本题考查了分式方程的应用以及二元一次方程组的应用，理清题意，正确列出分式方程以及二元一次方程组是解答本题的关键． （1）设甲车单独完成任务需要天，乙车单独完成任务需要天，根据题意所述等量关系可得出方程组，解出即可； （2）设甲车每天租金为元，乙车每天租金为元，根据“两车合运共需租金元，甲车每天的租金比乙车每天的租金多元”列出二元一次方程组，解出甲、乙两车每天的租金，再结合（1）的结论，分别计算出三种方案各自所需的费用，然后比较即可． (1) 小问详解： 解：设甲车单独完成任务需要天，乙车单独完成任务需要天， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意 ， 答：甲车单独完成任务需要天，乙车单独完成任务需要天； (2) 小问详解： 略 16．（25-26学年八上·贵州铜仁碧江区·期中）某企业为提高生产效率，采购了相同数量的型、型两种智能机器人，购买型机器人的总费用为90万元，购买型机器人的总费用为60万元，型机器人单价比型机器人单价低3万元． （1）求型、型两种机器人的单价； （2）该企业计划从采购的这批机器人中选择10台配备到某生产线，要求两种型号的机器人各至少配备1台，且购买这10台机器人的总费用不超过70万元．求出所有配备方案． 【答案】（1）型机器人单价为9万元，型机器人单价为6万元     （2）方案一：型机器人1台，型机器人9台；方案二：型机器人2台，型机器人8台；方案三：型机器人3台，型机器人7台      【分析】 本题考查分式方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确的列出分式方程和不等式，是解题的关键： （1）设型机器人单价为万元，则型机器人单价为万元，根据采购了相同数量的型、型两种智能机器人，购买型机器人的总费用为90万元，购买型机器人的总费用为60万元，列出方程进行求解即可； （2）设配备型机器人台，则配备型机器人台，根据购买这10台机器人的总费用不超过70万元，列出不等式进行求解即可． (1) 小问详解： 解：设型机器人单价为万元，则型机器人单价为万元， 根据题意，得， 解得， 经检验，是原分式方程的根，且符合题意， 所以，． 所以，型机器人单价为9万元，型机器人单价为6万元． (2) 小问详解： 设配备型机器人台，则配备型机器人台， 根据题意，得， 解得， ∵要求两种型号的机器人各至少配备1台，且y为正整数 ∴的取值为1，2，3，共有3种方案： 方案一：型机器人1台，型机器人9台； 方案二：型机器人2台，型机器人8台； 方案三：型机器人3台，型机器人7台． 17．（25-26学年八上·贵州铜仁德江县·期中）若关于x的分式方程的解为正整数，且关于y的不等式组 有且仅有4个整数解，则满足条件的所有整数a的和是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　． 【答案】4 【分析】 本题考查了分式方程，不等式组，整数解的分析及代数运算与逻辑推理．首先解分式方程，得到解为正整数的整数a值，注意排除使分母为零的情况；再解不等式组，根据有且仅有4个整数解的条件确定a的取值范围；最后取交集得到满足条件的整数a，并求它们的和． 【详解】 解：分式方程，去分母得，整理得， 当 时方程无解，故，解得， 解为正整数且，则为正整数且（即）， 8的正因数为1、2、4、8，对应 ，得， 排除， 故， 不等式组 ， 解第一个不等式得， 解第二个不等式得， ∴不等式组解集为，有且仅有4个整数解， 则整数解为0、1、2、3， 故， 解得， ∴整数a为， 取交集，满足条件的整数a为， 和为． 故答案为：4． 18．（25-26学年八上·贵州铜仁·期中）若关于的不等式组 有且仅有3个整数解，且关于的分式方程的解为非负数，则符合条件的所有整数的和是　　　　　　　　． 【答案】7 【分析】 本题主要考查了一元一次不等式组的整数解及分式方程的解，熟知解一元一次不等式组及解分式方程的步骤是解题的关键．先根据所给方程的解为非负数，得出的取值范围，再结合所给不等式组的整数解只有3个即可解决问题． 【详解】 解：由方程得，， ∵此分式方程的解为非负数， ∴， 解得， 解不等式组 得，， ∵此不等式组有且仅有3个整数解， ∴， 解得， ∵当时，， 此时分式方程无解，故舍去， ∴且， 则符合条件的所有整数的和是：． 故答案为：7． 19．（25-26学年八上·贵州铜仁碧江区·期中）已知关于x的分式方程． （1）已知，求方程的解； （2）若该分式方程无解，试求的值． 【答案】（1）     （2）、1或3      【分析】 本题考查解分式方程，熟练掌握解分式方程求参数是解题的关键， （1）将代入，把分式方程去分母转化为整式方程，计算即可求出方程的解； （2）把分式方程去分母转化为整式方程，由于分式方程无解，得到或，解可求得一个的值，将，代入整式方程即可求出另外两个的值． (1) 小问详解： 解：当，方程为 方程两边同乘得：， 解得：， 检验：把代入最简公分母得： ∴是原分式方程的解． (2) 小问详解： 解：方程两边同乘得： 整理得：， ∵原分式方程无解， ∴或， ① 当时，； ② 当时， 解得：或， 当时，； 当时，； ∴的值可能为、1或3. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 分式 5大高频考点概览 考点01 从分数到分式 考点02 分式的基本性质 考点03 分式的加法与减法 考点04 整数指数幂 考点05 分式方程 考点01 从分数到分式 1．（25-26学年八上·贵州铜仁德江县·期中）下列各式属于分式的是（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年八上·贵州铜仁松桃苗族自治县·期中）要使分式有意义，则的取值应满足（   ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年八上·贵州铜仁·期中）若分式的值不存在，则x的值为（     ） A.  B. 0 C. 1 D. 2 4．（25-26学年八上·贵州铜仁万山区·期中）若分式有意义，则的取值范围是（     ） A.  B.  C. 且 D.  5．（25-26学年八上·贵州铜仁德江县·期中）若分式的值为零，则等于（       ） A.  B. 3 C.  D. 0 6．（25-26学年八上·贵州铜仁松桃苗族自治县·期中）分式的值为，则（     ）． A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年八上·贵州铜仁万山区·期中）在中，分式的个数是（     ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 8．（25-26学年八上·贵州铜仁碧江区·期中）若分式的值是零，则的值是（     ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年八上·贵州铜仁松桃苗族自治县·期中）有下列各式：①；②；③；④．其中是分式的是（） A. ①② B. ③④ C. ①③ D. ①②③④ 10．（25-26学年八上·贵州铜仁碧江区·期中）设，，满足，，则的值为（     ） A. 0 B. 1 C. 8 D. 9 11．（25-26学年八上·贵州铜仁万山区·期中）若分式的值为0，则x的值是　　　　　　． 12．（25-26学年八上·贵州铜仁松桃苗族自治县·期中）已知（且），，，…，，则的值为　　　　　　　　． 考点02 分式的基本性质 1．（25-26学年八上·贵州铜仁松桃苗族自治县·期中）如果把分式中的x，y都扩大2倍，那么分式的值（       ） A. 缩小2倍 B. 扩大2倍 C. 不变 D. 扩大4倍 2．（25-26学年八上·贵州铜仁·期中）若分式，则m的值为（     ） A. 3 B.  C. 9 D.  3．（25-26学年八上·贵州铜仁万山区·期中）下列等式从左到右成立的是（     ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年八上·贵州铜仁碧江区·期中）若把分式中的和都扩大到原来的2倍，那么分式的值（     ） A. 扩大到原来的2倍 B. 不变 C. 缩小到原数的 D. 变为原来的 5．（25-26学年八上·贵州铜仁碧江区·期中）分式可变形为（     ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年八上·贵州铜仁·期中）对于非负整数，使得是一个正整数，则可取的个数有（       ） A.  B.  C.  D.  考点03 分式的加法与减法 1．（25-26学年八上·贵州铜仁德江县·期中）若，，则的值是（       ） A. 1 B. 0 C. -1 D. 2 2．（25-26学年八上·贵州铜仁碧江区·期中）若，，则的值是　　　　　． 3．（25-26学年八上·贵州铜仁德江县·期中）已知，则分式的值为　　　　　　． 4．（25-26学年八上·贵州铜仁德江县·期中）下列是小明同学对分式的化简过程，请认真阅读并完成相应任务． 解：原式………………第一步………………第二步……………………………第三步……………………………………第四步 （1）第__________步开始出现错误，这一步错误的原因是____________________； （2）请写出该分式化简的正确过程，并选择一个你喜欢的整数代入求值． 5．（25-26学年八上·贵州铜仁松桃苗族自治县·期中）先化简，再求值： 化简，然后从中选出合适的整数作为的值代入求值． 6．（25-26学年八上·贵州铜仁·期中）已知，，小宇和小恒在对，进行化简后，小宇说不论取何值，的值都比的值大；小恒说不论取何值，的值都比的值大，请你判断谁的说法正确，并说明理由． 7．（25-26学年八上·贵州铜仁万山区·期中）【阅读材料】 要想比较a和b的大小关系，可以进行作差法，若，则；若，则；若，则． 【学以致用】 （1）若，比较与的大小，并说明理由； （2）若x为全体实数，比较与的大小． 【拓展延伸】 （3）如图，甲、乙两块长方形小麦试验田，甲小麦试验田的相邻两边长分别为米，米，乙小麦试验田的相邻两边长分别为m米，米，其中．两块试验田的小麦都收获了500千克． ①哪块试验田的小麦单位产量高？请说明理由； ②高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？（用含m的代数式表示） 8．（25-26学年八上·贵州铜仁万山区·期中）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式” 如，，则和都是“和谐分式”． （1）将“和谐分式化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式； （2）应用：求分式的最大值； （3）应用：先化简，并求x取什么整数时，该式的值为整数． 9．（25-26学年八上·贵州铜仁松桃苗族自治县·期中）操作发现：阅读下列解题过程：已知，求的值． 解：由知，所以，即． ， 的值为7的倒数，即． 以上解法中先将已知等式的两边“取倒数”，然后求出待求式子倒数的值，我们把此题的这种解法叫做“倒数法”， （1）已知，求的值； （2）实践探索：请你利用“倒数法”解决下面问题： 已知，求的值； （3）问题解决： 已知：，，，求代数式的值． 10．（25-26学年八上·贵州铜仁碧江区·期中）先化简分式：，再选取一个使原式有意义的数代入求值． 考点04 整数指数幂 1．（25-26学年·贵州贵阳清镇培文学校·期中）2025年9月28日，世界第一高桥一一贵州花江峡谷大桥建成通车．它是贵州六枝至安龙高速公路的控制性工程，大桥梁段总重量达21000万吨．21000这个数用科学记数法表示正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年八上·贵州铜仁松桃苗族自治县·期中）可燃冰是一种新型能源，它的密度很小，可燃冰的质量仅为．数据用科学记数法表示是（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年八上·贵州铜仁·期中）某实验室发布的全球首个氮化镓量子光源芯片，输出波长范围扩展至．将数据0.0000001用科学记数法表示为（     ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年八上·贵州铜仁·期中）计算的结果为（     ） A. 8 B.  C.  D.  5．（25-26学年八上·贵州铜仁德江县·期中）在空军红剑演习中，歼战斗机凭借隐身优势，在秒内锁定并“击落”一架四代机．数据“”可表示为的形式，下列各数中，n的值可能是（       ） A. 5 B.  C.  D.  6．（25-26学年八上·贵州铜仁碧江区·期中）芯片是由很多晶体管组成的，而芯片技术追求体积更小的晶体管，以便获得更小的芯片和更低的功耗，我国某品牌手机自主研发了最新型号芯片，其晶体管栅极的宽度为0.000000007毫米，将数据0.000000007用科学记数法表示为（       ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年八上·贵州铜仁碧江区·期中）如果，，，那么，，的大小关系为（     ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年八上·贵州铜仁万山区·期中）古代数学著作《九章算术》的注疏中，数学家刘徽曾提及一种用于测量微小长度的单位“忽”，经现代换算，1忽约等于0.0000033米．则0.0000033用科学记数法表示为（        ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年·贵州贵阳清镇培文学校·期中）（1）计算：；      （2）解不等式组： ． 10．（25-26学年八上·贵州铜仁松桃苗族自治县·期中）计算： （1） （2） 11．（25-26学年八上·贵州铜仁松桃苗族自治县·期中）计算　　　　　　　　． 12．（25-26学年八上·贵州铜仁碧江区·期中）计算： （1）． （2）． 考点05 分式方程 1．（25-26学年八上·贵州铜仁松桃苗族自治县·期中）解关于x的分式方程时会产生增根，则m的值（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年八上·贵州铜仁松桃苗族自治县·期中）每天比原计划多生产台机器，现在生产台机器所需时间与原计划生产 台机器所需时间相同，设原计划平均每天生产台机器，根据题意，下面所列方程正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年八上·贵州铜仁·期中）为缓解城市地面交通压力，提高人们出行的效率，某地准备扩建一条地铁路线，现要对沿线的地下管道进行改迁，为尽量减少施工对周边居民生活造成的影响，实际施工时，每天比原计划多改迁，结果提前10天完成改迁任务．设实际每天改迁管道，则可列方程为（     ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年八上·贵州铜仁德江县·期中）某施工队承接了60公里的修路任务，为了提前完成任务，实际每天的工作效率比原计划提高了25%，结果提前60天完成了这项任务．设原计划每天修路公里，根据题意列出的方程正确的是（　　） A. (60× (1+25%))/(x)-(60)/(x)=60 B. (60)/(x)-(60× (1+25%))/(x)=60 C.  D.  5．（25-26学年八上·贵州铜仁万山区·期中）货车行驶 25 千米与小车行驶 35 千米所用时间相同，已知小车每小时比货车多行驶 20千米，求两车的速度各为多少？设货车的速度为 x 千米/小时，依题意列方程正确的是(     ) A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年八上·贵州铜仁碧江区·期中）《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到里远的城市，所需时间比规定时间多天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间．设规定时间为天，则下列分式方程正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年八上·贵州铜仁松桃苗族自治县·期中）解方程 （1） （2） 8．（25-26学年八上·贵州铜仁·期中）先阅读下列解题过程，再回答问题． 解方程：，解：两边同乘得：①去括号得：②移项得：③解得：④…… （1）以上解答有错误，最先开始错误的步骤是_________（填序号），此步骤的做题依据是_________； （2）请给出正确的解答过程． 9．（25-26学年八上·贵州铜仁万山区·期中）若关于的分式方程有增根，则的值是　　　　　　　． 10．（25-26学年八上·贵州铜仁万山区·期中）解分式方程： （1）； （2）． 11．（25-26学年八上·贵州铜仁德江县·期中）已知关于x的分式方程 （1）当时，求方程的根？ （2）若关于x的分式方程有增根，试求m的值？ 12．（25-26学年八上·贵州铜仁德江县·期中）某学校在某商场购买甲、乙两种不同的足球，购买甲种足球共花费2000元，购买乙种足球共花费1400元，购买甲种足球的数量是购买乙种足球数量的2倍．且购买一个乙种足球比购买一个甲种足球多花20元． （1）求购买一个甲种足球、一个乙种足球各需多少元； （2）为了进一步满足体育课器材的需求，该学校决定再次购买甲、乙两种足球共50个．如果此次购买甲、乙两种足球的单价不变，总费用不超过2850元，那么这所学校最多可购买多少个乙种足球？ 13．（25-26学年八上·贵州铜仁松桃苗族自治县·期中）某超市用4500元购进一批水果，由于销售状况良好，超市又调拨11000元资金购进该种水果，但这次的进货单价比第一次的单价提高了，购进数量比第一次的2倍还多100千克． （1）该超市第一次购进水果的单价是每千克多少元？ （2）如果超市按每千克15元的定价出售，一部分水果售出后，余下的500千克按定价的8折售完．那么这两次水果销售中，该超市总共获利多少元？ 14．（25-26学年八上·贵州铜仁·期中）每年9月是全民健康生活方式宣传月，2025年9月1日是第19个“全民健康生活方式日”．为培养健康生活方式，筑牢健康基石，某校用7250元采购了一批羽毛球拍和网球拍共100副，已知每副羽毛球拍的采购价为55元，每副网球拍的采购价为80元． （1）羽毛球拍和网球拍分别采购了多少副？ （2）该校又采购了一批篮球和排球，已知每个篮球的采购价比每个排球的采购价高20%，采购篮球花了3420元，采购排球花了1800元，采购的篮球数量比排球多14个．求每个排球的采购价． 15．（25-26学年八上·贵州铜仁万山区·期中）为了迎接第十一届全球湘商大会，怀化市一工地计划租用甲、乙两辆车清理淤泥，需在规定日期内完成．从运输量来估算：如果单独租用甲车，恰好按期完成，若单独租用乙车完成任务则比单独租用甲车完成任务多用天，结果同时租用甲、乙两辆车合作运了天，余下部分由乙车完成，则超过了规定日期天完成任务． （1）甲、乙两车单独完成任务分别需要多少天？ （2）已知两车合运共需租金元，甲车每天的租金比乙车每天的租金多元，试问：租甲乙两车、单独租甲车、单独租乙车这三种方案中，哪一种租金最少且不耽误工期？请说明理由． 16．（25-26学年八上·贵州铜仁碧江区·期中）某企业为提高生产效率，采购了相同数量的型、型两种智能机器人，购买型机器人的总费用为90万元，购买型机器人的总费用为60万元，型机器人单价比型机器人单价低3万元． （1）求型、型两种机器人的单价； （2）该企业计划从采购的这批机器人中选择10台配备到某生产线，要求两种型号的机器人各至少配备1台，且购买这10台机器人的总费用不超过70万元．求出所有配备方案． 17．（25-26学年八上·贵州铜仁德江县·期中）若关于x的分式方程的解为正整数，且关于y的不等式组 有且仅有4个整数解，则满足条件的所有整数a的和是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　． 18．（25-26学年八上·贵州铜仁·期中）若关于的不等式组 有且仅有3个整数解，且关于的分式方程的解为非负数，则符合条件的所有整数的和是　　　　　　　　． 19．（25-26学年八上·贵州铜仁碧江区·期中）已知关于x的分式方程． （1）已知，求方程的解； （2）若该分式方程无解，试求的值． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $