精品解析：重庆市育才中学校2026-2027学年初三上学期第一次数学自主作业

重庆育才中学教共体初2027届初三（上）第一次自主作业 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3．作图（包括作辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成； 4．考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回． 参考公式：抛物线（）的顶点坐标为，对称轴 一、选择题：（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡题号右侧的正确答案所对应的方框涂黑． 1. 10的相反数是（ ） A. －10 B. 10 C. D. 2. 如图是由4个相同的正方体组成的几何体，从正面看到的视图是（ ） A. B. C. D. 3. 地球与月球之间的平均距离约为390000公里，数据390000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 5. 甲、乙、丙、丁四人参加奥运会射击项目选拔赛，四人的平均成绩和方差如表： 选手 甲 乙 丙 丁 平均环数 9.2 9.7 9.4 9.7 方差 0.18 0.12 0.12 0.13 从这四个人中选择一人参加奥运会射击项目比赛，最佳人选是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 6. 如图是某种分子的结构模型图，它由空心小球和实心小球按如图所示的方式排列．第个图形共有个小球，第个图形共有个小球，第个图形共有个小球按照这一规律，第个图形中小球的个数是（ ） A. B. C. D. 7. 规定：是一次函数（、为实数，）的“特征数”．若“特征数”是的一次函数是正比例函数，则点所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 8. 某中学在“全民阅读活动”中，利用节假日面向社会开放学校图书馆据统计，第一个月进馆250人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末累计进馆910人次若进馆人次的月平均增长率x相同，可列方程为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，中，，，点为的中点，连接，将沿翻折，使点落在同一平面内的点处，连接、，则的面积为（ ） A. B. C. D. 10. 已知整式：，其中，为正整数，，，，…，为整数，，且．下列说法： ①当时，满足条件的所有整式的和为； ②当时，在满足条件的所有整式中，的最小值为； ③所有满足条件的整式有16个． 其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的正确答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 分解因式：_____. 12. 如图，将一块三角板的直角顶点放在直尺的一边上，当时，则______． 13. 若为正整数，且满足，则______． 14. 若实数，同时满足，，则的值为______． 15. 对于一个三位数，若其百位数字与个位数字之和等于十位上的数字的2倍，则称数为“半二数”．例如：数852，，∴852是“半二数”，数137，，∴137不是“半二数”，则最大的“半二数”为______；若为“半二数”，将其百位上的数字和十位上的数字对调，组成一个新的三位数记为，若为整数，则满足条件的的最小值为______． 16. 如图，在边长为的正方形中，点是对角线延长线上一点，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接、，与交于点且，与交于点，与交于点．则的长度为______，的面积为______． 三、解答题（本大题9个小题，第17题和18题8分，其余每小题10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 解不等式组：． 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 第二届重庆市中小学生科学家精神主题演讲活动决赛已于2026年5月举行，某学校组织了以“爱科学，提素养”为主题的知识竞赛活动，从七、八年级学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（成绩为百分制且为整数）进行整理、描述和分析（成绩均不低于60分，用表示，共分为四组：A．，B．，C．，D．，得分在90分及以上为优秀），下面给出了部分信息： 七年级20名学生的竞赛成绩是： 66，67，71，81，83，85，85，86，89，90，90，93，93，93，95，96，98，99，100，100 八年级20名学生的竞赛成绩在B组的数据是：83，87，86，89，86，88 七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 众数 中位数 七年级 88 90 八年级 88 94 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中的______，______，______； （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生科学知识竞赛的成绩较好？请说明理由（写一条理由即可）； （3）若该校七年级有1000名学生，八年级有800名学生参加了此次以“爱科学，提素养”为主题的知识竞赛，估计该校七、八年级学生参加此次知识竞赛成绩达到优秀的共有多少人？ 20. 如图，在平行四边形中，平分，交对角线于点． （1）用尺规完成以下基本作图：作的平分线，交对角线于点；（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）所作的图形中，求证：． 21. 重庆某特产商铺售卖奉节脐橙礼盒与合川桃片，两款本地特产销量可观．已知一盒奉节脐橙礼盒的售价比一盒合川桃片售价高15元，且购买三盒奉节脐橙礼盒和两盒合川桃片共需100元． （1）求一盒奉节脐橙礼盒和一盒合川桃片的售价分别是多少元？ （2）店庆促销期间，奉节脐橙礼盒每盒降价元，合川桃片每盒降价元，促销后奉节脐橙礼盒总销售额为3500元，合川桃片总销售额为1000元，且奉节脐橙礼盒的销量比合川桃片多，求的值． 22. 综合与实践 重庆被称为“山水之城，美丽之地”，每到夜晚，不少市民与游客会在朝天门码头乘坐游船，观赏两江交汇、洪崖洞与千厮门大桥夜景．某文旅公司提供A、B两种游船包船服务． 设游船总游览时长为小时（），包船总费用为元， （1）【任务一 模型建构】 直接写出A、B两种游船包船费用、关于游览时长的函数表达式； （2）【任务二 数形结合探究】 在给定的平面直角坐标系中画出与的函数图象； （3）【任务三 图象解读】 根据你绘制的函数图象，直接写出时的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）； （4）【任务四 实践决策】 若研学活动包船预算经费为元，应选择哪一种包船方案，可使游船的游览时长更长？ 23. 如图，重庆动物园内设置了、、、四个打卡点．已知点是园区入口服务中心，点是熊猫馆，虎山在熊猫馆的北偏西方向，同时在服务中心的北偏东方向．点是大象馆，在虎山的正东方向，且大象馆位于熊猫馆的东北方向，熊猫馆与大象馆相距米．（参考数据：，，） （1）求虎山与大象馆之间的距离．（结果保留整数） （2）甲、乙两名同学从不同打卡点出发游园：甲同学从熊猫馆出发前往入口服务中心，乙同学从虎山出发前往熊猫馆．两人同时出发，甲的步行速度是乙的倍．出发后，当他们相距米时，求此时甲同学距离入口服务中心还有多少米？ 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于，连接，． （1）求抛物线的表达式； （2）是线段上方抛物线上的一动点，过点作，垂足为，是直线上一动点，是轴上一动点，连接，，．当的长度取得最大值时，求点的坐标及周长的最小值； （3）将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线，点的对应点为，是平移后抛物线上一点，直线交射线于点，且．请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的其中一种情况的过程． 25. 在中，．延长至点使得，连接． （1）如图1，若，，求的长度； （2）如图2，延长至使得，延长至使得，连接．将线段绕着点逆时针旋转得到线段，以和为边作平行四边形，连接，若，用等式表示线段与的数量关系并证明； （3）如图3，，点在直线上，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，过作交延长线于，点在直线上，连接，，将沿直线翻折至所在平面内得到，连接，．当取得最小值时，请直接写出的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆育才中学教共体初2027届初三（上）第一次自主作业 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3．作图（包括作辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成； 4．考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回． 参考公式：抛物线（）的顶点坐标为，对称轴 一、选择题：（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡题号右侧的正确答案所对应的方框涂黑． 1. 10的相反数是（ ） A. －10 B. 10 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据相反数的定义直接求解． 【详解】解：10的相反数是－10． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了相反数的定义，熟练掌握相反数的定义是解答本题的关键． 2. 如图是由4个相同的正方体组成的几何体，从正面看到的视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：从正面看到的视图是 3. 地球与月球之间的平均距离约为390000公里，数据390000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：. 4. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题目中二次函数的顶点式可以直接写出它的顶点坐标． 【详解】解：∵， ∴此函数的顶点坐标为（3，1）， 故选：A． 【点睛】此题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是熟记顶点式y=a（x-h）2+k，顶点坐标是（h，k），对称轴是直线x=h． 5. 甲、乙、丙、丁四人参加奥运会射击项目选拔赛，四人的平均成绩和方差如表： 选手 甲 乙 丙 丁 平均环数 9.2 9.7 9.4 9.7 方差 0.18 0.12 0.12 0.13 从这四个人中选择一人参加奥运会射击项目比赛，最佳人选是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】B 【解析】 【分析】平均数大说明成绩好，方差小说明成绩稳定，选择平均数大、方差小的人即可． 【详解】解：通过观察平均数发现：乙与丁的平均数最大，而乙的方差比丁的方差小，故乙的成绩更稳定． 故选B 【点睛】本题考查了平均数与方差的意义，正确理解两者的含义是解题关键． 6. 如图是某种分子的结构模型图，它由空心小球和实心小球按如图所示的方式排列．第个图形共有个小球，第个图形共有个小球，第个图形共有个小球按照这一规律，第个图形中小球的个数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据图形总结出第个图形有个小球，然后代入求解即可． 【详解】解：第个图形有个小球； 第个图形有个小球； 第个图形有个小球； 第个图形有个小球， 第个图形的小球个数是：（个）． 7. 规定：是一次函数（、为实数，）的“特征数”．若“特征数”是的一次函数是正比例函数，则点所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】根据正比例函数的定义，注意一次项系数不为0，求m后判断点的象限． 【详解】解：由题意得该一次函数为， 该函数是正比例函数， 且， 且， ， ，， 点在第四象限． 8. 某中学在“全民阅读活动”中，利用节假日面向社会开放学校图书馆据统计，第一个月进馆250人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末累计进馆910人次若进馆人次的月平均增长率x相同，可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据增长率规律列方程即可． 【详解】解：设进馆人次的月平均增长率为，则第二个月进馆人次，第三个月进馆人次为人次， 可列方程为． 9. 如图，中，，，点为的中点，连接，将沿翻折，使点落在同一平面内的点处，连接、，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】延长交于F，过E作于G，证明，求出，则，分别在和中，根据双勾股定理得出，求出，则，然后根据三角形面积公式求解即可． 【详解】解：延长交于F，过E作于G， ∵，点为的中点， ∴， ∵， ∴， ∵沿翻折，使落在同一平面内的点处， ∴，，， ∴， 又， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 在中，， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∵，即， 又， ∴， ∴到的距离为，即为， ∴． 10. 已知整式：，其中，为正整数，，，，…，为整数，，且．下列说法： ①当时，满足条件的所有整式的和为； ②当时，在满足条件的所有整式中，的最小值为； ③所有满足条件的整式有16个． 其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】按n的取值分类枚举，结合系数与绝对值的条件，逐一验证三个说法的正误． 【详解】解：①当时，整式为：，为正整数， ，则， ，． 当时，，，得，对应整式； 当时，，，得，对应整式； 当时，，，得，对应整式； 当时，，得，对应整式， 所有整式的和为， 故①正确； ②当时，整式为：，为正整数， ，则， ，． 当，，时，满足条件的整式为， 其为开口向上的二次式，最小值为，小于， 故②错误； ③按的取值分类计数： 当时，共6个； 当时，有1个，有2个，有4个，共7个； 当时，有1个，有2个，共3个； 当时，，其余系数为0，共1个； 当时，，无符合条件的整式， 总个数为，故③错误； 综上，正确的说法共1个． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的正确答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 分解因式：_____. 【答案】 【解析】 【分析】直接提取公因式a即可得答案. 【详解】3a2+a=a(3a+1)， 故答案为a(3a+1) 【点睛】本题考查提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键. 12. 如图，将一块三角板的直角顶点放在直尺的一边上，当时，则______． 【答案】 【解析】 【分析】首先明确三角板的直角为，由于、三角板的直角与在直尺的同一条边上，则和互余，两者之和为，从而求出的度数，由直尺的两条边是互相平行的，根据两直线平行，同位角相等，可得，从而求出的度数． 【详解】解：如图， 、三角板的直角与在直尺的同一条边上， 和互余， ， ， ， 直尺的两条边是互相平行的， 根据两直线平行，同位角相等， ． 13. 若为正整数，且满足，则______． 【答案】7 【解析】 【分析】通过比较相邻正整数的平方大小，估算的范围即可求解. 【详解】解：∵，， ， ， 为正整数，且满足， . 14. 若实数，同时满足，，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据第二个方程得到 ，由此判断 ，可去掉的绝对值，再分和两种情况讨论，舍去不符合条件的解，得到的值后计算． 【详解】解：由移项得 ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 将 代入，整理得 ， 分两种情况讨论： 当 时，， 方程变为 ， 解得 ， 与 矛盾，舍去； 当 时，， 方程变为 ， 解得 ， 把 代入 ，得 ， ． 15. 对于一个三位数，若其百位数字与个位数字之和等于十位上的数字的2倍，则称数为“半二数”．例如：数852，，∴852是“半二数”，数137，，∴137不是“半二数”，则最大的“半二数”为______；若为“半二数”，将其百位上的数字和十位上的数字对调，组成一个新的三位数记为，若为整数，则满足条件的的最小值为______． 【答案】 ①. 999 ②. 135 【解析】 【分析】根据“半二数”定义求最大数时，优先让高位数字最大；求最小数时，设出各数位数字，根据条件推导得是的倍数，再从小到大试值得到最小数． 【详解】解：设三位数的百位数字为，十位数字为，个位数字为，其中，，且均为整数，根据“半二数”定义得 。 1. 求最大的“半二数”：要得到最大的三位数，优先让高位数字最大， ∵ 最大取，最大取， ∴ ，符合要求， ∴ 最大的“半二数”为； 2. 求满足条件的最小：将的百位和十位对调得新三位数，则 ，，， 代入得：， 为整数， 3的整倍数，为或或9； 要使最小，则 当，时， 此时，符合要求． 16. 如图，在边长为的正方形中，点是对角线延长线上一点，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接、，与交于点且，与交于点，与交于点．则的长度为______，的面积为______． 【答案】 ①. 4 ②. 【解析】 【分析】过E作于P，过F作于Q，延长交于R，证明，得出，根据正方形的性质，等腰直角三角形的判定与性质可得出，设，则，根据勾股定理求出，同理可得， 证明，得出，则，证明四边形是矩形，得出，，，则可求出，，，代入求出，即可求出；证明，求出，过H作于T，交于S，根据矩形的判定与性质得出，证明，根据相似三角形的性质得出，则可求出，然后根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：过E作于P，过F作于Q，延长交于R 则， ∴， ∴， ∵正方形的边长为， ∴，，，，， ∵，， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∵，， ∴， 同理可得， ∵绕点B逆时针旋转得到， ∴，， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， 解得，经检验，符合题意， ∴； ∵， ∴， ∴，即， 解得， 过H作于T，交于S， 则四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得， ∴． 三、解答题（本大题9个小题，第17题和18题8分，其余每小题10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 解不等式组：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解不等式组的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题先分别求出两个不等式的解集，进一步求出公共解集，然后即可求解； 【详解】解：由①得：， 由②得：， ∴不等式组的解集为； 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【解析】 【分析】先计算括号里面的进行通分计算，再算除法利用因式分解化简，再代入求值即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ∵， ∴． 19. 第二届重庆市中小学生科学家精神主题演讲活动决赛已于2026年5月举行，某学校组织了以“爱科学，提素养”为主题的知识竞赛活动，从七、八年级学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（成绩为百分制且为整数）进行整理、描述和分析（成绩均不低于60分，用表示，共分为四组：A．，B．，C．，D．，得分在90分及以上为优秀），下面给出了部分信息： 七年级20名学生的竞赛成绩是： 66，67，71，81，83，85，85，86，89，90，90，93，93，93，95，96，98，99，100，100 八年级20名学生的竞赛成绩在B组的数据是：83，87，86，89，86，88 七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 众数 中位数 七年级 88 90 八年级 88 94 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中的______，______，______； （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生科学知识竞赛的成绩较好？请说明理由（写一条理由即可）； （3）若该校七年级有1000名学生，八年级有800名学生参加了此次以“爱科学，提素养”为主题的知识竞赛，估计该校七、八年级学生参加此次知识竞赛成绩达到优秀的共有多少人？ 【答案】（1）93，88.5，30 （2）解：该校七年级学生科学知识竞赛的成绩较好．理由如下： 七年级学生科学知识竞赛的成绩的中位数90分大于八年级学生科学知识竞赛的成绩的中位数88.5分，该校七年级学生科学知识竞赛的成绩较好； （3）成绩达到优秀的共有910人 【解析】 【分析】（1）根据众数、中位数的定义求解即可； （2）根据中位数求解即可； （3）用总人数乘以样本中优秀人数所占比例即可． 【小问1详解】 解：根据数据，七年级20名学生的竞赛成绩中，93出现次数最多， 所以众数； 由题知，八年级20名学生竞赛成绩在B组的数据有6个， 所以占，则； 根据扇形图可知，竞赛成绩在C、D占，共名学生， 又20名学生竞赛成绩的中位数为从小到大排列第10、11位的平均值， 所以中位数； 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 解：（人）， 答：估计该校七、八年级学生参加此次知识竞赛成绩达到优秀的共有910人． 20. 如图，在平行四边形中，平分，交对角线于点． （1）用尺规完成以下基本作图：作的平分线，交对角线于点；（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）所作的图形中，求证：． 【答案】（1） （2）证明：四边形是平行四边形， ，， ， 、分别平分和， ，， 四边形是平行四边形， ， ， 在与中，， ， ． 【解析】 【分析】（1）根据角平分线的尺规作图方法作图即可； （2）根据平行四边形的性质，角平分线的定义可证明，利用全等三角形的性质即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 重庆某特产商铺售卖奉节脐橙礼盒与合川桃片，两款本地特产销量可观．已知一盒奉节脐橙礼盒的售价比一盒合川桃片售价高15元，且购买三盒奉节脐橙礼盒和两盒合川桃片共需100元． （1）求一盒奉节脐橙礼盒和一盒合川桃片的售价分别是多少元？ （2）店庆促销期间，奉节脐橙礼盒每盒降价元，合川桃片每盒降价元，促销后奉节脐橙礼盒总销售额为3500元，合川桃片总销售额为1000元，且奉节脐橙礼盒的销量比合川桃片多，求的值． 【答案】（1）一盒合川桃片的售价是11元，一盒奉节脐橙礼盒的售价是26元； （2）的值是3 【解析】 【分析】（1）设一盒合川桃片的售价为元，一盒奉节脐橙礼盒的售价比一盒合川桃片售价高15元，且购买三盒奉节脐橙礼盒和两盒合川桃片共需100元．据此列出方程并解方程即可； （2）根据奉节脐橙礼盒的销量比合川桃片多列分式方程并解分式方程，检验即可得到答案． 【小问1详解】 解：设一盒合川桃片的售价为元， 由题意，得：， 解得； （元）． 答：一盒合川桃片的售价是11元，一盒奉节橙礼盒的售价是26元； 【小问2详解】 解：由题意可得 ， 解得； 经检验，是原分式方程的解且符合题意． 答：的值是3． 22. 综合与实践 重庆被称为“山水之城，美丽之地”，每到夜晚，不少市民与游客会在朝天门码头乘坐游船，观赏两江交汇、洪崖洞与千厮门大桥夜景．某文旅公司提供A、B两种游船包船服务． 设游船总游览时长为小时（），包船总费用为元， （1）【任务一 模型建构】 直接写出A、B两种游船包船费用、关于游览时长的函数表达式； （2）【任务二 数形结合探究】 在给定的平面直角坐标系中画出与的函数图象； （3）【任务三 图象解读】 根据你绘制的函数图象，直接写出时的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）； （4）【任务四 实践决策】 若研学活动包船预算经费为元，应选择哪一种包船方案，可使游船的游览时长更长？ 【答案】（1）；（）． （2） （3） （4）选择A方案游览时长更长 【解析】 【分析】（1）根据题意分别列出函数解析式即可； （2）利用一次函数图象的画法画出函数图象即可； （3）根据函数图象进行解答即可； （4）分别求出研学活动包船预算经费为元时两种方案的时长，比较后即可得到答案． 【小问1详解】 解：根据题意可得， 当时，， 当时，， ∴， 根据题意可得，（）． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：根据绘制的函数图象，时的取值范围为； 【小问4详解】 解：当时，，解得， 即A种游船包船服务时长为小时， 当时，，解得， 即B种游船包船服务时长为小时， ∵， ∴选择A方案游览时长更长． 23. 如图，重庆动物园内设置了、、、四个打卡点．已知点是园区入口服务中心，点是熊猫馆，虎山在熊猫馆的北偏西方向，同时在服务中心的北偏东方向．点是大象馆，在虎山的正东方向，且大象馆位于熊猫馆的东北方向，熊猫馆与大象馆相距米．（参考数据：，，） （1）求虎山与大象馆之间的距离．（结果保留整数） （2）甲、乙两名同学从不同打卡点出发游园：甲同学从熊猫馆出发前往入口服务中心，乙同学从虎山出发前往熊猫馆．两人同时出发，甲的步行速度是乙的倍．出发后，当他们相距米时，求此时甲同学距离入口服务中心还有多少米？ 【答案】（1）米 （2）甲同学距离还有米 【解析】 【分析】（1）作构造直角三角形，根据直角三角形中角对应的直角边是斜边的一半，再结合勾股定理计算即可． （2）确定甲乙位置，连结，作构造直角三角形，根据直角三角形中角对应的直角边是斜边的一半，再结合勾股定理计算即可． 【小问1详解】 如图， 作， 根据题意大象馆位于熊猫馆的东北方向， ∴， ∴在中，，， ∴， 根据勾股定理得， ∴， ∴， ∴， 在中，，， 设， ∴， 根据勾股定理， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴（米）． 【小问2详解】 解：如图 根据题意当甲乙之间距离是米时，甲在点，乙在点，， 连结，作， 设乙的路程为即，则甲的路程为，即， 在中，根据题意可知，，， ∴， ∵， ∴， 根据勾股定理得， ∴， ∴， 在中，，，由（1）可知， ∴， 根据勾股定理， ∴， （舍去），（米）， （米）， 答：甲同学距离还有米． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于，连接，． （1）求抛物线的表达式； （2）是线段上方抛物线上的一动点，过点作，垂足为，是直线上一动点，是轴上一动点，连接，，．当的长度取得最大值时，求点的坐标及周长的最小值； （3）将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线，点的对应点为，是平移后抛物线上一点，直线交射线于点，且．请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的其中一种情况的过程． 【答案】（1） （2），周长最小值为 （3）点的坐标为或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解； （2）过作轴交于，利用相似关系可得，从而求的最大值即可；得到点后，根据题意作点关于直线的对称点， 作点关于轴的对称点，则周长的最小值转化为求线段的长； （3）“沿射线方向平移个单位长度”即先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，由此算出，，点即为直线与抛物线的交点，再利用两直线垂直的关系求出直线的斜率，从而算出直线的解析式，联立直线与直线得到点的坐标，过作直线轴，过作轴交于，过作轴交于，构造一线三垂直进而求得点的坐标，即可求出解析式，与的解析式联立，求出答案；令还有一种情况对应的与到点的距离相等，利用中点坐标公式即可求解． 【详解】（1）解：将，代入， 得： 解得 ∴抛物线的表达式为：． （2）过作轴交于， ，， ， ， ∴当最大时，有最大值， ， ∴设，则， ， ，开口向下， ∴当时，有最大值，此时， 作点关于直线的对称点，则， 作点关于轴的对称点，则， ． （3） 点的坐标为或，过程如下： ∵抛物线沿射线方向平移个单位长度，，， ∴， 即抛物线向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度， ∴ ， ∴， 过作轴交于， 由题得， 设直线的函数表达式为， 将点代入得：， 解得，故， ∵ ∴， ∴，又， ∴直线得函数表达式为， 联立直线与直线得 解得， ∴， 过作直线轴，过作轴交于，过作轴交于， 则，， ∴，又 ∴，故， ∴， ∴， 如图点，即， 设直线的函数表达式为，代入点， 则，解得， ， 令， 解得：（舍），， ； 如图当点在点上方时，点是的中点， 则，即 同上可求得直线的， ∴， 令， 解得：（舍），， ． 综上，点的坐标为或 25. 在中，．延长至点使得，连接． （1）如图1，若，，求的长度； （2）如图2，延长至使得，延长至使得，连接．将线段绕着点逆时针旋转得到线段，以和为边作平行四边形，连接，若，用等式表示线段与的数量关系并证明； （3）如图3，，点在直线上，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，过作交延长线于，点在直线上，连接，，将沿直线翻折至所在平面内得到，连接，．当取得最小值时，请直接写出的最大值． 【答案】（1） （2）， 理由如下：延长至，使得，连接，在上取点，使得，连接并延长至，使得，连接、，设交于点， 由旋转可得，， ∵，， ∴ ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴，， ∵， ∴， ， ， ∵ ∴， ， ， ∴ ∵ ∴， ， ∴， ∵， ∴， ． ， ∴ ∵，， ∴是的中位线， ， ，且， ∴四边形是平行四边形， ． ∵ 是等边三角形， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴． （3） 【解析】 【分析】（1）已知直角三角形一角与边长，先求出直角边，再得到长度，最后用勾股定理求； （2）先延长至使得，连接，在上取点使得，连接并延长至，使得，连接，，设交于点，先证明，再证明，得出，再利用是等边三角形证明四边形是平行四边形，得出，即可证明； （3）过点分别作，，垂足为点，可求，，通过证明，得到四边形为正方形，过点作的对称点，连接，，交于点，则，，由于，故当点与点重合时，取得最小值，根据，求出，此时，过点作于点K，延长交直线于点，则，故当点重合时，取得最大值，解直角三角形得到，则，故的最大值为，则面积的最大值即可求解，即可求解的最大值． 【小问1详解】 解：∵在中，，，， ， ， ． ∴在中，，由勾股定理得： ． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵， ∴为等边三角形， ∴，， 如图，过点分别作，，垂足为点， ∴，， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， 由旋转可得，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为正方形， ∴， ∴， 过点作的对称点，连接，，交于点， 则，， ∴， ∴当点与点重合时，取得最小值， 由题意得，， ∴， ∴， ∴， ∴， 此时， ∵将沿直线翻折至所在平面内得到， ∴， 过点作于点K，延长交直线于点， 则， ∴当点重合时，取得最大值，如图： ∵， ∴， ∴， ∴的最大值为， ∴面积的最大值为， ∴的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $