云南省玉溪第一中学2026-2027学年高三上学期高考适应性月考（一）数学试题

**基本信息** 以《周髀算经》节气问题、3D打印几何体、投篮比赛概率等情境为载体，融合数学抽象、逻辑推理与数学建模，实现基础巩固与创新应用的梯度考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/40|复数、集合、向量等基础|第5题以文化素材考查等差数列| |多选题|3/18|统计、三角函数等|第11题结合勒洛四面体考查空间想象| |填空题|3/15|概率、椭圆、函数图像|第14题通过正三角形考查函数最值| |解答题|5/77|解三角形、立体几何、导数等|第18题以投篮比赛构建概率模型，第19题综合考查抛物线与直线位置关系|

玉溪一中2026一2027学年上学期高考适应性月考卷（一) 数学参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。 题号 2 3 4 5 6 个 8 答案 B B D D A A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 题号 10 11 答案 ABC ACD BD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 题号 12 13 14 2+V3 答案 3-7 2-5 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.(13分) 数学试题评分参考第1页（共6页） (1)由正弦定理得V3 sinBsin(A+B)-sinCcosB-simC=0 sin(A+B)=sinC,3 sinBsinC-sinCcosB=sinC. 因为Ce(0,m),所以sinC≠0，故V3sinB-cosB=1 即sin(B-)=为又因为BE(0,x),所以B-吾∈(-吾，ξ)， 所以B-晋=无，故B=号， (2)在△ABC中，由余弦定理得7=2+4-4和×， 所以a2-2a-3=0,又a>0,所以a=3. 因为D为AC的中点，BD=(BA+BC), 则BD=(a2+c2+2 accosABC)=9,所以Bd=」 16.(15分) (1)【证明】证法一：如图①所示，取棱AE上一点H,使得AH=2HE, 连接GH,HD,因为AH=2HE,BG=2GE,所以GH/1AB,且GH=3AB, 又因为四边形ABCD为菱形，且CF=2FD,所以FD/AB且FD=5AB, 所以GH//FD,且GH=FD,所以四边形HGFD为平行四边形，所以FG//DH, 因为FGA平面ADE,DHC平面ADE,所以FG//平面ADE 图① 证法二：如图②所示，取棱AB上一点M,使得BM=2AM,连接GM,MF, 因为BM=2AM,BG=2GE,所以GMI/AE, 又因为GM￠平面ADE,AEC平面ADE,所以GM/平面ADE, 因为DC=3DF,所以CF=2FD, 因为四边形ABCD为菱形，所以AB=DC,AB//DC, 所以AM//DF,AM=DF,所以四边形AMFD为平行四边形， 所以AD//MF, 因为ADC平面ADE,FM丈平面ADE,所以FM//平面ADE, 因为GM∩MF=M,GMc平面GMF,FMc平面GMF, 所以平面GMF//平面ADE, 又因为FGc平面GMF,所以FG//平面ADE. 数学试题评分参考第2页（共6页） C B 图2 证法三：如图③所示，取AD的中点O,连接OE,OB,OG,BD,作EK⊥OB,垂足为K, 在菱形ABCD中，AD=AB=2,∠DAB=号，所以△ABD为等边三角形，所以OB⊥AD, 因为OE⊥AD,OE∩OB=O,OE,OBC平面BOE,所以AD⊥平面BOE, 在△OBE中，BE=3,可得OE=OB=V5, 由余弦定理得cos∠EOB=QEBE-克，可得LE0B=冬， 2OE·OB f以0K=OE:cOs受=5，即0B=20K 因为BE=2GE,所以OG/EK, 又因为EKc平面OBE,所以EK⊥AD 因为EK⊥OB,AD∩OB=O,且AD,OBC平面ABD,所以EK⊥平面ABD 所以OG⊥平面ABD,又因为OA,OBC平面ABD,所以OG⊥OA,OG⊥OB, 以O为坐标原点，OA,OB,OG所在直线分别为X,y,z轴，建立空间直角坐标系 如图所际则o0,0,0,41,0,0,B0,5,0,D(-1,0,0,G00,,E0,-号，》 可得孤=(-2,0.0.花=（-1，-5 (m·AD=-2x=0 设平面ADE的法向量为m=(化，y,z),则 数学试题评分参考第3页（共6页) (m·AD=-2x=0 设平面ADE的法向量为m=(x,y,2),则 园=-x,+多=0 取z=1,可得x=0,y=V3,所以m=(0,V3,), 迪rG=F历+D0+0G=c5+D0+oG=8a+D0+0=传，9，) m以0，FG=0*号+5x(-9)+1K1=0 因为FG￠平面ADE,所以FG//平面ADE B 图③ ②解由)知孤=(1.5.0，B心=0.-5..a=(专.+9.- 设平面ABE的法向量为n=(a,b,C),则} 元·AB=-a+V3b=0 元.BG=-V3b+c=0 取a=V5,可得b=1,c=V5,所以方=W5,1,V5), 设直线GF与平面4BE所成的角为0，则，0=cos〈下元，>=GF.d_35 GF 7 所以直线GF与平面，ABE所成的角的正弦值为35 17.(15分) ()当a=-1时，f=号+nx+2x+号 则f=x+是+2，f(0=4,f(0=3, 所以曲线y=f(x)在点(1，f()处的切线方程为y-3=4(x-),即4x-y-1=0. 数学试题评分参考第4页（共6页） (2)f=x-号-a-》=2-a二x-a_c-ar+D,xe0,+. 若a≤0，可得xE(0,+oo)时，f(x)>0,所以f(x)在(0，+∞)上单调递增； 若a>0,当xE(0,ad)时，f(x)<0,所以f()在(0，a)上单调递减： 当x∈(a,+o)时，f(x)>0,所以f(x)在(a,+o)上单调递增： 综上所述：当a≤0时，f(x)在(0，+oo)上单调递增： 当a>0时，f(x)在(0，a)上单调递减，在(a,+oo)上单调递增。 (3)由(2)可知，当a>0时，f(x)有极小值， 极小值为f@=号-aha-(a-a-号=-号-adha+号，此时极小值也是最小值， 由f6)≥0，可得-号-ahna+号≥0，因a>0,可得1-a-2ha≥0， 令g@=1-a-2ha,求导得g(@=-1-号<0，即g(@在(0，+)上单调递减， 又g(①)=1-1-2n1=0, 当ae(0,)时，g(@)>g(①)=0，当a∈(1，+∞)时，g(@<g()=0, 所以a∈(0,1时，g(a)≥0，此时满足f(x)≥0， 所以a的取值范围为(0，小. 18.(17分) (1)设事件A,表示甲在一轮比赛中投进个球，B,表示乙在一轮比赛中投进个球，i=0,1,2,3, D表示进行一轮比赛后甲比乙多投进2球，所以D=A2B0+A43B1, pD)=P(4)+P(4B=C×()}'x克xC图x()'+Cx(生)xCx号×（传）}'=方 2)@P(C)=P(B4)+P(Bo)+P(BA)=C2(1-p)x(3)+pl[(3)+C(3)门=8p+p ②设随机变量X表示轮比赛后，乙在每轮比赛至少要赢甲2个球的情况下获得的积分， 则XB(n,p+p2）,所以E(X)=n(安p3+p), 因为要满足题意E(X)≥3，即n(p3+号p2）≥3.要使m最小，则岭p3+p2要取最大值， 令f(x)）=名x+是2，xE[及，】，所以f(x)）=x(x+2)>0在[2，号]上恒成立，所以f(x)在[3，号]上单调递增 所以(x)的最大值为/（号）×()广+×（爱=品 即时pr≤#g产会高，所≥-14+开 162 即至少要进行15轮比赛， 19.(17分) (1)y2=2x (2)(i)2; yi-y3 (i)不存在，理由：由题意可知l4c:y-八=亏(x一)' 2 又21，号-23.所以的直线方程可化为：y-少千(x-). 1+y3 又xp=方，故可得ypy十 2 同理可得直线BD的方程为y-2乃，千(x一小， 数学试题评分参考第5页（共6页） 1+y2y4 又0方，故y0+分 又yM2=yy4=-L,所以可得yo 1+(-(-) 1+y必 文 y,+y3 可得yp+yo=0,所以可得P的中点恒为F, 以Q为直径的圆与轴相切等价于yp=方 。支时兴际22 41,所以立-1，故(y)()=-4 整理可得(y)2-(+)+1=-4y3即(y3+1)2=(y,3)2. 因为m>0,故y1>y3所以y3+1=片1y3 又2y3+2=y+3,故可得y,=3y3 代入方程yy3+1=y1y3可得，3号-2y3+1=0,△=4-12=-8<0， 故不存在以PQ为直径的圆与轴相切。 数学试题评分参考第6页（共6页) 绝密★启用前 玉溪一中2026—2027学年上学期高考适应性月考卷（一） 数学试卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的姓名、准考证号、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，用黑色碳素笔将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1． 已知复数z满足i z＝4＋3i，则z的虚部为 A．－4i B．－4 C．4i D．4 2． 已知集合，，则 A．(0,3] B．(0,4] C．(－1,3] D．[－1,4] 3． 已知为单位向量，，，则在上的投影数量为 A．1 B． C． D． 4． 下列函数是奇函数且在定义域上单调递增的是 A． B． C． D． 5． 《周髀算经》中有这样一个问题：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气，自冬至日起，其日影长依次成等差数列，冬至、小寒、大寒三个节气日影长之和为28.5尺，立春、雨水、惊蛰三个节气日影长之和为19.5尺，今年5月21日8时36分为小满时节，其日影长为 A．3.5尺 B．2.5尺 C．1.5尺 D．0.5尺 6． 现有甲、乙等五名学生参加“弘扬中华文化”的演讲比赛，已知甲既不在第一个参演，又不在最后一个参演，且乙不在第三个参演，则不同的参演顺序共有 A．60种 B．72种 C．96种 D．120种 7． 有一个3D打印的摆件可看成边长为6的正三角形挖去其内切圆，再以过该圆心与一顶点的直线为轴旋转一周，最后沿平行于底面且过圆心的平面截取，保留截面与底面间部分（如图所示），则该几何体的体积为 A． B． C． D． 8． 已知抛物线y2=2px（P＞0）的焦点为F（2，0），准线l交x轴于点D，过D的直线与抛物线交于A，B两点，且B在线段AD上，点P为点A在准线l上的射影．若P，B，F共线，则的值为 A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9． 下列说法正确的是 A．数据10，11，11，12，13，14，16，18，20，22的上四分位数为18 B．设两个变量x，y之间的线性相关系数为，则｜r｜=1的充要条件是成对数据构成的点都在经验回归直线上 C．若x1，x2，…，x10的平均数为2，方差为1，x11，x12，…，x20的平均数为6，方差为2，则x1，x2，…，x20的方差为5.5 D．若某组数据的频率分布直方图是单峰不对称的，且在左边“拖尾”，则该组数据的平均数大于中位数 10．将函数图象向左平移个单位长度后得到一偶函数图象，则当取最小值时，下列说法正确的是 A．函数的最小正周期为 B．函数为奇函数 C．函数在区间单调递增 D．函数的图象在x=0处的切线斜率为1 11．勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的公共部分．若正四面体ABCD的高为，则 A．该勒洛四面体表面上任意两点间的距离最大值为4 B．该勒洛四面体能够容纳的最大球的半径为 C．该勒洛四面体表面上的长度为 D．过A，B，C三点的截面面积是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．一个盒子里装有5个红球和3个白球，从中不放回地依次随机取出2个球．已知第一次取出的球是红球，则第二次取出的球是白球的概率为 ． 13．已知F1，F2是椭圆的左、右焦点，F2是双曲线的右顶点，过F1的直线交椭圆C于M，N两点，且的周长为20，则椭圆C的离心率为 ． 14．已知P，Q分别为曲线（a＞0且a≠1）上的点，且都位于第一象限，O为坐标原点，若是正三角形，则lna的最大值为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15．（13分） 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且. （1）求B； （2）若c=2，，D为AC的中点，求BD的长． 16．（15分） 如图所示，四边形ABCD是菱形，为等边三角形，且AD=2，BE=3，∠DAB=，，． （1）证明：FG∥平面ADE； （2）求GF与平面ABE所成角的正弦值. 17．（15分） 已知函数，a∈R． （1）当时，求曲线在点（1，）处的切线方 程； （2）讨论的单调性； （3）若有极小值，且，求a的取值范围. 18．（17分） 在某校高三体育课中，甲、乙两同学比赛投篮，比赛规则是甲、乙每人投3个球，进球多的一方获得胜利，胜利1次获得1个积分，平局或者输方不得分.已知甲和乙每次进球的概率分别是和P，且每人、每次进球与否都互不影响． （1）若，求在进行一轮比赛后甲比乙多投进球的概率． （2）若，且每轮比赛互不影响，乙要想获得至少3个积分且获得积分的每轮比赛至少要赢甲2个球，求： ①设事件C表示乙每轮比赛至少要赢甲2个球，求P（C）；（结果用含P的式子表示） ②从数学期望的角度分析，理论上至少要进行多少轮比赛？ 19．（17分） 已知抛物线的焦点为F，直线y=2与抛物线E交于点R，且． （1）求抛物线E的方程； （2）过F作两条互相垂直的直线l1，l2，这两条直线与抛物线E分别交于点A，B和C，D，其中点A，C在第一象限． （ⅰ）设M，N分别为AB，CD的中点，H为直线AC与直线BD的交点，求面积的最小值； （ⅱ）过F作x轴的垂线，分别交AC，BD于P，Q两点，判断是否存在以PQ为直径的圆与y轴相切？如果存在，求出该圆的方程，如果不存在，说明理由． 数学试题第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $