第二章 二次函数 章检测 2026—2027学年鲁教版（五四制）九年级数学上册

2026—2027学年第一学期九年级数学第一章直角三角形的边角关系章检测 （鲁教版） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C C D D A B C A D 1．A 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；因此此题可根据函数图象及二次函数的对称性可进行求解． 【详解】解：由图象可知：开口向上，则，故①正确； 对称轴为直线，则有，即，故②正确； 设二次函数与x轴交点的横坐标分别为，由题意知， ∴，即， ∴， ∴方程有一个根大于2，故③正确； 故选A． 2．C 【分析】本题考查了二次函数的定义等知识点，根据二次函数的定义即可求出答案，熟练掌握二次函数的定义是解决此题的关键． 【详解】A、是一次函数，故A不是二次函数，不符合题意； B、是反比例函数，故B不是二次函数，不符合题意； C、是二次函数，故C是二次函数，符合题意； D、，不是二次函数，故D不是二次函数，不符合题意． 故选：C． 3．C 【分析】本题主要考查函数的图象，利用分类讨论思想，根据不同时间段能装水部分的宽度的变化情况分析水的深度变化情况是解题关键．分成3段分析可得答案． 【详解】解：下层圆柱底面半径大，水面上升块，上层圆柱底面半径稍小，水面上升稍慢，再往上则水面上升更慢， 所以对应图象是第一段比较陡，第二段比第一段缓，第三段比第二段缓． 故选：C． 4．D 【分析】利用二次函数定义进行解答即可． 【详解】解：A、含有分式，不是二次函数，故此选项不合题意； B、不是二次函数，故此选项不合题意； C、不是二次函数，故此选项不合题意； D、是二次函数，故此选项符合题意； 故选：D． 【点睛】此题主要考查了二次函数定义，关键是掌握判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件． 5．D 【分析】本题考查了二次函数与x轴的交点，牢记二次函数概念及“时，二次函数与x轴有2个交点”是解题的关键． 二次函数图象与x轴有两个不同的交点等价于对应方程有两个不同的实数根，需满足判别式大于零且二次项系数不为零． 【详解】∵ 函数为二次函数， ∴ . ∵ 图象与x轴有两个不同的交点， ∴ 方程 有两个不同的实数根， ∴ 判别式 ， 解得 . ∴ 且 ． 故选：D． 6．A 【分析】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，由题图可知，抛物线开口向上，与y轴的交点在x轴下方，抛物线的对称轴为直线，得到，可判断①②，将代入，得，将代入，得，可判断③，直线与抛物线有两个交点，可判断④，掌握二次函数的图象与系数的关系是解题的关键． 【详解】解：由题图可知，抛物线开口向上，与y轴的交点在x轴下方， ，， ∵抛物线的对称轴为直线， ， ， ， ∴，故①符合题意，②不符合题意， 将代入， 得：， 将代入， 得，故③符合题意， ∵抛物线开口向上，顶点在x轴下方， ∴直线与抛物线有两个交点， ∴关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，故④符合题意， ∴符合题意的有①③， 故选：A． 7．B 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，由图象可得抛物线开口向上，与轴交于正半轴，对称轴为直线，从而得出，，，即可判断①；根据二次函数与轴只有一个交点即可判断②；由即可判断③；由图象可得，当时，即可判断④；熟练掌握二次函数的图象与性质是解此题的关键． 【详解】解：由图象可得：抛物线开口向上，与轴交于正半轴，对称轴为直线， ∴，，， ∴， ∴，故①错误； ∵二次函数与轴只有一个交点， ∴，故②正确； ∵， ∴，故③正确； 由图象可得，当时，，故④错误； 综上所述，正确的有②③，共个， 故选：B． 8．C 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，二次函数的图象与性质，掌握以上函数的性质是解题的关键． 根据反比例函数的图象与性质，二次函数的图象与性质，再结合图象即可求解． 【详解】解：∵反比例函数向右平移1个单位长度得到函数， ∴图象的两个分支关于点成中心对称， ∵的图象开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为， ∴函数与二次函数有个交点，如图， ∴方程根的个数为个， 故选：． 9．A 【分析】连接，过点作于点，根据勾股定理逆定理得到是直角三角形，根据等面积法求出，根据勾股定理求出，设，则，，根据勾股定理得到，证明四边形是矩形，得到，可知． 【详解】解：如图，连接，过点作于点， 在中，，，， ， 是直角三角形，， ， ， ， ， ，， ， ，， ∴四边形是平行四边形， ∵， 四边形是矩形， ， ． 10．D 【分析】本题考查了二次函数的最值问题，待定系数法求二次函数的解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先把代入得出，结合对称轴在y轴的右侧，得，则在时，最小值，代入计算，即可作答． 【详解】解：∵二次函数（其中m为常数）的图像经过点， ∴， ∴， ∴， ∵对称轴在y轴的右侧， ∴对称轴为直线 ∴， ∴， 则二次函数，且 ∴开口向上，对称轴为直线， ∴在时，最小值， 把代入， 得， ∴该二次函数有最小值7， 故选：D 2、 填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11． 【分析】先确定抛物线开口方向和对称轴，根据二次函数增减性得到对称轴满足的条件，解不等式得到的取值范围. 【详解】解：∵ 抛物线的二次项系数为， ∴ 抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴ 在对称轴左侧，即时，随的增大而减小， ∵ 当时，随的增大而减小， ∴ ， 解得 ． 12． 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点，令，则，即可得到交点坐标． 【详解】解：令，则， 抛物线与轴的交点的坐标是， 故答案为：． 13．20 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，掌握二次函数的对称性是解答本题的关键．根据题意可得B的纵坐标为，把代入解析式确定A、B的坐标，进而求得的长即可解答． 【详解】解：根据题意B的纵坐标为， 把代入，得， 解得， ∴，， ∴， 即水面宽度为． 故答案为：20． 14．①③/ 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系．由抛物线的位置可判断①，根据抛物线的性质，从而判断②，③，由抛物线与直线交点个数判断④． 【详解】解：∵抛物线开口向上，与轴交于负半轴， ∴，， ∵对称轴在轴的左边， ∴， ∴，故①正确． 由图象得：当时，随的增大而增大，故②是错误的； ∵抛物线对称轴为直线， ∴， 由图象得，当时，，故③是正确的； ∵若关于的一元二次方程有实数根， ∴关于的一元二次方程有实数根， ∴，故④是错误的， 故答案为：①③． 15． 【分析】本题主要考查反比例函数图像上点的坐标特征、二次函数的性质等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键．由抛物线求出点、点，由点求出双曲线，再求出，得到个单位一循环，求出、的最大值即可求解． 【详解】解：∵点在抛物线上， ∴令，则， ∴， 又∵点是抛物线的顶点， ∴， ∴, ∵点B在双曲线上， ∴， ∴双曲线解析式为， ∵两点的纵坐标相等， 当时，， ∴点， ∵， 所以点P的纵坐标和时的纵坐标相等， 当时，, 所以， ∵波浪线的最高点为二次函数顶点， 所以n的最大值为12， 所以最大值为． 故答案为． 三、解答题（本题共8小题，共75分） 16． 【分析】根据形如的函数是二次函数，以此计算即可． 本题考查了二次函数的定义，熟练掌握二次项系数不为零，最高次项的次数是2是解题的关键． 【详解】解：∵是关于的二次函数， ∴ 解得，， 又∵， ∴， ∴. 17．（1）；（2），且 【分析】本题考查分式的化简及含参数的二次函数与坐标轴交点取值问题． （1）先对括号内的分式进行加法运算，再将除法转化为乘法，通过因式分解和约分化简即可； （2）先确定函数与坐标轴交点的情况，再根据交点个数要求列出条件求解m的取值范围即可． 【详解】解：（1）原式 ． （2）∵二次函数的图象与坐标轴有三个交点， ∴抛物线与x轴有两个交点，与y轴有一个交点， ∴，， 即，解得，且． 故答案为：，且． 18． （1）； （2） 【分析】本题主要考查了特殊角三角函数值的混合运算，用待定系数法求二次函数解析式，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）根据特殊角三角函数值求解即可； （2）直接利用待定系数法求解析式即可． 【详解】解：（1）原式 ； （2）设抛物线的解析式为：， ∵抛物线经过点， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为：． 19．（1）1（2） 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，特殊角的三角函数值，二次函数图象上点的坐标特征，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）把特殊角的三角函数值代入进行计算，即可解答； （2）利用待定系数法求二次函数解析式进行计算，即可解答． 【详解】解：（1） ． （2）把，代入，得： ， 解得， 所以该函数的表达式为． 20． 小嘉同学的解法是错误的，理由是没有考虑墙长为这个条件，正确过程如下： 设这个苗圃园垂直于墙的一边长为，面积为，由题意得： ， ∵墙长为， ∴， 解得：， ∵，即开口向下，且对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小， ∴当时，有最大值，最大值为； 答：该苗圃园面积的最大值为． 【分析】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是理解题意；根据题意可知小嘉同学未考虑墙长为这个条件，所以解答过程错误，因此此题可根据二次函数的性质进行求解即可． 【详解】略 21．(1)第一次灭火时水流所在抛物线的解析式为 (2)水流能到达点处， 理由：由题意得第二次灭火时水流所在抛物线的解析式为， 令，得， 第二次灭火时水流所在抛物线过点， 水流能到达点处． 【分析】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）根据题意得出第一次灭火时水流所在抛物线的顶点坐标为，且过，设抛物线的解析式为，用待定系数法解答即可求解； （2）利用平移求出第二次灭火时水流所在抛物线的解析式，再令，求出的值，即可判断求解． 【详解】（1）解：根据题意得出第一次灭火时水流所在抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的解析式为， 将代入得：， 解得， ， 第一次灭火时水流所在抛物线的解析式为； （2）略 22．(1) 证明：对于二次函数， 其中，，， ∴ ∵， ∴一元二次方程有两个不同的实数根， 即二次函数的图象与轴有两个交点； (2)或 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，二次函数的图象与性质，以及不等式的求解，解决本题的关键是熟练掌握二次函数的性质并会转化二次函数与一元二次方程的关系． （1）根据二次函数与一元二次方程的关系，利用判别式判断即可； （2）先表示出二次函数解析式，再画出二次函数的图象，根据图象解不等式即可． 【详解】（1）略 （2）解：当时，二次函数为， 即， 令，则， 解得，， ∴函数与轴的交点为和， 二次函数中， ∴抛物线开口向上， 结合函数图象为： 当时，的取值范围是或． 23．(1) (2)或 (3)或 【分析】（1）利用待定系数法计算即可得出结果； （2）将抛物线解析式化为顶点式得出，求出，从而可得直线的解析式为，进而得出，，设，则，，求出，由题意可得，要使以D、E、N、P四个点为顶点的四边形为平行四边形，则，得出，由此计算即可得出结果； （3）由（2）可得抛物线的顶点坐标为，点的坐标为，分四种情况：当时，当时，当时，当时，分别结合二次函数的性质计算即可得出结果． 【详解】（1）解：∵抛物线经过，两点， ∴， 解得， ∴抛物线解析式为； （2）解：∵， ∴， 在中，当时，，即， 设直线的解析式为， 将，代入解析式得 ，解得， ∴直线的解析式为， 当时，，即， ∴， ∵动点M沿x轴从点A向点B运动，过点M作x轴的垂线交于点N，交抛物线于点P， ∴设，则，，， ∴， 由题意可得， ∴要使以D、E、N、P四个点为顶点的四边形为平行四边形，则， ∴， ∴或 解得（此时点与点重合，不符合题意，舍去）或， 解得（不符合题意，舍去）或， ∴当时，，当时，， ∴或； （3）解：由（2）可得抛物线的顶点坐标为，点的坐标为， ∵在y轴右侧的抛物线上有一点Q，Q的横坐标为m， ∴当时，抛物线在点C与点Q之间（包含点C和点Q）的部分单调递增，最高点为点，最低点为点，即，，则，不满足条件； 当时，抛物线在点C与点Q之间（包含点C和点Q）的部分的最高点为顶点，最低点为点，即，，则，满足条件； 当时，抛物线在点C与点Q之间（包含点C和点Q）的部分的最高点为顶点，最低点为点，且点的值小于，即，，则，不满足条件； 当时，抛物线在点C与点Q之间（包含点C和点Q）的部分的最高点为顶点，最低点为点，即，， ∵， ∴， 解得或（不符合题意，舍去） 综上所述，当时，m的取值范围为或． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年第一学期九年级数学第二章二次函数 章检测（鲁教版） 满分120分 考试用时120分钟 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的） 1．二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，与轴的一个交点的横坐标在和0之间，下列结论：①；②；③方程有一个根大于2，其中正确结论的个数是（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 2．下列函数中，y是x的二次函数的是（   ） A． B． C． D． 3．如图，一个圆柱体水槽底部叠放两个底面半径不等的实心圆柱体，向水槽匀速注水，下列图象能大致反映水槽中水的深度h与注水时间t的函数关系的是（   ）    A．   B．   C．   D．   4．下列函数中，y是x的二次函数的是（　　） A． B． C． D． 5．关于x的二次函数的图象与x轴有两个不同的交点，则k的取值范围是（　　） A． B． C．且 D．且 6．二次函数的部分图象如图所示，其对称轴为直线，且与x 轴的一个交点的坐标为．有下列结论：①；②；③；④ 关于x 的一元二次方程无实数根．其中正确结论的序号是（   ） A．①③ B．②④ C．③④ D．②③ 7．已知二次函数的图象如图所示，顶点为，则下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．反比例函数向右平移1个单位长度得到函数，已知函数图象的两个分支关于点成中心对称，请利用数形结合的方法，判断方程根的个数是（　　）个 A． B． C． D．无法判断根的个数 9．如图，在中，，，，点D是边上一动点（不与A、B重合），沿着运动，过点D作交于点E，作交于点F，设，的长为x，能反映y与x之间函数关系的图象是（   ） A． B． C． D． 10．在平面直角坐标系中，二次函数（其中m为常数）的图像经过点，其对称轴在y轴的右侧，则该二次函数有（    ） A．最大值4 B．最大值7 C．最小值4 D．最小值7 2、 填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11．抛物线，当时，随增大而减小，则的取值范围是________． 12．抛物线与轴的交点的坐标是_____． 13．如图，一座石拱桥的桥拱是近似的抛物线形．建立如图所示的平面直角坐标系，其函数关系式为，当水面离桥拱顶点的高度为时，水面的宽度为___________． 14．如图，已知二次函数的对称轴为直线，顶点的纵坐标为，有下列说法：①；②时，的值随值的增大而减小；③；④若关于的一元二次方程有实数根，则．其中正确的有______．（填序号） 15．如图，曲线是二次函数图像的一部分（其中是抛物线与轴的交点，是抛物线顶点），曲线是反比例函数图像的一部分，两点的纵坐标相等，由点开始不断重复“”的过程，形成一组波浪线．若点和是波浪线上的点，则的最大值为______． 三、解答题（本题共8小题，共75分） 16．（9分）若是关于的二次函数，求的值． 17．（9分）（1）化简： （2）已知二次函数与坐标轴有3个交点，求m的取值范围． 18．（9分）（1）计算：； （2）已知抛物线经过点，求抛物线的解析式． 19．（9分）（1）计算：． （2）二次函数的图象经过点，求该函数的表达式． 20．（9分）如图，用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形苗圃园（不超过墙长），已知墙长为，设这个苗圃园垂直于墙的一边长为，面积为，求该苗圃园面积的最大值．以下是小嘉同学的解法，请判断是否正确，如果正确，请在虚线框内打√，如果不正确，请写出正确的解答过程． 解： ， 当时，最大值为128． 答：该苗圃园面积的最大值为． 21．（9分）为有效地应对高楼火灾，某消防中队进行消防技能比赛．如图，在一个废弃高楼距地面的点和的点处，各设置了一个火源，消防员来到火源正前方，水枪喷出的水流看作抛物线的一部分．第一次灭火时站在水平地面的点处，水流从点射出恰好到达点处，且水流的最大高度为，水流的最高点到高楼的水平距离为，建立如图所示的平面直角坐标系，水流的高度与出水点到高楼的水平距离之间满足二次函数关系． (1)求出消防员第一次灭火时水流所在抛物线的解析式； (2)待处火灭后，消防员前进到点（水流从点射出）处进行第二次灭火，若两次灭火时水流所在抛物线的形状完全相同，判断水流是否能到达点处，并说明理由． 22．（9分）已知二次函数． (1)求证：该二次函数图象与轴有两个交点； (2)当时，结合函数图象说明当时的取值范围． 23．（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过，两点，交轴于点．动点M沿x轴从点A向点B运动，过点M作x轴的垂线交于点N，交抛物线于点P． (1)求抛物线解析式； (2)抛物线的对称轴交于点E，顶点是点D，以D、E、N、P四个点为顶点的四边形为平行四边形时，求点N的坐标； (3)在y轴右侧的抛物线上有一点Q，Q的横坐标为m，设该抛物线在点C与点Q之间（包含点C和点Q）的部分的最高点和最低点到x轴的距离分别为s，t，当时，直接写出m的取值范围． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $