期中复习压轴专题01 解答题分类训练（15种类型75道）（压轴题专项训练，重庆专用）数学新教材人教版九年级上册

期中复习压轴专题01 解答题分类训练 （新人教版九年级，15种类型75道） 范围：第二十五章—第二十八章 知识点一 解一元二次方程 1．解方程： (1)． (2)． 2．解下列方程： (1)； (2) 3．解下列方程． (1)； (2)． 4．解下列方程： (1) (2) 5．解下列一元二次方程： (1)； (2)． 知识点二 根的判别式和根与系数关系综合 6．已知关于x的一元二次方程． (1)若方程有两个实数根，求m的取值范围； (2)设方程的两个实数根为，，若，求m的值． 7．关于的方程有两个实数根． (1)求的取值范围． (2)若比大7，求的值． 8．关于x的方程有两个不相等的实数根． (1)求k的取值范围； (2)若，求k的值． 9．已知关于x的一元二次方程． (1)若方程有实数根，求实数m的取值范围； (2)若方程的两个根分别为，且满足，求实数m的值． 10．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，． (1)求的取值范围； (2)若，求的值． 知识点三 一元二次方程相关应用题 11．立足科教兴国发展战略，助力青少年机器人大赛筹备工作，某科创工坊加工甲、乙两款智能巡线小车配件．已知单件甲型小车耗材成本比乙型多元，花费元制作甲型小车的数量与花费元制作乙型小车的数量相同． (1)分别求出甲、乙两款小车单件耗材成本是多少元？ (2)工坊原定计划安排生产甲型小车台，乙型台．为适配赛事升级要求，提升成品性能，工坊优化了生产工艺．甲型小车精简内部线路，单件成本下降元，制作数量增加台；乙型小车加装避障感应配件，单件成本增加元，制作数量减少台，这样全部耗材总费用为元，求的值． 12．重庆市江津区有“中国花椒之乡”美誉，江津九叶青花椒为当地特色农产品． (1)某农户计划采摘120斤鲜花椒，实际每小时采摘量是原计划的1.2倍，并提前1小时完成采摘，求该农户原计划每小时采摘花椒多少斤？ (2)某加工厂加工销售精品干花椒，每斤成本为25元，当售价为每斤50元时，日均售出200斤；市场调研发现，售价每上涨1元，日均少卖5斤，若要每日获利5250元，且让销量更高，则花椒售价应每斤涨价多少元？ 13．在“乡村振兴，国潮好物”直播助农活动中，某电商平台推出了两款特色农产文创产品：“古法手作茶具套装”（款）和“非遗植物染丝巾”（款）．第一周，该平台以每件30元的进价购进了、两款产品共1000件，并全部售出．其中款售价50元、款售价45元，共获利16000元． (1)求该平台第一周分别购进款，款产品各多少件？ (2)第二周，该平台再次以相同进价购进与第一周相同数量的、两款产品，并调整了售价．款的售价在第一周的基础上下调，此时款的销售量较第一周下降了；款的售价在第一周的基础上上调，此时款的销售量与第一周相同，结果第二周的总销售额与第一周的总销售额相等．求的值． 14．列方程解应用题： 如今，无人机、机器狗等玩具备受孩子们的喜爱，某工厂安排100名工人组装无人机和机器狗，每人每天可组装12架无人机或5个机器狗，且每人每天只能组装一种产品，组装160架无人机所用的时间与组装100个机器狗所用的时间相等． (1)应安排多少名工人组装无人机，多少名工人组装机器狗？ (2)由于工厂改进组装工艺，工人每人每天比原来多组装无人机架，每人每天组装机器狗的数量比原来多，工长从组装无人机的工人中调拨人增援组装机器狗，抽调后每天组装机器狗总数量比无人机的总数量仍少180个，求的值． 15．近年来，公园露营成为市民休闲的新方式．每逢周末，在各大公园总能见到成片的帐篷．某户外用品店看准商机，决定采购星空帐篷和普通帐篷两种产品进行销售．已知每顶星空帐篷的进价是每顶普通帐篷的2倍，4月份该店用5000元采购普通帐篷，8000元采购星空帐篷，结果普通帐篷的数量比星空帐篷的数量多5顶． (1)求每顶普通帐篷和星空帐篷的进价分别为多少元？ (2)4月份帐篷销售火爆，库存告急，5月份该店决定再次采购两种帐篷．其中普通帐篷的采购数量与上月相同，每顶的进价比上月降低了；星空帐篷的采购数量比上月增加了顶，每顶的进价比上月降低了，结果5月份采购这两种帐篷一共用了12000元，求m的值． 知识点四 二次函数综合题角相关 16．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴是直线． (1)求抛物线的表达式； (2)点P是直线上方抛物线上一动点，连接，点为抛物线对称轴上的动点，点E在点D的下方，且，连接．当的面积取得最大值时，求点P的坐标及的最小值； (3)在（2）中的面积取得最大值的条件下，将抛物线沿射线的方向平移个单位长度得到抛物线，点M为点P的对应点，点N为抛物线上一动点，若，请直接写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程． 17．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于，连接． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，点是线段上方抛物线上的一动点，连接．抛物线的对称轴为直线，点为轴上的动点，于点．当面积取得最大值时，求点的坐标及的最小值； (3)如图2，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，点为抛物线与轴的左侧交点，点为抛物线上的一动点．若，请直接写出所有符合条件的点的横坐标． 18．如图，在平面直角坐标系中，抛物线（）与轴交于，两点，与轴交于点，抛物线的对称轴是直线，． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，点是直线上方抛物线上的一动点，过点作轴交直线于点，交直线于点．点，为轴上的动点（点在点的上方），且，连接，．当周长取得最大值时，求点的坐标及的最小值． (3)如图2，在（2）中周长取得最大值的情况下，将抛物线（）绕点旋转得到新抛物线，点为新抛物线上的一动点（位于新抛物线对称轴左侧），当时，请求出所有符合条件的点横坐标，并写出其中一个点横坐标的求解过程． 19．如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于，两点，交轴于点． (1)求该抛物线的表达式； (2)点是直线上方该抛物线上的一动点，过点作于点，过点作轴交于点，交轴于点．点、是轴上两动点，点在点上方，且，连接，．当的周长取得最大值时，求点的坐标及的最小值； (3)在（2）的条件下，将该抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新的抛物线，是新抛物线对称轴上纵坐标为2的点，是新抛物线上一动点．若，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程． 20．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，对称轴为直线． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图1，点是直线上方抛物线上的一动点，过点作直线轴，交直线于点，为轴上一动点，且满足，点为轴上一动点，连接．当取最大值时，求点的坐标及的最小值； (3)如图2，将原抛物线沿射线方向平移个单位得到新抛物线，新抛物线与直线分别交于、点，点在新抛物线上，连接．若，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程． 知识点五 二次函数综合题特殊三角形相关 21．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于点，，其中点在轴上，点在轴上． (1)求抛物线的函数解析式； (2)为直线上方抛物线上的一个动点，过点作轴交直线于点，求的最大值和此时点的坐标； (3)如图2，在（2）问的条件下，将抛物线沿射线的方向平移，使得平移后的抛物线经过点，为新抛物线与轴的交点，是平移后新抛物线的对称轴上的动点．当是以为腰的等腰三角形时，请直接写出所有点的坐标，并把求其中一个点坐标的过程写出来． 22．如图，在平面直角坐标系中，拋物线与轴交于两点，与y轴交于点C．    (1)求的面积； (2)点P是直线下方抛物线上一动点，过作于点，求线段的最大值及此时点P的坐标； (3)将抛物线沿射线平移个单位得到新抛物线，新抛物线与原抛物线交于点，将沿直线平移得到（不与重合），若以点，，为顶点的三角形是以为腰的等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点坐标的其中一种情况的过程． 23．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴的交点为，且． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)点为的中点，过点作的平行线交轴于点，点为抛物线上第二象限内的一动点，连接，，求四边形面积的最大值及此时点的坐标； (3)将该抛物线向左平移得到抛物线，使经过原点，与原抛物线的交点为，点为抛物线对称轴上的一点，若以点，，为顶点的三角形是直角三角形，请直接写出所有满足条件的点的坐标，并把求其中一个点的坐标的过程写出来． 24．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴分别交于A、B两点，与y轴交于点C，连接，其中，． (1)求抛物线的解析式： (2)点P是直线上方抛物线上一点，过点P作轴交于点E，作轴交于点F，求的最小值，及此时点P的坐标； (3)如图2，x轴上有一点，将抛物线向x轴正方向平移，使得抛物线恰好经过点Q，得到新抛物线y1，点D是新抛物线与原抛物线的交点，点E是直线上一动点，连接，当是以为腰的等腰三角形时，直接写出所有符合条件的点E的坐标． 25．抛物线 与轴交于点和，与轴交于点，连接．点是线段下方抛物线上的一个动点（不与点，重合），过点作轴的平行线交于，交轴于，设点的横坐标为． (1)求该抛物线的解析式； (2)用关于的代数式表示线段，求的最大值及此时点的坐标； (3)过点作于点，， ①求点的坐标； ②连接，在轴上是否存在点，使得为直角三角形，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 知识点六 二次函数综合题特殊四边形相关 26．如图，抛物线交轴于，两点（点位于点的左侧），交轴于点直线：交轴于点，交抛物线于，两点．为直线下方抛物线上一动点，点，点为直线上的两个动点． (1)求； (2)如图，当轴，轴时，求的最大值及对应的点的坐标； (3)如图，将抛物线沿射线平移一定的距离得新抛物线，使得新抛物线过点，点为新抛物线的顶点，点为抛物线上的一动点，当以，，，为顶点的四边形为平行四边形时，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 27．已知抛物线的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点．和1是关于x的一元二次方程的两个根． (1)求该抛物线的解析式； (2)过点B作交抛物线于点，与y轴交于点E，P为直线下方抛物线上的一个动点，连接交于点F，求的最大值及此时点P的坐标； (3)在（2）的条件下，将该抛物线向右平移2个单位后得到新抛物线，新抛物线与原抛物线相交于点Q，点M为原抛物线对称轴上一点，在平面直角坐标系中是否存在点N，使得以点A，M，N，Q为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点N的坐标；如不存在，请说明理由． 28．如图，二次函数的图象交轴于点，，交轴于点，点是轴上一动点，轴，交直线于点，交抛物线于点． (1)求这个二次函数的解析式． (2)若点在线段上运动（点与点、点不重合），求四边形面积的最大值，并求出此时点的坐标． (3)点为抛物线的顶点，点是轴上的一个动点，点是坐标平面内一个动点，是否存在点，使以为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标，若不存在，请说明理由． 29．如图，二次函数y＝ax2＋bx＋3（a≠0）交x轴于A，C两点，交y轴于B点，A（﹣1，0），C（3，0）． (1)求二次函数的解析式． (2)如图1，点D为直线BC上方抛物线上（不与B、C重合）一动点，过点D作DF⊥x轴于F，交BC于E，求的最大值及此时点D的坐标． (3)如图2，将二次函数y＝ax2＋bx＋3沿射线AB平移个单位得到新抛物线y′，点M为新抛物线对称轴上一点，P是y＝ax2＋bx＋3的顶点，N为坐标平面内一点，使得以点P、A、M、N为顶点的四边形是矩形，请直接写出点N的坐标，并选择一个你喜欢的点写出求解过程． 30．如图，抛物线与x轴交于点A、B（点A在点B左侧），与y轴交于点C，连接BC． (1)求线段BC的长； (2)过点A作AE//BC，与y轴交于点D，与抛物线第四象限的图象交于点E，P为抛物线上位于第一象限的点，连接PE交BC于点H，连接DH，求四边形PCDH面积的最大值及此时点P的坐标； (3)将原抛物线沿射线BC方向平移个单位长度得到抛物线y'，y'与原抛物线交于点M，点N在直线BC上，且位于y轴右侧，在平面直角坐标系中是否存在点Q，使以点A、M、N、Q为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 知识点七 二次函数综合题线段最值相关 31．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点、点，与轴交于点，连接． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，点是线段下方抛物线上一点，过点作轴交线段于点，过点作轴交轴于点，求出的最大值，及此时点的坐标； (3)如图2，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，点为新抛物线上一点，且满足，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出其中一种情况的求解过程． 32．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴分别交于点、，与轴交于点，连接、，直线与抛物线的对称轴交于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若点是线段下方抛物线上的一个动点，过点作轴，交于点，过点作交抛物线对称轴于点，点为抛物线对称轴上一动点，连接，当取得最大值时，求点的坐标以及的最小值； (3)在轴上有一点，将抛物线沿射线方向平移，平移后的新抛物线恰好过点，交轴于点，连接．点在线段上运动（不与点重合），连接，且，现将线段绕点逆时针旋转得到线段，直线交新抛物线于点，若直线与直线所成锐角等于，请直接写出所有符合条件的点的横坐标，并写出求解点的横坐标的其中一种情况的过程． 33．如图1，抛物线与轴相交于点、（点在点右侧），与轴相交于点．已知点坐标为，面积为6． (1)求抛物线的解析式； (2)点是直线下方抛物线上一点，过点作直线的垂线，垂足为点，过点作轴交于点，求周长的最大值及此时点的坐标； (3)将抛物线向右平移1个单位长度得到新的抛物线，点为原抛物线对称轴上一点，点在新抛物线上，使得以点、、、为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点的坐标，并写出求解其中一个点坐标的过程． 34．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点，与x轴正半轴交于点B，连接，抛物线的对称轴为． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)点P是直线下方抛物线上的一动点，过点P作x轴的平行线交于点C，过点P作y轴的平行线交于点G，交x轴于点D，求的最大值及此时点P的坐标； (3)在（2）中取得最大值的条件下，将该抛物线沿水平方向向左平移，平移后抛物线顶点的横坐标为，点E为点P的对应点，平移后的抛物线与y轴交于点F，M为平移后的抛物线的对称轴上一点．在平移后的抛物线上确定一点N，使得以点E，F，M，N为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程． 35．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于两点，交y轴于点C，连接，． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是直线上方抛物线上一动点，过点P作于点Q，点K为直线上一动点，连接，当取得最大值时，求的最小值； (3)将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，点R为新抛物线上一动点，当时，直接写出所有符合条件的点R的横坐标，并写出求解点R横坐标的其中一种情况的过程． 知识点八 二次函数综合题面积最值相关 36．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1．点是直线上方抛物线上的一动点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，求面积的最大值及此时点的坐标； (3)如图2，连接，，抛物线上是否存在点，使？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 37．如图，在平面直角坐标系中，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，过A，C两点的抛物线与x轴交于另一点，抛物线对称轴为直线l． (1)求抛物线的解析式； (2)点M为直线下方抛物线上一点，当的面积最大时，求点M的坐标； (3)在（2）的条件下，点N为y轴上一点，求的最小值． 38．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中，，对称轴是直线．动点M以每秒1个单位长度的速度，沿x轴从点O向点B运动，设运动时间为t（）秒，过点M作x轴的垂线交于点N，交抛物线于点P． (1)求抛物线解析式； (2)抛物线的对称轴交于点E，顶点是点D，当t为何值时，四边形为平行四边形； (3)动点M开始运动时，另一动点Q同时以每秒0.5个单位长度的速度，沿x轴从点O向点A运动．当t为何值时，四边形的面积最大，并求最大面积． 39．如图，已知抛物线过点、，抛物线与x轴的另一交点B在x轴的正半轴上，过点A作直线交抛物线于点D，． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是直线下方的抛物线上一点，连接交于点E，连接，，设的面积为S，点P的横坐标为t，求S关于t的函数关系式，并求S的最大值及此时点P的坐标； (3)在（2）问的结论下，过点P作于点H，取的中点Q，连接交抛物线于点M，将绕点P逆时针方向旋转至，求N的坐标． 40．已知抛物线与轴交于点，点，与轴交于点，顶点为点，点为抛物线上的一个动点， (1)求抛物线的解析式； (2)当点在第一象限时，连接和，求面积的最大值是多少？ (3)若点在轴上，当以点，，，为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点的坐标． 知识点九 二次函数应用题 41．重庆市某景区是旅游热门景点，景区某商店有A、B两款热销冰箱贴，小鲁和小巴在旅游时购买了这两款冰箱贴，其中小鲁买件A款冰箱贴和件B款冰箱贴共花费元，小巴买件A款冰箱贴和件B款冰箱贴共花费元． (1)求A、B两款冰箱贴每件售价分别是多少元？ (2)景区内游客如潮，该商店推出了B款冰箱贴的优惠活动．若按（1）中求出的单价销售，每天可销售B款冰箱贴件．销售单价每下降元，每天可多售出件．已知B款冰箱贴成本为元，请求出B款冰箱贴每天的销售利润（元）与销售单价下降（元）（）之间的函数关系，当每件售价为多少元时，B款冰箱贴每天的销售利润最大，最大利润是多少？ 42．某服装商城进了一批羊毛衫，每件进价为元．经市场预测，销售定价为元时，一周可售出件；销售定价每降低元，一周销售量将相应增加件． (1)若商城希望销售量为一周件，则应降价多少元？ (2)假如你是商城销售部经理，进行降价促销，你会把售价降低到多少元，才能使得一周获利最多？最大利润又是多少元？ 43．为了加强中小学学生的劳动教育，2024年计划将该区的土地作为社会实践基地，该基地准备种植甲乙两种蔬菜．经调查发现：甲种蔬菜种植成本y（单位：元）与其种植面积x（单位：）的函数关系，其中；乙种蔬菜的种植成本为50元． (1)设2024年甲乙两种蔬菜总种植成本为w元，如何分配两种蔬菜的种植面积，使w最小？ (2)学校计划今后每年在这土地上，均按（1）中方案种植蔬菜，因技术改进，预计种植成本逐年下降．若甲种蔬菜种植成本平均每年下降，乙种蔬菜种植成本平均每年下降，当a为何值时，2026年的总种植成本为28920元？ 44．某抛物线形拱桥的截面图如图所示．某数学小组对这座拱桥很感兴趣，他们利用测量工具测出水面的宽为8米．上的点E到点A的距离米，点E到拱桥顶面的垂直距离米．他们以点A为坐标原点，以所在直线为x轴，建立平面直角坐标系． (1)求该抛物线所对应的函数表达式． (2)求拱桥顶面离水面的最大高度． (3)现有一游船（截面为矩形）宽度为4米，船顶到水面的高度为2米．要求游船从拱桥下面正中间通过时，船顶到拱桥顶面的距离应大于米．请通过计算说明该游船是否能安全通过． 45．问题情境 新能源汽车高质量超级充电站快速发展，致力于实现“1秒钟充电1公里”．如图1，是一个新能源超级充电站，勤思小组对该超级充电站的设计方案和消防设备进行了研究． 研究步骤 如图2是该超级充电站的截面图，是安装充电桩的墙面，是充电站顶部的膜结构棚顶，可近似地看作抛物线的一部分，以点O为原点，表示地面的直线为x轴，所在的直线为y轴，建立如图2所示的平面直角坐标系．已知，点B为所在抛物线的最高点，其坐标为． (1)求所在抛物线的函数表达式． 问题解决 如图2，点C是上干粉灭火器的安装点，是长度为的干粉灭火器装置，点D为干粉喷射点．已知干粉喷射点D距离地面时，对地面的保护半径为．对空间的保护截面可近似地看作顶点为D的抛物线与x轴组成的封闭区域．安装点C可根据需要在所在抛物线上滑动，从D点喷出的干粉形成的抛物线形状相同． (2)若干粉喷射点D距地面的高度恰好为时，灭火器喷射时能不能覆盖着火点?请说明理由． 知识点十 一次函数与反比例函数综合 46．如图，一次函数的图像与轴交于点，与反比例函数在第一象限内的图像交于点，连接． (1)求和的值． (2)求的面积． (3)当时，的取值范围是__________． 47．如图，直线与双曲线（）相交于，两点，与轴相交于点． (1)分别求一次函数与反比例函数的解析式； (2)求点的坐标． 48．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)求的面积； (3)根据图象直接写出不等式的解集． 49．如图，一次函数与反比例函数的图象交于二、四象限内的、两点，与轴交于点，过点作轴，垂足为，若，，且点的横坐标为． (1)求该反比例函数和一次函数的解析式； (2)求的面积； (3)直接写出满足的的取值范围． 50．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，点． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)根据图象，直接写出不等式的解集； (3)连接，，求的面积． 知识点十一 反比例函数系数与面积综合题 51．已知，如图1，在平面直角坐标系中，点是反比例函数图像上的一个动点，连接并延长交反比例函数的图像于点，过点A作轴于点． (1)过点作轴，垂足为点，连接．当四边形是平行四边形时，求的值； (2)连结，若，求的面积； (3)如图2，过点作，交反比例函数的图像于点，连接．试探究：对于确定的实数，动点在运动过程中，的面积是否会发生变化？若不变，求出的面积（用含有的代数式表示）；若变化，请说明理由． 52．抛物线的顶点为P，双曲线经过点P和点B． (1)求k的值； (2)轴于D，轴于C，E为上一点，连接和．求的面积； (3)在（2）的条件下，当A为中点时，经过E和A点的双曲线，求m的值． 53．如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点A、B，与x轴交于点F，与y轴交于点C，过点A作轴于点，，连接，已知：的面积等于6，点的坐标为，点的坐标为． (1)请分别求出一次函数和反比例函数的关系式； (2)若点E是点C关于x轴的对称点，求的面积； (3)根据图像直接写出关于x的不等式的解集． 54．如图，矩形的面积为，其顶点A、C分别在y轴和x轴的正半轴上．反比例函数的图像与、分别交于点、，．连结、、． (1)若的面积为3，求：的面积； (2)若，求反比例函数解析式． 55．如图，已知、B是反比例函数图象上的两个点，轴于点C，若的面积为2． (1)求m的值； (2)以边作菱形，使点D在第二象限，点E在x轴负半轴上，求菱形的面积． 知识点十二 反比例函数存在性问题 56．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第一、三象限内的A，B两点，与y轴交于点C，过点B作轴，垂足为点M，，点A的纵坐标为4． (1)求该反比例函数和一次函数的表达式； (2)直线交x轴于点D，过点D作直线轴，如果直线l上存在点P，坐标平面内存在点Q．使四边形是矩形，求出点P的坐标． 57．如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于A、两点，与x轴交于点C． (1)求反比例函数的解析式． (2)点P为y轴上一点， ①若，求点P的坐标． ②反比例函数的图象是否存在一点E，使得以A、B、P、E为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点E的坐标，若不存在，请说明理由． 58．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，，与轴交于点，其中，，均为常数． (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)根据图象，直接写出不等式的解集________； (3)在轴上是否存在点，使得为等腰直角三角形．如果存在，请直接写出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 59．如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于，两点． (1)求反比例函数的表达式． (2)如图1，将直线向上平移个单位，与反比例函数在第一象限内的图象交于点，连接，，如果的面积为，求的值． (3)在（2）的条件下，过点作的平分线的垂线，垂足为，求点的坐标． 60．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于A，两点． (1)求反比例函数的表达式及点A的坐标； (2)点是反比例函数第三象限图象上的一点，连接交轴与点，连接、，当与的面积比为时，求的面积； (3)探究在反比例函数图象上是否存在一点，点N是平面内一点，使得以A、B、M、N为顶点的四边形是矩形？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由． 知识点十三 动态几何与函数图像综合 61．如图，在中，．过点A作于点．点P为上一点（P与均不重合），，连接，点E为的中点，记点E与点P的距离为的面积为的面积为，记． (1)请直接写出分别关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数的图象，并分别写出函数的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出当时x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 62．如图，在中，边的长为，边的长为，边的中点为，连接．动点从点出发，以每秒个单位的速度沿运动，到达点停止运动．同时，点从点出发，沿着射线的方向以每秒个单位的速度运动，当点停止运动时，点也停止运动．设点的运动时间为秒（），记，． (1)请直接写出，关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出，关于的函数图象，并写出函数的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出时的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过）． 63．如图1，矩形中，．点在线段上且，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿着运动．当点运动到点时停止运动．设的面积为点的运动时间为． (1)请直接写出关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； (2)请在给定的平面直角坐标系中，画出函数的图象，并写出函数的一条性质； (3)已知函数的图象如图2所示，结合你所画的函数图象，请直接写出时的取值范围（结果保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 64．如图，在长方形中，，，动点从点出发，先以每秒个单位长度的速度沿方向运动，到达点后再以每秒个单位长度的速度沿方向运动，同时动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿方向运动．连接，过点作交于点，连接，设运动时间为（＜＜）秒，点到点的距离为，的面积为，．      (1)请直接写出，分别关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中，画出函数，的图象，并写出函数的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出时的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过）． 65．如图，长方形中，，，对角线，交于点．动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿方向运动，同时以每秒个单位长度的速度向右平移得到，与交于点，当点到达点时，和点都停止运动．设的运动时间为秒（），的面积为，的面积为，的面积为，． (1)请直接写出，分别关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象，并分别写出函数，的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出时的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过）． 知识点十四 旋转相关网格作图 66．如图所示，在平面直角坐标系内，三个顶点的坐标分别为． (1)在图中，画出向右平移6个单位得到的； (2)在图中，画出以原点O为对称中心，与成中心对称图形的，并写出点的坐标； (3)在轴上找一点P，使得最短，请直接写出点P的坐标． 67．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，的顶点均在格点上，请在所给的平面直角坐标系中解答下列问题： (1)画出绕点C顺时针旋转的△； (2)画出关于原点O成中心对称的△； (3)点P在此正方形网格第二象限内的格点上，若，则点P的坐标为_______． 68．如图，在边长为1的正方形网格中，的顶点均在格点上． (1)画出关于原点O成中心对称的图形； (2)画出绕点B顺时针旋转的图形，并求出点A旋转到点所经过的路径长（结果保留）． 69．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)画出与关于原点对称的，并写出点的坐标； (2)将绕点顺时针旋转得到，画出，并写出点的坐标． 70．如图，在平面直角坐标系内，三个顶点的坐标分别为（正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度） (1)以坐标原点O为旋转中心，将逆时针旋转，得到，请画出旋转后的，写出点的坐标； (2)求的面积． 知识点十五 旋转相关几何证明压轴题 71．如图，为等边三角形，过点作垂直于点，点为直线上一动点，连接．交于点． (1)如图，若，点在线段上且 时，求的长； (2)如图，若点在线段上，为的中点，过点作垂直于点，为上一点，满足，求证 ． (3)如图，若，过点作垂直于点，连接，点为中点，点是直线上一动点，将点绕点顺时针旋转到点．连接、，当和 均取最小时，直接写出的面积． 72．在中，点是边上一点，连接，． (1)如图1，点在线段上，连接，若关于直线成轴对称，且，求的度数； (2)如图2，在平面内将沿翻折，得到，连接并延长交的外角，的平分线于点，若，请说明； (3)在（2）的条件下，若，在平面内将绕点顺时针旋转一个角度，得到．在这个旋转过程中，直线与的边所在的直线相交于点．当为直角三角形时，请直接写出旋转角的度数． 73．如图，在等边中，点，分别是边，上的一点，． (1)如图，过点作于点，且，，求的长； (2)如图，若点是上的一点，连接交于点，且，将线段绕点顺时针方向旋转得到线段，连接，，猜想与和之间的数量关系，并证明你的猜想； (3)如图，若，，点是上的一点，连接交于点，且，点是边上的一点，连接，以为边向左侧作等边，连接，，当最小时，直接写出的面积． 74．如图，在中，，，点D在所在的平面内运动． (1)如图1，当点D在边上运动，连接，以为边在其右侧作等腰直角三角形，连接，发现，请说明理由； (2)如图2，点E为的中点，点F为的中点，为等腰直角三角形，点D在外部时，连接，以为边在其右侧作等腰直角三角形，连接和，判断与的数量关系，并证明； (3)如图3，当点D在直线上时，连接，在线段绕点B逆时针旋转得到线段，连接．若，，直接写出的面积． 75．在正中，，将绕点旋转得到线段，连接． (1)如图1，交于点，若，求的长； (2)如图2，若，在线段上取点、，使得，连接，过点作于点，求证：； (3)如图3，以线段为边作正，使得和在的同侧，为的中点，连接，请直接写出的最小值． 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 $期中复习压轴专题01解答题分类训练 (新人教版九年级，15种类型75道) 范围：第二十五章一第二十八章 知识点一 解一元二次方程 1.解方程： r-6r+5=0 22r-32x+D 【答案】1侧方=5为=1 2古- 3+V5 53西 2， 2 【详解】(1)解：x2-6x=-5, x2-6x+32=-5+32(x-3)2=4 ,即 .x-3=+2 x=5x2=1 (2)解：原方程可化为2x2-6x-3=0, ∴.a=2,b=6,c=-3 ∴.b2-4ac=36-4×2×(-3)=60>0 方程有两个不相等的实数根， x=6±v60_3t5 4 2 书=3+5 3-15 2 2 2.解下列方程： 第1页共215页 ar-4x-7=0 23x-2)=x-2 【答案】(1) x=2+i为2=2-V (2) 5-2,号 【详解】(1)解：移项得x2-4x=7, 配方得x2-4x+4=7+4, x-2)2=11 整理得 x-2=± 开方 因此=2+而.名=2- (2)解：移项得3x(x-2)-(x-2)=0, 提取公因式得(x-2)3x-1)=0, 则x-2=0或3x-1=0, 解得x=2,名=3： 3.解下列方程 (1)16(x+1-9=0 2)*x-3)=3 【答案】1)x=-4,6=-。 2)5=3+②7 3-V21 2,= 2 第2页共215页 【详解】(1)解：16(x+-9=0 (x+1)}=9 16, x+1=t3 1 7 =4,= 4: (2)解： x(x-3)=3 x2-3x=3, 2-x+=3+ --. 3 x- t②7 2 2, x=+21.3 22 考3+21 3-√21 2· 4.解下列方程： +2r=0 2r-3x-1=0 【答案】但)=0书-2 2方 3+3 2, 2 【分析】(1)用因式分解法求解即可： 第3页共215页 (2)用公式法求解即可. 【详解】(1)解：因式分解，得(x+2)=0 .x=0x2=-2 (2)解：a=1,b=-3,c=-1, ∴.b2-4ac=(-3)2-4×1×(-1)=13 x=3t3 2 =3+3 ._3-13 X2= 2 2. 5.解下列一元二次方程： -P=2 3x2-2x-4=0 (2) 【答案】山)=1+2与=1-2 2专+g 1-V13 3， x2= 3 【详解】(1)解： (x-1)2=2 x-1=t√2 x=1±√2 “x=1+V2x2=1-V2 (2)解：3x2-2x-4=0, a=3,b=-2,c=-4. △=b2-4ac=(-2)2-4×3×(-4)=52>0 第4页共215页 x2②2±2丽生丽 2×3 6 3 5=+3 _1-13 3 3 知识点三 根的判别式和根与系数关系综合 6.已知关于x的一元二次方程x2+2mx+m2-3m=0. (1)若方程有两个实数根，求的取值范围： 2设方程的两个实数根为，元，若1 x2+x号+4xx2=36 求m的值. 【答案】(1)m≥0 (2)m=3 【详解】(1)解：：该方程有两个实数根， :4=(2m-4(m2-3m)≥0 解得m≥0； (2)解：“方程的两个实数根为，方， :3+3=-2m、5x=m2-3m ÷++45=(G+广+2x5=(-2m+2(m2-3m）=36 解得m=3或-2. m≥0， ∴.m=3」 7.关于x的方程 2+k2+1=2k+1)x ,x2 有两个实数根 (1)求k的取值范围. 2法码比+品大7，求的值 第5页共215页 【答案】(1)k≥0 (2)k=4 2-2(k+1)x+k2+1=0 【详解】(1)化为一般式为 则A=4k+P-4k+刊）=8 已，行的方准41-3+r有个装数起5码.A20 ∴.k20」 (2)由根与系数的关系，得+5=2+，=2+1 5=+5+7 ∴K2+1=2(k+1)+7 得k2-2k-8=0」 解得k=-2,或k=4 由(1)k≥0，.k=4 x2+2(k-2)x+k2=0 8.关于x的方程 有两个不相等的实数根，戈」 (1)求k的取值范围： 2若+-5=-1 ,求k的值. 【答案】(1)k<1 (2)-5 【详解】(1)解：·方程 x2+2(k-2)x+k2=0 有两个不相等的实数根，5 △=62-4ac=4(k-2-4k2>0,即-16k+16>0, 解得：k<1 (2)解：+五=-2(k-2)5= 第6页共215页 :+书-5=-11 -2(k-2)-k2=-11 k=-5k3=3 解得： :k<1, .k的值为-5 2-(2m+3)x+m2+2=0 9.已知关于x的一元二次方程 (1)若方程有实数根，求实数的取值范围； 2)若方程的两个根分别为、。，且满足+=35-14， 求实数m的值. 1 【答案】(1)实数的取值范围是m之- 12 (2)m=13 2-(2m+3)x+m2+2=0 【详解】(1)解：方程 有实数根， 6-[(2m+3-4m+2列小≥0，整理得12m120:解得m≥ 12 1 :实数m的取值范围是m之-2： (2)解：由两根关系得+3=2m+3,5=m2+2 +2=3x5-14 :(G+)》-2x3=3x5-14 整理得：m2-12m-13=0 解得：m=-】(不符合要求，舍去)或m=3, ∴.m=13 10.已知关于x的一元二次方程 2-2(a-1)x+a2+5=0 有两个不相等的实数根，方 (1)求a的取值范围： 第7页共215页 2)若+号-5=2 ,求a的值 【答案】(1)a<-2 (2)-3 【详解】(1解：根据题意，得A=4(a-1刂-4(a+5)>0 解得a<-2 ∴a的取值范围为a<-2: (2)解：根据根与系数的关系得+五=2(a-)6=口+5+2-x5=2 (6+x)2-3x32=22 ∴.4(a-1)2-3(a2+5)=22 整理得0-8a-33=0,解得4=11,4=-3 a<-2 六0的值为-3 知识点三 一元二次方程相关应用题 11.立足科教兴国发展战略，助力青少年机器人大赛筹备工作，某科创工坊加工甲、乙两款智能巡线小车 配件.已知单件甲型小车耗材成本比乙型多5元，花费300元制作甲型小车的数量与花费250元制作乙型小 车的数量相同. (1)分别求出甲、乙两款小车单件耗材成本是多少元？ (2)工坊原定计划安排生产甲型小车200台，乙型300台.为适配赛事升级要求，提升成品性能，工坊优化 了生产工艺.甲型小车精简内部线路，单件成本下降a元，制作数量增加2a台；乙型小车加装避障感应配 件，单件成本增加a元，制作数量减少4a台，这样全部耗材总费用为13500元，求a的值。 【答案】(1)甲款小车单件耗材成本30元，乙款小车单件耗材成本25元 (2)a的值为10 (x+5) 【详解】(1)解：设乙型小车耗材成本元，根据题意可知甲型小车耗材成本为 元， 300250 由题意得：x+5x 第8页共215页 解得：x=25, 经检验，x=25是原方程的解，且符合题意， x+5=30, 答：甲款小车单件耗材成本30元，乙款小车单件耗材成本25元. (2)解：由(1)知甲款小车单件耗材成本30元，乙款小车单件耗材成本25元 30-a 25+a 由题意得，新的成本为：甲款小车单件耗材成本 元，乙款小车单件耗材成本 元 (30-a(200+2a+(25+a)(300-4a)=13500 整理得：a2-10a=0 a,=10a2=0 解得： (不符合题意，舍去) 答：a的值为10 12.重庆市江津区有“中国花椒之乡”美誉，江津九叶青花椒为当地特色农产品. (1)某农户计划采摘120斤鲜花椒，实际每小时采摘量是原计划的1.2倍，并提前1小时完成采摘，求该农 户原计划每小时采摘花椒多少斤？ (2)某加工厂加工销售精品干花椒，每斤成本为25元，当售价为每斤50元时，日均售出200斤：市场调研 发现，售价每上涨1元，日均少卖5斤，若要每日获利5250元，且让销量更高，则花椒售价应每斤涨价多 少元？ 【答案】(1)该农户原计划每小时采摘花椒20斤 (2)花椒售价应每斤涨价5元 【详解】(1)解：设该农户原计划每小时采摘花椒x斤，则实际每小时采摘花椒1.2x斤， 120_120=1 根据题意，得x1.2x 解得x=20 经检验，x=20是所列方程的解且符合题意， 答：该农户原计划每小时采摘花椒20斤： (2)解：设花椒售价应每斤涨价y元， 50+y-25)(200-5y)=5250 根据题意，得 解得片=5为=10 第9页共215页 ,要让销量更高， y=5, 答：花椒售价应每斤涨价5元， 13.在“乡村振兴，国潮好物”直播助农活动中，某电商平台推出了两款特色农产文创产品：“古法手作 茶具套装”(A款)和“非遗植物染丝巾”(B款)，第一周，该平台以每件30元的进价购进了A、B 两款产品共1000件，并全部售出，其中A款售价50元、B款售价45元，共获利16000元. (1)求该平台第一周分别购进A款，B款产品各多少件？ (2)第二周，该平台再次以相同进价购进与第一周相同数量的A、B两款产品，并调整了售价.A款的售价 在第一周的基础上下调a%,此时A款的销售量较第一周下降了%；B款的售价在第一周的基础上上调 2%,此时B款的销售量与第一周相同，结果第二周的总销售额与第一周的总销售额相等，求。的值 【答案】(1) 购进A款产品200件，B款产品800件 (2) a=20 【详解】(1)解：设该平台第一周购进A款产品x件，购进B款产品y件， X+y=1000 根据题意可得 50-30)x+(45-30)y=16000 X=200 解得 y=800 答：该平台第一周购进A款产品200件，B款产品800件， (2)解：第一周总销售额：200×50+800×45=46000（元） 设y=a% 根据题意得： 501-)-2001-)+45+y800=46000 解得片0 y2=0.2 (不符合题意，舍去)， 即a%=0.2, 得a=20 14.列方程解应用题： 如今，无人机、机器狗等玩具备受孩子们的喜爱，某工厂安排100名工人组装无人机和机器狗，每人每天 第10页共215页 可组装12架无人机或5个机器狗，且每人每天只能组装一种产品，组装160架无人机所用的时间与组装 100个机器狗所用的时间相等， (1)应安排多少名工人组装无人机，多少名工人组装机器狗？ (2)由于工厂改进组装工艺，工人每人每天比原来多组装无人机2m架，每人每天组装机器狗的数量比原来 m 多5，工长从组装无人机的工人中调拨人增援组装机器狗，抽调后每天组装机器狗总数量比无人机的总 数量仍少180个，求m的值. 【答案】(1)应安排40名工人组装无人机，60名工人组装机器狗 (2)m的值为1. 【详解】(1)解：设安排x名工人组装无人机，则100- 名工人组装机器狗， 160100 根据题意得12x5(100-x), 解得x=40」 经检验x=40是原方程的解且满足题意， 100-40=60, 应安排40名工人组装无人机，60名工人组装机器狗： (12+2m) (2)解：无人机单人日产量： 架，拍调m人后，组装无人机人数：40-m，日总产量： (40-m)(12+2m) 机器狗单人日产量：5+写-(6+则个，组装机器狗人数：60+m,日产量：(60+m5+m: 根据题意得： (40-m)12+2m)-(60+m)(5+m)=180 解得m=l或m=0(舍去)， 即m的值为1， 15.近年来，公园露营成为市民休闲的新方式.每逢周末，在各大公园总能见到成片的帐篷.某户外用品 店看准商机，决定采购星空帐篷和普通帐篷两种产品进行销售，已知每顶星空帐篷的进价是每顶普通帐篷 第11页共215页 的2倍，4月份该店用5000元采购普通帐篷，8000元采购星空帐篷，结果普通帐篷的数量比星空帐篷的数 量多5顶. (1)求每顶普通帐篷和星空帐篷的进价分别为多少元？ (2)4月份帐篷销售火爆，库存告急，5月份该店决定再次采购两种帐篷.其中普通帐篷的采购数量与上月 相同，每顶的进价比上月降低了20%；星空帐篷的采购数量比上月增加了4m(m>0)顶，每顶的进价比上 月降低了12.5m%,结果5月份采购这两种帐篷一共用了12000元，求m的值. 【答案】(1)悔顶普通帐篷进价200元，每顶星空帐篷进价400元 (2)m=3 【详解】(1)解：设每项普通帐篷的进价为x元，由题意得每顶星空帐篷进价为2x元，根据普通帐篷数 量比星空帐篷多5顶 50008000 列分式方程： =5 2x 1000 化简得： x =5,解得x=200 经检验，x=200是原方程的解， 因此2x=400 即普通帐篷进价200元，星空帐篷进价400元： (2)解：4月份采购数量：普通帐篷数量：200 8000=20顶， 5000=25顶，星空帐篷数量：400 5月份采购条件：普通帐篷：数量25顶，新进价为200×(1-20%)=160元，总费用：25×160=4000元： 20+4m)】 400×1-12.5m%) 星空帐篷：数量为 顶，新进价为 元， 4000+(20+4m)400(1-12.5m%)=12000 由总采购费为12000元，列方程： 化简整理得： m2-3m=0 m(m-3)=0 因为m>0, 所以m=3 知识点四 二次函数综合题角相关 第12页共215页 16.如图，在平面直角坐标系中，抛物线”=-+c+C与x轴交于 A,B(3,0) 两点，与y轴交于点C,抛物 线的对称轴是直线x=1. B 备用图 (1)求抛物线的表达式： (2)点P是直线BC上方抛物线上一动点，连接BP,CP,点D,E为抛物线对称轴上的动点，点E在点D的下 方，且DE= 2,连接PD,BE.当ABCP的面积取得最大值时，求点P的坐标及BE+PD的最小值； 3)在(2)中△BCP CB 3√2 的面积取得最大值的条件下，将抛物线沿射线的方向平移个单位长度得到抛物 线)'，点M为点P的对应点，点N为抛物线'上一动点，若∠NAB+∠OCM=90°，请直接写出所有符合 条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程. 【答案】1)=-r+2x+3 p315 5v5 2P24: BE+PD的最小值为4 2 【详解】(1)解：~抛物线的对称轴是直线x=1, b =1 2×(-),解得b=2, 把B(3,0)代入y=-r+2x+C 第13页共215页 可得0=-32+2×3+c,解得c=3, y-r+2x+3 (2)解：令0=-x2+2x+3. =-1,x2=3 解得 .A(-1,0) 令x=0,可得y=3, ∴.C(0,3) 设直线BC的解析式为y=a+b, B(3,0)C(0,3) 把 代入y=+b 0=3k+b 可得3=b, k=-1 解得b=3, 所以直线BC的解析式为y=-x+3 如图，过点P作PO‖y轴，交BC于点O, P四(-_2P0 2 2 当PO最大时，△BCP的面积取得最大值， 设点Pk-f+21+到，则24，-1+3)， 第14页共215页 P阳=+2+3-(+)=f+=-+. 当=2时，ABCP的面积取得最大值， 时 如图，将DP向下平移2个单位到EH,使点D与点E重合，作H关于对称轴直线x=1的对称点G,连接 EG,GB, ∴.DP+BE=EG+BE≥BG 展据平移可得)】 能装对称可利9公)】 .BG=1 可-5 55 即BE+PD的最小值为4： (3)解：OC=OB=3, .∠CB0=45°， 将抛物线沿射线C的方向平移3V2 CB 个单位长度得到抛物线，即将抛物线向下平移3个单位，向右平移3 个单位， y--3+20-3*3-3-+-15,M[39-可[3) 如图，过点M作MW上y轴，交于点J,设AN与y轴交于点O, 第15页共215页 B N 则》 C=3-39 MJ-2 9 44 tan∠Cw= :∠NAB+∠OCM=90°， .∠NAB=∠CMJ 1 即tan∠NAB= 2 00=号40=1 2 2 当4N在轴上方时。Q0》。 设直线 AN y=kx+b 的解析式为 0=-k1+b 可得 1 k= 2 解得 1 h=2 11 所以直线AN的解析式为y=2x+2, 第16页共215页 11 列方程2+2-r+8x-15, 整理得-2x2+15x-31=0, △=152-4×(-2)×(-31)=-23<0 无解 当AN在x轴下方时， 0 AN y=kx+b 设直线 的解析式为 同理可得直线N的解析式为'~. 2, 11 列方程2x一2 =-x2+8x-15 整理得-2x2+17x-29=0, 解程专+5可 5=17-团 4, 4: .N 1+,5-2刘N 17-5757-21 4,8, 4，8 1.如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与‘拍交于4(3,0叭8,0)两点，与'轴交于C(03), 连接 AC. B B 图1 图2 (1)求抛物线的表达式： (2)如图1，点P是线段AC上方抛物线上的一动点，连接AP、CP.抛物线的对称轴为直线I,点Q为y轴 第17页共215页 上的动点，OH⊥I于点H,当△APC面积取得最大值时，求点P的坐标及PO+HO的最小值： 3)如图2，将抛物线沿射线C1方向平移32个单位长度得到新抛物线”，点M为抛物线”与轴的左侧 交点，点 为抛物线上的一动点.若∠MMC+∠CAB=∠MC0 请直接写出所有符合条件的点的横 坐标， 【答案】1)少=-x2-2x+3 P 315 (2)2'4 P№+H0的最小值为2 76 3)点N的横坐标为-4或23 A(-3,0)B(1,0) 【详解】(1)解：，抛物线过 两点， 二设抛物线解析式为'=a(x+3(x-) C(0,3) 抛物线过点 .-3a=3 即a=-1, ∴抛物线解析式为 =-(x+3x-即y=-x-2x+3 (2)解：如图，过点P作PF⊥x轴于点F,交直线AC于点E, B 图1 设直线AC的解析式为y=c+b 第18页共215页 「-3k+b=0 [k=1 把A、C两点的坐标分别代入得b=3,解得b=3, ∴.直线AC的解析式为y=x+3 m,-m2-2m+3 设点P的坐标为 则可表示点B的坐标为m,m+3)】 PE=-m2-2m+3-(m+3)=-m2-3m :(3,0) .0A=3, S.PAC=SPEA+S.PEC -PE-4F+PE-OF PE-OA 2 当PE取得最大值时，△APC取得最大值， PE=-m2-3m=- .32.9 m+2+4, ∴.当m=一2时，PB取得最大值，从而△MPC取得最大值， :点Q在推上。韵发的对将轴为直线=，QW1 .QH=1. PO+HO=PO+1. 当P2最小时，P+H0最小，此时P21y轴， 第19页共215页 ) ∴Pg的最小值为2， Q+0的最小值为+1- 3 2: (3)解：根据A、C两点的坐标知，OA=OC=3, ∠CAB=∠AC0=45°CA=3V2 ,∠NMC+∠CAB=∠MCO,∠MCO-=∠MCA+∠ACO. .∠NMC=∠MCA, :抛物线沿射线C1方向平移32个单位长度得到新抛物线乃，且)-r-2x+3=-(x++4, ∴那原抛物线向左平移3个单位，向下平移3个单位， ÷为=-(x+1+3y+4-3=-(x+4y+1 令=-(+4+1=0，解得5=-3，名=5。 :M(-5,0),片与x轴的万个交点为点4， 当点N在MC上方的抛物线”上时，则M y MNAC 设此时M 的解析式为'=+么 ,把点M坐标代入得 6=5 即MN的解析式为y=x+5, 今八=-(x+4+1=x+5,整理得+9x+20=0, =-4,x2=-5 解得 (舍去)， ∴.点N的横坐标为-4； 当直线MN与AC的交点恰好是以MC为底边的等腰三角形的顶点时，此时∠MC=∠MCA, 设直线N与1C的交点为D点，如图，设D(m,m+3) .DC=DM, 第20页共215页 :(m-0+(m+3-3}=(m+5}+(m+3} 解得m≤17 8 (g) 设直线M y=k,x+6 的解析式为 〔1 7 23 则有 k3+b,=8,解得 5, -5k2+b2=0 b22 > 35 即直线MN的解析式为y=23x+23, 令y=-(x+4)+1=7x 3x+),整理得23x2+191r+380 解得为二名为=5金去) 76 点N的横坐标为23， B 图2 76 综上，点N的横坐标为4或23： 18.如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y=ax+hx+2(a0)与轴交于A,B两点，与轴交于点 C,抛物线的对称轴是直线x=1,am∠CB0=) 2· 第21页共215页 图1 图2 (1)求抛物线的表达式： (2)如图1，点P是直线BC上方抛物线上的一动点，过点P作PELy轴交直线BC于点E,PF∥AC交直线 BC于点F.点M,N为'轴上的动点（点M在点N的上方），且MN=I,连接PM,BN.当△PEF 周长取得最大值时，求点P的坐标及PM+MN+BN的最小值. 如图2，在(2)中△PEF周长取得最大值的情况下，将抛物线'=+x+2(a≠0)绕点 .0旋转 180°得到新抛物线y,点G为新抛物线y上的一动点（位于新抛物线对称轴左侧），当 ∠GAP=2∠OCB-90°时，请求出所有符合条件的点G横坐标，并写出其中一个点G横坐标的求解过程.。 【详解】(1)解：当x=0 0时，y=m2+bx+2=2 C(0,2 ,即0C=2 '在ACBO中，tan∠CB0= 1 OC 2 OB .0B=20C=4 B(4,0) ,抛物线的对称轴是直线x=1, b =1,即b=-2a' .-2a y=a-2a+2 代入840) 有：16a-8a+2=0 第22页共215页 解得：a= 4,即b=1 1 2 4++2 1 y= 4 2+2=0 1 C2)令y=-4大} x=-2x2=4 解得： 1-20 ,即01=2， ,0A=2=0C, ∴，△CAO是等腰直角三角形， 如图，延长PF,交AB于点X,过点F作FH⊥PE于点H, :PF∥AC,PE⊥y轴， :PE∥AB,∠PXB=∠CAO=45°， ∴.∠EPF=∠PXB=45°，∠PEF=∠CBO, :tan∠PEF=tan∠CBo= 2 :∠EPF=45°，FH⊥PE, ∴.△PHF是等腰直角三角形， .'PH HF,PF=2HF, 在RIAEHE中，an∠PEF=号 .BH=_ HF T=an∠PEF-2F,即EF=CH+HR=N5H, 第23页共215页 ∴△PEF周长为： PE+PF+EF=PH+HE+2HF+5HF=35)HF .C(0,2)B(4,0) 「b=2 ∴设直线BC的解析式为y=ac+b,即4k+b=0, b=2 解得： 1 k=- 直线BC的解析式为y=-2x+2, 2 设点P的坐标为： Pm,m,且0<m<4, m2+。m+2=n 即4" 2 :PE⊥y轴， E(xg,n) 令y=方+2=n,解得：5与=4-2n, :E4-2n) .PE=xp-xg=m-4+2n, .EH =2HF,PH=HF, ∴.PE=EH+HF=3HF, PH-HF-1PE--4+2n 3 ÷APEF周长L为：L=(3+2+⑤)F=(3+V2+5xm=4+2n 3 :4m+)m+2=n 第24页共215页 。‘-6-2a- 当m=2时，L有最大值，此时”=r+m+2=2, .P(2,2) 如图，取点I使得点I、点B关于y轴对称，过点I作IT∥y轴，且使得TI=MN=1,连接N、TM、TP, 点T在x轴上方， TI=MN,TI∥MN, ∴.TNM是平行四边形， ..TM =IN, 点I,点B关于y轴对称， B(4,0) BW=N.I(-4,0) .BN =TM, ∴.PM+MN+BN=PM+TM+l, 当T、MP三点共线时，PM+TM最小，最小为TP的长， n=MW=1,(4,0),I7Iy轴 :74) .P2,2) :TP=-4-2}+1-2}=37 第25页共215页 (PM+MN+BN)=(PM+TM+1)-37+1 即PM+MN+BN的最小值为 37+1 29-√665-102+2665 (3)(3)点G的坐标为：(7-65,18-26⑤)或者11， 121 求解方法如下： ,= ++2=4-+8 4 9 ∴顶点坐标为 4) :将抛物线’=+r+2(a≠0)绕点2,0 旋转180 得到新抛物线'， 抛物线 (2,0) 上的点与抛物线的点关于 对称， ,抛物线v的顶点 B(4,0) 六抛物线y的点为3-)。 B(4,0)关于(2,0)对称的对称点的坐标为：(0,0) 腊物线y解折式为=a-3-, 将0)代入有；=a0-3明-}=0，解得：d 4 能物线y解折为--列-}。即新西爱的对称辅为：X3 :点G为新抛物线少上的一动点（位于新抛物线对称轴左侧）， 3 .∠GAP=2∠OCB-90°， ∠GAP=2(∠0CB-45) 取点KL0,点S2,0).连接CK,0,过点K作K21BC于点乙，过点K作KW LSC于点形过点S作 SW⊥BC于点J,直线AG交y轴于点y,AP交y轴于点V, 第26页共215页 D B :点KL0,点s2,0),B,0).C0,2) :k0=,0-2c=25.CK=5 .S0=2=OC,BS=2,KS=1,KB=3, ∴△CSO是等腰直角三角形， ∠0CS=45°SC=2W2 ,∠GAP=2(∠0CB-45) ,∠GAP=2(∠OCB-∠OCS)=2∠SCB tan/CBO= 2 在RtaBS中，an∠CBO=-Y 2 BJ ∴BJ=2SJ, .BS=2,BJ2+SJ2=BS2, w-5,w-5, .J=BC-BJ=号5 在RaCy中，tan∠SCI=Y=l CJ3 :∠0CS=∠0SC=45°，KW⊥SC, 第27页共215页 :.△KWS是等腰直角三角形， :Kw=豚=2KS- 2 &CW=CS-Sm=附=3V2 六在RtaCKW中，an∠KCm=K形-} CW3· tan/SCI= 3=tan∠KCm ∴.∠SCJ=∠KCw, .∠GAP=2∠SCB=∠KCB, :在aKZB中，an∠CB0= ,KB=3 :月上方法可得：☑-5，z-5, 5 :a-c-z-5 在RtCZK中，tam∠KCZ=g-3 CZ 4 :tan∠GAP=tan∠KCB=3 4: 由(2)可知 (2,2) 设直线AP的解析式为： y=x+,将P2,2）,4-2,0)代入解析式 [2k1+b=2 得：-2k+=0,解得： 6=1, ·直线AP的解析式为：”2+1， 1 当x=0时，yp=2x+1=1, ro.l,即H=5, 第28页共215页 ..VA=CK 当点G在直线AP下方时，如图，过点V作R⊥AG于点R, VA B R I∠VAR=∠KCZ ∠ARV=∠CZK VA=CK ∴aVAR≌aKCZ, -&5 Y(0,) 设 .AY2=4+2,W=1-1, :S.n=)xTxA0=)×AYxR, 1 2 2 :2n-5Ay,即20Y=94A 5 ÷20(0-y=9(4+2） 4 解得：1=i,或1=4： ,点G在直线AP下方， .点Y在直线AP下方， .t<1 光时 第29页共215页 0 同理利用待定系数法可得：直线仪的解折式为：=品：。 -x- 联立： 24， y=- ,X- 1111 解得：x= 29-√665 29+v66 11 ,(x= >3舍去)， y=-102+2665 121 29-√665-102+2V665 此时点G的坐标为： 11 121 当点G在直线AP上方时，如图，过点Y作R⊥AP于点R, A0=C0=2 ∠AOC=∠COK VO=OK=1· ∴.a'AO≌aKCO .∠APO=∠CKO,AV=CK, ∴.∠AW=∠CKB, I∠AVY=∠CKB ∠GAP=∠KCB VA=CK· ∴.a'AY≌aKCB」 第30页共215页 ∴.Y=BK=3, .'.OY=OV+VY=4. .Y(04) 同理利用待定系数法可得：直线AY的解析式为：y=2x+4, 联立： y=2x+4 x=7-V65,x=7+V65>0 解得： ，( 舍去)， :18-2v6 此时点G的坐标为： (7-v65,18-2W6⑤)」 29-√665-102+2√665 综上：点G的坐标为：(7-V65,18-2V6⑤)或者 11 121 19.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=一 x+bc+c交x轴于A(-2,0),B两点，交y轴于点C(0,4). G 备用图 (1)求该抛物线的表达式： (2)点P是直线BC上方该抛物线上的一动点，过点P作PD⊥BC于点D,过点P作PF∥y轴交BC于点E, 交x轴于点F.点G、H是y轴上两动点，点H在点G上方，且GH=1,连接BG,PH.当△PDE的周 长取得最大值时，求点P的坐标及BG-GH+PH的最小值： y ,M是新抛物 B在(2)的条件下，将该褪物线'沿射线D“方向平移55个苹位长度得到新的抛物线'， 第31页共215页 线y对称轴上纵坐标为2的点，W是新抛物线y上一动点.若∠MFN=∠CMF,请直接写出所有符合条 件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程， 1 【答案】(1)y=- x2+x+4 2 2点P的坐标为24)，BG-GH+PH的最小值为35- 3)符合条件的点N的坐标为 ,-3到或5，) 由(2)知△PDE是等腰直角三角形， .∠DPE=45o V2 ÷将该抛物线'沿射线DP方向平移 个单位长度，相当于将该抛物线向右平移个单位长度，向上平移 5个单位长度， 六平移后新花物战的表达式为y=-x一-矿+-5+4+5=+6-. 2 C(0,4)F(2,0)M(6,2) ∴设直线CM的表达式为y=x+4, M(6,2 代入 得：2=6k+4 解得：ks一1 3 1 ·直线CM的表达式为y= 3t+4 ①当点N在FM下方时， ·.·∠MFN=∠CMF 如图2，过点F作FN∥CM交新抛物线于点N 第32页共215页 VA 设直线 的表达式为 B 1 图2 FN y=-3x+b 代入F(2,0)得：0=+6 3 解得：6 3 1 2 “直线Fw的表达式为y=一3x 2+6r-17.-1x+2 1 由2 x+ 231 行，得x=1,名3（不合题意舍去） 1.2=3 当x=11时，y=-3x+3 -x+ .N(11,-3) ②当点N'在FM上方时， 如图3，当∠MFN'=∠CMF时，FN'交CM于L, N-k YA 图3 ,∠MFN'=∠CMR 第33页共215页 ∴.LM=LF, 设4m+4, a-+号*4-2-a-2-g+ 解得：n=3, L(3,3) 设直线F巴的解析式为 y=kx+b 2k+b=0 k=3 则3k+b=3,解得：b=-6, ∴直线FL的解析式为y=3x-6, 由)+6x-3x-6,得=5,6=1（不合题意，舍去） 2 .N'(5,9) 综上，符合条件的点N的坐标为山，-3)或5，) 【详解】（④）解：把4(-20)，C0,4到代入y=之+加+c中 「-2-2b+c=0 得c=4 b=1 解得c=4, :该抛物线的表达式为少=一 +*4， (2)在y=2+x+4中，令y=0 =-2x2=4 解得 第34页共215页 B(4,0) :直线BC过 B(4,0)C(0,4) :直线BC的表达式为y=-x+4,且∠0CB=45° :PF∥yPD⊥BC 轴， ∴.∠PED=∠OCB=45°∠PDE=90 DE-PE-c0s45PE PD-PE-sin4SPE 在Rt△PDE中， 2 △PDE的周长为： DP+DE+PE=(2+1)PE 设Pm+m+0m<4,则B(mn+利 .PE=_1 m2+m+4+m-4 2 =-2m+2m =m-2y八+2 1 <0 ·当m=2时，PE取得最大值，则△PDE的周长取得最大值 (2,4) 此时点P的坐标为 如图1，将点P向下平移1个单位长度得到点P,则点的坐标为 3),连接c 2,3 第35页共215页 D B 图1 .PQ∥HGPQ=HG ∴四边形P2GH是平行四边形 ∴OG=PH 即BG-GH+PH=BG+QG-1 作点840) 于’轴的对称 K(4,O),连接KG,则KG=BG 当2，G,K三点共线时，KG+QG取最小值为K0 ∴.BG+PH=KG+QG KO 的最小值为 又：K0=V0F2+KF2-V32+(2+4}=3V5 ∴.BG-GH+PH V5-1 的最小值为 一点P的坐标为 ,利，BG-GH+PM的最小值为35-1 (3)略 20.如图。在平面直角坐标系中，抛物线y=+bx+c与x箱交于点A和点BL0),与y轴交于点C 对称轴为直线x=-1. 第36页共215页 M 图1 图2 (1)求抛物线的函数表达式： (2如图1，点P是直线AC上方抛物线上的一动点，过点P作直线PD‖y轴，交直线AC于点D,E为y 轴上一动点，且满足DC=DE,点F为r轴上一动点，连接pF.当PD+CE取最大值时，求点p的坐 标及PF+5BF的发小值， 5 (3)如图2，将原抛物线沿射线1C方向平移5个单位得到新抛物线，新抛物线”与直线MC分别交于M y ，点G在新抛物线”上，连接GM.若∠GMN+∠C10=45°， N 请直接写出所有符合条件的点的坐 标，并写出求解点G的坐标的其中一种情况的过程。 3 【答案】(1)抛物线的函数表达式为y=-)x之-x+ 2 2 3 -BF 6v5 (2)点P的坐标为 2,2 PF+V 的最小值为5 1975 3)点G的坐标为(1,3)或7'49 【详解】（山）解：“抛物线y=一2+c+c的对称轴为直线x-1 b 2 解得b=-1, 第37页共215页 即y=- 1x2-x+c 将点B,0)代入y=2-x+C 1 得到0=-2 1+c, 解得c=2 -x+2 3 故抛物线的函数表达式为y= 2 2 (2)解：对于抛物线y= _1X-x+ 3 2 2 当y=0时，解得x=-3或x=1, 即点130) 当x=0时，少=3 2 得点c0引 令直线1C c=kx+b 的函数表达式为 [0=-3k+b 2 得3-b ,解得 b= 3 2 2 13 ·直线4C的函数表达式为4c-2x+ 2 令点的坐标为+引》 则点p坐标为-1+》 m-+3+ 过点D作DG1y轴交于点G,如下图所示： 第38页共215页 图1 DC=DE. co=E-日+引 m+cE=--21=+2+2. 当PD+CE取最大值时：(-2： 2 此时点2引 过点B作BH∥AC,过点F作FK⊥BH交BH于点K,连接PB,如下图所示： D D 图1 ,BH∥AC」 .∠CAO=∠KBF, 1 令直线BH的函数表达式为'am一2x+b, B(1,0) 代入 得0=2+b,解得b=) 1 2 2 x- “直线BH的函数表达式为am=2 2 第39页共215页 2'0M=34C=35 :0C sin∠KBF=FK FB,sin∠CA0=OC=V5 AC 5 ,F-5 ·FB5 F5FB 5 PF土BP的最小值为F+K的最小值 即P、F、K三点共线时，PF+FK最小， 过点P作PL⊥BH交BH于点L, 故PF+5BF的最小值为pF+FK的最小值，即P以的值， 5 1.1 令点的坐标为a,2a-2: 由点2引 B1,0) ,PL⊥BH, .PB2 PL2+LB2, p2-+-(2-旷+g++a-+20 化简得5a2-a-4=0, 解得a=1合去)设0= 点的单标为(0】 即P+5 65 5 的最小值为5； 第40页共215页 AC (3)解：由(2)可知，沿射线心方向平移个单位等同于向右移动个单位，再向上移动个单位， ∴M(-1,) 2》 且新抛物线衣达武为=x-2-(:-21=女+月 2, 过点M作MH/x轴，当点C9在直线AC左上方时， ∠G,MN+∠CAO=45° GGF LMH交MH于 过点作 点F,如下图所示： 图2 :MH∥x轴， ∴.∠CAO=∠NMH ∠GMN+∠WMH=∠G,MF=45° GF⊥MH MF=GF 令点p坐标为少则c(8+)】 M=+1,GF=-)y+s+ 3 2 3 即s+1= 2 化简得s2-1=0, 解得s=1或s=-1(舍去)， 第41页共215页 G坐标为 ,3) 此时点 作点C关于直线N的对称点人，延长瓜交抛物线”于点，如下图所示： G 图2 令(m) MK=MG GK 可得 中点在直线4C上， 9 22+2=(m+12+(n-1)2 m= 5 故 +nJ+m3;解得m=3(舍去》 7, 222+2 n=-1 n= 5 n33) 令直线M的表达式为 yuk =kx+b 97 代入M(-1,)K气55： K 1=-k+b 得79 解得 8 55k+b b= 7 18 直线M的函数表达式为w= 7 18 2r+x45 1 5 联立yw=7x+ 和出= 2, 72+x 18_1 得7 2, 第42页共215页 化简得7x2-12x-19=0. 19 解得x=-1(舍去)或x 7, 119,875 得=7×7+749 一十 1975 “点G坐标为749 1975 综上，点G的坐标为(1,3)或7’49 知识点五 二次函数综合题特殊三角形相关 1 21.如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=- 2+x+C与直线y=2x+2交于点g,C,其中点B在 x轴上，点C在y轴上. B 图1 图2 (1)求抛物线的函数解析式： ②)P为直线BC上方抛物线上的-个动点，过点P作PQ∥y轴交直线BC于点2，求PQ+ 5 -co 的最大 值和此时点P的坐标； (3)如图2，在(2)问的条件下，将抛物线沿射线CB的方向平移，使得平移后的抛物线经过点Q,E为新 抛物线与y轴的交点，M是平移后新抛物线的对称轴上的动点.当△BEM是以MB为腰的等腰三角形时， 请直接写出所有点M的坐标，并把求其中一个点坐标的过程写出来. 【答案1y=-r++2 第43页共215页 PO+ 25 C0 9 (2 5 的最大值为2，此时P(3,2) 9369 见解析 1 【详解】(1)，直线少= 2+2 .当x=0时，y=2 .C(0,2） 1 六当y=0时，2x+2=0 解得x=4 B(4,0) 将Ba0,c02代入-r+br+e， 216+46+c=0, 3 b= 得 解得 c=2, c=2 :.抛物线的解析式为y= 2t+2. (2) B(4,0)C(0,2) ..OB=4 OC=2 BC=0B2+0C2=2/5 过点作QH∥x轴交y轴于点H, B ∴.△CHQ∽△COB 第44页共215页 C≌_H№ ∴CBOB CO CB 5 HO OB 2, :0-50. 2 :Pe+250=P0+i0. 5 设++2.6+2 则四=，-%=+24,0==1. 02g5c0=+=-y+号 5 2 1 2<0,0<1<4 25 9 .当1=3时， P+ 5 的最大值为2， 此时P32) (3)由(2)知， 点Q平移前的对应点为点C, :新抛物线是原抛物线向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度后得到的. y-旷2号号 2x-2 对称轴为x= 2 r-++-m+7a+ 第45页共215页 ①当EM2=B2时，m+17m+185-+ 24+m2 369 解得m=一 68 353-+m2,解得m=22 ②当EB2=MB2时，4-4 综上所i达点的标为)(2回[32) 9369 y= 22.如图，在平面直角坐标系中，抛物线 52-2x-35 与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C. B A\O 备用图 (1)求△ABC的面积： (2)点P是直线BC下方抛物线上一动点，过P作P吧1BC于点2，求线段P№的最大值及此时点P的坐标； 将城物线沿所线C平移6个卓位有到断锁的线'，新带物线'与原花物线'交于古D。将4C0 y 沿 直线BC平移得到△A'CO'(不与△ACO重合)，若以点B,D,'为顶点的三角形是以BD为腰的等腰三 角形，请直接写出所有符合条件的点A'的坐标，并写出求解点A坐标的其中一种情况的过程。 【答案】(1)18 第46页共215页 9W6 p33_155 2)P№大=8，此时气24 B4(35,-25)或5-35.25-32或5+35.25+32 【详解】(1)解：当=0时，y=-35 当y=0时，3 2-2x-35=0.解得：=5，为=35. A(V5,0）.B(35,0）.C0,-33) AB=35-（V3)=450C=33 5me-号460-x45x35=18g (2)解：过点P作PN∥y轴交BC于点N, B B35,0）C(0,-35) .:.OB=OC, ∠0CB=∠0BC=45°， PW∥y轴， ∴.∠QNP=45° :PQ⊥BC .2PO=PN 则当PN最大时 PO也最大， 设直线BC的解析式为y=mx+n, 第47页共215页 3V3m+n=0 m=1 .n=-35 ,解得n=-33, 直线BC的解析式为y=x-3W5 N,x-3) w=-35-得--9 当=5时：N最大，则e-受N-号y-5 2 24 8 9√6 3515V5 线段P9的最大值为8，此时点P的坐标为24： (3)∠0CB=∠0BC=45°， “将抛物线沿射线BC平移V6 BC 个单位得到新抛物线， 即原抛物线向下平移5个单位长度，向左平移5个单位长度， 原抛物线y-5-2x-35=5x-可-45， :新抛物线y=-5+同-43-5=9-55， 令322x-33=3-5V3 3 解得5 D(5,45) :设△ACO向下平移a个单位长度，向左平移a个单位长度， 则45-a-a.c(a5-a) 第48页共215页 B33,0 BD2=35-5+(43=60 AD2=(3-a-V3+(a+43'=2a2-4W5a+60 AB2=(3-a-35+d2=2a2+8v3a+48 ①当AD=BD时， 2a2-4v3a+60=60, .a=0 (舍去) a=2V5 六点4的坐标为35，-2)」 ②当AB=BD时， 2a2+8V3a+48=60, a=-25+32或a=-25-32, ·点A的坐标为 5-32,25-32)或5+32,25+32 综上所述：点A的坐标为 35,-2)或5-35,25-3)t5+35,25+3 23.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=m2+c+c与×轴交于点4(-35.0).B(5,0,与y轴的交 点为c,且tan∠Ca0=2V5 3 y y P E B B D 第49页共215页 (1)求该抛物线的函数表达式 (2)点D为AB的中点，过点D作AC的平行线交y轴于点E,点P为抛物线上第二象限内的一动点，连接 PC,PD,求四边形PDEC面积的最大值及此时点P的坐标； y=ax2+bx+c y y y (3)将该抛物线 向左平移得到抛物线，使经过原点， 与原抛物线的交点为F,点M为 抛物线'对称轴上的一点，若以点F,B,M为顶点的三角形是直角三角形，请直接写出所有满足条件的 点M的坐标，并把求其中一个点M的坐标的过程写出来， 2x2-43x+6 【答案】y=3-3 333 (2)四边形PDEC面积的最大值为4 足茶#的M的半标a小（2w小.(2a5.2315-可） 过程见解析 【i详解】（山）解：抛物线y=㎡+x+c与x轴交于点43V5.0.B5,0) ∴.0A=35 :tam∠c40=0C-25 0A3 .0C=6, .c=6, ∴.C(0,6, a=- 3 代入 中得27a-33b+6=0,解得 A-33,0)B(5,0 y=ax2+bx+6 3a+V3b+6=0 b= 45 :所术糙物线解折式为=-号-号6x+6 (2)解：连接OP,如图所示： 第50页共215页 P ，点为的中点， E D A-33,0）B(N5,0 D AB D5.0) [k=25 设直线的解析式为 -+r将4A35,0)”c0. 代入表达式得3W3k+1=0,解得 3 AC y=kx+t t=6 t=6 :.直线AC的解析式为y 3x+6, 3 .DEl AC. :设DE的解析式为y 25x+9, 、33x3)+9=0,解得g2 :De的解折式为号5x+2. 点E0,2). &a号p-号p+0, 2 ∴.Sg边形PDEc=SAPOD+SAPOC-SADOE 5号p2-p+0+6(p5x2 3 -95o-5n+25 第51页共215页 -5<0, 3 当=-5时Sea是大且摄大值为5，北时点p35) )解y=-亭5x46=+5+8, 3 :题线y子一号5x+6向在平移5个年位行到能物线，使y经过原点。 y=号+5++8=号-号，对称销为直线x25, 3 3 y=- -45x+6 x=-35 3 2 联立 y=- ，解得15， 3 :点的标为5》 设M(25,mj B(5,0) wr-(35+2j5j--1sm+57 MB2=（-25-5+m2=m2+27. r-+j-对 ①当∠BFM=90°时，BF2+MF2=BM2, .75+m2-15m+57=m2+27,解得m=7, M(25,7） ②当∠FBM=90°时，BF2+BM2=FM2, ∴.75+m2+27=m2-15m+57,解得m=-3, M(25,-3) 第52页共215页 ③当∠FMB=90°时，MF2+BM2=BF2, m2-15m+57+m2+27=75解得m=15+3或15-3 4 4 -25,15+317 或( 25,15-317 4 综上可知：满足条件的点M的坐标为(-25,7小、（-25，-3) 2V315+37 -25,15-317 4 4 y=-x2+bx+c 24.如图1，在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴分别交于A、B两点，与y轴交于点C, 连接4CBC,其中4(-2,0)C(0,6) A D B 图1 图2 (1)求抛物线的解析式： (2)点P是直线BC上方抛物线上一点，过点P作PE‖y轴交BC于点E,作PE∥x轴交BC于点F,求 CF+BE的最小值，及此时点P的坐标； (3如图2，x轴上有一点(-0 ,将抛物线向x轴正方向平移，使得抛物线恰好经过点Q,得到新抛物线 4,点D是新抛物线与原抛物线的交点，点：是直线BC上一动点，连接D0,当△DO5是以D D9 为腰的 等腰三角形时，直接写出所有符合条件的点E的坐标. 【答案】(1)'=-x2+x+6 第53页共215页 155 p321） (2)最小值为 8,点气24 1356 11+2348-4V34 、11-2W348+434 3130或5或5 5了或5 5 【详解】(1)解：将 4-20).C0,6)代入J=-r+x+c得， -4-2b+c=0 c=6 b=1 解得：c=6, 抛物线解析式为'=-r+x+6 (2)解：令y=-r+x+6 y=0, 则x+x+6 0解得：方-2七=3 .B(3,0) .BC-o+0c-35 设CB:y=m+n,代入8 、B(3,0)C(0,6) 3m+n=0 n=6, k=-2 解得：(n=6, CB:y=-2x+6. 设P(a,-r+a+6),则E(a,-2a+6),(0<a<) 第54页共215页 .PE=-a2+a+6-（-2a+6)=-a2+3a ,PEIy轴，PF∥x轴， .∠PFE=∠CBO,∠PEF=∠BCO, .△PEF∽△OCB. PF:PE:EF=OB:OC:BC=1:2:5 -m5(+刘 +-8-F-55+} + 而 8 35 -23 >0'2x52, 5 2 2 0<a<3 能1C品，发小慎为5. 当a=3 4 3) 3wyr6=空 平移后抛物线经过 2(-1,0) （小空0 解得1或t=4(舍)， 第55页共215页 y=-x2+x+6 联立方程组y=-x2+3x+4, x=1 解得y=6, ∴.D(1,6) E(n,-2n+6) ∴.Dg2=(-1-1)2+(0-6)2=40,DE2=(n-1)2+(-2n+6-6)2=5n2-2n+l, 0E2=(n+1)2+(-2n+6}2=5n2-22n+37 ①当D0=DE时，5n2-2n+1=40, 所特n3或=号 当n=3时，y=-2n+6=-2×3+6=0 时.=-2n+6=2x号》6-的 当n=-13 1356 ·点E的坐标是(3,0)或55： ②当D0=QE时，5n2-22n+37=40, 解得n11+2V3 或m11-2V34 5 5 时，y=-2n+6=-2x1+2y34+68-434 当n=11+234 5 5 5 当11-2V34 5=时，y=-2n+6=-2×1-2346 1+6=8+434 5 5 第56页共215页 11+2348-4v3411-2V348+434 ·点ε的坐标是 5 5或( 5 5 1356 1+2348-4V341-2w348+4W34 综上所述：E点坐标为(3,0)或5’5或 5 5 或 5 5 25. 抛物线y=2r+br+C与x轴交于点A(-2,0)和B(4,0),与y轴交于点C,连接BC,点p是线段 BC下方抛物线上的一个动点（不与点B,C重合），过点P作y轴的平行线交BC于M,交x轴于N, 设点P的横坐标为t. B M D 备用图 (1)求该抛物线的解析式： (2)用关于t的代数式表示线段PM,求PM的最大值及此时点M的坐标： B过点C作CH1PW于点H,Saw=9Saam, ①求点P的坐标： ②连接CP,在y轴上是否存在点卫，使得△CP巴为直角三角形，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请 说明理由。 【答案】(y= x2-x-4 2PM.m=2M(2,-2）) 【详解】(1)将点4(-2,0)和B4,0)代入解析式， 第57页共215页 5x-2)2-2b+c=0 得]1 ×4+46+c=0 ,解得b=-1, c=-4 ÷该抛物线的解析式为y=2 x2-x-4 (2由慰意可得P点坐标为Pu,-1-4)。 令x=0得y=-4 ∴点C坐标为C(0,-4) 设直线BC的解析式为y=c+m,将B、C坐标代入， m=-4 m=-4 得4k+m=0,解得k=1, ∴直线BC的解析式为y=x-4, ,PNIy轴， .点M的坐标为M(,t-4), Pw=1-4--1-0=+21=0-2y+2, 1 <0 :2 当=2时，PM PMmax =2 的值最大， 此时点M的坐标为：M(2,-2)； (3)①由题意可得，如图1， 第58页共215页 V M C 图1 CH⊥PN,PNIy轴， .点C、H纵坐标相同，点N、H、P的横坐标相同， 点H的坐标为HG,-4),点N的坐标为N(,0), SARN=9SACHM 2×(4-0x1-4=9 2*1x1 即4-0=9r 解得116=2 (不符合题意舍去) :点P的警标为L-昌， ②当∠CQP=90°时，如图2所示， B衣 M 图2 第59页共215页 ∠CQP=90°， ∴，点O、P的纵坐标相同， 此时Q点坐标为0-1利。 ea3, 当∠CP0=90°时，如图3所示， B M 图3 设Q0,n). 根据勾股定理得a+4=(少+a++P+(。 解得n、13 2, e0,-13 综上所述，点Q的坐标为0，- 知识点六 二次函数综合题特殊四边形相关 2.如图1：桃物线号号-2文转于A6丙点（点4位于点g的左划），交)轴于点C直线： y≈、2 x+b交y轴于点E,交抛物线于A,D两点.P为直线1下方抛物线上一动点，点M,点N为直线 第60页共215页 1上的两个动点. O 10 E 图1 图2 图3 SACD (1)求 (2)如图2，当PM∥x轴，PNy轴时，求PM+PN的最大值及对应的点P的坐标： 3)如图3，将抛物线y= 子：。x2沿射线平移一定的距离得新抛物线山，使得新抛物线v过点力 2-4x 点F为新抛物线y的顶点，点G为抛物线y=专？-3-2上的一动点，当以F,G,M,N为顶点的四 边形为平行四边形时，请直接写出所有符合条件的点G的坐标. 【答案】(1)2 aPw+w-5.rG引 G(3.) 【详解】(1)解：如图，连接AC,CD, B 图1 第61页共215页 对于抛物线解析式少=3 --2，当y=0时.-号-2=0 解得 =-1x32=3 当x=0时，y=-2, .A(-1,0)B(3,0)C(0,-2) 2 直线：y=-弓x+b过点4： 2 六把点A(-1,0)代入1的解析式，得+b=0, 22 ..1: -3x-3, 22 y=- 33 由y=2x2-4 x-2解得：=-山，5=2， 3 3 y=0 (=-2 ∴.D(2,-2) .CD/x轴， -5mD00=x2x2=2 PN∥y PM∥x 轴， M N 轴，点、在直线上， -d+2a2-a-a2N-号0-0-2r++g 3 第62页共215页 a-时，M+we片t时.r公引 (3)解：·原抛物线的对称轴为x=1, 原抛物线的顶点为 - :原抛物线沿AD方向移动后经过点D, ∴抛物线上的点A移动到了点D,即向右移动了3个单位，向下移动2个单位， r(a-4). :以F,G,M,N为顶点的四边形为平行四边形， ∴.G与F到l的距离相等 ①以MF或MG为对角线时， MN.如图子过点F作1，交原抛物线于G.9 FG G1G2 l∥1 2 设1：y=-x- 二+b 33 解得： b=、4 3 2 :y= x-2 3 2 y=- x-2 3 七2=1 由y-2x-4x 解得：x=0, -2 31 31 %=-2 5、8, 3 :G0-2c-) ②以MN为对角线，点G、F在直线I的两侧，且到I的距离相等，如图2， 第63页共215页 VA -G4 B G 图2 在'上方作1，交'轴于点”，使到的距离等于到的距离， 22.42,2 同理可得，：y=- 。x- 十一三 3333 3 [1+V17 1-17 x3= X4= 2 2 ,解得： 1-7 1+17, y3= y4= 3 3 c)) 年上所：价条G在华标为：Ga-.c-引c“,.c亚， y=ax2+bx-2 27.已知抛物线 的图象与x轴交于4，B两点，与y轴交于点C.3和1是关于x的一元二 次方程ax+br-2=0的两个根. (1)求该抛物线的解析式： 第64页共215页 (2过点B作BDI川AC交抛物线于点D,BD与y轴交于点E,P为直线AC下方抛物线上的一个动点，连接 PB交4C于点乙，求S的最大信及此时点P的坐标； (3)在(2)的条件下，将该抛物线向右平移2个单位后得到新抛物线，新抛物线与原抛物线相交于点Q,点 M为原抛物线对称轴上一点，在平面直角坐标系中是否存在点N,使得以点A,M,N,Q为顶点的四边形 是菱形，若存在，请直接写出点N的坐标；如不存在，请说明理由. 2x2+4x-2 【答案】()y= 3 (2)最大值为4， 府在直N附5为B安B-安2-2R2可 【详解】(1)解：：-3和1是关于x的一元二次方程a2+bx-2=0的两个根， b 2 =-3+1 C=-3×1 a 3,6 4 解得：a 3 “该能物线的解行式为号+骨-2 (2)解：作PH⊥x轴，交BD于点H,作PG⊥BD于点G作AK⊥BD于点K,如图所示： 当y=0时，X=-351.则4-3,0)、Bo0）。 第65页共215页 C(0,-2) 当x=0时，y=-2,则C 设直线4C的解析式为，=加-2，则-3头-2=0：解得太=号 3 2 .y=3 -2 2 设直线BD的解析式为y=3+C, 2 .3 +c=0 2 .c=3 22 “y=-3x+3, 0B=l,0E=2,∠B0E=90 3 3, OE:OB:BE=2:3:13 4k=AB-sin ZOBE-(3+1)x2 1313, _113813_4 :82x3×913=3. 设6+-2则号x+引 m=+仔+--2+ PH∥y轴， .∠PHG=∠BEO. 第66页共215页 :rG=PAn∠B0=(3-+) w9}》音+引 当1=多时，心的面梨数大是大位为，此时P多引 3 (3)解：存在. y+-2+- 2 31 3 3 .原抛物线的对称轴为直线x=-1, -l,m) 设点M的坐标为 ,将该抛物线向右平移2个单位后得到新抛物线， 新泄物线的解行式为y子x1-2-号x--号号r-专-2。 2x+4x-2 4 y= 3 联 [y-22 4 3 3t2 x=0 解得：y=-2, 0,-2) ∴.点Q的坐标为 :4(-3,0) :M2=[-1-（-3+(m-0=m2+4 M2=(-1-0)2+[m-(-2)]=m2+4m+5 Ag2=(-3-0)2+[0-(-2)]=13 当MM=2M时，4M2=M 第67页共215页 则m2+4=m2+4m+5, 解：=子 M-14 此时AQ、MN为菱形的对角线， xw+(-1)=-3+0 =-2+0 xw=-2 解得：1 此时点N的坐标为 2到 当MM=4时， AM2=A02 则m2+4=13, 解得：m=3, :M点的坐标为 13》或-3） 此时AW、MQ为菱形的对角线， xw+(-3)=-1+0 ∴当M点的坐标为(-1,3)时，yw+0=-2+3, xN=2 解得：yw=1, 2,1) 此时点N的坐标为 xw+(-3)=-1+0 当M点的坐标为(-1，-3)时，yw+0=-2+(-3), 第68页共215页 xN=2 解得：yw=-5, 2,-5) 此时点N的坐标为 当OM=A0 OM2=A02 时， 则m2+4m+5=13, m=-2±2W5 解得： :M点的坐标为1-2+25)成12-25)】 此时AM、N№为菱形的对角线， xw+0=-1+(-3) 当M点的坐标为(-1，-2+25)时，1yw+(-2)=0+(-2+25) M xw=-4 解得：yw=23, 此时点N的坐标为(4,2,3)： xw+0=-1+(-3) 当M点的坐标为(-1-2-25)时，wx+(-2)=0+(-2-25) xw=-4 解得：yw=-23, 此时点N的坐标为4-23)】 统上：直N附坐标为2版B-列安2-)成42)或(42司) 28.如图，二次函数'=+bc+ 的图象交轴于点 3,0),B,0,交'轴于点C,点是轴上一动 点，PMLx轴，交直线AC于点M,交抛物线于点N. 第69页共215页 D 备用图 (1)求这个二次函数的解析式. (2)若点P在线段AO上运动（点P与点A、点O不重合），求四边形ABCN面积的最大值，并求出此时点 N的坐标 3)点D为抛物线的顶点，点E是'轴上的一个动点，点F是坐标平面内一个动点，是否存在点EF,使 以4、D、E、F为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有满足条件的点E的坐标，若不存在，请 说明理由、 【答案】)少=x+2xr-3 形版v写安的大为空(】 30,-4+9)或0，-4-i9)或0，-)或0，m)或0，-m） 【分析】0轮4-3,0，BL,0代入)=+x+C中求出b,c的值即可： (②)先求出C0,-3)求出4B=4,0C=3,求出直线4C的解析式为=-x-3,设P0,则 M(m,-m-3）N(m,m2+2m-3 ,则MN=--3m；再由地o=Sac+Sa4a得到 S50w=-3m+3275 3 75 2 m+ 2/ 8,故当m=一2时，x最大，最大值为8，此时点P的坐标为 十 ,0 2 (③)先求出顶点D的坐标，设B(0,0,分DF为麦形的对角线、F为麦形的对角线和F为菱形的对角线 三种情况，画出图形，利用菱形的性质和勾股定理解答即可求解. 第70页共215页 【详解】(1)解：把 A(-3,0),BL,0)、y=x2+bx+c 代入 中，得 [0=9-3b+c 0=1+b+c, [b=2 解得c=-3 .y=x2+2x-3 (2)解：4-3,0)，BL,0), .AB=4, :二次函数'=+2x-3 y轴交于点C, C(0,-3) ∴0C=3, 设直线AC的解析式为y=c+b, 「-3k+b'=0 b'=-3, k=-1 6=-3, ∴直线AC的解析式为y=-x-3, 设P(m,0),则M(m-m-3),N(m,m+2m-3) MW=-m-3-(m2+2m-3）=-m2-3m :S=)AB-0C=)×4x3=6. 2 S阳边形HBCw=SMABC+SAACN 第71页共215页 =SABC+SAAMN+S△CwWN 号PAm+op-w+6 =3(-m-3mj+6 3 2<0 75 ÷当m=一2时，S边形w最大，最大值为8， ,比时点P的坐标为(20. (3)解：存在， y=r+2x-3=(x+1-4 D(-1,-4) nE(0,) ①当DF为菱的对角线时，如图， E E .AD=DE, 第72页共215页 -3+'+(0+4}=V-+(4- 整理得，t2+8t-3=0, 解得=4+9或'=4-9 :E0,4+9)或E0,-4-i): ②当EF为菱形的对角线时，如图， D ∴AE=DE, -3+0-}=V(-+(-4-} 整理得，81=8， 解得t=-1, :E(0,-) ③当AF为菱形的对角线时，如图， B .AE=AD. 第73页共215页 .(-3+(0-)2-V(-3+2+42 整理得，t2=11, :E0,而)或0，-可) 综上，存在E点坐标为（0-4+可或0,4-i可)欧Q-)或0或0，可使得以4D、么、F为顶 点的四边形是菱形。 29.如图，二次函数y=2+br+3(0)交x轴于A,C两点，交y轴于B点，A(-1,0),C(3, 0). D B E 图1 图2 (1)求二次函数的解析式. (2)如图1，点D为直线BC上方抛物线上（不与B、C重合）一动点，过点D作DF⊥x轴于F,交BC于 DE+BE E,求 2 的最大值及此时点D的坐标 3)如图2，将二次函数=m2+x+3沿射线AB平移10 个单位得到新抛物线y,点M为新抛物线对称轴 上一点，P是y=x2+bx+3的顶点，N为坐标平面内一点，使得以点P、A、MN为顶点的四边形是矩形， 请直接写出点W的坐标，并选择一个你喜欢的点写出求解过程. 第74页共215页 【答案】(1)少=-x2+2x+3 2,4(23) 废22列重) 【分析】(1)待定系数法求二次函数解析式即可： (2)先求得直线BC的解折式，设Dm,-㎡+2m+3)则E(m-m+3),求得DE的长，过点E作 2 BE EG⊥x轴，根据等腰直角三角形的性质求得2，根据二次函数的性质求得最大值，进而求得点D的 坐标： (3)根据思意先求得平移后的抛物线解析式，确定对称轴为x=2,进而 M2,n）s）,分 AP,AM,PM M 分别为对角线三种情况，根据矩形的性质，勾股定理求得的坐标，根据矩形的性质以及中 点坐标公式即可求得点N的坐标 【详解】(1)解：y=2+bm+3(a0)交x轴于A,C两点，交y轴于B点，A(-1,0),C(3, 0). 「-a+b+3-0 ∴.9a+3b+3=0 a=-1 解得b=2 ·二次函数的解析式为 =-x2+2x+3 令x=0时，y=3 ∴.B(0,3) B(0,3),C(3,0) (2)设经过点 的直线解析式为'=c+b 第75页共215页 b=3 则3k+b=0 k=-1 解得b=3 ∴.直线BC的解析式为y=-x+3 设Dm-㎡+2m+3),则E(mm+3) .DE=-m2+2m+3-(-m+3)=-m2+3m 如图，过点E作EG⊥x轴， B .OB=OC=3 ∴.∠B=45° .BG=GF=m .BE =2BG=2m DE+ Bm+3m士号x2mm+4mm29 DE+BE 当m=2时， 2取得最大值，最大值为4 当m=2时，-m2+2m+3=-22+2×2+3=3 此时P23) :A(-1,0),B(0,3) (3) 第76页共215页 ∴.AB=V10 y=-x2+2x+ 根据题意， 沿射线AB平移V10 个单位 平移方式为向右平移1个单位，向上平移3个单位 y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4 .P(1,4) 平移后的抛物线解析式为'=-(x-2)°+7 对称轴为x=2 M(2,n) 设 PM2=(2-12+(4-n)}=1+16+n2-8m=n2-8n+17 AP2=(-1-1)2+42=20 AM2=(-1-2)2+n2=9+n2 “以点P、A、MN为顶点的四边形是矩形，设 N(t,s) ①AM为对角线时，∠APM=90° .AM2=AP2+PM2 即9+n2=20+n2-8n+17 1 解得：n= m2到 「-1+2_1+s 2 2 7 0+24 .2 2 第77页共215页 s=0 解得1=一2 1 a》 ②AP为对角线时，∠AMP=90° ∴.AP2=AM2+PM2 即20=9+n2+n2-8n+17 解得：n=3或n=1 ∴.M(2,3)M(2,1) 或 -1+1_2+s [-1+1_2+s 22 22 0+4_3+t或]0+41+t :.2-222 [s=-2「s=-2 解得t=1或t=3 w(-2或23) ③PM为对角线时，∠MAP=90°， ∴.PM2=AM2+AP2 即20+9+n2=n2-8n+17 3 解得：n=-2 M[2- 2+1=-1+8 2 2 3+40+ 2 2 第78页共215页 s=4 解得1=2 综上所述， ,的坐标为0 成N(-2或-23)或N4 【点睛】本题考查了二次函数综合问题，待定系数法求二次函数解析式，线段最值问题，矩形的性质与判 定，分类讨论是解题的关键 y=-x2+2x+3 30.如图，抛物线 与x轴交于点A、B(点A在点B左侧)，与y轴交于点C,连接BC. ◆y OH Bx A 备用图 (1)求线段BC的长： (2)过点A作AE/BC,与y轴交于点D,与抛物线第四象限的图象交于点E,P为抛物线上位于第一象限的 点，连接PE交BC于点H,连接DH,求四边形PCDH面积的最大值及此时点P的坐标； (3)将原抛物线沿射线BC方向平移√2个单位长度得到抛物线y',y'与原抛物线交于点M,点N在直线BC 上，且位于y轴右侧，在平面直角坐标系中是否存在点Q,使以点A、M、N、Q为顶点的四边形为菱形？ 若存在，请直接写出点Q的坐标：若不存在，请说明理由. 3√2 【答案】(1)线段BC的长为： (2四边形PCDH面积的最大值为8，及此时点P的坐标为(2,3)； 3)存在，0(1，-4)或0(-2,3)· 【分析】(1)将x=0,y=0代入函数解析式可知B,C两点的坐标，根据两点间的距离公式可求得BC 的长度： 第79页共215页 2)设p,6) ,由题意可求出直线AB的解析式和D(O,1),联立直线AE的解析式和抛物线可得E 4,-5),再求得PB的解析式，联立直线PB的解析式和直线BC的解析式可求得，再表示出） DH 再利用辅助线求 S四边形DCPH ,进而求得答案： (3)由题意可直接写出抛物线y的解析式，与原方程联立得M的坐标，再分类讨论可得答案， 【详解】(1)解：令y=0代入抛物线解析式，得-x2+2x+3=0, x=3x2=-1 解方程得： ∴.A(-1,0),B(3,0), 令x=0代入抛物线解析式，得y=3, ∴.C(0,3), BC的长度为0C+0B2=32+32=3N2 (2)解：Snmm=Saan+5am 设p)y=+b BC过C(0,3),B(3,0), Yoc=-+3 设=-x+6 AE过A(-1,0), ,yB=-x-1 ∴令x=0,解得y=1, CD=ye-yo=3-（-I)=4 .D(0,-1), 第80页共215页 y=-x-1 联立y=-x2+2x+3, 解得： =4x2=-1 将x=4代入y=-x-1,得y=-4-1=-5, ∴.E(4,-5), s=6+5 七-4， 设g=+ 七-4 x+b. PE过E(4,-5), 5=x4+, 七0-4 么=-5-4 x0-4, :g=6+ x+5x。-4 -4 x0-4 yrn=yo+x+S.to-43o x-4 联立 y=-x+3 解得-2+⅓-3) x+%+1” sm00,x4-2829 xo+o+1 如图。过P食C交骑FR设m=+么 将p,% 代入得：%+么 b2=yo+xo yPE=-x+(Yo+xo) 当术=0.=%+x 第81页共215页 则线段FC的长为： yr-Yc=xo+yo-3 1 .SAcPH =SAFCH= CFXH =×x+%-3)42+:3到 2 x0+y%+1 =2%+0-32x0+。-3) x++1 ∴S5四边形Cm 82+6-3》+2+%-32x,+%-3》=2(2x+%-3)0: xo+%+1 x+%+1 把%=-2+2x0+3 代入①， 可得地0wm=2[2,+-x2+2x+3)-3] =-2x02+8x0 =-2(x-2)2+8 =2 解得： 时，四边形PCDH面积最大，为8， 将方 代入抛物线解析式，可得%=-2+2x2+3=3 故此时P点坐标为(2,3)· F D H B D =-x2+5 (3)解：由题意知 y=-x2+5 联立y=-x2+2x+3, 解得：M(1,4), 第82页共215页 ①以AM为边，设N(a,-a+3),由题意可知AM2=AW2, 即-(+4-02=(a-1y+(-a+3-4} 解得a=3,因为点N在y轴右侧，故取a=3,则-a+3=-3+3=0, .N(3,0), ∴点N与点B重合， 设(p,q), 由菱形性质可得：AN与MQ互相垂直且平分， ∴.点O与点M关于x轴对称， .0(1,-4): Ay B A ②AM为对角线时，设N(4,-t+3), 由菱形性质得：AM2=AN, ,U+1)2+2=(t-1)2+(-1+3-4)2 解得：t=2,-1+3=1, ∴.N(2,1), AN2=(2+1)2+1'=10 设Q(m,n), 402=Mg2=AN =10, (m+1)2+n2=10 l(m-1+(n-4)=10 第83页共215页 [m=-2 [m=2 解得： n=3或n=1(与N重合，舍去) .0(-2,3) 个y M A 综上所述：存在点Q,使以点A、M、N、Q为顶点的四边形为菱形，点O坐标为(1，-4)或(-2， 3). 【点睛】本题主要考查了用待定系数法求函数解析式、用函数法求线段以及最值问题，综合性强，难度较 大，解题关键是结合题意，熟练运用所学知识求解 知识点七 二次函数综合题线段最值相关 31.如图，在平面直角坐标系中，抛物线 =m+h-3a≠0)与'轴交于点4-3,0叭、点B0,与'"轴 交于点C,连接AC. 图1 图2 (1)求抛物线的表达式： 第84页共215页 (2)如图1，点P是线段AC下方抛物线上一点，过点P作PM"y轴交线段AC于点M,过点M作MN⊥y 轴交y轴于点W,求出PM+MW的最大值，及此时P点的坐标； y=ax2+bx-3 W 沿射线1C方向平移2 y (3)如图2，将抛物线 2个单位长度得到新抛物线'，点K为新抛物线 y上一点，且满足∠ABK+∠BAC=180°，请直接写出所有符合条件的点K的坐标，并写出其中一种情况的 求解过程， 【答案】1)少=r+2x-3 -2,-3) (2最大值为4， 点的坐标为 a,3-2）或43到 【分析】(1)利用待定系数法求解即可： (2)先求出直线4C:)=--3,设Pmm+2m-3列， 然后用m的代数式表示出PM+MN,再由二次函 数的性质求解即可： (③)先求出平移后的抛物线表达式'-2x-5,过点K作KH上轴于点月，则 ∠KBH=180-∠ABk=45,郭么K=B朗，设K长，-2k-5),则K-2k-k-1,再解方程即可. 【详解】4)解：抛物线'=r+r-3a≠0)与轴交于点4(-3,0、点BL.0) 9a-3b-3=0 ∴.a+b-3=0 a=1 解得b=2 =x2+2x-3 ∴抛物线的表达式为 (2)解：对于少=r+2x-3 令t0 则3 第85页共215页 C(0,-3) .4(-3,0) 设直线AC:y=cx+t, [-3k+t=0 则1=-3 k=-1 解得t=-3 .直线AC:y=-x-3 设P(mm2+2m-3) :PM∥y轴， .M(m,-m-3) MN⊥y轴， :PM+MN=-m-3-(m2+2m-3)+(←m） 整理得， PM+MN=-m2-4m=-(m+2)2+4 -1<0,-3<m<0 ∴.当m=-2时，PM+MN取得最大值为4， P(-2,-3) 此时点 (3)解：4(-3,0)C0,-3) ∴.0A=OC=3, .'∠AOC=90° ∴.∠0AC=∠OCA=45° 设点A的对应点为点F,作FT⊥x轴于点T,则△AFT为等腰直角三角形，AT=FT, 第86页共215页 F=22 则由题意得 AT2+FT2=4F2 4n=7=2=2 2 ∴点A向右平移2个单位，向下平移2个单位得到点F, 而抛物线)=r+2x-3=(x+1}-4 则向右平移2个单位，向下平移2个单位得到)=(x+1-2-4-2y=-2x-5 .∠ABK+∠BAC=180° ∠ABK=180°-∠BAC=135°， 过点K作KH⊥x轴于点H ∴.∠KBH=180°-∠ABK=45° ∴.KH=BH 设K(k,-2k-5）则-2张-=k- k2-2k-5=k-1或k2-2k-5=1-k 解k2-2k-5=k-1得，k=4或k=-1(舍去)； 解k2-2k-5=1-k得，k=3或k=-2(舍去) 第87页共215页 当k=4时， :当=3时， K(4,3) K(3,-2) 综上：符合条件的点K的坐标为8-2)或43) 32.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=r+x+C与产轴分别交于点 -3,0)、B(5.0),与'轴交于 点C(Q-),连接4C、BC,直线4C与抛物线的对称轴交于点D. 备用图 (1)求抛物线的函数表达式： (2)若点P是线段BC下方抛物线上的一个动点，过点P作PE‖y轴，交BC于点E,过点E作EF⊥CE交 抛物线对称轴于点F,点G为抛物线对称轴上一动点，连接PG,当P伦+Y2 2 二EF取得最大值时，求点p的 坐标以及PG+2GD的最小值： (3)在》轴上有一点 (0,6) ,将抛物线沿射线K4方向平移，平移后的新抛物线恰好过点A,交'轴于点T, 连接AT.点卫在线段AT上运动（不与点A重合），连接O0,且∠AO0=“,现将线段OA绕点O逆时 针旋转2α得到线段OA',直线OA'交新抛物线于点R,若直线QA与直线BC所成锐角等于∠OCB,请直 接写出所有符合条件的点R的横坐标，并写出求解点R的横坐标的其中一种情况的过程. 【灯ayr-号5 第88页共215页 PG+GD的放小值为艺+6 3V3.13 -3+√21-3-√217-V617+V61 (3)解：点R的横坐标为2或2或2或2，过程如下： A(-3,0)K(0,-6) 由题意可知， :六沿射线K1平移等价于向左平移心>0)个单位，同时向上平移21个单位， 新抛物线y=x-1+-6+21, 3 将点4(30代入-=写6c-1+小-5+2，得， -4-+2=0, 整理，得2-21=0. 解得t=2或t=0(舍去)， 六新抛物线=(x+-手， 将x=0代入y+-得y= ·点T的坐标为 0,-1) 由(2)可知，∠0BC=∠OCB=45° ∴.直线OB、直线OC与直线BC所成锐角均为45°， :直线QA与直线BC所成锐角等于∠OCB,即所成锐角为45°， ∴.OA'∥OB或OA∥OC, ①当QA∥OB时，如图， 第89页共215页 由旋转的性质可得，OA=OA'=3,∠AOA=2a, 2400=a-<a0r, .∠A00=∠A'00. 在△AO0和△A0Q中， OA=OA' ∠AOQ=∠A'OQ 09=09 △AOQ≌△A'OQ(SAS) ∴.∠OAQ=∠A', ,OA'∥OB ∴.∠A'0B=∠A, .∠A'OB=∠OAQ. .OA∥AT, 设直线T的解析式为 y=kax+ba 把点43,0)，T0-代入y=x+b,得. -3k4+b4=0 b=-1, 1 k4=一 解得了 3 b4=-1 第90页共215页 ∴直线4T的解析式为y=一3x-1, .OM'∥AT, ∴直线O4的解析式为y=- 3 联立直线OA与抛物线y,得， 1 y=-3x +- 、-3-V21 -3+V21 x= X= 2 2 解得 3+V21 或 3-V21 y= y= 6 6 -3+V2īt-3-V27 二点R的横坐标为 2 或 2； ②当A'∥OC时，如图，延长A'p交x轴于点s, B x 由①可知，∠0A0=∠∥，OA=0A'=3, 在Ra0AT中，A7=V0+0T=V32+=V0 .0A'∥OC. .OA'⊥x轴， .∠A'S0=90°=∠AOT, .∠0AQ=∠A', .△0AT∞△SA0, 第91页共215页 OT OA AT 10 ·Os=4s0A3 0=3vf0 10, A=9f0 10 3109√10 ∴点4的坐标为 10，-10: OA y=ksx 设直线 的解析式为 3W10910 将点 10 ，10 代入y=kx,得， 9√10310 10 10 k=3 解得 ∴.直线OA的解析式为y=3x, 联立直线OA与抛物线y,得， y=3x 1 y-+- [7-√6 7+√61 x= x= 2 解得 21-3V6或 21+3v6i' y 2 J= y 7-V617+V61 点R的横坐标为2或2： -3+21-3-√217-V67+V61 综上所述，点R的横坐标为2或2或2或2 【分析】(1)使用待定系数法求函数解析式即可； E+ EF (2)先分析 2取最大值的情况，EH⊥FD于点H,使用待定系数法求出直线BC的解析式为 第92页共215页 =x5设点心3子m,则Emm:容易判断A是等腰直角三角形，圆 M 5 2 PE+EF-PE+EM--+5mm- 2 3 3 .分为0<m≤1和1<m<5两种情况，分 别计第最大值并作比软可如，当网=4时。PE:受F取得是大位？，此时点p的坐标为4-》 再计 算PG+2GD的最小值，作直线DM交x轴于点M,使得∠MDF=30°，延长EP交直线DM于点N,分别 过点G、P作直线DM的垂线，垂足为J、K,连接PJ,设FD交x轴于点I,利用三角函数可知 -台，则PG+号D=PG+≥P≥PK,图此当pGK三点关我时，G+0D取得最小值 29 2 PK求出直线AC的解斩式，从而得到点D-9), 20 M9-20V ,0 进一步得到点”气9 计算得直线DM 的解析为=5x+5-:则435-9).以tW=3v5+号，是后使用三角商数计出 PK即可； （3)根据点4和点K的坐标可知，沿射线K1平移等价于向左平移化>0)个单位，同时向上平移24个单 位，自中修规雅写出新游物线的方是，可将省430代入，求出=2。进面求得危Q- .由2)可 知，∠EC=∠0BC=45°，若直线QA与直线BC所成锐角也等于45°，则2A∥OB或QA∥OC.当 B时，容易正明△1002,00(SMS）,测则∠0H0=∠，进面证明0/4打，先计第出直线4T的 9A'∥O 1 -3±V21 解析式，由平行可得直线OA的解析式为'一了，联立直线O4与抛物线y,解得 X= 2；当 第93页共215页 3W10910 A Q4'∥OC时，容易证明△OAT∽△SM0,从而计算出点 10’- 10 计算出直线O4r的解析式， 再与抛物线y联立，解得r-7±V6们 2. 【详解】(1)解：将点 (-3.0)，B5.0,C0-5)代入y=ar+r+c,得， 9a-3b+c=0 25a+5b+c=0 c=-5 1 a=- 3 2 b=- 解得： 3 c=-5 六抛物线的解析式为y=- 3 2x-5 PE+EF (2)解：先计算 2 的最大值，如图，作EH⊥FD于点H, B y=x-2 3 -5-x--% 3 ∴抛物线的对称轴为直线x=1,即直线FD为x=1, BC y=kx+b 设直线的解析式为 第94页共215页 5.0C0-5)代入，得， 把点 5k+b=0 b=-5, k=1 解得b=-5, .直线BC的解析式为y=x-5, 3m5 设点p的坐标为m,m22 :PEI‖y轴，且点E在直线BC上， :点E的坐标为 m,m-5) .PE=m-5- 3m 3m, ,EH⊥FD于点H, 、点H的坐标为 1,m-5) EH=m-1 :B5,0).C0,-5) OB=0C=5, ,∠B0C=90° :.△OBC是等腰直角三角形， .∠0BC=∠OCB=45°， ,EH⊥FD,FD⊥OB, EH∥OB ∴.∠HEC=∠0BC=45°， EF⊥CE, .∠FEC=90°， ∴.∠PEH=∠FEC-∠HEC=45°， 第95页共215页 EH=EF.cos∠FEH=EF·cos45°= 在Rt△FEH中， 2 :PEt竖=E+H=r+号m+m-。 2 3 :点P是线段BC下方， 0<m<5, ①当0<m≤1时， 2 1 3<0, 4 当m时，PE+二B亦取得最大值3 2 ②当1<m<5时， PE+5=-m+8m-=-m-4+ 2 3 3 3 1 1 3<0, 当m4时，PE+2即取得大值， 413 33 当网4，E:受你取得总大值，使时连p的坐标为-) 下面计算PG+GD的最小值，如图，作直线DM交x轴于点M,使得∠WDF=30,延长E印交直线DM 于点N,分别过点G、P作直线DM的垂线，垂足为J、K,连接PJ,设FD交x轴于点I, 第96页共215页 M B GJ⊥DM,∠MDF=30°， ÷在RtAGDJ中，GJ=GD·sin∠MDF=GD.sin30°=GD PG+GD-PG+GI PG+GJ≥PJ, 又PJ≥PK, :当pGK三点共线时，PG+2GD取得最小值pK: 2 设直线4C的解析式为 y=kx+b2 (-3,0)C(0,-5) 把点 代入，得， [-3k3+b2=0 b2=-5 k2= 5 解得了23 b2=-5 六直线4C的解析式为少= 35 将x=1代入y=x-5,得y=-20 3 ∴点的标为)， ,点I为直线FD与x轴的交点， 第97页共215页 1,0) ·点的坐标为 .:D1-20 3 在RaMD/中，M=D1:tan∠MDF=2xan30°_20 3 ·点M的坐标为 设直线DM y=kx+b3 的解析式为 (9-205k+b,=0 9 a9 k=-5 解得4=5-20 ÷直线DM的解析式为y=-3x+V5-20 将x=4代入y=3x+5-20 ,得y=-33-20 点v的坐标为4-35-9）， EPIED .∠N=∠MDF=30°， 在RtAPNK中， K=wm2w-35+》m035,2 26 第98页共215页 3V3.13 PG+。GD 2 的最小值为26： (3)略 y=ax2+bx+c 与轴相交于点B、C(点B在点C右侧)，与'轴相交于点 (0,4) 33.如图1，抛物线 己知点C坐标为-4,0)，△ABC面积为6. 图1 备用图 (1)求抛物线的解析式： (2)点P是直线AC下方抛物线上一点，过点P作直线AC的垂线，垂足为点H,过点P作PO∥y轴交AC 于点2，求△PH0周长的最大值及此时点P的坐标； (3)将抛物线向右平移1个单位长度得到新的抛物线，点M为原抛物线对称轴！上一点，点N在新抛物线上， 使得以点A、B、M、N为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点M的坐标，并写出求解其中一个 M点坐标的过程 【答案】()=x+5x+4 245+4(←2，-2) 4(马 学发M(3孕殿（多孕，求解过程见解折 【分析】(1)先根据△ABC面积为6，得出BC=3,进一步得出点B坐标为1,0)，将抛物线的解析式设 为交点式，代入4(0,4)即可解答： (2)先利用待定系数法，得出直线AC的解析式为)'=x+4,进一步得出△AOC为等腰直角三角形，再利 第99页共215页 用等腰直角三角形的性质，垂直的定义，半行线的性质和勾股定理，得出0=D=2P巴，根据当P0 2 △PHQ P(L,t2+5t+4)Q,1+4) ,进一步得出 P9=-(I+2)2+4 取得最大值时， 的周长最大，设 ,最后根据 二次函数的性质，即可解答： (3)先由平移可得新抛物线的解析式为y=(x-y+5x-D+4=x+3x,再设M(2m,N.㎡+3m, 要使得以点A、B、M、N为顶点的四边形为平行四边形，需分情况讨论，结合平行四边形的性质，得出 方程组，再解方程组即可解答 【详解】(1)解：A(0,4), .OA=4 S4=2xBC-0A=6, 即2×4BC=6, .BC=3 :点C坐标为(-4,0)，且点B在点C右侧， .-4+3=-1 (-1,0) ,即点B坐标为 设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x+4),(a≠0) 将A0,4)代入y=ax+1x+4得，4=a(0+10+4), 解得，a=1, 一抛物线的解析式为 =(x+10(x+4)=x2+5x+4 (2)解：设直线AC的解析式为y=x+b(k≠0)， b=4 将A(0,4),C(-4,0)代入y=ax+b得，-4k+b=0, [k=1 解得， b=4, ∴直线AC的解析式为y=x+4 第100页共215页