专题09一次函数的应用精讲学案(核心重点+高频易错+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年北师大版八年级数学上册

本讲义聚焦一次函数的应用，系统梳理从构建模型（均匀变化关系、自变量取值范围）到四类实际问题（行程、梯度计价、利润、分配方案），再到与一元一次方程的数形关系（代数与几何对应）及几何综合（交点坐标、线段计算）的完整学习支架。 资料通过分题型设计（九类题型含基础到拔高）、解题思路分步指导及易错点辨析，培养学生模型意识（如梯度计价分段函数）、几何直观（函数图像与方程解对应）和推理能力（利润问题自变量范围分析）。课中辅助教师系统授课，课后助力学生通过例题巩固，查漏补缺。

专题09一次函数的应用精讲学案 核心立意： 将现实实际问题抽象为一次函数模型；掌握各类实际问题的核心等量关系；理解一次函数与一元一次方程的数形对应关系；借助直线与坐标轴交点完成简单几何计算，体会数学建模与数形结合思想。 构建一次函数实际模型 ❶一次函数y=kx+b适用于现实中均匀变化的数量关系；b=0时为正比例函数模型。 ❷建立函数关系式，必须结合实际确定自变量取值范围，常附带非负、整数现实约束。 ❸可从文字题干、表格、函数图像提取两组对应数值，用来确定函数关系式。 四类实际问题核心等量关系 ❶行程问题：核心等量关系路程=速度时间；匀速运动时，路程随时间呈一次函数变化。 ❷梯度计价（分段计费）：自变量到达分界点后计费规则改变，每一段区间分别对应一段一次函数，总费用分段求和计算。 ❸最大最小利润问题：核心等量关系总利润=单件利润销售量；利润与销量呈一次函数关系，最值受自变量取值范围限制。 ❹分配方案问题：依据总量不变建立一次函数；自变量受现实条件约束，一般取非负整数。 一次函数与一元一次方程的数形关系 ❶代数角度：令y=kx+b中y=0，得到一元一次方程kx+b=0。 ❷几何角度：方程\kx+b=0的解，是直线y=kx+b与x轴交点的横坐标，并非点的坐标。 ❸数形双向对应：已知直线图像，读取与x轴交点横坐标，即可得到对应一元一次方程的解；已知一元一次方程的解，可以直接得到直线与x轴交点横坐标。 一次函数与简单几何综合 ❶可求出一次函数图像与x轴、y轴的交点坐标。 ❷借助交点坐标，计算坐标轴上线段的长度。 实际背景下函数图像的特点 ❶实际问题的图像为线段或射线，不是完整直线，受自变量取值范围约束。 ❷读图要明确横轴、纵轴代表的实际量与单位；起点、拐点、终点、交点均具备对应的实际含义。 重点辨析 ❶一次函数求最值，不能只看k的正负，必须结合自变量取值范围。 ❷梯度计价的分界点，只能归属于其中一个区间。 ❸kx+b=0的解是一个数值，不能写成点的坐标形式。 ❹分配方案问题，自变量通常要求取非负整数。 1.建立函数关系式，遗漏自变量取值范围，忽略整数限制 2.分段计费，分界点归属区间判断错误 3.求函数最值，脱离自变量范围，仅依靠k正负判断 4.混淆一元一次方程的解与直线和x轴交点坐标 5.看错坐标轴代表的量、单位，误读图像信息 6.几何计算线段长度，坐标符号处理出错 题型 考察方向 难度 题型一 分配方案问题 ★★ 题型二 最大利润问题 ★★ 题型三 行程问题 ★★ 题型四 梯度计价问题 ★★ 题型五 其他问题 ★★ 题型六 一次函数与几何综合 ★★★ 题型七 已知直线与坐标轴交点求方程的解 ★ 题型八 一元一次方程的解判断直线与 x 轴的交点 ★ 题型九 利用图象法解一元一次方程 ★ 拔高题 6题 星级说明：★基础；★★中档；★★★拔高 题型一：分配方案问题 解题思路：①审题，设出合理自变量，依据总量不变列出总目标的一次函数关系式；②根据实际限制列出不等式组，求出自变量取值范围，注意自变量一般取非负整数；③根据k的正负判断增减性，确定最值出现在区间端点；④将符合条件的整数代入解析式计算，对比结果选出最优方案。 1．小李同学长大后当上了个体老板，一次他准备租用甲、乙两种货车将200吨货物运回眉山卖给厂家，两种货车的载货量和租金如下表所示： 甲种货车 乙种货车 载货量（吨/辆） 25 20 租金（元/辆） 2000 1800 请问：李老板最少要花掉租金（    ）． A．15000元 B．16000元 C．18000元 D．20000元 2．怎样选取上网收费方式？ 如表给出A，B，C三种上宽带网的收费方式． 收费方式 月使用费/元 包时上网时间/h 超时费（元/min） A 30 25 0.05 B 50 50 0.05 C 120 不限时 选取哪种方式能节省上网费？ 方式A中，超时费只有在上网时间超过25小时后才会产生．所以要分情况： 当时，y1＝30； 当x＞25时，y1＝30＋0.05×60（x－25）＝3x－45. 得到函数： 方式B的上网费y2关于上网时间 x的函数解析式为： 方式C的上网费y3关于上网时间x的函数解析式为：当x0时，y3＝120 在同一坐标系中画出它们的图像： ； 当上网时__________时，选择方式A最省钱； 当上网时间__________时，选择方式B最省钱； 当上网时间_________时，选择方式C最省钱． 3．A城有肥料，B城有肥料．现要把这些肥料全部运往C、D两乡．从A城往C、D两乡运肥料的费用分别为20元/和25元/；从B城往C、D两乡运肥料的费用分别为15元/和24元/．现C乡需要肥料，D乡需要肥料．若从A城运往C乡的肥料为，总运费为元． (1)用含的代数式表示从A城运往D乡的肥料； (2)写出总运费与之间的函数关系式；并写出的取值范围． (3)怎样调运可使总运费最少？ 题型二：最大利润问题 解题思路：①找出单件利润与销售量，套用总利润等量关系写出一次函数表达式；②挖掘题目约束条件，求出自变量实际取值范围；③通过k的正负判断增减性，利润最值在自变量区间端点取得；④把端点数值代入解析式算出利润，规范作答。 4．马家沟芹菜是青岛的名优农产品，某公司零售一箱该产品的利润是10元，批发一箱该产品的利润是6元．经营性质规定，该公司零售的数量不能多于300箱．现该公司出售800箱这种产品，最大利润是 _________元． 5．小石的妈妈需要购买盒子存放升的食物，且要求每个盒子要装满．现有两种型号的盒子，单个盒子的容量和价格如下表． 型号 单个盒子容量（升） 单价（元） （1）写出一种购买方案，可以为______； （2）恰逢五一假期，型号盒子正在做促销活动，即购买三个及三个以上可一次性返现金元，则购买盒子所需要的最少费用为______元． 6．呼和浩特被誉为“中国乳都”，以乳业为发展引擎，凭借优质乳业书写城市传奇、铸就辉煌．其中牛奶贝因其味道醇美且容易携带而深受外地游客欢迎．某特产店销售、两款牛奶贝，结合材料解决问题 内容 材料一 某特产店购进，两款牛奶贝进行销售，、两款牛奶贝的售价分别为32元/袋和25元/袋，款牛奶贝的进价为22元/袋，款牛奶贝的进货总金额y（单位：元）与款牛奶贝的进货量x（单位：袋）之间的关系如图所示． 材料二 为了满足市场需求，七月份该特产店计划采购这两款牛奶贝共1000袋，其中款牛奶贝的进货量不低于300袋，且不高于600袋． 任务： (1)求y关于x的函数解析式． (2)若采购的所有牛奶贝能全部售出，设销售完、两款牛奶贝获总利润为（单位：元），请求出关于x的函数解析式，并为该特产店设计出获得最大总利润的进货方案． 题型三：行程问题 解题思路：①梳理路程、速度、时间，区分匀速、静止等不同运动状态；②设定自变量，结合路程=速度时间建立函数，图像题明确横、纵坐标代表的实际物理量；③读懂图像拐点、交点含义，交点大多代表相遇；④把所求条件代入解析式完成求解。 7．某出租车公司运价执行新标准：日间起步价13元（含3公里），超出3公里后每公里收费2.6元；若单程行驶超过15公里，则超出15公里的部分需加收的空驶费（即超出15公里的部分按3.9元/公里计费）．设某出租车的行驶里程为x公里，运价为y元，当单程行程时，运价y关于x的函数解析式为______． 8．2026年北京亦庄人形机器人半程马拉松比赛中，某国产机器人跑完（近似为），净用时（近似为），超过了人类男子半马世界纪录．小明通过查找数据将整个跑步过程分为起始高速跑、中途稳速跑、终点前调整、最后冲刺跑四个阶段，并用图象表示路程s（单位：）与时间t（单位：）的大致对应关系，如图所示，下面有四个推断： ①终点前调整阶段用时约为； ②当机器人到达警示温度时，系统会自动下调速度．在比赛开始时该机器人到达警示温度； ③中途稳速跑阶段的平均配速（所用的时间）为； ④全程平均速度约为． 其中合理的是________（填所有合理推断的序号）． 9．周末，小明去图书馆看书，爸爸回家后发现未带钥匙，于是打电话让小明回家，同时，爸爸骑车沿同一路线去接小明，小明见到爸爸后继续以原速度步行回家，爸爸拿到钥匙后立即以原速度返回．已知两人和家的距离（米）与各自所用的时间（分钟）之间的关系如图所示． (1)家和图书馆的距离为 　　米，　　； (2)求出点的坐标，并写出点所表达的实际意义； (3)求出爸爸离家的路程关于时间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (4)爸爸到家时，小明离家还有多远？ 题型四：梯度计价问题 解题思路：①找出收费分界点，划分出自变量对应的不同取值区间；②针对每一段区间，分别写出对应的一次函数解析式；③判断题干给出的数据属于哪一个区间，选用对应解析式；④代入数值计算出最终费用。 10．瓦房店市许屯镇拥有百余年的苹果生产历史，镇上的万亩苹果进入了成熟季．小李想在许屯镇某果园购买一些苹果，经了解该果园苹果的定价为5元/斤，如果一次性购买15斤以上，超过15斤部分的苹果的价格打8折．设小李在该果园购买苹果x斤，付款金额为y元，则y与x之间的函数关系式为__________． 11．自来水公司为鼓励居民节约用水采取月用水量分段收费的办法，某居民应交水费y（元）与用水量x（吨）的函数关系如图所示，若该居民本月用水量为18吨，则应交水费为（     ） A．42 B．43.2元 C．45元 D．46.8元 12．为了鼓励市民节约用水，某地区采用分档计费的方式计算水费．下表是根据户年用水量进行分档计费的标准： 户年用水量（） 水费单价（元/） 不超过的部分 超过的部分 已知A户去年的户年用水量为，去年整年的水费是元，设户年用水量为（），整年的水费为（元）． (1)的值为________； (2)求关于的函数解析式； (3)已知B户去年整年的水费是元，求B户去年的户年用水量． 题型五：其他问题 解题思路：①读题识别均匀变化的两个变量，确定自变量和因变量；②提取题目已知条件，构建一次函数并标注自变量取值范围；③将问题条件代入解析式计算；④检验计算结果是否符合现实意义，再写答案。 13．工人要铺设一段总长50米的水管，铺设过程中剩余未铺水管的长度L（米）和工人工作时长t（小时）之间的关系为，其中的实际意义是（     ） A．每小时能够铺设的水管长度 B．工作t小时一共铺设的水管总长度 C．还未铺设的水管长度 D．需要铺设的水管总长度 14．某单位准备和甲乙两个出租公司中的一家签订租车合同，设汽车每月行驶千米，每月应付给甲公司的费用为元，付给乙公司的费用为元，、与的关系如图，若该单位每月行驶的路程为，为了使费用较少，则应选择________公司（填“甲”或“乙”）． 15．某学校的学习小组计划用同种型号的玻璃瓶制作一组水瓶乐器．根据物理学中的振动频率和音调的关系可知，在敲击玻璃瓶时，声音的振动频率随瓶中水位高度的变化而变化．水位越高，振动越慢，音调越低；水位越低，振动越快，音调越高．学习小组通过查阅资料并进行了多次实验，获得如下信息： ①水瓶不同水位高度与对应的振动频率的部分数据如下表（表）： 水位高度 频率 ②七个音阶与频率的对照表．（表）： 音阶 频率 根据以上信息，解答下列问题： (1)求水瓶乐器的频率与水位高度的函数关系式（不要求写出的取值范围）． (2)已知玻璃杯中的水量是随水位高度均匀变化的，当玻璃杯中的水位高度为时，所使用的水量为．当水位每升高时，则所使用的水量增加，若用筷子敲击一次玻璃杯的杯口，想发出的音阶为，求应该在玻璃杯中装多少毫升的水． 题型六：一次函数与几何综合 解题思路：①计算一次函数与x轴、y轴的交点坐标；②把坐标转化为几何图形边长，边长结果必须取正值；③多个函数时联立解析式求交点，结合三角形面积等几何公式列式；④完成几何相关计算，写出结果。 16．对于每个，函数是，，，这三个函数中的最小值，其中这三个函数图象如图所示，则函数的最大值是（   ） A． B．6 C．4 D． 17．如图①，在四边形中，，，点从点出发，以每秒个单位长度的速度按的顺序在边上匀速运动，设点的运动时间为秒，的面积为，关于的函数图象如图②所示，（1）的长为_______．（2）当点运动到中点时，的面积为_______． 18．函数的图象记为，当与轴存在两个交点时，设交点为和（点在点的左侧）， (1)当时，直接写出与的函数的关系式； (2)当时，求出点和点的坐标； (3)当在小于等于0的部分的最高点到轴的距离为3时，求的值； (4)点的坐标为，点的坐标为，当与线段有且仅有一个公共点时，直接写出的取值范围． 题型七：已知直线与坐标轴交点求方程的解 解题思路：①直线与x轴交点横坐标，就是方程kx+b=0的解；②直线与y轴交点纵坐标等于b；③把交点坐标代入y=kx+b，求解参数k；④整理写出完整的函数解析式。 19．一次函数，当时，________，这条直线与x轴的交点的坐标是________，因此，方程的解是________． 20．如图，一次函数与的图象相交于点，则关于的方程的解是（    ） A． B． C． D． 21．如图，平面直角坐标系中，在直线和轴之间由小到大依次画出若干个等腰直角三角形（如图所示的阴影部分），其中一条直角边在轴上，另一条直角边与轴垂直，则第个等腰直角三角形的直角边长是 ______ ． 题型八：由一元一次方程的解判断直线与 x 轴的交点 解题思路：①解一元一次方程kx+b=0，求得方程的解；②该解就是直线与x轴交点的横坐标；③直线与x轴交点纵坐标恒为0；④写出交点坐标(解,\0)。 22．若关于x的方程的解为，则直线一定经过点（    ） A． B． C． D． 23．已知关于x的方程的解为，则一次函数的图象与x轴的交点坐标为______． 24．如图，直线分别与x轴、y轴交于点A、B，点C在线段上，线段沿翻折．点O落在边上的点D处，则的长度为____________． 题型九：利用图象法解一元一次方程 解题思路：①把原一元一次方程整理变形为kx+b=0的形式；②对应写出一次函数y=kx+b；③观察函数图像，找到图像与x轴交点；④交点的横坐标就是该方程的解。 25．直线的图象如图所示，则方程的解是（    ） A． B． C． D． 26．如图，若一次函数与相交于点，则关于的方程的解是______． 27．一次函数：与的图象如图所示，下列选项不正确的是（    ） A．随x 的增大而减小 B．函数 的图象不经过第二象限 C． D． 解答题 1．利用函数图象解下列方程 (1) (2) 2．某市公交公司推出企业通勤包车服务，提供两种燃油计费方案，具体如下： 方案一：无基础服务费，每千米燃油费用为0.6元． 方案二：每日固定基础服务费18元，行驶路程不超过时，每千米燃油费0.5元；行驶路程超过时，超出部分每千米燃油费0.4元． (1)设每日通勤燃油总费用为W元，分别求出两种计费方案下W关于行驶路程x的函数解析式． (2)若企业每日通勤行驶路程，请求出该企业选择哪种燃油计费方案更划算． 3．某文具店计划购进甲、乙两种笔记本共100本，这两种笔记本的进价、售价如表： 类型 进价/（元/本） 售价/（元/本） 甲种 3 4.5 乙种 5 7 受市场需求限制，乙种笔记本的进货数量不超过甲种笔记本进货数量的2倍，设文具店购进甲种笔记本x本，销售完这批笔记本的总利润为y元． (1)求y与x之间的函数关系式． (2)应如何安排进货，才能使销售完这批笔记本的利润最大，最大利润为多少元？ 4．某校八年级学生外出参加实践活动，家长志愿者乘坐小巴士，学生乘坐大巴士沿着相同的路线同时匀速前往目的地．小巴士送完家长后立即匀速返回学校（家长下车时间忽略不计），大巴士因交通管制，在中途停留了一会后继续保持原速前往．如图是两辆巴士距学校的距离与行驶时间之间的图象．结合图象信息解答下列问题： (1)大巴士遇到交通管制时已经行驶了_____，因交通管制，在中途停留了_____； (2)求大巴士交通管制停留后，再前往目的地的过程中，与之间的函数解析式（无需写出自变量的取值范围）： (3)直接写出在大巴士到达目的地前，两车出发多长时间，两车相距． 5．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，B、C两点分别在x轴、直线上运动．若以为直角边的为等腰直角三角形，求点C的坐标． 6．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交A、B两点，与直线相交于点． (1)求m和b的值； (2)若直线与x轴相交于点D，动点P从点D开始，以每秒2个单位的速度向x轴负方向运动，设点P的运动时间为t秒． ①点A的坐标为 ，点D的坐标为 ； ②若点P在线段上，且的面积为10时，求t的值； ③直接写出t为何值时，为等腰三角形． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09一次函数的应用精讲学案 核心立意： 将现实实际问题抽象为一次函数模型；掌握各类实际问题的核心等量关系；理解一次函数与一元一次方程的数形对应关系；借助直线与坐标轴交点完成简单几何计算，体会数学建模与数形结合思想。 构建一次函数实际模型 ❶一次函数y=kx+b适用于现实中均匀变化的数量关系；b=0时为正比例函数模型。 ❷建立函数关系式，必须结合实际确定自变量取值范围，常附带非负、整数现实约束。 ❸可从文字题干、表格、函数图像提取两组对应数值，用来确定函数关系式。 四类实际问题核心等量关系 ❶行程问题：核心等量关系路程=速度时间；匀速运动时，路程随时间呈一次函数变化。 ❷梯度计价（分段计费）：自变量到达分界点后计费规则改变，每一段区间分别对应一段一次函数，总费用分段求和计算。 ❸最大最小利润问题：核心等量关系总利润=单件利润销售量；利润与销量呈一次函数关系，最值受自变量取值范围限制。 ❹分配方案问题：依据总量不变建立一次函数；自变量受现实条件约束，一般取非负整数。 一次函数与一元一次方程的数形关系 ❶代数角度：令y=kx+b中y=0，得到一元一次方程kx+b=0。 ❷几何角度：方程\kx+b=0的解，是直线y=kx+b与x轴交点的横坐标，并非点的坐标。 ❸数形双向对应：已知直线图像，读取与x轴交点横坐标，即可得到对应一元一次方程的解；已知一元一次方程的解，可以直接得到直线与x轴交点横坐标。 一次函数与简单几何综合 ❶可求出一次函数图像与x轴、y轴的交点坐标。 ❷借助交点坐标，计算坐标轴上线段的长度。 实际背景下函数图像的特点 ❶实际问题的图像为线段或射线，不是完整直线，受自变量取值范围约束。 ❷读图要明确横轴、纵轴代表的实际量与单位；起点、拐点、终点、交点均具备对应的实际含义。 重点辨析 ❶一次函数求最值，不能只看k的正负，必须结合自变量取值范围。 ❷梯度计价的分界点，只能归属于其中一个区间。 ❸kx+b=0的解是一个数值，不能写成点的坐标形式。 ❹分配方案问题，自变量通常要求取非负整数。 1.建立函数关系式，遗漏自变量取值范围，忽略整数限制 2.分段计费，分界点归属区间判断错误 3.求函数最值，脱离自变量范围，仅依靠k正负判断 4.混淆一元一次方程的解与直线和x轴交点坐标 5.看错坐标轴代表的量、单位，误读图像信息 6.几何计算线段长度，坐标符号处理出错 题型 考察方向 难度 题型一 分配方案问题 ★★ 题型二 最大利润问题 ★★ 题型三 行程问题 ★★ 题型四 梯度计价问题 ★★ 题型五 其他问题 ★★ 题型六 一次函数与几何综合 ★★★ 题型七 已知直线与坐标轴交点求方程的解 ★ 题型八 一元一次方程的解判断直线与 x 轴的交点 ★ 题型九 利用图象法解一元一次方程 ★ 拔高题 6题 星级说明：★基础；★★中档；★★★拔高 题型一：分配方案问题 解题思路：①审题，设出合理自变量，依据总量不变列出总目标的一次函数关系式；②根据实际限制列出不等式组，求出自变量取值范围，注意自变量一般取非负整数；③根据k的正负判断增减性，确定最值出现在区间端点；④将符合条件的整数代入解析式计算，对比结果选出最优方案。 1．小李同学长大后当上了个体老板，一次他准备租用甲、乙两种货车将200吨货物运回眉山卖给厂家，两种货车的载货量和租金如下表所示： 甲种货车 乙种货车 载货量（吨/辆） 25 20 租金（元/辆） 2000 1800 请问：李老板最少要花掉租金（    ）． A．15000元 B．16000元 C．18000元 D．20000元 【答案】B 【分析】设需要租用甲种货车x辆，则租用乙种货车辆，需要的费用为y元，用x将y表示出来，进行判断即可． 【详解】解：设需要租用甲种货车x辆，则租用乙种货车辆，需要的费用为y元，根据题意得： ， ∵， ∴， ∴当时，y最小，最小值为： （元）， 即李老板最少要花掉租金16000元，故B正确． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，列出一次函数的解析式是解题的关键． 2．怎样选取上网收费方式？ 如表给出A，B，C三种上宽带网的收费方式． 收费方式 月使用费/元 包时上网时间/h 超时费（元/min） A 30 25 0.05 B 50 50 0.05 C 120 不限时 选取哪种方式能节省上网费？ 方式A中，超时费只有在上网时间超过25小时后才会产生．所以要分情况： 当时，y1＝30； 当x＞25时，y1＝30＋0.05×60（x－25）＝3x－45. 得到函数： 方式B的上网费y2关于上网时间 x的函数解析式为： 方式C的上网费y3关于上网时间x的函数解析式为：当x0时，y3＝120 在同一坐标系中画出它们的图像： ； 当上网时__________时，选择方式A最省钱； 当上网时间__________时，选择方式B最省钱； 当上网时间_________时，选择方式C最省钱． 【答案】 【解析】略 3．A城有肥料，B城有肥料．现要把这些肥料全部运往C、D两乡．从A城往C、D两乡运肥料的费用分别为20元/和25元/；从B城往C、D两乡运肥料的费用分别为15元/和24元/．现C乡需要肥料，D乡需要肥料．若从A城运往C乡的肥料为，总运费为元． (1)用含的代数式表示从A城运往D乡的肥料； (2)写出总运费与之间的函数关系式；并写出的取值范围． (3)怎样调运可使总运费最少？ 【答案】(1) (2) (3)从A城运往C乡，运往D乡，从B城运往C乡，运往D乡时，总运费最少，最少为10040元 【分析】（1）用A城的肥料减去A城运往C乡的肥料即可得到答案； （2）分别表示出从B城运往C乡的肥料和从B城运往D乡的肥料，然后分别计算对应的运费，求和即可得到答案； （3）根据一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：从A城运往D乡的肥料为； （2）解：从B城运往C乡的肥料为， 从B城运往D乡的肥料为， ∴ （3）解：的一次项系数为， 随的增大而增大，    又 当取最小值0时，取得最小值，最小值为（元）， 此时， 答：从A城运往C乡，运往D乡，从B城运往C乡，运往D乡时，总运费最少，最少为10040元． 题型二：最大利润问题 解题思路：①找出单件利润与销售量，套用总利润等量关系写出一次函数表达式；②挖掘题目约束条件，求出自变量实际取值范围；③通过k的正负判断增减性，利润最值在自变量区间端点取得；④把端点数值代入解析式算出利润，规范作答。 4．马家沟芹菜是青岛的名优农产品，某公司零售一箱该产品的利润是10元，批发一箱该产品的利润是6元．经营性质规定，该公司零售的数量不能多于300箱．现该公司出售800箱这种产品，最大利润是 _________元． 【答案】6000 【分析】设该公司当月零售这种农产品m箱，则批发这种农产品箱，该公司获得利润为y元，进而得到y关于m的函数关系式，利用一次函数的性质，即可求解． 【详解】解：设该公司当月零售这种农产品m箱，则批发这种农产品箱，依题意得：， 设该公司获得利润为y元，依题意得： ， 即， ∵，y随着m的增大而增大， ∴当时，y取最大值，此时（元）， 答：该公司要经营800箱这种农产品，最大利润是6000元． 故答案为：6000． 【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，根据题意列出函数表达式，熟练掌握函数性质根据自变量取值范围确定函数值是解决问题的关键． 5．小石的妈妈需要购买盒子存放升的食物，且要求每个盒子要装满．现有两种型号的盒子，单个盒子的容量和价格如下表． 型号 单个盒子容量（升） 单价（元） （1）写出一种购买方案，可以为______； （2）恰逢五一假期，型号盒子正在做促销活动，即购买三个及三个以上可一次性返现金元，则购买盒子所需要的最少费用为______元． 【答案】 购买方案为个型号，个型号（答案不唯一） 【分析】（1）设购买型号为个，购买型号为个，根据题意列二元一次方程即可解答； （2）设购买型号的盒子个，则购买型号的盒子个数为个，并设购买盒子所需要的费用为元，根据题意列一次函数即可解答． 【详解】解：（1）∵小石的妈妈需要购买盒子存放升的食物， ∴设购买型号为个，购买型号为个， ∴， ∴，， ∴购买方案为个型号，个型号； 故答案为：购买方案为个型号，个型号； （2）设购买型号的盒子个，则购买型号的盒子个数为个，并设购买盒子所需要的费用为元， 第一种情况：没有接受型号盒子促销活动的一次性返现金元， 即当时， ， ∴一次函数的解析式为， ∵， ∴随的增大而增大， ∴当时，有最小值， ∴购买盒子所需要的最少费用为； 第二种情况：有接受型号盒子促销活动的一次性返现金元， 即当时， ， ∴一次函数的解析式为, ∵， ∴随的增大而增大， ∴当，有最小值， ∴购买盒子所需要的最少费用为， ∵， ∴购买盒子所需要的最少费用为， 故答案为． 【点睛】本题考查了一次函数与实际问题，二元一次方程与实际问题，掌握一次函数的性质是解题的关键． 6．呼和浩特被誉为“中国乳都”，以乳业为发展引擎，凭借优质乳业书写城市传奇、铸就辉煌．其中牛奶贝因其味道醇美且容易携带而深受外地游客欢迎．某特产店销售、两款牛奶贝，结合材料解决问题 内容 材料一 某特产店购进，两款牛奶贝进行销售，、两款牛奶贝的售价分别为32元/袋和25元/袋，款牛奶贝的进价为22元/袋，款牛奶贝的进货总金额y（单位：元）与款牛奶贝的进货量x（单位：袋）之间的关系如图所示． 材料二 为了满足市场需求，七月份该特产店计划采购这两款牛奶贝共1000袋，其中款牛奶贝的进货量不低于300袋，且不高于600袋． 任务： (1)求y关于x的函数解析式． (2)若采购的所有牛奶贝能全部售出，设销售完、两款牛奶贝获总利润为（单位：元），请求出关于x的函数解析式，并为该特产店设计出获得最大总利润的进货方案． 【答案】(1) (2)，进款牛奶贝300袋，款牛奶贝700袋，该特产店能获得最大利润 【分析】（1）利用待定系数法求解； （2）根据题意得款牛奶贝的进货量为袋，根据题意列出w与x之间的函数关系式，根据一次函数的性质求最大值即可． 【详解】（1）解：设函数解析式为， 由图可知直线穿过原点，当时，， 可得， 解得， 所以y关于x的函数解析式为； （2）解：由材料2可得， ， 化简得， ∵， ∴随增大而减小， ∴当时，有最大值为8500， 答：进款牛奶贝300袋，款牛奶贝700袋，该特产店能获得最大利润． 题型三：行程问题 解题思路：①梳理路程、速度、时间，区分匀速、静止等不同运动状态；②设定自变量，结合路程=速度时间建立函数，图像题明确横、纵坐标代表的实际物理量；③读懂图像拐点、交点含义，交点大多代表相遇；④把所求条件代入解析式完成求解。 7．某出租车公司运价执行新标准：日间起步价13元（含3公里），超出3公里后每公里收费2.6元；若单程行驶超过15公里，则超出15公里的部分需加收的空驶费（即超出15公里的部分按3.9元/公里计费）．设某出租车的行驶里程为x公里，运价为y元，当单程行程时，运价y关于x的函数解析式为______． 【答案】 【分析】当时，按收费标准将运价拆分为三部分分别计算，再合并整理即可得到函数解析式． 【详解】解：当时，按收费标准拆分计算运价： 3公里内起步价为13元， 3公里到15公里的路程为公里，这部分费用为元， 超出15公里的路程为公里，这部分费用为元， ∴总运价 整理得： 即 因此，函数解析式为． 8．2026年北京亦庄人形机器人半程马拉松比赛中，某国产机器人跑完（近似为），净用时（近似为），超过了人类男子半马世界纪录．小明通过查找数据将整个跑步过程分为起始高速跑、中途稳速跑、终点前调整、最后冲刺跑四个阶段，并用图象表示路程s（单位：）与时间t（单位：）的大致对应关系，如图所示，下面有四个推断： ①终点前调整阶段用时约为； ②当机器人到达警示温度时，系统会自动下调速度．在比赛开始时该机器人到达警示温度； ③中途稳速跑阶段的平均配速（所用的时间）为； ④全程平均速度约为． 其中合理的是________（填所有合理推断的序号）． 【答案】①③④ 【分析】图象分段：0～15min：起始高速跑；15～45min：中途稳速跑；45～47min：终点前调整；47～50.5min：最后冲刺跑，分别判断结论正误即可． 【详解】解：①终点前调整对应时间区间， 用时：，推断①合理． ②速度对应图像斜率，斜率变小代表速度下调． 图像斜率在处发生变化（15分钟后速度下降），不是，推断②不合理． ③中途稳速用时：， 路程：， 配速（每千米耗时），推断③合理． ④平均速度，推断④合理． 综上，合理推断为①③④． 9．周末，小明去图书馆看书，爸爸回家后发现未带钥匙，于是打电话让小明回家，同时，爸爸骑车沿同一路线去接小明，小明见到爸爸后继续以原速度步行回家，爸爸拿到钥匙后立即以原速度返回．已知两人和家的距离（米）与各自所用的时间（分钟）之间的关系如图所示． (1)家和图书馆的距离为 　　米，　　； (2)求出点的坐标，并写出点所表达的实际意义； (3)求出爸爸离家的路程关于时间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (4)爸爸到家时，小明离家还有多远？ 【答案】(1)3000，24 (2)，点所表达的实际意义是出发12分钟时，小明和爸爸在离家1800米处相遇 (3) (4)爸爸到家时，小明离家还有600米 【分析】（1）根据图象直接求解即可； （2）先求出小明的速度，然后结合图象得出，即可确定点的坐标，再写出表示的实际意义即可； （3）根据题意得出爸爸的速度是（米分钟），然后分两段时间写出函数关系式即可； （4）根据题意直接计算即可． 【详解】（1）解：由图象可知：家和图书馆的距离为3000米，， （2）小明的速度为：（米分钟）， ， 点的坐标为， 点所表达的实际意义是出发12分钟时，小明和爸爸在离家1800米处相遇； （3）， 爸爸的速度是（米分钟）， 当时，， 当时，， ； （4）爸爸到家时，小明离家还有（米， 答：爸爸到家时，小明离家还有600米． 题型四：梯度计价问题 解题思路：①找出收费分界点，划分出自变量对应的不同取值区间；②针对每一段区间，分别写出对应的一次函数解析式；③判断题干给出的数据属于哪一个区间，选用对应解析式；④代入数值计算出最终费用。 10．瓦房店市许屯镇拥有百余年的苹果生产历史，镇上的万亩苹果进入了成熟季．小李想在许屯镇某果园购买一些苹果，经了解该果园苹果的定价为5元/斤，如果一次性购买15斤以上，超过15斤部分的苹果的价格打8折．设小李在该果园购买苹果x斤，付款金额为y元，则y与x之间的函数关系式为__________． 【答案】 【分析】本题考查了列函数的关系式，正确理解题意并分类讨论是解题的关键． 分和两种情况，分别根据付款金额等于单价乘数量列出函数关系式即可． 【详解】解：当时由题意得：， 当时由题意得：， 综上，y与x之间的函数关系式为． 故答案为：． 11．自来水公司为鼓励居民节约用水采取月用水量分段收费的办法，某居民应交水费y（元）与用水量x（吨）的函数关系如图所示，若该居民本月用水量为18吨，则应交水费为（     ） A．42 B．43.2元 C．45元 D．46.8元 【答案】D 【分析】分和，分别求得解析式，根据自变量的范围，选择解析式后代入计算解答即可． 【详解】解：当时，设解析式为， 把代入解析式，得， 解得， 故解析式为， 当时，设直线的解析式为，代入，， 得， 解得， 直线的解析式为， ， 故． 12．为了鼓励市民节约用水，某地区采用分档计费的方式计算水费．下表是根据户年用水量进行分档计费的标准： 户年用水量（） 水费单价（元/） 不超过的部分 超过的部分 已知A户去年的户年用水量为，去年整年的水费是元，设户年用水量为（），整年的水费为（元）． (1)的值为________； (2)求关于的函数解析式； (3)已知B户去年整年的水费是元，求B户去年的户年用水量． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据A户去年的户年用水量为小于进行计算即可； （2）分情况讨论进行求解即可； （3）先算出B户去年的户年用水量大于，据此计算即可． 【详解】（1）解：∵A户去年的户年用水量为， ∴，解得； （2）解：当时， 关于的函数解析式为， 当时，关于的函数解析式为， 关于的函数解析式为； （3）解：当时，， 户去年的户年用水量大于， 将代入，得， 解得． 答：B户去年的户年用水量为． 题型五：其他问题 解题思路：①读题识别均匀变化的两个变量，确定自变量和因变量；②提取题目已知条件，构建一次函数并标注自变量取值范围；③将问题条件代入解析式计算；④检验计算结果是否符合现实意义，再写答案。 13．工人要铺设一段总长50米的水管，铺设过程中剩余未铺水管的长度L（米）和工人工作时长t（小时）之间的关系为，其中的实际意义是（     ） A．每小时能够铺设的水管长度 B．工作t小时一共铺设的水管总长度 C．还未铺设的水管长度 D．需要铺设的水管总长度 【答案】B 【分析】根据剩余未铺水管长度总水管长度已铺设水管长度推导即可． 【详解】解：∵已知总水管长为米，且， ∴已铺设水管长度， 因此的实际意义是工作小时一共铺设的水管总长度． 14．某单位准备和甲乙两个出租公司中的一家签订租车合同，设汽车每月行驶千米，每月应付给甲公司的费用为元，付给乙公司的费用为元，、与的关系如图，若该单位每月行驶的路程为，为了使费用较少，则应选择________公司（填“甲”或“乙”）． 【答案】乙 【分析】由函数图象可知，当时，，据此可得答案． 【详解】解：由函数图象可知，当时，， ∴若该单位每月行驶的路程为，为了使费用较少，则应选择乙公司． 15．某学校的学习小组计划用同种型号的玻璃瓶制作一组水瓶乐器．根据物理学中的振动频率和音调的关系可知，在敲击玻璃瓶时，声音的振动频率随瓶中水位高度的变化而变化．水位越高，振动越慢，音调越低；水位越低，振动越快，音调越高．学习小组通过查阅资料并进行了多次实验，获得如下信息： ①水瓶不同水位高度与对应的振动频率的部分数据如下表（表）： 水位高度 频率 ②七个音阶与频率的对照表．（表）： 音阶 频率 根据以上信息，解答下列问题： (1)求水瓶乐器的频率与水位高度的函数关系式（不要求写出的取值范围）． (2)已知玻璃杯中的水量是随水位高度均匀变化的，当玻璃杯中的水位高度为时，所使用的水量为．当水位每升高时，则所使用的水量增加，若用筷子敲击一次玻璃杯的杯口，想发出的音阶为，求应该在玻璃杯中装多少毫升的水． 【答案】(1) (2)毫升 【分析】（1）先确定频率与水位高度满足一次函数关系，再由待定系数法求解即可； （2）先求出音阶为所对应的，再求出与的函数关系式，即可求解． 【详解】（1）解：，再计算其余各组数据可得，每增加，大约减少，故频率与水位高度满足一次函数关系， 设， ∵； ∴ 解得 ∴频率与水位高度的函数关系式为； （2）解：当发出的音阶为，则， 则， 解得， 由题意得，， 当时，（毫升） 答：应该在玻璃杯中装毫升的水． 题型六：一次函数与几何综合 解题思路：①计算一次函数与x轴、y轴的交点坐标；②把坐标转化为几何图形边长，边长结果必须取正值；③多个函数时联立解析式求交点，结合三角形面积等几何公式列式；④完成几何相关计算，写出结果。 16．对于每个，函数是，，，这三个函数中的最小值，其中这三个函数图象如图所示，则函数的最大值是（   ） A． B．6 C．4 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了正比例函数的性质、一次函数的性质，熟练掌握并能灵活运用一次函数的性质是关键．依据这三个函数图象，即可解答． 【详解】解：由题意，在同一坐标系中这三个函数图象如下． 又联立方程组， ∴， ∴结合图象可得满足题意的最大值为． 故选：D． 17．如图①，在四边形中，，，点从点出发，以每秒个单位长度的速度按的顺序在边上匀速运动，设点的运动时间为秒，的面积为，关于的函数图象如图②所示，（1）的长为_______．（2）当点运动到中点时，的面积为_______． 【答案】 8 20 【分析】（1）由图象可知，，，即可求出的长；（2）先根据图象求出，，进而得出点运动到中点时的值，利用待定系数法求出，当时，，再将代入计算即可． 【详解】解：（1）由图象可知，，， ； （2）当时，点运动到点时，此时， ， ， ，， ， 由图象可知，当点运动到点时，； ， ，此时， ， 点运动到中点， ，此时， 当时，设， 将点和代入得， 解得：， ， 当时，， 即当点运动到中点时，的面积为20． 18．函数的图象记为，当与轴存在两个交点时，设交点为和（点在点的左侧）， (1)当时，直接写出与的函数的关系式； (2)当时，求出点和点的坐标； (3)当在小于等于0的部分的最高点到轴的距离为3时，求的值； (4)点的坐标为，点的坐标为，当与线段有且仅有一个公共点时，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)， (3)的值为或 (4)或 【分析】（1）将代入分段函数，直接写出解析式； （2）令，分别在自变量的取值范围内求解，根据点在点左侧确定坐标； （3）分顶点在和两种情况，结合最高点到轴的距离列方程求解； （4）先求直线与的交点横坐标，再根据交点在线段上的个数列不等式，确定的取值范围，即可求解． 【详解】（1）解：当时， 代入分段函数得 ． （2）当时， 函数解析式为． 令， 当时，，解得，符合条件； 当时，，解得，符合条件． ∵点在点左侧， ∴，． （3）对于分段函数， 当时，随的增大而增大； 当时，随的增大而减小； 当时，取得最大值，即顶点坐标为． 分两种情况讨论： ①当时，顶点在的范围内， 此时部分的最高点为顶点，到轴的距离为 ． ∵， ∴ ，解得． ②当时，的部分均满足， 随的增大而增大，故最高点在处， 此时，到轴的距离为 ． ∵， ∴ ，解得． 综上所述，的值为或． （4）由题意得，线段的解析式为（）． 令， 当时，，解得，记为； 当时， ，解得 ，记为． 当时， ，，两个解均有效； 当时，无有效解或仅有一个解（不在范围内）． 与线段有且仅有一个公共点，即，中恰好一个满足． 分两种情况： ①在内，， 则， 解得 ． ②在内，， 则， 解得 ． 综上所述，的取值范围是 或 ． 题型七：已知直线与坐标轴交点求方程的解 解题思路：①直线与x轴交点横坐标，就是方程kx+b=0的解；②直线与y轴交点纵坐标等于b；③把交点坐标代入y=kx+b，求解参数k；④整理写出完整的函数解析式。 19．一次函数，当时，________，这条直线与x轴的交点的坐标是________，因此，方程的解是________． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程，一次函数图象上点的坐标特征，牢记直线上任意一点的坐标都满足函数关系式是解题的关键．代入求出的值，进而可得出这条直线与轴的交点坐标，于是得到方程的解． 【详解】解：当时，， 解得：， 这条直线与轴的交点是． 方程的解是， 故答案为：；，． 20．如图，一次函数与的图象相交于点，则关于的方程的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程，熟练掌握一次函数的性质是解题关键．先将点代入一次函数可得，从而可得点的坐标为，再将点代入一次函数可得，由此即可得． 【详解】解：由题意，将点代入一次函数得：，解得， ∴点的坐标为， ∵点在一次函数的图象上， ∴， ∴关于的方程的解是， 故选：A． 21．如图，平面直角坐标系中，在直线和轴之间由小到大依次画出若干个等腰直角三角形（如图所示的阴影部分），其中一条直角边在轴上，另一条直角边与轴垂直，则第个等腰直角三角形的直角边长是 ______ ． 【答案】 【分析】本题考查了规律型—数的变化，一次函数图象上点的坐标特征以及三角形的面积，利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出直线与轴的交点坐标，进入可得出第个等腰直角三角形直角边的长，结合三角形的面积公式，可得出第个等腰直角三角形的面积，同理，可求出第，，个等腰直角三角形直角边的长及面积，根据数的变化，可找出“第个等腰直角三角形直角边的长为，找出变化规律是解题的关键． 【详解】解：当时，， ∴直线与轴交于点， ∴第个等腰直角三角形直角边的长为， 当时，， ∴第个等腰直角三角形直角边的长为， 当时，， ∴第个等腰直角三角形直角边的长为， 当时，， ∴第4个等腰直角三角形直角边的长为， ， ∴第个等腰直角三角形直角边的长为， 故答案为：． 题型八：由一元一次方程的解判断直线与 x 轴的交点 解题思路：①解一元一次方程kx+b=0，求得方程的解；②该解就是直线与x轴交点的横坐标；③直线与x轴交点纵坐标恒为0；④写出交点坐标(解,\0)。 22．若关于x的方程的解为，则直线一定经过点（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据方程可知当x=2，y=0，从而可判断直线y=-2x+b经过点（2，0）． 【详解】解：由方程的解可知：当x=2时，-2x+b=0，即当x=2，y=0， ∴直线y=-2x+b的图象一定经过点（2，0）， 故选：A． 【点睛】本题主要考查的是一次函数与一元一次方程的关系，掌握一次函数与一元一次方程的关系是解题的关键． 23．已知关于x的方程的解为，则一次函数的图象与x轴的交点坐标为______． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数和一元一次方程的关系，熟练掌握一次函数图象上点的坐标特征是解题的关键． 根据方程解的定义求得a的值，再令，即可求得一次函数与x轴的交点坐标． 【详解】解：∵关关于x的方程的解为， ∴， 解得：． ∴一次函数为， 令，得． 解得：， ∴一次函数与x轴交点的坐标为． 故答案为． 24．如图，直线分别与x轴、y轴交于点A、B，点C在线段上，线段沿翻折．点O落在边上的点D处，则的长度为____________． 【答案】5 【分析】本题考查了一次函数图象与坐标轴的交点，折叠的性质，勾股定理等知识，求出点C坐标是解答本题的关键． 由直线解析式可求出点A和点B的坐标，进而可求出，，再由勾股定理可求出．由折叠可知，，，从而可求出．设，则，在中，利用勾股定理可列出关于x的方程，解出x，即可求解． 【详解】解：对于直线，令，则， 解得：， ∴， ∴． 令，则， ∴， ∴， ∴． 由折叠可知，，， ∴． 设，则， ∵在中，， ∴， 解得：， ∴， ∴． 故答案为：5． 题型九：利用图象法解一元一次方程 解题思路：①把原一元一次方程整理变形为kx+b=0的形式；②对应写出一次函数y=kx+b；③观察函数图像，找到图像与x轴交点；④交点的横坐标就是该方程的解。 25．直线的图象如图所示，则方程的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数图像与一元一次方程的关系，熟练运用数形结合思想是解题的关键． 【详解】解：∵在的图象上， ∴方程的解是 故选：B． 26．如图，若一次函数与相交于点，则关于的方程的解是______． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程的关系.将方程变形为，可知方程的解即为两函数图像交点的横坐标．根据交点坐标即可得出答案． 【详解】解：由方程，移项得， ∵一次函数与的图像相交于点， ∴当时，成立， ∴关于��的方程的解是． 27．一次函数：与的图象如图所示，下列选项不正确的是（    ） A．随x 的增大而减小 B．函数 的图象不经过第二象限 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式， 一次函数的图象与性质，掌握一次函数的图像和性质，利用数形结合是解题的关键. 【详解】由图象可得：对于函数来说,随的增大而减小，故A正确，不符合题意； ∵ ∴函数 的图象经过第一，三， 四象限，不经过第二象限，故B正确，不符合题意； ∵一次函数 与 的图象的交点的横坐标为 ， ，故C正确，不符合题意； 当 时, ， 由图象可知 ，即，故D错误，符合题意； 故选: D. 解答题 1．利用函数图象解下列方程 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将变化为，画出函数的图象，利用一次函数与x轴的交点即可得到答案； （2）将变化为，画出函数的图象，利用一次函数与x轴的交点即可得到答案． 【详解】（1）解：将变化为，画出函数的图象， 如图，直线与x轴的交点坐标为， 即方程的解为； （2）解：将变化为，画出函数的图象， 如图，直线与x轴的交点坐标为， 即方程的解为． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次方程：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值．从图象上看，相当于已知直线 确定它与x轴的交点的横坐标的值．也考查了数形结合的思想． 2．某市公交公司推出企业通勤包车服务，提供两种燃油计费方案，具体如下： 方案一：无基础服务费，每千米燃油费用为0.6元． 方案二：每日固定基础服务费18元，行驶路程不超过时，每千米燃油费0.5元；行驶路程超过时，超出部分每千米燃油费0.4元． (1)设每日通勤燃油总费用为W元，分别求出两种计费方案下W关于行驶路程x的函数解析式． (2)若企业每日通勤行驶路程，请求出该企业选择哪种燃油计费方案更划算． 【答案】(1)方案一：；方案二：当时，；当时， (2)选方案一更划算 【分析】（1）根据两个方案中的燃油计费规则分别写出函数解析式即可； （2）分别求出当时的燃油费用，然后比较大小即可得出结论． 【详解】（1）解：根据题意，方案一：． 方案二：分段计费，分两种情况： 当时，； 当时，； （2）解：当时， ，， ， ∴选方案一更划算． 3．某文具店计划购进甲、乙两种笔记本共100本，这两种笔记本的进价、售价如表： 类型 进价/（元/本） 售价/（元/本） 甲种 3 4.5 乙种 5 7 受市场需求限制，乙种笔记本的进货数量不超过甲种笔记本进货数量的2倍，设文具店购进甲种笔记本x本，销售完这批笔记本的总利润为y元． (1)求y与x之间的函数关系式． (2)应如何安排进货，才能使销售完这批笔记本的利润最大，最大利润为多少元？ 【答案】(1) (2)购进甲种笔记本34本，乙种笔记本66本时利润最大，最大利润为183元 【分析】（1）根据总利润等于两种笔记本的利润和，推导得到y与x的函数关系式； （2）根据乙的进货量限制求出x的取值范围，最后利用一次函数的性质求出最大利润． 【详解】（1）解：由题意可知，购进甲种笔记本本，则购进乙种笔记本本， 甲每本利润为元，乙每本利润为元， 总利润， 因此与的函数关系式为， （2）解：由函数可知，系数， ∴随的增大而减小， ∴当取最小值时，可取得最大值， 根据题意列不等式组：， 解得，且为正整数， ，为正整数， 的最小取值为，此时， 将代入函数得最大利润：（元） 答：购进甲种笔记本34本，乙种笔记本66本时，销售完这批笔记本的利润最大，最大利润为183元． 4．某校八年级学生外出参加实践活动，家长志愿者乘坐小巴士，学生乘坐大巴士沿着相同的路线同时匀速前往目的地．小巴士送完家长后立即匀速返回学校（家长下车时间忽略不计），大巴士因交通管制，在中途停留了一会后继续保持原速前往．如图是两辆巴士距学校的距离与行驶时间之间的图象．结合图象信息解答下列问题： (1)大巴士遇到交通管制时已经行驶了_____，因交通管制，在中途停留了_____； (2)求大巴士交通管制停留后，再前往目的地的过程中，与之间的函数解析式（无需写出自变量的取值范围）： (3)直接写出在大巴士到达目的地前，两车出发多长时间，两车相距． 【答案】(1)120； (2) (3)或或 【分析】（1）根据函数图象所给的信息可得答案； （2）求出大巴士交通管制停留后的速度，再用120加上大巴士交通管制停留后行驶的距离即可得到对应的函数解析式； （3）求出小巴士去目的地的速度和返回学校的速度，以及大巴士行驶过程中的速度，再分三种情况：大巴士交通管制停留前，两车相距、大巴士停留过程中，两车相距和大巴士交通管制停留后，两车相距，分别建立方程求解即可． 【详解】（1）解：由函数图象可知，大巴士遇到交通管制时已经行驶了，因交通管制，在中途停留了； （2）解：大巴士交通管制停留后的速度为， ∴； （3）解：大巴士行驶过程中的速度为， ∴， 小巴士去目的地的速度为，返回学校的速度为， 小巴士去时的解析式：，小巴士返回解析式：， 当大巴士交通管制停留前，两车相距时，则，解得； 当大巴士停留过程中，两车相距时，则，解得； 当大巴士交通管制停留后，两车相距时，则， 解得； 或， 解得（舍去）； 综上所述，在大巴士到达目的地前，两车出发或或时，两车相距． 5．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，B、C两点分别在x轴、直线上运动．若以为直角边的为等腰直角三角形，求点C的坐标． 【答案】或或． 【分析】分两种情况讨论：和，根据坐标两点的距离以及等腰直角三角形的定义分别求解即可． 【详解】解：当时，， 点A的坐标为， 点的横坐标为， 将代入，得， ； 当时，， 设，则， ，， ， 解得：或， 或， 综上可知，点C的坐标为或或． 6．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交A、B两点，与直线相交于点． (1)求m和b的值； (2)若直线与x轴相交于点D，动点P从点D开始，以每秒2个单位的速度向x轴负方向运动，设点P的运动时间为t秒． ①点A的坐标为 ，点D的坐标为 ； ②若点P在线段上，且的面积为10时，求t的值； ③直接写出t为何值时，为等腰三角形． 【答案】(1)， (2)①，；②；③为等腰三角形时，t的值为4或或或6 【分析】本题考查一次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键． （1）将点代入，求出m的值，再代入中求出b即可； （2）把代入直线解析式，即可求得； 利用面积公式列出方程进行求解即可； 分三种情况： ，和分别求t的值即可． 【详解】（1）解：在中， 当时，， 当时，， ，， 点在直线上， ， ， 又点也在直线上， ， 解得，， ，； （2）解：直线与轴相交于点， 由（1）得， ， 解得， 点的坐标为， 由（1）得点的坐标为； 故答案为：，； 过点作于点，即为的高，如图所示， ，， ， 的面积为， ，， ，， ， 设，则， ， 解得； 为等腰三角形有三种情况： 过作于，如图1所示， 则，， ， ， 第一种情况：当时，， ， 此时，解得； 第二种情况：当时，和分别在点两侧，如图2所示， 则， ， ， 或，解得或； 第三种情况：当时，如图3所示， 设，则， ， ， 解得，， 与重合，， ， ，解得； 答：为等腰三角形时，的值为或或或． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $