专题05 轴对称（期中真题汇编，贵州专用）八年级数学上学期

专题05 轴对称 5大高频考点概览 考点01 轴对称及其性质 考点02 线段的垂直平分线 考点03 画轴对称的图形 考点04 等腰三角形 考点05 等边三角形 考点01 轴对称及其性质 1．（25-26学年八上·贵州遵义·期中）下列四个图形中，不是轴对称图形的为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据轴对称图形的意义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；依次进行判断即可． 【详解】 解：解：根据轴对称图形的意义可知：A、C、D都是轴对称图形，而B不是轴对称图形； 故选：B． 【点睛】 此题考查了轴对称图形的意义，判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，看图形对折后两部分是否完全重合． 2．（25-26学年八上·贵州黔东南州凯里第十中学·期中）在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 【详解】 A．是轴对称图形，故A符合题意； B．不是轴对称图形，故B不符合题意； C．不是轴对称图形，故C不符合题意； D．不是轴对称图形，故D不符合题意． 故选：A． 【点睛】 本题主要考查轴对称图形的知识点．确定轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 3．（25-26学年八上·贵州黔东南苗族侗族自治州凯里凯里学院附属中学·期中）下列各学校的校徽图案是轴对称图形的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了轴对称图形的识别，找出对称轴是关键． 轴对称图形，是指在平面内沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，这条直线就叫做对称轴，结合图形，找出对称轴即可． 【详解】 解：A、没有对称轴不是轴对称图形，不符合题意； B、有对称轴是轴对称图形，符合题意； C、没有对称轴不是轴对称图形，不符合题意； D、没有对称轴不是轴对称图形，不符合题意； 故选：B ． 4．（25-26学年·贵州贵阳清镇培文学校·期中）下列图标中，是中心对称图形的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查的知识点是中心对称图形的定义，解题关键是熟练掌握中心对称图形的定义． 根据中心对称图形的定义对选项进行逐一分析即可得解． 【详解】 解：选项A，不符合中心对称图形定义，不是中心对称图形，不符合题意，选项A错误； 选项B，符合中心对称图形定义，是中心对称图形，符合题意，选项B正确； 选项C，不符合中心对称图形定义，不是中心对称图形，不符合题意，选项C错误； 选项D，不符合中心对称图形定义，不是中心对称图形，不符合题意，选项D错误． 故选：B． 5．（25-26学年八上·贵州遵义余庆县·期中）汉字是迄今为止持续使用时间最长的文字，汉字在发展过程中演变出多种字体，给人以美的享受．下面是“最美贵州”四个字的细圆体，其中可以看作是轴对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 根据轴对称图形的定义依次判断即可． 【详解】 解：A．选项中的字不是轴对称图形，故此选项不合题意； B．选项中的字是轴对称图形，故此选项符合题意； C．选项中的字是不轴对称图形，故此选项不符合题意； D．选项中的字不是轴对称图形，故此选项不合题意； 故选：B． 6．（25-26学年八上·贵州黔南布依族苗族自治州平塘县·期中）黔南是云贵高原上一颗璀璨明珠，被誉为“山水黔南”，下列四个汉字中，是轴对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了轴对称图形的定义，理解定义：“将图形沿某一条直线对折，直线两边的图形能完全重合的图形是轴对称图形．”是解题的关键． 【详解】 解： 是轴对称图形， 故选：A． 7．（25-26学年八上·贵州遵义第十一中学·期中）下列图标是轴对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了轴对称图形的识别，解题的关键在于熟练掌握：在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形． 根据轴对称图形的概念求解即可． 【详解】 解：A、该图形不是轴对称图形，不符合题意； B、该图形不是轴对称图形，不符合题意； C、该图形不是轴对称图形，不符合题意； D、该图形是轴对称图形，符合题意； 故选：D． 8．（2026·贵州安顺·质量检测）以下是四款常用的人工智能大模型的图标，其文字左侧图案是轴对称图形的是（     ） A.  文心一言 B.  ChatGPT C.  DeepSeek D.  纳米AI 【答案】A 【分析】 本题考查轴对称图形，熟练掌握其定义是解题的关键． 如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，据此进行判断即可． 【详解】 解：根据轴对称的定义可知，A是轴对称图形，符合题意； B，C，D不是轴对称图形，不符合题意． 故选：A． 9．（25-26学年八上·贵州黔东南苗族·期中）对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，常被运用于建筑、器物、绘画、标识等作品的设计上，使对称之美惊艳了千年的时光．下列四个图案中，不是轴对称图形的是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查了轴对称图形的定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 逐一分析每个选项，判断是否符合轴对称图形的定义． 【详解】 是轴对称图形，故不符合题意； 不是轴对称图形，故符合题意； 是轴对称图形，故不符合题意； 是轴对称图形，故不符合题意； 故选：． 10．（25-26学年八上·贵州黔东南州·期中）下列图形中，不是轴对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查轴对称图形．将一个图形沿着某条直线对折，直线两旁的图形能够完全重合，那么这个图形就是轴对称图形．据此逐项判断即可． 【详解】 解：A、它不是轴对称图形； B、它是轴对称图形； C、它是轴对称图形； D、它是轴对称图形． 故选：A． 11．（25-26学年八上·期中）下列图案中，是轴对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了轴对称图形的识别．根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】 解：A、B、D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； C选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 故选：C． 12．（25-26学年八上·期中）下列图形中，是轴对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查轴对称图形，根据一个图形沿某条直线翻折，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，进行判断即可． 【详解】 解：A、是轴对称图形，符合题意； B、不是轴对称图形，不符合题意； C、不是轴对称图形，不符合题意； D、不是轴对称图形，不符合题意； 故选A． 13．（25-26学年八上·贵州凯里第一初级中学·期中）书法是我国特有的优秀传统文化，其中篆书具有象形特征，充满美感．下列“福”字的四种篆书图案中，可以看作轴对称图形的是（       ） A.  B.      C.      D.      【答案】C 【分析】 根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】 解：A，B，D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； C选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 故选：C． 【点睛】 本题考查了利用轴对称设计图案，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 14．（25-26学年八上·贵州凯里第一初级中学·期中）如图，把一张长方形纸片的一角沿折叠，使的点D的对应点F落在内部．若，且，则的度数是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查角的计算、折叠性质、数形结合思想等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．由折叠的性质得到，由长方形的性质得到，设，则，列出关于x的方程，解方程即可． 【详解】 解：折叠， ， 是长方形， ， ∴， 设，则， ∴， ∴， 解得：， ． 故选：C． 15．（25-26学年八上·贵州遵义第十一中学·期中）剪纸是中国古代最古老的民间艺术之一，其中蕴含着图形的变换．如图是一张蕴含着轴对称变换的蝴蝶剪纸，点与点对称，点与点对称，将其放置在直角坐标系中，点，，的坐标分别为，，，则点的坐标为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了轴对称的性质．由点与点对称，求得对称轴为直线，再根据点与点对称，即可求解． 【详解】 解：∵与对称， ∴对称轴为直线， ∵与点关于直线对称， ∴点的坐标为． 故选：B． 16．（25-26学年八上·贵州安顺·期中）下列图形中是轴对称图形的是（    ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了轴对称图形，掌握轴对称图形的概念是关键． 根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解． 【详解】 解：、选项图形不是轴对称图形，不符合题意； B、选项图形不是轴对称图形，不符合题意； C、选项图形不是轴对称图形，不符合题意； D、选项图形是轴对称图形，符合题意． 故选：D． 17．（25-26学年八上·贵州黔西南布依族苗族自治州兴仁屯脚镇屯脚中学·期中）下列运动标识中，是轴对称图形的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题主要考查了轴对称图形的识别，解题的关键是掌握轴对称图形的定义． 利用轴对称图形的定义逐项进行判断即可，即如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【详解】 解：A.该选项图形不是轴对称图形，故不符合题意； B. 该选项图形不是轴对称图形，故不符合题意； C. 该选项图形是轴对称图形，故符合题意； D. 该选项图形不是轴对称图形，故不符合题意； 故选：C． 18．（25-26学年八上·贵州遵义第十一中学·期中）如图，将三角形纸片按下面四种方式折叠，则是的高的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【详解】 解：A、由折叠可知是的角平分线，故不符合题意； B、由折叠可知是的中线，故不符合题意； C、由折叠可知不是的高线，故不符合题意； D、由折叠可知是的高线，故符合题意． 19．（25-26学年八上·贵州安顺紫云苗族布依族自治县第三中学·期中）下列常见的微信表情包中，属于轴对称图形的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．根据轴对称图形的概念求解． 【详解】 解：A．是轴对称图形，故本选项符合题意； B．不是轴对称图形，故本选项不合题意； C．不是轴对称图形，故本选项不合题意； D．不是轴对称图形，故本选项不合题意． 故选：A． 【点睛】 本题考查了轴对称图形的概念，熟练掌握轴对称图形的概念是基础，找到对称轴是关键． 20．（2026·贵州安顺·质量检测）如图把一张纸折起来，用铅笔在上面扎个洞，图1是折起来扎洞的情景，图2是4张展开的纸，其中有一张与图1展开后完全一样，其编号是　　　　　　　　． 【答案】（4） 【分析】 本题考查了折叠．熟练掌握折叠性质，是解题的关键． 根据两个穿孔关于折痕对称辨别，即解决问题． 【详解】 解：折痕为对称轴，两个穿孔关于折痕对称，只有（4）符合． 故答案为：（4）． 21．（25-26学年八上·贵州遵义余庆县·期中）将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，、为折痕，若则为　　　　　度． 【答案】55 【分析】 本题考查折叠的性质，以及角的运算，根据翻折的性质得到，，利用平角的定义和等量代换得到，结合，即可解题． 【详解】 解：根据翻折的性质可知，，， 又， ， 又， ． 故答案为：． 22．（25-26学年八上·贵州凯里第一初级中学·期中）如图，的面积为12，，AD平分，若E，F分别是AC，AD上的动点，则的最小值是　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了轴对称-最短路线问题，三角形的面积，垂线段最短．过点C作于点 G，在上截取线段，使得，由，求出可得结论． 【详解】 解：如图，过点C作于点 G，在上截取线段，使得， 平分，， ，关于对称， ， ， ， ， ， 的最小值为． 故答案为：． 23．（25-26学年八上·贵州黔南布依族苗族自治州平塘县·期中）如图，四边形沿直线对折后重合，连接，交于点，若，则下列结论：；；；．其中正确的是　　　　　．（只填序号） 【答案】 【分析】 本题主要考查了轴对称的性质、全等三角形的判定与性质、菱形的判定与性质等知识点，灵活运用相关判定和性质定理成为解题的关键．根据轴对称的性质和已知条件可证，则，，即④ 正确；再证四边形为平行四边形可判定① ② ；最后证明四边形为菱形可判定③ ． 【详解】 解：直线是四边形的对称轴， ． ， ，． 在和中 ． ，．即④ 正确； ， 四边形为平行四边形． ，，即正确； 直线是四边形的对称轴， ． 四边形为菱形． 不一定成立，故③ 错误； 故答案为：． 24．（25-26学年八上·贵州贵阳·期中）春天正值放风筝的美好时节，为了丰富同学们的校园生活，某校七年级开展了“万物‘筝’春·逐梦远方”的风筝节比赛，要求同学们自制风筝积极参赛．如何设计与制作风筝呢？请同学们阅读“勤学小组”的项目实施过程，帮助他们解决项目实施过程中遇到的问题． 项目主题：设计与制作风筝． 项目实施： 任务一：了解风筝 “勤学小组”的同学查阅了有关风筝的历史，种类，结构，制作等方面的资料，同时还收集到如下图的风筝图案，请你帮助他们从中选出不是轴对称图形的风筝图案________． A．         B．         C．         D．    任务二：设计风筝 设计风筝时主要进行风筝面与风筝骨架的设计．“勤学小组”的同学设计好了风筝面，接下来在正方形网格中进行风筝骨架的设计，请你帮助他们以直线为对称轴画出风筝骨架的另一半．    任务三：制作风筝 传统风筝的技艺概括起来四个字：扎、糊、绘、放，简称“四艺”．“勤学小组”的同学准备用竹条扎制如图所示的风筝骨架，已知于点，，，则竹条的长为________．    任务四：放飞风筝 同学们拿着自己设计与制作的风筝进行了试飞，并根据试飞结果对风筝进行了修改完善． 项目反思： 同学们对项目学习的整个过程进行反思，并编写了“简易风筝制作说明书”．请你写出一条在项目实施的过程中用到的数学知识________________． 【答案】任务一：C； 任务二：如图所示，即为所求；    任务三：60； 项目反思：在项目实施的过程中用到的数学知识：线段垂直平分线上的点到线段两个端点距离相等或对应点的连线被对称轴垂直平分，（答案不唯一）． 【分析】 任务一：根据轴对称图形的性质即可进行判断； 任务二：根据轴对称图形的性质即可完成作图； 任务三：根据线段垂直平分线的性质即可解决问题； 项目反思：结合以上任务即可解决问题． 【详解】 解：任务一：不是轴对称图形的风筝图案是C， 故答案为：C； 任务二：略 任务三：，， ， 竹条的长为， 故答案为：60； 项目反思：在项目实施的过程中用到的数学知识：线段垂直平分线上的点到线段两个端点距离相等或对应点的连线被对称轴垂直平分，（答案不唯一）． 故答案为：线段垂直平分线上的点到线段两个端点距离相等或对应点的连线被对称轴垂直平分，（答案不唯一）． 【点睛】 本题考查利用轴对称设计图案，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定，解决本题的关键是掌握线段垂直平分线的性质． 25．（25-26学年八上·贵州遵义第十一中学·期中）如图①，已知，点A，B为射线，上的一点，连接，点C为中点，连接 （1）【问题发现】如图②，延长至点D，使得，连接，则线段与线段的数量关系为______，位置关系______； （2）【动手操作】作点B关于对称点为E，点A关于的对称点为F，连接，，连接EF，根据题意补全图形，并求的度数； （3）【问题探究】在（2）条件下，探究：线段与线段的数量及位置关系，并说明理由． 【答案】（1），；     （2）补全图形如图，      （3） 解：，，理由如下： 设，交于点K， 由（1）知，． ． 由（2）知． ． 根据对称的性质可知，． ， ， 在和中， ≌． ，． ， ． ． ， ． ，即； 综上，，．      【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定和性质、对称的性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）证，即可得解； （2）依据题意补全图形，根据对称性可得，，即可得解； （3）设，交于点K，证，即可得解． (1) 小问详解： 解：点C为中点， ， 在和中 ． ，． ． 故答案为：， (2) 小问详解： 解：由对称性可知， ，． ． (3) 小问详解： 略 考点02 线段的垂直平分线 1．（25-26学年八上·贵州遵义第十一中学·期中）如图，有三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（　　） A. 三条中线的交点处 B. 三条角平分线的交点处 C. 三条高线的交点处 D. 三条边的垂直平分线的交点处 【答案】D 【分析】 本题考查了垂直平分线的判定，根据到线段的端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，进行分析，即可作答． 【详解】 解：∵在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等， ∴超市应建在三条边的垂直平分线的交点处． 故选：D 2．（25-26学年八上·贵州西南州兴仁·期中）如图，在中，，的垂直平分线交于点，交于点，的周长为，则的长等于（       ） A. 12 B. 10 C. 8 D. 6 【答案】B 【分析】 此题考查了线段垂直平分线的性质．由题意得，又由的周长等于，即可求得，然后由，求得的长． 【详解】 解：∵是的垂直平分线， ∴， ∵的周长等于， ∴． ∵中，， ∴． 故选：B． 3．（25-26学年八上·贵州黔西南布依族苗族自治州兴仁屯脚镇屯脚中学·期中）如图，，，是某景区临近的三座山的山顶，为了促进当地旅游发展，要在三个山顶组成的三角形平面内修建一个空中观景台．要使这个空中观景台到三个山顶的距离相等，应选择的位置是（    ） A. 各边垂直平分线的交点 B. 中线的交点 C. 高的交点 D. 内角平分线的交点 【答案】A 【分析】 本题考查线段垂直平分线的性质． 根据线段垂直平分线的性质，即可确定观景台的位置． 【详解】 解：∵线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等， ∴要使这个空中观景台到三个山顶的距离相等，应选择的位置是各边垂直平分线的交点． 故选：． 4．（25-26学年八上·贵州黔东南州·期中）A、B、C三名同学玩“抢凳子”游戏．他们所站的位置围成一个，在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为保证游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在的（　　） A. 三边垂直平分线的交点 B. 三边中线的交点 C. 三个内角角平分线的交点 D. 三边高的交点 【答案】A 【分析】 本题主要考查了线段垂直平分线的性质的应用； 游戏公平需要凳子到三顶点距离相等，此点为三角形外心，即三边垂直平分线的交点． 【详解】 解：∵凳子到A、B、C距离相等， ∴凳子应放于的三边垂直平分线的交点， 故选：A． 5．（25-26学年八上·贵州安顺紫云苗族布依族自治县第三中学·期中）如图，在中，，以为边，作，满足，E为上一点，连接，，连接，下列结论中正确的有（　　） ①；②；③；④． A. ①②③ B. ③④ C. ①④ D. ①③④ 【答案】D 【分析】 因为，且，故延长至G，使，从而得到，进一步证明，且，接着证明，则，，所以① 是正确的，也可以通过线段的等量代换运算推导出④ 是正确的，根据等腰三角形的性质可以判断③ 是正确的，当时，可以推导出，否则不垂直于，故② 是错误的． 【详解】 解：如图，延长至G，使，设与交于点M， ∵， ∴， ∴垂直平分， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，，故① 是正确的； ∵， ∴，故③ 正确； ∴平分， 当时，，则， 当时，，则无法说明，故② 是不正确的； ∵， ∴， ∵， ∴，故④ 是正确的， 综上所述：其中正确的有① ③ ④ ． 故选：D． 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，正确理解题意是解题的关键． 6．（25-26学年八上·贵州遵义余庆县·期中）下列命题的逆命题成立的是（） A. 全等三角形的对应角相等 B. 如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等 C. 若，则 D. 两直线平行，同旁内角互补 【答案】D 【分析】 本题主要考查了写出一个命题的逆命题，判断命题的真假，全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，绝对值，平方根，正确写出每个命题的逆命题是解题的关键． 通过写出每个命题的逆命题并判断其真假，只有D选项的逆命题符合平行线的判定定理，成立． 【详解】 解：A的逆命题为“对应角相等的三角形全等”，但对应角相等的三角形不一定全等，故不成立． B的逆命题为“绝对值相等的两个实数相等”，但绝对值相等的两个数可能互为相反数（如3和），故不成立． C的逆命题为“若，则”，但时，或，故不成立． D的逆命题为“同旁内角互补，则两直线平行”，这是平行线的判定定理，成立． 故选：D． 7．（25-26学年八上·贵州安顺紫云苗族布依族自治县第三中学·期中）（多选）如图△ABC中，AB，AC的垂直平分线分别交BC于D，E，垂足分别是M，N （1）若BC＝10，求△ADE的周长． （2）若∠BAC＝100°，求∠DAE的度数． 【答案】（1）△ADE的周长＝10；（2）∠DAE＝20°． 【分析】 （1）由AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E，垂足分别是M、N，根据线段垂直平分线的性质，可得AD=BD，AE=EC，继而可得△ADE的周长等于BC的长； （2）由∠BAC=100°，可求得∠B+∠C的度数，又由AD=BD，AE=EC，即可求得∠BAD+∠CAE的度数，继而求得答案． 【详解】 （1）∵AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E，垂足分别是M、N， ∴AD＝BD，AE＝CE， ∴△ADE的周长＝AD+DE+AE＝BD+DE+CE＝BC＝10． （2）∵∠BAC＝100°， ∴∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝80°， ∵AD＝BD，AE＝CE， ∴∠BAD＝∠B，∠CAE＝∠C， ∴∠BAD+∠CAE＝80°，                                           ∴∠DAE＝∠BAC﹣（∠BAD+∠CAE）＝100°﹣80°＝20°． 【点睛】 此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等． 8．（25-26学年八上·贵州黔东南州凯里第十中学·期中）命题“如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等”的逆命题　　　　　　．（填写“成立”或“不成立”） 【答案】不成立 【分析】 本题主要考查了逆命题、判断命题真假等知识点，灵活运用举反例判定命题是假命题是解题的关键． 先写成逆命题，再通过反例判断逆命题的真假即可解答． 【详解】 解：原命题的逆命题是“如果两个实数的绝对值相等，那么这两个实数相等”． 举反例，如，但，所以逆命题不成立． 故答案为：不成立． 9．（25-26学年八上·贵州黔东南州凯里第十中学·期中）两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，如图，四边形是一个筝形，其中，，“飞扬”数学兴趣小组在探究筝形的性质时，还得出以下结论： ①平分与； ②，； ③四边形的面积； ④． （1）以上结论请你任选一个进行证明； （2）若点O到四边形四条边的距离相等，请你判断筝形四条边的数量关系，并简要说明理由（提示：可以直接用题中的结论）． 【答案】（1） ②，；证明如下： ， ∴点A在线段的垂直平分线上， 又 ∴点C线段的垂直平分线上， ∴是线段的垂直平分线， 即，；     （2） ，理由如下： ，， ，， ∵点O到四边形四条边的距离相等， 如图，先过点O作， ， ∴平分线， 即 又， ， ， ， 同理可证：， 【分析】 本题主要考查线段垂直平分线的判定和性质，角平分线的判定及等腰三角形的判定和性质，熟练掌握相关判定和性质是解题的关键． （1）选，，利用垂直平分线的判定证明即可； （2）先过点O作，证得，同理可证的，从而得证 (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 10．（25-26学年·贵州贵阳清镇培文学校·期中）如图，在中，，垂直平分．则的周长为　　　　　　． 【答案】10 【分析】 本题考查垂直平分线的性质，根据垂直平分线的性质得到，再由三角形的周长即可求解． 【详解】 解：∵垂直平分， ∴， ∴． 故答案为：10 11．（25-26学年八上·贵州遵义余庆县·期中）如图，直线m是△ABC中BC边的垂直平分线，点P是直线m上的一动点，若AB=5，AC=4，BC=6，则△APC周长的最小值是　　　　　　　　． 【答案】9 【分析】 直线m与AB的交点为P，此时△APC的周长有最小值为AB+AC． 【详解】 解：直线m与AB的交点为P， ∵直线m是BC边的垂直平分线， ∴BP=CP， ∴AP+PC=BP+AP=AB，此时AP+PC值最小， ∴△APC的周长=AP+PC+AC=AB+AC， 此时△APC的周长有最小值为AB+AC， ∵AB=5，AC=4， ∴△APC周长的最小值为9， 故答案为：9． 【点睛】 本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法，线段垂直平分线的性质是解题的关键． 12．（25-26学年八上·贵州凯里第一初级中学·期中）如图，在中，，． （1）尺规作图： ①作边的垂直平分线交于点D； ②作的角平分线交于点E；（要求：保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）所作的图中，求的度数． 【答案】（1） 如图，直线，射线即为所求．      （2）      【分析】 本题考查了尺规作图和垂直平分线，角平分线的性质，正确理解记忆性质是解题的关键 （1）根据线段的垂直平分线和角平分线的作图方法，进行作图即可； （2）先根据三角形内角和定理得出，再根据角平分线定义，求出结果即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵在中，，． ∴， ∵平分， ． 13．（25-26学年八上·贵州西南州兴仁·期中）如图，在四边形中，，E为的中点，连接并延长交的延长线于点F． （1）求证：； （2）连接，当时，，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴． ∵E为的中点， ∴． 在和中， ， ∴．     （2）5      【分析】 此题主要考查全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质，解题关键是根据证明和全等． （1）根据证明和全等即可； （2）根据全等三角形的性质结合线段垂直平分线的性质解答即可． (1) 小问详解： 略； (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴． ∵， ∴垂直平分， ∴． 答：的长为5． 14．（25-26学年八上·贵州西南州兴仁·期中）已知，如图，是平分线上的一点，，，垂足分别为，．求证： （1）； （2）是的垂直平分线． 【答案】（1） 证明：∵是平分线上的一点，，， ∴，，又， ∴， ∴；     （2） 证明：∵，， ∴点O、P在线段的垂直平分线上， 即是的垂直平分线；      【分析】 本题考查全等三角形判定与性质、线段垂直平分线的判定、角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质和线段垂直平分线的判定是解答的关键． （1）先根据角平分线的性质得到，再证明，利用全等三角形的对应边相等即可证得结论； （2）利用线段垂直平分线的判定可得结论． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 15．（25-26学年八上·贵州安顺·期中）如图，在中，，垂直平分，交于点，交于点，且，连接． （1）求证：； （2）若的周长为，，求的长． 【答案】（1） 证明：垂直平分， ， ， 是的垂直平分线， ， ；     （2）      【分析】 本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． （1）根据垂直平分线的性质，可，再根据，得到是的垂直平分线，等量代换，即可； （2）根据题意，则，求出，再根据，得到，最后根据求出结论即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：的周长为， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 16．（25-26学年八上·贵州黔西南布依族苗族自治州兴仁屯脚镇屯脚中学·期中）命题“如果，，那么”的逆命题是　　　　　　　　　　　　　　　　．它是　　　　　　　　命题（填“真”或“假”）． 【答案】① 如果，那么，    ② 假 【分析】 本题考查了写出命题的逆命题，并判断是真（假）命题，把命题的题设和结论对调即可得它的逆命题，解题的关键是分清题设和结论．交换命题的题设与结论得到原命题的逆命题，再通过举反例判断命题的真假． 【详解】 解：逆命题是“如果，那么，” ； 当时，也有，， “如果，那么，”的结论不成立， 逆命题是假命题． 故答案为：如果，那么，．假． 17．（25-26学年八上·贵州安顺紫云苗族布依族自治县第三中学·期中）如图，在中，是的垂直平分线，，周长为，则的周长为　　　　． 【答案】19 【分析】 根据垂直平分线的性质得到，，从而将周长为转化为，即可求解． 【详解】 解：∵是的垂直平分线， ∴，， ∵， ∴，即， ∴． 18．（25-26学年八上·贵州遵义·期中）如图，在中，，，，，平分，分别是、边上的动点，求的最小值　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查全等三角形的判定与性质、角平分线的定义，直角三角形的等面积法求斜边上的高，属于综合题，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 【详解】 解：如图，过点作，交于，交于，连接， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴垂直平分， ∵是边上的动点， ∴， ∴， ∴、、三点在一条直线上，且时，有最小值， ∵，，，， ∴，即， 解得：， ∴的最小值为． 故答案为： 19．（25-26学年八上·贵州黔东南州凯里第十中学·期中）尺规作图是指用无刻度的直尺和圆规来解决不同平面几何作图题的方法，且只准许进行有限次操作．请按照要求，完成如下尺规作图：（不写作法，保留作图痕迹） （1）如图1，已知，请作出的平分线； （2）如图2，已知线段，请作出的垂直平分线； （3）如图3，电信部门要在S区修建一座电视信号发射塔，按照设计要求，发射塔到两个城镇A，B的距离必须相等，到两条高速公路m和n的距离也必须相等，发射塔应修建在什么位置？在图上标出它的位置． 【答案】（1） 解：就是的平分线．      （2） 解：就是线段的垂直平分线．      （3）解：如图所示： 【分析】 本题考查了尺规作图，熟练掌握角平分线的性质和作法，线段的垂直平分线的性质和作法，是解题的关键． （1）依题意，根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等作的角平分线； （2）依题意，根据线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，作的垂直平分线， （3）到两个城镇，的距离必须相等，则信号发射塔必须在的垂直平分线上，到两条高速公路的距离相等，则信号发射塔必须在的角平分线上，所以信号发射塔建立在的垂直平分线与的角平分线的交点S处． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 略 20．（25-26学年八上·贵州黔东南苗族侗族自治州凯里凯里学院附属中学·期中）如图，电信部门要在S区修建一座电视信号发射塔E．按照设计要求，发射塔与两个城镇A，B的距离相等，到两条高速公路和的距离也相等．发射塔E应修建在什么位置？在图上标出发射塔E的位置．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】发射塔E的位置如图所示． 【分析】 本题考查了尺规作图作角平分线，尺规作图作垂直平分线． 分别作的垂直平分线，的角平分线，交点处即为发射塔E的位置． 【详解】 略 21．（25-26学年八上·贵州遵义余庆县·期中）如图，在中，，是的垂直平分线，分别交，于点D，E，连接．求证： （1）是等边三角形； （2）垂直平分． 【答案】（1） 证明：在中，， ∴． ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 又∵， ∴是等边三角形．     （2） 证明：∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴平分． ∵， ∴， ∴点E在线段的垂直平分线上． 由（1）知，， ∴点A在线段的垂直平分线上， ∴垂直平分．      【分析】 本题考查含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的判定，角平分线的性质，线段垂直平分线的判定和性质，综合应用上述知识点是解题的关键． （1）由含30度角的直角三角形的性质，可得．由是的垂直平分线，可得，进而可得，结合可证是等边三角形； （2）先证，根据角平分线的性质可得，推出点E在线段的垂直平分线上．结合，可得垂直平分． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 22．（25-26学年八上·贵州西南州兴仁·期中）如图，在中，，D是上的一点，过点D作的垂线交于点E，，连接，，交于点P． （1）求证∶平分； （2）若，判断的形状． 【答案】（1） 证明：∵（已知），（已知）， ∴． 在和中， ， ∴． ∴，． ∵，， ∴点A和点D都在线段的垂直平分线上， ∴是线段的垂直平分线． 因此，平分．     （2）等边三角形      【分析】 （1）要证明平分，即证明P是的中点，可以通过证明三角形全等来得到对应边相等，从而得到平分； （2）给定，利用垂直和三角形内角和求出相关角，再结合已知条件判断三角形形状． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ∵， ∴． ∵， ∴． 在中，， ∴． ∵， ∴是等边三角形． 【点睛】 本题考查了垂线的定义理解，全等的性质和综合（），线段垂直平分线的性质，线段垂直平分线的判定，等边三角形的判定等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 23．（25-26学年八上·贵州黔西南布依族苗族自治州兴仁屯脚镇屯脚中学·期中）如图，已知在中，． （1）请用尺规作图法，在上求作一点，连接，使；（保留作图痕迹，不写作法） （2）请用尺规作图法，在边上求作一点，连接，使．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】（1） 如答图1所示．      （2） 如答图2所示． 【分析】 本题考查了角平分线与线段垂直平分线的尺规作图，三角形内角和定理以及线段垂直平分线的性质，等边对等角，熟练掌握线基本作图是解题的关键． （1）根据三角形内角和定理可得，根据题意可得是的平分线，作的平分线，即可求解； （2）根据等边对等角可得，则作的垂直平分线即可求解． (1) 小问详解： 解： ， 作的平分线 (2) 小问详解： 解：， ∴ 作的垂直平分线即可 考点03 画轴对称的图形 1．（25-26学年八上·贵州安顺紫云苗族布依族自治县第三中学·期中）在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了关于坐标轴对称的点的坐标特征，根据关于轴对称的点，横坐标不变，纵坐标互为相反数即可求解，掌握知识点是解题的关键． 【详解】 解：∵关于轴对称的点，横坐标不变，纵坐标互为相反数， ∴点关于轴对称的点的坐标是， 故选：． 2．（25-26学年八上·贵州毕节金沙县·期中）在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查关于轴对称的点的坐标特征，解题的关键是掌握：关于轴对称的点，横坐标互为相反数，纵坐标不变．据此解答即可． 【详解】 解：在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是． 故选：C． 3．（25-26学年八上·贵州遵义桐梓县·期中）在平面直角坐标系中，点关于x轴的对称点的坐标是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了关于轴的对称点坐标的特征．根据“横坐标不变，纵坐标互为相反数”即可得到答案． 【详解】 解：点关于轴的对称点坐标是， 故选：D． 4．（25-26学年八上·贵州遵义余庆县·期中）在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，关于轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数，据此求解即可． 【详解】 解：在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为， 故选：C． 5．（25-26学年八上·贵州凯里第一初级中学·期中）在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了关于轴对称的点的坐标特征．关于x轴对称的点的坐标特征，横坐标不变，纵坐标互为相反数． 根据关于轴对称的点的坐标特征作答即可． 【详解】 ∵点关于轴对称， ∴横坐标不变，为，纵坐标变为相反数，为． ∴对称点的坐标为． 故选：A． 6．（25-26学年八上·贵州黔南布依族苗族自治州平塘县·期中）在平面直角坐标系中，点与点关于轴对称，则（     ） A.  B.  C. 1 D. 5 【答案】B 【分析】 本题主要考查了关于轴对称的点的坐标特点，关键是熟练掌握点的变化规律．根据关于轴对称的点的坐标特点：两个点关于轴对称时，它们的纵坐标相同，横坐标符号相反，据此确定的值，然后代入求值，即可得出答案． 【详解】 解：∵点与点关于轴对称， ∴， ∴． 故选：B． 7．（25-26学年八上·贵州贵阳修文县·期中）若点与点关于y轴对称，则（     ） A.  B. 2025 C.  D. 1 【答案】C 【分析】 本题主要考查点的坐标关于坐标轴对称问题，熟练掌握点的坐标关于坐标轴对称的问题是解题的关键；根据关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数，列方程求解m和n，再计算代数式的值即可． 【详解】 解：∵点与点关于y轴对称， ∴， 解得， ∴； 故选C． 8．（25-26学年八上·贵州黔东南苗族侗族自治州凯里凯里学院附属中学·期中）如图，在的正方形网格中，已有三个小正方形被涂黑，若将剩余的白色小正方形再涂黑一个，使得到的图形是轴对称图形，满足条件的涂法有（     ） A. 1种 B. 2种 C. 3种 D. 4种 【答案】D 【分析】 此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．利用轴对称图形定义进行补图即可． 【详解】 解：如图所示： 共4种， 故选：D． 9．（25-26学年八上·贵州贵阳第三十九中学·期中）已知点的坐标为关于轴对称的点的坐标为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题重点考查了坐标与图形变化，轴对称，关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数，熟练掌握其特点是解题的关键． 点的坐标为，关于轴对称的点，即横坐标不变，纵坐标取相反数，得到答案． 【详解】 解：点关于轴对称的点，横坐标不变，为，纵坐标变为相反数，为，故点的坐标为． 故选：C． 10．（25-26学年八上·贵州六盘水·期中）如图，在平面直角坐标系中，对进行循环往复的轴对称变换，若原来点的坐标是，则经过第2025次变换后点的对应点的坐标为（   ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了轴对称的性质，点的坐标变换规律，读懂题目信息，观察出每四次对称为一个循环组依次循环是解题的关键； 观察图形可知每四次对称为一个循环组，依次循环，用除以，然后根据商和余数的情况确定出变换后的点所在的象限，解答即可． 【详解】 解：点第一次关于轴对称后在第二象限， 点第二次关于轴对称后在第三象限， 点第三次关于轴对称后在第四象限， 点第四次关于轴对称后在第一象限，即点回到原始位置， 所以，每四次对称为一个循环组依次循环， ， 经过第次变换后所得的点与第一次变换的位置相同，在第二象限，坐标为， 故选：C 11．（25-26学年八上·贵州安顺·期中）若点和点关于x轴对称，则点在（       ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【分析】 本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，判断点所在的象限，关于x轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数，据此求出的值即可得到答案． 【详解】 解：∵点和点关于x轴对称， ∴，， ∴点，即点在第一象限． 故选：A． 12．（2026·贵州安顺·质量检测）若点与点关于轴对称，则（       ） A.  B. 0 C. 1 D.  【答案】C 【分析】 本题考查了点坐标与轴对称“在平面直角坐标系中，关于轴对称的两个点的横坐标相等、纵坐标互为相反数”，熟练掌握点坐标与轴对称变换规律是解题关键．根据在平面直角坐标系中，关于轴对称的两个点的横坐标相等、纵坐标互为相反数可得，再代入计算即可得． 【详解】 解：∵点与点关于轴对称， ∴， ∴， 故选：C． 13．（25-26学年八上·期中）在平面直角坐标系中，点关于直线对称的点的坐标是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了点关于平行于坐标轴的直线对称的点的坐标的特征，设点关于直线对称的点为，根据轴对称的性质可得，点和点到直线距离相等，且纵坐标相等，据此即可求解． 【详解】 解：设点关于直线对称的点为， 根据轴对称的性质得，点和点到直线距离相等，且纵坐标相等， ∴点的纵坐标为2， ∵点到直线的距离为， ∴点的横坐标为， ∴， 故选：C． 14．（八上·贵州专用·期中）已知点和关于对称，则的值为（       ） A. 0 B.  C. 1 D.  【答案】B 【分析】 本题考查坐标与对称，乘方运算，掌握相关知识是解决问题的关键．两点关于x轴对称，则两点横坐标相等，纵坐标互为相反数，据此列方程可求出a，b的值，然后代入求值即可． 【详解】 解：∵点和关于对称， ∴， ， ∴． 故选：B． 15．（25-26学年八上·贵州黔东南州凯里第十中学·期中）点关于轴对称的点的坐标为　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了点坐标与轴对称变换，熟练掌握点坐标与轴对称变换规律是解题关键．根据点关于轴对称的坐标特征：横坐标互为相反数、纵坐标不变求解即可得． 【详解】 解：点关于轴对称的点的坐标为． 故答案为：． 16．（25-26学年八上·贵州西南州兴仁·期中）一辆汽车的车牌号在水中的倒影是 ，那么它的实际车牌号是：　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了镜面对称的性质；解决本题的关键是得到对称轴，进而得到相应数字，也可以简单的写在纸上，然后从纸的后面看，关于倒影，相应的数字应看成是关于倒影下边某条水平线的对称即可． 【详解】 解：实际车牌号是， 故答案为：． 17．（25-26学年八上·期中）在平面直角坐标系中，已知，作点A关y轴的对称点，再将向下平移4个单位长度得到，则的坐标是　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了关于y轴对称的点的坐标，根据平移的性质求点的坐标，解题的关键是掌握关于对称轴对称的点的坐标特征和平移的性质． 根据“关于y轴对称的点，横坐标互为相反数，纵坐标相同”求出点的坐标，再根据平移的性质进行解答即可． 【详解】 解：由题知， 因为点A坐标为，且点A和点关于y轴对称， 所以点A1的坐标为， 则将向下平移4个单位长度得到的坐标为． 故答案为：． 18．（25-26学年八上·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）请在图中画出关于轴对称的△； （2）请直接写出点、、的坐标． 【答案】（1） 如图所示，△即为所求；      （2）点、、的坐标分别为，，      【分析】 此题考查了坐标系中轴对称作图，正确作图是关键． （1）作出点关于轴对称的对应点，顺次连接即可； （2）根据（1）中的作图写出点的坐标即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：点、、的坐标分别为，，． 19．（25-26学年八上·贵州黔东南州凯里第十中学·期中）按要求完成：（画图或作图时请保留作图痕迹，不写作法、画法） （1）画出关于轴对称的图形（点A、C分别对应、）； （2）请在y轴上找出一点P，满足线段的值最小； （3）求的面积． 【答案】（1） 解：如图，即为所求．     （2） 解：如图，点即为所求． ．     （3）2      【分析】 本题考查了轴对称图形、两点之间线段最短、轴对称的性质、利用网格求三角形的面积，熟练掌握轴对称的性质是解题关键． （1）先根据轴对称的性质画出点，再顺次连接即可得； （2）先作点关于轴的对称点，再连接，与轴交于点，由此即可得； （3）利用一个长方形的面积减去三个小直角三角形的面积即可得． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：的面积为． 20．（25-26学年八上·贵州毕节金沙县·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为． （1）画出关于轴对称的；（点的对应点分别是点）； （2）直接写出点的坐标． 【答案】（1） 如图即为所作；      （2）点的坐标为，点的坐标为．      【分析】 本题考查了在直角坐标系中画轴对称图形，并能写出坐标，知道图形关于x轴对称各点坐标的变化特点是解题的关键．（1）根据图形关于x轴对称各点坐标的变化特点描点连线即可；（2）根据点的坐标位置写出坐标即可． 【详解】 （1）略 （2）解：点的坐标为，点的坐标为． 21．（25-26学年八上·贵州遵义桐梓县·期中）如图，平面直角坐标系中，，，，过点作x轴的垂线l． （1）作出关于直线l的轴对称图形； （2）直接写出（______，______），（______，______），（______，______）； （3）在内有一点，则点P关于直线l的对称点的坐标为（______，______）（结果用含m，n的式子表示）． 【答案】（1） 如图，为所作；      （2），，     （3）      【分析】 本题考查了作图—轴对称变换、坐标与图形，熟练掌握轴对称的性质是解此题的关键． （1）根据轴对称的性质画出图形即可； （2）根据（1）中得出的图形写出坐标即可； （3）根据轴对称的性质即可得解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由图可知：，，； (3) 小问详解： 解：点P关于直线l的对称点的坐标为． 22．（25-26学年八上·贵州毕节织金县思源实验学校·期中）如图所示，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． （1）在图中画出关于轴对称的图形； （2）在图中，点与点关于轴成轴对称，则点的坐标是______． （3）求的面积． 【答案】（1） 解：如图，即为所求：      （2）     （3）      【分析】 本题考查的是画轴对称图形，轴对称与坐标变化，求解网格三角形的面积，熟练的画轴对称是解本题的关键． （1）分别确定A，B，C关于x轴的对称点，，，再顺次连接即可； （2）根据关于y轴对称的点的特点求解即可； （3）由长方形的面积减去周围三个三角形的面积即可得到答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ∵点与点关于轴成轴对称，， ∴点的坐标是； (3) 小问详解： 的面积为． 23．（25-26学年八上·贵州凯里第一初级中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为． （1）请写出关于y轴对称的的各顶点的坐标，______，______，______； （2）请画出关于y轴的对称图形； （3）已知点，直线轴，求点P的坐标． 【答案】（1）；；     （2） 如图，即为所求．      （3）      【分析】 本题考查坐标与轴对称，熟练掌握轴对称的性质，是解题的关键： （1）根据轴对称的性质，写出点、、的坐标即可； （2）根据轴对称的性质找出点、、，然后顺次连接即可； （3）根据平行x轴的直线上点的纵坐标相同，求出，再求出点P的坐标即可． (1) 小问详解： 解：，，； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：∵点，直线轴， ∴， ∴， ∴点P的坐标为． 24．（25-26学年八上·贵州遵义第十一中学·期中）在平面直角坐标系中，点与点B关于x轴对称，则点B的坐标是　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了关于x轴对称的点的坐标，根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”解答． 【详解】 解：点与点B关于x轴对称， 点B的坐标是． 故答案为： ． 25．（25-26学年八上·贵州西南州兴仁·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为． （1）画出关于y轴对称的，并写出的坐标； （2）将向右平移8个单位，画出平移后的，求的面积； 【答案】（1） 如图所示： ∴为所作的图形，的坐标是；      （2） 如图所示： ∴为所作的图形， 的面积为      【分析】 本题考查了图形的平移和翻折，利用网格求三角形的面积．熟练掌握利用平移变换与轴对称变换作图是解决本题的关键； （1）分别作出点A，B，C关于y轴的对称点，顺次连接得到，根据点的位置得到的坐标即可； （2）分别作出点A，B，C向右平移8个单位的对应点，顺次连接对应点得到，根据割补法进行列式计算，求出的面积． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：的面积 ． 26．（25-26学年八上·贵州安顺·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别为，，． （1）作出与关于x轴对称的； （2）在x轴上找一点M，使点M到A，B两点的距离之和最小，在图中标出点M的位置．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】（1） 如图所示；      （2） 如图所示，点M即为所求作． 【分析】 本题主要考查了作轴对称图形，根据轴对称求线段和的最小值． 对于（1），分别作出三个顶点关于x轴对称的点，再依次连接即可； 对于（2），由点A和点关于x轴对称，可知，即，根据“两点之间线段最短”可知连接交x轴于点M，此时点M到A，B两点的距离之和最小，则点M即为所求作，并写出坐标． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 27．（25-26学年八上·贵州黔西南布依族苗族自治州兴仁屯脚镇屯脚中学·期中）若点与点关于轴对称，则　　　　　　　　　　． 【答案】0 【分析】 本题考查关于x轴对称的点的坐标特征，掌握关于坐标轴对称的点的坐标特征是解题的关键． 根据平面直角坐标系内关于x轴对称的点的坐标特征：横坐标相同，纵坐标互为相反数求解即可． 【详解】 解：∵点与点关于x轴对称， ∴， 解得． ∴． 故答案为：0． 28．（25-26学年八上·贵州黔东南苗族·期中）已知点A的坐标为，则点A关于y轴对称的点的坐标是　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查关于y轴对称点的坐标，利用关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变，可得答案． 【详解】 解：∵点A的坐标为， ∴点A关于y轴对称的点的坐标是， 故答案为： 29．（25-26学年八上·期中）已知：方格纸中的每个小方格都是边长为个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，的顶点均在格点上，点的坐标为． （1）请以轴为对称轴，画出与对称的； （2）点与点关于轴对称，则______，______． （3）如果要使与全等，那么不同于点的格点的坐标是______． 【答案】（1） 即为所求：      （2），     （3）或或      【分析】 本题主要考查了轴对称图形的绘制、关于坐标轴对称的点的坐标特征以及全等三角形的性质． （1）根据关于轴对称的点的坐标特征来画出对称图形； （2）利用关于轴对称的点的坐标关系求出、的值； （3）依据全等三角形对应边相等的性质找出满足条件的点的坐标． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：点与点关于轴对称， ，， 解得，； (3) 小问详解： 解：要使与全等， 则或或或， 观察图形可知，不同于点的格点的坐标是或或． 30．（八上·贵州专用·期中）如图，三个顶点的坐标分别为，，． （1）请画出关于y轴对称的图形，并写出，，的坐标； （2）求的面积． 【答案】（1） 解：如图所示， 由图知，，，     （2）      【分析】 此题考查了图形与坐标，轴对称图形的作图等知识，准确作图是关键． （1）作出点关于y轴对称的对应点，，，顺次连接即可得到，并写出点的坐标即可； （2）利用包含三角形的正方形面积减去周围三个直角三角形的面积即可得到答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：． 31．（八上·贵州专用·期中）如图，点与点关于直线（过点，且与轴平行的直线）对称，则　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了坐标与图形变化—轴对称，根据对称点到对称轴的距离相等得出，得出，结合横坐标不变，所以，即可作答． 【详解】 解：∵点与点关于直线（过点，且与轴平行的直线）对称， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 32．（25-26学年八上·贵州遵义·期中）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别是，． （1）在平面直角坐标系中画出关于轴对称的，并写出的坐标； （2）求的面积． 【答案】（1） 如图，即为所求： 、、     （2）      【分析】 本题考查轴对称变换，熟练掌握关于轴对称的点的坐标特征是解题的关键． （1）根据关于轴对称的点的坐标横坐标互为相反数，纵坐标相同，得出、、，画出图形即可； （2）用所在的长方形的面积减去三个小三角形的面积即可得答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：． 33．（25-26学年八上·贵州安顺紫云苗族布依族自治县第三中学·期中）如图，三个顶点的坐标分别为，，． （1）请画出关于轴成轴对称的图形，并写出、、的坐标； （2）求的面积． 【答案】（1）画出图形如下： , 、、的坐标为、、； （2）的面积为 【分析】 （1）根据题意画出图形，写出坐标即可； （2）利用割补法求面积即可求解． 【详解】 解：（1）、、的坐标为、、； （2）的面积为． 【点睛】 本题考查平面直角坐标系中图形的对称、割补法求面积，根据轴对称的定义画出图形是解题的关键． 34．（25-26学年八上·贵州北京师范大学贵阳附属中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，有A，B，C三点． （1）若与关于y轴对称．请在图中画出； （2）依次写出，，坐标，________，________，________； （3）若点关于x轴的对称点为，则的坐标是________． 【答案】（1） 即为所作：      （2），，     （3）      【分析】 本题考查作图-轴对称变换，点的坐标，解题的关键是掌握轴对称变换的性质，学会利用轴对称解决问题． （1）利用轴对称的性质分别作出A，B，C的对应点，，即可； （2）根据点，，在坐标系中的位置写出它们的坐标即可； （3）利用关于x轴对称的性质求解问题． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由坐标系得：点，，的坐标分别为，，， 故答案为：，，； (3) 小问详解： 解：点关于直线x轴的对称点为，则的坐标是， 故答案为：． 35．（25-26学年八上·贵州六盘水·期中）如图，在平面直角坐标系中，解答下列问题： （1）若各顶点的横坐标不变，纵坐标都乘，请你在同一平面直角坐标系中描出对应的点，并依次连接这三个点，所得的与有怎样的位置关系？ （2）求的面积； （3）已知为轴上一点，若的面积是的面积的倍，求此时点的坐标． 【答案】（1）如图所示，即为所求，关于轴对称；      （2）；     （3）点的坐标为或．      【分析】 本题考查了坐标与图形，作轴对称图形，轴对称的性质，分割法求面积，掌握知识点的应用是解题的关键． （）确定点的坐标，描点后，观察即可得出关系； （）利用长方形面积减去三个三角形面积即可求解； （）设的边上的高为，点的坐标为，然后分为当点在轴负半轴上时；当点在轴正半轴上时两种情况分析即可． (1) 小问详解： 解：由坐标系可得， ∴纵坐标都乘得， ∴与的位置关系是关于轴对称； (2) 小问详解： 解：； (3) 小问详解： 解：设的边上的高为，点的坐标为， ∴， 因为的面积是的面积的倍， 所以，解得， 所以当点在轴负半轴上时，； 当点在轴正半轴上时，． 综上，点的坐标为或． 36．（25-26学年八上·贵州遵义余庆县·期中）已知点． （1）若点关于x轴对称，求的值； （2）若点关于y轴对称，求的值． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了轴对称点的坐标变换，解决本题的关键是掌握轴对称点的坐标变换规律． （1）根据“关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”列方程组求解即可； （2）根据“关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；列方程组求出、的值，然后代入代数式进行计算即可得解． (1) 小问详解： 解： 点关于轴对称， ， 解得，； (2) 小问详解： 解：点关于轴对称， ∴， 解得， ∴． 37．（25-26学年八上·贵州遵义余庆县·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为． （1）画出关于y轴对称的图形，并写出的三个顶点的坐标； （2）画出关于x轴对称的图形； （3）连接，求四边形的面积． 【答案】（1） 如图，即为所求： ．     （2） 如图，即为所求：      （3）8      【分析】 本题考查轴对称图形的作图，熟练掌握轴对称图形作图方法是解题的关键， （1）根据轴对称图形的作图方法，即可得到，从而得到的三个顶点的坐标； （2）根据关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标相反，即可得到； （3）根据梯形面积的公式即可得到答案． (1) 小问详解： 解：由图可知：． (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：如图， ∴． 38．（25-26学年八上·贵州遵义第十一中学·期中）如图，已知四边形的顶点坐标分别为，，， （1）画出四边形关于l对称的四边形，并写出顶点坐标； （2）求四边形的面积； （3）若点P是直线l上一点，当时，求点P的坐标． 【答案】（1）四边形如图所示；，，，；     （2）7     （3）或      【分析】 本题是一道四边形的综合题，涉及到轴对称图形的性质，四边形面积，三角形面积等知识点．从坐标系中求出各点坐标和相应线段的长度是解答本题的关键． （1）由两个轴对称图形对应顶点到对称轴的距离相等，得到四边形的各个顶点位置，依次连接四个顶点即可，再根据写出顶点坐标； （2）四边形由和组成，求出这两个三角形的面积和即可得出答案； （3）先求出关于点P纵坐标的关系式，再由建立方程求解即可． (1) 小问详解： 解：四边形如图所示； ，，，； (2) 小问详解： 解：， ，，，， ； (3) 小问详解： 解：设点P坐标为， ， ，即，则或， 故点P坐标为或． 39．（25-26学年八上·贵州黔西南布依族苗族自治州兴仁屯脚镇屯脚中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点上，点的坐标为． （1）画出关于轴对称的并求的面积； （2）在轴上找一点，使的和最小．（找出点即可，不用求点的坐标） 【答案】（1）即为所求： ， 面积为毛；     （2）点即为所求： 【分析】 （）直接利用关于轴对称点的性质得出答案，用一个矩形的面积分别减去三个直角三角形的面积即可； （）利用轴对称求最短路线的方法得出点位置即可； 本题考查作图-轴对称变换，轴对称最短问题等知识，解题的关键是掌握轴对称变换的性质，正确作出图形． (1) 小问详解： 如图，利用网格特点和轴对称的性质画出，，关于的对称点，，，连接各点， ， ， ； (2) 小问详解： 画出关于的对称点，连接交于，利用得到，则根据两点之间线段最短，如图， ∴点即为所求的点，使得最小． 40．（25-26学年八上·贵州贵阳·期中）已知点，，试根据下列条件求出，的值． （1），两点关于轴对称； （2），两点关于轴对称； （3）轴． 【答案】（1），     （2），     （3），      【分析】 此题主要考查了关于x，y轴对称点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律． （1）关于y轴对称，y不变，x变为相反数据此求解即可； （2）关于x轴对称，x不变，y变为相反数据此求解即可； （3）轴，即两点的纵坐标相等且横坐标不相等，据此求解． (1) 小问详解： 解：∵，两点关于轴对称， ∴，； (2) 小问详解： 解：∵，两点关于轴对称， ∴，； (3) 小问详解： 解：∵轴， ∴，． 41．（2026·贵州安顺·质量检测）如图，在平面直角坐标系中，点，，． （1）在图中画出边上的中线，并写出点的坐标． （2）在图中画出边上的高，并写出点的坐标． （3）在图中画出线段关于轴对称的图形． 【答案】（1） 如图，中线即为所求．      （2） 如图，高即为所求．      （3） 解：如图，即为所求． ．      【分析】 本题考查了三角形的中线与高、轴对称、点的坐标，熟练掌握点坐标与图形是解题关键． （1）结合网格先确定的中点，再连接即可得，然后根据中点坐标公式即可得点的坐标； （2）结合网格画出边上的高，再写出点的坐标即可得； （3）先根据轴对称的性质画出点关于轴对称的点，再连接即可得． (1) 小问详解： 解：∵，， ∴的中点的坐标为，即为． (2) 小问详解： 解：∵点，，， ∴点的横坐标与点的横坐标相同、点的纵坐标与点的纵坐标相同， ∴点的坐标为． (3) 小问详解： 略 42．（25-26学年八上·贵州黔东南苗族·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点的坐标分别为，，． （1）画出关于y轴的对称图形及关于x轴的对称图形； （2）求出的面积． 【答案】（1） 如图，及即为所求．      （2）2      【分析】 此题考查轴对称作图，在网格中计算三角形的面积 （1）根据轴对称的性质作图即可； （2）根据割补法计算出的面积． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解： 43．（25-26学年八上·贵州黔东南州·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）在图中作出关于x轴的对称图形； （2）直接写出的面积_______． （3）在y轴上找一点P，使得周长最小．（保留作图痕迹） 【答案】（1） 解：如图所示：      （2）     （3） 解：如图，作关于轴对称的对称点，连接交轴于，则即为所求； 理由如下： 由作图可得：， ∴的周长为， ∴的周长最小．      【分析】 本题考查了作图−轴对称变换，轴对称−最短路线问题，求解网格三角形的面积：解决本题的关键是掌握轴对称的性质． （1）根据轴对称的性质作出点A，B，C关于x轴的对称点，，，再顺次连接即可； （2）根据网格利用割补法即可求出的面积； （3）作关于轴对称的对称点，连接交轴于，则即为所求； (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：依题意， ； (3) 小问详解： 略 44．（25-26学年八上·贵州遵义·期中）在平面直角坐标系中，对点作如下变换：若，作点关于轴的对称点；若，作点关于轴的对称点，我们称这种变换为“变换”．例如：点作“变换”后的坐标为点作“变换”后的坐标为． （1）点作“变换”后的坐标为___________；点作“变换”后的坐标为___________； （2）已知点，，在所在直线下方作以为直角边的等腰直角三角形，若点是点作“变换”后对应的点，其中，求的值； （3）已知点，，，其中，且点，作“变换”后对应的点分为两点，，求的值． 【答案】（1） ；      （2）     （3）      【分析】 本题考查点的对称变换及三角形面积计算． （1）直接根据YS变换规则求解； （2）先求点P变换后的点F，再根据等腰直角三角形的性质确定F点坐标，代入求解a和b，计算； （3）先求点A和B变换后的点M和N，再利用三角形面积公式建立方程求解m． (1) 小问详解： 解：点中作关于轴的对称点，得； 点中作关于y轴的对称点，得 (2) 小问详解： 解：∵点且， ∴，作关于轴的对称点，得 等腰中，，，以为直角边，在下方，则为或 若F，则，，解得，，此时，且，符合变换规则，∴， 若，则，，解得，，但不满足， 故； (3) 小问详解： 点中，作关于x轴的对称点，得 点中，作关于y轴的对称点，得 点 与横坐标相同，垂直， 到直线的水平距离为 解得 (因)， ． 考点04 等腰三角形 1．（25-26学年八上·贵州安顺·期中）如图，在中，，于点，若，则（     ）； A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了等腰三角形的性质，根据三线合一可得，进而即可求解，掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 【详解】 解：∵，， ∴， ∴， 故选：． 2．（25-26学年八上·贵州遵义·期中）已知等腰三角形的一个内角为，则顶角的度数是（     ） A.  B.  C. 或 D. 或 【答案】C 【分析】 本题主要考查了等边对等角，三角形内角和定理，分两种情况：顶角的度数为和底角的度数为，当底角的度数为时，根据等腰三角形两底角相等，以及三角形内角和定理求解即可． 【详解】 解：① 当已知的角为顶角时，则顶角的度数是； ② 当已知的角为底角时，则另一个底角也为，顶角的度数为， 综上所述，顶角的度数为或， 故选：C． 3．（25-26学年八上·贵州安顺紫云苗族布依族自治县第三中学·期中）如图，在中，的垂直平分线相交于点，若，则的度数是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题主要考查线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理．连接，根据三角形内角和定理求出，根据线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质得到，根据三角形内角和定理计算是解题的关键． 【详解】 解：如图所示，连接， ∵， ∴， ∵、的垂直平分线交于点O， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 4．（25-26学年八上·贵州黔东南州凯里第十中学·期中）如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，且分别交BC，AC于点D和E，∠B＝60°，∠C＝25°，则∠BAD为（       ） A. 50° B. 70° C. 75° D. 80° 【答案】B 【分析】 根据线段垂直平分线的性质得到DA=DC，根据等腰三角形的性质得到∠DAC=∠C，根据三角形内角和定理求出∠BAC，计算即可． 【详解】 ∵DE是AC的垂直平分线， ∴DA=DC， ∴∠DAC=∠C=25°， ∵∠B=60°，∠C=25°， ∴∠BAC=95°， ∴∠BAD=∠BAC-∠DAC=70°， 故选B． 【点睛】 本题考查的是线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 5．（25-26学年八上·贵州黔东南苗族侗族自治州凯里凯里学院附属中学·期中）下列命题中，其逆命题不是真命题的是（     ） A. 全等三角形的对应角相等 B. 等腰三角形的两个底角相等 C. 两直线平行，同位角相等 D. 角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上 【答案】A 【分析】 本题考查了命题与逆命题，真命题与假命题的判定，掌握全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质是解题的关键．根据全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质进行判定即可求解．通过判断每个命题的逆命题的真假，发现选项A的逆命题不成立，因为对应角相等的三角形不一定全等；而选项B、C、D的逆命题均成立． 【详解】 解：∵ 选项A的原命题“全等三角形的对应角相等”的逆命题是“对应角相等的三角形全等”，但对应角相等的三角形可能相似而不全等（如两个大小不同的等边三角形），故逆命题不成立； ∵ 选项B的原命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是“有两个角相等的三角形是等腰三角形”，由等角对等边，成立； ∵ 选项C的原命题“两直线平行，同位角相等”的逆命题是“同位角相等，两直线平行”，是平行线的判定定理，成立； ∵ 选项D的原命题“角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上”的逆命题是“角平分线上的点到角两边距离相等”，是角平分线的性质，成立． ∴ 逆命题不是真命题的是A． 故选A． 6．（25-26学年八上·贵州遵义余庆县·期中）如图，屋顶钢架外框是等腰三角形，其中，工人师傅在焊接立柱时，只用找到的中点D，就可以说明竖梁垂直于横梁了，工人师傅这种操作方法的依据是（       ） A. 等边对等角 B. 等角对等边 C. 垂线段最短 D. 等腰三角形“三线合一” 【答案】D 【分析】 本题考查等腰三角形的性质，熟知等腰三角形“三线合一”性质是解答的关键． 根据等腰三角形的性质解答即可． 【详解】 解：∵， ∴是等腰三角形， ∵， ∴， 故工人师傅这种操作方法的依据是等腰三角形“三线合一”， 故选：D． 7．（25-26学年八上·贵州凯里第一初级中学·期中）如图，在中，，线段AC的垂直平分线分别交于E、D两点，判断以下结论正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了线段垂直平分线的性质．根据线段垂直平分线性质结合等边对等角即可解答． 【详解】 解：∵是的垂直平分线， ∴，，， ∴，， 故A选项符合题意， 根据已知无法确定 B、C、D项； 故选：A． 8．（25-26学年八上·贵州西南州兴仁·期中）如图，在中，，是的高，若，，则=（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．根据含角的直角三角形的性质即可得到结论． 【详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴， 在中，，， ∴， 在中，，， ∴， ∴． 故选：A． 9．（25-26学年八上·贵州安顺·期中）下列命题的逆命题是假命题的是（       ） A. 角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上 B. 等腰三角形的两底角相等 C. 有两边相等的三角形是等腰三角形 D. 两个全等三角形的面积相等 【答案】D 【分析】 本题考查逆命题的真假判断．写出每个命题的逆命题，并判断其真假．选项D的逆命题为“面积相等的两个三角形全等”，这是一个假命题． 【详解】 A的逆命题：在角的平分线上的点，到角两边的距离相等，是真命题（角平分线性质）； B的逆命题：两角相等的三角形是等腰三角形，是真命题（等腰三角形判定）； C的逆命题：等腰三角形有两边相等，是真命题（等腰三角形定义）； D的逆命题：面积相等的两个三角形全等，是假命题（反例：等底等高的三角形面积相等但不一定全等）． ∴ 逆命题是假命题的是D． 故选：D． 10．（2026·贵州安顺·质量检测）如图，这是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图，其中，分别表示一楼、二楼地面的水平线．若，的长是，则乘电梯从点到点上升的高度是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题主要考查了含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握含30度角的直角三角形的性质是解题关键．过点作，交延长线于点，先求出，再根据含30度角的直角三角形的性质可得，由此即可得． 【详解】 解：如图，过点作，交延长线于点， ∵， ∴， ∵在中，的长是， ∴， ∵，分别表示一楼、二楼地面的水平线， ∴， ∴乘电梯从点到点上升的高度是， 故选：A． 11．（25-26学年八上·贵州黔东南苗族·期中）某帐篷撑起后如图1，为更好地将帐篷固定，需在四个角分别另加一根固定绳索，从正面看如图2所示，测得，，则的度数为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了等边对等角和三角形外角的性质，熟练掌握三角形外角的性质是关键．根据三角形外角的性质得，根据，得，所以． 【详解】 解：，， ， ， ， ， ． 故选：D． 12．（25-26学年八上·贵州黔东南州·期中）如图，在格点中找一点，使得是等腰三角形，且为其中的一条腰，这样的点一共有（       ） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 【答案】C 【分析】 根据网格结构，分别以、为顶角顶点作出与长度相等的格点线段即可得到点的位置． 【详解】 解：如图，点C的位置共有5个． 故选C． 【点睛】 本题考查了等腰三角形的判定，关键在于根据网格结构找出与长度相等的线段． 13．（25-26学年八上·期中）如图，在中，，是边上的高，，若 ，则的长为（     ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【分析】 本题主要考查了含30度角的直角三角形的性质，三角形内角和定理，根据含30度角的直角三角形的性质求出的长，再求出，进而求出的长即可得到答案． 【详解】 解：∵在中，，， ∴，， ∵是边上的高， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 14．（25-26学年八上·期中）如图，在中，，，分别是的中线和角平分线．若，则的度数为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了等腰三角形的两个底角相等的性质，等腰三角形的三线合一的性质，三角形内角和定理以及角平分线定义，掌握相关知识是解题的关键．先根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求出，，再利用角平分线定义即可得出的度数． 【详解】 解：是的中线，，， ， ， 是的角平分线， ， 故选：B． 15．（25-26学年八上·贵州遵义·期中）如图，在中，点在上，连接；过点作交于点D，交于点，且，在上取一点，使，则下列三个结论：①；②；③，其中正确的结论是（     ） A. ①②③ B. ①② C. ②③ D. ①③ 【答案】B 【分析】 本题考查全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质及等腰三角形的性质，熟练掌握判定定理是解题关键．利用证明，根据全等三角形的性质可得，，可判定① 正确，根据等腰三角形的性质可得，即可得出，根据平行线的判定定理可判定② 正确；只有，两个条件，无法判定，可判定③ 错误；综上即可得答案． 【详解】 解：和中， ， ∴， ∴，，故① 正确； ∵， ∴， ∴， ∴，故② 正确； 在和中，只有，两个条件， ∴无法判定，故③ 错误； 综上所述：正确的结论为① ② ， 故选：B． 16．（25-26学年八上·贵州遵义·期中）如图，在中，，垂足为点，垂直平分，交于点，交于点，连接，若，的周长为20，，则的长为（     ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】B 【分析】 本题考查的是线段的垂直平分线的性质，根据EF垂直平分得到，，根据，得到，计算即可． 【详解】 解：∵的周长为20， ∴， ∵垂直平分，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 17．（25-26学年八上·贵州黔东南苗族侗族自治州凯里凯里学院附属中学·期中）如图，在中，，，平分，点是上的一点，连接，若，则的度数为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，等边对等角，三角形外角的性质． 根据三角形内角和得到，根据平分得到，根据等边对等角得到，根据三角形外角的性质即可求出的度数． 【详解】 解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：D． 18．（25-26学年八上·贵州遵义桐梓县·期中）已知等腰三角形的一内角度数为40°，则它的顶角的度数为(　　) A. 40° B. 80° C. 100° D. 40°或100° 【答案】D 【详解】①若40°是顶角，则底角==70°；②若40°是底角，那么顶角 =180°﹣2×40°=100°．故选D． 19．（25-26学年八上·贵州遵义桐梓县·期中）如图，在中AB＝AC，BC=4，面积是20，AC的垂直平分线EF分别交AC、AB边于E、F点，若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则周长的最小值为（       ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】D 【分析】 连接AD，AM，由题意易得AD⊥BC，BD=DC=2，AM=MC，则有，要使△CDM的周长为最小值，只需A、M、D三点共线，进而问题可求解． 【详解】 解：连接AD，AM，如图所示： ∵AB=AC，点D是BC的中点，BC=4， ∴AD⊥BC，BD=DC=2， ∵△ABC的面积为20， ∴， ∴AD=10， ∵EF垂直平分AC， ∴AM=MC， ∴， 要使△CDM的周长为最小值，只需A、M、D三点共线，即MD+AM=AD， ∴△CDM的周长为最小值为； 故选：D． 【点睛】 本题主要考查等腰三角形的性质、垂直平分线的性质定理、两点之间线段最短，熟练掌握等腰三角形的性质、垂直平分线的性质定理是解题的关键． 20．（25-26学年八上·贵州凯里第一初级中学·期中）如图，在中，，点D是的中点，过点D作交于E点．且，，则的长是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查的是直角三角形的性质和线段垂直平分线的性质．连接，先根据三角形内角和定理求出的度数，再由边的垂直平分线交于点，交于点可知，，由三角形的外角性质可得出，由直角三角形的性质可得出结论． 【详解】 解：连接， ，， ， ∵点D是AC的中点，过点D作交于E点．， ，， ， ， ， 的长是． 故选：A． 21．（25-26学年八上·贵州凯里第一初级中学·期中）如图，在中，，，以点A为圆心，小于的长为半径画弧，分别交于，于M，N，分别以M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连接并延长于点D，下列结论错误的是（       ） A. 平分 B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了角平分线的画法和性质，等角对等边，线段垂直平分线的判定，直角三角形的性质，由作图可判断A；由直角三角形的两锐角互余可得，即得，得到，即可判断B；进而由等角对等边可得，根据直角三角形的性质可得，即可判断C，根据，即可判断D，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】 解：由作图可得，为的角平分线， ∴平分，故A正确，不符合题意； ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴，故B正确，不符合题意； ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，故C正确，不符合题意； ∴，故D错误，符合题意． 故选：D． 22．（25-26学年八上·贵州黔南布依族苗族自治州平塘县·期中）若等腰三角形的一个角是，则该等腰三角形的顶角的度数是（     ） A.  B.  C. 或 D.  【答案】C 【分析】 本题主要考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理的应用等知识，解题关键是利用等腰三角形两底角相等的性质，结合三角形内角和定理进行计算，注意分类讨论．等腰三角形中，已知角可能是顶角或底角，需分情况讨论顶角度数． 【详解】 解：∵等腰三角形的一个角是， ∴有两种可能： ① 若的角为顶角，则顶角为； ② 若的角为底角，则顶角， ∴顶角为或． 故选：C． 23．（25-26学年八上·贵州遵义第十一中学·期中）如图，已知在，若以点为圆心，长为半径画弧，交腰于点，则下列结论一定正确的是（） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了等腰三角形的性质，掌握当等腰三角形的底角对应相等时其顶角也相等．根据等腰三角形的两底角相等和三角形的内角和可知，当两个等腰三角形的顶角相等时则其底角也相等． 【详解】 解： 以点为圆心，长为半径画弧，交腰于点， ， ， 故选：C． 24．（25-26学年八上·贵州遵义第十一中学·期中）如图，在中，，点是边上的任意一点，则的长不可能是（     ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】A 【分析】 本题考查等腰三角形的性质和含的直角三角形的性质，当点是的中点时，最小，根据等腰三角形等边对等角的性质求得，根据等腰三角形三线合一的性质求得，然后根据直角三角形中所对的直角边等于斜边的一半求解． 【详解】 解：当点是的中点时，如图所示， ，， ，，此时最小， ， 在中，， 则的长不可能是， 故选：A． 25．（25-26学年八上·贵州黔东南苗族·期中）如图，在中，，，点D是上的一点，将沿翻折得到，边交于点，若，则的度数为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 此题考查了折叠的性质，平行线性质，三角形内角和定理等知识，由等腰三角形的性质得出，再根据折叠的性质可得，，由，得，最后由三角形的内角和定理即可求解，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 【详解】 解：∵，， ∴， ∵将沿翻折得到， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：． 26．（25-26学年八上·贵州黔东南苗族·期中）如图，在中，D为内一点，平分，，垂足为D，交于点E，．若，，则的长为（　　） A. 1 B.  C. 2 D.  【答案】A 【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定是解题的关键． 根据平分，，证出，得到，，根据，得到，进而求得即可． 【详解】 解：平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 27．（25-26学年八上·贵州黔东南州·期中）如图，中，，，为平面上一点，连接，点为中点，连接、、、，，且，若，则的面积为（     ） A. 3 B. 2 C.  D.  【答案】D 【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质．证明，可得，再结合等腰直角三角形的性质，可得，即可求解． 【详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，且， ∴， ∴， ∴， ∵点为中点，， ∴， ∴的面积为． 故选：D． 28．（25-26学年八上·贵州黔东南州·期中）如图，，点D在上．若，则的度数是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了三角形内角和定理，全等三角形的性质，等腰三角形的性质，关键掌握全等三角形的对应角相等． 先根据全等三角形的性质得到，，再证明，然后利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算的度数． 【详解】 解：， ，， ， 即， ， ． 故选：A． 29．（25-26学年八上·期中）如图，在中，，，和的平分线交于点E，过点E作分别交于M、N，则的周长为（     ） A. 10 B. 6 C. 4 D. 不确定 【答案】A 【分析】 本题考查了角的平分线，平行线的性质，等角对等边，熟练掌握角的平分线的定义，平行线的性质是解题的关键．根据两直线平行内错角相等，等角对等边，角的平分线的定义，进行推理计算即可． 【详解】 解：∵和的平分线交于点E，， ∴，， ∴， ∴的周长为， ∵， ∴的周长为． 故选：A． 30．（25-26学年八上·贵州黔东南苗族·期中）如图，在中，，点为线段上一动点（不与点，重合），连接，作，交线段于点，下列结论：①；②若，则；③当时，则为中点；④当为等腰三角形时，；其中正确的有（     ） A. ①②③ B. ②③④ C. ①③④ D. ①②③④ 【答案】A 【分析】 本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的内角和．通过等腰三角形的性质得到，利用角度的转换即可得到，故① 正确；当时，可证明，即可得到，故② 正确；当时，可得，利用等腰三角形三线合一的性质可得D为中点，故③ 正确；根据三角形外角的性质，可得，则可得到或，即可求出的度数为或，故可得④ 不正确． 【详解】 解：∵， ， ，， ，故① 正确； 若， 由① 得， ， ，故② 正确； 若，则可得， ∵， D为中点，故③ 正确； 根据三角形外角的性质，可得， 故， 当时， ； 当， ，故④ 不正确， 所以正确的为① ② ③ ， 故选：A． 31．（25-26学年八上·贵州安顺·期中）已知等腰三角形的顶角为，则这个等腰三角形的底角度数为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，根据三角形内角和定理及等腰三角形的性质，即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】 解：∵等腰三角形的顶角为， ∴这个等腰三角形底角的度数为：， 故答案为：． 32．（25-26学年八上·贵州黔东南苗族侗族自治州凯里凯里学院附属中学·期中）已知等腰三角形的一个角为42°，则它的底角度数为　　　　　　　． 【答案】42°或69° 【分析】等腰三角形两底角相等且内角和为180°，这个42°的角是底角或者顶角，分两种情况讨论即可． 【详解】解：该题分两种情况讨论 ①若42°的角为底角，顶角为180°-42°×2=96° ②若42°的角为顶角，底角为（180°-42°）÷2=69°． 故答案为：42°或69°． 33．（25-26学年八上·贵州遵义桐梓县·期中）如图，，垂直平分线段于点D，的平分线交于点E，连接，则的度数是　　　　　　　　　． 【答案】s度 【分析】 此题主要考查了垂直平分线的性质、等边对等角、直角三角形的性质、角平分线的定义等知识．由角平分线的定义得到，垂直平分线段于点D，则，，由直角三角形两锐角互余得到，由邻补角即可得到的度数． 【详解】 解：∵的平分线交于点E，， ∴， ∵垂直平分线段于点D， ∴，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 34．（25-26学年八上·贵州遵义余庆县·期中）如图，灯塔C在海岛A的北偏东方向，某天上午8点，一条船从海岛A出发，以15海里/时的速度由西向东方向航行，10时整到达B处，此时，测得灯塔C在B处的北偏东方向． （1）求B处到灯塔C的距离； （2）已知在以灯塔C为中心，周围16海里的范围内均有暗礁，若该船继续由西向东航行，是否有触礁的危险？请你说明理由． 【答案】（1）30海里     （2） 有触礁的危险，理由如下： 过C作交AB的延长线于点D， ，， ， ∵， 若这条船继续由西向东航行会有触礁的危险．      【分析】 （1）先根据已知方向角推出，再根据等角对等边可得； （2）过C作交AB的延长线于点D，求出的长，与16海里比较，即可得出答案． (1) 小问详解： 解：由已知条件可得：，，， ， ， ， B处到灯塔C的距离为30海里； (2) 小问详解： 略 【点睛】 本题考查方位角、等腰三角形的判定、含30度角的直角三角形的性质等，由所给方位角得出是解题的关键． 35．（25-26学年八上·贵州遵义余庆县·期中）如图，一架梯子斜靠在墙上，梯子顶端与墙的夹角，梯子的长为，则梯子底端与墙角的距离的长为　　　　　　　　　 ． 【答案】3 【分析】 本题考查了含30度角的直角三角形，熟练掌握30度角所对的直角边是斜边的一半是解题的关键． 根据含30度角的直角三角形的性质即可求解． 【详解】 解：由题意得，，米， ∵在中，， ∴（米）， 故答案为：3． 36．（25-26学年八上·贵州凯里第一初级中学·期中）如图，在中，，，则　　　　　　°． 【答案】 【分析】 本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得，根据三角形内角和定理得到，计算即可得到答案． 【详解】 解：， ，， ， ， ， 故答案为： ． 37．（25-26学年八上·贵州黔南布依族苗族自治州平塘县·期中）如图，上午9时，一艘船从海岛出发，以18海里/时的速度向正北航行，11时到达海岛处，分别从海岛，望灯塔，测得，．求海岛到灯塔的距离． 【答案】海岛到灯塔的距离是36海里． 【分析】 本题考查了三角形外角性质，等腰三角形的判定及性质；由三角形外角性质得，由等腰三角形的判定及性质得，即可求解． 【详解】 解：根据题意，得（海里）． ，， ， ， 海里， 即海岛到灯塔的距离是36海里． 38．（25-26学年八上·贵州西南州兴仁·期中）如图，在等腰 中，，，点 D 在上，且 ，求的度数． 【答案】 【分析】 本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握等边对等角是解题的关键． 先根据等边对等角和三角形内角和定理求得的度数，同理求得的度数，然后由平角的定义即可求得答案． 【详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 39．（25-26学年八上·贵州西南州兴仁·期中）如图，在中，，，平分交于点D．过点A作，交的延长线于点E． （1）求的度数； （2）判断的形状，并说明理由． 【答案】（1）     （2） 解：为等腰三角形，理由如下： ∵， ∴， 由（1）知， ∴， ∴， ∴是等腰三角形．      【分析】 本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义，熟知等腰三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）根据等边对等角和三角形内角和定理可得的度数，再由角平分线的定义可得的度数，再由三角形外角的性质可得答案； （2）根据平行线的性质可得的度数，则可证明，据此可得结论． (1) 小问详解： 解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴． (2) 小问详解： 略 40．（25-26学年八上·贵州安顺·期中）如图，在△ABC中，，AD为BC边上的中线，E为AC上一点，且，，求∠CDE的度数． 【答案】25° 【分析】 由题意知，，根据等边对等角，三角形内角和定理求出的值，进而可求出的值． 【详解】 解：∵，AD是中线， ∴， ∵ ∴ ∴ ∴的值为25°． 【点睛】 本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理．解题的关键在于熟练掌握等腰三角形的性质． 41．（2026·贵州安顺·质量检测）如图，是等腰三角形，，，是的中点． （1）求的度数． （2）求的度数． （3）若，试说明：． 【答案】（1）     （2）     （3） 解：∵，是的中点， ∴平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴．      【分析】 本题考查了等腰三角形的性质、三角形的内角和定理、平行线的判定，熟练掌握等腰三角形的性质是解题关键． （1）先根据等腰三角形的性质可得，再根据三角形的内角和定理求解即可得； （2）先根据等腰三角形的三线合一可得平分，再根据角平分线的定义求解即可得； （3）先根据等腰三角形的三线合一可得平分，再根据角平分线的定义可得，然后根据等腰三角形的性质可得，则可得，最后根据平行线的判定即可得． (1) 小问详解： 解：∵， ∴， ∵，， ∴． (2) 小问详解： 解：∵，是的中点， ∴平分， ∵， ∴． (3) 小问详解： 略 42．（25-26学年八上·期中）如图，在中，线段的垂直平分线交于点E，交于点D，交延长线于点F，连接． （1）求证：； （2）当，时，求的度数． 【答案】（1） 证明：是线段的垂直平分线， ， ；     （2）．      【分析】 本题考查的是线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理，熟练掌握线段垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等． （1）根据线段的垂直平分线的性质得到，根据等腰三角形的性质证明； （2）根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理求出，计算即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：，， ， 由可知：， 43．（25-26学年八上·期中）如图，在中，平分，于点E，于点F，．求证：． 请你补全下述证明过程： 证明：∵平分，； ∴．（依据：__________________________） ∵，， ∴． 在和中， ∴（依据：） ∴． ∴__________=__________．（依据：等角对等边） 又∵平分 ∴．（依据：__________________________） 【答案】角平分线上的点到角两边的距离相等；；；；等腰三角形三线合一． 【分析】 本题主要考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质以及角平分线的性质，根据角平分线上的点到角两边的距离相等得．即可利用证明，有．结合等角对等边得．再依据等腰三角形三线合一即可证明． 【详解】 略 44．（25-26学年八上·贵州遵义·期中）如图，是的平分线，，垂足为点，交的延长线于点，已知平分，．若，则的长为　　　　　　　　　　　． 【答案】2.5 【分析】 本题主要考查了角平分线的定义，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质，根据平行线的性质和角平分线的定义得出，证明是等腰三角形，根据三线合一得出，证明，得出，即可求解． 【详解】 解：∵， ∴． ∵平分， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． ∵是的平分线， ∴． 在与中， ， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：2.5． 45．（25-26学年八上·贵州安顺紫云苗族布依族自治县第三中学·期中）如图，已知和，与交于点P，点C在上． （1）试说明：； （2）若．求的度数． 【答案】（1） 证明：， ， 即． 在和中， ， ， ；     （2）      【分析】 此题重点考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理等知识，证明是解题的关键． （1）由，推导出，而，即可根据证明，则； （2）由，求得，由全等三角形的性质得A，则，即可求得结果． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ， ， ， ． ， ， ． 46．（25-26学年八上·贵州黔东南苗族侗族自治州凯里凯里学院附属中学·期中）如图，在中，，点是上的一点，过点作，交于点，延长和交于点 （1）求证： （2）若，，是的中点，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， 由对顶角相等得：， ∴， ∴．     （2）      【分析】 本题考查了等腰三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题关键． （1）先根据等腰三角形的性质可得，再根据直角三角形的性质可得，根据对顶角相等可得，则，最后根据等腰三角形的判定即可得证； （2）先求出，则，再在中，利用含30度角的直角三角形的性质求解即可得． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵，， ∴， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴在中，． 47．（25-26学年八上·贵州遵义桐梓县·期中）如图，在中，，D，E分别是上的点，且，的垂直平分线交于点F，交于点G，连接． （1）求证：； （2）若四边形的周长为14，，求线段的长． 【答案】（1） 证明：∵是线段的垂直平分线， ∴， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴；     （2）4      【分析】 本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质等知识，掌握这两个性质是关键； （1）由线段垂直平分线的性质得，则有；由得，再由直角三角形的性质得，即可证明； （2）四边形的周长为，再结合已知即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵四边形的周长为14， ∴， ∵， ∴， 即， ∴． 48．（25-26学年八上·贵州遵义余庆县·期中）已知，于点，平分，交于点． （1）如图1，若，，则______； （2）如图2，点为上一点，连接，，，求的长； （3）如图3，过点作于点，点在上，点在上，，试判断，，这三个角之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）     （2）5     （3） ，理由如下∶ 在上截取，连接，如图所示∶ ， ， 即， 平分，于点，于点， ，， 在和中， ， ，， ， 在和中， ， ， ．      【分析】 本题考查角平分线性质、全等三角形的判定与性质，解题关键是利用角平分线构造全等条件，通过作辅助线创造全等三角形，借助全等实现角和线段关系的转化推导． （1）依据角平分线定义得，结合、，用证，由全等性质得，代入求出． （2）作，由得（等腰三线合一），结合推出，再用证，得． （3）截，用证，得，再用证，推导． (1) 小问详解： 解：平分， ， 在和中， ， ， ， ， 故答案为：； (2) 小问详解： 解：过点作于点，如图所示∶ ， ， ， ， ， 又， ， ， 平分，于点，于点， ，， 在和中， ， ； (3) 小问详解： 略 49．（25-26学年八上·贵州凯里第一初级中学·期中）如图1，在和中，，，，且点B，A，D在一条直线上，连接，． （1）求证：； （2）在图1的基础上，将绕点A按顺时针方向旋转，使D点落在线段AB上，其他条件不变，得到图2所示的图形，且点M，N分别为，的中点，依次连接点A、M、N得到，判断的形状，并说明理由． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴；     （2） 为等腰三角形，理由如下： 在和中， ， ∴， ∴，， ∵M、N分别为、的中点， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． ∴是等腰三角形．      【分析】 本题主要考查的是全等三角形的判定和性质，等腰三角形的定义，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）利用证明，根据全等三角形的性质得到； （2）根据全等三角形的性质得到，证明，根据全等三角形的性质证明． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 50．（25-26学年八上·贵州黔南布依族苗族自治州平塘县·期中）如图，，点在边上，和相交于点． （1）若，则的度数为_____； （2）若，．求证：平分． 【答案】（1）     （2） 证明：， ， ， ，， （）， ，， ， ， 平分．      【分析】 本题考查了三角形外角性质，全等三角形的判定及性质，等腰三角形的判定及性质；掌握三角形外角性质，全等三角形的判定及性质，等腰三角形的判定及性质是解题的关键． （1）由三角形外角性质得，即可求解； （2）由判定，由全等三角形的性质得，，由等腰三角形的判定及性质，即可得证． (1) 小问详解： 解：， ， ， 故答案为：； (2) 小问详解： 略 51．（25-26学年八上·贵州黔南布依族苗族自治州平塘县·期中）已知在中，是的平分线． （1）若，，求的度数； （2）若，试猜想线段，，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）     （2） ． 理由：如图，在边上截取，连接． 是的平分线， ． 在和中， ， ， ， ． 又， ， ， ． 又， ．      【分析】 本题考查了三角形外角性质，等腰三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质；能添加恰当的辅助线构建全等三角形是解题的关键． （1）由三角形外角性质得．由三角形内角和定理得，即可求解； （2）在边上截取，连接．由判定，结合全等三角形的性质、等腰三角形的判定及性质，即可得证． (1) 小问详解： 解：，， ． 又是的平分线， ， ． (2) 小问详解： 略． 52．（25-26学年八上·贵州遵义第十一中学·期中）如图，在中，，，点D，E在上，且，过点D作交的延长线于点F，连接 （1）若，求证：为等腰三角形； （2）在（1）的条件下，若，求四边形的面积． 【答案】（1） 证明：在中，，， 是等腰直角三角形， ， 点D，E在上，且， ， 是的外角，是的外角， ，， ， ， ，， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ，， ， ， 是等腰三角形；     （2）50      【分析】 本题主要考查了等腰直角三角形的性质，等腰三角形的判定，全等三角形的判定和性质，理解等腰直角三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的判定，全等三角形的判定和性质，三角形的外角性质是解决问题的关键． （1）根据等腰直角三角形性质得，根据得，再由三角形外角性质得，，由此得，证明是等腰直角三角形得，由此得，进而得，据此即可得出结论； （2）根据在（1）的条件下得，，，由此得，由此可依据“SAS”判定和全等得，进而得 (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：在（1）的条件下，， ，，， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 53．（25-26学年八上·贵州遵义第十一中学·期中）如图，小明想测量塔高的长度，如下是他的测量步骤（小明的身高忽略不计，且塔楼不阻碍通行）； ①选取塔的顶端作为参照点A； ②地面直线l上取测量点C，在C处用工具测得； ③沿射线的方向行走至测量点D，点D和点C在塔的两侧并在D处用工具测得； ④测得行走距离米． 【解决问题】请你根据小明的测量步骤，求出塔高的长度． 【答案】42米 【分析】 本题考查等腰直角三角形的性质，根据小明的测量步骤可得，由等腰三角形的性质可得米，再说明是等腰直角三角形即可． 【详解】 解：由题意可得， ， ， 米， ， 是等腰直角三角形， 米． 54．（25-26学年八上·贵州遵义第十一中学·期中）如图，在中，，，延长到，连接，且，则的度数为　　　　　　． 【答案】58度 【分析】 本题考查等腰三角形的性质，根据三角形外角性质求出，根据等腰三角形的性质求出，再根据三角形内角和定理求解即可．理解和掌握“等边对等角”是解题的关键． 【详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即的度数为． 故答案为：． 55．（25-26学年八上·贵州遵义第十一中学·期中）如图①，是直角三角形，． （1）【动手操作】画出的角平分线与的垂直平分线，与交于点．请在如图①所示的直角三角形中，请利用尺规作图找出点E的位置；（保留作图痕迹，不要求写作法） （2）【特例探究】如图②所示，若C，D，E共线时，则的度数为______； （3）【拓展探究】如图③，若点E在边上时，求的度数并探究：与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1） 如图①中，点E即为所求； ；     （2）     （3） 解：垂直平分线段， ， ， 平分， ， ， ， ．      【分析】 本题考查作图——复杂作图，线段垂直平分线的性质，含角的直角三角形，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相关知识解决问题． （1）根据要求作出图形； （2）由题意可知，垂直平分线段，证明可得结论； （3）证明，然后根据含角的直角三角形的性质即可得出结论． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：当C，D，E共线时，垂直平分线段， ， ， ， 故答案为：； (3) 小问详解： 略 56．（25-26学年八上·贵州西南州兴仁·期中）在中，分别平分，过点D作直线平行于，分别交于点E、F，若，则线段的长是　　　　　　　． 【答案】5 【分析】 本题考查了角平分线，平行线的性质，等角对等边．明确角度之间的关系确定线段的等量关系是解题的关键． 由角平分线可得，，由平行线的性质可得，，则，根据，求解即可． 【详解】 解：∵分别平分， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：5． 57．（25-26学年八上·贵州西南州兴仁·期中）已知一个等腰三角形的周长是13cm，若其中一边长为3cm，则另外两边长分别是　　　　　　　　 【答案】5cm，5cm 【分析】题中只给出了三角形的周长和一边长，没有指出它是底边还是腰，所以应该分两种情况进行分析． 【详解】若3cm长的边为底边，设腰长为xcm， 则3+2x=13， 解得x=5， 若3cm长的边为腰，设底边为xcm， 则2×3+x=13， 解得x=7． 第2种情况不成立． 所以等腰三角形另外两条边长分别为5cm和5cm． 故答案为：5，5． 【点睛】此题考查等腰三角形的性质和三角形的三边关系，解题关键在对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论． 58．（25-26学年八上·贵州安顺·期中）如图，灯塔C在海岛A的北偏东75°方向，某天上午8点，一条船从海岛A出发，以18海里/时的速度由西向东方向航行，10时整到达B处，此时，测得灯塔C在B处的北偏东60°方向． （1）求B处到灯塔C的距离； （2）已知在以灯塔C为中心，周围17海里的范围内均有暗礁，若该船继续由西向东航行，是否有触礁的危险？请你说明理由． 【答案】（1）36海里     （2）没有危险      【分析】 本题考查了含角的直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，方向角．    （1）根据已知条件得到 ，求得，根据等腰三角形的性质即可得到结论；    （2）过C作交的延长线于点D，根据直角三角形的性质即可得到结论． (1) 小问详解： 解：根据题意得   , ，（海里），    ∴ ， ∴ ，    ∴（海里）， 答：B处到灯塔C的距离为36海里；    (2) 小问详解： 解：没有触礁的危险，理由如下：    过C作交的延长线于点D，    ∵（海里），    ∴（海里），    ∵，    ∴若这条船继续由西向东航行没有触礁的危险． 59．（25-26学年八上·贵州黔西南布依族苗族自治州兴仁屯脚镇屯脚中学·期中）如图，在中，，． （1）求的度数； （2）求证：； （3）若，求的长． 【答案】（1）     （2） 证明： ∴，即是等腰三角形． ∵， ∴．     （3）      【分析】 本题主要考查了等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理、直角三角形的性质等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）由等边对等角以及三角形内角和定理可得，进而得到，即； （2）根据，可得；然后根据等腰三角形三线合一的性质成为解题的关键； （3）由30度所对的直角边是斜边的一半可得，同理可得，最后根据线段的和与差即可解答． (1) 小问详解： 解：∵， ， ， ∵， ∴， ， (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：∵，， ∴，    ∵，， ∴， ∴． 60．（2026·贵州安顺·质量检测）阅读与思考 数学课上，老师提出了如下问题，巧用中线构造全等数学问题 ×年×月×日   星期日   晴巧用中线构造全等数学问题数学课上，老师提出了如下问题：如图1，在中，是边上的中线，，，求边的取值范围． 解决问题：我通过小组交流，得到了如下解决方法：如图2，延长至点，使，连接．是边上的中线，．在和中，，，．，．……解后反思：题目中出现“中点”“中线”等条件时，可以通过倍长中线构造全等三角形，从而将已知线段和角进行转化． 任务： （1）小亮判断的依据是________． （2）如图3，在中，是边上的中线，，，若的长为奇数．请你根据小亮的思路求出边的长． 迁移应用： （3）如图4，是的中线，在边上取一点，连接，交于点，若，，，求的度数． 【答案】（1）；（2）或或或；（3） 【分析】 本题考查了三角形全等的判定与性质、等腰三角形的性质、平行线的判定与性质、三角形的三边关系等知识，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键． （1）根据定理即可得； （2）延长至点，使，连接，先证出，根据全等三角形的性质可得，再根据三角形的三边关系可得，根据的长为奇数求解即可得； （3）延长至点，使，连接，先证出，根据全等三角形的性质可得，，则可得，再根据等腰三角形的性质可得，则，然后证出，根据平行线的性质求解即可得． 【详解】 解：（1）在和中， ， ∴， ∴小亮判断的依据是， 故答案为：． （2）如图，延长至点，使，连接． ∵是边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴在中，，即， ∴， ∴， ∵的长为奇数， ∴边的长为或或或． （3）∵，， ∴， 如图，延长至点，使，连接， ∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 61．（25-26学年八上·贵州黔东南苗族·期中）如图，在三角形中，点D是上一点，且．，求的度数． 【答案】 【分析】 本题考查等边对等角，三角形的内角和定理，三角形的外角，熟练掌握相关知识点是解题的关键：根据等边对等角，结合三角形的内角和定理，求出的度数，再根据三角形的外角的性质，求出的度数即可． 【详解】 解：， ， ， ， ， ， ． 62．（25-26学年八上·贵州黔东南苗族·期中）如图，在中，，，平分交于点D．若，求的长度． 【答案】2 【分析】 本题主要考查角平分线的定义，三角形内角和定理以及等腰三角形的判定和性质，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键．根据题意得到，证明，得到即可得到答案． 【详解】 解：，， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ． 63．（25-26学年八上·贵州黔东南苗族·期中）在中，，是的高，是的角平分线，求的度数． 【答案】 【分析】 本题考查了三角形内角和定理、三角形的外角性质以及角平分线的定义，根据各角之间的关系，求出的度数是解题的关键．由是△的高，可得出，结合三角形内角和定理，可求出的度数，由是△的外角，利用三角形的外角性质，可求出的度数，结合角平分线的定义，可求出的度数，再利用三角形内角和定理，即可求出的度数． 【详解】 解：是的高，， ， ， ， 又CE是的角平分线， ， ， ． 64．（25-26学年八上·贵州黔东南苗族·期中）如图，点P为内一点，过点P的线段分别交，于点M，N，且M，N分别在，的垂直平分线上．若，则的度数为　　　　　　　　． 【答案】j度 【分析】 本题主要考查了等边对等角，线段垂直平分线的性质，三角形外角的性质和三角形内角和定理，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 根据线段的垂直平分线的性质得到，根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质得到，再由平角的定义得到，据此根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】 解：∵M、N分别在的垂直平分线上， ∴ ， 又， ， ， 故答案为：． 65．（25-26学年八上·贵州黔东南州·期中）如图，平分，，，于点． （1）求证：； （2）若，求的长 ． 【答案】（1） 证明：平分，， ． ， ， ， ；     （2）4．      【分析】 本题考查了角的平分线定义与性质，平行线的性质，三角形外角和性质，直角三角形的性质，熟练掌握平行线，直角三角形的性质是解题的关键． （1）先由角平分线的定义得到，再由得到，最后等量代换，结合等角对等边即可求解； （2）作于点，由角平分线的性质可知，再由外角的性质求出，在中，根据所对的直角边等于斜边的一半即可求解，最后求出的长． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解： 作于点，如图， 平分，，， ，． ， ． ， ， ． 66．（25-26学年八上·贵州黔东南州·期中）如图，已知． （1）请在图中画出的三条高、、； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 解：如图，、、即为所求；      （2）的长为      【分析】 本题考查了画三角形的高，三角形内角和定理，等边对等角，含30度角的直角三角形的性质； （1）根据三角形的高线的画法画出、、即可； （2）根据三角形内角和定理以及等边对等角可得，进而根据含30度角的直角三角形的性质，即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵，， ∴ 又∵是边上的高， ∴ ∴ 67．（25-26学年八上·期中）如图，在等腰三角形中，，，点为线段上一点，，，若，则的值为　　　　　　　　． 【答案】6 【分析】 本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，含直角三角形的性质．根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出，然后利用含直角三角形的性质得到，，进而可计算的值． 【详解】 解：∵，， ∴， ∵，， ∴和是直角三角形， ∴，， ∴， 故答案为：6． 68．（25-26学年八上·期中）如图，在中，与的平分线交于点，过点作，分别交、于点、．若，则的周长是　　　　　　　． 【答案】13 【分析】 本题考查等腰三角形的性质，平行线的性质及角平分线的应用，正确的进行线段的等量代换是正确解答本题的关键．先根据角平分线的定义及平行线的性质证明和是等腰三角形，再由等腰三角形的性质得，则的周长，从而得出答案． 【详解】 解：∵平分， ∵， 同理， ∴的周长． 故答案为：13． 69．（25-26学年八上·贵州黔南布依族苗族自治州平塘县·期中）如图，和都是等腰直角三角形，． （1）如图1，当点在线段上时，连接，则，的度数为_____． （2）如图2，连接，，相交于点，交于点，交于点，试探究，之间有怎样的关系？并说明理由． （3）如图3，连接，，若，，求四边形的最大面积． 【答案】（1）     （2）且， 理由：∵和都是等腰直角三角形，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴，之间的关系为且；     （3）32      【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质等知识，熟练掌握全等三角形的性质是解题关键． （1）首先结合题意可得，，进而证明，再根据“”证明，由全等三角形的性质可得，即可获得答案； （2）首先证明，由全等三角形的性质得，，进一步可知，可证明，即可获得结论； （3）首先计算和的面积，由图可知，，当时，，此时和均取最大值，然后计算四边形的最大面积即可． (1) 小问详解： 解：∵和都是等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 故答案为：； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：∵和都是等腰直角三角形，，，， ∴， ∴， 由图可知，， 当时，可有，此时， 此时和均取最大值， 且，， ∴四边形的最大面积． 70．（25-26学年八上·贵州黔东南苗族·期中）阅读理解，自主探究： “一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角角度为，于是有三组边相互垂直．所以称为“一线三垂直模型”．当模型中有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形． 图1                              图2                            图③ （1）问题解决：如图1，在等腰直角中，，，过点C作直线，于D，于E，求证：； （2）问题探究：如图2，在等腰直角中，，，过点C作直线，于D，于E，，，求的长； （3）拓展延伸：如图3，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，第一象限内是否存在一点P，使为等腰直角三角形？如果存在，请求出点P的坐标． 【答案】（1） 证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴；     （2）     （3）第一象限内存在一点P，使为等腰直角三角形，点P的坐标为或或      【分析】 （1）根据余角的性质得到，即可根据证明； （2）同（1）证明，得到，，求出即可； （3）分三种情况：① 当时，；② 当时，；③ 当时，；分别构造全等三角形，由全等三角形的性质即可解决问题． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 证明：∵于D，于E， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴ ∴，， ∵， ∴ ∴； (3) 小问详解： 第一象限内存在一点P，使为等腰直角三角形，理由如下： 分三种情况： ① 当时，，如图③ ， 分别过点B、点P作y轴的垂线交过点A作y轴的平行线于点E、点F 同（1）得：， ∴， ∵， ∴， ∴点P的横坐标为，纵坐标为， ∴； ② 当时，，如图④ ， 分别过点A、点P作x轴的垂线交过点B作x轴的平行线于点E、点F， 同(1) 得：， ∴， ∵， ∴， ∴点P的横坐标为，纵坐标为， ∴； ③ 当时，，如图⑤ ， 分别过点A、点B作x轴的垂线交过点P作x轴的平行线于点E、点F， 同(1) 得：， ∴， 设， ∵， ∴，， ∴ ，解得 ， ∴； 综上，第一象限内存在一点P，使为等腰直角三角形，点P的坐标为或或． 【点睛】 此题是三角形综合题目，考查了全等三角形的性质，等腰直角三角形的性质，坐标与图形性质，直角三角形的性质，平行线的性质以及分类讨论等知识，本题综合性强，熟练掌握等腰直角三角形的性质，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键，属于中考常考题型． 考点05 等边三角形 1．（25-26学年八上·贵州黔东南苗族侗族自治州凯里凯里学院附属中学·期中）如图，在等边中，，平分，点在的延长线上，且．则的长是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查等边三角形的性质及三角形的外角，熟练掌握等边三角形的三线合一是解题的关键． 根据等边三角形的性质得，，运用三角形的外角性质得，再由等角对等边，解答即可． 【详解】 解：∵等边的边长，平分， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 故选：C． 2．（25-26学年八上·贵州遵义桐梓县·期中）如图，是等边三角形，D是线段上一点（不与点B，C重合），连接，点E，F分别在线段的延长线上，且，点D从B运动到C的过程中，周长的变化规律是（       ） A. 不变 B. 一直变小 C. 先变大后变小 D. 先变小后变大 【答案】D 【分析】 先根据等边三角形的性质可得，从而可得，再根据等腰三角形的性质、角的和差可得，然后根据三角形全等的判定定理与性质可得，从而可得周长为，最后根据点到直线的距离即可得出答案． 【详解】 是等边三角形， ， ， ， ， 又 ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 则周长为， 在点D从B运动到C的过程中，长不变，长先变小后变大，其中当点D运动到的中点位置时，最小， 在点D从B运动到C的过程中，周长的变化规律是先变小后变大， 故选：D． 【点睛】 本题考查了等腰三角形的性质、等边三角形的性质、三角形全等的判定定理与性质等知识点，正确找出两个全等三角形是解题关键． 3．（25-26学年八上·贵州安顺·期中）如图，等边三角形的边长为4，是边上的中线，F是上的动点，E是上一点．若，当取最小值时，则的度数为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了轴对称最短路线问题、等边三角形的性质，解决本题的关键是准确找到点的位置． 根据对称性和等边三角形的性质，过点B作交于点F，连接，此时取得最小值，借助等边三角形的性质得，，即可求解． 【详解】 解：过点B作交于点F，连接， ∵等边三角形的边长为4， ∴， ∴， ∴， ∵是边上的中线， ∴， ∴， 故选：C． 4．（25-26学年八上·贵州黔西南布依族苗族自治州兴仁屯脚镇屯脚中学·期中）下列三角形中，不一定是等边三角形的是（     ） A. 三个角都相等的三角形 B. 有两个角等于的三角形 C. 一边上的高也是该边上的中线的三角形 D. 有一个角等于的等腰三角形 【答案】C 【分析】 本题考查等边三角形的判定条件、等腰三角形的判定与性质，掌握等边三角形的定义和判定是解题的关键． 根据等边三角形的定义和判定逐项分析即可解答． 【详解】 解：A． 三个角都相等的三角形一定是等边三角形，故A选项不符合题意； B．有两个角等于的三角形，那么第三个角也为，一定是等边三角形，故B选项不符合题意； C．一边上的高也是该边上的中线，则该三角形是等腰三角形，但不一定是等边三角形，故C选项符合题意； D．有一个角等于的等腰三角形，则其他两个角也均为，一定是等边三角形，故D选项不符合题意． 故选：C． 5．（2026·贵州安顺·质量检测）如图，已知：在中，，，在直线上找一点D，使或为等腰三角形，则符合条件的点D的个数有（       ） A. 7个 B. 6个 C. 5个 D. 4个 【答案】B 【分析】 本题主要考查了等腰三角形的定义，等边三角形的判定，如解析图中，当时，可证明此时是等边三角形，当时，是等腰三角形；再讨论讨论为等腰三角形时，符合题意的点D个数即可得到答案． 【详解】 解：如图：当时，是等腰三角形； ∵， ∴是等边三角形， ∴； 当时，是等腰三角形； 当，，当时，都是等腰三角形； 综上，符合条件的点D的个数有6个． 故选：B． 6．（25-26学年八上·贵州黔东南苗族·期中）如图，直线，是等边三角形．若，则的大小为（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据等边三角形的性质可得，再由三角形外角的性质可得，再由平行线的性质，即可求解． 【详解】 解：如图， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵直线， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】 本题主要考查了等边三角形的性质，三角形外角的性质，平行线的性质，熟练掌握等边三角形的性质，三角形外角的性质，平行线的性质是解题的关键． 7．（25-26学年八上·期中）如图，等边的边，点是的中点，点为延长线上一点，若，则的长为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查的知识点是等边三角形的性质、线段中点的有关计算，解题关键是熟练掌握等边三角形的性质． 根据等边三角形的性质得出，结合点是的中点，即可得解． 【详解】 解：等边的边，点是的中点， ，， ， ， ． 故选：． 8．（25-26学年八上·贵州遵义·期中）如图，，点在射线上，点在射线上，均为等边三角形，若，则的边长为（     ） A. 12 B. 24 C. 27 D. 30 【答案】B 【分析】 本题主要考查了等边三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形外角的定义和性质、三角形边长变化规律等知识．根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出，以及，得出…进而得出答案． 【详解】 解：如图， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ， ∴的边长为24． 故选：B． 9．（25-26学年八上·贵州黔东南苗族侗族自治州凯里凯里学院附属中学·期中）如图，已知，点D是的平分线上的一个定点，点分别在射线和射线上，且，下列结论：①是等边三角形；②当时，的周长最小；③当时，，其中正确的个数是（       ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】D 【分析】 本题考查了角平分线的定义，角平分线的性质定理，等边三角形的判定和性质，掌握以上知识，数形结合分析是关键． 过点作于点，作于点，根据角平分线的定义，角平分线的性质定理得到，可判定① ；根据点到直线垂线段最短可判定② ；根据等边三角形的性质，平行线的性质可判定③ ；由此即可求解． 【详解】 解：如图所示，过点作于点，作于点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点D是的平分线上的一个定点，， ∴， ∴， ∴，且， ∴是等边三角形，故① 正确； 根据点到直线垂线段最短可知当时，的值最小， ∵是等边三角形， ∴的周长为，此时周长最小，故② 正确； 当时， ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴，，即点重合， ∴，故③ 正确； 综上所述，正确的有① ② ③ ，共3个， 故选：D ． 10．（25-26学年八上·贵州黔东南苗族侗族自治州凯里凯里学院附属中学·期中）如图，等腰的底边，面积为，腰的垂直平分线分别交、于点E、F，若D为边的中点，M为线段上一动点，则周长的最小值是（       ）． A. 8 B. 10 C. 12 D. 14 【答案】C 【分析】 本题考查了等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，最短线段问题，将的最小值转化为的长是解题关键．连接、，根据等腰三角形三线合一的性质，求出，再根据垂直平分线的性质，得到，从而得出的最小值为的长，即可求出周长的最小值． 【详解】 解：如图，连接、， 等腰的底边，D为边的中点， ，， 面积为， ， ， 垂直平分， ， ， 的最小值为的长， 周长的最小值是， 故选：C． 11．（25-26学年八上·贵州凯里第一初级中学·期中）如图，为等边三角形，点D是直线上一点，连接，以为边作等边，连接，下面结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（       ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【分析】 本题考查了等边三角形的性质、三角形全等的判定和性质．先求得，由得到，从而得到，据此即可判断． 【详解】 解：∵和为等边三角形， ∴，，， ∴，结论① 正确； 在和中， ， ，结论② 正确； ， ∴，结论③ 正确； 根据目前的条件无法证明，结论④ 错误． 故选：B． 12．（25-26学年八上·贵州黔南布依族苗族自治州平塘县·期中）如图，在中，，，的垂直平分线交于点，垂足为，若，则的长为（     ） A. 5 B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查含30度角的直角三角形，中垂线的性质，等边三角形的判定和性质，连接，等边对等角，结合三角形的外角的性质，求出，推出为等边三角形，进而得到，再根据含30度角的直角三角形的性质，进行求解即可． 【详解】 解：连接， ∵的垂直平分线交于点，垂足为， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵，， ∴； 故选：C． 13．（25-26学年八上·贵州黔东南州·期中）如图，等边的边长为4，是边上的中线，是边上的动点，是边上一点，若，当取得最小值时，则的度数为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了轴对称最短路线问题，等边三角形的性质，等腰三角形的性质等知识点的应用，找到是解题的关键．作点E关于对称的点M，连接，与交于点F，推出最小时即为，再根据等边三角形的性质可得结果． 【详解】 解：作点E关于对称的点M，连接，与交于点F， ∵是等边三角形，是边上的中线， ∴，平分， ∴M在上， ∴， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴当时，最小，且为， ∵， ∴，即点M为中点， ∵是等边三角形， ∴平分， ∴， 故选：C． 14．（2026·贵州安顺·质量检测）如图，已知，点D是的平分线上的一个定点，点E，F分别在射线和射线上，且，下列结论：①是等边三角形；②四边形的面积是一个定值；③当时，的周长最小；④当时，，其中正确的个数是（     ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【分析】 本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定及性质，等边三角形的判定及性质，垂线段的性质，平行线的性质等；① 过作交于，交于，由平行线的性质得，由可判定，由全等三角形的性质得，由等边三角形的判定方法，即可判断；② 由全等三角形的性质得，点D是的平分线上的一个定点得是定值，即可判断；③ 由垂线段最短得当时，的值最小，即可判断；④ 由平行线的性质即可判断；掌握角平分线的性质，全等三角形的判定及性质，等边三角形的判定及性质，垂线段的性质是解题的关键． 【详解】 解：① 过作交于，交于， ， 点D是的平分线上的一个定点， ， ， ， ， ， ， 在和中 ， （）， ， 是等边三角形； 故此项正确； ② 由① 得， ， ， 点D是的平分线上的一个定点， 是定值， 四边形的面积是一个定值； 故此项正确； ③ 如图， 当时， 的值最小， 是等边三角形， 的周长为， 的周长最小； 故此项正确； ④ 如图， ， ， 故此项正确； 故选：D． 15．（25-26学年八上·贵州遵义·期中）如图，在中，，，于，的平分线分别交，于点． （1）若，求的长； （2）判断的形状并说明理由． 【答案】（1）8     （2） 是等边三角形，理由如下： ∵的平分线分别交，于点， ∴， ∴，， ∴ ∴是等边三角形．      【分析】 本题主要考查等边三角形的判定，30度角直角边等于斜边一半，熟练掌握相关知识是解答本题的关键． （1）求出，得，求出，； （2）由角平分线定义得，得出，从而可得结论． (1) 小问详解： 解：∵，， ∴， ∵于， ∴， ∴， ∴； (2) 小问详解： 略 16．（25-26学年八上·贵州凯里第一初级中学·期中）如图，在等边中，与的角平分线交于点O，交于点D，且交于点E． （1）是判断的形状，并说明理由． （2）若，求的周长． 【答案】（1） 为等边三角形．理由如下： ∵为等边三角形， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴为等边三角形；     （2）27      【分析】 本题考查等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、角平分线定义、平行线性质及三角形周长等知识，熟记等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质是解决问题的关键． （1）由等边三角形的判定与性质，再结合平行线的性质即可得到答案； （2）由角平分线定义、平行线性质得到，由等腰三角形性质可得，同理，再由的周长，数形结合即可得到答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵，为等边三角形， ∴的周长为， 平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理， ∴， ∵为等边三角形， ∴的周长为． 17．（25-26学年八上·贵州黔东南州·期中）将含的直角三角板直角顶点放置在直尺的一边上，，与直尺的交点分别为点，，，如图．若点，对应的刻度分别为，，，则的长是　　　　　　cm． 【答案】4 【分析】 本题考查了等边三角形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握等边三角形的判定和性质是解题的关键． 根据题意得出，，进而得出，根据三角形内角和定理得到，证明是等边三角形，即可得到答案． 【详解】 解：由题意得：，， ， ∵， ∴， ∴是等边三角形， 故答案为：． 18．（25-26学年八上·贵州遵义·期中）小新在学习完等边三角形后，想进一步探究等边三角形的性质，设计了等边三角形中的双动点问题．已知，在等边三角形中，分别为边上的动点，且不与端点重合，连接． 【初步探究】 （1）如图1，当时，求的度数； 【深入探究】 （2）如图2，当在移动时，若始终保持，在的右侧作，交于．求证：； 【知识迁移】 （3）如图3，若，在运动时始终保持，在的右侧作，且，连接，试判断的数量关系，并证明你的结论． 【答案】（1） （2）证明：∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴，即， 又， 而， ∴， 又， ∴， ∴， ∵， ∴； （3） 【分析】 本题主要考查等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理以及三角形外角的性质等知识，正确判断三角形全等是解答本题的关键． （1）由等边三角形的性质得，再根据三角形内角和定理可求出的度数； （2）由等边三角形的性质得，，得到，根据三角形外角的性质得出，根据证明，可得； （3）过点作交于点，可证明是等边三角形，得，再根据证明可得出，进而可得结论． 【详解】 解：（1）∵是等边三角形， ∴， 又， ∴， ∵， ∴； （2）略 （3）过点作交于点，如图， ∵是等边三角形， ∴， ， ∴， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 又， ∴, ∴， ∴． 19．（25-26学年八上·贵州黔东南州凯里第十中学·期中）如图，在，，为上的一点，，在的右侧作，使得，，连接、，交于点，若，则的度数为　　　　　　． 【答案】92 【分析】 根据已知条件证明，可得，再根据，可得，然后证明是等边三角形，是等边三角形，进而根据三角形内角和定理即可解决问题． 【详解】 解：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：92． 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到． 20．（25-26学年八上·贵州黔东南苗族侗族自治州凯里凯里学院附属中学·期中）已知：，垂直平分． （1）求证：为等边三角形； （2）求的度数； （3）若点在射线上，当是以为腰的等腰三角形时，则的度数________． 【答案】（1） 证明：， ， 垂直平分， ， 为等边三角形；     （2）的度数为     （3）或      【分析】 本题考查线段垂直平分线性质，等边三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、分类讨论，解题的关键是熟练掌握． （1）根据平角的性质得，根据线段垂直平分线性质得，即得是等边三角形； （2）根据垂直平分线的性质可得，即可求解； （3）分当时，当时，两种种情况讨论，解答即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由（1）知，为等边三角形， ， 垂直平分， ； (3) 小问详解： 解：是以为腰的等腰三角形， ∴当时，如下图： ∴， ； 当时，如下图： ∴， 的度数为或． 故答案为：或． 21．（25-26学年八上·贵州黔东南苗族侗族自治州凯里凯里学院附属中学·期中）在平面直角坐标系中，已知，，，． （1）画出关于轴对称的，并写出点的坐标． （2）求的面积． （3）在y轴上找一点P（保留作图痕迹），使的值最小，请写出点P的坐标． 【答案】（1） 解：如图所示，即为所求，      （2）     （3） 解：如上图所示，点即为所求，．      【分析】 本题主要考查了作图轴对称变换，轴对称最短路线问题，三角形的面积等知识，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． （1）根据轴对称的性质，即可画出； （2）利用所在的矩形面积减去周围三个三角形面积即可； （3）作点关于轴的对称点，连接交轴于，从而解决问题． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：的面积； (3) 小问详解： 略 22．（25-26学年·贵州贵阳清镇培文学校·期中）（多选）已知∠MAN＝90°，B是AN上的一点，线段AD是线段AB绕点A按逆时针旋转一定角度后的线段，连接BD，∠ABD的平分线交AM于点C，交AD于点E． （1）如图①，若将AB绕点A按逆时针旋转40°，求∠ACB的度数； （2）如图②，若将AB绕点A按逆时针旋转后使得AD⊥BC，垂足为E，判断△ABD的形状，并说明理由； （3）在（2）的条件下过点A作∠CAB的平分线交CB于点F，如图③所示，若CF＝4，求此时BC的长． 【答案】（1）55°； （2）△ABD是等边三角形，理由如下： ∵BC平分∠ABD， ∴∠ABE＝∠DBE， ∵AD⊥BC， ∴∠BEA＝∠BED， 在△ABE和△DBE中， ， ∴△ABE≌△DBE（ASA）， ∴AB＝BD， ∵AB＝AD， ∴AB＝AD＝BD， ∴△ABD是等边三角形； （3）4+4． 【分析】 【详解】 （1）将AB绕点A按逆时针旋转40°得线段AD，得∠BAD＝40°，AB＝AD，从而∠ABC＝35°，根据直角三角形的两锐角互余求解即可； （2）易证△ABE≌△DBE（ASA），则AB＝BD，再根据旋转知AB＝AD，从而证明出△ABD是等边三角形； （3）过点F作FH⊥AM于H，在Rt△CHF中，根据直角三角形中30°所对的直角边是斜边的一半和勾股定理可求出CH，HF的长，因为AF平分∠MAN，得∠CAF＝45°，从而AH＝FH＝，可知AC的长，即可求出答案． 【解答】 解：（1）∵将AB绕点A按逆时针旋转40°得线段AD， ∴∠BAD＝40°，AB＝AD， ∴∠ABD＝70°， ∵BC平分∠ABD， ∴∠ABC＝∠ABD＝35°， ∴∠ACB＝90°﹣∠ABC＝90°﹣35°＝55°； （2）略 （3）如图，过点F作FH⊥AM于H， ∵△ABD是等边三角形， ∴∠ABC＝30°， ∴∠ACB=90°﹣∠ABC=60°， ∴∠CFH＝90°﹣∠ACB=30°， ∴CH＝＝2，HF＝， ∵AF平分∠MAN， ∴∠CAF＝45°， ∴AH＝FH＝， ∴AC＝CH+AH＝2+2， ∴BC＝2AC＝4+4． 【点睛】 本题考查旋转性质、等腰三角形性质、角平分线定义、直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，基础知识较多，难度适中，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． 23．（25-26学年八上·贵州遵义桐梓县·期中）如图，中，，，等边三角形的三个顶点分别落在，，上，若，，则的长为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定和性质，含度角的直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，含度角的直角三角形的性质是解题的关键．过点作于点，则，先证明，可得，从而得到，再由含度角的直角三角形的性质可得，，从而得到的长，即可求解． 【详解】 解：过点作于点，则， 在中，，， ，， 为等边三角形， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ，， ∴ ， ， ， ， 解得， ． 故答案为：． 24．（25-26学年八上·贵州黔南布依族苗族自治州平塘县·期中）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． （1）请画出与关于轴对称的，并写出点，的坐标； （2）请求出的面积； （3）在轴上求作一点，使点到，两点的距离之和最小，请在图中标出点，并直接写出点的坐标为_____． 【答案】（1） 如图，即为所作．           ；     （2）     （3） 如图，点即为所作． 由图得：．      【分析】 本题考查了作轴对称图形，求网格三角形面积，线段和最小问题等；能根据轴对称的性质熟练作图是解题的关键． （1）根据轴对称的性质作图，并根据图形写出点的坐标，即可求解； （2）用割补法求格点三角形的面积，即可求解； （3）作点关于轴的对称点，连接点与点关于轴的对称点交轴的交点，即可求解． (1) 小问详解： 解：（1）略； (2) 小问详解： 解：． (3) 小问详解： 解：略． 25．（25-26学年八上·贵州黔南布依族苗族自治州平塘县·期中）如图，在等边三角形纸片中，，是边的三等分点，分别过点，沿着平行于，方向各剪一刀，若剪下的的周长是，则的长为　　　　　． 【答案】6 【分析】 本题主要考查了等边三角形的判定与性质，首先证明为等边三角形，结合的周长是可得，再根据，是边的三等分点易得，进而可得答案． 【详解】 解：∵为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵的周长是， ∴， ∵，是边的三等分点， ∴， ∴． 故答案为：6． 26．（25-26学年八上·贵州西南州兴仁·期中）如图1，点C在线段上，（点C不与A、B重合），分别以、为边在同侧作等边三角形和等边三角形，连接、交于点P． （1）观察猜想 ①与的数量关系； ②的度数． （2）数学思考 如图2，当点C在线段外时，（1）中的结论①、②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明； （3）拓展应用 如图3，点E为四边形内一点，且满足，，，对角线、交于点P，，则四边形的面积． 【答案】（1）①；②     （2） 解：结论仍然成立，证明如下： ∵和是等边三角形， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，， 如图2，设交于点， ∵， ∴， ∴．     （3）50      【分析】 本题考查了等边三角形的性质、三角形全等的判定与性质等知识，正确找出两个全等三角形是解题关键． （1）① 先根据等边三角形的性质可得，则可得，再证出，根据全等三角形的性质可得，由此即可得； ② 先根据全等三角形的性质可得，再根据三角形的外角性质即可得； （2）先证出，根据全等三角形的性质可得，，再设交于点，根据对顶角相等、三角形的内角和定理即可得； （3）设交于点，先证出，根据全等三角形的性质可得，，再求出，然后根据四边形的面积等于求解即可得． (1) 小问详解： 解：①，理由如下： ∵和是等边三角形， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴． ②，理由如下： ∵， ∴， ∴． (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：如图3，设交于点， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴，即， ∴， ∴四边形的面积为 ， 所以四边形的面积为50． 27．（2026·贵州安顺·质量检测）如图，在等腰中，，，于点，是延长线上的一点，是线段上的一点，，下面的结论：①；②；③是等边三角形．其中正确的是　　　　　　　　．（填序号） 【答案】③ 【分析】 本题主要考查等腰三角形的性质与判定，等边三角形的判定及线段垂直平分线的性质，熟练掌握等腰三角形的性质与判定，等边三角形的判定及线段垂直平分线的性质是解题的关键；连接，与交于点，由题意易得，，然后依次进行排除选项即可． 【详解】 解：连接，与交于点，如图所示： ∵，，， ∴， ∴垂直平分线段，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故① 错误； 由题意不能得到，所以不一定相等，故② 错误； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形，故③ 正确； 故答案为③ ． 28．（25-26学年八上·贵州黔东南苗族·期中）如图，是等边三角形，点D、E分别在上，且，与相交于点F，作垂足为G，． （1）求证：； （2）求的长． 【答案】（1） 证明：∵为等边三角形， ∴，， 在和中， ， ∴；     （2）      【分析】 本题考查的是全等三角形的判定和性质， 等边三角形的性质，含30 度角的直角三角形的性质，解题的关键是熟练的掌握全等三角形的判定和性质， 等边三角形的性质，含30 度角的直角三角形的性质． （1）根据等边三角形的性质可得，，即可求证； （2）根据全等三角形的性质可得，从而得到，进而得到，再由直角三角形的性质解答即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由（1）得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 29．（25-26学年八上·贵州黔东南州凯里第十中学·期中）综合与实践：已知点D是等边的边或其延长线上的点． （1）【操作判断】如图1，当点D是等边的边上的中点时，请在边的右侧作等边，连接，并判断图中，和之间的数量关系是               ； （2）【问题探究】如图2，已知和都是等边三角形，当点D在上时，连接．请探究，和之间的数量关系，并说明理由； （3）【拓展延伸】如图3，已知和都是等边三角形，当点D在线段的延长线上时，连接．若，，请求出的长． 【答案】（1）     （2） 理由如下： ∵和是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴；     （3）      【分析】 本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是： （1）根据等边三角形的性质可得出，，，然后根据证明，得出，即可得出结论； （2）同（1）证明，得出，即可得出结论； （3）类似（1）证明，得出，即可求解． (1) 小问详解： 解：如图所示， ∵和是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； (2) 小问详解： 解：略． (3) 小问详解： 解：∵和是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，，， ∴． 30．（25-26学年八上·贵州黔东南苗族侗族自治州凯里凯里学院附属中学·期中）【活动初探】 在学习第十五章《轴对称》数学活动3时，我们利用等腰三角形的轴对称发现等腰三角形中有许多相等的线段或角，因此利用图形的轴对称性可以探究图形中边与角的数量关系 （1）如图1，在中，，点为中点，于点，于点F，请直接写出与的数量关系：                         ． 【变式再探】 （2）如图2，在中，，和分别为等边三角形，与相交于点，连接并延长，交于点，求证：点为中点． 【类比深探】 （3）在中，，点为中点，，点为直线上一动点，点为射线上一动点（点不与点重合），，连接．如图3，当点F在点A上方时，猜想并证明的数量关系． 【答案】（1）； （2）∵， ∴． ∵和分别为等边三角形， ∴， ∴，即， ∴， ∴点G在的垂直平分线上， ∵， ∴点A在的垂直平分线上， ∴垂直平分， ∴点为中点． （3），证明如下： 如图所示，在上截取，连接， ∵ ， ∴， ∴； ∵点为中点， ∴，垂直平分， ∴，， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【分析】 （1）根据三线合一得平分，再利用角平分线的性质即可证明结论； （2）由等腰三角形的性质得，又由等边三角形的性质得，进而得到，，于是证明垂直平分即可证明结论； （3）在上截取，连接，可证明；则由三线合一定理得到，垂直平分，证明是等边三角形，得到，证明，得到，据此可得，再由角性质得到，则． 【详解】 解：（1）∵，点为中点， ∴平分， ∵于点，于点， ∴； （2）略 （3）略 【点睛】 本题主要考查了等边三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，线段垂直平分线的判定，角平分线的性质，全等三角形的性质与判定，角直角三角形的性质等知识点，正确作出辅助线是解题的关键． 31．（25-26学年八上·贵州西南州兴仁·期中）如图，在中，，，于D，E是线段上一点，F是边上一点，且满足，G是的中点，连接．则下列四个结论①；②；③；④当时，．其中正确的有　　　． 【答案】① ② ③ ④ 【分析】 本题主要考查了等边三角形和等腰三角形的性质，含角的直角三角形的性质，熟练掌握等腰三角形和等边三角形的性质是解题的关键．连接，根据，，证明是等边三角形，根据等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理，逐项进行判断即可． 【详解】 解：连接，如图     ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ， ∵， ∴，故① 符合题意； ∵， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴， 故② 符合题意； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故③ 符合题意； ，， ， ∵，， ∴， ∵G为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ，， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴，故④ 符合题意； 故答案为：① ② ③ ④ 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 轴对称 考点01 轴对称及其性质 考点02 线段的垂直平分线 考点03 画轴对称的图形 考点04 等腰三角形 考点05 等边三角形 考点01 轴对称及其性质 1．B 2．A 3．B 4．B 5．B 6．A 7．D 8．A 9．B 10．A 11．C 12．A 13．C 14．C 15．B 16．D 17．C 18．D 19．A 20．【答案】（4） 【分析】 本题考查了折叠．熟练掌握折叠性质，是解题的关键． 根据两个穿孔关于折痕对称辨别，即解决问题． 【详解】 解：折痕为对称轴，两个穿孔关于折痕对称，只有（4）符合． 故答案为：（4）． 21．【答案】55 【分析】 本题考查折叠的性质，以及角的运算，根据翻折的性质得到，，利用平角的定义和等量代换得到，结合，即可解题． 【详解】 解：根据翻折的性质可知，，， 又， ， 又， ． 故答案为：． 22．【答案】 【分析】 本题考查了轴对称-最短路线问题，三角形的面积，垂线段最短．过点C作于点 G，在上截取线段，使得，由，求出可得结论． 【详解】 解：如图，过点C作于点 G，在上截取线段，使得， 平分，， ，关于对称， ， ， ， ， ， 的最小值为． 故答案为：． 23．【答案】 【分析】 本题主要考查了轴对称的性质、全等三角形的判定与性质、菱形的判定与性质等知识点，灵活运用相关判定和性质定理成为解题的关键．根据轴对称的性质和已知条件可证，则，，即④ 正确；再证四边形为平行四边形可判定① ② ；最后证明四边形为菱形可判定③ ． 【详解】 解：直线是四边形的对称轴， ． ， ，． 在和中 ． ，．即④ 正确； ， 四边形为平行四边形． ，，即正确； 直线是四边形的对称轴， ． 四边形为菱形． 不一定成立，故③ 错误； 故答案为：． 24．【答案】任务一：C； 任务二：如图所示，即为所求；    任务三：60； 项目反思：在项目实施的过程中用到的数学知识：线段垂直平分线上的点到线段两个端点距离相等或对应点的连线被对称轴垂直平分，（答案不唯一）． 【分析】 任务一：根据轴对称图形的性质即可进行判断； 任务二：根据轴对称图形的性质即可完成作图； 任务三：根据线段垂直平分线的性质即可解决问题； 项目反思：结合以上任务即可解决问题． 【详解】 解：任务一：不是轴对称图形的风筝图案是C， 故答案为：C； 任务二：略 任务三：，， ， 竹条的长为， 故答案为：60； 项目反思：在项目实施的过程中用到的数学知识：线段垂直平分线上的点到线段两个端点距离相等或对应点的连线被对称轴垂直平分，（答案不唯一）． 故答案为：线段垂直平分线上的点到线段两个端点距离相等或对应点的连线被对称轴垂直平分，（答案不唯一）． 【点睛】 本题考查利用轴对称设计图案，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定，解决本题的关键是掌握线段垂直平分线的性质． 25．【答案】（1），；     （2）补全图形如图，      （3） 解：，，理由如下： 设，交于点K， 由（1）知，． ． 由（2）知． ． 根据对称的性质可知，． ， ， 在和中， ≌． ，． ， ． ． ， ． ，即； 综上，，．      【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定和性质、对称的性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）证，即可得解； （2）依据题意补全图形，根据对称性可得，，即可得解； （3）设，交于点K，证，即可得解． (1) 小问详解： 解：点C为中点， ， 在和中 ． ，． ． 故答案为：， (2) 小问详解： 解：由对称性可知， ，． ． (3) 小问详解： 略 考点02 线段的垂直平分线 1．D 2．B 3．A 4．A 5．D 6．D 7．【答案】（1）△ADE的周长＝10；（2）∠DAE＝20°． 【分析】 （1）由AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E，垂足分别是M、N，根据线段垂直平分线的性质，可得AD=BD，AE=EC，继而可得△ADE的周长等于BC的长； （2）由∠BAC=100°，可求得∠B+∠C的度数，又由AD=BD，AE=EC，即可求得∠BAD+∠CAE的度数，继而求得答案． 【详解】 （1）∵AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E，垂足分别是M、N， ∴AD＝BD，AE＝CE， ∴△ADE的周长＝AD+DE+AE＝BD+DE+CE＝BC＝10． （2）∵∠BAC＝100°， ∴∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝80°， ∵AD＝BD，AE＝CE， ∴∠BAD＝∠B，∠CAE＝∠C， ∴∠BAD+∠CAE＝80°，                                           ∴∠DAE＝∠BAC﹣（∠BAD+∠CAE）＝100°﹣80°＝20°． 【点睛】 此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等． 8．【答案】不成立 【分析】 本题主要考查了逆命题、判断命题真假等知识点，灵活运用举反例判定命题是假命题是解题的关键． 先写成逆命题，再通过反例判断逆命题的真假即可解答． 【详解】 解：原命题的逆命题是“如果两个实数的绝对值相等，那么这两个实数相等”． 举反例，如，但，所以逆命题不成立． 故答案为：不成立． 9．【答案】（1） ②，；证明如下： ， ∴点A在线段的垂直平分线上， 又 ∴点C线段的垂直平分线上， ∴是线段的垂直平分线， 即，；     （2） ，理由如下： ，， ，， ∵点O到四边形四条边的距离相等， 如图，先过点O作， ， ∴平分线， 即 又， ， ， ， 同理可证：， 【分析】 本题主要考查线段垂直平分线的判定和性质，角平分线的判定及等腰三角形的判定和性质，熟练掌握相关判定和性质是解题的关键． （1）选，，利用垂直平分线的判定证明即可； （2）先过点O作，证得，同理可证的，从而得证 (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 10．【答案】10 【分析】 本题考查垂直平分线的性质，根据垂直平分线的性质得到，再由三角形的周长即可求解． 【详解】 解：∵垂直平分， ∴， ∴． 故答案为：10 11．【答案】9 【分析】 直线m与AB的交点为P，此时△APC的周长有最小值为AB+AC． 【详解】 解：直线m与AB的交点为P， ∵直线m是BC边的垂直平分线， ∴BP=CP， ∴AP+PC=BP+AP=AB，此时AP+PC值最小， ∴△APC的周长=AP+PC+AC=AB+AC， 此时△APC的周长有最小值为AB+AC， ∵AB=5，AC=4， ∴△APC周长的最小值为9， 故答案为：9． 【点睛】 本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法，线段垂直平分线的性质是解题的关键． 12．【答案】（1） 如图，直线，射线即为所求．      （2）      【分析】 本题考查了尺规作图和垂直平分线，角平分线的性质，正确理解记忆性质是解题的关键 （1）根据线段的垂直平分线和角平分线的作图方法，进行作图即可； （2）先根据三角形内角和定理得出，再根据角平分线定义，求出结果即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵在中，，． ∴， ∵平分， ． 13．【答案】（1） 证明：∵， ∴． ∵E为的中点， ∴． 在和中， ， ∴．     （2）5      【分析】 此题主要考查全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质，解题关键是根据证明和全等． （1）根据证明和全等即可； （2）根据全等三角形的性质结合线段垂直平分线的性质解答即可． (1) 小问详解： 略； (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴． ∵， ∴垂直平分， ∴． 答：的长为5． 14．【答案】（1） 证明：∵是平分线上的一点，，， ∴，，又， ∴， ∴；     （2） 证明：∵，， ∴点O、P在线段的垂直平分线上， 即是的垂直平分线；      【分析】 本题考查全等三角形判定与性质、线段垂直平分线的判定、角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质和线段垂直平分线的判定是解答的关键． （1）先根据角平分线的性质得到，再证明，利用全等三角形的对应边相等即可证得结论； （2）利用线段垂直平分线的判定可得结论． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 15．【答案】（1） 证明：垂直平分， ， ， 是的垂直平分线， ， ；     （2）      【分析】 本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． （1）根据垂直平分线的性质，可，再根据，得到是的垂直平分线，等量代换，即可； （2）根据题意，则，求出，再根据，得到，最后根据求出结论即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：的周长为， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 16．【答案】① 如果，那么，    ② 假 【分析】 本题考查了写出命题的逆命题，并判断是真（假）命题，把命题的题设和结论对调即可得它的逆命题，解题的关键是分清题设和结论．交换命题的题设与结论得到原命题的逆命题，再通过举反例判断命题的真假． 【详解】 解：逆命题是“如果，那么，” ； 当时，也有，， “如果，那么，”的结论不成立， 逆命题是假命题． 故答案为：如果，那么，．假． 17．【答案】19 【分析】 根据垂直平分线的性质得到，，从而将周长为转化为，即可求解． 【详解】 解：∵是的垂直平分线， ∴，， ∵， ∴，即， ∴． 18．【答案】 【分析】 本题考查全等三角形的判定与性质、角平分线的定义，直角三角形的等面积法求斜边上的高，属于综合题，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 【详解】 解：如图，过点作，交于，交于，连接， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴垂直平分， ∵是边上的动点， ∴， ∴， ∴、、三点在一条直线上，且时，有最小值， ∵，，，， ∴，即， 解得：， ∴的最小值为． 故答案为： 19．【答案】（1） 解：就是的平分线．      （2） 解：就是线段的垂直平分线．      （3）解：如图所示： 【分析】 本题考查了尺规作图，熟练掌握角平分线的性质和作法，线段的垂直平分线的性质和作法，是解题的关键． （1）依题意，根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等作的角平分线； （2）依题意，根据线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，作的垂直平分线， （3）到两个城镇，的距离必须相等，则信号发射塔必须在的垂直平分线上，到两条高速公路的距离相等，则信号发射塔必须在的角平分线上，所以信号发射塔建立在的垂直平分线与的角平分线的交点S处． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 略 20．【答案】发射塔E的位置如图所示． 【分析】 本题考查了尺规作图作角平分线，尺规作图作垂直平分线． 分别作的垂直平分线，的角平分线，交点处即为发射塔E的位置． 【详解】 略 21．【答案】（1） 证明：在中，， ∴． ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 又∵， ∴是等边三角形．     （2） 证明：∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴平分． ∵， ∴， ∴点E在线段的垂直平分线上． 由（1）知，， ∴点A在线段的垂直平分线上， ∴垂直平分．      【分析】 本题考查含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的判定，角平分线的性质，线段垂直平分线的判定和性质，综合应用上述知识点是解题的关键． （1）由含30度角的直角三角形的性质，可得．由是的垂直平分线，可得，进而可得，结合可证是等边三角形； （2）先证，根据角平分线的性质可得，推出点E在线段的垂直平分线上．结合，可得垂直平分． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 22．【答案】（1） 证明：∵（已知），（已知）， ∴． 在和中， ， ∴． ∴，． ∵，， ∴点A和点D都在线段的垂直平分线上， ∴是线段的垂直平分线． 因此，平分．     （2）等边三角形      【分析】 （1）要证明平分，即证明P是的中点，可以通过证明三角形全等来得到对应边相等，从而得到平分； （2）给定，利用垂直和三角形内角和求出相关角，再结合已知条件判断三角形形状． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ∵， ∴． ∵， ∴． 在中，， ∴． ∵， ∴是等边三角形． 【点睛】 本题考查了垂线的定义理解，全等的性质和综合（），线段垂直平分线的性质，线段垂直平分线的判定，等边三角形的判定等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 23．【答案】（1） 如答图1所示．      （2） 如答图2所示． 【分析】 本题考查了角平分线与线段垂直平分线的尺规作图，三角形内角和定理以及线段垂直平分线的性质，等边对等角，熟练掌握线基本作图是解题的关键． （1）根据三角形内角和定理可得，根据题意可得是的平分线，作的平分线，即可求解； （2）根据等边对等角可得，则作的垂直平分线即可求解． (1) 小问详解： 解： ， 作的平分线 (2) 小问详解： 解：， ∴ 作的垂直平分线即可 考点03 画轴对称的图形 1．B 2．C 3．D 4．C 5．A 6．B 7．C 8．D 9．C 10．C 11．A 12．C 13．C 14．B 15．【答案】 【分析】 本题考查了点坐标与轴对称变换，熟练掌握点坐标与轴对称变换规律是解题关键．根据点关于轴对称的坐标特征：横坐标互为相反数、纵坐标不变求解即可得． 【详解】 解：点关于轴对称的点的坐标为． 故答案为：． 16．【答案】 【分析】 本题主要考查了镜面对称的性质；解决本题的关键是得到对称轴，进而得到相应数字，也可以简单的写在纸上，然后从纸的后面看，关于倒影，相应的数字应看成是关于倒影下边某条水平线的对称即可． 【详解】 解：实际车牌号是， 故答案为：． 17．【答案】 【分析】 本题考查了关于y轴对称的点的坐标，根据平移的性质求点的坐标，解题的关键是掌握关于对称轴对称的点的坐标特征和平移的性质． 根据“关于y轴对称的点，横坐标互为相反数，纵坐标相同”求出点的坐标，再根据平移的性质进行解答即可． 【详解】 解：由题知， 因为点A坐标为，且点A和点关于y轴对称， 所以点A1的坐标为， 则将向下平移4个单位长度得到的坐标为． 故答案为：． 18．【答案】（1） 如图所示，△即为所求；      （2）点、、的坐标分别为，，      【分析】 此题考查了坐标系中轴对称作图，正确作图是关键． （1）作出点关于轴对称的对应点，顺次连接即可； （2）根据（1）中的作图写出点的坐标即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：点、、的坐标分别为，，． 19．【答案】（1） 解：如图，即为所求．     （2） 解：如图，点即为所求． ．     （3）2      【分析】 本题考查了轴对称图形、两点之间线段最短、轴对称的性质、利用网格求三角形的面积，熟练掌握轴对称的性质是解题关键． （1）先根据轴对称的性质画出点，再顺次连接即可得； （2）先作点关于轴的对称点，再连接，与轴交于点，由此即可得； （3）利用一个长方形的面积减去三个小直角三角形的面积即可得． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：的面积为． 20．【答案】（1） 如图即为所作；      （2）点的坐标为，点的坐标为．      【分析】 本题考查了在直角坐标系中画轴对称图形，并能写出坐标，知道图形关于x轴对称各点坐标的变化特点是解题的关键．（1）根据图形关于x轴对称各点坐标的变化特点描点连线即可；（2）根据点的坐标位置写出坐标即可． 【详解】 （1）略 （2）解：点的坐标为，点的坐标为． 21．【答案】（1） 如图，为所作；      （2），，     （3）      【分析】 本题考查了作图—轴对称变换、坐标与图形，熟练掌握轴对称的性质是解此题的关键． （1）根据轴对称的性质画出图形即可； （2）根据（1）中得出的图形写出坐标即可； （3）根据轴对称的性质即可得解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由图可知：，，； (3) 小问详解： 解：点P关于直线l的对称点的坐标为． 22．【答案】（1） 解：如图，即为所求：      （2）     （3）      【分析】 本题考查的是画轴对称图形，轴对称与坐标变化，求解网格三角形的面积，熟练的画轴对称是解本题的关键． （1）分别确定A，B，C关于x轴的对称点，，，再顺次连接即可； （2）根据关于y轴对称的点的特点求解即可； （3）由长方形的面积减去周围三个三角形的面积即可得到答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ∵点与点关于轴成轴对称，， ∴点的坐标是； (3) 小问详解： 的面积为． 23．【答案】（1）；；     （2） 如图，即为所求．      （3）      【分析】 本题考查坐标与轴对称，熟练掌握轴对称的性质，是解题的关键： （1）根据轴对称的性质，写出点、、的坐标即可； （2）根据轴对称的性质找出点、、，然后顺次连接即可； （3）根据平行x轴的直线上点的纵坐标相同，求出，再求出点P的坐标即可． (1) 小问详解： 解：，，； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：∵点，直线轴， ∴， ∴， ∴点P的坐标为． 24．【答案】 【分析】 本题考查了关于x轴对称的点的坐标，根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”解答． 【详解】 解：点与点B关于x轴对称， 点B的坐标是． 故答案为： ． 25．【答案】（1） 如图所示： ∴为所作的图形，的坐标是；      （2） 如图所示： ∴为所作的图形， 的面积为      【分析】 本题考查了图形的平移和翻折，利用网格求三角形的面积．熟练掌握利用平移变换与轴对称变换作图是解决本题的关键； （1）分别作出点A，B，C关于y轴的对称点，顺次连接得到，根据点的位置得到的坐标即可； （2）分别作出点A，B，C向右平移8个单位的对应点，顺次连接对应点得到，根据割补法进行列式计算，求出的面积． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：的面积 ． 26．【答案】（1） 如图所示；      （2） 如图所示，点M即为所求作． 【分析】 本题主要考查了作轴对称图形，根据轴对称求线段和的最小值． 对于（1），分别作出三个顶点关于x轴对称的点，再依次连接即可； 对于（2），由点A和点关于x轴对称，可知，即，根据“两点之间线段最短”可知连接交x轴于点M，此时点M到A，B两点的距离之和最小，则点M即为所求作，并写出坐标． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 27．【答案】0 【分析】 本题考查关于x轴对称的点的坐标特征，掌握关于坐标轴对称的点的坐标特征是解题的关键． 根据平面直角坐标系内关于x轴对称的点的坐标特征：横坐标相同，纵坐标互为相反数求解即可． 【详解】 解：∵点与点关于x轴对称， ∴， 解得． ∴． 故答案为：0． 28．【答案】 【分析】 本题主要考查关于y轴对称点的坐标，利用关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变，可得答案． 【详解】 解：∵点A的坐标为， ∴点A关于y轴对称的点的坐标是， 故答案为： 29．【答案】（1） 即为所求：      （2），     （3）或或      【分析】 本题主要考查了轴对称图形的绘制、关于坐标轴对称的点的坐标特征以及全等三角形的性质． （1）根据关于轴对称的点的坐标特征来画出对称图形； （2）利用关于轴对称的点的坐标关系求出、的值； （3）依据全等三角形对应边相等的性质找出满足条件的点的坐标． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：点与点关于轴对称， ，， 解得，； (3) 小问详解： 解：要使与全等， 则或或或， 观察图形可知，不同于点的格点的坐标是或或． 30．【答案】（1） 解：如图所示， 由图知，，，     （2）      【分析】 此题考查了图形与坐标，轴对称图形的作图等知识，准确作图是关键． （1）作出点关于y轴对称的对应点，，，顺次连接即可得到，并写出点的坐标即可； （2）利用包含三角形的正方形面积减去周围三个直角三角形的面积即可得到答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：． 31．【答案】 【分析】 本题考查了坐标与图形变化—轴对称，根据对称点到对称轴的距离相等得出，得出，结合横坐标不变，所以，即可作答． 【详解】 解：∵点与点关于直线（过点，且与轴平行的直线）对称， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 32．【答案】（1） 如图，即为所求： 、、     （2）      【分析】 本题考查轴对称变换，熟练掌握关于轴对称的点的坐标特征是解题的关键． （1）根据关于轴对称的点的坐标横坐标互为相反数，纵坐标相同，得出、、，画出图形即可； （2）用所在的长方形的面积减去三个小三角形的面积即可得答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：． 33．【答案】（1）画出图形如下： , 、、的坐标为、、； （2）的面积为 【分析】 （1）根据题意画出图形，写出坐标即可； （2）利用割补法求面积即可求解． 【详解】 解：（1）、、的坐标为、、； （2）的面积为． 【点睛】 本题考查平面直角坐标系中图形的对称、割补法求面积，根据轴对称的定义画出图形是解题的关键． 34．【答案】（1） 即为所作：      （2），，     （3）      【分析】 本题考查作图-轴对称变换，点的坐标，解题的关键是掌握轴对称变换的性质，学会利用轴对称解决问题． （1）利用轴对称的性质分别作出A，B，C的对应点，，即可； （2）根据点，，在坐标系中的位置写出它们的坐标即可； （3）利用关于x轴对称的性质求解问题． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由坐标系得：点，，的坐标分别为，，， 故答案为：，，； (3) 小问详解： 解：点关于直线x轴的对称点为，则的坐标是， 故答案为：． 35．【答案】（1）如图所示，即为所求，关于轴对称；      （2）；     （3）点的坐标为或．      【分析】 本题考查了坐标与图形，作轴对称图形，轴对称的性质，分割法求面积，掌握知识点的应用是解题的关键． （）确定点的坐标，描点后，观察即可得出关系； （）利用长方形面积减去三个三角形面积即可求解； （）设的边上的高为，点的坐标为，然后分为当点在轴负半轴上时；当点在轴正半轴上时两种情况分析即可． (1) 小问详解： 解：由坐标系可得， ∴纵坐标都乘得， ∴与的位置关系是关于轴对称； (2) 小问详解： 解：； (3) 小问详解： 解：设的边上的高为，点的坐标为， ∴， 因为的面积是的面积的倍， 所以，解得， 所以当点在轴负半轴上时，； 当点在轴正半轴上时，． 综上，点的坐标为或． 36．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了轴对称点的坐标变换，解决本题的关键是掌握轴对称点的坐标变换规律． （1）根据“关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”列方程组求解即可； （2）根据“关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；列方程组求出、的值，然后代入代数式进行计算即可得解． (1) 小问详解： 解： 点关于轴对称， ， 解得，； (2) 小问详解： 解：点关于轴对称， ∴， 解得， ∴． 37．【答案】（1） 如图，即为所求： ．     （2） 如图，即为所求：      （3）8      【分析】 本题考查轴对称图形的作图，熟练掌握轴对称图形作图方法是解题的关键， （1）根据轴对称图形的作图方法，即可得到，从而得到的三个顶点的坐标； （2）根据关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标相反，即可得到； （3）根据梯形面积的公式即可得到答案． (1) 小问详解： 解：由图可知：． (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：如图， ∴． 38．【答案】（1）四边形如图所示；，，，；     （2）7     （3）或      【分析】 本题是一道四边形的综合题，涉及到轴对称图形的性质，四边形面积，三角形面积等知识点．从坐标系中求出各点坐标和相应线段的长度是解答本题的关键． （1）由两个轴对称图形对应顶点到对称轴的距离相等，得到四边形的各个顶点位置，依次连接四个顶点即可，再根据写出顶点坐标； （2）四边形由和组成，求出这两个三角形的面积和即可得出答案； （3）先求出关于点P纵坐标的关系式，再由建立方程求解即可． (1) 小问详解： 解：四边形如图所示； ，，，； (2) 小问详解： 解：， ，，，， ； (3) 小问详解： 解：设点P坐标为， ， ，即，则或， 故点P坐标为或． 39．【答案】（1）即为所求： ， 面积为毛；     （2）点即为所求： 【分析】 （）直接利用关于轴对称点的性质得出答案，用一个矩形的面积分别减去三个直角三角形的面积即可； （）利用轴对称求最短路线的方法得出点位置即可； 本题考查作图-轴对称变换，轴对称最短问题等知识，解题的关键是掌握轴对称变换的性质，正确作出图形． (1) 小问详解： 如图，利用网格特点和轴对称的性质画出，，关于的对称点，，，连接各点， ， ， ； (2) 小问详解： 画出关于的对称点，连接交于，利用得到，则根据两点之间线段最短，如图， ∴点即为所求的点，使得最小． 40．【答案】（1），     （2），     （3），      【分析】 此题主要考查了关于x，y轴对称点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律． （1）关于y轴对称，y不变，x变为相反数据此求解即可； （2）关于x轴对称，x不变，y变为相反数据此求解即可； （3）轴，即两点的纵坐标相等且横坐标不相等，据此求解． (1) 小问详解： 解：∵，两点关于轴对称， ∴，； (2) 小问详解： 解：∵，两点关于轴对称， ∴，； (3) 小问详解： 解：∵轴， ∴，． 41．【答案】（1） 如图，中线即为所求．      （2） 如图，高即为所求．      （3） 解：如图，即为所求． ．      【分析】 本题考查了三角形的中线与高、轴对称、点的坐标，熟练掌握点坐标与图形是解题关键． （1）结合网格先确定的中点，再连接即可得，然后根据中点坐标公式即可得点的坐标； （2）结合网格画出边上的高，再写出点的坐标即可得； （3）先根据轴对称的性质画出点关于轴对称的点，再连接即可得． (1) 小问详解： 解：∵，， ∴的中点的坐标为，即为． (2) 小问详解： 解：∵点，，， ∴点的横坐标与点的横坐标相同、点的纵坐标与点的纵坐标相同， ∴点的坐标为． (3) 小问详解： 略 42．【答案】（1） 如图，及即为所求．      （2）2      【分析】 此题考查轴对称作图，在网格中计算三角形的面积 （1）根据轴对称的性质作图即可； （2）根据割补法计算出的面积． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解： 43．【答案】（1） 解：如图所示：      （2）     （3） 解：如图，作关于轴对称的对称点，连接交轴于，则即为所求； 理由如下： 由作图可得：， ∴的周长为， ∴的周长最小．      【分析】 本题考查了作图−轴对称变换，轴对称−最短路线问题，求解网格三角形的面积：解决本题的关键是掌握轴对称的性质． （1）根据轴对称的性质作出点A，B，C关于x轴的对称点，，，再顺次连接即可； （2）根据网格利用割补法即可求出的面积； （3）作关于轴对称的对称点，连接交轴于，则即为所求； (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：依题意， ； (3) 小问详解： 略 44．【答案】（1） ；      （2）     （3）      【分析】 本题考查点的对称变换及三角形面积计算． （1）直接根据YS变换规则求解； （2）先求点P变换后的点F，再根据等腰直角三角形的性质确定F点坐标，代入求解a和b，计算； （3）先求点A和B变换后的点M和N，再利用三角形面积公式建立方程求解m． (1) 小问详解： 解：点中作关于轴的对称点，得； 点中作关于y轴的对称点，得 (2) 小问详解： 解：∵点且， ∴，作关于轴的对称点，得 等腰中，，，以为直角边，在下方，则为或 若F，则，，解得，，此时，且，符合变换规则，∴， 若，则，，解得，，但不满足， 故； (3) 小问详解： 点中，作关于x轴的对称点，得 点中，作关于y轴的对称点，得 点 与横坐标相同，垂直， 到直线的水平距离为 解得 (因)， ． 考点04 等腰三角形 1．C 2．C 3．C 4．B 5．A 6．D 7．A 8．A 9．D 10．A 11．D 12．C 13．C 14．B 15．B 16．B 17．D 18．D 19．D 20．A 21．D 22．C 23．C 24．A 25．D 26．A 27．D 28．A 29．A 30．A 31．【答案】 【分析】 本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，根据三角形内角和定理及等腰三角形的性质，即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】 解：∵等腰三角形的顶角为， ∴这个等腰三角形底角的度数为：， 故答案为：． 32．【答案】42°或69° 【分析】等腰三角形两底角相等且内角和为180°，这个42°的角是底角或者顶角，分两种情况讨论即可． 【详解】解：该题分两种情况讨论 ①若42°的角为底角，顶角为180°-42°×2=96° ②若42°的角为顶角，底角为（180°-42°）÷2=69°． 故答案为：42°或69°． 33．【答案】s度 【分析】 此题主要考查了垂直平分线的性质、等边对等角、直角三角形的性质、角平分线的定义等知识．由角平分线的定义得到，垂直平分线段于点D，则，，由直角三角形两锐角互余得到，由邻补角即可得到的度数． 【详解】 解：∵的平分线交于点E，， ∴， ∵垂直平分线段于点D， ∴，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 34．【答案】（1）30海里     （2） 有触礁的危险，理由如下： 过C作交AB的延长线于点D， ，， ， ∵， 若这条船继续由西向东航行会有触礁的危险．      【分析】 （1）先根据已知方向角推出，再根据等角对等边可得； （2）过C作交AB的延长线于点D，求出的长，与16海里比较，即可得出答案． (1) 小问详解： 解：由已知条件可得：，，， ， ， ， B处到灯塔C的距离为30海里； (2) 小问详解： 略 【点睛】 本题考查方位角、等腰三角形的判定、含30度角的直角三角形的性质等，由所给方位角得出是解题的关键． 35．【答案】3 【分析】 本题考查了含30度角的直角三角形，熟练掌握30度角所对的直角边是斜边的一半是解题的关键． 根据含30度角的直角三角形的性质即可求解． 【详解】 解：由题意得，，米， ∵在中，， ∴（米）， 故答案为：3． 36．【答案】 【分析】 本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得，根据三角形内角和定理得到，计算即可得到答案． 【详解】 解：， ，， ， ， ， 故答案为： ． 37．【答案】海岛到灯塔的距离是36海里． 【分析】 本题考查了三角形外角性质，等腰三角形的判定及性质；由三角形外角性质得，由等腰三角形的判定及性质得，即可求解． 【详解】 解：根据题意，得（海里）． ，， ， ， 海里， 即海岛到灯塔的距离是36海里． 38．【答案】 【分析】 本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握等边对等角是解题的关键． 先根据等边对等角和三角形内角和定理求得的度数，同理求得的度数，然后由平角的定义即可求得答案． 【详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 39．【答案】（1）     （2） 解：为等腰三角形，理由如下： ∵， ∴， 由（1）知， ∴， ∴， ∴是等腰三角形．      【分析】 本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义，熟知等腰三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）根据等边对等角和三角形内角和定理可得的度数，再由角平分线的定义可得的度数，再由三角形外角的性质可得答案； （2）根据平行线的性质可得的度数，则可证明，据此可得结论． (1) 小问详解： 解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴． (2) 小问详解： 略 40．【答案】25° 【分析】 由题意知，，根据等边对等角，三角形内角和定理求出的值，进而可求出的值． 【详解】 解：∵，AD是中线， ∴， ∵ ∴ ∴ ∴的值为25°． 【点睛】 本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理．解题的关键在于熟练掌握等腰三角形的性质． 41．【答案】（1）     （2）     （3） 解：∵，是的中点， ∴平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴．      【分析】 本题考查了等腰三角形的性质、三角形的内角和定理、平行线的判定，熟练掌握等腰三角形的性质是解题关键． （1）先根据等腰三角形的性质可得，再根据三角形的内角和定理求解即可得； （2）先根据等腰三角形的三线合一可得平分，再根据角平分线的定义求解即可得； （3）先根据等腰三角形的三线合一可得平分，再根据角平分线的定义可得，然后根据等腰三角形的性质可得，则可得，最后根据平行线的判定即可得． (1) 小问详解： 解：∵， ∴， ∵，， ∴． (2) 小问详解： 解：∵，是的中点， ∴平分， ∵， ∴． (3) 小问详解： 略 42．【答案】（1） 证明：是线段的垂直平分线， ， ；     （2）．      【分析】 本题考查的是线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理，熟练掌握线段垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等． （1）根据线段的垂直平分线的性质得到，根据等腰三角形的性质证明； （2）根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理求出，计算即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：，， ， 由可知：， 43．【答案】角平分线上的点到角两边的距离相等；；；；等腰三角形三线合一． 【分析】 本题主要考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质以及角平分线的性质，根据角平分线上的点到角两边的距离相等得．即可利用证明，有．结合等角对等边得．再依据等腰三角形三线合一即可证明． 【详解】 略 44．【答案】2.5 【分析】 本题主要考查了角平分线的定义，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质，根据平行线的性质和角平分线的定义得出，证明是等腰三角形，根据三线合一得出，证明，得出，即可求解． 【详解】 解：∵， ∴． ∵平分， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． ∵是的平分线， ∴． 在与中， ， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：2.5． 45．【答案】（1） 证明：， ， 即． 在和中， ， ， ；     （2）      【分析】 此题重点考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理等知识，证明是解题的关键． （1）由，推导出，而，即可根据证明，则； （2）由，求得，由全等三角形的性质得A，则，即可求得结果． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ， ， ， ． ， ， ． 46．【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， 由对顶角相等得：， ∴， ∴．     （2）      【分析】 本题考查了等腰三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题关键． （1）先根据等腰三角形的性质可得，再根据直角三角形的性质可得，根据对顶角相等可得，则，最后根据等腰三角形的判定即可得证； （2）先求出，则，再在中，利用含30度角的直角三角形的性质求解即可得． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵，， ∴， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴在中，． 47．【答案】（1） 证明：∵是线段的垂直平分线， ∴， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴；     （2）4      【分析】 本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质等知识，掌握这两个性质是关键； （1）由线段垂直平分线的性质得，则有；由得，再由直角三角形的性质得，即可证明； （2）四边形的周长为，再结合已知即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵四边形的周长为14， ∴， ∵， ∴， 即， ∴． 48．【答案】（1）     （2）5     （3） ，理由如下∶ 在上截取，连接，如图所示∶ ， ， 即， 平分，于点，于点， ，， 在和中， ， ，， ， 在和中， ， ， ．      【分析】 本题考查角平分线性质、全等三角形的判定与性质，解题关键是利用角平分线构造全等条件，通过作辅助线创造全等三角形，借助全等实现角和线段关系的转化推导． （1）依据角平分线定义得，结合、，用证，由全等性质得，代入求出． （2）作，由得（等腰三线合一），结合推出，再用证，得． （3）截，用证，得，再用证，推导． (1) 小问详解： 解：平分， ， 在和中， ， ， ， ， 故答案为：； (2) 小问详解： 解：过点作于点，如图所示∶ ， ， ， ， ， 又， ， ， 平分，于点，于点， ，， 在和中， ， ； (3) 小问详解： 略 49．【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴；     （2） 为等腰三角形，理由如下： 在和中， ， ∴， ∴，， ∵M、N分别为、的中点， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． ∴是等腰三角形．      【分析】 本题主要考查的是全等三角形的判定和性质，等腰三角形的定义，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）利用证明，根据全等三角形的性质得到； （2）根据全等三角形的性质得到，证明，根据全等三角形的性质证明． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 50．【答案】（1）     （2） 证明：， ， ， ，， （）， ，， ， ， 平分．      【分析】 本题考查了三角形外角性质，全等三角形的判定及性质，等腰三角形的判定及性质；掌握三角形外角性质，全等三角形的判定及性质，等腰三角形的判定及性质是解题的关键． （1）由三角形外角性质得，即可求解； （2）由判定，由全等三角形的性质得，，由等腰三角形的判定及性质，即可得证． (1) 小问详解： 解：， ， ， 故答案为：； (2) 小问详解： 略 51．【答案】（1）     （2） ． 理由：如图，在边上截取，连接． 是的平分线， ． 在和中， ， ， ， ． 又， ， ， ． 又， ．      【分析】 本题考查了三角形外角性质，等腰三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质；能添加恰当的辅助线构建全等三角形是解题的关键． （1）由三角形外角性质得．由三角形内角和定理得，即可求解； （2）在边上截取，连接．由判定，结合全等三角形的性质、等腰三角形的判定及性质，即可得证． (1) 小问详解： 解：，， ． 又是的平分线， ， ． (2) 小问详解： 略． 52．【答案】（1） 证明：在中，，， 是等腰直角三角形， ， 点D，E在上，且， ， 是的外角，是的外角， ，， ， ， ，， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ，， ， ， 是等腰三角形；     （2）50      【分析】 本题主要考查了等腰直角三角形的性质，等腰三角形的判定，全等三角形的判定和性质，理解等腰直角三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的判定，全等三角形的判定和性质，三角形的外角性质是解决问题的关键． （1）根据等腰直角三角形性质得，根据得，再由三角形外角性质得，，由此得，证明是等腰直角三角形得，由此得，进而得，据此即可得出结论； （2）根据在（1）的条件下得，，，由此得，由此可依据“SAS”判定和全等得，进而得 (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：在（1）的条件下，， ，，， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 53．【答案】42米 【分析】 本题考查等腰直角三角形的性质，根据小明的测量步骤可得，由等腰三角形的性质可得米，再说明是等腰直角三角形即可． 【详解】 解：由题意可得， ， ， 米， ， 是等腰直角三角形， 米． 54．【答案】58度 【分析】 本题考查等腰三角形的性质，根据三角形外角性质求出，根据等腰三角形的性质求出，再根据三角形内角和定理求解即可．理解和掌握“等边对等角”是解题的关键． 【详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即的度数为． 故答案为：． 55．【答案】（1） 如图①中，点E即为所求； ；     （2）     （3） 解：垂直平分线段， ， ， 平分， ， ， ， ．      【分析】 本题考查作图——复杂作图，线段垂直平分线的性质，含角的直角三角形，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相关知识解决问题． （1）根据要求作出图形； （2）由题意可知，垂直平分线段，证明可得结论； （3）证明，然后根据含角的直角三角形的性质即可得出结论． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：当C，D，E共线时，垂直平分线段， ， ， ， 故答案为：； (3) 小问详解： 略 56．【答案】5 【分析】 本题考查了角平分线，平行线的性质，等角对等边．明确角度之间的关系确定线段的等量关系是解题的关键． 由角平分线可得，，由平行线的性质可得，，则，根据，求解即可． 【详解】 解：∵分别平分， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：5． 57．【答案】5cm，5cm 【分析】题中只给出了三角形的周长和一边长，没有指出它是底边还是腰，所以应该分两种情况进行分析． 【详解】若3cm长的边为底边，设腰长为xcm， 则3+2x=13， 解得x=5， 若3cm长的边为腰，设底边为xcm， 则2×3+x=13， 解得x=7． 第2种情况不成立． 所以等腰三角形另外两条边长分别为5cm和5cm． 故答案为：5，5． 【点睛】此题考查等腰三角形的性质和三角形的三边关系，解题关键在对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论． 58．【答案】（1）36海里     （2）没有危险      【分析】 本题考查了含角的直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，方向角．    （1）根据已知条件得到 ，求得，根据等腰三角形的性质即可得到结论；    （2）过C作交的延长线于点D，根据直角三角形的性质即可得到结论． (1) 小问详解： 解：根据题意得   , ，（海里），    ∴ ， ∴ ，    ∴（海里）， 答：B处到灯塔C的距离为36海里；    (2) 小问详解： 解：没有触礁的危险，理由如下：    过C作交的延长线于点D，    ∵（海里），    ∴（海里），    ∵，    ∴若这条船继续由西向东航行没有触礁的危险． 59．【答案】（1）     （2） 证明： ∴，即是等腰三角形． ∵， ∴．     （3）      【分析】 本题主要考查了等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理、直角三角形的性质等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）由等边对等角以及三角形内角和定理可得，进而得到，即； （2）根据，可得；然后根据等腰三角形三线合一的性质成为解题的关键； （3）由30度所对的直角边是斜边的一半可得，同理可得，最后根据线段的和与差即可解答． (1) 小问详解： 解：∵， ， ， ∵， ∴， ， (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：∵，， ∴，    ∵，， ∴， ∴． 60．【答案】（1）；（2）或或或；（3） 【分析】 本题考查了三角形全等的判定与性质、等腰三角形的性质、平行线的判定与性质、三角形的三边关系等知识，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键． （1）根据定理即可得； （2）延长至点，使，连接，先证出，根据全等三角形的性质可得，再根据三角形的三边关系可得，根据的长为奇数求解即可得； （3）延长至点，使，连接，先证出，根据全等三角形的性质可得，，则可得，再根据等腰三角形的性质可得，则，然后证出，根据平行线的性质求解即可得． 【详解】 解：（1）在和中， ， ∴， ∴小亮判断的依据是， 故答案为：． （2）如图，延长至点，使，连接． ∵是边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴在中，，即， ∴， ∴， ∵的长为奇数， ∴边的长为或或或． （3）∵，， ∴， 如图，延长至点，使，连接， ∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 61．【答案】 【分析】 本题考查等边对等角，三角形的内角和定理，三角形的外角，熟练掌握相关知识点是解题的关键：根据等边对等角，结合三角形的内角和定理，求出的度数，再根据三角形的外角的性质，求出的度数即可． 【详解】 解：， ， ， ， ， ， ． 62．【答案】2 【分析】 本题主要考查角平分线的定义，三角形内角和定理以及等腰三角形的判定和性质，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键．根据题意得到，证明，得到即可得到答案． 【详解】 解：，， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ． 63．【答案】 【分析】 本题考查了三角形内角和定理、三角形的外角性质以及角平分线的定义，根据各角之间的关系，求出的度数是解题的关键．由是△的高，可得出，结合三角形内角和定理，可求出的度数，由是△的外角，利用三角形的外角性质，可求出的度数，结合角平分线的定义，可求出的度数，再利用三角形内角和定理，即可求出的度数． 【详解】 解：是的高，， ， ， ， 又CE是的角平分线， ， ， ． 64．【答案】j度 【分析】 本题主要考查了等边对等角，线段垂直平分线的性质，三角形外角的性质和三角形内角和定理，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 根据线段的垂直平分线的性质得到，根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质得到，再由平角的定义得到，据此根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】 解：∵M、N分别在的垂直平分线上， ∴ ， 又， ， ， 故答案为：． 65．【答案】（1） 证明：平分，， ． ， ， ， ；     （2）4．      【分析】 本题考查了角的平分线定义与性质，平行线的性质，三角形外角和性质，直角三角形的性质，熟练掌握平行线，直角三角形的性质是解题的关键． （1）先由角平分线的定义得到，再由得到，最后等量代换，结合等角对等边即可求解； （2）作于点，由角平分线的性质可知，再由外角的性质求出，在中，根据所对的直角边等于斜边的一半即可求解，最后求出的长． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解： 作于点，如图， 平分，，， ，． ， ． ， ， ． 66．【答案】（1） 解：如图，、、即为所求；      （2）的长为      【分析】 本题考查了画三角形的高，三角形内角和定理，等边对等角，含30度角的直角三角形的性质； （1）根据三角形的高线的画法画出、、即可； （2）根据三角形内角和定理以及等边对等角可得，进而根据含30度角的直角三角形的性质，即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵，， ∴ 又∵是边上的高， ∴ ∴ 67．【答案】6 【分析】 本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，含直角三角形的性质．根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出，然后利用含直角三角形的性质得到，，进而可计算的值． 【详解】 解：∵，， ∴， ∵，， ∴和是直角三角形， ∴，， ∴， 故答案为：6． 68．【答案】13 【分析】 本题考查等腰三角形的性质，平行线的性质及角平分线的应用，正确的进行线段的等量代换是正确解答本题的关键．先根据角平分线的定义及平行线的性质证明和是等腰三角形，再由等腰三角形的性质得，则的周长，从而得出答案． 【详解】 解：∵平分， ∵， 同理， ∴的周长． 故答案为：13． 69．【答案】（1）     （2）且， 理由：∵和都是等腰直角三角形，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴，之间的关系为且；     （3）32      【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质等知识，熟练掌握全等三角形的性质是解题关键． （1）首先结合题意可得，，进而证明，再根据“”证明，由全等三角形的性质可得，即可获得答案； （2）首先证明，由全等三角形的性质得，，进一步可知，可证明，即可获得结论； （3）首先计算和的面积，由图可知，，当时，，此时和均取最大值，然后计算四边形的最大面积即可． (1) 小问详解： 解：∵和都是等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 故答案为：； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：∵和都是等腰直角三角形，，，， ∴， ∴， 由图可知，， 当时，可有，此时， 此时和均取最大值， 且，， ∴四边形的最大面积． 70．【答案】（1） 证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴；     （2）     （3）第一象限内存在一点P，使为等腰直角三角形，点P的坐标为或或      【分析】 （1）根据余角的性质得到，即可根据证明； （2）同（1）证明，得到，，求出即可； （3）分三种情况：① 当时，；② 当时，；③ 当时，；分别构造全等三角形，由全等三角形的性质即可解决问题． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 证明：∵于D，于E， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴ ∴，， ∵， ∴ ∴； (3) 小问详解： 第一象限内存在一点P，使为等腰直角三角形，理由如下： 分三种情况： ① 当时，，如图③ ， 分别过点B、点P作y轴的垂线交过点A作y轴的平行线于点E、点F 同（1）得：， ∴， ∵， ∴， ∴点P的横坐标为，纵坐标为， ∴； ② 当时，，如图④ ， 分别过点A、点P作x轴的垂线交过点B作x轴的平行线于点E、点F， 同(1) 得：， ∴， ∵， ∴， ∴点P的横坐标为，纵坐标为， ∴； ③ 当时，，如图⑤ ， 分别过点A、点B作x轴的垂线交过点P作x轴的平行线于点E、点F， 同(1) 得：， ∴， 设， ∵， ∴，， ∴ ，解得 ， ∴； 综上，第一象限内存在一点P，使为等腰直角三角形，点P的坐标为或或． 【点睛】 此题是三角形综合题目，考查了全等三角形的性质，等腰直角三角形的性质，坐标与图形性质，直角三角形的性质，平行线的性质以及分类讨论等知识，本题综合性强，熟练掌握等腰直角三角形的性质，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键，属于中考常考题型． 考点05 等边三角形 1．C 2．D 3．C 4．C 5．B 6．B 7．A 8．B 9．D 10．C 11．B 12．C 13．C 14．D 15．【答案】（1）8     （2） 是等边三角形，理由如下： ∵的平分线分别交，于点， ∴， ∴，， ∴ ∴是等边三角形．      【分析】 本题主要考查等边三角形的判定，30度角直角边等于斜边一半，熟练掌握相关知识是解答本题的关键． （1）求出，得，求出，； （2）由角平分线定义得，得出，从而可得结论． (1) 小问详解： 解：∵，， ∴， ∵于， ∴， ∴， ∴； (2) 小问详解： 略 16．【答案】（1） 为等边三角形．理由如下： ∵为等边三角形， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴为等边三角形；     （2）27      【分析】 本题考查等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、角平分线定义、平行线性质及三角形周长等知识，熟记等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质是解决问题的关键． （1）由等边三角形的判定与性质，再结合平行线的性质即可得到答案； （2）由角平分线定义、平行线性质得到，由等腰三角形性质可得，同理，再由的周长，数形结合即可得到答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵，为等边三角形， ∴的周长为， 平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理， ∴， ∵为等边三角形， ∴的周长为． 17．【答案】4 【分析】 本题考查了等边三角形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握等边三角形的判定和性质是解题的关键． 根据题意得出，，进而得出，根据三角形内角和定理得到，证明是等边三角形，即可得到答案． 【详解】 解：由题意得：，， ， ∵， ∴， ∴是等边三角形， 故答案为：． 18．【答案】（1） （2）证明：∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴，即， 又， 而， ∴， 又， ∴， ∴， ∵， ∴； （3） 【分析】 本题主要考查等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理以及三角形外角的性质等知识，正确判断三角形全等是解答本题的关键． （1）由等边三角形的性质得，再根据三角形内角和定理可求出的度数； （2）由等边三角形的性质得，，得到，根据三角形外角的性质得出，根据证明，可得； （3）过点作交于点，可证明是等边三角形，得，再根据证明可得出，进而可得结论． 【详解】 解：（1）∵是等边三角形， ∴， 又， ∴， ∵， ∴； （2）略 （3）过点作交于点，如图， ∵是等边三角形， ∴， ， ∴， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 又， ∴, ∴， ∴． 19．【答案】92 【分析】 根据已知条件证明，可得，再根据，可得，然后证明是等边三角形，是等边三角形，进而根据三角形内角和定理即可解决问题． 【详解】 解：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：92． 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到． 20．【答案】（1） 证明：， ， 垂直平分， ， 为等边三角形；     （2）的度数为     （3）或      【分析】 本题考查线段垂直平分线性质，等边三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、分类讨论，解题的关键是熟练掌握． （1）根据平角的性质得，根据线段垂直平分线性质得，即得是等边三角形； （2）根据垂直平分线的性质可得，即可求解； （3）分当时，当时，两种种情况讨论，解答即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由（1）知，为等边三角形， ， 垂直平分， ； (3) 小问详解： 解：是以为腰的等腰三角形， ∴当时，如下图： ∴， ； 当时，如下图： ∴， 的度数为或． 故答案为：或． 21．【答案】（1） 解：如图所示，即为所求，      （2）     （3） 解：如上图所示，点即为所求，．      【分析】 本题主要考查了作图轴对称变换，轴对称最短路线问题，三角形的面积等知识，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． （1）根据轴对称的性质，即可画出； （2）利用所在的矩形面积减去周围三个三角形面积即可； （3）作点关于轴的对称点，连接交轴于，从而解决问题． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：的面积； (3) 小问详解： 略 22．【答案】（1）55°； （2）△ABD是等边三角形，理由如下： ∵BC平分∠ABD， ∴∠ABE＝∠DBE， ∵AD⊥BC， ∴∠BEA＝∠BED， 在△ABE和△DBE中， ， ∴△ABE≌△DBE（ASA）， ∴AB＝BD， ∵AB＝AD， ∴AB＝AD＝BD， ∴△ABD是等边三角形； （3）4+4． 【分析】 【详解】 （1）将AB绕点A按逆时针旋转40°得线段AD，得∠BAD＝40°，AB＝AD，从而∠ABC＝35°，根据直角三角形的两锐角互余求解即可； （2）易证△ABE≌△DBE（ASA），则AB＝BD，再根据旋转知AB＝AD，从而证明出△ABD是等边三角形； （3）过点F作FH⊥AM于H，在Rt△CHF中，根据直角三角形中30°所对的直角边是斜边的一半和勾股定理可求出CH，HF的长，因为AF平分∠MAN，得∠CAF＝45°，从而AH＝FH＝，可知AC的长，即可求出答案． 【解答】 解：（1）∵将AB绕点A按逆时针旋转40°得线段AD， ∴∠BAD＝40°，AB＝AD， ∴∠ABD＝70°， ∵BC平分∠ABD， ∴∠ABC＝∠ABD＝35°， ∴∠ACB＝90°﹣∠ABC＝90°﹣35°＝55°； （2）略 （3）如图，过点F作FH⊥AM于H， ∵△ABD是等边三角形， ∴∠ABC＝30°， ∴∠ACB=90°﹣∠ABC=60°， ∴∠CFH＝90°﹣∠ACB=30°， ∴CH＝＝2，HF＝， ∵AF平分∠MAN， ∴∠CAF＝45°， ∴AH＝FH＝， ∴AC＝CH+AH＝2+2， ∴BC＝2AC＝4+4． 【点睛】 本题考查旋转性质、等腰三角形性质、角平分线定义、直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，基础知识较多，难度适中，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． 23．【答案】 【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定和性质，含度角的直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，含度角的直角三角形的性质是解题的关键．过点作于点，则，先证明，可得，从而得到，再由含度角的直角三角形的性质可得，，从而得到的长，即可求解． 【详解】 解：过点作于点，则， 在中，，， ，， 为等边三角形， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ，， ∴ ， ， ， ， 解得， ． 故答案为：． 24．【答案】（1） 如图，即为所作．           ；     （2）     （3） 如图，点即为所作． 由图得：．      【分析】 本题考查了作轴对称图形，求网格三角形面积，线段和最小问题等；能根据轴对称的性质熟练作图是解题的关键． （1）根据轴对称的性质作图，并根据图形写出点的坐标，即可求解； （2）用割补法求格点三角形的面积，即可求解； （3）作点关于轴的对称点，连接点与点关于轴的对称点交轴的交点，即可求解． (1) 小问详解： 解：（1）略； (2) 小问详解： 解：． (3) 小问详解： 解：略． 25．【答案】6 【分析】 本题主要考查了等边三角形的判定与性质，首先证明为等边三角形，结合的周长是可得，再根据，是边的三等分点易得，进而可得答案． 【详解】 解：∵为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵的周长是， ∴， ∵，是边的三等分点， ∴， ∴． 故答案为：6． 26．【答案】（1）①；②     （2） 解：结论仍然成立，证明如下： ∵和是等边三角形， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，， 如图2，设交于点， ∵， ∴， ∴．     （3）50      【分析】 本题考查了等边三角形的性质、三角形全等的判定与性质等知识，正确找出两个全等三角形是解题关键． （1）① 先根据等边三角形的性质可得，则可得，再证出，根据全等三角形的性质可得，由此即可得； ② 先根据全等三角形的性质可得，再根据三角形的外角性质即可得； （2）先证出，根据全等三角形的性质可得，，再设交于点，根据对顶角相等、三角形的内角和定理即可得； （3）设交于点，先证出，根据全等三角形的性质可得，，再求出，然后根据四边形的面积等于求解即可得． (1) 小问详解： 解：①，理由如下： ∵和是等边三角形， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴． ②，理由如下： ∵， ∴， ∴． (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：如图3，设交于点， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴，即， ∴， ∴四边形的面积为 ， 所以四边形的面积为50． 27．【答案】③ 【分析】 本题主要考查等腰三角形的性质与判定，等边三角形的判定及线段垂直平分线的性质，熟练掌握等腰三角形的性质与判定，等边三角形的判定及线段垂直平分线的性质是解题的关键；连接，与交于点，由题意易得，，然后依次进行排除选项即可． 【详解】 解：连接，与交于点，如图所示： ∵，，， ∴， ∴垂直平分线段，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故① 错误； 由题意不能得到，所以不一定相等，故② 错误； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形，故③ 正确； 故答案为③ ． 28．【答案】（1） 证明：∵为等边三角形， ∴，， 在和中， ， ∴；     （2）      【分析】 本题考查的是全等三角形的判定和性质， 等边三角形的性质，含30 度角的直角三角形的性质，解题的关键是熟练的掌握全等三角形的判定和性质， 等边三角形的性质，含30 度角的直角三角形的性质． （1）根据等边三角形的性质可得，，即可求证； （2）根据全等三角形的性质可得，从而得到，进而得到，再由直角三角形的性质解答即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由（1）得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 29．【答案】（1）     （2） 理由如下： ∵和是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴；     （3）      【分析】 本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是： （1）根据等边三角形的性质可得出，，，然后根据证明，得出，即可得出结论； （2）同（1）证明，得出，即可得出结论； （3）类似（1）证明，得出，即可求解． (1) 小问详解： 解：如图所示， ∵和是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； (2) 小问详解： 解：略． (3) 小问详解： 解：∵和是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，，， ∴． 30．【答案】（1）； （2）∵， ∴． ∵和分别为等边三角形， ∴， ∴，即， ∴， ∴点G在的垂直平分线上， ∵， ∴点A在的垂直平分线上， ∴垂直平分， ∴点为中点． （3），证明如下： 如图所示，在上截取，连接， ∵ ， ∴， ∴； ∵点为中点， ∴，垂直平分， ∴，， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【分析】 （1）根据三线合一得平分，再利用角平分线的性质即可证明结论； （2）由等腰三角形的性质得，又由等边三角形的性质得，进而得到，，于是证明垂直平分即可证明结论； （3）在上截取，连接，可证明；则由三线合一定理得到，垂直平分，证明是等边三角形，得到，证明，得到，据此可得，再由角性质得到，则． 【详解】 解：（1）∵，点为中点， ∴平分， ∵于点，于点， ∴； （2）略 （3）略 【点睛】 本题主要考查了等边三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，线段垂直平分线的判定，角平分线的性质，全等三角形的性质与判定，角直角三角形的性质等知识点，正确作出辅助线是解题的关键． 31．【答案】① ② ③ ④ 【分析】 本题主要考查了等边三角形和等腰三角形的性质，含角的直角三角形的性质，熟练掌握等腰三角形和等边三角形的性质是解题的关键．连接，根据，，证明是等边三角形，根据等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理，逐项进行判断即可． 【详解】 解：连接，如图     ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ， ∵， ∴，故① 符合题意； ∵， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴， 故② 符合题意； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故③ 符合题意； ，， ， ∵，， ∴， ∵G为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ，， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴，故④ 符合题意； 故答案为：① ② ③ ④ 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 轴对称 5大高频考点概览 考点01 轴对称及其性质 考点02 线段的垂直平分线 考点03 画轴对称的图形 考点04 等腰三角形 考点05 等边三角形 考点01 轴对称及其性质 1．（25-26学年八上·贵州遵义·期中）下列四个图形中，不是轴对称图形的为（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年八上·贵州黔东南州凯里第十中学·期中）在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（　　） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年八上·贵州黔东南苗族侗族自治州凯里凯里学院附属中学·期中）下列各学校的校徽图案是轴对称图形的是（       ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年·贵州贵阳清镇培文学校·期中）下列图标中，是中心对称图形的是（       ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年八上·贵州遵义余庆县·期中）汉字是迄今为止持续使用时间最长的文字，汉字在发展过程中演变出多种字体，给人以美的享受．下面是“最美贵州”四个字的细圆体，其中可以看作是轴对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年八上·贵州黔南布依族苗族自治州平塘县·期中）黔南是云贵高原上一颗璀璨明珠，被誉为“山水黔南”，下列四个汉字中，是轴对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年八上·贵州遵义第十一中学·期中）下列图标是轴对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  8．（2026·贵州安顺·质量检测）以下是四款常用的人工智能大模型的图标，其文字左侧图案是轴对称图形的是（     ） A.  文心一言 B.  ChatGPT C.  DeepSeek D.  纳米AI 9．（25-26学年八上·贵州黔东南苗族·期中）对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，常被运用于建筑、器物、绘画、标识等作品的设计上，使对称之美惊艳了千年的时光．下列四个图案中，不是轴对称图形的是（　　） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年八上·贵州黔东南州·期中）下列图形中，不是轴对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年八上·期中）下列图案中，是轴对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  12．（25-26学年八上·期中）下列图形中，是轴对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  13．（25-26学年八上·贵州凯里第一初级中学·期中）书法是我国特有的优秀传统文化，其中篆书具有象形特征，充满美感．下列“福”字的四种篆书图案中，可以看作轴对称图形的是（       ） A.  B.      C.      D.      14．（25-26学年八上·贵州凯里第一初级中学·期中）如图，把一张长方形纸片的一角沿折叠，使的点D的对应点F落在内部．若，且，则的度数是（       ） A.  B.  C.  D.  15．（25-26学年八上·贵州遵义第十一中学·期中）剪纸是中国古代最古老的民间艺术之一，其中蕴含着图形的变换．如图是一张蕴含着轴对称变换的蝴蝶剪纸，点与点对称，点与点对称，将其放置在直角坐标系中，点，，的坐标分别为，，，则点的坐标为（     ） A.  B.  C.  D.  16．（25-26学年八上·贵州安顺·期中）下列图形中是轴对称图形的是（    ） A.  B.  C.  D.  17．（25-26学年八上·贵州黔西南布依族苗族自治州兴仁屯脚镇屯脚中学·期中）下列运动标识中，是轴对称图形的是（       ） A.  B.  C.  D.  18．（25-26学年八上·贵州遵义第十一中学·期中）如图，将三角形纸片按下面四种方式折叠，则是的高的是（     ） A.  B.  C.  D.  19．（25-26学年八上·贵州安顺紫云苗族布依族自治县第三中学·期中）下列常见的微信表情包中，属于轴对称图形的是（       ） A.  B.  C.  D.  20．（2026·贵州安顺·质量检测）如图把一张纸折起来，用铅笔在上面扎个洞，图1是折起来扎洞的情景，图2是4张展开的纸，其中有一张与图1展开后完全一样，其编号是　　　　　　　　． 21．（25-26学年八上·贵州遵义余庆县·期中）将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，、为折痕，若则为　　　　　度． 22．（25-26学年八上·贵州凯里第一初级中学·期中）如图，的面积为12，，AD平分，若E，F分别是AC，AD上的动点，则的最小值是　　　　　　． 23．（25-26学年八上·贵州黔南布依族苗族自治州平塘县·期中）如图，四边形沿直线对折后重合，连接，交于点，若，则下列结论：；；；．其中正确的是　　　　　．（只填序号） 24．（25-26学年八上·贵州贵阳·期中）春天正值放风筝的美好时节，为了丰富同学们的校园生活，某校七年级开展了“万物‘筝’春·逐梦远方”的风筝节比赛，要求同学们自制风筝积极参赛．如何设计与制作风筝呢？请同学们阅读“勤学小组”的项目实施过程，帮助他们解决项目实施过程中遇到的问题． 项目主题：设计与制作风筝． 项目实施： 任务一：了解风筝 “勤学小组”的同学查阅了有关风筝的历史，种类，结构，制作等方面的资料，同时还收集到如下图的风筝图案，请你帮助他们从中选出不是轴对称图形的风筝图案________． A．         B．         C．         D．    任务二：设计风筝 设计风筝时主要进行风筝面与风筝骨架的设计．“勤学小组”的同学设计好了风筝面，接下来在正方形网格中进行风筝骨架的设计，请你帮助他们以直线为对称轴画出风筝骨架的另一半．    任务三：制作风筝 传统风筝的技艺概括起来四个字：扎、糊、绘、放，简称“四艺”．“勤学小组”的同学准备用竹条扎制如图所示的风筝骨架，已知于点，，，则竹条的长为________．    任务四：放飞风筝 同学们拿着自己设计与制作的风筝进行了试飞，并根据试飞结果对风筝进行了修改完善． 项目反思： 同学们对项目学习的整个过程进行反思，并编写了“简易风筝制作说明书”．请你写出一条在项目实施的过程中用到的数学知识________________． 25．（25-26学年八上·贵州遵义第十一中学·期中）如图①，已知，点A，B为射线，上的一点，连接，点C为中点，连接 （1）【问题发现】如图②，延长至点D，使得，连接，则线段与线段的数量关系为______，位置关系______； （2）【动手操作】作点B关于对称点为E，点A关于的对称点为F，连接，，连接EF，根据题意补全图形，并求的度数； （3）【问题探究】在（2）条件下，探究：线段与线段的数量及位置关系，并说明理由． 考点02 线段的垂直平分线 1．（25-26学年八上·贵州遵义第十一中学·期中）如图，有三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（　　） A. 三条中线的交点处 B. 三条角平分线的交点处 C. 三条高线的交点处 D. 三条边的垂直平分线的交点处 2．（25-26学年八上·贵州西南州兴仁·期中）如图，在中，，的垂直平分线交于点，交于点，的周长为，则的长等于（       ） A. 12 B. 10 C. 8 D. 6 3．（25-26学年八上·贵州黔西南布依族苗族自治州兴仁屯脚镇屯脚中学·期中）如图，，，是某景区临近的三座山的山顶，为了促进当地旅游发展，要在三个山顶组成的三角形平面内修建一个空中观景台．要使这个空中观景台到三个山顶的距离相等，应选择的位置是（    ） A. 各边垂直平分线的交点 B. 中线的交点 C. 高的交点 D. 内角平分线的交点 4．（25-26学年八上·贵州黔东南州·期中）A、B、C三名同学玩“抢凳子”游戏．他们所站的位置围成一个，在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为保证游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在的（　　） A. 三边垂直平分线的交点 B. 三边中线的交点 C. 三个内角角平分线的交点 D. 三边高的交点 5．（25-26学年八上·贵州安顺紫云苗族布依族自治县第三中学·期中）如图，在中，，以为边，作，满足，E为上一点，连接，，连接，下列结论中正确的有（　　） ①；②；③；④． A. ①②③ B. ③④ C. ①④ D. ①③④ 6．（25-26学年八上·贵州遵义余庆县·期中）下列命题的逆命题成立的是（） A. 全等三角形的对应角相等 B. 如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等 C. 若，则 D. 两直线平行，同旁内角互补 7．（25-26学年八上·贵州安顺紫云苗族布依族自治县第三中学·期中）（多选）如图△ABC中，AB，AC的垂直平分线分别交BC于D，E，垂足分别是M，N （1）若BC＝10，求△ADE的周长． （2）若∠BAC＝100°，求∠DAE的度数． 8．（25-26学年八上·贵州黔东南州凯里第十中学·期中）命题“如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等”的逆命题　　　　　　．（填写“成立”或“不成立”） 9．（25-26学年八上·贵州黔东南州凯里第十中学·期中）两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，如图，四边形是一个筝形，其中，，“飞扬”数学兴趣小组在探究筝形的性质时，还得出以下结论： ①平分与； ②，； ③四边形的面积； ④． （1）以上结论请你任选一个进行证明； （2）若点O到四边形四条边的距离相等，请你判断筝形四条边的数量关系，并简要说明理由（提示：可以直接用题中的结论）． 10．（25-26学年·贵州贵阳清镇培文学校·期中）如图，在中，，垂直平分．则的周长为　　　　　　． 11．（25-26学年八上·贵州遵义余庆县·期中）如图，直线m是△ABC中BC边的垂直平分线，点P是直线m上的一动点，若AB=5，AC=4，BC=6，则△APC周长的最小值是　　　　　　　　． 12．（25-26学年八上·贵州凯里第一初级中学·期中）如图，在中，，． （1）尺规作图： ①作边的垂直平分线交于点D； ②作的角平分线交于点E；（要求：保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）所作的图中，求的度数． 13．（25-26学年八上·贵州西南州兴仁·期中）如图，在四边形中，，E为的中点，连接并延长交的延长线于点F． （1）求证：； （2）连接，当时，，，求的长． 14．（25-26学年八上·贵州西南州兴仁·期中）已知，如图，是平分线上的一点，，，垂足分别为，．求证： （1）； （2）是的垂直平分线． 15．（25-26学年八上·贵州安顺·期中）如图，在中，，垂直平分，交于点，交于点，且，连接． （1）求证：； （2）若的周长为，，求的长． 16．（25-26学年八上·贵州黔西南布依族苗族自治州兴仁屯脚镇屯脚中学·期中）命题“如果，，那么”的逆命题是　　　　　　　　　　　　　　　　．它是　　　　　　　　命题（填“真”或“假”）． 17．（25-26学年八上·贵州安顺紫云苗族布依族自治县第三中学·期中）如图，在中，是的垂直平分线，，周长为，则的周长为　　　　． 18．（25-26学年八上·贵州遵义·期中）如图，在中，，，，，平分，分别是、边上的动点，求的最小值　　　　　　　　　　　． 19．（25-26学年八上·贵州黔东南州凯里第十中学·期中）尺规作图是指用无刻度的直尺和圆规来解决不同平面几何作图题的方法，且只准许进行有限次操作．请按照要求，完成如下尺规作图：（不写作法，保留作图痕迹） （1）如图1，已知，请作出的平分线； （2）如图2，已知线段，请作出的垂直平分线； （3）如图3，电信部门要在S区修建一座电视信号发射塔，按照设计要求，发射塔到两个城镇A，B的距离必须相等，到两条高速公路m和n的距离也必须相等，发射塔应修建在什么位置？在图上标出它的位置． 20．（25-26学年八上·贵州黔东南苗族侗族自治州凯里凯里学院附属中学·期中）如图，电信部门要在S区修建一座电视信号发射塔E．按照设计要求，发射塔与两个城镇A，B的距离相等，到两条高速公路和的距离也相等．发射塔E应修建在什么位置？在图上标出发射塔E的位置．（保留作图痕迹，不写作法） 21．（25-26学年八上·贵州遵义余庆县·期中）如图，在中，，是的垂直平分线，分别交，于点D，E，连接．求证： （1）是等边三角形； （2）垂直平分． 22．（25-26学年八上·贵州西南州兴仁·期中）如图，在中，，D是上的一点，过点D作的垂线交于点E，，连接，，交于点P． （1）求证∶平分； （2）若，判断的形状． 23．（25-26学年八上·贵州黔西南布依族苗族自治州兴仁屯脚镇屯脚中学·期中）如图，已知在中，． （1）请用尺规作图法，在上求作一点，连接，使；（保留作图痕迹，不写作法） （2）请用尺规作图法，在边上求作一点，连接，使．（保留作图痕迹，不写作法） 考点03 画轴对称的图形 1．（25-26学年八上·贵州安顺紫云苗族布依族自治县第三中学·期中）在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年八上·贵州毕节金沙县·期中）在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年八上·贵州遵义桐梓县·期中）在平面直角坐标系中，点关于x轴的对称点的坐标是（     ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年八上·贵州遵义余庆县·期中）在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为（       ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年八上·贵州凯里第一初级中学·期中）在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是（     ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年八上·贵州黔南布依族苗族自治州平塘县·期中）在平面直角坐标系中，点与点关于轴对称，则（     ） A.  B.  C. 1 D. 5 7．（25-26学年八上·贵州贵阳修文县·期中）若点与点关于y轴对称，则（     ） A.  B. 2025 C.  D. 1 8．（25-26学年八上·贵州黔东南苗族侗族自治州凯里凯里学院附属中学·期中）如图，在的正方形网格中，已有三个小正方形被涂黑，若将剩余的白色小正方形再涂黑一个，使得到的图形是轴对称图形，满足条件的涂法有（     ） A. 1种 B. 2种 C. 3种 D. 4种 9．（25-26学年八上·贵州贵阳第三十九中学·期中）已知点的坐标为关于轴对称的点的坐标为（       ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年八上·贵州六盘水·期中）如图，在平面直角坐标系中，对进行循环往复的轴对称变换，若原来点的坐标是，则经过第2025次变换后点的对应点的坐标为（   ） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年八上·贵州安顺·期中）若点和点关于x轴对称，则点在（       ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 12．（2026·贵州安顺·质量检测）若点与点关于轴对称，则（       ） A.  B. 0 C. 1 D.  13．（25-26学年八上·期中）在平面直角坐标系中，点关于直线对称的点的坐标是（     ） A.  B.  C.  D.  14．（八上·贵州专用·期中）已知点和关于对称，则的值为（       ） A. 0 B.  C. 1 D.  15．（25-26学年八上·贵州黔东南州凯里第十中学·期中）点关于轴对称的点的坐标为　　　　　． 16．（25-26学年八上·贵州西南州兴仁·期中）一辆汽车的车牌号在水中的倒影是 ，那么它的实际车牌号是：　　　　　　． 17．（25-26学年八上·期中）在平面直角坐标系中，已知，作点A关y轴的对称点，再将向下平移4个单位长度得到，则的坐标是　　　　　　　　　． 18．（25-26学年八上·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）请在图中画出关于轴对称的△； （2）请直接写出点、、的坐标． 19．（25-26学年八上·贵州黔东南州凯里第十中学·期中）按要求完成：（画图或作图时请保留作图痕迹，不写作法、画法） （1）画出关于轴对称的图形（点A、C分别对应、）； （2）请在y轴上找出一点P，满足线段的值最小； （3）求的面积． 20．（25-26学年八上·贵州毕节金沙县·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为． （1）画出关于轴对称的；（点的对应点分别是点）； （2）直接写出点的坐标． 21．（25-26学年八上·贵州遵义桐梓县·期中）如图，平面直角坐标系中，，，，过点作x轴的垂线l． （1）作出关于直线l的轴对称图形； （2）直接写出（______，______），（______，______），（______，______）； （3）在内有一点，则点P关于直线l的对称点的坐标为（______，______）（结果用含m，n的式子表示）． 22．（25-26学年八上·贵州毕节织金县思源实验学校·期中）如图所示，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． （1）在图中画出关于轴对称的图形； （2）在图中，点与点关于轴成轴对称，则点的坐标是______． （3）求的面积． 23．（25-26学年八上·贵州凯里第一初级中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为． （1）请写出关于y轴对称的的各顶点的坐标，______，______，______； （2）请画出关于y轴的对称图形； （3）已知点，直线轴，求点P的坐标． 24．（25-26学年八上·贵州遵义第十一中学·期中）在平面直角坐标系中，点与点B关于x轴对称，则点B的坐标是　　　　　　． 25．（25-26学年八上·贵州西南州兴仁·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为． （1）画出关于y轴对称的，并写出的坐标； （2）将向右平移8个单位，画出平移后的，求的面积； 26．（25-26学年八上·贵州安顺·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别为，，． （1）作出与关于x轴对称的； （2）在x轴上找一点M，使点M到A，B两点的距离之和最小，在图中标出点M的位置．（不写作法，保留作图痕迹） 27．（25-26学年八上·贵州黔西南布依族苗族自治州兴仁屯脚镇屯脚中学·期中）若点与点关于轴对称，则　　　　　　　　　　． 28．（25-26学年八上·贵州黔东南苗族·期中）已知点A的坐标为，则点A关于y轴对称的点的坐标是　　　　　　　　． 29．（25-26学年八上·期中）已知：方格纸中的每个小方格都是边长为个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，的顶点均在格点上，点的坐标为． （1）请以轴为对称轴，画出与对称的； （2）点与点关于轴对称，则______，______． （3）如果要使与全等，那么不同于点的格点的坐标是______． 30．（八上·贵州专用·期中）如图，三个顶点的坐标分别为，，． （1）请画出关于y轴对称的图形，并写出，，的坐标； （2）求的面积． 31．（八上·贵州专用·期中）如图，点与点关于直线（过点，且与轴平行的直线）对称，则　　　　　　． 32．（25-26学年八上·贵州遵义·期中）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别是，． （1）在平面直角坐标系中画出关于轴对称的，并写出的坐标； （2）求的面积． 33．（25-26学年八上·贵州安顺紫云苗族布依族自治县第三中学·期中）如图，三个顶点的坐标分别为，，． （1）请画出关于轴成轴对称的图形，并写出、、的坐标； （2）求的面积． 34．（25-26学年八上·贵州北京师范大学贵阳附属中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，有A，B，C三点． （1）若与关于y轴对称．请在图中画出； （2）依次写出，，坐标，________，________，________； （3）若点关于x轴的对称点为，则的坐标是________． 35．（25-26学年八上·贵州六盘水·期中）如图，在平面直角坐标系中，解答下列问题： （1）若各顶点的横坐标不变，纵坐标都乘，请你在同一平面直角坐标系中描出对应的点，并依次连接这三个点，所得的与有怎样的位置关系？ （2）求的面积； （3）已知为轴上一点，若的面积是的面积的倍，求此时点的坐标． 36．（25-26学年八上·贵州遵义余庆县·期中）已知点． （1）若点关于x轴对称，求的值； （2）若点关于y轴对称，求的值． 37．（25-26学年八上·贵州遵义余庆县·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为． （1）画出关于y轴对称的图形，并写出的三个顶点的坐标； （2）画出关于x轴对称的图形； （3）连接，求四边形的面积． 38．（25-26学年八上·贵州遵义第十一中学·期中）如图，已知四边形的顶点坐标分别为，，， （1）画出四边形关于l对称的四边形，并写出顶点坐标； （2）求四边形的面积； （3）若点P是直线l上一点，当时，求点P的坐标． 39．（25-26学年八上·贵州黔西南布依族苗族自治州兴仁屯脚镇屯脚中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点上，点的坐标为． （1）画出关于轴对称的并求的面积； （2）在轴上找一点，使的和最小．（找出点即可，不用求点的坐标） 40．（25-26学年八上·贵州贵阳·期中）已知点，，试根据下列条件求出，的值． （1），两点关于轴对称； （2），两点关于轴对称； （3）轴． 41．（2026·贵州安顺·质量检测）如图，在平面直角坐标系中，点，，． （1）在图中画出边上的中线，并写出点的坐标． （2）在图中画出边上的高，并写出点的坐标． （3）在图中画出线段关于轴对称的图形． 42．（25-26学年八上·贵州黔东南苗族·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点的坐标分别为，，． （1）画出关于y轴的对称图形及关于x轴的对称图形； （2）求出的面积． 43．（25-26学年八上·贵州黔东南州·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）在图中作出关于x轴的对称图形； （2）直接写出的面积_______． （3）在y轴上找一点P，使得周长最小．（保留作图痕迹） 44．（25-26学年八上·贵州遵义·期中）在平面直角坐标系中，对点作如下变换：若，作点关于轴的对称点；若，作点关于轴的对称点，我们称这种变换为“变换”．例如：点作“变换”后的坐标为点作“变换”后的坐标为． （1）点作“变换”后的坐标为___________；点作“变换”后的坐标为___________； （2）已知点，，在所在直线下方作以为直角边的等腰直角三角形，若点是点作“变换”后对应的点，其中，求的值； （3）已知点，，，其中，且点，作“变换”后对应的点分为两点，，求的值． 考点04 等腰三角形 1．（25-26学年八上·贵州安顺·期中）如图，在中，，于点，若，则（     ）； A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年八上·贵州遵义·期中）已知等腰三角形的一个内角为，则顶角的度数是（     ） A.  B.  C. 或 D. 或 3．（25-26学年八上·贵州安顺紫云苗族布依族自治县第三中学·期中）如图，在中，的垂直平分线相交于点，若，则的度数是（       ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年八上·贵州黔东南州凯里第十中学·期中）如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，且分别交BC，AC于点D和E，∠B＝60°，∠C＝25°，则∠BAD为（       ） A. 50° B. 70° C. 75° D. 80° 5．（25-26学年八上·贵州黔东南苗族侗族自治州凯里凯里学院附属中学·期中）下列命题中，其逆命题不是真命题的是（     ） A. 全等三角形的对应角相等 B. 等腰三角形的两个底角相等 C. 两直线平行，同位角相等 D. 角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上 6．（25-26学年八上·贵州遵义余庆县·期中）如图，屋顶钢架外框是等腰三角形，其中，工人师傅在焊接立柱时，只用找到的中点D，就可以说明竖梁垂直于横梁了，工人师傅这种操作方法的依据是（       ） A. 等边对等角 B. 等角对等边 C. 垂线段最短 D. 等腰三角形“三线合一” 7．（25-26学年八上·贵州凯里第一初级中学·期中）如图，在中，，线段AC的垂直平分线分别交于E、D两点，判断以下结论正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年八上·贵州西南州兴仁·期中）如图，在中，，是的高，若，，则=（     ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年八上·贵州安顺·期中）下列命题的逆命题是假命题的是（       ） A. 角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上 B. 等腰三角形的两底角相等 C. 有两边相等的三角形是等腰三角形 D. 两个全等三角形的面积相等 10．（2026·贵州安顺·质量检测）如图，这是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图，其中，分别表示一楼、二楼地面的水平线．若，的长是，则乘电梯从点到点上升的高度是（       ） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年八上·贵州黔东南苗族·期中）某帐篷撑起后如图1，为更好地将帐篷固定，需在四个角分别另加一根固定绳索，从正面看如图2所示，测得，，则的度数为（     ） A.  B.  C.  D.  12．（25-26学年八上·贵州黔东南州·期中）如图，在格点中找一点，使得是等腰三角形，且为其中的一条腰，这样的点一共有（       ） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 13．（25-26学年八上·期中）如图，在中，，是边上的高，，若 ，则的长为（     ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 14．（25-26学年八上·期中）如图，在中，，，分别是的中线和角平分线．若，则的度数为（     ） A.  B.  C.  D.  15．（25-26学年八上·贵州遵义·期中）如图，在中，点在上，连接；过点作交于点D，交于点，且，在上取一点，使，则下列三个结论：①；②；③，其中正确的结论是（     ） A. ①②③ B. ①② C. ②③ D. ①③ 16．（25-26学年八上·贵州遵义·期中）如图，在中，，垂足为点，垂直平分，交于点，交于点，连接，若，的周长为20，，则的长为（     ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 17．（25-26学年八上·贵州黔东南苗族侗族自治州凯里凯里学院附属中学·期中）如图，在中，，，平分，点是上的一点，连接，若，则的度数为（       ） A.  B.  C.  D.  18．（25-26学年八上·贵州遵义桐梓县·期中）已知等腰三角形的一内角度数为40°，则它的顶角的度数为(　　) A. 40° B. 80° C. 100° D. 40°或100° 19．（25-26学年八上·贵州遵义桐梓县·期中）如图，在中AB＝AC，BC=4，面积是20，AC的垂直平分线EF分别交AC、AB边于E、F点，若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则周长的最小值为（       ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 20．（25-26学年八上·贵州凯里第一初级中学·期中）如图，在中，，点D是的中点，过点D作交于E点．且，，则的长是（       ） A.  B.  C.  D.  21．（25-26学年八上·贵州凯里第一初级中学·期中）如图，在中，，，以点A为圆心，小于的长为半径画弧，分别交于，于M，N，分别以M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连接并延长于点D，下列结论错误的是（       ） A. 平分 B.  C.  D.  22．（25-26学年八上·贵州黔南布依族苗族自治州平塘县·期中）若等腰三角形的一个角是，则该等腰三角形的顶角的度数是（     ） A.  B.  C. 或 D.  23．（25-26学年八上·贵州遵义第十一中学·期中）如图，已知在，若以点为圆心，长为半径画弧，交腰于点，则下列结论一定正确的是（） A.  B.  C.  D.  24．（25-26学年八上·贵州遵义第十一中学·期中）如图，在中，，点是边上的任意一点，则的长不可能是（     ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 25．（25-26学年八上·贵州黔东南苗族·期中）如图，在中，，，点D是上的一点，将沿翻折得到，边交于点，若，则的度数为（     ） A.  B.  C.  D.  26．（25-26学年八上·贵州黔东南苗族·期中）如图，在中，D为内一点，平分，，垂足为D，交于点E，．若，，则的长为（　　） A. 1 B.  C. 2 D.  27．（25-26学年八上·贵州黔东南州·期中）如图，中，，，为平面上一点，连接，点为中点，连接、、、，，且，若，则的面积为（     ） A. 3 B. 2 C.  D.  28．（25-26学年八上·贵州黔东南州·期中）如图，，点D在上．若，则的度数是（       ） A.  B.  C.  D.  29．（25-26学年八上·期中）如图，在中，，，和的平分线交于点E，过点E作分别交于M、N，则的周长为（     ） A. 10 B. 6 C. 4 D. 不确定 30．（25-26学年八上·贵州黔东南苗族·期中）如图，在中，，点为线段上一动点（不与点，重合），连接，作，交线段于点，下列结论：①；②若，则；③当时，则为中点；④当为等腰三角形时，；其中正确的有（     ） A. ①②③ B. ②③④ C. ①③④ D. ①②③④ 31．（25-26学年八上·贵州安顺·期中）已知等腰三角形的顶角为，则这个等腰三角形的底角度数为　　　　　　． 32．（25-26学年八上·贵州黔东南苗族侗族自治州凯里凯里学院附属中学·期中）已知等腰三角形的一个角为42°，则它的底角度数为　　　　　　　． 33．（25-26学年八上·贵州遵义桐梓县·期中）如图，，垂直平分线段于点D，的平分线交于点E，连接，则的度数是　　　　　　　　　． 34．（25-26学年八上·贵州遵义余庆县·期中）如图，灯塔C在海岛A的北偏东方向，某天上午8点，一条船从海岛A出发，以15海里/时的速度由西向东方向航行，10时整到达B处，此时，测得灯塔C在B处的北偏东方向． （1）求B处到灯塔C的距离； （2）已知在以灯塔C为中心，周围16海里的范围内均有暗礁，若该船继续由西向东航行，是否有触礁的危险？请你说明理由． 35．（25-26学年八上·贵州遵义余庆县·期中）如图，一架梯子斜靠在墙上，梯子顶端与墙的夹角，梯子的长为，则梯子底端与墙角的距离的长为　　　　　　　　　 ． 36．（25-26学年八上·贵州凯里第一初级中学·期中）如图，在中，，，则　　　　　　°． 37．（25-26学年八上·贵州黔南布依族苗族自治州平塘县·期中）如图，上午9时，一艘船从海岛出发，以18海里/时的速度向正北航行，11时到达海岛处，分别从海岛，望灯塔，测得，．求海岛到灯塔的距离． 38．（25-26学年八上·贵州西南州兴仁·期中）如图，在等腰 中，，，点 D 在上，且 ，求的度数． 39．（25-26学年八上·贵州西南州兴仁·期中）如图，在中，，，平分交于点D．过点A作，交的延长线于点E． （1）求的度数； （2）判断的形状，并说明理由． 40．（25-26学年八上·贵州安顺·期中）如图，在△ABC中，，AD为BC边上的中线，E为AC上一点，且，，求∠CDE的度数． 41．（2026·贵州安顺·质量检测）如图，是等腰三角形，，，是的中点． （1）求的度数． （2）求的度数． （3）若，试说明：． 42．（25-26学年八上·期中）如图，在中，线段的垂直平分线交于点E，交于点D，交延长线于点F，连接． （1）求证：； （2）当，时，求的度数． 43．（25-26学年八上·期中）如图，在中，平分，于点E，于点F，．求证：． 请你补全下述证明过程： 证明：∵平分，； ∴．（依据：__________________________） ∵，， ∴． 在和中， ∴（依据：） ∴． ∴__________=__________．（依据：等角对等边） 又∵平分 ∴．（依据：__________________________） 44．（25-26学年八上·贵州遵义·期中）如图，是的平分线，，垂足为点，交的延长线于点，已知平分，．若，则的长为　　　　　　　　　　　． 45．（25-26学年八上·贵州安顺紫云苗族布依族自治县第三中学·期中）如图，已知和，与交于点P，点C在上． （1）试说明：； （2）若．求的度数． 46．（25-26学年八上·贵州黔东南苗族侗族自治州凯里凯里学院附属中学·期中）如图，在中，，点是上的一点，过点作，交于点，延长和交于点 （1）求证： （2）若，，是的中点，求的长． 47．（25-26学年八上·贵州遵义桐梓县·期中）如图，在中，，D，E分别是上的点，且，的垂直平分线交于点F，交于点G，连接． （1）求证：； （2）若四边形的周长为14，，求线段的长． 48．（25-26学年八上·贵州遵义余庆县·期中）已知，于点，平分，交于点． （1）如图1，若，，则______； （2）如图2，点为上一点，连接，，，求的长； （3）如图3，过点作于点，点在上，点在上，，试判断，，这三个角之间的数量关系，并说明理由． 49．（25-26学年八上·贵州凯里第一初级中学·期中）如图1，在和中，，，，且点B，A，D在一条直线上，连接，． （1）求证：； （2）在图1的基础上，将绕点A按顺时针方向旋转，使D点落在线段AB上，其他条件不变，得到图2所示的图形，且点M，N分别为，的中点，依次连接点A、M、N得到，判断的形状，并说明理由． 50．（25-26学年八上·贵州黔南布依族苗族自治州平塘县·期中）如图，，点在边上，和相交于点． （1）若，则的度数为_____； （2）若，．求证：平分． 51．（25-26学年八上·贵州黔南布依族苗族自治州平塘县·期中）已知在中，是的平分线． （1）若，，求的度数； （2）若，试猜想线段，，之间的数量关系，并说明理由． 52．（25-26学年八上·贵州遵义第十一中学·期中）如图，在中，，，点D，E在上，且，过点D作交的延长线于点F，连接 （1）若，求证：为等腰三角形； （2）在（1）的条件下，若，求四边形的面积． 53．（25-26学年八上·贵州遵义第十一中学·期中）如图，小明想测量塔高的长度，如下是他的测量步骤（小明的身高忽略不计，且塔楼不阻碍通行）； ①选取塔的顶端作为参照点A； ②地面直线l上取测量点C，在C处用工具测得； ③沿射线的方向行走至测量点D，点D和点C在塔的两侧并在D处用工具测得； ④测得行走距离米． 【解决问题】请你根据小明的测量步骤，求出塔高的长度． 54．（25-26学年八上·贵州遵义第十一中学·期中）如图，在中，，，延长到，连接，且，则的度数为　　　　　　． 55．（25-26学年八上·贵州遵义第十一中学·期中）如图①，是直角三角形，． （1）【动手操作】画出的角平分线与的垂直平分线，与交于点．请在如图①所示的直角三角形中，请利用尺规作图找出点E的位置；（保留作图痕迹，不要求写作法） （2）【特例探究】如图②所示，若C，D，E共线时，则的度数为______； （3）【拓展探究】如图③，若点E在边上时，求的度数并探究：与的数量关系，并说明理由． 56．（25-26学年八上·贵州西南州兴仁·期中）在中，分别平分，过点D作直线平行于，分别交于点E、F，若，则线段的长是　　　　　　　． 57．（25-26学年八上·贵州西南州兴仁·期中）已知一个等腰三角形的周长是13cm，若其中一边长为3cm，则另外两边长分别是　　　　　　　　 58．（25-26学年八上·贵州安顺·期中）如图，灯塔C在海岛A的北偏东75°方向，某天上午8点，一条船从海岛A出发，以18海里/时的速度由西向东方向航行，10时整到达B处，此时，测得灯塔C在B处的北偏东60°方向． （1）求B处到灯塔C的距离； （2）已知在以灯塔C为中心，周围17海里的范围内均有暗礁，若该船继续由西向东航行，是否有触礁的危险？请你说明理由． 59．（25-26学年八上·贵州黔西南布依族苗族自治州兴仁屯脚镇屯脚中学·期中）如图，在中，，． （1）求的度数； （2）求证：； （3）若，求的长． 60．（2026·贵州安顺·质量检测）阅读与思考 数学课上，老师提出了如下问题，巧用中线构造全等数学问题 ×年×月×日   星期日   晴巧用中线构造全等数学问题数学课上，老师提出了如下问题：如图1，在中，是边上的中线，，，求边的取值范围． 解决问题：我通过小组交流，得到了如下解决方法：如图2，延长至点，使，连接．是边上的中线，．在和中，，，．，．……解后反思：题目中出现“中点”“中线”等条件时，可以通过倍长中线构造全等三角形，从而将已知线段和角进行转化． 任务： （1）小亮判断的依据是________． （2）如图3，在中，是边上的中线，，，若的长为奇数．请你根据小亮的思路求出边的长． 迁移应用： （3）如图4，是的中线，在边上取一点，连接，交于点，若，，，求的度数． 61．（25-26学年八上·贵州黔东南苗族·期中）如图，在三角形中，点D是上一点，且．，求的度数． 62．（25-26学年八上·贵州黔东南苗族·期中）如图，在中，，，平分交于点D．若，求的长度． 63．（25-26学年八上·贵州黔东南苗族·期中）在中，，是的高，是的角平分线，求的度数． 64．（25-26学年八上·贵州黔东南苗族·期中）如图，点P为内一点，过点P的线段分别交，于点M，N，且M，N分别在，的垂直平分线上．若，则的度数为　　　　　　　　． 65．（25-26学年八上·贵州黔东南州·期中）如图，平分，，，于点． （1）求证：； （2）若，求的长 ． 66．（25-26学年八上·贵州黔东南州·期中）如图，已知． （1）请在图中画出的三条高、、； （2）若，，求的长． 67．（25-26学年八上·期中）如图，在等腰三角形中，，，点为线段上一点，，，若，则的值为　　　　　　　　． 68．（25-26学年八上·期中）如图，在中，与的平分线交于点，过点作，分别交、于点、．若，则的周长是　　　　　　　． 69．（25-26学年八上·贵州黔南布依族苗族自治州平塘县·期中）如图，和都是等腰直角三角形，． （1）如图1，当点在线段上时，连接，则，的度数为_____． （2）如图2，连接，，相交于点，交于点，交于点，试探究，之间有怎样的关系？并说明理由． （3）如图3，连接，，若，，求四边形的最大面积． 70．（25-26学年八上·贵州黔东南苗族·期中）阅读理解，自主探究： “一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角角度为，于是有三组边相互垂直．所以称为“一线三垂直模型”．当模型中有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形． 图1                              图2                            图③ （1）问题解决：如图1，在等腰直角中，，，过点C作直线，于D，于E，求证：； （2）问题探究：如图2，在等腰直角中，，，过点C作直线，于D，于E，，，求的长； （3）拓展延伸：如图3，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，第一象限内是否存在一点P，使为等腰直角三角形？如果存在，请求出点P的坐标． 考点05 等边三角形 1．（25-26学年八上·贵州黔东南苗族侗族自治州凯里凯里学院附属中学·期中）如图，在等边中，，平分，点在的延长线上，且．则的长是（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年八上·贵州遵义桐梓县·期中）如图，是等边三角形，D是线段上一点（不与点B，C重合），连接，点E，F分别在线段的延长线上，且，点D从B运动到C的过程中，周长的变化规律是（       ） A. 不变 B. 一直变小 C. 先变大后变小 D. 先变小后变大 3．（25-26学年八上·贵州安顺·期中）如图，等边三角形的边长为4，是边上的中线，F是上的动点，E是上一点．若，当取最小值时，则的度数为（       ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年八上·贵州黔西南布依族苗族自治州兴仁屯脚镇屯脚中学·期中）下列三角形中，不一定是等边三角形的是（     ） A. 三个角都相等的三角形 B. 有两个角等于的三角形 C. 一边上的高也是该边上的中线的三角形 D. 有一个角等于的等腰三角形 5．（2026·贵州安顺·质量检测）如图，已知：在中，，，在直线上找一点D，使或为等腰三角形，则符合条件的点D的个数有（       ） A. 7个 B. 6个 C. 5个 D. 4个 6．（25-26学年八上·贵州黔东南苗族·期中）如图，直线，是等边三角形．若，则的大小为（　　） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年八上·期中）如图，等边的边，点是的中点，点为延长线上一点，若，则的长为（       ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年八上·贵州遵义·期中）如图，，点在射线上，点在射线上，均为等边三角形，若，则的边长为（     ） A. 12 B. 24 C. 27 D. 30 9．（25-26学年八上·贵州黔东南苗族侗族自治州凯里凯里学院附属中学·期中）如图，已知，点D是的平分线上的一个定点，点分别在射线和射线上，且，下列结论：①是等边三角形；②当时，的周长最小；③当时，，其中正确的个数是（       ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 10．（25-26学年八上·贵州黔东南苗族侗族自治州凯里凯里学院附属中学·期中）如图，等腰的底边，面积为，腰的垂直平分线分别交、于点E、F，若D为边的中点，M为线段上一动点，则周长的最小值是（       ）． A. 8 B. 10 C. 12 D. 14 11．（25-26学年八上·贵州凯里第一初级中学·期中）如图，为等边三角形，点D是直线上一点，连接，以为边作等边，连接，下面结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（       ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 12．（25-26学年八上·贵州黔南布依族苗族自治州平塘县·期中）如图，在中，，，的垂直平分线交于点，垂足为，若，则的长为（     ） A. 5 B.  C.  D.  13．（25-26学年八上·贵州黔东南州·期中）如图，等边的边长为4，是边上的中线，是边上的动点，是边上一点，若，当取得最小值时，则的度数为（     ） A.  B.  C.  D.  14．（2026·贵州安顺·质量检测）如图，已知，点D是的平分线上的一个定点，点E，F分别在射线和射线上，且，下列结论：①是等边三角形；②四边形的面积是一个定值；③当时，的周长最小；④当时，，其中正确的个数是（     ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 15．（25-26学年八上·贵州遵义·期中）如图，在中，，，于，的平分线分别交，于点． （1）若，求的长； （2）判断的形状并说明理由． 16．（25-26学年八上·贵州凯里第一初级中学·期中）如图，在等边中，与的角平分线交于点O，交于点D，且交于点E． （1）是判断的形状，并说明理由． （2）若，求的周长． 17．（25-26学年八上·贵州黔东南州·期中）将含的直角三角板直角顶点放置在直尺的一边上，，与直尺的交点分别为点，，，如图．若点，对应的刻度分别为，，，则的长是　　　　　　cm． 18．（25-26学年八上·贵州遵义·期中）小新在学习完等边三角形后，想进一步探究等边三角形的性质，设计了等边三角形中的双动点问题．已知，在等边三角形中，分别为边上的动点，且不与端点重合，连接． 【初步探究】 （1）如图1，当时，求的度数； 【深入探究】 （2）如图2，当在移动时，若始终保持，在的右侧作，交于．求证：； 【知识迁移】 （3）如图3，若，在运动时始终保持，在的右侧作，且，连接，试判断的数量关系，并证明你的结论． 19．（25-26学年八上·贵州黔东南州凯里第十中学·期中）如图，在，，为上的一点，，在的右侧作，使得，，连接、，交于点，若，则的度数为　　　　　　． 20．（25-26学年八上·贵州黔东南苗族侗族自治州凯里凯里学院附属中学·期中）已知：，垂直平分． （1）求证：为等边三角形； （2）求的度数； （3）若点在射线上，当是以为腰的等腰三角形时，则的度数________． 21．（25-26学年八上·贵州黔东南苗族侗族自治州凯里凯里学院附属中学·期中）在平面直角坐标系中，已知，，，． （1）画出关于轴对称的，并写出点的坐标． （2）求的面积． （3）在y轴上找一点P（保留作图痕迹），使的值最小，请写出点P的坐标． 22．（25-26学年·贵州贵阳清镇培文学校·期中）（多选）已知∠MAN＝90°，B是AN上的一点，线段AD是线段AB绕点A按逆时针旋转一定角度后的线段，连接BD，∠ABD的平分线交AM于点C，交AD于点E． （1）如图①，若将AB绕点A按逆时针旋转40°，求∠ACB的度数； （2）如图②，若将AB绕点A按逆时针旋转后使得AD⊥BC，垂足为E，判断△ABD的形状，并说明理由； （3）在（2）的条件下过点A作∠CAB的平分线交CB于点F，如图③所示，若CF＝4，求此时BC的长． 23．（25-26学年八上·贵州遵义桐梓县·期中）如图，中，，，等边三角形的三个顶点分别落在，，上，若，，则的长为　　　　　　． 24．（25-26学年八上·贵州黔南布依族苗族自治州平塘县·期中）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． （1）请画出与关于轴对称的，并写出点，的坐标； （2）请求出的面积； （3）在轴上求作一点，使点到，两点的距离之和最小，请在图中标出点，并直接写出点的坐标为_____． 25．（25-26学年八上·贵州黔南布依族苗族自治州平塘县·期中）如图，在等边三角形纸片中，，是边的三等分点，分别过点，沿着平行于，方向各剪一刀，若剪下的的周长是，则的长为　　　　　． 26．（25-26学年八上·贵州西南州兴仁·期中）如图1，点C在线段上，（点C不与A、B重合），分别以、为边在同侧作等边三角形和等边三角形，连接、交于点P． （1）观察猜想 ①与的数量关系； ②的度数． （2）数学思考 如图2，当点C在线段外时，（1）中的结论①、②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明； （3）拓展应用 如图3，点E为四边形内一点，且满足，，，对角线、交于点P，，则四边形的面积． 27．（2026·贵州安顺·质量检测）如图，在等腰中，，，于点，是延长线上的一点，是线段上的一点，，下面的结论：①；②；③是等边三角形．其中正确的是　　　　　　　　．（填序号） 28．（25-26学年八上·贵州黔东南苗族·期中）如图，是等边三角形，点D、E分别在上，且，与相交于点F，作垂足为G，． （1）求证：； （2）求的长． 29．（25-26学年八上·贵州黔东南州凯里第十中学·期中）综合与实践：已知点D是等边的边或其延长线上的点． （1）【操作判断】如图1，当点D是等边的边上的中点时，请在边的右侧作等边，连接，并判断图中，和之间的数量关系是               ； （2）【问题探究】如图2，已知和都是等边三角形，当点D在上时，连接．请探究，和之间的数量关系，并说明理由； （3）【拓展延伸】如图3，已知和都是等边三角形，当点D在线段的延长线上时，连接．若，，请求出的长． 30．（25-26学年八上·贵州黔东南苗族侗族自治州凯里凯里学院附属中学·期中）【活动初探】 在学习第十五章《轴对称》数学活动3时，我们利用等腰三角形的轴对称发现等腰三角形中有许多相等的线段或角，因此利用图形的轴对称性可以探究图形中边与角的数量关系 （1）如图1，在中，，点为中点，于点，于点F，请直接写出与的数量关系：                         ． 【变式再探】 （2）如图2，在中，，和分别为等边三角形，与相交于点，连接并延长，交于点，求证：点为中点． 【类比深探】 （3）在中，，点为中点，，点为直线上一动点，点为射线上一动点（点不与点重合），，连接．如图3，当点F在点A上方时，猜想并证明的数量关系． 31．（25-26学年八上·贵州西南州兴仁·期中）如图，在中，，，于D，E是线段上一点，F是边上一点，且满足，G是的中点，连接．则下列四个结论①；②；③；④当时，．其中正确的有　　　． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $