专题07 圆（期中真题汇编，重庆专用）九年级数学上学期

专题07 圆 6大高频考点概览 考点01 圆的有关概念 考点02 过三点的圆 考点03 垂直于弦的直径 考点04 圆心角 考点05 圆周角 考点06 弧长和扇形面积 考点01 圆的有关概念 1．（25-26学年九上·重庆永川区文理·期中）已知点在外，且的半径为，则的长可能是（   ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查点与圆的位置关系，解题的关键是掌握点与圆的位置关系的判定方法．设的半径为，点到圆心的距离，则有：点在圆外，点在圆上，点在圆内，由此即可判断． 【详解】 解：点在外，的半径为， ∴， 的长可能是， 故选：D． 2．（25-26学年九上·重庆暨华中学校·期中）已知的半径为，，则点P与的位置关系是（     ） A. 点P在内 B. 点P在上 C. 点P在外 D. 无法确定 【答案】A 【分析】 本题考查的是点与圆的位置关系：当点到圆心距离小于半径时，点在圆内；当点到圆心距离等于半径时，点在圆上；当点到圆心距离大于半径时，点在圆外． 根据点到圆心的距离即可得出答案． 【详解】 解：∵ 即的半径， ∴点P在内， 故选：A． 3．（25-26学年九上·重庆永川中学校·期中）已知圆的半径为，点到圆心的距离为，若点在圆内，则的取值范围是　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了点与圆的位置关系，根据点在圆内时，点到圆心的距离小于半径，且为非负数． 【详解】 解：圆的半径为，点在圆内， 点到圆心的距离满足， 又距离为非负数， 的取值范围为． 故答案为：． 4．（25-26学年九上·重庆杨家坪中学·期中）小亮在学习中遇到这样一个问题：如图，点是上一动点，线段，点是线段的中点，过点作，交的延长线于点．当为等腰三角形时，求线段的长度． 小亮分析发现，此问题很难通过常规的推理计算彻底解决，于是尝试结合学习函数的经验研究此问题．请将下面的探究过程补充完整： （1）根据点在上的不同位置，画出相应的图形，测量线段，，的长度，得到下表的几组对应值． 0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 /cm 8.0 7.7 7.2 6.6 5.9 3.9 2.4 0 /cm 8.0 7.4 6.9 6.5 6.1 6.0 6.2 6.7 8.0 操作中发现： ①“当点为的中点时，”．则上表中的值是_____； ②“线段的长度无需测量即可得到”．请以几何推理方式说明理由； （2）将线段的长度作为自变量，和的长度都是的函数，分别记为和，并在平面直角坐标系中画出了函数的图象，如图所示．请在同一坐标系中画出函数的图象；并请结合图象说出函数的一条性质______________________________； （3）结合图象直接写出：当为等腰三角形时，线段长度的应该满足：__________．（请填编号，多项选择） A、       B、       C、       D、 E、       F、       G、       H、 【答案】（1）① 5.0； ② 解：， ， ， ， ， 线段的长度无需测量即可得到；     （2） 函数的图象如图所示： ； 当时，y随x的增大而减小；     （3）DFH      【分析】 本题考查一次函数结合几何的应用，学会用描点法画出函数图象，熟练掌握一次函数的性质以及三角形全等的判定及性质是解题的关键． （1）①点为弧的中点时，，即可得到；②由题意得，即可得到； （2）根据表格数据运用描点法即可画出函数图象，进而可得函数的性质； （3）画出的图象，当为等腰三角形时，分情况讨论，任意两边分别相等时，即任意两个函数图象相交时的交点横坐标即为的近似值． (1) 小问详解： ①点为弧的中点时，由圆的性质可得：  ， ， ， ； ② 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 由（1）知， 画出的图象，如上图所示，当为等腰三角形时， ①，为与函数图象的交点横坐标，即； ②，为与函数图象的交点横坐标，即； ③，为与函数图象的交点横坐标，即； 综上：当为等腰三角形时，线段长度的近似值为或或． 故选：DFH 5．（九·重庆铜梁·期末）如图，在中，将边绕点顺时针旋转得到，． （1）如图，当时，连接，，若，，，求线段的长； （2）如图，当时，过点作边上的高，在上截取，连接交于点，猜想，之间的数量关系，并证明你的结论； （3），，连接，若，当点与所在直线的距离最大时，作点关于的对称点，请直接写出的值． 【答案】（1）     （2） ，证明：过点 作于点， 是边上的高， ， ， 将边绕点顺时针旋转得到，， ，， ， ，，， ， ，， ， ，，即， ，，， ， ， ；     （3）      【分析】 （1）过点作于点，根据旋转的性质可得，，得到四边形是矩形，从而根据矩形的性质结合勾股定理解直角三角形即可得解； （2）过点作于点，通过旋转的性质先证明，得到，，再证明，通过线段的等量代换即可得证； （3）点的运动轨迹为以点为圆心，长为半径的半圆，当时，点与所在直线的距离最大，从而确定点的位置，作点关于的对称点，与相交于，过点作于，交于，过点作交延长线于，通过对称的性质，三角形内角和定理证明四边形是矩形，是等边三角形，得到，，通过勾股定理解直角三角形表示出，，，进而计算出的值，即可得到． (1) 小问详解： 解：如图，过点作于点， ，，， ， 将边绕点顺时针旋转得到，， ，， 四边形是矩形， ，， ， 在中，； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：如图所示，点的运动轨迹为以点为圆心，长为半径的半圆，当时，点与所在直线的距离最大， 根据旋转可得，此时，是等腰直角三角形， ， 作点关于的对称点，与相交于，过点作于，交于，过点作交延长线于， ，， ，， ，， ， 根据对称可得，，， ，， ，， 四边形是矩形，是等边三角形， ，， ， ，， ， ， ， ，即， ， ， ， ． 【点睛】 本题考查了旋转的性质，轴对称的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形、等边三角形的判定与性质等，解题的关键是构造合适的辅助线作直角三角形、全等三角形以得到相关结论． 6．（25-26学年九上·重庆铁路中学校·期中）在中，，，D为的中点，E，F分别为，上任意一点，连接，将线段绕点E顺时针旋转90°得到线段，连接，． （1）如图1，点E与点C重合，且的延长线过点B，若点P为的中点，连接，求的长； （2）如图2，的延长线交于点M，点N在上，且，求证：； （3）如图3，F为线段上一动点，E为的中点，连接，H为直线上一动点，连接，将沿翻折至所在平面内，得到，连接，直接写出线段的长度的最小值． 【答案】（1）2     （2） 如图，过点作交的延长线于点， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 在与中，    ， ， ， ， 又，，    ， ， ， ， ，    又， ， , ， ， ， ， ；     （3）      【分析】 （1）根据已知条件可得为的中点，证明，进而根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解； （2）过点作交的延长线于点，证明，，可得，进而根据，即可得出结论， （3）根据（2）可知，当点在线段上运动时，点在平行于的线段上运动，根据题意作出图形，根据点到圆上的距离求最值即可求解． (1) 小问详解： 如图，连接 将线段绕点E顺时针旋转90°得到线段， 是等腰直角三角形， P为FG的中点， ， ， ， ，D为的中点，， ，， ， 在中，； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 由（2）可知， 则当点在线段上运动时，点在平行于的线段上运动， 将沿翻折至所在平面内，得到， E为的中点， ， ， 则点在以为圆心为半径的圆上运动，当三点共线时，最小， 如图，当运动到与点重合时，取得最小值，． 如图，当点运动到与点重合时，取得最小值， 此时，则． 综上所述，的最小值为． 【点睛】 本题考查了等腰三角形的性质与判定，直角三角形斜边上的中线，勾股定理，全等三角形的性质与判定，轴对称线的性质，点到圆上一点距离最值问题，正确的添加辅助线是解题的关键． 考点02 过三点的圆 1．（25-26学年九上·重庆两江育才中学校·期中）如果一个直角三角形的两边分别是6，8，那么直角三角形外接圆的半径是　　　　　　． 【答案】4或5 【分析】 本题考查了三角形的外接圆与外心、勾股定理．熟练掌握直角三角形的外接圆半径为斜边边长的一半是解题的关键． 根据题意分两种情况讨论，然后由“直角三角形的外接圆是以斜边中点为圆心，斜边长的一半为半径的圆”来求该直角三角形外接圆半径即可． 【详解】 解：在一个直角三角形中，两边长分别是6，8， 当6，8是直角三角形的两条直角边时， 根据勾股定理知，该直角三角的斜边长为， 此三角形的外接圆的半径是； 当8是直角三角形的斜边时， 此三角形的外接圆的半径是4； 综上所述，这个三角形的外接圆的半径是4或5． 故答案是：4或5． 考点03 垂直于弦的直径 1．（25-26学年九上·重庆永川区文理·期中）如图，一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为，瓶内液体的最大深度，则截面圆中弦的长为（） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了垂经定理，勾股定理，解题的关键是熟练掌握知识点．由垂径定理和勾股定理求出的长，即可得出答案． 【详解】 解：如图所示，连接,可知三点共线， 由题意得：， 在中，根据勾股定理得， 即截面圆中弦AB的长为， 故选：C． 2．（25-26学年九上·重庆永川中学校·期中）如图，的弦，圆心O到的距离为4，则的半径为（     ） A. 3 B. 5 C. 4 D.  【答案】B 【分析】 本题考查了垂径定理，勾股定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键．根据垂径定理可得，再根据勾股定理即可求得答案． 【详解】 解：由题意知，， ， ， 即的半径为5． 故选：B． 3．（25-26学年九上·重庆·期末）如图，是的弦，半径于点．若，．则的长是（　　） A. 3 B. 2 C. 6 D.  【答案】A 【分析】 本题考查了垂径定理，勾股定理，熟悉掌握垂径定理是解题的关键． 由垂径定理得到的长，再由勾股定理解答即可． 【详解】 解：∵，， ∴， 又∵， ∴在中，， 故选：A． 4．（25-26学年九上·重庆礼嘉中学校·期中）下列说法中正确的是（     ） A. 长度相等的两条弧是等弧 B. 平分弦的直径一定垂直于弦 C. 矩形的对角线相等且互相平分 D. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 【答案】C 【分析】 本题考查圆、矩形和平行四边形的性质．选项A错误，因为等弧需在同圆或等圆中；选项B错误，平分弦的直径不一定垂直于弦（当弦为直径时）；选项C正确，符合矩形性质；选项D错误，如等腰梯形满足条件但不是平行四边形． 【详解】 解：长度相等的两条弧不一定是等弧，需在同圆或等圆中，故A错误； 平分弦的直径不一定垂直于弦，当弦为直径时，直径平分但不一定垂直，故B错误； 矩形的对角线相等且互相平分，这是矩形的性质，故C正确； 一组对边平行且另一组对边相等的四边形可能是等腰梯形，不一定是平行四边形，故D错误． 故选：C． 5．（25-26学年九上·重庆铁路中学校·期中）如图，，交于点，，是半径，且于点． （1）若，求的半径； （2）求证：． 【答案】（1）     （2） 证明：∵， ∴， 由（1）得， ∴， ∴．      【分析】 本题考查了垂径定理，勾股定理，等腰三角形的性质； （1）由垂径定理得，设，由勾股定理得，即可求解； （2）由等腰三角形的性质得，即可得证； 掌握垂径定理，等腰三角形的性质，能熟练利用勾股定理进行求解是解题的关键． (1) 小问详解： 解：∵是的半径，是的弦，， ∴， 设， 则， ∵， ∴， 解得：， ∴的半径为； (2) 小问详解： 略 6．（25-26学年九上·重庆暨华中学校·期中）如图，为四边形的外接圆，，若D是的中点，且，，则的半径为　　　　　　， 　　　　　　． 【答案】① 5    ② 【分析】 本题考查了垂径定理，勾股定理．连接并延长交于点，连接，设的半径为，在中，由勾股定理列式计算求得半径的长；在和中，利用垂径定理和勾股定理列式计算即可求解． 【详解】 解：连接并延长交于点，连接， 设的半径为，则，， ∵，， ∴， ∵D是的中点， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， 解得，即的半径为； ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得① ， 在中，由勾股定理得② ， 得， 解得， ∴， ∴， 故答案为：；． 7．（25-26学年九·重庆綦江区未来学校·期中）如图，在中，直径于点E，，，则弦的长为　　　　　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了垂径定理和勾股定理，熟练掌握垂径定理，由勾股定理得出方程是解题的关键． 由垂径定理得，设的半径为，则，在中，由勾股定理得出方程，求出，即可得出，在中，由勾股定理即可求解． 【详解】 解：，， ， 设的半径为，则， 在中，由勾股定理得：，即， 解得：， ，， ， 在中，由勾股定理得：， 故答案为：． 考点04 圆心角 1．（25-26学年九·重庆綦江区未来学校·期中）如图中，A、B、C均为圆上的点，下列说法：①若，则； ② 若，则；③若，则；④若，则O点到弦的距离相等．其中正确的个数有（       ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【分析】 本题主要考查圆心角、弧、弦心距的关系，根据“在同圆或等圆中，如果两个圆心角对应的两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们对应的其余各组量也相等”进行判断即可 ． 【详解】 解：∵在同圆或等圆中，如果两个圆心角对应的两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们对应的其余各组量也相等． ∴① 若，则，所以，此说法正确； ② 若，则，所以，此说法正确； ③ 若，则，所以，此说法正确； ④ 若，则O点到弦的距离相等，所以，此说法正确； ∴说法正确的是① ② ③ ④ ，共4个， 故选：D． 2．（25-26学年九上·重庆杨家坪中学·期中）国家卫生健康委员会宣布将2025年定为“体重管理年”，并实施为期三年的体重管理行动．某校响应号召，计划组织全校学生开展系列体育活动，筹备足球、排球、篮球、羽毛球四个球类运动的体育社团，倡导学生全员参加，为了解学生对这四项球类运动的喜爱情况，随机抽取各个校区的部分学生，对其进行了“我最喜爱的球类运动项目”问卷调查（每名学生在这四项球类运动项目中选择且只能选择一项），将这部分学生的问卷进行整理，依据样本数据绘制了如下两幅不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：_____； （2）被调查学生中最喜欢打篮球的人数是_____人； （3）扇形统计图中，“足球”对应扇形的圆心角为_____， （4）若全校总共有9000名学生，请你估计该校最喜爱篮球运动的学生有多少人？ 【答案】（1）24     （2）16     （3）     （4）估计该校最喜爱篮球运动的学生有2880人      【分析】 本题考查的是条形统计图和扇形统计图，用样本估计总体．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键． （1）用排球的人数除以可得样本容量，再用足球的人数除以样本容量即可求出的值； （2）用样本容量分别减去其它三个球类的人数可得篮球人数； （3）用乘足球对应的百分比即可得到答案； （4）用样本估计总体进行计算即可． (1) 小问详解： 解：样本容量为：， 故． 故答案为：24． (2) 小问详解： 解：篮球人数为：． 故答案为：16． (3) 小问详解： 解：扇形统计图中，“足球”对应扇形的圆心角为：． 故答案为：． (4) 小问详解： 解：依题意，（人）． 答：估计该校最喜欢篮球运动的学生约有2880人． 考点05 圆周角 1．（25-26学年九·重庆江津区实验中学·期末）如图，是的弦，半径于点，，点P在圆周上，则等于（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 由垂径定理，得到直角三角形和弧相等，根据圆周角定理得到角的关系，将角代入求解即可． 【详解】 是的弦，半径于点， ，， ， ； 故选：D． 【点睛】 本题考查了圆周角定理，垂径定理，熟练掌握这两个定理是解题的关键． 2．（25-26学年九上·重庆开州区文峰·期中）如图，点A，B，C在上，，的度数是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查的是圆周角定理，根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半，即可求解，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 【详解】 解：根据圆周角定理，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半， ． 故选：B． 3．（25-26学年九上·重庆凤鸣山中学·期中）如图，已知A，B，C是圆O上的三点，，则的大小为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了圆周角定理．熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 由圆周角定理得，，计算求解即可． 【详解】 解：∵， ∴， 故选：B． 4．（25-26学年九上·重庆礼嘉中学校·期末）如图，点A，B，C，D在上，弦，，则的度数是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查了圆周角定理，平行线的性质．根据，可得，再由圆周角定理，即可求解． 【详解】 解：∵，， ∴， ∴． 故选：B 5．（25-26学年九上·重庆育才中学校·期中）如图，在中，，，则的大小为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查垂径定理，圆周角定理．掌握垂径定理及圆周角定理是解题的关键． 由，根据垂径定理可得，然后由圆周角定理，即可求得的度数． 【详解】 解：∵，， ∴， ∴． 故选：D． 6．（2026·重庆育才中学校·三模）下列说法中正确的是（     ） A. 矩形的对角线相等且互相平分 B. 同弦或等弦所对的圆周角相等 C. 平分弦的直径一定垂直于弦 D. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 【答案】A 【分析】 本题考查矩形的性质、圆周角定理、垂径定理和平行四边形的判定，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据矩形的性质、圆周角定理、垂径定理和平行四边形的判定，逐一判断选项的正误． 【详解】 解：A、矩形的对角线相等且互相平分，故此选项正确，符合题意； B、同弦所对的圆周角可能相等也可能互补，故此选项错误，不符合题意； C、当弦为直径时，平分弦的直径不一定垂直于弦，故此选项错误，不符合题意； D、一组对边平行且另一组对边相等的四边形可能是等腰梯形，不一定是平行四边形，故此选项错误，不符合题意． 故选：A． 7．（25-26学年九上·重庆江津中学校·期中）如图，是的直径，，则的度数是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查了同弧或等弧所对的圆周角相等，直径对的圆周角是直角，熟练掌握同弧或等弧所对的圆周角相等是解题的关键；根据是的直径得出，即可求解． 【详解】 解：∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ 故选：B． 8．（25-26学年九上·重庆铁路中学校·期中）如图，是的直径，C，D在上，且在异侧，若，则的度数为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查圆周角定理，先根据邻补角求出，然后利用圆周角定理解题即可． 【详解】 解：∵， ∴， ∴， 故选：C． 9．（25-26学年九上·重庆永川区文理·期中）如图，点、、在上，，则的度数是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查圆周角定理，根据圆周角定理，求出的度数，等边对等角求出的度数即可． 【详解】 解：∵点、、在上，， ∴，， ∴； 故选B． 10．（25-26学年九上·重庆第七中学校·期中）如图，点A，B，C在上，，的度数是（     ） A. 40° B. 50° C. 80° D. 100° 【答案】D 【分析】 本题考查圆周角定理，解题的关键是掌握圆周角定理（同弧所对的圆心角是圆周角的两倍）． 根据圆周角定理，同弧所对的圆心角与圆周角存在两倍的关系，由此可求出的度数． 【详解】 解：根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的两倍， ， ， ． 故选：D． 11．（25-26学年九上·重庆长寿实验中学校·期中）如图，，，是上的三点，，，那么的半径等于（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了圆周角定理和等边三角形的判定与性质，掌握相关性质定理是解题的关键．根据圆周角定理求得，结合，可证明是等边三角形，根据等边三角形的性质即可得解． 【详解】 解：，，是上的三点，， ， ，    是等边三角形， ， 即的半径等于． 故选：D． 12．（25-26学年九上·重庆两江育才中学校·期中）如图，是的直径，，则的度数为（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了圆周角定理，根据同圆或等圆中同弧或等弧所对的圆心角是圆周角的倍，可知，根据的度数可求的度数． 【详解】 解：是中所对的圆周角，是中所对的圆心角， ． 故选：C． 13．（九·重庆铜梁·期末）如图，点，，在上，若，则的度数为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了圆周角定理，等腰三角形性质，三角形的内角和定理的应用，解此题的关键是求出度数和得出． 根据圆周角定理求出，根据等腰三角形性质得出，根据三角形内角和定理求出即可． 【详解】 解：， ， ， ， 故选：D． 14．（25-26学年九上·重庆铜梁区铜梁·期中）如图，点，，均在上，若，则（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，圆内接四边形的性质，由等腰三角形得，所以，再根据圆周角定理可得，最后由圆内接四边形的性质即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∴， 故选：． 15．（2026·重庆育才中学校·三模）如图，正方形中，点分别是和边的点，满足，连接，过点作，连接是上一点，且，若，则的度数为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题主要考查正方形的性质、全等三角形的性质与判定及圆的基本性质，熟练掌握正方形的性质、全等三角形的性质与判定及圆的基本性质是解题的关键；由题意得，则有，然后根据题意可知点D、C、F、G四点共圆，且为直径，由可知点H为圆心，进而根据圆的基本性质可进行求解． 【详解】 解：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点D、C、F、G四点共圆，且为直径，由可知点H为圆心，如图所示，    ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴； 故选C． 16．（25-26学年九上·重庆礼嘉中学校·期中）如图，在中，为直径，、为圆上的点，若，则的大小为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了圆周角定理（直径所对圆周角为直角、同弧所对圆周角相等），解题的关键是利用直径的性质得到直角，结合同弧圆周角相等推导角的关系． 由为直径得；同弧所对的；在中，计算． 【详解】 解：∵为的直径， ∴（直径所对的圆周角为直角）． ∵与所对的弧均为， ∴（同弧所对的圆周角相等）． 在中， 故选：D． 17．（25-26学年九上·重庆南开中学校·期中）如图； 四边形内接于 ，若 ，则图中阴影部分的面积为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 连接，过点O作于点E,先得到是等边三角形，则，，由等腰三角形的性质得到，然后解，求出，，最后由求解即可． 【详解】 解：如图，连接，过点O作于点E． ∵为四边形的外接圆，， ∴． ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴，， ∴． 故选：B． 【点睛】 本题考查了圆的与四边形的综合题，涉及圆周角定理，圆的内接四边形，扇形面积公式，解直角三角形，等边三角形的判定与性质等知识点． 18．（25-26学年九上·重庆云阳县第二初级中学·期中）如图，、为的弦，为直径，、相交于点，若，，则(       ) A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了圆周角定理及推论，三角形内角和定理． 根据圆周角定理得，根据得，可得，据此计算即可得． 【详解】 解：∵是直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 19．（25-26学年九上·重庆杨家坪中学·期中）如图，为的直径，，，则的度数为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了垂径定理，圆周角定理，直角三角形的两个锐角互余，掌握相关知识是解题的关键．先根据为的直径，，得到，则，再根据圆周角定理得到，进而即可求解． 【详解】 解：∵为的直径，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 20．（25-26学年九上·重庆巴蜀中学·期中）如图，在中，是直径，C是上一点，连接，，过点O作于点E，交于点D，连接，若，，则的长为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题主要考查垂径定理，圆周角的性质及勾股定理，熟练掌握垂径定理，圆周角的性质及勾股定理是解题的关键；由题意易得，则有，，由垂径定理可得，然后根据勾股定理可进行求解． 【详解】 解：∵是的直径， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选C． 21．（25-26学年九上·重庆·期末）如图，是的直径，，C为半圆O的三等分点（靠近点A），P为上一动点．则的度数是　　　　　　　　；若D为的中点，则线段的最小值为　　　　　　　　． 【答案】① 度    ② 【分析】 如图所示，连接，首先求出，然后利用圆周角定理即可求出的度数；连接，，先证明点D的运动轨迹为以为直径的，连接，，，当点D在上时，的值最小，利用勾股定理求出即可解决问题． 【详解】 如图所示，连接， ∵C为半圆O的三等分点（靠近点A）， ∴ ∴； 连接， ∵D为的中点， ∴， ∴， ∴点D的运动轨迹为以为直径的，连接，，， 当点D在上时，的值最小， ∵，， ∴是等边三角形， ∵， ∴， 在中，， ，， ∴， ∵， ∴． ∴线段的最小值为． 故答案为：，． 【点睛】 此题考查了圆周角定理，圆上一点到圆外一点最值问题，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找点D的运动轨迹，学会构造辅助圆解决问题． 22．（25-26学年九上·重庆·期末）已知直线， 在直线上方求作一点， 使得． 下面是小张的作法： ①分别以，为圆心，长为半径画弧，在直线下方交于点； ②以点为圆心，长为半径画圆； ③在 上任取一点 （不与，重合）， 连接，． 则为所求． （1）使用无刻度的直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明． 证明：在直线下方的圆弧上任取一点（不与，重合），连接，，，． ， 是等边三角形． ． ，                （                      ）（填推理的依据） ． 四边形 内接于， （                      ）（填推理的依据） ． 【答案】（1） 如图所示，为所求：      （2）；同弧所对圆周角等于该弧所对圆心角的一半；圆内接四边形对角互补      【分析】 （1）按照题目所给作法作出相应图形即可； （2）根据等边三角形的判定与性质可得，再根据圆周角定理可得，最后再根据圆内接四边形对角互补的性质即可证得． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 【点睛】 本题考查的知识点是尺规作圆，圆周角定理，圆内接四边形的性质，等边三角形的判定和性质，解题关键是熟练掌握圆的相关性质． 23．（25-26学年九上·重庆南开中学校·期中）如图， 是 的直径，弦 ，连接 ， ，若 ，则 　　　　　　　　　　． 【答案】度 【分析】 题目主要考查垂径定理及圆周角定理，连接，根据题意得出，再由圆周角定理求解即可． 【详解】 解：连接， ∵ 是 的直径，弦 ， ∴， ∴， 故答案为：． 24．（25-26学年九上·重庆永川区文理·期中）如图，为的直径，为上半圆的一个动点，于点，的角平分线交于点．且的半径为5，连接，则　　　　　　；若弦的长为6，则　　　　　　． 【答案】①     ② 【分析】 如图1，连接，由是的角平分线，可得，由，可得，则，，，由勾股定理得，；如图1，过点A作于点F，由，可得，由勾股定理得，，可求，由勾股定理得，根据，计算求解即可． 【详解】 解：如图1，连接． ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得，； 如图1，过点A作于点F， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形，， 由勾股定理得，， 解得，， 由勾股定理得， ∴． 故答案为：，． 【点睛】 本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，勾股定理的应用，圆周角定理的应用，二次根式的加减运算等知识．熟练掌握等腰三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，勾股定理，圆周角定理是解题的关键． 25．（25-26学年九上·重庆永川区文理·期中）如图，已知点，，在上，是延长线上一点，请用尺规完成基本作图：作出的角平分线交于点，连接，，猜想线段与的数量关系，并证明你的猜想．（尺规作图保留作图痕迹，不写作法） 证明：∵四边形为内接四边形， ∴     ①      ， ∵， ∴     ②     ， ∵平分， ∴     ③     ， ∴， 又∵     ④     （同弧所对的圆周角相等）， ∴， ∴． 【答案】作图如图， ，，，． 【分析】 先作出作出的角平分线，然后通过圆周角定理得，又，则，再由圆周角定理得，再利用弧、弦、圆心角的关系即可求解． 【详解】 略 【点睛】 本题考查了尺规作图——作角平分线，圆周角定理，圆内接四边形的性质，弧、弦、圆心角的关系，掌握知识点的应用是解题的关键． 26．（25-26学年九上·重庆开州区文峰·期中）如图，是的直径，点D为下方上一点，点C为的中点，连接，，．延长、交于点E．若，，则　　　　　　　　，　　　　　　　　． 【答案】①     ② 【分析】 本题考查了圆周角定理，中位线的性质，勾股定理，熟练利用勾股定理列方程是解题的关键． 利用圆周角定理可得，，推出，设的半径为，则，，利用勾股定理列方程即可求得半径，利用勾股定理得到，即可解答． 【详解】 解：是的直径， ， ，， 点C为的中点， ， ， ， ， ， ， 是的中位线， 设的半径为，则，， ， ，， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， ， ， 整理得：， 解得：，（不合题意，舍去）， 的半径为3， ， ， ， 故答案为：；． 27．（25-26学年九上·重庆永川中学校·期中）如图，在等腰中，，线段绕点在平面上旋转． （1）如图，若，线段旋转到延长线上，过点作，交于，，求的度数（用含的式子表示）； （2）如图，若，线段绕点旋转过程中，点恰好落在边上，过点作，连接，使得且，试用等式表示线段之间的数量关系，并说明理由； （3）如图，若，，连接，过点作，交延长线于点．当取最大值时，请直接写出的值． 【答案】（1）；     （2） ，理由： 如图，过作于点，过作交延长线于点， 由旋转性质可知：，， ∴， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴都是等腰直角三角形， ∴，， ∴由勾股定理得：，， ∴，， ∵， ∴， ∴；     （3）．      【分析】 （）由，，得，再根据直角三角形的性质得，最后三角形的内角和定理即可求解； （）过作于点，过交延长线于点，由旋转性质得，，证明，通过性质证明是等腰直角三角形，，，然后由勾股定理和线段和差即可求解； （）当时，取最大值，过作交于点，先证明点四点共圆，然后证明，则，设，，则，，，再由勾股定理得出，，最后解方程即可求解． (1) 小问详解： 解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：如图，在中，， ∵不变， ∴最小时，最大，即有最大， 则根据垂线段最短可知：当时，取最大值，过作交于点， ∵， ∴， ∵， ∴点四点共圆， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，，则，，， 由勾股定理得：，， ∴，， ∴， 整理得：， 解得：，（舍去）， ∴， ∴． 【点睛】 本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，三角形内角和定理，勾股定理，圆周角定理，解一元二次方程，垂线段最短，熟练掌握这些知识点的应用是解题的关键． 28．（25-26学年九上·重庆长寿实验中学校·期中）如图，四边形内接于，，，，则　　　　　　　　；的半径是　　　　　　　　． 【答案】①     ② 【分析】 过点作交的延长线于点，过点作直径，连接，根据圆内接四边形的性质求得，，通过证明， 得到， 进而得到，利用勾股定理可求得的长， 然后在中，根据得，由此可求得的长，由此可得的半径． 【详解】 解：如图所示，过点作交的延长线于点，过点作直径，连接， ， ， 四边形内接于，， ，，， ，， ， ，， 是等腰直角三角形， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ， 即， 在中，由勾股定理得：， 即，解得（负值已舍去）， 是的直径， ， 在中，， ， ， 由勾股定理得：， ， 的半径是． 故答案为：；． 【点睛】 本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，勾股定理，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，含度角的直角三角形的性质，熟练掌握相关性质定理是解决问题的关键． 29．（25-26学年九上·重庆江津中学校·期中）如图，是的外接圆，弦交于点E，，，过点O作于点F，延长交于点G，若，，则的长为　　　　　　，的长为　　　　　　． 【答案】① 2    ② 14 【分析】 本题考查全等三角形的判定与性质、圆周角定理、直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质、垂径定理、勾股定理等知识点． 先证明可得，可得到是等边三角形，再根据根据含30度角的直角三角形性质可得长；结合已知即可得出，再由垂径定理即可求得，作于点M，再根据含30度角的直角三角形性质可得，然后利用勾股定理即可求得． 【详解】 解：连接， ∵， ∴， ∴． 又∵， ∴． ∴是等边三角形， ， ∵， ，， ∵， ∴． 故答案为：2； 又∵， ∴， ∴， 作于点M，       ∵， ， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：14． 30．（25-26学年九上·重庆暨华中学校·期中）在等腰中，，D为上一点，连接． （1）如图1，延长至点E，使，且，过点B作，垂足为点F，若，求的长度； （2）如图2，平分，过点C作，垂足为点P．证明：； （3）如图3，若将绕沿直线翻折到，点A的对应点为点Q，在直线上方有点M，满足，点N在线段上，若，请直接写出的最小值． 【答案】（1）     （2） 证明：延长交于点G， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴；      （3）      【分析】 （1）根据等腰性质，，得,根据平行线性质得，根据，得，得，由勾股定理得,得； （2）延长交于点G，根据平分， ，证明，得，根据，证明 ，结合，得，得，即得 （3）点M是在以为圆周角的上运动，得，，求出 ，得，由翻折知，四边形是正方形，作点D关于的对称点H，连接，过点O作，交直线于点I，K，得，可得，得，得，得，，根据，得，得,,得的最小值为． (1) 小问详解： 解：∵等腰中，， ∴， ∴, ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵, ∴； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： ∵， ∴点M是在以为圆周角的的圆弧上运动，设J是上与点M在另侧一点， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， 由翻折知，， ∵， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， 作点D关于的对称点H，连接， 则， 过点O作，交直线于点I，K， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴, ∴, ∵，当H、N、M、O共线时取等号， ∴的最小值为． 【点睛】 本题考查了等腰三角形综合．熟练掌握等腰直角三角形性质，全等三角形的判定和性质，正方形判定和性质，矩形判定和性质，勾股定理，轴对称性质，圆周角定理，圆内接四边形性质，是解题的关键． 31．（25-26学年九上·重庆第七中学校·期中）如图，在等腰中，，线段绕点A在平面上旋转． （1）如图1，若，线段旋转到延长线上，过点作，交于，，求的度数(用含α 的式子表示)； （2）如图2，若，线段绕点旋转过程中，点恰好落在边上，过点作，连接，使得且，求证：； （3）如图3，若，，连接，过点作，交延长线于点．当取最大值时，请直接写出的值． 【答案】（1）     （2） 证明：如图，过作于点，过作交延长线于点， 由旋转性质可知：，， ∴， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴都是等腰直角三角形， ∴，， ∴由勾股定理得：，， ∴，， ∵， ∴， ∴；     （3）      【分析】 （1）由，，得，再根据直角三角形的性质得，最后由三角形的内角和定理即可求解； （2）过作于点，过点作交延长线于点，由旋转性质得，，证明，证明是等腰直角三角形，，，然后由勾股定理和线段和差即可求解； （3）当时，取最大值，过作交于点，先证明点四点共圆，然后证明，则，设，，则，，，再由勾股定理得出，，最后解方程即可求解． (1) 小问详解： 解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：如图，在中，， ∵不变， ∴最小时，最大，即有最大， 则根据垂线段最短可知：当时，取最大值，过作交于点， ∵， ∴， ∵， ∴点四点共圆， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，，则，，， 由勾股定理得：，， ∴，， ∴， 整理得：， 解得：，（舍去）， ∴， ∴． 【点睛】 本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，三角形内角和定理，勾股定理，圆周角定理，解一元二次方程，垂线段最短，熟练掌握这些知识点的应用是解题的关键． 32．（25-26学年九上·重庆第十八中学）如图，是的直径，内接于，点I为的内心，连接并延长交于点D，E是上任意一点，连接，，，．当度，则　　　　　　度；当，，则的周长为　　　　　　． 【答案】①     ② 【分析】 利用圆周角定理得到，再根据三角形的内角和定理求，然后利用圆内接四边形的对角互补求解即可；过点作于点G，连接，由三角形的内心性质得到内心，，，然后利用圆周角定理得到，，利用三角形的外角性质证得，证明；然后依次求出，，即可． 【详解】 解：∵是的直径， ∴， 又， ∴， ∵四边形是内接四边形， ∴， ∴； 过点作于点G，连接， ∵点I为的内心， ∴，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的周长为． 故答案为：，． 【点睛】 本题考查圆周角定理、圆内接四边形的性质、三角形的内心性质、三角形的外角性质、勾股定理等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． 33．（25-26学年九上·重庆两江育才中学校·期中）如图，是内接三角形，的半径是，，，的角平分线交于点，交于点，连接、，过点作的切线交的延长线于点，则线段的长度为　　　　　　，线段的长度为　　　　　　． 【答案】①     ② 【分析】 如图，作直径，连接，，过点作于点，证明是等边三角形，得，由是的直径，得，，进而得，由勾股定理得，由是的切线，得，进而证明，利用相似三角形的性质即可得解． 【详解】 解：如图，作直径，连接，，过点作于点， ∵，的角平分线交于点， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 解得． 故答案为：，． 【点睛】 本题主要考查了圆周角定理的推论，等边三角形的判定及性质，勾股定理，相似三角形的判定及性质，度直角三角形的性质，熟练掌握圆周角定理的推论，等边三角形的判定及性质，勾股定理，相似三角形的判定及性质是解题的关键． 考点06 弧长和扇形面积 1．（25-26学年九上·重庆·期末）如图所示，半径为1的圆中，圆心角为的扇形的面积为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查扇形的面积，熟练掌握扇形的面积公式是解题的关键，根据扇形的面积公式代入计算即可得到答案． 【详解】 解：∵，， ∴根据扇形面积公式：， 故选：C． 2．（九·重庆铜梁·期末）如图，中，，，，以点A为圆心、为半径画弧，交于点E，以点B为圆心、为半径画弧，交于点F，则图中阴影部分面积为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题主要考查了求不规则图形的面积，平行四边形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定，过点D作于点G，证明是等腰直角三角形，得到，利用勾股定理推出，由平行四边形对边平行推出，再根据列式求解即可． 【详解】 解：如图所示，过点D作于点G， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴； ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， 由作图方法可得， ∴， ∴ ， 故选：C． 3．（25-26学年九上·重庆铜梁区铜梁·期中）如图，边长为1的正方形的顶点B在上，顶点A，C在内，的延长线交于点D，则图中阴影部分的面积为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题主要考查求不规则图形的面积，掌握扇形的面积公式，是解题的关键． 根据正方形的性质和勾股定理得的半径为，结合扇形与三角形的面积公式，即可得到答案． 【详解】 解：连接， ∵四边形是正方形， ∴， ∴，即的半径为， ∴=． 故选：A． 4．（25-26学年九上·重庆暨华中学校·期中）如图，与相切于点，，且的直径为，，则阴影部分的面积为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查求不规则图形面积，涉及切线性质、等腰直角三角形的判定与性质、直角三角形面积和扇形面积公式等知识，根据题意，阴影部分面积可间接表示为面积与扇形面积的差，求出线段长代入面积公式求解即可得到答案，熟练掌握不规则图形面积求法及切线性质是解决问题关键． 【详解】 解：连接，如图所示：    与相切于点， ， 的直径为，， ， 均为等腰直角三角形， ， ，， 阴影部分的面积为， 故选：C． 5．（25-26学年九上·重庆第一中学校·期中）如图，线段是的直径，点是圆上两点，连接，，，若，，则阴影部分的面积为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 先由得到，，再由直径所对的圆周角是直角得到，在中，设，则，再由勾股定理列方程求解得到，再由扇形面积公式代值求解即可得到答案． 【详解】 解：， ，， 线段是的直径， ， 在中，设，则， 由于，根据勾股定理可得， ， 解得， 的半径为， 则阴影部分的面积为， 故选：B． 【点睛】 本题考查求扇形面积，涉及圆周角定理、含的直角三角形性质、勾股定理及扇形面积公式，熟记圆周角定理、勾股定理及扇形面积公式是解决问题的关键． 6．（25-26学年九上·重庆十一中教育）如图，已知扇形，在其内部作一个菱形，其中点D、E分别在、上，点C在上．若，，则图中阴影部分的面积为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了扇形面积与菱形面积的计算，解题的关键是利用菱形性质确定角度，结合三角函数求高，通过“阴影面积扇形面积菱形面积”计算． 连接，由菱形性质得；过作，用含角的直角边等于斜边的一半求；计算扇形与菱形的面积，作差得阴影面积． 【详解】 解：连接，过作于． ∵ 四边形是菱形，， ∴ ，， 又， ∴ ， 由得，则， ∴，， 即,解得，即， ∴菱形的面积． 扇形的面积， ∴ 阴影面积， 故选：C． 7．（25-26学年九上·重庆礼嘉中学校·期末）如图，点B、E是以为直径的半圆O的三等分点，弧的长为，，则图中阴影部分的面积为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题主要考查了求扇形的面积，勾股定理，求弧长，直角三角形的性质，余弦函数．先连接，设半径为R，根据“弧，弦，圆心角的关系”得，可得，再根据弧长公式求出即，接下来根据特殊角的三角函数值求出，再解直角三角形求出，，即可求出，最后根据得出阴影部分的面积． 【详解】 解：连接，设半径为R， ∵点B,E是半的三等分点， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， 解得即． ∵是的直径， ∴， ∴， 在中，， ∴, 根据勾股定理，得， ∴． ∵和的面积相等， ∴． 故选：A． 8．（25-26学年九上·重庆铁路中学校·期中）如图，是的弦，半径，则阴影部分的面积为（） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 过点O作于C，延长交于D，求出，得，由计算即得． 【详解】 解：过点O作于C，延长交于D． 则． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． ∴ ． 故选：A． 【点睛】 本题考查了弓形面积计算．熟练掌握垂径定理，勾股定理，余弦定义，30度的三角函数值，含30度的直角三角形性质，扇形面积和三角形面积公式，是解题的关键． 9．（25-26学年九·重庆江津区实验中学·期末）如图，四边形是菱形，，，扇形的半径为6，圆心角为，则图中阴影部分的面积是　　　　　　　　　　（结果保留）． 【答案】 【分析】 本题考查了扇形面积的计算，掌握扇形、菱形的面积公式即割补法是解题的关键．连接，将扇形补到扇形的位置，从而得到即可得到答案． 【详解】    连接，将扇形补到扇形的位置， ， 四边形是菱形， ， 过D 作于点H，     ， ， ∵扇形的圆心角为60°，， ． 10．（25-26学年九上·重庆沙坪坝区重庆第一中学校·期中）如图，在菱形中，点是对角线的中点，分别以点、为圆心，长为半径画弧，分别交、于点、，交、于点、．若，，则图中阴影部分的面积为　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查扇形面积的计算，菱形的性质，掌握扇形面积的计算方法以及菱形的性质是正确解答的前提． 根据菱形的性质求出对角线的长，进而求出菱形的面积，再根据扇形面积的计算方法求出两个空白扇形的面积，可得答案． 【详解】 解：∵在菱形中，点是对角线的中点，，， ∴与交于点，，，，， ∴，， ∴，， ∴菱形的面积为， ∴图中阴影部分的面积为， 故答案为：． 11．（25-26学年九上·重庆两江育才中学校·期中）在认识圆锥主题活动课上，芳芳用半径，圆心角的扇形纸板，做了一个圆锥形的生日帽，如图所示．在不考虑接缝的情况下，这个圆锥形生日帽的高是　　　　． 【答案】 【分析】 先利用弧长公式得到圆心角为，半径为的扇形的弧长为，根据圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥的底面圆的周长，则可计算出圆锥的底面圆的半径为，然后根据勾股定理可计算出圆锥的高． 本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥的底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了弧长公式和勾股定理． 【详解】 解：∵半径，圆心角的扇形纸板， ∴扇形的弧长为， 设圆锥的底面圆半径为r， ∴， 解得， 故圆锥的高为：， 故答案为：． 12．（25-26学年九上·重庆礼嘉中学校·期中）如图，在菱形中，分别以点、为圆心，、长为半径画弧，分别交对角线于点，．若，，则图中阴影部分的面积为　　　　　　．（结果不取近似值） 【答案】 【分析】 本题考查了菱形的性质，等边三角形的性质，扇形面积的计算，理解菱形的对称性是解题的关键．构造扇形，扇形，连接，通过两个公式：两个扇形组合构成的中间花瓣的面积，求解即可． 【详解】 解：构造扇形，扇形，连接， 菱形既是中心对称图形，也是轴对称图形， ， ， ， ， 在菱形中，， ， ， 令交于点， 在中，， ，， ，， ． 故答案为：． 13．（25-26学年·重庆第二外国语学校·期中）半径为2的扇形的圆弧和以为直径的半圆围成如图所示的阴影部分，已知，则阴影部分的面积为　　　　　． 【答案】2 【分析】 本题主要考查了扇形面积的计算，熟知扇形的面积公式是解题的关键． 先求出中间空白部分的面积，再用以为直径的半圆面积减去中间空白部分的面积即可． 【详解】 解：，且， . ， 中间空白部分的面积为 又， 以为直径的半圆面积为， 阴影部分的面积为 故答案为： 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 圆 考点01 圆的有关概念 考点02 过三点的圆 考点03 垂直于弦的直径 考点04 圆心角 考点05 圆周角 考点06 弧长和扇形面积 考点01 圆的有关概念 1．D 2．A 3．【答案】 【分析】 本题主要考查了点与圆的位置关系，根据点在圆内时，点到圆心的距离小于半径，且为非负数． 【详解】 解：圆的半径为，点在圆内， 点到圆心的距离满足， 又距离为非负数， 的取值范围为． 故答案为：． 4．【答案】（1）① 5.0； ② 解：， ， ， ， ， 线段的长度无需测量即可得到；     （2） 函数的图象如图所示： ； 当时，y随x的增大而减小；     （3）DFH      【分析】 本题考查一次函数结合几何的应用，学会用描点法画出函数图象，熟练掌握一次函数的性质以及三角形全等的判定及性质是解题的关键． （1）①点为弧的中点时，，即可得到；②由题意得，即可得到； （2）根据表格数据运用描点法即可画出函数图象，进而可得函数的性质； （3）画出的图象，当为等腰三角形时，分情况讨论，任意两边分别相等时，即任意两个函数图象相交时的交点横坐标即为的近似值． (1) 小问详解： ①点为弧的中点时，由圆的性质可得：  ， ， ， ； ② 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 由（1）知， 画出的图象，如上图所示，当为等腰三角形时， ①，为与函数图象的交点横坐标，即； ②，为与函数图象的交点横坐标，即； ③，为与函数图象的交点横坐标，即； 综上：当为等腰三角形时，线段长度的近似值为或或． 故选：DFH 5．【答案】（1）     （2） ，证明：过点 作于点， 是边上的高， ， ， 将边绕点顺时针旋转得到，， ，， ， ，，， ， ，， ， ，，即， ，，， ， ， ；     （3）      【分析】 （1）过点作于点，根据旋转的性质可得，，得到四边形是矩形，从而根据矩形的性质结合勾股定理解直角三角形即可得解； （2）过点作于点，通过旋转的性质先证明，得到，，再证明，通过线段的等量代换即可得证； （3）点的运动轨迹为以点为圆心，长为半径的半圆，当时，点与所在直线的距离最大，从而确定点的位置，作点关于的对称点，与相交于，过点作于，交于，过点作交延长线于，通过对称的性质，三角形内角和定理证明四边形是矩形，是等边三角形，得到，，通过勾股定理解直角三角形表示出，，，进而计算出的值，即可得到． (1) 小问详解： 解：如图，过点作于点， ，，， ， 将边绕点顺时针旋转得到，， ，， 四边形是矩形， ，， ， 在中，； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：如图所示，点的运动轨迹为以点为圆心，长为半径的半圆，当时，点与所在直线的距离最大， 根据旋转可得，此时，是等腰直角三角形， ， 作点关于的对称点，与相交于，过点作于，交于，过点作交延长线于， ，， ，， ，， ， 根据对称可得，，， ，， ，， 四边形是矩形，是等边三角形， ，， ， ，， ， ， ， ，即， ， ， ， ． 【点睛】 本题考查了旋转的性质，轴对称的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形、等边三角形的判定与性质等，解题的关键是构造合适的辅助线作直角三角形、全等三角形以得到相关结论． 6．【答案】（1）2     （2） 如图，过点作交的延长线于点， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 在与中，    ， ， ， ， 又，，    ， ， ， ， ，    又， ， , ， ， ， ， ；     （3）      【分析】 （1）根据已知条件可得为的中点，证明，进而根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解； （2）过点作交的延长线于点，证明，，可得，进而根据，即可得出结论， （3）根据（2）可知，当点在线段上运动时，点在平行于的线段上运动，根据题意作出图形，根据点到圆上的距离求最值即可求解． (1) 小问详解： 如图，连接 将线段绕点E顺时针旋转90°得到线段， 是等腰直角三角形， P为FG的中点， ， ， ， ，D为的中点，， ，， ， 在中，； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 由（2）可知， 则当点在线段上运动时，点在平行于的线段上运动， 将沿翻折至所在平面内，得到， E为的中点， ， ， 则点在以为圆心为半径的圆上运动，当三点共线时，最小， 如图，当运动到与点重合时，取得最小值，． 如图，当点运动到与点重合时，取得最小值， 此时，则． 综上所述，的最小值为． 【点睛】 本题考查了等腰三角形的性质与判定，直角三角形斜边上的中线，勾股定理，全等三角形的性质与判定，轴对称线的性质，点到圆上一点距离最值问题，正确的添加辅助线是解题的关键． 考点02 过三点的圆 1．【答案】4或5 【分析】 本题考查了三角形的外接圆与外心、勾股定理．熟练掌握直角三角形的外接圆半径为斜边边长的一半是解题的关键． 根据题意分两种情况讨论，然后由“直角三角形的外接圆是以斜边中点为圆心，斜边长的一半为半径的圆”来求该直角三角形外接圆半径即可． 【详解】 解：在一个直角三角形中，两边长分别是6，8， 当6，8是直角三角形的两条直角边时， 根据勾股定理知，该直角三角的斜边长为， 此三角形的外接圆的半径是； 当8是直角三角形的斜边时， 此三角形的外接圆的半径是4； 综上所述，这个三角形的外接圆的半径是4或5． 故答案是：4或5． 考点03 垂直于弦的直径 1．C 2．B 3．A 4．C 5．【答案】（1）     （2） 证明：∵， ∴， 由（1）得， ∴， ∴．      【分析】 本题考查了垂径定理，勾股定理，等腰三角形的性质； （1）由垂径定理得，设，由勾股定理得，即可求解； （2）由等腰三角形的性质得，即可得证； 掌握垂径定理，等腰三角形的性质，能熟练利用勾股定理进行求解是解题的关键． (1) 小问详解： 解：∵是的半径，是的弦，， ∴， 设， 则， ∵， ∴， 解得：， ∴的半径为； (2) 小问详解： 略 6．【答案】① 5    ② 【分析】 本题考查了垂径定理，勾股定理．连接并延长交于点，连接，设的半径为，在中，由勾股定理列式计算求得半径的长；在和中，利用垂径定理和勾股定理列式计算即可求解． 【详解】 解：连接并延长交于点，连接， 设的半径为，则，， ∵，， ∴， ∵D是的中点， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， 解得，即的半径为； ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得① ， 在中，由勾股定理得② ， 得， 解得， ∴， ∴， 故答案为：；． 7．【答案】 【分析】 本题考查了垂径定理和勾股定理，熟练掌握垂径定理，由勾股定理得出方程是解题的关键． 由垂径定理得，设的半径为，则，在中，由勾股定理得出方程，求出，即可得出，在中，由勾股定理即可求解． 【详解】 解：，， ， 设的半径为，则， 在中，由勾股定理得：，即， 解得：， ，， ， 在中，由勾股定理得：， 故答案为：． 考点04 圆心角 1．D 2．【答案】（1）24     （2）16     （3）     （4）估计该校最喜爱篮球运动的学生有2880人      【分析】 本题考查的是条形统计图和扇形统计图，用样本估计总体．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键． （1）用排球的人数除以可得样本容量，再用足球的人数除以样本容量即可求出的值； （2）用样本容量分别减去其它三个球类的人数可得篮球人数； （3）用乘足球对应的百分比即可得到答案； （4）用样本估计总体进行计算即可． (1) 小问详解： 解：样本容量为：， 故． 故答案为：24． (2) 小问详解： 解：篮球人数为：． 故答案为：16． (3) 小问详解： 解：扇形统计图中，“足球”对应扇形的圆心角为：． 故答案为：． (4) 小问详解： 解：依题意，（人）． 答：估计该校最喜欢篮球运动的学生约有2880人． 考点05 圆周角 1．D 2．B 3．B 4．B 5．D 6．A 7．B 8．C 9．B 10．D 11．D 12．C 13．D 14．C 15．C 16．D 17．B 18．C 19．B 20．C 21．【答案】① 度    ② 【分析】 如图所示，连接，首先求出，然后利用圆周角定理即可求出的度数；连接，，先证明点D的运动轨迹为以为直径的，连接，，，当点D在上时，的值最小，利用勾股定理求出即可解决问题． 【详解】 如图所示，连接， ∵C为半圆O的三等分点（靠近点A）， ∴ ∴； 连接， ∵D为的中点， ∴， ∴， ∴点D的运动轨迹为以为直径的，连接，，， 当点D在上时，的值最小， ∵，， ∴是等边三角形， ∵， ∴， 在中，， ，， ∴， ∵， ∴． ∴线段的最小值为． 故答案为：，． 【点睛】 此题考查了圆周角定理，圆上一点到圆外一点最值问题，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找点D的运动轨迹，学会构造辅助圆解决问题． 22．【答案】（1） 如图所示，为所求：      （2）；同弧所对圆周角等于该弧所对圆心角的一半；圆内接四边形对角互补      【分析】 （1）按照题目所给作法作出相应图形即可； （2）根据等边三角形的判定与性质可得，再根据圆周角定理可得，最后再根据圆内接四边形对角互补的性质即可证得． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 【点睛】 本题考查的知识点是尺规作圆，圆周角定理，圆内接四边形的性质，等边三角形的判定和性质，解题关键是熟练掌握圆的相关性质． 23．【答案】度 【分析】 题目主要考查垂径定理及圆周角定理，连接，根据题意得出，再由圆周角定理求解即可． 【详解】 解：连接， ∵ 是 的直径，弦 ， ∴， ∴， 故答案为：． 24．【答案】①     ② 【分析】 如图1，连接，由是的角平分线，可得，由，可得，则，，，由勾股定理得，；如图1，过点A作于点F，由，可得，由勾股定理得，，可求，由勾股定理得，根据，计算求解即可． 【详解】 解：如图1，连接． ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得，； 如图1，过点A作于点F， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形，， 由勾股定理得，， 解得，， 由勾股定理得， ∴． 故答案为：，． 【点睛】 本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，勾股定理的应用，圆周角定理的应用，二次根式的加减运算等知识．熟练掌握等腰三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，勾股定理，圆周角定理是解题的关键． 25．【答案】作图如图， ，，，． 【分析】 先作出作出的角平分线，然后通过圆周角定理得，又，则，再由圆周角定理得，再利用弧、弦、圆心角的关系即可求解． 【详解】 略 【点睛】 本题考查了尺规作图——作角平分线，圆周角定理，圆内接四边形的性质，弧、弦、圆心角的关系，掌握知识点的应用是解题的关键． 26．【答案】①     ② 【分析】 本题考查了圆周角定理，中位线的性质，勾股定理，熟练利用勾股定理列方程是解题的关键． 利用圆周角定理可得，，推出，设的半径为，则，，利用勾股定理列方程即可求得半径，利用勾股定理得到，即可解答． 【详解】 解：是的直径， ， ，， 点C为的中点， ， ， ， ， ， ， 是的中位线， 设的半径为，则，， ， ，， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， ， ， 整理得：， 解得：，（不合题意，舍去）， 的半径为3， ， ， ， 故答案为：；． 27．【答案】（1）；     （2） ，理由： 如图，过作于点，过作交延长线于点， 由旋转性质可知：，， ∴， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴都是等腰直角三角形， ∴，， ∴由勾股定理得：，， ∴，， ∵， ∴， ∴；     （3）．      【分析】 （）由，，得，再根据直角三角形的性质得，最后三角形的内角和定理即可求解； （）过作于点，过交延长线于点，由旋转性质得，，证明，通过性质证明是等腰直角三角形，，，然后由勾股定理和线段和差即可求解； （）当时，取最大值，过作交于点，先证明点四点共圆，然后证明，则，设，，则，，，再由勾股定理得出，，最后解方程即可求解． (1) 小问详解： 解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：如图，在中，， ∵不变， ∴最小时，最大，即有最大， 则根据垂线段最短可知：当时，取最大值，过作交于点， ∵， ∴， ∵， ∴点四点共圆， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，，则，，， 由勾股定理得：，， ∴，， ∴， 整理得：， 解得：，（舍去）， ∴， ∴． 【点睛】 本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，三角形内角和定理，勾股定理，圆周角定理，解一元二次方程，垂线段最短，熟练掌握这些知识点的应用是解题的关键． 28．【答案】①     ② 【分析】 过点作交的延长线于点，过点作直径，连接，根据圆内接四边形的性质求得，，通过证明， 得到， 进而得到，利用勾股定理可求得的长， 然后在中，根据得，由此可求得的长，由此可得的半径． 【详解】 解：如图所示，过点作交的延长线于点，过点作直径，连接， ， ， 四边形内接于，， ，，， ，， ， ，， 是等腰直角三角形， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ， 即， 在中，由勾股定理得：， 即，解得（负值已舍去）， 是的直径， ， 在中，， ， ， 由勾股定理得：， ， 的半径是． 故答案为：；． 【点睛】 本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，勾股定理，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，含度角的直角三角形的性质，熟练掌握相关性质定理是解决问题的关键． 29．【答案】① 2    ② 14 【分析】 本题考查全等三角形的判定与性质、圆周角定理、直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质、垂径定理、勾股定理等知识点． 先证明可得，可得到是等边三角形，再根据根据含30度角的直角三角形性质可得长；结合已知即可得出，再由垂径定理即可求得，作于点M，再根据含30度角的直角三角形性质可得，然后利用勾股定理即可求得． 【详解】 解：连接， ∵， ∴， ∴． 又∵， ∴． ∴是等边三角形， ， ∵， ，， ∵， ∴． 故答案为：2； 又∵， ∴， ∴， 作于点M，       ∵， ， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：14． 30．【答案】（1）     （2） 证明：延长交于点G， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴；      （3）      【分析】 （1）根据等腰性质，，得,根据平行线性质得，根据，得，得，由勾股定理得,得； （2）延长交于点G，根据平分， ，证明，得，根据，证明 ，结合，得，得，即得 （3）点M是在以为圆周角的上运动，得，，求出 ，得，由翻折知，四边形是正方形，作点D关于的对称点H，连接，过点O作，交直线于点I，K，得，可得，得，得，得，，根据，得，得,,得的最小值为． (1) 小问详解： 解：∵等腰中，， ∴， ∴, ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵, ∴； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： ∵， ∴点M是在以为圆周角的的圆弧上运动，设J是上与点M在另侧一点， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， 由翻折知，， ∵， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， 作点D关于的对称点H，连接， 则， 过点O作，交直线于点I，K， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴, ∴, ∵，当H、N、M、O共线时取等号， ∴的最小值为． 【点睛】 本题考查了等腰三角形综合．熟练掌握等腰直角三角形性质，全等三角形的判定和性质，正方形判定和性质，矩形判定和性质，勾股定理，轴对称性质，圆周角定理，圆内接四边形性质，是解题的关键． 31．【答案】（1）     （2） 证明：如图，过作于点，过作交延长线于点， 由旋转性质可知：，， ∴， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴都是等腰直角三角形， ∴，， ∴由勾股定理得：，， ∴，， ∵， ∴， ∴；     （3）      【分析】 （1）由，，得，再根据直角三角形的性质得，最后由三角形的内角和定理即可求解； （2）过作于点，过点作交延长线于点，由旋转性质得，，证明，证明是等腰直角三角形，，，然后由勾股定理和线段和差即可求解； （3）当时，取最大值，过作交于点，先证明点四点共圆，然后证明，则，设，，则，，，再由勾股定理得出，，最后解方程即可求解． (1) 小问详解： 解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：如图，在中，， ∵不变， ∴最小时，最大，即有最大， 则根据垂线段最短可知：当时，取最大值，过作交于点， ∵， ∴， ∵， ∴点四点共圆， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，，则，，， 由勾股定理得：，， ∴，， ∴， 整理得：， 解得：，（舍去）， ∴， ∴． 【点睛】 本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，三角形内角和定理，勾股定理，圆周角定理，解一元二次方程，垂线段最短，熟练掌握这些知识点的应用是解题的关键． 32．【答案】①     ② 【分析】 利用圆周角定理得到，再根据三角形的内角和定理求，然后利用圆内接四边形的对角互补求解即可；过点作于点G，连接，由三角形的内心性质得到内心，，，然后利用圆周角定理得到，，利用三角形的外角性质证得，证明；然后依次求出，，即可． 【详解】 解：∵是的直径， ∴， 又， ∴， ∵四边形是内接四边形， ∴， ∴； 过点作于点G，连接， ∵点I为的内心， ∴，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的周长为． 故答案为：，． 【点睛】 本题考查圆周角定理、圆内接四边形的性质、三角形的内心性质、三角形的外角性质、勾股定理等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． 33．【答案】①     ② 【分析】 如图，作直径，连接，，过点作于点，证明是等边三角形，得，由是的直径，得，，进而得，由勾股定理得，由是的切线，得，进而证明，利用相似三角形的性质即可得解． 【详解】 解：如图，作直径，连接，，过点作于点， ∵，的角平分线交于点， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 解得． 故答案为：，． 【点睛】 本题主要考查了圆周角定理的推论，等边三角形的判定及性质，勾股定理，相似三角形的判定及性质，度直角三角形的性质，熟练掌握圆周角定理的推论，等边三角形的判定及性质，勾股定理，相似三角形的判定及性质是解题的关键． 考点06 弧长和扇形面积 1．C 2．C 3．A 4．C 5．B 6．C 7．A 8．A 9．【答案】 【分析】 本题考查了扇形面积的计算，掌握扇形、菱形的面积公式即割补法是解题的关键．连接，将扇形补到扇形的位置，从而得到即可得到答案． 【详解】    连接，将扇形补到扇形的位置， ， 四边形是菱形， ， 过D 作于点H，     ， ， ∵扇形的圆心角为60°，， ． 10．【答案】 【分析】 本题考查扇形面积的计算，菱形的性质，掌握扇形面积的计算方法以及菱形的性质是正确解答的前提． 根据菱形的性质求出对角线的长，进而求出菱形的面积，再根据扇形面积的计算方法求出两个空白扇形的面积，可得答案． 【详解】 解：∵在菱形中，点是对角线的中点，，， ∴与交于点，，，，， ∴，， ∴，， ∴菱形的面积为， ∴图中阴影部分的面积为， 故答案为：． 11．【答案】 【分析】 先利用弧长公式得到圆心角为，半径为的扇形的弧长为，根据圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥的底面圆的周长，则可计算出圆锥的底面圆的半径为，然后根据勾股定理可计算出圆锥的高． 本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥的底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了弧长公式和勾股定理． 【详解】 解：∵半径，圆心角的扇形纸板， ∴扇形的弧长为， 设圆锥的底面圆半径为r， ∴， 解得， 故圆锥的高为：， 故答案为：． 12．【答案】 【分析】 本题考查了菱形的性质，等边三角形的性质，扇形面积的计算，理解菱形的对称性是解题的关键．构造扇形，扇形，连接，通过两个公式：两个扇形组合构成的中间花瓣的面积，求解即可． 【详解】 解：构造扇形，扇形，连接， 菱形既是中心对称图形，也是轴对称图形， ， ， ， ， 在菱形中，， ， ， 令交于点， 在中，， ，， ，， ． 故答案为：． 13．【答案】2 【分析】 本题主要考查了扇形面积的计算，熟知扇形的面积公式是解题的关键． 先求出中间空白部分的面积，再用以为直径的半圆面积减去中间空白部分的面积即可． 【详解】 解：，且， . ， 中间空白部分的面积为 又， 以为直径的半圆面积为， 阴影部分的面积为 故答案为： 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 圆 6大高频考点概览 考点01 圆的有关概念 考点02 过三点的圆 考点03 垂直于弦的直径 考点04 圆心角 考点05 圆周角 考点06 弧长和扇形面积 考点01 圆的有关概念 1．（25-26学年九上·重庆永川区文理·期中）已知点在外，且的半径为，则的长可能是（   ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·重庆暨华中学校·期中）已知的半径为，，则点P与的位置关系是（     ） A. 点P在内 B. 点P在上 C. 点P在外 D. 无法确定 3．（25-26学年九上·重庆永川中学校·期中）已知圆的半径为，点到圆心的距离为，若点在圆内，则的取值范围是　　　　　　　　　　　． 4．（25-26学年九上·重庆杨家坪中学·期中）小亮在学习中遇到这样一个问题：如图，点是上一动点，线段，点是线段的中点，过点作，交的延长线于点．当为等腰三角形时，求线段的长度． 小亮分析发现，此问题很难通过常规的推理计算彻底解决，于是尝试结合学习函数的经验研究此问题．请将下面的探究过程补充完整： （1）根据点在上的不同位置，画出相应的图形，测量线段，，的长度，得到下表的几组对应值． 0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 /cm 8.0 7.7 7.2 6.6 5.9 3.9 2.4 0 /cm 8.0 7.4 6.9 6.5 6.1 6.0 6.2 6.7 8.0 操作中发现： ①“当点为的中点时，”．则上表中的值是_____； ②“线段的长度无需测量即可得到”．请以几何推理方式说明理由； （2）将线段的长度作为自变量，和的长度都是的函数，分别记为和，并在平面直角坐标系中画出了函数的图象，如图所示．请在同一坐标系中画出函数的图象；并请结合图象说出函数的一条性质______________________________； （3）结合图象直接写出：当为等腰三角形时，线段长度的应该满足：__________．（请填编号，多项选择） A、       B、       C、       D、 E、       F、       G、       H、 5．（九·重庆铜梁·期末）如图，在中，将边绕点顺时针旋转得到，． （1）如图，当时，连接，，若，，，求线段的长； （2）如图，当时，过点作边上的高，在上截取，连接交于点，猜想，之间的数量关系，并证明你的结论； （3），，连接，若，当点与所在直线的距离最大时，作点关于的对称点，请直接写出的值． 6．（25-26学年九上·重庆铁路中学校·期中）在中，，，D为的中点，E，F分别为，上任意一点，连接，将线段绕点E顺时针旋转90°得到线段，连接，． （1）如图1，点E与点C重合，且的延长线过点B，若点P为的中点，连接，求的长； （2）如图2，的延长线交于点M，点N在上，且，求证：； （3）如图3，F为线段上一动点，E为的中点，连接，H为直线上一动点，连接，将沿翻折至所在平面内，得到，连接，直接写出线段的长度的最小值． 考点02 过三点的圆 1．（25-26学年九上·重庆两江育才中学校·期中）如果一个直角三角形的两边分别是6，8，那么直角三角形外接圆的半径是　　　　　　． 考点03 垂直于弦的直径 1．（25-26学年九上·重庆永川区文理·期中）如图，一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为，瓶内液体的最大深度，则截面圆中弦的长为（） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·重庆永川中学校·期中）如图，的弦，圆心O到的距离为4，则的半径为（     ） A. 3 B. 5 C. 4 D.  3．（25-26学年九上·重庆·期末）如图，是的弦，半径于点．若，．则的长是（　　） A. 3 B. 2 C. 6 D.  4．（25-26学年九上·重庆礼嘉中学校·期中）下列说法中正确的是（     ） A. 长度相等的两条弧是等弧 B. 平分弦的直径一定垂直于弦 C. 矩形的对角线相等且互相平分 D. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 5．（25-26学年九上·重庆铁路中学校·期中）如图，，交于点，，是半径，且于点． （1）若，求的半径； （2）求证：． 6．（25-26学年九上·重庆暨华中学校·期中）如图，为四边形的外接圆，，若D是的中点，且，，则的半径为　　　　　　， 　　　　　　． 7．（25-26学年九·重庆綦江区未来学校·期中）如图，在中，直径于点E，，，则弦的长为　　　　　　　　　　　　　　　． 考点04 圆心角 1．（25-26学年九·重庆綦江区未来学校·期中）如图中，A、B、C均为圆上的点，下列说法：①若，则； ② 若，则；③若，则；④若，则O点到弦的距离相等．其中正确的个数有（       ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2．（25-26学年九上·重庆杨家坪中学·期中）国家卫生健康委员会宣布将2025年定为“体重管理年”，并实施为期三年的体重管理行动．某校响应号召，计划组织全校学生开展系列体育活动，筹备足球、排球、篮球、羽毛球四个球类运动的体育社团，倡导学生全员参加，为了解学生对这四项球类运动的喜爱情况，随机抽取各个校区的部分学生，对其进行了“我最喜爱的球类运动项目”问卷调查（每名学生在这四项球类运动项目中选择且只能选择一项），将这部分学生的问卷进行整理，依据样本数据绘制了如下两幅不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：_____； （2）被调查学生中最喜欢打篮球的人数是_____人； （3）扇形统计图中，“足球”对应扇形的圆心角为_____， （4）若全校总共有9000名学生，请你估计该校最喜爱篮球运动的学生有多少人？ 考点05 圆周角 1．（25-26学年九·重庆江津区实验中学·期末）如图，是的弦，半径于点，，点P在圆周上，则等于（　　） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·重庆开州区文峰·期中）如图，点A，B，C在上，，的度数是（     ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年九上·重庆凤鸣山中学·期中）如图，已知A，B，C是圆O上的三点，，则的大小为（       ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年九上·重庆礼嘉中学校·期末）如图，点A，B，C，D在上，弦，，则的度数是（       ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年九上·重庆育才中学校·期中）如图，在中，，，则的大小为（       ） A.  B.  C.  D.  6．（2026·重庆育才中学校·三模）下列说法中正确的是（     ） A. 矩形的对角线相等且互相平分 B. 同弦或等弦所对的圆周角相等 C. 平分弦的直径一定垂直于弦 D. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 7．（25-26学年九上·重庆江津中学校·期中）如图，是的直径，，则的度数是（     ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年九上·重庆铁路中学校·期中）如图，是的直径，C，D在上，且在异侧，若，则的度数为（     ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年九上·重庆永川区文理·期中）如图，点、、在上，，则的度数是（       ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年九上·重庆第七中学校·期中）如图，点A，B，C在上，，的度数是（     ） A. 40° B. 50° C. 80° D. 100° 11．（25-26学年九上·重庆长寿实验中学校·期中）如图，，，是上的三点，，，那么的半径等于（     ） A.  B.  C.  D.  12．（25-26学年九上·重庆两江育才中学校·期中）如图，是的直径，，则的度数为（　　） A.  B.  C.  D.  13．（九·重庆铜梁·期末）如图，点，，在上，若，则的度数为（       ） A.  B.  C.  D.  14．（25-26学年九上·重庆铜梁区铜梁·期中）如图，点，，均在上，若，则（     ） A.  B.  C.  D.  15．（2026·重庆育才中学校·三模）如图，正方形中，点分别是和边的点，满足，连接，过点作，连接是上一点，且，若，则的度数为（     ） A.  B.  C.  D.  16．（25-26学年九上·重庆礼嘉中学校·期中）如图，在中，为直径，、为圆上的点，若，则的大小为（     ） A.  B.  C.  D.  17．（25-26学年九上·重庆南开中学校·期中）如图； 四边形内接于 ，若 ，则图中阴影部分的面积为（     ） A.  B.  C.  D.  18．（25-26学年九上·重庆云阳县第二初级中学·期中）如图，、为的弦，为直径，、相交于点，若，，则(       ) A.  B.  C.  D.  19．（25-26学年九上·重庆杨家坪中学·期中）如图，为的直径，，，则的度数为（     ） A.  B.  C.  D.  20．（25-26学年九上·重庆巴蜀中学·期中）如图，在中，是直径，C是上一点，连接，，过点O作于点E，交于点D，连接，若，，则的长为（       ） A.  B.  C.  D.  21．（25-26学年九上·重庆·期末）如图，是的直径，，C为半圆O的三等分点（靠近点A），P为上一动点．则的度数是　　　　　　　　；若D为的中点，则线段的最小值为　　　　　　　　． 22．（25-26学年九上·重庆·期末）已知直线， 在直线上方求作一点， 使得． 下面是小张的作法： ①分别以，为圆心，长为半径画弧，在直线下方交于点； ②以点为圆心，长为半径画圆； ③在 上任取一点 （不与，重合）， 连接，． 则为所求． （1）使用无刻度的直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明． 证明：在直线下方的圆弧上任取一点（不与，重合），连接，，，． ， 是等边三角形． ． ，                （                      ）（填推理的依据） ． 四边形 内接于， （                      ）（填推理的依据） ． 23．（25-26学年九上·重庆南开中学校·期中）如图， 是 的直径，弦 ，连接 ， ，若 ，则 　　　　　　　　　　． 24．（25-26学年九上·重庆永川区文理·期中）如图，为的直径，为上半圆的一个动点，于点，的角平分线交于点．且的半径为5，连接，则　　　　　　；若弦的长为6，则　　　　　　． 25．（25-26学年九上·重庆永川区文理·期中）如图，已知点，，在上，是延长线上一点，请用尺规完成基本作图：作出的角平分线交于点，连接，，猜想线段与的数量关系，并证明你的猜想．（尺规作图保留作图痕迹，不写作法） 证明：∵四边形为内接四边形， ∴     ①      ， ∵， ∴     ②     ， ∵平分， ∴     ③     ， ∴， 又∵     ④     （同弧所对的圆周角相等）， ∴， ∴． 26．（25-26学年九上·重庆开州区文峰·期中）如图，是的直径，点D为下方上一点，点C为的中点，连接，，．延长、交于点E．若，，则　　　　　　　　，　　　　　　　　． 27．（25-26学年九上·重庆永川中学校·期中）如图，在等腰中，，线段绕点在平面上旋转． （1）如图，若，线段旋转到延长线上，过点作，交于，，求的度数（用含的式子表示）； （2）如图，若，线段绕点旋转过程中，点恰好落在边上，过点作，连接，使得且，试用等式表示线段之间的数量关系，并说明理由； （3）如图，若，，连接，过点作，交延长线于点．当取最大值时，请直接写出的值． 28．（25-26学年九上·重庆长寿实验中学校·期中）如图，四边形内接于，，，，则　　　　　　　　；的半径是　　　　　　　　． 29．（25-26学年九上·重庆江津中学校·期中）如图，是的外接圆，弦交于点E，，，过点O作于点F，延长交于点G，若，，则的长为　　　　　　，的长为　　　　　　． 30．（25-26学年九上·重庆暨华中学校·期中）在等腰中，，D为上一点，连接． （1）如图1，延长至点E，使，且，过点B作，垂足为点F，若，求的长度； （2）如图2，平分，过点C作，垂足为点P．证明：； （3）如图3，若将绕沿直线翻折到，点A的对应点为点Q，在直线上方有点M，满足，点N在线段上，若，请直接写出的最小值． 31．（25-26学年九上·重庆第七中学校·期中）如图，在等腰中，，线段绕点A在平面上旋转． （1）如图1，若，线段旋转到延长线上，过点作，交于，，求的度数(用含α 的式子表示)； （2）如图2，若，线段绕点旋转过程中，点恰好落在边上，过点作，连接，使得且，求证：； （3）如图3，若，，连接，过点作，交延长线于点．当取最大值时，请直接写出的值． 32．（25-26学年九上·重庆第十八中学）如图，是的直径，内接于，点I为的内心，连接并延长交于点D，E是上任意一点，连接，，，．当度，则　　　　　　度；当，，则的周长为　　　　　　． 33．（25-26学年九上·重庆两江育才中学校·期中）如图，是内接三角形，的半径是，，，的角平分线交于点，交于点，连接、，过点作的切线交的延长线于点，则线段的长度为　　　　　　，线段的长度为　　　　　　． 考点06 弧长和扇形面积 1．（25-26学年九上·重庆·期末）如图所示，半径为1的圆中，圆心角为的扇形的面积为（       ） A.  B.  C.  D.  2．（九·重庆铜梁·期末）如图，中，，，，以点A为圆心、为半径画弧，交于点E，以点B为圆心、为半径画弧，交于点F，则图中阴影部分面积为（     ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年九上·重庆铜梁区铜梁·期中）如图，边长为1的正方形的顶点B在上，顶点A，C在内，的延长线交于点D，则图中阴影部分的面积为（       ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年九上·重庆暨华中学校·期中）如图，与相切于点，，且的直径为，，则阴影部分的面积为（       ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年九上·重庆第一中学校·期中）如图，线段是的直径，点是圆上两点，连接，，，若，，则阴影部分的面积为（     ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年九上·重庆十一中教育）如图，已知扇形，在其内部作一个菱形，其中点D、E分别在、上，点C在上．若，，则图中阴影部分的面积为（       ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年九上·重庆礼嘉中学校·期末）如图，点B、E是以为直径的半圆O的三等分点，弧的长为，，则图中阴影部分的面积为（     ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年九上·重庆铁路中学校·期中）如图，是的弦，半径，则阴影部分的面积为（） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年九·重庆江津区实验中学·期末）如图，四边形是菱形，，，扇形的半径为6，圆心角为，则图中阴影部分的面积是　　　　　　　　　　（结果保留）． 10．（25-26学年九上·重庆沙坪坝区重庆第一中学校·期中）如图，在菱形中，点是对角线的中点，分别以点、为圆心，长为半径画弧，分别交、于点、，交、于点、．若，，则图中阴影部分的面积为　　　　　． 11．（25-26学年九上·重庆两江育才中学校·期中）在认识圆锥主题活动课上，芳芳用半径，圆心角的扇形纸板，做了一个圆锥形的生日帽，如图所示．在不考虑接缝的情况下，这个圆锥形生日帽的高是　　　　． 12．（25-26学年九上·重庆礼嘉中学校·期中）如图，在菱形中，分别以点、为圆心，、长为半径画弧，分别交对角线于点，．若，，则图中阴影部分的面积为　　　　　　．（结果不取近似值） 13．（25-26学年·重庆第二外国语学校·期中）半径为2的扇形的圆弧和以为直径的半圆围成如图所示的阴影部分，已知，则阴影部分的面积为　　　　　． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $