专题08 勾股定理（期中真题汇编，甘肃专用）八年级数学上学期

专题08 勾股定理 2大高频考点概览 考点01 勾股定理及其应用 考点02 勾股定理的逆定理及其应用 考点01 勾股定理及其应用 1．（25-26学年八上·甘肃兰州第五十四中学·期中）下列各组数据中，是勾股数的是（     ） A. 0.6，0.8，1 B. 1，2， C. 4，5，7 D. 3，4，5 【答案】D 【分析】 此题主要考查了勾股数的定义，及勾股定理的逆定理，关键是掌握勾股定理及勾股数：满足的三个正整数，称为勾股数．据此即可得出答案． 【详解】 解：A、 ，，1不符合是整数，故不是勾股数，不符合题意； B、1，2，，不符合是整数，故不是勾股数，不符合题意； C、4，5，7，不能构成直角三角形，故不符合题意； D、3，4，5，三边是整数，同时能构成直角三角形，故符合题意； 故选：D． 2．（25-26学年八上·甘肃期中学·期中）在中，，，则（       ）． A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了勾股定理，根据勾股定理，在直角三角形中，斜边的平方等于两直角边的平方和，即可求解． 【详解】 解：在中，，， ， 故选：C． 3．（25-26学年八上·甘肃兰州第八十一中学·期中）下列各组数中，是勾股数的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据勾股数的定义：三边是正整数且两小边的平方和等于第三边的平方，进行求解即可． 【详解】 根据勾股数的定义可得， 故选：B． 【点睛】 本题考查了勾股数，熟练勾股数的定义是解决本题的关键． 4．（25-26学年八上·甘肃兰州第八十一中学·期中）如图，数字代表所在正方形的面积，则A所代表的正方形的面积为（       ） A. 25 B. 49 C. 81 D. 100 【答案】D 【分析】 由勾股定理即可求出答案． 【详解】 解：由勾股定理可知：， 故选：D． 【点睛】 本题考查勾股定理，解题的关键是熟练运用勾股定理，本题属于基础题型． 5．（25-26学年八上·甘肃兰州·期中）如图，在中，，．点E、F分别是边、上的点，连结，将沿翻折，使得点的对称点落在边的中点处，则的长为（　　） A.  B.  C. 3 D. 2 【答案】A 【分析】 本题考查了勾股定理与翻折问题，熟练掌握勾股定理和翻折的性质是解题的关键．根据勾股定理和翻折的性质即可求解． 【详解】 解：点是边的中点， 由翻折的性质得， 设，则， 在中， ， 解得：， ． 故选：A． 6．（25-26学年八上·甘肃兰州·期中）如图，在数轴上，点，对应的实数分别为，，，，以为圆心，为半径画弧，交数轴正半轴于点，则点对应的实数为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查的是实数与数轴及勾股定理的概念，即在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方；通过勾股定理求出的长度，因为，再根据点对应的实数求出点对应的实数． 【详解】 解：∵点， 对应的实数分别为，， ∴， ∵，，在直角三角形中， 根据勾股定理， ∵以为圆心，为半径画弧，交数轴正半轴于点， ∴， 又∵点对应的实数为， ∴点对应的实数为． 故选：A． 7．（25-26学年八上·甘肃兰州·期中）《九章算术》是我国传统数学中重要的著作之一，奠定了我国传统数学的基本框架，其中方程术是《九章算术》最高的数学成就.《九章算术》记载：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈.问户高、广各几何？”大意：有一扇形状是长方形的门，它的高比宽多6尺8寸，它的对角线长1丈，问它的高与宽各是多少（1丈尺，1尺寸）？设长方形门宽为x尺，则所列方程为（       ）. A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了勾股定理的应用，找准等量关系，正确列出方程是解题的关键． 设门宽为x尺，则门的高度为尺，利用勾股定理及门的对角线长丈，即可得出关于x的方程，此题得解． 【详解】 解：设矩形门宽为x尺，所列方程为， 故选A． 8．（25-26学年八上·甘肃张掖山丹县第二中学·期中）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，是“勾股数”的是（　　） A. 4，5，6 B. 5，12，13 C. 6，8，11 D. 5，12，23 【答案】B 【分析】 本题考查勾股定理，根据勾股数的定义，即三个正整数满足，逐一验证各选项即可． 【详解】 解：选项A：4，5，6 最大数为6，验证：，，和为，而，不满足勾股定理． 选项B：5，12，13 最大数为13，验证：，，和为，而，满足勾股定理． 5、12、13均为正整数，符合勾股数定义． 选项C：6，8，11 最大数为11，验证：，，和为，而，不满足勾股定理． 选项D：5，12，23 最大数为23，验证：，，和为，而，不满足勾股定理． 综上，只有选项B符合条件， 故选B． 9．（25-26学年八上·甘肃白银·期中）《醉翁亭记》中写道：“射者中”，其中“射”指投壶，宴饮时的一种游戏．现有一圆柱形投壶内部底面直径是，内壁高，若箭长，则箭在投壶外面部分的长度不可能是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了勾股定理的应用，求出箭在投壶外面部分的最大长度和最小长度即可判断求解，利用勾股定理求出箭在投壶外面部分的最小长度是解题的关键． 【详解】 解：由题意可得，箭在投壶外面部分的最大长度为， 最小长度为， ∴箭在投壶外面部分的长度不可能是， 故选：． 10．（25-26学年八上·甘肃期中学·期中）某数学兴趣小组开展了笔记本电脑的张角大小的实践探究活动．如图，当张角为时，顶部边缘B处离桌面的高度为，此时底部边缘A处与C处间的距离为，小组成员调整张角的大小继续探究，最后发现当张角为时（D是B的对应点），顶部边缘D处到桌面的距离为，则底部边缘A处与E之间的距离为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 勾股定理解得出，勾股定理解即可求解． 【详解】 解：依题意， 在中， ∵，, 在中， 故选：A． 【点睛】 本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键． 11．（25-26学年八上·甘肃兰州·期中）下列各组数中，是勾股数的是（       ） A. ，， B. ，，1 C. 4，5，6 D. 9，40，41 【答案】D 【分析】 此题考查了勾股数，解答此题要用到勾股数的定义，如果a，b，c为正整数，且满足，那么，a、b、c叫做一组勾股数． 根据勾股数的定义逐一判断即可． 【详解】 解：A． ，，，不是整数，不是勾股数； B． ，，不是整数，不是勾股数； C． ，不是勾股数； D． ，是勾股数； 故选：D 12．（25-26学年八上·甘肃兰州第十一中学·期中）下列给出的四组数中，是勾股数的一组是（     ） A. 1，，2 B. 5，12，13 C. ，， D. ，， 【答案】B 【分析】 此题考查的知识点是勾股数，根据勾股数的定义：满足 的三个正整数，称为勾股数，逐项进行判断即可．解答此题要理解勾股数的定义，并能够熟练运用． 【详解】 解：A、不是正整数，所以不能构成勾股数，不符合题意； B、，能构成勾股数，符合题意； C、，，， ∵， ∴，，不能构成勾股数，不符合题意； D、，，不是整数，所以不能构成勾股数，不符合题意． 故选：B． 13．（25-26学年八上·甘肃兰州第十一中学·期中）如图，有一个圆柱，它的高等于12cm，底面上圆的周长等于18cm，在圆柱下底面的点A处有一只蚂蚁，它想吃到上底面与点A相对的点B处的食物，则蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是（　　） A. 15cm B. 17cm C. 18cm D. 30cm 【答案】A 【分析】 如图把圆柱体展开，连接AB，然后可知AC=9cm，BC=12cm，进而可由两点之间，线段最短可知AB即为所求． 【详解】 解：如图所示： ∵圆柱的高等于12cm，底面上圆的周长等于18cm， ∴AC=9cm，BC=12cm， ∴， ∴蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是15cm； 故选A． 【点睛】 本题主要考查利用勾股定理求最短路径，熟练掌握利用勾股定理求最短路径是解题的关键． 14．（25-26学年八上·甘肃兰州·期中）在中，斜边，则的值是（     ） A. 100 B. 200 C. 300 D. 400 【答案】B 【分析】 本题考查了勾股定理，直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方． 先画图，再利用勾股定理可求的值，从而求的值． 【详解】 解：如图所示，    在中， 又， ， ， 故选：B． 15．（25-26学年八上·甘肃兰州第八十一中学·期中）如图，在高为，坡面长为的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 当地毯铺满楼梯时其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，根据勾股定理求得水平宽度，然后求得地毯的长度即可． 【详解】 解：由勾股定理得： 楼梯的水平宽度， ∵地毯铺满楼梯是其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和， ∴地毯的长度至少是． 故选B． 【点睛】 本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键． 16．（25-26学年八上·甘肃兰州·期中）将一根的筷子置于底面直径为，高为的圆柱形水杯中，如图，设筷子露在杯子外面的长度为，则的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了勾股定理的运用，根据题意，分类讨论，当筷子直立在水杯中时，；当筷子斜放在水杯中，如图所示，运用勾股定理可得；由此即可求解． 【详解】 解：根据题意，当筷子直立在水杯中时，； 当筷子斜放在水杯中，如图所示，且 ∴， ∴筷子露在外面的部分的长度为， ∴的取值范围为：， 故选：B ． 17．（25-26学年八上·甘肃兰州·期中）如图，等腰，斜边，分别以的边为直径画半圆，所得两个月形图案和的面积之和是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质，由勾股定理可得，然后确定出，从而求解，掌握勾股定理定理的应用是解题的关键． 【详解】 解：如图，过点作于点, ∵等腰，斜边， ∴， ∵以等腰的边为直径画半圆， ∴ ， ， ∴， ∴所得两个月形图案和的面积之和为， ∵的面积， ∴所得两个月形图案和的面积之和为， 故选：． 18．（25-26学年八上·甘肃兰州·期中）下列各组数据为勾股数的是（       ） A. ，， B. 1，， C. 5，12，13 D. 2，3，4 【答案】C 【分析】 此题主要考查了勾股数的定义，及勾股定理的逆定理：已知的三边满足，则是直角三角形．欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方． 【详解】 解：A、，，，都不是正整数，则不可能是勾股数，故选项不合题意； B、1，，不都是正整数，则不可能是勾股数，故选项不合题意； C、，能构成直角三角形，且都是正整数，故选项符合题意； D、，不能构成直角三角形，故选项不合题意． 故选：C． 19．（25-26学年八上·甘肃张掖山丹县第二中学·期中）甲、乙两艘客轮同时离开港口，航行的速度都是40m/min，甲客轮用15min到达点A，乙客轮用20min到达点B，若A，B两点的直线距离为1000m，甲客轮沿着北偏东30°的方向航行，则乙客轮的航行方向可能是(     ) A. 北偏西30° B. 南偏西30° C. 南偏东60° D. 南偏西60° 【答案】C 【详解】 解：如图，根据题意得OA=40×15=600，OB=40×20=800， 因为6002=360000，8002=640000，10002=1000000，360000+640000=1000000. 所以6002+8002=10002. 所以∠AOB=∠AOB=90°，所以∠BOS=∠B′ON=60°，所以乙客轮的航行方向可能是南偏东60°或北偏西60°. 故选C. 20．（25-26学年八上·甘肃兰州第五十四中学·期中）如图，在中，，将边沿翻折，使点C落在延长线上的点D处，折痕与边交于点E，则线段的长为（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查轴对称的性质，勾股定理，根据勾股定理构造方程是解题的关键． 设，则，由折叠可得，，，根据勾股定理在中有，在中有，因此，代入求解得到，从而，，再由线段的和差即可解答． 【详解】 解：设，则， 由折叠可得，，， ∵， ∴， ∵在中， 在中， ∴， 即，解得， ∴，， ∴． 故选：C 21．（25-26学年八上·甘肃酒泉第二中学·期中）如图，圆柱的底面圆的周长为，高为，一只蚂蚁沿外壁从点A爬行到上边缘与之正相对的点B最少要爬行（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查勾股定理的实际应用，将圆柱体展开，根据两点之间线段最短结合勾股定理进行求解即可． 【详解】 解：将圆柱体展开如图： 由题意，， ∴，即蚂蚁沿外壁从点A爬行到上边缘与之正相对的点B最少要爬行； 故选D． 22．（25-26学年八上·甘肃白银·期中）如图，在平面直角坐标系中， ，点 的坐标分别为 ，则点A的坐标为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查了等腰三角形的性质、勾股定理、坐标与图形等知识点，正确作出辅助线是解题的关键． 如图：过点A作于点D，由等腰三角形的性质可得，进而确定点D的坐标，再根据勾股定理得出，然后确定点A的坐标即可． 【详解】 解：如图：过点A作于点D， ∵， ∴，轴， ∵， ∴， ∴，即， ∴轴，即点A的纵坐标为7， ∵， ∴点A的横坐标为：， ∴点A的坐标为． 故选：B． 23．（25-26学年八上·甘肃兰州第十一中学·期中）如图，P表示的数是（       ）． A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查勾股定理与无理数，实数与数轴，根据勾股定理求出半径的长，再根据两点的距离求出点P表示的数即可． 【详解】 解：由图和勾股定理，得：圆弧的半径为：， ∴点表示的数到数之间的距离为， ∴P表示的数是； 故选A． 24．（25-26学年八上·甘肃兰州第十一中学·期中）如图，在中，，，点是线段上一动点，点在线段上，当时，的最小值为（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 作点B关于的对称点，连接交于点P，则，可得的最小值为的长，过点作于点H，得到，从而得到，由勾股定理可得，再由，可得，再由勾股定理，即可求解． 【详解】 解：如图，作点B关于的对称点，连接交于点P，则， ∴， ∴的最小值为的长， 过点作于点H， ∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即的最小值为． 故选：B． 【点睛】 本题考查了勾股定理，轴对称最值问题，全等三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 25．（25-26学年八上·甘肃兰州·期中）如图，长方体盒子（有盖）的长、宽、高分别是，在中点处有一滴蜜糖，一只小虫从处爬到处去吃，有多种走法，则最短路程是（       ）． A. 25 B. 20 C. 24 D. 28 【答案】B 【分析】 本题考查了勾股定理的应用．熟练掌握勾股定理，长方体表面展开图，分类讨论是解答本题的关键． 先将长方体的表面展开，再根据两点之间线段最短的性质连接，结合勾股定理计算比较即得，即可． 【详解】 解：如图，连接， 当小虫从处爬到处经过侧面时， 由于底面是正方形， ∴4个侧面相同． ∴经过前面和右面与经过左面和后面最短路径相等． 只计算经过前面和右面最短路径，如图1． ∵点C是中点， ∴． ∵底面宽为8， ∴． ∵， ∴． 当小虫经过底面和侧面时，如图2， ， ∴． ∵， ∴最短路程是． 故选：B．     26．（25-26学年八上·甘肃白银·期中）白银市全民健身中心正在维修屋顶，工作人员使用一架长为5米的梯子靠在墙上，已知梯子底部距离墙面3米，且梯子顶端刚好到达屋顶边缘．请问这面墙的高度是多少米？（假设墙面与地面垂直，梯子、墙面和地面构成一个直角三角形） 【答案】4米 【分析】 本题考查了勾股定理的应用，由勾股定理得，即可求解． 【详解】 解：由题意得 ， 故这面墙的高度是米． 27．（25-26学年八上·甘肃兰州第八十一中学·期中）如图，在数轴上点表示的实数是　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了实数与数轴，利用勾股定理得出圆弧半径的长是解题关键．先根据勾股定理求出圆弧半径，再根据数轴即可得到答案． 【详解】 解：由勾股定理得直角三角形的斜边长为， 斜边长恰好是圆弧的半径， 则点A表示的实数为， 故答案为：． 28．（25-26学年八上·甘肃兰州·期中）第14届数学教育大会（ICME－14）会标如图1所示，会标中心图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”．如图2所示的“弦图”是由4个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形，若，，则大正方形的面积为　　　　　　． 【答案】34 【分析】 本题考查了勾股定理的应用．设，则，再由，得到，求得，推出，，由勾股定理求得，据此计算即可得解． 【详解】 解：由题意得，， 设，则， ∵， ∴， 解得， ∴，， ∵为直角三角形， ∴， ∴大正方形的面积为34， 故答案为：34． 29．（25-26学年八上·甘肃兰州·期中）一架方梯长25米，如图，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米， （1）这个梯子的顶端距地面有多高？ （2）如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？ 【答案】（1）梯子顶端距离地面的高度为24米     （2）梯子的底端在水平方向滑动了8米      【分析】 本题主要考查了勾股定理在解直角三角形中的应用，熟练掌握并正确计算是解题的关键． （1）利用勾股定理可以得出梯子的顶端距离地面的高度； （2）由（1）可以得出梯子的初始高度，下滑4米后，可得出梯子的顶端距离地面的高度，再次使用勾股定理，可以得出梯子的底端在水平方向滑动的距离． (1) 小问详解： 解：根据勾股定理： 梯子顶端距离地面的高度为：； (2) 小问详解： 梯子下滑了4米， 即梯子顶端距离地面的高度为：米， 根据勾股定理得：米， ． 即梯子的底端在水平方向滑动了8米． 30．（25-26学年八上·甘肃张掖山丹县第二中学·期中）如图，长为的橡皮筋放置在轴上，固定两端A和B，然后把中点C向上拉升到D，则橡皮筋被拉长了　　　　　　． 【答案】2 【分析】 本题考查勾股定理，根据中点得到，结合即可得到答案； 【详解】 解：由题意可得， ， ∵点C是中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：2． 31．（25-26学年八上·甘肃兰州第五十四中学·期中）央视春晚人形机器人秧歌表演广受关注．人形机器人集人工智能、高端制造与新材料等先进技术于一体，展现了未来科技的无限可能．下面是一次机器人的走位测试：如图，甲、乙两个机器人分别在点的正西方向（点处）和正北方向（点处），且与点的距离分别为米，米．甲、乙两个机器人分别从点、点同时出发，沿，行走（，，三点在同一条直线上），要求行走到点处时恰好相遇，并且两个机器人的行走速度相同，则为　　　　　　米． 【答案】 【分析】 本题考查了勾股定理的应用，由题意可得，设米，则米，在中，由勾股定理得，解方程求出即可求解，掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】 解：由题意可得， 设米，则米， 在中， ∴， 解得， ∴米， 故答案为：． 32．（25-26学年八上·甘肃酒泉第二中学·期中）“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢．”某校八（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度（如图），他们进行了如下操作：①测得水平距离的长为8米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为17米；③牵线放风筝的小明的身高为1.5米． （1）求风筝的垂直高度． （2）如果小明想让风筝沿方向下降9米，那么他应该往回收线多少米？ 【答案】（1）米     （2）米      【分析】 本题考查勾股定理的应用，掌握勾股定理，能从实际问题中抽象出勾股定理是解题的关键． （1）利用勾股定理求出的长，再加上的长度，即可求出的高度； （2）如图，在上取点，使米，根据勾股定理求出，再计算即可； (1) 小问详解： 解：根据题意得：米，米，米， 在中，米，米， ∴（米）， ∴（米）， ∴风筝的垂直高度为米； (2) 小问详解： 如图，在上取点，使米，连接， ∴（米）， 在中，（米），（米）， ∴（米）， ∴（米）， 答：他应该往回收线米． 33．（25-26学年八上·甘肃白银·期中）小宁在迪卡龙购买了拳击反应球作为居家健身器材．如图，若将球体支架最底端O到球体最顶端A看成一条线段，当反应球被击打时，可看作线段绕着点O旋转得到线段（在安全角度范围内旋转）．小宁击打反应球后与支架的水平距离为，当时，则球体支架　　　　　　 ． 【答案】130 【分析】 本题考查了勾股定理，旋转的性质，设，则，，在中，根据勾股定理求解即可． 【详解】 解：由旋转知：， 设，则，， 由题意知， ∴，即， 解得， 即球体支架， 故答案为：130． 34．（25-26学年八上·甘肃兰州第八十一中学·期中）如图，在等腰三角形中，． （1）求的面积； （2）过点作边的高线，求的长． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了等腰三角形的性质、勾股定理以及三角形的面积等知识，掌握等腰三角形的性质是解答本题的关键． （1）过点A作于点D，根据等腰三角形的性质，求出，再利用勾股定理求出，则面积可求； （2）结合（1）的结果，根据即可求解． (1) 小问详解： 解：过点作于点， ，， ， ， ， ； (2) 小问详解： 解：如图， ，， ． 35．（25-26学年八上·甘肃兰州第八十一中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形网格的边长均为1． （1）点的坐标为___________，的坐标分别为___________； （2）标出点，作出； （3）在（2）的条件下，求的周长． 【答案】（1），     （2） 解：如图，点和即为所求；      （3）      【分析】 本题考查平面直角坐标系，勾股定理，掌握平面直角坐标系内点坐标的特点是解题的关键． （1）根据平面直角坐标系即可写出点A，B的坐标； （2）根据平面直角坐标系作出点C，然后顺次连接即可得； （3）由勾股定理分别求出、、，即可得出的周长． (1) 小问详解： 解：点的坐标为，点的坐标分别为， 故答案为：，； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：，， ， 即的周长为． 36．（25-26学年八上·甘肃期中学·期中）如图，三级台阶，每一级的长、宽、高分别为8dm、3dm、，A和B是这个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为　　　　　　dm． 【答案】17 【分析】 先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答． 【详解】 解：三级台阶平面展开图为长方形，长为8dm，宽为， 则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长． 可设蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程为xdm， 由勾股定理得：， 解得． 故答案为：17． 【点睛】 本题考查了平面展开最短路径问题，用到台阶的平面展开图，只要根据题意判断出长方形的长和宽即可解答． 37．（25-26学年八上·甘肃期中学·期中）长清的园博园广场视野开阔，阻挡物少，成为不少市民放风筝的最佳场所，某校七年级（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作： ①测得水平距离的长为米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为米； ③牵线放风筝的小明的身高为米． （1）求风筝的垂直高度； （2）如果小明想风筝沿方向下降米，则他应该往回收线多少米？ 【答案】（1）米     （2）8米      【分析】 （1）在中，利用勾股定理求出的长，即可解决问题； （2）连接，由题意可知，米，则米，根据勾股定理求出的长，即可得到结论． (1) 小问详解： 解：在中，米，米， 由勾股定理得：米， 由题意得：米， （米， 答：风筝的垂直高度为米； (2) 小问详解： 解：如图，设下降到，连接， 由题意可知，米， （米）， （米， （米， 答：他应该往回收线8米． 38．（25-26学年八上·甘肃兰州第五十四中学·期中）如图，一圆柱高，底面半径为，一只蚂蚁从点爬到点处吃食，求蚂蚁要爬行的最短路程．（） 【答案】蚂蚁要爬行的最短距离是厘米 【分析】 本题考查平面展开最短路径问题，圆柱展开为长方形，根据题意可知道点和在平面上的位置，根据两点之间线段最短可求出解． 【详解】 解：将圆柱的侧面展开，为的中点，如图所示： 就是蚂蚁爬的最短路径． 底面半径为， （厘米）， （厘米）， 厘米， （厘米）． 故蚂蚁要爬行的最短距离是厘米． 39．（25-26学年八上·甘肃兰州第五十四中学·期中）在“勾股定理”一章的学习中，我们体会到了勾股定理应用的广泛性，以及“数形结合”是解决数学问题的一种重要的思想方法．【已有认识】由于，由此得到在数轴上寻找所表示的点的方法，如图①．结合正方形网格，我们还可以表示某些长度为无理数的线段． （1）在图②中，每个小正方形的边长为1，画出顶点在格点的其中； （2）在图③中，设，，平行于轴，平行于轴，则___________．___________．由此得到平面直角坐标系内两点间的距离公式：； （3）应用平面内两点间的距离公式，求点，之间的距离． 【答案】（1） 如图所示，即为所求；      （2），     （3）17      【分析】 本题考查了平面直角坐标系内任意两点间的距离公式及其应用，勾股定理，掌握以上知识点是解题的关键． （）根据题网格特点，利用勾股定理画出三角形即可； （）根据题意和坐标系写出答案即可； （）利用两点间的距离公式计算即可 (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由图得，， 故答案为：，； (3) 小问详解： ∵， ∴． 40．（25-26学年八上·甘肃兰州第五十四中学·期中）某消防队在一次应急演练中，消防员架起一架长为的云梯，如图，云梯斜靠在一栋楼的外墙面上，这时云梯底端距墙脚的距离，．当消防员接到命令，按要求将云梯从顶端A下滑到位置上（云梯长度不改变），即，那么它的底部B在水平方向滑动到的距离是多少？ 【答案】 【分析】 本题考查了勾股定理的应用以及解直角三角形的应用，正确进行计算是解题关键．在中，利用勾股定理，可求出的长，结合，可求出的长度，在中，利用勾股定理，可求出的长，再结合，即可求出结论． 【详解】 在中，，， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴， 答：它的底部B在水平方向滑动到的距离是． 41．（25-26学年八上·甘肃酒泉第二中学·期中）数学中，常对同一图形的面积用两种不同的方法计算，从而建立相等关系，这是一种重要的数学方法，称为等面积法．如图1，四个直角边分别为、、斜边长为的直角三角形和一个边长为的小正方形拼成一个大正方形． 解：四个直角三角形其面积都为，边长为的小正方形的面积为，大正方形的面积为． 由图形可知：． 整理得 ． 故结论为：直角边长分别为、斜边为的直角三角形中． （1）【类比尝试】如图2，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点都在格点上，若是的边上的高，求： ①的面积； ②的长． （2）【拓展探究】如图3坐标系中，直线与轴、轴分别交于点和，直线经过坐标原点，且，垂足为．求： ①点和点的坐标． ②点到轴的距离． 【答案】（1）①7 ②     （2）① 点，点 ②      【分析】 此题主要考查了一次函数的图象与性质，勾股定理，熟练掌握相关知识是解决问题的关键． （1）① 根据正方形网格的特点，分别求出，，，，进而根据可得出答案； ② 由勾股定理求出，再根据三角形的面积公式可求出的长； （2）① 对于，当时，当时，由此可得点和点的坐标； ② 过点作轴于，由① 得，，则，由三角形的面积公式可求出，再由勾股定理求出，然后再由三角形的面积公式即可求出的长． (1) 小问详解： 解：① 如图2所示： 依题意得：四边形为正方形，且， ， 又，，， ， ， ， ， ② 在中，由勾股定理得：， 是的边上的高， ； (2) 小问详解： ① 对于， 当时， 当时，， 点，点； 由① 可知：，， 在中，由勾股定理得：， ，垂足为， ， ， 在中，由勾股定理得：， 轴于， ， ， ． 42．（25-26学年八上·甘肃白银·期中）如图，在数轴上作一个直角三角形，垂直于数轴的直角边长为1，以数轴上表示的点为圆心，直角三角形的最长边为半径画弧，交数轴正半轴于点，若点表示的数为． （1）求的值； （2）求代数式的值． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了在数轴上表示实数，勾股定理，代数式求值，求出的值是正确解答的关键． （1）根据题意，利用勾股定理，求得直角三角形的斜边，即画弧的半径，然后就知道了表示的点与点的距离，然后表示出即可； （2）将原式整理为，将代入，即可求得答案． (1) 小问详解： 解：由勾股定理可得，画弧的半径为， 那么表示的点与点的距离为， 点表示的数为， ； (2) 小问详解： 解：， ． 43．（25-26学年八上·甘肃白银·期中）【问题背景】 勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图①），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今． 【探索求证】 （1）图②为美国第二十任总统加菲尔德的“总统证法”的示意图，与按如图所示位置放置，连接，其中，请你利用图②推导勾股定理． 【问题解决】 （2）如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，其中，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（A，H，B在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，问新路比原路少多少千米？ 【延伸扩展】 （3）如图④，已知，，，，设，求的值． 【答案】（1）如图（2）所示： ，， ， ，， ， ， ， ； （2）新路比原路少；（3） 【分析】 本题考查了勾股定理的证明，勾股定理的应用，三角形的面积，梯形的面积，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）利用，即可得到，然后化简即可证明； （2）设，然后在中利用勾股定理求得，最后利用得出答案； （3）利用，，然后联立求得答案． 【详解】 解：（1） 略 （2）设， ， ， ，， ， ，即， ， 新路比原路少； （3），，，，， ，， ， ． 44．（25-26学年八上·甘肃白银·期中）细心观察图形，认真分析各式，然后解答下面问题： ，(是的面积)； ，(是的面积)； ，(是的面积)； …… （1）请你直接写出结果：___________，___________． （2）请用含有(为正整数)的式子填空：___________，___________． （3）我们已经知道，因此将分子、分母同时乘以，分母就变成了4，请仿照这种方法求的值． 【答案】（1），     （2），     （3）      【分析】 本题考查了探究规律，勾股定理，二次根式混合运算，能结合勾股定理找出规律是解题的关键． （1）结合图形及已知的、、及面积，即可求解； （2）结合图形及已知的、、及面积找出规律，即可求解； （3）原式化为，仿照已知的方法求解即可． (1) 小问详解： 解：，， 故答案为：，； (2) 小问详解： ，， 故答案为：，； (3) 小问详解： 解： ． 45．（25-26学年八上·甘肃平凉庄浪县·期中）若，，，D为坐标平面内不和C重合的一点，且与全等，则D点坐标为　　　　　　． 【答案】或或 【分析】 本题考查了坐标与图形、全等三角形的判定和性质，分三种情况画出图形，根据对称性结合全等三角形的判定和性质求解即可． 【详解】 解：如图，    ∵，与全等， ∴关于x轴对称的点满足条件， ∵，， ∴D点坐标或也满足条件， 故答案为：或或． 46．（25-26学年八上·甘肃兰州·期中）在如图所示的图形中，所有四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A，C，D的面积依次为6，8，24，则正方形B的面积是　　　　　　　　． 【答案】10 【分析】 本题考查了勾股定理，要熟悉勾股定理的几何意义，知道直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．根据勾股定理得到，，进一步运算即可． 【详解】 解：由图可知，， ∴，正方形A，C，D的面积依次为6，8，24， ∴， ∴． 故答案为：10 47．（25-26学年八上·甘肃兰州第十一中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点坐标分别是，将沿对角线翻折得到，边交轴于点．则点的坐标是　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 在矩形中，结合翻折可证，从而可设，在中，利用勾股定理求出线段的长度，即可求出点坐标． 本题主要考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，翻折问题等，设，运用勾股定理求出线段的长度是解题的关键． 【详解】 解：∵矩形的顶点坐标分别是， ∴， 由翻折得， ∵ ， ∴， ∴， 设，， 在中， 即， 解得， ∴， ∴． 故答案为：． 48．（25-26学年八上·甘肃兰州第十一中学·期中）如图①，美丽的弦图，蕴含着四个全等的直角三角形． （1）弦图中包含了一大，一小两个正方形，已知每个直角三角形较长的直角边为a，较短的直角边为b，斜边长为c，结合图①，试验证勾股定理． （2）如图②，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成飞镖状，已知外围轮廓（粗线）的周长为24，，求该飞镖状图案的面积． （3）如图③，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为，若，求． 【答案】（1） 法一：， 另一方面， 即，则． 法二： 另一方面， ∴ 整理得：     （2）24     （3）      【分析】 （1）根据小正方形面积等于大正方形面积减去四个直角三角形面积列等式，或者用大正方形面积等于小正方形面积加上四个直角三角形面积列出等式； （2）设，则三角形三边长分别为3、3+x、6-x，根据勾股定理列出等式求出x，再用总面积等于四个三角形面积计算即可； （3）设四边形MTKN的面积设为x，一个三角形的面积设为y，则正方形ABCD面积为8x+y，根据进行计算可得，即为的值． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ， 设，依题意有 解得 ． 故该飞镖状图案的面积是24． (3) 小问详解： 将四边形MTKN的面积设为x，将其余八个全等的三角形一个的面积设为y， ∵正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为，且， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】 本题考查了三角形和正方形面积的应用，熟练掌握三角形和面积的计算方法是解题关键． 49．（25-26学年八上·甘肃兰州·期中）如图，长方形纸片中，已知，折叠纸片使边与对角线重合，点B落在点F处，折痕为，且． （1）求的长； （2）求的长． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查勾股定理与折叠问题，掌握折叠的性质，利用勾股定理进行求解，是解题的关键． （1）根据折叠的性质，得到，进而得到，利用勾股定理进行求解即可； （2）根据折叠的性质，得到，设，在中，利用勾股定理进行求解即可． (1) 小问详解： 解：∵长方形纸片中，折叠纸片使边与对角线重合， ∴， ∴，， ∴； (2) 小问详解： ∵折叠， ∴， 设，则：， 在中， ∴， ∴， ∴． 50．（25-26学年八上·甘肃兰州·期中）某条道路限速，如图，一辆小汽车在这条道路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到车速检测仪A正下方的B处，过了，小汽车到达C处，此时测得小汽车与车速检测仪间的距离为． （1）求的长； （2）这辆小汽车超速了吗？ 【答案】（1）     （2）未超速      【分析】 本题考查了将实际问题转化为直角三角形中的数学问题，解题的关键是把条件和问题放到直角三角形中进行解决． （1）根据勾股定理即可求解； （2）根据小汽车用行驶的路程和时间，可求出小汽车的速度，然后再判断是否超速即可． (1) 小问详解： 解：根据题意，得，, 由勾股定理，得， ∴， 故的长为． (2) 小问详解： 解：， ∵， ∴这辆小汽车未超速． 51．（25-26学年八上·甘肃兰州第八十一中学·期中）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点． （1）在图1中以格点为顶点一个面积为10的正方形； （2）在图2中以格点为顶点画，使的三边长分别为、、； （3）借助（2）中作出的图形，比较___________（填“>”“=”或“”），理由是___________． 【答案】（1） 解：如图1，则正方形即为所求．      （2） 解：如图2，则即为所求．      （3）>，三角形的两边之和大于第三边      【分析】 本题考查了勾股定理，实数的大小比较，三角形的三边关系等知识点． （1）由勾股定理以及网格特征即可作出边长为的正方形，则面积为； （2）由勾股定理以及网格特征即可作出三边长分别为、、的； （3）根据三角形的三边关系即可说理． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 略 52．（25-26学年八上·甘肃兰州第八十一中学·期中）春天到了，奇奇和妙妙一同去春游．如图，有一座景观桥，他俩一同坐在离桥头A的凉亭D处，准备从桥的不同方向到达景点C．奇奇先走到桥尾B到岸边后再坐船到景点C，妙妙先走到桥头A到岸边，再沿与桥垂直的小路走到达景点C，若距离均以直线计算，且两人所经过的距离相等，请利用所学知识计算桥的长是多少？ 【答案】桥长． 【分析】 设桥长为，则，利用两人所经过的距离相等，求得，在中，利用勾股定理列式计算即可求解. 【详解】 解：设桥长为，则，由题可知， ∴， ∴， ∵为直角三角形， ∴， ∴， 解得， 答：桥长． 【点睛】 本题考查了勾股定理的应用，能从实际问题中抽象出勾股定理并应用解决问题是关键． 53．（25-26学年八上·甘肃兰州第八十一中学·期中）阅读材料：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么这个三角形的面积为这个公式叫“海伦公式”，它是利用三角形的三条边的边长直接求三角形面积的公式，我国南宋时期数学家秦九韶也得出了类似的公式，称三斜求积术，故这个公式又被称为“海伦——秦九韶公式”．完成以下问题：如图，在中，，． （1）直接写出p的值，p=________． （2）求的面积； （3）过点A作，垂足为D，求线段的长． 【答案】（1）10     （2）     （3）      【分析】 本题考查了二次根式的应用，三角形的面积： （1）利用阅读材料，计算出p的值； （2）根据海伦——秦九韶公式计算的面积； （3）利用面积法求的长，再根据勾股定理可求的长． (1) 小问详解： ∵， ∴． 故答案为：10； (2) 小问详解： 的面积 (3) 小问详解： 如图， ∵的面积， ∴， 解得． 在中，， ∴ 54．（25-26学年八上·甘肃兰州第八十一中学·期中）如图，三角形纸片中，沿和将纸片折叠，使点B和点C都落在边上的点P处，则的长是　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了折叠的性质，勾股定理，掌握折叠的性质以及勾股定理是解题的关键． 根据题意可得，，，，可得，继而设，则，然后根据勾股定理即可求解． 【详解】 解：∵沿过点的直线将纸片折叠，使点落在边上的点处， ∴，， ∵折叠纸片，使点与点重合， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中， 设，则， ∴， 解得：， 即， 故答案为：； 55．（25-26学年八上·甘肃陇南西和县）如图，是等边三角形，、分别是、中点，连接且，在上找一点，则当最短时，　　　　　　　　　　　． 【答案】2 【分析】 本题主要考查了等边三角形的判定和性质，含30度直角三角形的性质，勾股定理，先由等边三角形的性质得出点B关于的对称点是C，连接，与的交点即为最短时的点P，再根据勾股定理分别求出，，即可． 【详解】 解：∵是等边三角形，是中点， ∴，，， 即点B关于的对称点是C， 连接，与的交点即为最短时的点P，此时． ∵，点D是的中点， ∴， ∴， 设，， 在中， 即， 解得，（负值舍去） ∴， 设，， 在中， 即， 解得，（负值舍去） 即 故答案为：2． 56．（25-26学年八上·甘肃兰州·期中）如图，在一条笔直的东西方向的公路上有A、B两地，相距1000米，且离公路不远处有一块山地C需要开发，已知C与A地的距离为600米，与B地的距离为800米，在施工过程中需要实施爆破，为了安全起见，爆破点C 周围半径520米范围内不得进入． （1）山地C距离公路的垂直距离为多少米? （2）在进行爆破时，A、B两地之间的公路是否有危险需要暂时封锁?若需要封锁，请求出需要封锁的公路长． 【答案】（1）山地C距离公路的垂直距离为米     （2）需要封锁的公路长为400米      【分析】 本题考查了勾股定理的应用、勾股定理的逆定理、等腰三角形的性质以及三角形面积等知识，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键． （1）由勾股定理的逆定理得是直角三角形，且，过点C作于点D，再由三角形面积求出的长即可； （2）过C作于点D，以点C为圆心，520米为半径画弧，交于点E、F，连接，，根据480米米可以判断有危险，再根据勾股定理求出的长，进而得出的长即可． (1) 小问详解： 解：由题意可知，米，米，米， ∴， ∴是直角三角形，且， 如图1，过点C作于点D， （米） 答：山地C距离公路的垂直距离为米． (2) 小问详解： 公路有危险需要暂时封锁，理由如下： 如图2，过C作于点D，以点C为圆心，520米为半径画弧，交于点E、F，连接，， 则米， 由（1）可知，米， ∵480米米， ∴有危险需要暂时封锁， 在中，由勾股定理得： （米） ∴（米）， 即需要封锁的公路长为400米． 57．（25-26学年八上·甘肃兰州·期中）如图，一个零件的形状如图所示，工人师傅量的这个零件各边的尺寸如图所示．    （1）求证：； （2）求这个四边形的面积． 【答案】（1） 证明：， 即， 解得：， ，， ， ， ；     （2）114      【分析】 （1）根据勾股定理求得，再由勾股定理的逆定理可得，即可得证； （2）根据四边形的面积为两个直角三角形的面积之和，即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解： ． 【点睛】 本题考查了勾股定理及其逆定理的应用，三角形的面积公式，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 58．（25-26学年八上·甘肃兰州·期中）在数轴上作出长的点（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 【答案】点P即为所求． 【分析】 本题考查了勾股定理、无理数用数轴上的点表示的方法，熟练掌握勾股定理，能够熟练运用勾股定理进行计算与作图是解决问题的关键． 以1和2为直角边长的直角三角形，则其斜边的长即是，然后以原点为圆心，以和1为直角边长作直角三角形，斜边长为，再以和1为直角边长作直角三角形，斜边长即为，以O为圆心，OD长为半径画弧，交数轴的正半轴于点P即可． 【详解】 解：由勾股定理得：，，， 以O为圆心，长为半径画弧，交数轴的正半轴于点P 59．（25-26学年八上·甘肃兰州·期中）如图，在Rt△ABC中， C=900，AC=9 cm，BC=12 cm，CD AB于D， 求：（1）△ABC的面积 （2）斜边AB的长 （3）高CD的长 【答案】（1）54；（2）15；（3） 【分析】（1）根据三角形的面积公式求出△ABC的面积； （2）利用勾股定理计算出AB的长即可； （3）根据三角形的面积公式计算出CD的长即可． 【详解】(1)△ABC的面积=×AC×BC=×9×12=54(cm). 故△ABC的面积是54cm； (2)∵在Rt△ABC中,∠C=90°，AC=9cm，BC=12cm， ∴AB==15cm； (3)∵×AC×BC=×CD×AB， ∴×9×12=×15×CD， 解得CD=. 故高CD的长为cm. 【点睛】此题考查直角三角形的性质，勾股定理，解题关键在于掌握计算公式. 60．（25-26学年八上·甘肃兰州·期中）如图，圆柱形玻璃杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短路程为　　　　　　（杯壁厚度不计）． 【答案】 【分析】 本题考查了平面展开﹣最短路径问题，轴对称的性质和勾股定理，将杯平面展开，作B点纵向的对称点C，连接，即为蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短路程，根据勾股定理求出最后结果即可． 【详解】 解：如图，将杯平面展开，作B点纵向的对称点C，连接，即为蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短路程， 由题意得， ， ∴， 根据勾股定理有： ∴蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短路程为， 故答案为：． 61．（25-26学年八上·甘肃兰州·期中）【问题情境】数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为20、3、2，A和是一个台阶两个相对的端点．老师让同学们探究：如图①，若A点处有一只蚂蚁要到点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶A爬到点的最短路程是多少？ 【探究】 （1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图②，将三级台阶展开成平面图形，可得到长为20，宽为15的长方形，连结，经过计算可得蚂蚁沿着台阶点A爬到点的最短路程的长为______． 【应用】 （2）如图③，是一只圆柱形玻璃杯，该玻璃杯的底面周长是，高是，若蚂蚁从点A出发沿着玻璃杯的侧面到点，求蚂蚁爬行的最短距离． 【拓展】 （3）如图④，圆柱形玻璃杯高，底面周长为，在杯内壁离杯底的点A处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在外壁上，离杯上沿，且与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁外壁处到内壁A处所爬行的最短路程是______．（杯壁厚度不计） 【答案】（1）；（2）蚂蚁爬行的最短距离为；（3） 【分析】 本题考查了平面展开图—最短路径问题，解答本题的关键是熟练运用数形结合的思想解决问题． （1）直接利用勾股定理进行求解即可； （2）将圆柱体展开，利用勾股定理求解即可； （3）从玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求，利用勾股定理求解即可． 【详解】 解：（1）由题意得， 故答案为：； （2）将圆柱体展开，由题意得 ， 蚂蚁爬行的最短距离为； （3）如图， 从玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，作交延长线于点，连接交于点， ，， ， ， ， 蚂蚁从外壁处到内壁处所爬行的最短路程是． 故答案为：． 62．（25-26学年八上·甘肃兰州第十一中学·期中）如图，点为平面直角坐标系中的任意两点．已知两点连线所在直线不与任何一条坐标轴平行，过点作轴，过点作轴，交点为，则两点间的距离可根据勾股定理表示为．请根据上述材料解决 （1）已知点，试求点间的距离； （2）在（1）的条件下，点的坐标为，则是等腰直角三角形吗？试通过计算说明理由． （3）在（1）、（2）的条件下，轴上有一动点，在点移动的过程中是否存在一点，使为等腰三角形，若存在请直接写出点坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；     （2） 解：是等腰三角形，理由如下： ， ， ，且， 是等腰直角三角形．     （3）点的坐标为，，，      【分析】 本题主要考查平面直角坐标系中两点间距离公式、等腰三角形的判定与性质的应用．熟练掌握两点间距离公式，结合等腰三角形的不同情况（两边相等）进行分类讨论，是解题的关键． （1）通过两点间距离公式，直接代入坐标计算，逐步推导出两点间的距离； （2）对于等腰直角三角形的判定，依据两点间距离公式求出三边长度，再结合勾股定理和等腰三角形的定义进行分析； （3）在求等腰三角形的点的坐标时，分情况讨论（、、），结合两点间距离公式进行计算分析． (1) 小问详解： 解：根据两点间的距离公式，得． (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：设，分三种情况讨论： ① 当时， ， ， 解得（与点重合，舍去）或， 此时点． ② 当时， ， 解得：， 此时点，． ③ 当时， ， ， ， ， 此时点． 综上所述，点的坐标为，，，． 63．（25-26学年八上·甘肃兰州第八十一中学·期中）如图，三个顶点的坐标分别是，，． （1）画出关于轴对称的图形（用刻度尺作画，禁止反复涂抹）； （2）点的坐标为___________，的坐标分别为___________，点的坐标为___________； （3）以为边作与全等的三角形（不包括），可作出___________个； （4）在轴上作一点，使得的值最小，画出点在（1）问坐标系作图，保留作点的过程痕迹），并求出的最小值． 【答案】（1） 就是所求的三角形．      （2），，     （3）3     （4） 点P就是所求的点，       【分析】 此题重点考查作图-轴对称变换、轴对称-最短路线问题、勾股定理等知识，正确地画出图形并且添加相应的辅助线是解题的关键． （1）先找到点，，关于y轴的对称点分别为、、，再画出即可； （2）由（1）可得答案； （3）作关于的对称点，再作平行四边形以及关于的对称点，则、、与组成的三角形都与全等的三角形； （4）作点A关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，则，所以，则的值最小，由勾股定理求得，则的最小值为． (1) 小问详解： 解：∵点，，， ∴点A，B，C关于y轴的对称点分别为、、， 连接、、， (2) 小问详解： 解：由（1）知，点的坐标为，的坐标分别为，点的坐标为， 故答案为：，，； (3) 小问详解： 解：如图，以为边作与全等的三角形（不包括），可作出3个； 故答案为：3； (4) 小问详解： 解：作点A关于x轴的对称点，连接交x轴于点P， 的最小值为， 理由：取点，连接、、， ∵被x轴垂直平分， ∴， ∴， 此时的值最小， ∵， ∴的最小值为． 考点02 勾股定理的逆定理及其应用 1．（25-26学年八上·甘肃酒泉第二中学·期中）下列各组数，可以作为直角三角形的三边长的是（       ） A. 7，24，25 B. 5，13，15 C. 2，3，4 D. 8，12，20 【答案】A 【分析】 利用直角三角形的定义，勾股定理的逆定理，进行计算逐一判断即可解答． 本题考查了直角三角形的定义，勾股定理的逆定理，熟练掌握定义，勾股定理的逆定理是解题的关键． 【详解】 解：∵，∴能构成直角三角形，故A符合题意； ∵，∴不能构成直角三角形，故B不符合题意； ∵，∴不能构成直角三角形，故C不符合题意； ∵，∴这样的三角形不存在，故D不符合题意； 故选：A． 2．（25-26学年八上·甘肃白银·期中）下面各组数中，分别以它们为边长的线段能构成直角三角形的是（　　） A. 1，2，3 B. 2，3，4 C. 3，4，5 D. 3，4，6 【答案】C 【分析】 本题考查勾股定理的逆定理的应用，关键是比较两边的平方和与第三边平方的关系． 根据勾股定理的逆定理，判断较小两边的平方和是否等于最大边的平方，从而判断能否构成直角三角形． 【详解】 解：A．∵，，，∴ 不能构成直角三角形． B．∵，，，∴ 不能构成直角三角形． C．∵，，，∴ 能构成直角三角形． D．∵，，，∴ 不能构成直角三角形． 故选：C． 3．（25-26学年八上·甘肃兰州·期中）下列几组数中，不能作为直角三角形三条边长的是（       ） A. 3，4，5 B. 5，12，13 C. 7，24，25 D. 9，39，40 【答案】D 【分析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和是否等于最长边的平方，即可解答． 【详解】解：A、32+42=52，能构成直角三角形，不符合题意； B、122+52=132，能构成直角三角形，不符合题意； C、72+242=252，能构成直角三角形，不符合题意； D、92+392≠402，不能构成直角三角形，符合题意； 故选D． 【点睛】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可． 4．（25-26学年八上·甘肃兰州·期中）下列各组数中不能组成直角三角形的是（     ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】D 【分析】 此题主要考查了勾股定理逆定理，解答此题关键是掌握勾股定理的逆定理：已知三角形的三边满足，则三角形是直角三角形．根据勾股定理的逆定理分别计算各个选项，选出正确的答案． 【详解】 解：、，能组成直角三角形，故此选项不符合题意； B、，能组成直角三角形，故此选项不符合题意； C、，能组成直角三角形，故此选项不符合题意； D、，不能组成直角三角形，故此选项符合题意． 故选：D． 5．（25-26学年八上·甘肃兰州第八十一中学·期中）如图，在网格图（每个小方格均是边长为1的正方形）中，以为一边作直角三角形，要求顶点C在格点上，则图中不符合条件的点是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题主要考查了直角三角形的判定，解题时要注意找出所有符合条件的点．在正方形网格中，根据直角三角形的判定进行判定即可． 【详解】 解： ， 是直角三角形， 是直角三角形， 是直角三角形， 不是直角三角形， 所以是直角三角形，但不是直角三角形， 故选：D． 6．（25-26学年八上·甘肃兰州·期中）如图，小正方形的边长均为1，、、是小正方形的顶点，则的度数是（     ） A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° 【答案】B 【分析】 本题主要考查勾股定理及逆定理，利用勾股定理求，，的长可判断为等腰直角三角形，再利用等腰直角三角形的性质可求解． 【详解】 解：由图可知：，，， ，， ∴为等腰直角三角形， ． 故选：B． 7．（25-26学年八上·甘肃兰州·期中）在中，的对边分别是，则下列条件中不能说明是直角三角形的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了直角三角形的判定，熟练掌握勾股定理逆定理、三角形内角和定理、三角形三边关系是解题的关键 根据勾股定理逆定理、三角形内角和定理、三角形三边关系分析各选项是否满足直角三角形的条件即可． 【详解】 解：分析各选项如下： 选项A、∵展开得即符合勾股定理逆定理，故是直角三角形； 选项B、∵ ∴． 又∵三角形内角和为， ∴，故是直角三角形； 选项C、设, 则,不能构成三角形，故该选项符合题意； 选项D、设则． ∵， ∴，解得，则，故是直角三角形． 故选：C． 8．（25-26学年八上·甘肃兰州第十一中学·期中）山青林场准备对一块四边形空地进行绿化改造，某中学数学兴趣小组的同学们帮助工作人员进行了测量，得到如下数据：，从点A修一条垂直的小路(垂足为点E)， ，点E恰好是的中点． （1）求边的长； （2）求空地的面积． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查垂线的定义，勾股定理，垂直平分线的判定与性质，掌握知识点是解题的关键． (1)利用勾股定理求出即可求解； (2)连接AC，由线段垂直平分线的性质得，进而由勾股定理的逆定理得是直角三角形，再根据计算即可求解． (1) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴是直角三角形， 在中， ， 由勾股定理得：， ∵E是的中点， ∴； (2) 小问详解： 如图，连接AC， ∵，E是的中点， ∴是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， 即， ∴是直角三角形， ∴， 答：空地ABCD的面积为． 9．（25-26学年八上·甘肃兰州·期中）四边形中，，则四边形的面积是　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了勾股定理及逆定理，三角形面积，熟练掌握勾股定理及逆定理是解题的关键． 连接，利用勾股定理求出，利用勾股定理的逆定理得到为直角三角形，得到，即可求解． 【详解】 解：如图所示，连接， ，， ， ， ，， ， 为直角三角形，且， ， 故答案为：． 10．（25-26学年八上·甘肃张掖山丹县第二中学·期中）如图，一架无人机旋停在空中点处，点与地面上点之间的距离米，点与地面上点点，处于同一水平面上的距离米，且米． （1）求的度数； （2）现这架无人机沿所在直线向下飞行至点处，若点恰好在边的垂直平分线上，连接，求这架无人机向下飞行的距离的长． 【答案】（1）     （2）米      【分析】 本题主要考查了勾股定理及其逆定理，线段垂直平分线的性质，熟练掌握勾股定理的逆定理和线段垂直平分线的性质是解题的关键． （1）根据勾股定理的逆定理即可解答； （2）设米，则米，由线段垂直平分线的性质得到米，在中，根据勾股定理建立方程求解即可． (1) 小问详解： 解：，， ， ∴； (2) 小问详解： 解：设米，则米， ∵点恰好在边的垂直平分线上， ∴米， 在中，由勾股定理得， ， 解得 答：这架无人机向下飞行的距离为米． 11．（25-26学年八上·甘肃兰州第五十四中学·期中）如图，已知等腰的底边，是腰上一点，连接，且．    （1）求证：是直角三角形； （2）求的长． 【答案】（1） 证明：， ，， 即 为直角三角形；     （2）      【分析】 （1）根据勾股定理的逆定理进行判断即可得到答案； （2）设，根据等腰三角形的性质可得，在直角三角形中，由勾股定理可得，解方程即可得到答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：设， 是等腰三角形， ． 为直角三角形， 为直角三角形， 即， 解得：， 故的长为：． 【点睛】 本题主要考查了等腰三角形的性质、勾股定理以及勾股定理的逆定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理的逆定理． 12．（25-26学年八上·甘肃酒泉第二中学·期中）如图是张伯伯承包的一块待开垦的四边形田地，为田间的一条小路，且，已知，，，．请用你学过的知识计算出这块四边形田地的面积 【答案】 【分析】 本题考查勾股定理及其逆定理，勾股定理求出的长，勾股定理逆定理得到，分割法求出田地的面积即可． 【详解】 解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴为直角三角形， ∴四边形田地的面积． 13．（25-26学年八上·甘肃期中学·期中）如图，E、F分别是正方形ABCD中BC和CD边上的点，且AB=4，CE= BC，F为CD的中点，连接AF、AE，问△AEF是什么三角形？请说明理由. 【答案】直角三角形 【详解】本题考查的是勾股定理的逆定理 根据正方形的性质即勾股定理可得 ， ， ，即可判断结果． 由勾股定理得 ， ， ， ∵ ， ∴△AEF是直角三角形． 14．（25-26学年八上·甘肃兰州·期中）若a，b，c是的三边长，且满足，则是　　　　　　　　三角形． 【答案】直角 【分析】 本题考查了勾股定理的逆定理，非负数的性质，熟练掌握勾股定理的逆定理及非负数的性质是解题的关键．根据非负数的性质可得，，，所以，根据勾股定理的逆定理即可得到答案． 【详解】 解：， ，，， ， 是直角三角形． 故答案为：直角． 15．（25-26学年八上·甘肃兰州·期中）如图，在中，，，是的垂直平分线，分别交，于点，． （1）求证：是直角三角形； （2）求的长． 【答案】（1）见解析     （2）      【分析】 （1）可证明，根据勾股定理的逆定理，是直角三角形； （2）连接，由线段垂直平分线的性质得到．设，则，由勾股定理得，解方程即可得到答案． (1) 小问详解： 证明：在中，，， ，， ． ∴， ∴是直角三角形； (2) 小问详解： 解：如图，连接． 是的垂直平分线， ． 由（1）可得是直角三角形， 即． 设，则， 在中，由勾股定理得， 即． 解得． 即的长为． 16．（25-26学年八上·甘肃兰州·期中）如图，在四边形中，，，，． 求四边形的面积． 【答案】36 【分析】 本题考查了勾股定理，勾股定理逆定理，熟练掌握直角三角形的判定方法是解题的关键． 利用勾股定理求出的长，证得是直角三角形，再利用面积公式运算求解即可． 【详解】 在中，，， ∴， ∵，， ∴， ∴是直角三角形，且， ． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 勾股定理 考点01 勾股定理及其应用 考点02 勾股定理的逆定理及其应用 考点01 勾股定理及其应用 1．D 2．C 3．B 4．D 5．A 6．A 7．A 8．B 9．A 10．A 11．D 12．B 13．A 14．B 15．B 16．B 17．A 18．C 19．C 20．C 21．D 22．B 23．A 24．B 25．B 26．【答案】4米 【分析】 本题考查了勾股定理的应用，由勾股定理得，即可求解． 【详解】 解：由题意得 ， 故这面墙的高度是米． 27．【答案】 【分析】 本题考查了实数与数轴，利用勾股定理得出圆弧半径的长是解题关键．先根据勾股定理求出圆弧半径，再根据数轴即可得到答案． 【详解】 解：由勾股定理得直角三角形的斜边长为， 斜边长恰好是圆弧的半径， 则点A表示的实数为， 故答案为：． 28．【答案】34 【分析】 本题考查了勾股定理的应用．设，则，再由，得到，求得，推出，，由勾股定理求得，据此计算即可得解． 【详解】 解：由题意得，， 设，则， ∵， ∴， 解得， ∴，， ∵为直角三角形， ∴， ∴大正方形的面积为34， 故答案为：34． 29．【答案】（1）梯子顶端距离地面的高度为24米     （2）梯子的底端在水平方向滑动了8米      【分析】 本题主要考查了勾股定理在解直角三角形中的应用，熟练掌握并正确计算是解题的关键． （1）利用勾股定理可以得出梯子的顶端距离地面的高度； （2）由（1）可以得出梯子的初始高度，下滑4米后，可得出梯子的顶端距离地面的高度，再次使用勾股定理，可以得出梯子的底端在水平方向滑动的距离． (1) 小问详解： 解：根据勾股定理： 梯子顶端距离地面的高度为：； (2) 小问详解： 梯子下滑了4米， 即梯子顶端距离地面的高度为：米， 根据勾股定理得：米， ． 即梯子的底端在水平方向滑动了8米． 30．【答案】2 【分析】 本题考查勾股定理，根据中点得到，结合即可得到答案； 【详解】 解：由题意可得， ， ∵点C是中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：2． 31．【答案】 【分析】 本题考查了勾股定理的应用，由题意可得，设米，则米，在中，由勾股定理得，解方程求出即可求解，掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】 解：由题意可得， 设米，则米， 在中， ∴， 解得， ∴米， 故答案为：． 32．【答案】（1）米     （2）米      【分析】 本题考查勾股定理的应用，掌握勾股定理，能从实际问题中抽象出勾股定理是解题的关键． （1）利用勾股定理求出的长，再加上的长度，即可求出的高度； （2）如图，在上取点，使米，根据勾股定理求出，再计算即可； (1) 小问详解： 解：根据题意得：米，米，米， 在中，米，米， ∴（米）， ∴（米）， ∴风筝的垂直高度为米； (2) 小问详解： 如图，在上取点，使米，连接， ∴（米）， 在中，（米），（米）， ∴（米）， ∴（米）， 答：他应该往回收线米． 33．【答案】130 【分析】 本题考查了勾股定理，旋转的性质，设，则，，在中，根据勾股定理求解即可． 【详解】 解：由旋转知：， 设，则，， 由题意知， ∴，即， 解得， 即球体支架， 故答案为：130． 34．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了等腰三角形的性质、勾股定理以及三角形的面积等知识，掌握等腰三角形的性质是解答本题的关键． （1）过点A作于点D，根据等腰三角形的性质，求出，再利用勾股定理求出，则面积可求； （2）结合（1）的结果，根据即可求解． (1) 小问详解： 解：过点作于点， ，， ， ， ， ； (2) 小问详解： 解：如图， ，， ． 35．【答案】（1），     （2） 解：如图，点和即为所求；      （3）      【分析】 本题考查平面直角坐标系，勾股定理，掌握平面直角坐标系内点坐标的特点是解题的关键． （1）根据平面直角坐标系即可写出点A，B的坐标； （2）根据平面直角坐标系作出点C，然后顺次连接即可得； （3）由勾股定理分别求出、、，即可得出的周长． (1) 小问详解： 解：点的坐标为，点的坐标分别为， 故答案为：，； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：，， ， 即的周长为． 36．【答案】17 【分析】 先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答． 【详解】 解：三级台阶平面展开图为长方形，长为8dm，宽为， 则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长． 可设蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程为xdm， 由勾股定理得：， 解得． 故答案为：17． 【点睛】 本题考查了平面展开最短路径问题，用到台阶的平面展开图，只要根据题意判断出长方形的长和宽即可解答． 37．【答案】（1）米     （2）8米      【分析】 （1）在中，利用勾股定理求出的长，即可解决问题； （2）连接，由题意可知，米，则米，根据勾股定理求出的长，即可得到结论． (1) 小问详解： 解：在中，米，米， 由勾股定理得：米， 由题意得：米， （米， 答：风筝的垂直高度为米； (2) 小问详解： 解：如图，设下降到，连接， 由题意可知，米， （米）， （米， （米， 答：他应该往回收线8米． 38．【答案】蚂蚁要爬行的最短距离是厘米 【分析】 本题考查平面展开最短路径问题，圆柱展开为长方形，根据题意可知道点和在平面上的位置，根据两点之间线段最短可求出解． 【详解】 解：将圆柱的侧面展开，为的中点，如图所示： 就是蚂蚁爬的最短路径． 底面半径为， （厘米）， （厘米）， 厘米， （厘米）． 故蚂蚁要爬行的最短距离是厘米． 39．【答案】（1） 如图所示，即为所求；      （2），     （3）17      【分析】 本题考查了平面直角坐标系内任意两点间的距离公式及其应用，勾股定理，掌握以上知识点是解题的关键． （）根据题网格特点，利用勾股定理画出三角形即可； （）根据题意和坐标系写出答案即可； （）利用两点间的距离公式计算即可 (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由图得，， 故答案为：，； (3) 小问详解： ∵， ∴． 40．【答案】 【分析】 本题考查了勾股定理的应用以及解直角三角形的应用，正确进行计算是解题关键．在中，利用勾股定理，可求出的长，结合，可求出的长度，在中，利用勾股定理，可求出的长，再结合，即可求出结论． 【详解】 在中，，， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴， 答：它的底部B在水平方向滑动到的距离是． 41．【答案】（1）①7 ②     （2）① 点，点 ②      【分析】 此题主要考查了一次函数的图象与性质，勾股定理，熟练掌握相关知识是解决问题的关键． （1）① 根据正方形网格的特点，分别求出，，，，进而根据可得出答案； ② 由勾股定理求出，再根据三角形的面积公式可求出的长； （2）① 对于，当时，当时，由此可得点和点的坐标； ② 过点作轴于，由① 得，，则，由三角形的面积公式可求出，再由勾股定理求出，然后再由三角形的面积公式即可求出的长． (1) 小问详解： 解：① 如图2所示： 依题意得：四边形为正方形，且， ， 又，，， ， ， ， ， ② 在中，由勾股定理得：， 是的边上的高， ； (2) 小问详解： ① 对于， 当时， 当时，， 点，点； 由① 可知：，， 在中，由勾股定理得：， ，垂足为， ， ， 在中，由勾股定理得：， 轴于， ， ， ． 42．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了在数轴上表示实数，勾股定理，代数式求值，求出的值是正确解答的关键． （1）根据题意，利用勾股定理，求得直角三角形的斜边，即画弧的半径，然后就知道了表示的点与点的距离，然后表示出即可； （2）将原式整理为，将代入，即可求得答案． (1) 小问详解： 解：由勾股定理可得，画弧的半径为， 那么表示的点与点的距离为， 点表示的数为， ； (2) 小问详解： 解：， ． 43．【答案】（1）如图（2）所示： ，， ， ，， ， ， ， ； （2）新路比原路少；（3） 【分析】 本题考查了勾股定理的证明，勾股定理的应用，三角形的面积，梯形的面积，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）利用，即可得到，然后化简即可证明； （2）设，然后在中利用勾股定理求得，最后利用得出答案； （3）利用，，然后联立求得答案． 【详解】 解：（1） 略 （2）设， ， ， ，， ， ，即， ， 新路比原路少； （3），，，，， ，， ， ． 44．【答案】（1），     （2），     （3）      【分析】 本题考查了探究规律，勾股定理，二次根式混合运算，能结合勾股定理找出规律是解题的关键． （1）结合图形及已知的、、及面积，即可求解； （2）结合图形及已知的、、及面积找出规律，即可求解； （3）原式化为，仿照已知的方法求解即可． (1) 小问详解： 解：，， 故答案为：，； (2) 小问详解： ，， 故答案为：，； (3) 小问详解： 解： ． 45．【答案】或或 【分析】 本题考查了坐标与图形、全等三角形的判定和性质，分三种情况画出图形，根据对称性结合全等三角形的判定和性质求解即可． 【详解】 解：如图，    ∵，与全等， ∴关于x轴对称的点满足条件， ∵，， ∴D点坐标或也满足条件， 故答案为：或或． 46．【答案】10 【分析】 本题考查了勾股定理，要熟悉勾股定理的几何意义，知道直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．根据勾股定理得到，，进一步运算即可． 【详解】 解：由图可知，， ∴，正方形A，C，D的面积依次为6，8，24， ∴， ∴． 故答案为：10 47．【答案】 【分析】 在矩形中，结合翻折可证，从而可设，在中，利用勾股定理求出线段的长度，即可求出点坐标． 本题主要考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，翻折问题等，设，运用勾股定理求出线段的长度是解题的关键． 【详解】 解：∵矩形的顶点坐标分别是， ∴， 由翻折得， ∵ ， ∴， ∴， 设，， 在中， 即， 解得， ∴， ∴． 故答案为：． 48．【答案】（1） 法一：， 另一方面， 即，则． 法二： 另一方面， ∴ 整理得：     （2）24     （3）      【分析】 （1）根据小正方形面积等于大正方形面积减去四个直角三角形面积列等式，或者用大正方形面积等于小正方形面积加上四个直角三角形面积列出等式； （2）设，则三角形三边长分别为3、3+x、6-x，根据勾股定理列出等式求出x，再用总面积等于四个三角形面积计算即可； （3）设四边形MTKN的面积设为x，一个三角形的面积设为y，则正方形ABCD面积为8x+y，根据进行计算可得，即为的值． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ， 设，依题意有 解得 ． 故该飞镖状图案的面积是24． (3) 小问详解： 将四边形MTKN的面积设为x，将其余八个全等的三角形一个的面积设为y， ∵正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为，且， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】 本题考查了三角形和正方形面积的应用，熟练掌握三角形和面积的计算方法是解题关键． 49．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查勾股定理与折叠问题，掌握折叠的性质，利用勾股定理进行求解，是解题的关键． （1）根据折叠的性质，得到，进而得到，利用勾股定理进行求解即可； （2）根据折叠的性质，得到，设，在中，利用勾股定理进行求解即可． (1) 小问详解： 解：∵长方形纸片中，折叠纸片使边与对角线重合， ∴， ∴，， ∴； (2) 小问详解： ∵折叠， ∴， 设，则：， 在中， ∴， ∴， ∴． 50．【答案】（1）     （2）未超速      【分析】 本题考查了将实际问题转化为直角三角形中的数学问题，解题的关键是把条件和问题放到直角三角形中进行解决． （1）根据勾股定理即可求解； （2）根据小汽车用行驶的路程和时间，可求出小汽车的速度，然后再判断是否超速即可． (1) 小问详解： 解：根据题意，得，, 由勾股定理，得， ∴， 故的长为． (2) 小问详解： 解：， ∵， ∴这辆小汽车未超速． 51．【答案】（1） 解：如图1，则正方形即为所求．      （2） 解：如图2，则即为所求．      （3）>，三角形的两边之和大于第三边      【分析】 本题考查了勾股定理，实数的大小比较，三角形的三边关系等知识点． （1）由勾股定理以及网格特征即可作出边长为的正方形，则面积为； （2）由勾股定理以及网格特征即可作出三边长分别为、、的； （3）根据三角形的三边关系即可说理． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 略 52．【答案】桥长． 【分析】 设桥长为，则，利用两人所经过的距离相等，求得，在中，利用勾股定理列式计算即可求解. 【详解】 解：设桥长为，则，由题可知， ∴， ∴， ∵为直角三角形， ∴， ∴， 解得， 答：桥长． 【点睛】 本题考查了勾股定理的应用，能从实际问题中抽象出勾股定理并应用解决问题是关键． 53．【答案】（1）10     （2）     （3）      【分析】 本题考查了二次根式的应用，三角形的面积： （1）利用阅读材料，计算出p的值； （2）根据海伦——秦九韶公式计算的面积； （3）利用面积法求的长，再根据勾股定理可求的长． (1) 小问详解： ∵， ∴． 故答案为：10； (2) 小问详解： 的面积 (3) 小问详解： 如图， ∵的面积， ∴， 解得． 在中，， ∴ 54．【答案】 【分析】 本题考查了折叠的性质，勾股定理，掌握折叠的性质以及勾股定理是解题的关键． 根据题意可得，，，，可得，继而设，则，然后根据勾股定理即可求解． 【详解】 解：∵沿过点的直线将纸片折叠，使点落在边上的点处， ∴，， ∵折叠纸片，使点与点重合， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中， 设，则， ∴， 解得：， 即， 故答案为：； 55．【答案】2 【分析】 本题主要考查了等边三角形的判定和性质，含30度直角三角形的性质，勾股定理，先由等边三角形的性质得出点B关于的对称点是C，连接，与的交点即为最短时的点P，再根据勾股定理分别求出，，即可． 【详解】 解：∵是等边三角形，是中点， ∴，，， 即点B关于的对称点是C， 连接，与的交点即为最短时的点P，此时． ∵，点D是的中点， ∴， ∴， 设，， 在中， 即， 解得，（负值舍去） ∴， 设，， 在中， 即， 解得，（负值舍去） 即 故答案为：2． 56．【答案】（1）山地C距离公路的垂直距离为米     （2）需要封锁的公路长为400米      【分析】 本题考查了勾股定理的应用、勾股定理的逆定理、等腰三角形的性质以及三角形面积等知识，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键． （1）由勾股定理的逆定理得是直角三角形，且，过点C作于点D，再由三角形面积求出的长即可； （2）过C作于点D，以点C为圆心，520米为半径画弧，交于点E、F，连接，，根据480米米可以判断有危险，再根据勾股定理求出的长，进而得出的长即可． (1) 小问详解： 解：由题意可知，米，米，米， ∴， ∴是直角三角形，且， 如图1，过点C作于点D， （米） 答：山地C距离公路的垂直距离为米． (2) 小问详解： 公路有危险需要暂时封锁，理由如下： 如图2，过C作于点D，以点C为圆心，520米为半径画弧，交于点E、F，连接，， 则米， 由（1）可知，米， ∵480米米， ∴有危险需要暂时封锁， 在中，由勾股定理得： （米） ∴（米）， 即需要封锁的公路长为400米． 57．【答案】（1） 证明：， 即， 解得：， ，， ， ， ；     （2）114      【分析】 （1）根据勾股定理求得，再由勾股定理的逆定理可得，即可得证； （2）根据四边形的面积为两个直角三角形的面积之和，即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解： ． 【点睛】 本题考查了勾股定理及其逆定理的应用，三角形的面积公式，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 58．【答案】点P即为所求． 【分析】 本题考查了勾股定理、无理数用数轴上的点表示的方法，熟练掌握勾股定理，能够熟练运用勾股定理进行计算与作图是解决问题的关键． 以1和2为直角边长的直角三角形，则其斜边的长即是，然后以原点为圆心，以和1为直角边长作直角三角形，斜边长为，再以和1为直角边长作直角三角形，斜边长即为，以O为圆心，OD长为半径画弧，交数轴的正半轴于点P即可． 【详解】 解：由勾股定理得：，，， 以O为圆心，长为半径画弧，交数轴的正半轴于点P 59．【答案】（1）54；（2）15；（3） 【分析】（1）根据三角形的面积公式求出△ABC的面积； （2）利用勾股定理计算出AB的长即可； （3）根据三角形的面积公式计算出CD的长即可． 【详解】(1)△ABC的面积=×AC×BC=×9×12=54(cm). 故△ABC的面积是54cm； (2)∵在Rt△ABC中,∠C=90°，AC=9cm，BC=12cm， ∴AB==15cm； (3)∵×AC×BC=×CD×AB， ∴×9×12=×15×CD， 解得CD=. 故高CD的长为cm. 【点睛】此题考查直角三角形的性质，勾股定理，解题关键在于掌握计算公式. 60．【答案】 【分析】 本题考查了平面展开﹣最短路径问题，轴对称的性质和勾股定理，将杯平面展开，作B点纵向的对称点C，连接，即为蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短路程，根据勾股定理求出最后结果即可． 【详解】 解：如图，将杯平面展开，作B点纵向的对称点C，连接，即为蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短路程， 由题意得， ， ∴， 根据勾股定理有： ∴蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短路程为， 故答案为：． 61．【答案】（1）；（2）蚂蚁爬行的最短距离为；（3） 【分析】 本题考查了平面展开图—最短路径问题，解答本题的关键是熟练运用数形结合的思想解决问题． （1）直接利用勾股定理进行求解即可； （2）将圆柱体展开，利用勾股定理求解即可； （3）从玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求，利用勾股定理求解即可． 【详解】 解：（1）由题意得， 故答案为：； （2）将圆柱体展开，由题意得 ， 蚂蚁爬行的最短距离为； （3）如图， 从玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，作交延长线于点，连接交于点， ，， ， ， ， 蚂蚁从外壁处到内壁处所爬行的最短路程是． 故答案为：． 62．【答案】（1）；     （2） 解：是等腰三角形，理由如下： ， ， ，且， 是等腰直角三角形．     （3）点的坐标为，，，      【分析】 本题主要考查平面直角坐标系中两点间距离公式、等腰三角形的判定与性质的应用．熟练掌握两点间距离公式，结合等腰三角形的不同情况（两边相等）进行分类讨论，是解题的关键． （1）通过两点间距离公式，直接代入坐标计算，逐步推导出两点间的距离； （2）对于等腰直角三角形的判定，依据两点间距离公式求出三边长度，再结合勾股定理和等腰三角形的定义进行分析； （3）在求等腰三角形的点的坐标时，分情况讨论（、、），结合两点间距离公式进行计算分析． (1) 小问详解： 解：根据两点间的距离公式，得． (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：设，分三种情况讨论： ① 当时， ， ， 解得（与点重合，舍去）或， 此时点． ② 当时， ， 解得：， 此时点，． ③ 当时， ， ， ， ， 此时点． 综上所述，点的坐标为，，，． 63．【答案】（1） 就是所求的三角形．      （2），，     （3）3     （4） 点P就是所求的点，       【分析】 此题重点考查作图-轴对称变换、轴对称-最短路线问题、勾股定理等知识，正确地画出图形并且添加相应的辅助线是解题的关键． （1）先找到点，，关于y轴的对称点分别为、、，再画出即可； （2）由（1）可得答案； （3）作关于的对称点，再作平行四边形以及关于的对称点，则、、与组成的三角形都与全等的三角形； （4）作点A关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，则，所以，则的值最小，由勾股定理求得，则的最小值为． (1) 小问详解： 解：∵点，，， ∴点A，B，C关于y轴的对称点分别为、、， 连接、、， (2) 小问详解： 解：由（1）知，点的坐标为，的坐标分别为，点的坐标为， 故答案为：，，； (3) 小问详解： 解：如图，以为边作与全等的三角形（不包括），可作出3个； 故答案为：3； (4) 小问详解： 解：作点A关于x轴的对称点，连接交x轴于点P， 的最小值为， 理由：取点，连接、、， ∵被x轴垂直平分， ∴， ∴， 此时的值最小， ∵， ∴的最小值为． 考点02 勾股定理的逆定理及其应用 1．A 2．C 3．D 4．D 5．D 6．B 7．C 8．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查垂线的定义，勾股定理，垂直平分线的判定与性质，掌握知识点是解题的关键． (1)利用勾股定理求出即可求解； (2)连接AC，由线段垂直平分线的性质得，进而由勾股定理的逆定理得是直角三角形，再根据计算即可求解． (1) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴是直角三角形， 在中， ， 由勾股定理得：， ∵E是的中点， ∴； (2) 小问详解： 如图，连接AC， ∵，E是的中点， ∴是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， 即， ∴是直角三角形， ∴， 答：空地ABCD的面积为． 9．【答案】 【分析】 本题考查了勾股定理及逆定理，三角形面积，熟练掌握勾股定理及逆定理是解题的关键． 连接，利用勾股定理求出，利用勾股定理的逆定理得到为直角三角形，得到，即可求解． 【详解】 解：如图所示，连接， ，， ， ， ，， ， 为直角三角形，且， ， 故答案为：． 10．【答案】（1）     （2）米      【分析】 本题主要考查了勾股定理及其逆定理，线段垂直平分线的性质，熟练掌握勾股定理的逆定理和线段垂直平分线的性质是解题的关键． （1）根据勾股定理的逆定理即可解答； （2）设米，则米，由线段垂直平分线的性质得到米，在中，根据勾股定理建立方程求解即可． (1) 小问详解： 解：，， ， ∴； (2) 小问详解： 解：设米，则米， ∵点恰好在边的垂直平分线上， ∴米， 在中，由勾股定理得， ， 解得 答：这架无人机向下飞行的距离为米． 11．【答案】（1） 证明：， ，， 即 为直角三角形；     （2）      【分析】 （1）根据勾股定理的逆定理进行判断即可得到答案； （2）设，根据等腰三角形的性质可得，在直角三角形中，由勾股定理可得，解方程即可得到答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：设， 是等腰三角形， ． 为直角三角形， 为直角三角形， 即， 解得：， 故的长为：． 【点睛】 本题主要考查了等腰三角形的性质、勾股定理以及勾股定理的逆定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理的逆定理． 12．【答案】 【分析】 本题考查勾股定理及其逆定理，勾股定理求出的长，勾股定理逆定理得到，分割法求出田地的面积即可． 【详解】 解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴为直角三角形， ∴四边形田地的面积． 13．【答案】直角三角形 【详解】本题考查的是勾股定理的逆定理 根据正方形的性质即勾股定理可得 ， ， ，即可判断结果． 由勾股定理得 ， ， ， ∵ ， ∴△AEF是直角三角形． 14．【答案】直角 【分析】 本题考查了勾股定理的逆定理，非负数的性质，熟练掌握勾股定理的逆定理及非负数的性质是解题的关键．根据非负数的性质可得，，，所以，根据勾股定理的逆定理即可得到答案． 【详解】 解：， ，，， ， 是直角三角形． 故答案为：直角． 15．【答案】（1）见解析     （2）      【分析】 （1）可证明，根据勾股定理的逆定理，是直角三角形； （2）连接，由线段垂直平分线的性质得到．设，则，由勾股定理得，解方程即可得到答案． (1) 小问详解： 证明：在中，，， ，， ． ∴， ∴是直角三角形； (2) 小问详解： 解：如图，连接． 是的垂直平分线， ． 由（1）可得是直角三角形， 即． 设，则， 在中，由勾股定理得， 即． 解得． 即的长为． 16．【答案】36 【分析】 本题考查了勾股定理，勾股定理逆定理，熟练掌握直角三角形的判定方法是解题的关键． 利用勾股定理求出的长，证得是直角三角形，再利用面积公式运算求解即可． 【详解】 在中，，， ∴， ∵，， ∴， ∴是直角三角形，且， ． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 勾股定理 2大高频考点概览 考点01 勾股定理及其应用 考点02 勾股定理的逆定理及其应用 考点01 勾股定理及其应用 1．（25-26学年八上·甘肃兰州第五十四中学·期中）下列各组数据中，是勾股数的是（     ） A. 0.6，0.8，1 B. 1，2， C. 4，5，7 D. 3，4，5 2．（25-26学年八上·甘肃期中学·期中）在中，，，，则（       ）． A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年八上·甘肃兰州第八十一中学·期中）下列各组数中，是勾股数的是（       ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年八上·甘肃兰州第八十一中学·期中）如图，数字代表所在正方形的面积，则A所代表的正方形的面积为（       ） A. 25 B. 49 C. 81 D. 100 5．（25-26学年八上·甘肃兰州·期中）如图，在中，，，．点E、F分别是边、上的点，连结，将沿翻折，使得点的对称点落在边的中点处，则的长为（　　） A.  B.  C. 3 D. 2 6．（25-26学年八上·甘肃兰州·期中）如图，在数轴上，点，对应的实数分别为，，，，以为圆心，为半径画弧，交数轴正半轴于点，则点对应的实数为（     ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年八上·甘肃兰州·期中）《九章算术》是我国传统数学中重要的著作之一，奠定了我国传统数学的基本框架，其中方程术是《九章算术》最高的数学成就.《九章算术》记载：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈.问户高、广各几何？”大意：有一扇形状是长方形的门，它的高比宽多6尺8寸，它的对角线长1丈，问它的高与宽各是多少（1丈尺，1尺寸）？设长方形门宽为x尺，则所列方程为（       ）. A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年八上·甘肃张掖山丹县第二中学·期中）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，是“勾股数”的是（　　） A. 4，5，6 B. 5，12，13 C. 6，8，11 D. 5，12，23 9．（25-26学年八上·甘肃白银·期中）《醉翁亭记》中写道：“射者中”，其中“射”指投壶，宴饮时的一种游戏．现有一圆柱形投壶内部底面直径是，内壁高，若箭长，则箭在投壶外面部分的长度不可能是（       ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年八上·甘肃期中学·期中）某数学兴趣小组开展了笔记本电脑的张角大小的实践探究活动．如图，当张角为时，顶部边缘B处离桌面的高度为，此时底部边缘A处与C处间的距离为，小组成员调整张角的大小继续探究，最后发现当张角为时（D是B的对应点），顶部边缘D处到桌面的距离为，则底部边缘A处与E之间的距离为（       ） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年八上·甘肃兰州·期中）下列各组数中，是勾股数的是（       ） A. ，， B. ，，1 C. 4，5，6 D. 9，40，41 12．（25-26学年八上·甘肃兰州第十一中学·期中）下列给出的四组数中，是勾股数的一组是（     ） A. 1，，2 B. 5，12，13 C. ，， D. ，， 13．（25-26学年八上·甘肃兰州第十一中学·期中）如图，有一个圆柱，它的高等于12cm，底面上圆的周长等于18cm，在圆柱下底面的点A处有一只蚂蚁，它想吃到上底面与点A相对的点B处的食物，则蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是（　　） A. 15cm B. 17cm C. 18cm D. 30cm 14．（25-26学年八上·甘肃兰州·期中）在中，斜边，则的值是（     ） A. 100 B. 200 C. 300 D. 400 15．（25-26学年八上·甘肃兰州第八十一中学·期中）如图，在高为，坡面长为的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要（       ） A.  B.  C.  D.  16．（25-26学年八上·甘肃兰州·期中）将一根的筷子置于底面直径为，高为的圆柱形水杯中，如图，设筷子露在杯子外面的长度为，则的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  17．（25-26学年八上·甘肃兰州·期中）如图，等腰，斜边，分别以的边为直径画半圆，所得两个月形图案和的面积之和是（     ） A.  B.  C.  D.  18．（25-26学年八上·甘肃兰州·期中）下列各组数据为勾股数的是（       ） A. ，， B. 1，， C. 5，12，13 D. 2，3，4 19．（25-26学年八上·甘肃张掖山丹县第二中学·期中）甲、乙两艘客轮同时离开港口，航行的速度都是40m/min，甲客轮用15min到达点A，乙客轮用20min到达点B，若A，B两点的直线距离为1000m，甲客轮沿着北偏东30°的方向航行，则乙客轮的航行方向可能是(     ) A. 北偏西30° B. 南偏西30° C. 南偏东60° D. 南偏西60° 20．（25-26学年八上·甘肃兰州第五十四中学·期中）如图，在中，，，将边沿翻折，使点C落在延长线上的点D处，折痕与边交于点E，则线段的长为（　　） A.  B.  C.  D.  21．（25-26学年八上·甘肃酒泉第二中学·期中）如图，圆柱的底面圆的周长为，高为，一只蚂蚁沿外壁从点A爬行到上边缘与之正相对的点B最少要爬行（       ） A.  B.  C.  D.  22．（25-26学年八上·甘肃白银·期中）如图，在平面直角坐标系中， ，点 的坐标分别为 ，则点A的坐标为（       ） A.  B.  C.  D.  23．（25-26学年八上·甘肃兰州第十一中学·期中）如图，P表示的数是（       ）． A.  B.  C.  D.  24．（25-26学年八上·甘肃兰州第十一中学·期中）如图，在中，，，，点是线段上一动点，点在线段上，当时，的最小值为（　　） A.  B.  C.  D.  25．（25-26学年八上·甘肃兰州·期中）如图，长方体盒子（有盖）的长、宽、高分别是，在中点处有一滴蜜糖，一只小虫从处爬到处去吃，有多种走法，则最短路程是（       ）． A. 25 B. 20 C. 24 D. 28 26．（25-26学年八上·甘肃白银·期中）白银市全民健身中心正在维修屋顶，工作人员使用一架长为5米的梯子靠在墙上，已知梯子底部距离墙面3米，且梯子顶端刚好到达屋顶边缘．请问这面墙的高度是多少米？（假设墙面与地面垂直，梯子、墙面和地面构成一个直角三角形） 27．（25-26学年八上·甘肃兰州第八十一中学·期中）如图，在数轴上点表示的实数是　　　　　　　　　　　． 28．（25-26学年八上·甘肃兰州·期中）第14届数学教育大会（ICME－14）会标如图1所示，会标中心图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”．如图2所示的“弦图”是由4个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形，若，，则大正方形的面积为　　　　　　． 29．（25-26学年八上·甘肃兰州·期中）一架方梯长25米，如图，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米， （1）这个梯子的顶端距地面有多高？ （2）如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？ 30．（25-26学年八上·甘肃张掖山丹县第二中学·期中）如图，长为的橡皮筋放置在轴上，固定两端A和B，然后把中点C向上拉升到D，则橡皮筋被拉长了　　　　　　． 31．（25-26学年八上·甘肃兰州第五十四中学·期中）央视春晚人形机器人秧歌表演广受关注．人形机器人集人工智能、高端制造与新材料等先进技术于一体，展现了未来科技的无限可能．下面是一次机器人的走位测试：如图，甲、乙两个机器人分别在点的正西方向（点处）和正北方向（点处），且与点的距离分别为米，米．甲、乙两个机器人分别从点、点同时出发，沿，行走（，，三点在同一条直线上），要求行走到点处时恰好相遇，并且两个机器人的行走速度相同，则为　　　　　　米． 32．（25-26学年八上·甘肃酒泉第二中学·期中）“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢．”某校八（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度（如图），他们进行了如下操作：①测得水平距离的长为8米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为17米；③牵线放风筝的小明的身高为1.5米． （1）求风筝的垂直高度． （2）如果小明想让风筝沿方向下降9米，那么他应该往回收线多少米？ 33．（25-26学年八上·甘肃白银·期中）小宁在迪卡龙购买了拳击反应球作为居家健身器材．如图，若将球体支架最底端O到球体最顶端A看成一条线段，当反应球被击打时，可看作线段绕着点O旋转得到线段（在安全角度范围内旋转）．小宁击打反应球后与支架的水平距离为，当时，，则球体支架　　　　　　 ． 34．（25-26学年八上·甘肃兰州第八十一中学·期中）如图，在等腰三角形中，，． （1）求的面积； （2）过点作边的高线，求的长． 35．（25-26学年八上·甘肃兰州第八十一中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形网格的边长均为1． （1）点的坐标为___________，的坐标分别为___________； （2）标出点，作出； （3）在（2）的条件下，求的周长． 36．（25-26学年八上·甘肃期中学·期中）如图，三级台阶，每一级的长、宽、高分别为8dm、3dm、，A和B是这个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为　　　　　　dm． 37．（25-26学年八上·甘肃期中学·期中）长清的园博园广场视野开阔，阻挡物少，成为不少市民放风筝的最佳场所，某校七年级（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作： ①测得水平距离的长为米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为米； ③牵线放风筝的小明的身高为米． （1）求风筝的垂直高度； （2）如果小明想风筝沿方向下降米，则他应该往回收线多少米？ 38．（25-26学年八上·甘肃兰州第五十四中学·期中）如图，一圆柱高，底面半径为，一只蚂蚁从点爬到点处吃食，求蚂蚁要爬行的最短路程．（） 39．（25-26学年八上·甘肃兰州第五十四中学·期中）在“勾股定理”一章的学习中，我们体会到了勾股定理应用的广泛性，以及“数形结合”是解决数学问题的一种重要的思想方法．【已有认识】由于，由此得到在数轴上寻找所表示的点的方法，如图①．结合正方形网格，我们还可以表示某些长度为无理数的线段． （1）在图②中，每个小正方形的边长为1，画出顶点在格点的其中； （2）在图③中，设，，平行于轴，平行于轴，则___________．___________．由此得到平面直角坐标系内两点间的距离公式：； （3）应用平面内两点间的距离公式，求点，之间的距离． 40．（25-26学年八上·甘肃兰州第五十四中学·期中）某消防队在一次应急演练中，消防员架起一架长为的云梯，如图，云梯斜靠在一栋楼的外墙面上，这时云梯底端距墙脚的距离，．当消防员接到命令，按要求将云梯从顶端A下滑到位置上（云梯长度不改变），即，那么它的底部B在水平方向滑动到的距离是多少？ 41．（25-26学年八上·甘肃酒泉第二中学·期中）数学中，常对同一图形的面积用两种不同的方法计算，从而建立相等关系，这是一种重要的数学方法，称为等面积法．如图1，四个直角边分别为、、斜边长为的直角三角形和一个边长为的小正方形拼成一个大正方形． 解：四个直角三角形其面积都为，边长为的小正方形的面积为，大正方形的面积为． 由图形可知：． 整理得 ． 故结论为：直角边长分别为、斜边为的直角三角形中． （1）【类比尝试】如图2，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点都在格点上，若是的边上的高，求： ①的面积； ②的长． （2）【拓展探究】如图3坐标系中，直线与轴、轴分别交于点和，直线经过坐标原点，且，垂足为．求： ①点和点的坐标． ②点到轴的距离． 42．（25-26学年八上·甘肃白银·期中）如图，在数轴上作一个直角三角形，垂直于数轴的直角边长为1，以数轴上表示的点为圆心，直角三角形的最长边为半径画弧，交数轴正半轴于点，若点表示的数为． （1）求的值； （2）求代数式的值． 43．（25-26学年八上·甘肃白银·期中）【问题背景】 勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图①），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今． 【探索求证】 （1）图②为美国第二十任总统加菲尔德的“总统证法”的示意图，与按如图所示位置放置，连接，其中，请你利用图②推导勾股定理． 【问题解决】 （2）如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，其中，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（A，H，B在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，问新路比原路少多少千米？ 【延伸扩展】 （3）如图④，已知，，，，设，求的值． 44．（25-26学年八上·甘肃白银·期中）细心观察图形，认真分析各式，然后解答下面问题： ，(是的面积)； ，(是的面积)； ，(是的面积)； …… （1）请你直接写出结果：___________，___________． （2）请用含有(为正整数)的式子填空：___________，___________． （3）我们已经知道，因此将分子、分母同时乘以，分母就变成了4，请仿照这种方法求的值． 45．（25-26学年八上·甘肃平凉庄浪县·期中）若，，，D为坐标平面内不和C重合的一点，且与全等，则D点坐标为　　　　　　． 46．（25-26学年八上·甘肃兰州·期中）在如图所示的图形中，所有四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A，C，D的面积依次为6，8，24，则正方形B的面积是　　　　　　　　． 47．（25-26学年八上·甘肃兰州第十一中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点坐标分别是，将沿对角线翻折得到，边交轴于点．则点的坐标是　　　　　　　　　　　． 48．（25-26学年八上·甘肃兰州第十一中学·期中）如图①，美丽的弦图，蕴含着四个全等的直角三角形． （1）弦图中包含了一大，一小两个正方形，已知每个直角三角形较长的直角边为a，较短的直角边为b，斜边长为c，结合图①，试验证勾股定理． （2）如图②，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成飞镖状，已知外围轮廓（粗线）的周长为24，，求该飞镖状图案的面积． （3）如图③，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为，若，求． 49．（25-26学年八上·甘肃兰州·期中）如图，长方形纸片中，已知，折叠纸片使边与对角线重合，点B落在点F处，折痕为，且． （1）求的长； （2）求的长． 50．（25-26学年八上·甘肃兰州·期中）某条道路限速，如图，一辆小汽车在这条道路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到车速检测仪A正下方的B处，过了，小汽车到达C处，此时测得小汽车与车速检测仪间的距离为． （1）求的长； （2）这辆小汽车超速了吗？ 51．（25-26学年八上·甘肃兰州第八十一中学·期中）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点． （1）在图1中以格点为顶点一个面积为10的正方形； （2）在图2中以格点为顶点画，使的三边长分别为、、； （3）借助（2）中作出的图形，比较___________（填“>”“=”或“”），理由是___________． 52．（25-26学年八上·甘肃兰州第八十一中学·期中）春天到了，奇奇和妙妙一同去春游．如图，有一座景观桥，他俩一同坐在离桥头A的凉亭D处，准备从桥的不同方向到达景点C．奇奇先走到桥尾B到岸边后再坐船到景点C，妙妙先走到桥头A到岸边，再沿与桥垂直的小路走到达景点C，若距离均以直线计算，且两人所经过的距离相等，请利用所学知识计算桥的长是多少？ 53．（25-26学年八上·甘肃兰州第八十一中学·期中）阅读材料：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么这个三角形的面积为这个公式叫“海伦公式”，它是利用三角形的三条边的边长直接求三角形面积的公式，我国南宋时期数学家秦九韶也得出了类似的公式，称三斜求积术，故这个公式又被称为“海伦——秦九韶公式”．完成以下问题：如图，在中，，，． （1）直接写出p的值，p=________． （2）求的面积； （3）过点A作，垂足为D，求线段的长． 54．（25-26学年八上·甘肃兰州第八十一中学·期中）如图，三角形纸片中，，沿和将纸片折叠，使点B和点C都落在边上的点P处，则的长是　　　　　　　　． 55．（25-26学年八上·甘肃陇南西和县）如图，是等边三角形，、分别是、中点，连接且，在上找一点，则当最短时，　　　　　　　　　　　． 56．（25-26学年八上·甘肃兰州·期中）如图，在一条笔直的东西方向的公路上有A、B两地，相距1000米，且离公路不远处有一块山地C需要开发，已知C与A地的距离为600米，与B地的距离为800米，在施工过程中需要实施爆破，为了安全起见，爆破点C 周围半径520米范围内不得进入． （1）山地C距离公路的垂直距离为多少米? （2）在进行爆破时，A、B两地之间的公路是否有危险需要暂时封锁?若需要封锁，请求出需要封锁的公路长． 57．（25-26学年八上·甘肃兰州·期中）如图，一个零件的形状如图所示，，工人师傅量的这个零件各边的尺寸如图所示．    （1）求证：； （2）求这个四边形的面积． 58．（25-26学年八上·甘肃兰州·期中）在数轴上作出长的点（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 59．（25-26学年八上·甘肃兰州·期中）如图，在Rt△ABC中， C=900，AC=9 cm，BC=12 cm，CD AB于D， 求：（1）△ABC的面积 （2）斜边AB的长 （3）高CD的长 60．（25-26学年八上·甘肃兰州·期中）如图，圆柱形玻璃杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短路程为　　　　　　（杯壁厚度不计）． 61．（25-26学年八上·甘肃兰州·期中）【问题情境】数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为20、3、2，A和是一个台阶两个相对的端点．老师让同学们探究：如图①，若A点处有一只蚂蚁要到点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶A爬到点的最短路程是多少？ 【探究】 （1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图②，将三级台阶展开成平面图形，可得到长为20，宽为15的长方形，连结，经过计算可得蚂蚁沿着台阶点A爬到点的最短路程的长为______． 【应用】 （2）如图③，是一只圆柱形玻璃杯，该玻璃杯的底面周长是，高是，若蚂蚁从点A出发沿着玻璃杯的侧面到点，求蚂蚁爬行的最短距离． 【拓展】 （3）如图④，圆柱形玻璃杯高，底面周长为，在杯内壁离杯底的点A处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在外壁上，离杯上沿，且与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁外壁处到内壁A处所爬行的最短路程是______．（杯壁厚度不计） 62．（25-26学年八上·甘肃兰州第十一中学·期中）如图，点为平面直角坐标系中的任意两点．已知两点连线所在直线不与任何一条坐标轴平行，过点作轴，过点作轴，交点为，则两点间的距离可根据勾股定理表示为．请根据上述材料解决 （1）已知点，试求点间的距离； （2）在（1）的条件下，点的坐标为，则是等腰直角三角形吗？试通过计算说明理由． （3）在（1）、（2）的条件下，轴上有一动点，在点移动的过程中是否存在一点，使为等腰三角形，若存在请直接写出点坐标，若不存在，请说明理由． 63．（25-26学年八上·甘肃兰州第八十一中学·期中）如图，三个顶点的坐标分别是，，． （1）画出关于轴对称的图形（用刻度尺作画，禁止反复涂抹）； （2）点的坐标为___________，的坐标分别为___________，点的坐标为___________； （3）以为边作与全等的三角形（不包括），可作出___________个； （4）在轴上作一点，使得的值最小，画出点在（1）问坐标系作图，保留作点的过程痕迹），并求出的最小值． 考点02 勾股定理的逆定理及其应用 1．（25-26学年八上·甘肃酒泉第二中学·期中）下列各组数，可以作为直角三角形的三边长的是（       ） A. 7，24，25 B. 5，13，15 C. 2，3，4 D. 8，12，20 2．（25-26学年八上·甘肃白银·期中）下面各组数中，分别以它们为边长的线段能构成直角三角形的是（　　） A. 1，2，3 B. 2，3，4 C. 3，4，5 D. 3，4，6 3．（25-26学年八上·甘肃兰州·期中）下列几组数中，不能作为直角三角形三条边长的是（       ） A. 3，4，5 B. 5，12，13 C. 7，24，25 D. 9，39，40 4．（25-26学年八上·甘肃兰州·期中）下列各组数中不能组成直角三角形的是（     ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 5．（25-26学年八上·甘肃兰州第八十一中学·期中）如图，在网格图（每个小方格均是边长为1的正方形）中，以为一边作直角三角形，要求顶点C在格点上，则图中不符合条件的点是（       ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年八上·甘肃兰州·期中）如图，小正方形的边长均为1，、、是小正方形的顶点，则的度数是（     ） A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° 7．（25-26学年八上·甘肃兰州·期中）在中，的对边分别是，则下列条件中不能说明是直角三角形的是（     ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年八上·甘肃兰州第十一中学·期中）山青林场准备对一块四边形空地进行绿化改造，某中学数学兴趣小组的同学们帮助工作人员进行了测量，得到如下数据：，从点A修一条垂直的小路(垂足为点E)， ，点E恰好是的中点． （1）求边的长； （2）求空地的面积． 9．（25-26学年八上·甘肃兰州·期中）四边形中，，，则四边形的面积是　　　　　　　． 10．（25-26学年八上·甘肃张掖山丹县第二中学·期中）如图，一架无人机旋停在空中点处，点与地面上点之间的距离米，点与地面上点点，处于同一水平面上的距离米，且米． （1）求的度数； （2）现这架无人机沿所在直线向下飞行至点处，若点恰好在边的垂直平分线上，连接，求这架无人机向下飞行的距离的长． 11．（25-26学年八上·甘肃兰州第五十四中学·期中）如图，已知等腰的底边，是腰上一点，连接，且．    （1）求证：是直角三角形； （2）求的长． 12．（25-26学年八上·甘肃酒泉第二中学·期中）如图是张伯伯承包的一块待开垦的四边形田地，为田间的一条小路，且，已知，，，．请用你学过的知识计算出这块四边形田地的面积 13．（25-26学年八上·甘肃期中学·期中）如图，E、F分别是正方形ABCD中BC和CD边上的点，且AB=4，CE= BC，F为CD的中点，连接AF、AE，问△AEF是什么三角形？请说明理由. 14．（25-26学年八上·甘肃兰州·期中）若a，b，c是的三边长，且满足，则是　　　　　　　　三角形． 15．（25-26学年八上·甘肃兰州·期中）如图，在中，，，，是的垂直平分线，分别交，于点，． （1）求证：是直角三角形； （2）求的长． 16．（25-26学年八上·甘肃兰州·期中）如图，在四边形中，，，，，． 求四边形的面积． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $