专题06 旋转（期中真题汇编，重庆专用）九年级数学上学期

专题06 旋转 考点01 图形的旋转 考点02 中心对称及其性质 考点03 中心对称图形 考点04 关于原点对称的点的坐标 考点01 图形的旋转 1．B 2．B 3．B 4．A 5．D 6．A 7．B 8．C 9．C 10．A 11．【答案】（1） 如图所示，即为所求．     （2） 如图所示，即为所求，       【分析】 本题主要考查了坐标与图形变化—平移和旋转，正确找到对应点的位置是解题的关键． （1）根据平移方式可得、、的坐标，描出、、，并顺次连接、、即可； （2）根据所给旋转方式和网格的特点可得、、的位置， 描出、、，并顺次连接、、即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 12．【答案】 【分析】 此题考查了旋转变换的性质、等腰三角形的性质，三角形内角和定理，解题关键是掌握旋转前、后的图形全等． 根据旋转变换的性质得到，，再根据等边对等角和三角形内角和定理解答即可． 【详解】 绕点A顺时针旋转至， ，， ． 故答案为：． 13．【答案】 【分析】 本题主要考查了旋转的性质及平行线的性质，解题的关键是掌握：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．根据旋转的性质可得，，再根据平行线的性质即可求解． 【详解】 绕点顺时针方向旋转到的位置， ，， ， ， ， ， 故答案为：． 14．【答案】（1）① 证明：∵与都是等腰直角三角形， ∴，，， ∴， 即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ② 解：结论：， 理由：在上截取，连接， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴． （2） 【分析】 本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质与判定，旋转的性质，三角形内角和定理的应用，勾股定理的应用，作出适当的辅助线构建全等三角形是解本题的关键． （1）① 由与都是等腰直角三角形，证明，可得，再利用三角形的内角和定理证明即可； ② 在上截取，连接，证明，可得是等腰直角三角形，，从而可得结论； （2）在上截取，连接，证明，可得是等腰直角三角形，，从而可得结论． 【详解】 （1）① 略 ② 略 （2）解：结论： 理由：在上截取，连接， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴． 15．【答案】 【分析】 本题主要考查旋转的性质，勾股定理及二次函数的最值问题，掌握配方法求最值是解题的关键． 设，则，根据勾股定理得，结合配方法求最值即可求解． 【详解】 设，则， 由题知，， ， ， 时，取得最小值． 故答案为：． 16．【答案】（1）； （2） 理由如下：如图， 把绕点C顺时针旋转得到， 连接， 由旋转可知: ， ， ， 是等腰直角三角形， ，， ， ， 在中， 即    （3） 【分析】 本题考查了等边三角形的性质与判定、等腰直角三角形的性质与判定、勾股定理等三角形综合知识，通过旋转构造特殊三角形是解题的关键． （1）根据题意得为等边三角形，为直角三角形，继而求得； （2）通过旋转性质得为等腰直角三角形，为直角三角形，即可解答； （3）通过旋转性质得为等腰直角三角形，为直角三角形，即可解答． 【详解】 解：（1）由旋转可知： 是等边三角形， ， 是直角三角形， （2）略 （3）如图，将 绕点B顺时针旋转，得到 连接， 由旋转可知： 是等腰直角三角形， 点在线段上， 是直角三角形， 的长为 ． 17．【答案】（1），     （2） （1）的结论仍然成立，理由如下： 如图：连接，设与相交于点H ∵四边形为菱形， ∴， 又∵ ∴和都是等边三角形， ∴， 则 ∵是等边三角形， ∴ ∴ 又 ∴ ∴ ∵菱形的对角线平分对角， ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ 则 即；     （3），      【分析】 （1）先根据菱形和等边三角形的性质得出，结合，证明则，因为以及，所以，即可作答． （2）先根据菱形的性质，得出和都是等边三角形，运用角的运算，得证明则，即则即； （3）因为正方形，所以平分，证明即为等腰直角三角形，然后运用旋转性质得出故，，通过角的换算，即，证明，所以，最后在中，，即可作答． (1) 小问详解： 解：如图：连接，延长交于点F， ∵四边形为菱形， ∴， 又∵ ∴是等边三角形，， ∵是等边三角形， ∴ ∴ 又∵， ∴ ∴ ∵菱形的对角线平分对角， ∴ 又∵ ∴， ∵， ∴， 则， 即； 故答案为：， (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：如图所示：过点P分别作，垂足分别是， ∵四边形为正方形， ∴平分 ∴，且 又∵， ∴ ∴ ∴，即为等腰直角三角形， ∴ 把绕点A逆时针转，与重合，点P的对应点是 ∴ ∴， ∵ ∴ ∴ 即 ∵ ∴ ∴ ∵ ∴在中， ∴ 【点睛】 本题考查了旋转性质，菱形的性质，等边三角形的性质，正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 18．【答案】 【分析】 本题考查了矩形的性质，旋转的性质，角的和差运算，掌握旋转的性质是解题的关键．根据旋转的性质得到，再根据角的和与差运算即可解答． 【详解】 解：∵将矩形绕点B按逆时针方向旋转一定角度后得到矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 19．【答案】 【分析】 本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的性质和判定，勾股定理，直角三角形的性质，先连接，根据旋转的性质得是等边三角形，再根据勾股定理求得，进而得出答案． 【详解】 解：连接， 根据旋转的性质得，， ∵， ∴是等边三角形， ∴, ∴由旋转可得， ∴是等边三角形， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴在中，， ∴． 故答案为：． 20．【答案】10 【分析】 本题主要考查旋转的性质及全等三角形的性质与判定，熟练掌握旋转的性质及全等三角形的性质与判定是解题的关键；由旋转的性质可得：，，然后可得，则有，进而问题可求解． 【详解】 解：由旋转的性质可得：，， ∵， ∴， ∴， ∵的面积为56，即 ∴， ∴， ∴； 故答案为10． 21．【答案】（1）C（﹣2，﹣3），△A′B′C′如图所示；    （2）9. 【分析】 （1）根据要求画出点C，再画出A、B、C关于原点的对称点A′、B′、C′即可； （2）根据S△ABC=S△AOC+S△AOB计算即可； 【详解】 解：（1）略 （2）S△ABC=S△AOC+S△AOB=×3×3+×3×3=9． 【点睛】 考查作图﹣旋转变换、三角形的面积等知识，解题的关键是理解题意，熟练掌握基本知识. 22．【答案】（1） 证明：绕点B逆时针旋转得到， ，， 是等边三角形． ， ， ， 在和中， ， ；     （2）      【分析】 本题考查旋转的性质，等边三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是证明． （1）由旋转的性质可得，，由等边三角形的性质可得，再根据证明即可； （2）证明是等边三角形，再由全等三角形的性质可得，，再由勾股定理的逆定理可得，再求解可得结论． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：，， 是等边三角形， ，， ， ，， ， ，， ， ， ， ． 23．【答案】 【分析】 本题考查了旋转的性质，熟练掌握图形旋转不变性的性质是解题的关键． 先根据直角三角形的性质求出的长，再由旋转的性质得出，，根据勾股定理即可得出结论。 【详解】 在Rt△ABC中，，， ， 将△ABC绕点A顺时针旋转得到， ，， 故答案为： 24．【答案】（1）     （2） 结论：． 证明：如图2，过点M作交的延长线于点N，    ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴是等边三角形，    ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴．     （3）的长为5或1      【分析】 （1）连接，由旋转的性质得出，得出为等边三角形，由等边三角形的性质得出，证明，由全等三角形的性质得出，则可得出结论； （2）过点M作交的延长线于点N，证明是等边三角形，由等三角形的性质得出，得出是等边三角形，可证明，由全等三角形的性质得出，则可得出结论； （3）分两种情况画出图形，由等边三角形的性质及全等三角形的性质可得出答案． (1) 小问详解： 解：， 证明，连接，    ∵将线段绕点M逆时针得到线段，点E与点B重合， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵菱形中，， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 如图3，当点E在线段上时，    由（2）可知． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 如图4，当点E在的延长线上时，    则和都是等边三角形， 同（2）可证， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 综合以上可得的长为5或1． 【点睛】 本题是四边形综合题，考查了菱形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定与性质等知识，熟练掌握等边三角形的判定与性质是解题的关键． 25．【答案】（1）；     （2） 证明：如图，作交的延长线于点，连接， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵是的中点，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∵把线段绕点顺时针旋转得到线段， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴；     （3）的最小值为      【分析】 （1）证明是等边三角形，得到，最后运用勾股定理即可解答； （2）作交的延长线于点，连接，易得，再证明四边形是平行四边形可得，，然后证明可得，最后等量代换即可解答； （3）如图，将线段绕点C顺时针旋转得到线段，连接，证明可得，推出点D以E为圆心，2为半径的圆上的一点，当点D在线段上时，取最小值，据此求解即可解答． (1) 小问详解： 解：∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵把线段绕点顺时针旋转得到线段， ∴，， ∴； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：如图，将线段绕点C顺时针旋转得到线段，连接． ∵把线段绕点顺时针旋转得到线段， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴点D以E为圆心，2为半径的圆上的一点， ∴当点D在线段上时，取最小值， ∴， ∴的最小值为． 【点睛】 本题主要考查了旋转的性质，勾股定理、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质等知识点，正确作出辅助线成为解题的关键． 26．【答案】（1）10     （2） 证明：在上截取，连接， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， 由旋转的性质得：，， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 即．     （3）      【分析】 （1）过点作于点，先求出，再证出，根据全等三角形的性质可得，则可得的长，然后利用三角形的面积公式求解即可得； （2）在上截取，连接，先证出，根据全等三角形的性质可得，，再证出，根据全等三角形的性质可得，然后证出四边形是平行四边形，则可得，由此即可得证； （3）如图1（点在上）和如图2（点在上），过点作，交于点，连接，，先证出，根据全等三角形的性质可得，则，从而可得当点在边上运动时，点在上运动，再根据点到直线的距离、垂线段最短可得当时，线段取得最小值，根据直角三角形的性质可得，，，然后可证四边形为平行四边形，利用平行四边形的性质求解即可得． (1) 小问详解： 解：如图，过点作于点， ∵，，，， ∴，， 由旋转的性质得：， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为． (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：∵， ∴，， 由（2）可知，， ∴， ∴， ∴， 如图1（点在上）和如图2（点在上），过点作，交于点，连接，， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵将线段绕着点顺时针旋转得到线段， ∴， ∴图1中，， 图2中，， 即在图1和图2中，均有， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴当点在边上运动时，点在上运动， 由点到直线的距离、垂线段最短可知，当时，线段取得最小值， ∴此时在中，， ∴，， ∴， ∴此时四边形为平行四边形， ∴四边形的面积为． 【点睛】 本题考查了平行四边形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、三角形全等的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质、勾股定理、旋转的性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题关键． 27．【答案】（1）     （2） 解：；理由如下： 把绕点顺时针旋转得到，连接，如图3， ， ， ， ，即， ， 又， ， ∵， ， ， ∴；     （3）      【分析】 （1）由旋转的性质可得，，然后可得，进而问题可求证； （2）把绕点顺时针旋转得到，连接，由旋转的性质可知，然后可证，进而问题可求解； （3）把绕点顺时针旋转得到，连接，同理（2）可得：，设，则有，进而可建立方程进行求解． (1) 小问详解： 解：；理由如下： 由旋转可得，， ∵四边形为正方形， ， ， 三点共线， ， ， ， ∴， ， ， ∴； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：∵四边形是正方形，， ∴， ∵，且， ∴， 把绕点顺时针旋转得到，连接，如图所示： 同理（2）可得：， 设，则有， ∴， 解得：， 即． 【点睛】 本题主要考查旋转的性质、正方形的性质、全等三角形的性质与判定及勾股定理，熟练掌握旋转的性质、正方形的性质、全等三角形的性质与判定及勾股定理是解题的关键． 28．【答案】（1）     （2） 解：，理由如下： 如图，连接，， ∵，， ∴， 由旋转知，， ∴， 即， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵点是的中点，， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∵点是的中点，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 即；     （3）      【分析】 （1）利用，，得出是等边三角形，得出．由旋转得，则可求出，再利用外角即可求解； （2）连接，，利用，，得，证明，得，，得出，再证明，得出，可得，，再通过点是的中点，和点是的中点，证明，，通过证明是等腰直角三角形，即可得出； （3）取中点，中点，连接，，，通过证明，得出，由点为固定点，，得点在过点且垂直于的直线上运动，由点到直线的最短距离可得，当取最小值时，即垂直于点运动轨迹的直线，即点和点重合时，最小， 此时，作边上的高线可求得三角形的面积． (1) 小问详解： 解：∵，， ∴是等边三角形， ∴． 由旋转得， ∴， ∴； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：取中点，中点，连接，，， ∵，， ∴，，， ∴， ∵是中点， ∴， ∴， 由旋转知，， ∴是等边三角形，， ∴， ∴， ∴， 由点为固定点，，得点在过点且垂直于的直线上运动， 由点到直线的最短距离可得，当取最小值时，即垂直于点运动轨迹的直线， 即点和点重合时，最小， 此时如图， 过点E作延长线的垂线，垂足为H． 则，， ∴， 当取最小值时，的面积为． 【点睛】 本题考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理，含角的直角三角形的性质，三角形内角和定理和外角性质，熟练掌握这些性质与判定，得到点E的轨迹是解题的关键． 29．【答案】（1）2MN=BD，60；     （2）2MN= BD， ∠BPM =90°；     （3）MN的长为，或．      【分析】 （1）先证∠BPM=∠QP'B，再找∠DAB=∠EAC，从而得到，于是有∠DBA=∠ECA， BD= CE =2MN，进而得出∠QP'B =∠QAC=60°即可求解； （2）如图2，连接CE并延长，交AB于点Q，交BD于点P'，先证明△ADB≌△AEC(SAS)，得到∠DBA=∠ECA，BD=CE=2MN，然后在△QP'B和△QAC中，由∠P'BQ=∠ACQ，∠ P'QB= ∠AQC，得出∠QP'B=∠QAC =90°即可求解； （3）连接BD ，CE，求出点D在以点A为圆心，AD的长为半径的圆上， 进而分四种情况讨论求解即可：① 当点D落在边AC上时， ② 当点D落在边BA的延长线上时， ③ 当点D落在边CA的延长线上时， ④ 当点D落在边AB上时． (1) 小问详解： 解：如图1，连接CE并延长交AB于点Q，交直线BD于点P'， 解： M，N分别为DE，DC的中点，MN是△DEC的中位线， MN//EC，且2MN=EC， ∠BPM=∠QP'B， ∠BAC=∠DAE=60°， ∠DAE-∠BAE= ∠BAC-∠BAE，即∠DAB=∠EAC， 又AB=AC，AD=AE， ， ∠DBA=∠ECA， BD= CE =2MN， 在△QP'B和△QAC中，∠P'BQ= ∠ACQ，∠P'QB= ∠AQC， ∠QP'B =∠QAC=60°， ∠BPM =60°； (2) 小问详解： 解：如图2，连接CE并延长，交AB于点Q，交BD于点P'， M，N 分别为DE ，DC的中点， MN是△DEC的中位线， MN// EC，且2MN= EC， ∠BPM=∠BP'Q， ∠BAC=∠DAE=90°， ∠DAE-∠BAE=∠BAC-∠BAE，即∠DAB=∠CAE. 又AB =AC ，AD =AE， △ADB≌△AEC(SAS)， ∠DBA=∠ECA，BD=CE=2MN， 在△QP'B和△QAC中，∠P'BQ=∠ACQ，∠ P'QB= ∠AQC， ∠QP'B=∠QAC =90°， ∠BPM=90°； (3) 小问详解： 解：连接BD ，CE，易证CE =BD，同（2）可得MN=EC， MN=BD， 点D在以点A为圆心，AD的长为半径的圆上，如图3， 故分四种情况讨论：① 当点D落在边AC上时，如图4， 3AD=AB=6， AD=2， 在Rt△ABD中，由勾股定理，得BD= ， MN=BD =； ② 当点D落在边BA的延长线上时，如图5， 此时BD=AB +AD=8， MN=BD=； ③ 当点D落在边CA的延长线上时，如图6， 此时 ， MN =BD=； ④ 当点D落在边AB上时，如图7， 此时BD=AB-AD=4， MN=BD=； 综上所述，MN的长为MN的长为，或． 【点睛】 本题主要考查了三角形中位线的性质、全等三角形的判定及性质、勾股定理、图形旋转及性质以及圆的认识，熟练掌握旋转图形的性质及中位线性质是解题的关键． 30．【答案】（1）     （2） 证明：如图，过点作交于点， ∵，， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∵将绕着点逆时针方向旋转得到， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴．     （3）      【分析】 （1）由等腰直角三角形的性质和勾股定理可求的长，由旋转的性质可得，，即可求解． （2）由可证，可得，，由可得，可得，可得结论． （3）先证明当点，点，点三点共线，且时，有最小值，再证明点，点，点三点共线，由等腰直角三角形和折叠的性质可求解． (1) 小问详解： 解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵点为中点， ∴， ∴， ∵将绕着点逆时针方向旋转得到， ∴，， ∴； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：如图，在上截取，连接， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴当点，点，点三点共线，且时，有最小值， 如图： ∵，， ∴， 由折叠的性质得，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴点，点，点三点共线， 由折叠的性质得，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】 本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，旋转的性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 31．【答案】（1）的长为     （2） 证明：在上截取，连接， 是等边三角形， ，， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ；     （3）的面积为      【分析】 （1）由等边三角形的性质以及勾股定理先求解，，再利用勾股定理可得答案； （2）在上截取，连接，证明，可得，，再证明，再结合全等三角形的性质可得答案； （3）如图，在截取，连接，证明，可得，点在直线上运动，作点关于直线的对称点，连接交直线于，此时的值最小，过点作于，则四边形是矩形，可得，连接，同理可得：四边形为矩形，证明，，再根据含的直角三角形的性质可得，则，从而可得答案． (1) 小问详解： 解：， ， 为等边三角形，， ，， 点为中点， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， 在中，， ； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：∵，， ∴， 如图，在截取，连接， ， 为等边三角形， ，， 又，， ， ， ，， 由（1）知， ， ，点在直线上运动， 作点关于直线的对称点，连接交直线于，此时的值最小， 于，， ， 过点作于，则四边形是矩形， ， ， 即， 连接，同理可得：四边形为矩形， ，， ， ，为等边三角形， ，， ∴在含的中，， ， ． 【点睛】 本题考查的是等边三角形的判定与性质，勾股定理的应用，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，轴对称的性质，旋转的性质，含的直角三角形的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键． 32．【答案】（1）3     （2） ，证明如下： 延长到T，使得，连接，延长交于点K，交于点O，如图所示： 由旋转的性质可知：， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，即， ∴， ∵，点是线段的中点， ∴， ∴；     （3）的最小值为      【分析】 （1）过点D作于点F，由题意易得，则有四边形是矩形，是等腰直角三角形，然后可得，，由勾股定理可得，，进而问题可求解； （2）延长到T，使得，连接，延长交于点K，交于点O，由旋转的性质可知：，则有，然后可得，则有，进而根据三角形中位线可进行求解； （3）取的中点J，连接，由题意易得，，然后可得，进而根据三角形三边不等关系可进行求解． (1) 小问详解： 解：过点D作于点F，如图所示： ∵，， ∴， ∵，， ∴四边形是矩形，是等腰直角三角形， ∴，， ∵，且， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：取的中点J，连接，如图所示： ∵点关于直线的对称点为点， ∴， ∴， ∴， ∵点J为的中点，， ∴， ∴， 由三角形三边不等关系可得：， ∴当点H、D、J三点共线时，有最小值，最小值为 【点睛】 本题主要考查旋转的性质、轴对称的性质、等腰直角三角形的性质与判定、全等三角形的性质与判定及勾股定理，熟练掌握旋转的性质、轴对称的性质、等腰直角三角形的性质与判定、全等三角形的性质与判定及勾股定理是解题的关键． 33．【答案】（1）     （2） 证明：如图2，连接，并延长至点G，使，连接，过点F作于点F，交延长线于点H， ∵，，点F为的中点， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴；     （3）      【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质、勾股定理等，解题关键是构造旋转全等模型转化线段的数量关系； （1）根据勾股定理可得，，再由旋转的性质得，再由勾股定理可得，设点A到的距离为h，根据，即可求解； （2）连接，并延长至点G，使，连接，过点F作于点F，交延长线于点H，证明，可得，再由是等腰直角三角形，可得，，证明，可得，即可求证； （3）在上取点、，使为等边三角形，构造旋转全等模型，可得，，，即点在过点与成夹角直线运动，而在以为圆心，以为半径的半圆上运动， 由此得出当、、三点共线时，而且时，最小，根据含直角三角形性质和勾股定理解三角形求出，，边的高，由此即可求出的面积． (1) 小问详解： 解：∵中，，， ∴， ∵， ∴， ∵点E为的中点， ∴， ∵将线段绕点A逆时针旋转得到， ∴， ∴， 设点A到的距离为h， ∵， ∴， 解得：， 即点A到的距离为； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：如图3，在上取点、，使为等边三角形，作，垂足为，连接，， ∵为等边三角形， ∴，， ∵，，，， ∴，， ∴， 当P在M右侧时，如图3， 由绕点P顺时针旋转得到，可知：，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点在过点与成夹角直线运动，（当P在M左侧时，同理可证） 由折叠可知：，在以为圆心，以为半径的半圆上运动， ∵，当、、三点共线时等号成立， 又∵当时，最小，最小， ∴当、、三点共线时，而且时，最小，如图4， 此时， ∴，， ∴， ∴， 过点D作，垂足为， ∵，， ∴， ∴ 【点睛】 本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质、勾股定理等，解题关键是构造旋转全等模型转化线段的数量关系．问题（2），通过构造等腰直角三角形得旋转全等模型；问题（3）通过构造等边三角形构造旋转全等模型得点在过点与成夹角直线运动． 34．【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）过点作于点，利用等腰三角形的性质求出的度数，证出，再利用平行线的性质求解即可； （2）过点作于点，过点作，交的延长线于点，证出为等腰直角三角形，利用等腰的性质和勾股定理得到，证出，得到与的关系，证出为等腰直角三角形，利用等腰的性质和勾股定理得到，即可结合线段的等量关系求解； （3）利用圆的性质分析出当时，取得最大值，连接，，过点作，交于点，证出，得到，设，，则，再利用勾股定理列式运算即可． (1) 小问详解： 解：过点作于点，如图： ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴； (2) 小问详解： 线段，，之间的数量关系为，理由如下： 过点作于点，过点作，交的延长线于点，如图所示： ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； (3) 小问详解： 解：，理由如下： ∵，， ∴， ∴，，，四点在以为直径的圆上，如图： 由图形可知：当时，取得最大值， 当时，连接，，过点作，交于点，如图： ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中： ， ∴， ∴， 设，，则， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴或       （不合题意，舍去）， ∴， ∴． 【点睛】 本题主要涉及等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，平行线的性质以及圆的相关知识，熟悉掌握各性质合理做出辅助线是解题的关键． 考点02 中心对称及其性质 1．【答案】（1） 如图所示，即为所求；      （2） 如图所示，即为所求； 【分析】 本题考查了作图-旋转变换，中心对称变换， （1）根据中心对称的性质作图即可； （2）根据旋转的性质作图即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 2．【答案】（1） 如图所示，即为所作，的坐标为；      （2） 如图，即为所作；的坐标为；      （3）      【分析】 本题考查了作旋转图形，作中心对称图形，轴对称的性质，一次函数与坐标轴的交点问题； （1）作出三点旋转后的对应点，依次连接得到三角形，并写出的坐标； （2）作出关于原点对称的对应点，依次连接得到三角形，并写出的坐标； （3）作点关于轴的对称点，连接交轴于点，点即为所求，求出直线与轴的交点坐标即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 作点关于轴的对称点，连接交轴于点，点即为所求， 由对称可得D点坐标为， 设直线的解析式为，代入得：， ，解得： ， ∴， 令，则，解得， ∴点P的坐标为， 故答案为：． 考点03 中心对称图形 1．B 2．A 3．D 4．D 5．A 6．A 7．C 8．B 9．B 10．D 11．C 12．B 13．A 14．B 15．B 16．C 17．B 18．A 19．B 20．C 21．D 22．A 23．D 24．B 考点04 关于原点对称的点的坐标 1．C 2．B 3．A 4．B 5．C 6．B 7．【答案】 【分析】 根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数，进行求解即可． 【详解】 解：根据关于原点对称的点的坐标规律，可得点关于原点对称的点的坐标为． 8．【答案】 【分析】 本题考查了关于原点对称的点的坐标特点，关于原点对称的点的横坐标和纵坐标均互为相反数． 根据关于原点对称的点的坐标特点作答即可． 【详解】 解：点关于原点的对称点坐标为． 故答案为：． 9．【答案】 【分析】 本题考查坐标与中心对称，根据关于原点对称的点的横纵坐标均互为相反数，进行求解即可． 【详解】 解：点关于原点对称的点的坐标是； 故答案为：． 10．【答案】 【分析】 本题考查平面直角坐标系中关于原点中心对称的点的坐标特征，掌握关于原点对称的点，横坐标和纵坐标均互为相反数是解题的关键． 根据点关于原点中心对称的特点求解即可． 【详解】 解：∵点与点关于原点中心对称， ∴点B的横坐标应为点A横坐标的相反数，即，解得； 点B的纵坐标应为点A纵坐标的相反数，即， ∴． 故答案为：． 11．【答案】 【分析】 此题主要考查了关于原点对称点的性质，根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点关于原点对称点是，进而得出答案． 【详解】 解：点关于原点对称的点的坐标是， 故答案为：． 12．【答案】 【分析】 本题考查关于原点对称的点的坐标特征，即横纵坐标均互为相反数． 关于原点对称的点，横坐标、纵坐标均取相反数，为，完成求解． 【详解】 解：点关于原点对称的点的横坐标为，纵坐标为，故点的坐标为． 故答案为：． 13．【答案】 【分析】 本题主要考查了关于原点中心对称的点的坐标特征，熟练掌握“关于原点中心对称的点，横、纵坐标分别互为相反数”是解题的关键．根据关于原点中心对称的点的坐标特征，求出和的值，再计算． 【详解】 解：∵ 点，关于原点中心对称， ∴ ，， ∴ ， 故答案为：． 14．【答案】 【分析】 本题考查了平面直角坐标系中对称点的规律，二次函数的顶点坐标．先根据原点对称的两点横、纵坐标互为相反数得到，，然后对二次函数配方成顶点式，然后得到顶点坐标即可． 【详解】 解：∵点与点关于原点对称， ∴，， ∴抛物线解析式为， ∴顶点坐标为， 故答案为：． 15．【答案】 【分析】 本题考查了关于原点对称的点的坐标，代数式求值，由两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反特点求出，的值，然后代入求解即可，解题关键是掌握关于原点对称点的坐标规律． 【详解】 解：∵点和点关于坐标原点对称， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：． 16．【答案】 【分析】 本题考查了关于原点对称的坐标的特点：两点的横坐标互为相反数；纵坐标互为相反数．据此可得所求的坐标． 【详解】 解：点关于原点对称的点的坐标是． 故答案为：． 17．【答案】（1） 如图，即为所作， ，，     （2）     （3）      【分析】 本题考查作图-中心对称变换、作图-平移变换，熟练掌握平移的性质、中心对称的性质是解答本题的关键． （1）找出点关于原点O中心对称的点、、，顺次连接可得，再写出点、、的坐标即可； （2）根据平移规律得平移后点的坐标为，再根据两点关于原点对称的性质可得对称点的坐标为； （3）利用割补法求三角形的面积即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：点向上平移1个单位后的坐标为，其关于原点O的对称点的坐标为， 故答案为：； (3) 小问详解： 解：的面积． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 旋转 4大高频考点概览 考点01 图形的旋转 考点02 中心对称及其性质 考点03 中心对称图形 考点04 关于原点对称的点的坐标 考点01 图形的旋转 1．（25-26学年九上·重庆开州区文峰·期中）如图，将绕点逆时针旋转得到，若点落在线段的延长线上，则大小为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查的是三角形的旋转，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．根据旋转的性质可得出，再根据等腰三角形的性质可求出的度数，此题得解． 【详解】 解：根据旋转的性质，可得， ， 故选：B． 2．（25-26学年九上·重庆江津区实验中学·期中）如图，将绕点旋转至，点在上，则的度数为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查了旋转的性质，等边对等角，三角形的内角和定理，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．根据旋转的性质可得出，，再根据等腰三角形的性质可求出的度数，此题得解． 【详解】 解：根据旋转的性质，可得，， ． 故选：B． 3．（25-26学年九上·重庆双桥中学·期中）如图，在中，，将逆时针旋转后得到，其中交于点F，点D恰好落在上，则等于（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了旋转的性质，根据题意得旋转角，根据即可求出﹒ 【详解】 解：∵绕点A逆时针旋转后得到， ∴旋转角， ∵， ∴﹒ 故选：B 4．（25-26学年九上·重庆铜梁区铜梁·期中）如图，正方形中，为正方形内一点，连接，使，再连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，若，则的度数为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 连接，由等腰三角形的性质可得，由旋转的性质可证明，即可求解． 【详解】 解：连接如图： 是正方形， ，， ，， ， ， ， 由绕点逆时针旋转得到， 得，， ，， ， ， ， ． 故选：A． 【点睛】 本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定，等腰三角形的性质，正方形的性质等，正确构造全等三角形是解题的关键． 5．（25-26学年九上·重庆万州区万州·期中）如图，在正方形中，点E为边上一点，，连接，将线段绕点E顺时针旋转后，点A对应点为点F，连接、，则的值是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 过点作，交的延长线于点，作于点，根据旋转的性质和正方形的性质得到，，再证明，得到，，设，则，，得到，，，再根据勾股定理求出，证明四边形为矩形，得到，，，根据勾股定理求出，即可求解． 【详解】 解：如图，过点作，交的延长线于点，作于点，则， ∵将线段绕点E顺时针旋转后，点A对应点为点F， ∴，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 设， ∵， ∴，， ∴，， ∴， 在中， ， ∵， ∴， 又∵， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， 在中， ， ∴， 故选：D． 【点睛】 本题考查了正方形的性质，旋转的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． 6．（25-26学年九上·重庆暨华中学校·期中）如图，矩形中，，点E是边上一点，连接，，将绕点B逆时针旋转得到，恰好落在直线上，连接，则的长为 （     ） A.  B.  C.  D. 3 【答案】A 【分析】 本题考查了旋转的性质，矩形的性质，直角三角形的性质，勾股定理．先求得，再求得，，由旋转的性质得，，据此求解即可． 【详解】 解：作交的延长线于点， ∵矩形， ∴，，， 由旋转的性质得，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， 在中，，， ∴，， 由旋转的性质得， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故选：A． 7．（25-26学年九·重庆綦江区未来学校·期中）中，，，将绕着C点顺时针旋转得，边与交于F，若，则的长为（       ） A. 3 B. 6 C. 8 D. 12 【答案】B 【分析】 本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，由旋转的性质得出，，再证明为等边三角形，由等边三角形的性质即可得出． 【详解】 解：由旋转的性质得出，， ∵， ∴， 又， ∴为等边三角形， ∴， 故选B 8．（25-26学年九·重庆綦江区未来学校·期中）如图，在正方形中，将边绕点逆时针旋转至，连接，若，，则线段的长度为（       ） A. 10 B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 过点作于，由旋转性质得到，从而得到是等腰三角形，结合等腰三角形性质确定是线段的垂直平分线，再由正方形性质，利用三角形全等的判定得到，进而由全等性质得到，在中，由勾股定理求解即可得到答案． 【详解】 解：过点作于， ∵将边绕点逆时针旋转至点， ， ∵， ∴， ∵在正方形中，，， ， ， ∴，， ， 在和中， ， ， ∴， ∵在中，， ∴， ． 故选：C． 【点睛】 本题考查旋转性质、等腰三角形的判定与性质、垂直平分线的判定与性质、三角形全等的判定与性质、正方形的性质、勾股定理等知识，读懂题意，准确构造出辅助线，灵活运用相关几何性质求解是解决问题的关键． 9．（25-26学年九上·重庆南开中学校·期中）如图，在正方形中，点为上一点，，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，是的中点，连接，，则的值为（     ）． A. 1 B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 过点作，交延长线于点，连接，设，由可得，利用勾股定理求得，由旋转得，，利用勾股定理求得，由余角性质可得，可证，得，利用勾股定理求得，由，得，再由是的中点可得即可求解． 【详解】 解：如图，过点作，交延长线于点，连接， ∴， 设， ∵在正方形 中， ， ∴，，， ∴，，， 由旋转得：，， ∴，，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∴， 又∵是中点， ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】 本题考查了正方形性质，旋转性质，全等三角形判定及性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等，作出合适的辅助线构建全等三角形及直角三角形是解题的关键． 10．（25-26学年九上·重庆第十八中学）如图，正方形中，已知，对角线与交于点，点为线段上的一个动点（不与点重合），点为线段的中点．现将线段绕点顺时针旋转得到线段，连结．在点的运动过程中，当时，则线段的长为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 连接，应用全等三角形判定证明，然后，证明为等腰直角三角形，利用勾股定理在中构建等式，即可得出结果． 【详解】 解：正方形中，， ∴，，， ∴，，， 连接，如下图所示， 由线段顺时针旋转得到， 为等腰直角三角形，， ， 在和中， ， ， ∴，， ∴， 点为的中点，， 为的垂直平分线， ， ∴，， ∴， 又，， ∴， ， ∴为等腰直角三角形， 不妨设，则可以得到， ∵， ∴， ∴，， 在中，， 即， 或（舍去）， ∴， ∴． 故选：A． 【点睛】 本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形判定和勾股定理，勾股定理等，难度较大，熟练掌握相关知识，正确进行分类是解题的关键． 11．（25-26学年九上·重庆·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为点，，． （1）画出将先向左平移4个单位，再向下平移3个单位得到的，其中点A、B、C的对应点分别为点、、； （2）画出将绕原点O顺时针旋转得到的，其中点A、B、C的对应点分别为点、、，并直接写出点的坐标． 【答案】（1） 如图所示，即为所求．     （2） 如图所示，即为所求，       【分析】 本题主要考查了坐标与图形变化—平移和旋转，正确找到对应点的位置是解题的关键． （1）根据平移方式可得、、的坐标，描出、、，并顺次连接、、即可； （2）根据所给旋转方式和网格的特点可得、、的位置， 描出、、，并顺次连接、、即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 12．（25-26学年九上·重庆云阳县第二初级中学·期中）如图，在中，将绕点A顺时针旋转至，点B对应点E，点C对应点D．若点D在线段上，且，则的度数为　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 此题考查了旋转变换的性质、等腰三角形的性质，三角形内角和定理，解题关键是掌握旋转前、后的图形全等． 根据旋转变换的性质得到，，再根据等边对等角和三角形内角和定理解答即可． 【详解】 绕点A顺时针旋转至， ，， ． 故答案为：． 13．（25-26学年九上·重庆铁路中学校·期中）三角形绕点顺时针方向旋转后落在位置，落在位置，且，已知，则　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了旋转的性质及平行线的性质，解题的关键是掌握：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．根据旋转的性质可得，，再根据平行线的性质即可求解． 【详解】 绕点顺时针方向旋转到的位置， ，， ， ， ， ， 故答案为：． 14．（25-26学年九上·重庆长寿川维中学校·期中）（1）如图①，与都是等腰直角三角形，且，，将绕点A旋转到图②的位置时，连接，相交于点P． ①求证：． ②连接，猜想线段、、之间有怎样的数量关系？并加以证明； （2）将绕点A旋转到图③的位置时，连接，相交于点P，连接，猜想线段、、之间有怎样的数量关系？直接写出结论，不需要证明． 【答案】（1）① 证明：∵与都是等腰直角三角形， ∴，，， ∴， 即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ② 解：结论：， 理由：在上截取，连接， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴． （2） 【分析】 本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质与判定，旋转的性质，三角形内角和定理的应用，勾股定理的应用，作出适当的辅助线构建全等三角形是解本题的关键． （1）① 由与都是等腰直角三角形，证明，可得，再利用三角形的内角和定理证明即可； ② 在上截取，连接，证明，可得是等腰直角三角形，，从而可得结论； （2）在上截取，连接，证明，可得是等腰直角三角形，，从而可得结论． 【详解】 （1）① 略 ② 略 （2）解：结论： 理由：在上截取，连接， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴． 15．（25-26学年九上·重庆渝北区石鞋学校）如图．点中，点是轴上一动点，以点为旋转中心，将线段逆时针旋转90°，得到线段，连接，则线段的最小值为　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查旋转的性质，勾股定理及二次函数的最值问题，掌握配方法求最值是解题的关键． 设，则，根据勾股定理得，结合配方法求最值即可求解． 【详解】 设，则， 由题知，， ， ， 时，取得最小值． 故答案为：． 16．（25-26学年九上·重庆·期末）在某次校园数学实践活动中，为测量校园内三角形景观的相关数据，某小组同学遇到了如下问题：如图①，点P 在等边内部，且，求 的长． 【初步探究】（1）经过同学们的观察、分析、思考、交流，对上述问题形成了如下想法：将绕点A按顺时针方向旋转， 得到， 连接， 寻找，，三边之间的数量关系，即可求得 的长为                                   ； 【理解应用】（2）如图②，在等腰直角中，， P为内一点，， 判断，，之间的数量关系， 并说明理由； 【类比迁移】（3）如图③，学校有一块三角形的劳动实践基地，其中，，实践工具存放点位于基地的P点，通过测量，，求线段的长． 【答案】（1）； （2） 理由如下：如图， 把绕点C顺时针旋转得到， 连接， 由旋转可知: ， ， ， 是等腰直角三角形， ，， ， ， 在中， 即    （3） 【分析】 本题考查了等边三角形的性质与判定、等腰直角三角形的性质与判定、勾股定理等三角形综合知识，通过旋转构造特殊三角形是解题的关键． （1）根据题意得为等边三角形，为直角三角形，继而求得； （2）通过旋转性质得为等腰直角三角形，为直角三角形，即可解答； （3）通过旋转性质得为等腰直角三角形，为直角三角形，即可解答． 【详解】 解：（1）由旋转可知： 是等边三角形， ， 是直角三角形， （2）略 （3）如图，将 绕点B顺时针旋转，得到 连接， 由旋转可知： 是等腰直角三角形， 点在线段上， 是直角三角形， 的长为 ． 17．（25-26学年九上·重庆广益中学·期末）在菱形中，，点P是射线上一动点，以为边向右侧作等边，点E的位置随点P的位置变化而变化． （1）如图1，当点E在菱形内部或边上时，连接，则与的数量关系是______，与的位置关系是______； （2）如图2，当点P、E都在菱形外部时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由． （3）如图3，若四边形为正方形，点P在对角线上，，交边于点E，连接交于点F．请求出的度数并直接写出线段之间的数量关系． 【答案】（1），     （2） （1）的结论仍然成立，理由如下： 如图：连接，设与相交于点H ∵四边形为菱形， ∴， 又∵ ∴和都是等边三角形， ∴， 则 ∵是等边三角形， ∴ ∴ 又 ∴ ∴ ∵菱形的对角线平分对角， ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ 则 即；     （3），      【分析】 （1）先根据菱形和等边三角形的性质得出，结合，证明则，因为以及，所以，即可作答． （2）先根据菱形的性质，得出和都是等边三角形，运用角的运算，得证明则，即则即； （3）因为正方形，所以平分，证明即为等腰直角三角形，然后运用旋转性质得出故，，通过角的换算，即，证明，所以，最后在中，，即可作答． (1) 小问详解： 解：如图：连接，延长交于点F， ∵四边形为菱形， ∴， 又∵ ∴是等边三角形，， ∵是等边三角形， ∴ ∴ 又∵， ∴ ∴ ∵菱形的对角线平分对角， ∴ 又∵ ∴， ∵， ∴， 则， 即； 故答案为：， (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：如图所示：过点P分别作，垂足分别是， ∵四边形为正方形， ∴平分 ∴，且 又∵， ∴ ∴ ∴，即为等腰直角三角形， ∴ 把绕点A逆时针转，与重合，点P的对应点是 ∴ ∴， ∵ ∴ ∴ 即 ∵ ∴ ∴ ∵ ∴在中， ∴ 【点睛】 本题考查了旋转性质，菱形的性质，等边三角形的性质，正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 18．（25-26学年九上·重庆铜梁区铜梁·期中）如图，将矩形绕点B按逆时针方向旋转一定角度后得到矩形，若，则的度数是　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了矩形的性质，旋转的性质，角的和差运算，掌握旋转的性质是解题的关键．根据旋转的性质得到，再根据角的和与差运算即可解答． 【详解】 解：∵将矩形绕点B按逆时针方向旋转一定角度后得到矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 19．（25-26学年九上·重庆永川区文理·期中）如图，在中，，，，将绕点按逆时针方向旋转得到，此时点恰好在边上，则点与点之间的距离为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的性质和判定，勾股定理，直角三角形的性质，先连接，根据旋转的性质得是等边三角形，再根据勾股定理求得，进而得出答案． 【详解】 解：连接， 根据旋转的性质得，， ∵， ∴是等边三角形， ∴, ∴由旋转可得， ∴是等边三角形， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴在中，， ∴． 故答案为：． 20．（25-26学年九上·重庆合川区十一·期中）如图，在中，，将绕着点顺时针旋转得到，线段的延长线交于点，连接，若的面积为56，，，则线段的长度为　　　　　　　　． 【答案】10 【分析】 本题主要考查旋转的性质及全等三角形的性质与判定，熟练掌握旋转的性质及全等三角形的性质与判定是解题的关键；由旋转的性质可得：，，然后可得，则有，进而问题可求解． 【详解】 解：由旋转的性质可得：，， ∵， ∴， ∴， ∵的面积为56，即 ∴， ∴， ∴； 故答案为10． 21．（25-26学年九上·重庆永川中学校·期中）在直角坐标平面内，已知点A（3，0）、B（2，3），点B关于原点对称点为C， （1）请直接写出点C的坐标，并在图中作出△ABC关于原点对称后的图形； （2）求△ABC的面积． 【答案】（1）C（﹣2，﹣3），△A′B′C′如图所示；    （2）9. 【分析】 （1）根据要求画出点C，再画出A、B、C关于原点的对称点A′、B′、C′即可； （2）根据S△ABC=S△AOC+S△AOB计算即可； 【详解】 解：（1）略 （2）S△ABC=S△AOC+S△AOB=×3×3+×3×3=9． 【点睛】 考查作图﹣旋转变换、三角形的面积等知识，解题的关键是理解题意，熟练掌握基本知识. 22．（25-26学年九上·重庆江津区实验中学·期中）如图，点是等边内一点，将绕点逆时针旋转得到，连接，，，，． （1）求证：； （2）若，，，请直接写出的度数． 【答案】（1） 证明：绕点B逆时针旋转得到， ，， 是等边三角形． ， ， ， 在和中， ， ；     （2）      【分析】 本题考查旋转的性质，等边三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是证明． （1）由旋转的性质可得，，由等边三角形的性质可得，再根据证明即可； （2）证明是等边三角形，再由全等三角形的性质可得，，再由勾股定理的逆定理可得，再求解可得结论． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：，， 是等边三角形， ，， ， ，， ， ，， ， ， ， ． 23．（25-26学年九上·重庆长寿川维中学校·期中）如图，在Rt△ABC中，，，将△ABC绕点A顺时针旋转得到，则　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了旋转的性质，熟练掌握图形旋转不变性的性质是解题的关键． 先根据直角三角形的性质求出的长，再由旋转的性质得出，，根据勾股定理即可得出结论。 【详解】 在Rt△ABC中，，， ， 将△ABC绕点A顺时针旋转得到， ，， 故答案为： 24．（25-26学年九上·重庆渝北区石鞋学校）在菱形中，，点M在的延长线上，点E是直线上的动点，连接，将线段绕点M逆时针旋转得到线段，连接．    （1）如图①，当点E与点B重合时，请直接写出线段与的数量关系； （2）如图②，当点E在上时，请写出线段之间的数量关系，并给出证明； （3）当点E在直线上时，若，请直接写出线段的长． 【答案】（1）     （2） 结论：． 证明：如图2，过点M作交的延长线于点N，    ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴是等边三角形，    ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴．     （3）的长为5或1      【分析】 （1）连接，由旋转的性质得出，得出为等边三角形，由等边三角形的性质得出，证明，由全等三角形的性质得出，则可得出结论； （2）过点M作交的延长线于点N，证明是等边三角形，由等三角形的性质得出，得出是等边三角形，可证明，由全等三角形的性质得出，则可得出结论； （3）分两种情况画出图形，由等边三角形的性质及全等三角形的性质可得出答案． (1) 小问详解： 解：， 证明，连接，    ∵将线段绕点M逆时针得到线段，点E与点B重合， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵菱形中，， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 如图3，当点E在线段上时，    由（2）可知． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 如图4，当点E在的延长线上时，    则和都是等边三角形， 同（2）可证， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 综合以上可得的长为5或1． 【点睛】 本题是四边形综合题，考查了菱形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定与性质等知识，熟练掌握等边三角形的判定与性质是解题的关键． 25．（25-26学年九上·重庆铜梁区铜梁·期中）在中，把线段绕点顺时针旋转得到线段，连接交于点，连接． （1）如图1，若，，求的长； （2）如图2，若，是的中点，连接并延长至点，使得，连接、，求证：； （3）如图3，若，，的度数不固定，请直接写出的最小值． 【答案】（1）；     （2） 证明：如图，作交的延长线于点，连接， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵是的中点，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∵把线段绕点顺时针旋转得到线段， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴；     （3）的最小值为      【分析】 （1）证明是等边三角形，得到，最后运用勾股定理即可解答； （2）作交的延长线于点，连接，易得，再证明四边形是平行四边形可得，，然后证明可得，最后等量代换即可解答； （3）如图，将线段绕点C顺时针旋转得到线段，连接，证明可得，推出点D以E为圆心，2为半径的圆上的一点，当点D在线段上时，取最小值，据此求解即可解答． (1) 小问详解： 解：∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵把线段绕点顺时针旋转得到线段， ∴，， ∴； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：如图，将线段绕点C顺时针旋转得到线段，连接． ∵把线段绕点顺时针旋转得到线段， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴点D以E为圆心，2为半径的圆上的一点， ∴当点D在线段上时，取最小值， ∴， ∴的最小值为． 【点睛】 本题主要考查了旋转的性质，勾股定理、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质等知识点，正确作出辅助线成为解题的关键． 26．（25-26学年九上·重庆永川区文理·期中）如图，在平行四边形中，是对角线，，点是边上一点，连接，将绕着点顺时针旋转得到线段． （1）如图1，若，连接，求的面积； （2）如图2，若，连接交于，求证：； （3）若在（2）的条件下，，点为边上一动点，连接，将线段绕着点顺时针旋转得到线段，连接，当线段取得最小值时，直接写出四边形的面积． 【答案】（1）10     （2） 证明：在上截取，连接， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， 由旋转的性质得：，， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 即．     （3）      【分析】 （1）过点作于点，先求出，再证出，根据全等三角形的性质可得，则可得的长，然后利用三角形的面积公式求解即可得； （2）在上截取，连接，先证出，根据全等三角形的性质可得，，再证出，根据全等三角形的性质可得，然后证出四边形是平行四边形，则可得，由此即可得证； （3）如图1（点在上）和如图2（点在上），过点作，交于点，连接，，先证出，根据全等三角形的性质可得，则，从而可得当点在边上运动时，点在上运动，再根据点到直线的距离、垂线段最短可得当时，线段取得最小值，根据直角三角形的性质可得，，，然后可证四边形为平行四边形，利用平行四边形的性质求解即可得． (1) 小问详解： 解：如图，过点作于点， ∵，，，， ∴，， 由旋转的性质得：， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为． (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：∵， ∴，， 由（2）可知，， ∴， ∴， ∴， 如图1（点在上）和如图2（点在上），过点作，交于点，连接，， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵将线段绕着点顺时针旋转得到线段， ∴， ∴图1中，， 图2中，， 即在图1和图2中，均有， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴当点在边上运动时，点在上运动， 由点到直线的距离、垂线段最短可知，当时，线段取得最小值， ∴此时在中，， ∴，， ∴， ∴此时四边形为平行四边形， ∴四边形的面积为． 【点睛】 本题考查了平行四边形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、三角形全等的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质、勾股定理、旋转的性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题关键． 27．（25-26学年九上·重庆江津区实验中学·期中）如图1，四边形是正方形，E，F分别在边和上，且，我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法．小明为了解决线段，，，之间的关系，将绕点A顺时针旋转后解决了这个问题． （1）请直接写出线段，，之间的关系． （2）如图3，等腰直角三角形，，，点E，F在边上，且，请写出，，之间的关系，并说明理由． （3）如图4，点E在正方形的对角线上，，是直角三角形，斜边交于G点，且，，，求的值． 【答案】（1）     （2） 解：；理由如下： 把绕点顺时针旋转得到，连接，如图3， ， ， ， ，即， ， 又， ， ∵， ， ， ∴；     （3）      【分析】 （1）由旋转的性质可得，，然后可得，进而问题可求证； （2）把绕点顺时针旋转得到，连接，由旋转的性质可知，然后可证，进而问题可求解； （3）把绕点顺时针旋转得到，连接，同理（2）可得：，设，则有，进而可建立方程进行求解． (1) 小问详解： 解：；理由如下： 由旋转可得，， ∵四边形为正方形， ， ， 三点共线， ， ， ， ∴， ， ， ∴； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：∵四边形是正方形，， ∴， ∵，且， ∴， 把绕点顺时针旋转得到，连接，如图所示： 同理（2）可得：， 设，则有， ∴， 解得：， 即． 【点睛】 本题主要考查旋转的性质、正方形的性质、全等三角形的性质与判定及勾股定理，熟练掌握旋转的性质、正方形的性质、全等三角形的性质与判定及勾股定理是解题的关键． 28．（25-26学年九·重庆綦江区未来学校·期中）在中，，点D是边上一点（不与端点重合），连接．将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接． （1）如图1，，，求的度数； （2）如图2，，，过点作，交的延长线于，连接．点是的中点，点是的中点，连接，．用等式表示线段与的数量关系并证明； （3）如图3，，，，连接．点从点移动到点过程中，当取最小值时，请直接写出的面积． 【答案】（1）     （2） 解：，理由如下： 如图，连接，， ∵，， ∴， 由旋转知，， ∴， 即， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵点是的中点，， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∵点是的中点，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 即；     （3）      【分析】 （1）利用，，得出是等边三角形，得出．由旋转得，则可求出，再利用外角即可求解； （2）连接，，利用，，得，证明，得，，得出，再证明，得出，可得，，再通过点是的中点，和点是的中点，证明，，通过证明是等腰直角三角形，即可得出； （3）取中点，中点，连接，，，通过证明，得出，由点为固定点，，得点在过点且垂直于的直线上运动，由点到直线的最短距离可得，当取最小值时，即垂直于点运动轨迹的直线，即点和点重合时，最小， 此时，作边上的高线可求得三角形的面积． (1) 小问详解： 解：∵，， ∴是等边三角形， ∴． 由旋转得， ∴， ∴； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：取中点，中点，连接，，， ∵，， ∴，，， ∴， ∵是中点， ∴， ∴， 由旋转知，， ∴是等边三角形，， ∴， ∴， ∴， 由点为固定点，，得点在过点且垂直于的直线上运动， 由点到直线的最短距离可得，当取最小值时，即垂直于点运动轨迹的直线， 即点和点重合时，最小， 此时如图， 过点E作延长线的垂线，垂足为H． 则，， ∴， 当取最小值时，的面积为． 【点睛】 本题考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理，含角的直角三角形的性质，三角形内角和定理和外角性质，熟练掌握这些性质与判定，得到点E的轨迹是解题的关键． 29．（25-26学年九·重庆江津区实验中学·期末）（多选）在与中，连接，点、分别为和的中点，与所在直线交于点． （1）【观察猜想】 如图①，若，，，与的数量关系是________， ________； （2）【类比探究】 如图②，若，，，请写出与的数量关系与的度数，并就图②的情形说明理由； （3）【解决问题】 如图③，，，，将绕点进行旋转，当点落在的边所在直线上时，请直接写出的长． 【答案】（1）2MN=BD，60；     （2）2MN= BD， ∠BPM =90°；     （3）MN的长为，或．      【分析】 （1）先证∠BPM=∠QP'B，再找∠DAB=∠EAC，从而得到，于是有∠DBA=∠ECA， BD= CE =2MN，进而得出∠QP'B =∠QAC=60°即可求解； （2）如图2，连接CE并延长，交AB于点Q，交BD于点P'，先证明△ADB≌△AEC(SAS)，得到∠DBA=∠ECA，BD=CE=2MN，然后在△QP'B和△QAC中，由∠P'BQ=∠ACQ，∠ P'QB= ∠AQC，得出∠QP'B=∠QAC =90°即可求解； （3）连接BD ，CE，求出点D在以点A为圆心，AD的长为半径的圆上， 进而分四种情况讨论求解即可：① 当点D落在边AC上时， ② 当点D落在边BA的延长线上时， ③ 当点D落在边CA的延长线上时， ④ 当点D落在边AB上时． (1) 小问详解： 解：如图1，连接CE并延长交AB于点Q，交直线BD于点P'， 解： M，N分别为DE，DC的中点，MN是△DEC的中位线， MN//EC，且2MN=EC， ∠BPM=∠QP'B， ∠BAC=∠DAE=60°， ∠DAE-∠BAE= ∠BAC-∠BAE，即∠DAB=∠EAC， 又AB=AC，AD=AE， ， ∠DBA=∠ECA， BD= CE =2MN， 在△QP'B和△QAC中，∠P'BQ= ∠ACQ，∠P'QB= ∠AQC， ∠QP'B =∠QAC=60°， ∠BPM =60°； (2) 小问详解： 解：如图2，连接CE并延长，交AB于点Q，交BD于点P'， M，N 分别为DE ，DC的中点， MN是△DEC的中位线， MN// EC，且2MN= EC， ∠BPM=∠BP'Q， ∠BAC=∠DAE=90°， ∠DAE-∠BAE=∠BAC-∠BAE，即∠DAB=∠CAE. 又AB =AC ，AD =AE， △ADB≌△AEC(SAS)， ∠DBA=∠ECA，BD=CE=2MN， 在△QP'B和△QAC中，∠P'BQ=∠ACQ，∠ P'QB= ∠AQC， ∠QP'B=∠QAC =90°， ∠BPM=90°； (3) 小问详解： 解：连接BD ，CE，易证CE =BD，同（2）可得MN=EC， MN=BD， 点D在以点A为圆心，AD的长为半径的圆上，如图3， 故分四种情况讨论：① 当点D落在边AC上时，如图4， 3AD=AB=6， AD=2， 在Rt△ABD中，由勾股定理，得BD= ， MN=BD =； ② 当点D落在边BA的延长线上时，如图5， 此时BD=AB +AD=8， MN=BD=； ③ 当点D落在边CA的延长线上时，如图6， 此时 ， MN =BD=； ④ 当点D落在边AB上时，如图7， 此时BD=AB-AD=4， MN=BD=； 综上所述，MN的长为MN的长为，或． 【点睛】 本题主要考查了三角形中位线的性质、全等三角形的判定及性质、勾股定理、图形旋转及性质以及圆的认识，熟练掌握旋转图形的性质及中位线性质是解题的关键． 30．（25-26学年九上·重庆万州区万州·期中）在中，，，点为边上一动点，连接，将绕着点逆时针方向旋转得到，连接． （1）如图1，，点恰好为中点，与交于点，若，求的长度； （2）如图2，与交于点，连接，在延长线上有一点，，求证：； （3）如图3，与交于点，且平分，点为线段上一点，点为线段上一点，连接，，点为延长线上一点，将沿直线翻折至所在平面内得到，连接，在运动过程中，当取得最小值，且时，请直接写出的值． 【答案】（1）     （2） 证明：如图，过点作交于点， ∵，， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∵将绕着点逆时针方向旋转得到， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴．     （3）      【分析】 （1）由等腰直角三角形的性质和勾股定理可求的长，由旋转的性质可得，，即可求解． （2）由可证，可得，，由可得，可得，可得结论． （3）先证明当点，点，点三点共线，且时，有最小值，再证明点，点，点三点共线，由等腰直角三角形和折叠的性质可求解． (1) 小问详解： 解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵点为中点， ∴， ∴， ∵将绕着点逆时针方向旋转得到， ∴，， ∴； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：如图，在上截取，连接， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴当点，点，点三点共线，且时，有最小值， 如图： ∵，， ∴， 由折叠的性质得，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴点，点，点三点共线， 由折叠的性质得，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】 本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，旋转的性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 31．（25-26学年九上·重庆江津中学校·期中）在等边中，点D为线段上一动点，连接，F为直线上一动点． （1）如图1，当点D为中点时，于点M，若，，求的长； （2）如图2，若点F为延长线上一点，点E为延长线上一点，且，．求证：； （3）如图3，在（1）的条件下，G为线段上一点，连接，将线段绕点F逆时针旋转得到线段，连接．当的值最小时，请直接写出的面积． 【答案】（1）的长为     （2） 证明：在上截取，连接， 是等边三角形， ，， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ；     （3）的面积为      【分析】 （1）由等边三角形的性质以及勾股定理先求解，，再利用勾股定理可得答案； （2）在上截取，连接，证明，可得，，再证明，再结合全等三角形的性质可得答案； （3）如图，在截取，连接，证明，可得，点在直线上运动，作点关于直线的对称点，连接交直线于，此时的值最小，过点作于，则四边形是矩形，可得，连接，同理可得：四边形为矩形，证明，，再根据含的直角三角形的性质可得，则，从而可得答案． (1) 小问详解： 解：， ， 为等边三角形，， ，， 点为中点， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， 在中，， ； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：∵，， ∴， 如图，在截取，连接， ， 为等边三角形， ，， 又，， ， ， ，， 由（1）知， ， ，点在直线上运动， 作点关于直线的对称点，连接交直线于，此时的值最小， 于，， ， 过点作于，则四边形是矩形， ， ， 即， 连接，同理可得：四边形为矩形， ，， ， ，为等边三角形， ，， ∴在含的中，， ， ． 【点睛】 本题考查的是等边三角形的判定与性质，勾股定理的应用，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，轴对称的性质，旋转的性质，含的直角三角形的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键． 32．（25-26学年九上·重庆合川区十一·期中）如图，已知中，，，点是所在平面内一点，连接． （1）如图1，点在上，于点E，，且，求的面积； （2）如图2，点为内部一动点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，点是线段的中点，连接，猜想线段，之间的关系，并证明你的猜想： （3）如图3，点关于直线的对称点为点．连接，，点为内部一动点，连接．若，且，请求出线段的最小值． 【答案】（1）3     （2） ，证明如下： 延长到T，使得，连接，延长交于点K，交于点O，如图所示： 由旋转的性质可知：， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，即， ∴， ∵，点是线段的中点， ∴， ∴；     （3）的最小值为      【分析】 （1）过点D作于点F，由题意易得，则有四边形是矩形，是等腰直角三角形，然后可得，，由勾股定理可得，，进而问题可求解； （2）延长到T，使得，连接，延长交于点K，交于点O，由旋转的性质可知：，则有，然后可得，则有，进而根据三角形中位线可进行求解； （3）取的中点J，连接，由题意易得，，然后可得，进而根据三角形三边不等关系可进行求解． (1) 小问详解： 解：过点D作于点F，如图所示： ∵，， ∴， ∵，， ∴四边形是矩形，是等腰直角三角形， ∴，， ∵，且， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：取的中点J，连接，如图所示： ∵点关于直线的对称点为点， ∴， ∴， ∴， ∵点J为的中点，， ∴， ∴， 由三角形三边不等关系可得：， ∴当点H、D、J三点共线时，有最小值，最小值为 【点睛】 本题主要考查旋转的性质、轴对称的性质、等腰直角三角形的性质与判定、全等三角形的性质与判定及勾股定理，熟练掌握旋转的性质、轴对称的性质、等腰直角三角形的性质与判定、全等三角形的性质与判定及勾股定理是解题的关键． 33．（25-26学年九上·重庆第九十五初级中学校·期中）在中，，，点E是平面内一点，连接，将线段绕点A逆时针旋转得到，连接， （1）如图1，若点E为的中点，，求点A到的距离； （2）如图2，若点E在的内部，延长交于点F，当F为中点时，求证：； （3）如图3，在第（1）问的条件下，点M是直线上一点，连接，将沿翻折得到，点P是直线上一点，连接，将绕点P顺时针旋转得到，连接，，，当的值最小时，直接写出的面积． 【答案】（1）     （2） 证明：如图2，连接，并延长至点G，使，连接，过点F作于点F，交延长线于点H， ∵，，点F为的中点， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴；     （3）      【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质、勾股定理等，解题关键是构造旋转全等模型转化线段的数量关系； （1）根据勾股定理可得，，再由旋转的性质得，再由勾股定理可得，设点A到的距离为h，根据，即可求解； （2）连接，并延长至点G，使，连接，过点F作于点F，交延长线于点H，证明，可得，再由是等腰直角三角形，可得，，证明，可得，即可求证； （3）在上取点、，使为等边三角形，构造旋转全等模型，可得，，，即点在过点与成夹角直线运动，而在以为圆心，以为半径的半圆上运动， 由此得出当、、三点共线时，而且时，最小，根据含直角三角形性质和勾股定理解三角形求出，，边的高，由此即可求出的面积． (1) 小问详解： 解：∵中，，， ∴， ∵， ∴， ∵点E为的中点， ∴， ∵将线段绕点A逆时针旋转得到， ∴， ∴， 设点A到的距离为h， ∵， ∴， 解得：， 即点A到的距离为； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：如图3，在上取点、，使为等边三角形，作，垂足为，连接，， ∵为等边三角形， ∴，， ∵，，，， ∴，， ∴， 当P在M右侧时，如图3， 由绕点P顺时针旋转得到，可知：，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点在过点与成夹角直线运动，（当P在M左侧时，同理可证） 由折叠可知：，在以为圆心，以为半径的半圆上运动， ∵，当、、三点共线时等号成立， 又∵当时，最小，最小， ∴当、、三点共线时，而且时，最小，如图4， 此时， ∴，， ∴， ∴， 过点D作，垂足为， ∵，， ∴， ∴ 【点睛】 本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质、勾股定理等，解题关键是构造旋转全等模型转化线段的数量关系．问题（2），通过构造等腰直角三角形得旋转全等模型；问题（3）通过构造等边三角形构造旋转全等模型得点在过点与成夹角直线运动． 34．（25-26学年九上·重庆长寿中学校·期中）如图，在等腰中，，线段绕点在平面上旋转． （1）如图1，若，线段旋转到延长线上，过点作，交、于，，求的度数； （2）如图2，若，线段绕点A旋转过程中，点D恰好落在边上，过点C作，连接，使得且，试用等式表示线段、、之间的数量关系，并说明理由； （3）如图3，若，，连接，过点作，交的延长线于点．当取最大值时，请直接写出的值． 【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）过点作于点，利用等腰三角形的性质求出的度数，证出，再利用平行线的性质求解即可； （2）过点作于点，过点作，交的延长线于点，证出为等腰直角三角形，利用等腰的性质和勾股定理得到，证出，得到与的关系，证出为等腰直角三角形，利用等腰的性质和勾股定理得到，即可结合线段的等量关系求解； （3）利用圆的性质分析出当时，取得最大值，连接，，过点作，交于点，证出，得到，设，，则，再利用勾股定理列式运算即可． (1) 小问详解： 解：过点作于点，如图： ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴； (2) 小问详解： 线段，，之间的数量关系为，理由如下： 过点作于点，过点作，交的延长线于点，如图所示： ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； (3) 小问详解： 解：，理由如下： ∵，， ∴， ∴，，，四点在以为直径的圆上，如图： 由图形可知：当时，取得最大值， 当时，连接，，过点作，交于点，如图： ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中： ， ∴， ∴， 设，，则， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴或       （不合题意，舍去）， ∴， ∴． 【点睛】 本题主要涉及等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，平行线的性质以及圆的相关知识，熟悉掌握各性质合理做出辅助线是解题的关键． 考点02 中心对称及其性质 1．（25-26学年九上·重庆长寿川维中学校·期中）利用图中的网格线（最小的正方形的边长为1）画图． （1）画出，使它与是关于原点O的中心对称： （2）将绕点A逆时针旋转得到． 【答案】（1） 如图所示，即为所求；      （2） 如图所示，即为所求； 【分析】 本题考查了作图-旋转变换，中心对称变换， （1）根据中心对称的性质作图即可； （2）根据旋转的性质作图即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 2．（25-26学年九上·重庆永川区文理·期中）如图，三个顶点的坐标分别为，，． （1）将绕着点逆时针旋转，画出旋转后的，并写出的坐标； （2）画出关于原点对称的，并写出的坐标； （3）在轴上找一点，使的值最小，请直接写出点的坐标______． 【答案】（1） 如图所示，即为所作，的坐标为；      （2） 如图，即为所作；的坐标为；      （3）      【分析】 本题考查了作旋转图形，作中心对称图形，轴对称的性质，一次函数与坐标轴的交点问题； （1）作出三点旋转后的对应点，依次连接得到三角形，并写出的坐标； （2）作出关于原点对称的对应点，依次连接得到三角形，并写出的坐标； （3）作点关于轴的对称点，连接交轴于点，点即为所求，求出直线与轴的交点坐标即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 作点关于轴的对称点，连接交轴于点，点即为所求， 由对称可得D点坐标为， 设直线的解析式为，代入得：， ，解得： ， ∴， 令，则，解得， ∴点P的坐标为， 故答案为：． 考点03 中心对称图形 1．（25-26学年九上·重庆礼嘉中学校·期末）剪纸窗花是承载着千年文脉的中国传统非遗技艺，方寸之间不仅尽显中式美学的雅致韵味，更暗藏着精妙的数学几何规律．下列窗花图案中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 【详解】 解：A、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项不符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项符合题意； C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项不符合题意； D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意； 故选：B． 2．（25-26学年九上·重庆·期末）“行千里，致广大”“重庆，非去不可”，符合重庆口味的文旅宣传口号深受游客喜爱，下面有关这两句宣传标语的首字母大写，可以看作是中心对称图形的为（   ） A. Z（致） B. D（大） C. C（重） D. Q（庆） 【答案】A 【分析】 本题主要考查了中心对称图形的识别，解题的关键是掌握中心对称图形的定义． 根据中心对称图形的定义，旋转后能与自身重合的图形即为中心对称图形，逐一判断各选项字母是否符合. 【详解】 解：A.该选项图形是中心对称图形，符合题意； B. 该选项图形不是中心对称图形，不符合题意； C. 该选项图形不是中心对称图形，不符合题意； D. 该选项图形不是中心对称图形，不符合题意； 故选：A． 3．（25-26学年九上·重庆礼嘉中学校·期中）下列符号中，是中心对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了中心对称图形的概念，解题的关键是根据中心对称图形的定义，判断图形绕某点旋转后是否与原图形重合． 分别判断各选项图形绕某点旋转后的形状，若与原图形重合，则为中心对称图形． 【详解】 解：A、符号“”绕某点旋转后，与原图形不重合，此选项不符合题意； B、符号“”绕某点旋转后，与原图形不重合，此选项不符合题意； C、符号“”绕某点旋转后，与原图形不重合，此选项不符合题意； D、符号“”绕其中心旋转后，与原图形重合，此选项符合题意； 故选：D． 4．（25-26学年九上·重庆江津中学校·期中）《哪吒2》作为国漫佳作，在服饰、场景和道具等细节上，深度融入中国传统纹样，将丰富的文化内涵展现得淋漓尽致．下面纹样中，是中心对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的区别，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 根据中心对称图形的定义和轴对称图形的定义进行逐项判断即可． 【详解】 解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； B、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； D、是中心对称图形，符合题意． 故选：D． 5．（25-26学年九上·重庆云阳县第二初级中学·期中）下列图形中，可以看作是中心对称图形的是（       ） A.      B.      C.      D.      【答案】A 【分析】 一个图形绕着某固定点旋转后能够与原来的图形重合，则称这个图形是中心对称图形，这个固定点叫做对称中心；依据中心对称图形的概念进行判断即可． 【详解】 解：A、是中心对称图形，能够找到一点，图形绕此点旋转后能够与原图形重合，故满足题意； 对于B、C、D三个选项，不是中心对称图形，不能够找到一点，图形绕此点旋转后能够与原图形重合，故不满足题意； 故选：A． 【点睛】 本题考查了中心对称图形的识别，掌握中心对称图形的概念并结合图进行判断是关键． 6．（25-26学年九上·重庆永川区文理·期中）2025年10月31日23时44分，搭载神舟“十一号载人飞船的长征二号遥二十一运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射，下列航天图标中，其文字上方的图案是中心对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了中心对称图形的识别，熟练掌握中心对称图形的定义是解答本题的关键． 根据中心对称图形的定义逐项识别即可，在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心，旋转前后图形上能够重合的点叫做对称点． 【详解】 解：选项B、C、D均不能找到这样的一个点，使图形绕该点旋转后与原来的图形完全重合，所以不是中心对称图形， 选项A能找到这样的一个点，使图形绕该点旋转后与原来的图形完全重合，所以是中心对称图形． 故选A． 7．（25-26学年九上·重庆暨华中学校·期中）下列车标图案中，是中心对称图形的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查中心对称图形的识别，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形完全重合，那么这个图形叫做中心对称图形，据此进行判断即可． 【详解】 解：A、不是中心对称图形，不符合题意； B、不是中心对称图形，不符合题意； C、是中心对称图形，符合题意； D、不是中心对称图形，不符合题意； 故选C． 8．（25-26学年九上·重庆合川区十一·期中）垃圾分类功在当代，利在千秋．下列垃圾分类指引标志图形中，是中心对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 此题主要考查了中心对称图形的概念．中心对称图形的概念：如果一个图形绕着一点旋转后能与自身重合，这个图形就是中心对称图形．据此进行判断即可． 【详解】 解：A、不是中心对称图形，故此选项不合题意； B、是中心对称图形，故此选项符合题意； C、不是中心对称图形，故此选项不合题意； D、不是中心对称图形，故此选项不合题意； 故选：B． 9．（25-26学年九上·重庆长寿实验中学校·期中）纹样是中国文化的瑰宝，以下纹样既是轴对称图形又是中心对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了中心对称图形与轴对称图形的识别．解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．如果一个图形绕某一点旋转后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心． 根据中心对称图形与轴对称图形的概念逐一判断即可． 【详解】 解：A．是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B．既是轴对称图形也是中心对称图形，故此选项符合题意； C．是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D．不是轴对称图形，但是中心对称图形，故本选项不符合题意． 故选：B． 10．（25-26学年九上·重庆双桥中学·期中）中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录，下列四幅作品分别代表“立春”“谷雨”“白露”“大雪”，其中是中心对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了中心对称图形的概念：如果一个图形绕着某个定点旋转后能与原图重合，这样的图形叫做中心对称图形．解题关键是熟记中心对称图形的概念．根据中心对称图形的概念即可求解． 【详解】 解：A、选项中的图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、选项中的图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、选项中的图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、选项中的图形是中心对称图形，故本选项符合题意． 故选：D． 11．（25-26学年九上·重庆十一中教育）下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查轴对称及中心对称的定义，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念，要注意：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合． 根据轴对称图形与中心对称图形的概念逐选项判断即可． 【详解】 解：根据轴对称图形与中心对称图形的概念可知： A、是中心对称图形而不是轴对称图形； B、是轴对称图形而不是中心对称图形； C、既是轴对称图形也是中心对称图形； D、是轴对称图形而不是中心对称图形； 故选：C． 12．（九·重庆铜梁·期末）以下标识图案中，既是中心对称图形又是轴对称图形的个数是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合．直接根据轴对称图形与中心对称图形的定义逐项判断即可． 【详解】 解：图案、图案：既是轴对称图形，又是中心对称图形， 图案：是轴对称图形，不是中心对称图形； 图案：既不是轴对称图形，也不是中心对称图形； 既是中心对称图形又是轴对称图形的个数是个． 故选：B． 13．（25-26学年九·重庆江津区实验中学·期末）下列博物馆标志既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合． 根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可． 【详解】 解∶A．是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项符合题意； B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 故选：A． 14．（25-26学年九上·重庆铜梁区铜梁·期中）下列图形是中心对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查了中心对称图形的识别．在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．据此解答即可． 【详解】 解：选项A、C、D均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以不是中心对称图形， 选项B能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以是中心对称图形， 故选：B． 15．（25-26学年九上·重庆铜梁区铜梁·期中）下列手机手势解锁图案中，是中心对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查了中心对称图形，根据中心对称图形的定义判断即可，解题的关键是正确理解中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形． 【详解】 、图形绕某一点旋转后与原来的图形不重合，所以不是中心对称图形，不符合题意； 、图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，符合题意； 、图形绕某一点旋转后与原来的图形不重合，所以不是中心对称图形，不符合题意； 、图形绕某一点旋转后与原来的图形不重合，所以不是中心对称图形，不符合题意； 故选：． 16．（25-26学年九上·重庆育才中学校·期中）下列图标既是轴对称又是中心对称图形的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合． 根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解． 【详解】 解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； C、既是轴对称又是中心对称图形，符合题意； D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意． 故选：C． 17．（25-26学年九上·重庆凤鸣山中学·期中）组成单词的字母中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了轴对称图形，中心对称图形的识别．解题的关键在于熟练掌握：在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180度，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．根据中心对称和轴对称的定义，进行判断即可． 【详解】 解：A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； B、既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； 故选B． 18．（25-26学年九上·重庆杨家坪中学·期中）下列图案中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的识别．根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解，把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【详解】 解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项符合题意； B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项不符合题意， 故选：A． 19．（25-26学年九上·重庆川外基础教）下列图标中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查轴对称图形和中心对称图形的定义，掌握两种图形的判定标准（轴对称图形需沿直线折叠重合，中心对称图形需旋转后与自身重合）是解题的关键．先明确轴对称图形和中心对称图形的定义，再逐一判断各选项是否满足 “沿直线折叠重合” 和 “旋转后与自身重合” 的条件，进而选出正确答案． 【详解】 A．既无对称轴，旋转也不与自身重合，既不是轴对称图形也不是中心对称图形，不符合题意； B．有对称轴，沿对称轴折叠可重合；旋转后与自身重合，既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意； C．有对称轴，是轴对称图形，但旋转后不与自身重合，不是中心对称图形，不符合题意； D．既无对称轴，旋转也不与自身重合，既不是轴对称图形也不是中心对称图形，不符合题意． 故选：B． 20．（25-26学年九上·重庆永川中学校·期中）下列图形中是中心对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 此题主要考查了中心对称图形与轴对称的定义，根据定义得出图形形状是解决问题的关键．根据中心对称图形的定义旋转后能够与原图形完全重合即是中心对称图形即可判断出． 【详解】 解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； B．不是中心对称图形，不符合题意； C．是中心对称图形，符合题意； D．不是中心对称图形，不符合题意； 故选：C． 21．（25-26学年九上·重庆江津区实验中学·期中）以下图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了中心对称图形、轴对称图形的识别，熟记中心对称图形的定义、轴对称图形的定义是解决问题的关键． 根据中心对称图形定义：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形；轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线对折，直线两旁的部分能够相互重合，那么这个图形就是轴对称图形；根据中心对称图形的定义、轴对称图形的定义逐项判断即可得到答案． 【详解】 解：A、选项中的图形不是中心对称图形、也不是轴对称图形，不符合题意； B、选项中的图形是中心对称图形、不是轴对称图形，不符合题意； C、选项中的图形不是中心对称图形、是轴对称图形，不符合题意； D、选项中的图形是中心对称图形、也是轴对称图形，符合题意； 故选：D． 22．（25-26学年九上·重庆长寿川维中学校·期中）下列图案是中心对称图形但不是轴对称图形的是（       ） A.      B.      C.      D.      【答案】A 【分析】 根据轴对称图形：一个图形如果沿一条直线折叠，直线两旁部分能够完全重合的图形；中心对称图形：一个图形绕某个点旋转180度后能与原图完全重合的图形；由此问题可求解． 【详解】 解：A、是中心对称图形但不是轴对称图形，故符合题意； B、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意； C、既是轴对称图形也是中心对称图形，故不符合题意； D、既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故不符合题意； 故选A． 【点睛】 本题主要考查轴对称图形与中心对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形与中心对称图形的概念是解题的关键． 23．（25-26学年九上·重庆合川中学）下列图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了中心对称图形与轴对称图形，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．掌握中心对称图形与轴对称图形的定义是解题的关键． 根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】 解：A、不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故不符合题意； B、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意； C、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意； D、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故符合题意； 故选：D． 24．（25-26学年九上·重庆双桥中学·期中）下列命题是假命题的是（　　） A. 到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上 B. 等边三角形既是轴对称图形，又是中心对称图形 C. 四边形的内角和是 D. 旋转不改变图形的形状和大小 【答案】B 【分析】 根据垂直平分线的判定方法、等边三角形的性质、多边形的内角和以及旋转的性质进行判断即可． 【详解】 A、到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，正确，是真命题； B、等边三角形是轴对称图形，但不是中心对称图形，错误，是假命题； C、四边形的内角和是，正确，是真命题； D、旋转不改变图形的形状和大小，正确，是真命题， 故选B． 【点睛】 本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． 考点04 关于原点对称的点的坐标 1．（25-26学年九上·重庆渝北区石鞋学校）点关于原点的对称点为，则点关于轴的对称点为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题主要考查了关于原点对称的点的坐标、关于x轴对称点的坐标等知识点，掌握关于原点对称的点的横纵坐标互为相反数是解题的关键． 先根据关于原点对称点的坐标特点确定a、b，再求点关于轴的对称点坐标即可． 【详解】 解：∵点关于原点的对称点为， ∴，即， ∴点关于轴的对称点为． 故选：C． 2．（25-26学年九上·重庆云阳县第二初级中学·期中）已知点关于原点的对称点（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了关于原点对称的点的坐标特征，根据点关于原点对称时，其横坐标和纵坐标均变为相反数求解即可． 【详解】 解：∵点关于原点的对称点的坐标应为原坐标的相反数， ∴对称点的横坐标为，纵坐标为，即对称点为． 故选B． 3．（25-26学年九上·重庆·期末）在平面直角坐标系中，若点关于原点对称的点的坐标是，则坐标关于x轴对称的坐标为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数． 根据关于原点对称的点的坐标特征求出a和b的值，得到点A的坐标，再根据关于x轴对称的点的坐标特征求解． 【详解】 解：∵点关于原点对称的点的坐标是， ∴， 解得， ∴点A的坐标为， 点A关于x轴对称的点的坐标：横坐标不变，纵坐标互为相反数， ∴对称点的坐标为． 故选：A． 4．（25-26学年九上·重庆铜梁区铜梁·期中）在平面直角坐标系中，如果点与点关于原点O对称，那么的值为(       ) A. 3 B.  C. 7 D.  【答案】B 【分析】 本题考查了关于原点对称的点的坐标，根据关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，可得答案． 【详解】 解：∵点与点关于原点O对称， ∴，， ∴ 故选：B． 5．（25-26学年九上·重庆合川区十一·期中）已知点与点关于原点对称，则的值是（     ） A. 3 B. 1 C.  D.  【答案】C 【分析】 本题主要考查点的坐标关于原点对称，熟练掌握点的坐标关于原点对称的特征是解题的关键；因此此题可根据点关于原点对称时，对应坐标互为相反数进行求解即可． 【详解】 解：∵点与点关于原点对称， ∴， ∴， ∴； 故选C． 6．（25-26学年九上·重庆长寿川维中学校·期中）点P（1，2）关于原点的对称点P′的坐标为（  ） A. （2，1） B. （﹣1，﹣2） C. （1，﹣2） D. （﹣2，﹣1） 【答案】B 【分析】根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可得答案． 【详解】点P（1，2）关于原点的对称点P′的坐标为（-1，-2）， 故选B． 【点睛】此题主要考查了关于原点对称的点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律． 7．（25-26学年九上·重庆铁路中学校·期中）在平面直角坐标系中，与点关于原点对称的点的坐标是　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数，进行求解即可． 【详解】 解：根据关于原点对称的点的坐标规律，可得点关于原点对称的点的坐标为． 8．（25-26学年九·重庆江津区实验中学·期末）在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点坐标为　　　　　　　 【答案】 【分析】 本题考查了关于原点对称的点的坐标特点，关于原点对称的点的横坐标和纵坐标均互为相反数． 根据关于原点对称的点的坐标特点作答即可． 【详解】 解：点关于原点的对称点坐标为． 故答案为：． 9．（25-26学年九上·重庆开州区文峰·期中）在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查坐标与中心对称，根据关于原点对称的点的横纵坐标均互为相反数，进行求解即可． 【详解】 解：点关于原点对称的点的坐标是； 故答案为：． 10．（25-26学年九上·重庆江津中学校·期中）在平面直角坐标系中，点与点关于原点中心对称，则的值为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查平面直角坐标系中关于原点中心对称的点的坐标特征，掌握关于原点对称的点，横坐标和纵坐标均互为相反数是解题的关键． 根据点关于原点中心对称的特点求解即可． 【详解】 解：∵点与点关于原点中心对称， ∴点B的横坐标应为点A横坐标的相反数，即，解得； 点B的纵坐标应为点A纵坐标的相反数，即， ∴． 故答案为：． 11．（25-26学年九上·重庆暨华中学校·期中）在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是　　　　　　． 【答案】 【分析】 此题主要考查了关于原点对称点的性质，根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点关于原点对称点是，进而得出答案． 【详解】 解：点关于原点对称的点的坐标是， 故答案为：． 12．（25-26学年九上·重庆永川中学校·期中）若点与点关于原点对称，则点的坐标是　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查关于原点对称的点的坐标特征，即横纵坐标均互为相反数． 关于原点对称的点，横坐标、纵坐标均取相反数，为，完成求解． 【详解】 解：点关于原点对称的点的横坐标为，纵坐标为，故点的坐标为． 故答案为：． 13．（25-26学年九上·重庆·期末）已知点，关于原点中心对称，则　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了关于原点中心对称的点的坐标特征，熟练掌握“关于原点中心对称的点，横、纵坐标分别互为相反数”是解题的关键．根据关于原点中心对称的点的坐标特征，求出和的值，再计算． 【详解】 解：∵ 点，关于原点中心对称， ∴ ，， ∴ ， 故答案为：． 14．（25-26学年九上·重庆铜梁区铜梁·期中）若点与点关于原点对称，则抛物线的顶点坐标为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了平面直角坐标系中对称点的规律，二次函数的顶点坐标．先根据原点对称的两点横、纵坐标互为相反数得到，，然后对二次函数配方成顶点式，然后得到顶点坐标即可． 【详解】 解：∵点与点关于原点对称， ∴，， ∴抛物线解析式为， ∴顶点坐标为， 故答案为：． 15．（25-26学年九上·重庆江津区实验中学·期中）已知点和点关于坐标原点对称，则的值为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了关于原点对称的点的坐标，代数式求值，由两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反特点求出，的值，然后代入求解即可，解题关键是掌握关于原点对称点的坐标规律． 【详解】 解：∵点和点关于坐标原点对称， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：． 16．（25-26学年九·重庆綦江区未来学校·期中）点关于原点对称的点的坐标是　　　　　　　　　 【答案】 【分析】 本题考查了关于原点对称的坐标的特点：两点的横坐标互为相反数；纵坐标互为相反数．据此可得所求的坐标． 【详解】 解：点关于原点对称的点的坐标是． 故答案为：． 17．（25-26学年九·重庆綦江区未来学校·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，． （1）画出关于原点O中心对称的，并写出点、、的坐标； （2）内一点P的坐标为，将P点先向上平移1个单位后，再将所得的点作关于原点O的对称点，所得的点的坐标为___________________． （3）求的面积． 【答案】（1） 如图，即为所作， ，，     （2）     （3）      【分析】 本题考查作图-中心对称变换、作图-平移变换，熟练掌握平移的性质、中心对称的性质是解答本题的关键． （1）找出点关于原点O中心对称的点、、，顺次连接可得，再写出点、、的坐标即可； （2）根据平移规律得平移后点的坐标为，再根据两点关于原点对称的性质可得对称点的坐标为； （3）利用割补法求三角形的面积即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：点向上平移1个单位后的坐标为，其关于原点O的对称点的坐标为， 故答案为：； (3) 小问详解： 解：的面积． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 旋转 4大高频考点概览 考点01 图形的旋转 考点02 中心对称及其性质 考点03 中心对称图形 考点04 关于原点对称的点的坐标 考点01 图形的旋转 1．（25-26学年九上·重庆开州区文峰·期中）如图，将绕点逆时针旋转得到，若点落在线段的延长线上，则大小为（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·重庆江津区实验中学·期中）如图，将绕点旋转至，点在上，则的度数为（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年九上·重庆双桥中学·期中）如图，在中，，将逆时针旋转后得到，其中交于点F，点D恰好落在上，则等于（       ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年九上·重庆铜梁区铜梁·期中）如图，正方形中，为正方形内一点，连接，使，再连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，若，则的度数为（     ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年九上·重庆万州区万州·期中）如图，在正方形中，点E为边上一点，，连接，将线段绕点E顺时针旋转后，点A对应点为点F，连接、，则的值是（     ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年九上·重庆暨华中学校·期中）如图，矩形中，，点E是边上一点，连接，，将绕点B逆时针旋转得到，恰好落在直线上，连接，则的长为 （     ） A.  B.  C.  D. 3 7．（25-26学年九·重庆綦江区未来学校·期中）中，，，将绕着C点顺时针旋转得，边与交于F，若，则的长为（       ） A. 3 B. 6 C. 8 D. 12 8．（25-26学年九·重庆綦江区未来学校·期中）如图，在正方形中，将边绕点逆时针旋转至，连接，若，，则线段的长度为（       ） A. 10 B.  C.  D.  9．（25-26学年九上·重庆南开中学校·期中）如图，在正方形中，点为上一点，，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，是的中点，连接，，则的值为（     ）． A. 1 B.  C.  D.  10．（25-26学年九上·重庆第十八中学）如图，正方形中，已知，对角线与交于点，点为线段上的一个动点（不与点重合），点为线段的中点．现将线段绕点顺时针旋转得到线段，连结．在点的运动过程中，当时，则线段的长为（     ） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年九上·重庆·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为点，，． （1）画出将先向左平移4个单位，再向下平移3个单位得到的，其中点A、B、C的对应点分别为点、、； （2）画出将绕原点O顺时针旋转得到的，其中点A、B、C的对应点分别为点、、，并直接写出点的坐标． 12．（25-26学年九上·重庆云阳县第二初级中学·期中）如图，在中，将绕点A顺时针旋转至，点B对应点E，点C对应点D．若点D在线段上，且，则的度数为　　　　　　　　　　． 13．（25-26学年九上·重庆铁路中学校·期中）三角形绕点顺时针方向旋转后落在位置，落在位置，且，已知，则　　　　　　　　　　　． 14．（25-26学年九上·重庆长寿川维中学校·期中）（1）如图①，与都是等腰直角三角形，且，，将绕点A旋转到图②的位置时，连接，相交于点P． ①求证：． ②连接，猜想线段、、之间有怎样的数量关系？并加以证明； （2）将绕点A旋转到图③的位置时，连接，相交于点P，连接，猜想线段、、之间有怎样的数量关系？直接写出结论，不需要证明． 15．（25-26学年九上·重庆渝北区石鞋学校）如图．点中，点是轴上一动点，以点为旋转中心，将线段逆时针旋转90°，得到线段，连接，则线段的最小值为　　　　　． 16．（25-26学年九上·重庆·期末）在某次校园数学实践活动中，为测量校园内三角形景观的相关数据，某小组同学遇到了如下问题：如图①，点P 在等边内部，且，求 的长． 【初步探究】（1）经过同学们的观察、分析、思考、交流，对上述问题形成了如下想法：将绕点A按顺时针方向旋转， 得到， 连接， 寻找，，三边之间的数量关系，即可求得 的长为                                   ； 【理解应用】（2）如图②，在等腰直角中，， P为内一点，， 判断，，之间的数量关系， 并说明理由； 【类比迁移】（3）如图③，学校有一块三角形的劳动实践基地，其中，，实践工具存放点位于基地的P点，通过测量，，求线段的长． 17．（25-26学年九上·重庆广益中学·期末）在菱形中，，点P是射线上一动点，以为边向右侧作等边，点E的位置随点P的位置变化而变化． （1）如图1，当点E在菱形内部或边上时，连接，则与的数量关系是______，与的位置关系是______； （2）如图2，当点P、E都在菱形外部时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由． （3）如图3，若四边形为正方形，点P在对角线上，，交边于点E，连接交于点F．请求出的度数并直接写出线段之间的数量关系． 18．（25-26学年九上·重庆铜梁区铜梁·期中）如图，将矩形绕点B按逆时针方向旋转一定角度后得到矩形，若，则的度数是　　　　　　　　． 19．（25-26学年九上·重庆永川区文理·期中）如图，在中，，，，将绕点按逆时针方向旋转得到，此时点恰好在边上，则点与点之间的距离为　　　　　　． 20．（25-26学年九上·重庆合川区十一·期中）如图，在中，，将绕着点顺时针旋转得到，线段的延长线交于点，连接，若的面积为56，，，则线段的长度为　　　　　　　　． 21．（25-26学年九上·重庆永川中学校·期中）在直角坐标平面内，已知点A（3，0）、B（2，3），点B关于原点对称点为C， （1）请直接写出点C的坐标，并在图中作出△ABC关于原点对称后的图形； （2）求△ABC的面积． 22．（25-26学年九上·重庆江津区实验中学·期中）如图，点是等边内一点，将绕点逆时针旋转得到，连接，，，，． （1）求证：； （2）若，，，请直接写出的度数． 23．（25-26学年九上·重庆长寿川维中学校·期中）如图，在Rt△ABC中，，，将△ABC绕点A顺时针旋转得到，则　　　　　　　　． 24．（25-26学年九上·重庆渝北区石鞋学校）在菱形中，，点M在的延长线上，点E是直线上的动点，连接，将线段绕点M逆时针旋转得到线段，连接．    （1）如图①，当点E与点B重合时，请直接写出线段与的数量关系； （2）如图②，当点E在上时，请写出线段之间的数量关系，并给出证明； （3）当点E在直线上时，若，请直接写出线段的长． 25．（25-26学年九上·重庆铜梁区铜梁·期中）在中，把线段绕点顺时针旋转得到线段，连接交于点，连接． （1）如图1，若，，求的长； （2）如图2，若，是的中点，连接并延长至点，使得，连接、，求证：； （3）如图3，若，，的度数不固定，请直接写出的最小值． 26．（25-26学年九上·重庆永川区文理·期中）如图，在平行四边形中，是对角线，，点是边上一点，连接，将绕着点顺时针旋转得到线段． （1）如图1，若，连接，求的面积； （2）如图2，若，连接交于，求证：； （3）若在（2）的条件下，，点为边上一动点，连接，将线段绕着点顺时针旋转得到线段，连接，当线段取得最小值时，直接写出四边形的面积． 27．（25-26学年九上·重庆江津区实验中学·期中）如图1，四边形是正方形，E，F分别在边和上，且，我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法．小明为了解决线段，，，之间的关系，将绕点A顺时针旋转后解决了这个问题． （1）请直接写出线段，，之间的关系． （2）如图3，等腰直角三角形，，，点E，F在边上，且，请写出，，之间的关系，并说明理由． （3）如图4，点E在正方形的对角线上，，是直角三角形，斜边交于G点，且，，，求的值． 28．（25-26学年九·重庆綦江区未来学校·期中）在中，，点D是边上一点（不与端点重合），连接．将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接． （1）如图1，，，求的度数； （2）如图2，，，过点作，交的延长线于，连接．点是的中点，点是的中点，连接，．用等式表示线段与的数量关系并证明； （3）如图3，，，，连接．点从点移动到点过程中，当取最小值时，请直接写出的面积． 29．（25-26学年九·重庆江津区实验中学·期末）（多选）在与中，连接，点、分别为和的中点，与所在直线交于点． （1）【观察猜想】 如图①，若，，，与的数量关系是________， ________； （2）【类比探究】 如图②，若，，，请写出与的数量关系与的度数，并就图②的情形说明理由； （3）【解决问题】 如图③，，，，将绕点进行旋转，当点落在的边所在直线上时，请直接写出的长． 30．（25-26学年九上·重庆万州区万州·期中）在中，，，点为边上一动点，连接，将绕着点逆时针方向旋转得到，连接． （1）如图1，，点恰好为中点，与交于点，若，求的长度； （2）如图2，与交于点，连接，在延长线上有一点，，求证：； （3）如图3，与交于点，且平分，点为线段上一点，点为线段上一点，连接，，点为延长线上一点，将沿直线翻折至所在平面内得到，连接，在运动过程中，当取得最小值，且时，请直接写出的值． 31．（25-26学年九上·重庆江津中学校·期中）在等边中，点D为线段上一动点，连接，F为直线上一动点． （1）如图1，当点D为中点时，于点M，若，，求的长； （2）如图2，若点F为延长线上一点，点E为延长线上一点，且，．求证：； （3）如图3，在（1）的条件下，G为线段上一点，连接，将线段绕点F逆时针旋转得到线段，连接．当的值最小时，请直接写出的面积． 32．（25-26学年九上·重庆合川区十一·期中）如图，已知中，，，点是所在平面内一点，连接． （1）如图1，点在上，于点E，，且，求的面积； （2）如图2，点为内部一动点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，点是线段的中点，连接，猜想线段，之间的关系，并证明你的猜想： （3）如图3，点关于直线的对称点为点．连接，，点为内部一动点，连接．若，且，请求出线段的最小值． 33．（25-26学年九上·重庆第九十五初级中学校·期中）在中，，，点E是平面内一点，连接，将线段绕点A逆时针旋转得到，连接， （1）如图1，若点E为的中点，，求点A到的距离； （2）如图2，若点E在的内部，延长交于点F，当F为中点时，求证：； （3）如图3，在第（1）问的条件下，点M是直线上一点，连接，将沿翻折得到，点P是直线上一点，连接，将绕点P顺时针旋转得到，连接，，，当的值最小时，直接写出的面积． 34．（25-26学年九上·重庆长寿中学校·期中）如图，在等腰中，，线段绕点在平面上旋转． （1）如图1，若，线段旋转到延长线上，过点作，交、于，，求的度数； （2）如图2，若，线段绕点A旋转过程中，点D恰好落在边上，过点C作，连接，使得且，试用等式表示线段、、之间的数量关系，并说明理由； （3）如图3，若，，连接，过点作，交的延长线于点．当取最大值时，请直接写出的值． 考点02 中心对称及其性质 1．（25-26学年九上·重庆长寿川维中学校·期中）利用图中的网格线（最小的正方形的边长为1）画图． （1）画出，使它与是关于原点O的中心对称： （2）将绕点A逆时针旋转得到． 2．（25-26学年九上·重庆永川区文理·期中）如图，三个顶点的坐标分别为，，． （1）将绕着点逆时针旋转，画出旋转后的，并写出的坐标； （2）画出关于原点对称的，并写出的坐标； （3）在轴上找一点，使的值最小，请直接写出点的坐标______． 考点03 中心对称图形 1．（25-26学年九上·重庆礼嘉中学校·期末）剪纸窗花是承载着千年文脉的中国传统非遗技艺，方寸之间不仅尽显中式美学的雅致韵味，更暗藏着精妙的数学几何规律．下列窗花图案中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·重庆·期末）“行千里，致广大”“重庆，非去不可”，符合重庆口味的文旅宣传口号深受游客喜爱，下面有关这两句宣传标语的首字母大写，可以看作是中心对称图形的为（   ） A. Z（致） B. D（大） C. C（重） D. Q（庆） 3．（25-26学年九上·重庆礼嘉中学校·期中）下列符号中，是中心对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年九上·重庆江津中学校·期中）《哪吒2》作为国漫佳作，在服饰、场景和道具等细节上，深度融入中国传统纹样，将丰富的文化内涵展现得淋漓尽致．下面纹样中，是中心对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年九上·重庆云阳县第二初级中学·期中）下列图形中，可以看作是中心对称图形的是（       ） A.      B.      C.      D.      6．（25-26学年九上·重庆永川区文理·期中）2025年10月31日23时44分，搭载神舟“十一号载人飞船的长征二号遥二十一运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射，下列航天图标中，其文字上方的图案是中心对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年九上·重庆暨华中学校·期中）下列车标图案中，是中心对称图形的是（       ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年九上·重庆合川区十一·期中）垃圾分类功在当代，利在千秋．下列垃圾分类指引标志图形中，是中心对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年九上·重庆长寿实验中学校·期中）纹样是中国文化的瑰宝，以下纹样既是轴对称图形又是中心对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年九上·重庆双桥中学·期中）中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录，下列四幅作品分别代表“立春”“谷雨”“白露”“大雪”，其中是中心对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年九上·重庆十一中教育）下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  12．（九·重庆铜梁·期末）以下标识图案中，既是中心对称图形又是轴对称图形的个数是（     ） A.  B.  C.  D.  13．（25-26学年九·重庆江津区实验中学·期末）下列博物馆标志既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  14．（25-26学年九上·重庆铜梁区铜梁·期中）下列图形是中心对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  15．（25-26学年九上·重庆铜梁区铜梁·期中）下列手机手势解锁图案中，是中心对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  16．（25-26学年九上·重庆育才中学校·期中）下列图标既是轴对称又是中心对称图形的是（       ） A.  B.  C.  D.  17．（25-26学年九上·重庆凤鸣山中学·期中）组成单词的字母中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  18．（25-26学年九上·重庆杨家坪中学·期中）下列图案中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  19．（25-26学年九上·重庆川外基础教）下列图标中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  20．（25-26学年九上·重庆永川中学校·期中）下列图形中是中心对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  21．（25-26学年九上·重庆江津区实验中学·期中）以下图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  22．（25-26学年九上·重庆长寿川维中学校·期中）下列图案是中心对称图形但不是轴对称图形的是（       ） A.      B.      C.      D.      23．（25-26学年九上·重庆合川中学）下列图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  24．（25-26学年九上·重庆双桥中学·期中）下列命题是假命题的是（　　） A. 到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上 B. 等边三角形既是轴对称图形，又是中心对称图形 C. 四边形的内角和是 D. 旋转不改变图形的形状和大小 考点04 关于原点对称的点的坐标 1．（25-26学年九上·重庆渝北区石鞋学校）点关于原点的对称点为，则点关于轴的对称点为（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·重庆云阳县第二初级中学·期中）已知点关于原点的对称点（     ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年九上·重庆·期末）在平面直角坐标系中，若点关于原点对称的点的坐标是，则坐标关于x轴对称的坐标为（     ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年九上·重庆铜梁区铜梁·期中）在平面直角坐标系中，如果点与点关于原点O对称，那么的值为(       ) A. 3 B.  C. 7 D.  5．（25-26学年九上·重庆合川区十一·期中）已知点与点关于原点对称，则的值是（     ） A. 3 B. 1 C.  D.  6．（25-26学年九上·重庆长寿川维中学校·期中）点P（1，2）关于原点的对称点P′的坐标为（  ） A. （2，1） B. （﹣1，﹣2） C. （1，﹣2） D. （﹣2，﹣1） 7．（25-26学年九上·重庆铁路中学校·期中）在平面直角坐标系中，与点关于原点对称的点的坐标是　　　　　　． 8．（25-26学年九·重庆江津区实验中学·期末）在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点坐标为　　　　　　　 9．（25-26学年九上·重庆开州区文峰·期中）在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是　　　　　　　　． 10．（25-26学年九上·重庆江津中学校·期中）在平面直角坐标系中，点与点关于原点中心对称，则的值为　　　　　　． 11．（25-26学年九上·重庆暨华中学校·期中）在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是　　　　　　． 12．（25-26学年九上·重庆永川中学校·期中）若点与点关于原点对称，则点的坐标是　　　　　　　　　　　． 13．（25-26学年九上·重庆·期末）已知点，关于原点中心对称，则　　　　　　　　　　． 14．（25-26学年九上·重庆铜梁区铜梁·期中）若点与点关于原点对称，则抛物线的顶点坐标为　　　　　　． 15．（25-26学年九上·重庆江津区实验中学·期中）已知点和点关于坐标原点对称，则的值为　　　　　　． 16．（25-26学年九·重庆綦江区未来学校·期中）点关于原点对称的点的坐标是　　　　　　　　　 17．（25-26学年九·重庆綦江区未来学校·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，． （1）画出关于原点O中心对称的，并写出点、、的坐标； （2）内一点P的坐标为，将P点先向上平移1个单位后，再将所得的点作关于原点O的对称点，所得的点的坐标为___________________． （3）求的面积． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $