专题03 一元二次方程（期中真题汇编，重庆专用）九年级数学上学期

专题03 一元二次方程 6大高频考点概览 考点01 一元二次方程的概念 考点02 配方法 考点03 公式法 考点04 因式分解法 考点05 一元二次方程的根与系数的关系 考点06 实际问题与一元二次方程 考点01 一元二次方程的概念 1．（25-26学年九·重庆江津区实验中学·期末）将一元二次方程化成一般形式是（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·重庆万州国本中学校·期中）若是方程的解，则的值为（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年九上·重庆永川中学校·期中）下列方程是一元二次方程的是（       ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年九·重庆綦江区未来学校·期中）下列关于x方程中是一元二次方程的是（       ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年九上·重庆长寿川维中学校·期中）下列方程一定是一元二次方程的是（       ） A.  B.  C.  D.  6．（九·重庆铜梁·期末）已知方程有一个根是3，则k的值是（     ） A. 3 B. 5 C.  D. 9 7．（25-26学年九上·重庆铜梁区铜梁·期中）下列方程，属于一元二次方程的是（       ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年九上·重庆北碚区江北中学·期中）若关于的一元二次方程的一个根是，则的值为（       ） A. 2 B.  C. 2或 D.  9．（25-26学年九上·重庆朝阳中学·期中）已知是一元二次方程的一个根，则的值是（       ） A. 3 B.  C. 或3 D. 或2 10．（25-26学年九上·重庆暨华中学校·期中）若m是方程的一个根，则的值为（     ） A. 3 B. 0 C. 2 D.  11．（25-26学年九上·重庆第九十五初级中学校·期中）下列方程是关于x的一元二次方程的是（     ） A.  B.  C.  D.  12．（25-26学年九上·重庆第万州三中学·期中）下列方程一定是一元二次方程的是（     ） A.  B.  C.  D.  13．（25-26学年九上·重庆江津区实验中学·期中）下列方程中是关于x的一元二次方程的是（       ） A.  B.  C.  D.  14．（25-26学年九上·重庆江津二中联·期中）下列是一元二次方程的是（       ） A.  B.  C.  D.  15．（25-26学年九上·重庆江津二中联·期中）已知是方程的一个根，则b的值为（     ） A. 1 B. －1 C.  D. －2 16．（25-26学年九上·重庆十一中教育）若方程中，a，b，c满足和，则方程的根是（       ） A. 0，4 B. 0， C. ，4 D. 1，4 17．（25-26学年九上·重庆第万州三中学·期中）若为方程的一个解，则代数式的值为（     ） A. 2001 B. 2007 C. 2019 D. 2025 18．（25-26学年九上·重庆万州·期末）若是方程的一个根，则的值为（       ） A. 18 B. 20 C. 21 D. 22 19．（25-26学年九上·重庆·期末）若是关于x的方程的一个根，则m的值是　　　　． 20．（25-26学年九上·重庆永川区文理·期中）关于的一元二次方程有一个根是，则的值是　　　　　　　　　　　． 21．（25-26学年九上·重庆铜梁区铜梁·期中）若关于的一元二次方程的一个根是，则的值是　　　　　　　　． 22．（25-26学年九上·重庆开州区文峰·期中）若是方程的一个根，则的值为　　　　　　　　　　　． 23．（25-26学年九上·重庆礼嘉中学校·期中）若是方程的根，则式子的值为　　　　　　． 24．（25-26学年九上·重庆江津中学校·期中）若关于x的一元二次方程的一个解是，则的值为　　　　　　． 25．（25-26学年九上·重庆云阳县第二初级中学·期中）若m是一元二次方程的解，则　　　　　　　　　． 26．（25-26学年九上·重庆第九十五初级中学校·期中）若是一元二次方程，的一个根，则m的值为　　　　　　． 27．（25-26学年九上·重庆万州国本中学校·期中）已知关于x的方程是一元二次方程，则　　　　　　． 28．（25-26学年九上·重庆江津二中联·期中）先化简，再求值： ．其中m是方程的根． 29．（25-26学年九上·重庆万州区万州·期中）已知一元二次方程，则代数式的值等于　　　　　　　　　　　． 30．（25-26学年九上·重庆第二外国语学校·期中）已知m是方程的一个根，则的值为　　　　　　　． 31．（25-26学年九上·重庆渝北中学校·期中）先化简，再求值：，其中是方程的解． 考点02 配方法 1．（25-26学年九上·重庆万州国本中学校·期中）用配方法解方程，配方后的方程是（　　） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·重庆万州·期末）用配方法解一元二次方程，配方正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年九上·重庆铜梁区铜梁·期中）用配方法解方程时，配方正确的方程是（     ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年九上·重庆铜梁区铜梁·期中）用配方法解一元二次方程时，此方程可化为（　　） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年九上·重庆万州区万州·期中）用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是(     ) A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年九上·重庆北碚区江北中学·期中）用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是（       ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年九上·重庆第三十七中学校·期中）用配方法解方程，则配方结果正确的是（　　） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年九上·重庆铁路中学校·期中）用配方法解方程，则配方正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年九上·重庆朝阳中学·期中）用配方法解方程时，配方结果正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年·重庆朝阳教育集·期中）若可以配成一个完全平方公式，则m的值为（    ） A.  B.  C. 16 D.  11．（25-26学年九上·重庆长寿中学校·期中）用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是（     ） A.  B.  C.  D.  12．（25-26学年九上·重庆江津二中联·期中）用配方法解一元二次方程，则变形正确的是（        ） A.  B.  C.  D.  13．（25-26学年九上·重庆合川中学）一元二次方程的解为：　　　　　　　　　　. 14．（25-26学年九上·重庆北碚区江北中学·期中）解方程：，则　　　　　　　　． 15．（25-26学年九上·重庆铁路中学校·期中）解方程： （1）x2－6x－4＝0；              （2）3x(x－2)＝2x－4． 16．（25-26学年九上·重庆开州中学·期中）解方程： （1）； （2）． 17．（25-26学年九上·重庆朝阳中学·期中）（1）计算：； （2）解方程：． 18．（25-26学年九上·重庆第一中学校·期中）计算： （1）解不等式组： ； （2）解方程：． 考点03 公式法 1．（25-26学年九上·重庆·期末）一元二次方程的根的情况是（       ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 2．（25-26学年九上·重庆铜梁区铜梁·期中）关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为（        ） A. 且 B.  C.  D. 且 3．（25-26学年九上·重庆铁路中学校·期中）一元二次方程的根的情况是（　　） A. 有两个不相等的实数根 B. 没有实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 无法确定 4．（25-26学年九上·重庆江津二中联·期中）关于一元二次方程的根的情况，下列说法正确的是（       ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法判断 5．（25-26学年九上·重庆永川中学校·期中）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年九上·重庆铜梁区铜梁·期中）对于整式，，，先将每两个整式顺次相加，接着将所得和的绝对值相减，即，再化简求值，这样的运算称为“绝对值的和差运算”．例如，对于，，，则．①若对，，进行“绝对值的和差运算”的结果是；②，，进行“绝对值的和差运算”化简结果可能存在的不同表达式有种；③若，则对，，，的“绝对值的和差运算”化简结果为．以上说法中正确的个数为（       ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 7．（25-26学年九上·重庆铜梁区铜梁·期中）关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（       ） A.  B. 且 C.  D. 且 8．（25-26学年九上·重庆开州区文峰·期中）已知整式，其中为正整数，且，且，下列说法正确的个数是（       ） 若，则多项式可以为二次三项式；若，满足条件的所有整式的和为；若，满足条件的所有二次三项式中，当取任意实数时，其值一定为非负数的整式共有4个 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 9．（25-26学年九上·重庆江津中学校·期中）下列方程无实数根的是（       ） A.  B. 2 C.  D.  10．（25-26学年九上·重庆开州中学·期中）如果关于的分式方程有负分数解，且关于的方程有实数解，那么符合条件的所有整数的积是（　　） A.  B. 0 C. 3 D. 9 11．（25-26学年九上·重庆永川区文理·期中）已知多项式，多项式，则下列结论正确的有（     ） ①若，则代数式的值为； ②当时，代数式的最小值为； ③当时，若，则关于的方程有两个实数根； ④当时，若，则的取值范围是． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 12．（25-26学年九上·重庆第九十五初级中学校·期中）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（     ） A. 且 B.  C. 且 D.  13．（25-26学年九上·重庆广益中学·期末）关于x的一元二次方程，下列说法： ①若，则方程必有一个根是； ②若方程有两个不相等的实数根，则方程必有两个不相等的实数根； ③若是一元二次方程的根，则； ④若方程的两个根为，且满足，则方程，必有实数根． 其中，正确的说法有（     ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 14．（25-26学年九上·重庆北碚区江北中学·期中）将代数式记为，代数式记为，现进行如下操作：记，，，；，；，以此类推．下列说法： ①； ②若为正整数，为整数，则或或； ③关于的方程（为正整数）只有个实数根． 其中正确的个数是（    ） A.  B.  C.  D.  15．（25-26学年九上·重庆暨华中学校·期中）将有序数对进行操作后得到一个新的有序数对，将得到的新的有序数对按上述操作继续进行下去，每得到一个新的有序数对称为一次操作．例如：经过第一次操作后得到，经过第二次操作后得到．下列说法①若经过三次操作得到，且，则．②将经过2n（为正整数）次操作后，得到的有序数对为．③在平面直角坐标系中，将所对应的点记为，经过第一次操作后的点记为，第二次操作后的点记为，当时，若直线与直线互相垂直（为正整数），则．正确的个数为（     ）． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 16．（25-26学年九上·重庆第九十五初级中学校·期中）已知整式，其中，，，均为整数，且，下列结论： ①满足条件的整式M中有3个单项式； ②若，则方程一定有实数解； ③若，则满足条件的整式共有5个 其中说法正确的个数是（     ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 17．（25-26学年九·重庆江津区实验中学·期末）关于x的一元二次方程（m-1）x2-（2m+1）x+（m+1）=0有实数根，则m的取值范围是　　　　　　． 18．（25-26学年九上·重庆北碚区江北中学·期中）解方程：． 19．（25-26学年九上·重庆万州·期末）（1）计算： （2）解方程： 20．（25-26学年九上·重庆永川区文理·期中）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是　　　　　　． 21．（25-26学年九上·重庆永川中学校·期中）已知关于x的一元二次方程 （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）若△ABC的两边AB、AC的长是方程的两个实数根，第三边BC的长为5．当△ABC是等腰三角形时，求k的值 22．（25-26学年九上·重庆长寿中学校·期中）关于的一元二次方程有两个实数根，则实数的取值范围为　　　　　　． 23．（25-26学年九上·重庆江津区实验中学·期中）已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围　　　　　　． 24．（25-26学年九·重庆綦江区未来学校·期中）已知关于x的一元二次方程有两个相等的实根，则m的值为　　　　　　． 25．（25-26学年九上·重庆·期末）解下列方程 （1）； （2）． 26．（25-26学年九上·重庆铜梁区铜梁·期中）解下列方程： （1）； （2）． 27．（25-26学年九上·重庆沙坪坝区重庆第一中学校·期中）按要求完成下列各题： （1）求不等式组： 的所有整数解； （2）解一元二次方程：． 28．（25-26学年九上·重庆第三十七中学校·期中）已知关于x的一元二次方程x2+2x+3k﹣6=0有两个实数根，则实数k的取值范围是　　　　　　　　　　　　　　　　． 29．（25-26学年·重庆第二外国语学校·期中）我们常用的计算三角形面积的方法，需知道三角形的一边及这边上的高，其实已知一个三角形的三边长分别为a，b，c，也可以求其面积，中外数学家就这个问题曾经进行过深入的研究． 古希腊的几何学家海伦给出过求其面积的海伦公式： ，其中； 我国南宋时期的数学家秦九韶曾经提出利用三角形的三边求其面积的秦九韶公式：， 从以上两个公式中选择恰当的公式，解决以下问题： （1）若一个三角形的三边长分别为2，3，4，求此三角形的面积； （2）若一个三角形的三边长分别为，，，求此三角形的面积； （3）若一个等腰三角形的腰和底边之和为，它们的积为1，求这个等腰三角形面积的平方． 30．（25-26学年九上·重庆朝阳中学·期中）已知关于的方程． （1）当时，求方程的根； （2）当取何值时，方程有两个不相等的实数根？ 31．（25-26学年九上·重庆第万州三中学·期中）（1）计算：； （2）解方程：． 32．（25-26学年九上·重庆江津二中联·期中）已知关于的方程． （1）求证：方程总有两个不等的实数根； （2）已知方程的一个根为，求代数式的值． 33．（25-26学年九上·重庆合川中学）若一元二次方程有实数根，则m的取值范围是　　　　　　． 34．（25-26学年九上·重庆万州·期末）若关于x的一元二次方程有两个实数根，且满足等式成立，则所有满足条件的整数的值之和是　　　　　　　　． 35．（25-26学年九上·重庆北碚区江北中学·期中）任意一个三位数，如果满足各个数位上的数字都不为零，且百位上的数字与个位上的数字之和等于十位上数字的2倍，那么称这个数为“双倍快乐数”．例如：，因为所以234是“双倍快乐数”．则最小的的“双倍快乐数”为　　　　　　　　；若是一个“双倍快乐数”，且使关于的一元二次方程有两个相等的实数根，设，若能被6整除，则所有满足条件的有　　　　　　　　个． 36．（25-26学年九上·重庆第万州三中学·期中）若关于的一元二次方程有实数根，且关于的分式方程的解是非负整数，则满足条件的整数的值的和为　　　　　　　　． 考点04 因式分解法 1．（25-26学年九上·重庆第万州三中学·期中）已知关于，的多项式，（、为常数），则下列说法： ①当时，若，则； ②当，时，若，则； ③当，时，若，则． 其中正确说法的个数为（     ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 2．（25-26学年九上·重庆铜梁区铜梁·期中）有n个依此排列的整式：第一项是，为，用第一项加上得到第二项，再将加上2得到，将第二项加上得到第三项，再将加上2得到，……以此类推，下列说法：①当时，第三项为36；②若第四项与第五项的和为85，则或；③若，则；④第项为．其中正确的个数是（       ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 3．（25-26学年九上·重庆永川中学校·期中）定义：已知，是关于的一元二次方程的两个实数根，若，且，则称这个方程为“友好方程”．如：一元二次方程的两根为，，且，所以一元二次方程为“友好方程”．关于的一元二次方程，有下列两个结论：①当时，该方程是“友好方程”；②若该方程是“友好方程”，则有且仅有个整数满足要求，对于这两个结论判断正确的是（     ） A. ①②都正确 B. ①②都错误 C. ①正确，②错误 D. ①错误，②正确 4．（25-26学年九上·重庆巴蜀中学·期中）已知：，其中为自然数，，，，，，为整数，且，下列说法： ①若，，则； ②若，，，，且能分解为的形式（，，，为整数），则． ③若，且与有相同的非零实数根，则； 其中正确的有（       ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 5．（25-26学年九上·重庆双桥中学·期中）一元二次方程的解是　　　　　　　　． 6．（25-26学年九上·重庆渝北区石鞋学校）方程x2﹣2x=0的解为　　　　　　　　　　　　　 7．（25-26学年九上·重庆广益中学·期末）解下列一元二次方程： （1）； （2） 8．（25-26学年九上·重庆铜梁区铜梁·期中）方程的根为　　　　　　　． 9．（25-26学年九·重庆江津区实验中学·期末）解方程 （1）. x2-2x-2=0 （2） (x-3)2+2x(x-3)=0 10．（25-26学年九上·重庆开州中学·期中）因式分解：　　　　　　　　． 11．（25-26学年九上·重庆杨家坪中学·期中）解方程： 12．（25-26学年九上·重庆永川区文理·期中）解下列方程： （1）； （2）． 13．（25-26学年九上·重庆永川中学校·期中）解方程： （1）； （2）． 14．（25-26学年九上·重庆长寿中学校·期中）解方程： （1） （2）； 15．（25-26学年九上·重庆江津二中联·期中）解下列方程： （1）； （2）． 16．（25-26学年九·重庆綦江区未来学校·期中）解方程： （1）； （2）． 17．（25-26学年九上·重庆铜梁区铜梁·期中）解方程： （1）； （2）． 18．（25-26学年九上·重庆江津中学校·期中）解下列方程： （1）； （2）． 19．（25-26学年九上·重庆北碚区江北中学·期中）已知关于x的一元二次方程． （1）求证：方程有两个不相等的实数根． （2）若为等腰三角形，，另外两条边是方程的根，求的周长． 20．（25-26学年九上·重庆第三十七中学校·期中）解方程 （1）x2+4x+2=0                                      （2）x(x-3)=-x+3 21．（25-26学年九上·重庆第二外国语学校·期中）请选择合适的方法解下列方程： （1）； （2）． 22．（25-26学年九上·重庆永川区文理·期中）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）请选择一个的正整数值，并求出方程的根． 23．（25-26学年九上·重庆暨华中学校·期中）解下列方程： （1）； （2）． 24．（25-26学年九上·重庆西南大学附属中学校·期中）已知实数，是方程的两个根，其中，则的值为　　　　　． 25．（25-26学年九上·重庆第九十五初级中学校·期中）解方程： （1）； （2）． 26．（25-26学年·重庆朝阳教育集·期中）数缺形时少直观，形缺数时难入微．数形结合是初中数学非常重要的思想方法之一，数形结合可以使数与形之间相互转化．如图，现有A、B、C三种卡片若干． （1）观察图1，请用面积的不同表示方法写出一个代数恒等式； （2）现用x张A卡片、y张B卡片、z张C卡片拼出一个长为，宽为的长方形，试求出的值； （3）观察图2，分解因式： 27．（25-26学年·重庆朝阳教育集·期中）因式分解：　　　　　　． 28．（25-26学年九上·重庆江津区实验中学·期中）解方程： （1）； （2）． 29．（25-26学年九上·重庆长寿川维中学校·期中）解方程： （1）； （2）． 30．（25-26学年九上·重庆开州中学·期中）我们规定：若一个四位正整数能写成两个正整数的平方差，则称M 为“智慧数”．例如：因为，所以1000是“智慧数”．按照这个规定，1002　　　　　　　　　“智慧数”（填“是”或者“不是”）．若智慧数 M是 偶 数 ，， 且满足两位 数与两位数的和为完全平方数，则满足条件的正整数M 的 值 为 　　　　　　　　　　　　　． 31．（25-26学年九上·重庆万州·期末）一个四位自然数，若满足十位数字与个位数字的和比千位数字与百位数字的和大1，则称这样的四位数为“优和数”．如：5143，，是“优和数”；又如：2451，，不是“优和数”．现有一个“优和数”，千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为（，，，，），将的千位数字与十位数字交换，百位数字与个位数字交换，得到新的四位数，规定，若为正整数，则　　　　　　；在上述条件下，规定，为完全平方数，则满足条件的“优和数”中，最大值与最小值之差为　　　　　　　　． 32．（25-26学年九上·重庆沙坪坝区重庆第一中学校·期中）我们规定：若一个四位数满足千位数字与十位数字之和为5的倍数，百位数字与个位数字之和为4的倍数，则称这个数为“五湖四海数”，例如：四位数3276，因为，，所以3276是“五湖四海数”．按照这个规定，最小的“五湖四海数”为　　　　　　；若一个“五湖四海数”（其中，，，，且、、、均为整数），记，，若能被3整除，则满足条件的所有的最大值与最小值的差为　　　　　　． 33．（25-26学年九上·重庆巴蜀中学·期中）如果一个四位自然数P各数位上的数字不完全相同且均不为零，将这个四位自然数P的千位数字和百位数字互换，十位数字和个位数字互换，得到一个新的四位自然数Q，规定；将这个四位数P的个位数字放到千位数字的左边，组成一个新的四位数R，再将R的左边两位数字不交换顺序一起放到个位的右边，组成一个新的四位数S，规定．若四位数，则　　　　　　．若四位数（，，x，y为整数），满足，则满足条件的所有B的和为　　　　　　． 34．（25-26学年九上·重庆江津二中联·期中）如果一个各数位上的数字均不为的四位自然数，满足，则称这个四位数为“倍差等和数”．例如：四位数，，，是“倍差等和数”；又如：四位数，，不是“倍差等和数”．最小的“倍差等和数”为　　　　　；若“倍差等和数”能被整除，令，且为整数，则满足条件的数的最大值为　　　　　　　　　． 考点05 一元二次方程的根与系数的关系 1．（25-26学年九上·重庆·期末）下列命题中：①若、异号，则一元二次方程一定有实数根；②若，则一元二次方程一定有两个实数根；③等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的夹角为，则这个等腰三角形的顶角度数为 ；④一元二次方程，由根与系数的关系，可得，正确的个数是（        ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 2．（25-26学年九上·重庆万州区万州·期中）若方程的两个根是和，则的值为（     ） A.  B. 1 C.  D. 2 3．（2026·重庆广益中学·模拟）已知两个非零实数，，按规则进行运算，运算的结果记为，称此为一次操作；再从，，中任选两个数，按同样规则操作一次得到的数记为；再从，，，中任选两个数，按同样规则操作一次得到的数记为……依次进行下去，以下结论正确的个数为（     ） ①若，为方程的两个根，则； ②若，则； ③对于整数，，若为奇数，在操作过程中，得到的一定为偶数： ④若，要使得成立，则至少为4． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4．（25-26学年九上·重庆合川区十一·期中）已知四次方程，，，，都是非零整数．则下列说法中，正确的个数为（     ） ①若与是方程的两个实数根，则； ②若，且，为整数，则符合条件的情况有2种； ③若该方程存在4个实数根记为，，，，若，则． A. 3个 B. 2个 C. 1个 D. 0个 5．（25-26学年九上·重庆暨华中学校·期中）若，是一元二次方程的两个根，则的值为　　　　　　． 6．（25-26学年九上·重庆江津二中联·期中）已知关于的方程的一个根为，则另一个根是　　　　　　． 7．（25-26学年九上·重庆广益中学·期末）若两个不等实数m，n满足条件：，，则　　　　　　　　． 8．（25-26学年九上·重庆铁路中学校·期中）设，是方程的两个实数根，则的值为　　　　　　　　． 9．（25-26学年九上·重庆长寿川维中学校·期中）关于x的方程的一根为3，则另一根为　　　　　　　　　． 10．（25-26学年九上·重庆礼嘉中学校·期末）若a，b是方程的两个实数根，则的值为　　　　　． 11．（25-26学年九上·重庆铜梁区铜梁·期中）已知：关于x的方程x2+2mx+m2-1=0 （1）不解方程，判别方程根的情况； （2）若方程有一个根为3，求m的值． 12．（25-26学年九上·重庆沙坪坝区重庆第一中学校·期中）已知，是方程的两个根，则代数式的值为　　　　　． 13．（25-26学年九上·重庆朝阳中学·期中）已知关于的方程的根都是整数，且满足等式，则满足条件的所有整数的和是　　　　　． 考点06 实际问题与一元二次方程 1．（25-26学年九上·重庆永川区文理·期中）2025年国庆节期间，重庆市游客数量再创新高，第一天游客数量为300万人，第三天游客数量为610万人．设平均增长率为x，可列方程为（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·重庆渝北区石鞋学校）某品牌手机三月份的销售量为万部，四、五月份的销售量连续增长，五月份的销售量达到万部，求四、五月份该品牌手机销售量的月平均增长率．设四、五月份该品牌手机销售量的月平均增长率为，根据题意可列方程为 （       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年九上·重庆·期末）秋冬季节来临，许多季节性传染病，尤其是呼吸道传染病开始流行，大家要加强防范．疾控部门为了检测流感的传染速度，设计了一个问题：有1人患了流感，经过两轮传染后共有100人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染个人，那么满足的方程为（     ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年九·重庆江津区实验中学·期末）为了宣传环保，小明写了一篇倡议书，决定用微博转发的方式传播，他设计了如下的传播规则：将倡议书发表在自己的微博上，再邀请n个好友转发倡议书，每个好友转发倡议书之后，又邀请n个互不相同的好友转发倡议书，依此类推，已知经过两轮传播后，共有111人参与了传播活动，则下列方程正确的是（        ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年九上·重庆铜梁区铜梁·期中）“立身以立学为先，立学以读书为本”为了鼓励全民阅读，某校图书馆开展阅读活动，自阅读活动开展以来，进馆阅读人次逐月增加，第一个月进馆人次，前三个月累计进馆人次，若进馆人次的月增长率相同，求进馆人次的月增长率．设进馆人次的月增长率为，依题意可列方程（       ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年九上·重庆铜梁区铜梁·期中）据报道，某人工智能科技公司年的年利润为万元，由于其在技术研发和市场拓展方面的持续投入，该公司的年利润逐年增长，到年的年利润预计将达到万元，设该公司这两年年利润的平均增长率为，则可列方程为（     ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年九上·重庆沙坪坝区重庆第一中学校·期中）某商品经过连续两次降价，售价由原来的每件元降到每件元，则平均每次降价的百分率为（             ） A. % B. % C. % D. % 8．（25-26学年九上·重庆育才中学校·期中）2023年重庆市九龙坡区某特色产业年产值约28亿元，2025年该产业年产值预计达到亿元．若这两年的年产值年平均增长率为，则所列方程正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年九上·重庆开州区文峰·期中）五一劳动节期间，重庆作为热门旅游城市接待国内游客超两千万人次，据统计重庆2023年五一假期旅游总收入为100亿元，2025年五一假期旅游总收入为196亿元，若将这两年五一假期旅游总收入的年平均增长率设为x，则符合题意的方程是（　　） A.  B.  C.  D.  10．（2026·重庆育才中学校·三模）肆虐的冠状病毒肺炎具有人传人性，调查发现：1人感染病毒后如果不隔离，那么经过两轮传染将累计会有225人感染，若设1人平均感染人，依题意可列方程 A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年九上·重庆礼嘉中学校·期中）根据重庆市统计局数据，2022年重庆市GDP为2.91万亿元，2024年增至3.22万亿元．若2023年和2024年GDP保持相同的年平均增长率，设平均增长率为，则可列方程为（     ） A.  B.  C.  D.  12．（25-26学年九上·重庆北碚区江北中学·期中）如图，小明在数学综合实践活动中，利用一面墙（墙足够长）和长的围栏围成一个面积为的矩形场地．设矩形的宽为，根据题意可列方程（       ） A.  B.  C.  D.  13．（25-26学年九上·重庆第三十七中学校·期中）据国家文旅部统计，5月1日全国旅游收入为亿元，5月1日、5月2日和5月3日的全国旅游收入之和为亿元．若全国旅游收入日平均增长率为x，则可以列出方程为（       ） A.  B.  C.  D.  14．（25-26学年九上·重庆云阳县第二初级中学·期中）2025年9月3日，纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年阅兵仪式在北京举行．大数据分析显示，2025年阅兵当日全球（不含中国内地）的相关信息量约为27.9万条，已知2015年同期阅兵的相关信息量约为3.1万条，若假设从2015年到2025年，全球相关信息量每五年平均增长率为，则可列方程为（     ）． A.  B.  C.  D.  15．（25-26学年九上·重庆朝阳中学·期中）某超市一月份的营业额是200万元，已知第一季度的总营业额是1000万元．如果平均每月的增长率是x，则可列方程（　　） A. 200（1+x）2=1000 B. 200+200（1+x）+200（1+2x）=1000 C. 200（1+2x）=1000 D. 200+200（1+x）+200（1+x）2=1000 16．（25-26学年九上·重庆合川区十一·期中）小川一家春节期间团圆相聚，他和兄弟姐妹们约定了互赠礼物，若他们一共购买了90份礼物，则小川及兄弟姐妹一共多少人？假设一共有人，则可以列方程为（　　） A.  B.  C.  D.  17．（25-26学年九上·重庆万州国本中学校·期中）某农场粮食年产量2011年为1600万斤，2013年为1880万斤，如果平均每年的增长率为x，则x满足的方程为（     ） A.  B.  C.  D.  18．（25-26学年九上·重庆永川中学校·期中）近年来，高利贷披上了“校园贷款”的外衣，将罪恶的魔爪伸向了纯洁的校园．不少学生因为借了校园贷，利滚利欠下了巨额贷款．假如小林贷款6万，“利滚利”的月平均利率为x，小林2个月总共需还18万元，根据题意，以下所列方程正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  19．（25-26学年九上·重庆第十八中学）某商品的进价为每件40元，当售价为每件80元时，每星期可卖出200件，现需降价处理，且经市场调查发现：每降价1元，每星期可多卖出8件，店里每周利润要达到8450元．若设店主把该商品每件售价降低x元，则可列方程为（     ） A.  B.  C.  D.  20．（25-26学年九上·重庆长寿实验中学校·期中）哪吒的乾坤圈工坊以每个30灵石的进价购入一批迷你风火轮，并以每个50灵石售出，每日可售出80个．据调查发现，每个迷你风火轮的售价每降低2灵石，每日可多售出10个，若哪吒希望单日盈利达4000灵石，则需将售价降低多少灵石？若设降价灵石，则列出方程为（     ） A.  B.  C.  D.  21．（25-26学年九上·重庆长寿中学校·期中）某服装公司今年月的营业额为万元，按计划第四季度的总营业额要达到万元，求该公司、两个月营业额的月均增长率，设该公司、两个月营业额的月均增长率为，则根据题意可列的方程为（     ） A.  B.  C.  D.  22．（25-26学年九上·重庆江津区实验中学·期中）2025世界人形机器人运动会于8月在国家速滑馆举办，旨在通过各项比赛展示机器人应用技术的多样性和创新性．某高校科研团队为了选拔参加本次运动会自由搏击赛的机器人，采用分组单循环（每两个人形机器人之间都只进行一场比赛）制，每组x个机器人．若每组共需进行15场比赛，则根据题意下列方程正确的为（     ） A.  B.  C.  D.  23．（25-26学年九上·重庆江津二中联·期中）过元旦了，全班同学每两个人互发一条祝福短信，共发了380条，设全班有x名同学，列方程为（     ） A.  B.  C.  D.  24．（25-26学年九上·重庆礼嘉中学校·期末）为提升学生数学探究能力，某中学自年起在数学课堂推广“几何画板”软件，当年有名学生使用该软件．年使用人数较年增长，学校后续持续推进软件普及，2025年使用人数增至人．若2023至2025年使用人数的年平均增长率保持不变，求这两年的年平均增长率为（       ） A.  B.  C.  D.  25．（25-26学年九上·重庆广益中学·期末）电影《浪浪山小妖怪》上映以来，全国票房连创佳绩．据不完全统计，全国第一天票房约亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，前三天累计票房收入达亿元，设增长率为x，则方程可以列为（       ） A.  B.  C.  D.  26．（25-26学年九上·重庆江津中学校·期中）北京与上海之间往返的某趟动车，沿途有多个火车停靠站（包括北京站、上海站），针对此动车有20种不同行程的火车票，设共有x个火车停靠站，下列所列方程正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  27．（25-26学年九上·重庆凤鸣山中学·期中）李师傅去年开了一家商店，今年1月份开始盈利，2月份盈利2000元，4月份的盈利达到2880元，且从2月到4月，若每月盈利的平均增长率都相同．那么按照这个平均增长率，预计五月份这家商店的盈利将达到（       ）元． A. 3320 B. 3440 C. 3450 D. 3456 28．（25-26学年九上·重庆杨家坪中学·期中）重庆市动物园2023年国庆假期共接待游客12.5万人，经过两年加大旅游开发力度，今年接待国庆假期接待游客达到18万人，那么重庆市动物园这两年接待游客的年平均增长率为（     ） A.  B.  C.  D.  29．（25-26学年九上·重庆西南大学附属中学校·期中）随着全民健身意识的提升，某景区登山步道成为热门打卡地．据统计，2023年该步道全年登山人数为20万人次，2025年全年登山人数达到28.8万人次．若这两年该步道登山人数的年平均增长率保持不变，求此年平均增长率为（     ） A.  B.  C.  D.  30．（25-26学年九上·重庆南开中学教共体学校·期中）如图，某市规划部门计划在新建公园旁边的一块长方形空地上修建一个停车场（如图中阴影部分），将停车场四周余下的空地修建成同样宽的通道，已知整块长方形空地的长为，宽为，如果停车场的面积占这个长方形空地面积的，所建通道的宽度为，则根据题意列出的方程（     ） A.  B.  C.  D.  31．（25-26学年九·重庆綦江区未来学校·期中）中秋佳节，小明的家庭成员都互发了一条微信祝福语，所有人发的祝福语共56条，极大地烘托了节日气氛．设小明家庭成员共有x人，则列出方程正确的是（       ） A.  B.  C.  D. ＝56 32．（25-26学年九上·重庆长寿川维中学校·期中）某商店将进货价格为20元的商品按单价36元售出时，能卖出200个．已知该商品单价每上涨1元，其销售量就减少5个．设这种商品的售价上涨元时，获得的利润为1200元，则下列关系式正确的是（　　） A.  B.  C.  D.  33．（25-26学年九上·重庆合川中学）俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看．”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘．假设每天“遗忘”的百分比是一样的，根据“两天不练丢一半”，则每天“遗忘”的百分比约为（参考数据：）（     ） A.  B.  C.  D.  34．（2026·重庆广益中学·模拟）中国选手郑钦文顺利入围年年终总决赛女子单打项目，该项目第一阶段采用组内循环赛制，即每两名选手之间比赛一场．现计划安排场组内循环赛，共有几名选手参加组内循环赛？设一共有名选手参加组内循环赛，根据题意可列方程为（       ） A.  B.  C.  D.  35．（25-26学年九上·重庆第万州三中学·期中）一辆汽车，新车购买价为20万元，以后每年的年折旧率为，如果该车购买之后的第二年年末折旧后的价值为14.45万元，那么可以列出关于的方程是　　　　　　　．（列出方程即可，无需求解） 36．（25-26学年九上·重庆万州·期末）重庆万州的非遗项目“金钱板”凭借独特的说唱韵律与地域文化魅力，成为本地文化传承的亮点之一．近期，在本地文化宣传平台正式上线推广“金钱板”主题短视频，第一天的点击量为15万次，因非遗文化热度攀升，第三天点击量达到21.6万次．若每天点击量的平均增长率为x，则根据题意可列方程为　　　　　　　　． 37．（25-26学年九上·重庆南开中学校·期中）今年 7 月某市新能源汽车总销售额约为 35 亿元，经过各经销商的大力推广，今年 9 月该市新能源汽车总销售额为 亿元，那么该市今年这两月新能源汽车销售额的月平均增长率为　　　　　　　　． 38．（25-26学年九上·重庆北碚区江北中学·期中）某超市于今年年初以每件25元的进价购进一批商品．当商品售价为40元时，一月份销售256件．二、三月该商品十分畅销．销售量持续走高，在售价不变的基础上，三月份的销售量达到400件．设二、三这两个月的月平均增长率不变． （1）求二、三这两个月的月平均增长率； （2）从四月份起，超市决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降价1元，销售量在400件的基础上增加5件，当商品降价多少元时，超市获利4250元？ 39．（25-26学年九上·重庆开州中学·期中）为了加快数字化城市建设，某市计划新建一批智能充电桩，第一个月新建了301个充电桩，第三个月新建了500个充电桩，设该市新建智能充电桩个数的月平均增长率为，根据题意，请列出方程　　　　　　　　． 40．（25-26学年九上·重庆川外基础教）报告显示，2021年我国快递业务完成量为1083亿件，2023年我国快递业务完成量为1319亿件，设我国快递业务量的年平均增长率为x，根据题意，可列出方程为　　　　　　． 41．（25-26学年九上·重庆合川区十一·期中）为了更好地开展劳动教育，学校决定在操场划出一块面积为的长方形场地作为劳动基地．若长方形场地的一边靠墙（墙足够长），另外三边由总长为80m的篱笆围成，并且在平行于墙的边上设置两个开口宽为1m的出入门（如图），设垂直于墙的长方形边长为，则根据题意，可列方程　　　　　　　　． 42．（25-26学年九上·重庆万州国本中学校·期中）某学校为了让学生体验化学实验的乐趣，决定从市场购买氯化钠溶液和硫酸铜溶液供实验使用．第一次购买40瓶氯化钠溶液和80瓶硫酸铜溶液需要500元，第二次购买20瓶氯化钠溶液和30瓶硫酸铜溶液需要200元． （1）求每瓶氯化钠溶液与硫酸铜溶液的售价分别为多少元？ （2）为了加大培养学生对化学的兴趣，学校决定再次购买这两种溶液，调查发现配制每瓶硫酸铜溶液的成本是元，每瓶氯化钠溶液的成本是元，已知第三次购买硫酸铜的数量比第一次购买的数量少瓶，购买的氯化钠溶液的数量是第一次的2倍，商场获利330元，求的值． 43．（25-26学年九上·重庆长寿实验中学校·期中）习近平总书记说：读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．某校开展师生阅读活动，打造书香校园、据统计，九年级师生第一周参与阅读400人次，阅读人次每周递增，第三周参与阅读达到784人次．则九年级师生阅读人次的周平均增长率为　　　　　　　　． 44．（25-26学年九上·重庆长寿中学校·期中）成都市龙泉驿区水蜜桃果大质优，外观艳丽，素有天下第一桃之称．某种植基地年开始种植水蜜桃亩， 到年水蜜桃的种植面积达到亩． （1）求该基地这两年水蜜桃种植面积的平均年增长率； （2）市场调查发现，当水蜜桃的售价为元/千克时，每天能售出千克，售价每降价元，每天可多售出千克．为了推广宣传，基地决定降价促销，同时尽量减少库存，已知该基地水蜜桃的平均成本价为元/千克，若每天获利元，则售价应为多少元？ 45．（25-26学年九上·重庆江津二中联·期中）秋冬季节来临，许多季节性传染病，尤其是呼吸道传染病开始流行，大家要加强防范．疾控部门为了检测流感的传染速度，设计了一个问题：有1人患了流感，经过两轮传染后共有100人患了流感，那么每轮传染中平均一个人传染的人数为　　　　　． 46．（25-26学年九上·重庆江津二中联·期中）用篱笆靠墙围成矩形花圃，墙可利用的最大长度为15m，篱笆总长为24m． （1）若围成的花圃面积为，求的长； （2）如图（2），若计划在花圃中间用一道篱笆隔成两个小矩形，且围成的花圃总面积为，则能否成功围成花圃？如果能，求的长；如果不能，请说明理由． 47．（25-26学年九·重庆綦江区未来学校·期中）某区为了响应国家的低碳环保决策，决定开展“太阳能光伏发电板安装进万家”活动，2025年第一个季度，全区共安装了200平方米太阳能光伏发电板，第二、第三季度加大了宣传力度，人们对太阳能光伏发电板有了很好的认同，所以，第三季度又安装了太阳能光伏发电板800平方米，设每季度安装太阳能光伏发电板的平均增长率为x，根据题意，请列出方程　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　． 48．（25-26学年九上·重庆长寿川维中学校·期中）某新建工业园区今年六月份提供就业岗位个，并按计划逐月增长，预计八月份将提供岗位个．设七、八两个月提供就业岗位数量的月平均增长率为，根据题意，可列方程为　　　　　　　　　　　． 49．（25-26学年九上·重庆十一中教育）为响应乡村振兴政策，斑竹溪村大力发展经济作物，在苹果、桃李树种植已初具规模时，销售10千克苹果和5千克桃李收入130元，销售6千克苹果和10千克桃李收入148元． （1）请确定苹果、桃李的单价； （2）该村平均每天卖出苹果100千克和桃李120千克．经调查发现，苹果零售单价每降元，苹果每天可多销售10千克．桃李零售单价每降元，桃李每天可多销售5千克为了使每天获取更大的利润，该村 决定把苹果和桃李的零售单价同时下降元．在不考虑其他因素的条件下，当a定为多少时，才能使该村每天销售苹果、桃李两种水果共收入元？ 50．（25-26学年九上·重庆渝北区石鞋学校）学校旁边的文具店用600元购买钢笔，700元购买笔记本，每支钢笔比每个笔记本的进价贵5元，且购进笔记本的数量是钢笔的2倍． （1）求文具店购买每支钢笔和每个笔记本的进价； （2）文具店在销售过程中发现、当钢笔的售价为每支18元，笔记本的售价为每个10元时，平均每天可售出20支钢笔，40个笔记本，调查，钢笔的售价每降低元平均每天可多售出5支，且降价幅度不低于．商家在保笔记本的售价和销量不变且不考虑其他因素的情况下，想使钢笔和笔记本平均每天的总获利为270元，则每支钢笔的售价为多少元？ 51．（25-26学年九上·重庆万州·期末）某社区为推进终身学习，分两批采购科普类和艺术类学习资料．第一批采购时，科普类资料订购量比艺术类资料的3倍多200本，科普类资料单价为12元，艺术类资料单价为20元，总计支出13600元． （1）求第一批采购的艺术类资料和科普类资料各多少本？ （2）第二批采购时，正值“全民学习月”活动，科普类资料需求增加，单价有所上涨．社区决定，若科普类资料单价每上涨2元，采购数量就比第一批减少40本．艺术类资料单价不变，采购数量比第一批增加，最终第二批采购总资金比第一批增加了4640元，且科普类资料采购单价不超过20元，求科普类资料的采购单价为多少元？ 52．（九·重庆铜梁·期末）某养殖专业户实行科技养殖，2025年养殖总产值为250万元，较2023年养殖的总产值净增90万元，则该专业户这两年养殖总产值的年平均增长率为　　　　　　　　　． 53．（九·重庆铜梁·期末）某区为打造非物质文化遗产，开发了A，B两种文创产品．某销售店销售这两种产品，A种产品的售价比B种产品的售价多100元/件．去年12月份，该店销售的A种产品数量与B种产品数量相同，经核算，A产品销售总额为万元，B产品销售总额为万元． （1）求该店A，B两种文创产品的销售单价各是多少元？ （2）今年开始，该店对这两种产品进行调价销售．与去年12月相比，对A种产品售价每降低10元，销售数量将增加1件，B种产品单价提高50元进行销售．截至1月20日，该店B产品销售数量已达到去年12月B产品的销量，这样，该店1月份前20天这两种产品的销售总额就比去年12月多1840元，该店对A种产品每件售价降低多少元？ 54．（25-26学年九上·重庆·期末）某童装店元旦促销一款儿童加绒卫衣．经核算，该卫衣进价为40元/件．当销售价定为80元/件时，平均每天可售出20件．为了迎接“元旦”促销，商店决定采取降价措施，以便达到“薄利多销”的效果．市场调研显示：若每件降价1元，则平均每天可多售出2件．设每件卫衣降价x元（x为非负整数，且售价不低于进价）． （1）每天可销售                 件，每件盈利                 元（用含x的代数式表示）． （2）为了扩大销售量，尽快减少库存，每件卫衣降价多少元时，平均每天可赢利1050元？ （3）店长希望平均每天能赢利1500元，这个愿望能实现吗？说明理由． 55．（25-26学年九·重庆江津区实验中学·期末）交警部门提醒市民：“出门头盔戴，放心平安归”，某电动车用品批发店准备在11月和12月，分两次购入A、B两款头盔．11月购入了第一批，购入A款头盔的数量为购入B款头盔数量的4倍还多300个，A、B两种头盔的购入单价分别为20元和45元，共用去资金43500元． （1）求第一批购入A、B两款头盔的数量； （2）12月2日，恰逢全国交通安全日，随着人们交通安全意识不断增强，头盔需求量增加．A款头盔单价有所上涨（涨价金额为正数）．批发店决定，若A款头盔的单价每上涨1元，则购入数量就比第一批A款头盔的数量减少50个．因B款头盔单价与第一批相同，所以B款头盔的购入数量在第一批B款头盔数量的基础上增加，最终花费的总资金比第一批增加了9000元，求A款头盔的单价上涨了多少元？ 56．（25-26学年九上·重庆铜梁区铜梁·期中）国庆期间，鲜花销售十分火爆，某花店抓住市场需求，计划第一次购进玫瑰和郁金香共300支，每支玫瑰的进价为2元，售价定为5元，每支郁金香的进价为4元，售价定为10元． （1）若花店在无损耗的情况下将玫瑰和郁金香全部售完，要求总获利不低于1500元，求花店最多购进玫瑰多少支？ （2）花店在第二次购进玫瑰的进价不变．由于销量火爆，花店决定购进玫瑰的数量在（1）中的最多进货量的基础上增加50m支，售价比第一次提高m元，最终这批玫瑰花全部销售完后获利1000元，求m的值． 57．（25-26学年九上·重庆铜梁区铜梁·期中）取暖器，又称为“冬日里的小太阳”，是南方居民冬天的取暖神器．某商场有A型、B型两款最受顾客喜爱的取暖器，已知每台A型取暖器的售价比每台B型取暖器售价少40元，顾客用1200元购入A型取暖器的数量与用1440元购入B型取暖器的数量相等． （1）每台A型取暖器与每台B型取暖器的售价分别为多少元？ （2）每台B型取暖器的进价为140元，据统计，商场每月卖出B型取暖器60台，新年前夕，为了尽快减少库存，商场决定对B型取暖器进行降价促销活动，调查发现，每台B型取暖器的售价每降低10元，那么平均每月可多售出25台，若商场要想每月销售B型取暖器的利润达到9600元，则每台B型取暖器应降价多少元？ 58．（25-26学年九上·重庆万州区万州·期中）“我运动，我健康，我快乐！”随着人们对身心健康的关注度越来越高．某市参加健身运动的人数逐年增多，从2023年的32万人增加到2025年的50万人． （1）求该市参加健身运动人数的年均增长率； （2）为支持市民的健身运动，该市市政府决定从公司购买某种套装健身器材．该公司规定：若购买不超过100套，每套售价2000元；若超过100套，每增加10套，售价每套可降低50元．但最低售价不得少于1200元．已知市政府向该公司支付货款30万元，求购买的这种健身器材的套数． 59．（25-26学年九上·重庆礼嘉中学校·期中）重庆某商铺在元旦前购进了奉节脐橙和江津广柑共千克，两种水果的进价均为每千克元．奉节脐橙以每千克元，江津广柑以每千克元的价格出售． （1）若商铺此次获利元，则购进奉节脐橙和江津广柑分别多少千克？ （2）临近“新春年货节”，商铺决定调整售价：脐橙售价下调元（降价后售价不低于进价），广柑售价上涨元；与（1）中的数据相比，脐橙销量上涨千克，广柑销量下降，利润增加了元，求的值． 60．（25-26学年九上·重庆江津中学校·期中）某商场将进货价为25元的台灯以40元售出，1月份销售400个，2月份和3月份这种台灯销售量持续增加，在售价不变的基础上，3月份的销售量达到484个，设2月份和3月份两个月的销售量月平均增长率不变． （1）求2月份和3月份两个月的销售量月平均增长率； （2）从4月份起，在3月份销售量的基础上，商场决定降价促销．经调查发现，售价在30元至40元范围内，这种台灯的售价每降价0.5元，其销售量增加4个．若商场要想使4月份销售这种台灯获利5240元，则这种台灯售价应定为多少元？ 61．（25-26学年九上·重庆铁路中学校·期中）某种商品的标价为200元/件，由于疫情的影响，销量不佳，店家经过两次降价后的价格为128元/件，并且两次降价的百分率相同． （1）求该种商品每次降价的百分率； （2）若该种商品进价为80元/件，若以128元/件售出，平均每天能售出20件，另外每天需支付其他各种费用100元，在每件降价幅度不超过10元的情况下，若每件降价1元，则每天可多售出5件，如果每天盈利1475元，每件应降价多少元？ 62．（25-26学年九上·重庆第二外国语学校·期中）某水果批发商经销一种苹果，1月份时该苹果的批发价为10元/千克，此后每个月该苹果的批发价逐月下降，到了3月份时该苹果的批发价为6.4元/千克． （1）求苹果批发价每个月的平均降低率； （2）2月份时，某水果店在该批发商处按该月批发价购进了300千克苹果，第一天将苹果零售价格定为15元/千克，售出了千克；第二天，水果店将苹果的零售价降低了元/千克，又售出了剩下的所有苹果；结果这批苹果的利润为2100元，求的值． 63．（25-26学年九上·重庆朝阳中学·期中）某水果店以每千克30元出售一批草莓．一位顾客购买了2千克草莓，水果店获得利润20元． （1）求草莓的进价为每千克多少元？ （2）已知该水果店第一天以每千克30元的单价售出草莓30千克．为了让顾客获得实惠，第二天水果店决定把草莓降价促销，若在第一天销售单价的基础上每降价1元，第二天的草莓销量就会在第一天销量的基础上增加6千克．通过这两天的销售，这批草莓全部售完，水果店销售完这批草莓的利润一共为600元，求第二天的草莓每千克降价多少元？ 64．（25-26学年九上·重庆合川区十一·期中）为了刺激消费，2025年初国家实行政府消费补贴政策，在该政策的推动下，家电市场销售持续升温，某家电商场计划采购甲，乙两类商品进行销售．已知采购3台甲类商品与2台乙类商品共需340元，采购5台甲类商品与4台乙类商品共需600元． （1）求出每台甲类商品和每台乙类商品的进货价格； （2）商家当前以每台120元的价格销售甲类商品，月销量为300台．为了尽快减少甲类商品的库存，商家决定降价销售，市场调研显示：甲类商品的售价每下降m元，月销量可增加10m台．调价后，甲类商品的库存有了显著的减少，且本月获利12160元，求m的值． 65．（25-26学年九上·重庆第九十五初级中学校·期中）某大型品牌书城购买了A，B两种新出版书籍，商家用1600元购买A书籍，1200元购买B书籍，A，B两种书籍的进价之和为40元，且购买A书籍的数量是B书籍的2倍． （1）求商家购买A书籍和B书籍的进价； （2）商家在销售过程中发现，当A书籍的售价为每本24元，B书籍的售价为每本36元时平均每天可卖出50本A书籍，20本B书籍．据统计，B书籍的售价每降低1元平均每天可多卖出5本．商家在保证A书籍的售价和销量不变且不考虑其他因素的情况下，为了促进B的销量，想使A书籍和B书籍平均每天的总获利为700元，则每本B书籍的售价为多少元？ 66．（25-26学年九上·重庆巴蜀中学·期中）某班级为了表彰学业优秀的学生，计划采购“四季笔记本”和“四季书签”两种文创产品作为奖励．已知每个“四季书签”的售价比每个“四季笔记本”的售价高10元，班级第一次采购时，购买“四季笔记本”和“四季书签”分别花费了144元和220元，且“四季笔记本”的个数是“四季书签”个数的． （1）求每个“四季笔记本”与每个“四季书签”的售价分别为多少元？ （2）为了扩大表彰范围，该班级决定再次购买这两种文创产品，调查发现每个“四季笔记本”的成本是a元，每个“四季书签”的成本是元，第二次采购中，两种文创产品的售价都和第一次采购时相同，“四季笔记本”的采购数量比第一次多7个，“四季书签”的采购数量比第一次多个，已知第二次采购商家共获利248元，求a的值． 67．（25-26学年九上·重庆第七中学校·期中）习近平总书记说：读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．某校开展师生阅读活动，打造书香校园、据统计，九年级师生第一周参与阅读100人次，阅读人次每周递增，第三周参与阅读达到196人次．则九年级师生阅读人次的周平均增长率为　　　　　　　． 68．（25-26学年九上·重庆第万州三中学·期中）2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”在一开售时，就深受大家的喜欢．某供应商今年2月第一周购进一批“冰墩墩”和“雪容融”，已知一个冰墩墩的进价比一个“雪容融”的进价多40元，购买20个“冰墩墩”和30个“雪容融”的金额相同． （1）今年2月第一周每个“冰墩墩”和“雪容融”的进价分别是多少元？ （2）今年2月第一周，供应商以以150元每个售出“冰墩墩”120个，以100元每个售出“雪容融”150个．第二周供应商决定调整价格，每个“冰墩墩”的价格不变，每个“雪容融”的售价在第一周的基础上下降了元，由于冬奥赛事的火热进行，第二周“冰墩墩”的销量比第一周增加了个，“雪容融”的销量比第一周增加了个，最终商家获利6600元，求． 69．（25-26学年九上·重庆江津区实验中学·期中）公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售200个，6月份销售288个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为50元个，测算在市场中，当售价为60元个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元个？ 70．（25-26学年九上·重庆江津区实验中学·期中）“开心”农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长30米），另三边用木栏围成，木栏总长度为50米． （1）如果养鸡场总面积是200平方米，那么平行于墙的边有多长？ （2）养鸡场的面积能达到312.5平方米吗？如果能请求出此时的垂直于墙的边长？如果不能，请说明理由． 71．（25-26学年九上·重庆江津二中联·期中）学校的劳动实践基地是一块长、宽的矩形土地．为便于学生参与劳动，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道（如图所示），使种植面积达到，若设小道的宽为，则根据题意，列方程，并化为一般形式是　　　　　　　　． 72．（25-26学年九·重庆綦江区未来学校·期中）现在是深秋季节，很多服装店已在为冬季销售作准备，某服装店看准了甲、乙两款羊毛衫，准备囤一些货以备售卖．已知每件乙款羊毛衫进价比甲款羊毛衫进价多40元，用8000元购进甲款羊毛衫和用9000元购进乙款羊毛衫的数量相同． （1）求每件甲、乙款羊毛衫的进价各为多少元？ （2）据市场调查，若甲款羊毛衫每件售价为370元，每天可卖出30件；乙款羊毛衫每件售价为420元，每天可卖出15件．在销售过程中商家为了吸引顾客，决定对甲款羊毛衫进行降价销售，在现有售价的基础上，每降价1元，可多售出2件．为更大程度让利顾客，每件甲款羊毛衫降价多少元时，商家销售甲、乙两款羊毛衫日盈利可达到3000元？ 73．（25-26学年九上·重庆长寿川维中学校·期中）如图，利用一面墙(墙的长度不超过45m)，用80m长的篱笆围一个矩形场地． (1)怎样围才能使矩形场地的面积为750m2？        (2)能否使所围矩形场地的面积为810m2 ，为什么？        74．（25-26学年九上·重庆合川中学）今年超市以每件25元的进价购进一批商品，当商品售价为40元时，三月份销售256件，四、五月该商品十分畅销，销售量持续上涨，在售价不变的基础上，五月份的销售量达到400件． （1）求四、五这两个月销售量的月平均增长百分率． （2）经市场预测，六月份的销售量将与五月份持平，现商场为了减少库存，采用降价促销方式，经调查发现，该商品每降价1元，月销量增加5件，当商品降价多少元时，商场六月份可获利4250元？ 75．（25-26学年九上·重庆双桥中学·期中）某药厂2015年生产1t甲种药品的成本是6000元．随着生产技术的进步，2017年生产1t甲种药品的成本是4860元．设生产1t甲种药品成本的年平均下降率为x，则x的值是　　　　　　　　　　　　　　　　　 76．（25-26学年九上·重庆双桥中学·期中）某海鲜排档购进一批大龙虾和海胆，它们的进货单价之和是360元． 大龙虾的零售单价比进货单价多40元，海胆的零售单价比进货单价的倍少60元，按零售单价购买2只大龙虾和4个海胆，共需要1200元． （1）求大龙虾和海胆的进货单价； （2）该海鲜排档平均每天卖出20只大龙虾和12个海胆． 经调查发现，大龙虾的零售单价每降低5元，平均每天就可多售出10只，海鲜排档决定把大龙虾的零售单价下降a元，海胆的零售单价和销量都不变，在不考虑其他因素的条件下，当a为多少时，海鲜排档每天销售大龙虾和海胆获取的总利润为1490元？ 77．（25-26学年九上·重庆礼嘉中学校·期末）某青年党支部在精准扶贫活动中，给结对帮扶的贫困家庭赠送甲、乙两种树苗让其栽种．已知乙种树苗的价格比甲种树苗的价格少元，用元购买乙种树苗的数量恰好是用元购买甲种树苗的数量的． （1）求甲、乙两种树苗每棵的价格各是多少元； （2）在实际帮扶中，他们决定再次购买甲、乙两种树苗，购买甲种树苗的数量与第一次相同，购买乙种树苗的数量比第一次多棵，而甲种树苗和乙种树苗均有涨价，甲种树苗的价格比第一次购买时的价格高元，乙种树苗的价格比第一次购买时的价格高元，最终发现第二次购买两种树苗的总费用比第一次购买两种树苗的总费用高元，求的值． 78．（25-26学年九上·重庆第三十七中学校·期中）某商店销售、两种款式的水杯．已知每只款水杯比每只款水杯贵12元，今年九月份款水杯的销售额为4800元，款水杯的销售额为3600元，且款水杯的销量是款水杯的1.2倍． （1）求、两款水杯的售价分别是多少元？ （2）十月份，该商店对款水杯进行降价促销：已知每只款水杯的进价是16元，每只款水杯的进价比款水杯低50%．若款水杯售价每降低2元，销量就比九月份多增加30只；款水杯售价和销量都和九月份相同．此次促销销售完两款水杯的总利润为4560元，求款水杯降低了多少元？ 79．（25-26学年九上·重庆朝阳中学·期中）对于任意一个三位数k，如果k满足各个数位上的数字都不为零，且十位上的数字的平方等于百位上的数字与个位上的数字之积的4倍，那么称这个数为“喜鹊数”． 例如：，因为，所以169是“喜鹊数”． （1）则最小的“喜鹊数”是　　　　　　　　　　　； （2）已知一个“喜鹊数”（，其中a，b，c为自然数），若是一元二次方程的一个根，是一元二次方程的一个根，且，则满足条件的k的最大值是　　　　　　　　　　　． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 一元二次方程 6大高频考点概览 考点01 一元二次方程的概念 考点02 配方法 考点03 公式法 考点04 因式分解法 考点05 一元二次方程的根与系数的关系 考点06 实际问题与一元二次方程 考点01 一元二次方程的概念 1．（25-26学年九·重庆江津区实验中学·期末）将一元二次方程化成一般形式是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查一元二次方程的一般式，移项，将方程化为的形式即可． 【详解】 解：， ∴； 故选D． 2．（25-26学年九上·重庆万州国本中学校·期中）若是方程的解，则的值为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了一元二次方程的解，解题的关键是掌握一元二次方程的解的定义，直接把代入方程，即可求出的值． 【详解】 解：把代入方程， 则， 解得． 故选：A． 3．（25-26学年九上·重庆永川中学校·期中）下列方程是一元二次方程的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 由一元二次方程的定义判断即可． 【详解】 A. 只含有一个未知数，并且是未知数的最高次数2的整式方程，是一元二次方程，符合题意，故正确． B. 有两个未知数，不符合题意，故错误． C. 不是整式方程，不符合题意，故错误． D. 有两个未知数，不符合题意，故错误． 故选：A． 【点睛】 本题考查了一元二次方程的定义，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数2的整式方程，叫做一元二次方程． 4．（25-26学年九·重庆綦江区未来学校·期中）下列关于x方程中是一元二次方程的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了一元二次方程的定义，方程的两边都是整式，只含有一个未知数，并且整理后未知数的最高次数是2，象这样的方程叫做一元二次方程．根据一元二次方程的定义逐个选项判断． 【详解】 解：A、方程中，未知数为x，最高次数为2，且为整式方程（m为常数），是一元二次方程． B、方程中，若，则方程变为一次方程，不一定是一元二次方程． C、方程中含有分式，不是整式方程，不是一元二次方程． D、方程中含有两个未知数，不是一元二次方程． 故选A． 5．（25-26学年九上·重庆长寿川维中学校·期中）下列方程一定是一元二次方程的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握定义是解题的关键．根据一元二次方程的定义即形如的整式方程叫做一元二次方程，逐项进行判断即可． 【详解】 解：A. ，当时，是一元二次方程，不符合题意； B. 化简为，最高次数是1，不是2次，不符合题意； C. ，是一元二次方程，符合题意； D. ，不是整式方程，不符合题意． 故选：C． 6．（九·重庆铜梁·期末）已知方程有一个根是3，则k的值是（     ） A. 3 B. 5 C.  D. 9 【答案】C 【分析】 本题主要考查了一元二次方程的解的定义，把代入原方程中得到关于k的方程，解方程即可得到答案． 【详解】 解：∵方程有一个根是3， ∴， ∴， 解得， 故选：C． 7．（25-26学年九上·重庆铜梁区铜梁·期中）下列方程，属于一元二次方程的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了一元二次方程的定义：只含有一个未知数x，未知数的最高次数是2，且系数不为0，这样的方程叫一元二次方程．据此进行逐项分析，即可作答． 【详解】 解：A、含有两个未知数，不是关于x的一元二次方程，故该选项是错误的； B、，满足一元二次方程的定义，故该选项是正确的； C、不是整式方程，则不是关于x的一元二次方程，故该选项是错误的； D、，含有一个未知数x，未知数的最高次数是1，故该选项是错误的； 故选：B． 8．（25-26学年九上·重庆北碚区江北中学·期中）若关于的一元二次方程的一个根是，则的值为（       ） A. 2 B.  C. 2或 D.  【答案】A 【分析】 本题考查一元二次方程的定义和一元二次方程的解，二次项系数不为．由一元二次方程的定义，可知；一根是，代入可得，即可求答案． 【详解】 解：是关于的一元二次方程， ，即 由一个根，代入， 可得，解之得； 由得； 故选A 9．（25-26学年九上·重庆朝阳中学·期中）已知是一元二次方程的一个根，则的值是（       ） A. 3 B.  C. 或3 D. 或2 【答案】B 【分析】 本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的解，把代入方程，求出k的值，然后结合一元二次方程定义求解即可． 【详解】 解：∵是一元二次方程的一个根， ∴， 解得 ， ∵方程是一元二次方程， ∴ ， 解得 ∴ 故选 ：B． 10．（25-26学年九上·重庆暨华中学校·期中）若m是方程的一个根，则的值为（     ） A. 3 B. 0 C. 2 D.  【答案】D 【分析】 本题考查了一元二次方程的解，由题意得出，再将式子变形为，代入计算即可得解． 【详解】 解：∵m是方程的一个根， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 11．（25-26学年九上·重庆第九十五初级中学校·期中）下列方程是关于x的一元二次方程的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了一元二次方程的定义，关键是判断一元二次方程时，需确保方程是整式形式，且未知数的最高次数为； 根据一元二次方程的定义（只含一个未知数，且未知数的最高次项次数为的整式方程）逐一判断各选项. 【详解】 ∵ 一元二次方程需同时满足：① 只含一个未知数；② 未知数的最高次项次数为；③ 为整式方程； 选项A：方程中含有两个未知数和，不符合① ； 选项B：方程只含未知数，最高次数为2，且为整式方程，符合定义； 选项C：方程整理为：，分母含有未知数，不是整式方程，不符合③ ； 选项D：方程中未知数的最高次数为3，不符合② ； ∴正确答案是：B. 故选：B. 12．（25-26学年九上·重庆第万州三中学·期中）下列方程一定是一元二次方程的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义（只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程）判断每个选项即可． 【详解】 解：A、中只含未知数x，且最高次数为2，是整式方程，是一元二次方程，选项正确，符合题意； B、中含有两个未知数x和y，不是一元方程，选项错误，不符合题意； C、中未知数最高次数为1，是一元一次方程，不是一元二次方程，选项错误，不符合题意； D、是分式方程，不是整式方程，不是一元二次方程，选项错误，不符合题意； 故选：A． 13．（25-26学年九上·重庆江津区实验中学·期中）下列方程中是关于x的一元二次方程的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义（只含一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程），逐一判断各选项． 【详解】 解：∵ 一元二次方程是只含一个未知数且最高次数为2的整式方程， 选项A: 中含有分式，不是整式方程，∴ 不符合； 选项B: 中，a可能为0，当时不是二次方程，∴ 不一定是一元二次方程； 选项C: 可化为，是整式方程，只含x且最高次数为2，∴ 符合； 选项D: 中含有两个未知数x和y，∴ 不是一元二次方程． 故选：C． 14．（25-26学年九上·重庆江津二中联·期中）下列是一元二次方程的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了一元二次方程，根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程，据此即可判定求解，掌握一元二次方程的定义，化简为一般形式，是解题的关键． 【详解】 解：A、当时，方程为是一元一次方程，该选项不合题意； B、方程整理为,是一元二次方程，该选项符合题意； C、方程整理为，是一元一次方程，该选项不合题意； D、方程的左边不是整式，方程不是一元二次方程，该选项不合题意； 故选：B． 15．（25-26学年九上·重庆江津二中联·期中）已知是方程的一个根，则b的值为（     ） A. 1 B. －1 C.  D. －2 【答案】A 【分析】由一元二次方程的解的定义，将x=-2代入已知方程列出关于b的新方程，通过解新方程来求b的值即可． 【详解】解：根据题意，得 4-2×b-2=0，即2b+2=4， 解得，b=1． 故选：A． 【点睛】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立． 16．（25-26学年九上·重庆十一中教育）若方程中，a，b，c满足和，则方程的根是（       ） A. 0，4 B. 0， C. ，4 D. 1，4 【答案】C 【分析】 本题考查了一元二次方程的根，熟练掌握一元二次方程的根的定义是解题的关键． 根据当时，；当时，作答即可． 【详解】 解：∵把代入得：， ∴方程的一个解是， ∵把代入得：， ∴方程的一个解是． 故选：C． 17．（25-26学年九上·重庆第万州三中学·期中）若为方程的一个解，则代数式的值为（     ） A. 2001 B. 2007 C. 2019 D. 2025 【答案】D 【分析】 此题考查了一元二次方程的解和求代数式的值，根据方程的解得到，把代数式变形后整体代入求值即可． 【详解】 解：∵为方程的一个解， ∴， 则， ∴， 故选：D 18．（25-26学年九上·重庆万州·期末）若是方程的一个根，则的值为（       ） A. 18 B. 20 C. 21 D. 22 【答案】D 【分析】 本题考查一元二次方程根的定义，掌握整体思想是解题的关键． 利用方程根的定义，将所求代数式通过方程变形降次，逐步化简计算． 【详解】 解：是方程的根， ，且， ，， 左右两边同时除以m得，，则， 原式． 故选：D． 19．（25-26学年九上·重庆·期末）若是关于x的方程的一个根，则m的值是　　　　． 【答案】3 【分析】 本题考查了一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的定义是解题的关键．一元二次方程的解（根）的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值称为一元二次方程的解．根据一元二次方程的解的定义，将代入方程求解m即可． 【详解】 解：把代入方程， 得，即， 整理得， 解得， 故答案为：3． 20．（25-26学年九上·重庆永川区文理·期中）关于的一元二次方程有一个根是，则的值是　　　　　　　　　　　． 【答案】2024 【分析】 本题考查一元二次方程的解，把代入方程，进行求解即可． 【详解】 解：把代入，得：， 解得：； 故答案为：2024 21．（25-26学年九上·重庆铜梁区铜梁·期中）若关于的一元二次方程的一个根是，则的值是　　　　　　　　． 【答案】， 【分析】把x=0代入已知方程，列出关于a的新方程，通过解新方程可以求得a的值． 【详解】∵x=0是关于x的一元二次方程的一个根， ∴a2+a−1=0， 解得 即a的值是， 故答案为， 【点睛】考查一元二次方程解的概念，使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的解. 22．（25-26学年九上·重庆开州区文峰·期中）若是方程的一个根，则的值为　　　　　　　　　　　． 【答案】13 【分析】 本题考查了一元二次方程的解、已知式子的值求代数式的值，根据，得出，，再分别代入进行计算，即可作答． 【详解】 解：∵是方程的一个根， ∴， 则，， ∴ ， 故答案为：13． 23．（25-26学年九上·重庆礼嘉中学校·期中）若是方程的根，则式子的值为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查一元二次方程的解，代数式求值．根据一元二次方程的解的定义，将 a 代入方程得到关系式，再通过代数式变形求值． 【详解】 解：a是方程 的根， ，即， ， ． 故答案为：． 24．（25-26学年九上·重庆江津中学校·期中）若关于x的一元二次方程的一个解是，则的值为　　　　　　． 【答案】4011 【分析】 本题考查了一元二次方程解的定义，代数式求值，将代入方程得到，再代入计算． 【详解】 解：∵ 是方程 的解， ∴代入得 ， 即 ， ∴ ， ∴ ． 故答案为：4011． 25．（25-26学年九上·重庆云阳县第二初级中学·期中）若m是一元二次方程的解，则　　　　　　　　　． 【答案】9 【分析】 本题考查了一元二次方程的解，能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解；把代入得，然后利用整体代入的方法计算即可． 【详解】 解：把代入得， ∴， 故答案为：9． 26．（25-26学年九上·重庆第九十五初级中学校·期中）若是一元二次方程，的一个根，则m的值为　　　　　　． 【答案】15 【分析】 本题考查了一元二次方程的解，牢记“把方程的解代入原方程，等式左右两边相等”是解题的关键． 将代入方程，利用方程根的定义求解即可． 【详解】 解：∵是方程的一个根， ∴ ， 故答案为：15． 27．（25-26学年九上·重庆万州国本中学校·期中）已知关于x的方程是一元二次方程，则　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义可得，，求解即可，熟练掌握一元二次方程的定义是解此题的关键． 【详解】 解：∵关于x的方程是一元二次方程， ∴，， ∴， 故答案为：． 28．（25-26学年九上·重庆江津二中联·期中）先化简，再求值： ．其中m是方程的根． 【答案】， 【分析】 本题主要考查了分式的化简求值，一元二次方程解的定义．先计算括号内的，再计算除法，然后根据一元二次方程解的定义可得，然后代入，即可求解． 【详解】 解：                                  ． ∵是方程的根， ∴， ∴原式． 29．（25-26学年九上·重庆万州区万州·期中）已知一元二次方程，则代数式的值等于　　　　　　　　　　　． 【答案】3 【分析】 本题考查的是一元二次方程的定义，求解代数式的值，由一元二次方程出发，利用代数变形求出的值，再通过完全平方公式计算． 【详解】 解：由方程 ，可知 ，将方程两边除以，得 ， 即， ∴， 故答案为：3． 30．（25-26学年九上·重庆第二外国语学校·期中）已知m是方程的一个根，则的值为　　　　　　　． 【答案】4 【分析】 此题考查了一元二次方程的解，代数式求值，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值． 将代入已知方程求出的值，原式变形后代入计算即可求出值． 【详解】 解：将代入已知方程得：，即， ． 故答案为：． 31．（25-26学年九上·重庆渝北中学校·期中）先化简，再求值：，其中是方程的解． 【答案】，． 【分析】 本题考查了分式的化简求值，一元二次方程的解，先根据分式的运算法则化简，再根据是方程的解，求得，代入即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】 解： ， ∵是方程的解， ∴， ∴， ∴原式． 考点02 配方法 1．（25-26学年九上·重庆万州国本中学校·期中）用配方法解方程，配方后的方程是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据完全平方公式 可知，原式中的 ，由此可知公式中的参数 ， ，配方后应有 ，由此可推出配方的方法. 【详解】 解：∵， ∴原式变形得，， ，即， 故选： ． 【点睛】 本题主要考查乘方公式的运用，熟练掌握乘法公式是解题的关键． 2．（25-26学年九上·重庆万州·期末）用配方法解一元二次方程，配方正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题主要考查用配方法解一元二次方程，熟练掌握完全平方公式是解决本题的关键．将方程常数项移到右边，再在方程两边加上一次项系数一半的平方，把左边配成完全平方式，进而得到配方结果． 【详解】 解：∵， ∴移项得， ∵一次项系数为，其一半的平方为， ∴方程两边同时加25，得， 即． 故选C． 3．（25-26学年九上·重庆铜梁区铜梁·期中）用配方法解方程时，配方正确的方程是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题主要考查了配方法解一元二次方程，先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方即可． 【详解】 解： 移项得：， 配方得：，即， ∴， 故选：D． 4．（25-26学年九上·重庆铜梁区铜梁·期中）用配方法解一元二次方程时，此方程可化为（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查配方法解一元二次方程，通过配方将方程转化为完全平方形式，需根据一次项系数确定配方的常数项，并保持等式成立，熟练掌握配方法解一元二次方程是解此题的关键． 【详解】 解：∵， ∴， ∴，即， 故选：C． 5．（25-26学年九上·重庆万州区万州·期中）用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是(     ) A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了配方法解一元二次方程．先将常数项移到等号右边，再在两边同时加上一次项系数一半的平方，最后根据完全平方公式即可完成配方，即可求解． 【详解】 解：， ∴， ∴， 即， 故选：D． 6．（25-26学年九上·重庆北碚区江北中学·期中）用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 方程两边同时加上一次项系数一半的平方即计算即可． 【详解】 ∵， ∴， ∴， ∴， 故选D． 【点睛】 本题考查了配方法，熟练掌握配方法的基本步骤是解题的关键． 7．（25-26学年九上·重庆第三十七中学校·期中）用配方法解方程，则配方结果正确的是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了配方法，首先把方程的二次项系数化为1，移项，然后在方程的左右两边同时加上一次项系数一半的平方，左边就是完全平方式，右边就是常数，然后利用平方根的定义即可求解． 【详解】 解：原方程变形为 即， ∴， 即． 故选C． 8．（25-26学年九上·重庆铁路中学校·期中）用配方法解方程，则配方正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题主要考查了利用配方法解一元二次方程，解题的关键是掌握配方法． 利用配方法进行求解即可． 【详解】 解： 故选：D． 9．（25-26学年九上·重庆朝阳中学·期中）用配方法解方程时，配方结果正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了配方法解一元二次方程，利用配方法，将方程左边配成完全平方式即可． 【详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 10．（25-26学年·重庆朝阳教育集·期中）若可以配成一个完全平方公式，则m的值为（    ） A.  B.  C. 16 D.  【答案】D 【分析】 本题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方式的特点是解题的关键； 根据完全平方式得出，即可求解． 【详解】 解：∵ 是一个完全平方式， ∴可设为 ， ∴， 解得：． 故选：D． 11．（25-26学年九上·重庆长寿中学校·期中）用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查配方法解一元二次方程．通过移项和配方，将方程转化为完全平方形式． 【详解】 解：∵ ， ∴ （移项）， ∴ （两边加一次项系数一半的平方）， ∴ ， ∴ 配方后得到的方程是 ， 故选：D． 12．（25-26学年九上·重庆江津二中联·期中）用配方法解一元二次方程，则变形正确的是（        ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了配方法解一元二次方程，使用配方法解方程，需将常数项移项后，方程两边加上一次项系数一半的平方，形成完全平方式即可． 【详解】 解：∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 故选：D． 13．（25-26学年九上·重庆合川中学）一元二次方程的解为：　　　　　　　　　　. 【答案】， 【分析】 本题主要考查了直接开方法解一元二次方程， 先移项，合并同类项，再直接开方即可． 【详解】 解：方程， 移项得：， 即， 开方，得， ∴，． 故答案为：，． 14．（25-26学年九上·重庆北碚区江北中学·期中）解方程：，则　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了求平方根的方法解方程，先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时除以2后开平方即可得到答案． 【详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 15．（25-26学年九上·重庆铁路中学校·期中）解方程： （1）x2－6x－4＝0；              （2）3x(x－2)＝2x－4． 【答案】（1）x1＝3＋，x2＝3－；（2）x1＝ ，x2＝2 【分析】 （1）先配方、然后运用直接开平方法解答即可； （2）先对2x－4因式分解，然后再移项，最后运用因式分解法解答即可 【详解】 解：（1）x2－6x＋9－9－4＝0 (x－3) 2＝13 x－3＝± x1＝3＋，x2＝3－ （2）3x(x－2)＝2(x－2) 3x(x－2)－2(x－2)＝0 (3x－2) (x－2)＝0 x1＝，x2＝2． 【点睛】 本题主要考查了一元二次方程的解法，掌握配方法、直接开平方法以及因式分解法是解答本题的关键． 16．（25-26学年九上·重庆开州中学·期中）解方程： （1）； （2）． 【答案】（1），；     （2）      【分析】 本题考查解一元二次方程，分式方程； （1）利用配方法解方程即可； （2）先去分母，再解整式方程，最后检验即可． (1) 小问详解： 解：， ， ， ， ，； (2) 小问详解： 解：方程两边同乘得：， 解得：， 检验：当时，， 原方程的解为：． 17．（25-26学年九上·重庆朝阳中学·期中）（1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1）；（2） ， 【分析】 本题主要考查了二次根式的混合运算，解一元二次方程，解题的关键是： （1）根据二次根式的性质、二次根式的运算法则计算即可； （2）根据配方法求解即可． 【详解】 解：（1）原式 ； （2）， ， ， ， ， ∴ ，． 18．（25-26学年九上·重庆第一中学校·期中）计算： （1）解不等式组： ； （2）解方程：． 【答案】（1）     （2），．      【分析】 本题考查的是解一元一次不等式组和解一元二次方程． （1）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集． （2）利用配方法求解可得． (1) 小问详解： 解： ， 解不等式，得：， 解不等式，得：， 则不等式组的解集为； (2) 小问详解： ∴， ∴， ∴， 解得：，． 考点03 公式法 1．（25-26学年九上·重庆·期末）一元二次方程的根的情况是（       ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】D 【分析】 本题考查一元二次方程根的判别式：通过计算根的判别式的值来判断根的情况． 【详解】 解：， ∴， ∴方程没有实数根． 故选：D． 2．（25-26学年九上·重庆铜梁区铜梁·期中）关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为（        ） A. 且 B.  C.  D. 且 【答案】D 【分析】 本题主要考查了一元二次方根的判别式，解不等式，一元二次方程的定义等内容，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式． 根据根的情况和一元二次方程的定义，列出不等式，然后进行求解即可． 【详解】 解：根据题意得，， 解得， 当，即时，不符合题意， ∴， 综上，且， 故选：D． 3．（25-26学年九上·重庆铁路中学校·期中）一元二次方程的根的情况是（　　） A. 有两个不相等的实数根 B. 没有实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 无法确定 【答案】A 【分析】 根据一元二次方程的根的判别式得到，即可得出答案． 【详解】 解：∵， ∴一元二次方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 【点睛】 本题考查了一元二次方程根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 4．（25-26学年九上·重庆江津二中联·期中）关于一元二次方程的根的情况，下列说法正确的是（       ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法判断 【答案】C 【分析】 本题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1），方程有两个不相等的实数根；（2），方程有两个相等的实数根；（3），方程没有实数根．根据根的判别式即可求出答案． 【详解】 解：∵， ∴方程没有实数根． 故选：C． 5．（25-26学年九上·重庆永川中学校·期中）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 当一元二次方程有两个不相等的实数根时，根的判别式，据此列出关于的不等式，解不等式即可得到的取值范围． 【详解】 解：由于方程有两个不相等的实数根， 则判别式 解得：． 6．（25-26学年九上·重庆铜梁区铜梁·期中）对于整式，，，先将每两个整式顺次相加，接着将所得和的绝对值相减，即，再化简求值，这样的运算称为“绝对值的和差运算”．例如，对于，，，则．①若对，，进行“绝对值的和差运算”的结果是；②，，进行“绝对值的和差运算”化简结果可能存在的不同表达式有种；③若，则对，，，的“绝对值的和差运算”化简结果为．以上说法中正确的个数为（       ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】C 【分析】 ① 根据“绝对值的和差运算”的运算方法进行运算，即可判定；② 根据“绝对值的和差运算”的运算方法进行运算，即可判定；③ 首先根据“差绝对值运算”的运算方法进行运算，再分类讨论，化简绝对值符号即可判定． 【详解】 解∶① 对，，进行“绝对值的和差运算”可得，故① 正确； ②，，进行“绝对值的和差运算”可得 ∵， ∴时， 当或时，，而， 此时； 当时，， 而， 此时， 共有两种不同表达式；故② 正确； ③ 对，，，的“绝对值的和差运算”可得 ∵， ∴，，，， ∴ ，故③ 错， 正确的个数是2个， 故选：C． 【点睛】 本题考查了新定义运算，解不等式、化简绝对值符号，整式的加减运算以及一元二次方程的求解等知识，掌握绝对值运算整式的运算是解题的关键． 7．（25-26学年九上·重庆铜梁区铜梁·期中）关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（       ） A.  B. 且 C.  D. 且 【答案】D 【分析】 本题考查由一元二次方程根的情况求参数范围，涉及一元二次方程的定义、一元二次方程根的判别式、解不等式等知识，根据关于的一元二次方程有实数根，得到，解不等式即可得到答案，熟练掌握由一元二次方程根的情况求参数范围的方法是解决问题的关键． 【详解】 解：关于的一元二次方程有实数根， ，解得，且， 故选：D． 8．（25-26学年九上·重庆开州区文峰·期中）已知整式，其中为正整数，且，且，下列说法正确的个数是（       ） 若，则多项式可以为二次三项式；若，满足条件的所有整式的和为；若，满足条件的所有二次三项式中，当取任意实数时，其值一定为非负数的整式共有4个 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【分析】 本题考查整式加减的应用，多项式，一元二次方程的根的判别式． 逐一分析各说法，结合因数分解和判别式进行验证即可． 【详解】 解：当时，寻找且的正整数解， 可能的分解为或，均不满足严格递增条件， 故不存在二次三项式， ∴错误； 当时，所有可能的整式包括： 一次多项式：，， 二次三项式：， 求和后常数项为， 一次项为，二次项为，总和为， ∴正确； 当时，满足的二次三项式有： ，，，， 计算各多项式判别式均小于0，故所有多项式恒非负， ∴正确． 综上，正确的个数为2． 故选：C． 9．（25-26学年九上·重庆江津中学校·期中）下列方程无实数根的是（       ） A.  B. 2 C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查一元二次方程根的判别式，分别求出各选项对应的一元二次方程判别式，根据结果判断即可．解题的关键是掌握一元二次方程有实数根需满足． 【详解】 解：A．∵， ∴，，， ∵， ∴方程无实数根，故此选项符合题意； B．∵ ∴，，， ∵， ∴方程有两个实数根，故此选项不符合题意； C．∵， ∴，，， ∵， ∴方程有两个实数根，故此选项不符合题意； D．∵， 整理得：， ∴，，， ∵， ∴方程有两个实数根，故此选项不符合题意． 故选：A． 10．（25-26学年九上·重庆开州中学·期中）如果关于的分式方程有负分数解，且关于的方程有实数解，那么符合条件的所有整数的积是（　　） A.  B. 0 C. 3 D. 9 【答案】D 【分析】 此题考查了根的判别式以及解分式方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．分和两种情况讨论，根据关于的方程有实数解确定出的范围，分式方程去分母转化为整式方程，将的整数解代入整式方程，检验分式方程解为负分数确定出所有的值，即可求出之积． 【详解】 解：当时，方程化为，，此时方程有实数根， 当时，关于的方程为一元二次方程， ∵关于的方程有实数解， ∴， 解得， 分式方程 去分母得：， ∴， ∵有负分数解， ∴， ∴， ∴， 把代入整式方程得：，即，符合题意； 把代入整式方程得：，即，不合题意； 把代入整式方程得：，即，符合题意； 把代入整式方程得：，即，不合题意； 把代入整式方程得：，即，符合题意； 把代入整式方程得：，即，不合题意； 把代入整式方程得：，即，符合题意； ∴符合条件的整数取值为，，，，之积为， 故选：． 11．（25-26学年九上·重庆永川区文理·期中）已知多项式，多项式，则下列结论正确的有（     ） ①若，则代数式的值为； ②当时，代数式的最小值为； ③当时，若，则关于的方程有两个实数根； ④当时，若，则的取值范围是． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【分析】 此题考查一元二次方程的根的情况，整式的加减法计算法则，已知字母的值求代数式的值，绝对值方程，① 解方程得x值，代入代数式验证；② 配方求最小值；③ 判断的解的个数；④ 利用绝对值几何意义求解x范围 【详解】 ① 当时，，则 得或， 当时，； 当时，；故① 正确； ② 当时，， 在时，取最小值，正确； ③时，， ∵，， ∴， ∴， ∵, ∴关于的方程有两个实数根，正确； ④时，，， ∴，表示数轴上表示数的点到数与到数的点的距离和为13， ∴， 解得，正确； 故选D 12．（25-26学年九上·重庆第九十五初级中学校·期中）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（     ） A. 且 B.  C. 且 D.  【答案】A 【分析】 本题考查了一元二次方程的定义及根的判别式，根据一元二次方程的定义和根的判别式列出不等式解答即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】 解：由题意得，且， 解得且 ， 故选：． 13．（25-26学年九上·重庆广益中学·期末）关于x的一元二次方程，下列说法： ①若，则方程必有一个根是； ②若方程有两个不相等的实数根，则方程必有两个不相等的实数根； ③若是一元二次方程的根，则； ④若方程的两个根为，且满足，则方程，必有实数根． 其中，正确的说法有（     ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【分析】 本题考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，求根公式． 直接将代入即可判断说法①；根据根的判别式即可判断说法② ；根据求根公式即可判断说法③ ；根据根与系数的关系得到，则方程可化为，求解方程即可判断说法④ ． 【详解】 解：说法①：若， 则当时，， ∴是方程的根，故①正确； 说法② ：∵方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴， ∴方程必有两个不相等的实数根，故② 正确； 说法③：∵是一元二次方程的根， ∴， ， ∴，故③正确； 说法④ ：∵方程两根为， ∴， ， ∴方程可化为：， 即：， ∴， ∴或，故④ 正确； 综上所述，四个说法都正确． 故选：D． 14．（25-26学年九上·重庆北碚区江北中学·期中）将代数式记为，代数式记为，现进行如下操作：记，，，；，；，以此类推．下列说法： ①； ②若为正整数，为整数，则或或； ③关于的方程（为正整数）只有个实数根． 其中正确的个数是（    ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了整式的加减，数字规律，分式的运算等，通过计算和的通项公式，再逐项判断各说法即可求解，利用题干的规定找出数字的规律是解题的关键． 【详解】 解：① ∵ ，， ∴，， ∴， ， ∴，， ∴，； ∴，， ∴，，故① 正确； ② 由① 可得，，， ∴， ∵为正整数，且该式为整数， ∴是的正因数， ∴， 解得，故② 正确； ③ 由① 可得，，， ∵方程， 当为奇数时，设， 则， 化简得，， 即 ， 整理得 ， ∵， ∴方程有两个实数根； 当为偶数时，设， 则， 化简得，， 即 ， 整理得， ， ∵， ∴ 方程没有实数根； ∴综上，方程只有有个实数根，故③ 正确； 综上，正确的说法有个， 故选：． 15．（25-26学年九上·重庆暨华中学校·期中）将有序数对进行操作后得到一个新的有序数对，将得到的新的有序数对按上述操作继续进行下去，每得到一个新的有序数对称为一次操作．例如：经过第一次操作后得到，经过第二次操作后得到．下列说法①若经过三次操作得到，且，则．②将经过2n（为正整数）次操作后，得到的有序数对为．③在平面直角坐标系中，将所对应的点记为，经过第一次操作后的点记为，第二次操作后的点记为，当时，若直线与直线互相垂直（为正整数），则．正确的个数为（     ）． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【分析】 本题考查数字类规律探究、一次函数的应用、勾股定理、解一元二次方程，理解题意是解答的关键．根据题中操作可判断① ；根据题中操作，发现规律可判断② ；根据题中操作可得，，，，利用待定系数法分别求得直线的表达式为，直线的表达式为，可得两直线相交于坐标原点，则有，然后利用勾股定理列方程求解a值即可判断③，进而可得答案． 【详解】 解：①经过第一次操作后得到，经过第二次操作后得到，经过第三次操作后得到， 则由题意，得，解得，故①错误； ②经过第一次操作后得到， 经过第二次操作后得到，即， 经过第三次操作后得到， 经过第四次操作后得到，即 经过第五次操作后得到， 经过第六次操作后得到，即， ……， 依次类推， 经过2n（为正整数）次操作后，得到的有序数对为，故②正确； ③经过第一次操作后得到， 经过第二次操作后得到，即， 经过第三次操作后得到， 经过第四次操作后得到，即， 经过第五次操作后得到， 经过第六次操作后得到，即， ……， 依次类推，，，，， 设直线的表达式为， 则 ，解得 ， ∴直线的表达式为， 同理直线的表达式为， 可得两直线相交于坐标原点， 若直线与直线互相垂直时，则有， ∵， ∴，， 由得：， 整理，得， 解得，故③错误， 综上，正确的有1个， 故选：B． 16．（25-26学年九上·重庆第九十五初级中学校·期中）已知整式，其中，，，均为整数，且，下列结论： ①满足条件的整式M中有3个单项式； ②若，则方程一定有实数解； ③若，则满足条件的整式共有5个 其中说法正确的个数是（     ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【分析】 本题考查整式的概念、一元二次方程的判别式以及绝对值的性质，解决本题的关键是熟练掌握以上性质判断结论． 结论① 涉及单项式的判断，结论② 利用平方和为零得出系数关系并验证方程有实解，结论③ 通过绝对值相等和整数条件确定整式的个数． 【详解】 解：∵ 且 ， ① 若为单项式，除了一个系数外，其他系数必须为零，由可排除 故有、、 共3个，结论正确． ② ∵ ， ∴ 且 ， 结合，得，， 若 ，则一次方程有实解；若，则判别式，恒有实解，结论正确． ③ 设，设个系数为，个系数为， 则（其中）， 当时，，得； 当时，，有4种选择负系数的位置， 故共5个整式，结论正确． 综上，三个结论均正确． 故选：D． 17．（25-26学年九·重庆江津区实验中学·期末）关于x的一元二次方程（m-1）x2-（2m+1）x+（m+1）=0有实数根，则m的取值范围是　　　　　　． 【答案】m≥-且m≠1 【分析】根据一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac的意义得△≥0，即（2m+1）2-4（m+1）（m-1）≥0，且m-1≠0，然后求出两个不等式的公共部分即可． 【详解】解：∵一元二次方程（m-1）x2-（2m+1）x+（m+1）=0有实数根， ∴△≥0，即（2m+1）2-4（m-1）（m+1）≥0， 解得：m≥ - ， ∵m-1≠0， ∴m≠1， 则m的取值范围是m≥ 且m≠1. 故答案为m≥ 且m≠1． 【点睛】本题考查一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根． 18．（25-26学年九上·重庆北碚区江北中学·期中）解方程：． 【答案】， 【分析】 本题考查了一元二次方程的求法，判断出判别式的取值范围是解决本题的关键． 先判断方程的跟的判别式，再由求根公式代入求解即可． 【详解】 解：方程为， ，，， ， ， ，． 19．（25-26学年九上·重庆万州·期末）（1）计算： （2）解方程： 【答案】（1）；（2）， ． 【分析】 本题考查了二次根式的混合运算，以及一元二次方程的求解，即公式法，解决本题的关键是熟练掌握以上运算并正确求解． （1）先化简二次根式，再根据二次根式的混合运算计算即可． （2）根据公式法求解一元二次方程的解即可． 【详解】 解：（1） ． （2）在方程中，，，， 则， 解得， ． 20．（25-26学年九上·重庆永川区文理·期中）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查的是一元二次方程根的判别式，注意记忆判别式大于0时有两个不相等的实数根，判别式等于0时有两个相等的实数根，判别式小于0时方程无实数根．根据有两个不相等的实数根，直接得到判别式，即可求解本题． 【详解】 解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：； 故答案为：． 21．（25-26学年九上·重庆永川中学校·期中）已知关于x的一元二次方程 （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）若△ABC的两边AB、AC的长是方程的两个实数根，第三边BC的长为5．当△ABC是等腰三角形时，求k的值 【答案】（1）证明：∵△=（2k+1）2-4（k2+k）=1＞0， ∴方程有两个不相等的实数根； （2）或 【分析】 （1）先计算出△=1，然后根据判别式的意义即可得到结论； （2）先利用公式法求出方程的解为x1=k，x2=k+1，然后分类讨论：AB=k，AC=k+1，当AB=BC或AC=BC时△ABC为等腰三角形，然后求出k的值． 【详解】 （1）略 （2）解：一元二次方程x2-（2k+1）x+k2+k=0的解为x=， 即x1=k，x2=k+1， ∵k＜k+1， ∴AB≠AC． 当AB=k，AC=k+1，且AB=BC时，△ABC是等腰三角形，则k=5； 当AB=k，AC=k+1，且AC=BC时，△ABC是等腰三角形，则k+1=5，解得k=4， 所以k的值为5或4． 【点睛】 本题考查了：1．根的判别式；2．解一元二次方程；3．三角形三边关系；4．等腰三角形的性质． 22．（25-26学年九上·重庆长寿中学校·期中）关于的一元二次方程有两个实数根，则实数的取值范围为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查由一元二次方程根的情况求参数，熟记判别式符号与一元二次方程根的情况的关系是解决问题的关键． 根据一元二次方程有两个实数根的条件，判别式非负，由此列出不等式求解． 【详解】 解：关于的一元二次方程有两个实数根， ， ，，， 则， 解得， 故答案为：． 23．（25-26学年九上·重庆江津区实验中学·期中）已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围　　　　　　． 【答案】且 【分析】 本题考查由一元二次方程、一元二次方程解的情况求参数，熟记一元二次方程定义、一元二次方程根的情况与判别式关系是解决问题的关键． 由一元二次方程定义得到，由一元二次方程有实数根得到，解不等式得到，从而确定答案． 【详解】 解：是一元二次方程， ，解得； 关于的一元二次方程有实数根， ， 解得， ，且， 故答案为：且． 24．（25-26学年九·重庆綦江区未来学校·期中）已知关于x的一元二次方程有两个相等的实根，则m的值为　　　　　　． 【答案】1 【分析】 此题考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式．当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根．由题意可得，解方程求解即可． 【详解】 解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 解得：． 故答案为：． 25．（25-26学年九上·重庆·期末）解下列方程 （1）； （2）． 【答案】（1），     （2），      【分析】 本题考查的是解一元二次方程，掌握一元二次方程的解法是解题关键． （1）利用公式法解方程即可； （2）利用直接开方法解方程即可． (1) 小问详解： 解：， 移项得：， 其中，，，， ， ， ，． (2) 小问详解： 解： ， ， 解得：，． 26．（25-26学年九上·重庆铜梁区铜梁·期中）解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了解一元二次方程． （1）先移项，然后根据直接开平方法解一元二次方程，即可求解； （2）根据公式法解一元二次方程，即可求解． (1) 小问详解： 解： ∴ ∴， 解得： (2) 小问详解： 解： ∴， ， ∴ 解得：． 27．（25-26学年九上·重庆沙坪坝区重庆第一中学校·期中）按要求完成下列各题： （1）求不等式组： 的所有整数解； （2）解一元二次方程：． 【答案】（1），     （2）      【分析】 本题考查了求不等式组的整数解，解一元二次方程． （1）分别解不等式① 和② ，找出它们的解集的交集，然后确定其中的整数解； （2）使用求根公式解一元二次方程； (1) 小问详解： 解：解不等式① 得： 解不等式② 得： ∴不等式组的解集为：， 整数解为：， (2) 小问详解： 解： ∴，， ∴， 解得： 28．（25-26学年九上·重庆第三十七中学校·期中）已知关于x的一元二次方程x2+2x+3k﹣6=0有两个实数根，则实数k的取值范围是　　　　　　　　　　　　　　　　． 【答案】k≤ ． 【详解】试题分析：直接利用根的判别式的性质进而得出b2﹣4ac=4﹣4（3k﹣6）≥0求出即可． 解：∵关于x的一元二次方程x2+2x+3k﹣6=0有两个实数根， ∴b2﹣4ac=4﹣4（3k﹣6）≥0， 解得：k≤ ， 则实数k的取值范围是：k≤ ． 故答案为k≤ ． 考点：根的判别式． 29．（25-26学年·重庆第二外国语学校·期中）我们常用的计算三角形面积的方法，需知道三角形的一边及这边上的高，其实已知一个三角形的三边长分别为a，b，c，也可以求其面积，中外数学家就这个问题曾经进行过深入的研究． 古希腊的几何学家海伦给出过求其面积的海伦公式： ，其中； 我国南宋时期的数学家秦九韶曾经提出利用三角形的三边求其面积的秦九韶公式：， 从以上两个公式中选择恰当的公式，解决以下问题： （1）若一个三角形的三边长分别为2，3，4，求此三角形的面积； （2）若一个三角形的三边长分别为，，，求此三角形的面积； （3）若一个等腰三角形的腰和底边之和为，它们的积为1，求这个等腰三角形面积的平方． 【答案】（1）此三角形的面积为；     （2）此三角形的面积为；     （3）此三角形的面积的平方为．      【分析】 本题考查二次根式的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的三角形的面积． （1）根据海伦公式求这个三角的面积； （2）把三边长代入秦九韶公式，根据二次根式的性质化简即可； （3）把三边长代入秦九韶公式，根据二次根式的性质化简即可． (1) 小问详解： 解：一个三角形的三边长分别为2，3，4， ， ， 此三角形的面积为； (2) 小问详解： 解：由题意，令，，， ； 此三角形的面积为； (3) 小问详解： 解：设等腰三角形的腰长为x，底边为y，则，， 由秦九韶公式得：， ， ， ， 将代入中：， 或不合题意，舍去， ， ，， ， 此三角形的面积的平方为． 30．（25-26学年九上·重庆朝阳中学·期中）已知关于的方程． （1）当时，求方程的根； （2）当取何值时，方程有两个不相等的实数根？ 【答案】（1）     （2）且．      【分析】 本题考查公式法解一元二次方程，判别式求参数，一元一次不等式，掌握知识点是解题的关键． （1）将代入原方程并求解即可； （2）根据一元二次方程判别式和根的情况，列出关于k的不等式求解即可． (1) 小问详解： 解：当时， ， 即 ， ， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴； (2) 小问详解： ∵方程有两个不相等的实数根， ∴，且 ，且 解得 且． 31．（25-26学年九上·重庆第万州三中学·期中）（1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1） （2） 【分析】 本题考查了二次根式的性质，二次根式的混合运算，解一元二次方程，解题的关键在于正确掌握相关运算法则． （1）根据二次根式的性质，以及二次根式的混合运算法则计算求解，即可解题； （2）利用求根公式进行求解，即可解题． 【详解】 解：（1） ； （2）， ， ， ． 32．（25-26学年九上·重庆江津二中联·期中）已知关于的方程． （1）求证：方程总有两个不等的实数根； （2）已知方程的一个根为，求代数式的值． 【答案】（1） 解：∵关于x的一元二次方程． ∴ ∵， ∴方程总有两个不等的实数根．     （2）5      【分析】 本题考查一元二次方程根的判别式及方程根的应用，解题关键是用判别式判断根的情况，将根代入求参数，再化简代数式求值． （1）通过化简方程的判别式得出，根据，证得方程总有两个不等实数根． （2）把代入原方程，得，求出或；再化简代数式为，最后将的两个值分别代入化简式，计算得结果． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解∵是方程的一个根， ∴将代入得： ， ， 解得或． 当时，代入得： ． 当时，代入得： ． ∴代数式的值为5． 33．（25-26学年九上·重庆合川中学）若一元二次方程有实数根，则m的取值范围是　　　　　　． 【答案】且 【分析】 本题主要考查了一元二次方程的定义，根的判别式．一元二次方程根的判别式．一元二次方程有两个不相等的实数根，；一元二次方程有两个相等的实数根，；一元二次方程没有实数根，．熟练掌握是解决问题的关键． 根据一元二次方程有实数根，求解，结合即可得到答案． 【详解】 解：∵一元二次方程有实数根， ∴，． ∴，且． 故答案为：且． 34．（25-26学年九上·重庆万州·期末）若关于x的一元二次方程有两个实数根，且满足等式成立，则所有满足条件的整数的值之和是　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程根的判别式，二次根式的乘法运算，二次根式有意义的条件，由一元二次方程有两个实数根可得判别式非负且二次项系数不为零，由等式成立可得被开方数非负，综合可得整数 的取值范围，并求所有整数值之和，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】 解：∵方程有两个实数根， ∴判别式，即，且二次项系数，即， ∵ ， ∴且，即且， ∴的取值范围为且， ∴整数为：， 验证判别式： 当，； 当，； 当，； 当，； 当，； 当，； ∴所有整数均满足条件，其和为， 故答案为：． 35．（25-26学年九上·重庆北碚区江北中学·期中）任意一个三位数，如果满足各个数位上的数字都不为零，且百位上的数字与个位上的数字之和等于十位上数字的2倍，那么称这个数为“双倍快乐数”．例如：，因为所以234是“双倍快乐数”．则最小的的“双倍快乐数”为　　　　　　　　；若是一个“双倍快乐数”，且使关于的一元二次方程有两个相等的实数根，设，若能被6整除，则所有满足条件的有　　　　　　　　个． 【答案】① 111    ② 3 【分析】 本题主要考查了新定义下的实数运算，一元二次方程根的判别式．理解题意，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．第一空根据“双倍快乐数”的定义解答即可；第二空根据一元二次方程根的判别式得出，，之间的关系，再结合“双倍快乐数”的定义以及能被6整除这一条件来确定满足条件的的个数即可． 【详解】 解：∵三位数，满足各个数位上的数字都不为零， ∴十位上数最小只能为1， ∵百位上的数字与个位上的数字之和等于十位上数字的2倍，且是最小的的“双倍快乐数”， ∴根据定义可得最小的“双倍快乐数”为111； ∵是一个“双倍快乐数”， ∴， ∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴,即， ∴， ∵,若能被6整除， ∴设， ， 能被6整除，即能被6整除， 能被整除， 既能被2整除又能被3整除， 是1到9的整数， 、6、9， 当时，，当时，，当时，， ∴满足条件的有3个， 故答案为：111；3． 36．（25-26学年九上·重庆第万州三中学·期中）若关于的一元二次方程有实数根，且关于的分式方程的解是非负整数，则满足条件的整数的值的和为　　　　　　　　． 【答案】2 【分析】 本题考查了根据一元二次方程根的情况求参数，以及根据分式方程解的情况求参数，解题的关键在于熟练掌握一元二次方程定义，以及分式方程有意义的条件． 首先根据一元二次方程有实数根的条件，得到且；再解分式方程，得到 ，由解是非负整数且，得到，为奇数，且；综合条件得到整数的值，最后求和，即可解题． 【详解】 解：关于 的一元二次方程 有实数根， 则二次项系数，即 ， 且判别式 ， 解得 ， 即 ， 所以 ． 关于的分式方程的解是非负整数，， 整理得， 即， 解得，又， 即 ，所以 ． 由解是非负整数，得，即，且为整数，故为偶数，即为奇数． 综上所述，为整数，且，，，为奇数，则满足的值为 ． 这些值的和为． 故答案为：． 考点04 因式分解法 1．（25-26学年九上·重庆第万州三中学·期中）已知关于，的多项式，（、为常数），则下列说法： ①当时，若，则； ②当，时，若，则； ③当，时，若，则． 其中正确说法的个数为（     ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】A 【分析】 本题主要考查了一元二次方程的解法，完全平方公式．熟练掌握完全平方公式，算术平方根的非负性，一元二次方程的解法是解题的关键． 将、代入多项式，再根据条件解方程即可求解． 【详解】 解：①当  时，若 ，则 ， ∴ ∴ 或 ． 当 时，不一定成立，故①说法错误， 说法②：当，时，若， 即：， ∴ 则 或． 故说法②错误． 说法③：当，时，， 代入，得， 整理得： 当时，， 解得：， 当时，，此方程无解； 当时，， 解得：， 说法③错误． 综上所述：所有三个说法均错误．正确说法个数为 0． 故选A． 2．（25-26学年九上·重庆铜梁区铜梁·期中）有n个依此排列的整式：第一项是，为，用第一项加上得到第二项，再将加上2得到，将第二项加上得到第三项，再将加上2得到，……以此类推，下列说法：①当时，第三项为36；②若第四项与第五项的和为85，则或；③若，则；④第项为．其中正确的个数是（       ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】D 【分析】 先分别探究第一项至第四项，再总结规律，再利用规律逐一分析解题即可． 【详解】 解：根据题意可得： 第一项：， 第二项：， 第三项：， 第四项：， 第项为：，故④ 不符合题意； 第项，， 当时，第三项：，故① 符合题意； 当第四项与第五项的和为85， ∴， 解得：或，故② 不符合题意； 当时， ∵， ， ， ∴ ∴，故③ 不符合题意； 故选：D 【点睛】 本题考查的是整式的加减运算，一元二次方程的解法，数字的变化规律等，解题的关键是根据题意分别确定，第一项至第四项，再总结规律，利用规律解题． 3．（25-26学年九上·重庆永川中学校·期中）定义：已知，是关于的一元二次方程的两个实数根，若，且，则称这个方程为“友好方程”．如：一元二次方程的两根为，，且，所以一元二次方程为“友好方程”．关于的一元二次方程，有下列两个结论：①当时，该方程是“友好方程”；②若该方程是“友好方程”，则有且仅有个整数满足要求，对于这两个结论判断正确的是（     ） A. ①②都正确 B. ①②都错误 C. ①正确，②错误 D. ①错误，②正确 【答案】C 【分析】 本题考查了新定义方程，解一元二次方程，根的判别式，把代入方程，求出方程的根，再根据“友好方程”的定义即可判断① ；利用因式分解法解方程得，或，，分两种情况，根据“友好方程”的定义求出的取值范围，进而可判断② ；理解新定义方程是解题的关键． 【详解】 解：① 当时，方程为， 解得，， ∴， ∵，且， ∴该方程是“友好方程”，故① 正确； ② ∵， ∴， ∴或， ∴，或，， ∵该方程是“友好方程”， ∴该方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴， 当，时， ∵， ∴， 解得， ∵有且仅有个整数满足要求， ∴此时的值不存在； 当，时，， 解得， 又∵， ∴此时满足要求的整数的值只有，两个，故② 错误； 综上，结论① 正确，② 错误， 故选：． 4．（25-26学年九上·重庆巴蜀中学·期中）已知：，其中为自然数，，，，，，为整数，且，下列说法： ①若，，则； ②若，，，，且能分解为的形式（，，，为整数），则． ③若，且与有相同的非零实数根，则； 其中正确的有（       ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】D 【分析】 本题考查多项式运算、因式分解和方程根的性质，需熟练掌握代数基本方法．说法① 当，，时，可得：，则，把两个等式的两边分别相减，求出；说法② 通过把多项式因式分解，可得与相等，得到、的值；说法③ 通过设公共根并解方程组推导系数关系。． 【详解】 解： 当，，时， 可得：， 则， ， ， 故正确； 若，，，， ， 能分解为的形式， 一次因式为，即，， 故② 正确； 设公共非零实根为，则， ，即 ， 得：， ， ， 代入得， ， ， 故正确． 综上，三个说法均正确． 故选：D． 5．（25-26学年九上·重庆双桥中学·期中）一元二次方程的解是　　　　　　　　． 【答案】， 【详解】 解：， ， 或， 解得，． 6．（25-26学年九上·重庆渝北区石鞋学校）方程x2﹣2x=0的解为　　　　　　　　　　　　　 【答案】x1=0，x2=2 【分析】 把方程的左边分解因式得x（x-2）=0，得到x=0或 x-2=0，求出方程的解即可． 【详解】 解：x2-2x=0， x（x-2）=0， x=0或 x-2=0， 故答案为：x1=0 ，x2=2． 【点睛】 本题主要考查对解一元二次方程-因式分解法，解一元一次方程等知识点的理解和掌握，把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键． 7．（25-26学年九上·重庆广益中学·期末）解下列一元二次方程： （1）； （2） 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题主要考查一元二次方程的解法，熟知解法是正确解答此题的关键． （1）用因式分解法将方程变形成解方程即可． （2）用因式分解法将方程变形成解方程即可． (1) 小问详解： 解：， ， ， 解得 ； (2) 小问详解： 解：， ， ， ， ， 解得 ． 8．（25-26学年九上·重庆铜梁区铜梁·期中）方程的根为　　　　　　　． 【答案】 【详解】 解：x（x－3）=0 ， 解得：x1=0，x2=3． 故答案为：x1=0，x2=3． 9．（25-26学年九·重庆江津区实验中学·期末）解方程 （1）. x2-2x-2=0 （2） (x-3)2+2x(x-3)=0 【答案】（1）x1=1+,x2=1- （2）x1=3,x2=1 【分析】（1）根据公式法即可求解 （2）根据提取公因式法因式分解即可求解. 【详解】解：（1）    a=1,b=-2,c=-2 x1=1+,x2=1- （2） (x-3)2+2x(x-3)=0 (x-3)(x-3+2x)=0 (x-3)(3x-3)=0 x-3=0或3x-3=0 x1=3,x2=1 【点睛】本题考查的是一元二次方程的解法中的因式分解法与公式法，掌握因式分解法与公式法解一元二次方程是解本题的关键． 10．（25-26学年九上·重庆开州中学·期中）因式分解：　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了提公因式法与公式法分解因式，提取公因式后利用平方差公式进行二次因式分解，注意分解要彻底．先提取公因式，再运用平方差公式进行因式分解． 【详解】 解：==． 故答案为 11．（25-26学年九上·重庆杨家坪中学·期中）解方程： 【答案】， 【分析】 本题主要考查解一元二次方程，将方程移项后运用因式分解法解方程即可． 【详解】 解：， ， ， 或， ∴， 12．（25-26学年九上·重庆永川区文理·期中）解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1），     （2），      【分析】 本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的常用方法（直接开平方法、配方法、公式法、换元法、因式分解法等）是解题关键． （1）方程可以变形为，利用配方法解方程即可得； （2）方程可以变形为，利用因式分解法解方程即可得． (1) 小问详解： 解：， ， ， ， ， 所以方程的解，． (2) 小问详解： 解：， ， 或， 或， 所以方程的解，． 13．（25-26学年九上·重庆永川中学校·期中）解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了解一元二次方程，熟练掌握因式分解法是解题的关键． （1）使用因式分解法解方程即可； （2）使用因式分解法解方程即可． (1) 小问详解： 解：， ， ， 或， 解得：． (2) 小问详解： 解：， ， 或， 解得：． 14．（25-26学年九上·重庆长寿中学校·期中）解方程： （1） （2）； 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了解一元二次方程，能够根据方程特点灵活选用不同的解法是解题关键． （1）利用因式分解法解方程； （2）利用公式法解方程． (1) 小问详解： 解：， ， ∴或， ∴，； (2) 小问详解： 解： ， ， ， ∴ 15．（25-26学年九上·重庆江津二中联·期中）解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1），     （2），      【分析】 本题考查了一元二次方程因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了数学转化思想也考查了配方法解一元二次方程． （1）利用配方法得到，然后利用直接开平方法解方程； （2）先移项得到，然后利用因式分解法解方程． (1) 小问详解： 解：， ∴， ∴， ∴， ∴，； (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴， ∴或， ∴，． 16．（25-26学年九·重庆綦江区未来学校·期中）解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法，因式分解法，配方法和公式法是解题的关键． （1）利用因式分解法求解； （2）利用公式法求解即可． (1) 小问详解： 解：， ， 解得：； (2) 小问详解： 解：， ， 则， ∴， 解得：． 17．（25-26学年九上·重庆铜梁区铜梁·期中）解方程： （1）； （2）． 【答案】（1），     （2），      【分析】 本题主要考查解一元二次方程，解题的关键是根据方程的特点选择合适的方法求解． （1）将方程左边因式分解为，再求解； （2）将方程两边因式分解，再分情况求解即可． (1) 小问详解： 解： 解得， (2) 小问详解： 当时，解得， 当时，即 解得 所以方程的解为，． 18．（25-26学年九上·重庆江津中学校·期中）解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）,      （2），      【分析】 此题考查了解一元二次方程，熟练掌握因式分解法解一元二次方程是解本题的关键． （1）根据因式分解求解方程即可； （2）先移项，再提取公因式化简求解即可． (1) 小问详解： ， 解得, ； (2) 小问详解： 移项得， ， ， ， 解得，． 19．（25-26学年九上·重庆北碚区江北中学·期中）已知关于x的一元二次方程． （1）求证：方程有两个不相等的实数根． （2）若为等腰三角形，，另外两条边是方程的根，求的周长． 【答案】（1） 证明：由题意得，， ∴方程有两个不相等的实数根；     （2）或      【分析】 本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，等腰三角形的定义，构成三角形的条件： （1）根据根的判别式证明即可； （2）先解方程得到，，再根据等腰三角形的两条边是方程的解，得到是方程的解，据此求出方程的两个根，进而确定的三边长，结合构成三角形的条件求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：， ， 解得，， 当时，解得，， 此时等腰三角形三边分别为1，3，3， ， ∴此时能构成三角形， ， ∴的周长为； 当时，解得，， 此时等腰三角形三边分别为3，3，5， ， ∴此时能构成三角形， ， ∴的周长为； 综上可知，的周长为或． 20．（25-26学年九上·重庆第三十七中学校·期中）解方程 （1）x2+4x+2=0                                      （2）x(x-3)=-x+3 【答案】（1）x=-2±;(2) x1=-1,   x2=3, 【分析】（1）配方法求解可得； （2）因式分解法求解可得． 【详解】(1)∵x2+4x+2=0 ∴x2+4x=−2 x2+4x+4=2 (x−2)2=2 x=-2± (2)∵x(x−3)=−x+3 ∴x(x−3)+x−3=0 (x−3)(x+1)=0 解得：x=−1或x=3. 【点睛】本题考查的是解方程，熟练掌握配方法和因式分解是解题的关键. 21．（25-26学年九上·重庆第二外国语学校·期中）请选择合适的方法解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1），     （2），      【分析】 本题考查了解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的方法：直接开平方法，公式法，配方法，因式分解法等． （1）移项后因式分解求解即可； （2）使用求根公式求解即可． (1) 小问详解： 解： ∴ 或  ∴ 或 ； (2) 小问详解： 解： ，， ∴ ∴，． 22．（25-26学年九上·重庆永川区文理·期中）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）请选择一个的正整数值，并求出方程的根． 【答案】（1）     （2），      【分析】 本题主要考查一元二次方程的判别式，因式分解法求一元二次方程的根，熟练掌握求解方法是解题关键． （1）根据方程有两个不相等的实数根可得，由此即可求解； （2）根据题意，取值，运用因式分解法求一元二次方程的根即可． (1) 小问详解： 解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得，． (2) 小问详解： 解：由（1）可知，且为正整数值， ∴， ∴，即， 解得，． 23．（25-26学年九上·重庆暨华中学校·期中）解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1），；     （2），．      【分析】 本题考查了一元二次方程的求解，熟练掌握一元二次方程的求解方法为解题关键． （1）利用公式法求解一元二次方程即可； （2）利用因式分解的方法求解一元二次方程即可． (1) 小问详解： 解：， ，，， ， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴，． (2) 小问详解： 整理得： ∴，． 24．（25-26学年九上·重庆西南大学附属中学校·期中）已知实数，是方程的两个根，其中，则的值为　　　　　． 【答案】4 【分析】 本题主要考查了解一元二次方程．通过设 ，将原方程转化为关于的二次方程，求解得到，从而确定方程的根为和，由可知，进而，代入表达式计算即可． 【详解】 解：设，则，原方程化为， 解方程， 解得： 或（舍去）， 所以，此时或， 因为， 所以，则． 所以． 故答案为：4 25．（25-26学年九上·重庆第九十五初级中学校·期中）解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了解一元二次方程． （1）根据公式法求解即可； （2）先移项，再根据因式分解法求解即可． (1) 小问详解： 解：， ， ， 解得：； (2) 小问详解： 解：， ， ， ， ， ， 或， 解得：． 26．（25-26学年·重庆朝阳教育集·期中）数缺形时少直观，形缺数时难入微．数形结合是初中数学非常重要的思想方法之一，数形结合可以使数与形之间相互转化．如图，现有A、B、C三种卡片若干． （1）观察图1，请用面积的不同表示方法写出一个代数恒等式； （2）现用x张A卡片、y张B卡片、z张C卡片拼出一个长为，宽为的长方形，试求出的值； （3）观察图2，分解因式： 【答案】（1）     （2）21     （3）      【分析】 本题主要考查了多项式乘以多项式，因式分解的应用，解题的关键是： （1）最右边一幅图的面积等于边长为的大正方形的面积，又等于一个边长为a的小正方形面积加上两个长为，宽为b的长方形面积，再加上边长为的小正方形的面积，据此可得答案； （2）先计算出，则一共需要A卡片6张，B卡片11张，C卡片5张，据此可得答案； （3）观察图形可知，3张A卡片，5张B卡片，2张C卡片的面积之和等于长为，宽为的长方形面积，据此可得答案． (1) 小问详解： 解∶最右边图的面积等于边长为的大正方形的面积，即为，也等于边长为a的小正方形面积加上两个长为，宽为b的长方形面积，再加上边长为的小正方形的面积，即， ∴； (2) 小问详解： 解： ， ∴一共需要A卡片6张，B卡片11张，C卡片4张， ∴，，， ∴； (3) 小问详解： 解：观察图形可知，图2中一共用了3张A卡片，5张B卡片，2张C卡片，组成的是一个长为，宽为的长方形， ∵3张A卡片，5张B卡片，2张C卡片的面积之和等于长为，宽为的长方形面积 ∴． 27．（25-26学年·重庆朝阳教育集·期中）因式分解：　　　　　　． 【答案】 【分析】 先提取公因式，再根据平方差公式进行因式分解即可． 【详解】 解：， 故答案为：． 【点睛】 本题主要考查了综合提公因式和公式法因式分解，解题的关键是正确找出公因式，熟练掌握平方差公式． 28．（25-26学年九上·重庆江津区实验中学·期中）解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了解一元二次方程． （1）根据公式法求解即可； （2）先移项，再根据因式分解法求解即可． (1) 小问详解： 解： (2) 小问详解： 解： 或 29．（25-26学年九上·重庆长寿川维中学校·期中）解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） ，；     （2） ，．      【分析】 本题主要考查了一元二次方程的解法，常用的解一元二次方程的方法有：直接开平方法、配方法、公式法、分解因式法． 用直接开平方法解一元二次方程即可； 用分解因式法解一元二次方程即可． (1) 小问详解： 解：， 两边直接开平方得：， 可得：或， 解得：，； (2) 小问详解： 解：， 移项得：， 提公因式得：， 可得：或， 解得：，． 30．（25-26学年九上·重庆开州中学·期中）我们规定：若一个四位正整数能写成两个正整数的平方差，则称M 为“智慧数”．例如：因为，所以1000是“智慧数”．按照这个规定，1002　　　　　　　　　“智慧数”（填“是”或者“不是”）．若智慧数 M是 偶 数 ，， 且满足两位 数与两位数的和为完全平方数，则满足条件的正整数M 的 值 为 　　　　　　　　　　　　　． 【答案】① 不是    ② 1480 【分析】 假设1002是“智慧数”，则可设（m、n都是正整数），则由，再把1002分解因数得到 或 或 或 ，解方程组看是否有正整数解即可判断1002是不是“智慧数”；求出，根据M为偶数，推出c为偶数且不为0，再讨论d的值，确定c的值，再根据是完全平方数确定b的值，最后确定a的值，则可求出M的值， 再根据“智慧数”的定义验证即可． 【详解】 解：假设1002是“智慧数”，则可设（m、n都是正整数）， ∴， ∵， ∴ 或 或 或 ， 解得 （舍去）或 （舍去）或 （舍去）或 （舍去）， 综上所述，不存在正整数m、n使得， ∴1002不是“智慧数”； ∵， ∴ ， ∵M为偶数， ∴d为偶数， ∴c为偶数且不为0， 当时，，则， ∵是完全平方数，且， ∴当时，是平方数， ∴， ∴此时M表示的数为1480， ∵， ∴此时M是“智慧数”，符合题意； 当时，，则， ∵是完全平方数，且， ∴此时没有满足条件的b； 当时，，则， ∵是完全平方数，且， ∴此时没有满足条件的b； 当时，，则， ∵是完全平方数，且， ∴当时，是平方数， ∴， ∴此时M表示的数为3226； ∵， ∴当时，则 或 ， 解得 或 ， ∴不存在正整数s、t使得成立， ∴3226不是“智慧数”； 综上所述，M的值为1480， 故答案为：1480． 【点睛】 本题主要考查了新定义，解二元一次方程组，因式分解的应用，解题的关键在于理解“智慧数”的定义． 31．（25-26学年九上·重庆万州·期末）一个四位自然数，若满足十位数字与个位数字的和比千位数字与百位数字的和大1，则称这样的四位数为“优和数”．如：5143，，是“优和数”；又如：2451，，不是“优和数”．现有一个“优和数”，千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为（，，，，），将的千位数字与十位数字交换，百位数字与个位数字交换，得到新的四位数，规定，若为正整数，则　　　　　　；在上述条件下，规定，为完全平方数，则满足条件的“优和数”中，最大值与最小值之差为　　　　　　　　． 【答案】① 1    ② 6868 【分析】 本题主要考查因式分解的应用，列代数式，先求出，结合是正整数，得出能被8整除，据此即可求得的值；结合条件求出，，结合和的数值，求出，则，结合为完全平方数，得出或9或16，列举所有满足条件的M值，求最大值与最小值之差即可． 【详解】 解：根据题意可知．，； ∴ ∴ ， ∵是正整数， ∴能被8整除， 又，， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵为完全平方数， ∴或9或16， 当时， 或 ， ∴或2214； 当时， 或 或 或 ， ∴或4335或3527或2719； 当时， 或 或 或 ， ∴或8274或7466或6658； ∴满足条件的“优和数”M中，最大值与最小值的差． 故答案为：1；6868． 32．（25-26学年九上·重庆沙坪坝区重庆第一中学校·期中）我们规定：若一个四位数满足千位数字与十位数字之和为5的倍数，百位数字与个位数字之和为4的倍数，则称这个数为“五湖四海数”，例如：四位数3276，因为，，所以3276是“五湖四海数”．按照这个规定，最小的“五湖四海数”为　　　　　　；若一个“五湖四海数”（其中，，，，且、、、均为整数），记，，若能被3整除，则满足条件的所有的最大值与最小值的差为　　　　　　． 【答案】①     ② 【分析】 本题考查了因式分解的应用，根据最小的四位数千位数字为，百位数字为，结合新定义，即可求解．分时，当时，分别求得的式子，进而根据能被3整除，得出，再分类讨论，求得最大值与最小值，即可求解． 【详解】 解：∵最小的四位数的千位数字为，百位数字为 又∵千位数字与十位数字之和为5的倍数，百位数字与个位数字之和为4的倍数， ∴十位数字为， 又∵要找最小数，则个位数字为 ∴最小的“五湖四海数”为； ∵，其中：，，，，且均为整数． 当时， 当时， ∵为整数且能被3整除，其中，． ∴是的倍数， 当时，M的千位与十位数字之和为，此值应为的倍数， 当时，M的千位与十位数字之和为，此值应为的倍数， 又因能被3整除，可知是的倍数 综合以上条件，并结合a，c的取值范围，可得满足条件的的值只能是 ∴当时符合题意，则，则 列举所有可能如下： ，，，： ，，，： ，，，： ，，，： ，，，： ，，，： ，，，： 所有值按升序排列：，，，，，，． 最小值，最大值 差值 故答案为：，． 33．（25-26学年九上·重庆巴蜀中学·期中）如果一个四位自然数P各数位上的数字不完全相同且均不为零，将这个四位自然数P的千位数字和百位数字互换，十位数字和个位数字互换，得到一个新的四位自然数Q，规定；将这个四位数P的个位数字放到千位数字的左边，组成一个新的四位数R，再将R的左边两位数字不交换顺序一起放到个位的右边，组成一个新的四位数S，规定．若四位数，则　　　　　　．若四位数（，，x，y为整数），满足，则满足条件的所有B的和为　　　　　　． 【答案】①     ② 15048 【分析】 本题考查了整式的加减的应用、因式分解的应用、解二元一次方程组，理解题意，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 对于，根据定义计算和，然后求差．对于，通过数字关系得到B的各位数字表达式，代入给定方程，利用因式分解求解x和y，再求B的值并求和． 【详解】 解：若四位数，则， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵四位数（，，x，y为整数）， ∴， ∴B的各位数字为， ∵数位上的数字均不为零， ∴， 解得：， ∴Q的各位数字为， ∴， ∴， ∴R的各位数字为， S的各位数字为， ∴， ， ∴， 代入方程，， 得， 化简得， ∵，，，且均为正整数， ∴，，且均为整数， ∴ 或 ， 解得：或． 则B值为6633和8415，和为． 故答案为：，15048． 34．（25-26学年九上·重庆江津二中联·期中）如果一个各数位上的数字均不为的四位自然数，满足，则称这个四位数为“倍差等和数”．例如：四位数，，，是“倍差等和数”；又如：四位数，，不是“倍差等和数”．最小的“倍差等和数”为　　　　　；若“倍差等和数”能被整除，令，且为整数，则满足条件的数的最大值为　　　　　　　　　． 【答案】①     ② 【分析】 本题是新定义型，主要考查整式的加减的应用，不等式性质，难度大，理解新定义， 当“倍差等和数”为最小时，从最高数位为1开始，依次增大，逐步分析讨论即可的结论；若为整数，根据已知条件分析讨论即可得到答案．根据题意找出数量关系，分析讨论确定、、、的值是解决问题的关键． 【详解】 解：① 当“倍差等和数”为最小时， 若最高位上，则时，，不符合各数位上的数字均不为的四位自然数要求； 若最高位上，设，由，由可知，此情况不成立； 若最高位上，设，则， 在，且“倍差等和数”为最小时，取，，则此时的四位数为； ②为整数， 或2或3或4或6或12， ， ， 为奇数， ① 当时，，， ，，解得，不是自然数，不合题意舍去； ② 当时，，， ，，解得，不是自然数，不合题意舍去， ③ 当时，，或，， 当，时，，，解得，不合题意舍去； 当，时，，，解得，不是自然数，不合题意舍去； ④ 当时，若，， ，，解得，不是自然数，不合题意舍去； ⑤时，，或，， 当，时，，，解得，不是自然数，不合题意舍去； 当，时，，，解得， 能被整除，，， 能被整除， 求满足条件的数的最大值， ，则， 此时的数为； ⑥ 当时，，或，， 当，时，，，解得，不是自然数，不合题意舍去； 当，时，，，解得， 能被整除，，， 能被整除， 求满足条件的数的最大值， ，则， 此时的数为； ， 满足条件的数的最大值为， 故答案为：；． 考点05 一元二次方程的根与系数的关系 1．（25-26学年九上·重庆·期末）下列命题中：①若、异号，则一元二次方程一定有实数根；②若，则一元二次方程一定有两个实数根；③等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的夹角为，则这个等腰三角形的顶角度数为 ；④一元二次方程，由根与系数的关系，可得，正确的个数是（        ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】C 【分析】 本题考查了根与系数的关系、一元二次方程根的判别式、等腰三角形性质，需注意分类讨论. 当a、c异号时，，则根据根的判别式的意义可对① 进行判断；当时，则，则根据根的判别式的意义可对② 进行判断．根据等腰三角形的性质对③ 进行判断；根据根与系数的关系即可判断④ . 【详解】 解：对于一元二次方程， ， 当a、c异号时，，所以，所以此时方程一定有实数根，所以① 正确； 若时，，则方程一定有两实数根，所以② 正确； 等腰三角形一腰上的高与另一腰夹角，顶角可能为（锐角）或（钝角），不唯一，故③ 错误； 一元二次方程，由根与系数的关系，可得，故④ 正确； ∴正确的结论有3个， 故选：C． 2．（25-26学年九上·重庆万州区万州·期中）若方程的两个根是和，则的值为（     ） A.  B. 1 C.  D. 2 【答案】C 【分析】 此题考查了一元二次方程根与系数的关系，利用根与系数的关系求解即可，解题的关键是熟记：一元二次方程的两个根为和，则，． 【详解】 解：∵和是方程的两个根， ∴，， ∴， 故选：C 3．（2026·重庆广益中学·模拟）已知两个非零实数，，按规则进行运算，运算的结果记为，称此为一次操作；再从，，中任选两个数，按同样规则操作一次得到的数记为；再从，，，中任选两个数，按同样规则操作一次得到的数记为……依次进行下去，以下结论正确的个数为（     ） ①若，为方程的两个根，则； ②若，则； ③对于整数，，若为奇数，在操作过程中，得到的一定为偶数： ④若，要使得成立，则至少为4． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【分析】 本题考查了一元二次方程根与系数的关系，因式分解法解一元二次方程，数字类规律探索，正确理解题意是解题的关键． 由一元二次方程根与系数的关系得到，代入即可求出，即可判断① ；若，代入得到，求解即可判断② ；若为奇数，则为一奇一偶，不妨设为奇数，为偶数，代入计算即可判断③ ；要使得成立，求次数最少，则中尽量选最大的两个数，依次计算即可判断④ ． 【详解】 解：① ∵，为方程的两个根， ∴， ∴， ∴， 故① 错误； ② ∵， ∴， ∴， 解得：（舍）或， 故② 正确； ③ 若为奇数，则为一奇一偶，不妨设为奇数，为偶数， 则为偶数， 则为一个奇数，2个偶数，任选两个数则为一奇一偶或两个偶数， 而两个偶数得到也必为偶数， 故得到的一定为偶数， 故③ 正确； ④ 若， 则， ， ， ， ∴至少为4， 故④ 正确． 故选：C． 4．（25-26学年九上·重庆合川区十一·期中）已知四次方程，，，，都是非零整数．则下列说法中，正确的个数为（     ） ①若与是方程的两个实数根，则； ②若，且，为整数，则符合条件的情况有2种； ③若该方程存在4个实数根记为，，，，若，则． A. 3个 B. 2个 C. 1个 D. 0个 【答案】B 【分析】 本题主要考查了整数的混合运算，代数式求值，方程的解，正确计算是解此题的关键．根据，，，，的特征判断各个选项即可． 【详解】 解：将代入方程得，， 将代入方程得，． 两式相加得：， ． ①是正确的，符合题意； ，且，为整数，，，，都是非零整数， ，且各平方数可能取值为等． ， 或或， 符合条件的情况有3种， ②是不正确的，不符合题意； 由题意可得：四次方程为， ∵存在4个实数根，，，， ∴方程可变形为， 由多项式乘以多项式的运算可知：该方程展开后四次项为，常数项为， 对照方程与可知：，， 所以，所以③是正确，符合题意． 综上所述，正确的是① ③，所以正确的个数是2个， 故选：B． 5．（25-26学年九上·重庆暨华中学校·期中）若，是一元二次方程的两个根，则的值为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查一元二次方程根与系数的关系，直接根据公式求两根之积． 【详解】 解：对于一元二次方程 ，根与系数的关系为：两根之积 ， 本题中，方程为 ，所以 ，， 因此，， 故答案为：． 6．（25-26学年九上·重庆江津二中联·期中）已知关于的方程的一个根为，则另一个根是　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据一元二次方程根与系数的关系即可求解． 【详解】 解：设方程的另一个根为， 则 解得：， 故答案为：． 【点睛】 本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若是一元二次方程的两根，，，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 7．（25-26学年九上·重庆广益中学·期末）若两个不等实数m，n满足条件：，，则　　　　　　　　． 【答案】13 【分析】 本题考查了一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形应用，理解是关于的一元二次方程的两个不等实数根是解题的关键．由，，得到是关于的一元二次方程的两个不等实数根．由根与系数的关系得到，再由完全平方公式可得，代入计算即可求解． 【详解】 解：∵，， ∴是关于的一元二次方程的两个不等实数根， ， ， 故答案为：13． 8．（25-26学年九上·重庆铁路中学校·期中）设，是方程的两个实数根，则的值为　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查一元二次方程的解和根与系数的关系，先根据一元二次方程的解得到，利用根与系数关系得到，则，再利用整体代入的方法计算即可．熟练掌握一元二次方程的解及根与系数的关系是解题的关键． 【详解】 ∵，是方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴ 故答案为：． 9．（25-26学年九上·重庆长寿川维中学校·期中）关于x的方程的一根为3，则另一根为　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系．设这个一元二次方程的另一根为，根据一元二次方程的根与系数的关系可得，进而可求解． 【详解】 解：设这个一元二次方程的另一根为， ∵关于的方程的一根为3， ∴， ∴， 故答案为：． 10．（25-26学年九上·重庆礼嘉中学校·期末）若a，b是方程的两个实数根，则的值为　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，根据一元二次方程的解及根与系数的关系找出、，是解题的关键． 根据一元二次方程的解得出，，进而求出，再利用根与系数的关系可得出 ， ，整体代入化简后的表达式计算． 【详解】 解：∵是方程 的根， ∴，即， ∴ ， 同理：． ∴， ∵， ， ∴原式． 故答案为：． 11．（25-26学年九上·重庆铜梁区铜梁·期中）已知：关于x的方程x2+2mx+m2-1=0 （1）不解方程，判别方程根的情况； （2）若方程有一个根为3，求m的值． 【答案】（1）∵a=1，b=2m，c=m2﹣1， ∴△=b2﹣4ac=（2m）2﹣4×1×（m2﹣1）=4＞0， 即方程有两个不相等的实数根； （2）m=-4或m=-2 【分析】 (1) 、根据根的判别式判断即可； (2) 、将x=3代入方程，解方程即可得m的值，继而可得方程的另一个根． 【详解】 (1) 略 (2) 、∵x2+2mx+m2﹣1=0有一个根是3， ∴把x=3代入方程得：32+2m×3+m2﹣1=0， 整理得：m2+6m+8=0， 解得：m=﹣4或m=﹣2 12．（25-26学年九上·重庆沙坪坝区重庆第一中学校·期中）已知，是方程的两个根，则代数式的值为　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程根与系数的关系．利用根与系数的关系得到的值，并结合方程根的定义将用表示，代入代数式化简求值． 【详解】 解：，是方程的两个根， ，，且，即． ． 故答案为：． 13．（25-26学年九上·重庆朝阳中学·期中）已知关于的方程的根都是整数，且满足等式，则满足条件的所有整数的和是　　　　　． 【答案】2 【分析】 本题考查解一元一次方程，一元二次方程的解，根与系数的关系，二次根式，掌握知识点是解题的关键． 首先由等式可得，即．再考虑方程的根均为整数，分（一次方程）和（二次方程）讨论，利用根与系数的关系确定整数的值，并结合筛选． 【详解】 解：由，得，即． 当时，方程为，根，为整数，符合条件． 当时，方程为二次方程，设整数根为，由根与系数的关系： ， ． 令，则， ， ． 因为整数，故为整数，即为的约数：；同时为整数，即为的约数：． 所以为，对应为． 结合，得． 验证： 时，方程，根，为整数； 时，方程，根，为整数； 时，方程即，根或，为整数． 综上，满足条件的整数为， 其和为． 故答案为：2． 考点06 实际问题与一元二次方程 1．（25-26学年九上·重庆永川区文理·期中）2025年国庆节期间，重庆市游客数量再创新高，第一天游客数量为300万人，第三天游客数量为610万人．设平均增长率为x，可列方程为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查一元二次方程的应用，读懂题目，找出题目中的等量关系是解题的关键．设每天的平均增长率为x，根据“第一天游客数量为300万人，第三天游客数量为610万人”，可得出方程． 【详解】 解：设每天的平均增长率为x，那么依题意得， 故选：D． 2．（25-26学年九上·重庆渝北区石鞋学校）某品牌手机三月份的销售量为万部，四、五月份的销售量连续增长，五月份的销售量达到万部，求四、五月份该品牌手机销售量的月平均增长率．设四、五月份该品牌手机销售量的月平均增长率为，根据题意可列方程为 （       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了一元二次方程在增长率问题中的应用，设四、五月份该品牌手机销售量的月平均增长率为，根据题意列出方程即可求解，找到等量关系是解题的关键． 【详解】 解：设四、五月份该品牌手机销售量的月平均增长率为， 由题意可得，， 故选：． 3．（25-26学年九上·重庆·期末）秋冬季节来临，许多季节性传染病，尤其是呼吸道传染病开始流行，大家要加强防范．疾控部门为了检测流感的传染速度，设计了一个问题：有1人患了流感，经过两轮传染后共有100人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染个人，那么满足的方程为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，根据流感传染模型，两轮传染后总患病人数为初始人数、第一轮新增人数和第二轮新增人数之和，据此列方程． 【详解】 ∵ 开始有1人患了流感， 第一轮后患病人数为， 第二轮新增患病人数为， ∴ 两轮后总患病人数为， ∴， 故满足的方程为， 故选：A． 4．（25-26学年九·重庆江津区实验中学·期末）为了宣传环保，小明写了一篇倡议书，决定用微博转发的方式传播，他设计了如下的传播规则：将倡议书发表在自己的微博上，再邀请n个好友转发倡议书，每个好友转发倡议书之后，又邀请n个互不相同的好友转发倡议书，依此类推，已知经过两轮传播后，共有111人参与了传播活动，则下列方程正确的是（        ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了从实际问题抽象出一元二次方程．找准等量关系是解题的关键． 根据两轮传播后，共有111人参与了传播活动，列出方程即可． 【详解】 解：第一轮传播人数为：，第二轮又增加， 由题意，得：； 故选：C． 5．（25-26学年九上·重庆铜梁区铜梁·期中）“立身以立学为先，立学以读书为本”为了鼓励全民阅读，某校图书馆开展阅读活动，自阅读活动开展以来，进馆阅读人次逐月增加，第一个月进馆人次，前三个月累计进馆人次，若进馆人次的月增长率相同，求进馆人次的月增长率．设进馆人次的月增长率为，依题意可列方程（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是先分别表示出第二个月和第三个月的进馆人次，再根据第一个月的进馆人次加第二和第三个月的进馆人次等于，列方程即可． 【详解】 解：设进馆人次的月增长率为，依题意可列方程为， 故选D． 6．（25-26学年九上·重庆铜梁区铜梁·期中）据报道，某人工智能科技公司年的年利润为万元，由于其在技术研发和市场拓展方面的持续投入，该公司的年利润逐年增长，到年的年利润预计将达到万元，设该公司这两年年利润的平均增长率为，则可列方程为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，设该公司这两年年利润的平均增长率为，由题意得，读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键． 【详解】 解：设该公司这两年年利润的平均增长率为， 由题意得：， 故选：A． 7．（25-26学年九上·重庆沙坪坝区重庆第一中学校·期中）某商品经过连续两次降价，售价由原来的每件元降到每件元，则平均每次降价的百分率为（             ） A. % B. % C. % D. % 【答案】B 【分析】 本题考查一元二次方程在增长率问题中的应用，正确理解连续两次降价的模型是解题关键．设平均每次降价的百分率为，根据连续两次降价后的价格关系列方程求解． 【详解】 解：设平均每次降价的百分率为，根据题意，得 ， 解得，（不合题意，舍去）， 平均每次降价的百分率为． 故选：B． 8．（25-26学年九上·重庆育才中学校·期中）2023年重庆市九龙坡区某特色产业年产值约28亿元，2025年该产业年产值预计达到亿元．若这两年的年产值年平均增长率为，则所列方程正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 根据题意，2024年产值为，2025年产值为，据此列出方程即可． 【详解】 解：设年平均增长率为， 根据题意得， 故选：A． 9．（25-26学年九上·重庆开州区文峰·期中）五一劳动节期间，重庆作为热门旅游城市接待国内游客超两千万人次，据统计重庆2023年五一假期旅游总收入为100亿元，2025年五一假期旅游总收入为196亿元，若将这两年五一假期旅游总收入的年平均增长率设为x，则符合题意的方程是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，根据该公司第一季度及第三季度得销售利润，即可得出关于x的一元二次方程即可．找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【详解】 解：由题意可得， 故选：A． 10．（2026·重庆育才中学校·三模）肆虐的冠状病毒肺炎具有人传人性，调查发现：1人感染病毒后如果不隔离，那么经过两轮传染将累计会有225人感染，若设1人平均感染人，依题意可列方程 A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 此题可设1人平均感染人，则第一轮共感染人，第二轮共感染人，根据题意列方程即可． 【详解】 解：设1人平均感染人， 依题意可列方程：， 故选：D． 【点睛】 此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找到关键描述语，找到等量关系准确地列出方程是解决问题的关键． 11．（25-26学年九上·重庆礼嘉中学校·期中）根据重庆市统计局数据，2022年重庆市GDP为2.91万亿元，2024年增至3.22万亿元．若2023年和2024年GDP保持相同的年平均增长率，设平均增长率为，则可列方程为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了增长率问题的一元二次方程应用，解题的关键是掌握“增长后的量增长前的量（为增长次数）”的数量关系． 年为万亿元，年平均增长率为，则年为年为，结合年为万亿元列方程． 【详解】 解：年为万亿元，经2次增长后年为，对应万亿元， ∴方程为， 故选：B． 12．（25-26学年九上·重庆北碚区江北中学·期中）如图，小明在数学综合实践活动中，利用一面墙（墙足够长）和长的围栏围成一个面积为的矩形场地．设矩形的宽为，根据题意可列方程（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查的是一元二次方程的应用.根据题意列出方程即可. 【详解】 解：设矩形的宽为，则矩形的宽为， ∴ 故选：A. 13．（25-26学年九上·重庆第三十七中学校·期中）据国家文旅部统计，5月1日全国旅游收入为亿元，5月1日、5月2日和5月3日的全国旅游收入之和为亿元．若全国旅游收入日平均增长率为x，则可以列出方程为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设全国旅游收入日平均增长率为x，则5月2日的收入为亿元，5月3日的收入为亿元，据此列出方程即可． 【详解】 解：设全国旅游收入日平均增长率为x， 由题意得，， 故选：A． 14．（25-26学年九上·重庆云阳县第二初级中学·期中）2025年9月3日，纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年阅兵仪式在北京举行．大数据分析显示，2025年阅兵当日全球（不含中国内地）的相关信息量约为27.9万条，已知2015年同期阅兵的相关信息量约为3.1万条，若假设从2015年到2025年，全球相关信息量每五年平均增长率为，则可列方程为（     ）． A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查一元二次方程的应用，关键在于明确增长次数与时间间隔的关系． 根据平均增长率的计算公式来列方程求解即可． 【详解】 根据题意，全球相关信息量每五年平均增长率为， 从2015年到2025年共10年，其中有2个5年， ． 故选：B． 15．（25-26学年九上·重庆朝阳中学·期中）某超市一月份的营业额是200万元，已知第一季度的总营业额是1000万元．如果平均每月的增长率是x，则可列方程（　　） A. 200（1+x）2=1000 B. 200+200（1+x）+200（1+2x）=1000 C. 200（1+2x）=1000 D. 200+200（1+x）+200（1+x）2=1000 【答案】D 【分析】 先得到二月份的营业额，三月份的营业额，等量关系为：一月份的营业额+二月份的营业额+三月份的营业额=1000万元，把相关数值代入即可． 【详解】 解：∵一月份的营业额为200万元，平均每月增长率为x， ∴二月份的营业额为200×（1+x）， ∴三月份的营业额为200×（1+x）×（1+x）=200×（1+x）2， ∴可列方程为200+200×（1+x）+200×（1+x）2=1000， 即200+200（1+x）+200（1+x）2=1000． 故选：D． 【点睛】 本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程中求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2=b．得到第一季度的营业额的等量关系是解决本题的关键． 16．（25-26学年九上·重庆合川区十一·期中）小川一家春节期间团圆相聚，他和兄弟姐妹们约定了互赠礼物，若他们一共购买了90份礼物，则小川及兄弟姐妹一共多少人？假设一共有人，则可以列方程为（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，理解题意找准等量关系列出方程是解题的关键．根据题意，每人送出份礼物，再利用送礼物的总数送礼物的人数每人送礼物的份数，建立等量关系即可解答． 【详解】 解：假设一共有人， 由题意得，． 故选：B． 17．（25-26学年九上·重庆万州国本中学校·期中）某农场粮食年产量2011年为1600万斤，2013年为1880万斤，如果平均每年的增长率为x，则x满足的方程为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 利用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），根据两年的增长率相同即可得出本题的答案． 【详解】 ∵20011年为1600万斤，2013年为1880万斤，平均每年增长率为x， ∴2012年的产量为万斤，2013年的产量为万斤， ∴x满足的方程是， 故选：A． 【点睛】 本题考查了一元二次方程的运用，解此类题一般是根据题意分别列出不同时间段粮食产量的方程． 18．（25-26学年九上·重庆永川中学校·期中）近年来，高利贷披上了“校园贷款”的外衣，将罪恶的魔爪伸向了纯洁的校园．不少学生因为借了校园贷，利滚利欠下了巨额贷款．假如小林贷款6万，“利滚利”的月平均利率为x，小林2个月总共需还18万元，根据题意，以下所列方程正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，利用小林2个月后总共需还18万元=小林借贷6万元月平均利率，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】 根据题意得：． 故选：C． 19．（25-26学年九上·重庆第十八中学）某商品的进价为每件40元，当售价为每件80元时，每星期可卖出200件，现需降价处理，且经市场调查发现：每降价1元，每星期可多卖出8件，店里每周利润要达到8450元．若设店主把该商品每件售价降低x元，则可列方程为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查了一元二次方程的应用，准确分析找出等量关系列出方程是解题的关键． 先根据售价降低元，分别计算出每件商品的利润和销售量，再利用总利润每件利润销售量列出方程，即可得解． 【详解】 解：原来售价为每件元，进价为每件元，利润为每件元，又每件售价降低元后，利润为每件元； 每降低1元，每星期可多卖出件，所以每件售价降低元，每星期可多卖出件，现在的销量为件， 根据题意得：． 故选． 20．（25-26学年九上·重庆长寿实验中学校·期中）哪吒的乾坤圈工坊以每个30灵石的进价购入一批迷你风火轮，并以每个50灵石售出，每日可售出80个．据调查发现，每个迷你风火轮的售价每降低2灵石，每日可多售出10个，若哪吒希望单日盈利达4000灵石，则需将售价降低多少灵石？若设降价灵石，则列出方程为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设降价灵石，则每个迷你风火轮的利润为元，销售量为个，再根据总利润为4000灵石列出方程即可． 【详解】 解：由题意得，， 故选：B． 21．（25-26学年九上·重庆长寿中学校·期中）某服装公司今年月的营业额为万元，按计划第四季度的总营业额要达到万元，求该公司、两个月营业额的月均增长率，设该公司、两个月营业额的月均增长率为，则根据题意可列的方程为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据增长后的量=增长前的量（1+增长率），即可表示出月与12月的营业额，根据第四季的总营业额要达到万元，即可列方程． 【详解】 解：该服装公司今年10月的营业额为万元，该公司，两个月营业额的月均增长率为， 该服装公司今年月的营业额为万元，月的营业额为万元． 根据题意得：， 即， 故选：B． 【点睛】 本题考查了一元二次方程的实际应用——增长率问题，根据题意正确列出方程是解题关键． 22．（25-26学年九上·重庆江津区实验中学·期中）2025世界人形机器人运动会于8月在国家速滑馆举办，旨在通过各项比赛展示机器人应用技术的多样性和创新性．某高校科研团队为了选拔参加本次运动会自由搏击赛的机器人，采用分组单循环（每两个人形机器人之间都只进行一场比赛）制，每组x个机器人．若每组共需进行15场比赛，则根据题意下列方程正确的为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程， 根据每组x个机器人，采用分组单循环（每两个人形机器人之间都只进行一场比赛）制，则每个机器人参加场比赛，则共有场比赛，可以列出一元二次方程． 【详解】 解：每组x个机器人，采用分组单循环（每两个人形机器人之间都只进行一场比赛）制，则每个机器人参加场比赛，则共有场比赛， 所以： 故选：A． 23．（25-26学年九上·重庆江津二中联·期中）过元旦了，全班同学每两个人互发一条祝福短信，共发了380条，设全班有x名同学，列方程为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题主要考查了一元二次方程的应用，设全班有x名同学，根据全班同学每两个人互发一条祝福短信，共发了380条，列出方程即可． 【详解】 解：设全班有x名同学，则每个同学要发条信息， 根据题意得：， 故选：A． 24．（25-26学年九上·重庆礼嘉中学校·期末）为提升学生数学探究能力，某中学自年起在数学课堂推广“几何画板”软件，当年有名学生使用该软件．年使用人数较年增长，学校后续持续推进软件普及，2025年使用人数增至人．若2023至2025年使用人数的年平均增长率保持不变，求这两年的年平均增长率为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，设年平均增长率为x，根据两年增长模型，列出方程，解方程求解即可． 【详解】 解：设年平均增长率为， 则， 解得：或（舍）， 即年平均增长率为， 故选：D． 25．（25-26学年九上·重庆广益中学·期末）电影《浪浪山小妖怪》上映以来，全国票房连创佳绩．据不完全统计，全国第一天票房约亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，前三天累计票房收入达亿元，设增长率为x，则方程可以列为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查一元二次方程的应用，掌握知识点是解题的关键． 根据增长率定义，分别计算每天票房，再求和得累计票房，累计票房为三天总和，列方程即可． 【详解】 解：由题意，得 第一天票房为亿元， 第二天票房为亿元， 第三天票房为亿元． ∵三天累计票房为亿元， ∴． 故选D． 26．（25-26学年九上·重庆江津中学校·期中）北京与上海之间往返的某趟动车，沿途有多个火车停靠站（包括北京站、上海站），针对此动车有20种不同行程的火车票，设共有x个火车停靠站，下列所列方程正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了由实际问题列一元二次方程，设共有x个火车停靠站，根据“针对此动车有20种不同行程的火车票”列出一元二次方程即可，理解题意，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解此题的关键． 【详解】 解：设共有x个火车停靠站， 由题意可得：， 故选：B． 27．（25-26学年九上·重庆凤鸣山中学·期中）李师傅去年开了一家商店，今年1月份开始盈利，2月份盈利2000元，4月份的盈利达到2880元，且从2月到4月，若每月盈利的平均增长率都相同．那么按照这个平均增长率，预计五月份这家商店的盈利将达到（       ）元． A. 3320 B. 3440 C. 3450 D. 3456 【答案】D 【分析】 设每月盈利的平均增长率为x，列方程解方程进而即可求解； 【详解】 解：设每月盈利的平均增长率为x， 根据题意，， 解得：（舍去）， 五月份这家商店的盈利为（元）． 故选：D． 【点睛】 本题主要考查一元二次方程的应用，正确列出方程是解题的关键． 28．（25-26学年九上·重庆杨家坪中学·期中）重庆市动物园2023年国庆假期共接待游客12.5万人，经过两年加大旅游开发力度，今年接待国庆假期接待游客达到18万人，那么重庆市动物园这两年接待游客的年平均增长率为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查年平均增长率的计算，通过设增长率列方程求解． 【详解】 解：设年平均增长率为r， 则 ， ， 解得： 或（舍去）， 故年平均增长率为． 故选：B． 29．（25-26学年九上·重庆西南大学附属中学校·期中）随着全民健身意识的提升，某景区登山步道成为热门打卡地．据统计，2023年该步道全年登山人数为20万人次，2025年全年登山人数达到28.8万人次．若这两年该步道登山人数的年平均增长率保持不变，求此年平均增长率为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，设年平均增长率r，根据两年增长模型，列出方程，解方程求解即可． 【详解】 解：设年平均增长率为， 则 解得：或（舍）， 即年平均增长率为， 故选：C． 30．（25-26学年九上·重庆南开中学教共体学校·期中）如图，某市规划部门计划在新建公园旁边的一块长方形空地上修建一个停车场（如图中阴影部分），将停车场四周余下的空地修建成同样宽的通道，已知整块长方形空地的长为，宽为，如果停车场的面积占这个长方形空地面积的，所建通道的宽度为，则根据题意列出的方程（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据题意，先表示出阴影长方形的长为，宽为，根据两个长方形的面积关系列方程解答即可． 本题考查一元二次方程的实际应用，根据长方形的面积公式，列出方程即可． 【详解】 解：根据题意，得阴影长方形的长为，宽为， 故， 故选：D． 31．（25-26学年九·重庆綦江区未来学校·期中）中秋佳节，小明的家庭成员都互发了一条微信祝福语，所有人发的祝福语共56条，极大地烘托了节日气氛．设小明家庭成员共有x人，则列出方程正确的是（       ） A.  B.  C.  D. ＝56 【答案】A 【分析】 本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，设共有家庭成员x人，每个家庭成员向其他人各发一条祝福语，总祝福语数为条，根据共发出56条祝福语可得方程． 【详解】 解：∵每人发送祝福语条数为条， ∴总祝福语数为， 根据题意，， 故选：A． 32．（25-26学年九上·重庆长寿川维中学校·期中）某商店将进货价格为20元的商品按单价36元售出时，能卖出200个．已知该商品单价每上涨1元，其销售量就减少5个．设这种商品的售价上涨元时，获得的利润为1200元，则下列关系式正确的是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 这种商品的售价上涨元时，销售量就减少个，根据利润=每个的利润×销售量即可列出方程． 【详解】 解：设这种商品的售价上涨元时，销售量就减少个， 根据题意可得：； 故选：A． 【点睛】 本题考查了一元二次方程的应用，正确理解题意、找准相等关系是解题关键． 33．（25-26学年九上·重庆合川中学）俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看．”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘．假设每天“遗忘”的百分比是一样的，根据“两天不练丢一半”，则每天“遗忘”的百分比约为（参考数据：）（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 该题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意，正确列出方程． 设每天遗忘的百分比为，根据“两天不练丢一半”列出方程解答即可． 【详解】 解：设每天遗忘的百分比为， 则， 解得：． 故选：C． 34．（2026·重庆广益中学·模拟）中国选手郑钦文顺利入围年年终总决赛女子单打项目，该项目第一阶段采用组内循环赛制，即每两名选手之间比赛一场．现计划安排场组内循环赛，共有几名选手参加组内循环赛？设一共有名选手参加组内循环赛，根据题意可列方程为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 此题主要考查了有实际问题抽象出一元二次方程，解决本题的关键是得到比赛总场数的等量关系，注意2队之间的比赛只有1场，最后的总场数应除以2． 设一共有x名选手参加组内循环赛，则每个队参加场比赛，则共有场比赛，可以列出一个一元二次方程． 【详解】 解：由题意可列方程为：， 故选：D． 35．（25-26学年九上·重庆第万州三中学·期中）一辆汽车，新车购买价为20万元，以后每年的年折旧率为，如果该车购买之后的第二年年末折旧后的价值为14.45万元，那么可以列出关于的方程是　　　　　　　．（列出方程即可，无需求解） 【答案】 【分析】 本题考查一元二次方程的应用，根据“新车购买价为20万元，购买之后的第二年年末折旧后的价值为14.45万元”列方程即可． 【详解】 解：设每年的年折旧率为， 根据题意，得， 故答案为：． 36．（25-26学年九上·重庆万州·期末）重庆万州的非遗项目“金钱板”凭借独特的说唱韵律与地域文化魅力，成为本地文化传承的亮点之一．近期，在本地文化宣传平台正式上线推广“金钱板”主题短视频，第一天的点击量为15万次，因非遗文化热度攀升，第三天点击量达到21.6万次．若每天点击量的平均增长率为x，则根据题意可列方程为　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用．设每天点击量的平均增长率为x，依题意列出方程即可． 【详解】 解：设每天点击量的平均增长率为x，依题意得： ， 故答案为：． 37．（25-26学年九上·重庆南开中学校·期中）今年 7 月某市新能源汽车总销售额约为 35 亿元，经过各经销商的大力推广，今年 9 月该市新能源汽车总销售额为 亿元，那么该市今年这两月新能源汽车销售额的月平均增长率为　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用（增长率问题）．找到正确的等量关系并列出方程是解题的关键． 设月平均增长率为 ，根据增长问题模型，由7月到9月经过2个月，列出方程 ，解方程即可． 【详解】 设月平均增长率为 ， 则 ， ， （取正值）， ． 故答案为． 38．（25-26学年九上·重庆北碚区江北中学·期中）某超市于今年年初以每件25元的进价购进一批商品．当商品售价为40元时，一月份销售256件．二、三月该商品十分畅销．销售量持续走高，在售价不变的基础上，三月份的销售量达到400件．设二、三这两个月的月平均增长率不变． （1）求二、三这两个月的月平均增长率； （2）从四月份起，超市决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降价1元，销售量在400件的基础上增加5件，当商品降价多少元时，超市获利4250元？ 【答案】（1）二、三这两个月的月平均增长率为；     （2）当商品降价5元时，商场获利4250元．      【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设二、三这两个月的月平均增长率为，利用该商品三月份的销售量该商品一月份的销售量二、三这两个月的月平均增长率，列出一元二次方程，解之取其符合题意的值即可； （2）设商品降价元，则每件的销售利润为元，月销售量为件，根据超市获利4250元，列出一元二次方程，解之取其符合题意的值即可． (1) 小问详解： 解：设二、三这两个月的月平均增长率为， 根据题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：二、三这两个月的月平均增长率为； (2) 小问详解： 解：设商品降价元，则每件的销售利润为元，月销售量为件， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：当商品降价5元时，超市获利4250元． 39．（25-26学年九上·重庆开州中学·期中）为了加快数字化城市建设，某市计划新建一批智能充电桩，第一个月新建了301个充电桩，第三个月新建了500个充电桩，设该市新建智能充电桩个数的月平均增长率为，根据题意，请列出方程　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据变化前数量变化后数量，即可列出方程． 【详解】 第一个月新建了301个充电桩，该市新建智能充电桩个数的月平均增长率为． 第二个月新建了个充电桩， 第三个月新建了个充电桩， 第三个月新建了500个充电桩， 于是有， 故答案为． 【点睛】 本题考查了一元二次方程的实际应用中的增长率问题，若设平均增长率为，则有，其中表示变化前数量，表示变化后数量，表示增长次数．解决增长率问题时要注意区分变化前数量和变化后数量，同时也要注意变化前后经过了几次增长． 40．（25-26学年九上·重庆川外基础教）报告显示，2021年我国快递业务完成量为1083亿件，2023年我国快递业务完成量为1319亿件，设我国快递业务量的年平均增长率为x，根据题意，可列出方程为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查由实际问题抽象出一元二次方程． 根据年平均增长率的定义，经过两年增长，列出方程即可， 【详解】 解：设年平均增长率为， 则2022年业务量为亿件， 2023年业务量为亿件． 根据题意，2023年业务量为1319亿件，因此方程为． 故答案为：． 41．（25-26学年九上·重庆合川区十一·期中）为了更好地开展劳动教育，学校决定在操场划出一块面积为的长方形场地作为劳动基地．若长方形场地的一边靠墙（墙足够长），另外三边由总长为80m的篱笆围成，并且在平行于墙的边上设置两个开口宽为1m的出入门（如图），设垂直于墙的长方形边长为，则根据题意，可列方程　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】 解：设垂直于墙的长方形边长为， 由题意得，， 故答案为：． 42．（25-26学年九上·重庆万州国本中学校·期中）某学校为了让学生体验化学实验的乐趣，决定从市场购买氯化钠溶液和硫酸铜溶液供实验使用．第一次购买40瓶氯化钠溶液和80瓶硫酸铜溶液需要500元，第二次购买20瓶氯化钠溶液和30瓶硫酸铜溶液需要200元． （1）求每瓶氯化钠溶液与硫酸铜溶液的售价分别为多少元？ （2）为了加大培养学生对化学的兴趣，学校决定再次购买这两种溶液，调查发现配制每瓶硫酸铜溶液的成本是元，每瓶氯化钠溶液的成本是元，已知第三次购买硫酸铜的数量比第一次购买的数量少瓶，购买的氯化钠溶液的数量是第一次的2倍，商场获利330元，求的值． 【答案】（1）每瓶氯化钠溶液与硫酸铜溶液的售价分别为元，5元     （2）的值为2      【分析】 本题主要考查了二元一次方程组的应用和一元二次方程的应用，根据题意找准等量关系，列出正确的二元一次方程组和一元二次方程是解题的关键． （1）根据等量关系列出二元一次方程组，解方程组即可得到答案； （2）根据等量关系列出一元二次方程，解方程即可得到答案． (1) 小问详解： 解：设每瓶氯化钠溶液与硫酸铜溶液的售价分别为元 由题意得   ，    解得 ， 答：每瓶氯化钠溶液与硫酸铜溶液的售价分别为元，5元． (2) 小问详解： 解：由题意得 ，      整理得， 解得， ∵ ， ∴， 答：的值为． 43．（25-26学年九上·重庆长寿实验中学校·期中）习近平总书记说：读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．某校开展师生阅读活动，打造书香校园、据统计，九年级师生第一周参与阅读400人次，阅读人次每周递增，第三周参与阅读达到784人次．则九年级师生阅读人次的周平均增长率为　　　　　　　　． 【答案】40 【分析】 本题考查一元二次方程在增长率问题中的应用．设周平均增长率为 ，根据第三周阅读人次是第一周的 倍，建立方程求解． 【详解】 解：设周平均增长率为 ． 由题意，得：， 两边同时除以 400：， 取算术平方根（增长率取正值）：， 解得：， 即周平均增长率为 ． 故答案为：40． 44．（25-26学年九上·重庆长寿中学校·期中）成都市龙泉驿区水蜜桃果大质优，外观艳丽，素有天下第一桃之称．某种植基地年开始种植水蜜桃亩， 到年水蜜桃的种植面积达到亩． （1）求该基地这两年水蜜桃种植面积的平均年增长率； （2）市场调查发现，当水蜜桃的售价为元/千克时，每天能售出千克，售价每降价元，每天可多售出千克．为了推广宣传，基地决定降价促销，同时尽量减少库存，已知该基地水蜜桃的平均成本价为元/千克，若每天获利元，则售价应为多少元？ 【答案】（1）该基地这两年水蜜桃种植面积的平均增长率为     （2）售价应为16元      【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，根据等量关系列出方程，是解题的关键． （1）设该基地这两年水蜜桃种植面积的平均年增长率，根据该基地年及年水蜜桃的种植面积，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）设售价应降低元，则每天可售出千克，根据总利润每千克的利润销售数量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论． (1) 小问详解： 解：设该基地这两年水蜜桃种植面积的平均年增长率， 依题意，得：， 解得：或（舍去） 答：该基地这两年水蜜桃种植面积的平均增长率为． (2) 小问详解： 解：设售价应降低元，则每天可售出千克， 依题意，得：， 整理，得：， 解得：或 要尽量减少库存， ， （元）， 答：售价应为16元． 45．（25-26学年九上·重庆江津二中联·期中）秋冬季节来临，许多季节性传染病，尤其是呼吸道传染病开始流行，大家要加强防范．疾控部门为了检测流感的传染速度，设计了一个问题：有1人患了流感，经过两轮传染后共有100人患了流感，那么每轮传染中平均一个人传染的人数为　　　　　． 【答案】9 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，设每轮传染中平均一个人传染的人数为人，根据题意列出一元二次方程，解方程即可得解，理解题意，正确列出一元二次方程是解此题的关键． 【详解】 解：设每轮传染中平均一个人传染的人数为人， 由题意可得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴每轮传染中平均一个人传染的人数为人， 故答案为：． 46．（25-26学年九上·重庆江津二中联·期中）用篱笆靠墙围成矩形花圃，墙可利用的最大长度为15m，篱笆总长为24m． （1）若围成的花圃面积为，求的长； （2）如图（2），若计划在花圃中间用一道篱笆隔成两个小矩形，且围成的花圃总面积为，则能否成功围成花圃？如果能，求的长；如果不能，请说明理由． 【答案】（1）的长为；     （2） 不能围成花圃，理由如下： 根据题意得， ， 方程可化为， ∴， ∴方程无实数解， ∴不能围成花圃．      【分析】 此题主要考查了一元二次方程的应用． （1）由于篱笆总长为，设平行于墙的边长为，由此得到，接着根据题意列出方程，解方程即可求出的长； （2）不能围成花圃；根据（）得到，此方程的判别式，由此得到方程无实数解，所以不能围成花圃． (1) 小问详解： 解：设平行于墙的边长为． 根据题意得，， 则， ∴， 因为， 所以舍去， 所以， 答：的长为； (2) 小问详解： 略 47．（25-26学年九·重庆綦江区未来学校·期中）某区为了响应国家的低碳环保决策，决定开展“太阳能光伏发电板安装进万家”活动，2025年第一个季度，全区共安装了200平方米太阳能光伏发电板，第二、第三季度加大了宣传力度，人们对太阳能光伏发电板有了很好的认同，所以，第三季度又安装了太阳能光伏发电板800平方米，设每季度安装太阳能光伏发电板的平均增长率为x，根据题意，请列出方程　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了从实际问题抽象出一元二次方程，找出等量关系是解答本题的关键． 根据平均增长率的含义，第三季度安装量等于第一季度安装量乘以． 【详解】 解：设每季度安装太阳能光伏发电板的平均增长率为x，则第二季度安装量为平方米，第三季度安装量为平方米． 因为第三季度安装量为800平方米， 因此列出方程． 故答案为． 48．（25-26学年九上·重庆长寿川维中学校·期中）某新建工业园区今年六月份提供就业岗位个，并按计划逐月增长，预计八月份将提供岗位个．设七、八两个月提供就业岗位数量的月平均增长率为，根据题意，可列方程为　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 设七、八两个月提供就业岗位数量的月平均增长率为，根据题意列出一元二次方程，即可求解． 【详解】 解：设七、八两个月提供就业岗位数量的月平均增长率为，根据题意得， ， 故答案为：． 【点睛】 本题考查了一元二次方程的应用，增长率问题，根据题意列出方程是解题的关键． 49．（25-26学年九上·重庆十一中教育）为响应乡村振兴政策，斑竹溪村大力发展经济作物，在苹果、桃李树种植已初具规模时，销售10千克苹果和5千克桃李收入130元，销售6千克苹果和10千克桃李收入148元． （1）请确定苹果、桃李的单价； （2）该村平均每天卖出苹果100千克和桃李120千克．经调查发现，苹果零售单价每降元，苹果每天可多销售10千克．桃李零售单价每降元，桃李每天可多销售5千克为了使每天获取更大的利润，该村 决定把苹果和桃李的零售单价同时下降元．在不考虑其他因素的条件下，当a定为多少时，才能使该村每天销售苹果、桃李两种水果共收入元？ 【答案】（1）苹果的单价为元，桃李的单价为元；     （2）当a定为1时，才能使该村每天销售苹果、桃李两种水果共收入元．      【分析】 本题考查了二元一次方程的应用，一元二次方程的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）设苹果的单价为元，桃李的单价为元，依题意，列式 ，解出 ，即可作答． （2）依题意，列式，解出，即可作答． (1) 小问详解： 解：设苹果的单价为元，桃李的单价为元； ∵销售10千克苹果和5千克桃李收入130元，销售6千克苹果和10千克桃李收入148元． ∴ ， ∴ ， ∴苹果的单价为元，桃李的单价为元； (2) 小问详解： 解：依题意， ， 整理得， 即， 则（故舍去） ∴当a定为1时，才能使该村每天销售苹果、桃李两种水果共收入元． 50．（25-26学年九上·重庆渝北区石鞋学校）学校旁边的文具店用600元购买钢笔，700元购买笔记本，每支钢笔比每个笔记本的进价贵5元，且购进笔记本的数量是钢笔的2倍． （1）求文具店购买每支钢笔和每个笔记本的进价； （2）文具店在销售过程中发现、当钢笔的售价为每支18元，笔记本的售价为每个10元时，平均每天可售出20支钢笔，40个笔记本，调查，钢笔的售价每降低元平均每天可多售出5支，且降价幅度不低于．商家在保笔记本的售价和销量不变且不考虑其他因素的情况下，想使钢笔和笔记本平均每天的总获利为270元，则每支钢笔的售价为多少元？ 【答案】（1）每支钢笔的进价为12元，每个笔记本的进价为7元；     （2）每支钢笔的售价为17元．      【分析】 本题考查了一元二次方程的应用以及分式方程的应用，根据题目的条件找准等量关系，并正确列出分式方程和一元二次方程是解题的关键． （1）设每个笔记本的进价为元，则每支钢笔的进价为元，利用数量总价单价，结合购进笔记本的数量是钢笔的2倍，可列出关于的分式方程，解之经检验后即可得出答案； （2）设每支钢笔的售价为元，则每支钢笔的利润为元，每天可售出支，利用总利润每支钢笔的销售利润日销售量每个笔记本的销售利润日销售量，可列出关于的一元二次方程，解之可求出值，再结合降价幅度不低于，即可确定结论． (1) 小问详解： 解：设每个笔记本的进价为元，则每支钢笔的进价为元， 根据题意得，， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意． ． 答：每支钢笔的进价为12元，每个笔记本的进价为7元； (2) 小问详解： 设每支钢笔的售价为元，则每支钢笔的利润为元， 则每天可售出支， 根据题意得，， 整理得：， 解得：， 当时，，不合题意，舍去； 当时，，符合题意． 答：每支钢笔的售价为17元． 51．（25-26学年九上·重庆万州·期末）某社区为推进终身学习，分两批采购科普类和艺术类学习资料．第一批采购时，科普类资料订购量比艺术类资料的3倍多200本，科普类资料单价为12元，艺术类资料单价为20元，总计支出13600元． （1）求第一批采购的艺术类资料和科普类资料各多少本？ （2）第二批采购时，正值“全民学习月”活动，科普类资料需求增加，单价有所上涨．社区决定，若科普类资料单价每上涨2元，采购数量就比第一批减少40本．艺术类资料单价不变，采购数量比第一批增加，最终第二批采购总资金比第一批增加了4640元，且科普类资料采购单价不超过20元，求科普类资料的采购单价为多少元？ 【答案】（1）第一批采购的艺术类资料200本，科普类资料800本     （2）科普类资料的采购单价为18元      【分析】 本题考查了一元一次方程的应用，一元二次方程的应用，理解题意，找准等量关系是解此题的关键． （1）设艺术类资料采购x本，科普类资料采购本，根据题意列出一元一次方程，解方程即可得出结果； （2）设科普类资料采购单价为a元，根据题意列出一元二次方程，解方程即可得出结果． (1) 小问详解： 解：设艺术类资料采购x本，科普类资料采购本， 由题意得：， ， ，  答：第一批采购的艺术类资料200本，科普类资料800本， (2) 小问详解： 解：设科普类资料采购单价为a元， 由题意得：， 整理可得：， 解得：，， 采购单价不超过20元， ． 答：科普类资料的采购单价为18元． 52．（九·重庆铜梁·期末）某养殖专业户实行科技养殖，2025年养殖总产值为250万元，较2023年养殖的总产值净增90万元，则该专业户这两年养殖总产值的年平均增长率为　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了一元二次方程的应用，设该专业户这两年养殖总产值的年平均增长率为，根据2025年产值和净增产值求出2023年产值，利用增长模型列方程求解． 【详解】 解：设该专业户这两年养殖总产值的年平均增长率为， 由题意得，， 解得，（舍去）， ∴该专业户这两年养殖总产值的年平均增长率为， 故答案为：． 53．（九·重庆铜梁·期末）某区为打造非物质文化遗产，开发了A，B两种文创产品．某销售店销售这两种产品，A种产品的售价比B种产品的售价多100元/件．去年12月份，该店销售的A种产品数量与B种产品数量相同，经核算，A产品销售总额为万元，B产品销售总额为万元． （1）求该店A，B两种文创产品的销售单价各是多少元？ （2）今年开始，该店对这两种产品进行调价销售．与去年12月相比，对A种产品售价每降低10元，销售数量将增加1件，B种产品单价提高50元进行销售．截至1月20日，该店B产品销售数量已达到去年12月B产品的销量，这样，该店1月份前20天这两种产品的销售总额就比去年12月多1840元，该店对A种产品每件售价降低多少元？ 【答案】（1）该店A种文创产品的销售单价为400元，B种文创产品的销售单价为300元     （2）40元      【分析】 本题主要考查了分式方程的应用，一元二次方程的应用，正确理解题意列出方程是解题的关键． （1）设该店A种文创产品的销售单价为x元，则B种文创产品的销售单价为元，根据该店销售的A种产品数量与B种产品数量相同时，A产品销售总额为万元，B产品销售总额为万元建立方程求解即可； （2）设该店对A种产品每件售价降低元，则A种产品的销售量为件，再根据该店1月份前20天这两种产品的销售总额就比去年12月多1840元，建立方程求解即可． (1) 小问详解： 解：设该店A种文创产品的销售单价为x元，则B种文创产品的销售单价为元， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：该店A种文创产品的销售单价为400元，B种文创产品的销售单价为300元； (2) 小问详解： 解：设该店对A种产品每件售价降低元， 由题意得，， 整理得， 解得或（舍去）， ∴， 答：该店对A种产品每件售价降低40元． 54．（25-26学年九上·重庆·期末）某童装店元旦促销一款儿童加绒卫衣．经核算，该卫衣进价为40元/件．当销售价定为80元/件时，平均每天可售出20件．为了迎接“元旦”促销，商店决定采取降价措施，以便达到“薄利多销”的效果．市场调研显示：若每件降价1元，则平均每天可多售出2件．设每件卫衣降价x元（x为非负整数，且售价不低于进价）． （1）每天可销售                 件，每件盈利                 元（用含x的代数式表示）． （2）为了扩大销售量，尽快减少库存，每件卫衣降价多少元时，平均每天可赢利1050元？ （3）店长希望平均每天能赢利1500元，这个愿望能实现吗？说明理由． 【答案】（1）,     （2）每件卫衣降价25元时,平均每天可盈利1050元     （3） 不能实现． 理由：由题意得 整理得 ∴此方程无实数根， 答：每天的赢利不可能达到1500元,所以店长的愿望实现不了．      【分析】 （1）根据：销售量=原销售量+因价格下降而增加的数量，每件利润=实际售价-进价，列式即可； （2）根据：总利润=每件利润×销售数量，列方程求解可得； （3）根据（2）中相等关系列方程，判断方程有无实数根即可得． 本题考查了一元二次方程的应用-销售问题，找到等量关系是解题关键． (1) 小问详解： 设每件童装降价元时，每天可销售件，每件盈利元， 故答案为：,． (2) 小问详解： 解：由题意得 解得, ∵为了扩大销售量,尽快减少库存, ∴ 答：每件卫衣降价25元时,平均每天可赢利1050元． (3) 小问详解： 略 55．（25-26学年九·重庆江津区实验中学·期末）交警部门提醒市民：“出门头盔戴，放心平安归”，某电动车用品批发店准备在11月和12月，分两次购入A、B两款头盔．11月购入了第一批，购入A款头盔的数量为购入B款头盔数量的4倍还多300个，A、B两种头盔的购入单价分别为20元和45元，共用去资金43500元． （1）求第一批购入A、B两款头盔的数量； （2）12月2日，恰逢全国交通安全日，随着人们交通安全意识不断增强，头盔需求量增加．A款头盔单价有所上涨（涨价金额为正数）．批发店决定，若A款头盔的单价每上涨1元，则购入数量就比第一批A款头盔的数量减少50个．因B款头盔单价与第一批相同，所以B款头盔的购入数量在第一批B款头盔数量的基础上增加，最终花费的总资金比第一批增加了9000元，求A款头盔的单价上涨了多少元？ 【答案】（1）第一批购入A款头盔的数量为1500个，购入B款头盔的数量为300个；     （2）A款头盔的单价上涨了10元．      【分析】 （1）设第一批购入B款头盔的数量为x个，则第一批购入A款头盔的数量为个，根据共用去资金43500元，列出一元一次方程，解方程即可； （2）设A款头盔的单价上涨了y元，则购入数量为个，根据最终花费的总资金比第一批增加了9000元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是： （1）找准等量关系，正确列出一元一次方程； （2）找准等量关系，正确列出一元二次方程． (1) 小问详解： 解：设第一批购入B款头盔的数量为x个，则第一批购入A款头盔的数量为个， 由题意得：， 解得：， ∴， 答：第一批购入A款头盔的数量为1500个，购入B款头盔的数量为300个； (2) 小问详解： 解：设A款头盔的单价上涨了y元，则购入数量为本， 根据题意得：， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去）， 答：A款头盔的单价上涨了10元． 56．（25-26学年九上·重庆铜梁区铜梁·期中）国庆期间，鲜花销售十分火爆，某花店抓住市场需求，计划第一次购进玫瑰和郁金香共300支，每支玫瑰的进价为2元，售价定为5元，每支郁金香的进价为4元，售价定为10元． （1）若花店在无损耗的情况下将玫瑰和郁金香全部售完，要求总获利不低于1500元，求花店最多购进玫瑰多少支？ （2）花店在第二次购进玫瑰的进价不变．由于销量火爆，花店决定购进玫瑰的数量在（1）中的最多进货量的基础上增加50m支，售价比第一次提高m元，最终这批玫瑰花全部销售完后获利1000元，求m的值． 【答案】（1）100支     （2）2      【分析】 本题考查了一元一次不等式的应用、一元二次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键． （1）设花店购进玫瑰支，则花店购进郁金香支，根据总获利不低于1500元建立不等式，解不等式即可得； （2）先求出这批玫瑰花的销售量为，每支玫瑰的利润为元，再根据这批玫瑰花全部销售完后获利1000元建立方程，解方程即可得． (1) 小问详解： 解：设花店购进玫瑰支，则花店购进郁金香支， 由题意得：， 解得， 所以的最大值为100， 答：花店最多购进玫瑰100支． (2) 小问详解： 解：由题意得：， 整理得：， 解得或， 答：的值为2． 57．（25-26学年九上·重庆铜梁区铜梁·期中）取暖器，又称为“冬日里的小太阳”，是南方居民冬天的取暖神器．某商场有A型、B型两款最受顾客喜爱的取暖器，已知每台A型取暖器的售价比每台B型取暖器售价少40元，顾客用1200元购入A型取暖器的数量与用1440元购入B型取暖器的数量相等． （1）每台A型取暖器与每台B型取暖器的售价分别为多少元？ （2）每台B型取暖器的进价为140元，据统计，商场每月卖出B型取暖器60台，新年前夕，为了尽快减少库存，商场决定对B型取暖器进行降价促销活动，调查发现，每台B型取暖器的售价每降低10元，那么平均每月可多售出25台，若商场要想每月销售B型取暖器的利润达到9600元，则每台B型取暖器应降价多少元？ 【答案】（1）A型号取暖器的售价为200元，则B型号取暖器的售价为240元     （2）每台B型取暖器应降价40元      【分析】 本题考查了分式方程的应用、一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程． （1）设A型号取暖器的售价为x元，则B型号取暖器的售价为元，根据顾客用1200元购入A型取暖器的数量与用1440元购入B型取暖器的数量相等，列出分式方程，解分式方程即可； （2）设每台B型取暖器应降价m元，根据“每台B型取暖器的进价为140元，商场每月卖出B型取暖器60台．为了尽快减少库存，商场决定对B型取暖器进行降价促销活动，每台B型取暖器的售价每降低10元，那么平均每月可多售出25台，商场要想每月销售B型取暖器的利润达到9600元”，列出一元二次方程，解方程即可． (1) 小问详解： 解：设A型号取暖器的售价为x元，则B型号取暖器的售价为元． 根据题意得：， 解得：， 检验：当时，． 所以，原分式方程的解为． 则B型号取暖器的售价为． 答：A型号取暖器的售价为200元，则B型号取暖器的售价为240元． (2) 小问详解： 设每台B型取暖器应降价m元． 根据题意有： 整理得： 解得：， ∵为了尽快减少库存 ∴ 答：每台B型取暖器应降价40元． 58．（25-26学年九上·重庆万州区万州·期中）“我运动，我健康，我快乐！”随着人们对身心健康的关注度越来越高．某市参加健身运动的人数逐年增多，从2023年的32万人增加到2025年的50万人． （1）求该市参加健身运动人数的年均增长率； （2）为支持市民的健身运动，该市市政府决定从公司购买某种套装健身器材．该公司规定：若购买不超过100套，每套售价2000元；若超过100套，每增加10套，售价每套可降低50元．但最低售价不得少于1200元．已知市政府向该公司支付货款30万元，求购买的这种健身器材的套数． 【答案】（1）     （2）200套      【分析】 此题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设该市参加健身运动人数的年均增长率为x，根据从2023年的32万人增加到2025年的50万人，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． （2）设购买的这种健身器材的套数为m套，根据市政府向该公司支付货款30万元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． (1) 小问详解： 解：设该市参加健身运动人数的年均增长率为， 由题意得：， 解得：（不符合题意，舍去）， 答：该市参加健身运动人数的年均增长率为． (2) 小问详解： 解：∵， ∴， 设购买的这种健身器材的套数为套， 由题意得：， 整理得：， 解得：， 最低售价不得少于1200元， ， 解得：， ， 答：购买的这种健身器材的套数为200套． 59．（25-26学年九上·重庆礼嘉中学校·期中）重庆某商铺在元旦前购进了奉节脐橙和江津广柑共千克，两种水果的进价均为每千克元．奉节脐橙以每千克元，江津广柑以每千克元的价格出售． （1）若商铺此次获利元，则购进奉节脐橙和江津广柑分别多少千克？ （2）临近“新春年货节”，商铺决定调整售价：脐橙售价下调元（降价后售价不低于进价），广柑售价上涨元；与（1）中的数据相比，脐橙销量上涨千克，广柑销量下降，利润增加了元，求的值． 【答案】（1）奉节脐橙千克，江津广柑千克     （2）      【分析】 本题考查了销售、利润问题(二元一次方程组的应用)，营销问题(一元二次方程的应用) ，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）设购进奉节脐橙 x千克，江津广柑 y千克，根据题中的等量关系列出方程组求解； （2）分别求出脐橙、广柑的新的销价与销量，再列出关于的一元二次方程求解． (1) 小问详解： 解：设购进奉节脐橙 x千克，江津广柑 y千克， 则 ， 解得： ， 答：奉节脐橙千克，江津广柑千克； (2) 小问详解： 原销量：脐橙千克，广柑千克， 脐橙售价：元/千克，且即， 广柑售价：元/千克， 脐橙销量：千克， 广柑销量：下降， 即原千克变为千克， 新收入：， 新销量：， 新成本：， 新利润为：， 由题意得， 解得：或（舍去）， 所以的值为2． 60．（25-26学年九上·重庆江津中学校·期中）某商场将进货价为25元的台灯以40元售出，1月份销售400个，2月份和3月份这种台灯销售量持续增加，在售价不变的基础上，3月份的销售量达到484个，设2月份和3月份两个月的销售量月平均增长率不变． （1）求2月份和3月份两个月的销售量月平均增长率； （2）从4月份起，在3月份销售量的基础上，商场决定降价促销．经调查发现，售价在30元至40元范围内，这种台灯的售价每降价0.5元，其销售量增加4个．若商场要想使4月份销售这种台灯获利5240元，则这种台灯售价应定为多少元？ 【答案】（1）     （2）35元      【分析】 本题考查一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设月份和月份两个月的销售量月平均增长率为，根据题意得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）设这种台灯售价应定为元，利用总利润每台的销售利润四月份的销售量，即可得出关于m的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． (1) 小问详解： 解：设月份和月份两个月的销售量月平均增长率为， 根据题意，得， 解得，（舍去）， 答：月份和月份两个月的销售量月平均增长率为； (2) 小问详解： 解：设这种台灯售价应定为元， 根据题意，得， 整理得， 解得，， 售价在元至元范围内， ， 答：这种台灯售价应定为元． 61．（25-26学年九上·重庆铁路中学校·期中）某种商品的标价为200元/件，由于疫情的影响，销量不佳，店家经过两次降价后的价格为128元/件，并且两次降价的百分率相同． （1）求该种商品每次降价的百分率； （2）若该种商品进价为80元/件，若以128元/件售出，平均每天能售出20件，另外每天需支付其他各种费用100元，在每件降价幅度不超过10元的情况下，若每件降价1元，则每天可多售出5件，如果每天盈利1475元，每件应降价多少元？ 【答案】（1）该种商品每次降价的百分率为     （2）每件商品应降价元      【分析】 （1）设该种商品每次降价的百分率为，根据该商品的原价及经过两次降价后的价格，即可得出关于的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论； （2）根据每件商品的盈利（原来的销售量增加的销售量），列出方程，解出并根据题意，即可得出答案． (1) 小问详解： 解：设该种商品每次降价的百分率为， 依题意，得：， 解得：，（不合题意，舍去）， ∴该种商品每次降价的百分率为； (2) 小问详解： 解：设每件商品应降价元， 根据题意，得：， 解得：，， ∵在降价幅度不超过10元的情况下， ∴不合题意，舍去， ∴每件商品应降价元． 【点睛】 本题考查了一元二次方程的应用，得到现在的销售量是解本题的难点，根据每天的盈利得到相应的等量关系是解本题的关键． 62．（25-26学年九上·重庆第二外国语学校·期中）某水果批发商经销一种苹果，1月份时该苹果的批发价为10元/千克，此后每个月该苹果的批发价逐月下降，到了3月份时该苹果的批发价为6.4元/千克． （1）求苹果批发价每个月的平均降低率； （2）2月份时，某水果店在该批发商处按该月批发价购进了300千克苹果，第一天将苹果零售价格定为15元/千克，售出了千克；第二天，水果店将苹果的零售价降低了元/千克，又售出了剩下的所有苹果；结果这批苹果的利润为2100元，求的值． 【答案】（1）     （2）60      【分析】 本题考查一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，找出题目中的等量关系，列出相应的方程． （1）设苹果批发价每个月的平均降低率为，根据1月份时该苹果的批发价为10元/千克，3月份时该苹果的批发价为6.4元/千克，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （2）根据第（1）问的结果，先计算出2月份时该苹果的批发价，用第1天的营业额与第二天的营业额之和减去成本即可得利润，由此列方程解答即可． (1) 小问详解： 解：设苹果批发价每个月的平均降低率为， 依题意得：，解得，（舍去）． 苹果批发价每个月的平均降低率为． 答：苹果批发价每个月的平均降低率为． (2) 小问详解： 2月份时该苹果的批发价为：（元）， 依题意得：， 整理得：，解得（舍去），． 的值为60． 63．（25-26学年九上·重庆朝阳中学·期中）某水果店以每千克30元出售一批草莓．一位顾客购买了2千克草莓，水果店获得利润20元． （1）求草莓的进价为每千克多少元？ （2）已知该水果店第一天以每千克30元的单价售出草莓30千克．为了让顾客获得实惠，第二天水果店决定把草莓降价促销，若在第一天销售单价的基础上每降价1元，第二天的草莓销量就会在第一天销量的基础上增加6千克．通过这两天的销售，这批草莓全部售完，水果店销售完这批草莓的利润一共为600元，求第二天的草莓每千克降价多少元？ 【答案】（1）草莓的进价为每千克20元     （2）第二天的草莓每千克降价5元      【分析】 （1）设草莓的进价为每千克x元，然后根据利润=（售价-进价）×数量列出方程求解即可； （2）设第二天的草莓每千克降价m元，然后根据利润=（售价-进价）×数量列出方程求解即可． (1) 小问详解： 解：设草莓的进价为每千克x元， 由题意得：， 解得， ∴草莓的进价为每千克20元， 答：草莓的进价为每千克20元； (2) 小问详解： 解：设第二天的草莓每千克降价m元， 由题意得， 解得或（舍去）， ∴第二天的草莓每千克降价5元， 答：第二天的草莓每千克降价5元． 【点睛】 本题主要考查了一元一次方程和一元二次方程的实际应用，正确理解题意列出方程求解是解题的关键． 64．（25-26学年九上·重庆合川区十一·期中）为了刺激消费，2025年初国家实行政府消费补贴政策，在该政策的推动下，家电市场销售持续升温，某家电商场计划采购甲，乙两类商品进行销售．已知采购3台甲类商品与2台乙类商品共需340元，采购5台甲类商品与4台乙类商品共需600元． （1）求出每台甲类商品和每台乙类商品的进货价格； （2）商家当前以每台120元的价格销售甲类商品，月销量为300台．为了尽快减少甲类商品的库存，商家决定降价销售，市场调研显示：甲类商品的售价每下降m元，月销量可增加10m台．调价后，甲类商品的库存有了显著的减少，且本月获利12160元，求m的值． 【答案】（1）甲类商品每台进货价格80元，乙类商品每台进货价格50元     （2）m的值为8      【分析】 本题主要考查二元一次方程组及一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意； （1）设甲类商品每台进货价格x元，乙类商品每台进货价格y元，由题意可得方程组 ，进而求解即可； （2）根据题意可得方程，进而求解即可． (1) 小问详解： 解：设甲类商品每台进货价格x元，乙类商品每台进货价格y元，由题意得： ， 解得： ； 答：甲类商品每台进货价格80元，乙类商品每台进货价格50元 (2) 小问详解： 解：由题意得： ， 解得：， ∵为了尽快减少甲类商品的库存， ∴． 65．（25-26学年九上·重庆第九十五初级中学校·期中）某大型品牌书城购买了A，B两种新出版书籍，商家用1600元购买A书籍，1200元购买B书籍，A，B两种书籍的进价之和为40元，且购买A书籍的数量是B书籍的2倍． （1）求商家购买A书籍和B书籍的进价； （2）商家在销售过程中发现，当A书籍的售价为每本24元，B书籍的售价为每本36元时平均每天可卖出50本A书籍，20本B书籍．据统计，B书籍的售价每降低1元平均每天可多卖出5本．商家在保证A书籍的售价和销量不变且不考虑其他因素的情况下，为了促进B的销量，想使A书籍和B书籍平均每天的总获利为700元，则每本B书籍的售价为多少元？ 【答案】（1）A书籍的进价为16元，B书籍的进价为24元     （2）30元      【分析】 本题考查了分式方程的应用、一元二次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键． （1）设商家购买书籍的进价为元，则购买书籍的进价为元，根据购买书籍的数量是书籍的倍建立方程，解方程求出的值，由此即可得； （2）设每本书籍的售价为元，则平均每天可卖出书籍本，根据利润（A书籍的售价书籍的进价）书籍的销量（B书籍的售价书籍的进价）书籍的销量建立方程，解方程求出的值，再根据要促进书籍的销量，选择较小的值即可得． (1) 小问详解： 解：设商家购买书籍的进价为元，则购买书籍的进价为元， 由题意得：， 解得， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， 则， 答：商家购买书籍的进价为16元，购买书籍的进价为24元． (2) 小问详解： 解：设每本书籍的售价为元， 则平均每天可卖出书籍本， 由题意得：， ， 解得或， 要促进书籍的销量， ， 答：每本书籍的售价为30元． 66．（25-26学年九上·重庆巴蜀中学·期中）某班级为了表彰学业优秀的学生，计划采购“四季笔记本”和“四季书签”两种文创产品作为奖励．已知每个“四季书签”的售价比每个“四季笔记本”的售价高10元，班级第一次采购时，购买“四季笔记本”和“四季书签”分别花费了144元和220元，且“四季笔记本”的个数是“四季书签”个数的． （1）求每个“四季笔记本”与每个“四季书签”的售价分别为多少元？ （2）为了扩大表彰范围，该班级决定再次购买这两种文创产品，调查发现每个“四季笔记本”的成本是a元，每个“四季书签”的成本是元，第二次采购中，两种文创产品的售价都和第一次采购时相同，“四季笔记本”的采购数量比第一次多7个，“四季书签”的采购数量比第一次多个，已知第二次采购商家共获利248元，求a的值． 【答案】（1）“四季笔记本”单价为12元，“四季书签”单价为22元     （2）10      【分析】 本题主要考查分式方程及一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意； （1）设每个“四季笔记本”为x元，则每个“四季书签”为元，根据题意易得，进而求解即可； （2）由（1）可得第一次购买的数量，然后可得方程，进而求解即可． (1) 小问详解： 解：设每个“四季笔记本”为x元，则每个“四季书签”为元． ， 解得， 经检验：是分式方程的解且符合题意． ∴元， 答：“四季笔记本”单价为12元，“四季书签”单价为22元． (2) 小问详解： 解：第一次购买“四季笔记本”数量：（本），“四季书签”数量：（个）， ∴， 化简整理得：， 解得：，（舍）； ∴a的值为10． 67．（25-26学年九上·重庆第七中学校·期中）习近平总书记说：读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．某校开展师生阅读活动，打造书香校园、据统计，九年级师生第一周参与阅读100人次，阅读人次每周递增，第三周参与阅读达到196人次．则九年级师生阅读人次的周平均增长率为　　　　　　　． 【答案】40 【分析】 本题考查一元二次方程在增长率问题中的应用． 设周平均增长率为，根据第三周阅读人次是第一周的倍，列出方程求解即可． 【详解】 解：设周平均增长率为， 则 （舍去负值） ． 故答案为：40． 68．（25-26学年九上·重庆第万州三中学·期中）2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”在一开售时，就深受大家的喜欢．某供应商今年2月第一周购进一批“冰墩墩”和“雪容融”，已知一个冰墩墩的进价比一个“雪容融”的进价多40元，购买20个“冰墩墩”和30个“雪容融”的金额相同． （1）今年2月第一周每个“冰墩墩”和“雪容融”的进价分别是多少元？ （2）今年2月第一周，供应商以以150元每个售出“冰墩墩”120个，以100元每个售出“雪容融”150个．第二周供应商决定调整价格，每个“冰墩墩”的价格不变，每个“雪容融”的售价在第一周的基础上下降了元，由于冬奥赛事的火热进行，第二周“冰墩墩”的销量比第一周增加了个，“雪容融”的销量比第一周增加了个，最终商家获利6600元，求． 【答案】（1）每个“冰墩墩”的进价为120元，每个“雪容融”的进价为80元     （2）的值为10      【分析】 （1）设今年2月第一周每个“冰墩墩”的进价为元，每个“雪容融”的进价为元，再根据题意建立方程，解方程即可； （2）利用“总利润=（售价-进价）×数量”根据题意列方程，再解方程即可． (1) 小问详解： 解：设今年2月第一周每个“冰墩墩”的进价为元，每个“雪容融”的进价为元， 依题意得∶ ． 解得： ． 答：今年2月第一周每个“冰墩墩”的进价为120元，每个“雪容融”的进价为80元． (2) 小问详解： 解：依题意得：， 整理得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：的值为10． 【点睛】 本题主要考查了二元一次方程以及一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意列出方程进行求解． 69．（25-26学年九上·重庆江津区实验中学·期中）公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售200个，6月份销售288个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为50元个，测算在市场中，当售价为60元个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元个？ 【答案】（1）     （2）70      【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，利用该品牌头盔6月份的销售量=该品牌头盔4月份的销售量该品牌头盔销售量的月增长率，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； （2）设该品牌头盔的实际售价为m元/个，则每个该品牌头盔的销售利润为元，月销售量为个，利用总利润=每个该品牌头盔的销售利润月销售量，可列出关于m的一元二次方程，解之可得出m的值，再结合要尽可能让顾客得到实惠，即可确定结论． (1) 小问详解： 解：设该品牌头盔销售量的月增长率为x， 根据题意得：， 解得，（不符合题意，舍去）． 答：该品牌头盔销售量的月增长率为； (2) 小问详解： 解：设该品牌头盔的实际售价应定为m元/个，则每个该品牌头盔的销售利润为元，月销售量为个， 根据题意得：， 解得，， 又∵要尽可能让顾客得到实惠， ∴． ∴该品牌头盔的实际售价应定为70元/个． 70．（25-26学年九上·重庆江津区实验中学·期中）“开心”农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长30米），另三边用木栏围成，木栏总长度为50米． （1）如果养鸡场总面积是200平方米，那么平行于墙的边有多长？ （2）养鸡场的面积能达到312.5平方米吗？如果能请求出此时的垂直于墙的边长？如果不能，请说明理由． 【答案】（1）平行于墙的一边长为10米     （2）能，垂直于强的边长为12.5米      【详解】 （1）设平行于墙的边长为米，则垂直于墙的一边长为米， 由题意得：， 解得：， 墙长为30米 ， ，      ， 答：平行于墙的一边长为10米． （2）能，理由如下： 由题意得： 整理得： 解得： 养鸡场的面积可以达到312.5平方米， 此时垂直于强的边长为米 71．（25-26学年九上·重庆江津二中联·期中）学校的劳动实践基地是一块长、宽的矩形土地．为便于学生参与劳动，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道（如图所示），使种植面积达到，若设小道的宽为，则根据题意，列方程，并化为一般形式是　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，由题意可得除小路的其余部分可合成长为，宽为的矩形，再根据“种植面积达到”列出一元二次方程即可，理解题意，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解此题的关键． 【详解】 解：∵学校的劳动实践基地是一块长、宽的矩形土地，小道的宽为， ∴除小路的其余部分可合成长为，宽为的矩形， 由题意可得：， 化为一般式为：， 故答案为：． 72．（25-26学年九·重庆綦江区未来学校·期中）现在是深秋季节，很多服装店已在为冬季销售作准备，某服装店看准了甲、乙两款羊毛衫，准备囤一些货以备售卖．已知每件乙款羊毛衫进价比甲款羊毛衫进价多40元，用8000元购进甲款羊毛衫和用9000元购进乙款羊毛衫的数量相同． （1）求每件甲、乙款羊毛衫的进价各为多少元？ （2）据市场调查，若甲款羊毛衫每件售价为370元，每天可卖出30件；乙款羊毛衫每件售价为420元，每天可卖出15件．在销售过程中商家为了吸引顾客，决定对甲款羊毛衫进行降价销售，在现有售价的基础上，每降价1元，可多售出2件．为更大程度让利顾客，每件甲款羊毛衫降价多少元时，商家销售甲、乙两款羊毛衫日盈利可达到3000元？ 【答案】（1）每件甲款羊毛衫的进价为320元，乙款羊毛衫的进价为360元     （2）20元      【分析】 本题考查一元二次方程和分式方程的应用． （1）设每件甲款羊毛衫的进价为x元，则乙款羊毛衫每件的进价为元，根据“用8000元购进甲款羊毛衫和用9000元购进乙款羊毛衫的数量相同”列出方程，解方程即可； （2）设设甲款降价y元/件，根据日利润甲、乙两种羊毛衫销售利润之和列出方程，解方程即可． (1) 小问详解： 解：设甲款进价x元， 根据题意列方程： 解得： 经检验：是原分式方程的解． 答：每件甲款羊毛衫的进价为320元，乙款羊毛衫的进价为360元． (2) 小问详解： 解：设甲款降价y元/件 根据题意列方程： 化简得 解得：， 为更大程度让利顾客，故， 答：每件甲款羊毛衫降价元． 73．（25-26学年九上·重庆长寿川维中学校·期中）如图，利用一面墙(墙的长度不超过45m)，用80m长的篱笆围一个矩形场地． (1)怎样围才能使矩形场地的面积为750m2？        (2)能否使所围矩形场地的面积为810m2 ，为什么？        【答案】（1）围成矩形长为30m，宽为25 m时，能使矩形面积为750㎡． （2）不能．理由如下： 由得． ∵， ∴方程没有实数根． ∴不能使所围矩形场地的面积为810m2． 【分析】 （1）设所围矩形ABCD的长AB为x米，则宽AD为 米，根据矩形面积的计算方法列出方程求解； （2）假使矩形面积为810米，则方程无实数根，所以不能围成矩形场地． 【详解】 解：（1）设所围矩形ABCD的长AB为x米，则宽AD为米． 依题意，得，即. 解此方程，得x1=30，x2=50. ∵墙的长度不超过45m，∴x2=50不合题意，应舍去． 当x=30时，. 答：当所围矩形的长为30m、宽为25m时，能使矩形的面积为750m2． （2）略 【点睛】 本题考查：1.一元二次方程的应用（几何问题）；2. 矩形的性质；3.一元二次方程根的判别式. 74．（25-26学年九上·重庆合川中学）今年超市以每件25元的进价购进一批商品，当商品售价为40元时，三月份销售256件，四、五月该商品十分畅销，销售量持续上涨，在售价不变的基础上，五月份的销售量达到400件． （1）求四、五这两个月销售量的月平均增长百分率． （2）经市场预测，六月份的销售量将与五月份持平，现商场为了减少库存，采用降价促销方式，经调查发现，该商品每降价1元，月销量增加5件，当商品降价多少元时，商场六月份可获利4250元？ 【答案】（1）     （2）降价5元      【分析】 本题考查了一元二次方程的应用； （1）设平均增长率为x，根据题意列出一元二次方程，解方程并取符合题意的解，即可求解． （2）设降价y元，根据商场六月份可获利4250元，列出一元二次方程，解方程并取符合题意的解，即可求解． (1) 小问详解： 解：设平均增长率为x，由题意得：， 解得：或舍； 四、五这两个月的月平均增长百分率为； (2) 小问详解： 设降价y元，由题意得：， 整理得：， 解得：或舍； 当商品降价5元时，商场六月份可获利4250元． 75．（25-26学年九上·重庆双桥中学·期中）某药厂2015年生产1t甲种药品的成本是6000元．随着生产技术的进步，2017年生产1t甲种药品的成本是4860元．设生产1t甲种药品成本的年平均下降率为x，则x的值是　　　　　　　　　　　　　　　　　 【答案】 【分析】 本题主要考查的是一元二次方程的实际应用．销售中成本乘以降价率是成本所降的价格，所以理解和掌握“上一年的成本乘以（1-年平均下降率为）等于下一年的成本”是解题的关键． 【详解】 设生产1t甲种药品成本的年平均下降率为x，由题意得 ， 解得：，（不合题意，舍去）， 故答案为． 76．（25-26学年九上·重庆双桥中学·期中）某海鲜排档购进一批大龙虾和海胆，它们的进货单价之和是360元． 大龙虾的零售单价比进货单价多40元，海胆的零售单价比进货单价的倍少60元，按零售单价购买2只大龙虾和4个海胆，共需要1200元． （1）求大龙虾和海胆的进货单价； （2）该海鲜排档平均每天卖出20只大龙虾和12个海胆． 经调查发现，大龙虾的零售单价每降低5元，平均每天就可多售出10只，海鲜排档决定把大龙虾的零售单价下降a元，海胆的零售单价和销量都不变，在不考虑其他因素的条件下，当a为多少时，海鲜排档每天销售大龙虾和海胆获取的总利润为1490元？ 【答案】（1）大龙虾进货单价为200元，海胆的进货单价为160元     （2）15      【分析】 本题考查了二元一次方程组的应用，一元二次方程的应用等知识﹒ （1）设大龙虾的进货单价为x元，海胆的进货单价为y元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）根据海鲜排档每天销售大龙虾和海胆获取的总利润为1490元列出方程，解方程即可求解﹒ (1) 小问详解： 解：设大龙虾的进货单价为x元，海胆的进货单价为y元， 由题意得 ， 解得 ， 答：大龙虾进货单价为200元，海胆的进货单价为160元； (2) 小问详解： 解：由题意得， 解得， 答：当a为15时，海鲜排档每天销售大龙虾和海胆获取的总利润为1490元﹒ 77．（25-26学年九上·重庆礼嘉中学校·期末）某青年党支部在精准扶贫活动中，给结对帮扶的贫困家庭赠送甲、乙两种树苗让其栽种．已知乙种树苗的价格比甲种树苗的价格少元，用元购买乙种树苗的数量恰好是用元购买甲种树苗的数量的． （1）求甲、乙两种树苗每棵的价格各是多少元； （2）在实际帮扶中，他们决定再次购买甲、乙两种树苗，购买甲种树苗的数量与第一次相同，购买乙种树苗的数量比第一次多棵，而甲种树苗和乙种树苗均有涨价，甲种树苗的价格比第一次购买时的价格高元，乙种树苗的价格比第一次购买时的价格高元，最终发现第二次购买两种树苗的总费用比第一次购买两种树苗的总费用高元，求的值． 【答案】（1）10元；8元     （2）12      【分析】 本题考查了分式的应用，一元二次方程的应用； （1）设甲种树苗每棵的价格是元，则乙种树苗每棵的价格是元，根据题意列出分式方程，解方程，并检验即可求解； （2）根据题意列出一元二次方程，解方程即可求解． (1) 小问详解： 解：设甲种树苗每棵的价格是元，则乙种树苗每棵的价格是元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， ， 答：甲种树苗每棵的价格是元，乙种树苗每棵的价格是元； (2) 小问详解： 解：由（1）可知，棵，棵， 由题意得：， 整理得：， 解得：，不符合题意，舍去， 答：的值为． 78．（25-26学年九上·重庆第三十七中学校·期中）某商店销售、两种款式的水杯．已知每只款水杯比每只款水杯贵12元，今年九月份款水杯的销售额为4800元，款水杯的销售额为3600元，且款水杯的销量是款水杯的1.2倍． （1）求、两款水杯的售价分别是多少元？ （2）十月份，该商店对款水杯进行降价促销：已知每只款水杯的进价是16元，每只款水杯的进价比款水杯低50%．若款水杯售价每降低2元，销量就比九月份多增加30只；款水杯售价和销量都和九月份相同．此次促销销售完两款水杯的总利润为4560元，求款水杯降低了多少元？ 【答案】（1）A款水杯的售价为32元，B款水杯的售价为20元     （2）A款水杯降低了6元      【分析】 本题主要考查分式方程和一元二次方程的应用，根据题意正确列出方程是解题的关键． （1）设A款水杯的售价为元，则B款水杯的售价为元，根据题意列分式方程求解即可； （2）先求出B款水杯的进价，九月份A款水杯销量，九月份B款水杯销量，设A款水杯降低了元，再根据题意列出一元二次方程求解即可． (1) 小问详解： 解：设A款水杯的售价为元，则B款水杯的售价为元， 根据题意，可列出方程：， 解得， 经检验，是原方程的解， B款水杯的售价为（元）， ∴A款水杯的售价为32元，B款水杯的售价为20元． (2) 小问详解： 解：B款水杯的进价为（元）， 九月份A款水杯销量为（只）， 九月份B款水杯销量为（只）， 设A款水杯降低了元， 根据题意，可列出方程：， 解得，， 因为是降价促销，所以不符合题意，舍去， ∴A款水杯降低了6元． 79．（25-26学年九上·重庆朝阳中学·期中）对于任意一个三位数k，如果k满足各个数位上的数字都不为零，且十位上的数字的平方等于百位上的数字与个位上的数字之积的4倍，那么称这个数为“喜鹊数”． 例如：，因为，所以169是“喜鹊数”． （1）则最小的“喜鹊数”是　　　　　　　　　　　； （2）已知一个“喜鹊数”（，其中a，b，c为自然数），若是一元二次方程的一个根，是一元二次方程的一个根，且，则满足条件的k的最大值是　　　　　　　　　　　． 【答案】① 121    ② 484 【分析】 此题考查了一元二次方程的应用，解题关键是弄清喜鹊数的定义． （1）由题意代入验证即可解答； （2）求出m与n互为倒数，又，得出，求出，结合喜鹊数的定义即可得出答案． 【详解】 解：（1）∵各个数位上的数字都不为零，百位上的数字与个位上的数字之积的4倍， ∴十位上的数字的平方最小为4， ∵， ∴最小的“喜鹊数”是121； 故答案为：121． （2）∵是喜鹊数， ∴，即， ∵是一元二次方程的一个根，是一元二次方程的一个根， ∴， 将两边同除以得：， ∴将m、看成是方程的两个根， ∵， ∴方程有两个相等的实数根， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴满足条件的所有k的值为121，242，363，484． 即满足条件的k的最大值是484． 故答案为：484． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 一元二次方程 考点01 一元二次方程的概念 考点02 配方法 考点03 公式法 考点04 因式分解法 考点05 一元二次方程的根与系数的关系 考点06 实际问题与一元二次方程 考点01 一元二次方程的概念 1．D 2．A 3．A 4．A 5．C 6．C 7．B 8．A 9．B 10．D 11．B 12．A 13．C 14．B 15．A 16．C 17．D 18．D 19．【答案】3 【分析】 本题考查了一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的定义是解题的关键．一元二次方程的解（根）的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值称为一元二次方程的解．根据一元二次方程的解的定义，将代入方程求解m即可． 【详解】 解：把代入方程， 得，即， 整理得， 解得， 故答案为：3． 20．【答案】2024 【分析】 本题考查一元二次方程的解，把代入方程，进行求解即可． 【详解】 解：把代入，得：， 解得：； 故答案为：2024 21．【答案】， 【分析】把x=0代入已知方程，列出关于a的新方程，通过解新方程可以求得a的值． 【详解】∵x=0是关于x的一元二次方程的一个根， ∴a2+a−1=0， 解得 即a的值是， 故答案为， 【点睛】考查一元二次方程解的概念，使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的解. 22．【答案】13 【分析】 本题考查了一元二次方程的解、已知式子的值求代数式的值，根据，得出，，再分别代入进行计算，即可作答． 【详解】 解：∵是方程的一个根， ∴， 则，， ∴ ， 故答案为：13． 23．【答案】 【分析】 本题考查一元二次方程的解，代数式求值．根据一元二次方程的解的定义，将 a 代入方程得到关系式，再通过代数式变形求值． 【详解】 解：a是方程 的根， ，即， ， ． 故答案为：． 24．【答案】4011 【分析】 本题考查了一元二次方程解的定义，代数式求值，将代入方程得到，再代入计算． 【详解】 解：∵ 是方程 的解， ∴代入得 ， 即 ， ∴ ， ∴ ． 故答案为：4011． 25．【答案】9 【分析】 本题考查了一元二次方程的解，能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解；把代入得，然后利用整体代入的方法计算即可． 【详解】 解：把代入得， ∴， 故答案为：9． 26．【答案】15 【分析】 本题考查了一元二次方程的解，牢记“把方程的解代入原方程，等式左右两边相等”是解题的关键． 将代入方程，利用方程根的定义求解即可． 【详解】 解：∵是方程的一个根， ∴ ， 故答案为：15． 27．【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义可得，，求解即可，熟练掌握一元二次方程的定义是解此题的关键． 【详解】 解：∵关于x的方程是一元二次方程， ∴，， ∴， 故答案为：． 28．【答案】， 【分析】 本题主要考查了分式的化简求值，一元二次方程解的定义．先计算括号内的，再计算除法，然后根据一元二次方程解的定义可得，然后代入，即可求解． 【详解】 解：                                  ． ∵是方程的根， ∴， ∴原式． 29．【答案】3 【分析】 本题考查的是一元二次方程的定义，求解代数式的值，由一元二次方程出发，利用代数变形求出的值，再通过完全平方公式计算． 【详解】 解：由方程 ，可知 ，将方程两边除以，得 ， 即， ∴， 故答案为：3． 30．【答案】4 【分析】 此题考查了一元二次方程的解，代数式求值，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值． 将代入已知方程求出的值，原式变形后代入计算即可求出值． 【详解】 解：将代入已知方程得：，即， ． 故答案为：． 31．【答案】，． 【分析】 本题考查了分式的化简求值，一元二次方程的解，先根据分式的运算法则化简，再根据是方程的解，求得，代入即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】 解： ， ∵是方程的解， ∴， ∴， ∴原式． 考点02 配方法 1．A 2．C 3．D 4．C 5．D 6．D 7．C 8．D 9．B 10．D 11．D 12．D 13．【答案】， 【分析】 本题主要考查了直接开方法解一元二次方程， 先移项，合并同类项，再直接开方即可． 【详解】 解：方程， 移项得：， 即， 开方，得， ∴，． 故答案为：，． 14．【答案】 【分析】 本题主要考查了求平方根的方法解方程，先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时除以2后开平方即可得到答案． 【详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 15．【答案】（1）x1＝3＋，x2＝3－；（2）x1＝ ，x2＝2 【分析】 （1）先配方、然后运用直接开平方法解答即可； （2）先对2x－4因式分解，然后再移项，最后运用因式分解法解答即可 【详解】 解：（1）x2－6x＋9－9－4＝0 (x－3) 2＝13 x－3＝± x1＝3＋，x2＝3－ （2）3x(x－2)＝2(x－2) 3x(x－2)－2(x－2)＝0 (3x－2) (x－2)＝0 x1＝，x2＝2． 【点睛】 本题主要考查了一元二次方程的解法，掌握配方法、直接开平方法以及因式分解法是解答本题的关键． 16．【答案】（1），；     （2）      【分析】 本题考查解一元二次方程，分式方程； （1）利用配方法解方程即可； （2）先去分母，再解整式方程，最后检验即可． (1) 小问详解： 解：， ， ， ， ，； (2) 小问详解： 解：方程两边同乘得：， 解得：， 检验：当时，， 原方程的解为：． 17．【答案】（1）；（2） ， 【分析】 本题主要考查了二次根式的混合运算，解一元二次方程，解题的关键是： （1）根据二次根式的性质、二次根式的运算法则计算即可； （2）根据配方法求解即可． 【详解】 解：（1）原式 ； （2）， ， ， ， ， ∴ ，． 18．【答案】（1）     （2），．      【分析】 本题考查的是解一元一次不等式组和解一元二次方程． （1）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集． （2）利用配方法求解可得． (1) 小问详解： 解： ， 解不等式，得：， 解不等式，得：， 则不等式组的解集为； (2) 小问详解： ∴， ∴， ∴， 解得：，． 考点03 公式法 1．D 2．D 3．A 4．C 5．B 6．C 7．D 8．C 9．A 10．D 11．D 12．A 13．D 14．B 15．B 16．D 17．【答案】m≥-且m≠1 【分析】根据一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac的意义得△≥0，即（2m+1）2-4（m+1）（m-1）≥0，且m-1≠0，然后求出两个不等式的公共部分即可． 【详解】解：∵一元二次方程（m-1）x2-（2m+1）x+（m+1）=0有实数根， ∴△≥0，即（2m+1）2-4（m-1）（m+1）≥0， 解得：m≥ - ， ∵m-1≠0， ∴m≠1， 则m的取值范围是m≥ 且m≠1. 故答案为m≥ 且m≠1． 【点睛】本题考查一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根． 18．【答案】， 【分析】 本题考查了一元二次方程的求法，判断出判别式的取值范围是解决本题的关键． 先判断方程的跟的判别式，再由求根公式代入求解即可． 【详解】 解：方程为， ，，， ， ， ，． 19．【答案】（1）；（2）， ． 【分析】 本题考查了二次根式的混合运算，以及一元二次方程的求解，即公式法，解决本题的关键是熟练掌握以上运算并正确求解． （1）先化简二次根式，再根据二次根式的混合运算计算即可． （2）根据公式法求解一元二次方程的解即可． 【详解】 解：（1） ． （2）在方程中，，，， 则， 解得， ． 20．【答案】 【分析】 本题考查的是一元二次方程根的判别式，注意记忆判别式大于0时有两个不相等的实数根，判别式等于0时有两个相等的实数根，判别式小于0时方程无实数根．根据有两个不相等的实数根，直接得到判别式，即可求解本题． 【详解】 解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：； 故答案为：． 21．【答案】（1）证明：∵△=（2k+1）2-4（k2+k）=1＞0， ∴方程有两个不相等的实数根； （2）或 【分析】 （1）先计算出△=1，然后根据判别式的意义即可得到结论； （2）先利用公式法求出方程的解为x1=k，x2=k+1，然后分类讨论：AB=k，AC=k+1，当AB=BC或AC=BC时△ABC为等腰三角形，然后求出k的值． 【详解】 （1）略 （2）解：一元二次方程x2-（2k+1）x+k2+k=0的解为x=， 即x1=k，x2=k+1， ∵k＜k+1， ∴AB≠AC． 当AB=k，AC=k+1，且AB=BC时，△ABC是等腰三角形，则k=5； 当AB=k，AC=k+1，且AC=BC时，△ABC是等腰三角形，则k+1=5，解得k=4， 所以k的值为5或4． 【点睛】 本题考查了：1．根的判别式；2．解一元二次方程；3．三角形三边关系；4．等腰三角形的性质． 22．【答案】 【分析】 本题考查由一元二次方程根的情况求参数，熟记判别式符号与一元二次方程根的情况的关系是解决问题的关键． 根据一元二次方程有两个实数根的条件，判别式非负，由此列出不等式求解． 【详解】 解：关于的一元二次方程有两个实数根， ， ，，， 则， 解得， 故答案为：． 23．【答案】且 【分析】 本题考查由一元二次方程、一元二次方程解的情况求参数，熟记一元二次方程定义、一元二次方程根的情况与判别式关系是解决问题的关键． 由一元二次方程定义得到，由一元二次方程有实数根得到，解不等式得到，从而确定答案． 【详解】 解：是一元二次方程， ，解得； 关于的一元二次方程有实数根， ， 解得， ，且， 故答案为：且． 24．【答案】1 【分析】 此题考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式．当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根．由题意可得，解方程求解即可． 【详解】 解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 解得：． 故答案为：． 25．【答案】（1），     （2），      【分析】 本题考查的是解一元二次方程，掌握一元二次方程的解法是解题关键． （1）利用公式法解方程即可； （2）利用直接开方法解方程即可． (1) 小问详解： 解：， 移项得：， 其中，，，， ， ， ，． (2) 小问详解： 解： ， ， 解得：，． 26．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了解一元二次方程． （1）先移项，然后根据直接开平方法解一元二次方程，即可求解； （2）根据公式法解一元二次方程，即可求解． (1) 小问详解： 解： ∴ ∴， 解得： (2) 小问详解： 解： ∴， ， ∴ 解得：． 27．【答案】（1），     （2）      【分析】 本题考查了求不等式组的整数解，解一元二次方程． （1）分别解不等式① 和② ，找出它们的解集的交集，然后确定其中的整数解； （2）使用求根公式解一元二次方程； (1) 小问详解： 解：解不等式① 得： 解不等式② 得： ∴不等式组的解集为：， 整数解为：， (2) 小问详解： 解： ∴，， ∴， 解得： 28．【答案】k≤ ． 【详解】试题分析：直接利用根的判别式的性质进而得出b2﹣4ac=4﹣4（3k﹣6）≥0求出即可． 解：∵关于x的一元二次方程x2+2x+3k﹣6=0有两个实数根， ∴b2﹣4ac=4﹣4（3k﹣6）≥0， 解得：k≤ ， 则实数k的取值范围是：k≤ ． 故答案为k≤ ． 考点：根的判别式． 29．【答案】（1）此三角形的面积为；     （2）此三角形的面积为；     （3）此三角形的面积的平方为．      【分析】 本题考查二次根式的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的三角形的面积． （1）根据海伦公式求这个三角的面积； （2）把三边长代入秦九韶公式，根据二次根式的性质化简即可； （3）把三边长代入秦九韶公式，根据二次根式的性质化简即可． (1) 小问详解： 解：一个三角形的三边长分别为2，3，4， ， ， 此三角形的面积为； (2) 小问详解： 解：由题意，令，，， ； 此三角形的面积为； (3) 小问详解： 解：设等腰三角形的腰长为x，底边为y，则，， 由秦九韶公式得：， ， ， ， 将代入中：， 或不合题意，舍去， ， ，， ， 此三角形的面积的平方为． 30．【答案】（1）     （2）且．      【分析】 本题考查公式法解一元二次方程，判别式求参数，一元一次不等式，掌握知识点是解题的关键． （1）将代入原方程并求解即可； （2）根据一元二次方程判别式和根的情况，列出关于k的不等式求解即可． (1) 小问详解： 解：当时， ， 即 ， ， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴； (2) 小问详解： ∵方程有两个不相等的实数根， ∴，且 ，且 解得 且． 31．【答案】（1） （2） 【分析】 本题考查了二次根式的性质，二次根式的混合运算，解一元二次方程，解题的关键在于正确掌握相关运算法则． （1）根据二次根式的性质，以及二次根式的混合运算法则计算求解，即可解题； （2）利用求根公式进行求解，即可解题． 【详解】 解：（1） ； （2）， ， ， ． 32．【答案】（1） 解：∵关于x的一元二次方程． ∴ ∵， ∴方程总有两个不等的实数根．     （2）5      【分析】 本题考查一元二次方程根的判别式及方程根的应用，解题关键是用判别式判断根的情况，将根代入求参数，再化简代数式求值． （1）通过化简方程的判别式得出，根据，证得方程总有两个不等实数根． （2）把代入原方程，得，求出或；再化简代数式为，最后将的两个值分别代入化简式，计算得结果． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解∵是方程的一个根， ∴将代入得： ， ， 解得或． 当时，代入得： ． 当时，代入得： ． ∴代数式的值为5． 33．【答案】且 【分析】 本题主要考查了一元二次方程的定义，根的判别式．一元二次方程根的判别式．一元二次方程有两个不相等的实数根，；一元二次方程有两个相等的实数根，；一元二次方程没有实数根，．熟练掌握是解决问题的关键． 根据一元二次方程有实数根，求解，结合即可得到答案． 【详解】 解：∵一元二次方程有实数根， ∴，． ∴，且． 故答案为：且． 34．【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程根的判别式，二次根式的乘法运算，二次根式有意义的条件，由一元二次方程有两个实数根可得判别式非负且二次项系数不为零，由等式成立可得被开方数非负，综合可得整数 的取值范围，并求所有整数值之和，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】 解：∵方程有两个实数根， ∴判别式，即，且二次项系数，即， ∵ ， ∴且，即且， ∴的取值范围为且， ∴整数为：， 验证判别式： 当，； 当，； 当，； 当，； 当，； 当，； ∴所有整数均满足条件，其和为， 故答案为：． 35．【答案】① 111    ② 3 【分析】 本题主要考查了新定义下的实数运算，一元二次方程根的判别式．理解题意，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．第一空根据“双倍快乐数”的定义解答即可；第二空根据一元二次方程根的判别式得出，，之间的关系，再结合“双倍快乐数”的定义以及能被6整除这一条件来确定满足条件的的个数即可． 【详解】 解：∵三位数，满足各个数位上的数字都不为零， ∴十位上数最小只能为1， ∵百位上的数字与个位上的数字之和等于十位上数字的2倍，且是最小的的“双倍快乐数”， ∴根据定义可得最小的“双倍快乐数”为111； ∵是一个“双倍快乐数”， ∴， ∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴,即， ∴， ∵,若能被6整除， ∴设， ， 能被6整除，即能被6整除， 能被整除， 既能被2整除又能被3整除， 是1到9的整数， 、6、9， 当时，，当时，，当时，， ∴满足条件的有3个， 故答案为：111；3． 36．【答案】2 【分析】 本题考查了根据一元二次方程根的情况求参数，以及根据分式方程解的情况求参数，解题的关键在于熟练掌握一元二次方程定义，以及分式方程有意义的条件． 首先根据一元二次方程有实数根的条件，得到且；再解分式方程，得到 ，由解是非负整数且，得到，为奇数，且；综合条件得到整数的值，最后求和，即可解题． 【详解】 解：关于 的一元二次方程 有实数根， 则二次项系数，即 ， 且判别式 ， 解得 ， 即 ， 所以 ． 关于的分式方程的解是非负整数，， 整理得， 即， 解得，又， 即 ，所以 ． 由解是非负整数，得，即，且为整数，故为偶数，即为奇数． 综上所述，为整数，且，，，为奇数，则满足的值为 ． 这些值的和为． 故答案为：． 考点04 因式分解法 1．A 2．D 3．C 4．D 5．【答案】， 【详解】 解：， ， 或， 解得，． 6．【答案】x1=0，x2=2 【分析】 把方程的左边分解因式得x（x-2）=0，得到x=0或 x-2=0，求出方程的解即可． 【详解】 解：x2-2x=0， x（x-2）=0， x=0或 x-2=0， 故答案为：x1=0 ，x2=2． 【点睛】 本题主要考查对解一元二次方程-因式分解法，解一元一次方程等知识点的理解和掌握，把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键． 7．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题主要考查一元二次方程的解法，熟知解法是正确解答此题的关键． （1）用因式分解法将方程变形成解方程即可． （2）用因式分解法将方程变形成解方程即可． (1) 小问详解： 解：， ， ， 解得 ； (2) 小问详解： 解：， ， ， ， ， 解得 ． 8．【答案】 【详解】 解：x（x－3）=0 ， 解得：x1=0，x2=3． 故答案为：x1=0，x2=3． 9．【答案】（1）x1=1+,x2=1- （2）x1=3,x2=1 【分析】（1）根据公式法即可求解 （2）根据提取公因式法因式分解即可求解. 【详解】解：（1）    a=1,b=-2,c=-2 x1=1+,x2=1- （2） (x-3)2+2x(x-3)=0 (x-3)(x-3+2x)=0 (x-3)(3x-3)=0 x-3=0或3x-3=0 x1=3,x2=1 【点睛】本题考查的是一元二次方程的解法中的因式分解法与公式法，掌握因式分解法与公式法解一元二次方程是解本题的关键． 10．【答案】 【分析】 本题考查了提公因式法与公式法分解因式，提取公因式后利用平方差公式进行二次因式分解，注意分解要彻底．先提取公因式，再运用平方差公式进行因式分解． 【详解】 解：==． 故答案为 11．【答案】， 【分析】 本题主要考查解一元二次方程，将方程移项后运用因式分解法解方程即可． 【详解】 解：， ， ， 或， ∴， 12．【答案】（1），     （2），      【分析】 本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的常用方法（直接开平方法、配方法、公式法、换元法、因式分解法等）是解题关键． （1）方程可以变形为，利用配方法解方程即可得； （2）方程可以变形为，利用因式分解法解方程即可得． (1) 小问详解： 解：， ， ， ， ， 所以方程的解，． (2) 小问详解： 解：， ， 或， 或， 所以方程的解，． 13．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了解一元二次方程，熟练掌握因式分解法是解题的关键． （1）使用因式分解法解方程即可； （2）使用因式分解法解方程即可． (1) 小问详解： 解：， ， ， 或， 解得：． (2) 小问详解： 解：， ， 或， 解得：． 14．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了解一元二次方程，能够根据方程特点灵活选用不同的解法是解题关键． （1）利用因式分解法解方程； （2）利用公式法解方程． (1) 小问详解： 解：， ， ∴或， ∴，； (2) 小问详解： 解： ， ， ， ∴ 15．【答案】（1），     （2），      【分析】 本题考查了一元二次方程因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了数学转化思想也考查了配方法解一元二次方程． （1）利用配方法得到，然后利用直接开平方法解方程； （2）先移项得到，然后利用因式分解法解方程． (1) 小问详解： 解：， ∴， ∴， ∴， ∴，； (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴， ∴或， ∴，． 16．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法，因式分解法，配方法和公式法是解题的关键． （1）利用因式分解法求解； （2）利用公式法求解即可． (1) 小问详解： 解：， ， 解得：； (2) 小问详解： 解：， ， 则， ∴， 解得：． 17．【答案】（1），     （2），      【分析】 本题主要考查解一元二次方程，解题的关键是根据方程的特点选择合适的方法求解． （1）将方程左边因式分解为，再求解； （2）将方程两边因式分解，再分情况求解即可． (1) 小问详解： 解： 解得， (2) 小问详解： 当时，解得， 当时，即 解得 所以方程的解为，． 18．【答案】（1）,      （2），      【分析】 此题考查了解一元二次方程，熟练掌握因式分解法解一元二次方程是解本题的关键． （1）根据因式分解求解方程即可； （2）先移项，再提取公因式化简求解即可． (1) 小问详解： ， 解得, ； (2) 小问详解： 移项得， ， ， ， 解得，． 19．【答案】（1） 证明：由题意得，， ∴方程有两个不相等的实数根；     （2）或      【分析】 本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，等腰三角形的定义，构成三角形的条件： （1）根据根的判别式证明即可； （2）先解方程得到，，再根据等腰三角形的两条边是方程的解，得到是方程的解，据此求出方程的两个根，进而确定的三边长，结合构成三角形的条件求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：， ， 解得，， 当时，解得，， 此时等腰三角形三边分别为1，3，3， ， ∴此时能构成三角形， ， ∴的周长为； 当时，解得，， 此时等腰三角形三边分别为3，3，5， ， ∴此时能构成三角形， ， ∴的周长为； 综上可知，的周长为或． 20．【答案】（1）x=-2±;(2) x1=-1,   x2=3, 【分析】（1）配方法求解可得； （2）因式分解法求解可得． 【详解】(1)∵x2+4x+2=0 ∴x2+4x=−2 x2+4x+4=2 (x−2)2=2 x=-2± (2)∵x(x−3)=−x+3 ∴x(x−3)+x−3=0 (x−3)(x+1)=0 解得：x=−1或x=3. 【点睛】本题考查的是解方程，熟练掌握配方法和因式分解是解题的关键. 21．【答案】（1），     （2），      【分析】 本题考查了解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的方法：直接开平方法，公式法，配方法，因式分解法等． （1）移项后因式分解求解即可； （2）使用求根公式求解即可． (1) 小问详解： 解： ∴ 或  ∴ 或 ； (2) 小问详解： 解： ，， ∴ ∴，． 22．【答案】（1）     （2），      【分析】 本题主要考查一元二次方程的判别式，因式分解法求一元二次方程的根，熟练掌握求解方法是解题关键． （1）根据方程有两个不相等的实数根可得，由此即可求解； （2）根据题意，取值，运用因式分解法求一元二次方程的根即可． (1) 小问详解： 解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得，． (2) 小问详解： 解：由（1）可知，且为正整数值， ∴， ∴，即， 解得，． 23．【答案】（1），；     （2），．      【分析】 本题考查了一元二次方程的求解，熟练掌握一元二次方程的求解方法为解题关键． （1）利用公式法求解一元二次方程即可； （2）利用因式分解的方法求解一元二次方程即可． (1) 小问详解： 解：， ，，， ， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴，． (2) 小问详解： 整理得： ∴，． 24．【答案】4 【分析】 本题主要考查了解一元二次方程．通过设 ，将原方程转化为关于的二次方程，求解得到，从而确定方程的根为和，由可知，进而，代入表达式计算即可． 【详解】 解：设，则，原方程化为， 解方程， 解得： 或（舍去）， 所以，此时或， 因为， 所以，则． 所以． 故答案为：4 25．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了解一元二次方程． （1）根据公式法求解即可； （2）先移项，再根据因式分解法求解即可． (1) 小问详解： 解：， ， ， 解得：； (2) 小问详解： 解：， ， ， ， ， ， 或， 解得：． 26．【答案】（1）     （2）21     （3）      【分析】 本题主要考查了多项式乘以多项式，因式分解的应用，解题的关键是： （1）最右边一幅图的面积等于边长为的大正方形的面积，又等于一个边长为a的小正方形面积加上两个长为，宽为b的长方形面积，再加上边长为的小正方形的面积，据此可得答案； （2）先计算出，则一共需要A卡片6张，B卡片11张，C卡片5张，据此可得答案； （3）观察图形可知，3张A卡片，5张B卡片，2张C卡片的面积之和等于长为，宽为的长方形面积，据此可得答案． (1) 小问详解： 解∶最右边图的面积等于边长为的大正方形的面积，即为，也等于边长为a的小正方形面积加上两个长为，宽为b的长方形面积，再加上边长为的小正方形的面积，即， ∴； (2) 小问详解： 解： ， ∴一共需要A卡片6张，B卡片11张，C卡片4张， ∴，，， ∴； (3) 小问详解： 解：观察图形可知，图2中一共用了3张A卡片，5张B卡片，2张C卡片，组成的是一个长为，宽为的长方形， ∵3张A卡片，5张B卡片，2张C卡片的面积之和等于长为，宽为的长方形面积 ∴． 27．【答案】 【分析】 先提取公因式，再根据平方差公式进行因式分解即可． 【详解】 解：， 故答案为：． 【点睛】 本题主要考查了综合提公因式和公式法因式分解，解题的关键是正确找出公因式，熟练掌握平方差公式． 28．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了解一元二次方程． （1）根据公式法求解即可； （2）先移项，再根据因式分解法求解即可． (1) 小问详解： 解： (2) 小问详解： 解： 或 29．【答案】（1） ，；     （2） ，．      【分析】 本题主要考查了一元二次方程的解法，常用的解一元二次方程的方法有：直接开平方法、配方法、公式法、分解因式法． 用直接开平方法解一元二次方程即可； 用分解因式法解一元二次方程即可． (1) 小问详解： 解：， 两边直接开平方得：， 可得：或， 解得：，； (2) 小问详解： 解：， 移项得：， 提公因式得：， 可得：或， 解得：，． 30．【答案】① 不是    ② 1480 【分析】 假设1002是“智慧数”，则可设（m、n都是正整数），则由，再把1002分解因数得到 或 或 或 ，解方程组看是否有正整数解即可判断1002是不是“智慧数”；求出，根据M为偶数，推出c为偶数且不为0，再讨论d的值，确定c的值，再根据是完全平方数确定b的值，最后确定a的值，则可求出M的值， 再根据“智慧数”的定义验证即可． 【详解】 解：假设1002是“智慧数”，则可设（m、n都是正整数）， ∴， ∵， ∴ 或 或 或 ， 解得 （舍去）或 （舍去）或 （舍去）或 （舍去）， 综上所述，不存在正整数m、n使得， ∴1002不是“智慧数”； ∵， ∴ ， ∵M为偶数， ∴d为偶数， ∴c为偶数且不为0， 当时，，则， ∵是完全平方数，且， ∴当时，是平方数， ∴， ∴此时M表示的数为1480， ∵， ∴此时M是“智慧数”，符合题意； 当时，，则， ∵是完全平方数，且， ∴此时没有满足条件的b； 当时，，则， ∵是完全平方数，且， ∴此时没有满足条件的b； 当时，，则， ∵是完全平方数，且， ∴当时，是平方数， ∴， ∴此时M表示的数为3226； ∵， ∴当时，则 或 ， 解得 或 ， ∴不存在正整数s、t使得成立， ∴3226不是“智慧数”； 综上所述，M的值为1480， 故答案为：1480． 【点睛】 本题主要考查了新定义，解二元一次方程组，因式分解的应用，解题的关键在于理解“智慧数”的定义． 31．【答案】① 1    ② 6868 【分析】 本题主要考查因式分解的应用，列代数式，先求出，结合是正整数，得出能被8整除，据此即可求得的值；结合条件求出，，结合和的数值，求出，则，结合为完全平方数，得出或9或16，列举所有满足条件的M值，求最大值与最小值之差即可． 【详解】 解：根据题意可知．，； ∴ ∴ ， ∵是正整数， ∴能被8整除， 又，， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵为完全平方数， ∴或9或16， 当时， 或 ， ∴或2214； 当时， 或 或 或 ， ∴或4335或3527或2719； 当时， 或 或 或 ， ∴或8274或7466或6658； ∴满足条件的“优和数”M中，最大值与最小值的差． 故答案为：1；6868． 32．【答案】①     ② 【分析】 本题考查了因式分解的应用，根据最小的四位数千位数字为，百位数字为，结合新定义，即可求解．分时，当时，分别求得的式子，进而根据能被3整除，得出，再分类讨论，求得最大值与最小值，即可求解． 【详解】 解：∵最小的四位数的千位数字为，百位数字为 又∵千位数字与十位数字之和为5的倍数，百位数字与个位数字之和为4的倍数， ∴十位数字为， 又∵要找最小数，则个位数字为 ∴最小的“五湖四海数”为； ∵，其中：，，，，且均为整数． 当时， 当时， ∵为整数且能被3整除，其中，． ∴是的倍数， 当时，M的千位与十位数字之和为，此值应为的倍数， 当时，M的千位与十位数字之和为，此值应为的倍数， 又因能被3整除，可知是的倍数 综合以上条件，并结合a，c的取值范围，可得满足条件的的值只能是 ∴当时符合题意，则，则 列举所有可能如下： ，，，： ，，，： ，，，： ，，，： ，，，： ，，，： ，，，： 所有值按升序排列：，，，，，，． 最小值，最大值 差值 故答案为：，． 33．【答案】①     ② 15048 【分析】 本题考查了整式的加减的应用、因式分解的应用、解二元一次方程组，理解题意，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 对于，根据定义计算和，然后求差．对于，通过数字关系得到B的各位数字表达式，代入给定方程，利用因式分解求解x和y，再求B的值并求和． 【详解】 解：若四位数，则， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵四位数（，，x，y为整数）， ∴， ∴B的各位数字为， ∵数位上的数字均不为零， ∴， 解得：， ∴Q的各位数字为， ∴， ∴， ∴R的各位数字为， S的各位数字为， ∴， ， ∴， 代入方程，， 得， 化简得， ∵，，，且均为正整数， ∴，，且均为整数， ∴ 或 ， 解得：或． 则B值为6633和8415，和为． 故答案为：，15048． 34．【答案】①     ② 【分析】 本题是新定义型，主要考查整式的加减的应用，不等式性质，难度大，理解新定义， 当“倍差等和数”为最小时，从最高数位为1开始，依次增大，逐步分析讨论即可的结论；若为整数，根据已知条件分析讨论即可得到答案．根据题意找出数量关系，分析讨论确定、、、的值是解决问题的关键． 【详解】 解：① 当“倍差等和数”为最小时， 若最高位上，则时，，不符合各数位上的数字均不为的四位自然数要求； 若最高位上，设，由，由可知，此情况不成立； 若最高位上，设，则， 在，且“倍差等和数”为最小时，取，，则此时的四位数为； ②为整数， 或2或3或4或6或12， ， ， 为奇数， ① 当时，，， ，，解得，不是自然数，不合题意舍去； ② 当时，，， ，，解得，不是自然数，不合题意舍去， ③ 当时，，或，， 当，时，，，解得，不合题意舍去； 当，时，，，解得，不是自然数，不合题意舍去； ④ 当时，若，， ，，解得，不是自然数，不合题意舍去； ⑤时，，或，， 当，时，，，解得，不是自然数，不合题意舍去； 当，时，，，解得， 能被整除，，， 能被整除， 求满足条件的数的最大值， ，则， 此时的数为； ⑥ 当时，，或，， 当，时，，，解得，不是自然数，不合题意舍去； 当，时，，，解得， 能被整除，，， 能被整除， 求满足条件的数的最大值， ，则， 此时的数为； ， 满足条件的数的最大值为， 故答案为：；． 考点05 一元二次方程的根与系数的关系 1．C 2．C 3．C 4．B 5．【答案】 【分析】 本题考查一元二次方程根与系数的关系，直接根据公式求两根之积． 【详解】 解：对于一元二次方程 ，根与系数的关系为：两根之积 ， 本题中，方程为 ，所以 ，， 因此，， 故答案为：． 6．【答案】 【分析】 根据一元二次方程根与系数的关系即可求解． 【详解】 解：设方程的另一个根为， 则 解得：， 故答案为：． 【点睛】 本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若是一元二次方程的两根，，，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 7．【答案】13 【分析】 本题考查了一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形应用，理解是关于的一元二次方程的两个不等实数根是解题的关键．由，，得到是关于的一元二次方程的两个不等实数根．由根与系数的关系得到，再由完全平方公式可得，代入计算即可求解． 【详解】 解：∵，， ∴是关于的一元二次方程的两个不等实数根， ， ， 故答案为：13． 8．【答案】 【分析】 本题考查一元二次方程的解和根与系数的关系，先根据一元二次方程的解得到，利用根与系数关系得到，则，再利用整体代入的方法计算即可．熟练掌握一元二次方程的解及根与系数的关系是解题的关键． 【详解】 ∵，是方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴ 故答案为：． 9．【答案】 【分析】 本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系．设这个一元二次方程的另一根为，根据一元二次方程的根与系数的关系可得，进而可求解． 【详解】 解：设这个一元二次方程的另一根为， ∵关于的方程的一根为3， ∴， ∴， 故答案为：． 10．【答案】 【分析】 本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，根据一元二次方程的解及根与系数的关系找出、，是解题的关键． 根据一元二次方程的解得出，，进而求出，再利用根与系数的关系可得出 ， ，整体代入化简后的表达式计算． 【详解】 解：∵是方程 的根， ∴，即， ∴ ， 同理：． ∴， ∵， ， ∴原式． 故答案为：． 11．【答案】（1）∵a=1，b=2m，c=m2﹣1， ∴△=b2﹣4ac=（2m）2﹣4×1×（m2﹣1）=4＞0， 即方程有两个不相等的实数根； （2）m=-4或m=-2 【分析】 (1) 、根据根的判别式判断即可； (2) 、将x=3代入方程，解方程即可得m的值，继而可得方程的另一个根． 【详解】 (1) 略 (2) 、∵x2+2mx+m2﹣1=0有一个根是3， ∴把x=3代入方程得：32+2m×3+m2﹣1=0， 整理得：m2+6m+8=0， 解得：m=﹣4或m=﹣2 12．【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程根与系数的关系．利用根与系数的关系得到的值，并结合方程根的定义将用表示，代入代数式化简求值． 【详解】 解：，是方程的两个根， ，，且，即． ． 故答案为：． 13．【答案】2 【分析】 本题考查解一元一次方程，一元二次方程的解，根与系数的关系，二次根式，掌握知识点是解题的关键． 首先由等式可得，即．再考虑方程的根均为整数，分（一次方程）和（二次方程）讨论，利用根与系数的关系确定整数的值，并结合筛选． 【详解】 解：由，得，即． 当时，方程为，根，为整数，符合条件． 当时，方程为二次方程，设整数根为，由根与系数的关系： ， ． 令，则， ， ． 因为整数，故为整数，即为的约数：；同时为整数，即为的约数：． 所以为，对应为． 结合，得． 验证： 时，方程，根，为整数； 时，方程，根，为整数； 时，方程即，根或，为整数． 综上，满足条件的整数为， 其和为． 故答案为：2． 考点06 实际问题与一元二次方程 1．D 2．D 3．A 4．C 5．D 6．A 7．B 8．A 9．A 10．D 11．B 12．A 13．A 14．B 15．D 16．B 17．A 18．C 19．B 20．B 21．B 22．A 23．A 24．D 25．D 26．B 27．D 28．B 29．C 30．D 31．A 32．A 33．C 34．D 35．【答案】 【分析】 本题考查一元二次方程的应用，根据“新车购买价为20万元，购买之后的第二年年末折旧后的价值为14.45万元”列方程即可． 【详解】 解：设每年的年折旧率为， 根据题意，得， 故答案为：． 36．【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用．设每天点击量的平均增长率为x，依题意列出方程即可． 【详解】 解：设每天点击量的平均增长率为x，依题意得： ， 故答案为：． 37．【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用（增长率问题）．找到正确的等量关系并列出方程是解题的关键． 设月平均增长率为 ，根据增长问题模型，由7月到9月经过2个月，列出方程 ，解方程即可． 【详解】 设月平均增长率为 ， 则 ， ， （取正值）， ． 故答案为． 38．【答案】（1）二、三这两个月的月平均增长率为；     （2）当商品降价5元时，商场获利4250元．      【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设二、三这两个月的月平均增长率为，利用该商品三月份的销售量该商品一月份的销售量二、三这两个月的月平均增长率，列出一元二次方程，解之取其符合题意的值即可； （2）设商品降价元，则每件的销售利润为元，月销售量为件，根据超市获利4250元，列出一元二次方程，解之取其符合题意的值即可． (1) 小问详解： 解：设二、三这两个月的月平均增长率为， 根据题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：二、三这两个月的月平均增长率为； (2) 小问详解： 解：设商品降价元，则每件的销售利润为元，月销售量为件， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：当商品降价5元时，超市获利4250元． 39．【答案】 【分析】 根据变化前数量变化后数量，即可列出方程． 【详解】 第一个月新建了301个充电桩，该市新建智能充电桩个数的月平均增长率为． 第二个月新建了个充电桩， 第三个月新建了个充电桩， 第三个月新建了500个充电桩， 于是有， 故答案为． 【点睛】 本题考查了一元二次方程的实际应用中的增长率问题，若设平均增长率为，则有，其中表示变化前数量，表示变化后数量，表示增长次数．解决增长率问题时要注意区分变化前数量和变化后数量，同时也要注意变化前后经过了几次增长． 40．【答案】 【分析】 本题考查由实际问题抽象出一元二次方程． 根据年平均增长率的定义，经过两年增长，列出方程即可， 【详解】 解：设年平均增长率为， 则2022年业务量为亿件， 2023年业务量为亿件． 根据题意，2023年业务量为1319亿件，因此方程为． 故答案为：． 41．【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】 解：设垂直于墙的长方形边长为， 由题意得，， 故答案为：． 42．【答案】（1）每瓶氯化钠溶液与硫酸铜溶液的售价分别为元，5元     （2）的值为2      【分析】 本题主要考查了二元一次方程组的应用和一元二次方程的应用，根据题意找准等量关系，列出正确的二元一次方程组和一元二次方程是解题的关键． （1）根据等量关系列出二元一次方程组，解方程组即可得到答案； （2）根据等量关系列出一元二次方程，解方程即可得到答案． (1) 小问详解： 解：设每瓶氯化钠溶液与硫酸铜溶液的售价分别为元 由题意得   ，    解得 ， 答：每瓶氯化钠溶液与硫酸铜溶液的售价分别为元，5元． (2) 小问详解： 解：由题意得 ，      整理得， 解得， ∵ ， ∴， 答：的值为． 43．【答案】40 【分析】 本题考查一元二次方程在增长率问题中的应用．设周平均增长率为 ，根据第三周阅读人次是第一周的 倍，建立方程求解． 【详解】 解：设周平均增长率为 ． 由题意，得：， 两边同时除以 400：， 取算术平方根（增长率取正值）：， 解得：， 即周平均增长率为 ． 故答案为：40． 44．【答案】（1）该基地这两年水蜜桃种植面积的平均增长率为     （2）售价应为16元      【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，根据等量关系列出方程，是解题的关键． （1）设该基地这两年水蜜桃种植面积的平均年增长率，根据该基地年及年水蜜桃的种植面积，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）设售价应降低元，则每天可售出千克，根据总利润每千克的利润销售数量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论． (1) 小问详解： 解：设该基地这两年水蜜桃种植面积的平均年增长率， 依题意，得：， 解得：或（舍去） 答：该基地这两年水蜜桃种植面积的平均增长率为． (2) 小问详解： 解：设售价应降低元，则每天可售出千克， 依题意，得：， 整理，得：， 解得：或 要尽量减少库存， ， （元）， 答：售价应为16元． 45．【答案】9 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，设每轮传染中平均一个人传染的人数为人，根据题意列出一元二次方程，解方程即可得解，理解题意，正确列出一元二次方程是解此题的关键． 【详解】 解：设每轮传染中平均一个人传染的人数为人， 由题意可得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴每轮传染中平均一个人传染的人数为人， 故答案为：． 46．【答案】（1）的长为；     （2） 不能围成花圃，理由如下： 根据题意得， ， 方程可化为， ∴， ∴方程无实数解， ∴不能围成花圃．      【分析】 此题主要考查了一元二次方程的应用． （1）由于篱笆总长为，设平行于墙的边长为，由此得到，接着根据题意列出方程，解方程即可求出的长； （2）不能围成花圃；根据（）得到，此方程的判别式，由此得到方程无实数解，所以不能围成花圃． (1) 小问详解： 解：设平行于墙的边长为． 根据题意得，， 则， ∴， 因为， 所以舍去， 所以， 答：的长为； (2) 小问详解： 略 47．【答案】 【分析】 本题考查了从实际问题抽象出一元二次方程，找出等量关系是解答本题的关键． 根据平均增长率的含义，第三季度安装量等于第一季度安装量乘以． 【详解】 解：设每季度安装太阳能光伏发电板的平均增长率为x，则第二季度安装量为平方米，第三季度安装量为平方米． 因为第三季度安装量为800平方米， 因此列出方程． 故答案为． 48．【答案】 【分析】 设七、八两个月提供就业岗位数量的月平均增长率为，根据题意列出一元二次方程，即可求解． 【详解】 解：设七、八两个月提供就业岗位数量的月平均增长率为，根据题意得， ， 故答案为：． 【点睛】 本题考查了一元二次方程的应用，增长率问题，根据题意列出方程是解题的关键． 49．【答案】（1）苹果的单价为元，桃李的单价为元；     （2）当a定为1时，才能使该村每天销售苹果、桃李两种水果共收入元．      【分析】 本题考查了二元一次方程的应用，一元二次方程的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）设苹果的单价为元，桃李的单价为元，依题意，列式 ，解出 ，即可作答． （2）依题意，列式，解出，即可作答． (1) 小问详解： 解：设苹果的单价为元，桃李的单价为元； ∵销售10千克苹果和5千克桃李收入130元，销售6千克苹果和10千克桃李收入148元． ∴ ， ∴ ， ∴苹果的单价为元，桃李的单价为元； (2) 小问详解： 解：依题意， ， 整理得， 即， 则（故舍去） ∴当a定为1时，才能使该村每天销售苹果、桃李两种水果共收入元． 50．【答案】（1）每支钢笔的进价为12元，每个笔记本的进价为7元；     （2）每支钢笔的售价为17元．      【分析】 本题考查了一元二次方程的应用以及分式方程的应用，根据题目的条件找准等量关系，并正确列出分式方程和一元二次方程是解题的关键． （1）设每个笔记本的进价为元，则每支钢笔的进价为元，利用数量总价单价，结合购进笔记本的数量是钢笔的2倍，可列出关于的分式方程，解之经检验后即可得出答案； （2）设每支钢笔的售价为元，则每支钢笔的利润为元，每天可售出支，利用总利润每支钢笔的销售利润日销售量每个笔记本的销售利润日销售量，可列出关于的一元二次方程，解之可求出值，再结合降价幅度不低于，即可确定结论． (1) 小问详解： 解：设每个笔记本的进价为元，则每支钢笔的进价为元， 根据题意得，， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意． ． 答：每支钢笔的进价为12元，每个笔记本的进价为7元； (2) 小问详解： 设每支钢笔的售价为元，则每支钢笔的利润为元， 则每天可售出支， 根据题意得，， 整理得：， 解得：， 当时，，不合题意，舍去； 当时，，符合题意． 答：每支钢笔的售价为17元． 51．【答案】（1）第一批采购的艺术类资料200本，科普类资料800本     （2）科普类资料的采购单价为18元      【分析】 本题考查了一元一次方程的应用，一元二次方程的应用，理解题意，找准等量关系是解此题的关键． （1）设艺术类资料采购x本，科普类资料采购本，根据题意列出一元一次方程，解方程即可得出结果； （2）设科普类资料采购单价为a元，根据题意列出一元二次方程，解方程即可得出结果． (1) 小问详解： 解：设艺术类资料采购x本，科普类资料采购本， 由题意得：， ， ，  答：第一批采购的艺术类资料200本，科普类资料800本， (2) 小问详解： 解：设科普类资料采购单价为a元， 由题意得：， 整理可得：， 解得：，， 采购单价不超过20元， ． 答：科普类资料的采购单价为18元． 52．【答案】 【分析】 本题主要考查了一元二次方程的应用，设该专业户这两年养殖总产值的年平均增长率为，根据2025年产值和净增产值求出2023年产值，利用增长模型列方程求解． 【详解】 解：设该专业户这两年养殖总产值的年平均增长率为， 由题意得，， 解得，（舍去）， ∴该专业户这两年养殖总产值的年平均增长率为， 故答案为：． 53．【答案】（1）该店A种文创产品的销售单价为400元，B种文创产品的销售单价为300元     （2）40元      【分析】 本题主要考查了分式方程的应用，一元二次方程的应用，正确理解题意列出方程是解题的关键． （1）设该店A种文创产品的销售单价为x元，则B种文创产品的销售单价为元，根据该店销售的A种产品数量与B种产品数量相同时，A产品销售总额为万元，B产品销售总额为万元建立方程求解即可； （2）设该店对A种产品每件售价降低元，则A种产品的销售量为件，再根据该店1月份前20天这两种产品的销售总额就比去年12月多1840元，建立方程求解即可． (1) 小问详解： 解：设该店A种文创产品的销售单价为x元，则B种文创产品的销售单价为元， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：该店A种文创产品的销售单价为400元，B种文创产品的销售单价为300元； (2) 小问详解： 解：设该店对A种产品每件售价降低元， 由题意得，， 整理得， 解得或（舍去）， ∴， 答：该店对A种产品每件售价降低40元． 54．【答案】（1）,     （2）每件卫衣降价25元时,平均每天可盈利1050元     （3） 不能实现． 理由：由题意得 整理得 ∴此方程无实数根， 答：每天的赢利不可能达到1500元,所以店长的愿望实现不了．      【分析】 （1）根据：销售量=原销售量+因价格下降而增加的数量，每件利润=实际售价-进价，列式即可； （2）根据：总利润=每件利润×销售数量，列方程求解可得； （3）根据（2）中相等关系列方程，判断方程有无实数根即可得． 本题考查了一元二次方程的应用-销售问题，找到等量关系是解题关键． (1) 小问详解： 设每件童装降价元时，每天可销售件，每件盈利元， 故答案为：,． (2) 小问详解： 解：由题意得 解得, ∵为了扩大销售量,尽快减少库存, ∴ 答：每件卫衣降价25元时,平均每天可赢利1050元． (3) 小问详解： 略 55．【答案】（1）第一批购入A款头盔的数量为1500个，购入B款头盔的数量为300个；     （2）A款头盔的单价上涨了10元．      【分析】 （1）设第一批购入B款头盔的数量为x个，则第一批购入A款头盔的数量为个，根据共用去资金43500元，列出一元一次方程，解方程即可； （2）设A款头盔的单价上涨了y元，则购入数量为个，根据最终花费的总资金比第一批增加了9000元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是： （1）找准等量关系，正确列出一元一次方程； （2）找准等量关系，正确列出一元二次方程． (1) 小问详解： 解：设第一批购入B款头盔的数量为x个，则第一批购入A款头盔的数量为个， 由题意得：， 解得：， ∴， 答：第一批购入A款头盔的数量为1500个，购入B款头盔的数量为300个； (2) 小问详解： 解：设A款头盔的单价上涨了y元，则购入数量为本， 根据题意得：， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去）， 答：A款头盔的单价上涨了10元． 56．【答案】（1）100支     （2）2      【分析】 本题考查了一元一次不等式的应用、一元二次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键． （1）设花店购进玫瑰支，则花店购进郁金香支，根据总获利不低于1500元建立不等式，解不等式即可得； （2）先求出这批玫瑰花的销售量为，每支玫瑰的利润为元，再根据这批玫瑰花全部销售完后获利1000元建立方程，解方程即可得． (1) 小问详解： 解：设花店购进玫瑰支，则花店购进郁金香支， 由题意得：， 解得， 所以的最大值为100， 答：花店最多购进玫瑰100支． (2) 小问详解： 解：由题意得：， 整理得：， 解得或， 答：的值为2． 57．【答案】（1）A型号取暖器的售价为200元，则B型号取暖器的售价为240元     （2）每台B型取暖器应降价40元      【分析】 本题考查了分式方程的应用、一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程． （1）设A型号取暖器的售价为x元，则B型号取暖器的售价为元，根据顾客用1200元购入A型取暖器的数量与用1440元购入B型取暖器的数量相等，列出分式方程，解分式方程即可； （2）设每台B型取暖器应降价m元，根据“每台B型取暖器的进价为140元，商场每月卖出B型取暖器60台．为了尽快减少库存，商场决定对B型取暖器进行降价促销活动，每台B型取暖器的售价每降低10元，那么平均每月可多售出25台，商场要想每月销售B型取暖器的利润达到9600元”，列出一元二次方程，解方程即可． (1) 小问详解： 解：设A型号取暖器的售价为x元，则B型号取暖器的售价为元． 根据题意得：， 解得：， 检验：当时，． 所以，原分式方程的解为． 则B型号取暖器的售价为． 答：A型号取暖器的售价为200元，则B型号取暖器的售价为240元． (2) 小问详解： 设每台B型取暖器应降价m元． 根据题意有： 整理得： 解得：， ∵为了尽快减少库存 ∴ 答：每台B型取暖器应降价40元． 58．【答案】（1）     （2）200套      【分析】 此题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设该市参加健身运动人数的年均增长率为x，根据从2023年的32万人增加到2025年的50万人，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． （2）设购买的这种健身器材的套数为m套，根据市政府向该公司支付货款30万元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． (1) 小问详解： 解：设该市参加健身运动人数的年均增长率为， 由题意得：， 解得：（不符合题意，舍去）， 答：该市参加健身运动人数的年均增长率为． (2) 小问详解： 解：∵， ∴， 设购买的这种健身器材的套数为套， 由题意得：， 整理得：， 解得：， 最低售价不得少于1200元， ， 解得：， ， 答：购买的这种健身器材的套数为200套． 59．【答案】（1）奉节脐橙千克，江津广柑千克     （2）      【分析】 本题考查了销售、利润问题(二元一次方程组的应用)，营销问题(一元二次方程的应用) ，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）设购进奉节脐橙 x千克，江津广柑 y千克，根据题中的等量关系列出方程组求解； （2）分别求出脐橙、广柑的新的销价与销量，再列出关于的一元二次方程求解． (1) 小问详解： 解：设购进奉节脐橙 x千克，江津广柑 y千克， 则 ， 解得： ， 答：奉节脐橙千克，江津广柑千克； (2) 小问详解： 原销量：脐橙千克，广柑千克， 脐橙售价：元/千克，且即， 广柑售价：元/千克， 脐橙销量：千克， 广柑销量：下降， 即原千克变为千克， 新收入：， 新销量：， 新成本：， 新利润为：， 由题意得， 解得：或（舍去）， 所以的值为2． 60．【答案】（1）     （2）35元      【分析】 本题考查一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设月份和月份两个月的销售量月平均增长率为，根据题意得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）设这种台灯售价应定为元，利用总利润每台的销售利润四月份的销售量，即可得出关于m的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． (1) 小问详解： 解：设月份和月份两个月的销售量月平均增长率为， 根据题意，得， 解得，（舍去）， 答：月份和月份两个月的销售量月平均增长率为； (2) 小问详解： 解：设这种台灯售价应定为元， 根据题意，得， 整理得， 解得，， 售价在元至元范围内， ， 答：这种台灯售价应定为元． 61．【答案】（1）该种商品每次降价的百分率为     （2）每件商品应降价元      【分析】 （1）设该种商品每次降价的百分率为，根据该商品的原价及经过两次降价后的价格，即可得出关于的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论； （2）根据每件商品的盈利（原来的销售量增加的销售量），列出方程，解出并根据题意，即可得出答案． (1) 小问详解： 解：设该种商品每次降价的百分率为， 依题意，得：， 解得：，（不合题意，舍去）， ∴该种商品每次降价的百分率为； (2) 小问详解： 解：设每件商品应降价元， 根据题意，得：， 解得：，， ∵在降价幅度不超过10元的情况下， ∴不合题意，舍去， ∴每件商品应降价元． 【点睛】 本题考查了一元二次方程的应用，得到现在的销售量是解本题的难点，根据每天的盈利得到相应的等量关系是解本题的关键． 62．【答案】（1）     （2）60      【分析】 本题考查一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，找出题目中的等量关系，列出相应的方程． （1）设苹果批发价每个月的平均降低率为，根据1月份时该苹果的批发价为10元/千克，3月份时该苹果的批发价为6.4元/千克，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （2）根据第（1）问的结果，先计算出2月份时该苹果的批发价，用第1天的营业额与第二天的营业额之和减去成本即可得利润，由此列方程解答即可． (1) 小问详解： 解：设苹果批发价每个月的平均降低率为， 依题意得：，解得，（舍去）． 苹果批发价每个月的平均降低率为． 答：苹果批发价每个月的平均降低率为． (2) 小问详解： 2月份时该苹果的批发价为：（元）， 依题意得：， 整理得：，解得（舍去），． 的值为60． 63．【答案】（1）草莓的进价为每千克20元     （2）第二天的草莓每千克降价5元      【分析】 （1）设草莓的进价为每千克x元，然后根据利润=（售价-进价）×数量列出方程求解即可； （2）设第二天的草莓每千克降价m元，然后根据利润=（售价-进价）×数量列出方程求解即可． (1) 小问详解： 解：设草莓的进价为每千克x元， 由题意得：， 解得， ∴草莓的进价为每千克20元， 答：草莓的进价为每千克20元； (2) 小问详解： 解：设第二天的草莓每千克降价m元， 由题意得， 解得或（舍去）， ∴第二天的草莓每千克降价5元， 答：第二天的草莓每千克降价5元． 【点睛】 本题主要考查了一元一次方程和一元二次方程的实际应用，正确理解题意列出方程求解是解题的关键． 64．【答案】（1）甲类商品每台进货价格80元，乙类商品每台进货价格50元     （2）m的值为8      【分析】 本题主要考查二元一次方程组及一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意； （1）设甲类商品每台进货价格x元，乙类商品每台进货价格y元，由题意可得方程组 ，进而求解即可； （2）根据题意可得方程，进而求解即可． (1) 小问详解： 解：设甲类商品每台进货价格x元，乙类商品每台进货价格y元，由题意得： ， 解得： ； 答：甲类商品每台进货价格80元，乙类商品每台进货价格50元 (2) 小问详解： 解：由题意得： ， 解得：， ∵为了尽快减少甲类商品的库存， ∴． 65．【答案】（1）A书籍的进价为16元，B书籍的进价为24元     （2）30元      【分析】 本题考查了分式方程的应用、一元二次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键． （1）设商家购买书籍的进价为元，则购买书籍的进价为元，根据购买书籍的数量是书籍的倍建立方程，解方程求出的值，由此即可得； （2）设每本书籍的售价为元，则平均每天可卖出书籍本，根据利润（A书籍的售价书籍的进价）书籍的销量（B书籍的售价书籍的进价）书籍的销量建立方程，解方程求出的值，再根据要促进书籍的销量，选择较小的值即可得． (1) 小问详解： 解：设商家购买书籍的进价为元，则购买书籍的进价为元， 由题意得：， 解得， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， 则， 答：商家购买书籍的进价为16元，购买书籍的进价为24元． (2) 小问详解： 解：设每本书籍的售价为元， 则平均每天可卖出书籍本， 由题意得：， ， 解得或， 要促进书籍的销量， ， 答：每本书籍的售价为30元． 66．【答案】（1）“四季笔记本”单价为12元，“四季书签”单价为22元     （2）10      【分析】 本题主要考查分式方程及一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意； （1）设每个“四季笔记本”为x元，则每个“四季书签”为元，根据题意易得，进而求解即可； （2）由（1）可得第一次购买的数量，然后可得方程，进而求解即可． (1) 小问详解： 解：设每个“四季笔记本”为x元，则每个“四季书签”为元． ， 解得， 经检验：是分式方程的解且符合题意． ∴元， 答：“四季笔记本”单价为12元，“四季书签”单价为22元． (2) 小问详解： 解：第一次购买“四季笔记本”数量：（本），“四季书签”数量：（个）， ∴， 化简整理得：， 解得：，（舍）； ∴a的值为10． 67．【答案】40 【分析】 本题考查一元二次方程在增长率问题中的应用． 设周平均增长率为，根据第三周阅读人次是第一周的倍，列出方程求解即可． 【详解】 解：设周平均增长率为， 则 （舍去负值） ． 故答案为：40． 68．【答案】（1）每个“冰墩墩”的进价为120元，每个“雪容融”的进价为80元     （2）的值为10      【分析】 （1）设今年2月第一周每个“冰墩墩”的进价为元，每个“雪容融”的进价为元，再根据题意建立方程，解方程即可； （2）利用“总利润=（售价-进价）×数量”根据题意列方程，再解方程即可． (1) 小问详解： 解：设今年2月第一周每个“冰墩墩”的进价为元，每个“雪容融”的进价为元， 依题意得∶ ． 解得： ． 答：今年2月第一周每个“冰墩墩”的进价为120元，每个“雪容融”的进价为80元． (2) 小问详解： 解：依题意得：， 整理得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：的值为10． 【点睛】 本题主要考查了二元一次方程以及一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意列出方程进行求解． 69．【答案】（1）     （2）70      【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，利用该品牌头盔6月份的销售量=该品牌头盔4月份的销售量该品牌头盔销售量的月增长率，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； （2）设该品牌头盔的实际售价为m元/个，则每个该品牌头盔的销售利润为元，月销售量为个，利用总利润=每个该品牌头盔的销售利润月销售量，可列出关于m的一元二次方程，解之可得出m的值，再结合要尽可能让顾客得到实惠，即可确定结论． (1) 小问详解： 解：设该品牌头盔销售量的月增长率为x， 根据题意得：， 解得，（不符合题意，舍去）． 答：该品牌头盔销售量的月增长率为； (2) 小问详解： 解：设该品牌头盔的实际售价应定为m元/个，则每个该品牌头盔的销售利润为元，月销售量为个， 根据题意得：， 解得，， 又∵要尽可能让顾客得到实惠， ∴． ∴该品牌头盔的实际售价应定为70元/个． 70．【答案】（1）平行于墙的一边长为10米     （2）能，垂直于强的边长为12.5米      【详解】 （1）设平行于墙的边长为米，则垂直于墙的一边长为米， 由题意得：， 解得：， 墙长为30米 ， ，      ， 答：平行于墙的一边长为10米． （2）能，理由如下： 由题意得： 整理得： 解得： 养鸡场的面积可以达到312.5平方米， 此时垂直于强的边长为米 71．【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，由题意可得除小路的其余部分可合成长为，宽为的矩形，再根据“种植面积达到”列出一元二次方程即可，理解题意，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解此题的关键． 【详解】 解：∵学校的劳动实践基地是一块长、宽的矩形土地，小道的宽为， ∴除小路的其余部分可合成长为，宽为的矩形， 由题意可得：， 化为一般式为：， 故答案为：． 72．【答案】（1）每件甲款羊毛衫的进价为320元，乙款羊毛衫的进价为360元     （2）20元      【分析】 本题考查一元二次方程和分式方程的应用． （1）设每件甲款羊毛衫的进价为x元，则乙款羊毛衫每件的进价为元，根据“用8000元购进甲款羊毛衫和用9000元购进乙款羊毛衫的数量相同”列出方程，解方程即可； （2）设设甲款降价y元/件，根据日利润甲、乙两种羊毛衫销售利润之和列出方程，解方程即可． (1) 小问详解： 解：设甲款进价x元， 根据题意列方程： 解得： 经检验：是原分式方程的解． 答：每件甲款羊毛衫的进价为320元，乙款羊毛衫的进价为360元． (2) 小问详解： 解：设甲款降价y元/件 根据题意列方程： 化简得 解得：， 为更大程度让利顾客，故， 答：每件甲款羊毛衫降价元． 73．【答案】（1）围成矩形长为30m，宽为25 m时，能使矩形面积为750㎡． （2）不能．理由如下： 由得． ∵， ∴方程没有实数根． ∴不能使所围矩形场地的面积为810m2． 【分析】 （1）设所围矩形ABCD的长AB为x米，则宽AD为 米，根据矩形面积的计算方法列出方程求解； （2）假使矩形面积为810米，则方程无实数根，所以不能围成矩形场地． 【详解】 解：（1）设所围矩形ABCD的长AB为x米，则宽AD为米． 依题意，得，即. 解此方程，得x1=30，x2=50. ∵墙的长度不超过45m，∴x2=50不合题意，应舍去． 当x=30时，. 答：当所围矩形的长为30m、宽为25m时，能使矩形的面积为750m2． （2）略 【点睛】 本题考查：1.一元二次方程的应用（几何问题）；2. 矩形的性质；3.一元二次方程根的判别式. 74．【答案】（1）     （2）降价5元      【分析】 本题考查了一元二次方程的应用； （1）设平均增长率为x，根据题意列出一元二次方程，解方程并取符合题意的解，即可求解． （2）设降价y元，根据商场六月份可获利4250元，列出一元二次方程，解方程并取符合题意的解，即可求解． (1) 小问详解： 解：设平均增长率为x，由题意得：， 解得：或舍； 四、五这两个月的月平均增长百分率为； (2) 小问详解： 设降价y元，由题意得：， 整理得：， 解得：或舍； 当商品降价5元时，商场六月份可获利4250元． 75．【答案】 【分析】 本题主要考查的是一元二次方程的实际应用．销售中成本乘以降价率是成本所降的价格，所以理解和掌握“上一年的成本乘以（1-年平均下降率为）等于下一年的成本”是解题的关键． 【详解】 设生产1t甲种药品成本的年平均下降率为x，由题意得 ， 解得：，（不合题意，舍去）， 故答案为． 76．【答案】（1）大龙虾进货单价为200元，海胆的进货单价为160元     （2）15      【分析】 本题考查了二元一次方程组的应用，一元二次方程的应用等知识﹒ （1）设大龙虾的进货单价为x元，海胆的进货单价为y元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）根据海鲜排档每天销售大龙虾和海胆获取的总利润为1490元列出方程，解方程即可求解﹒ (1) 小问详解： 解：设大龙虾的进货单价为x元，海胆的进货单价为y元， 由题意得 ， 解得 ， 答：大龙虾进货单价为200元，海胆的进货单价为160元； (2) 小问详解： 解：由题意得， 解得， 答：当a为15时，海鲜排档每天销售大龙虾和海胆获取的总利润为1490元﹒ 77．【答案】（1）10元；8元     （2）12      【分析】 本题考查了分式的应用，一元二次方程的应用； （1）设甲种树苗每棵的价格是元，则乙种树苗每棵的价格是元，根据题意列出分式方程，解方程，并检验即可求解； （2）根据题意列出一元二次方程，解方程即可求解． (1) 小问详解： 解：设甲种树苗每棵的价格是元，则乙种树苗每棵的价格是元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， ， 答：甲种树苗每棵的价格是元，乙种树苗每棵的价格是元； (2) 小问详解： 解：由（1）可知，棵，棵， 由题意得：， 整理得：， 解得：，不符合题意，舍去， 答：的值为． 78．【答案】（1）A款水杯的售价为32元，B款水杯的售价为20元     （2）A款水杯降低了6元      【分析】 本题主要考查分式方程和一元二次方程的应用，根据题意正确列出方程是解题的关键． （1）设A款水杯的售价为元，则B款水杯的售价为元，根据题意列分式方程求解即可； （2）先求出B款水杯的进价，九月份A款水杯销量，九月份B款水杯销量，设A款水杯降低了元，再根据题意列出一元二次方程求解即可． (1) 小问详解： 解：设A款水杯的售价为元，则B款水杯的售价为元， 根据题意，可列出方程：， 解得， 经检验，是原方程的解， B款水杯的售价为（元）， ∴A款水杯的售价为32元，B款水杯的售价为20元． (2) 小问详解： 解：B款水杯的进价为（元）， 九月份A款水杯销量为（只）， 九月份B款水杯销量为（只）， 设A款水杯降低了元， 根据题意，可列出方程：， 解得，， 因为是降价促销，所以不符合题意，舍去， ∴A款水杯降低了6元． 79．【答案】① 121    ② 484 【分析】 此题考查了一元二次方程的应用，解题关键是弄清喜鹊数的定义． （1）由题意代入验证即可解答； （2）求出m与n互为倒数，又，得出，求出，结合喜鹊数的定义即可得出答案． 【详解】 解：（1）∵各个数位上的数字都不为零，百位上的数字与个位上的数字之积的4倍， ∴十位上的数字的平方最小为4， ∵， ∴最小的“喜鹊数”是121； 故答案为：121． （2）∵是喜鹊数， ∴，即， ∵是一元二次方程的一个根，是一元二次方程的一个根， ∴， 将两边同除以得：， ∴将m、看成是方程的两个根， ∵， ∴方程有两个相等的实数根， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴满足条件的所有k的值为121，242，363，484． 即满足条件的k的最大值是484． 故答案为：484． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $