专题07 二次根式（期中真题汇编，甘肃专用）八年级数学上学期

专题07 二次根式 3大高频考点概览 考点01 二次根式及其性质 考点02 二次根式的乘法与除法 考点03 二次根式的加法与减法 考点01 二次根式及其性质 1．（25-26学年八上·甘肃兰州·期中）当时，二次根式的值为（       ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【分析】 本题考查求二次根式的值，将代入二次根式 中，计算被开方数的值，再求其算术平方根． 【详解】 当时， ， 故选：C． 2．（25-26学年八上·甘肃张掖山丹县第二中学·期中）实数在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为（     ） A.  B. 3 C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了根据数轴判断式子正负，化简二次根式. 根据数轴求出的取值范围，进而得到，再化简即可． 【详解】 解：由数轴可知：， ∴， ∴． 故选：A． 3．（25-26学年八上·甘肃白银·期中）若有意义，则a的取值范围是（　　） A. a≥1 B. a≤1 C. a≥0 D. a≤﹣1 【答案】A 【分析】 直接利用二次根式有意义的条件分析得出答案． 【详解】 解：若有意义，则， 解得：． 故选：． 【点睛】 此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握二次根式的定义是解题关键． 4．（25-26学年八上·甘肃兰州第十一中学·期中）已知代数式有意义，则x的取值范围是（     ） A.  B.  C. 且 D. 且 【答案】D 【分析】 根据分式和二次根式有意义的条件列出，，求解即可． 【详解】 解：若该代数式有意义则 ， 解得：且， 故选：． 【点睛】 本题考查了二次根式和分式有意义的条件，正确计算是解答本题的关键． 5．（25-26学年八上·甘肃兰州·期中）若＝b﹣3，则（　　） A. b＞3 B. b＜3 C. b≥3 D. b≤3 【答案】C 【分析】根据二次根式的性质即可求出答案． 【详解】 解：由于＝b﹣3≥0， ∴b≥3， 故选：C． 【点睛】 本题考查二次根式的性质，解题的关键是熟练运用二次根式的性质，本题属于基础题型． 6．（25-26学年八上·甘肃天水甘谷县·期中）若x，y都是实数，且，则的值是（     ） A. 0 B.  C. 2 D. 不能确定 【答案】C 【分析】 本题考查二次根式有意义的条件，根据二次根式的被开方数非负，求出的值，再代入方程求出的值，最后计算出的值即可． 【详解】 解：∵和 都有意义， ∴ 且， ∴ 且， ∴ ． ∴， ∴， ∴． 故选C． 7．（25-26学年八上·甘肃兰州·期中）实数、在数轴上的位置如图所示，且，则化简的结果为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了数轴与实数，二次根式的性质，先由数轴得，则，故，即可作答． 【详解】 解：由数轴得， ∴， 则 ， 故选：C． 8．（25-26学年八上·甘肃兰州·期中）若在实数范围内有意义，则x的取值范围是　　　　　　． 【答案】x≥-1 【分析】 根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，列不等式求解即可． 【详解】 由题意可知x+1≥0， ∴x≥-1． 故答案为：x≥-1． 【点睛】 此题主要考查了二次根式有意义的条件，明确被开方数为非负数是解题关键． 【详解】 9．（25-26学年八上·甘肃白银·期中）若是整数，则满足条件的最小正整数的值为　　　　　　　　　　　． 【答案】3 【分析】 本题考查了二次根式的化简，理解题意是解决本题的关键． 把12分解因数，分解出平方数，再根据二次根式的定义判断出n的最小值． 【详解】 解：， ∵是整数， ∴是整数， ∴是整数， ∴是完全平方数， ∴满足条件的最小正整数． 故答案为：3． 10．（25-26学年八上·甘肃兰州·期中）使得代数式有意义的x的取值范围是　　　　　． 【答案】x＞3 【分析】 二次根式中被开方数的取值范围：二次根式中的被开方数是非负数． 【详解】 解：∵代数式有意义， ∴x﹣3＞0， ∴x＞3， ∴x的取值范围是x＞3， 故答案为：x＞3． 【点睛】 本题主要考查了二次根式有意义的条件，如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零． 11．（25-26学年八上·甘肃兰州·期中）已知a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简． 【答案】 【分析】 本题考查了实数与数轴，利用二次根式的性质化简二次根式是解题关键． 利用数轴判断得出：，，，，进而化简即可． 【详解】 解：如图所示：，， ∴，，， ． 12．（25-26学年八上·甘肃张掖山丹县第二中学·期中）阅读下述解题过程： 例：若代数式的值是2，求a的取值范围． 解：原式 当时，原式，解得（舍去）； 当时，原式，符合条件； 当时，原式，解得（舍去）． 综上所述，a的取值范围是． 上述解题过程主要运用了分类讨论的方法，请你根据上述解题方法解答下列问题：（1）（2）直接写答案 （1）当时，化简：_______； （2）若等式成立，则a的取值范围是______； （3）若，求a的值 【答案】（1）3     （2）     （3）或      【分析】 本题考查二次根式的性质与化简，理解例题的解题思路是解题的关键． （1）根据已知可得，，然后利用二次根式的性质，进行计算即可解答； （2）先将等式的左边进行化简，然后分情况讨论即可求出答案； （3）先将等式的左边进行化简，然后分情况讨论即可求出答案． (1) 小问详解： 解：∵， ∴，， ∴原式 ， ， 故答案为：3； (2) 小问详解： 解：由题意可知：， 当时，，， ∴原方程化为：， 解得，符合题意； 当时，，， ∴， ∴，故符合题意； 当时，，， ∴， 解得，符合题意； 综上所述，a的取值范围是， 故答案为：； (3) 小问详解： 解：原方程可化为：， 当时，，， ∴原方程化为：， 解得，符合题意； 当时， ∴，， ∴， ∴此方程无解，故不符合题意； 当时，，， ∴原方程化为：， ∴，符合题意； 综上所述，或． 考点02 二次根式的乘法与除法 1．（25-26学年八上·甘肃兰州·期中）下列运算正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 计算出各个选项中式子的正确结果，即可判断． 【详解】 解：，故选项A正确，符合题意； ，故选项B错误，不符合题意； 不能合并，故选项C错误，不符合题意； ，故选项D错误，不符合题意； 故选：A． 2．（25-26学年八上·甘肃兰州第十一中学·期中）下列二次根式中，最简二次根式的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据最简二次根式的定义判断即可． 【详解】 解：A、中含有分母，不是最简二次根式，故不合题意； B、是最简二次根式，故符合题意； C、中含有因数4，不是最简二次根式，故不合题意； D、中含有分母，不是最简二次根式，故不合题意； 故选：B． 【点睛】 本题考查的是最简二次根式，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式． 3．（25-26学年八上·甘肃兰州·期中）计算的结果是（       ） A. 9 B. 3 C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查的是二次根式的乘法运算，直接利用二次根式的乘法运算法则计算即可． 【详解】 解：， 故选B． 4．（25-26学年八上·甘肃兰州第八十一中学·期中）下列二次根式中是最简二次根式的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据最简二次根式的定义，即可求解． 【详解】 解：A、，故本选项不符合题意； B、是最简二次根式，故本选项符合题意； C、，故本选项不符合题意； D、，故本选项不符合题意； 故选：B 【点睛】 本题考查了最简二次根式的定义，能熟记最简二次根式的定义是解此题的关键，满足下列两个条件的二次根式，叫最简二次根式：① 被开方数中的每个因数都是整数，因式都是整式，② 被开方数中不含有能开得尽方的因数或因式． 5．（25-26学年八上·甘肃兰州第五十四中学·期中）下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了最简二次根式，最简二次根式要求被开方数为整数且不含能开得尽方的因数或因式． 选项A和B的被开方数含有分母，选项D的被开方数含有平方因子4，均不符合要求；只有选项C的被开方数3是整数且无平方数，满足最简二次根式的条件． 【详解】 解：对于A：，被开方数含分母，不是最简二次根式； 对于B：，被开方数含分母，不是最简二次根式； 对于C：，被开方数3是整数且无平方数，是最简二次根式； 对于D：，被开方数含平方因子4，不是最简二次根式． 故选C． 6．（25-26学年八上·甘肃酒泉第二中学·期中）下列计算中，正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了二次根式的运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键．因为和不是同类二次根式，不能合并；根据合并同类二次根式的法则，可得：；根据二次根式的乘法法则，可得：；根据二次根式的除法法则，可得：． 【详解】 解：A选项：和不是同类二次根式，不能合并，故A选项错误； B选项：根据合并同类二次根式的法则，可得：，故B选项错误； C选项：根据二次根式的乘法法则，可得：，故C选项错误； D选项：根据二次根式的除法法则，可得：； 故D选项正确． 故选：D． 7．（25-26学年八上·甘肃张掖山丹县第二中学·期中）二次根式与最简二次根式是同类二次根式，是8的立方根． （1）求的平方根： （2）若，求的值． 【答案】（1）     （2）0      【分析】 本题考查了同类二次根式的定义，平方根及立方根的意义． （1）根据同类二次根式的被开方数相同列式求解即可； （2）把变形为，然后把代入计算即可． (1) 小问详解： 解：∵二次根式与最简二次根式是同类二次根式， ∴， ∴． ∵是8的立方根， ∴， ∴， ∴的平方根； (2) 小问详解： 解：∵，， ∴， ∴ ． 考点03 二次根式的加法与减法 1．（25-26学年八上·甘肃兰州·期中）下列与是同类二次根式的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查同类二次根式．判断是否为同类二次根式，需将各选项化简为最简二次根式后，比较被开方数是否相同．据此即可求解． 【详解】 解：A、，与不是同类二次根式； B、与不是同类二次根式； C、，与不是同类二次根式； D、，与是同类二次根式． 故选：D． 2．（25-26学年八上·甘肃白银·期中）下列二次根式中，不能与合并的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了二次根式的性质与化简，同类二次根式的定义等知识点，能正确根据二次根式的性质进行化简是解此题的关键．先根据二次根式的性质进行化简，再根据同类二次根式的定义判断即可． 【详解】 解：A．，能与合并，不符合题意； B．，不能与合并，符合题意； C．，能与合并，不符合题意； D．，能与合并，不符合题意； 故选：B． 3．（25-26学年八上·甘肃兰州第十一中学·期中）下列计算正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题主要考查了求一个数的算术平方根，分母有理化，二次根式有意义的条件，正确化简二次根式是解题关键．直接根据算术平方根定义，二次根式有意义的条件，分母有理化方法，进行计算，得出答案即可． 【详解】 解：A、，原计算错误，故A错误； B、无意义，原计算错误，故B错误； 、，故C错误，D正确． 故选：D． 4．（25-26学年八上·甘肃兰州第八十一中学·期中）下列各式计算正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键．直接利用二次根式混合运算法则分别判断得出答案． 【详解】 解：A、，正确，符合题意； B、与不是同类二次根式，不能合并，原计算错误，不符合题意； C、，原计算错误，不符合题意； D、，原计算错误，不符合题意． 故选：A． 5．（25-26学年八上·甘肃兰州·期中）下面是亮亮同学进行二次根式混合运算练习的计算过程，请认真阅读并完成相应任务． 解： ① ② ③ （1）指出上述解题过程中，最先出现错误的步骤（写出序号即可）． （2）请写出正确的解题过程． 【答案】（1）①     （2）       【分析】 本题考查了二次根式的减法，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键； （1）化简二次根式错误，，1不能直接开平方到根号外，由此得出错误处； （2）由先化简各数，再合并同类二次根式，即可解得． (1) 小问详解： 解：， 故步骤① 最先出现错误． (2) 小问详解： 略 6．（25-26学年八上·甘肃兰州·期中）计算：． 【答案】 【分析】 运用二次根式的混合运算计算即可解答． 【详解】 ． 【点睛】 本题考查二次根式的混合运算，熟练运用二次根式的混合运算是解题的关键． 7．（25-26学年八上·甘肃天水·期中）比较大小：　　　　　　． 【答案】< 【分析】 本题主要考查了二次根式的大小比较， 先平方，再比较结果，进而得出答案． 【详解】 解：平方，得， 因为， 所以． 故答案为：． 8．（25-26学年八上·甘肃兰州第五十四中学·期中）先化简，再求值：．其中． 【答案】，8 【分析】 本题考查了二次根式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 先根据乘法公式和二次根式的乘法法则计算，再去括号合并同类二次根式，然后把代入计算即可． 【详解】 ， 当时， 原式． 9．（25-26学年八上·甘肃酒泉第二中学·期中）计算： （1） （2） （3） 【答案】（1）     （2）2     （3）      【分析】 本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． （1）先计算二次根式的乘法，再合并即可； （2）先计算二次根式的除法，再合并即可； （3）利用完全平方公式和平方差公式化简，再合并即可． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： ； (3) 小问详解： 解： ． 10．（25-26学年八上·甘肃白银·期中）计算： 【答案】 【分析】 本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘除法和加减法法则是解决问题的关键． 先进行二次根式的乘除法运算，然后化简二次根式后合并即可； 【详解】 解：原式 ． 11．（25-26学年八上·甘肃期中学·期中）计算：． 【答案】 【分析】 本题考查了绝对值，多项式的乘法法则以及根式的运算，先去绝对值符号，计算多项式乘法，再去括号，从左往右依次计算． 【详解】 解：， ， ， ． 12．（25-26学年八上·甘肃兰州·期中）计算： （1） （2） 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了二次根式的混合运算： （1）先将二次根式化简为最简根式，再从左往右依次计算即可； （2）利用二次根式的加减乘除运算法则进行计算． (1) 小问详解： 原式 (2) 小问详解： 原式． 13．（25-26学年八上·甘肃兰州第八十一中学·期中）把下列二次根式化成最简二次根式： （1）； （2）． 【答案】（1）     （2）      【分析】 此题主要考查了最简二次根式，满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式：（1）被开方数的因数是整数，因式是整式；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．正确化简二次根式是解题关键． （1）把32写成，然后化简； （2）分子分母都乘以3，然后化简． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： ． 14．（25-26学年八上·甘肃兰州第八十一中学·期中）计算：． 【答案】 【分析】 本题考查二次根式的性质及二次根式的运算，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 先利用平方差公式得到，将完全平方公式展开得到，进行加减运算即可． 【详解】 解：原式 ． 15．（25-26学年八上·甘肃兰州第八十一中学·期中）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）     （2）1      【分析】 本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）根据二次根式的性质化简，再合并同类二次根式即可； （2）先算括号里的乘法，再算括号里的减法，最后算除法即可． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： ． 16．（25-26学年八上·甘肃兰州·期中）阅读下列材料，并回答问题 ； ； ； … （1）填空：___________； （2）观察上述算式规律，请直接写出算式（n是正整数）的结果； （3）计算：（提示：）． 【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 本题考查了二次根式的混合运算、分母有理化等知识点，读懂阅读材料找到算式规律是解题的关键． （1）根据材料计算方法进行分母有理化即可解答； （2）仿照材料方法计算即可； （3）先仿照材料方法进行变形，然后进行计算即可． (1) 小问详解： 解：． 故答案为：． (2) 小问详解： 解： ． (3) 小问详解： 解： ． 17．（25-26学年八上·甘肃张掖山丹县第二中学·期中）计算 （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）     （2）     （3），     （4）      【分析】 本题主要考查了二次根式的混合运算，平方差公式和完全平方公式，解方程，熟练掌握相关运算法则，正确运用公式是解题的关键． （1）直接化简二次根式，然后进一步合并即可； （2）利用平方差公式和完全平方公式进行计算即可； （3）利用平方根的定义解方程即可； （4）根据立方根的意义解方程即可． (1) 小问详解： 解：原式 (2) 小问详解： 解：原式 (3) 小问详解： 解： ， (4) 小问详解： 解： 18．（25-26学年八上·甘肃兰州第五十四中学·期中）计算． （1）： （2）； （3） 【答案】（1）0     （2）     （3）      【分析】 本题考查了二次根式的混合运算，以及负整数指数幂、零指数幂的意义． （1）先根据二次根式的性质化简，然后算加减即可； （2）先根据二次根式和绝对值的性质化简，再算乘法，然后算加减即可； （3）先根据负整数指数幂、零指数幂的意义和二次根式的乘法法则计算，再化简二次根式，然后算加减即可； (1) 小问详解： ； (2) 小问详解： ； (3) 小问详解： ． 19．（25-26学年八上·甘肃兰州·期中）数学老师让同学们根据二次根式的相关内容编写一道题，以下是数学老师选出的两道题和她自己编写的一道题．先阅读，再回答问题． （1）小青编的题：观察下列等式： ；． 直接写出以下算式的结果：_______． （2）小明编的题：由二次根式的乘法可知： ，，； 再根据平方根的定义可得，，． 直接写出以下算式的结果：_______． （3）数学老师编的题：根据你的发现，完成以下计算： ． 【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 本题考查的是分母有理化，二次根式的化简. （1）根据题干提供的方法进行分母有理化即可； （2）分别把每个被开方数化为某个数的平方，再化简即可； （3）先把括号内每一项分母有理化，再合并同类二次根式，同步化简，最后利用平方差公式计算即可. (1) 小问详解： 解：， 故答案为：； (2) 小问详解： 解：， 故答案为：； (3) 小问详解： 解： ． 20．（25-26学年八上·甘肃兰州第十一中学·期中）已知， （1）求的值； （2）若x的小数部分是m，y的小数部分是n，求的值． 【答案】（1）17     （2）      【分析】 本题考查了分母有理化、二次根式的混合运算以及无理数的小数部分，解题的关键是熟练掌握分母有理化的方法，以及利用公式和小数部分的定义进行计算． （1）先对、进行分母有理化，再利用完全平方公式和平方差公式计算的值； （2）先确定的范围，从而得到、的范围，进而确定它们的小数部分、，再代入式子计算． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： 由（1）知， ， 又∵的小数部分为的小数部分为， ． 21．（25-26学年八上·甘肃兰州·期中）已知二次根式与是同类二次根式，求的值． 【答案】1 【分析】 题目主要考查同类二次根式及最简二次根式的定义，二元一次方程组的应用等，理解题意，根据同类二次根式及最简二次根式列出方程组是解题关键． 根据同类二次根式及最简二次根式的意义，列方程组解答即可． 【详解】 解：二次根式与是同类二次根式， ， 解得： ，此时，不符合题意， 或 ， 解得： ， 符合题意， ． 所以的值为1． 22．（25-26学年八上·甘肃兰州·期中）计算 （1） （2） 【答案】（1）7     （2）      【分析】 本题考查二次根式的混合运算，掌握二次根式的性质是解题的关键． （1）先利用二次根式的性质化简，再合并同类二次根式，最后计算除法； （2）先利用二次根式的性质化简，再合并同类二次根式． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： ． 23．（25-26学年八上·甘肃兰州第八十一中学·期中）观察下列一组等式，然后解答问题： ， ， ， ， …… （1）利用上面的规律，计算：． （2）利用上面的思路，计算：． （3）请利用上面的规律，比较与的大小． 【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 本题考查了二次根式的运算，平方差公式和完全平方公式，解题的关键是理解题意，准确计算． （1）先利用平方差公式进行分母有理化，再计算即可求出式子的值； （2）先通分，再利用完全平方公式和平方差公式计算即可； （3）利用平方差公式将与进行转化，再进行比较即可． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： ； (3) 小问详解： 解：， ， ， ， 即． 24．（25-26学年八上·甘肃兰州·期中）计算： （1）； （2） （3）； （4）． 【答案】（1）     （2）     （3）     （4）      【分析】 此题考查了二次根式的混合运算，负整数指数幂，零指数幂，化简绝对值，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）首先化简二次根式，然后合并即可； （2）首先计算负整数指数幂，零指数幂，化简绝对值，然后合并即可； （3）首先计算二次根式的除法和乘法，然后化简二次根式，然后计算减法即可； （4）首先计算二次根式的乘法，然后合并即可． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： ； (3) 小问详解： 解： ； (4) 小问详解： 解： ． 25．（25-26学年八上·甘肃兰州·期中）已知，，满足，求代数式的值． 【答案】 【分析】 本题主要考查了二次根式的化简求值，非负数的性质，根据非负数的性质可求出a、b、c的值，再根据平方差公式和二次根式的化简方法把所求式子化简，最后代值计算即可． 【详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∴，，， ． 26．（25-26学年八上·甘肃兰州·期中）阅读下面的材料，解答后面给出的问题： 两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，例如与，与．这样，化简一个分母含有二次根式的式子时，采用分子、分母同乘以分母的有理化因式的方法就可以了，例如：，． （1）请你写出：的有理化因式：________； （2）已知，，求． 【答案】（1）（答案不唯一）     （2）5      【分析】 本题主要考查了二次根式分母有理化的知识，完全平方公式，平方差公式，解题的关键是熟练掌握分母有理化的方法． （1）根据有理化因式的定义即可解答； （3）通过分母有理化可化简、，从而求出、，根据，将，的值代入即可求解． (1) 小问详解： 解：， 是的有理化因式， 故答案为：（答案不唯一）； (2) 小问详解： 解：，， ，， ． 27．（25-26学年八上·甘肃兰州·期中）我们已经知道，因此，在计算时，可以将分子，分母同时乘以进行化前如下： 请运用上述方法进行以下化简： （1）=            （直接填空）； （2）； （3）．（提示：） 【答案】（1）     （2）9     （3）1      【分析】 本题考查分式的分母有理化，熟练掌握分母有理化的运算是解题的关键， （1）把分子分母都乘以即可； （2）利用分母有理化得到原式，然后合并即可； （3）先把分子部分变形得到原式，再利用约分得到原式，然后分母有理化后合并即可． (1) 小问详解： 解：原式； 故答案为：； (2) 小问详解： 解：原式 ； (3) 小问详解： 解：原式 ． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 二次根式 3大高频考点概览 考点01 二次根式及其性质 考点02 二次根式的乘法与除法 考点03 二次根式的加法与减法 考点01 二次根式及其性质 1．（25-26学年八上·甘肃兰州·期中）当时，二次根式的值为（       ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2．（25-26学年八上·甘肃张掖山丹县第二中学·期中）实数在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为（     ） A.  B. 3 C.  D.  3．（25-26学年八上·甘肃白银·期中）若有意义，则a的取值范围是（　　） A. a≥1 B. a≤1 C. a≥0 D. a≤﹣1 4．（25-26学年八上·甘肃兰州第十一中学·期中）已知代数式有意义，则x的取值范围是（     ） A.  B.  C. 且 D. 且 5．（25-26学年八上·甘肃兰州·期中）若＝b﹣3，则（　　） A. b＞3 B. b＜3 C. b≥3 D. b≤3 6．（25-26学年八上·甘肃天水甘谷县·期中）若x，y都是实数，且，则的值是（     ） A. 0 B.  C. 2 D. 不能确定 7．（25-26学年八上·甘肃兰州·期中）实数、在数轴上的位置如图所示，且，则化简的结果为（     ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年八上·甘肃兰州·期中）若在实数范围内有意义，则x的取值范围是　　　　　　． 9．（25-26学年八上·甘肃白银·期中）若是整数，则满足条件的最小正整数的值为　　　　　　　　　　　． 10．（25-26学年八上·甘肃兰州·期中）使得代数式有意义的x的取值范围是　　　　　． 11．（25-26学年八上·甘肃兰州·期中）已知a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简． 12．（25-26学年八上·甘肃张掖山丹县第二中学·期中）阅读下述解题过程： 例：若代数式的值是2，求a的取值范围． 解：原式 当时，原式，解得（舍去）； 当时，原式，符合条件； 当时，原式，解得（舍去）． 综上所述，a的取值范围是． 上述解题过程主要运用了分类讨论的方法，请你根据上述解题方法解答下列问题：（1）（2）直接写答案 （1）当时，化简：_______； （2）若等式成立，则a的取值范围是______； （3）若，求a的值 考点02 二次根式的乘法与除法 1．（25-26学年八上·甘肃兰州·期中）下列运算正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年八上·甘肃兰州第十一中学·期中）下列二次根式中，最简二次根式的是（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年八上·甘肃兰州·期中）计算的结果是（       ） A. 9 B. 3 C.  D.  4．（25-26学年八上·甘肃兰州第八十一中学·期中）下列二次根式中是最简二次根式的是（       ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年八上·甘肃兰州第五十四中学·期中）下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年八上·甘肃酒泉第二中学·期中）下列计算中，正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年八上·甘肃张掖山丹县第二中学·期中）二次根式与最简二次根式是同类二次根式，是8的立方根． （1）求的平方根： （2）若，求的值． 考点03 二次根式的加法与减法 1．（25-26学年八上·甘肃兰州·期中）下列与是同类二次根式的是（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年八上·甘肃白银·期中）下列二次根式中，不能与合并的是（     ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年八上·甘肃兰州第十一中学·期中）下列计算正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年八上·甘肃兰州第八十一中学·期中）下列各式计算正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年八上·甘肃兰州·期中）下面是亮亮同学进行二次根式混合运算练习的计算过程，请认真阅读并完成相应任务． 解： ① ② ③ （1）指出上述解题过程中，最先出现错误的步骤（写出序号即可）． （2）请写出正确的解题过程． 6．（25-26学年八上·甘肃兰州·期中）计算：． 7．（25-26学年八上·甘肃天水·期中）比较大小：　　　　　　． 8．（25-26学年八上·甘肃兰州第五十四中学·期中）先化简，再求值：．其中． 9．（25-26学年八上·甘肃酒泉第二中学·期中）计算： （1） （2） （3） 10．（25-26学年八上·甘肃白银·期中）计算： 11．（25-26学年八上·甘肃期中学·期中）计算：． 12．（25-26学年八上·甘肃兰州·期中）计算： （1） （2） 13．（25-26学年八上·甘肃兰州第八十一中学·期中）把下列二次根式化成最简二次根式： （1）； （2）． 14．（25-26学年八上·甘肃兰州第八十一中学·期中）计算：． 15．（25-26学年八上·甘肃兰州第八十一中学·期中）计算： （1）； （2）． 16．（25-26学年八上·甘肃兰州·期中）阅读下列材料，并回答问题 ； ； ； … （1）填空：___________； （2）观察上述算式规律，请直接写出算式（n是正整数）的结果； （3）计算：（提示：）． 17．（25-26学年八上·甘肃张掖山丹县第二中学·期中）计算 （1）； （2）； （3）； （4）． 18．（25-26学年八上·甘肃兰州第五十四中学·期中）计算． （1）： （2）； （3） 19．（25-26学年八上·甘肃兰州·期中）数学老师让同学们根据二次根式的相关内容编写一道题，以下是数学老师选出的两道题和她自己编写的一道题．先阅读，再回答问题． （1）小青编的题：观察下列等式： ；． 直接写出以下算式的结果：_______． （2）小明编的题：由二次根式的乘法可知： ，，； 再根据平方根的定义可得，，． 直接写出以下算式的结果：_______． （3）数学老师编的题：根据你的发现，完成以下计算： ． 20．（25-26学年八上·甘肃兰州第十一中学·期中）已知， （1）求的值； （2）若x的小数部分是m，y的小数部分是n，求的值． 21．（25-26学年八上·甘肃兰州·期中）已知二次根式与是同类二次根式，求的值． 22．（25-26学年八上·甘肃兰州·期中）计算 （1） （2） 23．（25-26学年八上·甘肃兰州第八十一中学·期中）观察下列一组等式，然后解答问题： ， ， ， ， …… （1）利用上面的规律，计算：． （2）利用上面的思路，计算：． （3）请利用上面的规律，比较与的大小． 24．（25-26学年八上·甘肃兰州·期中）计算： （1）； （2） （3）； （4）． 25．（25-26学年八上·甘肃兰州·期中）已知，，满足，求代数式的值． 26．（25-26学年八上·甘肃兰州·期中）阅读下面的材料，解答后面给出的问题： 两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，例如与，与．这样，化简一个分母含有二次根式的式子时，采用分子、分母同乘以分母的有理化因式的方法就可以了，例如：，． （1）请你写出：的有理化因式：________； （2）已知，，求． 27．（25-26学年八上·甘肃兰州·期中）我们已经知道，因此，在计算时，可以将分子，分母同时乘以进行化前如下： 请运用上述方法进行以下化简： （1）=            （直接填空）； （2）； （3）．（提示：） 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 二次根式 考点01 二次根式及其性质 考点02 二次根式的乘法与除法 考点03 二次根式的加法与减法 考点01 二次根式及其性质 1．C 2．A 3．A 4．D 5．C 6．C 7．C 8．【答案】x≥-1 【分析】 根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，列不等式求解即可． 【详解】 由题意可知x+1≥0， ∴x≥-1． 故答案为：x≥-1． 【点睛】 此题主要考查了二次根式有意义的条件，明确被开方数为非负数是解题关键． 【详解】 9．【答案】3 【分析】 本题考查了二次根式的化简，理解题意是解决本题的关键． 把12分解因数，分解出平方数，再根据二次根式的定义判断出n的最小值． 【详解】 解：， ∵是整数， ∴是整数， ∴是整数， ∴是完全平方数， ∴满足条件的最小正整数． 故答案为：3． 10．【答案】x＞3 【分析】 二次根式中被开方数的取值范围：二次根式中的被开方数是非负数． 【详解】 解：∵代数式有意义， ∴x﹣3＞0， ∴x＞3， ∴x的取值范围是x＞3， 故答案为：x＞3． 【点睛】 本题主要考查了二次根式有意义的条件，如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零． 11．【答案】 【分析】 本题考查了实数与数轴，利用二次根式的性质化简二次根式是解题关键． 利用数轴判断得出：，，，，进而化简即可． 【详解】 解：如图所示：，， ∴，，， ． 12．【答案】（1）3     （2）     （3）或      【分析】 本题考查二次根式的性质与化简，理解例题的解题思路是解题的关键． （1）根据已知可得，，然后利用二次根式的性质，进行计算即可解答； （2）先将等式的左边进行化简，然后分情况讨论即可求出答案； （3）先将等式的左边进行化简，然后分情况讨论即可求出答案． (1) 小问详解： 解：∵， ∴，， ∴原式 ， ， 故答案为：3； (2) 小问详解： 解：由题意可知：， 当时，，， ∴原方程化为：， 解得，符合题意； 当时，，， ∴， ∴，故符合题意； 当时，，， ∴， 解得，符合题意； 综上所述，a的取值范围是， 故答案为：； (3) 小问详解： 解：原方程可化为：， 当时，，， ∴原方程化为：， 解得，符合题意； 当时， ∴，， ∴， ∴此方程无解，故不符合题意； 当时，，， ∴原方程化为：， ∴，符合题意； 综上所述，或． 考点02 二次根式的乘法与除法 1．A 2．B 3．B 4．B 5．C 6．D 7．【答案】（1）     （2）0      【分析】 本题考查了同类二次根式的定义，平方根及立方根的意义． （1）根据同类二次根式的被开方数相同列式求解即可； （2）把变形为，然后把代入计算即可． (1) 小问详解： 解：∵二次根式与最简二次根式是同类二次根式， ∴， ∴． ∵是8的立方根， ∴， ∴， ∴的平方根； (2) 小问详解： 解：∵，， ∴， ∴ ． 考点03 二次根式的加法与减法 1．D 2．B 3．D 4．A 5．【答案】（1）①     （2）       【分析】 本题考查了二次根式的减法，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键； （1）化简二次根式错误，，1不能直接开平方到根号外，由此得出错误处； （2）由先化简各数，再合并同类二次根式，即可解得． (1) 小问详解： 解：， 故步骤① 最先出现错误． (2) 小问详解： 略 6．【答案】 【分析】 运用二次根式的混合运算计算即可解答． 【详解】 ． 【点睛】 本题考查二次根式的混合运算，熟练运用二次根式的混合运算是解题的关键． 7．【答案】< 【分析】 本题主要考查了二次根式的大小比较， 先平方，再比较结果，进而得出答案． 【详解】 解：平方，得， 因为， 所以． 故答案为：． 8．【答案】，8 【分析】 本题考查了二次根式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 先根据乘法公式和二次根式的乘法法则计算，再去括号合并同类二次根式，然后把代入计算即可． 【详解】 ， 当时， 原式． 9．【答案】（1）     （2）2     （3）      【分析】 本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． （1）先计算二次根式的乘法，再合并即可； （2）先计算二次根式的除法，再合并即可； （3）利用完全平方公式和平方差公式化简，再合并即可． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： ； (3) 小问详解： 解： ． 10．【答案】 【分析】 本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘除法和加减法法则是解决问题的关键． 先进行二次根式的乘除法运算，然后化简二次根式后合并即可； 【详解】 解：原式 ． 11．【答案】 【分析】 本题考查了绝对值，多项式的乘法法则以及根式的运算，先去绝对值符号，计算多项式乘法，再去括号，从左往右依次计算． 【详解】 解：， ， ， ． 12．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了二次根式的混合运算： （1）先将二次根式化简为最简根式，再从左往右依次计算即可； （2）利用二次根式的加减乘除运算法则进行计算． (1) 小问详解： 原式 (2) 小问详解： 原式． 13．【答案】（1）     （2）      【分析】 此题主要考查了最简二次根式，满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式：（1）被开方数的因数是整数，因式是整式；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．正确化简二次根式是解题关键． （1）把32写成，然后化简； （2）分子分母都乘以3，然后化简． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： ． 14．【答案】 【分析】 本题考查二次根式的性质及二次根式的运算，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 先利用平方差公式得到，将完全平方公式展开得到，进行加减运算即可． 【详解】 解：原式 ． 15．【答案】（1）     （2）1      【分析】 本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）根据二次根式的性质化简，再合并同类二次根式即可； （2）先算括号里的乘法，再算括号里的减法，最后算除法即可． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： ． 16．【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 本题考查了二次根式的混合运算、分母有理化等知识点，读懂阅读材料找到算式规律是解题的关键． （1）根据材料计算方法进行分母有理化即可解答； （2）仿照材料方法计算即可； （3）先仿照材料方法进行变形，然后进行计算即可． (1) 小问详解： 解：． 故答案为：． (2) 小问详解： 解： ． (3) 小问详解： 解： ． 17．【答案】（1）     （2）     （3），     （4）      【分析】 本题主要考查了二次根式的混合运算，平方差公式和完全平方公式，解方程，熟练掌握相关运算法则，正确运用公式是解题的关键． （1）直接化简二次根式，然后进一步合并即可； （2）利用平方差公式和完全平方公式进行计算即可； （3）利用平方根的定义解方程即可； （4）根据立方根的意义解方程即可． (1) 小问详解： 解：原式 (2) 小问详解： 解：原式 (3) 小问详解： 解： ， (4) 小问详解： 解： 18．【答案】（1）0     （2）     （3）      【分析】 本题考查了二次根式的混合运算，以及负整数指数幂、零指数幂的意义． （1）先根据二次根式的性质化简，然后算加减即可； （2）先根据二次根式和绝对值的性质化简，再算乘法，然后算加减即可； （3）先根据负整数指数幂、零指数幂的意义和二次根式的乘法法则计算，再化简二次根式，然后算加减即可； (1) 小问详解： ； (2) 小问详解： ； (3) 小问详解： ． 19．【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 本题考查的是分母有理化，二次根式的化简. （1）根据题干提供的方法进行分母有理化即可； （2）分别把每个被开方数化为某个数的平方，再化简即可； （3）先把括号内每一项分母有理化，再合并同类二次根式，同步化简，最后利用平方差公式计算即可. (1) 小问详解： 解：， 故答案为：； (2) 小问详解： 解：， 故答案为：； (3) 小问详解： 解： ． 20．【答案】（1）17     （2）      【分析】 本题考查了分母有理化、二次根式的混合运算以及无理数的小数部分，解题的关键是熟练掌握分母有理化的方法，以及利用公式和小数部分的定义进行计算． （1）先对、进行分母有理化，再利用完全平方公式和平方差公式计算的值； （2）先确定的范围，从而得到、的范围，进而确定它们的小数部分、，再代入式子计算． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： 由（1）知， ， 又∵的小数部分为的小数部分为， ． 21．【答案】1 【分析】 题目主要考查同类二次根式及最简二次根式的定义，二元一次方程组的应用等，理解题意，根据同类二次根式及最简二次根式列出方程组是解题关键． 根据同类二次根式及最简二次根式的意义，列方程组解答即可． 【详解】 解：二次根式与是同类二次根式， ， 解得： ，此时，不符合题意， 或 ， 解得： ， 符合题意， ． 所以的值为1． 22．【答案】（1）7     （2）      【分析】 本题考查二次根式的混合运算，掌握二次根式的性质是解题的关键． （1）先利用二次根式的性质化简，再合并同类二次根式，最后计算除法； （2）先利用二次根式的性质化简，再合并同类二次根式． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： ． 23．【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 本题考查了二次根式的运算，平方差公式和完全平方公式，解题的关键是理解题意，准确计算． （1）先利用平方差公式进行分母有理化，再计算即可求出式子的值； （2）先通分，再利用完全平方公式和平方差公式计算即可； （3）利用平方差公式将与进行转化，再进行比较即可． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： ； (3) 小问详解： 解：， ， ， ， 即． 24．【答案】（1）     （2）     （3）     （4）      【分析】 此题考查了二次根式的混合运算，负整数指数幂，零指数幂，化简绝对值，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）首先化简二次根式，然后合并即可； （2）首先计算负整数指数幂，零指数幂，化简绝对值，然后合并即可； （3）首先计算二次根式的除法和乘法，然后化简二次根式，然后计算减法即可； （4）首先计算二次根式的乘法，然后合并即可． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： ； (3) 小问详解： 解： ； (4) 小问详解： 解： ． 25．【答案】 【分析】 本题主要考查了二次根式的化简求值，非负数的性质，根据非负数的性质可求出a、b、c的值，再根据平方差公式和二次根式的化简方法把所求式子化简，最后代值计算即可． 【详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∴，，， ． 26．【答案】（1）（答案不唯一）     （2）5      【分析】 本题主要考查了二次根式分母有理化的知识，完全平方公式，平方差公式，解题的关键是熟练掌握分母有理化的方法． （1）根据有理化因式的定义即可解答； （3）通过分母有理化可化简、，从而求出、，根据，将，的值代入即可求解． (1) 小问详解： 解：， 是的有理化因式， 故答案为：（答案不唯一）； (2) 小问详解： 解：，， ，， ． 27．【答案】（1）     （2）9     （3）1      【分析】 本题考查分式的分母有理化，熟练掌握分母有理化的运算是解题的关键， （1）把分子分母都乘以即可； （2）利用分母有理化得到原式，然后合并即可； （3）先把分子部分变形得到原式，再利用约分得到原式，然后分母有理化后合并即可． (1) 小问详解： 解：原式； 故答案为：； (2) 小问详解： 解：原式 ； (3) 小问详解： 解：原式 ． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $