3.3整式的加减（分层作业，31大题型）数学新教材苏科版七年级上册

分层作业 3.3 整式的加减 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 单项式概念 题型02 单项式的系数、次数 题型03 多项式的概念 题型04 判断多项式的项与次数 题型05 多项式的升降幂排列 题型06 同类项的概念辨析 题型07 合并同类项 题型08 去括号 题型09 整式的加减运算 题型10 整式加减的应用 B组 能力进阶 题型01 根据多项式的概念求参 题型02 整式的判断 题型03 根据同类项的概念求参或求值 题型04 先合并同类项，再求参或求值 题型05 添括号 题型06 去括号与添括号 题型07 先去括号，再合并同类项 题型08 先去括号，再合并同类项，最后求参或求值 题型09 整式的化简求值 题型10 先进行整式的加减运算，再求参或求值 题型11 整式加减中的无关性问题 题型12 整式加减中的不含某项问题 题型13 整式加减中的误看问题 题型14 整式加减中的遮挡问题 题型15 将一个整式用另外两个整式表示出来 题型16 整式的加减运算在几何中的运用 题型17 整式加减中的规律探索 C组 思维拔高 题型01 单项式规律题 题型02 利用整式加减运算化简含有绝对值的代数式 题型03 整式加减中的新定义问题 题型04 整式加减中的多结论问题 单项式概念题型01 1．请写出一个只含有，两个字母的单项式，要求系数为，次数3，这个单项式可以是______． 2．给出以下七个代数式： ，，，，，， 请按要求进行分类 (1)分成两类，分类方法是：分成含字母与不含字母两类 其中①含字母的有： ②不含字母的有： (2)模仿（1）的分类方式 分成三类，分类方法是 其中① ② ③ 单项式的系数、次数题型02 1．有整数序列，，…，n为正整数，且），构造整式规定：将中x取1时的值记为． 例如：，则；，则． ①当时，若中项的系数比项的系数大1，且项的系数与x项的系数相等，则所有符合条件的整式之和为； ②规定的最大值为20，则n的最小值为5； ③当时，若，则满足条件的正整数序列共有4组． 以上说法正确的个数是（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 2．（25-26七年级上·四川成都·月考）现有2025个关于x、y、z三个字母一起构成的十一次单项式，每个单项式的三个字母的指数都不相同，则这些单项式之和的项数最大不会超过__________． 多项式的概念题型03 1．下面说法正确的是（    ） A．的次数是2 B．的系数是3 C．是单项式 D．是四次多项式 2．在代数式；;，中，下列判断正确的是（  ） A．是单项式 B．是二次三项式 C．是多项式 D．是整式 判断多项式的项与次数题型04 1．已知整式，其中，，，，，均为不等于的整数．若，下列说法：满足条件的整式中只有个一次二项式；当时，满足条件的整式中，有个多项式使得成立；对于任意的正整数，所有满足条件的整式的和为．其中正确的个数是（   ） A． B． C． D． 2．若是关于的二次多项式，则的值为_________． 多项式的升降幂排列题型05 1．多项式7x2y﹣xy4+5xy2﹣y3﹣1是____次多项式，最高次项是___，按字母y的降幂排列是_________． 2．若一个多项式同时满足条件：①各项系数均为整数，②按某个字母“降幂排列”，③各项系数的绝对值从左到右也是“从大到小”排列，则称该多项式是这个字母的“和谐多项式”，简称该多项式是“和谐多项式”．例如：多项式是“和谐多项式”，多项式是的“和谐多项式”． (1)把多项式按的降幂排列，并判断它是不是“和谐多项式”？ (2)若关于，的多项式是的“和谐多项式”，求的值； (3)已知，均为关于，的三次三项式，其中，（，为整数），若新多项式是“和谐多项式”，且，求式子的值． 同类项的概念辨析题型06 1．下列关于代数式的说法错误的是（   ） A．是单项式 B．系数为 C．次数为2 D．是它的同类项 2．①与是同类项；②多项式常数项是；③是二次三项式④都是整式．其中判断正确的是（  ） A．①②③ B．①③ C．①③④ D．①②③④ 合并同类项题型07 1．已知m，n为常数，代数式2x4y＋mx|5－n|y＋xy化简之后为单项式，则mn的值共有(　  　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．观察下列的三行单项式 、、、、、、……① 、、、、、、……② 、、、、、、……③ (1)根据你发现的规律，第①行第8个单项式为 (2)第②行的第8个单项式为 ，第③行的第8个单项式为 (3)取每行的第9个单项式，记这三个单项式的和为，计算当时，求的值． 去括号题型08 1．在多项式（其中）中，对相邻的两个字母间添加绝对值符号，对相邻的两个或者三个字母间添加括号，每一次操作必须同时添加一个绝对值符号和一个括号，且添加绝对值符号和添加括号时不能有相同字母，然后进行去绝对值和去括号运算，称此为“双添操作”．例如：，，． 下列说法：①不存在“双添操作”，使其运算结果与原多项式相等； ②存在“双添操作”，使其运算结果与原多项式之和为0； ③所有的“双添操作”共有6种不同运算结果． 其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．若一个多项式加上得到,则这个多项式是________． 整式的加减运算题型09 1．若A、B都是4次多项式，则A＋B一定是（   ） A．8次多项式 B．次数不低于4的多项式 C．4次多项式 D．次数不高于4的多项式或单项式 2．（25-26七年级上·期末）在人教版七年级上册第四章《整式的加减》中，我们主要研究了整式的加法和减法，请类比数的运算，你认为我们在以后的学习中还会研究整式的什么运算？并举例说明（至少举出两个不同类型的例子）． 3．（24-25七年级上·广东广州·期中）如果，我们定义求b的运算，记为，例如：，则，，则． (1)根据定义，填空：，； (2)若有如下运算性质：，．根据运算性质填空，若，则，； (3)在（2）的运算性质下，下表中与数x对应的f（x）有且只有两个是错误的． x 1.5 3 5 6 8 9 12 27 请找出错误的两个f（x）并说明理由，再求出的值（用含a，b，c的式子表示即可）． 整式加减的应用题型10 1．以下算式中，每个汉字代表1个数字，不同的汉字代表不同的数字，已知“神”，那么被乘数是___________．    2．（25-26七年级上·吉林长春德惠·期末）设 是一个三位数，且满足 ，那么这个数一定是的倍数．请说明理由． 3．【阅读材料】用“割尾法”判断一个三位数能否被7整除 方法：三位数割掉末位数字得两位数，再用减去的2倍所得的差为．若是7的倍数，则能被7整除． 举例：对于三位数364，割掉末位数字4得36，，因为28是7的倍数，所以364能被7整除． 【类比解决】尝试用“割尾法”判断455能否被7整除． 【推理验证】已知三位数． （1）请用含，，的代数式表示和“割尾法”后所得的差． （2）现在对材料中的判断方法“若是7的倍数，则能被7整除”进行验证，下面是思路分析． 分析：要证被7整除，需把表示成7的倍数． 已知①． 因为是7的倍数，可设（1）中的代数式（为整数）②． 只需把②式变形代入①式即可． 请根据上述分析写出推理过程． 根据多项式的概念求参题型01 1．南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了（a＋b）n（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律如下，后人也将其称为“杨辉三角”． （a＋b）0＝1 （a＋b）1＝a＋b （a＋b）2＝a2＋2ab＋b2 （a＋b）3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3 （a＋b）4＝a4＋4a3b＋6a2b2＋4ab3＋b4 （a＋b）5＝a5＋5a4b＋10a3b2＋10a2b3＋5ab4＋b5 … 则（a＋b）10展开式中所有项的系数和是（    ） A．2048 B．1024 C．512 D．256 2．若多项式是一个关于的五次三项式，则的值为______． 3．（25-26七年级上·河南商丘·质检）对于多项式、均是大于的整数）． (1)若为最小的正整数，求此多项式的次数； (2)若，且该多项式是关于的八次四项式， ①求的值；②把原多项式按的降幂重新排列． 整式的判断题型02 1．（25-26七年级上·上海·期中）在下列代数式：，，，，，中，整式有（     ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 2．（25-26七年级上·湖北黄石·质检）把下列各代数式的序号填在相应的位置： ①，②，③，④0，⑤，⑥，⑦，⑧，⑨中． (1)单项式有：____________； (2)多项式有：____________； (3)整式有：____________； (4)代数式有：____________． 根据同类项的概念求参或求值题型03 1．（25-26七年级上·江苏·期中）已知，为常数，且三个单项式，，的和仍是单项式，那么的值是______． 2．已知m、x、y满足：（1）﹣2abm与4ab3是同类项；（2）（x﹣5）2+|y﹣|=0． 求代数式：2（x2﹣3y2）﹣3（）的值． 3．（25-26七年级上·广东深圳·期中）类比同类项的概念，我们规定：所含字母相同，并且相同字母的指数之差的绝对值都小于或等于1的项称为“准同类项”，例如：与是“准同类项”． (1)下列单项式：①，②，③，④，⑤ 其中与是“准同类项”的是______（填写序号）． (2)已知A、B、C均为关于a，b的多项式，，．若C的任意两项都是“准同类项”，求n的值． (3)表示x与3之差的绝对值，也可以理解为在数轴上表示有理数x的点与表示有理数3的点之间的距离．已知D，E均为关于a，b的单项式，，，其中m、n是正整数，，，x，y和q都是有理数．若D与E是“准同类项”，则x的所有可能的结果中最大的是______，q的所有可能的结果中最小的是______． 先合并同类项，再求参或求值题型04 1．我们知道，，类似地，我们也可以将看成一个整体，则．整体思想是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． 请根据上面的提示和范例，解决下面的题目： (1)把看成一个整体，求合并的结果； (2)已知，求的值； (3)已知，求的值． 2．（24-25七年级上·广西崇左·期中）阅读材料：我们知道，，类似的，我们把看成一个整体，则．“整体思想”是中学教学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． 尝试应用： （1）把看成一个整体，合并：的结果等于______； （2）已知，求的值； 拓广探索： （3）已知，，，求的值． 3．学习《2.2.4整式的加减》这节课时，王老师要求同学们提前做好这样两个学具：甲、乙两种型号长方体纸盒，尺寸如下（单位：）： 长 宽 高 甲型纸盒 乙型纸盒 课前准备： 做甲型和乙型纸盒各一个共用料多少？ 独立思考： 小红做好这两个纸盒后，发现甲、乙两种型号长方体纸盒体积相等，她猜想这两个纸盒的表面积也是相等的，请问她的猜想是否成立，若成立，则a、b、c满足什么样的数量关系；若不成立，说明理由； 小组合作： 某小组发现做4个甲型纸盒的用料恰好可以做3个乙型纸盒，求b与c的数量关系； 动手操作： 王老师请各组选取两个甲型纸盒组成新的A型纸盒，两个乙型纸盒组成新的B型纸盒，当，时，请直接写出A型与B型纸盒表面积之差的最大值为______．（用含a的式子表示） 添括号题型05 1．（24-25八年级上·重庆·期末）在5个字母中（均不为零），不改变字母的顺序，在每相邻两个字母之间都添加一个“+”或者一个“-”组成一个多项式，且从字母之间开始从左至右所添加的“+”或“-”交替依次出现，再在这个多项式中，任意添加两个括号（括号内至少有两个字母，且括号中不再含有括号），添加括号后仍只含有加减运算，然后再进行去括号运算，我们称为“添减括号操作”． 例如：． 下列说法： ①所有的“添减括号操作”共有7种不同运算结果； ②不存在两种“添减括号操作”，使它们的运算结果求和后为0； ③存在“添减括号操作”，使其运算结果与其未加括号之前的多项式相等． 其中正确的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 2．（24-25七年级上·山东潍坊·期末）添括号：_________）． 去括号与添括号题型06 1．若代数式的值为9，则代数式的值为_______. 2．在计算“”时，甲同学的做法如下： ① ② ．③ 在甲同学的计算过程中，开始出错的步骤是_____________（写出错误所在行的序号），并写出正确的计算过程． 先去括号，再合并同类项题型07 1．对多项式只任意加一个括号后仍然只含减法运算并将所得式子化简，称之为“减算操作”，例如：，，给出下列说法 ①至少存在一种“减算操作”，使其结果与原多项式相等； ②不存在任何“减算操作”，使其结果与原多项式之和为； ③所有的“减算操作”共有种不同的运算结果． 以上说法中正确的个数为（   ） A． B． C． D． 2．化简的结果为_______． 3．（25-26七年级上·江苏常州·月考）阅读理解 如果一个多项式中只含有一个字母，那么就称它为一元多项式，对于两个含字母的一元多项式，当任取一个数时，如果这两个多项式的值都是相等的，那么就称这两个一元多项式是恒等的． 例如：与 当任取一个数时，如，，，，这两个多项式的值都相等．因此，多项式与是恒等的． 要判断两个多项式是否恒等，可以通过去括号、合并同类项，判断能否把其中一个多项式转化为另一个多项式，或者能否把两个多项式都化简为相同的形式．例如，把，分别降幂排列，都能够化为 (1)判断多项式与是否恒等，并说明理由． (2)已知一元多项式（其中，为常数）与（其中，为常数）恒等，请直接写出，，，的值．___________ 先去括号，再合并同类项，最后求参或求值题型08 1．（25-26七年级上·质检）先化简，再求值：，其中，． 2．（24-25上·上海·月考）先化简，再求值：，其中 3．（25-26七年级上·河南南阳·月考）先化简，再求值： (1)，其中，； (2)，其中，． 整式的化简求值题型09 1．已知，则的值为______． 2．已知：，，且，求的值． 3．（24-25七年级上·山西大同·期中）下面是小彬同学进行整式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解：原式…………第一步 …………第二步 (1)填空： ①以上化简步骤中，第一步所依据的运算律是______． ②以上化简步骤中，第______步开始出现错误，这一步错误的原因是______； (2)请写出该整式正确的化简过程，并计算当时，该整式的值． 先进行整式的加减运算，再求参或求值题型10 1．（24-25七年级·期末）已知，，则式子的值是（　　） A．8 B．5 C． D． 2．（1）化简： （2）先化简，再求值：，其中，． 3．（24-25七年级上·河南商丘·期中）“整体思想”是数学解题中一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用较为广泛．如下图所示是老师安排的作业题． 代数式的值为9，则代数式的值为_______． 【阅读理解】小明在做作业时采用的方法如下：因为，所以，所以，所以代数式的值为9． 【方法运用】 （1）若代数式的值为11，求代数式的值； （2）当时，代数式的值为11，求当时，代数式的值； 【拓展应用】 （3）若，求的值． 整式加减中的无关性问题题型11 1．已知为常数，且三个单项式相加得到的和仍为单项式，则的值为________． 2．（25-26七年级·河北保定·质检）嘉淇准备完成题目：化简发现系数“□”印刷不清楚． (1)他把“□”猜成3，请你化简：； (2)他妈妈说：“你猜错了，我看到该题标准答案的结果是常数．”通过计算说明原题中“□”是几？ 3．已知：，，． (1)通过计算：①；②．试判断①与②中，哪一个的运算结果的取值与x无关； (2)在（1）中的运算结果中，任选一个，当，时，求它的代数式的值． 整式加减中的不含某项问题题型12 1．若关于x，y的多项式化简后不含二次项，则m的值为(　　) A． B． C． D．0 2．下列判断错误的是（    ） A．多项式是二次三项式 B．单项式的系数是，次数是9 C．式子都是代数式 D．当时，关于x，y的代数式中不含二次项 3．（25-26·期末）已知关于x，y的多项式． (1)若该多项式不含三次项，求m的值； (2)在（1）的条件下，当，时，求这个多项式的值． 整式加减中的误看问题题型13 1．小明在计算时，将括号前面的“”错看成“”，得到的结果是，则多项式A是________________． 2．小张同学在计算时，将“”错看成了，得出的结果是． (1)请问题目中的___________，的正确结果为____________； (2)试探索：当字母b、c满足什么关系时，（1）中的结果与字母a的取值无关． 整式加减中的遮挡问题题型14 1．（24-25七年级上·吉林·月考）有一道题，“□”的地方被墨水弄污了，则“□”内应填写________． 2．小马同学在练习如下图的一道多项式减法运算时，误将减法运算当成了加法计算，得到的化简结果是“”，在准备改正时，又不小心把墨水洒在作业纸上，恰好盖住了第一个多项式．请你帮小马同学求出被墨水盖住的多项式． 3．一道求值题不小心弄污损了，嘉嘉隐约辨识：化简，其中．系数“”看不清楚了． (1)如果嘉嘉把“”中的数值看成2，求上述代数式的值； (2)若无论m取任意的一个数，这个代数式的值都是，请通过计算帮助嘉嘉确定“”中的数值． 4．小红在认真学习的时候，调皮的二宝弟弟跑来把她的一道求值题弄污损了，细心的小红隐约辨识出：化简，其中．系数“□”看不清楚了． (1)如果小红把“□”中的数值看成2，求上述代数式的值； (2)若式子无论m取何值，这个代数式的值都是，请通过计算帮助小红确定“□”中的数值． 5．（24-25七年级上·月考）某学校给学生编制的“身份识别条形码”共有12位数字（均为0~9之间的自然数），它是由11位数字代码和最后1位的校验码构成，具体结构如下图： 其中校验码是按照特定的算法计算得来的，用于校验身份识别条形码中前11位数字代码的正确性．具体算法说明如下： 步骤1：计算前11位数字中奇数位数字的和，记为m； 步骤2：计算前11位数字中偶数位数字的和，记为n； 步骤3：计算，记为p； 步骤4：取不小于p且为10的整数倍的最小数q； 步骤5：计算，结果即为校验码． 阅读上述材料，回答下列问题： (1)某同学的“身份识别条形码”为04220220133▱，则计算过程中p的值为______，校验码▱的值是______． (2)如图，某同学的“身份识别条形码”中的一位数字不小心污损了，设这个数字为x，你能否通过其他信息还原出这位数字x，进而确定这位同学的班级呢？如果能，写出你的推理过程，如果不能，说明理由． (3)如图，一名2024届的同学在知道了校验码的计算方法后，尝试利用自己的身份信息计算校验码，然后惊喜的发现自己的“班级”、“学号”和“校验码”的数字（图中被遮住的数字）是完全一样的，请直接写出这个数字是______． 将一个整式用另外两个整式表示出来题型15 1．某地居民生活用水收费标准：每月用水量不超过20立方米，每立方米a元；超过部分每立方米元．该地区某用户上月用水量为25立方米，则应缴水费为（    ） A． B． C． D． 2．已知数轴上A、B两点表示的数分别为a、b，请回答问题： (1)①若，，则、两点之间的距离是多少？ ②若，，则、两点之间的距离是多少？ ③若，，则、两点之间的距离是多少？ (2)若数轴上A、B两点之间的距离为d，写出d与a、b满足的关系式； (3)若的几何意义是：数轴上表示数3的点与表示数6的点之间的距离，写出的几何意义； (4)若，化简：． 3．如图：在数轴上A点表示数a，B点表示数b，C点表示数c，且a，c满足，， (1) ________， ________； (2)若将数轴折叠，使得A点与B点重合，则点C与数________表示的点重合． (3)在（1）（2）的条件下，若点P为数轴上一动点，其对应的数为x，当代数式得最小值时，此时________，最小值为________； (4)在（1）（2）的条件下，若在点B处放一挡板，一小球甲从点A处以1个单位/秒的速度向左运动；同时另一小球乙从点C处以2个单位/秒的速度也向左运动，在碰到挡板后（忽略球的大小，可看做一点）以原来的速度向相反的方向运动，设运动的时间为t（秒），请表示出甲、乙两小球之间的距离d（用t的代数式表示）． 整式的加减运算在几何中的运用题型16 1．图1是由3个相同小长方形拼成的图形其周长为24，图2中的长方形内放置10个相同的小长方形，则长方形的周长为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·福建漳州·期中）长方形的一边长为，另一边比第一边大，则长方形的周长为____ ． 3．（24-25七年级上·贵州遵义·期末）学校运动场是学生进行各类体育运动的主要场所，图①是某校的运动场规划图．该运动场的跑道可以简单地抽象为由若干个圆心相同的半圆和长方形组成的图形，如图②所示．已知最小的半圆的半径为a米，每个跑道的宽度均为b米，共有8个跑道，其中长方形跑道部分的长为100米． (1)该运动场跑道8的周长与跑道1的周长相差多少米？（用含a，b的式子表示，结果保留） (2)如图②，若该运动场规划为400米标准跑道，跑道1的起跑线在A处，为使各跑道终点线相同，当时，跑道8的起跑线应设在B点前方多少米处？（取3.14，结果精确到十分位） 整式加减中的规律探索题型17 1．某类简单化合物中，前6种化合物的分子结构模型如图，其中灰球代表碳原子，小黑球代表氢原子．按照这一规律，第50种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是（    ） A．100个 B．102个 C．50个 D．152个 2．（25-26七年级上·重庆·期中）计算：，，…归纳各计算结果中的个位数字规律，则的个位数字是__________． 3．下面的图形是由边长为的正方形按照某种规律排列而组成的，如图，正方形的个数为，周长为．    （1）推测第个图形中，正方形的个数为______，周长为______； （2）推测第个图形中，正方形的个数为______，周长为______；（都用含的代数式表示）． 4．观察下面三行数： ；① ；② ；③ 观察发现：每一行的数都是按一定的规律排列的，通过你发现的规律，解决下列问题． (1)第①行的第8个数是_________，第n个数是_________； (2)第②行的第n个数是_________，第③行的第n个数是_________； (3)取每行数的第10个数，计算这三个数的和． 单项式规律题题型01 1．按一定规律排列的代数式：2，，……，第n个单项式是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·河南驻马店·联考）观察下列单项式：，则第2025个单项式是___________． 3．观察下列单项式：，，．写出第个单项式．为解答这个问题，特提供下面的解题思路： (1)这组单项式的系数依次是多少？其系数的符号和绝对值的规律分别是什么？ (2)这组单项式的次数的规律是什么？ (3)①根据上面的归纳，你可以猜想出第个单项式是什么吗？ ②请你根据猜想，直接写出第2025个单项式． 利用整式加减运算化简含有绝对值的代数式题型02 1．已知a，b，c为非零有理数，则的值不可能为（  ） A．0 B．-3 C．-1 D．3 2．已知数a，b在数轴上表示的点的位置如图所示，则下列结论正确的是（    ） ①；②；③；④． A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 3．如图，a、b在数轴上的位置如图所示，请完成下列各题： (1)则______， _____． (2)则_____， _____．（分别用含a、b的式子表示） (3)求．（用含a、b的式子表示） 整式加减中的新定义问题题型03 1．定义一种关于的运算：①当是奇数时，结果为；②为偶数时，结果是是使是奇数的正整数）；运算重复进行，正整数表示运算次数，则（   ） A．62 B．49 C．31 D．19 2．（24-25七年级上·湖南长沙·月考）新定义：符号“f”表示一种新运算，它对一些数的运算结果如下： 运算（一）：，，，，，…… 运算（二）：，，，，…… 利用以上规律计算： (1)______，______，______，______； (2)_______； (3)计算：． 3．（25-26下·黑龙江绥化·期中）【新视角 新定义题】阅读下面方框内的材料，解答下面问题： 一个含有多个字母的式子中，任意交换两个字母的位置，当字母的取值均不相等，且都不为0时，式子的值都不变，这样的式子叫作对称式．例如：式子中任意两个字母交换位置，可得到式子，因为，所以是对称式．而式子中的字母a，b交换位置，得到式子，但是，所以不是对称式． (1)下列式子：①；②；③，其中是对称式的是 （填序号）． (2)①写出一个系数为，只含有字母a，b且次数为8的单项式，使该单项式是对称式； ②写出一个只含有字母a，b的三次三项式，使该多项式是对称式； (3)已知 ， ，求，并判断所得结果是否是对称式． 整式加减中的多结论问题题型04 1．（25-26七年级上·山西运城·期中）如图，一个长为、宽为的大长方形被分割为7小块，除阴影，外，其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为，下列说法中正确的有（   ） ①小长方形的较长边为 ②阴影A的较短边和阴影B的较短边之和为 ③若为定值，则阴影和阴影的周长和为定值． A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 2．（24-25七年级上·福建泉州·期中）关于的多项式：，其中为正整数，各项系数各不相同且均不为．当时，，交换任意两项的系数，得到的新多项式我们称为原多项式的“兄弟多项式”，给出下列说法： ①多项式共有个不同的“兄弟多项式”； ②若多项式，则的所有系数之和为； ③若多项式，则； ④若多项式，则． 则以上说法正确的个数为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·辽宁大连·期末）综合与实践 【问题背景】在小学，我们知道像12，27，36，45，108，…… 这样的自然数能被3整除．一般的，如果一个自然数的所有数位上的数字之和能被3整除，那么这个自然数就能被3整除．我们可以论证这个结论的正确性．以三位数为例，设是一个三位数，若可以被3整除，则这个数可以被3整除．论证过程如下：，显然能被3整除，因此，如果可以被3整除，那么就能被3整除． 【拓展探究】小聪在学习完课本上的数学活动后，对数的整除很感兴趣， 于是自己研究了被7整除的数的特征，先从两位数开始研究： 两位数 十位数字 个位数字 10位数字减个位数字的2倍 14 1 4 21 2 1 28 2 8 35 3 5 … … … … 98 9 8 他发现如果一个两位数的十位数字减去个位数字的2倍得到的结果是7的倍数，那么这个两位数就能被7整除． (1)请你仿照问题背景中的代数推理方法验证小聪发现的结论； (2)小聪继续探究发现他得到的结论可以推广到任意正整数：假设该正整数的个位数字是，除个位数字外的部分用表示，推理过程与上面相同，依然能得到当是7的倍数时，原数能被7整除，并且该结论反之亦成立．请按照小聪推广后的结论解决下列问题： ①判断7938是否能被7整除（要求写出判断过程）； ②若一个正数能被7整除，的最后四位数为3025，求的最小值． 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 3.3 整式的加减 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 单项式概念 题型02 单项式的系数、次数 题型03 多项式的概念 题型04 判断多项式的项与次数 题型05 多项式的升降幂排列 题型06 同类项的概念辨析 题型07 合并同类项 题型08 去括号 题型09 整式的加减运算 题型10 整式加减的应用 B组 能力进阶 题型01 根据多项式的概念求参 题型02 整式的判断 题型03 根据同类项的概念求参或求值 题型04 先合并同类项，再求参或求值 题型05 添括号 题型06 去括号与添括号 题型07 先去括号，再合并同类项 题型08 先去括号，再合并同类项，最后求参或求值 题型09 整式的化简求值 题型10 先进行整式的加减运算，再求参或求值 题型11 整式加减中的无关性问题 题型12 整式加减中的不含某项问题 题型13 整式加减中的误看问题 题型14 整式加减中的遮挡问题 题型15 将一个整式用另外两个整式表示出来 题型16 整式的加减运算在几何中的运用 题型17 整式加减中的规律探索 C组 思维拔高 题型01 单项式规律题 题型02 利用整式加减运算化简含有绝对值的代数式 题型03 整式加减中的新定义问题 题型04 整式加减中的多结论问题 单项式概念题型01 1．请写出一个只含有，两个字母的单项式，要求系数为，次数3，这个单项式可以是______． 【答案】或##或 【分析】根据单项式的概念，系数和次数的概念求解即可．单项式：由数和字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也叫做单项式．单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数，一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数． 【详解】解：∵只含有a，b两个字母的单项式，且系数为-4，次数为3， ∴单项式可以为或． 故答案为：或． 【点睛】此题考查了单项式的概念，单项式的系数和次数，解题的关键是熟练掌握单项式的概念，单项式的系数和次数的概念．单项式：由数和字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也叫做单项式．单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数，一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数． 2．给出以下七个代数式： ，，，，，， 请按要求进行分类 (1)分成两类，分类方法是：分成含字母与不含字母两类 其中①含字母的有： ②不含字母的有： (2)模仿（1）的分类方式 分成三类，分类方法是 其中① ② ③ 【答案】(1)①、、、、；②、 (2)分成单项式次数为0、1、3三类，①、；②、；③、、 【分析】本题主要考查了单项式以及单项式的次数． （1）根据单项式的分类，即可求解； （2）根据单项式的次数，即可求解． 【详解】（1）解：①含字母的有：、、、、； ②不含字母的有：、； （2）解：模仿（1）的分类方式分成三类，分类方法是（分成单项式次数为0、1、3三类） 其中①单项式次数为0的有：、； ②单项式次数为1的有：、； ③单项式次数为3的有：、、 单项式的系数、次数题型02 1．有整数序列，，…，n为正整数，且），构造整式规定：将中x取1时的值记为． 例如：，则；，则． ①当时，若中项的系数比项的系数大1，且项的系数与x项的系数相等，则所有符合条件的整式之和为； ②规定的最大值为20，则n的最小值为5； ③当时，若，则满足条件的正整数序列共有4组． 以上说法正确的个数是（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】B 【分析】本题考查了整式的综合应用以及逻辑推理能力，难度较大．先分析每个小点的说法是否正确，从理清题意、列出条件、求解及验证四个步骤出发，最终再根据所得到的结论推出正确选项． 【详解】解：说法①：的表达式为，其中， 由条件可知：且，解得可能的序列为和， 对应分别为和，其和为，①正确． 说法②：为在时的值，即， 当时，最大由得， 当时，最大，故n最小值为4，②错误． 说法③：即，且， 符合条件的序列有、、、，共4组，③正确． 综上，①③说法正确，正确个数为2． 故选：B． 2．（25-26七年级上·四川成都·月考）现有2025个关于x、y、z三个字母一起构成的十一次单项式，每个单项式的三个字母的指数都不相同，则这些单项式之和的项数最大不会超过__________． 【答案】 【分析】本题考查了单项式的次数，熟练掌握该知识点是解题的关键． 根据题意依次列举出所有符合题意的单项式（系数假设为1），由此即可求得答案． 【详解】解：由题意可得： 若x的次数为1，则符合题意的单项式有，共6种； 若x的次数为2，则符合题意的单项式有，共6种； 若x的次数为3，则符合题意的单项式有，共4种； 若x的次数为4，则符合题意的单项式有，共4种； 若x的次数为5，则符合题意的单项式有，共2种； 若x的次数为6，则符合题意的单项式有，共4种； 若x的次数为7，则符合题意的单项式有，共2种； 若x的次数为8，则符合题意的单项式有，共2种； 由上可得：关于x、y、z三个字母一起构成的十一次单项式，每个单项式的三个字母的指数都不相同，且互不为同类项的一共有（种）， ∴若有2025个关于x、y、z三个字母一起构成的十一次单项式，每个单项式的三个字母的指数都不相同，则这些单项式之和的项数最大不会超过． 故答案为：． 多项式的概念题型03 1．下面说法正确的是（    ） A．的次数是2 B．的系数是3 C．是单项式 D．是四次多项式 【答案】C 【分析】根据单项式的定义，单项式系数和系数的定义，多项式的定义进行逐一判断即可 【详解】解：A、的次数是3，故A选项不符合题意； B、多项式的系数是，故B选项不符合题意； C、是单项式，故C选项符合题意； D、是二次二项式，故D选项不符合题意； 故选C． 【点睛】本题主要考查了单项式的定义，单项式的次数、系数的定义，多项式的定义及其次数的定义，解题的关键在于能够熟知相关定义：表示数或字母的积的式子叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式，单项式中数字因数叫做这个单项式的系数，所有字母的指数之和叫做单项式的次数；几个单项式的和的形式叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项，多项式里，次数最高项的次数叫做多项式的次数． 2．在代数式；;，中，下列判断正确的是（  ） A．是单项式 B．是二次三项式 C．是多项式 D．是整式 【答案】D 【分析】根据单项式、多项式、整式的概念解题即可． 【详解】根据题意得：①是整式，是单项式；②不是整式；③是分式；④是整式，是多项式； 选项A、B、C错误，选项D正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了多项式、单项式以及整式的概念，解题时牢记概念是关键． 判断多项式的项与次数题型04 1．已知整式，其中，，，，，均为不等于的整数．若，下列说法：满足条件的整式中只有个一次二项式；当时，满足条件的整式中，有个多项式使得成立；对于任意的正整数，所有满足条件的整式的和为．其中正确的个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了整式的有关概念，根据，满足逐一排除即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵是一次二项式， ∴， ∴， ∴，或，或，或，； ∴满足条件的整式中只有个，故正确； 当时，，， ∴，，或，，或，，或，，或，，或，，， ∴满足条件的整式中有个，故正确； 若，满足， 则，也满足， ∴所有满足条件的整式的和为，故正确； 综上可知：正确， 故选：． 2．若是关于的二次多项式，则的值为_________． 【答案】或1或或0 【分析】已知是关于的二次多项式，那么是关于的二次多项式，需要对的系数和指数进行分情况讨论即可． 【详解】解：①当，即时，多项式为，符合题意； ②若，即， 当时，，多项式为，符合题意； 当时，，多项式为，符合题意； ③若，即， 当时，多项式为，符合题意． 综上所述，若是关于的二次多项式，则的值为或1或或0． 【点睛】此题主要考查了多项式的相关定义，能够正确得出的值是解题的关键． 多项式的升降幂排列题型05 1．多项式7x2y﹣xy4+5xy2﹣y3﹣1是____次多项式，最高次项是___，按字母y的降幂排列是_________． 【答案】 五 ﹣xy4 ﹣xy4﹣y3+5xy2+7x2y﹣1 【分析】根据多项式的概念及降幂排列的定义解答． 【详解】解：多项式的次数是“多项式中次数最高的项的次数”，在多项式7x2y﹣xy4+5xy2﹣y3﹣1中，最高次项是﹣xy4，次数为5，因此是五次多项式，按字母y的降幂排列是﹣xy4﹣y3+5xy2+7x2y﹣1． 故答案为：五，﹣xy4，﹣xy4﹣y3+5xy2+7x2y﹣1． 【点睛】本题考查了多项式的相关概念，多项式的次数是“多项式中次数最高的项的次数”，把一个多项式按某一个字母的升幂排列是指按此字母的指数从小到大依次排列，常数项应放在最前面，如果是降幂排列应按此字母的指数从大到小依次排列． 2．若一个多项式同时满足条件：①各项系数均为整数，②按某个字母“降幂排列”，③各项系数的绝对值从左到右也是“从大到小”排列，则称该多项式是这个字母的“和谐多项式”，简称该多项式是“和谐多项式”．例如：多项式是“和谐多项式”，多项式是的“和谐多项式”． (1)把多项式按的降幂排列，并判断它是不是“和谐多项式”？ (2)若关于，的多项式是的“和谐多项式”，求的值； (3)已知，均为关于，的三次三项式，其中，（，为整数），若新多项式是“和谐多项式”，且，求式子的值． 【答案】(1)，不是； (2)； (3)． 【分析】本题主要考查了整式的加减，有理数的大小比较，有理数的混合运算，对新定义的正确理解是解答问题的关键． （1）用和谐多项式的定义即可判断； （2）按b的降幂排列后，由和谐多项式的定义可知，即可求得； （3）计算出后，分情况分别讨论，求得m的值，代入整式即可求得式子的值． 【详解】（1）解：按的降幂排列：， 因为，，所以， 所以多项式 不是“和谐多项式”． （2）解：把多项式 按的降幂排列为． 因为多项式 是的“和谐多项式”， 所以．因为为整数，所以． （3）解：． 因为，所以不是的和谐多项式． 把原多项式按的降幂排列为． 由题意，得，所以，． 而，所以．所以． 所以． 同类项的概念辨析题型06 1．下列关于代数式的说法错误的是（   ） A．是单项式 B．系数为 C．次数为2 D．是它的同类项 【答案】C 【分析】本题考查同类项的定义，单项式的定义、系数、次数，由数与字母的乘积组成的代数式叫做单项式，单项式中的数字因数叫单项式的系数，单项式中所有字母的指数和叫做单项式的次数；如果两个单项式，它们所含的字母相同，并且相同字母的次数也分别相同，那么就称这两个单项式为同类项．逐一分析选项判断正误，即可求解． 【详解】解：∵单项式是由数或字母的积组成的代数式， ∴是单项式，选项A说法正确； ∵单项式的系数是其数字因数， ∴的系数为，选项B说法正确； ∵单项式的次数是所有字母的指数和，的指数为2，的指数为1， ∴次数为，选项C说法错误； ∵同类项是所含字母相同且相同字母的指数也相同的项， ∴与是同类项，选项D说法正确． 故选：C． 2．①与是同类项；②多项式常数项是；③是二次三项式④都是整式．其中判断正确的是（  ） A．①②③ B．①③ C．①③④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】根据同类项、多项式、整式的定义以及性质求解即可． 【详解】①与是同类项，正确； ②多项式常数项是-1，错误； ③是二次三项式，正确； ④都是整式，正确； 正确的有①③④ 故答案为：C． 【点睛】本题考查整式的相关概念和性质，掌握同类项、多项式、整式的定义以及性质是解题的关键． 合并同类项题型07 1．已知m，n为常数，代数式2x4y＋mx|5－n|y＋xy化简之后为单项式，则mn的值共有(　  　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据题意可得m=-1，|5-n|=1或m=-2，|5-n|=4，求出m、n的值，然后求出mn的值即可． 【详解】∵代数式2x4y＋mx|5－n|y＋xy化简之后为单项式， ∴化简后的结果可能为2x4y，也可能为xy， 当结果为2x4y时，m=-1，|5-n|=1， 解得：m=-1，n=4或n=6， 则mn=（-1）4=1或mn=（-1）6=1； 当结果为xy时，m=-2，|5-n|=4， 解得：m=-2，n=1或n=9， 则mn=（-2）1=-2或mn=（-2）9=-29， 综上，mn的值共有3个， 故选C. 【点睛】本题考查了合并同类项，解答本题的关键是掌握合并同类项的法则． 2．观察下列的三行单项式 、、、、、、……① 、、、、、、……② 、、、、、、……③ (1)根据你发现的规律，第①行第8个单项式为 (2)第②行的第8个单项式为 ，第③行的第8个单项式为 (3)取每行的第9个单项式，记这三个单项式的和为，计算当时，求的值． 【答案】(1) (2)， (3)769 【分析】（1）根据题目中单项式的系数和字母的指数的变化情况寻找规律即可求解； （2）根据题目中单项式的系数和字母的指数的变化情况寻找规律即可求解； （3）根据（1）、（2）中所得规律列代数式代入值即可． 【详解】（1）解：、、、、、、……①， 可得第①行第个单项式为， ∴第①行第8个单项式为． 故答案为：； （2）、、、、、、……②， 、、、、、、……③， 可得第②行第个单项式为， 第③行第个单项式为， ∴第②行的第8个单项式为：， 第③行的第8个单项式为：． 故答案为：，； （3）根据（1）、（2）中所得规律，可得第①行第9个单项式为，第②行第9个单项式为，第③行的第9个单项式为， ∴， 当时， ． 【点睛】本题主要考查了单项式规律题、代数式求值、有理数的混合运算等知识，解题的关键是准确寻找单项式的变化规律． 去括号题型08 1．在多项式（其中）中，对相邻的两个字母间添加绝对值符号，对相邻的两个或者三个字母间添加括号，每一次操作必须同时添加一个绝对值符号和一个括号，且添加绝对值符号和添加括号时不能有相同字母，然后进行去绝对值和去括号运算，称此为“双添操作”．例如：，，． 下列说法：①不存在“双添操作”，使其运算结果与原多项式相等； ②存在“双添操作”，使其运算结果与原多项式之和为0； ③所有的“双添操作”共有6种不同运算结果． 其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查新定义题型，根据新定义，举出符合条件的代数式进行情况讨论；需要注意去绝对值时的符号，和所有结果可能的比较，主要考查去括号法则、绝对值计算，整式的加减和分类讨论思想的应用；列举出所有可能，然后化简计算并判断即可． 【详解】解：∵， ∴，，，，， ∴所有“双添操作”如下： ， ， ， ， ， ， ， ∴不存在“双添操作”，使其运算结果与原多项式相等，故①正确； ∵每一种结果中a的符号与原式中a的符号相同， ∴不存在“双添操作”，使其运算结果与原多项式之和为0，故②错误； 观察上面所有运算结果可知，第二个和第五个结果相等，其余都不相等， ∴所有的“双添操作”共有7种不同运算结果，故③错误， 故选：B． 2．若一个多项式加上得到,则这个多项式是________． 【答案】 【分析】根据题意，列出等式，再利用整式的加减和去括号法则计算即可. 【详解】设这个式子为A， 由题意得： 所以 故答案为 【点睛】本题主要考查整式的加减和去括号，熟练掌握整式的加减和去括号法则是解题关键. 整式的加减运算题型09 1．若A、B都是4次多项式，则A＋B一定是（   ） A．8次多项式 B．次数不低于4的多项式 C．4次多项式 D．次数不高于4的多项式或单项式 【答案】D 【分析】根据合并同类项法则判断．若A、B是同类项，则合并后最高为4次多项式或单项式；若不是同类项，则不能合并，仍然是4次多项式． 【详解】解：根据合并同类项的法则，A+B的最高次数可能是4，最低次数可能是0即为常数． 故选D． 【点睛】本题考查了多项式的定义，注意多项式的次数的定义，系数互为相反数的同类项的和为0． 2．（25-26七年级上·期末）在人教版七年级上册第四章《整式的加减》中，我们主要研究了整式的加法和减法，请类比数的运算，你认为我们在以后的学习中还会研究整式的什么运算？并举例说明（至少举出两个不同类型的例子）． 【答案】 解：将会研究整式的乘法、除法、乘方 举例如下 1. 整式的乘法： 2. 整式的除法： 3. 整式的乘方： 【分析】本题考查了整式加减运算，类比数的运算类型，结合已学的整式加减运算，可推断出后续会研究的整式运算类型，再列举不同类型的运算式子即可． 【详解】略 3．（24-25七年级上·广东广州·期中）如果，我们定义求b的运算，记为，例如：，则，，则． (1)根据定义，填空：，； (2)若有如下运算性质：，．根据运算性质填空，若，则，； (3)在（2）的运算性质下，下表中与数x对应的f（x）有且只有两个是错误的． x 1.5 3 5 6 8 9 12 27 请找出错误的两个f（x）并说明理由，再求出的值（用含a，b，c的式子表示即可）． 【答案】(1)2，4 (2)0.602，1.398 (3)表中只有和的对应值是错误的， 【分析】本题考查了幂的应用，新定义运算等，解题的关键是深刻理解所给出的定义或规则，将它们转化为我们所熟悉的运算． （1）根据定义可得：，即可求得结论； （2）根据运算性质：，进行计算； （3）通过，，可以判断，，是否正确，同样依据，假设正确，可以求得的值，可以判断，，是否正确，进而可对，作出判断，再结合（2）的性质即可求． 【详解】（1）解：由题意可知，， ∴，， 故答案为：2，4； （2）∵，， ∴， ， 故答案为：0.602，1.398； （3）若，则， ， 从而表中有三个对应的是错误的，与题设矛盾， ∴； 若，则， ∴， ， 表中也有三个对应的是错误的，与题设矛盾， ∴，， ∴表中只有和的对应值是错误的， ． 整式加减的应用题型10 1．以下算式中，每个汉字代表1个数字，不同的汉字代表不同的数字，已知“神”，那么被乘数是___________．    【答案】307692 【分析】此题主要抓住相同的文字，设出同一个字母表示，再利用十进制列出等式，进一步利用数的整除性解答即可． 根据汉字代表数字的特点，设出相同的文字用同一个字母代替，利用给出的算式列出等式，进一步利用数的整除性以及数字特点解答即可． 【详解】解：设“神舟五号”，“飞天”， 则，，，， 而23和769互质，故（n是自然数），． 但A的首位数字为3．只可能， 从而． 所以被乘数是307692． 故答案为307692． 2．（25-26七年级上·吉林长春德惠·期末）设 是一个三位数，且满足 ，那么这个数一定是的倍数．请说明理由． 【答案】 证明：，， ， ， ， 一定是的倍数． 【分析】本题考查了整式的加减的应用，解题的关键是用含，的式子表示出三位数．通过将三位数表示为，并利用条件进行代换和化简，证明其是的倍数即可． 【详解】略 3．【阅读材料】用“割尾法”判断一个三位数能否被7整除 方法：三位数割掉末位数字得两位数，再用减去的2倍所得的差为．若是7的倍数，则能被7整除． 举例：对于三位数364，割掉末位数字4得36，，因为28是7的倍数，所以364能被7整除． 【类比解决】尝试用“割尾法”判断455能否被7整除． 【推理验证】已知三位数． （1）请用含，，的代数式表示和“割尾法”后所得的差． （2）现在对材料中的判断方法“若是7的倍数，则能被7整除”进行验证，下面是思路分析． 分析：要证被7整除，需把表示成7的倍数． 已知①． 因为是7的倍数，可设（1）中的代数式（为整数）②． 只需把②式变形代入①式即可． 请根据上述分析写出推理过程． 【答案】 类比解决：能，理由如下： 对于三位数455，割掉末位数字5得45，，因为35是7的倍数，所以455能被7整除． 推理验证：（1）； （2）解：设， ∴， ∴， ∴能被7整除． 【分析】本题考查了用列代数式，整式的加减，准确理解题意是解题的关键． 类比解决：根据题干举例进行解答即可； （1）根据题意表示出，，求解即可； （2）先设，将表示成即可证明． 【详解】类比解决：略 （1）∵，， ∴； （2）略 根据多项式的概念求参题型01 1．南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了（a＋b）n（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律如下，后人也将其称为“杨辉三角”． （a＋b）0＝1 （a＋b）1＝a＋b （a＋b）2＝a2＋2ab＋b2 （a＋b）3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3 （a＋b）4＝a4＋4a3b＋6a2b2＋4ab3＋b4 （a＋b）5＝a5＋5a4b＋10a3b2＋10a2b3＋5ab4＋b5 … 则（a＋b）10展开式中所有项的系数和是（    ） A．2048 B．1024 C．512 D．256 【答案】B 【分析】根据杨辉三角展开式中的所有项的系数和规律确定出展开式的项系数和为，求出系数之和即可 【详解】解：当n＝0时，展开式中所有项的系数和为1＝20， 当n＝1时，展开式中所有项的系数和为2＝21， 当n＝2时，展开式中所有项的系数和为4＝22， 当n＝3时，展开式中所有项的系数和为8＝23 …… 由此可知（a＋b）n展开式的各项系数之和为2n， 则（a＋b）10展开式中所有项的系数和是210＝1024， 故选：B． 【点睛】本题考查杨辉三角展开式的系数的和的求法，通过观察展开式中的所有项的系数和，得到规律是解题的关键． 2．若多项式是一个关于的五次三项式，则的值为______． 【答案】2或3 【分析】本题考查多项式的次数与项数，掌握多项式的次数与项数的定义是解题的关键． 根据五次三项式的定义，分别分析多项式各项的次数，确定关于的方程和不等式，进而求解的值． 【详解】解：分以下两种情况讨论： ①，解得，当时，，不符合题意， 将代入多项式中： 第一项：，次数为5； 第二项：，次数为2； 第三项：，次数为3． 故符合题意； ②，解得． 此时，符合题意． 综上所述，的值为2或3． 故答案为：2或3 3．（25-26七年级上·河南商丘·质检）对于多项式、均是大于的整数）． (1)若为最小的正整数，求此多项式的次数； (2)若，且该多项式是关于的八次四项式， ①求的值；②把原多项式按的降幂重新排列． 【答案】(1)多项式的次数为6 (2)①；② 【分析】本题主要考查了多项式的次数、项数的定义及多项式的降幂排列，熟练掌握多项式次数的确定方法（最高次项的次数为多项式的次数）是解题的关键． （1）先确定最小的正整数的值，代入多项式后，根据多项式次数的定义（最高次项的次数）计算次数． （2）①代入，根据八次四项式的定义（最高次项次数为8）列方程求；②根据的次数从高到低重新排列多项式各项． 【详解】（1）解：由题意知，此时原多项式变为， 所以此时多项式的次数为6； （2）解：①时，原多项式变为， 因为该多项式是关于的八次四项式， 所以， 解得； ②由题意得，原多项式为， 则按的降幂重新排列为：． 整式的判断题型02 1．（25-26七年级上·上海·期中）在下列代数式：，，，，，中，整式有（     ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【分析】本题主要考查整式，整式是分母中不含字母的代数式，根据定义，逐个判断每个代数式是否为整式即可． 【详解】解：∵整式是分母中不含字母的代数式， ∴是多项式，分母无字母，是整式； ∴是常数，是整式； ∴分母是常数π，无字母，是整式； ∴分母含字母x，不是整式； ∴是单项式，分母无字母，是整式； ∴分母是常数5，无字母，是整式． 综上，整式有5个． 故选：C． 2．（25-26七年级上·湖北黄石·质检）把下列各代数式的序号填在相应的位置： ①，②，③，④0，⑤，⑥，⑦，⑧，⑨中． (1)单项式有：____________； (2)多项式有：____________； (3)整式有：____________； (4)代数式有：____________． 【答案】(1)④⑤⑥⑧ (2)①②③⑦ (3)①②③④⑤⑥⑦⑧ (4)①②③④⑤⑥⑦⑧⑨ 【分析】此题考查了整式，关键是熟练掌握单项式，多项式，整式的定义．单项式及相关概念：数或字母的积叫单项式．（单独的一个数或一个字母也是单项式）多项式及相关概念：几个单项式的和叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项．多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数．整式：单项式与多项式统称为整式． 根据单项式，多项式，整式，代数式的定义即可求解． 【详解】（1）解：单项式有：④⑤⑥⑧； （2）解：多项式有：①②③⑦； （3）解：整式有：①②③④⑤⑥⑦⑧； （4）解：代数式有：①②③④⑤⑥⑦⑧⑨； 根据同类项的概念求参或求值题型03 1．（25-26七年级上·江苏·期中）已知，为常数，且三个单项式，，的和仍是单项式，那么的值是______． 【答案】或 【分析】解题思路是根据 “和为单项式” 的条件，分析同类项的合并可能：要么两个单项式合并后与第三个是同类项，要么两个单项式合并为，只剩第三个单项式．通过判断同类项的指数，确定、的值．本题考查同类项的概念与单项式的合并，涉及的知识点是同类项的定义（字母及指数相同）．解题中用到的方法是分类讨论法，分析不同的合并情况．解题关键是准确判断同类项的指数，同时考虑 “合并后为”的特殊情况．易错点是忽略 “两个单项式合并为”的情况，导致漏解． 【详解】解：第一种情况：若与是同类项，则， 此时和为． 由于和是单项式，则，解得， 所以． 第二种情况：若与是同类项，则， 此时和为． 由于和是单项式，则，解得， 所以． 综上所述，的值是或． 2．已知m、x、y满足：（1）﹣2abm与4ab3是同类项；（2）（x﹣5）2+|y﹣|=0． 求代数式：2（x2﹣3y2）﹣3（）的值． 【答案】 【详解】试题分析：由同类项的定义可得m的值，由非负数之和为0，非负数分别为0可得出x、y的值，代入所求式子中计算即可得到结果． 试题解析：∵﹣2abm与4ab3是同类项，（x﹣5）2+|y﹣|=0， ∴m=3，x=5，y=， 则原式=2x2﹣6y2﹣2x2+3y2+3m=﹣3y2+3m=﹣+9=. 3．（25-26七年级上·广东深圳·期中）类比同类项的概念，我们规定：所含字母相同，并且相同字母的指数之差的绝对值都小于或等于1的项称为“准同类项”，例如：与是“准同类项”． (1)下列单项式：①，②，③，④，⑤ 其中与是“准同类项”的是______（填写序号）． (2)已知A、B、C均为关于a，b的多项式，，．若C的任意两项都是“准同类项”，求n的值． (3)表示x与3之差的绝对值，也可以理解为在数轴上表示有理数x的点与表示有理数3的点之间的距离．已知D，E均为关于a，b的单项式，，，其中m、n是正整数，，，x，y和q都是有理数．若D与E是“准同类项”，则x的所有可能的结果中最大的是______，q的所有可能的结果中最小的是______． 【答案】(1)①②③ (2)或4 (3)6，4 【分析】（1）根据新定义，进行判断即可求解； （2）首先求出，根据根据C的任意两项都是“准同类项”求解即可； （3）首先根据D与E是“准同类项”求出或3或4，或5或6，然后得出，进而求解即可． 【详解】（1）①和，，， ∴与是“准同类项”； ②和，，， ∴与是“准同类项”； ③和，，， ∴与是“准同类项”； ④和，，， ∴与不是“准同类项”； ⑤和所含字母不相同， ∴与不是“准同类项”； 综上所述，其中与是“准同类项”的是①②③； （2）∵，， ∵， ∵C的任意两项都是“准同类项” ∴或4； （3）∵D与E是“准同类项”，，， ∴或3或4，或5或6， 又，， ∴，要使x最大的差尽量大，最大是4， ∴x最大取6，要使q最小，尽量小， ∵最小取5，m最小取2，n最大取6， ∴q最小取4． 【点睛】本题考查了新定义，整式的加减，绝对值的意义，熟练掌握新定义是解题的关键． 先合并同类项，再求参或求值题型04 1．我们知道，，类似地，我们也可以将看成一个整体，则．整体思想是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． 请根据上面的提示和范例，解决下面的题目： (1)把看成一个整体，求合并的结果； (2)已知，求的值； (3)已知，求的值． 【答案】(1)； (2)21； (3)． 【分析】此题考查了整式的加减-化简求值，熟练掌握运算法则以及整体思想是解答本题的关键． （1）将原式合并即可解答； （2）原式变形后，把已知等式代入计算求值即可； （3）原式去括号整理后，把已知等式代入计算即可解答． 【详解】（1）解：． （2）解：∵， ∴． （3）解：∵， ∴ ． 2．（24-25七年级上·广西崇左·期中）阅读材料：我们知道，，类似的，我们把看成一个整体，则．“整体思想”是中学教学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． 尝试应用： （1）把看成一个整体，合并：的结果等于______； （2）已知，求的值； 拓广探索： （3）已知，，，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3）8 【分析】本题考查了整体思想的应用，合并同类项，求代数式的值等知识；理解整体思想是解题的关键． （1）根据整体思想，利用合并同类项法则进行即可； （2）变形为，再整体代入即可； （3）去括号后，再重新结合变为，即可整体代入求解． 【详解】解：（1） ； 故答案为：； （2） ； （3） ． 3．学习《2.2.4整式的加减》这节课时，王老师要求同学们提前做好这样两个学具：甲、乙两种型号长方体纸盒，尺寸如下（单位：）： 长 宽 高 甲型纸盒 乙型纸盒 课前准备： 做甲型和乙型纸盒各一个共用料多少？ 独立思考： 小红做好这两个纸盒后，发现甲、乙两种型号长方体纸盒体积相等，她猜想这两个纸盒的表面积也是相等的，请问她的猜想是否成立，若成立，则a、b、c满足什么样的数量关系；若不成立，说明理由； 小组合作： 某小组发现做4个甲型纸盒的用料恰好可以做3个乙型纸盒，求b与c的数量关系； 动手操作： 王老师请各组选取两个甲型纸盒组成新的A型纸盒，两个乙型纸盒组成新的B型纸盒，当，时，请直接写出A型与B型纸盒表面积之差的最大值为______．（用含a的式子表示） 【答案】课前准备：做甲型和乙型纸盒各一个共用料为； 独立思考：当时，两个纸盒的表面积相等；当时，两个纸盒的表面积不相等； 甲型和乙型纸盒表面积之差为： ， 当时，即时，两个纸盒的表面积相等； 当时，即时，两个纸盒的表面积不相等． 小组合作：； 动手操作：. 【分析】课前准备：根据长方体表面积计算公式进行计算即可； 独立思考：求出甲型和乙型纸盒表面积之差，然后分情况讨论即可； 小组合作：用4个甲型纸盒的表面积之和减去做3个乙型纸盒的表面积之和，得出，根据某小组发现做4个甲型纸盒的用料恰好可以做3个乙型纸盒，得出，求出结果即可； 动手操作：分三种情况分别算出拼成的A型纸盒和B型纸盒的表面积，然后再求出结果即可． 【详解】解：课前准备： 做甲型纸盒用料： ； 做乙型纸盒用料： ； 做甲型和乙型纸盒各一个共用料为： 独立思考：略 小组合作： ， ，且， ， ． 动手操作： ，， 拼接成A型纸盒共三种情况： 以长宽面拼接，A型纸盒的表面积为： ， 以长高面拼接，A型纸盒的表面积为： ， 以宽高面拼接，A型纸盒的表面积为： ， 拼接成B型纸盒共三种情况： 以长宽面拼接，B型纸盒的表面积为： ， 以长高面拼接，B型纸盒的表面积为： ， 以宽高面拼接，B型纸盒的表面积为： ， ∴A型与B型纸盒表面积之差的最大值为：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了整式加减的应用，解题的关键是根据题意列出相应的代数式，注意分情况进行讨论． 添括号题型05 1．（24-25八年级上·重庆·期末）在5个字母中（均不为零），不改变字母的顺序，在每相邻两个字母之间都添加一个“+”或者一个“-”组成一个多项式，且从字母之间开始从左至右所添加的“+”或“-”交替依次出现，再在这个多项式中，任意添加两个括号（括号内至少有两个字母，且括号中不再含有括号），添加括号后仍只含有加减运算，然后再进行去括号运算，我们称为“添减括号操作”． 例如：． 下列说法： ①所有的“添减括号操作”共有7种不同运算结果； ②不存在两种“添减括号操作”，使它们的运算结果求和后为0； ③存在“添减括号操作”，使其运算结果与其未加括号之前的多项式相等． 其中正确的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题主要考查整式的加减运算、括号添等知识点，掌握整式的加减运算法则成为解题的关键． 先根据题意列举出此操作的所有结果，即可判定①；所有结果中字母a的系数恒为1，两结果相加a的系数为2，无法为零，即可判定②；通过合理添加括号可使结果与原式相同，正确． 【详解】解：①初始多项式符号交替排列，如．添加两个括号后，可能的结果包括：1． 原式：；2．添加括号如，结果为；3．添加括号如，结果为；同理，符号排列为时，类似操作产生3种结果．总共有种不同结果，故①错误． ②无论括号如何添加，所有结果中字母的系数始终为．若存在两种操作结果相加为0，则的系数需为，矛盾．故②正确． ③例如，添加括号，去括号后与原式相同．故③正确． 综上，正确的说法为②和③，共2个． 故选C． 2．（24-25七年级上·山东潍坊·期末）添括号：_________）． 【答案】 【分析】本题考查了去括号与添括号，熟练掌握添括号法则是解题的关键．根据添括号法则解答即可． 【详解】解：， 故答案为：． 去括号与添括号题型06 1．若代数式的值为9，则代数式的值为_______. 【答案】 【分析】本题主要考查了代数式求值，解题的关键在于能够利用整体代入的思想求解． 根据代数式的值为，可得，再由即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ， 故答案为：． 2．在计算“”时，甲同学的做法如下： ① ② ．③ 在甲同学的计算过程中，开始出错的步骤是_____________（写出错误所在行的序号），并写出正确的计算过程． 【答案】①，过程： 减去两个有理数，相当于减去这两个数的相反数的和． 故开始出错的步骤是①． 正确的计算过程为 ． 【分析】先找出错误，再计算正确的过程即可． 【详解】解：略． 【点睛】本题考查了有理数的减法运算，添括号正负号的处理是解题的关键． 先去括号，再合并同类项题型07 1．对多项式只任意加一个括号后仍然只含减法运算并将所得式子化简，称之为“减算操作”，例如：，，给出下列说法 ①至少存在一种“减算操作”，使其结果与原多项式相等； ②不存在任何“减算操作”，使其结果与原多项式之和为； ③所有的“减算操作”共有种不同的运算结果． 以上说法中正确的个数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了新定义运算，给加括号，即可判断①；根据无论如何添加括号，无法使得的符号为负号，即可判断②；列举出所有情况即可判断③，据此即可求解，理解新定义运算是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴①正确； ∵无论如何添加括号，无法使得的符号为负号, ∴②说法正确； 共有种不同的运算结果： 第种：； 第种：； 第种：； 第种：； 第种：； 第种：； 第种：； ∴③正确； ∴正确的个数为， 故选：． 2．化简的结果为_______． 【答案】 【分析】根据去括号的法则和绝对值的化简求解即可． 【详解】解：=3-π-（π-3）=3-π-π+3=， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了去括号和绝对值的化简，解题的关键是掌握去括号的法则和绝对值的化简运算． 3．（25-26七年级上·江苏常州·月考）阅读理解 如果一个多项式中只含有一个字母，那么就称它为一元多项式，对于两个含字母的一元多项式，当任取一个数时，如果这两个多项式的值都是相等的，那么就称这两个一元多项式是恒等的． 例如：与 当任取一个数时，如，，，，这两个多项式的值都相等．因此，多项式与是恒等的． 要判断两个多项式是否恒等，可以通过去括号、合并同类项，判断能否把其中一个多项式转化为另一个多项式，或者能否把两个多项式都化简为相同的形式．例如，把，分别降幂排列，都能够化为 (1)判断多项式与是否恒等，并说明理由． (2)已知一元多项式（其中，为常数）与（其中，为常数）恒等，请直接写出，，，的值．___________ 【答案】(1) 解：多项式与恒等， 理由如下： ， ， 与恒等； (2)，，， 【分析】本题主要考查了去括号、合并同类项，解决本题的关键是根据去括号、合并同类项把多项式化简，再根据多项式相等即多项式中的同类项分别相等，求出系数． (1)根据去括号法则去括号可知两个多项式恒等； (2)根据多项式相等即多项式中的同类项相等，得到各项系数的值． 【详解】（1）略 （2）解：多项式与恒等， ， ，，，． 先去括号，再合并同类项，最后求参或求值题型08 1．（25-26七年级上·质检）先化简，再求值：，其中，． 【答案】，4 【分析】本题考查的是整式的加减运算中的化简求值，准确的计算是解决本题的关键． 先去括号，再合并同类项，得到化简的结果，再把，，代入计算即可． 【详解】解： ， 当，时， ． 2．（24-25上·上海·月考）先化简，再求值：，其中 【答案】； 【分析】本题考查了整式的混合运算化简求值，解题的关键是熟练地进行计算．先去括号，再合并同类项，然后把的值代入化简后的式子进行计算即可解答． 【详解】解： 将代入. 3．（25-26七年级上·河南南阳·月考）先化简，再求值： (1)，其中，； (2)，其中，． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查整式化简求值，涉及去括号、合并同类项及有理数混合运算等知识，熟记整式加减及有理数混合运算法则是解决问题的关键． （1）先去括号，再合并同类项即可化简，再将，代入计算即可得到答案； （2）先去括号，再合并同类项即可化简，再将，代入计算即可得到答案． 【详解】（1）解： ； 当，时， 原式 ； （2）解： ； 当，时， 原式 ． 整式的化简求值题型09 1．已知，则的值为______． 【答案】3.5 【分析】代数式可变形为，将整体代入后计算即可． 【详解】解：， 故答案为：3.5． 【点睛】本题考查代数式求值和添括号．掌握整体法代入并能对代数式正确变形是解题关键． 2．已知：，，且，求的值． 【答案】147 【分析】本题主要考查了非负数的性质、整式的加减运算法则、代数式求值等知识点，掌握相关运算法则成为解题的关键． 先根据非负数的性质可得，即，；再将其代入运用整式的加减运算法则化简，最后将代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴ ． 3．（24-25七年级上·山西大同·期中）下面是小彬同学进行整式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解：原式…………第一步 …………第二步 (1)填空： ①以上化简步骤中，第一步所依据的运算律是______． ②以上化简步骤中，第______步开始出现错误，这一步错误的原因是______； (2)请写出该整式正确的化简过程，并计算当时，该整式的值． 【答案】(1)①乘法分配律；②一， 去括号没变号 (2) 解：原式 ， 当时，原式． 【分析】本题考查了整式的加减−−化简求值； （1）①根据乘法分配律解答； ②再利用去括号法则找出错误； （2）原式去括号合并得到最简结果，把的值代入计算即可求出值． 【详解】（1）解：①以上化简步骤中，第一步的依据是乘法分配律， 故答案为∶ 乘法分配律； ②以上化简步骤中，第一步开始出现错误，这一步错误的原因是去括号没变号， 故答案为∶一， 去括号没变号； （2）略 先进行整式的加减运算，再求参或求值题型10 1．（24-25七年级·期末）已知，，则式子的值是（　　） A．8 B．5 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查整式的加减，几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加减号连接；然后去括号、合并同类项．由知，结合知，去括号、合并同类项即可． 【详解】解：， ， 又， ， ，即， 故选：D． 2．（1）化简： （2）先化简，再求值：，其中，． 【答案】（1）；（2），． 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，解题关键是熟练掌握去括号法则和合并同类项法则． （1）按照去括号法则，去掉括号，再合并同类项即可； （2）按照去括号法则，去掉括号，再合并同类项，最后把，的值代入化简后的式子，进行计算即可． 【详解】解：（1）原式 ； （2）原式 ， 当，时，原式 ． 3．（24-25七年级上·河南商丘·期中）“整体思想”是数学解题中一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用较为广泛．如下图所示是老师安排的作业题． 代数式的值为9，则代数式的值为_______． 【阅读理解】小明在做作业时采用的方法如下：因为，所以，所以，所以代数式的值为9． 【方法运用】 （1）若代数式的值为11，求代数式的值； （2）当时，代数式的值为11，求当时，代数式的值； 【拓展应用】 （3）若，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查整式的化简求值，涉及整式运算、整体代入求值等知识，熟练掌握整式运算及整体代入思想是解决问题的关键． （1）读懂题意，利用整体代入思想，化简求值即可得到答案； （2）将代入，得到；再将代入化简求值，整体代入即可得到答案； （3）分析所求代数式与条件之间的关系，化简，代入数值求解即可得到答案． 【详解】解：（1）， ∴， ∴； （2）当时，， ∴， ∴当时：； （3）∵，， ∴ ． 整式加减中的无关性问题题型11 1．已知为常数，且三个单项式相加得到的和仍为单项式，则的值为________． 【答案】-1或3 【分析】根据同类项的定义：所含字母相同，且相同字母的指数也相同的两个单项式是同类项，求出的值，根据合并同类项后结果不含项，得出的值，代入计算即可． 【详解】解：∵相加得到的和仍为单项式， ∴是同类项相加等于零或是同类项加等于零， ∴，得，或，得， ∴或， 故答案为：-1或3． 【点睛】本题考查了同类项，根据同类项的定义求出的值是关键． 2．（25-26七年级·河北保定·质检）嘉淇准备完成题目：化简发现系数“□”印刷不清楚． (1)他把“□”猜成3，请你化简：； (2)他妈妈说：“你猜错了，我看到该题标准答案的结果是常数．”通过计算说明原题中“□”是几？ 【答案】(1) (2)4 【分析】本题考查了整式的加减运算，根据整式的加减运算求解未知数，解决本题的关键是熟练掌握整式的加减法运算并正确计算． （1）根据整式的加减法运算求解即可； （2）设“□”是，再由运算结果是常数，令求解a的值即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：设“□”是， 则 ， ∵标准答案的结果是常数， ∴，解得， 原题中“□”是4． 3．已知：，，． (1)通过计算：①；②．试判断①与②中，哪一个的运算结果的取值与x无关； (2)在（1）中的运算结果中，任选一个，当，时，求它的代数式的值． 【答案】(1) 解：① ② ②的运算结果的取值与x无关； (2)选①，；选②， 【分析】本题考查整式的加减运算，解题关键是去括号、合并同类项，通过对整式进行化简，判断结果是否与x有关，并代入求值． （1）计算化简，，看哪个式子的化简结果不含x即可； （2）将，代入（1）中的化简结果，求值即可． 【详解】（1）略 （2）选①，当，时， 原式． 选②，当时，． 整式加减中的不含某项问题题型12 1．若关于x，y的多项式化简后不含二次项，则m的值为(　　) A． B． C． D．0 【答案】B 【分析】此题考查整式的加减运算、合并同类项的方法，关键是明确没有某一项的含义，就是这一项的系数为0． 去括号时，后一个括号里各项的符号都改变．原式化简结果中二次项的系数为0． 【详解】解： ∵化简后不含二次项， ∴， 解得． 故选：B． 2．下列判断错误的是（    ） A．多项式是二次三项式 B．单项式的系数是，次数是9 C．式子都是代数式 D．当时，关于x，y的代数式中不含二次项 【答案】C 【分析】本题考查代数式的相关概念，涉及代数式的定义，多项式和单项式的定义及相关概念；据此逐一分析选项即可． 【详解】解：A、多项式有三项、、，次数是的次数二次，所以多项式是二次三项式，故A不符合题意； B、单项式的系数是数字因数为，次数是所有字母指数的和为9，故B不符合题意； C、式子，其中是等式，不是代数式，故C符合题意； D、当时，关于x，y的代数式可以化简为，其中二次项在合并同类项时抵消了，所以不含二次项，故D不符合题意． 故选：C． 3．（25-26·期末）已知关于x，y的多项式． (1)若该多项式不含三次项，求m的值； (2)在（1）的条件下，当，时，求这个多项式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式加减运算，代数式求值，熟练掌握整式加减运算法则，是解题的关键． （1）根据整式加减运算法则，将原式变形为，再根据该多项式不含三次项得出，求出结果即可； （2）将，整体代入求值即可． 【详解】（1）解： ， ∵该多项式不含三次项， ∴， ∴． （2）解：∵，， ∴ ． 整式加减中的误看问题题型13 1．小明在计算时，将括号前面的“”错看成“”，得到的结果是，则多项式A是________________． 【答案】 【分析】本题考查整式的加减运算，解题的关键是根据错误的运算列出等式，再通过移项求出多项式． 根据小明看错符号后的错误运算，列出关于的等式，再通过去括号、合并同类项计算出． 【详解】解：由题意，小明错误计算了， 因此 ． 故答案为：． 2．小张同学在计算时，将“”错看成了，得出的结果是． (1)请问题目中的___________，的正确结果为____________； (2)试探索：当字母b、c满足什么关系时，（1）中的结果与字母a的取值无关． 【答案】(1)， (2)当b=5c时，正确的计算结果与字母a的取值无关 【分析】（1）先根据题意列出，利用整式相加减求出A，再求正确式子的结果即可； （2）将ab﹣5ac+2写成（b﹣5c）a+2，即可得到当b=5c时，正确的计算结果与字母a的取值无关． 【详解】（1）由题意得：， ， ， 故答案为：，． （2）ab﹣5ac+2= a（b﹣5c）+2， 由题意可得：b﹣5c=0， ∴b=5c， ∴当b=5c时，正确的计算结果与字母a的取值无关． 【点睛】本题考查了整式的加减，熟知整式的加减实质上就是合并同类项是解答此题的关键． 整式加减中的遮挡问题题型14 1．（24-25七年级上·吉林·月考）有一道题，“□”的地方被墨水弄污了，则“□”内应填写________． 【答案】 【分析】本题考查的是去括号，熟练掌握去括号法则是解题的关键． 去括号得结果与等式右边的式子相对照即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴“□”内应填写． 故答案为：． 2．小马同学在练习如下图的一道多项式减法运算时，误将减法运算当成了加法计算，得到的化简结果是“”，在准备改正时，又不小心把墨水洒在作业纸上，恰好盖住了第一个多项式．请你帮小马同学求出被墨水盖住的多项式． 【答案】 【分析】“将错就错”，将化简结果减去，去括号，化简得出结果，注意减多项式时要带括号. 【详解】解：由题意，得 -（）== ∴被墨水盖住的多项式为. 【点睛】本题主要考查了整式的加减，解题的关键是读懂题意，掌握去括号法则和合并同类项是基础. 3．一道求值题不小心弄污损了，嘉嘉隐约辨识：化简，其中．系数“”看不清楚了． (1)如果嘉嘉把“”中的数值看成2，求上述代数式的值； (2)若无论m取任意的一个数，这个代数式的值都是，请通过计算帮助嘉嘉确定“”中的数值． 【答案】(1)， (2)4 【分析】（1）化简式子，再代入数值计算即可； （2）设中的数值为，则原式．根据题意可得方程，求解即可得到答案． 【详解】（1）原式． 当时， 原式； （2）设中的数值为，则原式． 无论取任意的一个数，这个代数式的值都是， ． ． 答：“”中的数是4． 【点睛】此题考查的是整式的加减，掌握运算法则是解决此题关键． 4．小红在认真学习的时候，调皮的二宝弟弟跑来把她的一道求值题弄污损了，细心的小红隐约辨识出：化简，其中．系数“□”看不清楚了． (1)如果小红把“□”中的数值看成2，求上述代数式的值； (2)若式子无论m取何值，这个代数式的值都是，请通过计算帮助小红确定“□”中的数值． 【答案】(1) (2)4 【分析】本题考查整式加减运算及代数式求值，熟练掌握整式的加减混合运算是解题的关键， （1）将“□”中的数值看成2，化简，并求值即可； （2）设□中的数值为x，然后将原式化简，再根据题意，令含的项的系数为0即可求得的值． 【详解】（1）解：将“□”中的数值看成2，即， ． 当时， 原式． （2）解：设□中的数值为x， 原式 ． ∵无论m取任意的一个数，这个代数式的值都是， ∴． ∴． 即“□”中的数是4． 5．（24-25七年级上·月考）某学校给学生编制的“身份识别条形码”共有12位数字（均为0~9之间的自然数），它是由11位数字代码和最后1位的校验码构成，具体结构如下图： 其中校验码是按照特定的算法计算得来的，用于校验身份识别条形码中前11位数字代码的正确性．具体算法说明如下： 步骤1：计算前11位数字中奇数位数字的和，记为m； 步骤2：计算前11位数字中偶数位数字的和，记为n； 步骤3：计算，记为p； 步骤4：取不小于p且为10的整数倍的最小数q； 步骤5：计算，结果即为校验码． 阅读上述材料，回答下列问题： (1)某同学的“身份识别条形码”为04220220133▱，则计算过程中p的值为______，校验码▱的值是______． (2)如图，某同学的“身份识别条形码”中的一位数字不小心污损了，设这个数字为x，你能否通过其他信息还原出这位数字x，进而确定这位同学的班级呢？如果能，写出你的推理过程，如果不能，说明理由． (3)如图，一名2024届的同学在知道了校验码的计算方法后，尝试利用自己的身份信息计算校验码，然后惊喜的发现自己的“班级”、“学号”和“校验码”的数字（图中被遮住的数字）是完全一样的，请直接写出这个数字是______． 【答案】(1)35；5 (2)，推理过程见解析 (3)2 【详解】（1）根据题目所给定义分别计算出p、q即可得到答案； （2）先根据题意求出，则，再由q是10的整倍数，且，即可得到； （3）设这个数为y，根据题意求出，再由q是10的整倍数，且，推出． （1）解：由题意得， ∴， ∴， ∴， 故答案为：35；5； （2）解：由题意得， ∴， ∵检验码为9， ∴， ∵q是10的整倍数，且， ∴； （3）解：设这个数为y， 由题意得， ∴， ∴， ∵q是10的整倍数，且， ∴， 故答案为；2． 本题主要考查了整式加减的应用，代数式求值，正确理解题意是解题的关键． 将一个整式用另外两个整式表示出来题型15 1．某地居民生活用水收费标准：每月用水量不超过20立方米，每立方米a元；超过部分每立方米元．该地区某用户上月用水量为25立方米，则应缴水费为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】应缴水费＝20立方米的水费＋（25−20）立方米的水费． 【详解】解：根据题意应缴水费为：20a＋（25−20）×（a＋1.2）＝20a＋5a＋6=（）（元）． 故选：A． 【点睛】此题考查列代数式与整式的加减，掌握收费的分段以及总费用的求法是解决问题的关键． 2．已知数轴上A、B两点表示的数分别为a、b，请回答问题： (1)①若，，则、两点之间的距离是多少？ ②若，，则、两点之间的距离是多少？ ③若，，则、两点之间的距离是多少？ (2)若数轴上A、B两点之间的距离为d，写出d与a、b满足的关系式； (3)若的几何意义是：数轴上表示数3的点与表示数6的点之间的距离，写出的几何意义； (4)若，化简：． 【答案】(1)①3;②3;③7 (2) (3)数轴上表示数2的点与表示数的点之间的距离 (4) 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离公式，熟练掌握去绝对值是解答本题的关键． （1）①根据数轴上两点间的距离公式计算即可；②根据数轴上两点间的距离公式计算即可；③根据数轴上两点间的距离公式计算即可； （2）写出数轴上两点间的距离公式即可； （3）根据绝对值的几何意义解答即可； （4）根据条件，分情况讨论即可去绝对值化简可得结果． 【详解】（1）解：①若，，则； ②若，，则； ③若，，则； （2）解：若数轴上、两点之间的距离为，则有： ； （3）解：的几何意义为：数轴上表示数2的点与表示数的点之间的距离； （4）解：， ，， 当，时，，， 原式， 当，时，，， 原式， 综上分析，若，． 3．如图：在数轴上A点表示数a，B点表示数b，C点表示数c，且a，c满足，， (1) ________， ________； (2)若将数轴折叠，使得A点与B点重合，则点C与数________表示的点重合． (3)在（1）（2）的条件下，若点P为数轴上一动点，其对应的数为x，当代数式得最小值时，此时________，最小值为________； (4)在（1）（2）的条件下，若在点B处放一挡板，一小球甲从点A处以1个单位/秒的速度向左运动；同时另一小球乙从点C处以2个单位/秒的速度也向左运动，在碰到挡板后（忽略球的大小，可看做一点）以原来的速度向相反的方向运动，设运动的时间为t（秒），请表示出甲、乙两小球之间的距离d（用t的代数式表示）． 【答案】(1)， (2) (3)； (4) 【分析】（1）根据两个非负数的和为零则这两个数均为零即可得出答案； （2）先求出，则折点为的中点，求出折点表示的数，再求出C点与折点的距离，进而得到C点对应的数即可； （3）当P与点B重合时，即当时，取得最小值； （4）分小球乙碰到挡板之前和之后，即当，时，表示出甲、乙两小球之间的距离d即可． 【详解】（1）解：，， ，， ，； 故答案为：，； （2）因为，， 所以， 将数轴折叠，使得点与点重合， 所以对折点为的中点， 所以对折点表示的数为：， C点与对折点的距离为：，所以C点对应的数为， 即点C与数表示的点重合， 故答案为：； （3）表示， ∴当点与点重合，即时，有最小值为两点间的距离， 即：的最小值为； 故答案为：；； （4）由题意，乙到达挡板处需要的时间为秒， ∴秒后，甲的位置是，乙的位置是， ． 【点睛】此题考查是列代数式，数轴上两点之间的距离，非负性，掌握数轴上两点之间的距离求法是解决问题的关键． 整式的加减运算在几何中的运用题型16 1．图1是由3个相同小长方形拼成的图形其周长为24，图2中的长方形内放置10个相同的小长方形，则长方形的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设小长方形的长为x，宽为y，根据题意列出代数式，然后表示出长方形的边长，求解即可． 【详解】解：设小长方形的长为x，宽为y， 由图1得：， ∴， 由图2得：长方形的长表示为：，宽表示为， ∴周长为： 故选：C． 【点睛】题目主要考查根据图形列代数式及求代数式的值，找出图形各边的数量关系是解题关键． 2．（24-25七年级上·福建漳州·期中）长方形的一边长为，另一边比第一边大，则长方形的周长为____ ． 【答案】## 【分析】此题考查了整式加减的实际应用，根据题意先求出长方形的另一边长，然后根据长方形的周长（长宽）计算即可． 【详解】解：根据题意知：矩形的另一边为， 所以这个长方形的周长为， 故答案为：． 3．（24-25七年级上·贵州遵义·期末）学校运动场是学生进行各类体育运动的主要场所，图①是某校的运动场规划图．该运动场的跑道可以简单地抽象为由若干个圆心相同的半圆和长方形组成的图形，如图②所示．已知最小的半圆的半径为a米，每个跑道的宽度均为b米，共有8个跑道，其中长方形跑道部分的长为100米． (1)该运动场跑道8的周长与跑道1的周长相差多少米？（用含a，b的式子表示，结果保留） (2)如图②，若该运动场规划为400米标准跑道，跑道1的起跑线在A处，为使各跑道终点线相同，当时，跑道8的起跑线应设在B点前方多少米处？（取3.14，结果精确到十分位） 【答案】(1)该运动场跑道8的周长与跑道1的周长相差米 (2)跑道8的起跑线应设在B点前方米处 【分析】本题主要考查列代数式和整式的加减，读懂题意找出数量关系是解答本题的关键． （1）根据圆和矩形的周长公式即可得到结论； （2）由（1）知跑道8的周长与跑道1的周长相差米，将代入计算即可． 【详解】（1）解：根据题意得：跑道1的长度为米，跑道8的长度为米， （米）， 答：该运动场跑道8的周长与跑道1的周长相差米； （2）解：由（1）知跑道8的周长与跑道1的周长相差米， 当时，则（米） 答：跑道8的起跑线应设在B点前方米处． 整式加减中的规律探索题型17 1．某类简单化合物中，前6种化合物的分子结构模型如图，其中灰球代表碳原子，小黑球代表氢原子．按照这一规律，第50种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是（    ） A．100个 B．102个 C．50个 D．152个 【答案】B 【分析】本题考查了图形规律，根据图形找出规律是关键，由图形得到第n种化合物的分子模型中，氢原子的个数为个，由此即可求解． 【详解】解：第1种化合物的分子模型中，氢原子的个数为：； 第2种化合物的分子模型中，氢原子的个数为：； 第3种化合物的分子模型中，氢原子的个数为：； 第4种化合物的分子模型中，氢原子的个数为：； 第5种化合物的分子模型中，氢原子的个数为：； 第6种化合物的分子模型中，氢原子的个数为：； …… ∴第n种化合物的分子模型中，氢原子的个数为个， ∴当时，氢原子的个数为（个）， 故选：B ． 2．（25-26七年级上·重庆·期中）计算：，，…归纳各计算结果中的个位数字规律，则的个位数字是__________． 【答案】7 【分析】本题考查了2的幂的个位数字规律问题． 通过观察2的幂的个位数字规律，可知个位数字以2、4、8、6循环出现，周期为4．根据指数除以4的余数可确定个位数字． 【详解】解：，，，，，…， 通过观察2的幂的个位数字规律，可知个位数字以2、4、8、6循环出现，周期为4． 对于，指数2025除以4的余数为1，对应个位数字为2， 计算的个位数字：2减5，被减数个位2小于减数个位5，因此向十位借1，相当于个位为． 故答案为：7． 3．下面的图形是由边长为的正方形按照某种规律排列而组成的，如图，正方形的个数为，周长为．    （1）推测第个图形中，正方形的个数为______，周长为______； （2）推测第个图形中，正方形的个数为______，周长为______；（都用含的代数式表示）． 【答案】 【分析】（）依次数出，，，时正方形的个数，算出图形的周长； （）根据规律以此类推，可得出第个图形中，正方形的个数为及周长； 本题考查了根据图示寻找规律，读懂题意，找出规律是解题的关键． 【详解】解：（）因为时，正方形有个，即，周长是，即， 时，正方形有个，即，周长是，即， 时，正方形有个，即，周长是，即， 时，正方形有个，即，周长是，即， 故答案为：；； （）解：由（）总结可得，第个图形时，正方形有个，周长是， 故答案为：，． 4．观察下面三行数： ；① ；② ；③ 观察发现：每一行的数都是按一定的规律排列的，通过你发现的规律，解决下列问题． (1)第①行的第8个数是_________，第n个数是_________； (2)第②行的第n个数是_________，第③行的第n个数是_________； (3)取每行数的第10个数，计算这三个数的和． 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】（1）不难看出奇数项是正数，偶数项是负数，其数字部分是，据此进行作答即可； （2）第②行的数是第一行对应的数减去2，第③行的数是第①行对应的数除以，据此即可求解； （3）根据（1）（2）的规律，写出每行的第10个数再相加即可． 【详解】（1）解：∵∴第①行的第8个数是， 第n个数是； 故答案为：；； （2）解：∵， ∴第②行的第n个数是； ∵， ∴第③行的第n个数是； 故答案为：；； （3）解：根据题意得：第①行的第10个数是，第②行的10个数是，第③行的第10个数是， ∴这三个数的和为 【点睛】本题主要考查数字的变化规律，有理数的乘方，解答的关键是分析清楚所存在的规律． 单项式规律题题型01 1．按一定规律排列的代数式：2，，……，第n个单项式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】不难看出奇数项为正，偶数项为负，分母为x2n-2，分子的指数为由1开始的自然数，据此即可求解． 【详解】解：∵2=， ∴按一定规律排列的代数式为：，，，，，…， ∴第n个单项式是(-1)n-1， 故选：B． 【点睛】本题考查单项式的规律，根据所给单项式的系数与次数的特点，确定单项式的规律是解题的关键． 2．（25-26七年级上·河南驻马店·联考）观察下列单项式：，则第2025个单项式是___________． 【答案】 【分析】本题考查了单项式规律探究，总结归纳出单项式的规律是解答本题的关键； 观察单项式序列的符号、系数和指数变化规律：符号正负交替，系数为偶数序列，指数与项数相同，由此归纳第个单项式的表达式； 【详解】解：给定单项式序列：，，，，，， ∴当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 由此类推，第个单项式为， ∴第2025个单项式是． 故答案为：． 3．观察下列单项式：，，．写出第个单项式．为解答这个问题，特提供下面的解题思路： (1)这组单项式的系数依次是多少？其系数的符号和绝对值的规律分别是什么？ (2)这组单项式的次数的规律是什么？ (3)①根据上面的归纳，你可以猜想出第个单项式是什么吗？ ②请你根据猜想，直接写出第2025个单项式． 【答案】(1)这组单项式的系数依次是，3，，7，…．因为第奇数个单项式的系数为负数，各个系数的绝对值为连续的奇数，所以其系数的符号是，绝对值是： (2)这组单项式的次数的规律是从1开始的连续自然数 (3)①第n个单项式是 ②第2025个单项式是 【分析】（1）根据题目中的单项式，可以直接写出这组单项式的系数，绝对值规律； （2）根据题目中的单项式，观察找出这组单项式的次数的规律； （3）根据（1）和（2）中的发现，然后可以写出第n个单项 式，然后将2025代入计算即可解答第2025个单项式． 【详解】（1）解：一组单项式：，，， 奇数个单项式的系数为负数，各个系数的绝对值为连续的奇数， 其系数的符号是，绝对值是：． （2）解：一组单项式：，，， 这组单项式的次数的规律是从1开始的一些连续的自然数； （3）解：①根据上面的归纳，猜想出第n个单项式是； ②当时，这个单项式是． 【点睛】本题考查了数字的变化类、单项式，明确题意，发现单项式的变化特点，写出相应单项式是解题的关键． 利用整式加减运算化简含有绝对值的代数式题型02 1．已知a，b，c为非零有理数，则的值不可能为（  ） A．0 B．-3 C．-1 D．3 【答案】A 【分析】要对a,b,c所有可能出现的不同情况进行分类讨论，找出符合要求的取值，代入求值． 【详解】解：对a,b,c的取值情况分类讨论如下： ①当a,b,c都是正数时，，所以和为3； ②当a,b,c都是负数时，=-1，所以和为-3； ③当a,b,c中有两个正数，一个负数时，中有两个1，一个-1，所以=1， ④当a,b,c中有一个正数、两个负数时，中有两个-1，一个+1，所以=-1， 总之，=±1或±3． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了绝对值，分类讨论时要全面，要做到不重复不遗漏．规律总结：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0． 2．已知数a，b在数轴上表示的点的位置如图所示，则下列结论正确的是（    ） ①；②；③；④． A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】由数轴可得，，则，即可判断各项． 【详解】解：由数轴可得，， ∴， ∴，，， 故①②③④都正确． 3．如图，a、b在数轴上的位置如图所示，请完成下列各题： (1)则______， _____． (2)则_____， _____．（分别用含a、b的式子表示） (3)求．（用含a、b的式子表示） 【答案】(1)1，2 (2)， (3) 【分析】本题考查数轴比较大小，化简绝对值，有理数的加减，掌握利用数轴化简绝对值的方法是解题的关键． （1）根据绝对值法则直接求解； （2）观察数轴判定，，再去绝对值即可； （3）观察轴判定，，再去绝对值，最后计算加减即可． 【详解】（1）解：，， 故答案为：1，2； （2）解：观察数轴可得：，， ∴，， ∴，， 故答案为：，； （3）解：观察数轴可得：，， ∴，， ∴，， ∴． 整式加减中的新定义问题题型03 1．定义一种关于的运算：①当是奇数时，结果为；②为偶数时，结果是是使是奇数的正整数）；运算重复进行，正整数表示运算次数，则（   ） A．62 B．49 C．31 D．19 【答案】A 【分析】本题考查了数字规律，有理数的混合运算，先理解定义一种关于的运算：①当是奇数时，结果为；②为偶数时，结果是（其中是使是奇数的正整数），逐个计算，找出规律：从第1次运算开始，每6次运算为一个循环，运算的结果依次为，即可算出第19次的运算结果，进行解答． 【详解】解：∵定义一种关于的运算：当是奇数时，结果为； ∴第1次运算的结果为， ∵为偶数时，结果是（其中是使是奇数的正整数）；运算重复进行，正整数表示运算次数， ∴第2次运算的结果为， 第3次运算的结果为， 第4次运算的结果为， 第5次运算的结果为， 第6次运算的结果为， 第7次运算的结果为， ……， 以此类推可知，从第1次运算开始，每6次运算为一个循环，运算的结果依次为， ∵， 即循环三次，第19次的运算结果与第1次的运算结果相等，即为62， 故， 故选：A． 2．（24-25七年级上·湖南长沙·月考）新定义：符号“f”表示一种新运算，它对一些数的运算结果如下： 运算（一）：，，，，，…… 运算（二）：，，，，…… 利用以上规律计算： (1)______，______，______，______； (2)_______； (3)计算：． 【答案】(1)6，，7，． (2)0 (3) 【分析】本题主要考查了数字变化的规律及有理数的混合运算， （1）根据题意发现当x为整数时，；当x为分数时， 求解即可． （2）根据（1）中发现的规律代入计算即可解决问题． （3）根据（1）中发现的规律代入计算即可解决问题． 【详解】（1）解：，，， 故答案为：6，，7，． （2）解： 故答案为：0 （3）解： 故答案为：． 3．（25-26下·黑龙江绥化·期中）【新视角 新定义题】阅读下面方框内的材料，解答下面问题： 一个含有多个字母的式子中，任意交换两个字母的位置，当字母的取值均不相等，且都不为0时，式子的值都不变，这样的式子叫作对称式．例如：式子中任意两个字母交换位置，可得到式子，因为，所以是对称式．而式子中的字母a，b交换位置，得到式子，但是，所以不是对称式． (1)下列式子：①；②；③，其中是对称式的是 （填序号）． (2)①写出一个系数为，只含有字母a，b且次数为8的单项式，使该单项式是对称式； ②写出一个只含有字母a，b的三次三项式，使该多项式是对称式； (3)已知 ， ，求，并判断所得结果是否是对称式． 【答案】(1)①③ (2)①；②（答案不唯一） (3)，不是对称式 【分析】（1）根据对称式的含义即可作出判断； （2）根据对称式的含义及单项式的定义即可完成； （3）去括号合并同类项即可求得，根据对称式的含义判断是否是对称式即可． 【详解】（1）解：∵， ∴是对称式； ∵， ∴不是对称式； ∵， ∴是对称式； 即其中是对称式的是①③； （2）解：①根据题意得：该单项式是； ②根据题意得：该多项式可以为； （3）解：∵， ， ∴ ， ∵， ∴所得结果不是对称式． 整式加减中的多结论问题题型04 1．（25-26七年级上·山西运城·期中）如图，一个长为、宽为的大长方形被分割为7小块，除阴影，外，其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为，下列说法中正确的有（   ） ①小长方形的较长边为 ②阴影A的较短边和阴影B的较短边之和为 ③若为定值，则阴影和阴影的周长和为定值． A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】B 【分析】本题考查列代数式，整式的混合运算，利用数形结合的思想是解题关键．①观察图形，由大长方形的长及小长方形的宽，可得出小长方形的长为，说法①正确；②由大长方形的宽及小长方形的长、宽，可得出阴影的较短边长，将其相加可得出阴影的较短边和阴影的较短边之和为，说法②错误；③由阴影的相邻两边的长度，利用长方形的周长计算公式可得出阴影和阴影的周长之和为，结合为定值可得出说法③正确． 【详解】解：①∵大长方形的长为，小长方形的宽为， ∴小长方形的长为，说法①正确； ②∵大长方形的宽为，小长方形的长为，小长方形的宽为， ∴阴影的较短边为，阴影的较短边为， ∴阴影的较短边和阴影的较短边之和为，说法②错误； ③∵阴影的较长边为，较短边为，阴影的较长边为，较短边为， ∴阴影的周长为，阴影的周长为， ∴阴影和阴影的周长之和为， ∴若为定值，则阴影和阴影的周长之和为定值，说法③正确； 综上可知正确的为①③，共2个． 故选：B． 2．（24-25七年级上·福建泉州·期中）关于的多项式：，其中为正整数，各项系数各不相同且均不为．当时，，交换任意两项的系数，得到的新多项式我们称为原多项式的“兄弟多项式”，给出下列说法： ①多项式共有个不同的“兄弟多项式”； ②若多项式，则的所有系数之和为； ③若多项式，则； ④若多项式，则． 则以上说法正确的个数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查已知字母的值求代数式的值，解题关键在于对进行赋值，即对其取，得到不同的多项式进行加减运算进而求得结果．①理解兄弟多项式的含义，对多项式的三项系数进行互换共有种情况，②③④取和，代入各式中即可得出代数式的值． 【详解】解：①多项式，互相交换任意两个系数共有种不同结果，所以共有个不同的“兄弟多项式”，故①正确，符合题意； ②若多项式，且，则取时，，即的所有系数之和为，当为偶数时，系数之和为，当为奇数时，系数之和为，故②正确，符合题意； ③若多项式，，取时，，取时，，两式相加得，解得：，故③正确，符合题意； ④若多项式，，取时，，取时，，两式相减得，解得：，故④正确，符合题意； 故选：D． 3．（24-25七年级上·辽宁大连·期末）综合与实践 【问题背景】在小学，我们知道像12，27，36，45，108，…… 这样的自然数能被3整除．一般的，如果一个自然数的所有数位上的数字之和能被3整除，那么这个自然数就能被3整除．我们可以论证这个结论的正确性．以三位数为例，设是一个三位数，若可以被3整除，则这个数可以被3整除．论证过程如下：，显然能被3整除，因此，如果可以被3整除，那么就能被3整除． 【拓展探究】小聪在学习完课本上的数学活动后，对数的整除很感兴趣， 于是自己研究了被7整除的数的特征，先从两位数开始研究： 两位数 十位数字 个位数字 10位数字减个位数字的2倍 14 1 4 21 2 1 28 2 8 35 3 5 … … … … 98 9 8 他发现如果一个两位数的十位数字减去个位数字的2倍得到的结果是7的倍数，那么这个两位数就能被7整除． (1)请你仿照问题背景中的代数推理方法验证小聪发现的结论； (2)小聪继续探究发现他得到的结论可以推广到任意正整数：假设该正整数的个位数字是，除个位数字外的部分用表示，推理过程与上面相同，依然能得到当是7的倍数时，原数能被7整除，并且该结论反之亦成立．请按照小聪推广后的结论解决下列问题： ①判断7938是否能被7整除（要求写出判断过程）； ②若一个正数能被7整除，的最后四位数为3025，求的最小值． 【答案】(1) 解：设这个两位数十位数字是，个位数字是， 则该两位数是， ， ∵是7的倍数，3不能被7整除， ∴当是7的倍数时，原两位数是7的倍数； (2)①7938能被7整除，理由： ∵，显然，777能被7整除 ∴是7的倍数， ∴7938能被7整除； ②的最小值为53025 【分析】本题考查了有理数运算和整式的加减应用： （1）设这个两位数十位数字是，个位数字是，表示出这个两位数，利用整式加减法凑出7的倍数，再根据余下部分是7的倍数即可解答； （2）①根据结论可得，即可判断；②设，根据能被7整除，得到是7的倍数，再将变形为，即可得到是7的倍数，进而求得m的最小值． 【详解】（1）略 （2）解：①略 ②设， ∵能被7整除， ∴是7的倍数， 即是7的倍数， ∵， ∴是7的倍数，. ∵是正整数， ∴的最小值为5， ∴的最小值为53025． 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $