专题02 四边形（期中真题汇编，重庆专用）九年级数学上学期

专题02 四边形 考点01 四边形及其内角和 考点02 多边形及其内角和 考点03 矩形 考点04 菱形 考点05 正方形 考点01 四边形及其内角和 1．【答案】（1） 如图，即为所求；      （2）；；；．      【分析】 本题考查了尺规作图，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据作一个角等于已知角方法即可； （）由 ，则，又 ，所以 ，可证，证明四边形是平行四边形，证明，故有 ，又，则 ，所以，得，然后通过线段和差即可求证． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵是的中点， ∴ ， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：；；；． 考点02 多边形及其内角和 1．【答案】8 【分析】 根据多边形的内角和定理，多边形的内角和等于（n﹣2）•180°，外角和等于360°，然后列方程求解即可． 【详解】 解：设边数为n，由题意得， 180（n－2）=3603， 解得n=8． 所以这个多边形的边数是8． 故答案为：8． 【点睛】 本题主要考查了多边形的内角和公式与外角和定理，根据题意列出方程是解题的关键． 2．【答案】八 【分析】 本题考查了多边形的内角和公式，熟记多边形的内角和公式为是解答本题的关键．根据多边形内角和公式求解即可． 【详解】 设这个多边形是n边形， 由题意得， 解得， ∴这个多边形是八边形． 故答案为：八． 3．【答案】 【分析】 根据多边形的内角和公式（n−2）•180°列式进行计算求得边数，然后根据多边形的外角和即可得到结论． 【详解】 解：设它是n边形，则 （n−2）•180°＝1080°， 解得n＝8． 360°÷8＝45°， 故答案为． 【点睛】 本题考查了多边形的内角和公式，熟记公式是解题的关键． 4．【答案】八（或8） 【分析】 根据正多边形的每一个内角为，求出正多边形的每一个外角，根据多边形的外角和，即可求出正多边形的边数． 【详解】 解：根据正多边形的每一个内角为 正多边形的每一个外角为： 多边形的边数为： 故答案为八． 【点睛】 考查多边形的外角和，掌握多边形的外角和是解题的关键． 5．【答案】八 【分析】 根据正多边形内角和公式进行计算即可得解． 【详解】 解：设这个正多边形是n边形． ∴正多边形的内角和为， ∵一个正多边形的内角都是， ∴，解得， 即这个多边形是八边形． 【详解】 6．【答案】8 【分析】 n边形的内角和为，外角和为，根据正多边形的内角和比其外角和的度数大列方程求解即可． 【详解】 解：设该多边形的边数为n， 根据题意，得， 解得， 即该多边形的边数为8． 7．【答案】十边形 【分析】 明确任意多边形的外角和为固定值，多边形内角和公式为，其中为多边形的边数，根据题目给出的倍数关系列方程求解边数即可． 【详解】 解：设这个多边形的边数为， 任意多边形的外角和为，边形内角和公式为， 根据题意列方程得， 解得， 故这个多边形是十边形． 8．【答案】12． 【详解】试题分析：正多边形的一个外角等于30°，而多边形的外角和为360°，则： 多边形的边数=360°÷30°=12， 考点：多边形内角与外角 9．【答案】（1） 如图所示，即为所求；      （2）；；；所对的四边形的两条边相等      【分析】 本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的性质与判定，垂线的尺规作图，四边形内角和定理： （1）根据垂线的尺规作图方法作图即可； （2）先由角平分线的性质得到，再证明，进而证明，则可得到，据此可得若对角线平分一个内角，则被此对角线平分为相等的那两个小角所对的四边形的两条边相等． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 考点03 矩形 1．C 2．C 3．【答案】 【分析】 本题主要考查在直角三角形中斜边上的中线是斜边的一半，等边对等角，三角形的外角性质．根据题意得到，即可得到，再根据三角形的外角性质即可得到答案． 【详解】 解：在中，，点D是斜边的中点， ， ， ， 故答案为：． 4．【答案】（1） 作图如下：      （2），，，      【分析】 （1）根据作一个角等于已知角的作法完成即可； （2）理解证明思路，读懂每步推理，即可完成． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 证明：∵四边形为矩形 ∴，，， ∵， ∴， ∴，， ∴ 即 又∵ ∴四边形是平行四边形． 故答案为：，，， 【点睛】 本题考查了作图：作一个角等于已知角，全等三角形的判定与性质，矩形的性质，平行四边形的判定等知识，作角等于已知角，读懂每步推理是完成本题的关键． 5．【答案】（1）     （2） 函数图象如图所示， 当时，随着x的增大而减小；当时，随着x的增大而增大；     （3）      【分析】 （1）根据矩形的性质，求出动点运动的总时间为6秒，分和两种情况，根据等边三角形的判定与性质解答即可； （2）根据函数的解析式即可画出函数图象，根据增减性即可得到函数的性质； （3）结合图象当时，代入关系式 即可求出交点的横坐标t，若使点P，Q两点距离小于5个单位长，结合图象取下方的图象所对应的t 的范围． (1) 小问详解： 解：四边形为矩形，， ， 根据题意可得，运动的总时间为秒， 动点P，Q分别以每秒3个单位长度的速度同时出发， ， ， 又， 是等边三角形， 当时，， ， ； 当时，， ， ， 综上所述： ； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 当时，或， 解得或， 由上图可知，当时， 当点P，Q两点距离小于5个单位长时，t的范围． 【点睛】 本题考查了矩形的性质、一次函数的图象和性质以及等边三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握矩形的性质、等边三角形的判定与性质及一次函数的图像与性质． 6．【答案】（1）y关于x的函数关系式为     （2） 所画函数图象如下： 该函数图象关于直线对称（答案不唯一）     （3）当时，或      【分析】 本题主要考查一次函数的图象与性质，含直角三角形的性质及矩形的性质，熟练掌握一次函数的图象与性质，含直角三角形的性质及矩形的性质是解题的关键； （1）由矩形的性质可知，，，则有，然后可得，进而根据当时，当时，分类讨论进行求解即可； （2）根据（1）中函数解析式进行作图即可，然后问题可求解； （3）根据（2）中的函数图象可进行求解． (1) 小问详解： 解：∵四边形是矩形，，， ∴，，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵设点P的运动路程为x点P与点A，D重合时的路程不计算在内， ∴， 当时， ∵， ∴， ∵， ∴，即； 当时， ∵点P的运动路程为x， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即； 综上所述：y关于x的函数关系式为 ； (2) 小问详解： 解：由（1）可知：y关于x的函数关系式为 ， 由函数关系式可列表如下： 由图象可知：该函数图象关于直线对称（答案不唯一）； x 2 4 6 y 3 2 3 (3) 小问详解： 解：由图象可知：当时，或． 7．【答案】（1） 作图如图所示：      （2） 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴． ∵平分， ∴①， ∴， ∴②． ∵， ∴． 在和中 ， ∴， ∴， ∴③， ∴，即， ∵④， ∴四边形是平行四边形． 进一步思考，如果四边形是矩形， ∵四边形是矩形， ∴， ∴平行四边形是矩形． 结论：四边形是⑤ 矩形．      【分析】 （1）分别以为圆心，小于的长为半径画弧与交于两，再以这两点为圆心画弧交于点，连接，与交于点，交于点，连接，此时； （2）根据推理过程上下之间的逻辑关系推理填空即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 【点睛】 本题考查作图-复杂作图，平行四边形的性质和判定，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质和判定等知识，具体的是关键是正确寻找全等三角形解决问题． 8．【答案】 【分析】 本题考查矩形基本性质，勾股定理和三角形中位线，熟练运用勾股定理求出三角形中的线段是解题关键； 连接，先通过矩形基本性质求得，再通过勾股定理求出，设，则，在中，由勾股定理列出方程求出x，再在中，根据勾股定理，得，再通过三角形中位线定理即可求解． 【详解】 解：如图，连接 ∵四边形为矩形， ， 在中，由勾股定理可得， 设，则， 在中，由勾股定理可得，解得， 在中，根据勾股定理，得， 由折叠性质得， 又点是的中点， 是的中位线， ． 故答案为： 9．【答案】（1）米     （2）小希先到达处      【分析】 （1）过E作于F，延长交于H，根据题意得到是等腰直角三角形，，，进而利用等腰直角三角形的判定与性质求得，，利用含30度角的直角三角形的性质得到，由求解即可； （2）先由题意求得，再利用含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求得，，然后分别求得两人的路程，比较大小即可得出结论． (1) 小问详解： 解：过E作于F，延长交于H，如图，则， 由题意，得，，，，，，， ∴是等腰直角三角形，， ∴ ∴，， 由得， 解得， 即景点到的距离为米； (2) 小问详解： 解：由题意，， ∴四边形是矩形， ∴， 在中，，则， 由得， ∴， ∴小希走的路程为（米）， 小福走的路程为（米）， ∵在整个过程中，小希与小福的速度均相同且保持不变，， ∴小希先到达处． 【点睛】 本题考查等腰三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质、三角形的外角性质、勾股定理、矩形的判定与性质，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． 10．【答案】（1） 如图，射线如图所示：      （2）①；②；③；④ 该平行四边形为矩形．      【分析】 （1）以为圆心，任意长为半径，分别交与于一点，再分别以这两点为圆心，大于这两点间距离的为半径画弧，交于一点，连接点和这一点，并延长交于点，射线即为所作； （2）根据角平分线性质以及平行四边形性质证明，得到，利用平行线性质得到，进而得到，即可证明平行四边形是矩形．再根据证明过程总结即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 证明：，分别平分，， ，． 四边形为平行四边形， ，，①， ，， ，② ， ，， ． 在和中， ， ． ， ， ， ③， 平行四边形是矩形． 小南再进一步研究发现，若这组邻角的角平分线与公共边的对边延长线相交，结论仍然成立．因此，小南得出结论：作平行四边形两相邻内角的角平分线，与两内角公共边的对边（或对边延长线）相交，若这相邻内角的顶点到对应交点的距离相等，则④ 该平行四边形为矩形． 【点睛】 本题考查角平分线作图，角平分线性质，平行四边形性质，矩形的判定，熟练掌握相关性质定理即可解题． 11．【答案】（1） 作图如下：      （2）①，②，③④，⑤ 矩形．      【分析】 （1）根据全等三角形的判定和性质，按要求作，交延长线于点，连接即可； （2）由平行线的判定和性质，结合中点，可得三角形全等，对应边相等，可得一组对边平行且相等，即可证得结论． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 证明：∵， ∴， ∴，， 又∵点是中点， ∴． ∴． ∴． ∵是中点， ∴ ∴． 又∵， ∴四边形为平行四边形． 进一步思考，当时，四边形是矩形． 证明：∵，是边上的中线， ∴， ∴， 又∵四边形为平行四边形， ∴四边形是矩形． 故答案为：①，②，③④，⑤ 矩形． 【点睛】 本题考查作图，平行线的判定和性质，平行四边形的判定，全等三角形的判定和性质，三线合一，矩形的判定，解题的关键是熟练掌握作图原理和平行四边形的判定定理． 12．【答案】 【分析】 本题是矩形的折叠问题，解题的关键是掌握矩形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识点． 连接，由翻折及矩形的性质，利用证明，由勾股定理建立方程求解即可． 【详解】 解：连接， 在矩形中， ， 将沿直线翻折， ， 在和中， ， ， ， ， 在中， ， 故答案为：． 13．【答案】（1） 如图，用尺规作的角平分线交点；         （2）；；；作矩形的一组对角的角平分线，与矩形两边相交的两点和这组对角的顶点构成的四边形是平行四边形      【分析】 （1）按照要求作出图形即可； （2）由平行四边形的性质可得，，由两直线平行内错角相等可得，由平分可得，同理可得，于是可得，进而可得，由同位角相等两直线平行可得，由平行四边形的判定可得结论；进一步思考，如果四边形是矩形，同法可证，于是可得结论． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 【点睛】 本题主要考查了作角平分线（尺规作图），平行四边形的判定与性质，两直线平行内错角相等，角平分线的有关计算，同位角相等两直线平行等知识点，熟练掌握作角平分线（尺规作图）的方法以及平行四边形的判定与性质是解题的关键． 14．【答案】（1）；     （2）；     （3）或．      【分析】 （1）根据勾股定理和直角三角形的性质得出结果； （2）作于G，根据轴对称的性质得出，，，从而得出，根据勾股定理得出方程，从而得出，可求得，作于C，根据勾股定理得出的值，从而得出A点的坐标，根据面积法得出的值即可； （3）当时，取的中点M，连接，进而得出M点坐标；当时，设，当时，根据列出关于a的方程，求得a的值，进而得出结果． (1) 小问详解： 解：，，， ， 是的中点， ； (2) 小问详解： 解：如图1， 作于G， 沿翻折，点A恰好落在x轴上的点F处， ，，， ， ， ， ， ， ， ， 作于C， 由得，， ， ， ， ， ； (3) 小问详解： 解：如图2， 取的中点M，连接， 设直线的关系式是：，则，解得：， 直线的关系式是：， 是的中点， ，， ， 此时， 如图3， 当时，设， 由得， ， ， ， ， 综上所述：或． 【点睛】 本题考查了直角三角形的性质，勾股定理，轴对称的性质，一次函数等知识，解决问题的关键是分类讨论． 15．【答案】①     ② 【分析】 本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，由四边形是矩形，得，，，，再由折叠性质和勾股定理求出，过作于点，由折叠性质和勾股定理即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】 解：∵四边形是矩形， ∴，，，， ∴， 由折叠性质可知：，，， ∴， ∴， ∵为边的四等分点（）， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得：， ∴，解得：， ∴， 如图，过作于点， ∴， ∵， ∴， 由折叠性质可知：，， 在中，由勾股定理得：， 设，则， 由勾股定理得：，， ∴，解得：， ∴， ∴由勾股定理得：， ∴， 故答案为：，． 16．【答案】（1） 依题意，点F如图所示：      （2）；；；      【分析】 本题考查了角平分线的尺规作图，矩形的性质，平行四边形的判定，全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先作出作的角平分线交于点F， （2）结合平行四边形的性质得，，根据角平分线的定义得，，证明，得到，即可证明． (1) 小问详解： 解：略； (2) 小问详解： 略． 17．【答案】①     ② 【分析】 本题考查了矩形的性质，勾股定理，线段垂直平分线的性质，作出合适的辅助线，构造直角三角形利用勾股定理是解题的关键．连接，且为的中点，得到，利用勾股定理可求出，进而得到，在中，可求出，进而求出，再运用勾股定理即可求，再根据，求出，则，即可解答． 【详解】 解：连接，     四边形是矩形， ， 且为的中点， ，， 在中， ， 在中， ． 在中． ∵， ∴， 解得， ∴． 故答案为：． 18．【答案】（1）     （2） 画出函数图像如下， 当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大（答案不唯一）     （3）或      【分析】 （1）首先求得，，，根据题意，当点在线段上时，可有，连接，证明为等边三角形，易得；当点在线段上时，可有，易得，即可获得答案； （2）结合（1）画出函数图像，并写出该函数的一条性质即可； （3）在图中画出直线，结合图像即可获得答案． (1) 小问详解： 解：∵在中，，，， ∴， ∵点是中点， ∴， ∴， ∴， 根据题意，动点，分别以每秒1个单位长度的速度同时运动，点从点出发，沿折线运动，到达点时停止运动，点从点出发，沿直线运动， 则当点在线段上时，可有，连接，如下图， ∵， ∴，即， 又∵， ∴为等边三角形， ∴； 则当点在线段上时，可有，如下图， ∵， ∴； 综上所述，与之间的函数表达式为 ； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 在图中画出直线， 则直线的与函数的交点的横坐标为：1或5.5， 即当或时，两点相距3个单位长度， 结合图像可知，，两点相距大于3个单位长度时或． 【点睛】 本题主要考查了一次函数的应用、等边三角形的判断与性质、含30度角的直角三角形的性质、直角三角形斜边上的中线的性质等知识，正确求得一次函数解析式是解题关键． 19．【答案】①     ② 【分析】 本题考查矩形中的翻折问题，勾股定理，一次函数的性质，解题的关键是掌握翻折的性质，求出，的长度． 设，由翻折可得：，，，，即可得，从而，解方程即可；以为原点，所在直线为x轴，建立直角坐标系，过作交于M，交于N，用面积法和勾股定理可得，即得，直线解析式为，求出，可得，即可解答． 【详解】 解：设， ∵四边形为矩形，， ，，， 为中点， ， 由翻折可得：，，，， ， ， ， ， ， ， ， 解得， ， 以B为原点，所在直线为x轴，建立直角坐标系，过F作交于M，交于N，作于R，如图： 则， ， ， ， ， ， ， ， ， ，，， ，， ，， ∴，， ， 设直线的解析式为， 把，代入可得， ， 解得 ∴直线解析式为， 令得， ， ∴， ， ； 故答案为：，． 考点04 菱形 1．D 2．A 3．B 4．D 5．【答案】（1） 如图所示，图形即为所求：      （2）①；②；③；④      【分析】 本题考查了尺规作图、菱形的判定，掌握基本作图方法是解题的关键． （1）根据作与已知角相等的角的尺规作图方法作图即可； （2）根据菱形的判定即可完成证明． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 证明：∵点D为边上的中点， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形． 又∵， ∴平行四边形是菱形． 故答案为：①；②；③；④． 6．【答案】（1） 证明：四边形是平行四边形， ，， ， ， 四边形是平行四边形， 又， 四边形是菱形；     （2）      【分析】 （1）由平行四边形的性质得出，，证出，则四边形是平行四边形，由，即可得出四边形是菱形； （2）由菱形的性质得出，，证出是等边三角形，得出． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：菱形的周长为16， ，， ， 是等边三角形， ． 【点睛】 本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识；解题的关键是熟练掌握菱形的判定与性质． 7．【答案】（1） 如下图，即为所求作；      （2），，，      【分析】 本题考查作图-基本作图，菱形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型． （1）以点A为圆心，小于长为半径作弧，交于点M、N、P，再以点P为圆心，以的长为半径作弧，在下方交前弧于点Q，连接并延长交于点F，则； （2）根据菱形性质证明，，再证明，得出，即可证明结论． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 证明：∵四边形是菱形， ∴，． 在与中， ， ∴（）， ∴． ∴． 即． 8．【答案】（1） 依题意，如图所示：      （2）；对角线互相垂直的平行四边形是菱形      【分析】 本题考查了作垂直平分线，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，作的垂直平分线交于点，交于点，交于点，即可作答． （2）先理解题意，根据上下过程，且结合垂直平分线的性质以及全等三角形的判定与性质，得四边形是平行四边形，又因为，即可得出四边形是菱形． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 9．【答案】（1） 如图所示为所求：      （2） 证明：∵四边形为平行四边形， ， ， ， 在和中， ， ， ， 四边形为平行四边形． 如图，四边形是菱形， ∵四边形为菱形， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ∴四边形是菱形， ∴四边形的形状为菱形．      【分析】 （1）作，交于点F，连接即可； （2）根据平行四边形的性质得到，再由，得到，利用证明，得到即可证明；画出示意图，同理证明，得到，结合菱形的性质得到，即可得到四边形是菱形． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 【点睛】 本题考查尺规作图法作出和已知角相等的角，平行线的判定，平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，三角形全等的判定与性质，熟练掌握平行四边形的性质及菱形的性质是解题的关键． 10．【答案】（1） 如图所示，      （2）；；；；菱形      【分析】 本题考查了菱形的性质与判定，矩形的性质与判定，作一个角等于已知角，熟练掌握以上知识是解题的关键； （1）根据题意用尺规在右侧作，在上截取，并连接，即可求解． （2）根据菱形的性质与矩形的判定定理完成填空，进而根据矩形的性质与菱形的判定定理证明是菱形，即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 米小果进一步研究发现，若把条件里的菱形改为矩形，其余作图过程均不变，则四边形的形状是菱形，理由如下 四边形是矩形， ，． ， ． ， ． 四边形是平行四边形， ． 四边形是菱形． 11．【答案】（1）     （2） 画图如下：    性质：当时，y随t的增大而增大（或函数在自变量的取值范围内，有最大值．当t=5时，最大值为6）；     （3）      【分析】 （1）由四边形是菱形，得到，，分别求出和时的函数解析式即可； （2）根据画出的y与t的函数图象，写出它的一条性质即可； （3）求出当时，，根据图象即可得当时t的取值范围． (1) 小问详解： 解：∵四边形是菱形，， ∴，， 当时，， 当时，， ∴ ； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 当时，，解得， 根据图象可得当时，t的取值范围是． 【点睛】 此题考查了一次函数的图象和性质、函数解析式、菱形的性质等知识，正确列出函数解析式是解题的关键． 12．【答案】（1） 为所作：      （2）①；②；③；④      【分析】 本题考查了作角平分线，菱形的判定，平行四边形的性质与判定； （1）根据题意作的角平分线交的延长线于点，连接； （2）根据平行四边形的性质得出，进而证明得出，进而证明得出四边形是平行四边形，根据角平分线的定义以及平行线的性质可得，即可得出，即可得证． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 13．【答案】解：如图所示，即为所求： 证明：四边形是平行四边形， ， ， 平分， ， ， ， ，， 又， ， ， ，， 垂直平分， ， ， 四边形是菱形． 进一步思考，如果四边形是矩形，请你模仿题中表述，可判定四边形是正方形． 【分析】 本题考查了尺规作图，平行四边形的性质，菱形的判定，解题的关键是熟练掌握尺规作图的方法和步骤，以及平行四边形对边互相平行，四边相等的四边形是菱形． 根据尺规作图—作垂线的方法和步骤，即可作出图形；根据平行四边形的性质得出 ，结合角平分线的性质得出，则，通过证明，得出，已知垂直平分，则，进而得出，即可得出结论． 【详解】 略 14．【答案】（1） ；；     （2） 函数图象如下所示： 当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小；     （3）      【分析】 本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，画一次函数图象，一次函数的性质和一次函数与不等式之间的关系，正确求出对应的函数关系式是解题的关键． （1）根据菱形的性质可求出的长，进而利用勾股定理求出的长，再求出的长即可求出关于的函数表达式；再分点F在线段上和点F在线段上两种情况，分别求出对应的的面积，即可求出关于的函数表达式； （2）根据（1）所求画出对应的函数图象，再根据函数图象写出对应的函数的性质即可； （3）求出两函数的交点的横坐标，再根据函数图象即可得到答案． (1) 小问详解： 解：∵四边形是菱形， ∴， ∵菱形的面积为20，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵四边形是菱形， ∴， 又∵， ∴点A到的距离等于点A到的距离，点C到的距离等于点A到的距离； 当点F在线段上，即时，，则， ∴； 当点F在线段上，即时，，则， ∴； 综上所述， ； (2) 小问详解： 解：由函数图象可知，当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小； (3) 小问详解： 解：当时，解得， 当时，解得， 由函数图象可得，当时，的取值范围为． 15．【答案】（1） 解：如图即为所求：      （2）①；②；③ 平行四边形；④      【分析】 本题考查了尺规作图，菱形的性质，平行四边形的性质，平行线的性质，矩形的判定等，解题的关键是根据要求尺规作图． （1）根据题意画图即可； （2）根据垂直的性质可得，根据菱形的性质可得，根据平行四边形的性质可得，根据平行线的性质可得，根据矩形的判定可得四边形为矩形． (1) 小问详解： 作法：延长，以为圆心，的长为半径，在的延长线上画弧，即为点；连接，分别以，为圆心，的长为半径，在的上方画弧，两弧交于一点，连接该点与点，与交于一点，即为点 (2) 小问详解： 证明：∵， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形， ， ， ， ∴四边形为矩形． 故答案为：①；②；③ 平行四边形；④． 16．【答案】（1） 证明：∵四边形是菱形， ∴，为对角线， 是的角平分线． ，， ∴， ∴， ∴．     （2）      【分析】 本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由菱形的性质可得，为对角线，即是的角平分线，再由角平分线的性质定理可得，最后证明即可得证； （2）由菱形的性质可得，再由平行线的性质计算即可得解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵四边形是菱形， ∴， ． ，即， ． 同理可得， ． 17．【答案】（1） 所作图形如下：      （2） ；；；；      【分析】 本题主要考查菱形的性质与判定、垂线的尺规作图、等边三角形的性质与判定及平行四边形的判定，熟练掌握菱形的性质与判定、垂线的尺规作图、等边三角形的性质与判定及平行四边形的判定是解题的关键； （1）以点D为圆心，适当长为半径画弧，交线段于两点，再以这两点为圆心，大于这两点之间距离一半为半径画弧，两弧交于一点，进而问题可求解； （2）根据菱形的性质及判定定理可进行求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 18．【答案】 【分析】 本题考查了菱形的性质，折叠问题，等边对等角等知识， 先根据菱形的性质得出：，再根据折叠可得：，利用等边对等角得，即可得出答案． 【详解】 解：在菱形中， ， ， ， ， 由折叠可知：， ， ， 故答案为：． 19．【答案】（1） 如图，直线为的垂直平分线，      （2）①，②，③      【分析】 本题主要考查线段垂直平分线的作法，平行四边形的性质和菱形的判定，熟练掌握性质和判定是解答本题的关键． （1）分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧将于点M，N，过点M，N作直线交直线、于点、，交于点，则直线为的垂直平分线； （2）根据菱形的判定定理进行判断即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 20．【答案】（1） 证明：， ， 平分， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形；     （2）4      【分析】 本题主要考查了菱形的判定和性质、勾股定理、直角三角形斜边的中线等于斜边的一半等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键； （1）先证明四边形是平行四边形，再由可得平行四边形是菱形； （2）根据菱形的性质得出的长以及，利用勾股定理求出的长，再根据直角三角形斜边中线定理得出，即可解答． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵四边形是菱形， ， ， 在中，， ， ， ， ． 21．【答案】（1） 如图：      （2） 证明：∵ ∴ ∵四边形是菱形 ∴，， ∴ ∵ ∴ 又∵ ∴四边形为平行四边形 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴四边形为矩形．      【分析】 （1）根据题意画图即可； （2）根据垂直的性质可得，根据菱形的性质可得，根据平行四边形的性质可得，根据平行线的性质可得，根据矩形的判定可得四边形为矩形． (1) 小问详解： 作法：延长，以为圆心，的长为半径，在的延长线上画弧，即为点；连接，分别以，为圆心，的长为半径，在的上方画弧，两弧交于一点，连接该点与点，与交于一点，即为点 (2) 小问详解： 略 【点睛】 本题考查了尺规作图，菱形的性质，平行四边形的性质，平行线的性质，矩形的判定等，解题的关键是根据要求尺规作图． 22．【答案】（1） 解：如图所示，          （2）① ∠；②；③；④ 四边形为平行四边形．      【分析】 （1）根据尺规作垂线，作于点，交于点即可； （2）先证，从而得．进而证四边形为平行四边形．最后再由，即可证明结论成立． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 【点睛】 本题主要考查了尺规作垂线、角平分线的定义、全等三角形的判定及性质、平行四边形的判定以及菱形的判定，熟练掌握菱形的判定定理及全等三角形的判定及性质是解题的关键． 23．【答案】（1） ；     （2）如图： 当时，随的增大而增大；     （3）      【分析】 （1）分别考虑当两种情况与的函数关系式；利用面积与路程之比可直接求得与的关系式； （2）画出函数图象，并描述函数性质； （3）根据图象找出符合不等关系的的值． (1) 小问详解： 解：过点作于点， ∵菱形中， ∴ ∴ 当时，，， ∴ 当时，，， ∴， ∵，点的运动路程为：， ∴ (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 由图象可知： 【点睛】 本题考查了动点类的问题，涉及求函数解析式，一次函数与反比例函数的图象与性质，解直角三角形，菱形的性质，画函数图象等知识点，正确求出函数解析式是解题的关键． 24．【答案】 【分析】 如图，取为的中点，由菱形的性质得，再由三角形中位线定理得，然后证，得，进而由勾股定理即可得出结论． 【详解】 解：如图，取为的中点，    ∵菱形的边长为， ∴， ∵为的中点，为的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ， ， ， 在和中， ， ， ， 在中，由勾股定理定理得：， 故答案为：． 【点睛】 本题考查了菱形的性质、三角形中位线定理、全等三角形的判定与性质、含角的直角三角形的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质，证明三角形全等是解题的关键． 25．【答案】①     ② 【分析】 设与的交点为O，过点D作于点P，则是菱形的高．根据菱形的对角线互相垂直平分，结合勾股定理求出菱形的边长，再由菱形的面积即可求出菱形的高．利用四边形为平行四边形，得出，，由为线段上的动点，可知、运动方向和距离相等，利用相对运动，可以看作是定线段，菱形在方向上水平运动，过点作的平行线， 过点作关于线段的对称点，由对称性得，则，当且仅当、、依次共线时，取得最小值，此时，交于点，延长交延长线于点，分别证明四边形和四边形是矩形，求出，，再利用勾股定理求出即可． 【详解】 解：设与的交点为O，过点D作于点P，则是菱形的高． ∵四边形是菱形， ∴，，， ∴在中，， ∵，或， ∴，即， ∴， ∴菱形的高为． ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∵为线段上的动点， ∴可以看作是定线段，菱形在方向上水平运动， 则如图，过点作的平行线， 过点作关于线段的对称点， 由对称性得， ∴，当且仅当、、依次共线时，取得最小值， 此时如图，交于点，延长交延长线于点， 由题可得， ∴由对称性可得， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴，， ∴， 即的最小值为， 故答案为：；． 【点睛】 本题考查菱形的性质，平行四边形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理，轴对称的性质，两点之间线段最短，根据题意结合相对运动得出运动轨迹，再利用将军饮马解决问题是解题的关键． 26．【答案】（1） 如图：      （2）①②③④      【分析】 （1）按照垂直平分线的画法作图，再连接、即可； （2）根据垂直平分线的性质可得，，，由平分，得到，即可证明，得出，即可证明四边形是菱形，所以，，可得出，据此填空即可． (1) 小问详解： 解：分别以，为圆心，以大于为半径画四个圆弧，交于两点，连接两个交点分别交、、于点、、，连接、； (2) 小问详解： 略 【点睛】 本题考查了垂直平分线的性质和画法，全等三角形的性质和判定，相似三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 27．【答案】（1） 如图，为所求      （2）菱形， ，，，      【分析】 本题考查了作图一基本作图∶熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键，也考查了线段垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质、菱形的判定与性质， （1）利用基本作图作的垂直平分线即可； （2）先根据线段垂直平分线的性质得到， ， ，再证明得到，则，于是可判断四边形是菱形． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 28．【答案】（1） ，     （2） 作图： 当，随x增大而减小，当，随x增大而增大；     （3）（答案不唯一）      【分析】 本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，列函数表达式，画函数图像，根据图像求不等式的解集，解题的关键是掌握数形结合的思想． （1）根据菱形的性质求出相关线段的长度，确定自变量的取值范围，然后分情况进行求函数表达式即可； （2）利用描点法画出函数的图像即可； （3）根据函数图像及其交点可得不等式的解集． (1) 小问详解： 解：∵四边形为菱形， ∴ 设点E的运动时间为，当时，则，, 由勾股定理得； 当时，则，, 由勾股定理得； 综上， ； ，， ∴； (2) 小问详解： 解：当时，，此点为空心圆； 当时，； 当时，，此点为空心圆； 根据两点确定一条直线，画出图像即可； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； (3) 小问详解： 解：根据函数图像及其交点可得，当时， ． 29．【答案】1 【分析】 根据菱形的性质推出是等边三角形，得到，连接，证明，得，得到点F在射线上，当时，有最小值，最小值为1，即可得到答案． 【详解】 解：连接． ∵四边形是菱形，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵将绕点B按逆时针方向旋转，得到， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点F在过点D与成的射线上移动， ∴当时，有最小值， ∴的最小值为， 故答案为：1． 【点睛】 本题考查旋转的性质，等边三角形的判定和性质，菱形的性质，勾股定理，含30度的直角三角形，解题的关键是掌握相关知识解决问题． 考点05 正方形 1．D 2．B 3．A 4．D 5．B 6．A 7．D 8．C 9．B 10．A 11．C 12．B 13．A 14．B 15．B 16．A 17．A 18．A 19．B 20．【答案】如图所示，即为所求作的垂线， ；； 【分析】 本题考查了尺规作图，作垂线，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，灵活运用相关知识是解题的关键．以点为圆心，长为半径画弧，与相交于一点，分别以此点和点为圆心，任意长为半径画弧，两弧相交于一点，过点和该点作射线，交于点，垂足为点；由正方形的性质可得，，由垂直的定义可得，进而得到，证明，最后根据全等三角形的性质即可证明结论． 【详解】 证明：四边形是正方形， ，， ， ， ， ． 在和， ， ． ． 故答案为：；；． 21．【答案】（1） 四边形即为所求：      （2）；内错角相等，两直线平行；一组邻边相等的平行四边形是菱形     （3）直角      【分析】 本题考查了菱形的判定，尺规作图，线段垂直平分线的性质，正方形的判定． （1）根据题意直接作图即可； （2）由作图可得平分，是线段的垂直平分线，利用线段垂直平分线的性质，等边对等角以及角平分线的定义可得，，利用平行线的判定可得，，进而可得四边形为平行四边形，再根据一组邻边相等的平行四边形是菱形即可得到结论； （3）在菱形的基础上加上一个内角或者对角线相等即可得到正方形，据此判断即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：由（2）可得的内接四边形为菱形，要使四边形为正方形，则四边形四个内角都为，即，即为直角三角形， ∴小张采用小明设计的方法，作出了的一个内接菱形，他发现这个菱形是正方形，那么一定是一个直角三角形（填形状）， 故答案为：直角． 22．【答案】 【分析】 本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，根据正方形的性质得出，进而利用证明，进而利用全等三角形的性质和三角形的内角和定理解答即可． 【详解】 解：∵四边形是正方形， ∴，，， 在与中， ， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 23．【答案】（1） 如图所示，点Q，点P为所求，      （2）；；；进一步思考：四边形是平行四边形      【分析】 （1）利用尺规基本作图——经过直线外一点作已知直线的第一线作法作出图形即可； （2）先证明，得到．从而证得，即可得到．又由正方形的性质得，即可得出结论； 进一步思考：证明，得到，再证明，又由正方形的性质得，即可得出结论． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 证明：∵四边形是正方形， ∴，，． 又∵，分别为，的中点， ∴，， ∴， 在与中， ∴． ∴． 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 又∵ ∴四边形是平行四边形． 进一步思考：如图， ∵四边形是正方形， ∴，，． 在与中， ∴． ∴． 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 又∵ ∴四边形是平行四边形． 故答案为：平行四边形． 【点睛】 本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，尺规基本作图—作垂线，平行四边形的判定．熟练掌握正方形的性质，和平行四边形的判定是解题的关键． 24．【答案】（1） 如图，      （2）；；；正方形．      【分析】 本题考查了尺规作图，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，菱形、正方形的判定，掌握知识点的应用是解题的关键． （）作平分线即可； （）由，则，证明，所以，再证明四边形是平行四边形，又，从而可知平行四边形是菱形，再通过正方形的判定即可求证． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 25．【答案】（1）； （2）； 理由如下： 过点作于，如图2所示： 则四边形为矩形， ，， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ，即； （3）． 【分析】 （1）证，得，由勾股定理得，证，得，则，再由勾股定理即可得解； （2）过点作于，证，得，进而得出结论； （3）连接交于点，则的直角顶点在上运动，设点与点重合时，则点与点重合；设点与点重合时，则点的落点为，当点在线段上运动时，过点作于点，过点作交延长线于点，连接，证，得，易证，得，推出，则，，证，得，，易证是等腰直角三角形，得，推出，，则，得，得出点在线段上运动，过点作，垂足为，则当与重合时，最短，即可得出结果． 【详解】 解：（1）四边形是正方形， ，， ，点和点重合， ，，， ， 在和中， ， ， ， ， ， 由勾股定理得：， ， ，， ， ， ， 在中，由勾股定理得：； （2） 略 （3）连接交于点，如图3所示： 则的直角顶点在上运动， 设点与点重合时，则点与点重合； 设点与点重合时，则点的落点为， ，， ， 当点在线段上运动时，过点作于点，过点作交延长线于点，连接， 点在上， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ，， 由翻折性质得：， 在和中， ， ， ，， 是正方形的对角线， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， 点在线段上运动； 过点作，垂足为， 则当与重合时，最短， 点为的中点， ， 在等腰中，， 的最小值为． 【点睛】 此题主要考查四边形的综合性质与应用，解题的关键是熟知全等三角形的判定与性质、正方形与等腰三角形的性质定理． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 四边形 5大高频考点概览 考点01 四边形及其内角和 考点02 多边形及其内角和 考点03 矩形 考点04 菱形 考点05 正方形 考点01 四边形及其内角和 1．（25-26学年九上·重庆南开中学校·期中）学习了尺规作图后，小南进行了拓展性研究．他发现：在等腰中， ，点是的中点，过点作交于点，在上方作，延长交于点，则四边形是平行四边形，且 ．请根据他的思路完成以下作图和推理填空： （1）利用尺规作图：作，延长交于点（不写作法，保留作图痕迹）； （2）求证：四边形为平行四边形，且． 证明：∵ ， ∴ _____①_____， ∵ ， ∴ ， ∴ _____②_____， ∵， ∴ 四边形是平行四边形， ∵是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴④_____， ∴， ∴． 【答案】（1） 如图，即为所求；      （2）；；；．      【分析】 本题考查了尺规作图，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据作一个角等于已知角方法即可； （）由 ，则，又 ，所以 ，可证，证明四边形是平行四边形，证明，故有 ，又，则 ，所以，得，然后通过线段和差即可求证． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵是的中点， ∴ ， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：；；；． 考点02 多边形及其内角和 1．（2026·重庆广益中学·模拟）若一个多边形的内角和是其外角和的3倍，则这个多边形的边数是　　　　　　． 【答案】8 【分析】 根据多边形的内角和定理，多边形的内角和等于（n﹣2）•180°，外角和等于360°，然后列方程求解即可． 【详解】 解：设边数为n，由题意得， 180（n－2）=3603， 解得n=8． 所以这个多边形的边数是8． 故答案为：8． 【点睛】 本题主要考查了多边形的内角和公式与外角和定理，根据题意列出方程是解题的关键． 2．（25-26学年九上·重庆渝北区石鞋学校）一个多边形的内角和是，则这个多边形是　　　　　　　边形． 【答案】八 【分析】 本题考查了多边形的内角和公式，熟记多边形的内角和公式为是解答本题的关键．根据多边形内角和公式求解即可． 【详解】 设这个多边形是n边形， 由题意得， 解得， ∴这个多边形是八边形． 故答案为：八． 3．（25-26学年九上·重庆云阳县第二初级中学·期中）一个正多边形的内角和为，则这个正多边形的每个外角的度数为　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据多边形的内角和公式（n−2）•180°列式进行计算求得边数，然后根据多边形的外角和即可得到结论． 【详解】 解：设它是n边形，则 （n−2）•180°＝1080°， 解得n＝8． 360°÷8＝45°， 故答案为． 【点睛】 本题考查了多边形的内角和公式，熟记公式是解题的关键． 4．（25-26学年九上·重庆渝北中学校·期中）若正多边形的每一个内角为，则这个正多边形的边数是　　　　　　　　　　． 【答案】八（或8） 【分析】 根据正多边形的每一个内角为，求出正多边形的每一个外角，根据多边形的外角和，即可求出正多边形的边数． 【详解】 解：根据正多边形的每一个内角为 正多边形的每一个外角为： 多边形的边数为： 故答案为八． 【点睛】 考查多边形的外角和，掌握多边形的外角和是解题的关键． 5．（25-26学年九上·重庆开州区文峰·期中）若一个正多边形的内角都是，则这个正多边形是　　　　　　边形． 【答案】八 【分析】 根据正多边形内角和公式进行计算即可得解． 【详解】 解：设这个正多边形是n边形． ∴正多边形的内角和为， ∵一个正多边形的内角都是， ∴，解得， 即这个多边形是八边形． 【详解】 6．（2026·重庆育才中学校·三模）一个正多边形的内角和比其外角和的度数大，则它的边数是　　　． 【答案】8 【分析】 n边形的内角和为，外角和为，根据正多边形的内角和比其外角和的度数大列方程求解即可． 【详解】 解：设该多边形的边数为n， 根据题意，得， 解得， 即该多边形的边数为8． 7．（25-26学年九上·重庆第一中学校·期中）一个多边形的内角和是外角和的4倍，则这个多边形是　　　　　　　　． 【答案】十边形 【分析】 明确任意多边形的外角和为固定值，多边形内角和公式为，其中为多边形的边数，根据题目给出的倍数关系列方程求解边数即可． 【详解】 解：设这个多边形的边数为， 任意多边形的外角和为，边形内角和公式为， 根据题意列方程得， 解得， 故这个多边形是十边形． 8．（25-26学年九上·重庆开州中学·期中）若正多边形的一个外角为30°，则这个多边形为正　　　　　　　边形． 【答案】12． 【详解】试题分析：正多边形的一个外角等于30°，而多边形的外角和为360°，则： 多边形的边数=360°÷30°=12， 考点：多边形内角与外角 9．（25-26学年九上·重庆开州中学·期中）学习了四边形后，小明同学想继续探索对角互补的四边形特征，请根据他的思路完成 以下作图与填空： （1）用直尺和圆规，过点C 作交延长线于点M， 过点C 作交于 点N（只保留作图痕迹） （2）在（1）所作的四边形中，°，平分， 求证： 证明：∵平分，且， ∴         ①           且 ∵在四边形中，∴ 又∵    ∴           ②         ∴（        ③         ） ∴ 小明同学进一步研究发现，对角互补的四边形，若对角线平分一个内角，则均有以上特 征．请你依照题意完成下面结论：对角互补的四边形，若对角线平分一个内角，则被此对角线平分为相等的那两个小角   ④    【答案】（1） 如图所示，即为所求；      （2）；；；所对的四边形的两条边相等      【分析】 本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的性质与判定，垂线的尺规作图，四边形内角和定理： （1）根据垂线的尺规作图方法作图即可； （2）先由角平分线的性质得到，再证明，进而证明，则可得到，据此可得若对角线平分一个内角，则被此对角线平分为相等的那两个小角所对的四边形的两条边相等． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 考点03 矩形 1．（25-26学年九上·重庆第三十七中学校·期中）下列命题正确的是（　　） A. 四条边都相等的四边形是正方形 B. 对角线互相垂直的四边形是菱形 C. 有一个角是直角的平行四边形是矩形 D. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 【答案】C 【分析】 利用平行四边形及特殊的平行四边形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】 解：A、四条边都相等的四边形是菱形，故原命题错误，不符合题意； B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故原命题错误，不符合题意； C、有一个角是直角的平行四边形是矩形，正确，符合题意； D、一组对边平行，另一组对边相等的四边形可能是平行四边形，也可能是等腰梯形，故原命题错误，不符合题意； 故选：C． 【点睛】 考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解平行四边形及特殊的平行四边形的判定方法，难度不大． 2．（九·重庆铜梁·期末）如图，矩形中，，，作的平分线交对角线于点，过点作交于点，若，则的长是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了矩形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，角平分线的性质，解题的关键是作适当的辅助线构造直角三角形．过点作交于点，作交于点，根据矩形的性质结合角平分线的性质证明是等腰直角三角形，得到，，在中，利用勾股定理列式解方程可得的长，进而得到的长，证明是等腰直角三角形，得到，进而根据线段和差关系即可求得的长． 【详解】 解：如图所示，过点作交于点，作交于点， ， 四边形是矩形， ， 四边形是矩形， ，， 平分， ， 是等腰直角三角形， ， ， 在中，， 即， 解得或（不合题意，故舍去）， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ． 故选：C． 3．（25-26学年九上·重庆朝阳中学·期中）如图，在中，，点D是斜边的中点，，则的度数是　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查在直角三角形中斜边上的中线是斜边的一半，等边对等角，三角形的外角性质．根据题意得到，即可得到，再根据三角形的外角性质即可得到答案． 【详解】 解：在中，，点D是斜边的中点， ， ， ， 故答案为：． 4．（25-26学年九上·重庆江津中学校·期中）如图，在矩形中，是上一点，连接． （1）用尺规完成以下基本作图：在矩形内部作交于点（不写作法和证明，保留作图痕迹）． （2）在（1）所作的图形中，求证：四边形是平行四边形（请补全下面的证明过程，除题目给的字母外，不添加其它字母或者符号）． （2）证明： ∵四边形为矩形 ∴，，     ①      ∵ ∴     ②      ∴， ∴     ③      即     ④      又∵ ∴四边形是平行四边形． 【答案】（1） 作图如下：      （2），，，      【分析】 （1）根据作一个角等于已知角的作法完成即可； （2）理解证明思路，读懂每步推理，即可完成． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 证明：∵四边形为矩形 ∴，，， ∵， ∴， ∴，， ∴ 即 又∵ ∴四边形是平行四边形． 故答案为：，，， 【点睛】 本题考查了作图：作一个角等于已知角，全等三角形的判定与性质，矩形的性质，平行四边形的判定等知识，作角等于已知角，读懂每步推理是完成本题的关键． 5．（25-26学年九上·重庆开州中学·期中）如图，在矩形中，对角线，交于点O， 且的 长 为 9 ，，动点P，Q分别以每秒3个单位长度的速度分别同时从点A， 点B 出 发 ， 点P 沿A→0→C方向运动，点Q 沿折线B→0→D方向运动，当点P 到达点C 时 ，P，Q两点停止运动．设运动时间为t 秒，点P，Q 两点间的距离为y． （1）请直接写出y关于t的函数表达式并注明自变量t的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； （3）结合函数图象，直接写出当点P，Q两点距离小于5个单位长时，t 的范围．（结果保 留一位小数） 【答案】（1）     （2） 函数图象如图所示， 当时，随着x的增大而减小；当时，随着x的增大而增大；     （3）      【分析】 （1）根据矩形的性质，求出动点运动的总时间为6秒，分和两种情况，根据等边三角形的判定与性质解答即可； （2）根据函数的解析式即可画出函数图象，根据增减性即可得到函数的性质； （3）结合图象当时，代入关系式 即可求出交点的横坐标t，若使点P，Q两点距离小于5个单位长，结合图象取下方的图象所对应的t 的范围． (1) 小问详解： 解：四边形为矩形，， ， 根据题意可得，运动的总时间为秒， 动点P，Q分别以每秒3个单位长度的速度同时出发， ， ， 又， 是等边三角形， 当时，， ， ； 当时，， ， ， 综上所述： ； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 当时，或， 解得或， 由上图可知，当时， 当点P，Q两点距离小于5个单位长时，t的范围． 【点睛】 本题考查了矩形的性质、一次函数的图象和性质以及等边三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握矩形的性质、等边三角形的判定与性质及一次函数的图像与性质． 6．（25-26学年九上·重庆川外基础教）如图，在矩形中，与交于点O，，，动点P从点A出发，沿折线A→O→D方向运动，当点P运动到点D时停止运动，交于点Q，设点P的运动路程为x点P与点A，D重合时的路程不计算在内，线段的长度为y． （1）请直接写出y关于x的函数关系式并注明自变量x的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中，画出这个函数图象，并写出该函数的一条性质； （3）结合图象，直接写出的长度为3时x的值． 【答案】（1）y关于x的函数关系式为     （2） 所画函数图象如下： 该函数图象关于直线对称（答案不唯一）     （3）当时，或      【分析】 本题主要考查一次函数的图象与性质，含直角三角形的性质及矩形的性质，熟练掌握一次函数的图象与性质，含直角三角形的性质及矩形的性质是解题的关键； （1）由矩形的性质可知，，，则有，然后可得，进而根据当时，当时，分类讨论进行求解即可； （2）根据（1）中函数解析式进行作图即可，然后问题可求解； （3）根据（2）中的函数图象可进行求解． (1) 小问详解： 解：∵四边形是矩形，，， ∴，，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵设点P的运动路程为x点P与点A，D重合时的路程不计算在内， ∴， 当时， ∵， ∴， ∵， ∴，即； 当时， ∵点P的运动路程为x， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即； 综上所述：y关于x的函数关系式为 ； (2) 小问详解： 解：由（1）可知：y关于x的函数关系式为 ， 由函数关系式可列表如下： 由图象可知：该函数图象关于直线对称（答案不唯一）； x 2 4 6 y 3 2 3 (3) 小问详解： 解：由图象可知：当时，或． 7．（25-26学年九上·重庆暨华中学校·期中）在学习了平行四边形的相关知识后，小艾进行了更深入的研究，他发现：对于一个邻边不相等的平行四边形，作其短边的端点为顶点的一个内角的角平分线与平行四边形的边相交，再过该短边的另一个端点作这条角平分线的垂线与平行四边形的另一边相交，则这两个交点和平行四边形的另两个顶点构成的四边形是平行四边形．他的思路是通过证明三角形全等与平行四边形的判定得到此结论．根据他的想法与思路，完成以下作图和填空： （1）如图，四边形是平行四边形，的平分线与交于点E．用尺规作图：过点A作的垂线，交于点F，交于点G，连接（不写作法，保留作图痕迹）； （2）已知：四边形是平行四边形，的平分线与交于点E，点G在边上，且于点F，连接．求证：四边形是平行四边形． 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴．∵平分， ∴①_____，∴， ∴②_____． ∵，∴． 在和中 ∴， ∴， ∴③_____， ∴，即， ∵④_____， ∴四边形是平行四边形． 进一步思考，如果四边形是矩形呢？请你模仿题中的表述，写出你猜想的结论：四边形是⑤_____． 【答案】（1） 作图如图所示：      （2） 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴． ∵平分， ∴①， ∴， ∴②． ∵， ∴． 在和中 ， ∴， ∴， ∴③， ∴，即， ∵④， ∴四边形是平行四边形． 进一步思考，如果四边形是矩形， ∵四边形是矩形， ∴， ∴平行四边形是矩形． 结论：四边形是⑤ 矩形．      【分析】 （1）分别以为圆心，小于的长为半径画弧与交于两，再以这两点为圆心画弧交于点，连接，与交于点，交于点，连接，此时； （2）根据推理过程上下之间的逻辑关系推理填空即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 【点睛】 本题考查作图-复杂作图，平行四边形的性质和判定，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质和判定等知识，具体的是关键是正确寻找全等三角形解决问题． 8．（25-26学年九上·重庆第九十五初级中学校·期中）如图，在矩形中，是上一点，将沿折叠，点恰好落在边上的点处，连接交于点，点为的中点，连接，若，则的长为　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查矩形基本性质，勾股定理和三角形中位线，熟练运用勾股定理求出三角形中的线段是解题关键； 连接，先通过矩形基本性质求得，再通过勾股定理求出，设，则，在中，由勾股定理列出方程求出x，再在中，根据勾股定理，得，再通过三角形中位线定理即可求解． 【详解】 解：如图，连接 ∵四边形为矩形， ， 在中，由勾股定理可得， 设，则， 在中，由勾股定理可得，解得， 在中，根据勾股定理，得， 由折叠性质得， 又点是的中点， 是的中位线， ． 故答案为： 9．（25-26学年九上·重庆万州国本中学校·期中）如图，是某公园平面图，景点在入口的正东方向1400米处，景点在入口的东北方向1200米处，景点在景点正北方向，景点在景点北偏东方向，在景点的正东方向，且景点在景点的北偏东方向．（参考数据：，） （1）求景点到的距离（结果保留根号）； （2）小希与小福同时从出发，小希选择路线游玩，小福选择路线游玩，但当小福到时接到通知处有施工无法通行（接通知的时间忽略不计），于是小福选择的小路继续到，若在整个过程中，小希与小福的速度均相同且保持不变，请通过计算说明小希与小福谁先到达处？ 【答案】（1）米     （2）小希先到达处      【分析】 （1）过E作于F，延长交于H，根据题意得到是等腰直角三角形，，，进而利用等腰直角三角形的判定与性质求得，，利用含30度角的直角三角形的性质得到，由求解即可； （2）先由题意求得，再利用含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求得，，然后分别求得两人的路程，比较大小即可得出结论． (1) 小问详解： 解：过E作于F，延长交于H，如图，则， 由题意，得，，，，，，， ∴是等腰直角三角形，， ∴ ∴，， 由得， 解得， 即景点到的距离为米； (2) 小问详解： 解：由题意，， ∴四边形是矩形， ∴， 在中，，则， 由得， ∴， ∴小希走的路程为（米）， 小福走的路程为（米）， ∵在整个过程中，小希与小福的速度均相同且保持不变，， ∴小希先到达处． 【点睛】 本题考查等腰三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质、三角形的外角性质、勾股定理、矩形的判定与性质，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． 10．（25-26学年九上·重庆第万州三中学·期中）小南在学习矩形的判定之后，想继续研究判定一个平行四边形是矩形的方法，他的想法是作平行四边形两相邻内角的角平分线，与两内角公共边的对边相交，如果这相邻内角的顶点到对应交点的距离相等，则可论证该平行四边形是矩形． （1）用直尺和圆规，作射线平分交于点； （2）已知：如图，在平行四边形中，平分交于点E，平分交于点，且．求证：平行四边形是矩形． 证明：，分别平分，， ，． 四边形为平行四边形， ，，     ①       ， ，， ，     ②       ， ，， ． 在和中 ， ． ， ， ，      ③       ， 平行四边形是矩形． 小南再进一步研究发现，若这组邻角的角平分线与公共边的对边延长线相交，结论仍然成立．因此，小南得出结论：作平行四边形两相邻内角的角平分线，与两内角公共边的对边（或对边延长线）相交，若这相邻内角的顶点到对应交点的距离相等，则     ④       ． 【答案】（1） 如图，射线如图所示：      （2）①；②；③；④ 该平行四边形为矩形．      【分析】 （1）以为圆心，任意长为半径，分别交与于一点，再分别以这两点为圆心，大于这两点间距离的为半径画弧，交于一点，连接点和这一点，并延长交于点，射线即为所作； （2）根据角平分线性质以及平行四边形性质证明，得到，利用平行线性质得到，进而得到，即可证明平行四边形是矩形．再根据证明过程总结即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 证明：，分别平分，， ，． 四边形为平行四边形， ，，①， ，， ，② ， ，， ． 在和中， ， ． ， ， ， ③， 平行四边形是矩形． 小南再进一步研究发现，若这组邻角的角平分线与公共边的对边延长线相交，结论仍然成立．因此，小南得出结论：作平行四边形两相邻内角的角平分线，与两内角公共边的对边（或对边延长线）相交，若这相邻内角的顶点到对应交点的距离相等，则④ 该平行四边形为矩形． 【点睛】 本题考查角平分线作图，角平分线性质，平行四边形性质，矩形的判定，熟练掌握相关性质定理即可解题． 11．（25-26学年九上·重庆长寿实验中学校·期中）如图，已知在中，是边上的中线，为的中点，连接． （1）尺规作图：作，交延长线于点，连接；（保留作图痕迹，不写作法，不下结论） （2）求证：四边形是平行四边形． 证明：∵， ∴                    ． ∴，， 又∵点是中点， ∴                            ． ∴． ∴                    ． ∵是中点， ∴ ∴                      ． 又∵， ∴四边形为平行四边形． 进一步思考，当时，四边形是             ． 【答案】（1） 作图如下：      （2）①，②，③④，⑤ 矩形．      【分析】 （1）根据全等三角形的判定和性质，按要求作，交延长线于点，连接即可； （2）由平行线的判定和性质，结合中点，可得三角形全等，对应边相等，可得一组对边平行且相等，即可证得结论． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 证明：∵， ∴， ∴，， 又∵点是中点， ∴． ∴． ∴． ∵是中点， ∴ ∴． 又∵， ∴四边形为平行四边形． 进一步思考，当时，四边形是矩形． 证明：∵，是边上的中线， ∴， ∴， 又∵四边形为平行四边形， ∴四边形是矩形． 故答案为：①，②，③④，⑤ 矩形． 【点睛】 本题考查作图，平行线的判定和性质，平行四边形的判定，全等三角形的判定和性质，三线合一，矩形的判定，解题的关键是熟练掌握作图原理和平行四边形的判定定理． 12．（25-26学年九上·重庆长寿中学校·期中）在矩形中，点为边的中点，连接，将沿直线翻折，使得点与点重合，的延长线交线段于点，，若点为线段的中点，则线段的长为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题是矩形的折叠问题，解题的关键是掌握矩形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识点． 连接，由翻折及矩形的性质，利用证明，由勾股定理建立方程求解即可． 【详解】 解：连接， 在矩形中， ， 将沿直线翻折， ， 在和中， ， ， ， ， 在中， ， 故答案为：． 13．（25-26学年九上·重庆渝北中学校·期中）在学习了平行四边形的相关知识后，小渝进行了更深入的研究，他发现，作平行四边形的一组对角的角平分线，与平行四边形两边相交的两点和这组对角的顶点构成的四边形是平行四边形，可利用平行四边形的判定方法得到此结论．根据他的想法与思路，完成以下作图和填空：    （1）如图，在平行四边形中，平分交于点E．用尺规作的角平分线交点F（不写作法，保留作图痕迹）． （2）已知：平行四边形中，平分交于点E，平分交于点F． 求证：四边形是平行四边形． 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，          ，∴． ∵平分，∴， 同理可得：， ∴          ， ∴，∴          ． ∴四边形是平行四边形． 进一步思考，如果四边形是矩形呢？请你模仿题中表述，写出你猜想的结论：          ． 【答案】（1） 如图，用尺规作的角平分线交点；         （2）；；；作矩形的一组对角的角平分线，与矩形两边相交的两点和这组对角的顶点构成的四边形是平行四边形      【分析】 （1）按照要求作出图形即可； （2）由平行四边形的性质可得，，由两直线平行内错角相等可得，由平分可得，同理可得，于是可得，进而可得，由同位角相等两直线平行可得，由平行四边形的判定可得结论；进一步思考，如果四边形是矩形，同法可证，于是可得结论． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 【点睛】 本题主要考查了作角平分线（尺规作图），平行四边形的判定与性质，两直线平行内错角相等，角平分线的有关计算，同位角相等两直线平行等知识点，熟练掌握作角平分线（尺规作图）的方法以及平行四边形的判定与性质是解题的关键． 14．（25-26学年·重庆第二外国语学校·期中）在平面直角坐标系中，点B在x轴上，点A在第一象限，，且，，点D为线段上一动点，连接． （1）如图1，当点D运动到中点时，求的长； （2）如图2，点E是上一点，将沿翻折，点A恰好落在x轴上的点F处，连接，若面积为2，求出此时点D的坐标； （3）如图3，在（1）的条件下，直线上是否存在一点M，使是直角三角形，若存在，请直接写出此时所有满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；     （2）；     （3）或．      【分析】 （1）根据勾股定理和直角三角形的性质得出结果； （2）作于G，根据轴对称的性质得出，，，从而得出，根据勾股定理得出方程，从而得出，可求得，作于C，根据勾股定理得出的值，从而得出A点的坐标，根据面积法得出的值即可； （3）当时，取的中点M，连接，进而得出M点坐标；当时，设，当时，根据列出关于a的方程，求得a的值，进而得出结果． (1) 小问详解： 解：，，， ， 是的中点， ； (2) 小问详解： 解：如图1， 作于G， 沿翻折，点A恰好落在x轴上的点F处， ，，， ， ， ， ， ， ， ， 作于C， 由得，， ， ， ， ， ； (3) 小问详解： 解：如图2， 取的中点M，连接， 设直线的关系式是：，则，解得：， 直线的关系式是：， 是的中点， ，， ， 此时， 如图3， 当时，设， 由得， ， ， ， ， 综上所述：或． 【点睛】 本题考查了直角三角形的性质，勾股定理，轴对称的性质，一次函数等知识，解决问题的关键是分类讨论． 15．（25-26学年九上·重庆开州中学·期中）如图，在矩形中，为边的四等分点（），连接，将矩形沿折叠，点落在点处，点落在点处，与交于点，连接．若，则　　　　　　，点到的距离为　　　　　　　　． 【答案】①     ② 【分析】 本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，由四边形是矩形，得，，，，再由折叠性质和勾股定理求出，过作于点，由折叠性质和勾股定理即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】 解：∵四边形是矩形， ∴，，，， ∴， 由折叠性质可知：，，， ∴， ∴， ∵为边的四等分点（）， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得：， ∴，解得：， ∴， 如图，过作于点， ∴， ∵， ∴， 由折叠性质可知：，， 在中，由勾股定理得：， 设，则， 由勾股定理得：，， ∴，解得：， ∴， ∴由勾股定理得：， ∴， 故答案为：，． 16．（25-26学年九上·重庆第二外国语学校·期中）学习了矩形之后，小明进行了拓展性研究，他发现：矩形对角线将矩形分成了四个小三角形，选择其中一组相对的三角形，作一组互为内错角的锐角的角平分线与所对的对角线相交，将这两个交点分别与另一条对角线的端点相连，所形成的四边形是平行四边形．探究过程如下： （1）用直尺和圆规，作的角平分线交于点F，连接、（保留作图痕迹，不写结论）； （2）已知：在矩形中，点O是对角线，的交点，平分，平分． 求证：四边形是平行四边形． 证明：四边形是矩形， ，， ， 平分， ①                 ， 平分， ， ②                  ， 在与中， ， ④                 ， 四边形是平行四边形． 【答案】（1） 依题意，点F如图所示：      （2）；；；      【分析】 本题考查了角平分线的尺规作图，矩形的性质，平行四边形的判定，全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先作出作的角平分线交于点F， （2）结合平行四边形的性质得，，根据角平分线的定义得，，证明，得到，即可证明． (1) 小问详解： 解：略； (2) 小问详解： 略． 17．（25-26学年九上·重庆朝阳中学·期中）如图，在矩形中，，分别在边和边上，于点，且为的中点，若，，则的长为　　　　　，长为　　　　　． 【答案】①     ② 【分析】 本题考查了矩形的性质，勾股定理，线段垂直平分线的性质，作出合适的辅助线，构造直角三角形利用勾股定理是解题的关键．连接，且为的中点，得到，利用勾股定理可求出，进而得到，在中，可求出，进而求出，再运用勾股定理即可求，再根据，求出，则，即可解答． 【详解】 解：连接，     四边形是矩形， ， 且为的中点， ，， 在中， ， 在中， ． 在中． ∵， ∴， 解得， ∴． 故答案为：． 18．（25-26学年九上·重庆万州国本中学校·期中）如图，在中，，，．点是中点，动点，分别以每秒1个单位长度的速度同时运动，点从点出发，沿折线运动，到达点时停止运动，点从点出发，沿直线运动，到达点时停止运动，设点，点的运动时间为秒，点，之间的距离为． （1）请直接写出与之间的函数表达式并注明自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出这个函数图像，并写出该函数的一条性质； （3）结合函数图像，直接写出，两点相距大于3个单位长度时的值．（结果保留一位小数，误差不超过0.2）． 【答案】（1）     （2） 画出函数图像如下， 当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大（答案不唯一）     （3）或      【分析】 （1）首先求得，，，根据题意，当点在线段上时，可有，连接，证明为等边三角形，易得；当点在线段上时，可有，易得，即可获得答案； （2）结合（1）画出函数图像，并写出该函数的一条性质即可； （3）在图中画出直线，结合图像即可获得答案． (1) 小问详解： 解：∵在中，，，， ∴， ∵点是中点， ∴， ∴， ∴， 根据题意，动点，分别以每秒1个单位长度的速度同时运动，点从点出发，沿折线运动，到达点时停止运动，点从点出发，沿直线运动， 则当点在线段上时，可有，连接，如下图， ∵， ∴，即， 又∵， ∴为等边三角形， ∴； 则当点在线段上时，可有，如下图， ∵， ∴； 综上所述，与之间的函数表达式为 ； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 在图中画出直线， 则直线的与函数的交点的横坐标为：1或5.5， 即当或时，两点相距3个单位长度， 结合图像可知，，两点相距大于3个单位长度时或． 【点睛】 本题主要考查了一次函数的应用、等边三角形的判断与性质、含30度角的直角三角形的性质、直角三角形斜边上的中线的性质等知识，正确求得一次函数解析式是解题关键． 19．（25-26学年九上·重庆渝北中学校·期中）如图，在矩形 中，点为中点，连接，将沿直线翻折到矩形所在的平面内，得，延长交于点，延长交于点，交延长线于点，连接，若，，则　　　　　　， 　　　　　　． 【答案】①     ② 【分析】 本题考查矩形中的翻折问题，勾股定理，一次函数的性质，解题的关键是掌握翻折的性质，求出，的长度． 设，由翻折可得：，，，，即可得，从而，解方程即可；以为原点，所在直线为x轴，建立直角坐标系，过作交于M，交于N，用面积法和勾股定理可得，即得，直线解析式为，求出，可得，即可解答． 【详解】 解：设， ∵四边形为矩形，， ，，， 为中点， ， 由翻折可得：，，，， ， ， ， ， ， ， ， 解得， ， 以B为原点，所在直线为x轴，建立直角坐标系，过F作交于M，交于N，作于R，如图： 则， ， ， ， ， ， ， ， ， ，，， ，， ，， ∴，， ， 设直线的解析式为， 把，代入可得， ， 解得 ∴直线解析式为， 令得， ， ∴， ， ； 故答案为：，． 考点04 菱形 1．（25-26学年九上·重庆广益中学·期末）如图，，对角线，交于点O，添加下列条件，能使变为菱形的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了菱形的判定方法，熟练掌握菱形的判定方法是解题的关键．根据一组邻边相等或对角线互相垂直的平行四边形为菱形，逐一进行分析即可． 【详解】 解：∵四边形是平行四边形， ∴当的一组邻边相等或对角线互相垂直时，能使变为菱形， 逐一对比选项，其中选项D符合对角线相互垂直，A、B、C均不符合． 故选：D． 2．（25-26学年九上·重庆南开中学教共体学校·期中）如图，在菱形中，与相交于点O，的垂直平分线交于点F，连接．若，则的度数为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 连接，根据菱形的性质，线段垂直平分线的性质，三角形外角性质，直角三角形的性质，解答即可． 本题考查了菱形、垂直平分线、三角形外角性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】 解：连接， ∵菱形中，与相交于点O，， ∴，， ，平分， ∴， ∵的垂直平分线交于点F， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 3．（25-26学年九上·重庆合川中学）如图，在菱形中，，，为线段上的一个动点，四边形是平行四边形，则的最小值为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了菱形的性质，平行四边形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理等，利用四边形为平行四边形，得出，，由为线段上的动点，可知运动方向和距离相等，利用相对运动，可以看作是定线段，菱形在方向上水平运动，过点作的平行线，过点作关于线段的对称点，由对称性得，则，当且仅当依次共线时，取得最小值，此时，设与交于点，交于点，延长交延长线于点，分别证明四边形和四边形是矩形，求出 ，，再利用勾股定理求出即可，正确作出辅助线是解题的关键 【详解】 解：∵四边形为平行四边形， ∴，， ∵为线段上的动点， ∴可以看作是定线段，菱形在方向上水平运动， 如图，过点作的平行线，过点作关于线段的对称点， 由对称性得，， ∴，当且仅当依次共线时，取得最小值， 如图，设与交于点，交于点，延长交延长线于点， ∵菱形中，，， ∴，，， ∵， ∴由对称性可得， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴，， ∴， 即的最小值为． 故选：B． 4．（25-26学年九上·重庆渝北中学校·期中）如图，在平行四边形中，点为的中点，连接，平分．过点作于点，连接，过点作的角平分线交于点，连接．若，则的度数为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 延长交的延长线于，可证，所以，由已知条件可证，则，因为平分，则由等腰三角形三线合一证明，结合平分，可证明四边形为菱形，通过角度的代换可得，则度数都可求，由直角三角形性质可知，则可证，题目可解． 【详解】 解：延长交的延长线于， ∵在平行四边形中，点为的中点， ∴， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的角平分线， ， ， ， ， ∴四边形是平行四边形， 平分， ， ， ， ， ， ∴平行四边形为菱形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 为中点， ， ， ， 故选：D． 【点睛】 本题考查平行四边形的性质，菱形的判定，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，掌握相关知识并能综合灵活应用是解决问题的关键． 5．（25-26学年九上·重庆渝北区石鞋学校）如图，在中，点D为边上的中点，连接． （1）尺规作图：在下方作，交的延长线于点E，连接；（只保留作图痕迹） （2）在（1）所作的图中，若，求证：四边形是菱形．（请补全下面的证明过程） 证明：∵点D为边上的中点， ∴①______________ 在和中， ∴， ∴②__________ ∵， ∴③__________ ∴四边形是平行四边形． 又∵④__________ ∴平行四边形是菱形． 【答案】（1） 如图所示，图形即为所求：      （2）①；②；③；④      【分析】 本题考查了尺规作图、菱形的判定，掌握基本作图方法是解题的关键． （1）根据作与已知角相等的角的尺规作图方法作图即可； （2）根据菱形的判定即可完成证明． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 证明：∵点D为边上的中点， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形． 又∵， ∴平行四边形是菱形． 故答案为：①；②；③；④． 6．（25-26学年九上·重庆第三十七中学校·期中）已知，如图，在▱ABCD中，分别在边BC、AD上取两点，使得CE＝DF，连接EF，AE、BF相交于点O，若AE⊥BF． （1）求证：四边形ABEF是菱形； （2）若四边形ABEF的周长为16，∠BEF＝120°，求AE的长． 【答案】（1） 证明：四边形是平行四边形， ，， ， ， 四边形是平行四边形， 又， 四边形是菱形；     （2）      【分析】 （1）由平行四边形的性质得出，，证出，则四边形是平行四边形，由，即可得出四边形是菱形； （2）由菱形的性质得出，，证出是等边三角形，得出． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：菱形的周长为16， ，， ， 是等边三角形， ． 【点睛】 本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识；解题的关键是熟练掌握菱形的判定与性质． 7．（25-26学年九上·重庆第一中学校·期中）如图，在菱形中，点E是边上一点，连接． （1）用尺规完成基本作图：在边的下方作交边于点F； （2）根据（1）中的作图，证明：． 证明：∵四边形是菱形， ∴，①__________． 在与中 ， ∴（），∴③__________． ∴④__________．即． 【答案】（1） 如下图，即为所求作；      （2），，，      【分析】 本题考查作图-基本作图，菱形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型． （1）以点A为圆心，小于长为半径作弧，交于点M、N、P，再以点P为圆心，以的长为半径作弧，在下方交前弧于点Q，连接并延长交于点F，则； （2）根据菱形性质证明，，再证明，得出，即可证明结论． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 证明：∵四边形是菱形， ∴，． 在与中， ， ∴（）， ∴． ∴． 即． 8．（25-26学年九·重庆綦江区未来学校·期中）如图，在四边形中，，连接． （1）尺规作图：作的垂直平分线交于点，交于点，交于点（不写作法，保留作图痕迹）； （2）连接，，求证：四边形是菱形．完成下列填空． 证明：， _____________①_____________， 又平分， _____________②_____________， 又， ， _____________③_____________， 又∵ 四边形是平行四边形， 又_____________④_____________， 四边形是菱形．（依据是_____________⑤_____________） 【答案】（1） 依题意，如图所示：      （2）；对角线互相垂直的平行四边形是菱形      【分析】 本题考查了作垂直平分线，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，作的垂直平分线交于点，交于点，交于点，即可作答． （2）先理解题意，根据上下过程，且结合垂直平分线的性质以及全等三角形的判定与性质，得四边形是平行四边形，又因为，即可得出四边形是菱形． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 9．（25-26学年九上·重庆广益中学·期末）如图，小李在中考数学复习中，做了如下探究：在平行四边形中，对角线相交于点O，E为上一点，连接． （1）用直尺和圆规完成以下基本操作：过点C作的平行线，交于点F，连接；（不写作法，只保留作图痕迹） （2）求证：四边形为平行四边形． 证明：∵四边形为平行四边形， ①_______ ②_______ 在和中， ③_______ 四边形为平行四边形． 从以上探究过程中，小李进一步发现：若四边形为菱形，E为延长线上一点，连接，再过点C作直线的平行线，交延长线于点F，连接，则四边形的形状为④_______． 【答案】（1） 如图所示为所求：      （2） 证明：∵四边形为平行四边形， ， ， ， 在和中， ， ， ， 四边形为平行四边形． 如图，四边形是菱形， ∵四边形为菱形， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ∴四边形是菱形， ∴四边形的形状为菱形．      【分析】 （1）作，交于点F，连接即可； （2）根据平行四边形的性质得到，再由，得到，利用证明，得到即可证明；画出示意图，同理证明，得到，结合菱形的性质得到，即可得到四边形是菱形． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 【点睛】 本题考查尺规作图法作出和已知角相等的角，平行线的判定，平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，三角形全等的判定与性质，熟练掌握平行四边形的性质及菱形的性质是解题的关键． 10．（25-26学年九·重庆江津区实验中学·期末）米小果同学在学习了矩形和菱形之后，发现他们的性质既有关联也有不同，为了更好的掌握相关知识，进行了以下探索，请根据他的想法与思路，完成以下作图与填空： （1）如图，在菱形中，，相交于点．用尺规在右侧作，在上截取，并连接．（保留作图痕迹，不写作法） （2）求证：四边形是矩形． 证明：四边形是菱形， ，①__________． ． ， ②__________． ， ③__________． 四边形是平行四边形， ④__________． 四边形是矩形． 米小果进一步研究发现，若把条件里的菱形改为矩形，其余作图过程均不变，则四边形的形状是⑤__________． 【答案】（1） 如图所示，      （2）；；；；菱形      【分析】 本题考查了菱形的性质与判定，矩形的性质与判定，作一个角等于已知角，熟练掌握以上知识是解题的关键； （1）根据题意用尺规在右侧作，在上截取，并连接，即可求解． （2）根据菱形的性质与矩形的判定定理完成填空，进而根据矩形的性质与菱形的判定定理证明是菱形，即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 米小果进一步研究发现，若把条件里的菱形改为矩形，其余作图过程均不变，则四边形的形状是菱形，理由如下 四边形是矩形， ，． ， ． ， ． 四边形是平行四边形， ． 四边形是菱形． 11．（25-26学年九上·重庆铜梁区铜梁·期中）如图，在菱形中，对角线交于点O，，动点P从点A出发，沿着折线A→O→B运动，速度为每秒1个单位长度，到达B点停止运动，设点P的运动时间为t秒，的面积为y．    （1）直接写出y关于t的函数表达式，并注明自变量t的取值范围； （2）在直角坐标系中画出y与t的函数图象，并写出它的一条性质； （3）根据图象直接写出当时t的取值范围． 【答案】（1）     （2） 画图如下：    性质：当时，y随t的增大而增大（或函数在自变量的取值范围内，有最大值．当t=5时，最大值为6）；     （3）      【分析】 （1）由四边形是菱形，得到，，分别求出和时的函数解析式即可； （2）根据画出的y与t的函数图象，写出它的一条性质即可； （3）求出当时，，根据图象即可得当时t的取值范围． (1) 小问详解： 解：∵四边形是菱形，， ∴，， 当时，， 当时，， ∴ ； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 当时，，解得， 根据图象可得当时，t的取值范围是． 【点睛】 此题考查了一次函数的图象和性质、函数解析式、菱形的性质等知识，正确列出函数解析式是解题的关键． 12．（25-26学年九上·重庆沙坪坝区重庆第一中学校·期中）如图，在平行四边形中，是边上一点，连接． （1）用尺规完成以下操作：作的角平分线交的延长线于点，连接（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，若，求证：四边形是菱形． 证明：四边形是平行四边形， ①______，，． ∵， 在和中 ∴ ②______， ， ． ， ． ∵且， 四边形是平行四边形． 平分， ③______ ∵， ． ． ④______， 四边形是菱形． 【答案】（1） 为所作：      （2）①；②；③；④      【分析】 本题考查了作角平分线，菱形的判定，平行四边形的性质与判定； （1）根据题意作的角平分线交的延长线于点，连接； （2）根据平行四边形的性质得出，进而证明得出，进而证明得出四边形是平行四边形，根据角平分线的定义以及平行线的性质可得，即可得出，即可得证． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 13．（25-26学年九上·重庆开州区文峰·期中）在学习了平行四边形与特殊平行四边形的相关知识后，某数学兴趣小组进行了更深入的研究，他们发现，过平行四边形的一个顶点作邻角的角平分线的垂线，与平行四边形的边相交可以巧妙地构造菱形，根据他们的想法与思路，用直尺和圆规完成以下作图并填空：如图，平行四边形中，平分，过点作的垂线，垂足为，交线段于点，连接（保留作图痕迹）．    证明：四边形是平行四边形， ①________， ， 平分， ， ②________， ， ，， 又， ， ， ，， 垂直平分， ③________， ， 四边形是菱形． 进一步思考，如果四边形是矩形，请你模仿题中表述，可判定四边形是④________． 【答案】解：如图所示，即为所求： 证明：四边形是平行四边形， ， ， 平分， ， ， ， ，， 又， ， ， ，， 垂直平分， ， ， 四边形是菱形． 进一步思考，如果四边形是矩形，请你模仿题中表述，可判定四边形是正方形． 【分析】 本题考查了尺规作图，平行四边形的性质，菱形的判定，解题的关键是熟练掌握尺规作图的方法和步骤，以及平行四边形对边互相平行，四边相等的四边形是菱形． 根据尺规作图—作垂线的方法和步骤，即可作出图形；根据平行四边形的性质得出 ，结合角平分线的性质得出，则，通过证明，得出，已知垂直平分，则，进而得出，即可得出结论． 【详解】 略 14．（25-26学年九上·重庆云阳县第二初级中学·期中）如图1，已知菱形的面积为20，过点作，点以每秒钟1个单位的速度沿折线方向运动，运动时间为，连接的面积为，点运动的一半路程与线段长度之和为． （1）请直接写出分别关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出函数的图象，并写出函数的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出时的取值范围．（保留一位小数，误差不超过） 【答案】（1） ；；     （2） 函数图象如下所示： 当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小；     （3）      【分析】 本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，画一次函数图象，一次函数的性质和一次函数与不等式之间的关系，正确求出对应的函数关系式是解题的关键． （1）根据菱形的性质可求出的长，进而利用勾股定理求出的长，再求出的长即可求出关于的函数表达式；再分点F在线段上和点F在线段上两种情况，分别求出对应的的面积，即可求出关于的函数表达式； （2）根据（1）所求画出对应的函数图象，再根据函数图象写出对应的函数的性质即可； （3）求出两函数的交点的横坐标，再根据函数图象即可得到答案． (1) 小问详解： 解：∵四边形是菱形， ∴， ∵菱形的面积为20，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵四边形是菱形， ∴， 又∵， ∴点A到的距离等于点A到的距离，点C到的距离等于点A到的距离； 当点F在线段上，即时，，则， ∴； 当点F在线段上，即时，，则， ∴； 综上所述， ； (2) 小问详解： 解：由函数图象可知，当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小； (3) 小问详解： 解：当时，解得， 当时，解得， 由函数图象可得，当时，的取值范围为． 15．（25-26学年九上·重庆凤鸣山中学·期中）学习了特殊平行四边形后，小明同学在数学研修活动中进行了拓展性研究．他利用菱形，借助直尺和圆规，作出了矩形．请根据她的思路完成以下作图与填空： （1）尺规作图：如图，在菱形中，对角线相交于点．在的延长线上截取，连接，再过点作的垂线交于点（只保留作图痕迹，不写作法，不另外添加字母和符号）； （2）求证：四边形为矩形． 证明：，①______． 四边形是菱形， ，，， ， ，②______， 又，四边形为③______． ，④______． ， 四边形为矩形． 【答案】（1） 解：如图即为所求：      （2）①；②；③ 平行四边形；④      【分析】 本题考查了尺规作图，菱形的性质，平行四边形的性质，平行线的性质，矩形的判定等，解题的关键是根据要求尺规作图． （1）根据题意画图即可； （2）根据垂直的性质可得，根据菱形的性质可得，根据平行四边形的性质可得，根据平行线的性质可得，根据矩形的判定可得四边形为矩形． (1) 小问详解： 作法：延长，以为圆心，的长为半径，在的延长线上画弧，即为点；连接，分别以，为圆心，的长为半径，在的上方画弧，两弧交于一点，连接该点与点，与交于一点，即为点 (2) 小问详解： 证明：∵， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形， ， ， ， ∴四边形为矩形． 故答案为：①；②；③ 平行四边形；④． 16．（25-26学年九上·重庆开州中学·期中）如图，在菱形中，过点B作于点E，作于点F． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1） 证明：∵四边形是菱形， ∴，为对角线， 是的角平分线． ，， ∴， ∴， ∴．     （2）      【分析】 本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由菱形的性质可得，为对角线，即是的角平分线，再由角平分线的性质定理可得，最后证明即可得证； （2）由菱形的性质可得，再由平行线的性质计算即可得解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵四边形是菱形， ∴， ． ，即， ． 同理可得， ． 17．（25-26学年九上·重庆合川区十一·期中）在学习了旋转的相关知识以后，我们知道菱形是中心对称图形，对角线的交点就是对称中心，于是某数学兴趣小组进行了更深入的探究与思考． （1）如图，四边形是菱形，连接．用尺规过点作的垂线，交于点，延长交直线于点，连接（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，．试探究四边形的形状，并按下列思路完成填空． 证明：∵四边形是菱形， ∴，①________， ∴②________， ∵， ∴是等边三角形． ∴． 又∵ ∴③________．（三线合一） 在和中， ， ∴． ∴④________ ∴四边形是平行四边形．（对角线互相平分的四边形是平行四边形） ∵， ∴平行四边形是菱形（有一组邻边相等的平行四边形是菱形）． 【答案】（1） 所作图形如下：      （2） ；；；；      【分析】 本题主要考查菱形的性质与判定、垂线的尺规作图、等边三角形的性质与判定及平行四边形的判定，熟练掌握菱形的性质与判定、垂线的尺规作图、等边三角形的性质与判定及平行四边形的判定是解题的关键； （1）以点D为圆心，适当长为半径画弧，交线段于两点，再以这两点为圆心，大于这两点之间距离一半为半径画弧，两弧交于一点，进而问题可求解； （2）根据菱形的性质及判定定理可进行求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 18．（25-26学年九上·重庆巴蜀中学·期中）如图，在菱形中，对角线交于点O，点E是边上一点，连接，把沿直线翻折到菱形所在平面内得到，点F正好落在的延长线上，连接．若，则的度数为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了菱形的性质，折叠问题，等边对等角等知识， 先根据菱形的性质得出：，再根据折叠可得：，利用等边对等角得，即可得出答案． 【详解】 解：在菱形中， ， ， ， ， 由折叠可知：， ， ， 故答案为：． 19．（25-26学年九上·重庆万州国本中学校·期中）平行四边形的一组对边的中点连线的垂直平分线与平行四边形的另外一组对边所在直线交于两点，这两个点与原来的两个中点组成的四边形是菱形．为了验证这个结论，小希进行了以下操作．请按要求完成下列问题： 如图，在平行四边形中，E、F分别为边的中点，连接． （1）尺规作图：作出的垂直平分线，交直线、于点、，交于点，连接、、、；（只保留作图痕迹，不要求写作法） （2）结合（1）中图形，请你帮小希完成以下证明过程并将答案填在答题卡上对应的横线上； 证明：在平行四边形中，，，， 、分别为、的中点， ，， ∴①______，， 四边形为平行四边形， ， ②______， ， 为的垂直平分线， ∴③______， ∴四边形为平行四边形， ， 四边形为菱形． 【答案】（1） 如图，直线为的垂直平分线，      （2）①，②，③      【分析】 本题主要考查线段垂直平分线的作法，平行四边形的性质和菱形的判定，熟练掌握性质和判定是解答本题的关键． （1）分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧将于点M，N，过点M，N作直线交直线、于点、，交于点，则直线为的垂直平分线； （2）根据菱形的判定定理进行判断即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 20．（25-26学年九上·重庆长寿中学校·期中）如图，在四边形中，，，对角线，交于点O，平分，过点C作，交的延长线于点E，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：， ， 平分， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形；     （2）4      【分析】 本题主要考查了菱形的判定和性质、勾股定理、直角三角形斜边的中线等于斜边的一半等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键； （1）先证明四边形是平行四边形，再由可得平行四边形是菱形； （2）根据菱形的性质得出的长以及，利用勾股定理求出的长，再根据直角三角形斜边中线定理得出，即可解答． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵四边形是菱形， ， ， 在中，， ， ， ， ． 21．（25-26学年九上·重庆十一中教育）如图，在菱形中，对角线、相交于点O．        （1）尺规作图：在的延长线上截取，连接，再过点B作的垂线交于点F（保留作图痕迹，不写作法）； （2）求证：四边形为矩形． 证明：∵ ∴    ①      ∵四边形是菱形 ∴，， ∴ ∵ ∴     ②      又∵ ∴四边形为平行四边形 ∴     ③      ∴ ∴     ④      ∴ ∴四边形为矩形． 【答案】（1） 如图：      （2） 证明：∵ ∴ ∵四边形是菱形 ∴，， ∴ ∵ ∴ 又∵ ∴四边形为平行四边形 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴四边形为矩形．      【分析】 （1）根据题意画图即可； （2）根据垂直的性质可得，根据菱形的性质可得，根据平行四边形的性质可得，根据平行线的性质可得，根据矩形的判定可得四边形为矩形． (1) 小问详解： 作法：延长，以为圆心，的长为半径，在的延长线上画弧，即为点；连接，分别以，为圆心，的长为半径，在的上方画弧，两弧交于一点，连接该点与点，与交于一点，即为点 (2) 小问详解： 略 【点睛】 本题考查了尺规作图，菱形的性质，平行四边形的性质，平行线的性质，矩形的判定等，解题的关键是根据要求尺规作图． 22．（25-26学年九上·重庆礼嘉中学校·期末）学习过程中，小胡发现：四边形是平行四边形，平分交于点，若过点作的垂线，交于点，交于点，连接，则必有四边形为菱形．为验证此规律的正确性，小胡思路是：在下图中，过点作的垂线，再通过证明全等得出结论．请完成以下作图与填空：    （1）用直尺和圆规在下图的基础上过点作的垂线，交于点，交于点，再连接．（只保留作图痕迹） （2）求证：四边形为菱形请补全下列过程． 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴       ①       ， ∴       ②       ， ∴． ∵， ∴ ∴在和中， ∴（）， ∴     ③       ． ∴． 又∵， ∴            ④              又∵， ∴四边形是菱形． 【答案】（1） 解：如图所示，          （2）① ∠；②；③；④ 四边形为平行四边形．      【分析】 （1）根据尺规作垂线，作于点，交于点即可； （2）先证，从而得．进而证四边形为平行四边形．最后再由，即可证明结论成立． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 【点睛】 本题主要考查了尺规作垂线、角平分线的定义、全等三角形的判定及性质、平行四边形的判定以及菱形的判定，熟练掌握菱形的判定定理及全等三角形的判定及性质是解题的关键． 23．（25-26学年九上·重庆南开中学校·期中）如图，在菱形 中，对角线 交于点 ，动点 从 出发，以每秒 个单位长度的速度沿折线 运动，同时动点 从 出发，以每秒 个单位长度的速度沿 运动，当点 到达点 时， 两点同时停止运动． 设运动时间为 秒 的面积为 ， 的面积与点 的运动路程之比为 ． （1）请直接写出 分别关于 的函数表达式，并写出自变量 的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出函数 的图象，并写出函数 的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出 时 的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过 ）． 【答案】（1） ；     （2）如图： 当时，随的增大而增大；     （3）      【分析】 （1）分别考虑当两种情况与的函数关系式；利用面积与路程之比可直接求得与的关系式； （2）画出函数图象，并描述函数性质； （3）根据图象找出符合不等关系的的值． (1) 小问详解： 解：过点作于点， ∵菱形中， ∴ ∴ 当时，，， ∴ 当时，，， ∴， ∵，点的运动路程为：， ∴ (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 由图象可知： 【点睛】 本题考查了动点类的问题，涉及求函数解析式，一次函数与反比例函数的图象与性质，解直角三角形，菱形的性质，画函数图象等知识点，正确求出函数解析式是解题的关键． 24．（25-26学年九上·重庆云阳县第二初级中学·期中）如图，菱形的边长为4，，过点B作交于点E，连接，F为的中点，连接交于点G，则的长为　　　　． 【答案】 【分析】 如图，取为的中点，由菱形的性质得，再由三角形中位线定理得，然后证，得，进而由勾股定理即可得出结论． 【详解】 解：如图，取为的中点，    ∵菱形的边长为， ∴， ∵为的中点，为的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ， ， ， 在和中， ， ， ， 在中，由勾股定理定理得：， 故答案为：． 【点睛】 本题考查了菱形的性质、三角形中位线定理、全等三角形的判定与性质、含角的直角三角形的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质，证明三角形全等是解题的关键． 25．（25-26学年九上·重庆杨家坪中学·期中）如图，在菱形中，，，菱形的高为　　　　　，若点为线段上的动点，四边形为平行四边形，则的最小值为　　　　　　　　　　． 【答案】①     ② 【分析】 设与的交点为O，过点D作于点P，则是菱形的高．根据菱形的对角线互相垂直平分，结合勾股定理求出菱形的边长，再由菱形的面积即可求出菱形的高．利用四边形为平行四边形，得出，，由为线段上的动点，可知、运动方向和距离相等，利用相对运动，可以看作是定线段，菱形在方向上水平运动，过点作的平行线， 过点作关于线段的对称点，由对称性得，则，当且仅当、、依次共线时，取得最小值，此时，交于点，延长交延长线于点，分别证明四边形和四边形是矩形，求出，，再利用勾股定理求出即可． 【详解】 解：设与的交点为O，过点D作于点P，则是菱形的高． ∵四边形是菱形， ∴，，， ∴在中，， ∵，或， ∴，即， ∴， ∴菱形的高为． ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∵为线段上的动点， ∴可以看作是定线段，菱形在方向上水平运动， 则如图，过点作的平行线， 过点作关于线段的对称点， 由对称性得， ∴，当且仅当、、依次共线时，取得最小值， 此时如图，交于点，延长交延长线于点， 由题可得， ∴由对称性可得， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴，， ∴， 即的最小值为， 故答案为：；． 【点睛】 本题考查菱形的性质，平行四边形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理，轴对称的性质，两点之间线段最短，根据题意结合相对运动得出运动轨迹，再利用将军饮马解决问题是解题的关键． 26．（25-26学年九上·重庆西南大学附属中学校·期中）小明在研究等腰直角三角形的性质的时候，发现过顶点作的角平分线，再作的垂直平分线可以构造菱形，并且部分图形在面积上也有一定的关系．请你根据小明的思路，完成以下作图和填空． （1）尺规作图：作线段的垂直平分线，垂足为点，交于点，交于点，连接，．（不写作法，保留作图痕迹） （2）求证：四边形是菱形，且． 证明：垂直平分， ①_____，，， 平分， ②_____， 在和中， ， ， ③_____， ， 四边形是菱形， ，， ④_____，， ， 在等腰中，，， ， 是等腰直角三角形， ， ． 【答案】（1） 如图：      （2）①②③④      【分析】 （1）按照垂直平分线的画法作图，再连接、即可； （2）根据垂直平分线的性质可得，，，由平分，得到，即可证明，得出，即可证明四边形是菱形，所以，，可得出，据此填空即可． (1) 小问详解： 解：分别以，为圆心，以大于为半径画四个圆弧，交于两点，连接两个交点分别交、、于点、、，连接、； (2) 小问详解： 略 【点睛】 本题考查了垂直平分线的性质和画法，全等三角形的性质和判定，相似三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 27．（25-26学年九上·重庆第九十五初级中学校·期中）如图，四边形是平行四边形，是对角线． （1）用尺规完成以下基本作图：作的垂直平分线，分别交、、于点E、F、O；（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）所作的图形中，连接、，猜想四边形的形状，并证明你的结论． 解：猜想四边形的形状为菱形，证明如下： 是的垂直平分线，∴，，①____________ 又∵四边形是平行四边形，∴②____________，∴． 在和中，∴ ∴④____________，∴，∴四边形是菱形． 【答案】（1） 如图，为所求      （2）菱形， ，，，      【分析】 本题考查了作图一基本作图∶熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键，也考查了线段垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质、菱形的判定与性质， （1）利用基本作图作的垂直平分线即可； （2）先根据线段垂直平分线的性质得到， ， ，再证明得到，则，于是可判断四边形是菱形． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 28．（25-26学年九上·重庆巴蜀中学·期中）如图，在菱形中，对角线相交于点O，，，动点E从点A出发，向点C运动，速度为每秒个单位，点F从点D出发，向点B运动，速度为每秒2个单位，点E，F同时开始运动，当点E到达C点时，两点同时停止运动．连接，，设点E的运动时间为的长度为，的面积记为，的面积记为，． （1）请直接写出，分别关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出，的图像，并写出函数的一条性质； （3）结合函数图像，请直接写出当时x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过）． 【答案】（1） ，     （2） 作图： 当，随x增大而减小，当，随x增大而增大；     （3）（答案不唯一）      【分析】 本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，列函数表达式，画函数图像，根据图像求不等式的解集，解题的关键是掌握数形结合的思想． （1）根据菱形的性质求出相关线段的长度，确定自变量的取值范围，然后分情况进行求函数表达式即可； （2）利用描点法画出函数的图像即可； （3）根据函数图像及其交点可得不等式的解集． (1) 小问详解： 解：∵四边形为菱形， ∴ 设点E的运动时间为，当时，则，, 由勾股定理得； 当时，则，, 由勾股定理得； 综上， ； ，， ∴； (2) 小问详解： 解：当时，，此点为空心圆； 当时，； 当时，，此点为空心圆； 根据两点确定一条直线，画出图像即可； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； (3) 小问详解： 解：根据函数图像及其交点可得，当时， ． 29．（25-26学年九上·重庆江津区实验中学·期中）如图，在菱形中，，对角线相交于点O，点E是对角线上的一个动点，连接，将线段绕点B逆时针方向旋转，连接，则的最小值是　　　　　　　　　　　 ． 【答案】1 【分析】 根据菱形的性质推出是等边三角形，得到，连接，证明，得，得到点F在射线上，当时，有最小值，最小值为1，即可得到答案． 【详解】 解：连接． ∵四边形是菱形，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵将绕点B按逆时针方向旋转，得到， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点F在过点D与成的射线上移动， ∴当时，有最小值， ∴的最小值为， 故答案为：1． 【点睛】 本题考查旋转的性质，等边三角形的判定和性质，菱形的性质，勾股定理，含30度的直角三角形，解题的关键是掌握相关知识解决问题． 考点05 正方形 1．（25-26学年九上·重庆开州中学·期中）下列说法正确的是（       ） A. 平行四边形的邻边平行且相等 B. 矩形的对角线互相垂直 C. 菱形的四个内角都是直角 D. 正方形的两条对角线互相垂直平分且相等 【答案】D 【分析】 本题考查（特殊）平行四边形的性质，根据相关四边形的性质，进行判断即可． 【详解】 解：A、平行四边形的对边平行且相等，原说法错误，不符合题意； B、矩形的对角线互相平分且相等，原说法错误，不符合题意； C、矩形的四个内角都是直角，原说法错误，不符合题意； D、正方形的两条对角线互相垂直平分且相等，原说法正确，符合题意； 故选D． 2．（25-26学年九上·重庆第九十五初级中学校·期中）如图，在正方形中，点E在线段上，点F在的延长线上，连接，点G为线段的中点，连接，满足，，则的值为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，三角形中位线定理，全等三角形的判定和性质．取的中点H，连接，设，结合正方形的性质可证明，可得，从而得到，再结合三角形中位线定理，可得，然后根据勾股定理可得，即可求解． 【详解】 解：如图，取的中点H，连接， 设， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵线段的中点为点H， ∴， ∴， ∵点G为线段的中点， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 3．（25-26学年九上·重庆长寿中学校·期中）正方形具有而矩形不一定具有的性质是（　　） A. 对角线互相垂直 B. 对角线相等 C. 对角线互相平分 D. 对角相等 【答案】A 【分析】 本题主要考查了矩形、正方形的性质，根据正方形和矩形的性质逐项分析可得结论． 【详解】 解：A、正方形的对角线相等且互相垂直，矩形的对角线只相等但不垂直，正方形具有而矩形不一定具有的性质是对角线互相垂直，故A选项符合题意； B、正方形和矩形的对角线都相等，故B选项不符合题意； C、正方形和矩形的对角线都互相平分，故C选项不符合题意； D、正方形和矩形的对角都相等，故D选项不符合题意； 故选：A． 4．（25-26学年九上·重庆渝北区石鞋学校）如图，正方形的边长为6，为等腰直角三角形，，，连接、，点为的中点，连接的最小值为（       ） A. 3 B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 延长至点G，使，交于点K，连接，设交于点M，过点F作，垂足为点N，则，证明，可得，再由，可得，从而得到，进而得到，可证明，从而得到，，可得到是等腰直角三角形，进而得到当最小时，最小，此时取得最小值，为，即可求解． 【详解】 解：如图，延长至点G，使，交于点K，连接，设交于点M，过点F作，垂足为点N，则， ∵点为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵正方形的边长为6， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴当最小时，最小，此时取得最小值，为， ∵， ∴当点B，E，C三点共线时，取得最小值，为3， 此时， ∴的最小值为． 故选：D 【点睛】 本题主要考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理等，根据题意证明是解题的关键． 5．（25-26学年九上·重庆礼嘉中学校·期中）如图，在正方形中，，是的中点，将沿翻折至，连接，则的长度是（     ） A. 2 B.  C. 3 D.  【答案】B 【分析】 本题考查了翻折变换，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，掌握折叠的性质是本题的关键． 连接，交于H，由勾股定理可求的长，由折叠的性质可得，由面积法可求，根据勾股定理可求的长，由三角形中位线定理即可得出结果． 【详解】 解：如图，连接，交于H，     ∵在正方形中，，E是的中点， ∴， ∴， ∵将沿翻折至， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 6．（25-26学年九上·重庆凤鸣山中学·期中）如图，四边形是正方形，点是边上一点，，交的延长线于点，连接．若，，则的长是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题主要涉及正方形的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理等数学概念． 过点作交于点，通过构造全等三角形，将已知线段、与正方形的对角线建立联系，进而求出的长度． 【详解】 解：过点作交于点． 四边形是正方形， ，， ， 又，即， ， ． ，， ， ， ， 又，，， ． 在和中， ， ． ，． ，， 根据勾股定理． ． 在中，， ． 故选∶A． 7．（25-26学年九上·重庆开州中学·期中）如图，正方形，分别取和边的中点、，连接、连接相交于点，连接，若，则的度数为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 过点C作于点H，证明，则，得到，设，则，由勾股定理得，，由等积法得到，由勾股定理得，证明，则，得到，则为的垂直平分线，由等腰三角形的性质得到，则，即可得到． 【详解】 解：过点C作于点H，如图， ∵四边形为正方形， ∴， ∵和边的中点、， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得，， 由三角形面积公式得， ， ∴， 在中，由勾股定理得，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴为的垂直平分线， ∴， ∴是等腰三角形， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：D 【点睛】 此题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、勾股定理、线段垂直平分线的性质等知识，熟练掌握相关性质，灵活应用勾股定理及三角形面积公式进行计算是解题的关键． 8．（25-26学年九上·重庆第二外国语学校·期中）下列命题正确的是（     ） A. 有三个角是直角的平行四边形是正方形 B. 一组邻边相等的四边形是菱形 C. 有一个角是直角的平行四边形是矩形 D. 对角线相等的四边形是矩形 【答案】C 【分析】 本题考查命题与定理，矩形、菱形、正方形的判定定理，需根据各图形的定义和判定条件判断选项正误． 【详解】 解：A、有三个角是直角的平行四边形是矩形，故原命题错误，不符合题意； B、一组邻边相等的平行四边形是菱形，故原命题错误，不符合题意； C、有一个角是直角的平行四边形是矩形，故原命题正确，符合题意； D、对角线相等的平行四边形是矩形，故原命题错误，不符合题意． 故选：C． 9．（25-26学年九上·重庆合川区十一·期中）如图，点、分别在正方形的边、上，，已知，，则（       ） A. 6 B. 15 C. 12 D. 30 【答案】B 【分析】 作交的延长线于点，证、即可求解． 【详解】 解：作交的延长线于点，如图：     设，则 ∵ 解得： ∴ 故选：B 【点睛】 本题考查了“半角模型”，熟记相关模型的构成、求解及结论是解题关键． 10．（25-26学年九上·重庆万州国本中学校·期中）如图，已知正方形的边长为，点是正方形的边上的一点，点关于的对称点为，若，则的长为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了正方形的性质，折叠变换，全等三角形的判定和性质，勾股定理；延长交于，连接，根据正方形的性质得到，，由折叠的性质得到，通过，于是得到．由等腰三角形的性质得到，由余角的性质得到，于是求得，得，，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】 解：如图，延长交于，连接， 四边形是正方形， ，， 点关于直线的对称点为， ， 在与中， ， ， ， ， ，， ， ， 正方形的边长为， ， 设， ， 即， 解得：． 故答案为：． 11．（25-26学年九上·重庆第万州三中学·期中）如图，在正方形中，为上一点，在的延长线上，连接，，，点为的中点，连接．若，，则的值为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的中位线性质、勾股定理等知识，构造三角形的中位线求解是解答的关键．先证明得到，设，则，则，，取的中点H，连接，则，利用三角形的中位线性质得到，，在中，利用勾股定理求得，进而可求解． 【详解】 解：∵四边形是正方形， ∴，， ∴，又， ∴， ∴，设， ∵， ∴，则，， 取的中点H，连接，则， ∵点为的中点， ∴为的中位线， ∴，， ∴， 在中，， ∴， ∴， 故选：C． 12．（25-26学年九上·重庆双桥中学·期中）如图，点是正方形对角线上一点，点在上且，连接，，若，，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 先证明得到，进而得到，，由直角三角形两锐角互余得，根据平角的定义得，两式相加整理再进行等量代换即可求解． 【详解】 解：在正方形中，是对角线，， ∴， ， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， 将① ② 两式相加可得， ∴， ， ， ∵，， ∴， 故选：B． 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，角的和差等，正确识图并进行等量代换是解题的关键． 13．（2026·重庆广益中学·模拟）如图，在正方形中，是对角线的中点，为正方形内的一点，连接，，使得，延长与的角平分线交于点．若，连接，则的度数为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 连接，先证明∴，得到，从而得，继而，然后利用直角 三角形的性质，得出，从而有，然后由三角形外角的性质可求解． 【详解】 解：连接，如图， ∵正方形 ∴，， ∵ ∴，， ∴， ∵是的角平分线 ∴ ∵，，， ∴ ∴， ∴ ∴ ∴ ∴ ∵是对角线的中点， ∴ ∴ ∴ 故选：A． 【点睛】 本题考查正方形的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，全等三角形的判定与性质，证明是解题的关键． 14．（25-26学年九上·重庆十一中教育）小琦在复习几种特殊四边形的关系时整理如图，（1）（2）（3）（4）处需要添加条件，则下列条件添加错误的是（     ） A. （1）处可填 B. （2）处可填 C. （3）处可填 D. （4）处可填 【答案】B 【分析】 本题主要考查特殊四边形的关系，熟练掌握特殊四边形的判定是解题的关键． 根据四边形的判定定理进行判断即可． 【详解】 A．对角线相等的平行四边形是矩形，则（1）处可填， 选项A正确，不符合题意； B．邻边相等的矩形是正方形，是对边，不能得到矩形是正方形， 选项B错误，符合题意； C．邻边相等的平行四边形是菱形，则（3）处可填，选项C正确，不符合题意； D．由四边形是菱形，则， 当时，解得，有一个角是直角的菱形是正方形，故D正确，不符合题意． 故选：B． 15．（25-26学年九上·重庆云阳县第二初级中学·期中）如图，在正方形中，，E是线段上一点，，连接，过点作，且，连接，则的长度为（       ） A. 3 B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、矩形的判定和性质，以及勾股定理的应用．解题的关键是构造直角三角形．过F作交延长线于G， 过F作交延长线于H，先证，再证四边形是矩形，由勾股定理求出的长度． 【详解】 解：过F作交延长线于G， 过F作交延长线于H， ． 是正方形， ，． ， ． ，， ． 在和中 ． ，． ． ， 四边形是矩形． ，． ． ． 故选：B． 16．（25-26学年九上·重庆铁路中学校·期中）如图，正方形中，点是边上的一点，点在边的延长线上，且，连接，交边于点．点为的中点，连接并延长交于点．若时，则的长度为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质等知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 连接，，，先证明，得到直线是线段的垂直平分线，设，利用勾股定理解答即可． 【详解】 解：连接，，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵ ， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴直线是线段的垂直平分线， ∴， 设， ∵，， ∴，，， 在中，根据勾股定理，得， 解得， ∴，，，，， ∴， 故选：A． 17．（25-26学年九上·重庆第七中学校·期中）如图，在正方形中，点E在边上，点F在的延长线上，G在上，，且，连接，则的值为（     ） A.  B.  C.  D. 2 【答案】A 【分析】 此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，理解正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质是解决问题的关键． 连接，过点G作直线于点M，交于点N，证明和全等得，再证明进而可证明和全等得，由此得，则是等腰直角三角形，由勾股定理得，继而得，即可解答． 【详解】 解：连接，过点G作直线于点M，交于点N，如图所示： ∵四边形是正方形， ∴，，， 在和中， ∴ ∴， ， ∴是等腰直角三角形， 又∵， ， ， ， ， ， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ， ， ， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， 由勾股定理得：，且， ∴． 故选：A． 18．（25-26学年九上·重庆长寿实验中学校·期中）如图，正方形的边长为，点E是边上的中点，连接，将沿直线翻折到正方形所在的平面内，得，延长交于点G，连接，则的面积为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 连接，根据正方形的性质和翻折的性质证明，设，利用勾股定理列出方程求解，然后利用底边的比求三角形的面积即可． 【详解】 解：如图，连接， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵点是边上的中点， ∴， 由翻折的性质得，，，， ，， 又∵， ∴， ∴， 设，则，， 由勾股定理得， 即， 解得， ∴，， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】 本题考查了正方形的性质，翻折的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，利用底边的比求三角形的面积等知识点，解题的关键是熟练掌握以上性质． 19．（25-26学年九上·重庆江津区实验中学·期中）如图，点在正方形的边上，将绕点顺时针旋转到的位置，连接，过点作的垂线，垂足为点，与交于点．若，，则的长为（       ） A.  B.  C. 4 D.  【答案】B 【分析】 根据正方形性质和已知条件可知BC=CD=5,再由旋转可知DE=BF,设DE=BF=x，则CE=5-x，CF=5+x，然后再证明△ABG∽△CEF，根据相似三角形的性质列方程求出x，最后求CE即可． 【详解】 解：∵， ∴BC=BG+GC=2+3=5 ∵正方形 ∴CD=BC=5 设DE=BF=x，则CE=5-x，CF=5+x ∵AH⊥EF，∠ABG=∠C=90° ∴∠HFG+∠AGF=90°，∠BAG+∠AGF=90° ∴∠HFG=∠BAG ∴△ABG∽△CEF ∴ ,即，解得x= ∴CE=CD-DE=5-=． 故答案为B． 【点睛】 本题考查了正方形的性质和相似三角形的判定与性质，根据相似三角形的性质列方程求出DE的长是解答本题的关键． 20．（九·重庆铜梁·期末）在学习了正方形之后，“读思悟”数学学习小组进行了拓展性研究，他们发现正方形的一个有趣的结论，现在你作为他们小组的同伴，请根据他们的想法和思路，完成以下作图和填空： 第一步：作垂线．如图，在正方形中，点是边上一点，连接．用尺规完成基本作图：过点作的垂线，交于点，垂足为点． 第二步：利用全等证明． 证明：四边形是正方形， _________，， ， ， ， ． 在和， ． ． 【答案】如图所示，即为所求作的垂线， ；； 【分析】 本题考查了尺规作图，作垂线，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，灵活运用相关知识是解题的关键．以点为圆心，长为半径画弧，与相交于一点，分别以此点和点为圆心，任意长为半径画弧，两弧相交于一点，过点和该点作射线，交于点，垂足为点；由正方形的性质可得，，由垂直的定义可得，进而得到，证明，最后根据全等三角形的性质即可证明结论． 【详解】 证明：四边形是正方形， ，， ， ， ， ． 在和， ， ． ． 故答案为：；；． 21．（25-26学年九上·重庆第三十七中学校·期中）下面是小明设计的“在一个三角形中作内接菱形”的尺规作图过程． 已知：； 求作：菱形（点E在上，点D在上，点F在上）； 作法：①作的角平分线，交于点D； ②作线段的垂直平分线，交于点E，交于点F； ③连接、． 所以四边形为所求的菱形． 根据小明设计的尺规作图过程， （1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） （2）完成下面的证明： 证明：平分， ∴        ①         是线段的垂直平分线， ， ， ， ，．（        ②        ）（填推理的依据） 四边形为平行四边形． ， 四边形为菱形．（        ③        ）（填推理的依据） （3）小张采用小明设计的方法，作出了的一个内接菱形，他发现这个菱形是正方形，那么一定是一个       ④       三角形（填形状）． 【答案】（1） 四边形即为所求：      （2）；内错角相等，两直线平行；一组邻边相等的平行四边形是菱形     （3）直角      【分析】 本题考查了菱形的判定，尺规作图，线段垂直平分线的性质，正方形的判定． （1）根据题意直接作图即可； （2）由作图可得平分，是线段的垂直平分线，利用线段垂直平分线的性质，等边对等角以及角平分线的定义可得，，利用平行线的判定可得，，进而可得四边形为平行四边形，再根据一组邻边相等的平行四边形是菱形即可得到结论； （3）在菱形的基础上加上一个内角或者对角线相等即可得到正方形，据此判断即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：由（2）可得的内接四边形为菱形，要使四边形为正方形，则四边形四个内角都为，即，即为直角三角形， ∴小张采用小明设计的方法，作出了的一个内接菱形，他发现这个菱形是正方形，那么一定是一个直角三角形（填形状）， 故答案为：直角． 22．（25-26学年九·重庆綦江区未来学校·期中）如图，正方形中，E为边上一点，F为边上一点，且．连接，，交对角线于G，连接．若，则　　　　　　　　　　　　　　　．（结果用的代数式表示） 【答案】 【分析】 本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，根据正方形的性质得出，进而利用证明，进而利用全等三角形的性质和三角形的内角和定理解答即可． 【详解】 解：∵四边形是正方形， ∴，，， 在与中， ， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 23．（25-26学年九上·重庆合川中学）在学习了平行四边形与正方形的相关知识后，智慧小组进行了更深入的探究．他们发现，如图所示的正方形，分别取，的中点，，连接，交于点，过作的垂线，交于点，交于点．则四边形是平行四边形． （1）用尺规完成以下基本作图：过作的垂线，交于点，交于点（只保留作图痕迹）． （2）根据（1）中所作图形，智慧小组发现四边形是平行四边形成立，并给出了证明，请补全证明过程． 证明：∵四边形是正方形，∴，，．又∵，分别为，的中点，∴，，∴     ①     ，在与中， ∴．∴     ②     ．又∵，∴， ∴，又∵，∴，∴     ③     ．又∵ ∴四边形是平行四边形． 进一步思考，智慧小组发现任取，的上点，（不与，重合），，连接，，过作的垂线，交于点，则四边形是     ④     ． 【答案】（1） 如图所示，点Q，点P为所求，      （2）；；；进一步思考：四边形是平行四边形      【分析】 （1）利用尺规基本作图——经过直线外一点作已知直线的第一线作法作出图形即可； （2）先证明，得到．从而证得，即可得到．又由正方形的性质得，即可得出结论； 进一步思考：证明，得到，再证明，又由正方形的性质得，即可得出结论． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 证明：∵四边形是正方形， ∴，，． 又∵，分别为，的中点， ∴，， ∴， 在与中， ∴． ∴． 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 又∵ ∴四边形是平行四边形． 进一步思考：如图， ∵四边形是正方形， ∴，，． 在与中， ∴． ∴． 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 又∵ ∴四边形是平行四边形． 故答案为：平行四边形． 【点睛】 本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，尺规基本作图—作垂线，平行四边形的判定．熟练掌握正方形的性质，和平行四边形的判定是解题的关键． 24．（25-26学年九上·重庆南开中学校）在学习了三角形和平行四边形的相关知识后，小明发现：在等腰中，，点是的中点，过点作交的延长线于点，的平分线与延长线相交于点，连接，则四边形为菱形．请根据他的思路完成以下作图和推理填空： （1）用尺规完成以下基本作图：作的平分线交延长线于点，连接；（不写作法，保留作图痕迹） （2）求证：四边形为菱形． 证明：∵， ∴______， ∵是的中点， ∴， 在和中， ∴ ∴______， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ______， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是菱形； 小明进一步研究发现：若，则四边形为_________． 【答案】（1） 如图，      （2）；；；正方形．      【分析】 本题考查了尺规作图，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，菱形、正方形的判定，掌握知识点的应用是解题的关键． （）作平分线即可； （）由，则，证明，所以，再证明四边形是平行四边形，又，从而可知平行四边形是菱形，再通过正方形的判定即可求证． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 25．（25-26学年九上·重庆第三十七中学校·期中）在正方形中，为边上一点（不与点、重合），垂直于的一条直线分别交、、于点、、，正方形的边长为6． （1）如图1，当点和点重合时，若，求线段的长度； （2）如图2，当点在边上时，判断线段、、之间的数量关系，并说明理由； （3）如图3，当垂足在正方形的对角线上运动时，连接，将沿着翻折，点落在点处，的中点为，直接写出的最小值． 【答案】（1）； （2）； 理由如下： 过点作于，如图2所示： 则四边形为矩形， ，， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ，即； （3）． 【分析】 （1）证，得，由勾股定理得，证，得，则，再由勾股定理即可得解； （2）过点作于，证，得，进而得出结论； （3）连接交于点，则的直角顶点在上运动，设点与点重合时，则点与点重合；设点与点重合时，则点的落点为，当点在线段上运动时，过点作于点，过点作交延长线于点，连接，证，得，易证，得，推出，则，，证，得，，易证是等腰直角三角形，得，推出，，则，得，得出点在线段上运动，过点作，垂足为，则当与重合时，最短，即可得出结果． 【详解】 解：（1）四边形是正方形， ，， ，点和点重合， ，，， ， 在和中， ， ， ， ， ， 由勾股定理得：， ， ，， ， ， ， 在中，由勾股定理得：； （2） 略 （3）连接交于点，如图3所示： 则的直角顶点在上运动， 设点与点重合时，则点与点重合； 设点与点重合时，则点的落点为， ，， ， 当点在线段上运动时，过点作于点，过点作交延长线于点，连接， 点在上， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ，， 由翻折性质得：， 在和中， ， ， ，， 是正方形的对角线， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， 点在线段上运动； 过点作，垂足为， 则当与重合时，最短， 点为的中点， ， 在等腰中，， 的最小值为． 【点睛】 此题主要考查四边形的综合性质与应用，解题的关键是熟知全等三角形的判定与性质、正方形与等腰三角形的性质定理． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 四边形 5大高频考点概览 考点01 四边形及其内角和 考点02 多边形及其内角和 考点03 矩形 考点04 菱形 考点05 正方形 考点01 四边形及其内角和 1．（25-26学年九上·重庆南开中学校·期中）学习了尺规作图后，小南进行了拓展性研究．他发现：在等腰中， ，点是的中点，过点作交于点，在上方作，延长交于点，则四边形是平行四边形，且 ．请根据他的思路完成以下作图和推理填空： （1）利用尺规作图：作，延长交于点（不写作法，保留作图痕迹）； （2）求证：四边形为平行四边形，且． 证明：∵ ， ∴ _____①_____， ∵ ， ∴ ， ∴ _____②_____， ∵， ∴ 四边形是平行四边形， ∵是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴④_____， ∴， ∴． 考点02 多边形及其内角和 1．（2026·重庆广益中学·模拟）若一个多边形的内角和是其外角和的3倍，则这个多边形的边数是　　　　　　． 2．（25-26学年九上·重庆渝北区石鞋学校）一个多边形的内角和是，则这个多边形是　　　　　　　边形． 3．（25-26学年九上·重庆云阳县第二初级中学·期中）一个正多边形的内角和为，则这个正多边形的每个外角的度数为　　　　　　　　　　　． 4．（25-26学年九上·重庆渝北中学校·期中）若正多边形的每一个内角为，则这个正多边形的边数是　　　　　　　　　　． 5．（25-26学年九上·重庆开州区文峰·期中）若一个正多边形的内角都是，则这个正多边形是　　　　　　边形． 6．（2026·重庆育才中学校·三模）一个正多边形的内角和比其外角和的度数大，则它的边数是　　　． 7．（25-26学年九上·重庆第一中学校·期中）一个多边形的内角和是外角和的4倍，则这个多边形是　　　　　　　　． 8．（25-26学年九上·重庆开州中学·期中）若正多边形的一个外角为30°，则这个多边形为正　　　　　　　边形． 9．（25-26学年九上·重庆开州中学·期中）学习了四边形后，小明同学想继续探索对角互补的四边形特征，请根据他的思路完成 以下作图与填空： （1）用直尺和圆规，过点C 作交延长线于点M， 过点C 作交于 点N（只保留作图痕迹） （2）在（1）所作的四边形中，°，平分， 求证： 证明：∵平分，且， ∴         ①           且 ∵在四边形中，∴ 又∵    ∴           ②         ∴（        ③         ） ∴ 小明同学进一步研究发现，对角互补的四边形，若对角线平分一个内角，则均有以上特 征．请你依照题意完成下面结论：对角互补的四边形，若对角线平分一个内角，则被此对角线平分为相等的那两个小角   ④    考点03 矩形 1．（25-26学年九上·重庆第三十七中学校·期中）下列命题正确的是（　　） A. 四条边都相等的四边形是正方形 B. 对角线互相垂直的四边形是菱形 C. 有一个角是直角的平行四边形是矩形 D. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 2．（九·重庆铜梁·期末）如图，矩形中，，，作的平分线交对角线于点，过点作交于点，若，则的长是（     ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年九上·重庆朝阳中学·期中）如图，在中，，点D是斜边的中点，，则的度数是　　　　　　． 4．（25-26学年九上·重庆江津中学校·期中）如图，在矩形中，是上一点，连接． （1）用尺规完成以下基本作图：在矩形内部作交于点（不写作法和证明，保留作图痕迹）． （2）在（1）所作的图形中，求证：四边形是平行四边形（请补全下面的证明过程，除题目给的字母外，不添加其它字母或者符号）． （2）证明： ∵四边形为矩形 ∴，，     ①      ∵ ∴     ②      ∴， ∴     ③      即     ④      又∵ ∴四边形是平行四边形． 5．（25-26学年九上·重庆开州中学·期中）如图，在矩形中，对角线，交于点O， 且的 长 为 9 ，，动点P，Q分别以每秒3个单位长度的速度分别同时从点A， 点B 出 发 ， 点P 沿A→0→C方向运动，点Q 沿折线B→0→D方向运动，当点P 到达点C 时 ，P，Q两点停止运动．设运动时间为t 秒，点P，Q 两点间的距离为y． （1）请直接写出y关于t的函数表达式并注明自变量t的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； （3）结合函数图象，直接写出当点P，Q两点距离小于5个单位长时，t 的范围．（结果保 留一位小数） 6．（25-26学年九上·重庆川外基础教）如图，在矩形中，与交于点O，，，动点P从点A出发，沿折线A→O→D方向运动，当点P运动到点D时停止运动，交于点Q，设点P的运动路程为x点P与点A，D重合时的路程不计算在内，线段的长度为y． （1）请直接写出y关于x的函数关系式并注明自变量x的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中，画出这个函数图象，并写出该函数的一条性质； （3）结合图象，直接写出的长度为3时x的值． x 2 4 6 y 3 2 3 7．（25-26学年九上·重庆暨华中学校·期中）在学习了平行四边形的相关知识后，小艾进行了更深入的研究，他发现：对于一个邻边不相等的平行四边形，作其短边的端点为顶点的一个内角的角平分线与平行四边形的边相交，再过该短边的另一个端点作这条角平分线的垂线与平行四边形的另一边相交，则这两个交点和平行四边形的另两个顶点构成的四边形是平行四边形．他的思路是通过证明三角形全等与平行四边形的判定得到此结论．根据他的想法与思路，完成以下作图和填空： （1）如图，四边形是平行四边形，的平分线与交于点E．用尺规作图：过点A作的垂线，交于点F，交于点G，连接（不写作法，保留作图痕迹）； （2）已知：四边形是平行四边形，的平分线与交于点E，点G在边上，且于点F，连接．求证：四边形是平行四边形． 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴．∵平分， ∴①_____，∴， ∴②_____． ∵，∴． 在和中 ∴， ∴， ∴③_____， ∴，即， ∵④_____， ∴四边形是平行四边形． 进一步思考，如果四边形是矩形呢？请你模仿题中的表述，写出你猜想的结论：四边形是⑤_____． 8．（25-26学年九上·重庆第九十五初级中学校·期中）如图，在矩形中，是上一点，将沿折叠，点恰好落在边上的点处，连接交于点，点为的中点，连接，若，则的长为　　　　　　　　　　． 9．（25-26学年九上·重庆万州国本中学校·期中）如图，是某公园平面图，景点在入口的正东方向1400米处，景点在入口的东北方向1200米处，景点在景点正北方向，景点在景点北偏东方向，在景点的正东方向，且景点在景点的北偏东方向．（参考数据：，） （1）求景点到的距离（结果保留根号）； （2）小希与小福同时从出发，小希选择路线游玩，小福选择路线游玩，但当小福到时接到通知处有施工无法通行（接通知的时间忽略不计），于是小福选择的小路继续到，若在整个过程中，小希与小福的速度均相同且保持不变，请通过计算说明小希与小福谁先到达处？ 10．（25-26学年九上·重庆第万州三中学·期中）小南在学习矩形的判定之后，想继续研究判定一个平行四边形是矩形的方法，他的想法是作平行四边形两相邻内角的角平分线，与两内角公共边的对边相交，如果这相邻内角的顶点到对应交点的距离相等，则可论证该平行四边形是矩形． （1）用直尺和圆规，作射线平分交于点； （2）已知：如图，在平行四边形中，平分交于点E，平分交于点，且．求证：平行四边形是矩形． 证明：，分别平分，， ，． 四边形为平行四边形， ，，     ①       ， ，， ，     ②       ， ，， ． 在和中 ， ． ， ， ，      ③       ， 平行四边形是矩形． 小南再进一步研究发现，若这组邻角的角平分线与公共边的对边延长线相交，结论仍然成立．因此，小南得出结论：作平行四边形两相邻内角的角平分线，与两内角公共边的对边（或对边延长线）相交，若这相邻内角的顶点到对应交点的距离相等，则     ④       ． 11．（25-26学年九上·重庆长寿实验中学校·期中）如图，已知在中，是边上的中线，为的中点，连接． （1）尺规作图：作，交延长线于点，连接；（保留作图痕迹，不写作法，不下结论） （2）求证：四边形是平行四边形． 证明：∵， ∴                    ． ∴，， 又∵点是中点， ∴                            ． ∴． ∴                    ． ∵是中点， ∴ ∴                      ． 又∵， ∴四边形为平行四边形． 进一步思考，当时，四边形是             ． 12．（25-26学年九上·重庆长寿中学校·期中）在矩形中，点为边的中点，连接，将沿直线翻折，使得点与点重合，的延长线交线段于点，，若点为线段的中点，则线段的长为　　　　　　． 13．（25-26学年九上·重庆渝北中学校·期中）在学习了平行四边形的相关知识后，小渝进行了更深入的研究，他发现，作平行四边形的一组对角的角平分线，与平行四边形两边相交的两点和这组对角的顶点构成的四边形是平行四边形，可利用平行四边形的判定方法得到此结论．根据他的想法与思路，完成以下作图和填空：    （1）如图，在平行四边形中，平分交于点E．用尺规作的角平分线交点F（不写作法，保留作图痕迹）． （2）已知：平行四边形中，平分交于点E，平分交于点F． 求证：四边形是平行四边形． 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，          ，∴． ∵平分，∴， 同理可得：， ∴          ， ∴，∴          ． ∴四边形是平行四边形． 进一步思考，如果四边形是矩形呢？请你模仿题中表述，写出你猜想的结论：          ． 14．（25-26学年·重庆第二外国语学校·期中）在平面直角坐标系中，点B在x轴上，点A在第一象限，，且，，点D为线段上一动点，连接． （1）如图1，当点D运动到中点时，求的长； （2）如图2，点E是上一点，将沿翻折，点A恰好落在x轴上的点F处，连接，若面积为2，求出此时点D的坐标； （3）如图3，在（1）的条件下，直线上是否存在一点M，使是直角三角形，若存在，请直接写出此时所有满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 15．（25-26学年九上·重庆开州中学·期中）如图，在矩形中，为边的四等分点（），连接，将矩形沿折叠，点落在点处，点落在点处，与交于点，连接．若，则　　　　　　，点到的距离为　　　　　　　　． 16．（25-26学年九上·重庆第二外国语学校·期中）学习了矩形之后，小明进行了拓展性研究，他发现：矩形对角线将矩形分成了四个小三角形，选择其中一组相对的三角形，作一组互为内错角的锐角的角平分线与所对的对角线相交，将这两个交点分别与另一条对角线的端点相连，所形成的四边形是平行四边形．探究过程如下： （1）用直尺和圆规，作的角平分线交于点F，连接、（保留作图痕迹，不写结论）； （2）已知：在矩形中，点O是对角线，的交点，平分，平分． 求证：四边形是平行四边形． 证明：四边形是矩形， ，， ， 平分， ①                 ， 平分， ， ②                  ， 在与中， ， ④                 ， 四边形是平行四边形． 17．（25-26学年九上·重庆朝阳中学·期中）如图，在矩形中，，分别在边和边上，于点，且为的中点，若，，则的长为　　　　　，长为　　　　　． 18．（25-26学年九上·重庆万州国本中学校·期中）如图，在中，，，．点是中点，动点，分别以每秒1个单位长度的速度同时运动，点从点出发，沿折线运动，到达点时停止运动，点从点出发，沿直线运动，到达点时停止运动，设点，点的运动时间为秒，点，之间的距离为． （1）请直接写出与之间的函数表达式并注明自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出这个函数图像，并写出该函数的一条性质； （3）结合函数图像，直接写出，两点相距大于3个单位长度时的值．（结果保留一位小数，误差不超过0.2）． 19．（25-26学年九上·重庆渝北中学校·期中）如图，在矩形 中，点为中点，连接，将沿直线翻折到矩形所在的平面内，得，延长交于点，延长交于点，交延长线于点，连接，若，，则　　　　　　， 　　　　　　． 考点04 菱形 1．（25-26学年九上·重庆广益中学·期末）如图，，对角线，交于点O，添加下列条件，能使变为菱形的是（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·重庆南开中学教共体学校·期中）如图，在菱形中，与相交于点O，的垂直平分线交于点F，连接．若，则的度数为（     ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年九上·重庆合川中学）如图，在菱形中，，，为线段上的一个动点，四边形是平行四边形，则的最小值为（     ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年九上·重庆渝北中学校·期中）如图，在平行四边形中，点为的中点，连接，平分．过点作于点，连接，过点作的角平分线交于点，连接．若，则的度数为（       ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年九上·重庆渝北区石鞋学校）如图，在中，点D为边上的中点，连接． （1）尺规作图：在下方作，交的延长线于点E，连接；（只保留作图痕迹） （2）在（1）所作的图中，若，求证：四边形是菱形．（请补全下面的证明过程） 证明：∵点D为边上的中点， ∴①______________ 在和中， ∴， ∴②__________ ∵， ∴③__________ ∴四边形是平行四边形． 又∵④__________ ∴平行四边形是菱形． 6．（25-26学年九上·重庆第三十七中学校·期中）已知，如图，在▱ABCD中，分别在边BC、AD上取两点，使得CE＝DF，连接EF，AE、BF相交于点O，若AE⊥BF． （1）求证：四边形ABEF是菱形； （2）若四边形ABEF的周长为16，∠BEF＝120°，求AE的长． 7．（25-26学年九上·重庆第一中学校·期中）如图，在菱形中，点E是边上一点，连接． （1）用尺规完成基本作图：在边的下方作交边于点F； （2）根据（1）中的作图，证明：． 证明：∵四边形是菱形， ∴，①__________． 在与中 ， ∴（），∴③__________． ∴④__________．即． 8．（25-26学年九·重庆綦江区未来学校·期中）如图，在四边形中，，连接． （1）尺规作图：作的垂直平分线交于点，交于点，交于点（不写作法，保留作图痕迹）； （2）连接，，求证：四边形是菱形．完成下列填空． 证明：， _____________①_____________， 又平分， _____________②_____________， 又， ， _____________③_____________， 又∵ 四边形是平行四边形， 又_____________④_____________， 四边形是菱形．（依据是_____________⑤_____________） 9．（25-26学年九上·重庆广益中学·期末）如图，小李在中考数学复习中，做了如下探究：在平行四边形中，对角线相交于点O，E为上一点，连接． （1）用直尺和圆规完成以下基本操作：过点C作的平行线，交于点F，连接；（不写作法，只保留作图痕迹） （2）求证：四边形为平行四边形． 证明：∵四边形为平行四边形， ①_______ ②_______ 在和中， ③_______ 四边形为平行四边形． 从以上探究过程中，小李进一步发现：若四边形为菱形，E为延长线上一点，连接，再过点C作直线的平行线，交延长线于点F，连接，则四边形的形状为④_______． 10．（25-26学年九·重庆江津区实验中学·期末）米小果同学在学习了矩形和菱形之后，发现他们的性质既有关联也有不同，为了更好的掌握相关知识，进行了以下探索，请根据他的想法与思路，完成以下作图与填空： （1）如图，在菱形中，，相交于点．用尺规在右侧作，在上截取，并连接．（保留作图痕迹，不写作法） （2）求证：四边形是矩形． 证明：四边形是菱形， ，①__________． ． ， ②__________． ， ③__________． 四边形是平行四边形， ④__________． 四边形是矩形． 米小果进一步研究发现，若把条件里的菱形改为矩形，其余作图过程均不变，则四边形的形状是⑤__________． 11．（25-26学年九上·重庆铜梁区铜梁·期中）如图，在菱形中，对角线交于点O，，动点P从点A出发，沿着折线A→O→B运动，速度为每秒1个单位长度，到达B点停止运动，设点P的运动时间为t秒，的面积为y．    （1）直接写出y关于t的函数表达式，并注明自变量t的取值范围； （2）在直角坐标系中画出y与t的函数图象，并写出它的一条性质； （3）根据图象直接写出当时t的取值范围． 12．（25-26学年九上·重庆沙坪坝区重庆第一中学校·期中）如图，在平行四边形中，是边上一点，连接． （1）用尺规完成以下操作：作的角平分线交的延长线于点，连接（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，若，求证：四边形是菱形． 证明：四边形是平行四边形， ①______，，． ∵， 在和中 ∴ ②______， ， ． ， ． ∵且， 四边形是平行四边形． 平分， ③______ ∵， ． ． ④______， 四边形是菱形． 13．（25-26学年九上·重庆开州区文峰·期中）在学习了平行四边形与特殊平行四边形的相关知识后，某数学兴趣小组进行了更深入的研究，他们发现，过平行四边形的一个顶点作邻角的角平分线的垂线，与平行四边形的边相交可以巧妙地构造菱形，根据他们的想法与思路，用直尺和圆规完成以下作图并填空：如图，平行四边形中，平分，过点作的垂线，垂足为，交线段于点，连接（保留作图痕迹）．    证明：四边形是平行四边形， ①________， ， 平分， ， ②________， ， ，， 又， ， ， ，， 垂直平分， ③________， ， 四边形是菱形． 进一步思考，如果四边形是矩形，请你模仿题中表述，可判定四边形是④________． 14．（25-26学年九上·重庆云阳县第二初级中学·期中）如图1，已知菱形的面积为20，过点作，点以每秒钟1个单位的速度沿折线方向运动，运动时间为，连接的面积为，点运动的一半路程与线段长度之和为． （1）请直接写出分别关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出函数的图象，并写出函数的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出时的取值范围．（保留一位小数，误差不超过） 15．（25-26学年九上·重庆凤鸣山中学·期中）学习了特殊平行四边形后，小明同学在数学研修活动中进行了拓展性研究．他利用菱形，借助直尺和圆规，作出了矩形．请根据她的思路完成以下作图与填空： （1）尺规作图：如图，在菱形中，对角线相交于点．在的延长线上截取，连接，再过点作的垂线交于点（只保留作图痕迹，不写作法，不另外添加字母和符号）； （2）求证：四边形为矩形． 证明：，①______． 四边形是菱形， ，，， ， ，②______， 又，四边形为③______． ，④______． ， 四边形为矩形． 16．（25-26学年九上·重庆开州中学·期中）如图，在菱形中，过点B作于点E，作于点F． （1）求证：； （2）若，求的度数． 17．（25-26学年九上·重庆合川区十一·期中）在学习了旋转的相关知识以后，我们知道菱形是中心对称图形，对角线的交点就是对称中心，于是某数学兴趣小组进行了更深入的探究与思考． （1）如图，四边形是菱形，连接．用尺规过点作的垂线，交于点，延长交直线于点，连接（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，．试探究四边形的形状，并按下列思路完成填空． 证明：∵四边形是菱形， ∴，①________， ∴②________， ∵， ∴是等边三角形． ∴． 又∵ ∴③________．（三线合一） 在和中， ， ∴． ∴④________ ∴四边形是平行四边形．（对角线互相平分的四边形是平行四边形） ∵， ∴平行四边形是菱形（有一组邻边相等的平行四边形是菱形）． 18．（25-26学年九上·重庆巴蜀中学·期中）如图，在菱形中，对角线交于点O，点E是边上一点，连接，把沿直线翻折到菱形所在平面内得到，点F正好落在的延长线上，连接．若，则的度数为　　　　　　． 19．（25-26学年九上·重庆万州国本中学校·期中）平行四边形的一组对边的中点连线的垂直平分线与平行四边形的另外一组对边所在直线交于两点，这两个点与原来的两个中点组成的四边形是菱形．为了验证这个结论，小希进行了以下操作．请按要求完成下列问题： 如图，在平行四边形中，E、F分别为边的中点，连接． （1）尺规作图：作出的垂直平分线，交直线、于点、，交于点，连接、、、；（只保留作图痕迹，不要求写作法） （2）结合（1）中图形，请你帮小希完成以下证明过程并将答案填在答题卡上对应的横线上； 证明：在平行四边形中，，，， 、分别为、的中点， ，， ∴①______，， 四边形为平行四边形， ， ②______， ， 为的垂直平分线， ∴③______， ∴四边形为平行四边形， ， 四边形为菱形． 20．（25-26学年九上·重庆长寿中学校·期中）如图，在四边形中，，，对角线，交于点O，平分，过点C作，交的延长线于点E，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，求的长． 21．（25-26学年九上·重庆十一中教育）如图，在菱形中，对角线、相交于点O．        （1）尺规作图：在的延长线上截取，连接，再过点B作的垂线交于点F（保留作图痕迹，不写作法）； （2）求证：四边形为矩形． 证明：∵ ∴    ①      ∵四边形是菱形 ∴，， ∴ ∵ ∴     ②      又∵ ∴四边形为平行四边形 ∴     ③      ∴ ∴     ④      ∴ ∴四边形为矩形． 22．（25-26学年九上·重庆礼嘉中学校·期末）学习过程中，小胡发现：四边形是平行四边形，平分交于点，若过点作的垂线，交于点，交于点，连接，则必有四边形为菱形．为验证此规律的正确性，小胡思路是：在下图中，过点作的垂线，再通过证明全等得出结论．请完成以下作图与填空：    （1）用直尺和圆规在下图的基础上过点作的垂线，交于点，交于点，再连接．（只保留作图痕迹） （2）求证：四边形为菱形请补全下列过程． 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴       ①       ， ∴       ②       ， ∴． ∵， ∴ ∴在和中， ∴（）， ∴     ③       ． ∴． 又∵， ∴            ④              又∵， ∴四边形是菱形． 23．（25-26学年九上·重庆南开中学校·期中）如图，在菱形 中，对角线 交于点 ，动点 从 出发，以每秒 个单位长度的速度沿折线 运动，同时动点 从 出发，以每秒 个单位长度的速度沿 运动，当点 到达点 时， 两点同时停止运动． 设运动时间为 秒 的面积为 ， 的面积与点 的运动路程之比为 ． （1）请直接写出 分别关于 的函数表达式，并写出自变量 的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出函数 的图象，并写出函数 的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出 时 的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过 ）． 24．（25-26学年九上·重庆云阳县第二初级中学·期中）如图，菱形的边长为4，，过点B作交于点E，连接，F为的中点，连接交于点G，则的长为　　　　． 25．（25-26学年九上·重庆杨家坪中学·期中）如图，在菱形中，，，菱形的高为　　　　　，若点为线段上的动点，四边形为平行四边形，则的最小值为　　　　　　　　　　． 26．（25-26学年九上·重庆西南大学附属中学校·期中）小明在研究等腰直角三角形的性质的时候，发现过顶点作的角平分线，再作的垂直平分线可以构造菱形，并且部分图形在面积上也有一定的关系．请你根据小明的思路，完成以下作图和填空． （1）尺规作图：作线段的垂直平分线，垂足为点，交于点，交于点，连接，．（不写作法，保留作图痕迹） （2）求证：四边形是菱形，且． 证明：垂直平分， ①_____，，， 平分， ②_____， 在和中， ， ， ③_____， ， 四边形是菱形， ，， ④_____，， ， 在等腰中，，， ， 是等腰直角三角形， ， ． 27．（25-26学年九上·重庆第九十五初级中学校·期中）如图，四边形是平行四边形，是对角线． （1）用尺规完成以下基本作图：作的垂直平分线，分别交、、于点E、F、O；（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）所作的图形中，连接、，猜想四边形的形状，并证明你的结论． 解：猜想四边形的形状为菱形，证明如下： 是的垂直平分线，∴，，①____________ 又∵四边形是平行四边形，∴②____________，∴． 在和中，∴ ∴④____________，∴，∴四边形是菱形． 28．（25-26学年九上·重庆巴蜀中学·期中）如图，在菱形中，对角线相交于点O，，，动点E从点A出发，向点C运动，速度为每秒个单位，点F从点D出发，向点B运动，速度为每秒2个单位，点E，F同时开始运动，当点E到达C点时，两点同时停止运动．连接，，设点E的运动时间为的长度为，的面积记为，的面积记为，． （1）请直接写出，分别关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出，的图像，并写出函数的一条性质； （3）结合函数图像，请直接写出当时x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过）． 29．（25-26学年九上·重庆江津区实验中学·期中）如图，在菱形中，，对角线相交于点O，点E是对角线上的一个动点，连接，将线段绕点B逆时针方向旋转，连接，则的最小值是　　　　　　　　　　　 ． 考点05 正方形 1．（25-26学年九上·重庆开州中学·期中）下列说法正确的是（       ） A. 平行四边形的邻边平行且相等 B. 矩形的对角线互相垂直 C. 菱形的四个内角都是直角 D. 正方形的两条对角线互相垂直平分且相等 2．（25-26学年九上·重庆第九十五初级中学校·期中）如图，在正方形中，点E在线段上，点F在的延长线上，连接，点G为线段的中点，连接，满足，，则的值为（     ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年九上·重庆长寿中学校·期中）正方形具有而矩形不一定具有的性质是（　　） A. 对角线互相垂直 B. 对角线相等 C. 对角线互相平分 D. 对角相等 4．（25-26学年九上·重庆渝北区石鞋学校）如图，正方形的边长为6，为等腰直角三角形，，，连接、，点为的中点，连接的最小值为（       ） A. 3 B.  C.  D.  5．（25-26学年九上·重庆礼嘉中学校·期中）如图，在正方形中，，是的中点，将沿翻折至，连接，则的长度是（     ） A. 2 B.  C. 3 D.  6．（25-26学年九上·重庆凤鸣山中学·期中）如图，四边形是正方形，点是边上一点，，交的延长线于点，连接．若，，则的长是（     ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年九上·重庆开州中学·期中）如图，正方形，分别取和边的中点、，连接、连接相交于点，连接，若，则的度数为（       ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年九上·重庆第二外国语学校·期中）下列命题正确的是（     ） A. 有三个角是直角的平行四边形是正方形 B. 一组邻边相等的四边形是菱形 C. 有一个角是直角的平行四边形是矩形 D. 对角线相等的四边形是矩形 9．（25-26学年九上·重庆合川区十一·期中）如图，点、分别在正方形的边、上，，已知，，则（       ） A. 6 B. 15 C. 12 D. 30 10．（25-26学年九上·重庆万州国本中学校·期中）如图，已知正方形的边长为，点是正方形的边上的一点，点关于的对称点为，若，则的长为（     ） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年九上·重庆第万州三中学·期中）如图，在正方形中，为上一点，在的延长线上，连接，，，点为的中点，连接．若，，则的值为（     ） A.  B.  C.  D.  12．（25-26学年九上·重庆双桥中学·期中）如图，点是正方形对角线上一点，点在上且，连接，，若，，则（       ） A.  B.  C.  D.  13．（2026·重庆广益中学·模拟）如图，在正方形中，是对角线的中点，为正方形内的一点，连接，，使得，延长与的角平分线交于点．若，连接，则的度数为（       ） A.  B.  C.  D.  14．（25-26学年九上·重庆十一中教育）小琦在复习几种特殊四边形的关系时整理如图，（1）（2）（3）（4）处需要添加条件，则下列条件添加错误的是（     ） A. （1）处可填 B. （2）处可填 C. （3）处可填 D. （4）处可填 15．（25-26学年九上·重庆云阳县第二初级中学·期中）如图，在正方形中，，E是线段上一点，，连接，过点作，且，连接，则的长度为（       ） A. 3 B.  C.  D.  16．（25-26学年九上·重庆铁路中学校·期中）如图，正方形中，点是边上的一点，点在边的延长线上，且，连接，交边于点．点为的中点，连接并延长交于点．若时，则的长度为（       ） A.  B.  C.  D.  17．（25-26学年九上·重庆第七中学校·期中）如图，在正方形中，点E在边上，点F在的延长线上，G在上，，且，连接，则的值为（     ） A.  B.  C.  D. 2 18．（25-26学年九上·重庆长寿实验中学校·期中）如图，正方形的边长为，点E是边上的中点，连接，将沿直线翻折到正方形所在的平面内，得，延长交于点G，连接，则的面积为（     ） A.  B.  C.  D.  19．（25-26学年九上·重庆江津区实验中学·期中）如图，点在正方形的边上，将绕点顺时针旋转到的位置，连接，过点作的垂线，垂足为点，与交于点．若，，则的长为（       ） A.  B.  C. 4 D.  20．（九·重庆铜梁·期末）在学习了正方形之后，“读思悟”数学学习小组进行了拓展性研究，他们发现正方形的一个有趣的结论，现在你作为他们小组的同伴，请根据他们的想法和思路，完成以下作图和填空： 第一步：作垂线．如图，在正方形中，点是边上一点，连接．用尺规完成基本作图：过点作的垂线，交于点，垂足为点． 第二步：利用全等证明． 证明：四边形是正方形， _________，， ， ， ， ． 在和， ． ． 21．（25-26学年九上·重庆第三十七中学校·期中）下面是小明设计的“在一个三角形中作内接菱形”的尺规作图过程． 已知：； 求作：菱形（点E在上，点D在上，点F在上）； 作法：①作的角平分线，交于点D； ②作线段的垂直平分线，交于点E，交于点F； ③连接、． 所以四边形为所求的菱形． 根据小明设计的尺规作图过程， （1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） （2）完成下面的证明： 证明：平分， ∴        ①         是线段的垂直平分线， ， ， ， ，．（        ②        ）（填推理的依据） 四边形为平行四边形． ， 四边形为菱形．（        ③        ）（填推理的依据） （3）小张采用小明设计的方法，作出了的一个内接菱形，他发现这个菱形是正方形，那么一定是一个       ④       三角形（填形状）． 22．（25-26学年九·重庆綦江区未来学校·期中）如图，正方形中，E为边上一点，F为边上一点，且．连接，，交对角线于G，连接．若，则　　　　　　　　　　　　　　　．（结果用的代数式表示） 23．（25-26学年九上·重庆合川中学）在学习了平行四边形与正方形的相关知识后，智慧小组进行了更深入的探究．他们发现，如图所示的正方形，分别取，的中点，，连接，交于点，过作的垂线，交于点，交于点．则四边形是平行四边形． （1）用尺规完成以下基本作图：过作的垂线，交于点，交于点（只保留作图痕迹）． （2）根据（1）中所作图形，智慧小组发现四边形是平行四边形成立，并给出了证明，请补全证明过程． 证明：∵四边形是正方形，∴，，．又∵，分别为，的中点，∴，，∴     ①     ，在与中， ∴．∴     ②     ．又∵，∴， ∴，又∵，∴，∴     ③     ．又∵ ∴四边形是平行四边形． 进一步思考，智慧小组发现任取，的上点，（不与，重合），，连接，，过作的垂线，交于点，则四边形是     ④     ． 24．（25-26学年九上·重庆南开中学校）在学习了三角形和平行四边形的相关知识后，小明发现：在等腰中，，点是的中点，过点作交的延长线于点，的平分线与延长线相交于点，连接，则四边形为菱形．请根据他的思路完成以下作图和推理填空： （1）用尺规完成以下基本作图：作的平分线交延长线于点，连接；（不写作法，保留作图痕迹） （2）求证：四边形为菱形． 证明：∵， ∴______， ∵是的中点， ∴， 在和中， ∴ ∴______， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ______， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是菱形； 小明进一步研究发现：若，则四边形为_________． 25．（25-26学年九上·重庆第三十七中学校·期中）在正方形中，为边上一点（不与点、重合），垂直于的一条直线分别交、、于点、、，正方形的边长为6． （1）如图1，当点和点重合时，若，求线段的长度； （2）如图2，当点在边上时，判断线段、、之间的数量关系，并说明理由； （3）如图3，当垂足在正方形的对角线上运动时，连接，将沿着翻折，点落在点处，的中点为，直接写出的最小值． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $