精品解析：湖南省衡阳市衡阳县第五中学2026-2027学年高一上学期9月月考数学试题

衡阳县五中2026年秋9月月考试卷 高一数学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接根据并集含义即可得到答案. 【详解】由题意得. 故选：C. 2. 命题“”的否定为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据特称命题的否定即可得到答案. 【详解】根据特称命题的否定，可得命题的否定为“”. 故选：D. 3. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出集合、，再求交集即可. 【详解】，，. 故选：B. 4. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】解不等式后根据充分条件、必要条件求解. 【详解】因为， 且，但推不出， 所以是的充分不必要条件， 故选：A 5. 已知x，y均为正数，满足，则的最小值为（ ） A. 1 B. C. 15 D. 25 【答案】D 【解析】 【详解】，当且仅当，即，时取等号，所以的最小值为. 6. 某公司一年购买某种货物900吨，每次都购买x吨，运费为3万元/次，一年的总存储费用为3x万元，若要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则每次需购买（ ） A. 20 B. 30 C. 40 D. 60 【答案】B 【解析】 【分析】先根据题意列出一年的总运费与总存储费用之和的关系式，然后利用均值不等式进行求解. 【详解】某公司一年购买某种货物900吨，每次都购买x吨，则需购买次，运费为3万元/次，一年的总存储费用为3x万元，则一年的总运费与总存储费用之和为，即吨时，等号成立，所以每次购买吨时，一年的总运费与总存储费用之和最小. 故选：B. 7. 集合，，的关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据结合的包含的定义和集合相等的定义判断的关系可得结论. 【详解】任取，则，， 所以，所以， 任取，则，， 所以，所以， 所以， 任取，则，， 所以，所以， 又，， 所以， 所以， 故选：C. 8. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. ，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式的性质、结合作差法比较大小或取特殊值判断即可. 【详解】对于A，由，得，则，A错误； 对于B，由，得，而，则，B错误； 对于C，当时，，C错误； 对于D，由，得，因此，D正确. 故选：D 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知集合是全集的子集，则下列结论一定成立的有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据集合的子集，补集，交集，并集的意义逐项判断即可. 【详解】对于A，若，则，故A正确； 对于B，若，则，则，故B错误； 对于C，若，则，则，故C正确； 对于D，若，又，所以，所以，故D正确. 故选：ACD. 10. 下列命题是真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，则 D. 若，且，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用不等式的性质逐项判断即可． 【详解】对于A，由于，所以，故A正确； 对于B，由于，则的两边同乘以，得，故B正确； 对于C，由于，故， 即，故C错误； 对于D，由于，，故，，则，， 所以，故D正确． 11. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. “”是“”的充分不必要条件 C. 命题“若，则关于x的方程有实数根”的否定 D. 若，则且 【答案】ABD 【解析】 【详解】满足，所以命题“若，则”为真命题，A正确； 由，解得或， 所以“”是“”的充分不必要条件，B正确； 因为，所以，所以时，方程有实数根， 故命题“若，则关于x的方程有实数根”为真命题， 所以该命题的否定为假命题，C错误； 因为，所以且， 所以命题“若，则且”为真命题，D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数已知x<2，则的最大值是______. 【答案】 【解析】 【分析】 将原式变形为，利用基本不等式求出的最小值，进而可得的最大值. 【详解】解：，， ， 又， ，当且仅当，即时等号成立， 所以的最大值是. 故答案为：. 【点睛】本题考查基本不等式求最值，当积不是定值的时候，需要凑项来得积为定值，是基础题. 13. 当时，，就称集合P为具有“匹配关系”集合.在集合的所有非空子集中，为具有“匹配关系”集合的个数是__________. 【答案】7 【解析】 【分析】根据题意列举出满足条件的集合，即可得解. 【详解】当时，；当时，；当时，； 当时，；当时，， 因此由具有“匹配关系”集合的定义可得， 集合的子集中为具有“匹配关系”集合的有 ，，，，，，， 共7个. 14. 如图，据监测，目前热带风暴中心位于某码头O的南偏东方向、距码头km的点A处，并以km/h的速度向正北方向移动，距风暴中心500 km以内的地区都将受到影响，则该码头将受到热带风暴影响的时长为________h. 【答案】30 【解析】 【详解】记热带风暴中心t小时后到达点B处，如图，自B向x轴作垂线，垂足为C. 由题意，知km，则km，km. 若在点B处受到热带风暴的影响，则km，即， 可得，解得， 所以该码头将受到热带风暴影响的时长为. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，或，. （1）求； （2）若，求m的取值范围. 【答案】（1） （2）{或} 【解析】 【分析】（1）根据补集、并集的知识求得正确答案. （2）对进行分类讨论，由此求得的取值范围. 【小问1详解】 ，或，， 所以. 【小问2详解】 ， 若，，则，满足. 若，，则或解得或. 综上所述，m的取值范围是或. 16. 已知命题，；命题，. （1）若为真命题，求实数的取值范围； （2）若命题和命题至少有一个真命题，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由为真命题，构造不等式即可求解； （2）分别由为真命题，为真命题和同时为假命题求的范围即可求解. 【小问1详解】 由题意得，，为真命题， 则，即，故为真命题时，的取值范围为. 【小问2详解】 当为真命题时，，即，所以为假命题时，； 当为真命题时，，即，所以为假命题时，； 若同时为假命题，则， 所以若至少有一个真命题时，. 17. 如图，某蛋糕店制作一块长为，宽为的矩形双拼水果蛋糕，点、、、分别在线段、、、上（不包含端点），点、、、均在线段上，要在矩形与矩形两个区域中分别铺满蓝莓与芒果两种水果.设，铺满水果的区域面积为. （1）已知，求常数、的值； （2）已知蛋糕店内的芒果原料充足，但蓝莓至多能铺满，若要求该蛋糕铺满水果的区域面积不小于，求的取值范围. 【答案】（1）， （2）或（单位：） 【解析】 【分析】（1）求出、，利用矩形的面积公式可得出关于的二次函数关系式，即可得出实数、的值； （2）根据题意列出关于的不等式组，解出的取值范围，再利用不等式的基本性质可求得的取值范围. 【小问1详解】 解：易知矩形与矩形全等， ，所以，， ，所以，， 又因为， 所以，， 所以，， 又因为，则，. 【小问2详解】 解：由（1）可知，，解得， 因为蓝莓至多能铺满，若要求该蛋糕铺满水果的区域面积不小于， 则，整理可得，解得或， 因为， 当时，；当时，. 所以，或（单位：）. 18. 已知，，. （1）求的最小值； （2）求的最小值； （3）求的最小值. 【答案】（1）5 （2）8 （3）5 【解析】 【分析】（1）由条件解出消去，并用界定的范围，再用基本不等式求的最小值，最后验证等号能取到. （2）由把目标式化为，用基本不等式求最小值并验证等号成立. （3）先由得以保证各项为正，再把、分别拆配为、，用基本不等式求和的最小值并验证等号能取到. 【小问1详解】 因为，，， 所以，所以解得， 所以， 当且仅当，即，时取等号， 所以的最小值为5. 【小问2详解】 ，当且仅当， 即，时取等号， 所以的最小值为8. 【小问3详解】 因为，且，所以， 所以 ， 当且仅当，即，时取等号， 所以的最小值为5. 19. 对于四个正数，如果，那么称是的"下位序列" （1）对于，试求的"下位序列"; （2）设均为正数，且是的"下位序列"，试判断：之间的大小关系，并证明你的结论； （3）设正整数满足条件：对集合内的每个，总存在正整数，使得是的"下位序列"，且是的"下位序列"，求正整数的最小值. 【答案】（1） （2），证明如下： 由题意可知此时取，则， 猜想， 先证左边则， 再证右边则， 综上. （3） 【解析】 【分析】（1）由“下位序列”的定义，代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，先猜想，然后结合作差法代入计算，即可得到结果； （3）根据题意，由“下位序列”的定义，列出不等式，得到的不等关系，再转化为最值问题，即可得到结果. 【小问1详解】 由题意可知此时则的“下位序列”为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由题意可知①，又则， 此时于是解得 又对集合内的每个，上式都成立， 则， 下证满足题意， 由①可知， 再由（2）可知， 即对集合内的每个，总存在是满足题意的. 综上所述：正整数的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 衡阳县五中2026年秋9月月考试卷 高一数学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“”的否定为（ ） A. B. C. D. 3. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 4. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知x，y均为正数，满足，则的最小值为（ ） A. 1 B. C. 15 D. 25 6. 某公司一年购买某种货物900吨，每次都购买x吨，运费为3万元/次，一年的总存储费用为3x万元，若要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则每次需购买（ ） A. 20 B. 30 C. 40 D. 60 7. 集合，，的关系是（ ） A. B. C. D. 8. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. ，则 D. 若，则 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知集合是全集的子集，则下列结论一定成立的有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 下列命题是真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，则 D. 若，且，则 11. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. “”是“”的充分不必要条件 C. 命题“若，则关于x的方程有实数根”的否定 D. 若，则且 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数已知x<2，则的最大值是______. 13. 当时，，就称集合P为具有“匹配关系”集合.在集合的所有非空子集中，为具有“匹配关系”集合的个数是__________. 14. 如图，据监测，目前热带风暴中心位于某码头O的南偏东方向、距码头km的点A处，并以km/h的速度向正北方向移动，距风暴中心500 km以内的地区都将受到影响，则该码头将受到热带风暴影响的时长为________h. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，或，. （1）求； （2）若，求m的取值范围. 16. 已知命题，；命题，. （1）若为真命题，求实数的取值范围； （2）若命题和命题至少有一个真命题，求实数的取值范围. 17. 如图，某蛋糕店制作一块长为，宽为的矩形双拼水果蛋糕，点、、、分别在线段、、、上（不包含端点），点、、、均在线段上，要在矩形与矩形两个区域中分别铺满蓝莓与芒果两种水果.设，铺满水果的区域面积为. （1）已知，求常数、的值； （2）已知蛋糕店内的芒果原料充足，但蓝莓至多能铺满，若要求该蛋糕铺满水果的区域面积不小于，求的取值范围. 18. 已知，，. （1）求的最小值； （2）求的最小值； （3）求的最小值. 19. 对于四个正数，如果，那么称是的"下位序列" （1）对于，试求的"下位序列"; （2）设均为正数，且是的"下位序列"，试判断：之间的大小关系，并证明你的结论； （3）设正整数满足条件：对集合内的每个，总存在正整数，使得是的"下位序列"，且是的"下位序列"，求正整数的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $