专题03 三角形（期中真题汇编，贵州专用）八年级数学上学期

专题03 三角形 5大高频考点概览 考点01 三角形的概念 考点02 三角形的边 考点03 三角形的中线、角平分线、高 考点04 三角形的内角 考点05 三角形的外角 考点01 三角形的概念 1．（25-26学年八上·贵州黔西南布依族苗族自治州兴仁屯脚镇屯脚中学·期中）如图，下面以为边的三角形是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了三角形的认识．根据三角形的边的含义可得答案． 【详解】 解：以为边的三角形有，，． 故选：A 2．（2026·贵州安顺·质量检测）如图所示，小手盖住了一个三角形的一部分，则这个三角形是（       ） A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 等边三角形 【答案】C 【分析】 本题考查的是三角形的分类，根据钝角三角形的定义作答即可． 【详解】 解：由三角形中有1个已知角为钝角， ∴这个三角形是钝角三角形； 故选C 3．（25-26学年八上·期中）如图，以为边的三角形有（     ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】C 【分析】 本题主要考查三角形的认识；根据三角形的定义找出以为边的三角形即可． 【详解】 解：以为边的三角形有； ∴以为边的三角形有2个， 故选：C． 4．（25-26学年八上·期中）如图，图中三角形的个数是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了三角形的个数，根据图形写出所有的三角形即可求解，正确识图是解题的关键． 【详解】 解：图中三角形有：，，，，，，共个， 故选：． 考点02 三角形的边 1．（25-26学年八上·贵州遵义·期中）以下长度的三条线段中，能组成三角形的是（     ） A. 、、 B. 、、 C. 、、 D. 、、 【答案】C 【分析】 此题主要考查了三角形三边关系，熟练掌握三角形任意两边之和大于第三边是解题关键．根据三角形三边关系，逐一判断各选项，即可得答案． 【详解】 A．，不符合三角形三边关系，不能组成三角形，不符合题意； B．，不符合三角形三边关系，不能组成三角形，不符合题意； C．，符合三角形三边关系，能组成三角形，符合题意； D．，不符合三角形三边关系，不能组成三角形，不符合题意． 故选：C． 2．（25-26学年八上·贵州安顺紫云苗族布依族自治县第三中学·期中）如图，在生活中，我们经常会看见如图所示的情况，在电线杆上拉两条钢筋，来加固电线杆，这是利用了三角形的（   ） A. 稳定性 B. 灵活性 C. 对称性 D. 全等性 【答案】A 【分析】 本题考查了三角形的稳定性，理解三角形的稳定性是解题的关键．根据三角形的稳定性,即得答案． 【详解】 解：该做法利用了三角形的稳定性． 故选A． 3．（25-26学年八上·贵州安顺紫云苗族布依族自治县第三中学·期中）下列长度的三条线段可以组成三角形的是（     ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】A 【分析】 本题考查构成三角形的条件，即任意两边之和大于第三边．通过比较两个较短边之和与最长边的大小来判断． 【详解】 解：A选项：，、、可以组成三角形，故A选项符合题意； B选项：，、、不能组成三角形，故B选项不符合题意； C选项：，、、不能组成三角形，故C选项不符合题意； D选项：，、、不能组成三角形，故D选项不符合题意． 综上，只有选项A满足条件． 故选： A． 4．（25-26学年八上·贵州黔东南州凯里第十中学·期中）运动会上的射击项目，如10米气步枪和10米气手枪，射击队员在瞄准目标时，手、肘、肩构成托枪三角形，这种方法应用的几何原理是（　　） A. 垂线段最短 B. 两点之间，线段最短 C. 两点确定一条直线 D. 三角形具有稳定性 【答案】D 【分析】 本题考查三角形的稳定性，“三角形的稳定性”能够使结构稳定不易变形，“垂线段最短”适用于最短距离问题，“两点之间，线段最短”涉及最短路径问题，“两点确定一条直线”是指经过两点有且只有一条直线． 由题意“射击队员的手、肘、肩构成托枪三角形”，可知利用了三角形的稳定性． 【详解】 解：“射击队员在瞄准目标时，手、肘、肩构成托枪三角形”利用了三角形的稳定性，使自身更稳定，不受外力干扰，所以D说法符合题意． 故选：D． 5．（25-26学年八上·贵州黔南布依族苗族自治州平塘县·期中）人字梯中间一般会设计一“拉杆”，这样做的道理是（       ） A. 两点之间，线段最短 B. 垂线段最短 C. 两直线平行，内错角相等 D. 三角形具有稳定性 【答案】D 【分析】 此题考查了三角形的性质，关键是根据三角形的稳定性解答． 根据三角形的稳定性解答即可． 【详解】 解：人字梯中间一般会设计一“拉杆”，是为了形成三角形，利用三角形具有稳定性来增加其稳定性， 故选：D． 6．（25-26学年八上·贵州西南州兴仁·期中）如图，生活中都把自行车的几根梁做成三角形的支架，其运用的数学知识是（　　） A. 三角形三个内角的和等于180° B. 垂线段最短 C. 两点之间，线段最短 D. 三角形具有稳定性 【答案】D 【分析】 本题主要考查了三角形的性质，熟练掌握三角形的稳定性是解决问题的关键；根据三角形具有稳定性一一判定即可； 【详解】 解：A．主要说明三角形的内角和，与稳定性无关，故错误； B．垂线段最短，与稳定性无关，故错误； C．两点之间，线段最短，与稳定性无关，故错误； D．三角形具有稳定性，故正确； 故选：D． 7．（25-26学年八上·贵州西南州兴仁·期中）下列长度的三条线段不能组成三角形的是（       ）． A. l，2，3 B. 2，2，3 C. 2，3，4 D. 3，4，5 【答案】A 【分析】 本题考查了构成三角形的条件：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．据此即可求解. 【详解】 解：∵， ∴A中三条线段不能组成三角形； 故选：A 8．（25-26学年八上·贵州安顺·期中）如图，工人师傅在墙上安装空调外机时，一般都会用三角形支架进行固定，其原理是（       ） A. 两点确定一条直线 B. 三角形具有稳定性 C. 垂线段最短 D. 两点之间，线段最短 【答案】B 【分析】 本题考查三角形的稳定性，根据三角形具有稳定性，进行判断即可． 【详解】 解：工人师傅在墙上安装空调外机时，一般都会用三角形支架进行固定，其原理是三角形具有稳定性． 故选：B． 9．（25-26学年八上·贵州黔东南州·期中）以下列长度的三根木棒为边，能构成三角形的是（） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】C 【分析】 本题考查三角形三边关系，即任意两边之和大于第三边．判断时只需检查两条较短边的和是否大于最长边，据此逐项判断即可． 【详解】 解：A、∵，∴不能构成三角形； B、∵，∴不能构成三角形； C、∵，∴能构成三角形； D、∵，∴不能构成三角形． 故选：C． 10．（25-26学年八上·贵州黔东南州凯里第十中学·期中）下列长度的三条线段可以组成三角形的是（　　） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】A 【分析】 本题考查三角形的三边关系，解题关键是掌握三角形中任意两边之和大于第三边． 根据三角形三边关系，任意两边之和大于第三边，判断各选项是否满足． 【详解】 解：A、，∴可以组成三角形，故此选项符合题意； B、，∴不能组成三角形，故此选项不合题意； C、，∴不能组成三角形，故此选项不合题意； D、，∴不能组成三角形，故此选项不合题意． 故选：A． 11．（25-26学年八上·贵州黔东南苗族侗族自治州凯里凯里学院附属中学·期中）已知三角形的三边长分别为、、，则的值可能是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查三角形的三边关系．熟练掌握任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题的关键． 根据三角形的三边关系，进行求解判断即可． 【详解】 解：由题意得：， 即：， 故选：C． 12．（25-26学年八上·贵州遵义桐梓县·期中）一个三角形两边的长分别是和，则这个三角形第三边的长可能是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了三角形三边之间的关系，三角形两边之差小于第三边，三角形两边之和大于第三边．解决本题的关键是根据三角形三边之间的关系得到第三边的取值范围，在取值范围内选一个数即可． 【详解】 解：设这个三角形的第三条边的长度为， 三角形两边的长分别是和， ， 整理得：， 这个三角形第三边的长可能是． 故选：C． 13．（25-26学年八上·贵州遵义余庆县·期中）木工师傅有两根长分别为的木条，他要找第三根木条，将它们首尾相接钉成一个三角形框架，则他可以选择（     ） A. 1cm的木条 B. 2cm的木条 C. 3cm的木条 D. 4cm的木条 【答案】B 【分析】 本题主要考查了三角形三边关系的应用．三角形的三边关系：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边，据此可得第三边的取值范围，进而可得答案． 【详解】 解：设三角形框架的第三边长为， 根据题意，可得 ， ∴， 观察四个选项，选项B符合题意． 故选：B． 14．（25-26学年八上·贵州凯里第一初级中学·期中）下列长度的三条线段，不能组成三角形的是（       ） A. 3，3，6 B. 4，5，6 C. 5，12，13 D. 6，9，10 【答案】A 【分析】 本题主要考查了三角形三边关系的运用，解题关键是掌握两条较短的线段长度之和大于第三条线段长度，三角形两边之差小于第三边．判定三条线段能否构成三角形时，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段长度即可． 【详解】 解：A．，则3，3，6不能组成三角形，故A符合题意； B．，则4，5，6能组成三角形，故B不符合题意； C．，则5，12，13能组成三角形，故C不符合题意； D．，则6，9，10能组成三角形，故D不符合题意； 故选：A． 15．（25-26学年八上·贵州黔南布依族苗族自治州平塘县·期中）若一个三角形的两边长分别是，，则它的第三边的长可以是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查了三角形三边关系，根据三角形三边关系定理：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，求出第三边的取值范围，再结合选项判断即可． 【详解】 解：设第三边长为， ∵三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边， ∴， 即， 选项中只有满足条件． 故选：B． 16．（25-26学年八上·贵州遵义第十一中学·期中）已知等腰三角形的周长为 26 ，其中一条边的长为 6，那么它的腰长为（     ） A. 6 B. 10 C. 6或10 D. 6或13 【答案】B 【分析】 题中给出了周长和一边长，而没有指明这边是否为腰长，则应该分两种情况进行分析求解； 【详解】 ① 当为腰长时，则腰长为，底边=，因为，所以不能构成三角形； ② 当为底边时，则腰长=，因为，所以能够成三角形； 故答案选B． 【点睛】 本题主要考查了等腰三角形的性质及三角形三边关系，分类讨论是解题的关键． 17．（25-26学年八上·贵州遵义第十一中学·期中）某校八年级师生准备前往象山茶园开展研学活动，每班需要准备一个三角形的班旗．下列给出的三个数据中，能实现三角形班旗制作的是（       ） A. 3，4，8 B. 3，4，7 C. 5，6，10 D. 5，6，11 【答案】C 【分析】 本题考查三角形三边关系定理，即任意两边之和大于第三边，解题的关键是掌握该性质定理的应用． 只需验证每个选项是否满足该条件即可． 【详解】 解：对于选项A：， ∴不能组成三角形； 对于选项B：∵， ∴ 不能组成三角形； 对于选项C：∵， ∴ 能组成三角形； 对于选项D：∵， ∴ 不能组成三角形； 故选：C． 18．（25-26学年八上·贵州安顺·期中）已知的三边长分别为a，b，c，则化简的结果是（       ） A.  B.  C. 0 D.  【答案】C 【分析】 本题考查三角形三边关系的应用，整式的加减运算，化简绝对值， 利用三角形三边关系（任意两边之和大于第三边）得到，，然后去掉绝对值合并即可． 【详解】 解：∵的三边长分别为a，b，c， ∴， ∴ ． 故选：C． 19．（25-26学年八上·贵州黔西南布依族苗族自治州兴仁屯脚镇屯脚中学·期中）如图，师傅安装空调在墙上时，一般都会应用这种三角形支架，原理是（    ） A. 两点确定一条直线 B. 垂线段最短 C. 两点之间线段最短 D. 三角形具有稳定性 【答案】D 【分析】 本题考查三角形的稳定性，根据三角形具有稳定性，进行判断即可． 【详解】 解：由题意，应用方法的几何原理是三角形具有稳定性． 故选：D． 20．（25-26学年八上·贵州贵阳·期中）如图，为了估计池塘岸边，的距离，小芳在池塘的一侧选取一点，测得米，米，，间的距离不可能是（     ） A. 40米 B. 25米 C. 10米 D. 5米 【答案】D 【分析】 本题考查了三角形三边关系的应用，正确理解题意是解题的关键．设A，B间的距离为x，根据三角形的三边关系，可得到x的取值范围，即可判断答案． 【详解】 解：设A，B间的距离为x， 根据三角形的三边关系，得： ， ， 故，间的距离不可能是5米． 故选：D． 21．（25-26学年八上·贵州黔东南苗族·期中）已知等腰三角形的两边长分别为、，则该等腰三角形的周长是（       ） A.  B.  C. 或者 D.  【答案】D 【分析】 需分类讨论等腰三角形的腰长与底边长，结合三角形三边关系判断能否构成三角形，再计算周长即可． 【详解】 解：分两种情况讨论： 当腰长为，底边长为时，三角形三边长为，，， 因为，不满足三角形任意两边之和大于第三边，不能构成三角形，故舍去该情况； 当腰长为，底边长为时，三角形三边长为，，， 满足三角形三边关系，此时周长为， 因此该等腰三角形的周长为． 22．（2026·贵州安顺·质量检测）将一根长14厘米的铁棒截成三段，首尾相连焊接成一个等腰三角形，如图，如果第一次在4厘米处（剪刀处）截断，那么第二次可以在（     ）处截断． A. ①或② B. ①或③ C. ②或③ D. ③或④ 【答案】C 【分析】 本题考查了等腰三角形的定义，三角形三边关系，分4厘米为等腰三角形的腰和底讨论即可． 【详解】 解：当4厘米为腰时，则底为厘米， 此时能组成三角形， ∴第二次可以在② 处截断； 当4厘米为底时，则腰为厘米， 此时能组成三角形， ∴第二次可以在③ 处截断； 综上， 第二次可以在② 或③ 处截断， 故选：C． 23．（25-26学年八上·贵州遵义桐梓县·期中）将一副三角尺按如图所示的方式摆放（两条直角边在同一条直线上），连接另外两个锐角顶点，并测得．则的度数为　　　　　　　　　　　． 【答案】65 【分析】 本题考查了三角尺的角度特征，求解出的度数是解决本题的关键．本题可先根据三角尺的特征得出相关角的度数，再利用三角形内角和定理求出的度数． 【详解】 解：如图， 因为， 所以． 故答案为：． 24．（25-26学年八上·贵州黔东南州·期中）如图，人字梯中间一般会设计一个“拉杆”，这样做是利用了三角形的　　　　　　　　　　　． 【答案】稳定性 【分析】 本题考查了三角形的稳定性“如果三角形的三条边固定，那么三角形的形状和大小就完全确定了，三角形的这个特征，叫作三角形的稳定性”，熟练掌握三角形的稳定性是解题关键．根据三角形的稳定性求解即可得． 【详解】 解：人字梯中间一般会设计一个“拉杆”，这样做是利用了三角形的稳定性． 故答案为：稳定性． 25．（25-26学年八上·贵州遵义·期中）已知是的三边长，． （1）求的取值范围． （2）若是等腰三角形，的周长是多少． 【答案】（1）     （2）15或18      【分析】 本题主要考查了构成三角形的条件，等腰三角形的定义，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，据此求解即可； （2）根据，c必须与a或b相等，再分两种情况：和，结合（1）所求的c的取值范围，讨论求解即可． (1) 小问详解： 解：∵是的三边长， ∴，即， ∴； (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴c必须与a或b相等， 当时，满足，即此时能构成三角形， ∴此时的周长； 当时，满足，即此时能构成三角形， ∴此时的周长； 综上所述，的周长是15或18． 26．（25-26学年八上·贵州安顺紫云苗族布依族自治县第三中学·期中）已知的边长两边长为2和4，第三边长为偶数，则第三边的值为　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和．首先设第三边长为x，根据三角形的三边关系可得，可得x的范围，然后再确定x的值即可． 【详解】 解：设第三边长为x，由题意得： ， 解得：， ∵第三边长为偶数， ∴， ∴第三边的长为． 故答案为：． 27．（25-26学年八上·贵州黔东南州凯里第十中学·期中）在中，． （1）求长度的取值范围； （2）若的周长为偶数，求的周长，并判断此时的形状． 【答案】（1）     （2）的周长为16，是等腰三角形      【分析】 本题考查三角形的三边关系，三角形的分类： （1）根据三角形的三边关系进行求解即可； （2）根据（1）中的范围，结合的周长为偶数，得到，即可得出结论． (1) 小问详解： 解：∵在中， ∴， ∴； (2) 小问详解： ∵的周长为偶数，为奇数， ∴的长为奇数， ∵， ∴， ∴的周长为，是等腰三角形． 28．（25-26学年八上·贵州遵义桐梓县·期中）已知的三边分别为a，b，c，且． （1）求c的取值范围； （2）若c的长为小于6的偶数，求的周长． 【答案】（1）     （2）14      【分析】 本题考查三角形三边关系，关键是掌握三角形三边关系定理． （1）三角形两边之和大于第三边，三角形两边的差小于第三边，由此得到； （2）由，c的长为小于6的偶数，得到c的值，即可求出的周长． (1) 小问详解： 解：∵的三边分别为a，b，c，且， ∴由三角形的三边关系得到：， ∴； (2) 小问详解： 解：由（1）知， ∵c的长为小于6的偶数， ∴， ∴的周长． 29．（25-26学年八上·贵州遵义余庆县·期中）用一条长厘米的细绳围成一个等腰三角形． （1）如果腰长是底边长的倍，那么各边的长是多少？ （2）能围成有一边的长是厘米的等腰三角形吗？为什么？ 【答案】（1）厘米，厘米，9厘米     （2） 解：能，理由如下： 当5厘米的边为底边时，其腰长为（厘米）， ， 能围成等腰三角形； 当厘米的边为腰长时， 其底边长为：（厘米）， ，不能构成三角形； 综上所述，能围成有一边的长是5厘米的等腰三角形．      【分析】 本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形三边关系，一元一次方程的应用，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）设底边长为厘米，得到，解方程即可得到答案； （2）当厘米的边为底边时，腰长为厘米，能围成等腰三角形； 当厘米的边为腰长时，不能构成三角形；综上所述，能围成有一边的长是厘米的等腰三角形． (1) 小问详解： 解：设底边长为厘米，则腰长为厘米， 依题意得， 解得， 则等腰三角形的腰长为（厘米）， 等腰三角形的各边长分别为厘米，厘米，9厘米； (2) 小问详解： 略 30．（25-26学年八上·贵州凯里第一初级中学·期中）平板是我们日常生活中经常使用的电子产品，它的很多保护壳还兼具支架，如图所示，平板电脑放在支架上就很方便地使用了，这些应用的几何原理是：　　　　　　． 【答案】三角形的稳定性 【分析】 本题主要考查了三角形的稳定性的应用，根据三角形具有稳定性即可求解，熟练掌握基础知识是解题的关键． 【详解】 解：平板电脑放在支架上就很方便地使用了，这些应用的几何原理是：三角形的稳定性． 故答案为：三角形的稳定性． 31．（25-26学年八上·贵州安顺·期中）已知的三边长分别为a，b，c，且，． （1）求c的取值范围； （2）若c为小于6的奇数，求的周长． 【答案】（1）     （2）18      【分析】 本题主要考查了三角形的三边关系， 对于（1），根据三角形三边关系可得，可得答案； 对于（2），根据c的取值范围得出其值，再求出周长． (1) 小问详解： 解：∵， ∴， 即； (2) 小问详解： 解：∵，且c为小于6的奇数， ∴， ∴的周长． 32．（25-26学年八上·贵州黔东南苗族·期中）已知三角形的两边长分别是5，7，则第三边长的取值范围是　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查三角形三边关系的运用，熟记三角形的第三边大于两边之差，小于两边之和是解题的关键．根据三角形的第三边大于两边之差，小于两边之和，即可解决问题． 【详解】 解：∵三角形的两边长分别是5和7， ∴第三边长a的取值范围是，即． 故答案为：． 33．（25-26学年八上·期中）若一个等腰三角形的两边长分别为和，则它的周长为　　　　　． 【答案】19或23 【分析】 本题主要考查了等腰三角形的定义，构成三角形的条件，分腰长为和腰长为两种情况，根据构成三角形的条件讨论求解即可． 【详解】 解：当腰长为时，则该三角形的三边长分别为，，， ∵， ∴此时能构成三角形，符合题意， ∴此时该三角形的周长为； 当腰长为时，则该三角形的三边长分别为，，， ∵， ∴此时能构成三角形，符合题意， ∴此时该三角形的周长为； 综上所述，该三角形的周长为或， 故答案为：19或23． 34．（25-26学年八上·期中）已知的三边长分别为． （1）化简：； （2）若，且为整数， 求的周长的最大值及最小值． 【答案】（1）     （2）最小值11；最大值13      【分析】 本题考查三角形三边关系的应用，涉及绝对值的代数意义，熟记三角形三边关系是解决问题的关键． （1）由三角形三边关系得到，再由绝对值的代数意义去绝对值，最后合并同类项即可得到答案； （2）由三角形三边关系得到，再结合为整数，可得可取值为，从而得到的周长的最大值及最小值． (1) 小问详解： 解：∵的三边长分别为， ∴， ∴ ； (2) 小问详解： 解：∵，且为整数， ∴，即， ∴可取值为， ∴当时，的周长有最小值，为； 当时，的周长有最大值，为． 35．（2026·贵州安顺·质量检测）已知，，是的三边． （1）化简． （2）若和满足方程组 且为奇数，求这个三角形的周长． 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据三角形的三边关系得到：，根据绝对值的性质进行化简，即可求解； （2）根据三角形的三边关系，确定c的范围，再求出三角形的周长． 本题考查三角形的三边关系，绝对值的化简，解二元一次方程组的知识，解题的关键是明确三角形的三边关系． (1) 小问详解： 解：∵a，b，c是的三边， ∴， ∴ ， ； (2) 小问详解： 解：解方程组 ，得 ， 根据三角形的三边关系得，即， ∵c为奇数， ∴， ∴这个三角形的周长为． 36．（25-26学年八上·期中）已知的三边长为a，b，c，且a，b，c都是整数． （1）若，且c为奇数，求的周长； （2）化简：． 【答案】（1）12     （2）      【分析】 （1）根据三角形三边关系确定c的取值范围，再结合c是整数且为奇数确定其值，即可获得答案； （2）根据三角形三边关系可得，进而可得，然后进一步化简即可． (1) 小问详解： 解：由三角形三边关系定理可得：， ∴， ∵c是整数，且为奇数， ∴， ∴的周长； (2) 小问详解： 解：∵的三边长为a，b，c， ∴，，， ∴； 由三角形三边关系定理可得：， ∴， ∴ ． 考点03 三角形的中线、角平分线、高 1．（25-26学年八上·贵州黔南布依族苗族自治州平塘县·期中）下列四个图形中，线段是的高的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题主要考查三角形高线的定义，熟记三角形高线的概念并灵活判断是解题的关键；首先熟悉高线的概念：过三角形的顶点向对边作垂线，顶点与垂足之间的线段就是三角形的高线，根据高线的概念，判断选项中线段是否为的高，即可得到答案． 【详解】 解：A、线段不是从顶点向对边所在直线作的垂线，不能表示的高，不符合题意； B、线段不是从顶点向对边所在直线作的垂线，不能表示的高，不符合题意； C、线段不是从顶点向对边所在直线作的垂线，不能表示的高，不符合题意； D、线段是从顶点向对边所在直线作的垂线，即是的高，符合题意； 故选：D． 2．（25-26学年八上·贵州安顺·期中）如图，是的中线，的面积为，则的面积为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了三角形中线与面积，根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形解答即可． 【详解】 解：∵是的中线，的面积为， ∴， 故选：D． 3．（25-26学年八上·贵州安顺紫云苗族布依族自治县第三中学·期中）图中能表示△ABC的BC边上的高的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了三角形的角平分线、中线和高，根据三角形高线的定义对各选项进行判断． 【详解】 解：题中需要画的边上的高．应当过顶点A向边作垂线，顶点A到垂足E的垂线段就为边上的高． 故选：D． 4．（25-26学年八上·贵州黔东南州凯里第十中学·期中）如图，已知的面积为12，点，分别为，边上的中点，则的面积为（       ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】A 【分析】 本题主要考查了与三角形中线有关的面积问题，熟知三角形中线平分三角形面积是解题的关键．根据三角形中线平分三角形面积，得到，即可得到答案． 【详解】 解：∵点，分别为，边上的中点， ∴，， ∵的面积为12， ∴， 故选：A． 5．（25-26学年八上·贵州黔东南苗族侗族自治州凯里凯里学院附属中学·期中）如图，，分别是，的中线，，垂足为F．若，，则的长为（       ） A. 3.2 B. 3 C. 2.5 D. 2 【答案】D 【分析】 本题考查了三角形中线平分三角形面积，三角形高的计算，掌握三角形中线的性质是关键． 根据三角形的中线得到，结合三角形面积的计算，代入计算即可求解． 【详解】 解：∵是的中线，， ∴， ∵是的中线， ∴， ∵， ∴， 故选：D ． 6．（25-26学年八上·贵州凯里第一初级中学·期中）如图，在中，点E是边的中点，，若，的面积是（       ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 【答案】D 【分析】 本题考查了三角形的中线与面积关系，解题的关键是掌握三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．根据E是边的中点，得，根据，得出． 【详解】 解：点E是边的中点，， ， ∴， ， ． 故选：D． 7．（25-26学年八上·贵州遵义第十一中学·期中）如图，在△中，点、分别是边、的中点，连接、，若的面积为8，则△的面积等于（     ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【分析】 本题考查了根据三角形的中线求三角形的面积． 根据三角形的中线与面积的关系即可得到结论． 【详解】 解：∵点是边的中点，的面积为8， ∴， ∵是的中点， ∴， 故选：C． 8．（25-26学年八上·贵州安顺·期中）下列画的边上的高，画法正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查三角形的高，熟练掌握三角形的高的画法是解题的关键；因此此题可根据三角形的高画法进行排除选项即可． 【详解】 解：由选项可知：画的边上的高，画法正确的是B选项，A、C、D都不符合题意； 故选B． 9．（25-26学年八上·贵州黔西南布依族苗族自治州兴仁屯脚镇屯脚中学·期中）下列选项中，过点画的垂线，三角板摆放正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题主要考查了用三角板画垂线，解题的关键是熟练掌握用三角板画垂线的方法．根据画垂线的方法进行判断即可． 【详解】 解：∵三角板有一个角是直角， ∴三角板的一条直角边与直线重合， ∵过点P作直线的垂线， ∴三角板的另一条直角边过点A， ∴符合上述条件的图形只有选项D． 故选：D． 10．（25-26学年八上·贵州黔西南布依族苗族自治州兴仁屯脚镇屯脚中学·期中）如图，，分别是的中线、高．已知的面积是6，，则的长是（       ）． A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 【答案】C 【分析】 本题主要考查三角形面积的求解，解题的关键是熟记三角形面积公式：． 由，代入可得，再由是的中线即可得即可求解． 【详解】 ，分别是的中线、高．已知的面积是6，， ， 解得， 即． 故选：C． 11．（2026·贵州安顺·质量检测）如图，在中，边上的高为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查三角形的高，熟练掌握三角形的高的画法是解题的关键；因此此题可根据“过三角形的一个顶点作该顶点所对边的垂线段即为三角形的高”进行求解即可． 【详解】 解：在中，边上的高为； 故选B． 12．（25-26学年八上·贵州黔东南州·期中）如图，在中，如果的面积与的面积相等，则图中线段应该是的（                 ） A. 角平分线 B. 中线 C. 高线 D. 以上都不是 【答案】B 【分析】 本题主要考查了三角形中线的性质，根据两个三角形边和边上的高相等，结合三角形面积计算公式得到，据此可得答案． 【详解】 解：∵的面积与的面积相等，且两个三角形边和边上的高相等， ∴， ∴图中线段应该是的中线， 故选：B． 13．（25-26学年八上·期中）如图，是的中线，已知的周长为，比长，则的周长为（      ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了三角形中线的性质，关键是相等线段的转化． 由中线可得与周长差等于边与的差，进而可以得到的周长． 【详解】 解：∵是的中线， ∴， ∵，， ∴， ∴． 即的周长为． 故答案选：A ． 14．（25-26学年八上·贵州凯里第一初级中学·期中）如图，下面是三位同学的折纸示意图，则AD依次是的（     ） A. 中线、角平分线、高线 B. 高线、中线、角平分线 C. 角平分线、高线、中线 D. 角平分线、中线、高线 【答案】C 【分析】 根据折叠的性质，逐一进行判断即可． 【详解】 解：由图1得，， ∴是的角平分线； 由图2得，， ∵， ∴， ∴是的高线； 由图3得，， ∴是的中线； ∴依次是的角平分线、高线、中线． 15．（25-26学年八上·贵州遵义余庆县·期中）如图，AD是的中线，已知的周长为28cm，AB比AC长6cm，则的周长为（     ） A. 34cm B. 31cm C. 22cm D. 20cm 【答案】C 【分析】 本题主要考查了三角形中线的定义，把三角形的周长的差转化为已知两边的差是解题的关键． 根据三角形中线的定义可得，再表示出和周长的差就是的差，然后计算即可． 【详解】 解：∵是边上的中线， ∴， ∴和周长的差， ∵的周长为28cm，比长， ∴周长为：． 故选：C． 16．（25-26学年八上·贵州黔东南苗族·期中）如图，在中，是高，是角平分线，是中线．下列结论错误的是（        ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据三角形中线角平分线高的定义逐一判断选项，结合三角形面积公式区分对错． 【详解】 解：A、是中线，则为中点，故，不符合题意； B、是角平分线，则，不符合题意； C、是高， 为直角三角形，故，不符合题意； D、与的高相同，但底边 ，故面积不相等，符合题意． 17．（25-26学年八上·期中）如图，在中，已知分别为的中点，且，则的面积为（        ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了三角形中线的性质，由点是的中点， 可得，进而由点是的中点，得到，，即得到，最后根据点是边上的中点， 可得，即可求解，正确识图是解题的关键． 【详解】 解：∵点是的中点， ∴， ∵点是的中点， ∴，， ∴， ∵点是边上的中点， ∴， ∵， ∴， 故选：． 18．（25-26学年八上·贵州黔南布依族苗族自治州平塘县·期中）如图，在中，是边的中线，若面积为10，则的面积为　　　　　　　　　　． 【答案】5 【分析】 根据三角形的中线与面积的关系可进行求解． 【详解】 解：∵是边的中线，且面积为10， ∴； 故答案为5． 【点睛】 本题主要考查三角形的中线与面积的关系，熟练掌握三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分是解题的关键． 19．（25-26学年八上·贵州凯里第一初级中学·期中）如图所示，，，，，，． （1）______； （2）求的长． 【答案】（1）4     （2）．      【分析】 本题考查了线段的和与差，等积法求三角形的高线长． （1）根据线段的和与差计算即可； （2）利用等积法得到，代入数据计算即可求解． (1) 小问详解： 解：∵，， ∴； 故答案为：4； (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴， 解得． 20．（25-26学年八上·贵州西南州兴仁·期中）如图，，分别是的高和中线，已知，，则的面积等于　　　　　　． 【答案】10 【分析】 本题主要考查了求三角形面积，熟知三角形高和中线的定义是解题的关键．先根据三角形面积公式求出，再根据三角形中线的性质求解即可． 【详解】 解：是的高，，， ， ∵是的中线， ∴． 故答案为：10． 21．（25-26学年八上·贵州安顺·期中）如图，、分别是的高和中线．若，，则　　　　　． 【答案】5 【分析】 此题考查三角形的面积公式，中线和高线的定义，关键是掌握中线的定义和三角形的面积公式． 由中线的定义可知BC=8，再利用三角形的面积公式可得出结论． 【详解】 解：∵是的中线，， ∴， 又∵， ∴． 故答案为：5． 22．（25-26学年八上·贵州凯里第一初级中学·期中）【探究课题】三角形重心性质的探究． 【课本重现】三角形三边中线的交点叫做这个三角形的重心．取一块质地均匀的三角形纸板，如果用一个三角架从重心O处将三角形平稳支撑起来，那么纸板就会处于水平状态． 【提出问题】探究图1中，的值是多少？ （1）【解决问题】若的面积为6，______，______． （2）【解决问题】求的值． （3）【拓展应用】如图2，在中，点是的重心，连接，并延长，分别交边，于点，．若，，，直接利用上面的结论，求四边形的面积． 【答案】（1）3；6     （2）     （3）4      【分析】 本题考查三角形中线的性质、重心及三角形面积的计算． （1）根据被中线分成的两个三角形“等底等高，面积相等”建立等式，再利用等式的基本性质即可得出答案； （2）根据，即可得出答案； （3）点是的重心，类比（1），（2）可知，，，求得，，，，再根据，，即可求解． (1) 小问详解： 解：∵点为的重心， ∴，，分别是，，边上的中点， ，，， ， ； (2) 小问详解： 解：∵，， ∴． (3) 小问详解： 解：点为的重心，类比（1），（2）可知，，， ∵，， ∴，，，， ∵， ∴，， 则， ∴． 考点04 三角形的内角 1．（25-26学年八上·贵州黔东南州凯里第十中学·期中）已知，在中，，则的大小为（       ）． A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题主要考查了三角形内角和定理，掌握三角形内角和恒为是解题的关键． 直接利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】 解：∵在中，，且， ∴． 故选C． 2．（25-26学年八上·贵州黔东南州·期中）已知在中，，，则的大小为（） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查三角形内角和定理的应用，熟练应用定理是解题关键． 利用三角形内角和定理直接计算． 【详解】 解：∵在中，（三角形内角和定理）， ，， ． 故选B． 3．（25-26学年八上·贵州安顺·期中）如图，在三角形纸片中，，，将纸片的一角沿折叠，使点C落在点处，若，则的度数为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题主要考查了翻折的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理，解题的关键是掌握以上性质． 根据翻折的性质得出，利用三角形内角和定理得到，然后利用三角形外角的性质求解即可． 【详解】 解：∵， ∴由翻折的性质得，， ∵，， ∴， ∴． 故选：A． 4．（25-26学年八上·贵州安顺·期中）在中，，则此三角形是（    ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形 【答案】B 【分析】 本题考查了三角形内角和为，难度较小．设，因为，所以，，根据三角形内角和为进行列式即可解答． 【详解】 解：设， 因为， 所以，， 在中，， 即， 解得， 那么，，， 所以此三角形是直角三角形， 故选：B． 5．（25-26学年八上·贵州黔西南布依族苗族自治州兴仁屯脚镇屯脚中学·期中）如图，将三角形纸片沿折叠，若，，则的度数为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了三角形内角和定理，折叠的性质，由折叠的性质可得，，再根据三角形的内角和定理即可求解．明确折叠前后对应角相等是解题的关键． 【详解】 解：如图， ∵将三角形纸片沿BD折叠， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 6．（25-26学年八上·贵州黔东南苗族·期中）如图是一架婴儿车的示意图，其中，，，那么的度数为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查平行线的性质，三角形内角和定理，平角的定义，掌握相关知识是解决问题的关键．根据，，易求，由可求，则利用三角形内角和定理可求． 【详解】 解：如图， ，， ， ， ． 故选：D． 7．（25-26学年八上·期中）已知的内角分别为，，，下列条件： ①； ②； ③； ④．能判定是直角三角形的是（     ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 【答案】C 【分析】 本题考查了三角形内角和定理的应用，根据三角形的内角和定理逐项判断即可求解，正确计算是解题的关键． 【详解】 解：① ∵， ∴，， ∵， ∴， 解得， ∴是钝角三角形，该选项不合题意； ② ∵，， ∴，无法判断是否是直角三角形，该选项不合题意； ③ ∵，， ∴， ∴，； ∴是直角三角形，该选项符合题意； ④ ∵， ∴， ∴是锐角三角形，该选项不合题意； 故选：． 8．（25-26学年八上·期中）如图，中，为的角平分线，为的高，，， 那么是 （       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了三角形内角和定理、直角三角形的性质、三角形外角的定义及性质、角平分线的定义，由题意可得，再求出，由角平分线的定义可得，最后再由三角形外角的定义及性质计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】 解：∵为的高， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵为的角平分线， ∴， ∴， 故选：A． 9．（25-26学年八上·期中）如图，在中，、分别是高线和角平分线，点在的延长线上，交于，交于，下列结论：①；②；③；④，正确的是（     ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【分析】 本题主要考查了三角形的高线和角平分线、三角形的内角和定理及外角的性质、同角的余角相等等知识，正确运用三角形的高线、角平分线的概念以及三角形的内角和定理是解题的关键． ① 根据，，以及即可推出；② 根据角平分线的定义和三角形外角的性质证明即可；③ 证明，由① 知：即可证明；④ 由同角的余角相等证明，再根据三角形外角的性质及角平分线的性质即可推出，即可判断． 【详解】 解：∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴．故① 符合题意； ∵平分， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴．故② 符合题意； ∵平分， ∴． ∵， ∴． ∴． 由① 知：， ∴．故③ 符合题意； ∵， ∴． ∴． ∵平分， ∴， ∴．故④ 符合题意； 综上可知，正确的有① ② ③ ④ ，共4个， 故选：D． 10．（25-26学年八上·贵州遵义·期中）小明通过测量角的度数来判定三角形的形状时，不小心把墨水倒在了图形上，如图通过测量测得中，，则是　　　　　　　　　　　三角形．（填“锐角”、“直角”或“钝角”） 【答案】直角 【分析】 本题主要考查三角形内角和定理的应用，根据三角形内角和定理求出即可判断. 【详解】 解：在中，， ∵, ∴， ∴是直角三角形， 故答案为：直角． 11．（25-26学年八上·贵州黔西南布依族苗族自治州兴仁屯脚镇屯脚中学·期中）在中，，，则　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查直角三角形性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．利用直角三角形的性质即可得出答案． 【详解】 在中，，， ， 故答案为：． 12．（25-26学年八上·贵州黔东南州凯里第十中学·期中）如图，在中，平分交边于点E，在边上取点F，连结，使． （1）求证：； （2）当时，求的度数． 【答案】（1） 证明：平分， ， ， ， ；     （2）      【分析】 本题考查了三角形内角和定理，角平分线定义和平行线的性质与判定， （1）根据平分得到，再由等量代换推出， 根据“内错角相等，两直线平行”即可得证； （2）先根据平行线的性质求出的度数，然后根据三角形内角和定理求出的度数，由平分推出的度数，最后根据三角形内角和定理即可求出的度数． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：， ， 在中，， ， 平分， ， ． 13．（25-26学年八上·贵州黔东南苗族侗族自治州凯里凯里学院附属中学·期中）在如图所示的三角形纸片中剪去得到四边形，若，则的度数是　　　　　　　 【答案】æ度 【分析】 本题考查了三角形的内角和定理，熟练掌握三角形的内角和定理是解题关键．先根据三角形的内角和定理可得，再根据，代入计算即可得． 【详解】 解：∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴ ． 故答案为：． 14．（25-26学年八上·贵州凯里第一初级中学·期中）如图，是的角平分线，，． （1）______度； （2）求和的度数． 【答案】（1）35     （2）；      【分析】 本题主要考查了与角平分线有关的三角形内角和定理，熟练掌握三角形内角和定理，进行求解即可． （1）由角平分线的定义得到； （2）由三角形内角和定理求出的度数，即可求出的度数． (1) 小问详解： 解：∵是的角平分线，， ∴； (2) 小问详解： 解：∵，， ∴， ∴． 15．（25-26学年八上·贵州安顺·期中）求出图中的x的值． 【答案】 【分析】 本题考查的是三角形内角和定理，利用三角形内角和定理列方程求解即可． 【详解】 解：根据题意得， 解得． 16．（25-26学年八上·贵州黔东南州·期中）已知：如图，在 中，，于点，平分，，求，，的度数． 【答案】，，的度数分别为，，． 【分析】 本题主要考查了三角形内角和定理，垂线的定义，角平分线的定义，先由垂线的定义得到，则由三角形内角和定理得到，则可求出，再由角平分线的定义得到，再根据三角形内角和定理可得答案． 【详解】 解：于点 ， ， ， 又， ， 平分， ， 又， ， 答：，，的度数分别为，，． 17．（25-26学年八上·期中）如图， 在中， 是角平分线， 点D在边上(不与点A，B重合)， 与交于点O． （1）若是中线， 则，则与的周长差为        ； （2）若是的角平分线，，则          ． （3）若是的高，，求的度数． 【答案】（1）1     （2）     （3）      【分析】 本题主要考查了三角形中线，高线，角平分线，三角形内角和定理， （1）根据中线的性质得，再根据周长公式可得答案； （2）先根据角平分线的定义得，再根据三角形内角和定理得，然后根据三角形内角和求出答案； （3）先根据角平分线定义求出，再根据三角形内角和定理求出，最后根据三角形内角和定理得出答案. (1) 小问详解： 解：∵是的中线， ∴. ∵， ∴的周长与的周长差为. 故答案为：1； (2) 小问详解： 解：∵是的角平分线， ∴. ∵， ∴. 在中，； 故答案为：； (3) 小问详解： 解：∵是的高线， ∴. ∵，是的角平分线， ∴，. 在中，. 18．（25-26学年八上·期中）在中，，，则　　　　　　． 【答案】F度 【分析】 本题主要考查三角形内角和，熟练掌握三角形内角和是解题的关键；由题意易得，然后问题可求解． 【详解】 解：∵， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． 19．（25-26学年八上·贵州黔东南州凯里第十中学·期中）如图，已知是的角平分线，是的高，与相交于点F，，． （1）求的度数； （2）求的度数； （3）求的度数． 【答案】（1）；     （2）；     （3）．      【分析】 本题考查了三角形的内角和定理以及三角形外角的性质． （1）利用三角形内角和定理求解即可； （2）利用垂直的定义结合三角形内角和定理求解即可； （3）根据角平分线的定义结合三角形外角的性质可求出的度数，再利用邻补角的性质即可求解． (1) 小问详解： 解：∵，， ∴； (2) 小问详解： 解：∵是的高，， ∴； (3) 小问详解： 解：∵是的角平分线，， ∴， 由（2）得， ∴， ∴． 20．（25-26学年八上·贵州遵义余庆县·期中）如图，和分别是的高和角平分线，是边的中线． （1）若的面积为6，则的面积为                 ； （2）若，求和的度数． 【答案】（1）12     （2）      【分析】 本题考查三角形的三线，与角平分线有关的三角形的内角和问题，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）根据三角形的中线平分面积即可得出结果； （2）高线得到，三角形的内角和定理求出，的度数，角平分线求出的度数，再根据三角形的内角和定理求出的度数即可． (1) 小问详解： 解：∵是边的中线， ∴， ∵的面积为6， ∴的面积为12， 故答案为：； (2) 小问详解： 解：∵是的高， ∴， ∵， ∴，， ∵是的角平分线， ∴， ∴． 21．（2026·贵州安顺·质量检测）引入概念1：如果一个三角形的两个角分别等于另一个三角形的两个角，那么称这两个三角形互为“等角三角形”． 引入概念2：从不等边三角形的一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段，把这个三角形分割成两个小三角形．若分成的两个小三角形中，一个是等腰三角形，另一个与原来的三角形是“等角三角形”，则把这条线段叫做这个三角形的“巧等线”． 【理解概念】 （1）如图1，在中，，，垂足为，请判断与是否为“等角三角形”，并说明理由． （2）如图2，在中，为角平分线，，，请说明是的“巧等线”． 【应用概念】 （3）在中，若，为的“巧等线”，请直接写出所有可能的的度数． 【答案】（1）与互为“等角三角形”，理由如下： ∵，， ∴， 又∵， ∴与互为“等角三角形”． （2）证明：∵在中，，， ∴， ∵在中，为角平分线， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， 又∵，， ∴与互为“等角三角形”， ∴是的“巧等线”． （3）或或或 【分析】 本题考查了等腰三角形的判定与性质、三角形的外角性质、三角形的内角和定理等知识，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题关键． （1）先根据垂直的定义可得，再根据互为“等角三角形”的定义即可得； （2）先求出，，则可得，再根据等腰三角形的判定可得是等腰三角形，然后证出与互为“等角三角形”，由此即可得； （3）分六种情况：① 当时，是等腰三角形，② 当时，是等腰三角形，③ 当时，是等腰三角形，④ 当时，是等腰三角形，⑤ 当时，是等腰三角形，⑥ 当时，是等腰三角形，利用“巧等线”的定义、三角形的内角和定理求解即可得． 【详解】 解：（1）略 （2）略 （3）① 如图，当时，是等腰三角形， 则， ∴， ∵为的“巧等线”， ∴与互为“等角三角形”， ∵，， ∴， ∴； ② 如图，当时，是等腰三角形， 则， ∴， ∵为的“巧等线”， ∴与互为“等角三角形”， ∵，， ∴， ∴； ③ 如图，当时，是等腰三角形， ∴， ∴，， ∵为的“巧等线”， ∴与互为“等角三角形”， ∵，， ∴， ∴，不符合题意，舍去； ④ 如图，当时，是等腰三角形， ∴， ∴， ∵为的“巧等线”， ∴与互为“等角三角形”， ∵，， ∴， ∵，， ∴， 解得； ⑤ 如图，当时，是等腰三角形， ∴， ∴， ∵为的“巧等线”， ∴与互为“等角三角形”， ∵，， ∴， ∵，， ∴， 解得； ⑥ 如图，当时，是等腰三角形， ∴， ∴，， ∵为的“巧等线”， ∴与互为“等角三角形”， ∵，， ∴， ∴，不符合题意，舍去； 综上，所有可能的的度数为或或或． 考点05 三角形的外角 1．（25-26学年八上·贵州遵义·期中）随着贵州省教育厅《关于保障中小学生每天综合体育活动不低于两小时的通知》规定的落地，学校的操场已成为学生们每日必到的“打卡地”．如图①是某校体育课上的侧压动作，可以抽象为如图②的几何图形，若，则的度数为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查了三角形外角的性质，三角形的一个外角的度数等于与其不相邻的两个内角的度数之和，据此求解即可． 【详解】 解：由三角形外角的性质可得， ∵， ∴， 故选：B． 2．（25-26学年八上·贵州黔东南州凯里第十中学·期中）如果将一副三角板按如图方式叠放，那么等于（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查的是三角形外角性质，灵活运用“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和”是解题的关键．根据三角板的角度特征得到，进而求出式子的值． 【详解】 解：如图， ， ． 故选：． 3．（25-26学年八上·贵州黔东南苗族侗族自治州凯里凯里学院附属中学·期中）如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，，，则的度数等于（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了平行线的性质，三角形的外角性质，先理解题意，得出，结合两直线平行，同位角相等，得，即可作答． 【详解】 解：如图所示： ∵，， ∴， 依题意，， ∴， 故选：A 4．（25-26学年八上·贵州遵义余庆县·期中）如图，从处观察处的仰角，从处观察处的仰角，从处观察，两处的视角(       ) A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了三角形外角性质，根据三角形外角的性质求解即可． 【详解】 解：∵是的外角， ∴， ∴． 故选：B． 5．（25-26学年八上·贵州黔南布依族苗族自治州平塘县·期中）在如图所示的三角形纸片中剪去，得到四边形，若，则的度数是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了三角形外角性质，三角形内角和定理；由三角形外角性质及三角形内角和定理得，，，即可求解． 【详解】 解：， ， ， ， 故选：B． 6．（25-26学年八上·贵州黔南布依族苗族自治州平塘县·期中）两根木条，按如图所示的方式放在地面上，若，，则（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了三角形外角性质及补角，由三角形的外角性质得，由补角得，即可求解． 【详解】 解：如图， ， ， ， 故选：A． 7．（25-26学年八上·期中）下列各图中，能使的选项是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了三角形的外角性质．根据三角形的外角性质求解即可判断． 【详解】 解：只有选项B符合， 故选：B． 8．（25-26学年八上·贵州黔东南州凯里第十中学·期中）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角的度数为，则顶角的度数是（　　） A.  B.  C. 或 D. 或 【答案】C 【分析】 本题考查等腰三角形的性质，根据题意，可先画出简单示意图，根据等腰三角形的特殊性，可分为两种情况：（1）顶角为锐角（2）顶角为钝角；分别利用三角形的内角和定理和三角形的外角与内角的关系，据此解答．解题的关键是理解：有两边相等的三角形是等腰三角形，相等的两边叫做等腰三角形的腰，两腰夹角叫做等腰三角形的顶角． 【详解】 解：（1）当顶角是锐角时，如图， ∵是的高线， ∴， ∵， ∴， 即当顶角是锐角时，顶角的度数是；    （2）当顶角是钝角时，如图， ∵为的高线， ∴， ∵， ∴， 即当顶角是钝角时，顶角的度数是， 综上所述，等腰三角形的顶角为或． 故选：C． 9．（2026·贵州安顺·质量检测）将一副三角板按如图所示的方式放置，则图中的度数为　　　　　　　　． 【答案】度 【分析】 本题考查了三角形的外角性质，熟练掌握三角形的外角性质是解题关键．先根据三角板可得，，再根据三角形的外角性质求解即可得． 【详解】 解：由三角板可知，，， ∴， 故答案为：． 10．（25-26学年八上·期中）如图，在中，． （1）若，求的度数． （2）若，求的度数． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了三角形的内角和定理和外角的性质． （1）根据三角形的内角和等于可得，由此即可求出的度数； （2）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得，由此即可求出的度数． (1) 小问详解： 解：∵在中，，， ∴． (2) 小问详解： ∵在中，， ∴． 11．（25-26学年八上·期中）在中，，的外角为，　　　　　　　　． 【答案】<度 【分析】 本题主要考查了三角形的内角和定理，三角形外角的定义，熟练掌握三角形外角的定义和三角形的内角和为是解题的关键．先根据邻补角的定义求出的值，再根据三角形的内角和定理求出的值即可． 【详解】 解：∵的外角为， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 12．（25-26学年八上·贵州安顺紫云苗族布依族自治县第三中学·期中）如图，在中，于点D，是的角平分线，交于点E，，，求的度数． 【答案】的度数为 【分析】 本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义等知识点，首先根据三角形外角的性质得到,然后利用角平分线的概念和三角形内角和定理求解即可，熟练掌握三角形内角和是并能灵活运用是解决此题的关键． 【详解】 解：, , , , 是的角平分线， , , ． 13．（25-26学年八上·贵州黔东南苗族侗族自治州凯里凯里学院附属中学·期中）如图，点在的边的延长线上，点在边上，连接交于点，． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 【答案】（1） 证明：，， ， ；      （2）      【分析】 本题考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，熟知三角形内角和是，三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键． （1）利用三角形的外角性质，可得出，，再结合，即可证出； （2）由可求出的度数，再由，可求出的度数，在中，利用三角形内角和定理，结合，即可求出的度数． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：， ， ， ， 在中，，即， ． 14．（25-26学年八上·贵州遵义桐梓县·期中）如图，在中，是边上的高，，平分交于点，，求的度数． 【答案】 【分析】 本题考查了三角形的高和角平分线，三角形内角和定理及外角性质，由三角形高的定义可得，进而由三角形外角性质得到，再由角平分线的定义得到，最后根据三角形内角和定理即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】 解：∵是边上的高， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 15．（25-26学年八上·贵州黔西南布依族苗族自治州兴仁屯脚镇屯脚中学·期中）如图，在中，点D在边上． （1）若，求的度数； （2）若为的中线，的周长比的周长大3，，求的长． 【答案】（1）     （2）6      【分析】 本题考查了三角形外角的性质，三角形内角和定理，中线等知识．熟练掌握三角形外角的性质，三角形内角和定理，中线是解题的关键． （1）由题意知，，根据，计算求解即可； （2）由为的中线，可得，由的周长比的周长大3，可得，进而可得，计算求解即可． (1) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴的度数为； (2) 小问详解： 解：∵为的中线， ∴， ∵的周长比的周长大3， ∴，即， ∴，即， 解得，， ∴的长为6． 16．（25-26学年八上·贵州黔西南布依族苗族自治州兴仁屯脚镇屯脚中学·期中）求出下列图中的值： （1） （2） 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查三角形内角和定理，三角形外角的性质： （1）根据三角形内角和为度，列方程求解； （2）根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，列方程求解． (1) 小问详解： 解：由题意，得， 解得． (2) 小问详解： 解：由题意，得， 解得． 17．（2026·贵州安顺·质量检测）如图，在中，，于点，平分，交于点． （1）当，时，求的度数． （2）猜想与，之间的关系，并说明理由． 【答案】（1）     （2） 解：，理由如下： ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ．      【分析】 本题考查了角平分线的定义、三角形的内角和定理、三角形的外角性质、垂直，熟练掌握三角形的内角和定理是解题关键． （1）先根据角平分线的定义可得，再根据三角形的外角性质可得，然后根据三角形的内角和定理求解即可得； （2）先根据角平分线的定义可得，再根据三角形的外角性质可得，然后根据三角形的内角和定理求解即可得． (1) 小问详解： 解：∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． (2) 小问详解： 略 18．（25-26学年八上·期中）【课本再现】已知：如图1，P是三角形内一点，连接，． 求证：． 证明：如图2，延长，交于点D． ∵是的一个外角， ∴． ∵是的一个外角， ∴． ∴． 【知识迁移】如图3，求证： （1）； （2）． 【拓展延伸】如图4，五角星五个“角”的和为________°． 【答案】【知识迁移】 （1）证明：如图，延长交于， 是的一个外角， ∴， ． 是的一个外角， ∴， ． ，即． （2）∵，， ∴，即． 【拓展延伸】180 【分析】 本题考查三角形内角和定理及外角性质的应用，作出恰当的辅助线是解题的关键． 知识迁移：（1）如图，延长交于，证明，，从而可得结论； （2）由，，即可推出结论； 拓展延伸：如图，标注五角星的顶点及交点B，C，证明 ，，再利用三角形的内角和定理可得答案． 【详解】 知识迁移： （1）略 （2）略 拓展延伸：如图，标注五角星的顶点及交点B，C， 是的一个外角， ． 是的一个外角， ． ， ∵， ∴． 19．（25-26学年八上·期中）如图1是路政部门利用曲臂升降机维修路灯时的图片，图2是它的平面示意图，已知路灯和曲臂的底座都与地面垂直，同时上曲臂与下曲臂的夹角，下曲臂与底座的夹角，求上曲臂与路灯的夹角的度数． 【答案】 【分析】 本题考查三角形外角的性质，平行线的判定及性质．延长，交于点，先由三角形外角的性质得到，再证明，即可得到． 【详解】 解：延长，交于点， ，， ， ，， ∴， ． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 三角形 考点01 三角形的概念 考点02 三角形的边 考点03 三角形的中线、角平分线、高 考点04 三角形的内角 考点05 三角形的外角 考点01 三角形的概念 1．A 2．C 3．C 4．D 考点02 三角形的边 1．C 2．A 3．A 4．D 5．D 6．D 7．A 8．B 9．C 10．A 11．C 12．C 13．B 14．A 15．B 16．B 17．C 18．C 19．D 20．D 21．D 22．C 23．【答案】65 【分析】 本题考查了三角尺的角度特征，求解出的度数是解决本题的关键．本题可先根据三角尺的特征得出相关角的度数，再利用三角形内角和定理求出的度数． 【详解】 解：如图， 因为， 所以． 故答案为：． 24．【答案】稳定性 【分析】 本题考查了三角形的稳定性“如果三角形的三条边固定，那么三角形的形状和大小就完全确定了，三角形的这个特征，叫作三角形的稳定性”，熟练掌握三角形的稳定性是解题关键．根据三角形的稳定性求解即可得． 【详解】 解：人字梯中间一般会设计一个“拉杆”，这样做是利用了三角形的稳定性． 故答案为：稳定性． 25．【答案】（1）     （2）15或18      【分析】 本题主要考查了构成三角形的条件，等腰三角形的定义，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，据此求解即可； （2）根据，c必须与a或b相等，再分两种情况：和，结合（1）所求的c的取值范围，讨论求解即可． (1) 小问详解： 解：∵是的三边长， ∴，即， ∴； (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴c必须与a或b相等， 当时，满足，即此时能构成三角形， ∴此时的周长； 当时，满足，即此时能构成三角形， ∴此时的周长； 综上所述，的周长是15或18． 26．【答案】 【分析】 此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和．首先设第三边长为x，根据三角形的三边关系可得，可得x的范围，然后再确定x的值即可． 【详解】 解：设第三边长为x，由题意得： ， 解得：， ∵第三边长为偶数， ∴， ∴第三边的长为． 故答案为：． 27．【答案】（1）     （2）的周长为16，是等腰三角形      【分析】 本题考查三角形的三边关系，三角形的分类： （1）根据三角形的三边关系进行求解即可； （2）根据（1）中的范围，结合的周长为偶数，得到，即可得出结论． (1) 小问详解： 解：∵在中， ∴， ∴； (2) 小问详解： ∵的周长为偶数，为奇数， ∴的长为奇数， ∵， ∴， ∴的周长为，是等腰三角形． 28．【答案】（1）     （2）14      【分析】 本题考查三角形三边关系，关键是掌握三角形三边关系定理． （1）三角形两边之和大于第三边，三角形两边的差小于第三边，由此得到； （2）由，c的长为小于6的偶数，得到c的值，即可求出的周长． (1) 小问详解： 解：∵的三边分别为a，b，c，且， ∴由三角形的三边关系得到：， ∴； (2) 小问详解： 解：由（1）知， ∵c的长为小于6的偶数， ∴， ∴的周长． 29．【答案】（1）厘米，厘米，9厘米     （2） 解：能，理由如下： 当5厘米的边为底边时，其腰长为（厘米）， ， 能围成等腰三角形； 当厘米的边为腰长时， 其底边长为：（厘米）， ，不能构成三角形； 综上所述，能围成有一边的长是5厘米的等腰三角形．      【分析】 本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形三边关系，一元一次方程的应用，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）设底边长为厘米，得到，解方程即可得到答案； （2）当厘米的边为底边时，腰长为厘米，能围成等腰三角形； 当厘米的边为腰长时，不能构成三角形；综上所述，能围成有一边的长是厘米的等腰三角形． (1) 小问详解： 解：设底边长为厘米，则腰长为厘米， 依题意得， 解得， 则等腰三角形的腰长为（厘米）， 等腰三角形的各边长分别为厘米，厘米，9厘米； (2) 小问详解： 略 30．【答案】三角形的稳定性 【分析】 本题主要考查了三角形的稳定性的应用，根据三角形具有稳定性即可求解，熟练掌握基础知识是解题的关键． 【详解】 解：平板电脑放在支架上就很方便地使用了，这些应用的几何原理是：三角形的稳定性． 故答案为：三角形的稳定性． 31．【答案】（1）     （2）18      【分析】 本题主要考查了三角形的三边关系， 对于（1），根据三角形三边关系可得，可得答案； 对于（2），根据c的取值范围得出其值，再求出周长． (1) 小问详解： 解：∵， ∴， 即； (2) 小问详解： 解：∵，且c为小于6的奇数， ∴， ∴的周长． 32．【答案】 【分析】 本题考查三角形三边关系的运用，熟记三角形的第三边大于两边之差，小于两边之和是解题的关键．根据三角形的第三边大于两边之差，小于两边之和，即可解决问题． 【详解】 解：∵三角形的两边长分别是5和7， ∴第三边长a的取值范围是，即． 故答案为：． 33．【答案】19或23 【分析】 本题主要考查了等腰三角形的定义，构成三角形的条件，分腰长为和腰长为两种情况，根据构成三角形的条件讨论求解即可． 【详解】 解：当腰长为时，则该三角形的三边长分别为，，， ∵， ∴此时能构成三角形，符合题意， ∴此时该三角形的周长为； 当腰长为时，则该三角形的三边长分别为，，， ∵， ∴此时能构成三角形，符合题意， ∴此时该三角形的周长为； 综上所述，该三角形的周长为或， 故答案为：19或23． 34．【答案】（1）     （2）最小值11；最大值13      【分析】 本题考查三角形三边关系的应用，涉及绝对值的代数意义，熟记三角形三边关系是解决问题的关键． （1）由三角形三边关系得到，再由绝对值的代数意义去绝对值，最后合并同类项即可得到答案； （2）由三角形三边关系得到，再结合为整数，可得可取值为，从而得到的周长的最大值及最小值． (1) 小问详解： 解：∵的三边长分别为， ∴， ∴ ； (2) 小问详解： 解：∵，且为整数， ∴，即， ∴可取值为， ∴当时，的周长有最小值，为； 当时，的周长有最大值，为． 35．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据三角形的三边关系得到：，根据绝对值的性质进行化简，即可求解； （2）根据三角形的三边关系，确定c的范围，再求出三角形的周长． 本题考查三角形的三边关系，绝对值的化简，解二元一次方程组的知识，解题的关键是明确三角形的三边关系． (1) 小问详解： 解：∵a，b，c是的三边， ∴， ∴ ， ； (2) 小问详解： 解：解方程组 ，得 ， 根据三角形的三边关系得，即， ∵c为奇数， ∴， ∴这个三角形的周长为． 36．【答案】（1）12     （2）      【分析】 （1）根据三角形三边关系确定c的取值范围，再结合c是整数且为奇数确定其值，即可获得答案； （2）根据三角形三边关系可得，进而可得，然后进一步化简即可． (1) 小问详解： 解：由三角形三边关系定理可得：， ∴， ∵c是整数，且为奇数， ∴， ∴的周长； (2) 小问详解： 解：∵的三边长为a，b，c， ∴，，， ∴； 由三角形三边关系定理可得：， ∴， ∴ ． 考点03 三角形的中线、角平分线、高 1．D 2．D 3．D 4．A 5．D 6．D 7．C 8．B 9．D 10．C 11．B 12．B 13．A 14．C 15．C 16．D 17．C 18．【答案】5 【分析】 根据三角形的中线与面积的关系可进行求解． 【详解】 解：∵是边的中线，且面积为10， ∴； 故答案为5． 【点睛】 本题主要考查三角形的中线与面积的关系，熟练掌握三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分是解题的关键． 19．【答案】（1）4     （2）．      【分析】 本题考查了线段的和与差，等积法求三角形的高线长． （1）根据线段的和与差计算即可； （2）利用等积法得到，代入数据计算即可求解． (1) 小问详解： 解：∵，， ∴； 故答案为：4； (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴， 解得． 20．【答案】10 【分析】 本题主要考查了求三角形面积，熟知三角形高和中线的定义是解题的关键．先根据三角形面积公式求出，再根据三角形中线的性质求解即可． 【详解】 解：是的高，，， ， ∵是的中线， ∴． 故答案为：10． 21．【答案】5 【分析】 此题考查三角形的面积公式，中线和高线的定义，关键是掌握中线的定义和三角形的面积公式． 由中线的定义可知BC=8，再利用三角形的面积公式可得出结论． 【详解】 解：∵是的中线，， ∴， 又∵， ∴． 故答案为：5． 22．【答案】（1）3；6     （2）     （3）4      【分析】 本题考查三角形中线的性质、重心及三角形面积的计算． （1）根据被中线分成的两个三角形“等底等高，面积相等”建立等式，再利用等式的基本性质即可得出答案； （2）根据，即可得出答案； （3）点是的重心，类比（1），（2）可知，，，求得，，，，再根据，，即可求解． (1) 小问详解： 解：∵点为的重心， ∴，，分别是，，边上的中点， ，，， ， ； (2) 小问详解： 解：∵，， ∴． (3) 小问详解： 解：点为的重心，类比（1），（2）可知，，， ∵，， ∴，，，， ∵， ∴，， 则， ∴． 考点04 三角形的内角 1．C 2．B 3．A 4．B 5．C 6．D 7．C 8．A 9．D 10．【答案】直角 【分析】 本题主要考查三角形内角和定理的应用，根据三角形内角和定理求出即可判断. 【详解】 解：在中，， ∵, ∴， ∴是直角三角形， 故答案为：直角． 11．【答案】 【分析】 本题考查直角三角形性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．利用直角三角形的性质即可得出答案． 【详解】 在中，，， ， 故答案为：． 12．【答案】（1） 证明：平分， ， ， ， ；     （2）      【分析】 本题考查了三角形内角和定理，角平分线定义和平行线的性质与判定， （1）根据平分得到，再由等量代换推出， 根据“内错角相等，两直线平行”即可得证； （2）先根据平行线的性质求出的度数，然后根据三角形内角和定理求出的度数，由平分推出的度数，最后根据三角形内角和定理即可求出的度数． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：， ， 在中，， ， 平分， ， ． 13．【答案】æ度 【分析】 本题考查了三角形的内角和定理，熟练掌握三角形的内角和定理是解题关键．先根据三角形的内角和定理可得，再根据，代入计算即可得． 【详解】 解：∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴ ． 故答案为：． 14．【答案】（1）35     （2）；      【分析】 本题主要考查了与角平分线有关的三角形内角和定理，熟练掌握三角形内角和定理，进行求解即可． （1）由角平分线的定义得到； （2）由三角形内角和定理求出的度数，即可求出的度数． (1) 小问详解： 解：∵是的角平分线，， ∴； (2) 小问详解： 解：∵，， ∴， ∴． 15．【答案】 【分析】 本题考查的是三角形内角和定理，利用三角形内角和定理列方程求解即可． 【详解】 解：根据题意得， 解得． 16．【答案】，，的度数分别为，，． 【分析】 本题主要考查了三角形内角和定理，垂线的定义，角平分线的定义，先由垂线的定义得到，则由三角形内角和定理得到，则可求出，再由角平分线的定义得到，再根据三角形内角和定理可得答案． 【详解】 解：于点 ， ， ， 又， ， 平分， ， 又， ， 答：，，的度数分别为，，． 17．【答案】（1）1     （2）     （3）      【分析】 本题主要考查了三角形中线，高线，角平分线，三角形内角和定理， （1）根据中线的性质得，再根据周长公式可得答案； （2）先根据角平分线的定义得，再根据三角形内角和定理得，然后根据三角形内角和求出答案； （3）先根据角平分线定义求出，再根据三角形内角和定理求出，最后根据三角形内角和定理得出答案. (1) 小问详解： 解：∵是的中线， ∴. ∵， ∴的周长与的周长差为. 故答案为：1； (2) 小问详解： 解：∵是的角平分线， ∴. ∵， ∴. 在中，； 故答案为：； (3) 小问详解： 解：∵是的高线， ∴. ∵，是的角平分线， ∴，. 在中，. 18．【答案】F度 【分析】 本题主要考查三角形内角和，熟练掌握三角形内角和是解题的关键；由题意易得，然后问题可求解． 【详解】 解：∵， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． 19．【答案】（1）；     （2）；     （3）．      【分析】 本题考查了三角形的内角和定理以及三角形外角的性质． （1）利用三角形内角和定理求解即可； （2）利用垂直的定义结合三角形内角和定理求解即可； （3）根据角平分线的定义结合三角形外角的性质可求出的度数，再利用邻补角的性质即可求解． (1) 小问详解： 解：∵，， ∴； (2) 小问详解： 解：∵是的高，， ∴； (3) 小问详解： 解：∵是的角平分线，， ∴， 由（2）得， ∴， ∴． 20．【答案】（1）12     （2）      【分析】 本题考查三角形的三线，与角平分线有关的三角形的内角和问题，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）根据三角形的中线平分面积即可得出结果； （2）高线得到，三角形的内角和定理求出，的度数，角平分线求出的度数，再根据三角形的内角和定理求出的度数即可． (1) 小问详解： 解：∵是边的中线， ∴， ∵的面积为6， ∴的面积为12， 故答案为：； (2) 小问详解： 解：∵是的高， ∴， ∵， ∴，， ∵是的角平分线， ∴， ∴． 21．【答案】（1）与互为“等角三角形”，理由如下： ∵，， ∴， 又∵， ∴与互为“等角三角形”． （2）证明：∵在中，，， ∴， ∵在中，为角平分线， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， 又∵，， ∴与互为“等角三角形”， ∴是的“巧等线”． （3）或或或 【分析】 本题考查了等腰三角形的判定与性质、三角形的外角性质、三角形的内角和定理等知识，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题关键． （1）先根据垂直的定义可得，再根据互为“等角三角形”的定义即可得； （2）先求出，，则可得，再根据等腰三角形的判定可得是等腰三角形，然后证出与互为“等角三角形”，由此即可得； （3）分六种情况：① 当时，是等腰三角形，② 当时，是等腰三角形，③ 当时，是等腰三角形，④ 当时，是等腰三角形，⑤ 当时，是等腰三角形，⑥ 当时，是等腰三角形，利用“巧等线”的定义、三角形的内角和定理求解即可得． 【详解】 解：（1）略 （2）略 （3）① 如图，当时，是等腰三角形， 则， ∴， ∵为的“巧等线”， ∴与互为“等角三角形”， ∵，， ∴， ∴； ② 如图，当时，是等腰三角形， 则， ∴， ∵为的“巧等线”， ∴与互为“等角三角形”， ∵，， ∴， ∴； ③ 如图，当时，是等腰三角形， ∴， ∴，， ∵为的“巧等线”， ∴与互为“等角三角形”， ∵，， ∴， ∴，不符合题意，舍去； ④ 如图，当时，是等腰三角形， ∴， ∴， ∵为的“巧等线”， ∴与互为“等角三角形”， ∵，， ∴， ∵，， ∴， 解得； ⑤ 如图，当时，是等腰三角形， ∴， ∴， ∵为的“巧等线”， ∴与互为“等角三角形”， ∵，， ∴， ∵，， ∴， 解得； ⑥ 如图，当时，是等腰三角形， ∴， ∴，， ∵为的“巧等线”， ∴与互为“等角三角形”， ∵，， ∴， ∴，不符合题意，舍去； 综上，所有可能的的度数为或或或． 考点05 三角形的外角 1．B 2．A 3．A 4．B 5．B 6．A 7．B 8．C 9．【答案】度 【分析】 本题考查了三角形的外角性质，熟练掌握三角形的外角性质是解题关键．先根据三角板可得，，再根据三角形的外角性质求解即可得． 【详解】 解：由三角板可知，，， ∴， 故答案为：． 10．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了三角形的内角和定理和外角的性质． （1）根据三角形的内角和等于可得，由此即可求出的度数； （2）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得，由此即可求出的度数． (1) 小问详解： 解：∵在中，，， ∴． (2) 小问详解： ∵在中，， ∴． 11．【答案】<度 【分析】 本题主要考查了三角形的内角和定理，三角形外角的定义，熟练掌握三角形外角的定义和三角形的内角和为是解题的关键．先根据邻补角的定义求出的值，再根据三角形的内角和定理求出的值即可． 【详解】 解：∵的外角为， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 12．【答案】的度数为 【分析】 本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义等知识点，首先根据三角形外角的性质得到,然后利用角平分线的概念和三角形内角和定理求解即可，熟练掌握三角形内角和是并能灵活运用是解决此题的关键． 【详解】 解：, , , , 是的角平分线， , , ． 13．【答案】（1） 证明：，， ， ；      （2）      【分析】 本题考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，熟知三角形内角和是，三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键． （1）利用三角形的外角性质，可得出，，再结合，即可证出； （2）由可求出的度数，再由，可求出的度数，在中，利用三角形内角和定理，结合，即可求出的度数． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：， ， ， ， 在中，，即， ． 14．【答案】 【分析】 本题考查了三角形的高和角平分线，三角形内角和定理及外角性质，由三角形高的定义可得，进而由三角形外角性质得到，再由角平分线的定义得到，最后根据三角形内角和定理即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】 解：∵是边上的高， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 15．【答案】（1）     （2）6      【分析】 本题考查了三角形外角的性质，三角形内角和定理，中线等知识．熟练掌握三角形外角的性质，三角形内角和定理，中线是解题的关键． （1）由题意知，，根据，计算求解即可； （2）由为的中线，可得，由的周长比的周长大3，可得，进而可得，计算求解即可． (1) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴的度数为； (2) 小问详解： 解：∵为的中线， ∴， ∵的周长比的周长大3， ∴，即， ∴，即， 解得，， ∴的长为6． 16．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查三角形内角和定理，三角形外角的性质： （1）根据三角形内角和为度，列方程求解； （2）根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，列方程求解． (1) 小问详解： 解：由题意，得， 解得． (2) 小问详解： 解：由题意，得， 解得． 17．【答案】（1）     （2） 解：，理由如下： ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ．      【分析】 本题考查了角平分线的定义、三角形的内角和定理、三角形的外角性质、垂直，熟练掌握三角形的内角和定理是解题关键． （1）先根据角平分线的定义可得，再根据三角形的外角性质可得，然后根据三角形的内角和定理求解即可得； （2）先根据角平分线的定义可得，再根据三角形的外角性质可得，然后根据三角形的内角和定理求解即可得． (1) 小问详解： 解：∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． (2) 小问详解： 略 18．【答案】【知识迁移】 （1）证明：如图，延长交于， 是的一个外角， ∴， ． 是的一个外角， ∴， ． ，即． （2）∵，， ∴，即． 【拓展延伸】180 【分析】 本题考查三角形内角和定理及外角性质的应用，作出恰当的辅助线是解题的关键． 知识迁移：（1）如图，延长交于，证明，，从而可得结论； （2）由，，即可推出结论； 拓展延伸：如图，标注五角星的顶点及交点B，C，证明 ，，再利用三角形的内角和定理可得答案． 【详解】 知识迁移： （1）略 （2）略 拓展延伸：如图，标注五角星的顶点及交点B，C， 是的一个外角， ． 是的一个外角， ． ， ∵， ∴． 19．【答案】 【分析】 本题考查三角形外角的性质，平行线的判定及性质．延长，交于点，先由三角形外角的性质得到，再证明，即可得到． 【详解】 解：延长，交于点， ，， ， ，， ∴， ． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 三角形 5大高频考点概览 考点01 三角形的概念 考点02 三角形的边 考点03 三角形的中线、角平分线、高 考点04 三角形的内角 考点05 三角形的外角 考点01 三角形的概念 1．（25-26学年八上·贵州黔西南布依族苗族自治州兴仁屯脚镇屯脚中学·期中）如图，下面以为边的三角形是（     ） A.  B.  C.  D.  2．（2026·贵州安顺·质量检测）如图所示，小手盖住了一个三角形的一部分，则这个三角形是（       ） A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 等边三角形 3．（25-26学年八上·期中）如图，以为边的三角形有（     ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 4．（25-26学年八上·期中）如图，图中三角形的个数是（       ） A.  B.  C.  D.  考点02 三角形的边 1．（25-26学年八上·贵州遵义·期中）以下长度的三条线段中，能组成三角形的是（     ） A. 、、 B. 、、 C. 、、 D. 、、 2．（25-26学年八上·贵州安顺紫云苗族布依族自治县第三中学·期中）如图，在生活中，我们经常会看见如图所示的情况，在电线杆上拉两条钢筋，来加固电线杆，这是利用了三角形的（   ） A. 稳定性 B. 灵活性 C. 对称性 D. 全等性 3．（25-26学年八上·贵州安顺紫云苗族布依族自治县第三中学·期中）下列长度的三条线段可以组成三角形的是（     ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 4．（25-26学年八上·贵州黔东南州凯里第十中学·期中）运动会上的射击项目，如10米气步枪和10米气手枪，射击队员在瞄准目标时，手、肘、肩构成托枪三角形，这种方法应用的几何原理是（　　） A. 垂线段最短 B. 两点之间，线段最短 C. 两点确定一条直线 D. 三角形具有稳定性 5．（25-26学年八上·贵州黔南布依族苗族自治州平塘县·期中）人字梯中间一般会设计一“拉杆”，这样做的道理是（       ） A. 两点之间，线段最短 B. 垂线段最短 C. 两直线平行，内错角相等 D. 三角形具有稳定性 6．（25-26学年八上·贵州西南州兴仁·期中）如图，生活中都把自行车的几根梁做成三角形的支架，其运用的数学知识是（　　） A. 三角形三个内角的和等于180° B. 垂线段最短 C. 两点之间，线段最短 D. 三角形具有稳定性 7．（25-26学年八上·贵州西南州兴仁·期中）下列长度的三条线段不能组成三角形的是（       ）． A. l，2，3 B. 2，2，3 C. 2，3，4 D. 3，4，5 8．（25-26学年八上·贵州安顺·期中）如图，工人师傅在墙上安装空调外机时，一般都会用三角形支架进行固定，其原理是（       ） A. 两点确定一条直线 B. 三角形具有稳定性 C. 垂线段最短 D. 两点之间，线段最短 9．（25-26学年八上·贵州黔东南州·期中）以下列长度的三根木棒为边，能构成三角形的是（） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 10．（25-26学年八上·贵州黔东南州凯里第十中学·期中）下列长度的三条线段可以组成三角形的是（　　） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 11．（25-26学年八上·贵州黔东南苗族侗族自治州凯里凯里学院附属中学·期中）已知三角形的三边长分别为、、，则的值可能是（       ） A.  B.  C.  D.  12．（25-26学年八上·贵州遵义桐梓县·期中）一个三角形两边的长分别是和，则这个三角形第三边的长可能是（       ） A.  B.  C.  D.  13．（25-26学年八上·贵州遵义余庆县·期中）木工师傅有两根长分别为的木条，他要找第三根木条，将它们首尾相接钉成一个三角形框架，则他可以选择（     ） A. 1cm的木条 B. 2cm的木条 C. 3cm的木条 D. 4cm的木条 14．（25-26学年八上·贵州凯里第一初级中学·期中）下列长度的三条线段，不能组成三角形的是（       ） A. 3，3，6 B. 4，5，6 C. 5，12，13 D. 6，9，10 15．（25-26学年八上·贵州黔南布依族苗族自治州平塘县·期中）若一个三角形的两边长分别是，，则它的第三边的长可以是（     ） A.  B.  C.  D.  16．（25-26学年八上·贵州遵义第十一中学·期中）已知等腰三角形的周长为 26 ，其中一条边的长为 6，那么它的腰长为（     ） A. 6 B. 10 C. 6或10 D. 6或13 17．（25-26学年八上·贵州遵义第十一中学·期中）某校八年级师生准备前往象山茶园开展研学活动，每班需要准备一个三角形的班旗．下列给出的三个数据中，能实现三角形班旗制作的是（       ） A. 3，4，8 B. 3，4，7 C. 5，6，10 D. 5，6，11 18．（25-26学年八上·贵州安顺·期中）已知的三边长分别为a，b，c，则化简的结果是（       ） A.  B.  C. 0 D.  19．（25-26学年八上·贵州黔西南布依族苗族自治州兴仁屯脚镇屯脚中学·期中）如图，师傅安装空调在墙上时，一般都会应用这种三角形支架，原理是（    ） A. 两点确定一条直线 B. 垂线段最短 C. 两点之间线段最短 D. 三角形具有稳定性 20．（25-26学年八上·贵州贵阳·期中）如图，为了估计池塘岸边，的距离，小芳在池塘的一侧选取一点，测得米，米，，间的距离不可能是（     ） A. 40米 B. 25米 C. 10米 D. 5米 21．（25-26学年八上·贵州黔东南苗族·期中）已知等腰三角形的两边长分别为、，则该等腰三角形的周长是（       ） A.  B.  C. 或者 D.  22．（2026·贵州安顺·质量检测）将一根长14厘米的铁棒截成三段，首尾相连焊接成一个等腰三角形，如图，如果第一次在4厘米处（剪刀处）截断，那么第二次可以在（     ）处截断． A. ①或② B. ①或③ C. ②或③ D. ③或④ 23．（25-26学年八上·贵州遵义桐梓县·期中）将一副三角尺按如图所示的方式摆放（两条直角边在同一条直线上），连接另外两个锐角顶点，并测得．则的度数为　　　　　　　　　　　． 24．（25-26学年八上·贵州黔东南州·期中）如图，人字梯中间一般会设计一个“拉杆”，这样做是利用了三角形的　　　　　　　　　　　． 25．（25-26学年八上·贵州遵义·期中）已知是的三边长，． （1）求的取值范围． （2）若是等腰三角形，的周长是多少． 26．（25-26学年八上·贵州安顺紫云苗族布依族自治县第三中学·期中）已知的边长两边长为2和4，第三边长为偶数，则第三边的值为　　　　　　　　． 27．（25-26学年八上·贵州黔东南州凯里第十中学·期中）在中，． （1）求长度的取值范围； （2）若的周长为偶数，求的周长，并判断此时的形状． 28．（25-26学年八上·贵州遵义桐梓县·期中）已知的三边分别为a，b，c，且． （1）求c的取值范围； （2）若c的长为小于6的偶数，求的周长． 29．（25-26学年八上·贵州遵义余庆县·期中）用一条长厘米的细绳围成一个等腰三角形． （1）如果腰长是底边长的倍，那么各边的长是多少？ （2）能围成有一边的长是厘米的等腰三角形吗？为什么？ 30．（25-26学年八上·贵州凯里第一初级中学·期中）平板是我们日常生活中经常使用的电子产品，它的很多保护壳还兼具支架，如图所示，平板电脑放在支架上就很方便地使用了，这些应用的几何原理是：　　　　　　． 31．（25-26学年八上·贵州安顺·期中）已知的三边长分别为a，b，c，且，． （1）求c的取值范围； （2）若c为小于6的奇数，求的周长． 32．（25-26学年八上·贵州黔东南苗族·期中）已知三角形的两边长分别是5，7，则第三边长的取值范围是　　　　　　　　． 33．（25-26学年八上·期中）若一个等腰三角形的两边长分别为和，则它的周长为　　　　　． 34．（25-26学年八上·期中）已知的三边长分别为． （1）化简：； （2）若，且为整数， 求的周长的最大值及最小值． 35．（2026·贵州安顺·质量检测）已知，，是的三边． （1）化简． （2）若和满足方程组 且为奇数，求这个三角形的周长． 36．（25-26学年八上·期中）已知的三边长为a，b，c，且a，b，c都是整数． （1）若，且c为奇数，求的周长； （2）化简：． 考点03 三角形的中线、角平分线、高 1．（25-26学年八上·贵州黔南布依族苗族自治州平塘县·期中）下列四个图形中，线段是的高的是（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年八上·贵州安顺·期中）如图，是的中线，的面积为，则的面积为（     ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年八上·贵州安顺紫云苗族布依族自治县第三中学·期中）图中能表示△ABC的BC边上的高的是（     ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年八上·贵州黔东南州凯里第十中学·期中）如图，已知的面积为12，点，分别为，边上的中点，则的面积为（       ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 5．（25-26学年八上·贵州黔东南苗族侗族自治州凯里凯里学院附属中学·期中）如图，，分别是，的中线，，垂足为F．若，，则的长为（       ） A. 3.2 B. 3 C. 2.5 D. 2 6．（25-26学年八上·贵州凯里第一初级中学·期中）如图，在中，点E是边的中点，，若，的面积是（       ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 7．（25-26学年八上·贵州遵义第十一中学·期中）如图，在△中，点、分别是边、的中点，连接、，若的面积为8，则△的面积等于（     ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 8．（25-26学年八上·贵州安顺·期中）下列画的边上的高，画法正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年八上·贵州黔西南布依族苗族自治州兴仁屯脚镇屯脚中学·期中）下列选项中，过点画的垂线，三角板摆放正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年八上·贵州黔西南布依族苗族自治州兴仁屯脚镇屯脚中学·期中）如图，，分别是的中线、高．已知的面积是6，，则的长是（       ）． A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 11．（2026·贵州安顺·质量检测）如图，在中，边上的高为（     ） A.  B.  C.  D.  12．（25-26学年八上·贵州黔东南州·期中）如图，在中，如果的面积与的面积相等，则图中线段应该是的（                 ） A. 角平分线 B. 中线 C. 高线 D. 以上都不是 13．（25-26学年八上·期中）如图，是的中线，已知的周长为，比长，则的周长为（      ） A.  B.  C.  D.  14．（25-26学年八上·贵州凯里第一初级中学·期中）如图，下面是三位同学的折纸示意图，则AD依次是的（     ） A. 中线、角平分线、高线 B. 高线、中线、角平分线 C. 角平分线、高线、中线 D. 角平分线、中线、高线 15．（25-26学年八上·贵州遵义余庆县·期中）如图，AD是的中线，已知的周长为28cm，AB比AC长6cm，则的周长为（     ） A. 34cm B. 31cm C. 22cm D. 20cm 16．（25-26学年八上·贵州黔东南苗族·期中）如图，在中，是高，是角平分线，是中线．下列结论错误的是（        ） A.  B.  C.  D.  17．（25-26学年八上·期中）如图，在中，已知分别为的中点，且，则的面积为（        ） A.  B.  C.  D.  18．（25-26学年八上·贵州黔南布依族苗族自治州平塘县·期中）如图，在中，是边的中线，若面积为10，则的面积为　　　　　　　　　　． 19．（25-26学年八上·贵州凯里第一初级中学·期中）如图所示，，，，，，． （1）______； （2）求的长． 20．（25-26学年八上·贵州西南州兴仁·期中）如图，，分别是的高和中线，已知，，则的面积等于　　　　　　． 21．（25-26学年八上·贵州安顺·期中）如图，、分别是的高和中线．若，，则　　　　　． 22．（25-26学年八上·贵州凯里第一初级中学·期中）【探究课题】三角形重心性质的探究． 【课本重现】三角形三边中线的交点叫做这个三角形的重心．取一块质地均匀的三角形纸板，如果用一个三角架从重心O处将三角形平稳支撑起来，那么纸板就会处于水平状态． 【提出问题】探究图1中，的值是多少？ （1）【解决问题】若的面积为6，______，______． （2）【解决问题】求的值． （3）【拓展应用】如图2，在中，点是的重心，连接，并延长，分别交边，于点，．若，，，直接利用上面的结论，求四边形的面积． 考点04 三角形的内角 1．（25-26学年八上·贵州黔东南州凯里第十中学·期中）已知，在中，，则的大小为（       ）． A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年八上·贵州黔东南州·期中）已知在中，，，则的大小为（） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年八上·贵州安顺·期中）如图，在三角形纸片中，，，将纸片的一角沿折叠，使点C落在点处，若，则的度数为（       ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年八上·贵州安顺·期中）在中，，则此三角形是（    ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形 5．（25-26学年八上·贵州黔西南布依族苗族自治州兴仁屯脚镇屯脚中学·期中）如图，将三角形纸片沿折叠，若，，则的度数为（       ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年八上·贵州黔东南苗族·期中）如图是一架婴儿车的示意图，其中，，，那么的度数为（       ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年八上·期中）已知的内角分别为，，，下列条件： ①； ②； ③； ④．能判定是直角三角形的是（     ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 8．（25-26学年八上·期中）如图，中，为的角平分线，为的高，，， 那么是 （       ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年八上·期中）如图，在中，、分别是高线和角平分线，点在的延长线上，交于，交于，下列结论：①；②；③；④，正确的是（     ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 10．（25-26学年八上·贵州遵义·期中）小明通过测量角的度数来判定三角形的形状时，不小心把墨水倒在了图形上，如图通过测量测得中，，则是　　　　　　　　　　　三角形．（填“锐角”、“直角”或“钝角”） 11．（25-26学年八上·贵州黔西南布依族苗族自治州兴仁屯脚镇屯脚中学·期中）在中，，，则　　　　　　　　． 12．（25-26学年八上·贵州黔东南州凯里第十中学·期中）如图，在中，平分交边于点E，在边上取点F，连结，使． （1）求证：； （2）当时，求的度数． 13．（25-26学年八上·贵州黔东南苗族侗族自治州凯里凯里学院附属中学·期中）在如图所示的三角形纸片中剪去得到四边形，若，则的度数是　　　　　　　 14．（25-26学年八上·贵州凯里第一初级中学·期中）如图，是的角平分线，，． （1）______度； （2）求和的度数． 15．（25-26学年八上·贵州安顺·期中）求出图中的x的值． 16．（25-26学年八上·贵州黔东南州·期中）已知：如图，在 中，，于点，平分，，求，，的度数． 17．（25-26学年八上·期中）如图， 在中， 是角平分线， 点D在边上(不与点A，B重合)， 与交于点O． （1）若是中线， 则，则与的周长差为        ； （2）若是的角平分线，，则          ． （3）若是的高，，求的度数． 18．（25-26学年八上·期中）在中，，，则　　　　　　． 19．（25-26学年八上·贵州黔东南州凯里第十中学·期中）如图，已知是的角平分线，是的高，与相交于点F，，． （1）求的度数； （2）求的度数； （3）求的度数． 20．（25-26学年八上·贵州遵义余庆县·期中）如图，和分别是的高和角平分线，是边的中线． （1）若的面积为6，则的面积为                 ； （2）若，求和的度数． 21．（2026·贵州安顺·质量检测）引入概念1：如果一个三角形的两个角分别等于另一个三角形的两个角，那么称这两个三角形互为“等角三角形”． 引入概念2：从不等边三角形的一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段，把这个三角形分割成两个小三角形．若分成的两个小三角形中，一个是等腰三角形，另一个与原来的三角形是“等角三角形”，则把这条线段叫做这个三角形的“巧等线”． 【理解概念】 （1）如图1，在中，，，垂足为，请判断与是否为“等角三角形”，并说明理由． （2）如图2，在中，为角平分线，，，请说明是的“巧等线”． 【应用概念】 （3）在中，若，为的“巧等线”，请直接写出所有可能的的度数． 考点05 三角形的外角 1．（25-26学年八上·贵州遵义·期中）随着贵州省教育厅《关于保障中小学生每天综合体育活动不低于两小时的通知》规定的落地，学校的操场已成为学生们每日必到的“打卡地”．如图①是某校体育课上的侧压动作，可以抽象为如图②的几何图形，若，则的度数为（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年八上·贵州黔东南州凯里第十中学·期中）如果将一副三角板按如图方式叠放，那么等于（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年八上·贵州黔东南苗族侗族自治州凯里凯里学院附属中学·期中）如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，，，则的度数等于（     ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年八上·贵州遵义余庆县·期中）如图，从处观察处的仰角，从处观察处的仰角，从处观察，两处的视角(       ) A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年八上·贵州黔南布依族苗族自治州平塘县·期中）在如图所示的三角形纸片中剪去，得到四边形，若，则的度数是（     ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年八上·贵州黔南布依族苗族自治州平塘县·期中）两根木条，按如图所示的方式放在地面上，若，，则（     ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年八上·期中）下列各图中，能使的选项是（     ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年八上·贵州黔东南州凯里第十中学·期中）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角的度数为，则顶角的度数是（　　） A.  B.  C. 或 D. 或 9．（2026·贵州安顺·质量检测）将一副三角板按如图所示的方式放置，则图中的度数为　　　　　　　　． 10．（25-26学年八上·期中）如图，在中，． （1）若，求的度数． （2）若，求的度数． 11．（25-26学年八上·期中）在中，，的外角为，　　　　　　　　． 12．（25-26学年八上·贵州安顺紫云苗族布依族自治县第三中学·期中）如图，在中，于点D，是的角平分线，交于点E，，，求的度数． 13．（25-26学年八上·贵州黔东南苗族侗族自治州凯里凯里学院附属中学·期中）如图，点在的边的延长线上，点在边上，连接交于点，． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 14．（25-26学年八上·贵州遵义桐梓县·期中）如图，在中，是边上的高，，平分交于点，，求的度数． 15．（25-26学年八上·贵州黔西南布依族苗族自治州兴仁屯脚镇屯脚中学·期中）如图，在中，点D在边上． （1）若，求的度数； （2）若为的中线，的周长比的周长大3，，求的长． 16．（25-26学年八上·贵州黔西南布依族苗族自治州兴仁屯脚镇屯脚中学·期中）求出下列图中的值： （1） （2） 17．（2026·贵州安顺·质量检测）如图，在中，，于点，平分，交于点． （1）当，时，求的度数． （2）猜想与，之间的关系，并说明理由． 18．（25-26学年八上·期中）【课本再现】已知：如图1，P是三角形内一点，连接，． 求证：． 证明：如图2，延长，交于点D． ∵是的一个外角， ∴． ∵是的一个外角， ∴． ∴． 【知识迁移】如图3，求证： （1）； （2）． 【拓展延伸】如图4，五角星五个“角”的和为________°． 19．（25-26学年八上·期中）如图1是路政部门利用曲臂升降机维修路灯时的图片，图2是它的平面示意图，已知路灯和曲臂的底座都与地面垂直，同时上曲臂与下曲臂的夹角，下曲臂与底座的夹角，求上曲臂与路灯的夹角的度数． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $