精品解析：山西省大同市第一中学校2026-2027学年第一学期高一年级9月月考数学试卷

2026年高一考试 数学 本试卷共4页，全卷满分150分，考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为，所以. 2. 命题：“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【详解】命题 “，”的否定是“，”. 3. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【详解】对于A，若，则，所以，故A为假命题； 对于B，若，则，且，所以，故B为假命题； 对于C，若，当时，，故C为假命题； 对于D，若，则，所以，故D为真命题． 4. 已知命题，．若是的充分不必要条件，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由，解得，即命题对应的集合为， 又命题对应的集合为，且是的充分不必要条件， 即 ，所以，即的取值范围是． 5. 若，不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】若，不等式恒成立， 则，可得恒成立， 因为， 当且仅当，即时，等号成立， 可得，所以实数的取值范围为. 6. 已知实数，满足，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】通过待定系数法将目标式表示为已知两个代数式的组合，再利用不等式性质求解即可.  【详解】设，，则 ， 所以 ，解得，， 因此. 又，，则， 所以 ，即， 故的取值范围是. 7. 若关于的不等式的解集为或，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据一元二次不等式的解集结合韦达定理得到的关系，再代入分式不等式，转化为整式不等式组求解即可. 【详解】由不等式的解集为或，可得， 且，是方程的两个实根. 根据韦达定理：，解得，其中， 代入待解不等式，得 ，因为，所以， 分式不等式等价于：，解得或.  故不等式的解集为. 8. 已知集合，且，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分和两种情况，列不等式求解. 【详解】当时，，解得：， 当时，，解得：， 综上可知，的取值范围是. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知关于的不等式的解集是，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. 不等式的解集是 D. 不等式的解集为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解集与对应二次函数、一元二次方程的关系，先判断，再利用韦达定理得到，，代入各选项求解即可. 【详解】因为不等式的解集是， 所以，且，1是方程的两根，A错误. 将代入得，，B正确. 由韦达定理得，所以，. 不等式可化为，又，进一步化为， 即，解得，C正确. 不等式可化为，又，进一步化为， 即，解得或，D正确. 10. 下列命题中，正确的有（ ） A. “”是“”的充分不必要条件 B. “”是“”的充分不必要条件 C. 命题“，”的否定是“，” D. 命题“，”是真命题 【答案】ABC 【解析】 【详解】若，则；但可得或， 故“”是“”的充分不必要条件，故A正确； 若，则，但可得或， 故“”是“”的充分不必要条件，故B正确； 命题“，”的否定是“，”， 故C正确； 因为， 所以命题“，”是假命题，故D错误. 11. 设为非空实数集，且满足：（i）；（ii）若，则．下列关于集合的说法正确的有（ ） A. 若，则可能是元素个数有限的集合 B. 集合中可能恰好有两个元素 C. 若，则 D. 对任意，，必有 【答案】ACD 【解析】 【分析】通过迭代运算与反证法，逐项判断即可. 【详解】对于，当时，，此时集合， 所以集合可能是元素个数有限的集合，正确； 对于，假设集合， 由题可知，，则；，则， 所以， 整理得，即，， 解得，，此时， 但是，矛盾， 所以集合中不可能恰好有两个元素，错误； 对于，若，则，正确； 对于，若存在某个，使得， 则， 迭代可得，，，，，， ，与题干的矛盾， 所以对任意，，必有，正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 不等式的解集为________． 【答案】（或） 【解析】 【详解】结合二次函数图象可得的解集为 13. 某校高一年级共有40名同学参加学科竞赛培训，其中参加数学竞赛的有25人，参加物理竞赛的有18人，参加化学竞赛的有14人．已知每人至多参加两项培训，且同时参加数学和物理竞赛的有7人，同时参加物理和化学竞赛的有5人，则同时参加数学和化学竞赛的有________人． 【答案】5 【解析】 【详解】设同时参加数学和化学竞赛的有人， 由Venn图可知：只参加数学竞赛的有人，只参加化学竞赛的有人， 可得，解得， 所以同时参加数学和化学竞赛的有5人. 14. 已知集合，，若，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】先求解集合，再结合交集、并集的运算性质确定集合，利用一元二次不等式解集与对应方程根的关系，通过韦达定理求出的值，最终计算. 【详解】解不等式，因式分解得，解得，所以. 因为，，结合可得， 即一元二次不等式的解集为. 由一元二次不等式解集的性质可知，方程的两个实根为，. 根据韦达定理： ，代入根得，解得，. 所以. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知关于的不等式． （1）当时，求该不等式的解集； （2）若该不等式的解集为，求实数的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据一元二次不等式的求解方法求解即可. （2）根据一元二次不等式与对应一元二次方程的关系，结合韦达定理求解即可. 【小问1详解】 当时，原不等式可化为，即， 所以不等式的解集为. 【小问2详解】 由一元二次不等式与对应一元二次方程的关系可知，和是方程的两个实数根， 由韦达定理得，解得. 16. 已知集合，集合． （1）当时，求； （2）若，求实数的取值范围； （3）若，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由一元二次不等式的解法以及集合的交集运算，即可求解； （2）根据，分类讨论，和，两种情况，利用数轴，数形结合得出不等式组并求解； （3）根据，分类讨论，和，其中，又包括集合整体落在集合的左侧或者右侧，利用数轴，数形结合，得出不等式组并求解. 【小问1详解】 ，解得，则集合， 当时, 集合， 所以， 【小问2详解】 当时，，解得； 当时，，解得； 综上所述，实数的取值范围为或，即. 【小问3详解】 当时，，解得； 当时，，解得， 或者，解得， 综上所述，实数的取值范围为或，即. 17. 已知命题：关于的方程有实数根． （1）若命题为真命题，求实数的取值集合； （2）已知集合，判断“”是“”的什么条件（在“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中选择），并简要说明理由． 【答案】（1） （2）充分不必要条件.理由：由于，，故是A的真子集， 故“”是“”的充分不必要条件. 【解析】 【小问1详解】 命题：关于的方程有实数根，则， 即，故； 【小问2详解】 充分不必要条件. 理由略 18. 定义：设非空数集，若，，则称是一个“乘法封闭集”；若，，则称为的一个“完美元素”．已知集合． （1）判断集合是否为“乘法封闭集”，并写出中的所有“完美元素”（直接写出结论即可）； （2）证明：是一个“乘法封闭集”； （3）判断是否为集合的“完美元素”，并说明理由． 【答案】（1） 是＂乘法封闭集＂； 中的所有完美元素为－1 和1. （2）证明 是＂乘法封闭集＂任取 ，根据集合 的定义，可设： 则 因为 均为整数, 所以： 因此 可以表示为 的形式（其中 ，故 . 由乘法封闭集的定义可知，是一个＂乘法封闭集＂. （3） 是集合 的完美元素. 【解析】 【小问1详解】 对 中任意两个元素作乘积： 故 中任意两元素之积仍属于 ， 是乘法封闭集. 又因为： 所以－1 和 1 均为 的完美元素. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 首先， （取 ，均为整数）. 接下来验证其倒数是否也属于 ： 因为 ，所以 . 即： ，且它的倒数 ，满足完美元素的定义. 因此， 是集合 的完美元素. 19. 若实数，，满足，则称比接近． （1）判断命题：“比接近”的真假，并说明理由； （2）若比接近，证明：“”的充要条件是“”； （3）已知，且．设，若对于任意的，，命题“比接近”恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）命题：“比接近”是真命题， 理由：，， 而，故，即， 故“比接近”是真命题； （2）因为比接近，故，则，即， 即，即得， 则由可得，故，即，充分性成立； 当时，，结合，得， 即，必要性成立， 故“”的充要条件是“”； （3） 【解析】 【分析】（1）比较与的大小关系即可； （2）由比接近可得，继而证明充分性以及必要性即可； （3）先确定，继而将对于任意的，，命题“比接近”恒成立，转化为对恒成立，即可求解. 【小问1详解】 真命题，理由略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ，且．则， 由于对于任意的，，命题“比接近”恒成立， 故对恒成立， 即得，即， 得，即， 由于，故 故对恒成立，即对恒成立， 由于，此时在上单调递增， 故， 故，即实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高一考试 数学 本试卷共4页，全卷满分150分，考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题：“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 4. 已知命题，．若是的充分不必要条件，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 若，不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 已知实数，满足，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 若关于的不等式的解集为或，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 已知集合，且，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知关于的不等式的解集是，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. 不等式的解集是 D. 不等式的解集为 10. 下列命题中，正确的有（ ） A. “”是“”的充分不必要条件 B. “”是“”的充分不必要条件 C. 命题“，”的否定是“，” D. 命题“，”是真命题 11. 设为非空实数集，且满足：（i）；（ii）若，则．下列关于集合的说法正确的有（ ） A. 若，则可能是元素个数有限的集合 B. 集合中可能恰好有两个元素 C. 若，则 D. 对任意，，必有 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 不等式的解集为________． 13. 某校高一年级共有40名同学参加学科竞赛培训，其中参加数学竞赛的有25人，参加物理竞赛的有18人，参加化学竞赛的有14人．已知每人至多参加两项培训，且同时参加数学和物理竞赛的有7人，同时参加物理和化学竞赛的有5人，则同时参加数学和化学竞赛的有________人． 14. 已知集合，，若，，则________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知关于的不等式． （1）当时，求该不等式的解集； （2）若该不等式的解集为，求实数的值． 16. 已知集合，集合． （1）当时，求； （2）若，求实数的取值范围； （3）若，求实数的取值范围． 17. 已知命题：关于的方程有实数根． （1）若命题为真命题，求实数的取值集合； （2）已知集合，判断“”是“”的什么条件（在“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中选择），并简要说明理由． 18. 定义：设非空数集，若，，则称是一个“乘法封闭集”；若，，则称为的一个“完美元素”．已知集合． （1）判断集合是否为“乘法封闭集”，并写出中的所有“完美元素”（直接写出结论即可）； （2）证明：是一个“乘法封闭集”； （3）判断是否为集合的“完美元素”，并说明理由． 19. 若实数，，满足，则称比接近． （1）判断命题：“比接近”的真假，并说明理由； （2）若比接近，证明：“”的充要条件是“”； （3）已知，且．设，若对于任意的，，命题“比接近”恒成立，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $