专题01 二次根式（期中真题汇编，重庆专用）九年级数学上学期

专题01 二次根式 3大高频考点概览 考点01 二次根式及其性质 考点02 二次根式的乘法与除法 考点03 二次根式的加法与减法 考点01 二次根式及其性质 1．（25-26学年九上·重庆礼嘉中学校·期末）下列各数中，无理数是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查无理数，理解无理数的定义是正确解答的前提，掌握无限不循环小数是无理数是正确判断的关键． 根据无理数的定义逐项进行判断即可． 【详解】 解：A、是无理数，故本选项符合题意； B、不是无理数，故本选项不符合题意； C、不是无理数，故本选项不符合题意； D、不是无理数，故本选项不符合题意； 故选：A 2．（25-26学年九上·重庆万州区万州·期中）下列各式一定是二次根式的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题主要考查了二次根式，关键是掌握二次根式定义，根据形如的式子叫作二次根式进行分析即可． 【详解】 解：不一定是非负数，故A选项不符合题意， 不一定是非负数，故B选项不符合题意， ，故C选项不符合题意， ，是二次根式，故D选项符合题意， 故选：D． 3．（25-26学年九上·重庆北碚区江北中学·期中）若在实数范围内有意义，则的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查的是二次根式有意义的条件，根据二次根式的定义，被开方数必须非负，即，解不等式即可确定x的取值范围． 【详解】 解：在实数范围内有意义， ∴， 解得：， 故选：D． 4．（25-26学年九上·重庆朝阳中学·期中）若有意义，则x的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查的是二次根式有意义的条件，即二次根式中的被开方数是非负数．根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可． 【详解】 解：二次根式有意义， ，解得． 故选：A． 5．（25-26学年九上·重庆合川区十一·期中）下列四个数中，有理数是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题主要考查立方根、实数的分类及算术平方根，熟练掌握立方根、实数的分类及算术平方根是解题的关键；因此此题可根据立方根、实数的分类及算术平方根进行排除选项即可． 【详解】 解：由、、可知，这几个数都是无理数；所以有理数是； 故选A． 6．（25-26学年九上·重庆巴蜀中学·期中）下列四个数中，无理数是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了无理数的定义，无理数是无限不循环小数． 根据无理数的定义逐一判断即可． 【详解】 解：A．是有理数； B．是有理数； C．π是无理数，是无理数； D．是分数，有理数． 故选：C． 7．（25-26学年九上·重庆第十八中学）无理数的产生不仅是数学史上的一个重要里程碑，也对整个科学和哲学产生了深远的影响．下列四个数是无理数的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题主要查了无理数—无理数是无限不循环小数．选项A为有限小数，选项B为循环小数，选项C为整数，均为有理数；选项D含有无理数，因此是无理数，即可． 【详解】 解：∵ 无理数是指无限不循环小数， 选项A：是有限小数，属于有理数； 选项B：，是循环小数，属于有理数； 选项C：，是整数，属于有理数； 选项D：，是无理数，除以4后仍为无限不循环小数，属于无理数． 故选D． 8．（25-26学年·重庆朝阳教育集·期中）9的平方根是（    ） A. 9 B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 该题考查了平方根，根据平方根的定义，一个正数的平方根有两个，互为相反数． 【详解】 解：∵， ∴ 9的平方根是． 故选：B． 9．（25-26学年九上·重庆长寿实验中学校·期中）下列四个数中，是无理数的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 该题考查了无理数的定义，根据无理数的定义（无限不循环小数），逐一判断各选项：A可化简为整数，B和D为分数或有限小数，均为有理数；C为开方开不尽的数，是无理数． 【详解】 解：∵ A．（整数），是有理数； B．（分数），是有理数； C．（无限不循环小数），是无理数； D． （分数），是有理数． 故选：C． 10．（25-26学年九上·重庆万州区万州·期中）估计的值应在（     ） A. 0和1之间 B. 1和2之间 C. 2和3间 D. 3和4之间 【答案】C 【分析】 本题考查二次根式的估算能力， 通过比较平方数确定 的取值范围，然后计算 的区间． 【详解】 解：∵ ， ∴ ， ∴ ，即 ， 因此值在2和3之间 故选：C． 11．（25-26学年·重庆第二外国语学校·期中）下列实数中，是无理数的是（     ） A.  B.  C. 7 D.  【答案】B 【分析】 该题考查了无理数，无理数是指无限不循环小数．选项A、C、D均为有理数，选项B中是非完全平方数的平方根，是无理数． 【详解】 解：选项A：是分数，属于有理数； 选项B：，5不是完全平方数，故是无理数； 选项C：7是整数，属于有理数； 选项D：是有限小数，可化为分数，属于有理数． 故选：B． 12．（25-26学年九上·重庆长寿实验中学校·期中）若函数有意义，则的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了函数自变量的取值范围，一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．根据分式的分母不为以及二次根式的被开方数为非负数进行求解即可． 【详解】 解： 分母 要求根号内 ，且分母不能为零， ，即 ， 故选：D． 13．（25-26学年九上·重庆双桥中学·期中）无理数的产生不仅是数学史上的一个重要里程碑，也对整个科学和哲学产生了深远的影响．下列四个数是无理数的是（     ） A. 0.1313 B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了无理数．无理数就是无限不循环小数，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数，据此逐一判断即可得答案． 【详解】 A． 0.1313是有理数，不符合题意； B．是有理数，不符合题意； C．是有理数，不符合题意； D．是无理数，符合题意； 故选：D． 14．（25-26学年九上·重庆南开中学校）已知，则的取值范围为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查了无理数大小估算，不等式的性质，先估算得出，则，不等号两边同时加上即可求解，掌握无理数大小估算方法是解题的关键． 【详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴，即， 故选：． 15．（25-26学年九上·重庆礼嘉中学校·期中）已知，则整数的值为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题主要考查无理数的估算，熟练掌握无理数的估算方法是解决本题的关键． 先将原不等式化简为 ，通过估算的范围，确定的取值范围，从而得到整数 ． 【详解】 解：原不等式化简为 ， 由题意可知， 为  的整数部分， ，且 ， ， 则 ， 故整数 ， 故选：C． 16．（25-26学年九上·重庆北碚区江北中学·期中）化简：　　　　　　　　　　． 【答案】7 【详解】 解：． 17．（25-26学年九上·重庆北碚区江北中学·期中）若，且m为整数，则m的值为　　　　　　． 【答案】3 【分析】 估算出在哪两个连续整数之间即可． 【详解】 解：， ， ， ， 故答案为：3． 【点睛】 本题考查无理数的估算，估算出在哪两个连续整数之间是解题的关键． 18．（25-26学年九上·重庆朝阳中学·期中）化简的结果为　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 直接利用二次根式的性质化简得出答案． 【详解】 故答案为： 【点睛】 此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确掌握二次根式的性质是解题关键． 19．（九·重庆铜梁·期末）若为正整数，且满足，的值是　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了无理数大小的估算，找到相邻的整数是关键．通过比较完全平方数，确定在哪两个相邻的整数之间即可． 【详解】 解：，且， ， ． 故答案为：． 20．（25-26学年九上·重庆凤鸣山中学·期中）若为正整数，且满足，则　　　　　　　　　　　． 【答案】4 【分析】 本题考查无理数的估算，掌握相关知识是解决问题的关键．通过平方法估算的范围即可． 【详解】 解：． ， ， 故答案为：4． 21．（25-26学年九上·重庆杨家坪中学·期中）若为正整数，且满足，则　　　　　． 【答案】7 【分析】 本题考查无理数的估算，掌握相关知识是解决问题的关键．通过平方法估算 的范围即可． 【详解】 解：计算 ． ∵， ∴ ， ∴ = 7． 故答案为：7． 22．（25-26学年九上·重庆万州国本中学校·期中）若+在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是　　　　　． 【答案】x≥1且x≠3 【分析】 根据二次根式有意义的条件可得x﹣1≥0，根据分式有意义的条件可得x﹣3≠0，再解即可． 【详解】 解：由题意得：x﹣1≥0，且x﹣3≠0， 解得：x≥1且x≠3， 故答案为：x≥1且x≠3． 【点睛】 此题主要考查了二次根式有意义和分式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数，分式有意义的条件是分母不等于零． 23．（25-26学年九上·重庆第万州三中学·期中）函数中，自变量的取值范围是　　　　　． 【答案】 【分析】 根据被开方式是非负数列式求解即可. 【详解】 解：依题意，得， 解得：， 故答案为． 【点睛】 本题考查了函数自变量的取值范围，函数有意义时字母的取值范围一般从几个方面考虑：① 当函数解析式是整式时，字母可取全体实数；② 当函数解析式是分式时，考虑分式的分母不能为0；③ 当函数解析式是二次根式时，被开方数为非负数．④对于实际问题中的函数关系式，自变量的取值除必须使表达式有意义外，还要保证实际问题有意义． 【详解】 24．（25-26学年·重庆朝阳教育集·期中）（1）已知，求和的值； （2）已知，求的值. 【答案】（1）， （2） 【分析】 本题考查了利用完全平方公式变形求值，求一个数的平方根等知识点，解题的关键是熟练掌握完全平方公式及其变形形式． （1）先由求出，再代入求解即可； （2）设， 则，先由求出，即可求解的值． 【详解】 解：（1）∵， ∴， ∵ ∴； （2）设， 则， ∵， ∵， ∴， ∴． 25．（25-26学年·重庆朝阳教育集·期中）若n为正整数，且满足，则　　　　　　　　　　　． 【答案】6 【分析】 本题考查无理数的估算，通过夹逼法，估算出的大小，即可． 【详解】 解：∵， ∴ ， 即， ∴； 故答案为：6． 26．（25-26学年九上·重庆南开中学教共体学校·期中）已知a、b为两个连续的整数，且a＜＜b，则a+b＝　　　　　． 【答案】9 【分析】首先根据的值确定a、b的值，然后可得a+b的值． 【详解】∵＜， ∴4＜＜5， ∵a＜＜b， ∴a＝4，b＝5， ∴a+b＝9， 故答案为：9． 【点睛】本题主要考查了估算无理数的大小，关键是正确确定a、b的值． 27．（25-26学年九上·重庆十一中教育）若a为正整数，且满足   ，则　　　　　　　　　　　　　　　　． 【答案】4 【分析】 本题考查无理数的估算，熟练掌握无理数的估算方法是解题的关键． 通过估算无理数的近似值，确定其介于哪两个连续整数之间，从而求出满足条件的正整数． 【详解】 ， ， 又为正整数，且满足， ． 故答案为：4． 28．（25-26学年九上·重庆渝北中学校·期中）已知a、b为两个连续整数，且a＜＜b，则a+b=　　　． 【答案】9 【详解】 解∵16<17<25， ∴ ∴a=4，b=5． ∴a+b=9， 故答案为：9． 29．（25-26学年九上·重庆合川区十一·期中）若代数式有意义，则实数x的取值范围为　　　　　　． 【答案】且 【分析】 根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，分别列出不等式，求解即可得到实数的取值范围． 【详解】 解：由题意可得 ，二次根式被开方数为非负数，得 分式分母不为零，得 解不等式，得 解不等式，得 因此实数的取值范围为． 30．（25-26学年九上·重庆礼嘉中学校·期末）已知，是的整数部分，则的值为　　　　　． 【答案】2 【分析】 本题考查了无理数整数部分的计算，熟练掌握以上知识点是解题的关键．通过估算 的取值范围，计算 的值范围，从而确定其整数部分． 【详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∴，即 ． ∴的整数部分 ． 故答案为：2． 31．（25-26学年九上·重庆育才中学校·期中）若，其中，为相邻整数，则　　　　　　　　　　． 【答案】20 【分析】 本题考查估算无理数的大小，解题关键是找到与61相邻的两个为平方数的整数． 根据，得出，从而确定介于两个相邻整数之间的值，再计算它们的乘积． 【详解】 解：因为， 所以， 所以． 因此，， 所以． 故答案为：20． 32．（25-26学年九上·重庆南开中学校·期中）若 为正整数，且满足 ，则 　　　　　　　　． 【答案】5 【分析】 本题考查无理数的估算，掌握相关知识是解决问题的关键．通过平方法估算的范围即可． 【详解】 解：. ， ． 为正整数， ． 故答案为：5． 33．（25-26学年九上·重庆西南大学附属中学校·期中）已知，则实数的整数部分为　　　　　． 【答案】2 【分析】 本题考查了二次根式的化简及无理数的估算，解决本题的关键是熟练掌握二次根式的性质． 通过估算的近似值，再计算的值，从而确定其整数部分即可． 【详解】 解：∵，， ∴． 由得 ， ∴， 即， ∴的整数部分为2． 故答案为：2． 考点02 二次根式的乘法与除法 1．（25-26学年九上·重庆北碚区江北中学·期中）下列根式中，不是最简二次根式的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了最简二次根式，解题的关键是掌握最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义逐一判断即可． 【详解】 解：A、含有开得尽方的因数，故不是最简二次根式，故符合题意； B、是最简二次根式，故不符合题意； C、是最简二次根式，故不符合题意； D、是最简二次根式，故不符合题意； 故选：A． 2．（25-26学年九上·重庆万州·期末）下列二次根式中最简二次根式是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题主要考查了最简二次根式，根据最简二次根式的定义（被开方数不含分母，且被开方数中不含能开得尽方的因数或因式），逐一判断各选项即可． 【详解】 解：A选项：，中被开方数含能开得尽方的因数9，故A选项不是最简二次根式； B选项：的被开方数中含分母，故B选项不是最简二次根式； C选项：的被开方数中含分母，故C选项不是最简二次根式； D选项：的被开方数不含分母，且在一般情况下，不能分解出能开得尽方的因式，故D选项是最简二次根式． 故选：D． 3．（25-26学年九上·重庆朝阳中学·期中）下列二次根式中，最简二次根式是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了最简二次根式，根据最简二次根式的定义（被开方数不含分母且不含平方因数），逐一判断各选项即可． 【详解】 解：A．，被开方数含分母，故不是最简二次根式； B．，被开方数5是质数，无平方因数，是最简二次根式； C．，被开方数含平方因子4，不是最简二次根式； D．，被开方数9是完全平方数，不是最简二次根式． 故选：B． 4．（25-26学年九上·重庆第九十五初级中学校·期中）估计的值在（     ） A. 4到5之间 B. 5到6之间 C. 6到7之间 D. 7到8之间 【答案】C 【分析】 本题考查了无理数的估算． 先计算表达式，将其化为，再估计取值范围，最后确定范围即可． 【详解】 解：， ∵， ∴， ∴， ∴的值在6到7之间． 故选：C． 5．（25-26学年九上·重庆万州国本中学校·期中）估计的运算结果应在（     ） A. 6到7之间 B. 7到8之间 C. 8到9之间 D. 9到10之间 【答案】C 【详解】 ∵，而， ∴原式运算的结果在8到9之间． 6．（25-26学年九上·重庆万州·期末）估计的值在（       ） A. 0到1之间 B. 1到2之间 C. 2到3之间 D. 3到4之间 【答案】B 【分析】 本题考查二次根式的混合运算、无理数的估算，先利用二次根式的运算法则化简原式，再通过估算无理数的大小确定原式的取值范围. 【详解】 解： ， 又∵ ∴，即 ∴，即 ∴原式的值在1到2之间， 故选：B． 7．（25-26学年九上·重庆开州区文峰·期中）估算的结果应在（     ） A. 0和1之间 B. 1和2之间 C. 2和3之间 D. 3和4之间 【答案】B 【分析】 本题考查了估算无理数的大小，二次根式的混合运算，不等式的性质，先根据二次根式的混合运算法则进行计算，得出，然后再根据估算无理数的方法判断的范围即可．掌握“夹逼法”估算无理数的大小，二次根式的混合运算法则，不等式的性质是解题的关键． 【详解】 解：， ， ， ， ， 在1和2之间，即的结果应在1和2之间． 故选：B． 8．（2026·重庆育才中学校·三模）已知，则实数m的范围是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了二次根式的乘法、利用二次根式的性质进行化简、无理数的估算，由二次根式的乘法法则以及二次根式的性质计算得出，估算出得出，即可得解． 【详解】 解：， ∵， ∴，即， ∴， ∴，即， 故选：B． 9．（25-26学年九上·重庆川外基础教）估计的值应在（       ） A. 4和5之间 B. 5和6之间 C. 6和7之间 D. 7和8之间 【答案】D 【分析】 本题考查了二次根式的乘法，无理数的估算． 先计算二次根式的乘法，再估计数值范围即可． 【详解】 解：， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 10．（25-26学年九上·重庆暨华中学校·期中）估计的值应在（       ） A. 0和1之间 B. 1和2之间 C. 2和3之间 D. 3和4之间 【答案】A 【分析】 此题主要考查了二次根式的乘法运算以及无理数的估算．熟练掌握二次根式乘法法则，“夹逼法”估算是解题的关键． 先计算二次根式的乘法，再找到所求的无理数在哪两个和它接近的数之间，然后判断出所求的无理数的范围，由此即可求解． 【详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴的值在0和1之间． 故选：A． 考点03 二次根式的加法与减法 1．（25-26学年九上·重庆渝北区石鞋学校）估计的值应在（     ）间 A. 6和7 B. 7和8 C. 8和9 D. 9和10 【答案】D 【分析】 本题考查了二次根式的混合运算，实数的大小估算．先对该式进行化简，再运用实数的估算方法求解． 【详解】 解： ， ， ， 的值应在9和10之间， 故选：D． 2．（25-26学年九·重庆江津区实验中学·期末）估计的值应在（     ） A. 4和5之间 B. 5和6之间 C. 6和7之间 D. 7和8之间 【答案】C 【分析】 此题考查了估算无理数的大小，以及二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．先利用二次根式乘法运算法则计算得到结果，再估算即可． 【详解】 解：， ∴， ∴， ∴的值应在6和7之间． 故选：C． 3．（25-26学年九上·重庆云阳县第二初级中学·期中）估算的值应在（     ） A. 0与1之间 B. 1与2之间 C. 2与3之间 D. 3与4之间 【答案】B 【分析】 本题主要考查对无理数的估算，二次根式的乘法．先化简后，再根据即可得到答案． 【详解】 解： ， ∵ ， ， 故选：B． 4．（25-26学年·重庆第二外国语学校·期中）估算的值应在（     ） A. 8和9之间 B. 9和10之间 C. 13和14之间 D. 15和16之间 【答案】C 【分析】 此题考查了二次根式的混合运算，无理数的估算，熟练掌握以上知识点是解题的关键．首先根据二次根式的混合运算法则化简，然后利用无理数的估算求解即可． 【详解】 解：， ， ， 的值应在13和14之间， 故选：C． 5．（25-26学年九上·重庆合川区十一·期中）估计的值应在（       ） A. 1和2之间 B. 2和3之间 C. 3和4之间 D. 4和5之间 【答案】B 【分析】 利用二次根式的混合运算法则计算出结果后再估算大小即可． 【详解】 解： ， ， ， ， ， 故选B． 【点睛】 本题考查了二次根式的混合运算以及无理数的大小估算，先得出运算结果是解题关键． 6．（25-26学年九上·重庆万州国本中学校·期中）下面与是同类二次根式的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查了二次根式的化简，同类二次根式的判断，解题的关键是掌握二次根式的化简方法，最简二次根式的特征，以及同类二次根式的定义．先将各个选项化为最简二次根式，再根据同类二次根式的定义即可解答． 【详解】 解：A、是最简二次根式，但与不是同类二次根式，不符合题意； B、与是同类二次根式，符合题意； C、与不是同类二次根式，不符合题意； D、与不是同类二次根式，不符合题意； 故选：B． 7．（25-26学年九上·重庆合川中学）估计的值，在两个连续整数（     ） A. 5与6； B. 4与5； C. 3与4； D. 2与3. 【答案】B 【分析】 本题考查了二次根式的混合运算，无理数的估算，先求出的值是解题的关键． 先化简表达式，得到，再估计的值，即可计算的范围． 【详解】 解：∵ ， ，则， 那么， ∴在两个连续整数4与5之间， 故选：B． 8．（25-26学年九上·重庆沙坪坝区重庆第一中学校·期中）估计的值应在（     ） A. 1和2之间 B. 2和3之间 C. 3和4之间 D. 4和5之间 【答案】B 【分析】 本题考查了二次根式的混合运算．将原表达式化简为，再根据，即可求解． 【详解】 解： ， ∵，， ∴ ∴， ∴ 故选：B． 9．（25-26学年九上·重庆开州中学·期中）已知，则实数m的范围是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了二次根式的混合运算，无理数的估算，熟练掌握二次根式的混合运算及无理数的估算是解题的关键．先根据二次根式的混合运算法则计算得，再根据的近似值计算的值，即得答案． 【详解】 ， ， ， ， ． 故选B． 10．（25-26学年九上·重庆朝阳中学·期中）估计的值应在（       ） A. 1和2之间 B. 2和3之间 C. 3和4之间 D. 4和5之间 【答案】B 【分析】 本题考查了二次根式的混合运算，无理数的估算，先简化表达式为 ，再估计 ，计算数值后判断区间． 【详解】 解： ， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ 值在2和3之间， 故选：B． 11．（25-26学年九上·重庆巴蜀中学·期中）估计的值应在（       ） A. 2到3之间 B. 3到4之间 C. 4到5之间 D. 5到6之间 【答案】C 【分析】 本题考查了无理数的估算． 先将原表达式化为，然后通过估计的范围来确定该表达式的取值范围． 【详解】 解：， ∵， ∴， ∴ 因此，值在4到5之间． 故选：C． 12．（25-26学年九上·重庆第七中学校·期中）估计值应在（       ） A. 4和5之间 B. 5和6之间 C. 6和7之间 D. 7和8之间 【答案】C 【分析】 本题考查了无理数的估算． 先化简表达式为，然后估计的值，判断其范围即可． 【详解】 解：． ∵， ∴． ∴值应在6和7之间． 故选：C． 13．（25-26学年九上·重庆第一中学校·期中）估计的值在（　　） A. 7和8之间 B. 8和9之间 C. 9和10之间 D. 10和11之间 【答案】D 【分析】 本题考查二次根式的混合运算，以及无理数的估算，利用二次根式的混合运算化简，再估计化简后的无理数，即可解题． 【详解】 解：， ， ， ， ， 估计的值在10和11之间， 故选：D． 14．（25-26学年·重庆第二外国语学校·期中）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）     （2）．      【分析】 本题考查了二次根式的性质，二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则和除法法则是解决问题的关键． （1）先运用二次根式的性质进行化简，然后合并同类二次根式即可； （2）先把原式整理得，然后运算乘法，最后运算除法，再进行化简，即可作答． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： 15．（25-26学年九·重庆江津区实验中学·期末）先化简，再求值：，其中 【答案】． 【分析】 本题主要考查了分式的化简求值，分母有理化，先把小括号内的式子通分化简，再把第一个分式的分子与分母分解因式后约分，接着把除法变成乘法后约分化简，最后计算分式减法化简并代值计算即可得到答案． 【详解】 解： 当时，原式． 16．（25-26学年九上·重庆北碚区江北中学·期中）计算： （1）； （2） 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则和除法法则是解决问题的关键． （1）先根据二次根式的除法和乘法法则运算，然后化简二次根式后合并同类二次根式即可； （2）先根据平方差公式和完全平方公式计算，然后合并即可． (1) 小问详解： 解：原式 ； (2) 小问详解： 解：原式 ． 17．（25-26学年九上·重庆朝阳中学·期中）已知，，求下列各式的值 （1） （2） 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了二次根式的混合运算，因式分解的运用，掌握相关运算法则是解题的关键． （1）先求出，，然后把分解为，最后整体代入计算即可； （2）先求出，然后把变形为，最后整体代入计算即可． (1) 小问详解： 解：∵，， ∴，， ∴； (2) 小问详解： 解：∵，， ∴， ． 18．（25-26学年九上·重庆第十八中学）若n为正整数，满足，则　　　　　　． 【答案】4 【分析】 本题考查无理数的估算，二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则及无理数的估算方法是解题的关键．先计算，估算的取值范围，又因为n为正整数，且满足，即可解答． 【详解】 解：∵， ∴， ∵，则 ， ∴ ， ∴， ∴， ∵为正整数，且满足， ∴ ． 故答案为：． 19．（2026·重庆广益中学·模拟）先化简，再求值：，其中． 【答案】． 【分析】 本题考查了分式的化简求值及二次根式的计算，解题关键是先根据分式的运算法则（因式分解、通分、约分等）将原式化简，再代入给定的值计算． 先对原式中的各项分别进行因式分解，再按照分式的乘除、加减运算法则逐步化简，最后将代入化简后的式子求值． 【详解】 ， ， ， ， ． 当时， 原式． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 二次根式 3大高频考点概览 考点01 二次根式及其性质 考点02 二次根式的乘法与除法 考点03 二次根式的加法与减法 考点01 二次根式及其性质 1．（25-26学年九上·重庆礼嘉中学校·期末）下列各数中，无理数是（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·重庆万州区万州·期中）下列各式一定是二次根式的是（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年九上·重庆北碚区江北中学·期中）若在实数范围内有意义，则的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年九上·重庆朝阳中学·期中）若有意义，则x的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年九上·重庆合川区十一·期中）下列四个数中，有理数是（     ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年九上·重庆巴蜀中学·期中）下列四个数中，无理数是（       ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年九上·重庆第十八中学）无理数的产生不仅是数学史上的一个重要里程碑，也对整个科学和哲学产生了深远的影响．下列四个数是无理数的是（     ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年·重庆朝阳教育集·期中）9的平方根是（    ） A. 9 B.  C.  D.  9．（25-26学年九上·重庆长寿实验中学校·期中）下列四个数中，是无理数的是（     ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年九上·重庆万州区万州·期中）估计的值应在（     ） A. 0和1之间 B. 1和2之间 C. 2和3间 D. 3和4之间 11．（25-26学年·重庆第二外国语学校·期中）下列实数中，是无理数的是（     ） A.  B.  C. 7 D.  12．（25-26学年九上·重庆长寿实验中学校·期中）若函数有意义，则的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  13．（25-26学年九上·重庆双桥中学·期中）无理数的产生不仅是数学史上的一个重要里程碑，也对整个科学和哲学产生了深远的影响．下列四个数是无理数的是（     ） A. 0.1313 B.  C.  D.  14．（25-26学年九上·重庆南开中学校）已知，则的取值范围为（     ） A.  B.  C.  D.  15．（25-26学年九上·重庆礼嘉中学校·期中）已知，则整数的值为（     ） A.  B.  C.  D.  16．（25-26学年九上·重庆北碚区江北中学·期中）化简：　　　　　　　　　　． 17．（25-26学年九上·重庆北碚区江北中学·期中）若，且m为整数，则m的值为　　　　　　． 18．（25-26学年九上·重庆朝阳中学·期中）化简的结果为　　　　　　　　　　　． 19．（九·重庆铜梁·期末）若为正整数，且满足，的值是　　　　　　　　　． 20．（25-26学年九上·重庆凤鸣山中学·期中）若为正整数，且满足，则　　　　　　　　　　　． 21．（25-26学年九上·重庆杨家坪中学·期中）若为正整数，且满足，则　　　　　． 22．（25-26学年九上·重庆万州国本中学校·期中）若+在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是　　　　　． 23．（25-26学年九上·重庆第万州三中学·期中）函数中，自变量的取值范围是　　　　　． 24．（25-26学年·重庆朝阳教育集·期中）（1）已知，求和的值； （2）已知，求的值. 25．（25-26学年·重庆朝阳教育集·期中）若n为正整数，且满足，则　　　　　　　　　　　． 26．（25-26学年九上·重庆南开中学教共体学校·期中）已知a、b为两个连续的整数，且a＜＜b，则a+b＝　　　　　． 27．（25-26学年九上·重庆十一中教育）若a为正整数，且满足   ，则　　　　　　　　　　　　　　　　． 28．（25-26学年九上·重庆渝北中学校·期中）已知a、b为两个连续整数，且a＜＜b，则a+b=　　　． 29．（25-26学年九上·重庆合川区十一·期中）若代数式有意义，则实数x的取值范围为　　　　　　． 30．（25-26学年九上·重庆礼嘉中学校·期末）已知，是的整数部分，则的值为　　　　　． 31．（25-26学年九上·重庆育才中学校·期中）若，其中，为相邻整数，则　　　　　　　　　　． 32．（25-26学年九上·重庆南开中学校·期中）若 为正整数，且满足 ，则 　　　　　　　　． 33．（25-26学年九上·重庆西南大学附属中学校·期中）已知，则实数的整数部分为　　　　　． 考点02 二次根式的乘法与除法 1．（25-26学年九上·重庆北碚区江北中学·期中）下列根式中，不是最简二次根式的是（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·重庆万州·期末）下列二次根式中最简二次根式是（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年九上·重庆朝阳中学·期中）下列二次根式中，最简二次根式是（       ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年九上·重庆第九十五初级中学校·期中）估计的值在（     ） A. 4到5之间 B. 5到6之间 C. 6到7之间 D. 7到8之间 5．（25-26学年九上·重庆万州国本中学校·期中）估计的运算结果应在（     ） A. 6到7之间 B. 7到8之间 C. 8到9之间 D. 9到10之间 6．（25-26学年九上·重庆万州·期末）估计的值在（       ） A. 0到1之间 B. 1到2之间 C. 2到3之间 D. 3到4之间 7．（25-26学年九上·重庆开州区文峰·期中）估算的结果应在（     ） A. 0和1之间 B. 1和2之间 C. 2和3之间 D. 3和4之间 8．（2026·重庆育才中学校·三模）已知，则实数m的范围是（     ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年九上·重庆川外基础教）估计的值应在（       ） A. 4和5之间 B. 5和6之间 C. 6和7之间 D. 7和8之间 10．（25-26学年九上·重庆暨华中学校·期中）估计的值应在（       ） A. 0和1之间 B. 1和2之间 C. 2和3之间 D. 3和4之间 考点03 二次根式的加法与减法 1．（25-26学年九上·重庆渝北区石鞋学校）估计的值应在（     ）间 A. 6和7 B. 7和8 C. 8和9 D. 9和10 2．（25-26学年九·重庆江津区实验中学·期末）估计的值应在（     ） A. 4和5之间 B. 5和6之间 C. 6和7之间 D. 7和8之间 3．（25-26学年九上·重庆云阳县第二初级中学·期中）估算的值应在（     ） A. 0与1之间 B. 1与2之间 C. 2与3之间 D. 3与4之间 4．（25-26学年·重庆第二外国语学校·期中）估算的值应在（     ） A. 8和9之间 B. 9和10之间 C. 13和14之间 D. 15和16之间 5．（25-26学年九上·重庆合川区十一·期中）估计的值应在（       ） A. 1和2之间 B. 2和3之间 C. 3和4之间 D. 4和5之间 6．（25-26学年九上·重庆万州国本中学校·期中）下面与是同类二次根式的是（       ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年九上·重庆合川中学）估计的值，在两个连续整数（     ） A. 5与6； B. 4与5； C. 3与4； D. 2与3. 8．（25-26学年九上·重庆沙坪坝区重庆第一中学校·期中）估计的值应在（     ） A. 1和2之间 B. 2和3之间 C. 3和4之间 D. 4和5之间 9．（25-26学年九上·重庆开州中学·期中）已知，则实数m的范围是（       ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年九上·重庆朝阳中学·期中）估计的值应在（       ） A. 1和2之间 B. 2和3之间 C. 3和4之间 D. 4和5之间 11．（25-26学年九上·重庆巴蜀中学·期中）估计的值应在（       ） A. 2到3之间 B. 3到4之间 C. 4到5之间 D. 5到6之间 12．（25-26学年九上·重庆第七中学校·期中）估计值应在（       ） A. 4和5之间 B. 5和6之间 C. 6和7之间 D. 7和8之间 13．（25-26学年九上·重庆第一中学校·期中）估计的值在（　　） A. 7和8之间 B. 8和9之间 C. 9和10之间 D. 10和11之间 14．（25-26学年·重庆第二外国语学校·期中）计算： （1）； （2）． 15．（25-26学年九·重庆江津区实验中学·期末）先化简，再求值：，其中 16．（25-26学年九上·重庆北碚区江北中学·期中）计算： （1）； （2） 17．（25-26学年九上·重庆朝阳中学·期中）已知，，求下列各式的值 （1） （2） 18．（25-26学年九上·重庆第十八中学）若n为正整数，满足，则　　　　　　． 19．（2026·重庆广益中学·模拟）先化简，再求值：，其中． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 二次根式 考点01 二次根式及其性质 考点02 二次根式的乘法与除法 考点03 二次根式的加法与减法 考点01 二次根式及其性质 1．A 2．D 3．D 4．A 5．A 6．C 7．D 8．B 9．C 10．C 11．B 12．D 13．D 14．B 15．C 16．【答案】7 【详解】 解：． 17．【答案】3 【分析】 估算出在哪两个连续整数之间即可． 【详解】 解：， ， ， ， 故答案为：3． 【点睛】 本题考查无理数的估算，估算出在哪两个连续整数之间是解题的关键． 18．【答案】 【分析】 直接利用二次根式的性质化简得出答案． 【详解】 故答案为： 【点睛】 此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确掌握二次根式的性质是解题关键． 19．【答案】 【分析】 本题考查了无理数大小的估算，找到相邻的整数是关键．通过比较完全平方数，确定在哪两个相邻的整数之间即可． 【详解】 解：，且， ， ． 故答案为：． 20．【答案】4 【分析】 本题考查无理数的估算，掌握相关知识是解决问题的关键．通过平方法估算的范围即可． 【详解】 解：． ， ， 故答案为：4． 21．【答案】7 【分析】 本题考查无理数的估算，掌握相关知识是解决问题的关键．通过平方法估算 的范围即可． 【详解】 解：计算 ． ∵， ∴ ， ∴ = 7． 故答案为：7． 22．【答案】x≥1且x≠3 【分析】 根据二次根式有意义的条件可得x﹣1≥0，根据分式有意义的条件可得x﹣3≠0，再解即可． 【详解】 解：由题意得：x﹣1≥0，且x﹣3≠0， 解得：x≥1且x≠3， 故答案为：x≥1且x≠3． 【点睛】 此题主要考查了二次根式有意义和分式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数，分式有意义的条件是分母不等于零． 23．【答案】 【分析】 根据被开方式是非负数列式求解即可. 【详解】 解：依题意，得， 解得：， 故答案为． 【点睛】 本题考查了函数自变量的取值范围，函数有意义时字母的取值范围一般从几个方面考虑：① 当函数解析式是整式时，字母可取全体实数；② 当函数解析式是分式时，考虑分式的分母不能为0；③ 当函数解析式是二次根式时，被开方数为非负数．④对于实际问题中的函数关系式，自变量的取值除必须使表达式有意义外，还要保证实际问题有意义． 【详解】 24．【答案】（1）， （2） 【分析】 本题考查了利用完全平方公式变形求值，求一个数的平方根等知识点，解题的关键是熟练掌握完全平方公式及其变形形式． （1）先由求出，再代入求解即可； （2）设， 则，先由求出，即可求解的值． 【详解】 解：（1）∵， ∴， ∵ ∴； （2）设， 则， ∵， ∵， ∴， ∴． 25．【答案】6 【分析】 本题考查无理数的估算，通过夹逼法，估算出的大小，即可． 【详解】 解：∵， ∴ ， 即， ∴； 故答案为：6． 26．【答案】9 【分析】首先根据的值确定a、b的值，然后可得a+b的值． 【详解】∵＜， ∴4＜＜5， ∵a＜＜b， ∴a＝4，b＝5， ∴a+b＝9， 故答案为：9． 【点睛】本题主要考查了估算无理数的大小，关键是正确确定a、b的值． 27．【答案】4 【分析】 本题考查无理数的估算，熟练掌握无理数的估算方法是解题的关键． 通过估算无理数的近似值，确定其介于哪两个连续整数之间，从而求出满足条件的正整数． 【详解】 ， ， 又为正整数，且满足， ． 故答案为：4． 28．【答案】9 【详解】 解∵16<17<25， ∴ ∴a=4，b=5． ∴a+b=9， 故答案为：9． 29．【答案】且 【分析】 根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，分别列出不等式，求解即可得到实数的取值范围． 【详解】 解：由题意可得 ，二次根式被开方数为非负数，得 分式分母不为零，得 解不等式，得 解不等式，得 因此实数的取值范围为． 30．【答案】2 【分析】 本题考查了无理数整数部分的计算，熟练掌握以上知识点是解题的关键．通过估算 的取值范围，计算 的值范围，从而确定其整数部分． 【详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∴，即 ． ∴的整数部分 ． 故答案为：2． 31．【答案】20 【分析】 本题考查估算无理数的大小，解题关键是找到与61相邻的两个为平方数的整数． 根据，得出，从而确定介于两个相邻整数之间的值，再计算它们的乘积． 【详解】 解：因为， 所以， 所以． 因此，， 所以． 故答案为：20． 32．【答案】5 【分析】 本题考查无理数的估算，掌握相关知识是解决问题的关键．通过平方法估算的范围即可． 【详解】 解：. ， ． 为正整数， ． 故答案为：5． 33．【答案】2 【分析】 本题考查了二次根式的化简及无理数的估算，解决本题的关键是熟练掌握二次根式的性质． 通过估算的近似值，再计算的值，从而确定其整数部分即可． 【详解】 解：∵，， ∴． 由得 ， ∴， 即， ∴的整数部分为2． 故答案为：2． 考点02 二次根式的乘法与除法 1．A 2．D 3．B 4．C 5．C 6．B 7．B 8．B 9．D 10．A 考点03 二次根式的加法与减法 1．D 2．C 3．B 4．C 5．B 6．B 7．B 8．B 9．B 10．B 11．C 12．C 13．D 14．【答案】（1）     （2）．      【分析】 本题考查了二次根式的性质，二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则和除法法则是解决问题的关键． （1）先运用二次根式的性质进行化简，然后合并同类二次根式即可； （2）先把原式整理得，然后运算乘法，最后运算除法，再进行化简，即可作答． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： 15．【答案】． 【分析】 本题主要考查了分式的化简求值，分母有理化，先把小括号内的式子通分化简，再把第一个分式的分子与分母分解因式后约分，接着把除法变成乘法后约分化简，最后计算分式减法化简并代值计算即可得到答案． 【详解】 解： 当时，原式． 16．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则和除法法则是解决问题的关键． （1）先根据二次根式的除法和乘法法则运算，然后化简二次根式后合并同类二次根式即可； （2）先根据平方差公式和完全平方公式计算，然后合并即可． (1) 小问详解： 解：原式 ； (2) 小问详解： 解：原式 ． 17．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了二次根式的混合运算，因式分解的运用，掌握相关运算法则是解题的关键． （1）先求出，，然后把分解为，最后整体代入计算即可； （2）先求出，然后把变形为，最后整体代入计算即可． (1) 小问详解： 解：∵，， ∴，， ∴； (2) 小问详解： 解：∵，， ∴， ． 18．【答案】4 【分析】 本题考查无理数的估算，二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则及无理数的估算方法是解题的关键．先计算，估算的取值范围，又因为n为正整数，且满足，即可解答． 【详解】 解：∵， ∴， ∵，则 ， ∴ ， ∴， ∴， ∵为正整数，且满足， ∴ ． 故答案为：． 19．【答案】． 【分析】 本题考查了分式的化简求值及二次根式的计算，解题关键是先根据分式的运算法则（因式分解、通分、约分等）将原式化简，再代入给定的值计算． 先对原式中的各项分别进行因式分解，再按照分式的乘除、加减运算法则逐步化简，最后将代入化简后的式子求值． 【详解】 ， ， ， ， ． 当时， 原式． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $