专题05 轴对称（期中真题汇编，甘肃专用）八年级数学上学期

专题05 轴对称 5大高频考点概览 考点01 轴对称及其性质 考点02 线段的垂直平分线 考点03 画轴对称的图形 考点04 等腰三角形 考点05 等边三角形 考点01 轴对称及其性质 1．（25-26学年八上·甘肃定西·期中）下列图形是轴对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了轴对称图形的定义，理解其定义是解题的关键． 根据轴对称图形的定义判断即可． 【详解】 解：A：是轴对称图形，故该选项符合题意； B：不是轴对称图形，故该选项不合题意； C：不是轴对称图形，故该选项不合题意； D：不是轴对称图形，故该选项不合题意． 故选：A． 2．（25-26学年八上·甘肃陇南武都区·期中）“致中和，天地位焉，万物育焉．”对称美是我国古人和谐平衡思想的体现．以下四幅剪纸作品中，其图案是轴对称图形的是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了轴对称图形的知识，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，根据轴对称图形的定义逐项分析即可得解，熟练掌握轴对称图形的概念，是解题的关键． 【详解】 解：A、沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，故不是轴对称图形，不符合题意； B、沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，故不是轴对称图形，不符合题意； C、沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，故是轴对称图形，符合题意； D、沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，故不是轴对称图形，不符合题意； 故选：C． 3．（25-26学年八上·甘肃武威·期中）下列四个手机软件图标中，属于轴对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查轴对称图形，会判断轴对称图形是解题的关键．根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿某条直线对折后，直线两旁的部分能够完全重合逐一进行判断即可得出答案． 【详解】 解：．不是轴对称图形，故该选项不符合题意； ．是轴对称图形，故该选项符合题意； ．不是轴对称图形，故该选项不符合题意； ．不是轴对称图形，故该选项不符合题意； 故选：B． 4．（25-26学年八上·甘肃金昌永昌县·期中）下列图形中，不是轴对称图形的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据轴对称图形的定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形逐项判断即可． 【详解】 解：观察四个选项可知，除选项A外，选项B，C，D中的图形沿着一条直线对折，直线两侧的部分能够完全重合， 因此选项A不是轴对称图形，选项B，C，D是轴对称图形． 故选：A． 【点睛】 本题考查轴对称图形的识别，掌握轴对称图形的定义是解题的关键． 5．（25-26学年八上·甘肃平凉庄浪县·期中）2025年11月9日，第十五届全国运动会在广州开幕，比赛共设34个大项，419个小项．下列四幅运动图标，其中是轴对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了轴对称图形的识别．根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】 解：B、C、D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； A选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 故选：A． 6．（25-26学年八上·甘肃武威凉州区凉州区柏树中学·期中）下列图形中，不是轴对称图形的是（  ） A. 等腰三角形 B. 线段 C. 平行四边形 D. 圆 【答案】C 【分析】 本题考查了轴对称图形，根据轴对称图形的定义，判断各图形是否有对称轴． 【详解】 解：∵等腰三角形有一条对称轴，∴是轴对称图形； ∵线段有两条对称轴，∴是轴对称图形； ∵圆有无数条对称轴，∴是轴对称图形； ∵平行四边形没有对称轴，∴不是轴对称图形． 故选：C． 7．（25-26学年八上·甘肃庆阳·期中）汉字是博大精深的文化传承，也是美轮美奂的象形文字．作为中国人，我们感到无比自豪和光荣．下面四个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了轴对称图形的定义．如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 根据轴对称图形的定义逐项分析即可． 【详解】 A.不是轴对称图形； B.不是轴对称图形； C.是轴对称图形； D.不是轴对称图形； 故选：C． 8．（25-26学年八上·甘肃定西安定区·期中）下列图标是轴对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了轴对称图形的识别，解题的关键在于熟练掌握：在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形． 根据轴对称图形的概念求解即可． 【详解】 解：A、该图形不是轴对称图形，不符合题意； B、该图形不是轴对称图形，不符合题意； C、该图形不是轴对称图形，不符合题意； D、该图形是轴对称图形，符合题意； 故选：D． 9．（25-26学年八上·甘肃武威凉州区·期中）下列汽车标志中，不是轴对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合． 根据轴对称图形的定义逐一判断即可． 【详解】 解：A、不是轴对称图形，故符合题意； B、是轴对称图形，故不符合题意； C、是轴对称图形，故不符合题意； D、是轴对称图形，故不符合题意． 故选：A． 10．（25-26学年八上·甘肃定西通渭县·期中）国产人工智能大模型横空出世，其低成本、高性能的特点，迅速吸引了全球投资者的目光．以下是四款常用的人工智能大模型的图标，其文字上方的图案是轴对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了轴对称图形的识别，解题的关键在于熟练掌握：在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形． 根据轴对称图形的概念求解即可． 【详解】 解：A、该图形不是轴对称图形，不符合题意； B、该图形是轴对称图形，符合题意； C、该图形不是轴对称图形，不符合题意； D、该图形不是轴对称图形，不符合题意； 故选：B． 11．（25-26学年八上·甘肃陇南）以下的新能源汽车品牌标志中，不是轴对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了轴对称图形，熟练掌握轴对称图形的定义是解题的关键．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，由此得到答案． 【详解】 解：A、是轴对称图形，不符合题意； B、是轴对称图形，不符合题意； C、不是轴对称图形，符合题意； D、是轴对称图形，不符合题意； 故选：C． 12．（25-26学年八上·甘肃临夏州·期中）下列四种化学仪器的示意图中，是轴对称图形的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 此题考查了轴对称图形的概念，根据概念逐一判断即可，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线(成轴）对称，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】 、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、是轴对称图形，故本选项符合题意； 、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 故选：． 13．（25-26学年八上·甘肃定西通渭县·期中）如图，与交于点O，与关于直线对称，点A，B的对应点分别是点C，D，下列结论正确的是（       ）． A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查了轴对称的性质，根据轴对称的性质即可得到答案． 【详解】 解：∵与交于点O，与关于直线对称， ∴，故选项B正确，符合题意； 根据现有条件无法证明，，， 故选：B． 14．（25-26学年八上·甘肃陇南西和县）下列交通标志图形中不是轴对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题主要考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合． 根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，据此逐项判定即可得出答案． 【详解】 解：A、是轴对称图形，故此选项不符合题意． B、是轴对称图形，故此选项不符合题意． C、是轴对称图形，故此选项不符合题意． D、不是轴对称图形，故此选项符合题意． 故选：D． 15．（25-26学年八上·甘肃陇南武都区·期中）如图，将三角形纸片按下面四种方式折叠，则是的高的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【详解】 解：A、由折叠可知是的角平分线，故不符合题意； B、由折叠可知是的中线，故不符合题意； C、由折叠可知不是的高线，故不符合题意； D、由折叠可知是的高线，故符合题意． 16．（25-26学年八上·甘肃临夏州·期中）如图，与关于直线对称，与的交点F在直线上．若． （1）求的长度； （2）求的度数． 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据与关于直线对称，确定对称点，从而确定对称线段，利用轴对称的性质即可解决问题； （2）根据与关于直线对称，确定对称角和对称三角形，利用轴对称的性质即可解决问题． (1) 小问详解： 解：与关于直线对称， ， ， ． (2) 小问详解： 与关于直线对称，， ， ， ． 【点睛】 本题考查轴对称的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 17．（25-26学年八上·甘肃平凉庄浪县·期中）如图，，，与关于直线对称，则　　　　　　　． 【答案】100° d度 【分析】 先根据轴对称的性质得出，由全等三角形的性质可知，再由三角形内角和定理可得出的度数． 【详解】 解： 与关于直线对称， ∴， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】 本题考查的是轴对称的性质、全等三角形的性质及三角形内角和定理，熟练掌握轴对称的性质及三角形内角和定理是解答此题的关键． 18．（25-26学年八上·甘肃陇南西和县）如图，与关于所在直线对称，若，，则的度数为　　　　　． 【答案】30 【分析】 本题主要考查轴对称图形的性质，三角形内角和定理，掌握轴对称图形对应角相等是解题关键．根据轴对称图形的性质可知，再结合，可求出． 【详解】 解：∵与关于所在直线对称，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 19．（25-26学年八上·甘肃武威·期中）如图，将长方形沿线段折叠到的位置，若，则的度数为　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了折叠的性质，平行线的性质，根据折叠性质可得，，所以，通过平行线的性质可得，然后由角度的和差即可求解，掌握折叠的性质是解题的关键． 【详解】 解：∵长方形沿线段折叠到的位置， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 20．（25-26学年八上·甘肃武威凉州区凉州区柏树中学·期中）在中，．沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在边上的点E处，折痕为，过点E作的平分线交于点P，连接，如图． （1）若，求的面积． （2）求证：平分． 【答案】（1）     （2） 证明：过点P分别作垂线，垂足分别为F，H，M，如图． 由题意可知，， ． 平分， ， ， 平分．      【分析】 本题考查了折叠的性质，直角三角形的面积计算，角平分线的判定：到角两边距离相等的点在角的平分线上． （1）利用折叠后且，结合的条件，把的面积拆成和的面积之和再计算； （2）核心是要证明点到和的距离相等，思路是利用折叠得出全等和角平分线的性质推导出是角平分线． 【详解】 解：（1）由题意，得， ． （2）略 考点02 线段的垂直平分线 1．（25-26学年八上·甘肃陇南西和县）下列图形中，对称轴最多的是（    ） A. 等腰三角形 B. 正方形 C. 长方形 D. 等边三角形 【答案】B 【分析】 本题考查了轴对称图形的知识，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．根据轴对称及对称轴的定义，判断各选项的对称轴数量，继而可得出答案． 【详解】 解：等腰三角形有1条对称轴，正方形有4条对称轴，长方形有2条对称轴，等边三角形有3条对称轴，所以对称轴条数最多是正方形． 故选：B． 2．（25-26学年八上·甘肃武威·期中）已知，用尺规作图的方法在上确定一点P，使，则符合要求的作图痕迹是（   ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了尺规作图—线段的垂直平分线的基本作图，熟练掌握线段的垂直平分线的基本作图是解题的关键．根据，结合图形分析可得，只需作线段的垂直平分线，分析选项即可得出结论． 【详解】 解：根据题意，， 由图可知，， ， 故符合要求的作图是作线段的垂直平分线， 由作图痕迹可知，只有B选项符合题意． 故选：B． 3．（25-26学年八上·甘肃武威凉州区凉州区谢河中学·期中）下列说法错误的是（       ） A. 任何命题都有逆命题 B. 任何定理都有逆定理 C. 真命题的逆命题不一定是真命题 D. 互逆定理中的两个命题都是真命题 【答案】B 【分析】 本题考查命题与定理，逆定理、互逆定理、原命题、逆命题、互逆命题等知识．根据命题和定理的定义对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】 解：A、任何命题都有逆命题，正确，故本选项不符合题意； B、任何定理不一定都有逆定理，故本选项符合题意； C、真命题的逆命题不一定是真命题，正确，故本选项不符合题意； D、互逆定理中的两个命题都是真命题，正确，本选项不符合题意； 故选：B． 4．（25-26学年八上·甘肃陇南）下列定理中，没有逆定理的是（       ） A. 两直线平行，内错角相等 B. 直角三角形两锐角互余 C. 对顶角相等 D. 同位角相等，两直线平行 【答案】C 【分析】 本题考查命题与定理，分别写出四个命题的逆命题，逆命题是真命题的就是逆定理，不成立的就是假命题，就不是逆定理． 【详解】 解：A，“两直线平行，内错角相等”的逆定理是“内错角相等，两直线平行”，不合题意； B，“直角三角形两锐角互余”的逆定理是“两锐角互余的三角形是直角三角形”，不合题意； C，“对顶角相等”的逆命题是“相等的两个角是对顶角”，该逆命题是假命题，因此“对顶角相等”没有逆定理，符合题意； D，“同位角相等，两直线平行”的逆定理是“两直线平行，同位角相等”，不合题意； 故选C． 5．（25-26学年八上·甘肃陇南）如图，中，，的垂直平分线交于点，的周长是21，则的长度为（       ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 【答案】A 【分析】 本题考查了线段垂直平分线的性质，由线段垂直平分线的性质得出，由的周长是21得出，结合计算即可得出答案． 【详解】 解：∵垂直平分， ∴， ∵的周长是21， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 6．（25-26学年八上·甘肃陇南西和县）如图，已知，，则点O是（       ） A. 三条边垂直平分线的交点 B. 三条角平分线的交点 C. 三条中线的交点 D. 三条高的交点 【答案】A 【分析】 根据垂直平分线的判定定理得解 【详解】 解：∵ ∴点O在的垂直平分线上．即为三条边垂直平分线的交点． 故选：A． 【点睛】 本题考查垂直平分线的判定，理解定理是解题的关键． 7．（25-26学年八上·甘肃陇南）下列图形中，对称轴最多的是（       ） A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 长方形 D. 正方形 【答案】D 【分析】 本题考查了对称轴的定义，根据对称轴的定义解答即可求解，掌握对称轴的定义是解题的关键． 【详解】 解：等腰三角形有条对称轴，等边三角形有条对称轴，长方形有条对称轴，正方形有条对称轴， ∴对称轴最多的是正方形， 故选：． 8．（25-26学年八上·甘肃临夏州·期中）如图，中，，分别以点B，C为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点D，作射线，连接，，根据以上过程及所作图形，下列结论：①垂直平分；②；③，其中正确的个数为（     ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】D 【分析】 本题考查尺规作图，线段垂直平分线的判定，等腰三角形性质和判定，掌握尺规作图，线段垂直平分线，等腰三角形性质是解题关键． 由中，，由作法知，可得是的垂直平分线，为等腰三角形，平分，得出，即可求解． 【详解】 解：∵中，，由作法知， ∴是的垂直平分线，为等腰三角形， ∴平分，， ， ∴，故① ② ③ 正确． 故选：D． 9．（25-26学年八上·甘肃定西安定区·期中）观察下列尺规作图的痕迹，能够说明的是（     ） A. ②③ B. ③④ C. ①③ D. ②④ 【答案】C 【分析】 本题考查作图−基本作图，利用线段的垂直平分线的性质，三边关系，作一条线段等于已知线段判断即可，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【详解】 解：如图① ，由作图可知，是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴，即． 如图② 为作的角平分线，无法判定； 如图③ 中，由作图可知，， ∵点T在线段上， ∴，即． 如图④ 为过点C作的垂线，无法判定． 故选C． 10．（25-26学年八上·甘肃武威·期中）如图，在中，的垂直平分线交于点E，交于点D，连接，若，的周长为13，则　　　　　　　　． 【答案】5 【分析】 此题考查了垂直平分线性质，解题的关键是熟练掌握垂直平分线性质．根据垂直平分线性质得到，根据三角形周长公式求解长度． 【详解】 ∵的垂直平分线交 ∴ ∴． 故答案为：5． 11．（25-26学年八上·甘肃定西通渭县·期中）“两直线平行，内错角相等”的逆命题是　　　　　　　　　　． 【答案】内错角相等，两直线平行 【详解】 解：“两直线平行，内错角相等”的条件是：两条平行线被第三条值线所截，结论是：内错角相等． 将条件和结论互换得逆命题为：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行， 可简说成“内错角相等，两直线平行”． 故答案为：内错角相等，两直线平行． 12．（25-26学年八上·甘肃定西·期中）如图，DE是△ABC中AC边的垂直平分线，若BC＝8cm，AB＝10cm，则△EBC的周长为　　　cm． 【答案】18 【分析】 先根据线段垂直平分线的性质得出AE=CE，故CE+BE=AB，再由△EBC的周长=BC+CE+BE=BC+AB即可得出结论． 【详解】 解：∵DE是△ABC中AC边的垂直平分线， ∴AE=CE， ∴CE+BE=AB=10cm． ∵BC=8cm， ∴△EBC的周长=BC+CE+BE=BC+AB=10+8=18cm． 故答案为：18． 【点睛】 本题考查的是线段垂直平分线的性质，熟知垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解答此题的关键． 13．（25-26学年八上·甘肃武威·期中）命题“如果，，那么”的逆命题是　　　　　． 【答案】如果，那么， 【分析】 本题考查逆命题的定义，掌握知识点是解题的关键． 根据逆命题的定义，将原命题的条件和结论交换即可得到逆命题． 【详解】 解：命题“如果，，那么”的逆命题是“如果，那么，”． 故答案为：如果，那么，． 14．（25-26学年八上·甘肃武威·期中）如图是某城区的三所小学A、B、C的分布示意图，现准备修建一个儿童游乐中心P．若要使三所学校到儿童游乐中心的距离相等，则儿童游乐中心应修在何处？ 【答案】解：如图所示，分别作线段，的垂直平分线，，和交于点P，则点P即为所求． 【分析】 本题主要考查了线段垂直平分线的性质，分别作线段，的垂直平分线，，和交于点P，则点P即为所求． 【详解】 略 15．（25-26学年八上·甘肃临夏州·期中）如图，中，垂直平分，交于点，交于点，垂足为，且连接．求证： 【答案】∵，且， ∴垂直平分， ∴， 垂直平分， ， ∴． 【分析】 本题考查了垂直平分线的性质，熟练掌握垂直平分线的性质是解题的关键． 根据，且，可得，根据垂直平分，可得，进而即可得证． 【详解】 略 16．（25-26学年八上·甘肃金昌永昌县·期中）如图，在中，若，分别垂直平分，，如果，则的周长为　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 根据线段垂直平分线的性质得出，然后进行求解即可． 【详解】 解：∵，分别垂直平分，， ∴， ∴的周长是， ∵， ∴的周长是． 故答案为：． 17．（25-26学年八上·甘肃平凉庄浪县·期中）在中，，的垂直平分线交于点D，交于点E． （1）求证：是等腰三角形； （2）若，的周长为20，求的周长． 【答案】（1） 证明：∵的垂直平分线交于点D， ∴， ∴是等腰三角形；     （2）32      【分析】 本题考查线段垂直平分线的性质，等腰三角形的定义．掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题关键． （1）根据线段垂直平分线的性质可直接得出，即证明是等腰三角形； （2）由线段垂直平分线的性质可得出，再根据的周长为20，结合（1）即可求出，进而即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵的垂直平分线交于点D， ∴． ∵的周长为20，， ∴， ∴的周长． 18．（25-26学年八上·甘肃张掖二中教·期中）在“线段、锐角、三角形、等边三角形”这四个图形中，其中是轴对称图形的有　　　个，其中对称轴最多的是　　　　　　　　　　. 【答案】① 3    ② 等边三角形 【详解】线段有两条对称轴，锐角有一条对称轴，等边三角形有三条对称轴， 故答案为3，等边三角形． 19．（25-26学年八上·甘肃张掖二中教·期中）“西气东输”是造福子孙后代的创世工程，现有两条高速公路、和两个城镇、（如图），准备建一个燃气控制中心站，使中心站到两条公路距离相等，并且到两个城镇的距离也相等，请你利用直尺和圆规作出中心站的位置．（作出满足题意的一处位置即可） 【答案】点的位置如图： 【分析】 本题考查了角平分线和线段垂直平分线的性质及其尺规作图，熟练掌握角平分线和线段垂直平分线的性质及其作法是解题的关键．作出与夹角的平分线、线段的垂直平分线，则它们的交点即为所求． 【详解】 解：分别作出线段的垂直平分线，与夹角的平分线，两者的交点即为点的位置． 20．（25-26学年八上·甘肃武威凉州区凉州区谢河中学·期中）如图，在中，是的垂直平分线.若，，则的周长是　　　　　　. 【答案】13 【分析】 根据线段垂直平分线的性质得到，即可求解． 【详解】 解：是的垂直平分线． ， ， 的周长， 故答案为：13． 【点睛】 本题考查了线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 21．（25-26学年八上·甘肃定西安定区·期中）如图，在中，，分别垂直平分边，，交于点，，如果，那么的周长为　　　　　　　　　　　． 【答案】20 【分析】 本题考查了垂直平分线的性质，熟练掌握垂直平分线的性质是解决本题的关键． 利用线段垂直平分线的性质来求解的周长即可． 【详解】 解：和分别为、的垂直平分线， ，， 的周长， 故答案为：． 22．（25-26学年八上·甘肃定西安定区·期中）如图，两个班的学生分别在、两处参加植树劳动，现要在道路、的交叉区域内（角内部）设一个茶水供应点，使到两条道路的距离相等，且使，请你通过尺规作图找出这一点，不写作法，保留作图痕迹 【答案】如图所示，点P即为所求． 【分析】 本题主要考查了角平分线和线段垂直平分线的尺规作图，到两条道路的距离相等，那么点P在的角平分线上，，则点P在线段的垂直平分线上，据此作图即可． 【详解】 略 23．（25-26学年八上·甘肃定西通渭县·期中）如图，在内找一点P，使点P到A，B两点的距离相等，并且点P到点C的距离等于线段的长．（尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明） 【答案】点P即为所求： 【分析】 的垂直平分线上的点到A，B两点的距离相等，以点为圆心，为半径的圆上任意一点到点C的距离等于线段的长．据此即可作图． 【详解】 略 【点睛】 本题考查线段垂直平分线的尺规作图．掌握相关作图方法即可． 24．（25-26学年八上·甘肃定西通渭县·期中）如图，直线l是线段AB的垂直平分线，P点在直线l的右侧，求证：PA＞PB． 【答案】证明：连接PA交直线l于C，连接PB，BC， ∵直线l是线段AB的垂直平分线， ∴CA＝CB 在△CPB中 ∴AP＝CA+CP＝CB+CP＞PB， 即PA＞PB． 【分析】 连接交直线于，连接，，根据线段垂直平分线的性质可得，再根据三角形的三边关系即可求解． 【详解】 略 【点睛】 本题主要考查了线段垂直平分线的性质和三角形的三边关系，熟练运用三角形的三边关系是解答此题的关键． 25．（25-26学年八上·甘肃陇南）如图，A，B是小河同侧的两个村庄，为解决用水问题，两村合资在河上修建一座水站，为使水站到A村和B村的距离相等，求水站的位置（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，写出结论） 【答案】如图，连接，作线段的垂直平分线，交小河于点C，点C到点A点B的距离相等． 【分析】 本题主要考查尺规作图——作线段的垂直平分线．熟练掌握线段垂直平分线性质，是解题的关键． 作线段的垂直平分线交小河于点C，点C为水站的位置． 【详解】 略 26．（25-26学年八上·甘肃陇南）如图，在中，求作一点，使点到、的距离相等，且．(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹) 【答案】如图，点即为所求； 【分析】 本题考查了作角平分线与垂直平分线的作法，角平分线与垂直平分线的性质；作的垂直平分线和的角平分线，两线相交于点，点为满足条件的点． 【详解】 解：的垂直平分线和的角平分线相交于点，点即为所求； 27．（25-26学年八上·甘肃临夏州·期中）定理“直角三角形的两个锐角互余”的逆定理是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　． 【答案】有两个角互余的三角形是直角三角形． 【详解】 解：定理“直角三角形的两个锐角互余”的逆定理是有两个角互余的三角形是直角三角形． 28．（25-26学年八上·甘肃武威凉州区凉州区柏树中学·期中）如图，在中，是的垂直平分线，，周长为，则的周长为　　　　． 【答案】19 【分析】 根据垂直平分线的性质得到，，从而将周长为转化为，即可求解． 【详解】 解：∵是的垂直平分线， ∴，， ∵， ∴，即， ∴． 29．（25-26学年八上·甘肃定西·期中）如图，学校要在两条小路OM和ON之间的S区域规划修建一处“英语角”，按照设计要求，英语角C到两栋教学楼A，B的距离必须相等，到两条小路的距离也必须相等，则“英语角”应修建在什么位置？请在图上标出它的位置．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 【答案】如图所示： 【分析】 作∠NOM的角平分线和线段AB的垂直平分线即可； 【详解】 解：作∠NOM的角平分线和线段AB的垂直平分线，它们的交点为C，则C点就是英语角的位置． 【点睛】 本题主要考查了尺规作图角平分线和垂直平分线，准确分析作图是解题的关键． 30．（25-26学年八上·甘肃陇南武都区·期中）综合与实践： 【模型背景】 相传，有一位将军拜访古希腊数学家海伦，求教一个百思不得其解的问题：如图①，将军从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地，到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？海伦利用轴对称的知识回答了这个问题，这个问题后来被称为“将军饮马问题”． 【模型解决】 如图①，小甘将A，B两地抽象为两个点，将河l抽象为一条直线．如图②，小甘作点B关于直线l的对称点，连接与直线l交于点C，点C就是饮马的地方，此时所走的路程就是最短的，小甘对此进行了说明，请帮他补全说明过程： 如图③，在直线l上另取任意一点（与点不重合），连接，，． 点与点关于直线l对称，直线l是的垂直平分线． _____， _____．___________． 在中，，，即最小． 【模型应用】 如图④，在中，直线是边的垂直平分线，点是直线上的动点．若，，，求周长的最小值． 【答案】模型解决：，，，；模型应用：周长的最小值是9 【分析】 本题考查了轴对称的性质，线段垂直平分线的性质，三角形三边关系，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 模型解决：由点与点关于直线l对称得出直线l是的垂直平分线，由线段垂直平分线的性质可得，，再结合三角形三边关系即可得解； 模型应用：设直线与交于点，由题意可得点、关于直线对称，从而可得当点和点重合时，的值最小，最小值等于的长． 【详解】 模型解决：在直线l上另取任意一点（与点不重合），连接，，． 点与点关于直线l对称， 直线l是的垂直平分线． ，， ， 在中，， ，即最小 模型应用：设直线与交于点， ∵直线是边的垂直平分线， ∴点、关于直线对称， ∴当点和点重合时，的值最小，最小值等于的长， ∵，， ∴周长的最小值是． 31．（25-26学年八上·甘肃武威·期中）（多选）已知：如图，比长，的垂直平分线交于点，交于点，的周长是，求和的长． 【答案】AB=8cm ，AC=6cm 【分析】根据线段垂直平分线性质求出BD=DC，根据三角形周长求出AB+AC=12cm，根据已知得出AC=AB-2cm，即可求出答案． 【详解】解：∵BC的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E， ∴BD=DC， ∵△ACD的周长是14cm， ∴AD+DC+AC=14cm， ∴AD+BD+AC=AB+AC=14cm， ∵AB比AC长2cm， ∴AC=AB-2cm， ∴AC=6cm，AB=8cm． 【点睛】本题考查了解二元一次方程组，线段垂直平分线性质的应用，能得出关于AB、AC的方程是解此题的关键，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等． 32．（25-26学年八上·甘肃武威·期中）如图，在中，，，通过观察尺规作图的痕迹，则　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查线段垂直平分线的性质、角平分线的定义、三角形内角和定理等知识点，熟练掌握线段垂直平分线的性质、角平分线的定义是解答本题的关键． 由题可得，直线是线段的垂直平分线，为的平分线，再根据线段垂直平分线的性质、角平分线的定义以及三角形内角和定理求解即可． 【详解】 解：由题可得，直线是线段的垂直平分线，为的平分线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 33．（25-26学年八上·甘肃临夏州·期中）如图，在中，． （1）尺规作图：①作边的垂直平分线交于点，交于点；②连接，作的平分线交于点；（要求：保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）所作的图中，求的度数． 【答案】（1）      （2）      【分析】 （1）分别以点，为圆心，大于的长度为半径画弧，两弧在两侧交于两个交点，过这两个交点作直线，即是的中垂线； 以点为圆心，任意长度为半径画一条弧，让这条弧与角的两条边分别相交，得到两个交点，分别以这两个交点为圆心，取大于这两个交点之间距离一半的长度为半径画弧，两弧在角内部相交于一点，连接点和找到的交点，画出的射线就是这个角的平分线； （2）是的垂直平分线，可得，，由三角形内角和定理，可解得，又由平分，可解得的度数． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵是的垂直平分线， ， ， 在中，，， ， ， 平分， ． 34．（25-26学年八上·甘肃金昌永昌县·期中）如图，在△ABC中，AB边的中垂线DE，分别与AB边和AC边交于点D和点E，BC边的中垂线FG，分别与BC边和AC边交于点F和点G，又△BEG周长为16，且GE＝1，则AC的长为　　　　　． 【答案】14 【分析】 利用线段的垂直平分线的性质解决问题即可． 【详解】 解：∵DE是线段AB的中垂线，GF是线段BC的中垂线， ∴EB＝EA，GB＝GC， ∵△BEG周长为16， ∴EB+GB+GE＝16， ∴EA+GC+GE＝16， ∴GA+GE+GE+EC+GE＝16， ∴AC+2GE＝16， ∵GE＝1， ∴AC＝14， 故答案为：14． 【点睛】 本题考查了线段的垂直平分线，三角形的周长等知识，解决问题的关键掌握线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等． 35．（25-26学年八上·甘肃金昌永昌县·期中）如图，l1、l2交于A点，P、Q的位置如图所示，试确定M点，使它到l1、l2的距离相等，且到P、Q两点的距离也相等．（用直尺和圆规） 【答案】如图所示： 【分析】 作出QP的垂直平分线，再作角平分线，两线的交点处就是M的位置． 【详解】 略 【点睛】 此题主要考查了复杂作图，关键是掌握角平分线的性质和线段垂直平分线的性质． 36．（25-26学年八上·甘肃平凉庄浪县·期中）如图所示，点为内一点，分别作出点关于，的对称点，，连接交于，交于，的周长为，　　　　　　　． 【答案】15 【分析】 根据轴对称的性质可得，，然后求出的周长． 【详解】 解：点关于、的对称点、， ，， 的周长， 的周长是， ． 故答案为：． 【点睛】 本题考查了轴对称的性质，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等． 37．（25-26学年八上·甘肃陇南）命题“两个全等三角形的面积相等”的逆命题是　　　　　　　　，该逆命题是　　　　　　（填真、假）命题． 【答案】① 如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形全等    ② 假 【分析】 先写出原命题的逆命题，再根据全等三角形的判定定理判断即可． 【详解】 解：命题“两个全等三角形面积相等”的逆命题是如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形全等，是假命题． 故答案为：如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形全等；假． 【点睛】 本题考查的是命题的真假判断、逆命题的概念，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题． 38．（25-26学年八上·甘肃定西临洮县·期中）如图，在中，． （1）利用尺规作线段的垂直平分线，垂足为E，交于点D（保留作图痕迹，不写作法）． （2）在（1）的条件下，若，求的度数． 【答案】（1）见解析     （2）      【分析】 本题主要考查了垂直平分线的尺规作图，垂直平分线的性质、等腰三角形的性质等知识点，掌握基本尺规作图是解题的关键； （1）分别以为圆心，大于为半径画弧，得到两弧的交点，再过两弧的交点作直线交于，交于即可； （2）由可得，根据垂直平分线的性质可得，再根据等腰三角形的性质可得，再进一步可得答案． (1) 小问详解： 解：如图，线段为所作： (2) 小问详解： 解：∵的垂直平分线交于D， ∴， ∴        在中， ∴， ∴． 39．（25-26学年八上·甘肃陇南西和县）如图，已知，求作一点，使到和的距离相等且（保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】图见解析 【分析】 本题考查尺规作图—作垂线，作角平分线，根据点到和的距离相等且，得到点为线段的垂直平分线和的角平分线的交点，进行作图即可． 【详解】 解：如图，点即为所求． 40．（25-26学年八上·甘肃陇南西和县）“有两个角相等的三角形是等腰三角形”的逆命题是　　　　　． 【答案】等腰三角形的两个底角相等 【分析】 先找到原命题的题设和结论，再将题设和结论互换，即可而得到原命题的逆命题． 【详解】 解：因为原命题的题设是：“有两个角相等的三角形”，结论是“这个三角形是等腰三角形”， 所以命题“有两个角相等的三角形是等腰三角形”的逆命题是“等腰三角形的两个底角相等”． 故答案为：等腰三角形的两个底角相等． 【点睛】 本题考查了命题与定理，根据逆命题的概念来回答：对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的逆命题． 41．（25-26学年八上·甘肃吴家井中学·期中）如图，在等腰中，，的垂直平分线交于点D，若，，则的周长为　　　　　　． 【答案】11 【分析】 本题考查了线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质，等腰三角形的性质，熟记性质是解题的关键． 先根据线段垂直平分线的性质得到，从而得到，即可求解． 【详解】 解：∵垂直平分， ∴， 在等腰中，， ∴， ∵， ∴的周长为． 故答案为：11 42．（25-26学年八上·甘肃张掖二中教·期中）到三角形各顶点距离相等的点是三角形　　　　　　　　　　　　　　的交点. 【答案】三边垂直平分线 【详解】 到三角形三个顶点的距离相等的点是三角形三边垂直平分线的交点，理由是： ∵P在AB的垂直平分线EF上， ∴PA=PB， ∵P在AC的垂直平分线MN上， ∴PA=PC， ∴PA=PB=PC， 即P是到三角形三个顶点的距离相等的点． 故答案为三边垂直平分线. 考点03 画轴对称的图形 1．（25-26学年八上·甘肃兰州第五十四中学·期中）在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查关于轴对称的点的坐标，熟练掌握关于坐标轴对称的点的坐标规律：关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标相反；关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标相反．根据“关于轴对称的点的纵坐标相同，横坐标相反”解答即可． 【详解】 解：∵关于轴对称的点的纵坐标相同，横坐标相反， ∵点为关于轴对称的点的坐标为， 故选：A． 2．（25-26学年八上·甘肃白银·期中）点关于轴对称的点的坐标为（   ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得答案． 【详解】点M(﹣3，4)关于x轴对称的点的坐标是(﹣3，﹣4)． 故选：A． 【点睛】本题考查了关于x轴对称点的坐标，掌握点的坐标的变化规律是解答本题的关键． 3．（25-26学年八上·甘肃武威凉州区凉州区柏树中学·期中）在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了关于轴对称的点的坐标特征．关于x轴对称的点的坐标特征，横坐标不变，纵坐标互为相反数． 根据关于轴对称的点的坐标特征作答即可． 【详解】 ∵点关于轴对称， ∴横坐标不变，为，纵坐标变为相反数，为． ∴对称点的坐标为． 故选：A． 4．（25-26学年八上·甘肃张掖二中教·期中）已知点关于轴的对称点是，则点的坐标是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数． 点关于y轴对称时，x坐标取相反数，y坐标不变． 【详解】 解：∵点关于轴的对称点是， ∴点的坐标是， 故选：C 5．（25-26学年八上·甘肃武威凉州区凉州区谢河中学·期中）点关于轴对称的点的坐标是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查轴对称的性质，解题的关键是掌握坐标关于轴对称的变化规律，即关于轴对称点的坐标是横坐标不变纵坐标变为原来的相反数，据此求解即可． 【详解】 解：∵关于轴对称点的坐标是横坐标不变纵坐标变为原来的相反数， ∴点关于轴对称的点的坐标为． 故选：B． 6．（25-26学年八上·甘肃定西安定区·期中）已知点与关于x轴对称，则a，b分别为 （     ） A. 3， B. ， C. 3，4 D. ，4 【答案】A 【分析】 本题考查了轴对称的性质，点的坐标，根据关于x轴对称的两个点的横坐标相等，纵坐标互为相反数，据此即可作答． 【详解】 解：∵点与关于x轴对称， ∴， 故选：A． 7．（25-26学年八上·甘肃武威凉州区·期中）在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点是(     ) A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数； （2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数； （3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数． 根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”解答． 【详解】 解：点关于x轴对称的点的坐标为． 故选A． 8．（25-26学年八上·甘肃陇南）若点与点B关于y轴对称，则点B的坐标是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 此题主要考查了关于y轴对称点的性质，正确记忆横纵坐标的关系是解题关键．直接利用关于y轴对称点的性质得出答案． 【详解】 解：∵点，点B与点A关于y轴对称， ∴点B的坐标为：． 故选：C． 9．（25-26学年八上·甘肃陇南西和县）在平面直角坐标系中，点和点关于轴对称，已知的坐标为，则的坐标为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查坐标与轴对称，根据关于轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数，进行判断即可． 【详解】 解：由题意，点的坐标为； 故选A． 10．（25-26学年八上·甘肃吴家井中学·期中）已知点，点关于x轴对称，则a与b的值为（     ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【分析】 本题主要考查了关于轴对称的点的坐标特征的知识，解题的关键是理解关于轴对称的点的坐标横坐标相等，纵坐标互为相反数． 根据关于轴对称的点的坐标横坐标相等，纵坐标互为相反数，即可求出和的值； 【详解】 解：若，关于轴对称，则它们的横坐标相等，纵坐标互为相反数， 横坐标关系：； 纵坐标关系：， 因此，，，对应选项C， 故选：C． 11．（25-26学年八上·甘肃武威·期中）已知点、关于轴对称，则的值是（       ） A. -1 B. 2 C. -3 D. 3 【答案】C 【分析】 根据“关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”求a、b的值，然后代入代数式进行计算即可得解． 【详解】 ∵点P(，3)，Q(2，)关于y轴对称， ∴，， ∴，， ∴． 故选：C． 【点睛】 本题考查了坐标与图形的变化－轴对称，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数． 12．（25-26学年八上·甘肃兰州·期中）已知点P(－2，1)，那么点P关于x轴对称的点P′的坐标是（        ） A. (－2，1) B. (－2，－1) C. (－1，2) D. (2，1) 【答案】B 【详解】试题分析：点的坐标关于x轴对称，则对称点坐标也关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标变为相反数．故P 坐标为（-2，-1），选B. 13．（25-26学年八上·甘肃兰州·期中）在平面直角坐标系中，点A与点关于轴对称，点A与点关于轴对称．已知点，则点的坐标是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 直接利用关于x，y轴对称点的性质分别得出A，点坐标，即可得出答案． 【详解】 解：∵点的坐标为（1，2），点A与点关于轴对称， ∴点A的坐标为（1，-2）， ∵点A与点关于轴对称， ∴点的坐标是（-1，﹣2）． 故选：D． 【点睛】 此题主要考查了关于x，y轴对称点的坐标，正确掌握关于坐标轴对称点的性质是解题关键． 14．（25-26学年八上·甘肃陇南武都区·期中）如图，小敏将等腰直角三角板放置于直角坐标系中，直角顶点C与x轴上表示的点重合，点B坐标为，则点A关于y轴的对称点的坐标为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查全等三角形的判定及性质，图形与坐标，关于轴对称点的性质，过点，点分别作，垂直于轴，先证明，得点的坐标，在根据关于轴对称点的坐标特点为纵坐标不变，横坐标互为相反数解答即可． 【详解】 解：过点，点分别作，垂直于轴， ∵点C与x轴上表示的点重合，点B坐标为， ∴，，，即：， 由题意可知，， ∴， 则， ∴， ∴， ∴，，则， ∴点的坐标为， ∴点A关于y轴的对称点的坐标为， 故选：B． 15．（25-26学年八上·甘肃定西临洮县·期中）已知点，点关于轴对称，则的值（    ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 此题主要考查了关于轴对称的点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律． 根据点，点关于轴对称特征，求得，的值，代入即可求解； 【详解】 解：点，点关于轴对称， ，， 则； 故选：C 16．（25-26学年八上·甘肃临夏州·期中）在平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查关于x轴对称的点的坐标特征．关于x轴对称的点，横坐标不变，纵坐标互为相反数． 【详解】 解：点关于x轴对称，横坐标保持不变为，纵坐标取相反数为， 故对称点的坐标为． 故答案为：． 17．（25-26学年八上·甘肃张掖二中教·期中）点和点是关于轴对称的两个点，则 　　　　， 　　　　　． 【答案】①     ② 【分析】 题目主要考查平面直角坐标系中两个点关于坐标轴成轴对称的特点，理解对称点的坐标规律是解题关键． 根据平面直角坐标系中两个点关于坐标轴成轴对称的坐标特点：关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数，据此直接求解即可． 【详解】 解：∵点和点是关于轴对称的两个点， ∴，， 故答案为：；． 18．（25-26学年八上·甘肃武威凉州区凉州区谢河中学·期中）如图，在平面直角坐标系中， 的三个顶点坐标分别为、、． （1）画出关于 轴对称的； （2）写出点 、、的坐标． 【答案】（1） 根据题意作图如下：      （2），，      【分析】 本题主要考查了平面直角坐标系中点的对称和求点的坐标，准确分析作图是解题的关键． （1）根据已知条件分别作出点，，，连接即可； （2）直接写出所求点的坐标即可； (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 由上图可知：，，． 19．（25-26学年八上·甘肃武威凉州区·期中）已知点和点关于轴对称，则=　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了平面直角坐标系中点的坐标、求代数式的值，根据点和点关于轴对称，可得：，，把字母的值代入代数式计算即可． 【详解】 解：点和点关于轴对称， ，， 解得：，， ． 故答案为：． 20．（25-26学年八上·甘肃武威凉州区·期中）在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点是　　　　　　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查坐标与图形的变化—轴对称，解题的关键是掌握关于轴对称的点的坐标特征：横坐标不变，纵坐标互为相反数．据此解答即可． 【详解】 解：点关于轴对称的点是． 故答案为：． 21．（25-26学年八上·甘肃兰州·期中）若点与点关于轴对称，则的值为　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了关于轴、轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，根据“关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”解答即可． 【详解】 解：点与点关于轴对称， ， 故答案为：． 22．（25-26学年八上·甘肃定西·期中）已知点A（a，3）和点B（2，b）关于x轴对称，则（a+b）2021的值为 　　　　　． 【答案】﹣1 【分析】 根据关于x轴对称的两个点，横坐标相等，纵坐标互为相反数求得的值进而求得代数式的值． 【详解】 解：∵点A（a，3）与点B（2，b）关于x轴对称， ∴a＝2，b＝﹣3， 则（a+b）2021＝（﹣1）2021＝﹣1． 故答案为：﹣1． 【点睛】 本题考查了关于x轴对称的两个点的坐标特点，求得的值是解题的关键． 23．（25-26学年八上·甘肃陇南武都区·期中）已知点与点关于x轴对称，则　　　　　　． 【答案】3 【分析】 本题考查了关于x轴，y轴对称的点的坐标，解题的关键是熟练的掌握关于x轴，y轴对称的点的坐标特点． 根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”即可求出m、n的值，然后代入代数式进行计算即可得解． 【详解】 解：∵已知点与点关于x轴对称， ∴， ∴， 故答案为：3． 24．（25-26学年八上·甘肃张掖山丹县第二中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别是． （1）在图中画出关于轴对称的 （2）直接写出三点的坐标：（        ），（        ），（        ）． 【答案】（1） 解：如图所示，即为所求；      （2）；；      【分析】 （）根据轴对称图形的性质画图即可； （）根据所画图形写出点的坐标即可； 本题考查了画轴对称图形，点的坐标，掌握轴对称图形的性质是解题的关键． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 25．（25-26学年八上·甘肃武威·期中）在如图的正方形网格中，每一个小正方形的边长为1．格点三角形（顶点是网格线交点的三角形）的顶点A，C的坐标分别是，．    （1）请在图中的网格平面内建立平面直角坐标系； （2）请画出关于轴对称的，直接写出点，，的坐标； （3）请在轴上求作一点P，使的周长最小，写出P的坐标_______． 【答案】（1） 平面直角坐标系如下图所示即为所求；     （2） 如图所示，即为所求；    ，，；     （3） 点P即为所求．．      【分析】 本题考查的是作图-轴对称变换， （1）根据A点坐标建立平面直角坐标系即可； （2）分别作出各点关于x轴的对称点，再顺次连接即可； （3）作出点B关于y轴的对称点，连接交y轴于点P，则P点即为所求． 熟知轴对称的性质，熟知在直线上找一个点，使它到两个已知点距离之和最小的作图方法是解答此题的关键． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 略 26．（25-26学年八上·甘肃临夏州·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别为，，．画出关于y轴对称的，并写出点的坐标． 【答案】解：如图，就是所求， 由图可得，． 【分析】 本题考查了作轴对称图形，坐标与图形，根据轴对称的性质即可作出所求作的图形，由图形即可写出所求点的坐标． 【详解】 略 27．（25-26学年八上·甘肃兰州第五十四中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为． （1）请画出关于轴的对称图形； （2）求的面积． 【答案】（1） 如图所示．      （2）的面积为．      【分析】 本题考查轴对称图形的画法与三角形面积计算；运用对称点坐标规律画对称图形；用割补法求面积，关键是掌握关于轴对称的点的坐标特征和割补法的运用，易错点是对称点坐标找错或割补时三角形面积计算错误． （1）求各点关于轴的对称点，连接得对称图形； （2）用割补法，通过长方形面积减周围直角三角形面积求的面积． (1) 小问详解： 解：点关于轴的对称点； 点关于轴的对称点； 点关于轴的对称点； (2) 小问详解： 构造一个长为，宽为的长方形，其面积为； 周围三个直角三角形的面积分别为： ； ； ； 则的面积为； 故的面积为． 28．（25-26学年八上·甘肃酒泉第二中学·期中）如图，已知在平面直角坐标系中有三个点 （1）在平面直角坐标系内描出点A，B，C，画出； （2）在平面直角坐标系内画出，使它与关于x轴对称； （3）求出的面积 【答案】（1） 如图，即为所求；     （2） 如图，即为所求；      （3）5      【分析】 本题考查坐标与图形，坐标与轴对称，熟练掌握轴对称的性质，是解题的关键： （1）找点，描点，连线，画出即可； （2）根据轴对称的性质画出即可； （3）借助网格求出三角形的面积即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 由图可知：． 29．（25-26学年八上·甘肃酒泉第二中学·期中）已知点和关于x轴对称，则的坐标为　　　　　　　　 【答案】 【分析】 本题考查坐标与轴对称，根据关于x轴对称的点的坐标特征，横坐标相等，纵坐标互为相反数，进行求解即可． 【详解】 解：由题意，得：， ∴， 故点的坐标为． 故答案为：． 30．（25-26学年八上·甘肃金昌永昌县·期中）已知点与点关于x轴对称，则　　　 【答案】7 【分析】 本题主要考查了关于x轴对称点的特点，熟练掌握关于x轴对称点的性质是解题的关键．直接利用关于x轴对称点的性质，横坐标相等，纵坐标互为相反数，求出，，然后代入求值即可． 【详解】 解：∵点与点关于x轴对称， ∴，， ∴． 故答案为：7． 31．（25-26学年八上·甘肃金昌永昌县·期中）如图，在平面直角坐标系中，．    （1）在图中作出关于轴对称的图形； （2）直接写出的坐标； （3）求的面积． 【答案】（1） 如图所示：    ；     （2），，；     （3）．      【分析】 （1）根据题意找到关于轴的对称点，，，顺次连接即可， （2）根据坐标系写出，，的坐标即可； （3）根据坐标与网格的特点用长方形减去三个三角形的面积求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由图可知 ，，； (3) 小问详解： 解：． 【点睛】 本题考查了画轴对称图形，关于轴对称的点的坐标，坐标与图形，掌握轴对称的性质是解题的关键． 32．（25-26学年八上·甘肃平凉庄浪县·期中）如图，在所给网格图（每小格均为边长是1的正方形）中完成下列各题：    （1）画出格点（顶点均在格点上）关于直线对称的； （2）在上找出点P，使最短． 【答案】（1）解：如图所示△A′B′C′即为所求；     （2） 解：如图所示，点P即为所求； 【分析】 本题主要考查了画轴对称图形，轴对称与最短路径问题，熟知轴对称的相关知识是解题的关键． （1）分别作出，，关于直线的对称点，，，连接，，，则即为所求； （2）连接交直线于点，由轴对称的性质可得，由两点之间线段最短可知此时最短． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 33．（25-26学年八上·甘肃庆阳·期中）如图，在平面直角坐标系中．的顶点坐标分别为． （1）画出关于x轴对称的图形； （2）在x轴上找一点P．使得的周长最小． 【答案】（1） 如图，即为所求．      （2）如图， 【分析】 本题考查作图﹣轴对称变换、轴对称﹣最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． （1）根据轴对称的性质作图即可． （2）连接，交x轴于点P，连接，此时，为最小值，最小，即的周长最小，则点P即为所求． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：连接，交x轴于点P，连接， 此时，为最小值， ∴最小， 即的周长最小， 则点P即为所求． 34．（25-26学年八上·甘肃张掖二中教·期中）如图：，． （1）作，使它与关于轴对称，并写出，坐标． （2）作，使它与关于轴对称，并写出，坐标． （3）若坐标轴上1个单位长度代表，求出的面积． 【答案】（1） 解：如图所示，即为所求： 由图可得，，；     （2） 解：如图所示，即为所求： 由图可得，，；     （3）的面积为      【分析】 本题考查了坐标与图形变化——轴对称，三角形的面积公式，根据轴对称的性质正确作图是解题的关键． （1）根据轴对称的性质作图，结合图形即可写出，坐标； （2）根据轴对称的性质作图，结合图形即可写出，坐标； （3）利用割补法求出的面积即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：的面积 ． 35．（25-26学年八上·甘肃期中学·期中）已知在平面直角坐标系中的位置如图所示． （1）请作关于y轴对称的，边上的点在上的对应点的坐标是______； （2）请作关于x轴对称的． 【答案】（1）见解析；     （2）见解析      【分析】 （1）根据纵坐标不变，横坐标变为相反数，确定变换后的坐标，，画图即可． （2）根据横坐标不变，纵坐标变为相反数，确定变换后的坐标，，画图即可． 本题考查了点关于y轴对称，x轴对称作图，熟练掌握对称是解题的关键． (1) 小问详解： 解：关于y轴的对称点分别是，画图如下： 则即为所求； 边上的点在上的对应点的坐标是， 故答案为：． (2) 小问详解： 解：关于x轴的对称点分别是 ，画图如下： 则即为所求． 36．（25-26学年八上·甘肃定西安定区·期中）如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长为1，的顶点都在格点上，点的坐标为．请按要求分别完成下列各题： （1）画出关于轴对称的； （2）写出三点的坐标． 【答案】（1） 即为所求作；      （2）      【分析】 本题考查了作图-轴对称变换，熟练掌握轴对称性质是解题关键． （1）根据关于轴对称的特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变，得到、、，依次连线即可得到所求作图形； （2）根据（1）中所在图形即可得到答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：三点的坐标分别为． 37．（25-26学年八上·甘肃定西安定区·期中）点(－5，4)关于轴对称的点的坐标是　　　　. 【答案】(5，4) 【分析】 利用关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变．即点P（x,y）关于y轴的对称点P′的坐标是（-x,y），进而得出答案． 【详解】 解：点P（-5，4）关于y轴对称点的坐标为：（5，4）． 故答案为：（5，4）． 【点睛】 】此题主要考查了关于y轴对称点的性质，正确掌握横纵坐标的关系是解题关键． 38．（25-26学年八上·甘肃武威凉州区·期中）已知：如图所示． （1）作出关于x轴对称的，并写出三个顶点的坐标； （2）在y轴上画出点P，使最小，不写出作法． 【答案】（1） 解：如图所示，即为所求， 、、     （2） 如图，点P即为所求点．      【分析】 本题考查了作图-轴对称变换：在画一个图形的轴对称图形时，先从确定一些特殊的对称点开始，一般的方法是：由已知点出发向所给直线作垂线，并确定垂足；直线的另一侧，在垂线上，以垂足为一端点，作一条线段使之等于已知点和垂足之间的线段的长度，得到线段的另一端点，即为对称点；连接这些对称点，就得到原图形的轴对称图形． （1）写出点A、B、C关于x轴对称的对应点、、，然后描点，再连线即可； （2）作点A关于y轴的对称点；连接交y轴于点P，则，利用两点之间线段最短可判断此时最小． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：① 作点A关于y轴的对称点； ② 连接交y轴于点P， 根据轴对称可知：， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴此时最小，即最小． 39．（25-26学年八上·甘肃定西通渭县·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标为，，．画出关于y轴对称的，并写出点的坐标． 【答案】解：如图所示，即为所求，则． 【分析】 本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相同，据此可得的坐标，描出，并顺次连接即可． 【详解】 略 40．（25-26学年八上·甘肃定西临洮县·期中）如图，已知的三个顶点分别为：、、．    （1）请在图中作出关于y轴对称的图形； （2）写出D，E，F三点坐标； （3）求三角形的面积． 【答案】（1）见解析     （2），，     （3）6.5      【分析】 （1）根据网格结构找出点A、B、C关于y轴对称的对应点D、E、F的位置，然后顺次连接即可； （2）利用（1）中所画图形，进而得出各点坐标即可； （3）利用三角形所在的矩形的面积减去四周三个小直角三角形的面积列式计算即可得解． 本题主要考查图形的轴对称变换以及在求三角形的面积，找出原图形各个顶点关于y轴的对称点的位置，是解题的关键． (1) 小问详解： 解：如图所示：即为所求； (2) 小问详解： 解：由（1）得：，，． (3) 小问详解： ． 41．（25-26学年八上·甘肃陇南西和县）如图，在边长为1个单位长度的正方形方格图中，的顶点都在格点上． （1）画出关于直线对称的图形（A和为对称点）； （2）如果以图中的O为原点建立直角坐标系，写出点的坐标． 【答案】（1） 如图，即为所求；      （2）、、      【分析】 本题考查作图—坐标与轴对称变换、写平面直角坐标系中点的坐标，（1）先确定点A、B、C关于直线l对称的点、点、点，再顺次连接即可； （2）由平面直角坐标系求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由平面直角坐标系得，、、． 42．（25-26学年八上·甘肃兰州·期中）如图，在平面直角坐标系中，三角形在坐标系中，，．在图中画出三角形关于x轴的对称图形，并分别写出对应点、、的坐标． 【答案】解：如图，即为所求；    ，，的坐标分别为：、、． 【分析】 本题考查了作图-轴对称变换，解决本题的关键是掌握轴对称的性质．依据轴对称的性质进行作图，即可得到． 【详解】 略 43．（25-26学年八上·甘肃吴家井中学·期中）在平面直角坐标系中的位置如图所示： （1）将向下平移5个单位得到，请画出； （2）将与关于y轴对称，请画出； 【答案】（1） 解：如图所示：      （2） 解：如图所示： 【分析】 本题考查了画平移图形，画轴对称图形． （1）根据平移方式作图即可； （2）根据轴对称的特点作图即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 44．（25-26学年八上·甘肃陇南武都区·期中）如图，在边长均为1的正方形网格图中，的顶点都在网格线的交点上． （1）在图中建立合适的平面直角坐标系，且点的坐标为，点的坐标为； （2）画出关于轴对称的图形；并写出点，的坐标．（其中点的对称点是，点的对称点是） 【答案】（1）如图，坐标系即为所求；     （2） 如图，即为所求， ，      【分析】 本题考查了建立平面直角坐标系，坐标与图形—轴对称图形，熟练掌握轴对称的性质是解此题的关键． （1）根据点的坐标为，点的坐标为建立平面直角坐标系即可； （2）根据关于轴对称的性质作图，写出点，的坐标即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 45．（25-26学年八上·甘肃兰州·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为． （1）作出与关于x轴对称的（点A、B、C的对应点分别为点）； （2）点的坐标是________，点的坐标是________； （3）求的面积． 【答案】（1） 如图所示，即为所求．      （2）；     （3）      【分析】 本题考查了作轴对称图形，求关于坐标轴对称的点的坐标，掌握轴对称的性质是关键； （1）依次作出点A，，关于轴对称的点，，，再依次连接即可； （2）由（1）中所作即可得两点的坐标． （3）用直角梯形的面积减去旁边两个三角形的面积，即可解答． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 由（1）知，点，点的坐标分别是， ． 故答案为：， ． (3) 小问详解： ． 46．（25-26学年八上·甘肃白银·期中）在平面直角坐标系中，的位置如图所示． （1）写出A，B，C三点的坐标； （2）若各顶点的横坐标不变，纵坐标都乘以，请你在同一平面直角坐标系中描出对应的点，，，并依次连接这三个点，所得的与有怎样的位置关系？ 【答案】（1）A，B，C三点的坐标分别是，，； （2）如图所示． 与的位置关系是关于x轴对称． 【分析】 （1）根据平面直角坐标系写出各点的坐标即可； （2）根据网格结构找出点A′、B′、C′的位置，然后顺次连接即可，根据图形判断关于x轴对称． 【详解】 （1）由图，可知A，B，C三点的坐标分别是，，． （2）略 【点睛】 本题考查了利用轴对称变换作图，熟悉网格结构并找出对应点的位置是解题的关键．. 47．（25-26学年八上·甘肃白银·期中）如图，在平面直角坐标系中，对进行循环往复的轴对称变换，若原来点的坐标是，则经过第2026次变换后点的对应点的坐标为　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了轴对称的性质，点的坐标变换规律，观察图形可知每四次对称为一个循环组，依次循环，用除以4，然后根据商和余数的情况确定出变换后的点A所在的象限，然后解答即可． 【详解】 解：点A第一次关于y轴对称后在第二象限， 点A第二次关于x轴对称后在第三象限， 点A第三次关于y轴对称后在第四象限， 点A第四次关于x轴对称后在第一象限，即点A回到原始位置， 所以，每四次对称为一个循环组，依次循环， ∵， ∴经过第次变换后所得的A点与第二次变换的位置相同，在第三象限，坐标为． 故答案为：． 48．（25-26学年八上·甘肃武威凉州区凉州区谢河中学·期中）已知点，． （1）若点关于轴对称，求的值； （2）若关于轴对称，求的值． 【答案】（1），；     （2）．      【分析】 （）根据“关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”列方程组求解即可； （）根据“关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”列方程组求出的值，然后代入代数式进行计算即可； 本题考查了关于轴、轴对称的点的坐标，代数式求值，解题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数． (1) 小问详解： 解：∵点关于轴对称， ∴ ， 解得 ， ∴，； (2) 小问详解： 解：∵点关于轴对称， ∴ ， 解得 ， ∴． 49．（25-26学年八上·甘肃兰州·期中）如图所示，在平面直角坐标系中，已知，，． （1）在平面直角坐标系中画出，以及与关于轴对称的； （2）求出的面积． 【答案】（1） 如图，、即为所求；      （2）4      【分析】 （1）先利用关于y轴对称的点的坐标特征得到D、E、F的坐标，然后描点即可； （2）用一个矩形的面积减去三个直角三角形的面积去计算的面积． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：． 【点睛】 本题考查了作图一轴对称变换，解题的关键是掌握几何图形都可视为是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的． 50．（25-26学年八上·甘肃兰州第十一中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别是，，． （1）请画出与关于y轴对称的，并写出点的坐标； （2）在（1）的条件下，画出与关于直线l对称的； （3）在（2）的条件下，若点在的内部，则点在中对应点的坐标是            ． 【答案】（1） 解：如图所示即为所求， ∴点的坐标为；     （2） 解：如图所示，即为所求；      （3）      【分析】 本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，熟知关于y轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相同，关于直线对称的点横坐标相同，纵坐标的和为1的2倍是解题的关键． （1）根据关于y轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相同找到A、B、C对应点的位置，然后顺次连接，再写出点的坐标即可； （2）根据关于直线对称的点横坐标相同，纵坐标的和为1的2倍找到对应点的位置，然后顺次连接点即可； （3）根据关于直线对称的点横坐标相同，纵坐标的和为1的2倍进行求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：由题意得，与关于直线对称， ∴若点在的内部，则点在中对应点的坐标是， 故答案为：． 51．（25-26学年八上·甘肃陇南）如图，在平面直角坐标系中，且、、． （1）在图上画出关于y轴对称的，并写出点的坐标； （2）在y轴上画出一点P，使得的值最小．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】（1）画图见解析，     （2）见解析      【分析】 本题考查作图——轴对称变换、轴对称——最短路线问题．熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． （1）根据轴对称的性质作出，首尾连接各点，即可得出答案． （2）连接交y轴于点P，根据C，两点关于y轴对称，得，得，最小． (1) 小问详解： 解：如图，即为所求．由图可得． (2) 小问详解： 解：如图，连接交x轴于点P，连接， 此时，为最小值， 则点P即为所求． 考点04 等腰三角形 1．（25-26学年八上·甘肃定西通渭县·期中）等腰三角形中，若顶角度数为，则底角度数是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 此题考查学生对等腰三角形的性质，三角形内角和定理，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可直接求出其底角的度数． 【详解】 解：等腰三角形的两个底角相等，顶角是， 其底角为． 故选：B． 2．（25-26学年八上·甘肃定西·期中）如图，在中，是的垂直平分线，且分别交于点和，，，则为（       ） A. 50° B. 70° C. 75° D. 60° 【答案】B 【分析】首先根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质求得的度数，再利用三角形内角和定理即可得解． 【详解】解：∵是的垂直平分线 ∴ ∴ ∵ ∴． 故选：B 【点睛】本题考查了三角形内角和定理、线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质，较为简单，认真审题即可． 3．（25-26学年八上·甘肃陇南武都区·期中）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则顶角的度数为（   ） A.  B.  C. 或 D. 或 【答案】D 【分析】 本题要分情况讨论．当等腰三角形的顶角是钝角或者等腰三角形的顶角是锐角两种情况． 【详解】 解：① 当为锐角三角形时，如图1， ∵∠ABD=60°，BD⊥AC， ∴∠A=90°-60°=30°， ∴三角形的顶角为30°； ② 当为钝角三角形时，如图2， ∵∠ABD=60°，BD⊥AC， ∴∠BAD=90°-60°=30°， ∵∠BAD+∠BAC=180°， ∴∠BAC=150° ∴三角形的顶角为150°， 故选：D． 【点睛】 本题主要考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，做题时，考虑问题要全面，必要的时候可以做出模型帮助解答，进行分类讨论是正确解答本题的关键，难度适中． 4．（25-26学年八上·甘肃武威·期中）如图，，点D在BC边上．若∠EAB＝50°，则∠ADE的度数是（        ） A. 50° B. 60° C. 65° D. 30° 【答案】C 【分析】 根据全等三角形的性质得到∠BAC＝∠EAD，于是可得∠DAC＝∠EAB，代入即可． 【详解】 解：△ABC≌△AED， ∴∠BAC＝∠EAD， ∴∠EAB＋∠BAD ＝∠DAC＋∠BAD， ∴∠DAC＝∠EAB＝50°， ∵AD＝AC ∴∠ADC＝∠C＝∠ADE＝ 故选C． 【点睛】 本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键． 5．（25-26学年八上·甘肃武威·期中）如图，在中，，于点，则下列结论不一定成立的是（    ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．根据等腰三角形的性质进行判断即可． 【详解】 解：∵，于点， ∴（等边对等角），，（三线合一） 只有是直角三角形时，． 综上，只有选项A不一定成立； 故选A． 6．（25-26学年八上·甘肃临夏州·期中）在中，，则的度数为（          ） A. 80° B. 70° C. 60° D. 40° 【答案】B 【分析】 本题考查了三角形内角和等于180°，等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的两个底角相等是解答本题的关键． 根据等腰三角形的性质可得到，已知顶角的度数，根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】 ∵， ∴， ∵， ∴ 故选B 7．（25-26学年八上·甘肃金昌永昌县·期中）如图，在中，，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，作直线，交于点，连接，则的度数为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据三角形内角和定理求出∠BAC，根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DC，进而得出∠DAC＝∠C＝28°，结合图形计算，得到答案． 【详解】 解：在△ABC中，∠B＝68°，∠C＝28°， 则∠BAC＝180°−∠B−∠C＝84°， 由题意得：MN是线段AC的垂直平分线， ∴DA＝DC， ∴∠DAC＝∠C＝28°， ∴∠BAD＝∠BAC−∠DAC＝84°−28°＝56°， 故选：D． 【点睛】 本题考查的是线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 8．（25-26学年八上·甘肃金昌永昌县·期中）已知等腰三角形的两边长分别为和，则它的周长等于（       ） A. 20 B. 20或16 C. 16 D. 20或18 【答案】A 【分析】题目中没有明确腰和底边，故要分情况讨论，再结合三角形的三边关系分析即可. 【详解】解：当腰为4时，另外两边为4和8，但4+4=8，不能构成三角形； 当腰为8时，另外两边为4和8，此时能构成三角形，周长为8+4+8=20. 故选A. 【点睛】解答此类题一定要分情况讨论，同时还要考虑三边是否能构成三角形. 9．（25-26学年八上·甘肃平凉庄浪县·期中）如图，直线，的顶点在直线上，且．若，，则的度数为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查平行线的性质，先由三角形内角和定理得，再由外角的性质得，再由平行线的性质得，最后由可得答案． 【详解】 解：如图， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 10．（25-26学年八上·甘肃平凉庄浪县·期中）如图，，，B点在的垂直平分线上，若，则为（　　） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】C 【分析】 根据垂直平分线的性质：垂直平分线上的点，到线段两端点的距离相等，以及外角的性质，和的直角三角形的性质进行计算即可． 【详解】 解：∵B点在的垂直平分线上， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴； 故选C． 【点睛】 本题考查垂直平分线的性质，外角的性质，以及含角的直角三角形．熟练掌握垂直平分线的性质，以及所对的直角边是斜边的一半，是解题的关键． 11．（25-26学年八上·甘肃张掖二中教·期中）如图，是等腰三角形，且顶角，是的垂直平分线，则有：①平分；②；③；④的周长，其中正确的有（　　）个． A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】C 【分析】 本题考查了等腰三角形的判定和性质、线段垂直平分线的性质以及三角形的周长，熟练掌握相关知识是解题的关键．根据线段垂直平分线的性质，可判断① ，根据等腰三角形的判定，即等角对等边，可判断② ，根据，可判断③ ，先根据线段垂直平分线的性质得与的关系，再等量代换即可判断④ ，最后对各个选项逐项分析即可． 【详解】 解：是等腰三角形，且顶角， ， 是的垂直平分线， ， ， ， 平分，故正确； ，， ， ，故正确； ， ，故错误； ， ， 的周长，故正确． 正确的结论有个． 故选C． 12．（25-26学年八上·甘肃陇南西和县）如图，在中，，，，若，则的长为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了含30度角的直角三角形，熟练掌握含30度角的直角三角形的性质是解题的关键．先在中，利用含30度角的直角三角形的性质可得，再根据垂直定义可得，然后利用直角三角形的两个锐角互余可得，从而在中，利用含30度角的直角三角形的性质进行计算，即可解答． 【详解】 解：， ， ， ， ， ， 故选：B． 13．（25-26学年八上·甘肃天水甘谷县·期中）如图，在中，为边的中线，E为上一点，连接并延长交于点F，若，，则的长为（     ） A.  B. 3 C. 4 D. 2 【答案】B 【分析】 本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质．延长至，使，连接，根据证明，则，根据可得，由此可得，即可得出，然后利用线段的和差即可求出的长．正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 【详解】 如图，延长至G，使，连接， 在和中 ， ， ． ，， ， ， ， ． ， ， ． 故选：B 14．（25-26学年八上·甘肃临夏州·期中）纪信祠位于甘肃天水市，又名天水城隍庙，是省级文物保护单位．如图①是该建筑梁架示意图，其顶部可以看作等腰（如图②），已知，则下列不能说明的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 考查等腰三角形“三线合一”、全等三角形性质．关键是区分等腰三角形角相等的固有性质与能推出线段相等的“三线合一”条件，易错点是误将当作推的依据． 逐一分析选项： 选项A、B：由等腰三角形“三线合一”，可推出； 选项C：是的固有性质，无法推出； 选项D：由全等三角形对应边相等，可推出． 【详解】 选项A：若，根据等腰三角形“三线合一”的性质，可得． 选项B：若，即是角平分线，结合，根据“三线合一”，可得． 选项C：是等腰三角形的固有性质，无法直接推出． 选项D：若，根据全等三角形对应边相等，可得． 综上，不能说明的是选项C． 故选：C． 15．（25-26学年八上·甘肃平凉庄浪县·期中）如图，点是等腰直角腰上的中点，，关于对称，且交于，交于，连接，，下列说法：①；②；③；④，正确的个数是（       ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【分析】 连接，即可得到，进而得出，判定是等腰直角三角形，即可得到，即；由，可得；依据与不全等，即可得到；假设， 可得，这与矛盾，由此可得． 【详解】 解：如图，连接，    ∵B、关于对称， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，即，故②正确； 由，可得，故③正确； ∵， ∴与不全等， ∴， ∴，故④错误； 假设，则， 又∵， ∴，这与矛盾， ∴假设不成立， ∴ 故选B． 【点睛】 本题主要考查了轴对称的性质以及全等三角形的判定与性质的运用，如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． 16．（25-26学年八上·甘肃平凉庄浪县·期中）如图，已知直线于点O，点A，B分别在，上，，，在直线或直线上找一点C，使是等腰三角形，则这样的C点有（     ） A. 3个 B. 4个 C. 7个 D. 8个 【答案】D 【分析】 本题考查了等腰三角形的判定；根据等腰三角形的判定分类别分别找寻，分可能为底，可能是腰进行分析． 【详解】 解：使是等腰三角形， 当当底时，则作的垂直平分线，交的有两点，即有两个三角形． 当让当腰时，则以点A为圆心，为半径画圆交有三点，所以有三个． 当以点B为圆心，为半径画圆，交有三点，所以有三个． 所以共8个． 故选：D． 17．（25-26学年八上·甘肃张掖二中教·期中）如图，在中，，，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据三角形的内角和定理求出，根据全等三角形的性质得出，，，求出，求出的度数即可． 【详解】 解：∵在中，，， ∴， ∵， ∴，，， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】 本题考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理的应用，三角形外角的性质，等腰三角形的性质等知识点，能熟记全等三角形的性质的内容是解题的关键，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等． 18．（25-26学年八上·甘肃武威凉州区凉州区谢河中学·期中）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交BC于点D，则下列说法中正确的个数是 ①AD是∠BAC的平分线；②∠ADC=60°；③点D在AB的中垂线上；④S△DAC：S△ABC=1：3． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【详解】 ①根据作图的过程可知，AD是∠BAC的平分线．故①正确． ②如图，∵在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°， ∴∠CAB=60°． 又∵AD是∠BAC的平分线， ∴∠1=∠2=∠CAB=30°， ∴∠3=90°﹣∠2=60°，即∠ADC=60°．故②正确． ③ ∵∠1=∠B=30°， ∴AD=BD． ∴点D在AB的中垂线上．故③正确． ④ ∵如图，在直角△ACD中，∠2=30°， ∴CD=AD． ∴BC=CD+BD=AD+AD=AD，S△DAC=AC•CD=AC•AD． ∴S△ABC=AC•BC=AC•AD=AC•AD． ∴S△DAC：S△ABC．故④正确． 综上所述，正确的结论是：① ② ③ ④，共有4个． 故选D． 19．（25-26学年八上·甘肃定西安定区·期中）如图，在中，，，则的度数是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了等腰三角形的性质、三角形的外角性质等知识，熟练掌握等腰三角形的性质是解题关键． 先根据等腰三角形的性质可得，，再根据三角形的外角性质求解即可得． 【详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， 故选：A． 20．（25-26学年八上·甘肃定西通渭县·期中）如图，在中，，，平分交于点D，点E、F分别是线段、上的动点，则的最小值为（       ）． A. 2 B. 3 C. 6 D. 9 【答案】B 【分析】 本题主要考查了等边对等角，三角形内角和定理，全等三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，根据等边对等角和三角形内角和定理可求出；在线段上截取，连接，可证明，得到，则当C、E、H三点共线，且时，有最小值，即此时有最小值，最小值为线段的长，据此利用含30度角的直角三角形的性质求解即可． 【详解】 解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； 如图所示，在线段上截取，连接， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴当C、E、H三点共线，且时，有最小值，当，即此时有最小值，最小值为线段的长， 在中，， ∴， ∴的最小值为3， 故选：B． 21．（25-26学年八上·甘肃定西通渭县·期中）如图，是的角平分线．按以下步骤作图：①以点为圆心，适当长为半径画弧，与边相交于点，与边相交于点；②以点为圆心，长为半径画弧，与边相交于点；③以点为圆心，长为半径画弧，与第②步中所画的弧相交于点；④作射线，与相交于点，与边相交于点．则下列结论一定正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题主要查了尺规作图，等腰三角形的判定，三角形外角的性质．由作法可得：，再结合三角形外角的性质，等腰三角形的判定解答，即可． 【详解】 解：由作法得：， 根据题意无法得到与的大小关系， 所以无法确定与的大小关系，故A选项错误； ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴，故D选项正确； 题干中没有说明的大小关系， ∴无法判断的大小关系，则无法得到的度数，故B选项错误； 根据题意无法得到的大小关系，故C选项错误； 故选：D 22．（25-26学年八上·甘肃定西临洮县·期中）如图，在中，，分别是和的平分线，过点E作交于D，交于F，若，，则的周长为（       ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 10 【答案】B 【分析】 根据角平分线定义可得，，根据平行线的性质可得，，等量代换得到，，然后根据等角对等边求出，，再利用三角形的周长公式，等量代换求出答案即可． 【详解】 解：∵、分别是和的平分线， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， 故选：B． 【点睛】 本题考查了角平分线定义，平行线的性质，等角对等边，求得，是解答此题的关键． 23．（25-26学年八上·甘肃定西临洮县·期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交AC于点D，连接BD，则下列结论不一定成立的是（　　） A. BC＝BD B. ∠BDC＝∠ABC C. ∠A＝∠CBD D. AD＝BD 【答案】D 【分析】 根据等腰三角形的性质判断即可． 【详解】 解：∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB， 又∵BC、BD是以点B为圆心，BC长为半径圆弧的半径， ∴BC＝BD，故A成立； ∵BC＝BD， ∴∠BDC＝∠BCD， ∴∠BDC＝∠ABC，故B成立； ∵∠ABC＝∠ACB＝∠BDC， ∴∠A＝∠CBD，故C成立； 若∠A＝30°，则∠ABC＝∠ACB＝75°， ∵∠A＝∠CBD＝30°， ∴∠ABD＝75°﹣30°＝45°， ∴∠ABD≠∠A， ∴AD≠BD，故D不一定成立； 故选：D． 【点睛】 本题主要考查等腰三角形的性质，掌握等边对等角是解题的关键，注意三角形内角和定理的应用． 24．（25-26学年八上·甘肃定西临洮县·期中）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD是∠CAB的角平分线，DE⊥AB于点E，若AB=6cm，则△DEB的周长是(        ) A. 5cm B. 6cm C. 7cm D. 8cm 【答案】B 【分析】根据角平分线的性质得到DC=DE，AC=AE，根据三角形的周长公式计算即可． 【详解】∵AD是∠CAB的角平分线,DE⊥AB,∠C=90°， ∴DC=DE，AC=AE， ∴△DEB的周长=DE+BE+BD=BE+DC+BD=BE+BC=BE+AE=AB=6cm， 故选B. 【点睛】此题考查角平分线的性质，等腰直角三角形，解题关键在于掌握计算公式. 25．（25-26学年八上·甘肃陇南西和县）下列条件①；②；③；④边上的高线和中线重合；⑤和边上的高相等；能确定为等腰三角形的是（     ） A. ②③⑤ B. ①②③④ C. ①②⑤ D. ①②④⑤ 【答案】D 【分析】 本题考查了等腰三角形的判定，根据等角对等边、三线合一及面积法，逐一分析各条件是否充分，即可判断，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】 解：①，则为等腰三角形，故① 符合题意； ②，则为等腰三角形，故② 符合题意； ③，不能确定为等腰三角形，故③ 不符合题意； ④边上的高线和中线重合，则为等腰三角形，故④ 符合题意； ⑤和边上的高相等，则为等腰三角形，故⑤ 符合题意； 综上，符合题意的有：① ② ④ ⑤ ， 故选：D． 26．（25-26学年八上·甘肃陇南）下列条件：①；②；③；④边上的高线和中线重合；⑤和边上的高相等．能确定为等腰三角形的是（　　） A. ②③⑤ B. ①②③④ C. ①②⑤ D. ①②④⑤ 【答案】D 【分析】 本题考查了等腰三角形的判定定理，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，根据等腰三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质逐项分析即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】 解：① ∵， ∴，故为等腰三角形，符合题意； ②能确定为等腰三角形，符合题意； ③只能说明和互余，无法得出和相等，不能确定为等腰三角形，不符合题意； ④边上的高线和中线重合，根据线段垂直平分线的性质，得出能确定为等腰三角形，符合题意； ⑤和边上的高相等，设边上的高，边上的高为，则，结合，，能确定为等腰三角形，符合题意； 综上所述，能确定为等腰三角形的是① ② ④ ⑤ ， 故选：D． 27．（25-26学年八上·甘肃武威·期中）如图，，，，下列结论正确的有（       ）    ①平分；                                        ②； ③；                                        ④． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【分析】 根据已知，，想到构造一个等腰三角形，所以延长，在的延长线于取点，使得，就得到，然后再证明，就可以判断出平分，再由角平分线的性质想到过点作，交的延长线于点，从而证明，即可判断． 【详解】 解：延长，在的延长线于取点，使得，过点作，交的延长线于点，    ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分，故① 正确； ∵， ∴， ∴，故② 正确； ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，故③ 错误； ∵， ∴，故④ 正确； 故正确的由① ② ④ ，共3个． 故选：C． 【点睛】 本题主要是考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的性质，等腰三角形的性质等知识，综合运用全等三角形的判定和性质以及角平分线的性质，是求解该类问题的关键． 28．（25-26学年八上·甘肃吴家井中学·期中）如图，在中，，点D在边上，，点E在边上，，过点E作交于点F，若，，则的长为（     ） A. 3 B. 4 C. 4.2 D. 5 【答案】B 【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质，以及平行线的判定与性质，解决本题的关键是作辅助线构造全等三角形 ．作辅助线，延长至点G，使得，连接，延长交的延长线于点H，再设，根据角度的关系以及边的关系判定与全等，由此可解 ． 【详解】 解： 延长至点G，使得，连接，延长交的延长线于点H，如图， 设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是的外角， ∴， ∵，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， 在与中， ， ∴， ∴， ∴． 故选：B ． 29．（25-26学年八上·甘肃吴家井中学·期中）如图，在四边形中，与交于点，，，，平分．下列结论：①；②；③；④．其中结论正确的有（       ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【分析】 本题主要运用等腰直角三角形的性质、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的判定与性质；过点D作交于点F，证出，得到，得到是等腰直角三角形，即可求出① ；根据题意得到，求出，得到，求出，，即可判断② 和④ ；过点E作于点H，证出，得到，求出是等腰直角三角形，得到，得到，即可判断③ ；从而求出结论． 【详解】 解：① 过点D作交于点F，如图1所示： 则， 是等腰直角三角形， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， 故结论① 正确； ②是等腰直角三角形， ， ， ， ， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故结论② 和④ 正确； ③ 过点E作于点H，如图2所示： ∵AC平分 ∴ 在和中， ， ∴ ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵ ∴， 故结论③正确； ∴结论正确的有4个； 故选：D． 30．（25-26学年八上·甘肃武威凉州区凉州区柏树中学·期中）如图，在中，，，是角平分线，过点作，且，连接分别交，于，两点，，分别是线段，线段上的两个动点，连接，则下列结论：①②③；④．其中正确的个数是（     ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，角平分线的定义等知识，证明三角形全等是解题的关键． ① 根据条件证明，利用互余的角即可得出结论； ② 利用等角的余角相等和对顶角相等，再利用等角对等边即可得出结论； ③ 根据条件证明，得出，再利用等量代换即可得出结论； ④ 连接，过点作于点，利用直角三角形斜边中线定理和线段的垂直平分线进行求解即可． 【详解】 解：① ∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故① 正确，符合题意； ② 由① 得， ∴， ∵平分， ∴， 又∵，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故② 正确，符合题意； ③ ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 故③ 正确，符合题意； ④ 如图，连接，过点作于点， ∵，， ∴， ∵，， ∴垂直平分线段， ∴， ∴， ∵点是线段上的动点， ∴， ∴， 故④ 正确，符合题意； 综上，正确选项为：① ② ③ ④ ， 故选：D． 31．（25-26学年八上·甘肃天水甘谷县·期中）已知等腰三角形的一个内角为50°，则顶角为　　　　　　　　　　　　度． 【答案】50或80 P或50 【分析】 已知等腰三角形的一个内角为50°，根据等腰三角形的性质可分情况解答：当50°是顶角或者50°是底角两种情况． 【详解】 解：此题要分情况考虑： ① 50°是它的顶角； ② 50°是它的底角，则顶角是． 故答案为：50或80． 【点睛】 本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理；若题目中没有明确顶角或底角的度数，做题时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答问题的关键． 32．（25-26学年八上·甘肃陇南西和县）在中，，求该三角形和的度数． 【答案】 【分析】 本题考查等边对等角，三角形的内角和定理，根据等边对等角结合三角形的内角和定理进行求解即可． 【详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴． 33．（25-26学年八上·甘肃定西·期中）如图，点E，F在BC上，BE＝CF，∠A＝∠D，∠B＝∠C，AF与DE交于点O． （1）求证：AB＝DC； （2）试判断△OEF的形状，并说明理由． 【答案】证明：（1）∵BE＝CF， ∴BE＋EF＝CF＋EF，即BF＝CE．         又∵∠A＝∠D，∠B＝∠C， ∴△ABF≌△DCE（AAS），         ∴AB＝DC．                                  （2）△OEF为等腰三角形                  理由如下：∵△ABF≌△DCE， ∴∠AFB=∠DEC． ∴OE=OF． ∴△OEF为等腰三角形． 【详解】 略 34．（25-26学年八上·甘肃武威·期中）（多选）已知：如图，AB＝AC，BD＝CE．求证：AD＝AE． 【答案】证明：∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB． 在△ADB和△AEC中， ∴△ADB≌△AEC（SAS）． ∴AD＝AE． 【分析】 根据等边对等角，先证角相等，利用边角边证明△ADB≌△AEC，即可证明结论。 【详解】 略 【点睛】 本题主要是考查了等边对等角以及全等三角形的判定和性质，熟练利用等边对等角，证明角相等，并根据已知条件，证明三角形全等，是解决该问题的关键。 35．（25-26学年八上·甘肃武威·期中）若等腰三角形的一个角为，则底角为　　　　　　　　． 【答案】或 【分析】 本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，由于等腰三角形的一个角为，但未指明是顶角还是底角，因此需分两种情况讨论：当是顶角时，底角为；当是底角时． 【详解】 解：分以下两种情况： 情况一：若是顶角，则底角为； 情况二：若是底角，则另一个底角也为． 因此，底角为或． 故答案为：或． 36．（25-26学年八上·甘肃武威·期中）如图，在四边形ABCD中，AD⊥AB且AD＝AB＝CD，连接AC． （1）尺规作图：作∠ADC的平分线DE交AC于点E；（保留作图痕迹，不写作法．） （2）在（1）的基础上，若AC⊥BC，求证：DE＝2BC． 【答案】（1） 解：如图，射线AE即为所求．      （2） 证明：∵DA＝DC，DE平分∠ADC， ∴AE＝EC，DE⊥AC， ∴AC＝2AE， ∵AD⊥AB，AC⊥CB， ∴∠AED＝∠DAB＝∠ACB＝90°， ∴∠DAE+∠BAC＝90°，∠BAC+∠B＝90°， ∴∠DAE＝∠B， 在△DEA和△ACB中， ， ∴△DEA≌△ACB（AAS）， ∴DE＝AC，AE＝BC， ∴DE＝2BC．      【分析】 （1）根据要求作出图形即可； （2）证明△DEA≌△ACB（AAS），推出DE＝AC，AE＝BC，可得结论． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 【点睛】 本题考查作图﹣基本作图，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 37．（25-26学年八上·甘肃金昌永昌县·期中）如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于点F，且BE=CF，求证AD⊥BC． 【答案】证明：∵D是BC的中点， ∴BD=CD， ∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于点F， ∴在Rt△BDE和Rt△CDF中， ， ∴， ∴DE=DF， ∴点D在∠BAC的角平分线上， ∴∠BAD=∠CAD， ∵DE=DF，AD=AD， ∴， ∴， ∴，即△ABC是等腰三角形， ∵D是BC的中点， ∴AD⊥BC． 【分析】 先用HL证明△BDE≌△CDF，则有DE=DF，然后根据角平分线的判定定理及全等三角形可求证． 【详解】 略． 【点睛】 本题主要考查直角三角形全等的判定与性质、角平分线的判定定理及等腰三角形的判定与性质，熟练掌握直角三角形全等的判定与性质、角平分线的判定定理及等腰三角形的判定与性质是解题的关键． 38．（25-26学年八上·甘肃金昌永昌县·期中）已知等腰三角形一腰上的高线长等于腰长的一半，则这个等腰三角形的顶角的度数为　　　　　　 【答案】30°或150° 【分析】 根据题意可作图进行分类求解即可． 【详解】 解：由题意得： ① 如图，当AB=AC，CD⊥AB时，    ∴AC=2CD， ∴∠A=30°； ② 如图，    ∵AB=BC，AD⊥BC，AB=2AD， ∴∠ABD=30°， ∴∠ABC=150°； 故答案为30°或150°． 【点睛】 本题主要考查等腰三角形的定义及含30°直角三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的定义及含30°直角三角形的性质是解题的关键． 39．（25-26学年八上·甘肃武威凉州区凉州区柏树中学·期中）两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．如图，四边形是一个筝形，其中，，在探究筝形的性质时，得到如下结论：①；②；③四边形的面积；④．其中正确的结论有　　　　　　． 【答案】① ② ③ ④ 【分析】 本题考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的三线合一的性质的应用，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． 根据等边证得，得到，再根据等腰三角形的性质求得，；四边形的面积分解为三角形和的面积求解． 【详解】 解：在与中， ， ，故①正确； ， ， ，，故② ④正确； 四边形的面积，故③正确． 故答案为：① ② ③ ④． 40．（25-26学年八上·甘肃庆阳·期中）如图，在中，和的平分线交于点，过点作交于，交于N，若，则线段的长为　　　　　 ． 【答案】7 【分析】 本题考查平行线的性质，等角对等边的性质，角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键，根据角平分线的定义和平行线的性质可得，从而可得，进而得到． 【详解】 解：∵和的平分线交于点， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴， 故答案为：7． 41．（25-26学年八上·甘肃张掖二中教·期中）如图，已知中，，，，设，则 　　　　　　　． 【答案】厘米 【分析】 本题考查了含直角三角形的性质以及同角的余角相等，熟练掌握含直角三角形的性质是解题的关键．先根据同角的余角相等证得，然后利用含直角三角形的性质求出的长，进而求出的长，最后利用线段和差关系求出的长． 【详解】 解：如图， 中，，，， （同角的余角相等）， 在中，， 在中，， ． 故答案为：． 42．（25-26学年八上·甘肃张掖二中教·期中）等腰三角形的一个角是50°，那么它的另外两个角分别为　　　　　　　　　　． 【答案】，或，． 【分析】 分两种情况：当顶角为时，当底角为时，根据三角形内角和定理求出答案． 【详解】 解：∵等腰三角形的两个底角相等， ∴当顶角为时，两个底角都为， 当底角为时，另一底角为，顶角为， 故答案为：，或，． 【点睛】 此题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟记等腰三角形两个底角相等的性质是解题的关键． 43．（25-26学年八上·甘肃定西安定区·期中）如图，中，，垂直平分，交于点，交于点． （1）若，，求的周长； （2）若，求的度数． 【答案】（1）16     （2）      【分析】 本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形外角的性质等知识点．熟练掌握线段垂直平分线的性质是解（1）的关键，利用等腰三角形的判定与性质和三角形外角的性质得出是解（2）的关键． （1）由等边对等角可知，由线段垂直平分线的性质可知，进而可求的周长； （2）由可知，由外角性质可得，由可证，然后利用三角形内角和等于列式求解即可． (1) 小问详解： 解： 中，， ， 垂直平分， ， 又， 的周长为： ． (2) 小问详解： 解：， ， ， ， ， ， 又， ， ，    ， ． 44．（25-26学年八上·甘肃武威凉州区·期中）若等腰三角形的一个角为，则顶角为　　　　　　． 【答案】或 【分析】 本题考查等边对等角，三角形的内角和定理，分顶角为和底角为两种情况进行讨论求解即可． 【详解】 解：① 顶角为； ② 当底角为时，顶角的度数为； 故答案为：或． 45．（25-26学年八上·甘肃定西通渭县·期中）如图，在中，，，于A，，求的长． 【答案】18 【分析】 先求解，再利用含的直角三角形的性质求解 再证明 从而可得答案. 【详解】 解：∵ ，， ∴． ∵，， ∴，， ∴， ∴． 【点睛】 本题考查的是等腰三角形的判定与性质，含的直角三角形的性质，证明是解本题的关键. 46．（25-26学年八上·甘肃定西通渭县·期中）如图，在中，，，平分交于点D．过点A作，交的延长线于点E． （1）求的度数； （2）判断的形状，并说明理由． 【答案】（1）     （2） 解：为等腰三角形，理由如下： ∵， ∴， 由（1）知， ∴， ∴， ∴是等腰三角形．      【分析】 本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义，熟知等腰三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）根据等边对等角和三角形内角和定理可得的度数，再由角平分线的定义可得的度数，再由三角形外角的性质可得答案； （2）根据平行线的性质可得的度数，则可证明，据此可得结论． (1) 小问详解： 解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴． (2) 小问详解： 略 47．（25-26学年八上·甘肃陇南）如图，在中，，分别平分，，过作直线平行于，交，于，，求证： 【答案】证明：∵，分别平分，， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【分析】 本题考查了角平分线的定义和性质，平行线的性质，能灵活运用知识点进行推理是解此题的关键．根据角平分线的定义得出根据平行线的性质得出求出根据等腰三角形的判定得出即可． 【详解】 略 48．（25-26学年八上·甘肃陇南）如图，点是的边上一点，，，． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1） 证明： ， 即 ， 在和中， ； ；     （2）      【分析】 （1）根据已知条件得出，进而证明，即可得证； （2）根据全等三角形的性质得出，由得出，继而根据平角的定义即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 由（）知：， ， ， ， ． 【点睛】 本题考查了全等三角形的性质与判定，等边对等角，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． 49．（25-26学年八上·甘肃定西临洮县·期中）在中，，若，则的长为　　　　　　　． 【答案】5 【分析】 本题考查了含度角的直角三角形的性质．根据含度角的直角三角形的性质直接可得结果． 【详解】 解：如图所示，    ∵中，，若， ∴， 故答案为：5． 50．（25-26学年八上·甘肃定西临洮县·期中）已知：△ABC内部一点O到两边AB、AC所在直线的距离相等，且OB=OC． 求证：AB=AC． 【答案】证明：在Rt△BOF和Rt△COE中， ， ∴Rt△BOF≌Rt△COE（HL）， ∴∠FBO=∠ECO， ∵OB=OC， ∴∠CBO=∠BCO， ∴∠ABC=∠ACB， ∴AB=AC. 【分析】 先证明Rt△BOF≌Rt△COE，根据全等三角形的性质得到∠FBO=∠ECO，根据等腰三角形的性质得到∠CBO=∠BCO，得到∠ABC=∠ACB，根据等腰三角形的判定定理证明结论. 【详解】 略 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质. 51．（25-26学年八上·甘肃陇南西和县）如图，在中，，，的垂直平分线交于点、交于点，若，求的长． 【答案】 【分析】 本题考查中垂线的性质，含30度角的直角三角形，连接，根据中垂线的性质，得到，根据含30度角的直角三角形的性质，得到，再根据线段的和差关系进行求解即可． 【详解】 解：连接， ∵的垂直平分线交于点、交于点， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 52．（25-26学年八上·甘肃陇南西和县）如图，在梯形中，是中点，平分，求证：． 【答案】证明：如下图，延长，交延长线于点F， 是中点， ， ， ， ， ， ， ∵梯形 ， ， ， 平分， ， ， ， ． 【分析】 本题主要考查了平行线的性质、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，正确作出辅助线是解题关键．延长，交延长线于点F，证明，由全等三角形的性质可得，结合，即可证明，进而证明． 【详解】 略 53．（25-26学年八上·甘肃陇南西和县）如图，平分，且，则是怎样的特殊三角形，并说明理由． 【答案】等腰三角形，理由见解析 【分析】 本题考查了角平分线的定义，平行线的性质及等腰三角形的判定， 根据平分得出，利用得出，从而得出，即可得出结论． 【详解】 解：是等腰三角形， 理由：平分， ， ， ， ， 是等腰三角形． 54．（25-26学年八上·甘肃陇南西和县）如图，在中，，，，则的度数为　　　　　　　　　　　． 【答案】H度 【分析】 本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质．设，根据等腰三角形的性质可得，再结合三角形外角的性质可得，可求出x的值，即可． 【详解】 解：设， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴． 故答案为： 55．（25-26学年八上·甘肃陇南西和县）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，边AB的垂直平分线交AC于点D，垂足为点O，连接BD，则∠DBC的度数为　　　　　°． 【答案】30 【分析】 先根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算出∠ABC＝70°，再根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DB，则∠DBA＝∠A＝40°，然后计算∠ABC﹣∠DBA即可． 【详解】 解：∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣∠A）＝×（180°﹣40°）＝70°， ∵OD垂直平分AB， ∴DA＝DB， ∴∠DBA＝∠A＝40°， ∴∠DBC＝∠ABC﹣∠DBA＝70°﹣40°＝30°． 故答案为30． 【点睛】 本题考查了等腰三角形的性质：等腰三角形的两腰相等；等腰三角形的两个底角相等．也考查了线段垂直平分线的性质． 56．（25-26学年八上·甘肃陇南）如图，在中，，，的垂直平分线交于点D、交于点E，若，求的长． 【答案】6 【分析】 该题考查了线段垂直平分线的性质，含的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，连接，根据线段垂直平分线的性质得出，求出，再根据直角三角形的性质即可求解． 【详解】 解：连接， ∵是的垂直平分线，， ∴， ∴， ∵在中，，， ∴， ∴． 57．（25-26学年八上·甘肃陇南）在中，，，求该三角形和的度数． 【答案】 【分析】 此题考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理等知识，正确理解以上知识是解题的关键． 根据等腰三角形的性质得到，然后根据三角形内角和定理计算即可． 【详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴． 58．（25-26学年八上·甘肃吴家井中学·期中）如图，在中，，点在上，，，垂足分别为、，且． （1）求证：； （2）求证：． 【答案】（1） 证明：∵，，且， ∴是的角平分线， ∵， ∴；     （2） 证明：∵，，且， ∴是的角平分线， ∴．      【分析】 本题考查角平分线判定定理，等腰三角形三线合一，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）先根据角平分线的判定得出是的角平分线，然后根据等腰三角形的性质即可得出答案； （2）因为，，且，由角平分线判定定理可得． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 59．（25-26学年八上·甘肃天水甘谷县·期中）如图，是等边三角形的中线，，则　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了等腰三角形的三线合一定理、等边对等角、三角形内角和定理，根据等腰三角形的三线合一定理可知，，根据等腰三角形的两个底角相等可以求出，根据角之间的关系可以求出的度数． 【详解】 解：是等边三角形， ， 是等边三角形的中线， ，， ， ， ． 故答案为：． 60．（25-26学年八上·甘肃天水甘谷县·期中）如图，在中，，，平分，交于点． （1）求证：． （2）如图，若的角平分线交于点，求证：． （3）如图，若的外角平分线交的延长线于点，则（2）中的结论是否成立？若成立，给出证明，若不成立，写出正确的结论． 【答案】（1） 证明：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴；     （2） 证明：如图：过点E作交于点F， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵是的平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴；     （3）不成立，正确的结论是．      【分析】 （1）根据三角形内角和可得，利用角平分线得出，由等角对等边即可证明； （2）过点E作交于点F，根据平行线的性质可得，由等量代换、外角的性质及等角对等边可得，，依据全等三角形的判定和性质可得，，，结合图形，由线段间的数量关系进行等量代换即可证明； （3）（2）中的结论不成立，正确的结论是．过点A作交于点F，由平行线的性质及等量代换可得，根据等角对等边得出，由角平分线可得，结合图形根据各角之间的数量关系得出，由等角对等边可得，结合图形进行线段间的等量代换即可得出结果． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：（2）中的结论不成立，正确的结论是．理由如下： 如图，过点A作交于点F， ∴， ∴， ∴， ∵是的外角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】 题目主要考查等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，利用角平分线进行角度的计算，平行线的性质，三角形内角和定理等，理解题意，作出相应辅助线，综合运用这些知识点是解题关键． 61．（25-26学年八上·甘肃陇南武都区·期中）如图，是等边三角形，是中线，延长至E，使，，垂足为点F． （1）求证：是等腰三角形； （2）若，求的周长． 【答案】（1） 证明：等边三角形，是中线； ∴，平分 ∴ ∵ ∵， ∴ 即 ∴ ∴ ∴是等腰三角形；     （2）48      【分析】 本题主要考查了等边三角形的性质，三线合一，直角三角形中所对的边是斜边的一半等知识点，解决此题的关键是熟练运用以上知识点． （1）根据等边三角形的性质可知，再证明，即可得出结论； （2）由可得出，故可得出的长，进而可得出结论． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解∵， ∴ ∴， ∴周长：． 62．（25-26学年八上·甘肃陇南武都区·期中）学习了等腰三角形的相关知识，小陇同学就想探究等腰三角形中的全等问题，以下是他的探究过程： 探究一：特殊的线 如图1，在中，，点D，E分别是，上的点，连接，． ①，分别是，边上的中线； ②，分别是，边上的高线； ③，分别是，的平分线． 小陇认为以上三种情况都能证明．你是否赞成小陇的观点？若不赞成，请说明理由；若赞成，请任选一种情况证明； 探究二：特殊的点 如图2，在中，，点F是的中点，点G，H分别是，上的点，小陇认为只要保证，那么就成立，你是否赞成小陇的观点？若不赞成，请说明理由；若赞成，请证明． 【答案】解：探究一：赞成； 选① ．，分别是，边上的中线， ，． ， ，． 在与中， ， ； 选② ：∵，分别是，边上的高线， ∴， ， ， 在与中， ， ； ③， ， ∵，分别是，的平分线， ∴，， ∴， 在与中， ， ； 探究二：不赞成； ， ， 点是的中点， ． 若要使，则应使，而并不能保证． 小陇的观点不正确． 【分析】 本题考查了角平分线的定义，等边对等角，三角形全等的判定定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 探究一：利用全等三角形的判定定理证明即可得解； 探究二：由等边对等角可得，由题意可得，若要使，则应使，而并不能保证，即可得解． 【详解】 探究一：略 探究二：略 63．（25-26学年八上·甘肃陇南武都区·期中）如图，在中，边的垂直平分线交于点边的垂直平分线交于点E． （1）若的周长为，求的长； （2）若，求的度数． 【答案】（1）；     （2）      【分析】 本题考查的是线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质．熟记线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． （1）根据线段垂直平分线的性质得到，根据三角形的周长公式计算即可； （2）根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质进行计算． (1) 小问详解： 解：是边的垂直平分线， ， 是边的垂直平分线， ， ， 的周长为即, ； (2) 小问详解： ， ， ， ， ． 64．（25-26学年八上·甘肃武威·期中）如图，在中，，，是上的中线，E是的中点，连接． （1）求证：为等边三角形； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵，，是上的中线， ∴，，， ∴， ∴为等边三角形；     （2）6      【分析】 此题考查了等腰三角形的三线合一的性质，等边对等角的性质，等边三角形的判定，熟记各性质是解题的关键． （1）首先根据三角形内角和定理和等边对等角得到，然后根据等腰三角形三线合一性质得到，进而得到，即可证明出为等边三角形； （2）利用角直角三角形的性质求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ∵，， ∴． 65．（25-26学年八上·甘肃武威·期中）如图，在中，平分交BC于点D，，，垂足为E、F．    （1）若，，求的长度； （2）连接，求证：． 【答案】（1）4     （2） 证明：如图所示，连接，    ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴．      【分析】 此题考查了角平分线的性质定理，等边对等角性质，三角形面积公式等知识， （1）首先根据三角形面积公式求出，然后利用角平分线的性质定理求解即可； （2）连接，根据等边对等角得到，然后结合得到，即可证明． 解题的关键是熟练掌握角平分线的判定定理：角的内部到角两边相等的点在角的平分线上． (1) 小问详解： ∵，， ∴，即 解得 ∵平分交BC于点D，，， ∴， (2) 小问详解： 略 66．（25-26学年八上·甘肃武威·期中）如图，在中，，的垂直平分线交于点，垂足为，平分，若，则的长为　　　　　　． 【答案】1 【分析】 本题考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、含30度角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握含30度角的直角三角形的性质是解题关键．先根据线段垂直平分线的性质可得，再根据等腰三角形的性质可得，则可得，，然后根据含30度角的直角三角形的性质求解即可得． 【详解】 解：是的垂直平分线，， ∴， ∴， 平分， ，， ∴， 又∵， ∴在中，， 故答案为：1． 67．（25-26学年八上·甘肃临夏州·期中）如图，是一副叠放在一起的三角板，若，则阴影部分的面积为　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 此题主要考查了含角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质，正确得出，的长是解题关键． 直接利用直角三角形的性质得出的长，进而得出的长，即可得出答案． 【详解】 解：，，， ， ， ， ， 阴影部分的面积为：． 故答案为：． 68．（25-26学年八上·甘肃临夏州·期中）如图，在中，D、E分别是、上的点，连接，并延长至点F，连接，使得，已知，，求证：是等腰三角形． 【答案】证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 【分析】 本题考查等腰三角形的性质与判定、平行线的性质．准确推导各角之间的等量关系，将已知条件逐步转化为证明两边相等的依据，是解题关键； 首先由得出．接着因为，根据平行线的性质得到，进而推出，再利用对顶角相等得到．又因为已知，所以，最后根据“等角对等边”得出，从而证明是等腰三角形． 【详解】 略 69．（25-26学年八上·甘肃金昌永昌县·期中）已知：中，的角平分线相交于点D，过D作交于点E，交于点F．求证：． 【答案】证明：∵平分，平分， ， ， ， ， ，， ， 即． 【分析】 本题考查了角平分线定义，平行线性质，等腰三角形的判定的应用，注意：等角对等边． 根据角平分线定义和平行线性质求出，推出，同理得出，即可求出答案． 【详解】 略 70．（25-26学年八上·甘肃金昌永昌县·期中）（多选）如图，△ABC和△ADE都是等腰三角形，且∠BAC=90°，∠DAE=90°，B，C，D在同一条直线上． 求证：（1）BD=CE （2） BD⊥CE 【答案】（1）证明： ∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形， ∴AB=AC， AD=AE． 又∵∠EAC=90°+∠CAD，∠DAB=90°+∠CAD， ∴∠BAD=∠CAE． 在△ADB和△AEC中， ， ∴△BAD≌△CAE（SAS）． ∴BD=CE． （2）证明： ∵△ABC是等腰直角三角，∠BAC=90°， ∴ ∠ABC=∠ACB=45°， ∵ △BAD≌△CAE ∴ ∠ACE=∠ABC=45°， ∴ ∠BCE=∠ACE+∠ACB=90°， ∴BD⊥CE． 【分析】 （1）根据等腰三角形的性质可得出AB=AC、AD=AE，由∠BAC=∠DAE=90°可得出∠BAD=∠CAE，由此即可证出△BAD≌△CAE（SAS），根据全等三角形的性质即可得出BD=CE； （2）根据等腰直角三角形的性质可得出∠ABC=∠ACB=45°，根据全等三角形的性质可得出∠ACE=∠ABC=45°，进而即可得出∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°，即BD⊥CE． 【详解】 （1）略 （ 2 ）略 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及等腰直角三角形，解题的关键是：（1）利用全等三角形的判定定理SAS证出△BAD≌△CAE；（2）根据等腰直角三角形的性质结合全等三角形的性质找出∠ACB=∠ACE=45°． 71．（25-26学年八上·甘肃金昌永昌县·期中）如图，在△ABC中，点D为BC上一点，E、F两点分别在边AB、AC上，若BE=CD,BD=CF, ∠B=∠C,∠A=50°,求∠EDF的度数． 【答案】65° 【分析】先证明△BDE≌△CFD，可得∠BDE=∠CFD，根据∠BDE+∠CDF+∠EDF=180°即可求得∠EDF的值． 【详解】在△BDE和△CFD中， ， ∴△BDE≌△CFD（SAS）， ∴∠BDE=∠CFD， ∵∠BDE+∠CDF+∠EDF=180°， ∴∠CFD+∠CDF+∠EDF=180°， ∵∠CFD+∠CDF+∠C=180°， ∴∠EDF=∠C． ∵∠B=∠C，∠A=50°， ∴∠EDF=∠C=（180°-50°）=65°. 【点睛】 考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应角相等的性质，本题中求证△BDE≌△CFD是解题的关键． 72．（25-26学年八上·甘肃平凉庄浪县·期中）如图，铁路和铁路交于O处，河道与铁路分别交于A处和B处，试在河岸上建一座水厂M， （1）要求M到铁路，的距离相等，则该水厂M应建在图中什么位置？请在图中标出M点的位置． （2）若，且，求的长度． 【答案】（1） 解：如图所示，作的平分线交于点，点即为水厂的位置．      （2）      【分析】 本题考查了角平分线的性质，角平分线的作法，含角的直角三角形的性质，正确作图是关键． （1）根据题意作的平分线交于点，点即为水厂的位置； （2）过点A作于点H，得到，根据含角的直角三角形的性质得到，再根据即可求出答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 过点A作于点H， ∵平分， ∴， ∴， ∵， 解得， 即的长度为． 73．（25-26学年八上·甘肃平凉庄浪县·期中）阅读与思考 在几何图形的世界中，存在着许多具有特殊性质的四边形，“分角对补四边形”就是其中一种．下面让我们一起走进对它的探究． 如图1，在四边形中，如果，，对角线平分，我们称这种四边形为“分角对补四边形”． （1）特例感知 在“分角对补四边形”中，当时，根据教材中一个重要性质直接可得．这个性质是________；（填序号） ①垂线段最短             ②垂直平分线的性质 ③角平分线的性质             ④三角形内角和定理 （2）猜想论证 我们由特例出发，进一步思考一般情况．如图2，当为任意角时，你能猜想出与的数量关系吗？请给出你的猜想并进行证明； （3）探究应用 数学知识的价值在于应用，我们可以利用前面探究得出的结论来解决实际问题．如图3，在等腰中，，平分．请你求证：． 【答案】（1）③     （2） 解：猜想，证明如下： 如图2中，过点D作交延长线于点，于点， 平分，，， ，，． ，， ． 又， ， ；     （3） 证明：如图3，在上截取，连接， ，， ． 平分， ． ， ． ． ． 四边形为“分角对补四边形”． 由（2）的结论得， ， ． ． ． ．      【分析】 本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，角平分线的性质，全等三角形的性质与判定，正确理解题意是解题的关键． （1）根据角平分线上的点到该角两边的距离相等即可得到答案； （2）过点D作交延长线于点，于点，则，再证明，即可得到； （3）在上截取，连接，导角可证明．则四边形为“分角对补四边形”．由（2）的结论得，再证明．得到，据此可证明结论． (1) 小问详解： 解：∵， ∴， 又∵对角线平分， ∴（角平分线的性质）， 故答案为：③； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 略 74．（25-26学年八上·甘肃武威凉州区凉州区柏树中学·期中）如图所示，、是的边边上的两点，且， （1）若，求的度数． （2）求证：是等腰三角形． 【答案】（1）     （2） 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形．      【分析】 本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，三角形外角的性质． （1）根据等腰三角形的性质得到，根据三角形内角和即可得到结论； （2）由等边对等角得到，则由三角形外角的性质可推出，则，据此得到，即是等腰三角形． (1) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴， ∴； (2) 小问详解： 略 75．（25-26学年八上·甘肃张掖二中教·期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，DE是AB的垂直平分线，∠CAE＝∠B+30°，求∠AEB的度数． 【答案】140°． 【详解】 解：∵DE垂直且平分AB， ∴AE=BE ∴∠EAB=∠B， 又∵∠CAE=∠B+30°， 故∠CAE=∠B+30°=90°﹣2∠B， ∴∠B=20°， ∴∠AEB=180°﹣20°×2=140°． 76．（25-26学年八上·甘肃张掖二中教·期中）如图，点D，E在的边上，，，求证：． 【答案】见解析； 【分析】 本题主要考查了三线合一，解决此题的关键是作出合理的辅助线；运用两次三线合一，在等腰三角形中，底边上的高是底边上的中线，根据线段的和差即可得到答案； 【详解】 解：如图，过点作于点, ∵， ∴, 又∵， ∴, 同理得：, ∴, ∴ 77．（25-26学年八上·甘肃武威凉州区凉州区谢河中学·期中）如图，在中，，． （1）求的度数； （2）若，交于点E，判断的形状，并说明理由． 【答案】（1）     （2） 为等腰三角形，理由如下： ， ， ， ， ， ， ， ． 故为等腰三角形．      【分析】 本题考查了三角形的相关知识．熟练掌握三角形内角和定理，三角形外角性质，平行线的性质，等腰三角形的判定，是解题的关键． （1）在中，根据三角形三个内角的和是即可求出的度数； （2）先求出，结合（1）中的结论即可求出，根据平行线性质 ，得，得，从而判断出的形状． (1) 小问详解： 解：，， ∴； (2) 小问详解： 解：略． 78．（25-26学年八上·甘肃武威凉州区凉州区谢河中学·期中） 在中，，．D是边上一点，连接，，且，与交于点F． （1）求证：； （2）当时，求证：平分． 【答案】（1）见解析     （2）见解析      【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，解决本题的关键是证明． （1）根据直角三角形的判定定理证明即可； （2）先由，可得，，再根据等边对等角，可得，由此可得，再根据三角形内角和为，即可证明． (1) 小问详解： 证明：∵，且， ∴， 在与中， ， ∴， ∴； (2) 小问详解： 证明：由上一问得， ∴，， 由上一问得， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 记与相交于点H， 中，， 中，， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴平分． 79．（25-26学年八上·甘肃定西通渭县·期中）已知是三边都不相等的三角形，点P是三个内角平分线的交点，点O是三边垂直平分线的交点，当P，O同时在的内部时，若，则的度数为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了线段垂直平分线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理，等边对等角，由线段垂直平分线的性质可得，则由等边对等角和三角形内角和定理可推出，即；由角平分线的定义得到，则． 【详解】 解：如图所示，连接， ∵点O是三边垂直平分线的交点， ∴， ∴； ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∴； ∵点P是三个内角平分线的交点， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 80．（25-26学年八上·甘肃定西通渭县·期中）阅读与思考 下面是森森同学写的一篇数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务． ×年×月×日星期四数学推理真有趣今天数学课上学习了一个“二推一模型”，意思就是平行线、角平分线和等腰三角形，这三个条件只要已知其中的任意两个，就能推导出第三个．第一种情况，已知：如图，，CE是的平分线．求证：是等腰三角形． 证明：∵，∴．∵CE是的平分线，∴．∴．∴．（依据）∴是等腰三角形．第二种情况第三种情况 （1）以上证明过程中，依据是______． （2）请你参照日记中的第一种情况，写出其余两种情况的已知和求证，并选择其中一种进行证明． 【答案】（1）两底角相等，则两腰相等；     （2） 第二种情况，已知：如图，是等腰三角形，CE是的平分线．求证：． 证明：∵是等腰三角形， ∴． ∵CE是的平分线， ∴． ∴． ∴． 第三种情况，已知：如图，是等腰三角形，．求证：CE是的平分线． 证明：∵， ∴． ∵是等腰三角形． ∴． ∴， ∴CE是的平分线．      【分析】 根据角平分线、平行线和等腰三角形的性质和判定解题即可． (1) 小问详解： ∵．∴．依据是两底角相等，则两腰相等； (2) 小问详解： 略 【点睛】 本题考查角平分线、平行线和等腰三角形的性质和判定.熟练掌握相关性质和定理是解题的关键． 81．（25-26学年八上·甘肃陇南）如图，等腰中，，，是边上一点且，是边上的中点，连接，. （1）求的度数； （2）若上存在点，且，求证：. 【答案】（1）20°； （2）证明：∵D是BC边上的中点， ∴BD=CD， ∵∠AFE=∠AEF， ∴AF=AE， ∵AD⊥BC， ∴D是EF边上的中点， ∴FD=ED， ∴BD-FD=CD-ED，即BF=CE． 【分析】 （1）根据等腰三角形的性质可求∠C，再根据等腰三角形的性质可求∠CAE，根据等腰三角形三线合一的性质和三角形内角和定理可求∠CAD，再根据角的和差关系可求∠DAE的度数； （2）等腰三角形三线合一的性质可得BD=CD，FD=ED，再根据线段的和差关系即可求解． 【详解】 解：（1）∵AB=AC，∠ABC=35°， ∴∠C=35°， ∵AE=CE， ∴∠CAE=35°， ∵D是BC边上的中点， ∴AD⊥BC， ∴∠ADC=90°， ∴∠DAC=180°-90°-35°=55°， ∴∠DAE=∠DAC-∠C=55°-35°=20°； （2）略 【点睛】 本题主要考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 82．（25-26学年八上·甘肃陇南）如图，在中，，，是的两条中线，，，P是上的一个动点，连接，，则的最小值是　　　　　　　　　　． 【答案】7 【分析】 根据等腰三角形性质判定点C和点B关于直线对称，得到，结合，判定当B，P，E三点共线时，有最小值，其最小值为计算即可． 【详解】 ∵，，是的两条中线， ∴点C和点B关于直线对称， ∴， ∴， ∴当B，P，E三点共线时，有最小值， ∵， ∴最小值为． 故答案为：7． 【点睛】 本题考查了等腰三角形的三线合一性质，线段最短原理，熟练掌握三线合一性质，线段最短原理是解题的关键． 83．（25-26学年八上·甘肃陇南）如图，，，． （1）求证：． （2）若，，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴，即． ∵， ∴在和中， ∴．     （2）      【分析】 本题考查了全等三角形的判定和性质直角三角形的性质，灵活运用全等三角形的判定是本题的关键． （1）由“”可证； （2）由全等三角形的性质和直角三角形的性质可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ∵， ∴， ∴， ∴． 84．（25-26学年八上·甘肃定西临洮县·期中）如图，已知中，，，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以3cm/s的速度由点B向C点运动，同时，点Q在线段CA上由点C向A点运动． （1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，与是否全等，请说明理由． （2）若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使与全等？ 【答案】（1）全等，见解析     （2）点Q的运动速度为时，能够使与全等      【分析】 （1）由“”可证； （2）根据全等三角形的判定定理SAS可知，有两种情况：① 当且时，且，②，时，且，解方程即可判断． 本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定的应用等知识，熟练运用这些性质解决问题是解此题的关键． (1) 小问详解： 解：经过1秒后，，，， 中，， 在和中， ， 图1                           图2 (2) 小问详解： 设点Q的运动速度为，经过与全等；则可知，，， ， ， 根据全等三角形的判定定理SAS可知，有两种情况： ① 当且时，且， 解得， ， 舍去此情况； ②，时，且， 解得：； 故若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为时，能够使与全等 85．（25-26学年八上·甘肃定西临洮县·期中）在△ABC中AB=AC，中线BD将△ABC的周长分为12cm和15cm，则三角形底边长　　　　　． 【答案】11cm或7cm 【详解】试题解析：如图，∵AB=AC，BD是AC边上的中线， 即AD=CD， ∴|(AB+AD)−(BC+CD)|=|AB−BC|=15−12=3(cm)，AB+BC+AC=2AB+BC=12+15=27cm， 若AB>BC，则AB−BC=3cm， 又∵2AB+BC=27cm， 联立方程组并求解得：AB=10cm，BC=7cm， 10cm、10cm、7cm三边能够组成三角形； 若AB<BC，则BC−AB=3cm， 又2AB+BC=27cm， 联立方程组并求解得：AB=8cm，BC=11cm， 8cm、8cm、11cm三边能够组成三角形； ∴三角形的各边长为10cm、10cm、7cm或8cm、8cm、11cm. 故答案为7cm或11cm. 86．（25-26学年八上·甘肃陇南西和县）如图，和是等腰三角形，，连接，．求证：． 【答案】解：∵， ∴， ∴， ∴，即， 又∵， ∴， ∴． 【分析】 本题考查等角对等边，全等三角形的判定和性质，熟练掌握等角对等边，全等三角形的判定方法，是解题的关键，根据等角对等边，三角形的内角和定理，得到，利用证明，即可得证． 【详解】 略 87．（25-26学年八上·甘肃吴家井中学·期中）如图，中，，F为延长线上一点，点E在上，且． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1） 证明：， ， 在和中 ， ，即；     （2）      【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，外角的性质，解题的关键是选择合适的全等三角形判定方法． （1）用直角三角的判断方法，直接判定即可； （2）先根据等腰三角形的性质，求出的度数，再求出的度数，由（1）的全等求出，由（1）的全等和等腰三角形的性质求出，最后根据外角的性质，即可得出答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ， ， ， ， ， ， ， ． 88．（25-26学年八上·甘肃武威凉州区凉州区谢河中学·期中）以线段、为底按顺时针方向在平面内构造等腰与等腰，，，，，且． （1）如图1，当点A、B、C三点共线时，求证：； （2）如图2，当点A、B、C三点不共线时，连接，点F为中点，连接、，求证：； （3）如图3，当点B在线段上运动时（点B与A、D不重合），连接，若，，且，求的最小值． 【答案】（1） 证明：在中，， ， ， ， 同理可得： ， ， ， ；     （2） 证明：延长至，使，连接， 在和中， ， ， ， 又， ， 由（1）知，， 设，， ， ，， 由（1）知， ， 在和中， ， ， ， 又， ；     （3）      【分析】 （1）由等腰三角形的性质及三角形内角和定理可得出结论； （2）延长至，使，连接，证明，由全等三角形的性质得出，，证明，由全等三角形的性质得出，则可得出结论； （3）取的中点F，连接，由（2）知，由题意易得是等边三角形则有平分，作于H，则，则，然后根据点到直线垂线段最短可进行求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：取的中点F，连接，由（2）知， ∴， ∵， ∴，即点E在的垂直平分线上， ∵，， ∴是等边三角形， ∴平分，则， 作于H，则（在含角的直角三角形中，对边是斜边的一半）， ，根据垂线段最短，当A、E、H共线且时，最小值为A到的距离h， ， ∴，解得． ∴的最小值为． 【点睛】 本题是三角形综合题，考查了直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 89．（25-26学年八上·甘肃定西安定区·期中）如图，在△ABC中，BA＝BC，BD平分∠ABC，交AC于点D，点M，N分别为BD，BC上的动点，若BC＝4，△ABC的面积为6，则CM+MN的最小值为　　　　　． 【答案】 【分析】 本题重点考查了等腰三角形的性质定理，等腰三角形顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合，简称“三线合一”，角平分线的性质定理，线段的垂直平分线的性质定理，线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等，正确画辅助线，同时熟练掌握等腰三角形、垂直平分线的性质定理是解题的关键． 先作辅助线，连接，过点作于点，利用等腰三角形的性质得到垂直平分，根据线段的垂直平分线的性质定理得到，再利用垂线段最短原理得到最小值即为的值，通过三角形的面积公式计算得到的值，完成求解． 【详解】 解：连接，过点作于点，如图， ∵，平分， ∴且平分， ∴是线段的垂直平分线，则， ∴， 根据“垂线段最短”得， 即当点在线段上时，为最小，最小值为线段的长， ∵的面积为，， ∴， ∴，即的最小值为． 故答案为：． 考点05 等边三角形 1．（25-26学年八上·甘肃定西安定区·期中）如图，是等边三角形，D，E分别是的延长线和的延长线上的点，，延长交于点F，G是上一点，且，交于点H．下列结论：；；；．其中正确的个数是（       ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【分析】 本题考查了等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等，正确添加辅助线构造全等三角形是解题关键． ① 证明，可得， ，再结合等边三角形的性质即可判断① 正确；② 由，可得，即，即可判断② 正确；③ 作的平分线交于点K，可证得是等边三角形，得出，证明，即可判断结论③ 正确；④ 由，得出．由③ 得，，．则．所以．，即可判断结论④ 错误． 【详解】 解：是等边三角形， ，． ． 在和中， ， ，． ， ． ， ． ， ；故① 正确． ， ，即． ， ． ， ；故② 正确． ③ 如图，作的平分线交于点K，则， ， ． ，即． ， ． 是等边三角形． ． 在和中， ． ． ． ；故③ 正确． ， ，，． 由③ 得，， ． ． ． ． ． ． ，故④ 错误． 故正确的有，3个， 故选：B． 2．（25-26学年八上·甘肃定西通渭县·期中）如图，将等边的边向两边延长，使，则的度数为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，三角形的内角和定理． 由是等边三角形得到，，从而得到，，因此，，再根据三角形外角的性质求出，，最后根据三角形的内角和定理即可解答． 【详解】 解：∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴，， ∴，， ，， ∴，， ． 故选：A． 3．（25-26学年八上·甘肃定西临洮县·期中）如图，等腰的底边长为3，面积是12，腰的垂直平分线分别交边，于点E，F．若为边的中点，为线段上的一动点，则周长的最小值为（     ） A. 4 B.  C.  D. 16 【答案】B 【分析】 此题考查最短路线问题、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，解题的关键是利用线段垂直平分线的性质． 【详解】 如图： 连接交于点M， ∵等腰的底边长为3，点D为边的中点， ∴， ∵是腰的垂直平分线，连接， ∴， 此时的周长为： 的长为固定， ∴根据两点之间线段最短，的周长最小． ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 4．（25-26学年八上·甘肃陇南武都区·期中）如图，已知是等边三角形，，E在上，交于点F，，若，则的度数为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了等边三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、三角形外角的定义及性质，连接，由等边三角形的性质可得，，由等边对等角可得，证明垂直平分，得出，由等边对等角结合三角形外角的定义及性质可得，推出为等边三角形，再由三角形外角的定义及性质计算即可得解． 【详解】 解：如图，连接， ∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴，垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 5．（25-26学年八上·甘肃庆阳·期中）如图，等边中，点D，E分别是边的中点，点是AD上的一个动点，当最小时，的度数是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题主要考查了轴对称——最短路线问题，等边三角形的性质，熟知两点之间线段最短的知识是解答此题的关键． 连接，则的长度即为与和的最小值，再利用等边三角形的性质可得，即可解决问题． 【详解】 解：等边中，点，分别是、的中点，如图，连接，与交于点， ，，， ， ， 即长就是的最小值， 是等边三角形，， ， ， ， ， ， 故答案为：D． 6．（25-26学年八上·甘肃定西通渭县·期中）如图，用两个含角且大小相同的三角板（和）摆放在一起，两直角顶点重合，点D恰好落在边上．求证： （1）为等边三角形； （2）． 【答案】（1） 证明：依题意得，， ∴是等边三角形．     （2） 证明：∵是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴．      【分析】 本题主要考查了等边三角形的性质与判定，平行线的判定，三角板中角度的计算，熟知等边三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）根据题意可得，，据此可证明结论； （2）根据等边三角形的性质和三角板中角度的特点可证明，据此可证明结论． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 7．（25-26学年八上·甘肃陇南）如图，在中，，点在边上，连接．若，求证：是等边三角形． 【答案】证明：， 为等腰三角形， 又， ， 是等边三角形． 【分析】 本题考查了等边三角形的判定，根据有一角是60°的等腰三角形是等边三角形即可求证． 【详解】 略 8．（25-26学年八上·甘肃陇南）如图，在中，以AB为边作等边△ABD（点C、D在边AB的同侧），连接CD．若∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，求∠BDC的度数． 【答案】30° 【分析】 根据△ABD是等边三角形，∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，证明△CBA≌△CDA（SAS），得到∠ADC＝∠ABC＝90°，根据∠BDC＝∠ADC﹣∠ADB，即可求出∠BDC的度数． 【详解】解：∵△ABD是等边三角形， ∴∠BAD＝60°，AB＝AD， ∵∠BAC＝30°， ∴∠CAD＝60°﹣30°＝30°， 在△CBA与△CDA中， ， ∴△CBA≌△CDA（SAS）， ∴∠ADC＝∠ABC＝90°， ∴∠BDC＝∠ADC﹣∠ADB＝90°﹣60°＝30°． 【点睛】 本题考查了等边三角形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是灵活运用以上性质解决问题． 9．（25-26学年八上·甘肃陇南西和县）如图，在等边中，点在边的延长线上，平分，求证：． 【答案】见解析 【分析】 本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，证明是解题的关键． 根据等边三角形的性质可得，再结合角平分线的定义可得，然后根据，可得，可证明，即可求证． 【详解】 证明：∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 10．（25-26学年八上·甘肃吴家井中学·期中）已知，，是的三边长． （1）若，，满足，试判断的形状； （2）化简： 【答案】（1）是等边三角形     （2）      【分析】 （1）根据题意可得且，进而可以判断三角形的形状； （2）根据三角形的三边关系可得，进而化简绝对值即可． (1) 小问详解： 解：， 且， 是等边三角形； (2) 小问详解： 解：，，是的三边长，， ． 【点睛】 本题主要考查了等腰三角形的定义，三角形三边关系，绝对值的非负性，掌握以上知识是解题的关键． 11．（25-26学年八上·甘肃定西·期中）如图，已知平面直角坐标系． （1）作出关于轴对称的，并写出三个顶点的坐标． （2）求的面积． （3）在轴上画出点，使最小．（保留作图痕迹） 【答案】（1）见解析，     （2）5     （3）见解析      【分析】 本题考查了作图−轴对称变换，轴对称−最短路线问题，解决本题的关键是掌握轴对称的性质． （1）先作出点关于轴对称的点，再顺次连接即可； （2）根据网格利用割补法即可求出面积； （3）作点关于轴的对称点，则，由两点之间线段最短即可确定此时点即为所求． (1) 小问详解： 解：即为所作： 则； (2) 小问详解： 解：的面积：； (3) 小问详解： 解：作点关于轴的对称点，连接与轴交点即为点． 12．（25-26学年八上·甘肃张掖山丹县第二中学·期中）（1）画一条数轴，在数轴上画出表示的点A.（保留画图痕迹，不写画法） （2）如图，对于边长为6的等边三角形，建立适当的平面直角坐标系，写出各个顶点的坐标. 【答案】（1）如图： （2）建立坐标系如图： 【分析】 本题主要考查坐标与图形的性质，熟练掌握勾股定理与无理数，等边三角形的性质，适当建立平面直角坐标系，是解题的关键． （1）根据，得，得； （2）以所在的直线为x轴，以边上的高所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系，则，再根据勾股定理求出，点A、B、C的坐标即可写出． 【详解】 解：（1）在数轴上取点B，使点B表示的数为2． 过点B作数轴的垂线，在垂线上取点C，使点C在数轴上方，且． 连接． 以点O为圆心，长为半径在点B右侧画弧，交数轴于点A． 点A表示的数为． （2）以所在的直线为x轴，以过A垂直于的直线为y轴，建立坐标系，O为原点． ∵是等边三角形， ∴O为的中点． ∵的边长为6， ∴． ∵在中，， ∴． ∴． 13．（25-26学年八上·甘肃临夏州·期中）【问题探究】如图①，在中，，为探究中角所对的直角边与斜边的数量关系，学习小组成员已经添加了辅助线． （1）请叙述辅助线的添法，并完成探究过程； 【探究应用1】如图②，在中，，点在线段上，以为边作等边三角形，连接，为探究线段与之间的数量关系，组长已经添加了辅助线：取的中点，连接． （2）线段与之间的数量关系为        ，并说明理由； 【探究应用2】如图③，在中，，点在线段的延长线上，以为边作等边三角形，连接． （3）线段与之间的数量关系为________，并说明理由． 【答案】解：（1）作的垂直平分线分别交于点P，D，连接， ， ． ， ， ， 是等边三角形， ， ，即． （2）．理由如下： F是的中点， ∴． ， ，， ． 是等边三角形， ， ， ，即． 在和中， ， ， ． F是的中点， 是的垂直平分线， ， ． （3）．理由如下： 取的中点F，连接， ． ， ，， ． 是等边三角形， ， ， ， 即． 在和中， ， ， ， ． F是的中点， 是的垂直平分线， ， ． 【分析】 本题考查的是等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形性质及线段垂直平分线性质， （1）作的垂直平分线分别交于点P，D，连接，证明是等边三角形，得出即可； （2）先证明，进而证明，证明是的垂直平分线即可证明结论； （3）取的中点F，连接，得出，再证明，得出是的垂直平分线即可证明结论． 【详解】 略 14．（25-26学年八上·甘肃平凉庄浪县·期中）上午8时．一条渔船从港口A出发以每小时15海里的速度向正北方向航行，上午10时到达海岛B处．从A，B望海岛C，测得（如图所示）． （1）求海岛B到海岛C的距离； （2）渔船从海岛B按原来的方向继续航行30海里（记为点D处）出现了故障，它向海岛B和海岛C都发出了求救信号．接到求救信号后，海岛B派出的救援队立即以每小时20海里的速度前往，海岛C派出的救援队晚出发10分钟，速度为每小时25海里，通过计算说明两支救援队谁先到达渔船处？ 【答案】（1）海岛B到海岛C的距离为30海里     （2）救援队先到      【分析】 本题考查三角形的外角，等腰三角形和等边三角形的判定： （1）根据三角形的外角的性质求出，进而得到即可； （2）证明为等边三角形，进而得到的长，根据时间等于路程除以速度，进行求解即可得出结论． (1) 小问详解： 解：由题意，得：海里； ∵， ∴， ∴ ∴海里； 答：海岛B到海岛C的距离为30海里； (2) 小问详解： 由题意：海里， 由（1）知：海里， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴海里， ∴救援队所用时间为小时，救援队所用时间为小时， ∴救援队先到． 15．（25-26学年八上·甘肃庆阳·期中）如图，在中，，于点D，E是上一点，连接，与相交于点O，连接，，且． （1）求证：垂直平分； （2）若，求证：平分； （3）若，求证：是等边三角形． 【答案】（1）见解析     （2）见解析     （3）见解析      【分析】 本题考查了线段垂直平分线的性质、等边三角形的判定与性质、角平分线的判定定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）证出，由线段垂直平分线的判定可得出结论； （2）由角平分线的判定可得出结论； （3）证出，．由（1）知垂直平分，则，由等边三角形的判定可得出结论． (1) 小问详解： 证明：∵， ∴． ∵，点A，O在上， ∴垂直平分； (2) 小问详解： ∵， ∴． 又∵，， 即，， ∴平分； (3) 小问详解： 由（1）知． ∵， ∴是等边三角形， ∴，． 由（1）知垂直平分， ∴E是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形． 16．（25-26学年八上·甘肃定西安定区·期中）如图，在等边中，，为上一点，连接，过点作交的延长线于点．已知，求证：． 【答案】证明：∵，， ∴， ， ∴为等腰三角形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵为等边三角形， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 【分析】 本题考查了全等三角形的判定及性质，等腰三角形的判定及性质，等边三角形的判定及性质，合理证明全等是解题的关键． 利用等腰三角形的性质证出，得到，由为等边三角形，证出为等边三角形，再利用等边三角形的性质求解即可． 【详解】 略 17．（25-26学年八上·甘肃定西临洮县·期中）（多选）（1）如图（1），已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB=AC，直线m经过点A，BD⊥直线m， CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．证明∶DE=BD+CE． （2）如图（2），将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=，其中为任意锐角或钝角．请问结论DE=BD+CE是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． （3）拓展与应用：如图（3），D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E三点互不重合），点F为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD、CE，若∠BDA=∠AEC=∠BAC，试判断△DEF的形状． 【答案】（1）证明：∵BD⊥直线m，CE⊥直线m， ∴∠BDA＝∠CEA=90°． ∵∠BAC＝90°， ∴∠BAD+∠CAE=90°． ∵∠BAD+∠ABD=90°， ∴∠CAE=∠ABD． 又AB=AC， ∴△ADB≌△CEA（AAS）． ∴AE=BD，AD=CE． ∴DE=AE+AD=BD+CE； （2）成立．证明如下： ∵∠BDA =∠BAC=， ∴∠DBA+∠BAD=∠BAD +∠CAE=180°-． ∴∠DBA=∠CAE． ∵∠BDA=∠AEC=，AB=AC， ∴△ADB≌△CEA（AAS）． ∴AE=BD，AD=CE． ∴DE=AE+AD=BD+CE； （3）△DEF为等边三角形 【分析】 （1）因为DE=DA+AE，故由全等三角形的判定AAS证△ADB≌△CEA，得出DA=EC，AE=BD，从而证得DE=BD+CE； （2）成立，仍然通过证明△ADB≌△CEA，得出BD=AE，AD=CE，所以DE=DA+AE=EC+BD； （3）由△ADB≌△CEA得BD=AE，∠DBA =∠CAE，由△ABF和△ACF均等边三角形，得∠ABF=∠CAF=60°，FB=FA，所以∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF，即∠DBF=∠FAE，所以△DBF≌△EAF，所以FD=FE，∠BFD=∠AFE，再根据∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=600得到△DEF是等边三角形． 【详解】 解：（1）略 （2）略 （3）△DEF为等边三角形．理由如下： 由（2）知，△ADB≌△CEA，BD=AE，∠DBA =∠CAE， ∵△ABF和△ACF均为等边三角形， ∴∠ABF=∠CAF=60°． ∴∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF． ∴∠DBF=∠FAE． ∵BF=AF， ∴△DBF≌△EAF（SAS）． ∴DF=EF，∠BFD=∠AFE． ∴∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=60°． ∴△DEF为等边三角形． 【点睛】 此题考查了全等三角形的性质和判定、等边三角形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定． 18．（25-26学年八上·甘肃定西通渭县·期中）如图1，点P、Q分别是边长为的等边边上的动点，点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为， （1）连接交于点M，则在P、Q运动的过程中，变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数； （2）何时是直角三角形？ （3）如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线上运动，直线交点为M，则变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数． 【答案】（1），不变     （2）当第秒或第秒时，为直角三角形     （3），不变      【分析】 本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，注意分情况讨论是解题的关键． （1）利用等边三角形的性质得出，结合，证明，推出，进而可证； （2）设时间为t，则，分和两种情况，根据含30度角的直角三角形的性质求解； （3）利用等边三角形的性质得出，推出，结合，证明，推出，进而即可求解． (1) 小问详解： 解：，不变 ∵等边三角形中，， 又由条件得， 在和中， ∴， ∴， ∴． (2) 小问详解： 解：设时间为t，则， ① 当时， ∵， ∴， ∴，即， 解得t； ② 当时， ∵， ∴， ∴，得， 解得t ∴当第秒或第秒时，为直角三角形． (3) 小问详解： 解：，不变． ∵在等边三角形中，， ∴， 又由条件得， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ， ， ∴． ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴． 19．（25-26学年八上·甘肃陇南西和县）如图，等边的三个顶点分别在等边的三条边上，求证：． 【答案】证明：∵、是等边三角形， ∴，，， ∵，， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【分析】 本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形外角的性质，根据等边三角形的性质得，，，再根据三角形外角的性质证得，进而证得，得，即可得证． 【详解】 略 20．（25-26学年八上·甘肃吴家井中学·期中）已知，点为内部的一动点，、分别是、上的动点，若，则的周长的最小值是　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了轴对称最短路线问题，等边三角形的判定与性质，正确作出辅助线，证明是等边三角形是关键．分别作点关于的对称点，，连接交于，交于，连接，则，，，，，则的周长的最小值，然后证明是等边三角形，即可求解． 【详解】 解：分别作点关于的对称点，，连接交于，交于，连接，则，，，，，则的周长的最小值， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴的周长， ∴， ∴的周长的最小值是． 故答案为：． 21．（25-26学年八上·甘肃吴家井中学·期中）在等边中，点D是直线上一点（不与B、C重合），以为边作等边（A、D、E按逆时针排列），连接． （1）如图1，当点D在线段上时，求证：； （2）如图2，当点D在的延长线上时，求证：． （3）如图3，当点D在线段的延长线上时，若，且，求的面积． 【答案】（1） 证明：∵和均为等边三角形， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴；     （2）证明：∵和均为等边三角形， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴；     （3）2      【分析】 （1）首先根据等边三角形的性质可得，易得，然后根据“”可证明，由全等三角形的性质即可证明结论； （2）首先证明，进而可得，然后根据“”可证明，由全等三角形的性质即可证明结论； （3）过点作，则，证明，易得，再证明垂直平分线段，易得，然后由即可获得答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 如下图，过点作， 则， ∵和均为等边三角形， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴垂直平分线段， ∴， ∴． 【点睛】 本题主要考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、垂直平分线的判定与性质等知识，熟练掌握相关知识并熟练运用是解题关键． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 轴对称 考点01 轴对称及其性质 考点02 线段的垂直平分线 考点03 画轴对称的图形 考点04 等腰三角形 考点05 等边三角形 考点01 轴对称及其性质 1．A 2．C 3．B 4．A 5．A 6．C 7．C 8．D 9．A 10．B 11．C 12．C 13．B 14．D 15．D 16．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据与关于直线对称，确定对称点，从而确定对称线段，利用轴对称的性质即可解决问题； （2）根据与关于直线对称，确定对称角和对称三角形，利用轴对称的性质即可解决问题． (1) 小问详解： 解：与关于直线对称， ， ， ． (2) 小问详解： 与关于直线对称，， ， ， ． 【点睛】 本题考查轴对称的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 17．【答案】100° d度 【分析】 先根据轴对称的性质得出，由全等三角形的性质可知，再由三角形内角和定理可得出的度数． 【详解】 解： 与关于直线对称， ∴， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】 本题考查的是轴对称的性质、全等三角形的性质及三角形内角和定理，熟练掌握轴对称的性质及三角形内角和定理是解答此题的关键． 18．【答案】30 【分析】 本题主要考查轴对称图形的性质，三角形内角和定理，掌握轴对称图形对应角相等是解题关键．根据轴对称图形的性质可知，再结合，可求出． 【详解】 解：∵与关于所在直线对称，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 19．【答案】 【分析】 本题考查了折叠的性质，平行线的性质，根据折叠性质可得，，所以，通过平行线的性质可得，然后由角度的和差即可求解，掌握折叠的性质是解题的关键． 【详解】 解：∵长方形沿线段折叠到的位置， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 20．【答案】（1）     （2） 证明：过点P分别作垂线，垂足分别为F，H，M，如图． 由题意可知，， ． 平分， ， ， 平分．      【分析】 本题考查了折叠的性质，直角三角形的面积计算，角平分线的判定：到角两边距离相等的点在角的平分线上． （1）利用折叠后且，结合的条件，把的面积拆成和的面积之和再计算； （2）核心是要证明点到和的距离相等，思路是利用折叠得出全等和角平分线的性质推导出是角平分线． 【详解】 解：（1）由题意，得， ． （2）略 考点02 线段的垂直平分线 1．B 2．B 3．B 4．C 5．A 6．A 7．D 8．D 9．C 10．【答案】5 【分析】 此题考查了垂直平分线性质，解题的关键是熟练掌握垂直平分线性质．根据垂直平分线性质得到，根据三角形周长公式求解长度． 【详解】 ∵的垂直平分线交 ∴ ∴． 故答案为：5． 11．【答案】内错角相等，两直线平行 【详解】 解：“两直线平行，内错角相等”的条件是：两条平行线被第三条值线所截，结论是：内错角相等． 将条件和结论互换得逆命题为：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行， 可简说成“内错角相等，两直线平行”． 故答案为：内错角相等，两直线平行． 12．【答案】18 【分析】 先根据线段垂直平分线的性质得出AE=CE，故CE+BE=AB，再由△EBC的周长=BC+CE+BE=BC+AB即可得出结论． 【详解】 解：∵DE是△ABC中AC边的垂直平分线， ∴AE=CE， ∴CE+BE=AB=10cm． ∵BC=8cm， ∴△EBC的周长=BC+CE+BE=BC+AB=10+8=18cm． 故答案为：18． 【点睛】 本题考查的是线段垂直平分线的性质，熟知垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解答此题的关键． 13．【答案】如果，那么， 【分析】 本题考查逆命题的定义，掌握知识点是解题的关键． 根据逆命题的定义，将原命题的条件和结论交换即可得到逆命题． 【详解】 解：命题“如果，，那么”的逆命题是“如果，那么，”． 故答案为：如果，那么，． 14．【答案】解：如图所示，分别作线段，的垂直平分线，，和交于点P，则点P即为所求． 【分析】 本题主要考查了线段垂直平分线的性质，分别作线段，的垂直平分线，，和交于点P，则点P即为所求． 【详解】 略 15．【答案】∵，且， ∴垂直平分， ∴， 垂直平分， ， ∴． 【分析】 本题考查了垂直平分线的性质，熟练掌握垂直平分线的性质是解题的关键． 根据，且，可得，根据垂直平分，可得，进而即可得证． 【详解】 略 16．【答案】 【分析】 本题主要考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 根据线段垂直平分线的性质得出，然后进行求解即可． 【详解】 解：∵，分别垂直平分，， ∴， ∴的周长是， ∵， ∴的周长是． 故答案为：． 17．【答案】（1） 证明：∵的垂直平分线交于点D， ∴， ∴是等腰三角形；     （2）32      【分析】 本题考查线段垂直平分线的性质，等腰三角形的定义．掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题关键． （1）根据线段垂直平分线的性质可直接得出，即证明是等腰三角形； （2）由线段垂直平分线的性质可得出，再根据的周长为20，结合（1）即可求出，进而即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵的垂直平分线交于点D， ∴． ∵的周长为20，， ∴， ∴的周长． 18．【答案】① 3    ② 等边三角形 【详解】线段有两条对称轴，锐角有一条对称轴，等边三角形有三条对称轴， 故答案为3，等边三角形． 19．【答案】点的位置如图： 【分析】 本题考查了角平分线和线段垂直平分线的性质及其尺规作图，熟练掌握角平分线和线段垂直平分线的性质及其作法是解题的关键．作出与夹角的平分线、线段的垂直平分线，则它们的交点即为所求． 【详解】 解：分别作出线段的垂直平分线，与夹角的平分线，两者的交点即为点的位置． 20．【答案】13 【分析】 根据线段垂直平分线的性质得到，即可求解． 【详解】 解：是的垂直平分线． ， ， 的周长， 故答案为：13． 【点睛】 本题考查了线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 21．【答案】20 【分析】 本题考查了垂直平分线的性质，熟练掌握垂直平分线的性质是解决本题的关键． 利用线段垂直平分线的性质来求解的周长即可． 【详解】 解：和分别为、的垂直平分线， ，， 的周长， 故答案为：． 22．【答案】如图所示，点P即为所求． 【分析】 本题主要考查了角平分线和线段垂直平分线的尺规作图，到两条道路的距离相等，那么点P在的角平分线上，，则点P在线段的垂直平分线上，据此作图即可． 【详解】 略 23．【答案】点P即为所求： 【分析】 的垂直平分线上的点到A，B两点的距离相等，以点为圆心，为半径的圆上任意一点到点C的距离等于线段的长．据此即可作图． 【详解】 略 【点睛】 本题考查线段垂直平分线的尺规作图．掌握相关作图方法即可． 24．【答案】证明：连接PA交直线l于C，连接PB，BC， ∵直线l是线段AB的垂直平分线， ∴CA＝CB 在△CPB中 ∴AP＝CA+CP＝CB+CP＞PB， 即PA＞PB． 【分析】 连接交直线于，连接，，根据线段垂直平分线的性质可得，再根据三角形的三边关系即可求解． 【详解】 略 【点睛】 本题主要考查了线段垂直平分线的性质和三角形的三边关系，熟练运用三角形的三边关系是解答此题的关键． 25．【答案】如图，连接，作线段的垂直平分线，交小河于点C，点C到点A点B的距离相等． 【分析】 本题主要考查尺规作图——作线段的垂直平分线．熟练掌握线段垂直平分线性质，是解题的关键． 作线段的垂直平分线交小河于点C，点C为水站的位置． 【详解】 略 26．【答案】如图，点即为所求； 【分析】 本题考查了作角平分线与垂直平分线的作法，角平分线与垂直平分线的性质；作的垂直平分线和的角平分线，两线相交于点，点为满足条件的点． 【详解】 解：的垂直平分线和的角平分线相交于点，点即为所求； 27．【答案】有两个角互余的三角形是直角三角形． 【详解】 解：定理“直角三角形的两个锐角互余”的逆定理是有两个角互余的三角形是直角三角形． 28．【答案】19 【分析】 根据垂直平分线的性质得到，，从而将周长为转化为，即可求解． 【详解】 解：∵是的垂直平分线， ∴，， ∵， ∴，即， ∴． 29．【答案】如图所示： 【分析】 作∠NOM的角平分线和线段AB的垂直平分线即可； 【详解】 解：作∠NOM的角平分线和线段AB的垂直平分线，它们的交点为C，则C点就是英语角的位置． 【点睛】 本题主要考查了尺规作图角平分线和垂直平分线，准确分析作图是解题的关键． 30．【答案】模型解决：，，，；模型应用：周长的最小值是9 【分析】 本题考查了轴对称的性质，线段垂直平分线的性质，三角形三边关系，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 模型解决：由点与点关于直线l对称得出直线l是的垂直平分线，由线段垂直平分线的性质可得，，再结合三角形三边关系即可得解； 模型应用：设直线与交于点，由题意可得点、关于直线对称，从而可得当点和点重合时，的值最小，最小值等于的长． 【详解】 模型解决：在直线l上另取任意一点（与点不重合），连接，，． 点与点关于直线l对称， 直线l是的垂直平分线． ，， ， 在中，， ，即最小 模型应用：设直线与交于点， ∵直线是边的垂直平分线， ∴点、关于直线对称， ∴当点和点重合时，的值最小，最小值等于的长， ∵，， ∴周长的最小值是． 31．【答案】AB=8cm ，AC=6cm 【分析】根据线段垂直平分线性质求出BD=DC，根据三角形周长求出AB+AC=12cm，根据已知得出AC=AB-2cm，即可求出答案． 【详解】解：∵BC的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E， ∴BD=DC， ∵△ACD的周长是14cm， ∴AD+DC+AC=14cm， ∴AD+BD+AC=AB+AC=14cm， ∵AB比AC长2cm， ∴AC=AB-2cm， ∴AC=6cm，AB=8cm． 【点睛】本题考查了解二元一次方程组，线段垂直平分线性质的应用，能得出关于AB、AC的方程是解此题的关键，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等． 32．【答案】 【分析】 本题主要考查线段垂直平分线的性质、角平分线的定义、三角形内角和定理等知识点，熟练掌握线段垂直平分线的性质、角平分线的定义是解答本题的关键． 由题可得，直线是线段的垂直平分线，为的平分线，再根据线段垂直平分线的性质、角平分线的定义以及三角形内角和定理求解即可． 【详解】 解：由题可得，直线是线段的垂直平分线，为的平分线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 33．【答案】（1）      （2）      【分析】 （1）分别以点，为圆心，大于的长度为半径画弧，两弧在两侧交于两个交点，过这两个交点作直线，即是的中垂线； 以点为圆心，任意长度为半径画一条弧，让这条弧与角的两条边分别相交，得到两个交点，分别以这两个交点为圆心，取大于这两个交点之间距离一半的长度为半径画弧，两弧在角内部相交于一点，连接点和找到的交点，画出的射线就是这个角的平分线； （2）是的垂直平分线，可得，，由三角形内角和定理，可解得，又由平分，可解得的度数． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵是的垂直平分线， ， ， 在中，，， ， ， 平分， ． 34．【答案】14 【分析】 利用线段的垂直平分线的性质解决问题即可． 【详解】 解：∵DE是线段AB的中垂线，GF是线段BC的中垂线， ∴EB＝EA，GB＝GC， ∵△BEG周长为16， ∴EB+GB+GE＝16， ∴EA+GC+GE＝16， ∴GA+GE+GE+EC+GE＝16， ∴AC+2GE＝16， ∵GE＝1， ∴AC＝14， 故答案为：14． 【点睛】 本题考查了线段的垂直平分线，三角形的周长等知识，解决问题的关键掌握线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等． 35．【答案】如图所示： 【分析】 作出QP的垂直平分线，再作角平分线，两线的交点处就是M的位置． 【详解】 略 【点睛】 此题主要考查了复杂作图，关键是掌握角平分线的性质和线段垂直平分线的性质． 36．【答案】15 【分析】 根据轴对称的性质可得，，然后求出的周长． 【详解】 解：点关于、的对称点、， ，， 的周长， 的周长是， ． 故答案为：． 【点睛】 本题考查了轴对称的性质，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等． 37．【答案】① 如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形全等    ② 假 【分析】 先写出原命题的逆命题，再根据全等三角形的判定定理判断即可． 【详解】 解：命题“两个全等三角形面积相等”的逆命题是如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形全等，是假命题． 故答案为：如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形全等；假． 【点睛】 本题考查的是命题的真假判断、逆命题的概念，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题． 38．【答案】（1）见解析     （2）      【分析】 本题主要考查了垂直平分线的尺规作图，垂直平分线的性质、等腰三角形的性质等知识点，掌握基本尺规作图是解题的关键； （1）分别以为圆心，大于为半径画弧，得到两弧的交点，再过两弧的交点作直线交于，交于即可； （2）由可得，根据垂直平分线的性质可得，再根据等腰三角形的性质可得，再进一步可得答案． (1) 小问详解： 解：如图，线段为所作： (2) 小问详解： 解：∵的垂直平分线交于D， ∴， ∴        在中， ∴， ∴． 39．【答案】图见解析 【分析】 本题考查尺规作图—作垂线，作角平分线，根据点到和的距离相等且，得到点为线段的垂直平分线和的角平分线的交点，进行作图即可． 【详解】 解：如图，点即为所求． 40．【答案】等腰三角形的两个底角相等 【分析】 先找到原命题的题设和结论，再将题设和结论互换，即可而得到原命题的逆命题． 【详解】 解：因为原命题的题设是：“有两个角相等的三角形”，结论是“这个三角形是等腰三角形”， 所以命题“有两个角相等的三角形是等腰三角形”的逆命题是“等腰三角形的两个底角相等”． 故答案为：等腰三角形的两个底角相等． 【点睛】 本题考查了命题与定理，根据逆命题的概念来回答：对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的逆命题． 41．【答案】11 【分析】 本题考查了线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质，等腰三角形的性质，熟记性质是解题的关键． 先根据线段垂直平分线的性质得到，从而得到，即可求解． 【详解】 解：∵垂直平分， ∴， 在等腰中，， ∴， ∵， ∴的周长为． 故答案为：11 42．【答案】三边垂直平分线 【详解】 到三角形三个顶点的距离相等的点是三角形三边垂直平分线的交点，理由是： ∵P在AB的垂直平分线EF上， ∴PA=PB， ∵P在AC的垂直平分线MN上， ∴PA=PC， ∴PA=PB=PC， 即P是到三角形三个顶点的距离相等的点． 故答案为三边垂直平分线. 考点03 画轴对称的图形 1．A 2．A 3．A 4．C 5．B 6．A 7．A 8．C 9．A 10．C 11．C 12．B 13．D 14．B 15．C 16．【答案】 【分析】 本题考查关于x轴对称的点的坐标特征．关于x轴对称的点，横坐标不变，纵坐标互为相反数． 【详解】 解：点关于x轴对称，横坐标保持不变为，纵坐标取相反数为， 故对称点的坐标为． 故答案为：． 17．【答案】①     ② 【分析】 题目主要考查平面直角坐标系中两个点关于坐标轴成轴对称的特点，理解对称点的坐标规律是解题关键． 根据平面直角坐标系中两个点关于坐标轴成轴对称的坐标特点：关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数，据此直接求解即可． 【详解】 解：∵点和点是关于轴对称的两个点， ∴，， 故答案为：；． 18．【答案】（1） 根据题意作图如下：      （2），，      【分析】 本题主要考查了平面直角坐标系中点的对称和求点的坐标，准确分析作图是解题的关键． （1）根据已知条件分别作出点，，，连接即可； （2）直接写出所求点的坐标即可； (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 由上图可知：，，． 19．【答案】 【分析】 本题考查了平面直角坐标系中点的坐标、求代数式的值，根据点和点关于轴对称，可得：，，把字母的值代入代数式计算即可． 【详解】 解：点和点关于轴对称， ，， 解得：，， ． 故答案为：． 20．【答案】 【分析】 本题考查坐标与图形的变化—轴对称，解题的关键是掌握关于轴对称的点的坐标特征：横坐标不变，纵坐标互为相反数．据此解答即可． 【详解】 解：点关于轴对称的点是． 故答案为：． 21．【答案】 【分析】 本题主要考查了关于轴、轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，根据“关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”解答即可． 【详解】 解：点与点关于轴对称， ， 故答案为：． 22．【答案】﹣1 【分析】 根据关于x轴对称的两个点，横坐标相等，纵坐标互为相反数求得的值进而求得代数式的值． 【详解】 解：∵点A（a，3）与点B（2，b）关于x轴对称， ∴a＝2，b＝﹣3， 则（a+b）2021＝（﹣1）2021＝﹣1． 故答案为：﹣1． 【点睛】 本题考查了关于x轴对称的两个点的坐标特点，求得的值是解题的关键． 23．【答案】3 【分析】 本题考查了关于x轴，y轴对称的点的坐标，解题的关键是熟练的掌握关于x轴，y轴对称的点的坐标特点． 根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”即可求出m、n的值，然后代入代数式进行计算即可得解． 【详解】 解：∵已知点与点关于x轴对称， ∴， ∴， 故答案为：3． 24．【答案】（1） 解：如图所示，即为所求；      （2）；；      【分析】 （）根据轴对称图形的性质画图即可； （）根据所画图形写出点的坐标即可； 本题考查了画轴对称图形，点的坐标，掌握轴对称图形的性质是解题的关键． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 25．【答案】（1） 平面直角坐标系如下图所示即为所求；     （2） 如图所示，即为所求；    ，，；     （3） 点P即为所求．．      【分析】 本题考查的是作图-轴对称变换， （1）根据A点坐标建立平面直角坐标系即可； （2）分别作出各点关于x轴的对称点，再顺次连接即可； （3）作出点B关于y轴的对称点，连接交y轴于点P，则P点即为所求． 熟知轴对称的性质，熟知在直线上找一个点，使它到两个已知点距离之和最小的作图方法是解答此题的关键． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 略 26．【答案】解：如图，就是所求， 由图可得，． 【分析】 本题考查了作轴对称图形，坐标与图形，根据轴对称的性质即可作出所求作的图形，由图形即可写出所求点的坐标． 【详解】 略 27．【答案】（1） 如图所示．      （2）的面积为．      【分析】 本题考查轴对称图形的画法与三角形面积计算；运用对称点坐标规律画对称图形；用割补法求面积，关键是掌握关于轴对称的点的坐标特征和割补法的运用，易错点是对称点坐标找错或割补时三角形面积计算错误． （1）求各点关于轴的对称点，连接得对称图形； （2）用割补法，通过长方形面积减周围直角三角形面积求的面积． (1) 小问详解： 解：点关于轴的对称点； 点关于轴的对称点； 点关于轴的对称点； (2) 小问详解： 构造一个长为，宽为的长方形，其面积为； 周围三个直角三角形的面积分别为： ； ； ； 则的面积为； 故的面积为． 28．【答案】（1） 如图，即为所求；     （2） 如图，即为所求；      （3）5      【分析】 本题考查坐标与图形，坐标与轴对称，熟练掌握轴对称的性质，是解题的关键： （1）找点，描点，连线，画出即可； （2）根据轴对称的性质画出即可； （3）借助网格求出三角形的面积即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 由图可知：． 29．【答案】 【分析】 本题考查坐标与轴对称，根据关于x轴对称的点的坐标特征，横坐标相等，纵坐标互为相反数，进行求解即可． 【详解】 解：由题意，得：， ∴， 故点的坐标为． 故答案为：． 30．【答案】7 【分析】 本题主要考查了关于x轴对称点的特点，熟练掌握关于x轴对称点的性质是解题的关键．直接利用关于x轴对称点的性质，横坐标相等，纵坐标互为相反数，求出，，然后代入求值即可． 【详解】 解：∵点与点关于x轴对称， ∴，， ∴． 故答案为：7． 31．【答案】（1） 如图所示：    ；     （2），，；     （3）．      【分析】 （1）根据题意找到关于轴的对称点，，，顺次连接即可， （2）根据坐标系写出，，的坐标即可； （3）根据坐标与网格的特点用长方形减去三个三角形的面积求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由图可知 ，，； (3) 小问详解： 解：． 【点睛】 本题考查了画轴对称图形，关于轴对称的点的坐标，坐标与图形，掌握轴对称的性质是解题的关键． 32．【答案】（1）解：如图所示△A′B′C′即为所求；     （2） 解：如图所示，点P即为所求； 【分析】 本题主要考查了画轴对称图形，轴对称与最短路径问题，熟知轴对称的相关知识是解题的关键． （1）分别作出，，关于直线的对称点，，，连接，，，则即为所求； （2）连接交直线于点，由轴对称的性质可得，由两点之间线段最短可知此时最短． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 33．【答案】（1） 如图，即为所求．      （2）如图， 【分析】 本题考查作图﹣轴对称变换、轴对称﹣最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． （1）根据轴对称的性质作图即可． （2）连接，交x轴于点P，连接，此时，为最小值，最小，即的周长最小，则点P即为所求． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：连接，交x轴于点P，连接， 此时，为最小值， ∴最小， 即的周长最小， 则点P即为所求． 34．【答案】（1） 解：如图所示，即为所求： 由图可得，，；     （2） 解：如图所示，即为所求： 由图可得，，；     （3）的面积为      【分析】 本题考查了坐标与图形变化——轴对称，三角形的面积公式，根据轴对称的性质正确作图是解题的关键． （1）根据轴对称的性质作图，结合图形即可写出，坐标； （2）根据轴对称的性质作图，结合图形即可写出，坐标； （3）利用割补法求出的面积即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：的面积 ． 35．【答案】（1）见解析；     （2）见解析      【分析】 （1）根据纵坐标不变，横坐标变为相反数，确定变换后的坐标，，画图即可． （2）根据横坐标不变，纵坐标变为相反数，确定变换后的坐标，，画图即可． 本题考查了点关于y轴对称，x轴对称作图，熟练掌握对称是解题的关键． (1) 小问详解： 解：关于y轴的对称点分别是，画图如下： 则即为所求； 边上的点在上的对应点的坐标是， 故答案为：． (2) 小问详解： 解：关于x轴的对称点分别是 ，画图如下： 则即为所求． 36．【答案】（1） 即为所求作；      （2）      【分析】 本题考查了作图-轴对称变换，熟练掌握轴对称性质是解题关键． （1）根据关于轴对称的特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变，得到、、，依次连线即可得到所求作图形； （2）根据（1）中所在图形即可得到答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：三点的坐标分别为． 37．【答案】(5，4) 【分析】 利用关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变．即点P（x,y）关于y轴的对称点P′的坐标是（-x,y），进而得出答案． 【详解】 解：点P（-5，4）关于y轴对称点的坐标为：（5，4）． 故答案为：（5，4）． 【点睛】 】此题主要考查了关于y轴对称点的性质，正确掌握横纵坐标的关系是解题关键． 38．【答案】（1） 解：如图所示，即为所求， 、、     （2） 如图，点P即为所求点．      【分析】 本题考查了作图-轴对称变换：在画一个图形的轴对称图形时，先从确定一些特殊的对称点开始，一般的方法是：由已知点出发向所给直线作垂线，并确定垂足；直线的另一侧，在垂线上，以垂足为一端点，作一条线段使之等于已知点和垂足之间的线段的长度，得到线段的另一端点，即为对称点；连接这些对称点，就得到原图形的轴对称图形． （1）写出点A、B、C关于x轴对称的对应点、、，然后描点，再连线即可； （2）作点A关于y轴的对称点；连接交y轴于点P，则，利用两点之间线段最短可判断此时最小． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：① 作点A关于y轴的对称点； ② 连接交y轴于点P， 根据轴对称可知：， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴此时最小，即最小． 39．【答案】解：如图所示，即为所求，则． 【分析】 本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相同，据此可得的坐标，描出，并顺次连接即可． 【详解】 略 40．【答案】（1）见解析     （2），，     （3）6.5      【分析】 （1）根据网格结构找出点A、B、C关于y轴对称的对应点D、E、F的位置，然后顺次连接即可； （2）利用（1）中所画图形，进而得出各点坐标即可； （3）利用三角形所在的矩形的面积减去四周三个小直角三角形的面积列式计算即可得解． 本题主要考查图形的轴对称变换以及在求三角形的面积，找出原图形各个顶点关于y轴的对称点的位置，是解题的关键． (1) 小问详解： 解：如图所示：即为所求； (2) 小问详解： 解：由（1）得：，，． (3) 小问详解： ． 41．【答案】（1） 如图，即为所求；      （2）、、      【分析】 本题考查作图—坐标与轴对称变换、写平面直角坐标系中点的坐标，（1）先确定点A、B、C关于直线l对称的点、点、点，再顺次连接即可； （2）由平面直角坐标系求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由平面直角坐标系得，、、． 42．【答案】解：如图，即为所求；    ，，的坐标分别为：、、． 【分析】 本题考查了作图-轴对称变换，解决本题的关键是掌握轴对称的性质．依据轴对称的性质进行作图，即可得到． 【详解】 略 43．【答案】（1） 解：如图所示：      （2） 解：如图所示： 【分析】 本题考查了画平移图形，画轴对称图形． （1）根据平移方式作图即可； （2）根据轴对称的特点作图即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 44．【答案】（1）如图，坐标系即为所求；     （2） 如图，即为所求， ，      【分析】 本题考查了建立平面直角坐标系，坐标与图形—轴对称图形，熟练掌握轴对称的性质是解此题的关键． （1）根据点的坐标为，点的坐标为建立平面直角坐标系即可； （2）根据关于轴对称的性质作图，写出点，的坐标即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 45．【答案】（1） 如图所示，即为所求．      （2）；     （3）      【分析】 本题考查了作轴对称图形，求关于坐标轴对称的点的坐标，掌握轴对称的性质是关键； （1）依次作出点A，，关于轴对称的点，，，再依次连接即可； （2）由（1）中所作即可得两点的坐标． （3）用直角梯形的面积减去旁边两个三角形的面积，即可解答． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 由（1）知，点，点的坐标分别是， ． 故答案为：， ． (3) 小问详解： ． 46．【答案】（1）A，B，C三点的坐标分别是，，； （2）如图所示． 与的位置关系是关于x轴对称． 【分析】 （1）根据平面直角坐标系写出各点的坐标即可； （2）根据网格结构找出点A′、B′、C′的位置，然后顺次连接即可，根据图形判断关于x轴对称． 【详解】 （1）由图，可知A，B，C三点的坐标分别是，，． （2）略 【点睛】 本题考查了利用轴对称变换作图，熟悉网格结构并找出对应点的位置是解题的关键．. 47．【答案】 【分析】 本题考查了轴对称的性质，点的坐标变换规律，观察图形可知每四次对称为一个循环组，依次循环，用除以4，然后根据商和余数的情况确定出变换后的点A所在的象限，然后解答即可． 【详解】 解：点A第一次关于y轴对称后在第二象限， 点A第二次关于x轴对称后在第三象限， 点A第三次关于y轴对称后在第四象限， 点A第四次关于x轴对称后在第一象限，即点A回到原始位置， 所以，每四次对称为一个循环组，依次循环， ∵， ∴经过第次变换后所得的A点与第二次变换的位置相同，在第三象限，坐标为． 故答案为：． 48．【答案】（1），；     （2）．      【分析】 （）根据“关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”列方程组求解即可； （）根据“关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”列方程组求出的值，然后代入代数式进行计算即可； 本题考查了关于轴、轴对称的点的坐标，代数式求值，解题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数． (1) 小问详解： 解：∵点关于轴对称， ∴ ， 解得 ， ∴，； (2) 小问详解： 解：∵点关于轴对称， ∴ ， 解得 ， ∴． 49．【答案】（1） 如图，、即为所求；      （2）4      【分析】 （1）先利用关于y轴对称的点的坐标特征得到D、E、F的坐标，然后描点即可； （2）用一个矩形的面积减去三个直角三角形的面积去计算的面积． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：． 【点睛】 本题考查了作图一轴对称变换，解题的关键是掌握几何图形都可视为是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的． 50．【答案】（1） 解：如图所示即为所求， ∴点的坐标为；     （2） 解：如图所示，即为所求；      （3）      【分析】 本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，熟知关于y轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相同，关于直线对称的点横坐标相同，纵坐标的和为1的2倍是解题的关键． （1）根据关于y轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相同找到A、B、C对应点的位置，然后顺次连接，再写出点的坐标即可； （2）根据关于直线对称的点横坐标相同，纵坐标的和为1的2倍找到对应点的位置，然后顺次连接点即可； （3）根据关于直线对称的点横坐标相同，纵坐标的和为1的2倍进行求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：由题意得，与关于直线对称， ∴若点在的内部，则点在中对应点的坐标是， 故答案为：． 51．【答案】（1）画图见解析，     （2）见解析      【分析】 本题考查作图——轴对称变换、轴对称——最短路线问题．熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． （1）根据轴对称的性质作出，首尾连接各点，即可得出答案． （2）连接交y轴于点P，根据C，两点关于y轴对称，得，得，最小． (1) 小问详解： 解：如图，即为所求．由图可得． (2) 小问详解： 解：如图，连接交x轴于点P，连接， 此时，为最小值， 则点P即为所求． 考点04 等腰三角形 1．B 2．B 3．D 4．C 5．A 6．B 7．D 8．A 9．C 10．C 11．C 12．B 13．B 14．C 15．B 16．D 17．B 18．D 19．A 20．B 21．D 22．B 23．D 24．B 25．D 26．D 27．C 28．B 29．D 30．D 31．【答案】50或80 P或50 【分析】 已知等腰三角形的一个内角为50°，根据等腰三角形的性质可分情况解答：当50°是顶角或者50°是底角两种情况． 【详解】 解：此题要分情况考虑： ① 50°是它的顶角； ② 50°是它的底角，则顶角是． 故答案为：50或80． 【点睛】 本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理；若题目中没有明确顶角或底角的度数，做题时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答问题的关键． 32．【答案】 【分析】 本题考查等边对等角，三角形的内角和定理，根据等边对等角结合三角形的内角和定理进行求解即可． 【详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴． 33．【答案】证明：（1）∵BE＝CF， ∴BE＋EF＝CF＋EF，即BF＝CE．         又∵∠A＝∠D，∠B＝∠C， ∴△ABF≌△DCE（AAS），         ∴AB＝DC．                                  （2）△OEF为等腰三角形                  理由如下：∵△ABF≌△DCE， ∴∠AFB=∠DEC． ∴OE=OF． ∴△OEF为等腰三角形． 【详解】 略 34．【答案】证明：∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB． 在△ADB和△AEC中， ∴△ADB≌△AEC（SAS）． ∴AD＝AE． 【分析】 根据等边对等角，先证角相等，利用边角边证明△ADB≌△AEC，即可证明结论。 【详解】 略 【点睛】 本题主要是考查了等边对等角以及全等三角形的判定和性质，熟练利用等边对等角，证明角相等，并根据已知条件，证明三角形全等，是解决该问题的关键。 35．【答案】或 【分析】 本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，由于等腰三角形的一个角为，但未指明是顶角还是底角，因此需分两种情况讨论：当是顶角时，底角为；当是底角时． 【详解】 解：分以下两种情况： 情况一：若是顶角，则底角为； 情况二：若是底角，则另一个底角也为． 因此，底角为或． 故答案为：或． 36．【答案】（1） 解：如图，射线AE即为所求．      （2） 证明：∵DA＝DC，DE平分∠ADC， ∴AE＝EC，DE⊥AC， ∴AC＝2AE， ∵AD⊥AB，AC⊥CB， ∴∠AED＝∠DAB＝∠ACB＝90°， ∴∠DAE+∠BAC＝90°，∠BAC+∠B＝90°， ∴∠DAE＝∠B， 在△DEA和△ACB中， ， ∴△DEA≌△ACB（AAS）， ∴DE＝AC，AE＝BC， ∴DE＝2BC．      【分析】 （1）根据要求作出图形即可； （2）证明△DEA≌△ACB（AAS），推出DE＝AC，AE＝BC，可得结论． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 【点睛】 本题考查作图﹣基本作图，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 37．【答案】证明：∵D是BC的中点， ∴BD=CD， ∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于点F， ∴在Rt△BDE和Rt△CDF中， ， ∴， ∴DE=DF， ∴点D在∠BAC的角平分线上， ∴∠BAD=∠CAD， ∵DE=DF，AD=AD， ∴， ∴， ∴，即△ABC是等腰三角形， ∵D是BC的中点， ∴AD⊥BC． 【分析】 先用HL证明△BDE≌△CDF，则有DE=DF，然后根据角平分线的判定定理及全等三角形可求证． 【详解】 略． 【点睛】 本题主要考查直角三角形全等的判定与性质、角平分线的判定定理及等腰三角形的判定与性质，熟练掌握直角三角形全等的判定与性质、角平分线的判定定理及等腰三角形的判定与性质是解题的关键． 38．【答案】30°或150° 【分析】 根据题意可作图进行分类求解即可． 【详解】 解：由题意得： ① 如图，当AB=AC，CD⊥AB时，    ∴AC=2CD， ∴∠A=30°； ② 如图，    ∵AB=BC，AD⊥BC，AB=2AD， ∴∠ABD=30°， ∴∠ABC=150°； 故答案为30°或150°． 【点睛】 本题主要考查等腰三角形的定义及含30°直角三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的定义及含30°直角三角形的性质是解题的关键． 39．【答案】① ② ③ ④ 【分析】 本题考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的三线合一的性质的应用，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． 根据等边证得，得到，再根据等腰三角形的性质求得，；四边形的面积分解为三角形和的面积求解． 【详解】 解：在与中， ， ，故①正确； ， ， ，，故② ④正确； 四边形的面积，故③正确． 故答案为：① ② ③ ④． 40．【答案】7 【分析】 本题考查平行线的性质，等角对等边的性质，角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键，根据角平分线的定义和平行线的性质可得，从而可得，进而得到． 【详解】 解：∵和的平分线交于点， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴， 故答案为：7． 41．【答案】厘米 【分析】 本题考查了含直角三角形的性质以及同角的余角相等，熟练掌握含直角三角形的性质是解题的关键．先根据同角的余角相等证得，然后利用含直角三角形的性质求出的长，进而求出的长，最后利用线段和差关系求出的长． 【详解】 解：如图， 中，，，， （同角的余角相等）， 在中，， 在中，， ． 故答案为：． 42．【答案】，或，． 【分析】 分两种情况：当顶角为时，当底角为时，根据三角形内角和定理求出答案． 【详解】 解：∵等腰三角形的两个底角相等， ∴当顶角为时，两个底角都为， 当底角为时，另一底角为，顶角为， 故答案为：，或，． 【点睛】 此题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟记等腰三角形两个底角相等的性质是解题的关键． 43．【答案】（1）16     （2）      【分析】 本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形外角的性质等知识点．熟练掌握线段垂直平分线的性质是解（1）的关键，利用等腰三角形的判定与性质和三角形外角的性质得出是解（2）的关键． （1）由等边对等角可知，由线段垂直平分线的性质可知，进而可求的周长； （2）由可知，由外角性质可得，由可证，然后利用三角形内角和等于列式求解即可． (1) 小问详解： 解： 中，， ， 垂直平分， ， 又， 的周长为： ． (2) 小问详解： 解：， ， ， ， ， ， 又， ， ，    ， ． 44．【答案】或 【分析】 本题考查等边对等角，三角形的内角和定理，分顶角为和底角为两种情况进行讨论求解即可． 【详解】 解：① 顶角为； ② 当底角为时，顶角的度数为； 故答案为：或． 45．【答案】18 【分析】 先求解，再利用含的直角三角形的性质求解 再证明 从而可得答案. 【详解】 解：∵ ，， ∴． ∵，， ∴，， ∴， ∴． 【点睛】 本题考查的是等腰三角形的判定与性质，含的直角三角形的性质，证明是解本题的关键. 46．【答案】（1）     （2） 解：为等腰三角形，理由如下： ∵， ∴， 由（1）知， ∴， ∴， ∴是等腰三角形．      【分析】 本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义，熟知等腰三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）根据等边对等角和三角形内角和定理可得的度数，再由角平分线的定义可得的度数，再由三角形外角的性质可得答案； （2）根据平行线的性质可得的度数，则可证明，据此可得结论． (1) 小问详解： 解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴． (2) 小问详解： 略 47．【答案】证明：∵，分别平分，， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【分析】 本题考查了角平分线的定义和性质，平行线的性质，能灵活运用知识点进行推理是解此题的关键．根据角平分线的定义得出根据平行线的性质得出求出根据等腰三角形的判定得出即可． 【详解】 略 48．【答案】（1） 证明： ， 即 ， 在和中， ； ；     （2）      【分析】 （1）根据已知条件得出，进而证明，即可得证； （2）根据全等三角形的性质得出，由得出，继而根据平角的定义即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 由（）知：， ， ， ， ． 【点睛】 本题考查了全等三角形的性质与判定，等边对等角，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． 49．【答案】5 【分析】 本题考查了含度角的直角三角形的性质．根据含度角的直角三角形的性质直接可得结果． 【详解】 解：如图所示，    ∵中，，若， ∴， 故答案为：5． 50．【答案】证明：在Rt△BOF和Rt△COE中， ， ∴Rt△BOF≌Rt△COE（HL）， ∴∠FBO=∠ECO， ∵OB=OC， ∴∠CBO=∠BCO， ∴∠ABC=∠ACB， ∴AB=AC. 【分析】 先证明Rt△BOF≌Rt△COE，根据全等三角形的性质得到∠FBO=∠ECO，根据等腰三角形的性质得到∠CBO=∠BCO，得到∠ABC=∠ACB，根据等腰三角形的判定定理证明结论. 【详解】 略 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质. 51．【答案】 【分析】 本题考查中垂线的性质，含30度角的直角三角形，连接，根据中垂线的性质，得到，根据含30度角的直角三角形的性质，得到，再根据线段的和差关系进行求解即可． 【详解】 解：连接， ∵的垂直平分线交于点、交于点， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 52．【答案】证明：如下图，延长，交延长线于点F， 是中点， ， ， ， ， ， ， ∵梯形 ， ， ， 平分， ， ， ， ． 【分析】 本题主要考查了平行线的性质、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，正确作出辅助线是解题关键．延长，交延长线于点F，证明，由全等三角形的性质可得，结合，即可证明，进而证明． 【详解】 略 53．【答案】等腰三角形，理由见解析 【分析】 本题考查了角平分线的定义，平行线的性质及等腰三角形的判定， 根据平分得出，利用得出，从而得出，即可得出结论． 【详解】 解：是等腰三角形， 理由：平分， ， ， ， ， 是等腰三角形． 54．【答案】H度 【分析】 本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质．设，根据等腰三角形的性质可得，再结合三角形外角的性质可得，可求出x的值，即可． 【详解】 解：设， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴． 故答案为： 55．【答案】30 【分析】 先根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算出∠ABC＝70°，再根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DB，则∠DBA＝∠A＝40°，然后计算∠ABC﹣∠DBA即可． 【详解】 解：∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣∠A）＝×（180°﹣40°）＝70°， ∵OD垂直平分AB， ∴DA＝DB， ∴∠DBA＝∠A＝40°， ∴∠DBC＝∠ABC﹣∠DBA＝70°﹣40°＝30°． 故答案为30． 【点睛】 本题考查了等腰三角形的性质：等腰三角形的两腰相等；等腰三角形的两个底角相等．也考查了线段垂直平分线的性质． 56．【答案】6 【分析】 该题考查了线段垂直平分线的性质，含的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，连接，根据线段垂直平分线的性质得出，求出，再根据直角三角形的性质即可求解． 【详解】 解：连接， ∵是的垂直平分线，， ∴， ∴， ∵在中，，， ∴， ∴． 57．【答案】 【分析】 此题考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理等知识，正确理解以上知识是解题的关键． 根据等腰三角形的性质得到，然后根据三角形内角和定理计算即可． 【详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴． 58．【答案】（1） 证明：∵，，且， ∴是的角平分线， ∵， ∴；     （2） 证明：∵，，且， ∴是的角平分线， ∴．      【分析】 本题考查角平分线判定定理，等腰三角形三线合一，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）先根据角平分线的判定得出是的角平分线，然后根据等腰三角形的性质即可得出答案； （2）因为，，且，由角平分线判定定理可得． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 59．【答案】 【分析】 本题主要考查了等腰三角形的三线合一定理、等边对等角、三角形内角和定理，根据等腰三角形的三线合一定理可知，，根据等腰三角形的两个底角相等可以求出，根据角之间的关系可以求出的度数． 【详解】 解：是等边三角形， ， 是等边三角形的中线， ，， ， ， ． 故答案为：． 60．【答案】（1） 证明：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴；     （2） 证明：如图：过点E作交于点F， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵是的平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴；     （3）不成立，正确的结论是．      【分析】 （1）根据三角形内角和可得，利用角平分线得出，由等角对等边即可证明； （2）过点E作交于点F，根据平行线的性质可得，由等量代换、外角的性质及等角对等边可得，，依据全等三角形的判定和性质可得，，，结合图形，由线段间的数量关系进行等量代换即可证明； （3）（2）中的结论不成立，正确的结论是．过点A作交于点F，由平行线的性质及等量代换可得，根据等角对等边得出，由角平分线可得，结合图形根据各角之间的数量关系得出，由等角对等边可得，结合图形进行线段间的等量代换即可得出结果． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：（2）中的结论不成立，正确的结论是．理由如下： 如图，过点A作交于点F， ∴， ∴， ∴， ∵是的外角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】 题目主要考查等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，利用角平分线进行角度的计算，平行线的性质，三角形内角和定理等，理解题意，作出相应辅助线，综合运用这些知识点是解题关键． 61．【答案】（1） 证明：等边三角形，是中线； ∴，平分 ∴ ∵ ∵， ∴ 即 ∴ ∴ ∴是等腰三角形；     （2）48      【分析】 本题主要考查了等边三角形的性质，三线合一，直角三角形中所对的边是斜边的一半等知识点，解决此题的关键是熟练运用以上知识点． （1）根据等边三角形的性质可知，再证明，即可得出结论； （2）由可得出，故可得出的长，进而可得出结论． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解∵， ∴ ∴， ∴周长：． 62．【答案】解：探究一：赞成； 选① ．，分别是，边上的中线， ，． ， ，． 在与中， ， ； 选② ：∵，分别是，边上的高线， ∴， ， ， 在与中， ， ； ③， ， ∵，分别是，的平分线， ∴，， ∴， 在与中， ， ； 探究二：不赞成； ， ， 点是的中点， ． 若要使，则应使，而并不能保证． 小陇的观点不正确． 【分析】 本题考查了角平分线的定义，等边对等角，三角形全等的判定定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 探究一：利用全等三角形的判定定理证明即可得解； 探究二：由等边对等角可得，由题意可得，若要使，则应使，而并不能保证，即可得解． 【详解】 探究一：略 探究二：略 63．【答案】（1）；     （2）      【分析】 本题考查的是线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质．熟记线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． （1）根据线段垂直平分线的性质得到，根据三角形的周长公式计算即可； （2）根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质进行计算． (1) 小问详解： 解：是边的垂直平分线， ， 是边的垂直平分线， ， ， 的周长为即, ； (2) 小问详解： ， ， ， ， ． 64．【答案】（1） 证明：∵，，是上的中线， ∴，，， ∴， ∴为等边三角形；     （2）6      【分析】 此题考查了等腰三角形的三线合一的性质，等边对等角的性质，等边三角形的判定，熟记各性质是解题的关键． （1）首先根据三角形内角和定理和等边对等角得到，然后根据等腰三角形三线合一性质得到，进而得到，即可证明出为等边三角形； （2）利用角直角三角形的性质求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ∵，， ∴． 65．【答案】（1）4     （2） 证明：如图所示，连接，    ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴．      【分析】 此题考查了角平分线的性质定理，等边对等角性质，三角形面积公式等知识， （1）首先根据三角形面积公式求出，然后利用角平分线的性质定理求解即可； （2）连接，根据等边对等角得到，然后结合得到，即可证明． 解题的关键是熟练掌握角平分线的判定定理：角的内部到角两边相等的点在角的平分线上． (1) 小问详解： ∵，， ∴，即 解得 ∵平分交BC于点D，，， ∴， (2) 小问详解： 略 66．【答案】1 【分析】 本题考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、含30度角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握含30度角的直角三角形的性质是解题关键．先根据线段垂直平分线的性质可得，再根据等腰三角形的性质可得，则可得，，然后根据含30度角的直角三角形的性质求解即可得． 【详解】 解：是的垂直平分线，， ∴， ∴， 平分， ，， ∴， 又∵， ∴在中，， 故答案为：1． 67．【答案】 【分析】 此题主要考查了含角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质，正确得出，的长是解题关键． 直接利用直角三角形的性质得出的长，进而得出的长，即可得出答案． 【详解】 解：，，， ， ， ， ， 阴影部分的面积为：． 故答案为：． 68．【答案】证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 【分析】 本题考查等腰三角形的性质与判定、平行线的性质．准确推导各角之间的等量关系，将已知条件逐步转化为证明两边相等的依据，是解题关键； 首先由得出．接着因为，根据平行线的性质得到，进而推出，再利用对顶角相等得到．又因为已知，所以，最后根据“等角对等边”得出，从而证明是等腰三角形． 【详解】 略 69．【答案】证明：∵平分，平分， ， ， ， ， ，， ， 即． 【分析】 本题考查了角平分线定义，平行线性质，等腰三角形的判定的应用，注意：等角对等边． 根据角平分线定义和平行线性质求出，推出，同理得出，即可求出答案． 【详解】 略 70．【答案】（1）证明： ∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形， ∴AB=AC， AD=AE． 又∵∠EAC=90°+∠CAD，∠DAB=90°+∠CAD， ∴∠BAD=∠CAE． 在△ADB和△AEC中， ， ∴△BAD≌△CAE（SAS）． ∴BD=CE． （2）证明： ∵△ABC是等腰直角三角，∠BAC=90°， ∴ ∠ABC=∠ACB=45°， ∵ △BAD≌△CAE ∴ ∠ACE=∠ABC=45°， ∴ ∠BCE=∠ACE+∠ACB=90°， ∴BD⊥CE． 【分析】 （1）根据等腰三角形的性质可得出AB=AC、AD=AE，由∠BAC=∠DAE=90°可得出∠BAD=∠CAE，由此即可证出△BAD≌△CAE（SAS），根据全等三角形的性质即可得出BD=CE； （2）根据等腰直角三角形的性质可得出∠ABC=∠ACB=45°，根据全等三角形的性质可得出∠ACE=∠ABC=45°，进而即可得出∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°，即BD⊥CE． 【详解】 （1）略 （ 2 ）略 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及等腰直角三角形，解题的关键是：（1）利用全等三角形的判定定理SAS证出△BAD≌△CAE；（2）根据等腰直角三角形的性质结合全等三角形的性质找出∠ACB=∠ACE=45°． 71．【答案】65° 【分析】先证明△BDE≌△CFD，可得∠BDE=∠CFD，根据∠BDE+∠CDF+∠EDF=180°即可求得∠EDF的值． 【详解】在△BDE和△CFD中， ， ∴△BDE≌△CFD（SAS）， ∴∠BDE=∠CFD， ∵∠BDE+∠CDF+∠EDF=180°， ∴∠CFD+∠CDF+∠EDF=180°， ∵∠CFD+∠CDF+∠C=180°， ∴∠EDF=∠C． ∵∠B=∠C，∠A=50°， ∴∠EDF=∠C=（180°-50°）=65°. 【点睛】 考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应角相等的性质，本题中求证△BDE≌△CFD是解题的关键． 72．【答案】（1） 解：如图所示，作的平分线交于点，点即为水厂的位置．      （2）      【分析】 本题考查了角平分线的性质，角平分线的作法，含角的直角三角形的性质，正确作图是关键． （1）根据题意作的平分线交于点，点即为水厂的位置； （2）过点A作于点H，得到，根据含角的直角三角形的性质得到，再根据即可求出答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 过点A作于点H， ∵平分， ∴， ∴， ∵， 解得， 即的长度为． 73．【答案】（1）③     （2） 解：猜想，证明如下： 如图2中，过点D作交延长线于点，于点， 平分，，， ，，． ，， ． 又， ， ；     （3） 证明：如图3，在上截取，连接， ，， ． 平分， ． ， ． ． ． 四边形为“分角对补四边形”． 由（2）的结论得， ， ． ． ． ．      【分析】 本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，角平分线的性质，全等三角形的性质与判定，正确理解题意是解题的关键． （1）根据角平分线上的点到该角两边的距离相等即可得到答案； （2）过点D作交延长线于点，于点，则，再证明，即可得到； （3）在上截取，连接，导角可证明．则四边形为“分角对补四边形”．由（2）的结论得，再证明．得到，据此可证明结论． (1) 小问详解： 解：∵， ∴， 又∵对角线平分， ∴（角平分线的性质）， 故答案为：③； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 略 74．【答案】（1）     （2） 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形．      【分析】 本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，三角形外角的性质． （1）根据等腰三角形的性质得到，根据三角形内角和即可得到结论； （2）由等边对等角得到，则由三角形外角的性质可推出，则，据此得到，即是等腰三角形． (1) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴， ∴； (2) 小问详解： 略 75．【答案】140°． 【详解】 解：∵DE垂直且平分AB， ∴AE=BE ∴∠EAB=∠B， 又∵∠CAE=∠B+30°， 故∠CAE=∠B+30°=90°﹣2∠B， ∴∠B=20°， ∴∠AEB=180°﹣20°×2=140°． 76．【答案】见解析； 【分析】 本题主要考查了三线合一，解决此题的关键是作出合理的辅助线；运用两次三线合一，在等腰三角形中，底边上的高是底边上的中线，根据线段的和差即可得到答案； 【详解】 解：如图，过点作于点, ∵， ∴, 又∵， ∴, 同理得：, ∴, ∴ 77．【答案】（1）     （2） 为等腰三角形，理由如下： ， ， ， ， ， ， ， ． 故为等腰三角形．      【分析】 本题考查了三角形的相关知识．熟练掌握三角形内角和定理，三角形外角性质，平行线的性质，等腰三角形的判定，是解题的关键． （1）在中，根据三角形三个内角的和是即可求出的度数； （2）先求出，结合（1）中的结论即可求出，根据平行线性质 ，得，得，从而判断出的形状． (1) 小问详解： 解：，， ∴； (2) 小问详解： 解：略． 78．【答案】（1）见解析     （2）见解析      【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，解决本题的关键是证明． （1）根据直角三角形的判定定理证明即可； （2）先由，可得，，再根据等边对等角，可得，由此可得，再根据三角形内角和为，即可证明． (1) 小问详解： 证明：∵，且， ∴， 在与中， ， ∴， ∴； (2) 小问详解： 证明：由上一问得， ∴，， 由上一问得， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 记与相交于点H， 中，， 中，， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴平分． 79．【答案】 【分析】 本题主要考查了线段垂直平分线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理，等边对等角，由线段垂直平分线的性质可得，则由等边对等角和三角形内角和定理可推出，即；由角平分线的定义得到，则． 【详解】 解：如图所示，连接， ∵点O是三边垂直平分线的交点， ∴， ∴； ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∴； ∵点P是三个内角平分线的交点， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 80．【答案】（1）两底角相等，则两腰相等；     （2） 第二种情况，已知：如图，是等腰三角形，CE是的平分线．求证：． 证明：∵是等腰三角形， ∴． ∵CE是的平分线， ∴． ∴． ∴． 第三种情况，已知：如图，是等腰三角形，．求证：CE是的平分线． 证明：∵， ∴． ∵是等腰三角形． ∴． ∴， ∴CE是的平分线．      【分析】 根据角平分线、平行线和等腰三角形的性质和判定解题即可． (1) 小问详解： ∵．∴．依据是两底角相等，则两腰相等； (2) 小问详解： 略 【点睛】 本题考查角平分线、平行线和等腰三角形的性质和判定.熟练掌握相关性质和定理是解题的关键． 81．【答案】（1）20°； （2）证明：∵D是BC边上的中点， ∴BD=CD， ∵∠AFE=∠AEF， ∴AF=AE， ∵AD⊥BC， ∴D是EF边上的中点， ∴FD=ED， ∴BD-FD=CD-ED，即BF=CE． 【分析】 （1）根据等腰三角形的性质可求∠C，再根据等腰三角形的性质可求∠CAE，根据等腰三角形三线合一的性质和三角形内角和定理可求∠CAD，再根据角的和差关系可求∠DAE的度数； （2）等腰三角形三线合一的性质可得BD=CD，FD=ED，再根据线段的和差关系即可求解． 【详解】 解：（1）∵AB=AC，∠ABC=35°， ∴∠C=35°， ∵AE=CE， ∴∠CAE=35°， ∵D是BC边上的中点， ∴AD⊥BC， ∴∠ADC=90°， ∴∠DAC=180°-90°-35°=55°， ∴∠DAE=∠DAC-∠C=55°-35°=20°； （2）略 【点睛】 本题主要考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 82．【答案】7 【分析】 根据等腰三角形性质判定点C和点B关于直线对称，得到，结合，判定当B，P，E三点共线时，有最小值，其最小值为计算即可． 【详解】 ∵，，是的两条中线， ∴点C和点B关于直线对称， ∴， ∴， ∴当B，P，E三点共线时，有最小值， ∵， ∴最小值为． 故答案为：7． 【点睛】 本题考查了等腰三角形的三线合一性质，线段最短原理，熟练掌握三线合一性质，线段最短原理是解题的关键． 83．【答案】（1） 证明：∵， ∴，即． ∵， ∴在和中， ∴．     （2）      【分析】 本题考查了全等三角形的判定和性质直角三角形的性质，灵活运用全等三角形的判定是本题的关键． （1）由“”可证； （2）由全等三角形的性质和直角三角形的性质可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ∵， ∴， ∴， ∴． 84．【答案】（1）全等，见解析     （2）点Q的运动速度为时，能够使与全等      【分析】 （1）由“”可证； （2）根据全等三角形的判定定理SAS可知，有两种情况：① 当且时，且，②，时，且，解方程即可判断． 本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定的应用等知识，熟练运用这些性质解决问题是解此题的关键． (1) 小问详解： 解：经过1秒后，，，， 中，， 在和中， ， 图1                           图2 (2) 小问详解： 设点Q的运动速度为，经过与全等；则可知，，， ， ， 根据全等三角形的判定定理SAS可知，有两种情况： ① 当且时，且， 解得， ， 舍去此情况； ②，时，且， 解得：； 故若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为时，能够使与全等 85．【答案】11cm或7cm 【详解】试题解析：如图，∵AB=AC，BD是AC边上的中线， 即AD=CD， ∴|(AB+AD)−(BC+CD)|=|AB−BC|=15−12=3(cm)，AB+BC+AC=2AB+BC=12+15=27cm， 若AB>BC，则AB−BC=3cm， 又∵2AB+BC=27cm， 联立方程组并求解得：AB=10cm，BC=7cm， 10cm、10cm、7cm三边能够组成三角形； 若AB<BC，则BC−AB=3cm， 又2AB+BC=27cm， 联立方程组并求解得：AB=8cm，BC=11cm， 8cm、8cm、11cm三边能够组成三角形； ∴三角形的各边长为10cm、10cm、7cm或8cm、8cm、11cm. 故答案为7cm或11cm. 86．【答案】解：∵， ∴， ∴， ∴，即， 又∵， ∴， ∴． 【分析】 本题考查等角对等边，全等三角形的判定和性质，熟练掌握等角对等边，全等三角形的判定方法，是解题的关键，根据等角对等边，三角形的内角和定理，得到，利用证明，即可得证． 【详解】 略 87．【答案】（1） 证明：， ， 在和中 ， ，即；     （2）      【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，外角的性质，解题的关键是选择合适的全等三角形判定方法． （1）用直角三角的判断方法，直接判定即可； （2）先根据等腰三角形的性质，求出的度数，再求出的度数，由（1）的全等求出，由（1）的全等和等腰三角形的性质求出，最后根据外角的性质，即可得出答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ， ， ， ， ， ， ， ． 88．【答案】（1） 证明：在中，， ， ， ， 同理可得： ， ， ， ；     （2） 证明：延长至，使，连接， 在和中， ， ， ， 又， ， 由（1）知，， 设，， ， ，， 由（1）知， ， 在和中， ， ， ， 又， ；     （3）      【分析】 （1）由等腰三角形的性质及三角形内角和定理可得出结论； （2）延长至，使，连接，证明，由全等三角形的性质得出，，证明，由全等三角形的性质得出，则可得出结论； （3）取的中点F，连接，由（2）知，由题意易得是等边三角形则有平分，作于H，则，则，然后根据点到直线垂线段最短可进行求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：取的中点F，连接，由（2）知， ∴， ∵， ∴，即点E在的垂直平分线上， ∵，， ∴是等边三角形， ∴平分，则， 作于H，则（在含角的直角三角形中，对边是斜边的一半）， ，根据垂线段最短，当A、E、H共线且时，最小值为A到的距离h， ， ∴，解得． ∴的最小值为． 【点睛】 本题是三角形综合题，考查了直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 89．【答案】 【分析】 本题重点考查了等腰三角形的性质定理，等腰三角形顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合，简称“三线合一”，角平分线的性质定理，线段的垂直平分线的性质定理，线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等，正确画辅助线，同时熟练掌握等腰三角形、垂直平分线的性质定理是解题的关键． 先作辅助线，连接，过点作于点，利用等腰三角形的性质得到垂直平分，根据线段的垂直平分线的性质定理得到，再利用垂线段最短原理得到最小值即为的值，通过三角形的面积公式计算得到的值，完成求解． 【详解】 解：连接，过点作于点，如图， ∵，平分， ∴且平分， ∴是线段的垂直平分线，则， ∴， 根据“垂线段最短”得， 即当点在线段上时，为最小，最小值为线段的长， ∵的面积为，， ∴， ∴，即的最小值为． 故答案为：． 考点05 等边三角形 1．B 2．A 3．B 4．B 5．D 6．【答案】（1） 证明：依题意得，， ∴是等边三角形．     （2） 证明：∵是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴．      【分析】 本题主要考查了等边三角形的性质与判定，平行线的判定，三角板中角度的计算，熟知等边三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）根据题意可得，，据此可证明结论； （2）根据等边三角形的性质和三角板中角度的特点可证明，据此可证明结论． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 7．【答案】证明：， 为等腰三角形， 又， ， 是等边三角形． 【分析】 本题考查了等边三角形的判定，根据有一角是60°的等腰三角形是等边三角形即可求证． 【详解】 略 8．【答案】30° 【分析】 根据△ABD是等边三角形，∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，证明△CBA≌△CDA（SAS），得到∠ADC＝∠ABC＝90°，根据∠BDC＝∠ADC﹣∠ADB，即可求出∠BDC的度数． 【详解】解：∵△ABD是等边三角形， ∴∠BAD＝60°，AB＝AD， ∵∠BAC＝30°， ∴∠CAD＝60°﹣30°＝30°， 在△CBA与△CDA中， ， ∴△CBA≌△CDA（SAS）， ∴∠ADC＝∠ABC＝90°， ∴∠BDC＝∠ADC﹣∠ADB＝90°﹣60°＝30°． 【点睛】 本题考查了等边三角形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是灵活运用以上性质解决问题． 9．【答案】见解析 【分析】 本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，证明是解题的关键． 根据等边三角形的性质可得，再结合角平分线的定义可得，然后根据，可得，可证明，即可求证． 【详解】 证明：∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 10．【答案】（1）是等边三角形     （2）      【分析】 （1）根据题意可得且，进而可以判断三角形的形状； （2）根据三角形的三边关系可得，进而化简绝对值即可． (1) 小问详解： 解：， 且， 是等边三角形； (2) 小问详解： 解：，，是的三边长，， ． 【点睛】 本题主要考查了等腰三角形的定义，三角形三边关系，绝对值的非负性，掌握以上知识是解题的关键． 11．【答案】（1）见解析，     （2）5     （3）见解析      【分析】 本题考查了作图−轴对称变换，轴对称−最短路线问题，解决本题的关键是掌握轴对称的性质． （1）先作出点关于轴对称的点，再顺次连接即可； （2）根据网格利用割补法即可求出面积； （3）作点关于轴的对称点，则，由两点之间线段最短即可确定此时点即为所求． (1) 小问详解： 解：即为所作： 则； (2) 小问详解： 解：的面积：； (3) 小问详解： 解：作点关于轴的对称点，连接与轴交点即为点． 12．【答案】（1）如图： （2）建立坐标系如图： 【分析】 本题主要考查坐标与图形的性质，熟练掌握勾股定理与无理数，等边三角形的性质，适当建立平面直角坐标系，是解题的关键． （1）根据，得，得； （2）以所在的直线为x轴，以边上的高所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系，则，再根据勾股定理求出，点A、B、C的坐标即可写出． 【详解】 解：（1）在数轴上取点B，使点B表示的数为2． 过点B作数轴的垂线，在垂线上取点C，使点C在数轴上方，且． 连接． 以点O为圆心，长为半径在点B右侧画弧，交数轴于点A． 点A表示的数为． （2）以所在的直线为x轴，以过A垂直于的直线为y轴，建立坐标系，O为原点． ∵是等边三角形， ∴O为的中点． ∵的边长为6， ∴． ∵在中，， ∴． ∴． 13．【答案】解：（1）作的垂直平分线分别交于点P，D，连接， ， ． ， ， ， 是等边三角形， ， ，即． （2）．理由如下： F是的中点， ∴． ， ，， ． 是等边三角形， ， ， ，即． 在和中， ， ， ． F是的中点， 是的垂直平分线， ， ． （3）．理由如下： 取的中点F，连接， ． ， ，， ． 是等边三角形， ， ， ， 即． 在和中， ， ， ， ． F是的中点， 是的垂直平分线， ， ． 【分析】 本题考查的是等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形性质及线段垂直平分线性质， （1）作的垂直平分线分别交于点P，D，连接，证明是等边三角形，得出即可； （2）先证明，进而证明，证明是的垂直平分线即可证明结论； （3）取的中点F，连接，得出，再证明，得出是的垂直平分线即可证明结论． 【详解】 略 14．【答案】（1）海岛B到海岛C的距离为30海里     （2）救援队先到      【分析】 本题考查三角形的外角，等腰三角形和等边三角形的判定： （1）根据三角形的外角的性质求出，进而得到即可； （2）证明为等边三角形，进而得到的长，根据时间等于路程除以速度，进行求解即可得出结论． (1) 小问详解： 解：由题意，得：海里； ∵， ∴， ∴ ∴海里； 答：海岛B到海岛C的距离为30海里； (2) 小问详解： 由题意：海里， 由（1）知：海里， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴海里， ∴救援队所用时间为小时，救援队所用时间为小时， ∴救援队先到． 15．【答案】（1）见解析     （2）见解析     （3）见解析      【分析】 本题考查了线段垂直平分线的性质、等边三角形的判定与性质、角平分线的判定定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）证出，由线段垂直平分线的判定可得出结论； （2）由角平分线的判定可得出结论； （3）证出，．由（1）知垂直平分，则，由等边三角形的判定可得出结论． (1) 小问详解： 证明：∵， ∴． ∵，点A，O在上， ∴垂直平分； (2) 小问详解： ∵， ∴． 又∵，， 即，， ∴平分； (3) 小问详解： 由（1）知． ∵， ∴是等边三角形， ∴，． 由（1）知垂直平分， ∴E是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形． 16．【答案】证明：∵，， ∴， ， ∴为等腰三角形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵为等边三角形， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 【分析】 本题考查了全等三角形的判定及性质，等腰三角形的判定及性质，等边三角形的判定及性质，合理证明全等是解题的关键． 利用等腰三角形的性质证出，得到，由为等边三角形，证出为等边三角形，再利用等边三角形的性质求解即可． 【详解】 略 17．【答案】（1）证明：∵BD⊥直线m，CE⊥直线m， ∴∠BDA＝∠CEA=90°． ∵∠BAC＝90°， ∴∠BAD+∠CAE=90°． ∵∠BAD+∠ABD=90°， ∴∠CAE=∠ABD． 又AB=AC， ∴△ADB≌△CEA（AAS）． ∴AE=BD，AD=CE． ∴DE=AE+AD=BD+CE； （2）成立．证明如下： ∵∠BDA =∠BAC=， ∴∠DBA+∠BAD=∠BAD +∠CAE=180°-． ∴∠DBA=∠CAE． ∵∠BDA=∠AEC=，AB=AC， ∴△ADB≌△CEA（AAS）． ∴AE=BD，AD=CE． ∴DE=AE+AD=BD+CE； （3）△DEF为等边三角形 【分析】 （1）因为DE=DA+AE，故由全等三角形的判定AAS证△ADB≌△CEA，得出DA=EC，AE=BD，从而证得DE=BD+CE； （2）成立，仍然通过证明△ADB≌△CEA，得出BD=AE，AD=CE，所以DE=DA+AE=EC+BD； （3）由△ADB≌△CEA得BD=AE，∠DBA =∠CAE，由△ABF和△ACF均等边三角形，得∠ABF=∠CAF=60°，FB=FA，所以∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF，即∠DBF=∠FAE，所以△DBF≌△EAF，所以FD=FE，∠BFD=∠AFE，再根据∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=600得到△DEF是等边三角形． 【详解】 解：（1）略 （2）略 （3）△DEF为等边三角形．理由如下： 由（2）知，△ADB≌△CEA，BD=AE，∠DBA =∠CAE， ∵△ABF和△ACF均为等边三角形， ∴∠ABF=∠CAF=60°． ∴∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF． ∴∠DBF=∠FAE． ∵BF=AF， ∴△DBF≌△EAF（SAS）． ∴DF=EF，∠BFD=∠AFE． ∴∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=60°． ∴△DEF为等边三角形． 【点睛】 此题考查了全等三角形的性质和判定、等边三角形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定． 18．【答案】（1），不变     （2）当第秒或第秒时，为直角三角形     （3），不变      【分析】 本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，注意分情况讨论是解题的关键． （1）利用等边三角形的性质得出，结合，证明，推出，进而可证； （2）设时间为t，则，分和两种情况，根据含30度角的直角三角形的性质求解； （3）利用等边三角形的性质得出，推出，结合，证明，推出，进而即可求解． (1) 小问详解： 解：，不变 ∵等边三角形中，， 又由条件得， 在和中， ∴， ∴， ∴． (2) 小问详解： 解：设时间为t，则， ① 当时， ∵， ∴， ∴，即， 解得t； ② 当时， ∵， ∴， ∴，得， 解得t ∴当第秒或第秒时，为直角三角形． (3) 小问详解： 解：，不变． ∵在等边三角形中，， ∴， 又由条件得， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ， ， ∴． ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴． 19．【答案】证明：∵、是等边三角形， ∴，，， ∵，， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【分析】 本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形外角的性质，根据等边三角形的性质得，，，再根据三角形外角的性质证得，进而证得，得，即可得证． 【详解】 略 20．【答案】 【分析】 本题考查了轴对称最短路线问题，等边三角形的判定与性质，正确作出辅助线，证明是等边三角形是关键．分别作点关于的对称点，，连接交于，交于，连接，则，，，，，则的周长的最小值，然后证明是等边三角形，即可求解． 【详解】 解：分别作点关于的对称点，，连接交于，交于，连接，则，，，，，则的周长的最小值， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴的周长， ∴， ∴的周长的最小值是． 故答案为：． 21．【答案】（1） 证明：∵和均为等边三角形， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴；     （2）证明：∵和均为等边三角形， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴；     （3）2      【分析】 （1）首先根据等边三角形的性质可得，易得，然后根据“”可证明，由全等三角形的性质即可证明结论； （2）首先证明，进而可得，然后根据“”可证明，由全等三角形的性质即可证明结论； （3）过点作，则，证明，易得，再证明垂直平分线段，易得，然后由即可获得答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 如下图，过点作， 则， ∵和均为等边三角形， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴垂直平分线段， ∴， ∴． 【点睛】 本题主要考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、垂直平分线的判定与性质等知识，熟练掌握相关知识并熟练运用是解题关键． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 轴对称 5大高频考点概览 考点01 轴对称及其性质 考点02 线段的垂直平分线 考点03 画轴对称的图形 考点04 等腰三角形 考点05 等边三角形 考点01 轴对称及其性质 1．（25-26学年八上·甘肃定西·期中）下列图形是轴对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年八上·甘肃陇南武都区·期中）“致中和，天地位焉，万物育焉．”对称美是我国古人和谐平衡思想的体现．以下四幅剪纸作品中，其图案是轴对称图形的是（　　） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年八上·甘肃武威·期中）下列四个手机软件图标中，属于轴对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年八上·甘肃金昌永昌县·期中）下列图形中，不是轴对称图形的是（       ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年八上·甘肃平凉庄浪县·期中）2025年11月9日，第十五届全国运动会在广州开幕，比赛共设34个大项，419个小项．下列四幅运动图标，其中是轴对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年八上·甘肃武威凉州区凉州区柏树中学·期中）下列图形中，不是轴对称图形的是（  ） A. 等腰三角形 B. 线段 C. 平行四边形 D. 圆 7．（25-26学年八上·甘肃庆阳·期中）汉字是博大精深的文化传承，也是美轮美奂的象形文字．作为中国人，我们感到无比自豪和光荣．下面四个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年八上·甘肃定西安定区·期中）下列图标是轴对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年八上·甘肃武威凉州区·期中）下列汽车标志中，不是轴对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年八上·甘肃定西通渭县·期中）国产人工智能大模型横空出世，其低成本、高性能的特点，迅速吸引了全球投资者的目光．以下是四款常用的人工智能大模型的图标，其文字上方的图案是轴对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年八上·甘肃陇南）以下的新能源汽车品牌标志中，不是轴对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  12．（25-26学年八上·甘肃临夏州·期中）下列四种化学仪器的示意图中，是轴对称图形的是（       ） A.  B.  C.  D.  13．（25-26学年八上·甘肃定西通渭县·期中）如图，与交于点O，与关于直线对称，点A，B的对应点分别是点C，D，下列结论正确的是（       ）． A.  B.  C.  D.  14．（25-26学年八上·甘肃陇南西和县）下列交通标志图形中不是轴对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  15．（25-26学年八上·甘肃陇南武都区·期中）如图，将三角形纸片按下面四种方式折叠，则是的高的是（     ） A.  B.  C.  D.  16．（25-26学年八上·甘肃临夏州·期中）如图，与关于直线对称，与的交点F在直线上．若． （1）求的长度； （2）求的度数． 17．（25-26学年八上·甘肃平凉庄浪县·期中）如图，，，与关于直线对称，则　　　　　　　． 18．（25-26学年八上·甘肃陇南西和县）如图，与关于所在直线对称，若，，则的度数为　　　　　． 19．（25-26学年八上·甘肃武威·期中）如图，将长方形沿线段折叠到的位置，若，则的度数为　　　　　　　　． 20．（25-26学年八上·甘肃武威凉州区凉州区柏树中学·期中）在中，．沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在边上的点E处，折痕为，过点E作的平分线交于点P，连接，如图． （1）若，求的面积． （2）求证：平分． 考点02 线段的垂直平分线 1．（25-26学年八上·甘肃陇南西和县）下列图形中，对称轴最多的是（    ） A. 等腰三角形 B. 正方形 C. 长方形 D. 等边三角形 2．（25-26学年八上·甘肃武威·期中）已知，用尺规作图的方法在上确定一点P，使，则符合要求的作图痕迹是（   ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年八上·甘肃武威凉州区凉州区谢河中学·期中）下列说法错误的是（       ） A. 任何命题都有逆命题 B. 任何定理都有逆定理 C. 真命题的逆命题不一定是真命题 D. 互逆定理中的两个命题都是真命题 4．（25-26学年八上·甘肃陇南）下列定理中，没有逆定理的是（       ） A. 两直线平行，内错角相等 B. 直角三角形两锐角互余 C. 对顶角相等 D. 同位角相等，两直线平行 5．（25-26学年八上·甘肃陇南）如图，中，，的垂直平分线交于点，的周长是21，则的长度为（       ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 6．（25-26学年八上·甘肃陇南西和县）如图，已知，，则点O是（       ） A. 三条边垂直平分线的交点 B. 三条角平分线的交点 C. 三条中线的交点 D. 三条高的交点 7．（25-26学年八上·甘肃陇南）下列图形中，对称轴最多的是（       ） A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 长方形 D. 正方形 8．（25-26学年八上·甘肃临夏州·期中）如图，中，，分别以点B，C为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点D，作射线，连接，，根据以上过程及所作图形，下列结论：①垂直平分；②；③，其中正确的个数为（     ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 9．（25-26学年八上·甘肃定西安定区·期中）观察下列尺规作图的痕迹，能够说明的是（     ） A. ②③ B. ③④ C. ①③ D. ②④ 10．（25-26学年八上·甘肃武威·期中）如图，在中，的垂直平分线交于点E，交于点D，连接，若，的周长为13，则　　　　　　　　． 11．（25-26学年八上·甘肃定西通渭县·期中）“两直线平行，内错角相等”的逆命题是　　　　　　　　　　． 12．（25-26学年八上·甘肃定西·期中）如图，DE是△ABC中AC边的垂直平分线，若BC＝8cm，AB＝10cm，则△EBC的周长为　　　cm． 13．（25-26学年八上·甘肃武威·期中）命题“如果，，那么”的逆命题是　　　　　． 14．（25-26学年八上·甘肃武威·期中）如图是某城区的三所小学A、B、C的分布示意图，现准备修建一个儿童游乐中心P．若要使三所学校到儿童游乐中心的距离相等，则儿童游乐中心应修在何处？ 15．（25-26学年八上·甘肃临夏州·期中）如图，中，垂直平分，交于点，交于点，垂足为，且连接．求证： 16．（25-26学年八上·甘肃金昌永昌县·期中）如图，在中，若，分别垂直平分，，如果，则的周长为　　　　　　　　　． 17．（25-26学年八上·甘肃平凉庄浪县·期中）在中，，的垂直平分线交于点D，交于点E． （1）求证：是等腰三角形； （2）若，的周长为20，求的周长． 18．（25-26学年八上·甘肃张掖二中教·期中）在“线段、锐角、三角形、等边三角形”这四个图形中，其中是轴对称图形的有　　　个，其中对称轴最多的是　　　　　　　　　　. 19．（25-26学年八上·甘肃张掖二中教·期中）“西气东输”是造福子孙后代的创世工程，现有两条高速公路、和两个城镇、（如图），准备建一个燃气控制中心站，使中心站到两条公路距离相等，并且到两个城镇的距离也相等，请你利用直尺和圆规作出中心站的位置．（作出满足题意的一处位置即可） 20．（25-26学年八上·甘肃武威凉州区凉州区谢河中学·期中）如图，在中，是的垂直平分线.若，，则的周长是　　　　　　. 21．（25-26学年八上·甘肃定西安定区·期中）如图，在中，，分别垂直平分边，，交于点，，如果，那么的周长为　　　　　　　　　　　． 22．（25-26学年八上·甘肃定西安定区·期中）如图，两个班的学生分别在、两处参加植树劳动，现要在道路、的交叉区域内（角内部）设一个茶水供应点，使到两条道路的距离相等，且使，请你通过尺规作图找出这一点，不写作法，保留作图痕迹 23．（25-26学年八上·甘肃定西通渭县·期中）如图，在内找一点P，使点P到A，B两点的距离相等，并且点P到点C的距离等于线段的长．（尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明） 24．（25-26学年八上·甘肃定西通渭县·期中）如图，直线l是线段AB的垂直平分线，P点在直线l的右侧，求证：PA＞PB． 25．（25-26学年八上·甘肃陇南）如图，A，B是小河同侧的两个村庄，为解决用水问题，两村合资在河上修建一座水站，为使水站到A村和B村的距离相等，求水站的位置（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，写出结论） 26．（25-26学年八上·甘肃陇南）如图，在中，求作一点，使点到、的距离相等，且．(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹) 27．（25-26学年八上·甘肃临夏州·期中）定理“直角三角形的两个锐角互余”的逆定理是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　． 28．（25-26学年八上·甘肃武威凉州区凉州区柏树中学·期中）如图，在中，是的垂直平分线，，周长为，则的周长为　　　　． 29．（25-26学年八上·甘肃定西·期中）如图，学校要在两条小路OM和ON之间的S区域规划修建一处“英语角”，按照设计要求，英语角C到两栋教学楼A，B的距离必须相等，到两条小路的距离也必须相等，则“英语角”应修建在什么位置？请在图上标出它的位置．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 30．（25-26学年八上·甘肃陇南武都区·期中）综合与实践： 【模型背景】 相传，有一位将军拜访古希腊数学家海伦，求教一个百思不得其解的问题：如图①，将军从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地，到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？海伦利用轴对称的知识回答了这个问题，这个问题后来被称为“将军饮马问题”． 【模型解决】 如图①，小甘将A，B两地抽象为两个点，将河l抽象为一条直线．如图②，小甘作点B关于直线l的对称点，连接与直线l交于点C，点C就是饮马的地方，此时所走的路程就是最短的，小甘对此进行了说明，请帮他补全说明过程： 如图③，在直线l上另取任意一点（与点不重合），连接，，． 点与点关于直线l对称，直线l是的垂直平分线． _____， _____．___________． 在中，，，即最小． 【模型应用】 如图④，在中，直线是边的垂直平分线，点是直线上的动点．若，，，求周长的最小值． 31．（25-26学年八上·甘肃武威·期中）（多选）已知：如图，比长，的垂直平分线交于点，交于点，的周长是，求和的长． 32．（25-26学年八上·甘肃武威·期中）如图，在中，，，通过观察尺规作图的痕迹，则　　　　　　． 33．（25-26学年八上·甘肃临夏州·期中）如图，在中，． （1）尺规作图：①作边的垂直平分线交于点，交于点；②连接，作的平分线交于点；（要求：保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）所作的图中，求的度数． 34．（25-26学年八上·甘肃金昌永昌县·期中）如图，在△ABC中，AB边的中垂线DE，分别与AB边和AC边交于点D和点E，BC边的中垂线FG，分别与BC边和AC边交于点F和点G，又△BEG周长为16，且GE＝1，则AC的长为　　　　　． 35．（25-26学年八上·甘肃金昌永昌县·期中）如图，l1、l2交于A点，P、Q的位置如图所示，试确定M点，使它到l1、l2的距离相等，且到P、Q两点的距离也相等．（用直尺和圆规） 36．（25-26学年八上·甘肃平凉庄浪县·期中）如图所示，点为内一点，分别作出点关于，的对称点，，连接交于，交于，的周长为，　　　　　　　． 37．（25-26学年八上·甘肃陇南）命题“两个全等三角形的面积相等”的逆命题是　　　　　　　　，该逆命题是　　　　　　（填真、假）命题． 38．（25-26学年八上·甘肃定西临洮县·期中）如图，在中，． （1）利用尺规作线段的垂直平分线，垂足为E，交于点D（保留作图痕迹，不写作法）． （2）在（1）的条件下，若，求的度数． 39．（25-26学年八上·甘肃陇南西和县）如图，已知，求作一点，使到和的距离相等且（保留作图痕迹，不写作法）． 40．（25-26学年八上·甘肃陇南西和县）“有两个角相等的三角形是等腰三角形”的逆命题是　　　　　． 41．（25-26学年八上·甘肃吴家井中学·期中）如图，在等腰中，，的垂直平分线交于点D，若，，则的周长为　　　　　　． 42．（25-26学年八上·甘肃张掖二中教·期中）到三角形各顶点距离相等的点是三角形　　　　　　　　　　　　　　的交点. 考点03 画轴对称的图形 1．（25-26学年八上·甘肃兰州第五十四中学·期中）在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年八上·甘肃白银·期中）点关于轴对称的点的坐标为（   ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年八上·甘肃武威凉州区凉州区柏树中学·期中）在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是（     ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年八上·甘肃张掖二中教·期中）已知点关于轴的对称点是，则点的坐标是（　　） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年八上·甘肃武威凉州区凉州区谢河中学·期中）点关于轴对称的点的坐标是（       ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年八上·甘肃定西安定区·期中）已知点与关于x轴对称，则a，b分别为 （     ） A. 3， B. ， C. 3，4 D. ，4 7．（25-26学年八上·甘肃武威凉州区·期中）在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点是(     ) A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年八上·甘肃陇南）若点与点B关于y轴对称，则点B的坐标是（       ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年八上·甘肃陇南西和县）在平面直角坐标系中，点和点关于轴对称，已知的坐标为，则的坐标为（     ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年八上·甘肃吴家井中学·期中）已知点，点关于x轴对称，则a与b的值为（     ） A. ， B. ， C. ， D. ， 11．（25-26学年八上·甘肃武威·期中）已知点、关于轴对称，则的值是（       ） A. -1 B. 2 C. -3 D. 3 12．（25-26学年八上·甘肃兰州·期中）已知点P(－2，1)，那么点P关于x轴对称的点P′的坐标是（        ） A. (－2，1) B. (－2，－1) C. (－1，2) D. (2，1) 13．（25-26学年八上·甘肃兰州·期中）在平面直角坐标系中，点A与点关于轴对称，点A与点关于轴对称．已知点，则点的坐标是（       ） A.  B.  C.  D.  14．（25-26学年八上·甘肃陇南武都区·期中）如图，小敏将等腰直角三角板放置于直角坐标系中，直角顶点C与x轴上表示的点重合，点B坐标为，则点A关于y轴的对称点的坐标为（     ） A.  B.  C.  D.  15．（25-26学年八上·甘肃定西临洮县·期中）已知点，点关于轴对称，则的值（    ） A.  B.  C.  D.  16．（25-26学年八上·甘肃临夏州·期中）在平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标为　　　　　　． 17．（25-26学年八上·甘肃张掖二中教·期中）点和点是关于轴对称的两个点，则 　　　　， 　　　　　． 18．（25-26学年八上·甘肃武威凉州区凉州区谢河中学·期中）如图，在平面直角坐标系中， 的三个顶点坐标分别为、、． （1）画出关于 轴对称的； （2）写出点 、、的坐标． 19．（25-26学年八上·甘肃武威凉州区·期中）已知点和点关于轴对称，则=　　　　　　　　　． 20．（25-26学年八上·甘肃武威凉州区·期中）在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点是　　　　　　　　　　　　　　　　． 21．（25-26学年八上·甘肃兰州·期中）若点与点关于轴对称，则的值为　　　　　　　　． 22．（25-26学年八上·甘肃定西·期中）已知点A（a，3）和点B（2，b）关于x轴对称，则（a+b）2021的值为 　　　　　． 23．（25-26学年八上·甘肃陇南武都区·期中）已知点与点关于x轴对称，则　　　　　　． 24．（25-26学年八上·甘肃张掖山丹县第二中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别是． （1）在图中画出关于轴对称的 （2）直接写出三点的坐标：（        ），（        ），（        ）． 25．（25-26学年八上·甘肃武威·期中）在如图的正方形网格中，每一个小正方形的边长为1．格点三角形（顶点是网格线交点的三角形）的顶点A，C的坐标分别是，．    （1）请在图中的网格平面内建立平面直角坐标系； （2）请画出关于轴对称的，直接写出点，，的坐标； （3）请在轴上求作一点P，使的周长最小，写出P的坐标_______． 26．（25-26学年八上·甘肃临夏州·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别为，，．画出关于y轴对称的，并写出点的坐标． 27．（25-26学年八上·甘肃兰州第五十四中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为． （1）请画出关于轴的对称图形； （2）求的面积． 28．（25-26学年八上·甘肃酒泉第二中学·期中）如图，已知在平面直角坐标系中有三个点 （1）在平面直角坐标系内描出点A，B，C，画出； （2）在平面直角坐标系内画出，使它与关于x轴对称； （3）求出的面积 29．（25-26学年八上·甘肃酒泉第二中学·期中）已知点和关于x轴对称，则的坐标为　　　　　　　　 30．（25-26学年八上·甘肃金昌永昌县·期中）已知点与点关于x轴对称，则　　　 31．（25-26学年八上·甘肃金昌永昌县·期中）如图，在平面直角坐标系中，．    （1）在图中作出关于轴对称的图形； （2）直接写出的坐标； （3）求的面积． 32．（25-26学年八上·甘肃平凉庄浪县·期中）如图，在所给网格图（每小格均为边长是1的正方形）中完成下列各题：    （1）画出格点（顶点均在格点上）关于直线对称的； （2）在上找出点P，使最短． 33．（25-26学年八上·甘肃庆阳·期中）如图，在平面直角坐标系中．的顶点坐标分别为． （1）画出关于x轴对称的图形； （2）在x轴上找一点P．使得的周长最小． 34．（25-26学年八上·甘肃张掖二中教·期中）如图：，． （1）作，使它与关于轴对称，并写出，坐标． （2）作，使它与关于轴对称，并写出，坐标． （3）若坐标轴上1个单位长度代表，求出的面积． 35．（25-26学年八上·甘肃期中学·期中）已知在平面直角坐标系中的位置如图所示． （1）请作关于y轴对称的，边上的点在上的对应点的坐标是______； （2）请作关于x轴对称的． 36．（25-26学年八上·甘肃定西安定区·期中）如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长为1，的顶点都在格点上，点的坐标为．请按要求分别完成下列各题： （1）画出关于轴对称的； （2）写出三点的坐标． 37．（25-26学年八上·甘肃定西安定区·期中）点(－5，4)关于轴对称的点的坐标是　　　　. 38．（25-26学年八上·甘肃武威凉州区·期中）已知：如图所示． （1）作出关于x轴对称的，并写出三个顶点的坐标； （2）在y轴上画出点P，使最小，不写出作法． 39．（25-26学年八上·甘肃定西通渭县·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标为，，．画出关于y轴对称的，并写出点的坐标． 40．（25-26学年八上·甘肃定西临洮县·期中）如图，已知的三个顶点分别为：、、．    （1）请在图中作出关于y轴对称的图形； （2）写出D，E，F三点坐标； （3）求三角形的面积． 41．（25-26学年八上·甘肃陇南西和县）如图，在边长为1个单位长度的正方形方格图中，的顶点都在格点上． （1）画出关于直线对称的图形（A和为对称点）； （2）如果以图中的O为原点建立直角坐标系，写出点的坐标． 42．（25-26学年八上·甘肃兰州·期中）如图，在平面直角坐标系中，三角形在坐标系中，，．在图中画出三角形关于x轴的对称图形，并分别写出对应点、、的坐标． 43．（25-26学年八上·甘肃吴家井中学·期中）在平面直角坐标系中的位置如图所示： （1）将向下平移5个单位得到，请画出； （2）将与关于y轴对称，请画出； 44．（25-26学年八上·甘肃陇南武都区·期中）如图，在边长均为1的正方形网格图中，的顶点都在网格线的交点上． （1）在图中建立合适的平面直角坐标系，且点的坐标为，点的坐标为； （2）画出关于轴对称的图形；并写出点，的坐标．（其中点的对称点是，点的对称点是） 45．（25-26学年八上·甘肃兰州·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为． （1）作出与关于x轴对称的（点A、B、C的对应点分别为点）； （2）点的坐标是________，点的坐标是________； （3）求的面积． 46．（25-26学年八上·甘肃白银·期中）在平面直角坐标系中，的位置如图所示． （1）写出A，B，C三点的坐标； （2）若各顶点的横坐标不变，纵坐标都乘以，请你在同一平面直角坐标系中描出对应的点，，，并依次连接这三个点，所得的与有怎样的位置关系？ 47．（25-26学年八上·甘肃白银·期中）如图，在平面直角坐标系中，对进行循环往复的轴对称变换，若原来点的坐标是，则经过第2026次变换后点的对应点的坐标为　　　　　　　　　　　． 48．（25-26学年八上·甘肃武威凉州区凉州区谢河中学·期中）已知点，． （1）若点关于轴对称，求的值； （2）若关于轴对称，求的值． 49．（25-26学年八上·甘肃兰州·期中）如图所示，在平面直角坐标系中，已知，，． （1）在平面直角坐标系中画出，以及与关于轴对称的； （2）求出的面积． 50．（25-26学年八上·甘肃兰州第十一中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别是，，． （1）请画出与关于y轴对称的，并写出点的坐标； （2）在（1）的条件下，画出与关于直线l对称的； （3）在（2）的条件下，若点在的内部，则点在中对应点的坐标是            ． 51．（25-26学年八上·甘肃陇南）如图，在平面直角坐标系中，且、、． （1）在图上画出关于y轴对称的，并写出点的坐标； （2）在y轴上画出一点P，使得的值最小．（保留作图痕迹，不写作法） 考点04 等腰三角形 1．（25-26学年八上·甘肃定西通渭县·期中）等腰三角形中，若顶角度数为，则底角度数是（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年八上·甘肃定西·期中）如图，在中，是的垂直平分线，且分别交于点和，，，则为（       ） A. 50° B. 70° C. 75° D. 60° 3．（25-26学年八上·甘肃陇南武都区·期中）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则顶角的度数为（   ） A.  B.  C. 或 D. 或 4．（25-26学年八上·甘肃武威·期中）如图，，点D在BC边上．若∠EAB＝50°，则∠ADE的度数是（        ） A. 50° B. 60° C. 65° D. 30° 5．（25-26学年八上·甘肃武威·期中）如图，在中，，于点，则下列结论不一定成立的是（    ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年八上·甘肃临夏州·期中）在中，，则的度数为（          ） A. 80° B. 70° C. 60° D. 40° 7．（25-26学年八上·甘肃金昌永昌县·期中）如图，在中，，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，作直线，交于点，连接，则的度数为（       ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年八上·甘肃金昌永昌县·期中）已知等腰三角形的两边长分别为和，则它的周长等于（       ） A. 20 B. 20或16 C. 16 D. 20或18 9．（25-26学年八上·甘肃平凉庄浪县·期中）如图，直线，的顶点在直线上，且．若，，则的度数为（     ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年八上·甘肃平凉庄浪县·期中）如图，，，B点在的垂直平分线上，若，则为（　　） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 11．（25-26学年八上·甘肃张掖二中教·期中）如图，是等腰三角形，且顶角，是的垂直平分线，则有：①平分；②；③；④的周长，其中正确的有（　　）个． A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 12．（25-26学年八上·甘肃陇南西和县）如图，在中，，，，若，则的长为（     ） A.  B.  C.  D.  13．（25-26学年八上·甘肃天水甘谷县·期中）如图，在中，为边的中线，E为上一点，连接并延长交于点F，若，，则的长为（     ） A.  B. 3 C. 4 D. 2 14．（25-26学年八上·甘肃临夏州·期中）纪信祠位于甘肃天水市，又名天水城隍庙，是省级文物保护单位．如图①是该建筑梁架示意图，其顶部可以看作等腰（如图②），已知，则下列不能说明的是（     ） A.  B.  C.  D.  15．（25-26学年八上·甘肃平凉庄浪县·期中）如图，点是等腰直角腰上的中点，，关于对称，且交于，交于，连接，，下列说法：①；②；③；④，正确的个数是（       ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 16．（25-26学年八上·甘肃平凉庄浪县·期中）如图，已知直线于点O，点A，B分别在，上，，，在直线或直线上找一点C，使是等腰三角形，则这样的C点有（     ） A. 3个 B. 4个 C. 7个 D. 8个 17．（25-26学年八上·甘肃张掖二中教·期中）如图，在中，，，则（       ） A.  B.  C.  D.  18．（25-26学年八上·甘肃武威凉州区凉州区谢河中学·期中）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交BC于点D，则下列说法中正确的个数是 ①AD是∠BAC的平分线；②∠ADC=60°；③点D在AB的中垂线上；④S△DAC：S△ABC=1：3． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 19．（25-26学年八上·甘肃定西安定区·期中）如图，在中，，，则的度数是（       ） A.  B.  C.  D.  20．（25-26学年八上·甘肃定西通渭县·期中）如图，在中，，，平分交于点D，点E、F分别是线段、上的动点，则的最小值为（       ）． A. 2 B. 3 C. 6 D. 9 21．（25-26学年八上·甘肃定西通渭县·期中）如图，是的角平分线．按以下步骤作图：①以点为圆心，适当长为半径画弧，与边相交于点，与边相交于点；②以点为圆心，长为半径画弧，与边相交于点；③以点为圆心，长为半径画弧，与第②步中所画的弧相交于点；④作射线，与相交于点，与边相交于点．则下列结论一定正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  22．（25-26学年八上·甘肃定西临洮县·期中）如图，在中，，分别是和的平分线，过点E作交于D，交于F，若，，则的周长为（       ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 10 23．（25-26学年八上·甘肃定西临洮县·期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交AC于点D，连接BD，则下列结论不一定成立的是（　　） A. BC＝BD B. ∠BDC＝∠ABC C. ∠A＝∠CBD D. AD＝BD 24．（25-26学年八上·甘肃定西临洮县·期中）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD是∠CAB的角平分线，DE⊥AB于点E，若AB=6cm，则△DEB的周长是(        ) A. 5cm B. 6cm C. 7cm D. 8cm 25．（25-26学年八上·甘肃陇南西和县）下列条件①；②；③；④边上的高线和中线重合；⑤和边上的高相等；能确定为等腰三角形的是（     ） A. ②③⑤ B. ①②③④ C. ①②⑤ D. ①②④⑤ 26．（25-26学年八上·甘肃陇南）下列条件：①；②；③；④边上的高线和中线重合；⑤和边上的高相等．能确定为等腰三角形的是（　　） A. ②③⑤ B. ①②③④ C. ①②⑤ D. ①②④⑤ 27．（25-26学年八上·甘肃武威·期中）如图，，，，下列结论正确的有（       ）    ①平分；                                        ②； ③；                                        ④． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 28．（25-26学年八上·甘肃吴家井中学·期中）如图，在中，，点D在边上，，点E在边上，，过点E作交于点F，若，，则的长为（     ） A. 3 B. 4 C. 4.2 D. 5 29．（25-26学年八上·甘肃吴家井中学·期中）如图，在四边形中，与交于点，，，，平分．下列结论：①；②；③；④．其中结论正确的有（       ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 30．（25-26学年八上·甘肃武威凉州区凉州区柏树中学·期中）如图，在中，，，是角平分线，过点作，且，连接分别交，于，两点，，分别是线段，线段上的两个动点，连接，则下列结论：①②③；④．其中正确的个数是（     ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 31．（25-26学年八上·甘肃天水甘谷县·期中）已知等腰三角形的一个内角为50°，则顶角为　　　　　　　　　　　　度． 32．（25-26学年八上·甘肃陇南西和县）在中，，求该三角形和的度数． 33．（25-26学年八上·甘肃定西·期中）如图，点E，F在BC上，BE＝CF，∠A＝∠D，∠B＝∠C，AF与DE交于点O． （1）求证：AB＝DC； （2）试判断△OEF的形状，并说明理由． 34．（25-26学年八上·甘肃武威·期中）（多选）已知：如图，AB＝AC，BD＝CE．求证：AD＝AE． 35．（25-26学年八上·甘肃武威·期中）若等腰三角形的一个角为，则底角为　　　　　　　　． 36．（25-26学年八上·甘肃武威·期中）如图，在四边形ABCD中，AD⊥AB且AD＝AB＝CD，连接AC． （1）尺规作图：作∠ADC的平分线DE交AC于点E；（保留作图痕迹，不写作法．） （2）在（1）的基础上，若AC⊥BC，求证：DE＝2BC． 37．（25-26学年八上·甘肃金昌永昌县·期中）如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于点F，且BE=CF，求证AD⊥BC． 38．（25-26学年八上·甘肃金昌永昌县·期中）已知等腰三角形一腰上的高线长等于腰长的一半，则这个等腰三角形的顶角的度数为　　　　　　 39．（25-26学年八上·甘肃武威凉州区凉州区柏树中学·期中）两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．如图，四边形是一个筝形，其中，，在探究筝形的性质时，得到如下结论：①；②；③四边形的面积；④．其中正确的结论有　　　　　　． 40．（25-26学年八上·甘肃庆阳·期中）如图，在中，和的平分线交于点，过点作交于，交于N，若，则线段的长为　　　　　 ． 41．（25-26学年八上·甘肃张掖二中教·期中）如图，已知中，，，，设，则 　　　　　　　． 42．（25-26学年八上·甘肃张掖二中教·期中）等腰三角形的一个角是50°，那么它的另外两个角分别为　　　　　　　　　　． 43．（25-26学年八上·甘肃定西安定区·期中）如图，中，，垂直平分，交于点，交于点． （1）若，，求的周长； （2）若，求的度数． 44．（25-26学年八上·甘肃武威凉州区·期中）若等腰三角形的一个角为，则顶角为　　　　　　． 45．（25-26学年八上·甘肃定西通渭县·期中）如图，在中，，，于A，，求的长． 46．（25-26学年八上·甘肃定西通渭县·期中）如图，在中，，，平分交于点D．过点A作，交的延长线于点E． （1）求的度数； （2）判断的形状，并说明理由． 47．（25-26学年八上·甘肃陇南）如图，在中，，分别平分，，过作直线平行于，交，于，，求证： 48．（25-26学年八上·甘肃陇南）如图，点是的边上一点，，，． （1）求证：； （2）若，求的度数． 49．（25-26学年八上·甘肃定西临洮县·期中）在中，，若，则的长为　　　　　　　． 50．（25-26学年八上·甘肃定西临洮县·期中）已知：△ABC内部一点O到两边AB、AC所在直线的距离相等，且OB=OC． 求证：AB=AC． 51．（25-26学年八上·甘肃陇南西和县）如图，在中，，，的垂直平分线交于点、交于点，若，求的长． 52．（25-26学年八上·甘肃陇南西和县）如图，在梯形中，是中点，平分，求证：． 53．（25-26学年八上·甘肃陇南西和县）如图，平分，且，则是怎样的特殊三角形，并说明理由． 54．（25-26学年八上·甘肃陇南西和县）如图，在中，，，，则的度数为　　　　　　　　　　　． 55．（25-26学年八上·甘肃陇南西和县）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，边AB的垂直平分线交AC于点D，垂足为点O，连接BD，则∠DBC的度数为　　　　　°． 56．（25-26学年八上·甘肃陇南）如图，在中，，，的垂直平分线交于点D、交于点E，若，求的长． 57．（25-26学年八上·甘肃陇南）在中，，，求该三角形和的度数． 58．（25-26学年八上·甘肃吴家井中学·期中）如图，在中，，点在上，，，垂足分别为、，且． （1）求证：； （2）求证：． 59．（25-26学年八上·甘肃天水甘谷县·期中）如图，是等边三角形的中线，，则　　　　　　． 60．（25-26学年八上·甘肃天水甘谷县·期中）如图，在中，，，平分，交于点． （1）求证：． （2）如图，若的角平分线交于点，求证：． （3）如图，若的外角平分线交的延长线于点，则（2）中的结论是否成立？若成立，给出证明，若不成立，写出正确的结论． 61．（25-26学年八上·甘肃陇南武都区·期中）如图，是等边三角形，是中线，延长至E，使，，垂足为点F． （1）求证：是等腰三角形； （2）若，求的周长． 62．（25-26学年八上·甘肃陇南武都区·期中）学习了等腰三角形的相关知识，小陇同学就想探究等腰三角形中的全等问题，以下是他的探究过程： 探究一：特殊的线 如图1，在中，，点D，E分别是，上的点，连接，． ①，分别是，边上的中线； ②，分别是，边上的高线； ③，分别是，的平分线． 小陇认为以上三种情况都能证明．你是否赞成小陇的观点？若不赞成，请说明理由；若赞成，请任选一种情况证明； 探究二：特殊的点 如图2，在中，，点F是的中点，点G，H分别是，上的点，小陇认为只要保证，那么就成立，你是否赞成小陇的观点？若不赞成，请说明理由；若赞成，请证明． 63．（25-26学年八上·甘肃陇南武都区·期中）如图，在中，边的垂直平分线交于点边的垂直平分线交于点E． （1）若的周长为，求的长； （2）若，求的度数． 64．（25-26学年八上·甘肃武威·期中）如图，在中，，，是上的中线，E是的中点，连接． （1）求证：为等边三角形； （2）若，求的长． 65．（25-26学年八上·甘肃武威·期中）如图，在中，平分交BC于点D，，，垂足为E、F．    （1）若，，求的长度； （2）连接，求证：． 66．（25-26学年八上·甘肃武威·期中）如图，在中，，的垂直平分线交于点，垂足为，平分，若，则的长为　　　　　　． 67．（25-26学年八上·甘肃临夏州·期中）如图，是一副叠放在一起的三角板，若，则阴影部分的面积为　　　　　　　　　　　． 68．（25-26学年八上·甘肃临夏州·期中）如图，在中，D、E分别是、上的点，连接，并延长至点F，连接，使得，已知，，求证：是等腰三角形． 69．（25-26学年八上·甘肃金昌永昌县·期中）已知：中，的角平分线相交于点D，过D作交于点E，交于点F．求证：． 70．（25-26学年八上·甘肃金昌永昌县·期中）（多选）如图，△ABC和△ADE都是等腰三角形，且∠BAC=90°，∠DAE=90°，B，C，D在同一条直线上． 求证：（1）BD=CE （2） BD⊥CE 71．（25-26学年八上·甘肃金昌永昌县·期中）如图，在△ABC中，点D为BC上一点，E、F两点分别在边AB、AC上，若BE=CD,BD=CF, ∠B=∠C,∠A=50°,求∠EDF的度数． 72．（25-26学年八上·甘肃平凉庄浪县·期中）如图，铁路和铁路交于O处，河道与铁路分别交于A处和B处，试在河岸上建一座水厂M， （1）要求M到铁路，的距离相等，则该水厂M应建在图中什么位置？请在图中标出M点的位置． （2）若，且，求的长度． 73．（25-26学年八上·甘肃平凉庄浪县·期中）阅读与思考 在几何图形的世界中，存在着许多具有特殊性质的四边形，“分角对补四边形”就是其中一种．下面让我们一起走进对它的探究． 如图1，在四边形中，如果，，对角线平分，我们称这种四边形为“分角对补四边形”． （1）特例感知 在“分角对补四边形”中，当时，根据教材中一个重要性质直接可得．这个性质是________；（填序号） ①垂线段最短             ②垂直平分线的性质 ③角平分线的性质             ④三角形内角和定理 （2）猜想论证 我们由特例出发，进一步思考一般情况．如图2，当为任意角时，你能猜想出与的数量关系吗？请给出你的猜想并进行证明； （3）探究应用 数学知识的价值在于应用，我们可以利用前面探究得出的结论来解决实际问题．如图3，在等腰中，，平分．请你求证：． 74．（25-26学年八上·甘肃武威凉州区凉州区柏树中学·期中）如图所示，、是的边边上的两点，且， （1）若，求的度数． （2）求证：是等腰三角形． 75．（25-26学年八上·甘肃张掖二中教·期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，DE是AB的垂直平分线，∠CAE＝∠B+30°，求∠AEB的度数． 76．（25-26学年八上·甘肃张掖二中教·期中）如图，点D，E在的边上，，，求证：． 77．（25-26学年八上·甘肃武威凉州区凉州区谢河中学·期中）如图，在中，，． （1）求的度数； （2）若，交于点E，判断的形状，并说明理由． 78．（25-26学年八上·甘肃武威凉州区凉州区谢河中学·期中） 在中，，．D是边上一点，连接，，且，与交于点F． （1）求证：； （2）当时，求证：平分． 79．（25-26学年八上·甘肃定西通渭县·期中）已知是三边都不相等的三角形，点P是三个内角平分线的交点，点O是三边垂直平分线的交点，当P，O同时在的内部时，若，则的度数为　　　　　　． 80．（25-26学年八上·甘肃定西通渭县·期中）阅读与思考 下面是森森同学写的一篇数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务． ×年×月×日星期四数学推理真有趣今天数学课上学习了一个“二推一模型”，意思就是平行线、角平分线和等腰三角形，这三个条件只要已知其中的任意两个，就能推导出第三个．第一种情况，已知：如图，，CE是的平分线．求证：是等腰三角形． 证明：∵，∴．∵CE是的平分线，∴．∴．∴．（依据）∴是等腰三角形．第二种情况第三种情况 （1）以上证明过程中，依据是______． （2）请你参照日记中的第一种情况，写出其余两种情况的已知和求证，并选择其中一种进行证明． 81．（25-26学年八上·甘肃陇南）如图，等腰中，，，是边上一点且，是边上的中点，连接，. （1）求的度数； （2）若上存在点，且，求证：. 82．（25-26学年八上·甘肃陇南）如图，在中，，，是的两条中线，，，P是上的一个动点，连接，，则的最小值是　　　　　　　　　　． 83．（25-26学年八上·甘肃陇南）如图，，，． （1）求证：． （2）若，，，求的长． 84．（25-26学年八上·甘肃定西临洮县·期中）如图，已知中，，，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以3cm/s的速度由点B向C点运动，同时，点Q在线段CA上由点C向A点运动． （1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，与是否全等，请说明理由． （2）若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使与全等？ 85．（25-26学年八上·甘肃定西临洮县·期中）在△ABC中AB=AC，中线BD将△ABC的周长分为12cm和15cm，则三角形底边长　　　　　． 86．（25-26学年八上·甘肃陇南西和县）如图，和是等腰三角形，，连接，．求证：． 87．（25-26学年八上·甘肃吴家井中学·期中）如图，中，，F为延长线上一点，点E在上，且． （1）求证：； （2）若，求的度数． 88．（25-26学年八上·甘肃武威凉州区凉州区谢河中学·期中）以线段、为底按顺时针方向在平面内构造等腰与等腰，，，，，且． （1）如图1，当点A、B、C三点共线时，求证：； （2）如图2，当点A、B、C三点不共线时，连接，点F为中点，连接、，求证：； （3）如图3，当点B在线段上运动时（点B与A、D不重合），连接，若，，且，求的最小值． 89．（25-26学年八上·甘肃定西安定区·期中）如图，在△ABC中，BA＝BC，BD平分∠ABC，交AC于点D，点M，N分别为BD，BC上的动点，若BC＝4，△ABC的面积为6，则CM+MN的最小值为　　　　　． 考点05 等边三角形 1．（25-26学年八上·甘肃定西安定区·期中）如图，是等边三角形，D，E分别是的延长线和的延长线上的点，，延长交于点F，G是上一点，且，交于点H．下列结论：；；；．其中正确的个数是（       ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 2．（25-26学年八上·甘肃定西通渭县·期中）如图，将等边的边向两边延长，使，则的度数为（     ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年八上·甘肃定西临洮县·期中）如图，等腰的底边长为3，面积是12，腰的垂直平分线分别交边，于点E，F．若为边的中点，为线段上的一动点，则周长的最小值为（     ） A. 4 B.  C.  D. 16 4．（25-26学年八上·甘肃陇南武都区·期中）如图，已知是等边三角形，，E在上，交于点F，，若，则的度数为（       ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年八上·甘肃庆阳·期中）如图，等边中，点D，E分别是边的中点，点是AD上的一个动点，当最小时，的度数是（     ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年八上·甘肃定西通渭县·期中）如图，用两个含角且大小相同的三角板（和）摆放在一起，两直角顶点重合，点D恰好落在边上．求证： （1）为等边三角形； （2）． 7．（25-26学年八上·甘肃陇南）如图，在中，，点在边上，连接．若，求证：是等边三角形． 8．（25-26学年八上·甘肃陇南）如图，在中，以AB为边作等边△ABD（点C、D在边AB的同侧），连接CD．若∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，求∠BDC的度数． 9．（25-26学年八上·甘肃陇南西和县）如图，在等边中，点在边的延长线上，平分，求证：． 10．（25-26学年八上·甘肃吴家井中学·期中）已知，，是的三边长． （1）若，，满足，试判断的形状； （2）化简： 11．（25-26学年八上·甘肃定西·期中）如图，已知平面直角坐标系． （1）作出关于轴对称的，并写出三个顶点的坐标． （2）求的面积． （3）在轴上画出点，使最小．（保留作图痕迹） 12．（25-26学年八上·甘肃张掖山丹县第二中学·期中）（1）画一条数轴，在数轴上画出表示的点A.（保留画图痕迹，不写画法） （2）如图，对于边长为6的等边三角形，建立适当的平面直角坐标系，写出各个顶点的坐标. 13．（25-26学年八上·甘肃临夏州·期中）【问题探究】如图①，在中，，为探究中角所对的直角边与斜边的数量关系，学习小组成员已经添加了辅助线． （1）请叙述辅助线的添法，并完成探究过程； 【探究应用1】如图②，在中，，点在线段上，以为边作等边三角形，连接，为探究线段与之间的数量关系，组长已经添加了辅助线：取的中点，连接． （2）线段与之间的数量关系为        ，并说明理由； 【探究应用2】如图③，在中，，点在线段的延长线上，以为边作等边三角形，连接． （3）线段与之间的数量关系为________，并说明理由． 14．（25-26学年八上·甘肃平凉庄浪县·期中）上午8时．一条渔船从港口A出发以每小时15海里的速度向正北方向航行，上午10时到达海岛B处．从A，B望海岛C，测得（如图所示）． （1）求海岛B到海岛C的距离； （2）渔船从海岛B按原来的方向继续航行30海里（记为点D处）出现了故障，它向海岛B和海岛C都发出了求救信号．接到求救信号后，海岛B派出的救援队立即以每小时20海里的速度前往，海岛C派出的救援队晚出发10分钟，速度为每小时25海里，通过计算说明两支救援队谁先到达渔船处？ 15．（25-26学年八上·甘肃庆阳·期中）如图，在中，，于点D，E是上一点，连接，与相交于点O，连接，，且． （1）求证：垂直平分； （2）若，求证：平分； （3）若，求证：是等边三角形． 16．（25-26学年八上·甘肃定西安定区·期中）如图，在等边中，，为上一点，连接，过点作交的延长线于点．已知，求证：． 17．（25-26学年八上·甘肃定西临洮县·期中）（多选）（1）如图（1），已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB=AC，直线m经过点A，BD⊥直线m， CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．证明∶DE=BD+CE． （2）如图（2），将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=，其中为任意锐角或钝角．请问结论DE=BD+CE是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． （3）拓展与应用：如图（3），D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E三点互不重合），点F为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD、CE，若∠BDA=∠AEC=∠BAC，试判断△DEF的形状． 18．（25-26学年八上·甘肃定西通渭县·期中）如图1，点P、Q分别是边长为的等边边上的动点，点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为， （1）连接交于点M，则在P、Q运动的过程中，变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数； （2）何时是直角三角形？ （3）如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线上运动，直线交点为M，则变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数． 19．（25-26学年八上·甘肃陇南西和县）如图，等边的三个顶点分别在等边的三条边上，求证：． 20．（25-26学年八上·甘肃吴家井中学·期中）已知，点为内部的一动点，、分别是、上的动点，若，则的周长的最小值是　　　　　　　　． 21．（25-26学年八上·甘肃吴家井中学·期中）在等边中，点D是直线上一点（不与B、C重合），以为边作等边（A、D、E按逆时针排列），连接． （1）如图1，当点D在线段上时，求证：； （2）如图2，当点D在的延长线上时，求证：． （3）如图3，当点D在线段的延长线上时，若，且，求的面积． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $