精品解析：甘肃嘉峪关市第六中学2025-2026学年八年级上学期期中数学试卷

嘉峪关市第六中学2025-2026学年度第一学期期中考试 八年级数学试卷 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列图形中，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 若三角形的两边长分别为4和9，则该三角形第三边的长可能是（ ） A. 7 B. 4 C. 13 D. 5 3. 如图，在人字梯的中间一般会设计一拉杆，这样做的原理是（ ） A. 两点之间，线段最短 B. 三角形的稳定性 C. 两点确定一条直线 D. 两直线平行，同位角相等 4. 如图，在和中，点B、D、C在同一直线上，已知，，添加以下条件后，仍不能判定的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图是作的作图痕迹，则此作图的已知条件是（ ） A. 已知两边及夹角 B. 已知三边 C. 已知两角及夹边 D. 已知两边及一边对角 6. 如图，在中，，D是边上的一点，，，则点D到的距离为（　　） A. 3 B. 4 C. 6 D. 10 7. 一个车牌号在平面镜中的图象是，则实际车牌号为（ ） A. JM—G9329 B. JM—G6356 C. JM—C6326 D. JM—G6326 8. 到三角形三个顶点的距离相等的点是（ ）． A. 三角形两边垂直平分线交点 B. 三角形两个内角平分线交点 C. 三角形两条中线交点 D. 三角形两条高线所在直线的交点 9. 如图，在中，，是的中点，下列结论中不正确的是（ ） A. B. C. 平分 D. 10. 如图，点C是线段上一点，、是等边三角形．与交于点E，与交于点F，与交于点D．下列结论：①；②；③是等边三角形；④平分．其中正确的有（ ）个 A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 已知与点关于x轴对称，则______． 12. 如图，在中，，，点在的延长线上，则______． 13. 请写出定理“两直线平行，内错角相等”的逆定理：________． 14. 在直角三角形中，30度角所对的直角边等于______． 15. 已知，，是的三条边，若满足，则的形状为______． 16. 如图，在中，，，，，、分别是、上的动点，连接、，则的最小值为___________． 三、解答题 17. 如图，在中，是角平分线，是高，，求的度数． 18. 如图，的顶点坐标分别为． （1）画出关于y轴对称的； （2）写出点的坐标． 19. 如图，，，垂足分别为、，与相交于，且．求证：． 20. 如图，在中，，，，，垂足分别为、．证明：． 21. 教材呈现：下图是人教版八年级上册教材内容． 我们知道，角的平分线上的点到角两边的距离相等．反过来，交换这个性质的题设和结论，得到的命题还成立吗？也就是说，到角两边距离相等的点一定在角的平分线上吗？ 通过判定两个三角形全等，可以得到： 角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上． （1）定理证明：结合左图，写出“角平分线的判定定理”的“已知”、“求证”，并完成证明． （2）定理应用：如右图，，是的中点，平分．求证：平分． 22. 尺规作图： 如图，某地要在A区修建一个加油站，要求是加油站到C和D两个小镇的距离相等且到公路和的距离也相等，请你在图中确定加油站Q的位置．（保留作图痕迹，不必写作法） 23. 已知，如图，点、分别在、上，，、相交于点，，求证： （1）； （2）． 24. 如图，中，，是边上的中线，点E在上，．求证： （1）； （2）是等腰三角形． 25. 如图，在中，垂直平分，垂足为D，过点D作，垂足为F，的延长线与边的延长线交于点E，． （1）求证：是等边三角形； （2）若，则求的长． 26. 已知中，，，经过A点做一条直线l．作，，垂足分别为E，F （1）如图1，求证：． （2）如图2，找出，，之间的数量关系，并证明． 27. 综合与实践【问题情境】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围． 小明在组内和同学们合作交流后，得到了如下的解决方法：延长到，使，连接．请根据小明的方法思考： （1）由已知和作图能得到，依据是______； A． B． C． D． （2）由“三角形的三边关系”，可求得的取值范围是______． 解后反思：题目中出现“中点”“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． ［初步运用］ （3）如图2，是的中线，交于，交于，．若，，求线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 嘉峪关市第六中学2025-2026学年度第一学期期中考试 八年级数学试卷 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列图形中，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：A、不是轴对称图形； B、是轴对称图形； C、是轴对称图形； D、是轴对称图形． 2. 若三角形的两边长分别为4和9，则该三角形第三边的长可能是（ ） A. 7 B. 4 C. 13 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三角形的三边关系“三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边”，熟练掌握三角形的三边关系是解题关键．根据三角形的三边关系求解即可得． 【详解】解：设这个三角形第三边的长为， ∵这个三角形的两边长分别为4和9， ∴，即， 观察四个选项可知，只有选项A符合， 故选：A． 3. 如图，在人字梯的中间一般会设计一拉杆，这样做的原理是（ ） A. 两点之间，线段最短 B. 三角形的稳定性 C. 两点确定一条直线 D. 两直线平行，同位角相等 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三角形的稳定性，直线的性质，线段的性质，平行线的性质，关键是掌握三角形的稳定性．由三角形具有稳定性，即可得到答案． 【详解】解：在人字梯的中间一般会设计一拉杆，可以使人字梯稳定， 这样做所蕴含的数学原理是三角形的稳定性． 故选：B． 4. 如图，在和中，点B、D、C在同一直线上，已知，，添加以下条件后，仍不能判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，全等三角形的判定方法（即、、、和）是解题的关键．注意：、不能判定两个三角形全等．判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角相等时，角必须是两边的夹角．根据全等三角形的判定方法逐一判断即可． 【详解】解：∵，， A、添加，利用能判定，故该选项不符合题意； B、添加，则，利用能判定，故该选项不符合题意； C、添加，利用能判定，故该选项不符合题意； D、添加，利用不能判定，故该选项符合题意； 故选：D． 5. 如图是作的作图痕迹，则此作图的已知条件是（ ） A. 已知两边及夹角 B. 已知三边 C. 已知两角及夹边 D. 已知两边及一边对角 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了常见的基本作图，熟练掌握基本作图是解题的关键．由图可知已知线段，，，由此即可判断解答． 【详解】解：由图可知：已知线段，，， 故选：C． 6. 如图，在中，，D是边上的一点，，，则点D到的距离为（　　） A. 3 B. 4 C. 6 D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，角平分线上的点到角的两边的距离相等． 根据题意易求，由角平分线的性质定理可知D点到的距离等于D点到的距离的长度，则答案可解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴是的角平分线， ∴D点到和的距离相等， ∵表示D点到的距离，， ∴D到的距离为3． 故选：A． 7. 一个车牌号在平面镜中的图象是，则实际车牌号为（ ） A. JM—G9329 B. JM—G6356 C. JM—C6326 D. JM—G6326 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了镜面反射的性质，解决本题的关键是得到对称轴，进而得到相应数字和字母．根据镜面对称的性质，在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称． 【详解】解：根据镜面对称性质得出实际车牌号为JM—G6326， 故选：D． 8. 到三角形三个顶点的距离相等的点是（ ）． A. 三角形两边垂直平分线交点 B. 三角形两个内角平分线交点 C. 三角形两条中线交点 D. 三角形两条高线所在直线的交点 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查中垂线的性质，根据中垂线上的点到线段两端点的距离相等，进行判断即可． 【详解】到三角形三个顶点的距离相等的点是三角形三边垂直平分线的交点． 故选：A． 9. 如图，在中，，是的中点，下列结论中不正确的是（ ） A. B. C. 平分 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，根据等腰三角形的“三线合一”“等边对等角”的性质解题是关键．由，是的中点，可得，平分，，即可作出判断． 【详解】解：对于选项B与C： ∵，是的中点， ∴，平分． ∴选项B与C正确． 对于选项A： ∵， ∴． ∴选项A正确． 对于选项D： 根据题目已知条件，无法得到． ∴选项D不正确． 故选：D． 10. 如图，点C是线段上一点，、是等边三角形．与交于点E，与交于点F，与交于点D．下列结论：①；②；③是等边三角形；④平分．其中正确的有（ ）个 A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，找出全等三角形是解题的关键．由可证，可得，故①正确；由可证，可得，可证是等边三角形，故③正确；由全等三角形的性质可得，可得，则可证不一定等于，即不一定垂直平分，故②错误；由全等三角形的性质可得，由面积公式可证，由可证，可得，故④正确． 【详解】解：∵、是等边三角形， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 故①正确； ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， 故③正确， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴不一定等于， ∴不一定等于， ∴不一定等于， 又∵， ∴不一定垂直平分， 故②错误； 如图，过点C作于G，于H， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴平分， 故④正确； 综上所述：正确的有①③④，一共3个； 故选：B． 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 已知与点关于x轴对称，则______． 【答案】0 【解析】 【分析】根据关于x轴对称，横不变，纵坐标互为相反数，列式解答即可． 本题考查了x轴对称的特点，求代数式的值，熟练掌握对称是解题的关键． 【详解】解：与点关于x轴对称， 故， 解得， 故， 故答案为：0． 12. 如图，在中，，，点在的延长线上，则______． 【答案】##140度 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，解题的关键是熟练掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．根据三角形外角的定义与性质即：进行解答即可． 【详解】解：是的外角， ， 故答案为：． 13. 请写出定理“两直线平行，内错角相等”的逆定理：________． 【答案】内错角相等，两直线平行 【解析】 【分析】本题考查了逆定理，根据题意，将题设与结论交换位置即可． 【详解】解：定理“两直线平行，内错角相等”的逆定理是“内错角相等，两直线平行”， 故答案为：内错角相等，两直线平行 ． 14. 在直角三角形中，30度角所对的直角边等于______． 【答案】斜边的一半 【解析】 【分析】本题考查含30度角的直角三角形的性质，根据含30度角的直角三角形的性质即可解答． 【详解】解：在直角三角形中，度角所对的直角边等于斜边的一半． 故答案为：斜边的一半． 15. 已知，，是的三条边，若满足，则的形状为______． 【答案】等边三角形 【解析】 【分析】本题考查了绝对值的非负性，偶次方的非负性，等边三角形的判定，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据绝对值的非负性，偶次方的非负性，得到，，继而得到，推出是等边三角形，即可得到答案． 【详解】解：，，， ，， ，， ， ，，是的三条边， 是等边三角形， 故答案为：等边三角形 ． 16. 如图，在中，，，，，、分别是、上的动点，连接、，则的最小值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】延长至点，使得，连接，，，先得出的最小值为的长，再得出当时，的长最小，然后利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：如图，延长至点，使得，连接，，， ∵， ∴， 又∵， ∴垂直平分，， ∴，， ∴， 由两点之间线段最短可知，当三点共线时，的值最小，最小值为的长，即的最小值为的长， 由垂线段最短可知，当时，的长最小， ∴此时有， ∵， ∴， 解得， 即的最小值为． 【点睛】本题的难点在于通过作辅助线，将两点线段和的最小值问题进行转化，进而利用两点之间线段最短和垂线段最短确定最小值． 三、解答题 17. 如图，在中，是角平分线，是高，，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查角平分线的性质、三角形的高以及三角形外角的性质，解题的关键是利用角平分线求出角的度数，再结合三角形外角性质求解． 先根据角平分线求出的度数，再根据高的定义得到，最后利用三角形外角性质求出的度数． 【详解】解：∵是的平分线，， ， ∵是的高， ， ． 18. 如图，的顶点坐标分别为． （1）画出关于y轴对称的； （2）写出点的坐标． 【答案】（1） 即为所求： （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了利用网格画轴对称图形，轴对称的性质，确定点的坐标等，解题的关键是熟练掌握轴对称的性质． （1）利用网格和轴对称的性质，确定三角形顶点的位置，然后连接各点即可得出三角形； （2）根据平面直角坐标系中的点，写出即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由图象得由解：，． 19. 如图，，，垂足分别为、，与相交于，且．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，利用证明即可证明． 【详解】证明：∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴． 20. 如图，在中，，，，，垂足分别为、．证明：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是根据题意求出． 根据垂直的定义可得，然后根据同角的余角相等求出，再利用“角角边”即可证明． 【详解】证明：， ， ， ， ， ， 在和中， ， ． 21. 教材呈现：下图是人教版八年级上册教材内容． 我们知道，角的平分线上的点到角两边的距离相等．反过来，交换这个性质的题设和结论，得到的命题还成立吗？也就是说，到角两边距离相等的点一定在角的平分线上吗？ 通过判定两个三角形全等，可以得到： 角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上． （1）定理证明：结合左图，写出“角平分线的判定定理”的“已知”、“求证”，并完成证明． （2）定理应用：如右图，，是的中点，平分．求证：平分． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键； （1）根据全等三角形的判定，可以得到，即可求解； （2）过点作于，可以得到，进而证明，根据角平分线的性质即可求解 【小问1详解】 已知：，，垂足分别是、，且． 求证：平分． 证明：，． ． 在和中， ， ． ， 是的平分线． 【小问2详解】 解：如图，过点作于， 平分，， ∴， 是的中点， ∴， ∴． 又∵， ∴， ∵， 是的平分线． 22. 尺规作图： 如图，某地要在A区修建一个加油站，要求是加油站到C和D两个小镇的距离相等且到公路和的距离也相等，请你在图中确定加油站Q的位置．（保留作图痕迹，不必写作法） 【答案】 作线段的垂直平分线，的角平分线，直线与交于点Q，点Q即为加油站的位置． 【解析】 【分析】本题主要考查了尺规作图——作已知线段的垂直平分线、作已知角的平分线及线段垂直平分线的性质、角平分线的性质，熟知基本尺规作图及相关性质定理是正确解答此题的关键． 根据题意，加油站Q的位置应该是线段的垂直平分线与的角平分线的交点，据此作图即可． 【详解】解：理由：点在线段的垂直平分线， 点到线段两端点的距离相等，即到C和D两个小镇的距离相等； 点在的角平分线上， 点到两边的距离相等，即到公路和的距离也相等， 点即示所求加油站的位置． 23. 已知，如图，点、分别在、上，，、相交于点，，求证： （1）； （2）． 【答案】（1）证明见解析； （2）证明见解析． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，掌握知识点的应用是解题的关键． （）直接利用“”证明即可； （）由，则，故有，利用“”证明，然后通过全等三角形的性质即可求证． 【小问1详解】 证明：在和中， ， ∴； 【小问2详解】 证明：∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 24. 如图，中，，是边上的中线，点E在上，．求证： （1）； （2）是等腰三角形． 【答案】（1） 证明：，是边上的中线， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2） 证明：∵， ∴， ∴是等腰三角形． 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的判定，余角的性质，解题的关键是证明． （1）根据等腰三角形的性质，得出，，根据余角的性质得出，即可得出，根据平行线的判定得出答案即可； （2）根据，得出，即可证明结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 25. 如图，在中，垂直平分，垂足为D，过点D作，垂足为F，的延长线与边的延长线交于点E，． （1）求证：是等边三角形； （2）若，则求的长． 【答案】（1） 证明：∵垂直平分， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形； （2）12 【解析】 【分析】本题考查了垂直平分线的性质、等边三角形的性质与判定、含30度角的直角三角形，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据垂直平分线的性质得到，，再利用三角形内角和定理得到，即可证明； （2）根据等边三角形的性质得到，，利用含30度角的直角三角形的性质得到，利用线段的和差关系求出，再利用含30度角的直角三角形的性质即可求出的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴在中，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴在中，． 26. 已知中，，，经过A点做一条直线l．作，，垂足分别为E，F （1）如图1，求证：． （2）如图2，找出，，之间的数量关系，并证明． 【答案】（1） 证明：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴． （2） 解：，证明如下： ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，正确找出图中的全等三角形是解题的关键． （1）利用证明，推出，，再利用线段的和差以及等量代换即可证明； （2）利用证明，推出，，再利用线段的和差以及等量代换即可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 27. 综合与实践【问题情境】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围． 小明在组内和同学们合作交流后，得到了如下的解决方法：延长到，使，连接．请根据小明的方法思考： （1）由已知和作图能得到，依据是______； A． B． C． D． （2）由“三角形的三边关系”，可求得的取值范围是______． 解后反思：题目中出现“中点”“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． ［初步运用］ （3）如图2，是的中线，交于，交于，．若，，求线段的长． 【答案】（1）C（2）（3）5 【解析】 【分析】（1）由全等三角形的判定定理解答即可； （2）根据三角形的三边关系可计算，而，从而可得的取值范围； （3）延长到，使，连接，由证得，根据全等三角形的性质可知，由题意可证，所以即可得出答案 【详解】解：（1）是边上的中线， ， 在和中， ， ， 故答案为：C； （2）， 即， ， ， ， 故答案为：； （3）延长到，使，连接，如图所示： ，， ， 是中线， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， 即， 故线段的长为5； 【点睛】本题考查了倍长中线的辅助线，全等三角形的判定和性质，三角形三边关系，等腰三角形性质和判定，掌握相关知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $