精品解析：重庆市渝北区石鞋学校等校2025-2026学年九年级上学期半期考试数学试题

2025-2026学年度初中数学期中考试卷 九年级数学 考试时间：120分钟；满分：150分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息． 2．请将答案正确填写在答题卡上． 参考公式：抛物线；抛物线对称轴：直线 一、单选题（每小题4分，共40分） 1. 2024的相反数是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查相反数的定义．只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数还是0，依据该定义直接求解即可． 【详解】解：∵只有符号不同的两个数互为相反数， ∴的相反数是． 故选A． 2. 现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性．下列汉字是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形，关键是掌握如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 利用轴对称图形的概念可得答案． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故此选项不合题意； B、不是轴对称图形，故此选项不合题意； C、是轴对称图形，故此选项符合题意； D、不是轴对称图形，故此选项不合题意； 故选：C． 3. 下列是关于x 的二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的定义，根据二次函数的一般式进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、不是二次函数，故该选项不符合题意； B、不是二次函数，故该选项不符合题意； C、不是二次函数，故该选项不符合题意； D、是二次函数，故该选项符合题意； 故选：D． 4. 点关于原点的对称点为，则点关于轴的对称点为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标、关于x轴对称点的坐标等知识点，掌握关于原点对称的点的横纵坐标互为相反数是解题的关键． 先根据关于原点对称点的坐标特点确定a、b，再求点关于轴的对称点坐标即可． 【详解】解：∵点关于原点的对称点为， ∴，即， ∴点关于轴的对称点为． 故选：C． 5. 下列命题的逆命题成立的是（） A. 对顶角相等 B. 全等三角形的对应角相等 C. 两直线平行，内错角相等 D. 如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了逆命题及命题真假的判断，解题关键在于准确写出各命题的逆命题，并依据相关数学定义、定理判断其真假． 先分别写出各选项命题的逆命题，再依据对顶角、全等三角形、平行线、实数绝对值的相关性质和判定，逐一判断逆命题是否成立． 【详解】A．逆命题是“相等的角是对顶角”．相等的角不一定是对顶角，比如两直线平行，同位角相等，但同位角不是对顶角，所以该逆命题不成立，故该选项不符合题意； B．逆命题是“对应角相等的三角形是全等三角形”．对应角相等的三角形不一定全等，可能只是相似，比如两个等边三角形，角都相等，但边长不一定相等，所以不一定全等，该逆命题不成立，故该选项不符合题意； C．逆命题是“内错角相等，两直线平行”．这是平行线的判定定理，是成立的，，故该选项符合题意； D．逆命题是“如果两个实数的绝对值相等，那么这两个实数相等”．两个实数绝对值相等，这两个数可能相等，也可能互为相反数，比如，但，所以该逆命题不成立，故该选项不符合题意； 故选：C． 6. 估计的值应在（ ）间 A. 6和7 B. 7和8 C. 8和9 D. 9和10 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，实数的大小估算．先对该式进行化简，再运用实数的估算方法求解． 【详解】解： ， ， ， 的值应在9和10之间， 故选：D． 7. 某品牌手机三月份的销售量为万部，四、五月份的销售量连续增长，五月份的销售量达到万部，求四、五月份该品牌手机销售量的月平均增长率．设四、五月份该品牌手机销售量的月平均增长率为，根据题意可列方程为 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程在增长率问题中的应用，设四、五月份该品牌手机销售量的月平均增长率为，根据题意列出方程即可求解，找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设四、五月份该品牌手机销售量的月平均增长率为， 由题意可得，， 故选：． 8. 若抛物线经过和两点，将该抛物线向上平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度得到新抛物线，则关于新抛物线下列说法正确的是（ ） A. 开口向下 B. 图象过点 C. 在时，的最小值为 D. 当时，随增大而减小 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象，二次函数的性质，二次函数的平移，解决本题的关键是得到新抛物线的解析式． 先根据和求得二次函数对称轴，再利用平移的性质得到新函数解析式，根据二次函数的性质，逐一判断即可． 【详解】解：抛物线经过和两点， 抛物线对称轴为直线， 则， ， 将该抛物线向上平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度得到新抛物线， 新抛物线解析式为， ， 故抛物线开口向上，故A错误； 当时，， 故抛物线不经过，故B错误； 抛物线对称轴为直线， 在时，在顶点处取最小值，为，故C正确； 当时，随增大而增大，故D错误， 故选：C． 9. 如图，正方形的边长为6，为等腰直角三角形，，，连接、，点为的中点，连接的最小值为（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】延长至点G，使，交于点K，连接，设交于点M，过点F作，垂足为点N，则，证明，可得，再由，可得，从而得到，进而得到，可证明，从而得到，，可得到是等腰直角三角形，进而得到当最小时，最小，此时取得最小值，为，即可求解． 【详解】解：如图，延长至点G，使，交于点K，连接，设交于点M，过点F作，垂足为点N，则， ∵点为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵正方形的边长为6， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴当最小时，最小，此时取得最小值，为， ∵， ∴当点B，E，C三点共线时，取得最小值，为3， 此时， ∴的最小值为． 故选：D 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理等，根据题意证明是解题的关键． 10. 在整式，之间插入它们的平均数：，记作第一次操作，在与之间和与之间分别插入它们各自的平均数记作第二次操作，以此类推． ①第二次操作后，从左往右第四个整式为； ②第三次操作后，从左往右第3个整式为：； ③经过四次操作后，若，，则所有整式的值之和为32； ④经过8次操作后，将得到257个整式． 以上四个结论正确的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】①根据第一次操作后所得整式，求出第二次操作后，从左往右的第四个整式即可判断；②求出第二次操作后的第二整式，即可判断②；③代入，，求出经过4次操作后所得数据，并求和判断即可；④根据操作方式得出操作后所得整式个数的规律，然后求出经过8次操作后所得整式个数即可判断． 【详解】解：∵在整式，之间插入它们的平均数：，记作第一次操作，在与之间和与之间分别插入它们各自的平均数记作第二次操作， ∴第一次操作后：，，； ∵， ∴第二次操作后：，，，，， ∴第二次操作后，从左往右第四个整式为，故①正确； ∵，，，， ∴第三次操作后：，，，，，，，，， ∴第三次操作后，从左往右第3个整式为：，故②错误； ∴把，代入后，第三次操作后各项变为2、、、、1、、、、0； ∴把，代入后，第四次操作后各项为2、、、、、、、、1、、、、、、、、0， ∴， ∴经过四次操作后，若，，则所有整式的值之和为；故③错误； 第1次操作后有3个整式，第2次操作后有5个整式，第3次操作后有9个整式，第4次操作后有17个整式，由此发现第n次操作后有个整式， ∴第8次操作后得到个整式，故④正确． 综上，①④正确． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了整式的加减、数字规律等知识点，根据操作方式找出变化规律是解题的关键． 二、填空题（每小题4分，共64分） 11. 一个多边形的内角和是，则这个多边形是_______边形． 【答案】八 【解析】 【分析】本题考查了多边形的内角和公式，熟记多边形的内角和公式为是解答本题的关键．根据多边形内角和公式求解即可． 【详解】设这个多边形是n边形， 由题意得， 解得， ∴这个多边形是八边形． 故答案为：八． 12. 方程的根为__________． 【答案】0和2 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程．通过因式分解法求解一元二次方程，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：0和2． 13. 已知抛物线经过三点A、B、C，则、、的大小关系是___．（用“”符号连接） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质． 根据抛物线的开口方向以及对称轴的位置即可判断． 【详解】解：抛物线的开口向上，且对称轴为直线， 离对称轴直线最近，值最小，离对称轴直线最远，值最大， ，， ， 故答案为：． 14. 如图．点中，点是轴上一动点，以点为旋转中心，将线段逆时针旋转90°，得到线段，连接，则线段的最小值为_____． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查旋转的性质，勾股定理及二次函数的最值问题，掌握配方法求最值是解题的关键． 设，则，根据勾股定理得，结合配方法求最值即可求解． 【详解】设，则， 由题知，， ， ， 时，取得最小值． 故答案为：． 15. 若关于的不等式组有且仅有3个整数解，且关于的分式方程的解为非负数，则符合条件的所有整数的和是________． 【答案】7 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的整数解及分式方程的解，熟知解一元一次不等式组及解分式方程的步骤是解题的关键．先根据所给方程的解为非负数，得出的取值范围，再结合所给不等式组的整数解只有3个即可解决问题． 【详解】解：由方程得，， ∵此分式方程的解为非负数， ∴， 解得， 解不等式组得，， ∵此不等式组有且仅有3个整数解， ∴， 解得， ∵当时，， 此时分式方程无解，故舍去， ∴且， 则符合条件的所有整数的和是：． 故答案为：7． 16. 对于一个四位自然数（，，，，，，，均为整数），若满足十位数字与个位数字组成的两位数恰好是千位数字与百位数字的和的2倍，那么我们称它为“和倍数”，记，．例如：7524，因为，所以7524是“和倍数”，，；又如6214，因为，所以6214不是“和倍数”．若是最小的“和倍数”，则________；若对于和倍数，满足：的值能被4整除，则所有满足条件的的值之和为________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了 整数的性质和不等式性质， 最小“和倍数”，应尽可能让 最小，然后 最小，再 和 最小即可，根据被被4整除的条件求出是的倍数，再根据，分、2、3三种情况讨论求出所有满足条件的即可解答． 【详解】解：∵， ∴为了使 最小，应尽可能让 最小，然后 最小，再 和 最小． ∴，，，， 故最小的“和倍数”是， ∴，， ∴， ∵，即， ∴， ∵， ∴， ​ ∵的值能被4整除， ∴是的倍数， ①当时，，， ∴， 即， ∴ ∴， ∴， 又∵是的倍数， ∴，，此时满足条件的“和倍数”为 ②当时，， ∴，即， ∴， 又∵是的倍数， 若，则，. 此时满足条件的“和倍数”为； 若，则或； 当时，，不合题意，此时不存在满足条件的“和倍数”； 若，，不合题意，此时不存在满足条件的“和倍数”； ③当时， ∴，即， ∴， 又∵是的倍数， ∴，则或； 若，，不合题意，此时不存在满足条件的“和倍数”； 若，，不合题意，此时不存在满足条件的“和倍数”； 综上所述：所有满足条件的的值之和为． 故答案为： ；． 三、解答题（17-18题，每小题8分；19-25题，每小题10分） 17. 解不等式组，并写出它的所有正整数解． 【答案】；1，2，3． 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，求不等式组的整数解，正确求出每个不等式的解集是解题的关键． 先求出每个不等式的解集，再根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集，进而求出不等式组的整数解即可． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为， ∴不等式组的所有正整数解有1，2，3． 18. 如图，在中，点D为边上的中点，连接． （1）尺规作图：在下方作，交的延长线于点E，连接；（只保留作图痕迹） （2）在（1）所作的图中，若，求证：四边形是菱形．（请补全下面的证明过程） 证明：∵点D为边上的中点， ∴①______________ 和中， ∴， ∴②__________ ∵， ∴③__________ ∴四边形是平行四边形． 又∵④__________ ∴平行四边形是菱形． 【答案】（1）见解析 （2）①；②；③；④ 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图、菱形的判定，掌握基本作图方法是解题的关键． （1）根据作与已知角相等的角的尺规作图方法作图即可； （2）根据菱形的判定即可完成证明． 【小问1详解】 解：如图所示，图形即为所求： 【小问2详解】 证明：∵点D为边上的中点， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形． 又∵， ∴平行四边形是菱形． 故答案为：①；②；③；④． 19. 西安，这座千年古都，承载着丰富的历史文化底蕴，每一砖一瓦都诉说着往昔的辉煌．学习历史，可以增长见识，有助于丰富个人的知识储备，提升思维高度等．为此星光中学举办了一次“西安历史”知识竞赛，并随机抽取部分学生，将竞赛成绩按以下分组进行整理（得分用表示）：．，．，．，．，．，并绘制出如图所示统计图1、图2． 根据以上信息，解答下列问题： （1）随机抽取的学生人数是_________人，并将条形统计图补充完整； （2）若“．”的数据为：90，93，95，96，96，96，98，100，求出这组数据的众数和平均数； （3）该校有800名学生参加了此次知识竞赛，若90分及以上为优秀，可以获得奖品，请你估计获得奖品的人数． 【答案】（1）80；见解析 （2）众数为96，平均数为 （3）80名 【解析】 【分析】本题主要考查了扇形统计图与条形统计图信息相关联，用样本估计总体，求平均数和众数，正确读懂统计图是解题的关键． （1）用D组的人数除以其人数占比可求出参与调查的人数，再分别求出A组，B组，C组的人数，最后补全统计图即可； （2）根据众数和平均数的定义求解即可； （3）用800乘以样本中优秀的人数占比即可得到答案． 【小问1详解】 解：人， ∴随机抽取的学生人数是80人， ∴A组的人数为人，B组的人数为人， ∴C组的人数为人， 补全统计图如下所示： 【小问2详解】 解：∵得分为96的人数最多， ∴众数为96； 平均数为； 【小问3详解】 解：名， 答：估计获得奖品的人数为80名． 20. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】此题考查的是分式的化简求值题，零指数幂，求一个数的绝对值，掌握分式的各个运算法则是解决此题的关键． 先根据分式的各个运算法则化简，然后根据零指数幂和化简绝对值求出a的值，代入求值即可． 【详解】解：原式 ． 原式 ． 21. 学校旁边的文具店用600元购买钢笔，700元购买笔记本，每支钢笔比每个笔记本的进价贵5元，且购进笔记本的数量是钢笔的2倍． （1）求文具店购买每支钢笔和每个笔记本的进价； （2）文具店在销售过程中发现、当钢笔的售价为每支18元，笔记本的售价为每个10元时，平均每天可售出20支钢笔，40个笔记本，调查，钢笔的售价每降低元平均每天可多售出5支，且降价幅度不低于．商家在保笔记本的售价和销量不变且不考虑其他因素的情况下，想使钢笔和笔记本平均每天的总获利为270元，则每支钢笔的售价为多少元？ 【答案】（1）每支钢笔的进价为12元，每个笔记本的进价为7元； （2）每支钢笔的售价为17元． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程应用以及分式方程的应用，根据题目的条件找准等量关系，并正确列出分式方程和一元二次方程是解题的关键． （1）设每个笔记本的进价为元，则每支钢笔的进价为元，利用数量总价单价，结合购进笔记本的数量是钢笔的2倍，可列出关于的分式方程，解之经检验后即可得出答案； （2）设每支钢笔的售价为元，则每支钢笔的利润为元，每天可售出支，利用总利润每支钢笔的销售利润日销售量每个笔记本的销售利润日销售量，可列出关于的一元二次方程，解之可求出值，再结合降价幅度不低于，即可确定结论． 【小问1详解】 解：设每个笔记本的进价为元，则每支钢笔的进价为元， 根据题意得，， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意． ． 答：每支钢笔的进价为12元，每个笔记本的进价为7元； 【小问2详解】 设每支钢笔的售价为元，则每支钢笔的利润为元， 则每天可售出支， 根据题意得，， 整理得：， 解得：， 当时，，不合题意，舍去； 当时，，符合题意． 答：每支钢笔的售价为17元． 22. 如图，矩形中，，，点是线段的中点．动点从点出发，沿射线方向以每秒2个单位长度的速度运动，同时动点从点出发沿折线方向以每秒1个单位长度的速度运动．当点到达点时，、两点都停止运动．设动点运动的时间为秒，的面积为． （1）请直接写出与的函数关系式，并写出自变量的取值范围（面积不为0）； （2）在给定平面直角坐标系内画出这个函数的图像，并写出该函数的一条性质； （3）结合函数图像，写出的面积为1时的值（保留一位小数，误差不得超过0.2）． 【答案】（1） （2）见解析 （3）的值1.0或2.5 【解析】 【分析】（1）分两种情况：当点在线段上，点在上时，当点在射线上时，点在上时，分别根据三角形的面积公式进行计算即可得到答案； （2）先列表，再描点连线即可得到函数图象，由函数图象即可得出函数的性质； （3）根据函数图象即可得到答案． 【小问1详解】 解：根据题意得： 当点在线段上，点在上时， ， 此时：，，， ， ； 当点在射线上时，点在上时， ， 此时：，， ， ； 综上所述：， 【小问2详解】 解：列表： 0 1 2 3 4 0 1 0 2 4 函数图像如图： 由函数图象可得： 函数的性质： ①当或时，随增大而增大，当时，随增大而减少； ②当时，函数有最大值4；（回答一个即可） 【小问3详解】 解：由函数图象可得： 的面积为1时的值1.0或2.5． 【点睛】本题考查了动点问题、求函数解析式、画函数图象、从函数图象中获取信息，理解题意，正确取出函数解析式，采用分类讨论与数形结合的思想解题，是解此题的关键． 23. 中国人民解放军在台海地区开展的演习活动是维护国家主权安全和发展利益的正当 之举，是外 部势力干涉和“台独”势力挑衅的警慑反制，也是维护台海地区和平稳定的必要行动．某次演习中，中国人民解放军在A城市周围B、C、D三个区域演习，B在A正南方向，C在A正东方向，D在A 东北方向，点B在点C南偏西，点D在点C北偏西方向100海里处．（参考数据：） （1）求的长． （2）由于演习过程中的特殊任务，从点C到点A需要经过点D或点B，那么C到A的两条路径和哪一条最短？ 【答案】（1）海里 （2）最短 【解析】 【分析】本题考查了方位角问题(解直角三角形的应用)，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）认真研读题干，得，海里，，然后在中，（海里），则，即可作答． （2）分别算出每条路径的总长，再进行比较，即可作答． 【小问1详解】 解：如图，过D点作的垂线交于E点， 根据题意有：，海里，， 在中，（海里）； 在等腰直角中，， ∴（海里）； 【小问2详解】 解：由（1）知，海里，海里，海里，海里， ∴走路线时，（海里）； ∴走路线时，（海里）, 则（海里）, （海里）； ∴（海里）， 则 即选择最短． 24. 如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，点在轴负半轴且，连接，点是轴上的一个动点，过点作轴的垂线交抛物线于点，交直线于点． （1）求抛物线的解析式； （2）点在线段上运动时，当四边形是平行四边形时，求点的坐标； （3）若直线交抛物线另一个交点为，连接、，当点在轴上运动时，是否存在点，使得面积为？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）或或 【解析】 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、平行四边形的判定与性质、二次函数的性质等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键． （1）将代入解析式求得即可解答； （2）先求得，再求得直线的解析式，设，则，其中，可得，再根据列方程求解即可解答； （3）先求出点的坐标，再根据列出方程求解即可． 小问1详解】 解：∵将两点在抛物线的解析式上， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为． 【小问2详解】 解：∵， ， ∴， ∵，点在轴负半轴， ， ∴， 设直线的表达式为， 则， 解得， ∴直线的关系表达式为， 设，则，其中， ， ， 如图，连接， ∴当时，四边形为平行四边形， ∴， 解得：（舍去）， 故当四边形是平行四边形时，． 【小问3详解】 解：联立和，可得， 解得：， 则， 如图，连接， ∵，，， ∴ ， 整理得：或， 解得或， 解得， 综上，或或． 25. 在菱形中，，点M在延长线上，点E是直线上的动点，连接，将线段绕点M逆时针旋转得到线段，连接． （1）如图①，当点E与点B重合时，请直接写出线段与的数量关系； （2）如图②，当点E在上时，请写出线段之间的数量关系，并给出证明； （3）当点E在直线上时，若，请直接写出线段的长． 【答案】（1） （2），理由见解析 （3）的长为5或1 【解析】 【分析】（1）连接，由旋转的性质得出，得出为等边三角形，由等边三角形的性质得出，证明，由全等三角形的性质得出，则可得出结论； （2）过点M作交的延长线于点N，证明是等边三角形，由等三角形的性质得出，得出是等边三角形，可证明，由全等三角形的性质得出，则可得出结论； （3）分两种情况画出图形，由等边三角形的性质及全等三角形的性质可得出答案． 【小问1详解】 解：， 证明，连接， ∵将线段绕点M逆时针得到线段，点E与点B重合， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵菱形中，， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 结论：． 证明：如图2，过点M作交的延长线于点N， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴． 【小问3详解】 如图3，当点E在线段上时， 由（2）可知． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 如图4，当点E在的延长线上时， 则和都是等边三角形， 同（2）可证， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 综合以上可得的长为5或1． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了菱形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定与性质等知识，熟练掌握等边三角形的判定与性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度初中数学期中考试卷 九年级数学 考试时间：120分钟；满分：150分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息． 2．请将答案正确填写在答题卡上． 参考公式：抛物线；抛物线对称轴：直线 一、单选题（每小题4分，共40分） 1. 2024的相反数是（　　） A. B. C. D. 2. 现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性．下列汉字是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列是关于x 的二次函数的是（ ） A. B. C. D. 4. 点关于原点的对称点为，则点关于轴的对称点为（ ） A. B. C. D. 5. 下列命题的逆命题成立的是（） A. 对顶角相等 B. 全等三角形的对应角相等 C. 两直线平行，内错角相等 D. 如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等 6. 估计的值应在（ ）间 A. 6和7 B. 7和8 C. 8和9 D. 9和10 7. 某品牌手机三月份的销售量为万部，四、五月份的销售量连续增长，五月份的销售量达到万部，求四、五月份该品牌手机销售量的月平均增长率．设四、五月份该品牌手机销售量的月平均增长率为，根据题意可列方程为 （ ） A. B. C. D. 8. 若抛物线经过和两点，将该抛物线向上平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度得到新抛物线，则关于新抛物线下列说法正确的是（ ） A 开口向下 B. 图象过点 C. 在时，的最小值为 D. 当时，随增大而减小 9. 如图，正方形的边长为6，为等腰直角三角形，，，连接、，点为的中点，连接的最小值为（ ） A. 3 B. C. D. 10. 在整式，之间插入它们的平均数：，记作第一次操作，在与之间和与之间分别插入它们各自的平均数记作第二次操作，以此类推． ①第二次操作后，从左往右第四个整式； ②第三次操作后，从左往右第3个整式：； ③经过四次操作后，若，，则所有整式的值之和为32； ④经过8次操作后，将得到257个整式． 以上四个结论正确的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（每小题4分，共64分） 11. 一个多边形的内角和是，则这个多边形是_______边形． 12. 方程的根为__________． 13. 已知抛物线经过三点A、B、C，则、、的大小关系是___．（用“”符号连接） 14. 如图．点中，点是轴上一动点，以点为旋转中心，将线段逆时针旋转90°，得到线段，连接，则线段的最小值为_____． 15. 若关于的不等式组有且仅有3个整数解，且关于的分式方程的解为非负数，则符合条件的所有整数的和是________． 16. 对于一个四位自然数（，，，，，，，均为整数），若满足十位数字与个位数字组成的两位数恰好是千位数字与百位数字的和的2倍，那么我们称它为“和倍数”，记，．例如：7524，因为，所以7524是“和倍数”，，；又如6214，因为，所以6214不是“和倍数”．若是最小的“和倍数”，则________；若对于和倍数，满足：的值能被4整除，则所有满足条件的的值之和为________． 三、解答题（17-18题，每小题8分；19-25题，每小题10分） 17. 解不等式组，并写出它的所有正整数解． 18. 如图，在中，点D为边上中点，连接． （1）尺规作图：在下方作，交的延长线于点E，连接；（只保留作图痕迹） （2）在（1）所作的图中，若，求证：四边形是菱形．（请补全下面的证明过程） 证明：∵点D为边上的中点， ∴①______________ 在和中， ∴， ∴②__________ ∵， ∴③__________ ∴四边形是平行四边形． 又∵④__________ ∴平行四边形是菱形． 19. 西安，这座千年古都，承载着丰富的历史文化底蕴，每一砖一瓦都诉说着往昔的辉煌．学习历史，可以增长见识，有助于丰富个人的知识储备，提升思维高度等．为此星光中学举办了一次“西安历史”知识竞赛，并随机抽取部分学生，将竞赛成绩按以下分组进行整理（得分用表示）：．，．，．，．，．，并绘制出如图所示统计图1、图2． 根据以上信息，解答下列问题： （1）随机抽取的学生人数是_________人，并将条形统计图补充完整； （2）若“．”的数据为：90，93，95，96，96，96，98，100，求出这组数据的众数和平均数； （3）该校有800名学生参加了此次知识竞赛，若90分及以上为优秀，可以获得奖品，请你估计获得奖品的人数． 20. 先化简，再求值：，其中． 21. 学校旁边的文具店用600元购买钢笔，700元购买笔记本，每支钢笔比每个笔记本的进价贵5元，且购进笔记本的数量是钢笔的2倍． （1）求文具店购买每支钢笔和每个笔记本的进价； （2）文具店在销售过程中发现、当钢笔的售价为每支18元，笔记本的售价为每个10元时，平均每天可售出20支钢笔，40个笔记本，调查，钢笔的售价每降低元平均每天可多售出5支，且降价幅度不低于．商家在保笔记本的售价和销量不变且不考虑其他因素的情况下，想使钢笔和笔记本平均每天的总获利为270元，则每支钢笔的售价为多少元？ 22. 如图，矩形中，，，点是线段中点．动点从点出发，沿射线方向以每秒2个单位长度的速度运动，同时动点从点出发沿折线方向以每秒1个单位长度的速度运动．当点到达点时，、两点都停止运动．设动点运动的时间为秒，的面积为． （1）请直接写出与的函数关系式，并写出自变量的取值范围（面积不为0）； （2）在给定的平面直角坐标系内画出这个函数的图像，并写出该函数的一条性质； （3）结合函数图像，写出的面积为1时的值（保留一位小数，误差不得超过0.2）． 23. 中国人民解放军在台海地区开展的演习活动是维护国家主权安全和发展利益的正当 之举，是外 部势力干涉和“台独”势力挑衅的警慑反制，也是维护台海地区和平稳定的必要行动．某次演习中，中国人民解放军在A城市周围B、C、D三个区域演习，B在A正南方向，C在A正东方向，D在A 东北方向，点B在点C南偏西，点D在点C北偏西方向100海里处．（参考数据：） （1）求的长． （2）由于演习过程中的特殊任务，从点C到点A需要经过点D或点B，那么C到A的两条路径和哪一条最短？ 24. 如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，点在轴负半轴且，连接，点是轴上的一个动点，过点作轴的垂线交抛物线于点，交直线于点． （1）求抛物线的解析式； （2）点在线段上运动时，当四边形是平行四边形时，求点的坐标； （3）若直线交抛物线另一个交点为，连接、，当点在轴上运动时，是否存在点，使得面积为？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 25. 在菱形中，，点M在的延长线上，点E是直线上的动点，连接，将线段绕点M逆时针旋转得到线段，连接． （1）如图①，当点E与点B重合时，请直接写出线段与的数量关系； （2）如图②，当点E在上时，请写出线段之间的数量关系，并给出证明； （3）当点E在直线上时，若，请直接写出线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $