专题04 全等三角形（期中真题汇编，贵州专用）八年级数学上学期

专题04 全等三角形 3大高频考点概览 考点01 全等三角形及其性质 考点02 三角形全等的判定 考点03 角的平分线 考点01 全等三角形及其性质 1．（25-26学年八上·贵州遵义桐梓县·期中）如图，已知，若，，则的长度为（   ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【分析】 本题考查了全等三角形的性质，线段和差的计算，掌握全等三角形的性质是解题的关键．根据全等三角形的性质得出，，根据，即可求解． 【详解】 解：∵，，， ∴，， ∴， 故选：C 2．（25-26学年八上·期中）如图，若，则的对应边是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查全等三角形的性质，根据给定的几何语言，找到对应边即可． 【详解】 解：∵， ∴；即：的对应边是； 故选A． 3．（25-26学年八上·贵州遵义·期中）如图，，则的度数是（   ） A.  B. 73° C.  D.  【答案】A 【分析】 由可得，进而可得的度数． 本题考查了全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应角相等是解题关键． 【详解】 解：， ， 由图可知， ， 故选:A． 4．（25-26学年八上·贵州黔东南州凯里第十中学·期中）如图，点、、在同一直线上，若，，，则等于（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形的对应边相等． 由全等三角形的性质推出，，求出，即可得到的长． 【详解】 解：， ，， ， ， ． 故选：C． 5．（25-26学年八上·贵州遵义余庆县·期中）如图，已知，若，则的度数为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查全等三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握相关性质是解题的关键，利用全等三角形的性质得，再利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 6．（25-26学年八上·贵州凯里第一初级中学·期中）下列说法错误的是（       ） A. 两个全等的图形的面积一定相等 B. 两直线平行，内错角相等 C. 形状相同的两个图形一定全等 D. 直角三角形的两个锐角互余 【答案】C 【分析】 本题考查几何概念的正确性，需判断各选项是否符合初中数学知识．全等图形面积相等、两直线平行内错角相等、直角三角形两锐角互余均正确；形状相同的图形不一定全等． 【详解】 解：A．两个全等的图形的面积一定相等，故A正确，不符合题意； B．两直线平行，内错角相等，故B正确，不符合题意； C．形状相同的图形可能大小不同，因此不一定全等，故C错误，符合题意； D．直角三角形中两个锐角互余，故D正确，不符合题意． 故选：C． 7．（25-26学年八上·贵州黔西南布依族苗族自治州兴仁屯脚镇屯脚中学·期中）下列图形中与已知图形全等的是（） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查图形全等的定义，能够重合的平面图形为全等图形，将各个选项图形与已知图形就行对比即可得到答案． 【详解】 解：B选项的图形和已知图形能够重合，故两个图形全等，其他选项的图形均不能与已知图形完全重合． 故选：B． 8．（25-26学年八上·贵州黔东南苗族·期中）如图，，，，点在同一条直线上，则的度数为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查全等三角形的性质，根据全等三角形的对应角相等，可得，，再根据平角的定义求解． 【详解】 解：，，， ，， 点在同一条直线上， ， 故选C． 9．（25-26学年八上·期中）如图，，点B，F，C，E共线，和交于点O．若，，则的度数为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了全等三角形的性质及三角形内角和定理与外角的性质．根据题意得出，，，再根据三角形内角和定理得出，最后通过三角形外角的性质求得的度数． 【详解】 解：∵，，， ∴，，， 在和中，由三角形内角和定理得：， ∴． 故选：C． 10．（25-26学年八上·贵州安顺紫云苗族布依族自治县第三中学·期中）如果的三边长分别为，的三边长分别为，，，若这两个三角形全等，则的值是（     ） A.  B. 或 C.  D. 或 【答案】D 【分析】 本题考查了全等三角形的性质，根据全等三角形的对应边相等分两种情况解答即可求解，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】 解：∵与全等， ∴有两种情况：①，， 解得，， ∴； ②，， 解得，， ∴； ∴的值是或， 故选：． 11．（25-26学年八上·期中）如果，若，，，则　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 此题考查全等三角形的性质．根据全等三角形的对应角相等以及三角形的内角和是求解． 【详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 12．（25-26学年八上·贵州安顺·期中）如图，，若，，则的度数为　　　　　　． 【答案】105 【分析】 本题主要考查了全等三角形的性质，直接利用全等三角形的性质得出答案． 【详解】 解：， ，， ， 故答案为： 13．（25-26学年八上·贵州黔东南州·期中）如图，，直角顶点C，E在x轴上，点A，D的坐标分别是，，则点B的坐标是　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查的是全等三角形的性质，坐标与图形，先求解，，，，再结合全等三角形的性质可得答案. 【详解】 解：∵点A，D的坐标分别是，， ∴，，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴； 故答案为： 14．（25-26学年八上·期中）如图，已知，点D是上一点，交于点E． （1）探索与的位置关系，并说明理由； （2）若，求的长． 【答案】（1） 解：，理由如下： ， ， ；     （2）3      【分析】 本题考查全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的对应角相等，对应边相等，是解题的关键： （1）根据全等三角形的性质，得到，根据内错角相等，两直线平行，即可得出结论； （2）根据全等三角形的性质，得到，根据线段的和差关系即可得出结果． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ， ； ． 15．（25-26学年八上·期中）如图，，B，C，D在同一直线上，且，，则　　　　　　　　　　　． 【答案】7 【分析】 本题考查了全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键． 由可知，，作答即可． 【详解】 解：， ． 故答案为：7． 16．（25-26学年八上·贵州遵义第十一中学·期中）为了证明“三角形的内角和是”，综合实践小组给出了如图所示的四种作辅助线的方法． （1）其中不能证明“三角形的内角和是”的是______（填选项）； A．如图1，过点C作 B．如图2，作 C．如图3，过上一点D作， D．如图4，过点C作 （2）请选择可以证明“三角形的内角和为”的一幅图加以证明． 【答案】（1）A     （2） 选择图2（选项B）证明 已知：，作． 求证：． 证明：延长至E， ∵， ∴． ∵， ∴， ∵，又（全等三角形对应角相等） ∴（等量代换）． 即三角形的内角和是． 选择图3（选项C）证明： 已知：． 求证：． 证明：∵， ∴， ∵， ∴． 选择图4（选项D）进行证明： 已知：． 求证：． 证明：过点C作延长至 ∴（两直线平行，内错角相等）， （两直线平行，同位角相等）． ∵（平角的定义）， ∴（等量代换）． 即三角形的内角和是．      【分析】 本题考查了三角形内角和定理的证明及辅助线的作用，解题的关键是理解不同辅助线构造思路与平行线性质、全等三角形性质的结合，判断能否转化角的关系证明内角和为 ． （1）分析各选项辅助线作用：选项A作无法建立角之间的转化关系，不能证明；选项B利用全等三角形性质可转化角；选项C通过平行线性质转移角；选项D借助平行线将角转化为平角，故不能证明的是A． （2）选择合适图形，如选项利用平行线的性质（内错角相等、同位角相等）将三角形三个内角转化为一个平角，进而证明内角和为． (1) 小问详解： 分析各选项辅助线能否实现角的转化： 选项过点C作此辅助线无法建立三角形内角与其他角的等量关系，不能证明三角形内角和是． 选项作可利用全等三角形对应角相等转化角的关系，能证明． 选项过上一点D作可利用平行线内错角相等转移角，能证明． 选项过点C作可利用平行线内错角相等将内角转化为平角，能证明． 故答案为：A． (2) 小问详解： 略 17．（25-26学年八上·贵州黔西南布依族苗族自治州兴仁屯脚镇屯脚中学·期中）如图，已知． （1）若，求的长； （2）若，求的度数． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． （1）利用全等三角形的性质得到，进而求解即可； （2）利用全等三角形的性质得到，再利用三角形内角和运算求解即可． (1) 小问详解： 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； (2) 小问详解： ∵， ∴， ∵， ∴， 考点02 三角形全等的判定 1．（25-26学年八上·贵州遵义余庆县·期中）根据下列条件，能画出唯一的是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查的是全等三角形的判定，三角形的三边关系，根据全等三角形的判定条件逐一分析各选项，判断是否能唯一确定. 【详解】 解：A. 已知，但在非直角或钝角时无法唯一确定三角形，可能存在两种不同形状，故排除； B. 已知（直角三角形斜边），但未给出另一条边或角，无法确定直角边长度，条件不足，排除； C. 已知（），符合边角边全等判定定理，能唯一确定三角形，符合条件； D. ，因，不满足三角形三边关系，无法构成三角形，排除； 故选C 2．（25-26学年八上·贵州黔东南苗族·期中）如图所示，某同学不小心把一块三角形玻璃打碎成三部分，现要去配制一块与原来相同的三角形玻璃，那么应带哪一片碎玻璃（     ） A.  B.  C.  D. 无法确定 【答案】C 【分析】 本题考查了全等三角形的判定，关键是熟悉三角形的判定定理，看那块可以符合全等三角形的条件． 【详解】 解：两角一夹边对应相等，两个三角形全等， 带③ 去就可以， 故选：C． 3．（25-26学年八上·贵州黔东南州·期中）如图所示，若，，则可判定，这是根据（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了全等三角形的判定，解题的关键是掌握全等三角形的判定方法．由，，，可证明，据此解答即可． 【详解】 解：，，， ， 故选：D． 4．（25-26学年八上·贵州遵义·期中）如图，已知，，添加下列哪个条件可使（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了全等三角形的判定定理，根据两组对应角相等，再确定一组对应边相等即可得出结论． 【详解】 解：A．∵， ∴， ∴ 又，， ∴，故本选项符合题意； B．∵，， ∴不能得出，故本选项不符合题意； C、∵，不是对应边， ∴不能得出，故本选项不符合题意； D、∵， ∴， ∴， 又，， ∴不能得出，故本选项不符合题意； 故选：A． 5．（25-26学年八上·贵州安顺紫云苗族布依族自治县第三中学·期中）如图，于点，，添加下列一个条件后，能使用“”判定的条件是（     ） A.  B. 与互余 C.  D.  【答案】D 【分析】 本题主要考查了直角三角形的判定，熟记“”定理是解题的关键，要利用“”判定，由已知于点，，得必须添加斜边相等即可． 【详解】 解：于，， ∴利用“”判定必须添加斜边相等，即， 故选：． 6．（25-26学年八上·贵州黔东南州凯里第十中学·期中）在与中，，添加下列条件后，仍不能得到的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题已知条件一边和一角，可以添加一边，利用可证三角形全等，一角或，利用证明全等． 【详解】 A．，，根据可判定，故A可以判定，不符合题意． B．已知，可证，再加上，根据可判定，故B可以判定，不符合题意． C．，，无法根据判定，故C不可以判定，符合题意． D．， ，根据可判定，故D可以判定，不符合题意． 故选：C． 【点睛】 本题主要考查三角形全等的判定方法，主要有、、、、，要特别注意是不能作为判定全等三角形全等的定理． 7．（25-26学年八上·贵州毕节第一中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，分别在轴，轴上，，，若，，则点的坐标为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 该题考查了坐标与图形，全等三角形的性质和判定，如图，过点C作轴，则，证明，得出，，即可解答． 【详解】 解：如图，过点C作轴， 则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故选：B． 8．（25-26学年八上·贵州遵义桐梓县·期中）如图，点C在∠AOB的OB边上，用尺规作出了CN∥OA，连接EN，作图痕迹中，△ODM≌△CEN根据的是（       ） A. SAS B. SSS C. ASA D. AAS 【答案】B 【分析】 认真阅读作法，可得出，结论可得． 【详解】 解：根据题意得：， ∴△ODM≌△CEN的依据是“”， 故选：B． 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：．注意：不能判定两个三角形全等． 9．（25-26学年八上·贵州遵义余庆县·期中）如图，表示两根长度相同的木条，若O是的中点，经测量，则容器的内径为（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题主要考查了全等三角形的性质与判定，先由线段中点的定义得到，再利用证明，即可得到． 【详解】 解：∵O是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故选：A． 10．（25-26学年八上·贵州凯里第一初级中学·期中）如图，，，，则的依据是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定．先求得，再利用证明即可． 【详解】 解：∵， ∴，即， ∵，， ∴， 故选：D． 11．（25-26学年八上·贵州黔南布依族苗族自治州平塘县·期中）如图，AE∥DF，AE=DF，要使△EAC≌△FDB，需要添加下列选项中的（        ） A. AB=CD B. EC=BF C. ∠A=∠D D. AB=BC 【答案】A 【详解】 解：∵AE∥DF， ∴∠A=∠D， ∵AE=DF， ∴要使△EAC≌△FDB，还需要AC=BD， ∴当AB=CD时，可得AB+BC=BC+CD，即AC=BD， 故选A． 12．（25-26学年八上·贵州遵义第十一中学·期中）如图，为了测量B点到河对岸的目标A的距离，在与B点同侧的河岸上选择了一点C，测得，，然后在M处立了标杆，使，，测得的长是，则B点到河对岸的目标A的距离为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质，根据已知易得：， 然后利用证明，从而利用全等三角形的性质即可解答． 【详解】 解：， ， 在和中， ， 米， ∴A，B两点间的距离为15米， 故选：B． 13．（25-26学年八上·贵州遵义第十一中学·期中）如图，是锐角，点A在上，，点C在上，点A到直线的距离为3，当时，的形状、大小唯一确定，则m的取值范围是（　　） A.  B.  C. 或 D. 或 【答案】C 【分析】 本题考查全等三角形的判定，点到直线的距离，关键是要分三种情况讨论． 当时，，的形状、大小唯一确定；当时，有两个；当时，的形状、大小唯一确定，于是得到m的取值范围． 【详解】 解：当时，，由判定的形状、大小唯一确定； 当时，C的位置有两个，有两个； 当时，的形状、大小唯一确定； ∴m的取值范围是或． 故选：C． 14．（25-26学年八上·贵州西南州兴仁·期中）如图所示，在中，，，于点，于点，，，则的长是 (       　) A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 此题主要考查直角三角形的全等判定与性质，首先证明，又由，，得出，，进而得出答案． 【详解】 解：∵，，，， ∴， ∴ 又∵，， ∴，， ∴． 故选B 15．（25-26学年八上·贵州安顺·期中）如图，与是直角三角形，，下列各组条件中，可以直接用“”来判定的是（       ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【分析】 本题考查了直角三角形全等的判定方法：，，，，． 根据全等三角形的判定定理求解判断即可． 【详解】 解：A、∵，，， ∴由能判定和全等，故此选项不符合题意； B、∵，，， ∴由能判定和全等，故此选项不符合题意； C、∵，，， ∴由能判定和全等，故此选项符合题意； D、∵，，， ∴由能判定和全等，故此选项不符合题意； 故选：C． 16．（25-26学年八上·贵州黔西南布依族苗族自治州兴仁屯脚镇屯脚中学·期中）如图，在综合实践课上，老师用角尺在的两边分别截取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点M，N重合，这时就是的平分线，则用角尺作角平分线的过程中用到的三角形全等的依据是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了全等三角形的判定和性质，准确理解题意是解题的关键．根据题意，利用证明，即可求解． 【详解】 解：由题意得，在和中， ∵ ， ∴， ∴，即就是的平分线， ∴用角尺作角平分线的过程中用到的三角形全等的依据是， 故选：B． 17．（2026·贵州安顺·质量检测）如图，，添加下列条件后仍不能判定的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键，全等三角形的判定定理有． 【详解】 解：添加条件，结合条件，，可以利用证明，故A不符合题意； 添加条件，结合条件，，不可以利用证明，故B符合题意； 添加条件，结合条件，，可以利用证明，故C不符合题意； 添加条件，结合条件，，可以利用证明，故D不符合题意； 故选：B． 18．（25-26学年八上·贵州黔东南州·期中）如图，点、在上，，，要使，需添加的一个条件可以是(     ) A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了全等三角形的判定定理，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．根据全等三角形判定定理逐项分析判断即可． 【详解】 解：∵， ∴，即， 又， 当时，， 添加A，B，C的条件时，不能判断， 故选：D． 19．（25-26学年八上·期中）如图，在中，，，是边上的中线，延长使得，连接，则长的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D. 无法确定 【答案】C 【分析】 本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形三边的关系，可证明，得到，根据三角形三边的关系可求出长的取值范围，进而可得长的取值范围． 【详解】 解：∵是边上的中线， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 20．（25-26学年八上·期中）如图所示是的正方形网格，的顶点都在小正方形的顶点上，像这样的三角形叫格点三角形．画与有一条公共边且全等的格点三角形，这样的格点三角形最多可以画（     ） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 【答案】B 【分析】 本题考查了全等三角形的性质，根据“画与有一条公共边且全等的格点三角形”条件进行分类讨论且作图，即可作答． 【详解】 解：如图所示： 当与有一条公共边且全等的格点三角形时，即图中的和和 当与有一条公共边且全等的格点三角形时，即图中的； 但都在同一个格点上， ∴画与有一条公共边且全等的格点三角形，这样的格点三角形最多可以画4个， 故选：B 21．（25-26学年八上·期中）如图，已知，要用证明，应补充的条件是（ ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了全等三角形的判定，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键．根据全等三角形的判定定理判断即可． 【详解】 解：在和中， ， ∴， 故选：B． 22．（25-26学年八上·贵州西南州兴仁·期中）如图，是用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，则说明的依据是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据作图方法可得，据此利用可证明，可知． 【详解】 解：由作图方法可得， ∴， ∴， 即． 23．（25-26学年八上·贵州安顺紫云苗族布依族自治县第三中学·期中）如图，已知点在第一象限角平分线上，若是直角顶点，点P在上，角两边与x轴y轴分别交于A点，B点，则等于（       ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质，坐标与图形综合，由条件可知，求出点P的坐标为，过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为D、E，由点P的坐标知，，证明，得出，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】 解：由条件可知， 解得：， 则点P的坐标为， 过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为D、E，如图， 则， ∴， ∵， ∴， 由点P的坐标知，， ∴， ∴， ∴． 答案：D． 24．（25-26学年八上·贵州遵义第十一中学·期中）2025年9月9日，常泰长江大桥正式通车．这座公铁合建双层复合型过江通道创下了最大跨度斜拉桥和最大跨度公铁两用钢桁梁拱桥的世界纪录．其斜拉桥部分侧面示意图如图所示，其中，现添加以下条件，不能判定的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了三角形全等的判定，解题的关键是掌握三角形全等的判断方法． 由，得，还有公共边，结合选项依次判断即可． 【详解】 解：A、添加，不能判定，故此选项错误，符合题意； B、添加，能判定，故此选项正确，不符合题意； C、添加，能判定，故此选项正确，不符合题意； D、添加，能判定，故此选项正确，不符合题意； 故选：A． 25．（25-26学年八上·贵州黔西南布依族苗族自治州兴仁屯脚镇屯脚中学·期中）根据下列条件，能画出唯一的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了全等三角形的判定定理和三角形三边关系，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有，两直角三角形全等还有． 根据全等三角形的判定定理和三角形的三边关系逐个判断即可． 【详解】 解：A、，不符合三角形的三边关系，不能画出三角形，故本选项不符合题意； B、，不能画出唯一的三角形，故本选项不符合题意； C、，只有一角一边，不能画出唯一的三角形，故本选项不符合题意； D、，符合全等三角形的判定定理，能画出唯一的三角形，故本选项符合题意； 故选： D． 26．（2026·贵州安顺·质量检测）小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面高的处接住她后用力一推，爸爸在处接住她．若妈妈与爸爸到的水平距离，分别为和，，则爸爸在处接住小丽时，小丽距离地面的高度是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了三角形全等的判定与性质、平行线间的距离等知识，正确找出两个全等三角形的性质是解题关键．先证出，根据全等三角形的性质可得，，则，再求出点到地面的高度，由此即可得． 【详解】 解：由题意得：，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵，与地面垂直， ∴与地面平行， ∵处距地面， ∴处距地面， ∴点距地面， 同理可得：与地面平行， ∴点到地面的高度等于点到地面的高度， ∴爸爸在处接住小丽时，小丽距离地面的高度是， 故选：B． 27．（25-26学年八上·贵州贵阳清镇广大实验学校·期中）如图，小敏将等腰直角三角板放置于直角坐标系中，直角顶点C与x轴上表示的点重合，点B坐标为，则点A的坐标为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查全等三角形的判定及性质，图形与坐标，过点，点分别作，垂直于轴，先证明，得到∴，，进而得点的坐标即可． 【详解】 解：过点，点分别作，垂直于轴， ∵点C与x轴上表示的点重合，点B坐标为， ∴，，，即：， 由题意可知，， ∴， 则， ∴， ∴， ∴，，则， ∴点的坐标为， 故选：D． 28．（25-26学年八上·贵州西南州兴仁·期中）如图，已知平分，，求证：． 【答案】证明：平分， ， ， ， ， ， （全等三角形对应边相等）． 【分析】 本题考查了全等三角形的判定． 结合题意可知此题需要利用三角形全等来证明，关键是会灵活应用角平分线的性质及邻补角相关知识． 【详解】 略 29．（25-26学年八上·贵州黔东南苗族·期中）已知：如图，，求证：． 【答案】证明：， ， ， ， 在和中， ， ， ． 【分析】 本题考查全等三角形的判定和性质，平行线的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形全等的条件，属于中考常考题型． 由，得到，由得到，然后得到，则，即可证明结论． 【详解】 略 30．（25-26学年八上·贵州黔东南州·期中）如图，点，分别在，上，，，相交于点，． 求证：． 小虎同学的证明过程如下： 证明：∵， ∴． ∵， ∴．第一步 又，， ∴第二步 ∴第三步    （1）小虎同学的证明过程中，第___________步出现错误； （2）请写出正确的证明过程． 【答案】（1）二     （2） 证明：∵， ， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ．      【分析】 （1）根据证明过程即可求解． （2）利用全等三角形的判定及性质即可求证结论． (1) 小问详解： 解：则小虎同学的证明过程中，第二步出现错误， 故答案为：二． (2) 小问详解： 略 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定及性质，熟练掌握其判定及性质是解题的关键． 31．（25-26学年八上·期中）如图．，． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：在和中， ， ∴     （2）      【分析】 本题主要考查了全等三角形的性质与判定，熟知全等三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）利用即可证明； （2）根据全等三角形对应边相等即可得到答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵， ∴． 32．（25-26学年八上·贵州安顺紫云苗族布依族自治县第三中学·期中）如图，，，．求证：． 【答案】证明：∵， ， 在和中， ， ， ∴． 【分析】 本题考查三角形全等的判定与性质：利用“角角边”证明即可． 【详解】 略 33．（25-26学年八上·贵州黔东南州凯里第十中学·期中）如图，在中，，F是上的一点，于点D，的延长线于点E，．求证：． 小虎同学的证明如下： 证明：∵，， ∴………第一步 在和中， ∴………第二步 ∴……………………第三步 （1）小虎同学的证明过程中，第          步出现错误； （2）请写出正确的证明过程； （3）请直接写出，，这三条线段之间的数量关系：                 ． 【答案】（1）二     （2） 证明：∵，， ∴， 在和中， ∴， ∴；     （3）      【分析】 本题考查了全等三角形的判定及性质，熟练掌握其判定及性质是解题的关键． （1）根据三角形全等的判定定理求解即可； （2）根据三角形全等的判定定理求解即可； （3）由得到，，然后等量代换求解即可． (1) 小问详解： 解：小虎同学的证明过程中，第二步出现错误； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：由（2）得，， ∴，， ∴． 34．（25-26学年八上·贵州黔东南州凯里第十中学·期中）如图所示的网格是正方形网格，图形的各个顶点均为格点，则∠1+∠2＝　　　． 【答案】135° 【分析】 直接利用网格证明△ABC≌△CDE，得出对应角∠1=∠3，进而得出答案． 【详解】 解：如图所示： 可知：AB=CD=3，BC=DE=1，∠B=∠D=90°， ∴△ABC≌△CDE（SAS）， ∴∠1=∠3， 则∠1+∠2=∠2+∠3=135°． 故答案为：135°． 【点睛】 此题主要考查了全等三角形的判定和性质，正确借助网格分析是解题关键． 35．（25-26学年八上·贵州遵义桐梓县·期中）如图，点B、F、C、E在同一条直线上，． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵， ∴；     （2）11      【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，判定两个三角形全等的一般方法有：，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）先根据平行线的性质得到，再由“”直接证明即可； （2）由，，再由线段和差即可得到，最后由即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 36．（25-26学年八上·贵州遵义余庆县·期中）已知：如图，，，，与全等吗？请说明理由． 【答案】解：， 理由如下： ， ，即， 在和中， ， ． 【分析】 本题考查了三角形全等的判定．由得出，再用“”证明即可得证．熟练掌握三角形全等的判定是解此题的关键． 【详解】 略 37．（25-26学年八上·贵州遵义余庆县·期中）如图，点B，F，C，E在直线l上（点F，C之间不能直接测量），点A，D在l的异侧，，，测得．    （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， 在与中 ，    ∴；     （2）      【分析】 （1）根据平行线的性质得到，由此利用证明； （2）根据全等三角形的性质得到，求出，由此求出的长． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ∵ ∴ ∴， ∵， ∴． 【点睛】 此题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，正确掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 38．（25-26学年八上·贵州遵义余庆县·期中）如图，，要使，还需要添加一个条件是　　　　　　　　（添加一个即可） 【答案】或或（添加一个即可） 【分析】 本题考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 根据全等三角形的判定定理，结合已知的相等关系，求解即可． 【详解】 在和中，，， 添加，用边角边证； 添加，用角边角证； 添加，用角角边证； 故答案为：或或． 39．（25-26学年八上·贵州凯里第一初级中学·期中）如图，C是的中点，且，请添加一个条件　　　　　　，使得． 【答案】（或，答案不唯一） 【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定．熟练掌握全等三角形的判定定理，是解决问题的关键． 要使，已知，，再根据三角形全等的判定方法，进行求解即可． 【详解】 解：∵C是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴添加或或， 可分别根据判定． 故答案为：（或，答案不唯一）． 40．（25-26学年八上·贵州黔南布依族苗族自治州平塘县·期中）综合与实践：八年级数学兴趣小组开展了测量学校旗杆的高度的实践活动，测量方案如下表： 课题 测量旗杆的高度 测量工具 测角仪、皮尺等 测量方案示意图 测量步骤 ①在平地选定一点；②测量视线与地面的夹角的度数；③测量的长度；④放置一根与长度相同的标杆，垂直于地面，并测量的长度；⑤测量视线与地面的夹角的度数． 测量数据 ，，， 请你根据兴趣小组的测量方案及数据，计算旗杆的高度． 【答案】 【分析】 本题考查了全等三角形的判定及性质，由判定，由全等三角形的性质得，即可求解． 【详解】 解：由题图可知，，， ． 在和中， ， ， ． 答：旗杆的高度为． 41．（25-26学年八上·贵州黔南布依族苗族自治州平塘县·期中）黔桂铁路贵州段即将增建二线，其主要沿既有黔桂铁路一线平行修建．如图，若要求增修的铁路二线经过点，且平行于黔桂铁路一线，请你利用直尺和圆规在图上作出符合条件的铁路二线示意图．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】如图，直线为所求作的铁路二线， 【分析】 本题考查了过直线外一点作已知直线的平行线，尺规作图：作一个角等于已知角，平行线的判定；在直线上取点，作直线，作，由同位角相等两直线平行即可求解． 【详解】 略 42．（25-26学年八上·贵州黔南布依族苗族自治州平塘县·期中）如图，在和中，，，，则的度数为　　　　　． 【答案】度 【分析】 本题考查了直角三角形的判定及性质，直角三角形的特征，由可判定，由全等三角形的性质得，由即可求解． 【详解】 解：， ， （）， ， ， ， 故答案为：． 43．（25-26学年八上·贵州遵义第十一中学·期中）如图是一款折叠凳撑开时的侧面示意图（材料宽度忽略不计），其中凳腿和的长相等，O是它们的中点．为了使折叠凳坐着舒适，厂家将撑开时的凳面宽度设计为，则撑开时的凳腿间距的长为　　　　　　． 【答案】30 【分析】 此题考查了全等三角形的应用，关键是掌握全等三角形的判定和性质．利用定理判定，再利用全等三角形的性质可得答案． 【详解】 解：∵O是和的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：30． 44．（2026·贵州安顺·质量检测）如图，在中，，，分别过点，作经过点的直线的垂线段，．若，，则的长为　　　　　　　　． 【答案】9 【分析】 本题主要考查了三角形全等的判定与性质，正确找出两个全等三角形是解题关键．先证明，根据全等三角形的性质可得，，再根据线段的和差求解即可得． 【详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：9． 45．（2026·贵州安顺·质量检测）如图，点，，，在同一条直线上，，，，与交于点． （1）求证：． （2）若，，求的度数． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵， ∴，即， 在和中， ∴．     （2）      【分析】 本题考查了三角形全等的判定与性质、平行线的性质、三角形的内角和定理，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解题关键． （1）先根据平行线的性质可得，再求出，然后根据定理即可得证； （2）先根据全等三角形的性质可得，再根据三角形的内角和定理可得，然后根据平行线的性质即可得． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由（1）已证：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 46．（25-26学年八上·贵州黔东南苗族·期中）如图，在和中，，要使，若根据“”判定，则还需要添加条件：　　　　　　．  【答案】（或） 【分析】 根据题意，是公共边，只需添加或即可解答． 本题考查了三角形全等的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键． 【详解】 解：根据题意，是公共边，只需添加或． 故答案为：或． 47．（25-26学年八上·贵州黔东南州·期中）如图，为了测量一个池塘的宽度，嘉嘉在池塘的两边各取点B，E，使得点B，F，C，E在同一条直线上，然后在直线的两侧分别取点A，D，使得，测得．若． （1）求证：； （2）求池塘的宽度． 【答案】（1） 证明： ， ， ．     （2）10米      【分析】 此题考查了全等三角形的判定及性质，平行线的性质，掌握三角形全等的判定和性质是解题的关键． （1）由得到，可证明； （2）由全等得到，再由线段的和差关系即可求解； (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ， ， ， ， 即池塘的宽度为． 48．（25-26学年八上·期中）如图，点A、D、C、F在同一条直线上，，，． （1）求证：； （2）求证：． 【答案】（1） 证明：∵， ∴，即， 在与中 ∴.     （2） 证明：∵， ∴， ∴．      【分析】 本题考查全等三角形的判定和性质，平行线的判定； （1）三边相等的两个三角形全等，由得即，与就具备了全等的条件； （2）全等三角形的对应角相等，由得到，这两个角是一组同位角，同位角相等两直线平行. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 49．（25-26学年八上·期中）如图，教学楼与操场上的旗杆相距，小林同学从教学楼B点沿走到D点，一定时间后他到达P点，此时他测得和的夹角为，且，已知，旗杆的高为，请你求出教学楼的高度． 【答案】教学楼的高度为 【分析】 本题考查的是全等三角形的判定与性质，熟记全等三角形的判定方法是解本题的关键．先证明，再结合证明，即可得到结论． 【详解】 解：∵和的夹角为， ∴． ∵， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 答：教学楼的高度为． 50．（25-26学年八上·贵州毕节·期中）如图，在平面直角坐标系中，C（4，4），点B，A分别在x轴正半轴和y轴正半轴上，∠ACB＝90°，则OA＋OB＝　　． 【答案】8 【分析】 过C作CM⊥y轴于M，CN⊥x轴于N，得出四边形CMON是正方形，推出OM=ON=CN=4，证△ACM≌△BCN，推出AM=BN，求出OA+OB=ON+OM，代入求出即可． 【详解】 解：过C作CM⊥y轴于M，CN⊥x轴于N， ∵C（4，4）， ∴CN=CM=4， ∵x轴⊥y轴， ∴∠MON=∠CNO=∠CMO=90°， ∴∠MCN=360°-90°-90°-90°=90°， 则四边形MONC是正方形， ∴OM=ON=CN=CM=4， ∵∠ACB=90°， ∴∠ACB=∠MON， ∴∠MCA=90°-∠ACN，∠BCN=90°-∠ACN， ∴∠ACM=∠BCN， 在△ACM和△BCN中， ， ∴△ACM≌△BCN（ASA）， ∴AM=BN， ∴OA+OB =OA+ON+BN =OA+ON+AM =ON+OM =4+4 =8． 故答案为：8． 【点睛】 本题考查了全等三角形的性质和判定，坐标与图形性质，关键是推出AM=BN和推出OA+OB=OM+ON． 51．（25-26学年八上·贵州遵义·期中）如图，，相交于点，连接，，平分，交延长线于． （1）给出下列三个事项：①，②，③， 请你从其中选取两个事项作为条件，另一个事项作为结论组成命题，并证明你的结论； 你选的条件：___________，结论：___________．（填序号） 证明： （2）在（1）中的条件下，若，求的度数． 【答案】（1） 当选① ② 为条件，③ 为结论时， 证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； 当选① ③ 为条件，② 为结论时， 同理可证明， ∴； 当选② ③ 为条件，① 为结论时， 在和中， ， ∴ ∴， ∴．     （2）      【分析】 本题考查全等三角形的判定与性质，全等三角形的判定方法有：、、、及，熟练掌握并灵活运用适当的判定方法是解题关键． （1）分别选择① ② ，③ 、① ③ ，② 、② ③ ，① ，利用、、证明，即可得答案； （2）由（1）可知三个条件都成立，根据平行线的性质得出，根据角平分线的定义得出，再利用平行线的性质即可得答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由（1）可知，无论怎么选择，三个条件都成立， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 52．（25-26学年八上·贵州安顺紫云苗族布依族自治县第三中学·期中）（1）如图①，已知：中，，，直线m经过点A，于D，于E，求证：； （2）拓展：如图②，将（1）中的条件改为：中，，D、A、E三点都在直线m上，并且，为任意锐角或钝角，请问结论是否成立？如成立，请证明；若不成立，请说明理由； （3）应用：如图③，在中，是钝角，，，，直线m与的延长线交于点F，若，的面积是12，求与的面积之和． 【答案】（1）证明：直线，直线， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； （2）解：结论成立；理由如下： ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； （3）6 【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，不同底等高的两个三角形的面积之比等于底的比．熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）证明，则，，； （2）同理（1）证明即可； （3）同理（2）可得，，则，设的底边上的高为，则的底边上的高为，，，由，可得，根据，求解作答即可． 【详解】 （1）略 （2）略 （3）解：同理（2）可得，， ∴， 设的底边上的高为，则的底边上的高为， ∴，， ， ∴， ∴， ∴与的面积之和为6． 53．（25-26学年八上·贵州安顺紫云苗族布依族自治县第三中学·期中）如图，已知∠1=∠2，请你添加一个条件：　　　　　　　　　　　　　　，使△ABD≌△ACD． 【答案】∠B=∠C 或者∠BAD=∠CAD 或者BD=DC 【详解】 解：添加∠B=∠C，可用AAS判定两个三角形全等； 添加∠BAD=∠CAD，可用ASA判定两个三角形全等； 添加BD=CD，可用SAS判定两个三角形全等． 故答案为：∠B=∠C或∠BAD=∠CAD或BD=CD 54．（25-26学年八上·贵州安顺紫云苗族布依族自治县第三中学·期中）小丽与爸爸妈妈在公园里荡秋千，如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她，若妈妈与爸爸到的水平距离分别为和，． （1）与全等吗？请说明理由． （2）爸爸是在距离地面多高的地方接住小丽的？ 【答案】（1） ，理由如下； ∵， ∴ ∵， ∴， ∴． 又∵， ∴． ∵， ∴．     （2）爸爸接住小丽的地方距地面的高度为      【分析】 （1）由直角三角形的性质得出，根据可证明； （2）由全等三角形的性质得出，求出的长则可得出答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ∵， ∴， ∴， ∴爸爸接住小丽的地方距地面的高度为． 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形两锐角互余，证明是解题的关键． 55．（25-26学年八上·贵州安顺紫云苗族布依族自治县第三中学·期中）如图，与相交于点C， ，点P从点A出发，沿方向以的速度运动，点Q同时从点D出发，沿方向以的速度运动，当点P到达点A时，P、Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为t． （1）当点P在运动时，                          （用含t的代数式表示） （2）求证： （3）当P， Q， C三点共线时， 求t的值． 【答案】（1）     （2） 证明：在和中， ， ， ；     （3）t的值为8或      【分析】 本题主要考查代数式和全等三角形的判定和性质，一元一次方程的应用，解题的关键是分类讨论思想． （1）根据题题意求得，则； （2）根据题意即可利用证明，从而得出结论； （3）根据题意得，则，结合（1）可得和，由三点共线得，即可证明，有，利用分类讨论列方程求解即可． (1) 小问详解： 解：设点P的运动时间为， 根据题意得：，则， 故答案为：； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：如图， 根据题意得：，则， ， ∵P，Q，C三点共线， ， 在和中， ， ， ， ∴当时，， ， 当时，， ， 解得：， ∴综上所述，当P、C、Q三点共线时，t的值为8或． 56．（25-26学年八上·贵州黔东南州凯里第十中学·期中）如图，以的边、分别向外作等腰直角与等腰直角，，连接和相交于点O，交于点F，交于点G． （1）求证：； （2）试判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】（1） 证明：和都是等腰直角三角形， ，， 又， ， 即， 在和中， ， ；     （2） 理由： ， ，， 又，， ， ， 即．      【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键． （1）根据等腰三角形的性质得到，，，进一步利用证明即可； （2）根据全等三角形的性质得到，，利用三角形内角和以及对顶角相等得到，可得，即可证明． (1) 小问详解： 略． (2) 小问详解： 解：略． 57．（25-26学年八上·贵州黔东南苗族侗族自治州凯里凯里学院附属中学·期中）如图，中，，垂足为D，，垂足为E，与相交于点F，． （1）求证：； （2）若，求的长 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴；     （2）7      【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定和性质，线段的和差，垂直的定义，解题的关键是掌握全等三角形的判定和性质． （1）先证明，然后根据，再结合已知条件可得结论； （2）根据，得出，根据得出，最后根据线段和差间的关系，得出答案即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 58．（25-26学年八上·贵州黔东南苗族侗族自治州凯里凯里学院附属中学·期中）八年级数学兴趣小组开展了测量学校教学楼高度的实践活动，测量方案如表： 课题 测量学校教学楼高度 测量工具 测角仪、皮尺等 测量方案示意图 测量步骤 （1）在教学楼外，选定一点；（2）测量教学楼顶点视线与地面夹角；（3）测的长度；（4）放置一根与长度相同的标杆，垂直于地面；（5）测量标杆顶部视线与地面夹角． 测量数据 ，，， 请你根据兴趣小组测量方案及数据，计算教学楼高度的值． 【答案】教学楼高度的值为 【分析】 此题考查了全等三角形的性质和判定，根据题意得到，，然后证明出，得到，进而求解即可． 【详解】 解：∵，， ∴ ∴ 又∵， ∴ ∴ 在和中， ∴ ∴ 又∵， ∴ ∴教学楼高度的值为． 59．（25-26学年八上·贵州凯里第一初级中学·期中）某校项目式学习小组开展项目活动，过程如下： 项目主题：测量一条两岸平行、东西走向的河流宽度． 问题驱动：能利用哪些数学原理来测量河流宽度？ 组内探究：由于跨河测量困难，无法直接测量，需要借助一些工具来测量，比如自制的直角三角形硬纸板，测量角度的仪器（仪器的高度忽略不计），标杆，皮尺等．他们在河北岸的点B处，测得河南岸的一棵树底部C点恰好在点D的正南方向，先画出测量示意图，然后进行实地测量，并得到具体数据，从而计算河流宽度． 成果展示：下面是同学们进行交流展示时的一种测量方案： 方案 方案① 测量示意图 测量说明 如图，观测者从A点向正东走到D点，O是的中点，从点D沿垂直于的方向走，直到点B，O，C在一条直线上，测量出的长度． 测量结果 ，，． （1）写出一对相等的角：______． （2）方案①的灵感来源于古希腊哲学家泰勒斯，他们认为的长就是所求河宽的长，请你根据所学的知识，请写出证明过程． 【答案】（1）     （2） 证明：∵O是的中点， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的长就是所求河宽的长．      【分析】 本题考查了全等三角形的判定和性质． （1）根据对顶角相等即可求解； （2）利用“”即可判定，即可得到． (1) 小问详解： 解：∵，， ∴，， 故答案为：（答案不唯一）； (2) 小问详解： 略 60．（25-26学年八上·贵州凯里第一初级中学·期中）如图，在中，点D是BC的中点，，，垂足分别为E，F，且． （1）写出图中一对全等的三角形：______； （2）求证：． 【答案】（1）     （2） 证明：是边的中点， ， 又，， ， 又∵， 在和中， ， ． ．      【分析】 本题考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是灵活运用全等三角形的判定方法，比较简单． （1）全等的三角形有； （2）利用“”证明即可得到：． (1) 小问详解： 解：全等的三角形有； 故答案为：； (2) 小问详解： 略 61．（25-26学年八上·贵州遵义第十一中学·期中）如图，，，______，求证：． （1）请从①，②，③中选择一个适当的条件填入横线中，使命题成立．你的选择是______，并证明； （2）在（1）的条件下，，，求的长． 【答案】（1）（或）， 理由如下： ， ， ，， ， ， 在和中， ， ， 或选择，理由如下： ， ， ∵，， 而， ∴， ∴， 在和中， ， ∴，     （2）4      【分析】 本题考查全等三角形的判定和性质，关键是掌握或． （1）由平行线的性质推出，由，，得到，判定；或者平行线的性质推出，由得，得，可判定； （2）由（1）知，即可求出 (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由（1）知， ， 62．（25-26学年八上·贵州遵义第十一中学·期中）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，的三个顶点和点D、E、F、G、H、K均在格点上，请以D、E、F、G、H、K中的三个点为顶点分别按下列要求画三角形． （1）在图中画出一个三角形与全等；则此三角形是______； （2）在图中画出一个三角形与的面积相等但不全等．则此三角形是______． 【答案】（1）如图，，，，均满足题意． 此三角形是或或或     （2）如图，即为所求．      【分析】 本题考查作图-应用与设计作图、三角形的面积、全等三角形的判定，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）结合全等三角形的判定画图，即可得出答案． （2）结合全等三角形的判定画面积为4的三角形，即可得出答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 63．（25-26学年八上·贵州安顺·期中）如图，在中，均是的高，且相交于点，且． （1）和全等吗？请说明理由． （2）若动点从点出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点运动，动点从点出发，沿射线以每秒4个单位长度的速度运动，两点同时出发，当点到达点时，两点同时停止运动．设点的运动时间为．当为何值时，的面积为3？ （3）在（2）的条件下，若是直线上一点，且．当时，求的值． 【答案】（1） 解：和全等，理由如下： 是高， ， 是高， ， ，， ， 在和中， ， ．     （2）或     （3）的值为1或      【分析】 本题考查了三角形全等的判定和性质，三角形面积计算，分类证明全等，熟练掌握三角形全等的判定和性质是解题的关键． （1）根据证明即可； （2）由题意，，当点在线段上时，， 当点在延长线上时，，根据三角形的面积列式解答即可． （3）分点在线段上和点在延长线上两种情况解答即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由（1）知， ， ， ， 由题意，， 当点在线段上时，， ， 解得：； 当点在延长线上时，， ， 解得：； 综上，当的面积为时，的值为或． (3) 小问详解： 解：存在．理由如下： 如图中，当时， ，， ． ， ， 解得， 如图中，当时， ，， ． ， ， 解得， 综上所述，或时，． 64．（25-26学年八上·贵州安顺·期中）我国纸伞的制作工艺十分巧妙.如图1，2，伞圈D沿着伞柄滑动时，且， （1）求证：平分； （2）如图2，当油纸伞撑开时，伞的边缘B，C与点D在同一直线上，若，，求的度数． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∴， ∴平分；     （2）      【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的外角性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）证明，则，即可证明； （2）先由三角形的外角性质求出，再由全等三角形的对应角相等求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵，平分， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴． 65．（25-26学年八上·贵州黔西南布依族苗族自治州兴仁屯脚镇屯脚中学·期中）如图、A、B两点分别在射线上，点在的内部且，垂足分别为点、点，且． （1）求证：； （2）求证：平分； （3）若，求的长． 【答案】（1） 证明：在和中， ， ．     （2） 证明， ． 又， 点在的角平分线上． 平分．     （3）      【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的判定定理、一元一次方程的应用等知识点，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）直接运用即可证明结论； （2）由全等三角形的性质可得，再根据角平分线的判定定理即可证明结论； （3）设，易得，再证明可得，由线段的和差可得，最后根据列方程求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：设． ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ，解得：． ． 66．（25-26学年八上·贵州黔西南布依族苗族自治州兴仁屯脚镇屯脚中学·期中）（1）“构造全等”是解决数学几何问题常用的方法之一．如图，直线经过等腰直角三角形的直角顶点，分别过点、向直线作垂线，构造了一对全等三角形，这对全等的三角形是__________； （2）如图2，在平面直角坐标系中，是以点为直角顶点的等腰直角三角形，根据（1）中的方法，求点的坐标； （3）如图，点为轴负半轴上一动点．当点沿轴负半轴向下运动时，以为顶点，为腰作等腰直角三角形，过点作轴于点，求的长．（用含的式子表示） 【答案】（1）和；（2）；（3） 【分析】 本题主要考查了坐标与图形及三角形全等的判定与性质，正确添加辅助线构造全等三角形是解答此题的关键． （1）根据证明； （2）作轴于，证明，得，进而可得； （3）作轴于，证明，得，结合线段的和差关系即可求解． 【详解】 解：（1）和． 由题意得 在和中， （2）过点作轴于点，如答图1所示． 在和中， （3）过点作轴于点，如答图2所示． 在和中， 轴，轴， 轴， 点为轴负半轴上一动点， ． 67．（25-26学年八上·贵州黔西南布依族苗族自治州兴仁屯脚镇屯脚中学·期中）如图，在中，．点从点出发沿线段运动，同时点从点出发沿线段的延长线运动，点、运动的速度相同，与直线相交于点．过点作交于点，且． （1）求证：； （2）过点作交于点，且．在点从点向点运动的过程中，线段的长度是否保持不变？若保持不变，请求出的长度，若改变，请说明如何变化． 【答案】（1） 证明：∵点从点出发沿线段运动，同时点从点出发沿线段的延长线运动，点、运动的速度相同， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴；     （2）线段的长度保持不变，为3      【分析】 此题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质，解题的关键是掌握以上知识点． （1）首先得到，由得到，然后证明即可； （2）首先由得到，然后根据线段中点的性质求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：线段的长度保持不变．理由如下： 由（1）知，， ∴， ∵，， ∴． 68．（25-26学年八上·贵州贵阳·期中）如图，于点，是上一点，交于点，与互余． （1）试说明：； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：， ， ， ， ；     （2）4      【分析】 本题考查全等三角形的判定和性质． （1）根据同角的余角相等即可证明； （2）由，推出，由，，推出，即可解决问题． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：，，， ， ， ，， ， ． 69．（2026·贵州安顺·质量检测）如图，在中，为边上的一点，平分，于点，于点． （1）尺规作图：作线段的垂直平分线，交于点，交于点，连接，，交于点（只保留作图痕迹，不写作法和结论）． （2）在（1）的条件下，求证：．请补全下面的证明过程． 证明：平分，，，        ①      （                         ②                           ）， ． 是的垂直平分线， ，，． 在和中， ，        ③      ， （      ④       ）． ∵，， ． 在和中， ， ． 【答案】（1）如图所示： ．     （2）①；② 角平分线的性质；③；④ 等量代换；⑤      【分析】 本题考查了线段垂直平分线的尺规作图、三角形全等的判定与性质、角平分线的性质定理等知识，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解题关键． （1）根据线段垂直平分线的尺规作图解答即可得； （2）先根据角平分线的性质可得，根据线段垂直平分线的性质可得，，，再证出，根据全等三角形的性质可得，则可得，然后证出，根据全等三角形的性质即可得证． (1) 小问详解： 解：如图，作线段的垂直平分线，交于点，交于点，连接，，交于点． (2) 小问详解： 略 70．（2026·贵州安顺·质量检测）【问题原型】在数学活动课上，老师给出如下问题：如图1，在中，，，以为斜边作直角三角形，点，在边的同侧，与交于点，连接，过点作于点．求证：（请根据下面的要求完成证明）． 【解决问题】 （1）如图2，有思维敏捷的同学从结论的角度出发给出如下解题思路：在上截取，连接，将线段，，之间的数量关系转化为线段与之间的数量关系．请根据上述解题思路，写出证明的完整过程． 【实践应用】 （2）的度数为________． （3）若是的中点，且，求四边形的面积． 【答案】（1）证明：如图2，在上截取，连接， ∵， ∴， ∵以为斜边作直角三角形， ∴， ∴， 由对顶角相等得：， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． （2）； （3）96 【分析】 本题考查了三角形全等的判定与性质、等腰三角形的三线合一、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识，通过做辅助线，构造全等三角形是解题关键． （1）先证出，根据全等三角形的性质可得，再根据等腰三角形的三线合一可得，然后根据和等量代换即可得； （2）先根据全等三角形的性质可得，，再求出，然后根据等腰三角形的性质可得，由此即可得； （3）先证出，根据全等三角形的性质可得，再根据等腰三角形的性质可得，则可得，最后根据四边形的面积等于求解即可得． 【详解】 解：（1）略 （2）由（1）已证：， ∴，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． （3）∵是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵，，， ∴， ∴， ∴四边形的面积为 ． 71．（25-26学年八上·贵州黔东南苗族·期中）在四边形中，，，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：， ． 在和中， ， ．     （2）5      【分析】 此题考查全等三角形的判定和性质， （1）由平行线推出，即可根据证明； （2）根据全等三角形的性质解答． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：， ，， ． 72．（25-26学年八上·贵州黔东南苗族·期中）如图，在四边形中，，点分别在边上，，，连接． （1）求证：平分； （2）若，求四边形的面积； （3）猜想与之间的数量关系，并证明你的猜想． 【答案】（1） 证明：∵在和中， ， ∴， ∴， ∴平分；     （2）48     （3）      【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形外角的定义和性质等知识，证明、是解题关键． （1）利用“”证明，由全等三角形的性质可得，即可证明结论； （2）利用“”证明，由全等三角形的性质可得，，进而可知，然后由四边形的面积求解即可； （3）由可得，结合，可得，再结合即可证明结论． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ∵， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴四边形的面积； (3) 小问详解： ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴． 73．（25-26学年八上·贵州黔东南州·期中）【阅读与思考】 （1）用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如图1所示，由作图可知，依据　　　　　　　（选择“”、“”、“”、“”、“”中适合的一个填写）可以判定，从而得到． 【应用与拓展】 （2）如图2，E是线段上一点，点D在的延长线上，连接、，且，； ①尺规作图：在射线的左侧作，使得，交于点F（不写作法，保留作图痕迹）． ②判断与有怎样的数量关系，并证明你的结论． 【答案】（1）； （2）① 如图，即为所求． ②，理由如下： 证明：∵， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 【分析】 本题考查尺规作图——作一个角等于已知角，全等三角形的判定及性质，等腰三角形的判定，理解作一个角等于已知角的尺规作图方法，掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键． （1）根据作图可得，，，依据“”可以判定，即可解答； （2）① 根据作一个角等于已知角的尺规作图方法作图即可； ② 由等角对等边得到，从而证明，得到，再由即可得到． 【详解】 解：（1）由作图可得，，，依据“”可以判定，从而得到． 故答案为：． （2）① 略 ② 略 74．（25-26学年八上·贵州黔东南州·期中）综合与实践： 【问题提出】某中学数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在 中 ，，，是 的中点，求边上的中线 的取值范围． 【问题探究】小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到，使，连接．依据“”可以证明：， 这样 的取值范围迎刃而解． (1)请写出 的推理过程； (2)探究得出 的取值范围是_______； 【问题拓展】 (3)如图2，中，，，是的中线，，垂足为，，且，求的长． 【答案】（1）证明：延长 到点， 使 连接， 是 的中点， ， 在 和   中， ， ； （2）； （3）． 【分析】 本题考查的是全等三角形的判定和性质、三角形的三边关系，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）根据证明； （2）根据全等三角形的性质、三角形的三边关系计算； （3）延长交的延长线于，证明，根据全等三角形的性质解答． 【详解】 （1）略 （2）解：， ， ， ， 故答案为：； （3）解：如图，延长 交 的延长线于点，      ，， ，         是 的中线， ， 在 和 中， ， ， ，， ， 垂直平分， ， ． 75．（25-26学年八上·期中）已知：中，，，D为直线上一动点，连接，在直线右侧作，且． （1）如图1，当点D在线段上时，过点E作于F，连接，若，，求的长； （2）如图2，当点D在线段的延长线上时，连接交的延长线于点P．求证：； （3）如图3，当点D在延长线上时，连接交的延长线于点P，若，请直接写出的值（不需要计算过程）． 【答案】（1）2     （2） 证明：如图2，过点E作，交的延长线于N， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴ ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴；     （3）      【分析】 本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键． （1）由“”可证，可得，，即可求出答案； （2）过点E作，交的延长线于N，由“”可证，可得，由“”可证，可得，再判断出，即可得出结论； （3）设，，判断出，得出，，再判断出，即可得出结论． (1) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：当点D在延长线上时，如图，过点E作，交的延长线于N， ∵， ∴设，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ． ∴的值为． 76．（25-26学年八上·期中）如图1，在中，，，点是的中点，点是边上一点．直线垂直于直线，垂足为点F，交于点G． （1）若，求的度数； （2）求证：； （3）如图2，直线垂直于直线，垂足为点H，交的延长线于点M，找出图中与相等的线段，并证明． 【答案】（1）20°     （2） ∵点D是中点，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，     （3） ．理由如下： ∵，， ∴，， ∴， 又∵， 在和中， ∴， ∴．      【分析】 此题考查等腰直角三角形的性质、同角的余角相等、全等三角形的判定与性质等知识，证明三角形全等是解题的关键． （1）根据和可得结论； （2）首先根据点D是中点，，可得出，判断出，即可得出； （3）根据垂直的定义得出，再根据，，得出，进而证明出． (1) 小问详解： 解：∵， ∴， 又∵， ∴； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 略 77．（25-26学年八上·贵州黔东南苗族侗族自治州凯里凯里学院附属中学·期中）如图，在中，D为中点，，，于点F，，则的长为　　　　　． 【答案】8 【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质，线段的和差等内容，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用． 连接，过点作，交的延长线于点，证明垂直平分线段，得出，证明和，得出相等的边，然后利用线段的和差进行求解即可． 【详解】 解：如图，连接，过点作，交的延长线于点， ∵，且D为中点， ∴垂直平分线段， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， 解得， ∴， 故答案为：8． 78．（25-26学年八上·贵州遵义桐梓县·期中）在学习等腰三角形的过程中，我们积累了一定的研究经验．请运用已有经验，对“邻等对补四边形”进行研究．定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形． （1）操作理解 小明用分别含有和角的直角三角形纸板拼出如图所示的4个四边形，其中是邻等对补四边形的有___________；（填序号） （2）性质探究 根据定义可得出邻等对补四边形的边、角的性质．下面研究与对角线相关的性质． 如图1，四边形是邻等对补四边形，是它的一条对角线． 求证：平分； （3）拓展应用 如图2，在中，，分别在边上取点，使四边形是邻等对补四边形，则的大小为___________度． 【答案】（1）②     （2） 证明：过点A作于E，作，交延长线于F，如图1.1所示： 则， 四边形是邻等对补四边形， ， 又， ， 又由题知， ， ， 又， ， ， 平分．     （3），或      【分析】 本题考查了全等三角形判定与性质，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练运用相关性质进行推理证明，利用分类讨论的思想求角的大小． （1）根据邻等对补四边形的定义，从对角是否互补，是否有一组邻边相等逐个验证，可得结果； （2）过点A作于E，作，交延长线于F，先后证明，，可得，所以平分； （3）先根据邻等对补四边形的对角互补，推出，，再根据邻等对补四边形有一组邻边相等，分类讨论，求出每一种情况下的度数，综合可得结果． (1) 小问详解： 解：①，不满足对角互补，所以该四边形不是邻等对补四边形； ②，，满足对角互补，且有两组邻边相等，所以该四边形是邻等对补四边形； ③，不满足对角互补，所以该四边形不是邻等对补四边形； ④ 该四边形没有相等的两条邻边，所以不是邻等对补四边形； 综上可知，是邻等对补四边形的有② ． (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：在中，， ∴， 四边形是邻等对补四边形， ，， ，． 根据邻等对补四边形至少有一组邻边相等，可得 当时，如图2.1： 结合，可得， ． 当时，如图2.2： ， ， ． 当时，如图2.3： ， ． 当时，如图2.4： 结合，可得， ． 综上可知，大小为或或． 79．（25-26学年八上·贵州黔西南布依族苗族自治州兴仁屯脚镇屯脚中学·期中）如图，在长方形中，，，延长到点，使，连接，动点从点B出发，以每秒个单位的速度沿向终点运动，设点的运动时间为秒，当t的值为　　　　　　秒时，和全等． 【答案】或 【分析】 本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确理解题意，进行分类讨论． 由矩形的性质可得角度和线段长度，由三角形全等可得对应边相等，结合运动过程进行分类讨论，分别计算不同情形对应的运动时间即可． 【详解】 解：∵在长方形中，，， ∴，，， ∵点在延长线上， ∴， 若，则， ∴运动时间， 若，则， ∴运动时间， 故答案为：或． 考点03 角的平分线 1．（25-26学年八上·贵州遵义余庆县·期中）如图，在中，，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点O，作射线，交于点E．已知，，的面积为（       ） A. 6 B. 9 C. 12 D. 18 【答案】B 【分析】 本题考查了角平分线的性质．作，由题意可知平分，故可得，即可求解的面积． 【详解】 解：作，如图所示： 由题意可知：平分， ∵，， ∴ ∴ 故选：B 2．（25-26学年八上·贵州贵阳·期中）如图，一个加油站恰好位于两条公路，所夹角的平分线上，若加油站到公路的距离是，则它到公路的距离是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查角平分线的性质的应用，能够熟练运用角平分线上的点到角的两边距离相等是解题的关键．根据角平分线的性质解答即可． 【详解】 解：∵加油站恰好位于两条公路，所夹角的平分线上，且加油站到公路的距离是， ∴加油站到公路和公路的距离是相等的，即它到公路的距离是． 故选：C． 3．（2026·贵州安顺·质量检测）三条公路将、、三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（    ） A. 三条高线的交点 B. 三条中线的交点 C. 三条角平分线的交点 D. 三边垂直平分线的交点 【答案】C 【分析】 本题主要考查了角平分线判定定理的应用．根据“到角两边的距离相等的点在角的平分线上”，即可获得答案．理解到角两边的距离相等的点在角的平分线上是解题的关键． 【详解】 解：要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是三条角平分线的交点． 故选：C． 4．（25-26学年八上·贵州遵义·期中）某市政府为促进旅游发展，准备在三条公路围成的三角形平地上修建一个度假村，如图所示．要使度假村到三条公路的距离相等，这个度假村应修建在（     ） A. 三条高线的交点处 B. 三条角平分线的交点处 C. 三条中线的交点处 D. 以上都不对 【答案】B 【分析】 本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质解答． 【详解】 解：∵度假村在三条公路围成的平地上且到三条公路的距离相等， ∴度假村应该在三条角平分线的交点处． 故选：B． 5．（25-26学年八上·贵州安顺紫云苗族布依族自治县第三中学·期中）如图，是中的角平分线，于点E，，，，则长是（     ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 【答案】D 【分析】 本题考查了角平分线的性质，三角形面积公式的应用，过D作于F，根据角平分线的性质求出，根据和三角形面积公式求出即可． 【详解】 解：如图，过D作于F， ∵是中的角平分线，于点E，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：． 故选：D． 6．（25-26学年八上·贵州黔东南州凯里第十中学·期中）如图，已知平分，是上一点，于，若，则点与射线上某一点连线的长度可以是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查角平分线的性质，垂线段最短，熟练掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 过点作于点，设点为上某一点，连接，由角平分线的性质推出，由垂线段最短得到，即可得到答案． 【详解】 解：过点作于点，设点为上某一点，连接， ∵平分，于， ∴， ∵， ∴点与射线上某一点连线的长度可以是． 故选：B． 7．（25-26学年八上·贵州黔东南苗族侗族自治州凯里凯里学院附属中学·期中）如图，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点E、F，再分别以点E、F为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点D，作射线，则说明的依据是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了作图-基本作图、全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握基本作图方法． 根据作图过程可得，，又，可以证明，即可得结论． 【详解】 解：根据作图过程可知： ， 又， ， ， 故选：A． 8．（25-26学年八上·贵州遵义桐梓县·期中）如图，平分是上一点，于点，若，则点与射线上某一点连线的长度可以是（     ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 11 【答案】D 【分析】 本题主要考查了角平分线的性质定理， 根据角平分线的性质可知点P到的距离为10，进而得出答案． 【详解】 解：∵平分，， ∴点P到的距离为10， ∴点P与射线上某点连线的长度大于等于10，可以是11． 故选：D． 9．（25-26学年八上·贵州黔南布依族苗族自治州平塘县·期中）如图，在中，，平分，，，为线段上一动点，连接，则的最小值为（     ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【分析】 本题考查了垂线段最短，角平分线的性质定理；过点作，由垂线段最短得取得最小值，由角平分线的性质定理得，即可求解． 【详解】 解：过点作， 此时取得最小值， ，， ， ，平分， ， 的最小值为， 故选：B． 10．（2026·贵州安顺·质量检测）下面是“作的角平分线”的尺规作图方法． （1）以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点；（2）分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点；（3）画射线.射线即为所求． 上述方法通过判定得到．其中判定的依据是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 此题考查了角平分线的作图、全等三角形的判定和性质． 由题意可知，．又由即可证明．即可得到答案． 【详解】 解：根据角平分线的作法可知，，． 又∵， ∴． ∴，即射线即为的角平分线． 故选A． 11．（25-26学年八上·贵州黔东南苗族·期中）如图，在中，，以为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以，为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，作射线，交于点．已知，，则的面积为（　　）． A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了角平分线的性质，三角形的面积，熟知角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 根据角平分线的尺规作图可得平分．作，再根据角平分线的性质可得，再利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】 解：如图所示，过点作， 由题意可知：平分，，， ∵，， ∴， ∴， 故选：A． 12．（25-26学年八上·期中）如图，在中，平分，．若，，则（     ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】B 【分析】 本题考查了角平分线的定义，全等三角形的判定与性质及三角形面积的计算．过点D作于点F，根据角平分线的定义得到，利用“”证明，得到，最后根据已知条件求出的面积． 【详解】 解：如图，过点D作于点F， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 13．（25-26学年八上·期中）如图，是的角平分线，，垂足为，的面积为，，，则的长为（       ） A. 10 B. 9 C. 8 D. 7 【答案】C 【分析】 本题考查了角平分线的性质．作可得，根据即可求解． 【详解】 解：作，如图所示：     ∵是的角平分线，，, ∴， ∵， ∴， ∵的面积为， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 14．（25-26学年八上·贵州遵义余庆县·期中）如图所示的是一块三角形草坪 ，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，则凉亭的位置应选在（        ） A.  三条中线的交点处 B.  三条角平分线的交点处 C.  三条高所在直线的交点处 D.  三边的垂直平分线的交点处 【答案】B 【详解】 解：由角平分线上的点到角两边距离相等，可知凉亭应该在三角形三个内角的角平分线上，因为三角形三条角平分线交于一点，故此点即为凉亭的位置． 15．（25-26学年八上·贵州黔东南州凯里第十中学·期中）如图，在中，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交、于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，点E在上．若，，，当长度最小时，的周长是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 由垂线段最短可知，当时，长度最小，由作图过程可知平分，结合角平分线性质得到，证明，利用全等三角形性质得到，求出，最后利用三角形周长公式求解即可． 【详解】 解：如图所示，由垂线段最短可知，当时，长度最小， 由作图过程可知平分， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的周长是． 故选：D． 【点睛】 本题考查了垂线段最短，角平分线的尺规作图及性质，全等三角形性质与判定，熟练掌握角平分线性质是解题的关键． 16．（25-26学年八上·贵州黔南布依族苗族自治州平塘县·期中）如图，在中，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点，；再分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点，作射线，交于点；在线段上取一点，作，，垂足分别为，．则下列说法：①；②；③；④，其中正确的有（     ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【分析】 本题考查了角平分线的尺规作图，角平分线的性质，全等三角形的判定及性质；掌握角平分线的性质，全等三角形的判定及性质是解题的关键． 由作法得平分，①平分，不一定是的中点，即可判断； ③ 由平分，即可判断； ④ 由角平分线的判定定理即可判断；② 由可判定，即可判断． 【详解】 解：由作法得平分， ①平分，不一定是的中点， 不一定成立， 故① 错误； ③平分， 故③ 正确； ④平分，，， ， 故④ 正确； ②，， （）， ， 故② 正确； ② ③ ④ 正确，有个， 故选：C． 17．（25-26学年八上·贵州西南州兴仁·期中）如图，在中，，，是高，以点A为圆心，长为半径画弧，交于点E，再分别以B、E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部交于点F，作射线，则的度数是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了尺规作角平分线，三角形内角和定理，角平分线的定义等知识．由三角形内角和求得的度数，由角平分线可求得的度数；由高及三角形内角和可求得的度数，则由即可求解． 【详解】 解：由三角形内角和得， 由尺规作图知，平分， ∴； ∵是高， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 18．（25-26学年八上·贵州黔西南布依族苗族自治州兴仁屯脚镇屯脚中学·期中）已知如图，中，是角平分线，，垂足为E．若，则点D到边的距离是（       ） A. 1 B. 1.5 C. 2 D. 3 【答案】C 【分析】 本题考查了角平分线的性质，过D作于F，根据角平分线的性质求解即可． 【详解】 解：过D作于F， ∵平分，，， ∴， 即点到的距离为2， 故选：C． 19．（25-26学年八上·贵州遵义桐梓县·期中）如图，在中，平分，于点E，点F在上，． （1）求证：． （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵平分，于点E， ∴． 在与中， ， ∴， ∴．     （2）2      【分析】 （1）由角平分线的性质得到，利用证明即可证明． （2）设，则，同理得到利用证明得到，即，解方程即可得到答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：设，则， ∵平分，于点E， ∴． 在与中， ， ∴， ∴，即， 解得，即． 【点睛】 本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的性质与判定，熟知利用证明三角形全等是解题的关键． 20．（25-26学年八上·贵州安顺紫云苗族布依族自治县第三中学·期中）在△ABC中，P、Q分别是BC、AC上的点，作PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分别是R，S，PR＝PS，AQ＝PQ，则下面三个结论：①AS＝AR；②PQ∥AR；③△BRP≌△CSP．其中正确的是　　　　　． 【答案】① ② 【分析】 根据角平分线的性质，和全等三角形的判定，可证Rt△ASP≌Rt△ARP，得AS=AR；∠PAR=∠PAQ，可证PQ∥AR． 【详解】 解：连接AP，    在Rt△ASP和Rt△ARP中， PR=PS，PA=PA， 所以Rt△ASP≌Rt△ARP， 所以①AS=AR正确； 因为AQ=PQ， 所以∠QAP=∠QPA， 又因为Rt△ASP≌Rt△ARP， 所以∠PAR=∠PAQ， 于是∠RAP=∠QPA， 所以②PQ∥AR正确； ③ △BRP≌△CSP，根据现有条件无法确定其全等． 故答案为① ② ． 【点睛】 此题考查了到角平分线的性质（角的平分线上的点到角的两边的距离相等）及全等三角形的判定和平行线的判定定理；正确作出辅助线是解答本题的关键． 21．（25-26学年八上·贵州安顺紫云苗族布依族自治县第三中学·期中）如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD ＝CD、BE＝CF． （1）求证：AD平分∠BAC； （2）已知AB＝5，AC＝8，求BE的长． 【答案】（1）证明：∵, ∴, 又∵ ∴ ∴ 又∵, ∴点在的角平分线上 ∴平分 （2） 【分析】 （1）可先根据已知条件证明，得到，再结合,，根据角平分线判定定理，即可证明； （2）先证明，得到，所以，结合条件，代入即可得到答案． 【详解】 （1） 略 （2）解：∵ ∴ 又∵，， ∴ ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ 【点睛】 本题考查角平分线的判定定理，直角三角形的全等判定，正确理解题意是解题关键． 22．（25-26学年·贵州贵阳清镇培文学校·期中）如图，四边形中，，平分，于点，于点． （1）求证：； （2）若，，计算的长度． 【答案】（1） 证明：∵平分，于点，于点， ∴，， 在和中， ， ∴；     （2）      【分析】 （）由角平分线的性质得，进而根据“”可证明； （）先证明，得到，再根据得，即得，进而得到，即可求解； 本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 23．（25-26学年八上·贵州安顺·期中）如图，任意画一个的，再分别作的两条角平分线和，和相交于点P，连接，有以下结论：①；②平分；③；④，其中正确的是　　　　　　　　． 【答案】① ② ④ 【分析】 本题主要考查了三角形内角和定理、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质，由角平分线的定义并结合三角形内角和定理求出，再由三角形内角和定理计算即可判断① ；过点作于，于，于，由角平分线的性质定理可得，从而可得平分，即可判断② ；证明，得出，再证明，同理可得，得出，，即可判断④ ；没有条件得出，即可判断③ ；从而得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】 解：∵、分别是与的角平分线，， ∴，， ∴， ∴， ∴，故① 正确； 过点作于，于，于， ， ∵、分别是与的角平分线， ∴，， ∴， ∴平分，故② 正确； ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， 同理可得：， ∴，， 两式相加可得：， ∵， ∴，故④ 正确； 没有条件得出，故③ 错误； 综上所述，正确的有① ② ④ ， 故答案为：① ② ④ 24．（25-26学年八上·贵州安顺·期中）如图，在中，的平分线与的平分线交于点O，过点O作，，，垂足分别为D，E，F． （1）与是否相等？请说明理由； （2）若的周长是40，且，求的面积． 【答案】（1） 解：，理由如下： ∵O为，的平分线的交点，，，， ∴， ∴；     （2）      【分析】 本题主要考查了角平分线的性质，熟知角平分线上的点到该角两边的距离相等是解题的关键． （1）根据角平分线的性质得到，则； （2）如图所示，连接，由的周长是40，根据推出，由此即可得到答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：如图所示，连接， 由（1）得， ∵的周长是40， ∴， ∴， ． 25．（25-26学年八上·贵州贵阳清镇广大实验学校·期中）【问题背景】如图1，在平面直角坐标系中，为坐标原点，的长分别为a，b，c，且满足，点P从A出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线匀速运动，设点P运动时间为t秒． （1）A的坐标为________，B的坐标为______． 【数学理解】 （2）如图2，连接，当时，则t的值为_______； 【深入探究】 （3）连接BP，当平分时，求出t的值． 【答案】（1），；（2）或；（3） 【分析】 本题考查了非负数的意义，一元一次方程应用，平面直角坐标系中点的坐标，角平分线的性质等知识． （1）先根据求出，即可求出点A的坐标为，点B的坐标为； （2）根据题意得到点P的坐标为，根据得到方程，解绝对值方程即可求解； （3）过点P作于点C，根据题意得到，，进而得到，根据，列方程解方程即可． 【详解】 解：（1）∵， ∴， ∴点A的坐标为，点B的坐标为． 故答案为：，； （2）由题意得，点P的坐标为， ∵， ∴， ∴， ∴或， ∴或． 故答案为：或； （3）如图，过点P作于点C， 由（1）得，， 当点P运动t秒时，， ∴， 当平分时，∵， ∴， ∴， 即 解得． 26．（25-26学年八上·期中）（多选） 如图，在中，，是的平分线，于点E． （1）求证：； （2）若，，求的长； （3）若的周长为24，的周长为12，求的长． 【答案】（1） 解：∵AD是的平分线，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴；     （2）；     （3）      【分析】 本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质． （1）根据角平分线的性质可知，再证明，即可证明； （2）先得到，根据即可求出的长； （3）根据全等三角形的性质得到，，进而根据线段的和差计算即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ∵，， ∴， ∴； (3) 小问详解： ∵， ∴，， ∵的周长为24，的周长为12， ∴，， ∴， ∴． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 全等三角形 3大高频考点概览 考点01 全等三角形及其性质 考点02 三角形全等的判定 考点03 角的平分线 考点01 全等三角形及其性质 1．（25-26学年八上·贵州遵义桐梓县·期中）如图，已知，若，，则的长度为（   ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2．（25-26学年八上·期中）如图，若，则的对应边是（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年八上·贵州遵义·期中）如图，，则的度数是（   ） A.  B. 73° C.  D.  4．（25-26学年八上·贵州黔东南州凯里第十中学·期中）如图，点、、在同一直线上，若，，，则等于（       ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年八上·贵州遵义余庆县·期中）如图，已知，若，则的度数为（     ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年八上·贵州凯里第一初级中学·期中）下列说法错误的是（       ） A. 两个全等的图形的面积一定相等 B. 两直线平行，内错角相等 C. 形状相同的两个图形一定全等 D. 直角三角形的两个锐角互余 7．（25-26学年八上·贵州黔西南布依族苗族自治州兴仁屯脚镇屯脚中学·期中）下列图形中与已知图形全等的是（） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年八上·贵州黔东南苗族·期中）如图，，，，点在同一条直线上，则的度数为（     ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年八上·期中）如图，，点B，F，C，E共线，和交于点O．若，，则的度数为（     ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年八上·贵州安顺紫云苗族布依族自治县第三中学·期中）如果的三边长分别为，的三边长分别为，，，若这两个三角形全等，则的值是（     ） A.  B. 或 C.  D. 或 11．（25-26学年八上·期中）如果，若，，，则　　　　　　　　　． 12．（25-26学年八上·贵州安顺·期中）如图，，若，，则的度数为　　　　　　． 13．（25-26学年八上·贵州黔东南州·期中）如图，，直角顶点C，E在x轴上，点A，D的坐标分别是，，则点B的坐标是　　　　　　　． 14．（25-26学年八上·期中）如图，已知，点D是上一点，交于点E． （1）探索与的位置关系，并说明理由； （2）若，求的长． 15．（25-26学年八上·期中）如图，，B，C，D在同一直线上，且，，则　　　　　　　　　　　． 16．（25-26学年八上·贵州遵义第十一中学·期中）为了证明“三角形的内角和是”，综合实践小组给出了如图所示的四种作辅助线的方法． （1）其中不能证明“三角形的内角和是”的是______（填选项）； A．如图1，过点C作 B．如图2，作 C．如图3，过上一点D作， D．如图4，过点C作 （2）请选择可以证明“三角形的内角和为”的一幅图加以证明． 17．（25-26学年八上·贵州黔西南布依族苗族自治州兴仁屯脚镇屯脚中学·期中）如图，已知． （1）若，求的长； （2）若，求的度数． 考点02 三角形全等的判定 1．（25-26学年八上·贵州遵义余庆县·期中）根据下列条件，能画出唯一的是（　　） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年八上·贵州黔东南苗族·期中）如图所示，某同学不小心把一块三角形玻璃打碎成三部分，现要去配制一块与原来相同的三角形玻璃，那么应带哪一片碎玻璃（     ） A.  B.  C.  D. 无法确定 3．（25-26学年八上·贵州黔东南州·期中）如图所示，若，，则可判定，这是根据（     ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年八上·贵州遵义·期中）如图，已知，，添加下列哪个条件可使（     ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年八上·贵州安顺紫云苗族布依族自治县第三中学·期中）如图，于点，，添加下列一个条件后，能使用“”判定的条件是（     ） A.  B. 与互余 C.  D.  6．（25-26学年八上·贵州黔东南州凯里第十中学·期中）在与中，，添加下列条件后，仍不能得到的是（       ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年八上·贵州毕节第一中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，分别在轴，轴上，，，若，，则点的坐标为（     ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年八上·贵州遵义桐梓县·期中）如图，点C在∠AOB的OB边上，用尺规作出了CN∥OA，连接EN，作图痕迹中，△ODM≌△CEN根据的是（       ） A. SAS B. SSS C. ASA D. AAS 9．（25-26学年八上·贵州遵义余庆县·期中）如图，表示两根长度相同的木条，若O是的中点，经测量，则容器的内径为（　　） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年八上·贵州凯里第一初级中学·期中）如图，，，，则的依据是（       ） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年八上·贵州黔南布依族苗族自治州平塘县·期中）如图，AE∥DF，AE=DF，要使△EAC≌△FDB，需要添加下列选项中的（        ） A. AB=CD B. EC=BF C. ∠A=∠D D. AB=BC 12．（25-26学年八上·贵州遵义第十一中学·期中）如图，为了测量B点到河对岸的目标A的距离，在与B点同侧的河岸上选择了一点C，测得，，然后在M处立了标杆，使，，测得的长是，则B点到河对岸的目标A的距离为（     ） A.  B.  C.  D.  13．（25-26学年八上·贵州遵义第十一中学·期中）如图，是锐角，点A在上，，点C在上，点A到直线的距离为3，当时，的形状、大小唯一确定，则m的取值范围是（　　） A.  B.  C. 或 D. 或 14．（25-26学年八上·贵州西南州兴仁·期中）如图所示，在中，，，于点，于点，，，则的长是 (       　) A.  B.  C.  D.  15．（25-26学年八上·贵州安顺·期中）如图，与是直角三角形，，下列各组条件中，可以直接用“”来判定的是（       ） A. ， B. ， C. ， D. ， 16．（25-26学年八上·贵州黔西南布依族苗族自治州兴仁屯脚镇屯脚中学·期中）如图，在综合实践课上，老师用角尺在的两边分别截取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点M，N重合，这时就是的平分线，则用角尺作角平分线的过程中用到的三角形全等的依据是（       ） A.  B.  C.  D.  17．（2026·贵州安顺·质量检测）如图，，添加下列条件后仍不能判定的是（       ） A.  B.  C.  D.  18．（25-26学年八上·贵州黔东南州·期中）如图，点、在上，，，要使，需添加的一个条件可以是(     ) A.  B.  C.  D.  19．（25-26学年八上·期中）如图，在中，，，是边上的中线，延长使得，连接，则长的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D. 无法确定 20．（25-26学年八上·期中）如图所示是的正方形网格，的顶点都在小正方形的顶点上，像这样的三角形叫格点三角形．画与有一条公共边且全等的格点三角形，这样的格点三角形最多可以画（     ） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 21．（25-26学年八上·期中）如图，已知，要用证明，应补充的条件是（ ） A.  B.  C.  D.  22．（25-26学年八上·贵州西南州兴仁·期中）如图，是用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，则说明的依据是（       ） A.  B.  C.  D.  23．（25-26学年八上·贵州安顺紫云苗族布依族自治县第三中学·期中）如图，已知点在第一象限角平分线上，若是直角顶点，点P在上，角两边与x轴y轴分别交于A点，B点，则等于（       ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 24．（25-26学年八上·贵州遵义第十一中学·期中）2025年9月9日，常泰长江大桥正式通车．这座公铁合建双层复合型过江通道创下了最大跨度斜拉桥和最大跨度公铁两用钢桁梁拱桥的世界纪录．其斜拉桥部分侧面示意图如图所示，其中，现添加以下条件，不能判定的是（     ） A.  B.  C.  D.  25．（25-26学年八上·贵州黔西南布依族苗族自治州兴仁屯脚镇屯脚中学·期中）根据下列条件，能画出唯一的是（     ） A.  B.  C.  D.  26．（2026·贵州安顺·质量检测）小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面高的处接住她后用力一推，爸爸在处接住她．若妈妈与爸爸到的水平距离，分别为和，，则爸爸在处接住小丽时，小丽距离地面的高度是（       ） A.  B.  C.  D.  27．（25-26学年八上·贵州贵阳清镇广大实验学校·期中）如图，小敏将等腰直角三角板放置于直角坐标系中，直角顶点C与x轴上表示的点重合，点B坐标为，则点A的坐标为（     ） A.  B.  C.  D.  28．（25-26学年八上·贵州西南州兴仁·期中）如图，已知平分，，求证：． 29．（25-26学年八上·贵州黔东南苗族·期中）已知：如图，，求证：． 30．（25-26学年八上·贵州黔东南州·期中）如图，点，分别在，上，，，相交于点，． 求证：． 小虎同学的证明过程如下： 证明：∵， ∴． ∵， ∴．第一步 又，， ∴第二步 ∴第三步    （1）小虎同学的证明过程中，第___________步出现错误； （2）请写出正确的证明过程． 31．（25-26学年八上·期中）如图．，． （1）求证：； （2）若，求的长． 32．（25-26学年八上·贵州安顺紫云苗族布依族自治县第三中学·期中）如图，，，．求证：． 33．（25-26学年八上·贵州黔东南州凯里第十中学·期中）如图，在中，，F是上的一点，于点D，的延长线于点E，．求证：． 小虎同学的证明如下： 证明：∵，， ∴………第一步 在和中， ∴………第二步 ∴……………………第三步 （1）小虎同学的证明过程中，第          步出现错误； （2）请写出正确的证明过程； （3）请直接写出，，这三条线段之间的数量关系：                 ． 34．（25-26学年八上·贵州黔东南州凯里第十中学·期中）如图所示的网格是正方形网格，图形的各个顶点均为格点，则∠1+∠2＝　　　． 35．（25-26学年八上·贵州遵义桐梓县·期中）如图，点B、F、C、E在同一条直线上，． （1）求证：； （2）若，求的长． 36．（25-26学年八上·贵州遵义余庆县·期中）已知：如图，，，，与全等吗？请说明理由． 37．（25-26学年八上·贵州遵义余庆县·期中）如图，点B，F，C，E在直线l上（点F，C之间不能直接测量），点A，D在l的异侧，，，测得．    （1）求证：； （2）若，，求的长． 38．（25-26学年八上·贵州遵义余庆县·期中）如图，，要使，还需要添加一个条件是　　　　　　　　（添加一个即可） 39．（25-26学年八上·贵州凯里第一初级中学·期中）如图，C是的中点，且，请添加一个条件　　　　　　，使得． 40．（25-26学年八上·贵州黔南布依族苗族自治州平塘县·期中）综合与实践：八年级数学兴趣小组开展了测量学校旗杆的高度的实践活动，测量方案如下表： 课题 测量旗杆的高度 测量工具 测角仪、皮尺等 测量方案示意图 测量步骤 ①在平地选定一点；②测量视线与地面的夹角的度数；③测量的长度；④放置一根与长度相同的标杆，垂直于地面，并测量的长度；⑤测量视线与地面的夹角的度数． 测量数据 ，，， 请你根据兴趣小组的测量方案及数据，计算旗杆的高度． 41．（25-26学年八上·贵州黔南布依族苗族自治州平塘县·期中）黔桂铁路贵州段即将增建二线，其主要沿既有黔桂铁路一线平行修建．如图，若要求增修的铁路二线经过点，且平行于黔桂铁路一线，请你利用直尺和圆规在图上作出符合条件的铁路二线示意图．（保留作图痕迹，不写作法） 42．（25-26学年八上·贵州黔南布依族苗族自治州平塘县·期中）如图，在和中，，，，则的度数为　　　　　． 43．（25-26学年八上·贵州遵义第十一中学·期中）如图是一款折叠凳撑开时的侧面示意图（材料宽度忽略不计），其中凳腿和的长相等，O是它们的中点．为了使折叠凳坐着舒适，厂家将撑开时的凳面宽度设计为，则撑开时的凳腿间距的长为　　　　　　． 44．（2026·贵州安顺·质量检测）如图，在中，，，分别过点，作经过点的直线的垂线段，．若，，则的长为　　　　　　　　． 45．（2026·贵州安顺·质量检测）如图，点，，，在同一条直线上，，，，与交于点． （1）求证：． （2）若，，求的度数． 46．（25-26学年八上·贵州黔东南苗族·期中）如图，在和中，，要使，若根据“”判定，则还需要添加条件：　　　　　　．  47．（25-26学年八上·贵州黔东南州·期中）如图，为了测量一个池塘的宽度，嘉嘉在池塘的两边各取点B，E，使得点B，F，C，E在同一条直线上，然后在直线的两侧分别取点A，D，使得，测得．若． （1）求证：； （2）求池塘的宽度． 48．（25-26学年八上·期中）如图，点A、D、C、F在同一条直线上，，，． （1）求证：； （2）求证：． 49．（25-26学年八上·期中）如图，教学楼与操场上的旗杆相距，小林同学从教学楼B点沿走到D点，一定时间后他到达P点，此时他测得和的夹角为，且，已知，旗杆的高为，请你求出教学楼的高度． 50．（25-26学年八上·贵州毕节·期中）如图，在平面直角坐标系中，C（4，4），点B，A分别在x轴正半轴和y轴正半轴上，∠ACB＝90°，则OA＋OB＝　　． 51．（25-26学年八上·贵州遵义·期中）如图，，相交于点，连接，，平分，交延长线于． （1）给出下列三个事项：①，②，③， 请你从其中选取两个事项作为条件，另一个事项作为结论组成命题，并证明你的结论； 你选的条件：___________，结论：___________．（填序号） 证明： （2）在（1）中的条件下，若，求的度数． 52．（25-26学年八上·贵州安顺紫云苗族布依族自治县第三中学·期中）（1）如图①，已知：中，，，直线m经过点A，于D，于E，求证：； （2）拓展：如图②，将（1）中的条件改为：中，，D、A、E三点都在直线m上，并且，为任意锐角或钝角，请问结论是否成立？如成立，请证明；若不成立，请说明理由； （3）应用：如图③，在中，是钝角，，，，直线m与的延长线交于点F，若，的面积是12，求与的面积之和． 53．（25-26学年八上·贵州安顺紫云苗族布依族自治县第三中学·期中）如图，已知∠1=∠2，请你添加一个条件：　　　　　　　　　　　　　　，使△ABD≌△ACD． 54．（25-26学年八上·贵州安顺紫云苗族布依族自治县第三中学·期中）小丽与爸爸妈妈在公园里荡秋千，如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她，若妈妈与爸爸到的水平距离分别为和，． （1）与全等吗？请说明理由． （2）爸爸是在距离地面多高的地方接住小丽的？ 55．（25-26学年八上·贵州安顺紫云苗族布依族自治县第三中学·期中）如图，与相交于点C， ，点P从点A出发，沿方向以的速度运动，点Q同时从点D出发，沿方向以的速度运动，当点P到达点A时，P、Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为t． （1）当点P在运动时，                          （用含t的代数式表示） （2）求证： （3）当P， Q， C三点共线时， 求t的值． 56．（25-26学年八上·贵州黔东南州凯里第十中学·期中）如图，以的边、分别向外作等腰直角与等腰直角，，连接和相交于点O，交于点F，交于点G． （1）求证：； （2）试判断与的位置关系，并说明理由． 57．（25-26学年八上·贵州黔东南苗族侗族自治州凯里凯里学院附属中学·期中）如图，中，，垂足为D，，垂足为E，与相交于点F，． （1）求证：； （2）若，求的长 58．（25-26学年八上·贵州黔东南苗族侗族自治州凯里凯里学院附属中学·期中）八年级数学兴趣小组开展了测量学校教学楼高度的实践活动，测量方案如表： 课题 测量学校教学楼高度 测量工具 测角仪、皮尺等 测量方案示意图 测量步骤 （1）在教学楼外，选定一点；（2）测量教学楼顶点视线与地面夹角；（3）测的长度；（4）放置一根与长度相同的标杆，垂直于地面；（5）测量标杆顶部视线与地面夹角． 测量数据 ，，， 请你根据兴趣小组测量方案及数据，计算教学楼高度的值． 59．（25-26学年八上·贵州凯里第一初级中学·期中）某校项目式学习小组开展项目活动，过程如下： 项目主题：测量一条两岸平行、东西走向的河流宽度． 问题驱动：能利用哪些数学原理来测量河流宽度？ 组内探究：由于跨河测量困难，无法直接测量，需要借助一些工具来测量，比如自制的直角三角形硬纸板，测量角度的仪器（仪器的高度忽略不计），标杆，皮尺等．他们在河北岸的点B处，测得河南岸的一棵树底部C点恰好在点D的正南方向，先画出测量示意图，然后进行实地测量，并得到具体数据，从而计算河流宽度． 成果展示：下面是同学们进行交流展示时的一种测量方案： 方案 方案① 测量示意图 测量说明 如图，观测者从A点向正东走到D点，O是的中点，从点D沿垂直于的方向走，直到点B，O，C在一条直线上，测量出的长度． 测量结果 ，，． （1）写出一对相等的角：______． （2）方案①的灵感来源于古希腊哲学家泰勒斯，他们认为的长就是所求河宽的长，请你根据所学的知识，请写出证明过程． 60．（25-26学年八上·贵州凯里第一初级中学·期中）如图，在中，点D是BC的中点，，，垂足分别为E，F，且． （1）写出图中一对全等的三角形：______； （2）求证：． 61．（25-26学年八上·贵州遵义第十一中学·期中）如图，，，______，求证：． （1）请从①，②，③中选择一个适当的条件填入横线中，使命题成立．你的选择是______，并证明； （2）在（1）的条件下，，，求的长． 62．（25-26学年八上·贵州遵义第十一中学·期中）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，的三个顶点和点D、E、F、G、H、K均在格点上，请以D、E、F、G、H、K中的三个点为顶点分别按下列要求画三角形． （1）在图中画出一个三角形与全等；则此三角形是______； （2）在图中画出一个三角形与的面积相等但不全等．则此三角形是______． 63．（25-26学年八上·贵州安顺·期中）如图，在中，均是的高，且相交于点，且． （1）和全等吗？请说明理由． （2）若动点从点出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点运动，动点从点出发，沿射线以每秒4个单位长度的速度运动，两点同时出发，当点到达点时，两点同时停止运动．设点的运动时间为．当为何值时，的面积为3？ （3）在（2）的条件下，若是直线上一点，且．当时，求的值． 64．（25-26学年八上·贵州安顺·期中）我国纸伞的制作工艺十分巧妙.如图1，2，伞圈D沿着伞柄滑动时，且， （1）求证：平分； （2）如图2，当油纸伞撑开时，伞的边缘B，C与点D在同一直线上，若，，求的度数． 65．（25-26学年八上·贵州黔西南布依族苗族自治州兴仁屯脚镇屯脚中学·期中）如图、A、B两点分别在射线上，点在的内部且，垂足分别为点、点，且． （1）求证：； （2）求证：平分； （3）若，求的长． 66．（25-26学年八上·贵州黔西南布依族苗族自治州兴仁屯脚镇屯脚中学·期中）（1）“构造全等”是解决数学几何问题常用的方法之一．如图，直线经过等腰直角三角形的直角顶点，分别过点、向直线作垂线，构造了一对全等三角形，这对全等的三角形是__________； （2）如图2，在平面直角坐标系中，是以点为直角顶点的等腰直角三角形，根据（1）中的方法，求点的坐标； （3）如图，点为轴负半轴上一动点．当点沿轴负半轴向下运动时，以为顶点，为腰作等腰直角三角形，过点作轴于点，求的长．（用含的式子表示） 67．（25-26学年八上·贵州黔西南布依族苗族自治州兴仁屯脚镇屯脚中学·期中）如图，在中，．点从点出发沿线段运动，同时点从点出发沿线段的延长线运动，点、运动的速度相同，与直线相交于点．过点作交于点，且． （1）求证：； （2）过点作交于点，且．在点从点向点运动的过程中，线段的长度是否保持不变？若保持不变，请求出的长度，若改变，请说明如何变化． 68．（25-26学年八上·贵州贵阳·期中）如图，于点，是上一点，交于点，与互余． （1）试说明：； （2）若，求的长． 69．（2026·贵州安顺·质量检测）如图，在中，为边上的一点，平分，于点，于点． （1）尺规作图：作线段的垂直平分线，交于点，交于点，连接，，交于点（只保留作图痕迹，不写作法和结论）． （2）在（1）的条件下，求证：．请补全下面的证明过程． 证明：平分，，，        ①      （                         ②                           ）， ． 是的垂直平分线， ，，． 在和中， ，        ③      ， （      ④       ）． ∵，， ． 在和中， ， ． 70．（2026·贵州安顺·质量检测）【问题原型】在数学活动课上，老师给出如下问题：如图1，在中，，，以为斜边作直角三角形，点，在边的同侧，与交于点，连接，过点作于点．求证：（请根据下面的要求完成证明）． 【解决问题】 （1）如图2，有思维敏捷的同学从结论的角度出发给出如下解题思路：在上截取，连接，将线段，，之间的数量关系转化为线段与之间的数量关系．请根据上述解题思路，写出证明的完整过程． 【实践应用】 （2）的度数为________． （3）若是的中点，且，求四边形的面积． 71．（25-26学年八上·贵州黔东南苗族·期中）在四边形中，，，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 72．（25-26学年八上·贵州黔东南苗族·期中）如图，在四边形中，，点分别在边上，，，连接． （1）求证：平分； （2）若，求四边形的面积； （3）猜想与之间的数量关系，并证明你的猜想． 73．（25-26学年八上·贵州黔东南州·期中）【阅读与思考】 （1）用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如图1所示，由作图可知，依据　　　　　　　（选择“”、“”、“”、“”、“”中适合的一个填写）可以判定，从而得到． 【应用与拓展】 （2）如图2，E是线段上一点，点D在的延长线上，连接、，且，； ①尺规作图：在射线的左侧作，使得，交于点F（不写作法，保留作图痕迹）． ②判断与有怎样的数量关系，并证明你的结论． 74．（25-26学年八上·贵州黔东南州·期中）综合与实践： 【问题提出】某中学数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在 中 ，，，是 的中点，求边上的中线 的取值范围． 【问题探究】小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到，使，连接．依据“”可以证明：， 这样 的取值范围迎刃而解． (1)请写出 的推理过程； (2)探究得出 的取值范围是_______； 【问题拓展】 (3)如图2，中，，，是的中线，，垂足为，，且，求的长． 75．（25-26学年八上·期中）已知：中，，，D为直线上一动点，连接，在直线右侧作，且． （1）如图1，当点D在线段上时，过点E作于F，连接，若，，求的长； （2）如图2，当点D在线段的延长线上时，连接交的延长线于点P．求证：； （3）如图3，当点D在延长线上时，连接交的延长线于点P，若，请直接写出的值（不需要计算过程）． 76．（25-26学年八上·期中）如图1，在中，，，点是的中点，点是边上一点．直线垂直于直线，垂足为点F，交于点G． （1）若，求的度数； （2）求证：； （3）如图2，直线垂直于直线，垂足为点H，交的延长线于点M，找出图中与相等的线段，并证明． 77．（25-26学年八上·贵州黔东南苗族侗族自治州凯里凯里学院附属中学·期中）如图，在中，D为中点，，，于点F，，则的长为　　　　　． 78．（25-26学年八上·贵州遵义桐梓县·期中）在学习等腰三角形的过程中，我们积累了一定的研究经验．请运用已有经验，对“邻等对补四边形”进行研究．定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形． （1）操作理解 小明用分别含有和角的直角三角形纸板拼出如图所示的4个四边形，其中是邻等对补四边形的有___________；（填序号） （2）性质探究 根据定义可得出邻等对补四边形的边、角的性质．下面研究与对角线相关的性质． 如图1，四边形是邻等对补四边形，是它的一条对角线． 求证：平分； （3）拓展应用 如图2，在中，，分别在边上取点，使四边形是邻等对补四边形，则的大小为___________度． 79．（25-26学年八上·贵州黔西南布依族苗族自治州兴仁屯脚镇屯脚中学·期中）如图，在长方形中，，，延长到点，使，连接，动点从点B出发，以每秒个单位的速度沿向终点运动，设点的运动时间为秒，当t的值为　　　　　　秒时，和全等． 考点03 角的平分线 1．（25-26学年八上·贵州遵义余庆县·期中）如图，在中，，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点O，作射线，交于点E．已知，，的面积为（       ） A. 6 B. 9 C. 12 D. 18 2．（25-26学年八上·贵州贵阳·期中）如图，一个加油站恰好位于两条公路，所夹角的平分线上，若加油站到公路的距离是，则它到公路的距离是（     ） A.  B.  C.  D.  3．（2026·贵州安顺·质量检测）三条公路将、、三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（    ） A. 三条高线的交点 B. 三条中线的交点 C. 三条角平分线的交点 D. 三边垂直平分线的交点 4．（25-26学年八上·贵州遵义·期中）某市政府为促进旅游发展，准备在三条公路围成的三角形平地上修建一个度假村，如图所示．要使度假村到三条公路的距离相等，这个度假村应修建在（     ） A. 三条高线的交点处 B. 三条角平分线的交点处 C. 三条中线的交点处 D. 以上都不对 5．（25-26学年八上·贵州安顺紫云苗族布依族自治县第三中学·期中）如图，是中的角平分线，于点E，，，，则长是（     ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 6．（25-26学年八上·贵州黔东南州凯里第十中学·期中）如图，已知平分，是上一点，于，若，则点与射线上某一点连线的长度可以是（　　） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年八上·贵州黔东南苗族侗族自治州凯里凯里学院附属中学·期中）如图，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点E、F，再分别以点E、F为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点D，作射线，则说明的依据是（       ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年八上·贵州遵义桐梓县·期中）如图，平分是上一点，于点，若，则点与射线上某一点连线的长度可以是（     ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 11 9．（25-26学年八上·贵州黔南布依族苗族自治州平塘县·期中）如图，在中，，平分，，，为线段上一动点，连接，则的最小值为（     ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 10．（2026·贵州安顺·质量检测）下面是“作的角平分线”的尺规作图方法． （1）以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点；（2）分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点；（3）画射线.射线即为所求． 上述方法通过判定得到．其中判定的依据是（     ） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年八上·贵州黔东南苗族·期中）如图，在中，，以为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以，为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，作射线，交于点．已知，，则的面积为（　　）． A.  B.  C.  D.  12．（25-26学年八上·期中）如图，在中，平分，．若，，则（     ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 13．（25-26学年八上·期中）如图，是的角平分线，，垂足为，的面积为，，，则的长为（       ） A. 10 B. 9 C. 8 D. 7 14．（25-26学年八上·贵州遵义余庆县·期中）如图所示的是一块三角形草坪 ，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，则凉亭的位置应选在（        ） A.  三条中线的交点处 B.  三条角平分线的交点处 C.  三条高所在直线的交点处 D.  三边的垂直平分线的交点处 15．（25-26学年八上·贵州黔东南州凯里第十中学·期中）如图，在中，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交、于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，点E在上．若，，，当长度最小时，的周长是（       ） A.  B.  C.  D.  16．（25-26学年八上·贵州黔南布依族苗族自治州平塘县·期中）如图，在中，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点，；再分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点，作射线，交于点；在线段上取一点，作，，垂足分别为，．则下列说法：①；②；③；④，其中正确的有（     ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 17．（25-26学年八上·贵州西南州兴仁·期中）如图，在中，，，是高，以点A为圆心，长为半径画弧，交于点E，再分别以B、E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部交于点F，作射线，则的度数是（     ） A.  B.  C.  D.  18．（25-26学年八上·贵州黔西南布依族苗族自治州兴仁屯脚镇屯脚中学·期中）已知如图，中，是角平分线，，垂足为E．若，则点D到边的距离是（       ） A. 1 B. 1.5 C. 2 D. 3 19．（25-26学年八上·贵州遵义桐梓县·期中）如图，在中，平分，于点E，点F在上，． （1）求证：． （2）若，求的长． 20．（25-26学年八上·贵州安顺紫云苗族布依族自治县第三中学·期中）在△ABC中，P、Q分别是BC、AC上的点，作PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分别是R，S，PR＝PS，AQ＝PQ，则下面三个结论：①AS＝AR；②PQ∥AR；③△BRP≌△CSP．其中正确的是　　　　　． 21．（25-26学年八上·贵州安顺紫云苗族布依族自治县第三中学·期中）如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD ＝CD、BE＝CF． （1）求证：AD平分∠BAC； （2）已知AB＝5，AC＝8，求BE的长． 22．（25-26学年·贵州贵阳清镇培文学校·期中）如图，四边形中，，平分，于点，于点． （1）求证：； （2）若，，计算的长度． 23．（25-26学年八上·贵州安顺·期中）如图，任意画一个的，再分别作的两条角平分线和，和相交于点P，连接，有以下结论：①；②平分；③；④，其中正确的是　　　　　　　　． 24．（25-26学年八上·贵州安顺·期中）如图，在中，的平分线与的平分线交于点O，过点O作，，，垂足分别为D，E，F． （1）与是否相等？请说明理由； （2）若的周长是40，且，求的面积． 25．（25-26学年八上·贵州贵阳清镇广大实验学校·期中）【问题背景】如图1，在平面直角坐标系中，为坐标原点，的长分别为a，b，c，且满足，点P从A出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线匀速运动，设点P运动时间为t秒． （1）A的坐标为________，B的坐标为______． 【数学理解】 （2）如图2，连接，当时，则t的值为_______； 【深入探究】 （3）连接BP，当平分时，求出t的值． 26．（25-26学年八上·期中）（多选） 如图，在中，，是的平分线，于点E． （1）求证：； （2）若，，求的长； （3）若的周长为24，的周长为12，求的长． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 全等三角形 考点01 全等三角形及其性质 考点02 三角形全等的判定 考点03 角的平分线 考点01 全等三角形及其性质 1．C 2．A 3．A 4．C 5．D 6．C 7．B 8．C 9．C 10．D 11．【答案】 【分析】 此题考查全等三角形的性质．根据全等三角形的对应角相等以及三角形的内角和是求解． 【详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 12．【答案】105 【分析】 本题主要考查了全等三角形的性质，直接利用全等三角形的性质得出答案． 【详解】 解：， ，， ， 故答案为： 13．【答案】 【分析】 本题考查的是全等三角形的性质，坐标与图形，先求解，，，，再结合全等三角形的性质可得答案. 【详解】 解：∵点A，D的坐标分别是，， ∴，，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴； 故答案为： 14．【答案】（1） 解：，理由如下： ， ， ；     （2）3      【分析】 本题考查全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的对应角相等，对应边相等，是解题的关键： （1）根据全等三角形的性质，得到，根据内错角相等，两直线平行，即可得出结论； （2）根据全等三角形的性质，得到，根据线段的和差关系即可得出结果． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ， ； ． 15．【答案】7 【分析】 本题考查了全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键． 由可知，，作答即可． 【详解】 解：， ． 故答案为：7． 16．【答案】（1）A     （2） 选择图2（选项B）证明 已知：，作． 求证：． 证明：延长至E， ∵， ∴． ∵， ∴， ∵，又（全等三角形对应角相等） ∴（等量代换）． 即三角形的内角和是． 选择图3（选项C）证明： 已知：． 求证：． 证明：∵， ∴， ∵， ∴． 选择图4（选项D）进行证明： 已知：． 求证：． 证明：过点C作延长至 ∴（两直线平行，内错角相等）， （两直线平行，同位角相等）． ∵（平角的定义）， ∴（等量代换）． 即三角形的内角和是．      【分析】 本题考查了三角形内角和定理的证明及辅助线的作用，解题的关键是理解不同辅助线构造思路与平行线性质、全等三角形性质的结合，判断能否转化角的关系证明内角和为 ． （1）分析各选项辅助线作用：选项A作无法建立角之间的转化关系，不能证明；选项B利用全等三角形性质可转化角；选项C通过平行线性质转移角；选项D借助平行线将角转化为平角，故不能证明的是A． （2）选择合适图形，如选项利用平行线的性质（内错角相等、同位角相等）将三角形三个内角转化为一个平角，进而证明内角和为． (1) 小问详解： 分析各选项辅助线能否实现角的转化： 选项过点C作此辅助线无法建立三角形内角与其他角的等量关系，不能证明三角形内角和是． 选项作可利用全等三角形对应角相等转化角的关系，能证明． 选项过上一点D作可利用平行线内错角相等转移角，能证明． 选项过点C作可利用平行线内错角相等将内角转化为平角，能证明． 故答案为：A． (2) 小问详解： 略 17．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． （1）利用全等三角形的性质得到，进而求解即可； （2）利用全等三角形的性质得到，再利用三角形内角和运算求解即可． (1) 小问详解： 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； (2) 小问详解： ∵， ∴， ∵， ∴， 考点02 三角形全等的判定 1．C 2．C 3．D 4．A 5．D 6．C 7．B 8．B 9．A 10．D 11．A 12．B 13．C 14．B 15．C 16．B 17．B 18．D 19．C 20．B 21．B 22．A 23．D 24．A 25．D 26．B 27．D 28．【答案】证明：平分， ， ， ， ， ， （全等三角形对应边相等）． 【分析】 本题考查了全等三角形的判定． 结合题意可知此题需要利用三角形全等来证明，关键是会灵活应用角平分线的性质及邻补角相关知识． 【详解】 略 29．【答案】证明：， ， ， ， 在和中， ， ， ． 【分析】 本题考查全等三角形的判定和性质，平行线的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形全等的条件，属于中考常考题型． 由，得到，由得到，然后得到，则，即可证明结论． 【详解】 略 30．【答案】（1）二     （2） 证明：∵， ， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ．      【分析】 （1）根据证明过程即可求解． （2）利用全等三角形的判定及性质即可求证结论． (1) 小问详解： 解：则小虎同学的证明过程中，第二步出现错误， 故答案为：二． (2) 小问详解： 略 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定及性质，熟练掌握其判定及性质是解题的关键． 31．【答案】（1） 证明：在和中， ， ∴     （2）      【分析】 本题主要考查了全等三角形的性质与判定，熟知全等三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）利用即可证明； （2）根据全等三角形对应边相等即可得到答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵， ∴． 32．【答案】证明：∵， ， 在和中， ， ， ∴． 【分析】 本题考查三角形全等的判定与性质：利用“角角边”证明即可． 【详解】 略 33．【答案】（1）二     （2） 证明：∵，， ∴， 在和中， ∴， ∴；     （3）      【分析】 本题考查了全等三角形的判定及性质，熟练掌握其判定及性质是解题的关键． （1）根据三角形全等的判定定理求解即可； （2）根据三角形全等的判定定理求解即可； （3）由得到，，然后等量代换求解即可． (1) 小问详解： 解：小虎同学的证明过程中，第二步出现错误； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：由（2）得，， ∴，， ∴． 34．【答案】135° 【分析】 直接利用网格证明△ABC≌△CDE，得出对应角∠1=∠3，进而得出答案． 【详解】 解：如图所示： 可知：AB=CD=3，BC=DE=1，∠B=∠D=90°， ∴△ABC≌△CDE（SAS）， ∴∠1=∠3， 则∠1+∠2=∠2+∠3=135°． 故答案为：135°． 【点睛】 此题主要考查了全等三角形的判定和性质，正确借助网格分析是解题关键． 35．【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵， ∴；     （2）11      【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，判定两个三角形全等的一般方法有：，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）先根据平行线的性质得到，再由“”直接证明即可； （2）由，，再由线段和差即可得到，最后由即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 36．【答案】解：， 理由如下： ， ，即， 在和中， ， ． 【分析】 本题考查了三角形全等的判定．由得出，再用“”证明即可得证．熟练掌握三角形全等的判定是解此题的关键． 【详解】 略 37．【答案】（1） 证明：∵， ∴， 在与中 ，    ∴；     （2）      【分析】 （1）根据平行线的性质得到，由此利用证明； （2）根据全等三角形的性质得到，求出，由此求出的长． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ∵ ∴ ∴， ∵， ∴． 【点睛】 此题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，正确掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 38．【答案】或或（添加一个即可） 【分析】 本题考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 根据全等三角形的判定定理，结合已知的相等关系，求解即可． 【详解】 在和中，，， 添加，用边角边证； 添加，用角边角证； 添加，用角角边证； 故答案为：或或． 39．【答案】（或，答案不唯一） 【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定．熟练掌握全等三角形的判定定理，是解决问题的关键． 要使，已知，，再根据三角形全等的判定方法，进行求解即可． 【详解】 解：∵C是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴添加或或， 可分别根据判定． 故答案为：（或，答案不唯一）． 40．【答案】 【分析】 本题考查了全等三角形的判定及性质，由判定，由全等三角形的性质得，即可求解． 【详解】 解：由题图可知，，， ． 在和中， ， ， ． 答：旗杆的高度为． 41．【答案】如图，直线为所求作的铁路二线， 【分析】 本题考查了过直线外一点作已知直线的平行线，尺规作图：作一个角等于已知角，平行线的判定；在直线上取点，作直线，作，由同位角相等两直线平行即可求解． 【详解】 略 42．【答案】度 【分析】 本题考查了直角三角形的判定及性质，直角三角形的特征，由可判定，由全等三角形的性质得，由即可求解． 【详解】 解：， ， （）， ， ， ， 故答案为：． 43．【答案】30 【分析】 此题考查了全等三角形的应用，关键是掌握全等三角形的判定和性质．利用定理判定，再利用全等三角形的性质可得答案． 【详解】 解：∵O是和的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：30． 44．【答案】9 【分析】 本题主要考查了三角形全等的判定与性质，正确找出两个全等三角形是解题关键．先证明，根据全等三角形的性质可得，，再根据线段的和差求解即可得． 【详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：9． 45．【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵， ∴，即， 在和中， ∴．     （2）      【分析】 本题考查了三角形全等的判定与性质、平行线的性质、三角形的内角和定理，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解题关键． （1）先根据平行线的性质可得，再求出，然后根据定理即可得证； （2）先根据全等三角形的性质可得，再根据三角形的内角和定理可得，然后根据平行线的性质即可得． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由（1）已证：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 46．【答案】（或） 【分析】 根据题意，是公共边，只需添加或即可解答． 本题考查了三角形全等的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键． 【详解】 解：根据题意，是公共边，只需添加或． 故答案为：或． 47．【答案】（1） 证明： ， ， ．     （2）10米      【分析】 此题考查了全等三角形的判定及性质，平行线的性质，掌握三角形全等的判定和性质是解题的关键． （1）由得到，可证明； （2）由全等得到，再由线段的和差关系即可求解； (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ， ， ， ， 即池塘的宽度为． 48．【答案】（1） 证明：∵， ∴，即， 在与中 ∴.     （2） 证明：∵， ∴， ∴．      【分析】 本题考查全等三角形的判定和性质，平行线的判定； （1）三边相等的两个三角形全等，由得即，与就具备了全等的条件； （2）全等三角形的对应角相等，由得到，这两个角是一组同位角，同位角相等两直线平行. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 49．【答案】教学楼的高度为 【分析】 本题考查的是全等三角形的判定与性质，熟记全等三角形的判定方法是解本题的关键．先证明，再结合证明，即可得到结论． 【详解】 解：∵和的夹角为， ∴． ∵， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 答：教学楼的高度为． 50．【答案】8 【分析】 过C作CM⊥y轴于M，CN⊥x轴于N，得出四边形CMON是正方形，推出OM=ON=CN=4，证△ACM≌△BCN，推出AM=BN，求出OA+OB=ON+OM，代入求出即可． 【详解】 解：过C作CM⊥y轴于M，CN⊥x轴于N， ∵C（4，4）， ∴CN=CM=4， ∵x轴⊥y轴， ∴∠MON=∠CNO=∠CMO=90°， ∴∠MCN=360°-90°-90°-90°=90°， 则四边形MONC是正方形， ∴OM=ON=CN=CM=4， ∵∠ACB=90°， ∴∠ACB=∠MON， ∴∠MCA=90°-∠ACN，∠BCN=90°-∠ACN， ∴∠ACM=∠BCN， 在△ACM和△BCN中， ， ∴△ACM≌△BCN（ASA）， ∴AM=BN， ∴OA+OB =OA+ON+BN =OA+ON+AM =ON+OM =4+4 =8． 故答案为：8． 【点睛】 本题考查了全等三角形的性质和判定，坐标与图形性质，关键是推出AM=BN和推出OA+OB=OM+ON． 51．【答案】（1） 当选① ② 为条件，③ 为结论时， 证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； 当选① ③ 为条件，② 为结论时， 同理可证明， ∴； 当选② ③ 为条件，① 为结论时， 在和中， ， ∴ ∴， ∴．     （2）      【分析】 本题考查全等三角形的判定与性质，全等三角形的判定方法有：、、、及，熟练掌握并灵活运用适当的判定方法是解题关键． （1）分别选择① ② ，③ 、① ③ ，② 、② ③ ，① ，利用、、证明，即可得答案； （2）由（1）可知三个条件都成立，根据平行线的性质得出，根据角平分线的定义得出，再利用平行线的性质即可得答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由（1）可知，无论怎么选择，三个条件都成立， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 52．【答案】（1）证明：直线，直线， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； （2）解：结论成立；理由如下： ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； （3）6 【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，不同底等高的两个三角形的面积之比等于底的比．熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）证明，则，，； （2）同理（1）证明即可； （3）同理（2）可得，，则，设的底边上的高为，则的底边上的高为，，，由，可得，根据，求解作答即可． 【详解】 （1）略 （2）略 （3）解：同理（2）可得，， ∴， 设的底边上的高为，则的底边上的高为， ∴，， ， ∴， ∴， ∴与的面积之和为6． 53．【答案】∠B=∠C 或者∠BAD=∠CAD 或者BD=DC 【详解】 解：添加∠B=∠C，可用AAS判定两个三角形全等； 添加∠BAD=∠CAD，可用ASA判定两个三角形全等； 添加BD=CD，可用SAS判定两个三角形全等． 故答案为：∠B=∠C或∠BAD=∠CAD或BD=CD 54．【答案】（1） ，理由如下； ∵， ∴ ∵， ∴， ∴． 又∵， ∴． ∵， ∴．     （2）爸爸接住小丽的地方距地面的高度为      【分析】 （1）由直角三角形的性质得出，根据可证明； （2）由全等三角形的性质得出，求出的长则可得出答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ∵， ∴， ∴， ∴爸爸接住小丽的地方距地面的高度为． 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形两锐角互余，证明是解题的关键． 55．【答案】（1）     （2） 证明：在和中， ， ， ；     （3）t的值为8或      【分析】 本题主要考查代数式和全等三角形的判定和性质，一元一次方程的应用，解题的关键是分类讨论思想． （1）根据题题意求得，则； （2）根据题意即可利用证明，从而得出结论； （3）根据题意得，则，结合（1）可得和，由三点共线得，即可证明，有，利用分类讨论列方程求解即可． (1) 小问详解： 解：设点P的运动时间为， 根据题意得：，则， 故答案为：； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：如图， 根据题意得：，则， ， ∵P，Q，C三点共线， ， 在和中， ， ， ， ∴当时，， ， 当时，， ， 解得：， ∴综上所述，当P、C、Q三点共线时，t的值为8或． 56．【答案】（1） 证明：和都是等腰直角三角形， ，， 又， ， 即， 在和中， ， ；     （2） 理由： ， ，， 又，， ， ， 即．      【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键． （1）根据等腰三角形的性质得到，，，进一步利用证明即可； （2）根据全等三角形的性质得到，，利用三角形内角和以及对顶角相等得到，可得，即可证明． (1) 小问详解： 略． (2) 小问详解： 解：略． 57．【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴；     （2）7      【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定和性质，线段的和差，垂直的定义，解题的关键是掌握全等三角形的判定和性质． （1）先证明，然后根据，再结合已知条件可得结论； （2）根据，得出，根据得出，最后根据线段和差间的关系，得出答案即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 58．【答案】教学楼高度的值为 【分析】 此题考查了全等三角形的性质和判定，根据题意得到，，然后证明出，得到，进而求解即可． 【详解】 解：∵，， ∴ ∴ 又∵， ∴ ∴ 在和中， ∴ ∴ 又∵， ∴ ∴教学楼高度的值为． 59．【答案】（1）     （2） 证明：∵O是的中点， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的长就是所求河宽的长．      【分析】 本题考查了全等三角形的判定和性质． （1）根据对顶角相等即可求解； （2）利用“”即可判定，即可得到． (1) 小问详解： 解：∵，， ∴，， 故答案为：（答案不唯一）； (2) 小问详解： 略 60．【答案】（1）     （2） 证明：是边的中点， ， 又，， ， 又∵， 在和中， ， ． ．      【分析】 本题考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是灵活运用全等三角形的判定方法，比较简单． （1）全等的三角形有； （2）利用“”证明即可得到：． (1) 小问详解： 解：全等的三角形有； 故答案为：； (2) 小问详解： 略 61．【答案】（1）（或）， 理由如下： ， ， ，， ， ， 在和中， ， ， 或选择，理由如下： ， ， ∵，， 而， ∴， ∴， 在和中， ， ∴，     （2）4      【分析】 本题考查全等三角形的判定和性质，关键是掌握或． （1）由平行线的性质推出，由，，得到，判定；或者平行线的性质推出，由得，得，可判定； （2）由（1）知，即可求出 (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由（1）知， ， 62．【答案】（1）如图，，，，均满足题意． 此三角形是或或或     （2）如图，即为所求．      【分析】 本题考查作图-应用与设计作图、三角形的面积、全等三角形的判定，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）结合全等三角形的判定画图，即可得出答案． （2）结合全等三角形的判定画面积为4的三角形，即可得出答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 63．【答案】（1） 解：和全等，理由如下： 是高， ， 是高， ， ，， ， 在和中， ， ．     （2）或     （3）的值为1或      【分析】 本题考查了三角形全等的判定和性质，三角形面积计算，分类证明全等，熟练掌握三角形全等的判定和性质是解题的关键． （1）根据证明即可； （2）由题意，，当点在线段上时，， 当点在延长线上时，，根据三角形的面积列式解答即可． （3）分点在线段上和点在延长线上两种情况解答即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由（1）知， ， ， ， 由题意，， 当点在线段上时，， ， 解得：； 当点在延长线上时，， ， 解得：； 综上，当的面积为时，的值为或． (3) 小问详解： 解：存在．理由如下： 如图中，当时， ，， ． ， ， 解得， 如图中，当时， ，， ． ， ， 解得， 综上所述，或时，． 64．【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∴， ∴平分；     （2）      【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的外角性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）证明，则，即可证明； （2）先由三角形的外角性质求出，再由全等三角形的对应角相等求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵，平分， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴． 65．【答案】（1） 证明：在和中， ， ．     （2） 证明， ． 又， 点在的角平分线上． 平分．     （3）      【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的判定定理、一元一次方程的应用等知识点，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）直接运用即可证明结论； （2）由全等三角形的性质可得，再根据角平分线的判定定理即可证明结论； （3）设，易得，再证明可得，由线段的和差可得，最后根据列方程求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：设． ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ，解得：． ． 66．【答案】（1）和；（2）；（3） 【分析】 本题主要考查了坐标与图形及三角形全等的判定与性质，正确添加辅助线构造全等三角形是解答此题的关键． （1）根据证明； （2）作轴于，证明，得，进而可得； （3）作轴于，证明，得，结合线段的和差关系即可求解． 【详解】 解：（1）和． 由题意得 在和中， （2）过点作轴于点，如答图1所示． 在和中， （3）过点作轴于点，如答图2所示． 在和中， 轴，轴， 轴， 点为轴负半轴上一动点， ． 67．【答案】（1） 证明：∵点从点出发沿线段运动，同时点从点出发沿线段的延长线运动，点、运动的速度相同， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴；     （2）线段的长度保持不变，为3      【分析】 此题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质，解题的关键是掌握以上知识点． （1）首先得到，由得到，然后证明即可； （2）首先由得到，然后根据线段中点的性质求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：线段的长度保持不变．理由如下： 由（1）知，， ∴， ∵，， ∴． 68．【答案】（1） 证明：， ， ， ， ；     （2）4      【分析】 本题考查全等三角形的判定和性质． （1）根据同角的余角相等即可证明； （2）由，推出，由，，推出，即可解决问题． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：，，， ， ， ，， ， ． 69．【答案】（1）如图所示： ．     （2）①；② 角平分线的性质；③；④ 等量代换；⑤      【分析】 本题考查了线段垂直平分线的尺规作图、三角形全等的判定与性质、角平分线的性质定理等知识，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解题关键． （1）根据线段垂直平分线的尺规作图解答即可得； （2）先根据角平分线的性质可得，根据线段垂直平分线的性质可得，，，再证出，根据全等三角形的性质可得，则可得，然后证出，根据全等三角形的性质即可得证． (1) 小问详解： 解：如图，作线段的垂直平分线，交于点，交于点，连接，，交于点． (2) 小问详解： 略 70．【答案】（1）证明：如图2，在上截取，连接， ∵， ∴， ∵以为斜边作直角三角形， ∴， ∴， 由对顶角相等得：， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． （2）； （3）96 【分析】 本题考查了三角形全等的判定与性质、等腰三角形的三线合一、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识，通过做辅助线，构造全等三角形是解题关键． （1）先证出，根据全等三角形的性质可得，再根据等腰三角形的三线合一可得，然后根据和等量代换即可得； （2）先根据全等三角形的性质可得，，再求出，然后根据等腰三角形的性质可得，由此即可得； （3）先证出，根据全等三角形的性质可得，再根据等腰三角形的性质可得，则可得，最后根据四边形的面积等于求解即可得． 【详解】 解：（1）略 （2）由（1）已证：， ∴，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． （3）∵是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵，，， ∴， ∴， ∴四边形的面积为 ． 71．【答案】（1） 证明：， ． 在和中， ， ．     （2）5      【分析】 此题考查全等三角形的判定和性质， （1）由平行线推出，即可根据证明； （2）根据全等三角形的性质解答． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：， ，， ． 72．【答案】（1） 证明：∵在和中， ， ∴， ∴， ∴平分；     （2）48     （3）      【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形外角的定义和性质等知识，证明、是解题关键． （1）利用“”证明，由全等三角形的性质可得，即可证明结论； （2）利用“”证明，由全等三角形的性质可得，，进而可知，然后由四边形的面积求解即可； （3）由可得，结合，可得，再结合即可证明结论． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ∵， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴四边形的面积； (3) 小问详解： ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴． 73．【答案】（1）； （2）① 如图，即为所求． ②，理由如下： 证明：∵， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 【分析】 本题考查尺规作图——作一个角等于已知角，全等三角形的判定及性质，等腰三角形的判定，理解作一个角等于已知角的尺规作图方法，掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键． （1）根据作图可得，，，依据“”可以判定，即可解答； （2）① 根据作一个角等于已知角的尺规作图方法作图即可； ② 由等角对等边得到，从而证明，得到，再由即可得到． 【详解】 解：（1）由作图可得，，，依据“”可以判定，从而得到． 故答案为：． （2）① 略 ② 略 74．【答案】（1）证明：延长 到点， 使 连接， 是 的中点， ， 在 和   中， ， ； （2）； （3）． 【分析】 本题考查的是全等三角形的判定和性质、三角形的三边关系，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）根据证明； （2）根据全等三角形的性质、三角形的三边关系计算； （3）延长交的延长线于，证明，根据全等三角形的性质解答． 【详解】 （1）略 （2）解：， ， ， ， 故答案为：； （3）解：如图，延长 交 的延长线于点，      ，， ，         是 的中线， ， 在 和 中， ， ， ，， ， 垂直平分， ， ． 75．【答案】（1）2     （2） 证明：如图2，过点E作，交的延长线于N， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴ ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴；     （3）      【分析】 本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键． （1）由“”可证，可得，，即可求出答案； （2）过点E作，交的延长线于N，由“”可证，可得，由“”可证，可得，再判断出，即可得出结论； （3）设，，判断出，得出，，再判断出，即可得出结论． (1) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：当点D在延长线上时，如图，过点E作，交的延长线于N， ∵， ∴设，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ． ∴的值为． 76．【答案】（1）20°     （2） ∵点D是中点，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，     （3） ．理由如下： ∵，， ∴，， ∴， 又∵， 在和中， ∴， ∴．      【分析】 此题考查等腰直角三角形的性质、同角的余角相等、全等三角形的判定与性质等知识，证明三角形全等是解题的关键． （1）根据和可得结论； （2）首先根据点D是中点，，可得出，判断出，即可得出； （3）根据垂直的定义得出，再根据，，得出，进而证明出． (1) 小问详解： 解：∵， ∴， 又∵， ∴； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 略 77．【答案】8 【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质，线段的和差等内容，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用． 连接，过点作，交的延长线于点，证明垂直平分线段，得出，证明和，得出相等的边，然后利用线段的和差进行求解即可． 【详解】 解：如图，连接，过点作，交的延长线于点， ∵，且D为中点， ∴垂直平分线段， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， 解得， ∴， 故答案为：8． 78．【答案】（1）②     （2） 证明：过点A作于E，作，交延长线于F，如图1.1所示： 则， 四边形是邻等对补四边形， ， 又， ， 又由题知， ， ， 又， ， ， 平分．     （3），或      【分析】 本题考查了全等三角形判定与性质，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练运用相关性质进行推理证明，利用分类讨论的思想求角的大小． （1）根据邻等对补四边形的定义，从对角是否互补，是否有一组邻边相等逐个验证，可得结果； （2）过点A作于E，作，交延长线于F，先后证明，，可得，所以平分； （3）先根据邻等对补四边形的对角互补，推出，，再根据邻等对补四边形有一组邻边相等，分类讨论，求出每一种情况下的度数，综合可得结果． (1) 小问详解： 解：①，不满足对角互补，所以该四边形不是邻等对补四边形； ②，，满足对角互补，且有两组邻边相等，所以该四边形是邻等对补四边形； ③，不满足对角互补，所以该四边形不是邻等对补四边形； ④ 该四边形没有相等的两条邻边，所以不是邻等对补四边形； 综上可知，是邻等对补四边形的有② ． (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：在中，， ∴， 四边形是邻等对补四边形， ，， ，． 根据邻等对补四边形至少有一组邻边相等，可得 当时，如图2.1： 结合，可得， ． 当时，如图2.2： ， ， ． 当时，如图2.3： ， ． 当时，如图2.4： 结合，可得， ． 综上可知，大小为或或． 79．【答案】或 【分析】 本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确理解题意，进行分类讨论． 由矩形的性质可得角度和线段长度，由三角形全等可得对应边相等，结合运动过程进行分类讨论，分别计算不同情形对应的运动时间即可． 【详解】 解：∵在长方形中，，， ∴，，， ∵点在延长线上， ∴， 若，则， ∴运动时间， 若，则， ∴运动时间， 故答案为：或． 考点03 角的平分线 1．B 2．C 3．C 4．B 5．D 6．B 7．A 8．D 9．B 10．A 11．A 12．B 13．C 14．B 15．D 16．C 17．C 18．C 19．【答案】（1） 证明：∵平分，于点E， ∴． 在与中， ， ∴， ∴．     （2）2      【分析】 （1）由角平分线的性质得到，利用证明即可证明． （2）设，则，同理得到利用证明得到，即，解方程即可得到答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：设，则， ∵平分，于点E， ∴． 在与中， ， ∴， ∴，即， 解得，即． 【点睛】 本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的性质与判定，熟知利用证明三角形全等是解题的关键． 20．【答案】① ② 【分析】 根据角平分线的性质，和全等三角形的判定，可证Rt△ASP≌Rt△ARP，得AS=AR；∠PAR=∠PAQ，可证PQ∥AR． 【详解】 解：连接AP，    在Rt△ASP和Rt△ARP中， PR=PS，PA=PA， 所以Rt△ASP≌Rt△ARP， 所以①AS=AR正确； 因为AQ=PQ， 所以∠QAP=∠QPA， 又因为Rt△ASP≌Rt△ARP， 所以∠PAR=∠PAQ， 于是∠RAP=∠QPA， 所以②PQ∥AR正确； ③ △BRP≌△CSP，根据现有条件无法确定其全等． 故答案为① ② ． 【点睛】 此题考查了到角平分线的性质（角的平分线上的点到角的两边的距离相等）及全等三角形的判定和平行线的判定定理；正确作出辅助线是解答本题的关键． 21．【答案】（1）证明：∵, ∴, 又∵ ∴ ∴ 又∵, ∴点在的角平分线上 ∴平分 （2） 【分析】 （1）可先根据已知条件证明，得到，再结合,，根据角平分线判定定理，即可证明； （2）先证明，得到，所以，结合条件，代入即可得到答案． 【详解】 （1） 略 （2）解：∵ ∴ 又∵，， ∴ ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ 【点睛】 本题考查角平分线的判定定理，直角三角形的全等判定，正确理解题意是解题关键． 22．【答案】（1） 证明：∵平分，于点，于点， ∴，， 在和中， ， ∴；     （2）      【分析】 （）由角平分线的性质得，进而根据“”可证明； （）先证明，得到，再根据得，即得，进而得到，即可求解； 本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 23．【答案】① ② ④ 【分析】 本题主要考查了三角形内角和定理、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质，由角平分线的定义并结合三角形内角和定理求出，再由三角形内角和定理计算即可判断① ；过点作于，于，于，由角平分线的性质定理可得，从而可得平分，即可判断② ；证明，得出，再证明，同理可得，得出，，即可判断④ ；没有条件得出，即可判断③ ；从而得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】 解：∵、分别是与的角平分线，， ∴，， ∴， ∴， ∴，故① 正确； 过点作于，于，于， ， ∵、分别是与的角平分线， ∴，， ∴， ∴平分，故② 正确； ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， 同理可得：， ∴，， 两式相加可得：， ∵， ∴，故④ 正确； 没有条件得出，故③ 错误； 综上所述，正确的有① ② ④ ， 故答案为：① ② ④ 24．【答案】（1） 解：，理由如下： ∵O为，的平分线的交点，，，， ∴， ∴；     （2）      【分析】 本题主要考查了角平分线的性质，熟知角平分线上的点到该角两边的距离相等是解题的关键． （1）根据角平分线的性质得到，则； （2）如图所示，连接，由的周长是40，根据推出，由此即可得到答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：如图所示，连接， 由（1）得， ∵的周长是40， ∴， ∴， ． 25．【答案】（1），；（2）或；（3） 【分析】 本题考查了非负数的意义，一元一次方程应用，平面直角坐标系中点的坐标，角平分线的性质等知识． （1）先根据求出，即可求出点A的坐标为，点B的坐标为； （2）根据题意得到点P的坐标为，根据得到方程，解绝对值方程即可求解； （3）过点P作于点C，根据题意得到，，进而得到，根据，列方程解方程即可． 【详解】 解：（1）∵， ∴， ∴点A的坐标为，点B的坐标为． 故答案为：，； （2）由题意得，点P的坐标为， ∵， ∴， ∴， ∴或， ∴或． 故答案为：或； （3）如图，过点P作于点C， 由（1）得，， 当点P运动t秒时，， ∴， 当平分时，∵， ∴， ∴， 即 解得． 26．【答案】（1） 解：∵AD是的平分线，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴；     （2）；     （3）      【分析】 本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质． （1）根据角平分线的性质可知，再证明，即可证明； （2）先得到，根据即可求出的长； （3）根据全等三角形的性质得到，，进而根据线段的和差计算即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ∵，， ∴， ∴； (3) 小问详解： ∵， ∴，， ∵的周长为24，的周长为12， ∴，， ∴， ∴． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $