专题15平行线的证明精讲学案(核心重点+高频易错+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年北师大版八年级数学上册

本讲义聚焦平行线的证明，系统梳理平行公理及其推论，平行线的判定（同位角相等、内错角相等、同旁内角互补等）与性质（两直线平行得角关系），明确判定与性质的因果逻辑，强调几何证明“步步有据”的书写规范，构建从公理到应用的学习支架。 资料通过重点辨析易错点（如判定与性质颠倒、同旁内角互补条件），分题型设计（10类基础题+拔高题，难度分级），结合生活实例（轨道支架、机器狗巡检），培养学生几何直观与推理意识，课中助力教师系统教学，课后帮助学生查漏补缺，强化严谨思维。

专题15平行线的证明精讲学案 核心立意： 掌握平行公理及其推论、平行线判定公理与定理、平行线性质定理；分清判定与性质的因果逻辑，熟练完成平行线相关简单演绎证明，体会几何证明“步步有据”的严谨要求。 平行公理及其推论 ❶平行公理：过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。 ❷平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。（平行于同一条直线的两条直线互相平行） 平行线的判定（角的关系 ⇒ 两直线平行） ❶公理（基本事实）：同位角相等，两直线平行； ❷定理：内错角相等，两直线平行； ❸定理：同旁内角互补，两直线平行； ❹补充判定：同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行。 平行线的性质（两直线平行 ⇒ 角的关系） ❶定理：两直线平行，同位角相等； ❷定理：两直线平行，内错角相等； ❸定理：两直线平行，同旁内角互补。 判定与性质逻辑区分 ❶判定：已知角相等或互补，推出两直线平行；用途：证明两条直线位置平行； ❷性质：已知两直线平行，推出角相等或互补；用途：推导角的数量大小关系。 几何证明书写规范 ❶每一步推理必须写明推理依据：已知、定义、公理、定理； ❷禁止依靠图形目测直观下结论； ❸证明过程可结合对顶角相等、邻补角定义完成角度条件转化。 重点辨析 ❶判定与性质因果顺序不可颠倒，为本节课最高频易错点； ❷推导平行时是同旁内角互补，不是同旁内角相等； ❸使用平行线性质的前提：两直线必须平行，不平行则同位角、内错角不一定相等； ❹“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”必须限定同一平面内； ❺平行公理的关键条件：点在直线外，点在直线上时，不存在已知直线的平行线。 1. 混淆平行线判定与性质，颠倒条件和结论。 2. 定理记忆错误，误用“同旁内角相等，两直线平行”。 3. 两直线不平行，直接套用平行线性质推导角相等。 4. 忽略“同一平面内”，乱用垂直推平行的结论。 5. 忽略平行公理“直线外一点”的前提，点在直线上仍讨论作平行线。 6. 几何证明省略推理依据，凭图形主观得到角度、平行关系。 7. 不会利用对顶角、邻补角完成角度条件转换。 题型 考察方向 难度 题型一 同位角相等两直线平行 ★ 题型二 内错角相等两直线平行 ★ 题型三 同旁内角互补两直线平行 ★★ 题型四 同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行 ★★ 题型五 平行公理的应用 ★ 题型六 平行公理推论的应用 ★★ 题型七 两直线平行同位角相等 ★ 题型八 两直线平行内错角相等 ★ 题型九 两直线平行同旁内角互补 ★★ 题型十 根据平行线判定与性质证明 ★★★ 拔高题 6题 星级说明：★基础；★★中档；★★★拔高； 题型一：同位角相等两直线平行 解题思路：①在几何图形中识别同位角（F型模型），②结合题干已知条件、对顶角相等、邻补角性质完成角度推导，证得该组同位角相等，③依据“同位角相等，两直线平行”的基本事实，判定两条被截直线平行。 1．如图，请写出一组角的数量关系，使成立：________． 2．如图，已知直线与直线分别交于点，，且．在不加辅助线的基础上，若增加一个条件使得，则这个条件可以是_________． 3．如图，下列条件中，不能判定直线的是（     ） A． B． C． D． 4．如图，若，则下面结论正确的是（   ） A． B． C． D． 题型二：内错角相等两直线平行 解题思路：①在几何图形中识别内错角（Z型模型），②借助角度运算、等量代换，推导出一组内错角相等，③运用平行线判定定理，证明两条被截直线相互平行。 5．如图，只添加一个条件_____________，就能得出． 6．如图，在下列给出的条件中，可以判定的有______． ①；②；③；④；⑤． 7．如图，直线被直线所截，点B在直线上，连接，下列条件能判定的是（     ） A． B． C． D． 8．如图，在与中，，，，，交于点，连接．下列结论：①；②；③；④，其中正确的是（　　） A．①②④ B．②③④ C．①②③ D．①②③④ 题型三：同旁内角互补两直线平行 解题思路：①在几何图形中识别同旁内角（U型模型），②通过角度推导得到两个角的度数和为180，证得两角互补，③依据“同旁内角互补，两直线平行”判定两直线平行。 9．如图，能判断直线的条件是（     ） A． B． C． D． 10．如图，，，是否与平行，若不平行，需添加___________（只填出一种即可）的条件，使． 11．城市交通的轨道支架框架如图，下列条件中能判定轨道横梁的有______个（     ） ①； ②； ③； ④， A． B． C． D． 题型四：在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行 解题思路：①审题确认题干满足“同一平面内”的限定条件，②提取两条直线同时垂直于第三条直线的条件，得到两组90垂直角，③借助角的等量关系或者直接使用该推论，判定两条直线平行。 12．已知直线，，为同一平面内的三条直线，如果且，那么直线与的位置关系是（   ） A．互相平行 B．互相垂直 C．相交 D．互相平行或相交 13．如图，已知，，在不添加任何辅助线和字母的情况下，请你补充一个条件___________（只写出一种情况即可），使． 14．下列各图中，能画出的是（     ） A．①②③ B．①②④ C．③④ D．①②③④ 题型五：平行公理的应用 解题思路：①把握平行公理核心条件：作平行线的点必须在已知直线外，②判断若点落在已知直线上，则不存在该直线的平行线，③利用公理完成概念辨析、正误判断类选择题。 15．如图，，点D在上，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 16．如图，小云在手工课上用丝线绣了一个“2”，， ，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 17．如图①是城市道路上的可调节路灯，其示意图如图②，灯杆与地面垂直，支撑杆与灯杆的夹角，支撑杆与灯臂的夹角，为了适配不同路段的照明需求，灯臂与灯头的夹角可调节．若将灯头调节与地面平行（），则的度数为________． 题型六：平行公理推论的应用 解题思路：①确定充当传递媒介的第三条公共直线，②梳理得到两组有效的平行关系，③运用平行的传递性，推导出另外两条直线互相平行。 18．如图是小明家装修时拖拉柜子的截面示意图，天花板与地面互相平行，天花板上的点与柜子上的点用绳子相连．某一时刻，测得，，则（     ） A． B． C． D． 19．如图，小明在走廊上看到一个“安全出口”标志，他从中抽象出这样一个数学图形，其中，，，，，则________． 20．在合肥轨道交通云谷路站试点使用机器狗（如图1）每日按照预设路线自主巡检．如图2是某机器狗身体结构的平面示意图，，若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 题型七：两直线平行同位角相等 解题思路：①提取题干“两直线平行”的前提条件，②定位两条平行线被截形成的对应同位角，③根据平行线性质定理，得到同位角相等，用于角度计算或者等量代换。 21．如图，已知，分别交，于点，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 22．如图，直线，量角器的零刻度线与重合，其中心与，的交点重合，则的度数为（     ） A．130 B．55 C．50 D．45 23．如图，纸片的边缘、互相平行，将纸片沿折叠，使得点，分别落在点，处，若，则的度数是______°． 题型八：两直线平行内错角相等 解题思路：①明确题干给出两直线平行的已知条件，②定位两条平行线被截形成的对应内错角（Z型模型），③利用平行线性质定理，推出内错角相等，求解对应未知角度。 24．如图，直线，则能推出与相等的角是（     ） A． B． C． D． 25．如图，，于点，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 26．在现代电气化铁路飞速发展的今天，列车飞驰的背后离不开一套关键设备——受电弓如图①．正是它为列车提供着源源不断的动力，保证了高铁高速顺畅地运行．其示意图如图②，若在某一时刻，，，则__________． 题型九：两直线平行同旁内角互补 解题思路：①确定题干已知两直线互相平行，②定位两条平行线被截形成的对应同旁内角（U型模型），③依据平行线性质定理得到两角互补，即角度和为180，列等式求解未知角。 27．如图，直线，是截线，若 ，则的度数是（     ） A． B． C． D． 28．如图，交于点O， ，若，则的度数是______度． 29．“跳皮筋”是我们小时候常玩的游戏，如图，执皮筋的两个小朋友分别用，表示，皮筋用折线表示，若，，，则（） A． B． C． D． 题型十：根据平行线判定与性质证明 解题思路：①仔细审题，区分题干已知条件与待证结论，②理清推理逻辑链：利用角的数量关系，通过平行线判定推证直线平行；再借助直线平行，利用平行线性质导出新的角关系，③每一步推导标注规范推理依据，包含已知、基本事实、定理、等量代换、对顶角相等，④灵活交替使用判定与性质，完成完整几何证明。 30．如图，已知，为判定，甲、乙、丙分别添加了一个条件，下列判断正确的是（    ） 甲：；乙：；丙： A．乙不可行，丙可行 B．甲和乙都可行 C．甲和丙都不可行 D．甲可行，丙不可行 31．如图，线段和表示两面镜子，且直线直线，光线经过镜子反射到镜子，最后反射到光线．光线反射时，，，下列结论： ①直线直线； ②的平分线所在直线与的平分线所在直线平行； ③的平分线所在直线垂直于直线； ④如果，那么． 其中正确的是______（填序号） 32．如图，．甲、乙两名同学分别添加了一个条件． 甲：． 乙：． 下列关于添加条件后，能使的判断正确的是（     ） A．甲、乙都能 B．甲能、乙不能 C．甲不能，乙能 D．甲、乙都不能 解答题 1．如图：，于点，于点．则．请说明理由（补全解答过程）． 解：因为， 所以．（ ） 所以 ．（ ） 因为，， 所以 ， 所以 ， 所以． 2．如图，．求证：． 3．方方在学校楼道上看到“安全出口”标志（如图①），他从中抽象出几何图形（如图②），已知，，． (1)判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若，，求的度数． 4．如图，已知，是内的一条线段，且，过点作平行，交于点． (1)求的度数； (2)过点作射线，若，射线所在的直线与直线相交于点．求的度数． 5．如图，，点为两平行线间的一点，请证明两个结论． (1)； (2)． 6．如图，，． (1)求证：． (2)若，，求证：． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题15平行线的证明精讲学案 核心立意： 掌握平行公理及其推论、平行线判定公理与定理、平行线性质定理；分清判定与性质的因果逻辑，熟练完成平行线相关简单演绎证明，体会几何证明“步步有据”的严谨要求。 平行公理及其推论 ❶平行公理：过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。 ❷平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。（平行于同一条直线的两条直线互相平行） 平行线的判定（角的关系 ⇒ 两直线平行） ❶公理（基本事实）：同位角相等，两直线平行； ❷定理：内错角相等，两直线平行； ❸定理：同旁内角互补，两直线平行； ❹补充判定：同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行。 平行线的性质（两直线平行 ⇒ 角的关系） ❶定理：两直线平行，同位角相等； ❷定理：两直线平行，内错角相等； ❸定理：两直线平行，同旁内角互补。 判定与性质逻辑区分 ❶判定：已知角相等或互补，推出两直线平行；用途：证明两条直线位置平行； ❷性质：已知两直线平行，推出角相等或互补；用途：推导角的数量大小关系。 几何证明书写规范 ❶每一步推理必须写明推理依据：已知、定义、公理、定理； ❷禁止依靠图形目测直观下结论； ❸证明过程可结合对顶角相等、邻补角定义完成角度条件转化。 重点辨析 ❶判定与性质因果顺序不可颠倒，为本节课最高频易错点； ❷推导平行时是同旁内角互补，不是同旁内角相等； ❸使用平行线性质的前提：两直线必须平行，不平行则同位角、内错角不一定相等； ❹“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”必须限定同一平面内； ❺平行公理的关键条件：点在直线外，点在直线上时，不存在已知直线的平行线。 1. 混淆平行线判定与性质，颠倒条件和结论。 2. 定理记忆错误，误用“同旁内角相等，两直线平行”。 3. 两直线不平行，直接套用平行线性质推导角相等。 4. 忽略“同一平面内”，乱用垂直推平行的结论。 5. 忽略平行公理“直线外一点”的前提，点在直线上仍讨论作平行线。 6. 几何证明省略推理依据，凭图形主观得到角度、平行关系。 7. 不会利用对顶角、邻补角完成角度条件转换。 题型 考察方向 难度 题型一 同位角相等两直线平行 ★ 题型二 内错角相等两直线平行 ★ 题型三 同旁内角互补两直线平行 ★★ 题型四 同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行 ★★ 题型五 平行公理的应用 ★ 题型六 平行公理推论的应用 ★★ 题型七 两直线平行同位角相等 ★ 题型八 两直线平行内错角相等 ★ 题型九 两直线平行同旁内角互补 ★★ 题型十 根据平行线判定与性质证明 ★★★ 拔高题 6题 星级说明：★基础；★★中档；★★★拔高； 题型一：同位角相等两直线平行 解题思路：①在几何图形中识别同位角（F型模型），②结合题干已知条件、对顶角相等、邻补角性质完成角度推导，证得该组同位角相等，③依据“同位角相等，两直线平行”的基本事实，判定两条被截直线平行。 1．如图，请写出一组角的数量关系，使成立：________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据同位角相等两直线平行即可得到答案． 【详解】解：当时， ∵与是直线和被直线所截形成的同位角， ∴根据同位角相等，两直线平行，可得． 2．如图，已知直线与直线分别交于点，，且．在不加辅助线的基础上，若增加一个条件使得，则这个条件可以是_________． 【答案】 【分析】本题主要考查平行线的判定，掌握平行线的判定方法是解题的关键，即①同位角相等，两直线平行，②内错角相等，两直线平行，③同旁内角互补，两直线平行． 根据平行线的判定，可利用同位角相等，两直线平行得出答案． 【详解】解：增加一个条件：，理由如下： ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴（同位角相等，两直线平行）． 3．如图，下列条件中，不能判定直线的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直接利用平行线的判定方法：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；分别判断各选项即可． 【详解】解：A、（同位角相等，两直线平行），可以判断，不符合题意； B、不属于同位角、内错角或同旁内角，不能判断，符合题意； C、（内错角相等，两直线平行），可以判断，不符合题意； D、（同旁内角互补，两直线平行），可以判断，不符合题意． 4．如图，若，则下面结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的判定定理，掌握识别同位角的位置关系，以及利用同位角相等，两直线平行判定两直线平行是解题的关键． 先确定与的位置关系，判断它们是哪两条直线被哪条直线所截形成的同位角，再根据同位角相等，两直线平行判定平行的直线． 【详解】解：与是直线被直线所截形成的同位角， ∵ （已知）， ∴ 根据同位角相等，两直线平行，可得． 故选：B． 题型二：内错角相等两直线平行 解题思路：①在几何图形中识别内错角（Z型模型），②借助角度运算、等量代换，推导出一组内错角相等，③运用平行线判定定理，证明两条被截直线相互平行。 5．如图，只添加一个条件_____________，就能得出． 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：添加一个条件， （内错角相等，两直线平行）． 6．如图，在下列给出的条件中，可以判定的有______． ①；②；③；④；⑤． 【答案】④ 【分析】根据平行线的判定条件进行逐一判断即可． 【详解】①无法得到，不符合题意； ②可得，不符合题意； ③可得，不符合题意； ④可得，符合题意； ⑤得，不符合题意． 7．如图，直线被直线所截，点B在直线上，连接，下列条件能判定的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行线的判定进行解答即可． 【详解】解：∵， ∴（内错角相等，两直线平行） 故D选项符合题意， 其他选项都不能判定． 8．如图，在与中，，，，，交于点，连接．下列结论：①；②；③；④，其中正确的是（　　） A．①②④ B．②③④ C．①②③ D．①②③④ 【答案】C 【分析】由“”可证≌，由全等三角形的性质依次判断可求解． 【详解】解：在和中， ， ， ，，，故②正确， ，故①正确， ， ，故③正确， 若，则， ， ，显然与题目条件不符故④错误， 故选：． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键． 题型三：同旁内角互补两直线平行 解题思路：①在几何图形中识别同旁内角（U型模型），②通过角度推导得到两个角的度数和为180，证得两角互补，③依据“同旁内角互补，两直线平行”判定两直线平行。 9．如图，能判断直线的条件是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图： 由图可知：、， 若，即，则， 若，即，则， 故选：C． 10．如图，，，是否与平行，若不平行，需添加___________（只填出一种即可）的条件，使． 【答案】或或． 【分析】根据两直线平行的判定定理判断． 【详解】∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：或或． 【点睛】此题考查了直线的判定定理，解题的关键是熟悉两直线平行的判定定理． 11．城市交通的轨道支架框架如图，下列条件中能判定轨道横梁的有______个（     ） ①； ②； ③； ④， A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：对于①：同旁内角互余不能判定，故①错误； 对于②：与不是直线与直线被第三条直线所截形成的角，不能判定平行，故②错误； 对于③：根据“内错角相等，两直线平行”可判定，故③正确； 对于④：根据“同位角相等，两直线平行”可判定，故④正确； 综上，符合要求的条件有2个． 题型四：在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行 解题思路：①审题确认题干满足“同一平面内”的限定条件，②提取两条直线同时垂直于第三条直线的条件，得到两组90垂直角，③借助角的等量关系或者直接使用该推论，判定两条直线平行。 12．已知直线，，为同一平面内的三条直线，如果且，那么直线与的位置关系是（   ） A．互相平行 B．互相垂直 C．相交 D．互相平行或相交 【答案】A 【分析】根据 “同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的结论即可求解． 【详解】∵ ，， 是同一平面内的三条直线，且满足和， ， 因此直线m与n的位置关系是互相平行． 13．如图，已知，，在不添加任何辅助线和字母的情况下，请你补充一个条件___________（只写出一种情况即可），使． 【答案】（答案不唯一） 【分析】在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行． 【详解】解：∵， ∴当补充时，即可得出． 14．下列各图中，能画出的是（     ） A．①②③ B．①②④ C．③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的判定定理，熟练掌握平行线的判定定理是解此题的关键．根据平行线的判定定理逐项判断即可得出答案． 【详解】解：根据同位角相等，两直线平行，可得①正确； 根据垂直于同一直线的两条直线平行，可得②、③正确； 根据内错角相等，两直线平行，可得④正确； 故选：D． 题型五：平行公理的应用 解题思路：①把握平行公理核心条件：作平行线的点必须在已知直线外，②判断若点落在已知直线上，则不存在该直线的平行线，③利用公理完成概念辨析、正误判断类选择题。 15．如图，，点D在上，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据，得出，再根据两直线平行，同旁内角互补解答即可； 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 16．如图，小云在手工课上用丝线绣了一个“2”，， ，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点C作，得出，根据平行线的性质推出，求出，进一步可得答案． 【详解】解：过点C作， ， ， ， ， ， ， . 17．如图①是城市道路上的可调节路灯，其示意图如图②，灯杆与地面垂直，支撑杆与灯杆的夹角，支撑杆与灯臂的夹角，为了适配不同路段的照明需求，灯臂与灯头的夹角可调节．若将灯头调节与地面平行（），则的度数为________． 【答案】 【分析】过点E作，过点G作，根据平行公理得出，再根据平行线的性质进行求解即可． 【详解】解：如图，过点E作，过点G作． ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴． 题型六：平行公理推论的应用 解题思路：①确定充当传递媒介的第三条公共直线，②梳理得到两组有效的平行关系，③运用平行的传递性，推导出另外两条直线互相平行。 18．如图是小明家装修时拖拉柜子的截面示意图，天花板与地面互相平行，天花板上的点与柜子上的点用绳子相连．某一时刻，测得，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点N作，得出，则，，据此即可求解． 【详解】解：如图，过点N作， ， ， ，， ∵，， ∴，， ． 19．如图，小明在走廊上看到一个“安全出口”标志，他从中抽象出这样一个数学图形，其中，，，，，则________． 【答案】 【分析】过点作，得出，由平行线的性质得出，，，根据角的和差关系即可得答案． 【详解】解：如图，过点作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 20．在合肥轨道交通云谷路站试点使用机器狗（如图1）每日按照预设路线自主巡检．如图2是某机器狗身体结构的平面示意图，，若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点作，得出，由两直线平行，同旁内角互补以及两直线平行，内错角相等，得出，，再结合角的和差关系得，即可作答． 【详解】解：过点作，如图所示： ， ， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 题型七：两直线平行同位角相等 解题思路：①提取题干“两直线平行”的前提条件，②定位两条平行线被截形成的对应同位角，③根据平行线性质定理，得到同位角相等，用于角度计算或者等量代换。 21．如图，已知，分别交，于点，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】两直线平行，同位角相等，因此． 【详解】解：∵， ∴． 22．如图，直线，量角器的零刻度线与重合，其中心与，的交点重合，则的度数为（     ） A．130 B．55 C．50 D．45 【答案】C 【分析】先从量角器读出，再根据，得到，即可得到的度数． 【详解】解：由量角器读数可得 ∵， 23．如图，纸片的边缘、互相平行，将纸片沿折叠，使得点，分别落在点，处，若，则的度数是______°． 【答案】 【分析】根据平行线的性质可知，根据邻补角的定义可知，根据折叠的性质可知． 【详解】解：， ， ， 由折叠可知， ． 题型八：两直线平行内错角相等 解题思路：①明确题干给出两直线平行的已知条件，②定位两条平行线被截形成的对应内错角（Z型模型），③利用平行线性质定理，推出内错角相等，求解对应未知角度。 24．如图，直线，则能推出与相等的角是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵直线， ∴． 25．如图，，于点，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】因为，所以利用平行线的内错角相等性质，可得到的度数．因为，所以根据垂直的定义可得．结合角的和差关系，用减去即可得到的度数． 【详解】解：∵，， ∴． ∵， ∴， ∴． 26．在现代电气化铁路飞速发展的今天，列车飞驰的背后离不开一套关键设备——受电弓如图①．正是它为列车提供着源源不断的动力，保证了高铁高速顺畅地运行．其示意图如图②，若在某一时刻，，，则__________． 【答案】 【分析】过点作，利用平行线的性质得到，，再利用角的和差即可求出的度数． 【详解】解：如图，过点作， 则． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 题型九：两直线平行同旁内角互补 解题思路：①确定题干已知两直线互相平行，②定位两条平行线被截形成的对应同旁内角（U型模型），③依据平行线性质定理得到两角互补，即角度和为180，列等式求解未知角。 27．如图，直线，是截线，若 ，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：直线， ， ， ． 28．如图，交于点O， ，若，则的度数是______度． 【答案】 【分析】根据对顶角相等及平行线的性质即可解答． 【详解】解：， ， ， ， ． 29．“跳皮筋”是我们小时候常玩的游戏，如图，执皮筋的两个小朋友分别用，表示，皮筋用折线表示，若，，，则（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先过点作，根据平行线的传递性可得；接着利用，根据“同旁内角互补”求出；然后用已知的减去得到；最后利用，根据“两直线平行，内错角相等”即可得出的度数． 【详解】过点作直线， ，， ， ∵， ∴ ∵， ∴， ， ∵。 ∴， ∵， ∴ ． 题型十：根据平行线判定与性质证明 解题思路：①仔细审题，区分题干已知条件与待证结论，②理清推理逻辑链：利用角的数量关系，通过平行线判定推证直线平行；再借助直线平行，利用平行线性质导出新的角关系，③每一步推导标注规范推理依据，包含已知、基本事实、定理、等量代换、对顶角相等，④灵活交替使用判定与性质，完成完整几何证明。 30．如图，已知，为判定，甲、乙、丙分别添加了一个条件，下列判断正确的是（    ） 甲：；乙：；丙： A．乙不可行，丙可行 B．甲和乙都可行 C．甲和丙都不可行 D．甲可行，丙不可行 【答案】A 【分析】本题考查平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键．利用平行线的判定与性质逐个判断甲、乙、丙即可． 【详解】解：甲：∵，， ∴， 即， ∴， 故甲可行； 乙：无法推出，故乙不可行； 丙：∵， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， 故丙可行； 故甲、丙可行，乙不行， 只有选项A符合题意， 故选：A． 31．如图，线段和表示两面镜子，且直线直线，光线经过镜子反射到镜子，最后反射到光线．光线反射时，，，下列结论： ①直线直线； ②的平分线所在直线与的平分线所在直线平行； ③的平分线所在直线垂直于直线； ④如果，那么． 其中正确的是______（填序号） 【答案】①②③④ 【分析】根据平行线的性质可得，进而根据，，得出，即可证明；如图，分别是的平分线与的平分线，根据平行线的性质可得，根据角平分线的定义可得，即可证明；根据角平分线的定义以及平角的定义可得，结合可得，根据得出，根据平角的定义得出，即，即可得出． 【详解】解：， ， 又，， ， 又，， ， ，∴结论①正确； 如图，分别是的平分线与的平分线 ∴， ∵ ∴ ∴即 ∴，故②正确 ∵，， ∴ ∴ ∵ ∴，故③正确 ∵， ∴ ∴，即 ∵， ∴，故④正确． 综上所述，正确的有①②③④． 32．如图，．甲、乙两名同学分别添加了一个条件． 甲：． 乙：． 下列关于添加条件后，能使的判断正确的是（     ） A．甲、乙都能 B．甲能、乙不能 C．甲不能，乙能 D．甲、乙都不能 【答案】C 【分析】根据得到，，因此甲添加的条件不能使，当时，可得，即添加的条件能使． 【详解】解：∵， ∴， 当时，， ∴， 故甲添加的条件不能使，乙添加的条件能使． 解答题 1．如图：，于点，于点．则．请说明理由（补全解答过程）． 解：因为， 所以．（ ） 所以 ．（ ） 因为，， 所以 ， 所以 ， 所以． 【答案】同旁内角互补，两直线平行；；两直线平行，内错角相等；；；； 【分析】根据平行线的性质和判定解题． 【详解】略 2．如图，．求证：． 【答案】∵ ， ∴ ． ∴ ． ∵ ， ∴ ． ∴ ． 【分析】因为且二者为同位角，所以可先根据平行线的判定定理得出一组直线平行的结论．利用平行线的性质定理，可得到与相等的同位角．因为已知，所以通过等量代换可得到和上述同位角相等，再根据平行线的判定定理即可证明． 【详解】略． 3．方方在学校楼道上看到“安全出口”标志（如图①），他从中抽象出几何图形（如图②），已知，，． (1)判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)，理由如下： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； (2) 【分析】（1）可求，则可得，则题目可解； （2）作，利用平行线的性质可求得，则可解． 【详解】（1）解：略； （2）解：作， ， ， ∵， ∴， ， ，， ∴， ． 4．如图，已知，是内的一条线段，且，过点作平行，交于点． (1)求的度数； (2)过点作射线，若，射线所在的直线与直线相交于点．求的度数． 【答案】(1) (2)或 【分析】（）先根据垂直关系得到，结合已知计算出的度数，再利用两直线平行，内错角相等，得到的结果； （）根据射线的位置分两种情况讨论（在内部、在外部），再结合平行线的性质计算对应角度． 【详解】（1）解：， ， ， ， 又， ． （2）解：当在内部时， ， ， ； 当在外部时， ， ， 或． 5．如图，，点为两平行线间的一点，请证明两个结论． (1)； (2)． 【答案】(1)证明：如图，过点向右作， ∴（内错角相等）， ∵， ∴， ∴（内错角相等）， ∵， ∴． (2)如上图，过点向右作， ∴（同旁内角互补）， ∵， ∴， ∴（同旁内角互补）， ∵， ∴． 【分析】（1）过点向右作，根据平行线内错角相等的性质，将和替换为内的角即可证明． （2）过点向右作，根据平行线同旁内角互补的性质，将拆分为和，进而证明结论． 【详解】（1）略 （2）略 6．如图，，． (1)求证：． (2)若，，求证：． 【答案】(1)证明：， ， ， ， ． (2)证明：，， ， ， ， ∴， ， ∵， ， 即． 【分析】由平行线的性质和判定，结合角度的等量代换即可证明结论． 【详解】（1）略． （2）略． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $