3.3 探索与表达规律（分层作业）数学北师大版2024版七年级上册

3.3 探索与表达规律 1．（2025·云南昭通·一模）按一定规律排列的代数式：，，，，……，第n个代数式是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·全国·假期作业）循环小数的小数部分第十六位数字是（　　） A．6 B．8 C．9 3．（24-25七年级下·全国·假期作业）如图摆1个三角形用3根小棒，摆2个三角形用5根小棒，摆3个三角形用7根小棒．照这样，摆12个三角形用（　　）根小棒． A．25 B．24 C．36 4．（24-25七年级下·全国·假期作业）将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放：第1个图形有6个小圆，第2个图形有10个小圆，第3个图形有16个小圆，第4个图形有24个小圆，……依此规律，第10个图形有（　　）个小图． A．110 B．114 C．112 D．120 5．（24-25七年级下·全国·假期作业）用黑、白两种颜色的正方形按下图中的规律拼图案．第1个图中有4个白色正方形，第2个图中有7个白色正方形，第3个图中有10个白色正方形……，则第10个图中有（　　）个白色正方形． A．24 B．27 C．31 D．40 6．（2025·浙江杭州·模拟预测）如图，用棋子摆出一组形如正方形的图形，按照这种方法摆下去，摆第⑦个图形需要棋子（   ） A．28枚 B．26枚 C．24枚 D．20枚 7．（2025·贵州铜仁·三模）如图，每一幅图中均含有若干个正方形，第1幅图中有1个正方形；第2幅图中有5个正方形……按这样的规律下去，第6幅图中正方形的个数为（   ） A．140 B．91 C．76 D．55 8.（2025年浙江省强基计划数学优质模拟卷（一））从到连续自然数的平方和的个位数是（     ） A．0 B．3 C．4 D．9 9．（2025·上海宝山·模拟预测）如图，观察方框中数字的规律，并根据你得到的规律，猜想字母e表示的数为 10．（2025·陕西西安·模拟预测）观察下列图形：它们是按一定规律排列的，依此规律，第10个图形共有 个★． 11．（2025·江苏泰州·二模）如图所示的运算程序中，若第1次输入的x值为81，则第2025次输出的结果 ． 12．（24-25七年级下·西藏日喀则·期中）下列图形是用围棋按一定规律摆放的，根据摆放的规律，第20个图中围棋子的个数是 ． 1．（24-25七年级下·河北保定·期中）观察下列等式： ； ； ； …… 根据以上规律计算的值是（   ） A． B． C． D． 2.（24-25七年级下·全国·假期作业）将从1开始的连续自然数依次排列成如图所示的形式．观察规律，第20行的第3个数是( ) 3．（24-25七年级下·全国·假期作业）如图，在各个手指间标记字母、、、．请你按图中箭头所指方向（即的方式）从开始数连续的正整数1，2，3，4，…，当字母第200次出现时，恰好数到的数是( ) 4．（2025·江西九江·二模）某景点的夜景灯图案是按一定规律连线组成的，如图，第①个图案一共有4个夜景灯，第②个图案一共有7个夜景灯，第③个图案一共有10个夜景灯…按此规律排列下去，第ⓝ个图案中夜景灯的个数为 ． 5．（24-25七年级下·重庆渝北·期中）一个两位正整数，如果将这个两位数的十位数字和个位数字交换，得到另一个两位正整数，那么我们把这样的两个正整数，互称为“颠倒数”，并规定，则 ，若已知正整数，互为颠倒数，恰好是一个正整数的平方，且的十位数字是3的倍数，则满足条件的所有两位数的和是 ． 6．（24-25七年级下·天津南开·期中）如图，将正整数按以下规律排列： 第一列 第二列 第三列 第四列 第五列 … 第一行 1 4 5 16 17 … 第二行 2 3 6 15 … … 第三行 9 8 7 14 … … 第四行 10 11 12 13 … … 第五行 … 表中数1在第一行第一列，与有序数对对应，2在第二行第一列，与有序数对对应，数9与对应，数10与对应，…，根据这一规律，数对应的有序数对为 ． 7．（2025·山东枣庄·三模）将连续的正整数排成如图所示的数表，记为数表中第行第列位置的数字，如，，，若，则 ， ．    8．（24-25七年级下·广东揭阳·期中）观察下列各式 (1)根据以上规律，则______； (2)你能否由此归纳出一般规律______； (3)根据以上规律求的结果． 1．（24-25九年级下·北京·阶段练习）“阿凡提巧取七环”的故事是这样的：一个地主非常自负和刻薄，经常出难题借以克扣长工的工钱．有一回，他用纯银打了个七连环作为工钱，请人做工七天，要求打工者只能断开其中的一环，干几天就取几个银环，不能多取，也不能少取．很多打工者因为不能完成这个任务，而没能拿到工钱．聪明的阿凡提先将第三环断开，第一天取走断开的那一环；第二天，阿凡提还给地主断开的那一环，拿走两连环；第三天，阿凡提再拿走断开的那一环；第四天，用前三天拿走的三个环去换四连环；第五天再拿走断开的那一环；第六天，还给断开的那一环，拿走两连环；第七天再取走断开的那一个环，正好是七环．如图所示： 断开前： 断开后： 如果老板有一个23连环，同样要求干几天取几个环，你能像阿凡提那样只断开其中的两个环，在23天的工作时间内每天都能顺利拿到工钱吗？如果能，请说出需要断开第 号和第 号环． 2．（2025·山东青岛·模拟预测）如图，在边长都为a的正方形内分别排列着一些大小相等的圆．    (1)根据图中的规律，第4个正方形内圆的个数是________，第n个正方形内圆的个数是________． (2)如果把正方形内除去圆的部分都涂上阴影 ①第1个正方形中阴影部分的面积为________，第n个正方形中阴影部分的面积为________（用含a的代数式表示，结果保留）． ②若，请直接写出第2 024个正方形中阴影部分的面积：________（结果保留）． 3．（2025·四川资阳·模拟预测）《庄子·天下》：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”意思是说：一尺长的木棍，每天截掉一半，永远也截不完．我国智慧的古代人在两千多年前就有了数学极限思想，今天我们运用此数学思想研究下列问题． （规律探索） (1)如图1所示的是边长为1的正方形，将它剪掉一半，则，如图2，在图1的基础上，将阴影部分再裁剪掉—半，则____； 同种操作，如图3，_____； 如图4，________； ……若同种地操作n次，则_________． 于是归纳得到：_________． (2)阅读材料：求的值． 解：设①， 将①×2得：②， 由②-①得：，即． 即 根据上述材料，试求出的表达式，写出推导过程． 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.3 探索与表达规律 1．（2025·云南昭通·一模）按一定规律排列的代数式：，，，，……，第n个代数式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查代数式的规律探索．根据所给多项式，观察各部分的变化，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由所给多项式可知， 的次数依次为，，，…， 所以第个多项式中的次数为； 的系数依次为，，，…， 所以第个多项式为． 故选：A． 2．（24-25七年级下·全国·假期作业）循环小数的小数部分第十六位数字是（　　） A．6 B．8 C．9 【答案】A 【分析】本题考查循环小数循环节的应用，解题关键是确定循环节位数，通过除法运算的商和余数判断对应位置数字． 先确定循环节的位数，再用16除以循环节位数，根据余数判断第十六位数字． 【详解】解：循环小数的循环节是689，循环节的位数是3． ，其中商表示循环节完整出现5次，余数1表示第16位是下一个循环节的第1位数字． ∵循环节689的第1位数字是6， ∴小数部分第十六位数字是6， 故选：A． 3．（24-25七年级下·全国·假期作业）如图摆1个三角形用3根小棒，摆2个三角形用5根小棒，摆3个三角形用7根小棒．照这样，摆12个三角形用（　　）根小棒． A．25 B．24 C．36 【答案】A 【分析】本题考查了图形类规律探究，找出规律是解题的关键． 根据题意，摆1个三角形用3根小棒，摆2个三角形用5根小棒，摆3个三角形用7根小棒……发现：每增加一个三角形，小棒的数量增加2根，据此找出规律，并按规律解答． 【详解】解：观察图形可知： 摆1个三角形用3根小棒，； 摆2个三角形用5根小棒，； 摆3个三角形用7根小棒，； …… 规律：摆n个三角形用根小棒． 当时，（根） 故选：A． 4．（24-25七年级下·全国·假期作业）将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放：第1个图形有6个小圆，第2个图形有10个小圆，第3个图形有16个小圆，第4个图形有24个小圆，……依此规律，第10个图形有（　　）个小图． A．110 B．114 C．112 D．120 【答案】B 【分析】本题主要考查找规律的题目，对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，再进行解答．根据图分析，可知第一个图形是个小圆，第二个图形是个小圆，第三个图形是由此即可知道第n个图形就是，问第10个图形有多少个小圆，把代入公式即可． 【详解】解：根据题意，得 ， 故选：B． 5．（24-25七年级下·全国·假期作业）用黑、白两种颜色的正方形按下图中的规律拼图案．第1个图中有4个白色正方形，第2个图中有7个白色正方形，第3个图中有10个白色正方形……，则第10个图中有（　　）个白色正方形． A．24 B．27 C．31 D．40 【答案】C 【分析】本题主要考查了图形规律探索，能够根据图形的不同找出规律是解题的关键．对比两个相邻的图的不同之处，发现后一个图是在前一个图的右侧再添上了1个黑色正方形和3个白色正方形．因此第n个图中的白色正方形的个数是，即，据此求解． 【详解】解：根据分析，第n个图中的白色正方形的个数是： ， 当时，， ∴第10个图中有31个白色正方形． 故选：C． 6．（2025·浙江杭州·模拟预测）如图，用棋子摆出一组形如正方形的图形，按照这种方法摆下去，摆第⑦个图形需要棋子（   ） A．28枚 B．26枚 C．24枚 D．20枚 【答案】A 【分析】本题主要考查了图形类的规律探索，观察可知，每个图形棋子的个数即为序号的4倍，据此可得答案． 【详解】解：第①个图形需要枚棋子， 第②个图形需要枚棋子， 第③个图形需要枚棋子， ……， 以此类推可得，第n个图形需要枚棋子， ∴第⑦个图形需要棋子枚， 故选：A． 7．（2025·贵州铜仁·三模）如图，每一幅图中均含有若干个正方形，第1幅图中有1个正方形；第2幅图中有5个正方形……按这样的规律下去，第6幅图中正方形的个数为（   ） A．140 B．91 C．76 D．55 【答案】B 【分析】本题主要考查了图形类的规律探索，根据前4幅图中正方形的个数可得第n幅图有个正方形，据此规律求解即可． 【详解】解：第1幅图中有个正方形， 第2幅图中有个正方形， 第3幅图中有个正方形， 第4幅图中有个正方形， ……， 以此类推可得，第n幅图有个正方形， ∴第6幅图中正方形的个数为个正方形， 故选；B． 8.（2025年浙江省强基计划数学优质模拟卷（一））从到连续自然数的平方和的个位数是（     ） A．0 B．3 C．4 D．9 【答案】C 【分析】本题考查了数字类规律探究；计算连续自然数平方和的个位数，只需关注每个数平方后的个位数之和的个位． 【详解】解：每个数的平方个位数仅由其个位数字决定．的平方个位依次为，，，，，，，，，，每个数的平方个位数之和为，个位为． 个数包含个完整周期（个数），余下个数为、、，其个位分别为、、． 个周期的个位和为，个位为． 余下数的平方个位为，个位为． 总和的个位为． 故选：C． 9．（2025·上海宝山·模拟预测）如图，观察方框中数字的规律，并根据你得到的规律，猜想字母e表示的数为 【答案】 【分析】本题考查了数字类规律探索，能根据题意发现各方框中数字之间的关系是解题的关键． 根据所给图形，观察各方框中数字之间的关系，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由图可知： ， ， ， ， 故答案为：． 10．（2025·陕西西安·模拟预测）观察下列图形：它们是按一定规律排列的，依此规律，第10个图形共有 个★． 【答案】24 【分析】本题主要考查了图形变化的规律，根据所给图形，依次求出★的个数，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由所给图形可知， 第1个图形中★的个数为：； 第2个图形中★的个数为：； 第3个图形中★的个数为：； …， 所以第n个图形中★的个数为（2n+4）个． 当时，（个）， 即第10个图形中★的个数为24个． 故答案为：24． 11．（2025·江苏泰州·二模）如图所示的运算程序中，若第1次输入的x值为81，则第2025次输出的结果 ． 【答案】3 【分析】本题考查数字的变化规律，求代数式的值，有理数的运算，分别求出第一次输出，第二次输出，第三次输出，第四次输出，第五次输出，第六次输出，……由此可得，奇数次输出，即可求解．能够通过所给例子，找到循环规律是解题的关键． 【详解】解：由题可知，第一次输出， 第二次输出， 第三次输出， 第四次输出， 第五次输出， 第六次输出， ……， 由此可得，从第三次开始，每两次一个循环，奇数次输出 ∴第次输出的结果为． 故答案为：． 12．（24-25七年级下·西藏日喀则·期中）下列图形是用围棋按一定规律摆放的，根据摆放的规律，第20个图中围棋子的个数是 ． 【答案】420 【分析】本题考查了图形类规律探究，正确得到规律是解题的关键； 根据前几个图形中围棋子的数量即可找到规律：图n有个棋子，即可得解. 【详解】解：图1有2个棋子，， 图2有6个棋子，， 图3有12个棋子，， 图4有20个棋子，， ……， 所以图n有个棋子； 所以第20个图中围棋子的个数是； 故答案为：420. 1．（24-25七年级下·河北保定·期中）观察下列等式： ； ； ； …… 根据以上规律计算的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查数字的变化规律，题目中的等式表明，，即多项式求和可转化为除以．将题目中的求和式 与上述规律关联，通过添加并减去常数项1，构造符合规律的形式．直接应用公式验证结果，确保答案正确性． 解题的关键是根据题意找出规律． 【详解】解：当时，有， 左边可化简为：． 因此，． 题目要求的和为，即缺少常数项1． 因此：． 将1通分后合并：． 故选：C． 2.（24-25七年级下·全国·假期作业）将从1开始的连续自然数依次排列成如图所示的形式．观察规律，第20行的第3个数是( ) 【答案】193 【分析】本题主要考查数字规律，由图可知第1行有1个数，第2行有2个数，第3行有3个数，由此规律可得第19行有19个数；且第19行最后一个数为，计算出第19行的最后一个数，则第20行的第3个数为第19行最后一个数，据此解答． 【详解】解： ， ． 因此第20行的第3个数是193． 故答案为：193． 3．（24-25七年级下·全国·假期作业）如图，在各个手指间标记字母、、、．请你按图中箭头所指方向（即的方式）从开始数连续的正整数1，2，3，4，…，当字母第200次出现时，恰好数到的数是( ) 【答案】599 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，由题可知每6个数为1个周期，1个周期中字母出现2次，先用200除以2求出循环的周期数，再乘6，然后再减去最后一个数字即可． 【详解】解：因为，对应的数分别为1，2，3，4，5，6，7，8，9，…， 所以6个数为1个周期，1个周期中字母出现2次， 因为 所以当字母C第200次出现时，恰好数到的数是599， 故答案为：599． 4．（2025·江西九江·二模）某景点的夜景灯图案是按一定规律连线组成的，如图，第①个图案一共有4个夜景灯，第②个图案一共有7个夜景灯，第③个图案一共有10个夜景灯…按此规律排列下去，第ⓝ个图案中夜景灯的个数为 ． 【答案】 【分析】第①个图案中夜景灯的个数为；第②个图案中夜景灯的个数为；第③个图案中夜景灯的个数为所以第n个图案中夜景灯的个数为． 本题考查了整式的规律探解，掌握发现规律并表示规律是解题的关键 【详解】解： 第①个图案中夜景灯的个数为；第②个图案中夜景灯的个数为；第③个图案中夜景灯的个数为 所以第n个图案中夜景灯的个数为． 故答案为：． 5．（24-25七年级下·重庆渝北·期中）一个两位正整数，如果将这个两位数的十位数字和个位数字交换，得到另一个两位正整数，那么我们把这样的两个正整数，互称为“颠倒数”，并规定，则 ，若已知正整数，互为颠倒数，恰好是一个正整数的平方，且的十位数字是3的倍数，则满足条件的所有两位数的和是 ． 【答案】 18 283 【分析】本题考查了新定义，整式的加减的应用，根据“颠倒数”的定义求即可；设的个位数为，分三种情况讨论：的十位数字是3，的十位数字是6，的十位数字是9，根据“颠倒数”的定义求，结合恰好是一个正整数的平方求解即可． 【详解】解：， 设的个位数为， ∵的十位数字是3的倍数， ∴的十位数字可能是3，6，9， 当的十位数字可能是3时，， ∵恰好是一个正整数的平方， ∴，此时， ∴两位数A为31； 当的十位数字可能是6时，， ∵恰好是一个正整数的平方， ∴，此时， ∴两位数A为64； 当的十位数字可能是9时，，， ∵恰好是一个正整数的平方， ∴，此时；，此时， ∴两位数A为91或97； ∴所有两位数A的和为， 故答案为：18；283． 6．（24-25七年级下·天津南开·期中）如图，将正整数按以下规律排列： 第一列 第二列 第三列 第四列 第五列 … 第一行 1 4 5 16 17 … 第二行 2 3 6 15 … … 第三行 9 8 7 14 … … 第四行 10 11 12 13 … … 第五行 … 表中数1在第一行第一列，与有序数对对应，2在第二行第一列，与有序数对对应，数9与对应，数10与对应，…，根据这一规律，数对应的有序数对为 ． 【答案】 【分析】本题考查了规律型中数字的变换类，解题的关键是找出变换规律“当n为偶数时，第n列第一行数为，第n列第二行数为，第n列第三行数为，…”．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据偶数列首位数的变化，找出变化规律是关键． 设第n列第一个数为（n为正整数），观察发现偶数列第一个数变化规律为：当n为偶数时，第n列第一行数为，第n列第二行数为，第n列第三行数为，…再根据，得出399在第20列第二行，即可得出答案． 【详解】解：设第n列第一个数为（n为正整数）， 观察偶数列第一个数：，，，… ∴发现偶数列第一个数变化规律为：当n为偶数时，第n列第一行数为， 第n列第二行数为，第n列第三行数为，… ∵ ∴399在第20列第二行， ∴数对应的有序数对为． 故答案为：． 7．（2025·山东枣庄·三模）将连续的正整数排成如图所示的数表，记为数表中第行第列位置的数字，如，，，若，则 ， ．    【答案】 【分析】本题考查了探究规律—数字类，由图得对于整数，当为奇数时，在第行，第列；整数在行，第列；整数在第行，第列；当为偶数时，在第行，第列；整数在第行，第列；整数在第行，第列；即可求解；找出规律是解题的关键． 【详解】解：由图得 对于整数， 当为奇数时，在第行，第列；整数在行，第列；整数在第行，第列； 当为偶数时，在第行，第列；整数在第行，第列；整数在第行，第列； ， ， 在第行，第列， ，， 故答案为：，． 8．（24-25七年级下·广东揭阳·期中）观察下列各式 (1)根据以上规律，则______； (2)你能否由此归纳出一般规律______； (3)根据以上规律求的结果． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了平方差公式以及规律型问题，弄清题意、发现数字的变化规律是解答本题的关键． （1）仿照已知等式写出答案即可； （2）先归纳总结出规律，然后按规律解答即可； （3）先利用得出规律的变形，然后利用规律解答即可． 【详解】（1）解：观察题中已有等式规律，可得出： ， ， ， ， ， ∴原式=． 故答案为：． （2）通过观察总结可知：当前面的多项式最高次数为n时，得数的x次数应该为n+1， ． 故答案为：． （3）原式 ． 1．（24-25九年级下·北京·阶段练习）“阿凡提巧取七环”的故事是这样的：一个地主非常自负和刻薄，经常出难题借以克扣长工的工钱．有一回，他用纯银打了个七连环作为工钱，请人做工七天，要求打工者只能断开其中的一环，干几天就取几个银环，不能多取，也不能少取．很多打工者因为不能完成这个任务，而没能拿到工钱．聪明的阿凡提先将第三环断开，第一天取走断开的那一环；第二天，阿凡提还给地主断开的那一环，拿走两连环；第三天，阿凡提再拿走断开的那一环；第四天，用前三天拿走的三个环去换四连环；第五天再拿走断开的那一环；第六天，还给断开的那一环，拿走两连环；第七天再取走断开的那一个环，正好是七环．如图所示： 断开前： 断开后： 如果老板有一个23连环，同样要求干几天取几个环，你能像阿凡提那样只断开其中的两个环，在23天的工作时间内每天都能顺利拿到工钱吗？如果能，请说出需要断开第 号和第 号环． 【答案】 【分析】本题主要考查了逻辑推理和数字组合的概念，解题的关键在于通过合理断开两个环，将连环拆分成不同数量的小部分，使得这些小部分能够通过组合和交换的方式，满足每天获取对应数量银环的要求．根据题意尝试找出一种合理的拆分方式，然后根据每天的获取规则来验证是否可行即可得解． 【详解】解：断开第环和第环，断开后形成了个(第环断开产生)单环、个单环(第环断开产生)、一个环(环)、一个环(环)、一个环(环)， 每天获取工钱的具体方式如下， 第天，取走个单环(此时手里有个环)， 第天，再取走个单环(此时手里有个环)， 第天，还回个单环，取走一个环(此时手里有个环)， 第天，取走个单环(此时手里有个环)， 第天，再取走个单环(此时手里有个环)， 第天，还回手里的个环，取一个环(此时手里有个环)， 第天，取走个单环(此时手里有个环)， 第天，再取走个单环(此时手里有个环)， 第天，还回手里的个单环，取走一个环(此时手里有个环)， 第天，取走个单环(此时手里有个环)， 第天，再取走个单环(此时手里有个环)， 第天，还回手里的个环，取走一个环(此时手里有个环)， 第天，取走个单环(此时手里有个环)， 第天，再取走个单环(此时手里有个环)， 第天，还回个单环，取走一个环(此时手里有个环)， 第天，取走个单环(此时手里有个环)， 第天，再取走个单环(此时手里有个环)， 第天，还回手里的个单环和一个环，取一个环(此时手里有个环)， 第天，取走个单环(此时手里有个环)， 第天，再取走个单环(此时手里有个环)， 第天，还回个单环，取走一个环(此时手里有个环)， 第天，取走个单环(此时手里有个环)， 第天，再取走个单环(此时手里有个环)， 故答案为：，． 2．（2025·山东青岛·模拟预测）如图，在边长都为a的正方形内分别排列着一些大小相等的圆．    (1)根据图中的规律，第4个正方形内圆的个数是________，第n个正方形内圆的个数是________． (2)如果把正方形内除去圆的部分都涂上阴影 ①第1个正方形中阴影部分的面积为________，第n个正方形中阴影部分的面积为________（用含a的代数式表示，结果保留）． ②若，请直接写出第2 024个正方形中阴影部分的面积：________（结果保留）． 【答案】(1)16， (2)①；② 【分析】本题考查了图形类找规律，列代数式，代数式求值，整式的加减，找到规律是解题的关键． （1）分别求出前几个图形内圆的个数，发现规律进而求得第n个正方形中圆的个数； （2）①根据正方形的面积减去圆的面积求解即可；②同理可知第n个图中的阴影部分面积也是为，将代入中求解即可． 【详解】（1）解：第1个正方形内圆的个数是， 第2个正方形内圆的个数是， 第3个正方形内圆的个数是， 第4个正方形内圆的个数是， …… 第个正方形内圆的个数是． （2）①第1个正方形中，， 第个正方形中，． ②从以上计算看出各个正方形中阴影部分的面积均相等，与圆的个数无关． 第个正方形中阴影部分的面积， 当时，第2024个正方形中阴影部分的面积为． 3．（2025·四川资阳·模拟预测）《庄子·天下》：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”意思是说：一尺长的木棍，每天截掉一半，永远也截不完．我国智慧的古代人在两千多年前就有了数学极限思想，今天我们运用此数学思想研究下列问题． （规律探索） (1)如图1所示的是边长为1的正方形，将它剪掉一半，则，如图2，在图1的基础上，将阴影部分再裁剪掉—半，则____； 同种操作，如图3，_____； 如图4，________； ……若同种地操作n次，则_________． 于是归纳得到：_________． (2)阅读材料：求的值． 解：设①， 将①×2得：②， 由②-①得：，即． 即 根据上述材料，试求出的表达式，写出推导过程． 【答案】(1)，，，， (2)，过程见解析 【分析】本题考查了规律探究和乘方的应用，正确理解题意是关键； （1）根据题意提供的方法找到规律解答即可； （2）仿照题目中给的方法解答即可. 【详解】（1）解：如图1所示的是边长为1的正方形，将它剪掉一半，则， 如图2，在图1的基础上，将阴影部分再裁剪掉—半，则； 同种操作，如图3，； 如图4，； ……， 若同种地操作n次，则． 于是归纳得到：； 故答案为：，，，，； （2）解：设①， 则②， ，得， 即. 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $