专题1.3 勾股定理的应用（举一反三讲义）数学新教材北师大版八年级上册

本讲义聚焦勾股定理的应用这一核心知识点，系统梳理从立体图形表面最短路径、台阶铺设地毯长度到旗杆高度测量、航海方位计算等11类实际问题，构建从定理理解到实际问题解决的完整学习支架。 该资料以生活实例为载体，如圆柱缠绕装饰带、台阶蚂蚁爬行等，通过例题与变式题设计，培养学生用数学眼光观察现实世界、用数学思维推理解决问题的能力。课中辅助教师分层教学，课后助力学生通过练习巩固知识，弥补应用短板。

专题1.3 勾股定理的应用（举一反三讲义） 【新教材北师大版】 题型归纳 【题型1 圆柱、长方体表面最短路径】 1 【题型2 台阶上铺设地毯最短长度】 5 【题型4 旗杆高度问题】 12 【题型5 水杯中筷子问题】 16 【题型6 小鸟飞行距离问题】 19 【题型7 大树折断前高度问题】 22 【题型8 航海方位与距离问题】 26 【题型9 判断是否受台风影响】 29 【题型10 判断汽车是否超速】 34 【题型11 选址使到两地距离之和最短】 38 考点1 立体图形表面最短路径 【题型1 圆柱、长方体表面最短路径】 【例1-1】（25-26八年级上·河南郑州·期末）如图是由6个棱长为的小正方体所搭建的几何体，一只电子蚂蚁从点A出发，沿几何体的表面爬到点B，最短的距离为______． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，将立体图形转化为平面图形是解题的关键；根据两点之间线段最短，将组合体图形转化为平面图形，进而勾股定理求解即可． 【详解】解：∵6个棱长为的小正方体所搭建的几何体， ∴这个几何体的长是，宽是，高是， ①经过前面和右边 ②经过上面和右边 ③经过前面和下边 ∵ 故答案为：. 【例1-2】（25-26八年级上·广东佛山·期末）如图，某景区有一圆柱形景观柱，底面周长为，高为，为了营造气氛，景区准备在景观柱上缠绕不同颜色的装饰带．其中一条红色装饰带从景观柱底点A处沿景观柱侧面缠绕到顶部B处，这条装饰带的长度至少需要___________m． 【答案】5 【分析】本题考查了圆柱的侧面展开图与勾股定理的综合应用．解题的关键是将圆柱侧面展开为长方形，把曲面最短路径问题转化为平面内的线段最短问题．将圆柱侧面沿高展开成长方形，以底面周长和圆柱高为直角边构造直角三角形，利用勾股定理计算斜边长度，即为装饰带的最短长度． 【详解】解：将圆柱侧面沿高展开，得到一个长为底面周长、宽为圆柱高的长方形． 装饰带的最短长度为底面周长的一半即长为、宽为圆柱高的长方形的对角线长度，可由勾股定理计算： 装饰带最短距离为， 故答案为：5． 【变式1-1】（25-26八年级上·江西景德镇·期末）如图，在一个长为，宽为的长方形草地上放着一根长方体木块，已知该木块的较长边和场地宽平行，横截面是边长为的正方形，一只蚂蚁从点处爬过木块到达点处需要走的最短路程是多少？ 【答案】米 【分析】本题考查平面展开图—最短路径问题、勾股定理等知识点，灵活运用所学知识解决实际问题是解题的关键． 先画出展开图，再运用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图：由题意可知，将木块展开，相当于是个正方形的宽， 长为米；宽为4米． ∴最短路径为：（米）． 【变式1-2】（25-26八年级下·吉林松原·期中）2026年2月，谷爱凌再度为国争光，成为冬奥历史上首位卫冕女子型池场地金牌的运动员，如图，该型池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行的部分的截面是半径为的半圆，其边缘，点在上，．从点滑到点，滑行的最短路程是______m．（边缘部分的厚度忽略不计，取3） 【答案】20 【分析】将半圆面展开成矩形，连接．则是最短距离，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：将半圆面展开如图所示，连接． 根据题意，得，． ， 在中，由勾股定理，得 ， 从点滑到点，滑行的最短路程是． 【变式1-3】（24-25八年级上·江苏无锡·期末）现有一个长、宽、高分别为5dm、4dm、3dm的无盖长方体木箱(如图,AB=5dm,BC=4dm,AE=3dm)． (1) 求线段BG的长； (2) 现在箱外的点A处有一只蜘蛛，箱内的点C处有一只小虫正在午睡，保持不动．请你为蜘蛛设计一种捕虫方案，使得蜘蛛能以最短的路程捕捉到小虫．(木板的厚度忽略不计) 【答案】（1）BG＝5 dm；（2）答案见解析过程． 【分析】（1）直接根据勾股定理可得出BG的长； （2）将正方体展开，联想到“两点之间，线段最短”性质，通过对称、考查特殊点等方法，化曲为直． 【详解】解：（1）如图，连接BG． 在直角△BCG中，由勾股定理得到：BG＝＝＝5（dm）， 即线段BG的长度为5dm； （2）①把ADEH展开，如图此时总路程为＝ ②把ABEF展开，如图 此时的总路程为＝＝ ③如图所示，把BCFGF展开， 此时的总路程为＝ 由于＜，所以第三种方案路程更短，最短路程为． 【题型2 台阶上铺设地毯最短长度】 【例2】（25-26八年级上·宁夏银川·期中）如图，是一个三级台阶，它的每一级长、宽、高分别是和，A、B是这个台阶上两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想去B点吃可口的食物，则蚂蚁沿台阶爬行到B点的最短距离是_______． 【答案】 【分析】本题考查平面展开—最短距离问题，勾股定理的应用，利用勾股定理计算是解题的关键 根据两点之间线段最短得到蚂蚁所走的最短路线长度，把立体几何中的问题转化为平面几何中的问题即可． 【详解】解：展开图为： 则，， 在中，， 蚂蚁沿台阶爬行到点的最短距离是． 故答案为：． 【变式2-1】（24-25八年级上·河南郑州·期末）如图，蚂蚁想要从两级台阶的左上角M处爬到右下角N处，它只能沿着台阶的表面爬行，已知每级台阶的长、宽、高分别是16分米，4分米，2分米，则蚂蚁从M处爬到N处的最短路程是（ ） A．分米 B．分米 C．16分米 D．20分米 【答案】D 【分析】根据题意画出台阶的侧面展开图，根据勾股定理求出的长即可得出结论． 本题考查的是平面展开-最短路径问题，根据题意画出台阶的表面展开图，利用勾股定理求解是解答此题的关键． 【详解】解：如图所示 （分米） 答：它沿着台阶面从点M爬到点N的最短路程是20分米．． 故选：D 【变式2-2】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，一只蚂蚁从处出发沿台阶爬行到达处，已知每级台阶的宽度和高度分别是和，台阶长度，则蚂蚁爬行的最短路程为________． 【答案】275 【分析】本题考查求最短路径问题—勾股定理，用到台阶的平面展开图，只要根据题意判断出长方形的长和宽即可解答． 先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答． 【详解】解：如图所示， 每级台阶的宽度和高度分别是和， 台阶平面展开图为长方形，长，宽， 蚂蚁从A点沿台阶面爬行到点最短路程是此长方形的对角线长． 由勾股定理得：， 故答案为：275． 【变式2-3】如图有一个四级台阶，它的每一级的长、宽分别为18分米、4分米． (1)如果给台阶表面8个矩形区域铺上定制红毯，需要定制红毯的面积为432平方分米，那么每一级台阶的高为多少分米？ (2)A和C是这个台阶上两个相对的端点，台阶角落点A处有一只蚂蚁，想到台阶顶端点C处去吃美味的食物，则蚂蚁沿着台阶面从点A爬行到点C的最短路程为多少分米？ 【答案】(1)每一级台阶的高为2分米． (2)蚂蚁沿着台阶面从点A爬行到点C的最短路程为30分米． 【分析】（1）设每一级台阶的高为x分米，根据题意列方程即可得到结论； （2）先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答． 【详解】（1）解：设每一级台阶的高为x分米， 根据题意得，18×（4＋x）×4＝432， 解得x＝2， 答：每一级台阶的高为2分米； （2）四级台阶平面展开图为长方形，长为18分米，宽为（2＋4）×4＝24分米， 则蚂蚁沿台阶面从点A爬行到C点最短路程是此长方形的对角线长． 由勾股定理得：AC＝（分米）， 答：蚂蚁沿着台阶面从点A爬行到点C的最短路程为30分米． 【点睛】本题考查了平面展开−最短路径问题，用到台阶的平面展开图，只要根据题意判断出长方形的长和宽即可解答． 【题型3 梯子滑动问题】考点2 经典实际应用模型 【例3】（25-26八年级上·四川成都·期中）消防车上的云梯示意图如图1所示，云梯最多只能伸长到25米，消防车高4米，如图2，某栋楼发生火灾，在这栋楼的B处有一老人需要救援，救人时消防车上的云梯伸长至最长，此时消防车的位置A与楼房的距离为15米，完成B处的救援后，消防员发现在B处的上方4米的D处有一小孩没有及时撤离，为了能成功地救出小孩，消防车从A处向着火的楼房靠近移动到C，请问______米． 【答案】8 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，熟记勾股定理是解题的关键．在△中，根据勾股定理求出的长，在△中，由勾股定理求出的长，利用即可得出结论． 【详解】解：在△中， 米，米， （米， 米，米， （米， （米， （米． 故答案为：8． 【变式3-1】（24-25八年级上·四川乐山·期末）如图，一根长5米的竹竿斜靠在竖直的墙上，这时为4米，若竹竿的顶端沿墙下滑2米至处，则竹竿底端外移的距离（   ） A．小于2米 B．等于2米 C．大于2米 D．无法判断 【答案】A 【分析】先根据勾股定理分别求出和的长度，进而表示出长度，利用无理数的估算方法即可估算出大小. 【详解】解： 斜靠在竖直的墙上，，， 在中，. 竹竿的顶端沿墙下滑2米至处， ，， 在中，. . ， . . 的长度小于2米. 故答案为：A. 【点睛】本题考查了勾股定理，无理数的估算方法，解题的关键在于理解题意，清楚知道，熟练掌握无理数的估算方法. 【变式3-2】（24-25八年级上·广东茂名·期中）某数学兴趣小组开展了笔记本电脑的张角大小的实践探究活动．如图，当张角为时，顶部边缘D处离桌面的高度为，此时底部边缘A处与E处间的距离为，小组成员调整张角的大小继续探究，最后发现当张角为时（D是B的对应点），顶部边缘B处到桌面的距离为，则底部边缘A处与C之间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解此题的关键． 先由勾股定理可得，再由勾股定理计算即可得解， 【详解】解：根据题意得 在中，，， ， ∴， 在中，，， ， ∴， ∴底部边缘A处与C之间的距离的长为． 故选：D． 【变式3-3】（25-26八年级上·广东茂名·期末）综合与实践 【背景】消防云梯的作用主要是用于高层建筑火灾救援任务，大幅提高消防救援效率，缩短救援时间．已知云梯最多伸长到，消防车高，救援时云梯伸到最长． 【任务】在演练中消防员接到命令，必须在，处两个求救点救援． 【现场勘察】勘察，离地面O的高度分别为，． 【解决问题】 (1)消防车接到命令快速赶到现场，此时云梯顶端刚好在处，求消防车云梯底部处距离着火楼距离是多少？ (2)消防车继续向着火楼靠近救援，靠近的距离为多少米时，才能使云梯顶端刚好到达处，完成救援任务？ 【答案】(1)消防车距离着火楼距离是15米 (2)消防车靠近的为8米才能完成处救援任务 【分析】本题考查勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键． （1）延长交于点，则，．在中根据勾股定理求出即可； （2）在中根据勾股定理求出，在根据即可解答． 【详解】（1）解：延长交于点，则，． ∵， ∴在中，， 即此时消防车距离着火楼距离是15米． （2）解：∵，， ∴在中，， ∴， 即消防车靠近的为8米时才能完成处救援任务． 【题型4 旗杆高度问题】 【例4】（25-26八年级上·四川成都·期末）如图，我校数学兴趣小组要测量旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端A的绳子垂到地面多出一段的长度为1米，小明同学将绳子拉直，绳子末端落在点C处，到旗杆底部B的距离为3米． (1)求旗杆的高度； (2)小明在C处，用手拉住绳子的末端，后退至观赛台的1米高的台阶上，此时绳子刚好拉直，绳子末端落在点E处，问小明需要后退几米（即的长）？ 【答案】(1)4米； (2)小明需要后退1米． 【分析】本题考查了勾股定理的应用以及矩形的判定与性质等知识，熟练掌握勾股定理，添加适当的辅助线构造直角三角形是解此题的关键． （1）设旗杆的高度为x米，则米，然后在中，由勾股定理列出方程，解方程即可； （2）过E作于点M，证明四边形为矩形，得出米，，再由勾股定理得米，即可解决问题． 【详解】（1）解：设旗杆的高度为x米，则米， 在中，，米， 由勾股定理得：， 即， 解得：， 答：旗杆的高度为4米； （2）解：如图，过E作于点M， 则， ∴四边形为矩形， ∴， ∵米， ∴（米），（米）， 在中，， 由勾股定理得：（米）， ∴米， ∴（米）， 答：小明需要后退1米． 【变式4-1】（25-26八年级上·上海松江·期末）某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间测量校园内旗杆的高度．第一次操作：如图①，将系在旗杆顶端的绳子自然下垂到地面，绳子多出的一段在地面拉直后记作，用皮尺量出的长度为．第二次操作：如图②，将绳子拉直，绳子末端落在地面上的点F处，用皮尺量出的长度为．则旗杆的高度为______m． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键，由①得，绳子的长度比旗杆的高度多，设旗杆的高度为，则绳子的长度为，在中，由勾股定理得，列出方程，并解方程即可得到答案． 【详解】解：由①得，绳子的长度比旗杆的高度多， 设旗杆的高度为，则绳子的长度为， 在中，，， 由勾股定理得：，则， 整理得：， 解得：， ∴旗杆的高度为， 故答案为：． 【变式4-2】（25-26八年级上·福建泉州·期末）某班数学兴趣小组到平坦的操场上测量旗杆的高度，信息如下： ①已知绳子一端系在旗杆顶端A处，甲同学拉直绳子退至离旗杆3.5米的E点处，此时手上的绳子还剩0.5米； ②甲同学继续往后退1.5米到达G点．此时手上的绳子刚好用完； ③甲同学拉绳子的手到地面的距离都是1.6米；则旗杆的高度为______米． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理的相关知识并在直角三角形中正确运用是解题的关键． 连接并延长交于，在中和中，分别使用勾股定理得，，再即可求得，代入可得即可求解． 【详解】解：连接并延长交于， ，， 则， 在中，， 即， 在中，， 即， 由得：， 解得， 代入得：， ， ， （米）． 故答案为：． 【变式4-3】（25-26八年级上·河南平顶山·期末）如图，数学兴趣小组要测量旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端A的绳子垂到地面多出一段的长度为8米，小明同学将绳子拉直，绳子末端落在点C处，到旗杆底部B的距离为16米． (1)求旗杆的高度； (2)小明在C处，用手拉住绳子的末端，后退至观赛台的2米高的台阶上，此时绳子刚好拉直，绳子末端落在点E处，问小明需要后退几米（即的长）？（，结果保留1位小数） 【答案】(1)旗杆的高度为12米 (2)小明需要后退约米 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，熟知勾股定理是解题的关键． （1）设旗杆的高度为x米，则米，由勾股定理可得，解方程即可得到答案； （2）过E作于点G，可证明，，米，，利用勾股定理求出的长，进而求出的长即可得到答案． 【详解】（1）解：设旗杆的高度为x米，则米， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， 答：旗杆的高度为12米； （2）解：如图，过E作于点G， 由题意得，， ∴， 又∵， ∴， 米，， （米）， 由（1）可知，（米）， 在中，由勾股定理得（米）， 米， 米米， 答：小明需要后退约米． 【题型5 水杯中筷子问题】 【例5】（25-26八年级上·河南郑州·期末）《九章算术》中记载：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何．大意是：如图，有一个水池，水面是一个边长为1丈（1丈尺）的正方形．在水池正中央O处有一根芦苇，它高出水面的部分为1尺．如果把这根芦苇垂直拉向岸边，那么它的顶端恰好到达岸边的水面，即． (1)求水池的深度． (2)数学家刘徽在为《九章算术》作注解时，给出了这类问题的一般解法．其解法可表示为：如图，将水池底面边长记作2a，O为的中点，水的深度记作b，芦苇高出水面的部分记作，则水池的深度b可通过计算得到．请说明此解法的正确性． 【答案】(1)12尺 (2) 【分析】本题考查了勾股定理的应用； （1）设水池深度为x尺，则得芦苇高度为尺，在中，利用勾股定理建立方程即可求解； （2）由水池深度，则得芦苇高度为，由题意有：；由勾股定理即可得证． 【详解】（1）设为x尺， 则，尺． 在中，， 由勾股定理，得 ． ． 解得  ． 答：水池的深度为12尺． （2）图中，，， 则，， 在中，， 由勾股定理，得． ． 解得． 【变式5-1】（25-26八年级上·四川宜宾·期末）有一个内壁底面长为厘米，宽为厘米，高为厘米的长方体水槽中装满水，将一根长厘米的笔直木条放入水槽，则木条（厚度不计）露出水面的最短长度为（    ）． A．厘米 B．厘米 C．厘米 D．厘米 【答案】D 【分析】本题考查长方体的概念和勾股定理的应用，需熟练运用勾股定理计算长方体的体对角线长度是关键． 要使木条露出水面长度最短，需让木条浸入水中的长度最长，浸入水中的最长长度为长方体水槽的体对角线长度，利用勾股定理逐步计算体对角线，再用木条总长减去该长度即可得结果． 【详解】解：∵长方体水槽底面长厘米，宽厘米， ∴底面矩形的对角线长为（厘米）， 又∵水槽高为厘米，底面对角线与水槽高及水槽体对角线构成直角三角形， ∴水槽的体对角线长为（厘米）， ∵木条长厘米， ∴露出水面的最短长度为（厘米）． 故选：D． 【变式5-2】（24-25八年级上·全国·单元测试）如图，是一种筷子的收纳盒，长、宽、高分别为4，3 ，12 ，现有一长为16的筷子插入到盒的底部，则筷子露在盒外的部分h()的取值范围（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理的实际运用，解题的关键在于根据立体图形得到筷子露在盒外的部分h（）最短和最长的情况．根据图形得到筷子露在盒外的部分h（）最长的取值，再结合勾股定理得到筷子露在盒外的部分h（）最短的取值，即可解题． 【详解】解：由图知，筷子露在盒外的部分h（）最长为：（）， （）， 当筷子斜插于盒内时，即筷子露在盒外的部分h（）最短为： （）， 筷子露在盒外的部分h()的取值范围为， 故选：B． 【变式5-3】（25-26八年级上·江西吉安·阶段检测）如图是一个饮料罐，下底面直径是，上底面半径是，高是，上底面盖子的中心有一个小圆孔．若一条到达底部长的直吸管如图放置，则在罐外部分的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理，作于点，则，依题意得，，在中，，然后通过线段的和与差即可求解，掌握勾股定理的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，作于点，则， 依题意得，，， 在中，， ∴在罐外部分的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）是， 故答案为：． 【题型6 小鸟飞行距离问题】 【例6】如图，在校园内有两棵树相距12米，一棵树高14米，另一棵树高9米，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞______米．    【答案】13 【分析】根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的顶端进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出． 【详解】如图所示，    AB，CD为树，且AB＝14米，CD＝9米，BD为两树距离12米， 过C作CE⊥AB于E， 则CE＝BD＝12，AE＝AB−CD＝5， 在直角三角形AEC中， AC＝＝＝13． 答：小鸟至少要飞13米． 故答案为：13． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，关键是从实际问题中构建出数学模型，转化为数学知识，然后利用直角三角形的性质解题． 【变式6-1】两只小鼹鼠在地下从同一处开始打洞，一只朝北面挖，每分钟挖8cm，另一只朝东面挖，每分钟挖6cm，10分钟之后两只小鼹鼠相距（ ） A．100cm B．50cm C．140cm D．80cm 【答案】A 【详解】解：两只鼹鼠10分钟所走的路程分别为80cm，60cm，   ∵正北方向和正东方向构成直角， ∴由勾股定理得 =100， ∴其距离为100cm， 故选A． 【变式6-2】某医院入口的正上方A处装有红外线激光测温仪（如图所示），测温仪离地面的距离米，当（身高）人体进入感应范围内时（即米），测温仪自动显示体温，则人头顶离测温仪的距离的长为 ________米． 【答案】2 【分析】本题考查了勾股定理的应用，作出辅助线、构造直角三角形、利用勾股定理求得线段的长度是解题的关键． 如图：过点D作于点E，构造，再利用勾股定理求得的长度即可． 【详解】解：如图：过点D作于点E，则米， ∵米， ∴（米）， 在中，由勾股定理得到：（米）， 故答案为：2． 【变式6-3】如图，一只小鸟旋停在空中点，点到地面的高度米，点到地面点（，两点处于同一水平面）的距离米． (1)求出的长度； (2)若小鸟竖直下降到达点（点在线段上），此时小鸟到地面点的距离与下降的距离相同，求小鸟下降的距离． 【答案】(1)米 (2)小鸟下降的距离为米 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，熟练的掌握勾股定理是解题的关键． （1）在直角三角形中运用勾股定理即可解答； （2）在中，根据勾股定理即可解答． 【详解】（1）由题意知， ∵米，米． 在中 米， （2）设， 到达D点（D点在线段上），此时小鸟到地面C点的距离与下降的距离相同， 则，， 在中，， ， 解得， 小鸟下降的距离为米． 【题型7 大树折断前高度问题】 【例7】（25-26八年级下·四川德阳·期中）如图，一根直立的旗杆高，因刮大风旗杆从点处折断，顶部着地且离旗杆底部处． (1)求旗杆从距地面多高处折断； (2)工人在修复旗杆的过程中，发现在折断点的下方的点处，有一明显裂痕，若下次大风将旗杆从点处吹断，则距离旗杆底部周围多大范围内有被砸伤的危险？ 【答案】(1) (2)周围范围内有被砸伤的风险 【分析】（1）利用勾股定理建立方程即可； （2）先画出图形，再求解，再利用勾股定理可得答案． 【详解】（1）解：由题意知， ， 在中，， ， ， ，， 故旗杆在距地面处折断． （2）解：如图，点距地面， ， ， 在中，， 距离旗杆底部周围范围内有被砸伤的风险． 【变式7-1】（24-25八年级下·广东广州·期中）《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部尺远，问折断处离地面的高度是（   ） A．尺 B．尺 C．尺 D．尺 【答案】B 【分析】此题考查了勾股定理的应用，竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面尺，则斜边为尺，利用勾股定理解题即可，解题的关键是利用题目信息构造直角三角形，从而运用勾股定理解题． 【详解】解：设竹子折断处离地面尺，则斜边为尺， 根据勾股定理得：， 解得：， ∴折断处离地面的高度是尺， 故选：． 【变式7-2】（24-25七年级下·四川成都·期末）如图，高度为米的平台上有一根长为米的木杆垂直于台面，在一降大风后，木杆从点处折断，依然垂直于，木杆顶端落在地面的点处，已知，米，米，则木杆依然直立的部分的长为______． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，勾股定理，延长交延长线于点，证明四边形是矩形，则，，故有，设，则，，由勾股定理得：，即，然后求出的值即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，延长交延长线于点， ∵，， ∴， 由， 则有， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， 设，则，， 由勾股定理得：， ∴，解得：， ∴， 故答案为：． 【变式7-3】（25-26八年级上·广东佛山·期中）如图，超强台风“桦加沙”登陆时把一棵垂直于地面且高度为的大树被大风吹折，折断处与地面的距离，树尖恰好碰到地面．在大树倒下的方向上的点处停着一辆小轿车，，树枝落地时是否会砸着小轿车并说明理由． 【答案】树枝落地时会砸着小轿车；理由见解析 【分析】本题考查勾股定理，大树折断后，剩余部分的树干、折断的树干部分和地面之间构成了一个直角三角形，利用勾股定理计算出落地后树尖与树干的距离为，比较和的大小，可知大树砸不到小车． 【详解】解：树枝落地时不会砸着小轿车；理由如下： 由题意可知，， ∴为直角三角形， 在中，， 由勾股定理得：， ∵，， ∴树枝落地时会砸着小轿车． 考点3 其他常见实际问题 【题型8 航海方位与距离问题】 【例8】（25-26八年级下·内蒙古巴彦淖尔·期中）海上巡逻是维护国家海洋权益的有效手段．近日，美国、日本、菲律宾等国在南海地区联合军演，如图，我军巡逻舰队在点处巡逻，突然发现在南偏东方向距离15海里的点处有可疑目标正在以16海里/小时的速度沿南偏西方向行驶，向我领海区域行驶，我军巡逻舰队立即沿直线追赶，半小时后在点处将其追上，并进行驱赶，则我军巡逻舰队的航行速度为多少海里/小时？ 【答案】34海里/小时 【分析】先根据平行线的性质求得，并推得，再根据勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，根据题意，得，，， 因为， 所以， 所以， 因为， 故， 故我军巡逻舰队的航行速度为（海里/小时）； 【变式8-1】（25-26八年级下·甘肃金昌·期中）如图，甲、乙两船从港口同时出发，甲船以海里/时的速度沿北偏东方向航行，乙船沿南偏东方向航行，小时后，甲船到达岛，乙船到达岛．若、两岛相距海里，则乙船的航速是（   ） A．海里/时 B．海里/时 C．海里/时 D．海里/时 【答案】B 【分析】由题意可知，，海里，海里，利用勾股定理计算出，进而求出乙船的航速． 【详解】解：由题意可知，，（海里），海里， 在中，（海里）， ∴乙船的航速为（海里/时）． 【变式8-2】如图甲、乙两艘船同时从港口 A 出发，甲船沿北偏东45°的方向前进，乙船沿北偏东75°方向以每小时30海里的速度前进，两船航行两小时分别到达B，C处，此时测得甲船在乙船的正西方向，则此时甲、乙两船之间的距离是________________海里． 【答案】 【分析】如图（见解析），过点C作CD⊥AB，交AB延长线于点D，先根据方位角的定义得出∠BAC=30°，∠CBD=45°，再CD=AC=30，最后根据勾股定理求出BC． 【详解】 解：如图，过点C作CD⊥AB，交AB延长线于点D， ∴∠CDB=90°， ∵甲船沿北偏东45°的方向前进， ∴∠NAB=45， ∵乙船沿北偏东75°的方向前进， ∴∠NAC=75， ∴∠BAC=75°-45°=30° ∵B在C的正西方向， ∴∠ACB=90°-75°=15°， ∴∠CBD=∠BAC+∠ACB=45°， ∵AC=2×30=60， ∴CD=AC=30， ∴BC=． 【点睛】本题考查了方位角的定义、三角形的外角性质、直角三角形的勾股定理等知识点，理解题意，通过作辅助线，构造直角三角形是解题关键． 【变式8-3】（25-26八年级下·甘肃张掖·期中）如图，某海监局P位于东西方向的海岸线上，“前行”号与“远方”号轮船同时从海监局P出发，“前行”号以每小时16海里的速度沿南偏西方向航行，“远方”号以每小时12海里的速度沿固定方向航行，航行半小时后分别位于Q，R处，且相距10海里． (1)求“远方”号的航行方向； (2)若“前行”号继续沿原方向航行7海里到达点M，“远方”号继续沿原方向航行2海里到达点G，则此时“前行”号与“远方”号的距离是多少海里？ 【答案】(1)南偏东方向 (2)17海里 【分析】本题考查勾股定理，勾股定理的逆定理，能够熟练运用勾股定理是解题的关键． （1）根据题意可以计算出的边长，再利用勾股定理的逆定理即可求解； （2）利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：由题知，，，，， ∴，， ∴， ∴是直角三角形，且, ∴， 则“远方”号沿南偏东方向航行； （2）解：由题意，得，， 在中，， ∴， ∴此时“前行”号与“远方”号的距离是17海里． 【题型9 判断是否受台风影响】 【例9】（25-26八年级下·安徽芜湖·期中）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，某台风中心沿直线从左向右移动，已知点为某海港，点与直线上，两点的距离分别为和，且，以台风中心为圆心，周围以内为受影响区域． (1)求证：； (2)当地气象部门在通知中说海港会受到台风影响，请用所学数学知识说明缘由； (3)若台风的速度为，则台风持续影响该海港的时间有多长？ 【答案】(1)见解析 (2)海港C会受到台风影响，理由见解析 (3)台风持续影响该海港 【分析】（1）利用勾股定理的逆定理得出是直角三角形； （2）利用三角形面积得出的长，进而得出海港C是否受台风影响； （3）利用勾股定理得出以及的长，进而得出台风影响该海港持续的时间． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴为直角三角形， ∴； （2）解：海港C会受到台风影响，理由如下： 如图所示，过点C作于D点， ∴， ∴， ∴， ∵以台风中心为圆心周围以内为受影响区域， ∴海港C会受到台风影响； （3）解：由（2）得， 如图所示，当时，即台风经过段时，正好影响到海港C，此时为等腰三角形， ， ∴， ∵台风的速度为， ∴， ∴台风影响该海港持续的时间有． 【变式9-1】（24-25九年级上·山东威海·期末）如图所示，公路和铁路在点O处交汇，，公路上E处距离O点．若火车行驶时，周围内会受到噪音的影响，则火车在铁路上沿由C到D的方向以的速度行驶时，E处受噪音影响的时间为（   ）秒． A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】B 【分析】本题考查等腰直角三角形的性质，解直角三角形及勾股定理．如图，过点作于，点、在上，且，利用三角函数的定义求出，利用勾股定理求出、的长，即可得出的长，根据时间=距离÷速度即可得答案． 【详解】解：如图，过点作于，点、在上，且， 由题意可知：，， ∴， ∵火车行驶时，周围以内会受到噪音的影响， ∴当火车行驶在、之间时，会受到噪音的影响， ∴， 同理可得：， ∴， ∵火车在铁路上沿由C到D的方向以的速度行驶，， ∴点处受噪音影响的时间为． 故选：B． 【变式9-2】如图，一艘船以40km/h的速度沿既定航线由西向东航行，途中接到台风警报，某台风中心正以20km/h的速度由南向北移动，距台风中心200km的圆形区域(包括边界)都属台风影响区，当这艘轮船接到台风警报时，它与台风中心的距离BC=500km，此时台风中心与轮船既定航线的最近距离BA=300km，如果这艘轮船会受到台风影响，那么从接到警报开始，经过(    )小时它就会进入台风影响区    A．10 B．7 C．6 D．12 【答案】B 【分析】首先根据题意结合题目条件画出图形，进而利用勾股定理得出等式计算即可． 【详解】解：由题意，作图如下：    设x小时后，就进入台风影响区，根据题意得出： CE=40x千米，BB′=20x千米， ∵BC=500km，AB=300km， ∴AC=400km， ∴AE=400-40x，AB′=300-20x， ∴AE2+AB′2=EB′2， 即（400-40x）2+（300-20x）2=2002， 解得：x1=，x2=（不符合题意，舍去）． 故答案为：B． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用以及勾股定理等知识，根据题意得出关于x的等式是解题关键． 【变式9-3】（25-26八年级上·海南儋州·期末）海南台风影响时间跨度大，核心台风季节集中在月，9月更是台风登陆数量最多、强度最强的月份．如图，某沿海城市A接到台风预警，在该市正南方向340的B处有一台风中心，沿方向以20的速度移动，已知城市A到的距离为160． (1)台风中心经过多长时间从B点移到D点? (2)如果在距台风中心200的圆形区域内都将受到台风的影响，那么A市受到台风影响的时间持续多少小时? 【答案】(1)15小时 (2)12小时 【分析】本题考查勾股定理的应用和数形结合，掌握勾股定理是解题的关键． （1）根据题意，利用勾股定理，求出，计算即可求解； （2）根据题意找到受台风影响的临界点，，在利用勾股定理求出、和的长，计算即可求解． 【详解】（1）解：由题可得， ， ， 在中，（）， （h）， 则台风中心经过小时从B点移到D点； （2）如图，设台风中心在E、F两点时，A市受影响， 由题意得， ， 在中，（）， 在中，（）， （）， （h） 则A市受到台风影响的时间持续12小时． 【题型10 判断汽车是否超速】 【例10】（25-26八年级下·北京·期中）如图，某中学门口有一条东西方向的公路，在中学门口有两条长度均为米的通道，通往公路旁的两个公交站，，且的距离是米．为了行车安全，在公路旁的点和点设置区间测速装置，其中点在点的东侧，且，公路限速千米/小时（约米/秒）．一辆汽车经过区间用时秒，试判断该车是否超速，并说明理由．（参考数据，，） 【答案】该车没有超速．理由见解析 【分析】过点作交于点，根据三线合一可求出的长，然后在中，利用勾股定理可求出的长，再在中，根据含角直角三角形的性质结合勾股定理可求得的长，从而可得的长，然后计算出速度判断即可． 【详解】解：该车没有超速．理由如下： 如图，过点作交于点， 由题意可得，米，米， 米， 在中，（米）， 在中，， （米）， （米）， 米， 汽车经过区间用时秒， 该车的速度为（米/秒）， ， 该车没有超速． 【变式10-1】《中华人民共和国道路交通管理条例》规定，小汽车在城市街道上的行驶速度不得超过70km/h.如图所示，一辆小汽车在一条城市街道沿直道向处行驶.某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪正前方30m处的点，过了2s后，测得小汽车与车速检测仪之间的距离为50m，这辆小汽车________.（填“超速”或“不超速”） 【答案】超速 【分析】根据题意得出由勾股定理得出BC的长，进而得出小汽车1小时行驶速度，进而得出答案． 【详解】在中，，所以. 因此，小汽车的速度为.，故这辆小汽车超速. 【点睛】本题考查勾股定理的应用，在直角三角形中吗，已知两边求第三边可直接运用勾股定理，在本题中另外一个难点是单位的换算，. 【变式10-2】（24-25八年级上·河南郑州·阶段检测）《中华人民共和国道路交通安全法》规定：小汽车在高速道路上行驶速度不得超过高速路边也会安装车速检测仪对过往车辆进行限速检测，如图所示，点装有一车速检测仪，它到公路边的距离米，小汽车行驶过检测仪监控区域，到达点时开始计时，离开点时停止计时，依此计算车速，已知米． (1)若一辆汽车以时速匀速通过监控区域，共用时几秒 (2)若另一辆车通过监控区域共用时秒，该车是否超速请说明理由． 【答案】(1) (2)超速，理由见解析 【分析】本题考查勾股定理的应用： （1）勾股定理求出的长，利用时间等于路程除以速度进行求解即可； （2）利用速度等于路程除以时间求出车速，进行判断即可． 【详解】（1）解：依题意可得，， ，为直角三角形， 米，米， 米， ， ； 答：共用时4秒； （2）超速，理由如下： ， ， 超速． 【变式10-3】校车安全是近几年社会关注的热点问题之一，安全隐患主要是超速和超载，某中学八年级数学活动小组进行了测试汽车速度的实验．如图所示，现在笔直的公路旁取一点，在公路上确定点，，使得，，再在上确定点，使得，测得米，已知本路段对校车限速是千米/时，若测得某校车从到匀速行驶用时秒．（参考数据：） (1)求点D到线段AB的距离（结果保留整数）； (2)利用（1）中的结果，请通过计算判断这辆车在本路段是否超速？ 【答案】(1)到线段的距离为米 (2)这辆车在本路段未超速 【分析】本题考查了直角三角形的性质，勾股定理的应用． （1）过作于E，根据直角三角形两锐角互余求得，根据直角三角形中，角所对的边是斜边的一半可得，根据直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方即可求得的值； （2）根据直角三角形两锐角互余求得，，推得平分，根据角平分线上的点到两边的距离相等可得，求得的值，根据直角三角形中，角所对的边是斜边的一半可得的值，根据直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方即可求得的值；即可判断是否超速． 【详解】（1）解：过作于E，如图： 则， ∵， ∴， 在中，， ∴（米）， 故到线段的距离为米． （2）解：∵，，， ∴，，， 则， 即平分， ∵，， ∴（米）， 则（米）， 在中，，， ∴（米）， 故（米）， 车速为（米/秒） 米/秒千米/时千米/时． 故这辆车在本路段未超速． 【题型11 选址使到两地距离之和最短】 【例11】（25-26八年级下·湖北咸宁·期中）如图1，在一条公路上有A，B两站相距，C，D为两个小镇，小镇C到公路的距离（的长）为，小镇D到公路的距离（的长）为． (1)求小镇C，D之间的距离； (2)如图2，现计划在A，B两站之间的公路上修建一个加油站E，使E到C，D两镇的距离相等，请通过计算说明加油站E应建在公路上距A站多远处？（结果取整数） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）作于点E，则四边形是矩形，在中，由勾股定理求出即可； （2）设，则，根据，由勾股定理得出，代入数据求解即可． 【详解】（1）解：如图1，作于点E， 依题意： ∴四边形是矩形 ∴ 在中， 由勾股定理得： 即小镇C，D之间的距离为． （2）解：如图2，设，则 由勾股定理得： ∵ ∴ 即： 解得： 即加油站E应建在距A站约处． 【变式11-1】（24-25八年级下·湖北武汉·期中）如图铁路上、两点相距千米，、为铁路两边的两个村庄，，，垂足分别为和，千米，千米，现在要在铁路旁修建一个候车点，使得、两村到该候车点的距离相等．则候车点应距点（   ）    A．12千米 B．16千米 C．20千米 D．24千米 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，正确理解题意得到是解题的关键． 设，则，利用勾股定理得到，则，解方程即可． 【详解】解：设，则， ，，，两村到候车点的距离相等， ， ， ， 解得：， 则候车点应距点． 故选：B． 【变式11-2】如图，商场（点M）距公路（直线l）的距离（MA）为3km，在公路上有一车站（点N），车站距商场（NM）为4km，公交公司拟在公路上建一个公交车站停靠站（点P），要求停靠站到商场与到车站的距离相等，则停靠站到车站的距离（NP）的长为_____． 【答案】km 【分析】首先在Rt△AMN中，求出AN，设PN=PM=x，在Rt△PAM中，利用勾股定理列出方程即可解决问题． 【详解】如图， 连接MP，在Rt△MAN中，MA=3，MN=4， 由勾股定理得， 设NP=xkm，则PM=xkm， ∴PA=（ -x）km， 在Rt△MAP中，由勾股定理得 ， 解得． 故答案为：km 【点睛】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是学会利用勾股定理构建方程解决问题． 【变式11-3】（25-26八年级上·广东深圳·期中）【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．千百年来，人们始终对它充满兴趣，不断探索其证明方法，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在1994年构造发现了一个新的证法． 【小试牛刀】（1）把两个全等的直角三角形如图1放置，，已知，，试证明． 【知识运用】（2）如图2所示，表示一条铁路，是两个城市，它们到铁路所在直线的垂直距离分别为千米，千米，且千米，现要在之间设一个中转站，求出应建在离点多少千米处，才能使它到两个城市的距离相等． 【知识迁移】（3）借助上面的思考过程，画图说明并求出代数式的最小值． 【答案】（1）见解析；（2）应建在离点千米处；（3）图见解析，最小值为20 【分析】本题主要考查了证明勾股定理，勾股定理的应用，轴对称——最短路线问题等，证明勾股定理常用的方法是利用面积证明，是解本题的关键．构造出直角三角形求代数式最小值是解本题的难点． （1）根据即可得出答案； （2）设 ，则，在和中，利用勾股定理分别表示出和的长，根据列出方程，求解即可； （3）根据轴对称——最短路线的求法，利用勾股定理即可求出． 【详解】小试牛刀： 证明：（1）， ， ， 且， ， 整理得：； 知识运用： 解：（2）设， ， ． 到两个城市的距离相等， ，即， 在Rt中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， ，， ， 解得：． 即应建在离点千米处； 知识迁移： 解：（3）如图，，为线段上一点，，作点关于的对称点，连接，交于点，过点作的延长线于点， 则，，， ，， 即， 就是代数式的最小值， 代数式的最小值为． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.3 勾股定理的应用（举一反三讲义） 【新教材北师大版】 题型归纳 【题型1 圆柱、长方体表面最短路径】 1 【题型2 台阶上铺设地毯最短长度】 2 【题型4 旗杆高度问题】 5 【题型5 水杯中筷子问题】 6 【题型6 小鸟飞行距离问题】 8 【题型7 大树折断前高度问题】 9 【题型8 航海方位与距离问题】 10 【题型9 判断是否受台风影响】 11 【题型10 判断汽车是否超速】 13 【题型11 选址使到两地距离之和最短】 14 【题型1 圆柱、长方体表面最短路径】考点1 立体图形表面最短路径 【例1-1】（25-26八年级上·河南郑州·期末）如图是由6个棱长为的小正方体所搭建的几何体，一只电子蚂蚁从点A出发，沿几何体的表面爬到点B，最短的距离为______． 【例1-2】（25-26八年级上·广东佛山·期末）如图，某景区有一圆柱形景观柱，底面周长为，高为，为了营造气氛，景区准备在景观柱上缠绕不同颜色的装饰带．其中一条红色装饰带从景观柱底点A处沿景观柱侧面缠绕到顶部B处，这条装饰带的长度至少需要___________m． 【变式1-1】（25-26八年级上·江西景德镇·期末）如图，在一个长为，宽为的长方形草地上放着一根长方体木块，已知该木块的较长边和场地宽平行，横截面是边长为的正方形，一只蚂蚁从点处爬过木块到达点处需要走的最短路程是多少？ 【变式1-2】（25-26八年级下·吉林松原·期中）2026年2月，谷爱凌再度为国争光，成为冬奥历史上首位卫冕女子型池场地金牌的运动员，如图，该型池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行的部分的截面是半径为的半圆，其边缘，点在上，．从点滑到点，滑行的最短路程是______m．（边缘部分的厚度忽略不计，取3） 【变式1-3】（24-25八年级上·江苏无锡·期末）现有一个长、宽、高分别为5dm、4dm、3dm的无盖长方体木箱(如图,AB=5dm,BC=4dm,AE=3dm)． (1) 求线段BG的长； (2) 现在箱外的点A处有一只蜘蛛，箱内的点C处有一只小虫正在午睡，保持不动．请你为蜘蛛设计一种捕虫方案，使得蜘蛛能以最短的路程捕捉到小虫．(木板的厚度忽略不计) 【题型2 台阶上铺设地毯最短长度】 【例2】（25-26八年级上·宁夏银川·期中）如图，是一个三级台阶，它的每一级长、宽、高分别是和，A、B是这个台阶上两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想去B点吃可口的食物，则蚂蚁沿台阶爬行到B点的最短距离是_______． 【变式2-1】（24-25八年级上·河南郑州·期末）如图，蚂蚁想要从两级台阶的左上角M处爬到右下角N处，它只能沿着台阶的表面爬行，已知每级台阶的长、宽、高分别是16分米，4分米，2分米，则蚂蚁从M处爬到N处的最短路程是（ ） A．分米 B．分米 C．16分米 D．20分米 【变式2-2】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，一只蚂蚁从处出发沿台阶爬行到达处，已知每级台阶的宽度和高度分别是和，台阶长度，则蚂蚁爬行的最短路程为________． 【变式2-3】如图有一个四级台阶，它的每一级的长、宽分别为18分米、4分米． (1)如果给台阶表面8个矩形区域铺上定制红毯，需要定制红毯的面积为432平方分米，那么每一级台阶的高为多少分米？ (2)A和C是这个台阶上两个相对的端点，台阶角落点A处有一只蚂蚁，想到台阶顶端点C处去吃美味的食物，则蚂蚁沿着台阶面从点A爬行到点C的最短路程为多少分米？ 【题型3 梯子滑动问题】考点2 经典实际应用模型 【例3】（25-26八年级上·四川成都·期中）消防车上的云梯示意图如图1所示，云梯最多只能伸长到25米，消防车高4米，如图2，某栋楼发生火灾，在这栋楼的B处有一老人需要救援，救人时消防车上的云梯伸长至最长，此时消防车的位置A与楼房的距离为15米，完成B处的救援后，消防员发现在B处的上方4米的D处有一小孩没有及时撤离，为了能成功地救出小孩，消防车从A处向着火的楼房靠近移动到C，请问______米． 【变式3-1】（24-25八年级上·四川乐山·期末）如图，一根长5米的竹竿斜靠在竖直的墙上，这时为4米，若竹竿的顶端沿墙下滑2米至处，则竹竿底端外移的距离（   ） A．小于2米 B．等于2米 C．大于2米 D．无法判断 【变式3-2】（24-25八年级上·广东茂名·期中）某数学兴趣小组开展了笔记本电脑的张角大小的实践探究活动．如图，当张角为时，顶部边缘D处离桌面的高度为，此时底部边缘A处与E处间的距离为，小组成员调整张角的大小继续探究，最后发现当张角为时（D是B的对应点），顶部边缘B处到桌面的距离为，则底部边缘A处与C之间的距离为（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（25-26八年级上·广东茂名·期末）综合与实践 【背景】消防云梯的作用主要是用于高层建筑火灾救援任务，大幅提高消防救援效率，缩短救援时间．已知云梯最多伸长到，消防车高，救援时云梯伸到最长． 【任务】在演练中消防员接到命令，必须在，处两个求救点救援． 【现场勘察】勘察，离地面O的高度分别为，． 【解决问题】 (1)消防车接到命令快速赶到现场，此时云梯顶端刚好在处，求消防车云梯底部处距离着火楼距离是多少？ (2)消防车继续向着火楼靠近救援，靠近的距离为多少米时，才能使云梯顶端刚好到达处，完成救援任务？ 【题型4 旗杆高度问题】 【例4】（25-26八年级上·四川成都·期末）如图，我校数学兴趣小组要测量旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端A的绳子垂到地面多出一段的长度为1米，小明同学将绳子拉直，绳子末端落在点C处，到旗杆底部B的距离为3米． (1)求旗杆的高度； (2)小明在C处，用手拉住绳子的末端，后退至观赛台的1米高的台阶上，此时绳子刚好拉直，绳子末端落在点E处，问小明需要后退几米（即的长）？ 【变式4-1】（25-26八年级上·上海松江·期末）某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间测量校园内旗杆的高度．第一次操作：如图①，将系在旗杆顶端的绳子自然下垂到地面，绳子多出的一段在地面拉直后记作，用皮尺量出的长度为．第二次操作：如图②，将绳子拉直，绳子末端落在地面上的点F处，用皮尺量出的长度为．则旗杆的高度为______m． 【变式4-2】（25-26八年级上·福建泉州·期末）某班数学兴趣小组到平坦的操场上测量旗杆的高度，信息如下： ①已知绳子一端系在旗杆顶端A处，甲同学拉直绳子退至离旗杆3.5米的E点处，此时手上的绳子还剩0.5米； ②甲同学继续往后退1.5米到达G点．此时手上的绳子刚好用完； ③甲同学拉绳子的手到地面的距离都是1.6米；则旗杆的高度为______米． 【变式4-3】（25-26八年级上·河南平顶山·期末）如图，数学兴趣小组要测量旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端A的绳子垂到地面多出一段的长度为8米，小明同学将绳子拉直，绳子末端落在点C处，到旗杆底部B的距离为16米． (1)求旗杆的高度； (2)小明在C处，用手拉住绳子的末端，后退至观赛台的2米高的台阶上，此时绳子刚好拉直，绳子末端落在点E处，问小明需要后退几米（即的长）？（，结果保留1位小数） 【题型5 水杯中筷子问题】 【例5】（25-26八年级上·河南郑州·期末）《九章算术》中记载：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何．大意是：如图，有一个水池，水面是一个边长为1丈（1丈尺）的正方形．在水池正中央O处有一根芦苇，它高出水面的部分为1尺．如果把这根芦苇垂直拉向岸边，那么它的顶端恰好到达岸边的水面，即． (1)求水池的深度． (2)数学家刘徽在为《九章算术》作注解时，给出了这类问题的一般解法．其解法可表示为：如图，将水池底面边长记作2a，O为的中点，水的深度记作b，芦苇高出水面的部分记作，则水池的深度b可通过计算得到．请说明此解法的正确性． 【变式5-1】（25-26八年级上·四川宜宾·期末）有一个内壁底面长为厘米，宽为厘米，高为厘米的长方体水槽中装满水，将一根长厘米的笔直木条放入水槽，则木条（厚度不计）露出水面的最短长度为（    ）． A．厘米 B．厘米 C．厘米 D．厘米 【变式5-2】（24-25八年级上·全国·单元测试）如图，是一种筷子的收纳盒，长、宽、高分别为4，3 ，12 ，现有一长为16的筷子插入到盒的底部，则筷子露在盒外的部分h()的取值范围（  ） A． B． C． D． 【变式5-3】（25-26八年级上·江西吉安·阶段检测）如图是一个饮料罐，下底面直径是，上底面半径是，高是，上底面盖子的中心有一个小圆孔．若一条到达底部长的直吸管如图放置，则在罐外部分的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）是______． 【题型6 小鸟飞行距离问题】 【例6】如图，在校园内有两棵树相距12米，一棵树高14米，另一棵树高9米，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞______米．    【变式6-1】两只小鼹鼠在地下从同一处开始打洞，一只朝北面挖，每分钟挖8cm，另一只朝东面挖，每分钟挖6cm，10分钟之后两只小鼹鼠相距（ ） A．100cm B．50cm C．140cm D．80cm 【变式6-2】某医院入口的正上方A处装有红外线激光测温仪（如图所示），测温仪离地面的距离米，当（身高）人体进入感应范围内时（即米），测温仪自动显示体温，则人头顶离测温仪的距离的长为 ________米． 【变式6-3】如图，一只小鸟旋停在空中点，点到地面的高度米，点到地面点（，两点处于同一水平面）的距离米． (1)求出的长度； (2)若小鸟竖直下降到达点（点在线段上），此时小鸟到地面点的距离与下降的距离相同，求小鸟下降的距离． 【题型7 大树折断前高度问题】 【例7】（25-26八年级下·四川德阳·期中）如图，一根直立的旗杆高，因刮大风旗杆从点处折断，顶部着地且离旗杆底部处． (1)求旗杆从距地面多高处折断； (2)工人在修复旗杆的过程中，发现在折断点的下方的点处，有一明显裂痕，若下次大风将旗杆从点处吹断，则距离旗杆底部周围多大范围内有被砸伤的危险？ 【变式7-1】（24-25八年级下·广东广州·期中）《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部尺远，问折断处离地面的高度是（   ） A．尺 B．尺 C．尺 D．尺 【变式7-2】（24-25七年级下·四川成都·期末）如图，高度为米的平台上有一根长为米的木杆垂直于台面，在一降大风后，木杆从点处折断，依然垂直于，木杆顶端落在地面的点处，已知，米，米，则木杆依然直立的部分的长为______． 【变式7-3】（25-26八年级上·广东佛山·期中）如图，超强台风“桦加沙”登陆时把一棵垂直于地面且高度为的大树被大风吹折，折断处与地面的距离，树尖恰好碰到地面．在大树倒下的方向上的点处停着一辆小轿车，，树枝落地时是否会砸着小轿车并说明理由． 考点3 其他常见实际问题 【题型8 航海方位与距离问题】 【例8】（25-26八年级下·内蒙古巴彦淖尔·期中）海上巡逻是维护国家海洋权益的有效手段．近日，美国、日本、菲律宾等国在南海地区联合军演，如图，我军巡逻舰队在点处巡逻，突然发现在南偏东方向距离15海里的点处有可疑目标正在以16海里/小时的速度沿南偏西方向行驶，向我领海区域行驶，我军巡逻舰队立即沿直线追赶，半小时后在点处将其追上，并进行驱赶，则我军巡逻舰队的航行速度为多少海里/小时？ 【变式8-1】（25-26八年级下·甘肃金昌·期中）如图，甲、乙两船从港口同时出发，甲船以海里/时的速度沿北偏东方向航行，乙船沿南偏东方向航行，小时后，甲船到达岛，乙船到达岛．若、两岛相距海里，则乙船的航速是（   ） A．海里/时 B．海里/时 C．海里/时 D．海里/时 【变式8-2】如图甲、乙两艘船同时从港口 A 出发，甲船沿北偏东45°的方向前进，乙船沿北偏东75°方向以每小时30海里的速度前进，两船航行两小时分别到达B，C处，此时测得甲船在乙船的正西方向，则此时甲、乙两船之间的距离是________________海里． 【变式8-3】（25-26八年级下·甘肃张掖·期中）如图，某海监局P位于东西方向的海岸线上，“前行”号与“远方”号轮船同时从海监局P出发，“前行”号以每小时16海里的速度沿南偏西方向航行，“远方”号以每小时12海里的速度沿固定方向航行，航行半小时后分别位于Q，R处，且相距10海里． (1)求“远方”号的航行方向； (2)若“前行”号继续沿原方向航行7海里到达点M，“远方”号继续沿原方向航行2海里到达点G，则此时“前行”号与“远方”号的距离是多少海里？ 【题型9 判断是否受台风影响】 【例9】（25-26八年级下·安徽芜湖·期中）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，某台风中心沿直线从左向右移动，已知点为某海港，点与直线上，两点的距离分别为和，且，以台风中心为圆心，周围以内为受影响区域． (1)求证：； (2)当地气象部门在通知中说海港会受到台风影响，请用所学数学知识说明缘由； (3)若台风的速度为，则台风持续影响该海港的时间有多长？ 【变式9-1】（24-25九年级上·山东威海·期末）如图所示，公路和铁路在点O处交汇，，公路上E处距离O点．若火车行驶时，周围内会受到噪音的影响，则火车在铁路上沿由C到D的方向以的速度行驶时，E处受噪音影响的时间为（   ）秒． A．8 B．9 C．10 D．11 【变式9-2】如图，一艘船以40km/h的速度沿既定航线由西向东航行，途中接到台风警报，某台风中心正以20km/h的速度由南向北移动，距台风中心200km的圆形区域(包括边界)都属台风影响区，当这艘轮船接到台风警报时，它与台风中心的距离BC=500km，此时台风中心与轮船既定航线的最近距离BA=300km，如果这艘轮船会受到台风影响，那么从接到警报开始，经过(    )小时它就会进入台风影响区    A．10 B．7 C．6 D．12 【变式9-3】（25-26八年级上·海南儋州·期末）海南台风影响时间跨度大，核心台风季节集中在月，9月更是台风登陆数量最多、强度最强的月份．如图，某沿海城市A接到台风预警，在该市正南方向340的B处有一台风中心，沿方向以20的速度移动，已知城市A到的距离为160． (1)台风中心经过多长时间从B点移到D点? (2)如果在距台风中心200的圆形区域内都将受到台风的影响，那么A市受到台风影响的时间持续多少小时? 【题型10 判断汽车是否超速】 【例10】（25-26八年级下·北京·期中）如图，某中学门口有一条东西方向的公路，在中学门口有两条长度均为米的通道，通往公路旁的两个公交站，，且的距离是米．为了行车安全，在公路旁的点和点设置区间测速装置，其中点在点的东侧，且，公路限速千米/小时（约米/秒）．一辆汽车经过区间用时秒，试判断该车是否超速，并说明理由．（参考数据，，） 【变式10-1】《中华人民共和国道路交通管理条例》规定，小汽车在城市街道上的行驶速度不得超过70km/h.如图所示，一辆小汽车在一条城市街道沿直道向处行驶.某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪正前方30m处的点，过了2s后，测得小汽车与车速检测仪之间的距离为50m，这辆小汽车________.（填“超速”或“不超速”） 【变式10-2】（24-25八年级上·河南郑州·阶段检测）《中华人民共和国道路交通安全法》规定：小汽车在高速道路上行驶速度不得超过高速路边也会安装车速检测仪对过往车辆进行限速检测，如图所示，点装有一车速检测仪，它到公路边的距离米，小汽车行驶过检测仪监控区域，到达点时开始计时，离开点时停止计时，依此计算车速，已知米． (1)若一辆汽车以时速匀速通过监控区域，共用时几秒 (2)若另一辆车通过监控区域共用时秒，该车是否超速请说明理由． 【变式10-3】校车安全是近几年社会关注的热点问题之一，安全隐患主要是超速和超载，某中学八年级数学活动小组进行了测试汽车速度的实验．如图所示，现在笔直的公路旁取一点，在公路上确定点，，使得，，再在上确定点，使得，测得米，已知本路段对校车限速是千米/时，若测得某校车从到匀速行驶用时秒．（参考数据：） (1)求点D到线段AB的距离（结果保留整数）； (2)利用（1）中的结果，请通过计算判断这辆车在本路段是否超速？ 【题型11 选址使到两地距离之和最短】 【例11】（25-26八年级下·湖北咸宁·期中）如图1，在一条公路上有A，B两站相距，C，D为两个小镇，小镇C到公路的距离（的长）为，小镇D到公路的距离（的长）为． (1)求小镇C，D之间的距离； (2)如图2，现计划在A，B两站之间的公路上修建一个加油站E，使E到C，D两镇的距离相等，请通过计算说明加油站E应建在公路上距A站多远处？（结果取整数） 【变式11-1】（24-25八年级下·湖北武汉·期中）如图铁路上、两点相距千米，、为铁路两边的两个村庄，，，垂足分别为和，千米，千米，现在要在铁路旁修建一个候车点，使得、两村到该候车点的距离相等．则候车点应距点（   ）    A．12千米 B．16千米 C．20千米 D．24千米 【变式11-2】如图，商场（点M）距公路（直线l）的距离（MA）为3km，在公路上有一车站（点N），车站距商场（NM）为4km，公交公司拟在公路上建一个公交车站停靠站（点P），要求停靠站到商场与到车站的距离相等，则停靠站到车站的距离（NP）的长为_____． 【变式11-3】（25-26八年级上·广东深圳·期中）【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．千百年来，人们始终对它充满兴趣，不断探索其证明方法，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在1994年构造发现了一个新的证法． 【小试牛刀】（1）把两个全等的直角三角形如图1放置，，已知，，试证明． 【知识运用】（2）如图2所示，表示一条铁路，是两个城市，它们到铁路所在直线的垂直距离分别为千米，千米，且千米，现要在之间设一个中转站，求出应建在离点多少千米处，才能使它到两个城市的距离相等． 【知识迁移】（3）借助上面的思考过程，画图说明并求出代数式的最小值． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $