精品解析：云南省玉溪第一中学2026-2027学年高三上学期9月阶段检测数学试题

玉溪一中2026—2027学年上学期高三月考一 数 学 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的姓名、准考证号、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，用黑色碳素笔将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设甲：，乙：，，则（ ） A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件 B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件 C. 甲是乙的充要条件 D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 2. 记的内角所对的边分别为，若，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知等比数列满足，则 A. 64 B. 81 C. 128 D. 243 5. 将12名志愿者（含甲､乙､丙）安排到三个地区做环保宣传工作，每个地区至少需要安排3人，则甲､乙､丙3人恰好被安排到同一个地区的安排方法总数为（ ） A. 3129 B. 4284 C. 18774 D. 25704 6. 若函数有最大值，则实数的值是（ ） A. 1 B. C. 4 D. 7. 已知，且都是锐角，则 A. B. C. D. 8. 已知四面体ABCD的外接球为球O，球O体积V为定值，为等腰直角三角形且，，若四面体ABCD的体积的最大值为，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知幂函数过点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 是减函数 C. 是奇函数 D. 不等式的解集是 10. 关于函数，，下述结论正确的是（ ） A. 若是奇函数，则 B. 若是偶函数，则也为偶函数 C. 若满足，则是区间上的增函数 D. 若，均为上的增函数，则也是上的增函数 11. 已知函数，有下列四个结论，其中正确的结论为（ ） A. 在区间上单调递增 B. 是的一个周期 C. 当时，的值域为 D. 的图象关于轴对称 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，则的最小值为__________． 13. 设函数，若对任意的实数都成立，则的最小值为__________． 14. 已知函数，设曲线在点处切线的斜率为，若均不相等，且，则的最小值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 某地将举办大型体育赛事，为做好比赛的志愿服务保障工作，组委会定期对报名者开展综合能力测评.现从某高校的报名者中随机抽取200名男生和300名女生进行评分（满分100分），分别得到如图所示的两个频率分布直方图. （1）求的值，并估计女生评分的平均数； （2）若评分不低于70分定为“合格”，评分低于70分定为“不合格”.完成下列列联表，并根据小概率值的独立性检验，判断评分等级与该校报名者的性别是否有关联. 性别 评分等级 合计 合格 不合格 男生 女生 合计 附：，. 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 16. 如图，在直角梯形中，.现将沿对角线翻折到，使平面平面.若平面平面，平面平面，直线与确定的平面为平面. （1）证明：； （2）求平面与平面所成角的余弦值. 17. 已知是抛物线的焦点，过上点的切线交轴于点，过点的直线与交于两点. （1）求抛物线的方程； （2）比较与的大小，并说明理由； （3）过点的直线与交于两点，，，的延长线分别交于两点，求点到直线距离的最大值. 18. 已知函数. （1）求的最小正周期及单调递增区间； （2）设锐角的内角，，所对的边分别为，，，若，，，求的面积. 19. 设函数为的导函数. （1）求的单调区间； （2）当时，证明； （3）设为函数在区间内的零点，其中，证明. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 玉溪一中2026—2027学年上学期高三月考一 数 学 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的姓名、准考证号、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，用黑色碳素笔将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设甲：，乙：，，则（ ） A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件 B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件 C. 甲是乙的充要条件 D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据充分条件与必要条件的定义即可确定选项. 【详解】若乙成立，即，，则， 根据正弦的诱导公式可得：， 故：乙甲成立，即甲是乙的必要条件. 若甲成立，即，令，， 满足，但，不满足， 故：甲乙不成立，甲不是乙的充分条件. 所以，甲是乙的必要条件但不是充分条件. 2. 记的内角所对的边分别为，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用正弦定理将边的关系转化为角的关系，结合二倍角公式求出，再利用同角三角函数关系求出，最后通过二倍角的正切公式计算. 【详解】由正弦定理，结合，得， 因为，所以， 代入上式得，化简得， ， 因为，所以， ， . 故选：D. 3. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先由三角函数值及角的范围可得角及所在象限，再由同角三角函数关系式及半角三角函数关系式可得. 【详解】已知，且，因此是第四象限角，即， 得，该区间是第二象限，因此. 由同角三角函数基本关系​，代入， 所以， 结合是第四象限角，，得. 由半角公式得， 因此. 4. 已知等比数列满足，则 A. 64 B. 81 C. 128 D. 243 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：∵，∴，∴，∴． 考点：等比数列的通项公式． 5. 将12名志愿者（含甲､乙､丙）安排到三个地区做环保宣传工作，每个地区至少需要安排3人，则甲､乙､丙3人恰好被安排到同一个地区的安排方法总数为（ ） A. 3129 B. 4284 C. 18774 D. 25704 【答案】C 【解析】 【分析】利用排列组合原理和分组分配方法求解. 【详解】先分类讨论人员分组情况． 当甲､乙､丙所在组恰有3人时，余下9人分成2组，有种方法； 当甲､乙､丙所在组恰有4人时，先从其他9人中选1人到这组，再将余下8人分成2组，有种方法； 当甲､乙､丙所在组恰有5人时，先从其他9人中选2人到这组，余下7人分成2组， 有种方法 当甲､乙､丙所在组恰有6人时，先从其他9人中选3人到这组，余下6人分成2组， 有种方法． 再将三组人员分配到三个地区． 因为这三组分配到三个地区有种方法， 所以安排方法总数为. 故选:C. 6. 若函数有最大值，则实数的值是（ ） A. 1 B. C. 4 D. 【答案】B 【解析】 【分析】通过导数确定为临界点，由的符号分类讨论求解即可. 【详解】， 令，得临界点（因，舍去）， 当时，当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 此时无最大值， 当时，当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以， 又因为， 所以，满足题意， 故选：. 7. 已知，且都是锐角，则 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由已知利用同角三角函数的基本关系式可得的值，利用两角和的正弦函数公式得到的值，结合的范围，即可求解. 【详解】由题意，可得，可得， 即，所以 由，可得， 所以，解得， 因为都是锐角，所以， 所以 , 因为，所以，故选A. 【点睛】本题主要考查了同角三角函数的基本关系式，以及二倍角公式和两角和的正弦函数的化简求值，其中解答中熟记三角恒等变换的公式，合理准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题. 8. 已知四面体ABCD的外接球为球O，球O体积V为定值，为等腰直角三角形且，，若四面体ABCD的体积的最大值为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先翻译向量条件得到几何垂直关系，确定点的轨迹；再利用四面体外接球性质，建立外接球半径与四面体高、底面参数的关系式；把四面体体积表示为单变量函数，求体积最大值；最后反解外接球半径，算出球的体积. 【详解】 由，得，即， 为等腰直角三角形，，取中点， ，且，为外接圆圆心， 又，,平面， 平面， 四面体外接球的球心在过且垂直于平面的直线上。 设外接球半径为，，点到平面的距离为， 由，得， ， 联立消去： ， 化简得， 底面面积， 四面体体积： ， 设，求导得， 令，解得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 故时，取最大值： ， 四面体体积最大值： ， 已知，则， 外接球体积：. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知幂函数过点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 是减函数 C. 是奇函数 D. 不等式的解集是 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据幂函数定义以及经过点的坐标可得，再由其单调性、奇偶性可判断B错误，C正确，由分式不等式可得D正确. 【详解】设幂函数，则，即， 即，A正确， 函数的定义域为， 则函数在定义域和上分别单调递减，但在整个定义域上并不单调递减，B错误， 函数的定义域关于原点对称，且，所以函数为奇函数，C正确， 不等式为，即,解得或， 即不等式的解集是，D正确. 故选：ACD 10. 关于函数，，下述结论正确的是（ ） A. 若是奇函数，则 B. 若是偶函数，则也为偶函数 C. 若满足，则是区间上的增函数 D. 若，均为上的增函数，则也是上的增函数 【答案】BD 【解析】 【分析】 根据函数奇偶性和单调性的定义和性质依次判断每个选项得到答案. 【详解】A. 若是奇函数，则，当定义域不包含时不成立，故错误； B. 若是偶函数， ，故，也为偶函数，正确； C. 举反例：满足，在不增函数，故错误； D. 若，均为上的增函数，则也是上的增函数 设，则 ，故单调递增，故正确； 故选：. 【点睛】本题考查了函数的奇偶性和单调性，意在考查学生对于函数性质的灵活运用. 11. 已知函数，有下列四个结论，其中正确的结论为（ ） A. 在区间上单调递增 B. 是的一个周期 C. 当时，的值域为 D. 的图象关于轴对称 【答案】CD 【解析】 【分析】易知 A．化简得，换元，则，进而得到单调性 B．化简，得到，进而判断答案 C．化简得，设，则，进而得到的值域 D．求出，得到，进而判断出D选项 【详解】因为是上的偶函数，所以. A错误，当时，. 设，则，则在上单调递减， 又在上单调递增，所以在上单调递减. B错误，，所以不是的一个周期. C正确，当时，. 设，则，则. 因为，所以. D正确。的定义域为，因为，所以为偶函数，图象关于轴对称. 故选：CD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，则的最小值为__________． 【答案】 【解析】 【详解】把式子拆成三项：， 化简根号内：， 取等条件：， 联立求解：，， 代入：，， 检验：，， . 13. 设函数，若对任意的实数都成立，则的最小值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意取最大值，根据余弦函数取最大值条件解得的表达式，进而确定其最小值. 【详解】因为对任意的实数x都成立，所以取最大值， 所以， 因为，所以当时，取最小值为. 【点睛】函数的性质 （1）. （2）周期 （3）由求对称轴，最大值对应自变量满足，最小值对应自变量满足， （4）由求增区间；由求减区间. 14. 已知函数，设曲线在点处切线的斜率为，若均不相等，且，则的最小值为______． 【答案】18 【解析】 【分析】求出函数的导数，可得的表达式，由此化简推出，结合说明，继而利用基本不等式，即可求得答案. 【详解】由于， 故， 故，， 则 ， 由，得， 由，即，知位于之间， 不妨设，则， 故， 当且仅当，即时等号成立， 故则的最小值为18， 故答案为：18 【点睛】关键点睛：本题考查了导数的几何意义以及不等式求最值的应用，解答的关键是利用导数的表达式推出，并说明，然后利用基本不等式求最值即可. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 某地将举办大型体育赛事，为做好比赛的志愿服务保障工作，组委会定期对报名者开展综合能力测评.现从某高校的报名者中随机抽取200名男生和300名女生进行评分（满分100分），分别得到如图所示的两个频率分布直方图. （1）求的值，并估计女生评分的平均数； （2）若评分不低于70分定为“合格”，评分低于70分定为“不合格”.完成下列列联表，并根据小概率值的独立性检验，判断评分等级与该校报名者的性别是否有关联. 性别 评分等级 合计 合格 不合格 男生 女生 合计 附：，. 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】（1），74.5分. （2） 性别 合格 不合格 合计 男生 120 80 200 女生 210 90 300 合计 330 170 500 没有关联. 【解析】 【分析】（1）利用频率分布直方图所有频率之和为1求，用各组中点乘对应频率求和得到女生评分平均数； （2）由直方图算出男女生合格、不合格人数填写列联表，计算卡方值与临界值比较，判断评分等级和性别是否有关联. 【小问1详解】 由女生直方图各矩形面积之和为1，得， 解得. 以各组中值作为该组评分的代表值，女生平均分估计为. 所以，女生评分的平均数约为74.5分. 【小问2详解】 男生合格频率为，女生合格频率为，故列联表为： 性别 合格 不合格 合计 男生 120 80 200 女生 210 90 300 合计 330 170 500 提出零假设：评分等级与性别相互独立.由列联表计算得. 因为，所以在小概率值的检验标准下，不能拒绝零假设，即没有充分证据认为评分等级与该校报名者的性别有关联. 16. 如图，在直角梯形中，.现将沿对角线翻折到，使平面平面.若平面平面，平面平面，直线与确定的平面为平面. （1）证明：； （2）求平面与平面所成角的余弦值. 【答案】（1）证明：在直角梯形中， 因为，又平面平面， 所以平面， 因为平面，平面平面，且平面， 所以. （2） 【解析】 【分析】（1）先得到，再得到平面，用线面平行的性质定理证明即可； （2）先建立空间直角坐标系，分别求出平面与平面的法向量，用求向量夹角余弦值的公式求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设，连接，则直线为直线， 由（1）知，由题意知，取的中点，连接， 则 因为平面平面，平面平面 所以平面 取的中点，连接，则四边形为正方形，连接，则 所以两两垂直， 以为坐标原点，的方向为轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 设平面的法向量为，则 所以，取，得 设平面的法向量为，则 所以，取，得 所以. 所以平面与平面所成角的余弦值为. 17. 已知是抛物线的焦点，过上点的切线交轴于点，过点的直线与交于两点. （1）求抛物线的方程； （2）比较与的大小，并说明理由； （3）过点的直线与交于两点，，，的延长线分别交于两点，求点到直线距离的最大值. 【答案】（1） （2），理由： 抛物线 ，则 ， 当 时，切线斜率 ， 由点斜式可得过点 的切线方程为 ，即 ； 令 ，可得 ，所以 ； 由，可得 ， 所以 ， 设直线 的方程为 ， 联立 ，解得： ， ， 由韦达定理得 ， 根据抛物线的焦半径公式， ， 因为 ，所以 ，同理 ， 则 ， 所以 ； （3） 【解析】 【分析】（1）将点 的坐标代入抛物线方程即可； （2）对抛物线 求导，求出过点 的切线方程，从而得，可得，设直线 的方程为 ，求出的表达式，即可比较大小； （3）设直线，直线的方程，分别与抛物线联立方程组求出韦达定理的表达式，求得，，从而可得直线的方程，得出过定点要使点 到直线 距离的最大，则只需 ，从而求出最大值. 【小问1详解】 已知点 在抛物线 上， 将点 的坐标代入抛物线方程可得： ，即 ，解得 ， 所以抛物线 的方程为 ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由题意知直线 的斜率必存在，故设直线，， 联立 ，解得， 由韦达定理得， 设直线方程为， 代入，有， 由，， 所以，同理可得； 所以直线的斜率 ， 由直线的点斜式可得直线：， 结合，化简得， 所以直线 过定点 ， 要使点 到直线 距离的最大，则只需 ， 从而最大值为. 18. 已知函数. （1）求的最小正周期及单调递增区间； （2）设锐角的内角，，所对的边分别为，，，若，，，求的面积. 【答案】（1）最小正周期为；单调递增区间为，. （2） 【解析】 【分析】（1）用平方差公式和二倍角公式对函数进行化简，再根据正弦函数性质求最小正周期和单调递增区间. （2）先求出角，再用余弦定理求出边长，最后用三角形面积公式求出面积即可. 【小问1详解】 ， ， 所以的最小正周期， 令，，解得，， 所以的最小正周期为，单调递增区间为，. 【小问2详解】 已知，则， 即； 因为三角形是锐角三角形，所以，则， 在这个区间内，解得， 依据余弦定理，可得， 即，解得或； 当时，， 此时为钝角，不符合题干锐角三角形的条件，舍去这种情况； 当时，， 此时为锐角，符合题干锐角三角形的条件，且， ∠C也为锐角，故△ABC为锐角三角形，符合题干条件; 根据三角形面积公式，可得， 所以的面积为. 19. 设函数为的导函数. （1）求的单调区间； （2）当时，证明； （3）设为函数在区间内的零点，其中，证明. 【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为 （2）记， 依题意及（1）有：，从而， 当时，， 故. 因此，在区间上单调递减，进而. 所以，当时，. （3）依题意，，即. 记，则. 且. 由及（1）得. 由（2）知，当时，，所以在上为减函数， 因此. 由（2）知， 故. 所以. 【解析】 【分析】（1）由题意求得导函数的解析式，然后由导函数的符号即可确定函数的单调区间； （2）构造函数，结合(Ⅰ)的结果和导函数的符号求解函数的最小值即可证得题中的结论； （3）令，结合（1），（2）的结论、函数的单调性和零点的性质放缩不等式即可证得题中的结果. 【小问1详解】 由已知，有. 当时，有，得，则单调递减； 当时，有，得，则单调递增. 所以，的单调递增区间为， 单调递减区间为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】本题主要考查导数的运算､不等式证明､运用导数研究函数的性质等基础知识和方法.考查函数思想和化归与转化思想.考查抽象概括能力､综合分析问题和解决问题的能力. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $