26.4 第3课时 抛物线形实物及运动轨迹问题（教学设计）-2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学教学设计聚焦二次函数解决抛物线形实物及运动轨迹问题，通过“知识链接”回顾图形、利润的二次函数最值问题，搭建前后知识支架，引导学生从已有经验过渡到新问题。 以拱桥、投篮、铅球等实际问题为载体，培养数学眼光（抽象现实问题为坐标系中的抛物线模型）、数学思维（通过建立解析式推理求解）、数学语言（用坐标和函数表达运动轨迹），采用问题驱动和数形结合，提升学生建模能力，帮助教师高效落实教学重难点。

第3课时　抛物线形实物及运动轨迹问题 1.能根据具体的问题情境建立数学模型，应用二次函数的知识求解，并根据具体问题的实际意义检验结果的合理性． 2.学会从多个角度思考问题，逐步提高解决问题的能力． 3.经历将实际问题抽象为数学问题的过程，会用转化和数形结合的思想解决实际问题． 1.探究应用二次函数的知识解决实际问题的方法．（重点） 2.如何从实际问题中抽象出数学问题，建立数学模型．（难点） 知识链接： 前面我们已经学习了实际问题中图形、利润的二次函数最值问题，回顾一下相关知识． 　探究点：利用二次函数解决抛物线形实物问题 问题：如图是抛物线形拱桥，当拱顶（记为M）离水面4 m时，水面宽（记为AB）10 m．当水面上升1 m时，水面宽度（记为CD）是多少？ 分析：我们知道，二次函数的图象是抛物线，建立适当的坐标系，就可以求出这条抛物线对应的二次函数．为解题简便，以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y轴建立直角坐标系． 解：设这条抛物线对应的二次函数为y=ax2.由抛物线经过点（5，－4），可得－4=a•52.解得a=－．因此，这条抛物线对应的二次函数为y=－x2.当水面上升1 m时，水面的纵坐标为－3.令－x2=－3.解得x=±．故当水面上升1 m时，水面宽度是5 m． 方法总结：|x|是水面宽度的一半，y是拱顶离水面高度的相反数，这样我们就可以了解到水面宽度变化时，拱顶离水面高度怎样变化．  如图，一名运动员在距离篮球框中心4 m（水平距离）远处跳起投篮，篮球准确落入篮框，已知篮球运行的路线为抛物线，当篮球运行的水平距离为2.5 m时，篮球达到最大高度，且最大高度为3.5 m．如果篮框中心距离地面3.05 m，那么篮球在该运动员出手时的高度是多少？ （解答过程见配套课件） 反思：建立二次函数模型解决实际问题的基本步骤是什么？ 实际问题→建立二次函数模型→利用二次函数的图象和性质求解→实际问题的解． 1.（5分）如图是一个抛物线形拱桥，量得两个数据，若以抛物线的顶点为原点，抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系，则抛物线的解析式为　y=－x2　． 2.（9分）［一材多题］ 小明在校运动会上掷铅球． （1）第1次掷球时，铅球行进高度h（m）和飞行时间t（s）满足的函数解析式为h=－t2＋t＋，则当铅球距离地面的高度最大时，飞行时间为　2　s． （2）第2次掷球时，如图，铅球行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数解析式为y=－（x＋1）（x－7），铅球落到A点处，则OA=　7　m． ［等价设问］ 小明此次掷球的成绩是　7　m． 3.（12分）跳绳时，绳甩到最高处的形状可近似地看作抛物线，如图，正在甩绳的甲、乙两名同学拿绳的手间距为4 m，距地面均为1 m，丙、丁两名同学分别站在距甲同学拿绳的手水平距离1 m，2.5 m处．绳子在甩到最高处时，刚好通过他们的头顶．已知丙同学的身高是1.5 m，建立如图所示的直角坐标系，请你算一算丁同学的身高． 解：设抛物线的表达式为y=ax2＋bx＋c，由图可知抛物线过（－1，1），（0，1.5），（3，1）三点．代入易求其表达式为y=－x2＋x＋．∵丁同学头顶的横坐标为1.5，∴y=－×1.52＋×1.5＋=1.625，即丁同学的身高为1.625 m． 4.（14分）图①是李村河上一座拱桥的截面图，拱桥桥洞的上沿是抛物线形状．抛物线两端点与水面的距离都是1 m，拱桥的跨度为10 m．桥洞与水面的最大距离是5 m．桥洞两侧壁上各有一盏距离水面4 m的景观灯．现把拱桥的截面图放在平面直角坐标系中，如图②所示． （1）求抛物线的解析式； （2）求两盏景观灯之间的水平距离． 解：（1）由题意知抛物线的顶点坐标为（5，5），与y轴的交点坐标是（0，1）．设抛物线的解析式为y=a（x－5）2＋5，代入点（0，1），得a=－．∴抛物线的解析式为y=－（x－5）2＋5（0≤x≤10）． （2）由已知得两景观灯的纵坐标都是4，令y=4，即4=－（x－5）2＋5，解得x1=，x2=．∴两盏景观灯之间的水平距离为－=5（m）． 　　 　　 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $