尺规作图 专项练习2026-2027学年苏科版九年级数学上册

尺规作图 专项练习 一、解答题 1．（1）如图，点B在上，过点B作的切线； （2）如图，点D在外，过点D作的切线． 2．（1）如图1，已知线段AB，请用尺规作出线段AB的三等分点C、D；（不写作法，保留作图痕迹） （2）请用尺规在图2中的内部作出一点，使点到AB的距离等于点到AC的距离的2倍．（保留作图痕迹，写出必要的文字说明） 3．分别用两种方法作出三角形的外心与内心．（尺规作图，保留作图痕迹，写出必要的文字说明） 4．如图，四边形为平行四边形，为圆的直径，请仅用无刻度的直尺按要求画图（保留作图痕迹，不写作法）． (1)在图1中作出圆心． (2)在图2中，画出，使得． 5．已知：和外一点． 尺规作图：在图中，过点作的两条切线、，、为切点（要求：两种方法保留作图痕迹，写出简单作法）． 6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°．    (1)用直尺和圆规作⊙O，使圆心O在AC上，且⊙O与BC、AB都相切；（要求：不写作法，保留作图痕迹） (2)若AC=6，BC=8，则⊙O的半径长为______． 7．矩形中，在线段上． (1)请在图①中利用尺规画出点，使得（不写作法，保留作图痕迹）． (2)①请在图②中利用尺规画出点，使得（不写作法，保留作图痕迹）． ②，．若一定存在一点，使得，则的取值范围是_____________． 8．（1）如图1，在中，，，则的外接圆的半径为__________． （2）如图2，在直线上求作点P，使得． 9．如图，AB是⊙O的直径，点C在圆上，∠BAD是△ABC的一个外角，它的平分线交⊙O于点E．不使用圆规，请你仅用一把不带刻度的直尺作出∠BAC的平分线．并说明理由． 10．请用直尺与圆规按要求完成下列作图． (1)如图：已知两个半径不同的圆，请用不同的方法分别画出两个圆的直径． (2)请再画出一个圆使得它的面积等于已知两个圆面积的和 (3)请再画出一个圆使得它的周长等于已知两个圆周长和的倍． 11．已知，用圆规和无刻度的直尺画，使得．不写作法，保留作图痕迹，用黑色笔将痕迹加黑． 12．如图，在中，，，是的外接圆．    (1)请用圆规和无刻度的直尺画出，不写作法，保留作图痕迹，用黑色笔将痕迹加黑； (2)求的半径； (3)若在同一平面内的也经过、两点，且，请直接写出的半径的长． 13．用无刻度的直尺和圆规完成下列作图，不写作法，保留作图痕迹． (1)点P是中边上的一点，在图1中作，使它满足以下条件： ①圆心O在上；②经过点P；③与边相切； (2)如图2，从墙边上引两条不平行的射线（交点在墙的另一侧，画不到），作这两条射线所形成角的平分线． 14．在平面直角坐标系xOy中，点A、B分别在x轴负半轴、y轴正半轴上，(a为常数)，以C为圆心、适当的长度为半径作，使点A、B在上． (1)请用无刻度的直尺和圆规作出．（保留作图痕迹，不写作法）； (2)若，直线与有且只有一个公共点，则 ． 15．操作题：如图，⊙O是ABC的外接圆，AB=AC，P是⊙O上一点． （1）请你只用无刻度的直尺，分别画出图①和图②中∠P的平分线； （2）结合图①，说明你这样画的理由． 16．已知⊙O，请用无刻度的直尺完成下列作图． （1）如图①，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，且AB＝AD，画出∠BCD的角平分线； （2）如图②，AB和AD是⊙O的切线，切点分别是B、D，点C在⊙O上，画出∠BCD的角平分线．    17．如图，一张半径为的圆形纸片，点为圆心，将该圆形纸片沿直线折叠，直线交于两点．    （1）若折叠后的圆弧恰好经过点，利用直尺和圆规在图中作出满足条件的一条直线（不写作法，保留作图痕迹），并求此时线段的长度． （2）已知是一点，． ①若折叠后的圆弧经过点，则线段长度的取值范围是________． ②若折叠后的圆弧与直线相切于点，则线段的长度为_________． 18．如图，已知，利用尺规完成下列作图（不写画法，保留作图痕迹）． （1）作的外接圆； （2）若所在平面内有一点D，满足，，求作点D． 19．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°， （1）求作⊙P，使圆心P在BC上，且⊙P与AC、AB都相切；(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹) （2）在（1）的条件下，若AC＝4，BC＝3．求⊙P的半径． 20．已知．设过点P所画的的两条切线分别为，，切点为A，B．尺规作图：用两种不同的方法作一点P，使．（保留作图痕迹，写出必要的文字说明） 21．如图，已知点、是平面内两点，线段长度一定，在平面内作使得它过点、且半程长为（尺规作图，保留作图痕迹，写出必要的作图说明）． 22．数学家笛卡尔在其著作《几何学》中指出“仅用尺规可以求一个数的算术平方根”．方法如下：如图，已知线段的长为，延长至点，使，以的中点为圆心，的长为半径作圆． ①以点为圆心，长为半径画弧，交线段于点． ②作的中垂线交于． 所得的长是的长的算术平方根． (1)请在图中用尺规作图完成①②步骤（保留作图痕迹，不写作法）． (2)求证：． (3)若，则______． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 《2026年09月25日数学作业》参考答案 1． （1）射线即为所求： （2）直线即为所求： 【分析】本题考查尺规作图，（1）连接并延长，以点B为圆心，的长为半径画弧，交射线于点C，再分别以点A、C为圆心，大于线段的长度为半径作弧，交于点D，再作直线即可； （2）连接，分别以点C、D为圆心，大于的长度为半径作弧，分别交于点E、F，连接交于点G，再以点G为半径，的长度为半径作弧，交于点M，作直线即可． 【详解】解：（1）略 （2）如图，连接，分别以点C、D为圆心，大于的长度为半径作弧，分别交于点E、F，连接交于点G，再以点G为半径，的长度为半径作弧，交于点M，作直线，直线即为所求，理由如下： ∵垂直平分， ∴， ∴点在以为直径的圆上， ∴， 又∵是的半径， ∴是的切线． 2． （1）如图所示； ； （2）如图所示； ． 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例和平行线的尺规作图等知识点，解决此题的关键是熟练掌握平行线的尺规作图； （1）先根据题意要想作出线段的三等分点，需要根据平行线分线段成比例，再用尺规作图作出平行线即可； （2）此道题相当于作一个线段的三等分点，进而转化成第一问的过程，根据第一问的过程即可得到答案； 【详解】略 3． 解：（1）作三角形的外心作法： 如图，分别以点、为圆心，大于长为半径作圆弧，两弧分别交于点、，过、两点作直线； 分别以点、为圆心，大于长为半径作圆弧，两弧分别交于点、，过、两点作直线； 直线与直线相交于点，点即为的外心； （2）作三角形的外心作法： 如图，以点为圆心，长为半径作圆弧，以点为圆心，长为半径作圆弧， 两弧分别交于点，连接交于点； 以点为圆心，适当长为半径作弧，交AC于两点，以此两点为圆心，大于这两点距离一半的长为半径画弧，两弧相交于点， 过点、作直线， 同样方法作直线，直线与直线相交于点，点即为的外心； 说明：由作图可知，，， 四边形为平行四边形， ，即点为的中点， 由作图可知，， 是线段的垂直平分线， 同理，是线段的垂直平分线， 点即为的外心． （3）作三角形的内心作法： 如图，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交、于两点，再分别以这两点为圆心，大于这两点距离一半的长为半径画弧，两弧相交于点，过、两点作射线； 以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交、于两点，再分别以这两点为圆心，大于这两点距离一半的长为半径画弧，两弧相交于点，过、两点作射线； 射线与射线相交于点，点即为的内心； （4）作三角形的内心作法： 如图，以点为圆心，画两个不同半径的弧，得到点，，，，连接，交于点，过、两点作射线； 以点为圆心，画两个不同半径的弧，得到点，，，，连接，交于点，过、两点作射线； 射线与射线相交于点，点即为的内心． 说明：由作图可知， ，，， ， ， ∵，， ，即， ，，， ， ， ，，， ， ，即是的角平分线， 同理可证，是的角平分线， 点即为的内心． 【分析】本题考查了尺规作图，作垂直平分线，作角平分线的作法，三角形的内心与外心，熟练掌握基本作图方法为解题关键．根据三角形三条边的垂直平分线的交点为三角形的外心，三角形内角平分线的交点为三角形的内心进行画图即可得出答案． 【详解】略 4．(1)如图： (2)如图： 【分析】本题考查无刻度直尺作图，涉及圆的性质、平行四边形的性质及圆周角定理等知识，熟知相关性质是正确解决本题的关键． （1）延长，与圆交于点H，连接，与的交点即为所求的圆心O； （2）设与交于点G，连接并延长交于点E，连接，交于点K，即为所求． 【详解】（1）解：延长，与圆交于点H，连接，与的交点即为所求的圆心O； 理由：平行四边形中，， 又， ， ， ， 为圆的直径， 为圆的直径， 点O即为圆心； （2）解：设与交于点G，连接并延长交于点E，连接，交于点K，即为所求． 理由：由作图可知：为的直径， ， ， ， ． 5． 作法： 连接，作的垂直平分线交于点； 以点为圆心，长为半径作圆交于点，， 作直线，，则直线，即为所求． 连接、， 根据作法可知，为的直径， ，即，， 、为的半径， 、为的切线； 作法： 作射线，与交于点和点； 以点为圆心，以为半径作； 以点为圆心，以为半径作圆，与交于点和点，连接和，分别与交于点和点； 作直线和直线，则直线，即为所求． 连接、， 根据作法可知，，，， 点是的中点，点是的中点， 根据等腰三角形三线合一可知，，， 、为的半径， 、为的切线． 【分析】本题考查了尺规作图，过圆外一点作圆的切线，合理利用圆周角定理，构造全等三角形，辅助圆解决问题是解决本题的关键．作法通过过点作辅助圆，、为新作圆的圆周角，根据直径所对的圆周角等于即可得证直线、为的切线；作法通过构造等腰三角形，利用等腰三角形的三线合一，底边上的中线即为高线，即可得证直线、为的切线． 【详解】略 6．(1) 解：如图所示，⊙O即为所求．   ． (2) 【分析】（1）作∠ABC的平分线，交AC于点O，再以点O为圆心、OC为半径作圆； （2）记⊙O与AB的切点为D，连接OD，则OC=OD，BC=BD=8，设OC=OD=r，则AO=6-r，在Rt△AOD中，由AO2=AD2+OD2列出关于r的方程求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：记⊙O与AB的切点为D， 连接OD，则OC=OD，BC=BD=8， 设OC=OD=r， 则AO=6-r， ∵AC=6，BC=8， ∴AB==10， ∴AD=2， 在Rt△AOD中，由AO2=AD2+OD2得（6-r）2=22+r2， 解得r=，即⊙O的半径为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了作图—复杂作图，解题的关键是掌握角平分线的尺规作图和性质、切线的性质定理及勾股定理． 7．(1) 如图：点或即为所求． (2) ①则为所求点． ② 【分析】（1）作的中垂线，以的中点为圆心作圆，交于点P和点，即可； （2）①以为边作等边三角形，分别作的中垂线交于点O，圆O交于点，则为所求点； ②如图：当的外接圆与相切时，的值最小；如图，当圆为矩形的外接圆时，值最大，据此即可解答． 【详解】（1）略 （2）①如图：以为边作等边三角形，分别作的中垂线交于点O， 圆O交于点； ②如图，记的外接圆，半径为，连接，，，过点作； 由题意知，点既在上，也在圆上，则当圆与相切时，切点为点， 则， ∵，，， ，， ， ， 此时，有最小值，最小值为； 当圆为矩形的外接圆时，值最大，此时点与点重合， 如图：连接，则， ∴， 综上，m的取值范围是． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理、尺规作图、勾股定理、等腰三角形的性质等知识点，正确作出图形是解题的关键． 8．（1）2； （2）点P即为所求： 【分析】本题考查了圆周角定理，求特殊三角形的外接圆半径，等边三角形的判定与性质，熟练掌握圆周角定理及等边三角形的性质是解题的关键． （1）根据圆周角定理可求得，再根据等边三角形的判定与性质即可求得答案； （2）先以线段为边，向左下方作等边三角形，则再以点O为圆心，长为半径作，交已知直线于点P，根据圆周角定理可知，即知点P即为所求． 【详解】解：（1）所对的圆心角和圆周角分别是和， ， ， 是等边三角形， ， 即的外接圆的半径为2． 故答案为：2． （2）略 9． 作直径EF交⊙O于F， 连接AF，则AF是∠BAC的平分线． 理由是：∵EF是⊙O的直径， ∴∠EAF=90°， 即∠EAO+∠OAF=90°， ∵AE平分∠BAD， ∴∠DAE=∠EAO， ∴∠CAF=∠OAF， ∴AF是∠BAC的平分线． 【分析】先根据直径所对的圆周角是直角作直径EF，可得∠EAF=90°，再由AE平分∠DAO，及平角的定义可得结论． 【详解】解：略． 【点睛】本题是圆中的作图题，题目新颖，考查了圆周角定理、角平分线的性质和平角的定义，属于基础题． 10．(1) 方法一：如图所示，线段即为所求； 方法二：如图所示，线段即为所求； (2) 如图所示，即为所求； (3) 如图所示，即为所求． 【分析】（）方法一：画圆的一条弦，作弦的垂直平分线，与圆的交点构成的线段即为圆的直径；方法二：作圆周角，连接，则线段即为所求； （）分别作出两个圆的圆心，确定出两个圆的半径，再以为直角边作直角三角形，最后以斜边为半径画，可知的面积为，即等于已知两个圆面积的和； （）以为边长作等边，再作直角，与的延长线相交于点，最后以半径，点为圆心画，由三角形函数可知，可得的周长为，即的周长等于已知两个圆周长和的倍； 本题考查了作圆及圆的直径，掌握圆的性质是解题的关键． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 11． 如图，即为所求． 【分析】本题考查确定圆弧的圆心，尺规作图，在上任取一点M，连接，，作线段，的垂直平分线，交点即为所在圆的圆心，令点C与点A重合，在圆周上取， 即为所求．解题的关键是找到已知弧所在圆的圆心． 【详解】解：略． 12．(1) 解：如图所示： (2) (3)或 【分析】（1）分别作出两边的垂直平分线，交点即为圆心O； （2）过点作，垂足为，连接、，根据勾股定理即可求解； （3）分两种情况说明的半径的长． 【详解】（1）略 （2）过点作，垂足为，连接、， ，， 垂直平分， ， 点在的垂直平分线上，即在上， ， ， 在中，，， ， 设，则． 在中，， ，即． 解得， 即的半径为； （3）当也经过、两点， 则设， ，则或， ， 或． 所以的半径的长为或． 【点睛】本题考查了尺规作图，三角形外接圆与外心、等腰三角形的性质、勾股定理、垂径定理，解决本题的关键是准确确定点的两个位置． 13．(1) 为所求的图形： (2)直线为所求的图形： 【分析】本题考查了圆的基本性质，复杂作图——线段、垂线、以及角平分线，圆的切线的性质和破安定，等腰三角形的内心等知知识，利用相关知识点正确作图是解题关键． （1）要作一个满足条件的圆，关键在于确定圆心和半径．因为圆心在上且圆经过点 P 并与相切，过圆心作的垂线，垂线段长度即为半径； （2）根据三角形三条角平分线交于同一点作图即可． 【详解】（1）解：①过点P作的垂线交于点E， ②在上截取， ③作的平分线交于点O； ④以点O为圆心，长为半径作圆； （2）解：①在上任取一点M（除F外），在上任取一点N（除E外），连接； ②作的平分线，作的平分线，两平分线交于点G； ③同样方法，得点H； ④作直线，则直线为所求的图形． 14．(1) 如下图所示． (2)4或24 【分析】（1）由点C的坐标知，改点在直线上，由圆的定义知，点C在的中垂线上，故上述两条直线的交点，即为点C为位置，即可求解； （2）求出点，由，即可求解． 【详解】（1）由点C的坐标知，该点在直线上，由圆的定义知，点C在的中垂线上， 故上述两条直线的交点，即为点C为位置； （2）如下图所示，设直线与有且只有一个公共点为点T， 则和直线垂直，且， ∵点C在直线， ∴点T是直线和直线的交点， 则点， 由得： ， 解得或． 故答案为：4或24． 【点睛】本题为一次函数综合题，涉及到图象作图、圆的基本知识，其中（2），确定点T的位置，是本题解题的关键，题目综合性强，有一定的难度． 15． （1）如图①，连接AP，即为所求角平分线； 如图②，连接AO并延长，与⊙O交于点D，连接PD，即为所求角平分线． （2）∵AB=AC， ∴， ∴∠APB=∠APC． 【分析】（1）利用圆心角、弧、弦的关系，得出作法即可； （2）由AB=AC得到，再利用圆周角定理可得． 【详解】解：（1）略 （2）略 【点睛】此题主要考查了基本作图以及圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理等知识，熟练利用圆心角、弧、弦的关系得出是解题关键． 16． （1）    ∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，且AB＝AD ∴ ∴∠DAC=∠BAC ∴连接AC即为所求 （2）    ∵AB和AD是⊙O的切线，切点分别是B、D， 连接AO,交圆O于点E,根据切线长定理可知AB=AD,∠DAO=∠BAO，又∵AO=AO，∴△ADO≌△ABO，∴∠AOD=∠AOB，即 ∴连接CE即为所求. 【分析】（1）根据同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等，同弧或等弧所对的圆周角相等，连接AC即为所求； （2）根据切线长定理，圆外一点可以引圆的两条切线，这一点到切点的距离相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角，再利用相等的圆心角所对的弧相等，同弧所对的圆周角相等，连接EC即为所求. 【详解】解：略． 【点睛】根据同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等，同弧或等弧所对的圆周角相等及切线长定理作图是本题的解题关键. 17．（1）； 如图，直线为所求，连接．    （2）①；② 【分析】（1）连接AO，直线l垂直平分PO．，在Rt△AHO中即可求解； （2）①分两种情况求解； ②过O作弦AB的垂直与圆交于点D，与弧AB交于点C，与AB交于点E，过M作OM的垂线，两条垂线的交点为O'，连接AO，得到OO'垂直平分AB，O'为弧ABM所在圆的圆心，，在Rt△ADO中即可求解； 【详解】（1）∵点与点关于直线对称， ∴直线垂直平分． ∴． 在中， ∵， ∴． 在中， ∵，为半径， ∴． （2）如图1：    ∵弧AB翻折与M重合，OM=1， ∴DM=1， 在Rt△ADO中，AO=3，DO=2， ∴； 如图2：    ∵弧AB翻折与M重合，OM=1， ∴MD=2，DO=1， 在Rt△ADO中，AO=3， ∴， ∴， 故答案为； （3）如图3：过O作弦AB的垂线与圆O交于点C，与AB交于点D，连接OM，过点M作OM的垂线，两条垂线的交点为O'，连接AO，    ∴OO'垂直平分AB，O'为弧ABM所在圆的圆心， ∵折叠后的圆弧与直线OM相切于点M， ∴MO'=3，CO=EO'，在Rt△OO'M中，OM=1， ∴， 在Rt△ADO中，，AO=3， ∴， ∴； 故答案为 【点睛】本题考查圆的翻折，垂径定理，圆的切线，解直角三角形；熟练用垂径定理，在直角三角形中求边，分类讨论折叠的情况是解题的关键． 18． （1）如图所示：⊙O即为所求； （2）如图所示：点D即为所求． 【分析】（1）作出、的垂直平分线，两线的交点就是⊙O的圆心O的位置，然后以O为圆心长为半径画圆即可； （2）以B为圆心，长为半径化弧，交⊙O于点D，再连接，即可． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题考查了作图—复杂作图，涉及到了线段的垂直平分线的性质与作图、圆周角定理、三角形的外接圆与外心等知识，解题关键是能正确作出线段的垂直平分线以及圆周角定理的应用． 19．（1）如图所示． （2）⊙P的半径为． 【分析】（1）作∠CAB的角平分线交BC于点P，以P为圆心，PC为半径作⊙P即可； （2）设⊙P的半径为R，⊙P与AB相切于点D，连接PD，则PB=3-R，利用勾股定理构建方程求解即可． 【详解】（1）略 （2）设⊙P的半径为R，⊙P与AB相切于点D，连接PD，则PB=3-R， 在Rt△ABC中，， ∵⊙P与AC、AB都相切 ∴AD=AC=4， ∴BD=AB-AD=5-4=1， 在Rt△PBD中， ∵PD2+BD2=PB2， ∴， 解得：R=． 答：⊙P的半径为． 【点睛】本题考查作图-复杂作图，切线的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 20． 方法①：如图，作直径，，且；作半径平分；过A，B分别作，的垂线，两条垂线的交点即为点P． 方法②：作半径，过A作直线，以点A为圆心为半径画弧交直线l于点C，再以点C为圆心为半径画弧交直线l于点P，再以点P为圆心为半径画弧交于点B，连接，点P即为所求． 【分析】本题主要考查切线的性质和等腰三角形的性质， 方法①：作直径，，且；作半径平分；此时，过A，B分别作，的垂线，即，两条垂线的交点即为点P． 方法②：作半径，过A作直线，以点A为圆心为半径画弧交直线l于点C，此时，再以点C为圆心为半径画弧交直线l于点P，可知，再以点P为圆心为半径画弧交于点B，连接，即，点P即为所求． 【详解】略 21． 如下图：即为所求： 【分析】本题主要考查了作图，画圆，作线段垂直平分线，连接，作的垂直平分线，以点A为圆心线段a为半径画弧交于点O，再以点O为圆心线段为半径作圆即为所求． 【详解】略 22．(1) 解：在图中用尺规作图完成①②步骤如下： ． (2) 证明：如图，连接， 由作图可知，， ∴， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，即， ∴， ∴或（不符合题意，舍去）． (3) 【分析】本题考查了作线段垂直平分线、圆周角定理、相似三角形的判定与性质、一元二次方程的应用等知识，熟练掌握圆周角定理和相似三角形的性质是解题关键． （1）先画出圆，再作线段垂直平分线即可得； （2）连接，先根据圆周角定理可得，再得出，然后证出，根据相似三角形的性质可得，则，据此即可得证； （3）先利用勾股定理求出，再代入，解方程可得的值，据此即可得． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：∵，， ∴， 由（2）已证：， ∴在中，， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 解得或（舍去）， 经检验，是所列方程的解， ∴， 故答案为：． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $