专题04 全等三角形（期中真题汇编，甘肃专用）八年级数学上学期

专题04 全等三角形 考点01 全等三角形及其性质 考点02 三角形全等的判定 考点03 角的平分线 考点04 定义、命题、定理 考点01 全等三角形及其性质 1．C 2．A 3．B 4．B 5．B 6．B 7．B 8．C 9．A 10．A 11．【答案】① 相等    ② 相等 【分析】 本题考查的是全等三角形的性质，掌握对应边、对应角的概念是解题的关键． 根据全等三角形的性质即可得到结论． 【详解】 解：全等三角形的对应边相等，对应角相等． 故答案为：① 相等；② 相等． 12．【答案】5 【分析】 本题考查全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形的对应边相等．由全等三角形的对应边相等，即可得到答案． 【详解】 解：，， ， 故答案为：5． 13．【答案】30 【分析】 本题主要考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理，根据全等三角形对应角相等可得边长为3的边所对的角相等，据此根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】 解：∵图中两个三角形全等， ∴边长为3的边所对的角相等， ∴， 故答案为：． 14．【答案】的长为． 【分析】 本题考查了全等三角形的性质．由全等三角形的性质求得，据此求解即可． 【详解】 解：， ． ，， ． ． 点、、、在同一条直线上， ． 15．【答案】/ 度 【分析】 本题考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握相关基础知识． 根据得到，在中，根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】 解：∵，， ∴， 在中，由三角形内角和定理可得，， ∴， 故答案为： 16．【答案】厘米 【分析】 本题考查全等三角形的性质，线段的和差定义等知识，由，可得，根据计算即可． 【详解】 解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 17．【答案】 【分析】 本题考查了全等三角形的性质，根据全等三角形的性质可得，，进而根据，即可求解． 【详解】 解：∵，，， ∴，， ∴． 18．【答案】 【分析】 本题考查的是全等三角形的性质，熟记全等三角形的对应边相等是解题的关键． 根据全等三角形的对应边相等可得，再根据线段的和差关系求得的长即可． 【详解】 解：， ． 又， ． 故答案为：． 19．【答案】6 【分析】 根据全等的性质可得，，观察图形得． 【详解】 解：，，， ，， ． 故答案为：6． 【点睛】 本题考查了全等三角形的性质，熟练应用全等三角形的对应边相等是解题的关键． 20．【答案】 【分析】 本题考查了全等三角形的性质． 根据全等三角形的性质得到，进而可知． 【详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 21．【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∴；     （2）10      【分析】 本题主要考查了全等三角形的性质，平行线的判定： （1）根据全等三角形的性质可得，即可求证； （2）根据全等三角形的性质可得，即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴， 即的长为10． 22．【答案】或 【分析】 本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的性质．设点，的运动时间为，则，， 分或两种情况解答即可求解，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】 解：，，点为的中点， ，， 设点，的运动时间为，则， ， 若与全等，则有或， 当时，， ， ， 点的运动速度为； 当时， ， ， 点的运动速度为； 综上，点的运动速度为或， 故答案为：或． 考点02 三角形全等的判定 1．A 2．A 3．C 4．A 5．B 6．B 7．B 8．C 9．B 10．D 11．A 12．B 13．C 14．D 15．A 16．C 17．A 18．B 19．A 20．D 21．【答案】证明：在和中， ． 【分析】 本题考查全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 根据全等三角形的判定方法，证得，根据全等三角形的性质，证得． 【详解】 略 22．【答案】 【分析】 本题考查全等三角形的判定；需“两角夹边”，补充即可． 【详解】 解：∵，， ∴补充：， ∴， 故答案为：． 23．【答案】证明：在和中， ， ∴， ∴． 【分析】 本题考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．本题隐含，结合，，利用“”证明，即可得． 【详解】 略 24．【答案】证明：在和中， ． 【分析】 本题主要考查了利用证明即可． 【详解】 略 25．【答案】证明：， ， ，， ， 在和中， ， ， ． 【分析】 本题主要考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质，熟知相关性质定理是正确解答此题的关键． 根据平行线的性质得，结合题目中的条件证明，即可解答． 【详解】 略 26．【答案】证明：， ，即， ， 与都为直角三角形， 在和中， ， ． 【分析】 由于与是直角三角形，根据直角三角形全等的判定的方法即可证明．此题考查了直角三角形全等的判定，解题关键是由通过等量代换得到． 【详解】 略 27．【答案】证明：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴． 【分析】 本题考查了全等三角形的判定定理，由得出，再利用证明即可，熟练掌握全等三角形的判定定理是解此题的关键． 【详解】 略 28．【答案】3 【分析】 根据平行线性质得出，求出，再根据证，得，即可得出结论． 【详解】 证明：∵， ∴， ∵点E为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：3． 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 29．【答案】（1）证明：∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴； 在和中， ， ∴；     （2）．      【分析】 本题主要考查全等三角形的判定和性质． （1）由条件可求得，利用可证明； （2）根据全等三角形的性质得，，则，然后再根据即可得出答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴． 30．【答案】，，，，，全等三角形的对应角相等． 【分析】 考查知识点：等式的性质、三角形全等的判定定理、全等三角形的性质．解题方法与技巧：利用等式的性质推导线段相等，再通过判定三角形全等，最后根据全等三角形对应角相等求解角度．解题关键：准确推导线段关系，正确应用判定定理证明三角形全等．易错点：在推导线段相等时容易出错，或对三角形全等的判定条件理解不清晰，导致无法正确证明全等． 首先根据已知的，，利用等式的性质，得出，即．然后在和中，找到（已知）、（已证）、（公共边）这三组相等的边，根据判定定理证明．最后根据全等三角形的对应角相等，得出． 【详解】 由等式的性质得， ． 在和中， ， ， （全等三角形的对应角相等）． 31．【答案】证明：∵BE＝CF， ∴BE+EF＝CF+EF，即BF＝CE． 在△ABF和△DCE中， ∴△ABF≌△DCE， ∴∠A＝∠D． 【分析】 由BE＝CF可得BF＝CE，再结合AB＝DC，∠B＝∠C可证得△ABF≌△DCE，问题得证． 【详解】 略 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定和性质，是中考中比较常见的知识点，一般难度不大，需熟练掌握全等三角形的判定和性质． 32．【答案】（1） 证明：∵E为中点， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∴；     （2）      【分析】 本题主要考查了全等三角形的性质和判定、平行线的判定、三角形内角和定理等知识点，能综合运用定理进行推理是解题的关键． （1）先证明，由全等三角形的性质可得，最后根据平行线的判定定理即可证明结论； （2）根据角平分线的定义以及可得，再根据三角形内角和定理求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 33．【答案】（1） 证明：∵，， ∴， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴；     （2）      【分析】 本题考查了三角形全等的判定和性质，余角的性质，根据余角的性质得出是解题的关键． （1）先根据余角的性质得出，然后根据证明即可； （2）根据，得出，，再根据，即可求出的长． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由（1）知， ∴，， ∵， ∴． 34．【答案】解：他的发现正确，理由如下： 在与中， ， ∴， ∴，， ∴不仅平分，且平分． 【分析】 本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键．根据全等三角形的判定和性质直接证明即可． 【详解】 略 35．【答案】，理由见解析 【分析】 本题考查了三角形全等的判定．由得出，再用“”证明即可得证．熟练掌握三角形全等的判定是解此题的关键． 【详解】 解：， 理由如下： ， ，即， 在和中， ， ． 36．【答案】AC=BD或AD=BC(答案不唯一) 【详解】 ∵AC⊥BC，AD⊥BD， ∴∠C=∠D=90°，∵AB=AB， ∴当AC=BD时，可利用HL证明Rt△ABC≌Rt△BAD， 当AD=BC时，可利用HL证明Rt△ABC≌Rt△BAD， 故答案为：AC=BD或AD=BC． 37．【答案】 【分析】 本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 根据，，可得，再利用判定定理证明即可． 【详解】 解：，， ， 在和中， ， ， 故答案为：． 38．【答案】证明：在和中， ， ， ． 【分析】 本题主要考查了三角形全等的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法． 根据“”证明，即可得出答案． 【详解】 略 39．【答案】证明：O是的中点， ． O是的中点， ． 在和中， ． 【分析】 本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 通过分别是的中点，得到，进而通过即可证明． 【详解】 略 40．【答案】2或4 【分析】 本题考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是注意分情况讨论． 先证，可得；当线段经过点C时，证明，推出，分点P沿方向运动和沿方向运动两种情况，分别列式求解． 【详解】 解：∵， ∴， 在和中， ， ， ， 当线段经过点C时，如下图所示： 在和中， ， ， ， 当点P沿方向运动时，，， ， ， 解得； 当点P沿方向运动时，，， ， ， 解得 综上可知，t的值为或， 故答案为：2或4． 41．【答案】7度 【分析】 本题主要考查全等三角形的判定及性质，三角形外角性质，掌握全等三角形的判定方法及性质是解题的关键． 根据，得出，即可证明，根据三角形全等的性质得，最后利用可求解． 【详解】 解：， ， ， 在和中， ， ， ， ， 故答案为：． 42．【答案】（1） 证明：， ， ， 在和中， ， ， ；     （2）      【分析】 此题重点考查全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识，推导出，进而证明是解题的关键． （1）由，得，而，，即可根据“”证明，则； （2）由全等三角形的性质得，而，则． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由（1）得， ， ， ， 的度数是． 43．【答案】证明：∵， ∴， 即， 在与中， ， ∴． 【分析】 本题考查了全等三角形的判定；由得，由即可证明全等． 【详解】 略 44．【答案】6 【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定与性质，首先根据“”证明，由全等三角形的性质可得，然后由求解即可． 【详解】 解：在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：6． 45．【答案】（1）证明：∵AD⊥CE，∠ACB＝90°， ∴∠ADC＝∠ACB＝90°， ∴∠BCE＝∠CAD（同角的余角相等）， 在△ADC与△CEB中 ∴△ADC≌△CEB（AAS）； （2）2cm． 【分析】 （1）先说明∠ADC＝∠ACB＝90°，∠BCE＝∠CAD，然后根据AAS即可证明； （2）根据全等三角形的性质可得AD＝CE＝5cm，BE=CD，然后根据线段的和差即可解答． 【详解】 （1） 略 （2）解：由（1）知，△ADC≌△CEB， 则AD＝CE＝5cm，CD＝BE． ∵CD＝CE﹣DE， ∴BE＝AD﹣DE＝5﹣3＝2（cm）， 即BE的长度是2cm． 【点睛】 本题主要考查了全等三角形的判定与性质，灵活证明三角形全等的判定定理成为解答本题的关键． 46．【答案】① ② ③ ④ 【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质．根据等边三角形的性质可得，，可证明，可得到，，，故③正确；再证明，，，故② ④正确；进而得到，故①正确． 【详解】 解：∵和均是等边三角形， ∴， ∴，， ∴， ∴，，，故③正确； ∵，，， ∴， ∴，，故② ④正确； ∴， ∴，故①正确； 故答案为：① ② ③ ④ 47．【答案】（1）证明：∵AB∥CD， ∴∠B=∠C， ∵BE=CF， ∴BE-EF=CF-EF， 即BF=CE， 在△ABF和△DCE中， ∴△ABF≌△DCE（SAS）； （2）证明：∵△ABF≌△DCE， ∴∠AFB=∠DEC， ∴∠AFE=∠DEF， ∴AF∥DE． 【分析】 （1）先由平行线的性质得∠B=∠C，从而利用SAS判定△ABF≌△DCE； （2）根据全等三角形的性质得∠AFB=∠DEC，由等角的补角相等可得∠AFE=∠DEF，再由平行线的判定可得结论． 【详解】 （1）略 （2）略 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定与性质，属于全等基础知识的考查，难度不大，注意证明过程的规范性． 48．【答案】∠B=∠E （答案不唯一） 【分析】∠B=∠E，根据SAS推出两三角形全等即可，答案不唯一，是一道开放型的题目． 【详解】解：∠B=∠E， 故答案为∠B=∠E. 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线性质的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS． 49．【答案】（1） 证明：∵，，    ∴， 故．     （2） 证明：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴．      【分析】 （1）根据，，利用三角形内角和定理计算证明即可． （2）根据，得到即再证明即可． 本题考查了三角形内角和定理，对顶角性质，三角形全等的判定，熟练掌握判定是解题的关键． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 50．【答案】证明：连接， ∵， ∴， 在和中 ， ∴， ∴． ∴． 【分析】 连接，利用定理得出即可得出答案． 【详解】 略 【点睛】 此题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质． 51．【答案】证明： 在与中， 【分析】 要证明AC∥DF，只要证明∠ACB=∠DFE即可，要证明∠ACB=∠DFE，只要证明△ABC≌△DEF即可，根据题目中的条件可以证明△ABC≌△DEF，本题得以解决． 【详解】 略 【点睛】 此题考查全等三角形的判定与性质，掌握判定法则是解题关键 52．【答案】证明：是的平分线， ， ，， ， ， ， ， ， ， ． 【分析】 本题考查角平分线的定义，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据角平分线的定义得到，证明，推出，证明，即可推出． 【详解】 略 53．【答案】（1） 证明：， ∴， 在和中， ， ∴；     （2）40      【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形中线的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据两直线平行，内错角相等可得，再利用“边角边”证明即可； （2）根据全等三角形面积相等，结合三角形中线的性质即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∵点是的中点， ∴． 54．【答案】（1）与之间满足的数量关系是：，理由如下： 如图1所示： 在中，， ∵于点于点， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 即； （2）6；（3）63 【分析】 本题考查三角形全等的判定与性质：构造全等三角形是解题的关键． （1）证出，由此可得，故可得； （2）证出，可得，再结合几何关系即可求出； （3）过点作直线于点，过点作直线于点，同（1）证出，可得，，，， 进而可得出，，再证出即可．由全等三角形的性质得出，进一步得出，最后根据三角形面积公式求解即可． 【详解】 解：（1）略 （2）如图2所示： 在中，， ， 于点于点E， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ∴， 故答案为：6； （3）过点作直线于点，过点作直线于点，如图3所示： 同（1）证明：， ，，，， ，， ∵，， ∴，， ∵于点P，于点， 在和中， ， ， ， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴的面积为． 55．【答案】证明：在和中， ， ， ， ， ． 【分析】 先由题意可证，可得，再根据等式的性质即可得出结论． 【详解】 略 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练运用全等三角形的判定是本题的关键． 56．【答案】（1） 甲同学的方案可行． 理由：由题意得， 在与中， ， ∴， ∴， 故甲同学的方案可行．     （2）      【分析】 本题主要考查了全等三角形的应用， （1）甲同学作出的是全等三角形，然后根据全等三角形对应边相等测量的，所以是可行的； （2）甲根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论； 熟练掌握全等三角形的判定定理是解决问题的关键． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ； 理由： ∵， 在与中， ， ∴， ∴． 故答案为：． 57．【答案】10 【分析】 本题考查直角三角形全等的“”判定定理、全等三角形的性质．解题关键：准确识别两个直角三角形的斜边和直角边，证明全等． 首先观察到和都是直角三角形，且和为直角．已知，还有公共边，根据“”定理可判定．因为全等三角形的对应边相等，与是对应边，已知，所以． 【详解】 在和中， ． 又， ． 故答案为：10． 58．【答案】（1）①； ② 由① 知， ，， 故线段，，之间的数量关系为；     （2）      【分析】 本题主要考查三角形全等的判定和性质．熟练掌握三角形全等的判定定理是解题关键． （1）① 利用垂直证明即可； ② 根据① 中全等三角形的性质得到等边再进行等量代换； （2）证明，得到等边进行等量代换． (1) 小问详解： 解：①，，， ， ，， ， 在和中， ， ； ② 略 (2) 小问详解： ，， ， 又， ， ， ， 在和中， ， ，， , 故线段，，之间的数量关系为． 59．【答案】（1） 证明：是的中线 ， 在和中， ， ；     （2） 证明：延长至，使， 连接， 是的中线， ， ∵ ，， ， ，， ， ， ， ， 即，且，， ， ， ， ．      【分析】 本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质，三角形中线的定义． （1）由证明三角形全等可得出答案； （2）延长至M，使，先证明，进而得出，，即可得出，再证明，即可得出答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 60．【答案】（1） 证明：， . 在和中， ， ；     （2）      【分析】 （）利用Z证明即可求证； （）利用全等三角形的性质和三角形内角和定理即可求解； 本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：， ，， ． 61．【答案】证明：， ，即， 在和中， ， ， ． 【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质，根据线段和差关系，得出，再通过证明，即可作答． 【详解】 略 62．【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵点是的中点， ∴， 在和中， ， ∴；     （2）3      【分析】 本题主要考查了平行线的性质，全等三角形的判定和性质，熟记全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）由平行线的性质可得，由中点定义可得，再利用即可证得结论； （2）利用全等三角形的性质可得，再由即可求得答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由（1）得：， ∴， ∵，， ∴． 63．【答案】（1）； （2）； （3）证明：延长到M，使，连接， 是的中线， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ． 【分析】 本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定等知识点，解题的关键是倍长中线构造全等三角形． （1）根据中线的性质可得，再根据证明全等即可得解； （2）根据三边关系即可得解； （3）先证明，可得，再根据等腰三角形的性质和判定即可得证． 【详解】 （1）解：是边上的中线， ， ，， ， 故选：． （2）解： ， ， 在中，， ， ， 故选：． （3）略 64．【答案】证明：∵，是的两条高， ∴， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质，等角的余角相等，三角形的高，由，是的两条高，则，通过等角的余角相等得，然后证明，最后由全等三角形的性质即可求证，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】 略 65．【答案】或（写出一个即可） 【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定，根据全等三角形的判定方法进行求解即可，灵活运用全等三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】 解：添加， 在和中， ， ∴， 添加， 在和中， ， ∴， 故答案为：或（写出一个即可）． 66．【答案】（1），； 在和中， ， ∴， ∴， 即线段的长度即为线段的长度，即点A的高度．     （2） 解：同意小明的观点，理由如下： ∵， ∴，，， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴．      【分析】 本题考查的是全等三角形的判定与性质的应用，理解题意并熟知全等三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）先由证明，即可得到结论； （2）由全等三角形的性质得到，，，再证明，即可证明． (1) 小问详解： 解：① 将一根长度大于点A到水平地面的高度的直杆靠在墙上，使其顶端与点A重合，记下此时直杆与地面的夹角； ② 使直杆的顶端竖直缓慢下滑，直到；（标记此时直杆的顶端点为C，底端点为D） ③ 测量线段的长度，即为点A到水平地面的高度． (2) 小问详解： 略 67．【答案】（1） 证明：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴．     （2） 解：，证明如下： ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴．      【分析】 本题考查了全等三角形的性质与判定，正确找出图中的全等三角形是解题的关键． （1）利用证明，推出，，再利用线段的和差以及等量代换即可证明； （2）利用证明，推出，，再利用线段的和差以及等量代换即可得出结论． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 68．【答案】（1） ， 在和中， ， ．     （2）4．      【分析】 本题考查全等三角形的判定和性质，线段的和差，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． （1）利用证明即可； （2）利用线段的和差求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：，， ， ， ． 69．【答案】证明：∵∠1=∠2 即, 在和中， 【分析】 由 可得根据全等三角形的判定和性质即可证明结论． 【详解】 略 70．【答案】40米 【分析】 根据题意所述画出示意图，根据AAS可得出△ABC≌△DEC，即可求出DE的长度，也就得出了AB的长度． 【详解】 解：根据题意画出图形如图： 在与中， ， ， 小刚一共走了140步，AD=60步， DE=140-60=80(步)， 又一步大约50厘米， DE=80×50=4000(厘米)=40(米)， 故估计小刚在点A处时他与电线塔的距离为40米． 【点睛】 本题考查了全等三角形的应用，像此类应用类的题目，一定要仔细审题，根据题意建立数学模型． 71．【答案】（1）证明：∵AD⊥BC，CE⊥AB， ∴∠ADB=∠CDF=∠CEB=90°， ∴∠BAD+∠B=∠FCD+∠B=90°， ∴∠BAD=∠ECD， 在△ABD和CFD中， ， ∴△ABD≌△CFD（AAS）， （2）3． 【分析】 （1）利用ASA，可证△ABD≌△CFD； （2）由△ABD≌△CFD，得BD=DF，所以BD=BC﹣CD=2，所以AF=AD﹣DF=5﹣2． 【详解】 （1） 略 （2）∵△ABD≌△CFD， ∴BD=DF， ∵BC=7，AD=DC=5， ∴BD=BC﹣CD=2， ∴AF=AD﹣DF=5﹣2=3． 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键点证明两个三角形全等. 72．【答案】（1） 证明：∵为的平分线， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴；     （2） 证明：∵， ∴． ∵平分， ∴， ∴． ∵， ∴在和中， ∴， ∴， 在和中， ∴． ∴．      【分析】 本题主要考查了全等三角形的性质和判定，等角对等边，同（等）角的余角相等，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）根据角平分线的定义得，再根据等角的余角相等得出，进而得出，然后根据“等角对等边”得出答案； （2）先根据“角边角”证明，再根据“边角边”证明，可得答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 73．【答案】证明：∵AC∥DF， ∴∠ACB=∠F， 在△ABC和△DEF中， ∴△ABC≌△DEF（AAS）； ∴BC=EF， ∴BC﹣CE=EF﹣CE， 即BE=CF． 【分析】 欲证BE=CF，则证明两三角形全等，已经有两个条件，只要再有一个条件就可以了，而AC∥DF可以得出∠ACB=∠F，条件找到，全等可证．根据全等三角形对应边相等可得BC=EF，都减去一段EC即可得证． 【详解】 略 【点睛】 本题主要考查全等三角形的判定与性质． 74．【答案】或或（只填一个即可） 【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定定理，根据全等三角形的判定定理逐一分析即可，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键． 【详解】 解：添加， 在和中， ， ∴， 添加， 在和中， ， ∴， 添加， 在和中， ， ∴， 故答案为：或或（只填一个即可）． 75．【答案】见解析 【分析】 本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．证明，即可得出结论． 【详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． 76．【答案】见详解 【分析】 本题主要考查了全等三角形的性质和判定，过点作，证明，得出，，证明，得出，即可证明． 【详解】 解：过点作， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵E是中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 77．【答案】（1） 证明：∵，是的平分线，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴；     （2）的长为3      【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质及角的平分线的性质，掌握全等三角形的判定与性质及角的平分线的性质是解题的关键． （1）由是的平分线，利用角的平分线的性质定理得到，再由得到，利用全等三角形对应边相等即可得证； （2）利用得到，利用全等三角形对应边相等得到，由，及（1）中等量代换即可求的长． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵是的平分线， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 故的长为3． 78．【答案】证明：∵和相交于点O， ∴， 在和中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即； 在和中    ； ∴． 【分析】 本题考查全等三角形的判定，三角形的内角和定理，根据对顶角相等，结合三角形的内角和定理推出，利用即可得证． 【详解】 略 79．【答案】 【分析】 本题考查了全等三角形的判定和性质以及三角形的三边关系．延长至E，使，连接．利用全等三角形的性质把要求的线段和已知的线段构造到了一个三角形中，从而根据三角形的三边关系进行求解． 【详解】 解：延长至E，使，连接． 在与中， ， ∴． ∴． 根据三角形的三边关系，得：， 即． 故答案为：． 80．【答案】（1）     （2） 解：，，理由如下： 由（1）得， ．      【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的外角和定理，掌握全等三角形的判定是解题的关键． （1）由，得，进而证明，得进行求解即可； （2）由全等三角形的性质得，因为，所以，得出． (1) 小问详解： 解： 在和中 ， ，且 的度数是． 答：的度数是． (2) 小问详解： 略 81．【答案】.5 【分析】 本题主要考查了全等三角形的性质和判定的应用，作出合理的辅助线构建全等三角形是解题的关键． 过点F作延长线交于点G，利用证明，得到和，进一步利用证明，得到和，结合设，，已知得到和，即可求得． 【详解】 证明：过点F作延长线交于点G，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∵，， 设，， ，， ∴． 故答案为：． 82．【答案】（1） 解：与全等，理由如下： 当时，， 则， ∴， 又∵， 在和中， ， ∴；     （2） 解：， 证明：∵， ∴， ∴， ∴， 即线段与线段垂直；     （3）存在，，或，      【分析】 本题属于三角形专题，考查的是全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、注意分类讨论思想的灵活运用是解题的关键． （1）利用定理证明； （2）根据全等三角形的性质判断线段和线段的位置关系； （3）分，两种情况，根据全等三角形的性质列式计算． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：分以下两种情况讨论： ① 若， 则，， ∴， 解得，， 则， ∴； ② 若， 则，， 则， 解得，， 则， 故当，或，时，与全等． 考点03 角的平分线 1．C 2．D 3．B 4．C 5．B 6．D 7．A 8．A 9．B 10．D 11．A 12．B 13．C 14．C 15．B 16．D 17．B 18．【答案】证明：Rt△APF≌Rt△APE，便可得PE=PF. 解：连接AP， ∵PE⊥AB，PF⊥AC，∴∠AEP=∠AFP=90°， ∵在Rt△AEP和Rt△AFP中，AP=AP，AE=AF， ∴Rt△AEP≌Rt△AFP（HL）， ∴PE=PF． 【详解】 略． 19．【答案】3 【分析】 根据角平分线的性质，即角平分线上任意一点到角两边的距离相等计算即可； 【详解】 ∵在中，∠B=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AC， ∴， ∵， ∴； 故答案是3． 【点睛】 本题主要考查了角平分线的性质应用，准确计算是解题的关键． 20．【答案】4 【分析】 作于H，根据，求出，再由角平分线的性质即可解答． 【详解】 解：作于H，如图所示：    ∵， ∴， ∵是的角平分线，，， ∴， ∴点D到的距离为， 故答案为：4． 【点睛】 本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相是解题的关键． 21．【答案】证明： D是的中点， ， ，， ， 在和中， ， ， ， 又，， 平分． 【分析】 本题考查全等三角形的判定与性质，角平分线的判定等，证明，由全等三角形的性质可得，然后根据“在角的内部到一个角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上”，即可证明结论． 【详解】 略 22．【答案】3 【分析】 本题主要考查了角平分线的性质定理，熟练掌握角平分线的性质定理是解题关键．先根据角平分线的性质定理可得，再根据求解即可得． 【详解】 解：∵是中的角平分线，，，且， ∴， ∵，， ∴，即， ∴， 故答案为：3． 23．【答案】 【分析】 本题考查了角平分线的性质，作，根据角平分线的性质和三角形面积公式即可求解．解题的关键是理解角平分线上的点到两条边的垂线段相等． 【详解】 解：作于点E，如图， ∵，平分，， ∴， ∴． 24．【答案】 【分析】 本题考查角平分线的性质，作，垂足分别为，根据角平分线的性质，得到，利用三角形的面积公式求出的长，进而求出的面积，即可得出结果． 【详解】 解：作，垂足分别为， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 25．【答案】证明：∵，， ∴和都是直角三角形， 在和中， ， ∴， ∴， ∴平分． 【分析】 利用证明，得出，根据角平分线的判定定理即可得出结论． 【详解】 略． 26．【答案】（1） 如图所示：      （2）如图所示： ．     （3）或      【分析】 本题考查了作一个角等于已知角，角平分线的定义，角的和差，从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线；分射线在的内部和外部两个情况求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：由作图可知，， 当射线在的内部时，如图： ， ∵，， ∴， ∵为的平分线， ∴； 如图，当射线在的外部时， ， ∵，， ∴， ∵为的平分线， ∴． 故答案为：或． 27．【答案】15 【分析】 本题主要考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键． 过点D作交于点E，根据角平分线的性质得出，即可求解． 【详解】 解：过点D作交于点E，如图所示， ∵，，， ∴， ∴， 故答案为：15． 28．【答案】（1） 证明∶∵ ∴ 在和中， ∴； ∴；     （2）      【分析】 （1）证明，即可得证； （2）利用时，与全等，分点在线段上和点在线段上，两种情况进行讨论求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 若与全等，且， ∴， ∵， ∴， ① 当时，点在线段上，点在线段上， ∴ ∴， ∴（不合题意，舍去）； ② 当时，点在线段上，点在线段上， ， ∴， ∴， 综上所述，当 时，与全等． 【点睛】 本题考查角平分线的性质，全等三角形的判定和性质．熟练掌握三角形的判定方法，证明三角形全等，以及全等三角形的对应边相等是解题的关键． 29．【答案】4 【分析】 本题考查了角平分线的性质定理，利用角平分线的性质得出是解决本题的关键．利用角平分线的性质可得，再根据求解即可． 【详解】 解：∵平分，，， ∴， ∵，，，， ∴， ∴， ∴． 30．【答案】解：和即为所求． 【分析】 本题考查的是三角形的角平分线，高的尺规作图，掌握作线段的垂线，角平分线的作图是解题的关键．根据高、角平分线的作图步骤画图即可． 【详解】 略 31．【答案】（1） 证明：连接，作于点， ∵是角平分线，与相交于点F，，， ∴， ∴， ∴F在的角平分线上；      （2） ∵， ∴， ∵是角平分线， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， 由（1）知：， ∴， ∴．      【分析】 本题考查角平分线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）作于点，根据角平分线的性质，推出，即可得证； （2）证明，即可得证． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 32．【答案】50 【分析】 作PE⊥BC于E，PF⊥AC于F，如图，根据角平分线的性质得到PE＝PF＝PD＝5，然后根据三角形面积公式和S△ABC＝S△PAB+S△PBC+S△PAC得到S△ABC＝（AB+BC+AC），再把△ABC的周长为20代入计算即可． 【详解】 作PE⊥BC于E，PF⊥AC于F，如图所示， ∵点P是△ABC三条角平分线的交点， ∴PE＝PF＝PD＝5， ∴S△ABC＝S△PAB+S△PBC+S△PAC ＝PD•AB+PE•BC+PF•AC ＝（AB+BC+AC） ＝×20 ＝50， 故答案为：50． 【详解】【点晴】 考查了角平分线的性质，解题关键是运用了：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 33．【答案】（1） 证明：于点， ， 又平分，， ， 在和中 ， ， ；     （2）4      【分析】 本题考查了直角三角形全等的判定与性质，角平分线的性质定理，在图形中找到正确的全等三角形以及熟悉以上性质与判定是关键． （1）利用角平分线的性质可得，再利用证明，即可证明； （2）利用证明，可得，设，则，，即可建立方程求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：在和中， ， ， ， 由（1）可知， 设， ，， ，， ， 解得：， 即． 34．【答案】 【分析】 本题考查了角平分线的性质，中线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．过点作于，过点作于，利用角平分线的性质可得，然后利用三角形的面积公式可得 ， 从而可得，求得的面积，最后利用三角形的中线定义可得，进行计算即可解答． 【详解】 解：如图所示，过点作于，过点作于， 是的角平分线， ， ，， ， 的面积是， ， 是边上的中线， ． 故答案为： ． 35．【答案】（1） 证明：∵平分，，, ∴； ∴， ∴， ∴； ∴， ∴；     （2）      【分析】 本题考查了直角三角形全等的判定与性质，角平分线的性质定理，掌握这两个知识点是解题的关键． （1）由角平分线的性质定理得，再由可证明，从而有；由即可求证结论成立； （2）证明，则；由得，则，由此即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 36．【答案】证明：， ， ，， ， 在与中， ， ， ， 又，， 平分． 【分析】 本题考查了等边对等角，全等三角形的性质与判定，角平分线的判定，先证明，进而可得，根据角平分线的判定定理，即可得证． 【详解】 略 37．【答案】8 【分析】 本题考查角平分线的性质，连接，作，根据角平分线的性质，得到，利用分割法求出三角形的面积即可． 【详解】 解：连接，作，垂足分别为， ∵为的两条角平分线， ∴， ∴ ∵的周长为，， ∴； 故答案为：8． 38．【答案】（1）(0,2)     （2） 证明：如下图，过点作于点，作于点， ∵， ∴，且， ∵，， ∴， ∴平分；     （3）      【分析】 （1）根据判定三角形全等的“”易得到，再结合点的坐标来求解； （2）过点作于点，作于点，利用全等三角形的性质和角平分线的判定求解； （3）在上截取，连接，得到，根据全等三角形的性质和等腰直角三角形的性质来求解. (1) 小问详解： 解：∵，， ∴. 又∵， ∴. ∵，. ∴. 在和中 ， ∴， ∴， 又∵点的坐标为， ∴， ∴点的坐标为． (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：如下图，在上截取，连接， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴. 【点睛】 本题主要考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的判定和性质，等腰直角三角形的性质，理解相关知识是解答关键. 考点04 定义、命题、定理 1．D 2．C 3．D 4．B 5．【答案】如果两个数是正数，那么它们的和为正数 【分析】 找到命题的题设和结论，求解即可． 【详解】 解：该命题的题设是“两个数是正数”，结论为“它们的和为正数”． 则命题可以写成如果两个数是正数，那么它们的和为正数， 故答案为：如果两个数是正数，那么它们的和为正数 【点睛】 此题考查了命题的题设和结论，解题的关键是掌握相关基础知识． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 全等三角形 4大高频考点概览 考点01 全等三角形及其性质 考点02 三角形全等的判定 考点03 角的平分线 考点04 定义、命题、定理 考点01 全等三角形及其性质 1．（25-26学年八上·甘肃定西·期中）如图，已知，若，，则的长度为（   ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【分析】 本题考查了全等三角形的性质，线段和差的计算，掌握全等三角形的性质是解题的关键．根据全等三角形的性质得出，，根据，即可求解． 【详解】 解：∵，，， ∴，， ∴， 故选：C 2．（25-26学年八上·甘肃庆阳·期中）已知图中的两个三角形全等，则的度数是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了全等三角形的性质，根据全等三角形对应角相等即可求出结果． 【详解】 解：∵两个三角形全等，同时在第一个三角形中，为，两边的夹角，在第二个三角形中，为边的对角， ∴． 故选：A． 3．（25-26学年八上·甘肃武威凉州区·期中）如图，，则∠C的度数是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查三角形全等的性质，解决此题的关键是正确的计算；根据全等得到，进而即可得到答案； 【详解】 解：∵，， ∴， ∴， 故答案为：B． 4．（25-26学年八上·甘肃天水甘谷县·期中）已知：，，边上的高，则的面积为（     ） A. 20 B. 10 C. 5 D. 4 【答案】B 【分析】 本题主要考查了全等三角形的对应边相等， 利用全等三角形的性质得到对应边相等，再根据三角形面积公式直接计算． 【详解】 解：， ， 又∵是边上的高，且， ∴． 故选：B． 5．（25-26学年八上·甘肃陇南武都区·期中）如图，已知点A，B，D在同一条直线上，，若，则（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查全等三角形的性质，三角形内角和定理．先根据三角形全等的性质得出，，根据三角形内角和定理求出，再求出，最后求出结果即可． 【详解】 解：∵， ∴，， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 6．（25-26学年八上·甘肃武威凉州区凉州区谢河中学·期中）若，且的周长为20，，，则的长为（     ） A. 5 B. 6 C. 9 D. 6或9 【答案】B 【分析】 本题主要考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键．先求出的长，再根据全等三角形的性质，对应边相等，得出的长即可． 【详解】 解：的周长为20，，， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 7．（25-26学年八上·甘肃陇南）如图，已知，，，则的度数为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 此题考查了全等三角形的性质，三角形外角的性质，解题的关键是掌握以上知识点． 首先根据全等三角形的性质得到，然后根据三角形外角的性质求解即可． 【详解】 解：∵，， ∴， ∴． 故选：B． 8．（25-26学年八上·甘肃定西临洮县·期中）如图，，点A，B，C，D在同一直线上，，，则的长为（       ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【分析】 本题考查线段的和差，全等三角形的性质． 由，可得，进而有全等三角形的性质得到，即可解答． 【详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴． 故选：C 9．（25-26学年八上·甘肃吴家井中学·期中）已知图中的两个三角形全等，则度数是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了全等三角形的性质．根据全等三角形对应角相等即可求出结果． 【详解】 解：∵两个三角形全等，在第一个三角形中，为，两边的夹角度数， 在第二个三角形中，为，两边的夹角， ∴． 故选：A． 10．（25-26学年八上·甘肃武威凉州区凉州区柏树中学·期中）如图，，点B，F，C，E共线，和交于点G．若，，则的度数为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理及外角性质，掌握全等三角形的性质是解题的关键． 由全等三角形的性质可得，，即可得，再根据三角形外角性质即可求解， 【详解】 解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故选：． 11．（25-26学年八上·甘肃天水甘谷县·期中）全等三角形的对应边　　　　　　，对应角　　　　　　． 【答案】① 相等    ② 相等 【分析】 本题考查的是全等三角形的性质，掌握对应边、对应角的概念是解题的关键． 根据全等三角形的性质即可得到结论． 【详解】 解：全等三角形的对应边相等，对应角相等． 故答案为：① 相等；② 相等． 12．（25-26学年八上·甘肃武威凉州区凉州区谢河中学·期中）如图，已知（与，与分别对应），，则的值为　　　　　　　　　　　． 【答案】5 【分析】 本题考查全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形的对应边相等．由全等三角形的对应边相等，即可得到答案． 【详解】 解：，， ， 故答案为：5． 13．（25-26学年八上·甘肃定西通渭县·期中）如图所示的两个三角形全等，则x的值为　　　　　　． 【答案】30 【分析】 本题主要考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理，根据全等三角形对应角相等可得边长为3的边所对的角相等，据此根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】 解：∵图中两个三角形全等， ∴边长为3的边所对的角相等， ∴， 故答案为：． 14．（25-26学年八上·甘肃平凉庄浪县·期中）如图，，点B，F，C，E在同一条直线上，若，，求的长． 【答案】的长为． 【分析】 本题考查了全等三角形的性质．由全等三角形的性质求得，据此求解即可． 【详解】 解：， ． ，， ． ． 点、、、在同一条直线上， ． 15．（25-26学年八上·甘肃武威凉州区凉州区柏树中学·期中）如图，，若，，则的度数为　　　　　　　　　　． 【答案】/ 度 【分析】 本题考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握相关基础知识． 根据得到，在中，根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】 解：∵，， ∴， 在中，由三角形内角和定理可得，， ∴， 故答案为： 16．（25-26学年八上·甘肃庆阳·期中）如图，，，，则的长度为　　　　　　． 【答案】厘米 【分析】 本题考查全等三角形的性质，线段的和差定义等知识，由，可得，根据计算即可． 【详解】 解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 17．（25-26学年八上·甘肃定西安定区·期中）如图，点在上，，若，，求． 【答案】 【分析】 本题考查了全等三角形的性质，根据全等三角形的性质可得，，进而根据，即可求解． 【详解】 解：∵，，， ∴，， ∴． 18．（25-26学年八上·甘肃武威凉州区·期中）如图，，，，则　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查的是全等三角形的性质，熟记全等三角形的对应边相等是解题的关键． 根据全等三角形的对应边相等可得，再根据线段的和差关系求得的长即可． 【详解】 解：， ． 又， ． 故答案为：． 19．（25-26学年八上·甘肃陇南）如图，已知，，，则的长是　　　　　　　　　　　　． 【答案】6 【分析】 根据全等的性质可得，，观察图形得． 【详解】 解：，，， ，， ． 故答案为：6． 【点睛】 本题考查了全等三角形的性质，熟练应用全等三角形的对应边相等是解题的关键． 20．（25-26学年八上·甘肃吴家井中学·期中）如图，，若，，则　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了全等三角形的性质． 根据全等三角形的性质得到，进而可知． 【详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 21．（25-26学年八上·甘肃吴家井中学·期中）如图，已知，且点D在边上． （1）求证∶； （2）若，求 的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∴；     （2）10      【分析】 本题主要考查了全等三角形的性质，平行线的判定： （1）根据全等三角形的性质可得，即可求证； （2）根据全等三角形的性质可得，即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴， 即的长为10． 22．（25-26学年八上·甘肃陇南武都区·期中）如图，在中，，，点为的中点，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．若能够在某一时刻使与全等，则点的运动速度为　　　　　　　　． 【答案】或 【分析】 本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的性质．设点，的运动时间为，则，， 分或两种情况解答即可求解，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】 解：，，点为的中点， ，， 设点，的运动时间为，则， ， 若与全等，则有或， 当时，， ， ， 点的运动速度为； 当时， ， ， 点的运动速度为； 综上，点的运动速度为或， 故答案为：或． 考点02 三角形全等的判定 1．（25-26学年八上·甘肃武威凉州区凉州区柏树中学·期中）如图，已知，下列条件中，能用证明的是（       ） A.  B.  C.  D. 以上都不对 【答案】A 【分析】 本题考查三角形全等的判定．根据三角形全等的判定条件即可解答． 【详解】 解：在中， ， 要能用证明它们全等，则缺， 故选：A． 2．（25-26学年八上·甘肃张掖二中教·期中）下列不能判断两个三角形全等的是（　　） A. 三角对应相等 B. 三条边对应相等 C. 两个角和对应边对应相等 D. 两条边及夹角对应相等 【答案】A 【分析】 此题考查了全等三角形的判定，根据三角形全等的判定定理，三角对应相等不能证明全等；其他选项均符合全等判定定理． 【详解】 ∵三角对应相等，两个三角形相似但不一定全等，故A不能判断全等； ∵三条边对应相等（），能判断全等，故B能； ∵两个角和对应边对应相等（或），能判断全等，故C能； ∵两条边及夹角对应相等（），能判断全等，故D能； 故选：A． 3．（25-26学年八上·甘肃定西·期中）如图，一名工作人员不慎将一块三角形模具打碎成三块，他要带其中一块或两块碎片到商店去配一块与原来一样的三角形模具，他带（       ）去最省事． A. ① B. ② C. ③ D. ①③ 【答案】C 【分析】 根据全等三角形的判定方法“角边角”可以判定应当带③ 去． 【详解】 解：由图形可知，③有完整的两角与夹边，根据“角边角”可以作出与原三角形全等的三角形， 所以，最省事的做法是带③去． 故选：C． 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定方法，正确理解“角边角”的内容是解题的关键． 4．（25-26学年八上·甘肃临夏州·期中）如图，要测量池塘两岸相对的两点A、B的距离，可以在池塘外取的垂线上的两点C、D，使得，再画出的垂线，使点E与点A、C在一条直线上，这时测得线段的长就是线段的长，其原理运用到三角形全等的判定是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质，根据题意得出，又因为，证明，故，即可作答． 【详解】 解：依题意，， 即， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 5．（25-26学年八上·甘肃平凉庄浪县·期中）如图，D在上，E在上，且．补充下列一个条件后，仍无法判定的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据全等三角形的判定方法，逐一进行判断即可． 【详解】 解：∵，， ∴要使全等，只需要一组对应边对应相等即可， ∴当或或时，， 当时，三组对应角相等，不能判定， 故选B． 【点睛】 本题考查添加条件证明三角形全等．熟练掌握全等三角形的判定方法，是解题的关键．注意不能判定三角形全等． 6．（25-26学年八上·甘肃庆阳·期中）如图，网格中有4个大小相同的小正方形，则的度数为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 此题主要考查了全等三角形判定和性质，关键是掌握全等三角形的判定和性质． 首先证明，根据全等三角形的性质可得，根据直角三角形两锐角互余可得，再根据等量代换可得与的和为． 【详解】 解：∵在和中， ∵ ， ∴ ∴， ∵， ∴， 故选：B． 7．（25-26学年八上·甘肃定西安定区·期中）如图，，，，根据这些条件得到，其依据是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定定理是解题关键．根据题意可利用“”证明全等，即可作答． 【详解】 解：， ，即， 又，， ， 故选：B． 8．（25-26学年八上·甘肃陇南）小红用如图所示的方法测量小河的宽度．她利用适当的工具，使，，，点在同一直线上，就能保证，从而可通过测量的长度得知小河的宽度．在这个问题中，可作为证明的依据的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 此题主要考查了全等三角形的判定，正确掌握全等三角形的判定方法是解题关键． 直接利用全等三角形的判定方法得出符合题意的答案． 【详解】 解：∵， ， 在和中， ， ， 则证明的依据的是， 故选：C． 9．（25-26学年八上·甘肃兰州·期中）如图，在中，．若点的坐标为，点的坐标为，，则点的坐标是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 通过作辅助线构造全等三角形，利用全等三角形的对应边相等来确定点的坐标． 【详解】 解：过点作轴于点，过点作轴于点． ∵， ∴． 又∵， ∴． 在和中， ∴． ∵的坐标为，点的坐标为，， ∴，． ∴，． ∴． ∴点的坐标为． 故选：B． 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定与性质以及坐标与图形的性质，解题关键是通过作辅助线构造全等三角形，利用全等三角形的对应边相等求出点的坐标． 10．（25-26学年八上·甘肃庆阳·期中）如图，小明书上的三角形被墨迹污染了一部分，他根据全等三角形的知识很快就画出了一个书上完全一样的三角形，小明画图的依据是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据图形可知两角及夹边分别相等即可判断． 【详解】 解：小明画图的依据是两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等，即． 11．（八上·甘肃天水逸夫实验中学·期中）如图，是用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，则说明的依据是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据作图方法可得，据此利用可证明，可知． 【详解】 解：由作图方法可得， ∴， ∴， 即． 12．（25-26学年八上·甘肃陇南武都区·期中）如图，在中，，和的平分线、相交于点O，交于点D，交于点E，若已知周长为20，，，则长为（     ） A.  B.  C.  D. 4 【答案】B 【分析】 本题考查了全等三角形的性质与判定、角平分线的定义、三角形外角的性质，添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键． 在上截取点使得，连接，根据角平分线的定义得到，，进而得到，先证明，得到，再证明，推出，再利用三角形的周长公式求出的长，即可得出答案． 【详解】 解：如图，在上截取点使得，连接， ∵， ∴， ∵和的平分线、相交于点O， ∴，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴设，， ∵周长为20，， ∴， 即， 解得， ∴， 故选：B． 13．（25-26学年八上·甘肃陇南武都区·期中）如图，点在同一条直线上，，，若要证明，则可添加的条件是（     ）． A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了全等三角形的判定，根据全等三角形的判定方法逐项判断即可求解，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】 解：∵， ∴， 即， ∵， 、当添加时，只有两个条件对应相等，不能证明，该选项不合题意； 、当添加时，对应条件为，不能证明，该选项不合题意； 、当添加时，得到，符合判定方法，能证明，该选项符合题意； 、当添加时，得到，只有两个条件对应相等，不能证明，该选项不合题意； 故选：． 14．（25-26学年八上·甘肃武威·期中）如图，一块三角形玻璃碎成了4块，现在要到玻璃店去配一块与原来的三角形玻璃完全一样的玻璃，那么最省事的办法是带哪块玻璃碎片去玻璃店？(　　) A. ① B. ② C. ③ D. ④ 【答案】D 【详解】 ∵根据两角和一边可以确定唯一的一个三角形， ∴最省事的办法是带④ 去玻璃店， 故选：D． 15．（25-26学年八上·甘肃临夏州·期中）如图，在中，，，点D在边上，，点E，F在线段上，，，若的面积为18，则与的面积之和为（     ） A. 6 B. 9 C. 12 D. 16 【答案】A 【分析】 本题考查了三角形外角的定义及性质、三角形全等的判定与性质、三角形面积计算等知识点，熟练掌握以上知识点，是解此题的关键． 证明得到，推出，计算出即可得到答案． 【详解】 解：∵，，，， 在和中， ， ， ， ， ∵的面积为18，， ， ， 故选：A． 16．（25-26学年八上·甘肃金昌永昌县·期中）如图，，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定定理，根据全等三角形的判定方法，逐项判断即可求解． 【详解】 解：根据题意得：，， A．若添加，满足边角边，能判定，故该选项不符合题意； B．若添加，满足斜边直角边对应相等，能判定，故该选项不符合题意； C．若添加，满足边边角，不能判定，故该选项符合题意； D．若添加，满足边边边，能判定，故该选项不符合题意； 故选：C． 17．（25-26学年八上·甘肃张掖二中教·期中）如图，四点在一条直线上，，，再添一个条件仍不能证明的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了全等三角形的判定，由可得，再根据全等三角形的判定方法逐项判断即可求解，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】 解：∵， ∴， 即， 、添加与原条件满足，不能证明，该选项符合题意； 、添加可得，由可证明，该选项不合题意； 、添加，由可证明，该选项不合题意； 、添加可得，由可证明，该选项不合题意； 故选：． 18．（25-26学年八上·甘肃武威凉州区·期中）小明不慎将三角形模具打碎成三块（如图），他想配一块与原来完全相同的模具，下列说法正确的是（　 ） A. 带第一块即可 B. 带第三块即可 C. 两块都要带 D. 两块都不用带 【答案】B 【分析】 本题主要考查了三角形全等的唯一性，解决此题的关键是熟练掌握三角形全等的方法；第三块包含了两个确定的角及其夹边，根据三角形判定方法角边角即可得到答案； 【详解】 解：第三块的玻璃包含了原来三角形玻璃的两个角及其夹边，根据三角形的判定角边角即可知另一个三角形与其全等，根据全等三角形的唯一性，带第三块即可； 故选：B． 19．（25-26学年八上·甘肃吴家井中学·期中）如图．在长方形中，，．延长到点E，使，连接，动点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿向终点A运动．设点P的运动时间为t，当t的值为多少时，和全等．（     ） A. 2或9 B. 2或7 C. 2 D. 3或7 【答案】A 【分析】 本题考查了全等三角形的判定和性质．根据题意，分两种情况进行讨论，根据题意得出和即可求得． 【详解】 解：由题意得：，， 若，， 根据证得， ，即； 若，， 根据证得， ，即． 当t的值为2或9秒时．与全等． 故选：A． 20．（25-26学年八上·甘肃定西·期中）如图，C是线段上的一点，和都是等边三角形，交于M，交于N，交于O．则①；②；③；④；⑤是等边三角形；⑥是的平分线．其中，正确的有（     ） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 【答案】D 【分析】 本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 证明≌，可得① 正确；即可求得，可得③ 正确；再证明≌，可得② ④ 正确和，即可证明⑤ 正确；结合全等三角形的判断与性质及角平分线的判定定理即可求出⑥ 正确． 【详解】 解：∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴≌， ∴，，， 故① 正确，符合题意； ∵， ∴， 故③ 正确，符合题意； 在和中， ， ∴≌， ∴，，， 故② ④ 正确，符合题意； ∵， ∴是等边三角形， 故⑤ 正确，符合题意； 作于，于，如图所示： 则， 在和中， ， ∴≌， ∴， 又∵于，于， ∴是的平分线， 故⑥ 正确，符合题意； 正确的有6个． 故选：D． 21．（25-26学年八上·甘肃天水甘谷县·期中）如图，，，求证：． 【答案】证明：在和中， ． 【分析】 本题考查全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 根据全等三角形的判定方法，证得，根据全等三角形的性质，证得． 【详解】 略 22．（25-26学年八上·甘肃武威凉州区凉州区柏树中学·期中）如图，在和中，，，要利用证明，还需要添加的条件是　　　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查全等三角形的判定；需“两角夹边”，补充即可． 【详解】 解：∵，， ∴补充：， ∴， 故答案为：． 23．（25-26学年八上·甘肃庆阳·期中）如图，线段，交于点O，连，，，．求证：． 【答案】证明：在和中， ， ∴， ∴． 【分析】 本题考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．本题隐含，结合，，利用“”证明，即可得． 【详解】 略 24．（25-26学年八上·甘肃武威凉州区凉州区谢河中学·期中）如图，已知，，，求证：． 【答案】证明：在和中， ． 【分析】 本题主要考查了利用证明即可． 【详解】 略 25．（25-26学年八上·甘肃陇南）如图，在中，，过上的点E作，且，作．求证：． 【答案】证明：， ， ，， ， 在和中， ， ， ． 【分析】 本题主要考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质，熟知相关性质定理是正确解答此题的关键． 根据平行线的性质得，结合题目中的条件证明，即可解答． 【详解】 略 26．（25-26学年八上·甘肃定西·期中）如图，已知，E、在线段上，与交于点，且，．求证： 【答案】证明：， ，即， ， 与都为直角三角形， 在和中， ， ． 【分析】 由于与是直角三角形，根据直角三角形全等的判定的方法即可证明．此题考查了直角三角形全等的判定，解题关键是由通过等量代换得到． 【详解】 略 27．（25-26学年八上·甘肃定西·期中）如图，点B、E、C、F在同一直线上，，，，求证：． 【答案】证明：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴． 【分析】 本题考查了全等三角形的判定定理，由得出，再利用证明即可，熟练掌握全等三角形的判定定理是解此题的关键． 【详解】 略 28．（25-26学年八上·甘肃天水甘谷县·期中）如图，点E是的边的中点，过点C作，连接并延长，交于点D，若，，则的长为　　　　　　． 【答案】3 【分析】 根据平行线性质得出，求出，再根据证，得，即可得出结论． 【详解】 证明：∵， ∴， ∵点E为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：3． 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 29．（25-26学年八上·甘肃天水甘谷县·期中）已知：如图，，，垂足分别为，，，相交于点，且． （1）求证：； （2）已知，，求的长度． 【答案】（1）证明：∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴； 在和中， ， ∴；     （2）．      【分析】 本题主要考查全等三角形的判定和性质． （1）由条件可求得，利用可证明； （2）根据全等三角形的性质得，，则，然后再根据即可得出答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴． 30．（25-26学年八上·甘肃临夏州·期中）阅读并完成下面的推理过程以及括号内的理由． 如图，已知，，，，求的度数． 解：∵，（已知）， ∴_______（等式的性质），即． 在和中， ， ∴______________， ∴（________）． 【答案】，，，，，全等三角形的对应角相等． 【分析】 考查知识点：等式的性质、三角形全等的判定定理、全等三角形的性质．解题方法与技巧：利用等式的性质推导线段相等，再通过判定三角形全等，最后根据全等三角形对应角相等求解角度．解题关键：准确推导线段关系，正确应用判定定理证明三角形全等．易错点：在推导线段相等时容易出错，或对三角形全等的判定条件理解不清晰，导致无法正确证明全等． 首先根据已知的，，利用等式的性质，得出，即．然后在和中，找到（已知）、（已证）、（公共边）这三组相等的边，根据判定定理证明．最后根据全等三角形的对应角相等，得出． 【详解】 由等式的性质得， ． 在和中， ， ， （全等三角形的对应角相等）． 31．（25-26学年八上·甘肃金昌永昌县·期中）如图，点E、F在BC上，BE＝CF，AB＝DC，∠B＝∠C．求证：∠A＝∠D． 【答案】证明：∵BE＝CF， ∴BE+EF＝CF+EF，即BF＝CE． 在△ABF和△DCE中， ∴△ABF≌△DCE， ∴∠A＝∠D． 【分析】 由BE＝CF可得BF＝CE，再结合AB＝DC，∠B＝∠C可证得△ABF≌△DCE，问题得证． 【详解】 略 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定和性质，是中考中比较常见的知识点，一般难度不大，需熟练掌握全等三角形的判定和性质． 32．（25-26学年八上·甘肃平凉庄浪县·期中）如图，在中，D为上一点，E为中点，连接并延长至点F，使得，连接． （1）求证：； （2）若，连接，平分，平分，求的度数． 【答案】（1） 证明：∵E为中点， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∴；     （2）      【分析】 本题主要考查了全等三角形的性质和判定、平行线的判定、三角形内角和定理等知识点，能综合运用定理进行推理是解题的关键． （1）先证明，由全等三角形的性质可得，最后根据平行线的判定定理即可证明结论； （2）根据角平分线的定义以及可得，再根据三角形内角和定理求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 33．（25-26学年八上·甘肃武威凉州区凉州区柏树中学·期中）如图，在中，，，于点，于点，且，，在同一直线上． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵，， ∴， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴；     （2）      【分析】 本题考查了三角形全等的判定和性质，余角的性质，根据余角的性质得出是解题的关键． （1）先根据余角的性质得出，然后根据证明即可； （2）根据，得出，，再根据，即可求出的长． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由（1）知， ∴，， ∵， ∴． 34．（25-26学年八上·甘肃庆阳·期中）放风筝是中国民间的传统游戏之一，风筝又称风琴，纸鹞，鹞子，纸鸢．如图1，小华制作了一个风筝，示意图如图2所示，，，他发现不仅平分，且平分，你觉得他的发现正确吗？请说明理由． 【答案】解：他的发现正确，理由如下： 在与中， ， ∴， ∴，， ∴不仅平分，且平分． 【分析】 本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键．根据全等三角形的判定和性质直接证明即可． 【详解】 略 35．（25-26学年八上·甘肃庆阳·期中）已知：如图，，，，与全等吗？请说明理由． 【答案】，理由见解析 【分析】 本题考查了三角形全等的判定．由得出，再用“”证明即可得证．熟练掌握三角形全等的判定是解此题的关键． 【详解】 解：， 理由如下： ， ，即， 在和中， ， ． 36．（25-26学年八上·甘肃庆阳·期中）（多选）如图，AC⊥BC，AD⊥BD，垂足分别是C、D，若要用“HL”得到Rt△ABC≌Rt△BAD，则你添加的条件是　　　　　　　　　　　　　　.（写一种即可） 【答案】AC=BD或AD=BC(答案不唯一) 【详解】 ∵AC⊥BC，AD⊥BD， ∴∠C=∠D=90°，∵AB=AB， ∴当AC=BD时，可利用HL证明Rt△ABC≌Rt△BAD， 当AD=BC时，可利用HL证明Rt△ABC≌Rt△BAD， 故答案为：AC=BD或AD=BC． 37．（25-26学年八上·甘肃张掖二中教·期中）如图，，，，为垂足，，根据　　　　可以判定． 【答案】 【分析】 本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 根据，，可得，再利用判定定理证明即可． 【详解】 解：，， ， 在和中， ， ， 故答案为：． 38．（25-26学年八上·甘肃定西安定区·期中）如图，，，和交于点．求证：． 【答案】证明：在和中， ， ， ． 【分析】 本题主要考查了三角形全等的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法． 根据“”证明，即可得出答案． 【详解】 略 39．（25-26学年八上·甘肃定西安定区·期中）已知：如图，分别是的中点，相交于点．求证：． 【答案】证明：O是的中点， ． O是的中点， ． 在和中， ． 【分析】 本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 通过分别是的中点，得到，进而通过即可证明． 【详解】 略 40．（八上·甘肃天水逸夫实验中学·期中）如图，，与相交于点C，，，点P从点A出发，沿方向以的速度运动，同时点Q从点D出发，沿方向以的速度运动，当点P回到点A时，P、Q两点同时停止运动．连接，当线段经过点C时，点P的运动时间为　　　　　　s． 【答案】2或4 【分析】 本题考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是注意分情况讨论． 先证，可得；当线段经过点C时，证明，推出，分点P沿方向运动和沿方向运动两种情况，分别列式求解． 【详解】 解：∵， ∴， 在和中， ， ， ， 当线段经过点C时，如下图所示： 在和中， ， ， ， 当点P沿方向运动时，，， ， ， 解得； 当点P沿方向运动时，，， ， ， 解得 综上可知，t的值为或， 故答案为：2或4． 41．（八上·甘肃天水逸夫实验中学·期中）如图所示，，，，，，则　　　　　　　　． 【答案】7度 【分析】 本题主要考查全等三角形的判定及性质，三角形外角性质，掌握全等三角形的判定方法及性质是解题的关键． 根据，得出，即可证明，根据三角形全等的性质得，最后利用可求解． 【详解】 解：， ， ， 在和中， ， ， ， ， 故答案为：． 42．（八上·甘肃天水逸夫实验中学·期中）如图，，，．    （1）求证：； （2）若，，求的度数． 【答案】（1） 证明：， ， ， 在和中， ， ， ；     （2）      【分析】 此题重点考查全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识，推导出，进而证明是解题的关键． （1）由，得，而，，即可根据“”证明，则； （2）由全等三角形的性质得，而，则． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由（1）得， ， ， ， 的度数是． 43．（25-26学年八上·甘肃武威凉州区·期中）如图，A，B，C，D四点共线，，，．求证：． 【答案】证明：∵， ∴， 即， 在与中， ， ∴． 【分析】 本题考查了全等三角形的判定；由得，由即可证明全等． 【详解】 略 44．（25-26学年八上·甘肃定西通渭县·期中）如图，在中，，，若，则　　　　　　． 【答案】6 【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定与性质，首先根据“”证明，由全等三角形的性质可得，然后由求解即可． 【详解】 解：在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：6． 45．（25-26学年八上·甘肃定西临洮县·期中）（多选）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE于E，AD⊥CE于D． （1）求证：△ADC≌△CEB． （2）AD＝5cm，DE＝3cm，求BE的长度． 【答案】（1）证明：∵AD⊥CE，∠ACB＝90°， ∴∠ADC＝∠ACB＝90°， ∴∠BCE＝∠CAD（同角的余角相等）， 在△ADC与△CEB中 ∴△ADC≌△CEB（AAS）； （2）2cm． 【分析】 （1）先说明∠ADC＝∠ACB＝90°，∠BCE＝∠CAD，然后根据AAS即可证明； （2）根据全等三角形的性质可得AD＝CE＝5cm，BE=CD，然后根据线段的和差即可解答． 【详解】 （1） 略 （2）解：由（1）知，△ADC≌△CEB， 则AD＝CE＝5cm，CD＝BE． ∵CD＝CE﹣DE， ∴BE＝AD﹣DE＝5﹣3＝2（cm）， 即BE的长度是2cm． 【点睛】 本题主要考查了全等三角形的判定与性质，灵活证明三角形全等的判定定理成为解答本题的关键． 46．（25-26学年八上·甘肃定西临洮县·期中）如图，和均是等边三角形，A、C、B三点在一条直线上，分别与交于点M、N．现有如下结论：①；②；③；④．上述结论正确的有　　　　　　． 【答案】① ② ③ ④ 【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质．根据等边三角形的性质可得，，可证明，可得到，，，故③正确；再证明，，，故② ④正确；进而得到，故①正确． 【详解】 解：∵和均是等边三角形， ∴， ∴，， ∴， ∴，，，故③正确； ∵，，， ∴， ∴，，故② ④正确； ∴， ∴，故①正确； 故答案为：① ② ③ ④ 47．（25-26学年八上·甘肃定西·期中）（多选）如图，已知，，． 求证：（1）； （2）． 【答案】（1）证明：∵AB∥CD， ∴∠B=∠C， ∵BE=CF， ∴BE-EF=CF-EF， 即BF=CE， 在△ABF和△DCE中， ∴△ABF≌△DCE（SAS）； （2）证明：∵△ABF≌△DCE， ∴∠AFB=∠DEC， ∴∠AFE=∠DEF， ∴AF∥DE． 【分析】 （1）先由平行线的性质得∠B=∠C，从而利用SAS判定△ABF≌△DCE； （2）根据全等三角形的性质得∠AFB=∠DEC，由等角的补角相等可得∠AFE=∠DEF，再由平行线的判定可得结论． 【详解】 （1）略 （2）略 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定与性质，属于全等基础知识的考查，难度不大，注意证明过程的规范性． 48．（25-26学年八上·甘肃定西·期中）如图，已知点A、D、C、F在同一条直线上，AB=DE，BC=EF，要使△ABC≌△DEF，还需添加一个条件是　　　　　　　　　　　　　　　　　． 【答案】∠B=∠E （答案不唯一） 【分析】∠B=∠E，根据SAS推出两三角形全等即可，答案不唯一，是一道开放型的题目． 【详解】解：∠B=∠E， 故答案为∠B=∠E. 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线性质的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS． 49．（25-26学年八上·甘肃定西·期中）如图，点E在外部，点D在边上，交于点F，若，，求证： （1）； （2）． 【答案】（1） 证明：∵，，    ∴， 故．     （2） 证明：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴．      【分析】 （1）根据，，利用三角形内角和定理计算证明即可． （2）根据，得到即再证明即可． 本题考查了三角形内角和定理，对顶角性质，三角形全等的判定，熟练掌握判定是解题的关键． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 50．（25-26学年八上·甘肃天水甘谷县·期中）如图，已知，，于，求证：． 【答案】证明：连接， ∵， ∴， 在和中 ， ∴， ∴． ∴． 【分析】 连接，利用定理得出即可得出答案． 【详解】 略 【点睛】 此题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质． 51．（25-26学年八上·甘肃天水甘谷县·期中）如图，，求证：. 【答案】证明： 在与中， 【分析】 要证明AC∥DF，只要证明∠ACB=∠DFE即可，要证明∠ACB=∠DFE，只要证明△ABC≌△DEF即可，根据题目中的条件可以证明△ABC≌△DEF，本题得以解决． 【详解】 略 【点睛】 此题考查全等三角形的判定与性质，掌握判定法则是解题关键 52．（25-26学年八上·甘肃陇南武都区·期中）如图，是的平分线，是上一点，于，于，是上的另外一点，连接，．求证：． 【答案】证明：是的平分线， ， ，， ， ， ， ， ， ， ． 【分析】 本题考查角平分线的定义，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据角平分线的定义得到，证明，推出，证明，即可推出． 【详解】 略 53．（25-26学年八上·甘肃陇南武都区·期中）如图，在中，点D是上一点，，过点D作，且． （1）求证：； （2）若点D是的中点，的面积是20，求的面积， 【答案】（1） 证明：， ∴， 在和中， ， ∴；     （2）40      【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形中线的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据两直线平行，内错角相等可得，再利用“边角边”证明即可； （2）根据全等三角形面积相等，结合三角形中线的性质即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∵点是的中点， ∴． 54．（25-26学年八上·甘肃武威·期中）“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角的度数为，且三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直”模型．当模型中有一组对应边长相等时，模型中必定存在全等三角形． 【模型呈现】（1）如图1，在等腰直角中，，，过点C作直线，于点D，于点E，猜想、与之间满足的数量关系，并说明理由； 【模型应用】（2）如图2，在等腰直角中，，，过点C作直线，过点A作于点D，过点B作于点E，，，求的长． 【深入探究】（3）如图3，，，，连接，，且于点F，与直线交于点G．若，，求的面积． 【答案】（1）与之间满足的数量关系是：，理由如下： 如图1所示： 在中，， ∵于点于点， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 即； （2）6；（3）63 【分析】 本题考查三角形全等的判定与性质：构造全等三角形是解题的关键． （1）证出，由此可得，故可得； （2）证出，可得，再结合几何关系即可求出； （3）过点作直线于点，过点作直线于点，同（1）证出，可得，，，， 进而可得出，，再证出即可．由全等三角形的性质得出，进一步得出，最后根据三角形面积公式求解即可． 【详解】 解：（1）略 （2）如图2所示： 在中，， ， 于点于点E， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ∴， 故答案为：6； （3）过点作直线于点，过点作直线于点，如图3所示： 同（1）证明：， ，，，， ，， ∵，， ∴，， ∵于点P，于点， 在和中， ， ， ， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴的面积为． 55．（25-26学年八上·甘肃临夏州·期中）如图，已知，，．求证：． 【答案】证明：在和中， ， ， ， ， ． 【分析】 先由题意可证，可得，再根据等式的性质即可得出结论． 【详解】 略 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练运用全等三角形的判定是本题的关键． 56．（25-26学年八上·甘肃临夏州·期中）鹿邑老子文化广场位于河南省周口市鹿邑县太清宫镇，在太清宫对面，与太清宫相互辉映．广场中央矗立着地标性建筑老子雕像，总高27米，、两点分别为雕像底座的两端（其中、两点均在地面上）．因为、两点间的实际距离无法直接测量，甲、乙两位同学分别设计出了如下两种方案： 甲：如图1，在平地上取一个可以直接到达点，的点，连接并延长到点，连接并延长到点，使，，连接，测出的长即可． 乙：如图2，先确定直线，过点作直线，在直线上找可以直接到达点的一点，连接，作，交直线于点，最后测量的长即可． （1）甲、乙两同学的方案哪个可行？_______（填“甲”或“乙”），并说明方案可行的理由； （2）对于（1）中不可行的方案，请添加一个使该方案可行的条件：_______． 【答案】（1） 甲同学的方案可行． 理由：由题意得， 在与中， ， ∴， ∴， 故甲同学的方案可行．     （2）      【分析】 本题主要考查了全等三角形的应用， （1）甲同学作出的是全等三角形，然后根据全等三角形对应边相等测量的，所以是可行的； （2）甲根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论； 熟练掌握全等三角形的判定定理是解决问题的关键． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ； 理由： ∵， 在与中， ， ∴， ∴． 故答案为：． 57．（25-26学年八上·甘肃临夏州·期中）如图，在和中，，，若，则　　　　　　． 【答案】10 【分析】 本题考查直角三角形全等的“”判定定理、全等三角形的性质．解题关键：准确识别两个直角三角形的斜边和直角边，证明全等． 首先观察到和都是直角三角形，且和为直角．已知，还有公共边，根据“”定理可判定．因为全等三角形的对应边相等，与是对应边，已知，所以． 【详解】 在和中， ． 又， ． 故答案为：10． 58．（25-26学年八上·甘肃平凉庄浪县·期中）已知：，，，，垂足分别为点D，点E． （1）如图1，①线段和的数量关系是________； ②请写出线段，，之间的数量关系并证明； （2）如图2，请直接写出线段，，之间的数量关系． 【答案】（1）①； ② 由① 知， ，， 故线段，，之间的数量关系为；     （2）      【分析】 本题主要考查三角形全等的判定和性质．熟练掌握三角形全等的判定定理是解题关键． （1）① 利用垂直证明即可； ② 根据① 中全等三角形的性质得到等边再进行等量代换； （2）证明，得到等边进行等量代换． (1) 小问详解： 解：①，，， ， ，， ， 在和中， ， ； ② 略 (2) 小问详解： ，， ， 又， ， ， ， 在和中， ， ，， , 故线段，，之间的数量关系为． 59．（25-26学年八上·甘肃庆阳·期中）在通过构造全等三角形解决问题的过程中，有一种方法叫做倍长中线法． （1）如图（1），是的中线．且．延长至点．使．连接．求证：． （2）如图（2），是的中线，点在的延长线上，，，求证：． 【答案】（1） 证明：是的中线 ， 在和中， ， ；     （2） 证明：延长至，使， 连接， 是的中线， ， ∵ ，， ， ，， ， ， ， ， 即，且，， ， ， ， ．      【分析】 本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质，三角形中线的定义． （1）由证明三角形全等可得出答案； （2）延长至M，使，先证明，进而得出，，即可得出，再证明，即可得出答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 60．（25-26学年八上·甘肃庆阳·期中）如图，点在同一直线上，，，，与交于点．    （1）求证：． （2）若，，求的度数． 【答案】（1） 证明：， . 在和中， ， ；     （2）      【分析】 （）利用Z证明即可求证； （）利用全等三角形的性质和三角形内角和定理即可求解； 本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：， ，， ． 61．（25-26学年八上·甘肃张掖二中教·期中）如图，已知：，，，，求证：． 【答案】证明：， ，即， 在和中， ， ， ． 【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质，根据线段和差关系，得出，再通过证明，即可作答． 【详解】 略 62．（25-26学年八上·甘肃武威凉州区凉州区谢河中学·期中）如图，在中，E是上一点，与相交于点F，F是的中点，． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵点是的中点， ∴， 在和中， ， ∴；     （2）3      【分析】 本题主要考查了平行线的性质，全等三角形的判定和性质，熟记全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）由平行线的性质可得，由中点定义可得，再利用即可证得结论； （2）利用全等三角形的性质可得，再由即可求得答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由（1）得：， ∴， ∵，， ∴． 63．（25-26学年八上·甘肃定西安定区·期中）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1，中，若，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点E，使，请根据小明的方法思考： （1）由已知和作图能得到的理由是______．                                         （2）求得的取值范围是      ．                                         【问题解决】 （3）如图2，是的中线，交于E，交于F，且．求证：． 【答案】（1）； （2）； （3）证明：延长到M，使，连接， 是的中线， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ． 【分析】 本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定等知识点，解题的关键是倍长中线构造全等三角形． （1）根据中线的性质可得，再根据证明全等即可得解； （2）根据三边关系即可得解； （3）先证明，可得，再根据等腰三角形的性质和判定即可得证． 【详解】 （1）解：是边上的中线， ， ，， ， 故选：． （2）解： ， ， 在中，， ， ， 故选：． （3）略 64．（25-26学年八上·甘肃定西安定区·期中）如图，在中，，是的两条高，且相交于点，．求证：． 【答案】证明：∵，是的两条高， ∴， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质，等角的余角相等，三角形的高，由，是的两条高，则，通过等角的余角相等得，然后证明，最后由全等三角形的性质即可求证，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】 略 65．（25-26学年八上·甘肃定西安定区·期中）如图，，只需添加一个条件即可证明．这个条件可以是　　　　　．（写出一个即可） 【答案】或（写出一个即可） 【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定，根据全等三角形的判定方法进行求解即可，灵活运用全等三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】 解：添加， 在和中， ， ∴， 添加， 在和中， ， ∴， 故答案为：或（写出一个即可）． 66．（八上·甘肃天水逸夫实验中学·期中）新课标项目学习下面是某数学兴趣小组在项目学习课上的方案策划书，请仔细阅读并完成相应的任务． 项目课题 探究用全等三角形解决“不用直接测量得到高度”的问题 问题提出 在无法直接测量的情况下如何得到竖直墙上的一点到水平地面的高度？ 项目图纸及解决过程 ①将一根长度大于点到水平地面的高度的直杆靠在墙上，使其顶端与点重合，记下此时直杆与地面的夹角；②使直杆的顶端竖直缓慢下滑，直到_____；（标记此时直杆的顶端点为，底端点为）③测量线段_____的长度，即为点到水平地面的高度． 项目数据 …… 任务： （1）请先帮该兴趣小组补全解决过程，并说明他们作法的正确性； （2）若设，交于点，善于观察和思考的小明同学猜想线段，你同意小明的观点吗？请说明理由． 【答案】（1），； 在和中， ， ∴， ∴， 即线段的长度即为线段的长度，即点A的高度．     （2） 解：同意小明的观点，理由如下： ∵， ∴，，， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴．      【分析】 本题考查的是全等三角形的判定与性质的应用，理解题意并熟知全等三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）先由证明，即可得到结论； （2）由全等三角形的性质得到，，，再证明，即可证明． (1) 小问详解： 解：① 将一根长度大于点A到水平地面的高度的直杆靠在墙上，使其顶端与点A重合，记下此时直杆与地面的夹角； ② 使直杆的顶端竖直缓慢下滑，直到；（标记此时直杆的顶端点为C，底端点为D） ③ 测量线段的长度，即为点A到水平地面的高度． (2) 小问详解： 略 67．（25-26学年八上·甘肃武威凉州区·期中）已知中，，，经过A点做一条直线l．作，，垂足分别为E，F （1）如图1，求证：． （2）如图2，找出，，之间的数量关系，并证明． 【答案】（1） 证明：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴．     （2） 解：，证明如下： ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴．      【分析】 本题考查了全等三角形的性质与判定，正确找出图中的全等三角形是解题的关键． （1）利用证明，推出，，再利用线段的和差以及等量代换即可证明； （2）利用证明，推出，，再利用线段的和差以及等量代换即可得出结论． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 68．（25-26学年八上·甘肃武威凉州区·期中）如图，已知点C是线段上一点，，，E是AC上一点，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1） ， 在和中， ， ．     （2）4．      【分析】 本题考查全等三角形的判定和性质，线段的和差，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． （1）利用证明即可； （2）利用线段的和差求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：，， ， ， ． 69．（25-26学年八上·甘肃武威凉州区·期中）如图所示，AC=AE，∠1=∠2，AB=AD．求证：BC=DE． 【答案】证明：∵∠1=∠2 即, 在和中， 【分析】 由 可得根据全等三角形的判定和性质即可证明结论． 【详解】 略 70．（25-26学年八上·甘肃定西通渭县·期中）如图，小刚站在河边的A点处，在河的对面（小刚的正北方向）的处有一电线塔，他想知道电线塔离他有多远，于是他向正西方向走了30步到达一棵树处，接着再向前走了30步到达处，然后他左转直行，当小刚看到电线塔．树与自己现处的位置在一条直线时，他一共走了140步．如果小刚一步大约50厘米，估计小刚在点A处时他与电线塔的距离　　　　　　　　． 【答案】40米 【分析】 根据题意所述画出示意图，根据AAS可得出△ABC≌△DEC，即可求出DE的长度，也就得出了AB的长度． 【详解】 解：根据题意画出图形如图： 在与中， ， ， 小刚一共走了140步，AD=60步， DE=140-60=80(步)， 又一步大约50厘米， DE=80×50=4000(厘米)=40(米)， 故估计小刚在点A处时他与电线塔的距离为40米． 【点睛】 本题考查了全等三角形的应用，像此类应用类的题目，一定要仔细审题，根据题意建立数学模型． 71．（25-26学年八上·甘肃定西通渭县·期中）（多选）如图所示，在△ABC中，AD⊥BC于D，CE⊥AB于E，AD与CE交于点F，且AD=CD， （1）求证：△ABD≌△CFD； （2）已知BC=7，AD=5，求AF的长． 【答案】（1）证明：∵AD⊥BC，CE⊥AB， ∴∠ADB=∠CDF=∠CEB=90°， ∴∠BAD+∠B=∠FCD+∠B=90°， ∴∠BAD=∠ECD， 在△ABD和CFD中， ， ∴△ABD≌△CFD（AAS）， （2）3． 【分析】 （1）利用ASA，可证△ABD≌△CFD； （2）由△ABD≌△CFD，得BD=DF，所以BD=BC﹣CD=2，所以AF=AD﹣DF=5﹣2． 【详解】 （1） 略 （2）∵△ABD≌△CFD， ∴BD=DF， ∵BC=7，AD=DC=5， ∴BD=BC﹣CD=2， ∴AF=AD﹣DF=5﹣2=3． 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键点证明两个三角形全等. 72．（25-26学年八上·甘肃陇南）在中，，，平分，交于点P，点M为边上一点，线段交于点E． （1）如图1，若，求证：； （2）如图2，若，连接，求证：． 【答案】（1） 证明：∵为的平分线， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴；     （2） 证明：∵， ∴． ∵平分， ∴， ∴． ∵， ∴在和中， ∴， ∴， 在和中， ∴． ∴．      【分析】 本题主要考查了全等三角形的性质和判定，等角对等边，同（等）角的余角相等，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）根据角平分线的定义得，再根据等角的余角相等得出，进而得出，然后根据“等角对等边”得出答案； （2）先根据“角边角”证明，再根据“边角边”证明，可得答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 73．（25-26学年八上·甘肃定西临洮县·期中）（多选）如图，已知点B、E、C、F在同一条直线上，AB=DE，∠A=∠D，AC∥DF．求证：BE=CF． 【答案】证明：∵AC∥DF， ∴∠ACB=∠F， 在△ABC和△DEF中， ∴△ABC≌△DEF（AAS）； ∴BC=EF， ∴BC﹣CE=EF﹣CE， 即BE=CF． 【分析】 欲证BE=CF，则证明两三角形全等，已经有两个条件，只要再有一个条件就可以了，而AC∥DF可以得出∠ACB=∠F，条件找到，全等可证．根据全等三角形对应边相等可得BC=EF，都减去一段EC即可得证． 【详解】 略 【点睛】 本题主要考查全等三角形的判定与性质． 74．（25-26学年八上·甘肃定西临洮县·期中）在和中，，，若使，还需补充的条件为　　　　　　（只填一个即可） 【答案】或或（只填一个即可） 【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定定理，根据全等三角形的判定定理逐一分析即可，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键． 【详解】 解：添加， 在和中， ， ∴， 添加， 在和中， ， ∴， 添加， 在和中， ， ∴， 故答案为：或或（只填一个即可）． 75．（25-26学年八上·甘肃陇南西和县）如图，在中，，过上一点作，且，作．求证：． 【答案】见解析 【分析】 本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．证明，即可得出结论． 【详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． 76．（25-26学年八上·甘肃陇南）如图，在梯形中，，E是中点，平分，求证：． 【答案】见详解 【分析】 本题主要考查了全等三角形的性质和判定，过点作，证明，得出，，证明，得出，即可证明． 【详解】 解：过点作， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵E是中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 77．（25-26学年八上·甘肃吴家井中学·期中）如图，在中，，是的平分线，于点E，点F在上，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵，是的平分线，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴；     （2）的长为3      【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质及角的平分线的性质，掌握全等三角形的判定与性质及角的平分线的性质是解题的关键． （1）由是的平分线，利用角的平分线的性质定理得到，再由得到，利用全等三角形对应边相等即可得证； （2）利用得到，利用全等三角形对应边相等得到，由，及（1）中等量代换即可求的长． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵是的平分线， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 故的长为3． 78．（25-26学年八上·甘肃吴家井中学·期中）如图，，点D在边上，，和相交于点O．求证：． 【答案】证明：∵和相交于点O， ∴， 在和中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即； 在和中    ； ∴． 【分析】 本题考查全等三角形的判定，三角形的内角和定理，根据对顶角相等，结合三角形的内角和定理推出，利用即可得证． 【详解】 略 79．（25-26学年八上·甘肃吴家井中学·期中）在中，，中线，则边的取值范围是　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了全等三角形的判定和性质以及三角形的三边关系．延长至E，使，连接．利用全等三角形的性质把要求的线段和已知的线段构造到了一个三角形中，从而根据三角形的三边关系进行求解． 【详解】 解：延长至E，使，连接． 在与中， ， ∴． ∴． 根据三角形的三边关系，得：， 即． 故答案为：． 80．（25-26学年八上·甘肃定西·期中）已知在中，，在中，，点A，D，E在同一条直线上，与相交于点F，连接． （1）如图1，当时，求的度数； （2）如图2，当，判断与的关系，并说明理由． 【答案】（1）     （2） 解：，，理由如下： 由（1）得， ．      【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的外角和定理，掌握全等三角形的判定是解题的关键． （1）由，得，进而证明，得进行求解即可； （2）由全等三角形的性质得，因为，所以，得出． (1) 小问详解： 解： 在和中 ， ，且 的度数是． 答：的度数是． (2) 小问详解： 略 81．（25-26学年八上·甘肃武威凉州区凉州区谢河中学·期中）已知，如图，中，，，E是延长线上一点，连接，，，连接与的延长线交于点，，则　　　　　． 【答案】.5 【分析】 本题主要考查了全等三角形的性质和判定的应用，作出合理的辅助线构建全等三角形是解题的关键． 过点F作延长线交于点G，利用证明，得到和，进一步利用证明，得到和，结合设，，已知得到和，即可求得． 【详解】 证明：过点F作延长线交于点G，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∵，， 设，， ，， ∴． 故答案为：． 82．（八上·甘肃天水逸夫实验中学·期中）如图（1），，，，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动，它们运动的时间为． （1）若点的运动速度与点的运动速度相等，当时，与是否全等，请说明理由； （2）在（1）的前提条件下，判断此时线段和线段的位置关系，并证明； （3）如图（2），将图（1）中的“，”改为“”，其他条件不变．设点的运动速度为，是否存在实数，使得与以、、为顶点的三角形全等？若存在，求出相应的、的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） 解：与全等，理由如下： 当时，， 则， ∴， 又∵， 在和中， ， ∴；     （2） 解：， 证明：∵， ∴， ∴， ∴， 即线段与线段垂直；     （3）存在，，或，      【分析】 本题属于三角形专题，考查的是全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、注意分类讨论思想的灵活运用是解题的关键． （1）利用定理证明； （2）根据全等三角形的性质判断线段和线段的位置关系； （3）分，两种情况，根据全等三角形的性质列式计算． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：分以下两种情况讨论： ① 若， 则，， ∴， 解得，， 则， ∴； ② 若， 则，， 则， 解得，， 则， 故当，或，时，与全等． 考点03 角的平分线 1．（25-26学年八上·甘肃临夏州·期中）三条公路将、、三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（    ） A. 三条高线的交点 B. 三条中线的交点 C. 三条角平分线的交点 D. 三边垂直平分线的交点 【答案】C 【分析】 本题主要考查了角平分线判定定理的应用．根据“到角两边的距离相等的点在角的平分线上”，即可获得答案．理解到角两边的距离相等的点在角的平分线上是解题的关键． 【详解】 解：要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是三条角平分线的交点． 故选：C． 2．（25-26学年八上·甘肃武威凉州区·期中）如图，P是的平分线BD上的一点，PE⊥BC于点E，于点F．若，则PF的长是（       ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 【答案】D 【分析】 利用角平分线上的点到角两边的距离相等来求解． 【详解】 解：是的平分线，是上一点，，， ∴． ∵， ∴． 故选：D． 【点睛】 本题考查了角平分线的性质，解题关键是熟练掌握角平分线的性质，即角平分线上的点到角两边的距离相等． 3．（25-26学年八上·甘肃定西通渭县·期中）如图，已知是的平分线，点D为上任意一点，且于点E，于点F，，则的长度是（       ）． A. 2 B. 4 C. 5 D. 8 【答案】B 【分析】 本题主要考查了角平分线的性质，角平分线上的点到该角的两边的距离相等，据此可得答案． 【详解】 解：∵是的平分线，，， ∴， 故选：B． 4．（25-26学年八上·甘肃临夏州·期中）如图，，平分，若，则点D到的距离为（     ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 6 【答案】C 【分析】 考查知识点：角平分线的性质．解题方法与技巧：利用角平分线上的点到角两边的距离相等这一性质，将点D到的距离转化为已知的的长度．解题关键：明确角平分线的性质，准确找到点D到的距离与的关系．易错点：容易忽略角平分线性质的应用条件，或者找不到对应的距离线段，从而无法将已知条件和所求距离建立联系． 首先回忆角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等．题目中是的平分线，，说明是点D到的距离，那么根据角平分线的性质，点D到的距离就等于的长度．已知，所以点D到的距离就是3，从而得出答案． 【详解】 解：如图所示， 平分，， ， 过点D作于E， ， ， 所以点D到的距离． 故选：C． 5．（25-26学年八上·甘肃金昌永昌县·期中）在中，，的角平分线交于点，则点到的距离是（       ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【分析】 过D作DE⊥AB于E，得出DE的长度是D到AB边的距离，根据角平分线性质得出ED=DC，代入求出即可. 【详解】 解：过点D作DE⊥AB于E，则DE的长是点D到AB的距离 ∵AD是∠BAC的角平分线，∠C=，DE⊥AB ∴DE=DC(角平分线上的点到角两边的距离相等) ∵BC=7，BD=4 ∴DC=BC-BD=3 ∴DE=3 故点D到AB的距离是3. 故选B. 【点睛】 本题考查了角平分线的性质. 6．（25-26学年八上·甘肃平凉庄浪县·期中）如图，平分是上一点，于点，若，则点与射线上某一点连线的长度可以是（     ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 11 【答案】D 【分析】 本题主要考查了角平分线的性质定理， 根据角平分线的性质可知点P到的距离为10，进而得出答案． 【详解】 解：∵平分，， ∴点P到的距离为10， ∴点P与射线上某点连线的长度大于等于10，可以是11． 故选：D． 7．（25-26学年八上·甘肃庆阳·期中）如图，是中的平分线，，交于点E，，交于点F，若，则的面积是（　　） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】A 【分析】 先根据角平分线的性质得到，再利用三角形面积公式即可求解． 【详解】 解：∵是的平分线，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】 本题考查了角平分线的性质，熟记角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 8．（25-26学年八上·甘肃武威凉州区凉州区谢河中学·期中）如图，在 中，，平分，若 ，，则的面积是（   ） A. 15 B. 30 C. 20 D. 10 【答案】A 【分析】 本题主要考查了角平分线的性质，准确计算是解题的关键． 过点作，根据角平分线的性质可得，根据三角形的面积计算即可； 【详解】 过点作， 平分，， ， ， ． 故选． 9．（25-26学年八上·甘肃武威凉州区·期中）如图，年月日至日，第三届湖南旅游发展大会在衡阳举办，某社区要在三条公路围成的一块三角形平地上修建一个便民服务站，要使这个便民服务站到三条公路的距离相等，应该修在（        ） A. 三边中线的交点 B. 三个角的平分线的交点 C. 三边高线的交点 D. 三边垂直平分线的交点 【答案】B 【分析】 本题考查了角平分线的判定，根据到角的两边距离相等的点在角平分线上，且某社区要在三条公路围成的一块三角形平地上修建一个便民服务站，即可作答． 【详解】 解：设便民服务站所在的位置是点， 点到、的距离相等， 点在的平分线上， 同理，点也在、的平分线上， 点是三个角的平分线的交点， 这个便民服务站应该修在三个角的平分线的交点， 故选：B． 10．（25-26学年八上·甘肃陇南）如图，点是内一条射线上的一点，且于点于点，若，则的度数是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了角平分线的判定， 利用角平分线的判定定理得到平分，再利用角平分线的定义求解即可． 【详解】 解：∵，，， ∴平分， ∵， ∴． 故选D． 11．（25-26学年八上·甘肃陇南西和县）两个完全一样的三角板如图摆放，它们的顶点重合于点，则点一定在（    ） A. 的平分线上 B. 边的高上 C. 边的垂直平分线上 D. 边的中线上 【答案】A 【分析】 本题考查的是角平分线的判定，掌握到角的两边的距离相等的点在角平分线上是解题的关键． 作射线，根据角平分线的判定定理得到平分，得到答案． 【详解】 解：作射线， 由题意得，，，， 平分， 故选：A． 12．（25-26学年八上·甘肃吴家井中学·期中）如图，在中，，平分交于点，，则点D到的距离是（       ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【分析】 本题考查了角平分线的性质．熟练掌握角平分线的性质是解题的关键． 角平分线上的点到角两边的距离相等．利用角平分线的性质进行求解即可． 【详解】 解：在中，， ， 过点作于点， 平分， ， 点 D到的距离是2， 故选B． 13．（25-26学年八上·甘肃平凉庄浪县·期中）如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直．若AD＝8，则点P到BC的距离是（　　） A. 8 B. 6 C. 4 D. 2 【答案】C 【详解】 过点P作PE⊥BC于E， ∵AB∥CD，PA⊥AB， ∴PD⊥CD， ∵BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB， ∴PA=PE，PD=PE， ∴PE=PA=PD， ∵PA+PD=AD=8， ∴PA=PD=4， ∴PE=4． 故选：C． 14．（25-26学年八上·甘肃武威凉州区凉州区柏树中学·期中）如图，，和分别平分和，过点，且与互相垂直，点为线段上一动点，连接．若，则的最小值为（     ） A. 8 B. 5 C. 4 D. 2 【答案】C 【分析】 本题考查角平分线的性质，垂线段最短，平行线的性质，掌握相关知识是解决问题的关键．过作于，由平行线的性质推出，由角平分线的性质推出，，得到，由垂线段最短得到，即可得到的最小值． 【详解】 解：过作于， ，， ， 和分别平分和， ，， ， ， ， 的最小值为4． 故选：C． 15．（25-26学年八上·甘肃武威凉州区凉州区柏树中学·期中）如图，，M是的中点，DM平分，若，则（       ）． A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了角平分线的判定与性质，平行线的性质，作于，由角平分线的性质定理可得，结合题意可得，从而可得平分，再由平行线的性质求出，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】 解：如图，作于， ∵，平分，， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∵，， ∴平分， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 16．（25-26学年八上·甘肃定西安定区·期中）如图，已知，，给出下面结论：①，②，③，④平分，其中正确的结论有（       ） A. ①②④ B. ①③④ C. ①②③ D. ①②③④ 【答案】D 【分析】 本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、．判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．对各个选项进行验证从而得出最终答案，做题时，要结合已知条件与全等的判定方法对选项逐一验证． 【详解】 解：∵，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故① 正确； ∵，，， ∴， ∴， 故② 正确； ∵， ∴， ∵， ∴， 故③ 正确； ∵， ∴， 即平分， 故④ 正确； 所以正确的有四个， 故选：D． 17．（八上·甘肃天水逸夫实验中学·期中）如图，在中，、分别是、上的点，过作，，垂足分别为、，若，，则①；②平分；③；④；⑤这五个结论中，正确的有（       ） A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 【答案】B 【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，平行线的判定，熟练掌握全等三角形判定和性质，平行线的判定，角平分线的性质是解题关键．证明得，即可判断① ② ③ ；根据得，则，根据内错角相等，两直线平行可判断④ ；在和中，根据，不能判定和全等，由此可对结论⑤ 进行判断，综上所述即可得出答案． 【详解】 解：∵，， ∴和均为直角三角形， 在和中， ， ∴， 故结论① 正确； ∴，， ∴平分， 故结论② ③ 正确； ∵， ∴， ∴， ∴， 故结论④ 正确； ∵，， ∴， 在和中，，， ∴不能判定和全等， 故结论⑤ 不正确， 综上所述：正确的结论是① ② ③ ④ ，一共4个， 故选：B． 18．（25-26学年八上·甘肃庆阳·期中）如图，P是∠BAC内的一点，PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别为点E，F，AE=AF．求证：PE=PF. 【答案】证明：Rt△APF≌Rt△APE，便可得PE=PF. 解：连接AP， ∵PE⊥AB，PF⊥AC，∴∠AEP=∠AFP=90°， ∵在Rt△AEP和Rt△AFP中，AP=AP，AE=AF， ∴Rt△AEP≌Rt△AFP（HL）， ∴PE=PF． 【详解】 略． 19．（25-26学年八上·甘肃陇南）如图所示，在中，∠B=90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，DE⊥AC，垂足为点E，若BD=3，则DE的长为 　　　　　　　　． 【答案】3 【分析】 根据角平分线的性质，即角平分线上任意一点到角两边的距离相等计算即可； 【详解】 ∵在中，∠B=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AC， ∴， ∵， ∴； 故答案是3． 【点睛】 本题主要考查了角平分线的性质应用，准确计算是解题的关键． 20．（25-26学年八上·甘肃定西·期中）如图，在中，是的角平分线，，则点到的距离为　　　　　　　　　． 【答案】4 【分析】 作于H，根据，求出，再由角平分线的性质即可解答． 【详解】 解：作于H，如图所示：    ∵， ∴， ∵是的角平分线，，， ∴， ∴点D到的距离为， 故答案为：4． 【点睛】 本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相是解题的关键． 21．（25-26学年八上·甘肃定西·期中）如图，在中，D是的中点，于E，于点F，且，求证：平分． 【答案】证明： D是的中点， ， ，， ， 在和中， ， ， ， 又，， 平分． 【分析】 本题考查全等三角形的判定与性质，角平分线的判定等，证明，由全等三角形的性质可得，然后根据“在角的内部到一个角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上”，即可证明结论． 【详解】 略 22．（25-26学年八上·甘肃武威凉州区凉州区柏树中学·期中）如图，是中的角平分线，于点，于点，，，，则长是　　　　　　　　　　　． 【答案】3 【分析】 本题主要考查了角平分线的性质定理，熟练掌握角平分线的性质定理是解题关键．先根据角平分线的性质定理可得，再根据求解即可得． 【详解】 解：∵是中的角平分线，，，且， ∴， ∵，， ∴，即， ∴， 故答案为：3． 23．（25-26学年八上·甘肃武威凉州区凉州区谢河中学·期中）如图，在中，，平分，，，求． 【答案】 【分析】 本题考查了角平分线的性质，作，根据角平分线的性质和三角形面积公式即可求解．解题的关键是理解角平分线上的点到两条边的垂线段相等． 【详解】 解：作于点E，如图， ∵，平分，， ∴， ∴． 24．（25-26学年八上·甘肃陇南西和县）如图，在中，是它的角平分线，若，，，求． 【答案】 【分析】 本题考查角平分线的性质，作，垂足分别为，根据角平分线的性质，得到，利用三角形的面积公式求出的长，进而求出的面积，即可得出结果． 【详解】 解：作，垂足分别为， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 25．（25-26学年八上·甘肃陇南）如图，的延长线于，于，若，，求证：平分． 【答案】证明：∵，， ∴和都是直角三角形， 在和中， ， ∴， ∴， ∴平分． 【分析】 利用证明，得出，根据角平分线的判定定理即可得出结论． 【详解】 略． 26．（25-26学年八上·甘肃陇南武都区·期中）如图，已知与给出部分尺规作图痕迹如图所示（无需补全作图痕迹），尺规作图过程如下： （1）以为圆心，适当长为半径做弧（弧足够长），交射线，分别于，两点，连结； （2）以为圆心，长为半径作弧（弧足够长），交于点； （3）以为圆心，长为半径作弧，交弧于点，作射线；若，，当为的平分线时，的度数为　　　　　　　　． 【答案】（1） 如图所示：      （2）如图所示： ．     （3）或      【分析】 本题考查了作一个角等于已知角，角平分线的定义，角的和差，从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线；分射线在的内部和外部两个情况求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：由作图可知，， 当射线在的内部时，如图： ， ∵，， ∴， ∵为的平分线， ∴； 如图，当射线在的外部时， ， ∵，， ∴， ∵为的平分线， ∴． 故答案为：或． 27．（25-26学年八上·甘肃陇南武都区·期中）如图，，，若，，，则的面积为　　　　　　． 【答案】15 【分析】 本题主要考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键． 过点D作交于点E，根据角平分线的性质得出，即可求解． 【详解】 解：过点D作交于点E，如图所示， ∵，，， ∴， ∴， 故答案为：15． 28．（25-26学年八上·甘肃平凉庄浪县·期中）如图，在中，，，，，，动点E以的速度从A点向F点运动，动点G以的速度从C点向A点运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，设运动时间为t． （1）求证：； （2）当t取何值时，与全等． 【答案】（1） 证明∶∵ ∴ 在和中， ∴； ∴；     （2）      【分析】 （1）证明，即可得证； （2）利用时，与全等，分点在线段上和点在线段上，两种情况进行讨论求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 若与全等，且， ∴， ∵， ∴， ① 当时，点在线段上，点在线段上， ∴ ∴， ∴（不合题意，舍去）； ② 当时，点在线段上，点在线段上， ， ∴， ∴， 综上所述，当 时，与全等． 【点睛】 本题考查角平分线的性质，全等三角形的判定和性质．熟练掌握三角形的判定方法，证明三角形全等，以及全等三角形的对应边相等是解题的关键． 29．（25-26学年八上·甘肃武威凉州区凉州区柏树中学·期中）如图，平分交于点D，于E，于F，，，若，求的长． 【答案】4 【分析】 本题考查了角平分线的性质定理，利用角平分线的性质得出是解决本题的关键．利用角平分线的性质可得，再根据求解即可． 【详解】 解：∵平分，，， ∴， ∵，，，， ∴， ∴， ∴． 30．（25-26学年八上·甘肃武威凉州区凉州区柏树中学·期中）尺规作图：如图，画出的角平分线和高．（不写过程，保留必要的作图痕迹） 【答案】解：和即为所求． 【分析】 本题考查的是三角形的角平分线，高的尺规作图，掌握作线段的垂线，角平分线的作图是解题的关键．根据高、角平分线的作图步骤画图即可． 【详解】 略 31．（25-26学年八上·甘肃武威凉州区凉州区柏树中学·期中）已知：如图，在中，，，是角平分线，与相交于点F，，，垂足分别为M，N． （1）求证：F在的角平分线上； （2）求证：． 【答案】（1） 证明：连接，作于点， ∵是角平分线，与相交于点F，，， ∴， ∴， ∴F在的角平分线上；      （2） ∵， ∴， ∵是角平分线， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， 由（1）知：， ∴， ∴．      【分析】 本题考查角平分线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）作于点，根据角平分线的性质，推出，即可得证； （2）证明，即可得证． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 32．（25-26学年八上·甘肃庆阳·期中）如图所示，已知P是△ABC三条角平分线的交点，PD⊥AB于点D，若PD＝5，△ACB的周长为20，则△ABC的面积是　　　　　　． 【答案】50 【分析】 作PE⊥BC于E，PF⊥AC于F，如图，根据角平分线的性质得到PE＝PF＝PD＝5，然后根据三角形面积公式和S△ABC＝S△PAB+S△PBC+S△PAC得到S△ABC＝（AB+BC+AC），再把△ABC的周长为20代入计算即可． 【详解】 作PE⊥BC于E，PF⊥AC于F，如图所示， ∵点P是△ABC三条角平分线的交点， ∴PE＝PF＝PD＝5， ∴S△ABC＝S△PAB+S△PBC+S△PAC ＝PD•AB+PE•BC+PF•AC ＝（AB+BC+AC） ＝×20 ＝50， 故答案为：50． 【详解】【点晴】 考查了角平分线的性质，解题关键是运用了：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 33．（25-26学年八上·甘肃武威凉州区凉州区谢河中学·期中）如图，在中，平分，，于点，点在上，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：于点， ， 又平分，， ， 在和中 ， ， ；     （2）4      【分析】 本题考查了直角三角形全等的判定与性质，角平分线的性质定理，在图形中找到正确的全等三角形以及熟悉以上性质与判定是关键． （1）利用角平分线的性质可得，再利用证明，即可证明； （2）利用证明，可得，设，则，，即可建立方程求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：在和中， ， ， ， 由（1）可知， 设， ，， ，， ， 解得：， 即． 34．（25-26学年八上·甘肃武威凉州区凉州区谢河中学·期中）如图，是的角平分线，是边上的中线，若的面积是，，，则的面积是　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了角平分线的性质，中线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．过点作于，过点作于，利用角平分线的性质可得，然后利用三角形的面积公式可得 ， 从而可得，求得的面积，最后利用三角形的中线定义可得，进行计算即可解答． 【详解】 解：如图所示，过点作于，过点作于， 是的角平分线， ， ，， ， 的面积是， ， 是边上的中线， ． 故答案为： ． 35．（25-26学年八上·甘肃定西安定区·期中）如图，四边形中，，平分，于点F，的延长线于点E． （1）求证：． （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵平分，，, ∴； ∴， ∴， ∴； ∴， ∴；     （2）      【分析】 本题考查了直角三角形全等的判定与性质，角平分线的性质定理，掌握这两个知识点是解题的关键． （1）由角平分线的性质定理得，再由可证明，从而有；由即可求证结论成立； （2）证明，则；由得，则，由此即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 36．（25-26学年八上·甘肃定西通渭县·期中）如图，在中，，是上一点，过作，，垂足分别为、，且．求证：平分． 【答案】证明：， ， ，， ， 在与中， ， ， ， 又，， 平分． 【分析】 本题考查了等边对等角，全等三角形的性质与判定，角平分线的判定，先证明，进而可得，根据角平分线的判定定理，即可得证． 【详解】 略 37．（25-26学年八上·甘肃陇南西和县）如图，的两条角平分线交于点，作，若，的周长为，则　　　　　　　　　　　． 【答案】8 【分析】 本题考查角平分线的性质，连接，作，根据角平分线的性质，得到，利用分割法求出三角形的面积即可． 【详解】 解：连接，作，垂足分别为， ∵为的两条角平分线， ∴， ∴ ∵的周长为，， ∴； 故答案为：8． 38．（25-26学年八上·甘肃武威凉州区凉州区柏树中学·期中）在平面直角坐标系中，，点为轴正半轴上一动点，过点作交轴于点． （1）若点坐标为，求点E的坐标； （2）如图②，若点在轴正半轴上运动，且，其它条件不变，求证：平分； （3）若点在轴正半轴上运动，当时，直接写出的度数． 【答案】（1）(0,2)     （2） 证明：如下图，过点作于点，作于点， ∵， ∴，且， ∵，， ∴， ∴平分；     （3）      【分析】 （1）根据判定三角形全等的“”易得到，再结合点的坐标来求解； （2）过点作于点，作于点，利用全等三角形的性质和角平分线的判定求解； （3）在上截取，连接，得到，根据全等三角形的性质和等腰直角三角形的性质来求解. (1) 小问详解： 解：∵，， ∴. 又∵， ∴. ∵，. ∴. 在和中 ， ∴， ∴， 又∵点的坐标为， ∴， ∴点的坐标为． (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：如下图，在上截取，连接， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴. 【点睛】 本题主要考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的判定和性质，等腰直角三角形的性质，理解相关知识是解答关键. 考点04 定义、命题、定理 1．（25-26学年八上·甘肃天水甘谷县·期中）下列命题为假命题的是（     ） A. 对顶角相等 B. 等角的补角相等 C. 同位角相等，两直线平行 D. 同旁内角互补 【答案】D 【分析】 本题考查命题的真假判断，涉及对顶角、补角、平行线的判定和性质等知识．根据对顶角的性质可判断A；根据等角的补角相等可判断B，根据平行线的性质和判定定理可判断C、D． 【详解】 解：A、对顶角相等，原命题是真命题，不符合题意； B、等角的补角相等，原命题是真命题，不符合题意； C、同位角相等，两直线平行，原命题是真命题，不符合题意； D、两直线平行，同旁内角互补，原命题是假命题，符合题意； 故选：D． 2．（八上·甘肃天水逸夫实验中学·期中）下列语句中，不是命题的是（　　） A. 两点确定一条直线 B. 垂线段最短 C. 作角A的平分线 D. 内错角相等 【答案】C 【分析】根据命题的定义对各选项分别进行判断． 【详解】两点确定一条直线，垂线段最短，同位角相等都是命题，而作角A的平分线为描述性语言，它不是命题． 故选C． 【点睛】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理． 3．（25-26学年八上·甘肃天水·期中）下列命题中，为真命题的是（       ） A. 若，则 B. 若，则 C. 同位角相等 D. 对顶角相等 【答案】D 【详解】 本题考查判断命题的真假，根据等式的性质，不等式的性质，平行线的性质，对顶角的性质，进行判断即可． 【分析】 解：A、若，则，原命题为假命题，不符合题意； B、若，则，原命题为假命题，不符合题意； C、两直线平行，同位角相等，原命题为假命题，不符合题意； D、对顶角相等，是真命题，符合题意； 故选D． 4．（25-26学年八上·甘肃金昌永昌县·期中）下列命题：①三角形的三边长确定后，三角形的形状就唯一确定；②三角形的角平分线，中线，高线都在三角形的内部；③全等三角形面积相等，面积相等的三角形也全等；④三角形具有稳定性，而四边形不具有稳定性.其中假命题的个数是（       ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【分析】根据sss定理可判断①是真命题；画直角三角形和钝角三角形的高线可判断②是假命题；两个同底等高，但形状不一样的三角形，面积相等但不全等，③是假命题；④是真命题. 【详解】解：①是真命题；②由于直角三角形和钝角三角形的高线不全在三角形的内部，故它是假命题；③三角形的面积相等不一定对应边相等和对应角相等，故它是假命题；④是真命题. 故选B. 【点睛】本题考查了真假命题的判断.弄清命题的含义是关键，说明假命题只需要举出一个反例即可. 5．（八上·甘肃天水逸夫实验中学·期中）把命题“两个正数的和仍为正数”写成“如果……那么……”的形式为________________． 【答案】如果两个数是正数，那么它们的和为正数 【分析】 找到命题的题设和结论，求解即可． 【详解】 解：该命题的题设是“两个数是正数”，结论为“它们的和为正数”． 则命题可以写成如果两个数是正数，那么它们的和为正数， 故答案为：如果两个数是正数，那么它们的和为正数 【点睛】 此题考查了命题的题设和结论，解题的关键是掌握相关基础知识． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 全等三角形 4大高频考点概览 考点01 全等三角形及其性质 考点02 三角形全等的判定 考点03 角的平分线 考点04 定义、命题、定理 考点01 全等三角形及其性质 1．（25-26学年八上·甘肃定西·期中）如图，已知，若，，则的长度为（   ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2．（25-26学年八上·甘肃庆阳·期中）已知图中的两个三角形全等，则的度数是（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年八上·甘肃武威凉州区·期中）如图，，则∠C的度数是（       ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年八上·甘肃天水甘谷县·期中）已知：，，边上的高，则的面积为（     ） A. 20 B. 10 C. 5 D. 4 5．（25-26学年八上·甘肃陇南武都区·期中）如图，已知点A，B，D在同一条直线上，，若，则（     ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年八上·甘肃武威凉州区凉州区谢河中学·期中）若，且的周长为20，，，则的长为（     ） A. 5 B. 6 C. 9 D. 6或9 7．（25-26学年八上·甘肃陇南）如图，已知，，，则的度数为（     ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年八上·甘肃定西临洮县·期中）如图，，点A，B，C，D在同一直线上，，，则的长为（       ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 9．（25-26学年八上·甘肃吴家井中学·期中）已知图中的两个三角形全等，则度数是（     ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年八上·甘肃武威凉州区凉州区柏树中学·期中）如图，，点B，F，C，E共线，和交于点G．若，，则的度数为（     ） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年八上·甘肃天水甘谷县·期中）全等三角形的对应边　　　　　　，对应角　　　　　　． 12．（25-26学年八上·甘肃武威凉州区凉州区谢河中学·期中）如图，已知（与，与分别对应），，则的值为　　　　　　　　　　　． 13．（25-26学年八上·甘肃定西通渭县·期中）如图所示的两个三角形全等，则x的值为　　　　　　． 14．（25-26学年八上·甘肃平凉庄浪县·期中）如图，，点B，F，C，E在同一条直线上，若，，求的长． 15．（25-26学年八上·甘肃武威凉州区凉州区柏树中学·期中）如图，，若，，则的度数为　　　　　　　　　　． 16．（25-26学年八上·甘肃庆阳·期中）如图，，，，则的长度为　　　　　　． 17．（25-26学年八上·甘肃定西安定区·期中）如图，点在上，，若，，求． 18．（25-26学年八上·甘肃武威凉州区·期中）如图，，，，则　　　　　　． 19．（25-26学年八上·甘肃陇南）如图，已知，，，则的长是　　　　　　　　　　　　． 20．（25-26学年八上·甘肃吴家井中学·期中）如图，，若，，则　　　　　　　　． 21．（25-26学年八上·甘肃吴家井中学·期中）如图，已知，且点D在边上． （1）求证∶； （2）若，求 的长． 22．（25-26学年八上·甘肃陇南武都区·期中）如图，在中，，，点为的中点，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．若能够在某一时刻使与全等，则点的运动速度为　　　　　　　　． 考点02 三角形全等的判定 1．（25-26学年八上·甘肃武威凉州区凉州区柏树中学·期中）如图，已知，下列条件中，能用证明的是（       ） A.  B.  C.  D. 以上都不对 2．（25-26学年八上·甘肃张掖二中教·期中）下列不能判断两个三角形全等的是（　　） A. 三角对应相等 B. 三条边对应相等 C. 两个角和对应边对应相等 D. 两条边及夹角对应相等 3．（25-26学年八上·甘肃定西·期中）如图，一名工作人员不慎将一块三角形模具打碎成三块，他要带其中一块或两块碎片到商店去配一块与原来一样的三角形模具，他带（       ）去最省事． A. ① B. ② C. ③ D. ①③ 4．（25-26学年八上·甘肃临夏州·期中）如图，要测量池塘两岸相对的两点A、B的距离，可以在池塘外取的垂线上的两点C、D，使得，再画出的垂线，使点E与点A、C在一条直线上，这时测得线段的长就是线段的长，其原理运用到三角形全等的判定是（     ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年八上·甘肃平凉庄浪县·期中）如图，D在上，E在上，且．补充下列一个条件后，仍无法判定的是（     ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年八上·甘肃庆阳·期中）如图，网格中有4个大小相同的小正方形，则的度数为（       ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年八上·甘肃定西安定区·期中）如图，，，，根据这些条件得到，其依据是（       ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年八上·甘肃陇南）小红用如图所示的方法测量小河的宽度．她利用适当的工具，使，，，点在同一直线上，就能保证，从而可通过测量的长度得知小河的宽度．在这个问题中，可作为证明的依据的是（     ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年八上·甘肃兰州·期中）如图，在中，．若点的坐标为，点的坐标为，，则点的坐标是（       ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年八上·甘肃庆阳·期中）如图，小明书上的三角形被墨迹污染了一部分，他根据全等三角形的知识很快就画出了一个书上完全一样的三角形，小明画图的依据是（     ） A.  B.  C.  D.  11．（八上·甘肃天水逸夫实验中学·期中）如图，是用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，则说明的依据是（       ） A.  B.  C.  D.  12．（25-26学年八上·甘肃陇南武都区·期中）如图，在中，，和的平分线、相交于点O，交于点D，交于点E，若已知周长为20，，，则长为（     ） A.  B.  C.  D. 4 13．（25-26学年八上·甘肃陇南武都区·期中）如图，点在同一条直线上，，，若要证明，则可添加的条件是（     ）． A.  B.  C.  D.  14．（25-26学年八上·甘肃武威·期中）如图，一块三角形玻璃碎成了4块，现在要到玻璃店去配一块与原来的三角形玻璃完全一样的玻璃，那么最省事的办法是带哪块玻璃碎片去玻璃店？(　　) A. ① B. ② C. ③ D. ④ 15．（25-26学年八上·甘肃临夏州·期中）如图，在中，，，点D在边上，，点E，F在线段上，，，若的面积为18，则与的面积之和为（     ） A. 6 B. 9 C. 12 D. 16 16．（25-26学年八上·甘肃金昌永昌县·期中）如图，，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（     ） A.  B.  C.  D.  17．（25-26学年八上·甘肃张掖二中教·期中）如图，四点在一条直线上，，，再添一个条件仍不能证明的是（       ） A.  B.  C.  D.  18．（25-26学年八上·甘肃武威凉州区·期中）小明不慎将三角形模具打碎成三块（如图），他想配一块与原来完全相同的模具，下列说法正确的是（　 ） A. 带第一块即可 B. 带第三块即可 C. 两块都要带 D. 两块都不用带 19．（25-26学年八上·甘肃吴家井中学·期中）如图．在长方形中，，．延长到点E，使，连接，动点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿向终点A运动．设点P的运动时间为t，当t的值为多少时，和全等．（     ） A. 2或9 B. 2或7 C. 2 D. 3或7 20．（25-26学年八上·甘肃定西·期中）如图，C是线段上的一点，和都是等边三角形，交于M，交于N，交于O．则①；②；③；④；⑤是等边三角形；⑥是的平分线．其中，正确的有（     ） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 21．（25-26学年八上·甘肃天水甘谷县·期中）如图，，，求证：． 22．（25-26学年八上·甘肃武威凉州区凉州区柏树中学·期中）如图，在和中，，，要利用证明，还需要添加的条件是　　　　　　　　　　　　　． 23．（25-26学年八上·甘肃庆阳·期中）如图，线段，交于点O，连，，，．求证：． 24．（25-26学年八上·甘肃武威凉州区凉州区谢河中学·期中）如图，已知，，，求证：． 25．（25-26学年八上·甘肃陇南）如图，在中，，过上的点E作，且，作．求证：． 26．（25-26学年八上·甘肃定西·期中）如图，已知，E、在线段上，与交于点，且，．求证： 27．（25-26学年八上·甘肃定西·期中）如图，点B、E、C、F在同一直线上，，，，求证：． 28．（25-26学年八上·甘肃天水甘谷县·期中）如图，点E是的边的中点，过点C作，连接并延长，交于点D，若，，则的长为　　　　　　． 29．（25-26学年八上·甘肃天水甘谷县·期中）已知：如图，，，垂足分别为，，，相交于点，且． （1）求证：； （2）已知，，求的长度． 30．（25-26学年八上·甘肃临夏州·期中）阅读并完成下面的推理过程以及括号内的理由． 如图，已知，，，，求的度数． 解：∵，（已知）， ∴_______（等式的性质），即． 在和中， ， ∴______________， ∴（________）． 31．（25-26学年八上·甘肃金昌永昌县·期中）如图，点E、F在BC上，BE＝CF，AB＝DC，∠B＝∠C．求证：∠A＝∠D． 32．（25-26学年八上·甘肃平凉庄浪县·期中）如图，在中，D为上一点，E为中点，连接并延长至点F，使得，连接． （1）求证：； （2）若，连接，平分，平分，求的度数． 33．（25-26学年八上·甘肃武威凉州区凉州区柏树中学·期中）如图，在中，，，于点，于点，且，，在同一直线上． （1）求证：； （2）若，，求的长． 34．（25-26学年八上·甘肃庆阳·期中）放风筝是中国民间的传统游戏之一，风筝又称风琴，纸鹞，鹞子，纸鸢．如图1，小华制作了一个风筝，示意图如图2所示，，，他发现不仅平分，且平分，你觉得他的发现正确吗？请说明理由． 35．（25-26学年八上·甘肃庆阳·期中）已知：如图，，，，与全等吗？请说明理由． 36．（25-26学年八上·甘肃庆阳·期中）（多选）如图，AC⊥BC，AD⊥BD，垂足分别是C、D，若要用“HL”得到Rt△ABC≌Rt△BAD，则你添加的条件是　　　　　　　　　　　　　　.（写一种即可） 37．（25-26学年八上·甘肃张掖二中教·期中）如图，，，，为垂足，，根据　　　　可以判定． 38．（25-26学年八上·甘肃定西安定区·期中）如图，，，和交于点．求证：． 39．（25-26学年八上·甘肃定西安定区·期中）已知：如图，分别是的中点，相交于点．求证：． 40．（八上·甘肃天水逸夫实验中学·期中）如图，，与相交于点C，，，点P从点A出发，沿方向以的速度运动，同时点Q从点D出发，沿方向以的速度运动，当点P回到点A时，P、Q两点同时停止运动．连接，当线段经过点C时，点P的运动时间为　　　　　　s． 41．（八上·甘肃天水逸夫实验中学·期中）如图所示，，，，，，则　　　　　　　　． 42．（八上·甘肃天水逸夫实验中学·期中）如图，，，．    （1）求证：； （2）若，，求的度数． 43．（25-26学年八上·甘肃武威凉州区·期中）如图，A，B，C，D四点共线，，，．求证：． 44．（25-26学年八上·甘肃定西通渭县·期中）如图，在中，，，若，则　　　　　　． 45．（25-26学年八上·甘肃定西临洮县·期中）（多选）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE于E，AD⊥CE于D． （1）求证：△ADC≌△CEB． （2）AD＝5cm，DE＝3cm，求BE的长度． 46．（25-26学年八上·甘肃定西临洮县·期中）如图，和均是等边三角形，A、C、B三点在一条直线上，分别与交于点M、N．现有如下结论：①；②；③；④．上述结论正确的有　　　　　　． 47．（25-26学年八上·甘肃定西·期中）（多选）如图，已知，，． 求证：（1）； （2）． 48．（25-26学年八上·甘肃定西·期中）如图，已知点A、D、C、F在同一条直线上，AB=DE，BC=EF，要使△ABC≌△DEF，还需添加一个条件是　　　　　　　　　　　　　　　　　． 49．（25-26学年八上·甘肃定西·期中）如图，点E在外部，点D在边上，交于点F，若，，求证： （1）； （2）． 50．（25-26学年八上·甘肃天水甘谷县·期中）如图，已知，，于，求证：． 51．（25-26学年八上·甘肃天水甘谷县·期中）如图，，求证：. 52．（25-26学年八上·甘肃陇南武都区·期中）如图，是的平分线，是上一点，于，于，是上的另外一点，连接，．求证：． 53．（25-26学年八上·甘肃陇南武都区·期中）如图，在中，点D是上一点，，过点D作，且． （1）求证：； （2）若点D是的中点，的面积是20，求的面积， 54．（25-26学年八上·甘肃武威·期中）“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角的度数为，且三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直”模型．当模型中有一组对应边长相等时，模型中必定存在全等三角形． 【模型呈现】（1）如图1，在等腰直角中，，，过点C作直线，于点D，于点E，猜想、与之间满足的数量关系，并说明理由； 【模型应用】（2）如图2，在等腰直角中，，，过点C作直线，过点A作于点D，过点B作于点E，，，求的长． 【深入探究】（3）如图3，，，，连接，，且于点F，与直线交于点G．若，，求的面积． 55．（25-26学年八上·甘肃临夏州·期中）如图，已知，，．求证：． 56．（25-26学年八上·甘肃临夏州·期中）鹿邑老子文化广场位于河南省周口市鹿邑县太清宫镇，在太清宫对面，与太清宫相互辉映．广场中央矗立着地标性建筑老子雕像，总高27米，、两点分别为雕像底座的两端（其中、两点均在地面上）．因为、两点间的实际距离无法直接测量，甲、乙两位同学分别设计出了如下两种方案： 甲：如图1，在平地上取一个可以直接到达点，的点，连接并延长到点，连接并延长到点，使，，连接，测出的长即可． 乙：如图2，先确定直线，过点作直线，在直线上找可以直接到达点的一点，连接，作，交直线于点，最后测量的长即可． （1）甲、乙两同学的方案哪个可行？_______（填“甲”或“乙”），并说明方案可行的理由； （2）对于（1）中不可行的方案，请添加一个使该方案可行的条件：_______． 57．（25-26学年八上·甘肃临夏州·期中）如图，在和中，，，若，则　　　　　　． 58．（25-26学年八上·甘肃平凉庄浪县·期中）已知：，，，，垂足分别为点D，点E． （1）如图1，①线段和的数量关系是________； ②请写出线段，，之间的数量关系并证明； （2）如图2，请直接写出线段，，之间的数量关系． 59．（25-26学年八上·甘肃庆阳·期中）在通过构造全等三角形解决问题的过程中，有一种方法叫做倍长中线法． （1）如图（1），是的中线．且．延长至点．使．连接．求证：． （2）如图（2），是的中线，点在的延长线上，，，求证：． 60．（25-26学年八上·甘肃庆阳·期中）如图，点在同一直线上，，，，与交于点．    （1）求证：． （2）若，，求的度数． 61．（25-26学年八上·甘肃张掖二中教·期中）如图，已知：，，，，求证：． 62．（25-26学年八上·甘肃武威凉州区凉州区谢河中学·期中）如图，在中，E是上一点，与相交于点F，F是的中点，． （1）求证：； （2）若，求的长． 63．（25-26学年八上·甘肃定西安定区·期中）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1，中，若，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点E，使，请根据小明的方法思考： （1）由已知和作图能得到的理由是______．                                         （2）求得的取值范围是      ．                                         【问题解决】 （3）如图2，是的中线，交于E，交于F，且．求证：． 64．（25-26学年八上·甘肃定西安定区·期中）如图，在中，，是的两条高，且相交于点，．求证：． 65．（25-26学年八上·甘肃定西安定区·期中）如图，，只需添加一个条件即可证明．这个条件可以是　　　　　．（写出一个即可） 66．（八上·甘肃天水逸夫实验中学·期中）新课标项目学习下面是某数学兴趣小组在项目学习课上的方案策划书，请仔细阅读并完成相应的任务． 项目课题 探究用全等三角形解决“不用直接测量得到高度”的问题 问题提出 在无法直接测量的情况下如何得到竖直墙上的一点到水平地面的高度？ 项目图纸及解决过程 ①将一根长度大于点到水平地面的高度的直杆靠在墙上，使其顶端与点重合，记下此时直杆与地面的夹角；②使直杆的顶端竖直缓慢下滑，直到_____；（标记此时直杆的顶端点为，底端点为）③测量线段_____的长度，即为点到水平地面的高度． 项目数据 …… 任务： （1）请先帮该兴趣小组补全解决过程，并说明他们作法的正确性； （2）若设，交于点，善于观察和思考的小明同学猜想线段，你同意小明的观点吗？请说明理由． 67．（25-26学年八上·甘肃武威凉州区·期中）已知中，，，经过A点做一条直线l．作，，垂足分别为E，F （1）如图1，求证：． （2）如图2，找出，，之间的数量关系，并证明． 68．（25-26学年八上·甘肃武威凉州区·期中）如图，已知点C是线段上一点，，，E是AC上一点，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 69．（25-26学年八上·甘肃武威凉州区·期中）如图所示，AC=AE，∠1=∠2，AB=AD．求证：BC=DE． 70．（25-26学年八上·甘肃定西通渭县·期中）如图，小刚站在河边的A点处，在河的对面（小刚的正北方向）的处有一电线塔，他想知道电线塔离他有多远，于是他向正西方向走了30步到达一棵树处，接着再向前走了30步到达处，然后他左转直行，当小刚看到电线塔．树与自己现处的位置在一条直线时，他一共走了140步．如果小刚一步大约50厘米，估计小刚在点A处时他与电线塔的距离　　　　　　　　． 71．（25-26学年八上·甘肃定西通渭县·期中）（多选）如图所示，在△ABC中，AD⊥BC于D，CE⊥AB于E，AD与CE交于点F，且AD=CD， （1）求证：△ABD≌△CFD； （2）已知BC=7，AD=5，求AF的长． 72．（25-26学年八上·甘肃陇南）在中，，，平分，交于点P，点M为边上一点，线段交于点E． （1）如图1，若，求证：； （2）如图2，若，连接，求证：． 73．（25-26学年八上·甘肃定西临洮县·期中）（多选）如图，已知点B、E、C、F在同一条直线上，AB=DE，∠A=∠D，AC∥DF．求证：BE=CF． 74．（25-26学年八上·甘肃定西临洮县·期中）在和中，，，若使，还需补充的条件为　　　　　　（只填一个即可） 75．（25-26学年八上·甘肃陇南西和县）如图，在中，，过上一点作，且，作．求证：． 76．（25-26学年八上·甘肃陇南）如图，在梯形中，，E是中点，平分，求证：． 77．（25-26学年八上·甘肃吴家井中学·期中）如图，在中，，是的平分线，于点E，点F在上，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 78．（25-26学年八上·甘肃吴家井中学·期中）如图，，点D在边上，，和相交于点O．求证：． 79．（25-26学年八上·甘肃吴家井中学·期中）在中，，中线，则边的取值范围是　　　　　． 80．（25-26学年八上·甘肃定西·期中）已知在中，，在中，，点A，D，E在同一条直线上，与相交于点F，连接． （1）如图1，当时，求的度数； （2）如图2，当，判断与的关系，并说明理由． 81．（25-26学年八上·甘肃武威凉州区凉州区谢河中学·期中）已知，如图，中，，，E是延长线上一点，连接，，，连接与的延长线交于点，，则　　　　　． 82．（八上·甘肃天水逸夫实验中学·期中）如图（1），，，，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动，它们运动的时间为． （1）若点的运动速度与点的运动速度相等，当时，与是否全等，请说明理由； （2）在（1）的前提条件下，判断此时线段和线段的位置关系，并证明； （3）如图（2），将图（1）中的“，”改为“”，其他条件不变．设点的运动速度为，是否存在实数，使得与以、、为顶点的三角形全等？若存在，求出相应的、的值；若不存在，请说明理由． 考点03 角的平分线 1．（25-26学年八上·甘肃临夏州·期中）三条公路将、、三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（    ） A. 三条高线的交点 B. 三条中线的交点 C. 三条角平分线的交点 D. 三边垂直平分线的交点 2．（25-26学年八上·甘肃武威凉州区·期中）如图，P是的平分线BD上的一点，PE⊥BC于点E，于点F．若，则PF的长是（       ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 3．（25-26学年八上·甘肃定西通渭县·期中）如图，已知是的平分线，点D为上任意一点，且于点E，于点F，，则的长度是（       ）． A. 2 B. 4 C. 5 D. 8 4．（25-26学年八上·甘肃临夏州·期中）如图，，平分，若，则点D到的距离为（     ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 6 5．（25-26学年八上·甘肃金昌永昌县·期中）在中，，的角平分线交于点，则点到的距离是（       ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 6．（25-26学年八上·甘肃平凉庄浪县·期中）如图，平分是上一点，于点，若，则点与射线上某一点连线的长度可以是（     ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 11 7．（25-26学年八上·甘肃庆阳·期中）如图，是中的平分线，，交于点E，，交于点F，若，则的面积是（　　） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 8．（25-26学年八上·甘肃武威凉州区凉州区谢河中学·期中）如图，在 中，，平分，若 ，，则的面积是（   ） A. 15 B. 30 C. 20 D. 10 9．（25-26学年八上·甘肃武威凉州区·期中）如图，年月日至日，第三届湖南旅游发展大会在衡阳举办，某社区要在三条公路围成的一块三角形平地上修建一个便民服务站，要使这个便民服务站到三条公路的距离相等，应该修在（        ） A. 三边中线的交点 B. 三个角的平分线的交点 C. 三边高线的交点 D. 三边垂直平分线的交点 10．（25-26学年八上·甘肃陇南）如图，点是内一条射线上的一点，且于点于点，若，则的度数是（　　） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年八上·甘肃陇南西和县）两个完全一样的三角板如图摆放，它们的顶点重合于点，则点一定在（    ） A. 的平分线上 B. 边的高上 C. 边的垂直平分线上 D. 边的中线上 12．（25-26学年八上·甘肃吴家井中学·期中）如图，在中，，平分交于点，，则点D到的距离是（       ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 13．（25-26学年八上·甘肃平凉庄浪县·期中）如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直．若AD＝8，则点P到BC的距离是（　　） A. 8 B. 6 C. 4 D. 2 14．（25-26学年八上·甘肃武威凉州区凉州区柏树中学·期中）如图，，和分别平分和，过点，且与互相垂直，点为线段上一动点，连接．若，则的最小值为（     ） A. 8 B. 5 C. 4 D. 2 15．（25-26学年八上·甘肃武威凉州区凉州区柏树中学·期中）如图，，M是的中点，DM平分，若，则（       ）． A.  B.  C.  D.  16．（25-26学年八上·甘肃定西安定区·期中）如图，已知，，给出下面结论：①，②，③，④平分，其中正确的结论有（       ） A. ①②④ B. ①③④ C. ①②③ D. ①②③④ 17．（八上·甘肃天水逸夫实验中学·期中）如图，在中，、分别是、上的点，过作，，垂足分别为、，若，，则①；②平分；③；④；⑤这五个结论中，正确的有（       ） A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 18．（25-26学年八上·甘肃庆阳·期中）如图，P是∠BAC内的一点，PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别为点E，F，AE=AF．求证：PE=PF. 19．（25-26学年八上·甘肃陇南）如图所示，在中，∠B=90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，DE⊥AC，垂足为点E，若BD=3，则DE的长为 　　　　　　　　． 20．（25-26学年八上·甘肃定西·期中）如图，在中，是的角平分线，，则点到的距离为　　　　　　　　　． 21．（25-26学年八上·甘肃定西·期中）如图，在中，D是的中点，于E，于点F，且，求证：平分． 22．（25-26学年八上·甘肃武威凉州区凉州区柏树中学·期中）如图，是中的角平分线，于点，于点，，，，则长是　　　　　　　　　　　． 23．（25-26学年八上·甘肃武威凉州区凉州区谢河中学·期中）如图，在中，，平分，，，求． 24．（25-26学年八上·甘肃陇南西和县）如图，在中，是它的角平分线，若，，，求． 25．（25-26学年八上·甘肃陇南）如图，的延长线于，于，若，，求证：平分． 26．（25-26学年八上·甘肃陇南武都区·期中）如图，已知与给出部分尺规作图痕迹如图所示（无需补全作图痕迹），尺规作图过程如下： （1）以为圆心，适当长为半径做弧（弧足够长），交射线，分别于，两点，连结； （2）以为圆心，长为半径作弧（弧足够长），交于点； （3）以为圆心，长为半径作弧，交弧于点，作射线；若，，当为的平分线时，的度数为　　　　　　　　． 27．（25-26学年八上·甘肃陇南武都区·期中）如图，，，若，，，则的面积为　　　　　　． 28．（25-26学年八上·甘肃平凉庄浪县·期中）如图，在中，，，，，，动点E以的速度从A点向F点运动，动点G以的速度从C点向A点运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，设运动时间为t． （1）求证：； （2）当t取何值时，与全等． 29．（25-26学年八上·甘肃武威凉州区凉州区柏树中学·期中）如图，平分交于点D，于E，于F，，，若，求的长． 30．（25-26学年八上·甘肃武威凉州区凉州区柏树中学·期中）尺规作图：如图，画出的角平分线和高．（不写过程，保留必要的作图痕迹） 31．（25-26学年八上·甘肃武威凉州区凉州区柏树中学·期中）已知：如图，在中，，，是角平分线，与相交于点F，，，垂足分别为M，N． （1）求证：F在的角平分线上； （2）求证：． 32．（25-26学年八上·甘肃庆阳·期中）如图所示，已知P是△ABC三条角平分线的交点，PD⊥AB于点D，若PD＝5，△ACB的周长为20，则△ABC的面积是　　　　　　． 33．（25-26学年八上·甘肃武威凉州区凉州区谢河中学·期中）如图，在中，平分，，于点，点在上，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 34．（25-26学年八上·甘肃武威凉州区凉州区谢河中学·期中）如图，是的角平分线，是边上的中线，若的面积是，，，则的面积是　　　　　　　　． 35．（25-26学年八上·甘肃定西安定区·期中）如图，四边形中，，平分，于点F，的延长线于点E． （1）求证：． （2）若，求的长． 36．（25-26学年八上·甘肃定西通渭县·期中）如图，在中，，是上一点，过作，，垂足分别为、，且．求证：平分． 37．（25-26学年八上·甘肃陇南西和县）如图，的两条角平分线交于点，作，若，的周长为，则　　　　　　　　　　　． 38．（25-26学年八上·甘肃武威凉州区凉州区柏树中学·期中）在平面直角坐标系中，，点为轴正半轴上一动点，过点作交轴于点． （1）若点坐标为，求点E的坐标； （2）如图②，若点在轴正半轴上运动，且，其它条件不变，求证：平分； （3）若点在轴正半轴上运动，当时，直接写出的度数． 考点04 定义、命题、定理 1．（25-26学年八上·甘肃天水甘谷县·期中）下列命题为假命题的是（     ） A. 对顶角相等 B. 等角的补角相等 C. 同位角相等，两直线平行 D. 同旁内角互补 2．（八上·甘肃天水逸夫实验中学·期中）下列语句中，不是命题的是（　　） A. 两点确定一条直线 B. 垂线段最短 C. 作角A的平分线 D. 内错角相等 3．（25-26学年八上·甘肃天水·期中）下列命题中，为真命题的是（       ） A. 若，则 B. 若，则 C. 同位角相等 D. 对顶角相等 4．（25-26学年八上·甘肃金昌永昌县·期中）下列命题：①三角形的三边长确定后，三角形的形状就唯一确定；②三角形的角平分线，中线，高线都在三角形的内部；③全等三角形面积相等，面积相等的三角形也全等；④三角形具有稳定性，而四边形不具有稳定性.其中假命题的个数是（       ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5．（八上·甘肃天水逸夫实验中学·期中）把命题“两个正数的和仍为正数”写成“如果……那么……”的形式为________________． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $