专题06 整式的乘法（期中真题汇编，甘肃专用）八年级数学上学期

专题06 整式的乘法 6大高频考点概览 考点01 幂的乘方与积的乘方 考点02 整式的乘法 考点03 平方差公式 考点04 完全平方公式 考点05 用提公因式法分解因式 考点06 用公式法分解因式 考点01 幂的乘方与积的乘方 1．（25-26学年八上·甘肃天水·期中）计算所得结果为（    ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 此题主要考查了积的乘方与同底数幂的乘法的逆用，首先根据积的乘方的运算方法：，求出的值是多少；然后用它乘以，计算所得结果为多少即可． 【详解】 解： 故选：B． 2．（25-26学年八上·甘肃天水·期中）若，则记，例如，于是，若，，，则的值为（       ） A. 16 B. －2 C. 2或 D. 16或 【答案】C 【分析】 本题考查了有理数的乘方，根据题意和有理数的乘方可求出a，b的值，随之问题得解． 【详解】 解：∵，，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 故选：C． 3．（八上·甘肃天水逸夫实验中学·期中）下列计算正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查幂运算的基本规则，包括同底数幂相乘、相除，幂的乘方与积的乘方，根据相关运算法则逐项判断即可． 【详解】 解：A、，故A错误； B、，故B错误； C、，故C错误； D、，故D正确． 故选：D． 4．（25-26学年八上·甘肃天水·期中）计算： （1） （2） 【答案】（1）4     （2）      【分析】 本题考查实数的混合运算、幂的运算，涉及算术平方根、幂的乘方和积的乘方、合并同类项等知识，熟练掌握相关运算法则是解答的关键． （1）先计算乘方、绝对值和算术平方根，再乘法和加减运算即可求解； （2）先计算同底数幂的乘法、幂的乘方和积的乘方，再合并同类项即可求解． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： ． 5．（八上·甘肃天水逸夫实验中学·期中）计算：　　　　　． 【答案】 【分析】 该题考查了积的乘方逆用，运用积的乘方法则计算即可． 【详解】 解： ， 故答案为：． 考点02 整式的乘法 1．（25-26学年八上·甘肃天水甘谷县·期中）下列计算正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查整式的运算，根据同底数幂的乘除法则，合并同类项的法则，积的乘方法则，逐一进行计算，判断即可． 【详解】 解：A、，原计算错误，不符合题意； B、，正确，符合题意； C、，原计算错误，不符合题意； D、，原计算错误，不符合题意； 故选B． 2．（25-26学年八上·甘肃天水·期中）下列各式计算正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查合并同类项、同底数幂的乘除法以及幂的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键． 利用合并同类项法则、同底数幂的乘法法则、同底数幂的除法法则、幂的乘方法则分别计算即可找出正确答案． 【详解】 解：A、，选项正确，符合题意； B、与不是同类项，不能合并，因此选项错误，不符合题意； C、，因此选项错误，不符合题意； D、，因此选项错误，不符合题意； 故选A． 3．（25-26学年八上·甘肃天水·期中）要使多项式 不含x 的二次项，则与的关系是(   ) A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查了多项式乘法中的无关项问题，先根据多项式乘以多项式的计算法则求出的结果，再根据不含x的二次项，即含x的二次项的系数为0进行求解即可． 【详解】 解： ∵多项式不含x的二次项， ∴， ∴， 故选：B． 4．（25-26学年八上·甘肃兰州第五十四中学·期中）如图，我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边分别为，那么的值为（　　） A. 4 B. 6 C. 12 D. 13 【答案】B 【分析】 本题考查了图形面积的组成与简单代数运算的应用，解题的关键是通过分析大正方形的面积构成建立关于直角三角形面积的等式． 明确大正方形面积等于小正方形面积与四个直角三角形面积之和；根据面积公式列出等 式，结合直角三角形两直角边差的关系求解． 【详解】 已知大正方形面积是，小正方形面积是1，且大正方形由四个全等的直角三角形和小正方形拼成． 每个直角三角形的面积为，则四个直角三角形的总面积为． 由面积关系可得：大正方形面积小正方形面积四个直角三角形面积，即． 解上述等式得即． 故选：B． 5．（八上·甘肃天水逸夫实验中学·期中）下列多项式相乘结果为的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查多项式乘多项式，根据多项式乘多项式法则计算各个选项，即可解答． 【详解】 解：A． ，不合题意； B．，不合题意； C．，符合题意； D．，不合题意． 故选：C． 6．（25-26学年八上·甘肃天水甘谷县·期中）已知．求： （1）的值； （2）的值； （3）的值． 【答案】（1）15     （2）27     （3）      【分析】 （1）根据同底数幂乘法的逆运算计算，即可求解； （2）根据幂的乘方的逆运算，即可求解； （3）根据同底数幂乘法的逆运算，幂的乘方的逆运算，同底数幂除法的逆运算计算，即可求解． (1) 小问详解： 解： (2) 小问详解： 解： (3) 小问详解： 解： 【点睛】 本题主要考查了同底数幂乘法的逆运算，幂的乘方的逆运算，同底数幂除法的逆运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 7．（25-26学年八上·甘肃天水甘谷县·期中）若，则　　　　　　． 【答案】14 【分析】 本题考查代数式求值，利用整体代入法进行计算即可． 【详解】 解：∵， ∴； 故答案为：14． 8．（25-26学年八上·甘肃天水甘谷县·期中）计算： （1） （2） 【答案】（1）14     （2）       【分析】 本题考查乘方，绝对值，算术平方根，单项式的乘法运算，熟练掌握相关的运算法则是解题的关键． （1）根据乘方，绝对值，算术平方根分别计算，再进行加减运算即可． （2）根据单项式乘单项式的计算法则计算即可． (1) 小问详解： 解： ． (2) 小问详解： 解： ． 9．（25-26学年八上·甘肃天水·期中）已知，，则等于　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查幂的乘方、同底数幂的除法．先计算和的值．再逆用同底数幂的除法法则，将表示为，把和的值代入计算即可． 【详解】 解：由已知，得； 由，得， 所以． 故答案为：． 10．（八上·甘肃天水逸夫实验中学·期中）计算： （1）． （2）． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查多项式乘多项式和同底数幂的乘法和积的乘方，解题关键是熟知同底数幂的乘法和积的乘方以及多项式乘多项式的计算法则． （1）根据同底数幂的乘法和积的乘方计算法则计算即可． （2）根据多项式乘多项式的计算法则计算即可． (1) 小问详解： 解：原式． (2) 小问详解： 解：原式． 11．（八上·甘肃天水逸夫实验中学·期中）某同学在计算一个多项式乘时，因抄错运算符号，算成了加上，得到的结果是． （1）求这个多项式； （2）求正确的计算结果． 【答案】（1）     （2）正确的计算结果是      【分析】 本题考查多项式加减法和乘法的计算，熟练掌握多项式的运算法则，正确计算是解本题的关键． （1）根据多项式的加减法计算法则得出代数式的值； （2）根据多项式的乘法计算法则得出正确的计算结果即可． (1) 小问详解： 解：根据题意， ． (2) 小问详解： 解： ． 考点03 平方差公式 1．（八上·甘肃天水逸夫实验中学·期中）观察下面图形，从图1到图2可用式子表示为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了利用几何方法验证平方差公式，解决问题的关键是根据拼接前后不同的几何图形的面积不变得到等量关系．图1的面积等于图2中大正方形的面积减去小正方形的面积，根据矩形和正方形的面积公式列式，即可得出结论． 【详解】 解：图1的面积等于图2中大正方形的面积减去小正方形的面积， ∴， ∴A选项符合题意． 故选：A． 2．（25-26学年八上·甘肃天水·期中）　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了平方差公式，先把原式变形为，再连续利用平方差公式求解即可． 【详解】 解： 故答案为： 3．（25-26学年八上·甘肃兰州·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】 本题主要考查了整式的化简求值，实数的运算，先根据平方差公式和单项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项化简，最后代值计算即可得到答案． 【详解】 解： ， 当时，原式． 考点04 完全平方公式 1．（25-26学年八上·甘肃天水甘谷县·期中）若，则k的值是（     ） A.  B. 6 C. 12 D.  【答案】D 【分析】 本题主要考查了根据完全平方公式求字母系数， 通过展开左边完全平方式，与右边多项式对比系数，即可求出的值． 【详解】 解：∵， 又∵， ∴， 比较项系数得：， ∴． 故选：D． 2．（25-26学年八上·甘肃天水甘谷县·期中）先化简后求值：，其中 . 【答案】； -7． 【分析】按照完全平方公式展开，再合并同类项得到最简代数式，再代入x取值求出代数式的值． 【详解】原式 当时，原式=-7 【点睛】 本题考查完全平方公式，平方差公式，掌握相应方法和运算法则是解题关键． 3．（25-26学年八上·甘肃天水甘谷县·期中）已知，，求下列代数式的值： （1） （2） 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查完全平方公式变形求值，熟练掌握完全平方公式的变形是解题的关键． （1）根据进行计算的值即可； （2）根据结合（1），进行计算的值即可． (1) 小问详解： 解：根据题意得，，即， 则； (2) 小问详解： 解：由（1）知，， 则，即， 因此． 4．（25-26学年八上·甘肃天水·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】，10 【分析】 先按照完全平方公式与平方差公式，单项式乘以多项式进行整式的乘法运算，再合并即可得到化简后的结果，再把代入化简后的结果中可得答案． 【详解】 解： ． ， 原式 ． 5．（25-26学年八上·甘肃天水·期中）如果多项式是完全平方式，则　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式的结构特点是解本题的关键．根据完全平方式的结构特点进行解答即可． 【详解】 解：依题意，， ∴， 故答案为：． 6．（八上·甘肃天水逸夫实验中学·期中）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）5     （2）      【分析】 本题考查求算术平方根，立方根，二次根式的混合运算，完全平方公式，平方差公式，掌握相关的运算法则是解题的关键． （1）先求出算术平方根，立方根，绝对值，再进行加减运算； （2）先运用完全平方公式，平方差公式进行计算，再进一步计算即可． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： ． 7．（八上·甘肃天水逸夫实验中学·期中）化简求值：，其中， 【答案】，6 【分析】 本题考查整式的混合运算，完全平方公式．根据整式的混合运算法则对式子进行化简，再代值求解即可． 【详解】 解： ， 当，时， 原式． 8．（八上·甘肃天水逸夫实验中学·期中）是完全平方式，则　　　　　　　　． 【答案】或 【分析】 根据完全平方公式的结构特征，确定一次项系数的两种可能，即可求解． 【详解】 解：完全平方公式为， ∵ 是完全平方式， ∴ 对比公式结构可得 ，即，，即， ∴ 一次项满足 ， ∴ ． 9．（25-26学年八上·甘肃天水·期中）（1）已知，，求的值． （2）已知，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】 本题考查完全平方公式的运用，熟记完全平方公式是解答的关键． （1）利用完全平方公式求解即可； （2）利用完全平方公式求解即可． 【详解】 解：（1）∵，，， ∴； （2）∵，， ∴． 10．（25-26学年八上·甘肃天水·期中）图①是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形． （1）观察图②直接写出三个代数式、、之间的等量关系_____． （2）请运用（1）中的关系式计算：若，，求的值． 【答案】（1）；     （2）      【分析】 本题考查了完全平方公式的背景知识以及完全平方公式的变形，解题的关键是认真观察图形，用不同的形式表示图形的面积． （1）根据阴影部分的面积等于右边大正方形的面积减去左边4个长方形的面积或根据正方形的面积公式计算进而得出答案； （2）由（1）可得，代入求值即可． (1) 小问详解： 解：根据图①可知，每个长方形的面积为：， 所以图②中阴影部分的面积为， 因为阴影部分为正方形，边长为：， 所以图②中阴影部分的面积为， 所以， (2) 小问详解： 解：由（1）知：， ∵，， ， ． 11．（25-26学年八上·甘肃天水·期中）用简便方法计算： （1）； （2）． 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）将101改为，再利用完全平方公式即可计算； （2）将2023改为，将2025改为，再利用平方差公式即可计算． 本题考查了完全平方公式和平方差公式的应用． (1) 小问详解： 解：原式； (2) 小问详解： 解：原式． 考点05 用提公因式法分解因式 1．（八上·甘肃天水逸夫实验中学·期中）下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据因式分解的定义，即把一个多项式化成几个整式的积的形式的变形叫做因式分解，逐一判断各选项即可. 【详解】 解：A选项是整式乘法，结果为和的形式，不是因式分解； B选项，结果为和的形式，不是几个整式的积，不是因式分解； C选项，将多项式化为两个整式的积的形式，符合因式分解的定义，是因式分解； D选项，结果为和的形式，不是几个整式的积，不是因式分解. 2．（八上·甘肃天水逸夫实验中学·期中）将多项式分解因式时，应提取的公因式是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题主要考查公因式的确定，确定公因式需考虑系数、字母及指数：系数取各项系数的最大公因数（带符号），字母取各项共有字母，指数取各字母的最小指数． 【详解】 解：∵ 多项式各项系数为、、12，最大公因数为 ， 各项共有字母为a和b， a的最小指数为2，b的最小指数为2， ∴ 公因式为． 故选：D． 3．（25-26学年八上·甘肃天水·期中）下列由左边到右边的变形，属于因式分解的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解．因式分解常用的方法有：① 提公因式法；② 公式法；③ 十字相乘法；④ 分组分解法．因式分解必须分解至每个因式都不能再分解为止． 根据因式分解的定义逐一判断即可． 【详解】 解：A．，被分解的不是多项式，不属于因式分解； B．，不是把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，不属于因式分解； C．，结果不是几个整式的乘积，不属于因式分解； D．，属于因式分解； 故选：D 考点06 用公式法分解因式 1．（八上·甘肃天水逸夫实验中学·期中）下列多项式能运用完全平方公式分解因式的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查因式分解，熟记完全平方公式是解答的关键．根据完全平方公式为，判断各选项是否符合该结构即可． 【详解】 解：A、平方项为和，中间项应为，但实际为，不符合完全平方公式，故此选项不符合题意； B、可写为，符合形式，分解为，故此选项符合题意； C、平方项为和，中间项应为，但实际为，不符合完全平方公式，故此选项不符合题意； D、常数项为负数，无法构成完全平方公式，故此选项不符合题意； 故选：B． 2．（25-26学年八上·甘肃天水·期中）若，，则代数式的值是（       ） A. 2026 B. 2028 C. 2030 D. 2032 【答案】D 【分析】 此题考查了因式分解的应用，代数式求值问题，把所给代数式的值整体代入变形后的式子计算即可． 【详解】 解： ， 故选：D． 3．（25-26学年八上·甘肃天水甘谷县·期中）已知a、b、c是的三边的长，且满足，则此三角形的形状为　　　　　　　　． 【答案】等边三角形 【分析】 本题考查因式分解的应用及三角形形状的判定，解题的关键是将已知等式通过配方转化为完全平方式的和，利用非负数的性质得出三边关系． 将已知等式进行整理，通过配方转化为两个完全平方式的和，根据非负数的性质得出三边相等，从而判定三角形形状． 【详解】 解：整理，得， ， 即， ， 为等边三角形， 故答案为：等边三角形． 4．（25-26学年八上·甘肃天水甘谷县·期中）把下列多项式分解因式： （1） （2） （3） 【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 本题考查因式分解，熟练掌握分解因式的方法是解题的关键． （1）利用平方差公式进行分解因式； （2）利用提取公因式和平方差公式分解因式； （3）利用十字相乘法分解因式． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： ； (3) 小问详解： 解： ． 5．（25-26学年八上·甘肃天水·期中）已知，，则的值为　　　　　　　　． 【答案】3 【分析】 此题考查了平方差公式，熟练掌握是关键．根据题意得到，，即可求出答案． 【详解】 解：∵，， ∴ 即 故答案为： 6．（25-26学年八上·甘肃天水·期中）分解因式： （1） （2） （3）； 【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 本题考查因式分解，熟记乘法公式是解答的关键． （1）利用平方差公式分解因式即可； （2）先提公因式3，再利用完全平方公式分解因式即可； （3）先提公因式，再利用平方差公式分解因式即可． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： ； (3) 小问详解： 解： ． 7．（25-26学年八上·甘肃天水·期中）已知，求的值． 【答案】 【分析】 本题考查完全平方公式、非负数的性质、代数式求值，先利用完全平方公式化简原式，再代入求值即可 【详解】 解：∵， ∴，又，， ∴，， 解得，， ∴． 8．（25-26学年八上·甘肃天水·期中）对于一些多项式，不能直接进行因式分解，我们可以进行变形后再分解． 例1：因式分解： 解： 例2：因式分解： 解：将看成一个整体，设，则原式， 再将代入，得原式 例3：求代数式的最值． 解：． ，， 当时，的值最小，的最小值是1， 根据以上解法，解答下列问题： （1）请你利用例1的方法，因式分解：； （2）请你利用例2的方法，因式分解：； （3）请你利用例3的方法，求代数式的最值． 【答案】（1）     （2）     （3）最大值是19      【分析】 本题考查因式分解，理解题中例题方法是解答的关键． （1）仿照例题1，利用完全平方公式和平方差公式因式分解即可； （2）仿照例题2，设，利用完全平方公式分解因式即可； （3）仿照例题3，利用平方式的非负性求解即可． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解：设， 则原式， 将代入，得原式； (3) 小问详解： 解：， ， ∴， ， 当时，的值最大， 故的最大值是19， 9．（八上·甘肃天水逸夫实验中学·期中）分解因式 （1）； （2）． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键． （）先提公因式，再利用完全平方公式因式分解即可； （）先提公因式，再利用平方差公式因式分解即可． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： ． 10．（八上·甘肃天水逸夫实验中学·期中）阅读下列材料：分解因式：． 解1：． 解2：． 【方法总结】对不能直接使用提取公因式法，公式法进行分解因式的多项式，我们可把被分解的多项式分成若干组，分别按“基本方法”即提取公因式法和公式法进行分解，然后，再从总体上按“基本方法”继续进行分解，直到分解出最后结果．这种分解因式的方法叫做分组分解法： 【学以致用】尝试运用分组分解法解答下列问题： （1）分解因式：； （2）分解因式：． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是关键． （1）先将原式分组为，再利用提取公因式法进行分解； （2）先将原式变形为，再利用平方差公式进行因式分解． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： ． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 整式的乘法 6大高频考点概览 考点01 幂的乘方与积的乘方 考点02 整式的乘法 考点03 平方差公式 考点04 完全平方公式 考点05 用提公因式法分解因式 考点06 用公式法分解因式 考点01 幂的乘方与积的乘方 1．（25-26学年八上·甘肃天水·期中）计算所得结果为（    ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年八上·甘肃天水·期中）若，则记，例如，于是，若，，，则的值为（       ） A. 16 B. －2 C. 2或 D. 16或 3．（八上·甘肃天水逸夫实验中学·期中）下列计算正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年八上·甘肃天水·期中）计算： （1） （2） 5．（八上·甘肃天水逸夫实验中学·期中）计算：　　　　　． 考点02 整式的乘法 1．（25-26学年八上·甘肃天水甘谷县·期中）下列计算正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年八上·甘肃天水·期中）下列各式计算正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年八上·甘肃天水·期中）要使多项式 不含x 的二次项，则与的关系是(   ) A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年八上·甘肃兰州第五十四中学·期中）如图，我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边分别为，那么的值为（　　） A. 4 B. 6 C. 12 D. 13 5．（八上·甘肃天水逸夫实验中学·期中）下列多项式相乘结果为的是（       ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年八上·甘肃天水甘谷县·期中）已知．求： （1）的值； （2）的值； （3）的值． 7．（25-26学年八上·甘肃天水甘谷县·期中）若，则　　　　　　． 8．（25-26学年八上·甘肃天水甘谷县·期中）计算： （1） （2） 9．（25-26学年八上·甘肃天水·期中）已知，，则等于　　　　　． 10．（八上·甘肃天水逸夫实验中学·期中）计算： （1）． （2）． 11．（八上·甘肃天水逸夫实验中学·期中）某同学在计算一个多项式乘时，因抄错运算符号，算成了加上，得到的结果是． （1）求这个多项式； （2）求正确的计算结果． 考点03 平方差公式 1．（八上·甘肃天水逸夫实验中学·期中）观察下面图形，从图1到图2可用式子表示为（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年八上·甘肃天水·期中）　　　　　　． 3．（25-26学年八上·甘肃兰州·期中）先化简，再求值：，其中． 考点04 完全平方公式 1．（25-26学年八上·甘肃天水甘谷县·期中）若，则k的值是（     ） A.  B. 6 C. 12 D.  2．（25-26学年八上·甘肃天水甘谷县·期中）先化简后求值：，其中 . 3．（25-26学年八上·甘肃天水甘谷县·期中）已知，，求下列代数式的值： （1） （2） 4．（25-26学年八上·甘肃天水·期中）先化简，再求值：，其中． 5．（25-26学年八上·甘肃天水·期中）如果多项式是完全平方式，则　　　　　　． 6．（八上·甘肃天水逸夫实验中学·期中）计算： （1）； （2）． 7．（八上·甘肃天水逸夫实验中学·期中）化简求值：，其中， 8．（八上·甘肃天水逸夫实验中学·期中）是完全平方式，则　　　　　　　　． 9．（25-26学年八上·甘肃天水·期中）（1）已知，，求的值． （2）已知，求的值． 10．（25-26学年八上·甘肃天水·期中）图①是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形． （1）观察图②直接写出三个代数式、、之间的等量关系_____． （2）请运用（1）中的关系式计算：若，，求的值． 11．（25-26学年八上·甘肃天水·期中）用简便方法计算： （1）； （2）． 考点05 用提公因式法分解因式 1．（八上·甘肃天水逸夫实验中学·期中）下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为（     ） A.  B.  C.  D.  2．（八上·甘肃天水逸夫实验中学·期中）将多项式分解因式时，应提取的公因式是（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年八上·甘肃天水·期中）下列由左边到右边的变形，属于因式分解的是（     ） A.  B.  C.  D.  考点06 用公式法分解因式 1．（八上·甘肃天水逸夫实验中学·期中）下列多项式能运用完全平方公式分解因式的是（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年八上·甘肃天水·期中）若，，则代数式的值是（       ） A. 2026 B. 2028 C. 2030 D. 2032 3．（25-26学年八上·甘肃天水甘谷县·期中）已知a、b、c是的三边的长，且满足，则此三角形的形状为　　　　　　　　． 4．（25-26学年八上·甘肃天水甘谷县·期中）把下列多项式分解因式： （1） （2） （3） 5．（25-26学年八上·甘肃天水·期中）已知，，则的值为　　　　　　　　． 6．（25-26学年八上·甘肃天水·期中）分解因式： （1） （2） （3）； 7．（25-26学年八上·甘肃天水·期中）已知，求的值． 8．（25-26学年八上·甘肃天水·期中）对于一些多项式，不能直接进行因式分解，我们可以进行变形后再分解． 例1：因式分解： 解： 例2：因式分解： 解：将看成一个整体，设，则原式， 再将代入，得原式 例3：求代数式的最值． 解：． ，， 当时，的值最小，的最小值是1， 根据以上解法，解答下列问题： （1）请你利用例1的方法，因式分解：； （2）请你利用例2的方法，因式分解：； （3）请你利用例3的方法，求代数式的最值． 9．（八上·甘肃天水逸夫实验中学·期中）分解因式 （1）； （2）． 10．（八上·甘肃天水逸夫实验中学·期中）阅读下列材料：分解因式：． 解1：． 解2：． 【方法总结】对不能直接使用提取公因式法，公式法进行分解因式的多项式，我们可把被分解的多项式分成若干组，分别按“基本方法”即提取公因式法和公式法进行分解，然后，再从总体上按“基本方法”继续进行分解，直到分解出最后结果．这种分解因式的方法叫做分组分解法： 【学以致用】尝试运用分组分解法解答下列问题： （1）分解因式：； （2）分解因式：． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 整式的乘法 考点01 幂的乘方与积的乘方 考点02 整式的乘法 考点03 平方差公式 考点04 完全平方公式 考点05 用提公因式法分解因式 考点06 用公式法分解因式 考点01 幂的乘方与积的乘方 1．B 2．C 3．D 4．【答案】（1）4     （2）      【分析】 本题考查实数的混合运算、幂的运算，涉及算术平方根、幂的乘方和积的乘方、合并同类项等知识，熟练掌握相关运算法则是解答的关键． （1）先计算乘方、绝对值和算术平方根，再乘法和加减运算即可求解； （2）先计算同底数幂的乘法、幂的乘方和积的乘方，再合并同类项即可求解． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： ． 5．【答案】 【分析】 该题考查了积的乘方逆用，运用积的乘方法则计算即可． 【详解】 解： ， 故答案为：． 考点02 整式的乘法 1．B 2．A 3．B 4．B 5．C 6．【答案】（1）15     （2）27     （3）      【分析】 （1）根据同底数幂乘法的逆运算计算，即可求解； （2）根据幂的乘方的逆运算，即可求解； （3）根据同底数幂乘法的逆运算，幂的乘方的逆运算，同底数幂除法的逆运算计算，即可求解． (1) 小问详解： 解： (2) 小问详解： 解： (3) 小问详解： 解： 【点睛】 本题主要考查了同底数幂乘法的逆运算，幂的乘方的逆运算，同底数幂除法的逆运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 7．【答案】14 【分析】 本题考查代数式求值，利用整体代入法进行计算即可． 【详解】 解：∵， ∴； 故答案为：14． 8．【答案】（1）14     （2）       【分析】 本题考查乘方，绝对值，算术平方根，单项式的乘法运算，熟练掌握相关的运算法则是解题的关键． （1）根据乘方，绝对值，算术平方根分别计算，再进行加减运算即可． （2）根据单项式乘单项式的计算法则计算即可． (1) 小问详解： 解： ． (2) 小问详解： 解： ． 9．【答案】 【分析】 本题考查幂的乘方、同底数幂的除法．先计算和的值．再逆用同底数幂的除法法则，将表示为，把和的值代入计算即可． 【详解】 解：由已知，得； 由，得， 所以． 故答案为：． 10．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查多项式乘多项式和同底数幂的乘法和积的乘方，解题关键是熟知同底数幂的乘法和积的乘方以及多项式乘多项式的计算法则． （1）根据同底数幂的乘法和积的乘方计算法则计算即可． （2）根据多项式乘多项式的计算法则计算即可． (1) 小问详解： 解：原式． (2) 小问详解： 解：原式． 11．【答案】（1）     （2）正确的计算结果是      【分析】 本题考查多项式加减法和乘法的计算，熟练掌握多项式的运算法则，正确计算是解本题的关键． （1）根据多项式的加减法计算法则得出代数式的值； （2）根据多项式的乘法计算法则得出正确的计算结果即可． (1) 小问详解： 解：根据题意， ． (2) 小问详解： 解： ． 考点03 平方差公式 1．A 2．【答案】 【分析】 本题主要考查了平方差公式，先把原式变形为，再连续利用平方差公式求解即可． 【详解】 解： 故答案为： 3．【答案】， 【分析】 本题主要考查了整式的化简求值，实数的运算，先根据平方差公式和单项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项化简，最后代值计算即可得到答案． 【详解】 解： ， 当时，原式． 考点04 完全平方公式 1．D 2．【答案】； -7． 【分析】按照完全平方公式展开，再合并同类项得到最简代数式，再代入x取值求出代数式的值． 【详解】原式 当时，原式=-7 【点睛】 本题考查完全平方公式，平方差公式，掌握相应方法和运算法则是解题关键． 3．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查完全平方公式变形求值，熟练掌握完全平方公式的变形是解题的关键． （1）根据进行计算的值即可； （2）根据结合（1），进行计算的值即可． (1) 小问详解： 解：根据题意得，，即， 则； (2) 小问详解： 解：由（1）知，， 则，即， 因此． 4．【答案】，10 【分析】 先按照完全平方公式与平方差公式，单项式乘以多项式进行整式的乘法运算，再合并即可得到化简后的结果，再把代入化简后的结果中可得答案． 【详解】 解： ． ， 原式 ． 5．【答案】 【分析】 本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式的结构特点是解本题的关键．根据完全平方式的结构特点进行解答即可． 【详解】 解：依题意，， ∴， 故答案为：． 6．【答案】（1）5     （2）      【分析】 本题考查求算术平方根，立方根，二次根式的混合运算，完全平方公式，平方差公式，掌握相关的运算法则是解题的关键． （1）先求出算术平方根，立方根，绝对值，再进行加减运算； （2）先运用完全平方公式，平方差公式进行计算，再进一步计算即可． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： ． 7．【答案】，6 【分析】 本题考查整式的混合运算，完全平方公式．根据整式的混合运算法则对式子进行化简，再代值求解即可． 【详解】 解： ， 当，时， 原式． 8．【答案】或 【分析】 根据完全平方公式的结构特征，确定一次项系数的两种可能，即可求解． 【详解】 解：完全平方公式为， ∵ 是完全平方式， ∴ 对比公式结构可得 ，即，，即， ∴ 一次项满足 ， ∴ ． 9．【答案】（1）；（2） 【分析】 本题考查完全平方公式的运用，熟记完全平方公式是解答的关键． （1）利用完全平方公式求解即可； （2）利用完全平方公式求解即可． 【详解】 解：（1）∵，，， ∴； （2）∵，， ∴． 10．【答案】（1）；     （2）      【分析】 本题考查了完全平方公式的背景知识以及完全平方公式的变形，解题的关键是认真观察图形，用不同的形式表示图形的面积． （1）根据阴影部分的面积等于右边大正方形的面积减去左边4个长方形的面积或根据正方形的面积公式计算进而得出答案； （2）由（1）可得，代入求值即可． (1) 小问详解： 解：根据图①可知，每个长方形的面积为：， 所以图②中阴影部分的面积为， 因为阴影部分为正方形，边长为：， 所以图②中阴影部分的面积为， 所以， (2) 小问详解： 解：由（1）知：， ∵，， ， ． 11．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）将101改为，再利用完全平方公式即可计算； （2）将2023改为，将2025改为，再利用平方差公式即可计算． 本题考查了完全平方公式和平方差公式的应用． (1) 小问详解： 解：原式； (2) 小问详解： 解：原式． 考点05 用提公因式法分解因式 1．C 2．D 3．D 考点06 用公式法分解因式 1．B 2．D 3．【答案】等边三角形 【分析】 本题考查因式分解的应用及三角形形状的判定，解题的关键是将已知等式通过配方转化为完全平方式的和，利用非负数的性质得出三边关系． 将已知等式进行整理，通过配方转化为两个完全平方式的和，根据非负数的性质得出三边相等，从而判定三角形形状． 【详解】 解：整理，得， ， 即， ， 为等边三角形， 故答案为：等边三角形． 4．【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 本题考查因式分解，熟练掌握分解因式的方法是解题的关键． （1）利用平方差公式进行分解因式； （2）利用提取公因式和平方差公式分解因式； （3）利用十字相乘法分解因式． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： ； (3) 小问详解： 解： ． 5．【答案】3 【分析】 此题考查了平方差公式，熟练掌握是关键．根据题意得到，，即可求出答案． 【详解】 解：∵，， ∴ 即 故答案为： 6．【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 本题考查因式分解，熟记乘法公式是解答的关键． （1）利用平方差公式分解因式即可； （2）先提公因式3，再利用完全平方公式分解因式即可； （3）先提公因式，再利用平方差公式分解因式即可． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： ； (3) 小问详解： 解： ． 7．【答案】 【分析】 本题考查完全平方公式、非负数的性质、代数式求值，先利用完全平方公式化简原式，再代入求值即可 【详解】 解：∵， ∴，又，， ∴，， 解得，， ∴． 8．【答案】（1）     （2）     （3）最大值是19      【分析】 本题考查因式分解，理解题中例题方法是解答的关键． （1）仿照例题1，利用完全平方公式和平方差公式因式分解即可； （2）仿照例题2，设，利用完全平方公式分解因式即可； （3）仿照例题3，利用平方式的非负性求解即可． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解：设， 则原式， 将代入，得原式； (3) 小问详解： 解：， ， ∴， ， 当时，的值最大， 故的最大值是19， 9．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键． （）先提公因式，再利用完全平方公式因式分解即可； （）先提公因式，再利用平方差公式因式分解即可． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： ． 10．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是关键． （1）先将原式分组为，再利用提取公因式法进行分解； （2）先将原式变形为，再利用平方差公式进行因式分解． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： ． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $