专题05 一元一次方程（期中真题汇编，重庆专用）七年级数学上学期

专题05 一元一次方程 4大高频考点概览 考点01 从算式到方程 考点02 等式的性质 考点03 解一元一次方程 考点04 实际问题与一元一次方程 考点01 从算式到方程 1．（25-26学年七上·重庆长寿中学·期中）下列式子是一元一次方程的是（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年七上·重庆南川）下列说法正确的是（     ） A. 单项式和多项式统称为整式 B. 倒数等于本身的数有0和1 C. 所有等式都是方程 D. 最小的有理数是0 3．（25-26学年七上·重庆求精中学校·期中）若方程是关于x的一元一次方程，则这个方程的解是       （     ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年七上·重庆字水中学·期中）已知关于的方程是一元一次方程，则的值为（       ） A. 1 B.  C. 1或 D. 无法确定 5．（25-26学年七上·重庆长寿中学·期中）一个长方形花坛，长比宽多，面积为，该花坛长为多少？若设花坛的长为，则可列方程为　　　　　　　　． 6．（25-26学年七上·重庆松树桥中学校·期中）已知方程是关于x的一元一次方程，则　　　　　　　． 7．（25-26学年七上·重庆育才中学·期中）若是关于的一元一次方程，则　　　　　　． 8．（25-26学年七上·重庆长寿川维中学校·期中）已知方程是关于的一元一次方程，则的值是　　　　　　　． 9．（七上·重庆第十八中学·期中）若是关于的方程的解，则的值为　　　　　　　　　　　． 10．（25-26学年七上·重庆南川）已知关于的方程是一元一次方程，则的取值是　　　　　 11．（25-26学年七上·重庆巴蜀中学校·期中）已知关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解是　　　　　　　　． 12．（25-26学年七上·重庆礼嘉中学·期中）若方程是关于的一元一次方程，则　　　　　． 考点02 等式的性质 1．（25-26学年七上·重庆求精中学校·期中）设x，y，c是实数，正确的是（       ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 2．（25-26学年七上·重庆礼嘉中学·期中）已知，下列变形中不一定正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年七上·重庆松树桥中学校·期中）下列运用等式的性质对等式进行的变形中，错误的是（     ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 4．（25-26学年七上·重庆育才中学·期中）已知，根据等式的性质下列变形正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年七上·重庆西南大学附·期中）下列变形中，错误的是（       ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 6．（七上·重庆第十八中学·期中）下列说法中正确的是（     ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 7．（25-26学年七上·重庆长寿中学·期中）下列等式变形错误的是（     ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 考点03 解一元一次方程 1．（25-26学年七上·重庆垫江中学校·期中）下列是方程的解是（　　） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年七上·重庆合川中学·期中）若是关于的方程的解，则的值为（     ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年七上·重庆巴蜀中学校·期中）若代数式的值如下表所示，则关于x的一元一次方程的解在数轴上表示的对应点是（     ） x … 0 2 … … 1 … A. A B. B C. C D. D 4．（25-26学年七上·重庆第八中学校·期中）下列在解方程的过程中，变形正确的是（       ）． A. 将去分母，得 B. 将去括号，得 C. 将移项，得 D. 将系化为1，得 5．（七上·重庆第十八中学·期中）若与为同类项，则的值为（     ） A. 2 B. 1 C. 0 D.  6．（25-26学年七·重庆重点中学·期中）我们把不超过有理数的最大整数称为的整数部分，记作，又把称为的小数部分，记作，则有．如：，，．下列说法中正确的有（    ）个 ①；②；③若，且，则或； ④方程的解为或． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7．（25-26学年七上·重庆长寿中学·期中）规定，，例如，，下列结论中，正确的是（       ） ①若，则； ②若，则； ③能使成立的的值不存在； ④式子的最小值是． A. ①② B. ①②④ C. ①④ D. ①②③④ 8．（25-26学年七上·重庆南川）解下列方程： （1）． （2）． 9．（25-26学年七上·重庆垫江中学校·期中）已知关于x的方程的解为整数，则满足条件的整数k的所有值的和为　　　　　　　　　　　 10．（25-26学年七上·重庆垫江中学校·期中）若关于的方程是一元一次方程，则的值是　　　　　　． 11．（25-26学年七上·重庆第七中学校·期中）已知整式，，其中是常数，若整式的值与的取值无关，求的值． 12．（25-26学年七上·重庆长寿中学·期中）解方程： （1）； （2） 13．（25-26学年七上·重庆第八中学校·期中）已知关于x的方程的解是，则m的值为　　　　　　． 14．（25-26学年七上·重庆育才中学·期中）如果方程与关于的方程的解相同，则的值是　　　　　　． 15．（25-26学年七上·重庆育才中学·期中）计算或解方程． （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 16．（25-26学年七上·重庆字水中学·期中）解下列方程并检验： （1） （2） 17．（25-26学年七上·重庆南川）若关于的方程的解为正整数，则所有满足条件的整数a的和为　　　　　． 18．（25-26学年七上·重庆第一中学校·期中）我们规定两个有序数对与间的运算，．例如：． （1）_________； （2）若，求的值 （3）若满足等式的x值为正整数，求所有满足条件的整数k的和 19．（25-26学年七上·重庆第一中学校·期中）（1）计算： （2）解方程： 20．（25-26学年七上·重庆巴蜀中学校·期中）解方程： （1）； （2）． 21．（25-26学年七上·重庆巴蜀中学校·期中）由分数的加减运算法则可知，一般情况下式子是不成立的，但有些数字代入a、b、m、n中可以使得等式成立，这时，我们就将满足条件的称作的“完美数对”，例如，那么是的“完美数对” （1）若是的“完美数对”，求x的值； （2）若是的“完美数对”，求的值． 22．（25-26学年七上·重庆垫江中学校·期中）解方程 （1） （2） 23．（25-26学年七上·重庆合川中学·期中）解下列一元一次方程： （1）； （2）． 24．（25-26学年七上·重庆合川中学·期中）定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”，例如：方程和为“美好方程”．若关于x的一元一次方程和是“美好方程”，那么关于y的一元一次方程的解为　　　　 ． 25．（25-26学年七上·重庆长寿中学·期中）【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，则A，B两点之间的距离，线段的中点表示的数为 【问题情境】如图，数轴上点A表示的数为，点B表示的数为8，点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为t秒 【综合运用】 （1）填空： A、B两点间的距离          ，线段的中点C表示的数为          ； （2）求当t为何值时，； （3）若点M为的中点，点N为的中点，点P在运动过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段的长． 26．（25-26学年七上·重庆求精中学校·期中）解方程： （1）； （2）． 27．（25-26学年七上·重庆渝高中学校·期中）若关于的方程有非负整数解，且关于的多项式是二次三项式，则所有满足条件的非负整数的值之积是　　　　　　． 28．（25-26学年七上·重庆渝高中学校·期中）解方程 （1）； （2）． 29．（25-26学年七上·重庆礼嘉中学·期中）解方程 （1） （2） （3） （4） 30．（25-26学年七上·重庆第八中学校·期中）定义新运算： ．如：，，若，则x的值为　　　　　　． 31．（25-26学年七上·重庆第八中学校·期中）解方程： （1） （2） 32．（25-26学年七上·重庆第八中学校·期中）（1）先化简，再求值：，其中a是绝对值最小的正整数，数轴上表示数b的点在原点左侧且到原点的距离为3． （2）解方程：． 33．（25-26学年七上·重庆长寿川维中学校·期中）解下列一元一次方程 （1）                                  （2） 34．（25-26学年七上·重庆川外基础教·期中）先化简，再求值： ，其中． 35．（25-26学年七上·重庆第一中学校·期中）已知关于x的多项式，(m，n为常数)． （1）若代数式的值与x无关，求的值． （2）若为关于x的一元一次方程，当方程的解为时，求m，n的值． 36．（25-26学年七上·重庆巴蜀中学校·期中）已知关于x的方程的解为正整数，且当时，恰好使取得最小值，则满足条件的整数a的值为　　　　　　　　． 37．（25-26学年七上·重庆万州国本中学校·期中）同学们都知道，表示4与的差的绝对值，实际上也可理解为4与两数在数轴上所对应的两点之间的距离，同理也可理解为x与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离，就表示x在数轴上对应的点到的距离，由上面绝对值的几何意义，解答下列问题： （1）x与4的距离可以表示为__________，若，则__________． （2）若，则所有符合条件的整数x的和为__________． （3）当x的取值为多少时，有最小值，最小值是多少？ 38．（25-26学年七上·重庆川外基础教·期中）定义：对于个关于的一次整式，若存在均不为零的数，使，其中是常数．则称这个一次整式为常数的“相关整式”．例如：对于一次整式，，存在，，，使，所以一次整式，，为常数的“相关整式”． （1）若整式，，为常数的“相关整式”，其中，则常数________，________； （2）若整式，，为常数2的“相关整式”，其中，，，求，的值； （3）已知整式，，，若整式是关于，的四次三项式，且为常数0的“相关整式”，求出的值． 39．（25-26学年七上·重庆永川区文理·期中）我们知道，在数轴上，表示数表示的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上两个点、，分别用，表示，那么、两点之间的距离为：．利用此结论，回答以下问题： （1）数轴上表示和的两点的距离是______； （2）如果，则______； （3）当取最小值时，则______； （4）如图，已知，分别为数轴上的两点，点表示的数是，点表示的数是；现有一只蚂蚁从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左移动，同时另一只蚂蚁恰好从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右移动，运动时间为秒，若，求时间的值． 考点04 实际问题与一元一次方程 1．（25-26学年七上·重庆字水中学·期中）一个书包的在进价的基础上调高后标价，现因为促销活动所有商品一律打9折，这个书包现在的售价为86.4元，那么这个书包的进价是（       ）元． A. 84.6元 B. 90元 C. 80元 D. 100元 2．（25-26学年七上·重庆南川）《九章算术》中有“盈不足术”的问题，原文如下：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三．问人数、羊价各几何？”题意是：若干人共同出资买羊，每人出5枚钱，则差45枚钱；每人出7枚钱，则差3枚钱．求人数和羊价各是多少？下列选项正确的是（     ） A. 20人，羊价120枚钱 B. 21人，羊价150枚钱 C. 22人，羊价140枚钱 D. 24人，羊价160枚钱 3．（25-26学年七上·重庆第一中学校·期中）某文具的标价是23元件．按照标价的八折进行销售，仍可获利，设该文具的进价为x元件，可列方程是（     ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年七上·重庆巴蜀中学校·期中）古书上有这样一个问题：“今有人买鸡，人出六，盈五；人出五，不足二．问人数、物价各几何．”意思是有若干人一起买鸡，如果每人出6文钱，就多出5文钱；如果每人出5文钱，就差2文钱．买鸡的人数、买鸡的费用分别是多少？若设买鸡的人数是x人，根据题意列一元一次方程正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年七上·重庆垫江中学校·期中）元旦期间，一家商店将某种服装按成本提高后标价，又以九折优惠卖出，结果每件仍获利70元，设这种服装每件成本是元，则根据题意列出正确的方程是（     ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年七上·重庆礼嘉中学·期中）为美化校园环境，践行“绿水青山就是金山银山”的发展理念，礼嘉中学初一年级某班积极响应学校劳动教育课程要求，在劳动实践基地开展植树活动．活动开始前，班长负责统计树苗需求，他发现若每人植2棵树，则树苗余下21棵；若每人植3棵树，则树苗还差24棵．设该班有x名学生，则可列方程为（       ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年七上·重庆育才中学·期中）《九章算术》中关于“盈不足”问题：“今有人共买物，人出五，盈三；人出四，不足二．问人数几何？”大意是：现有一些人共同买一个物品，若每人出5元，则还剩3元；若每人出4元，则还差2元．若设买这个物品共有个人，则可列方程为（     ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年七上·重庆求精中学校·期中）如图，四边形是一个边长为10米的正方形，甲、乙两玩具车分别从A、B两地同时出发，都沿的方向行走，甲车每分钟走7米，乙车每分钟走11米，则两玩具车第一次相遇时所处位置是在正方形的边（     ） A. 上 B. 上 C. 上 D. 上 9．（25-26学年七上·重庆珊瑚中学·期中）某同学在10月的日历上圈出了三个数a，b，c，并求出它们的和为48，则这三个数在日历中的排位位置不可能的是（       ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年七上·重庆字水中学·期中）小元同学在2024年10月的日历上圈出了三个数，并求出了它们的和为45，则这三个数在日历中的排列位置不可能的是（　　） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年七上·重庆綦江区未来学校·期中）对于任意一个正整数可以按规则生成无穷数串：，，，…，，，…（其中为正整数），规则为： ．有如下结论：①若，则生成的这数串中必有（为正整数）②若，生成的前2025个数之和为4759；③若生成的数中有一个，则它的前一个数应为32或5；④若，则的值是56；上述结论中，正确的个数是（　　） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 12．（25-26学年七上·重庆十一中教育·期中）如图是某月份的日历表，用形如 的框架框住日历表中的五个数，对于框架框住的五个数字之和，小华的计算结果不可能的是（       ） A.  B.  C.  D.  13．（25-26学年七上·重庆字水中学·期中）某市对市区主干道进行绿化，现有甲、乙两个施工队，甲队有5名工人，乙队有15人，若从乙队借调名工人到甲队，则甲队人数与乙队人数刚好相等，根据题意可列出方程为　　　　　　　． 14．（25-26学年七上·重庆梁山初中教·期中）材料阅读：传说夏禹治水时，在黄河支流洛水中浮现出一只大乌龟，背上有一个很奇怪的图案，这个图案被后人称为“洛书”（如图1所示），是世界上最早的矩阵，又称“幻方”．三阶幻方有“和幻方”和“积幻方”．其每一横行、每一竖列、每条斜对角线上的三个数字之和均相等的，我们称为“和幻方”；其每一横行、每一竖列、每条斜对角线上的三个数字之积均相等的，我们称为“积幻方”． （1）如图2是一个“和幻方”，则_____； （2）如图3是一个“积幻方”，求的值； （3）由三阶幻方可以衍生出许多有特定规律的新幻方，在如图4所示的“幻方”中，每个小三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等，若，求的值． 15．（25-26学年七上·重庆渝北区石鞋学校）综合探究 【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：如图1，若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b（），则线段的长（点A到点B的距离）可表示为，请用上面材料中的知识解答下面的问题： 【问题情境】如图2，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动2个单位长度到达点A，再向右移动3个单位长度到达点B，然后再向右移动5个单位长度到达点C． （1）【问题探究】点A到点B的距离______，点A到点C的距离______； （2）【问题探究】若点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，同时点M、N从点B、点C分别以每秒2个单位长度、每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动．设运动时间为t秒（）． ①在运动过程中，当时，求运动时间t的值； ②试探究在运动的过程中，的值是否随着时间t的变化而变化？若变化，说明理由；若不变，请求其值． 16．（25-26学年七上·重庆南川）在某校组织的科技节活动中，需要制作一批科技小作品，准备购买A零件、B零件和C零件共500个（每种零件都要有），其中B零件的单价比A零件的单价贵0.6元，买4个A零件和2个B零件共需要6元． （1）A零件和B零件的单价分别是多少元？ （2）若要求购买C零件的数量是A零件的3倍，A零件和B零件的单价不变，其中C零件的单价为元，在总数量不变的前提之下，无论符合该条件的这三种零件的数量如何分配，总费用始终不变，求此时m的值和总费用． 17．（25-26学年七上·重庆第一中学校·期中）某市居民用气阶梯气价标准如下： 阶梯 年度用气量（单位：立方米） 价格（单位：元/立方米） 第一阶梯 大于0小于等于的部分 a 第二阶梯 大于小于等于的部分 第三阶梯 以上的部分 （1）小依家年度用气立方米，应缴纳气费______元(用含a的式子表示)；已知该年度缴纳气费元，则______ （2）在（1）的结论下，该市某天然气公司推出了“居民家庭采暖用气”政策，居民用户在申请执行该政策后，全年用气量划分为两个阶段．每年1月、2月以及月共三个月为采暖期，无论用气量为多少，均按第一阶梯气价计费，其余的9个月为非采暖期，用气总量按普通阶梯气价计费．小钟家成功申请了“居民家庭采暖用气”，今年的年用气总量为立方米，共缴纳气费元．已知非采暖期用气量不低于立方米，求小钟家今年采暖期用气费用． 18．（25-26学年七上·重庆第一中学校·期中）列方程解应用题:某隧道及连接道路工程项目全长500米，其中隧道(地下路段)长度220米，剩余为连接道路（地上路段）．现有甲、乙两个工程队负责工程项目的修建，已知乙工程队每天修建地上路段的长度是甲工程队每天修建地上路段长度的倍，一期工程甲、乙两工程队一起修建完280米长的地上路段，用时共4天． （1）求一期工程中甲、乙两工程队每天分别修建地上道路多少米? （2）工程二期，由甲、乙两工程队继续负责地下路段的建设，由于建设难度的提升，甲、乙两工程队每天可修建地下道路长度缩减为一期工程的一半．工程二期，甲工程队每天修建道路的费用为3万元，乙工程队每天修建道路的费用为9万元．若安排由甲、乙共同修建该地下路段的一部分，剩下部分由甲工程队单独完成，工程二期总费用为72万元，求甲工程队在工程二期道路建设中单独修建了多少天? 19．（25-26学年七上·重庆第一中学校·期中）三阶幻方的游戏规则：将数字填入9个小正方形格子中，使每行、每列及两条斜对角线上的数字和都相等．如图中的三阶幻方填写了部分数字，按照游戏规则，其中m的值为　　　　　　　　　　　　　 20．（25-26学年七上·重庆巴蜀中学校·期中）列方程解应用题 某商场经销甲、乙两种畅销产品，甲种产品每件进价50元，乙种产品每件进价80元．为了迎接“双十一购物节”活动，该商场花费12400元提前购进甲、乙两种商品共200件． （1）该商场分别购进甲、乙两种产品多少件． （2）若甲种产品的标价是进价的3倍，每件乙种产品按标价出售可获得利润120元．“双十一购物节”期间，商场对这两种产品进行优惠促销活动：甲种产品每件降价元，乙种产品打m折出售．将这200件产品卖完后，商场最终获利13600元，求m的值． 21．（25-26学年七上·重庆垫江中学校·期中）某工厂需要生产一批三人扭腰器（如图），每套设备由一个扶手架和3个扭腰盘组装而成；若工厂每人每天只能生产同一种部件，每人每天平均生产扶手架的个数比扭腰盘的个数少个，且每天6个工人生产的扶手架数量与5个工人生产扭腰盘的数量相同． （1）工厂每人每天平均生产扶手架和扭腰盘各多少个？ （2）现共有名工人，应如何分配工人才能使每天的生产的扶手架和扭腰盘配套？ 22．（25-26学年七上·重庆第七中学校·期中）如图，数轴上有A，B，C三个点，A，B，C对应的数分别是，，12，动点P从A点出发，以每秒1个单位的速度向数轴正方向运动． （1）________；________； （2）若P点运动到A、B之间，且到A点距离是到B点距离的2倍，求此时P点的对应的数； （3）当P点运动到B点时，点Q从A点出发，以每秒2个单位的速度向C点运动，点Q到达C点后，再立即以每秒1个单位的速度返回，当Q点回到A点时，两点停止运动．在Q点开始运动后第几秒时，P、Q两点之间的距离为4． 23．（25-26学年七上·重庆求精中学校·期中）在如图的九个方格中，每行、每列、每条对角线上的三个数的和都相等，则　　　　　　　　， 　　　　　　　　． 12 a b 1 c d m 11 n 24．（25-26学年七上·重庆求精中学校·期中）下方左图是年1月的月历，用如图所示的“T”字形框在月历中任意框出4个数（框中的数没有空白），如右图，设“T”字形框中的4个数分别为a、b、c、d． （1）若，则________；若，则________； （2）在移动“T”字形框的过程中，小明说被框中的4个数之和可能为，你认为他的说法对吗？请说明理由． 25．（25-26学年七上·重庆求精中学校·期中）在数学综合实践活动中，同学们准备用某种规格的长方形彩纸制作几何体．经讨论，形成了如下制作方案： 几何体制作方案 步骤1   裁剪长方形彩纸：图1一张长方形彩纸可按图1方式裁为2块小长方形纸片，或按图2方式裁为3块小正方形纸片．     步骤2   制作“三角插”和“圆部式”基本单元：一块小长方形纸片可折成一个“三角插”基本单元，一块小正方形纸片可折成一个“圆部式”基本单元．         步骤3   制作几何体：40个“三角插”基本单元和10个“圆部式”基本单元，可做成一个A型几何体，30个“三角插”基本单元和20个“圆部式”基本单元，可做成一个B型几何体． 请你根据制作方案，完成下列问题： （1）若有210张长方形彩纸全部用来制作A型几何体，在不浪费纸张的前提下，分别用多少张彩纸制作“三角插”和“圆部式”基本单元？ （2）经过进一步讨论，同学们决定用295张长方形彩纸制作A型和B型几何体共13个，同样在不浪费纸张的前提下，请问能制作多少个A型几何体？ 26．（25-26学年七上·重庆求精中学校·期中）学校组织同学们春游，若每辆汽车坐45人，则有29人没有座位；若每辆汽车坐50人，则只有1辆汽车空11个座位无人坐，其余车辆全部坐满．共有　　　　　　　　人春游． 27．（25-26学年七上·重庆南坪中学校·期中）甲，乙两家服装商店销售同一品牌的西装和领带，西装定价都是每套200元，领带定价都是每条40元．现两家商店都在促销：甲店：买一套西装送一条领带；乙店：西装和领带都按定价的90%付款． 学校合唱团要购买西装20套，领带条（），由后勤谢老师负责购买，请为谢老师出谋划策： （1）若只在一家商店购买，当时，谢老师选择哪家商店购买西装和领带更划算？ （2）若只在一家商店购买，请用含的代数式分别表示在两家商店的花费； （3）当时，请设计最省钱的购买方案并求出最少的花费是多少． 28．（25-26学年七上·重庆礼嘉中学·期中）礼嘉中学食堂的食物一直深受学生的喜爱，特别是卤鸡腿和卤鸡翅更是火爆．上周六，食堂的王师傅到农贸市场采购了30公斤鸡腿和20公斤鸡翅，已知每公斤鸡翅比鸡腿贵5元；其中每公斤鸡腿的价格为元． （1）求王师傅上周六一共花了多少钱（用含的代数式表示）； （2）若王师傅一共花了1500元，求的值； （3）由于本周炸鸡腿和炸鸡翅的售卖情况异常火爆，本周六，王师傅决定继续到农贸市场采购该食材，但本周六1公斤鸡腿的价格在上周六基础上上涨了，而1公斤鸡翅的价格在上周六基础上下降了，这样，1公斤鸡腿和1公斤鸡翅的总价比之前少了元，在（2）问的条件下，求的值． 29．（25-26学年七上·重庆礼嘉中学·期中）如图，数轴上有，，三个点，点对应的数是，点，对应的数分别为，，且，满足． （1）直接写出_____，_____； （2）若动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动，同时动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度向左运动；动点到达原点后立即向左运动（只改变方向，不改变速度大小），则经过多长时间动点与动点到原点的距离相等？ （3）若数轴上有两个动点，分别从，两点出发沿数轴同时出发向右匀速运动，点速度为3个单位长度/秒，点速度为1个单位长度/秒，若运动时间为秒，运动过程中，记线段的中点为．是否存在的值，使得、、三点中的一点到余下两点的距离相等？若存在，请直接写出的值，若不存在，请说明理由． 30．（25-26学年七上·重庆复旦中学·期中）如图，在数轴上，点O表示原点，点A、B、C在数轴上对应的数分别是a、b、c，点B为中点，且a，c满． （1） ______， ______， ______； （2）点P从点A出发，以2个单位每秒的速度沿数轴向右匀速运动，点Q从点C出发，以1个单位每秒的速度沿数轴向左匀速运动，两点同时出发，当点P运动到点C时，点P，Q停止运动．设运动时间为t秒，当时，求t的值； （3）若动点M从点A出发．以每秒4个单位长度的速度沿数轴的正方向匀速运动至点B，再以每秒1个单位长度的速度沿数轴的正方向匀速运动；同时，动点N从点C出发以每秒2个单位长度沿着数轴的负方向匀速运动至点O，到达O点后点N按原速度立即返回点C，当点N运动到点C时，点M，N停止运动，设运动时间为k秒，当，求k的值． 31．（25-26学年七上·重庆第八中学校·期中）小吴所在社区采购了两类膳食物资，第一类：杂粮礼盒每份售价为24元；当采购量小于或等于35份时，无优惠．当采购量大于35份时，超过35份的部分每份售价降低3元．第二类：蛋白补给包每份售价为56元；当采购量小于60份时，无优惠．当采购量大于或等于60份时，每份（含小于60份的部分）售价均降低7元． （1）购买30份杂粮礼盒的费用为______元，购买70份蛋白补给包的费用为______元； （2）小吴所在社区积极响应国家号召，对参与BMI测量并购买两类膳食物资的居民在此前优惠方案的基础上，提供额外价格减免活动，具体如下： 类别 类型 杂粮礼盒每份售价减免（元） 蛋白补给包每份售价减免（元） 1 体重过低 2 7 2 体重正常 1 6 3 超重 3 7 4 肥胖 4 9 ＝体重÷身高的平方（单位：） 小吴的身高，体重，请通过计算值判断小吴所属类别是______（请填序号1、2、3、4）； 若小吴计划购买杂粮礼盒和蛋白补给包总共120份，当小吴购买杂粮礼盒x份时，总费用为多少元？ （3）在（2）的条件下，小吴实际购买的情况是：他第一次购买了10份杂粮礼盒和20份蛋白补给包，他第二次用了3753元购买了两类膳食物资共120份．若小吴将两次分开购买的两类膳食物资合起来一次性购买，则这样购买的总价比两次分开购买的总价少多少元？ 32．（25-26学年七上·重庆育才中学·期中）列一元一次方程解决实际问题： 魔方和数独棋等益智玩具近年来深受青少年的喜爱，它们不仅能给人带来乐趣，还能有效锻炼人的逻辑思维和问题解决能力．为了满足市场需求，某商店决定用元购进魔方、数独棋这两种益智玩具进行销售，其中购进魔方的数量是数独棋数量的倍，魔方、数独棋的进价和标价如下表： 魔方 数独棋 进价（元个） 标价（元个） （1）该商店购进魔方、数独棋各多少个？ （2）如果魔方按标价的七折出售，数独棋按标价的八折出售，那么这两种益智玩具全部售完后，该商店共获利多少元？ 33．（25-26学年七上·重庆潼南区初中·期中）阅读：如图，点在数轴上分别表示实数，，则两点之间的距离可以表示为． （1）理解：数轴上表示和的两点之间的距离是________，数轴上表示和的两点之间的距离是________；表示与－1的距离，若，则的值为________； （2）运用：当代数式取最小值时，相应的的取值范围是________；当代数式的最小值是________； （3）若点表示的实数为，点表示的实数为，点、分别从点、同时出发，点以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，当点到达点时，立即返回，设运动时间为秒．求为何值时，点与相距个单位长度． 34．（25-26学年七上·重庆字水中学·期中）植树节这天，七年级170名学生志愿者参加植树活动，假设一名男生一天能挖树坑3个，一名女生一天能种树7棵，且男生只挖树坑，女生只种树．要求每个树坑种一棵树，那么该年级参加植树的男生，女生各有多少名？ 35．（25-26学年七上·重庆字水中学·期中）如图：在数轴上A点表示数a，B点表示数b，C点表示数c，b是最小的正整数，且a、c满足． （1）a=____，b=____，c=____； （2）若将数轴折叠，使得A点与C点重合，则点B与数_____表示的点重合； （3）点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和4个单位长度的速度向右运动，假设t秒钟过后，若点A与点B之间的距离表示为AB，点B与点C之间的距离表示为BC，那么3BC-2AB的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． 36．（25-26学年七上·重庆西南大学附·期中）如图1是2025年11月的月历，数学老师在数学活动课上开展月历中的数学游戏． （1）任意框出图1某一列中相邻的3个数，若中间的数为，则这三个数的和为_____．（用含的式子表示）； （2）用图2框出图1中的3个数，若这3个数的和为63，则这3个数分别是_____； （3）用图3框出图1中的4个数，是否有可能这4个数的和是68？若有可能，求出这4个数；若不可能，请说明理由． 37．（25-26学年七上·重庆西南大学附·期中）如图，有理数，，在数轴上对应的点分别为，，，其中，，，现在点，，分别以每秒4个，3个，2个单位长度的速度在数轴上同时向右运动，记运动时间为秒． （1）当运动时间为秒时，点在数轴上对应的数是_____；（用含的式子表示） （2）当，，三点中恰好有一点为另外两点的中点时，求出的值； （3）是否存在常数，使得的值在一定时间范围内不随的改变而改变？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由． 38．（25-26学年七上·重庆长寿川维中学校·期中）今年9月，莉莉进入八中初一，在准备开学用品时，她决定购买若干个某款笔记本，甲、乙两家文具店都有足够数量的该款笔记本，这两家文具店该款笔记本标价都是20元/个．甲文具店的销售方案是：购买该笔记本的数量不超过5个时，原价销售；购买该笔记本超过5个时，从第6个开始按标价的八折出售：乙文具店的销售方案是：不管购买多少个该款笔记本，一律按标价的九折出售． （1）若设莉莉要购买x（x＞5）个该款笔记本，请用含x的代数式分别表示莉莉到甲文具店和乙文具店购买全部该款笔记本所需的费用； （2）在（1）的条件下，莉莉购买多少个笔记本时，到乙文具店购买全部笔记本所需的费用与到甲文具店购买全部笔记本所需的费用相同？ 39．（25-26学年七上·重庆梁山初中教·期中），如图1，点与点到原点的距离相等，、、分别表示、、三点在数轴上对应的数，如图2，我们将数轴在点和点处各弯折一次，使与处于水平位置、动点从点出发到点停止，以每秒2个单位的速度沿数轴正方向运动，上坡时的速度变为原来的一半，之后恢复原来的速度，动点从点处出发到点停止，以每秒1个单位的速度沿数轴负方向运动，下坡时的速度变为原来的两倍，之后恢复为原来的速度，若、同时出发，设运动时间为． （1）_____，_____，_____； （2）当、两点相遇时，求运动时间的值； （3）在运动过程中，是否存在，使动点、两点在数轴上相距的长度是、两点在数轴上相距的长度的倍，若存在，直接写出的值，若不存在，说明理由． 40．（25-26学年七上·重庆朝阳教育集·期中）如图1，A、B两点在数轴上对应的数分别为﹣12和4． （1）直接写出A、B两点之间的距离； （2）若在数轴上存在一点P，使得AP＝PB，求点P表示的数． （3）如图2，现有动点P、Q，若点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，当点Q到达原点O后立即以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右运动，求：当OP＝4OQ时的运动时间t的值． 41．（七上·重庆第十八中学·期中）点在数轴上表示的数为，点在数轴上表示的数为4，点为坐标原点． （1）如图，在数轴中，点与点___________所表示的数互为相反数，点与点___________所表示的数互为相反数； （2）若点为一个动点，从点出发，向点运动，速度为3个单位每秒，点到达点后立即反向继续按原来的速度运动；点为一个动点，从点出发，沿数轴正方向运动，速度为1个单位每秒．两个点同时出发，设：运动时间为秒． ①用含的代数式分别表示动点，动点； ②用含的代数式分别表示线段的长，线段的长； ③当时，直接写出的值． 42．（25-26学年七上·重庆兼善中学·期中）观察下面将一个无限循环小数化为分数的过程，并解答问题．…是一个以47为循环节的无限循环小数，将它扩大到100倍，把第一个循环节移到小数点之前，得到…，发现小数点后依然是循环节为47的无限循环小数，即仍是原数（这是“无限”的奇妙特征——部分等于全部），即…，由此可知， 99个等于47，所以． 例：将无限循环小数化为分数． 解：设，则…，所以，得，所以． （1）将无限循环小数化为分数：                 ． （2）仿照上述解答过程，将无限循环小数化为分数； （3）已知无限循环小数m（），它的循环节有三位，且从小数点后第一位开始循环，循环节记为n．将无限循环小数m化为分数：                 （直接用含n的代数式表示）． 43．（25-26学年七上·重庆开州区文峰·期中）如图，A点的初始位置位于数轴上的原点，现对A点做如下移动：第1次从原点向右移动1个单位长度至B点，第2次从B点向左移动4个单位长度至C点，第3次从C点向右移动7个单位长度至D点，第4次从D点向左移动10个单位长度至E点，…以此类推，移动5次后该点对应的数为　　　　　　　　　，这样移动2019次后该点到原点的距离为　　　　　　　． 44．（25-26学年七上·重庆第一中学校·期中）如图，在正方形中，点E 在线段上，点F、H在线段上，连接．先将正方形沿折叠，使点A和 点C同时翻折至点G，随即再沿折叠，使点D 翻折至点K， 则为 　　　　　　　　　　　　　 度；若，且满足，则为　　　　　　　　　　　　度． 45．（25-26学年七上·重庆巴蜀中学校·期中）密码学是研究编制和破译密码的规律的一门学科，它与数学有密切关系．密码学中，明文是未经过加密处理的原始信息，密文是由明文通过已知的密码规则进行加密变换后得到的信息，解密是把密文通过已知的密码规则变为明文的过程．有一种密码规则，将26个英文字母a，b，c，d，…，z如下表所示依次对应数字1，2，3，4，…，26．当密文中的英文字母在表格中对应的数字x为偶数时，解密后的明文为代数式所得数值在表格中对应的英文字母；若x为奇数，解密后的明文为代数式所得数值在表格中对应的英文字母． 字母 a b c d e f g h i j k l m 对应数字 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 字母 n o p q r s t u v w x y z 对应数字 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 根据以上材料，回答下列问题： （1）密文“”解密成明文为“________”；明文“”加密成密文为“________”； （2）将解密后的明文中的字母所对应的数字设为y，若存在一个密文中的字母所对应的数字x，与其解密后的明文所对应的数字y满足（k为正整数），求满足条件的密文中的字母． 46．（25-26学年七上·重庆南坪中学校·期中）数学探究：点 A、B 在数轴上分别表示有理数 a、b，A、B 两点之间的距离表示为，在数轴上 A、B两点之间的距离，利用数形结合思想回答下列问题： （1）数轴上表示x与3两点之间的距离表示                           ，结合上面的理解，若，则        ． （2）当       时，代数式； （3）的最大值为                      ． （4）若点A表示的数1，点B与点A的距离是5，且点 B 在点 A 的右侧，动点P、Q分别从A、B同时出发沿数轴正方向运动，点P的速度是每秒3个单位长度，点Q的速度是每秒1个单位长度，求运动几秒后，？（请写出必要求解过程） 47．（25-26学年七上·重庆高新·期中）点，在数轴上分别表示有理数，且满足．现将数轴在点，处剪断，再用绳子将它们连接，就可得到如图所示的“拱形数轴”，其中点为绳子上一点且满足．在此数轴上，我们定义任意两点的距离为它们之间折线段的长度之和，如图1，，两点的距离为线段的长，记为，记，两点的距离为． （1）请直接写出________，________； （2）若，点在数轴上表示有理数6，一动点从点出发以每秒3个单位长度沿“拱形数轴”向正方向运动，同时，另一动点从点出发以每秒1个单位长度沿“拱形数轴”向负方向运动，两个点运动到点处均停止，设运动时间为秒，请问取何值时，使得？ （3）如图2，已知，动点从点出发以每秒2个单位长度沿着“拱形数轴”向正方向运动，同时点从点出发，以每秒1个单位长度沿着“拱形数轴”向负方向运动；两点相遇后，点速度立即变为原来的一半并沿着“拱形数轴”向负方向运动，同时点保持速度不变并沿着“拱形数轴”向正方向运动．设运动时间为秒，是否存在使得？如果存在，请直接写出的值，如果不存在，请说明理由． 48．（25-26学年七上·重庆渝高中学校·期中）如图，数轴上A，B，O两点表示的数分别为，13，0． 数轴体现了数形结合的数学思想，若数轴上点A，B表示的数分别为a，b，则A、B两点之间的距离表示为．数轴上数x表示的点到表示数a的点与表示数b的点的距离之和记为．同理，数轴上数x表示的点到表示数a的点与表示数b的点的距离之差记为． （1）若，则______．的最小值为______．的最小值为______． （2）若点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右运动，运动时间为t，当动点P到点O与点B的距离之差等于点P到点A与点O距离之和的最小值时，求出t的值及此时点P表示的数． （3）点C，D表示的数分别为，3，动点M从点A出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动，当到达点B后立即速度减半返回A点；动点N从点B出发，以每秒1个单位长度的速度向左运动，当到达点A后停留，然后速度变为原来的两倍返回B点．当点A、B中某一点返回到达出发点时，两个点均停止运动，点M、N同时开始运动，经过多少秒时，点N到点C的距离等于点M到点D距离的两倍． 49．（25-26学年七上·重庆重庆云阳县·期中）如图，已知数轴上点A表示的数为，B、C是数轴上原点右侧的点，其中，，B是的中点．    （1）点B表示的数是        ，点C表示的数是        ； （2）动点M从点A出发，以每秒2个单位长度的速度向右匀速运动，多少秒后点M与点C相距3个单位长度？ （3）动点P、R分别从点A、B同时出发，分别以每秒2个、1个单位长度的速度向右匀速运动，同时动点Q从点C出发，以每秒1.5个单位长度的速度向左匀速运动，每当两动点相遇时，相遇的两动点会立即以原速往相反方向运动，令运动时间为t，当时，求t的值． 50．（25-26学年七上·重庆第九十五初级中学校·期中）数轴上有两点分别位于原点的两侧（点在原点左侧，点在原点右侧），且满足，点在数轴上对应的数为，动点分别从原点同时出发向左，向右运动，速度分别为8个单位长度／秒，4个单位长度／秒，同时动点从点出发向右运动，速度为2个单位长度／秒，设运动时间为秒． （1）①点在数轴上对应的数是______； ②点在数轴上对应的数是______；点在数轴上对应的数是______；点在数轴上对应的数是______（用含的代数式表示） （2）当为何值时，动点与动点之间的距离为200个单位长度？ （3）若点为的中点，点为的中点，当时，求的值． 51．（25-26学年七上·重庆凤鸣山中学教共体学校）如图，在数轴上有A，B两点，分别表示的数为a，b，且．点P从A点出发以每秒19个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，当它到达B点后立即以相同的速度返回往A点运动，并持续在A，B两点间往返运动．在点P出发的同时，点Q从B点出发以每秒3个单位长度向左匀速运动，当点Q到达A点时，点P，Q停止运动． （1）________（填空），并求运动了多长时间后，点P，Q第一次相遇，以及相遇点所表示的数； （2）点C在数轴上对应的数为81，在数轴上是否存在点M，使，若存在，求出点M对应的数，若不存在，说明理由； （3）求当点P，Q停止运动时，点P所在的位置表示的数；在整个过程中，点P和点Q一共相遇了多少次？ 52．（25-26学年七上·重庆珊瑚中学·期中）“数形结合”是一种重要的数学思想方法，数轴可以被视为“形”的一部分．研究数轴可以发现很多重要的结论： 绝对值的几何意义：一般地，如果点A，B在数轴上表示的数分别为a，b，那么A，B两点之间的距离可表示为，记作．例如，4与2之间的距离可表示为． 请借助数轴和上面的结论解决下列问题： 如图，点A，B在数轴上表示的数分别为，10，点P以每秒2个单位长度的速度从点A出发沿数轴的正方向运动，同时点Q以每秒1个单位长度的速度从点B出发沿数轴的负方向运动，设运动的时间为秒． （1）运动t秒后点P表示的数是______，点Q表示的数是______．（用含有t的代数式表示） （2）利用绝对值的几何意义，探索当______时，值最小为______． （3）当P，Q两点之间的距离为6个单位长度时，求t的值． （4）如果点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发沿数轴向右运动，同时点Q从点C出发以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，当点Q到达点A时，点P与Q同时停止运动．设点P的运动时间为t秒（）．当点P点Q与点A三个点中，其中一个点到另外两个点的距离相等时，直接写出t的值． 53．（25-26学年七上·重庆杨家坪中学·期中）在初中数学文化节游园活动中，被称为“数学小王子”的王小明参加了“智取九宫格”游戏比赛，活动规则是：在九宫格中，除了已经填写的三个数之外的每一个方格中，填入一个数，使每一横行、每一竖列以及两条对角线上的个数之和分别相等．王小明抽取到的题目如图所示，他运用初中所学的数学知识，很快就完成了这个游戏，则　　　　　　，　　　　　　． 16 7 4 54．（25-26学年七上·重庆杨家坪中学·期中）如图，在数轴上点表示的数为，点表示的数为40，动点从点出发以每秒5个单位的速度沿正方向运动，动点从原点出发以每秒4个单位的速度沿正方向运动，动点从点出发以每秒8个单位的速度先沿负方向运动，到达原点后立即按原速返回，三点同时出发，当点回到点时，三点停止运动． （1）当运动时间为3秒时，点、点之间的距离是______，单位；当运动时间为______秒时，点与点相遇． （2）当个单位时，求三个点的运动时间． （3）是否存在常数，使得在某段时间内为定值？若存在，直接写出的值以及该定值；若不存在，请说明理由． 55．（25-26学年七上·重庆育才中学·期中）我们知道的几何意义是：在数轴上，数对应的点与数0对应的原点这两点之间的距离，记为．同理，数对应的点与数对应的点这两点之间的距离可以表示为．比如，数与4对应的点之间的距离为．借助绝对值的几何意义可以帮助我们解决一些问题． （1）若点对应的数为，点对应的数为4，则_____； （2）当奇数整数_____时，的值最小，最小值为_____； （3）若，求的值； （4）为了丰富学生的课余生活，我校九龙园校区初二年级开展了飞盘比赛．如图，某班、、、四个小组的同学站在一个大圆周的四个位置练习扔飞盘．开始时，体育保管室给大家一共准备了100个飞盘，分给四个小组．已知组有23个飞盘，组有11个飞盘，组有22个飞盘，组有44个飞盘．体育老师要求飞盘只能在相邻的两组之间进行飞行传递，即只可以与和传递，只可以与和进行传递，只可以和和传递，只可以和和传递．经过一定时间的飞行传递后，、、、四组的飞盘数量之比为3∶5∶8∶4，请问、、、四组间传递飞盘的总数量最少是多少个？请直接写出答案． 56．（25-26学年七·重庆重点中学·期中）若在一个的方格中填写9个不同的数字，使得每一横行、每一竖列及两条斜对角线上的三个数字之和（该和叫做“幻和”）均相等，则称这个的方格为“幻方”． （1）图1是一个“幻方”，则______，______，______，并请计算出图1中所有数的和与其“幻和”之间的倍数关系． （2）珍珍要将，，，，，，，0，2这9个数填入如图2所示的“幻方”中，每个方格中填入一个不同的数，并且使每一横行、每一竖列及两条斜对角线上的三个数字之和均相等，珍珍经过研究，发现在“幻方”中，中间数m是上述9个数的平均数． ①求中间数m的值； ②在空白方格内填上正确的数字． 0 0 57．（25-26学年七上·重庆川外基础教·期中）如图，O为数轴的原点，数轴上从左到右依次有A，C，B三点，对应的数分别为a，c，b．已知，．将数轴以点C为分界点折叠，点A恰好与点B重合． （1）直接写出：________，________； （2）动点P从点A出发，以4个单位长度/秒的速度沿数轴向右匀速运动，到达点B后立即以原速匀速返回（调头时长忽略不计）；点P出发的同时点Q从点B出发，以2个单位长度/秒的速度沿数轴向左匀速运动．当点Q到达点A时P，Q两点停止运动．设点P的运动时间为t秒． ①是否存在某一时刻使得P，Q两点到原点的距离相等？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由； ②如图，在数轴上的段设置减速带，动点途经段时速度会减为原速的一半，离开段后速度变回原速．是否存在某一时刻使得，若存在，请直接写出所有满足条件的t的值，并将其中一个t的求解过程写出来；若不存在，请说明理由． 58．（25-26学年七上·重庆南开中学校·期中）已知两个正整数m和n各个数位上的数字均不为0，若它们的位数相同且对应数位上的数字之和为10，称这两个数互为“互补数”．例如：4和6互为“互补数”，119与991互为“互补数”．若m的“互补数”为n，记为m的“互补差”，例如：81的“互补数”为29，． （1）42的“互补差”为        ； （2）已知两位数m的个位数字比十位数字大3，且它的“互补数”n等于它的倍，求这个两位数的“互补差”； （3）已知某三位数（其中，且a，b为整数），若能被19整除，直接写出这个三位数所有可能的值． 59．（25-26学年七上·重庆开州中学·期中）国庆节期间某商场对顾客实行优惠，规定如下：若一次购物不超过 300 元（含 300 元），按标价九折优惠，若一次购物超过 300 元，但不超过 800 元（含 800 元），所有商品按标价给予八折优惠，若一次购物超过 800 元，其中 800 元按八折优惠之外，超过 800 元的部分给予六折优惠. （1）若某人一次购物货款为x元（x>1000），打折后应付多少元？ （2）若某人两次购物分别付款180 元和 1000 元，如果他合起来一次去购买同样的商品，他还可以节约多少元？ 60．（25-26学年七上·重庆开州中学·期中）已知：是最小的两位正整数，且满足，请回答问题： （1）请直接写出的值：        ，=        ． （2）在数轴上所对应的点分别为A、B、C ，点P为该数轴上的动点，其对应的数为，点P在点A与点C之间运动时（包含端点），则AP＝        ，PC＝        ． （3）在（1）（2）的条件下，若点M从A出发，以每秒1个单位长度的速度向终点C移动，当点M运动到B点时，点N从A出发，以每秒3个单位长度向C点运动，N点到达C点后，再立即以同样的速度返回点A，设点M 移动时间为t秒，当点N开始运动后，请用含t的代数式表示M、N两点间的距离． 61．（25-26学年七上·重庆南开中学校·期中）如图1，已知数轴上的点对应的数是，点对应的数是，且满足．    （1）求数轴上到点、点距离相等的点对应的数 （2）动点从点出发，以个单位秒的速度向右运动，设运动时间为秒，问：是否存在某个时刻，恰好使得到点的距离是点到点的距离的倍？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由 （3）如图2在数轴上的点和点处各竖立一个挡板点在原点左侧，点在原点右侧，数轴上甲、乙两个弹珠同时从原点出发，甲弹珠以个单位秒的速度沿数轴向左运动，乙弹珠以个单位秒的速度沿数轴向右运动．当弹珠遇到挡板后立即以原速度向反方向运动，若甲、乙两个弹珠相遇的位置恰好到点和点的距离相等．试探究点对应的数与点对应的数是否满足某种数量关系，请写出它们的关系式，并说明理由． 62．（25-26学年七上·重庆开州区文峰·期中）如图所示，在数轴上点A、B、C表示的数分别为，1，6，点A与点B之间的距离表示为，点B与点C之间的距离表示为，点A与点C之间的距离表示为． （1）则______，______，______； （2）点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动．请问：的值是否随着运动时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值； （3）若点C以每秒3个单位长度的速度向左运动，同时，点A和点B分别以每秒1个单位长度和每秒2个单位长度的速度向右运动．请问：随着运动时间t的变化，当A、B、C三点中，其中一个点是另外两个点的中点时，求此时t的值． 63．（25-26学年七上·重庆巴蜀中学校·期中）七年级数学兴趣小组成员自主开展数学微项目研究，他们决定研究“折线数轴”． 素材1   如图，数轴上点A表示的数为，原点O表示的数为0，点B表示的数为8，点C表示的数为20．将数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”．把两点所对应的两数之差的绝对值叫这两点间的求知距离．例如：点A和点C在折线数轴上的求知距离为个单位长度，并表示为． 素材2   动点P从C出发，以4个单位长度/秒的初始速度，沿着“折线数轴”向其负方向运动，当点P到达A点后停留了一会儿，又按原初始速度返回C．点P出发5秒后，动点Q从A出发，以2个单位长度/秒的初始速度，沿着“折线数轴”向其正方向运动，到达点B停止．（“折线数轴”上的动点从点O到点B时，速度变为初始速度的，从点B到点O时，速度变为初始速度的两倍，过了即恢复原初始速度） （1）①点P出发秒后，________，此时点P表示的数是________． ②若点P从点A处返回经过秒追上点Q，求点P在点A处停留的时间． （2）在②的条件下，当点P追上点Q时，另一动点M从C出发，以3个单位长度/秒的初始速度，沿着“折线数轴”向其负方向运动．点Q停止运动时点P、M也随之停止．设点M的运动时间为m，当，求m的值． 64．（25-26学年七上·重庆合川中学·期中）如图，数轴上A、B表示的数分别为、20，有两条动线段和，点C与点A重合，点M对应的数是4，且点C在点D的左边，点M在点N的左边，，．线段以每秒4个单位的速度向右匀速运动，同时线段以每秒1个单位的速度向右匀速运动．当点D运动到点B时，线段立即返回，并且速度变为原速的一半，同时，线段的速度变为两倍；当点N到达点B时，线段同时停止运动．设运动时间为t秒（整个运动过程中，线段和保持长度不变）． （1）当时，点D表示的数为______；当时，点D表示的数为______； （2）在线段从A到B的过程中，点E是的中点，点F是的中点，若，求点N在数轴上对应的数； （3）在整个运动过程中，请直接写出时，所对应的t的值． 65．（25-26学年七上·重庆合川中学·期中）如果一个四位自然数的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足，那么称这个四位数为“递减数”．例如：四位数4129，∵，∴4129是“递减数”；又如：四位数5324，∵，∴5324不是“递减数”．若一个“递减数”为，则这个数为　　　　　　　　　　　；若一个“递减数”的前三个数字组成的三位数与后三个数字组成的三位数的和能被9整除，则满足条件的数的最大值是　　　　　　　　　　　． 66．（25-26学年七上·重庆字水中学·期中）如图，有理数，分别对应数轴上的点，，且，满足． （1）直接写出，的值：______；______； （2）若动点，分别从，同时出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向右运动，以每秒2个单位的长度的速度沿数轴向右运动，当，相遇时停止运动，当为何值时，； （3）我们规定，若在线段上存在满足，则我们称点是线段的一个分点．点从线段上的2分点出发，以每秒1个单位长度在数轴上按以下规律往返运动：第一回合，从点到点，再从点到点回到点；第二回合，从点到的中点，再从点到的中点回到点；第三回合，从点到的中点，再从点到的中点回到点，如此循环下去，若第秒时满足，求的最大值． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 一元一次方程 4大高频考点概览 考点01 从算式到方程 考点02 等式的性质 考点03 解一元一次方程 考点04 实际问题与一元一次方程 考点01 从算式到方程 1．（25-26学年七上·重庆长寿中学·期中）下列式子是一元一次方程的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据一元一次方程的定义判断即可．本题考查了一元一次方程的定义，熟知：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1的整式方程叫做一元一次方程，是解题的关键． 【详解】 解：A、不是一元一次方程，故此选项不符合题意； B、不是一元一次方程，故此选项不符合题意； C、是一元一次方程，故此选项符合题意； D、含有两个未知数，不是一元一次方程，故此选项不符合题意； 故选： 2．（25-26学年七上·重庆南川）下列说法正确的是（     ） A. 单项式和多项式统称为整式 B. 倒数等于本身的数有0和1 C. 所有等式都是方程 D. 最小的有理数是0 【答案】A 【分析】 本题考查整式、倒数、方程和有理数的概念，准确理解概念定义是解题的关键．根据整式、倒数、方程和有理数的概念逐项判断即可． 【详解】 解：、单项式和多项式统称为整式，故本选项符合题意； 、倒数等于本身的数是，0没有倒数，故本选项不符合题意； 、方程必须是含有未知数的等式，故本选项不符合题意； 、有理数没有最小值，故本选项不符合题意； 故选：． 3．（25-26学年七上·重庆求精中学校·期中）若方程是关于x的一元一次方程，则这个方程的解是       （     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查的是一元一次方程的定义，熟知只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程是解题的关键． 根据一元一次方程的定义列出关于m的方程，求出m的值即可得到关于x的一元一次方程，求出x的值即可． 【详解】 解：∵是关于x的一元一次方程， ∴，解得， ∴原方程可化为，解方程得； 故选：B 4．（25-26学年七上·重庆字水中学·期中）已知关于的方程是一元一次方程，则的值为（       ） A. 1 B.  C. 1或 D. 无法确定 【答案】A 【分析】 本题考查了一元一次方程的定义，根据含有一个未知数，且未知数的次数是的整式方程是一元一次方程进行列式计算，即可作答． 【详解】 解：∵关于的方程是一元一次方程， ∴， 解得， 故选：A． 5．（25-26学年七上·重庆长寿中学·期中）一个长方形花坛，长比宽多，面积为，该花坛长为多少？若设花坛的长为，则可列方程为　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了方程，等量关系比较明显，利用长方形的面积得出方程是解题关键．设出长方形的长，然后表示出长方形的宽，利用长方形的面积计算方法列出方程求解即可． 【详解】 解：设花坛的长为， 根 据 题 意 得 ：， 故答案为：． 6．（25-26学年七上·重庆松树桥中学校·期中）已知方程是关于x的一元一次方程，则　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查一元一次方程的定义，理解并掌握一元一次方程的定义，正确列式求解是关键． 根据一元一次方程的定义，未知数的指数必须为1，且系数不能为0，据此列式解答即可． 【详解】 解：∵方程是关于的一元一次方程， ∴，且， ∴． 故答案为：． 7．（25-26学年七上·重庆育才中学·期中）若是关于的一元一次方程，则　　　　　　． 【答案】0 【分析】 本题主要考查了一元一次方程，解题的关键是掌握一元一次方程的定义． 根据一元一次方程的定义，未知数的最高次数为1，得出，解方程求出值即可． 【详解】 解：由题意，方程是关于的一元一次方程， 因此的指数必须等于1，即 ， 解得， 所以． 故答案为：0 8．（25-26学年七上·重庆长寿川维中学校·期中）已知方程是关于的一元一次方程，则的值是　　　　　　　． 【答案】3 【分析】 只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）的方程叫做一元一次方程，据此可得出关于a的方程，继而可求出a的值． 【详解】 解：根据题意，得 |a|﹣2＝1，且a+3≠0， 解得，a＝3； 故答案为：3． 【点睛】 本题主要考查了一元一次方程的一般形式，只含有一个未知数，未知数的指数是1，一次项系数不是0，这是这类题目考查的重点． 9．（七上·重庆第十八中学·期中）若是关于的方程的解，则的值为　　　　　　　　　　　． 【答案】3 【分析】 本题考查了一元一次方程的解，熟练掌握解的定义是解答本题的关键，能使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解． 根据方程解的定义，将代入方程求出的值，再代入计算． 【详解】 解：因为是关于的方程的解， 所以将代入方程，得， 因此，． 故答案为 3． 10．（25-26学年七上·重庆南川）已知关于的方程是一元一次方程，则的取值是　　　　　 【答案】 【分析】 本题考查了一元一次方程的定义，绝对值，熟练掌握一元一次方程的定义是解题的关键． 根据一元一次方程的定义，未知数的指数必须为且系数不为，由此确定 的值． 【详解】 ∵方程 是一元一次方程， ∴ ， 解得；解得， ∴． 故答案为：． 11．（25-26学年七上·重庆巴蜀中学校·期中）已知关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解是　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了方程的解的定义；关键是在两个方程中寻找解之间的关系； 通过对比两个方程的形式，发现第二个方程中的“”相当于第一个方程中的“”，因此利用第一个方程的解直接求解． 【详解】 解：第一个方程 的解为 ， 第二个方程 可视为将第一个方程中的 替换为 ， 因此 ，解得 ． 故答案为：． 12．（25-26学年七上·重庆礼嘉中学·期中）若方程是关于的一元一次方程，则　　　　　． 【答案】3 【分析】 本题考查了一元一次方程的定义． 根据一元一次方程的定义，方程中只能含有一个未知数，且未知数的最高次数为1．因此，二次项系数必须为零，进而判断是否成立即可． 【详解】 解：∵方程是关于的一元一次方程， ∴ ，解得 故答案为：3． 考点02 等式的性质 1．（25-26学年七上·重庆求精中学校·期中）设x，y，c是实数，正确的是（       ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】B 【分析】 本题考查了等式的性质，根据等式的性质逐项判断即可求解． 【详解】 解：A. 若，则，故该选项错误，不合题意； B. 若，则，故该选项正确，符合题意； C. 若，则，故该选项错误，不合题意； D. 若，则，即，故该选项错误，不合题意． 故选：B 2．（25-26学年七上·重庆礼嘉中学·期中）已知，下列变形中不一定正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了等式的性质． 根据等式的性质，等式两边同时进行相同的运算（加、减、乘、除）时，等式仍然成立，但除法运算中除数不能为零．选项D中分母k可能为零，因此变形不一定正确． 【详解】 解：A：等式两边同时减去3，得，等式两边同时乘以，得，正确； B：等式两边同时乘以，得，正确； C：等式两边同时乘以a，得，无论a为何值，等式均成立，正确； D：等式两边同时除以k，当时，分式无意义，因此不一定正确； 故选：D． 3．（25-26学年七上·重庆松树桥中学校·期中）下列运用等式的性质对等式进行的变形中，错误的是（     ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【分析】 本题考查了等式的基本性质，利用等式的基本性质直接解答即可求解，掌握等式的基本性质是解题的关键． 【详解】 解：A、若，则，正确，不符合题意； B、若，则，正确，不符合题意； C、若，则，正确，不符合题意； D、若，则恒成立，但a与b可能不相等，故错误，符合题意， 故选：D． 4．（25-26学年七上·重庆育才中学·期中）已知，根据等式的性质下列变形正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了等式的基本性质，关键是熟练应用； 对给定等式 进行变形，判断各选项是否正确，等式性质包括：等式两边同时加、减、乘、除（除数不为零）同一个数，等式仍然成立. 【详解】 解： ，两边同时减 得：，即：选项A错误； ，两边再同时除以得：，选项B正确； 由两边同时减得：，选项C错误； 由两边同时乘以得：，选项D错误. 故选：B 5．（25-26学年七上·重庆西南大学附·期中）下列变形中，错误的是（       ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【分析】 本题考查了等式的性质，性质1：等式两边同时加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等；性质2：等式两边同时乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等．根据对应性质逐一判断，即可得到答案． 【详解】 解：A、若，则，原说法正确，该选项不符合题意； B、若，则，原说法正确，该选项不符合题意； C、若，则，原说法正确，该选项不符合题意； D、若，当时，则，原说法错误，该选项符合题意； 故选：D． 6．（七上·重庆第十八中学·期中）下列说法中正确的是（     ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【分析】 本题考查了等式的基本性质．解题的关键是等式的基本性质：等式性质1：等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；等式性质2：等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式． 根据等式的基本性质判断即可． 【详解】 解：若，则或，原写法错误，不符合题意； B、若，则，原写法错误，不符合题意； C、若，当时，不成立，不符合题意； D、若，则，那么，故，正确，符合题意； 故选：D． 7．（25-26学年七上·重庆长寿中学·期中）下列等式变形错误的是（     ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【分析】 本题考查等式的性质，根据等式的性质逐项判断即可，解题的关键是熟记等式性质：等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；性质：等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式． 【详解】 解：A、若，则，原选项变形正确，不符合题意； B、若，则，原选项变形正确，不符合题意； C、若，则，原选项变形正确，不符合题意； D、若，在时，两边都除以可得，原选项变形错误，符合题意； 故选：D． 考点03 解一元一次方程 1．（25-26学年七上·重庆垫江中学校·期中）下列是方程的解是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题主要考查解一元一次方程，熟练掌握方程的解法是解题关键．通过移项和合并同类项求解方程即可． 【详解】 解：， ， 即 ， ． 故选：D． 2．（25-26学年七上·重庆合川中学·期中）若是关于的方程的解，则的值为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，将代入方程，直接求解的值即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】 解：∵是方程的解， ∴，即， ∴， 故选：． 3．（25-26学年七上·重庆巴蜀中学校·期中）若代数式的值如下表所示，则关于x的一元一次方程的解在数轴上表示的对应点是（     ） x … 0 2 … … 1 … A. A B. B C. C D. D 【答案】C 【分析】 本题主要考查了解一元一次方程．把代入可得m的值，然后求出方程的解，即可． 【详解】 解：根据表格得：当时，， ∴， ∴原方程为， 解得：， ∴方程的解在数轴上表示的对应点是C． 故选：C 4．（25-26学年七上·重庆第八中学校·期中）下列在解方程的过程中，变形正确的是（       ）． A. 将去分母，得 B. 将去括号，得 C. 将移项，得 D. 将系化为1，得 【答案】B 【分析】 根据解一元一次方程的基本变形，包括去分母、去括号、移项和系数化为1，需逐一验证每个选项的变形是否正确． 【详解】 解：方程去分母，两边同乘3，得，故A错误； 方程去括号，括号前是负号，去括号后为，故B正确； 方程移项，得，故C错误； 方程系数化为1，得，故D错误； 故选：B． 【点睛】 本题考查了等式的性质2，解一元一次方程（一）——合并同类项与移项，解一元一次方程（二）——去括号，解一元一次方程（三）——去分母，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 5．（七上·重庆第十八中学·期中）若与为同类项，则的值为（     ） A. 2 B. 1 C. 0 D.  【答案】D 【分析】 本题考查了已知同类项求指数中字母或代数式的值，熟练掌握同类项的定义是解题的关键； 根据同类项的定义，两个单项式中相同字母的指数必须相等，因此可列出关于和的方程求解． 【详解】 ∵ 与 为同类项， ∴ 的指数相等：， ∴ 的指数相等：， 解得：，， ∴ ． 故选：D． 6．（25-26学年七·重庆重点中学·期中）我们把不超过有理数的最大整数称为的整数部分，记作，又把称为的小数部分，记作，则有．如：，，．下列说法中正确的有（    ）个 ①；②；③若，且，则或； ④方程的解为或． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【分析】 本题考查新定义下的整数部分和小数部分的概念，熟练掌握有理数的运算及一元一次方程的解法是解题的关键；根据定义判断各说法：①直接计算；②负数的整数部分注意取小于等于的最大整数；③考虑正负情况下的实际小数部分；④将方程化为，通过的整数取值求解． 【详解】 解：① ∵不超过2.8的最大整数是2，∴，正确； ② ∵不超过的最大整数是，∴，错误； ③当时，，，符合； 当时，，，不符合； ∴x只能为1.4，说法错误； ④由，代入方程：， ∴， ∵， ∴，即， ∴，为整数，取， 当时，，，； 当时，，，； 当时，，，； 当时，，，； ∴方程解为或0.25或1.5或2.75，说法中不是解，且遗漏其他解，错误； 综上，只有①正确， 故选：A． 7．（25-26学年七上·重庆长寿中学·期中）规定，，例如，，下列结论中，正确的是（       ） ①若，则； ②若，则； ③能使成立的的值不存在； ④式子的最小值是． A. ①② B. ①②④ C. ①④ D. ①②③④ 【答案】C 【分析】 本题考查定义新运算，化简绝对值，整式的加减运算，根据新运算的法则，结合绝对值的意义，逐一进行判断即可． 【详解】 解：∵，， ∴当时，则：， ∴， ∴；故① 正确； 当时，则；故② 错误； 当时，则：，解得：，故③ 错误； ， ∴当在和之间时，有最小值为：；故④ 正确； 故选C． 8．（25-26学年七上·重庆南川）解下列方程： （1）． （2）． 【答案】（1）；     （2）．      (1) 小问详解： 解： ， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 解得：； (2) 小问详解： 解：， 去分母，得：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 解得：． 【点睛】 本题考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的基本步骤是解答本题的关键． 9．（25-26学年七上·重庆垫江中学校·期中）已知关于x的方程的解为整数，则满足条件的整数k的所有值的和为　　　　　　　　　　　 【答案】4 【分析】 本题考查一元一次方程的解法及整数解问题，通过解方程用参数表示未知数，再根据解为整数确定参数的整数值，最后求和即可． 【详解】 解：， 去括号得：， 移项、合并同类项得：， 化系数为1得：， 由于为整数，且为整数，因此， 解得：， 这些整数的和为：． 故答案为：4． 10．（25-26学年七上·重庆垫江中学校·期中）若关于的方程是一元一次方程，则的值是　　　　　　． 【答案】4 【分析】 本题考查了一元一次方程的定义．解题时注意：一元一次方程的未知数的指数为1且未知数的系数不等于零．掌握一元一次方程的定义是解题的关键． 根据一元一次方程的定义得到且，从而可求得k的取值． 【详解】 解：关于x的方程是一元一次方程， 且， 解得：， 故答案为：4． 11．（25-26学年七上·重庆第七中学校·期中）已知整式，，其中是常数，若整式的值与的取值无关，求的值． 【答案】， 【分析】 本题考查了整式的加减运算，解题的关键是熟练运用整式的加减运算法则． 根据整式的加减运算法则进行化简，然后令含x的项的系数为零即可求出答案． 【详解】 解： ， ∵整式的值与的取值无关， ∴， 解得：，． 12．（25-26学年七上·重庆长寿中学·期中）解方程： （1）； （2） 【答案】（1）     （2）      【分析】 通过移项、合并同类项、系数化为1即可求解； 通过去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可求解． 本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键． (1) 小问详解： 解：， ， ， ； (2) 小问详解： 解：， ， ， ， ， 13．（25-26学年七上·重庆第八中学校·期中）已知关于x的方程的解是，则m的值为　　　　　　． 【答案】8 【分析】 本题考查了已知方程的解求参数，解一元一次方程（一）——合并同类项与移项，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 根据方程解的定义，将代入原方程，解关于的一元一次方程． 【详解】 解：∵ 方程的解是， ∴将代入方程，得：， 即， 展开左边：， 移项得：， 即， 解得：， 故答案为：8． 14．（25-26学年七上·重庆育才中学·期中）如果方程与关于的方程的解相同，则的值是　　　　　　． 【答案】9 【分析】 本题主要考查了方程的解及解一元一次方程，解题的关键是掌握方程的解的定义． 先求解方程得到的值，再将此值代入方程中求解． 【详解】 解：解方程 ， 移项得 ， 即， 解得， 将代入方程，得， 两边同乘4得， 移项得， 故答案为：9 15．（25-26学年七上·重庆育才中学·期中）计算或解方程． （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 【答案】（1）     （2）17     （3）     （4）     （5）     （6）      【分析】 本题考查了有理数的混合运算，整式的加减运算，解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握运算法则和解一元一次方程的步骤． （1）先计算乘法，再计算加减； （2）先计算乘方，然后进行括号内运算，然后计算乘法，最后进行加减计算； （3）直接合并同类项即可； （4）先去括号，再合并同类项； （5）按照去括号、移项、合并同类项，系数化1的步骤解方程即可； （6）按照去分母、去括号、移项、合并同类项，系数化1的步骤解方程即可． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： ； (3) 小问详解： 解： (4) 小问详解： 解： ； (5) 小问详解： 解： ， 解得； (6) 小问详解： 解： 解得． 16．（25-26学年七上·重庆字水中学·期中）解下列方程并检验： （1） （2） 【答案】（1） ， 检验过程： 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得， 检验：当时，左边，右边， ∴左边=右边， ∴是原方程的解；     （2） ， 检验过程： 去括号，得， 合并同类项，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得， 检验：当时，左边， 右边， ∴左边=右边， ∴是原方程的解．      【分析】 本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键． （1）先移项，然后合并同类项，系数化为1，即可得到答案； （2）先去括号，移项，然后合并同类项，系数化为1，即可得到答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 17．（25-26学年七上·重庆南川）若关于的方程的解为正整数，则所有满足条件的整数a的和为　　　　　． 【答案】10 【分析】 本题考查了已知方程的解求参数，熟练掌握解一元一次方程的一般步骤是解题的关键．先解一元一次方程得，由解为正整数，即可求出的值，然后求和即可解答． 【详解】 解：方程可化为， ， 矛盾， ， 解得， ∵方程的解为正整数， ∴或， ∴或， 则所有满足条件的整数a的和为． 故答案为：10． 18．（25-26学年七上·重庆第一中学校·期中）我们规定两个有序数对与间的运算，．例如：． （1）_________； （2）若，求的值 （3）若满足等式的x值为正整数，求所有满足条件的整数k的和 【答案】（1）     （2）     （3）12      【分析】 本题考查有理数的新定义运算、解一元一次方程，有理数的混合运算，理解题干中的新定义运算是解题的关键． （1）根据新定义的运算直接计算即可； （2）根据新定义的运算得出方程，求解即可； （3）根据新定义的运算计算得到，然后根据x是正整数和k是整数，求解即可． (1) 小问详解： ， 故答案为：； (2) 小问详解： ， 由题意可得：， 解得： (3) 小问详解： 解： ， 值为正整数，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ∴满足条件的整数的整数和是． 19．（25-26学年七上·重庆第一中学校·期中）（1）计算： （2）解方程： 【答案】（1）（2） 【分析】 本题考查了含乘方的有理数混合运算，解一元一次方程（三）——去分母等知识，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）先计算乘方，绝对值，第一个小括号里的除法，再将互为相反数的先相加，同时计算小括号里的减法，再计算乘法即可； （2）通过去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1求得方程的解． 【详解】 解∶（1） ； （2）， 去分母，得， 去括号，得， 整理，得， 移项，得， 合并同类项，得， 即． 20．（25-26学年七上·重庆巴蜀中学校·期中）解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了一元一次方程的解法，掌握解一元一次方程的一般步骤，去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，根据方程特点灵活运用这些步骤是解题的关键． （1）根据解一元一次方程的一般步骤，移项、合并同类项、系数化为1，即可求解． （2）解一元一次方程的一般步骤，去分母，去括号、去分母、移项、合并同类项、系数化为1，即可求解． (1) 小问详解： 解： 移项，得 合并同类项，得 系数化为1，得． (2) 小问详解： 解： 去分母，得 去括号，得 移项，得 合并同类项，得 系数化为1，得． 21．（25-26学年七上·重庆巴蜀中学校·期中）由分数的加减运算法则可知，一般情况下式子是不成立的，但有些数字代入a、b、m、n中可以使得等式成立，这时，我们就将满足条件的称作的“完美数对”，例如，那么是的“完美数对” （1）若是的“完美数对”，求x的值； （2）若是的“完美数对”，求的值． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查“有理数的加减法”“解一元一次方程”“整式的加减”，理解新定义，并根据新定义的内容列出对应的方程与式子是解题关键． （1）根据新定义列出对应的方程，解方程即可； （2）根据新定义列出对应的等式，化简得到m与n的关系，再代入所求式子中，运算即可． (1) 小问详解： 解：由题意知， ， ， 解得； (2) 小问详解： 解：由题意知， ， ， ∴， ∴原式． 22．（25-26学年七上·重庆垫江中学校·期中）解方程 （1） （2） 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题主要考查了解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握解一元一次方程的基本步骤，先去分母，再去括号，然后移项合并同类项，最后未知数系数化为1即可． （1）先去括号，然后移项合并同类项，最后未知数系数化为1即可； （2）先去分母，再去括号，然后移项合并同类项，最后未知数系数化为1即可． (1) 小问详解： 解：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：； (2) 小问详解： 解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：． 23．（25-26学年七上·重庆合川中学·期中）解下列一元一次方程： （1）； （2）． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的方法是解题的关键． （1）根据解一元一次方程的方法：去括号，移项，合并同类项，将系数化为1求解即可； （2）先根据分数的基本性质将方程变形，然后再根据解一元一次方程的方法：去分母，去括号，移项，合并同类项，将系数化为1求解即可． (1) 小问详解： 解：， 去中括号，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 将系数化为1，得； (2) 小问详解： 解：， 由分数的基本性质，得，即， 去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 将系数化为1，得． 24．（25-26学年七上·重庆合川中学·期中）定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”，例如：方程和为“美好方程”．若关于x的一元一次方程和是“美好方程”，那么关于y的一元一次方程的解为　　　　 ． 【答案】 【分析】 本题考查了一元一次方程的解法及新定义“美好方程”的应用，解题的关键是先利用美好方程的定义求出对应方程的解，再通过换元法求解关于的方程． 先解出方程的解，利用“美好方程”的定义求出另一个方程的解；再将关于的方程变形为与该方程同形式的方程，通过换元法求出的值． 【详解】 解：，得. ∵两方程为“美好方程”， ∴的解为 将关于的方程 整理为， 令，则方程为，此方程与形式相同，其解为， 即，解得. 故答案为：. 25．（25-26学年七上·重庆长寿中学·期中）【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，则A，B两点之间的距离，线段的中点表示的数为 【问题情境】如图，数轴上点A表示的数为，点B表示的数为8，点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为t秒 【综合运用】 （1）填空： A、B两点间的距离          ，线段的中点C表示的数为          ； （2）求当t为何值时，； （3）若点M为的中点，点N为的中点，点P在运动过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段的长． 【答案】（1）10，3     （2）1或3     （3）不会变化，      【分析】 本题考查数轴上点的性质、列代数式、绝对值方程，熟练运用方程思想是解决本题的关键． 根据数轴上两点之间的距离公式和中点公式计算即可； 先表示出t秒后点P和点Q表示的数，再利用数轴上两点之间的距离公式计算即可； 根据中点公式，表示出点M和点N，再利用数轴上两点之间的距离公式计算即可． (1) 小问详解： 解：∵点A表示的数为，点B表示的数为8， ； 根据题意，C表示的数为 故答案为：10，3； (2) 小问详解： 解：根据题意，t秒后点P表示的数为，点Q表示的数为， ， ， ， 当时，解得， 当时，解得， 的值为1或3； (3) 小问详解： 解：∵点M为的中点，点N为的中点， 点M表示的数为，点N表示的数为， ， 点P在运动过程中，线段的长度不会变化， 26．（25-26学年七上·重庆求精中学校·期中）解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查解一元一次方程，掌握去括号、去分母、移项、合并同类项、系数化为1等解方程的基本步骤是解决问题的关键． （1）先去括号，再移项，合并同类项，最后将未知数系数化为1，得到方程的解； （2）先通过去分母消去方程中的分母，再依次进行去括号、移项、合并同类项、系数化为1的操作，求解方程． (1) 小问详解： 解：去括号，得        移项，得 合并同类项，得 系数化为1，得； (2) 小问详解： 解：去分母，得 去括号，得 移项，得 合并同类项，得 系数化为1，得． 27．（25-26学年七上·重庆渝高中学校·期中）若关于的方程有非负整数解，且关于的多项式是二次三项式，则所有满足条件的非负整数的值之积是　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了一元一次方程的解，多项式的概念，根据方程有非负整数解，得出是的倍数，且；再根据多项式是二次三项式，得出且；从而得到为和，求积即可． 【详解】 解：， 解得， 是非负整数， ，即，且是整数，故是的倍数， 又是非负整数， 可能为，，，， 多项式是二次三项式， 二次项系数，即， 一次项系数，即， 因此，满足条件的为和， 其积为， 故答案：． 28．（25-26学年七上·重庆渝高中学校·期中）解方程 （1）； （2）． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查的是一元一次方程的解法，熟练掌握解一元一次方程的步骤与方法是解本题的关键． （1）先去括号，再移项，再合并同类项，把未知数的系数化为，从而可得答案； （2）先去分母，再去括号，移项，再合并同类项，把未知数的系数化为，从而可得答案． (1) 小问详解： 解： 去括号得， 移项得， 合并同类项得，； (2) 小问详解： 解： 去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得，． 29．（25-26学年七上·重庆礼嘉中学·期中）解方程 （1） （2） （3） （4） 【答案】（1）     （2）     （3）     （4）      【分析】 本题考查了解一元一次方程． （1）先移项，再合并同类项，最后系数化为1即可； （2）先去括号，再移项，合并同类项，最后系数化为1即可； （3）先去括号，再移项，合并同类项，最后系数化为1即可； （4）先去括号，再移项，合并同类项，最后系数化为1即可． (1) 小问详解： 解： 移项得： 合并同类项得： 系数化为1得： (2) 小问详解： 解： 去括号得： 移项得： 合并同类项得： 系数化为1得： (3) 小问详解： 解： 去括号得： 移项得： 合并同类项得： 系数化为1得： (4) 小问详解： 解： 去括号得： 移项得： 合并同类项得： 系数化为1得： 30．（25-26学年七上·重庆第八中学校·期中）定义新运算： ．如：，，若，则x的值为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了新定义下的实数运算，解一元一次方程（一）——合并同类项与移项，已知方程的解求参数，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 根据新运算的定义，分两种情况讨论：当时，运算结果为；当时，运算结果为，分别代入方程求解，并验证条件是否成立． 【详解】 解：当时，， 代入方程：， 解得：， 但，与矛盾，故无解． 当 时，， 代入方程：， 解得：， 所以， 且，符合条件． 故答案为：． 31．（25-26学年七上·重庆第八中学校·期中）解方程： （1） （2） 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题主要考查解一元一次方程，解题的关键是掌握解一元一次方程的基本步骤． （1）方程去分母，去括号，移项合并同类项，系数化为1，即可求出解； （2）方程去分母，去括号，移项合并同类项，系数化为1，即可求出解． (1) 小问详解： 解： 解得； (2) 小问详解： 解： 解得． 32．（25-26学年七上·重庆第八中学校·期中）（1）先化简，再求值：，其中a是绝对值最小的正整数，数轴上表示数b的点在原点左侧且到原点的距离为3． （2）解方程：． 【答案】（1），；（2） 【分析】 本题考查了整式的加减中的化简求值，解一元一次方程，已知字母的值求代数式的值，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）先去括号，再合并同类项，然后将，代入求值； （2）将看作一个整体，移项，合并同类项，系数化为1，再求解． 【详解】 （1）解：原式， 由题意得：，， 原式． （2） ∵，∴，∴． 33．（25-26学年七上·重庆长寿川维中学校·期中）解下列一元一次方程 （1）                                  （2） 【答案】（1）x＝ ；（2）x＝﹣16 【分析】 （1）方程移项，合并同类项，把x系数化为1，即可求出解； （2）方程去分母，去括号，移项，合并同类项，把x系数化为1，即可求出解． 【详解】 解：（1）移项得：8x+x＝14﹣3， 合并得：9x＝11， 解得：x＝ ； （2）去分母得：2（2x+1）+10＝3x﹣4， 去括号得：4x+2+10＝3x﹣4， 移项合并得：x＝﹣16， 解得：x＝﹣16． 【点睛】 此题考查了解一元一次方程，熟练掌握方程的解法是解本题的关键． 34．（25-26学年七上·重庆川外基础教·期中）先化简，再求值： ，其中． 【答案】， 【分析】 本题考查了整式的化简与求值，非负数的性质，解一元一次方程，熟练掌握整式的加减运算法则是解题的关键．根据整式的加减运算法则化简式子，利用非负数的性质求出的值，再代入化简后的式子即可求解． 【详解】 解： ， ∵， ∴，， 解得，， ∴原式． 35．（25-26学年七上·重庆第一中学校·期中）已知关于x的多项式，(m，n为常数)． （1）若代数式的值与x无关，求的值． （2）若为关于x的一元一次方程，当方程的解为时，求m，n的值． 【答案】（1）6     （2），      【分析】 本题考查了已知字母的值求代数式的值，整式加减中的无关型问题，已知一元一次方程的解求参数等知识，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）先化简，根据代数式的值与x无关，得到关于m，n的方程求解，再代入求值； （2）先化简，根据为关于x的一元一次方程，得到且，得到方程为，再当方程的解为时，求得n即可． (1) 小问详解： 解：∵，(m，n为常数) ∴ ∵代数式的值与x无关， ∴，， ∴，， ∴； (2) 小问详解： ∵， ∴， 整理得， ∵为关于x的一元一次方程， ∴且， ∴且， 于是方程为， 当方程的解为时，， 解得：， 此时，满足一元一次方程． 综上，，． 36．（25-26学年七上·重庆巴蜀中学校·期中）已知关于x的方程的解为正整数，且当时，恰好使取得最小值，则满足条件的整数a的值为　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了一元一次方程求解，绝对值的性质等，掌握分情况讨论是解题的关键． 先根据方程求解出，根据方程的解为正整数确定可能的取值，由于为整数，可得出或，将代入，即可求解． 【详解】 解： ， ， 方程的解为正整数， 且为的正整数倍， 且为整数， 当时：（舍去）， 当时：， 当时：（舍去）， 当时：， 当时：（舍去）， 当时：，则，随着的减小，会增大，且为整数时，不是的倍数（舍去）； 即：或， 当时，， 当时，， 故答案为：． 37．（25-26学年七上·重庆万州国本中学校·期中）同学们都知道，表示4与的差的绝对值，实际上也可理解为4与两数在数轴上所对应的两点之间的距离，同理也可理解为x与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离，就表示x在数轴上对应的点到的距离，由上面绝对值的几何意义，解答下列问题： （1）x与4的距离可以表示为__________，若，则__________． （2）若，则所有符合条件的整数x的和为__________． （3）当x的取值为多少时，有最小值，最小值是多少？ 【答案】（1）；或．     （2）     （3）当时，式子有最小值，最小值为2550．      【分析】 本题考查了绝对值的几何意义（数轴上两点间的距离）及最值问题，解题的关键是将绝对值表达式转化为数轴上点与点之间的距离，结合数轴位置分析求解． （1）根据绝对值几何意义直接表示距离；由距离等于定值，列方程求x的值． （2）先计算两个定点间的距离，判断x的取值范围，找出整数解后求和． （3）观察式子对称性，确定x的取值区间使距离和最小，再通过成对求和计算最小值． (1) 小问详解： 解：x与4的距离表示为； ∵表示x到2的距离为5， ∴或， 故答案为：；或． (2) 小问详解： ，表示x到1和的距离和； ∵1与的距离为， ∴x在之间，符合条件的整数x为、、、、，和为， 故答案为：． (3) 小问详解： 式子表示x到、、…、、…、49、50共101个点的距离和； 根据对称性，当x在中间点时，距离和最小； 最小值为 答：当时，式子有最小值，最小值为2550． 38．（25-26学年七上·重庆川外基础教·期中）定义：对于个关于的一次整式，若存在均不为零的数，使，其中是常数．则称这个一次整式为常数的“相关整式”．例如：对于一次整式，，存在，，，使，所以一次整式，，为常数的“相关整式”． （1）若整式，，为常数的“相关整式”，其中，则常数________，________； （2）若整式，，为常数2的“相关整式”，其中，，，求，的值； （3）已知整式，，，若整式是关于，的四次三项式，且为常数0的“相关整式”，求出的值． 【答案】（1）；     （2），     （3）      【分析】 本题考查了整式加减的应用、解一元一次方程，理解“相关整式”的定义是解题的关键． （1）根据题意可得，再结合是常数，得到关于、的方程，即可求解； （2）根据题意可得，整理得到关于、的方程，即可求解； （3）根据整式的相关概念得到，再根据题意得到，则有，，再根据等式的性质即可求解． (1) 小问详解： 解：由题意得，， ∴， 整理得：， ∵是常数， ∴，， 解得，， 故答案为：；； (2) 小问详解： 解：由题意得，， ∴， 整理得：， ∵2是常数， ∴，， 解得， ∴综上所述，，； (3) 小问详解： 解：， ∵整式是关于，的四次三项式， ∴且， ∴， ∵为常数0的“相关整式”， ∴， ∴， 整理得：， ∵0是常数， ∴，， ∴， ∴， ∴， 由题意得，， ∴， 解得． 39．（25-26学年七上·重庆永川区文理·期中）我们知道，在数轴上，表示数表示的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上两个点、，分别用，表示，那么、两点之间的距离为：．利用此结论，回答以下问题： （1）数轴上表示和的两点的距离是______； （2）如果，则______； （3）当取最小值时，则______； （4）如图，已知，分别为数轴上的两点，点表示的数是，点表示的数是；现有一只蚂蚁从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左移动，同时另一只蚂蚁恰好从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右移动，运动时间为秒，若，求时间的值． 【答案】（1）     （2）或     （3）     （4）或      【分析】 本题考查了一元一次方程的应用，绝对值的意义，数轴上两点间的距离公式，根据题意正确的列等式、方程是解题的关键． （1）根据两点间的距离公式列式计算即可； （2）根据绝对值的几何意义，找出满足条件的点表示的数即可； （3）分，，，四种情况，根据绝对值的性质化简得到的取值范围，从而得解； （4）根据题意分别表示出，，，然后列方程求解即可． (1) 小问详解： 解：数轴上表示和的两点的距离是， 故答案为：； (2) 小问详解： 解：， 表示的点到表示和的点的距离之和为， 或， 故答案为：或； (3) 小问详解： 解：当时，， ， ， 当时，， ， ， 当时，， ， ， 当时，， ， ， 的最小值为，此时． 故答案为：； (4) 小问详解： 解：根据题意得，，，， ， ，即， 或， 解得或． 考点04 实际问题与一元一次方程 1．（25-26学年七上·重庆字水中学·期中）一个书包的在进价的基础上调高后标价，现因为促销活动所有商品一律打9折，这个书包现在的售价为86.4元，那么这个书包的进价是（       ）元． A. 84.6元 B. 90元 C. 80元 D. 100元 【答案】C 【分析】 本题考查了一元一次方程的应用（销售盈亏），读懂题意，根据题中的等量关系正确列出方程是解题的关键． 设这个书包的进价为元，由题意得，解方程即可得出答案． 【详解】 解：设这个书包的进价为元，由题意得： ， 解得：， 这个书包的进价是元， 故选：． 2．（25-26学年七上·重庆南川）《九章算术》中有“盈不足术”的问题，原文如下：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三．问人数、羊价各几何？”题意是：若干人共同出资买羊，每人出5枚钱，则差45枚钱；每人出7枚钱，则差3枚钱．求人数和羊价各是多少？下列选项正确的是（     ） A. 20人，羊价120枚钱 B. 21人，羊价150枚钱 C. 22人，羊价140枚钱 D. 24人，羊价160枚钱 【答案】B 【分析】 本题考查了一元一次方程的应用，理解题意，正确列方程是解题的关键；设人数为x，根据羊价相等列方程即可． 【详解】 解：设人数为x，    由题意，得， 解得， ∴羊价（枚钱）， 故选：． 3．（25-26学年七上·重庆第一中学校·期中）某文具的标价是23元件．按照标价的八折进行销售，仍可获利，设该文具的进价为x元件，可列方程是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 此题考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是根据题意列出方程． 根据售价、进价和利润率的关系，售价打八折后减去进价等于进价的，由此列方程即可． 【详解】 解：由题意得，售价为标价的八折，即， 获利是指利润为进价x的，即， ∴售价减进价等于利润，即． 故选A． 4．（25-26学年七上·重庆巴蜀中学校·期中）古书上有这样一个问题：“今有人买鸡，人出六，盈五；人出五，不足二．问人数、物价各几何．”意思是有若干人一起买鸡，如果每人出6文钱，就多出5文钱；如果每人出5文钱，就差2文钱．买鸡的人数、买鸡的费用分别是多少？若设买鸡的人数是x人，根据题意列一元一次方程正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题主要考查了一元一次方程的应用，找出题目中的等量关系，是解题的关键．设买鸡的人数为x人，根据买鸡的费用不变，由两种出钱方式分别表示费用并相等，列出方程． 【详解】 解：∵每人出6文钱，盈5文，∴费用为； ∵每人出5文钱，不足2文，∴费用为； ∴． 故选：A． 5．（25-26学年七上·重庆垫江中学校·期中）元旦期间，一家商店将某种服装按成本提高后标价，又以九折优惠卖出，结果每件仍获利70元，设这种服装每件成本是元，则根据题意列出正确的方程是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题主要考查了一元一次方程的应用，理解题意、弄清利润、进价、售价之间的关系是解题的关键． 先设这种服装每件的成本价是x元，根据题意可得等量关系“”列出方程即可． 【详解】 解：设这种服装每件的成本价是x元， 由题意得：． 故选D． 6．（25-26学年七上·重庆礼嘉中学·期中）为美化校园环境，践行“绿水青山就是金山银山”的发展理念，礼嘉中学初一年级某班积极响应学校劳动教育课程要求，在劳动实践基地开展植树活动．活动开始前，班长负责统计树苗需求，他发现若每人植2棵树，则树苗余下21棵；若每人植3棵树，则树苗还差24棵．设该班有x名学生，则可列方程为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了一元一次方程的应用．根据树苗总数不变，分别列出两种情况下树苗总数的表达式，并令其相等． 【详解】 解：每人植2棵树，树苗余下21棵，即共棵树苗， ∵每人植3棵树，树苗还差24棵，即共棵树苗， ∴． 故选：A． 7．（25-26学年七上·重庆育才中学·期中）《九章算术》中关于“盈不足”问题：“今有人共买物，人出五，盈三；人出四，不足二．问人数几何？”大意是：现有一些人共同买一个物品，若每人出5元，则还剩3元；若每人出4元，则还差2元．若设买这个物品共有个人，则可列方程为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题主要考查了列一元一次方程解决古代问题，解题的关键是找准等量关系． 根据物品价格不变，分别用两种出钱方式表示物品价格，然后列方程． 【详解】 解：设共有个人，根据题意得， ∵每人出5元，盈3元， ∴物品价格为元； ∵每人出4元，不足2元， ∴物品价格为元； ∵物品价格不变， ∴， 故选：A． 8．（25-26学年七上·重庆求精中学校·期中）如图，四边形是一个边长为10米的正方形，甲、乙两玩具车分别从A、B两地同时出发，都沿的方向行走，甲车每分钟走7米，乙车每分钟走11米，则两玩具车第一次相遇时所处位置是在正方形的边（     ） A. 上 B. 上 C. 上 D. 上 【答案】C 【分析】 本题主要考查了一元一次方程的应用-相遇问题，由于两车不是在同一顶点出发，所以两车第一次相遇，需要通过的路程之差等于边长的3倍，依此列出方程即可求解． 【详解】 解：设经过x分钟两车第一次相遇，依题意有： ， 解得， ， 即乙走了2圈又2.5米， 故两玩具车第一次相遇时所处位置是在正方形的边上． 故选：C． 9．（25-26学年七上·重庆珊瑚中学·期中）某同学在10月的日历上圈出了三个数a，b，c，并求出它们的和为48，则这三个数在日历中的排位位置不可能的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查了一元一次方程的应用，根据题意正确列出一元一次方程是解题的关键． 根据a，b，c的位置，用含a的代数式表示出b，c，结合，可求出a的值，再结合日历判断即可. 【详解】 解：A．∵， ∴，解得：，故选项A不符合题意； B．∵， ∴，解得：，但11号处于星期六，19号不能在日历中按要求排位，故选项B符合题意； C．∵， ∴，解得：，故选项C不符合题意； D．∵， ∴，解得：，故选项D不合题意． 故选：B． 10．（25-26学年七上·重庆字水中学·期中）小元同学在2024年10月的日历上圈出了三个数，并求出了它们的和为45，则这三个数在日历中的排列位置不可能的是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查一元一次方程的应用，根据各选项中的位置，列出方程，进行求解，判断即可． 【详解】 解：A、由题意，，则：，解得，存在这种位置，不符合题意； B、由题意，，则：，解得，不存在这种位置，符合题意； C、由题意，，则：，解得，存在这种位置，不符合题意； D、由题意，，则：，解得，存在这种位置，不符合题意； 故选B． 11．（25-26学年七上·重庆綦江区未来学校·期中）对于任意一个正整数可以按规则生成无穷数串：，，，…，，，…（其中为正整数），规则为： ．有如下结论：①若，则生成的这数串中必有（为正整数）②若，生成的前2025个数之和为4759；③若生成的数中有一个，则它的前一个数应为32或5；④若，则的值是56；上述结论中，正确的个数是（　　） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】B 【分析】 根据规则分别求出的值，再归纳类推出一般规律即可判断① ；先分别求出的值，再归纳类推出一般规律，然后求和即可判断② ；分为偶数和为奇数两种情况，分别根据规则建立方程，解方程求出的值即可判断③ ；根据规则分别建立方程，解方程求出的值即可判断④ ． 【详解】 解：当时，， ， ， 由此可知，的值是以循环往复的， 所以若，则生成的这数串中必有（为正整数），说法① 正确； 当时，， ， ， ， ， ， 则从开始，的值是以循环往复的， 因为， 所以若，生成的前2025个数之和为： ，说法② 正确； 若为偶数，则，解得，符合题设， 若为奇数，则，解得，符合题设， 所以若生成的数中有一个，则它的前一个数应为32或5，说法③ 正确； 当时，因为7为奇数， 所以，解得为偶数， 所以或， 解得或（舍去）， 所以或， 解得或，均符合题意， 即若，则的值是9或56，说法④ 错误； 综上，正确的个数是3个， 故选：B． 【点睛】 本题主要考查了数字类规律探索、一元一次方程的应用，理解规则，正确归纳类推出一般规律是解题关键． 12．（25-26学年七上·重庆十一中教育·期中）如图是某月份的日历表，用形如 的框架框住日历表中的五个数，对于框架框住的五个数字之和，小华的计算结果不可能的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了一元一次方程的应用，设中间的数为，则其它四个数分别为，，，，可得五个数字之和为，再分别根据四个选项中的数值列出方程解答即可求解，理解题意是解题的关键． 【详解】 解：设中间的数为，则其它四个数分别为，，，， ∴五个数字之和为， 当时，，其它四个数分别为，，，，符合题意； 当时，，其它四个数分别为，，，，符合题意； 当时，，其它四个数分别为，，，，符合题意； 当时，，其它四个数分别为，，，，不符合题意； ∴小华的计算结果不可能的是， 故选：． 13．（25-26学年七上·重庆字水中学·期中）某市对市区主干道进行绿化，现有甲、乙两个施工队，甲队有5名工人，乙队有15人，若从乙队借调名工人到甲队，则甲队人数与乙队人数刚好相等，根据题意可列出方程为　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查根据实际问题列方程，根据借调后甲队和乙队人数相等列出方程即可． 【详解】 从乙队借调x名工人到甲队后，甲队人数变为人，乙队人数变为人．由题意，借调后甲队人数与乙队人数相等，故得方程． 故答案为：． 14．（25-26学年七上·重庆梁山初中教·期中）材料阅读：传说夏禹治水时，在黄河支流洛水中浮现出一只大乌龟，背上有一个很奇怪的图案，这个图案被后人称为“洛书”（如图1所示），是世界上最早的矩阵，又称“幻方”．三阶幻方有“和幻方”和“积幻方”．其每一横行、每一竖列、每条斜对角线上的三个数字之和均相等的，我们称为“和幻方”；其每一横行、每一竖列、每条斜对角线上的三个数字之积均相等的，我们称为“积幻方”． （1）如图2是一个“和幻方”，则_____； （2）如图3是一个“积幻方”，求的值； （3）由三阶幻方可以衍生出许多有特定规律的新幻方，在如图4所示的“幻方”中，每个小三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等，若，求的值． 【答案】（1）10     （2）16     （3）6      【分析】 本题主要考查了有理数的运算，解一元一次方程的应用， 对于（1），先求出斜对角线的三个数的和，再根据题意列出关于x，y，z的方程，整体思想可求出答案； 对于（2），根据第一行求出三个数字的积，再列出关于m，n的方程，求出解即可； 对于（3）根据题意可得，再消去x，y，整体代入可得答案． (1) 小问详解： 根据题意可知，，， 三个式子相加，得， 解得． 故答案为：10； (2) 小问详解： 根据题意，得， 解得， 所以； (3) 小问详解： 根据题意，得， ，得，，得． 因为， 所以． 15．（25-26学年七上·重庆渝北区石鞋学校）综合探究 【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：如图1，若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b（），则线段的长（点A到点B的距离）可表示为，请用上面材料中的知识解答下面的问题： 【问题情境】如图2，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动2个单位长度到达点A，再向右移动3个单位长度到达点B，然后再向右移动5个单位长度到达点C． （1）【问题探究】点A到点B的距离______，点A到点C的距离______； （2）【问题探究】若点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，同时点M、N从点B、点C分别以每秒2个单位长度、每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动．设运动时间为t秒（）． ①在运动过程中，当时，求运动时间t的值； ②试探究在运动的过程中，的值是否随着时间t的变化而变化？若变化，说明理由；若不变，请求其值． 【答案】（1）     （2）①或；② 在移动的过程中，的值不随着时间的变化而变化      【分析】 本题主要考查了整式的加减的应用，数轴，绝对值方程，解题的关键是掌握数轴上点的表示及两点间的距离公式和整式的化简等知识点． （1）根据两点间距离公式求解即可； （2）① 由移动时间为秒知点表示的数为点表示的数为点表示的数为，表示出，再列方程求解即可； ② 据此得出和的长，再代入化简可得． (1) 小问详解： 解：根据题意可得点A对应的数是，点B对应的数是，点C对应的数是， ∴． 故答案为：； (2) 小问详解： 解：由题意得：秒时，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为， ∴， ① 在运动过程中，当时， 则，解得：或． ② 在移动的过程中，的值不随着时间的变化而变化， 理由如下：， ， ， ∴在移动的过程中，的值总等于12，保持不变． 16．（25-26学年七上·重庆南川）在某校组织的科技节活动中，需要制作一批科技小作品，准备购买A零件、B零件和C零件共500个（每种零件都要有），其中B零件的单价比A零件的单价贵0.6元，买4个A零件和2个B零件共需要6元． （1）A零件和B零件的单价分别是多少元？ （2）若要求购买C零件的数量是A零件的3倍，A零件和B零件的单价不变，其中C零件的单价为元，在总数量不变的前提之下，无论符合该条件的这三种零件的数量如何分配，总费用始终不变，求此时m的值和总费用． 【答案】（1）A零件单价0.8元，B零件单价1.4元     （2），总费用700元      【分析】 本题考查了一元一次方程的应用，整式加减中的无关型问题，理解题意设未知数建立方程解答是解题的关键． （1）设A零件单价为x元，则B零件单价为元，根据“买4个A零件和2个B零件共需要6元”列出方程，即可解答； （2）设A零件数量为a个，则C零件数量为个，B零件数量为个，从而得到总费用的代数式，根据总费用始终不变，即a的系数为0，即可解答． (1) 小问详解： 解：设A零件单价为x元，则B零件单价为元， 根据题意得，， 解得， （元）， 答：A零件单价0.8元，B零件单价1.4元． (2) 小问详解： 解：设A零件数量为a个，则C零件数量为个，B零件数量为个， 总费用为：， 由于总费用始终不变，即a的系数为0， ∴， 解得， 此时总费用始终为700元， 答：此时m的值为1.6，总费用为700． 17．（25-26学年七上·重庆第一中学校·期中）某市居民用气阶梯气价标准如下： 阶梯 年度用气量（单位：立方米） 价格（单位：元/立方米） 第一阶梯 大于0小于等于的部分 a 第二阶梯 大于小于等于的部分 第三阶梯 以上的部分 （1）小依家年度用气立方米，应缴纳气费______元(用含a的式子表示)；已知该年度缴纳气费元，则______ （2）在（1）的结论下，该市某天然气公司推出了“居民家庭采暖用气”政策，居民用户在申请执行该政策后，全年用气量划分为两个阶段．每年1月、2月以及月共三个月为采暖期，无论用气量为多少，均按第一阶梯气价计费，其余的9个月为非采暖期，用气总量按普通阶梯气价计费．小钟家成功申请了“居民家庭采暖用气”，今年的年用气总量为立方米，共缴纳气费元．已知非采暖期用气量不低于立方米，求小钟家今年采暖期用气费用． 【答案】（1），     （2）      【分析】 本题考查了列代数式，阶梯计价问题(一元一次方程的应用)等知识，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）利用应缴纳气费超出立方米的部分，可用含a的代数式表示出应缴纳气费，结合该年度缴纳气费元，可列出关于a的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）设小钟家今年非采暖期用气量为x立方米，则小钟家今年采暖期用气量为立方米，分及两种情况考虑，根据小钟家今年共缴纳气费元，可列出关于x的一元一次方程，解之可得出x的值，再将其符合题意的值代入中，即可求出结论． (1) 小问详解： 解：当小依家年度用气立方米时，应缴纳气费元， 根据题意得：， 解得：． 故答案为：，； (2) 小问详解： 设小钟家今年非采暖期用气量为x立方米，则小钟家今年采暖期用气量为立方米， 当时，， 解得：， ∴（元）； 当时，， 解得：（不符合题意，舍去）． 答：小钟家今年采暖期用气费用为元． 18．（25-26学年七上·重庆第一中学校·期中）列方程解应用题:某隧道及连接道路工程项目全长500米，其中隧道(地下路段)长度220米，剩余为连接道路（地上路段）．现有甲、乙两个工程队负责工程项目的修建，已知乙工程队每天修建地上路段的长度是甲工程队每天修建地上路段长度的倍，一期工程甲、乙两工程队一起修建完280米长的地上路段，用时共4天． （1）求一期工程中甲、乙两工程队每天分别修建地上道路多少米? （2）工程二期，由甲、乙两工程队继续负责地下路段的建设，由于建设难度的提升，甲、乙两工程队每天可修建地下道路长度缩减为一期工程的一半．工程二期，甲工程队每天修建道路的费用为3万元，乙工程队每天修建道路的费用为9万元．若安排由甲、乙共同修建该地下路段的一部分，剩下部分由甲工程队单独完成，工程二期总费用为72万元，求甲工程队在工程二期道路建设中单独修建了多少天? 【答案】（1）甲工程队每天修建20米，乙工程队每天修建50米     （2）甲工程队在工程二期道路建设中单独修建了8天      【分析】 本题考查一元一次方程的应用，理解题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键． （1）由题意得，设甲工程队每天修建地上道路x米，则乙工程队每天修建米，根据甲、乙两工程队一起修建完280米长的地上路段，用时共4天，列方程求解即可； （2）设甲工程队单独修建了y天，则甲单独修建的费用为万元，甲乙共同修建的费用为万元，甲乙每天共同费用为万元，进而可求出共同修建的天数为天，再根据“地下路段总长220米”列方程求解即可． (1) 小问详解： 解：设甲工程队每天修建地上道路x米，则乙工程队每天修建米， 由题意得， 解得， ∴乙每天修建：米， 答：甲工程队每天修建20米，乙工程队每天修建50米； (2) 小问详解： 解：∵工程二期，甲、乙每天修建地下道路的长度为一期的一半， ∴甲每天修地下道路：米；乙每天修地下道路：米， 设甲工程队单独修建了y天， ∴甲单独修建的费用：万元，甲乙共同修建的费用：万元，甲乙每天共同费用为万元， ∴共同修建的天数为天， ∵“地下路段总长220米”， ∴ 解得． 答：甲工程队在工程二期道路建设中单独修建了8天． 19．（25-26学年七上·重庆第一中学校·期中）三阶幻方的游戏规则：将数字填入9个小正方形格子中，使每行、每列及两条斜对角线上的数字和都相等．如图中的三阶幻方填写了部分数字，按照游戏规则，其中m的值为　　　　　　　　　　　　　 【答案】 【分析】 本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 由右对角线和第三列、第一行和左对角线可得，求出b，再由第二列可求出幻方的和，再对于左对角线可求出c，最后根据第一行和第三列即可求出m值． 【详解】 解：如下图： 由题意得，第一行和第三列为：， ∴， 右对角线和第三列为：， ∴， 第一行和左对角线为：， ∴， ∴ 解得， ∴对于第二列可得，幻方的和为， ∴对于左对角线可得，， ∴ ， 故答案为：． 20．（25-26学年七上·重庆巴蜀中学校·期中）列方程解应用题 某商场经销甲、乙两种畅销产品，甲种产品每件进价50元，乙种产品每件进价80元．为了迎接“双十一购物节”活动，该商场花费12400元提前购进甲、乙两种商品共200件． （1）该商场分别购进甲、乙两种产品多少件． （2）若甲种产品的标价是进价的3倍，每件乙种产品按标价出售可获得利润120元．“双十一购物节”期间，商场对这两种产品进行优惠促销活动：甲种产品每件降价元，乙种产品打m折出售．将这200件产品卖完后，商场最终获利13600元，求m的值． 【答案】（1）商场购进甲产品120件，购进乙产品80件     （2）8      【分析】 本题主要考查一元一次方程的应用： （1）设商场购进甲产品件，购进乙产品件，可得； （2）根据“总利润=总售价-总成本”的思路，列出方程即可求解 (1) 小问详解： 解：设商场购进甲产品件，购进乙产品件， 根据题意，得 解得 （件） 答：商场购进甲产品件，则购进乙产品件． (2) 小问详解： 根据题意，得 解得 21．（25-26学年七上·重庆垫江中学校·期中）某工厂需要生产一批三人扭腰器（如图），每套设备由一个扶手架和3个扭腰盘组装而成；若工厂每人每天只能生产同一种部件，每人每天平均生产扶手架的个数比扭腰盘的个数少个，且每天6个工人生产的扶手架数量与5个工人生产扭腰盘的数量相同． （1）工厂每人每天平均生产扶手架和扭腰盘各多少个？ （2）现共有名工人，应如何分配工人才能使每天的生产的扶手架和扭腰盘配套？ 【答案】（1）工厂每人每天平均生产支架扶手架个，扭腰盘个     （2）人生产扶手架，人生产扭腰盘      【分析】 本题考查了一元一次方程的应用的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）设工厂每人每天平均生产支架扶手架个，则每人每天平均生产扭腰盘个，根据“每天6个工人生产的扶手架数量与5个工人生产扭腰盘的数量相同”列一元一次方程，即可求解． （2）设每天有人生产扶手架，则每天有人生产扭腰盘，根据“每套设备由一个扶手架和3个扭腰盘组装而成”列一元一次方程，即可求解． (1) 小问详解： 解：设工厂每人每天平均生产支架扶手架个，则每人每天平均生产扭腰盘个， 根据题意得：， 解得：， ， 答：工厂每人每天平均生产支架扶手架个，扭腰盘个． (2) 小问详解： 解：设每天有人生产扶手架，则每天有人生产扭腰盘， 根据题意得：， 解得：， ， 答：每天有人生产扶手架，人生产扭腰盘才能使扶手架和扭腰盘配套． 22．（25-26学年七上·重庆第七中学校·期中）如图，数轴上有A，B，C三个点，A，B，C对应的数分别是，，12，动点P从A点出发，以每秒1个单位的速度向数轴正方向运动． （1）________；________； （2）若P点运动到A、B之间，且到A点距离是到B点距离的2倍，求此时P点的对应的数； （3）当P点运动到B点时，点Q从A点出发，以每秒2个单位的速度向C点运动，点Q到达C点后，再立即以每秒1个单位的速度返回，当Q点回到A点时，两点停止运动．在Q点开始运动后第几秒时，P、Q两点之间的距离为4． 【答案】（1）     （2）     （3）当在点开始运动后第4、12、18、22秒时，、两点之间的距离为4．      【分析】 （1）根据数轴上两点之间的距离得． （2）先表示点的对应的数，结合，代入数值进行计算，即可作答． （3）当点Q未到达C点时， 则点对应的数为，点对应的数为， 再分情况：当点在点的右侧，当在点左侧；当到达C点后返回，则点对应的数为，点对应的数为，再分情况在点左侧时，点在点的右侧，分别列式计算，即可作答． 此题主要考查了一元一次方程的应用，数轴的动点问题，列代数式表达式，关键是正确理解题意，掌握非负数的性质，再结合数轴解决问题． (1) 小问详解： 解：∵A，B，C对应的数分别是，，12， ∴， 故答案为：； (2) 小问详解： 解：∵P从A点出发，以每秒1个单位的速度向数轴正方向运动， ∴点对应的数为， ∵P点运动到A、B之间，且到A点距离是到B点距离的2倍， ∴， 即 解得 ∴ 此时P点的对应的数是； (3) 小问详解： 解：设在点开始运动后的第秒开始，、两点之间的距离为4， 当点未到达C点时， 则点对应的数为，点对应的数为， 当点在点的右侧，且点还没追上点时，， 解得：， 当在点左侧时，且点追上点后，， 解得：， 当点到达C点后返回，则点对应的数为，点对应的数为， 当点在点左侧时，， 解得：， 当点在点的右侧时，， 解得：， 综上所述：当在点开始运动后第4、12、、22秒时，、两点之间的距离为4． 23．（25-26学年七上·重庆求精中学校·期中）在如图的九个方格中，每行、每列、每条对角线上的三个数的和都相等，则　　　　　　　　， 　　　　　　　　． 12 a b 1 c d m 11 n 【答案】①     ② 【分析】 本题主要考查了一元一次方程的应用．熟练掌握幻方是关键． 分析题意，可得求得，再进行推论求得和，即可解答． 【详解】 解：依题意可知，， 解得； ， ，解得， 同理， ，解得， ， ，解得， ， ，解得， ， 故答案为：2；29． 24．（25-26学年七上·重庆求精中学校·期中）下方左图是年1月的月历，用如图所示的“T”字形框在月历中任意框出4个数（框中的数没有空白），如右图，设“T”字形框中的4个数分别为a、b、c、d． （1）若，则________；若，则________； （2）在移动“T”字形框的过程中，小明说被框中的4个数之和可能为，你认为他的说法对吗？请说明理由． 【答案】（1），     （2） 小明的说法错误， 理由：设b代表的数为m， 则 ， 解得， 此时，，，， 但是其位置不符合 “T”字形框， 故小明的说法是错的．      【分析】 本题考查规律探索，列代数式，一元一次方程的应用，掌握月历中数的排列规律，利用规律表示数并建立方程是解决问题的关键． （1）根据月历中上下相邻数差7、左右相邻数差1的规律，用表示；再用同一字母表示a、b、c、d，结合和为列方程求解； （2）设未知数表示4个数的和，列方程判断解是否符合月历的数的范围． (1) 小问详解： 解：月历中，上下相邻数差7，左右相邻数差1， 若，则，故， 设，则，，， 由， 解得， 故． 答案：，； (2) 小问详解： 略 25．（25-26学年七上·重庆求精中学校·期中）在数学综合实践活动中，同学们准备用某种规格的长方形彩纸制作几何体．经讨论，形成了如下制作方案： 几何体制作方案 步骤1   裁剪长方形彩纸：图1一张长方形彩纸可按图1方式裁为2块小长方形纸片，或按图2方式裁为3块小正方形纸片．     步骤2   制作“三角插”和“圆部式”基本单元：一块小长方形纸片可折成一个“三角插”基本单元，一块小正方形纸片可折成一个“圆部式”基本单元．         步骤3   制作几何体：40个“三角插”基本单元和10个“圆部式”基本单元，可做成一个A型几何体，30个“三角插”基本单元和20个“圆部式”基本单元，可做成一个B型几何体． 请你根据制作方案，完成下列问题： （1）若有210张长方形彩纸全部用来制作A型几何体，在不浪费纸张的前提下，分别用多少张彩纸制作“三角插”和“圆部式”基本单元？ （2）经过进一步讨论，同学们决定用295张长方形彩纸制作A型和B型几何体共13个，同样在不浪费纸张的前提下，请问能制作多少个A型几何体？ 【答案】（1）用180张彩纸制作“三角插”，用30张彩纸制作“圆部式”     （2）8个      【分析】 本题考查了列一元一次方程的应用，关键是根据题意找到关系式． （1）根据题意在不浪费纸张的前提下，设210张长方形彩纸中，有x张按图1剪裁，则共能制作个“三角插”，有张按图2剪裁，则共能制作个“圆部式”，列出一元一次方程即可求出结果； （2）根据题意设共制作m个A型，个B型，列出一元一次方程即可求出A型和B型的个数，再将算出的m值代入到制作“三角插”的彩纸数量式子即可得到结果． (1) 小问详解： 解：设210张长方形彩纸中，有x张按图1剪裁，则共能制作个“三角插”，有张按图2剪裁，则共能制作个“圆部式”，根据题意得： ， 整理得，， 解得， 即用180张彩纸制作“三角插”，用30张彩纸制作“圆部式”； (2) 小问详解： 解：设共制作m个A型，个B型，根据题意得， 解得， ∴制作“三角插”的彩纸数量为（个），能制作8个A型几何体， 26．（25-26学年七上·重庆求精中学校·期中）学校组织同学们春游，若每辆汽车坐45人，则有29人没有座位；若每辆汽车坐50人，则只有1辆汽车空11个座位无人坐，其余车辆全部坐满．共有　　　　　　　　人春游． 【答案】389 【分析】 本题主要考查了一元一次方程的应用，熟练掌握根据等量关系建立方程是解题的关键．设汽车数量为未知数，依据总人数不变的等量关系列方程求解． 【详解】 解：设共有辆汽车．由题意可得 ， ， ， ， ∴总人数：（人）， 故答案为：． 27．（25-26学年七上·重庆南坪中学校·期中）甲，乙两家服装商店销售同一品牌的西装和领带，西装定价都是每套200元，领带定价都是每条40元．现两家商店都在促销：甲店：买一套西装送一条领带；乙店：西装和领带都按定价的90%付款． 学校合唱团要购买西装20套，领带条（），由后勤谢老师负责购买，请为谢老师出谋划策： （1）若只在一家商店购买，当时，谢老师选择哪家商店购买西装和领带更划算？ （2）若只在一家商店购买，请用含的代数式分别表示在两家商店的花费； （3）当时，请设计最省钱的购买方案并求出最少的花费是多少． 【答案】（1）若只在一家商店购买，当时，谢老师选择甲商店购买西装和领带更划算． （2）若只在一家商店购买，在甲商店的花费为元，在乙商店的花费为元． （3）当时，最省钱的购买方案为在甲商店购买20套西装，20条领带，在乙商店购买0套西装，40条领带，最少的花费是5440元． 【分析】（1）分别根据题意计算出若只在甲购买和若只在乙购买的花费，比较两个花费的大小，即可判断哪种方案更划算． （2）根据题意列出代数式表示即可． （3）设在甲商店购买x套西装，x条领带，即在乙商店购买套西装，条领带，总花费为y元，可得方程，再根据，即可确定最省钱的购买方案． 【详解】（1）若只在甲购买：（元） 若只在乙购买：（元） ∵ 若只在一家商店购买，当时，谢老师选择甲商店购买西装和领带更划算． （2）若只在甲购买： 若只在乙购买： 故若只在一家商店购买，在甲商店的花费为元，在乙商店的花费为元． （3）∵单买领带时，乙商店比甲商店便宜 ∴要想花费最少，在甲商店购买的西装套数等于领带的条数 ∴设在甲商店购买x套西装，x条领带，即在乙商店购买套西装，条领带，总花费为y元 ． ∵ ∴当时，总花费y有最小值 最小值为 故当时，最省钱的购买方案为在甲商店购买20套西装，20条领带，在乙商店购买0套西装，40条领带，最少的花费是5440元． 【点睛】本题考查了一次函数的实际应用，掌握一次函数的性质以及最值问题是解题的关键． 28．（25-26学年七上·重庆礼嘉中学·期中）礼嘉中学食堂的食物一直深受学生的喜爱，特别是卤鸡腿和卤鸡翅更是火爆．上周六，食堂的王师傅到农贸市场采购了30公斤鸡腿和20公斤鸡翅，已知每公斤鸡翅比鸡腿贵5元；其中每公斤鸡腿的价格为元． （1）求王师傅上周六一共花了多少钱（用含的代数式表示）； （2）若王师傅一共花了1500元，求的值； （3）由于本周炸鸡腿和炸鸡翅的售卖情况异常火爆，本周六，王师傅决定继续到农贸市场采购该食材，但本周六1公斤鸡腿的价格在上周六基础上上涨了，而1公斤鸡翅的价格在上周六基础上下降了，这样，1公斤鸡腿和1公斤鸡翅的总价比之前少了元，在（2）问的条件下，求的值． 【答案】（1）元     （2）     （3）      【分析】 本题考查了列代数式，一元一次方程的应用；找出等量关系式是解题的关键． （1）根据题意列出代数式，并进行化简，即可求解； （2）由（1）得，解方程，即可求解； （3）等量关系式：本周六每公斤鸡腿的价格本周六每公斤鸡翅的价格元，据此列出方程，然后解方程，即可求解． (1) 小问详解： 解：由题意得 ， 故王师傅上周六一共花了元； (2) 小问详解： 解：由题意得：， 解得， 故的值为； (3) 小问详解： 解：由题意得： 解得：， 故的值为． 29．（25-26学年七上·重庆礼嘉中学·期中）如图，数轴上有，，三个点，点对应的数是，点，对应的数分别为，，且，满足． （1）直接写出_____，_____； （2）若动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动，同时动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度向左运动；动点到达原点后立即向左运动（只改变方向，不改变速度大小），则经过多长时间动点与动点到原点的距离相等？ （3）若数轴上有两个动点，分别从，两点出发沿数轴同时出发向右匀速运动，点速度为3个单位长度/秒，点速度为1个单位长度/秒，若运动时间为秒，运动过程中，记线段的中点为．是否存在的值，使得、、三点中的一点到余下两点的距离相等？若存在，请直接写出的值，若不存在，请说明理由． 【答案】（1），；     （2）经过秒或秒动点与动点到原点的距离相等；     （3）或．      【分析】 本题考查了数轴上的动点问题，绝对值的非负性，一元一次方程的应用，解题的关键是掌握以上知识点． （1）根据绝对值的非负性和平方的非负性作答即可； （2）先推导出动点到达原点时，动点未到达原点，设经过秒动点与动点到原点的距离相等，分两种情况列方程求解即可； （3）求出，分三种情况讨论即可． (1) 小问详解： 解：∵， ∴，， ∴，， 故答案为：，； (2) 小问详解： 解：∵，， ∴动点到达原点时，动点未到达原点． 设经过秒动点与动点到原点的距离相等， 动点到达原点前：，解得：； 动点到达原点后：，解得：； 即经过秒或秒动点与动点到原点的距离相等； (3) 小问详解： 解：， 当为、中点时， ， 解得：； 当为、中点时， 解得：； 当为、中点时， ， 则， 此种情况不成立； 综上所述，或． 30．（25-26学年七上·重庆复旦中学·期中）如图，在数轴上，点O表示原点，点A、B、C在数轴上对应的数分别是a、b、c，点B为中点，且a，c满． （1） ______， ______， ______； （2）点P从点A出发，以2个单位每秒的速度沿数轴向右匀速运动，点Q从点C出发，以1个单位每秒的速度沿数轴向左匀速运动，两点同时出发，当点P运动到点C时，点P，Q停止运动．设运动时间为t秒，当时，求t的值； （3）若动点M从点A出发．以每秒4个单位长度的速度沿数轴的正方向匀速运动至点B，再以每秒1个单位长度的速度沿数轴的正方向匀速运动；同时，动点N从点C出发以每秒2个单位长度沿着数轴的负方向匀速运动至点O，到达O点后点N按原速度立即返回点C，当点N运动到点C时，点M，N停止运动，设运动时间为k秒，当，求k的值． 【答案】（1）     （2）或     （3）或      【分析】 本题考查了一元一次方程数轴上的点的运动问题，涉及绝对值方程、一元一次方程以及点的运动规律．需要通过解析方程和运动状态求解点的位置与时间关系． （1）本题主要考查了非负数的性质，根据有理数的特征、非负数的性质即可解答；掌握几个非负数的和为 0，则每个非负数都为 0 成为解题的关键； （2）由题意可知，，结合两点距离公式求解绝对值方程即可，注意检验点P在点C左侧； （3）根据C到达O点前，以及C到达O点后进行分类讨论，注意转折点对方程产生的影响． (1) 小问详解： 因为，所以，， 又因为点B为中点，所以b=(a+c)/(2) = (-6+10)/(2) =2． 故答案为：． (2) 小问详解： 由题意可得 ，， 因为， 所以， 解得：或． 检验，当时，，满足条件， 当时，，也满足条件， 综上或． (3) 小问详解： 由题意，可得： C到达O点前，有： ① 当M在O左侧时，此时， 解得； ② 当M在O右侧、B左侧时，此时， 解得无解； ③ 当M在B右侧时，此时， 解得无解； C到达O点后，有： ④ 当M在B右侧时，此时， 解得； 综上或． 31．（25-26学年七上·重庆第八中学校·期中）小吴所在社区采购了两类膳食物资，第一类：杂粮礼盒每份售价为24元；当采购量小于或等于35份时，无优惠．当采购量大于35份时，超过35份的部分每份售价降低3元．第二类：蛋白补给包每份售价为56元；当采购量小于60份时，无优惠．当采购量大于或等于60份时，每份（含小于60份的部分）售价均降低7元． （1）购买30份杂粮礼盒的费用为______元，购买70份蛋白补给包的费用为______元； （2）小吴所在社区积极响应国家号召，对参与BMI测量并购买两类膳食物资的居民在此前优惠方案的基础上，提供额外价格减免活动，具体如下： 类别 类型 杂粮礼盒每份售价减免（元） 蛋白补给包每份售价减免（元） 1 体重过低 2 7 2 体重正常 1 6 3 超重 3 7 4 肥胖 4 9 ＝体重÷身高的平方（单位：） 小吴的身高，体重，请通过计算值判断小吴所属类别是______（请填序号1、2、3、4）； 若小吴计划购买杂粮礼盒和蛋白补给包总共120份，当小吴购买杂粮礼盒x份时，总费用为多少元？ （3）在（2）的条件下，小吴实际购买的情况是：他第一次购买了10份杂粮礼盒和20份蛋白补给包，他第二次用了3753元购买了两类膳食物资共120份．若小吴将两次分开购买的两类膳食物资合起来一次性购买，则这样购买的总价比两次分开购买的总价少多少元？ 【答案】（1）720；3430     （2）3；当时，总费用为元；当时，总费用为元；当时，总费用为元     （3）170元或506元      【分析】 本题考查了有理数混合运算的应用、列代数式、一元一次方程的应用，理解题意是解题的关键． （1）根据题意列式计算即可； （2）通过计算求出小吴的值，判断小吴所属类别；再分3种情况讨论：① 当时；② 当时；③ 当时，根据题意列出代数式即可解答； （3）设小吴第二次购买杂粮礼盒x份，结合（2）中的结论列出方程，求出的值，计算出一次性购买的总价以及两次分开购买的总价，即可得出答案． (1) 小问详解： 解：购买30份杂粮礼盒的费用为（元）， 购买70份蛋白补给包的费用为（元） 故答案为：720；3430； (2) 小问详解： 解：， ∴由值可知小吴所属类别是3； 当小吴购买杂粮礼盒x份时，则购买蛋白补给包份， ① 当时，， 此时总费用为元； ② 当且时，即， 此时总费用为元， ③ 当且时，即， 此时总费用为元； ∴综上所述，当时，总费用为元；当时，总费用为元；当时，总费用为元； 故答案为：3； (3) 小问详解： 解：小吴第一次购买的总价为（元）， 设小吴第二次购买杂粮礼盒x份， 当时，， 解得（不符合题意，舍去）； 当时，， 解得， 当时，， 解得， 此时购买蛋白补给包（份）； ① 当小吴第二次购买杂粮礼盒58份时， 则购买蛋白补给包（份）； 一次性购买的总价为（元）， 一次性购买的总价比两次分开购买的总价少（元）； ② 当小吴第二次购买杂粮礼盒72份时， 则购买蛋白补给包（份）； 一次性购买的总价为（元）， 一次性购买的总价比两次分开购买的总价少（元）； 答：这样购买的总价比两次分开购买的总价少170元或506元． 32．（25-26学年七上·重庆育才中学·期中）列一元一次方程解决实际问题： 魔方和数独棋等益智玩具近年来深受青少年的喜爱，它们不仅能给人带来乐趣，还能有效锻炼人的逻辑思维和问题解决能力．为了满足市场需求，某商店决定用元购进魔方、数独棋这两种益智玩具进行销售，其中购进魔方的数量是数独棋数量的倍，魔方、数独棋的进价和标价如下表： 魔方 数独棋 进价（元个） 标价（元个） （1）该商店购进魔方、数独棋各多少个？ （2）如果魔方按标价的七折出售，数独棋按标价的八折出售，那么这两种益智玩具全部售完后，该商店共获利多少元？ 【答案】（1）该商店购进魔方个，数独棋个；     （2）该商店共获利元．      【分析】 本题考查了一元一次方程的应用，有理数运算的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． （）设数独棋个，则商店购进魔方个，根据题意得，然后解方程即可； （）由题意得，商店共获利，然后通过运算法则即可求解． (1) 小问详解： 解：设数独棋个，则商店购进魔方个， 根据题意得， 解得：， ∴商店购进魔方， 答：该商店购进魔方个，数独棋个； (2) 小问详解： 解：由题意得，商店共获利， （元）， 答：该商店共获利元． 33．（25-26学年七上·重庆潼南区初中·期中）阅读：如图，点在数轴上分别表示实数，，则两点之间的距离可以表示为． （1）理解：数轴上表示和的两点之间的距离是________，数轴上表示和的两点之间的距离是________；表示与－1的距离，若，则的值为________； （2）运用：当代数式取最小值时，相应的的取值范围是________；当代数式的最小值是________； （3）若点表示的实数为，点表示的实数为，点、分别从点、同时出发，点以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，当点到达点时，立即返回，设运动时间为秒．求为何值时，点与相距个单位长度． 【答案】（1），；或；     （2），；     （3）或或或．      【分析】 本题主要考查数轴上的动点问题，绝对值的意义，一元一次方程的应用，熟练掌握数轴上的动点问题及一元一次方程的应用是解题的关键． （）根据数轴两点距离可进行求解； （）根据题意可直接进行求解； （）分当没有到达，与相遇前，当与相遇后，当没有到达，与相遇后，当到达后，当没有追到时，当到达后，当追到后四种情况分析求解即可． (1) 小问详解： 解：数轴上表示和的两点之间的距离是，数轴上表示和的两点之间的距离是；表示与－1的距离，若，则的值为或， 故答案为：，；或； (2) 小问详解： 解：当代数式取最小值时，相应的的取值范围是；当时，代数式的最小值是， 故答案为：；； (3) 小问详解： 解：当没有到达，与相遇前， ，解得：； 当没有到达，与相遇后， ，解得：； 当到达后，当没有追到时， ，解得：； 当到达后，当追到后， ，解得：； 综上可得：为或或或秒时，点与相距个单位长度． 34．（25-26学年七上·重庆字水中学·期中）植树节这天，七年级170名学生志愿者参加植树活动，假设一名男生一天能挖树坑3个，一名女生一天能种树7棵，且男生只挖树坑，女生只种树．要求每个树坑种一棵树，那么该年级参加植树的男生，女生各有多少名？ 【答案】男生119名，女生51名 【分析】 本题考查一元一次方程的实际应用，设男生有名，则女生有名，根据男生挖的坑数等于女生种的树的数量，列出方程进行求解即可． 【详解】 解：设男生有名，则女生有名，由题意，得： ， 解得， ， 答：男生119名，女生51名． 35．（25-26学年七上·重庆字水中学·期中）如图：在数轴上A点表示数a，B点表示数b，C点表示数c，b是最小的正整数，且a、c满足． （1）a=____，b=____，c=____； （2）若将数轴折叠，使得A点与C点重合，则点B与数_____表示的点重合； （3）点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和4个单位长度的速度向右运动，假设t秒钟过后，若点A与点B之间的距离表示为AB，点B与点C之间的距离表示为BC，那么3BC-2AB的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． 【答案】（1）－3，1，8     （2）4     （3）13      【分析】 （1）根据平方式和绝对值的非负性求得a、c值，再根据最小的正整数是1可求得b值； （2）根据题意可求得点A，C的对称点对应的数，进而可求得与点B重合的数； （3）根据题意求得AB=4+3t，BC=2t+7，求解3BC－2AB可得结论． (1) 小问详解： 解：∵， ∴，， ∴，， ∵b是最小的正整数， ∴b=1， 故答案为：-3，1，8； (2) 小问详解： 解：由题意，点A、C的对称点对应的数为， ∵与点B重合的点就是和点B关于该对称点对称的点， ∴与点B重合的数为1+2×（2.5－1）=4， 故答案为：4； (3) 小问详解： 解：不变，它的值为13，理由为： 根据题意，t秒钟过后，点A对应的数为-3-t，点B对应的数为1+2t，点C对应的数为8+4t， 则AB=（1+2t）-（-3-t）=3t+4，BC=（8+4t）-（1+2t）=2t+7， ∴3BC-2AB =3（2t+7）-2（3t+4） =6t+21-6t-8 =13， 故3BC-2AB的值不随着时间t的变化而改变，它的值为13． 【点睛】 本题考查数轴上的动点问题及两点间的距离、平方式和绝对值的非负性，有一定的难度，利用数轴特点求出两点间的距离是解答的关键． 36．（25-26学年七上·重庆西南大学附·期中）如图1是2025年11月的月历，数学老师在数学活动课上开展月历中的数学游戏． （1）任意框出图1某一列中相邻的3个数，若中间的数为，则这三个数的和为_____．（用含的式子表示）； （2）用图2框出图1中的3个数，若这3个数的和为63，则这3个数分别是_____； （3）用图3框出图1中的4个数，是否有可能这4个数的和是68？若有可能，求出这4个数；若不可能，请说明理由． 【答案】（1）     （2）15，21，27     （3）不可能， 理由：设这个数中最小的数为b，则另外3个数分别为，，， 根据题意得：， 解得：，不是整数 ∴这4个数的和不可能是68．      【分析】 本题考查了一元一次方程的应用以及整式的加减，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元一次方程． （1）利用上边的数中间的数，下边的数中间的数，即可用含x的代数式表示出上边和下边的数，然后求和即可； （2）设中间的数为a，则另外两个数分别为，，根据题意列方程求解即可； （3）设这4个数中最小的数为b，则另外3个数分别为，，，根据这个数的和是68，关于的一元一次方程求解判断即可． (1) 小问详解： 解：根据题意得：①若中间的数为，则上边的数为，下边的数为， ∴； (2) 小问详解： 设中间的数为a，则另外两个数分别为，， ∵这3个数的和为63， ∴， ∴ ∴， ∴这3个数分别是15，21，27； (3) 小问详解： 略 37．（25-26学年七上·重庆西南大学附·期中）如图，有理数，，在数轴上对应的点分别为，，，其中，，，现在点，，分别以每秒4个，3个，2个单位长度的速度在数轴上同时向右运动，记运动时间为秒． （1）当运动时间为秒时，点在数轴上对应的数是_____；（用含的式子表示） （2）当，，三点中恰好有一点为另外两点的中点时，求出的值； （3）是否存在常数，使得的值在一定时间范围内不随的改变而改变？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）     （2）或     （3）或      【分析】 此题考查了列代数式，一元一次方程的应用，数轴上动点问题，整式的加减，解题的关键是正确表示出运动后三个点表示的数． （1）根据题意列式即可； （2）首先表示出点在数轴上对应的数是，点在数轴上对应的数是，然后根据题意分三种情况讨论，分别列出方程求解即可； （3）首先表示出，，然后表示出，然后根据题意分三种情况讨论，分别列出方程求解即可． (1) 小问详解： 当运动时间为秒时，点在数轴上对应的数是； (2) 小问详解： 当运动时间为秒时，点在数轴上对应的数是，点在数轴上对应的数是， 根据题意得，当点A是点B和点C的中点时， ∴ 解得； 当点B是点A和点C的中点时， ∴ 解得（不符合题意，舍去）； 当点C是点A和点B的中点时， ∴ 解得； 综上所述，或； (3) 小问详解： 根据题意得，， ∴ ∴当时， ∴ ∴； 当时， ∴ ∴； 当时， ∴ ∴； 综上所述，当或时，的值在一定时间范围内不随的改变而改变． 38．（25-26学年七上·重庆长寿川维中学校·期中）今年9月，莉莉进入八中初一，在准备开学用品时，她决定购买若干个某款笔记本，甲、乙两家文具店都有足够数量的该款笔记本，这两家文具店该款笔记本标价都是20元/个．甲文具店的销售方案是：购买该笔记本的数量不超过5个时，原价销售；购买该笔记本超过5个时，从第6个开始按标价的八折出售：乙文具店的销售方案是：不管购买多少个该款笔记本，一律按标价的九折出售． （1）若设莉莉要购买x（x＞5）个该款笔记本，请用含x的代数式分别表示莉莉到甲文具店和乙文具店购买全部该款笔记本所需的费用； （2）在（1）的条件下，莉莉购买多少个笔记本时，到乙文具店购买全部笔记本所需的费用与到甲文具店购买全部笔记本所需的费用相同？ 【答案】（1）在甲文具店购买所需费用为元；在乙文具店购买所需费用为元；（2）莉莉购买10个笔记本时，到乙文具店购买全部笔记本所需的费用与到甲文具店购买全部笔记本所需的费用相同. 【分析】（1）根据甲、乙两文具店的优惠方案，可用含x的代数式表示出莉莉到甲文具店和乙文具店购买全部该款笔记本所需的费用；（2）根据到两家文具店所需费用相同，可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）在甲文具店购买所需费用为元； 在乙文具店购买所需费用为元. （2）根据题意得：， 解得：. 答：莉莉购买10个笔记本时，到乙文具店购买全部笔记本所需的费用与到甲文具店购买全部笔记本所需的费用相同. 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用以及列代数式，解题的关键是：（1）根据两店的优惠方案，列出代数式；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程． 39．（25-26学年七上·重庆梁山初中教·期中），如图1，点与点到原点的距离相等，、、分别表示、、三点在数轴上对应的数，如图2，我们将数轴在点和点处各弯折一次，使与处于水平位置、动点从点出发到点停止，以每秒2个单位的速度沿数轴正方向运动，上坡时的速度变为原来的一半，之后恢复原来的速度，动点从点处出发到点停止，以每秒1个单位的速度沿数轴负方向运动，下坡时的速度变为原来的两倍，之后恢复为原来的速度，若、同时出发，设运动时间为． （1）_____，_____，_____； （2）当、两点相遇时，求运动时间的值； （3）在运动过程中，是否存在，使动点、两点在数轴上相距的长度是、两点在数轴上相距的长度的倍，若存在，直接写出的值，若不存在，说明理由． 【答案】（1）     （2）当、两点相遇时，运动时间的值为     （3）存在动点、两点在数轴上相距的长度是、两点在数轴上相距的长度的倍，的值为或或      【分析】 本题主要考查了非负性，数轴上动点问题，一元一次方程的运用，理解数轴动点的运动中的数量关系，两点之间距离的计算方法是解题的关键． （1）根据非负性，相反数即可求解； （2）分别用含的式子表示出点运动的路程，根据相遇问题，分类讨论即可求解； （3）分别用含的式子表示出点表示的数，根据两点之间距离的计算方法，分类讨论即可求解． (1) 小问详解： 解：∵，， ∴， 解得，， ∴点表示的数为，点表示的数为， ∵点与点到原点的距离相等， ∴点表示的数为，即， 故答案为：； (2) 小问详解： 解：动点从点出发到点停止，以每秒2个单位的速度沿数轴正方向运动，上坡时的速度变为原来的一半，动点从点处出发到点停止，以每秒1个单位的速度沿数轴负方向运动，下坡时的速度变为原来的两倍，设运动时间为， 由（1）可知，当在点表示的数为，点表示的数为， ∴点从的时间为，从的时间为，从的时间为， 点从的时间为，从的时间为，从的时间为， ∴当时，点在上，点在上，不能相遇，不符合题意； 当时，点走的路程为， 点走的路程为， 当、两点相遇时，， 解得，，不符合题意，舍去； 当时，点表示的数为，点表示的数为， 当、两点相遇时，， 解得，； ∴当、两点相遇时，运动时间的值为； (3) 小问详解： 解：存在，理由如下， 第一种情况：时，点在上，点在上， 点、两点在数轴上相距为：， 点、两点在数轴上相距为， ∴， 解得，； 第二种情况：时，点在上、在上， 点、两点在数轴上相距为:， 点、两点在数轴上相距为， ∴， 解得：； 第三种情况：时，点、在上， 点、两点在数轴上相距为:， 点、两点在数轴上相距为， ∴， 解得，； 第四种情况：时，点在上，点在上， 点、两点在数轴上相距为：， 点、两点在数轴上相距为， ∴， 解得：；（舍去） 第五种情况：时，点在上，点在上时， 点、两点在数轴上相距为:， 点、两点在数轴上相距为， ∴， 解得，（舍去）； 综上所述，存在动点、两点在数轴上相距的长度是、两点在数轴上相距的长度的倍，的值为或或． 40．（25-26学年七上·重庆朝阳教育集·期中）如图1，A、B两点在数轴上对应的数分别为﹣12和4． （1）直接写出A、B两点之间的距离； （2）若在数轴上存在一点P，使得AP＝PB，求点P表示的数． （3）如图2，现有动点P、Q，若点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，当点Q到达原点O后立即以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右运动，求：当OP＝4OQ时的运动时间t的值． 【答案】（1）A、B两点之间的距离是16；（2）点P表示的数为﹣8或﹣20；（3）当OP＝4OQ时的运动时间t的值为或秒． 【分析】（1）根据两点间的距离公式即可求出A、B两点之间的距离； （2）设点P表示的数为x．分两种情况：① 点P在线段AB上；② 点P在线段BA的延长线上．根据AP＝PB列出关于x的方程，求解即可； （3）根据点Q的运动方向分两种情况：① 当t≤2时，点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动；② 当t＞2时，点Q从原点O开始以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右运动，根据OP＝4OQ列出关于t的方程，解方程即可． 【详解】（1）A、B两点之间的距离是：4﹣（﹣12）＝16． （2）设点P表示的数为x．分两种情况： ① 当点P在线段AB上时， ∵AP＝PB， ∴x+12＝（4﹣x）， 解得x＝﹣8； ② 当点P在线段BA的延长线上时， ∵AP＝PB， ∴﹣12﹣x＝（4﹣x）， 解得x＝﹣20． 综上所述，点P表示的数为﹣8或﹣20； （3）分两种情况： ① 当t≤2时，点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动， 此时Q点表示的数为4﹣2t，P点表示的数为﹣12+5t， ∵OP＝4OQ， ∴12﹣5t＝4（4﹣2t）， 解得t＝，符合题意； ② 当t＞2时，点Q从原点O开始以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右运动， 此时Q点表示的数为3（t﹣2），P点表示的数为﹣12+5t， ∵OP＝4OQ， ∴|12﹣5t|＝4×3（t﹣2）， ∴12﹣5t＝12t﹣24，或5t﹣12＝12t﹣24， 解得t＝，符合题意；或t＝，不符合题意舍去． 综上所述，当OP＝4OQ时的运动时间t的值为或秒． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，数轴，结合动点考查了两点间的距离，以及路程、速度与时间关系的应用，理解题意，找到相等关系进行正确分类是解题的关键． 41．（七上·重庆第十八中学·期中）点在数轴上表示的数为，点在数轴上表示的数为4，点为坐标原点． （1）如图，在数轴中，点与点___________所表示的数互为相反数，点与点___________所表示的数互为相反数； （2）若点为一个动点，从点出发，向点运动，速度为3个单位每秒，点到达点后立即反向继续按原来的速度运动；点为一个动点，从点出发，沿数轴正方向运动，速度为1个单位每秒．两个点同时出发，设：运动时间为秒． ①用含的代数式分别表示动点，动点； ②用含的代数式分别表示线段的长，线段的长； ③当时，直接写出的值． 【答案】（1）C，D     （2）① 当时，点P表示的数是，当时，点P表示的数是，点Q表示的数是；② 当时，，当时，，；③1或4      【分析】 此题考查了一元一次方程的应用及数轴上两点间的距离，动点问题，列代数式，关键是利用数形结合思想，根据题目中的数量关系，列出方程． （1）根据相反数的定义求解即可； （2）① 根据点P和点Q的速度以及初始位置列式即可； ② 分两种情况，根据两点间的距离求解即可； ③ 两种情况，根据列方程，然后解方程求解即可． (1) 小问详解： 点与点C所表示的数互为相反数，点与点D所表示的数互为相反数． 故答案为：C，D； (2) 小问详解： ①秒， 当时，点P表示的数是， 当时，点P表示的数是， 点Q表示的数是； ② 当时，， 当时，， ， ③ 当时，，解得， 当时，，解得， 综上可知，当时，直接写出的值为1或4． 42．（25-26学年七上·重庆兼善中学·期中）观察下面将一个无限循环小数化为分数的过程，并解答问题．…是一个以47为循环节的无限循环小数，将它扩大到100倍，把第一个循环节移到小数点之前，得到…，发现小数点后依然是循环节为47的无限循环小数，即仍是原数（这是“无限”的奇妙特征——部分等于全部），即…，由此可知， 99个等于47，所以． 例：将无限循环小数化为分数． 解：设，则…，所以，得，所以． （1）将无限循环小数化为分数：                 ． （2）仿照上述解答过程，将无限循环小数化为分数； （3）已知无限循环小数m（），它的循环节有三位，且从小数点后第一位开始循环，循环节记为n．将无限循环小数m化为分数：                 （直接用含n的代数式表示）． 【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 本题主要考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是找出其中的规律，即通过方程形式，把无限小数化成整数形式．此题中根据循环节的位数来设置扩大的倍数，使得扩大后的小数部分刚好与原小数相等是解决该问题的重要技巧． （1）设，该小数循环节为位，故方程左右两边同时乘以，得到…，进而得到，求解一元一次方程即可得到答案． （2）设，该小数循环节为位，故方程左右两边同时乘以，得到…，进而得到，求解一元一次方程即可得到答案． （3）设，该小数循环节为位，故方程左右两边同时乘以，得到…，进而得到，求解一元一次方程即可得到答案． (1) 小问详解： 解：设， 则…， ∴， ∴， 答：． (2) 小问详解： 解：设， 则…， ∴， ∴， 答：． (3) 小问详解： 解：已知， 设， 则， ∴， ∴， ∴， 答：． 43．（25-26学年七上·重庆开州区文峰·期中）如图，A点的初始位置位于数轴上的原点，现对A点做如下移动：第1次从原点向右移动1个单位长度至B点，第2次从B点向左移动4个单位长度至C点，第3次从C点向右移动7个单位长度至D点，第4次从D点向左移动10个单位长度至E点，…以此类推，移动5次后该点对应的数为　　　　　　　　　，这样移动2019次后该点到原点的距离为　　　　　　　． 【答案】① 7    ② 3028 【分析】 根据数轴上点的坐标变化和平移规律（左减右加），分别求出点所对应的数，找出规律即可解答； 【详解】 第1次从原点向右移动1个单位长度至B点，移动个单位长度； 第2次从B点向左移动4个单位长度至C点，移动个单位长度； 第3次从C点向右移动7个单位长度至D点，移动个单位长度； 第4次从D点向左移动10个单位长度至E点，…以此类推， 移动5次后该点对应的数为； 故移动5次后该点对应的数为7； 由规律可知第n次移动个单位长度， n为奇数时向右移动，n为偶数时向左移动， 第2019次向右移动个单位长度， ， 即前2018次移动后该点表示的数为， ， 所以这样移动2019次后该点表示的数为3028，距离原点的距离为3028． 故答案为：7，3028． 【点睛】 本题主要考查了数轴和图形变化规律，准确分析判断是解题的关键． 44．（25-26学年七上·重庆第一中学校·期中）如图，在正方形中，点E 在线段上，点F、H在线段上，连接．先将正方形沿折叠，使点A和 点C同时翻折至点G，随即再沿折叠，使点D 翻折至点K， 则为 　　　　　　　　　　　　　 度；若，且满足，则为　　　　　　　　　　　　度． 【答案】① -度    ② 7度 【分析】 本题考查了折叠的性质，一元一次方程的几何应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先理解题干，再结合折叠的性质得，则，再设，得， 则，， 结合折叠，，，把数值代入，进行计算，即可作答． 【详解】 解：∵四边形是正方形， ∴， ∵先将正方形沿折叠，使点A和 点C同时翻折至点G， ∴， ∵， 则， 设， ∵， ∴， ∵， ∴， 则， ∵折叠， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 45．（25-26学年七上·重庆巴蜀中学校·期中）密码学是研究编制和破译密码的规律的一门学科，它与数学有密切关系．密码学中，明文是未经过加密处理的原始信息，密文是由明文通过已知的密码规则进行加密变换后得到的信息，解密是把密文通过已知的密码规则变为明文的过程．有一种密码规则，将26个英文字母a，b，c，d，…，z如下表所示依次对应数字1，2，3，4，…，26．当密文中的英文字母在表格中对应的数字x为偶数时，解密后的明文为代数式所得数值在表格中对应的英文字母；若x为奇数，解密后的明文为代数式所得数值在表格中对应的英文字母． 字母 a b c d e f g h i j k l m 对应数字 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 字母 n o p q r s t u v w x y z 对应数字 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 根据以上材料，回答下列问题： （1）密文“”解密成明文为“________”；明文“”加密成密文为“________”； （2）将解密后的明文中的字母所对应的数字设为y，若存在一个密文中的字母所对应的数字x，与其解密后的明文所对应的数字y满足（k为正整数），求满足条件的密文中的字母． 【答案】（1）；或     （2）a或b或c      【分析】 本题考查了一元一次方程的应用，有理数混合运算的应用，整式的加减运算等知识点，解题的关键是正确理解新定义． （1）根据密文、明文的转化方法求解即可； （2）分类讨论，当为偶数，可得，则，，此时密文中的字母为；当为奇数，可得 ，则，或，，此时密文中的字母为或者． (1) 小问详解： 解：对应1，为奇数，则，对应字母； 对应25，为奇数，则，对应字母； 对应19，为奇数，则，对应字母； 对应，为偶数，则，对应字母， ∴密文“”解密成明文为“”， 字母为对应17，若密文为奇数，则，对应字母； 若密文为偶数，则（不符合题意，舍去）； 字母对应，若密文为奇数，则，对应字母； 若密文为偶数，则，对应字母， ∴明文“”加密成密文为或， 故答案为：；或； (2) 小问详解： 解：当为偶数，则， ∴， ∵为正整数，为偶数， ∴，， ∴此时密文中的字母为； 当为奇数，则， ∴， ∵为正整数，为奇数， ∴，或， ∴此时密文中的字母为或者； ∴满足条件的密文中的字母为a或b或c． 46．（25-26学年七上·重庆南坪中学校·期中）数学探究：点 A、B 在数轴上分别表示有理数 a、b，A、B 两点之间的距离表示为，在数轴上 A、B两点之间的距离，利用数形结合思想回答下列问题： （1）数轴上表示x与3两点之间的距离表示                           ，结合上面的理解，若，则        ． （2）当       时，代数式； （3）的最大值为                      ． （4）若点A表示的数1，点B与点A的距离是5，且点 B 在点 A 的右侧，动点P、Q分别从A、B同时出发沿数轴正方向运动，点P的速度是每秒3个单位长度，点Q的速度是每秒1个单位长度，求运动几秒后，？（请写出必要求解过程） 【答案】（1）；1或5     （2）0或7     （3）8     （4）2 秒或 3 秒      【分析】 本题考查了数轴和绝对值的意义，解一元一次方程，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． （1）根据绝对值的定义即可求解； （2）根据x的取值范围取绝对值，分① 当时；② 当时；③ 当时，三种情况进行讨论求解即可； （3）根据绝对值的性质分类讨论，可得答案； （4）设运动x秒后，根据题意求得点B表示的数为6，得到x秒后点P表示的数为，点Q表示的数为，则，整理求解即可． (1) 小问详解： 解：x与3之间的距离表示为：， 若，则， 或， 故答案为：；1或5； (2) 小问详解： 解：分以下三种情况讨论： ① 当时，， 解得：； ② 当时，， 此时方程无解； ③ 当时，原方程可化为：， 解得：， 综上可得x的值为0或7． 故答案为：0或7； (3) 小问详解： 解：当时，，， ∴， 当时，，， ∴， ∴，即； 当时，，， ∴， 综上可知：当时，取最大值，最大值为8， 故答案为：8； (4) 小问详解： 解：设运动x秒后， 由题意可得：点B表示的数为：， 由题意可得x秒后点P表示的数为，点Q表示的数为， 则， ∴， ∴或， 解得：或， ∴运动2秒或3秒后． 47．（25-26学年七上·重庆高新·期中）点，在数轴上分别表示有理数，且满足．现将数轴在点，处剪断，再用绳子将它们连接，就可得到如图所示的“拱形数轴”，其中点为绳子上一点且满足．在此数轴上，我们定义任意两点的距离为它们之间折线段的长度之和，如图1，，两点的距离为线段的长，记为，记，两点的距离为． （1）请直接写出________，________； （2）若，点在数轴上表示有理数6，一动点从点出发以每秒3个单位长度沿“拱形数轴”向正方向运动，同时，另一动点从点出发以每秒1个单位长度沿“拱形数轴”向负方向运动，两个点运动到点处均停止，设运动时间为秒，请问取何值时，使得？ （3）如图2，已知，动点从点出发以每秒2个单位长度沿着“拱形数轴”向正方向运动，同时点从点出发，以每秒1个单位长度沿着“拱形数轴”向负方向运动；两点相遇后，点速度立即变为原来的一半并沿着“拱形数轴”向负方向运动，同时点保持速度不变并沿着“拱形数轴”向正方向运动．设运动时间为秒，是否存在使得？如果存在，请直接写出的值，如果不存在，请说明理由． 【答案】（1），4     （2）或     （3）存在，或      【分析】 （1）由题中条件，利用平方与绝对值非负性，结合非负式和为0的条件求解即可得到答案； （2）由含t的代数式表示出，，，再列方程求解即可得到答案； （3）根据数轴上动点问题，分相遇前和相遇后分两种情况列方程求解即可得到答案． (1) 小问详解： 解：∵， ∴，， ∴，， 故答案为：，4； (2) 小问详解： 解：∵， ∴点N在数轴上表示有理数4， ∵点B在数轴上表示有理数6， ∴B点位置如图所示， ∵， 由题意知，，，， ∵， ∴， 当时，， ∴； 当时，点到点停止运动，点在上， ∴， ∴， 综上所述：或； (3) 小问详解： 解：存在，理由如下， ∵， ∴相遇时，两点各自运动的时间为（秒）， ∴由题意知，当时，，， ∴， ∴（舍去）， 当时，，， ∴, ∴， 当时，， ∴； ∴综上所述，当或时，． 【点睛】 本题主要考查了非负数和为零的条件、数轴上动点问题、相遇问题的一元一次方程的应用等知识点，根据题意，数形结合列方程求解是解决问题的关键． 48．（25-26学年七上·重庆渝高中学校·期中）如图，数轴上A，B，O两点表示的数分别为，13，0． 数轴体现了数形结合的数学思想，若数轴上点A，B表示的数分别为a，b，则A、B两点之间的距离表示为．数轴上数x表示的点到表示数a的点与表示数b的点的距离之和记为．同理，数轴上数x表示的点到表示数a的点与表示数b的点的距离之差记为． （1）若，则______．的最小值为______．的最小值为______． （2）若点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右运动，运动时间为t，当动点P到点O与点B的距离之差等于点P到点A与点O距离之和的最小值时，求出t的值及此时点P表示的数． （3）点C，D表示的数分别为，3，动点M从点A出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动，当到达点B后立即速度减半返回A点；动点N从点B出发，以每秒1个单位长度的速度向左运动，当到达点A后停留，然后速度变为原来的两倍返回B点．当点A、B中某一点返回到达出发点时，两个点均停止运动，点M、N同时开始运动，经过多少秒时，点N到点C的距离等于点M到点D距离的两倍． 【答案】（1）；3；     （2），P点所表示的数为     （3）t的值为或或18      【分析】 （1）由，或，再解方程可得答案，由绝对值的意义可得：的最小值，再分三种情况：当时，当时，当时，再化简，从而可得答案； （2）由题意可得：对应的数为，当的值最小时，结合（1）可得：在之间，可得最小值， 利用，再分情况解方程即可； （3）由题意可得：对应的数为，对应的数为：，判断，分情况讨论：当时，当时，当，当时，再分别建立方程求解即可． (1) 小问详解： 解：∵， ∴或， 当时，方程无解； 当时， ∴， 解得：； ∵表示在数轴上对应的点与数，对应的点之间的距离之和， ∴最小时，对应的点在与之间，（包括端点） ∴的最小值为； 当时， ； 当时， ， ∴， 当时， ， ∴的最小值为； (2) 小问详解： 解：由题意可得：对应的数为， ∴，， 当的值最小时，结合（1）可得：在之间， ∴， ∴，， ∴， 当时，，方程无解， 当时，， 解得：， P点所表示的数为； 当时，，此时方程无解， 综上：，P点所表示的数为； (3) 小问详解： 解：由题意可得：对应的数为，对应的数为：， ∴，， ∴， 当时， ∴，， ∴， ∴或， 解得：或（不符合题意，舍去） 当时， 对应的数为：， ∴，， ∴， ∴或， 解得：或（都不符合题意，舍去）， 当， 此时重合，， ∴， 解得：或， 当时， 对应的数为：， 对应的数为：， ∴，， ∴， 解得：（不符合题意，舍去） 综上：的值为：或或18． 【点睛】 本题考查的是数轴上的动点问题，数轴上两点之间的距离，绝对值的应用，整式的加减运算，一元一次方程的应用，本题的难度大，清晰的分类讨论是解本题的关键． 49．（25-26学年七上·重庆重庆云阳县·期中）如图，已知数轴上点A表示的数为，B、C是数轴上原点右侧的点，其中，，B是的中点．    （1）点B表示的数是        ，点C表示的数是        ； （2）动点M从点A出发，以每秒2个单位长度的速度向右匀速运动，多少秒后点M与点C相距3个单位长度？ （3）动点P、R分别从点A、B同时出发，分别以每秒2个、1个单位长度的速度向右匀速运动，同时动点Q从点C出发，以每秒1.5个单位长度的速度向左匀速运动，每当两动点相遇时，相遇的两动点会立即以原速往相反方向运动，令运动时间为t，当时，求t的值． 【答案】（1）1，6     （2）或秒     （3）或或      【分析】 （1）利用数轴上两点间距离和中点定义即可求解； （2）分M在C的左侧和右侧讨论即可； （3）分R、Q 相遇前；P、R相遇前；P、R相遇后讨论即可． (1) 小问详解： 解：∵A表示的数为，，B在A的右侧， ∴B表示的数为， ∵B是的中点， ∴， ∴C表示的数为． 故答案为：1，6； (2) 小问详解： 解：设点M运动t秒后与点C相距3个单位长度，此时M表示的数为， 当M在C的左侧时，， 解得； 当M在C的右侧时，， 解得； ∴或秒后点M与点C相距3个单位长度； (3) 小问详解： 解：当R、Q相遇时，， 此时P表示的数为， ∴R、Q 相遇前，P、R没有相遇， 当时，P表示的数为，R表示的数为，Q表示的数为， ∵， ∴， 解得； 当，即R、Q相遇时，相遇点表示的数为，此后R、Q变向，即R向左运动，Q向右运动， 当P、R相遇时，， ∴当时，P表示的数为，R表示的数为，Q表示的数为， ∵， ∴， 解得； 当P、R相遇时，，相遇点表示的数为，此后P、R变向，即P向左运动，R向右运动， 当时，P表示的数为，R表示的数为，Q表示的数为， ∵， ∴， 解得； 此后P向左运动，R向右运动，Q也向右运动，且Q的运动速度大于R的运动速度，则Q、R不再相遇． 综上，当或或时，． 【点睛】 本题考查了一元一次方程的应用—行程问题，数轴上的动点问题等，掌握数轴上两点间的距离公式、正确列出一元一次方程是解题关键． 50．（25-26学年七上·重庆第九十五初级中学校·期中）数轴上有两点分别位于原点的两侧（点在原点左侧，点在原点右侧），且满足，点在数轴上对应的数为，动点分别从原点同时出发向左，向右运动，速度分别为8个单位长度／秒，4个单位长度／秒，同时动点从点出发向右运动，速度为2个单位长度／秒，设运动时间为秒． （1）①点在数轴上对应的数是______； ②点在数轴上对应的数是______；点在数轴上对应的数是______；点在数轴上对应的数是______（用含的代数式表示） （2）当为何值时，动点与动点之间的距离为200个单位长度？ （3）若点为的中点，点为的中点，当时，求的值． 【答案】（1）①400；②；；     （2）t为60秒或100秒时，动点R与动点P之间距离为200个单位长度；     （3）为定值400．      【分析】 本题考查了利用一元一次方程解决数轴上的动点问题，如何把数轴上的点与其对应的数联系起来，并恰当地建立方程是解题的关键． （1）① 由已知得出，由点B在原点右侧，即可得出答案； ② 由题意得：，，，据此求解即可； （2）分两种情况，由题意得出方程，解方程即可； （3）先分别表示出t秒后点M表示的数和点N表示的数，然后将二者求差并取绝对值，再得出的值，然后计算的值即可． (1) 小问详解： 解：① ∵，点A在数轴上对应数是， ∴， ∵点B在原点右侧， ∴点B在数轴上对应的数是400； 故答案为：400； ② 由题意得：，，， ∴点P在数轴上对应的数是；点Q在数轴上对应的数是；点R在数轴上对应的数是； 故答案为：；；； (2) 小问详解： 解：由题意得：， 解得：或； 综上所述，t为60秒或100秒时，动点R与动点P之间距离为200个单位长度； (3) 小问详解： 解：t秒后点M表示的数为，点N表示的数为， ∴，， ∴， ∴为定值400． 51．（25-26学年七上·重庆凤鸣山中学教共体学校）如图，在数轴上有A，B两点，分别表示的数为a，b，且．点P从A点出发以每秒19个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，当它到达B点后立即以相同的速度返回往A点运动，并持续在A，B两点间往返运动．在点P出发的同时，点Q从B点出发以每秒3个单位长度向左匀速运动，当点Q到达A点时，点P，Q停止运动． （1）________（填空），并求运动了多长时间后，点P，Q第一次相遇，以及相遇点所表示的数； （2）点C在数轴上对应的数为81，在数轴上是否存在点M，使，若存在，求出点M对应的数，若不存在，说明理由； （3）求当点P，Q停止运动时，点P所在的位置表示的数；在整个过程中，点P和点Q一共相遇了多少次？ 【答案】（1）132；6；61     （2）存在点M，使，点M对应的数为或     （3）当点P，Q停止运动时，点P所在的位置表示的数为，点P和点Q一共相遇了次      【分析】 本题考查了数轴上的动点问题，数轴上两点间距离； （1）根据可得，故可得的长度，再利用时间等于路程除以速度和，即可解答；再根据求得时间，即可得到相遇点表示的数； （2）设点表示的数为，考虑两种情况，即点在点左边，点在点和点中间，再根据，列方程即可解答； （3）求出点运动的时间，即可算出点运动的路程，再求出点的位置即可，再根据点来回次数，求得和点相遇次数． 熟练利用代数式表示动点表示的位置是解题的关键． (1) 小问详解： 解：根据，可得，， ， （秒）， 相遇的点为； (2) 小问详解： 解：设点表示的数为， ① 当点在点左边时， ，，， 根据，可列方程， 解得； ② 点在点和点中间时， ，，， 根据，可列方程， 解得； 综上所述，存在点M，使，点M对应的数为或； (3) 小问详解： 解：点运动的时间为（秒）， ， 所以可得点总共往返6趟，且最后停止在处， 综上所述，点P和点Q一共相遇了7次． 52．（25-26学年七上·重庆珊瑚中学·期中）“数形结合”是一种重要的数学思想方法，数轴可以被视为“形”的一部分．研究数轴可以发现很多重要的结论： 绝对值的几何意义：一般地，如果点A，B在数轴上表示的数分别为a，b，那么A，B两点之间的距离可表示为，记作．例如，4与2之间的距离可表示为． 请借助数轴和上面的结论解决下列问题： 如图，点A，B在数轴上表示的数分别为，10，点P以每秒2个单位长度的速度从点A出发沿数轴的正方向运动，同时点Q以每秒1个单位长度的速度从点B出发沿数轴的负方向运动，设运动的时间为秒． （1）运动t秒后点P表示的数是______，点Q表示的数是______．（用含有t的代数式表示） （2）利用绝对值的几何意义，探索当______时，值最小为______． （3）当P，Q两点之间的距离为6个单位长度时，求t的值． （4）如果点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发沿数轴向右运动，同时点Q从点C出发以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，当点Q到达点A时，点P与Q同时停止运动．设点P的运动时间为t秒（）．当点P点Q与点A三个点中，其中一个点到另外两个点的距离相等时，直接写出t的值． 【答案】（1），     （2），12     （3）或     （4）或      【分析】 本题主要考查了数轴上的动点问题、绝对值的几何意义、解绝对值方程、一元一次方程的应用等知识点，理解绝对值的几何意义是解题的关键． （1）直接根据题意列出代数式即可； （2）理由绝对值的几何意义求解即可； （3）根据题意列绝对值方程求解即可； （4）由题意可知：P表示的数是，点Q表示的数是，再说明，然后分A为的中点、P为的中点、Q为的中点三种情况，分别列出一元一次方程求解即可． (1) 小问详解： 解：运动t秒后点P表示的数是，点Q表示的数是． 故答案为：，． (2) 小问详解： 解：的几何意义是数轴上一点x到的距离之和， ∴当时，距离之和最小，最小距离为． 故答案为：，12． (3) 小问详解： 解：∵点P表示的数是，点Q表示的数是，P，Q两点之间的距离为6个单位长度 ∴， ∴，解得：或． (4) 小问详解： 解：由题意可知：P表示的数是，点Q表示的数是， ∵，点Q到达点A时，点P与Q同时停止运动， ∴， 当A为的中点时，，解得：，不符合题意； 当P为的中点时，，解得：，符合题意； 当Q为的中点时，，解得：，符合题意； 综上，当点P点Q与点A三个点中，其中一个点到另外两个点的距离相等时，t的值为或． 53．（25-26学年七上·重庆杨家坪中学·期中）在初中数学文化节游园活动中，被称为“数学小王子”的王小明参加了“智取九宫格”游戏比赛，活动规则是：在九宫格中，除了已经填写的三个数之外的每一个方格中，填入一个数，使每一横行、每一竖列以及两条对角线上的个数之和分别相等．王小明抽取到的题目如图所示，他运用初中所学的数学知识，很快就完成了这个游戏，则　　　　　　，　　　　　　． 16 7 4 【答案】①     ② 【分析】 本题主要考查一元一次方程的应用．解题的关键在于找到合适的等量关系，合理设未知数和列方程求解，通过每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和分别相等建立等量关系，设出未知数，列方程求解即可． 【详解】 解：设每一横行、每一竖列以及两条对角线上的个数之和为， 由第一列之和得 ． 由第二行之和得 ． 联立得 ，即 ，故 ． 设第一行第三列为 ，第三行第三列为 ． 由副对角线（从右上到左下）之和得 ． 由主对角线（从左上到右下）之和得 ． 由第三列之和得 ． 联立，得 ，即 ，故 ． 代入副对角线得 ． 代入第一列得 ，故 ． 故答案为 ，． 54．（25-26学年七上·重庆杨家坪中学·期中）如图，在数轴上点表示的数为，点表示的数为40，动点从点出发以每秒5个单位的速度沿正方向运动，动点从原点出发以每秒4个单位的速度沿正方向运动，动点从点出发以每秒8个单位的速度先沿负方向运动，到达原点后立即按原速返回，三点同时出发，当点回到点时，三点停止运动． （1）当运动时间为3秒时，点、点之间的距离是______，单位；当运动时间为______秒时，点与点相遇． （2）当个单位时，求三个点的运动时间． （3）是否存在常数，使得在某段时间内为定值？若存在，直接写出的值以及该定值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）21；或10     （2）或4或8     （3）当时，为定值；当时，为定值；当时，为定值．      【分析】 （1）① 根据路程速度时间即可求解；分类讨论，列方程求解； （2）、相遇的时间为秒，到的时间为10秒，到的时间为5秒，到的时间为10秒．到前，所表示的数为；所表示的数为；所表示的数为．分三种情况：①、相遇前；②、相遇后，到前；③、相遇后，到后．分别根据列出方程； （3）根据题意分3情况讨论，分别根据列出方程，然后根据在为定值求解即可． (1) 小问详解： 解：① 三个动点运动秒时，则、、三点在数轴上所表示的三个数分别为，，， 当时，、两点在数轴上所表示的两个数分别为，， ； ② 当时，由题意得，解得，符合题意； 时，由题意得，解得，符合题意， ∴当运动时间为或10秒时，点与点相遇， 故答案为：21；或10； (2) 小问详解： 解：、相遇的时间为秒，到的时间为10秒，到的时间为5秒，回到的时间为10秒． 到前，所表示的数为；所表示的数为． ①、相遇前：，解得， ②、相遇后，到前，，解得， ③、相遇后，到后： 所表示的数为；所表示的数为， ，解得， 综上所述：当个单位时，三个点的运动时间或4或8； (3) 小问详解： 解：① 当、相遇前，即时， ∵所表示的数为；所表示的数为；所表示的数为， 根据题意得， ，， ∴ ∵为定值， ∴ 解得，此时； ② 当、相遇后，到前， 根据题意得， ，， ∴ ∵为定值， ∴ 解得，此时； ③ 当、相遇后，到后， 根据题意得， 所表示的数为；所表示的数为；所表示的数为， ，， ∴ ∵为定值， ∴ 解得，此时． 综上所述，当时，为定值；当时，为定值；当时，为定值． 【点睛】 本题考查了一元一次方程的应用，数轴上两点间的距离，数轴上动点问题，列代数式等知识，正确进行分类讨论是解题的关键也是本题的难点． 55．（25-26学年七上·重庆育才中学·期中）我们知道的几何意义是：在数轴上，数对应的点与数0对应的原点这两点之间的距离，记为．同理，数对应的点与数对应的点这两点之间的距离可以表示为．比如，数与4对应的点之间的距离为．借助绝对值的几何意义可以帮助我们解决一些问题． （1）若点对应的数为，点对应的数为4，则_____； （2）当奇数整数_____时，的值最小，最小值为_____； （3）若，求的值； （4）为了丰富学生的课余生活，我校九龙园校区初二年级开展了飞盘比赛．如图，某班、、、四个小组的同学站在一个大圆周的四个位置练习扔飞盘．开始时，体育保管室给大家一共准备了100个飞盘，分给四个小组．已知组有23个飞盘，组有11个飞盘，组有22个飞盘，组有44个飞盘．体育老师要求飞盘只能在相邻的两组之间进行飞行传递，即只可以与和传递，只可以与和进行传递，只可以和和传递，只可以和和传递．经过一定时间的飞行传递后，、、、四组的飞盘数量之比为3∶5∶8∶4，请问、、、四组间传递飞盘的总数量最少是多少个？请直接写出答案． 【答案】（1）7     （2）3，2     （3）或     （4）38      【分析】 此题考查数轴上两点之间的距离，一元一次方程的应用， （1）根据两点距离公式直接计算即可； （2）当时，式子的值最小，取其中的奇数整数值代入计算即可； （3）根据两点距离公式直接求出x的值即可； （4）设传递后、、、四组的飞盘数量分别为个，个，个，个，列方程求出，得到传递后、、、四组的飞盘数量分别为15个，25个，40个，20个，由于传递飞盘的总数量最少，D组飞盘传递出去的最多，故设D传递给Ax个，D传递给Cy个，A传递给Bm个，C传递给Bn个，由此得到，，，，求出，，即可得到传递总数量． (1) 小问详解： 解：， 故答案为：7； (2) 小问详解： 表示数轴上表示x的点到2和4的距离的和， ∴当时，的值最小， ∴奇数整数，此时， 故答案为：3，2； (3) 小问详解： 表示数轴上表示x的点与数的距离为5， ∴或； 综上，x的值为或； (4) 小问详解： 设传递后、、、四组的飞盘数量分别为个，个，个，个， , 解得， ∴传递后、、、四组的飞盘数量分别为15个，25个，40个，20个， ∵传递飞盘的总数量最少，D组飞盘传递出去的最多， ∴D传递给Ax个，D传递给Cy个，A传递给Bm个，C传递给Bn个， ∴，，，， ∴，， ∴传递总数量． 56．（25-26学年七·重庆重点中学·期中）若在一个的方格中填写9个不同的数字，使得每一横行、每一竖列及两条斜对角线上的三个数字之和（该和叫做“幻和”）均相等，则称这个的方格为“幻方”． （1）图1是一个“幻方”，则______，______，______，并请计算出图1中所有数的和与其“幻和”之间的倍数关系． （2）珍珍要将，，，，，，，0，2这9个数填入如图2所示的“幻方”中，每个方格中填入一个不同的数，并且使每一横行、每一竖列及两条斜对角线上的三个数字之和均相等，珍珍经过研究，发现在“幻方”中，中间数m是上述9个数的平均数． ①求中间数m的值； ②在空白方格内填上正确的数字． 【答案】（1）2；3；；图1中所有数的和是“幻和”的3倍     （2）①； ② 如下表格所示： 0 【分析】 本题主要考查了有理数的加法，一元一次方程的应用，根据表格，先求出三个数的和是解题的关键，也是本题的突破口． （1）由幻方的定义，得到，即可求出答案； （2）① 由平均数的定义，即可求出的值； ② 根据幻方的定义，分别填入数字即可． (1) 小问详解： 解：根据题意得： ， ∴，，， 所有数字的和为： ， “幻和”为， ∵； ∴图1中所有数的和是“幻和”的3倍； 故答案为：2；3；； (2) 小问详解： 解：① 这9个数的平均数为： ， ∴中间数的值是； ② 由① 可知，， ∴这个表格的幻和为：； ∴填入表格的数，如下图所示： 0 57．（25-26学年七上·重庆川外基础教·期中）如图，O为数轴的原点，数轴上从左到右依次有A，C，B三点，对应的数分别为a，c，b．已知，．将数轴以点C为分界点折叠，点A恰好与点B重合． （1）直接写出：________，________； （2）动点P从点A出发，以4个单位长度/秒的速度沿数轴向右匀速运动，到达点B后立即以原速匀速返回（调头时长忽略不计）；点P出发的同时点Q从点B出发，以2个单位长度/秒的速度沿数轴向左匀速运动．当点Q到达点A时P，Q两点停止运动．设点P的运动时间为t秒． ①是否存在某一时刻使得P，Q两点到原点的距离相等？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由； ②如图，在数轴上的段设置减速带，动点途经段时速度会减为原速的一半，离开段后速度变回原速．是否存在某一时刻使得，若存在，请直接写出所有满足条件的t的值，并将其中一个t的求解过程写出来；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；12     （2）① 存在，t的值为2或或或14；② 存在，t的值为或或13      【分析】 （1）根据有理数的乘方求出的值，根据折叠的性质得到，即可求出的值； （2）① 分2种情况讨论：当时、当时，根据题意表示出点P、点Q对应的数，再结合P，Q两点到原点的距离相等列出方程，求出的值即可解答； ② 由可得，再分8种情况讨论：当时、当时、当时、当时、当时、当时、当时、当时，根据题意表示出点P、点Q对应的数，再结合列出方程，求出的值即可解答． (1) 小问详解： 解：， ∴， 由折叠的性质得，， ∴； 故答案为：；12； (2) 小问详解： 解：①， 点P从点A出发，到达点B所需时间为（秒）， 点Q从点B出发，到达点A所需时间为（秒）， 当时，点P对应的数为，点Q对应的数为， ∵P，Q两点到原点的距离相等， ∴， ∴或 解得或； 当时，点P对应的数为，点Q对应的数为， ∵P，Q两点到原点的距离相等， ∴， ∴或 解得或； ∴存在某一时刻使得P，Q两点到原点的距离相等，t的值为2或或或14； ②，，， 点P从点A出发，到达点C所需时间为（秒）， 点P从点C出发，到达点O所需时间为（秒）， 点P从点O出发，到达点B所需时间为（秒）， 点Q从点B出发，到达点O所需时间为（秒）， 点Q从点O出发，到达点C所需时间为（秒）， 点Q从点C出发，到达点A所需时间为（秒）， ∴点Q到达点A时所需时间为（秒）， ∵， ∴， 当时，点P对应的数为，点Q对应的数为， ∴， 解得（舍去）或（舍去）； 当时，点P对应的数为，点Q对应的数为， ∴， 解得（舍去）或； 当时，点P对应的数为，点Q对应的数为， ∴， 解得或（舍去）； 当时，点P对应的数为，点Q对应的数为， ∴， 解得（舍去）或（舍去）； 当时，点P对应的数为，点Q对应的数为， ∴， 解得（舍去）或（舍去）； 当时，点P对应的数为，点Q对应的数为， ∴， 解得（舍去）或（舍去）； 当时，点P对应的数为，点Q对应的数为， ∴，不符合题意，舍去； 当时，点P对应的数为，点Q对应的数为， ∴， 解得或（舍去）； ∴综上所述，满足条件的t的值为或或13． 【点睛】 本题考查了数轴上两点间的距离、数轴的翻折、列代数式、一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程，利用数形结合的思想解决问题． 58．（25-26学年七上·重庆南开中学校·期中）已知两个正整数m和n各个数位上的数字均不为0，若它们的位数相同且对应数位上的数字之和为10，称这两个数互为“互补数”．例如：4和6互为“互补数”，119与991互为“互补数”．若m的“互补数”为n，记为m的“互补差”，例如：81的“互补数”为29，． （1）42的“互补差”为        ； （2）已知两位数m的个位数字比十位数字大3，且它的“互补数”n等于它的倍，求这个两位数的“互补差”； （3）已知某三位数（其中，且a，b为整数），若能被19整除，直接写出这个三位数所有可能的值． 【答案】（1）26     （2）60     （3）612，631，669，688      【分析】 （1）先求出42的“互补数”，再求出“互补差”即可； （2）设数m的十位数字为x，则个位数字为，得出，，根据它的“互补数”n等于它的倍，得出，求出，再求出结果即可； （3）先求出，化简，得出为整数，根据，，且a，b为整数，求出结果即可． (1) 小问详解： 解：42的“互补数”为68，则42的“互补差”为： ； (2) 小问详解： 解：设数m的十位数字为x，则个位数字为， ， 它的“互补数”n为： ， ∵它的“互补数”n等于它的倍， ∴， 解得：， 则，， ∴． (3) 小问详解： 解：三位数为， 三位数的“互补数”为： ， ， ， ∵能被19整除， ∴为整数， ∵，，且a，b为整数， ∴，时，符合题意； ，时，符合题意； ，时，符合题意； ，时，符合题意； ∴这个三位数所有可能的值为：612，631，669，688． 【点睛】 本题主要考查了新定义计算，整式加减的应用，绝对值意义，一元一次方程的应用，解题的关键是熟练掌握定义． 59．（25-26学年七上·重庆开州中学·期中）国庆节期间某商场对顾客实行优惠，规定如下：若一次购物不超过 300 元（含 300 元），按标价九折优惠，若一次购物超过 300 元，但不超过 800 元（含 800 元），所有商品按标价给予八折优惠，若一次购物超过 800 元，其中 800 元按八折优惠之外，超过 800 元的部分给予六折优惠. （1）若某人一次购物货款为x元（x>1000），打折后应付多少元？ （2）若某人两次购物分别付款180 元和 1000 元，如果他合起来一次去购买同样的商品，他还可以节约多少元？ 【答案】(1) ；（2）60元. 【分析】（1）分段计算，分别计算800元部分的应付款和超过 800 元的部分的应付款，相加即可； （2）设付款180元和1000元的标价分别为x元、y元，由题意可判断出x<300，y>1000，从而可以列方程解出x、y，再根据优惠方法求出合起来一次去购买同样的商品时的付款，再求解即可． 【详解】解：(1) 打折后应付款== （2）设付款180元和1000元的标价分别为x元、y元， 显然x<300，y>1000，x+y>1000， 由题意得，0.9x=180，， 解得x=200，y=1400， 所以合起来一次去购买同样的商品标价为200+1400=1600元， 应付款：1600×0.6+160=400+196=1120元， 节约的钱数=180+1000-1120=60元； 答：他合起来一次去购买同样的商品，他可以节约60元钱． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，读懂题目信息，理解两种优惠方法找出等量关系是解题的关键． 60．（25-26学年七上·重庆开州中学·期中）已知：是最小的两位正整数，且满足，请回答问题： （1）请直接写出的值：        ，=        ． （2）在数轴上所对应的点分别为A、B、C ，点P为该数轴上的动点，其对应的数为，点P在点A与点C之间运动时（包含端点），则AP＝        ，PC＝        ． （3）在（1）（2）的条件下，若点M从A出发，以每秒1个单位长度的速度向终点C移动，当点M运动到B点时，点N从A出发，以每秒3个单位长度向C点运动，N点到达C点后，再立即以同样的速度返回点A，设点M 移动时间为t秒，当点N开始运动后，请用含t的代数式表示M、N两点间的距离． 【答案】（1）a=-26，b=-10，c=1； （2）AP=m+26，PC=10-m； （3）分五种情况：① 当16＜t≤24时， MN= -2t+48；② 当24＜t≤28时， MN=2t-48；③ 当28＜t≤30时， MN=-4t+120；④ 当30＜t≤36时， MN=4t-120；⑤ 当36＜t≤40时， MN=3t-84. 【分析】 （1）根据题意可以求得a、b、c的值，从而可以解答本题； （2）根据数轴上两点的距离公式：AB=xB-xA，可以表示AP和PC的长； （3）先计算t的取值，因为点M从A出发，以每秒1个单位长度的速度向终点C移动，且AC=36，所以需要36秒完成，又因为当点M运动到B点时，即16秒后，点N从A出发，以每秒3个单位长度向C点运动，所以点N还需要运动24秒，所以一共需要40秒，再分别计算M、N两次相遇的时间，分五种情况讨论，根据图形结合数轴上两点的距离表示MN的长． 【详解】 解：（1）∵c是最小的两位正整数，a，b满足（a+26）2+|b+c|=0， ∴c=10，a+26=0，b+c=0， ∴a=-26，b=-10，c=10， 故答案为-26，-10，10； （2）∵点P为点A和C之间一点，其对应的数为x()， ∴AP=m+26，PC=10-m； 故答案为m+26，10-m； （3）点N运动的总时间为：2（36÷3）=12×2=24， 此时，t=24+16=40， 设t秒时，M、N第一次相遇， 3（t-16）=t， t=24， 分五种情况： ① 当16＜t≤24时，如图1，M在N的右侧，此时MN=t-3（t-16）=-2t+48， ② 当24＜t≤28时，如图2，M在N的左侧，此时MN=3（t-16）-t=2t-48， ③M、N第二次相遇（点N从C点返回时）：t+3（t-16）=36×2， t=30， 当28＜t≤30时，如图3，点M在N的左侧，此时MN=36×2-t-3（t-16）=-4t+120， ④ 当30＜t≤36时，如图4，点M在N的右侧，此时MN=3（t-16）-36-（36-t）=4t-120， ⑤ 当36＜t≤40时，如图5，点M在点C处，此时MN=3（t-16）-36=3t-84， 【点睛】 本题考查非负数的性质、绝对值、数轴等知识，解题的关键是熟练掌握非负数的性质，绝对值的化简，学会用参数表示线段的长，有难度，属于中考常考题型． 61．（25-26学年七上·重庆南开中学校·期中）如图1，已知数轴上的点对应的数是，点对应的数是，且满足．    （1）求数轴上到点、点距离相等的点对应的数 （2）动点从点出发，以个单位秒的速度向右运动，设运动时间为秒，问：是否存在某个时刻，恰好使得到点的距离是点到点的距离的倍？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由 （3）如图2在数轴上的点和点处各竖立一个挡板点在原点左侧，点在原点右侧，数轴上甲、乙两个弹珠同时从原点出发，甲弹珠以个单位秒的速度沿数轴向左运动，乙弹珠以个单位秒的速度沿数轴向右运动．当弹珠遇到挡板后立即以原速度向反方向运动，若甲、乙两个弹珠相遇的位置恰好到点和点的距离相等．试探究点对应的数与点对应的数是否满足某种数量关系，请写出它们的关系式，并说明理由． 【答案】（1）     （2）或     （3）或      【分析】 （1）根据已知等式，利用非负数的性质求出与的值，设点对应的数为，表示出与，根据求出的值，即可确定出点对应的数； （2）表示出点对应的数，进而表示出与，根据求出的值即可； （3）根据甲的速度大于乙的速度，分两种情况考虑：甲、乙均反弹之后在中点相遇，设点对应的数为，点对应的数为，则、的中点对应的数为，根据甲、乙两个弹珠相遇的位置恰好到点和点的距离相等列出关系式即可；甲反弹乙没反弹在中间相遇，同理可得关系式． (1) 小问详解： 解：， ， 设点对应的数为， 则， ， ， 解得：， 点对应的数为； (2) 小问详解： 对应的数为， ， ， ， 当时，； 当时，； (3) 小问详解： 设点对应的数为，点对应的数为，运动时间为， 根据甲的速度大于乙的速度，分两种情况考虑： 甲、乙均反弹之后在中点相遇， 则、的中点对应的数为， ， ， ∴ ∴； 甲反弹乙没反弹在中间相遇，同理可得， ∴ 综上，与的关系式为或． 【点睛】 此题考查了数轴上的动点问题，以及非负数的性质，一元一次方程的应用，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 62．（25-26学年七上·重庆开州区文峰·期中）如图所示，在数轴上点A、B、C表示的数分别为，1，6，点A与点B之间的距离表示为，点B与点C之间的距离表示为，点A与点C之间的距离表示为． （1）则______，______，______； （2）点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动．请问：的值是否随着运动时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值； （3）若点C以每秒3个单位长度的速度向左运动，同时，点A和点B分别以每秒1个单位长度和每秒2个单位长度的速度向右运动．请问：随着运动时间t的变化，当A、B、C三点中，其中一个点是另外两个点的中点时，求此时t的值． 【答案】（1）3，5，8     （2）不变，值为2     （3）当点B是点A、C的中点时，；当点C是点A、B的中点时，；当点A是点B、C的中点时，．      【分析】 此题考查整式的加减的应用，数轴上两点之间的距离，解题关键在于结合数轴进行解答． （1）根据点A、B、C在数轴上的位置，写出、、的长度； （2）求出和的值，然后求出的值，判断即可； （3）分情况讨论即可． (1) 小问详解： 由图可得，，，， 故答案为：3，5，8； (2) 小问详解： ， 故的值不会随着时间t的变化而改变，值为2； (3) 小问详解： 当点B是点A、C的中点时，，解得：； 当点C是点A、B的中点时，，解得：； 当点A是点B、C的中点时，，解得：． 63．（25-26学年七上·重庆巴蜀中学校·期中）七年级数学兴趣小组成员自主开展数学微项目研究，他们决定研究“折线数轴”． 素材1   如图，数轴上点A表示的数为，原点O表示的数为0，点B表示的数为8，点C表示的数为20．将数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”．把两点所对应的两数之差的绝对值叫这两点间的求知距离．例如：点A和点C在折线数轴上的求知距离为个单位长度，并表示为． 素材2   动点P从C出发，以4个单位长度/秒的初始速度，沿着“折线数轴”向其负方向运动，当点P到达A点后停留了一会儿，又按原初始速度返回C．点P出发5秒后，动点Q从A出发，以2个单位长度/秒的初始速度，沿着“折线数轴”向其正方向运动，到达点B停止．（“折线数轴”上的动点从点O到点B时，速度变为初始速度的，从点B到点O时，速度变为初始速度的两倍，过了即恢复原初始速度） （1）①点P出发秒后，________，此时点P表示的数是________． ②若点P从点A处返回经过秒追上点Q，求点P在点A处停留的时间． （2）在②的条件下，当点P追上点Q时，另一动点M从C出发，以3个单位长度/秒的初始速度，沿着“折线数轴”向其负方向运动．点Q停止运动时点P、M也随之停止．设点M的运动时间为m，当，求m的值． 【答案】（1）①16，4；②秒     （2）或      【分析】 （1）①根据求知距离的定义解答即可；②设点Q出发x秒后被点P追上，根据题意，列出方程，即可求解； （2）由②得，点P追上Q时表示的数为3，根据题意得：当时，点P表示的数为，当时，点P表示的数为，当时，点Q表示的数为，当时，点M表示的数为，当时，点M表示的数为，然后分三种情况解答即可． (1) 小问详解： 解：① 点P从点C出发运动到点B，需要（秒）， ∵（秒）， 又∵从点B到点O时，速度变为初始速度的两倍， ∴此阶段点P的速度为8个单位长度/秒， ∴，此时， 点P表示的数是； 故答案为：16；4； ② 解：∵，， ∴若点P返回时经过秒追上Q，则相遇点在段， 设点Q出发x秒后被点P追上，得， 解得（秒）， ∵点P从C到A要秒，点Q晚出发5秒， ∴停留时间为秒． (2) 小问详解： 解：由② 得：点P追上Q时表示的数为， 则点P到达点B用时（秒），点Q到达点B用时（秒）， ∴当时，点P表示的数为，当时，点P表示的数为， 当时，点Q表示的数为， ∵点M从C出发，以3个单位长度/秒的初始速度，沿着“折线数轴”向其负方向运动， ∴点M从C出发到达点B用时（秒），达点O用时（秒）， ∴当时，点M表示的数为，当时，点M表示的数为， ∴当时， ，， ∵， ∴，解得； 当时，，， ∵， ∴， ∴（不符合题意，舍去）或（不符合题意，舍去）； 当时，，， ∵， ∴， 解得或（舍去）． 综上所述或． 【点睛】 本题以新定义题型为背景，主要考查了数轴上的动点问题，掌握动点的运动方向、运动速度和运动起点是得出动点在数轴上表示的数是解题的关键． 64．（25-26学年七上·重庆合川中学·期中）如图，数轴上A、B表示的数分别为、20，有两条动线段和，点C与点A重合，点M对应的数是4，且点C在点D的左边，点M在点N的左边，，．线段以每秒4个单位的速度向右匀速运动，同时线段以每秒1个单位的速度向右匀速运动．当点D运动到点B时，线段立即返回，并且速度变为原速的一半，同时，线段的速度变为两倍；当点N到达点B时，线段同时停止运动．设运动时间为t秒（整个运动过程中，线段和保持长度不变）． （1）当时，点D表示的数为______；当时，点D表示的数为______； （2）在线段从A到B的过程中，点E是的中点，点F是的中点，若，求点N在数轴上对应的数； （3）在整个运动过程中，请直接写出时，所对应的t的值． 【答案】（1）8；16     （2）或     （3）或或或7      【分析】 （1）求出当点D运动到点B时的运动时间，即可求解； （2）求出点C、D、M、N对应的数，可得到点E、F对应的数，再根据，列出方程，即可求解； （3）分两种情况：若线段从A到B的过程；若线段从B到A的过程，根据，列出方程，即可求解． (1) 小问详解： 解：当点D运动到点B时，运动时间为， 时，点D表示的数为； 当时，此时线段以每秒2个单位的速度向左匀速运动， 点D表示的数为； 故答案为：8；16 (2) 小问详解： 解：根据题意得：点C对应的数为，点D对应的数为，点M对应的数为，点N对应的数为， ∵点E是的中点，点F是的中点， ∴点E对应的数为，点F对应的数为， ∵， ∴， 解得：或， 当时，点N在数轴上对应的数为； 当时，点N在数轴上对应的数为； 综上所述，点N在数轴上对应的数为或； (3) 小问详解： 解：若线段从A到B的过程，此时，点C对应的数为，点D对应的数为，点M对应的数为，点N对应的数为， ∴，， ∵， ∴当 ，即时，， 解得：； 当，即时，， 解得：（舍去）； 当，即时，， 解得：； 若线段从B到A的过程，此时，线段以每秒2个单位的速度向左匀速运动，线段以每秒2个单位的速度向右匀速运动 点D对应的数为，点C对应的数为，点M对应的数为，点N对应的数为， ∴，， ∵， ∴当 ，即时，， 解得：； 当，即时，， 解得：（舍去）； 当，即时，， 解得：； 综上所述，t的值为或或或7． 【点睛】 本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，能用含t的代数式表示点运动后所表示的数，利用分类讨论思想解答． 65．（25-26学年七上·重庆合川中学·期中）如果一个四位自然数的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足，那么称这个四位数为“递减数”．例如：四位数4129，∵，∴4129是“递减数”；又如：四位数5324，∵，∴5324不是“递减数”．若一个“递减数”为，则这个数为　　　　　　　　　　　；若一个“递减数”的前三个数字组成的三位数与后三个数字组成的三位数的和能被9整除，则满足条件的数的最大值是　　　　　　　　　　　． 【答案】①     ② 8165 【分析】 根据递减数的定义进行求解即可． 【详解】 解：∵ 是递减数， ∴， ∴， ∴这个数为； 故答案为： ∵一个“递减数”的前三个数字组成的三位数与后三个数字组成的三位数的和能被9整除， ∴， ∵， ∴， ∵，能被整除， ∴能被9整除， ∵各数位上的数字互不相等且均不为0， ∴ ， ∵最大的递减数， ∴， ∴，即：， ∴最大取，此时， ∴这个最大的递减数为8165． 故答案为：8165． 【点睛】 本题考查一元一次方程和二元一次方程的应用．理解并掌握递减数的定义，是解题的关键． 66．（25-26学年七上·重庆字水中学·期中）如图，有理数，分别对应数轴上的点，，且，满足． （1）直接写出，的值：______；______； （2）若动点，分别从，同时出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向右运动，以每秒2个单位的长度的速度沿数轴向右运动，当，相遇时停止运动，当为何值时，； （3）我们规定，若在线段上存在满足，则我们称点是线段的一个分点．点从线段上的2分点出发，以每秒1个单位长度在数轴上按以下规律往返运动：第一回合，从点到点，再从点到点回到点；第二回合，从点到的中点，再从点到的中点回到点；第三回合，从点到的中点，再从点到的中点回到点，如此循环下去，若第秒时满足，求的最大值． 【答案】（1）；     （2）当或时，     （3）的最大值为秒      【分析】 （1）根据平方的非负性，和绝对值的非负性，得到，，即可求解， （2）用含的代数式表示出，，代入，分，两种情况，即可求解， （3）先求出点对应的有理数，化简，求出等式成立时，对应的点的位置，找到点的运动规律，求出点最后一次经过该位置的时间，即可求解， 本题考查了数轴上的动点，解题的关键是：通过讨论化简等量关系式求解，找到运动规律． (1) 小问详解： 解：∵， ∴，，解得：，， 故答案为：；， (2) 小问详解： 解：设有理数，分别对应数轴上的点，， 则：，， ∴，， ∵两球相遇时停止运动， ∴，解得：， ∴， 当时，由，可得：，解得：， 当时，由，可得：，解得：， 故答案为：当或时，， (3) 小问详解： 解：∵点是线段上的2分点， ∴， ∵， ∴点对应的有理数， ∵，即：， ∵点一直在的左侧， ，， ∴，即：， 当时，，解得：， 当时，，解得：， 根据题意得： 、、、、…所对应的数为：、、、…， 、、、、…所对应的数为：、、、、…， 第三回合，点从回到点的过程中，最后一次经过点， 第一回合用时：（秒）， 第二回合用时：（秒）， 第三回合，点从点到用时：（秒）， 点从点到用时：（秒）， 点从点到点用时：（秒）， 故总用时（秒）， 故答案为：的最大值为秒． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 一元一次方程 考点01 从算式到方程 考点02 等式的性质 考点03 解一元一次方程 考点04 实际问题与一元一次方程 考点01 从算式到方程 1．C 2．A 3．B 4．A 5．【答案】 【分析】 本题考查了方程，等量关系比较明显，利用长方形的面积得出方程是解题关键．设出长方形的长，然后表示出长方形的宽，利用长方形的面积计算方法列出方程求解即可． 【详解】 解：设花坛的长为， 根 据 题 意 得 ：， 故答案为：． 6．【答案】 【分析】 本题主要考查一元一次方程的定义，理解并掌握一元一次方程的定义，正确列式求解是关键． 根据一元一次方程的定义，未知数的指数必须为1，且系数不能为0，据此列式解答即可． 【详解】 解：∵方程是关于的一元一次方程， ∴，且， ∴． 故答案为：． 7．【答案】0 【分析】 本题主要考查了一元一次方程，解题的关键是掌握一元一次方程的定义． 根据一元一次方程的定义，未知数的最高次数为1，得出，解方程求出值即可． 【详解】 解：由题意，方程是关于的一元一次方程， 因此的指数必须等于1，即 ， 解得， 所以． 故答案为：0 8．【答案】3 【分析】 只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）的方程叫做一元一次方程，据此可得出关于a的方程，继而可求出a的值． 【详解】 解：根据题意，得 |a|﹣2＝1，且a+3≠0， 解得，a＝3； 故答案为：3． 【点睛】 本题主要考查了一元一次方程的一般形式，只含有一个未知数，未知数的指数是1，一次项系数不是0，这是这类题目考查的重点． 9．【答案】3 【分析】 本题考查了一元一次方程的解，熟练掌握解的定义是解答本题的关键，能使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解． 根据方程解的定义，将代入方程求出的值，再代入计算． 【详解】 解：因为是关于的方程的解， 所以将代入方程，得， 因此，． 故答案为 3． 10．【答案】 【分析】 本题考查了一元一次方程的定义，绝对值，熟练掌握一元一次方程的定义是解题的关键． 根据一元一次方程的定义，未知数的指数必须为且系数不为，由此确定 的值． 【详解】 ∵方程 是一元一次方程， ∴ ， 解得；解得， ∴． 故答案为：． 11．【答案】 【分析】 本题考查了方程的解的定义；关键是在两个方程中寻找解之间的关系； 通过对比两个方程的形式，发现第二个方程中的“”相当于第一个方程中的“”，因此利用第一个方程的解直接求解． 【详解】 解：第一个方程 的解为 ， 第二个方程 可视为将第一个方程中的 替换为 ， 因此 ，解得 ． 故答案为：． 12．【答案】3 【分析】 本题考查了一元一次方程的定义． 根据一元一次方程的定义，方程中只能含有一个未知数，且未知数的最高次数为1．因此，二次项系数必须为零，进而判断是否成立即可． 【详解】 解：∵方程是关于的一元一次方程， ∴ ，解得 故答案为：3． 考点02 等式的性质 1．B 2．D 3．D 4．B 5．D 6．D 7．D 考点03 解一元一次方程 1．D 2．A 3．C 4．B 5．D 6．A 7．C 8．【答案】（1）；     （2）．      (1) 小问详解： 解： ， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 解得：； (2) 小问详解： 解：， 去分母，得：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 解得：． 【点睛】 本题考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的基本步骤是解答本题的关键． 9．【答案】4 【分析】 本题考查一元一次方程的解法及整数解问题，通过解方程用参数表示未知数，再根据解为整数确定参数的整数值，最后求和即可． 【详解】 解：， 去括号得：， 移项、合并同类项得：， 化系数为1得：， 由于为整数，且为整数，因此， 解得：， 这些整数的和为：． 故答案为：4． 10．【答案】4 【分析】 本题考查了一元一次方程的定义．解题时注意：一元一次方程的未知数的指数为1且未知数的系数不等于零．掌握一元一次方程的定义是解题的关键． 根据一元一次方程的定义得到且，从而可求得k的取值． 【详解】 解：关于x的方程是一元一次方程， 且， 解得：， 故答案为：4． 11．【答案】， 【分析】 本题考查了整式的加减运算，解题的关键是熟练运用整式的加减运算法则． 根据整式的加减运算法则进行化简，然后令含x的项的系数为零即可求出答案． 【详解】 解： ， ∵整式的值与的取值无关， ∴， 解得：，． 12．【答案】（1）     （2）      【分析】 通过移项、合并同类项、系数化为1即可求解； 通过去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可求解． 本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键． (1) 小问详解： 解：， ， ， ； (2) 小问详解： 解：， ， ， ， ， 13．【答案】8 【分析】 本题考查了已知方程的解求参数，解一元一次方程（一）——合并同类项与移项，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 根据方程解的定义，将代入原方程，解关于的一元一次方程． 【详解】 解：∵ 方程的解是， ∴将代入方程，得：， 即， 展开左边：， 移项得：， 即， 解得：， 故答案为：8． 14．【答案】9 【分析】 本题主要考查了方程的解及解一元一次方程，解题的关键是掌握方程的解的定义． 先求解方程得到的值，再将此值代入方程中求解． 【详解】 解：解方程 ， 移项得 ， 即， 解得， 将代入方程，得， 两边同乘4得， 移项得， 故答案为：9 15．【答案】（1）     （2）17     （3）     （4）     （5）     （6）      【分析】 本题考查了有理数的混合运算，整式的加减运算，解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握运算法则和解一元一次方程的步骤． （1）先计算乘法，再计算加减； （2）先计算乘方，然后进行括号内运算，然后计算乘法，最后进行加减计算； （3）直接合并同类项即可； （4）先去括号，再合并同类项； （5）按照去括号、移项、合并同类项，系数化1的步骤解方程即可； （6）按照去分母、去括号、移项、合并同类项，系数化1的步骤解方程即可． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： ； (3) 小问详解： 解： (4) 小问详解： 解： ； (5) 小问详解： 解： ， 解得； (6) 小问详解： 解： 解得． 16．【答案】（1） ， 检验过程： 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得， 检验：当时，左边，右边， ∴左边=右边， ∴是原方程的解；     （2） ， 检验过程： 去括号，得， 合并同类项，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得， 检验：当时，左边， 右边， ∴左边=右边， ∴是原方程的解．      【分析】 本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键． （1）先移项，然后合并同类项，系数化为1，即可得到答案； （2）先去括号，移项，然后合并同类项，系数化为1，即可得到答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 17．【答案】10 【分析】 本题考查了已知方程的解求参数，熟练掌握解一元一次方程的一般步骤是解题的关键．先解一元一次方程得，由解为正整数，即可求出的值，然后求和即可解答． 【详解】 解：方程可化为， ， 矛盾， ， 解得， ∵方程的解为正整数， ∴或， ∴或， 则所有满足条件的整数a的和为． 故答案为：10． 18．【答案】（1）     （2）     （3）12      【分析】 本题考查有理数的新定义运算、解一元一次方程，有理数的混合运算，理解题干中的新定义运算是解题的关键． （1）根据新定义的运算直接计算即可； （2）根据新定义的运算得出方程，求解即可； （3）根据新定义的运算计算得到，然后根据x是正整数和k是整数，求解即可． (1) 小问详解： ， 故答案为：； (2) 小问详解： ， 由题意可得：， 解得： (3) 小问详解： 解： ， 值为正整数，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ∴满足条件的整数的整数和是． 19．【答案】（1）（2） 【分析】 本题考查了含乘方的有理数混合运算，解一元一次方程（三）——去分母等知识，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）先计算乘方，绝对值，第一个小括号里的除法，再将互为相反数的先相加，同时计算小括号里的减法，再计算乘法即可； （2）通过去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1求得方程的解． 【详解】 解∶（1） ； （2）， 去分母，得， 去括号，得， 整理，得， 移项，得， 合并同类项，得， 即． 20．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了一元一次方程的解法，掌握解一元一次方程的一般步骤，去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，根据方程特点灵活运用这些步骤是解题的关键． （1）根据解一元一次方程的一般步骤，移项、合并同类项、系数化为1，即可求解． （2）解一元一次方程的一般步骤，去分母，去括号、去分母、移项、合并同类项、系数化为1，即可求解． (1) 小问详解： 解： 移项，得 合并同类项，得 系数化为1，得． (2) 小问详解： 解： 去分母，得 去括号，得 移项，得 合并同类项，得 系数化为1，得． 21．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查“有理数的加减法”“解一元一次方程”“整式的加减”，理解新定义，并根据新定义的内容列出对应的方程与式子是解题关键． （1）根据新定义列出对应的方程，解方程即可； （2）根据新定义列出对应的等式，化简得到m与n的关系，再代入所求式子中，运算即可． (1) 小问详解： 解：由题意知， ， ， 解得； (2) 小问详解： 解：由题意知， ， ， ∴， ∴原式． 22．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题主要考查了解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握解一元一次方程的基本步骤，先去分母，再去括号，然后移项合并同类项，最后未知数系数化为1即可． （1）先去括号，然后移项合并同类项，最后未知数系数化为1即可； （2）先去分母，再去括号，然后移项合并同类项，最后未知数系数化为1即可． (1) 小问详解： 解：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：； (2) 小问详解： 解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：． 23．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的方法是解题的关键． （1）根据解一元一次方程的方法：去括号，移项，合并同类项，将系数化为1求解即可； （2）先根据分数的基本性质将方程变形，然后再根据解一元一次方程的方法：去分母，去括号，移项，合并同类项，将系数化为1求解即可． (1) 小问详解： 解：， 去中括号，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 将系数化为1，得； (2) 小问详解： 解：， 由分数的基本性质，得，即， 去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 将系数化为1，得． 24．【答案】 【分析】 本题考查了一元一次方程的解法及新定义“美好方程”的应用，解题的关键是先利用美好方程的定义求出对应方程的解，再通过换元法求解关于的方程． 先解出方程的解，利用“美好方程”的定义求出另一个方程的解；再将关于的方程变形为与该方程同形式的方程，通过换元法求出的值． 【详解】 解：，得. ∵两方程为“美好方程”， ∴的解为 将关于的方程 整理为， 令，则方程为，此方程与形式相同，其解为， 即，解得. 故答案为：. 25．【答案】（1）10，3     （2）1或3     （3）不会变化，      【分析】 本题考查数轴上点的性质、列代数式、绝对值方程，熟练运用方程思想是解决本题的关键． 根据数轴上两点之间的距离公式和中点公式计算即可； 先表示出t秒后点P和点Q表示的数，再利用数轴上两点之间的距离公式计算即可； 根据中点公式，表示出点M和点N，再利用数轴上两点之间的距离公式计算即可． (1) 小问详解： 解：∵点A表示的数为，点B表示的数为8， ； 根据题意，C表示的数为 故答案为：10，3； (2) 小问详解： 解：根据题意，t秒后点P表示的数为，点Q表示的数为， ， ， ， 当时，解得， 当时，解得， 的值为1或3； (3) 小问详解： 解：∵点M为的中点，点N为的中点， 点M表示的数为，点N表示的数为， ， 点P在运动过程中，线段的长度不会变化， 26．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查解一元一次方程，掌握去括号、去分母、移项、合并同类项、系数化为1等解方程的基本步骤是解决问题的关键． （1）先去括号，再移项，合并同类项，最后将未知数系数化为1，得到方程的解； （2）先通过去分母消去方程中的分母，再依次进行去括号、移项、合并同类项、系数化为1的操作，求解方程． (1) 小问详解： 解：去括号，得        移项，得 合并同类项，得 系数化为1，得； (2) 小问详解： 解：去分母，得 去括号，得 移项，得 合并同类项，得 系数化为1，得． 27．【答案】 【分析】 本题考查了一元一次方程的解，多项式的概念，根据方程有非负整数解，得出是的倍数，且；再根据多项式是二次三项式，得出且；从而得到为和，求积即可． 【详解】 解：， 解得， 是非负整数， ，即，且是整数，故是的倍数， 又是非负整数， 可能为，，，， 多项式是二次三项式， 二次项系数，即， 一次项系数，即， 因此，满足条件的为和， 其积为， 故答案：． 28．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查的是一元一次方程的解法，熟练掌握解一元一次方程的步骤与方法是解本题的关键． （1）先去括号，再移项，再合并同类项，把未知数的系数化为，从而可得答案； （2）先去分母，再去括号，移项，再合并同类项，把未知数的系数化为，从而可得答案． (1) 小问详解： 解： 去括号得， 移项得， 合并同类项得，； (2) 小问详解： 解： 去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得，． 29．【答案】（1）     （2）     （3）     （4）      【分析】 本题考查了解一元一次方程． （1）先移项，再合并同类项，最后系数化为1即可； （2）先去括号，再移项，合并同类项，最后系数化为1即可； （3）先去括号，再移项，合并同类项，最后系数化为1即可； （4）先去括号，再移项，合并同类项，最后系数化为1即可． (1) 小问详解： 解： 移项得： 合并同类项得： 系数化为1得： (2) 小问详解： 解： 去括号得： 移项得： 合并同类项得： 系数化为1得： (3) 小问详解： 解： 去括号得： 移项得： 合并同类项得： 系数化为1得： (4) 小问详解： 解： 去括号得： 移项得： 合并同类项得： 系数化为1得： 30．【答案】 【分析】 本题考查了新定义下的实数运算，解一元一次方程（一）——合并同类项与移项，已知方程的解求参数，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 根据新运算的定义，分两种情况讨论：当时，运算结果为；当时，运算结果为，分别代入方程求解，并验证条件是否成立． 【详解】 解：当时，， 代入方程：， 解得：， 但，与矛盾，故无解． 当 时，， 代入方程：， 解得：， 所以， 且，符合条件． 故答案为：． 31．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题主要考查解一元一次方程，解题的关键是掌握解一元一次方程的基本步骤． （1）方程去分母，去括号，移项合并同类项，系数化为1，即可求出解； （2）方程去分母，去括号，移项合并同类项，系数化为1，即可求出解． (1) 小问详解： 解： 解得； (2) 小问详解： 解： 解得． 32．【答案】（1），；（2） 【分析】 本题考查了整式的加减中的化简求值，解一元一次方程，已知字母的值求代数式的值，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）先去括号，再合并同类项，然后将，代入求值； （2）将看作一个整体，移项，合并同类项，系数化为1，再求解． 【详解】 （1）解：原式， 由题意得：，， 原式． （2） ∵，∴，∴． 33．【答案】（1）x＝ ；（2）x＝﹣16 【分析】 （1）方程移项，合并同类项，把x系数化为1，即可求出解； （2）方程去分母，去括号，移项，合并同类项，把x系数化为1，即可求出解． 【详解】 解：（1）移项得：8x+x＝14﹣3， 合并得：9x＝11， 解得：x＝ ； （2）去分母得：2（2x+1）+10＝3x﹣4， 去括号得：4x+2+10＝3x﹣4， 移项合并得：x＝﹣16， 解得：x＝﹣16． 【点睛】 此题考查了解一元一次方程，熟练掌握方程的解法是解本题的关键． 34．【答案】， 【分析】 本题考查了整式的化简与求值，非负数的性质，解一元一次方程，熟练掌握整式的加减运算法则是解题的关键．根据整式的加减运算法则化简式子，利用非负数的性质求出的值，再代入化简后的式子即可求解． 【详解】 解： ， ∵， ∴，， 解得，， ∴原式． 35．【答案】（1）6     （2），      【分析】 本题考查了已知字母的值求代数式的值，整式加减中的无关型问题，已知一元一次方程的解求参数等知识，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）先化简，根据代数式的值与x无关，得到关于m，n的方程求解，再代入求值； （2）先化简，根据为关于x的一元一次方程，得到且，得到方程为，再当方程的解为时，求得n即可． (1) 小问详解： 解：∵，(m，n为常数) ∴ ∵代数式的值与x无关， ∴，， ∴，， ∴； (2) 小问详解： ∵， ∴， 整理得， ∵为关于x的一元一次方程， ∴且， ∴且， 于是方程为， 当方程的解为时，， 解得：， 此时，满足一元一次方程． 综上，，． 36．【答案】 【分析】 本题主要考查了一元一次方程求解，绝对值的性质等，掌握分情况讨论是解题的关键． 先根据方程求解出，根据方程的解为正整数确定可能的取值，由于为整数，可得出或，将代入，即可求解． 【详解】 解： ， ， 方程的解为正整数， 且为的正整数倍， 且为整数， 当时：（舍去）， 当时：， 当时：（舍去）， 当时：， 当时：（舍去）， 当时：，则，随着的减小，会增大，且为整数时，不是的倍数（舍去）； 即：或， 当时，， 当时，， 故答案为：． 37．【答案】（1）；或．     （2）     （3）当时，式子有最小值，最小值为2550．      【分析】 本题考查了绝对值的几何意义（数轴上两点间的距离）及最值问题，解题的关键是将绝对值表达式转化为数轴上点与点之间的距离，结合数轴位置分析求解． （1）根据绝对值几何意义直接表示距离；由距离等于定值，列方程求x的值． （2）先计算两个定点间的距离，判断x的取值范围，找出整数解后求和． （3）观察式子对称性，确定x的取值区间使距离和最小，再通过成对求和计算最小值． (1) 小问详解： 解：x与4的距离表示为； ∵表示x到2的距离为5， ∴或， 故答案为：；或． (2) 小问详解： ，表示x到1和的距离和； ∵1与的距离为， ∴x在之间，符合条件的整数x为、、、、，和为， 故答案为：． (3) 小问详解： 式子表示x到、、…、、…、49、50共101个点的距离和； 根据对称性，当x在中间点时，距离和最小； 最小值为 答：当时，式子有最小值，最小值为2550． 38．【答案】（1）；     （2），     （3）      【分析】 本题考查了整式加减的应用、解一元一次方程，理解“相关整式”的定义是解题的关键． （1）根据题意可得，再结合是常数，得到关于、的方程，即可求解； （2）根据题意可得，整理得到关于、的方程，即可求解； （3）根据整式的相关概念得到，再根据题意得到，则有，，再根据等式的性质即可求解． (1) 小问详解： 解：由题意得，， ∴， 整理得：， ∵是常数， ∴，， 解得，， 故答案为：；； (2) 小问详解： 解：由题意得，， ∴， 整理得：， ∵2是常数， ∴，， 解得， ∴综上所述，，； (3) 小问详解： 解：， ∵整式是关于，的四次三项式， ∴且， ∴， ∵为常数0的“相关整式”， ∴， ∴， 整理得：， ∵0是常数， ∴，， ∴， ∴， ∴， 由题意得，， ∴， 解得． 39．【答案】（1）     （2）或     （3）     （4）或      【分析】 本题考查了一元一次方程的应用，绝对值的意义，数轴上两点间的距离公式，根据题意正确的列等式、方程是解题的关键． （1）根据两点间的距离公式列式计算即可； （2）根据绝对值的几何意义，找出满足条件的点表示的数即可； （3）分，，，四种情况，根据绝对值的性质化简得到的取值范围，从而得解； （4）根据题意分别表示出，，，然后列方程求解即可． (1) 小问详解： 解：数轴上表示和的两点的距离是， 故答案为：； (2) 小问详解： 解：， 表示的点到表示和的点的距离之和为， 或， 故答案为：或； (3) 小问详解： 解：当时，， ， ， 当时，， ， ， 当时，， ， ， 当时，， ， ， 的最小值为，此时． 故答案为：； (4) 小问详解： 解：根据题意得，，，， ， ，即， 或， 解得或． 考点04 实际问题与一元一次方程 1．C 2．B 3．A 4．A 5．D 6．A 7．A 8．C 9．B 10．B 11．B 12．D 13．【答案】 【分析】 本题考查根据实际问题列方程，根据借调后甲队和乙队人数相等列出方程即可． 【详解】 从乙队借调x名工人到甲队后，甲队人数变为人，乙队人数变为人．由题意，借调后甲队人数与乙队人数相等，故得方程． 故答案为：． 14．【答案】（1）10     （2）16     （3）6      【分析】 本题主要考查了有理数的运算，解一元一次方程的应用， 对于（1），先求出斜对角线的三个数的和，再根据题意列出关于x，y，z的方程，整体思想可求出答案； 对于（2），根据第一行求出三个数字的积，再列出关于m，n的方程，求出解即可； 对于（3）根据题意可得，再消去x，y，整体代入可得答案． (1) 小问详解： 根据题意可知，，， 三个式子相加，得， 解得． 故答案为：10； (2) 小问详解： 根据题意，得， 解得， 所以； (3) 小问详解： 根据题意，得， ，得，，得． 因为， 所以． 15．【答案】（1）     （2）①或；② 在移动的过程中，的值不随着时间的变化而变化      【分析】 本题主要考查了整式的加减的应用，数轴，绝对值方程，解题的关键是掌握数轴上点的表示及两点间的距离公式和整式的化简等知识点． （1）根据两点间距离公式求解即可； （2）① 由移动时间为秒知点表示的数为点表示的数为点表示的数为，表示出，再列方程求解即可； ② 据此得出和的长，再代入化简可得． (1) 小问详解： 解：根据题意可得点A对应的数是，点B对应的数是，点C对应的数是， ∴． 故答案为：； (2) 小问详解： 解：由题意得：秒时，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为， ∴， ① 在运动过程中，当时， 则，解得：或． ② 在移动的过程中，的值不随着时间的变化而变化， 理由如下：， ， ， ∴在移动的过程中，的值总等于12，保持不变． 16．【答案】（1）A零件单价0.8元，B零件单价1.4元     （2），总费用700元      【分析】 本题考查了一元一次方程的应用，整式加减中的无关型问题，理解题意设未知数建立方程解答是解题的关键． （1）设A零件单价为x元，则B零件单价为元，根据“买4个A零件和2个B零件共需要6元”列出方程，即可解答； （2）设A零件数量为a个，则C零件数量为个，B零件数量为个，从而得到总费用的代数式，根据总费用始终不变，即a的系数为0，即可解答． (1) 小问详解： 解：设A零件单价为x元，则B零件单价为元， 根据题意得，， 解得， （元）， 答：A零件单价0.8元，B零件单价1.4元． (2) 小问详解： 解：设A零件数量为a个，则C零件数量为个，B零件数量为个， 总费用为：， 由于总费用始终不变，即a的系数为0， ∴， 解得， 此时总费用始终为700元， 答：此时m的值为1.6，总费用为700． 17．【答案】（1），     （2）      【分析】 本题考查了列代数式，阶梯计价问题(一元一次方程的应用)等知识，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）利用应缴纳气费超出立方米的部分，可用含a的代数式表示出应缴纳气费，结合该年度缴纳气费元，可列出关于a的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）设小钟家今年非采暖期用气量为x立方米，则小钟家今年采暖期用气量为立方米，分及两种情况考虑，根据小钟家今年共缴纳气费元，可列出关于x的一元一次方程，解之可得出x的值，再将其符合题意的值代入中，即可求出结论． (1) 小问详解： 解：当小依家年度用气立方米时，应缴纳气费元， 根据题意得：， 解得：． 故答案为：，； (2) 小问详解： 设小钟家今年非采暖期用气量为x立方米，则小钟家今年采暖期用气量为立方米， 当时，， 解得：， ∴（元）； 当时，， 解得：（不符合题意，舍去）． 答：小钟家今年采暖期用气费用为元． 18．【答案】（1）甲工程队每天修建20米，乙工程队每天修建50米     （2）甲工程队在工程二期道路建设中单独修建了8天      【分析】 本题考查一元一次方程的应用，理解题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键． （1）由题意得，设甲工程队每天修建地上道路x米，则乙工程队每天修建米，根据甲、乙两工程队一起修建完280米长的地上路段，用时共4天，列方程求解即可； （2）设甲工程队单独修建了y天，则甲单独修建的费用为万元，甲乙共同修建的费用为万元，甲乙每天共同费用为万元，进而可求出共同修建的天数为天，再根据“地下路段总长220米”列方程求解即可． (1) 小问详解： 解：设甲工程队每天修建地上道路x米，则乙工程队每天修建米， 由题意得， 解得， ∴乙每天修建：米， 答：甲工程队每天修建20米，乙工程队每天修建50米； (2) 小问详解： 解：∵工程二期，甲、乙每天修建地下道路的长度为一期的一半， ∴甲每天修地下道路：米；乙每天修地下道路：米， 设甲工程队单独修建了y天， ∴甲单独修建的费用：万元，甲乙共同修建的费用：万元，甲乙每天共同费用为万元， ∴共同修建的天数为天， ∵“地下路段总长220米”， ∴ 解得． 答：甲工程队在工程二期道路建设中单独修建了8天． 19．【答案】 【分析】 本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 由右对角线和第三列、第一行和左对角线可得，求出b，再由第二列可求出幻方的和，再对于左对角线可求出c，最后根据第一行和第三列即可求出m值． 【详解】 解：如下图： 由题意得，第一行和第三列为：， ∴， 右对角线和第三列为：， ∴， 第一行和左对角线为：， ∴， ∴ 解得， ∴对于第二列可得，幻方的和为， ∴对于左对角线可得，， ∴ ， 故答案为：． 20．【答案】（1）商场购进甲产品120件，购进乙产品80件     （2）8      【分析】 本题主要考查一元一次方程的应用： （1）设商场购进甲产品件，购进乙产品件，可得； （2）根据“总利润=总售价-总成本”的思路，列出方程即可求解 (1) 小问详解： 解：设商场购进甲产品件，购进乙产品件， 根据题意，得 解得 （件） 答：商场购进甲产品件，则购进乙产品件． (2) 小问详解： 根据题意，得 解得 21．【答案】（1）工厂每人每天平均生产支架扶手架个，扭腰盘个     （2）人生产扶手架，人生产扭腰盘      【分析】 本题考查了一元一次方程的应用的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）设工厂每人每天平均生产支架扶手架个，则每人每天平均生产扭腰盘个，根据“每天6个工人生产的扶手架数量与5个工人生产扭腰盘的数量相同”列一元一次方程，即可求解． （2）设每天有人生产扶手架，则每天有人生产扭腰盘，根据“每套设备由一个扶手架和3个扭腰盘组装而成”列一元一次方程，即可求解． (1) 小问详解： 解：设工厂每人每天平均生产支架扶手架个，则每人每天平均生产扭腰盘个， 根据题意得：， 解得：， ， 答：工厂每人每天平均生产支架扶手架个，扭腰盘个． (2) 小问详解： 解：设每天有人生产扶手架，则每天有人生产扭腰盘， 根据题意得：， 解得：， ， 答：每天有人生产扶手架，人生产扭腰盘才能使扶手架和扭腰盘配套． 22．【答案】（1）     （2）     （3）当在点开始运动后第4、12、18、22秒时，、两点之间的距离为4．      【分析】 （1）根据数轴上两点之间的距离得． （2）先表示点的对应的数，结合，代入数值进行计算，即可作答． （3）当点Q未到达C点时， 则点对应的数为，点对应的数为， 再分情况：当点在点的右侧，当在点左侧；当到达C点后返回，则点对应的数为，点对应的数为，再分情况在点左侧时，点在点的右侧，分别列式计算，即可作答． 此题主要考查了一元一次方程的应用，数轴的动点问题，列代数式表达式，关键是正确理解题意，掌握非负数的性质，再结合数轴解决问题． (1) 小问详解： 解：∵A，B，C对应的数分别是，，12， ∴， 故答案为：； (2) 小问详解： 解：∵P从A点出发，以每秒1个单位的速度向数轴正方向运动， ∴点对应的数为， ∵P点运动到A、B之间，且到A点距离是到B点距离的2倍， ∴， 即 解得 ∴ 此时P点的对应的数是； (3) 小问详解： 解：设在点开始运动后的第秒开始，、两点之间的距离为4， 当点未到达C点时， 则点对应的数为，点对应的数为， 当点在点的右侧，且点还没追上点时，， 解得：， 当在点左侧时，且点追上点后，， 解得：， 当点到达C点后返回，则点对应的数为，点对应的数为， 当点在点左侧时，， 解得：， 当点在点的右侧时，， 解得：， 综上所述：当在点开始运动后第4、12、、22秒时，、两点之间的距离为4． 23．【答案】①     ② 【分析】 本题主要考查了一元一次方程的应用．熟练掌握幻方是关键． 分析题意，可得求得，再进行推论求得和，即可解答． 【详解】 解：依题意可知，， 解得； ， ，解得， 同理， ，解得， ， ，解得， ， ，解得， ， 故答案为：2；29． 24．【答案】（1），     （2） 小明的说法错误， 理由：设b代表的数为m， 则 ， 解得， 此时，，，， 但是其位置不符合 “T”字形框， 故小明的说法是错的．      【分析】 本题考查规律探索，列代数式，一元一次方程的应用，掌握月历中数的排列规律，利用规律表示数并建立方程是解决问题的关键． （1）根据月历中上下相邻数差7、左右相邻数差1的规律，用表示；再用同一字母表示a、b、c、d，结合和为列方程求解； （2）设未知数表示4个数的和，列方程判断解是否符合月历的数的范围． (1) 小问详解： 解：月历中，上下相邻数差7，左右相邻数差1， 若，则，故， 设，则，，， 由， 解得， 故． 答案：，； (2) 小问详解： 略 25．【答案】（1）用180张彩纸制作“三角插”，用30张彩纸制作“圆部式”     （2）8个      【分析】 本题考查了列一元一次方程的应用，关键是根据题意找到关系式． （1）根据题意在不浪费纸张的前提下，设210张长方形彩纸中，有x张按图1剪裁，则共能制作个“三角插”，有张按图2剪裁，则共能制作个“圆部式”，列出一元一次方程即可求出结果； （2）根据题意设共制作m个A型，个B型，列出一元一次方程即可求出A型和B型的个数，再将算出的m值代入到制作“三角插”的彩纸数量式子即可得到结果． (1) 小问详解： 解：设210张长方形彩纸中，有x张按图1剪裁，则共能制作个“三角插”，有张按图2剪裁，则共能制作个“圆部式”，根据题意得： ， 整理得，， 解得， 即用180张彩纸制作“三角插”，用30张彩纸制作“圆部式”； (2) 小问详解： 解：设共制作m个A型，个B型，根据题意得， 解得， ∴制作“三角插”的彩纸数量为（个），能制作8个A型几何体， 26．【答案】389 【分析】 本题主要考查了一元一次方程的应用，熟练掌握根据等量关系建立方程是解题的关键．设汽车数量为未知数，依据总人数不变的等量关系列方程求解． 【详解】 解：设共有辆汽车．由题意可得 ， ， ， ， ∴总人数：（人）， 故答案为：． 27．【答案】（1）若只在一家商店购买，当时，谢老师选择甲商店购买西装和领带更划算． （2）若只在一家商店购买，在甲商店的花费为元，在乙商店的花费为元． （3）当时，最省钱的购买方案为在甲商店购买20套西装，20条领带，在乙商店购买0套西装，40条领带，最少的花费是5440元． 【分析】（1）分别根据题意计算出若只在甲购买和若只在乙购买的花费，比较两个花费的大小，即可判断哪种方案更划算． （2）根据题意列出代数式表示即可． （3）设在甲商店购买x套西装，x条领带，即在乙商店购买套西装，条领带，总花费为y元，可得方程，再根据，即可确定最省钱的购买方案． 【详解】（1）若只在甲购买：（元） 若只在乙购买：（元） ∵ 若只在一家商店购买，当时，谢老师选择甲商店购买西装和领带更划算． （2）若只在甲购买： 若只在乙购买： 故若只在一家商店购买，在甲商店的花费为元，在乙商店的花费为元． （3）∵单买领带时，乙商店比甲商店便宜 ∴要想花费最少，在甲商店购买的西装套数等于领带的条数 ∴设在甲商店购买x套西装，x条领带，即在乙商店购买套西装，条领带，总花费为y元 ． ∵ ∴当时，总花费y有最小值 最小值为 故当时，最省钱的购买方案为在甲商店购买20套西装，20条领带，在乙商店购买0套西装，40条领带，最少的花费是5440元． 【点睛】本题考查了一次函数的实际应用，掌握一次函数的性质以及最值问题是解题的关键． 28．【答案】（1）元     （2）     （3）      【分析】 本题考查了列代数式，一元一次方程的应用；找出等量关系式是解题的关键． （1）根据题意列出代数式，并进行化简，即可求解； （2）由（1）得，解方程，即可求解； （3）等量关系式：本周六每公斤鸡腿的价格本周六每公斤鸡翅的价格元，据此列出方程，然后解方程，即可求解． (1) 小问详解： 解：由题意得 ， 故王师傅上周六一共花了元； (2) 小问详解： 解：由题意得：， 解得， 故的值为； (3) 小问详解： 解：由题意得： 解得：， 故的值为． 29．【答案】（1），；     （2）经过秒或秒动点与动点到原点的距离相等；     （3）或．      【分析】 本题考查了数轴上的动点问题，绝对值的非负性，一元一次方程的应用，解题的关键是掌握以上知识点． （1）根据绝对值的非负性和平方的非负性作答即可； （2）先推导出动点到达原点时，动点未到达原点，设经过秒动点与动点到原点的距离相等，分两种情况列方程求解即可； （3）求出，分三种情况讨论即可． (1) 小问详解： 解：∵， ∴，， ∴，， 故答案为：，； (2) 小问详解： 解：∵，， ∴动点到达原点时，动点未到达原点． 设经过秒动点与动点到原点的距离相等， 动点到达原点前：，解得：； 动点到达原点后：，解得：； 即经过秒或秒动点与动点到原点的距离相等； (3) 小问详解： 解：， 当为、中点时， ， 解得：； 当为、中点时， 解得：； 当为、中点时， ， 则， 此种情况不成立； 综上所述，或． 30．【答案】（1）     （2）或     （3）或      【分析】 本题考查了一元一次方程数轴上的点的运动问题，涉及绝对值方程、一元一次方程以及点的运动规律．需要通过解析方程和运动状态求解点的位置与时间关系． （1）本题主要考查了非负数的性质，根据有理数的特征、非负数的性质即可解答；掌握几个非负数的和为 0，则每个非负数都为 0 成为解题的关键； （2）由题意可知，，结合两点距离公式求解绝对值方程即可，注意检验点P在点C左侧； （3）根据C到达O点前，以及C到达O点后进行分类讨论，注意转折点对方程产生的影响． (1) 小问详解： 因为，所以，， 又因为点B为中点，所以b=(a+c)/(2) = (-6+10)/(2) =2． 故答案为：． (2) 小问详解： 由题意可得 ，， 因为， 所以， 解得：或． 检验，当时，，满足条件， 当时，，也满足条件， 综上或． (3) 小问详解： 由题意，可得： C到达O点前，有： ① 当M在O左侧时，此时， 解得； ② 当M在O右侧、B左侧时，此时， 解得无解； ③ 当M在B右侧时，此时， 解得无解； C到达O点后，有： ④ 当M在B右侧时，此时， 解得； 综上或． 31．【答案】（1）720；3430     （2）3；当时，总费用为元；当时，总费用为元；当时，总费用为元     （3）170元或506元      【分析】 本题考查了有理数混合运算的应用、列代数式、一元一次方程的应用，理解题意是解题的关键． （1）根据题意列式计算即可； （2）通过计算求出小吴的值，判断小吴所属类别；再分3种情况讨论：① 当时；② 当时；③ 当时，根据题意列出代数式即可解答； （3）设小吴第二次购买杂粮礼盒x份，结合（2）中的结论列出方程，求出的值，计算出一次性购买的总价以及两次分开购买的总价，即可得出答案． (1) 小问详解： 解：购买30份杂粮礼盒的费用为（元）， 购买70份蛋白补给包的费用为（元） 故答案为：720；3430； (2) 小问详解： 解：， ∴由值可知小吴所属类别是3； 当小吴购买杂粮礼盒x份时，则购买蛋白补给包份， ① 当时，， 此时总费用为元； ② 当且时，即， 此时总费用为元， ③ 当且时，即， 此时总费用为元； ∴综上所述，当时，总费用为元；当时，总费用为元；当时，总费用为元； 故答案为：3； (3) 小问详解： 解：小吴第一次购买的总价为（元）， 设小吴第二次购买杂粮礼盒x份， 当时，， 解得（不符合题意，舍去）； 当时，， 解得， 当时，， 解得， 此时购买蛋白补给包（份）； ① 当小吴第二次购买杂粮礼盒58份时， 则购买蛋白补给包（份）； 一次性购买的总价为（元）， 一次性购买的总价比两次分开购买的总价少（元）； ② 当小吴第二次购买杂粮礼盒72份时， 则购买蛋白补给包（份）； 一次性购买的总价为（元）， 一次性购买的总价比两次分开购买的总价少（元）； 答：这样购买的总价比两次分开购买的总价少170元或506元． 32．【答案】（1）该商店购进魔方个，数独棋个；     （2）该商店共获利元．      【分析】 本题考查了一元一次方程的应用，有理数运算的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． （）设数独棋个，则商店购进魔方个，根据题意得，然后解方程即可； （）由题意得，商店共获利，然后通过运算法则即可求解． (1) 小问详解： 解：设数独棋个，则商店购进魔方个， 根据题意得， 解得：， ∴商店购进魔方， 答：该商店购进魔方个，数独棋个； (2) 小问详解： 解：由题意得，商店共获利， （元）， 答：该商店共获利元． 33．【答案】（1），；或；     （2），；     （3）或或或．      【分析】 本题主要考查数轴上的动点问题，绝对值的意义，一元一次方程的应用，熟练掌握数轴上的动点问题及一元一次方程的应用是解题的关键． （）根据数轴两点距离可进行求解； （）根据题意可直接进行求解； （）分当没有到达，与相遇前，当与相遇后，当没有到达，与相遇后，当到达后，当没有追到时，当到达后，当追到后四种情况分析求解即可． (1) 小问详解： 解：数轴上表示和的两点之间的距离是，数轴上表示和的两点之间的距离是；表示与－1的距离，若，则的值为或， 故答案为：，；或； (2) 小问详解： 解：当代数式取最小值时，相应的的取值范围是；当时，代数式的最小值是， 故答案为：；； (3) 小问详解： 解：当没有到达，与相遇前， ，解得：； 当没有到达，与相遇后， ，解得：； 当到达后，当没有追到时， ，解得：； 当到达后，当追到后， ，解得：； 综上可得：为或或或秒时，点与相距个单位长度． 34．【答案】男生119名，女生51名 【分析】 本题考查一元一次方程的实际应用，设男生有名，则女生有名，根据男生挖的坑数等于女生种的树的数量，列出方程进行求解即可． 【详解】 解：设男生有名，则女生有名，由题意，得： ， 解得， ， 答：男生119名，女生51名． 35．【答案】（1）－3，1，8     （2）4     （3）13      【分析】 （1）根据平方式和绝对值的非负性求得a、c值，再根据最小的正整数是1可求得b值； （2）根据题意可求得点A，C的对称点对应的数，进而可求得与点B重合的数； （3）根据题意求得AB=4+3t，BC=2t+7，求解3BC－2AB可得结论． (1) 小问详解： 解：∵， ∴，， ∴，， ∵b是最小的正整数， ∴b=1， 故答案为：-3，1，8； (2) 小问详解： 解：由题意，点A、C的对称点对应的数为， ∵与点B重合的点就是和点B关于该对称点对称的点， ∴与点B重合的数为1+2×（2.5－1）=4， 故答案为：4； (3) 小问详解： 解：不变，它的值为13，理由为： 根据题意，t秒钟过后，点A对应的数为-3-t，点B对应的数为1+2t，点C对应的数为8+4t， 则AB=（1+2t）-（-3-t）=3t+4，BC=（8+4t）-（1+2t）=2t+7， ∴3BC-2AB =3（2t+7）-2（3t+4） =6t+21-6t-8 =13， 故3BC-2AB的值不随着时间t的变化而改变，它的值为13． 【点睛】 本题考查数轴上的动点问题及两点间的距离、平方式和绝对值的非负性，有一定的难度，利用数轴特点求出两点间的距离是解答的关键． 36．【答案】（1）     （2）15，21，27     （3）不可能， 理由：设这个数中最小的数为b，则另外3个数分别为，，， 根据题意得：， 解得：，不是整数 ∴这4个数的和不可能是68．      【分析】 本题考查了一元一次方程的应用以及整式的加减，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元一次方程． （1）利用上边的数中间的数，下边的数中间的数，即可用含x的代数式表示出上边和下边的数，然后求和即可； （2）设中间的数为a，则另外两个数分别为，，根据题意列方程求解即可； （3）设这4个数中最小的数为b，则另外3个数分别为，，，根据这个数的和是68，关于的一元一次方程求解判断即可． (1) 小问详解： 解：根据题意得：①若中间的数为，则上边的数为，下边的数为， ∴； (2) 小问详解： 设中间的数为a，则另外两个数分别为，， ∵这3个数的和为63， ∴， ∴ ∴， ∴这3个数分别是15，21，27； (3) 小问详解： 略 37．【答案】（1）     （2）或     （3）或      【分析】 此题考查了列代数式，一元一次方程的应用，数轴上动点问题，整式的加减，解题的关键是正确表示出运动后三个点表示的数． （1）根据题意列式即可； （2）首先表示出点在数轴上对应的数是，点在数轴上对应的数是，然后根据题意分三种情况讨论，分别列出方程求解即可； （3）首先表示出，，然后表示出，然后根据题意分三种情况讨论，分别列出方程求解即可． (1) 小问详解： 当运动时间为秒时，点在数轴上对应的数是； (2) 小问详解： 当运动时间为秒时，点在数轴上对应的数是，点在数轴上对应的数是， 根据题意得，当点A是点B和点C的中点时， ∴ 解得； 当点B是点A和点C的中点时， ∴ 解得（不符合题意，舍去）； 当点C是点A和点B的中点时， ∴ 解得； 综上所述，或； (3) 小问详解： 根据题意得，， ∴ ∴当时， ∴ ∴； 当时， ∴ ∴； 当时， ∴ ∴； 综上所述，当或时，的值在一定时间范围内不随的改变而改变． 38．【答案】（1）在甲文具店购买所需费用为元；在乙文具店购买所需费用为元；（2）莉莉购买10个笔记本时，到乙文具店购买全部笔记本所需的费用与到甲文具店购买全部笔记本所需的费用相同. 【分析】（1）根据甲、乙两文具店的优惠方案，可用含x的代数式表示出莉莉到甲文具店和乙文具店购买全部该款笔记本所需的费用；（2）根据到两家文具店所需费用相同，可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）在甲文具店购买所需费用为元； 在乙文具店购买所需费用为元. （2）根据题意得：， 解得：. 答：莉莉购买10个笔记本时，到乙文具店购买全部笔记本所需的费用与到甲文具店购买全部笔记本所需的费用相同. 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用以及列代数式，解题的关键是：（1）根据两店的优惠方案，列出代数式；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程． 39．【答案】（1）     （2）当、两点相遇时，运动时间的值为     （3）存在动点、两点在数轴上相距的长度是、两点在数轴上相距的长度的倍，的值为或或      【分析】 本题主要考查了非负性，数轴上动点问题，一元一次方程的运用，理解数轴动点的运动中的数量关系，两点之间距离的计算方法是解题的关键． （1）根据非负性，相反数即可求解； （2）分别用含的式子表示出点运动的路程，根据相遇问题，分类讨论即可求解； （3）分别用含的式子表示出点表示的数，根据两点之间距离的计算方法，分类讨论即可求解． (1) 小问详解： 解：∵，， ∴， 解得，， ∴点表示的数为，点表示的数为， ∵点与点到原点的距离相等， ∴点表示的数为，即， 故答案为：； (2) 小问详解： 解：动点从点出发到点停止，以每秒2个单位的速度沿数轴正方向运动，上坡时的速度变为原来的一半，动点从点处出发到点停止，以每秒1个单位的速度沿数轴负方向运动，下坡时的速度变为原来的两倍，设运动时间为， 由（1）可知，当在点表示的数为，点表示的数为， ∴点从的时间为，从的时间为，从的时间为， 点从的时间为，从的时间为，从的时间为， ∴当时，点在上，点在上，不能相遇，不符合题意； 当时，点走的路程为， 点走的路程为， 当、两点相遇时，， 解得，，不符合题意，舍去； 当时，点表示的数为，点表示的数为， 当、两点相遇时，， 解得，； ∴当、两点相遇时，运动时间的值为； (3) 小问详解： 解：存在，理由如下， 第一种情况：时，点在上，点在上， 点、两点在数轴上相距为：， 点、两点在数轴上相距为， ∴， 解得，； 第二种情况：时，点在上、在上， 点、两点在数轴上相距为:， 点、两点在数轴上相距为， ∴， 解得：； 第三种情况：时，点、在上， 点、两点在数轴上相距为:， 点、两点在数轴上相距为， ∴， 解得，； 第四种情况：时，点在上，点在上， 点、两点在数轴上相距为：， 点、两点在数轴上相距为， ∴， 解得：；（舍去） 第五种情况：时，点在上，点在上时， 点、两点在数轴上相距为:， 点、两点在数轴上相距为， ∴， 解得，（舍去）； 综上所述，存在动点、两点在数轴上相距的长度是、两点在数轴上相距的长度的倍，的值为或或． 40．【答案】（1）A、B两点之间的距离是16；（2）点P表示的数为﹣8或﹣20；（3）当OP＝4OQ时的运动时间t的值为或秒． 【分析】（1）根据两点间的距离公式即可求出A、B两点之间的距离； （2）设点P表示的数为x．分两种情况：① 点P在线段AB上；② 点P在线段BA的延长线上．根据AP＝PB列出关于x的方程，求解即可； （3）根据点Q的运动方向分两种情况：① 当t≤2时，点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动；② 当t＞2时，点Q从原点O开始以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右运动，根据OP＝4OQ列出关于t的方程，解方程即可． 【详解】（1）A、B两点之间的距离是：4﹣（﹣12）＝16． （2）设点P表示的数为x．分两种情况： ① 当点P在线段AB上时， ∵AP＝PB， ∴x+12＝（4﹣x）， 解得x＝﹣8； ② 当点P在线段BA的延长线上时， ∵AP＝PB， ∴﹣12﹣x＝（4﹣x）， 解得x＝﹣20． 综上所述，点P表示的数为﹣8或﹣20； （3）分两种情况： ① 当t≤2时，点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动， 此时Q点表示的数为4﹣2t，P点表示的数为﹣12+5t， ∵OP＝4OQ， ∴12﹣5t＝4（4﹣2t）， 解得t＝，符合题意； ② 当t＞2时，点Q从原点O开始以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右运动， 此时Q点表示的数为3（t﹣2），P点表示的数为﹣12+5t， ∵OP＝4OQ， ∴|12﹣5t|＝4×3（t﹣2）， ∴12﹣5t＝12t﹣24，或5t﹣12＝12t﹣24， 解得t＝，符合题意；或t＝，不符合题意舍去． 综上所述，当OP＝4OQ时的运动时间t的值为或秒． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，数轴，结合动点考查了两点间的距离，以及路程、速度与时间关系的应用，理解题意，找到相等关系进行正确分类是解题的关键． 41．【答案】（1）C，D     （2）① 当时，点P表示的数是，当时，点P表示的数是，点Q表示的数是；② 当时，，当时，，；③1或4      【分析】 此题考查了一元一次方程的应用及数轴上两点间的距离，动点问题，列代数式，关键是利用数形结合思想，根据题目中的数量关系，列出方程． （1）根据相反数的定义求解即可； （2）① 根据点P和点Q的速度以及初始位置列式即可； ② 分两种情况，根据两点间的距离求解即可； ③ 两种情况，根据列方程，然后解方程求解即可． (1) 小问详解： 点与点C所表示的数互为相反数，点与点D所表示的数互为相反数． 故答案为：C，D； (2) 小问详解： ①秒， 当时，点P表示的数是， 当时，点P表示的数是， 点Q表示的数是； ② 当时，， 当时，， ， ③ 当时，，解得， 当时，，解得， 综上可知，当时，直接写出的值为1或4． 42．【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 本题主要考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是找出其中的规律，即通过方程形式，把无限小数化成整数形式．此题中根据循环节的位数来设置扩大的倍数，使得扩大后的小数部分刚好与原小数相等是解决该问题的重要技巧． （1）设，该小数循环节为位，故方程左右两边同时乘以，得到…，进而得到，求解一元一次方程即可得到答案． （2）设，该小数循环节为位，故方程左右两边同时乘以，得到…，进而得到，求解一元一次方程即可得到答案． （3）设，该小数循环节为位，故方程左右两边同时乘以，得到…，进而得到，求解一元一次方程即可得到答案． (1) 小问详解： 解：设， 则…， ∴， ∴， 答：． (2) 小问详解： 解：设， 则…， ∴， ∴， 答：． (3) 小问详解： 解：已知， 设， 则， ∴， ∴， ∴， 答：． 43．【答案】① 7    ② 3028 【分析】 根据数轴上点的坐标变化和平移规律（左减右加），分别求出点所对应的数，找出规律即可解答； 【详解】 第1次从原点向右移动1个单位长度至B点，移动个单位长度； 第2次从B点向左移动4个单位长度至C点，移动个单位长度； 第3次从C点向右移动7个单位长度至D点，移动个单位长度； 第4次从D点向左移动10个单位长度至E点，…以此类推， 移动5次后该点对应的数为； 故移动5次后该点对应的数为7； 由规律可知第n次移动个单位长度， n为奇数时向右移动，n为偶数时向左移动， 第2019次向右移动个单位长度， ， 即前2018次移动后该点表示的数为， ， 所以这样移动2019次后该点表示的数为3028，距离原点的距离为3028． 故答案为：7，3028． 【点睛】 本题主要考查了数轴和图形变化规律，准确分析判断是解题的关键． 44．【答案】① -度    ② 7度 【分析】 本题考查了折叠的性质，一元一次方程的几何应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先理解题干，再结合折叠的性质得，则，再设，得， 则，， 结合折叠，，，把数值代入，进行计算，即可作答． 【详解】 解：∵四边形是正方形， ∴， ∵先将正方形沿折叠，使点A和 点C同时翻折至点G， ∴， ∵， 则， 设， ∵， ∴， ∵， ∴， 则， ∵折叠， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 45．【答案】（1）；或     （2）a或b或c      【分析】 本题考查了一元一次方程的应用，有理数混合运算的应用，整式的加减运算等知识点，解题的关键是正确理解新定义． （1）根据密文、明文的转化方法求解即可； （2）分类讨论，当为偶数，可得，则，，此时密文中的字母为；当为奇数，可得 ，则，或，，此时密文中的字母为或者． (1) 小问详解： 解：对应1，为奇数，则，对应字母； 对应25，为奇数，则，对应字母； 对应19，为奇数，则，对应字母； 对应，为偶数，则，对应字母， ∴密文“”解密成明文为“”， 字母为对应17，若密文为奇数，则，对应字母； 若密文为偶数，则（不符合题意，舍去）； 字母对应，若密文为奇数，则，对应字母； 若密文为偶数，则，对应字母， ∴明文“”加密成密文为或， 故答案为：；或； (2) 小问详解： 解：当为偶数，则， ∴， ∵为正整数，为偶数， ∴，， ∴此时密文中的字母为； 当为奇数，则， ∴， ∵为正整数，为奇数， ∴，或， ∴此时密文中的字母为或者； ∴满足条件的密文中的字母为a或b或c． 46．【答案】（1）；1或5     （2）0或7     （3）8     （4）2 秒或 3 秒      【分析】 本题考查了数轴和绝对值的意义，解一元一次方程，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． （1）根据绝对值的定义即可求解； （2）根据x的取值范围取绝对值，分① 当时；② 当时；③ 当时，三种情况进行讨论求解即可； （3）根据绝对值的性质分类讨论，可得答案； （4）设运动x秒后，根据题意求得点B表示的数为6，得到x秒后点P表示的数为，点Q表示的数为，则，整理求解即可． (1) 小问详解： 解：x与3之间的距离表示为：， 若，则， 或， 故答案为：；1或5； (2) 小问详解： 解：分以下三种情况讨论： ① 当时，， 解得：； ② 当时，， 此时方程无解； ③ 当时，原方程可化为：， 解得：， 综上可得x的值为0或7． 故答案为：0或7； (3) 小问详解： 解：当时，，， ∴， 当时，，， ∴， ∴，即； 当时，，， ∴， 综上可知：当时，取最大值，最大值为8， 故答案为：8； (4) 小问详解： 解：设运动x秒后， 由题意可得：点B表示的数为：， 由题意可得x秒后点P表示的数为，点Q表示的数为， 则， ∴， ∴或， 解得：或， ∴运动2秒或3秒后． 47．【答案】（1），4     （2）或     （3）存在，或      【分析】 （1）由题中条件，利用平方与绝对值非负性，结合非负式和为0的条件求解即可得到答案； （2）由含t的代数式表示出，，，再列方程求解即可得到答案； （3）根据数轴上动点问题，分相遇前和相遇后分两种情况列方程求解即可得到答案． (1) 小问详解： 解：∵， ∴，， ∴，， 故答案为：，4； (2) 小问详解： 解：∵， ∴点N在数轴上表示有理数4， ∵点B在数轴上表示有理数6， ∴B点位置如图所示， ∵， 由题意知，，，， ∵， ∴， 当时，， ∴； 当时，点到点停止运动，点在上， ∴， ∴， 综上所述：或； (3) 小问详解： 解：存在，理由如下， ∵， ∴相遇时，两点各自运动的时间为（秒）， ∴由题意知，当时，，， ∴， ∴（舍去）， 当时，，， ∴, ∴， 当时，， ∴； ∴综上所述，当或时，． 【点睛】 本题主要考查了非负数和为零的条件、数轴上动点问题、相遇问题的一元一次方程的应用等知识点，根据题意，数形结合列方程求解是解决问题的关键． 48．【答案】（1）；3；     （2），P点所表示的数为     （3）t的值为或或18      【分析】 （1）由，或，再解方程可得答案，由绝对值的意义可得：的最小值，再分三种情况：当时，当时，当时，再化简，从而可得答案； （2）由题意可得：对应的数为，当的值最小时，结合（1）可得：在之间，可得最小值， 利用，再分情况解方程即可； （3）由题意可得：对应的数为，对应的数为：，判断，分情况讨论：当时，当时，当，当时，再分别建立方程求解即可． (1) 小问详解： 解：∵， ∴或， 当时，方程无解； 当时， ∴， 解得：； ∵表示在数轴上对应的点与数，对应的点之间的距离之和， ∴最小时，对应的点在与之间，（包括端点） ∴的最小值为； 当时， ； 当时， ， ∴， 当时， ， ∴的最小值为； (2) 小问详解： 解：由题意可得：对应的数为， ∴，， 当的值最小时，结合（1）可得：在之间， ∴， ∴，， ∴， 当时，，方程无解， 当时，， 解得：， P点所表示的数为； 当时，，此时方程无解， 综上：，P点所表示的数为； (3) 小问详解： 解：由题意可得：对应的数为，对应的数为：， ∴，， ∴， 当时， ∴，， ∴， ∴或， 解得：或（不符合题意，舍去） 当时， 对应的数为：， ∴，， ∴， ∴或， 解得：或（都不符合题意，舍去）， 当， 此时重合，， ∴， 解得：或， 当时， 对应的数为：， 对应的数为：， ∴，， ∴， 解得：（不符合题意，舍去） 综上：的值为：或或18． 【点睛】 本题考查的是数轴上的动点问题，数轴上两点之间的距离，绝对值的应用，整式的加减运算，一元一次方程的应用，本题的难度大，清晰的分类讨论是解本题的关键． 49．【答案】（1）1，6     （2）或秒     （3）或或      【分析】 （1）利用数轴上两点间距离和中点定义即可求解； （2）分M在C的左侧和右侧讨论即可； （3）分R、Q 相遇前；P、R相遇前；P、R相遇后讨论即可． (1) 小问详解： 解：∵A表示的数为，，B在A的右侧， ∴B表示的数为， ∵B是的中点， ∴， ∴C表示的数为． 故答案为：1，6； (2) 小问详解： 解：设点M运动t秒后与点C相距3个单位长度，此时M表示的数为， 当M在C的左侧时，， 解得； 当M在C的右侧时，， 解得； ∴或秒后点M与点C相距3个单位长度； (3) 小问详解： 解：当R、Q相遇时，， 此时P表示的数为， ∴R、Q 相遇前，P、R没有相遇， 当时，P表示的数为，R表示的数为，Q表示的数为， ∵， ∴， 解得； 当，即R、Q相遇时，相遇点表示的数为，此后R、Q变向，即R向左运动，Q向右运动， 当P、R相遇时，， ∴当时，P表示的数为，R表示的数为，Q表示的数为， ∵， ∴， 解得； 当P、R相遇时，，相遇点表示的数为，此后P、R变向，即P向左运动，R向右运动， 当时，P表示的数为，R表示的数为，Q表示的数为， ∵， ∴， 解得； 此后P向左运动，R向右运动，Q也向右运动，且Q的运动速度大于R的运动速度，则Q、R不再相遇． 综上，当或或时，． 【点睛】 本题考查了一元一次方程的应用—行程问题，数轴上的动点问题等，掌握数轴上两点间的距离公式、正确列出一元一次方程是解题关键． 50．【答案】（1）①400；②；；     （2）t为60秒或100秒时，动点R与动点P之间距离为200个单位长度；     （3）为定值400．      【分析】 本题考查了利用一元一次方程解决数轴上的动点问题，如何把数轴上的点与其对应的数联系起来，并恰当地建立方程是解题的关键． （1）① 由已知得出，由点B在原点右侧，即可得出答案； ② 由题意得：，，，据此求解即可； （2）分两种情况，由题意得出方程，解方程即可； （3）先分别表示出t秒后点M表示的数和点N表示的数，然后将二者求差并取绝对值，再得出的值，然后计算的值即可． (1) 小问详解： 解：① ∵，点A在数轴上对应数是， ∴， ∵点B在原点右侧， ∴点B在数轴上对应的数是400； 故答案为：400； ② 由题意得：，，， ∴点P在数轴上对应的数是；点Q在数轴上对应的数是；点R在数轴上对应的数是； 故答案为：；；； (2) 小问详解： 解：由题意得：， 解得：或； 综上所述，t为60秒或100秒时，动点R与动点P之间距离为200个单位长度； (3) 小问详解： 解：t秒后点M表示的数为，点N表示的数为， ∴，， ∴， ∴为定值400． 51．【答案】（1）132；6；61     （2）存在点M，使，点M对应的数为或     （3）当点P，Q停止运动时，点P所在的位置表示的数为，点P和点Q一共相遇了次      【分析】 本题考查了数轴上的动点问题，数轴上两点间距离； （1）根据可得，故可得的长度，再利用时间等于路程除以速度和，即可解答；再根据求得时间，即可得到相遇点表示的数； （2）设点表示的数为，考虑两种情况，即点在点左边，点在点和点中间，再根据，列方程即可解答； （3）求出点运动的时间，即可算出点运动的路程，再求出点的位置即可，再根据点来回次数，求得和点相遇次数． 熟练利用代数式表示动点表示的位置是解题的关键． (1) 小问详解： 解：根据，可得，， ， （秒）， 相遇的点为； (2) 小问详解： 解：设点表示的数为， ① 当点在点左边时， ，，， 根据，可列方程， 解得； ② 点在点和点中间时， ，，， 根据，可列方程， 解得； 综上所述，存在点M，使，点M对应的数为或； (3) 小问详解： 解：点运动的时间为（秒）， ， 所以可得点总共往返6趟，且最后停止在处， 综上所述，点P和点Q一共相遇了7次． 52．【答案】（1），     （2），12     （3）或     （4）或      【分析】 本题主要考查了数轴上的动点问题、绝对值的几何意义、解绝对值方程、一元一次方程的应用等知识点，理解绝对值的几何意义是解题的关键． （1）直接根据题意列出代数式即可； （2）理由绝对值的几何意义求解即可； （3）根据题意列绝对值方程求解即可； （4）由题意可知：P表示的数是，点Q表示的数是，再说明，然后分A为的中点、P为的中点、Q为的中点三种情况，分别列出一元一次方程求解即可． (1) 小问详解： 解：运动t秒后点P表示的数是，点Q表示的数是． 故答案为：，． (2) 小问详解： 解：的几何意义是数轴上一点x到的距离之和， ∴当时，距离之和最小，最小距离为． 故答案为：，12． (3) 小问详解： 解：∵点P表示的数是，点Q表示的数是，P，Q两点之间的距离为6个单位长度 ∴， ∴，解得：或． (4) 小问详解： 解：由题意可知：P表示的数是，点Q表示的数是， ∵，点Q到达点A时，点P与Q同时停止运动， ∴， 当A为的中点时，，解得：，不符合题意； 当P为的中点时，，解得：，符合题意； 当Q为的中点时，，解得：，符合题意； 综上，当点P点Q与点A三个点中，其中一个点到另外两个点的距离相等时，t的值为或． 53．【答案】①     ② 【分析】 本题主要考查一元一次方程的应用．解题的关键在于找到合适的等量关系，合理设未知数和列方程求解，通过每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和分别相等建立等量关系，设出未知数，列方程求解即可． 【详解】 解：设每一横行、每一竖列以及两条对角线上的个数之和为， 由第一列之和得 ． 由第二行之和得 ． 联立得 ，即 ，故 ． 设第一行第三列为 ，第三行第三列为 ． 由副对角线（从右上到左下）之和得 ． 由主对角线（从左上到右下）之和得 ． 由第三列之和得 ． 联立，得 ，即 ，故 ． 代入副对角线得 ． 代入第一列得 ，故 ． 故答案为 ，． 54．【答案】（1）21；或10     （2）或4或8     （3）当时，为定值；当时，为定值；当时，为定值．      【分析】 （1）① 根据路程速度时间即可求解；分类讨论，列方程求解； （2）、相遇的时间为秒，到的时间为10秒，到的时间为5秒，到的时间为10秒．到前，所表示的数为；所表示的数为；所表示的数为．分三种情况：①、相遇前；②、相遇后，到前；③、相遇后，到后．分别根据列出方程； （3）根据题意分3情况讨论，分别根据列出方程，然后根据在为定值求解即可． (1) 小问详解： 解：① 三个动点运动秒时，则、、三点在数轴上所表示的三个数分别为，，， 当时，、两点在数轴上所表示的两个数分别为，， ； ② 当时，由题意得，解得，符合题意； 时，由题意得，解得，符合题意， ∴当运动时间为或10秒时，点与点相遇， 故答案为：21；或10； (2) 小问详解： 解：、相遇的时间为秒，到的时间为10秒，到的时间为5秒，回到的时间为10秒． 到前，所表示的数为；所表示的数为． ①、相遇前：，解得， ②、相遇后，到前，，解得， ③、相遇后，到后： 所表示的数为；所表示的数为， ，解得， 综上所述：当个单位时，三个点的运动时间或4或8； (3) 小问详解： 解：① 当、相遇前，即时， ∵所表示的数为；所表示的数为；所表示的数为， 根据题意得， ，， ∴ ∵为定值， ∴ 解得，此时； ② 当、相遇后，到前， 根据题意得， ，， ∴ ∵为定值， ∴ 解得，此时； ③ 当、相遇后，到后， 根据题意得， 所表示的数为；所表示的数为；所表示的数为， ，， ∴ ∵为定值， ∴ 解得，此时． 综上所述，当时，为定值；当时，为定值；当时，为定值． 【点睛】 本题考查了一元一次方程的应用，数轴上两点间的距离，数轴上动点问题，列代数式等知识，正确进行分类讨论是解题的关键也是本题的难点． 55．【答案】（1）7     （2）3，2     （3）或     （4）38      【分析】 此题考查数轴上两点之间的距离，一元一次方程的应用， （1）根据两点距离公式直接计算即可； （2）当时，式子的值最小，取其中的奇数整数值代入计算即可； （3）根据两点距离公式直接求出x的值即可； （4）设传递后、、、四组的飞盘数量分别为个，个，个，个，列方程求出，得到传递后、、、四组的飞盘数量分别为15个，25个，40个，20个，由于传递飞盘的总数量最少，D组飞盘传递出去的最多，故设D传递给Ax个，D传递给Cy个，A传递给Bm个，C传递给Bn个，由此得到，，，，求出，，即可得到传递总数量． (1) 小问详解： 解：， 故答案为：7； (2) 小问详解： 表示数轴上表示x的点到2和4的距离的和， ∴当时，的值最小， ∴奇数整数，此时， 故答案为：3，2； (3) 小问详解： 表示数轴上表示x的点与数的距离为5， ∴或； 综上，x的值为或； (4) 小问详解： 设传递后、、、四组的飞盘数量分别为个，个，个，个， , 解得， ∴传递后、、、四组的飞盘数量分别为15个，25个，40个，20个， ∵传递飞盘的总数量最少，D组飞盘传递出去的最多， ∴D传递给Ax个，D传递给Cy个，A传递给Bm个，C传递给Bn个， ∴，，，， ∴，， ∴传递总数量． 56．【答案】（1）2；3；；图1中所有数的和是“幻和”的3倍     （2）①； ② 如下表格所示： 0 【分析】 本题主要考查了有理数的加法，一元一次方程的应用，根据表格，先求出三个数的和是解题的关键，也是本题的突破口． （1）由幻方的定义，得到，即可求出答案； （2）① 由平均数的定义，即可求出的值； ② 根据幻方的定义，分别填入数字即可． (1) 小问详解： 解：根据题意得： ， ∴，，， 所有数字的和为： ， “幻和”为， ∵； ∴图1中所有数的和是“幻和”的3倍； 故答案为：2；3；； (2) 小问详解： 解：① 这9个数的平均数为： ， ∴中间数的值是； ② 由① 可知，， ∴这个表格的幻和为：； ∴填入表格的数，如下图所示： 0 57．【答案】（1）；12     （2）① 存在，t的值为2或或或14；② 存在，t的值为或或13      【分析】 （1）根据有理数的乘方求出的值，根据折叠的性质得到，即可求出的值； （2）① 分2种情况讨论：当时、当时，根据题意表示出点P、点Q对应的数，再结合P，Q两点到原点的距离相等列出方程，求出的值即可解答； ② 由可得，再分8种情况讨论：当时、当时、当时、当时、当时、当时、当时、当时，根据题意表示出点P、点Q对应的数，再结合列出方程，求出的值即可解答． (1) 小问详解： 解：， ∴， 由折叠的性质得，， ∴； 故答案为：；12； (2) 小问详解： 解：①， 点P从点A出发，到达点B所需时间为（秒）， 点Q从点B出发，到达点A所需时间为（秒）， 当时，点P对应的数为，点Q对应的数为， ∵P，Q两点到原点的距离相等， ∴， ∴或 解得或； 当时，点P对应的数为，点Q对应的数为， ∵P，Q两点到原点的距离相等， ∴， ∴或 解得或； ∴存在某一时刻使得P，Q两点到原点的距离相等，t的值为2或或或14； ②，，， 点P从点A出发，到达点C所需时间为（秒）， 点P从点C出发，到达点O所需时间为（秒）， 点P从点O出发，到达点B所需时间为（秒）， 点Q从点B出发，到达点O所需时间为（秒）， 点Q从点O出发，到达点C所需时间为（秒）， 点Q从点C出发，到达点A所需时间为（秒）， ∴点Q到达点A时所需时间为（秒）， ∵， ∴， 当时，点P对应的数为，点Q对应的数为， ∴， 解得（舍去）或（舍去）； 当时，点P对应的数为，点Q对应的数为， ∴， 解得（舍去）或； 当时，点P对应的数为，点Q对应的数为， ∴， 解得或（舍去）； 当时，点P对应的数为，点Q对应的数为， ∴， 解得（舍去）或（舍去）； 当时，点P对应的数为，点Q对应的数为， ∴， 解得（舍去）或（舍去）； 当时，点P对应的数为，点Q对应的数为， ∴， 解得（舍去）或（舍去）； 当时，点P对应的数为，点Q对应的数为， ∴，不符合题意，舍去； 当时，点P对应的数为，点Q对应的数为， ∴， 解得或（舍去）； ∴综上所述，满足条件的t的值为或或13． 【点睛】 本题考查了数轴上两点间的距离、数轴的翻折、列代数式、一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程，利用数形结合的思想解决问题． 58．【答案】（1）26     （2）60     （3）612，631，669，688      【分析】 （1）先求出42的“互补数”，再求出“互补差”即可； （2）设数m的十位数字为x，则个位数字为，得出，，根据它的“互补数”n等于它的倍，得出，求出，再求出结果即可； （3）先求出，化简，得出为整数，根据，，且a，b为整数，求出结果即可． (1) 小问详解： 解：42的“互补数”为68，则42的“互补差”为： ； (2) 小问详解： 解：设数m的十位数字为x，则个位数字为， ， 它的“互补数”n为： ， ∵它的“互补数”n等于它的倍， ∴， 解得：， 则，， ∴． (3) 小问详解： 解：三位数为， 三位数的“互补数”为： ， ， ， ∵能被19整除， ∴为整数， ∵，，且a，b为整数， ∴，时，符合题意； ，时，符合题意； ，时，符合题意； ，时，符合题意； ∴这个三位数所有可能的值为：612，631，669，688． 【点睛】 本题主要考查了新定义计算，整式加减的应用，绝对值意义，一元一次方程的应用，解题的关键是熟练掌握定义． 59．【答案】(1) ；（2）60元. 【分析】（1）分段计算，分别计算800元部分的应付款和超过 800 元的部分的应付款，相加即可； （2）设付款180元和1000元的标价分别为x元、y元，由题意可判断出x<300，y>1000，从而可以列方程解出x、y，再根据优惠方法求出合起来一次去购买同样的商品时的付款，再求解即可． 【详解】解：(1) 打折后应付款== （2）设付款180元和1000元的标价分别为x元、y元， 显然x<300，y>1000，x+y>1000， 由题意得，0.9x=180，， 解得x=200，y=1400， 所以合起来一次去购买同样的商品标价为200+1400=1600元， 应付款：1600×0.6+160=400+196=1120元， 节约的钱数=180+1000-1120=60元； 答：他合起来一次去购买同样的商品，他可以节约60元钱． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，读懂题目信息，理解两种优惠方法找出等量关系是解题的关键． 60．【答案】（1）a=-26，b=-10，c=1； （2）AP=m+26，PC=10-m； （3）分五种情况：① 当16＜t≤24时， MN= -2t+48；② 当24＜t≤28时， MN=2t-48；③ 当28＜t≤30时， MN=-4t+120；④ 当30＜t≤36时， MN=4t-120；⑤ 当36＜t≤40时， MN=3t-84. 【分析】 （1）根据题意可以求得a、b、c的值，从而可以解答本题； （2）根据数轴上两点的距离公式：AB=xB-xA，可以表示AP和PC的长； （3）先计算t的取值，因为点M从A出发，以每秒1个单位长度的速度向终点C移动，且AC=36，所以需要36秒完成，又因为当点M运动到B点时，即16秒后，点N从A出发，以每秒3个单位长度向C点运动，所以点N还需要运动24秒，所以一共需要40秒，再分别计算M、N两次相遇的时间，分五种情况讨论，根据图形结合数轴上两点的距离表示MN的长． 【详解】 解：（1）∵c是最小的两位正整数，a，b满足（a+26）2+|b+c|=0， ∴c=10，a+26=0，b+c=0， ∴a=-26，b=-10，c=10， 故答案为-26，-10，10； （2）∵点P为点A和C之间一点，其对应的数为x()， ∴AP=m+26，PC=10-m； 故答案为m+26，10-m； （3）点N运动的总时间为：2（36÷3）=12×2=24， 此时，t=24+16=40， 设t秒时，M、N第一次相遇， 3（t-16）=t， t=24， 分五种情况： ① 当16＜t≤24时，如图1，M在N的右侧，此时MN=t-3（t-16）=-2t+48， ② 当24＜t≤28时，如图2，M在N的左侧，此时MN=3（t-16）-t=2t-48， ③M、N第二次相遇（点N从C点返回时）：t+3（t-16）=36×2， t=30， 当28＜t≤30时，如图3，点M在N的左侧，此时MN=36×2-t-3（t-16）=-4t+120， ④ 当30＜t≤36时，如图4，点M在N的右侧，此时MN=3（t-16）-36-（36-t）=4t-120， ⑤ 当36＜t≤40时，如图5，点M在点C处，此时MN=3（t-16）-36=3t-84， 【点睛】 本题考查非负数的性质、绝对值、数轴等知识，解题的关键是熟练掌握非负数的性质，绝对值的化简，学会用参数表示线段的长，有难度，属于中考常考题型． 61．【答案】（1）     （2）或     （3）或      【分析】 （1）根据已知等式，利用非负数的性质求出与的值，设点对应的数为，表示出与，根据求出的值，即可确定出点对应的数； （2）表示出点对应的数，进而表示出与，根据求出的值即可； （3）根据甲的速度大于乙的速度，分两种情况考虑：甲、乙均反弹之后在中点相遇，设点对应的数为，点对应的数为，则、的中点对应的数为，根据甲、乙两个弹珠相遇的位置恰好到点和点的距离相等列出关系式即可；甲反弹乙没反弹在中间相遇，同理可得关系式． (1) 小问详解： 解：， ， 设点对应的数为， 则， ， ， 解得：， 点对应的数为； (2) 小问详解： 对应的数为， ， ， ， 当时，； 当时，； (3) 小问详解： 设点对应的数为，点对应的数为，运动时间为， 根据甲的速度大于乙的速度，分两种情况考虑： 甲、乙均反弹之后在中点相遇， 则、的中点对应的数为， ， ， ∴ ∴； 甲反弹乙没反弹在中间相遇，同理可得， ∴ 综上，与的关系式为或． 【点睛】 此题考查了数轴上的动点问题，以及非负数的性质，一元一次方程的应用，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 62．【答案】（1）3，5，8     （2）不变，值为2     （3）当点B是点A、C的中点时，；当点C是点A、B的中点时，；当点A是点B、C的中点时，．      【分析】 此题考查整式的加减的应用，数轴上两点之间的距离，解题关键在于结合数轴进行解答． （1）根据点A、B、C在数轴上的位置，写出、、的长度； （2）求出和的值，然后求出的值，判断即可； （3）分情况讨论即可． (1) 小问详解： 由图可得，，，， 故答案为：3，5，8； (2) 小问详解： ， 故的值不会随着时间t的变化而改变，值为2； (3) 小问详解： 当点B是点A、C的中点时，，解得：； 当点C是点A、B的中点时，，解得：； 当点A是点B、C的中点时，，解得：． 63．【答案】（1）①16，4；②秒     （2）或      【分析】 （1）①根据求知距离的定义解答即可；②设点Q出发x秒后被点P追上，根据题意，列出方程，即可求解； （2）由②得，点P追上Q时表示的数为3，根据题意得：当时，点P表示的数为，当时，点P表示的数为，当时，点Q表示的数为，当时，点M表示的数为，当时，点M表示的数为，然后分三种情况解答即可． (1) 小问详解： 解：① 点P从点C出发运动到点B，需要（秒）， ∵（秒）， 又∵从点B到点O时，速度变为初始速度的两倍， ∴此阶段点P的速度为8个单位长度/秒， ∴，此时， 点P表示的数是； 故答案为：16；4； ② 解：∵，， ∴若点P返回时经过秒追上Q，则相遇点在段， 设点Q出发x秒后被点P追上，得， 解得（秒）， ∵点P从C到A要秒，点Q晚出发5秒， ∴停留时间为秒． (2) 小问详解： 解：由② 得：点P追上Q时表示的数为， 则点P到达点B用时（秒），点Q到达点B用时（秒）， ∴当时，点P表示的数为，当时，点P表示的数为， 当时，点Q表示的数为， ∵点M从C出发，以3个单位长度/秒的初始速度，沿着“折线数轴”向其负方向运动， ∴点M从C出发到达点B用时（秒），达点O用时（秒）， ∴当时，点M表示的数为，当时，点M表示的数为， ∴当时， ，， ∵， ∴，解得； 当时，，， ∵， ∴， ∴（不符合题意，舍去）或（不符合题意，舍去）； 当时，，， ∵， ∴， 解得或（舍去）． 综上所述或． 【点睛】 本题以新定义题型为背景，主要考查了数轴上的动点问题，掌握动点的运动方向、运动速度和运动起点是得出动点在数轴上表示的数是解题的关键． 64．【答案】（1）8；16     （2）或     （3）或或或7      【分析】 （1）求出当点D运动到点B时的运动时间，即可求解； （2）求出点C、D、M、N对应的数，可得到点E、F对应的数，再根据，列出方程，即可求解； （3）分两种情况：若线段从A到B的过程；若线段从B到A的过程，根据，列出方程，即可求解． (1) 小问详解： 解：当点D运动到点B时，运动时间为， 时，点D表示的数为； 当时，此时线段以每秒2个单位的速度向左匀速运动， 点D表示的数为； 故答案为：8；16 (2) 小问详解： 解：根据题意得：点C对应的数为，点D对应的数为，点M对应的数为，点N对应的数为， ∵点E是的中点，点F是的中点， ∴点E对应的数为，点F对应的数为， ∵， ∴， 解得：或， 当时，点N在数轴上对应的数为； 当时，点N在数轴上对应的数为； 综上所述，点N在数轴上对应的数为或； (3) 小问详解： 解：若线段从A到B的过程，此时，点C对应的数为，点D对应的数为，点M对应的数为，点N对应的数为， ∴，， ∵， ∴当 ，即时，， 解得：； 当，即时，， 解得：（舍去）； 当，即时，， 解得：； 若线段从B到A的过程，此时，线段以每秒2个单位的速度向左匀速运动，线段以每秒2个单位的速度向右匀速运动 点D对应的数为，点C对应的数为，点M对应的数为，点N对应的数为， ∴，， ∵， ∴当 ，即时，， 解得：； 当，即时，， 解得：（舍去）； 当，即时，， 解得：； 综上所述，t的值为或或或7． 【点睛】 本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，能用含t的代数式表示点运动后所表示的数，利用分类讨论思想解答． 65．【答案】①     ② 8165 【分析】 根据递减数的定义进行求解即可． 【详解】 解：∵ 是递减数， ∴， ∴， ∴这个数为； 故答案为： ∵一个“递减数”的前三个数字组成的三位数与后三个数字组成的三位数的和能被9整除， ∴， ∵， ∴， ∵，能被整除， ∴能被9整除， ∵各数位上的数字互不相等且均不为0， ∴ ， ∵最大的递减数， ∴， ∴，即：， ∴最大取，此时， ∴这个最大的递减数为8165． 故答案为：8165． 【点睛】 本题考查一元一次方程和二元一次方程的应用．理解并掌握递减数的定义，是解题的关键． 66．【答案】（1）；     （2）当或时，     （3）的最大值为秒      【分析】 （1）根据平方的非负性，和绝对值的非负性，得到，，即可求解， （2）用含的代数式表示出，，代入，分，两种情况，即可求解， （3）先求出点对应的有理数，化简，求出等式成立时，对应的点的位置，找到点的运动规律，求出点最后一次经过该位置的时间，即可求解， 本题考查了数轴上的动点，解题的关键是：通过讨论化简等量关系式求解，找到运动规律． (1) 小问详解： 解：∵， ∴，，解得：，， 故答案为：；， (2) 小问详解： 解：设有理数，分别对应数轴上的点，， 则：，， ∴，， ∵两球相遇时停止运动， ∴，解得：， ∴， 当时，由，可得：，解得：， 当时，由，可得：，解得：， 故答案为：当或时，， (3) 小问详解： 解：∵点是线段上的2分点， ∴， ∵， ∴点对应的有理数， ∵，即：， ∵点一直在的左侧， ，， ∴，即：， 当时，，解得：， 当时，，解得：， 根据题意得： 、、、、…所对应的数为：、、、…， 、、、、…所对应的数为：、、、、…， 第三回合，点从回到点的过程中，最后一次经过点， 第一回合用时：（秒）， 第二回合用时：（秒）， 第三回合，点从点到用时：（秒）， 点从点到用时：（秒）， 点从点到点用时：（秒）， 故总用时（秒）， 故答案为：的最大值为秒． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $