3.3.2第1课时抛物线的简单几何性质作业-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 分层设计清晰，基础巩固聚焦抛物线几何性质与方程求解，能力进阶深化焦点弦、综合应用，梯度合理，适配新授课知识巩固与能力提升。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|抛物线开口方向、焦点坐标、通径、焦半径、标准方程求解|选择/填空/解答题结合，单一知识点到简单综合，培养抽象能力与运算能力| |能力进阶|焦点弦长、中点坐标、圆与抛物线综合、向量与抛物线应用|多选与综合解答题，跨知识点整合，发展推理能力与模型意识|

3.3.2第1课时　抛物线的简单几何性质 【基础巩固】 1．下列关于抛物线y＝2x2的描述中正确的是(　　) A．开口向上，焦点坐标为 B．开口向右，焦点坐标为 C．开口向上，焦点坐标为 D．开口向右，焦点坐标为 解析：A　抛物线y＝2x2，即x2＝y，可知抛物线的开口向上，焦点坐标为.故选A. 2．已知抛物线y2＝2px(p＞0)经过点M(2，y0)，若点M到该抛物线焦点的距离为3，则|OM|＝(　　) A．2 B．2 C．4 D．2 解析：D　因为点M到抛物线焦点的距离为3，所以2＋＝3，解得p＝2.所以抛物线的方程为y2＝4x，将点M的坐标代入方程中，可得y0＝±2＝. 3．(多选)以x轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与对称轴垂直的弦)长为8，若抛物线的顶点在坐标原点，则其方程可以为(　　) A．y2＝8x B．y2＝－8x C．x2＝8y D．x2＝4y 解析：AB　设抛物线方程为y2＝2px或y2＝－2px(p＞0)，依题意将x＝代入y2＝2px或y2＝－2px，得|y|＝p，∴2|y|＝2p＝8，p＝4，∴抛物线方程为y2＝8x或 y2＝－8x. 4．已知抛物线C：y2＝－2px(p＞0)的焦点为F，M(－1，y0)是抛物线上一点，过点M向抛物线C的准线引垂线，垂足为D.若△MDF为等边三角形，则p的值为(　　) A． B． C．1 D．2 解析：A　由于△MFD为等边三角形，则有|MF|＝|MD|＝|FD|.由题可得∠DFx＝∠MDF＝60°，所以|FD|＝2p，所以1＋＝2p，解得p＝.故选A. 5．F是抛物线y2＝2x的焦点，A，B是抛物线上的两点，|AF|＋|BF|＝8，则线段AB的中点到y轴的距离为(　　) A．4 B． C．3 D． 解析：D　抛物线y2＝2x的焦点为F，准线方程为x＝－.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，根据抛物线的定义得|AF|＋|BF|＝x1＋＝8，所以x1＋x2＝7，所以线段AB中点的横坐标为，所以线段AB的中点到y轴的距离为.故选D. 6．已知点A(0，5)，过抛物线x2＝12y上一点P作直线y＝－3的垂线，垂足为B，若|PB|＝|PA|，则|PB|＝________． 解析：因为x2＝12y，所以焦点坐标为(0，3)，且直线y＝－3为准线．设F为抛物线的焦点，连接PF(图略)．由抛物线的定义知|PB|＝|PF|，因为|PA|＝|PB|，所以|PA|＝|PF|，因为A(0，5)，F(0，3)，设P(a，b)，所以b＝＝4，所以点P的纵坐标为4，所以|PB|＝|4－(－3)|＝7. 答案：7 7．已知O为坐标原点，F为抛物线C：y2＝4x的焦点，P为C上的一点，若|PF|＝3，则△POF的面积为________． 解析：由题意，抛物线C的焦点为F(1，0)，准线方程为x＝－1.设P(x，y)，由|PF|＝3，得x＋1＝3，故x＝2，所以y＝±2，即点P的坐标为，则△POF的面积S＝. 答案： 8．已知抛物线C：x2＝2py(p＞0)的焦点为F，抛物线C的准线与y轴交于点A，点M(1，y0)在抛物线C上，|MF|＝，则tan ∠FAM＝________． 解析：如图，过点M向抛物线的准线作垂线，垂足为点N，则|MN|＝y0＋，故y0＝2p.又M(1，y0)在抛物线上，故y0＝，于是2p＝，解得p＝， ∴|MN|＝. ∴tan ∠FAM＝tan ∠AMN＝. 答案： 9．根据下列条件分别求抛物线的标准方程： (1)抛物线的焦点是双曲线16x2－9y2＝144的左顶点； (2)抛物线的焦点F在x轴上，直线y＝－3与抛物线交于点A，|AF|＝5. 解：(1)双曲线方程可化为＝1，左顶点为(－3，0)，由题意设抛物线方程为y2＝－2px(p＞0)且－＝－3，∴p＝6，∴抛物线的方程为y2＝－12x. (2)设抛物线的方程为y2＝mx，准线方程为x＝－， 由题意设A(x0，－3)，则9＝mx0，① 由抛物线的性质及|AF|＝5可得 ＝5，② 即＝±5， 整理可得：m2＋20m＋36＝0或m2－20m＋36＝0， 解得：m＝±2或±18， 所以抛物线的方程为y2＝±2x或y2＝±18x. 10．已知抛物线的顶点在原点，开口向上，F为焦点，M为准线与y轴的交点，A为抛物线上一点，且|AM|＝＝3. (1)求抛物线的标准方程； (2)若焦点在直线y＝的上方，通径为CD，求△OCD的面积． 解：(1)设所求抛物线的标准方程为x2＝2py(p＞0)，设A(x0，y0)，由题意知M.因为|AF|＝3，所以y0＋＝3，因为|AM|＝，所以＋2＝17, 所以＝8，代入方程＝2py0得，8＝2p，解得p＝2或p＝4. 所以所求抛物线的标准方程为x2＝4y或x2＝8y. (2)由(1)知x2＝8y符合题意． 通径|CD|＝8，原点到通径的距离为2，S△OCD＝×8×2＝8. 【能力进阶】 11．已知AB是过抛物线2x2＝y的焦点的弦．若|AB|＝4，则AB中点的纵坐标是(　　) A．1 B．2 C． D． 解析：D　如图所示，设线段AB的中点为P(x0，y0)，分别过A，P，B三点作准线l的垂线，垂足分别为A′，Q，B′，由题意得|AA′|＋|BB′|＝|AB|＝4，|PQ|＝＝2.又|PQ|＝y0＋，∴y0＋＝2，∴y0＝. 12．如图，过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C.若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则此抛物线的方程为(　　) A．y2＝9x B．y2＝6x C．y2＝3x D．y2＝x 解析：C　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，作AM，BN分别垂直于准线于点M，N，则|BN|＝|BF|，|AM|＝|AF|.又|BC|＝2|BF|，可得|BC|＝2|BN|，所以∠ACN＝30°，则|AC|＝2|AM|＝6.设|BF|＝x，则2x＋x＋3＝6，解得x＝1.又|AF|＝x1＋＝3，|BF|＝x2＋＝1，且x1x2＝，所以＝，解得p＝，所以抛物线的方程为y2＝3x. 13．过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F作直线与抛物线交于A，B两点，若以AB为直径的圆与直线x＝－1相切，则抛物线的方程为________． 解析：取AB的中点M，分别过A，B，M作准线的垂线AP，BQ，MN，垂足分别为P，Q，N，如图所示． 由抛物线的定义可知，|AP|＝|AF|，|BQ|＝|BF|，在直角梯形APQB中，|MN|＝＝＝圆心M到准线的距离等于圆的半径，所以以AB为直径的圆与抛物线的准线相切，由已知得，准线方程为x＝－1，所以＝1，所以p＝2，故所求的抛物线方程为y2＝4x. 答案：y2＝4x 14．已知抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F，△ABC的顶点都在抛物线上，满足＝0. (1)求|FA|＋|FB|＋|FC|的值； (2)设直线AB、直线BC、直线AC的斜率分别为kAB，kBC，kAC，若实数λ满足：，求λ的值． 解：(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)， 因为＝0， 所以x1－＝0，y1＋y2＋y3＝0， 即x1＋x2＋x3＝， 由抛物线定义知，|FA|＝x1－＝x1＋， |FB|＝x2－＝x2＋＝x3－＝x3＋， 所以|FA|＋|FB|＋|FC|＝x1＋x2＋x3＋＝3p. (2)因为kAB＝， 同理kAC＝， 所以， 即2y2＋(y1＋y3)＝λ(y1＋y3)， 由(1)知，y1＋y2＋y3＝0，即y1＋y3＝－y2， 所以2y2－y2＝－λy2，解得λ＝－1. 15．(多选)(2026·广东佛山模拟预测)已知抛物线E：y2＝4x的焦点为F，直线l：m(x－1)＋ny＝1与抛物线E相交于点A，B，与y轴相交于点C，则(　　) A．|AB|＝|AF|＋|BF| B．|AB|<|AF|＋|BF| C． D． 解析：BD　抛物线E：y2＝4x的焦点F(1，0)，将F(1，0)代入直线l的方程m(x－1)＋ny＝1，左边为0，右边为1，等式不成立，故直线l恒不过焦点F， 根据三角形两边之和大于第三边，在△AFB中，|AB|<|AF|＋|BF|，因此A错误，B正确； 由抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦点的距离等于到准线x＝－1的距离，故对A(x1，y1)，B(x2，y2)，有|AF|＝x1＋1，|BF|＝x2＋1，即x1＝|AF|－1，x2＝|BF|－1， 直线l与y轴交于C，令x＝0得C，由于A，B，C三点共线，且A，B在抛物线上，线段长度比等于横坐标差的绝对值之比：， 代入x1＝|AF|－1，x2＝， 因此C错误，D正确． 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.3.2第1课时　抛物线的简单几何性质 【基础巩固】 1．下列关于抛物线y＝2x2的描述中正确的是(　　) A．开口向上，焦点坐标为 B．开口向右，焦点坐标为 C．开口向上，焦点坐标为 D．开口向右，焦点坐标为 2．已知抛物线y2＝2px(p＞0)经过点M(2，y0)，若点M到该抛物线焦点的距离为3，则|OM|＝(　　) A．2 B．2 C．4 D．2 3．(多选)以x轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与对称轴垂直的弦)长为8，若抛物线的顶点在坐标原点，则其方程可以为(　　) A．y2＝8x B．y2＝－8x C．x2＝8y D．x2＝4y 4．已知抛物线C：y2＝－2px(p＞0)的焦点为F，M(－1，y0)是抛物线上一点，过点M向抛物线C的准线引垂线，垂足为D.若△MDF为等边三角形，则p的值为(　　) A． B． C．1 D．2 5．F是抛物线y2＝2x的焦点，A，B是抛物线上的两点，|AF|＋|BF|＝8，则线段AB的中点到y轴的距离为(　　) A．4 B． C．3 D． 6．已知点A(0，5)，过抛物线x2＝12y上一点P作直线y＝－3的垂线，垂足为B，若|PB|＝|PA|，则|PB|＝________． 7．已知O为坐标原点，F为抛物线C：y2＝4x的焦点，P为C上的一点，若|PF|＝3，则△POF的面积为________． 8．已知抛物线C：x2＝2py(p＞0)的焦点为F，抛物线C的准线与y轴交于点A，点M(1，y0)在抛物线C上，|MF|＝，则tan ∠FAM＝________． 9．根据下列条件分别求抛物线的标准方程： (1)抛物线的焦点是双曲线16x2－9y2＝144的左顶点； (2)抛物线的焦点F在x轴上，直线y＝－3与抛物线交于点A，|AF|＝5. 10．已知抛物线的顶点在原点，开口向上，F为焦点，M为准线与y轴的交点，A为抛物线上一点，且|AM|＝＝3. (1)求抛物线的标准方程； (2)若焦点在直线y＝的上方，通径为CD，求△OCD的面积． 【能力进阶】 11．已知AB是过抛物线2x2＝y的焦点的弦．若|AB|＝4，则AB中点的纵坐标是(　　) A．1 B．2 C． D． 12．如图，过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C.若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则此抛物线的方程为(　　) A．y2＝9x B．y2＝6x C．y2＝3x D．y2＝x 13．过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F作直线与抛物线交于A，B两点，若以AB为直径的圆与直线x＝－1相切，则抛物线的方程为________． 14．已知抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F，△ABC的顶点都在抛物线上，满足＝0. (1)求|FA|＋|FB|＋|FC|的值； (2)设直线AB、直线BC、直线AC的斜率分别为kAB，kBC，kAC，若实数λ满足：，求λ的值． 15．(多选)(2026·广东佛山模拟预测)已知抛物线E：y2＝4x的焦点为F，直线l：m(x－1)＋ny＝1与抛物线E相交于点A，B，与y轴相交于点C，则(　　) A．|AB|＝|AF|＋|BF| B．|AB|<|AF|＋|BF| C． D． 学科网（北京）股份有限公司 $