专题04 二次函数（期中真题汇编，重庆专用）九年级数学上学期

专题04 二次函数 考点01 二次函数的概念 考点02 二次函数y=ax²的图象和性质 考点03 二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质 考点04 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 考点05 二次函数与一元二次方程 考点06 实际问题与二次函数 考点01 二次函数的概念 1．D 2．C 3．D 4．B 5．【答案】 【分析】 本题考查了二次函数的性质，代数式求值． 将交点坐标代入函数解析式，得到关于和的方程，进而求出的值，再代入所求代数式计算即可． 【详解】 解：二次函数与轴的一个交点是 ∴将，代入解析式，得 即 ∴ 则 故答案为：． 考点02 二次函数y=ax²的图象和性质 1．D 2．A 考点03 二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质 1．B 2．B 3．B 4．B 5．B 6．C 7．D 8．B 9．D 10．D 11．B 12．B 13．A 14．【答案】 【分析】 本题考查了二次函数的顶点坐标，掌握二次函数的顶点式是解题的关键 根据二次函数的顶点式即可求解． 【详解】 抛物线方程为， 此为顶点形式，其中 ，， 故顶点坐标为． 故答案为． 15．【答案】直线 【分析】 本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握该知识点是关键．由的对称轴为，即可得出答案． 【详解】 解：由条件可知：抛物线的对称轴是直线， 故答案为：直线． 16．【答案】（2，5）． 【详解】试题分析：由于抛物线y=a（x﹣h）2+k的顶点坐标为（h，k），由此即可求解． 解：∵抛物线y=3（x﹣2）2+5， ∴顶点坐标为：（2，5）． 故答案为（2，5）． 考点：二次函数的性质． 17．【答案】 【分析】 本题考查了二次函数顶点式的顶点坐标为，掌握顶点式求顶点坐标是解题的关键．根据顶点式的顶点坐标为求解即可． 【详解】 解：抛物线的顶点坐标是， 故答案为：． 18．【答案】 【分析】 本题考查了二次函数的性质，先求出抛物线的对称轴，再根据开口方向向上，可得抛物线上的点离对称轴的水平距离越近，函数值越小，反之越大，据此即可求解，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】 解：由二次函数可得，抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴抛物线开口向上， ∴抛物线上的点离对称轴的水平距离越近，函数值越小，反之越大， ∵， ∴， 故答案为：． 19．【答案】 【分析】 本题考查函数图象的平移，根据平移规律“上加下减，左加右减”的原则进行解答． 【详解】 解：二次函数的图象先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度， 得到，即． 故答案为：． 20．【答案】 【分析】 本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键． 根据二次函数平移规律左加右减，上加下减，得出平移后解析式即可． 【详解】 解：将二次函数的图象向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式为，即， 故答案为：． 21．【答案】 【分析】 本题考查了二次函数图像的平移，根据“左加右减，上加下减”的规律求解即可，掌握知识点的应用是解题的关键 【详解】 解：由原抛物线向右平移个单位，得；再向下平移个单位，得， 故答案为：． 考点04 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 1．D 2．D 3．D 4．B 5．D 6．C 7．D 8．D 9．B 10．C 11．C 12．A 13．A 14．A 15．C 16．A 17．B 18．C 19．C 20．B 21．C 22．C 23．A 24．C 25．D 26．C 27．C 28．C 29．D 30．A 31．C 32．D 33．B 34．B 35．C 36．B 37．C 38．【答案】 【分析】 本题考查二次函数图像，熟练掌握二次函数图像是解题的关键． 通过直接计算各点的函数值，比较大小即可． 【详解】 解：对于函数 ， 当 时，， 当 时，， 当 时，， 因为 ，所以 ， 故答案为：． 39．【答案】 【分析】 本题考查了二次函数的图象与性质． 根据抛物线的开口方向以及对称轴的位置即可判断． 【详解】 解：抛物线的开口向上，且对称轴为直线， 离对称轴直线最近，值最小，离对称轴直线最远，值最大， ，， ， 故答案为：． 40．【答案】（1），，     （2）25     （3）      【分析】 本题考查了二次函数图象性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）观察表格数据，得出时，或，则抛物线的对称轴为，所以二次函数图象的顶点坐标为，对称轴为直线，最小值为； （2）因为抛物线的对称轴为，结合抛物线的对称性，得，即可作答． （3）先设二次函数的解析式为，把代入进行计算，即可作答． (1) 小问详解： 解：依题意，时，或， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴当时，则， ∴顶点坐标， ∴二次函数最小值为， ∴这个二次函数图象的顶点坐标为，对称轴为直线，最小值为； (2) 小问详解： 解：∵抛物线的对称轴为， ∴和，关于对称轴对称， ∴结合抛物线的对称性，得， 故答案为：25． (3) 小问详解： 解：∵二次函数图象的顶点坐标为， 设二次函数的解析式为， 把代入， 得， ∴， ∴， ∴． 41．【答案】（1），；     （2） 函数，的图象如答图． 根据函数图象，函数的性质为： 抛物线与x轴的交点为，顶点为．或当时，随着x的增大而增大．或当时，随着x的增大而减小．或当时，函数有最大值9． 以上4条性质写出一条即可．     （3）．      【分析】 （1）根据题意得到，，则，，根据三角形的面积公式即可得到结论； （2）根据题意画出函数的图象，并根据函数的图象得到函数的性质； （3）根据函数的图象即可得到不等式的解集． (1) 小问详解： 解：由题意得， ． (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 由函数图象得，当时，． 【点睛】 本题是三角形的综合题，考查了三角形的面积，一次函数的图象，二次函数的图象，二次函数的性质，二次函数与不等式的关系，正确作出函数的图象是解题的关键． 42．【答案】 【分析】 本题考查的是二次函数的性质及二次函数图象上点的坐标特征，先根据题意判断出的符号，再把各点代入二次函数求出的值，比较大小即可． 【详解】 解：二次函数的图象与轴交于正半轴， ， ，，都在函数图象上， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 43．【答案】 【分析】 本题考查了二次函数的性质．根据二次函数对称轴公式代入数值进行求解，即可作答． 【详解】 解：∵， ∴把，代入，得， ∴对称轴为直线 故答案为：． 44．【答案】 【分析】 本题考查二次函数图像上点的大小比较，掌握二次函数的性质，开口向上，点离对称轴越远，函数值越大是解题的关键． 通过确定抛物线的开口方向和对称轴，根据点到对称轴的距离判断函数值大小． 【详解】 二次函数的二次项系数，因此抛物线开口向上， 对称轴为直线 ， 由于开口向上，点离对称轴越远，函数值越大， 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， 因为 ，所以． 故答案为：． 45．【答案】（1）     （2） 函数图像如图：      （3）的值1.0或2.5      【分析】 （1）分两种情况：当点在线段上，点在上时，当点在射线上时，点在上时，分别根据三角形的面积公式进行计算即可得到答案； （2）先列表，再描点连线即可得到函数图象，由函数图象即可得出函数的性质； （3）根据函数图象即可得到答案． (1) 小问详解： 解：根据题意得： 当点在线段上，点在上时， ， 此时：，，， ， ； 当点在射线上时，点在上时， ， 此时：，， ， ； 综上所述： ， (2) 小问详解： 解：列表： 由函数图象可得： 函数的性质： ① 当或时，随增大而增大，当时，随增大而减少； ② 当时，函数有最大值4；（回答一个即可） 0 1 2 3 4 0 1 0 2 4 (3) 小问详解： 解：由函数图象可得： 的面积为1时的值1.0或2.5． 【点睛】 本题考查了动点问题、求函数解析式、画函数图象、从函数图象中获取信息，理解题意，正确取出函数解析式，采用分类讨论与数形结合的思想解题，是解此题的关键． 46．【答案】（1）     （2）或      【分析】 本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数（a，b，c是常数，）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质和二次函数图象上点的坐标特征． （1）先表示出抛物线的对称轴为直线，根据二次函数的性质，当，对任意的，都有y随x的增大而增大，然后解不等式得到k的取值范围； （2）利用抛物线与x轴的交点问题得到，是一元二次方程的两个实数根，解得， ，则有，然后解关于k的方程即可． (1) 小问详解： 解：，该抛物线开口向上，在对称轴右侧y随x增大而增大， 对称轴为， 又时，函数值y随x增大而增大， ， 解得：； (2) 小问详解： 解：令，，是一元二次方程的两个实数根， ， ， ， 又， ， 或． 47．【答案】 【分析】 本题考查了二次函数的对称性，由和时的值都是，根据二次函数的对称性可得对称轴为直线，由时可知抛物线与轴的一个交点为，根据对称轴即可求出另一个交点的坐标，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． 【详解】 解：∵当时，，当时，， ∴抛物线的对称轴为直线， 当时，， 根据对称性，另一个交点的横坐标为，纵坐标为0， ∴另一个交点的坐标为， 故答案为：． 48．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）先求出，坐标，再代入抛物线解析式求解即可； （2）设出点的坐标，再表示点坐标，可得长度，即可得解． (1) 小问详解： 解：直线经过，两点， 令，得，令，得， ，， 将，代入抛物线解析式得， 解得 抛物线解析式为； (2) 小问详解： 解：如图， 设，则， 则， ， 当时，． 【点睛】 本题考查的知识点是一次函数图象与坐标轴的交点问题、待定系数法求二次函数解析式、二次函数的最值，解题关键是熟练掌握二次函数的图象与性质． 49．【答案】（1）x取任意实数     （2）①，； ② 补充点如图； ③ 图象补充完整如图；      （3）B     （4）ab      【分析】 本题考查二次函数的图象，掌握描点法画函数图象的方法，数形结合解题是关键． （1）根据解析式直接可得答案； （2）① 把代入解析式可得m的值，把代入解析式可得n的值； ② 根据的值描点即可； ③ 用平滑的曲线顺次连接各点即得图象； （3）观察函数图象，逐项判断即可得答案； （4）由可得，即知． (1) 小问详解： 函数的自变量x的取值范围是x取任意实数； 故答案为：x取任意实数； (2) 小问详解： ① 当时，， 当时，，， 故答案为：，； ② 略 ③ 略 (3) 小问详解： 根据函数图象可知：函数图象是轴对称图形，故A正确，不符合题意； 当时，y随x的增大而减小，故B不正确，符合题意， 函数值y都是非负数；故C正确，不符合题意； 若函数图象经过点和，则；故D正确，不符合题意， 故答案为：B； (4) 小问详解： ∵， ∴， ∴， ∴， 而， ∴， 故答案为：． 50．【答案】（1）；（2）当时，四边形的面积最大，最大面积为： 此时；（3）或或 【分析】 （1）根据题意设再把代入抛物线的解析式，可得答案； （2）如图，连接 设 由，再利用二次函数的性质求解最大值，再求解点P的坐标即可； （3）如图，平移后的抛物线的顶点抛物线为：，对称轴为 再通过分析分两种情况讨论：当AC为平行四边形的边，当AC为对角线时，结合中点坐标公式可得答案. 【详解】 解：（1） 抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）， 设抛物线为： 则 解得： 所以抛物线的解析式为： （2）如图，连接 设 当时，四边形的面积最大， 最大面积为： 此时 （3）如图，由题意得：平移后的抛物线的顶点 抛物线为：，对称轴为 点A，C，R，S为顶点的四边形是平行四边形， 当为平行四边形的边， 设 由平行四边形的对角线互相平分结合中点公式可得： 解得： 同理可得： 当为对角线时， 同理可得： 解得： 综上：或或 【点睛】 本题考查的是利用待定系数法求解抛物线的解析式，二次函数的性质，平行四边形的判定与性质，熟练的运用以上知识解题是解本题的关键. 51．【答案】 【分析】 本题考查了二次函数的图象和性质，一次函数的图象和性质，二次函数与一次函数图象的位置关系，解题的关键是理解二次函数与一次函数的大小关系是解题的关键．根据二次函数图象与一次函数图象的位置关系求解即可． 【详解】 解：二次函数和一次函数的图象交于点和， 两函数交点的横坐标分别为， 观察图象可得，当时，二次函数图像位于一次函数的图象的上方（包括重合），即满足：． 故答案为：． 52．【答案】（1）关于的函数关系式为 ；     （2） 描点连线如下：    性质：函数值的最大值为8（答案不唯一）；     （3）1.0或3.0或4.8      【分析】 本题考查了二次函数的应用，一次函数的应用，画函数图象，利用数形结合的思想解决问题是关键． （1）分两种情况求解，① 当，点在上，点在上，② 当，点在上，由速度与时间的关系表示出各线段，根据三角形面积公式即可得出答案； （2）根据函数解析式列表描点连线画图，再写出一条性质即可； （3）根据（2）中的函数图象直接作答即可 (1) 小问详解： 解：，， ， ① 当，点在上，点在上， 此时，， ； ② 当，点在上，点在上， 此时， ， 综上可知，关于的函数关系式为 ； (2) 小问详解： 解：列表如下： 性质：函数值的最大值为8； 0 1 2 4 0 3 4 0 4 5 6 0 4 8 (3) 小问详解： 解：由函数图象可知，当函数时或或． 53．【答案】（1）；     （2）；；     （3）；；；      【分析】 （1）利用待定系数法运算求解即可； （2）过点作轴交于点，连接，，设出，则，求出的长，再利用三角形面积公式列出函数式子求解即可； （3）设出点的坐标，利用中点坐标公式分类讨论对角线的情况列式运算即可． (1) 小问详解： 解：把，分别代入可得： 解得： ∴抛物线的解析式为：； 把代入，可得： ∴ 设直线的解析式为：，把，分别代入得： ， 解得： ∴直线的解析式为：； (2) 小问详解： 过点作轴交于点，连接，如图所示： ∵，， ∴设，则， ∴， ∴ ∴当时，最大面积为， 把代入可得：； (3) 小问详解： 解：∵， ∴抛物线对称轴为直线， ∴把代入可得：， ∴， ∵为抛物线上一动点，设；点在轴上，设， ∵， ∴① 当为平行四边形的对角线时： ， 解得：或， 代入可得：，， ② 当为平行四边形的对角线时： ， 解得：或，与① 相同； ③ 当为平行四边形的对角线时： ， 解得：或， 代入可得：，， 综上所述的坐标为：；；；． 【点睛】 本题考查了二次函数，一次函数与几何综合，涉及到了二次函数的图像性质，坐标轴点的特征，三角形面积最值的求法，平行四边形的性质，熟悉掌握几何的构造是解题的关键． 54．【答案】（1）     （2） 该运动员的成绩没有达标，理由如下： 设直线的表达式为，把代入得到， , 解得， ， ∴直线的表达式为， 联立得到 ， 解得 （不合题意，舍去） ∴点E的坐标为， 即着陆点与相距， ∵， ∴该运动员的成绩没有达标；     （3）      【分析】 此题考查了二次函数的实际应用， （1）由题意可得抛物线的顶点坐标为，且经过点，利用待定系数法即可求出答案； （2）求出直线的表达式为，与二次函数解析式联立求出点E的坐标为，即可得到结论； （3）设该运动员飞行过程中离着陆坡的竖直距离为，则，根据二次函数的性质即可得到答案． (1) 小问详解： 解：由题意可得抛物线的顶点坐标为，且经过点， 设抛物线解析式为， 把代入得，， 解得， ∴抛物线的解析式为； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 设该运动员飞行过程中离着陆坡的竖直距离为， 则 ∴当时，有最大值为， 即该运动员飞行过程中离着陆坡CE的竖直距离的最大值， 故答案为： 55．【答案】（1）     （2） 函数图象如图所示， 当时，y随着x的增大而增大，当时，y随着x的增大而减小；     （3）．      【分析】 此题考查了动点问题的函数图象和性质，准确求出函数解析式是关键． （1）自变量的取值范围分两段分别求出函数解析式即可； （2）画出函数图象，写出一条性质即可； （3）根据图象写出自变量的取值范围即可． (1) 小问详解： 解：矩形中，，， 当点Q在上运动时，即时， 的面积为， 当点Q在上运动时，即时， 的面积为， ∴ (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 根据图象可知，当函数值时，自变量的取值范围为． 56．【答案】（1） ，；     （2） 连线： 当时随的增大而增大（答案为不唯一）；     （3）当时，．      【分析】 （）根据题意当时，，当时，，当时，， （）根据画函数图象的方法即可求解； （）通过函数图象即可求解； 本题考查了函数图象的性质，画函数图象，矩形的性质，三角形面积，掌握知识点的应用是解题的关键． (1) 小问详解： 解：∵四边形是矩形， ∴，， 由题意得：，， 当时，，当时，， 当时，， ∴ ，； (2) 小问详解： 解：列表： 当时随的增大而增大（答案为不唯一）； (3) 小问详解： 解：根据图象可知：当时，． 57．【答案】(1) y=﹣x2﹣x+2；(2) S△ADC的最大值为2，此时D（﹣2，2）． 【分析】 （1）根据A与B坐标设出抛物线解析式，将C坐标代入即可求出； （2）过点D作DH⊥AB于点H，交直线AC于点G，连接DC，AD，如图所示，利用待定系数法求出直线AC解析式，设D横坐标为m，则有G横坐标也为m，表示出DH与GH，由DH-GH表示出DG，三角形ADC面积=三角形ADG面积+三角形DGC面积，表示出面积与m的关系式，利用二次函数性质确定出面积的最大值，以及此时m的值，即此时D的坐标即可． 【详解】 (1)根据题意设抛物线解析式为y=a（x+4）（x﹣2）， 把C（0，2）代入得：﹣8a=2，即a=﹣， 则抛物线解析式为y=﹣（x+4）（x﹣2）=﹣x2﹣x+2； (2)过点D作DH⊥AB于点H，交直线AC于点G，连接DC，AD，如图所示， 设直线AC解析式为y=kx+t，则有 ， 解得： ， ∴直线AC解析式为y=x+2， 设点D的横坐标为m，则G横坐标也为m， ∴DH=﹣m2﹣m+2，GH=m+2， ∴DG=﹣m2﹣m+2﹣m﹣2=﹣m2﹣m， ∴S△ADC=S△ADG+S△CDG=DG•AH+DG•OH=DG•AO=2DG=﹣m2﹣2m=﹣（m2+4m）=﹣[（m+2）2﹣4]=﹣（m+2）2+2， 当m=﹣2时，S△ADC取得最大值2，此时yD=﹣×（﹣2）2﹣×（﹣2）+2=2，即D（﹣2，2）． 【点睛】 此题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的最值，以及待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握二次函数的性质是解本题的关键． 58．【答案】（1）     （2）     （3） 图象如下： 随着的增大先增大，然后减小，最后再增大，最大值为3      【分析】 本题考查了二次函数的应用，二次函数的图象与性质．熟练掌握二次函数的应用，二次函数的图象与性质是解题的关键． （1）当时，则，根据，计算求解即可； （2）由题意知，当时，，，，则，当时，，则，然后作答即可； （3）根据函数表达式画图象，然后根据图象写性质即可． (1) 小问详解： 解，当时，，， ∴ ∴， ∴的面积为； (2) 小问详解： 解：由题意知，当时，，，， ∴， 当时，， ∴， 综上所述， ； (3) 小问详解： 解：由图象可知，随着的增大先增大，然后减小，最后再增大，最大值为3． 59．【答案】 【分析】 本题考查二次函数的图像和性质，掌握相关知识是解决问题的关键．由题意可知，抛物线开口向下，对称轴为直线，利用函数的对称性和增减性解决即可． 【详解】 解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当和时函数值相同， 故抛物线过， 当时，y随x的增大而减小， ∵， ∴． 故答案为：． 60．【答案】（1）     （2）     （3）或或      【分析】 本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、平行四边形的判定与性质、二次函数的性质等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键． （1）将代入解析式求得即可解答； （2）先求得，再求得直线的解析式，设，则，其中，可得，再根据列方程求解即可解答； （3）先求出点的坐标，再根据列出方程求解即可． (1) 小问详解： 解：∵将两点在抛物线的解析式上， ∴ ， 解得 ， ∴抛物线的解析式为． (2) 小问详解： 解：∵， ， ∴， ∵，点在轴负半轴， ， ∴， 设直线的表达式为， 则 ， 解得 ， ∴直线的关系表达式为， 设，则，其中， ， ， 如图，连接， ∴当时，四边形为平行四边形， ∴， 解得：（舍去）， 故当四边形是平行四边形时，． (3) 小问详解： 解：联立和，可得， 解得：， 则， 如图，连接， ∵，，， ∴ ， 整理得：或， 解得或， 解得， 综上，或或． 61．【答案】（1）抛物线的表达式为     （2），最大面积为4；     （3）最小值为      【分析】 （1）根据对称轴得出，将代入，即可求解； （2）过点P作y轴的平行线，交于点D，则面积，当最大时，面积最大，设，则，得出，即可求出点P的坐标及面积的最大值； （3）将点向右平移个单位长度至点，连接，则，作点关于抛物线对称轴的对称点，连接，则，当点，M，P三点共线时，，此时，取最小值，即可解答． (1) 小问详解： 解：∵对称轴为直线， ∴，则， 将代入得：， 则， 解得：， ∴， ∴抛物线解析式为：； (2) 小问详解： 解：过点P作y轴的平行线，交于点D， ∵，对称轴为直线， ∴， 当时，， ∴， 设直线的解析式为：， 将，代入得： ， 解得： ， ∴直线的解析式为：， ∵面积， ∴当最大时，面积最大， 设，则， ∴， 当时，最大，面积最大为：， ∴，最大面积为4； (3) 小问详解： 解：∵点为抛物线对称轴上一动点，轴， ∴ 将点B向右平移个单位长度至点，连接， 则， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴， 作点关于抛物线对称轴的对称点，连接， 则， ∴， ∴， 当点，M，P三点共线时，， 此时，取最小值， ∵，， ∴， ∴． 综上，最小值为． 【点睛】 本题考查了二次函数综合，解题的关键是熟练掌握求二次函数解析式的方法和步骤，二次函数的面积问题，最短路线的问题等，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键． 62．【答案】（1）     （2）有最大值为，此时；     （3）或．      【分析】 本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解是解题的关键． （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出的坐标，设，将转化为二次函数求最值即可； （3）求出平移后的解析式，进而求出平移后的对称轴，分点在的上方和下方两种情况进行讨论求解即可． (1) 小问详解： 解：∵抛物线过，对称轴为直线， ∴ ，解得： ， ∴； (2) 小问详解： 解：∵点关于直线对称，， ∴， ∵， ∴当时，， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为：，把代入，得， 解得， ∴， 设， ∵轴，轴， ∴，轴，， ∴，， ∴， ∴， ∴当时，有最大值为，此时； (3) 小问详解： 解：∵将抛物线向右平移1个单位，再向上平移1个单位， ∴新的抛物线的解析式为：， ∴新的抛物线的对称轴为直线， 延长交轴于点， ∵，， ∴① 当点在直线上方时，， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴同（2）法可得：直线的解析式为：， ∴当时，，即：； ② 当点在直线下方时，，则：， ∴， ∴ 同理：直线的解析式为：， ∴当时，，即：； 综上：或． 63．【答案】（1）；     （2）；     （3）或．      【分析】 本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式及二次函数与几何图形的综合，学会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系是正确解决问题的关键． （1）用待定系数法求解析式即可； （2）点关于抛物线对称轴的对称点为点，连接交抛物线对称轴于点，此时最小，即可求解； （3）点关于原抛物线的对称点为点，，则直线过点，得到直线的表达式为，当点在轴上方时，直线和关于轴对称，直线的表达式为，分别联立直线，和抛物线的表达式，即可求解． (1) 小问详解： 解：抛物线经过点，与x轴交于点， ， 解得： ， 抛物线的表达式为； (2) 小问详解： 解：抛物线的表达式为， 设直线的表达式为， ， 解得 ， 直线的表达式为， 设点，则点， ， 当时，取得最大值， 此时，点，    点关于抛物线对称轴的对称点为点，连接交抛物线对称轴于点，此时最小， ； (3) 小问详解： 解：抛物线沿射线方向平移，故抛物线向右平移个单位，向下平移个单位，    则新抛物线的表达式为， 其对称轴为直线， 新抛物线对称轴过点， ， ， 新抛物线的表达式为， 点关于原抛物线的对称点为点， ， 直线过点， 直线的表达式为， 当点在轴上方时，直线和关于轴对称， 直线的表达式为， 分别联立直线，和抛物线的表达式得： 或， 解得：或（不符合题意的值舍去）， 故点或． 64．【答案】（1）     （2）的最大值为，     （3）或      【分析】 （1）由待定系数法即可求解； （2）由，即可求解； （3）第一种情况，过点N作，交抛物线于点，则，求出直线的解析式为：，进而求解；第二种情况，作，交抛物线于点，同理可解． (1) 小问详解： 解：∵抛物线过点，点， ∴设抛物线的解析式为：， 把点代入可得，， 解得：， ∴抛物线解析式为：； (2) 小问详解： 解：由点B、C的坐标得，直线的表达式为：， 设点，则点， 则， 则， 即的最大值为：， 此时，则点； (3) 小问详解： 解：∵抛物线， ∴将原抛物线沿x轴向右平移1个单位长度，新抛物线的解析式为：， 令，则，令，则， 解得，， ∴，， ∵点N是第一象限中新抛物线上一点，且点N到y轴的距离等于点到y轴的距离的一半， ∴且， 把代入得：， ∴， ∵，， 由点、的坐标得，直线的解析式为， 分以下两种情况： 第一种情况，过点N作，交抛物线于点，则，如图2， ∴设直线的解析式为，把点代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为：， 联立新抛物线与直线为方程组得：， 解得：（舍去）或， ∴； 第二种情况，作，交抛物线于点，交直线于点H，如图3， ∴， 设，且，， ∴，， 即， 解得，， ∴， 由点H、N的坐标得，直线的解析式为， 联立抛物线与直线为方程组得：， 解得：（舍去）或， ∴； 综上所述，存在点M，使得，点M的坐标为或． 【点睛】 本题主要考查二次函数与图形的综合，掌握待定系数法求二次函数解析式与一次函数解析式，二次函数最值问题，函数平移的性质，等腰三角形的性质，二次函数与二元一次方程组求解交点等知识的综合运用是解题的关键． 65．【答案】（1）     （2）     （3）或      【分析】 （1）先利用点在轴上且在直线上，求出点坐标，再代入求解即可； （2）求出坐标，则设 ，得，，求得，，则，利用二次函数最值求出最大值，得出，，易得是固定值，利用架桥铺路，将线段沿着方向平移个单位长度，得到线段，由平移得，，则，由两点之间线段最短，得当、、依次共线时，最小，求解即可； （3）先求出新抛物线解析式，再分点E在直线下方和点E在的上方两种情况求解即可． (1) 小问详解： 解：∵点为直线与抛物线的交点，且点在轴上， ∴令， 解得：， ∴， 将代入， 得：， 解得：， ∴抛物线的表达式为； (2) 小问详解： 解：联立 ， 解得： 或 ， ∴， ∵点是直线上方抛物线上一点，且点在上， ∴设 ， ∵轴交直线于点，交轴于点， ∴，， ∴， ， ∴， ∵，且对称轴为直线， ∴当时（满足），取得最大值， 此时，， 即，， ∵轴交轴于点，， ∴四边形是矩形， ∴， 如图，将线段沿着方向平移个单位长度，得到线段，连接， 由平移得，， ∴， 由两点之间线段最短，得当、、依次共线时，最小， 最小值为， 故的最小值为； (3) 小问详解： 解：如图，设直线与y轴交点为点S，抛物线与y轴交点为C，过B作轴于点P， ∵， ∴，， 对于，当时，，则， ∴轴，则； 对于，当时，，则， ∴， ∵将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线， ∴抛物线向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度可得新抛物线， ∴新抛物线的解析式为； 若点E在直线下方，设直线交x轴于K， ∵， ∴， ∴，则， 设直线的表达式为， 将、代入，得 ，解得 ， ∴直线的表达式为， 联立方程组 ，整理，得， 解得，（不合题意，舍去）， ∴； 若点E在的上方时，如图，在上取点K，连接，使得，则， 设，则， 在中，得， 解得，则，，， 延长交y轴于T，则，， ∴在中，，， ∴， 设直线与y轴交于点H，过H作于N， ∵， ∴， ∴，则， 在中，， ∴，解得， ∴       ，则， ∴， 设直线的表达式为， 将、代入，得 ，解得 ， ∴直线的表达式为， 联立方程组 ，整理，得， 解得，（不合题意，舍去）， ∴， 综上，满足条件的点E坐标为或． 【点睛】 本题考查二次函数与几何综合，涉及二次函数的图象与性质，待定系数法求函数表达式，二次函数图象的平移，一次函数的图象与性质，（架桥铺路）最值问题，解直角三角形，解一元二次方程，熟练掌握这些性质与判定，并熟练二次函数中的最值问题和角度问题是解题的关键． 66．【答案】（1）     （2）9     （3）符合条件的点的横坐标为或      【分析】 （1）先求解，，利用待定系数法求解函数解析式即可． （2）求解关于轴对称的点，，求解直线的解析式为，过作轴交于，则，再进一步求解即可． （3）先求解平移后，新抛物线为，如图，当在轴下方时，与平行时，． 求解直线为，进一步可得答案，如图，当在轴上方时， ．证明，可得，过作于，设，进一步求解即可． (1) 小问详解： 解：令，得 由，， 得，即， 将，代入，得 ， 解得 ， 抛物线的函数表达式为． (2) 小问详解： 解：关于轴对称的点 由，得， 设直线的解析式为，将代入，得， 解得，即． 过作轴交于，则． ． (3) 小问详解： 解：原抛物线，沿射线平移个单位， ∴抛物线向右平移1个单位，向下平移3个单位，平移后，新抛物线为， 如图，当在轴下方时，与平行，． ∵，， 同理可得：直线为， 设直线为， ∴，解得：， ∴直线为 ∴ ， 得，即， 解得，（舍去）， ∴的横坐标为， 如图，当在轴上方时， ． ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 过作于， 设， ∴，即， 解得：，（舍去）， ∴点的横坐标为， 综上，符合条件的点的横坐标为或． 【点睛】 本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，轴对称的性质，图形面积的计算，二次函数的平移，锐角三角函数的应用，一次函数的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键． 67．【答案】（1）     （2）最大值为，此时点的坐标为     （3）存在点，使得，点的坐标为或      【分析】 （1）利用待定系数法求解即可得； （2）先求出直线的解析式为，再设点的坐标为，则，求出的长，利用二次函数的性质求出最值即可得； （3）先求出新抛物线的解析式为，再求出，，，直线的解析式为，然后分两种情况：① 过点作，交新抛物线于点，则，求出直线的解析式，与新抛物线的解析式联立求解即可得；② 作，交新抛物线于点，交直线于点，根据等腰三角形的判定可得，据此可得，求出直线的解析式，与新抛物线的解析式联立求解即可得． (1) 小问详解： 解：将，代入得： ， 解得 ， 所以抛物线的解析式为． (2) 小问详解： 解：将代入得：，即， 设直线的解析式为， 将，代入得： ，解得 ， 则直线的解析式为， 设点的坐标为，则， ∵轴，轴， ∴，， ∴， 由二次函数的性质可知，在内，当时，的值最大，最大值为， 此时， ∴的最大值为，此时点的坐标为． (3) 小问详解： 解：抛物线， 将原抛物线沿轴向右平移1个单位长度，新抛物线的解析式为， 将代入得：，即， 将代入得：，解得或， ∴， ∵点是第一象限中新抛物线上一点，点到轴的距离等于点到轴的距离的一半，且， ∴点的横坐标为， 将代入得：，即， 设直线的解析式为， 将点，代入得： ，解得 ， ∴直线的解析式为， ① 如图，过点作，交新抛物线于点，则， ∴可设直线的解析式为， 将点代入得：，解得， ∴直线的解析式为， 联立 ，解得 （即为点）或 ， ∴； ② 如图，作，交新抛物线于点，交直线于点， ∴， 设点的坐标为， ∴， ， ∴， 解得， ∴， 设直线的解析式为， 将点，代入得： ，解得 ， ∴直线的解析式为， 联立 ，解得 （即为点）或 ， ∴； 综上，存在点，使得，点的坐标为或． 【点睛】 本题考查了二次函数与图形的综合、二次函数最值问题、二次函数图象的平移、等腰三角形的判定、二次函数与二元一次方程组的交点等知识，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键． 68．【答案】（1）     （2）     （3），      【分析】 本题考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合应用． （1）把，代入计算即可； （2）作关于轴的对称点，交于，则轴，连接，，先求出直线解析式为，再设，则，求出，再根据求出面积最大值，得到，再由对称可得，当在线段上时，最小，求出最小值的长即可； （3）先求出平移后解析式为，对称轴为直线，当在直线上方时，由可得，求出直线解析式为，与的交点即为；当在直线下方时，如图，由，可得，根据距离公式求出，再求出直线解析式为，与的交点即为． (1) 小问详解： 解：把，代入得 ，解得 ， ∴该抛物线的解析式为； (2) 小问详解： 解：作关于轴的对称点，交于，则轴，连接，，    令，则， ∴， 设直线解析式为，代入，得 ，解得 ， ∴直线解析式为， ∵点P在直线上方的抛物线，轴， ∴设，则， ∴， ∴ ， ∴当时，最大，此时， ∵关于轴的对称点， ∴，， ∴， ∴当在线段上时，最小，最小值； (3) 小问详解： 解：∵直线解析式为， ∴将抛物线沿着射线的方向平移，可设抛物线向左移动个单位，再向上移动个单位， ∴平移后解析式为， ∵当抛物线经过点C时停止平移， ∴把代入得， 解得，（舍去）， ∴平移后解析式为， ∴对称轴为直线， 当在直线上方时，如图点即为，    ∵， ∴， ∴设直线解析式为， 代入得，，解得， ∴直线解析式为， 当时，， ∴； 当在直线下方时，如图点即为，此时交于，    ∵，即， ∴， 设， ∴， 解得， ∴， ∴设直线解析式为， 代入，得， ，解得 ， ∴直线解析式为， 当时，， ∴， 综上所述，当时，所有满足条件的点H的坐标为或． 69．【答案】（1）；     （2）的最大值为，；     （3）点N的坐标为或或．      【分析】 （1）利用待定系数法求解即可； （2）先求得直线的解析式，设，用表示出的长，利用二次函数的性质求解即可； （3）先求得新抛物线的对称轴为，分三种情况讨论，利用菱形的性质结合中点坐标公式求得即可． (1) 小问详解： 解：把，代入得 ， 解得 ， ∴该抛物线的解析式为； (2) 小问详解： 解：令，则， ∴，令，则， 解得或， ∴， 设直线的解析式为， 将代入得，， 解得， ∴直线的解析式为， 设， ∵轴， ∴， ∵轴， ∴， 代入， 得， 解得， ∴， ∴， ∴ ， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为， 此时， ∴； (3) 小问详解： 解：∵，， ∴点向右平移3个单位得到点， ∴向右平移3个单位得到新抛物线， ∵， ∴， ∴新抛物线的对称轴为， 设， ∵，， ① 当、为对角线时，则、为菱形的边， ∴，即， 整理得， 无意义，舍去； ② 当、为对角线时，则、为菱形的边， ∴，即， 整理得， 解得， 当时，， ∴ ，即 ， 解得 ， ∴； 当时，， ∴ ，即 ， 解得 ， ∴； ③ 当、为对角线时，则、为菱形的边， ∴，即， 整理得， 解得， ∴， ∴ ，即 ， 解得 ， ∴； 综上，点N的坐标为或或 ． 【点睛】 本题考查二次函数的综合应用，待定系数法求二次函数的解析式，平行四边形的性质，掌握二次函数图象上点的坐标特点是解题的关键． 70．【答案】（1）     （2）     （3）存在点，点的坐标为或或      【分析】 本题主要考查了二次函数的图像和性质，待定系数法求函数解析式，利用平行四边形的判定和性质求点的坐标，解题的关键是掌握二次函数的图像和性质． （1）利用待定系数法求函数的解析式即可； （2）过点作轴，交直线于点，根据三角形的面积列出二次函数，根据二次函数的性质进行求解即可； （3）在抛物线上存在点，使得以为顶点的四边形是平行四边形，分三种情况进行讨论，然后根据平行四边形的判定定理和性质进行求解即可． (1) 小问详解： 解：将，代入得， 解得 ∴抛物线的解析式为； (2) 小问详解： 解：由于当四边形面积等于和面积之和，而的面积为定值， 故面积最大时，四边形面积最大， 如图1，过点作轴，交直线于点， 设，则， ∴， ∴， ∵， ∴有最大值，当时，最大值为18， ∴将代入得，， ∴； (3) 小问详解： 解：在抛物线上存在点，使得以为顶点的四边形是平行四边形，理由如下： ， ∴对称轴是直线， ∴根据对称性，由得， ∵点是抛物线对称轴上的动点， ∴的横坐标为， ① 如图2，以为边时，当时，四边形是平行四边形，由（2）可得点的横坐标为3， ∵点在直线上， ∴点的坐标是， 又∵点的坐标是，点的横坐标为， 根据到的平移规律可知，点的横坐标为，代入得， ， ∴； ② 如图3，以为边时，四边形是平行四边形， 由（2）可得，点的横坐标为3， ∵点的坐标是，且点的横坐标为， 根据到的平移规律可知，点的横坐标为，代入得， ， ∴； ③ 如图4，以为对角线时， 根据到的平移规律可知，到的平移规律， ∴点的横坐标为，代入得，， ∴； 综上，点的坐标为或或． 71．【答案】（1）     （2）；     （3）或      【分析】 （1）利用待定系数法解答即可； （2）先确定直线的解析式为：．，则， 则， 利用配方法得到，结合根据抛物线性质解答即可． （3）根据题意，确定这是一个向左平移t个单位长度，再向上平移t个单位长度的平移变换，设平移后抛物线的解析式为，，确定解析式，取的中点K，连接，交抛物线于点M，此时； 过点作，交抛物线于点，此时． 本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的性质，二次函数的平移，构造二次函数求线段的最值，直角三角形的性质，两点间距离公式，三角函数的应用，熟练掌握抛物线的最值是解题的关键． (1) 小问详解： 解：抛物线与x轴交于点，， 解得 抛物线的解析式为. (2) 小问详解： 解：由抛物线的解析式为， 得， ∴， ∴， 过点P作轴，交于点H，垂足为M，    则， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入直线的解析式得： ， 解得 ， ∴直线的解析式为：． 设，则， 则， 故， ∴ ∵， ∴抛物线开口向下，函数有最大值， ∴当，最大，且最大值为， ∴； 作点B关于y轴的对称点G，此时， 连接交y轴于点N，此时的值最小， 故当点F与点N重合时，取得最小值， 且最小值为，此时． (3) 小问详解： 解：根据题意，得， 由抛物线沿射线方向平移，且， 故该平移变换是一个向左平移t个单位长度，再向上平移t个单位长度的平移变换， 故平移后抛物线的解析式为，， 由平移后的新抛物线经过点时停止平移， ∴把点代入得：， 整理，得 解得， 故平移后抛物线的解析式为即，    取的中点K，连接，交抛物线于点M， 根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得， ∴，符合题意， ∵，， ∴， 设直线的解析式为， 根据题意，得， 解得， ∴直线的解析式为， 根据题意，得 ， 解得或（舍去）， ∴， 此时； 过点作，交抛物线于点， ∴，符合题意， 设直线的解析式为 ∵，， ∴ ， 解得 ， ∴直线的解析式为：． ∵ ∴直线的解析式为：． 根据题意，得 ， 解得或（舍去）， ∴， 此时； 综上所述，符合题意的点M的坐标为或． 72．【答案】（1）     （2）最大值；点P的坐标为     （3）M      【分析】 本题考查了二次函数综合，待定系数法求抛物线解析式，一次函数解析式等知识，解题的关键是： （1）由二次函数的对称轴公式以及过点，待定系数法即可求解； （2）先求出直线的解析式，过点作轴，交于点，则，设点为，则点为，求出的长度，利用三角形面积列出函数解析式，利用二次函数的性质，即可得到面积的最大值，进一步即可求出点的坐标； （3）可求抛物线对称轴为直线，连接，，，根据对称性得出，则，故当A、M、P三点共线时，最小，则的周长最小，根据待定系数法求出直线的解析式为，然后把代入求解即可． (1) 小问详解： 解：∵抛物线过，其对称轴为， ∴ ， 解得： ， ∴； (2) 小问详解： 解：由， 当时，， 则， 设直线的解析式为，则把点、代入，得 ， 解得： ， ∴直线的解析式为； 过点作轴，交于点，如图： 设点P 为，则点D为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当时，取最大值； ∴， ∴点P的坐标为； (3) 小问详解： 解：∵， ∴对称轴为直线， 连接，，， ∵A、B关于直线对称， ∴， ∴， ∴当A、M、P三点共线时，最小，则的周长最小， 当时，， 解得，， ∴， 设直线的解析式为， 则 ， 解得 ， ∴， 当时，， ∴． 73．【答案】（1）     （2）     （3）或      【分析】 （1）抛物线与直线交于点，则，即可求解； （2）设直线的解析式为，利用待定系数法求出直线的解析式，根据平行设直线的解析式为，利用抛物线为，得到，将代入求得直线的解析式，设，则，如图1，过点F作交于点W，证明为等腰直角三角形，，，即可求出，，求得，作点关于轴的对称点，由两点之间线段最短得的最小值为，求出即可求解； （3）设原抛物线向右平移e个单位，利用平移的特点得到平移后的抛物线解析式为以及，① 连接，作的垂直平分线交于点H，利用垂直平分线性质，等腰三角形性质，以及三角形外角定理得到，设，利用勾股定理建立等式得到点H，利用待定系数法求直线的解析式，根据点P为新抛物线上的一点，连接交直线于点H，联立平移后的抛物线解析式和直线的解析式求解，即可解题；② 作H关于N的对称点，连接，求解过程与① 类似． (1) 小问详解： 解：∵抛物线与直线交于点， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为； (2) 小问详解： 解：设直线的解析式为， ∵过点， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， ∵， 设直线的解析式为， 当时，， 解得， ∴， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 设，则， 如图，过点F作交于点W，设交于点， ∵直线是由直线向下平移3个单位得到的， ∴， ∵，， ∴， ∵直线的解析式为， ∴直线为一、三象限的角平分线， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴当时，面积的最大值为3，此时点D的坐标为； ∴， ∴， 作点关于轴的对称点，连接， ∴，， ∴的周长， ∴的周长最小值为； (3) 小问详解： 解：设原抛物线向右平移e个单位， ∴平移后的抛物线解析式为， ∵平移后的抛物线解析式过点， ∴， 解得（不符合题意的根舍去）， ∴平移后的抛物线解析式为，， ① 如图2.1，连接，作的垂直平分线交于点H， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， ∵过点， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 设，则，， ∴， 解得， ∴， 设直线的解析式为， 由点D、H的坐标代入得， ， 解得 ， 所以，直线的解析式为， ∵点Q为新抛物线上的一点， 连接交直线于点H， ∴， 解得， 当时，， ∴点Q的坐标为； ② 如图2.2，作H关于N的对称点，连接交抛物线于点Q， ∵， ∴， ∴， 由对称性可知， ∴， 设， ∵， ∴， 解得：或， 则， 设直线的解析式为， 由点D、的坐标代入得， ， ∴直线的解析式为， ∴， ∴解得， ∴点Q的坐标为， 综上所述，点Q的坐标为或． 【点睛】 本题考查了二次函数的综合应用，主要考查待定系数法求解函数解析式，一次函数与反比例函数交点情况，等腰三角形的性质，对称的性质，勾股定理求两点间距离，垂直平分线性质，三角形外角定理函数平移的规律，熟练掌握相关性质是解题的关键． 74．【答案】① ② ④ 【分析】 本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象的性质，二次函数的最值问题，熟练掌握二次函数图象与系数的关系是解题的关键．① 根据图像分别判断，，的符号即可；② 将点代入函数即可得到答案；③ 根据题意可得该函数与轴的另一个交点的横坐标为5，即可得到；④ 由，得到，，将代入函数得，从而推出当时，该抛物线与直线的图象无交点，即可判断． 【详解】 解：由题图可知，， ，故① 正确； 当时，，即，故② 正确； 二次函数与轴的一个交点的横坐标为，对称轴为直线， 二次函数与轴的另一个交点的横坐标为5， 多项式，故③ 错误； 当时，有最大值，即， 当时，抛物线与直线的图象无交点， 即关于x的方程无实数根，故④ 正确． 综上，① ② ④ 正确． 故答案为：① ② ④ ． 75．【答案】（1）     （2）面积的最大值为，此时点P的坐标为     （3）存在，Q的坐标为或      【分析】 （1）利用待定系数法即可求解； （2）可得，求出直线的解析式为，又可得，进而得为等腰直角三角形，得到，设，则，可得，得到当时，即取最大值，此时的面积最大，据此即可求解； （3）分点在上方和点在下方两种情况，画出图形解答即可求解； (1) 小问详解： 解：把代入得， ， 解得 ， ∴抛物线的解析式为； (2) 小问详解： 解：由可得，， 设直线的解析式为， 把代入得， ， 解得 ， ∴直线的解析式为， ， ， ， ∵轴，轴， ， ∴为等腰直角三角形， ， 设，则， ， 当时，即取最大值，此时的面积最大， 则； (3) 小问详解： 解：存在． 当点在上方时，作点关于轴的对称点，过点作交抛物线于点， ∵与关于轴对称， ， 又 ∵， ， ， ， ， 同理可得直线解析式为， 设直线解析式为，将代入得，， ， ， 由 ， 解得 或 ， ； 当点在下方时，作点，直线与抛物线交于点， ， 同理可得直线解析式为， ， ， ， ， 联立 ， 解得 或 ， ， 综上，点的坐标为或． 【点睛】 本题考査了待定系数法求二次函数解析式和一次函数解析式，二次函数的最值，二次函数的几何问题，轴对称的性质，全等三角形的性质和判定等知识点，掌握二次函数的性质并运用分类讨论思想解答是解题的关键． 76．【答案】（1）抛物线的表达式为，对称轴为直线     （2）最大值为1，此时     （3）所有符合条件的点的坐标为或      【分析】 （1）先求出，得到，再由正切的定义得出，即，将，代入抛物线，计算得出抛物线的解析式为，最后由抛物线的对称轴公式计算即可得出结果； （2）求出直线的解析式为，设，作轴，交于点，则，表示出，证明，得出，再由二次函数的性质即可得出结果； （3）求出新的抛物线，从而可得，结合，得出，再结合题意得出，分两种情况：当点在上方时；当点在下方时，作点关于轴对称的点为，作直线交抛物线于点；分别计算即可得出结果． (1) 小问详解： 解：在中，当时，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 将，代入抛物线可得： ， 解得： ， ∴抛物线的解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线； (2) 小问详解： 解：设直线的解析式为， 将，代入解析式可得 ， 解得： ， ∴直线的解析式为， ∵点是直线下方抛物线上的一动点， ∴设， 如图，作轴，交于点，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴当时，的值最大，为，此时， ∴最大值为1，此时； (3) 小问详解： 解：原抛物线， ∵直线的解析式为， ∴将原抛物线沿着射线平移个单位长度，即将原抛物线向左平移个单位长度，向下平移个单位长度，得到新的抛物线， 在中，当时，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴当点在上方时，如图： 此时， ∴设直线的解析式为， 将代入解析式可得， ∴， ∴直线的解析式为， 联立 ， 解得： 或 （不符合题意，舍去）， ∴此时， 如图，当点在下方时，作点关于轴对称的点为，作直线交抛物线于点， 此时，， 设直线的解析式为， 将，代入解析式可得 ， 解得： ， ∴直线的解析式为， 联立 ， 解得： 或 （不符合题意，舍去）， 此时； 综上所述，所有符合条件的点的坐标为或． 【点睛】 本题考查了求二次函数的解析式，解直角三角形，二次函数综合—角度问题，相似三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 77．【答案】（1）     （2）点的坐标为，的最小值为     （3）点的坐标为或      【分析】 （1）将，两点坐标代入抛物线的解析式中，利用待定系数法即可求解； （2）过点作轴交于点，利用待定系数法求出直线的解析式，设，则，根据，构建二次函数的最值确定点的坐标，作点关于对称轴的对称点，作点关于轴的对称点，连接与对称轴的交点即为点，与轴的交点即为点，此时，，当、、、四点共线时，取最小值，最小值为的长，再根据两点之间的距离公式求解即可； （3）利用二次函数的平移规律求出平移后的抛物线的解析式和点的坐标，分两种情况讨论：若点在的下方时，若点在的上方时，过点作交的延长线于点，过点作轴，垂足为，通过证明，求得点的坐标，利用待定系数法求解直线的解析式，再与抛物线的解析式联立确定交点的坐标即可． (1) 小问详解： 解：将点和代入中得： ，解得 ， 抛物线的函数表达式为； (2) 小问详解： 解：如图，过点作轴交于点， 设直线的解析式为， 将点和代入得： ，解得 ， ， 设，则，其中， ， ， ， 当时，的面积取得最大值，此时点的坐标为， 对于抛物线， 对称轴为直线， 如图，作点关于对称轴的对称点，作点关于轴的对称点，连接与对称轴的交点即为点，与轴的交点即为点，此时，，当、、、四点共线时，取最小值，最小值为的长， ，， ，， ， 即的最小值为； (3) 小问详解： 解：将抛物线向右平移一个单位长度得到抛物线，点的对应点为， ，， 若点在的下方时， 如图所示，过点作交的延长线于点，过点作轴，垂足为， 则， ，， ， ， 是等腰直角三角形， ， ，，， ， ，， ， ， 设直线的解析式为， 将和代入得， ，解得 ， 联立 ， ， 整理得， 解得，（与重合，故舍去）， 令，得， ； 若点在的上方时， 如图所示，过点作交于点，过点作轴，垂足为， 则， ，， ， ， 是等腰直角三角形， ， ，，， ， ，， ， ， 设直线的解析式为， 将和代入得， ，解得 ， 联立 ， ， 整理得， 解得，（与重合，故舍去）， 令，得， ； 综上所述，点的坐标为或． 【点睛】 本题考查了二次函数与几何综合、待定系数法求函数解析式、勾股定理与最短路径问题、全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握相关知识点，学会结合图形添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． 78．【答案】（1）     （2），的最小值为     （3）或      【分析】 （1）先求出，再利用，，求出，，得，，再利用待定系数法即可求解； （2）过点作轴，交于点，交轴于点，设抛物线对称轴交轴于点，过点在轴下方作，过点作于点，使，则，先求出直线的解析式为，通过，得出，得出，设，则，得出，利用二次函数的性质得出当时，最大，此时，由点到直线的最短距离可得当、、依次共线，且时，最短，即最小，此时为如图的，设交轴于点，利用锐角三角函数进行求解即可； （3）先求得新抛物线的解析式为，求出直线解析式为，联立抛物线求出，在直线上取一点，使得， 则，则，则直线与抛物线的另一交点即为点，设，则利用列式求出，求出直线解析式为，联立抛物线即可求解；利用对称性，在直线上取另一点，使得， 再进行列式求解即可． (1) 小问详解： 解：令，则， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， 上述两点坐标分别代入抛物线， 得： ， 解得： ， ∴； (2) 小问详解： 解：如图，过点作轴，交于点，交轴于点，设抛物线对称轴交轴于点，过点在轴下方作，过点作于点，使，则， ∵， ∴抛物线的顶点坐标为， 设直线的解析式为， 将，代入， 得： ， 解得： ， ∴直线的解析式为， ∵，， ∴， ∵轴，， ∴，， ∴， ∴，即， ∴， 设，则， 则，， 则， ∵， ∴当时，最大， 此时， 则此时， 由点到直线的最短距离可得当、、依次共线，且时，最短，即最小，此时为如图的，设交轴于点S，此时， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 由，得，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 即最小值为； (3) 小问详解： 解：∵抛物线沿射线方向平移得到新抛物线，的顶点为， ∴新抛物线的解析式为， 设直线解析式为， 代入，， 得： ， 解得： ， ∴直线解析式为， 联立 ， 解得： 或 ， ∴， 如图，在直线上取一点，使得， 则， ∴， 则直线与抛物线的另一交点即为点， 设， 则，， ∴， 解得：， ∴， 设直线解析式为， 代入，， 得： ， 解得： ， ∴直线解析式为， 联立抛物线，得， 解得：（舍），， 故点的横坐标为； 如图，利用对称性在直线上取另一点，使得， 则， 则直线与抛物线的另一交点即为点， 设， 则，， ∴， 解得：（舍），， ∴， 设直线解析式为， 代入，， 得： ， 解得： ， ∴直线解析式为， 联立抛物线，得， 解得：（舍），， 故点的横坐标为； 综上所述，点的横坐标为或． 【点睛】 本题是二次函数综合，涉及待定系数法，二次函数的图象与性质，解直角三角形，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，点到直线的距离，解一元二次方程，熟练掌握这些性质与判定是解题的关键． 79．【答案】（1）     （2）最小值为：     （3）或．      【分析】 （1）把点，代入即可求解； （2）求解直线为，，如图，过作，设直线为，当直线与抛物线有1个交点时，的面积最大，可得有两个相等的实数根，可得，，证明，作关于的对称点，连接，则三点共线，且，，可得，即，进一步求解即可； （3）如图，延长与轴的交点为，求解直线为，可得，，在直线上，抛物线向右平移1个单位，向下平移1个单位，连接，可得，可得，作交新抛物线于，交轴于，则，即满足，证明，设，此时在抛物线上，即，作关于直线的对称点，连接交于，连接交新抛物线于，，，此时满足条件，设，再进一步求解即可． (1) 小问详解： 解：∵抛物线与直线交于点，，与轴交于点， ∴ ， 解得： ， ∴抛物线为：； (2) 小问详解： 解：∵，， ∴设直线为， ∴， 解得：， ∴直线为， ∵， 当时，， ∴， 如图，过作， 设直线为， 当直线与抛物线有1个交点时，的面积最大， ∴方程，即有两个相等的实数根， ∴， 解得：， ∴直线为，， 解得：，， ∴， ∵，， ∴，，， ∴， ∴， 作关于的对称点，连接，则三点共线，且，， ∴，即， 当三点共线时， ，此时最小， 最小值为：． (3) 小问详解： 解：如图，延长与轴的交点为，，， 同理可得：直线为， ∴，， ∵为的中点， ∴，，， ∴在直线上，抛物线向右平移1个单位，向下平移1个单位， 连接， ∴，，平移后的抛物线为：， ∴， 作交新抛物线于，交轴于，则，即满足， ∵， ∴，设， ∴， ∴，解得：， ∴， 此时在抛物线上，即， 作关于直线的对称点，连接交于，连接交新抛物线于， ∴，，此时满足条件， 设， ∴， ∴，而， ∴，， ∴， ∵， ∴， 同理可得：为， ∴ ， 解得： 或 ， ∴； 综上：或． 【点睛】 本题考查的二次函数的综合应用，涉及求解解析式，二次函数的图象与面积，一元二次方程根的判别式的应用，轴对称的性质，相似三角形的判定与性质，中点坐标公式的应用，锐角三角函数的应用，本题难度很大，作出合适的辅助线是解本题的关键． 80．【答案】（1）     （2），     （3）x的横坐标为或      【分析】 （1）根据已知条件求出点C，点B的坐标，再将点A，点B坐标利用待定系数法分别代入抛物线中即可求得其解析式； （2）作轴交于点D，作轴交于点E，得出，先利用待定系数法求出直线的解析式，随即求得点D的坐标进而得出，的值，证明得到最大值时，最大，设，则，列出的二次函数关系式求得点P的坐标；作于点F，利用三角形面积公式得出的值，通过平移得出点的坐标并得出，再作轴于点G，通过正弦的定义得出，进而求得当，M，G三点共线且轴时，的最小值； （3）先求出平移后的新抛物线解析式及其对称轴，设，则，利用正切的定义得出线段比例关系，此时分情况讨论：① 当点E在点D下方时，② 当点E在点D上方时，分别作对应的辅助线后利用求出的值，进而推出点的坐标， 从而得出结论当点D在直线移动的过程中，点E的轨迹为直线，与的夹角为，进而求出和的值，利用待定系数法分别求出直线和的解析式，最终联立新抛物线解析式即可求出点E的横坐标． (1) 小问详解： 解：由题意知，当时，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 将点A，B分别代入抛物线得 ，解得 ， ∴抛物线解析式为． (2) 小问详解： 解：如图，作轴交于点D，作轴交于点E， ∴， ∵，， 设直线的解析式为， 代入得 ，解得 ， ∴直线的解析式为， ∴点D坐标为，则，， ∵，， ∴， ∴，则最大值时，最大， 设，则， ， ∵， ∴当时，最大，此时， 作于点F， ∴，得， 将点P沿方向平移得点，则，且， ∴， 作轴于点G，， ∴， ∴， 当，M，G三点共线且轴时取等号，故. (3) 小问详解： 解：∵抛物线沿射线平移，且过点C， ∴新抛物线解析式为，对称轴为，记对称轴为直线， 设，则， ∴，即， ① 当点E在点D下方时： 如图，过点C作，在直线上取点且位于点下方，使得， 设， ∴，即， 延长至点F，与直线交点F， ∴， ∴，解得， 设，则， 在中，， ∴，解得， ∴，点坐标为， ∴，， 当点D在直线移动的过程中，点E的轨迹为直线，与的夹角为， 则， 设直线的解析式为，将点代入得 ，解得， ∴直线的解析式为， 联立新抛物线解析式得，， 解得（舍去），； ② 当点E在点D上方时： 如图，过点C作，在直线上取点且位于点上方，使得， ∵， ∴， ∴， ∴， 当点D在直线移动的过程中，点E的轨迹为直线，与的夹角为， 则， 设直线的解析式为，将点代入得 ，解得， ∴直线的解析式为， 联立新抛物线解析式得：， 解得（舍去），， 综上所述，x的横坐标为或． 【点睛】 本题考查了一次函数的图象与性质，二次函数的图象与性质，锐角三角函数的应用及函数与几何的综合应用． 81．【答案】（1）     （2）的坐标为，     （3）点的坐标为：或， 将抛物线沿射线BC方向平移个单位长度得到抛物线， 即将抛物线左移一个单位长度又向上移动一个单位长度， 则， 过作轴交轴于点， 如图点沿射线方向平移至点，所以， ∵，， ∴， ∴， ∵的坐标为， ∴ ∴直线：（如上图）或（如下图）， 点为直线与抛物线的交点， ∴或， 解得：，（舍去）或，（舍去）， ∴点的坐标为：或．      【分析】 （1）利用待定系数法求二次函数的解析式； （2）先求出直线的解析式，然后设点的坐标，过点作轴的平行线交于点，求出长，再证明相似，根据对应边成比例和二次函数的性质求出的最大值，把此时的点向下平移个单位长度得到点，连接，可得到三点共线即时取到最小值，最后利用勾股定理计算解题； （3）根据平移得到抛物线的解析式，然后过点P作轴于点，易知，由与得从而得到，求出直线，得出点为直线与抛物线的交点，联立即可解题． (1) 小问详解： 解：因为抛物线的对称轴是直线， 所以， 解得， 把点代入抛物线得， 即， 所以， 解得， 所以抛物线的表达式：； (2) 小问详解： 令， 解得， ∴， 令，， ∴， ∴由待定系数法得直线：， 过作，如图所示： 设点的坐标为， 则点的坐标为， ∴， ∵作， ∴， ∴， ∴当时，取得最大值， ∴的坐标为，的坐标， ∵，所以把向下平移3个单位得到， 过作，连结，如图所示： ∵点点关于对称轴的对称点为点， 当点三点共线时最小， 即， 令， 解得， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为：． (3) 小问详解： 略 【点睛】 本题是二次函数的综合，主要考查待定系数法，二次函数的线段问题，轴对称的最短路径问题，二次函数的平移，解直角三角形，利用数形结合和分类讨论思想求解是解答的关键． 82．【答案】（1）     （2）存在，最大值为4，     （3）或      【分析】 本题主要考查了二次函数综合、一次函数的平移问题、二次函数最值问题等知识点，掌握二次函数的图象的性质与分类讨论是解题的关键． （1）将点、代入求得b、c的值即可解答； （2）先求出点B的坐标，如图：过点C作于点E，求得，直线的解析式为，设，点D在直线上，则，进而求得，根据二次函数的性质求得最值以及m的值，进而求得M的坐标； （3）如图：取点，连接，则，进而证明，根据的解析式求得的解析式，进而联立抛物线解析式即可求得点P的坐标，当时，记与y轴的交点为K，也满足条件，证明，可得，求解为，进而联立抛物线解析式即可求得点的坐标． (1) 小问详解： 解：将点、代入可得： ，解得： ， ∴抛物线的解析式为． (2) 小问详解： 解：∵抛物线的解析式为， ∴抛物线与x轴交点的坐标为：，即点B的坐标为 如图：过点C作于点E，     设直线的解析式为，将点，， 代入得： ，解得 ∴直线的解析式为 ∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵轴，， ∴轴 ， ∴， 在中，， ∴，即， 在直线上方的抛物线上有一动点M， 设，则 ， ∴当时，的最大值为4，此时，即， ∴存在点M，使得取得最大值，最大值为4，点M的坐标为． (3) 小问详解： 如图，取点，连接，则，     ， ，， ， ， ∵， 设直线的解析式为 则 ，解得 ， ∴直线的解析式为 设直线的解析式为，过点， ∴，解得 ∴直线的解析式为 ∵P是抛物线上的一点，则P为直线与抛物线的交点，则 ，解得 或 （与点B重合，舍弃） ； 如图：当时，记与y轴的交点为K，也满足条件， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 设的解析式为， ∴，解得：， ∴的解析式为， ∵是抛物线上的一点，则为直线与抛物线的交点，则 ，解得 或 （与点B重合，舍弃） ． 综上：P的坐标为或． 83．【答案】（1）     （2），的最大值为     （3）或      【分析】 （1）先求出点B的坐标，再解直角三角形求出的长，进而得到点A的坐标，再利用待定系数法求解即可； （2）求出直线解析式为；设，则直线解析式，求出，，进而求出，，则，据此可得到有最大值时，点P的坐标为；再由，得到当A、P、F三点共线时，有最大值，最大值为的长，据此利用勾股定理即可求出答案； （3）先求出；可设原抛物线向下平移个单位长度，向左平移个单位长度得到抛物线，则新抛物线解析式为，利用待定系数法可得新抛物线解析式为；如图所示，取，连接，证明，得到；导角可证明，如图所示，过点Q作交新抛物线与，则，即点即为所求；可求出直线的解析式为，联立 ，可得；如图所示，过点A作，且使得，连接并延长，交新抛物线于，则，可证明，即点即为所求；求出点R的坐标，进而求出直线的解析式，同理可得． (1) 小问详解： 解：在中，当时，， ∴， ∴， ∵在中，，， ∴， ∴， ∴， 把，代入中得： ， 解得 ， ∴抛物线解析式为； (2) 小问详解： 解：设直线解析式为， ∴ ， ∴ ， ∴直线解析式为； 设，直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为， 在中，当时，，当时，， ∴，， ∴，， ∴ ， ∵， ∴当，即时，有最大值， ∴此时点P的坐标为； ∵， ∴， ∴当A、P、F三点共线时，有最大值，最大值为的长， ∵， ∴； ∴的最大值为； (3) 小问详解： 解：∵原抛物线解析式为， ∴抛物线对称轴为直线， 在中，当时，， ∴； ∵将原抛物线沿射线方向平移，得到新抛物线， ∴可设原抛物线向下平移个单位长度，向左平移个单位长度得到抛物线， ∴新抛物线解析式为， ∵平移后的抛物线经过， ∴， ∴或（舍去）， ∴新抛物线解析式为； 如图所示，取，连接， 在中，当时，或， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； ∵，， ∴， ∵， ∴， 如图所示，过点Q作交新抛物线与，则，即点即为所求； 同理可得直线解析式为， ∴直线的解析式为， 联立 ，解得 或 ， ∴； 如图所示，过点A作，且使得，连接并延长，交新抛物线于，则， ∵， ∴， ∴，即点即为所求； 同理可得直线解析式为， 设， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴， 同理可得直线解析式为； 联立 ，解得 或 ， ∴； 综上所述，点K的坐标为或． 【点睛】 本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，解直角三角形，勾股定理，全等三角形的性质与判定，解（2）的关键在于设出点P的坐标，进而求出直线解析式，再用点P的横坐标表示出的长，解（3）的关键在于证明． 84．【答案】（1）     （2）     （3）或      【分析】 本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数与面积，线段和的最小值问题，角度问题，作出合适的辅助线是解本题的关键． （1）利用待定系数法确定二次函数解析式即可得到答案； （2）根据面积可得，转化为三角形面积的最大值，过作轴交于，再根据求最值，得到，再设，连接，易得，再由求解即可； （3）由题意得，新抛物线由原抛物线先向左移4个单位，再向上平移2个单位得到，解得新抛物线方程为，再在上取点，且，作关于直线对称点，先证，进而得到要使，即，再根情况求解即可． (1) 小问详解： 由题意可得 ，解得 ， 所以抛物线解析式为； (2) 小问详解： 由（1）知， ， 又点关于对称，且， ，则，， 又， 所以四边形面积最大时，即三角形面积取最大值， 过作轴交于， 在抛物线，，， 直线的方程为，设， 则，， ， 当时，三角形面积取最大值，即四边形面积最大，此时， 设与轴交于点，在轴上取点，且在的左侧，使得，连接， 则,， 轴， ，， ， ， 所以此时，的最小值为； (3) 小问详解： 由题意知，原抛物线点平移到新抛物线点， 所以新抛物线由原抛物线先向左移4个单位，再向上平移2个单位得到， 平移后为， 即新抛物线方程为， 如图，在上取点，且，作关于直线对称点， ∴， ， ，则， 又， ， ， 为等腰直角三角形，， ， ， ，即， 故在延长线与新抛物线的交点上， 又，，， 所以直线的方程为，联立新抛物线， 整理得，解得或， 所以此时的坐标为； 关于直线对称， ，，又， ,点在延长线与新抛物线的交点上， 设，则① ， ② ， ①② 得：，即③ ， 把③ 代入① 得：， 解得或（舍去），则， 又，则， 所以直线的方程为，联立新抛物线， 整理得，解得或， 所以此时的坐标为； 综上，存在点，使，的坐标为或． 85．【答案】（1）     （2），     （3）或，求解过程如下： 解：根据题意，得 ， 得，顶点的坐标为， 根据抛物线沿着直线 平移， 设顶点移动的直线解析式为 ， 故， 解得 ， ∴顶点移动的直线解析式为， 由新抛物线的对称轴为直线， 故向右平移个单位长度， ∵ ， ∴该平移变换是一个向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度的平移变换， 故平移后抛物线的解析式为， 故， 根据题意，新抛物线的顶点坐标为， 当，时， ， ∵ ， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入直线的解析式得： ， 解得 ， ∴直线的解析式为： ． 过新抛物线的顶点作直线 ，交于点Y，交于点Q， 根据题意，得 ，， 解得 ， ∴， ∴ ， 在直线 上截取 ， 则， ∴四边形是平行四边形， 又， ∴四边形是菱形， ∴，且互相平分， 故是关于直线 的对称点， 故此时即为所求的点M； 如图，过点作 于点T，延长 到点，使得 ， 根据题意，得 ， 根据题意，得， 连接，作，交于点Q， 根据等腰三角形的三线合一性质，得直线 是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， 延长 交x轴于点G，交新抛物线与点M，交于点H， ∴， 在和中， ∵ ， ∴， ∴， ∴，， ∵在和中 ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上所述，点M的坐标为或．      【分析】 （1）利用待定系数法解答即可； （2）先确定直线的解析式为： ，设，则，则 ，得到，当， 最大，确定了；，，过点D作y轴的对称点，此时，连接，交y轴于点F，此时 的周长最小，最小为，此时，故此时 的周长最小，最小为． （3）根据题意，判定该平移变换是一个向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度的平移变换，故平移后抛物线的解析式为，根据题意，新抛物线的顶点坐标为，确定直线的解析式为 ．过新抛物线的顶点作直线 ，交于点Y，交于点Q，确定， ，在直线 上截取 ，得到四边形是菱形，解答即可．过点作 于点T，延长 到点，使得 ，根据题意，得 ，，连接，作，交于点Q，根据等腰三角形的三线合一性质，得直线 是线段的垂直平分线，延长 交x轴于点G，交新抛物线与点M，交于点H，根据等腰三角形的性质，三角形全等的判定和性质，直角三角形的性质，解答即可． (1) 小问详解： 解：抛物线 与直线交于，两点，与轴交于点．        解得 抛物线的解析式为 ． (2) 小问详解： 解：由抛物线的解析式为 ， 得， 设直线的解析式为 ， 将，代入直线的解析式得： ， 解得 ， ∴直线的解析式为： ． 设， 由 轴交于点，则， ∴ ， 设直线与y轴的交点为点G， ∵直线的解析式为 ，则， ∵， ∴ ， ∴， ∵， ∴ ， ∴， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 故， ∵， ∴抛物线开口向下，函数有最大值， ∴当， 最大， ∴； ∴，， 过点D作y轴的对称点，此时， 连接，交y轴于点F，此时 的周长最小，最小为， 此时， 故此时 的周长最小，最小为． (3) 小问详解： 略 86．【答案】（1）     （2）     （3）点的横坐标为，      【分析】 此题考查了一次函数，二次函数和几何综合，待定系数法求二次函数解析式，线段最值问题，勾股定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点． （1）首先求出，然后结合求出，然后利用待定系数法求解即可； （2）首先求出直线表达式为，设，表示出，由是等腰直角三角形表示出，然后代入利用二次函数的性质求出当时，取得最大值，得到此时，，把点向上平移3个单位得到点，则利用勾股定理求解即可； （3）根据题意，抛物线平移方式为向左平移2个单位，向上平移2个单位，得到，然后根据题意分两种情况讨论：当点在轴左边时和当点在轴右边时，分别求出的表达式，然后和抛物线联立求解即可． (1) 小问详解： 解：∵抛物线， ∴当时，， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴将，代入得， ， 解得 ， ∴； (2) 小问详解： ∵P是直线上方抛物线上的一动点， ∴设， ∵，， ∴可得直线表达式为， ∵过点P作轴交直线于点M， ∴设， ∴， ∵ ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴ ， ∵， ∴当时，取得最大值， ∴此时， 关于对称， ，， 又点E在点F的上方，且， 所以把点向上平移3个单位得到点， 如图： ，即， ， ∴最小值为； (3) 小问详解： ∵直线为， ∵将该抛物线沿射线方向平移个单位长度得到得新抛物线， 且, ∴点平移到的中点， 即平移方式为向左平移个单位，向上平移个单位， ∵， ∴平移后的新抛物线表达式为， ∵， 当点Q在y轴左边时，, 此时直线的方程为， 联立得， 解得或（舍去）， 点Q的横坐标为； ∴当点Q在y轴右边时，如图所示，延长交直线于点D，交于点， ∴， ∴，即， 设， ∵，， ∴，， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴可得直线表达式为， ∴联立得， ， 解得或（舍去）； 综上所述，点的横坐标为，． 87．【答案】（1）     （2），     （3）或      【分析】 本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键： （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）先求出、坐标，进而求出直线解析式为；设，则，可得，则当，即时，的长度最大；如图所示，作点关于轴的对称点，连接，，则，当、、三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长，据此求解即可； （3）求出，则将抛物线沿射线方向平移个单位得新抛物线，相当于将抛物线向左平移个单位长度，向上平移个单位长度得到新抛物线，即新抛物线解析式为，如图所示，过点作轴于，可推导证明，则，据此可求出直线解析式为，联立直线和抛物线的解析式，求出点坐标即可． (1) 小问详解： 解：∵抛物线的对称轴为直线， ， ， 把代入中得， 解得， 抛物线解析式为； (2) 小问详解： 解：在中， 当时， 解得或， 当时，， ，； 设直线解析式为， ，解得 ， 直线解析式为； 设，则， ， 当，即时，的长度最大， ， 此时点的坐标为， 如图所示，作点关于轴的对称点，连接，，则， ， ， 当、、三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长， ， 的最小值为； (3) 小问详解： 解：，， ，， ， 将抛物线沿射线方向平移个单位得新抛物线，相当于将抛物线向左平移个单位长度，向上平移个单位长度得到新抛物线， 新抛物线解析式为； 如图所示，过点作轴于， ，， ， ， ，， ， ， ， ， 轴，即， ， 同理可得直线解析式为， 可设直线解析式为， ， ， 直线解析式为， 联立 ，解得 或 ， 点的坐标为或． 88．【答案】（1）；     （2），；     （3）或．      【分析】 本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，直角三角形的性质，勾股定理，分类讨论是解题的关键． （1）利用待定系数法，即可求解； （2）交直线于，过点作于，可得出是正三角形，只需求的最大值即可； （3）求出平移后的函数解析式为，求出、，分点在的上方和下方两种情况讨论； (1) 小问详解： 解：将点、代入， 得： ， 解得 ， ； (2) 小问详解： 如图1，交直线于，过点作于， 在中，， ，， 平分， ， ， ， 轴， ，， ， ， ， ， 在中，， 是正三角形， 平分， ， 在，， 在正中，， 是中线， ， ， ， 故当取最大值时，最大， ， 在中，且， ， 或（舍去）， ， 设直线解析式为， ， ， ， 设，则， ， 当时，最大， ， ， 即， 当时，有最大值； (3) 小问详解： ， 对称轴为， 将向左平移个单位后新抛物线， 、，的对称轴为直线， ，， ，， ， ， ， ，， ， ， 则， ， ， ， 与重合， 当在下方时， ，， ， ，， ， 设直线的解析式为：， ， ， 直线的解析式为：， 联立得： ， 解得： 或 （舍去）， ， 点的坐标为或． 89．【答案】（1），     （2）的周长最小为12，     （3）存在，或．      【分析】 本题考查二次函数的综合应用，解直角三角形，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解是解题的关键： （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）作点关于的对称点，连接，易得四边形为正方形，求出点坐标，进而得到当点在线段上时，的周长最小为的长，求出直线的解析式，联立两条直线的解析式求出点坐标即可； （3）分点在上方和下方，2种情况进行讨论求解即可． (1) 小问详解： 解：∵抛物线与轴交于，两点，与轴交于点， ∴抛物线的解析式为， 把代入，得， 解得， ∴； 设直线的解析式为，把，代入得， ∴； (2) 小问详解： 作点关于的对称点，连接， ∵，， ∴， ∴， ∵对称， ∴， ∴， ∴四边形为菱形， ∵， ∴四边形为正方形， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∵点在线段上， ∴， ∴的周长为， ∴当点在线段上时，的周长最小为， 设直线的解析式为， 则： ，解得 ， ∴， 联立 ，解得 ； 故； (3) 小问详解： 存在； 作点关于轴的对称点，连接，作，则：，则：， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴ 当点在直线上方时，作交于点，作轴， 由（2）可知，， ∴，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 同法可得，直线的解析式为， 联立 ，解得 或 ； ∴； 当点在直线得下方时，延长至点，使，连接， ∵， ∴， ∴， ∵，， 由中点坐标公式可知：， 同法可得，直线的解析式为， 联立 ，解得 或 ； ∴； 综上：或． 90．【答案】（1）     （2）；     （3）或      【分析】 （1）利用待定系数法解答，即可； （2）过点P作轴交于点，证明，可得，从而得到，求出直线解析式，设，可得，从而得到，即可求解； （3）求出点，由抛物线平移的性质可得平移后的解析式为，，根据轴，以及，可得，然后分两种情况讨论，即可． (1) 小问详解： 解：把点，代入得： ，解得： ， ∴抛物线的解析式为； (2) 小问详解： 解：对于， ∴点， 过点轴交于点，     ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线解析式为， 把点，代入得： ∴ ，解得： ， ∴直线解析式为， 对于抛物线， 当，， 解得：或， ∴， 设， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∵， ∴当时，取得最大值，即的最大值为， ∴此时； 如图，连接， ∵点F为该抛物线的对称轴上一动点， ∴， ∴， 即当点P，F，B三点共线时，的值最小，最小值为的长， ， ∴的最小值为； (3) 小问详解： 解：∵， ∴点， ∵将该抛物线先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度， ∴平移后的解析式为，即， ∵， ∴向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到点， ∴， ∴轴， ∴， ∵， ∴， 当点G在轴上方新抛物线上时，     ∴， 设直线表达式为，则， ∴直线：， ∴设直线， 代入，则， 解得：， ∴直线， 与平移后抛物线解析联立得： ， 整理得：， 解得：或（舍）； 即点G的坐标为； 当点G在轴下方新抛物线上时， 过点G作轴的对称点记为点，则，如图：     此时直线与新抛物线在第四象限的交点即为另一个点G， ∴， ∵， 同理可求直线解析式为：， 与平移后抛物线解析联立得： ， 整理得：， 解得：或1（舍）； ∴点G的横坐标为， 综上：符合条件的点G的横坐标为或． 【点睛】 本题考查了二次函数与几何综合，涉及待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定与性质，二次函数图象的平移问题等知识点，难度大，计算复杂． 91．【答案】（1）     （2），的最大值为     （3）或      【分析】 （1）求出得到，由正切的定义求出，即，由题意可得，再利用待定系数法计算即可得解； （2）求出直线的解析式为，直线的解析式为，由勾股定理可得，从而得出，，设，则，，求出，得到，，表示出周长，由二次函数的性质可得，当时，周长最大为，此时；将点沿直线平移个单位长度得到点，连接、、，则向右平移个单位长度，向下平移个单位长度得到点，即，由平移的性质可得，，从而可得四边形为平行四边形，由平行四边形的性质可得，由并结合勾股定理计算即可得解； （3）由题意可得，抛物线关于原点对称的解析式为，求出，由，得出，当点在直线的左边时，作轴于，此时，从而可得，设，则，，由，得出，求解即可；当点在直线的右边时，令直线交轴于点，由，且可得：，从而可得，作点关于直线 对称点，作射线交于点，由轴对称的性质可得，，即点即为所求，设，则 ，求出，从而可得的解析式为，联立 求解即可． (1) 小问详解： 解：在中，当时，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴， 将，代入二次函数的解析式可得， ，解得： ， ∴二次函数的解析式为； (2) 小问详解： 解：设直线的解析式为， 将，代入直线的解析式可得 ， 解得： ， ∴直线的解析式为， 设直线的解析式为， 将，代入直线的解析式可得 ， 解得： ， ∴直线的解析式为， ∵，， ∴，， ∴， ∴，， ∵点是直线上方抛物线上的一动点， ∴设， ∵轴交直线于点， ∴，， ∴， ∵点作交直线于点， ∴，， ∴周长 ， ∵， ∴当时，周长最大为，此时， ∴； 如图，将点沿直线方向平移个单位长度得到点，连接、、， ∵直线的解析式为， ∴点向右平移个单位长度，向下平移个单位长度得到点，即， 由平移的性质可得：，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴的最大值为； (3) 小问详解： 解：∵将点向下平移一个单位长度得到点， ∴， 抛物线关于原点对称的解析式为， ∵将抛物线关于原点对称后沿着射线方向平移个单位长度得到抛物线， ∴将抛物线关于原点对称后向左平移个单位长度，向上平移个单位长度得到， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴如图，当点在直线的左边时，作轴于，此时， ∴， 设，则，， ∵， ∴， 解得：或（不符合题意，舍去）； 如图，当点在直线的右边时，令直线交轴于点， 由，且可得：， ∴点， 作点关于直线 对称点，作射线交于点， 由轴对称的性质可得：，，即点即为所求， 设，则 ， 解得： 或 （不符合题意，舍去）， ∴， 设直线的解析式为， 将代入直线的解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立 得：， 解得：或（不符合题意，舍去）， ∴的横坐标为； 综上所述，所有符合条件的点的横坐标为或． 【点睛】 本题考查了求二次函数的解析式，解直角三角形，求一次函数的解析式，二次函数综合—面积问题，二次函数综合—角度问题，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论与数形结合的思想是解此题的关键． 92．【答案】（1）     （2）     （3）当时，点Q的坐标为或      【分析】 （1）由题意易得，则有，然后根据待定系数法可进行求解； （2）由题意易得直线的解析式为，然后先得出当面积最大时点P的坐标，作点D关于y轴的对称点J，再作点J关于x轴的对称点K，连接，交x轴于点N，连接，交y轴于点M，根据轴对称的性质及两点之间线段最短可知：当点J、M、N且点K、N、P三点共线时，取得最小值，，进而分别得出直线的解析式为，直线的解析式为，最后问题可求解； （3）由题意可分当点Q在x轴的上方时，当点Q在x轴的下方时，然后分类进行求解即可． (1) 小问详解： 解：令时，则有， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴ ， 解得： ， ∴抛物线的解析式为； (2) 小问详解： 解：设直线的解析式为，由（1）可得： ，解得： ， ∴直线的解析式为， 过点P作轴，交于点E，如图所示： 设，则有， ∴， ∴， ∴当时，的面积最大，此时点P的坐标为， ∵， ∴， 作点D关于y轴的对称点J，再作点J关于x轴的对称点K，连接，交x轴于点N，连接，交y轴于点M，如图所示， 根据轴对称的性质及两点之间线段最短可知：当点J、M、N且点K、N、P三点共线时，取得最小值，即为， ∴， 设直线的解析式为，则有： ，解得： ， ∴直线的解析式为， 令时，则有，解得：， ∴； 同理可得：直线的解析式为， 令时，则有， ∴； (3) 小问详解： 解：当点Q在x轴的上方时，有，如图所示： ∴， ∴点Q的纵坐标为4， ∴将代入二次函数解析式得：， 解得：， ∴点Q的坐标为； 当点Q在x轴的下方时，有，设直线与x轴的交点为F，如图所示： ∴，即 设，则根据两点距离公式可得：， 解得：， ∴， 设直线的解析式为，则有： ，解得： ， ∴直线的解析式为， 联立得： ，解得： 或 （不符合题意，舍去）， ∴； 综上所述：当时，点Q的坐标为或 【点睛】 本题主要考查二次函数的综合及轴对称的性质，熟练掌握二次函数的综合及轴对称的性质是解题的关键． 93．【答案】（1）     （2）P的坐标为，     （3） 解：，． 在上截取，过点E作于点F， ， ， ，， 将抛物线沿射线方向平移4个单位长度得到抛物线，相当于将该抛物线先向左平移个单位，再向上平移2个单位， 抛物线平移后的解析式为， 过点P作轴交y轴于点T， ，， ， ， ， ， ∴， 又， ∴， ， 情况1：如图，当M在上方时，设与y轴交于点G， ， ， ， ， ， ， ， 设直线表达式为， 将代入，得 ， 解得 ， 直线表达式为， 令， 解得，（舍去）， 当时，， ； 情况2：如图，当M在下方时，同理可得， 同理也可求得直线表达式为， 令， 解得，（舍去）， 当时，， ．      【分析】 （1）先通过解直角三角形的知识求出，再用待定系数法求二次函数的解析式即可； （2）过P作轴交于H，先求出直线表达式，设，则，即可求得，进一步可求得点P的坐标；再根据轴对称的性质，作点C关于x轴对称点，将向右平移个单位长度至点，得出当，E，P三点共线时，取最小值，即取最小值，并求出最小值即可； （3）先求出平移后抛物线的解析式，然后求出，再分两种情况讨论：情况1：当M在上方时，设与y轴交于点G，先求直线的表达式，再求直线与平移后的抛物线的交点坐标即可；情况2：当M在下方时，同理可求直线的表达式及直线与平移后的抛物线的交点坐标即可． (1) 小问详解： 解：由题意得，， ， ， ， ， ， 将，代入， 得 ， 解得 ， 抛物线的表达式是； (2) 小问详解： 解：设直线表达式为：， 将，代入，得 ， 解得 ， 直线表达式为：， 如图，过P作轴交AC于H， 设，则， ， ， ， 抛物线开口向下， 对称轴是，且， 当时，取最大值．此时P的坐标为， 作点C关于x轴对称点，则， 将向右平移个单位长度至点，则， 当，E，P三点共线时，取最小值，即取最小值， 的最小值为； (3) 小问详解： 略 【点睛】 本题考查了二次函数的图象与性质，解直角三角形，用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数与三角形面积的综合问题，两点之间线段最短，二次函数与角相关的综合问题，利用数形结合思想和分类讨论思想解题是关键． 94．【答案】（1）     （2）     （3）点坐标为或，过程如下： 由（2）知，故可知新抛物线是原抛物线向左向下分别平移2个单位得到的，则新抛物线的表达式为，当时，符合所有条件的点坐标有两种情况： 情况一： 如图所示，当，在下方时， 同上，通过点，，利用待定系数法求得直线的表达式为， 故设直线的表达式为，代入点得， 解得， ∴直线的表达式为， 联立 ， 整理可得， 解得， ∴； 情况二：如图所示，当点在上方时，，延长交于点， ，， ，， 由以上可知直线表达式为， 设， ，即， ， 解得， ， 同理根据，，利用待定系数法可得直线的表达式为， 再与抛物线联立， 整理可得， ， 故， ， 综上，所有的点坐标为或．      【分析】 （1）利用待定系数法求函数表达式即可； （2）过点作轴于点，以为斜边作等腰直角三角形，利用待定系数法求出直线的解析式，假设，求出最大时的值，确定点坐标，通过等腰直角三角形的性质和锐角三角函数确定的最小值，然后利用解直角三角形进行求解即可； （3）根据题意，分两种情况进行讨论，根据平行线的性质和等边，分别求出相关直线的解析式，然后联立解析式求出交点坐标即可． (1) 小问详解： 解：将，代入得， ， 解得 ， ∴抛物线的表达式为； (2) 小问详解： 解：如图所示，过点作轴于点，以为斜边作等腰直角三角形， 当时，， 解得， ∴， 假设直线的解析式为， 将，代入得， 解得 ∴直线的解析式为， 假设， 则， 根据二次函数的性质，， 抛物线开口向下，顶点为最高点，顶点纵坐标为最大值， ∴其顶点横坐标为， ∴； 由等腰直角三角形的性质可得，， ∴当点在同一条直线上时，值最小，即的值最小； 此时，， ∴为等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴的最小值为； (3) 小问详解： 略 【点睛】 本题考查了二次函数和一次函数的图象和性质，待定系数法求函数表达式，解直角三角形，函数图象的平移规律，等腰三角形的判定与性质，解一元二次方程，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解题关键． 95．【答案】（1）     （2） 证明：在上取点K，使如图2， ∵在等边中， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴， 设， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴     （3）      【分析】 本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理、二次函数的应用等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形、直角三角形． （1）过点D作，垂足为H，把分成两个直角三角形，含的直角三角形， 等腰直角三角形，由此可得：，，，进而求解； （2）在上取点K，使得是等边三角形，，设，再证明，从而可得，，由此即可证明结论； （3）取的中点N，连接，得中位线，构造直角三角形（）由勾股定理表示出长与关系，根据二次函数最值求解即可． (1) 小问详解： 解：过点D作，垂足为H，如图1， ∵在等边中，， ∴， ， ∴，， 设，则，， ∴， ∵在中，， ∴， ∴，即， 故，， ∴， ∴； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 取的中点N，连接，如图3， ∵， ∴，， ∵在等边中，， ∴，， ∵ ∴， ∴， 设，则，， ∴，， ， 在中，，其中， ∴， ∴当时，最小，此时：， ∴ 96．【答案】（1）     （2），的最小值为     （3）存在，点的横坐标为或      【分析】 （1）先根据抛物线对称轴求出的值，再根据抛物线经过点，利用待定系数法，即可解答； （2）先求出直线的解析式为，再求出点，过点作平行于轴交抛物线于点，设，则，得出，从而可求出当时，有最大值，此时，过点作直线的平行线，交轴于点K，过点作关于直线的对称点，连接，连接交直线于点，则，求出，进而求出，证明四边形是平行四边形，推出，根据，结合为定值，当三点共线，即两点重合时，有最小值，最小值为，求出，即可解答； （3）先求出平移后抛物线解析式为，然后分点在点左侧和点在点右侧两种情况求解即可． (1) 小问详解： 解：∵抛物线的对称轴为直线， ，即， ∴， ∵抛物线经过点， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式：； (2) 小问详解： 解：点是点关于轴的对称点， 点， 设直线的解析式为， 则， ∴， 直线的解析式为， 与联立得，， 解得（舍去）， 直线与抛物线的交点， 过点作平行于轴交抛物线于点，设，则， ， 当时，有最大值，此时， 过点作直线的平行线，交轴于点K，过点作关于直线的对称点，连接，连接交直线于点，则， ∵，且直线过点， ∴直线的解析式为， ∵， 设直线的解析式为，则，解得， ∴直线的解析式为， 将代入直线，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵为定值， ∴当三点共线，即两点重合时，有最小值，最小值为， ∵直线的解析式为， ∴直线是二、四象限的平分线， ∵两点关于直线对称， ∴点在轴负半轴上，且， ∴， ∴， ∴的最小值为， 综上所述，，的最小值为； (3) 小问详解： 解：存在，点的横坐标为或， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵将该抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线， ∴抛物线沿射线方向平移的水平距离和竖直距离相等， 设抛物线沿射线方向平移的水平距离和竖直距离都为个单位， ∴， ∴， ∴向上平移了个单位，向左平移了个单位， ∵， ∴， 设， 当点在点左侧时，过点作的平行线交轴于点M，连接，如图， ∵点W为直线与抛物线y的交点（异于B）， ∴，即， 解得， ∴点W的横坐标为，则纵坐标为， ∴， 设直线的解析式为，则， 解得， ∴直线的解析式为， ∵， 设直线的解析式为，则， 解得， ∴直线的解析式为， 令，解得， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴， 整理得， 解得或（舍去）， ∴点Q的横坐标为； 当点在点右侧时，在上取点，使得，连接，如图， 设， 则， ∴， 整理得， 解得， 则， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴， 整理得， 解得或（舍去）， ∴点Q的横坐标为； 综上，点的横坐标为或． 【点睛】 本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数与几何综合，一次函数与几何综合，二次函数的平移，轴对称的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，难度较大，属中考压轴题． 97．【答案】（1）抛物线的表达式为；     （2）长度的最小值为；     （3）所有符合条件的点的横坐标为，．      【分析】 （1）把，代入，可得，，即可得抛物线的表达式； （2）由勾股定理可得，根据平行线的性质，结合三角函数，等量代换可知当长度取得最小值时，最大，由待定系数法可得直线的解析式，设点坐标，可得线段，由二次函数的最值可得点坐标，在线段上截取，由平行四边形的判定和性质，可得，由两点之间线段最短，结合勾股定理，等量代换，可得长度的最小值； （3）由勾股定理，结合已知可得抛物线的解析式，可得点的坐标，作轴于点，由平移的性质，结合已知可得，按照点在上方和下方进行分类讨论，由三角形全等的判定和性质，可得点的坐标，用待定系数法可得直线的解析式，与抛物线的解析式联立，即可得点的横坐标． (1) 小问详解： 解：∵点，在抛物线上， ∴ ， 解得 ， ∴抛物线的表达式为． (2) 小问详解： 解：在中， 令，得，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵轴，点在轴上， ∴， ∴， ∴， ∴， 当长度取得最小值时，最大， 设直线的解析式为，则 ， 解得 ， ∴直线的解析式为， 设点，则， ∴， ∴当时，最大，此时， ∵点、在对称轴上， ∴轴， 又∵轴， ∴， 在线段上截取，则四边形是平行四边形， ∴， ∵抛物线与轴交于、两点，点在对称轴上， ∴， ∴， 当且仅当点、、在同一条直线上时，取的最小值， ∵，， ∴，即， ∵， ∴， ∴长度的最小值为． (3) 小问详解： 解：∵，， ∴， 设抛物线向上平移个单位长度，向左平移个单位长度得到抛物线， 根据题意可得，， 解得， ∴， ∴抛物线向上平移个单位长度，向左平移个单位长度得到抛物线， ∴， ∵点为点的对应点，， ∴，， ∴， 在中， 令，得，， ∵点为抛物线与轴左侧的交点，， ∴， 作轴于点，则， ∵，， ∴，， ∴， ∴， 由平移可得， ∵， ∴， 当点在上方时，， 作于点，作轴于点，作于点，则， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴ ， 解得 ， ∴， 设直线的解析式为，则 ， 解得 ， ∴直线的解析式为， ∴，， 解得， 当点在下方时，， 作于点，作轴于点，作于点，则， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴ ， 解得 ， ∴， 设直线的解析式为，则 ， 解得 ， ∴直线的解析式为， ∴，， 解得， ∴所有符合条件的点的横坐标为，． 【点睛】本题考查求二次函数的解析式，二次函数图象的平移，勾股定理，求一次函数的解析式，二次函数的最值，平行四边形的判定和性质，二次函数的图象和性质，两点之间线段最短，等腰三角形的判定，三角形全等的判定和性质． 98．【答案】（1）；     （2）周长的最大值为，此时点P的坐标为；     （3）存在，坐标为或．      【分析】 （）用待定系数法可得抛物线的函数表达式为； （）设，则，；求出，，可得，即可知是等腰直角三角形，故，有，根据二次函数性质可得答案； （）当在轴上方时，延长，交于，求出，设新抛物线函数表达式为，把代入可解得新抛物线函数表达式为，可得，而直线函数表达式为，设，根据，，得，即，解得m得，故直线函数表达式为，联立 ，即可解得；当在轴下方时，设关于x轴的对称点为，则，由轴对称性质可知，为直线与新抛物线的交点，同理可解得 (1) 小问详解： 解：把，代入得： ， 解得 ， 抛物线的函数表达式为． (2) 小问详解： 解：设， 轴，H在直线上， ， ； 在中，令得，令得， ，， ， ， 轴， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， 当时，取最大值，最大值为， 此时， 的周长的最大值为，此时点P的坐标为． (3) 小问详解： 解：在新抛物线上存在一点T，使得，理由如下： 当在轴上方时，延长，交于，如图： 在中，令得或， ， 由，设抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位， 新抛物线函数表达式为， 把代入得：， 解得舍去或， 新抛物线函数表达式为， 在中，令得或， ， 由，可得直线函数表达式为， 设， ，， ， ， ， ， 解得， ， 由，可得直线函数表达式为， 联立 ， 解得 或 ， ； 当在轴下方时，设关于轴的对称点为，则，由轴对称性质可知，为直线与新抛物线的交点， 由，得直线函数表达式为， 联立 ， 解得 或 ， ； 综上所述，的坐标为或． 【点睛】 本题考查了二次函数，一次函数，待定系数法求解析式，等腰直角三角形判定与性质，二次函数图象与几何变换等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 99．【答案】（1）     （2）；的最大值为；     （3）或      【分析】 （1）求出点，再用待定系数法解答即可； （2）根据，可得，从而得到点，可求出直线的解析式过点P作轴交直线于点Q， 设点，则，可得，再根据，结合二次函数的性质可得点，可求出，当点P，C，M三点共线时，取得最大值，即可求解； （3）连接，过点D作，在上作，根据抛物线平移的性质可得，求出直线的解析式为，直线的解析式为，由抛物线的对称性可得为等腰直角三角形，延长到点G，过点B作轴，交直线于点M，过点M作于点M，则M坐标为，，可得为等腰直角三角形，再根据，可得，从而求出点H的坐标为或，即可求解． (1) 小问详解： 解：当时，， ∴点，即， ∵， ∴， ∴点， 把点代入得： ， 解得： ， ∴抛物线的解析式为； (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得：， ∴点， 设直线的解析式为， 把点，代入得： ， 解得： ， ∴直线的解析式为， 过点P作轴交直线于点Q， 设点，则， ∴， ∴ ， ∴当时，取得最大值， 此时点， ∵点， ∴ ， 当点P，C，M三点共线时，取得最大值， 此时， ∴的最大值为； (3) 小问详解： 解：连接，过点D作，在上作， ∵将抛物线沿射线方向平移得到新抛物线，新抛物线恰好经过点， ∴将抛物线向上平移3个单位，向右平移2个单位得到新抛物线， ∵， ∴，点， ∵，， ∴直线的解析式为，直线的解析式为， ∵直线与x的夹角为45度， 由抛物线的对称性得：，则为等腰直角三角形， ∴， 延长到点G，过点B作轴，交直线于点M，过点M作于点M，则M坐标为，， ∴为等腰直角三角形，直线的解析式为， ∴， ∵， ∴，即此时点Q符合题意， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 设点， ∴， 解得：或8， ∴点H的坐标为或， 当直线过点时，直线的解析式为， 联立得：， 解得：或（舍去）； 当直线过点时，直线的解析式为， 联立得：， 解得： （舍去）或； 综上所述，符合条件的点Q的横坐标为或． 【点睛】 本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，解直角三角形，勾股定理，全等三角形的性质与判定，点到直线的距离，解一元二次方程，相似三角形的判定与性质，二次函数图像的平移，熟练掌握这些性质与判定和数形结合是解题的关键． 100．【答案】（1）     （2）的最大值为4，     （3）点的坐标为或      【分析】 （1）先由一次函数解析式求出点，再把代入，求出a值即可； （2）延长交y轴于D，证明，得，即，求得，再设，则，则，，所以，利用二次函数最值即可求解． （3）根据平移的性质求得抛物线平移后的解析式为，再分两种情况：当点M在直线上方时，当点M在直线下方时，分别求解即可． (1) 小问详解： 解：对于直线， 令，则，解得：， ∴， 把代入，得， 解得：， ∴抛物线的表达式． (2) 小问详解： 解：延长交y轴于D，    对于直线， 令，则， ∴， ∵ ∴ ∵轴，即， ∴ ∴，即， ∴， 设，则， ∴， ∴ ∵ ∴当时， 的最大值为4； ∴． (3) 小问详解： 解：联立， ， 解得： ， ， ∴， 由（2）知，在的最大值的条件下，抛物线的顶点为点，对称为直线， 当时，则， ∴， 则，， ∴， ∵将抛物线沿射线方向平移，使得点在新抛物线的对称轴上， ∴点Q平移后与点A重合， ∵，， ∴抛物线沿射线方向平移，是向下平移了2个单位，向右平移了4个单位， ∴抛物线顶点平移后到点，点平移后到点，即与重合， ∴，抛物线平移后的解析式为， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 当点M在直线上方时， ∵， ∴， ∴点M与点重合， ∴，    当点M在直线下方时，设， 过点作，交于，交轴于，则，， 则， ∴，则， ∵， ∴， ∴，则， ∴，整理得：， 即：，解得：（舍去）， 此时，， ∴， 综上，符合条件的点的坐标为或． 【点睛】 本题属二次函数综合题目，主要去向不明了待定系数法求抛物线解析式，抛物线的性质，抛物线的平移，相似三角形的判定与性质，综合性较强，熟练掌握相关性质是解题的关键． 101．【答案】（1）抛物线表达式为；     （2）     （3）3或      【分析】 （1）将、代入抛物线解析式，解方程组即得； （2）由，求出，可得直线解析式为，过点B作轴交于点E，过点P作轴于F，交于点H，则,得，由，设，，则，得所以当时，有最大值，此时，过点O作,过点P作，交于点G， 有最小值，,证明，得，得，可得，,由，得，得,即得； （3）求出原抛物线顶点为 ，得到平移后顶点为 ，故，点 平移后得，当点K在直线右侧时，由，得，收，，得，设直线交x轴于点I，则，得，得，求出直线解析式为，联立得，可得，当点K在直线左侧时，由前可得，连接，作关于的对称，设，则，解得 ，得，求出直线解析式为，联立得，可得． (1) 小问详解： 解：将、代入抛物线解析式， 得 ． ． 即抛物线表达式为． (2) 小问详解： 解：对，当，， 解得，． 点在点的左侧， ． 设直线解析式为， 则． ∴． ∴． 过点B作轴交于点E，过点P作轴于F，交于点H， 则． ∴． ∴． ∵， 对, 时，， ∴． ∴． 设（）， 则． ∴ ． ∴． ∴当时，有最大值． ∴． ∴． 过点O作，过点P作，交于点G， 则，． 当点M在上时, 有最小值，． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． 故的最小值为．     (3) 小问详解： 解：所有符合条件的点K的横坐标为 3或．理由： ∵， ∴原抛物线顶点为 ． ∵， ∴． ∴抛物线沿射线方向平移个单位长度是向右平移，向上平移． ∴得到平移后顶点为 ． 故． 即． 点 平移后得． 以点K的横坐标为 3的解题过程： ∵， ∴． ∴得． ∵，， ∴． ∴． 设直线交x轴于点I， 则． ∴． ∴． 设直线解析式为， 则． ∴． ∴． 与联立得， 解得（舍去），或． 以点K的横坐标为 的解题过程： 由前可得， 连接，作关于的对称， ∵，， ∴． 设， 则． ∵， ∴ ． 解得 ，或 （舍去）． ∴． 设直线解析式为， 则． ∴． ∴． 与联立得． 解得（舍去），或． 综上，符合条件的点的横坐标为3或． 【点睛】 本题是二次函数的综合．熟练掌握待定系数法求函数解析式，图形的旋转与轴对称，二次函数的图象与性质，求二次函数的最值，相似三角形的判定与性质，中点坐标公式，勾股定理等知识，灵活运用这些知识、构造辅助线得三角形相似，分类讨论，是解题的关键． 考点05 二次函数与一元二次方程 1．B 2．D 3．B 4．B 5．B 6．D 7．C 8．【答案】（1），顶点A坐标为；     （2）抛物线与x轴的交点B、C的坐标分别为；或      【分析】 本题考查了二次函数的图象性质，化为顶点式，二次函数与x轴的交点坐标，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）把一般式化为顶点式，即可得出顶点A坐标； （2）当时，，解得，，运用二次函数的图象性质，即可得出当时，x的取值范围． (1) 小问详解： 解：∵， ∴抛物线的顶点A坐标为； (2) 小问详解： 解：依题意，当时，， 则， 解得，， ∴抛物线与x轴的交点B、C的坐标分别为； ∵抛物线开口向上， ∴当时，x的取值范围为或． 9．【答案】 【分析】 本题主要考查了根据函数图象确定不等式解集，掌握数形结合思想是解题的关键． 利用函数图象，写出二次函数的图象在一次函数的图象下方部分所对应的自变量范围即可． 【详解】 解：如图：∵二次函数的图象与一次函数的图象交于点，， ∴不等式的解集是． 故答案为：． 10．【答案】8 【分析】 本题考查抛物线与轴的交点以及平行线上两点之间的距离等知识点．先求出抛物线与轴的交点的坐标是，则、的纵坐标都是，将代入中求出、的横坐标，进而可求线段的长． 【详解】 解：在中， 令，则， 点， 又轴， 点、的纵坐标都是， 直线交抛物线于点， 在中，令，则， 解得：， ，， ， 故答案为：8． 11．【答案】（1），     （2） 如图，即为函数，的图象； 函数的性质：当时，函数值随x的增大而增大（答案不唯一）；     （3）2      【分析】 本题是四边形综合题，主要考查了函数图象的性质，三角形的面积，矩形的性质等知识点． （1）分别表示出，，然后根据三角形的面积公式即可得解； （2）根据题意画出图象；依据图象写出函数的性质即可； （3）作出图象，依据图象直接写出答案即可． (1) 小问详解： 解：∵四边形是矩形， ∴，， 由题意可知：，，， ∴， ， ∵当点到达点时，、两点都停止运动，此时 ∴自变量x的取值范围为； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：由图象可知：当时，，解得或， ∵， ∴， 故答案为：2． 12．【答案】 【分析】 本题主要考查二次函数的图象与性质及分式方程的解法，熟练掌握二次函数的图象与性质及分式方程的解法是解题的关键；由二次函数与x轴有两个不同交点可得判别式大于零，求出m的取值范围；解分式方程得到y的表达式，根据解为非负整数且分母不为零得到m的条件，综合可得符合条件的整数m值，最后求积即可． 【详解】 解：二次函数与轴有两个不同交点，则判别式，解得，即（为整数）， 解分式方程，注意到，方程化为， 解得，且（即）， 由于分式方程的解为非负整数，故且为整数，得且为3的倍数， 结合且，满足条件的整数为， ∴所有满足条件的整数值之积为； 故答案为． 13．【答案】8 【分析】 分别根据不等式组有解，二次函数与轴有交点确定的取值范围，然后得出所有的整数，求和即可． 【详解】 解：由不等式，解得：， 由不等式，解得：， 又∵该不等式组有解， ∴ ∴解得：， ∵关于的二次函数的图象与轴有交点， ∴判别式，且， 解得：且， 综上所述：且， ∴整数， ∴， ∴满足条件的所有整数的和为． 故答案为：． 【点睛】 本题主要考查不等式组的解集及二次函数与坐标轴交点问题，熟练掌握解不等式组的步骤以及一元二次方程根的判别式的 意义是解题的关键． 14．【答案】 【分析】 本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握该知识点是解题的关键．根据二次函数的图象与x轴的交点关于对称轴对称，可直接求出的值． 【详解】 解：二次函数的对称轴为，关于x的一元二次方程的一个解，另一个解为， ， ， 故答案为：． 15．【答案】 【分析】 本题主要考查二次函数图象的平移，勾股定理等，将沿射线方向平移转化为左右平移是解决问题的关键．先求出点B、C的坐标，利用勾股定理得到长度，进而确定平移方式，然后把解析式化为顶点式，再根据平移规律：自变量加减左右移，函数值加减上下移，即可解答． 【详解】 解：对于，令，则， ∴， ∴； 令，则， 解得，， ∵二次函数的图象交x轴于A、B两点，B在A的左面， ∴， ∴， ∴， ∴点C沿射线方向平移个单位后与点B重合， ∴抛物线沿射线方向平移个单位，相当于先向下平移3个单位，再向左平移3个单位， ∵原抛物线解析式， ∴平移后抛物线解析式为， 故答案为：． 16．【答案】① 1002    ② 3636 【分析】 本题考查了新定义下的数的运算及二次函数性质，根据新定义及四位数当千位数字最小时的情况直接求出最小的“双喜数”；根据新定义及二次函数性质得出，再分别求出最大时为4，最小时为1时相应的四位数字，即可求出结论． 【详解】 解：设一个四位自然数是“双喜数”，则满足： ， 为了使 n 最小，需要让 a尽可能小，四位数的 a最小为1， 设定 ，则 为了使 n 最小，还需要让 b 和 c 尽可能小； c最小为， ， 最小的 b 是0，那么， 所以，最小的“双喜数”是 1002； 一个四位自然数是“双喜数”， ， 二次函数与x轴只有一个交点， 有两个相等的实数根， ， ， 能被15整除， 能被5整除， 都是个位数，且， 最大时为4，最小时为1， 当时，且能被5整除， 或8， 当时，根据，则不合题意舍去； 当时，根据，则， 则满足条件的四位自然数m的最大值为4848； 当时，且能被5整除，， ， 则满足条件的四位自然数m的最小值为1212； 则满足条件的四位自然数m的最大值与最小值的差为3636． 故答案为： 1002；3636． 考点06 实际问题与二次函数 1．B 2．A 3．C 4．【答案】（1）     （2）      【分析】 此题考查的是二次函数的应用，掌握用待定系数法求二次函数的解析式和实际问题与二次函数图像的关系是解决此题的关键． （1）根据题意知，抛物线顶点坐标为，可设该抛物线对应的函数表达式为，将点A坐标代入即可求出二次函数的解析式， （2）把代入（1）解析式中，即可求出运动员的成绩． (1) 小问详解： 解：根据题意知，抛物线顶点坐标为， 可设该抛物线对应的函数表达式为， 将代入，得： ， 解得：． ∴函数表达式为； (2) 小问详解： 解：当时，即， 解得，（舍去）． 答：该运动员推铅球的成绩为． 5．【答案】35 【分析】 该题考查了二次函数的应用，利润函数为二次函数，且二次项系数为负，抛物线开口向下，在对称轴左边，结合函数在内的增减性得出，最大值在处取得即可求解． 【详解】 解：函数， 顶点横坐标为， ∴在对称轴左边， 由于抛物线开口向下，且， ∴在上，二次函数的值的增大而增大， 因此最大值在处取得， 当时，． 则最大利润是35元． 故答案为：35． 6．【答案】（1）     （2）能得满分， 理由：由（1），令，则． 解得：或（舍． ， ． 实心球从起点到落地点的水平距离大于等于时，即可得满分， 该男生在此项考试中能得满分．      【分析】 本题主要考查二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能利用待定系数法求出二次函数的解析式是解题的关键． （1）依据题意，设抛物线解析式为，又将点代入得，，进而求出，从而可以得解； （2）依据题意，结合（1）所得解析式，令，则，从而可以判断得解． (1) 小问详解： 解：由题意，设抛物线解析式为， 又将点代入得，， ． ； (2) 小问详解： 略 7．【答案】 【分析】 本题考查了实际问题与二次函数．根据二次函数的图象分别求得当或时，x的值，进而可求解． 【详解】 解：依题意得： 当时，， 此时水面宽度为， 再下降，即当时，， 此时水面宽度为， 水面宽度增加：， 故答案为：． 8．【答案】（1）     （2）或2     （3）      【分析】 本题主要考查了二次函数的应用以及勾股定理的应用，关键是表示出、的长度． （1）根据P、Q两点的运动速度可得、的长度； （2）根据勾股定理可得，代入相应数据解方程即可； （3）根据三角形的面积代入相应线段的长即可得到函数解析式，根据二次函数的最值求解即可． (1) 小问详解： 解：∵点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动， ∴； ∵P从点A开始沿边向终点B以的速度移动， ∴， ∵， ∴， 故答案为：；． (2) 小问详解： 解：由题意得：， 解得：，； ∴当或时，的长度等于； (3) 小问详解： 解：由题意得， ， 当时，的面积最大. 9．【答案】（1） ，；     （2） 函数，的图象如图所示， 函数的性质有：当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小； 函数的性质有：当时，随的增大而减小；     （3）．      【分析】 本题考查反比例函数与一次函数的综合，涉及求反比例函数与一次函数的表达式、画函数图象以及两个函数图象的交点问题等，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． （1）根据题意，利用三角形的面积公式求解即可； （2）根据两个函数的表达式画图象，再根据图象说出函数，的性质即可； （3）观察图象可得结论． (1) 小问详解： 解：当时，点在上， ； 当时，， ∴ ； 由图可知，， ∴； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 由图可知，两个函数相交时即或 解得或 ∴时的取值范围． 10．【答案】（1）     （2）3元     （3）售价为38元时，每天的利润最大，最大利润是640元      【分析】 本题考查了一元二次方程的应用和二次函数的应用，正确理解题意、列出方程与函数关系式是解题的关键； （1）根据原来每天售出的60件，再加上多售出的件数即可得到答案； （2）设该款巴小虎吉祥物降价x元，根据每件的利润×销售数量=销售利润即可列出方程，解方程即可得解； （3）设该款巴小虎吉祥物降价x元，根据每件的利润×销售数量=销售利润即可列出二次函数关系式，再根据二次函数的性质解答即可． (1) 小问详解： 解：设该款巴小虎吉祥物降价x元，则每天售出的数量是件； 故答案为：； (2) 小问详解： 解：设该款巴小虎吉祥物降价x元， 根据题意可得：， 整理可得：， 解得：， 由于要让利于游客，舍去， ∴该款巴小虎吉祥物降价3元时文旅公司每天的利润是630元. (3) 小问详解： 解：设该款巴小虎吉祥物降价x元， 则 ， ∵， ∴当时，取最大值为640元，此时销售价为38元， 答：售价为38元时，每天的利润最大，最大利润是640元． 11．【答案】（1）4元     （2）售价为70元时，最大利润为4000元      【分析】 本题考查了二次函数及一元二次方程的应用，解题的关键是利用利润=单件利润×销售量,列出二次函数解析式． （1）设销售单价提高x元，根据题意由总利润每件利润销量，列出方程求解即可；（2）设销售利润为M元，求得顶点式函数关系式，利用二次函数的性质即可解决问题． (1) 小问详解： 解：设T恤的销售单价提高x元，依题意得： ， 解得：或， ∵要尽可能减少库存， ∴不合题意，舍去． ∴T恤的销售单价应提高4元， (2) 小问详解： 设利润为M元，由题意得： ， ， ∴当时，元， ∴销售单价：（元）， ∴当服装店将销售单价定为70元时，得到最大利润是4000元． 12．【答案】（1）     （2）定价为 24 元或 26 元     （3）方案B      【分析】 本题主要考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用，理解题意正确列出函数关系式是解答本题的关键． （1）根据利润单件利润数量列出函数关系式求解即可． （2）结合（1）可得，解方程即可． （3）先分别求出两种方案的求值范围，再根据二次函数的性质求解即可． (1) 小问详解： 解：根据题意可得 ． (2) 小问详解： 解：结合（1）可得， 整理得：， 解得：或， 故当定价为 24 元或 26 元时，利润可达 2240 元． (3) 小问详解： 解：∵销售单价为（元），销售量为盒，每盒利润为元， 方案A：根据题意可得：， 方案B：根据题意可得：，且， 解得：， ∵，， ∴当时，随x的增大而增大， 当时，随x的增大而减小， 方案A：∵， ∴当时，元； 方案B：∵， ∴当时，元； ∵， ∴方案B每天的最大利润更高． 13．【答案】（1），，     （2） 函数图象如图所示： 写出函数，的性质如下（答案不唯一）： 对于函数，当时，函数有最大值； 当时，随增大而增大，当时，随增大而减小； 对于函数，随增大而减小；     （3）      【分析】 （1）作于，易证 四边形为矩形， ， 由题意可知：，，，，根据三角形的面积公式分别表示出，即可，由其中一个动点抵达终点时，另一个立即停止运动，可得的取值范围； （2）利用描点法画出图形即可，根据最值或增减性可得函数性质； （3）结合图象只需在图象中找到在上方部分对应的的值即可． (1) 小问详解： 解：（1）如图，作于， ，即，， ， 四边形为矩形， ， 由题意可知：，，，， 的面积：， 的面积：， ， 当其中一个动点抵达终点时，另一个立即停止运动， 点运动时间最多为：（秒），点运动时间最多为：（秒）， ，，； (2) 小问详解： 解：列表： (3) 小问详解： 解：由图可知，两函数的交点横坐标约为， 当时，的取值范围． 【点睛】 本题考查了二次函数的图象与性质，一次函数的图象与性质，根据函数图象解不等式，平行线的性质，矩形的判定和性质，三角形的面积公式，熟练掌握以上知识是解题的关键． 14．【答案】（1）     （2） 如图所示； 性质：当时，y随x的增大而增大（答案不唯一）；     （3）函数与y的图象有且只有两个交点，k的取值范围为      【分析】 （1）根据勾股定理得到，求得，，当时，过A作于H，当时，如图，根据三角形的面积公式即可得到结论； （2）根据题意画出函数图象并根据函数图象得到函数性质即可； （3）由，得到直线过点，如图，当函数过点，，时为临界点，将点代入即可得到结论． (1) 小问详解： 解：在中，，，， ∴， ∵， ∴，， 当时， 过A作于H， ∵， ∴， ∴； 当时，如图， ∴， 综上所述， ； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：∵， ∴直线过点，如图， 当函数过点，，时为临界点， 将点代入得：， 解得：； ∴函数与y的图象有且只有两个交点，k的取值范围为． 【点睛】 本题一次函数综合题，考查了三角形的面积公式，一次函数的图象与性质，二次函数的图象与性质，正确地画出函数的图象是解题的关键． 15．【答案】（1）250件（2）w=（3）当销售单价为45元，最大利润是3750元． 【分析】 （1）求出最高价，算出比35元涨了多少元钱，再除以5求出涨了多少个五元，算出少卖的件数，再用350件减去少卖的件数，即可得到结论； （2）用含x的式子表示出每件儿童玩具的获利和每天的销售量，每天获得的利润等于每件玩具的获利乘以每天的销售量，即可得到解析式； （3）把w关于x的函数解析式化成顶点式，再根据函数的增减性，判定出最大值即可得到结论． 【详解】 解：（1）每件的最高价为30×（1+50％）=45（元）， =250（件）， ∴当这种儿童玩具以每件最高价出售时，每天的销售量为250件； （2）w=（x-30）（350-50·）=， ∴w与x的函数关系式w=； （3）w=； =； ∵销售单价不低于35元且销售利润不高于进价的50％， ∴35≤x≤45， ∵a=-10<0， ∴抛物线开口向下， 又∵抛物线的对称轴是x=50， ∴当35≤x≤45时，w随x的增大而增大， ∴当x=45时，w有最大值，w的最大值为3750， ∴当销售单价为45元，该网店销售这种儿童玩具每天获得的利润最大，最大利润是3750元． 【点睛】 本题考查二次函数的应用、一次函数的应用，明确题意找到函数关系式是解题的关键． 16．【答案】 【分析】 本题考查了二次函数的实际应用，建立平面直角坐标系求出函数式子是解题的关键． 建立平面直角坐标系求出函数式子，再代入数据运算求解即可． 【详解】 解：建立平面直角坐标系，设横轴通过水面，纵轴通过中点且通过点， 如图所示： 则通过画图可得知为原点，则抛物线以轴为对称轴，且经过，两点,可知， ∴，， 由图可得：抛物线顶点坐标为， ∴设二次函数的顶点式为：， 把代入可得：， 解得：， ∴， 把代入可得：， 解得：， ∴此时水面宽度为， ∴比原先的宽度增加了， 故答案为：． 17．【答案】（1）     （2）       【分析】 本题考查了二次函数的实际应用，理解题意确定函数关系式，运用二次函数的性质是解题关键． （1）根据题意得出，顶点坐标为，设石弹运行的函数关系式为， 将点坐标代入求解即可； （2）分别令和，解方程求出的值，再根据题意求出的取值范围． (1) 小问详解： 解：根据题意得，，顶点坐标为， 设石弹运行的函数关系式为， 把代入得：， 解得 ， 石弹运行的函数关系式为； (2) 小问详解： 解：当时，， 解得， （舍去）， 当时，， 解得， （舍去）， 的取值范围是 ． 18．【答案】（1）（2）当为10时，超市每天销售这种玩具可获利润2250元（3）当为20时最大，最大值是2400元 【分析】 （1）根据题意列函数关系式即可； （2）根据题意列方程即可得到结论； （3）根据题意得到，根据二次函数的性质得到当时，随的增大而增大，于是得到结论． 【详解】 （1）根据题意得，； （2）根据题意得，， 解得：，， ∵每件利润不能超过60元， ∴， 答：当为10时，超市每天销售这种玩具可获利润2250元； （3）根据题意得，， ∵， ∴当时，随的增大而增大， ∴当时，， 答：当为20时最大，最大值是2400元． 【点睛】 本题考查了一次函数、二次函数的应用，弄清题目中包含的数量关系是解题关键． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 二次函数 6大高频考点概览 考点01 二次函数的概念 考点02 二次函数y=ax²的图象和性质 考点03 二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质 考点04 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 考点05 二次函数与一元二次方程 考点06 实际问题与二次函数 考点01 二次函数的概念 1．（25-26学年九上·重庆渝北区石鞋学校）下列是关于x 的二次函数的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了二次函数的定义，根据二次函数的一般式进行逐项分析，即可作答． 【详解】 解：A、不是二次函数，故该选项不符合题意； B、不是二次函数，故该选项不符合题意； C、不是二次函数，故该选项不符合题意； D、是二次函数，故该选项符合题意； 故选：D． 2．（25-26学年九·重庆江津区实验中学·期末）下列函数中，是二次函数的有（　　） ①，②，③，④ A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】C 【分析】 根据二次函数的定义：形如（，，为常数且），逐一判断即可． 【详解】 解：①，是二次函数； ②，不符合二次函数的定义，不是二次函数； ③，整理后是二次函数； ④，整理后是二次函数； 故选：C． 【点睛】 本题考查了二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键． 3．（25-26学年九上·重庆·期末）若是关于的二次函数，则的取值范围是（   ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的定义，二次项系数不能为零，因此令系数即可求解． 【详解】 ∵函数是关于的二次函数， ∴二次项系数， ∴． 故选：D． 4．（25-26学年九上·重庆两江育才中学校·期中）已知关于x的二次函数，则m的值是（       ） A.  B. 1 C.  D. 0 【答案】B 【分析】 本题主要考查了二次函数的定义，一般地，形如，a、b、c是常数的函数叫做二次函数． 根据二次函数的定义求解即可． 【详解】 解：∵是关于x的二次函数， ∴且，解得：． 故选：B． 5．（25-26学年九上·重庆铜梁区铜梁·期中）二次函数与x轴的一个交点是，则的值是　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了二次函数的性质，代数式求值． 将交点坐标代入函数解析式，得到关于和的方程，进而求出的值，再代入所求代数式计算即可． 【详解】 解：二次函数与轴的一个交点是 ∴将，代入解析式，得 即 ∴ 则 故答案为：． 考点02 二次函数y=ax²的图象和性质 1．（25-26学年九上·重庆江津区实验中学·期中）已知是二次函数，且函数图象有最低点，则的值为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了二次函数的定义，二次函数的图象和性质，由二次函数的定义可得，即得，再根据二次函数的图象和性质可得，即得，即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】 解：∵是二次函数， ∴， 解得， 又∵函数图象有最低点， ∴， ∴， ∴， 故选：． 2．（25-26学年九·重庆綦江区未来学校·期中）函数与在同一坐标上的图象大致是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了一次函数与二次函数的图象与性质，先由一次函数图象得到字母系数的正负，再与二次函数的图象相比较看是否一致即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】 解：、由一次函数的图象，可知，，由二次函数的图象可知，两者相吻合；故此选项符合题意； 、由一次函数的图象可知，，由二次函数的图象可知，两者不吻合；故此选项不符合题意； 、由一次函数的图象可知，，由二次函数的图象可知，两者不吻合；故此选项不符合题意； 、由一次函数的图象可知，，此时无实数根，故此选项不符合题意； 故选：． 考点03 二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质 1．（九·重庆铜梁·期末）抛物线的对称轴是直线（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查二次函数的性质．根据二次函数的对称轴是直线即可求解． 【详解】 解：∵抛物线方程为， ∴对称轴为． 故选：B． 2．（25-26学年九上·重庆铁路中学校·期中）抛物线向左平移1个单位，再向下平移3个单位，则平移后的抛物线的解析式为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查二次函数图象的平移，准确掌握平移方法是解题的关键．根据函数图象平移的方法：左加右减，上加下减，可得答案． 【详解】 解：抛物线向左平移个单位可得，再向下平移个单位可得， 故选：B． 3．（25-26学年九上·重庆永川中学校·期中）二次函数图象的顶点坐标为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查二次函数图象的顶点坐标，直接应用顶点式的顶点坐标求解. 【详解】 解：∵二次函数 是顶点形式，其中 , ， ∴顶点坐标为 . 故选：B 4．（25-26学年九上·重庆第七中学校·期中）已知抛物线的解析式为，则这条抛物线的顶点坐标是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了二次函数的顶点式，二次函数的顶点式为，其中顶点坐标为 ． 根据二次函数的顶点式解析式可直接得出顶点坐标． 【详解】 解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为． 故选：B． 5．（25-26学年九上·重庆江津二中联·期中）二次函数的顶点坐标是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 利用的图象与性质即可直接得出答案． 【详解】 解：二次函数的顶点坐标是， 故选：． 6．（25-26学年九上·重庆南开中学教共体学校·期中）对于二次函数，下列说法中正确的是(     ) A. 图象的开口向下 B. 函数的最大值为1 C. 当时，随的增大而减小 D. 图象的对称轴为直线 【答案】C 【分析】 根据抛物线的图象和性质，逐项判断即可求解． 【详解】 解：∵2＞0， ∴抛物线开口向上，故A错误； ∵抛物线的顶点坐标为（3，1）， ∴当x=3时，函数有最小值，最小值为1故B错误； ∵抛物线的对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小，故C正确；D错误； 故选：C 【点睛】 本题主要考查了抛物线的图象和性质，熟练掌握抛物线的图象和性质是解题的关键． 7．（25-26学年九上·重庆长寿川维中学校·期中）抛物线的顶点坐标是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了抛物线顶点坐标的求法，根据抛物线顶点式的顶点坐标为 ，直接求解即可． 【详解】 解：因为是抛物线的顶点式， 根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为； 故选：D． 8．（25-26学年九上·重庆合川中学）拋物线的顶点坐标为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了二次函数的顶点式，根据二次函数的顶点式直接写成答案即可，掌握二次函数的顶点式是解题的关键． 【详解】 解：抛物线解析式为的顶点坐标， 故选：． 9．（25-26学年九上·重庆铜梁区铜梁·期中）已知，点，，都在函数的图象上，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查二次函数图象上点的坐标特征，根据题目中的抛物线，可以得到函数图象的开口方向，对称轴，然后根据二次函数的性质，即可得到、、的大小关系，从而可以解答本题． 【详解】 解：∵抛物线， ∴该抛物线开口向上，对称轴是y轴，点距离对称轴越远则函数值越大． ∵， ∴， ∴， 故选：D． 10．（25-26学年九上·重庆合川区十一·期中）关于二次函数的图象，下列结论正确的是（     ） A. 其图象开口向上 B. 其图象的对称轴是直线 C. 其最大值为1 D. 当时，随的增大而减小 【答案】D 【分析】 本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；由二次函数顶点式可知，，开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为，最大值为，当时，y随增大而减小，进而问题可求解． 【详解】 解：∵， ∴，开口向下；对称轴为直线；顶点坐标为，最大值为， ∵， ∴当时，随的增大而减小； 故选：D． 11．（25-26学年九上·重庆两江育才中学校·期中）将抛物线平移得到抛物线，下列叙述正确的是（       ） A. 向右平移3个单位，向上平移2个单位 B. 向左平移3个单位，向下平移2个单位 C. 向右平移3个单位，向下平移2个单位 D. 向左平移3个单位，向上平移2个单位 【答案】B 【分析】 本题考查了二次函数图象平移的规律．根据二次函数图象平移的规律“左加右减，上加下减”进行分析即可． 【详解】 解：∵原抛物线为，平移后为， ∴表示向左平移3个单位， 表示向下平移2个单位， ∴平移方式是向左平移3个单位，向下平移2个单位． 故选：B． 12．（25-26学年九上·重庆开州区文峰·期中）对于抛物线，以下说法正确的是（        ） A. 开口向下 B. 对称轴为直线 C. 顶点坐标为 D. 当时，随的增大而减小 【答案】B 【分析】 根据抛物线顶点式的性质，分别判断开口方向、对称轴、顶点坐标和增减性，即可得到正确选项． 【详解】 解：∵抛物线解析式为 ∴ ∴抛物线开口向上，故A错误 对称轴为直线，故B正确 顶点坐标为，故C错误 ∵抛物线开口向上，对称轴为直线 ∴当时，随的增大而增大，故D错误． 13．（25-26学年九上·重庆永川区文理·期中）将抛物线向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到的抛物线表达式为（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了二次函数图象的平移，根据“左加右减，上加下减”即可求解，掌握二次函数图象的平移规律是解题的关键． 【详解】 解：将抛物线向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到的抛物线表达式为， 故选：． 14．（25-26学年九上·重庆第二外国语学校·期中）抛物线的顶点坐标为　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了二次函数的顶点坐标，掌握二次函数的顶点式是解题的关键 根据二次函数的顶点式即可求解． 【详解】 抛物线方程为， 此为顶点形式，其中 ，， 故顶点坐标为． 故答案为． 15．（25-26学年九上·重庆江津区实验中学·期中）抛物线的对称轴为　　　　　　　　　　． 【答案】直线 【分析】 本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握该知识点是关键．由的对称轴为，即可得出答案． 【详解】 解：由条件可知：抛物线的对称轴是直线， 故答案为：直线． 16．（25-26学年九上·重庆铜梁区铜梁·期中）抛物线y=3（x﹣2）2+5的顶点坐标是　　　　　． 【答案】（2，5）． 【详解】试题分析：由于抛物线y=a（x﹣h）2+k的顶点坐标为（h，k），由此即可求解． 解：∵抛物线y=3（x﹣2）2+5， ∴顶点坐标为：（2，5）． 故答案为（2，5）． 考点：二次函数的性质． 17．（25-26学年九上·重庆永川区文理·期中）抛物线的顶点坐标是　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了二次函数顶点式的顶点坐标为，掌握顶点式求顶点坐标是解题的关键．根据顶点式的顶点坐标为求解即可． 【详解】 解：抛物线的顶点坐标是， 故答案为：． 18．（25-26学年九上·重庆永川中学校·期中）已知，是抛物线上的两点，则的大小关系是　　　　.（用“”、“”或“”填空） 【答案】 【分析】 本题考查了二次函数的性质，先求出抛物线的对称轴，再根据开口方向向上，可得抛物线上的点离对称轴的水平距离越近，函数值越小，反之越大，据此即可求解，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】 解：由二次函数可得，抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴抛物线开口向上， ∴抛物线上的点离对称轴的水平距离越近，函数值越小，反之越大， ∵， ∴， 故答案为：． 19．（25-26学年九上·重庆江津区实验中学·期中）将二次函数的图象先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，则平移后的函数解析式为　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查函数图象的平移，根据平移规律“上加下减，左加右减”的原则进行解答． 【详解】 解：二次函数的图象先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度， 得到，即． 故答案为：． 20．（25-26学年九上·重庆江津二中联·期中）将二次函数的图象向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键． 根据二次函数平移规律左加右减，上加下减，得出平移后解析式即可． 【详解】 解：将二次函数的图象向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式为，即， 故答案为：． 21．（25-26学年九上·重庆广益中学·期末）把抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位，得到的抛物线表达式是　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了二次函数图像的平移，根据“左加右减，上加下减”的规律求解即可，掌握知识点的应用是解题的关键 【详解】 解：由原抛物线向右平移个单位，得；再向下平移个单位，得， 故答案为：． 考点04 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 1．（25-26学年九上·重庆杨家坪中学·期中）二次函数的顶点坐标为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查二次函数的顶点公式，熟练掌握二次函数的顶点公式是解题的关键． 套用二次函数的顶点公式，即可解决问题． 【详解】 ∵ ， ∴ ，，． ∴ ，， ∴ 顶点坐标为 ． 故选： D． 2．（25-26学年九上·重庆铜梁区铜梁·期中）若二次函数的图象开口向下、顶点坐标为，则此函数有(     ) A. 最小值 B. 最大值 C. 最小值1 D. 最大值2 【答案】D 【分析】 本题考查了二次函数的性质．二次函数图象开口向下，故有最大值；顶点坐标直接给出最大值点及值． 【详解】 解：∵ 二次函数开口向下， ∴ 函数有最大值． ∵ 顶点坐标为， ∴ 最大值为． 故选D． 3．（25-26学年九上·重庆铜梁区铜梁·期中）在同一直角坐标系中，函数和的图像可能是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了一次函数和二次函数的图象与性质以及分析能力和读图能力，熟练掌握一次函数和二次函数的图象与性质是解本题的关键． 分别对每一个选项进行分析，利用一次函数而二次函数的图象与性质进行分析即可． 【详解】 解：A、由一次函数图象可知，由抛物线可知，则，矛盾，故A错误，不符合题意； B、由一次函数图象可知，由抛物线可知，则，矛盾，故B错误，不符合题意； C、由一次函数图象可知，由抛物线可知，也是，由二次函数解析式求得对称轴为直线，应在轴左侧，与选项图不符，故C错误，不符合题意； D、由一次函数图象可知，由抛物线可知，也是，由二次函数解析式求得对称轴为直线，应在轴左侧，与选项图相符，故D正确，符合题意． 故选：D． 4．（25-26学年九上·重庆江津中学校·期中）若为二次函数的图象上的三点，则的大小关系是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查二次函数的图像与性质，掌握知识点是解题的关键． 通过二次函数的对称轴和开口方向，比较各点与对称轴的距离，从而确定函数值的大小关系． 【详解】 解：∵二次函数的对称轴为，且开口向上， ∴点离对称轴越远，函数值越大． 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， ∴距离关系为， 故函数值关系为． 故选B． 5．（25-26学年·重庆第二外国语学校·期中）点在第二象限，一次函数与在同一平面直角坐标系中的图象大致为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了一次函数的图象，点的坐标特征，解题的关键是根据一次函数中k、b的符号确定函数图象所经过的象限． 根据点在第二象限，确定k、b的符号，进而得到，的符号，然后确定两个一次函数图象所经过的象限，逐项判断即可． 【详解】 解：∵点在第二象限， ∴，． ∴，． ∴一次函数的图象经过第一、二、三象限， 一次函数的图象经过第二、四象限和原点． 观察图象可知满足条件的只有选项D． 故选：D． 6．（25-26学年九上·重庆永川中学校·期中）在同一坐标系中一次函数和二次函数的图象可能为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题主要考查了一次函数图象与二次函数图象的综合判断，根据一次函数图象经过的象限和与y轴交点的位置判断出一次函数解析式中a、b的符号，根据二次函数图象的开口方向和对称轴的位置判断出二次函数解析式中a、b的符号，看是否一致即可得到答案． 【详解】 解：A、一次函数图象经过第一、二、三象限，则，二次函数图象开口向下，则，二者不一致，不符合题意； B、一次函数图象经过第二、三、四象限且与y轴交于负半轴，则，二次函数图象开口向下且对称轴在y轴右侧，则，，即，二者不一致，不符合题意； C、一次函数图象经过第一、三、四象限且与y轴交于负半轴，则，二次函数图象开口向上且对称轴在y轴右侧，则，，即，二者一致，符合题意； D、一次函数图象经过第一、三、四象限且与y轴交于负半轴，则，二次函数图象开口向上且对称轴在y轴左侧，则，，即，二者不一致，不符合题意； 故选：C． 7．（25-26学年九上·重庆长寿实验中学校·期中）关于抛物线，下列说法正确的是（     ） A. 开口向上 B. 顶点坐标是 C. 对称轴是直线 D. 时，y随x增大而减小 【答案】D 【分析】 本题考查二次函数的性质，包括开口方向、顶点坐标、对称轴和单调性．通过直接计算顶点坐标和对称轴来判断选项． 【详解】 解：∵ 二次函数 中，， ∴ 抛物线开口向下，选项A错误． 对称轴， ∴ 对称轴是直线 ，选项C错误． 顶点横坐标为，代入得纵坐标， ∴ 顶点坐标为，选项B错误． ∵ 开口向下，对称轴， ∴ 当 时，随x增大而减小． ∵ 时，满足， ∴ 选项D正确． 故选：D． 8．（25-26学年九上·重庆江津区实验中学·期中）已知二次函数（为常数）的图像与轴的一个交点为，则关于的一元二次方程的两实数根是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了二次函数性质，以及解一元二次方程，解题的关键在于灵活运用相关知识． 根据题意求出，再将其代入一元二次方程求解，即可解题． 【详解】 解：二次函数（为常数）的图像与轴的一个交点为， ， 解得， ， ， 解得， 故选：D． 9．（25-26学年九上·重庆江津二中联·期中）如果三点在抛物线 的图象上，那么，与之间的大小关系是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用二次函数的性质进行推理是解此题的关键． 根据二次函数的解析式得出图象的开口向上，对称轴是直线，根据时，y随x的增大而增大，即可得出答案． 【详解】 解：∵ ∴图象的开口向上，对称轴是直线， ∴当时，y随x的增大而增大， ∴关于对称轴的对称点为， ∵， ∴． 故选：B． 10．（25-26学年九·重庆綦江区未来学校·期中）下列关于二次函数的性质说法正确的是（       ） A. 图象的开口向下 B. 图象的对称轴为直线 C. 当时，函数y的值最小，最小值为 D. 当时，y随x的增大而增大 【答案】C 【分析】 本题考查二次函数的性质，由顶点式可直接得出开口方向、对称轴、最值和增减性，无需复杂计算．根据二次函数的顶点式的性质，分析开口方向、对称轴、最值和增减性即可． 【详解】 解：∵二次函数是顶点式，其中，，， ∵， ∴图象开口向上，故A错误； 对称轴为直线，故B错误； 当时，取最小值，最小值为，故C正确； ∵， ∴当时，随的增大而减小，故D错误． 故选：C． 11．（25-26学年九·重庆綦江区未来学校·期中）已知在函数上有点，点，C则关于，的大小判断正确的是（       ） A.  B.  C.  D. 无法确定 【答案】C 【分析】 本题主要考查了二次函数图象的性质， 二次函数开口向上，对称轴为，点A和点B关于对称轴对称，y值相等，点C离对称轴更远，y值更大． 【详解】 解：∵二次函数 中，， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线． ∵， ∴点A，B到对称轴的距离相等， ∴． ∵点到对称轴的距离为， ∴ ， 即． 故选：C． 12．（25-26学年九上·重庆长寿川维中学校·期中）在同一平面直角坐标系中，函数与的图象可能是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题主要考查了一次函数与二次函数图象的综合判断，分当时，当时两种情况；先确定一次函数经过的象限，再确定二次函数的开口方向，看是否一致即可． 【详解】 解：当时，一次函数的图象经过第一、二、三象限，二次函数的图象开口向上，且与y轴交于，故A符合题意，B、D不符合题； 当时，一次函数的图象经过第一、二、四象限，二次函数的图象开口向下，且与y轴交于，故C不符合题意； 故选：A． 13．（2026·重庆广益中学·模拟）二次函数的图象如图所示，则下列选项正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查根据二次函数图象判断各项系数和式子的符号，熟练掌握二次函数图象与系数的关系是解题的关键． 根据抛物线的开口方向和对称轴的位置确定a、b的符号，由抛物线与x轴的交点个数确定的符号，由抛物线与y轴的交点位置确定c的符号，即可得出答案． 【详解】 解：A、∵抛物线的开口向上， ∴，故此选项符合题意； B、∵抛物线的对称轴在y轴右侧， ∴， ∵， ∴，故此选项不符合题意； C、∵抛物线与x轴的两个交点， ∴，故此选项不符合题意； D、∵抛物线与y轴的交点在负半轴上， ∴，故此选项不符合题意； 故选：A． 14．（25-26学年九上·重庆南开中学校）已知二次函数，其图象上有两点，，则和的大小关系为（     ） A.  B.  C.  D. 不能判断 【答案】A 【分析】 本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象与性质． 根据抛物线开口向上，则距离对称轴越远的点的纵坐标越大求解即可． 【详解】 解：抛物线的对称轴为直线，开口向上， ∴距离对称轴越远的点的纵坐标越大， ∵， ∴， 故选：A． 15．（25-26学年九上·重庆渝北区石鞋学校）若抛物线经过和两点，将该抛物线向上平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度得到新抛物线，则关于新抛物线下列说法正确的是（       ） A. 开口向下 B. 图象过点 C. 在时，的最小值为 D. 当时，随增大而减小 【答案】C 【分析】 本题考查了二次函数图象，二次函数的性质，二次函数的平移，解决本题的关键是得到新抛物线的解析式． 先根据和求得二次函数对称轴，再利用平移的性质得到新函数解析式，根据二次函数的性质，逐一判断即可． 【详解】 解：抛物线经过和两点， 抛物线对称轴为直线， 则， ， 将该抛物线向上平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度得到新抛物线， 新抛物线解析式为， ， 故抛物线开口向上，故A错误； 当时，， 故抛物线不经过，故B错误； 抛物线对称轴为直线， 在时，在顶点处取最小值，为，故C正确； 当时，随增大而增大，故D错误， 故选：C． 16．（25-26学年九·重庆江津区实验中学·期末）二次函数的图象如图所示，其对称轴为直线，且经过点，下列结论：①；②；③点和在抛物线上，当时，；④不等式的解集是或．其中错误的个数有（     ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】A 【分析】 本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数图象与系数的关系、二次函数与不等式的关系是解题的关键． 由抛物线开口方向、和轴交点位置、对称轴为直线可判断① 、② ，由抛物线开口方向、对称轴位置，可判断③ ，由抛物线的图象、经过及抛物线的对称性可判断④ ． 【详解】 解：由图可知，抛物线开口向上， ∴， ∵抛物线对称轴为直线， ∴， ∴，故② 正确； ∵抛物线和轴交点在负半轴， ∴， ∴，故① 正确； ∵时， ∴两点都在顶点以及对称轴的右侧部分，随的增大而增大， ∴，故③ 正确； 不等式，即抛物线在轴及上方时，的取值范围， ∵对称轴为直线，且经过点， ∴抛物线和轴的另一个交点横坐标， ∴不等式的解集是或，故④ 错误． 综上所述，错误的只有④ ， 故选：A． 17．（2026·重庆育才中学校·三模）如图是二次函数的图象一部分，其对称轴是，且过点，以下几种说法：①；②；③；④多项式可因式分解为；⑤若、是抛物线上两点，则；其中正确的是（     ） A. ①②④ B. ①②⑤ C. ①③⑤ D. ①③④ 【答案】B 【分析】 本题考查了二次函数的图象与性质，利用二次函数的图象正确判断式子的符号是解题的关键．由图可得，抛物线开口向上，与轴交于负半轴，得到，，根据对称轴为得到，可判断① ；代入到，可判断② ；当时，，可判断③ ；用表示出和，再利用因式分解的知识可判断④ ；根据二次函数的增减性可判断⑤ ，即可得出结论． 【详解】 解：由图可得，抛物线开口向上，与轴交于负半轴， ∴，， ∵对称轴是直线， ∴， ∴， ∴，故① 正确； ∵抛物线过点， ∴，即 ∴，故② 正确； ∵抛物线过点，对称轴是直线， ∴抛物线也过点， ∴当时，， ∴，故③ 错误； ∵，， ∴， ∴多项式可因式分解为，故④ 错误； ∵在抛物线上， ∴关于对称轴对称点为也在抛物线上， ∵， ∴，故⑤ 正确； ∴综上所述，正确的是① ② ⑤ ． 故选：B． 18．（25-26学年九上·重庆江津中学校·期中）如图，抛物线过点和点，则下列说法正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据图像进行推理，进而对所得结论进行判断. 【详解】 解：由题意可得：开口向上， 对称轴为直线, 故选项C正确； 即 图像与y轴的交点为负半轴， 故选项A错误； 由图像可得，当时，图像在y轴的下方，所以故选项B错误； 当时，. 将代入上式可得：, 整理得：故选项D错误. 故选：C. 【点睛】 主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，解决问题的关键是熟练掌握二次函数系数之间额关系.. 19．（25-26学年九上·重庆铁路中学校·期中）如图，二次函数的图象经过点，对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④（其中）；正确的结论有（       ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】C 【分析】 本题考查二次函数的图象和性质. 根据开口方向，对称轴和抛物线与轴的交点判断① ② ，特殊点判断③ ，最值判断④ ，进而作答． 【详解】 解：∵抛物线的开口向上，对称轴为直线，与轴交于负半轴， ∴， ∴，，故① ② 错误； ∵抛物线过点， ∴， ∴，故③ 正确； ∵抛物线的开口向上，对称轴为直线， ∴当时，函数有最小值，为， ∴当时，， ∴；故④ 正确. 即正确的结论有③ 、④ 共2个. 故选：C. 20．（25-26学年九上·重庆永川区文理·期中）已知抛物线，下列结论错误的是（       ） A. 抛物线开口方向向上 B. 当时，随的增大而增大 C. 抛物线的对称轴为直线 D. 抛物线与轴交点坐标为 【答案】B 【分析】 本题主要考查了二次函数的图像与性质，理解并掌握二次函数的图像与性质是解题关键．根据，可知该抛物线开口方向向上，即可判断选项A；根据抛物线解析式可知其对称轴为直线，再结合该抛物线开口方向向上，即可判断选项B、C；令，可有，即抛物线与轴交点坐标为，即可判断选项D． 【详解】 解： A. 因为，所以该抛物线开口方向向上，本选项正确，不符合题意； B. 因为该抛物线的对称轴为直线，且该抛物线开口方向向上，当时，随的增大而减小，本选项不正确，符合题意； C. 抛物线的对称轴为直线，本选项正确，不符合题意； D. 当时，可有，即抛物线与轴交点坐标为，本选项正确，不符合题意． 故选：B． 21．（25-26学年九上·重庆暨华中学校·期中）已知的图象如图所示，则下列结论错误的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了二次函数的图象与性质，根据二次函数的图象与系数关系即可得，掌握二次函数的性质，数学结合思想是解题的关键． 【详解】 解：根据题意得，， ∵， ∴， ∴ 故A、B正确； ∵抛物线经过点， 则， ∴，即， 由图象可知，图象与x轴的另一个交点为， ∴当， 故D正确； 故选：C． 22．（25-26学年九上·重庆永川中学校·期中）如图所示，抛物线的对称轴为，现给出下面四条信息：①；②；③；④，你认为其中正确的个数有（     ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】C 【分析】 本题考查二次函数的图象与系数的关系及二次函数的图象与轴的交点情况，由抛物线的开口方向、对称轴、与轴的交点位置可判断出、、的符号，且能确定和的关系，可判断① 、② ；由对称轴及的函数值，可判断③ ；根据抛物线与轴的交点情况可判断④ ．由二次函数图象确定、、的符号及系数的关系是解题的关键． 【详解】 解：∵抛物线开口向下，且与轴的交点位于轴的上方， ∴，， ∵对称轴为， ∴， ∴，， ∴，故① 正确，② 错误； ∵当时，， ∴， ∴， 又∵，即， ∴ ∴，故③ 正确； 由图知：抛物线与轴有两个交点， ∴， 即，故④ 正确， ∴正确的个数有个， 故选：C． 【点睛】 本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数y=ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴及抛物线与y轴的交点确定，抛物线与x轴的交点情况．掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 23．（25-26学年九上·重庆第十八中学）如图，二次函数的函数图象经过点，且与轴交点的横坐标分别为，其中，下列结论：①；②；③；④当（）时，；其中正确的有（   ）个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【分析】 本题考查二次函数的图象和性质，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质，不等式的性质，根据二次函数的图象和性质，由函数图象可得，，，根据函数图象可知，对称轴，可得，进行判断①和②，当，，可判断③，当，则，推出，根据题意，二次函数的函数图象经过点，可得，，得到，进行判断，即可． 【详解】 解：∵二次函数图象开口向下，与y轴交于正半轴 ∴，， ∵对称轴在轴和直线之间， ∴， ∴， ∴，，故① ②错误； 由函数图象可知，当时，，故③错误； 由函数图象可知，当，， ∴， ∵二次函数的函数图象经过点， ∴当时，，即， ∴， ∵，对称轴在轴和直线之间， ∴， ∴， ∴， ∴，故④正确； ∴正确的有1个， 故选：A． 24．（25-26学年九上·重庆第一中学校·期中）已知二次函数的部分图象如图所示，其对称轴为直线，现有下列结论，其中错误的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，根据二次函数的图象判断式子符号，二次函数的图象和性质，理解相关知识是解答关键． 根据二次函数的图象的开口方向和与轴交于负半轴，来判断出，再根据对称轴的来得到求解A；根据对称轴来判断B，根据由图象可知，当时，，再结合来求解C；根据图象可知，当时，来求解D． 【详解】 解：二次函数的部分图象可知，抛物线开口向下，与轴交于负半轴， . 对称轴为直线，即， ， ，故A正确； 对称轴为直线，即， ， ，故B正确； 由图象可知，当时，， ， ， 即，故C项错误； 由图象可知，当时，， ，故D项正确， 综上所述，错误的是C． 25．（25-26学年九上·重庆两江育才中学校·期中）一次函数和二次函数（，，是常数，且）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了一次函数、二次函数图象综合判断，解题的关键是根据一次函数、二次函数的图象，分别确定系数的符号，再作出判断． 对每个图象中的一次函数的图象确定，的符号，再对照二次函数得出，的符号比较是否一致，然后作出选择． 【详解】 从选项A中的直线可知，，，抛物线开口向下，所以错误； 从选项B中的直线可知，，，抛物线对称轴在轴左侧，所以错误； 从选项C中的直线可知，，，抛物线开口向上，所以错误； 从选项D中的直线可知，，，抛物线开口向上，对称轴在轴右侧，所以正确． 故选：D． 26．（25-26学年九上·重庆两江育才中学校·期中）点、、均在二次函数的图象上，则、、的大小关系是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了二次函数的性质，将二次函数的解析式化为顶点式，得出抛物线开口向下，对称轴为直线，再结合点离对称轴越远函数值越小即可得解，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． 【详解】 解：∵二次函数为， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线， ∵点、、均在二次函数的图象上，且， ∴， 故选：C． 27．（25-26学年九上·重庆江津区实验中学·期中）对称轴为直线的抛物线（，，为常数，且）如图所示，小明同学得出了以下结论：①，②，③，④，⑤（为任意实数），⑥当时，随的增大而减小．其中结论正确的个数为（     ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【分析】 本题考查了二次函数的图象与性质，由图象可得，抛物线开口向上，与轴交于负半轴，从而可得，，求出，即可判断① ；根据抛物线图象与轴有两个交点即可判断② ；由图象可得，时，，即可判断③ ；由图象可得，当时，，即可判断④ ；由图象可得，当时，二次函数有最小值为，即可判断⑤ ；由图象可得，当时，随的增大而减小，即可判断⑥ ；采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】 解：由图象可得，抛物线开口向上，与轴交于负半轴， ∴，， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴， ∴，故① 正确； ∵抛物线图象与轴有两个交点， ∴， ∴，故② 正确； 由图象可得，时，，故，故③ 错误； 由图象可得，当时，，故，故④ 正确； 由图象可得，当时，二次函数有最小值为， ∴为任意实数，，即，故⑤ 正确； 由图象可得，当时，随的增大而减小，故⑥ 正确； 综上所述，正确的有① ② ④ ⑤ ⑥ ，共个， 故选：C． 28．（25-26学年九上·重庆长寿川维中学校·期中）二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，下列结论：①；②方程必有一个根大于2且小于3；③若，是抛物线上的两点，那么；④；⑤对于任意实数，都有，其中正确结论的个数是（       ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】C 【分析】 ① 由开口方向、与轴的交点在负半轴，对称轴在轴的右侧，即可判断；② 设抛物线与轴负半轴的交点横坐标为，与轴另一交点横坐标为，由对称的性质得，由图得：，即可判断；③ 由对称轴性质得，由开口方向向上时距离对称轴越远的点对应的函数值较大，即可判断；④ 由对称轴是直线；可求，由图得：当时，，即可判断；⑤ 由对称轴是直线，，可得，即可判断． 【详解】 解：①抛物线开口向上， ， 与轴的交点在负半轴， ， 对称轴在轴的右侧， ， ， 故① 错误，不符合题意； ② 设抛物线与轴负半轴的交点横坐标为，与轴另一交点横坐标为， 对称轴是直线， ， 由图得：， ， ， 故② 正确，符合题意； ③对称轴是直线， ， ， ， 故③ 错误，不符合题意； ④对称轴是直线； ， ， 由图得：当时，， ， ， ， ， 故④ 正确，符合题意； ⑤对称轴是直线，， ， 当时，， ， ， 故⑤ 正确，符合题意； 综上所述：正确的序号为② ④ ⑤ ，共个； 故选：C． 【点睛】 本题考查了二次函数的系数符号特征及其性质进行，掌握二次函数的基本性质及系数符号判断方法是解题的关键． 29．（25-26学年九上·重庆合川中学）关于二次函数，下列说法错误的是（     ） A. 函数图像的开口向下； B. 拋物线的对称轴是直线； C. 函数有最大值为； D. 函数图像与y轴的交点是． 【答案】D 【分析】 本题考查了二次函数的图象与性质，通过分析二次函数的开口方向、对称轴、最大值和y轴交点，判断各选项正误，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】 解：∵ 二次函数为，二次项系数， ∴ 函数图像开口向下，选项A不符合题意； ∵ 对称轴公式为，其中， ， ∴ ，即对称轴为直线，故B不符合题意； ∵ 函数图象开口向下，函数有最大值，在顶点处取得， 当时，， ∴ 最大值为，故C不符合题意； 当时，， ∴函数图像与y轴的交点是，故D符合题意， 故选：D． 30．（25-26学年九上·重庆双桥中学·期中）如图，函数和（a是常数，且）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题主要考查了二次函数与一次函数的图象性质，熟练掌握二次函数的开口方向、对称轴，以及一次函数的斜率与截距的意义是解题的关键． 先根据一次函数的图象确定的符号，再结合二次函数的开口方向、对称轴等性质，逐一判断选项是否符合． 【详解】 解：A、二次函数开口向上，；一次函数过一、三象限，，一次函数与y轴的正半轴相交，二次函数的对称轴为，时对称轴应在轴右侧，符合，故A项可能． B、二次函数开口向上，；一次函数过二、四象限，，矛盾，故B项不可能． C、二次函数开口向上，；一次函数过二、四象限，，矛盾，故C项不可能． D、二次函数开口向下，；一次函数过二、四象限，，但二次函数的对称轴为，时对称轴应在轴左侧，而图中对称轴在轴右侧，矛盾，故D项不可能． 故选：A． 31．（25-26学年九上·重庆十一中教育）抛物线过点，对称轴是直线，且顶点在第一象限．下列结论正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查二次函数与系数的关系，二次函数图象上的点的特征．根据二次函数的性质一一判断即可． 【详解】 解：∵对称轴为直线，根据公式，得：，即． 将点代入抛物线方程得：， 根据题意，令顶点坐标为，其中， ∵顶点在第一象限，故， ∴， ∵， ∴，代入，得， 则，故选项B错误； 结合，得，故选项A错误； ∵， ∴，故选项C正确． ∵对称轴为直线，与x轴一个交点为点，则与x轴另一个交点为点， ∴当，则，故选项D错误． 故选：C． 32．（25-26学年九上·重庆第二外国语学校·期中）如图，抛物线的顶点A的坐标为，与x轴的一个交点位于0和1之间，则以下结论中正确的结论是（     ） A.  B. 若抛物线经过点，，则 C.  D. 若关于x的一元二次方程无实数根，则 【答案】D 【分析】 本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，抛物线与轴的交点，二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 依据题意，与x轴的一个交点位于0和1之间，即可判断A；利用抛物线的对称轴为，利用二次函数的对称性，即可判断B；利用二次函数的性质即可判断C；根据抛物线与直线无交点即可判断D． 【详解】 解：抛物线与x轴的一个交点位于0和1之间， 把代入可得，故A结论错误，不符合题意； 抛物线的顶点A的坐标为， 抛物线的对称轴为， 抛物线的开口向下， ，，， ，故B结论错误，不符合题意； 抛物线的开口向下，对称轴在轴左边，抛物线与轴交于正半轴， ，，， ，故C结论错误，不符合题意； 若关于x的一元二次方程无实数根， 则，故D结论正确，符合题意， 故选：D． 33．（25-26学年九上·重庆合川区十一·期中）如图，抛物线（为常数）交轴于点，与轴的一个交点的横坐标在2和3之间，顶点为．下列四种说法：①；②若，则；③若点、点，点在该函数图象上，则；④点关于直线的对称点为，点在轴上，当时，三角形周长的最小值为，其中正确结论的个数是（     ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【分析】 根据抛物线与轴的一个交点的横坐标在 2 和 3 之间得出不等式组，求解后可判断① ；由抛物线的对称性及抛物线与轴的一个交点在 2 和 3 之间可得出该抛物线与轴另一个交点坐标位置，从而得出相应的函数值的范围，可判断② ；结合图象，根据二次函数的性质（离对称轴距离越近的点所对应的函数值越大）可判断③ ；因边一定，只要其他三边和最小便可，作点关于轴的对称点，作点关于轴的对称点，连接，与轴、轴分别交于点，求出便是其他三边和的最小值，可判断④ ． 【详解】 解：∵抛物线与轴的一个交点的横坐标在 2 和 3 之间，且二次项系数， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线， ， 解得：，故结论① 正确； ∵抛物线对称轴为直线，与轴的一个交点的横坐标在 2 和 3 之间，且， ∴抛物线与轴另一交点横坐标在和 0 之间，， ， ，即， ， 即， ， ，故② 正确； ∵抛物线对称轴为直线，且开口向下， 又 ∵， ∴，故结论③ 错误； 当时，抛物线的解析式为，对称轴为直线， ∴ 当时，得， ， ∵点关于直线的对称点为， ， 如图，作点关于轴的对称点，连接，与轴交于点，则， ， 此时的长最短，而的长度一定， ∴周长的最小值为， ， ， ∴周长的最小值为，故结论④ 正确； ∴正确结论的个数是3个． 故选：B． 【点睛】 本题是二次函数的综合题，考查二次函数的图象与性质、二次函数与坐标轴的交点，对称的性质，求线段和的最小值，两点间的距离等知识，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 34．（25-26学年九上·重庆江津二中联·期中）如图，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点坐标为(-1，0)，其部分图象如图所示下列结论：①4ac＜b2；②方程ax2+bx+c=0的两个根是；③3a+c＞0；④当y＞0时，x的度值范围是-1＜x＜4；⑤当x<0时，y随x的增大而增大．其中正确的个数是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【分析】 利用抛物线与x轴的交点个数可对① 进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的一个交点坐标为（3，0），则可对② 进行判断；由对称轴方程得到b=-2a，然后根据x=-1时函数值为0可得到3a+c=0，则可对③ 进行判断；根据抛物线在x轴上方所对应的自变量的范围可对④ 进行判断；根据二次函数的性质对⑤ 进行判断． 【详解】 解：∵抛物线与x轴有2个交点， ∴b2-4ac＞0， ∴4ac＜b2，故① 正确； ∵抛物线的对称轴为直线x=1， 而点（-1，0）关于直线x=1的对称点的坐标为（3，0）， ∴方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=-1，x2=3，故② 正确； ∵=1，即b=2a， 而x=-1时，y=0，即a-b+c=0， ∴a+2a+c=0， 即3a+c=0，故③ 错误； ∵抛物线与x轴的两点坐标为（-1，0），（3，0）， ∴当y＞0时，x的取值范围是-1＜x＜3，故④ 错误； ∵抛物线的对称轴为直线x=1， ∴当x＜1时，y随x增大而增大， ∴当x＜0时，y随x增大而增大，故⑤ 正确； 所以其中结论正确的有① ② ⑤ ，共3个； 故选：B． 【点睛】 本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定：△=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点． 35．（25-26学年九上·重庆万州·期末）关于的次多项式，其中，，，，均为正整数，且，，下列说法： ①若时，则多项式可以为二次三项式； ②若，满足条件的多项式共有个； ③若二次三项式且，则函数的顶点坐标是． 其中正确的个数为（       ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】C 【分析】 本题主要考查了整式的有关定义、二次函数的顶点坐标，本题需逐个分析三个说法，根据多项式系数为严格递减正整数、系数乘积为的条件，结合因数分解、多项式次数定义及二次函数顶点坐标公式判断对错． 【详解】 解：①， ， ，且均为正整数， 存在多项式为二次三项式， 故① 正确； ②， ， 次多项式（个系数）：，，，，共个， ， 次多项式（个系数）：，，，，共个， 次多项式（个系数）：，共个， 次及以上多项式：个严格递减正整数最小乘积为， 无符合条件的序列； 总共有个多项式， 故② 错误； ③二次三项式，中，即，且为正整数， 唯一符合的系数为，，， 即函数为， 顶点横坐标，顶点纵坐标， 顶点坐标为， 故③ 正确． 综上，正确的个数为个． 故选：C． 36．（25-26学年九上·重庆第一中学校·期中）已知整式，其中n，为正整数，，，，…，为整数，且．下列说法：①若n为偶数，，则；②当，时，满足条件的所有M的值的最小值为；③当，时，满足条件的整式M共有16种．其中正确的个数为（     ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【分析】 本题主要考查了多项式乘法中的规律探索，二次函数的最值问题，当时，可得，当时，可得，据此可判断①；当，时，可推出，则或或，据此可得M关于x的二次函数关系式，利用二次函数的性质求出M的最小值即可判断②；当，时，可得，分，，和四种情况，分别求出每种情况下的值的数量即可得到答案． 【详解】 解：∵，， ∴当时，， ∴， ∵n为偶数， ∴； 当时，， ∴，故①正确； 当，时， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴或或， 当时，， ∵， ∴当时，M有最小值，最小值为； 当时，， ∵， ∴当时，M有最小值，最小值为； 当时，， ∵， ∴当时，M有最小值，最小值为； ∵， ∴M的最小值为，故②错误； 当，时，， ∴， 当时， 当时， 当时， 当时， ∴满足条件的整式M共种，故③错误； 故选：B． 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 2 1 1 1 2 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 37．（25-26学年九上·重庆江津二中联·期中）已知四个整式，，，，现对四个整式进行如下操作：任取其中三个整式相加后取其绝对值再减去第四个整式，根据不同的选择可得到四个结果，，，，称为第一次操作；按照上述方法对，，，再进行一次操作，可得到四个结果，，，，称为第二次操作；以此类推…，下列说法： ①若，，，，则四个结果，，，的和为14； ②若，，，，则存在一个的值是方程的实数根； ③若，且满足关于的二次函数的对称轴在轴右侧，则第次操作的结果为，，，． 其中正确的个数是（       ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【分析】 本题考查整式的运算，读懂题意，理解题中的操作方式是解题的关键，根据题中提供的操作方式对① 计算四个整式第一次操作后的结果并求和；② 分析是否存在使四个结果之和为0；③ 验证每次操作后的结果是否满足递推关系． 【详解】 解：① ：由题可得：，，，，四个整式为，0，3，7， ∴第一次操作结果： 若选：，则， 若选：，则， 若选：，则， 若选：，则， ∴， ∴① 正确； ② ：∵四个整式为，4，3，， 若选：，则， 若选：，则， 若选：，则， 若选：，则， 则第一次操作结果之和为：， 当时，和为， 对于，， ∴方程无实根； 当时，和为， 对于，解得，但矛盾， ∴方程无解， ∴② 错误； ③ ：∵， ∴四个整式为，，，， ∵二次函数的对称轴在轴右侧， ∴，即， ∴第一次操作结果为，，，； 第二次操作结果为，，，； 以此类推，第次结果为，，，， ∴③ 正确； 结论：① ③ 正确， 故选：C． 38．（25-26学年九·重庆江津区实验中学·期末）已知点，，都在函数的图像上，请将，，按从大到小的顺序排列　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查二次函数图像，熟练掌握二次函数图像是解题的关键． 通过直接计算各点的函数值，比较大小即可． 【详解】 解：对于函数 ， 当 时，， 当 时，， 当 时，， 因为 ，所以 ， 故答案为：． 39．（25-26学年九上·重庆渝北区石鞋学校）已知抛物线经过三点A、B、C，则、、的大小关系是　　　．（用“”符号连接） 【答案】 【分析】 本题考查了二次函数的图象与性质． 根据抛物线的开口方向以及对称轴的位置即可判断． 【详解】 解：抛物线的开口向上，且对称轴为直线， 离对称轴直线最近，值最小，离对称轴直线最远，值最大， ，， ， 故答案为：． 40．（25-26学年九上·重庆铜梁区铜梁·期中）已知二次函数中，函数与自变量的部分对应值如下表： 0 1 2 4 1 1 25 （1）写出这个二次函数图象的顶点坐标为________，对称轴为________，最小值为________， （2）____________； （3）求这个二次函数的解析式； 【答案】（1），，     （2）25     （3）      【分析】 本题考查了二次函数图象性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）观察表格数据，得出时，或，则抛物线的对称轴为，所以二次函数图象的顶点坐标为，对称轴为直线，最小值为； （2）因为抛物线的对称轴为，结合抛物线的对称性，得，即可作答． （3）先设二次函数的解析式为，把代入进行计算，即可作答． (1) 小问详解： 解：依题意，时，或， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴当时，则， ∴顶点坐标， ∴二次函数最小值为， ∴这个二次函数图象的顶点坐标为，对称轴为直线，最小值为； (2) 小问详解： 解：∵抛物线的对称轴为， ∴和，关于对称轴对称， ∴结合抛物线的对称性，得， 故答案为：25． (3) 小问详解： 解：∵二次函数图象的顶点坐标为， 设二次函数的解析式为， 把代入， 得， ∴， ∴， ∴． 41．（25-26学年九上·重庆铜梁区铜梁·期中）如图，在中，，，，点D为上的三等分点．动点P从点A出发，沿方向以每秒2个单位长度的速度运动，同时动点Q从点D出发，沿方向以每秒1个单位长度的速度运动，当其中任意一个动点到达终点时，两点都停止运动．设动点P运动的时间为x秒，的长度为，的面积为． （1）请直接写出与分别关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中，画出函数与的图象，并写出函数的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出时x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 【答案】（1），；     （2） 函数，的图象如答图． 根据函数图象，函数的性质为： 抛物线与x轴的交点为，顶点为．或当时，随着x的增大而增大．或当时，随着x的增大而减小．或当时，函数有最大值9． 以上4条性质写出一条即可．     （3）．      【分析】 （1）根据题意得到，，则，，根据三角形的面积公式即可得到结论； （2）根据题意画出函数的图象，并根据函数的图象得到函数的性质； （3）根据函数的图象即可得到不等式的解集． (1) 小问详解： 解：由题意得， ． (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 由函数图象得，当时，． 【点睛】 本题是三角形的综合题，考查了三角形的面积，一次函数的图象，二次函数的图象，二次函数的性质，二次函数与不等式的关系，正确作出函数的图象是解题的关键． 42．（25-26学年九上·重庆开州中学·期中）在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于正半轴，其图象上有三点，则的大小关系是　　　　　　　．(请用“<”符号连接) 【答案】 【分析】 本题考查的是二次函数的性质及二次函数图象上点的坐标特征，先根据题意判断出的符号，再把各点代入二次函数求出的值，比较大小即可． 【详解】 解：二次函数的图象与轴交于正半轴， ， ，，都在函数图象上， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 43．（25-26学年九上·重庆长寿川维中学校·期中）抛物线的对称轴为直线　　　　　　　　　　　　 【答案】 【分析】 本题考查了二次函数的性质．根据二次函数对称轴公式代入数值进行求解，即可作答． 【详解】 解：∵， ∴把，代入，得， ∴对称轴为直线 故答案为：． 44．（25-26学年九上·重庆十一中教育）若点在二次函数的图像上，则的大小关系为　　　　　　　　　　 ．（用 “ > ”符号连接） 【答案】 【分析】 本题考查二次函数图像上点的大小比较，掌握二次函数的性质，开口向上，点离对称轴越远，函数值越大是解题的关键． 通过确定抛物线的开口方向和对称轴，根据点到对称轴的距离判断函数值大小． 【详解】 二次函数的二次项系数，因此抛物线开口向上， 对称轴为直线 ， 由于开口向上，点离对称轴越远，函数值越大， 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， 因为 ，所以． 故答案为：． 45．（25-26学年九上·重庆渝北区石鞋学校）如图，矩形中，，，点是线段的中点．动点从点出发，沿射线方向以每秒2个单位长度的速度运动，同时动点从点出发沿折线方向以每秒1个单位长度的速度运动．当点到达点时，、两点都停止运动．设动点运动的时间为秒，的面积为． （1）请直接写出与的函数关系式，并写出自变量的取值范围（面积不为0）； （2）在给定的平面直角坐标系内画出这个函数的图像，并写出该函数的一条性质； （3）结合函数图像，写出的面积为1时的值（保留一位小数，误差不得超过0.2）． 【答案】（1）     （2） 函数图像如图：      （3）的值1.0或2.5      【分析】 （1）分两种情况：当点在线段上，点在上时，当点在射线上时，点在上时，分别根据三角形的面积公式进行计算即可得到答案； （2）先列表，再描点连线即可得到函数图象，由函数图象即可得出函数的性质； （3）根据函数图象即可得到答案． (1) 小问详解： 解：根据题意得： 当点在线段上，点在上时， ， 此时：，，， ， ； 当点在射线上时，点在上时， ， 此时：，， ， ； 综上所述： ， (2) 小问详解： 解：列表： 由函数图象可得： 函数的性质： ① 当或时，随增大而增大，当时，随增大而减少； ② 当时，函数有最大值4；（回答一个即可） 0 1 2 3 4 0 1 0 2 4 (3) 小问详解： 解：由函数图象可得： 的面积为1时的值1.0或2.5． 【点睛】 本题考查了动点问题、求函数解析式、画函数图象、从函数图象中获取信息，理解题意，正确取出函数解析式，采用分类讨论与数形结合的思想解题，是解此题的关键． 46．（25-26学年九上·重庆万州·期末）已知二次函数 （1）若对任意的，都有随的增大而增大，求的取值范围； （2）若该抛物线与轴的交点分别为、且，求的值． 【答案】（1）     （2）或      【分析】 本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数（a，b，c是常数，）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质和二次函数图象上点的坐标特征． （1）先表示出抛物线的对称轴为直线，根据二次函数的性质，当，对任意的，都有y随x的增大而增大，然后解不等式得到k的取值范围； （2）利用抛物线与x轴的交点问题得到，是一元二次方程的两个实数根，解得， ，则有，然后解关于k的方程即可． (1) 小问详解： 解：，该抛物线开口向上，在对称轴右侧y随x增大而增大， 对称轴为， 又时，函数值y随x增大而增大， ， 解得：； (2) 小问详解： 解：令，，是一元二次方程的两个实数根， ， ， ， 又， ， 或． 47．（25-26学年九上·重庆·期末）抛物线（a、b、c是常数，a≠0）上部分点的横坐标x、纵坐标y的对应值如下表： x … 0 1 2 … y … 0 … 则该二次函数图象与x轴除外的交点坐标是　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了二次函数的对称性，由和时的值都是，根据二次函数的对称性可得对称轴为直线，由时可知抛物线与轴的一个交点为，根据对称轴即可求出另一个交点的坐标，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． 【详解】 解：∵当时，，当时，， ∴抛物线的对称轴为直线， 当时，， 根据对称性，另一个交点的横坐标为，纵坐标为0， ∴另一个交点的坐标为， 故答案为：． 48．（25-26学年九上·重庆·期末）如图，抛物线与轴交于，两点（点在点左边），与轴交于点，直线经过，两点，是抛物线上一动点，连接，． （1）求抛物线的解析式； （2）当抛物线上的点在下方运动时，过点作轴交于点，求长度的最大值． 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）先求出，坐标，再代入抛物线解析式求解即可； （2）设出点的坐标，再表示点坐标，可得长度，即可得解． (1) 小问详解： 解：直线经过，两点， 令，得，令，得， ，， 将，代入抛物线解析式得， 解得 抛物线解析式为； (2) 小问详解： 解：如图， 设，则， 则， ， 当时，． 【点睛】 本题考查的知识点是一次函数图象与坐标轴的交点问题、待定系数法求二次函数解析式、二次函数的最值，解题关键是熟练掌握二次函数的图象与性质． 49．（25-26学年九上·重庆永川中学校·期中）初三年级某班成立了数学学习兴趣小组，该数学学习小组对函数的图像和性质进行探究，过程如下，请你补充完整． x … 2 1 0 1 2 … y … 3 0 m 1 n 0 3 … （1）函数的自变量x的取值范围是                        ； （2）①列表：下表是x，y的几组对应值，其中          ，          ； ②描点：根据表中的数值描点，请补充描出点，； ③连线：用平滑的曲线顺次连接各点，请把图像补充完整． （3）下列关于该函数的说法，错误的是 （     ） A.函数图像是轴对称图形；        B.当x时，函数值y随自变量x的增大而减小； C.函数值y都是非负数；               D.若函数图像经过点和，则； （4）点和在函数图像上，且，则a与b的大小关系是             ． 【答案】（1）x取任意实数     （2）①，； ② 补充点如图； ③ 图象补充完整如图；      （3）B     （4）ab      【分析】 本题考查二次函数的图象，掌握描点法画函数图象的方法，数形结合解题是关键． （1）根据解析式直接可得答案； （2）① 把代入解析式可得m的值，把代入解析式可得n的值； ② 根据的值描点即可； ③ 用平滑的曲线顺次连接各点即得图象； （3）观察函数图象，逐项判断即可得答案； （4）由可得，即知． (1) 小问详解： 函数的自变量x的取值范围是x取任意实数； 故答案为：x取任意实数； (2) 小问详解： ① 当时，， 当时，，， 故答案为：，； ② 略 ③ 略 (3) 小问详解： 根据函数图象可知：函数图象是轴对称图形，故A正确，不符合题意； 当时，y随x的增大而减小，故B不正确，符合题意， 函数值y都是非负数；故C正确，不符合题意； 若函数图象经过点和，则；故D正确，不符合题意， 故答案为：B； (4) 小问详解： ∵， ∴， ∴， ∴， 而， ∴， 故答案为：． 50．（25-26学年九上·重庆永川中学校·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）交y轴于点C，且OC＝3． （1）求该抛物线的解析式； （2）点P为直线BC下方抛物线上的一点，连接AC、BC、CP、BP，求四边形PCAB的面积的最大值，以及此时点P的坐标； （3）把抛物线y＝ax2＋bx＋c平移，使得新抛物线的顶点为（2）中求得的点P,R为新抛物线上一点，S是新抛物线对称轴上一点，直接写出所有使得以点A，C，R，S为顶点的四边形是平行四边形的点R的坐标，并把其中一个点R的坐标过程写出来． 【答案】（1）；（2）当时，四边形的面积最大，最大面积为： 此时；（3）或或 【分析】 （1）根据题意设再把代入抛物线的解析式，可得答案； （2）如图，连接 设 由，再利用二次函数的性质求解最大值，再求解点P的坐标即可； （3）如图，平移后的抛物线的顶点抛物线为：，对称轴为 再通过分析分两种情况讨论：当AC为平行四边形的边，当AC为对角线时，结合中点坐标公式可得答案. 【详解】 解：（1） 抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）， 设抛物线为： 则 解得： 所以抛物线的解析式为： （2）如图，连接 设 当时，四边形的面积最大， 最大面积为： 此时 （3）如图，由题意得：平移后的抛物线的顶点 抛物线为：，对称轴为 点A，C，R，S为顶点的四边形是平行四边形， 当为平行四边形的边， 设 由平行四边形的对角线互相平分结合中点公式可得： 解得： 同理可得： 当为对角线时， 同理可得： 解得： 综上：或或 【点睛】 本题考查的是利用待定系数法求解抛物线的解析式，二次函数的性质，平行四边形的判定与性质，熟练的运用以上知识解题是解本题的关键. 51．（25-26学年九上·重庆永川中学校·期中）二次函数和一次函数的图象交于点和，如图所示，则时，的取值范围是　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了二次函数的图象和性质，一次函数的图象和性质，二次函数与一次函数图象的位置关系，解题的关键是理解二次函数与一次函数的大小关系是解题的关键．根据二次函数图象与一次函数图象的位置关系求解即可． 【详解】 解：二次函数和一次函数的图象交于点和， 两函数交点的横坐标分别为， 观察图象可得，当时，二次函数图像位于一次函数的图象的上方（包括重合），即满足：． 故答案为：． 52．（25-26学年九上·重庆两江育才中学校·期中）如图，在四边形中，，于点E，，，．动点P从点A出发，沿方向以每秒2个单位长度的速度运动，同时动点Q从点E出发，沿折线方向以每秒1个单位长度的速度运动．当点Q到达点D时，P、Q两点都停止运动（点P、Q不与点A、B、E、D重合）．设动点P运动的时间为x秒，的面积为y．    （1）请直接写出y关于x的函数关系式并注明自变量x的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出时x的值．（结果保留一位小数，误差不超过0.2） 【答案】（1）关于的函数关系式为 ；     （2） 描点连线如下：    性质：函数值的最大值为8（答案不唯一）；     （3）1.0或3.0或4.8      【分析】 本题考查了二次函数的应用，一次函数的应用，画函数图象，利用数形结合的思想解决问题是关键． （1）分两种情况求解，① 当，点在上，点在上，② 当，点在上，由速度与时间的关系表示出各线段，根据三角形面积公式即可得出答案； （2）根据函数解析式列表描点连线画图，再写出一条性质即可； （3）根据（2）中的函数图象直接作答即可 (1) 小问详解： 解：，， ， ① 当，点在上，点在上， 此时，， ； ② 当，点在上，点在上， 此时， ， 综上可知，关于的函数关系式为 ； (2) 小问详解： 解：列表如下： 性质：函数值的最大值为8； 0 1 2 4 0 3 4 0 4 5 6 0 4 8 (3) 小问详解： 解：由函数图象可知，当函数时或或． 53．（25-26学年九上·重庆江津二中联·期中）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，已知，． （1）求抛物线及直线的解析式； （2）若为抛物线上位于直线上方的一点，求面积的最大值，并求出此时点的坐标； （3）直线与抛物线的对称轴交于点，为抛物线上一动点，点在轴上，若以点、为顶点的四边形是平行四边形，求出所有满足条件的点的坐标． 【答案】（1）；     （2）；；     （3）；；；      【分析】 （1）利用待定系数法运算求解即可； （2）过点作轴交于点，连接，，设出，则，求出的长，再利用三角形面积公式列出函数式子求解即可； （3）设出点的坐标，利用中点坐标公式分类讨论对角线的情况列式运算即可． (1) 小问详解： 解：把，分别代入可得： 解得： ∴抛物线的解析式为：； 把代入，可得： ∴ 设直线的解析式为：，把，分别代入得： ， 解得： ∴直线的解析式为：； (2) 小问详解： 过点作轴交于点，连接，如图所示： ∵，， ∴设，则， ∴， ∴ ∴当时，最大面积为， 把代入可得：； (3) 小问详解： 解：∵， ∴抛物线对称轴为直线， ∴把代入可得：， ∴， ∵为抛物线上一动点，设；点在轴上，设， ∵， ∴① 当为平行四边形的对角线时： ， 解得：或， 代入可得：，， ② 当为平行四边形的对角线时： ， 解得：或，与① 相同； ③ 当为平行四边形的对角线时： ， 解得：或， 代入可得：，， 综上所述的坐标为：；；；． 【点睛】 本题考查了二次函数，一次函数与几何综合，涉及到了二次函数的图像性质，坐标轴点的特征，三角形面积最值的求法，平行四边形的性质，熟悉掌握几何的构造是解题的关键． 54．（25-26学年九上·重庆江津二中联·期中）如图1为北京冬奥会“雪飞天”滑雪大跳台赛道的横截面示意图，取水平线为x轴，铅垂线为y轴，建立如图2平面直角坐标系． 运动员从点滑出，运动轨迹近似抛物线，该运动员飞行的水平距离（与相距的距离）为时，恰好达到最大高度，运动员着陆在线段上，在着陆坡上设置点K（与相距） 作为标准点，着陆点在K点或在K点右侧视为成绩达标． （1）求抛物线的解析式； （2）判断该运动员的成绩是否达标，并说明理由； （3）直接写出该运动员飞行过程中离着陆坡CE的竖直距离的最大值                    米． 【答案】（1）     （2） 该运动员的成绩没有达标，理由如下： 设直线的表达式为，把代入得到， , 解得， ， ∴直线的表达式为， 联立得到 ， 解得 （不合题意，舍去） ∴点E的坐标为， 即着陆点与相距， ∵， ∴该运动员的成绩没有达标；     （3）      【分析】 此题考查了二次函数的实际应用， （1）由题意可得抛物线的顶点坐标为，且经过点，利用待定系数法即可求出答案； （2）求出直线的表达式为，与二次函数解析式联立求出点E的坐标为，即可得到结论； （3）设该运动员飞行过程中离着陆坡的竖直距离为，则，根据二次函数的性质即可得到答案． (1) 小问详解： 解：由题意可得抛物线的顶点坐标为，且经过点， 设抛物线解析式为， 把代入得，， 解得， ∴抛物线的解析式为； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 设该运动员飞行过程中离着陆坡的竖直距离为， 则 ∴当时，有最大值为， 即该运动员飞行过程中离着陆坡CE的竖直距离的最大值， 故答案为： 55．（25-26学年九上·重庆江津二中联·期中）如图，矩形中，，，、两点分别从点、点同时出发，点以每秒钟1个单位的速度沿运动，点以每秒钟2个单位的速度沿运动，当点到达点时，点也随之停止运动，设的面积为，、两点的运动时间为． （1）直接写出关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出函数的图象，并写出函数的一条性质； （3）结合函数图像，请直接写出函数值时，自变量的取值范围．（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2） 【答案】（1）     （2） 函数图象如图所示， 当时，y随着x的增大而增大，当时，y随着x的增大而减小；     （3）．      【分析】 此题考查了动点问题的函数图象和性质，准确求出函数解析式是关键． （1）自变量的取值范围分两段分别求出函数解析式即可； （2）画出函数图象，写出一条性质即可； （3）根据图象写出自变量的取值范围即可． (1) 小问详解： 解：矩形中，，， 当点Q在上运动时，即时， 的面积为， 当点Q在上运动时，即时， 的面积为， ∴ (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 根据图象可知，当函数值时，自变量的取值范围为． 56．（25-26学年九·重庆綦江区未来学校·期中）如图，已知在矩形中，，，动点从点出发，沿方向以每秒个单位的速度运动，同时，动点从点出发，沿方向以每秒个单位的速度运动，当点到达点时，、两点都停止运动．设动点运动的时间为秒，规定，． （1）请直接写出，分别关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象，并写出函数的一条性质； （3）结合函数图像，直接写出时的取值范围． 【答案】（1） ，；     （2） 连线： 当时随的增大而增大（答案为不唯一）；     （3）当时，．      【分析】 （）根据题意当时，，当时，，当时，， （）根据画函数图象的方法即可求解； （）通过函数图象即可求解； 本题考查了函数图象的性质，画函数图象，矩形的性质，三角形面积，掌握知识点的应用是解题的关键． (1) 小问详解： 解：∵四边形是矩形， ∴，， 由题意得：，， 当时，，当时，， 当时，， ∴ ，； (2) 小问详解： 解：列表： 当时随的增大而增大（答案为不唯一）； (3) 小问详解： 解：根据图象可知：当时，． 57．（25-26学年九上·重庆长寿川维中学校·期中）（多选）如图，抛物线（≠0）与轴交于A(-4，0)，B（2，0），与轴交于点C（0，2）． (1)求抛物线的解析式； (2)若点D为该抛物线上的一个动点，且在直线AC上方，当以A，C，D为顶点的三角形面积最大时，求点D的坐标及此时三角形的面积； 【答案】(1) y=﹣x2﹣x+2；(2) S△ADC的最大值为2，此时D（﹣2，2）． 【分析】 （1）根据A与B坐标设出抛物线解析式，将C坐标代入即可求出； （2）过点D作DH⊥AB于点H，交直线AC于点G，连接DC，AD，如图所示，利用待定系数法求出直线AC解析式，设D横坐标为m，则有G横坐标也为m，表示出DH与GH，由DH-GH表示出DG，三角形ADC面积=三角形ADG面积+三角形DGC面积，表示出面积与m的关系式，利用二次函数性质确定出面积的最大值，以及此时m的值，即此时D的坐标即可． 【详解】 (1)根据题意设抛物线解析式为y=a（x+4）（x﹣2）， 把C（0，2）代入得：﹣8a=2，即a=﹣， 则抛物线解析式为y=﹣（x+4）（x﹣2）=﹣x2﹣x+2； (2)过点D作DH⊥AB于点H，交直线AC于点G，连接DC，AD，如图所示， 设直线AC解析式为y=kx+t，则有 ， 解得： ， ∴直线AC解析式为y=x+2， 设点D的横坐标为m，则G横坐标也为m， ∴DH=﹣m2﹣m+2，GH=m+2， ∴DG=﹣m2﹣m+2﹣m﹣2=﹣m2﹣m， ∴S△ADC=S△ADG+S△CDG=DG•AH+DG•OH=DG•AO=2DG=﹣m2﹣2m=﹣（m2+4m）=﹣[（m+2）2﹣4]=﹣（m+2）2+2， 当m=﹣2时，S△ADC取得最大值2，此时yD=﹣×（﹣2）2﹣×（﹣2）+2=2，即D（﹣2，2）． 【点睛】 此题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的最值，以及待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握二次函数的性质是解本题的关键． 58．（25-26学年九上·重庆合川中学）如图，在中，，动点P从点A出发沿射线方向以的速度移动，动点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动，如果P，Q两点分别从A，B两点同时出发，当点Q到达C时，P、Q两点都停止运动．设运动时间为，的面积为y． （1）当时，求的面积； （2）请直接写出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围（面积不为0）； （3）在给定的直角坐标系内画出这个函数图象，并写出该函数的一条性质． 【答案】（1）     （2）     （3） 图象如下： 随着的增大先增大，然后减小，最后再增大，最大值为3      【分析】 本题考查了二次函数的应用，二次函数的图象与性质．熟练掌握二次函数的应用，二次函数的图象与性质是解题的关键． （1）当时，则，根据，计算求解即可； （2）由题意知，当时，，，，则，当时，，则，然后作答即可； （3）根据函数表达式画图象，然后根据图象写性质即可． (1) 小问详解： 解，当时，，， ∴ ∴， ∴的面积为； (2) 小问详解： 解：由题意知，当时，，，， ∴， 当时，， ∴， 综上所述， ； (3) 小问详解： 解：由图象可知，随着的增大先增大，然后减小，最后再增大，最大值为3． 59．（25-26学年九上·重庆渝北中学校·期中）已知抛物线的顶点坐标为，若该抛物线经过点、、，则、、的大小关系是　　　　　　　　　　　．（用“＜”表示） 【答案】 【分析】 本题考查二次函数的图像和性质，掌握相关知识是解决问题的关键．由题意可知，抛物线开口向下，对称轴为直线，利用函数的对称性和增减性解决即可． 【详解】 解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当和时函数值相同， 故抛物线过， 当时，y随x的增大而减小， ∵， ∴． 故答案为：． 60．（25-26学年九上·重庆渝北区石鞋学校）如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，点在轴负半轴且，连接，点是轴上的一个动点，过点作轴的垂线交抛物线于点，交直线于点． （1）求抛物线的解析式； （2）点在线段上运动时，当四边形是平行四边形时，求点的坐标； （3）若直线交抛物线另一个交点为，连接、，当点在轴上运动时，是否存在点，使得面积为？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）     （2）     （3）或或      【分析】 本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、平行四边形的判定与性质、二次函数的性质等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键． （1）将代入解析式求得即可解答； （2）先求得，再求得直线的解析式，设，则，其中，可得，再根据列方程求解即可解答； （3）先求出点的坐标，再根据列出方程求解即可． (1) 小问详解： 解：∵将两点在抛物线的解析式上， ∴ ， 解得 ， ∴抛物线的解析式为． (2) 小问详解： 解：∵， ， ∴， ∵，点在轴负半轴， ， ∴， 设直线的表达式为， 则 ， 解得 ， ∴直线的关系表达式为， 设，则，其中， ， ， 如图，连接， ∴当时，四边形为平行四边形， ∴， 解得：（舍去）， 故当四边形是平行四边形时，． (3) 小问详解： 解：联立和，可得， 解得：， 则， 如图，连接， ∵，，， ∴ ， 整理得：或， 解得或， 解得， 综上，或或． 61．（25-26学年九·重庆江津区实验中学·期末）如图，抛物线与轴分别交于点、点（点在点的左侧），与轴交于点，对称轴为直线． （1）求拋物线解析式： （2）点为直线下方拋物线上一点，连接，，当面积最大时，求此时点的坐标和面积的最大值； （3）点为抛物线对称轴上一动点，轴，垂足为，连接，，当面积最大时，求的最小值． 【答案】（1）抛物线的表达式为     （2），最大面积为4；     （3）最小值为      【分析】 （1）根据对称轴得出，将代入，即可求解； （2）过点P作y轴的平行线，交于点D，则面积，当最大时，面积最大，设，则，得出，即可求出点P的坐标及面积的最大值； （3）将点向右平移个单位长度至点，连接，则，作点关于抛物线对称轴的对称点，连接，则，当点，M，P三点共线时，，此时，取最小值，即可解答． (1) 小问详解： 解：∵对称轴为直线， ∴，则， 将代入得：， 则， 解得：， ∴， ∴抛物线解析式为：； (2) 小问详解： 解：过点P作y轴的平行线，交于点D， ∵，对称轴为直线， ∴， 当时，， ∴， 设直线的解析式为：， 将，代入得： ， 解得： ， ∴直线的解析式为：， ∵面积， ∴当最大时，面积最大， 设，则， ∴， 当时，最大，面积最大为：， ∴，最大面积为4； (3) 小问详解： 解：∵点为抛物线对称轴上一动点，轴， ∴ 将点B向右平移个单位长度至点，连接， 则， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴， 作点关于抛物线对称轴的对称点，连接， 则， ∴， ∴， 当点，M，P三点共线时，， 此时，取最小值， ∵，， ∴， ∴． 综上，最小值为． 【点睛】 本题考查了二次函数综合，解题的关键是熟练掌握求二次函数解析式的方法和步骤，二次函数的面积问题，最短路线的问题等，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键． 62．（25-26学年九上·重庆铜梁区铜梁·期中）如图，二次函数与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C．已知点，抛物线的对称轴为直线． （1）求二次函数的表达式； （2）连接，点P是抛物线上一点，在直线下方移动，过点P分别向x轴，y轴作垂线，与交于E，F两点，求的最大值并求出此时点P的坐标； （3）将抛物线向右平移1个单位，再向上平移1个单位，点M是平移后抛物线对称轴上任意一点，若，直接写出点M的坐标． 【答案】（1）     （2）有最大值为，此时；     （3）或．      【分析】 本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解是解题的关键． （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出的坐标，设，将转化为二次函数求最值即可； （3）求出平移后的解析式，进而求出平移后的对称轴，分点在的上方和下方两种情况进行讨论求解即可． (1) 小问详解： 解：∵抛物线过，对称轴为直线， ∴ ，解得： ， ∴； (2) 小问详解： 解：∵点关于直线对称，， ∴， ∵， ∴当时，， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为：，把代入，得， 解得， ∴， 设， ∵轴，轴， ∴，轴，， ∴，， ∴， ∴， ∴当时，有最大值为，此时； (3) 小问详解： 解：∵将抛物线向右平移1个单位，再向上平移1个单位， ∴新的抛物线的解析式为：， ∴新的抛物线的对称轴为直线， 延长交轴于点， ∵，， ∴① 当点在直线上方时，， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴同（2）法可得：直线的解析式为：， ∴当时，，即：； ② 当点在直线下方时，，则：， ∴， ∴ 同理：直线的解析式为：， ∴当时，，即：； 综上：或． 63．（25-26学年九上·重庆铜梁区铜梁·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与x轴交于点和点，与轴交于点，连接．        （1）求抛物线的表达式； （2）如图，点是射线下方抛物线上的一动点，过点作轴，垂足为点，交于点．点为抛物线对称轴上的一动点，连接，，当线段长度取得最大值时，求的最小值； （3）在（2）问取得最小值的条件下，连接，将抛物线沿射线方向平移，使得点在新抛物线的对称轴上，是新抛物线上的一个动点，当时，直接写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】（1）；     （2）；     （3）或．      【分析】 本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式及二次函数与几何图形的综合，学会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系是正确解决问题的关键． （1）用待定系数法求解析式即可； （2）点关于抛物线对称轴的对称点为点，连接交抛物线对称轴于点，此时最小，即可求解； （3）点关于原抛物线的对称点为点，，则直线过点，得到直线的表达式为，当点在轴上方时，直线和关于轴对称，直线的表达式为，分别联立直线，和抛物线的表达式，即可求解． (1) 小问详解： 解：抛物线经过点，与x轴交于点， ， 解得： ， 抛物线的表达式为； (2) 小问详解： 解：抛物线的表达式为， 设直线的表达式为， ， 解得 ， 直线的表达式为， 设点，则点， ， 当时，取得最大值， 此时，点，    点关于抛物线对称轴的对称点为点，连接交抛物线对称轴于点，此时最小， ； (3) 小问详解： 解：抛物线沿射线方向平移，故抛物线向右平移个单位，向下平移个单位，    则新抛物线的表达式为， 其对称轴为直线， 新抛物线对称轴过点， ， ， 新抛物线的表达式为， 点关于原抛物线的对称点为点， ， 直线过点， 直线的表达式为， 当点在轴上方时，直线和关于轴对称， 直线的表达式为， 分别联立直线，和抛物线的表达式得： 或， 解得：或（不符合题意的值舍去）， 故点或． 64．（25-26学年九上·重庆云阳县第二初级中学·期中）如图，抛物线与轴交于点，点，交轴于点． （1）求抛物线的解析式． （2）如图1，已知直线上方抛物线上有一点，过点作轴与交于点，过点作轴与轴交于点，求的最大值和此时点的坐标； （3）将原抛物线沿轴向右平移1个单位长度，新抛物线与轴交于点，点的对应点为，点是第一象限中新抛物线上一点，且点到轴的距离等于点到轴的距离的一半，问在平移后的抛物线上是否存在点，使得，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】（1）     （2）的最大值为，     （3）或      【分析】 （1）由待定系数法即可求解； （2）由，即可求解； （3）第一种情况，过点N作，交抛物线于点，则，求出直线的解析式为：，进而求解；第二种情况，作，交抛物线于点，同理可解． (1) 小问详解： 解：∵抛物线过点，点， ∴设抛物线的解析式为：， 把点代入可得，， 解得：， ∴抛物线解析式为：； (2) 小问详解： 解：由点B、C的坐标得，直线的表达式为：， 设点，则点， 则， 则， 即的最大值为：， 此时，则点； (3) 小问详解： 解：∵抛物线， ∴将原抛物线沿x轴向右平移1个单位长度，新抛物线的解析式为：， 令，则，令，则， 解得，， ∴，， ∵点N是第一象限中新抛物线上一点，且点N到y轴的距离等于点到y轴的距离的一半， ∴且， 把代入得：， ∴， ∵，， 由点、的坐标得，直线的解析式为， 分以下两种情况： 第一种情况，过点N作，交抛物线于点，则，如图2， ∴设直线的解析式为，把点代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为：， 联立新抛物线与直线为方程组得：， 解得：（舍去）或， ∴； 第二种情况，作，交抛物线于点，交直线于点H，如图3， ∴， 设，且，， ∴，， 即， 解得，， ∴， 由点H、N的坐标得，直线的解析式为， 联立抛物线与直线为方程组得：， 解得：（舍去）或， ∴； 综上所述，存在点M，使得，点M的坐标为或． 【点睛】 本题主要考查二次函数与图形的综合，掌握待定系数法求二次函数解析式与一次函数解析式，二次函数最值问题，函数平移的性质，等腰三角形的性质，二次函数与二元一次方程组求解交点等知识的综合运用是解题的关键． 65．（25-26学年九上·重庆凤鸣山中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于，两点，且点在轴上． （1）求抛物线的表达式； （2）点是直线上方抛物线上一点，过点作轴交直线于点，交轴于点，点是直线上一动点，过点作轴交轴于点，连接，．当取得最大值时，求的最小值； （3）将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，点为新抛物线上一动点，当时，直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点坐标的其中一种情况的过程． 【答案】（1）     （2）     （3）或      【分析】 （1）先利用点在轴上且在直线上，求出点坐标，再代入求解即可； （2）求出坐标，则设 ，得，，求得，，则，利用二次函数最值求出最大值，得出，，易得是固定值，利用架桥铺路，将线段沿着方向平移个单位长度，得到线段，由平移得，，则，由两点之间线段最短，得当、、依次共线时，最小，求解即可； （3）先求出新抛物线解析式，再分点E在直线下方和点E在的上方两种情况求解即可． (1) 小问详解： 解：∵点为直线与抛物线的交点，且点在轴上， ∴令， 解得：， ∴， 将代入， 得：， 解得：， ∴抛物线的表达式为； (2) 小问详解： 解：联立 ， 解得： 或 ， ∴， ∵点是直线上方抛物线上一点，且点在上， ∴设 ， ∵轴交直线于点，交轴于点， ∴，， ∴， ， ∴， ∵，且对称轴为直线， ∴当时（满足），取得最大值， 此时，， 即，， ∵轴交轴于点，， ∴四边形是矩形， ∴， 如图，将线段沿着方向平移个单位长度，得到线段，连接， 由平移得，， ∴， 由两点之间线段最短，得当、、依次共线时，最小， 最小值为， 故的最小值为； (3) 小问详解： 解：如图，设直线与y轴交点为点S，抛物线与y轴交点为C，过B作轴于点P， ∵， ∴，， 对于，当时，，则， ∴轴，则； 对于，当时，，则， ∴， ∵将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线， ∴抛物线向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度可得新抛物线， ∴新抛物线的解析式为； 若点E在直线下方，设直线交x轴于K， ∵， ∴， ∴，则， 设直线的表达式为， 将、代入，得 ，解得 ， ∴直线的表达式为， 联立方程组 ，整理，得， 解得，（不合题意，舍去）， ∴； 若点E在的上方时，如图，在上取点K，连接，使得，则， 设，则， 在中，得， 解得，则，，， 延长交y轴于T，则，， ∴在中，，， ∴， 设直线与y轴交于点H，过H作于N， ∵， ∴， ∴，则， 在中，， ∴，解得， ∴       ，则， ∴， 设直线的表达式为， 将、代入，得 ，解得 ， ∴直线的表达式为， 联立方程组 ，整理，得， 解得，（不合题意，舍去）， ∴， 综上，满足条件的点E坐标为或． 【点睛】 本题考查二次函数与几何综合，涉及二次函数的图象与性质，待定系数法求函数表达式，二次函数图象的平移，一次函数的图象与性质，（架桥铺路）最值问题，解直角三角形，解一元二次方程，熟练掌握这些性质与判定，并熟练二次函数中的最值问题和角度问题是解题的关键． 66．（25-26学年九上·重庆第二外国语学校·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线交x轴于A，B两点，交y轴于点C，点，，点P为抛物线顶点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）已知C关于x轴的对称点为，连接，，，求的面积； （3）如图，将抛物线沿射线方向平移个单位得新抛物线，M是新抛物线上一点，连接，当时，直接写出符合条件的点M的横坐标，并写出求其中一个点M的横坐标的过程． 【答案】（1）     （2）9     （3）符合条件的点的横坐标为或      【分析】 （1）先求解，，利用待定系数法求解函数解析式即可． （2）求解关于轴对称的点，，求解直线的解析式为，过作轴交于，则，再进一步求解即可． （3）先求解平移后，新抛物线为，如图，当在轴下方时，与平行时，． 求解直线为，进一步可得答案，如图，当在轴上方时， ．证明，可得，过作于，设，进一步求解即可． (1) 小问详解： 解：令，得 由，， 得，即， 将，代入，得 ， 解得 ， 抛物线的函数表达式为． (2) 小问详解： 解：关于轴对称的点 由，得， 设直线的解析式为，将代入，得， 解得，即． 过作轴交于，则． ． (3) 小问详解： 解：原抛物线，沿射线平移个单位， ∴抛物线向右平移1个单位，向下平移3个单位，平移后，新抛物线为， 如图，当在轴下方时，与平行，． ∵，， 同理可得：直线为， 设直线为， ∴，解得：， ∴直线为 ∴ ， 得，即， 解得，（舍去）， ∴的横坐标为， 如图，当在轴上方时， ． ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 过作于， 设， ∴，即， 解得：，（舍去）， ∴点的横坐标为， 综上，符合条件的点的横坐标为或． 【点睛】 本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，轴对称的性质，图形面积的计算，二次函数的平移，锐角三角函数的应用，一次函数的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键． 67．（25-26学年九上·重庆永川区文理·期中）如图，抛物线与轴交于点，点，交轴于点． （1）求抛物线的解析式． （2）如图1，已知直线上方抛物线上有一点，过点作轴与交于点，过点作轴与轴交于点，求的最大值和此时点的坐标； （3）将原抛物线沿轴向右平移1个单位长度，新抛物线与轴交于点，点的对应点为，点是第一象限中新抛物线上一点，且点到轴的距离等于点到轴的距离的一半，问在平移后的抛物线上是否存在点，使得，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】（1）     （2）最大值为，此时点的坐标为     （3）存在点，使得，点的坐标为或      【分析】 （1）利用待定系数法求解即可得； （2）先求出直线的解析式为，再设点的坐标为，则，求出的长，利用二次函数的性质求出最值即可得； （3）先求出新抛物线的解析式为，再求出，，，直线的解析式为，然后分两种情况：① 过点作，交新抛物线于点，则，求出直线的解析式，与新抛物线的解析式联立求解即可得；② 作，交新抛物线于点，交直线于点，根据等腰三角形的判定可得，据此可得，求出直线的解析式，与新抛物线的解析式联立求解即可得． (1) 小问详解： 解：将，代入得： ， 解得 ， 所以抛物线的解析式为． (2) 小问详解： 解：将代入得：，即， 设直线的解析式为， 将，代入得： ，解得 ， 则直线的解析式为， 设点的坐标为，则， ∵轴，轴， ∴，， ∴， 由二次函数的性质可知，在内，当时，的值最大，最大值为， 此时， ∴的最大值为，此时点的坐标为． (3) 小问详解： 解：抛物线， 将原抛物线沿轴向右平移1个单位长度，新抛物线的解析式为， 将代入得：，即， 将代入得：，解得或， ∴， ∵点是第一象限中新抛物线上一点，点到轴的距离等于点到轴的距离的一半，且， ∴点的横坐标为， 将代入得：，即， 设直线的解析式为， 将点，代入得： ，解得 ， ∴直线的解析式为， ① 如图，过点作，交新抛物线于点，则， ∴可设直线的解析式为， 将点代入得：，解得， ∴直线的解析式为， 联立 ，解得 （即为点）或 ， ∴； ② 如图，作，交新抛物线于点，交直线于点， ∴， 设点的坐标为， ∴， ， ∴， 解得， ∴， 设直线的解析式为， 将点，代入得： ，解得 ， ∴直线的解析式为， 联立 ，解得 （即为点）或 ， ∴； 综上，存在点，使得，点的坐标为或． 【点睛】 本题考查了二次函数与图形的综合、二次函数最值问题、二次函数图象的平移、等腰三角形的判定、二次函数与二元一次方程组的交点等知识，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键． 68．（25-26学年九上·重庆暨华中学校·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C．    （1）求该抛物线的解析式； （2）如图1，当点P在直线上方的抛物线时，连接、，点M是x轴上一动点，连接、．当的面积最大时，求的最小值； （3）在（2）的条件下，将抛物线沿着射线的方向平移，当抛物线经过点C时停止平移，平移后的抛物线为，点H是抛物线对称轴上一点，当，直接写出所有满足条件的点H的坐标． 【答案】（1）     （2）     （3），      【分析】 本题考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合应用． （1）把，代入计算即可； （2）作关于轴的对称点，交于，则轴，连接，，先求出直线解析式为，再设，则，求出，再根据求出面积最大值，得到，再由对称可得，当在线段上时，最小，求出最小值的长即可； （3）先求出平移后解析式为，对称轴为直线，当在直线上方时，由可得，求出直线解析式为，与的交点即为；当在直线下方时，如图，由，可得，根据距离公式求出，再求出直线解析式为，与的交点即为． (1) 小问详解： 解：把，代入得 ，解得 ， ∴该抛物线的解析式为； (2) 小问详解： 解：作关于轴的对称点，交于，则轴，连接，，    令，则， ∴， 设直线解析式为，代入，得 ，解得 ， ∴直线解析式为， ∵点P在直线上方的抛物线，轴， ∴设，则， ∴， ∴ ， ∴当时，最大，此时， ∵关于轴的对称点， ∴，， ∴， ∴当在线段上时，最小，最小值； (3) 小问详解： 解：∵直线解析式为， ∴将抛物线沿着射线的方向平移，可设抛物线向左移动个单位，再向上移动个单位， ∴平移后解析式为， ∵当抛物线经过点C时停止平移， ∴把代入得， 解得，（舍去）， ∴平移后解析式为， ∴对称轴为直线， 当在直线上方时，如图点即为，    ∵， ∴， ∴设直线解析式为， 代入得，，解得， ∴直线解析式为， 当时，， ∴； 当在直线下方时，如图点即为，此时交于，    ∵，即， ∴， 设， ∴， 解得， ∴， ∴设直线解析式为， 代入，得， ，解得 ， ∴直线解析式为， 当时，， ∴， 综上所述，当时，所有满足条件的点H的坐标为或． 69．（25-26学年九上·重庆长寿实验中学校·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点C，点为抛物线上一点． （1）求该抛物线的解析式 （2）连接，点Q为直线上方抛物线上一点，过点Q作轴于点E，作轴交BC于点F，求的最大值及此时点Q的坐标； （3）在（2）的条件下，将原抛物线向右平移得到新抛物线，新抛物线与原抛物线交于点D，点M是新抛物线对称轴上一点，点N是第一象限内一点，当M，N，C，E为顶点的四边形是菱形时，请直接写出所有满足条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程． 【答案】（1）；     （2）的最大值为，；     （3）点N的坐标为或或．      【分析】 （1）利用待定系数法求解即可； （2）先求得直线的解析式，设，用表示出的长，利用二次函数的性质求解即可； （3）先求得新抛物线的对称轴为，分三种情况讨论，利用菱形的性质结合中点坐标公式求得即可． (1) 小问详解： 解：把，代入得 ， 解得 ， ∴该抛物线的解析式为； (2) 小问详解： 解：令，则， ∴，令，则， 解得或， ∴， 设直线的解析式为， 将代入得，， 解得， ∴直线的解析式为， 设， ∵轴， ∴， ∵轴， ∴， 代入， 得， 解得， ∴， ∴， ∴ ， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为， 此时， ∴； (3) 小问详解： 解：∵，， ∴点向右平移3个单位得到点， ∴向右平移3个单位得到新抛物线， ∵， ∴， ∴新抛物线的对称轴为， 设， ∵，， ① 当、为对角线时，则、为菱形的边， ∴，即， 整理得， 无意义，舍去； ② 当、为对角线时，则、为菱形的边， ∴，即， 整理得， 解得， 当时，， ∴ ，即 ， 解得 ， ∴； 当时，， ∴ ，即 ， 解得 ， ∴； ③ 当、为对角线时，则、为菱形的边， ∴，即， 整理得， 解得， ∴， ∴ ，即 ， 解得 ， ∴； 综上，点N的坐标为或或 ． 【点睛】 本题考查二次函数的综合应用，待定系数法求二次函数的解析式，平行四边形的性质，掌握二次函数图象上点的坐标特点是解题的关键． 70．（25-26学年九上·重庆江津区实验中学·期中）如图，已知直线交轴正半轴于点，与轴正半轴交于点，抛物线经过、两点，交轴负半轴于点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图，点是直线上方抛物线上的一动点，当四边形面积最大时，请求出点的坐标； （3）在（2）的结论下，过点作轴的平行线交直线于点，连接，点是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】（1）     （2）     （3）存在点，点的坐标为或或      【分析】 本题主要考查了二次函数的图像和性质，待定系数法求函数解析式，利用平行四边形的判定和性质求点的坐标，解题的关键是掌握二次函数的图像和性质． （1）利用待定系数法求函数的解析式即可； （2）过点作轴，交直线于点，根据三角形的面积列出二次函数，根据二次函数的性质进行求解即可； （3）在抛物线上存在点，使得以为顶点的四边形是平行四边形，分三种情况进行讨论，然后根据平行四边形的判定定理和性质进行求解即可． (1) 小问详解： 解：将，代入得， 解得 ∴抛物线的解析式为； (2) 小问详解： 解：由于当四边形面积等于和面积之和，而的面积为定值， 故面积最大时，四边形面积最大， 如图1，过点作轴，交直线于点， 设，则， ∴， ∴， ∵， ∴有最大值，当时，最大值为18， ∴将代入得，， ∴； (3) 小问详解： 解：在抛物线上存在点，使得以为顶点的四边形是平行四边形，理由如下： ， ∴对称轴是直线， ∴根据对称性，由得， ∵点是抛物线对称轴上的动点， ∴的横坐标为， ① 如图2，以为边时，当时，四边形是平行四边形，由（2）可得点的横坐标为3， ∵点在直线上， ∴点的坐标是， 又∵点的坐标是，点的横坐标为， 根据到的平移规律可知，点的横坐标为，代入得， ， ∴； ② 如图3，以为边时，四边形是平行四边形， 由（2）可得，点的横坐标为3， ∵点的坐标是，且点的横坐标为， 根据到的平移规律可知，点的横坐标为，代入得， ， ∴； ③ 如图4，以为对角线时， 根据到的平移规律可知，到的平移规律， ∴点的横坐标为，代入得，， ∴； 综上，点的坐标为或或． 71．（25-26学年九上·重庆南开中学教共体学校·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C，连接．    （1）求抛物线的函数表达式； （2）如图1，P是线段上方抛物线上的一个动点，过点P作交于点D，F为y轴上一动点，当线段的长度取得最大值时，求点P的坐标及的最小值； （3）在平面内，将抛物线沿射线方向平移，当平移后的新抛物线经过点时停止平移，此时得到新抛物线，在平移后的新抛物线上确定一点M，使得，请直接写出所有符合条件的点M的坐标． 【答案】（1）     （2）；     （3）或      【分析】 （1）利用待定系数法解答即可； （2）先确定直线的解析式为：．，则， 则， 利用配方法得到，结合根据抛物线性质解答即可． （3）根据题意，确定这是一个向左平移t个单位长度，再向上平移t个单位长度的平移变换，设平移后抛物线的解析式为，，确定解析式，取的中点K，连接，交抛物线于点M，此时； 过点作，交抛物线于点，此时． 本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的性质，二次函数的平移，构造二次函数求线段的最值，直角三角形的性质，两点间距离公式，三角函数的应用，熟练掌握抛物线的最值是解题的关键． (1) 小问详解： 解：抛物线与x轴交于点，， 解得 抛物线的解析式为. (2) 小问详解： 解：由抛物线的解析式为， 得， ∴， ∴， 过点P作轴，交于点H，垂足为M，    则， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入直线的解析式得： ， 解得 ， ∴直线的解析式为：． 设，则， 则， 故， ∴ ∵， ∴抛物线开口向下，函数有最大值， ∴当，最大，且最大值为， ∴； 作点B关于y轴的对称点G，此时， 连接交y轴于点N，此时的值最小， 故当点F与点N重合时，取得最小值， 且最小值为，此时． (3) 小问详解： 解：根据题意，得， 由抛物线沿射线方向平移，且， 故该平移变换是一个向左平移t个单位长度，再向上平移t个单位长度的平移变换， 故平移后抛物线的解析式为，， 由平移后的新抛物线经过点时停止平移， ∴把点代入得：， 整理，得 解得， 故平移后抛物线的解析式为即，    取的中点K，连接，交抛物线于点M， 根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得， ∴，符合题意， ∵，， ∴， 设直线的解析式为， 根据题意，得， 解得， ∴直线的解析式为， 根据题意，得 ， 解得或（舍去）， ∴， 此时； 过点作，交抛物线于点， ∴，符合题意， 设直线的解析式为 ∵，， ∴ ， 解得 ， ∴直线的解析式为：． ∵ ∴直线的解析式为：． 根据题意，得 ， 解得或（舍去）， ∴， 此时； 综上所述，符合题意的点M的坐标为或． 72．（25-26学年九·重庆綦江区未来学校·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线交轴于两点，交轴于点，其中点，其对称轴 ． （1）求该抛物线的函数解析式； （2）若为第一象限内抛物线上一点，连接、，求面积的最大值，及此时点的坐标． （3）在（2）的条件下，在对称轴上是否存在一点M，使得的周长最小，若存在，请直接写出M点坐标，若不存在，说明理由． 【答案】（1）     （2）最大值；点P的坐标为     （3）M      【分析】 本题考查了二次函数综合，待定系数法求抛物线解析式，一次函数解析式等知识，解题的关键是： （1）由二次函数的对称轴公式以及过点，待定系数法即可求解； （2）先求出直线的解析式，过点作轴，交于点，则，设点为，则点为，求出的长度，利用三角形面积列出函数解析式，利用二次函数的性质，即可得到面积的最大值，进一步即可求出点的坐标； （3）可求抛物线对称轴为直线，连接，，，根据对称性得出，则，故当A、M、P三点共线时，最小，则的周长最小，根据待定系数法求出直线的解析式为，然后把代入求解即可． (1) 小问详解： 解：∵抛物线过，其对称轴为， ∴ ， 解得： ， ∴； (2) 小问详解： 解：由， 当时，， 则， 设直线的解析式为，则把点、代入，得 ， 解得： ， ∴直线的解析式为； 过点作轴，交于点，如图： 设点P 为，则点D为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当时，取最大值； ∴， ∴点P的坐标为； (3) 小问详解： 解：∵， ∴对称轴为直线， 连接，，， ∵A、B关于直线对称， ∴， ∴， ∴当A、M、P三点共线时，最小，则的周长最小， 当时，， 解得，， ∴， 设直线的解析式为， 则 ， 解得 ， ∴， 当时，， ∴． 73．（25-26学年九上·重庆合川中学）如图1，抛物线与轴交于点，与直线交于点，过点作直线的平行线，交抛物线于点． （1）求抛物线的表达式； （2）点为直线下方抛物线上一点，过点作轴交直线于点，过点作于点，连接．点是轴上的一动点，当的面积最大时，求周长的最小值； （3）如图2，在（2）问条件下，将原抛物线向右平移，再次经过（2）问条件下的点时，新抛物线与轴交于点（在左侧），与轴交于点．点为新抛物线上的一点，连接交直线于点，使得，写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程． 【答案】（1）     （2）     （3）或      【分析】 （1）抛物线与直线交于点，则，即可求解； （2）设直线的解析式为，利用待定系数法求出直线的解析式，根据平行设直线的解析式为，利用抛物线为，得到，将代入求得直线的解析式，设，则，如图1，过点F作交于点W，证明为等腰直角三角形，，，即可求出，，求得，作点关于轴的对称点，由两点之间线段最短得的最小值为，求出即可求解； （3）设原抛物线向右平移e个单位，利用平移的特点得到平移后的抛物线解析式为以及，① 连接，作的垂直平分线交于点H，利用垂直平分线性质，等腰三角形性质，以及三角形外角定理得到，设，利用勾股定理建立等式得到点H，利用待定系数法求直线的解析式，根据点P为新抛物线上的一点，连接交直线于点H，联立平移后的抛物线解析式和直线的解析式求解，即可解题；② 作H关于N的对称点，连接，求解过程与① 类似． (1) 小问详解： 解：∵抛物线与直线交于点， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为； (2) 小问详解： 解：设直线的解析式为， ∵过点， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， ∵， 设直线的解析式为， 当时，， 解得， ∴， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 设，则， 如图，过点F作交于点W，设交于点， ∵直线是由直线向下平移3个单位得到的， ∴， ∵，， ∴， ∵直线的解析式为， ∴直线为一、三象限的角平分线， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴当时，面积的最大值为3，此时点D的坐标为； ∴， ∴， 作点关于轴的对称点，连接， ∴，， ∴的周长， ∴的周长最小值为； (3) 小问详解： 解：设原抛物线向右平移e个单位， ∴平移后的抛物线解析式为， ∵平移后的抛物线解析式过点， ∴， 解得（不符合题意的根舍去）， ∴平移后的抛物线解析式为，， ① 如图2.1，连接，作的垂直平分线交于点H， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， ∵过点， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 设，则，， ∴， 解得， ∴， 设直线的解析式为， 由点D、H的坐标代入得， ， 解得 ， 所以，直线的解析式为， ∵点Q为新抛物线上的一点， 连接交直线于点H， ∴， 解得， 当时，， ∴点Q的坐标为； ② 如图2.2，作H关于N的对称点，连接交抛物线于点Q， ∵， ∴， ∴， 由对称性可知， ∴， 设， ∵， ∴， 解得：或， 则， 设直线的解析式为， 由点D、的坐标代入得， ， ∴直线的解析式为， ∴， ∴解得， ∴点Q的坐标为， 综上所述，点Q的坐标为或． 【点睛】 本题考查了二次函数的综合应用，主要考查待定系数法求解函数解析式，一次函数与反比例函数交点情况，等腰三角形的性质，对称的性质，勾股定理求两点间距离，垂直平分线性质，三角形外角定理函数平移的规律，熟练掌握相关性质是解题的关键． 74．（25-26学年九上·重庆合川中学）已知二次函数的图象的一部分如图所示，该函数图象经过点，对称轴为直线．对于下列结论：①；②；③多项式可因式分解为；④当时，关于的方程无实数根．其中正确的结论有　　　　　　　　　　． 【答案】① ② ④ 【分析】 本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象的性质，二次函数的最值问题，熟练掌握二次函数图象与系数的关系是解题的关键．① 根据图像分别判断，，的符号即可；② 将点代入函数即可得到答案；③ 根据题意可得该函数与轴的另一个交点的横坐标为5，即可得到；④ 由，得到，，将代入函数得，从而推出当时，该抛物线与直线的图象无交点，即可判断． 【详解】 解：由题图可知，， ，故① 正确； 当时，，即，故② 正确； 二次函数与轴的一个交点的横坐标为，对称轴为直线， 二次函数与轴的另一个交点的横坐标为5， 多项式，故③ 错误； 当时，有最大值，即， 当时，抛物线与直线的图象无交点， 即关于x的方程无实数根，故④ 正确． 综上，① ② ④ 正确． 故答案为：① ② ④ ． 75．（25-26学年九上·重庆渝北中学校·期中）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于两点，y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，点P是直线上方抛物线上的一动点，过点P作y轴的平行线交直线于点E，过点P作x轴的平行线交直线于点F，求面积的最大值及此时点P的坐标； （3）如图2，连接，，抛物线上是否存在点Q，使？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）     （2）面积的最大值为，此时点P的坐标为     （3）存在，Q的坐标为或      【分析】 （1）利用待定系数法即可求解； （2）可得，求出直线的解析式为，又可得，进而得为等腰直角三角形，得到，设，则，可得，得到当时，即取最大值，此时的面积最大，据此即可求解； （3）分点在上方和点在下方两种情况，画出图形解答即可求解； (1) 小问详解： 解：把代入得， ， 解得 ， ∴抛物线的解析式为； (2) 小问详解： 解：由可得，， 设直线的解析式为， 把代入得， ， 解得 ， ∴直线的解析式为， ， ， ， ∵轴，轴， ， ∴为等腰直角三角形， ， 设，则， ， 当时，即取最大值，此时的面积最大， 则； (3) 小问详解： 解：存在． 当点在上方时，作点关于轴的对称点，过点作交抛物线于点， ∵与关于轴对称， ， 又 ∵， ， ， ， ， 同理可得直线解析式为， 设直线解析式为，将代入得，， ， ， 由 ， 解得 或 ， ； 当点在下方时，作点，直线与抛物线交于点， ， 同理可得直线解析式为， ， ， ， ， 联立 ， 解得 或 ， ， 综上，点的坐标为或． 【点睛】 本题考査了待定系数法求二次函数解析式和一次函数解析式，二次函数的最值，二次函数的几何问题，轴对称的性质，全等三角形的性质和判定等知识点，掌握二次函数的性质并运用分类讨论思想解答是解题的关键． 76．（25-26学年九上·重庆万州·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，且． （1）求抛物线的表达式及对称轴； （2）点是直线下方抛物线上的一动点，连接交直线于点，求的最大值及此时点的坐标； （3）将原抛物线沿着射线平移个单位长度得到新的抛物线，新抛物线与轴交于点，点为新抛物线上的一个动点，若，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】（1）抛物线的表达式为，对称轴为直线     （2）最大值为1，此时     （3）所有符合条件的点的坐标为或      【分析】 （1）先求出，得到，再由正切的定义得出，即，将，代入抛物线，计算得出抛物线的解析式为，最后由抛物线的对称轴公式计算即可得出结果； （2）求出直线的解析式为，设，作轴，交于点，则，表示出，证明，得出，再由二次函数的性质即可得出结果； （3）求出新的抛物线，从而可得，结合，得出，再结合题意得出，分两种情况：当点在上方时；当点在下方时，作点关于轴对称的点为，作直线交抛物线于点；分别计算即可得出结果． (1) 小问详解： 解：在中，当时，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 将，代入抛物线可得： ， 解得： ， ∴抛物线的解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线； (2) 小问详解： 解：设直线的解析式为， 将，代入解析式可得 ， 解得： ， ∴直线的解析式为， ∵点是直线下方抛物线上的一动点， ∴设， 如图，作轴，交于点，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴当时，的值最大，为，此时， ∴最大值为1，此时； (3) 小问详解： 解：原抛物线， ∵直线的解析式为， ∴将原抛物线沿着射线平移个单位长度，即将原抛物线向左平移个单位长度，向下平移个单位长度，得到新的抛物线， 在中，当时，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴当点在上方时，如图： 此时， ∴设直线的解析式为， 将代入解析式可得， ∴， ∴直线的解析式为， 联立 ， 解得： 或 （不符合题意，舍去）， ∴此时， 如图，当点在下方时，作点关于轴对称的点为，作直线交抛物线于点， 此时，， 设直线的解析式为， 将，代入解析式可得 ， 解得： ， ∴直线的解析式为， 联立 ， 解得： 或 （不符合题意，舍去）， 此时； 综上所述，所有符合条件的点的坐标为或． 【点睛】 本题考查了求二次函数的解析式，解直角三角形，二次函数综合—角度问题，相似三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 77．（九·重庆铜梁·期末）已知抛物线与轴交于点，与轴交于点和两点，连接． （1）求抛物线的函数表达式； （2）如图，点是线段下方抛物线上的一动点，连接，，点是轴上一动点，点是抛物线对称轴上一动点，当面积取得最大值时，求点的坐标及的最小值； （3）将抛物线向右平移一个单位长度得到抛物线，点的对应点为，连接，点是抛物线上一动点，当时，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点坐标的其中一种情况的过程． 【答案】（1）     （2）点的坐标为，的最小值为     （3）点的坐标为或      【分析】 （1）将，两点坐标代入抛物线的解析式中，利用待定系数法即可求解； （2）过点作轴交于点，利用待定系数法求出直线的解析式，设，则，根据，构建二次函数的最值确定点的坐标，作点关于对称轴的对称点，作点关于轴的对称点，连接与对称轴的交点即为点，与轴的交点即为点，此时，，当、、、四点共线时，取最小值，最小值为的长，再根据两点之间的距离公式求解即可； （3）利用二次函数的平移规律求出平移后的抛物线的解析式和点的坐标，分两种情况讨论：若点在的下方时，若点在的上方时，过点作交的延长线于点，过点作轴，垂足为，通过证明，求得点的坐标，利用待定系数法求解直线的解析式，再与抛物线的解析式联立确定交点的坐标即可． (1) 小问详解： 解：将点和代入中得： ，解得 ， 抛物线的函数表达式为； (2) 小问详解： 解：如图，过点作轴交于点， 设直线的解析式为， 将点和代入得： ，解得 ， ， 设，则，其中， ， ， ， 当时，的面积取得最大值，此时点的坐标为， 对于抛物线， 对称轴为直线， 如图，作点关于对称轴的对称点，作点关于轴的对称点，连接与对称轴的交点即为点，与轴的交点即为点，此时，，当、、、四点共线时，取最小值，最小值为的长， ，， ，， ， 即的最小值为； (3) 小问详解： 解：将抛物线向右平移一个单位长度得到抛物线，点的对应点为， ，， 若点在的下方时， 如图所示，过点作交的延长线于点，过点作轴，垂足为， 则， ，， ， ， 是等腰直角三角形， ， ，，， ， ，， ， ， 设直线的解析式为， 将和代入得， ，解得 ， 联立 ， ， 整理得， 解得，（与重合，故舍去）， 令，得， ； 若点在的上方时， 如图所示，过点作交于点，过点作轴，垂足为， 则， ，， ， ， 是等腰直角三角形， ， ，，， ， ，， ， ， 设直线的解析式为， 将和代入得， ，解得 ， 联立 ， ， 整理得， 解得，（与重合，故舍去）， 令，得， ； 综上所述，点的坐标为或． 【点睛】 本题考查了二次函数与几何综合、待定系数法求函数解析式、勾股定理与最短路径问题、全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握相关知识点，学会结合图形添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． 78．（25-26学年九上·重庆礼嘉中学校·期末）如图，抛物线与轴交于、两点（点在点的右侧），与轴交于点C，，． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，点是抛物线的顶点，连接，点是上方抛物线上一动点，过点作于点，过点作轴于点，点是轴上一动点．连接，当取得最大值时，求出点的坐标及的最小值； （3）如图2，将抛物线沿射线方向平移得到新抛物线，新抛物线的顶点，延长线交抛物线于点，点为抛物线上一动点，当直线与直线所夹锐角为的两倍时，请直接写出所有符合条件的点的横坐标，并写出其中一个点的横坐标的求解过程． 【答案】（1）     （2），的最小值为     （3）或      【分析】 （1）先求出，再利用，，求出，，得，，再利用待定系数法即可求解； （2）过点作轴，交于点，交轴于点，设抛物线对称轴交轴于点，过点在轴下方作，过点作于点，使，则，先求出直线的解析式为，通过，得出，得出，设，则，得出，利用二次函数的性质得出当时，最大，此时，由点到直线的最短距离可得当、、依次共线，且时，最短，即最小，此时为如图的，设交轴于点，利用锐角三角函数进行求解即可； （3）先求得新抛物线的解析式为，求出直线解析式为，联立抛物线求出，在直线上取一点，使得， 则，则，则直线与抛物线的另一交点即为点，设，则利用列式求出，求出直线解析式为，联立抛物线即可求解；利用对称性，在直线上取另一点，使得， 再进行列式求解即可． (1) 小问详解： 解：令，则， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， 上述两点坐标分别代入抛物线， 得： ， 解得： ， ∴； (2) 小问详解： 解：如图，过点作轴，交于点，交轴于点，设抛物线对称轴交轴于点，过点在轴下方作，过点作于点，使，则， ∵， ∴抛物线的顶点坐标为， 设直线的解析式为， 将，代入， 得： ， 解得： ， ∴直线的解析式为， ∵，， ∴， ∵轴，， ∴，， ∴， ∴，即， ∴， 设，则， 则，， 则， ∵， ∴当时，最大， 此时， 则此时， 由点到直线的最短距离可得当、、依次共线，且时，最短，即最小，此时为如图的，设交轴于点S，此时， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 由，得，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 即最小值为； (3) 小问详解： 解：∵抛物线沿射线方向平移得到新抛物线，的顶点为， ∴新抛物线的解析式为， 设直线解析式为， 代入，， 得： ， 解得： ， ∴直线解析式为， 联立 ， 解得： 或 ， ∴， 如图，在直线上取一点，使得， 则， ∴， 则直线与抛物线的另一交点即为点， 设， 则，， ∴， 解得：， ∴， 设直线解析式为， 代入，， 得： ， 解得： ， ∴直线解析式为， 联立抛物线，得， 解得：（舍），， 故点的横坐标为； 如图，利用对称性在直线上取另一点，使得， 则， 则直线与抛物线的另一交点即为点， 设， 则，， ∴， 解得：（舍），， ∴， 设直线解析式为， 代入，， 得： ， 解得： ， ∴直线解析式为， 联立抛物线，得， 解得：（舍），， 故点的横坐标为； 综上所述，点的横坐标为或． 【点睛】 本题是二次函数综合，涉及待定系数法，二次函数的图象与性质，解直角三角形，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，点到直线的距离，解一元二次方程，熟练掌握这些性质与判定是解题的关键． 79．（25-26学年九上·重庆广益中学·期末）在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于点，，与轴交于点． （1）求该抛物线的解析式； （2）点是直线上方该抛物线上的一动点，连接，，点是直线上一动点，当最大时，求的最小值； （3）在（2）问取得最大值的条件下，将该抛物线沿射线方向平移，使得新抛物线经过线段的中点．若点为新抛物线上的一动点，当时，直接写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】（1）     （2）最小值为：     （3）或．      【分析】 （1）把点，代入即可求解； （2）求解直线为，，如图，过作，设直线为，当直线与抛物线有1个交点时，的面积最大，可得有两个相等的实数根，可得，，证明，作关于的对称点，连接，则三点共线，且，，可得，即，进一步求解即可； （3）如图，延长与轴的交点为，求解直线为，可得，，在直线上，抛物线向右平移1个单位，向下平移1个单位，连接，可得，可得，作交新抛物线于，交轴于，则，即满足，证明，设，此时在抛物线上，即，作关于直线的对称点，连接交于，连接交新抛物线于，，，此时满足条件，设，再进一步求解即可． (1) 小问详解： 解：∵抛物线与直线交于点，，与轴交于点， ∴ ， 解得： ， ∴抛物线为：； (2) 小问详解： 解：∵，， ∴设直线为， ∴， 解得：， ∴直线为， ∵， 当时，， ∴， 如图，过作， 设直线为， 当直线与抛物线有1个交点时，的面积最大， ∴方程，即有两个相等的实数根， ∴， 解得：， ∴直线为，， 解得：，， ∴， ∵，， ∴，，， ∴， ∴， 作关于的对称点，连接，则三点共线，且，， ∴，即， 当三点共线时， ，此时最小， 最小值为：． (3) 小问详解： 解：如图，延长与轴的交点为，，， 同理可得：直线为， ∴，， ∵为的中点， ∴，，， ∴在直线上，抛物线向右平移1个单位，向下平移1个单位， 连接， ∴，，平移后的抛物线为：， ∴， 作交新抛物线于，交轴于，则，即满足， ∵， ∴，设， ∴， ∴，解得：， ∴， 此时在抛物线上，即， 作关于直线的对称点，连接交于，连接交新抛物线于， ∴，，此时满足条件， 设， ∴， ∴，而， ∴，， ∴， ∵， ∴， 同理可得：为， ∴ ， 解得： 或 ， ∴； 综上：或． 【点睛】 本题考查的二次函数的综合应用，涉及求解解析式，二次函数的图象与面积，一元二次方程根的判别式的应用，轴对称的性质，相似三角形的判定与性质，中点坐标公式的应用，锐角三角函数的应用，本题难度很大，作出合适的辅助线是解本题的关键． 80．（25-26学年九上·重庆沙坪坝区重庆第一中学校·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点C，． （1）求抛物线的表达式； （2）点P是射线上方抛物线上的一动点，连接与射线交于点Q，过点O作直线，点M，N分别为射线和直线l上的动点，且，连接．当取得最大值时，求点P的坐标及的最小值； （3）将抛物线沿射线方向平移，使平移后的新抛物线经过点C，点D为抛物线对称轴上的一点，连接，过点D作交抛物线于点E，且点E位于抛物线对称轴的左侧，连接、．若，请直接写出所有符合条件的点E的横坐标． 【答案】（1）     （2），     （3）x的横坐标为或      【分析】 （1）根据已知条件求出点C，点B的坐标，再将点A，点B坐标利用待定系数法分别代入抛物线中即可求得其解析式； （2）作轴交于点D，作轴交于点E，得出，先利用待定系数法求出直线的解析式，随即求得点D的坐标进而得出，的值，证明得到最大值时，最大，设，则，列出的二次函数关系式求得点P的坐标；作于点F，利用三角形面积公式得出的值，通过平移得出点的坐标并得出，再作轴于点G，通过正弦的定义得出，进而求得当，M，G三点共线且轴时，的最小值； （3）先求出平移后的新抛物线解析式及其对称轴，设，则，利用正切的定义得出线段比例关系，此时分情况讨论：① 当点E在点D下方时，② 当点E在点D上方时，分别作对应的辅助线后利用求出的值，进而推出点的坐标， 从而得出结论当点D在直线移动的过程中，点E的轨迹为直线，与的夹角为，进而求出和的值，利用待定系数法分别求出直线和的解析式，最终联立新抛物线解析式即可求出点E的横坐标． (1) 小问详解： 解：由题意知，当时，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 将点A，B分别代入抛物线得 ，解得 ， ∴抛物线解析式为． (2) 小问详解： 解：如图，作轴交于点D，作轴交于点E， ∴， ∵，， 设直线的解析式为， 代入得 ，解得 ， ∴直线的解析式为， ∴点D坐标为，则，， ∵，， ∴， ∴，则最大值时，最大， 设，则， ， ∵， ∴当时，最大，此时， 作于点F， ∴，得， 将点P沿方向平移得点，则，且， ∴， 作轴于点G，， ∴， ∴， 当，M，G三点共线且轴时取等号，故. (3) 小问详解： 解：∵抛物线沿射线平移，且过点C， ∴新抛物线解析式为，对称轴为，记对称轴为直线， 设，则， ∴，即， ① 当点E在点D下方时： 如图，过点C作，在直线上取点且位于点下方，使得， 设， ∴，即， 延长至点F，与直线交点F， ∴， ∴，解得， 设，则， 在中，， ∴，解得， ∴，点坐标为， ∴，， 当点D在直线移动的过程中，点E的轨迹为直线，与的夹角为， 则， 设直线的解析式为，将点代入得 ，解得， ∴直线的解析式为， 联立新抛物线解析式得，， 解得（舍去），； ② 当点E在点D上方时： 如图，过点C作，在直线上取点且位于点上方，使得， ∵， ∴， ∴， ∴， 当点D在直线移动的过程中，点E的轨迹为直线，与的夹角为， 则， 设直线的解析式为，将点代入得 ，解得， ∴直线的解析式为， 联立新抛物线解析式得：， 解得（舍去），， 综上所述，x的横坐标为或． 【点睛】 本题考查了一次函数的图象与性质，二次函数的图象与性质，锐角三角函数的应用及函数与几何的综合应用． 81．（25-26学年九上·重庆育才中学校·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，B两点，与轴交于点，抛物线的对称轴是直线． （1）求抛物线的表达式； （2）点P是射线BC上方抛物线上的一动点，连接OP与射线BC交于点D，点M，N为抛物线对称轴上的动点（点N在点M的下方），且，连接BN，PM．当取得最大值时，求点P的坐标及的最小值； （3）在（2）中取得最大值的条件下，将抛物线沿射线BC方向平移个单位长度得到抛物线，点E为点P的对应点，点F为抛物线上的一动点，G为x轴上一定点，且．若，请直接写出所有符合条件的点F的坐标，并写出求解点F的坐标的其中一种情况的过程． 【答案】（1）     （2）的坐标为，     （3）点的坐标为：或， 将抛物线沿射线BC方向平移个单位长度得到抛物线， 即将抛物线左移一个单位长度又向上移动一个单位长度， 则， 过作轴交轴于点， 如图点沿射线方向平移至点，所以， ∵，， ∴， ∴， ∵的坐标为， ∴ ∴直线：（如上图）或（如下图）， 点为直线与抛物线的交点， ∴或， 解得：，（舍去）或，（舍去）， ∴点的坐标为：或．      【分析】 （1）利用待定系数法求二次函数的解析式； （2）先求出直线的解析式，然后设点的坐标，过点作轴的平行线交于点，求出长，再证明相似，根据对应边成比例和二次函数的性质求出的最大值，把此时的点向下平移个单位长度得到点，连接，可得到三点共线即时取到最小值，最后利用勾股定理计算解题； （3）根据平移得到抛物线的解析式，然后过点P作轴于点，易知，由与得从而得到，求出直线，得出点为直线与抛物线的交点，联立即可解题． (1) 小问详解： 解：因为抛物线的对称轴是直线， 所以， 解得， 把点代入抛物线得， 即， 所以， 解得， 所以抛物线的表达式：； (2) 小问详解： 令， 解得， ∴， 令，， ∴， ∴由待定系数法得直线：， 过作，如图所示： 设点的坐标为， 则点的坐标为， ∴， ∵作， ∴， ∴， ∴当时，取得最大值， ∴的坐标为，的坐标， ∵，所以把向下平移3个单位得到， 过作，连结，如图所示： ∵点点关于对称轴的对称点为点， 当点三点共线时最小， 即， 令， 解得， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为：． (3) 小问详解： 略 【点睛】 本题是二次函数的综合，主要考查待定系数法，二次函数的线段问题，轴对称的最短路径问题，二次函数的平移，解直角三角形，利用数形结合和分类讨论思想求解是解答的关键． 82．（25-26学年九上·重庆开州区文峰·期中）在平面直角坐标系中，抛物线（a，b，c为常数，）的图象与x轴交于，B两点，与y轴交于点． （1）求抛物线的解析式． （2）如图1，在直线上方的抛物线上有一动点M，过点M作轴，垂足为N，交直线于点D．是否存在点M，使得取得最大值？若存在，请求出它的最大值及点M的坐标；若不存在，请说明理由． （3）如图2，连接，若点P是抛物线上一动点，且满足，请直接写出点P的坐标． 【答案】（1）     （2）存在，最大值为4，     （3）或      【分析】 本题主要考查了二次函数综合、一次函数的平移问题、二次函数最值问题等知识点，掌握二次函数的图象的性质与分类讨论是解题的关键． （1）将点、代入求得b、c的值即可解答； （2）先求出点B的坐标，如图：过点C作于点E，求得，直线的解析式为，设，点D在直线上，则，进而求得，根据二次函数的性质求得最值以及m的值，进而求得M的坐标； （3）如图：取点，连接，则，进而证明，根据的解析式求得的解析式，进而联立抛物线解析式即可求得点P的坐标，当时，记与y轴的交点为K，也满足条件，证明，可得，求解为，进而联立抛物线解析式即可求得点的坐标． (1) 小问详解： 解：将点、代入可得： ，解得： ， ∴抛物线的解析式为． (2) 小问详解： 解：∵抛物线的解析式为， ∴抛物线与x轴交点的坐标为：，即点B的坐标为 如图：过点C作于点E，     设直线的解析式为，将点，， 代入得： ，解得 ∴直线的解析式为 ∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵轴，， ∴轴 ， ∴， 在中，， ∴，即， 在直线上方的抛物线上有一动点M， 设，则 ， ∴当时，的最大值为4，此时，即， ∴存在点M，使得取得最大值，最大值为4，点M的坐标为． (3) 小问详解： 如图，取点，连接，则，     ， ，， ， ， ∵， 设直线的解析式为 则 ，解得 ， ∴直线的解析式为 设直线的解析式为，过点， ∴，解得 ∴直线的解析式为 ∵P是抛物线上的一点，则P为直线与抛物线的交点，则 ，解得 或 （与点B重合，舍弃） ； 如图：当时，记与y轴的交点为K，也满足条件， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 设的解析式为， ∴，解得：， ∴的解析式为， ∵是抛物线上的一点，则为直线与抛物线的交点，则 ，解得 或 （与点B重合，舍弃） ． 综上：P的坐标为或． 83．（2026·重庆育才中学校·三模）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与y轴交于点B，与x轴交于A、C两点（A在C的左侧），连接，． （1）求抛物线的解析式； （2）点P是直线AB上方抛物线上的一动点，过点P作交y轴于点D，交x轴于点E，点F为y轴上一动点，当取最大值时，求此时点P的坐标及的最大值； （3）如图，点Q是抛物线的对称轴与的交点，将该抛物线沿射线方向平移，使得新抛物线刚好经过点Q，K为新抛物线上一动点，当，请写出所有符合条件的点K的坐标，并写出求解其中一个点K坐标的过程． 【答案】（1）     （2），的最大值为     （3）或      【分析】 （1）先求出点B的坐标，再解直角三角形求出的长，进而得到点A的坐标，再利用待定系数法求解即可； （2）求出直线解析式为；设，则直线解析式，求出，，进而求出，，则，据此可得到有最大值时，点P的坐标为；再由，得到当A、P、F三点共线时，有最大值，最大值为的长，据此利用勾股定理即可求出答案； （3）先求出；可设原抛物线向下平移个单位长度，向左平移个单位长度得到抛物线，则新抛物线解析式为，利用待定系数法可得新抛物线解析式为；如图所示，取，连接，证明，得到；导角可证明，如图所示，过点Q作交新抛物线与，则，即点即为所求；可求出直线的解析式为，联立 ，可得；如图所示，过点A作，且使得，连接并延长，交新抛物线于，则，可证明，即点即为所求；求出点R的坐标，进而求出直线的解析式，同理可得． (1) 小问详解： 解：在中，当时，， ∴， ∴， ∵在中，，， ∴， ∴， ∴， 把，代入中得： ， 解得 ， ∴抛物线解析式为； (2) 小问详解： 解：设直线解析式为， ∴ ， ∴ ， ∴直线解析式为； 设，直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为， 在中，当时，，当时，， ∴，， ∴，， ∴ ， ∵， ∴当，即时，有最大值， ∴此时点P的坐标为； ∵， ∴， ∴当A、P、F三点共线时，有最大值，最大值为的长， ∵， ∴； ∴的最大值为； (3) 小问详解： 解：∵原抛物线解析式为， ∴抛物线对称轴为直线， 在中，当时，， ∴； ∵将原抛物线沿射线方向平移，得到新抛物线， ∴可设原抛物线向下平移个单位长度，向左平移个单位长度得到抛物线， ∴新抛物线解析式为， ∵平移后的抛物线经过， ∴， ∴或（舍去）， ∴新抛物线解析式为； 如图所示，取，连接， 在中，当时，或， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； ∵，， ∴， ∵， ∴， 如图所示，过点Q作交新抛物线与，则，即点即为所求； 同理可得直线解析式为， ∴直线的解析式为， 联立 ，解得 或 ， ∴； 如图所示，过点A作，且使得，连接并延长，交新抛物线于，则， ∵， ∴， ∴，即点即为所求； 同理可得直线解析式为， 设， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴， 同理可得直线解析式为； 联立 ，解得 或 ， ∴； 综上所述，点K的坐标为或． 【点睛】 本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，解直角三角形，勾股定理，全等三角形的性质与判定，解（2）的关键在于设出点P的坐标，进而求出直线解析式，再用点P的横坐标表示出的长，解（3）的关键在于证明． 84．（25-26学年九上·重庆礼嘉中学校·期中）如图，抛物线与轴分别交于点、点（点在点的左侧），与轴交于点，对称轴为直线． （1）求抛物线解析式； （2）点为直线上方抛物线上一点，连接，，点为抛物线对称轴上一动点，轴，垂足为，连接，，当四边形面积最大时，求此时点的坐标及的最小值； （3）将抛物线沿射线方向平移后经过点，新抛物线与直线另一个交点为，在新抛物线上是否存在一点，使，若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）     （2）     （3）或      【分析】 本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数与面积，线段和的最小值问题，角度问题，作出合适的辅助线是解本题的关键． （1）利用待定系数法确定二次函数解析式即可得到答案； （2）根据面积可得，转化为三角形面积的最大值，过作轴交于，再根据求最值，得到，再设，连接，易得，再由求解即可； （3）由题意得，新抛物线由原抛物线先向左移4个单位，再向上平移2个单位得到，解得新抛物线方程为，再在上取点，且，作关于直线对称点，先证，进而得到要使，即，再根情况求解即可． (1) 小问详解： 由题意可得 ，解得 ， 所以抛物线解析式为； (2) 小问详解： 由（1）知， ， 又点关于对称，且， ，则，， 又， 所以四边形面积最大时，即三角形面积取最大值， 过作轴交于， 在抛物线，，， 直线的方程为，设， 则，， ， 当时，三角形面积取最大值，即四边形面积最大，此时， 设与轴交于点，在轴上取点，且在的左侧，使得，连接， 则,， 轴， ，， ， ， 所以此时，的最小值为； (3) 小问详解： 由题意知，原抛物线点平移到新抛物线点， 所以新抛物线由原抛物线先向左移4个单位，再向上平移2个单位得到， 平移后为， 即新抛物线方程为， 如图，在上取点，且，作关于直线对称点， ∴， ， ，则， 又， ， ， 为等腰直角三角形，， ， ， ，即， 故在延长线与新抛物线的交点上， 又，，， 所以直线的方程为，联立新抛物线， 整理得，解得或， 所以此时的坐标为； 关于直线对称， ，，又， ,点在延长线与新抛物线的交点上， 设，则① ， ② ， ①② 得：，即③ ， 把③ 代入① 得：， 解得或（舍去），则， 又，则， 所以直线的方程为，联立新抛物线， 整理得，解得或， 所以此时的坐标为； 综上，存在点，使，的坐标为或． 85．（25-26学年九上·重庆南开中学校·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于，两点，与轴交于点． （1）求抛物线的表达式； （2）点是直线下方抛物线上一动点，过点作 轴交直线于点，过点作交轴于点，点为轴上一动点，连接 ，，当 取得最大值时，求点的坐标及 周长的最小值； （3）在（2）中 取得最大值的条件下，将抛物线沿射线方向平移，使得新抛物线的对称轴为直线，连接，点是线段上一动点（不含端点），连接 ，将 沿 所在直线翻折至抛物线所在的平面内，得，直线 交新抛物线于点，当直线 与直线所成夹角为时，直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程． 【答案】（1）     （2），     （3）或，求解过程如下： 解：根据题意，得 ， 得，顶点的坐标为， 根据抛物线沿着直线 平移， 设顶点移动的直线解析式为 ， 故， 解得 ， ∴顶点移动的直线解析式为， 由新抛物线的对称轴为直线， 故向右平移个单位长度， ∵ ， ∴该平移变换是一个向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度的平移变换， 故平移后抛物线的解析式为， 故， 根据题意，新抛物线的顶点坐标为， 当，时， ， ∵ ， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入直线的解析式得： ， 解得 ， ∴直线的解析式为： ． 过新抛物线的顶点作直线 ，交于点Y，交于点Q， 根据题意，得 ，， 解得 ， ∴， ∴ ， 在直线 上截取 ， 则， ∴四边形是平行四边形， 又， ∴四边形是菱形， ∴，且互相平分， 故是关于直线 的对称点， 故此时即为所求的点M； 如图，过点作 于点T，延长 到点，使得 ， 根据题意，得 ， 根据题意，得， 连接，作，交于点Q， 根据等腰三角形的三线合一性质，得直线 是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， 延长 交x轴于点G，交新抛物线与点M，交于点H， ∴， 在和中， ∵ ， ∴， ∴， ∴，， ∵在和中 ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上所述，点M的坐标为或．      【分析】 （1）利用待定系数法解答即可； （2）先确定直线的解析式为： ，设，则，则 ，得到，当， 最大，确定了；，，过点D作y轴的对称点，此时，连接，交y轴于点F，此时 的周长最小，最小为，此时，故此时 的周长最小，最小为． （3）根据题意，判定该平移变换是一个向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度的平移变换，故平移后抛物线的解析式为，根据题意，新抛物线的顶点坐标为，确定直线的解析式为 ．过新抛物线的顶点作直线 ，交于点Y，交于点Q，确定， ，在直线 上截取 ，得到四边形是菱形，解答即可．过点作 于点T，延长 到点，使得 ，根据题意，得 ，，连接，作，交于点Q，根据等腰三角形的三线合一性质，得直线 是线段的垂直平分线，延长 交x轴于点G，交新抛物线与点M，交于点H，根据等腰三角形的性质，三角形全等的判定和性质，直角三角形的性质，解答即可． (1) 小问详解： 解：抛物线 与直线交于，两点，与轴交于点．        解得 抛物线的解析式为 ． (2) 小问详解： 解：由抛物线的解析式为 ， 得， 设直线的解析式为 ， 将，代入直线的解析式得： ， 解得 ， ∴直线的解析式为： ． 设， 由 轴交于点，则， ∴ ， 设直线与y轴的交点为点G， ∵直线的解析式为 ，则， ∵， ∴ ， ∴， ∵， ∴ ， ∴， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 故， ∵， ∴抛物线开口向下，函数有最大值， ∴当， 最大， ∴； ∴，， 过点D作y轴的对称点，此时， 连接，交y轴于点F，此时 的周长最小，最小为， 此时， 故此时 的周长最小，最小为． (3) 小问详解： 略 86．（25-26学年九上·重庆江津中学校·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于A，两点，与y轴交于点C，连接，若． （1）求抛物线的解析式； （2）P是直线上方抛物线上的一动点，过点P作轴交直线于点M，过P作于点N，E、F是对称轴上两个动点，点E在点F的上方，且．当取得最大值时，求最小值； （3）将该抛物线沿射线方向平移个单位长度得到得新抛物线，Q为新抛物线上的一个动点，当时，请求出所有符合条件点Q的横坐标． 【答案】（1）     （2）     （3）点的横坐标为，      【分析】 此题考查了一次函数，二次函数和几何综合，待定系数法求二次函数解析式，线段最值问题，勾股定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点． （1）首先求出，然后结合求出，然后利用待定系数法求解即可； （2）首先求出直线表达式为，设，表示出，由是等腰直角三角形表示出，然后代入利用二次函数的性质求出当时，取得最大值，得到此时，，把点向上平移3个单位得到点，则利用勾股定理求解即可； （3）根据题意，抛物线平移方式为向左平移2个单位，向上平移2个单位，得到，然后根据题意分两种情况讨论：当点在轴左边时和当点在轴右边时，分别求出的表达式，然后和抛物线联立求解即可． (1) 小问详解： 解：∵抛物线， ∴当时，， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴将，代入得， ， 解得 ， ∴； (2) 小问详解： ∵P是直线上方抛物线上的一动点， ∴设， ∵，， ∴可得直线表达式为， ∵过点P作轴交直线于点M， ∴设， ∴， ∵ ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴ ， ∵， ∴当时，取得最大值， ∴此时， 关于对称， ，， 又点E在点F的上方，且， 所以把点向上平移3个单位得到点， 如图： ，即， ， ∴最小值为； (3) 小问详解： ∵直线为， ∵将该抛物线沿射线方向平移个单位长度得到得新抛物线， 且, ∴点平移到的中点， 即平移方式为向左平移个单位，向上平移个单位， ∵， ∴平移后的新抛物线表达式为， ∵， 当点Q在y轴左边时，, 此时直线的方程为， 联立得， 解得或（舍去）， 点Q的横坐标为； ∴当点Q在y轴右边时，如图所示，延长交直线于点D，交于点， ∴， ∴，即， 设， ∵，， ∴，， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴可得直线表达式为， ∴联立得， ， 解得或（舍去）； 综上所述，点的横坐标为，． 87．（25-26学年九上·重庆铁路中学校·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，连接其中点的坐标为，对称轴为直线． （1）求抛物线的解析式； （2）点是直线下方抛物线上的一个动点，点为轴上的一个动点，过点作轴交于点当的长度最大时，求出此时点的坐标及的最小值； （3）如图，在的条件下，连接，将该抛物线沿射线方向平移个单位得新抛物线，点为新抛物线上的一个动点，连接交线段于点，且满足，请直接写出符合条件的点的坐标． 【答案】（1）     （2），     （3）或      【分析】 本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键： （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）先求出、坐标，进而求出直线解析式为；设，则，可得，则当，即时，的长度最大；如图所示，作点关于轴的对称点，连接，，则，当、、三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长，据此求解即可； （3）求出，则将抛物线沿射线方向平移个单位得新抛物线，相当于将抛物线向左平移个单位长度，向上平移个单位长度得到新抛物线，即新抛物线解析式为，如图所示，过点作轴于，可推导证明，则，据此可求出直线解析式为，联立直线和抛物线的解析式，求出点坐标即可． (1) 小问详解： 解：∵抛物线的对称轴为直线， ， ， 把代入中得， 解得， 抛物线解析式为； (2) 小问详解： 解：在中， 当时， 解得或， 当时，， ，； 设直线解析式为， ，解得 ， 直线解析式为； 设，则， ， 当，即时，的长度最大， ， 此时点的坐标为， 如图所示，作点关于轴的对称点，连接，，则， ， ， 当、、三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长， ， 的最小值为； (3) 小问详解： 解：，， ，， ， 将抛物线沿射线方向平移个单位得新抛物线，相当于将抛物线向左平移个单位长度，向上平移个单位长度得到新抛物线， 新抛物线解析式为； 如图所示，过点作轴于， ，， ， ， ，， ， ， ， ， 轴，即， ， 同理可得直线解析式为， 可设直线解析式为， ， ， 直线解析式为， 联立 ，解得 或 ， 点的坐标为或． 88．（25-26学年九上·重庆开州中学·期中）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点、，与轴交于点．已知点为轴上一点，且． （1）求抛物线的表达式； （2）如图1，作的角平分线交轴于点，点为直线上方抛物线上的一个动点，过点作交直线于点，过点作轴交直线于点，求的最大值，并求出此时点的坐标； （3）如图2，将原抛物线沿轴向左平移个单位得到新抛物线，新抛物线交轴于点、，点为新抛物线的对称轴与轴的交点，点为新抛物线上一动点，使得，请直接写出所有满足条件的点的坐标． 【答案】（1）；     （2），；     （3）或．      【分析】 本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，直角三角形的性质，勾股定理，分类讨论是解题的关键． （1）利用待定系数法，即可求解； （2）交直线于，过点作于，可得出是正三角形，只需求的最大值即可； （3）求出平移后的函数解析式为，求出、，分点在的上方和下方两种情况讨论； (1) 小问详解： 解：将点、代入， 得： ， 解得 ， ； (2) 小问详解： 如图1，交直线于，过点作于， 在中，， ，， 平分， ， ， ， 轴， ，， ， ， ， ， 在中，， 是正三角形， 平分， ， 在，， 在正中，， 是中线， ， ， ， 故当取最大值时，最大， ， 在中，且， ， 或（舍去）， ， 设直线解析式为， ， ， ， 设，则， ， 当时，最大， ， ， 即， 当时，有最大值； (3) 小问详解： ， 对称轴为， 将向左平移个单位后新抛物线， 、，的对称轴为直线， ，， ，， ， ， ， ，， ， ， 则， ， ， ， 与重合， 当在下方时， ，， ， ，， ， 设直线的解析式为：， ， ， 直线的解析式为：， 联立得： ， 解得： 或 （舍去）， ， 点的坐标为或． 89．（25-26学年九上·重庆杨家坪中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，为线段上面一个动点． （1）求抛物线及直线的解析式； （2）求周长的最小值，并求出此时点的坐标； （3）在该抛物线上是否存在点使得，如果存在请直接写出所有符合条件的点点的坐标；如果不存在请说明不存在的理由． 【答案】（1），     （2）的周长最小为12，     （3）存在，或．      【分析】 本题考查二次函数的综合应用，解直角三角形，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解是解题的关键： （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）作点关于的对称点，连接，易得四边形为正方形，求出点坐标，进而得到当点在线段上时，的周长最小为的长，求出直线的解析式，联立两条直线的解析式求出点坐标即可； （3）分点在上方和下方，2种情况进行讨论求解即可． (1) 小问详解： 解：∵抛物线与轴交于，两点，与轴交于点， ∴抛物线的解析式为， 把代入，得， 解得， ∴； 设直线的解析式为，把，代入得， ∴； (2) 小问详解： 作点关于的对称点，连接， ∵，， ∴， ∴， ∵对称， ∴， ∴， ∴四边形为菱形， ∵， ∴四边形为正方形， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∵点在线段上， ∴， ∴的周长为， ∴当点在线段上时，的周长最小为， 设直线的解析式为， 则： ，解得 ， ∴， 联立 ，解得 ； 故； (3) 小问详解： 存在； 作点关于轴的对称点，连接，作，则：，则：， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴ 当点在直线上方时，作交于点，作轴， 由（2）可知，， ∴，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 同法可得，直线的解析式为， 联立 ，解得 或 ； ∴； 当点在直线得下方时，延长至点，使，连接， ∵， ∴， ∴， ∵，， 由中点坐标公式可知：， 同法可得，直线的解析式为， 联立 ，解得 或 ； ∴； 综上：或． 90．（25-26学年九上·重庆川外基础教）如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点，与x轴于交点A，，与y轴交于点C． （1）求抛物线的表达式； （2）点P为第二象限内该抛物线上的一动点（不与点A，C重合），过点P作轴于点D，过点P作交直线于点E，点F为该抛物线的对称轴上一动点，连接，当取最大值时，求点P的坐标及的最小值； （3）将该抛物线先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，在（2）中取得最大值的条件下，点Ｍ为原抛物线的顶点，点N为点P的对应点，在新抛物线上确定一点G，使得，请直接写出所有符合条件的点G的横坐标，并写出求解点G的横坐标的其中一种情况的过程． 【答案】（1）     （2）；     （3）或      【分析】 （1）利用待定系数法解答，即可； （2）过点P作轴交于点，证明，可得，从而得到，求出直线解析式，设，可得，从而得到，即可求解； （3）求出点，由抛物线平移的性质可得平移后的解析式为，，根据轴，以及，可得，然后分两种情况讨论，即可． (1) 小问详解： 解：把点，代入得： ，解得： ， ∴抛物线的解析式为； (2) 小问详解： 解：对于， ∴点， 过点轴交于点，     ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线解析式为， 把点，代入得： ∴ ，解得： ， ∴直线解析式为， 对于抛物线， 当，， 解得：或， ∴， 设， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∵， ∴当时，取得最大值，即的最大值为， ∴此时； 如图，连接， ∵点F为该抛物线的对称轴上一动点， ∴， ∴， 即当点P，F，B三点共线时，的值最小，最小值为的长， ， ∴的最小值为； (3) 小问详解： 解：∵， ∴点， ∵将该抛物线先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度， ∴平移后的解析式为，即， ∵， ∴向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到点， ∴， ∴轴， ∴， ∵， ∴， 当点G在轴上方新抛物线上时，     ∴， 设直线表达式为，则， ∴直线：， ∴设直线， 代入，则， 解得：， ∴直线， 与平移后抛物线解析联立得： ， 整理得：， 解得：或（舍）； 即点G的坐标为； 当点G在轴下方新抛物线上时， 过点G作轴的对称点记为点，则，如图：     此时直线与新抛物线在第四象限的交点即为另一个点G， ∴， ∵， 同理可求直线解析式为：， 与平移后抛物线解析联立得： ， 整理得：， 解得：或1（舍）； ∴点G的横坐标为， 综上：符合条件的点G的横坐标为或． 【点睛】 本题考查了二次函数与几何综合，涉及待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定与性质，二次函数图象的平移问题等知识点，难度大，计算复杂． 91．（25-26学年九上·重庆西南大学附属中学校·期中）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线函数解析式分别交轴于，两点（在的左侧），交轴于点，连接，，其中，． （1）求抛物线的解析式； （2）点是直线上方抛物线上的一动点，过点作交直线于点，轴交直线于点．点、点是直线上的动点，满足点在点的右侧且，当周长最大时，求的坐标及的最大值； （3）如图2，在第（2）问的条件下，将抛物线关于原点对称后沿着射线方向平移个单位长度得到抛物线，将点向下平移一个单位长度得到点，点为抛物线上的一动点．若，直接写出所有符合条件的点的横坐标，并写出其中一个情况的求解过程． 【答案】（1）     （2），的最大值为     （3）或      【分析】 （1）求出得到，由正切的定义求出，即，由题意可得，再利用待定系数法计算即可得解； （2）求出直线的解析式为，直线的解析式为，由勾股定理可得，从而得出，，设，则，，求出，得到，，表示出周长，由二次函数的性质可得，当时，周长最大为，此时；将点沿直线平移个单位长度得到点，连接、、，则向右平移个单位长度，向下平移个单位长度得到点，即，由平移的性质可得，，从而可得四边形为平行四边形，由平行四边形的性质可得，由并结合勾股定理计算即可得解； （3）由题意可得，抛物线关于原点对称的解析式为，求出，由，得出，当点在直线的左边时，作轴于，此时，从而可得，设，则，，由，得出，求解即可；当点在直线的右边时，令直线交轴于点，由，且可得：，从而可得，作点关于直线 对称点，作射线交于点，由轴对称的性质可得，，即点即为所求，设，则 ，求出，从而可得的解析式为，联立 求解即可． (1) 小问详解： 解：在中，当时，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴， 将，代入二次函数的解析式可得， ，解得： ， ∴二次函数的解析式为； (2) 小问详解： 解：设直线的解析式为， 将，代入直线的解析式可得 ， 解得： ， ∴直线的解析式为， 设直线的解析式为， 将，代入直线的解析式可得 ， 解得： ， ∴直线的解析式为， ∵，， ∴，， ∴， ∴，， ∵点是直线上方抛物线上的一动点， ∴设， ∵轴交直线于点， ∴，， ∴， ∵点作交直线于点， ∴，， ∴周长 ， ∵， ∴当时，周长最大为，此时， ∴； 如图，将点沿直线方向平移个单位长度得到点，连接、、， ∵直线的解析式为， ∴点向右平移个单位长度，向下平移个单位长度得到点，即， 由平移的性质可得：，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴的最大值为； (3) 小问详解： 解：∵将点向下平移一个单位长度得到点， ∴， 抛物线关于原点对称的解析式为， ∵将抛物线关于原点对称后沿着射线方向平移个单位长度得到抛物线， ∴将抛物线关于原点对称后向左平移个单位长度，向上平移个单位长度得到， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴如图，当点在直线的左边时，作轴于，此时， ∴， 设，则，， ∵， ∴， 解得：或（不符合题意，舍去）； 如图，当点在直线的右边时，令直线交轴于点， 由，且可得：， ∴点， 作点关于直线 对称点，作射线交于点， 由轴对称的性质可得：，，即点即为所求， 设，则 ， 解得： 或 （不符合题意，舍去）， ∴， 设直线的解析式为， 将代入直线的解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立 得：， 解得：或（不符合题意，舍去）， ∴的横坐标为； 综上所述，所有符合条件的点的横坐标为或． 【点睛】 本题考查了求二次函数的解析式，解直角三角形，求一次函数的解析式，二次函数综合—面积问题，二次函数综合—角度问题，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论与数形结合的思想是解此题的关键． 92．（25-26学年九上·重庆合川区十一·期中）如图，抛物线的图象与轴交于点和，与轴正半轴交于点，且抛物线的顶点为． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）点是直线上方的抛物线上的一动点，当的面积最大时．在轴上找一点，在轴上找一点，使得的值最小，并求此时的点和的坐标． （3）若是抛物线上一点，，请写出点的坐标，并写出其中一个点的求解过程． 【答案】（1）     （2）     （3）当时，点Q的坐标为或      【分析】 （1）由题意易得，则有，然后根据待定系数法可进行求解； （2）由题意易得直线的解析式为，然后先得出当面积最大时点P的坐标，作点D关于y轴的对称点J，再作点J关于x轴的对称点K，连接，交x轴于点N，连接，交y轴于点M，根据轴对称的性质及两点之间线段最短可知：当点J、M、N且点K、N、P三点共线时，取得最小值，，进而分别得出直线的解析式为，直线的解析式为，最后问题可求解； （3）由题意可分当点Q在x轴的上方时，当点Q在x轴的下方时，然后分类进行求解即可． (1) 小问详解： 解：令时，则有， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴ ， 解得： ， ∴抛物线的解析式为； (2) 小问详解： 解：设直线的解析式为，由（1）可得： ，解得： ， ∴直线的解析式为， 过点P作轴，交于点E，如图所示： 设，则有， ∴， ∴， ∴当时，的面积最大，此时点P的坐标为， ∵， ∴， 作点D关于y轴的对称点J，再作点J关于x轴的对称点K，连接，交x轴于点N，连接，交y轴于点M，如图所示， 根据轴对称的性质及两点之间线段最短可知：当点J、M、N且点K、N、P三点共线时，取得最小值，即为， ∴， 设直线的解析式为，则有： ，解得： ， ∴直线的解析式为， 令时，则有，解得：， ∴； 同理可得：直线的解析式为， 令时，则有， ∴； (3) 小问详解： 解：当点Q在x轴的上方时，有，如图所示： ∴， ∴点Q的纵坐标为4， ∴将代入二次函数解析式得：， 解得：， ∴点Q的坐标为； 当点Q在x轴的下方时，有，设直线与x轴的交点为F，如图所示： ∴，即 设，则根据两点距离公式可得：， 解得：， ∴， 设直线的解析式为，则有： ，解得： ， ∴直线的解析式为， 联立得： ，解得： 或 （不符合题意，舍去）， ∴； 综上所述：当时，点Q的坐标为或 【点睛】 本题主要考查二次函数的综合及轴对称的性质，熟练掌握二次函数的综合及轴对称的性质是解题的关键． 93．（25-26学年九上·重庆巴蜀中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，连接，已知，． （1）求抛物线的表达式； （2）点P是线段上方抛物线上的一动点，连接，，点E，F为x轴上的两个动点（点F在点E的左侧），且，连接，．当面积取得最大值时，求点P的坐标及的最小值； （3）在（2）中面积取得最大值的条件下，将抛物线沿射线方向平移4个单位长度得到抛物线，点Q为点P的对应点，点M为抛物线上的一动点．若，请直接写出所有符合条件的点M的坐标，并写出求解点M的坐标的其中一种情况的过程． 【答案】（1）     （2）P的坐标为，     （3） 解：，． 在上截取，过点E作于点F， ， ， ，， 将抛物线沿射线方向平移4个单位长度得到抛物线，相当于将该抛物线先向左平移个单位，再向上平移2个单位， 抛物线平移后的解析式为， 过点P作轴交y轴于点T， ，， ， ， ， ， ∴， 又， ∴， ， 情况1：如图，当M在上方时，设与y轴交于点G， ， ， ， ， ， ， ， 设直线表达式为， 将代入，得 ， 解得 ， 直线表达式为， 令， 解得，（舍去）， 当时，， ； 情况2：如图，当M在下方时，同理可得， 同理也可求得直线表达式为， 令， 解得，（舍去）， 当时，， ．      【分析】 （1）先通过解直角三角形的知识求出，再用待定系数法求二次函数的解析式即可； （2）过P作轴交于H，先求出直线表达式，设，则，即可求得，进一步可求得点P的坐标；再根据轴对称的性质，作点C关于x轴对称点，将向右平移个单位长度至点，得出当，E，P三点共线时，取最小值，即取最小值，并求出最小值即可； （3）先求出平移后抛物线的解析式，然后求出，再分两种情况讨论：情况1：当M在上方时，设与y轴交于点G，先求直线的表达式，再求直线与平移后的抛物线的交点坐标即可；情况2：当M在下方时，同理可求直线的表达式及直线与平移后的抛物线的交点坐标即可． (1) 小问详解： 解：由题意得，， ， ， ， ， ， 将，代入， 得 ， 解得 ， 抛物线的表达式是； (2) 小问详解： 解：设直线表达式为：， 将，代入，得 ， 解得 ， 直线表达式为：， 如图，过P作轴交AC于H， 设，则， ， ， ， 抛物线开口向下， 对称轴是，且， 当时，取最大值．此时P的坐标为， 作点C关于x轴对称点，则， 将向右平移个单位长度至点，则， 当，E，P三点共线时，取最小值，即取最小值， 的最小值为； (3) 小问详解： 略 【点睛】 本题考查了二次函数的图象与性质，解直角三角形，用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数与三角形面积的综合问题，两点之间线段最短，二次函数与角相关的综合问题，利用数形结合思想和分类讨论思想解题是关键． 94．（25-26学年九上·重庆第七中学校·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过B，C两点（点A在点B的左侧），其中，，与y轴交于点C，连接AC，BC． （1）求抛物线的表达式； （2）如图1，点P是线段CA上方抛物线上的一动点，过点P作轴，交AC于点D，E是y轴上一动点，当线段PD长度取得最大值时，求的最小值； （3）如图2，将该抛物线沿射线CA方向平移，使得新抛物线经过（2）中的点D且与直线AC相交于另一点M，点Q为新抛物线上的一个动点，当时，直接写出所有符合条件的点Q的坐标，并写出求解点Q坐标的其中一种情况的过程． 【答案】（1）     （2）     （3）点坐标为或，过程如下： 由（2）知，故可知新抛物线是原抛物线向左向下分别平移2个单位得到的，则新抛物线的表达式为，当时，符合所有条件的点坐标有两种情况： 情况一： 如图所示，当，在下方时， 同上，通过点，，利用待定系数法求得直线的表达式为， 故设直线的表达式为，代入点得， 解得， ∴直线的表达式为， 联立 ， 整理可得， 解得， ∴； 情况二：如图所示，当点在上方时，，延长交于点， ，， ，， 由以上可知直线表达式为， 设， ，即， ， 解得， ， 同理根据，，利用待定系数法可得直线的表达式为， 再与抛物线联立， 整理可得， ， 故， ， 综上，所有的点坐标为或．      【分析】 （1）利用待定系数法求函数表达式即可； （2）过点作轴于点，以为斜边作等腰直角三角形，利用待定系数法求出直线的解析式，假设，求出最大时的值，确定点坐标，通过等腰直角三角形的性质和锐角三角函数确定的最小值，然后利用解直角三角形进行求解即可； （3）根据题意，分两种情况进行讨论，根据平行线的性质和等边，分别求出相关直线的解析式，然后联立解析式求出交点坐标即可． (1) 小问详解： 解：将，代入得， ， 解得 ， ∴抛物线的表达式为； (2) 小问详解： 解：如图所示，过点作轴于点，以为斜边作等腰直角三角形， 当时，， 解得， ∴， 假设直线的解析式为， 将，代入得， 解得 ∴直线的解析式为， 假设， 则， 根据二次函数的性质，， 抛物线开口向下，顶点为最高点，顶点纵坐标为最大值， ∴其顶点横坐标为， ∴； 由等腰直角三角形的性质可得，， ∴当点在同一条直线上时，值最小，即的值最小； 此时，， ∴为等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴的最小值为； (3) 小问详解： 略 【点睛】 本题考查了二次函数和一次函数的图象和性质，待定系数法求函数表达式，解直角三角形，函数图象的平移规律，等腰三角形的判定与性质，解一元二次方程，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解题关键． 95．（25-26学年九上·重庆第万州三中学·期中）如图，在等边中，点在上，连接． （1）如图1，若，，求的长； （2）如图2，点在上，，连接交于点，点在的延长线上，且，连接，证明：； （3）如图3，若点是的中点，点在线段上，点在线段上，满足，连接，点是的中点，连接，，直接写出线段的最小值． 【答案】（1）     （2） 证明：在上取点K，使如图2， ∵在等边中， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴， 设， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴     （3）      【分析】 本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理、二次函数的应用等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形、直角三角形． （1）过点D作，垂足为H，把分成两个直角三角形，含的直角三角形， 等腰直角三角形，由此可得：，，，进而求解； （2）在上取点K，使得是等边三角形，，设，再证明，从而可得，，由此即可证明结论； （3）取的中点N，连接，得中位线，构造直角三角形（）由勾股定理表示出长与关系，根据二次函数最值求解即可． (1) 小问详解： 解：过点D作，垂足为H，如图1， ∵在等边中，， ∴， ， ∴，， 设，则，， ∴， ∵在中，， ∴， ∴，即， 故，， ∴， ∴； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 取的中点N，连接，如图3， ∵， ∴，， ∵在等边中，， ∴，， ∵ ∴， ∴， 设，则，， ∴，， ， 在中，，其中， ∴， ∴当时，最小，此时：， ∴ 96．（25-26学年九上·重庆第十八中学）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中，抛物线的对称轴为直线，作点C关于x轴的对称点D，连接交抛物线于点E． （1）求抛物线的解析式： （2）如图1，若点P为直线上方抛物线上一动点，连接，过点O作直线的平行线交抛物线于点F、G，点M、N为直线上的动点（点M在点N的左边）且，连接．当面积最大时，此时点P的坐标及的最小值； （3）将该抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，点Q在新抛物线上，点W为直线与抛物线y的交点（异于B），若，请直接写出所有符合条件的点Q的横坐标，并写出求解点Q的横坐标的其中一种情况的过程． 【答案】（1）     （2），的最小值为     （3）存在，点的横坐标为或      【分析】 （1）先根据抛物线对称轴求出的值，再根据抛物线经过点，利用待定系数法，即可解答； （2）先求出直线的解析式为，再求出点，过点作平行于轴交抛物线于点，设，则，得出，从而可求出当时，有最大值，此时，过点作直线的平行线，交轴于点K，过点作关于直线的对称点，连接，连接交直线于点，则，求出，进而求出，证明四边形是平行四边形，推出，根据，结合为定值，当三点共线，即两点重合时，有最小值，最小值为，求出，即可解答； （3）先求出平移后抛物线解析式为，然后分点在点左侧和点在点右侧两种情况求解即可． (1) 小问详解： 解：∵抛物线的对称轴为直线， ，即， ∴， ∵抛物线经过点， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式：； (2) 小问详解： 解：点是点关于轴的对称点， 点， 设直线的解析式为， 则， ∴， 直线的解析式为， 与联立得，， 解得（舍去）， 直线与抛物线的交点， 过点作平行于轴交抛物线于点，设，则， ， 当时，有最大值，此时， 过点作直线的平行线，交轴于点K，过点作关于直线的对称点，连接，连接交直线于点，则， ∵，且直线过点， ∴直线的解析式为， ∵， 设直线的解析式为，则，解得， ∴直线的解析式为， 将代入直线，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵为定值， ∴当三点共线，即两点重合时，有最小值，最小值为， ∵直线的解析式为， ∴直线是二、四象限的平分线， ∵两点关于直线对称， ∴点在轴负半轴上，且， ∴， ∴， ∴的最小值为， 综上所述，，的最小值为； (3) 小问详解： 解：存在，点的横坐标为或， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵将该抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线， ∴抛物线沿射线方向平移的水平距离和竖直距离相等， 设抛物线沿射线方向平移的水平距离和竖直距离都为个单位， ∴， ∴， ∴向上平移了个单位，向左平移了个单位， ∵， ∴， 设， 当点在点左侧时，过点作的平行线交轴于点M，连接，如图， ∵点W为直线与抛物线y的交点（异于B）， ∴，即， 解得， ∴点W的横坐标为，则纵坐标为， ∴， 设直线的解析式为，则， 解得， ∴直线的解析式为， ∵， 设直线的解析式为，则， 解得， ∴直线的解析式为， 令，解得， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴， 整理得， 解得或（舍去）， ∴点Q的横坐标为； 当点在点右侧时，在上取点，使得，连接，如图， 设， 则， ∴， 整理得， 解得， 则， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴， 整理得， 解得或（舍去）， ∴点Q的横坐标为； 综上，点的横坐标为或． 【点睛】 本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数与几何综合，一次函数与几何综合，二次函数的平移，轴对称的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，难度较大，属中考压轴题． 97．（25-26学年九上·重庆第一中学校·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于、两点． （1）求抛物线的表达式； （2）点是直线上方抛物线上一个动点，过点作轴交直线于点，过点作于点，点、是对称轴上的动点，点在点上方且，连接、，当长度取得最小值时，求长度的最小值； （3）在（2）中长度取得最小值的条件下，将抛物线沿射线的方向平移个单位长度得到抛物线，点为点的对应点，点为抛物线上一个动点，点为抛物线与轴左侧的交点，若，请直接写出所有符合条件的点的横坐标． 【答案】（1）抛物线的表达式为；     （2）长度的最小值为；     （3）所有符合条件的点的横坐标为，．      【分析】 （1）把，代入，可得，，即可得抛物线的表达式； （2）由勾股定理可得，根据平行线的性质，结合三角函数，等量代换可知当长度取得最小值时，最大，由待定系数法可得直线的解析式，设点坐标，可得线段，由二次函数的最值可得点坐标，在线段上截取，由平行四边形的判定和性质，可得，由两点之间线段最短，结合勾股定理，等量代换，可得长度的最小值； （3）由勾股定理，结合已知可得抛物线的解析式，可得点的坐标，作轴于点，由平移的性质，结合已知可得，按照点在上方和下方进行分类讨论，由三角形全等的判定和性质，可得点的坐标，用待定系数法可得直线的解析式，与抛物线的解析式联立，即可得点的横坐标． (1) 小问详解： 解：∵点，在抛物线上， ∴ ， 解得 ， ∴抛物线的表达式为． (2) 小问详解： 解：在中， 令，得，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵轴，点在轴上， ∴， ∴， ∴， ∴， 当长度取得最小值时，最大， 设直线的解析式为，则 ， 解得 ， ∴直线的解析式为， 设点，则， ∴， ∴当时，最大，此时， ∵点、在对称轴上， ∴轴， 又∵轴， ∴， 在线段上截取，则四边形是平行四边形， ∴， ∵抛物线与轴交于、两点，点在对称轴上， ∴， ∴， 当且仅当点、、在同一条直线上时，取的最小值， ∵，， ∴，即， ∵， ∴， ∴长度的最小值为． (3) 小问详解： 解：∵，， ∴， 设抛物线向上平移个单位长度，向左平移个单位长度得到抛物线， 根据题意可得，， 解得， ∴， ∴抛物线向上平移个单位长度，向左平移个单位长度得到抛物线， ∴， ∵点为点的对应点，， ∴，， ∴， 在中， 令，得，， ∵点为抛物线与轴左侧的交点，， ∴， 作轴于点，则， ∵，， ∴，， ∴， ∴， 由平移可得， ∵， ∴， 当点在上方时，， 作于点，作轴于点，作于点，则， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴ ， 解得 ， ∴， 设直线的解析式为，则 ， 解得 ， ∴直线的解析式为， ∴，， 解得， 当点在下方时，， 作于点，作轴于点，作于点，则， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴ ， 解得 ， ∴， 设直线的解析式为，则 ， 解得 ， ∴直线的解析式为， ∴，， 解得， ∴所有符合条件的点的横坐标为，． 【点睛】本题考查求二次函数的解析式，二次函数图象的平移，勾股定理，求一次函数的解析式，二次函数的最值，平行四边形的判定和性质，二次函数的图象和性质，两点之间线段最短，等腰三角形的判定，三角形全等的判定和性质． 98．（25-26学年九上·重庆两江育才中学校·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点，且点在点的左侧，与轴交于点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，动点为抛物线第一象限上的一点，于点， 轴交于点，求的周长的最大值，及此时点的坐标； （3）如图，连接，将原抛物线沿射线方向平移得到新抛物线，使平移后的新抛物线经过点，新抛物线与x轴的另一交点为点，请问在新抛物线上是否存在一点，使得？若存在，则直接写出点的坐标；若不存在，则说明理由． 【答案】（1）；     （2）周长的最大值为，此时点P的坐标为；     （3）存在，坐标为或．      【分析】 （）用待定系数法可得抛物线的函数表达式为； （）设，则，；求出，，可得，即可知是等腰直角三角形，故，有，根据二次函数性质可得答案； （）当在轴上方时，延长，交于，求出，设新抛物线函数表达式为，把代入可解得新抛物线函数表达式为，可得，而直线函数表达式为，设，根据，，得，即，解得m得，故直线函数表达式为，联立 ，即可解得；当在轴下方时，设关于x轴的对称点为，则，由轴对称性质可知，为直线与新抛物线的交点，同理可解得 (1) 小问详解： 解：把，代入得： ， 解得 ， 抛物线的函数表达式为． (2) 小问详解： 解：设， 轴，H在直线上， ， ； 在中，令得，令得， ，， ， ， 轴， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， 当时，取最大值，最大值为， 此时， 的周长的最大值为，此时点P的坐标为． (3) 小问详解： 解：在新抛物线上存在一点T，使得，理由如下： 当在轴上方时，延长，交于，如图： 在中，令得或， ， 由，设抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位， 新抛物线函数表达式为， 把代入得：， 解得舍去或， 新抛物线函数表达式为， 在中，令得或， ， 由，可得直线函数表达式为， 设， ，， ， ， ， ， 解得， ， 由，可得直线函数表达式为， 联立 ， 解得 或 ， ； 当在轴下方时，设关于轴的对称点为，则，由轴对称性质可知，为直线与新抛物线的交点， 由，得直线函数表达式为， 联立 ， 解得 或 ， ； 综上所述，的坐标为或． 【点睛】 本题考查了二次函数，一次函数，待定系数法求解析式，等腰直角三角形判定与性质，二次函数图象与几何变换等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 99．（25-26学年九上·重庆双桥中学·期中）如图1，在直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，且，连接． （1）求抛物线的函数关系式； （2）过点A作交y轴于点E，点P为直线上方抛物线上的一个动点，连接，当的面积最大时，在直线上有一动点M，求点P的坐标和的最大值； （3）将抛物线沿射线方向平移得到新抛物线，新抛物线恰好经过点C，点D为原抛物线的顶点，在新抛物线上是否存在点Q，使得． 请直接写出所有符合条件的点Q的横坐标． 【答案】（1）     （2）；的最大值为；     （3）或      【分析】 （1）求出点，再用待定系数法解答即可； （2）根据，可得，从而得到点，可求出直线的解析式过点P作轴交直线于点Q， 设点，则，可得，再根据，结合二次函数的性质可得点，可求出，当点P，C，M三点共线时，取得最大值，即可求解； （3）连接，过点D作，在上作，根据抛物线平移的性质可得，求出直线的解析式为，直线的解析式为，由抛物线的对称性可得为等腰直角三角形，延长到点G，过点B作轴，交直线于点M，过点M作于点M，则M坐标为，，可得为等腰直角三角形，再根据，可得，从而求出点H的坐标为或，即可求解． (1) 小问详解： 解：当时，， ∴点，即， ∵， ∴， ∴点， 把点代入得： ， 解得： ， ∴抛物线的解析式为； (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得：， ∴点， 设直线的解析式为， 把点，代入得： ， 解得： ， ∴直线的解析式为， 过点P作轴交直线于点Q， 设点，则， ∴， ∴ ， ∴当时，取得最大值， 此时点， ∵点， ∴ ， 当点P，C，M三点共线时，取得最大值， 此时， ∴的最大值为； (3) 小问详解： 解：连接，过点D作，在上作， ∵将抛物线沿射线方向平移得到新抛物线，新抛物线恰好经过点， ∴将抛物线向上平移3个单位，向右平移2个单位得到新抛物线， ∵， ∴，点， ∵，， ∴直线的解析式为，直线的解析式为， ∵直线与x的夹角为45度， 由抛物线的对称性得：，则为等腰直角三角形， ∴， 延长到点G，过点B作轴，交直线于点M，过点M作于点M，则M坐标为，， ∴为等腰直角三角形，直线的解析式为， ∴， ∵， ∴，即此时点Q符合题意， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 设点， ∴， 解得：或8， ∴点H的坐标为或， 当直线过点时，直线的解析式为， 联立得：， 解得：或（舍去）； 当直线过点时，直线的解析式为， 联立得：， 解得： （舍去）或； 综上所述，符合条件的点Q的横坐标为或． 【点睛】 本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，解直角三角形，勾股定理，全等三角形的性质与判定，点到直线的距离，解一元二次方程，相似三角形的判定与性质，二次函数图像的平移，熟练掌握这些性质与判定和数形结合是解题的关键． 100．（2026·重庆广益中学·模拟）如图1，在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于A，两点，且点A在轴上，直线与轴交于点．    （1）求抛物线的表达式； （2）是直线上方抛物线上一点，过作轴交直线于点，求的最大值，并求此时点的坐标； （3）在（2）的最大值的条件下，连接，将抛物线沿射线方向平移，使得点在新抛物线的对称轴上，是新抛物线上一动点，当时，直接写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】（1）     （2）的最大值为4，     （3）点的坐标为或      【分析】 （1）先由一次函数解析式求出点，再把代入，求出a值即可； （2）延长交y轴于D，证明，得，即，求得，再设，则，则，，所以，利用二次函数最值即可求解． （3）根据平移的性质求得抛物线平移后的解析式为，再分两种情况：当点M在直线上方时，当点M在直线下方时，分别求解即可． (1) 小问详解： 解：对于直线， 令，则，解得：， ∴， 把代入，得， 解得：， ∴抛物线的表达式． (2) 小问详解： 解：延长交y轴于D，    对于直线， 令，则， ∴， ∵ ∴ ∵轴，即， ∴ ∴，即， ∴， 设，则， ∴， ∴ ∵ ∴当时， 的最大值为4； ∴． (3) 小问详解： 解：联立， ， 解得： ， ， ∴， 由（2）知，在的最大值的条件下，抛物线的顶点为点，对称为直线， 当时，则， ∴， 则，， ∴， ∵将抛物线沿射线方向平移，使得点在新抛物线的对称轴上， ∴点Q平移后与点A重合， ∵，， ∴抛物线沿射线方向平移，是向下平移了2个单位，向右平移了4个单位， ∴抛物线顶点平移后到点，点平移后到点，即与重合， ∴，抛物线平移后的解析式为， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 当点M在直线上方时， ∵， ∴， ∴点M与点重合， ∴，    当点M在直线下方时，设， 过点作，交于，交轴于，则，， 则， ∴，则， ∵， ∴， ∴，则， ∴，整理得：， 即：，解得：（舍去）， 此时，， ∴， 综上，符合条件的点的坐标为或． 【点睛】 本题属二次函数综合题目，主要去向不明了待定系数法求抛物线解析式，抛物线的性质，抛物线的平移，相似三角形的判定与性质，综合性较强，熟练掌握相关性质是解题的关键． 101．（25-26学年九上·重庆南开中学校）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点． （1）求抛物线的表达式； （2）点是直线上方抛物线上的一动点，连接与直线交于点，连接，设的面积为，的面积为，点是轴上的动点，连接，当取得最大值时，求的最小值； （3）在（2）的条件下，将该抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线，点为点的对应点，点为抛物线上的一动点，若，请直接写出所有符合条件的点的横坐标，并写出求解点的横坐标的其中一种情况的过程． 【答案】（1）抛物线表达式为；     （2）     （3）3或      【分析】 （1）将、代入抛物线解析式，解方程组即得； （2）由，求出，可得直线解析式为，过点B作轴交于点E，过点P作轴于F，交于点H，则,得，由，设，，则，得所以当时，有最大值，此时，过点O作,过点P作，交于点G， 有最小值，,证明，得，得，可得，,由，得，得,即得； （3）求出原抛物线顶点为 ，得到平移后顶点为 ，故，点 平移后得，当点K在直线右侧时，由，得，收，，得，设直线交x轴于点I，则，得，得，求出直线解析式为，联立得，可得，当点K在直线左侧时，由前可得，连接，作关于的对称，设，则，解得 ，得，求出直线解析式为，联立得，可得． (1) 小问详解： 解：将、代入抛物线解析式， 得 ． ． 即抛物线表达式为． (2) 小问详解： 解：对，当，， 解得，． 点在点的左侧， ． 设直线解析式为， 则． ∴． ∴． 过点B作轴交于点E，过点P作轴于F，交于点H， 则． ∴． ∴． ∵， 对, 时，， ∴． ∴． 设（）， 则． ∴ ． ∴． ∴当时，有最大值． ∴． ∴． 过点O作，过点P作，交于点G， 则，． 当点M在上时, 有最小值，． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． 故的最小值为．     (3) 小问详解： 解：所有符合条件的点K的横坐标为 3或．理由： ∵， ∴原抛物线顶点为 ． ∵， ∴． ∴抛物线沿射线方向平移个单位长度是向右平移，向上平移． ∴得到平移后顶点为 ． 故． 即． 点 平移后得． 以点K的横坐标为 3的解题过程： ∵， ∴． ∴得． ∵，， ∴． ∴． 设直线交x轴于点I， 则． ∴． ∴． 设直线解析式为， 则． ∴． ∴． 与联立得， 解得（舍去），或． 以点K的横坐标为 的解题过程： 由前可得， 连接，作关于的对称， ∵，， ∴． 设， 则． ∵， ∴ ． 解得 ，或 （舍去）． ∴． 设直线解析式为， 则． ∴． ∴． 与联立得． 解得（舍去），或． 综上，符合条件的点的横坐标为3或． 【点睛】 本题是二次函数的综合．熟练掌握待定系数法求函数解析式，图形的旋转与轴对称，二次函数的图象与性质，求二次函数的最值，相似三角形的判定与性质，中点坐标公式，勾股定理等知识，灵活运用这些知识、构造辅助线得三角形相似，分类讨论，是解题的关键． 考点05 二次函数与一元二次方程 1．（25-26学年九上·重庆永川区文理·期中）一次函数与二次函数的图像相交于，两点，则关于的不等式的解集为（       ） A.  B. 或 C.  D. 或 【答案】B 【分析】 本题考查了二次函数与不等式的关系，利用数形结合思想分析问题，理解不等式的解集就是对应的自变量的取值范围是解题关键．根据图像，观察一次函数在二次函数图像下方时所对应的自变量取值范围，即为该不等式的解集． 【详解】 解：由图像可知， 关于的不等式的解集为或． 故选：B． 2．（25-26学年九上·重庆铜梁区铜梁·期中）关于抛物线，下列说法不正确的是（     ） A. 当时，随的增大而减小 B. 把抛物线向左平移1个单位，向下平移2个单位可得到新抛物线 C. 抛物线与轴交于点 D. 抛物线与轴有1个交点 【答案】D 【分析】 本题考查了二次函数的图象与性质，函数图象的平移问题，与坐标轴的交点问题，熟练掌握知识点是解题的关键： 根据开口方向和对称轴即可判断A选项；先将原抛物线配方，再进行“左加右减，上加下减”平移求解，即可判断B；令，即可求出与轴交点坐标，即可判断C；令，则计算一元二次方程的根的判别式的符号即可判断D． 【详解】 解：A、∵，对称轴为直线，∴当时，随的增大而减小，故本选项正确，不符合题意； B、，则向左平移1个单位，向下平移2个单位可得到新抛物线为，即，故本选项正确，不符合题意； C、当时，，因此抛物线与轴交于点，故本选项正确，不符合题意； D、当，则，，抛物线与轴有2个交点，故本选项错误，符合题意， 故选：D． 3．（25-26学年九上·重庆杨家坪中学·期中）在水分、养料等条件一定的情况下，某植物的生长速度（厘米/天）和光照强度（勒克斯）之间存在一定关系．在低光照强度范围（）内，与近似成一次函数关系；在中高光照强度范围内，与近似成二次函数关系．其部分图象如图所示．根据图象，下列结论正确的是（     ） A. 当时，随的增大而减小 B. 当时，有最大值 C. 当时， D. 当时， 【答案】B 【分析】 本题主要考查了二次函数图象的性质、二次函数与不等式等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键． 根据抛物线可直接判断A选项；根据抛物线以及相关数据可得抛物线的对称轴为，进而判定B选项；根据函数图象可判定C选项；根据二次函数的对称性可判定D选项． 【详解】 解：A．当时，随的增大先增大、后减小，即A选项错误，不符合题意； B．由函数图象可知：抛物线的对称轴为，即当时，有最大值，则B选项正确，符合题意； C．由函数图象可知：当时，，即C选项错误，不符合题意； D．当时，由图象知，对应的值有两个，即D选项错误，不符合题意． 故选B． 4．（25-26学年九·重庆綦江区未来学校·期中）我们定义一种新函数：形如（且）的函数叫做“绝对值“函数．小明同学画出了“绝对值”函数的图象（如图所示），并写出下列五个结论： ①图象与坐标轴的交点为，和； ②图象具有对称性，对称轴是直线； ③当或时，函数值y随x的增大而减小； ④当或时，函数的最小值是9； ⑤当与的图象恰好有3个公共点时或 其中结论正确的个数是（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【分析】 分别令和即可对结论① 进行判断；观察函数的图象即可对结论② 进行判断；根据函数的图象和增减性即可对结论③ 进行判断；根据函数与x轴有两个交点，且这两个交点是函数图象的最低点，可对结论④ 进行判断；根据函数与x轴的两个交点，与平行可分两种情况进行讨论：①经过点，②与函数只有一个交点，分别求出b的值即可对结论⑤ 进行判断． 【详解】 解：∵令，得， 令，则 解得， ∴与坐标轴的交点为，和， ∴结论①正确； 观察函数的图象可知：函数具有对称性，对称轴为， 故结论②正确； ∵函数与x轴的两个交点坐标为，，且对称轴为x=2， ∴当或时，函数值y随x值的增大而增大， 故结论③不正确； ∵当或5时，， ∴当或时，函数的最小值是0． 故结论④不正确； ∵函数与x轴的两个交点为，， 又∵与平行， ∴当与的图象恰好有3个公共点时，有以下两种情况： ①经过点，此时b=1， ②当与函数只有一个交点时， 则方程有两个相等的实数根， 将整理得：， ∴判别式， 解得：． 故结论⑤正确， 综上所述：正确的结论是① ② ⑤． 故选：B． 【点睛】 本题考查二次函数的图象和性质，二次函数图像与坐标轴的交点，数形结合是解答本题的关键． 5．（25-26学年九上·重庆育才中学校·期中）已知整式：，其中和为自然数，为正整数，且．下列说法： ①满足条件的所有整式中有且仅有1个单项式； ②当时，满足条件的所有整式的和为； ③满足条件的所有二次三项式中，当取任意实数时，其值一定是非负数的整式共5个． 其中正确的个数是（       ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【分析】 本题考查整式的概念及其运算、二次函数与坐标轴的交点问题，二次函数的图象与性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．① 可通过分析单项式条件判断；② 通过时列出所有符合的整式，然后计算它们的和即可验证；③ 通过是列出所有的二次三项式，然后根据其开口方向，和判别式判断非负性即可． 【详解】 解：∵整式：，其中和为自然数，为正整数，且， ∴当时，， ∴， ∴当时，整式为单项式； 当时，， ∴， ∵整式为单项式，为正整数， ∴， ∴， 此时整式，满足题意； 当时，为正整数，那么整式至少有两项，不是单项式， ∴满足条件的单项式有2个，① 错误， 当时，， 那么， ∵， ∴，或，，， ∴满足条件的整式为、、、， ∴满足条件的整式的和为：，故② 错误； 当时，， 那么， ∵整式为二次三项式中，， ∴，，或，，， ∴满足条件的整式为、、、、、， 当整式为时，且，那么其值一定是非负数； 当整式为时，且，那么其值一定是非负数； 当整式为时，且，那么其值不一定是非负数； 当整式为时，且，那么其值一定是非负数； 当整式为时，且，那么其值一定是非负数； 当整式为时，且，那么其值一定是非负数； 故满足条件的整式有5个，故③ 正确； 综上，正确的个数是1个， 故选：B． 6．（25-26学年九上·重庆杨家坪中学·期中）已知整式：，其中是正整数，且，，，…，均为互不相等的正整数，如果取得最小值时，我们称为“基础次整式”．基于上述的定义，下列说法：①整式的次数为时，整式的项数必为；②当时，所有的基础次整式恰有24个；③满足条件的所有三项基础整式中，当取任意实数时，其值一定恒为正数的整式共有4个．其中正确的个数是（     ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【分析】 本题主要考查了多项式的定义、二次函数与一元二次方程的关系，根的判别式，理解新定义，熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键． ① 根据多项式项数的定义直接判断正确；② 根据题意可知，当时，系数为1，2，3，4的组合，列出组合总数即可判断；③根据题意可知，当时，系数为1，2，3的组合，根据二次函数与一元二次方程的关系和判别式即可判断． 【详解】 解：①整式的次数为时，项数为从到共项， ∴① 正确； ② 当时，系数为，，，， ∵系数均为互不相等的正整数，且和最小， ∴系数一定为1，2，3，4的组合，组合总数为24种， ∴② 正确； ③ 当三项基础整式即，此时， ∵， ∴该二次函数的图象开口向上， 令，即， 当判别式时，满足其值一定恒为正数， ∵系数均为互不相等的正整数，且和最小， ∴系数一定为1，2，3的组合， ∴当，，； ，，； ，，； ，，时，满足， 满足条件的整式共有4个， ∴③ 正确． 综上，正确的个数是3． 故选：D． 7．（25-26学年九上·重庆十一中教育）已知二次函数 (a 为常数，且) ．下列五个结论： ①该函数图象经过点； ②若，则当时，y 随x的增大而减小； ③该函数图象与x 轴有两个不同的公共点； ④若，则关于x 的方程有一个根大于0且小于1； ⑤若，则关于x 的方程的正数根只有一个． 其中正确的个数是（     ） A. 2 个 B. 3 个 C. 4 个 D. 5 个 【答案】C 【分析】 本题考查二次函数的图象和性质，二次函数图象与坐标轴的交点问题，利用二次函数确定一元二次方程的根，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 把代入函数解析式，求出值，判断① ；求出二次函数的对称轴，判断出增减性，判断② ，根据判别式，判断③ ；求出方程的根，判断④ ，分情况讨论求解判断⑤ 即可． 【详解】 ∵ ， ① 当时，， ∴ 图象经过点，故①正确； ② 当 时，， 对称轴 ， ∵ 开口向下， ∴ 当 时，随增大而减小， 又 ∵ ， ∴ 当 时，随增大而减小，故②正确； ③ ， 当 时，，有两个不同公共点； 当 时，，有一个公共点， ∴ 不一定有两个不同公共点，故③错误； ④ 当 时，由①知 是根，设另一根为， 则 ，解得， ∵ ， ∴ ，即有一个根在0和1之间，故④正确。 ⑤ 当 时，方程 即或， 时，， ，解得或，无正根； 时，， ∵ 开口向上，且当时，， ∴ 方程有一个正根和一个负根， ∴ 只有一个正根，故⑤正确； 综上，正确结论有① ② ④ ⑤，共4个． 故选：C． 8．（25-26学年九上·重庆铜梁区铜梁·期中）已知抛物线． （1）利用配方法把抛物线转化为顶点式，并写出抛物线的顶点A的坐标； （2）求抛物线与x轴的交点B、C的坐标，并写出时x的取值范围． 【答案】（1），顶点A坐标为；     （2）抛物线与x轴的交点B、C的坐标分别为；或      【分析】 本题考查了二次函数的图象性质，化为顶点式，二次函数与x轴的交点坐标，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）把一般式化为顶点式，即可得出顶点A坐标； （2）当时，，解得，，运用二次函数的图象性质，即可得出当时，x的取值范围． (1) 小问详解： 解：∵， ∴抛物线的顶点A坐标为； (2) 小问详解： 解：依题意，当时，， 则， 解得，， ∴抛物线与x轴的交点B、C的坐标分别为； ∵抛物线开口向上， ∴当时，x的取值范围为或． 9．（25-26学年九上·重庆江津二中联·期中）如图，二次函数的图象与一次函数的图象交于点，，则不等式的解集是　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了根据函数图象确定不等式解集，掌握数形结合思想是解题的关键． 利用函数图象，写出二次函数的图象在一次函数的图象下方部分所对应的自变量范围即可． 【详解】 解：如图：∵二次函数的图象与一次函数的图象交于点，， ∴不等式的解集是． 故答案为：． 10．（25-26学年九上·重庆铜梁区铜梁·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，过点与轴平行的直线交抛物线于点，则的长为　　　　　　． 【答案】8 【分析】 本题考查抛物线与轴的交点以及平行线上两点之间的距离等知识点．先求出抛物线与轴的交点的坐标是，则、的纵坐标都是，将代入中求出、的横坐标，进而可求线段的长． 【详解】 解：在中， 令，则， 点， 又轴， 点、的纵坐标都是， 直线交抛物线于点， 在中，令，则， 解得：， ，， ， 故答案为：8． 11．（25-26学年九上·重庆永川区文理·期中）已知在矩形中，，，动点从点出发，沿方向以每秒1个单位的速度运动，同时，动点从点出发，沿方向以每秒2个单位的速度运动，当点到达点时，、两点都停止运动．设动点P运动的时间为秒，规定，． （1）请直接写出分别关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出函数的图象；并写出函数的一条性质； （3）根据函数，当时，直接写出的值为______． 【答案】（1），     （2） 如图，即为函数，的图象； 函数的性质：当时，函数值随x的增大而增大（答案不唯一）；     （3）2      【分析】 本题是四边形综合题，主要考查了函数图象的性质，三角形的面积，矩形的性质等知识点． （1）分别表示出，，然后根据三角形的面积公式即可得解； （2）根据题意画出图象；依据图象写出函数的性质即可； （3）作出图象，依据图象直接写出答案即可． (1) 小问详解： 解：∵四边形是矩形， ∴，， 由题意可知：，，， ∴， ， ∵当点到达点时，、两点都停止运动，此时 ∴自变量x的取值范围为； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：由图象可知：当时，，解得或， ∵， ∴， 故答案为：2． 12．（25-26学年九上·重庆合川区十一·期中）若二次函数与轴有两个不同交点，且关于的分式方程的解为非负整数，则所有满足条件的整数值之积是　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查二次函数的图象与性质及分式方程的解法，熟练掌握二次函数的图象与性质及分式方程的解法是解题的关键；由二次函数与x轴有两个不同交点可得判别式大于零，求出m的取值范围；解分式方程得到y的表达式，根据解为非负整数且分母不为零得到m的条件，综合可得符合条件的整数m值，最后求积即可． 【详解】 解：二次函数与轴有两个不同交点，则判别式，解得，即（为整数）， 解分式方程，注意到，方程化为， 解得，且（即）， 由于分式方程的解为非负整数，故且为整数，得且为3的倍数， 结合且，满足条件的整数为， ∴所有满足条件的整数值之积为； 故答案为． 13．（25-26学年九上·重庆永川中学校·期中）如果关于的不等式组 有解，且关于的二次函数的图象与轴有交点，那么满足条件的所有整数的和为　　　　　　． 【答案】8 【分析】 分别根据不等式组有解，二次函数与轴有交点确定的取值范围，然后得出所有的整数，求和即可． 【详解】 解：由不等式，解得：， 由不等式，解得：， 又∵该不等式组有解， ∴ ∴解得：， ∵关于的二次函数的图象与轴有交点， ∴判别式，且， 解得：且， 综上所述：且， ∴整数， ∴， ∴满足条件的所有整数的和为． 故答案为：． 【点睛】 本题主要考查不等式组的解集及二次函数与坐标轴交点问题，熟练掌握解不等式组的步骤以及一元二次方程根的判别式的 意义是解题的关键． 14．（25-26学年九上·重庆两江育才中学校·期中）若二次函数的部分图象如图所示，关于x的一元二次方程的一个解，则另一个解　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握该知识点是解题的关键．根据二次函数的图象与x轴的交点关于对称轴对称，可直接求出的值． 【详解】 解：二次函数的对称轴为，关于x的一元二次方程的一个解，另一个解为， ， ， 故答案为：． 15．（25-26学年九·重庆綦江区未来学校·期中）如图，二次函数的图象交x轴于A、B两点，B在A的左边，交y轴于C点，现将抛物线沿射线方向平移个单位，则平移后的抛物线的解析式为　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查二次函数图象的平移，勾股定理等，将沿射线方向平移转化为左右平移是解决问题的关键．先求出点B、C的坐标，利用勾股定理得到长度，进而确定平移方式，然后把解析式化为顶点式，再根据平移规律：自变量加减左右移，函数值加减上下移，即可解答． 【详解】 解：对于，令，则， ∴， ∴； 令，则， 解得，， ∵二次函数的图象交x轴于A、B两点，B在A的左面， ∴， ∴， ∴， ∴点C沿射线方向平移个单位后与点B重合， ∴抛物线沿射线方向平移个单位，相当于先向下平移3个单位，再向左平移3个单位， ∵原抛物线解析式， ∴平移后抛物线解析式为， 故答案为：． 16．（25-26学年九上·重庆铜梁区铜梁·期中）对于一个四位自然数n，若百位数字与个位数字之和等于千位数字与十位数字和的2倍，那么称这个数n为“双喜数”．如：，因为，所以1347是一个“双喜数”，则最小的“双喜数”为　　　　　　；若一个四位自然数是“双喜数”，使二次函数与x轴只有一个交点，且能被15整除，则满足条件的四位自然数m的最大值与最小值的差为　　　　　　． 【答案】① 1002    ② 3636 【分析】 本题考查了新定义下的数的运算及二次函数性质，根据新定义及四位数当千位数字最小时的情况直接求出最小的“双喜数”；根据新定义及二次函数性质得出，再分别求出最大时为4，最小时为1时相应的四位数字，即可求出结论． 【详解】 解：设一个四位自然数是“双喜数”，则满足： ， 为了使 n 最小，需要让 a尽可能小，四位数的 a最小为1， 设定 ，则 为了使 n 最小，还需要让 b 和 c 尽可能小； c最小为， ， 最小的 b 是0，那么， 所以，最小的“双喜数”是 1002； 一个四位自然数是“双喜数”， ， 二次函数与x轴只有一个交点， 有两个相等的实数根， ， ， 能被15整除， 能被5整除， 都是个位数，且， 最大时为4，最小时为1， 当时，且能被5整除， 或8， 当时，根据，则不合题意舍去； 当时，根据，则， 则满足条件的四位自然数m的最大值为4848； 当时，且能被5整除，， ， 则满足条件的四位自然数m的最小值为1212； 则满足条件的四位自然数m的最大值与最小值的差为3636． 故答案为： 1002；3636． 考点06 实际问题与二次函数 1．（25-26学年九上·重庆开州中学·期中）如图，一个移动喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线，喷水头的高度（即OB的长度）是1米．当喷射出的水流距离喷水头2米时，达到最大高度米，水流喷射的最远水平距离OC是（       ） A. 6米 B. 5米 C. 4米 D. 1米 【答案】B 【分析】 本题考查了二次函数的实际应用，根据题意求得函数解析式是解题的关键．根据顶点式求得抛物线解析式，进而求得与轴的交点坐标即可求解． 【详解】 解：∵喷水头的高度（即的长度）是1米．当喷射出的水流距离喷水头米时，达到最大高度米， 设抛物线解析式为，将点代入，得 解得 ∴抛物线解析式为： 令，解得（负值舍去） 即， ． 故选：B． 2．（25-26学年九上·重庆江津二中联·期中）如图所示，某桥从正面观察，上面部分是一条抛物线，若，，以所在直线为轴，抛物线的顶点在轴上建立平面直角坐标系，则此桥上半部分所在抛物线的解析式为（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 由题意可得：，，且抛物线的顶点为，设抛物线解析式为，代入，求解即可． 【详解】 解：由题意可得：，，且抛物线的顶点为， 则抛物线解析式为 将代入可得： 解得 即解析式为 故选：A 【点睛】 此题考查了二次函数的应用，求抛物线解析式，解题的关键是理解题意，正确设出解析式． 3．（25-26学年九上·重庆南开中学校）为了迎接体考，小南坚持每天进行跳绳练习．本周五她参与了学校的志愿服务活动，跳绳量比周四减少了．为补上周五缺失的练习，小南决定周六、周日连续两天提高跳绳量，设日均增长率为，若小南周四跳绳量为个，则小南周日跳绳量关于的函数关系式为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查的知识点是二次函数的实际应用，解题关键是正确理解题意． 先求出周五的跳绳量，再根据日均增长率，即可求出周日的跳绳量，从而得出周日跳绳量关于的函数关系式． 【详解】 解：小南周四跳绳量为个， 周五跳绳量为个， 又周六、周日两天日均增长率为， 周日的跳绳量为个， 小南周日跳绳量关于的函数关系式为． 故选：． 4．（25-26学年九上·重庆·期末）一个运动员推铅球，铅球在点处出手，出手时铅球离地面的高度为米，铅球在点处落地．铅球在运动员前处（即）达到最高点，最高点离地面的高度为．已知铅球经过的路线是抛物线，按照如图所示建立平面直角坐标系． （1）求该抛物线对应的函数表达式； （2）求该运动员推铅球的成绩． 【答案】（1）     （2）      【分析】 此题考查的是二次函数的应用，掌握用待定系数法求二次函数的解析式和实际问题与二次函数图像的关系是解决此题的关键． （1）根据题意知，抛物线顶点坐标为，可设该抛物线对应的函数表达式为，将点A坐标代入即可求出二次函数的解析式， （2）把代入（1）解析式中，即可求出运动员的成绩． (1) 小问详解： 解：根据题意知，抛物线顶点坐标为， 可设该抛物线对应的函数表达式为， 将代入，得： ， 解得：． ∴函数表达式为； (2) 小问详解： 解：当时，即， 解得，（舍去）． 答：该运动员推铅球的成绩为． 5．（25-26学年九上·重庆江津中学校·期中）疫情期间，某种一次性医用外科口罩的利润y（元）与售价x（元）之间的函数关系式为，且售价x的取值范围是，则最大利润是　　　　　　元． 【答案】35 【分析】 该题考查了二次函数的应用，利润函数为二次函数，且二次项系数为负，抛物线开口向下，在对称轴左边，结合函数在内的增减性得出，最大值在处取得即可求解． 【详解】 解：函数， 顶点横坐标为， ∴在对称轴左边， 由于抛物线开口向下，且， ∴在上，二次函数的值的增大而增大， 因此最大值在处取得， 当时，． 则最大利润是35元． 故答案为：35． 6．（25-26学年九上·重庆铁路中学校·期中）掷实心球是中考体育考试的项目．如图是一男生所掷实心球的行进路线（抛物线的一部分）的高度与水平距离之间的函数图象，且掷出时起点处高度为2m，当到起点的水平距离为4m时，实心球行进至最高点，此时实心球与地面的距离为3m． （1）求抛物线的函数解析式； （2）在该市的评分标准中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于10m时，即可得满分，试判断该男生在此项考试中能否得满分，并说明理由（参考数据：）． 【答案】（1）     （2）能得满分， 理由：由（1），令，则． 解得：或（舍． ， ． 实心球从起点到落地点的水平距离大于等于时，即可得满分， 该男生在此项考试中能得满分．      【分析】 本题主要考查二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能利用待定系数法求出二次函数的解析式是解题的关键． （1）依据题意，设抛物线解析式为，又将点代入得，，进而求出，从而可以得解； （2）依据题意，结合（1）所得解析式，令，则，从而可以判断得解． (1) 小问详解： 解：由题意，设抛物线解析式为， 又将点代入得，， ． ； (2) 小问详解： 略 7．（25-26学年九上·重庆两江育才中学校·期中）如图是抛物线形拱桥，以顶点建立平面直角坐标系满足，此时拱顶离水面，若再下降时，水面宽度增加　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了实际问题与二次函数．根据二次函数的图象分别求得当或时，x的值，进而可求解． 【详解】 解：依题意得： 当时，， 此时水面宽度为， 再下降，即当时，， 此时水面宽度为， 水面宽度增加：， 故答案为：． 8．（25-26学年九上·重庆铜梁区铜梁·期中）在矩形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒． （1）填空：___________，___________（用含t的代数式表示）； （2）当t为何值时，的长度等于？ （3）是否存在t的值，使的面积S最大，若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）     （2）或2     （3）      【分析】 本题主要考查了二次函数的应用以及勾股定理的应用，关键是表示出、的长度． （1）根据P、Q两点的运动速度可得、的长度； （2）根据勾股定理可得，代入相应数据解方程即可； （3）根据三角形的面积代入相应线段的长即可得到函数解析式，根据二次函数的最值求解即可． (1) 小问详解： 解：∵点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动， ∴； ∵P从点A开始沿边向终点B以的速度移动， ∴， ∵， ∴， 故答案为：；． (2) 小问详解： 解：由题意得：， 解得：，； ∴当或时，的长度等于； (3) 小问详解： 解：由题意得， ， 当时，的面积最大. 9．（25-26学年九上·重庆育才中学校·期中）如图，在正方形中，边长为4，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线方向运动，到达点时停止，同时点以每秒个单位长度的速度从点出发，沿着方向运动，点是射线上一动点，连接、、，的面积为2．设点、的运动时间为，的面积为，的长为． （1）请直接写出，分别关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象，并分别写出函数，的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出时的取值范围．（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2） 【答案】（1） ，；     （2） 函数，的图象如图所示， 函数的性质有：当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小； 函数的性质有：当时，随的增大而减小；     （3）．      【分析】 本题考查反比例函数与一次函数的综合，涉及求反比例函数与一次函数的表达式、画函数图象以及两个函数图象的交点问题等，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． （1）根据题意，利用三角形的面积公式求解即可； （2）根据两个函数的表达式画图象，再根据图象说出函数，的性质即可； （3）观察图象可得结论． (1) 小问详解： 解：当时，点在上， ； 当时，， ∴ ； 由图可知，， ∴； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 由图可知，两个函数相交时即或 解得或 ∴时的取值范围． 10．（25-26学年九上·重庆杨家坪中学·期中）为弘扬达州地方文化，让更多游客了解巴人故里，某文旅公司推出多款文创产品．已知某款巴小虎吉祥物的成本价是30元，当售价为40元时，每天可以售出60件，经调查发现，售价每降价1元，每天可以多售出10件． （1）设该款巴小虎吉祥物降价x元，则每天售出的数量是_______件； （2）为让利于游客，该款巴小虎吉祥物应该降价多少元，文旅公司每天的利润是630元； （3）文旅公司每天售卖该款巴小虎吉祥物的利润为W元，当售价为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）     （2）3元     （3）售价为38元时，每天的利润最大，最大利润是640元      【分析】 本题考查了一元二次方程的应用和二次函数的应用，正确理解题意、列出方程与函数关系式是解题的关键； （1）根据原来每天售出的60件，再加上多售出的件数即可得到答案； （2）设该款巴小虎吉祥物降价x元，根据每件的利润×销售数量=销售利润即可列出方程，解方程即可得解； （3）设该款巴小虎吉祥物降价x元，根据每件的利润×销售数量=销售利润即可列出二次函数关系式，再根据二次函数的性质解答即可． (1) 小问详解： 解：设该款巴小虎吉祥物降价x元，则每天售出的数量是件； 故答案为：； (2) 小问详解： 解：设该款巴小虎吉祥物降价x元， 根据题意可得：， 整理可得：， 解得：， 由于要让利于游客，舍去， ∴该款巴小虎吉祥物降价3元时文旅公司每天的利润是630元. (3) 小问详解： 解：设该款巴小虎吉祥物降价x元， 则 ， ∵， ∴当时，取最大值为640元，此时销售价为38元， 答：售价为38元时，每天的利润最大，最大利润是640元． 11．（25-26学年九上·重庆永川区文理·期中）某服装店以每件50元的价格购进一批T恤，如果以每件60元出售，那么一个月内能售出300件，根据以往销售经验，销售单价每提高1元，销售量就会减少10件，设T恤的销售单价提高x元． （1）服装店希望一个月内销售该种T恤能获得利润3640元，并且尽可能减少库存，问T恤的销售单价应提高多少元？ （2）当销售单价定为多少元时，该服装店一个月内销售这种T恤获得的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1）4元     （2）售价为70元时，最大利润为4000元      【分析】 本题考查了二次函数及一元二次方程的应用，解题的关键是利用利润=单件利润×销售量,列出二次函数解析式． （1）设销售单价提高x元，根据题意由总利润每件利润销量，列出方程求解即可；（2）设销售利润为M元，求得顶点式函数关系式，利用二次函数的性质即可解决问题． (1) 小问详解： 解：设T恤的销售单价提高x元，依题意得： ， 解得：或， ∵要尽可能减少库存， ∴不合题意，舍去． ∴T恤的销售单价应提高4元， (2) 小问详解： 设利润为M元，由题意得： ， ， ∴当时，元， ∴销售单价：（元）， ∴当服装店将销售单价定为70元时，得到最大利润是4000元． 12．（25-26学年九上·重庆永川中学校·期中）今年国庆中秋八天长假，重庆作为热门旅游城市接待国内游客超2701.59万人次，火锅作为重庆美食的代表也吸引了很多吃货游客来打卡，不仅自己现场品尝美食，还会给家人带一些火锅底料．某火锅店十年来一直坚持现场销售火锅底料．今年国庆节，该店现场销售的同时也将火锅底料放到网上销售，已知每盒火锅底料进价为10元，试销售阶段发现，当销售单价是15元时，每天的销售量为250盒．销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10盒，在销售利润不考虑其他成本因素的情况下： （1）求该店在电商平台销售该火锅底料每天所得的销售利润（元）与销售单价（元）之间的函数表达式； （2）当火锅底料定价多少元时，此店在电商平台销售该火锅底料每天所得的销售利润可达2240元？ （3）此电商平台结合销售情况，提出了A，B两种营销方案： 方案A：这种火锅底料的销售单价高于15元且不超过20元； 方案B：这种火锅底料每天销售量不少于10盒，且每盒的利润至少为18元． 请比较哪种方案每天的最大利润更高，并说明理由． 【答案】（1）     （2）定价为 24 元或 26 元     （3）方案B      【分析】 本题主要考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用，理解题意正确列出函数关系式是解答本题的关键． （1）根据利润单件利润数量列出函数关系式求解即可． （2）结合（1）可得，解方程即可． （3）先分别求出两种方案的求值范围，再根据二次函数的性质求解即可． (1) 小问详解： 解：根据题意可得 ． (2) 小问详解： 解：结合（1）可得， 整理得：， 解得：或， 故当定价为 24 元或 26 元时，利润可达 2240 元． (3) 小问详解： 解：∵销售单价为（元），销售量为盒，每盒利润为元， 方案A：根据题意可得：， 方案B：根据题意可得：，且， 解得：， ∵，， ∴当时，随x的增大而增大， 当时，随x的增大而减小， 方案A：∵， ∴当时，元； 方案B：∵， ∴当时，元； ∵， ∴方案B每天的最大利润更高． 13．（25-26学年九上·重庆长寿实验中学校·期中）如图，在四边形中，，，，，是线段上从点向点运动的一个动点（不含、），是线段上从点向点运动的一个动点（不含、），点、同时开始运动，当其中一个动点抵达终点时，另一个立即停止运动．连接，．已知点在其运动路径上的速度始终为每秒个单位长度，点在其运动路径上的速度始终为每秒个单位长度，设点的运动时间为秒，的面积为，的面积的为． （1）请直接写出，分别关于的函数解析式，并注明自变量的取值范围； （2）在图中画出函数，的图象，并分别写出函数，的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出时的取值范围（近似值保留小数后一位，误差不超过） 【答案】（1），，     （2） 函数图象如图所示： 写出函数，的性质如下（答案不唯一）： 对于函数，当时，函数有最大值； 当时，随增大而增大，当时，随增大而减小； 对于函数，随增大而减小；     （3）      【分析】 （1）作于，易证 四边形为矩形， ， 由题意可知：，，，，根据三角形的面积公式分别表示出，即可，由其中一个动点抵达终点时，另一个立即停止运动，可得的取值范围； （2）利用描点法画出图形即可，根据最值或增减性可得函数性质； （3）结合图象只需在图象中找到在上方部分对应的的值即可． (1) 小问详解： 解：（1）如图，作于， ，即，， ， 四边形为矩形， ， 由题意可知：，，，， 的面积：， 的面积：， ， 当其中一个动点抵达终点时，另一个立即停止运动， 点运动时间最多为：（秒），点运动时间最多为：（秒）， ，，； (2) 小问详解： 解：列表： (3) 小问详解： 解：由图可知，两函数的交点横坐标约为， 当时，的取值范围． 【点睛】 本题考查了二次函数的图象与性质，一次函数的图象与性质，根据函数图象解不等式，平行线的性质，矩形的判定和性质，三角形的面积公式，熟练掌握以上知识是解题的关键． 14．（25-26学年九上·重庆江津区实验中学·期中）如图，在中，，，，点是线段上一点，且满足，动点，同时出发，动点以每秒1个单位长度的速度从点出发沿折线方向运动，动点以每秒个单位长度的速度从点出发沿折线方向运动，当点运动到点时，速度变为每秒1个单位长度继续运动，点的速度保持不变．当，有一点运动到点A时，都停止运动．设运动时间为秒，的面积为． （1）请直接写出关于的函数表达式并注明自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； （3）函数与的图象有且只有两个交点，请直接写出的取值范围． 【答案】（1）     （2） 如图所示； 性质：当时，y随x的增大而增大（答案不唯一）；     （3）函数与y的图象有且只有两个交点，k的取值范围为      【分析】 （1）根据勾股定理得到，求得，，当时，过A作于H，当时，如图，根据三角形的面积公式即可得到结论； （2）根据题意画出函数图象并根据函数图象得到函数性质即可； （3）由，得到直线过点，如图，当函数过点，，时为临界点，将点代入即可得到结论． (1) 小问详解： 解：在中，，，， ∴， ∵， ∴，， 当时， 过A作于H， ∵， ∴， ∴； 当时，如图， ∴， 综上所述， ； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：∵， ∴直线过点，如图， 当函数过点，，时为临界点， 将点代入得：， 解得：； ∴函数与y的图象有且只有两个交点，k的取值范围为． 【点睛】 本题一次函数综合题，考查了三角形的面积公式，一次函数的图象与性质，二次函数的图象与性质，正确地画出函数的图象是解题的关键． 15．（25-26学年九上·重庆江津二中联·期中）某网店销售一种儿童玩具，进价为每件30元，物价部门规定每件儿童玩具的销售利润不高于进价的50%．在销售过程中发现：当销售单价为35元时，每天可售出350件，若销售单价每提高5元，则每天销售量减少50件．设销售单价为元（销售单价不低于35元） （1）当这种儿童玩具以每件最高价出售时，每天的销售量为多少件？ （2）求这种儿童玩具每天获得的利润（元）与销售单价（元）之间的函数表达式； （3）当销售单价为多少元时，该网店销售这种儿童玩具每天获得的利润最大，最大利润是多少元？ 【答案】（1）250件（2）w=（3）当销售单价为45元，最大利润是3750元． 【分析】 （1）求出最高价，算出比35元涨了多少元钱，再除以5求出涨了多少个五元，算出少卖的件数，再用350件减去少卖的件数，即可得到结论； （2）用含x的式子表示出每件儿童玩具的获利和每天的销售量，每天获得的利润等于每件玩具的获利乘以每天的销售量，即可得到解析式； （3）把w关于x的函数解析式化成顶点式，再根据函数的增减性，判定出最大值即可得到结论． 【详解】 解：（1）每件的最高价为30×（1+50％）=45（元）， =250（件）， ∴当这种儿童玩具以每件最高价出售时，每天的销售量为250件； （2）w=（x-30）（350-50·）=， ∴w与x的函数关系式w=； （3）w=； =； ∵销售单价不低于35元且销售利润不高于进价的50％， ∴35≤x≤45， ∵a=-10<0， ∴抛物线开口向下， 又∵抛物线的对称轴是x=50， ∴当35≤x≤45时，w随x的增大而增大， ∴当x=45时，w有最大值，w的最大值为3750， ∴当销售单价为45元，该网店销售这种儿童玩具每天获得的利润最大，最大利润是3750元． 【点睛】 本题考查二次函数的应用、一次函数的应用，明确题意找到函数关系式是解题的关键． 16．（25-26学年九上·重庆长寿川维中学校·期中）如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面时，水面宽，若水面下降，则水面宽度增加　　　　　　　　．（结果可保留根号） 【答案】 【分析】 本题考查了二次函数的实际应用，建立平面直角坐标系求出函数式子是解题的关键． 建立平面直角坐标系求出函数式子，再代入数据运算求解即可． 【详解】 解：建立平面直角坐标系，设横轴通过水面，纵轴通过中点且通过点， 如图所示： 则通过画图可得知为原点，则抛物线以轴为对称轴，且经过，两点,可知， ∴，， 由图可得：抛物线顶点坐标为， ∴设二次函数的顶点式为：， 把代入可得：， 解得：， ∴， 把代入可得：， 解得：， ∴此时水面宽度为， ∴比原先的宽度增加了， 故答案为：． 17．（25-26学年九上·重庆长寿川维中学校·期中）如图是古代的一种重力投石机，其投出去的石弹运动轨迹是抛物线的一部分，若石弹在离地面处发射，则石弹在离发射点水平距离处达到最大高度．如图，点为发射点，以水平地面为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，若将石弹投向远处的高为防御墙（与之间的距离超过）． （1）求石弹运行的函数关系式； （2）若石弹正好能打中防御墙，设投石机离防御墙的水平距离为，求的取值范围． 【答案】（1）     （2）       【分析】 本题考查了二次函数的实际应用，理解题意确定函数关系式，运用二次函数的性质是解题关键． （1）根据题意得出，顶点坐标为，设石弹运行的函数关系式为， 将点坐标代入求解即可； （2）分别令和，解方程求出的值，再根据题意求出的取值范围． (1) 小问详解： 解：根据题意得，，顶点坐标为， 设石弹运行的函数关系式为， 把代入得：， 解得 ， 石弹运行的函数关系式为； (2) 小问详解： 解：当时，， 解得， （舍去）， 当时，， 解得， （舍去）， 的取值范围是 ． 18．（25-26学年九上·重庆长寿川维中学校·期中）超市销售某种儿童玩具，如果每件利润为40元（市场管理部门规定，该种玩具每件利润不能超过60元），每天可售出50件．根据市场调查发现，销售单价每增加2元，每天销售量会减少1件．设销售单价增加元，每天售出件． （1）请写出与之间的函数表达式； （2）当为多少时，超市每天销售这种玩具可获利润2250元？ （3）设超市每天销售这种玩具可获利元，当为多少时最大，最大值是多少？ 【答案】（1）（2）当为10时，超市每天销售这种玩具可获利润2250元（3）当为20时最大，最大值是2400元 【分析】 （1）根据题意列函数关系式即可； （2）根据题意列方程即可得到结论； （3）根据题意得到，根据二次函数的性质得到当时，随的增大而增大，于是得到结论． 【详解】 （1）根据题意得，； （2）根据题意得，， 解得：，， ∵每件利润不能超过60元， ∴， 答：当为10时，超市每天销售这种玩具可获利润2250元； （3）根据题意得，， ∵， ∴当时，随的增大而增大， ∴当时，， 答：当为20时最大，最大值是2400元． 【点睛】 本题考查了一次函数、二次函数的应用，弄清题目中包含的数量关系是解题关键． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 二次函数 6大高频考点概览 考点01 二次函数的概念 考点02 二次函数y=ax²的图象和性质 考点03 二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质 考点04 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 考点05 二次函数与一元二次方程 考点06 实际问题与二次函数 考点01 二次函数的概念 1．（25-26学年九上·重庆渝北区石鞋学校）下列是关于x 的二次函数的是（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九·重庆江津区实验中学·期末）下列函数中，是二次函数的有（　　） ①，②，③，④ A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 3．（25-26学年九上·重庆·期末）若是关于的二次函数，则的取值范围是（   ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年九上·重庆两江育才中学校·期中）已知关于x的二次函数，则m的值是（       ） A.  B. 1 C.  D. 0 5．（25-26学年九上·重庆铜梁区铜梁·期中）二次函数与x轴的一个交点是，则的值是　　　　　　　　． 考点02 二次函数y=ax²的图象和性质 1．（25-26学年九上·重庆江津区实验中学·期中）已知是二次函数，且函数图象有最低点，则的值为（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九·重庆綦江区未来学校·期中）函数与在同一坐标上的图象大致是（       ） A.  B.  C.  D.  考点03 二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质 1．（九·重庆铜梁·期末）抛物线的对称轴是直线（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·重庆铁路中学校·期中）抛物线向左平移1个单位，再向下平移3个单位，则平移后的抛物线的解析式为（     ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年九上·重庆永川中学校·期中）二次函数图象的顶点坐标为（     ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年九上·重庆第七中学校·期中）已知抛物线的解析式为，则这条抛物线的顶点坐标是（       ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年九上·重庆江津二中联·期中）二次函数的顶点坐标是（     ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年九上·重庆南开中学教共体学校·期中）对于二次函数，下列说法中正确的是(     ) A. 图象的开口向下 B. 函数的最大值为1 C. 当时，随的增大而减小 D. 图象的对称轴为直线 7．（25-26学年九上·重庆长寿川维中学校·期中）抛物线的顶点坐标是（       ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年九上·重庆合川中学）拋物线的顶点坐标为（     ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年九上·重庆铜梁区铜梁·期中）已知，点，，都在函数的图象上，则（       ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年九上·重庆合川区十一·期中）关于二次函数的图象，下列结论正确的是（     ） A. 其图象开口向上 B. 其图象的对称轴是直线 C. 其最大值为1 D. 当时，随的增大而减小 11．（25-26学年九上·重庆两江育才中学校·期中）将抛物线平移得到抛物线，下列叙述正确的是（       ） A. 向右平移3个单位，向上平移2个单位 B. 向左平移3个单位，向下平移2个单位 C. 向右平移3个单位，向下平移2个单位 D. 向左平移3个单位，向上平移2个单位 12．（25-26学年九上·重庆开州区文峰·期中）对于抛物线，以下说法正确的是（        ） A. 开口向下 B. 对称轴为直线 C. 顶点坐标为 D. 当时，随的增大而减小 13．（25-26学年九上·重庆永川区文理·期中）将抛物线向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到的抛物线表达式为（　　） A.  B.  C.  D.  14．（25-26学年九上·重庆第二外国语学校·期中）抛物线的顶点坐标为　　　　　　　． 15．（25-26学年九上·重庆江津区实验中学·期中）抛物线的对称轴为　　　　　　　　　　． 16．（25-26学年九上·重庆铜梁区铜梁·期中）抛物线y=3（x﹣2）2+5的顶点坐标是　　　　　． 17．（25-26学年九上·重庆永川区文理·期中）抛物线的顶点坐标是　　　　　　． 18．（25-26学年九上·重庆永川中学校·期中）已知，是抛物线上的两点，则的大小关系是　　　　.（用“”、“”或“”填空） 19．（25-26学年九上·重庆江津区实验中学·期中）将二次函数的图象先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，则平移后的函数解析式为　　　　　　　　　　　． 20．（25-26学年九上·重庆江津二中联·期中）将二次函数的图象向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式为　　　　　　． 21．（25-26学年九上·重庆广益中学·期末）把抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位，得到的抛物线表达式是　　　　　　． 考点04 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 1．（25-26学年九上·重庆杨家坪中学·期中）二次函数的顶点坐标为（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·重庆铜梁区铜梁·期中）若二次函数的图象开口向下、顶点坐标为，则此函数有(     ) A. 最小值 B. 最大值 C. 最小值1 D. 最大值2 3．（25-26学年九上·重庆铜梁区铜梁·期中）在同一直角坐标系中，函数和的图像可能是（     ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年九上·重庆江津中学校·期中）若为二次函数的图象上的三点，则的大小关系是（　　） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年·重庆第二外国语学校·期中）点在第二象限，一次函数与在同一平面直角坐标系中的图象大致为（     ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年九上·重庆永川中学校·期中）在同一坐标系中一次函数和二次函数的图象可能为（       ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年九上·重庆长寿实验中学校·期中）关于抛物线，下列说法正确的是（     ） A. 开口向上 B. 顶点坐标是 C. 对称轴是直线 D. 时，y随x增大而减小 8．（25-26学年九上·重庆江津区实验中学·期中）已知二次函数（为常数）的图像与轴的一个交点为，则关于的一元二次方程的两实数根是（     ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年九上·重庆江津二中联·期中）如果三点在抛物线 的图象上，那么，与之间的大小关系是（       ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年九·重庆綦江区未来学校·期中）下列关于二次函数的性质说法正确的是（       ） A. 图象的开口向下 B. 图象的对称轴为直线 C. 当时，函数y的值最小，最小值为 D. 当时，y随x的增大而增大 11．（25-26学年九·重庆綦江区未来学校·期中）已知在函数上有点，点，C则关于，的大小判断正确的是（       ） A.  B.  C.  D. 无法确定 12．（25-26学年九上·重庆长寿川维中学校·期中）在同一平面直角坐标系中，函数与的图象可能是（       ） A.  B.  C.  D.  13．（2026·重庆广益中学·模拟）二次函数的图象如图所示，则下列选项正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  14．（25-26学年九上·重庆南开中学校）已知二次函数，其图象上有两点，，则和的大小关系为（     ） A.  B.  C.  D. 不能判断 15．（25-26学年九上·重庆渝北区石鞋学校）若抛物线经过和两点，将该抛物线向上平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度得到新抛物线，则关于新抛物线下列说法正确的是（       ） A. 开口向下 B. 图象过点 C. 在时，的最小值为 D. 当时，随增大而减小 16．（25-26学年九·重庆江津区实验中学·期末）二次函数的图象如图所示，其对称轴为直线，且经过点，下列结论：①；②；③点和在抛物线上，当时，；④不等式的解集是或．其中错误的个数有（     ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 17．（2026·重庆育才中学校·三模）如图是二次函数的图象一部分，其对称轴是，且过点，以下几种说法：①；②；③；④多项式可因式分解为；⑤若、是抛物线上两点，则；其中正确的是（     ） A. ①②④ B. ①②⑤ C. ①③⑤ D. ①③④ 18．（25-26学年九上·重庆江津中学校·期中）如图，抛物线过点和点，则下列说法正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  19．（25-26学年九上·重庆铁路中学校·期中）如图，二次函数的图象经过点，对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④（其中）；正确的结论有（       ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 20．（25-26学年九上·重庆永川区文理·期中）已知抛物线，下列结论错误的是（       ） A. 抛物线开口方向向上 B. 当时，随的增大而增大 C. 抛物线的对称轴为直线 D. 抛物线与轴交点坐标为 21．（25-26学年九上·重庆暨华中学校·期中）已知的图象如图所示，则下列结论错误的是（       ） A.  B.  C.  D.  22．（25-26学年九上·重庆永川中学校·期中）如图所示，抛物线的对称轴为，现给出下面四条信息：①；②；③；④，你认为其中正确的个数有（     ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 23．（25-26学年九上·重庆第十八中学）如图，二次函数的函数图象经过点，且与轴交点的横坐标分别为，其中，下列结论：①；②；③；④当（）时，；其中正确的有（   ）个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 24．（25-26学年九上·重庆第一中学校·期中）已知二次函数的部分图象如图所示，其对称轴为直线，现有下列结论，其中错误的是（     ） A.  B.  C.  D.  25．（25-26学年九上·重庆两江育才中学校·期中）一次函数和二次函数（，，是常数，且）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（     ） A.  B.  C.  D.  26．（25-26学年九上·重庆两江育才中学校·期中）点、、均在二次函数的图象上，则、、的大小关系是（       ） A.  B.  C.  D.  27．（25-26学年九上·重庆江津区实验中学·期中）对称轴为直线的抛物线（，，为常数，且）如图所示，小明同学得出了以下结论：①，②，③，④，⑤（为任意实数），⑥当时，随的增大而减小．其中结论正确的个数为（     ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 28．（25-26学年九上·重庆长寿川维中学校·期中）二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，下列结论：①；②方程必有一个根大于2且小于3；③若，是抛物线上的两点，那么；④；⑤对于任意实数，都有，其中正确结论的个数是（       ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 29．（25-26学年九上·重庆合川中学）关于二次函数，下列说法错误的是（     ） A. 函数图像的开口向下； B. 拋物线的对称轴是直线； C. 函数有最大值为； D. 函数图像与y轴的交点是． 30．（25-26学年九上·重庆双桥中学·期中）如图，函数和（a是常数，且）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（     ） A.  B.  C.  D.  31．（25-26学年九上·重庆十一中教育）抛物线过点，对称轴是直线，且顶点在第一象限．下列结论正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  32．（25-26学年九上·重庆第二外国语学校·期中）如图，抛物线的顶点A的坐标为，与x轴的一个交点位于0和1之间，则以下结论中正确的结论是（     ） A.  B. 若抛物线经过点，，则 C.  D. 若关于x的一元二次方程无实数根，则 33．（25-26学年九上·重庆合川区十一·期中）如图，抛物线（为常数）交轴于点，与轴的一个交点的横坐标在2和3之间，顶点为．下列四种说法：①；②若，则；③若点、点，点在该函数图象上，则；④点关于直线的对称点为，点在轴上，当时，三角形周长的最小值为，其中正确结论的个数是（     ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 34．（25-26学年九上·重庆江津二中联·期中）如图，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点坐标为(-1，0)，其部分图象如图所示下列结论：①4ac＜b2；②方程ax2+bx+c=0的两个根是；③3a+c＞0；④当y＞0时，x的度值范围是-1＜x＜4；⑤当x<0时，y随x的增大而增大．其中正确的个数是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 35．（25-26学年九上·重庆万州·期末）关于的次多项式，其中，，，，均为正整数，且，，下列说法： ①若时，则多项式可以为二次三项式； ②若，满足条件的多项式共有个； ③若二次三项式且，则函数的顶点坐标是． 其中正确的个数为（       ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 36．（25-26学年九上·重庆第一中学校·期中）已知整式，其中n，为正整数，，，，…，为整数，且．下列说法：①若n为偶数，，则；②当，时，满足条件的所有M的值的最小值为；③当，时，满足条件的整式M共有16种．其中正确的个数为（     ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 2 1 1 1 2 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 37．（25-26学年九上·重庆江津二中联·期中）已知四个整式，，，，现对四个整式进行如下操作：任取其中三个整式相加后取其绝对值再减去第四个整式，根据不同的选择可得到四个结果，，，，称为第一次操作；按照上述方法对，，，再进行一次操作，可得到四个结果，，，，称为第二次操作；以此类推…，下列说法： ①若，，，，则四个结果，，，的和为14； ②若，，，，则存在一个的值是方程的实数根； ③若，且满足关于的二次函数的对称轴在轴右侧，则第次操作的结果为，，，． 其中正确的个数是（       ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 38．（25-26学年九·重庆江津区实验中学·期末）已知点，，都在函数的图像上，请将，，按从大到小的顺序排列　　　　　　　　　　　． 39．（25-26学年九上·重庆渝北区石鞋学校）已知抛物线经过三点A、B、C，则、、的大小关系是　　　．（用“”符号连接） 40．（25-26学年九上·重庆铜梁区铜梁·期中）已知二次函数中，函数与自变量的部分对应值如下表： 0 1 2 4 1 1 25 （1）写出这个二次函数图象的顶点坐标为________，对称轴为________，最小值为________， （2）____________； （3）求这个二次函数的解析式； 41．（25-26学年九上·重庆铜梁区铜梁·期中）如图，在中，，，，点D为上的三等分点．动点P从点A出发，沿方向以每秒2个单位长度的速度运动，同时动点Q从点D出发，沿方向以每秒1个单位长度的速度运动，当其中任意一个动点到达终点时，两点都停止运动．设动点P运动的时间为x秒，的长度为，的面积为． （1）请直接写出与分别关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中，画出函数与的图象，并写出函数的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出时x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 42．（25-26学年九上·重庆开州中学·期中）在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于正半轴，其图象上有三点，则的大小关系是　　　　　　　．(请用“<”符号连接) 43．（25-26学年九上·重庆长寿川维中学校·期中）抛物线的对称轴为直线　　　　　　　　　　　　 44．（25-26学年九上·重庆十一中教育）若点在二次函数的图像上，则的大小关系为　　　　　　　　　　 ．（用 “ > ”符号连接） 45．（25-26学年九上·重庆渝北区石鞋学校）如图，矩形中，，，点是线段的中点．动点从点出发，沿射线方向以每秒2个单位长度的速度运动，同时动点从点出发沿折线方向以每秒1个单位长度的速度运动．当点到达点时，、两点都停止运动．设动点运动的时间为秒，的面积为． （1）请直接写出与的函数关系式，并写出自变量的取值范围（面积不为0）； （2）在给定的平面直角坐标系内画出这个函数的图像，并写出该函数的一条性质； （3）结合函数图像，写出的面积为1时的值（保留一位小数，误差不得超过0.2）． 0 1 2 3 4 0 1 0 2 4 46．（25-26学年九上·重庆万州·期末）已知二次函数 （1）若对任意的，都有随的增大而增大，求的取值范围； （2）若该抛物线与轴的交点分别为、且，求的值． 47．（25-26学年九上·重庆·期末）抛物线（a、b、c是常数，a≠0）上部分点的横坐标x、纵坐标y的对应值如下表： x … 0 1 2 … y … 0 … 则该二次函数图象与x轴除外的交点坐标是　　　　　　　　　　． 48．（25-26学年九上·重庆·期末）如图，抛物线与轴交于，两点（点在点左边），与轴交于点，直线经过，两点，是抛物线上一动点，连接，． （1）求抛物线的解析式； （2）当抛物线上的点在下方运动时，过点作轴交于点，求长度的最大值． 49．（25-26学年九上·重庆永川中学校·期中）初三年级某班成立了数学学习兴趣小组，该数学学习小组对函数的图像和性质进行探究，过程如下，请你补充完整． x … 2 1 0 1 2 … y … 3 0 m 1 n 0 3 … （1）函数的自变量x的取值范围是                        ； （2）①列表：下表是x，y的几组对应值，其中          ，          ； ②描点：根据表中的数值描点，请补充描出点，； ③连线：用平滑的曲线顺次连接各点，请把图像补充完整． （3）下列关于该函数的说法，错误的是 （     ） A.函数图像是轴对称图形；        B.当x时，函数值y随自变量x的增大而减小； C.函数值y都是非负数；               D.若函数图像经过点和，则； （4）点和在函数图像上，且，则a与b的大小关系是             ． 50．（25-26学年九上·重庆永川中学校·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）交y轴于点C，且OC＝3． （1）求该抛物线的解析式； （2）点P为直线BC下方抛物线上的一点，连接AC、BC、CP、BP，求四边形PCAB的面积的最大值，以及此时点P的坐标； （3）把抛物线y＝ax2＋bx＋c平移，使得新抛物线的顶点为（2）中求得的点P,R为新抛物线上一点，S是新抛物线对称轴上一点，直接写出所有使得以点A，C，R，S为顶点的四边形是平行四边形的点R的坐标，并把其中一个点R的坐标过程写出来． 51．（25-26学年九上·重庆永川中学校·期中）二次函数和一次函数的图象交于点和，如图所示，则时，的取值范围是　　　　　　　　　　　． 52．（25-26学年九上·重庆两江育才中学校·期中）如图，在四边形中，，于点E，，，．动点P从点A出发，沿方向以每秒2个单位长度的速度运动，同时动点Q从点E出发，沿折线方向以每秒1个单位长度的速度运动．当点Q到达点D时，P、Q两点都停止运动（点P、Q不与点A、B、E、D重合）．设动点P运动的时间为x秒，的面积为y．    （1）请直接写出y关于x的函数关系式并注明自变量x的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出时x的值．（结果保留一位小数，误差不超过0.2） 0 1 2 4 0 3 4 0 4 5 6 0 4 8 53．（25-26学年九上·重庆江津二中联·期中）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，已知，． （1）求抛物线及直线的解析式； （2）若为抛物线上位于直线上方的一点，求面积的最大值，并求出此时点的坐标； （3）直线与抛物线的对称轴交于点，为抛物线上一动点，点在轴上，若以点、为顶点的四边形是平行四边形，求出所有满足条件的点的坐标． 54．（25-26学年九上·重庆江津二中联·期中）如图1为北京冬奥会“雪飞天”滑雪大跳台赛道的横截面示意图，取水平线为x轴，铅垂线为y轴，建立如图2平面直角坐标系． 运动员从点滑出，运动轨迹近似抛物线，该运动员飞行的水平距离（与相距的距离）为时，恰好达到最大高度，运动员着陆在线段上，在着陆坡上设置点K（与相距） 作为标准点，着陆点在K点或在K点右侧视为成绩达标． （1）求抛物线的解析式； （2）判断该运动员的成绩是否达标，并说明理由； （3）直接写出该运动员飞行过程中离着陆坡CE的竖直距离的最大值                    米． 55．（25-26学年九上·重庆江津二中联·期中）如图，矩形中，，，、两点分别从点、点同时出发，点以每秒钟1个单位的速度沿运动，点以每秒钟2个单位的速度沿运动，当点到达点时，点也随之停止运动，设的面积为，、两点的运动时间为． （1）直接写出关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出函数的图象，并写出函数的一条性质； （3）结合函数图像，请直接写出函数值时，自变量的取值范围．（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2） 56．（25-26学年九·重庆綦江区未来学校·期中）如图，已知在矩形中，，，动点从点出发，沿方向以每秒个单位的速度运动，同时，动点从点出发，沿方向以每秒个单位的速度运动，当点到达点时，、两点都停止运动．设动点运动的时间为秒，规定，． （1）请直接写出，分别关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象，并写出函数的一条性质； （3）结合函数图像，直接写出时的取值范围． 57．（25-26学年九上·重庆长寿川维中学校·期中）（多选）如图，抛物线（≠0）与轴交于A(-4，0)，B（2，0），与轴交于点C（0，2）． (1)求抛物线的解析式； (2)若点D为该抛物线上的一个动点，且在直线AC上方，当以A，C，D为顶点的三角形面积最大时，求点D的坐标及此时三角形的面积； 58．（25-26学年九上·重庆合川中学）如图，在中，，动点P从点A出发沿射线方向以的速度移动，动点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动，如果P，Q两点分别从A，B两点同时出发，当点Q到达C时，P、Q两点都停止运动．设运动时间为，的面积为y． （1）当时，求的面积； （2）请直接写出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围（面积不为0）； （3）在给定的直角坐标系内画出这个函数图象，并写出该函数的一条性质． 59．（25-26学年九上·重庆渝北中学校·期中）已知抛物线的顶点坐标为，若该抛物线经过点、、，则、、的大小关系是　　　　　　　　　　　．（用“＜”表示） 60．（25-26学年九上·重庆渝北区石鞋学校）如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，点在轴负半轴且，连接，点是轴上的一个动点，过点作轴的垂线交抛物线于点，交直线于点． （1）求抛物线的解析式； （2）点在线段上运动时，当四边形是平行四边形时，求点的坐标； （3）若直线交抛物线另一个交点为，连接、，当点在轴上运动时，是否存在点，使得面积为？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 61．（25-26学年九·重庆江津区实验中学·期末）如图，抛物线与轴分别交于点、点（点在点的左侧），与轴交于点，对称轴为直线． （1）求拋物线解析式： （2）点为直线下方拋物线上一点，连接，，当面积最大时，求此时点的坐标和面积的最大值； （3）点为抛物线对称轴上一动点，轴，垂足为，连接，，当面积最大时，求的最小值． 62．（25-26学年九上·重庆铜梁区铜梁·期中）如图，二次函数与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C．已知点，抛物线的对称轴为直线． （1）求二次函数的表达式； （2）连接，点P是抛物线上一点，在直线下方移动，过点P分别向x轴，y轴作垂线，与交于E，F两点，求的最大值并求出此时点P的坐标； （3）将抛物线向右平移1个单位，再向上平移1个单位，点M是平移后抛物线对称轴上任意一点，若，直接写出点M的坐标． 63．（25-26学年九上·重庆铜梁区铜梁·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与x轴交于点和点，与轴交于点，连接．        （1）求抛物线的表达式； （2）如图，点是射线下方抛物线上的一动点，过点作轴，垂足为点，交于点．点为抛物线对称轴上的一动点，连接，，当线段长度取得最大值时，求的最小值； （3）在（2）问取得最小值的条件下，连接，将抛物线沿射线方向平移，使得点在新抛物线的对称轴上，是新抛物线上的一个动点，当时，直接写出所有符合条件的点的坐标． 64．（25-26学年九上·重庆云阳县第二初级中学·期中）如图，抛物线与轴交于点，点，交轴于点． （1）求抛物线的解析式． （2）如图1，已知直线上方抛物线上有一点，过点作轴与交于点，过点作轴与轴交于点，求的最大值和此时点的坐标； （3）将原抛物线沿轴向右平移1个单位长度，新抛物线与轴交于点，点的对应点为，点是第一象限中新抛物线上一点，且点到轴的距离等于点到轴的距离的一半，问在平移后的抛物线上是否存在点，使得，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 65．（25-26学年九上·重庆凤鸣山中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于，两点，且点在轴上． （1）求抛物线的表达式； （2）点是直线上方抛物线上一点，过点作轴交直线于点，交轴于点，点是直线上一动点，过点作轴交轴于点，连接，．当取得最大值时，求的最小值； （3）将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，点为新抛物线上一动点，当时，直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点坐标的其中一种情况的过程． 66．（25-26学年九上·重庆第二外国语学校·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线交x轴于A，B两点，交y轴于点C，点，，点P为抛物线顶点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）已知C关于x轴的对称点为，连接，，，求的面积； （3）如图，将抛物线沿射线方向平移个单位得新抛物线，M是新抛物线上一点，连接，当时，直接写出符合条件的点M的横坐标，并写出求其中一个点M的横坐标的过程． 67．（25-26学年九上·重庆永川区文理·期中）如图，抛物线与轴交于点，点，交轴于点． （1）求抛物线的解析式． （2）如图1，已知直线上方抛物线上有一点，过点作轴与交于点，过点作轴与轴交于点，求的最大值和此时点的坐标； （3）将原抛物线沿轴向右平移1个单位长度，新抛物线与轴交于点，点的对应点为，点是第一象限中新抛物线上一点，且点到轴的距离等于点到轴的距离的一半，问在平移后的抛物线上是否存在点，使得，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 68．（25-26学年九上·重庆暨华中学校·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C．    （1）求该抛物线的解析式； （2）如图1，当点P在直线上方的抛物线时，连接、，点M是x轴上一动点，连接、．当的面积最大时，求的最小值； （3）在（2）的条件下，将抛物线沿着射线的方向平移，当抛物线经过点C时停止平移，平移后的抛物线为，点H是抛物线对称轴上一点，当，直接写出所有满足条件的点H的坐标． 69．（25-26学年九上·重庆长寿实验中学校·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点C，点为抛物线上一点． （1）求该抛物线的解析式 （2）连接，点Q为直线上方抛物线上一点，过点Q作轴于点E，作轴交BC于点F，求的最大值及此时点Q的坐标； （3）在（2）的条件下，将原抛物线向右平移得到新抛物线，新抛物线与原抛物线交于点D，点M是新抛物线对称轴上一点，点N是第一象限内一点，当M，N，C，E为顶点的四边形是菱形时，请直接写出所有满足条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程． 70．（25-26学年九上·重庆江津区实验中学·期中）如图，已知直线交轴正半轴于点，与轴正半轴交于点，抛物线经过、两点，交轴负半轴于点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图，点是直线上方抛物线上的一动点，当四边形面积最大时，请求出点的坐标； （3）在（2）的结论下，过点作轴的平行线交直线于点，连接，点是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 71．（25-26学年九上·重庆南开中学教共体学校·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C，连接．    （1）求抛物线的函数表达式； （2）如图1，P是线段上方抛物线上的一个动点，过点P作交于点D，F为y轴上一动点，当线段的长度取得最大值时，求点P的坐标及的最小值； （3）在平面内，将抛物线沿射线方向平移，当平移后的新抛物线经过点时停止平移，此时得到新抛物线，在平移后的新抛物线上确定一点M，使得，请直接写出所有符合条件的点M的坐标． 72．（25-26学年九·重庆綦江区未来学校·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线交轴于两点，交轴于点，其中点，其对称轴 ． （1）求该抛物线的函数解析式； （2）若为第一象限内抛物线上一点，连接、，求面积的最大值，及此时点的坐标． （3）在（2）的条件下，在对称轴上是否存在一点M，使得的周长最小，若存在，请直接写出M点坐标，若不存在，说明理由． 73．（25-26学年九上·重庆合川中学）如图1，抛物线与轴交于点，与直线交于点，过点作直线的平行线，交抛物线于点． （1）求抛物线的表达式； （2）点为直线下方抛物线上一点，过点作轴交直线于点，过点作于点，连接．点是轴上的一动点，当的面积最大时，求周长的最小值； （3）如图2，在（2）问条件下，将原抛物线向右平移，再次经过（2）问条件下的点时，新抛物线与轴交于点（在左侧），与轴交于点．点为新抛物线上的一点，连接交直线于点，使得，写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程． 74．（25-26学年九上·重庆合川中学）已知二次函数的图象的一部分如图所示，该函数图象经过点，对称轴为直线．对于下列结论：①；②；③多项式可因式分解为；④当时，关于的方程无实数根．其中正确的结论有　　　　　　　　　　． 75．（25-26学年九上·重庆渝北中学校·期中）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于两点，y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，点P是直线上方抛物线上的一动点，过点P作y轴的平行线交直线于点E，过点P作x轴的平行线交直线于点F，求面积的最大值及此时点P的坐标； （3）如图2，连接，，抛物线上是否存在点Q，使？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 76．（25-26学年九上·重庆万州·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，且． （1）求抛物线的表达式及对称轴； （2）点是直线下方抛物线上的一动点，连接交直线于点，求的最大值及此时点的坐标； （3）将原抛物线沿着射线平移个单位长度得到新的抛物线，新抛物线与轴交于点，点为新抛物线上的一个动点，若，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 77．（九·重庆铜梁·期末）已知抛物线与轴交于点，与轴交于点和两点，连接． （1）求抛物线的函数表达式； （2）如图，点是线段下方抛物线上的一动点，连接，，点是轴上一动点，点是抛物线对称轴上一动点，当面积取得最大值时，求点的坐标及的最小值； （3）将抛物线向右平移一个单位长度得到抛物线，点的对应点为，连接，点是抛物线上一动点，当时，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点坐标的其中一种情况的过程． 78．（25-26学年九上·重庆礼嘉中学校·期末）如图，抛物线与轴交于、两点（点在点的右侧），与轴交于点C，，． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，点是抛物线的顶点，连接，点是上方抛物线上一动点，过点作于点，过点作轴于点，点是轴上一动点．连接，当取得最大值时，求出点的坐标及的最小值； （3）如图2，将抛物线沿射线方向平移得到新抛物线，新抛物线的顶点，延长线交抛物线于点，点为抛物线上一动点，当直线与直线所夹锐角为的两倍时，请直接写出所有符合条件的点的横坐标，并写出其中一个点的横坐标的求解过程． 79．（25-26学年九上·重庆广益中学·期末）在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于点，，与轴交于点． （1）求该抛物线的解析式； （2）点是直线上方该抛物线上的一动点，连接，，点是直线上一动点，当最大时，求的最小值； （3）在（2）问取得最大值的条件下，将该抛物线沿射线方向平移，使得新抛物线经过线段的中点．若点为新抛物线上的一动点，当时，直接写出所有符合条件的点的坐标． 80．（25-26学年九上·重庆沙坪坝区重庆第一中学校·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点C，． （1）求抛物线的表达式； （2）点P是射线上方抛物线上的一动点，连接与射线交于点Q，过点O作直线，点M，N分别为射线和直线l上的动点，且，连接．当取得最大值时，求点P的坐标及的最小值； （3）将抛物线沿射线方向平移，使平移后的新抛物线经过点C，点D为抛物线对称轴上的一点，连接，过点D作交抛物线于点E，且点E位于抛物线对称轴的左侧，连接、．若，请直接写出所有符合条件的点E的横坐标． 81．（25-26学年九上·重庆育才中学校·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，B两点，与轴交于点，抛物线的对称轴是直线． （1）求抛物线的表达式； （2）点P是射线BC上方抛物线上的一动点，连接OP与射线BC交于点D，点M，N为抛物线对称轴上的动点（点N在点M的下方），且，连接BN，PM．当取得最大值时，求点P的坐标及的最小值； （3）在（2）中取得最大值的条件下，将抛物线沿射线BC方向平移个单位长度得到抛物线，点E为点P的对应点，点F为抛物线上的一动点，G为x轴上一定点，且．若，请直接写出所有符合条件的点F的坐标，并写出求解点F的坐标的其中一种情况的过程． 82．（25-26学年九上·重庆开州区文峰·期中）在平面直角坐标系中，抛物线（a，b，c为常数，）的图象与x轴交于，B两点，与y轴交于点． （1）求抛物线的解析式． （2）如图1，在直线上方的抛物线上有一动点M，过点M作轴，垂足为N，交直线于点D．是否存在点M，使得取得最大值？若存在，请求出它的最大值及点M的坐标；若不存在，请说明理由． （3）如图2，连接，若点P是抛物线上一动点，且满足，请直接写出点P的坐标． 83．（2026·重庆育才中学校·三模）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与y轴交于点B，与x轴交于A、C两点（A在C的左侧），连接，． （1）求抛物线的解析式； （2）点P是直线AB上方抛物线上的一动点，过点P作交y轴于点D，交x轴于点E，点F为y轴上一动点，当取最大值时，求此时点P的坐标及的最大值； （3）如图，点Q是抛物线的对称轴与的交点，将该抛物线沿射线方向平移，使得新抛物线刚好经过点Q，K为新抛物线上一动点，当，请写出所有符合条件的点K的坐标，并写出求解其中一个点K坐标的过程． 84．（25-26学年九上·重庆礼嘉中学校·期中）如图，抛物线与轴分别交于点、点（点在点的左侧），与轴交于点，对称轴为直线． （1）求抛物线解析式； （2）点为直线上方抛物线上一点，连接，，点为抛物线对称轴上一动点，轴，垂足为，连接，，当四边形面积最大时，求此时点的坐标及的最小值； （3）将抛物线沿射线方向平移后经过点，新抛物线与直线另一个交点为，在新抛物线上是否存在一点，使，若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 85．（25-26学年九上·重庆南开中学校·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于，两点，与轴交于点． （1）求抛物线的表达式； （2）点是直线下方抛物线上一动点，过点作 轴交直线于点，过点作交轴于点，点为轴上一动点，连接 ，，当 取得最大值时，求点的坐标及 周长的最小值； （3）在（2）中 取得最大值的条件下，将抛物线沿射线方向平移，使得新抛物线的对称轴为直线，连接，点是线段上一动点（不含端点），连接 ，将 沿 所在直线翻折至抛物线所在的平面内，得，直线 交新抛物线于点，当直线 与直线所成夹角为时，直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程． 86．（25-26学年九上·重庆江津中学校·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于A，两点，与y轴交于点C，连接，若． （1）求抛物线的解析式； （2）P是直线上方抛物线上的一动点，过点P作轴交直线于点M，过P作于点N，E、F是对称轴上两个动点，点E在点F的上方，且．当取得最大值时，求最小值； （3）将该抛物线沿射线方向平移个单位长度得到得新抛物线，Q为新抛物线上的一个动点，当时，请求出所有符合条件点Q的横坐标． 87．（25-26学年九上·重庆铁路中学校·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，连接其中点的坐标为，对称轴为直线． （1）求抛物线的解析式； （2）点是直线下方抛物线上的一个动点，点为轴上的一个动点，过点作轴交于点当的长度最大时，求出此时点的坐标及的最小值； （3）如图，在的条件下，连接，将该抛物线沿射线方向平移个单位得新抛物线，点为新抛物线上的一个动点，连接交线段于点，且满足，请直接写出符合条件的点的坐标． 88．（25-26学年九上·重庆开州中学·期中）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点、，与轴交于点．已知点为轴上一点，且． （1）求抛物线的表达式； （2）如图1，作的角平分线交轴于点，点为直线上方抛物线上的一个动点，过点作交直线于点，过点作轴交直线于点，求的最大值，并求出此时点的坐标； （3）如图2，将原抛物线沿轴向左平移个单位得到新抛物线，新抛物线交轴于点、，点为新抛物线的对称轴与轴的交点，点为新抛物线上一动点，使得，请直接写出所有满足条件的点的坐标． 89．（25-26学年九上·重庆杨家坪中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，为线段上面一个动点． （1）求抛物线及直线的解析式； （2）求周长的最小值，并求出此时点的坐标； （3）在该抛物线上是否存在点使得，如果存在请直接写出所有符合条件的点点的坐标；如果不存在请说明不存在的理由． 90．（25-26学年九上·重庆川外基础教）如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点，与x轴于交点A，，与y轴交于点C． （1）求抛物线的表达式； （2）点P为第二象限内该抛物线上的一动点（不与点A，C重合），过点P作轴于点D，过点P作交直线于点E，点F为该抛物线的对称轴上一动点，连接，当取最大值时，求点P的坐标及的最小值； （3）将该抛物线先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，在（2）中取得最大值的条件下，点Ｍ为原抛物线的顶点，点N为点P的对应点，在新抛物线上确定一点G，使得，请直接写出所有符合条件的点G的横坐标，并写出求解点G的横坐标的其中一种情况的过程． 91．（25-26学年九上·重庆西南大学附属中学校·期中）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线函数解析式分别交轴于，两点（在的左侧），交轴于点，连接，，其中，． （1）求抛物线的解析式； （2）点是直线上方抛物线上的一动点，过点作交直线于点，轴交直线于点．点、点是直线上的动点，满足点在点的右侧且，当周长最大时，求的坐标及的最大值； （3）如图2，在第（2）问的条件下，将抛物线关于原点对称后沿着射线方向平移个单位长度得到抛物线，将点向下平移一个单位长度得到点，点为抛物线上的一动点．若，直接写出所有符合条件的点的横坐标，并写出其中一个情况的求解过程． 92．（25-26学年九上·重庆合川区十一·期中）如图，抛物线的图象与轴交于点和，与轴正半轴交于点，且抛物线的顶点为． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）点是直线上方的抛物线上的一动点，当的面积最大时．在轴上找一点，在轴上找一点，使得的值最小，并求此时的点和的坐标． （3）若是抛物线上一点，，请写出点的坐标，并写出其中一个点的求解过程． 93．（25-26学年九上·重庆巴蜀中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，连接，已知，． （1）求抛物线的表达式； （2）点P是线段上方抛物线上的一动点，连接，，点E，F为x轴上的两个动点（点F在点E的左侧），且，连接，．当面积取得最大值时，求点P的坐标及的最小值； （3）在（2）中面积取得最大值的条件下，将抛物线沿射线方向平移4个单位长度得到抛物线，点Q为点P的对应点，点M为抛物线上的一动点．若，请直接写出所有符合条件的点M的坐标，并写出求解点M的坐标的其中一种情况的过程． 94．（25-26学年九上·重庆第七中学校·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过B，C两点（点A在点B的左侧），其中，，与y轴交于点C，连接AC，BC． （1）求抛物线的表达式； （2）如图1，点P是线段CA上方抛物线上的一动点，过点P作轴，交AC于点D，E是y轴上一动点，当线段PD长度取得最大值时，求的最小值； （3）如图2，将该抛物线沿射线CA方向平移，使得新抛物线经过（2）中的点D且与直线AC相交于另一点M，点Q为新抛物线上的一个动点，当时，直接写出所有符合条件的点Q的坐标，并写出求解点Q坐标的其中一种情况的过程． 95．（25-26学年九上·重庆第万州三中学·期中）如图，在等边中，点在上，连接． （1）如图1，若，，求的长； （2）如图2，点在上，，连接交于点，点在的延长线上，且，连接，证明：； （3）如图3，若点是的中点，点在线段上，点在线段上，满足，连接，点是的中点，连接，，直接写出线段的最小值． 96．（25-26学年九上·重庆第十八中学）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中，抛物线的对称轴为直线，作点C关于x轴的对称点D，连接交抛物线于点E． （1）求抛物线的解析式： （2）如图1，若点P为直线上方抛物线上一动点，连接，过点O作直线的平行线交抛物线于点F、G，点M、N为直线上的动点（点M在点N的左边）且，连接．当面积最大时，此时点P的坐标及的最小值； （3）将该抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，点Q在新抛物线上，点W为直线与抛物线y的交点（异于B），若，请直接写出所有符合条件的点Q的横坐标，并写出求解点Q的横坐标的其中一种情况的过程． 97．（25-26学年九上·重庆第一中学校·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于、两点． （1）求抛物线的表达式； （2）点是直线上方抛物线上一个动点，过点作轴交直线于点，过点作于点，点、是对称轴上的动点，点在点上方且，连接、，当长度取得最小值时，求长度的最小值； （3）在（2）中长度取得最小值的条件下，将抛物线沿射线的方向平移个单位长度得到抛物线，点为点的对应点，点为抛物线上一个动点，点为抛物线与轴左侧的交点，若，请直接写出所有符合条件的点的横坐标． 98．（25-26学年九上·重庆两江育才中学校·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点，且点在点的左侧，与轴交于点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，动点为抛物线第一象限上的一点，于点， 轴交于点，求的周长的最大值，及此时点的坐标； （3）如图，连接，将原抛物线沿射线方向平移得到新抛物线，使平移后的新抛物线经过点，新抛物线与x轴的另一交点为点，请问在新抛物线上是否存在一点，使得？若存在，则直接写出点的坐标；若不存在，则说明理由． 99．（25-26学年九上·重庆双桥中学·期中）如图1，在直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，且，连接． （1）求抛物线的函数关系式； （2）过点A作交y轴于点E，点P为直线上方抛物线上的一个动点，连接，当的面积最大时，在直线上有一动点M，求点P的坐标和的最大值； （3）将抛物线沿射线方向平移得到新抛物线，新抛物线恰好经过点C，点D为原抛物线的顶点，在新抛物线上是否存在点Q，使得． 请直接写出所有符合条件的点Q的横坐标． 100．（2026·重庆广益中学·模拟）如图1，在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于A，两点，且点A在轴上，直线与轴交于点．    （1）求抛物线的表达式； （2）是直线上方抛物线上一点，过作轴交直线于点，求的最大值，并求此时点的坐标； （3）在（2）的最大值的条件下，连接，将抛物线沿射线方向平移，使得点在新抛物线的对称轴上，是新抛物线上一动点，当时，直接写出所有符合条件的点的坐标． 101．（25-26学年九上·重庆南开中学校）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点． （1）求抛物线的表达式； （2）点是直线上方抛物线上的一动点，连接与直线交于点，连接，设的面积为，的面积为，点是轴上的动点，连接，当取得最大值时，求的最小值； （3）在（2）的条件下，将该抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线，点为点的对应点，点为抛物线上的一动点，若，请直接写出所有符合条件的点的横坐标，并写出求解点的横坐标的其中一种情况的过程． 考点05 二次函数与一元二次方程 1．（25-26学年九上·重庆永川区文理·期中）一次函数与二次函数的图像相交于，两点，则关于的不等式的解集为（       ） A.  B. 或 C.  D. 或 2．（25-26学年九上·重庆铜梁区铜梁·期中）关于抛物线，下列说法不正确的是（     ） A. 当时，随的增大而减小 B. 把抛物线向左平移1个单位，向下平移2个单位可得到新抛物线 C. 抛物线与轴交于点 D. 抛物线与轴有1个交点 3．（25-26学年九上·重庆杨家坪中学·期中）在水分、养料等条件一定的情况下，某植物的生长速度（厘米/天）和光照强度（勒克斯）之间存在一定关系．在低光照强度范围（）内，与近似成一次函数关系；在中高光照强度范围内，与近似成二次函数关系．其部分图象如图所示．根据图象，下列结论正确的是（     ） A. 当时，随的增大而减小 B. 当时，有最大值 C. 当时， D. 当时， 4．（25-26学年九·重庆綦江区未来学校·期中）我们定义一种新函数：形如（且）的函数叫做“绝对值“函数．小明同学画出了“绝对值”函数的图象（如图所示），并写出下列五个结论： ①图象与坐标轴的交点为，和； ②图象具有对称性，对称轴是直线； ③当或时，函数值y随x的增大而减小； ④当或时，函数的最小值是9； ⑤当与的图象恰好有3个公共点时或 其中结论正确的个数是（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 5．（25-26学年九上·重庆育才中学校·期中）已知整式：，其中和为自然数，为正整数，且．下列说法： ①满足条件的所有整式中有且仅有1个单项式； ②当时，满足条件的所有整式的和为； ③满足条件的所有二次三项式中，当取任意实数时，其值一定是非负数的整式共5个． 其中正确的个数是（       ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 6．（25-26学年九上·重庆杨家坪中学·期中）已知整式：，其中是正整数，且，，，…，均为互不相等的正整数，如果取得最小值时，我们称为“基础次整式”．基于上述的定义，下列说法：①整式的次数为时，整式的项数必为；②当时，所有的基础次整式恰有24个；③满足条件的所有三项基础整式中，当取任意实数时，其值一定恒为正数的整式共有4个．其中正确的个数是（     ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 7．（25-26学年九上·重庆十一中教育）已知二次函数 (a 为常数，且) ．下列五个结论： ①该函数图象经过点； ②若，则当时，y 随x的增大而减小； ③该函数图象与x 轴有两个不同的公共点； ④若，则关于x 的方程有一个根大于0且小于1； ⑤若，则关于x 的方程的正数根只有一个． 其中正确的个数是（     ） A. 2 个 B. 3 个 C. 4 个 D. 5 个 8．（25-26学年九上·重庆铜梁区铜梁·期中）已知抛物线． （1）利用配方法把抛物线转化为顶点式，并写出抛物线的顶点A的坐标； （2）求抛物线与x轴的交点B、C的坐标，并写出时x的取值范围． 9．（25-26学年九上·重庆江津二中联·期中）如图，二次函数的图象与一次函数的图象交于点，，则不等式的解集是　　　　　　　　　　　． 10．（25-26学年九上·重庆铜梁区铜梁·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，过点与轴平行的直线交抛物线于点，则的长为　　　　　　． 11．（25-26学年九上·重庆永川区文理·期中）已知在矩形中，，，动点从点出发，沿方向以每秒1个单位的速度运动，同时，动点从点出发，沿方向以每秒2个单位的速度运动，当点到达点时，、两点都停止运动．设动点P运动的时间为秒，规定，． （1）请直接写出分别关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出函数的图象；并写出函数的一条性质； （3）根据函数，当时，直接写出的值为______． 12．（25-26学年九上·重庆合川区十一·期中）若二次函数与轴有两个不同交点，且关于的分式方程的解为非负整数，则所有满足条件的整数值之积是　　　　　　　　． 13．（25-26学年九上·重庆永川中学校·期中）如果关于的不等式组 有解，且关于的二次函数的图象与轴有交点，那么满足条件的所有整数的和为　　　　　　． 14．（25-26学年九上·重庆两江育才中学校·期中）若二次函数的部分图象如图所示，关于x的一元二次方程的一个解，则另一个解　　　　　　　　． 15．（25-26学年九·重庆綦江区未来学校·期中）如图，二次函数的图象交x轴于A、B两点，B在A的左边，交y轴于C点，现将抛物线沿射线方向平移个单位，则平移后的抛物线的解析式为　　　　　　　　　　． 16．（25-26学年九上·重庆铜梁区铜梁·期中）对于一个四位自然数n，若百位数字与个位数字之和等于千位数字与十位数字和的2倍，那么称这个数n为“双喜数”．如：，因为，所以1347是一个“双喜数”，则最小的“双喜数”为　　　　　　；若一个四位自然数是“双喜数”，使二次函数与x轴只有一个交点，且能被15整除，则满足条件的四位自然数m的最大值与最小值的差为　　　　　　． 考点06 实际问题与二次函数 1．（25-26学年九上·重庆开州中学·期中）如图，一个移动喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线，喷水头的高度（即OB的长度）是1米．当喷射出的水流距离喷水头2米时，达到最大高度米，水流喷射的最远水平距离OC是（       ） A. 6米 B. 5米 C. 4米 D. 1米 2．（25-26学年九上·重庆江津二中联·期中）如图所示，某桥从正面观察，上面部分是一条抛物线，若，，以所在直线为轴，抛物线的顶点在轴上建立平面直角坐标系，则此桥上半部分所在抛物线的解析式为（　　） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年九上·重庆南开中学校）为了迎接体考，小南坚持每天进行跳绳练习．本周五她参与了学校的志愿服务活动，跳绳量比周四减少了．为补上周五缺失的练习，小南决定周六、周日连续两天提高跳绳量，设日均增长率为，若小南周四跳绳量为个，则小南周日跳绳量关于的函数关系式为（     ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年九上·重庆·期末）一个运动员推铅球，铅球在点处出手，出手时铅球离地面的高度为米，铅球在点处落地．铅球在运动员前处（即）达到最高点，最高点离地面的高度为．已知铅球经过的路线是抛物线，按照如图所示建立平面直角坐标系． （1）求该抛物线对应的函数表达式； （2）求该运动员推铅球的成绩． 5．（25-26学年九上·重庆江津中学校·期中）疫情期间，某种一次性医用外科口罩的利润y（元）与售价x（元）之间的函数关系式为，且售价x的取值范围是，则最大利润是　　　　　　元． 6．（25-26学年九上·重庆铁路中学校·期中）掷实心球是中考体育考试的项目．如图是一男生所掷实心球的行进路线（抛物线的一部分）的高度与水平距离之间的函数图象，且掷出时起点处高度为2m，当到起点的水平距离为4m时，实心球行进至最高点，此时实心球与地面的距离为3m． （1）求抛物线的函数解析式； （2）在该市的评分标准中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于10m时，即可得满分，试判断该男生在此项考试中能否得满分，并说明理由（参考数据：）． 7．（25-26学年九上·重庆两江育才中学校·期中）如图是抛物线形拱桥，以顶点建立平面直角坐标系满足，此时拱顶离水面，若再下降时，水面宽度增加　　　　　　　　　． 8．（25-26学年九上·重庆铜梁区铜梁·期中）在矩形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒． （1）填空：___________，___________（用含t的代数式表示）； （2）当t为何值时，的长度等于？ （3）是否存在t的值，使的面积S最大，若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 9．（25-26学年九上·重庆育才中学校·期中）如图，在正方形中，边长为4，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线方向运动，到达点时停止，同时点以每秒个单位长度的速度从点出发，沿着方向运动，点是射线上一动点，连接、、，的面积为2．设点、的运动时间为，的面积为，的长为． （1）请直接写出，分别关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象，并分别写出函数，的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出时的取值范围．（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2） 10．（25-26学年九上·重庆杨家坪中学·期中）为弘扬达州地方文化，让更多游客了解巴人故里，某文旅公司推出多款文创产品．已知某款巴小虎吉祥物的成本价是30元，当售价为40元时，每天可以售出60件，经调查发现，售价每降价1元，每天可以多售出10件． （1）设该款巴小虎吉祥物降价x元，则每天售出的数量是_______件； （2）为让利于游客，该款巴小虎吉祥物应该降价多少元，文旅公司每天的利润是630元； （3）文旅公司每天售卖该款巴小虎吉祥物的利润为W元，当售价为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？ 11．（25-26学年九上·重庆永川区文理·期中）某服装店以每件50元的价格购进一批T恤，如果以每件60元出售，那么一个月内能售出300件，根据以往销售经验，销售单价每提高1元，销售量就会减少10件，设T恤的销售单价提高x元． （1）服装店希望一个月内销售该种T恤能获得利润3640元，并且尽可能减少库存，问T恤的销售单价应提高多少元？ （2）当销售单价定为多少元时，该服装店一个月内销售这种T恤获得的利润最大？最大利润是多少元？ 12．（25-26学年九上·重庆永川中学校·期中）今年国庆中秋八天长假，重庆作为热门旅游城市接待国内游客超2701.59万人次，火锅作为重庆美食的代表也吸引了很多吃货游客来打卡，不仅自己现场品尝美食，还会给家人带一些火锅底料．某火锅店十年来一直坚持现场销售火锅底料．今年国庆节，该店现场销售的同时也将火锅底料放到网上销售，已知每盒火锅底料进价为10元，试销售阶段发现，当销售单价是15元时，每天的销售量为250盒．销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10盒，在销售利润不考虑其他成本因素的情况下： （1）求该店在电商平台销售该火锅底料每天所得的销售利润（元）与销售单价（元）之间的函数表达式； （2）当火锅底料定价多少元时，此店在电商平台销售该火锅底料每天所得的销售利润可达2240元？ （3）此电商平台结合销售情况，提出了A，B两种营销方案： 方案A：这种火锅底料的销售单价高于15元且不超过20元； 方案B：这种火锅底料每天销售量不少于10盒，且每盒的利润至少为18元． 请比较哪种方案每天的最大利润更高，并说明理由． 13．（25-26学年九上·重庆长寿实验中学校·期中）如图，在四边形中，，，，，是线段上从点向点运动的一个动点（不含、），是线段上从点向点运动的一个动点（不含、），点、同时开始运动，当其中一个动点抵达终点时，另一个立即停止运动．连接，．已知点在其运动路径上的速度始终为每秒个单位长度，点在其运动路径上的速度始终为每秒个单位长度，设点的运动时间为秒，的面积为，的面积的为． （1）请直接写出，分别关于的函数解析式，并注明自变量的取值范围； （2）在图中画出函数，的图象，并分别写出函数，的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出时的取值范围（近似值保留小数后一位，误差不超过） 14．（25-26学年九上·重庆江津区实验中学·期中）如图，在中，，，，点是线段上一点，且满足，动点，同时出发，动点以每秒1个单位长度的速度从点出发沿折线方向运动，动点以每秒个单位长度的速度从点出发沿折线方向运动，当点运动到点时，速度变为每秒1个单位长度继续运动，点的速度保持不变．当，有一点运动到点A时，都停止运动．设运动时间为秒，的面积为． （1）请直接写出关于的函数表达式并注明自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； （3）函数与的图象有且只有两个交点，请直接写出的取值范围． 15．（25-26学年九上·重庆江津二中联·期中）某网店销售一种儿童玩具，进价为每件30元，物价部门规定每件儿童玩具的销售利润不高于进价的50%．在销售过程中发现：当销售单价为35元时，每天可售出350件，若销售单价每提高5元，则每天销售量减少50件．设销售单价为元（销售单价不低于35元） （1）当这种儿童玩具以每件最高价出售时，每天的销售量为多少件？ （2）求这种儿童玩具每天获得的利润（元）与销售单价（元）之间的函数表达式； （3）当销售单价为多少元时，该网店销售这种儿童玩具每天获得的利润最大，最大利润是多少元？ 16．（25-26学年九上·重庆长寿川维中学校·期中）如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面时，水面宽，若水面下降，则水面宽度增加　　　　　　　　．（结果可保留根号） 17．（25-26学年九上·重庆长寿川维中学校·期中）如图是古代的一种重力投石机，其投出去的石弹运动轨迹是抛物线的一部分，若石弹在离地面处发射，则石弹在离发射点水平距离处达到最大高度．如图，点为发射点，以水平地面为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，若将石弹投向远处的高为防御墙（与之间的距离超过）． （1）求石弹运行的函数关系式； （2）若石弹正好能打中防御墙，设投石机离防御墙的水平距离为，求的取值范围． 18．（25-26学年九上·重庆长寿川维中学校·期中）超市销售某种儿童玩具，如果每件利润为40元（市场管理部门规定，该种玩具每件利润不能超过60元），每天可售出50件．根据市场调查发现，销售单价每增加2元，每天销售量会减少1件．设销售单价增加元，每天售出件． （1）请写出与之间的函数表达式； （2）当为多少时，超市每天销售这种玩具可获利润2250元？ （3）设超市每天销售这种玩具可获利元，当为多少时最大，最大值是多少？ 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $