期中复习压轴专题02 选择填空题分类训练（30种类型90道）（压轴题专项训练，重庆专用）数学新教材人教版九年级上册

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 期中复习压轴专题02选择填空题分类训练 (新人教版九年级，30种类型90道) 范围：第二十五章一第二十八章 知识点一 一元二次方程的定义 1.下列是一元二次方程的是（) x2+x=2y B.2x2=1 C.ax2+bx+c=0 D.x2+x+1 2.下列方程中，不是一元二次方程的是() A.-x2+1=0 B.x2=3x 2 D.3x2-1=2x 3.下列方程是一元二次方程的是() -2x=0 A.y+1=0 B.y C.x2-2x+1=0 D.2x3-1=3 知识点二 利用一元二次方程的定义求参数 4.若方程m+3列x+6x-2=0 关于x的一元二次方程，则m的值为() A.3 B.-3 C.3或-3 D.0 5.已知(a-2)r2-x+3=0 是关于x的一元二次方程，则a的值为 42 B-2 C2 D t2 6.方程m-3到r+3x+3n=0 关于x的一元二次方程，n满足的条件是() A.n>3 B.n=3 C.n<3 D.n=-3 1/21 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 知识点目 配方法 7.用配方法解一元二次方程x2-4x-1=0,配方后所得的方程是() A(x+2)2=5 B.(x-2}2=5 c.(x+2)}=1 D.(x-2}=1 8.用配方法解一元二次方程x2+4x-5=0的过程中，配方正确的是() A.（x+5(x-1)=0B.(x+2)=-1 c.(x+2)}=1 D.(x+2)}2=9 9.用配方法解一元二次方程2-4x-6=0,以下变形正确的是() A.(x-2}=4 B.(x-4)}2=6 c.(x-2}2=10 D.(x-2}=2 知识点四 判断根的情况 10.关于x的一元二次方程3x2+3x+1=0的根的情况是() A.没有实数根 B.有两个不相等的实数根 C.有两个相等的实数根 D.无法确定 11.一元二次方程x-3=4 根的情况是() A.有两个相等的实数根 B,有两个不相等的实数根 C.无实数根 D.只有一个实数根 12.一元二次方程x2-x+1=0的根的情况是() A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.只有一个实数根 D.没有实数根 知识点五 根据根的情况求参数 13.已知关于x的方程x2-6x+k=0有两个不相等的实数根，则k的值可能是() 2/21 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.8 B.9 C.10 D.11 14.已知关于x的方程x2-6x+k=0有两个不相等的实数根，则k的值可能是(). 48 8.4v6 D10 15.己知关于x的方程x2-2x-m=0有两个相等的实数根，则m的值为() A.-1 B.1 C.-4 D.4 知识点六 公式法 2±V4-4×3×(-) 16.用公式法解一元二次方程的根为x= 2×3 ,该方程为() A.3x2+2x-1=0 B.2x2+4x-1=0 C.x2-2x+3=0 D.3x2-2x-1=0 17.利用公式法解一元二次方程 2+5x-1=0可得两根为、5，且<，则的值为（) -5+V33 5-V33 5+33 -5-V33 A.4 B.4 C.4 D.4 18.用公式法解方程4x2-12x=3时所得到的解正确的是() Ax=3达v6 2 8x3达6 2 C.*=342 0.x=3426 2 知识点七 列一元二次方程 19.“双碳”背景下，我国新能源汽车保有量已处于世界第一，随着消费人群不断增多，某款新能源汽车 销售量持续增长.假设月销售量的增长率一致，且第三个月的销售量是第一个月的2倍.设第一个月的销 售量为a辆，月销售量的增长率为x,则可列方程为() 3/21 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.a1+x2=2a B a(1+2x)2=2a C.a(1+2x)1+3x)=2a D.a(1+x)1+2x)=2a 20.如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为40m,宽为22m.停车场内车道的宽都相等，若停 车位的占地面积为520m.求车道的宽度（单位：m).设停车场内车道的宽度为xm,根据题意所列方 程为() 40米 入口 停车位 22米 个车道 ·宽度 出口 A.(40-2x22-x)=520 B.(40-x22-2x)=520 c.(40-x(22-x)=520 D.（40-x22+x)=520 21.某商场销售一款T恤，进价为每件40元，当售价为每件60元时，平均每周可卖出100件，为扩大销 售，增加利润，商场准备降价销售.经市场调查发现，每件每降价1元，平均每周可多卖出10件，若要使 每周销售该款T恤获利2250元，设每件降低x元，则可列方程为() A.(60-x0100+10x)=250 B.(20-x000+x)=250 c.(40-x0100+10x)=2250 D.(20-x100+10x)=2250 知识点八 二次函数的定义 22.下列函数中，是二次函数的是() 1 A.y=2x+1 B.y= C.y=x2-2 D.y=(x-12-x2 23.下列函数中，是二次函数的是() A.y=x2+ x B.y=(x+1)2-x2 C.y=2x2-3x+1 D.y=3x-2 24.下列函数中，一定是二次函数的是() 4/21 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1 A.y=x(x-1) B.y=(x+4)2-x2 c.y=- D.y=ax2+6 知识点九 一次函数与二次函数图像综合 y=ax(a#0)y=ax+b(ab>0) 25.以下四个选项中，能在同一平面直角坐标系中表示 和 的图象的是 26.在同一平面直角坐标系中，二次函数 =+b与一次函数广=r-a 的图象可能是() 27.抛物线 与直线少-2 y=ax 同一个平面直角坐标系中的图象可能是() 人 知识点十一 二次函数增减性 28.己知44)，B),C(-3)在函数’=-3(x-2+2的图象上，则片，乃，为的大小关系是 5/21 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 () A.为<乃<2 B.片<乃<为 C.乃<h D.片<h<y 29.己知二次数'=ax-旷+x-0的图象上有三点a+),(a+2),(a-3）,则，片，为 的大小关系不可能是() A.片>为>当 B.为>乃>为 c.为>h>⅓ D.当>h>为 1 30.已知点A(-3,),B(-1,2),C(2,5)都在抛物线y=3上，则y,2,y的大小关系是（) A片<乃<为 B.片<h<y C.片<<h D y2<y3<y 知识点十一 、二次函数的顶点 =x2+2x-3 31.将抛物线 向右平移3个单位，再向上平移1个单位得到的抛物线的顶点坐标是() A.(2,3) 8.(2,-3) c（4,-3) D.(2,-5) 32.抛物线=r-2x+3 右平移2个单位长度后的项点坐标是() A.(2,3) B.(3,2) c.(32) D.(4,2) 33. 。二次函数y=+bx图象的顶点坐标为2月 则下列结论错误的是() A.a+b=0 B.a=b-8 C.a=4 D.b=4 知识点十三 二次函数与x轴的交点 34.抛物线y=22x-1(x+3)与x轴的两个交点之间的距离是() 7 A.2 B.2 C. D.4 35.二次函数少=-5x+6 与轴的交点坐标是() 6/21 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.(2,0)B,0) 8.（-2,0)(-3,) c.(0,2)(0,3) D.(0-2)(0,-3) 36.二次函数少=+2x-m 图象与”轴的一个交点的横坐标为2，则与”轴的另一个交点的横坐标是 () A -1 B.1 C.2 D.0 知识点十三 二次函数的综合性质 37.如图，二次函 y=a2+bx+c(a≠ 的图象与*打交于0，对环销为直线=，以下结论正确的 是() A.abc0 B.b+2a=0 C.4a-2b+c=0 D.a-b+c≤am2+bm+c(m为实数) 38.二次函数y=a心2+hx+c的部分图象如图所示，对称轴为x=2,且图象经过点(2,0)·下列说法：① 1 是抛物线上的两点，则y<,:④4b+c>m(am+)+C (其中m≠2)：⑤a-b+c<0:其中正确的结论是（） 7/21 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.①②③ B.①③④ C.②④⑤ D.①②④ 9肉=运发-+如+o=0省服有示有州老，n02 abc >0b--2a ④a+b+c>0,下列选项正确的是() A.①②③④ B.①②④ C.①②③ D.①② 知识点十四 动点几何与二次函数图像 40.如图，P是正方形ABCD的对角线AC上一动点（不与点A,C重合），过点P且垂直于AC的直线交 正方形ABCD的边于M,N两点，AC=2,设AP=x,△AMN的面积为y,则y关于x的函数图象大致是 () 2x 8/21 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D 41.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8,BC=6,动点P从点B出发沿边BA向终点A匀速运动， 同时动点Q从点A出发，沿边AC→CB向终点B匀速运动，两动点运动到各自终点停止运动.若P,Q两 点每秒运动的路程相同，点运动的路程为(x>0),△9的面积为，则下列图象能反吹'与产之同函 数关系的是() y A 19.2 19.2 16 16 B o84 o84 87014元 O 81014元 42.如图所示，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=6,点E是△ABC边上一动点，沿A→C→B的路径 移动，过点E作EF⊥AB于点F,设AF=m,△AEF的面积为S,则下列能大致反映S与函数关系的图 象是() B 9/21 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 知识点十五 一次函数与反比例函数图像 k 43.己知k≠0，则反比例函数y=和一次函数y=-2+3的图象可能是(） 六小… 4.己知一次函数y=mx-m与反比例函数y= x在同一平面直角坐标系中的图象可能是() 45.在同一平面直角坐标系中，一次函数y=c+k与反比例函数y=(k≠0)的图象可能是（) 10/21 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 子六 知识点十六 反比例函数增减性 46.已知反比例函数y-车(k<0)的图象上有两点(k,）,(传，小，当5<5<0时，男与，的大小关系 为() A片>为 8.片<与 c.片-为 D.无法确定 包。若(2，），2，，4，)巨点均在反比例函数少欢气k*0的图象上，则下列结论中正确的是 (). A.片<乃<⅓ B.片<<h c.乃<为<5 D.h<乃<为 48.点4(-1X小BL),C2,)是反比例函数y= x图象上的三个点，则y,2’⅓的大小关系 是() A.片<乃<y B.片<<h c.b<乃<y D.片<y<h 知识点计七 反比例函数与几何综合 49.如图，在平面直角坐标系中，BC⊥y轴于点C,∠B=90,双曲线y=x过点A,交BC于点D:连 AB 3 接0D,AD:若0C=4,SAoD=15,则k的值为（） B 0 11/21 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.4 B.6 C.8 D.12 50.如图，在平面直角坐标系xO少中，矩形OABC的顶点A,C分别在x轴的负半轴与y轴的正半轴上， 对州线AC与0相交于点D反比例腰数y经+0的图象经过D:开交AB于点E:已知842). 则△BDE的面积是() E D A B. 2 C.2 D.3 k 51.如图，△MBC是等腰三角形，AB过原点0，底边BCx轴，双曲线》=x过A'B两点，过点C作 CD 轴交双曲线于点D,若S0=8 ,则的值是() B. 2 C.3 0.6 知识点十八 中心对称图形 52.下列地铁标志中，是轴对称图形也是中心对称图形的是() 12/21 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 53.为宣传科技创新与绿色发展理念，某科技馆设计了以下标识图案，其中既是轴对称图形又是中心对称 图形的是()。 54.下列体育运动图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( 知识点十九 利用旋转性质求面积 55.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,AC=V2,点D在BC上，且BD:CD=I3.连接 AD,线段AD绕点A顺时针旋转9O°得到线段AE,连接BE,DE.则△BDE的面积是() A.4 B.8 56.如图，正方形ABCD和正方形EFGH的对称中心都是点O,其边长分别是5和3，则图中阴影部分的 面积是() D G 15 16 6 A.4 B.5 c.4 D.3 57.如图，将△ABC绕点A旋转至△ADE的位置，若点D恰好落在边BC上，DE与AC相交于点F,若 13/21 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AB=6,△AEF △CDF 的面积比 的面积大24，则1BD 的面积为() B D A.12 B.21 C.24 D.27 知识点二十 利用旋转性质求线段 58.如图，△AOB与△COD关于点0成中心对称，己知∠A=90°，CD=3,C0=4,则BD的长为 B A.12 B.10 C.8 D.6 59.如图，△ABC与△DEF关于点O成中心对称，连接OB,OE,BD.若B0⊥AC,DE=6,则BD的 长为() B D A.3 B.6 C.9 D.12 60.如图，△A0B与△C0D关于点O成中心对称，已知∠A=90°，CD=2,C0=3,则BC=() 0 14/21 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.5 8.3 C,2V13 D.2v1ò 知识点二十一 因式分解法 61.方程*(x-2025)=0 的解是 62.一元二次方程-V2(r-V3)=0 的根是 63.方程x2-2x=0的解是 知识点三十三 根与系数的关系 64.已知，是关于”的一元二次方程”-2x+k=0的两根，且 +名=3-2x5,则的值为 65.已知m,n是一元二次方程x2+x-2026=0的两个实数根，则代数式m2+2m+n的值等于 6.已知方程+-5=0的两根分别为，5，则-号+2x 的值为 知识点二十三利用二次函数图像解不等式 67.如图，抛物线'=与直线’=r+C的两个交点坐标分别为 (-3,4)B(1, ,则不等式r≤br+c 的解集是 68.如图，次函数'=ar+br+c(a≠0 的图象与直线"=mr+nn≠0) 有两个交点，交点横坐标分别为 15/21 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1、3,则关于x的不等式 ax2+(b-m)x+c-n≥0 的解集为 69.如图，二次函数'=(：+2+m的图像与y轴交于点C,点B在抛物线上，且与点C关于抛物线的对 称销对称，一次函数=c+办的图像经过该二次函数图像上的点(-0)及点8，则满足 (x+2)2+m≥+b 的x的取值范围是 知识点三十四、 对称轴 70.若点1,5).BB,5 均在抛物线'=犬+r+C上，则该抛物线的对称轴为直线x= 71.二次函数y=(x-6x+2)的图象的对称轴为x= y=-x2+10 72.抛物线 的对称轴是」 知识点二十五反比例函数实际问题 73.研究发现，近视眼镜的度数y(度)与镜片焦距x(米)成反比例函数关系，图象如图所示.当近视眼 镜的度数是200度时，镜片焦距是米. 16/21 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 以度 400 00.25 米 74,老李的鱼菜共生系统内装有恒温装置，如图是某天恒温装置从开启到关闭及关闭后，温度℃)与时 k( 间x()的变化图像，其中4B段是恒温阶段，BC段是恒温系统关闭阶段，是反比例函数y=(x>0)图像 的一部分，下列说法中：①恒温系统设定的温度为25℃：②k的值为200；③温度在25℃的时间有8h: ④恒温系统在一天内保持温度不低于20℃的时间有13h.其中说法正确的是 (填序号). V/C B 25 0412 24h 7乃.近视眼镜（凹透镜）的度数'（度）与镜片焦距x(米)成反比例关系，y关于x的函数图象如图所 示.小鹏同学的镜片焦距为0.5米时，眼镜度数为200度，经过一段时间的矫正治疗后，小鹏同学的镜片焦 距变为0.8米，此时眼镜的度数为 y(度) 200 0.50.8x(米) 知识点三十六 利用反比例函数图像解不等式 76.如图，正比例函数y=a≠0)与反比例函数y=6≠0)图象交于点A、B,已知点A的横坐标为1， x b 则关于x的不等式心->0的解集是 17/21 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 刀.如图。一次函数y=x+b与反比例西数=生的图侯交于A6两点，其黄整标分别为1和3，则关 于x的不等式x+b-年<0的解类是 B 78.如图，一次函数片=c+b与反比例函数=的图象交于A(1,m),B(4,n)两点，则关于x的不等式 红+h<兰解架是 B 知识点三十七 求关于原点对称的坐标 79.已知 P(2,3),那么点P关于原点的对称点的坐标是一 80.在平面直角坐标系中，已知点 a-)与点B(6, 关于原点对称，则a+b的值为 18/21 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A(m,n 81.已知点 关于原点的对称点B的坐标是84 ,则m-”的值为 知识点二十八 对称中心 82.如图，已知△ABC与△AB'C成中心对称，则对称中心是点 B 83.如图，己知△ABC与△AB'C成中心对称，则对称中心是点 NPO B 84.如图，在平面直角坐标系中（坐标系中每个小正方形单位长度为1），画△ABC关于点O成中心对称 的图形时，小明由于紧张对称中心选错，画出的图形是△DEF，请你找出此时的对称中心的坐标是一， 知识点二十九 旋转相关最值问题 85.如图，菱形ABCD的对角线AC,BD交于点O,菱形ABCD的顶点与点O重合，AD=2AD=4, ∠DAB=∠D'AB'=6O°，连接AD',取其中点M,连接B'M,将菱形AB'C'D'绕点'旋转一周，则B'M 的最小值为 19121 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 86.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3,BC=4,D是BC边上一点，线段DA绕点D顺时针旋转 90°得到DE,连结AE,若F是AE的中点，则CF的最小值为 B D 87,知图，AMBC是等边三角形，份-6：6在4C上且G-号4C,D是直线BC上一动点：我段D绕 3 点E逆时针旋转9O°，得到线段EF,当点D运动时，则线段AF的最小值是 B D 知识点三十 旋转相关综合性问题 8.已知，矩形ABCD中，AB=8,BC=6,点E是边AB上的一个动点，将线段DE绕点D逆时针旋转 90°得到DF,过F作FGLCD于点G,连接EF,取EF中点H,连接DH,AH.点E在运动过程中， 下列结论：①△ADE≌△GDF;②∠GFH=∠ADE;③当点H和点G互相重合时，AE=6;④AH的最小值 为35，©4H的最大值为65 .正确的序号有 20121 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 G 89.如图，将等边△ABC绕点B逆时针旋转60°得到△DBA,点E、F分别在BC和CA上，且BE=CF, BF、AE相交于点G,DG交AB于点H,则下列结论正确的有 (填写序号) ①∠4GF=60:②DG平分∠4GB:@D8-Dm-DG:@若CE-2B5,则BG-Gf 90.如图，在△ABC中，∠ACB=9O°，AC=BC,M是斜边AB上一点，连结CM,将CM绕点C逆时针 旋转9O°得到CN,连结MN交BC于点E,连结BN,给出下面五个结论：①NB⊥AB； ③AM、AC ⑤SwE=Mw ②∠MCE=∠BNE: BEME;④CE·BN=EN·MC: S。ME BM2，上述结论中.所有正确的序 号是 M 21/21 期中复习压轴专题02 选择填空题分类训练 （新人教版九年级，30种类型90道） 范围：第二十五章—第二十八章 知识点一 一元二次方程的定义 1．下列是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】一元二次方程要满足以下条件：只含1个未知数，未知数的最高次数为2，是整式方程，据此可得到答案． 【详解】解：选项A，含,两个未知数，不符合题意． 选项B，只含一个未知数，的最高次数为2，是整式方程，符合题意． 选项C，未说明，当时不是二次方程，不符合题意． 选项D，不是等式，不属于方程，不符合题意． 2．下列方程中，不是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一元二次方程的定义（整式方程、一个未知数、未知数最高次数为2、二次项系数不为0）逐项判断即可． 【详解】解：A．，是一元二次方程，故该选项不符合题意； B．方程写成一般形式为，是一元二次方程，故该选项不符合题意； C．方程，左边是分式形式，不是一元二次方程，故该选项符合题意； D．方程，写成一般形式为，是一元二次方程，故该选项不符合题意． 3．下列方程是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】从是否为整式方程、未知数个数、未知数最高次数三个维度逐一判断各选项． 【详解】解：选项A：中未知数最高次数为1，不符合题意； 选项B：不是整式方程，且含有两个未知数和，不符合题意； 选项C：是整式方程，只含一个未知数，且的最高次数为2，符合题意； 选项D：中未知数最高次数为3，不符合题意； 故答案为C． 知识点二 利用一元二次方程的定义求参数 4．若方程是关于x的一元二次方程，则m的值为（     ） A．3 B． C．3或 D．0 【答案】A 【分析】一元二次方程，二次项系数不为0，未知数的最高次数是2． 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴，且， 由得， 即或， 由得， ∴． 5．已知 是关于x的一元二次方程，则a的值为(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2次的整式方程叫做一元二次方程，据此可得，解之即可得到答案． 【详解】解：根据题意可知，， 解得： 6．方程是关于x的一元二次方程，n满足的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义可得，未知数的最高次数为2，且二次项系数不为零． 根据一元二次方程的定义，x的最高次数为2且二次项系数不为0，因此需满足且． 【详解】∵方程是关于x的一元二次方程， ∴，即，解得或. 又∵二次项系数， ∴， ∴． 故选：D． 知识点三 配方法 7．用配方法解一元二次方程，配方后所得的方程是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 8．用配方法解一元二次方程的过程中，配方正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先移项，再在方程两边同时加上一次项系数一半的平方即可． 【详解】解：， 移项得， 配方得， 整理后得， 故选择D． 9．用配方法解一元二次方程，以下变形正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】按照配方法的步骤，先移项，再在等式两边加上一次项系数一半的平方，将左边整理为完全平方式即可得到正确结果． 【详解】解：∵ ， 移项，得 ， ∵ 一次项系数为，其一半的平方为， ∴ 等式两边同时加，得 ， 整理得 ． 知识点四 判断根的情况 10．关于x的一元二次方程的根的情况是（     ） A．没有实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．无法确定 【答案】A 【分析】通过计算判别式的值，判断一元二次方程的根的情况即可． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴， ∴方程没有实数根． 11．一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．只有一个实数根 【答案】B 【分析】将原方程展开成一般形式，计算根的判别式，根据计算结果即可解答． 【详解】解：原方程整理，得， ， 原方程有两个不相等的实数根． 12．一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【答案】D 【分析】利用一元二次方程根的判别式判断即可． 【详解】解：， 该方程没有实数根． 知识点五 根据根的情况求参数 13．已知关于x的方程有两个不相等的实数根，则k的值可能是（     ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】A 【分析】由方程有两个不相等的实数根，利用根的判别式构建关于的不等式求解． 【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得， 选项中仅A的满足． 14．已知关于的方程有两个不相等的实数根，则的值可能是（     ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用一元二次方程根的判别式建立关于的不等式，求解后验证选项即可． 【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得， ∴选项：，满足题意， 选项：，不满足题意， 选项：，不满足题意， 选项：，不满足题意． 15．已知关于的方程有两个相等的实数根，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由一元二次方程根的情况与判别式的关系列方程求解即可． 【详解】解：∵方程有两个相等的实数根， ∴， 即，解得． 知识点六 公式法 16．用公式法解一元二次方程的根为，该方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，解题的关键是掌握求根公式中字母所表示的意义．根据求根公式解答即可． 【详解】解：由知：，，． 所以该一元二次方程为：． 故选：D． 17．利用公式法解一元二次方程可得两根为、，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，利用公式法求出一元二次方程的解，再根据即可求解，熟练掌握公式法解一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：依题意，，， ∴， ∴ 故选：D． 18．用公式法解方程时所得到的解正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查解一元二次方程，涉及公式法解一元二次方程，利用公式法直接求解即可得到答案，熟悉一元二次方程的常见解法是解决问题的关键． 【详解】解：， ， ∵， ∴， ∴． 故选：D． 知识点七 列一元二次方程 19．“双碳”背景下，我国新能源汽车保有量已处于世界第一，随着消费人群不断增多，某款新能源汽车销售量持续增长．假设月销售量的增长率一致，且第三个月的销售量是第一个月的2倍．设第一个月的销售量为a辆，月销售量的增长率为x，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用公式（其中a指原销售量，b指连续两次增速后的销售量，x为每次的平均增长率），列方程求解即可． 【详解】解：第一个月销售量为，月增长率为. 第二个月销售量为. 第三个月销售量为， ∵第三个月销售量是第一个月的倍， ∴． 20．如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为，宽为．停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为．求车道的宽度（单位：）．设停车场内车道的宽度为，根据题意所列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：若设停车场内车道的宽度为，则停车位通过平移可合成长为，宽为的矩形， 根据题意得：． 21．某商场销售一款T恤，进价为每件40元，当售价为每件60元时，平均每周可卖出100件，为扩大销售，增加利润，商场准备降价销售．经市场调查发现，每件每降价1元，平均每周可多卖出10件，若要使每周销售该款T恤获利2250元，设每件降低元，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据利润售价进价，由每降价元，每星期可多卖出件，可知每件售价降低元，每星期可多卖出件，从而列出方程即可． 【详解】解：每件降低元时，单件利润为元，每周销售量为件， 根据题意得. 知识点八 二次函数的定义 22．下列函数中，是二次函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数定义判断即可． 【详解】解：A、为一次函数，故本选项不符合题意； B、等号右边不是整式，故本选项不符合题意； C、是二次函数，故本选项符合题意； D、化简后没有二次项，故本选项不符合题意． 23．下列函数中，是二次函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】判断一个函数是不是二次函数，在函数解析式是整式的前提下，如果把解析式化简整理（去括号、合并同类项）后，能写成（a，b，c为常数，）的形式，那么这个函数就是二次函数，否则就不是． 【详解】解：A、函数含，它不是整式，故本选项的解析式不是二次函数； B、函数可化简为，故本选项的解析式不是二次函数； C、函数是二次函数，本选项符合题意； D、函数不是二次函数． 24．下列函数中，一定是二次函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】明确二次函数的定义：形如（，、、为常数）的函数是二次函数，以此为判断依据．对每个选项的函数表达式进行化简，整理为最简形式．逐一对照二次函数定义判断：如果化简后最高次为二次且二次项系数不为0，那么是二次函数，否则不是． 【详解】解：对选项A，，是二次函数． 对选项B，，是一次函数，不是二次函数． 对选项C，是分式，不是整式，故不是二次函数． 对选项D，当时，是常数函数，不一定是二次函数． 知识点九 一次函数与二次函数图像综合 25．以下四个选项中，能在同一平面直角坐标系中表示和的图象的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据a的符号确定抛物线开口方向及直线增减性，根据b的符号确定直线与y轴交点位置，结合进行判断． 【详解】解：A、由抛物线开口向下知，由直线过第一、二、四象限知且，则，与已知矛盾； B、由抛物线开口向上知，由直线过第一、三、四象限知且，则，与已知矛盾； C、由抛物线开口向下知，由直线过第一、二、三象限知，a的符号矛盾； D、由抛物线开口向下知 ，由直线过第二、三、四象限知且 ，则，符合题意． 26．在同一平面直角坐标系中，二次函数与一次函数的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先确定一次函数与二次函数图象无交点，且二次函数过原点，即可判断B，D选项，进而根据图形中给出的一次函数图象确定、的符号，进而运用二次函数的性质判断图形中给出的二次函数的图象是否符合题意，根据选项逐一讨论即可解决问题． 【详解】解：联立， 消去得， ∴，即一次函数与二次函数图象无交点，故B不正确； 令， 解得：，， ∴二次函数与x轴的交点坐标为和，故D不正确，不符合题意； A．抛物线开口向上，对称轴在轴的右侧，则，一次函数图象经过一、三、四象限，则，即，矛盾，故该选项不正确，不符合题意； C．抛物线开口向上，对称轴在轴的右侧，则，一次函数图象经过二、三、四象限，则，即，故该选项正确，符合题意． 27．抛物线与直线在同一个平面直角坐标系中的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次函数和一次函数的性质逐项分析即可得出结果． 【详解】解：A、抛物线的图象开口向上，则，直线从左向右上升，则，且与轴交于负半轴，故符合题意； B、抛物线的图象开口向上，则，直线从左向右下降，则，故不符合题意； C、抛物线的图象开口向下，则，直线从左向右上升，则，且与轴交于负半轴，故不符合题意； D、抛物线的图象开口向下，则，直线从左向右下降，则，但与轴交于正半轴，故不符合题意． 知识点十 二次函数增减性 28．已知，，在函数的图象上，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用二次函数的对称性，通过比较点到对称轴的距离判断函数值大小． 【详解】解：函数的图象开口向下，对称轴为直线， 点，，到对称轴的距离分别为，，， ∵， ∴． 29．已知二次函数的图象上有三点，，，则，，的大小关系不可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】观察三点横坐标的特点，代入解析式可直接得到，，关于的表达式，通过找两两相等的临界点分区间讨论大小关系，判断不可能的选项． 【详解】解：将三点横坐标分别代入函数解析式得： ， ， ， 令，解得； 令，解得； 令，解得， 结合二次函数，分区间讨论： 当时，，选项D成立； 当时，，选项C成立； 当时，，无对应选项； 当时，，选项A成立； 故不可能，答案为B． 30．已知点都在抛物线上，则的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：， ， ， ， . 知识点十一 二次函数的顶点 31．将抛物线向右平移3个单位，再向上平移1个单位得到的抛物线的顶点坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先将抛物线解析式转化为顶点式，得到原函数的顶点坐标，再将顶点坐标按照要求平移即可． 【详解】解：， ∴原抛物线顶点坐标为， ∵抛物线向右平移个单位，再向上平移个单位， ∴平移后顶点的横坐标为，纵坐标为， 即平移后抛物线的顶点坐标为． 32．抛物线向右平移2个单位长度后的顶点坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查抛物线图象的平移，解题思路是先将原抛物线一般式配方为顶点式，得到原顶点坐标，再根据点的平移规律得到平移后的顶点坐标，用到平移规律：向右平移，横坐标增加，纵坐标不变． 【详解】解：， 原抛物线的顶点坐标为， 抛物线向右平移个单位长度，顶点平移规律与点的平移规律一致，向右平移横坐标加，纵坐标不变 ， 平移后顶点的横坐标为，纵坐标为， 故平移后抛物线的顶点坐标为． 33．二次函数图象的顶点坐标为，则下列结论错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题已知二次函数顶点坐标，利用二次函数顶点横坐标公式和顶点在函数图象上的性质，联立求出和的值，再逐一判断选项即可得到错误结论． 【详解】解：二次函数的顶点坐标为， 整理得，即，故A选项正确； 顶点在二次函数的图象上 将代入函数得 整理得 将代入得， 解得，故D选项正确； 将代入得，故C选项错误； 验证B选项：，故B选项正确． 知识点十二 二次函数与x轴的交点 34．抛物线与x轴的两个交点之间的距离是（     ） A． B．2 C． D．4 【答案】A 【详解】解：令，得； ∵， ∴或， 解得，， ∴抛物线与轴的两个交点为，， ∴两交点之间的距离为． 35．二次函数与轴的交点坐标是（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】二次函数与轴交点的纵坐标为，令解一元二次方程即可． 【详解】解：令，得， 因式分解得， 解得， 二次函数与轴的交点坐标为，． 36．二次函数的图象与轴的一个交点的横坐标为，则与轴的另一个交点的横坐标是（   ） A． B．1 C．2 D．0 【答案】D 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；通过求二次函数的对称轴，利用抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称的性质求解即可． 【详解】解：由二次函数可知：对称轴为直线， ∵图象与轴的两个交点关于对称轴对称，已知一个交点的横坐标为， 设另一个交点的横坐标为， 则， 即， ∴， 故另一个交点的横坐标为； 故选D． 知识点十三 二次函数的综合性质 37．如图，二次函数的图象与轴交于，对称轴为直线，以下结论正确的是（     ） A． B． C． D．（为实数） 【答案】D 【分析】二次函数图象开口向上，，与y轴交于负半轴，，对称轴在y轴左侧，，可以判断A选项是否正确；根据对称轴，可以判断B选项是否正确；根据二次函数图象的对称性和当时，可以判断C选项是否正确；根据时y有最小值，可以判断D选项是否正确． 【详解】解：由图象可知，，， ∵对称轴在轴左边， ∴， ∴， ，故A选项不符合题意； ， ， ，故B选项不符合题意； 当时，，根据二次函数图象的对称性可知，当时，， ，故C选项不符合题意； 当时，函数有最小值， （m为实数），D选项符合题意． 【点睛】二次函数图象开口向上，，有最小值，对称轴在x的负半轴，b和a同号． 38．二次函数的部分图象如图所示，对称轴为，且图象经过点．下列说法：①；②；③若是抛物线上的两点，则；④（其中）；⑤．其中正确的结论是（     ） A．①②③ B．①③④ C．②④⑤ D．①②④ 【答案】D 【分析】由抛物线开口方向、对称轴位置、与轴交点位置判断符号及关系；利用对称性求出抛物线与轴另一交点坐标，进而判断代数式符号；利用二次函数性质比较函数值大小及最值问题． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线对称轴为直线，，即， ∴， ∵抛物线与轴的交点在轴的上方， ∴， ∴，故①正确； ∵抛物线经过，对称轴为直线， ∴抛物线经过， 即，故⑤不正确； 把代入得，即，故②正确； ∵，且开口向下， ∴到对称轴的距离小于到对称轴的距离， ∴，故③不正确； ∵抛物线开口向下，对称轴是直线， 当时，抛物线取得最大值， 当时，，且， ∴，故④正确； 综上所述，正确的结论是①②④． 39．已知二次函数的图象如图所示，有下列结论：①②③④，下列选项正确的是（     ） A．①②③④ B．①②④ C．①②③ D．①② 【答案】C 【分析】由抛物线的开口方向判断与的关系，由抛物线与轴的交点判断与的关系，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：①由图可知，抛物线与轴有两个不同的交点， 则，故①正确． ②③由图可知，抛物线的开口向上，则， 抛物线的对称轴为，，故③正确； ，， 抛物线交轴于负半轴，可得：， ，故②正确． ④由图可知，当时，，故④不正确． 综上所述：以上结论正确的有①②③． 知识点十四 动点几何与二次函数图像 40．如图，P是正方形的对角线上一动点（不与点A，C重合），过点P且垂直于的直线交正方形的边于M，N两点，，设，的面积为y，则y关于x的函数图象大致是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵正方形中， ∴，，， 当在左侧时，即时，如图所示： ∵，， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， 即当时，y关于x的函数图象为开口向上，顶点在原点的抛物线的一部分； 当在右侧时，即时，如图所示： ∵，， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， 即当时，y关于x的函数图象为开口向下，顶点在的抛物线的一部分； 综上，y关于x的函数图象大致是选项C中的函数图象． 41．如图，在中，，，，动点从点出发沿边向终点匀速运动，同时动点从点出发，沿边向终点匀速运动，两动点运动到各自终点停止运动．若，两点每秒运动的路程相同，点运动的路程为，的面积为，则下列图象能反映与之间函数关系的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：在 中，，，， ，，． 分三种情况讨论： ①当时，点在上，点在上，，， 过点作于点， 则， ， 此时图象为开口向上的抛物线，当 时，； ②当时，点在上，点在上，过点作于点 ，， ∴， ， 此时图象为开口向下的抛物线，当时，；当时，； ③当时，点在上，点到达点停止运动， 此时（即变为），， 以为底，为高， ， 此时图象为线段， 当时，； 当时，． 综上所述，图象D符合题意． 42．如图所示，在中，，，点是边上一动点，沿的路径移动，过点作于点，设，的面积为S，则下列能大致反映S与m函数关系的图象是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵在中，，， ∴，， 过点C作与点H， ∴， 当时， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴抛物线开口向上， 当时，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴抛物线开口向下， 故选项B符合题意． 知识点十五 一次函数与反比例函数图像 43．已知，则反比例函数和一次函数的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分和两种情况，进行讨论，判断即可. 【详解】解：当时，则，则双曲线过一、三象限， ∵，，则直线过一、二、四象限； 当时，则，则双曲线过二、四象限， ∵，，则直线过一、二、三象限； 观察可知，只有选项C的图象符合题意. 44．已知一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一次函数图象经过的象限即可得出、的正负，由此即可得出反比例函数图象经过的象限，再与函数图象进行对比即可得出结论． 【详解】解：A选项：一次函数的图象过第一、二、三象限， ，，矛盾，故本选项不符合题意； B选项：一次函数的图象过第一、三、四象限， ，， 反比例函数的图象应过第一、三象限，故本选项符合题意； C选项：一次函数的图象过第一、三、四象限， ，， 反比例函数的图象应过第一、三象限，故本选项不符合题意； D选项：一次函数的图象过第二、三、四象限， ，，矛盾，故本选项不符合题意； 故选：B． 45．在同一平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别根据反比例函数及一次函数图象的特点对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A、由反比例函数的图象在二、四象限可知，由一次函数的图象与轴交点在轴的正半轴可知，两结论相矛盾，故本选项不符合题意； B、由反比例函数的图象在二、四象限可知，由一次函数的图象与轴交点在轴的正半轴可知，两结论相矛盾，故本选项不符合题意； C、由反比例函数的图象在一、三象限可知，由一次函数的图象交y轴的负半轴可知，两结论相矛盾，故本选项不符合题意； D、由反比例函数的图象在一、三象限可知，由一次函数的图象过一、二、三象限可知，两结论一致，故本选项符合题意． 知识点十六 反比例函数增减性 46．已知反比例函数的图象上有两点，，当时，与的大小关系为（     ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】根据反比例函数的解析式可判断该反比例函数图象分布的象限以及在每个象限内的增减性，结合两个点的横坐标可得答案． 【详解】解：∵， ∴该反比例函数的图象分布在第二、四象限，且在每个象限内随的增大而增大， ∵反比例函数的图象上有两点，，且， ∴这两点都在第二象限， ∴． 47．若，，三点均在反比例函数的图象上，则下列结论中正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用的非负性确定反比例函数比例系数的符号，再结合图象的象限分布与增减性比较函数值大小． 【详解】解：∵，且， ∴， ∴反比例函数的图象在第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大． ∵， ∴点在第二象限，． ∵，， ∴点、在第四象限，，． ∵第四象限内y随x的增大而增大，， ∴， ∴． 48．点，，是反比例函数图象上的三个点，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限，再根据各点横坐标的特点进行解答即可. 【详解】解：∵， ∴反比例函数图象在一、三象限，并且在每一象限内y随x的增大而减小， ∵， ∴A点在第三象限， ∴， ∵， ∴B、C两点在第一象限， ∴， ∴． 知识点十七 反比例函数与几何综合 49．如图，在平面直角坐标系中，轴于点，，双曲线过点，交于点，连接，．若，，则的值为（     ） A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】C 【分析】延长，交轴于点，设，则，先求出，，，，的长，再根据列式计算即可． 【详解】解：如图，延长，交轴于点， ∵， ∴设，则， ∵轴，轴轴，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，，， ∴， 将代入函数得：， ∴， ∴， 将代入函数得：， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， 解得． 50．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，分别在轴的负半轴与轴的正半轴上，对角线与相交于点．反比例函数的图象经过，并交于点．已知，则的面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：过点D作于点H， ∵四边形是矩形，对角线与相交于点， ∴点D是的中点，轴， ∵， ∴，点E的横坐标为， ∴． ∵反比例函数的图象经过， ∴，解得， ∴反比例函数解析式为， 当时，， ∴点E的坐标为， ∴， ∴． 51．如图，是等腰三角形，过原点，底边轴，双曲线过，两点，过点作轴交双曲线于点，若，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如下图所示，过点作于点， 设点的坐标是，则点的坐标是， ，， 是等腰三角形， ， 轴 点的横坐标是，纵坐标是， 轴交双曲线于点， 点的横坐标是， 点的纵坐标是， ， ， ， ． 知识点十八 中心对称图形 52．下列地铁标志中，是轴对称图形也是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念判断即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； B、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； D、是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意； 53．为宣传科技创新与绿色发展理念，某科技馆设计了以下标识图案，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形定义逐一判断：轴对称图形：沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合；中心对称图形：绕某一点旋转后，能够和原图形重合． 【详解】解：A、旋转可以与原图重合，是中心对称图形；但找不到对称轴，不是轴对称图形，不符合题意； B、存在对称轴，沿对称轴折叠两边可重合，是轴对称图形；绕中心旋转能与原图重合，是中心对称图形，符合题意； C、既没有对称轴，旋转也不能和原图重合，既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； D、有对称轴，是轴对称图形；绕中心旋转不能和原图重合，不是中心对称图形，不符合题意． 54．下列体育运动图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据轴对称图形的定义（如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形）和中心对称图形的定义（把一个图形绕着某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形）逐项判断即可． 【详解】解：A中图形不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意； B中图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意； C中图形不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意； D中图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意． 知识点十九 利用旋转性质求面积 55．如图，在中，， ， ，点D在上，且 ．连接，线段绕点A 顺时针旋转得到线段，连接，．则的面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由，得是等腰直角三角形，可得，由 得，，再证 ，得 且 ，，再利用面积公式直接计算 的面积． 【详解】解： ，， 是等腰直角三角形， ， ， ， ∵ 绕点 顺时针旋转 得到 ， ， ， ， 在 和 中， ， ， ， ， ． 56．如图，正方形和正方形的对称中心都是点O，其边长分别是5和3，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C．4 D． 【答案】C 【分析】由正方形和正方形的对称中心都是点O，可得四边形，四边形，四边形，四边形的面积相等，与的面积相等，再进一步求解即可. 【详解】解：如图，连接， ∵正方形和正方形的对称中心都是点O， ∴四边形，四边形，四边形，四边形的面积相等，与的面积相等， ∴阴影部分的面积为大正方形面积减去小正方形面积的， ∴阴影部分的面积是. 57．如图，将绕点旋转至的位置，若点恰好落在边上，与相交于点，若的面积比的面积大24，则的面积为（） A．12 B．21 C．24 D．27 【答案】C 【分析】本题考查旋转的性质．由的面积比的面积大24，得到，由旋转的性质得到，再由即可求解． 【详解】解：∵的面积比的面积大24， ∴， ∴， 即， ∵旋转得到， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 知识点二十 利用旋转性质求线段 58．如图，与关于点成中心对称，已知，，，则的长为（    ） A．12 B．10 C．8 D．6 【答案】B 【分析】本题主要考查了中心对称，勾股定理，解决问题的关键是熟练掌握中心对称的性质，勾股定理解直角三角形，中心对称的性质是成中心对称的两个图形全等． 根据与关于点成中心对称，得到，并利用勾股定理求得的值，最后得到的值，完成求解． 【详解】解：与关于点成中心对称， 故, 根据勾股定理，， 故． 故选：B． 59．如图，与关于点成中心对称，连接，，．若，，则的长为（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】B 【分析】本题考查关于某点对称的图形之间的关系，解题关键是熟练掌握关于某点对称的图形性质．利用中心对称的对应点到对称中心的距离相等，证得在的垂直平分线上，求出． 【详解】解：∵与关于点成中心对称， ∴（中心对称的对应点到对称中心的距离相等） 又∵ ∴在的垂直平分线上， ∴ 故选B． 60．如图，与关于点成中心对称，已知，，，则（    ） A．5 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了中心对称的性质，勾股定理等．根据与关于点O成中心对称，推出，，得到，再根据勾股定理求解即可． 【详解】解：∵与关于点O成中心对称， ∴，， ∴， ∵， ∴． 故选：D． 知识点二十一 因式分解法 61．方程的解是______________． 【答案】， 【分析】方程左侧已经分解为两个一次因式的乘积，根据乘积为则至少一个因式为求解即可． 【详解】解：∵， ∴或， 解得，． 62．一元二次方程的根是__________________． 【答案】 【分析】方程为两个一次因式乘积等于的形式，利用因式分解法可直接求解． 【详解】解：∵， ∴或， 分别求解得，． 63．方程的解是____________． 【答案】， 【分析】对方程左边提取公因式因式分解，用因式分解法即可求解. 【详解】解：对原方程左边提取公因式，得. ∴ 或 . 解得 ，. 知识点二十二 根与系数的关系 64．已知，是关于的一元二次方程的两根，且，则的值为__________． 【答案】/ 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系得到和的表达式，代入已知等式求解． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两根， ∴，， ∵， ∴， 解得． 65．已知，是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值等于___________． 【答案】 【分析】利用一元二次方程根的定义得到，利用根与系数的关系得到，将所求代数式拆分变形后代入计算即可． 【详解】解：∵是一元二次方程的实数根， ∴，即， ∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴由根与系数的关系可得， ∴． 66．已知方程的两根分别为，，则的值为___________． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得到，将所求式子通过平方差公式变形，代入求解即可． 【详解】解∶∵方程的两根分别为，， ∴， ∴． 知识点二十三 利用二次函数图像解不等式 67．如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则不等式的解集是_____． 【答案】 【分析】观察函数图象，二次函数的图象不在一次函数的图象上方时自变量的取值范围，即为不等式的解集． 【详解】解：∵抛物线与直线的两个交点坐标分别为，, ∴由图象可得，不等式的解集是． 68．如图，二次函数的图象与直线有两个交点，交点横坐标分别为1、3，则关于的不等式的解集为___________． 【答案】 【分析】将不等式变形为，即求二次函数图象在一次函数图象上方（包括交点）时自变量的取值范围． 【详解】解：关于的不等式可变形为， 该不等式的解集即为二次函数的图象在一次函数的图象上方（包括交点）时自变量的取值范围， 由图象可知，二次函数与一次函数交点的横坐标分别为，， 当时，二次函数的图象在一次函数的图象上方， 关于的不等式的解集为． 69．如图，二次函数的图像与y轴交于点C，点B在抛物线上，且与点C关于抛物线的对称轴对称，一次函数的图像经过该二次函数图像上的点及点B，则满足的x的取值范围是 ______________ ． 【答案】或 【分析】先将点的坐标代入二次函数解析式求出m的值，从而确定二次函数的解析式及点C的坐标，再根据抛物线的对称轴及轴对称的性质求出点B的坐标，最后观察函数图象，找出二次函数图像在一次函数图像上方（包括交点）时对应的自变量x的取值范围即可． 【详解】解：∵二次函数的图像经过点， ∴， 解得；抛物线的对称轴为直线； ∴二次函数的解析式为， 令，则， ∴点C的坐标为， ∵抛物线的对称轴为直线，且点B与点C关于对称轴对称， ∴点B的横坐标为，纵坐标为3， ∴点B的坐标为， 由图像可知，当或时，二次函数的图像在一次函数的图像上方或相交， ∴满足的x的取值范围是或． 知识点二十四 对称轴 70．若点，均在抛物线上，则该抛物线的对称轴为直线________． 【答案】 【分析】点和点纵坐标相等，可知两点关于抛物线对称轴对称，对称轴为两点横坐标的平均值． 【详解】解：∵点和点的纵坐标相等， ∴，关于抛物线的对称轴对称， ∴抛物线的对称轴为直线． 71．二次函数的图象的对称轴为_______________． 【答案】2 【分析】先求出二次函数图象与轴的交点坐标，利用二次函数的对称性计算对称轴. 【详解】解：∵ 二次函数 与轴相交时 ， ∴， 解得，， ∴图象与轴的交点坐标为和， ∴二次函数图象的对称轴为直线. 72．抛物线的对称轴是______． 【答案】y轴 【分析】根据抛物线的性质：，开口向上，对称轴是轴；，开口向下，对称轴是轴，即可得的对称轴． 【详解】解：根据抛物线的性质得：抛物线的对称轴是轴． 知识点二十五 反比例函数实际问题 73．研究发现，近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例函数关系，图象如图所示．当近视眼镜的度数是200度时，镜片焦距是______米． 【答案】/ 【分析】根据反比例函数的定义求得反比例函数的解析式，再求得时，的值即可． 【详解】解：设反比例函数的解析式为， 把代入反比例函数， 得， 解得， 所以反比例函数的解析式为， 当时，可得． 即此时镜片焦距是米． 74．老李的鱼菜共生系统内装有恒温装置，如图是某天恒温装置从开启到关闭及关闭后，温度与时间的变化图像，其中段是恒温阶段，段是恒温系统关闭阶段，是反比例函数图像的一部分，下列说法中：①恒温系统设定的温度为；②的值为；③温度在的时间有；④恒温系统在一天内保持温度不低于的时间有．其中说法正确的是________（填序号）． 【答案】①③④ 【详解】解：段是恒温阶段，对应的纵坐标为， 恒温系统设定的温度为，故①正确； 由题意得段过，代入得，解得，故②错误； 段温度在， 温度在的时间有，故③正确； 如图， 由题意得段过，， 设线段的表达式为，（）， 把，代入得，解得， 故线段的表达式为，（）， 令得，解得， 令，解得， 恒温系统在一天内保持温度不低于的时间有，故④正确． 75．近视眼镜（凹透镜）的度数（度）与镜片焦距（米）成反比例关系，关于的函数图象如图所示．小鹏同学的镜片焦距为米时，眼镜度数为度，经过一段时间的矫正治疗后，小鹏同学的镜片焦距变为米，此时眼镜的度数为________． 【答案】 【分析】根据待定系数法求出反比例函数解析式，令时，求的值即可． 【详解】解：由已知设与的函数关系式为， 把代入，得， 解得， ， 当时，有， 即小鹏此时眼镜的度数为． 知识点二十六 利用反比例函数图像解不等式 76．如图，正比例函数与反比例函数图象交于点A、B，已知点A的横坐标为1，则关于x的不等式的解集是______． 【答案】 或 【详解】解：正比例函数和反比例函数的图象都关于原点中心对称，因此它们的交点、也关于原点对称． 已知点横坐标为，因此点横坐标为． ，即找正比例函数值大于反比例函数值时的范围． 观察图象可得：当时，正比例函数图象在反比例函数图象上方，满足； 当时，正比例函数图象也在反比例函数图象上方，满足． 因此不等式的解集为 或 ． 77．如图，一次函数与反比例函数的图像交于、两点，其横坐标分别为1和3，则关于的不等式的解集是______． 【答案】或 【分析】找到直线在双曲线下方时的自变量的范围，即可得出结果． 【详解】解：由图象可知，关于的不等式的解集是或． 78．如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，则关于的不等式解集是_____． 【答案】或 【分析】本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，正确从函数图象获取信息是解题的关键．根据函数图象得到当或时一次函数的图象在反比例函数的图象下方，即可得到答案． 【详解】解：一次函数与反比例函数的图象交于，两点， 观察图象可知，当或时一次函数的图象在反比例函数的图象下方， 则关于的不等式解集是或， 故答案为：或 知识点二十七 求关于原点对称的坐标 79．已知点，那么点关于原点的对称点的坐标是___． 【答案】 【分析】根据关于原点对称的点的坐标规律，横纵坐标均互为原坐标的相反数，据此求解即可． 【详解】解：∵点的坐标是，关于原点对称的点的横、纵坐标分别是原横、纵坐标的相反数， ∴点关于原点的对称点的坐标是． 80．在平面直角坐标系中，已知点与点关于原点对称，则的值为______． 【答案】 【分析】关于原点对称的两个点，横纵坐标分别互为相反数，据此求出和的值，再计算即可. 【详解】解：∵点与点关于原点对称， ∴，， ∴. 81．已知点关于原点的对称点的坐标是，则的值为___________． 【答案】 【分析】根据关于原点对称的点的横、纵坐标都互为相反数，先求出和的值，再代入计算即可． 【详解】解：∵两个点关于原点对称时，它们的横、纵坐标分别互为相反数，点关于原点的对称点的坐标为， ∴，， ∴． 知识点二十八 对称中心 82．如图，已知与成中心对称，则对称中心是点________． 【答案】 【分析】根据中心对称的性质：对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分，故连接和，交点即为对称中心． 【详解】解：如图所示： 故对称中心是点P． 83．如图，已知与成中心对称，则对称中心是点________． 【答案】 【分析】本题主要考查了中心对称的性质，掌握好中心对称的概念是关键． 根据中心对称的性质，对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分．连接和，交点即为对称中心． 【详解】解：如图所示： 故答案为：． 84．如图，在平面直角坐标系中（坐标系中每个小正方形单位长度为1），画关于点成中心对称的图形时，小明由于紧张对称中心选错，画出的图形是，请你找出此时的对称中心的坐标是_____． 【答案】 【分析】本题考查了求对称中心，分别求出点的坐标，从而可得的中点坐标是解题关键． 【详解】解：由图可知，， ∴的中点坐标为，即为， 的中点坐标为，即为， 的中点坐标为，即为， ∴的中点坐标均为， ∴与的对称中心是， 故答案为：． 知识点二十九 旋转相关最值问题 85．如图，菱形的对角线，交于点，菱形的顶点与点重合，，，连接，取其中点，连接，将菱形绕点旋转一周，则的最小值为_______． 【答案】/ 【详解】解：如下图所示，过点作于点， 四边形是菱形， ， 又， 是等边三角形， ， 点是的中点， 又点是的中点， 为的中位线， ， ， ， ， 是等边三角形， ， 四边形是菱形， ， ， ， ， 是等边三角形， ，， ， ， 当点、、三点共线时，取最小值，最小值为． 86．如图，在中，，，，是边上一点，线段绕点顺时针旋转得到，连结，若是的中点，则的最小值为_________． 【答案】 【分析】连接，过点作于点，于点，证明，得出，从而确定点在的平分线上运动，根据垂线段最短可知当时最小． 【详解】解：如图，连接，过点作于点，于点， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∵线段绕点顺时针旋转得到， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∵是的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴ 在和中 ， ∴ ∴， ∴点在的平分线上， ∴， 当时，的值最小，此时是等腰直角三角形， ∴， 故的最小值为． 87．如图，是等边三角形，，在上且，是直线上一动点，线段绕点逆时针旋转，得到线段，当点运动时，则线段的最小值是________． 【答案】 【分析】过E作于G，过A作于P，过F作于H，则，证明，即可得到，进而得到当点D运动时，点F与直线的距离始终为，据此可得当时，的最小值为. 【详解】解：过E作于G，过A作于P，过F作于H， 则， ∵线段绕点逆时针旋转，得到线段， ∴，， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∵是等边三角形，，， ∴，， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∴当点D运动时，点F与直线的距离始终为， ∴当时，最小，最小值为. 知识点三十 旋转相关综合性问题 88．已知，矩形中，，，点E是边上的一个动点，将线段绕点D逆时针旋转得到，过F作于点G，连接，取中点H，连接，．点E在运动过程中，下列结论：①；②；③当点H和点G互相重合时，；④的最小值为；⑤的最大值为．正确的序号有__________． 【答案】①③④ 【详解】解：∵绕点逆时针旋转得到， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴； ∵， ∴， 在和中， ， ∴，故①正确； 如图所示，设交于点T， 线段绕点逆时针旋转得到， ， 是的中点，， ， 又∵， ， 根据现有条件无法证明，即无法证明，故②错误； 当点和点互相重合时，如图， 线段绕点逆时针旋转得到， ，， 是等腰直角三角形， 是的中点，， ， ， ， ，故③正确； 当与重合时，最短，如图： ， 此时与都在上， 是等腰直角三角形，是的中点， 是等腰直角三角形， ， ， ， 的最小值为，故④正确； 当与重合时，最大，过作于，如图： ，， ， ，，， ， 设，则， ， ， 解得：（舍去）或， ， ， ， 的最大值为，故⑤错误； 综上所述，正确的有①③④。 89．如图，将等边绕点逆时针旋转得到，点、分别在和上，且，、相交于点，交于点．则下列结论正确的有___________．（填写序号） ①；②平分；③；④若，则． 【答案】①②③ 【详解】解：∵等边， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， 即，故①正确； 如图，过点作于点，交延长线于点， 则， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵将等边绕点逆时针旋转得到， ∴也是等边三角形， ∴，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 又∵，， ∴平分，故②正确； ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，故③正确； 设等边的边长为，则， ∵， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故④错误； 综上，结论正确的有①②③； 故答案为：①②③． 90．如图，在中，，，是斜边上一点，连结，将绕点逆时针旋转得到，连结交于点，连结，给出下面五个结论：；；；；，上述结论中．所有正确的序号是______． 【答案】 【详解】解：由旋转得，，， ． ， ． ． ， ≌， ． ，， ， ， ， ． 故结论正确； 由旋转得，，， ， ． ，， ． 故结论正确； ，， ， ∽， ， 故结论不正确； ，， ∽， ， ， ， ， 故正确； ，， ∽， ， ， ， ， 故结论不正确． 综上所述，所有正确结论的序号是． 故答案为：． / 学科网（北京）股份有限公司 $