专题08 直线与圆的位置关系（期中真题汇编，重庆专用）九年级数学上学期

专题08 直线与圆的位置关系 考点01 圆的切线 考点02 三角形的内切圆 考点03 正多边形与圆 考点01 圆的切线 1．B 2．A 3．C 4．【答案】（1）证明：连接OC， ∵CE是⊙O的切线， ∴∠OCE＝， ∵∠ABC＝， ∴∠AOC＝2∠ABC＝， ∵∠AOC+∠OCE＝， ∴AD∥EC； （2）6 【分析】 （1）连接OC，根据CE是⊙O的切线，可得∠OCE＝，根据圆周角定理，可得∠AOC=，从而得到∠AOC+∠OCE＝，即可求证； （2）过点A作AF⊥EC交EC于点F，由∠AOC＝，OA＝OC，可得∠OAC＝，从而得到∠BAD＝，再由AD∥EC，可得，然后证得四边形OAFC是正方形，可得，从而得到AF=3，再由直角三角形的性质，即可求解． 【详解】 （1）略 （2）解：过点A作AF⊥EC交EC于点F， ∵∠AOC＝，OA＝OC， ∴∠OAC＝， ∵∠BAC＝， ∴∠BAD＝， ∵AD∥EC， ∴， ∵∠OCE＝，∠AOC＝，∠AFC=90°， ∴四边形OAFC是矩形， ∵OA＝OC， ∴四边形OAFC是正方形， ∴， ∵， ∴， 在Rt△AFE中，， ∴AE=2AF=6． 【点睛】 本题主要考查了圆周角定理，切线的性质，直角三角形的性质，正方形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 5．【答案】（1） 与半圆相切，理由如下： 如图，设半圆的圆心为，连接，， 四边形是正方形， ， 在与中， ， ， ， 是半圆的半径， 与半圆相切；     （2）      【分析】 本题主要考查了正方形的性质、切线的判定、切线长定理、勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）设半圆的圆心为，连接，，通过证明得到，再利用切线的判定定理即可得出结论； （2）根据正方形的性质得到，推出是半圆的切线，根据切线长定理得到，设，根据勾股定理列出方程，求出的值即可解答． (1) 小问详解： 解：略； (2) 小问详解： 解：四边形是正方形， ，， 是半圆的直径， 是半圆的切线， 由（1）得，与半圆相切， ， 设， ， ， ， 解得， ． 6．【答案】（1） 证明：如图，连接， ∵为切线， ∴， 又∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ∵为半径， ∴直线与相切；     （2）．      【分析】 （）连接，证明，得出，即可得出直线与相切； （）由（）得：，则，所以，故有，，设，则，，再根据勾股定理求出的值，然后代入求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由（）得：， ∴， ∴， ∴，， 设，则，， 由勾股定理得：， ∴，整理得：， 解得：（负值已舍去）， ∴． 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定与性质，切线的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，解一元二次方程，掌握知识点的应用是解题的关键． 7．【答案】（1） 证明：连接 是的平分线， ， ， ， ， ， ， ， 又是的半径， 是的切线；     （2）      【分析】 本题考查了圆的切线判定以及利用勾股定理求圆的半径，解题的关键是通过角的关系证明直线与圆相切，借助矩形性质和勾股定理构建方程求解半径． （1）连接，利用角平分线性质和等腰三角形性质推出，进而得到，根据切线判定定理证明是的切线． （2）过作，证明四边形是矩形得，再由垂径定理得的长度，最后在中用勾股定理求出半径． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：过点作，垂足为点 ，， 四边形是矩形 ， ， 在中， 的半径为． 8．【答案】（1） 即为所求；      （2），，，它所夹的弧所对的圆周角      【分析】 本题考查了尺规作图——作垂线，圆周角定理，切线的性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． （）以为圆心，任意长度为半径画弧，交于点，以为圆心，大于长度为半径画弧，两弧交于点，连接即可； （）连接，由是的直径，得；又是过点的切线，则，即，故有，又，则，从而得出结论； (1) 小问详解： 如图，以为圆心，任意长度为半径画弧，交于点； 以为圆心，大于长度为半径画弧，两弧交于点； 连接； (2) 小问详解： 证明：连接， ∵是的直径， ∴； ∵是过点的切线， ∴，即， ∴， ∵， ∴， 又∵和是弧所对的圆周角， ∴， ∴， 由此，我们可以得到弦切角的结论：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角． 故答案为：，，，它所夹的弧所对的圆周角． 9．【答案】 【分析】 本题主要考查了切线的性质，反比例函数的图象和性质，解题的关键掌握切线的定义：经过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线，以及反比例函数图象上点的坐标特征．设，则，则，根据三角形的面积公式得出，列出方程求解即可． 【详解】 解：设， ∵与轴相切于点， ∴轴， ∴，则点D到的距离为a， ∵为的直径， ∴， ∴， 解得：， 故答案为：8． 10．【答案】（1）证明：连接 是的直径， ， ， ， ， ， ，即， ， 为的半径， 是的切线；     （2）的半径为      【分析】 本题考查了圆的切线判定以及含角的直角三角形性质，熟练掌握切线判定定理和直角三角形边角关系是解题关键． （1）利用“直径所对圆周角为直角”得到角的互余关系，结合等腰三角形性质和已知角相等的条件，推导出半径与直线垂直，从而证明切线； （2）在直角三角形中，根据角所对直角边是斜边的一半，结合线段和差关系，建立关于半径的等式求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：， ， ， 即， ， 又， ， 的半径为． 11．【答案】① 2    ② 【分析】 题目主要考查垂径定理、切线的性质，勾股定理解三角形，理解题意，作出相应辅助线求解是解题关键． 过E点作 的延长线于点H，连结，根据题意得出，确定，然后利用勾股定理得出，即可确定的长；根据矩形的判定和性质得出四边形为矩形，再由切线的性质得出，利用等面积法得出，再由勾股定理即可求解． 【详解】 解：过E点作 的延长线于点H，连结， 如图， 为的直径，被平分， ∴， ， ， ， 在 中， ， ， ， ∵与相切于点A， ∴四边形为矩形， ∵，与分别相切于点、， 设， ∵， 解得 ， 在 中， 故答案为：2， ． 12．【答案】①     ② 【分析】 连接并延长交于点，连接，根据切线的性质证明，由菱形的性质证明，，得到，根据含角直角三角形的性质，以及结合勾股定理在列式解方程即可求得半径的长度；如图，过作交于，过作交于，连接、，设与相交于点，可得，由垂径定理可得，通过勾股定理及线段之间的数量关系可得，的长，证明，可得，求得，，的长，证明，得到，在中，利用勾股定理可求得，，的长，最后根据即可得解． 【详解】 解：如图，连接并延长交于点，连接， 恰好与相切于点， ，即， 四边形为菱形， ，， ，即， ， ， ， ， ， ， 在中，，即， 解得（负值已舍去）， 即的半径长度是； 如图，过作交于，过作交于，连接、，设与相交于点， ， ， ， 点为弧的中点， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ，即， ， 在中，，即， 解得（负值已舍去）， ， ， ． 故答案为：；． 【点睛】 本题考查了菱形的性质，切线的性质，圆周角定理，垂径定理，含角直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，掌握相关性质定理是解题的关键． 13．【答案】①     ② 【分析】 连接，并延长交于点M，连接，设， 根据勾股定理，得，求得圆的半径为5；设，则，根据勾股定理，矩形的判定和性质，直角三角形的面积性质，解答即可． 本题考查了切线的性质、圆周角定理、垂径定理、勾股定理及直角三角形的性质等，掌握圆的切线垂直于过切点的半径是解题的关键． 【详解】 解：连接，并延长交于点M， ∵过作 的切线， 为切点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵为 外接圆， 为直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， 连接， 设， ∴， 根据勾股定理，得， 解得， 故圆的半径为5； ∴， ∴， ∴， ∵过 作 的切线， 为切点，过 作 的切线交 于点 ， ， 设， 则， 根据勾股定理，得， 解得， ∴， 连接， ∵为 外接圆， 为直径， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：5， 考点02 三角形的内切圆 1．A 考点03 正多边形与圆 1．【答案】45 【分析】 本题考查正多边形的概念，掌握好相关知识是关键． 根据正八边形的对称性进行计算即可． 【详解】 解：根据正八边形的对称性，其中心角的大小为． 故答案为：45． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题08直线与圆的位置关系 3大高频考点概览 考点01圆的切线 考点02三角形的内切圆 考点3正多边形与圆 》 考点01圆的切线 1.(25-26学年九上·重庆川外基础教)如图，直线PA经过⊙O的圆心，与⊙O交于A,B两点，PC是 ⊙O的切线，C为切点，连接BC,OC,若∠B=20°，则∠P的度数为( ) A.60 B.50 C.40 D.20 2.(25-26学年九上·重庆西南大学附属中学校·期中)如图，直线AB与⊙O相切于点A,且AB=AO, 连接BO并延长，与OO分别交于点C和点D:点E是优弧ADC的中点，连接CE,则∠DCE的度数为 D E 0 B A.11.25 B.11.5 C.22.25 D.22.5 3.(25-26学年九上·重庆第十八中学)如图，AB是⊙O的切线，B为切点，连接AO交⊙O于点C,延 长AO交⊙O于点D,连接BD,若∠A=∠D,且AC=5,则AB的长度是() 116 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D B A.15 B.10 c.5▣ D.5 4.(25-26学年九上·重庆永川区文理·期中)如图，△ABC是⊙0的内接三角形，∠BAC=75°， ∠ABC=45°，连接A0并延长交⊙0于点D,过点C作⊙0的切线，与BA的延长线相交于点E. (1)求证：ADEC: (2)若AD=6,求线段AE的长. E 0 C D 5.(25-26学年九·重庆江津区实验中学期末)如图，四边形ABCD是正方形，以点A为圆心，AB为半 径画弧，交以CD为直径的半圆于点E,连接AE并延长，交BC于点F. D (1)判断AE与半圆的位置关系，并说明理由. (2)若AB=8,求CF 6.(25-26学年九上·重庆铜梁区铜梁·期中)如图，AB为⊙O的直径，过圆上一点D作⊙O的切线CD 交BA的延长线于点C,连接AD,过点O作OE‖AD,交CD的延长线于点E,连接BE. 216 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 E D (1)求证：直线BE与⊙O相切： (2)若CA=1,∠C=45°，求BE的长. 7.(25-26学年九上·重庆江津中学校·期中)如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线， O是AB上一点，以OA为半径的⊙O经过点D,与AB,AC分别交于点E,F. B (1)求证：BC是⊙O的切线： (2)若AF=8,DC=5,求⊙O的半径. 8.(25-26学年九上·重庆铁路中学校·期中)在学习圆的相关知识后，小帅同学进行了关于弦切角的相关 探索（弦切角定义：顶点在圆上，一边与圆相交，另一边与圆相切的角：如图1，直线IJ与⊙O相切于点 I,HI是⊙O的一条弦，则∠HLJ就是弦切角)，探究弦切角的大小与它所夹弧所对的圆周角度数关系. 请根据这个思路完成以下作图和填空 图1 图2 (1)如图2，AB是⊙O的直径，C、D是圆上两点，连接BC、CD、BD,请尺规作图：延长AB, 过点B作MN垂直AB,即⊙O的切线MN:(M在点B左侧，N在点B右侧.保留作图痕迹，不写作 法) (2)在(1)的条件下，求证：∠DBN=∠BCD 证明：连接AD, .AB是⊙O的直径， 316 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .∠ADB=90°： ,MN是过点B的切线， ① 即∠ABN=90°， .∠DBN+∠ABD=90, 又，∠A+∠ABD=90°， ∴.② 又，∠A和∠C是弧BD所对的圆周角， ③ ∠DBN=∠C, 由此，我们可以得到弦切角的结论：弦切角等于④ 9.（25-26学年九上·重庆第一中学校期中)如图，在平面直角坐标系中，⊙A与x轴相切于点B,CB为 ⊙A的直径，点C在函数y=kx>0)的图象上，D为y轴上一点，△ACD的面积为2，则k的值为 X A B 10.(25-26学年九上·重庆·期末)如图，△ABC内接于⊙O,AB为⊙O的直径，点D在AB的延长线 上，连接CD,使∠BCD=∠A. B D (1)求证：CD是⊙O的切线 (2)若∠ODC=30°，BD=3,求⊙O的半径. 11.(25-26学年九上·重庆礼嘉中学校·期中)如图，已知AB为⊙O的直径，AC,CD与⊙O分别相切 于点A、D,DE被AB平分，与AB交于点F,与⊙O相交于点E,连接CE.若OA=3,DE=4□， 则AF= CE= 416 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 F 0 D 12.(九·重庆铜梁期末)如图，菱形ABCD中，AB=6,以CD为弦作⊙O恰好与AB相切于点B,点 E为弧BC的中点，连接AE交⊙O于点F,则⊙O的半径长度是 ， AF的长度是」 D O B 13.(25-26学年九上重庆南开中学校·期中)如图，⊙O为△ABC外接圆，AB为直径，延长CA 至D,过D作⊙O的切线，E为切点，过B作⊙O的切线交DE于点F,连接AF交 ⊙0于点G,若DE‖BC,BC=6,CD=9,则⊙O的半径为 AG= E 4 C B 》 考点02三角形的内切圆 1.(25-26学年九上·重庆两江育才中学校.期中)下列命题是真命题的是( ) A.同弧或等弧所对的圆周角相等 B.平分弦的直径垂直于弦 C.长度相等的弧叫做等弧 D.三角形的内心是三角形三边垂直平分线的交点 D考点03正多边形与圆 1. (25-26学年九上·重庆·期末)如图是“停车让行”标志，其形状为正八边形，则正八边形的中心角的 大小是 度 516 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 停 616 专题08 直线与圆的位置关系 3大高频考点概览 考点01 圆的切线 考点02 三角形的内切圆 考点03 正多边形与圆 考点01 圆的切线 1．（25-26学年九上·重庆川外基础教）如图，直线经过的圆心，与交于A，B两点，是的切线，C为切点，连接，若，则的度数为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查了圆周角定理，圆的切线的性质，直角三角形的性质，解题的关键是掌握以上性质． 根据圆周角定理得出，根据切线得出直角，然后利用直角三角形的性质进行求解即可． 【详解】 解：根据圆周角定理得，， ∵是的切线， ∴， ∴， 故选：B． 2．（25-26学年九上·重庆西南大学附属中学校·期中）如图，直线与相切于点，且，连接并延长，与分别交于点和点，点是优弧的中点，连接，则的度数为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查切线的性质，圆周角，等腰三角形的性质，三角形的内角和，掌握知识点是解题的关键． 连接，先求出，推导出，证明，得出，则即可解答． 【详解】 解：连接，如图 ∵直线与相切于点A， ∴， ∴， ， ， ∵点E为优弧的中点， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选A． 3．（25-26学年九上·重庆第十八中学）如图，是的切线，B为切点，连接交于点C，延长交于点D，连接，若，且，则的长度是（　　） A. 15 B. 10 C.  D. 5 【答案】C 【分析】 本题主要考查切线的性质、等腰三角形性质、三角形外角定理、含角的直角三角形性质及勾股定理，掌握“辅助线构造（连接切点与圆心）及角度、线段长度的转化方法”是解题的关键．连接辅助线，利用切线性质得，结合等腰三角形性质、三角形外角定理及求出，再通过含角的直角三角形性质求圆的半径，最后用勾股定理计算的长度． 【详解】 连接， ∵是的切线，为切点， ∴，即， ∵， ∴， ∵是的外角， ∴， 又∵， ∴， 在中，， ∴，解得， 设半径为，则，， 在中，， ∴，即，解得， ∴，， 由勾股定理：， ∴， ∴，即． 故选：C． 4．（25-26学年九上·重庆永川区文理·期中）如图，ABC是⊙O的内接三角形，，，连接AO并延长交⊙O于点D，过点C作⊙O的切线，与BA的延长线相交于点E． （1）求证：AD∥EC； （2）若AD＝6，求线段AE的长． 【答案】（1）证明：连接OC， ∵CE是⊙O的切线， ∴∠OCE＝， ∵∠ABC＝， ∴∠AOC＝2∠ABC＝， ∵∠AOC+∠OCE＝， ∴AD∥EC； （2）6 【分析】 （1）连接OC，根据CE是⊙O的切线，可得∠OCE＝，根据圆周角定理，可得∠AOC=，从而得到∠AOC+∠OCE＝，即可求证； （2）过点A作AF⊥EC交EC于点F，由∠AOC＝，OA＝OC，可得∠OAC＝，从而得到∠BAD＝，再由AD∥EC，可得，然后证得四边形OAFC是正方形，可得，从而得到AF=3，再由直角三角形的性质，即可求解． 【详解】 （1）略 （2）解：过点A作AF⊥EC交EC于点F， ∵∠AOC＝，OA＝OC， ∴∠OAC＝， ∵∠BAC＝， ∴∠BAD＝， ∵AD∥EC， ∴， ∵∠OCE＝，∠AOC＝，∠AFC=90°， ∴四边形OAFC是矩形， ∵OA＝OC， ∴四边形OAFC是正方形， ∴， ∵， ∴， 在Rt△AFE中，， ∴AE=2AF=6． 【点睛】 本题主要考查了圆周角定理，切线的性质，直角三角形的性质，正方形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 5．（25-26学年九·重庆江津区实验中学·期末）如图，四边形是正方形，以点为圆心，为半径画弧，交以为直径的半圆于点，连接并延长，交于点． （1）判断与半圆的位置关系，并说明理由． （2）若，求． 【答案】（1） 与半圆相切，理由如下： 如图，设半圆的圆心为，连接，， 四边形是正方形， ， 在与中， ， ， ， 是半圆的半径， 与半圆相切；     （2）      【分析】 本题主要考查了正方形的性质、切线的判定、切线长定理、勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）设半圆的圆心为，连接，，通过证明得到，再利用切线的判定定理即可得出结论； （2）根据正方形的性质得到，推出是半圆的切线，根据切线长定理得到，设，根据勾股定理列出方程，求出的值即可解答． (1) 小问详解： 解：略； (2) 小问详解： 解：四边形是正方形， ，， 是半圆的直径， 是半圆的切线， 由（1）得，与半圆相切， ， 设， ， ， ， 解得， ． 6．（25-26学年九上·重庆铜梁区铜梁·期中）如图，为的直径，过圆上一点作的切线交的延长线于点，连接，过点作，交的延长线于点，连接． （1）求证：直线与相切； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：如图，连接， ∵为切线， ∴， 又∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ∵为半径， ∴直线与相切；     （2）．      【分析】 （）连接，证明，得出，即可得出直线与相切； （）由（）得：，则，所以，故有，，设，则，，再根据勾股定理求出的值，然后代入求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由（）得：， ∴， ∴， ∴，， 设，则，， 由勾股定理得：， ∴，整理得：， 解得：（负值已舍去）， ∴． 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定与性质，切线的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，解一元二次方程，掌握知识点的应用是解题的关键． 7．（25-26学年九上·重庆江津中学校·期中）如图，在中，，是的平分线，O是上一点，以为半径的经过点D，与分别交于点E，F． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径． 【答案】（1） 证明：连接 是的平分线， ， ， ， ， ， ， ， 又是的半径， 是的切线；     （2）      【分析】 本题考查了圆的切线判定以及利用勾股定理求圆的半径，解题的关键是通过角的关系证明直线与圆相切，借助矩形性质和勾股定理构建方程求解半径． （1）连接，利用角平分线性质和等腰三角形性质推出，进而得到，根据切线判定定理证明是的切线． （2）过作，证明四边形是矩形得，再由垂径定理得的长度，最后在中用勾股定理求出半径． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：过点作，垂足为点 ，， 四边形是矩形 ， ， 在中， 的半径为． 8．（25-26学年九上·重庆铁路中学校·期中）在学习圆的相关知识后，小帅同学进行了关于弦切角的相关探索（弦切角定义：顶点在圆上，一边与圆相交，另一边与圆相切的角；如图1，直线与相切于点I，是的一条弦，则就是弦切角），探究弦切角的大小与它所夹弧所对的圆周角度数关系．请根据这个思路完成以下作图和填空． （1）如图2，是的直径，C、D是圆上两点，连接，请尺规作图：延长，过点B作垂直，即的切线；（M在点B左侧，N在点B右侧．保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，求证：． 证明：连接， ∵是的直径， ∴； ∵是过点B的切线， ∴①_______，即， ∴， 又∵， ∴②_______， 又∵和是弧所对的圆周角， ∴③_______， ∴， 由此，我们可以得到弦切角的结论：弦切角等于④________． 【答案】（1） 即为所求；      （2），，，它所夹的弧所对的圆周角      【分析】 本题考查了尺规作图——作垂线，圆周角定理，切线的性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． （）以为圆心，任意长度为半径画弧，交于点，以为圆心，大于长度为半径画弧，两弧交于点，连接即可； （）连接，由是的直径，得；又是过点的切线，则，即，故有，又，则，从而得出结论； (1) 小问详解： 如图，以为圆心，任意长度为半径画弧，交于点； 以为圆心，大于长度为半径画弧，两弧交于点； 连接； (2) 小问详解： 证明：连接， ∵是的直径， ∴； ∵是过点的切线， ∴，即， ∴， ∵， ∴， 又∵和是弧所对的圆周角， ∴， ∴， 由此，我们可以得到弦切角的结论：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角． 故答案为：，，，它所夹的弧所对的圆周角． 9．（25-26学年九上·重庆第一中学校·期中）如图，在平面直角坐标系中，与x轴相切于点B，为的直径，点C在函数的图象上，D为y轴上一点，的面积为2，则k的值为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了切线的性质，反比例函数的图象和性质，解题的关键掌握切线的定义：经过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线，以及反比例函数图象上点的坐标特征．设，则，则，根据三角形的面积公式得出，列出方程求解即可． 【详解】 解：设， ∵与轴相切于点， ∴轴， ∴，则点D到的距离为a， ∵为的直径， ∴， ∴， 解得：， 故答案为：8． 10．（25-26学年九上·重庆·期末）如图，内接于，为的直径，点在的延长线上，连接，使． （1）求证：是的切线． （2）若，，求的半径． 【答案】（1）证明：连接 是的直径， ， ， ， ， ， ，即， ， 为的半径， 是的切线；     （2）的半径为      【分析】 本题考查了圆的切线判定以及含角的直角三角形性质，熟练掌握切线判定定理和直角三角形边角关系是解题关键． （1）利用“直径所对圆周角为直角”得到角的互余关系，结合等腰三角形性质和已知角相等的条件，推导出半径与直线垂直，从而证明切线； （2）在直角三角形中，根据角所对直角边是斜边的一半，结合线段和差关系，建立关于半径的等式求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：， ， ， 即， ， 又， ， 的半径为． 11．（25-26学年九上·重庆礼嘉中学校·期中）如图，已知为的直径，，与分别相切于点、，被平分，与交于点，与相交于点，连接．若，，则　　　　　　，　　　　　　． 【答案】① 2    ② 【分析】 题目主要考查垂径定理、切线的性质，勾股定理解三角形，理解题意，作出相应辅助线求解是解题关键． 过E点作 的延长线于点H，连结，根据题意得出，确定，然后利用勾股定理得出，即可确定的长；根据矩形的判定和性质得出四边形为矩形，再由切线的性质得出，利用等面积法得出，再由勾股定理即可求解． 【详解】 解：过E点作 的延长线于点H，连结， 如图， 为的直径，被平分， ∴， ， ， ， 在 中， ， ， ， ∵与相切于点A， ∴四边形为矩形， ∵，与分别相切于点、， 设， ∵， 解得 ， 在 中， 故答案为：2， ． 12．（九·重庆铜梁·期末）如图，菱形中，，以为弦作恰好与相切于点，点为弧的中点，连接交于点，则的半径长度是　　　　　　　　，的长度是　　　　　　　　． 【答案】①     ② 【分析】 连接并延长交于点，连接，根据切线的性质证明，由菱形的性质证明，，得到，根据含角直角三角形的性质，以及结合勾股定理在列式解方程即可求得半径的长度；如图，过作交于，过作交于，连接、，设与相交于点，可得，由垂径定理可得，通过勾股定理及线段之间的数量关系可得，的长，证明，可得，求得，，的长，证明，得到，在中，利用勾股定理可求得，，的长，最后根据即可得解． 【详解】 解：如图，连接并延长交于点，连接， 恰好与相切于点， ，即， 四边形为菱形， ，， ，即， ， ， ， ， ， ， 在中，，即， 解得（负值已舍去）， 即的半径长度是； 如图，过作交于，过作交于，连接、，设与相交于点， ， ， ， 点为弧的中点， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ，即， ， 在中，，即， 解得（负值已舍去）， ， ， ． 故答案为：；． 【点睛】 本题考查了菱形的性质，切线的性质，圆周角定理，垂径定理，含角直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，掌握相关性质定理是解题的关键． 13．（25-26学年九上·重庆南开中学校·期中）如图， 为 外接圆， 为直径，延长 至 ， 过 作 的切线， 为切点，过 作 的切线交 于点 ，连接 交 于点 ，若 ， 则 的半径为　　　　　　， 　　　　　　． 【答案】①     ② 【分析】 连接，并延长交于点M，连接，设， 根据勾股定理，得，求得圆的半径为5；设，则，根据勾股定理，矩形的判定和性质，直角三角形的面积性质，解答即可． 本题考查了切线的性质、圆周角定理、垂径定理、勾股定理及直角三角形的性质等，掌握圆的切线垂直于过切点的半径是解题的关键． 【详解】 解：连接，并延长交于点M， ∵过作 的切线， 为切点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵为 外接圆， 为直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， 连接， 设， ∴， 根据勾股定理，得， 解得， 故圆的半径为5； ∴， ∴， ∴， ∵过 作 的切线， 为切点，过 作 的切线交 于点 ， ， 设， 则， 根据勾股定理，得， 解得， ∴， 连接， ∵为 外接圆， 为直径， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：5， 考点02 三角形的内切圆 1．（25-26学年九上·重庆两江育才中学校·期中）下列命题是真命题的是（       ） A. 同弧或等弧所对的圆周角相等 B. 平分弦的直径垂直于弦 C. 长度相等的弧叫做等弧 D. 三角形的内心是三角形三边垂直平分线的交点 【答案】A 【分析】 本题考查圆的基本性质，包括圆周角定理、垂径定理、等弧的定义以及三角形的内心与外心的区别，需逐项判断其正确性，熟记圆的性质定理和三角形中心的定义是解题基础，注意垂径定理的逆命题需附加条件． 【详解】 解：A、同弧或等弧所对的圆周角相等，正确，是真命题； B、平分弦的直径垂直于弦，需弦非直径才成立，否则不一定垂直（如弦为直径时），故错误，是假命题； C、等弧需在同圆或等圆中长度相等且能重合，仅长度相等不一定称为等弧，故错误，是假命题； D、三角形的内心是角平分线的交点，外心才是三边垂直平分线的交点，故错误，是假命题。 故选：A． 考点03 正多边形与圆 1．（25-26学年九上·重庆·期末）如图是“停车让行”标志，其形状为正八边形，则正八边形的中心角的大小是　　　　　　　　　　　度． 【答案】45 【分析】 本题考查正多边形的概念，掌握好相关知识是关键． 根据正八边形的对称性进行计算即可． 【详解】 解：根据正八边形的对称性，其中心角的大小为． 故答案为：45． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $