专题02勾股定理的应用精讲学案(核心重点+高频易错+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年北师大版八年级数学上册

本讲义聚焦勾股定理及逆定理的应用，系统梳理从定理内容到实际解题的脉络，通过建模、方程、转化思想将生活实际、立体图形等抽象为直角三角形，涵盖高度、滑动等八大应用模型及标准解题步骤，构建完整学习支架。 该资料以数学眼光挖掘生活场景中的直角三角形模型，如梯子滑落、航海问题，用方程思想解决折叠问题，转化思想处理最短路径，培养抽象能力与推理意识。课中助力教师系统授课，课后通过题型分类和陷阱提示帮助学生查漏补缺。

专题12勾股定理的应用精讲学案 核心立意： 熟练将生活实际、立体图形、测量场景全部建模为直角三角形；掌握勾股定理直接计算、方程计算两类解法；掌握本节八大必考应用模型；会用逆定理实测垂直；规范解题步骤、精准规避高频陷阱，解决所有勾股实际应用题。 两个定理 ①勾股定理：直角三角形中a2+b2=c2（c为斜边），已知直角，求边长。 ②勾股定理逆定理：若三角形最长边的平方等于另外两边平方和，则该三角形是直角三角形，已知边长，判定直角、证明垂直。  数学思想 建模思想：将文字描述的实际问题抽象为直角三角形几何图形； 方程思想：设未知线段长为x，依托勾股定理建立方程求解； 转化思想：立体图形展开为平面图形求解最短路径；折叠问题转化为寻找相等线段。 典型应用模型 高度模型：大树折断、旗杆高度，总高度 = 剩余高度 + 斜段长度； 滑动模型：梯子滑落，梯子长度不变，前后两个直角三角形分别计算； 内部线段模型：水杯筷子，杯子高、底面直径为直角边； 最短路径：立体图形展开成平面，两点之间线段最短； 折叠问题：折叠前后对应边相等，把线段归到同一个直角三角形列方程； 实际情境：航海、台风、选址、河宽，先画图构造直角三角形； 网格：网格求线段长，逆定理判断直角三角形。 标准解题步骤 ①建模：读懂题意，画出几何示意图，标注已知线段； ②定形：识别或构造直角三角形，分清直角边与斜边； ③列式：直接代入定理，或设未知线段为x列方程； ④求值：计算，舍去不符合实际意义的负数解； ⑤作答：写出完整答句。 重点辨析 ①立体最短路径必须展平为平面，曲面弧线不是最短距离，严禁直接在立体图形列式； ②所有实际题型必须先构造直角，无直角不可以使用勾股定理； ③逆定理只用于判直角、证垂直，不用于已知直角求边长； ④梯子、折断、航海题型均为静态直角不变模型，只需改变边长数据，模型结构固定； ⑤网格题型优先算平方不开方，简化计算、避免出错； ⑥所有实际应用题结果必须满足：线段长度＞0，无效解必须舍去。 ①圆柱展开图直角边找错，误将底面直径代替底面半周长，整题数据错误； ②梯子模型忽略“梯子长度始终不变”核心隐含条件； ③大树折断题型只算折断斜边，漏加剩余树干高度，总高计算错误； ④航海方位判断错误，无法构建标准直角三角形； ⑤不会使用方程思想，复杂实际题无法建立等量关系，解题卡壳； ⑥网格判断直角三角形，未锁定最长边比对平方，判定结论出错； ⑦逆定理检测垂直随意选边计算，不找最长边，判定垂直失误； ⑧解方程出现负数解、超现实解，不检验、不舍去。 题型 考察方向 难度 题型一 勾股定理与网格问题 ★★ 题型二 勾股定理与折叠问题 ★★★★ 题型三 求梯子滑落高度 ★★★ 题型四 求旗杆高度 ★★★ 题型五 求小鸟飞行距离 ★★ 题型六 求大树折断前的高度 ★★★ 题型七 解决水杯中筷子问题 ★★★ 题型八 解决航海问题 ★★ 题型九 求河宽 ★★★ 题型十 求台阶上地毯长度 ★★ 题型十一 判断汽车是否超速 ★★★ 题型十二 判断是否受台风影响 ★★★★ 题型十三 选址使到两地距离相等 ★★★★ 题型十四 求最短路径 ★★★ 题型十五 勾股定理逆定理的实际应用 ★★ 拔高题 7题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★偏难 题型一：勾股定理与网格问题 解题思路：①利用网格横竖线互相垂直的条件；②借助方格边长求线段或者线段的平方；③计算三边平方，利用逆定理判断三角形是否为直角三角形；④优先计算平方，减少开方运算，降低计算失误。 1．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，点、、、均在格点（网格线的交点）上，在点、、中，到点的距离为的是点________． 2．如图，的顶点，，在边长为的正方形网格的格点上，于点，则的长为________． 3．如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点A，B，C，E均在小正方形的顶点上．以点A为圆心，长为半径画弧，圆弧交于点D，则的长为（     ） A． B．2.1 C． D．5 题型二：勾股定理与折叠问题 解题思路：①抓住折叠前后对应线段相等的隐含条件；②标记等量线段，设所求线段为未知数；③用含未知数的代数式表示其余相关线段；④找准图中可供列式的直角三角形；⑤利用勾股定理列方程求解。 4．如图，沿折叠直角三角形纸片，使两个锐角顶点B和C重合，，，求的长．设，则所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 5．如图，一直角三角形纸片，在中，，，，点D在上，现将沿直线折叠，使它落在上，点C的对应点为点E，则的长为________． 6．如图，正方形中，点P，Q分别为，上一个动点，将正方形沿折叠，点的对应点始终落在上，已知，当点为中点时，的长为（     ）    A．3 B．4 C．5 D．6 题型三：求梯子滑落高度 解题思路：①明确梯子长度固定不变，始终作为斜边；②墙与地面垂直，得到滑动前后两个直角三角形；③分别求出滑动前后梯子顶端、底端的位置；④对应位置做差，算出滑落高度或者水平滑动距离。 7．如图，长为的梯子斜靠在竖直的墙上，梯子的底端离墙脚线的距离为0.7m，梯子顶端到地面的距离为________． 8．如图，小巷左右两侧是竖直的墙，当一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙脚的距离为，梯子顶端到地面的距离为，若保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙，此时梯子顶端到地面的距离为，则小巷的宽为（     ） A． B． C． D． 9．物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮，一端拴在滑块B上，另一端拴在A的正下方物体C上．初始时，，，．绳子始终绷紧，滑轮与物体大小忽略不计． (1)求初始状态下细绳的总长度； (2)如图2，若物体C竖直升高，求此时滑块B向左滑动的距离． 题型四：求旗杆高度 解题思路：①旗杆与地面垂直，构建直角三角形；②设旗杆高度为未知数；③用未知数表示绳索、地面水平距离；④利用勾股定理列出方程求解旗杆高度。 10．某班数学小组到十四中平坦的操场上测量旗杆的高度，信息如下： ①如图：绳子一端系在旗杆顶端处，甲同学拉直绳子退至离旗杆3.5米（米）的点处，此时手上的绳子还剩0.5米； ②甲同学继续往后退1.5米（米）到达点，此时手上的绳子刚好用完； ③甲同学拉绳子的手到地的距离始终是1.6米； 则旗杆的高度为（     ） A．12米 B．12.6米 C．13米 D．13.6米 11．如图，某工地内矗立着一座塔吊，为固定塔吊，施工人员从塔吊离水平地面15米处向地面拉了一根长17米的钢索，钢索在地面的固定处距离塔吊底部的距离为______米． 12．风筝发明于东周春秋时期，距今已有2000多年历史．我们在放风筝时想测量风筝线的长度，并画出了某时刻的示意图，相关数据如下：手与风筝的水平距离为15米，已放出风筝线的长为17米，手到地面的距离为1.5米．如果想要风筝沿方向再上升12米，且的长度不变，则应再放出多少米风筝线？ 题型五：求小鸟飞行距离 解题思路：①求出两棵树的竖直高度差作为一条直角边；②两棵树之间水平距离作为另一条直角边；③小鸟飞行的直线距离为斜边；④直接使用勾股定理求出斜边长度。 13．有两棵树，一棵高6米，另一棵高1米，两树相距6米，一只小鸟要从一棵树的树顶到另一棵树的树顶，至少需要飞______米． 14．如图，有一只喜鹊在一棵高的小树上觅食，它的巢筑在与该树水平距离（）为的一棵大树上，大树高，喜鹊的巢位于树顶下方的处，当它听到巢中幼鸟的叫声，立即飞过去，如果它飞行的速度为，那么它要飞回巢中所需的时间至少是（    ） A． B． C． D． 15．如图1，有两棵树，一棵高10米（米），另一棵高2米（米），两树相距6米（米） (1)求一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了多少米？ (2)如图2，台风过后，高10米的树在点M处折断，大树顶部落在点D处，则树折断处M距离地面多少米？ 题型六：求大树折断前的高度 解题思路：①大树折断后形成直角三角形；②利用勾股定理求出折断倾斜部分的长度；③大树原高等于直立树干加上折断倾斜部分长度；④计算时不可遗漏直立树干的长度。 16．如图，强台风时一棵大树在距离地面的点处折断，大树顶端的着地点与大树底端的距离为，则这棵树折断前的高度为（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 17．《九章算术》“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”的问题，对这个问题稍作改编如下：如图，有竹子垂直于地面生长（即），折断后竹梢触地，触地点到根部的距离尺，断点到触地点的距离尺，则_____尺．    18．如图，由于大风，山坡上的树甲从点处被拦腰折断，其树顶端恰好落在树乙的根部处．已知树甲的部分主干水平线，树乙垂直水平线，经测量，树甲的根部与点的距离米，两棵树的根部距离米，两棵树的水平距离为12米，请根据以上数据，求树甲折断前的高度． 题型七：解决水杯中筷子问题 解题思路：①水杯高度、底面直径作为直角边；②利用勾股定理求出杯内筷子的最大斜长；③结合筷子总长度；④推导筷子露出杯外部分的取值范围。 19．《醉翁亭记》中写道：“……射者中……”，其中“射”指投壶，宴饮时的一种游戏．如图，现有一圆柱形投壶，内部底面直径是，内壁高，若箭长，则箭在投壶外面部分的长度可能是（   ） A． B． C． D． 20．我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题.有一个水池，水面是一个边长为10尺（尺）的正方形，在水池正中央有一根芦苇（点P是的中点），它高出水面1尺（尺）．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面（），则水的深度为_____． 21．寒冷的冬天，你需要一杯热热的咸奶茶．现用搪瓷茶缸制作咸奶茶，已知，圆柱形搪瓷缸的底面直径为，高为．老师遇到了这样一个问题：搅拌棒的长度太短了，不能搅拌到底部． (1)当搅拌棒接触到底部时，搅拌棒至少长出杯口才合适．请你告诉老师，如图①放置时，搅拌棒至少需要 ； (2)如图②，老师新买的一根长为的搅拌棒，如果设其露在杯子外面的长为，你能求出h的取值范围吗？ 题型八：解决航海问题 解题思路：①读懂方位，确定互相垂直的两条航行路线；②两段航行路程作为直角边；③起点到终点直线距离为斜边；④利用勾股定理求出两点之间的直线距离。 22．如图，甲轮船以16海里/小时的速度离开港口O向东南方向航行，乙轮船同时同地向西南方向航行，已知他们离开港口1.5小时后分别到达B、A两点，且知AB＝30海里，则乙轮船每小时航行（    ） A．30海里 B．24海里 C．18海里 D．12海里 23．某港口位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，“远航”号以每小时的速度沿北偏西方向航行，“海天”号以每小时的速度沿北偏东方向航行，它们离开港口半小时后分别位于，处，此时两艘轮船相距_________． 24．小颖的爸爸在航海运输公司工作，他给小颖出了一个与航海有关的问题．在港有两艘货轮甲船和乙船，若甲船沿北偏东的方向以每小时海里的速度前进，乙船沿南偏东的方向以每小时海里的速度前进．两船同时出发，两小时后，甲船到岛，乙船到岛，试求岛与岛之间的距离． 题型九：求河宽 解题思路：①河宽垂直河岸，将河宽设为未知数；②河宽、岸边观测距离作为直角边；③构造直角三角形；④列勾股方程求解河宽。 25．我国古代数学典籍《算法统宗》记载了这样一道题，其大意是：昨日丈量田地回到家，记得长方形田的长为30步，宽与对角线的和为50步，不知田有几亩．设长方形田的宽为步，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 26．某游泳爱好者想横渡一条河，由于流水的影响，实际上岸地点偏离了想到达的点 米．他在水中游了米，则这条河的宽度为（两岸可近似看作平行）_______． 27．如图，长方形为一个花园，其中米，米，在花园内修一条长米的笔直小路，小路出口一端选在边上距点3米处，另一端出口应选在边上距点几米处？ 题型十：求台阶上地毯长度 解题思路：①求出台阶全部竖直高度之和；②求出台阶全部水平宽度之和；③地毯总长度等于总竖直高度加上总水平宽度；④该题型不需要计算斜边。 28．如图，在高为，坡面长为的楼梯表面铺地毯，则地毯的长至少需要（   ） A．7m B． C．8m D． 29．如图所示为一楼梯的侧面示意图，其中垂直高度米，斜边长米，楼梯的宽度为3米．现需在楼梯的所有台阶表面铺设地毯，要求地毯完全覆盖每个台阶的水平踏面和垂直竖面，则铺设整个楼梯至少需要___________平方米的地毯． 30．综合与探究 定义：一般地，若直角三角形三边长、、都是正整数，那么称、、为勾股数．设、是两个正整数，且，直角三角形三边长、、都是正整数．下表中的，，（、均小于）可以组成一些有规律的勾股数． 2 1 3 4 5 3 1 8 6 10 3 2 5 12 13 4 1 15 8 ① 4 2 12 ② 20 4 3 ③ 24 25 … … … … … （1）请写出表中①，②，③上的数． （2）对表中的数据探究发现，，继续探究发现和也可以用含、的代数式表示．请你用含、的代数式分别表示：④，⑤． （3）某校计划在一块绿地上画出一个直角三角形（如图），该直角三角形三边长为米、米、米，且、、满足（2）中的规律．要求仅在该直角三角形边上种花，且每个顶点处都种一株花，各边上相邻两株花之间的距离均为1米．如果最短边可种8株花，那么该直角三角形上一共可以种植⑥株花． 请将上述材料中横线上所缺内容补充完整． (1)①__________；②__________；③__________； (2)④__________；⑤__________； (3)⑥__________． 题型十一：判断汽车是否超速 解题思路：①观测竖直高度与公路垂直，构造直角三角形；②利用勾股定理求出汽车行驶路程；③结合行驶时间算出汽车实际速度；④将实际速度和限速对比，判断是否超速。 31．为加强疫情防控，云南某中学在校门口区域进行入校体温检测．如图，入校学生要求沿着直线单向单排通过校门口，测温仪C与直线的距离为，已知测温仪的有效测温距离为，则学生沿直线行走时测温的区域长度为______ 32．如图，小蓓要赶上去实践活动基地的校车，她从点A知道校车自点B处沿x轴向原点O方向匀速驶来，她立即从A处搭一辆出租车，去截汽车．若点A的坐标为（2，3），点B的坐标为（8，0），汽车行驶速度与出租车相同，则小蓓最快截住汽车的坐标为（　　） A．（3，0） B．（3.5，0） C．（，0） D．（5，0） 33．如图，某康养基地内有一条东西向的景观公路，基地的监控中心到公路的垂直距离为1200米．一天，监控员发现一辆未登记的外来车辆在公路上匀速行驶．用红外线测距仪测得：此时车辆正在公路处，距处2000米；44秒后，车辆行驶到公路上的处，距处1300米． (1)求外来车辆的平均速度； (2)监控中心到景观公路只有一条长为1500米的小路．监控员发现外来车辆后，立即联系安保人员，当外来车辆到达处时，安保人员同时开车从出发，沿小路进行拦截，若安保人员车速为，能否成功在处拦截外来车辆？请通过计算进行说明． 题型十二：判断是否受台风影响 解题思路：①构造直角三角形求出地点到台风移动路线的垂直距离；②把垂直距离和台风影响半径做对比；③垂直距离小于等于半径，则受台风影响，反之不受；④可进一步求解受影响的路程与时间。 34．今年，第十五号台风登陆江苏．如图，A市接到台风警报时，台风中心位于A市正南方向的B处，正以的速度沿方向移动．已知A市到的距离，如果在距台风中心的圆形区域内都将受到台风影响，那么A市经过（    ）个小时开始受到台风影响． A． B． C．6 D． 35．如图，铁路和公路在点处交汇，，公路上处距离点240米，如果火车行驶时，火车头周围150米以内会受到噪音的影响，那么火车在铁路上沿方向以72千米/小时的速度行驶时，处受到噪音影响的时间为________秒． 36．如图，在甲村到乙村的公路旁有一块山地正在被开发，现有一处需要爆破．已知、两点之间的距离为，、两点之间的距离为，且，为了安全起见，爆破点周围半径范围内不得进入，问：在进行爆破时，公路段是否有危险？并说明理由． 题型十三：选址使到两地距离相等 解题思路：①设选址点到线段一端距离为未知数；②用未知数表示出其余线段；③分别针对两处地点构造直角三角形；④依据距离相等建立勾股方程；⑤解出选址位置。 37．如图铁路上A，B两点相距40千米，C，D为两村庄，DA⊥AB，CB⊥AB，垂足分别为A和B，DA＝24千米，CB＝16千米．现在要在铁路旁修建一个煤栈E，使得C，D两村到煤栈的距离相等，那么煤栈E应距A点（　　） A．20千米 B．16千米 C．12千米 D．无法确定 38．如图，商场（点M）距公路（直线l）的距离（MA）为3km，在公路上有一车站（点N），车站距商场（NM）为4km，公交公司拟在公路上建一个公交车站停靠站（点P），要求停靠站到商场与到车站的距离相等，则停靠站到车站的距离（NP）的长为_____． 39．如图，在东西走向的和平街上有两个相距的快递投放点、，快递投放点的正北方向有一小区，小区到快递投放点的距离为． (1)求小区到快递投放点的距离． (2)因快递投放量增加，现准备在和平街新增一个快递投放点，新的投放点到小区与快递投放点的距离相等，求快递投放点、之间的距离． 题型十四：求最短路径 解题思路：①将立体图形侧面沿棱剪开，展开为平面图形；②依据两点之间线段最短确定最短路径；③构造对应的直角三角形；④利用勾股定理计算斜边，得到立体表面最短距离。 40．如图，一圆柱体的底面周长为，高为，是直径，一只蚂蚁从点A出发沿着圆柱的表面爬行到点C的最短路程为（     ） A． B． C． D． 41．如图，圆柱形杯子的高为，底面周长为，在杯内壁（杯子的厚度忽略不计）离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到达内壁处的最短距离为_____________．（假设蜂蜜不会下滑） 42．如图1，某公园内有一条笔直的马路，马路同侧有观景台、凉亭，已知于点于点，． 请结合所学知识，解决下列问题： (1)【基础应用】 观景台与凉亭之间的直线距离__________；（直接写出结果） (2)【核心探究】如图2，现计划在路段之间放置一个自动售货点，使到A，B两处的距离相等，该自动售货点应修建在离点多少米处？ (3)【拓展延伸】为方便游客出行，公园管理处计划在马路边上设置一个便民服务点，使得到A、B两处的距离之和最小，不用写过程，请直接写出到A、B两处的距离之和最小值（结果保留根号）． 题型十五：勾股定理逆定理的实际应用 解题思路：①获取实际场景中三角形的三边长；②分别计算三边的平方；③验证较短两边平方和是否等于最长边平方；④等式成立则最长边所对为直角，以此检验垂直关系 43．祁连山脚下的生态防护林，其横截面为三角形，已知该三角形的三边长分别为，，，则该三角形的面积为（   ） A． B． C． D． 44．如图，在某一景观河的一侧有一个最佳观景点A，河边有两个入口B，C，通过道路BA，CA可前往观景点A．因景区改造，需要关闭通道，为方便游客观景，分散人流，决定新修道路（点D在上）．经测量：，，．则是否为从A到河边的最近道路______（请从“是”“否”“不确定”中选择一个填空）． 45．如图，某公园内有一个不规则池塘（即图中阴影部分），、两点分别位于池塘两端，利用现有工具无法直接测得、间的距离，小明采用如下方法测量：在地面上取一点，使点能直接到达点和点，在的延长线上取一点，使得米．经测量米，米，米，请你计算点、之间的距离． 解答题 1．如图，正方形网格的每个小方格的边长均为1，的顶点在格点上． (1)直接写出______，______，______； (2)判断的形状，并说明理由． 2．如图，在中，，，，现将它折叠，使点与点重合，求的长． 3．如图，在一个宽阔的十字路口，两条道路互相垂直．小明站在其中一条道路的边缘点A处，米，小亮站在另一条道路的边缘点B处，此时两人之间的直线距离为25米，而他们手中的对讲机恰好处于信号传输的极限状态． (1)求此时的长度； (2)当小明沿路边向北走了9米到达点C处（即米），同时小亮沿路边向东走到了点D处，若两人之间的直线距离仍然处于对讲机信号传输的极限状态（即保持25米不变），求的长度． 4．勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一，它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人入迷． (1)应用一：最短路径问题 如图1，一只蚂蚁从点沿圆柱侧面爬到相对一侧中点处，如果圆柱的高为，圆柱的底面半径为，那么最短的路线长是___________； (2)应用二：解决实际问题． 小明在放风筝时想测量风筝离地面的垂直高度，通过如图2勘测，得到如下记录： ①测得水平距离的长为12米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为13米； ③小明牵线放风筝的手到地面的距离长为1.5米，如果小明想让风筝沿方向再上升4米，和的长度不变（理想状态下）．则他应该再放出___________米线． 5．《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有池，方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何．大意是：如图，水池底面的宽丈，芦苇生长在的中点O处，高出水面的部分尺．将芦苇向池岸牵引，尖端达到岸边时恰好与水面平齐，即， 求水池的深度和芦苇的长度(1丈等于10尺)． (1)求水池的深度； (2)中国古代数学家刘徽在为《九章算术》作注解时，更进一步给出了这类问题的一般解法．他的解法用现代符号语言可以表示为：若已知水池宽， 芦苇高出水面的部分，则水池的深度可以通过公式计算得到．请证明刘徽解法的正确性． 6．在学校举办的科技节上，小王与小林进行遥控赛车表演．如图，终点为点A，小王的赛车从点C出发，以的速度由西向东行驶，同时小林的赛车从点B出发，以的速度由南向北行驶．已知赛车之间的距离小于或等于时，遥控信号会相互干扰，，．当两车距终点A的距离之和为时，遥控信号是否会相互干扰？（赛车的大小均忽略不计，、分别为小王的赛车与小林的赛车在行驶至点A的途中的任意点） 7．如图，某景区内有一个露营区，湖边上原有两个观景台和，为了方便游客观赏，现计划在湖边新建一个观景台（点、、在同一直线上），连接、、，测得，，，，求观景台与观景台之间的距离．（露营区和观景台的大小均忽略不计）    试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题12勾股定理的应用精讲学案 核心立意： 熟练将生活实际、立体图形、测量场景全部建模为直角三角形；掌握勾股定理直接计算、方程计算两类解法；掌握本节八大必考应用模型；会用逆定理实测垂直；规范解题步骤、精准规避高频陷阱，解决所有勾股实际应用题。 两个定理 ①勾股定理：直角三角形中a2+b2=c2（c为斜边），已知直角，求边长。 ②勾股定理逆定理：若三角形最长边的平方等于另外两边平方和，则该三角形是直角三角形，已知边长，判定直角、证明垂直。  数学思想 建模思想：将文字描述的实际问题抽象为直角三角形几何图形； 方程思想：设未知线段长为x，依托勾股定理建立方程求解； 转化思想：立体图形展开为平面图形求解最短路径；折叠问题转化为寻找相等线段。 典型应用模型 高度模型：大树折断、旗杆高度，总高度 = 剩余高度 + 斜段长度； 滑动模型：梯子滑落，梯子长度不变，前后两个直角三角形分别计算； 内部线段模型：水杯筷子，杯子高、底面直径为直角边； 最短路径：立体图形展开成平面，两点之间线段最短； 折叠问题：折叠前后对应边相等，把线段归到同一个直角三角形列方程； 实际情境：航海、台风、选址、河宽，先画图构造直角三角形； 网格：网格求线段长，逆定理判断直角三角形。 标准解题步骤 ①建模：读懂题意，画出几何示意图，标注已知线段； ②定形：识别或构造直角三角形，分清直角边与斜边； ③列式：直接代入定理，或设未知线段为x列方程； ④求值：计算，舍去不符合实际意义的负数解； ⑤作答：写出完整答句。 重点辨析 ①立体最短路径必须展平为平面，曲面弧线不是最短距离，严禁直接在立体图形列式； ②所有实际题型必须先构造直角，无直角不可以使用勾股定理； ③逆定理只用于判直角、证垂直，不用于已知直角求边长； ④梯子、折断、航海题型均为静态直角不变模型，只需改变边长数据，模型结构固定； ⑤网格题型优先算平方不开方，简化计算、避免出错； ⑥所有实际应用题结果必须满足：线段长度＞0，无效解必须舍去。 ①圆柱展开图直角边找错，误将底面直径代替底面半周长，整题数据错误； ②梯子模型忽略“梯子长度始终不变”核心隐含条件； ③大树折断题型只算折断斜边，漏加剩余树干高度，总高计算错误； ④航海方位判断错误，无法构建标准直角三角形； ⑤不会使用方程思想，复杂实际题无法建立等量关系，解题卡壳； ⑥网格判断直角三角形，未锁定最长边比对平方，判定结论出错； ⑦逆定理检测垂直随意选边计算，不找最长边，判定垂直失误； ⑧解方程出现负数解、超现实解，不检验、不舍去。 题型 考察方向 难度 题型一 勾股定理与网格问题 ★★ 题型二 勾股定理与折叠问题 ★★★★ 题型三 求梯子滑落高度 ★★★ 题型四 求旗杆高度 ★★★ 题型五 求小鸟飞行距离 ★★ 题型六 求大树折断前的高度 ★★★ 题型七 解决水杯中筷子问题 ★★★ 题型八 解决航海问题 ★★ 题型九 求河宽 ★★★ 题型十 求台阶上地毯长度 ★★ 题型十一 判断汽车是否超速 ★★★ 题型十二 判断是否受台风影响 ★★★★ 题型十三 选址使到两地距离相等 ★★★★ 题型十四 求最短路径 ★★★ 题型十五 勾股定理逆定理的实际应用 ★★ 拔高题 7题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★偏难 题型一：勾股定理与网格问题 解题思路：①利用网格横竖线互相垂直的条件；②借助方格边长求线段或者线段的平方；③计算三边平方，利用逆定理判断三角形是否为直角三角形；④优先计算平方，减少开方运算，降低计算失误。 1．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，点、、、均在格点（网格线的交点）上，在点、、中，到点的距离为的是点________． 【答案】 【分析】利用勾股定理计算即可得出结果． 【详解】解：，，， ∴在点、、中，到点的距离为的是点． 2．如图，的顶点，，在边长为的正方形网格的格点上，于点，则的长为________． 【答案】 【分析】根据勾股定理，得，边上的高为4，利用三角形面积相同，计算即可； 【详解】解：根据题意，得，边上的高为4， ， 故， 故； 3．如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点A，B，C，E均在小正方形的顶点上．以点A为圆心，长为半径画弧，圆弧交于点D，则的长为（     ） A． B．2.1 C． D．5 【答案】C 【分析】根据网格得出和的长度，利用半径相等得到的长，再在中利用勾股定理求解即可． 【详解】解：由网格图可知，，，， 弧是以点为圆心，长为半径画的，点在弧上， ， 在中，由勾股定理得：． 题型二：勾股定理与折叠问题 解题思路：①抓住折叠前后对应线段相等的隐含条件；②标记等量线段，设所求线段为未知数；③用含未知数的代数式表示其余相关线段；④找准图中可供列式的直角三角形；⑤利用勾股定理列方程求解。 4．如图，沿折叠直角三角形纸片，使两个锐角顶点B和C重合，，，求的长．设，则所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用折叠的性质和勾股定理求解即可． 【详解】解：由折叠得， 设，则， ， ， ，在中，， ． 5．如图，一直角三角形纸片，在中，，，，点D在上，现将沿直线折叠，使它落在上，点C的对应点为点E，则的长为________． 【答案】 【分析】本题考查翻折变换的性质，勾股定理的应用，先根据勾股定理求得的长，再根据折叠的性质求得，的长，从而利用勾股定理可求得的长，然后根据勾股定理即可求得．掌握折叠的性质及勾股定理是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴ 将该纸片沿直线折叠，使点落在斜边上的点处， ∴，，， ∴， 设， ∴，， 在中，， ∴，解得：， ∴， 故答案为：． 6．如图，正方形中，点P，Q分别为，上一个动点，将正方形沿折叠，点的对应点始终落在上，已知，当点为中点时，的长为（     ）    A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】由正方形的性质得到，由中点的性质得到，，则，由折叠可得，再利用勾股定理运算求解即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵点为中点， ∴， 设，则， ∵折叠， ∴， ∴在中，， ∴， 解得：， ∴． 题型三：求梯子滑落高度 解题思路：①明确梯子长度固定不变，始终作为斜边；②墙与地面垂直，得到滑动前后两个直角三角形；③分别求出滑动前后梯子顶端、底端的位置；④对应位置做差，算出滑落高度或者水平滑动距离。 7．如图，长为的梯子斜靠在竖直的墙上，梯子的底端离墙脚线的距离为0.7m，梯子顶端到地面的距离为________． 【答案】2.4 【分析】根据题意可知梯子、墙面与地面构成直角三角形，已知斜边和一条直角边的长度，利用勾股定理即可求出另一条直角边的长度． 【详解】解：由题意可知，梯子、墙面与地面构成直角三角形，且斜边长为 ，一条直角边长为 ， 根据勾股定理，得梯子顶端到地面的距离为：． 故答案为：2.4． 8．如图，小巷左右两侧是竖直的墙，当一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙脚的距离为，梯子顶端到地面的距离为，若保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙，此时梯子顶端到地面的距离为，则小巷的宽为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】勾股定理求出梯子的长，再利用勾股定理求出的长，然后根据线段的和差关系即可得出结果. 【详解】解：由题意和勾股定理，得， ， ∴，即小巷的宽为. 9．物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮，一端拴在滑块B上，另一端拴在A的正下方物体C上．初始时，，，．绳子始终绷紧，滑轮与物体大小忽略不计． (1)求初始状态下细绳的总长度； (2)如图2，若物体C竖直升高，求此时滑块B向左滑动的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用勾股定理算出斜边的长度，再把与竖直绳段相加，即可求出细绳整体总长度． （2）先根据物体上升高度求出变化后的竖直绳长，结合绳总长不变算出新斜边，再次用勾股定理求出滑块新的水平距离，用减去初始水平长度，得到滑块向左滑动的距离． 【详解】（1）解：由题意得：， 在中，，， 由勾股定理得：， ， 答：绳子的总长度为． （2）由题意得：， ， 绳子的总长度为， ， 在中，由勾股定理得：， ， 答：滑块向左滑动的距离为． 题型四：求旗杆高度 解题思路：①旗杆与地面垂直，构建直角三角形；②设旗杆高度为未知数；③用未知数表示绳索、地面水平距离；④利用勾股定理列出方程求解旗杆高度。 10．某班数学小组到十四中平坦的操场上测量旗杆的高度，信息如下： ①如图：绳子一端系在旗杆顶端处，甲同学拉直绳子退至离旗杆3.5米（米）的点处，此时手上的绳子还剩0.5米； ②甲同学继续往后退1.5米（米）到达点，此时手上的绳子刚好用完； ③甲同学拉绳子的手到地的距离始终是1.6米； 则旗杆的高度为（     ） A．12米 B．12.6米 C．13米 D．13.6米 【答案】D 【分析】由题意可得米，米，米，则米，设绳子的长度为米，则米，米，再结合勾股定理计算即可得出结果． 【详解】解：由题意可得：米，米，米， ∴米， 设绳子的长度为米，则米，米， 由勾股定理得，， ∴， ∴， 解得， ∴米， ∴旗杆的高度为米． 11．如图，某工地内矗立着一座塔吊，为固定塔吊，施工人员从塔吊离水平地面15米处向地面拉了一根长17米的钢索，钢索在地面的固定处距离塔吊底部的距离为______米． 【答案】8 【分析】根据勾股定理进行解答即可． 【详解】解：如图， 在中，，米，米， 则米， 即钢索在地面的固定处距离塔吊底部的距离为米． 12．风筝发明于东周春秋时期，距今已有2000多年历史．我们在放风筝时想测量风筝线的长度，并画出了某时刻的示意图，相关数据如下：手与风筝的水平距离为15米，已放出风筝线的长为17米，手到地面的距离为1.5米．如果想要风筝沿方向再上升12米，且的长度不变，则应再放出多少米风筝线？ 【答案】8米 【分析】先利用勾股定理求出的长；再根据风筝沿方向再上升12米，且的长度不变，再次利用勾股定理计算即可得到结论． 【详解】解：由题意得，，米，米， 在中，由勾股定理，可得：（米）， 如图，当风筝沿方向再上升12米，到点时， 所以米， 在中，，米， 由勾股定理，可得（米）， 则应该再放出（米）， 答：他应该再放出8米长的线． 题型五：求小鸟飞行距离 解题思路：①求出两棵树的竖直高度差作为一条直角边；②两棵树之间水平距离作为另一条直角边；③小鸟飞行的直线距离为斜边；④直接使用勾股定理求出斜边长度。 13．有两棵树，一棵高6米，另一棵高1米，两树相距6米，一只小鸟要从一棵树的树顶到另一棵树的树顶，至少需要飞______米． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，理解题意是解决本题的关键． 设大树高为，小树高为，过C点作于E，则是长方形，连接，则，，，在中，根据勾股定理求得即可． 【详解】解：如图，设大树高为，小树高为，过C点作于E，则是长方形，连接， ∴，，， 在中，， ∴小鸟至少飞行． 故答案为：． 14．如图，有一只喜鹊在一棵高的小树上觅食，它的巢筑在与该树水平距离（）为的一棵大树上，大树高，喜鹊的巢位于树顶下方的处，当它听到巢中幼鸟的叫声，立即飞过去，如果它飞行的速度为，那么它要飞回巢中所需的时间至少是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过作于，如图所示，由勾股定理求出最短路径长即可得到答案． 【详解】解：过作于，如图所示： 由题意可知，， ， 根据两点之间线段最短，则它要飞回巢中所飞的最短路径为，由勾股定理可得， ∴它要飞回巢中所需的时间至少是． 15．如图1，有两棵树，一棵高10米（米），另一棵高2米（米），两树相距6米（米） (1)求一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了多少米？ (2)如图2，台风过后，高10米的树在点M处折断，大树顶部落在点D处，则树折断处M距离地面多少米？ 【答案】(1)米； (2)米 【分析】（1）根据“两点之间，线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树尖进行直线飞行，飞行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出； （2）由勾股定理求出的长，即可求解． 【详解】（1）解：两棵树的高度差为（米），两树相距米（米）， 根据勾股定理可得：小鸟至少飞行的距离（米）， 答：至少飞了米； （2）解：由勾股定理得：， ， 解得：， 答：树折断处距离地面米． 题型六：求大树折断前的高度 解题思路：①大树折断后形成直角三角形；②利用勾股定理求出折断倾斜部分的长度；③大树原高等于直立树干加上折断倾斜部分长度；④计算时不可遗漏直立树干的长度。 16．如图，强台风时一棵大树在距离地面的点处折断，大树顶端的着地点与大树底端的距离为，则这棵树折断前的高度为（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】根据勾股定理求出长度，即为这棵树折断的高度，再加上未折断的高度即可求出答案． 【详解】解：由图可知，，， 在中，， 这棵树折断前的高度为． 17．《九章算术》“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”的问题，对这个问题稍作改编如下：如图，有竹子垂直于地面生长（即），折断后竹梢触地，触地点到根部的距离尺，断点到触地点的距离尺，则_____尺．    【答案】 【详解】解：∵，尺，尺， ∴尺． 18．如图，由于大风，山坡上的树甲从点处被拦腰折断，其树顶端恰好落在树乙的根部处．已知树甲的部分主干水平线，树乙垂直水平线，经测量，树甲的根部与点的距离米，两棵树的根部距离米，两棵树的水平距离为12米，请根据以上数据，求树甲折断前的高度． 【答案】树甲折断前的高度是19米 【分析】根据勾股定理在中先求出长度，则长度可知，再在中利用勾股定理求出长度，则树甲折断前的高度为即可求解． 【详解】解：∵， ∴和是直角三角形， ∴在中，（米）， ∴（米）， ∵在中，（米）， ∴（米）． 答：树甲折断前的高度是19米． 题型七：解决水杯中筷子问题 解题思路：①水杯高度、底面直径作为直角边；②利用勾股定理求出杯内筷子的最大斜长；③结合筷子总长度；④推导筷子露出杯外部分的取值范围。 19．《醉翁亭记》中写道：“……射者中……”，其中“射”指投壶，宴饮时的一种游戏．如图，现有一圆柱形投壶，内部底面直径是，内壁高，若箭长，则箭在投壶外面部分的长度可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理的应用，求出箭在投壶外面部分的最大长度和最小长度即可判断求解，利用勾股定理求出箭在投壶外面部分的最小长度是解题的关键． 【详解】解：由题意，箭在投壶外面部分的长度最长为， 最小长度为， 故箭在投壶外面部分的长度可能是， 故选：D． 20．我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题.有一个水池，水面是一个边长为10尺（尺）的正方形，在水池正中央有一根芦苇（点P是的中点），它高出水面1尺（尺）．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面（），则水的深度为_____． 【答案】12尺 【分析】根据题意可得芦苇长度，设水的深度为尺，然后在中运用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：∵水面是一个边长为10尺的正方形，点是的中点， ∴尺， 设水的深度为尺， ∵尺，， ∴尺， ∵， ∴尺， ∵在中，根据勾股定理可得：， ∴，整理得：，解得：， ∴尺． 21．寒冷的冬天，你需要一杯热热的咸奶茶．现用搪瓷茶缸制作咸奶茶，已知，圆柱形搪瓷缸的底面直径为，高为．老师遇到了这样一个问题：搅拌棒的长度太短了，不能搅拌到底部． (1)当搅拌棒接触到底部时，搅拌棒至少长出杯口才合适．请你告诉老师，如图①放置时，搅拌棒至少需要 ； (2)如图②，老师新买的一根长为的搅拌棒，如果设其露在杯子外面的长为，你能求出h的取值范围吗？ 【答案】(1)18 (2) 【分析】（1）图①中搅拌棒竖直放置，圆柱的高为，即杯内搅拌棒长度为，题目要求长出杯口，两者相加即可解答； （2）当搅拌棒斜放，从杯口边缘到杯底对角时，杯内长度最大，当搅拌棒竖直放置时，杯内长度最小，据此求解即可； 【详解】（1）解：根据题意可得搅拌棒至少需要； （2）解：当搅拌棒竖直放置时，露在杯子外的长； 由勾股定理得，搅拌棒在杯子里面的部分最长为， 露在杯子外面的长； ． 题型八：解决航海问题 解题思路：①读懂方位，确定互相垂直的两条航行路线；②两段航行路程作为直角边；③起点到终点直线距离为斜边；④利用勾股定理求出两点之间的直线距离。 22．如图，甲轮船以16海里/小时的速度离开港口O向东南方向航行，乙轮船同时同地向西南方向航行，已知他们离开港口1.5小时后分别到达B、A两点，且知AB＝30海里，则乙轮船每小时航行（    ） A．30海里 B．24海里 C．18海里 D．12海里 【答案】D 【分析】本题主要考查勾股定理的应用，根据题目提供的方位角判定，然后根据甲轮船的速度和行驶时间求得的长，利用勾股定理求得的长，除以时间即得到乙轮船的行驶速度． 【详解】 （海里/小时） 故选：D 23．某港口位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，“远航”号以每小时的速度沿北偏西方向航行，“海天”号以每小时的速度沿北偏东方向航行，它们离开港口半小时后分别位于，处，此时两艘轮船相距_________． 【答案】 【分析】先由速度与时间算出、的长度，再根据方位角推出，最后用勾股定理求出两船距离． 【详解】解：由题意得，，，， ∴， 在中，， 即此时两艘轮船相距． 24．小颖的爸爸在航海运输公司工作，他给小颖出了一个与航海有关的问题．在港有两艘货轮甲船和乙船，若甲船沿北偏东的方向以每小时海里的速度前进，乙船沿南偏东的方向以每小时海里的速度前进．两船同时出发，两小时后，甲船到岛，乙船到岛，试求岛与岛之间的距离． 【答案】海里 【分析】由方向角的定义说明是直角三角形，在直角三角形中应用勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，由题意得，，（海里），（海里）， ， 是直角三角形， 由勾股定理得（海里）． 答：岛与岛之间的距离为海里． 题型九：求河宽 解题思路：①河宽垂直河岸，将河宽设为未知数；②河宽、岸边观测距离作为直角边；③构造直角三角形；④列勾股方程求解河宽。 25．我国古代数学典籍《算法统宗》记载了这样一道题，其大意是：昨日丈量田地回到家，记得长方形田的长为30步，宽与对角线的和为50步，不知田有几亩．设长方形田的宽为步，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查根据勾股定理列方程，先根据题意表示出长方形对角线的长度，再利用直角三角形勾股定理列出方程即可． 【详解】解：设长方形田的宽为步，宽与对角线的和为步， 则对角线长为步， ∵长方形中长，宽，对角线构成直角三角形，符合勾股定理，且已知长为步， ∴根据勾股定理可得 ，C选项符合题意． 26．某游泳爱好者想横渡一条河，由于流水的影响，实际上岸地点偏离了想到达的点 米．他在水中游了米，则这条河的宽度为（两岸可近似看作平行）_______． 【答案】米 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，因为游泳爱好者想横渡一条河，所以可知，在中，利用勾股定理可以求出米． 【详解】解：游泳爱好者想横渡一条河， ， ， 在中，米，米， 米． 故答案为：米． 27．如图，长方形为一个花园，其中米，米，在花园内修一条长米的笔直小路，小路出口一端选在边上距点3米处，另一端出口应选在边上距点几米处？ 【答案】3米 【分析】先根据长方形对边相等的性质求出的长度，结合点的位置计算出的长度；再利用长方形的直角构造直角三角形，通过勾股定理求出的长度；最后用的长度减去的长度，得到点到点的距离． 【详解】解：∵四边形是长方形， ∴，米． ∵在边上且距点3米，即米， ∴(米)． 在中，，米，米， 根据勾股定理：(米)， ∴米． 答：另一端出口应选在边上距点3米处． 题型十：求台阶上地毯长度 解题思路：①求出台阶全部竖直高度之和；②求出台阶全部水平宽度之和；③地毯总长度等于总竖直高度加上总水平宽度；④该题型不需要计算斜边。 28．如图，在高为，坡面长为的楼梯表面铺地毯，则地毯的长至少需要（   ） A．7m B． C．8m D． 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 根据勾股定理得出，再计算楼梯表面铺地毯需要的长度即可． 【详解】解：根据勾股定理得，， 则铺地毯的长为， 故选：D． 29．如图所示为一楼梯的侧面示意图，其中垂直高度米，斜边长米，楼梯的宽度为3米．现需在楼梯的所有台阶表面铺设地毯，要求地毯完全覆盖每个台阶的水平踏面和垂直竖面，则铺设整个楼梯至少需要___________平方米的地毯． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理的应用．根据勾股定理求出的长度，再计算出楼梯铺地毯的总长度，进而求出所铺地毯的面积即可． 【详解】解：在中，，米，米， 由勾股定理得，米， 在楼梯上铺地毯需要的长度为米， 需要铺地毯的面积为平方米， 故答案为：． 30．综合与探究 定义：一般地，若直角三角形三边长、、都是正整数，那么称、、为勾股数．设、是两个正整数，且，直角三角形三边长、、都是正整数．下表中的，，（、均小于）可以组成一些有规律的勾股数． 2 1 3 4 5 3 1 8 6 10 3 2 5 12 13 4 1 15 8 ① 4 2 12 ② 20 4 3 ③ 24 25 … … … … … （1）请写出表中①，②，③上的数． （2）对表中的数据探究发现，，继续探究发现和也可以用含、的代数式表示．请你用含、的代数式分别表示：④，⑤． （3）某校计划在一块绿地上画出一个直角三角形（如图），该直角三角形三边长为米、米、米，且、、满足（2）中的规律．要求仅在该直角三角形边上种花，且每个顶点处都种一株花，各边上相邻两株花之间的距离均为1米．如果最短边可种8株花，那么该直角三角形上一共可以种植⑥株花． 请将上述材料中横线上所缺内容补充完整． (1)①__________；②__________；③__________； (2)④__________；⑤__________； (3)⑥__________． 【答案】(1)①17，②16，③ (2)， (3)81 【分析】（1）观察表格可得三边满足，，，代入相应，即可求出空格． （2）用勾股定理和完全平方公式验证． （3）“最短边可种株花”说明最短边长为米；由于必为偶数，最短边只能是，从而列方程求出，，再按“封闭图形种花”模型求总株数． 【详解】（1）解：，，， 当，时，， ①； 当，时，， ②； 当，时，， ③． （2）解：，且， ， ， ， ， ，． （3）解：最短边可种株花，且两端都种， 最短边长为（米）， 为偶数，而为奇数， 最短边为，即， ， ， ，为正整数且， ，， 解得：，， ，， 三边长分别为米、24米、25米， 每边种花数为边长加， 三边合计（株）， 三个顶点各被重复计算一次， 总花数（株）． 题型十一：判断汽车是否超速 解题思路：①观测竖直高度与公路垂直，构造直角三角形；②利用勾股定理求出汽车行驶路程；③结合行驶时间算出汽车实际速度；④将实际速度和限速对比，判断是否超速。 31．为加强疫情防控，云南某中学在校门口区域进行入校体温检测．如图，入校学生要求沿着直线单向单排通过校门口，测温仪C与直线的距离为，已知测温仪的有效测温距离为，则学生沿直线行走时测温的区域长度为______ 【答案】/8米 【分析】设有效测温距离为的长，连接、，推理出，过点作于，易知，然后在分别求出、的长，进而可得的长． 【详解】解：设有效测温距离为的长，连接、，过点作于， ∵测温仪的有效测温距离为， ∴， 又测温仪与直线的距离为， 在中，据勾股定理得： ， 同理得， ∴， 即学生沿直线行走时测温的区域长度为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用． 32．如图，小蓓要赶上去实践活动基地的校车，她从点A知道校车自点B处沿x轴向原点O方向匀速驶来，她立即从A处搭一辆出租车，去截汽车．若点A的坐标为（2，3），点B的坐标为（8，0），汽车行驶速度与出租车相同，则小蓓最快截住汽车的坐标为（　　） A．（3，0） B．（3.5，0） C．（，0） D．（5，0） 【答案】C 【分析】在D点小蓓与汽车相遇，则小蓓的行进路线为AD，设OD＝x，在直角△ACD中，AD为斜边，已知AC，CD，即可求AD，且BC＝OB﹣OC＝8，根据BD＝AD的等量关系可以求得x，即可求相遇点D的坐标． 【详解】解：作出题目中给出的图形： 已知AC＝3，OC＝2，OB＝8， 在D点小蓓与汽车相遇，设OD＝x， 则CD＝x﹣2， 在直角△ACD中，AD为斜边， 则AD2＝AC2+CD2， AD＝ ∵OD＝x，则BD＝8﹣x， 存在8﹣x＝， 两边平方得到，3x2+4x﹣16＝0 解得：x＝， 故D点坐标（，0） 故选C． 【点睛】本题考查了勾股定理在实际生活中的运用，考查了根据题意画出图形的能力，本题中找到汽车行驶速度为摩托车速度的2倍的等量关系，并且根据其求D点坐标是解题的关键． 33．如图，某康养基地内有一条东西向的景观公路，基地的监控中心到公路的垂直距离为1200米．一天，监控员发现一辆未登记的外来车辆在公路上匀速行驶．用红外线测距仪测得：此时车辆正在公路处，距处2000米；44秒后，车辆行驶到公路上的处，距处1300米． (1)求外来车辆的平均速度； (2)监控中心到景观公路只有一条长为1500米的小路．监控员发现外来车辆后，立即联系安保人员，当外来车辆到达处时，安保人员同时开车从出发，沿小路进行拦截，若安保人员车速为，能否成功在处拦截外来车辆？请通过计算进行说明． 【答案】(1)外来车辆的平均速度为 (2)能成功在处拦截外来车辆，理由如下： 由题意得， 在中，由勾股定理，得， 由（1）可知， ， 外来车辆到达处所需的时间为． 安保人员的速度为， 安保人员达处所需的时间为， 能成功在处拦截外来车辆． 【分析】（1）过点作于点，由题意得，，，利用勾股定理在中，可得，在中，可得，从而求得，即可得出外来车辆的平均速度； （2）先利用勾股定理在中，可得，结合（1）可得，从而可以算出外来车辆及安保人员达处所需的时间，通过比较即可得出结论． 【详解】（1）解：如图，过点作于点，则，， 由题意得，， 在中，由勾股定理，得， 在中，由勾股定理，得， ， 速度为， 答：外来车辆的平均速度为； （2）略． 题型十二：判断是否受台风影响 解题思路：①构造直角三角形求出地点到台风移动路线的垂直距离；②把垂直距离和台风影响半径做对比；③垂直距离小于等于半径，则受台风影响，反之不受；④可进一步求解受影响的路程与时间。 34．今年，第十五号台风登陆江苏．如图，A市接到台风警报时，台风中心位于A市正南方向的B处，正以的速度沿方向移动．已知A市到的距离，如果在距台风中心的圆形区域内都将受到台风影响，那么A市经过（    ）个小时开始受到台风影响． A． B． C．6 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用．设台风中心移动到点E时，A市开始受到台风影响，分别在和中，利用勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：如图，设台风中心移动到点E时，A市开始受到台风影响，此时， 在中，，， ∴， 在中，，， ∴， ∴， 时， 即A市经过个小时开始受到台风影响． 故选：D 35．如图，铁路和公路在点处交汇，，公路上处距离点240米，如果火车行驶时，火车头周围150米以内会受到噪音的影响，那么火车在铁路上沿方向以72千米/小时的速度行驶时，处受到噪音影响的时间为________秒． 【答案】9 【分析】过点作，求出最短距离的长度，然后在上取点，，使得米，根据勾股定理得出，的长度，即可求出的长度，然后计算出时间即可． 【详解】解：过点作， ，米， 米， 在上取点，，使得米，当火车到点时对处产生噪音影响， 米，米， 由勾股定理得：米，米，即米， 千米/小时米/秒， 影响时间应是：秒． 故答案为：9． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，解题的关键在于准确找出受影响的路段，从而利用勾股定理求出其长度． 36．如图，在甲村到乙村的公路旁有一块山地正在被开发，现有一处需要爆破．已知、两点之间的距离为，、两点之间的距离为，且，为了安全起见，爆破点周围半径范围内不得进入，问：在进行爆破时，公路段是否有危险？并说明理由． 【答案】 解：如图，过点C作于点D． ，，， ∴， ∵， ∴， ， ， ∴在进行爆破时，公路段有危险． 【分析】过点C作于点D，根据勾股定理求出的长，利用等面积法求出的长，再比较的长与的大小即可得到结论． 【详解】略 题型十三：选址使到两地距离相等 解题思路：①设选址点到线段一端距离为未知数；②用未知数表示出其余线段；③分别针对两处地点构造直角三角形；④依据距离相等建立勾股方程；⑤解出选址位置。 37．如图铁路上A，B两点相距40千米，C，D为两村庄，DA⊥AB，CB⊥AB，垂足分别为A和B，DA＝24千米，CB＝16千米．现在要在铁路旁修建一个煤栈E，使得C，D两村到煤栈的距离相等，那么煤栈E应距A点（　　） A．20千米 B．16千米 C．12千米 D．无法确定 【答案】B 【分析】设AE＝xkm，则BE＝（40﹣x）km，利用勾股定理得到，则，解方程即可． 【详解】解：设AE＝xkm，则BE＝（40﹣x）km， ∵DA⊥AB，CB⊥AB，C，D两村到煤栈的距离相等， ∴， ∴ ， ∴， 解得：x＝16， 则煤栈E应距A点16km． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，正确理解题意得到是解题的关键． 38．如图，商场（点M）距公路（直线l）的距离（MA）为3km，在公路上有一车站（点N），车站距商场（NM）为4km，公交公司拟在公路上建一个公交车站停靠站（点P），要求停靠站到商场与到车站的距离相等，则停靠站到车站的距离（NP）的长为_____． 【答案】km 【分析】首先在Rt△AMN中，求出AN，设PN=PM=x，在Rt△PAM中，利用勾股定理列出方程即可解决问题． 【详解】如图， 连接MP，在Rt△MAN中，MA=3，MN=4， 由勾股定理得， 设NP=xkm，则PM=xkm， ∴PA=（ -x）km， 在Rt△MAP中，由勾股定理得 ， 解得． 故答案为：km 【点睛】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是学会利用勾股定理构建方程解决问题． 39．如图，在东西走向的和平街上有两个相距的快递投放点、，快递投放点的正北方向有一小区，小区到快递投放点的距离为． (1)求小区到快递投放点的距离． (2)因快递投放量增加，现准备在和平街新增一个快递投放点，新的投放点到小区与快递投放点的距离相等，求快递投放点、之间的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据勾股定理求解即可； （2）设，则，根据勾股定理列方程求解即可. 【详解】（1）解：∵小区A在快递投放点C的正北方向， ∴， ∴，， ∴， ∴小区A到快递投放点C的距离为； （2）解：设， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴快递投放点B，D之间的距离为． 题型十四：求最短路径 解题思路：①将立体图形侧面沿棱剪开，展开为平面图形；②依据两点之间线段最短确定最短路径；③构造对应的直角三角形；④利用勾股定理计算斜边，得到立体表面最短距离。 40．如图，一圆柱体的底面周长为，高为，是直径，一只蚂蚁从点A出发沿着圆柱的表面爬行到点C的最短路程为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将圆柱的侧面展开，得到一个长方形，再然后利用两点之间线段最短结合勾股定理求解． 【详解】解：如图所示：    由于圆柱体的底面周长为， 则． 由题意得，， 所以． 故蚂蚁从点A出发沿着圆柱体的表面爬行到点C的最短路程是． 41．如图，圆柱形杯子的高为，底面周长为，在杯内壁（杯子的厚度忽略不计）离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到达内壁处的最短距离为_____________．（假设蜂蜜不会下滑） 【答案】 20 【分析】将圆柱侧面展开为矩形，作点关于杯口上沿的对称点，连接即为最短路径，确定直角三角形的两条直角边长，利用勾股定理求解； 【详解】解：如图，将圆柱侧面展开，作点关于杯口上沿的对称点，连接， 由对称性可得， ， 线段的长即为蚂蚁从外壁处到达内壁处的最短距离， 由题意得，，，， ， 在中，由勾股定理得． 42．如图1，某公园内有一条笔直的马路，马路同侧有观景台、凉亭，已知于点于点，． 请结合所学知识，解决下列问题： (1)【基础应用】 观景台与凉亭之间的直线距离__________；（直接写出结果） (2)【核心探究】如图2，现计划在路段之间放置一个自动售货点，使到A，B两处的距离相等，该自动售货点应修建在离点多少米处？ (3)【拓展延伸】为方便游客出行，公园管理处计划在马路边上设置一个便民服务点，使得到A、B两处的距离之和最小，不用写过程，请直接写出到A、B两处的距离之和最小值（结果保留根号）． 【答案】(1)1000 (2)自动售货点应修建在离点C100米处 (3) 【分析】（1）连接，过点B作于点G，易得四边形是矩形，再由勾股定理即可求的长； （2）设，则，由勾股定理分别表示出、，再根据，列方程求解即可； （3）作点B关于对称的点，连接交于点M，连接，作交延长线于H，则到A、B两处的距离之和最小值即为，易得四边形是矩形，由勾股定理求即可； 【详解】（1）解：如图，连接，过点B作于点G， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， 在中，； （2）解：设，则， ∴，， ∵到A，B两处的距离相等， ∴， ∴， 解得， ∴自动售货点应修建在离点100米处； （3）解：如图，作点B关于对称的点，连接交于点M，连接，作交延长线于H，则，， 可知四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴的最小值为， 即到A、B两处的距离之和最小值为． 题型十五：勾股定理逆定理的实际应用 解题思路：①获取实际场景中三角形的三边长；②分别计算三边的平方；③验证较短两边平方和是否等于最长边平方；④等式成立则最长边所对为直角，以此检验垂直关系 43．祁连山脚下的生态防护林，其横截面为三角形，已知该三角形的三边长分别为，，，则该三角形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由勾股定理逆定理得该三角形是直角三角形，即可求其面积． 【详解】解：∵该三角形的三边长分别为，，，， ∴该三角形是直角三角形，直角边长为、， ∴该三角形的面积为． 44．如图，在某一景观河的一侧有一个最佳观景点A，河边有两个入口B，C，通过道路BA，CA可前往观景点A．因景区改造，需要关闭通道，为方便游客观景，分散人流，决定新修道路（点D在上）．经测量：，，．则是否为从A到河边的最近道路______（请从“是”“否”“不确定”中选择一个填空）． 【答案】是 【分析】可证明，则可得到，再由垂线段最短可得答案． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴， 由垂线段最短可知是从A到河边的最近道路． 45．如图，某公园内有一个不规则池塘（即图中阴影部分），、两点分别位于池塘两端，利用现有工具无法直接测得、间的距离，小明采用如下方法测量：在地面上取一点，使点能直接到达点和点，在的延长线上取一点，使得米．经测量米，米，米，请你计算点、之间的距离． 【答案】米 【分析】先利用勾股定理逆定理判定为直角三角形，得到，再在中用勾股定理求出长度，最后用减去得到的长． 【详解】解：在中，米，米，米， ， 是直角三角形， ， ， 在中，米，米， （米）， （米）． 解答题 1．如图，正方形网格的每个小方格的边长均为1，的顶点在格点上． (1)直接写出______，______，______； (2)判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)；； (2)解：是直角三角形，理由如下； 由（1）得，，， ∴，， ∴， ∴是直角三角形． 【分析】（1）利用勾股定理求解即可； （2）可证明，则可得到是直角三角形． 【详解】（1）解：由题意得，， ， （2）略 2．如图，在中，，，，现将它折叠，使点与点重合，求的长． 【答案】． 【分析】连接，先由勾股定理逆定理可得是直角三角形，且，然后由折叠性质可得，，设，则，在中，，即，求出的值即可． 【详解】解：连接，如图， 在中，，，， ∴，即， ∴是直角三角形，且， 由折叠性质可得，， 设，则， 在中，， ∴，解得， ∴，即的长为． 3．如图，在一个宽阔的十字路口，两条道路互相垂直．小明站在其中一条道路的边缘点A处，米，小亮站在另一条道路的边缘点B处，此时两人之间的直线距离为25米，而他们手中的对讲机恰好处于信号传输的极限状态． (1)求此时的长度； (2)当小明沿路边向北走了9米到达点C处（即米），同时小亮沿路边向东走到了点D处，若两人之间的直线距离仍然处于对讲机信号传输的极限状态（即保持25米不变），求的长度． 【答案】(1)米 (2)米 【分析】（1）根据勾股定理计算即可； （2）根据勾股定理求出米，即可求出的长度． 【详解】（1）解：由题意得，米，米， ∴米； （2）解：∵米， ∴米， ∵米，， ∴米， 因此米． 4．勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一，它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人入迷． (1)应用一：最短路径问题 如图1，一只蚂蚁从点沿圆柱侧面爬到相对一侧中点处，如果圆柱的高为，圆柱的底面半径为，那么最短的路线长是___________； (2)应用二：解决实际问题． 小明在放风筝时想测量风筝离地面的垂直高度，通过如图2勘测，得到如下记录： ①测得水平距离的长为12米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为13米； ③小明牵线放风筝的手到地面的距离长为1.5米，如果小明想让风筝沿方向再上升4米，和的长度不变（理想状态下）．则他应该再放出___________米线． 【答案】(1) (2)2 【分析】本题考查了勾股定理的应用等知识． （1）画出圆柱侧面展开图，求出，，根据勾股定理即可求出； （2）由题意得，米，求出米，根据勾股定理求出米， 米．问题得解． 【详解】（1）解：将圆柱侧面展开，如图所示，连接． ∵圆柱的底面半径为， ∴， ∵点为中点， ∴． 在中，． 故答案为： （2）解：如图， 由题意得， 在中，米， 当风筝沿方向再上升4米时，米， 在中，米， 米． 故答案为：2 5．《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有池，方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何．大意是：如图，水池底面的宽丈，芦苇生长在的中点O处，高出水面的部分尺．将芦苇向池岸牵引，尖端达到岸边时恰好与水面平齐，即， 求水池的深度和芦苇的长度(1丈等于10尺)． (1)求水池的深度； (2)中国古代数学家刘徽在为《九章算术》作注解时，更进一步给出了这类问题的一般解法．他的解法用现代符号语言可以表示为：若已知水池宽， 芦苇高出水面的部分，则水池的深度可以通过公式计算得到．请证明刘徽解法的正确性． 【答案】(1)12尺 (2) 证明：水池深度，则芦苇高度为， 由题意有：； 为中点，且， ； 在中，由勾股定理得：， 即， 整理得：； 表明刘徽解法是正确的． 【分析】本题考查了勾股定理的应用； （1）设水池深度为x尺，则得芦苇高度为尺，在中，利用勾股定理建立方程即可求解； （2）由水池深度，则得芦苇高度为，由题意有：；由勾股定理即可得证． 【详解】（1）解：设水池深度为x尺，则芦苇高度为尺， 由题意有：尺； 为中点，且丈尺， (尺)； 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：； 即尺； 答：水池的深度为12尺； （2）略 6．在学校举办的科技节上，小王与小林进行遥控赛车表演．如图，终点为点A，小王的赛车从点C出发，以的速度由西向东行驶，同时小林的赛车从点B出发，以的速度由南向北行驶．已知赛车之间的距离小于或等于时，遥控信号会相互干扰，，．当两车距终点A的距离之和为时，遥控信号是否会相互干扰？（赛车的大小均忽略不计，、分别为小王的赛车与小林的赛车在行驶至点A的途中的任意点） 【答案】遥控信号会相互干扰 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，解题的关键是通过设时间为未知数，结合两车距终点的距离和求出行驶时间，再利用勾股定理计算两车距离并判断是否干扰． 设行驶时间为秒，根据两车距的距离之和为列方程求；再利用勾股定理计算此时两车的距离，与比较得出结论． 【详解】解：设行驶时间为秒， 由题意得： ， 解得． 此时，小王的赛车距的距离为（）， 小林的赛车距的距离为（）． 由勾股定理，两车之间的距离为：（）． ∵， ∴遥控信号会相互干扰． 答：遥控信号会相互干扰． 7．如图，某景区内有一个露营区，湖边上原有两个观景台和，为了方便游客观赏，现计划在湖边新建一个观景台（点、、在同一直线上），连接、、，测得，，，，求观景台与观景台之间的距离．（露营区和观景台的大小均忽略不计）    【答案】观景台与观景台之间的距离为 【分析】先根据勾股定理的逆定理证明，再用勾股定理解即可． 【详解】解：在中，，，， ， ，                             ， ∴在中，由勾股定理，得． 答：观景台与观景台之间的距离为． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $