3.3.2抛物线的简单几何性质同步训练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

高二数学3.3.2抛物线的简单几何性质同步训练 一、单选题： 1.已知抛物线与椭圆相交于，两点，若，则(    ) A. B. C. D. 2.若抛物线上一点到准线及对称轴的距离分别为和，则的值为(    ) A. B. C. 或 D. 或 3.若抛物线的焦点坐标为，过焦点的直线与抛物线交于，两点，且，则弦的中点到轴的距离为(    ) A. B. C. D. 4.顶点在原点，对称轴为轴，顶点到准线的距离为的抛物线方程是(    ) A. B. C. D. 5.某校科技节中，同学们设计了一个抛物线型的卫星信号接收器，其镜面的剖面轮廓符合抛物线为提高信号接收稳定性，需要在镜面剖面上安装三个信号源、、，使得信号接收焦点恰好是这三个信号源所组成的三角形的重心，则这三个信号源到焦点的距离之和为(    ) A. B. C. D. 6.已知动圆与直线相切，且与定圆：外切，求动圆圆心的轨迹方程(    ) A. B. C. D. 7.等腰直角三角形内接于抛物线，为抛物线的顶点，，则的面积是  (    ) A. B. C. D. 8.已知抛物线：的焦点为，准线与轴交于点，点在第一象限且在抛物线上，则当取最大值时，直线方程为(    ) A. B. C. D. 二、多选题： 9.已知抛物线与，则下列结论正确的是(    ) A. 与的对称轴相同 B. 与的离心率相同 C. 与的准线相同 D. 与的焦点到准线的距离相同 10.已知抛物线的焦点到准线的距离为，直线过点且与抛物线交于，两点，若是线段的中点，则(    ) A. B. 抛物线的方程为 C. 直线的方程为 D. 三、填空题： 11.若直线与抛物线交于，两点，且为坐标原点，则          ． 12.已知抛物线的焦点为，准线为，点在上，直线交轴于点，且，则点到准线的距离为          ． 13.过抛物线：焦点的直线交抛物线于，两点，若点在第一象限，且，则直线的倾斜角为          ． 14.已知抛物线的焦点为，点在上，若点，则的最小值为          ． 四、解答题： 15.已知抛物线：的焦点到准线的距离为． 求抛物线的方程； 已知直线：与抛物线交于，两点，若，且，证明：直线过定点． 16.已知抛物线的顶点为原点，焦点与圆的圆心重合． 求抛物线的标准方程； 设定点，当点在上何处时，的值最小，并求最小值及点的坐标； 若弦过焦点，求证：为定值． 高二数学3.3.2抛物线的简单几何性质答案和解析 1.【答案】  【解析】由椭圆和抛物线的对称性，知轴，且，关于轴对称，不妨设，则，，由可知，代入解得，即，再将代入可得，解得． 2.【答案】  【解析】由抛物线的方程可知抛物线的对称轴为轴，又点到对称轴的距离为，所以不妨设因为点到准线的距离为，所以所以，解得或，均满足题设故选C． 3.【答案】  【解析】因为抛物线的焦点坐标为，所以，抛物线的方程为． 设，由抛物线的定义，得，所以，即， 所以弦的中点到轴的距离为． 4.【答案】  【解析】顶点在原点，对称轴为轴的抛物线方程有两个：，． 由顶点到准线的距离为知，故所求抛物线的方程为，故选D． 5.【答案】  【解析】解：由抛物线方程，得焦点坐标为，准线方程为， 设、、，因是的重心， 所以， 解得， 所以． 故选C． 6.【答案】  【解析】【分析】 本题考查轨迹方程，熟记抛物线的定义是求解本题的关键，属于基础题． 根据动圆与直线相切，且与定圆：外切，可得动点到的距离与到直线的距离相等，由抛物线的定义知，点的轨迹是抛物线，由此易得轨迹方程． 【解答】 解：由题意动圆与直线相切，且与定圆：外切， 动点到的距离与到直线的距离相等， 由抛物线的定义知，点的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线， 故所求的轨迹方程为． 故选D． 7.【答案】  【解析】因为抛物线的对称轴为轴，内接为等腰直角三角形，所以由抛物线的对称性知，直线与抛物线的对称轴垂直，从而直线与轴的夹角为由方程组得或不妨设，两点的坐标分别为和 所以，所以故选B． 8.【答案】  【解析】【分析】 本题考查直线与抛物线位置关系及其应用，属中档题． 由题意可得当直线与抛物线相切时取得最大值，设切线的方程，与抛物线联立由判别式等于可得参数的值，进而求出切线方程． 【解答】 解：过作与准线垂直，垂足为， 则， 则当取到最大值时，必须取到最大值，此时与抛物线相切； 易知此时直线的斜率不为，抛物线：的焦点的坐标为， 可得，． 设切线方程为：，则， 整理可得， 则，解得， 所以切线方程为：，即或，点在第一象限，舍去． 所以直线的方程为． 故选C． 9.【答案】  【解析】抛物线的对称轴为轴，准线方程为，焦点到准线的距离为，离心率为． 抛物线的对称轴为轴，准线方程为，焦点到准线的距离为，离心率为故选BD． 10.【答案】  【解析】【分析】 本题考查抛物线中的弦长问题，直线与抛物线的位置关系及应用，抛物线的标准方程，属中档题． 由焦点到准线的距离可求得，则可判断A正确，B错误；利用斜率坐标计算公式、几何中点坐标计算公式可求得直线的斜率，从而求得的方程，可判断C正确；，所以，从而，判断D正确． 【解答】 解：根据题意及抛物线的几何性质可得，故A正确； 故抛物线的方程为，焦点，故B错误； 又，，且是的中点， ，， ，直线的方程为故C正确； ，， ，故D正确． 故选：． 11.【答案】  【解析】设， 由得，所以，． 又，所以 ，所以． 12.【答案】  【解析】由题意可知，，准线的方程为，设，因为，所以，所以，由抛物线定义知，点到准线的距离为． 13.【答案】  【解析】【分析】 本题着重考查了抛物线的定义和简单几何性质，直线的斜率与倾斜角的关系，属于中档题． 作出抛物线的准线，设、在上的射影分别是、，连接、，过作于由抛物线的定义结合题中的数据，可算出中，，得，推出结果． 【解答】 解：作出抛物线的准线：，设、在上的射影分别是、， 连接、，过作于． ，设，，由点、分别在抛物线上，结合抛物线的定义，得，． 因此，中，，得． 所以直线的倾斜角． 故答案为． 14.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了抛物线的几何性质，属于基础题． 抛物线的性质得，可得结果． 【解答】 解：已知抛物线， 记抛物线的准线为，则， 记点到的距离为，点到的距离为， 则． 故答案为． 15.【答案】解抛物线：的焦点准线方程为 由题意，该抛物线焦点到准线的距离为， 抛物线的方程为． 证明设，， 联立 消去，整理得，， ， 得，又，可知且， 由根与系数的关系可知 由，得， ，即， 即，直线：， 故直线过定点．   16.【答案】解：由已知易得，， 则所求抛物线的标准方程为． 解：设点在抛物线的准线上的射影为点． 根据抛物线定义知，，要使的值最小，则，，三点共线． 设，将点代入，解得，即，此时． 证明：因为，所以设直线的方程为，，，由消去，得，所以，，所以，即为定值．   第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $