2.3 二次根式（第3课时 二次根式的混合运算）（教学设计）数学新教材北师大版八年级上册

该初中数学教学设计聚焦二次根式的混合运算，课堂导入通过复习整式运算的乘法、除法法则，引导学生用二次根式替换字母，类比归纳出二次根式混合运算与整式运算在运算律、顺序上的一致性，搭建新旧知识的学习支架。 特色在于以类比迁移构建知识联系，通过一题多解（如梯形面积的分割、补图、直接法）和构造平方差公式化简，发展学生运算能力与推理意识，结合几何应用问题培养应用意识。对学生提升灵活运算能力，对教师提供分层练习与错题辨析策略，助力高效教学。

2.3.3 二次根式的混合运算（第3课时） 年级 八年级 学科 数学 课型 新授课 教材 【新教材】北师版·八年级上册 2.3.3 二次根式的混合运算（第3课时） 教学目标 1．掌握二次根式四则运算法则。 2．会熟练地进行二次根式的加减乘除混合运算，提高运算能力，激发学习兴趣，发展创新意识。 3．关注解决问题方式的多样性，提高学生应用法则的灵活性和解决问题的能力。 教学重点 二次根式混合运算的运算顺序与运算法则；运用乘法公式简化二次根式运算。 教学难点 分母有理化方法的灵活运用；在化简求值及图形问题中合理选择运算策略，实现简便计算。 教材分析 本节内容选自【新教材】北师版·八年级上册第二章“实数”第2.3节“二次根式”的第3课时，核心知识是二次根式的混合运算，即在掌握二次根式加减、乘除的基础上，综合运用运算律、运算顺序及整式乘法公式（如平方差公式、完全平方公式）进行混合运算，并解决化简求值、图形面积周长等实际问题。 二次根式的混合运算是实数运算的拓展与综合。教材通过将整式运算中的字母替换为二次根式，引导学生发现二次根式的混合运算与整式运算在运算律、运算顺序、乘法法则上完全一致，体现“类比”思想。教学难点在于：化简过程中对最简二次根式的判断、合并同类二次根式；分母含根号时通过分子分母同乘适当因式进行有理化；以及灵活运用乘法公式简化运算。同时，化简求值问题强调“先化简、再代入”的优化策略，图形问题则体现二次根式运算的几何应用，发展学生运算能力与创新意识。 学情分析 学生在此之前已学习实数、二次根式的概念、性质及加减乘除运算，并熟练掌握整式运算的法则和乘法公式，这为本节课的类比迁移奠定了良好基础。同时，八年级学生已具备一定的观察、归纳和抽象思维能力，能够从具体运算中概括出一般规律。 但学习本节内容仍存在一定困难：一是二次根式混合运算中涉及多种法则综合运用，学生容易在运算顺序和化简时机上出错；二是对分母有理化、利用乘法公式构造平方差等技巧不够熟练；三是面对化简求值与几何应用问题时，不会主动选择“先化简后代入”或灵活采用分割、补图等策略。因此，教学中应加强对比引导，通过一题多解、变式训练帮助学生突破难点。 教学过程 教学内容 设计意图 课堂导入 【复习旧知】问题1 单项式与多项式、多项式与多项式的乘法法则分别是什么? m(a + b + c) = ma + mb + mc， (m + n)(a + b) = ma + mb + na + nb. 问题2 多项式与单项式的除法法则是什么? (ma + mb + mc)÷m = a + b + c. 前面两个问题的思路是： 问题3 若把字母a,b,c,m都用二次根式代替(每个同学任选一组)，然后对比归纳，你们发现了什么？ 二次根式的加、减、乘、除混合运算与整式运算一样，体现在：运算律、运算顺序、乘法法则仍然适用. 通过“字母—二次根式”的替换，唤醒学生已有的整式运算经验，建立类比迁移的桥梁，激发探究兴趣，明确本课学习方向。 探究点1：二次根式的加减乘除混合运算 【新知探究】(1) 请你计算： (2) 小明是这样计算的: 思考：分子、分母同乘 的目的是什么？ 目的是将分母转化为有理数，方便合并同类项. (3) 计算你有哪些方法？ ① ② 想一想：这两种计算方法有何不同？ 【例题探究】例1 计算： 解： （2） （3） （4） 方法技巧：二次根式的混合运算，先要弄清运算种类，再确定运算顺序：先乘除，再加减，有括号的要先算括号内的，最后按照二次根式的相应的运算法则进行. 如果算式当中有个别二次根式化为最简二次根式后，仍不能与其它最简二次根式合并，那么结果中可直接保留，不必再化。 通过三类典型混合运算，帮助学生明确运算顺序，巩固分母有理化和合并同类二次根式的方法，提升运算能力。 探究点2：构造平方差公式化简二次根式 【引入】在上面第（4）问中，很容易看出， 化成最简二次根式后与， 化简后的被开方数不可能相同，因此，结果中可以保留 ，不必将它化成最简二次根式。 【尝试思考】化简（）× ，其中 a=3，b=2.你是怎么做的？与同伴进行交流. 解法一：把a=3，b=2代入代数式中， 原式= 先代入后化简 解法二： 原式= 把a=3，b=2代入代数式中， 原式 先化简后代入 【归纳总结】解二次根式化简求值题目时，直接代入求值往往很麻烦，一般应先化简所求式子，再用代入数字求值. 【思考交流】如图，小正方形的边长为 1。 (1) 求梯形 ABCD 的周长。 所以 (2) 试求图中梯形 ABCD 的面积。你有哪些方法？ 方法 1：分割法 可把梯形 ABCD 分割成两个三角形和一个梯形，如图所示. 方法2：补图法 通过补图，可把梯形ABCD 变成一个大梯形，如图所示. 方法3：直接法 过点 作 边的高 ，则 【例题探究】例2 已知a=，b=，求 方法技巧：先化简，然后利用完全平方公式的变形求解.若分母含有二次根式，且是两数的和或差的形式，则分子分母同时乘能使分母构造出平方差公式的式子，可将分母化为有理数. 从分母有理化的需求出发，引导学生主动构造平方差公式，体会整式乘法公式在二次根式运算中的灵活运用，发展代数变形能力。 课堂小结 板书设计 2.3.3 二次根式的混合运算（第3课时） 探究点1：二次根式的加减乘除混合运算 探究点2：构造平方差公式化简二次根式 随堂练习 1. 1.下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. =6 【答案】C 2. 2.计算： ； ； 。 【解析】解：(1) 原式＝6＋10 . (2) 原式＝2－ (3) 原式＝. 3.在一个边长为cm 的正方形内部，挖去一个边长为cm 的正方形，求剩余部分的面积. 解：剩余部分的面积 。 答：剩余部分的面积为 教学反思 本课时教学目标基本达成。通过复习整式运算法则并进行类比迁移，学生能较快理解二次根式混合运算的算理；例题和变式训练帮助多数学生掌握了运算顺序。难点主要在两方面：一是当分母中含有两项二次根式时，部分学生不能主动利用平方差公式构造共轭因式；二是化简求值问题中，部分学生仍习惯先代入后化简，导致过程繁琐且易出错。改进方向：增加小组合作探究和错题辨析，让学生讲解共轭因式的确定方法；设计分层练习，从单项分母有理化过渡到两项分母有理化；几何应用部分可留出更多时间交流多种割补方法，提升学生灵活运用乘法公式的能力。 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $