专题10角知题通关讲义(核心重点+高频易错+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年北师大版七年级数学上册

专题10角知题通关讲义 知识点 01 角的两种定义 定义 1（静态定义，课本基础） 有公共端点的两条射线组成的图形叫做角。 三要素：①公共端点（顶点）；②两条射线（角的两条边）。 定义 2（动态旋转定义） 一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形叫做角。 起始位置的射线：始边 终止位置的射线：终边 旋转中心：顶点 补充特殊旋转形成的角 平角：射线旋转半周，始边、终边成一条直线，度数180； 周角：射线旋转一周，始边、终边重合，度数360； ⚠️易错：平角是角，不是直线；周角是角，不是射线。 知识点02：角的表示方法（规范无错误，考试必考点） 知识点 03 角的分类（按度数划分，配套大小关系） 知识点04：角的度量与单位换算 1 度量工具：量角器 量角步骤（一放二对三读） 放：量角器中心与角的顶点重合； 对：0刻度线与角的一条边重合； 读：看另一条边对应刻度，区分内圈、外圈读数。 2 角度进制（60 进制，时间进制同理） 1 度 =60分，1 分 =60秒 符号：度、分'、秒'' 换算公式： 1=60'，1'=60'' 1=3600'' 3.换算题型两类 大单位化小单位：乘 60 例：0.5=0.5×60=30' 小单位化大单位：除以 60 例：120''=120÷60=2' 4.角度加减计算规则 度与度相加减，分与分相加减，秒与秒相加减； 加法：满 60 进 1； 减法：不够减向前一级借 1 当 60。 例：3025'+4040'=715' 5010'-2030'=4940'（向度借 1 化为 60 分） 知识点05：比较角大小的两种方法 方法 1：度量法（用量角器） （1）操作步骤： ①量角器中心与角顶点重合； ②0° 刻度线与角一条边重合； ③读取另一条边对应刻度，得到角度； （2）大小判定：度数越大，角越大。 方法 2：叠合法（图形重合对比） 操作步骤： ① 两个角顶点重合； ② 一条边完全重合； ③ 观察另一条边位置： 另一边在内部：角更小； 另一边重合：两角相等； 另一边在外部：角更大。 将两个角的顶点及一条边重合，另一条边放在重合边的同侧，就可以比较大小。如图，先让两个角的顶点 O 与 O′重合，再让一条边 OB 与 O′D 重合，使另一条边 OA 和 O′C 落在 OB（或 O′D）的同侧。 知识点06：角的和、差、角平分线 1 角的和与差 如图，射线OC在∠AOB内部： 和：∠AOB= ∠AOC+∠ COB 差：∠AOC= ∠AOB-∠COB\)；∠COB=∠AOB-∠ AOC\) 2 角平分线（核心必考） 定义 从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线。 几何推理书写 ∵OC平分∠ AOB ∴∠AOC=∠BOC= ∠AOB 变形：∠AOB=2 ∠AOC=2∠BOC 拓展：角的 n 等分线 三等分线：两条射线把角分成 3 个相等小角； n 等分线：n-1 条射线均分一个角。 知识07：作一个角等于已知角（尺规作图） 标准作图步骤 1. 误用两条线段定义角 提醒：角的标准定义：由具有公共端点的两条射线组成的图形。线段无法无限延伸，不能构成角。 2. 误认为角的大小随边长长短变化 提醒：角的大小仅由两边张开幅度决定，与所画射线的长短无关。 3. 数角时无序计数，出现漏数、重复计数 提醒：数同一顶点处所有角，需固定起始边依次组合，只统计小于平角的角，不重复、不遗漏。 4. 不区分条件，随意用单个大写字母表示角 提醒：顶点处仅有一个角时，可单用顶点大写字母表示；同一顶点多个角，必须用三个大写字母表示，顶点字母居中。 5. 混淆平角与直线、周角与射线的概念 提醒：平角、周角均有固定顶点、规范角的结构；直线无顶点、射线无角的结构，二者不能等同。 6. 度分秒换算误用十进制计算 提醒：角度为六十进制：1=60'，1'=60''，禁止按小数十进制直接运算。 7. 角度加减运算，进位、借位规则错误 提醒：角度相加，满60进1；角度相减，不够减时向前一级借1当60，不适用十进制进退位。 8. 误将所有大于90°的角判定为钝角 提醒：钝角严格定义：大于90°且小于180°；平角、优角均不属于钝角。 9. 方位角书写顺序颠倒、判定基准错误 提醒：方位角统一规范：先南北、后东西，角度以正北或正南为起始边偏转测量。 10. 计算钟表夹角时，忽略时针随分针转动 提醒：分针转动时，时针同步偏移，不可固定时针位置、仅按整点刻度差计算夹角。 11. 解题误取大于平角的优角作为所求角 提醒：初中几何无特殊说明时，角默认取小于180°的角。 题型 考察方向 难度 题型一 角的概念理解 ★ 题型二 角的表示方法 ★ 题型三 角的表示方法 ★ 题型四 钟面角 ★★★ 题型五 方向角的表示 ★★ 题型六 与方向角有关的计算题 ★★ 题型七 角的单位与角度制 ★ 题型八 角的度数大小比较 ★ 题型九 角的比较 ★ 题型十 三角板中角度计算问题 ★★ 题型十一 几何图形中角度计算问题 ★★ 题型十二 角度的四则运算 ★★ 题型十三 实际问题中角度计算问题 ★★ 题型十四 角平分线的有关计算 ★★ 题型十五 角 n 等分线的有关计算 ★★ 题型十六 尺规作一个角等于已知角 ★ 拔高题 5题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 题型一 角的概念理解 1．角的两条边是两条（     ）． A．直线 B．射线 C．线段 D．以上答案都正确 2．用一个7倍的放大镜看一个的角，看到的角的度数为（   ） A． B． C． D． 3．如图，是直角，是射线，则图中共有锐角（　　）   A．28个 B．27个 C．24个 D．22个 题型二 角的表示方法 4．如图，还可以表示为（   ） A． B． C． D． 5．下列图中的也可以用表示的是（    ） A．B． C． D． 6．如图，在综合实践课上，老师让同学们动手操作．在内画1条射线，观察发现图中共有3个角：在内画2条射线时，则图中共有6个角：在内画3条射线时，则图中共有10个角：按照此规律，在内画条射线时，图中共有___________个角． 题型三 角的分类 7．如图，在锐角的内部依次作射线、和，则图中共有_____________个锐角． 8．如图，小于平角的角共有________个． 9．下列各图中有关角的表示正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型四 钟面角 10．如图，时钟，时针与分针夹角的度数为（ ） A． B． C． D． 11．现代人常常受到颈椎不适的困扰，其症状包括：酸胀、隐痛、发紧、僵硬等，而将两臂向上抬，举到点分处，每天连续走米，能有效缓解此症状．这里的点分指的是时钟在点分时时针和分针的夹角（指小于的角），请问：此时时针与分针的夹角的补角的度数是______． 12．图①钟面的角与图②钟面的角分别是（    ）度    A． B． C． D． 题型五 方向角的表示 13．如图，是北偏东方向的一条射线，，则的方位角是（   ） A．北偏西 B．北偏西 C．西偏北 D．北偏东 14．如图，的方向是北偏东，的方向是北偏西，平分，则的方向是_______． 15．指南针是中国古代四大发明之一．如图，某手机上的指南针显示的方位角为西北时，对应的方向角为北偏西；当指南针显示的方位角为东南时，对应的方向角为（   ） A．北偏东 B．北偏东 C．南偏东 D．南偏东 题型六 与方向角有关的计算题 16．如图，在灯塔处观测到轮船位于北偏西的方向，同时轮船在南偏东的方向，那么的大小为（   ） A． B． C． D． 17．如图，射线的方向为南偏西，若，则射线的方向为____． 18．如图，是表示北偏西方向的一条射线，若，则射线的方位角是（   ） A．北偏西 B．北偏东 C．北偏西 D．北偏东 题型七 角的单位与角度制 19．角度化成度、分、秒的形式为（     ） A． B． C． D． 20．计算： （1）_______度_______分_______秒． （2）_______或_______′． （3）_______或_______″． 21．下列换算中，正确的是（     ） A． B． C． D． 题型八 角的度数大小比较 22．已知，，则∠α_________∠β．（填“”，“”或“”）． 23．如图所示，有一个四边形零件，利用图中的量角器可以量出该零件内角的度数，则所量内角的度数为（    ） A． B． C． D． 24．如图，正方形的网格纸上每个小正方形的边长都为1，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D．无法判断 题型九 角的比较 25．在如图所示的的方格中，记，则（   ） A． B． C． D． 26．在内任取一点C，作射线，那么一定有（    ） A． B． C． D． 27．在每个小正方形的边长为的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，和的顶点均在格点上，试比较与的大小关系（　　） A． B． C． D．无法确定 题型十 三角板中角度计算问题 28．如图，一副三角板中，将一个三角板角的顶点与另一个三角板的直角顶点重合，如果， 那么的大小是___________度 29．如图，将一副三角板叠放在一起（，，），若恰好平分，则的度数为______． 30．如图，三角尺①固定不动，将三角尺②的直角顶点O与三角尺①的顶点A重合．若三角尺②的一条直角边与边的夹角为，则三角尺②的另一条直角边与边的夹角的度数全部正确的（    ） A．       B．       C．       D．       题型十一 几何图形中角度计算问题 31．如图，直线，相交于点O，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 32．如图，中，，、是线段上的两个动点，连接，；在线段上再取两点，，连接，，使得，．若，则______________． 33．如图，在内部有三条射线依次分布，若，，则（   ） A． B． C． D． 题型十二 角度的四则运算 34．计算：__________． 35．下列运算正确的是（ ） A． B． C． D． 36．已知，以O为端点作射线，使，则的度数为（   ） A． B． C．或 D．或 题型十三 实际问题中角度计算问题 37．如图所示，入射光线与平面锐成30°角，下列说法正确的是（    ） A．入射角是30° B．反射角是60° C．反射光线与镜面的夹角是60° D．入射角减小时，反射角不变 38．如图，阳光与水平面成30°角，若要用平面镜使阳光竖直射入井中（物理学中，反射角入射角），则阳光与平面镜的夹角（）为______ 39．如图，点B，C在直线l上，直线l外有一点A，连接，，则是钝角，将三角形沿着直线l向右平移得到三角形，连接，在平移过程中，当时，的度数是______． 题型十四 角平分线的有关计算 40．如图，是内任一条射线，、分别平分、，．求的度数． 41．如图，直线、相交于点，平分，平分，且，求的度数． 42．将一副含和的直角三角尺按如图所示的方式放置，若平分，平分，则的度数是（   ） A． B． C． D． 题型十五 角 n 等分线的有关计算 43．射线是的五等分线，，则相邻两个等分射线所成角的度数为（   ） A． B． C． D． 44．已知，若，则的度数是__________． 45．定义：从的顶点出发，在角的内部引一条射线，把分成的两部分，射线叫做的三等分线．若在中，射线是的三等分线，射线是的三等分线，设，则用含x的代数式表示为（    ） A．或或 B．或或 C．或或 D．或或 题型十六 尺规作一个角等于已知角 46．如图，尺规作图，作图痕迹中弧是（   ） A．以点为圆心，以长为半径的弧 B．以点为圆心，以长为半径的弧 C．以点为圆心，以长为半径的弧 D．以点为圆心，以长为半径的弧 47．如图，在中，，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交边，于点，；以点为圆心，长为半径画弧，分别交边，于点，；再以点为圆心，长为半径画弧，与弧交于点；作射线交边于点．则的度数为________度． 48．如图，在中，，，尺规作图操作如下：（1）以点A为圆心、适当长为半径画弧，分别交边，于点D，E；（2）以点B为圆心、长为半径画弧，分别交边，于点F，G；（3）再以点F为圆心、长为半径画弧，与弧交于点H；（4）画射线交边于点I．则的度数为（   ） A． B． C． D． 解答题 1．计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 2．如图，，交于． 尺规作图：以点为顶点，射线为一边，在的右侧作，使．（要求：不写作法，但保留作图痕迹） 3．如图，射线的方向是北偏西，射线的方向是北偏东，为正北方向，为正东方向，且平分． (1)射线的方向是 ． (2)求的度数． 4．如图1，直角三角尺的一个顶点在直线上，且，平分． (1)若，则的度数为___________． (2)将图1中的直角三角尺绕点顺时针旋转至图2的位置，其他条件不变，若，求的度数； (3)将直角三角尺从图2的位置继续绕点顺时针旋转，其他条件不变，点落在射线上时停止旋转，当旋转到下方时，请写出在此旋转过程中和的度数之间的数量关系，并说明理由． 5．元旦期间，吴兴区某校七年级同学在观看太湖古镇灯光秀表演后，以“灯光里的数学美”为主题展开项目式学习．同学们类比角平分线的定义，给出角的倍分角线的定义，在探究中感受数学之美． 新定义：如果的内部有一条射线将分成两个角，其中是所分角中较小角的倍，那么我们称射线为的倍分角线．如图1，若，则射线为的3倍分角线． 【特例感知】 (1)若， ①射线为的2倍分角线，则________； ②射线为的3倍分角线，则________； 【类比探究】 (2)如图2，点，，在同一条直线上，为直线上方的一条射线．若射线，分别为和的4倍分角线（，），当时，求的度数； (3)如图3，在（2）的条件下，若射线从射线处绕点顺时针旋转，速度为度/秒，同时射线从射线处绕点顺时针旋转，速度为度/秒．在旋转的过程中，当射线是的倍分角线时（），恰好射线也是的倍分角线（），请直接写出与的数量关系________． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10角知题通关讲义 知识点 01 角的两种定义 定义 1（静态定义，课本基础） 有公共端点的两条射线组成的图形叫做角。 三要素：①公共端点（顶点）；②两条射线（角的两条边）。 定义 2（动态旋转定义） 一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形叫做角。 起始位置的射线：始边 终止位置的射线：终边 旋转中心：顶点 补充特殊旋转形成的角 平角：射线旋转半周，始边、终边成一条直线，度数180； 周角：射线旋转一周，始边、终边重合，度数360； ⚠️易错：平角是角，不是直线；周角是角，不是射线。 知识点02：角的表示方法（规范无错误，考试必考点） 知识点 03 角的分类（按度数划分，配套大小关系） 知识点04：角的度量与单位换算 1 度量工具：量角器 量角步骤（一放二对三读） 放：量角器中心与角的顶点重合； 对：0刻度线与角的一条边重合； 读：看另一条边对应刻度，区分内圈、外圈读数。 2 角度进制（60 进制，时间进制同理） 1 度 =60分，1 分 =60秒 符号：度、分'、秒'' 换算公式： 1=60'，1'=60'' 1=3600'' 3.换算题型两类 大单位化小单位：乘 60 例：0.5=0.5×60=30' 小单位化大单位：除以 60 例：120''=120÷60=2' 4.角度加减计算规则 度与度相加减，分与分相加减，秒与秒相加减； 加法：满 60 进 1； 减法：不够减向前一级借 1 当 60。 例：3025'+4040'=715' 5010'-2030'=4940'（向度借 1 化为 60 分） 知识点05：比较角大小的两种方法 方法 1：度量法（用量角器） （1）操作步骤： ①量角器中心与角顶点重合； ②0° 刻度线与角一条边重合； ③读取另一条边对应刻度，得到角度； （2）大小判定：度数越大，角越大。 方法 2：叠合法（图形重合对比） 操作步骤： ① 两个角顶点重合； ② 一条边完全重合； ③ 观察另一条边位置： 另一边在内部：角更小； 另一边重合：两角相等； 另一边在外部：角更大。 将两个角的顶点及一条边重合，另一条边放在重合边的同侧，就可以比较大小。如图，先让两个角的顶点 O 与 O′重合，再让一条边 OB 与 O′D 重合，使另一条边 OA 和 O′C 落在 OB（或 O′D）的同侧。 知识点06：角的和、差、角平分线 1 角的和与差 如图，射线OC在∠AOB内部： 和：∠AOB= ∠AOC+∠ COB 差：∠AOC= ∠AOB-∠COB\)；∠COB=∠AOB-∠ AOC\) 2 角平分线（核心必考） 定义 从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线。 几何推理书写 ∵OC平分∠ AOB ∴∠AOC=∠BOC= ∠AOB 变形：∠AOB=2 ∠AOC=2∠BOC 拓展：角的 n 等分线 三等分线：两条射线把角分成 3 个相等小角； n 等分线：n-1 条射线均分一个角。 知识07：作一个角等于已知角（尺规作图） 标准作图步骤 1. 误用两条线段定义角 提醒：角的标准定义：由具有公共端点的两条射线组成的图形。线段无法无限延伸，不能构成角。 2. 误认为角的大小随边长长短变化 提醒：角的大小仅由两边张开幅度决定，与所画射线的长短无关。 3. 数角时无序计数，出现漏数、重复计数 提醒：数同一顶点处所有角，需固定起始边依次组合，只统计小于平角的角，不重复、不遗漏。 4. 不区分条件，随意用单个大写字母表示角 提醒：顶点处仅有一个角时，可单用顶点大写字母表示；同一顶点多个角，必须用三个大写字母表示，顶点字母居中。 5. 混淆平角与直线、周角与射线的概念 提醒：平角、周角均有固定顶点、规范角的结构；直线无顶点、射线无角的结构，二者不能等同。 6. 度分秒换算误用十进制计算 提醒：角度为六十进制：1=60'，1'=60''，禁止按小数十进制直接运算。 7. 角度加减运算，进位、借位规则错误 提醒：角度相加，满60进1；角度相减，不够减时向前一级借1当60，不适用十进制进退位。 8. 误将所有大于90°的角判定为钝角 提醒：钝角严格定义：大于90°且小于180°；平角、优角均不属于钝角。 9. 方位角书写顺序颠倒、判定基准错误 提醒：方位角统一规范：先南北、后东西，角度以正北或正南为起始边偏转测量。 10. 计算钟表夹角时，忽略时针随分针转动 提醒：分针转动时，时针同步偏移，不可固定时针位置、仅按整点刻度差计算夹角。 11. 解题误取大于平角的优角作为所求角 提醒：初中几何无特殊说明时，角默认取小于180°的角。 题型 考察方向 难度 题型一 角的概念理解 ★ 题型二 角的表示方法 ★ 题型三 角的表示方法 ★ 题型四 钟面角 ★★★ 题型五 方向角的表示 ★★ 题型六 与方向角有关的计算题 ★★ 题型七 角的单位与角度制 ★ 题型八 角的度数大小比较 ★ 题型九 角的比较 ★ 题型十 三角板中角度计算问题 ★★ 题型十一 几何图形中角度计算问题 ★★ 题型十二 角度的四则运算 ★★ 题型十三 实际问题中角度计算问题 ★★ 题型十四 角平分线的有关计算 ★★ 题型十五 角 n 等分线的有关计算 ★★ 题型十六 尺规作一个角等于已知角 ★ 拔高题 5题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 题型一 角的概念理解 1．角的两条边是两条（     ）． A．直线 B．射线 C．线段 D．以上答案都正确 【答案】B 【分析】根据角的定义即可解答． 【详解】解：根据定义，所有的角都是由一个顶点两条射线组成，因此角的两条边是两条射线． 2．用一个7倍的放大镜看一个的角，看到的角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】角的大小仅由两边张开的程度决定，放大镜仅放大图形的边长，不改变角两边的张开程度，因此角的度数不变． 【详解】解：∵角的大小只与角的两边张开的程度有关，与边的长度无关，放大镜只改变角两边的长度，不改变两边张开程度， ∴用7倍放大镜看的角，看到的角的度数仍为． 3．如图，是直角，是射线，则图中共有锐角（　　）   A．28个 B．27个 C．24个 D．22个 【答案】B 【分析】本题考查了角的定义，掌握角的定义是解题的关键．分别数出以、、……为一边的角的个数，然后相加即可． 【详解】解：以 为一边的角有7个， 以 为一边的角有6个， 以 为一边的角1个． 共有角 个 ． 去掉 直角 ，还有27个． 故答案为：B． 题型二 角的表示方法 4．如图，还可以表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了角的表示方法，结合图形即可得出结果，采用数形结合的思想，熟练掌握角的表示方法是解此题的关键． 【详解】解：由图形可得，还可以表示为， 故选：B． 5．下列图中的也可以用表示的是（    ） A．B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了角的表示方法，解题的关键是明确用一个顶点字母表示角时，该顶点处必须只有一个角． 判断每个选项中顶点处的角的数量，若只有一个角，则可以用表示；若有多个角，则不能用表示． 【详解】解：A、C、D各选项中，顶点处有多个角，不能用表示，此三选项不符合题意；B选项中，顶点处只有一个角，可以用表示，符合题意； 故选：． 6．如图，在综合实践课上，老师让同学们动手操作．在内画1条射线，观察发现图中共有3个角：在内画2条射线时，则图中共有6个角：在内画3条射线时，则图中共有10个角：按照此规律，在内画条射线时，图中共有___________个角． 【答案】 【分析】本题考查了对角的概念的应用，关键是能根据求出结果得出规律． 根据图形数出即可得出前三个的答案，根据结果得出规律． 【详解】解：在内画射线，画1条射线，图中共有3个角； 画2条射线，图中共有6个角； 画3条射线，图中共有10个角； 画条射线，图中共有个角， 故答案为：． 题型三 角的分类 7．如图，在锐角的内部依次作射线、和，则图中共有_____________个锐角． 【答案】10/十 【分析】本题考查了角的分类，掌握锐角的定义是解题关键．根据锐角的定义求解即可． 【详解】解：图中的锐角有、、、、、、、、、，共10个， 故答案为：10． 8．如图，小于平角的角共有________个． 【答案】14 【分析】此题考查的是数角，掌握平角的定义和角的数法是解决此题的关键． 根据题意，写出所有小于平角的角即可得出结论． 【详解】解：由于平角为， 小于平角的角有，，，，，，，，，，，，，，共14个， 故答案为：14． 9．下列各图中有关角的表示正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据角的表示方法，平角、射线、周角的定义分析判断即可． 【详解】解：图1中，角的顶点为，应表示为； 图2表示正确； 图3，射线和周角是两个概念，射线不能表示周角； 图4表示正确． 所以表示正确的个数为2． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了角的表示方法、平角、射线、周角等知识，理解并掌握相关知识是解题关键． 题型四 钟面角 10．如图，时钟，时针与分针夹角的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是钟表表盘与角度相关的特征．熟悉钟面角的特征是解题的关键．每相邻两个数字之间的夹角为，在，分针与时针的夹角是，即可作答． 【详解】解：在，时针指向7与8中间，分针指向6，钟面上有12个数字，每相邻两个数字之间的夹角为， ∴在，分针与时针的夹角是． 故选：C 11．现代人常常受到颈椎不适的困扰，其症状包括：酸胀、隐痛、发紧、僵硬等，而将两臂向上抬，举到点分处，每天连续走米，能有效缓解此症状．这里的点分指的是时钟在点分时时针和分针的夹角（指小于的角），请问：此时时针与分针的夹角的补角的度数是______． 【答案】/度 【分析】本题考查了钟面角的计算，根据每格对应的圆心角为，求得点分时针和分针之间对应时钟的格数，即可求解． 【详解】解：如图， 整个时钟被分为相等的格，计算出每格对应的圆心角为， 如图，时针从点至点分走过的格数为， 所以点分时针和分针之间对应时钟的格数为：格， 所以点分时针和分针的夹角为； 此时时针与分针的夹角的补角的度数是 故答案为：． 12．图①钟面的角与图②钟面的角分别是（    ）度    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据钟面，每小时一个大格，每个度数为，即可得出图①钟面的角的度数，从而列式求解即可得到答案．根据钟面，的时针与时针之间间隔度数为，即可得出时的时针与分针之间间隔度数． 【详解】解：图①钟面的角的度数为：； 的时针与时针之间间隔度数为， ∴时的时针与分针之间间隔度数为， ∴图②钟面的角的度数为：． 故选：C． 【点睛】本题考查钟面角的应用，掌握钟面每一个大格的角度是解决问题的关键． 题型五 方向角的表示 13．如图，是北偏东方向的一条射线，，则的方位角是（   ） A．北偏西 B．北偏西 C．西偏北 D．北偏东 【答案】A 【分析】根据方向角的定义可得，然后利用角的和差关系可求出，从而根据方向角的定义，即可解答． 【详解】解：如图： 由题意得：， ∵， ∴， ∴的方位角是北偏西． 14．如图，的方向是北偏东，的方向是北偏西，平分，则的方向是_______． 【答案】北偏东 【分析】本题考查角平分线的定义、方向角的表示方法、角的运算，记正北方为，根据题意算出，利用角平分线性质得到，进而计算出，即可解题． 【详解】解：由题知，， 因为平分， 所以， 记正北方为， 因为， 所以的方向是北偏东， 故答案为：北偏东． 15．指南针是中国古代四大发明之一．如图，某手机上的指南针显示的方位角为西北时，对应的方向角为北偏西；当指南针显示的方位角为东南时，对应的方向角为（   ） A．北偏东 B．北偏东 C．南偏东 D．南偏东 【答案】C 【分析】本题考查方位角的表示，根据四个方位将四等分，根据进而得出对应的方向角，即可求解． 【详解】解：∵指南针显示的方位角为西北时，对应的方向角为北偏西； ∴当指南针显示的方位角为东南时， 即对应的方向角为南偏东 故选：C． 题型六 与方向角有关的计算题 16．如图，在灯塔处观测到轮船位于北偏西的方向，同时轮船在南偏东的方向，那么的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了方向角，根据方向角的定义可得，据此求出的度数，进而可求出的度数． 【详解】解：如图所示，由题意得，， ∴， ∴， 故选：B． 17．如图，射线的方向为南偏西，若，则射线的方向为____． 【答案】南偏东 【分析】本题主要考查了方位角和角的和差运算的知识，掌握以上知识是解答本题的关键；根据方位角和角的和差运算的知识，进行作答，即可求解． 【详解】解：如图， 射线的方向为南偏西，， ， 射线的方向为南偏东． 故答案为：南偏东． 18．如图，是表示北偏西方向的一条射线，若，则射线的方位角是（   ） A．北偏西 B．北偏东 C．北偏西 D．北偏东 【答案】B 【分析】此题考查方位角，正确理解方位角的确定方法及表示方法是解题的关键． 根据题意确定，再根据方位角的定义求解即可． 【详解】如图， ， ， 射线的方位角是北偏东． 故选：B． 题型七 角的单位与角度制 19．角度化成度、分、秒的形式为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：． 20．计算： （1）_______度_______分_______秒． （2）_______或_______′． （3）_______或_______″． 【答案】 57 10 48 0.1 6 0.2 720 【分析】（1）根据，进行计算即可． （2）根据，进行计算即可． （3）根据，进行计算即可． 本题考查了度分秒之间的转化，熟练掌握是解题的关键． 【详解】解：（1） ， 故答案为：57，10，48； （2）， 或， 故答案为：0.1，6； （3）， 或， 故答案为：0.2，720． 21．下列换算中，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用度分秒的60进制换算规则，，逐一对选项换算验证即可得到正确结果． 【详解】解：对选项A：，A错误． 对选项B：，B错误． 对选项C：，∴ C正确． 对选项D： ，∴ D错误． 题型八 角的度数大小比较 22．已知，，则∠α_________∠β．（填“”，“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查了角的大小比较，统一单位是解题的关键． 将角的单位统一，再比较大小． 【详解】解：， ∵， ∴． 故答案为：． 23．如图所示，有一个四边形零件，利用图中的量角器可以量出该零件内角的度数，则所量内角的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据量角器的测量角的方法和对顶角性质，可得所测零件的内角的度数． 【详解】由图可知，量角器所量的角的一边指向量角器的 刻度线，另一边指向 刻度线，量的角为， 零件的内角与所量的角是对顶角， ∴所量的零件的内角的度数为 ． 故选：C． 24．如图，正方形的网格纸上每个小正方形的边长都为1，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D．无法判断 【答案】B 【分析】本题主要考查了角的大小关系，利用平移的方法求解即可．将平移，使顶点重合，即可比较大小． 【详解】解：将平移，使顶点重合， 在内部， 题型九 角的比较 25．在如图所示的的方格中，记，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了角的和差和网格的特征等知识，求出是关键．根据网格的特征和角的和差解答即可． 【详解】解：由题意可得，， ∴， 由图可知，， ∴ 故选：B 26．在内任取一点C，作射线，那么一定有（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查比较角的大小，角的和差，根据射线在的内部，得到，进行判断即可． 【详解】解：∵射线在的内部， ∴， ∴， 的大小关系跟的位置有关，可能大于、小于或等于； 故选A． 27．在每个小正方形的边长为的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，和的顶点均在格点上，试比较与的大小关系（　　） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】本题主要考查了角的和与差，由网格线可知，，可得：，又因为，可得． 【详解】解：如下图所示，由网格可知，， ， 即， ， ． 故选：B． 题型十 三角板中角度计算问题 28．如图，一副三角板中，将一个三角板角的顶点与另一个三角板的直角顶点重合，如果， 那么的大小是___________度 【答案】 【分析】本题考查三角板中角度的计算.利用求出的度数，再用即可求出，找准角度之间的和差关系，是解题的关键． 【详解】解：由图和题意，得：， ∴； 故答案为：． 29．如图，将一副三角板叠放在一起（，，），若恰好平分，则的度数为______． 【答案】 【分析】本题主要考查角的计算，角平分线的性质，三角形内角和定理，准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键． 由平分，则，进而得到，再由三角形内角和即可求． 【详解】平分， ， ， ， 又，， ， ， ． 故答案为：． 30．如图，三角尺①固定不动，将三角尺②的直角顶点O与三角尺①的顶点A重合．若三角尺②的一条直角边与边的夹角为，则三角尺②的另一条直角边与边的夹角的度数全部正确的（    ） A．       B．       C．       D．       【答案】C 【分析】本题主要考查了与三夹板有关的角度计算，根据题意，画出图形，进行分类讨论即可． 【详解】解：（1）当与边的夹角为时， ①当在下方时， ∵，， ∴； ∵， ∴， ②当在上方时， ∵，，， ∴； （2）当与边的夹角为时， ①当在下方时， ∵，， ∴， ∴， ②当在上方时， ∵，， ∴， 综上：另一条直角边与边的夹角可能是，，，， 故选：C． 题型十一 几何图形中角度计算问题 31．如图，直线，相交于点O，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先由平角定义求出，然后根据即可求出的度数． 【详解】解：∵ ∴ ∵ ∴． 32．如图，中，，、是线段上的两个动点，连接，；在线段上再取两点，，连接，，使得，．若，则______________． 【答案】或 【分析】先设，，则， 然后分两种情况讨论，根据角的和差计算结合整体的思想求解即可． 【详解】解：∵， ∴设，，则， 当点在点上方时，如图： ∵， ∴， ∴， ∴； 当点在点下方时，如图 ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， 综上：或． 33．如图，在内部有三条射线依次分布，若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了角的和差倍关系，设，可得，，进而得到，再根据角的和差关系即可求解，正确识图是解题的关键． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 题型十二 角度的四则运算 34．计算：__________． 【答案】 【分析】本题考查角度的减法运算，需要掌握度、分、秒之间的换算关系，不够减时借位．先将转化为，再计算减法即可． 【详解】解：． 故答案为：． 35．下列运算正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查角度的互化，根据，化简即可得到答案； 【详解】解：A、，原计算错误，故此选项不符合题意； B、，原计算错误，该选项不符合题意； C、，原计算错误，该选项不符合题意； D、，原计算正确，故此选项符合题意. 故选：D． 36．已知，以O为端点作射线，使，则的度数为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查角的计算，分两种情况，当射线在外部或内部，分别求出． 【详解】解：当射线在外部， ； 当射线在内部， ， 所以的度数是或． 故选：C． 题型十三 实际问题中角度计算问题 37．如图所示，入射光线与平面锐成30°角，下列说法正确的是（    ） A．入射角是30° B．反射角是60° C．反射光线与镜面的夹角是60° D．入射角减小时，反射角不变 【答案】B 【分析】根据光的反射定律可知：入射角指入射光线与法线的夹角，反射角指反射光线与法线的夹角，在光反射时，反射角等于入射角，逐一判断选项，即可． 【详解】解：A、已知入射光线与平面镜的夹角是30°，所以入射角=90°−30°＝60°，故A错误； B、根据光的反射定律：反射角等于入射角，所以反射角也为60°，故B正确； C、反射光线与镜面的夹角：90°−60°＝30°，故C错误； D、因为反射角等于入射角，所以入射角减小，反射角也随之减小，故D错误。 故选：B． 【点睛】此题主要考查了入射角和反射角的概念，并且要会利用光的反射定律的内容进行有关的计算． 38．如图，阳光与水平面成30°角，若要用平面镜使阳光竖直射入井中（物理学中，反射角入射角），则阳光与平面镜的夹角（）为______ 【答案】 【分析】本题考查了角的计算，根据光的反射定律内容即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：补上反射光线如图： 由题意可知，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 39．如图，点B，C在直线l上，直线l外有一点A，连接，，则是钝角，将三角形沿着直线l向右平移得到三角形，连接，在平移过程中，当时，的度数是______． 【答案】或 【分析】本题考查平移的性质，分两种情形：当点在线段上时，当点在的延长线上时，分别求解． 【详解】解：当点在线段上时， ∵， ∴， ∵， ∴． 当点在的延长线上时， ∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：或． 题型十四 角平分线的有关计算 40．如图，是内任一条射线，、分别平分、，．求的度数． 【答案】 【分析】根据角平分线的定义，推出，即可得出结果. 【详解】解：，分别是，的平分线， ，， ， ， . 41．如图，直线、相交于点，平分，平分，且，求的度数． 【答案】 【分析】首先根据平分，可得，再根据，计算出和的度数，然后计算出的度数，再根据角平分线的定义可得，最后根据求解即可． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵平分， ∴． ∴． 42．将一副含和的直角三角尺按如图所示的方式放置，若平分，平分，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查角平分线的定义、角的运算，根据角平分线的定义以及角的几何运算求解即可． 【详解】解：∵平分，平分， ∴，， ∴ ， 又，， ∴， 故选：C． 题型十五 角 n 等分线的有关计算 43．射线是的五等分线，，则相邻两个等分射线所成角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查角等分线的有关计算． 将进行五等分，即可得相邻两个等分射线所成角的度数． 【详解】解：∵射线是的五等分线，， ∴相邻两个等分射线所成角的度数为． 故选：A． 44．已知，若，则的度数是__________． 【答案】25°或75° 【分析】分OB在∠AOC中和OC在∠AOB中两种情况考虑，当OB在∠AOC中时，由∠AOB＝2∠BOC可求出∠AOB的度数，结合∠AOC＝∠AOB+∠BOC即可求出∠AOC的度数；当OC在∠AOB中时，由∠AOB＝2∠BOC可求出∠AOB的度数，结合∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC即可求出∠AOC的度数． 【详解】解：分两种情况考虑． 当OB在∠AOC中时，如图1所示， ∵∠AOB＝2∠BOC＝2×25°＝50°， ∴∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝50°+25°＝75°； 当OC在∠AOB中时，如图2所示， ∵∠AOB＝2∠BOC＝2×25°＝50°， ∴∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC＝50°﹣25°＝25°． 故答案为：75°或25°． 【点睛】本题考查了角的计算，分∠AOC＝∠AOB+∠BOC和∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC两种情况考虑是解题的关键． 45．定义：从的顶点出发，在角的内部引一条射线，把分成的两部分，射线叫做的三等分线．若在中，射线是的三等分线，射线是的三等分线，设，则用含x的代数式表示为（    ） A．或或 B．或或 C．或或 D．或或 【答案】C 【分析】分四种情况，分别计算，即可求解． 【详解】解：如图：射线是的三等分线，射线是的三等分线， 则，， ； 如图：射线是的三等分线，射线是的三等分线， 则，， ； 如图：射线是的三等分线，射线是的三等分线， 则，， ； 如图：射线是的三等分线，射线是的三等分线， 则，， ； 综上，为或或， 故选：C． 【点睛】本题考查了角的有关计算，画出图形，采用分类讨论的思想是解决本题的关键． 题型十六 尺规作一个角等于已知角 46．如图，尺规作图，作图痕迹中弧是（   ） A．以点为圆心，以长为半径的弧 B．以点为圆心，以长为半径的弧 C．以点为圆心，以长为半径的弧 D．以点为圆心，以长为半径的弧 【答案】D 【分析】本题主要考查了作一个角等于已知角， 先以点B为圆心，以为半径画弧，交于点D，E，再以点F为圆心，以为半径画弧，交于点G，然后以点G为圆心，以为半径画弧，交前弧于点H，作射线，则，可得答案． 【详解】解：作图痕迹中弧是以点G为圆心，以为半径画弧． 故选：D． 47．如图，在中，，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交边，于点，；以点为圆心，长为半径画弧，分别交边，于点，；再以点为圆心，长为半径画弧，与弧交于点；作射线交边于点．则的度数为________度． 【答案】 【分析】根据“作一个角等于已知角”的尺规作图可得，，再计算即可求解． 【详解】解：由题可知，， ， ． 48．如图，在中，，，尺规作图操作如下：（1）以点A为圆心、适当长为半径画弧，分别交边，于点D，E；（2）以点B为圆心、长为半径画弧，分别交边，于点F，G；（3）再以点F为圆心、长为半径画弧，与弧交于点H；（4）画射线交边于点I．则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据“作一个角等于已知角”的尺规作图可得，，再计算即可求解． 【详解】解：由题可知，， ， ． 解答题 1．计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题包含四个角的运算问题，需要根据度、分、秒的进制，按照先乘除后加减、有括号先算括号内的运算顺序进行计算． 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． （3）解：原式． （4）解：原式． 【点睛】本题考查了度分秒的四则运算，掌握度、分、秒之间的进制关系，按照运算顺序进行计算是解题的关键． 2．如图，，交于． 尺规作图：以点为顶点，射线为一边，在的右侧作，使．（要求：不写作法，但保留作图痕迹） 【答案】见解析 【分析】根据尺规作一个角等于已知角的方法，作图即可． 【详解】解：如图所示，即为所求． 3．如图，射线的方向是北偏西，射线的方向是北偏东，为正北方向，为正东方向，且平分． (1)射线的方向是 ． (2)求的度数． 【答案】(1)北偏东 (2) 【分析】（1）根据，确定的度数，得到答案． （2）根据,解答即可． 本题考查了方向角，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意，得,, ∴, ∵平分， ∴， ∴， 故射线的方向是北偏东， 故答案为：北偏东． （2）解：根据题意，得, 故． 4．如图1，直角三角尺的一个顶点在直线上，且，平分． (1)若，则的度数为___________． (2)将图1中的直角三角尺绕点顺时针旋转至图2的位置，其他条件不变，若，求的度数； (3)将直角三角尺从图2的位置继续绕点顺时针旋转，其他条件不变，点落在射线上时停止旋转，当旋转到下方时，请写出在此旋转过程中和的度数之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3) ，理由如下： 如图， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴． 【分析】（1）先计算出，利用角平分线的性质求出，最后利用平角的性质求出即可； （2）先计算出，仿照（1）的解法，求出即可； （3）先用表示出，利用角平分线的性质表示出，再根据平角的性质表示出，从而得到和的之间的关系． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （2）解：由图可知，， ∵平分， ∴， ∴； （3）解：略． 5．元旦期间，吴兴区某校七年级同学在观看太湖古镇灯光秀表演后，以“灯光里的数学美”为主题展开项目式学习．同学们类比角平分线的定义，给出角的倍分角线的定义，在探究中感受数学之美． 新定义：如果的内部有一条射线将分成两个角，其中是所分角中较小角的倍，那么我们称射线为的倍分角线．如图1，若，则射线为的3倍分角线． 【特例感知】 (1)若， ①射线为的2倍分角线，则________； ②射线为的3倍分角线，则________； 【类比探究】 (2)如图2，点，，在同一条直线上，为直线上方的一条射线．若射线，分别为和的4倍分角线（，），当时，求的度数； (3)如图3，在（2）的条件下，若射线从射线处绕点顺时针旋转，速度为度/秒，同时射线从射线处绕点顺时针旋转，速度为度/秒．在旋转的过程中，当射线是的倍分角线时（），恰好射线也是的倍分角线（），请直接写出与的数量关系________． 【答案】(1) 或 (2) (3) 【分析】（1）根据定义，计算即可求解； （2）设，则，根据“4倍分角线”，可求出和， 再根据，列出方程，求解即可； （3）设旋转时间为秒，则，，则根据“倍分角线”，可得，，从而，同理可得，进而得到，整理可得． 【详解】（1）解：①射线为的2倍分角线，， ，即； 故答案为：； ②射线为的3倍分角线，， 当，即； 当，即， ， 故答案为：或； （2）解：设， 点，，在同一条直线上， ，即， 射线，分别为和的4倍分角线（，）， ，， 则， ，， ，即，解得， ； （3）由（2）可知，，，，， 设旋转时间为秒，则，， 射线是的倍分角线时（）， ， ， ， 射线也是的倍分角线（）， ， ， ，即， ， ． 【点睛】本题考查角的运算，角的倍分角线的定义，动角问题，正确掌握角的运算和角的倍分角线的定义是解题的关键． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $