专题05 一元一次方程（期中真题汇编，甘肃专用）七年级数学上学期

专题05 一元一次方程 2大高频考点概览 考点01 解一元一次方程 考点02 实际问题与一元一次方程 考点01 解一元一次方程 1．（2026·甘肃天水麦积区·质量监测）我们知道x表示在数轴上所对应的点到原点的距离，表示x与a在数轴上所对应的两点之间的距离．如表示2与5两数在数轴上所对应的两点之间的距离，根据以上材料，解答下列问题： （1）数轴上表示x与的两点A、B之间的距离为______，若 A、B之间的距离为5，则x的值为______； （2）若点C表示的数为y，则当______时，； （3）若点D表示的数为z，则的最小值为______． 2．（25-26学年七上·甘肃兰州西北师范大学第二附属中学·期中）阅读材料：在学习绝对值时，根据绝对值的几何意义，我们知道表示两个有理数4与2在数轴上对应的两点之间的距离：，所以表示两个有理数4与在数轴上对应的两点之间的距离：，所以表示4在数轴上对应的点到原点的距离．一般地，点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，那么A，B两点之间的距离可以表示为． 解答问题： （1）数轴上表示6与的两点之间的距离是                  ；数轴上表示x与2的两点之间的距离是                   ； （2）若，求m的值； （3）若，写出整数n的值； （4）若代数式的最小值是4，请直接写出a的值． 3．（25-26学年七上·甘肃平凉庄浪县·期中）综合与探究 【知识背景】 我们知道，它的几何意义是数轴上表示的点与原点（即表示的点）之间的距离；又如式子，它的几何意义是数轴上表示的点与表示的点之间的距离．因此，在如下图所示的数轴上，如果点表示的数记为，点表示的数记为，那么，两点间的距离就可记作． 【思考】 （1）数轴上表示和的两点之间的距离是多少？数轴上表示和的两点之间的距离是多少？ 【探索】 （2）数轴上表示和的两点之间的距离是多少（用含的式子表示）？ （3）试用数轴探究：当时，求的值． 【拓展】 （4）利用绝对值的几何意义，结合数轴，探究：的最小值为______． 考点02 实际问题与一元一次方程 1．（25-26学年七上·甘肃定西通渭县·期中）龙神茶，又名陇南绿茶，是甘肃省南部陇南地区的特色茶叶，产于该地的高山云雾之中，因品质上乘而享有盛誉．某茶叶专卖店购进一批龙神茶，若每天售出16盒，则25天就能售完；若每天售出x盒，则需要y天售完，下面用式子表示售完这批茶叶所用天数y与每天售出盒数x之间关系正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年七上·甘肃陇南）如图，在数轴上点表示的有理数为，点表示的有理数为6，点从点出发以每秒2个单位长度的速度在数轴上沿由到方向运动，当点到达点后立即返回，仍然以每秒2个单位长度的速度运动至点停止运动，设运动时间为（单位：秒）． （1）时点表示的有理数为________； （2）若点到点、点的距离相等，求的值； （3）写出点到点的距离（用含的代数式表示）． 3．（25-26学年七上·甘肃陇南）幻方，最早源于我国，古人称之为纵横图．如图所示的幻方中，各行、各列及各条对角线上的三个数字之和均相等，则图中的值为　　　　　　　　　　． 1 0 2 4．（25-26学年七上·甘肃定西通渭县·期中）幻方的历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”（如图1），洛书是一种关于天地空间变化的脉络图案，它是以黑点与白点为基本要素，以一定方式构成若干不同组合．把洛书用今天的数学符号表示出来就是一个三阶幻方（如图2）．将9个数填在（三行三列）的方格中，如果满足每行、每列、每条对角线上的三个数字之和都相等，就得到一个广义的三阶幻方． 【实践应用】 （1）改变图2幻方中数字的位置，可以得到一个新的三阶幻方（如图3），则_____， _____， ____； （2）图4的方格中填写了一些数字和字母，若能构成一个广义的三阶幻方，则_____， ____； 【拓展延伸】 （3）如图5，有三个正方形，每个正方形的顶点处都有一个“○”，将，，，，，，2，4，6，8，10，12 这12个数填入恰当的位置（数字不重复使用），使每个正方形的 四个顶点处“○”中的和都为2．试求m，n的值． 2 7 6 9 5 1 4 3 8 5．（25-26学年七上·甘肃定西通渭县·期中）云巴是现代化智能低运量轨道交通系统，跨界融合了汽车和轨道交通技术．若某云巴线路途经A站后车上有20名乘客，再依次经过B，C，D站后到达终点站，各站上、下车乘客人数情况（上车记为正，下车记为负）如下：，，，，则x的值是　　　　　． 6．（25-26学年七上·甘肃兰州第十一中学·期中）我校每年参加市区校园足球比赛，由于时间紧张，带队老师经常带队员们去吃牛肉面，队员数量较多，老师要保证每个孩子吃好还不能浪费，正好牛肉面馆有活动，下表为牛肉面馆的部分菜单： 套餐种类 A套餐 B套餐 C套餐 配餐 牛肉面 牛肉面＋1份小菜 牛肉面＋1份小菜＋1份牛肉 价格（元） 8 10 20 优惠活动 消费满100元，减10元；消费满200元，减20元；消费满300元，减30元… 队长负责统计同学们的点餐情况，一次性点好，已知他们所点的套餐共有17份牛肉面，份小菜和8份牛肉．大家帮他们算一算： （1）他们共点了                            份B套餐，                            份A套餐；（用含的式子表示） （2）若他们套餐共买10份小菜，求实际花费多少元； （3）若他们点套餐优惠后实际花费了220元，请通过计算分析他们点的套餐是如何搭配的． 7．（25-26学年七上·甘肃兰州第十一中学·期中）【定义新知】 数形结合就是把“数”与“形”结合起来进行相互转换，充分发挥各自优势解决问题．同学们都知道，表示与的差的绝对值，可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离；同理，可理解为在数轴上对应的点分别到和所对应的点的距离之和． 请根据数轴解决以下问题：    【举一反三】 （1）可理解为          与               在数轴上所对应的两点之间的距离； （2）若，则的值为               ； 【问题解决】 （3）请你结合数轴探究： 的最小值是                  ； 的最小值为                 ； 【拓展应用】 （4）如图，在数轴上点表示的数分别为，若点从点出发以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点从点向右出发以每秒个单位长度的速度沿数轴匀速运动，设点同时出发，运动时间为秒，经过多少秒后，两点间的距离为个单位长度． 8．（25-26学年七上·甘肃定西临洮县·期中）关于的多项式不含二次项，求的值． 9．（25-26学年七上·甘肃定西临洮县·期中）已知，点在数轴上对应的数为，其满足，点表示原点，分别从出发沿数轴同时向负方向匀速运动，的速度为每秒1个单位长度，的速度为每秒3个单位长度． （1）直接写出线段___________， ___________； （2）设运动时间为秒，当为何值时，恰好有； 10．（25-26学年七上·甘肃兰州第八十一中学·期中）如图，已知数轴上点表示的数为，是数轴上在左侧的一点，且，两点间的距离为动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒．    （1）数轴上点表示的数是______，点表示的数是______（用含的代数式表示）； （2）动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点、同时出发．求： 当点运动多少秒时，点与点相遇？ 当点运动多少秒时，点与点间的距离为个单位长度？ 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 一元一次方程 2大高频考点概览 考点01 解一元一次方程 考点02 实际问题与一元一次方程 考点01 解一元一次方程 1．（2026·甘肃天水麦积区·质量监测）我们知道x表示在数轴上所对应的点到原点的距离，表示x与a在数轴上所对应的两点之间的距离．如表示2与5两数在数轴上所对应的两点之间的距离，根据以上材料，解答下列问题： （1）数轴上表示x与的两点A、B之间的距离为______，若 A、B之间的距离为5，则x的值为______； （2）若点C表示的数为y，则当______时，； （3）若点D表示的数为z，则的最小值为______． 【答案】（1）；4或；     （2）；     （3）3      【分析】 本题考查用数轴上的点表示数，绝对值，数轴上两点间距离，理解题意是解题关键． （1）根据表示x与a在数轴上所对应的两点之间的距离，据此即可求解： （2）由题意可得表示y在数轴上点C到表示点和3的点的距离相等，即可得点C是表示点和3的两点的中点，即可求出y的值； （3）根据绝对值的意义，进行求解即可． (1) 小问详解： 解：数轴上表示x与的两点A、B之间的距离为； ∵A、B两点之间的距离为5， ∴， ∴，， 解得：或， 故答案为：；4或； (2) 小问详解： 解：设数轴上表示和3的点分别为点M、N， 则表示点C到点M和点C到点N的距离相等． 点C是线段的中点，， 故答案为：； (3) 小问详解： 解：∵点D表示的数为z， ∴表示点D到表示点和2的点的距离之和， ∴当点D在和2之间时，最小， ∴的最小值为， 故答案为：3． 2．（25-26学年七上·甘肃兰州西北师范大学第二附属中学·期中）阅读材料：在学习绝对值时，根据绝对值的几何意义，我们知道表示两个有理数4与2在数轴上对应的两点之间的距离：，所以表示两个有理数4与在数轴上对应的两点之间的距离：，所以表示4在数轴上对应的点到原点的距离．一般地，点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，那么A，B两点之间的距离可以表示为． 解答问题： （1）数轴上表示6与的两点之间的距离是                  ；数轴上表示x与2的两点之间的距离是                   ； （2）若，求m的值； （3）若，写出整数n的值； （4）若代数式的最小值是4，请直接写出a的值． 【答案】（1）10，；     （2）或     （3）整数n的值为或3     （4）或      【分析】 本题考查绝对值，数轴，理解绝对值的定义，掌握数轴上两点距离的计算方法是正确解答的关键． （1）根据数轴上两点距离的计算方法进行计算即可； （2）根据绝对值的定义进行计算即可； （3）根据n的取值范围分别根据绝对值的定义进行计算即可； （4）根据数轴上两点距离的计算方法进行计算即可． (1) 小问详解： 解：数轴上表示6与的两点之间的距离是，数轴上表示x与2的两点之间的距离是， 故答案为：10，； (2) 小问详解： 解：∵， ∴或， 解得或； (3) 小问详解： 解：当时，即，解得， 当时，即，，无解， 当时，即，解得， 答：整数n的值为或3； (4) 小问详解： 解：代数式的最小值是4， 则，即， 解得：或， 所以或． 3．（25-26学年七上·甘肃平凉庄浪县·期中）综合与探究 【知识背景】 我们知道，它的几何意义是数轴上表示的点与原点（即表示的点）之间的距离；又如式子，它的几何意义是数轴上表示的点与表示的点之间的距离．因此，在如下图所示的数轴上，如果点表示的数记为，点表示的数记为，那么，两点间的距离就可记作． 【思考】 （1）数轴上表示和的两点之间的距离是多少？数轴上表示和的两点之间的距离是多少？ 【探索】 （2）数轴上表示和的两点之间的距离是多少（用含的式子表示）？ （3）试用数轴探究：当时，求的值． 【拓展】 （4）利用绝对值的几何意义，结合数轴，探究：的最小值为______． 【答案】（1）4，4；（2）；（3）4或－2；（4）3 【分析】 本题考查了数轴上两点间距离的概念，熟练掌握数轴两点间距离的几何意义是解题的关键． 根据数轴上两点间的距离公式进行计算即可； 根据数轴上两点之间的距离公式用代数式表示； 根据绝对值的几何意义可得关于的方程，解方程求出的值即可； 根据绝对值的几何意义进行化简求值，注意分类讨论． 【详解】 解：数轴上表示和的两点之间的距离是； 数轴上表示和的两点之间的距离是； 解：数轴上表示和的两点之间的距离是； 解：， 或， 解得：或； 几何意义：数轴上表示数的点到表示数和的点的距离之和， 当时， 可得：， ， ， ； 当时， 可得：； 当时， 可得：， ， ； 当时，有最小值为． 考点02 实际问题与一元一次方程 1．（25-26学年七上·甘肃定西通渭县·期中）龙神茶，又名陇南绿茶，是甘肃省南部陇南地区的特色茶叶，产于该地的高山云雾之中，因品质上乘而享有盛誉．某茶叶专卖店购进一批龙神茶，若每天售出16盒，则25天就能售完；若每天售出x盒，则需要y天售完，下面用式子表示售完这批茶叶所用天数y与每天售出盒数x之间关系正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了用关系式表示变量之间的关系，茶叶总盒数固定，根据每天售出盒数与售完天数的乘积等于总盒数，建立关系式即可． 【详解】 解：∵每天售出16盒，25天售完， ∴总盒数为 盒． 又∵每天售出x盒，y天售完， ∴， ∴． 故选A． 2．（25-26学年七上·甘肃陇南）如图，在数轴上点表示的有理数为，点表示的有理数为6，点从点出发以每秒2个单位长度的速度在数轴上沿由到方向运动，当点到达点后立即返回，仍然以每秒2个单位长度的速度运动至点停止运动，设运动时间为（单位：秒）． （1）时点表示的有理数为________； （2）若点到点、点的距离相等，求的值； （3）写出点到点的距离（用含的代数式表示）． 【答案】（1）     （2）或秒     （3）或      【分析】 本题考查了数轴，涉及数轴上的动点问题，利用速度与时间的关系，分类讨论是解题关键． （1）在数轴上点表示的有理数为，点从点出发以每秒2个单位长度的速度在数轴上沿由到方向运动，根据点的速度，有理数的加法求解即可得到答案； （2）根据题意得到，由两点间的距离公式，列方程求解即可得时间； （3）由（2）知点表示的有理数为，结合数轴上两点之间距离公式，分类求解即可得到答案． (1) 小问详解： 解：在数轴上点表示的有理数为，点从点出发以每秒2个单位长度的速度在数轴上沿由到方向运动， 点表示的有理数为， 故答案为：； (2) 小问详解： 解：若点到点、点的距离相等，则， 由（1）知点表示的有理数为， ，解得； 当点P返回过程中经过AB中点时，时间为， 故答案为或秒 (3) 小问详解： 解：由（2）知点表示的有理数为， ， 点从点出发到达点时，时间为秒， 点从点出发到达点时，时间为秒， 当点由到方向运动，即时，； 当点由到方向运动，即时，． 3．（25-26学年七上·甘肃陇南）幻方，最早源于我国，古人称之为纵横图．如图所示的幻方中，各行、各列及各条对角线上的三个数字之和均相等，则图中的值为　　　　　　　　　　． 1 0 2 【答案】 【分析】 本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．根据各行、各列及各条对角线上的三个数字之和均相等，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】 解：根据题意得：， 解得：， 图中的值为． 故答案为：． 4．（25-26学年七上·甘肃定西通渭县·期中）幻方的历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”（如图1），洛书是一种关于天地空间变化的脉络图案，它是以黑点与白点为基本要素，以一定方式构成若干不同组合．把洛书用今天的数学符号表示出来就是一个三阶幻方（如图2）．将9个数填在（三行三列）的方格中，如果满足每行、每列、每条对角线上的三个数字之和都相等，就得到一个广义的三阶幻方． 【实践应用】 （1）改变图2幻方中数字的位置，可以得到一个新的三阶幻方（如图3），则_____， _____， ____； （2）图4的方格中填写了一些数字和字母，若能构成一个广义的三阶幻方，则_____， ____； 【拓展延伸】 （3）如图5，有三个正方形，每个正方形的顶点处都有一个“○”，将，，，，，，2，4，6，8，10，12 这12个数填入恰当的位置（数字不重复使用），使每个正方形的 四个顶点处“○”中的和都为2．试求m，n的值． 【答案】（1）6；5；4；（2）7；0；（3）3或． 【分析】 本题主要考查了一元一次方程的应用，有理数混合运算的应用，数字规律探索，解题的关键是理解题意，找出幻方中的数字规律． （1）根据图2先确定，每行、列和对角线上的数字和都相等列出方程，求解即可； （2）设底边两角的数分别为，再根据广义的三阶幻方可得和，再解方程即可； （3）根据使每个正方形的4个顶点处“ ”中的数的和都为2求出m、n的值，然后求出结果即可． 【详解】 （1）解：根据图2中的幻方可知，图中填的是到9这9个数，根据幻方规律可知，中间一个数应该为5， ∴， ∴， 解得：， ， 解得：， 故答案为：6；5；4； （2）解：设如图两个数分别为， 2 7 6 9 5 1 4 3 8 根据广义的三阶幻方定义， ，解得， ，解得， 故答案为：7；0； （3）解：如图，设另外两个圆圈中的数分别为、q， 根据题意得：， 解得：， ， 解得：， ， ∴， ∵圆圈中的12个数为：、、2、4、6、8、10、12， ∴，或，， ∴或． 5．（25-26学年七上·甘肃定西通渭县·期中）云巴是现代化智能低运量轨道交通系统，跨界融合了汽车和轨道交通技术．若某云巴线路途经A站后车上有20名乘客，再依次经过B，C，D站后到达终点站，各站上、下车乘客人数情况（上车记为正，下车记为负）如下：，，，，则x的值是　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了正数和负数的意义，有理数的加减，一元一次方程的应用，根据有理数加减运算，计算各站后车上乘客数的变化，最终在终点站乘客数为0，建立方程求解，理解题意，正确列式计算是解此题的关键． 【详解】 解：初始车上乘客数为20人， 经过站，上车6人，下车0人，乘客数变为：人； 经过站，上车3人，下车4人，乘客数变为：人； 经过站，上车5人，下车2人，乘客数变为：人； 到达终点站，上车0人，下车人，乘客数变为：人， 由于终点站所有乘客下车，故， 解得， 故答案为：． 6．（25-26学年七上·甘肃兰州第十一中学·期中）我校每年参加市区校园足球比赛，由于时间紧张，带队老师经常带队员们去吃牛肉面，队员数量较多，老师要保证每个孩子吃好还不能浪费，正好牛肉面馆有活动，下表为牛肉面馆的部分菜单： 套餐种类 A套餐 B套餐 C套餐 配餐 牛肉面 牛肉面＋1份小菜 牛肉面＋1份小菜＋1份牛肉 价格（元） 8 10 20 优惠活动 消费满100元，减10元；消费满200元，减20元；消费满300元，减30元… 队长负责统计同学们的点餐情况，一次性点好，已知他们所点的套餐共有17份牛肉面，份小菜和8份牛肉．大家帮他们算一算： （1）他们共点了                            份B套餐，                            份A套餐；（用含的式子表示） （2）若他们套餐共买10份小菜，求实际花费多少元； （3）若他们点套餐优惠后实际花费了220元，请通过计算分析他们点的套餐是如何搭配的． 【答案】（1），     （2）216     （3）A套餐5份，B套餐4份，C套餐8份      【分析】 本题考查了一元一次方程的应用，列代数式，根据各数量之间的关系，正确列出一共的花费是解题的关键． （1）由B、C套餐含小菜且只有C套餐中含牛肉，即可得出他们点了份B套餐；点了份A套餐； （2）给定小菜份数，计算套餐数量及总金额，再应用优惠规则求实际花费； （3）根据实际花费反推优惠前金额，根据C套餐点了8份，B套餐共份，A套餐份列出方程即可求解． (1) 小问详解： 解：∵由三种套餐中都含牛肉面，B、C套餐含小菜且只有C套餐中含牛肉， ∴A、B、C套餐一共点了份，B、C套餐一共点了份，C套餐点8份， ∴他们共点了份B套餐；点了份A套餐； 故答案为， (2) 小问详解： 由小菜共10份，即，所以他们共点了份B套餐；点了份A套餐； 总金额：（元）． 优惠规则：消费满200元减20元，236元满足条件， 实际花费：（元）． 答：实际花费216元。 (3) 小问详解： ∵他们点套餐优惠后实际花费了220元， ∴他们享受优惠为消费满200元，不足300元，故优惠了20元， ∴优惠前消费（元）； 由（1）得：他们共点了份B套餐；点了份A套餐，依题意得 ，解得：， ∴他们共点了份B套餐；点了份A套餐， 答： A套餐5份，B套餐4份，C套餐8份． 7．（25-26学年七上·甘肃兰州第十一中学·期中）【定义新知】 数形结合就是把“数”与“形”结合起来进行相互转换，充分发挥各自优势解决问题．同学们都知道，表示与的差的绝对值，可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离；同理，可理解为在数轴上对应的点分别到和所对应的点的距离之和． 请根据数轴解决以下问题：    【举一反三】 （1）可理解为          与               在数轴上所对应的两点之间的距离； （2）若，则的值为               ； 【问题解决】 （3）请你结合数轴探究： 的最小值是                  ； 的最小值为                 ； 【拓展应用】 （4）如图，在数轴上点表示的数分别为，若点从点出发以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点从点向右出发以每秒个单位长度的速度沿数轴匀速运动，设点同时出发，运动时间为秒，经过多少秒后，两点间的距离为个单位长度． 【答案】（），；（）或；（）；；（）经过秒后，两点间的距离为个单位长度． 【分析】 本题考查了数轴上的动点问题，绝对值的意义，一元一次方程的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据为与在数轴上所对应的两点之间的距离，即可求解； （）根据为与在数轴上所对应的两点之间的距离为，即可求解； （）表示与和在数轴上所对应的两点之间的距离之和，当时，有最小值； 表示与，和在数轴上所对应的两点之间的距离，当时，有最小值； （）根据题意得，点表示的数为，点表示的数为，则有，然后求出的值即可． 【详解】 解：（）可理解为与在数轴上所对应的两点之间的距离， 故答案为：，； （），可理解为与在数轴上所对应的两点之间的距离为， 则或， 故答案为：或； （）表示与和在数轴上所对应的两点之间的距离之和， ∴当时，的最小值是， 故答案为：； 表示与，和在数轴上所对应的两点之间的距离之和， ∴当时，的最小值为， 故答案为：； （）由运动时间为秒， 所以根据题意得，点表示的数为，点表示的数为， 因为两点间的距离为个单位长度， 所以， 整理得，， 所以或， 所以或（舍去）， 答：经过秒后，两点间的距离为个单位长度． 8．（25-26学年七上·甘肃定西临洮县·期中）关于的多项式不含二次项，求的值． 【答案】 【分析】 本题考查了整式的加减－无关型问题，解答本题的关键是理解题目中代数式的取值与哪一项无关的意思，与哪一项无关，然后令其系数等于0，由此建立方程求出a，b的值，最后再代入代数式计算即可． 【详解】 解：关于的多项式不含二次项， 且， ∴， ∴． 9．（25-26学年七上·甘肃定西临洮县·期中）已知，点在数轴上对应的数为，其满足，点表示原点，分别从出发沿数轴同时向负方向匀速运动，的速度为每秒1个单位长度，的速度为每秒3个单位长度． （1）直接写出线段___________， ___________； （2）设运动时间为秒，当为何值时，恰好有； 【答案】（1）8，12     （2）或      【分析】 本题主要考查了数轴上动点．熟练掌握非负数性质，数轴上动点对应的数，数轴上两点间的距离，一元一次方程应用，化简绝对值等知识． （1）用非负性可求a，b的值； （2）由线段关系列出方程，可求解； (1) 小问详解： 解：∵，且，， ∴，． ∴． ∴． ∴． 故答案为：8，12． (2) 小问详解： 解：∵， ∴． 即． ∴． 当时，； 当时，． 答：当t为4秒或7.2秒时，恰好有． 10．（25-26学年七上·甘肃兰州第八十一中学·期中）如图，已知数轴上点表示的数为，是数轴上在左侧的一点，且，两点间的距离为动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒．    （1）数轴上点表示的数是______，点表示的数是______（用含的代数式表示）； （2）动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点、同时出发．求： 当点运动多少秒时，点与点相遇？ 当点运动多少秒时，点与点间的距离为个单位长度？ 【答案】（1），；     （2）① 当点运动秒时，点与点相遇；② 当点运动或秒时，点与点间的距离为8个单位长度      【分析】 本题考查在数轴上找出点的位置，结合数轴求追赶和相遇问题，正确运用数形结合解决问题是解题的关键，注意不要漏解． （1）根据题意可先求出点表示的数为，由点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，得点运动秒的长度为，即可表示出点； （2）①由于点和Q都是向左运动，故点追上Q时相遇，根据点比Q多走了10个单位长度列出等式，根据等式求出t的值即可得出答案； ②要分两种情况计算：第一种是点追上点Q之前，第二种是点追上点Q之后，根据数轴上两点间距离公式列式求出t的值即可得出答案. (1) 小问详解： 数轴上点表示的数为，是数轴上在左侧的一点， ， 则， 数轴上点表示的数为； 动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动 点运动秒的长度为， 点所表示的数为：， 故答案为：，； (2) 小问详解： ① 设点运动秒时追上点， 根据题意得， 解得， 答：当点运动秒时，点与点相遇； ②设当点运动秒时，点与点间的距离为8个单位长度， 当点未超过点，则，解得； 当点超过点，则，解得； 答：当点运动或秒时，点与点间的距离为8个单位长度． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 一元一次方程 考点01 解一元一次方程 考点02 实际问题与一元一次方程 考点01 解一元一次方程 1．【答案】（1）；4或；     （2）；     （3）3      【分析】 本题考查用数轴上的点表示数，绝对值，数轴上两点间距离，理解题意是解题关键． （1）根据表示x与a在数轴上所对应的两点之间的距离，据此即可求解： （2）由题意可得表示y在数轴上点C到表示点和3的点的距离相等，即可得点C是表示点和3的两点的中点，即可求出y的值； （3）根据绝对值的意义，进行求解即可． (1) 小问详解： 解：数轴上表示x与的两点A、B之间的距离为； ∵A、B两点之间的距离为5， ∴， ∴，， 解得：或， 故答案为：；4或； (2) 小问详解： 解：设数轴上表示和3的点分别为点M、N， 则表示点C到点M和点C到点N的距离相等． 点C是线段的中点，， 故答案为：； (3) 小问详解： 解：∵点D表示的数为z， ∴表示点D到表示点和2的点的距离之和， ∴当点D在和2之间时，最小， ∴的最小值为， 故答案为：3． 2．【答案】（1）10，；     （2）或     （3）整数n的值为或3     （4）或      【分析】 本题考查绝对值，数轴，理解绝对值的定义，掌握数轴上两点距离的计算方法是正确解答的关键． （1）根据数轴上两点距离的计算方法进行计算即可； （2）根据绝对值的定义进行计算即可； （3）根据n的取值范围分别根据绝对值的定义进行计算即可； （4）根据数轴上两点距离的计算方法进行计算即可． (1) 小问详解： 解：数轴上表示6与的两点之间的距离是，数轴上表示x与2的两点之间的距离是， 故答案为：10，； (2) 小问详解： 解：∵， ∴或， 解得或； (3) 小问详解： 解：当时，即，解得， 当时，即，，无解， 当时，即，解得， 答：整数n的值为或3； (4) 小问详解： 解：代数式的最小值是4， 则，即， 解得：或， 所以或． 3．【答案】（1）4，4；（2）；（3）4或－2；（4）3 【分析】 本题考查了数轴上两点间距离的概念，熟练掌握数轴两点间距离的几何意义是解题的关键． 根据数轴上两点间的距离公式进行计算即可； 根据数轴上两点之间的距离公式用代数式表示； 根据绝对值的几何意义可得关于的方程，解方程求出的值即可； 根据绝对值的几何意义进行化简求值，注意分类讨论． 【详解】 解：数轴上表示和的两点之间的距离是； 数轴上表示和的两点之间的距离是； 解：数轴上表示和的两点之间的距离是； 解：， 或， 解得：或； 几何意义：数轴上表示数的点到表示数和的点的距离之和， 当时， 可得：， ， ， ； 当时， 可得：； 当时， 可得：， ， ； 当时，有最小值为． 考点02 实际问题与一元一次方程 1．A 2．【答案】（1）     （2）或秒     （3）或      【分析】 本题考查了数轴，涉及数轴上的动点问题，利用速度与时间的关系，分类讨论是解题关键． （1）在数轴上点表示的有理数为，点从点出发以每秒2个单位长度的速度在数轴上沿由到方向运动，根据点的速度，有理数的加法求解即可得到答案； （2）根据题意得到，由两点间的距离公式，列方程求解即可得时间； （3）由（2）知点表示的有理数为，结合数轴上两点之间距离公式，分类求解即可得到答案． (1) 小问详解： 解：在数轴上点表示的有理数为，点从点出发以每秒2个单位长度的速度在数轴上沿由到方向运动， 点表示的有理数为， 故答案为：； (2) 小问详解： 解：若点到点、点的距离相等，则， 由（1）知点表示的有理数为， ，解得； 当点P返回过程中经过AB中点时，时间为， 故答案为或秒 (3) 小问详解： 解：由（2）知点表示的有理数为， ， 点从点出发到达点时，时间为秒， 点从点出发到达点时，时间为秒， 当点由到方向运动，即时，； 当点由到方向运动，即时，． 3．【答案】 【分析】 本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．根据各行、各列及各条对角线上的三个数字之和均相等，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】 解：根据题意得：， 解得：， 图中的值为． 故答案为：． 4．【答案】（1）6；5；4；（2）7；0；（3）3或． 【分析】 本题主要考查了一元一次方程的应用，有理数混合运算的应用，数字规律探索，解题的关键是理解题意，找出幻方中的数字规律． （1）根据图2先确定，每行、列和对角线上的数字和都相等列出方程，求解即可； （2）设底边两角的数分别为，再根据广义的三阶幻方可得和，再解方程即可； （3）根据使每个正方形的4个顶点处“ ”中的数的和都为2求出m、n的值，然后求出结果即可． 【详解】 （1）解：根据图2中的幻方可知，图中填的是到9这9个数，根据幻方规律可知，中间一个数应该为5， ∴， ∴， 解得：， ， 解得：， 故答案为：6；5；4； （2）解：设如图两个数分别为， 2 7 6 9 5 1 4 3 8 根据广义的三阶幻方定义， ，解得， ，解得， 故答案为：7；0； （3）解：如图，设另外两个圆圈中的数分别为、q， 根据题意得：， 解得：， ， 解得：， ， ∴， ∵圆圈中的12个数为：、、2、4、6、8、10、12， ∴，或，， ∴或． 5．【答案】 【分析】 本题考查了正数和负数的意义，有理数的加减，一元一次方程的应用，根据有理数加减运算，计算各站后车上乘客数的变化，最终在终点站乘客数为0，建立方程求解，理解题意，正确列式计算是解此题的关键． 【详解】 解：初始车上乘客数为20人， 经过站，上车6人，下车0人，乘客数变为：人； 经过站，上车3人，下车4人，乘客数变为：人； 经过站，上车5人，下车2人，乘客数变为：人； 到达终点站，上车0人，下车人，乘客数变为：人， 由于终点站所有乘客下车，故， 解得， 故答案为：． 6．【答案】（1），     （2）216     （3）A套餐5份，B套餐4份，C套餐8份      【分析】 本题考查了一元一次方程的应用，列代数式，根据各数量之间的关系，正确列出一共的花费是解题的关键． （1）由B、C套餐含小菜且只有C套餐中含牛肉，即可得出他们点了份B套餐；点了份A套餐； （2）给定小菜份数，计算套餐数量及总金额，再应用优惠规则求实际花费； （3）根据实际花费反推优惠前金额，根据C套餐点了8份，B套餐共份，A套餐份列出方程即可求解． (1) 小问详解： 解：∵由三种套餐中都含牛肉面，B、C套餐含小菜且只有C套餐中含牛肉， ∴A、B、C套餐一共点了份，B、C套餐一共点了份，C套餐点8份， ∴他们共点了份B套餐；点了份A套餐； 故答案为， (2) 小问详解： 由小菜共10份，即，所以他们共点了份B套餐；点了份A套餐； 总金额：（元）． 优惠规则：消费满200元减20元，236元满足条件， 实际花费：（元）． 答：实际花费216元。 (3) 小问详解： ∵他们点套餐优惠后实际花费了220元， ∴他们享受优惠为消费满200元，不足300元，故优惠了20元， ∴优惠前消费（元）； 由（1）得：他们共点了份B套餐；点了份A套餐，依题意得 ，解得：， ∴他们共点了份B套餐；点了份A套餐， 答： A套餐5份，B套餐4份，C套餐8份． 7．【答案】（），；（）或；（）；；（）经过秒后，两点间的距离为个单位长度． 【分析】 本题考查了数轴上的动点问题，绝对值的意义，一元一次方程的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据为与在数轴上所对应的两点之间的距离，即可求解； （）根据为与在数轴上所对应的两点之间的距离为，即可求解； （）表示与和在数轴上所对应的两点之间的距离之和，当时，有最小值； 表示与，和在数轴上所对应的两点之间的距离，当时，有最小值； （）根据题意得，点表示的数为，点表示的数为，则有，然后求出的值即可． 【详解】 解：（）可理解为与在数轴上所对应的两点之间的距离， 故答案为：，； （），可理解为与在数轴上所对应的两点之间的距离为， 则或， 故答案为：或； （）表示与和在数轴上所对应的两点之间的距离之和， ∴当时，的最小值是， 故答案为：； 表示与，和在数轴上所对应的两点之间的距离之和， ∴当时，的最小值为， 故答案为：； （）由运动时间为秒， 所以根据题意得，点表示的数为，点表示的数为， 因为两点间的距离为个单位长度， 所以， 整理得，， 所以或， 所以或（舍去）， 答：经过秒后，两点间的距离为个单位长度． 8．【答案】 【分析】 本题考查了整式的加减－无关型问题，解答本题的关键是理解题目中代数式的取值与哪一项无关的意思，与哪一项无关，然后令其系数等于0，由此建立方程求出a，b的值，最后再代入代数式计算即可． 【详解】 解：关于的多项式不含二次项， 且， ∴， ∴． 9．【答案】（1）8，12     （2）或      【分析】 本题主要考查了数轴上动点．熟练掌握非负数性质，数轴上动点对应的数，数轴上两点间的距离，一元一次方程应用，化简绝对值等知识． （1）用非负性可求a，b的值； （2）由线段关系列出方程，可求解； (1) 小问详解： 解：∵，且，， ∴，． ∴． ∴． ∴． 故答案为：8，12． (2) 小问详解： 解：∵， ∴． 即． ∴． 当时，； 当时，． 答：当t为4秒或7.2秒时，恰好有． 10．【答案】（1），；     （2）① 当点运动秒时，点与点相遇；② 当点运动或秒时，点与点间的距离为8个单位长度      【分析】 本题考查在数轴上找出点的位置，结合数轴求追赶和相遇问题，正确运用数形结合解决问题是解题的关键，注意不要漏解． （1）根据题意可先求出点表示的数为，由点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，得点运动秒的长度为，即可表示出点； （2）①由于点和Q都是向左运动，故点追上Q时相遇，根据点比Q多走了10个单位长度列出等式，根据等式求出t的值即可得出答案； ②要分两种情况计算：第一种是点追上点Q之前，第二种是点追上点Q之后，根据数轴上两点间距离公式列式求出t的值即可得出答案. (1) 小问详解： 数轴上点表示的数为，是数轴上在左侧的一点， ， 则， 数轴上点表示的数为； 动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动 点运动秒的长度为， 点所表示的数为：， 故答案为：，； (2) 小问详解： ① 设点运动秒时追上点， 根据题意得， 解得， 答：当点运动秒时，点与点相遇； ②设当点运动秒时，点与点间的距离为8个单位长度， 当点未超过点，则，解得； 当点超过点，则，解得； 答：当点运动或秒时，点与点间的距离为8个单位长度． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $