重庆市渝北区六校联盟2025-2026学年九年级上学期半期考试数学试题

2025-2026学年度初中数学期中考试卷 九年级数学 考试时间：120分钟；满分：150分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题（每小题4分，共40分） 1．2024的相反数是（　　） A． B．2024 C． D． 2．现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性．下列汉字是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 3．下列是关于x 的二次函数的是（    ） A． B． C． D． 4．点关于原点的对称点为，则点关于轴的对称点为（   ） A． B． C． D． 5．下列命题的逆命题成立的是（） A．对顶角相等 B．全等三角形的对应角相等 C．两直线平行，内错角相等 D．如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等 6．估计的值应在（   ）间 A．6和7 B．7和8 C．8和9 D．9和10 7．某品牌手机三月份的销售量为万部，四、五月份的销售量连续增长，五月份的销售量达到万部，求四、五月份该品牌手机销售量的月平均增长率．设四、五月份该品牌手机销售量的月平均增长率为，根据题意可列方程为 （    ） A． B． C． D． 8．若抛物线经过和两点，将该抛物线向上平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度得到新抛物线，则关于新抛物线下列说法正确的是（    ） A．开口向下 B．图象过点 C．在时，的最小值为 D．当时，随增大而减小 9．如图，正方形的边长为6，为等腰直角三角形，，，连接、，点为的中点，连接的最小值为（    ） A．3 B． C． D． 10．在整式，之间插入它们的平均数：，记作第一次操作，在与之间和与之间分别插入它们各自的平均数记作第二次操作，以此类推． ①第二次操作后，从左往右第四个整式为； ②第三次操作后，从左往右第3个整式为：； ③经过四次操作后，若，，则所有整式的值之和为32； ④经过8次操作后，将得到257个整式． 以上四个结论正确的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题（每小题4分，共64分） 11．如果一个多边形的内角和是，那么这个多边形的边数是 ． 12．方程的根为 13．已知抛物线经过三点A、B、C，则、、的大小关系是 ．（用“”符号连接） 14．如图．点中，点是轴上一动点，以点为旋转中心，将线段逆时针旋转90°，得到线段，连接，则线段的最小值为 ． 15．若关于的不等式组有且仅有3个整数解，且关于的分式方程的解为非负数，则符合条件的所有整数的和是 ． 16．对于一个四位自然数（，，，，，，，均为整数），若满足十位数字与个位数字组成的两位数恰好是千位数字与百位数字的和的2倍，那么我们称它为“和倍数”，记，．例如：7524，因为，所以7524是“和倍数”，，；又如6214，因为，所以6214不是“和倍数”．若是最小的“和倍数”，则 ；若对于和倍数，满足：的值能被4整除，则所有满足条件的的值之和为 ． 三、解答题（17-18题，每小题8分；19-25题，每小题10分） 17．解不等式组，并写出它的所有正整数解． 18．如图，在△ABC中，点D为边上的中点，连接． (1)尺规作图：在下方作，交的延长线于点E，连接；（只保留作图痕迹） (2)在（1）所作的图中，若，求证：四边形是菱形．（请补全下面的证明过程） 证明：∵点D为边上的中点， ∴①______________ 在和中， ∴， ∴②__________ ∵， ∴③__________ ∴四边形是平行四边形． 又∵④__________ ∴平行四边形是菱形． 19．西安，这座千年古都，承载着丰富的历史文化底蕴，每一砖一瓦都诉说着往昔的辉煌．学习历史，可以增长见识，有助于丰富个人的知识储备，提升思维高度等．为此星光中学举办了一次“西安历史”知识竞赛，并随机抽取部分学生，将竞赛成绩按以下分组进行整理（得分用表示）：．，．，．，．，．，并绘制出如图所示统计图1、图2． 根据以上信息，解答下列问题： (1)随机抽取的学生人数是_________人，并将条形统计图补充完整； (2)若“．”的数据为：90，93，95，96，96，96，98，100，这组数据的众数是_________;平均数是______________； (3)该校有800名学生参加了此次知识竞赛，若90分及以上为优秀，可以获得奖品，请你估计获得奖品的人数． 20． 先化简，再求值：，其中． 21．学校旁边的文具店用600元购买钢笔，700元购买笔记本，每支钢笔比每个笔记本的进价贵5元，且购进笔记本的数量是钢笔的2倍． (1)求文具店购买每支钢笔和每个笔记本的进价； (2)文具店在销售过程中发现、当钢笔的售价为每支18元，笔记本的售价为每个10元时，平均每天可售出20支钢笔，40个笔记本，调查，钢笔的售价每降低元平均每天可多售出5支，且降价幅度不低于．商家在保笔记本的售价和销量不变且不考虑其他因素的情况下，想使钢笔和笔记本平均每天的总获利为270元，则每支钢笔的售价为多少元？ 22．如图，矩形中，，，点是线段的中点．动点从点出发，沿射线方向以每秒2个单位长度的速度运动，同时动点从点出发沿折线方向以每秒1个单位长度的速度运动．当点到达点时，、两点都停止运动．设动点运动的时间为秒，的面积为． (1)请直接写出与的函数关系式，并写出自变量的取值范围（面积不为0）； (2)在给定的平面直角坐标系内画出这个函数的图像，并写出该函数的一条性质； (3)结合函数图像，写出的面积为1时的值（保留一位小数，误差不得超过0.2）． 23．中国人民解放军在台海地区开展的演习活动是维护国家主权安全和发展利益的正当  之举，是外 部势力干涉和“台独”势力挑衅的警慑反制，也是维护台海地区和平稳定的必要行动．某次演习中，中国人民解放军在A城市周围B、C、D三个区域演习，B在A正南方向，C在A正东方向，D在A 东北方向，点B在点C南偏西，点D在点C北偏西方向100海里处．（参考数据：） (1)求的长． (2)由于演习过程中的特殊任务，从点C到点A需要经过点D或点B，那么C到A的两条路径和哪一条最短？ 24．如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，点在轴负半轴且，连接，点是轴上的一个动点，过点作轴的垂线交抛物线于点，交直线于点．          (1)求抛物线的解析式； (2)点在线段上运动时，当四边形是平行四边形时，求点的坐标； (3)若直线交抛物线另一个交点为，连接、，当点在轴上运动时，是否存在点，使得面积为？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 25．在菱形中，，点M在的延长线上，点E是直线上的动点，连接，将线段绕点M逆时针旋转得到线段，连接．    (1)如图①，当点E与点B重合时，请直接写出线段与的数量关系； (2)如图②，当点E在上时，请写出线段之间的数量关系，并给出证明； (3)当点E在直线上时，若，请直接写出线段的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2025-2026学年度初中数学期中考试卷》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C D C C D D C D B 9．解：如图，延长至点G，使，交于点K，连接，设交于点M，过点F作，垂足为点N，则， ∵点为的中点，∴，∵， ∴，∴， ∵正方形的边长为6， ∴，， ∵，∴， ∴，∴， ∵，， ∴，∴，∵， ∴， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴当最小时，最小，此时取得最小值，为， ∵， ∴当点B，E，C三点共线时，取得最小值，为3， 此时， ∴的最小值为． 10．【分析】①根据第一次操作后所得整式，求出第二次操作后，从左往右的第四个整式即可判断；②求出第二次操作后的第二整式，即可判断②；③代入，，求出经过4次操作后所得数据，并求和判断即可；④根据操作方式得出操作后所得整式个数的规律，然后求出经过8次操作后所得整式个数即可判断． 解： ∴第一次操作后：，，； ∵， ∴第二次操作后：，，，，， ∴第二次操作后，从左往右第四个整式为，故①正确； ∵，，，， ∴第三次操作后：，，，，，，，，， ∴第三次操作后，从左往右第3个整式为：，故②错误； ∴把，代入后，第三次操作后各项变为2、、、、1、、、、0； ∴把，代入后，第四次操作后各项为2、、、、、、、、1、、、、、、、、0， ∴， ∴经过四次操作后，若，，则所有整式的值之和为；故③错误； 第1次操作后有3个整式，第2次操作后有5个整式，第3次操作后有9个整式，第4次操作后有17个整式，由此发现第n次操作后有个整式， ∴第8次操作后得到个整式，故④正确． 11．8 12． 13． 14． 15．7 16． 16、解：∵， ∴为了使 最小，应尽可能让 最小，然后 最小，再 和 最小． ∴，，，， 故最小的“和倍数”是， ∴，， ∴， ∵，即， ∴， ∵， ∴， ∵的值能被4整除， ∴是的倍数， ①当时，，， ∴， 即， ∴ ∴，∴， 又∵是的倍数，∴，，此时满足条件的“和倍数”为 ②当时，， ∴，即，∴， 又∵是的倍数， 若，则，. 此时满足条件的“和倍数”为； 若，则或； 当时，，不合题意，此时不存在满足条件的“和倍数”； 若，，不合题意，此时不存在满足条件的“和倍数”； ③当时， ∴，即，∴， 又∵是的倍数，∴，则或； 若，，不合题意，此时不存在满足条件的“和倍数”； 若，，不合题意，此时不存在满足条件的“和倍数”； 综上所述：所有满足条件的的值之和为． 故答案为： ；． 17．；1，2，3． 解：解不等式①得：...............................................................2分 解不等式②得：.............................................................2分 ∴不等式组的解集为........................................................2分 ∴不等式组的所有正整数解有1，2，3．....................................2分 18．(1) .................................................4分 (2)①；②；③；④..........4分 ． 19．(1)80；补图略 ..........................................................4分 (2)众数为96，平均数为...........................................2分 (3)80名..............................................................................4分 20．解：原式．..............6分 原式．..............4分 21．（1）解：设每个笔记本的进价为元，则每支钢笔的进价为元， 根据题意得 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意． ． 答：每支钢笔的进价为12元，每个笔记本的进价为7元；......................................5分 （2）设每支钢笔的售价为元，则每支钢笔的利润为元， 根据题意得，， 整理得：， 解得：， 答：每支钢笔的售价为15元．................................................................................5分 22．(1).....................................................4分 (2) ......................................................4分 (3)的值1.0或2.5 ......................................................2分 23．(1)海里 .....................................................5分 (2)最短 .....................................................5分 24．(1) ....................................................3分 （2）的关系表达式为，....................................................1分 设，则，其中， ， ，如图，连接， ∴当时，四边形为平行四边形， ∴， 解得：（舍去）， 故当四边形是平行四边形时，．....................................................3分 （3）解：联立和，可得， 解得：， 则， 如图，连接， ∵，，， ∴ ， 整理得：或， 解得或， 解得， 综上，或或．....................................................3分 25．（1）解：，....................................................2分 证明，连接，    ∵将线段绕点M逆时针得到线段，点E与点B重合， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵菱形中，， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）结论：． 证明：如图2，过点M作交的延长线于点N，    ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴是等边三角形，   ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴．....................................................6分 （3）如图3，当点E在线段上时，    由（2）可知． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 如图4，当点E在的延长线上时，    则和都是等边三角形， 同（2）可证， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 综合以上可得的长为5或1．....................................................2分 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $